6 Razredni pouk 1/2014
Dr. Alenka Lipovec,  
Darja Antolin,
Univerza v Mariboru, 
Pedagoška fakulteta
Teorija praksi
Ocenjevanje znanja 
pri pouku matematike
Uvod
Ocenjevanju znanja pri matematiki je bilo v pre-
teklih letih posvečeno mnogo pozornosti, zato je 
tudi literatura s tega področja bogata. Matema-
tika spada med predmete, katerih znanje se je v 
preteklosti (in se bo morda tudi v prihodnosti) že 
na razredni stopnji vrednotilo tudi na nacionalnih 
preverjanjih znanja. Ta spadajo, poleg medna-
rodnih primerjalnih raziskav, kot sta TIMSS in 
PISA, med mehanizme za ugotavljanje kakovo-
sti izobraževanja. Pregled razultatov ob koncu 
drugega vzgojno-izobraževalnega obdobja kaže, 
da osrednjeslovenska regija, gorenjska in goriška 
regija dosegajo najvišje rezultate, pomurska in 
koroška regija pa imata najnižji povpreček v državi 
(Nacionalno preverjanje znanja, 2012). Predmetna 
komisija ugotavlja, da so rezultati nekoliko nad 
pričakovanimi, a izpostavi tudi, da učenci pri re-
ševanju nalog najvišje taksnomoske ravni niso po-
kazali zanesljivega znanja. Naloge so sicer začeli 
reševati, vendar v nadaljevanju naloge, pri kateri je 
bilo zahtevano celovitejše znanje, niso bili uspešni. 
Naloge s področja števil so pozitivno izstopale v 
uspešnosti reševanja, na nalogah iz poznavanja in 
razumevanja geometrijskih elementov pa so re-
zultati skromnejši. Kot najslabše reševana naloga 
se je izkazala naloga, ki je zahtevala, da učenci 
narišejo krožnico k(S,3 cm) in tetivo AB, dolgo  
4 cm ter dopolnijo poved: Najdaljšo tetivo krožnice 
imenujemo __.
Vrednotenje znanja matematike je ciklični proces 
(Van de Walle, 2004) (slika 1).
V prispevku bomo na primerih ilustrirali največ-
krat uporabljane načine ocenjevanja. Predstav- 
ljeni postopki so le predlogi, vsak učitelj s svojim 
strokovnim znanjem oceni, ali so predlogi zanj 
uporabni in v kolikšni meri jih želi vključiti v svojo 
prakso.
Pisno ocenjevanje znanja
Ocenjevanje znanja matematike s pisnimi preiz-
kusi znanja je tradicionalno najbolj zastopano. Za 
matematiko velja, da je ocenjevanje objektivno 
in za učitelja manj zahtevno kot ocenjevanje pri 
drugih predmetih. Pri matematiki naj bi pisno 
ocenjevanje sledilo tem načelom: načelu ciljnega 
Povzetek: V prispevku predstavimo najbolj zastopane načine ocenjevanja znanja pri pouku matemati-
ke. Posebno pozornost posvetimo pisnemu ocenjevanju, pri čemer na primeru predstavimo načela in 
akcijski postopek nastajajanja preizkusa znanja. Pri ustnem ocenjevanju predlagamo štiristopenjsko 
lestvico ocenjevanja konceptov, procedur in matematičnega sporočanja ter diagnostični intervju kot 
metodo točkovanja. Postopek ilustriramo na primeru. Bežno se dotaknemo avtentičnih oblik ocenje- 
vanja, natančneje matematičnega dnevnika. Ključne besede: pouk matematike, ocenjevanje, diagno-
stični intervju, tipi znanja, reprezentacije. Knowledge Assessment at Math Instructions. Abstract: 
In the paper we present the most oft-represented ways of knowledge assessment in the instruction 
of mathematics. We dedicate special attention to written examinations, of which we present princi-
ples and the action process of the formation of an exam. For oral assessment we propose a four-point 
scale for the assessment of concepts, procedures and mathematical communication, and a diagnostic 
interview as a method of scoring. The process is illustrated on the example. We also vaguely dedicate 
our attention to the authentic forms of assessment, or more specifically to the mathematical journal. 
Keywords: instruction of mathematics, assessment, diagnostic interview, types of knowledge repre-
sentations.

 Razredni pouk 1/2014 7
načrtovanja, načelu tipov znanja, načelu repre-
zentacij in načelu standardov. V nadaljevanju 
bomo na kratko pojasnili vsakega izmed načel.
Načelo ciljnega načrtovanja je splošno didaktično 
načelo, ki govori o ciklu načrtovanje – preverjan- 
je – interpretacija – uporaba rezultatov. Učitelji 
ob preverjanju vrednotijo znanje učencev in svoje 
delo ter načrtujejo nadaljnje delo na podlagi te 
povratne informacije.
Načelo tipov znanja govori o uravnoteženi zasto-
panosti nalog različnih tipov znanja. Matematika 
za razliko od drugih predmetnih področij uporab- 
lja namesto Bloomove taksonomije prirejeno Ga-
gnejevo taksonomijo oz. tipe znanja. Ločimo med 
deklarativnim, proceduralnim, konceptualnim in 
problemskim tipom znanja. Deklarativni tip znanja 
sestavlja znanje pojmov in dejstev brez razumevan- 
ja, mnogokrat gre za priklic nepovezanih dejstev 
(npr. poštevanka). Ko ta tip znanja primerjamo s 
poenostavljenim Bloomovim modelom (priklic, 
razumevanje, višji miselni procesi), ugotovimo, da 
gre za prvo stopnjo. Nekoliko višje (na Bloomovi 
stopnji razumevanja) najdemo dva tipa znanja: 
proceduralno in konceptualno. Proceduralno 
znanje sestavljata poznavanje in razumevanje po-
stopkov (npr. računskih algoritmov) ter dogovor-
jenih terminov/simbolov (npr. zmanjševanec) in ga 
ločimo na rutinsko in kompleksno. Konceptualno 
znanje pa je relacijsko znanje, gre za razumevanje 
(tj. povezovanje) osnovnih konceptov, kot je npr. 
