ch e o m e 1 rische A n s ch n n u n g s l e h r e für U n ter- G y nl n alle n. Von D,-. Krnu; Ritirr von Močnik. I. Abtheilung. a»t h. AHnisterial-Erlass vom 7. April 189», Z. 6567, zum t'ehrgebranche an Gymnasien mV deutscher Unterrichtssprache allgemein zugelassen. Mit 110 in den Text gedruckten Holzschnitten. Preis in Leinwnndlnrnd 77» l'.r. Wie n. Druck und Verlag von Carl Gerold's Sohn. 1.W3. Das Recht der Übersebunn behält sich der Verfasser vvr. Inhalts-Verzeichnis HrundvorsteKungen der Paumgeöikde. Seite 1. Betrachtung des Würfels.1 2. Betrachtung des Cylindcrs. 2 3. Zusammenhang der Körper, Flächen, Linien und Punkte). ... 3 4. Eintheilung der Linien, Flächen und Körper.3 5. Geometrie.4 Pie Mammetrie. I. Gerade Linien. 1. Unbegrenzte gerade Linien, Strahlen und Strecken.5 2. Länge der Strecken -,.6 3. Messen der Strecken.7 II. Kreislinie. 1. Entstehung des Kreises und Erklärungen.10 2. Messen der Kreisbogen. 14 III. Winkel. 1. Entstehung und Bezeichnung der Winkel.14 2. Größe der Winkel.15 3. Gestreckte, hohle nnd erhabene Winkel.17 4. Rechte, spitze und stumpfe Winkel.17 5. Messen der Winkel.18 6. Neben- und Scheitelwinkel.22 IV. Parallele Linien. 1. Parallele und nichtparallcle Gerade.23 2. Gegenwinkel, Wechselwinkel und Anwinkel.25 3. Winkel, deren Schenkel parallel oder zu einander normal sind . . 28 V. Dreiecke. 1. Erklärungen.29 2. Seiten des Dreieckes.30 3. Winkel des Dreieckes.31 4. Beziehungen zwischen den Seiten und den Winkeln des Dreieckes. . 33 5. Constrnctionsaufgabcn.38 IV VI. Kongruenz der Dreiecke. Seite 1. Construction der Dreiecke und Congruenz derselben.42 2. Anwendungen der Congruenzsntze.49 VII. Besondere Eigenschaften des Kreises. 1. Sehnen und Bogen.52 2. Peripheriewinkel.55 3. Tangenten.58 4. Lage der Kreise gegeneinander.60 VIII. Vierecke. 1. Erklärungen..62 2. Winkel des Viereckes.62 3. Arten der Vierecke. 62 4. Eigenschaften der Parallelogramme.63 5. Sätze von den Trapezen nnd den Parallelen im Dreiecke .... 65 6. Sehnen- nnd Tangcntenvicrecke.67 7. Congruenz und Symmetrie der Vierecke.68 8. Constructionsanfgaben.68 IX. Bickrckr. 1. Erklärungen.73 2. Winkel des Vieleckes. 73 4. Regelmäßige Vielecke.74 5. Congruenz nnd Symmetrie der Vielecke.75 5. Das Vieleck und der Kreis.76 6. Constructionsanfgaben.78 Grmidvorstellmigcu der Ranmgebilde. Der bctrachlcte Würfel falls Holz, Poppe oder Blech) rühr auf eiiiein Tische oder Gestelle so, dass eine Flache des Würfels dem Ange des Schülers zuqewendel ist. Molnik, Georn. Anschauungslehre. I. Abth. 1 1. Betrachtung des Würfels.*) if. 1. Der Würfel (Fig. 1) nimmt einen Raum ein, der von ollen Leiten begrenzt ist. Ein vvn allen Seiten begrenzter Raum heißt ein Körper. Der Würfel ist ein Körper. Fig. 1- Der Würfel ist nach drei Richtungen aus- 1 gedehnt; von rechts nach links, van varne nach hinten, von unten nach oben. Die Ausdehnung van rechts nach links heißt gewöhnlich Länge, die -s— - von vorne nach hinten Breite nnd die von unten ./ _ D nach oben Höhe. Jeder Körper hat drei Ausdehnungen: Länge, Breite und Höhe (Tiefe, Dicke). Nenne verschiedene Körper nnd weise an ihnen die drei Ausdehnungen nach. (Das Buch, das Lineal dcr Kasten, das Schnlzinimer n. s. w.) Z. 2. Der Würfel wird von sechs Flächen begrenzt. Diese sind: die untere, obere, vordere, Hintere, rechte nnd linke Fläche. Die Grenzflächen des Würfels sind ebene Flächen. Gib die Grenzflächen des Schulzimmers, eines Buches, eines Kastens, der Schnltafcl an. Jede Fläche des Würfels ist nach zwei Richtungen ausgedehnt, z. B. die vordere Fläche von rechts nach links und von unten nach oben. Eine Fläche hat nur zwei Ausdehnungen: Länge und Breite (Höhe). Alle Grenzflächen eines Körpers zusammen nennt man die Ober¬ fläche desselben. 8- 3. Jede Fläche am Würfel wird von vier Kanten oder Kantenlinien begrenzt. Eine Kantenlinic entsteht da, wo zwei Flächen Zusammentreffen. Am Würfel kommen im ganzen 12 Kanten vor: die vordere untere, die vordere obere, die vordere rechte, n. f. w. Die Kanten des Würfels sind gerade Linien. Jede Kantcnlinie des Würfels ist nur nach einer Richtung aus¬ gedehnt, in die Länge. Eine Linie hat nur eine Ausdehnung, die Länge. Alle Grenzlinien einer Fläche zusammen nennt man den Umfang derselben. A. 4. Jede Kantcnlinie des Würfels wird von zwei Eckpunkten begrenzt. Ein Eckpunkt entsteht da, wo drei Flächen Zusammentreffen. Der Würfel hat im ganzen 8 Eckpunkte. Diese sind: der vordere untere rechte, der vordere untere linke, der vordere obere rechte, n. s. w. Die Eckpunkte des Würfels sind nach keiner Richtung ausge¬ dehnt; sie sind weder lang, noch breit, noch dick. Ein Punkt hat keine Ausdehnung. In ähnlicher Weise kann auch die Betrachtung ») des geraden dreiseitigen Prismas, t>) des Tetraeders, o) des geraden vierseitigen Pyramidenstumpfes vvrgenommcn werden. 2. Betrachtung des Cylinders. 8. 5. Der Cylinder (Fig. 2) nimmt einen allseitig begrenzten Raum ein, er ist ein Körper. Er ist nach drei Richtungen ausgedehnt, in die Länge, Breite und Höhe; die Länge und die Breite sind jedoch gleich groß. M.-2. Der Cylinder wird von drei Flächen begrenzt. Zwei derselben sind ebene Flächen, die dritte ist eine krumme Fläche. In jeder der beiden ebenen Flächen gibt es einen Punkt, welcher von allen Punkten des Um¬ fanges gleich weit entfernt ist. Eine solche Fläche heißt Kreisfläche. Der Cylinder hat nur zwei Kanten. Diese sind die krummen Linien, welche die beiden Kreisflächen be¬ grenzen; sie heißen Kreislinien. Eckpunkte kommen am Cylinder nicht vor. Ju gleicher Weise kanu noch die Betrachtung a) des geraden Kegels, b) des geraden Kegelstumpfes, o) der Kugel vorgenommen werden. 3. Zusammenhang der Körper, Flächen, Linien und Punkte. K. 6. Ein nach allen Seiten begrenzter Raum heißt ein Körper. Jeder Körper dehnt sich nach drei Hauptrichtungen aus, nämlich in die Länge, Breite und Höhe (Tiefe oder Dicke). Die Grenzen der Körper heißen Flächen. Eine Fläche hat nur zwei Ausdehnungen, Länge und Breite. Die Grenzen der Flächen heißen Linien. Eine Linie hat nur eine Ausdehnung, die Länge. Die Grenzen der Linien heißen Punkte. Der Punkt ist weder lang, noch breit, noch dick, er hat keine Ausdehnung. Körper, Flächen, Linien und Punkte nennt man Raumgebilde. Die Körper, Flächen und Linien sind im Raume ausgedehnt und heißen deshalb auch Rnumgrößcn. Der Punkt hat keine Ausdehnung und ist daher keine Ranmgröße. Z. 7. Die Raumgebilde können durch Bewegung erzeugt werden. Wenn sich ein Punkt im Ranmc fortbewegt, so ist der von ihm zurückgelegte Weg eine Linie. Bewegt sieh eine Linie im Raume in einer anderen Richtung als in der ihrer Verlängerung fort, so entsteht eine Fläche. Bewegt sich eine Fläche in einer anderen Richtung als in der ihrer Erweiterung fort, so entsteht ein Körper. 4. Einlheilung der Linien, Flüchen und Körper. K. 8. Die Linien thesit man in gerade und krumme ein. Bewegt sich ein Punkt im Raume stets in derselben Richtung fort, so ist die Linie, die dadurch entsteht, eine gerade Linie, oder eine Gerade. Wenn aber der sich bewegende Punkt die Richtung seiner Bewegung fortwährend ändert, so ist die dadurch entstehende Linie eine krumme Linie. ß. 9. Die Flächen theilt man in ebene und krumme ein. Eine Fläche, in welcher sich nach allen Richtungen gerade Linien ziehen lassen, heißt eine ebene Fläche oder eine Ebene; z. B. 4 dic Fläche eines Würfels, die Wand eines Zimmers. Eine Fläche, in welcher nicht nach allen Richtungen gerade Linien gezogen werden können, heißt eine krumme oder gekrümmte Fläche; z. B. dic Seitenfläche eines Cylindcrs, auf der inan nur nach einer einzigen Richtung, die Fläche einer Kugel, auf der man nach gar keiner Richtung gerade Linien ziehen kann. Eine durch Linien vollständig begrenzte Ebene heißt eine ebene Figur. Z. 10. Die Körper theilt man in eckige und runde ein. Der Körper, welcher von lauter Menen begrenzt ist, heißt ein eckiger tcbenflächiger) Körper; z. B. ein Würfel, ein Kasten. Ein Körper, welcher nicht von lauter Ebenen begrenzt ist, wird ein runder ltrnmmflächiger) Körper genannt, z. B. ein Chlindcr, welcher von zwei ebenen und einer krummen Fläche, eine Kugel, welche von einer einzigen krummen Fläche begrenzt wird. 5. Geometrie. Z. II. Die Lehre von den Raumgebilden heißt Geometrie. Sie zerfällt in zwei Hauptthcile: Die Planimetrie und die Stereometrie. Die Planimetrie ist die Lehre von den Eigen¬ schaften derjenigen Raumgebilde, welche in einer und derselben Ebene liegen; die Stereometrie aber handelt von denjenigen Raumgebilden, die sich nicht in einer einzigen Ebene liegend vorstellen lassen, sondern sich auch noch im Raume außerhalb derselben ausdehneu. Die Planimetrie. I. Gerade Linien. 1. Unbegrenzte gerade Linien, Strahlen »nd Strecken. Z. 12. 1. Durch einen Punkt lassen sich unzählig viele Gerade in allen möglichen Lagen ziehen. Ist noch ein zweiter Punkt gegeben, so wird es unter allen früheren Lagen der Geraden nur eine einzige geben, in welcher die Gerade durch beide Punkte geht. Durch zwei Punkte ist eine Gerade vollkommen bestimmt. 2. Zwei von einander verschiedene Gerade können nur einen gemeinsamen Punkt haben. Man sagt: sie schneiden sich in diesem Punkte, und nennt diesen gemeinsamen Punkt ihren Schnittpunkt. Zum geometrischen Zeichnen gerader Linien bedient man sich des Lineals. Bestimme zwei Punkte und verbinde sie aus freier Hand durch eine Gerade. Bestimme drei Pnnktc, welche nicht in gerader Linie liegen und ziehe durch je zwei eine gerade. — Wie viele Gerade sind da möglich? H. 13. Eine unbegrenzte Gerade wird durch jeden in ihr lie¬ genden Punkt in zwei Theile getheilt, deren jeder sich nur nach einer Richtung unbegrenzt nusdehnt. Eine durch einen Punkt halb begrenzte Gerade heißt ein Strahl. Eine durch zwei Punkte ganz begrenzte Gerade heißt Strecke; die beiden Grenzpunkte nennt man ihre End pu nkte. Ein Punkt wird dadurch bezeichnet, dass man zu dein ihn ver¬ sinnlichenden Tupfen einen Buchstaben oder wine Ziffer setzt; z. B. der Punkt der Punkt 1. Um eine Strecke zu bezeichnen, setzt man an jeden der Endpunkte des sie versinnlichenden Striches einen Buchstaben oder eine Ziffer und spricht diese aus; z. B. die Strecke Ein Strahl wird durch den Grenzpunkt und einen zweiten in ihm liegenden Punkt bezeichnet. «> 2. Länge der Strecken. Z. 14. In Beziehung uns die Länge können zwei Strecken gleich oder ungleich sein. Zwei Strecken sind gleich, wenn die Endpunkte der einen eben so weit von einander entfernt sind, als die Endpunkte der andern. Legt g inan bei zwei gleichen Strecken ^6 und 611 (Fig- 3) den Anfangspunkt 6 der einen auf den Anfangspunkt der andern, und beide D Strecken der Richtung nach aufeinander, so mässen auch die beiden Endpunkte 1) und 6 aufeinander fallen und die Strecken einander decken. Um die Gleichheit der Strecken L.6 und 06 auzuzeigen, schreibt man: ^6 — 06. Zwei Strecken, deren Endpunkte ungleiche Entfernungen von ein¬ ander haben, sind ungleich, und zwar ist diejenige die größere, deren Endpunkte weiter voneinander absteheu, die andere die kleinere. Zwei ungleiche Strecken, wie NH und 6 (Fig. 4s, können einander nicht decken. 4. Das Zeichen der Ungleichheit ist > oder <; NldI > heißt: die Strecke N^ ist größer als die Strecke 6 <2; und Uch < Nl>! heißt: die Strecke U ch ist kleiner als die Strecke N lsl. Die Strecke zwischen zwei Punkten ist die kürzeste Linie zwischen denselben. Die Strecke zwischen zwei Punkten bestimmt daher die Ent¬ fernung oder den Abstand derselben. tz. 15. Mit den Strecken kann man dieselben Rech nun gs- operationen vornehmen wie mit den Zahlen. Fig. 5. Verlängert inan die Strecke -§-! (Fig. 5) um die Strecke 6 0, so ist die u u c) Strecke ^0 so groß, als die Strecken 6 und 60 zusammeugeuommcu, oder es ist/.0 die Summe der Strecken m und 60; also ,, LO - ^6 -j- 60. Umgekehrt ist die Strecke ^6 der Unterschied zwischen den Strecken HO und 60, nämlich ^6 — ^0 — 60. Aufgaben. l. Zeichne zwei ungleiche Strecken und bestimme sowohl die Summe als den Unterschied derselben. 2. In welche Lage muss inan zwei Strecken bringen, nm sie durch Cvnstruction addieren, und in welche, nm sie subtrahieren zu können? H. 16. Tragt man auf eine Gerade die Hälfte von .40, daS Drittel von /11), der 4te Theil von .10, der lOte Theil von .4 0; oder .411 — - .4 I! — n .1 l> — i, /111 — : auch ist4 0 — ---, 40 — . Aufgaben. I. Welche Strecke ist in Fig. 6 gleich: n) der Summe 111) -s- 1)0? b) dem Unterschiede /10 — 4.1)? o) dem 3 fachen der Strecke 4.0 st- 01)? ä) dem 4fachen der Strecke 40 — 01)? 