i
i
“1631-Kosi-Ulbl-Nezemljski” — 2010/8/31 — 12:56 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 33 (2005/2006)
Številka 5
Strani 4–6
Irena Kosi – Ulbl:
NEZEMLJSKI OBJEKT n-KOCKA
Ključne besede: matematika, geometrija, kocka, n-razsežen prostor, oglišča, robovi, mejne plosve.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/33/1631-Kosi-Ulbl.pdf
c© 2006 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez po-
prejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno.

gali pri »Človek, ne jezi se«? Ali pa morda na kocko slad-
korja, ki se počasi raztopi v skodelici vročega, dišečega 
čaja? Videli bomo, da je lahko kocka tudi precej drugačna 
od naših vsakodnevnih predstav – odvisno od tega, v ko-
liko razsežnem prostoru jo opazujemo.
Presek 33 (2005/2006) 5, strani 4–6
MATEMATIKA
Nezemeljski 
objekt  
n-kocka
Na kaj pomislite, ko slišite besedo kocka? Na 
leseni model geometrijskega telesa, ki vam ga 
je pokazala učiteljica pri matematiki? Na tisto 
Irena  
Kosi-Ulbl
\ Konstrukcija n-kocke
Prvi del prispevka bomo namenili konstrukciji večrazsežne 
kocke. Zgradili jo bomo postopoma in tako začeli z najeno-
stavnejšo kocko – to je točka, ki jo proglasimo za 0-razse-
žno kocko. Nato bomo v vsakem koraku konstrukcije dodali 
eno dimenzijo.
Vzemimo torej točko (slika 1a) in jo naravnost povlecimo za 
dolžino ene enote. Sled, ki jo pusti vleka, je daljica oz. 1-
razsežna kocka (slika 1b). Predstavljamo si jo lahko tudi kot 
interval 0 ≤ x ≤ 1 na osi x. Sedaj primemo to daljico in jo vle-
čemo eno enoto v smeri pravokotno na os x (slika 1c). Sled, 
to je kvadrat, je 2-razsežna kocka. V pravokotnem koordi-
natnem sistemu z osema x in y lahko to kocko predstavimo 
kot množico urejenih parov (x,y), pri čemer veljata naslednji 
neenačbi: 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1. Nato primemo kvadrat in ga 
povlečemo za dolžino ene enote pravokotno na ravnino, 
v kateri leži (slika 1d). Sled, ki jo pri tem pusti kvadrat, je 
3-razsežna kocka, ki jo lahko opišemo kot množico točk s 
koordinatami (x, y, z), za katere velja 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 
≤ z ≤ 1.
malo rdečo kocko, ki vam je zadnjič 
prinesla srečo in s katero ste zma-
Presek 5-koncna.indd   4 28.3.2006   12:06:32

MATEMATIKA
Nadaljujemo po analogiji – 3-razsežno 
kocko premaknemo naravnost za razda-
ljo ene enote in dobimo 4-razsežno koc-
ko. Ker si te kocke več ne znamo predsta-
vljati, se opremo na analogijo dodajanja 
posameznih dimenzij v vsakem koraku 
konstrukcije večrazsežne kocke in na for-
malno definicijo.
S premikanjem običajne kocke smo torej 
prišli do 4-razsežne kocke, ki nam gene-
rira 5-razsežno kocko, ta 6-razsežno in 
tako naprej. V n-tem koraku konstrukcije 
torej k obstoječim n—1 koordinatam točk 
kocke dodamo še eno, ki pa spet variira 
znotraj intervala [0, 1]. Tako je n-razsežna 
(enotska) kocka definirana kot množica 
točk (x
1
, x
2
, …, x
n
), pri čemer veljajo nee-
načbe 0 ≤ x
1
 ≤ 1, 0 ≤ x
2
 ≤ 1, ..., 0 ≤ x
n
 ≤ 1. V na-
daljevanju bomo n-razsežno kocko krajše 
imenovali kar n-kocka.
