ISSN 0351-6652 Letnik 22 (1994/1995) Številka 1 Strani 4-9
Jože Malešic:
VERIŽNO MERJENJE DOLŽIN
Ključne besede: matematika, geometrija, merjenje dolžin, verižni ulomki. Elektronska verzija: http://www.presek.si/22/1208-Malesic.pdf
© 1994 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo
ffero ////
VERIŽNO MERJENJE DOLŽIN
Denimo, da pri roki nimamo nikakršnega merila, le palico, za katero vemo, da je dolga ravno en meter. Ali je mogoče s tako palico meriti dolžine vsaj na centimeter natančno? Ena od rešitev bi bila. da bi iz palice naredili merilo: razdelili bi jo najprej na deset delov, potem pa še vsakega od teh spet na deset in bi dobili centimetre. Z nekaj znanja geometrije in z nekaj iznajdljivosti se to da narediti, zahteva pa dosti časa. Precej hitreje pa dolžine lahko merimo po verižnem postopku, kije razložen v naslednjem primeru:
1. primer
Narisani sta daljica z neznano dolžino in lm dolga daljica (seveda po-
anjšani).
H
Slika 1
Da bomo merili kolikor mogoče natančno, bomo uporabljati šestito:
ostanek
H
I—
1 m
H
Stika 2
Daljica je torej dolga 2rn in še nekaj ostane Koliko ostane? Na prvi pogled se ostanka ne da izmeriti, saj nimamo drugega merila razen lm dolge daljice. Vendar je rešitev prav enostavna: z ostankom Izmerimo metrsko daljico:

,ostonek
1 m
Vidimo, da je metrska daljica nekoliko daljša od štirih ostankov. Torej je ostanek nekoliko krajši od četrtine metra. Dobili smo natančnejši rezultat, pa še vseeno ne dovolj natančen. Spet uporabimo zgornjo idejo - stari ostanek izmerimo z novim:
I—I i-1
Slika 4
Zdaj se nam je merjenje izšlo: novi ostanek je ravno tretjina starega. Rezultate vseh treh meritev zaptšimo v obliki ulomkov:
Zato je
in od tod
Ker je
in je
lm — 4 + - starega ostanka.
stari ostanek = —
4+5
dolžina daljice = 2 H----- m.
4 + \
1 1
4 + - " — ~ ^
3 3
— = 0,2307..., 13
je torej daljica dolga nekaj več kot 2m in 23cm. Takim ulomkom, kot je
1
2 +

pravijo zaradi značilne oblike verižni ulomki. Pravkar opisanemu načinu merjenja dolžin pa recimo verižno merjenje.
2. primer
Premislimo, ali opisano verižno merjenje vedno pripelje do rezultata Če je mersko Število dolžine daljice ulomek, gotovo. To vidimo v naslednjem primeru. Denimo, da je daljica dolga ^jj- metra. Nekdo, ki njene dolžine ne pozna, jo verižno meri Vmesne rezultate merjenja lahko predvidimo z naslednjimi računi. Najprej ulomek razcepimo na celi del in ostanek:
267 36 77 ~ 77"
Torej bo najprej ugotovil, da je daljica dolga nekaj več kot 3 metre Nato bo metrsko daljico meril z ostankom. Zato moramo obratno vrednost jg ostanka razcepiti na celi del in nov ostanek:
36 36
Obratno vrednost novega ostanka pa spet razcepimo na celi del in ostanek:
36 _ 1 5 ~ 5'
Merilec bo dobil rezultat
3 +
1
2+-
'+1
Če je mersko število daljice ulomek (v posebnem primeru lahko tudi desetiški s končno mnogo decimalkami), se verižno merjenje po nekaj korakih vedno konča, saj imajo ostanki čedalje manjše števce in prej ali slej pridemo do števca 1.
3, primer
Sam verižno izmeri diagonalo kvadrata, pri čemer naj bo merska enota stranica kvadrata (ni treba, da stranica kvadrata meri ravno lm). Dobil boš rezultat

Vprašaj pomeni, da so na tem mestu ostanki že tako majhni, da se nadaljnja števila ne dajo več natančno določiti. Izmeril si, da je dolžina diagonale enaka približno
1
1 +

= 1,4 dolžine stranice.
Rezultat se kar dobro ujema z znanim pravilom, da je dolžina diagonale enaka dolžini stranice, pomnoženi s \/l , saj je </2 = 1, 4142 .. ., števila na mestu vprašaja bomo zdaj natančno določili z geometrijskim sklepanjem. Mislimo si, da ne merimo diagonale s stranico, ampak vsoto diagonale in stranice s stranico:
Slika S
Dobimo dve dolžini stranice in ostanek. Na naslednji sliki si natančneje oglejmo ostanek:	_ g
Ostanek EC je skladen z daljico EF, ker je trikotnik AECF enakokrak. Skozi točki A in F potegnimo premico p. Pri zrcaljenju čez premico p dobimo iz kvadrata ABCD kvadrat AEGH. Zato je tudi daljica FD skladna z ostankom EC. Torej je stranica kvadrata (v našem primeru stranica CD) enaka vsoti stranice in diagonale manjšega kvadrata, ki ima za stranico ravno ostanek EC'.
Slika 7
Vidimo, da se pri verižnem merjenju začetna slika {slika 5) kar naprej ponavlja. Zato je rezultat verižni ulomek
2+ — 1
2 + —i
2+ 1
2+ ...
ki se nikoli ne konča. Če merimo samo diagonalo s stranico, pa je seveda rezuitat verižni ulomek
1 + — 1
2 + —i
2 + 1
ki se tudi nikoli ne konča. Čimveč dvojk vzamemo v tem utomku, tem natančnejši rezultat dobimo. Na primer, če vzamemo pet dvojk, dobimo ulomek
1 29 1 + --—j;-= 1-= 1,41428...,
2 +
2 4 —L
2 +

ki se na štiri decimalke ujema s Številom s/2.
Spotoma smo ugotovili še nekaj: sfi ni racionalno število Če bi bil \/2 racionalno število, bi ga lahko izrazili z ulomkom. Iz ulomka pa, kot vemo iz 2, primera, dobimo vedno končen verižni ulomek.
4. primer
Sam poskusi izmeriti obseg kroga z njegovim premerom. En način je. da krog narišeš na karton in ga izrežeš. Na obodu si označi točko in krog kotali po ravni Črti. S tem dobiš daljico, katere dolžina je enaka obsegu kroga. Nato s šestilom verižno meri obseg s premerom kroga. Dobil boš rezultat

Obseg kroga je potemtakem približno ^f premera Številu ^ pravijo Arhimedov približek za število ir. Arhimed je ta približek ugotovil z dolgotrajnim geometrijskim sklepanjem (glej njegova zbrana dela). Arhimed ni bil samo teoretik, znani so njegovi tehnični izumi in odkritje zakona o vzgonu. Zato je čisto mogoče, da je vendarle obseg kroga najprej dobil eksperimentalno, z verižnim merjenjem, in nato dobljeni rezultat utemeljil z geometrijskim sklepanjem.
5. primer
Izračunaj še nekaj nadaljnjih številk v verižnem ulomku, ki predstavlja število tt. Upoštevaj, da je
1415926
7T = 3, 1415926... «3———, 10000000
in računaj tako, kot smo računali v drugem primeru.
Jože Malešič