2. Zeichne eine Strecke, welche 2-, 3-, 4mal so groß ist als eine gegebene Strecke. 3. Zeichne eine Strecke, welche -x, einer gegebenen Strecke ist. 4. Zeichne 10 Strecken, von denen die zweite das Doppelte der ersten, die dritte das Dreifache der ersten, n. s. w., die zehnte das lOfache der ersten ist. 5. Zeichne vier Strecken so, dass die nächstfolgende immer die Hälfte der vorhergehenden sti. 6. Zeichne mehrere Strecken und thcile sie nach dein Augenmaße in 2, 4, 8, 3, 6, 12, 5, 10, 7, 9 gleiche Theile. Die Anweisung über die geometrische Theilung der Strecken wird weiter unten folgen. 3. Mesten der Strecken. tz. 17. Die Größe eines Gegenstandes bestimmen, heißt denselben in essen. 8 Um eine Raumgröße ;u messen, muss mau irgend eine Ranmgröße derselben Art als Einheit annchmen und untersuchen, wie oft diese als Einheit angenommene Größe in der andern enthalten ist. Jede Größe kann nur durch eine Größe derselben Art, daher eine Linie nur durch eine Linie gemessen werden. Um also eine Strecke zu messen, d. i. um ihre Länge zu bestimmen, nimmt man irgend eine bekannte Strecke als Einheit des Längenmaßes an und untersucht, wie oft sie in der zu messenden Strecke enthalten ist. Die Zahl, welche dieses angibt, heißt die Maßzahl der Strecke. Die Einheit des Längenmaßes der österreichisch-ungarischen Monarchie ist das Meter. Das Meter (m) wird in 10 Decimeter (ckm) ä 10 Centi¬ meter (em) ä, 10 Millimeter (mm) eingetheilt. Anschauung an einem Meterstabe. 1000 Meter sind 1 Kilometer (km), 10000 Bieter sind 1 My¬ riameter (^.m). Will man eine Strecke, z. B. eine nach der Länge des Zimmers gezogene Gerade, nach Meter messen, so untersucht man, wie oft ein Meter auf die Strecke gelegt werden kann. Lässt sich z. B. das Meter darauf genau 8mal auftragen, so ist die Länge dieser Strecke 8mal so groß als die Länge eines Meters und man sagt: die Strecke misst 8 Bieter oder sie ist 8 Meter lang; 8 ist die Maßzahl der Strecke in Beziehung auf das Bieter als Längeneinheit. Anfg ab en. 1. Von zwei Strecken ist die eine 12 m 5 ckm 6 am, die andere 7 m 3 ckm 9 em lang; wie groß ist die Summe beider? 2. Wenn (Fig. 5) I> — 6'63 m, 1,0 — 3'26 m ist, wie viel beträgt ^.0? 3. Von zwei Latten misst die längere 2 m 3 ckm, die kürzere 1 m 9ckm; wie groß ist ihr Längenuntcrschied? 4. Wenn von zwei Latten die kleinere 2 m 18 em misst und der Unterschied beider 0'29 m beträgt, wie lang ist die größere Latte und wie groß die Summe beider Längen? 5. Eine Strecke ist 7 m 4 ckm 11 am lang und eine andere 5mal so lang; wie lang ist die letztere? 6. Ein Balken von 4 m 3 ckm 2 am Länge soll in vier gleiche Stücke geschnitten werden; wie lang wird jedes Stück sein? 7. Von einer Straße, welche 9 /em 348 m lang werden soll, ist der sechste Theil fertig: wie viel bleibt noch zu bauen übrig? tz. 1.8. Zum wirtlichen Biessen längerer Linien gebraucht man dic Metcrstäbe, oder eine MesSschnnr, oder die MesSkette. Zuin Messen kleinerer Augen bedient mnn sich der Maßstäbe; diese sind Stäbe ans Hol; oder Metall, ans welchen die Länge einer oder mehrerer Längeneinheiten nebst den Untertheilnngen anfgetragen ist. Fig. 7 stellt die Länge eines Decimeters mit dessen Eintheilnng in Eentimeter und Millinieter dar. / § N-/-. li Aufgaben. t. Bestimme durch Messung folgende Längenansdehnnngen: u) die Länge und Breite der Schnltafcl; b) die Breite und Höhe der Thiireu und Fenster; o) die Länge, Breite Und Höhe deS SchulzinnnerS. Bor dem wirklichen Ansmessen ist zur Übung des Augenmaßes die zu messende Länge jedesmal früher abzuschätzen. 2. Ziehe eine Strecke, gib durch Abschätzung nach dem Augenmaße ihre Länge in em und mm an und prüfe das Resultat mit Hilfe des obigen Maßstabes. 3. Zeichne zwei ungleiche Strecken und bestimme ebenso ihre Länge. 4. Zeichne mit Hilfe des Maßstabes eine Strecke von a) 7 cm, b) 3 cm 5 mm, v) 63 mm. 5. Zeichne eine Strecke von 4 cur 7 mm und verlängere sie nm 2 em 1 mm. 6. Zeichne eine Strecke von 58 mm und verkürze sie um 29 mm. 7. Zeichne eine Strecke von k em 6 mm, und dann das 2-, 3-, 4-, 5-fachc derselben. 8. Zeichne eine Strecke von 6 em, und dann die Hälfte, den dritten, vierten, fünften Theil derselben. 8. 19. Will man eine in der "Natur gemessene Strecke auf dem Papiere zeichnen, so geschieht dieses gewöhnlich nicht in der wahren Größe, sondern in einem kleineren, verjüngten Blaße. ES wird nämlich angenommen, dass eine bestimmte Länge, z. B. l cm, ans dem Papiere eine bestimmte Länge, z. B. l m oder 20 m, in der Wirklichkeit vorstelten soll. Ein Maßslab, ans welchem die in der Wirklichkeit üblichen Längen¬ maße verkleinert anfgetragen sind, heißt ein verjüngter Maßstab, 10 im Gegensätze zu einem natürlichen Maßstabe, ans welchem die Längen¬ einheit in ihrer wahren Größe anfgetragen wirb. Aufgabe n. 1. (Linen Maßstab von 0 m, auf dem inan auch Deeimeter kann, in der Verjüngung 1 m. — 3 am natürlicher Größe zu zeichnen. Zeichne (Fig. 8) eine Gerade, trage daraus 3 em natürlicher Größe 3mnl auf und theile dann den erstell Theil links in 10 gleiche Theile. Fit,. 8. 2. Ziehe drei Gerade, und trage voll dem obigen Maßstabe ans die erste 2 m, ans die zweite 1 m 5) c/m, ans die dritte 2 m 7 ekm ailf. 3. Ziehe drei Strecken und bestimme nach dem obigen Maßstabe, wie viel Meter und Decimeter die Vänge einer jeden betragt. 4. Zeichne einen Maßstab von 5> m, ans dem 1 m des natür¬ lichen Maßes gleich 2 am sind, und ans dem inan noch :"> am des natür¬ lichen Maßes ablesen kann. Da 100 em des natürlichen Maßes durch 2 cm oder 20 mm dargestellt werden, so werden 5 em des natürlichen Maßes durch l mm dargestellt. b. Zeichne mit beliebiger Verjüngung einen Mnßstab von 40 m so, dass mali noch die Meter almehmen kann. ll. Kreislinie. 1. Entstehung des Kreises und Erklärungen. Ls. 20. Unter den krummen Vinien ist die Kreislinie die ein¬ fachste und wichtigste. Sie entsteht, wenn sich in einer Ebene eine Strecke OK (Fig. 9) nm den einen als sest gedachten Endpunkt 0 in der¬ selben Richtung so lange dreht, bis sie wieder in ihre anfängliche Vage kommt: der zweite End punkt K beschreibt wahrend dieser Drehung eine krumme Vinie, welche K r e i s li n i e oder K r e i s heißt. Die Kreislinie ist also eine krumme stinie vou solcher Beschaffenheit, dass alle ihre Punkte vvl, einem innerhalb liegenden Punkte gleich weit entfernt sind. Der Punkt O, von welchem alle Punkte der Kreislinie gleich weil Fig. 9. abstehen, heißt der Mittelpunkt oder das Centrnm des Kreises. 11 Zum geometrischen Zeichnen des Kreises bedient man sich des Zirkels. - > > Die ganze in sich selbst zurückkehrende Kreislinie wird die Peri¬ pherie oder der Kreisumfang, und die van demselben begrenzte Fläche die Kreisfläche genannt. Die Hälfte des Umfanges heißt insbesondere ein Halbkreis, der vierte Theil ein Quadrant, der sechste Theil ein Sextant, und der achte Theil ein Octant. Einc^Strecke, welche vvm Mittelpunkte zu irgend einem Punkte des Umfanges gezogen wird, heißt ein Halbmesser (rackius) des Kreises, z. B. O /V , O lk, 06. Da alle Punkte der Peripherie vom Mittelpunkte gleich weit abstchen, so find alle Halbmesser eines Kreises ein¬ ander gleich. Ein Punkt liegt innerhalb des Kreises, oder in dem Umfange desselben, oder außerhalb des Kreises, je nachdem die Entfernung des Punktes vvm Kreismittelpunkte kleiner, eben so groß, oder größer ist als der Halbmesser des Kreises. Zwei Kreise, welche gleiche Halbmesser haben, heißen einander gleich. Zwei gleiche Kreise müssen, wem: sie mit ihren Mittelpunkten aufeinander gelegt werden, sich vollkommen decken, da sonst nicht alle Punkte ihrer Umfänge von dem Mittelpunkte denselben Abstand hätten. (, Zwei Kreise, welche ungleiche Halbmesser haben, heißen ungleich. ' ist 21. Eine Gerade hat mit der Kreislinie zwei Punkte, oder nur einen Punkt, oder gar keinen Punkt gemeinschaftlich, je nachdem ihre Entfernung von: Kreismittelpunkte kleiner, eben so groß, oder größer ist als der Halbmesser des Kreises. Eine Strecke O I!, welche zwei Punkte des Umfanges verbindet, heißt eine Sehne. Eine Sehne .V6, welche durch den Mittelpunkt geht, heißt ein Durchmesser. Ein Durchmesser des Kreises ist doppelt so groß als ein Halbmesser desselben; daher sind auch alle Durch¬ messer eines Kreises einander gleich.» Eine Gerade 01), welche durch die Verlängerung einer Sehne m über ihre Endpunkte hinausgeht, heißt eine Sccante des Kreises. Eine Secante schneidet die Kreislinie in zwei Punkten. Dreht man die Sccante so nm den Punkt .4, dass der zweite Schnittpunkt l> immer näher gegen rückt, bis er endlich mit diesem zusammenfällt, so geht die Sccante in die Gerade 01? über, welche mit der Kreislinie nur in dem Punkte zusammentrisft. ' 12 Eine Gerade LP, welche mit der Kreislinie einen einzigen Punkt gemeinsam hat and übrigens ganz außerhalb des Kreises liegt, heißt eine Tangente des Kreises, und der Punkt /V der Berührungspunkt. 8. 22. Ein Thcil sLL der Peripherie heißt ein Bogen (ui-eus). Zwei Bogen desselben Kreises oder gleicher Kreise sind gleich, wenn sic auseinander gelegt sich vollkommen decken; sonst sind sic ungleich. Ein Thcil 0 II 6 .V der Kreisfläche, welcher von zwei Halbmessern und dem dazwischenliegenden Bogen begrenzt wird, heißt ein Kreis¬ ausschnitt oder Scctor. Ein Theil der Kreisfläche, welcher von einer Sehne und dem dazu gehörigen Bogen begrenzt wird, heißt ein Kreisabschnitt oder Segment. Jeder Durchmesser theilt die Peripherie in zwei gleiche Bogen und die Kreisfläche in zwei gleiche Abschnitte. Jede Sehne, welche kein Durch¬ messer ist, theilt die Peripherie in zwei ungleiche Bogen und die Kreis¬ fläche in zwei ungleiche Abschnitte. Ohne besondere Hervorhebung ist immer der kleinere von beiden Bogen, sowie der kleinere von beiden Abschnitten als der zur Sehne gehörige anzunehmen. Sind zwei Bogen eines Kreises einander gleich, so müssen sic so auseinander gelegt werden können, dass ihre Endpunkte aufeinander fallen; dann müssen sich aber auch die zugehörigen Sehnen, als die Strecken zwischen jenen Endpunkten, decken. Sind umgekehrt zwei Sehnen eines Kreises gleich, so müssen sich, wenn man sie so aufeinander legt, dass ihre Endpunkte zusammcnfallen, auch die zugehörigen Bogen decken, da alle ihre Punkte vom Mittelpunkte des Kreises gleich weit abstehen. Zu gleichen Bogen gehören daher in demselben Kreise loder auch in gleichen .Kreisen) gleiche Sehnen; und umgekehrt: zu gleichen Sehnen gehören gleiche Bogen. 8. 23. Aufgaben. 1. Einen gegebenen Bogen zu übertragen, d. h. einen Bogen zu zeichnen, der einem aus dem Mittelpunkte 0 (Fig. 10) be¬ schriebenen Bogen LILl gleich ist. Fig. io. Man ziehe die beliebige L , Gerade 0' und beschreibe aus 0' mit dem Halbmesser 'L OLI einen Bogen, welcher t D die Gerade in LP II II' schneidet. Trägt man nun auf diesen Bogen von LP aus die Sehne LILl auf, so erhält man den 13 Punkt lO, und ist daun Bogen HO — Bogen NN, weil beide zu gleichen Sehnen gehören. 2. Einen Punkt zu bestimmen, welcher von einem gege¬ benen Punkte einen gegebenen Abstand hat. Beschreibt man aus dem gegebenen Punkte als Mittelpunkt mit dein gegebenen Abstande als Halbmesser einen Kreis, so genügen alle Punkte dieser Kreislinie den Bedingungen der Ausgabe. Eine Aufgabe, welche uneudlich viele verschiedene Auflösungen zulässt, heißt unbestimmt, im Gegensätze zu einer bestimmten Aus¬ gabe, welche entweder nur eine einzige Auflösung oder eine beschränkte, genau bestimmbare Anzahl von Auslösungen zulässt. Die obige Aufgabe ist demnach unbestimmt. Erfüllen alle Punkte, welche in einer Linie liegen, aber auch nur diese Punkte, eine gewisse Bedingung, so heißt die Linie der geo¬ metrische Ort jener Punkte. Die Kreislinie ist also der geometrische Ort aller Punkte, welche voll einem gegebenen Punkte einen gegebenen Abstand haben. 3. Einen Punkt zu bestimmen, welcher von zwei gege¬ benen Punkten einen gegebenen Abstand hat. Fig- Es seien (Fig. 11) und lk die gcgc- l beuen Punkte und 61) der gegebene Abstand, Der geometrische Ort aller Punkte, welche von den Abstand 01) haben, ist ein ans V mit / / 'x ^m Halbmesser 01) beschriebener Kreis; der / i A geometrische Ort aller Punkte, die von l> den l / /' Abstand 01) haben, ist ein aus 11 mit dem O.V // Halbmesser 01) beschriebener Kreis; der Punkt, welcher beide Bedinguilgen erfüllt, muss also " dort liegell, wo sich die beiden Kreislinien schneiden. Da sich nun die beiden Kreislinien in zwei Punkten N und H schneiden, so gibt es im allgemeinen zwei verschiedene Punkte, welche der Aufgabe genügen. Ist 6V gleich der Hülste der Strecke L.L, so erhält mau nur einen einzigen Punkt, welcher in der Mitte der liegt; ist 0 V kleiner als die Hälfte von N, so erhält Ulan gar keinen Punkt. 