prepoznava pojma (npr. lik kot mejna ploskev tele-
sa), predstave (npr. številske predstave – določiti 
odnose med števili, geometrijske predstave – kvad- 
rat lahko razdelim na dva trikotnika), razume-
vanje terminologije (npr. a, b stranici), povezave 
pojmov (npr. razlika med večkratniki števila 2 in 
večkratniki števila 3), navajanje primerov (naštej 
geometrijska telesa, like, sedemkratnike …). Na 
najvišji stopnji najdemo problemsko znanje, ki 
ga označuje pozitiven horizontalni in vertikalni 
transfer znanja. Učenec znanje, ki ga je pridobil 
v neki učni situaciji, uspešno uporabi v situaciji, 
v kateri mu ni znana pot reševanja problema. V 
preizkusu znanja naj bi nastopali vsi tipi znanja v 
približnem razmerju deklarativno : procedural-
no : konceptualno : problemsko = 1 : 4 : 4 : 1, pri 
čemer se razmerje nanaša na število točk, ki jim 
je bil pripisan tip znanja.
Načelo reprezentacij se osredini na pomembnost 
različnih predstavitev pojmov. Uporabljamo Bru-
nerjeve reprezentacije, ki jih v grobem opisujemo 
kot konkretni, slikovni in simbolni nivo. Bruner je 
predlagal karakterizacijo različnih reprezentacij/
predstavitev (npr. s sliko, simbolom, govorom, de-
javnostjo, grafičnim prikazom) na enaktivne, iko-
nične in simbolne reprezentacije (Bruner, 1967). 
O enaktivni reprezentaciji govori, ko opazujemo 
reprezentacijo preteklega dogodka z namišljenimi 
ali dejanskimi motoričnimi odzivi. Reprezentacija 
lahko torej vsebuje dejanske motorične odzive 
(npr. delo s konkretnim materialom) ali pa le 
namišljene odzive na dogodek (npr. v življenj-
ski kontekst vpete besedilne naloge). Ikonična 
reprezentacija omogoča povzemanje dogodkov s 
selektivno organizacijo in naknadno transforma-
cijo dražljajev/podob. Pri selektivni organizaciji 
izluščimo iz prej omenjenega dogodka samo za 
matematiko pomembne značilnosti, ki jih nato 
S
S
P
I
Slika 1: Ciklični proces vrednotenja in njegov namen

 8 Razredni pouk 1/2014
običajno skozi sliko ponovno podamo. Z matema-
tičnega stališča je npr. pri kupu jabolk običajno 
pomembno le, koliko jih je. Pri mlajših učencih 
seveda obstaja velika razlika med (realistično) 
fotografijo kupa jabolk in narisanimi krožci, ki 
ponazarjajo ta jabolka. Še posebno če jabolka 
(povsem nerealistično) razporedimo v vrstice po 
deset zaradi razvijanja mestnovrednostnega kon-
cepta. Ikonična reprezentacija je torej smiselna 
šele, ko učenci že poznajo in razumejo enaktivno. 
Simbolna reprezentacija se nanaša na reprezen-
tacijo (izpeljanih pojmov) v (umetnem) simbolnem 
svetu in bi npr. pri prej omenjenih jabolkih pome-
nila zapis s številko.
Slika 2, ki je povzeta po i-učbeniku za četrti 
razred, prikazuje enaktivno reprezentacijo poj-
mov telo, lik, črta in točka. Na seriji realističnih 
fotografij te pojme učenec opazuje in reflektira 
na konkretno dejavnost z njimi. Na desni strani 
vidimo ikonično reprezentacijo. Pri tej moramo 
opozoriti, da so dvodimenzionalni prikazi tridi-
menzionalnih geometrijskih teles v prvem VIO 
neprimerni, v drugem vzgojno-izobraževalnem 
obdobju pa učenci že prepoznajo sliko pirami-
de, kvadra in krogle v tridimenzionalni različici. 
Simbolna reprezentacija geometrijskih pojmov na 
razredni stopnji seveda ne vsebuje algebrskih opi-
sov teles (npr. za kroglo x
2 
+ y
2 
+ y
2
 £ r
2
), temveč se 
zadovoljimo z besednim opisom telesa z eno krivo 
mejno ploskvijo, brez robov in oglišč, na katerem 
so vse točke enako oddaljene od središča.
Bruner za razliko od Piageta meni, da lahko s pri-
merno reprezentacijo, ki ne sme biti ne prelahka 
in ne pretežka, matematiko učimo na pošten način 
že zelo mlade učence. Poudarja pa, da resnično 
razumevanje dosežemo šele takrat, ko učenec 
učinkovito prehaja med reprezentacijami.
Načelo standardov se nanaša na minimalne 
standarde, predpisane z učnim načrtom. V učnem 
načrtu za matematiko so opredeljeni standar-
di znanja po vzgojno-izobraževalnih obdobjih in 
minimalni standardi znanja po razredih. Minimalni 
standardi znanja opredeljujejo znanja, ki so po-
trebna za napredovanje v višji razred. Učenec, ki 
jih doseže, je ocenjen pozitivno. Minimalni stan-
dardi znanja prvega in drugega vzgojno-izobra-
ževalnega obdobja so zapisani v stolpcih, ki niso 
ločeni s črto. To nakazuje, da je razred doseganja 
teh ciljev le okviren. V okviru ocenjevanja se po-
sebej poudarja, da učenec, ki dosega minimalne 
Slika 2: Enaktivna, ikonična in simbolna reprezentacija geometrijskih oblik (Vir: http://eucbeniki.sio.si/test/iucbe-
niki/mat4/559/index.html)

 Razredni pouk 1/2014 9
standarde, na (številčno) ocenjevanem preizkusu 
znanja prejme (najnižjo) pozitivno oceno. Stan-
darde znanja, ki jih prav tako opredeljuje učni 
načrt, učenci dosegajo na različnih taksonomskih 
ravneh, kar pomeni, da učitelj avtonomno oceni 
»zahtevnejšo«in »temeljno« raven standardov. 
