i
i
“1151-Likar-cebela” — 2010/7/19 — 9:50 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 20 (1992/1993)
Številka 6
Strani 322–324
Andrej Likar:
ČEBELA NA PAŠI
Ključne besede: fizika.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/20/1151-Likar.pdf
c© 1993 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
.-,-/'/"r L""
Č E B E LA NA PASI
Opazujmo čebele, ki na cvetovih nabira nektar. Zdi se , da leti brez truda in
da pri tem ne opravi kaj dosti dela . Ali je res tako? Ocenimo torej, koliko
sladkorja mora čebela pojesti zgolj zato , da se šest ur obdrži lebdeč v zraku .
Obravnava bo kar se da preprosta, saj nam gre le za grobo oceno.
Slika 1. Pri lebdenju potiskajo
krila zrak navzdol. Poenostavlje-
no privzamemo, da se le zrak v
stebričku s presekom S in višino
v t giblje navzdol s hitrostjo v .
Gibanje zraka je v resnici zelo
zapleteno. Pri oceni preseka S
upoštevamo, da je dolžina tebele
1,5 cm.
......iJi).. ...;> t-.
,. , s- .
t / -:=? ;
~ ~ r ~ · ~ )
vt ,/ :
1 ii" VV - ,
. \ S )
~_ /.-/
Pri lebdenju mora čeb ela s krili ustvariti curek zraka s hitrostjo v navz-
dol, nasprotna sila zraka na krila pa pri tem uravnovesi težo čebele. Silo
izračunamo iz zakona o gibalni količini : Sunek sile na telo je enak spremembi
gibalne količine tega telesa . Pri nas je telo stebriček zraka z višino vt in pre-
sekom S (slika 1) . Lebela ta stebri cek v easu t s krili pospeši od mirovanja
do hitrosti v. Pri tem naj bo cas t mnogo daljši od casa enega zamaha s
krili. Sunek sile je kar produkt med silo in časom , ko ta sila potiska telo , Ft;
sprememba gibalne količine telesa pa je pri nas kar mz v , saj na zaeetku zrak
z maso mz miruje , na koncu pa se giblje s hitrostjo v . Velja torej :
Ft = mzv .
Maso stebrička zraka izračunamo tako , da prostornino stebrička pomnožimo
z gostoto zraka :
mz = eSvt .
Iz obeh enačb sledi , da je sila F kril na stebriček zraka:
323
Po tretjem Newtonovem zakonu je sila stebrička zraka na krila prav tako
velika, a usmerjena nasprotno. Prav ta sila uravnoveša težo čebele, saj le-ta
med lebdenjem miruje . Iz pogoja:
F = mg ,
kjer smo z m označili maso čebele, 9 pa je pospešek prostega pada, sledi za
hitrost v:
v = J;X .
Iz čebelarskih knjig zvemo, da je masa čebele delavke okrog 80 mg, pri
letenju pa s krili zamahne 200-krat v sekundi . Presek zračnega stebrička
S ocenimo na 2 cm2 . Hitrost zraka v stebričku je potem v = 2 ms-l.
Preverimo ta rezultat s frekvenco , s katero čebela maha s krili. Privzemi mo,
da nihajo krila sinusno z amplitudo S() . Povprečna hitrost kril navzdol je
potem
_ 250
V = T /2·
Upoštevali smo, da se krila v polovičnem času T celega nihaja premaknejo za
dvojno amplitudo. Povprečna hitrost ii pa mora biti dvakrat večja kot hitrost
zraka v stebričku, saj so krila dejavna le pri zamahu navzdol:
ii = 2v.
Frekvenca je iz teh enačb :
1 v
v= -=-.T 2S()
Dvojno amplitudo 250 ocenimo na 1 cm in dobimo v = 200 s-l , kar se sklada
s pravo vrednostjo .
Kljub smiselnemu rezultatu za hitrost v moramo priznati, da smo opisali
lebdenje zelo grobo. Gibanje zraka je pri lebdenju zelo zapleteno. Podrobna
opazovanja so pokazala, da pri vsakem zamahu krila ustvarijo svitkast zračni
vrtinec , ki potuje navzdol. Podoben svitek dima znajo kadilci oblikovati z
usti.
Mehanično moč, ki jo opravljajo krila, dobimo iz znane zveze:
p= Fv .
Sila F je  pri lebdcnju enaka tefi, twej: 
Z navedmimi podatki j e  to P = 1,6 mW ali, prerarunano na en kilogram 
mase Eebele, P / m  = 20 W/kg. clovek z maso 70 kg, ki dela r m d j o  1,4 
kW, ima enab razmerje rned moFo in maso. 
Za Scsturno lcbdenje, kolikor acenjujemo, da Eebda dncvno prefivi v 
zraku, opravi Ecbala delo: 
Koliko medu mora pojesti. da lahko opravi tolikEno dclo? Pri zgortvanju cncga 
kilograrna sladkorja se s p r d i  14 MJ energije. rebela torcj porabi najmanj 2,5 
rng sladkorja za svoj let, 'tt vso spro6Eeno energijo porabi prav za opravljanje 
data. Vemo pa, da Sivali Ie pribliino eno tretjino spro3Eene energije porabijo 
za opravljanje dela, ostali dvt tretjini pa se irgubita s hlajenjem telcsa. Tudi 
pri toplotnih strojih je tako. tebela porabi za let kar 8 mg sladkorja, kar je kar 
desetina njene maw. Z nakga stali%€a je let hudo garanjc. Koliko sladkorja 
pa Etbela prinese dnevao v panj? Dcnimo, da Ztejs Eebelja drufina 40000 
delavk, ki v u'godnih razmerah prinessjo v panj dva kilograma sladkorja na 
dan. Na cno bbelo odpade torej dnevno 50 rng sfadkorja. Tudi Ee so naJe 
ccene ra  faktar 2 napahe, vidima, da porabi rebela ra svoj let precejien del 
sladkorja, ki ga nabert. 
Andrej Likar