4. Einen Punkt zu bestimmen, welcher von zwei gege¬ benen Punkten verschiedene gegebene Abstände hat. Die Auflösung ist derjenigen der Aufgabe 3 analog. 14 2. Messen der Kreisbogen. tz. 24. Um einen Kreisbogen zu messen, nimmt man einen Grad, d. i. den 360sten Theil des Kreisumfanges, als Einheit des Bogen¬ maßes an und untersucht, wie oft diese Einheit in dem zu messenden Bogen enthalten ist. Um auch kleinere Bogen messen zu könuen, wird ein Grad in 60 Minuten und eine Minute in 60 Sccunden ein- getheilt. Die Grade, Minuten und Secundeu eines Bogens bezeichnet inan durch °, ( z. B.: 52 Grade 41 Minuten 12 Seeunden — 52° 4U 12". A ufgaben. l. Wie viele Grade kommen ans den Halbkreis, wie viele ans den Quadranten, Sextanten, Octanten? 21 Wie viele Grade enthält der 3te, ote, 9te, lOte Theil des KreiS- umsanges? 3. Der wievielte Theil des Kreisumsanges ist ein Bogen von 10°, 20°, 30°, 36°, 40°, 60°, 90°, 120"? lil. W i n K e s. 1. Entstehung und BeKichnung der Winkel. K. 25. Wenn von einem Punkte K (Fig. 12) zwei Strahlen KL und KO gezogen werden, so weichen sie in ihren Richtungen vonein ander ab. Die Größe der Abweichung der Richtungen zweier Strahlen, die einen gemeinsamen Grenzpnnkt haben, heißt ein Winkel (2)). Einen Winkel kann inan sich dadurch entstanden denken, dass sich ein Strahl KL in. einer Ebene um den Grenzpunkt K dreht und da¬ durch in eine zweite Lage KO gelangt; die Größe der Drehung gibt den Winkel an. Zur Versinnlichuug dieser EMstehuugsweisc des Winkels kann ein Zirkel be¬ nützt werden. einen kleinen Buchstaben, Die beiden Strahlen KL und KO, welche den Winkel bilden, nennt man die Schenkel, und den Punkt K, in welchem sie Zusammen¬ treffen, den Scheitel des Winkels. Man bezeichnet einen Winkel entweder durch den Buchstaben an: Scheitel oder durch den man nahe an den Scheitel zwischen die 15 beiden Schenkel setzt, oder durch drei Buchstaben, von denen zuerst der Buchstabe an dem einen Schenkel, dann der Buchstabe am Scheitel uud zuletzt der Buchstabe an dem andern Schenkel genannt und geschrieben wird. Der Winkel in Fig. 12 heißt entweder der Winkel /V, oder der Winkel n, oder der Winkel I1F0 oder 0FI1. 2. Größe der Winkel. tz. 26. Die Größe eines Winkels hangt nicht von der Länge der Schenkel, sondern bloß von der Größe der Drehung ab, welche erforderlich ist, um den einen Schenkel in die Lage des andern zu bringen. Zwei Winkel sind gleich, wenn zur Entstehung beider dieselbe Drehung erforderlich ist. Werden zwei gleiche Winkel so übereinander gelegt, dass ihre Scheitel znsammenfallen und dach ein Schenkel des einen längs einem Schenkel des andern zu liegen kommt, so müssen auch die zweiten Schenkel aufeinander fallen; die Winkel decken sich also. Zwei Winkel sind ungleich, wenn zur Entstehung beider nicht dieselbe Drehung erforderlich ist. Welcher von zwei ungleichen Winkeln ist der größere, welcher der kleinere? Wie überzeugt man sich durch das Äuseinnnderlegen zweier ungleicher Winkel, welcher von ihnen 'der größere und welcher der kleinere ist? tz. 27. Dreht man in dem Winkel l> (Fig. 13) den Schenkel rVO um den Scheitel von weg, bis er in die Lage ^,1) kommt, so entsteht der Winkel welcher so groß ist, als die beiden Winkel I'.F O und 0.11) znsammengenommeu; der Winkel II F I> ist Fig. also die Summe der beiden Winkel l>^.6 und /O O sl I ), also / .. X I' X ck- X. OFI>. Wird in dem Winkel der Schenkel / F 1) nm die Größe des Winkels (! .L I) gegen V Il gedreht, so dass er in die Lage ^.0 kommt, so bleibt noch der Winkel I>F 0 übrig, welcher also die Differenz zwischen den beiden Winkeln R/X.1) und OXI) ist; somit X. — X — X 0^11. Welche Lage müssen der Scheitel und die Schenkel zweier Winkel haben, nm ihre Summe, nnd welche Lage, nm ihre Differenz durch die Cvnstrnckion zn erhalten? 10 8. 28. Lind die Eintel 40 0, 000, 001), OOO, 0.00 Fig. 14. iFig. 14) einander gleich, so ist 4 00 / 2m nl so groß als .4 00, 4 00 3mnl so groß, 4 00 4mal, 400 5m al so groß als .VO0, oder .V00 — 2 4 0!!, 400 -- 3 4 0 ?,, 4 0 0 --- 4 X .400, .4 0 0 — 5 X. 4 00. Umgekehrt ist der Winkel .4 0 0 die Hälfte non 400, der dritte Theil von 4 0 0, der vierte Theil von 400 und der fünfte Theil von 4 00; oder 4 00 — z A) 4 00 4 4 40 0 s 4 00 - f- X 4 00. Aufgaben. 1. Nenne in Fig. 14 alle einfachen und zusammengesetzten Winkel, sowie die Theile, aus welchen die letzteren zusammengesetzt sind. 2. Welcher Winkel ist gleich: a) der Summe 0 00 -0 OOO? l)> der Differenz 4 00 — V 000? 3. Zeichne nach dem Augenmaße drei Winkel, von denen der zweite 2mal, der dritte innal so groß ist als der erste. 4. Theile ebenfalls nach dem Augenmaße einen Winkel in zwei gleiche Theile, in 3, 4, 3, t! gleiche Theile. 3. Gestreckte, hohle und erhabene Winkel. A. 29. Ein Winkel, dessen Schenkel vom Scheitel aus in entgegen¬ gesetzten Richtungen liegen und daher eine gerade Linie bilden, wird ein Fig. i5. gestreckter Winkel genannt. Alle ge- /7? strecktenWinkel sind einander gleich. / Ein Winkel, welcher kleiner als ein'24^ gestreckter ist, heißt ein hohler; ein 14H* / / ^/1 ) Winkel, welcher größer als ein gestreckter x / ist, ein erhabener Winkel. X In Fig. 15 ist 400 ein gestreckter, ^2) 400 ein hohler, 4 0 0 ein erhabener Winkel. Zur Entstehung eines gestreckten Winkels wird genau die halbe 17 Umdrehung, zur Entstehung eines hohlen Winkels weniger, und zu der eines erhabenen Winkels mehr als die halbe Umdrehung des sich bewegenden Strahles erfordert. Zu jedem hohlen Winkel gehört ein erhabener auf der anderen Seite der Schenkel; übrigens ist, wenn von dem Winkel zweier Strahlen gesprochen wird, stets der hohle zu verstehen, wenn mau nicht ausdrücklich das Gegentheil bemerkt. Ein Winkel, welcher durch eine ganze Umdrehung des Strahles entsteht, heißt ein voller. Ein voller Winkel ist doppelt so groß als ein gestreckter. Ein hohler Winkel bildet mit dem aus der andern Seite seiner Schenkel liegenden erhabenen stets einen vollen Winkel. 4. Rechte, spitze und stumpfe Winkel. 8. 30. Die hohlen Winkel werden in rechte, spitze und stumpfe eingetheilt. fsa Ein rechter Winkel ist die Hälfte eines gestreckten, er erfordert zu seiner Erzeugung genau deu vierten Thcil einer Umdrehung des sich Fig. 16. .10^ Wenn in Fig. 16 bewegenden Schenkels. Er wird gewöhnlich durch den Buchstaben U bezeichnet. Alle rechten Winkel sind einander gleich. Ein Winkel, welcher kleiner als ein rechter ist, heißt spitz, und ein Winkel, welcher größer als ein rechter, aber kleiner als ein gestreckter ist, stumpf. der — ROO ist, so ist jeder die Hälfte des gestreckten Winkels ^00, also jeder ein rechter Winkel; 7^011 ist ein spitzer, 601) ein stumpfer Winkel. Spitze und stumpfe Winkel werden im Gegensätze zu den: rechten auch schiefe Winkel genannt. Aufgaben. 1. Was für Winkel kommen a) am Würfel, st) nm Tetraöder vor? 2. Suche au den Gegenständen im Zimmer rechte Winkel ans. 3. Um wie viel Uhr bilden die beiden Zeiger einer Uhr einen rechten, um wie viel Uhr einen gestreckten Winkel? 4. Zeichne n) einen rechten Winkel, st) einen spitzen, o) einen stumpfen mit gleichen Schenkeln. 5. Zeichne einen rechten Winkel, von den: ein Schenkel das Drei¬ fache des andern sei. Mo Snik, Geom. Anschauungslehre. I. Abth. 2 18 6. Zeichne einen stumpfen Winkel und stelle ihn als die Lmmme dreier Winkel dar. tz. 31. Bilden zwei Gerade miteinander einen rechten Winkel, so sagt man, sic stehen aufeinander senkrecht oder normal, und jede heißt in Beziehung auf die andere eine Senkrechte, oder Normale oder ein Perpendikel. Bilden zwei Gerade mit einander einen schiefen Winkel, so sagt man: sie stehen schief aufeinander. In Fig. 16 steht 110 senkrecht auf I.0, was mau so schreibt: 110 si. 7^0; dagegen steht 1)0 schief auf I.0 oder auf 00. Aufgaben. 1. Wie stehen die Kanten a) eines Würfels, ir) eines Tetrat-derö aufeinander? 2. Gib an Gegenständen im Schnlzimmer Gerade an, welche auf¬ einander s.) senkrecht, 6) schief stehen. 3. Zeichne eine Gerade und ziehe zu derselben von verschiedenen außer ihr liegenden Punkten senkrechte Gerade. 5. Messen der Winkel. Z. 32. Wenn sich in einer Ebene die Strecke 0I. (Fig. 17) nm den einen Endpunkt 0 so dreht, dass sie nach und nach in die Lagen 011, 00, 01)... kommt, so wird der Kreisbogen, den der zweite Endpunkt beschreibt, und ebenso der Winkel, welchen die jedesmalige Lage der bewegten Strecke mit ihrer Anfangslage bildet, nm so größer, je weiter die Drehung fortgeschritten ist. Die ganze Umdrehung gibt den größten Krrüsbogen, d. i. die ganze Peripherie, und den größten am Mittelpunkte möglichen Winkel, d. i. den vollen Winkel. Ein Winkel .-V 011, dessen Schenkel Halbmesser eines Meises sind, heißt ein Centriwinkel. Sind die Centriwinkel I.011 und 001) einander gleich, so sind auch die dazu gehörigen Bogen ^111 und 01) gleich. Legt man nämlich Fig. 17. den Winkel 001) so über den Winkel ^011, /X dass der Scheitel O auf 0, uud der Schenkel /X 00 auf OI. zu liegen kommt, so müssen wegen der Gleichheit der Winkel auch die Schenkel O I) ( / und 011 aufeinander fallen; dann müssen sich X / aber auch die Bogen 01) und decken, weil alle Punkte des einen Bogens dieselbe Entfernung von 0 haben, als die Punkte des andern. 19 Ebenso knnn man zeigen, dass, wenn die Bogen nnd 61) gleich sind, auch die Winkel ^OU und 0019 gleich sein müssen. Daraus folgt: a) Zu gleichen Centriwinkcln eines Kreises gehören gleiche Bogen desselben. 1-> Hu gleiche» Bogen eines Kreises gehören gleiche Eentri- wiukcl. Aufgabe. Einen gegebenen Winkel zu übertragen. Die Auflösung ist übereinstimmend mit der in tz. 23 angeführten Lösung der Aufgabe, einen gegebenen Bogen zu übertragen. tz. 33. Die letzten zwei Sätze bieten ein einfaches Mittel dar, die Größe der Winkel zu bestimmen. Thcilt man die Peripherie eines Kreises in 360 gleiche Theilc, so dass jeder Theil ein Bogengrad ist, nnd zieht zu jedem Theilungs- punkte eine» Halbmesser, so erhält man 360 Centriwinkel, welche zusammen einen vollen Winkel betragen, und, da sic zu gleichen Bogen gehören, unter einander gleich sind. Jeder solche Winkel, der zu einem Bogengrade gehört, wird auch ein Grad, und zwar ein Winkelgrad genannt. Ein Winkelgrad, d. i. der 360ste Theil eines vollen Winkels, bildet nun die Einheit des Winkelmaßes; er wird in 60 Winkel- minnten, und jede Winkelminute in 60 Winkelsecunden eingethcilt. Um einen Winkel zu messen, sollte man .eigentlich untersuchen, wie oft ein Winkelgrad in dem zu messenden Winkel enthalten ist. In der That aber geschieht diese Untersuchung nicht unmittelbar, sondern es wird für den Winkel der dazugehörige Kreisbogen als Maß ange¬ nommen, indem man dabei schließt: Jeder Winkel hat eben so viele Winkelgrade, Winkelminuten und Winkelsecu nden, als der aus seinem Scheitel beschriebene Kreisbogen Bogen- grade, Bogenminuten, Bogensccunden enthält. Die Grade, Minuten und Secunden bei den Winkeln werden, so wie die Bogengrade und ihre Unterabtheilungcn, durch °, " bezeichnet. Ist der Bogen .-91, (Fig. 18), welcher den vierten Theil des Kreis- umfangeö vorstellen soll, in 90 gleiche Thcile gethcilt, nnd denkt man sich jeden Theilungspunkt mit dem Mittelpunkt 0 verbunden, so be¬ zeichnet die Zahl, wie viele Gerade jeder Bogen hat, zugleich auch die Anzahl der Winkelgrade des dazu gehörigen Winkels. 2^ 20 Fig. 18. r)- So ist ^06 cin Winkel von cincin Gra- de, oder ^400 — 1 °, der Winkel ^Ol> cin Winkel vvn 5 Graden ^.0L — 20°, .4 0 k' 40°, ^0(4 — 55°, — 73°, ^013 90°. Hiernach hat ein voller Winkel 360°, ein gestreckter 180°, ein hohler weniger als 180°, ein erhabener mehr als 180°, ferner ein rechter Winkel 90°, ein spitzer weniger als 90°, ein stumpfer mehr als 90°, aber weniger als 180°. Zwei Winkel, deren Summe 90° beträgt, heißen komplementäre Winkel, z. B. die Winkel von 60° und 30°. Von zwei komplementären Winkeln ist jeder das Complcment des andern. Gleiche Winkel haben auch gleiche Complcmente; und umgekehrt. Zwei Winkel, deren Summe 180° beträgt, heißen supplementäre Winkel, z. B. die Winkel vvn 120° und 60°. Von zwei supplementären Winkeln ist jeder das Supplement des andern. Gleiche Winkel haben auch gleiche Suppleinente; und umgekehrt. A uf g a b en. 1. Wie groß ist der Winkel, den der Stundenzeiger einer Nhr in 1, 2, 5, 12 Stunden beschreibt? 