Priporočeno razmerje med minimalnimi, »te-
meljnimi« in »zahtevnejšimi« standardi je 5 : 4 : 1. 
Števila se znova nanašajo na število točk, ki jim je 
pripisan določeni standard.
V nadaljevanju predstavljamo del preizkusa znan- 
ja za tretji razred, ki je bil pripravljen namensko 
za ta prispevek in v praksi še ni bil evalviran, ter 
na njem ilustriramo preizkus ustreznosti. Pred-
stavljen je le del preizkusa. Glede na razporedi-
tev snovi bi v realnih razmerah dodali še druge 
vsebine (npr. telesa in liki, obdelava podatkov, 
poštevanka), postopek pa bi bil enak. Pri dodajan- 
ju geometrijskih vsebin laže dosežemo priporočilo 
o vsebnosti ikonične (slikovne) reprezentacije, 
podobno velja za obdelavo podatkov.
1. Zapišemo cilje
Ko izberemo sklop, zapišemo cilje in jim orien-
tacijsko dopišemo tip znanja, reprezentacijo in 
standard. Pri predstavljenem preizkusu dose-
gamo cilje iz učnega načrta, in sicer:
• seštevajo in odštevajo v množici naravnih 
števil do 100 (tip znanja: proceduralni; repre-
zentacija: simbolna; standard: minimalni),
• poiščejo manjkajoči člen: a +  = b,  + a = 
b v množici naravnih števil do 100 (tip znanja: 
konceptualni; reprezentacija: simbolna; 
standard: temeljni),
• uporabljajo računske operacije pri reševanju 
problemov (tip znanja: problemski; repre-
zentacija: enaktivna; standard: zahtevnejši).
Po pregledu opazimo, da nista zajeta deklara-
tivni tip znanja in ikonična reprezentacija, ter 
se odločimo, da ju dodamo k prvemu in dru-
gemu cilju. Seveda je nesmiselno trditi, da ob 
zapisovanju ciljev učitelj nima v mislih vsaj tipa 
naloge. Ko smo se odločili dodati deklarativni 
tip znanja k prvemu cilju, smo že razmišljali 
o nalogi 5, pri ikonični reprezentaciji drugega 
cilja pa o nalogi 2 (slika 3).
2. Izberemo naloge, ki jih kasneje dopolnjujemo in 
popravljamo
Naloge nastajajo skozi usklajevanje s cilji, 
tipi znanja, reprezentacijami in točkovanjem. 
Podajamo le tiste, ki so nato vstopile v preizkus 
s šolsko prakso. Naloge so predstavljene le 
orisno.
[1] Izračunaj. 
 24 + 48 = ,93 – 59 = ,67 + 23= , 
100 – 36 = ,  + 54 = 72,63 –  =29,  
 – 3=9.
[2] Opiši sliko z enakostjo. Ugotovi, koliko je 
jabolk v košari, ki je označena z vprašajem. 
Slika, podobna sliki pri nalogi 2 (slika 3). 
Prikazuje tehtnico, na desni slika košare z 
zapisom 17 in košara, na kateri je simbol ?, 
na levi košara in zapis 36.
[3] Matej je nabral 17, Andrej 28 in Tine 34 
jabolk. Marko je nabral 17 jabolk manj kot 
Tine. Koliko jabolk so nabrali skupaj?
[4] V nedeljo smo kupili 53 jabolk, kar je 27 
jabolk manj kot v ponedeljek. Koliko smo jih 
kupili v ponedeljek?
[5] Poimenuj števila v enakostih 45 + 37 = 82 in 
92 – 36 = 56.
[6] Zapiši besedilno nalogo z računom  
17 + 36 = 53.
3. Preverimo časovni okvir 
Poprosimo kolegico iz drugega VIO, da reši 
naloge in pri tem spremlja svoj čas reševanja. 
Njen čas reševanja pomnožimo s štiri, če gre 
za prvi razred, ter s tri, če gre za ostale razrede 
na razredni stopnji. Preverimo, ali dobimo manj 
kot 40 minut, da se gibljemo v okvirih šolske 
ure in upoštevamo sposobnosti koncentracije 
učencev. V prvem razredu preizkus znanja naj 
ne bi trajal več kot 20 minut. Ocenili smo, da 
bi predstavljene naloge, ki so le del preizkusa 
znanja v tretjem razredu, učenci verjetno rešili 
v 20 minutah.
4. Izdelujemo mrežni diagram: naloge točkujemo, 
sproti preverjamo ustreznost in jih dopolnjuje-
mo
Običajno se odločimo, da pomeni en račun 
(npr. 38 + 59 =  eno točko). V našem primeru 
nastopajo tudi enakosti z neznanim členom, ki 
so »težje« in bi jim zato radi dali več kot eno, 
vendar manj kot dve točki. Ker želimo ohraniti 
točkovanje z naravnimi števili, preprosto skle-
nemo, da je en račun vreden dve točki in ena 

 10 Razredni pouk 1/2014
enakost z neznanim členom dve točki. K toč-
kam pripisujemo, za kateri tip znanja gre in ali 
gre za točke na minimalnem standardu znanja. 