\ Število oglišč, robov 
in mejnih ploskev  
n-kocke
Dogovorimo se, da bomo pri n-kocki del-
no ohranili terminologijo, ki jo uporablja-
mo za običajno kocko (oglišče, rob), plo-
skve višjih razsežnosti, ki tvorijo površje 
n-kocke, pa bomo imenovali k-razsežne 
ploskve, k = 2, 3, ..., n–1. Najprej opazimo, 
da je število oglišč V
n
 enako 2n, preprosto 
zato, ker ugotovimo, da postopek premi-
kanja podvoji število oglišč naše kocke v 
vsakem koraku konstrukcije: k ogliščem 
trenutne kocke dodamo oglišča njene 
dvignjene kopije. Do enakega zaključka 
pridemo tudi z razmislekom o koordina-
tah oglišč. Vsako oglišče n-kocke je točka 
z n koordinatami, za vsako izmed njih pa 
imamo na razpolago le dve vrednosti: 0 
in 1.
Podobno, kot smo določili število oglišč 
n-kocke, lahko določimo tudi število nje-
nih robov. Opazujmo spreminjanje števila 
robov od koraka do koraka konstrukcije 
n-kocke. Številu robov trenutne kocke 
dodamo število robov dvignjene kopi-
je in število robov, ki predstavljajo sledi 
oglišč pri dvigovanju. Število robov E
n+1
 v 
(n+1)-razsežni kocki je tako enako
    E
n+1 
= 2E
n 
+ V
n
,
pri čemer sta E
n
 in V
n
 število robov oz. 
število oglišč v n-kocki. Število robov v 
n-kocki lahko zapišemo tudi kot funkcijo 
števila n:
    E
n 
= n2n–1.
Obrazec dokažemo z enostavno indukci-
jo. Najprej preverimo, da je trditev pravil-
na za n = 1:
    E
1
 = 1 · 21–1 = 1.
1-razsežna kocka (daljica) ima zares en 
rob. Prav tako se hitro prepričamo o pra-
vilnosti trditve za n=2:
    E
2 
= 2 · 22–1 = 4.
2-razsežna kocka (kvadrat) ima zares 
Slika 1 a, b, c, d. 
Prve štiri stopnje 
v konstrukciji 
večrazsežne kocke
štiri robove. Predpostavimo sedaj, da je 
trditev pravilna za neko naravno število 
n, torej  E
n
=n2 n–1. Potem je
    E
n+1 
=  2E
n 
+ V
n 
= 2 · n · 2n–1 + 2n = (n+1) 2n.
Dokaz z indukcijo je končan.
Z namenom, da določimo število ploskev 
višjih razsežnosti v n-kocki, še enkrat 
opišimo njen skelet. Robovi so povezani 
z dvorazsežnimi ploskvami, te s triraz-
sežnimi in tako naprej vse do (n–1)-raz-
sežnih ploskev, ki predstavljajo mejne 
ploskve n-kocke. Vsaka ploskev, ki je del 
površja n-kocke, je kocka določene razse-
žnosti. Naše prostorske predstave zado-
ščajo za nazorno predstavitev navedene-
ga do n=3, pri 4-kocki si bomo pomagali 
s projekcijo v trirazsežni prostor, »zgrad-
ba« višje razsežnih kock pa je preveč za-
pletena, da bi jih skušali narisati.
V nadaljevanju bomo torej opisali cen-
tralno projekcijo 4-kocke v trirazsežni 
prostor. Za lažje razumevanje najprej 
razložimo pojem centralne projekcije na 
primeru 3-kocke, ki si jo znamo dobro 
predstavljati.