2. Wie groß ist der Winkel, den der Minutenzeiger in 1 Stunde, in 1, 5, 10, 30 Zeitminuten beschreibt? 3. Wie groß ist der Winkel, den die beiden Zeiger einer Uhr um 1, 2, 5, 6, 8, 9, 11 Nhr bilden? 4. Suche die Summe der Winkel 37° 48' 35", 29° 39' und 78° 9' 55". 5. Wie groß ist die Differenz dcr Winkel 128° 15' 31" und 69° 42' 18"? 6. Wie groß ist das Complcment eines Winkels von a) 35°, d) 48° 12', c) 75° 8' 30"? 7. Wie groß ist das Supplement eines Winkels von a) 55°, b) 96° 20", e) 137° 51' 28"? 8. Bestimme das 2-, 3-, 4-, 5fache von 18° 35', von 9° 12' 48". 9. Suche die Halste, den'dritten, vierten, fünften Theil von 72° 27', von 58° 20'. 10. Untersuche, wie oft ein Winkel von a) 8°, 5) 15' 28", den Durchmesser und der Punkt 6 am Ein¬ schnitte den Mittelpunkt vor stellt. A ufgaben. 1. Wie wird mit dem Transporteur ein Winkel auf dem Papier gemessen? 2. Zeichne verschiedene Winkel, schätze ihre Größe zuerst nach dem Augenmaße ab und miss dann dieselben mit dem Transporteur. 3. Ziehe von einem Punkte einer Geraden auf einer Seite der¬ selben mehrere Strahlen, miss die dadurch entstehenden nebeneinander liegenden Winkel und addiere sie. Wie groß ist die Summe? Wie groß muss die richtige Summe sein? 4. Ziehe von einem Punkte aus drei, vier oder mehrere Strahlen, miss alle rings nm den Punkt gelegenen Winkel und suche ihre Summe. 5. Ziehe durch drei Punkte, die nicht in gerader Linie liegen, Gerade und bestimme die von diesen Geraden gebildeten Winkel mit Hilfe des Transporteurs. 6. Wie kann man mit dem Transporteur einen Winkel zeichnen, der eine bestimmte Anzahl Grade hat? 7. Zeichne einen Winkel von 20°, ferner einen Winkel von 30°, 50°, 90°, 15°, 65°, 24°, 79°, 81°, 100°, 150°, 142°, 180°, 209°, 270°, 326°. 8. Zeichne einen spitzen und einen stumpfen Winkel, und sodann mit Hilfe des Transporteurs zu jedem einen gleichen Winkel. 6. Nebenwinkel und Scheitelwinkel. 8- 35. Zwei Winkel, welche denselben Scheitel und einen gemein samen Schenkel haben, und deren beide anderen Schenkel nach ent- Fig. 20. gegengesetzten Richtungen eine gerade Linie bilden, heißen Nebenwinkel. Verlängert man einen Schenkel eines Winkels über den scheitel hinaus, so erhält man dessen Neben¬ winkel. So ist (Fig. 20) .4 0kl ein Neben¬ winkel uon IlOO, ebenso sind .401) und 00 0 Nebenwinkel. Zwei Nebenwinkel zusammen geben immer einen gestreckten Winkel oder zwei Rechte; die Summe zweier Nebenwinkel ist also gleich zwei Rechten oder 180". Ein rechter Winkel hat einen rechten Nebenwinkel, ein spitzer Winkel einen stumpfen und ein stumpfer einen spitzen. Ls. 36. Zwei Winkel, welche von denselben zwei geraden Linien ans entgegengesetzten Seiten ihres Schnittpunktes gebildet werden, heißen Scheitelwinkel. Verlängert man beide Schenkel eines Winkels über den Scheitel hinaus, so erhält man den Scheitelwinkel desselben. In Fig. 21. Ng. 21 ist a der Scheitelwinkel von o, und st der Scheitelwinkel von ä. V / Da zwei Scheitelwinkel von denselben zwei Geraden gebildet werden, und diese auf der einen Seite ihres Schnittpunktes eben so von einander x abweichen als auf der andern, so folgt: Je zwei Scheitelwinkel sind einander gleich. Die Richtigkeit dieses Satzes folgt auch aus der oben von den Nebenwinkeln angeführten Eigenschaft. Da st ein Nebenwinkel sowohl von a als von o ist, so hat man «r -st st 2 N, st -st e — 2 Ist Sind aber zwei Größen einer dritten gleich, so sind sie auch unter sich gleich; also ist a -st st — st 4- o. Subtrahiert man st — st, so bleibt a — o; denn Gleiches von Gleichem subtrahiert gibt Gleiches. 23 Zeige auf dieselbe Art, dass auch b — ä ist. Wenn mnn von den vier Winkeln, a, I>, e, 6 den einen kennt, so kann inan daraus auch die übrigen drei bestimmen. Aufgaben. 1. Berechne dere Nebenwinkel von 10", 39", 63", 85°, 100", 15" 48', 56° 30", 128" 24', 68° 6' 35", 102° 51' 55". * 2. In Fig. 21 sei der Winkel a — 75°; wie groß ist e, wie groß sind 4> und 6? 3. Ein Winkel beträgt u) 81", 1>) 17° 38', o) 131° 18'47"; wie groß ist der Scheitelwinkel seines Nebenwinkels? IV. I'arallelr Linien. I. Parallele und nicht parallele Gerade. Ls. 37. Zwei Gerade, welche in derselben Ebene liegen und, wenn wenn mnn sie noch so weit verlängert, nie Zusammentreffen, heißen parallel. Fig- 22. Dass die Geraden ad und oä(Fig,22) parallel sind, drückt man so aus: a d si o ck. Zwei parallele Gerade können entweder -—---gleiche oder entgegengesetzte Richtungen haben. Ans dem Begriffe der parallelen Linien folgt: 1. Durch einen außerhalb einer Geraden liegenden Punkt kann nur eine Parallele zu derselben gezogen werden. 2. Zwei gerade Linien, welche zu derselben dritten parallel sind, sind auch unter sich parallel. 3. Schneidet eine Gerade die eine von zwei Parallelen, so schneidet sie auch die andere. 4. Die Winkel zwischen zwei sich schneidenden Geraden ändern sich nicht, wenn die eine parallel zu sich selbst fortschrcitet. 24 Zwei Gerade derselben Ebene, welche nicht parallel sind, müssen hinreichend verlängert in einem Punkte zusammentreffen; wie Hl und F'b- 23- 01) (Fig. 23). Zwei nichtparallelc Gerade heißen in der Richtung nach dem gemein- samen Schnittpunkte hin convergierend, und nach der entgegengesetzten Richtung - divergierend. Aufgaben. 1. Welche Kanten eines Würfels sind parallel, welche nichtparallcl? 2. Welche Lage gegeneinander haben die Kanten a > eines Tetraeders, b) eines Pyramidenstumpfcs? 3. Welche Lage gegen einander haben die von einem leuchtenden Punkte ausgehenden Strahlen? 4. Nenne verschiedene Gegenstände, an denen u) parallele, d) nicht¬ parallele Linien Vorkommen. 5. Zeichne eine Gerade nnd zu ihr in beliebiger Entfernung eine Parallele. 6. Zeichne eine Gerade und zu ihr in gleichen Entfernungen vier Parallele. 7. Wie können mit Hilfe der sogenannten Winkelbrettchcn Parallele gezogen werden? 2. Gegenwinkel, Wcchselwinkrl und Tnwinkel. H. 38. Werden die Geraden /Vll und 01) (Fig. 24) von einer dritten Geraden Lk? geschnitten, so entstehen um die beiden Schnitt- 24. punkte acht Winkel. Die vier Winkel o, ä, ur und u, welche zwischen den beiden geschnittenen Geraden liegen, heißen innere Winkel, die anderen vier u, k>, o nnd p äußere Winkel. 0° Ein äußerer und ein innerer Winkel an / verschiedenen Scheiteln und auf derselben Seite / der schneidenden Geraden heißen Gegenwinkel; wie a und m, b und n, o und o, ä und p. /!' Zwei äußere Winkel, oder auch zwei inuerc Winkel an verschiedenen Scheiteln und auf den entgegengesetzten Seiten der schneidenden Geraden heißen Wcchsel- winkel; wie a. und p, k> nnd o, o und n, ä und m. 25 Zwei innere »der auch zwei äußere Winkel an verschiedenen Scheiteln und auf derselben Seite der Schnittlinie nennt man An- winkel. Sv sind a und o, d und p äußere, o und m, cl uud n innere Anwiukel. , Aufgaben. 1. Suche in Fig. 24 zu dein Winkel u den Scheitelwinkel, die beiden Nebenwinkel, den Gegen-, den Wechsel- und den Änwinkcl auf; ebenso zu den: Winkel la, zu o, ä, w, n, o, p. 2. Es sei der Winkel a — 98" und in — 110"; wie groß sind dann die übrigen Winkel? 3. Suche die Gegen-, Wechsel- und Anwinkel in Fig. 25, I, II und III auf. 4. Gib ferner die Gegen-, Wechsel- und Änwinkcl in Fig. 26 an, und zwar in I, indem einmal die ^.II und 01), und dann die LO und 04) als die geschnittenen Geraden angenommen werden; in II zuerst in Bezug auf die Schneidende ^40 und dann in Bezug auf die Schneidende I>0; in III für alle dort möglichen Fälle. Fig. 26. Z. 39. Besonders merkwürdig ist die Beschaffenheit der Gegen-, Wechsel- und Anwinkel, wenn die beiden geschnittenen Geraden .VI', nnd 01) (Fig. 27) parallel sind. 26 Fig. 27. Schreitet die Gerade k parallel za sich selbst längs der k l' sort, so bildet sie mit dieser stets / dieselben vier Winkel; es fallen daher, wenn .4 - E-7Vl> in die Lage 01) gelangt, je zwei Gegen- / winkel ans einander, sind also einander gleich; / je zivei Wcchselwinkel gehen in Scheitelwinkel 6'- - D j,ber, sind also auch einander' gleich; je zwei An- / winkel endlich werden zu Nebenwinkeln, betragen / also zusammen 2R. Es ist demnach Werden zwei parallele Gerade von einer dritten Ge¬ raden geschnitten, so sind 1. je zwei Gegenwinkel einander gleich; 2. je zwei Wechsclwinkel einander gleich; 3. je zwei Anwinkcl supplementär. Alis dem hier erwiesenen Satze folgt auch: Wenn ein Paar von Gegenwinkeln oder ein Paar voll Wcchsel- winkeln ungleich ist, oder wenn ein Paar von Anwinkeln nicht supple¬ mentär ist, so können die beiden geschnittenen Geraden nicht parallel sein; sic müssen nach derjenigen Seite, wo die Summe der inneren Anwinkel kleiner als 2R ist, hinreichend verlängert in einem Punkte zn- sammentreffen. Aufgabe. Zeichne zwei Parallele, schileide sie durch eine dritte Gerade, bestimme sodann einen der entstehenden Winkel mit Hilfe des Trans¬ porteurs und berechne daraus die übrigen sieben Winkel. ß. 40. Werden zwei Gerade von einer dritten unter gleichen Gegenwinkeln geschnitten, so müssen sic parallel sein. Ist (Fig. 27) z. B. a — m, so muss Ol) sein. Denn, wird die I> gegen die O I) herabgeschoben, so kann sich der Winkel a nur dann gleich bleiben, wenn bei dieser Verschiebung -X I > die Richtung nicht ändert, d. i. wenn .-V l> mit der ursprünglichen Lage parallel bleibt; es wird daher auch die letzte Lage Oil), damit m — a sei, mit der anfäng¬ lichen parallel sein müssen. 27 Da bei dem Durchschnitte zweier Geraden van einer dritten die drei Eigenschaften, dass die Gegenwinkel gleich, die Wechselwinkel gleich und je zwei Anwinkel supplementär sind, nicht abgesondert Vorkommen können, sondern, sobald die eine dieser Eigenschaften eintritt, immer auch die andern zwei stattfinden müssen; so ergeben sich ans dein letzten Satze auch noch folgende zwei Sätze: Werden zwei Gerade von einer dritten unter gleichen Wechselwinkeln geschnitten, so müssen sie parallel sein. Werden zwei Gerade von einer dritten so geschnitten, dass ein Paar von Anwinkeln supplementär sind, so müssen die geschnittenen Geraden parallel sein. Ist daher bekannt, dass entweder ein Paar von Gegenwinkeln oder ein Paar von Wechselwinkeln gleich ist, oder dass ein Paar von Anwinkeln Supplemente sind, so kann man daraus schließen, dass die beiden ge¬ schnittenen Geraden parallel sind. Daraus ergibt sich die große Wichtigkeit der Gegen-, Wechsel- und Anwinkel. Um mit Gewissheit behaupten zu können, dass zwei Gerade parallel sind, sollte man zeigen, dass sie fort und fort verlängert, doch nie Zusammentreffen. Da aber eine solche Verlängerung nicht ausführbar ist, so wird die parallele Klage zweier Geraden ganz einfach durch die Winkel entschieden, welche entstehen, wenn diese Geraden von einer dritten geschnitten werden. K. 41. Es sei (Fig. 28) U. LIU „„d Ov _D LH Da u, — R, d — U, also u — !) ist, müssen die beiden Geraden Nm- 2b. und Oki), welche von der dritten LIU geschnitten, nut ihr gleiche Gegenwinkel bilden, parallel sein. Daraus folgt: Sind zwei gerade Linien zu einer , dritten normal, so sind sie parallel. M-lu- Umgekehrt: Ist eine Gerade zu eiuer anderen Geraden normal, so ist auch jede zu der ersteren Parallele zu der zweiten Geraden normal. Denn: ist ch. LI Li und 01) jj daher u — U und l> — n, (als Gegenwinkel), so muss auch k> — k, d. i. 01) U. LIU sei». tz. 42. l. Von einem Punkte außerhalb einer Geraden kann zu dieser nur eine Normale gezogen werden. 28 Demi ließe sich von dem gegebenen Punkte nuf die Gerade noch eine zweite Normale ziehen, so hätten die beiden Normalen diesen Punkt gemeinschaftlich und müssten nach 8- 41 zugleich parallel sein, was einen Widerspruch enthält. Ebenso folgt: 2. In einem Punkte einer Geraden kann auf diese nur eine Normale errichtet werden. 