Minimalna standarda za ta sklop sta: sešteva 
in odšteva v množici naravnih števil do 100 ter 
poišče manjkajoči člen pri računih seštevanja 
in odštevanja v množici naravnih števil do 20.
Predstavljeni način točkovanja prejšnjih nalog 
je le eden izmed mogočih, ni niti najboljši niti 
najslabši. Mogočih pa je seveda še mnogo več 
popolnoma regularnih načinov.
[1] Računi: 8 točk (tip znanja: proceduralni, 
standard: minimalni). Enakosti z neznanim 
členom: 9 točk (tip znanja: konceptualni, 
standard: 6 temeljni, 3 minimalni). Skupaj:  
17 točk.
[2] Nastaviti enakost z neznanim členom: 1 
točka (tip znanja: konceptualni, standard: 
temeljni). Poišče neznano število: 1 točka  
(tip znanja: konceptualni, standard: temelj-
ni). Poda odgovor: 1 točka (tip znanja: kon- 
ceptualni, standard: minimalni). Skupaj  
3 točke.
[3] Nastavi račun(e): 2 točki (tip znanja: kon-
ceptualni, standard: zahtevnejši). Izračuna 
račun(e): 8 točk (proceduralne, minimalni). 
Poda odgovor: 1 točka (tip znanja: kon- 
ceptualni, standard: minimalni). Skupaj: 
11 točk.
[4] Nastavi račun: 1 točka (tip znanja: problem-
ski, standard: zahtevnejši). Izračuna račun: 
1 točka (tip znanja: proceduralni, standard: 
minimalni). Poda odgovor: 1 točka (tip 
znanja: konceptualni, standard: minimalni). 
Skupaj: 3 točke.
[5] Vsako poimenovanje 1 točka (tip znanja: 
deklarativno, standard: temeljni). Skupaj:  
6 točk.
[6] Ustrezno izbrana situacija za računsko 
operacijo: 1 točka (tip znanja: problemski, 
standard: temeljni). Številska smiselnost: 
1 točka (tip znanja: konceptualni, standard: 
temeljni). Jezikovna smiselnost: 1 točka (tip 
znanja: konceptualni, standard: temeljni). 
Skupaj: 3 točke.
Med točkovanjem sproti dopolnjujemo mrežni 
diagram in smo pozorni na ustrezne deleže 
tipov znanja in standardov.
Mrežni diagram pokaže (tabela 1), da smo s 
tem delom preizkusa lahko dokaj zadovolj-
ni, kar se tiče uravnoteženosti tipov znanja. 
Odstotki pri standardih povedo, da bomo za 
oceno zadostno (2) zahtevali 23 točk in za oceno 
odlično (5) 40 točk. Ponovno opozorimo, da gre 
le za del preizkusa znanja in so zato točke in 
intervali le hipotetični. Interval med 23 in 40 
točkami razdelimo enakomerno, po potrebi 
oceni dobro (3) dodelimo več točk. V našem pri-
meru dobimo: 23–27 (2), 28–34 (3), 35–39 (4) in 
40–43 (5) oz. z odstotki: do 53 % (1), do 65 % (2), 
do 81 % (3), do 90 % (4). Opazimo, da so merila 
pri vsakem preizkusu drugačna, saj so odvisna 
od vsebnosti točk pri minimalnem in zahtevnej-
šem standardu znanja.
5. Preizkus ocenimo
Predstavljeni preizkus smo evalvirali pri učen-
cih tretjega razreda, ki so ocenjevani preizkus 
znanja iz te snovi pisali dan prej. Poskrbljeno 
Tabela 1: Mrežni diagram
Naloga Tip znanja Taksonomija standardov Skupaj
Dekl. Proc. Konc. Probl. Min. Tem. Zaht.
1. 8 9 11 6 17
2. 3 1 2 3
3. 8 3 9 2 11
4. 1 1 1 2 1 3
5. 6 6 6
6. 2 1 2 1 3
Skupaj 6 
14 %
17 
40 %
18 
41 %
2 
5 %
23 
54 %
16 
37 %
4
9 %
43

 Razredni pouk 1/2014 11
je bilo za testne pogoje dela (omejitev možnosti 
goljufanja). Učenci se z avtoricama prej niso 
srečali, zato je bilo pričakovati, da način pouka 
in preverjanje rezultatov ne bosta usklajena. 
Kljub temu smo ocenili, da je evalvacija v real-
nih razmerah izjemno pomemben del in smo jo 
poskušali simulirati, kolikor je le bilo mogoče.
Pri ocenjevanju smo posebej pozorni na to, 
katere točke učenec dobi, in ne na to, katere 
izgubi. Pri nalogi [2] smo pri ocenjevanju pozor-
ni na to, da učenec lahko enakost z neznanim 
členom izrazi vsaj na dva načina: 17 +  =28 ali 
28 –  = 17. Pri prvem načinu opisuje ravno-
vesje tehtnice, kot je na sliki, pri drugem načinu 
pa opisuje odvzemanje košare, ki je označena z 
vprašajem na levi in desni strani. Učenec lahko 
odgovor poda ali s povedjo ali pa npr. z vpiso- 
vanjem rezultata 11 na ustrezno mesto.
Nalogo [3] lahko učenec reši na več načinov, 
npr. z enim računom ali več računi. Na točko- 
vanje to ne sme vplivati. Lahko se zgodi, da 
učenec napak izračuna število jabolk, ki jih 
nabere Marko 34 – 18 = 16, ter to (napačno) raz-
liko nato uporabi pri končnem računu 17 + 28 + 
34 + 16 = 95. Na podlagi te vsote poda odgovor: 
Skupaj so nabrali 95 jabolk. Ta učenec dobi 
naslednje število točk: nastaviti računa: 2 točki; 
izračunati računa: 6 točk, kajti trije računi od 
štirih (34 – 18, 17 + 28, 45 + 34 in 79 + 16) so bili 
pravilno izračunani; podati odgovor: 1 točka. 