Običajno s pojmom projekcija mislimo na 
preslikavo trirazsežnega prostora na rav-
nino. Če so premice skozi točke telesa, ki 
ga projiciramo, in njihove slike vzporedne, 
govorimo o vzporedni projekciji. Če pa se 
te premice sekajo v isti točki, govorimo o 
centralni projekciji. Na sliki 2 je prikazana 
centralna projekcija 3-kocke na ravnino.
a b c d
n=0 n=1 n=2 n=3
0 1 (0, 0) (1,0)
x z
y y
(0,1) (1,1) (0,1,0)
(0, 0, 0) (0, 0,1)
(0,1,1)
(1,1,0) (1,1,1)
x
x
(1, 0,1)
Presek 5-koncna.indd   5 28.3.2006   12:06:33

MATEMATIKA
Oglejmo si še centralno projekcijo 4-koc-
ke v trirazsežni prostor (narisano v rav-
nini), ki je prikazana na sliki 3. Šest od 
osmih mejnih ploskev projicirane kocke 
so prisekane štiristrane piramide. Prav 
tako lepo vidimo 24 dvorazsežnih ploskev 
omenjene kocke (osem 3-kock s šestimi 
ploskvami, pri čemer smo vsako ploskev 
šteli dvakrat: 
     
(8 · 6)
2  = 24).
V nadaljevanju prispevka bomo zapisali 
obrazec za izračun števila k-razsežnih 
ploskev v n-kocki. V obrazcu bo zapisa-
no tudi t. i. binomsko število. Za bralce, 
ki teh števil še ne poznajo, jih bomo na 
kratko predstavili.
Binomsko število označimo z binomskim 
simbolom (nk ) in preberemo n nad k. To je 
število neurejenih izbir k elementov brez 
ponavljanja iz množice z n elementi. Šte-
vilo (nk ) izračunamo kot
    ( n k ) = n! k!(n–k)! ,
pri čemer smo z n! označili produkt 
n (n—1)(n—2) ·· · ·· 2 · 1. Glede na zgornji za-
pis je očitno, da je (nk ) = (
n
n–k ).
Za lažje razumevanje binomskih simbo-
lov si oglejmo še naslednji primer. Zapiši-
mo vse neurejene izbire dveh elementov 
izmed elementov množice {A, B, C, D}:
    AB, AC, AD, BC, BD, CD.
Izračunajmo še njihovo število:
    # = ( 4 2 ) = 4! 2! ·2!  = 6.
Sedaj pa bomo binomska števila upora-
bili še v obrazcu za izračun števila k-raz-
sežnih ploskev v n-kocki. Povedali smo 
že, da se v vsakem koraku konstrukcije 
n-kocke razen (n—1)-razsežnih ploskev 
pojavljajo tudi k-razsežne, k=0, 1, ..., n—2. 
Posamezno k-razsežno ploskev si pred-
stavljajmo kot množico točk, katerih n—k 
koordinat je fiksnih z vrednostmi 0 ali 1, 
medtem ko preostalih k koordinat variira 
od 0 do 1. Če torej računamo število mej-
nih ploskev (kvadratov) v običajni enotski 
kocki, si bomo posamezen kvadrat pred-
stavljali kot množico točk s tremi koor-
dinatami. Ena koordinata med njimi je 
Slika 2. Centralna projekcija 3-kocke na ravnino
Slika 3. Centralna projekcija 
4-kocke v trirazsežni prostor 
(narisano v ravnini)
fiksna (z vrednostjo 0 ali 1), ostali dve ko-
ordinati pa pretečeta vse vrednosti med 
0 in 1, vključno s tema vrednostima. Pri 
zapisu obrazca za izračun števila k-razse-
žnih ploskev v n-kocki si bomo pomagali 
z elementarno kombinatoriko. Izmed n 
koordinat posamezne točke izberemo 
n—k koordinat na ( nn–k) = (
n
k ) načinov. Za 
vsako izmed njih pa imamo dve možno-
sti (0 ali 1), skupaj torej 2n–k možnosti. 
Število k-razsežnih ploskev v n-kocki je 
tako enako
   N
n,k
 = ( n k ) 2n–k.
S tem obrazcem izračunajmo še število 
mejnih ploskev v običajni kocki:
   N
3,2
 = ( 3 2 ) ·23–2 = 3 · 2 = 6.
\ Literatura
 V. Dubrovsky,  
»The multidimensional cube«,  
Quantum, Sept.–Oct., (1996), 4–9.
Presek 5-koncna.indd   6 28.3.2006   12:06:33