3. Winkel, deren Schenkel parallel oder zu einander normal sind. tz. 43. Es sei (Fig. 29) si DL und ^.0 si DL. Fig. 29. I II III In I sind die parallelen Schenkel der Winkel n und in gleich¬ gerichtet und ist, da Winkel n — x und in — x als Gegenwinkel, auch a — in. Ju II sind die parallelen Schenkel der Winkel u und in entgegen¬ gesetzt gerichtet; da u dem Winkel x als Wechselwinkel und in dein Winkel x als Gegenwinkel gleich ist, so ist auch in diesem Falle u — in. In III haben die Winkel u und n auch paarweise parallele Schenkel, es ist jedoch nur ein Paar paralleler Schenkel nach derselben Seite, das andere Paar aber nach entgegengesetzten Seiten gerichtet. Da g, -P — 2L und n — ist, so ist auch n -j- n — 2L. Daraus folgt: Zwei Winkel, deren Schenkel paarweise parallel sind, sind a) einander gleich, wenn beide Paare der parallelen Schenkel nach derselben Seite oder beide Paare nach entge¬ gengesetzten Seiten gerichtet sind, dagegen 3) supplementär, wenn nur ein Paar nach derselben Seite, das andere aber nach entgegengesetzten Seiten gerichtet ist. Z , 8. 44. Es sei (Fig. 30) DL L -VI'> und DL ! .V JL folgt auch JO > JL — LO nnd LO > JL — JO, d. h. Jede Seite eines Dreieckes ist größer als die Differenz der beiden anderen Seiten. Mit Rücksicht auf die Länge der Seiten kann es dreierlei Dreiecke geben: gleichseitige (Fig. 33, I), in denen alle drei Seiten Fig- 33. l II III gleich sind; gleichschenklige (Fig. 33, II), in denen nur zwei Seiten gleich sind; und ungleichseitige (Fig. 33, III), in denen keine Seite einer andern gleich ist. 31 Zeichne a) ein gleichseitiges, ds cin gleichschenkliges, o) ein ungleichseitiges Dreieck. (8- 23) K. 48. Em Dreieck kann man sich über jeder Seite errichtet denken: diese Seite heißt dann die Grundlinie. Der Eckpunkt, welcher der Grund¬ linie gegenüberliegt, wird der Scheitel, und die Normale, welche man vom Scheitel zu der Grundlinie zieht, die Höhe des Dreieckes genannt. Fig. 34. Stellt man sich das Dreieck (Fig. 34) über der Seite I'> errichtet vor, so ist XN die Grund- / x^ linie, 0 der Scheitel und die Normale 01) die / Höht- _ X^ Jin gleichschenklige n Dreiecke wird immer die dritte verschiedene Seite als Grundlinie ange¬ nommen; die zwei gleichen Seiten heißen Schenkel des Dreieckes. Neune iu Fig. 33, II die Gruudliuic, den Scheitel uud die Schenkel. 3. Winkel des Dreieckes. Z. 49. Uin zu erfahren, wie groß die Summe der Winkel a, 3, v eines beliebigen Dreieckes X l> 0 (Fig. 35) sei, wird man sie alle nebeneinander um denselben Scheitel s herum darstellen. Zu diesem Fig. gg. Ende zieht man durch 0 eine Gerade I)L <7_parallel mit Hl, wodurch man die neuen xX Winkel m und u erhält; der Winkel m ist / x dann als Wechselwinkel gleich a und der / Winkel n als Wcchselwinkcl gleich d. Die - Summe der drei Winkel n, 3, o ist daher so groß als die Summe der Winkel in, o, n. In jedem Dreiecke ist daher die Summe der drei inneren Winkel gleich zwei Rechten oder 180°. 8- 50. Aus diesem wichtigen Lehrsätze folgt: a) Die Summe zweier Dreicckswinkcl muss stets kleiner als 2H sein. Können iu einem Dreiecke zwei rechte Winkel, oder zwei stmupse Winkel, oder ein rechter und ein stumpfer Winkel Vorkommen? In jedem Dreiecke müssen daher wenigstens zwei Winkel spitz sein. d) Sind in einem Dreiecke zwei Winkel bekannt, so findet man den dritten, indem man die Summe der zwei be¬ kannten Winkel von 180° subtrahiert. 32 o) Sind zwei Winkel eines Dreieckes gleich zweien Winkeln eines andern Dreieckes, so ist auch der dritte Winkel des einen Dreieckes gleich dem dritten Winkel des zweiten Dreieckes. ä) Im rechtwinkligen Dreiecke ist die Summe der beiden spitzen Winkel gleich einem Rechten. Ist daher der eine spitze Winkel bekannt, so kann man anch den andern finden. Rach der Größe der Winkel unterscheidet man spitzwinklige Dreiecke sFig. 3k, I), in denen alle drei Winkel spitz sind; recht- Fig. 36. i it in winklige (Fig. 33, II), in denen ein rechter und zwei spitze Winkel vorkommen; und stumpfwinklige (Fig. 36, III), welche einen stum¬ pfen und zwei spitze Winkel enthalten. Im rechtwinkligen Dreiecke heißt die Seite II0, welche dem rechten Winkel gcgenüberliegt, die Hypotenuse; die beiden anderen Seiten ^Ik und >10, welche den rechten Winkel cinschlicßen, heißen Katheten. Aufgaben. 1. Zwei Winkel eines Dreieckes find: u) 37° und 71°; ä) 15° 32' 18" und 62° 50' 57"; 5)82° „ 48°; s) 64° 47'33" „ 77° 18'41" ; o)50"48' 17° 39'; k) 108° 5'29" „ 38° 43'31"; wie groß ist der dritte Winkel? 2. Der eine spitze Winkel eines rechtwinkligen Dreieckes ist u) 63°, d) 37°, o)27°15', 6)58° 12'48"; wie groß ist der andere? H. 51. Addiert man (Fig. 37) zu dem Winkel l> den Außenwinkel m als Nebenwinkel, so erhält man 180°; dieselbe Summe erhält man Fig. 37. anch, wenn zu b die beiden Winkel u und e addiert werden. Es muss daher der Außen¬ winkel m eben so groß sein als die Winkel a und e zusammengenommen. Daraus folgt: (.Ein Außenwinkel eines Dreieckes A ist gleich der Summe der beiden ihm nicht anliegenden inneren Winkel.^) Ein Außenwinkel ist daher stets größer als ein innerer, ihm nicht anliegender Winkel. Aufgaben. 1. Wie groß ist der Außenwinkel eines Dreieckes, wenn die beiden inneren, ihm nicht anliegenden Winkel 38° 35' 28" und 69° 18' 46 betragen? 2. Der Außenwinkel eines Dreieckes ist 86°, und einer der inneren, ihm nicht anliegenden Winkel 57° 48'; wie groß ist jeder der beiden anderen Winkel des Dreieckes? 3. In einem rechtwinkligen Dreiecke beträgt der eine Außenwinkel an der Hypotenuse u) 106", b) 118° 50', «) 141° 37' 42"; wie groß ist der zweite Außenwinkel an der Hypotenuse? 4. Wenn man an jedem Eckpunkte eines Dreieckes einen Außen¬ winkel entstehen lässt, wie groß ist dann die Summe dieser Außenwinkel?^ 8. 52. Wird in einem stumpfwinkligen Dreiecke 8-40 «Fig. 38) eine der Seiten, welche den stumpfen Winkel bilden, als Grundlinie angenommen, z. B. die ^48, so kann die von dein Scheitel Fig. 38. auf die Grundlinie gezogene Senkrechte nicht inner- 0 halb des Dreieckes fallen , weil man sonst ein 'xx Dreieck mit einem stumpfen und einem rechten X x^ Winkel erhielte, was nicht möglich ist; die Höhe 01) ! ) X^ wird also außerhalb des Dreieckes liegen, und cs ^x^, muss die Grundlinie .4 I> aber .4 hinaus ver- D lüngert werden. Zeichne ein spitzwinkliges, ein stumpfwinkliges und ein rechtwinkliges Dreieck und die darin möglichen Höhen, und gib dann alle Fälle in Bezug auf die Lage der Höhe au. 4. Bestehungen zwischen den Seiten und den Winkeln eines Dreieckes. * 8. 53. 1. Es sei in dem Dreiecke .4 Il 0 (Fig. 39) die Seite .40 80. Fig. 39. Stellt man sich das Dreieck O' x480 noch einmal, und zwar / X /X umgewendet als I.'8'0' vor, so / X kann man das letztere so auf das / X / X erstere legen, dass sich die Winkel / X X X 0 uud 0' decken; dann fällt der Punkt 8' auf .4, der Punkt >4' auf 8, die Seite 8'I,' auf -4I'>, und ist deshalb der Winkel 8' — Je; 8' ist aber — 8, also ist auch 8 — .4. Hieraus folgt: Moonik, Geom. Anschauungslehre, i. Abth. Z 34 Gleichen Seiten eines Dreieckes liegen gleiche Winkel g e g e n ü b e r. 2. Ist umgekehrt in dem Dreiecke .4 I> (' der Winkel l> — -X, so kann auf gleiche Weise, indem man die Seite D'^X' mit der Seite iXD sich decken lässt, gezeigt werden, dass die Seite ^XG — IN ! sein muss; d. h.: Gleichen Winkeln eines Dreieckes liegen gleiche Seiten gegen über. Aus dem ersten Satze folgt: a) In einem gleichschenkligen Dreiecke sind die Winkel an der Grundlinie einander gleich. b) In einem gleichseitigen Dreiecke sind alle drei Winkel einander gleich. Aufgaben. 1. Wie groß ist jeder Winkel eines gleichseitigen Dreieckes? 2. Wie groß ist jeder Winkel an der Grundlinie eines gleichschenk¬ ligen Dreieckes, wenn der Winkel am Scheitel ein rechter ist? 3. Der Winket nm Scheitet eines gleichschenkligen Dreieckes ist a) 23" 35', 6) 65° 10'36", e) 118" 4G 29"; wie groß ist ein Winkel an der Grundlinie? 4. Wie groß ist der Winkel am Scheitel eines gleichschenkligen Dreieckes, wenn ein Winkel an der Grundlinie as Ib" IG, 6 ) 48" 5' 49", o) 73" 41' 17" beträgt? 5. Der Außenwinkel am Scheitel eines gleichschenkligen Dreieckes, beträgt a) 82° 13' 55", b) 130° 51' 10", o) 136" 17' 32"; wie groß ist jeder Winkel des Dreieckes? 6. Der Außenwinkel, gebildet durch die Verlängerung der Grundlinie eines gleichschenkligen Dreieckes, beträgt a> 120° 53'37", 6) 144" 31'29", o) 151° 47' 23"; wie groß ist jeder Dreicckswinkel? 8. 54. Ist (Fig. 40 > ^XD — ^XI), also das Dreieck ^X DI) gleich¬ schenklig, so sind die Winkel m und n an der Grundlinie einander gleich. Na. 4». Verlängert man ^XI) bis zu dein Punkte 0 und A zieht IIG, so wird der Winkel oX D 0 größer als in, /V der Winkel ^X(!D dagegen um ebensoviel kleiner / als n, da der dritte Dreieckswinkel IX ungeändert / geblieben ist. In dem Dreiecke ^XDt' ist dem- nG ?— nach die Seite ^XO > -XD und zugleich der Winkel iXD(! -X t!I'>. Daraus folgt: 1. Der größeren Seite eines Dreieckes liegt ein größerer Winkel gegenüber; und umgekehrt: 2. Dem größeren Winkel eines Dreieckes liegt eine größere Seite gegenüber. In einem rechtwinkligen Dreiecke ist die Hypotenuse, in einem stumpfwinkligen Dreiecke die dem stumpfen Winkel gegenüberliegende Seite die größte Seite. K. 55. Zieht man von einem Punkte ^4 (Fig. 41) zu einer Ge¬ raden 110 die Normale vVI) und zugleich mehrere schiefe Strecken XO, Mq. )44X -40, so entstehen die rechtwinkligen Dreiecke ^.4)41, )4I)O, -4.4)0, in denen /X die Kathete )41) kürzer ist als jede der / XX, Hypotenusen )441, XO, XO. / X x. Daraus folgt: / _ X X - Die Normale ist die kürzeste 8 /a Strecke, die von einem Punkte zu einer geraden Linie gezogen werden kann. Die Normale gibt den Ab stand eines Punktes von einer Geraden an. Z. 56. Es sei (Fig. 42) 110 0-4. Jede von 0 zn der 110 gezogene schiefe Strecke 04) ist länger als die Normale 0.4; also liegt Fig. 42. der Pnnkt I) außerhalb der Kreislinie. Die Ge¬ rade 110 hat somit mir den Pnnkt X mit der Kreislinie gemeinschaftlich, alle anderen Punkte liegen außerhalb des Kreises. Die im Endpunkte eines Halbmessers zu diesem normale Gerade ist also eine Tan¬ gente des Kreises. ,D. -X 5. Die symmetrische Lage. K. 57. Zwei Punkte liegen symmetrisch in Beziehung auf eine Gerade, wenn die Strecke, welche sie verbindet, zu dieser Geraden F-ig. -m. normal ist und durch sie halbiert wird; die O Gerade selbst heißt die Symmetrieachse oder Symmetrale. Ist (Fig. 43) 01) normal zu )411 und H) — 111), so liegen die Punkte X -4 und II symmetrisch in Beziehung auf die /) Gerade 01), welche die Symmetrale ist. Zwei ebene Gebilde liegen symmetrisch in Beziehung auf eine Gerade, wenn jedem Punkte des einen Gebildes ein symmetrisch 3» 36 liegender Punkt des andern Gebildes entspricht. Zwei symmetrisch liegende Gebilde, wie I) 6 und ?> 00, können durch Umwendung um die Symmetrale OO zur Deckung gebracht werden. Ein ebenes Gebilde ^LO heißt symmetrisch, wenn es sich durch eine Gerade (die Symmetrale) in zwei symmetrisch liegende Theile theilen lässt. ß. 58. Jede Strecke ist ein symmetrisches Gebilde. Die Sym¬ metrale einer Strecke ist die in ihrer Mitte zu ihr errichtete Normale. Es sei OO (Fig. 44) die Symmetrale der Strecke also U. IN. Zieht mau zu irgend einem Punkte N dieser Symmetrale die Strecken und I>U, und wendet das rechtwinklige Dreieck ^.OlU um die Symmetrale ON, so kommt es mit dem Drei¬ ecke U('N zur Deckung, daher ist — I'.N, d. h. der Punkt N ist von den Punkten und 4> gleich weit entfernt. Jeder außerhalb der Sym¬ metrale liegende Punkt X hat dagegen von .4 und N ungleiche Abstände XX und Nisi; denn der Winkel XI>X ist größer als XLU, also auch größer als der dem letzteren gleiche Winkel KXX; folglich ist im /X XOX auch die Seite XX > Lidl. Daraus folgt: Jeder Punkt der Strcckensymmetrale hat von den beiden Endpunkten der Strecke gleiche, jeder andere Punkt ungleiche Ab stände; und umgekehrt: Hat ein Punkt von den Endpunkten, einer Strecke gleiche Abstände, so liegt er in der Symmetrale der Strecke, sonst außerhalb derselben. Diesen Satz kann inan auch so ausdrücken: Der geometrische Ort (Z. 23, 2) aller Punkte, welche von zwei gegebenen Punkten gleiche Abstände haben, ist die Symmetrale der Ver¬ bindungsstrecke der beiden Punkte. F. 59. Es sei in dein Dreiecke XOO (Fig. 45) 1)0 die Symme- tralc der Seite Xlst und 00 die Symmetrale der Seite XO. Dann ist der Schnittpunkt 0 der beiden Symmetraleu sowohl von /V und Ist als von X und 0, somit auch von L und 0 gleich weit entfernt. Hat aber der Punkt 0 von L und 0 gleiche Abstände, so muss er mich in der Symmetrale der Seite II0 liegen. XO — i;o und 01) Fig. 44. 