Odgovor je »pravilen« glede na izračunani re-
zultat in učenca ne »kaznujemo« še enkrat za 
napako v izračunavanju vsote 34 – 18. Skupaj:  
9 točk od 11 možnih točk.
Pri nalogi [5] smo med ocenjevanjem opazili, 
da naloga ni dobro formulirana, kajti odgovora 
tipa 45 = petinširideset nismo predvideli. Če 
se zgodi kaj podobnega, učencu damo točke, 
čeprav smo pričakovali odgovor seštevanec. V 
realni šolski praksi se kaj takega redko pojavi, 
kajti učitelj s preverjanjem poskrbi za to, da je 
učencem njegova terminologija blizu.
Pri nalogi 6 smo pozorni na:
a) ustreznost situacije k zapisani enakosti; 
naloga V ponedeljek smo kupili 17 avtomo-
bilčkov, v torek pa še 36 več avtomobilčkov 
kot v ponedeljek. Koliko avtomobilčkov smo 
kupili skupaj? ni ustrezna;
b) številsko smiselnost; naloga Babica je za 
veliko noč spekla 17 potic, potem so prišli 
sorodniki in je spekla še 36 potic. Koliko po-
tic je spekla skupaj? je številsko nesmiselna; 
c) jezikovno smiselnost (npr. besedilna naloga 
vsebuje vprašanje).
6. Naredimo analizo preizkusa
Preizkus smo kot neocenjevan učni list dali 36 
učencem tretjega razreda, med katerimi so bili 
štirje učenci, ki imajo individualizirani program 
in so preizkus pisali pri delavki svetovalne 
službe. Ugotovili smo, da je bila časovna ocena 
postavljena smiselno, kajti povprečni čas  
reševanja je bil 19 minut. Skupni uspeh je bil  
76 %, in sicer si je po nalogah sledil takole:  
84 %, 69 %, 59 %, 65 %, 84 %, 86 % in 76 %.  
Tretja naloga nekoliko odstopa, kar nas 
opozori, da je treba več pozornosti posvetiti 
sestavljenim nalogam. Na razredni stopnji so 
ocene boljše, kot so na predmetni stopnji, in 
zato ne pričakujemo razporeditve po normalni 
krivulji. Če bi ocenjevali le ta del preizkusa, bi 
dva učenca dobila oceno nezadostno (1), pet 
učencev oceno zadostno (2), devet učencev oce-
no dobro (3), devet učencev oceno prav dobro 
(4) in enajst učencev oceno odlično (5). Poleg 
uspešnosti po nalogah občasno pregledamo 
tudi uspešnost po tipih znanja.
7. Preizkus posodobimo
Na podlagi prejšnjih korakov lahko učitelj 
preizkus »popravi«. V našem primeru smo se 
odločili za te popravke: nekoliko več računov, 
dvig konceptualne komponente pri nalogi z iko-
nično reprezentacijo, bolj natančna navodila pri 
nalogi z matematično terminologijo (slika 3).
Ustno ocenjevanje znanja
Poleg pisnih preverjanj znanja pri matematiki 
najpogosteje uporabljamo ustno preverjanje in 
ocenjevanje znanja. Znotraj tega si učitelj lahko 
pripravi podobna merila kot pri pisnem ocenjevan- 
ju, posebno pa naj bo pozoren na to, da ocenjuje 
procedure, koncepte in matematično sporočanje.
Pri ustnem ocenjevanju je smiselno posebno 
pozornost posvetiti področju sporočanja, ki je pri 
drugih oblikah ocenjevanja lahko težje zaznavno, 
a je izjemno pomembno. Proces komunikacije 
pomaga pri izgradnji pomena, saj so učenci izzvani 
k glasnemu razmišljanju ali k pisnemu beležen- 

 12 Razredni pouk 1/2014
ju svojih misli. Med vsem tem pa se razvija tudi 
odnos med učenci. Naučijo se poslušati drug dru-
gega in s poslušanjem idej ostalih v razredu lahko 
tudi razvijajo svoje razumevanje. S takšno disku-
sijo utemeljujejo svoje rešitve in hkrati pridobivajo 
boljše matematično razumevanje. Sfard (2000) 
poudarja, da učenci komunicirajo, da se učijo ma-
tematike in hkrati matematično komunicirati.
Tako Vigotski kot Piaget sta poudarjala pomemb-
nost socialnih interakcij v kognitivnem razvoju. 
Piaget je vlogo interakcij videl kot spodbudo za 
razvoj s kognitivnim konfliktom, Vigotski pa je 
trdil, da razvoj spodbujajo interakcije z ljudmi, ki 
so bolj spretni v mišljenju in imajo več znanja. To 
naj bi bili starši in učitelji. Sporočanje odraslih 
in učiteljev torej spodbuja razvoj matematičnega 
jezika učencev. Piaget je trdil, da pojma ne mo-
remo posredovati samo z besedo, saj k njegovem 
oblikovanju pojma prispeva logično mišljenje. Da 
pa otrok lahko zgradi logično misel, mora delovati 
na predmete. Sposobnost prepoznavanja pojma 
se pojavlja pred sposobnostjo definiranja, kar ne 
pomeni, da sposobnost definiranja nujno vključuje 
tudi sposobnost prepoznavanja. Tako lahko otrok 
pove, da je kvadrat lik iz geometrije, da ima štiri 
stranice, ne da bi poglobljeno poznal kvadrat in ga 
znal razlikovati od pravokotnika.