4 0 6 37 Die drei Seitensymmetralen eines Dreieckes schneiden also einander in demselben Punkte, der von den drei Eck¬ punkten gleiche Abstände hat. Beschreibt man aus dem gemeinschaftlichen Schnittpunkte 0 der drei Seitcnsymmetraleu mit dem Halbmesser 0)4 einen Kreis, so geht er durch alle drei Eckpunkte des Dreieckes. Ein solcher Kreis heißt dem Dreiecke umge- schricben. Fig. 4b. Jedem Dreiecke lässt sich also ein Kreis umschreiben. K. 60. Jeder Winkel ist ein symmetrisches Gebilde. Die Sym- metralc eines Winkels ist die Halbierungslinie desselben. Es sei 01) (Fig. 46) die Symmetrale des Winkels ^4 0?>, also Winkel .4 01) — L01). Fällt man von irgend einem Punkte N dieser Symmetrale auf die Schenkel des Winkels JO? die Normalen N? und NH, und wendet das rechtwinklige Dreieck N?0 um die Symmetrale 01), so deckt dieses Fig. 46. das Dreieck NHO, daher ist N? — NH, d. h. der Puukt N ist von den Schenkeln des Winkels ^40? gleich weit entfernt. Jeder außerhalb der Symmetrale liegende Puukt 17 hat dagegen von den Schenkeln des Winkels ^4 Olk ungleiche Ab¬ stände 17? und 17k. Denn zieht man 17H, so ist 17? — XN -j- N? - XN 4- NH > XH; nun ist 17H> Normale X? (H. 55), daher ist umsomehr X? > XIX Hieraus folgt: Jeder Punkt der Winkelsymmetrale hat von den beiden Schenkeln des Winkels gleiche, jeder andere Punkt zwischen beiden Schenkeln ungleiche Abstände; und umgekehrt: Hat ein Punkt innerhalb der Schenkel eines Winkels von diesen gleiche Abstände, so liegt er in der Symmetrale des Winkels, sonst außerhalb derselben. Dieser Satz kann auch so ansgedrückt werden: Der geometrische Ort aller Punkte, welche innerhalb der Schenkel eines gegebenen Winkels liegen und von diesen gleiche Abstände haben, ist die Symmetrale des Winkels. 3'4 61. Es sei in dein Dreiecke .480 iftig. 47) .40 die Synune- trnle des Winkels 8eV6 und 60 die Symmetrale des Winkels .4<' l!. Daun ist der Schnittpunkt 0 der beiden Symmetralcn sowohl von den Schenkeln ^V8 und eXO, als von den Schenkeln ^0 und 80, somit auch von ^48 uied 80 gleich weit ent¬ fernt. Hat aber der Punkt 0 von den Schenkeln ^8 und 80 gleiche Abstände, so muss er auch in der Symmetrale des Winkelst 80 liegen. Die drei Winkelsymmetralen eines Dreieckes schneiden also einander in demselben Punkte, der von den drei Seiten gleiche Abstände hat. Beschreibt man aus dem gemeinschaftlichen Schnittpunkte 0 der drei Winkelsymmetralen mit dem Abstande ÖD als Halbmesser einen Kreis, so sind die Dreieckssciten Tangenten dieseö Kreises (K. 56), b. h. der Kreis berührt alle drei Seiten des Dreieckes. Ein solcher Kreis heißt dem Dreiecke eingeschrieben. Jedem Dreiecke lässt sich also ein Kreis einschreiben. 47. 6. Construetionsaufgaben. H. 62. 1. Die Symmetrale einer gegebenen Strecke 748 (Fig. 48) ;u evnstrnieren. Fig. 48. Bestimmt man (nach Z. 23, 3) zwei Punkte 0 und I) so, dass jeder derselben von den End¬ punkten .4 und 8 der gegebenen Strecke gleiche Abstände hat, so ist die Gerade 0 0 die Sym- metrnle der Strecke .4 l > (Z. 58). Die Auflösung ist also: llm die Symmetrale einer Strecke zu construieren, beschreibe inan ans ihren Endpunkten mit demselben Halbmesser nach D oben und unten Kreisbogen, welche sich in zwei Punkten schneiden, und ziehe durch diese Punkte eine Gerade. Dieselbe Cvnstrnetivn liefert auch die Lösung für die Aufgaben: Die Symmetrale zweier gegebener Punkte zu construieren. Eine gegebene Strecke zu halbiere«. 2. Ziehe mehrere Strecken und theile jede, zuerst nach dem Augen¬ maße und dann geometrisch, in zwei gleiche. Theile. 3. Theile eine Strecke in 4, in 8 gleiche Theile. 4. Halbiere jede Seite eines Dreieckes und ziehe von jeder Mitte die Strecke zu dem gegenüberliegenden Eckpunkte - - die Mittellinie. In wie vielen Punkten schneiden sich die drei Mittellinien? 5. Zeichne ein beliebiges Dreieck und eonstruicre den ihm um¬ geschriebenen Kreis (Z. 59). K. 63. 1. Die Symmetrale eines gegebenen Winkels I3^.(l (Fig. 49) zu eonstruicren. Bestimmt man auf den Schenkeln zwei Punkte si, LI und Li, welche vom Scheitel .L gleich weit abstehci:, und dann in der Winkelfläche den Punkt /X I) so, dass er von LI und Li ebenso weit ab- / X steht, so ist die Gerade -V l) die Syunnetrnle der _ X-- Strecke LIU, folglich ist sie auch, wie man sich / X durch Deckung überzeugen kann, die Symmetrale des Winkels 13^0. Construction: Um die Syminetrale eines Winkels zu erhalten, beschreibe man aus dem Scheitel einen Bogen, welcher die beiden Schenkel schneidet; aus den Schnittpunkten beschreibe man mit demselben Halb¬ messer zwei Bogen, die sich in einem Punkte schneiden, und ziehe durch diesen letzten Punkt und durch den Scheitel des Winkels eine Gerade. Die vorstehende Aufgabe ist übereinstimmend mit der Aufgabe: Einen gegebenen Winkel zu halbieren. 2. Theile einen Winkel in 4, in 8 gleiche Theile. 3. Zeichne ein beliebiges Dreieck und konstruiere den ihm einge¬ schriebenen Kreis (Z. 61). K. 64. I. Zu einer gegebenen Geraden L.U (Fig. 50) von einem außer ihr liegendem Punkte L die Normale zu ziehen. Fig. so. (7 mit einem hinlänglich Bestimmt man aus der Geraden zwei Punkte LI und Li, welche von dem gegebenen Punkte 6 gleich weit abstehen, und kon¬ struiert zu LI und Li die Symmetrale 61), L so steht diese zu ?LI3 normal. Man hat daher folgende Auflösung: Um von einem Punkte außerhalb einer Geraden zu dieser die Normale zu kon¬ struieren, beschreibe man aus jenem Punkte großen Halbmesser einen Bogen, welcher die Gerade 40 in zwO Punkten schneidet; nus diesen beschreibe mnn wieder mit demselben Halbmesser zwei Bogen und verbinde ihren Schnittpunkt mit dem gege¬ benen Punkte durch eine Gerade; diese ist die verlangte Normale. Durch dieselbe Construction wird auch folgende Aufgabe gelöst: Zu eiuem gegebenen Punkte in Beziehung auf eine gege¬ bene Gerade den symmetrisch liegenden Punkt zu construieren. 2. Ziehe von jedem Eckpunkte eines Dreieckes die Normale zu der gegenüberliegenden Seite — die Höhe. — In wie vielen Punkten schneiden sich die drei Höhen? §. 65. 1. Zu einer gegebenen Geraden -XII (Fig. 51) in eiuem gegebenen Punkte 0 derselben die Normale zu errichten. Fig. 51. Auflösung. Man bestimme in der Geraden zwei Punkte N und II so, dass ON — OkXi ist, und eonstruierc ihre Sym- metrale. 01), indem man zu diesem Ende aus N und mit demselben Halbmesser - zwei Kreisbogen beschreibt, die sich in I) schneiden. 2. Im Endpunkte -X (Fig. 52) einer Strecke -Xlk zu dieser die Normale zu errichten. F^. 52. Auslösung. Man beschreibe nus -X mit einem beliebigen Halbmesser einen Bogen, welcher die ^11 »X in I) schneidet; mit demselben Halbmesser durch- X schneide' mnn aus I) den früheren Kreisbogen in Ich chXX und beschreibe nus II einen neuen Bogen, welcher / Vx von der durch I) uud I! gezogenen Gernden in >/ XZ P geschnitten wird. Zieht inan mm die /XI', so ist ^1) iivrmnl. Die Leichtigkeit dieses Verfahrens ist leicht einzusehen. Vermöge der Construction ist das Dreieck -XVII gleichseitig und das Dreieck .V C i' gleichschenklig. Im /X -X I)II ist daher jeder der drei Winkel a — 60°; im /X -XI'L ist jeder der zwei gleichen Winkel d an der Grundlinie die Hälfte des Außenwinkels a, also 5 — 30°. Mit¬ hin ist Winkel i;-XI' -r -si d — 60° -i- 30° -- 90°, und daher -XI' si, -XII. tz. 66. Geometrische Construction bestimmter Winkel. 1. Einen Winkel von a) 60°, I>) 30° zu eoustruieren. u) Zeichne ein gleichseitiges Dreieck. 41 5) Construiere einen Winkel von 60° nnd halbiere denselben. 2. Einen Winkel von n) 120°, 6) von 150° zu konstruieren. n ) Construiere einen Winkel von 60° und zu diesem den Nebenwinkel. Durch Cvnstruction des Nebenwinkels von 30°. 3. Einen Winkel von a) 15°, 6> 165° zu konstruieren. 4. Einen Winkel von «,) 90°, 61 45° zu konstruieren. u) Durch Construction zweier zu einander normaler Geraden (nach 8- 64 oder ß. 65), oder durch Summierung der Winkel von 60° und 30°, wie in Fig. 52. 6) Durch Halbierung des Winkels von 90°. 5. Einen Winkel von 75° zu konstruieren. Durch Summierung der Winkel von 45° und 30°. 6. Einen Winkel von n) 105°, 6) 135° zu konstruieren. Als Nebenwinkel von a) 75°, 6) 45°. 7. Einen rechten Winkel in drei gleiche Theile zu theilen. Beschreibe über dem einen Schenkel ein gleichseitiges Dreieck .4 I > 11 (Fig. 52) und halbiere dann den Winkel 1)^46. 8. Einen rechten Winkel in 6, 8 gleiche Theile zu theilen. 9. Einen gestreckten Winkel in 3, 4, 6, 8 gleiche Theile zu theilen. ß. 67. Durch einen Punkt 6 (Fig. 53) außerhalb einer gegebenen Geraden 7413 zu dieser die Pa¬ rallele zu ziehen. u) Man ziehe von 0 die 61) normal zu 7413 und errichte in 6 zu 61) die Normale 66; dann sind 66 und 7413 beide zu 66 normal, daher zu einander parallel. 6) Man ziehe durch 6 (Fig. 54) eine Ge¬ rade, welche die gegebene Gerade 7413 in 6 schneidet, und konstruiere zu dem Winkel 61)6 im Punkte 6 einen gleichen Gegenwinkel 1'6 dann ist 6(^ ^413. Man könnte im Punkte 6 auch zu dem Winkel 61)74 einen gleichen Wechselwinkel I) 6 () konstruieren, wodurch man ebenfalls 6(^ 746 erhält. Flg. 53. ä v n L 42 VI. Kongruenz der Dreiecke. 1. Eonllruetion der Dreiecke und Congruen; derselben. Z. 68. Zwei Dreiecke heißen congruent, wenn sie dieselbe Größe und dieselbe Gestalt haben, so dass sie aufeinander gelegt sich vollständig decken. Damit dieses möglich sei, müssen in den Dreiecken alle sechs Bc- standstücke, die drei Seiten und die drei Winkel, paarweise gleich sein. In eongrnenten Dreiecken liegen gleichen Seiten gleiche Winkel, und gleichen Winkeln gleiche Seiten gegenüber. Da durch die Größe gewisser Seiten und Winkel eines Dreieckes auch die Größe der anderen, z. B. durch die Größe zweier Winkel die Größe des dritten Winkels, bestimmt ist, so kann man aus der Gleich¬ heit von weniger als sechs Bestnndstücken in zwei Dreiecken auf ihre Kon¬ gruenz schließen. Um zu sehen, wie viele und welche Bestaudstücke in zwei Dreiecken paarweise gleich sein müssen, damit die Dreiecke congruent seien, braucht man nur zu untersuchen, wie viele und welche Stücke erforderlich sind, um mit denselben ein Dreieck von bestimmter Größe und Gestalt zu construiercn, weil daun alle Dreiecke, welche in diesen Stücken überein¬ stimmen, congruent sein müssen. 1. Ist nur ein Bestandstück, ein Winkel oder eine Seite gegeben, so lassen sich unzählig viele verschiedene Dreiecke construiercn, die alle jenes Stück enthalten. Durch ein Bestandstück ist also die Größe und Gestalt eines Dreieckes nicht bestimmt. 2. Auch mit zwei Bestandstücken: mit zwei Winkeln, mit einer Seite und einem anliegenden Winkel, mit einer Seite und dem gegen¬ überliegenden Winkel, oder mit zwei Seiten können unzählig viele ver¬ schiedene Dreiecke construiert werden. Durch zwei Bestaudstücke ist also die Größe und Gestalt eines Dreieckes nicht bestimmt. 3. Sind drei Bestandstücke des Dreieckes gegeben, so können es sein: a) alle drei Winkel; l>) eine Seite und zwei Winkel (zwei anliegende oder ein anliegender und der gegenüberliegende Winkel); o) zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel; 6) zwei Seiten und ein gegen¬ überliegender Winkel; s) alle drei Seiten. Da durch zwei Winkel eines Dreieckes auch der dritte Winkel bestimmt ist, mit zwei Winkeln sich aber kein bestimmtes Dreieck cvnstruieren lässt, -43 so wird auch durch drei Winkel die Größe und Gestalt eines Dreieckes nicht bestimmt. Der erste der angeführten fünf Fälle liefert also keine bestimmte Eonstruetion. Es bleiben demnach nur die letzten vier Fälle zu untersuchen übrig, K. <>!). Ein Dreieck zu construiercn, wenn eine Seite und zwei Winkel gegeben sind. Die Constrnction ist nur möglich, wenn die Summe der beiden Winkel kleiner ist als 180". Die zwei Winkel sind entweder die der gegebenen Seite anliegenden, oder ein ihr anliegender und ein gegenüberliegender Winkel. a) Es sei (Fig. 55) n die gegebene Seite und dir Winkel von 58" und 47° die ihr anliegenden Winkel. Fig. 55. Man ziehe 5 N — u; dadurch sind zwei Eckpunkte des Dreieckes, und I>, bestimmt. Trägt man in einen Winkel von 58", und in ?> einen Winkel von 47° auf, so geben die Geraden ^4.0 und RO, welche mit der Seite F it diese Winkel bilden, die Richtungen der zweiten und der dritten Seite des Dreieckes an; der dritte Eckpunkt 0 kann daher nur in dem Schnittpunkte dieser Geraden liegen. Man erhält also aus deu gegebenen drei Stücken das Dreieck .VLO, welches eine ganz be¬ stimmte Größe und Gestalt hat. Construiert man mit denselben drei Stücken ein zweites Dreieck LM202, so muss dieses mit H40 gleiche Größe und dieselbe Gestalt haben; wenn man daher eines dieser Dreiecke mit den gleichen Stücken auf das andere legt, so müssen sich beide vollständig decken; sie sind also congruent. Daraus folgt: 1. Durch eine Seite und die beiden ihr anliegenden Winkel wird ein Dreieck vollständig bestimmt. 