V učnem načrtu najdemo večkrat poudarek po-
membnosti »jasnega in natančnega« izražanja, ki 
je značilen del matematike. V prvem vzgojno-izo-
braževalnem obdobju se matematični in naravni 
jezik še zelo prepletata, v drugem vzgojno-izob- 
raževalnem obdobju pa je matematični jezik že 
zgoščen, z manj znaki mnogo pove, naravni jezik 
pa potrebuje za izražanje iste vsebine veliko več 
znakov. Učitelj poleg posredovanja matematične 
vsebine učencem posreduje tudi obliko. Mate-
matični jezik je poseben jezik in učitelj ga mora 
najprej obvladati tudi sam (Vogrinec, 1981).
Pri ustnem preverjanju znanja se je kot učinkovita 
oblika izkazal diagnostični intervju, pri katerem 
učitelj učenca postopoma vodi skozi reševanje 
problema. Pri diagnostičnem intervjuju učitelj 
lahko uporablja analitični točkovnik, kar poteka v 
treh fazah in pokriva tri področja (koncepti, proce-
dura in sporočanje).
V nadaljevanju najprej predstavljamo primer ček 
liste, ki je učitelju lahko v pomoč. Lista je sestav- 
ljena na štirih stopnjah, ki smo jih poimenovali 
nezadovoljivo, zadovoljivo, dobro in zelo dobro.
Slika 3: Oris preizkusa znanja za sklop Seštevanje in odštevanje do 100 v tretjem razredu

 Razredni pouk 1/2014 13
Koncepti Procedure Sporočanje
Nezado- 
voljivo
Brez rešitve oz. rešitev 
brez povezave s ciljem. 
Uporabljeni napačni kon-
cepti. Rešitev ne govori 
o nobeni izmed mate-
matičnih komponent, 
pomembnih za standard.
Brez dokaza o uporabi 
strategije oz. procedure oz. 
uporaba strategije, ki ne 
pomaga pri rešitvi naloge. 
Brez dokaza o matematič-
nem sklepanju. Toliko napak 
v proceduri, da problema ni 
bilo mogoče rešiti.
Brez razlage rešitve oz. 
razlage ni mogoče razumeti 
oz. razlaga je nepovezana s 
problemom. Brez uporabe 
oz. napačna uporaba mate-
matičnih reprezentacij (npr. 
slik, diagramov, grafov, tabel 
itd.). Nobene uporabe mate-
matične terminologije.
Zadovoljivo Nepopolna rešitev na-
kazuje, da deli problema 
niso razumljeni. Upo-
rabljeni so le nekateri 
ustrezni koncepti. Reši-
tev govori o nekaterih, 
a ne vseh matematičnih 
komponentah naloge.
Uporablja strategije, ki so 
delno uporabne, vodijo k 
rešitvi, a problema ne rešijo v 
popolnosti. Nekateri dokazi 
sklepanja. Ne zmore popol-
noma izpeljati matematičnih 
procedur. Nekateri deli so 
lahko pravilni, a ni pravilnega 
odgovora.
Nepopolna razlaga, ni jasne 
razlage. Nekaj uporabe 
matematičnih reprezentacij. 
Nekaj uporabe relevantne 
terminologije in oznak.
Dobro Rešitev nakazuje, da ima 
učenec široko razumeva-
je problema in osnovnih 
konceptov, potrebnih za 
rešitev. Rešitev vsebuje 
vse pomembne kompo-
nente naloge.
Uporablja ustrezne strategi-
je, ki vodijo k rešitvi pro-
blema. Uporablja ustrezno 
matematično sklepanje. Vsi 
deli so pravilni, tudi odgovor 
je pravilen.
Jasna razlaga. Ustrezna 
uporaba matematičnih repre-
zentacij. Ustrezna uporaba 
matematične terminologije in 
oznak.
Zelo dobro Globoko razumevanje 
problema, vključno s 
sposobnostjo identifika-
cije ustreznih matematič-
nih konceptov in informa-
cij, ki so nujne za rešitev. 
Rešitev popolnoma 
ustreza komponentam 
naloge. Rešitev prikazuje 
uporabo koncepta, na 
podlagi katerega je zgra-
jena naloga.
Uporablja različne učinkovite 
in sofisticirane strategije, ki 
vodijo neposredno k rešitvi. 
Uporablja natančno in kom-
pleksno sklepanje. Preveri 
rezultat in vrednoti smisel-
nost rešitve. Prikaže mate-
matično relevantna opažanja 
in povezave.
Jasna, učinkovita razlaga, 
ki natančno pojasni rešitev; 
vsi koraki so pojasnjeni. 
Matematična reprezentacija 
je aktivno uporabljena kot 
sredstvo komuniciranja z 
namenom rešitve problema. 
Natančna in ustrezna upora-
ba terminologije in oznak.
Pojasnimo sedaj, kako uporabiti diagnostični 
intervju in analitični točkovnik. Oglejmo si ustno 
ocenjevanje na primeru, povzetem po i-učbeniku 
za peti razred (slika 4).
Ocenjevanje poteka v treh fazah: razumevanje 
naloge, konstruiranje načrta reševanja, izvedba 
načrta reševanja.
1. Razumevanje naloge. Učitelj najprej preveri ali 
učenec razume problem, in dodeli ustrezno 
število točk (npr. 0 – popolno nerazumevanje, 
3 – del problema napak razumljen, 6 – popolno 
razumevanje problema).
Če naloge učenec ne razume v popolnosti, 
učitelj poskrbi, da učenec problem razume npr. 
z razlago, konkretnimi pripomočki ipd. Če je 
potrebno, torej pojasni pojma obseg pravokot- 
nika in pravokotnik ter s tem zagotovi razume-
vanje konceptov.