2. sl. Longrukiiztat!.) sSind in zwei Dreiecken eine Seite und die beiden ihr anliegenden Winkel paarweise gleich, so sind die Dreiecke congruent. 44 b) Sind von einem Dreiecke eine Seite, ein anliegender nnd dev gegenüberliegende Winkel gegeben, so ist dadurch auch der dritte Winkel bestimmt; dann sind aber eine Seite und die beiden anliegenden Winkel bekannt. Dieser Fall lässt sich also ans den früheren s) zurttckführen, nnd man kann allgemein sagen: Durch eine Seite und zwei Winkel wird ein Dreieck vollständig bestimmt. Da rechtwinklige Dreiecke immer einen rechten Winkel gleich haben, so gilt auch der Satz: Zwei rechtwinklige Dreiecke sind cvngruent, wenn sie 1. die Hypotenuse uud einen spitzen Winkel, 2. eine Kathete und einen spitzen Winkel paarweise gleich haben. A ufgaben. 1. Construiere ein Dreieck mit der Seite 2 vm 9 mm und den anliegenden Winkeln 60° und 45°. 2. Construiere ein Dreieck, in welchem der Seite 35 mm die Winkel 60° und 75° anliegen, und beschreibe in dasselbe einen Kreis. 3. Constrniere ein Dreieck, in welchen: eine Seite 27 mm, ein an¬ liegender Winkel 45° und der gegenüberliegende Winkel 75° beträgt. 4. Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck, wenn gegeben sind: a) eine Kathete (25 mm) und der anliegende spitze Winkel (30°); b) eine Kathete (3 em) und der gegenüberliegende Winkel (75°); o) die Hypotenuse (4 sm) nnd ein anliegender Winkel (45°). 5. Construiere ein gleichseitiges Dreieck, wenn dessen Höhe (28 mm) gegeben ist. 6. Construiere em gleichschenkliges Dreieck, wenn gegeben sind: n) die Grundlinie (28 mm) und ein anliegender Winkel (75°); d) die Grundlinie (3 cm) nnd der gegenüberliegende Winkel (150°); e) der Schenkel (26 mm) und ein Winkel (30°) an der Grundlinie. 8. 70. Ein Dreieck zu eonftrnicren, wenn zwei Seiten und der von ihnen geschlossene Winkel gegeben sind. Fiq. 56. Es seien n und d (Fig. 56) l— - s_— -, die zwei gegebenen Seiten und der z von ihnen eingeschlossene Winkel /Ox gleich 50°. Um mit diesen drei / / Stücken ein Dreieck zu beschreiben, zeichne man zuerst einen. Winkel — 50°, trage dann ans dessen Schenkeln die gegebenen Seiten a nnd d ans. Dadurch ist die Lage der 45 Eckpunkte I! und 0, daher auch die dritte Seite bestimmt. L.I36 ist dann dasjenige Dreieck, welches die gegebenen drei Stücke enthält. Zeichnet man mit denselben drei Stücken ein zweites Dreieck, so muss dieses mit /VIZO in der Größe und in der Gestalt vollkommen übereinstimmen. Daraus folgt: 1. Durch zwei Seiten und den von ihnen cingeschlossenen Winkel wird ein Dreieck vollständig bestimmt. 2. (II. Congruenchah.) Sind in zwei Dreiecken zwei .Seiten und der von ihnen eingeschlosseue Winkel paarweise gleich, so sind die Dreiecke congruent. Zwei rechtwinklige Dreiecke sind demnach congruent, wenn sic die beiden Katheten paarweise gleich haben. Aufgaben. 1. Eonstruiere ein Dreieck mit den Seiten 2 cm und 3 cm, welche einen Winkel von 60° cinschließcn. 2. Zwei Strecken betragen 27 mm und 32 mm; zeichne mit den¬ selben ein Dreieck, in welchem der von ihnen eingeschlossene Winkel 45° beträgt. 3. Constrnicre ein Dreieck, in welchem die Seiten 28 mm und 30 mm den Winkel 75° einschließen, und beschreibe nm dasselbe einen Kreis. 4. Zeichne ein gleichschenkliges Dreieck, weine dessen Schenkel (38 mm) und dessen Winkel am Scheitel (150°) gegeben sind. 5. Constrniere ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Katheten 2 em 2 mm und 2 em 6 mm sind. 6. Constrnierc ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck, dessen Kathete^2 cm beträgt. 7. Eonstruiere ein gleichschenkliges Dreieck, wenn dessen Grundlinie (32 mm) und dessen Höhe (22 mm) gegeben sind. Z. 71. Ein Dreieck zu construieren, wenn zwei Seiten und der einer dieser Seiten gegenüberliegende Winkel ge¬ geben sind. Der gegebene Winkel kann der größeren oder der kleineren der beiden Seiten gegennberliegen. a) Es seien (Fig. 57) n und d die beiden gegebenen Seiten, und zwar sei a, > 6; der der größeren Seite gegenüberliegende Winkel be¬ trage 71°. 46 Man trage den Winket van 71° ans und mache den einen Schenkel ^VO gleich der Seite d, deren gegenüberliegender Winkel nicht gegeben ist; dadurch sind zwei Eckpunkte des Dreieckes, -V nnd 0, be- --- stimmt. Der dritte Eckpunkt 1 /7 X muss iu beul zweiten // X Schenkel 7V II liegen und von / . / / X dem Eckpunkte 0 um die Strecke a entfernt sein, er -muss also zugleich in der Kreislinie liegen, welche aus 6 mit dem Halbmesser a beschrieben wird. Der Eckpunkt L muss daher in dem Durchschnitte dieser Kreislinie mit dem Schenkel -VII liegen. Die Kreislinie schneidet den Schenkel -VI> in zwei Punkten II und LH und man erhalt somit zwei Dreiecke -VI36 und -VIP 0. Bon diesen enthält jedoch nur das erste Dreieck -VI»0 die gege¬ benen drei Stücke; das zweite -VL^O hat zwar auch die zwei gegebenen Seiten, aber nicht den gegebenen Winkel, sondern dessen Nebenwinkel, und genügt daher der Aufgabe nicht. Evnstruiert man mit denselben drei Stücken noch ein zweites Dreieck, so muss dieses mit -VH6 gleiche Größe und dieselbe Gestalt haben. Daraus folgt: >. Durch zwei Seiten und den der größeren dieser Seiten gegenüberliegenden Winkel ist ein Dreieck vollständig, und zwar eindeutig, bestimmt. 2. (III. Loiigrueiyfah.) Sind in zwei Dreiecken zwei Seiten und der der größeren dieser Seiten gegenüberliegende Winkel paarweise gleich, so sind die Dreiecke congruent. Da in einem rechtwinkligen Dreiecke die Hypotenuse die größte Seite, und der ihr gegenüberliegende rechte Winkel immer bekannt ist, so kann man auch sagen: Zwei rechtwinklige Dreiecke sind congruent, wenn sic die Hypotenuse uud eine Kathete paarweise gleich haben. Aufgaben. 1. Cvuftruiere ein Dreieck, worin die Seiten 2 cm und ,4 cm 5 mm vorkommen lind der zweiten Seite ein Winkel von 75° gegenüberliegt. 2. Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Hypotenuse 25 mm und dessen eine Kathete 2 cur ist. 3. Construiere ein gleichschenkliges Dreieck, wenn ein Schenkel (38 mm) und die Höhe (2!> mm) gegeben sind. 47 Fi». 58. Fin. 59. die geo- den Da aas fahren, erhält ^eNO beide fall, se> mit dem beschrie- ein für vben anter ah zwei Dreiecke TVI^O, welche gegebenen drei Stücke enthalten, aber in der Größe und Gestalt ver der kleineren Seite gegenüber¬ ein Dreieck mir zweideutig tücke aus die Congrnenz schieden find. Durch zwei Seiten und den liegenden Winkel ist also im allgemeinen bestimmt nnd kann aus der Gleichheit dieser der Dreiecke nicht geschlossen werden. Damit der aus 0 mit der kleineren Seite a beschriebene Bogen den Schenkel in zwei Punkten N und I" schneide, muss a größer sein als die zur drittele Seite gehörige Höhe. Ist die kleinere Seite a gleich dieser Höhe, so fallen die beiden Schnittpunkte N und kp in einen einzigen zusammen, d. i. der Kreisbogen berührt die dritte Seite, nnd man erhält ein rechtwinkliges Dreieck. Ist endlich a kleiner als die Höhe, so entsteht kein Dreieck. K. 72. Ein Dreieck zu evnstruieren, wenn alle drei Seiten gegeben sind. Die Constructivn ist mir möglich, wenn jede Seite kleiner als die Summe und größer als die Differenz der beiden anderen Seiten ist. Es seien (Fig. a, l), o die Längen der drei Seiten. Trägt man die Strecke ^44» — a auf, so sind dadurch zwei Eck¬ punkte des Dreieckes, und N, bestimmt. Da die zweite Seite ,-V l' die Länge d haben ist die aus Halbmesser d bene Kreislinie metrischer Drt dritten Eckpunkt ferner die dritte Seite I>0 die Länge o haben soll, so ist auch i>) Es seien (Fig. W) a und I> die zwei gegebenen Seiten, nnd zwar a < b, und der Winkel, welcher der kleineren Seite gegenüberliegt, sei 42°. Durch das gleiche Ber¬ iv ie man und die 48 L mit dem Halbmesser o beschriebene Kreislinie cm geometrischer Ort für den Punkt 0. Der dritte Eckpunkt 0 knuu daher nur in dem Durch¬ schnitte dieser beiden Kreislinien liegen. Da sich aber die beiden Kreise in zwei Punkten 0 und (P schneiden, so erhält man zwei Dreiecke ^80 und >V8(P, welche die gegebenen drei Seiten haben. Diese zwei Dreiecke haben jedoch dieselbe Größe und Gestalt, da sich, wenn das Dreieck .48 L7 um die Seite .48 umgewendet und auf das Dreieck .480 gelegt wird, beide Dreiecke vollständig decken. Zeichnet man mit denselben drei Stücken a, i> und « noch ein zweites Dreieck, sv muss dieses mit dein früheren 1480 gleiche Größe und Gestalt haben. Daraus folgt: 1. Durch drei Seiten ist ein Dreieck vollständig bestimmt. 2. lIV. Congrueiysah.) Sind in zwei Dreiecken alle drei Seiten paarweise gleich, sv sind die Dreiecke congruent. Aufgaben. 1. Evnstruiere mit den Seiten 28 mm, 40mm, 41 mm ein Dreieck; ebenso ein zweites mit den Seiten 4 vm, 3 em l> mm, 3 rm 1mm. 2. Construiere mit den Strecken 38 mm, 31 mm und 27 mm ein Dreieck und dann a) den ihm eingeschriebenen, b) den ihm um¬ geschriebenen Kreis. 3. Zeichne ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Grundlinie 24 mm und dessen Schenkel 2!> mm. ist. 4. Construiere ein gleichseitiges Dreieck mit der Seite 28 mm. Z. 73. Ein Dreieck zu übertragen. Um diese Construction auszuführen, darf man nur drei Stücke des gegebenen Dreieckes nehmen, welche ein Dreieck vollkommen bestimmen, und mit denselben das neue Dreieck cvustruicren. Am einfachsten ist die Construction mittclst der drei Seiten. Plan trägt also auf einer Geraden zuerst eine Seite des gegebenen Dreieckes auf, und beschreibt aus ihren Endpunkten mit den beiden anderen Seiten Kreisbogen, welche sich schneiden; der Durchschnitt ist der dritte Eckpunkt des gesuchten Dreieckes. Zeichne verschiedene Dreiecke und construiere zu jedem ein con- gruentes Dreieck. K. 74. Dreht man die Schenkel eines Winkels .4 L 0 (Fig. M), ohne deren ilänge zu ändern, von einander, so wird dadurch nicht nur 4!» der Winkel größer, sondern cs werden auch die Endpunkte der beiden Schenket weiter von einander entfernt sein. Zieht man daher FO und Fig. 60. FD, so haben die Dreiecke FLO und FLD zwei Seiten paarweise gleich, nämlich FL — FL und LO — LI); dagegen ist die dritte Seite FD im /X FLD größer als die dritte Seite FO im FLO. Zugleich ist der der Seite FI) gegenüberliegende Winkel FLD im größer als der der Seite FO gegenüberliegende Winkel FLO im /X ^XLO. Daraus folgt: 1. Sind in zwei Dreiecken zwei Seiten paarweise gleich, die von ihnen eingeschlvssenen Winkel aber ungleich, so liegt dem größeren dieser Winkel auch eine größere Seite gegenüber. 2. Sind in zwei Dreiecken zwei Seiten paarweise gleich, die dritten Seiten aber ungleich, so liegt der größeren dieser Seiten auch ein größerer Winkel gegenüber. 2. Das gleichschenklige Dreieck. ß. 75. I. Es sei (Fig. 61) FO — LO, also das Dreieck FLO gleichschenklig. Ist ferner FD — III), so ist, wenn man die Strecke 01) zieht, nach dem IV. Congrucnzsatze das /X >11) O I>1) 0, daher auch Winkcl m — n, d. i. 01) Z, FL, nnd Winkel o — ä. Daraus folgt: Zieht man in einem gleichschenkligen Drei¬ ecke vom Scheitel zu der Mitte der Grund¬ linie eine Strecke, so steht diese zur Grund¬ linie nvrmal und halbiert den Winkel am Scheitel. 2. Ist FO — LO und 01) M FL, also in — n, so ist nach dem III. Congrucnzsatze /XFDO^LDO, daher auch FD — LI) und Winkel o — ä; d. h.: Zieht man in einem gleichschenkligen Dreiecke vom Scheitel zur Grundlinie die Normale, so halbiert diese die Grundlinie und den Winkel am Scheitel. Z. Ist FO — LO und Winkel o — ä, so ist nach dem II. Con- gruenzsatze /X-^DO^LDO, daher auch FI) — LI) und Winkel in — n, also OD F. FL. Daraus folgt: Moönik, Geom. Anschammgslehre. I. Abth. 4 Fig. 61. <7 4 7) s 50 Halbiert in einein gleichschenkligen Dreiecke eine Gerade den Winkel am Scheitel, so halbiert sie auch die Grundlinie und steht zu dieser normal. Die drei voranstehenden Sätze können in dein folgenden Satze zu¬ sammengefasst werden: In einem gleichschenkligen Dreiecke fallen die Symmctrale der Grundlinie, die Symmctrale des Winkels am Scheitel und die Höhe in eine Gerade zusammen. Aus den obigen Sätzen folgt auch: Jedes gleichschenklige Dreieck ist ein symmetrisches Ge¬ bilde; seine Symmetrieachse ist die Höhe. 3. Das gleichseitige Dreieck. tz. 76. Es "sei l> 0 (Fig. 62) ein gleichseitiges Dreieck : D, LL und Oil? seien dessen drei Höhen. Aus dcu Sätzen über die symmetrische Lage und aus der Cvngruenz der Dreiecke ergibt sich: Fig. 62. 