 14 Razredni pouk 1/2014
2. Načrtovanje postopka reševanja. Nato nastopi 
faza, v kateri učenec pojasni, kako vidi načrt 
reševanja problema. Tudi to fazo vrednotimo z 
analitičnim točkovnikom (npr. 0 – brez posku-
sa ali popolnoma neprimeren načrt, 3 – delno 
pravilen načrt, temelječ na pravilni interpre-
taciji dela problema, 6 – načrt bi lahko vodil k 
pravilni rešitvi, če bi bil izveden pravilno).
V našem primeru se znotraj tega področja 
pojavi kategorija sporočanja, saj učitelj po 
potrebi pojasni oz. zahteva ubeseditev postopka 
pridobivanja obsega pravokotnika.
Isti matematični izraz lahko ubesedimo na več 
različnih načinov, vsi pa so med seboj podobni. 
Matematični izraz je za tistega, ki ga razume, 
enoličen, torej ima točno določeno vsebino. 
Pojasnimo na primeru. Učenec lahko posto-
pek pridobivanja obsega pravokotnika o pri 
danih stranicah a in b ubesedi na več različnih 
načinov:
a) Obseg je dva a in dva b.
b) Obseg pravokotnika je enak štirim njegovim 
stranicam skupaj.
c) Obseg pravokotnika izračunamo tako, da 
dolžino in širino pravokotnika seštejemo in 
vsoto pomnožimo z dve.
č) Obseg pravokotnika izračunamo tako, da 
dolžino pomnožimo z dve, prav tako širino 
pomnožimo z dve. Nato zmnožka seštejemo.
d) Obseg pravokotnika izračunamo tako, da 
pomnožimo mersko število, ki pove dolžino 
vsote dolžine in širine v številu določenih 
merskih enot, z dve.
Isto vsebino lahko izrazimo preprosto, pregled- 
no in jasno, kot je v primeru c). V primeru a) ni 
nobenega razumevanja, saj je izraz ubeseden 
celo brez uporabe računske operacije, primer 
b) ni dober, ker ni jasno, kaj pomeni. V odvisno-
sti od razvojne stopnje otroka oz. razreda, ki 
ga obiskuje, učitelj oceni različne ubeseditve. 
Zgoraj zapisane ubeseditve so v petem razredu 
lahko ocenjene kot: a) nezadovoljivo, b) zadovo-
ljivo, c) zelo dobro, č) zelo dobro in d) dobro.
Če je načrt le delno primeren ali popolnoma 
neprimeren, ga učitelj z učencem dopolni. 
Načrt je lahko takšen: Najprej bomo izračunali 
obseg ene izmed gredic tako, da bomo dolžino 
in širino gredice sešteli in vsoto pomnožili z 
dve. Nato bomo dobljeni rezultat pomnožili s 
tri, da bomo izvedeli, koliko lesenih robnikov 
potrebujemo.
Sedaj nastopi zadnja, tretja faza intervjuja oz. 
izvedba rešitve.
3. Izvedba rešitve. Fazo prav tako vrednotimo z 
analitičnim točkovnikom (npr. 0 – brez odgovo-
ra ali popolnoma napačen odgovor, 3 – ponav- 
ljajoče se računske napake ali delna rešitev,  
6 – pravilen odgovor).
V tej fazi vrednotimo področje procedur. 
Učenec, ki se moti v prednosti množenja ali 
Slika 4: Obseg pravokotnika kot primer za ustno ocenjevanje (Vir: http://eucbeniki.sio.si/test/iucbeniki/mat5/759/
index5.html)

 Razredni pouk 1/2014 15
poštevanki, in učenec, ki kljub vsemu ni dojel, 
da je treba na koncu upoštevati dejstvo, da so 
gredice tri, dobita 1–5 točk.
Predstavljeni način je seveda le predlog. 
Izkušeni učitelji običajno ne uporabljajo več 
takih analitičnih instrumentov, kajti holistično 
ocenjevanje izhaja iz izkušenj dolgoletnega 
ocenjevanja. Njihovo »intuitivno« ocenjevanje 
ima visoko stopnjo korelacije z analitičnimi 
točkovniki, ki so torej bolj v pomoč učiteljem 
začetnikom.
Avtentične oblike ocenjevanja 
znanja
V zadnjem desetletju je v slovenskem prostoru 
zaznati premik od (izključne teže) končnih ocen- 
jevanj k večjemu upoštevanju deleža učenčevih 
sprotnih aktivnosti in izdelkov, pri čemer se večajo 
aktivna vloga, udeležba in sodelovanje učencev 
(samoocenjevanje, vzajemno ocenjevanje). Večji 
je poudarek na celostnih načinih v primerjavi z 
analitičnimi načini ocenjevanja, bolj se gleda na 
kakovost (npr. globina razumevanja, uporabnost) 
kot na samo količino reproduciranega znanja. 
Po drugi strani pa implicitni kriteriji ocenjevanja 
postajajo vse bolj eksplicitni, kajti ocenjevanje in 
preverjanje postajata organski del (čim bolj avten-
tične) učne izkušnje. Tekmovalnost in primerjanje 
med učenci se uravnovešata s sodelovalnostjo 
(ocenjevanje skupinskih projektov in izdelkov) ter 
spremljanjem lastnega napredka; delni rezultati, 
izdelki, dosežki ipd. se zbirajo v mapah dosežkov 
ali portfoliu. Poleg usvojenih vsebin se vse bolj 
upošteva in preverja tudi obvladanje različnih 
kompetenc in spretnosti (spoznavnih, komunika-
cijskih, učnih, praktičnih idr.). Učenci imajo vse 
več izbire pri npr. temah referatov. Ugotavljamo, 
da se krepi funkcija preverjanja kot specifične in 
uporabne povratne informacije (Ivanuš Grmek in 
Javornik Krečič, 2004).
Znotraj sumativnega preverjanja znanja izpostav- 
ljajo razen pisnega in ustnega preverjanja tudi 
avtentične oblike znanja, kot je npr. mapa učenče-
vih izdelkov ali matematični dnevnik. Matematični 
dnevnik lahko sestavljajo (kratki) odgovori učen-
cev na vprašanje »Kaj smo se danes naučili?« in je 
učitelju lahko v pomoč pri poglobljeni povratni in-
formaciji. Pisne zadolžitve, ki se zbirajo v portfo-
liu, se delijo na: a) izvedbene, med katere spadajo 
vprašanja, razlage, definicije, poročila, besedilne 
naloge ipd., in b) izrazne, med katere prištevamo 
dnevnike, eseje, pisma, pisno sanjarjenje ipd. 
Posebno pisma bolnim sošolcem, v katerih jim 
učenci razlagajo učno snov, se zdijo obetaven 
pristop. Ena izmed možnosti je tudi pisanje pisem 
med starejšimi učenci (npr. drugo vzgojno-izobra-
ževalno obdobje) in mlajšimi varovanci. Psihologi 
priporočajo model »write-to learn« kot diagno-
stično metodo, saj prebiranje dnevnikov pomaga 
učitelju pri določanju profila učenca in obogati 
učiteljevo sliko o njem. Waywood (1992) ugotavlja, 
da je treba natanko načrtovati pisanje dnevnikov 
na razredni stopnji in da se pozitivni rezultati po-
kažejo šele po nekaj letih. Izpostavi štiri funkcije 
pisanja matematičnih dnevnikov: povzemanje 
koncepta, zbiranje primerov za reprezentacije 
koncepta, zastavljanje vprašanj učitelju, vrstniku 
ali samemu sebi in razprava. V našem šolskem 
prostoru si pri matematiki ta oblika ocenjevanja 
šele utira pot, a poskusi zagnanih učiteljev dajejo 
obetavne rezultate.
Sklep
Največ pozornosti je v šolski praksi posvečeno su-
mativnemu preverjanju znanja, čeprav nacionalno 
preverjanje znanja in druge oblike preverjanja 
znanja nosijo tudi nekatere prvine formativne-
ga preverjanja znanja. V prispevku smo se zato 
osredinili le na te oblike ocenjevanja. Prispevek je 
namenjen učiteljem začetnikom. Čeprav kadrov- 
ske šole ponujajo vsebine, ki bodočim učiteljem 
pomagajo pri kasnejšem ocenjevanju, se zdi, da 
gre za znanje, ki se nadgrajuje šele z izkušnjami 
v realni pedagoški praksi. Študenti razrednega 
pouka namreč še ne zmorejo sestaviti kakovost- 
nega pisnega preizkusa znanja za prvo in drugo 
vzgojno-izobraževalno obdobje (Bratec, 2012). Kot 
posebno težavno se je pokazalo določanje tipa 
znanja in standarda, ki ga preverja naloga. Dodati 
moramo, da je določanje tipa znanja (deklarativno, 
proceduralno, konceptualno in problemsko) zelo 
vprašljivo, če ne poznamo poteka pouka. Če npr. 
v paralelki A naloga 4 velja za problemsko, ker se 
učenci s podobnim tipom naloge še niso sreča-
li, pa gre lahko v paralelki B za proceduralni tip 
znanja, če so podobno nalogo v razredu reševali 
vodeno. Enak razmislek seveda velja za zahtev-

 16 Razredni pouk 1/2014
nejši standard znanja. Vrednotiti pisni preizkus 
znanja drugega učitelja, če ne poznamo njegovih 
metod dela, je torej tako rekoč nemogoče.
Ocenjevanje znanja je seveda zelo pomembna, a 
žal večkrat boleča točka pedagoškega poklica. 
Znano je namreč, da je znanje nemogoče meri-
ti, razen tega je ocenjevanje vedno subjektivna 
dejavnost. Kljub mnogim naporom, ki jih učitelji 
vnašajo v objektivizacijo ocenjevanja znanja, se je 
treba zavedati, da je na tem področju nemogoče 
doseči absolutno objektivnost.
Vredotenje matematičnega znanja ima kljub 
vsemu izjemno pomembno funkcijo kot služabnik 
poučevanja in učenja. Brez infomacij o učenčevih 
spretnostih, razumevanju in pristopih k matema-
tiki ostanejo učitelji matematike brez sredstva, ki 
vodi njihovo delo.
Zahvala. Iskrena hvala učiteljicama OŠ borcev za 
severno mejo v Mariboru Nataliji Čerček in Štefki 
Pšeničnik ter njunim učencem tretjih razredov, ki 
so bistveno pripomogli k zapisu predstavljenega 
prispevka z evalvacijo v razredu. 
Literatura
1.  Bratec, J. (2012). Preizkusi znanja pri matematiki v prvem in 
drugem triletju. Diplomsko delo. Pedagoška fakulteta Univerze v 
Mariboru: Maribor.
2.  Bruner, J. S. (1967). Toward a Theory of Instruction. Harward 
University Press.
3.  Ivanuš Grmek, M. in Javornik, Krečič, M. (2004). Zahteve učiteljev 
pri ocenjevanju znanja in razširjenost avtentičnih oblik ocenjevan- 
ja znanja v osnovni šoli. Sodobna pedagogika, 55 (1), 58–69.
4.  Vogrinec J. (1981). Jezik pri pouku matematike, Sodobna pedago-
gika, 5-6, 267–280.
5.  Van de Walle, J. (2004). Elementary and Middle Schoool mathe-
matics. Teaching Developmentally. Fifth Edition. Pearson: Boston.
6.  Waywood, A. (1992). Journal writing and learning mathematics. 
For the Learning of Mathematics, 12(2), 34–40.
Emma Ferjančič