1. In einem gleichseitigen Dreiecke ist jede Höhe zugleich eine Seiten- und eine Winkelsymmetralc. / —-X X 2. In einein gleichseitigen Dreiecke / ^X^ > gehen die drei Seitensymmetralen, die 0 X / drcck Winkelsymmetralen und die drei ,^ ^X/ X Höhen durch denselben Punkt, welcher der Mittelpunkt des eingeschriebenen und des umgeschriebenen Kreises ist. 3. Das gleichseitige Dreieck ist ein symmetrisches Ge¬ bilde; jede seiner drei Höhen ist eine Symmetrieachse des Dreieckes. 4. Es sei ein rechtwinkliges Dreieck, in welchem der Winkel ^XOI? — 30° ist. Dreht man ^.I?0 um die Kathete 01?, so erhält man ein zweites Dreieck Ll?O, welches mit ^ü?0 congruent ist, ^130 ist dann ein Dreieck, in welchem jeder Winkel — 60" ist, also ein gleich¬ seitiges Dreieck, und somit ^.0 — L.K; nun ist — 2 daher auch ^.0 — 2^.4^. Daraus folgt: Ist in einem rechtwinkligen Dreiecke einer der spitzen Winkel gleich 30°, so ist die Hypotenuse doppelt so groß als die kleinere Kathete. öl 5. Da in dein rechtwinkligen Dreiecke WO der Winkel WO — 30° ist, so ist nach dem vorhergehenden Satze OV—2 0 V; aber OV — 06, daher ist auch 00 — 20V, d. i. wird die Höhe OV in drei gleiche Thcile gethcilt, so enthält OV einen und 00 zwei solche Theilc. Hieraus ergibt sich: Der Halbmesser des einem gleichseitigen Dreiecke ein¬ geschriebenen Kreises beträgt ein Drittel, der Halbmesser des umgeschriebencn Kreises zwei Drittel der Höhe. VII. Besondere Eigenschaften des Kreises. (Hier wird die Wiederholung der W. 20, 21 und 22 vorausgcschickt.) I. Sehnen und Bogen. Z. 77. Es sei die Sehne W — 01) (Fig. 63); dann sind die Dreiecke WO und 01)0 congruent (IV.), daher müssen auch ihre gleich- liegenden Höhen 0 6 und OH gleich sein; diese Höhen stellen aber die Abstände der gleichen Sehnen VL und 01) vom Mittelpunkte dar. Man kann daraus folgern: Gleiche Sehnen eines Kreises haben vom Mittelpunkte gleiche Abstände. (Umkehrung.) Sehnen eines Kreises, welche vom Mittelpunkte gleiche Abstände haben, sind einander gleich. Z. 78. Dreht sich von dem festen Halbmesser OV (Fig. 64) um den Punkt 0 ein zweiter Halbmesser so hinweg, dass er nach und nach in die Lagen 00, 01), OV,... kommt, so werden die Endpunkte dieser beiden Halbmesser umsomehr von einander abstehen, je größer der von ihnen begrenzte Bogen wird; es wird also von den Sehnen VO, VI), VV,... jede folgende größer sein als die vor¬ hergehende. Zugleich nähern sich die einzelnen Sehnen umsomehr dem Mittelpunkte, je größer sic werden. Kommt endlich der zweite Halbmesser in die Lage OV, so geht die Sehne durch den Mittelpunkt, wird also zu einem Durchmesser und erreicht ihre größte Länge. Aus dieser Be trachtung-ergeben sich folgende Sätze: 4» 52 a) Zu einem größeren Bogen eines Kreises gehört auch eine größere Sehne. st) Der Durchmesser ist größer als jede andere Sehne. o) Ungleiche Sehnen eines Kreises haben vom Mittelpunkte ungleiche Abstande, nnd zwar hat die größere Sehne den kleineren Abstand. ä) Sehnen eines Kreises, die vom Mittelpunkte ungleiche Abstände haben, sind ungleich, und zwar ist diejenige die größere, welche näher am Mittelpunkte liegt. H. 79. Der Kreis ist ein symmetrisches Gebilde; jeder Durchmesser ist eine Symmetrieachse. Jeder Sector eines Kreises ist ebenfalls symmetrisch; seine Sym- mctrale ist die Halbierungslinie des zugehörigen Centriwinkels. Fig- 65. Hieraus folgt: 1. Die Symmetrale jeder Sehne geht / durch denMittclpunkt des Kreises (Fig. 65). - 2. Parallele Sehnen haben dieselbe Symmetrale. V L X / 5. Bogen zwischen parallelen Sehnen Ax" J/s sind einander gleich. <7 4. Die Symmetrale einer Sehne ist zugleich die Symmetrale des zugehörigen Centriwinkels und des zugehörigen Bogens. Z. 80. Die Sehne des Sextanten kann als die Grundlinie eines gleichschenkligen Dreieckes, dessen Schenkel Halbmesser des Kreises sind, betrachtet werden. In diesem Dreiecke beträgt der Centriwinkel am Scheitel, als der sechste Theil eines vollen Winkels, 60°; es ist daher auch jeder Winkel an der Grundlinie gleich 60° und somit das Dreieck gleichseitig, folglich die Sehne gleich dem Halbmesser. Die Sehne eines Sextanten ist also dem Halbmesser des Kreises gleich. Aufgabe. Z. 81. l. Durch drei Punkte -V, I>, 0 (Fig. 66), weiche nicht in einer geraden Linie liegen, einen Kreis zu beschreiben. Man ziehe die Strecken und UO, welche Sehnen des gesuchten Kreises sind, nnd construiere zu denselben die Symmctralen t) Ix und Fig. 66. U(4. Da jede dieser Symmetralen nach Z. 79 durch den AUttelpunkt des Kreises gehen muss, so liegt dieser / in dem Schnittpunkte 0 der beiden Symmetralen, I > und O^V ist der Halbmesser des verlangten Kreises. ) / k)/ Durch drei nicht in einer geraden Linie —'"^6 liegende Punkte ist ein Kreis vollkommen bestimmt. 2. Den Mittelpunkt eines Kreises oder Kreisbogens zu finden. Man zieht zwei Sehncnfymmetralen, die sich schneiden. 3. Einen Kreis zu construieren, wenn der Halbmesser und zwei Punkte des Umfanges gegeben sind. 4. Einen Kreis zu beschreiben, dessen Mittelpunkt in einer gegebenen Geraden liegt und dessen Peripherie durch zwei gegebene Punkte geht. tz. 82. Einen Kreisbogen zu halbieren. Man beschreibe aus den Endpunkten des Bogens mit demselben Halbmesser Kreisbogen, welche sich in einem Punkte schneiden, und verbinde den Schnittpunkt mit dem Mittelpunkte des Kreises durch eine Gerade; diese halbiert den gegebenen Bogen. Ls. 83. Die Peripherie eines Kreises in mehrere gleiche Theile zu theilen. Um die Peripherie eines Kreises in eine bestimmte Anzahl gleicher Theile zu theilen, darf man nur eben so viele gleiche Winkel um den Mittelpunkt herum construieren. Die Größe eines solchen Winkels findet man, indem man die Summe aller Centriwinkel, nämlich 360°, durch die Zahl der gleichen Winkel dividiert. Man braucht dann nur einen Centriwinkel in dieser Größe wirklich zu zeichnen und den durch seine Schenkel abgeschnittenen Bogen im Kreise herumzutragen. Besondere Fälle: 1. Die Peripherie eines Kreises in 2 gleiche Theile zu theilen. Man ziehe einen Durchmesser. 2. Die Peripherie eines Kreises in 4 gleiche Theile zu theilen. Man zieht zwei aufeinander normale Durchmesser. Durch Halbierung der Bogen erhält man dann 8, 16 gleiche Theile. 3. Die Peripherie eines Kreises in 6 gleiche Theile zu theilen. Man trage den Halbmesser als Sehne im Kreise hernm (ß. 80). 54 Nimmt mau zwei solche Bogen für einen einzigen, so wird die Peripherie in 3 gleiche Theile gctheilt. Durch Halbierung der Bogen erhält man 12, 24 gleiche Theile. 4. Dir Peripherie eines Kreises in 5 gleiche Theile zu theilen. Man construiere mit Hilfe des Transporteurs einen Centriwinkel von — P — 72" und trage den durch seine Schenkel abgeschnittenen Bogen im Kreise herum. Durch Halbierung der Bogen erhält man dann 10 — 20 gleiche Theile. Mechanisch, und zwar ohne Hilfe des Transporteurs, kann man die Theilung der Peripherie in gleiche Theile nähernngsweise durch das nachstehende unter dem Namen der Renaldi'schen Construetiou bekannte Verfahren ausführen: Fig. 67. Mau ziehe (Fig. 67) den Durchmesser H>, beschreibe um und L mit als Halbmesser- Kreisbogen, welche sich in 6 und D schneiden, theile dcns Durchmesser in so viele gleiche Theile, als der Kreis Theile erhalten soll, z. B. in 7 gleiche Theile, und ziehe durch 0 und I) und durch die geraden Theilnngspunkte 2, 4, 6 des Durchmessers die Strecken 6D, OD, 60-, DD, 4)4, DK, bis sie die Peripherie des Kreises auf der hohlen Seite treffen; die Punkte D, K, D, II, 4, K sind dann die verlangten Theilnngs- punkte der Kreislinie. 2. Periphericnnnkel. 8- 84. Ein Winkel ^OD (Fig. 68), dessen Scheitel in der Peripherie Fig. 68. eines Kreises liegt und dessen Schenkel Sehnen desselben sind, heißt ein Pcripheriewinkel. - -H, Sowohl von den Centri- als von den Peri- phcricwinkeln sagt man: sie stehen auf dem Bogen auf, welcher zwischen ihren Schen¬ keln liegt.I Neune alte Pcriphericwiukcl in der Fig. 68. Auf welchem Bogen steht ein jeder dieser Winkel auf? Ein Periphcriewinkel/461,, welcher aus dem Halbkreise nufsteht, dessen Schenkel also durch die Endpunkte eines Durchmessers gehen, heißt ein Winkel im Halbkreise. Liegen die Schenkel eines Periphcriewinkels in einem Kreisabschnitte, welcher größer oder kleiner als der Halbkreis ist, so heißt derselbe ein Winkel im größeren oder kleineren Kreisabschnitte; ^01) ist ein Winkel im größeren, ^LI) ein Winkel im kleineren Kreis abschnitte. tz. 85. Wenn ein Centri- und ein Peripheriewinkcl auf demselben Bogen ausstehen, so liegt entweder n) der Scheitel des Centriwinkels auf einem Schenkel des Peripherie¬ winkels (Fig. 69), d) oder der Scheitel des Centriwinkels liegt innerhalb der Schenkel des Pcripheriewinkels (Fig. 70), e) oder er liegt außerhalb des Peripheriewinkels (Fig. 71). Fig. 69. _ 6' Fig. 70. Fig. 71. In jedem dieser^ drei Fälle findet zwischen der Größe des Peri- phcriewinkels und des Centriwinkels dasselbe Verhältnis statt. a) Der Winkel in (Fig. 69) ist ein Außenwinkel des Dreieckes LOO, und daher gleich der Summe der beiden inneren ihm nicht anlie¬ genden Winkel a und 's»; aber a und Io sind als Winkel an der Grundlinie eines gleichschenkligen Dreieckes einander gleich, folglich jeder von ihnen die Hälfte Pes Winkels m; also ist a —4 in. l>) Der zweite Fall (Fig. 70) lässt sich auf den ersten znrückführen. Zieht man nämlich den Durchmesser 01), so ist a die Hälfte von in, U die Hälfte von n; daher auch die Summe von n und d, d. i. der Winkel 7L0L halb so groß als die Summe von in und n, d. i. halb so groß als der Winkel ^OL. o) Zieht man ebenso in Fig. 71 den Durchmesser 01), so ist nach a) der Winkel LOI) die Hälfte von L 01) und 0 01) die Hälfte von ^.01), folglich auch der Unterschied zwischen LOI) und ^.01), 56 d. i. der Winkel JOU Halb so groß als der Unterschied zwischen LOI) nnd JOD, d. i. halb sa groß als der Winkel JOU. Jeder Peripheriewinkel eines Kreises ist alsa gleich dem halben Centriwinkel auf gleichem Bogen. 8- 86. Ans dem vorhergehenden Satze folgt: a) Peripheriewinkel, welche auf demselben Bogen aufstehen, sind einander gleich; denn jeder von ihnen ist die Hälfte eines und desselben Centriwinkels. 5) Jeder Winkel im Halbkreise ist ein rechter; denn der ent¬ sprechende Centriwinkel ist ein gestreckter, und die Hälfte davon ein rechter Winkel. o) Ein Winkel im größeren Kreisabschnitte ist ein spitzer, ä) Ein Winkel im kleineren Kreisabschnitte ist ein stumpfer. s) Die Summe der Winkel im größeren und im kleineren Abschnitte über derselben Sehne ist gleich zwei Rechten; denn die beiden Ccntriwinkel, welche mit jenen Winkeln auf den¬ selben Bogen aufstchen, betragen zusammen einen vollen Winkel. Tic hier angeführten fünf Sätze sind durch Zeichnungen zu veranschaulichen. tz. 87. Aufgaben. 1. Ein Centriwinkel eines Kreises sei a) 64°, k>) 87° 45/ o) 128° 13^ 50"; wie groß ist der Peripheriewinkel über demselben Bogen? 2. Ein Peripheriewinkel eines Kreises sei a) 56°, b) 41° 37st o) 108° 12^ 12"; wie groß ist der Centriwinkel über demselben Bogen? 3. Der über einer Sehne im größeren Abschnitte errichtete Pcri- phcriewinkel ist a) 25", li>) 49° 55^ o) 86° 5s 39"; wie groß ist der Peripheriewinkel über derselben Sehne im kleineren Abschnitte? 4. Über einer gegebenen Strecke als Hypotenuse ein rechtwinkliges Dreieck zu constrnieren. Fig. 72. GZ sei (Fjg, 72h JU die gegebene Strecke -und 0 ihre Mitte. Beschreibt man aus 0 mit X/ dem Halbmesser JO einen Halbkreis und zieht // X von einem beliebigen Punkte 0 desselben die r--—Strecken JO lind UO, so erhält man das Dreieck 0 Jk',0, welches bei 0 rechtwinklig ist. Da der Punkt 0 willkürlich im Halbkreise angenommen werden kann, so gibt es unzählig viele Dreiecke, welche der Aufgabe genügen, d. i. die Aufgabe ist unbestimmt. 57 J. Tangenten. tz. 88. 1. Die Normale in: Endpunkte eines Halbn:cssers ist eine Tangente des Kreises. (Fig. 73.) Ban diesen: Satze, dessen Richtigkeit schon im H. 56 nachgewiesen wurde, gelten auch die Umkehrungen: 2. Die Normale nuS dem Mittelpunkte eines Kreises zu der Tangente geht durch den Berüh¬ rungspunkt. 3. Der geometrische Ort der Mittelpunkte aller Kreise, welche eine gegebene Gerade in einem gegebenen Punkte derselben berühren, ist die in diesen: Punkte zu der Geraden gezogene Normale. tz. 89. Zieht man (Fig. 74) den Halbmesser O^e und errichtet in die UO Z, so ist 130 eine Tangente des Kreises. Zieht man die Sehne ^.1), ver¬ längert ^.0 bis 8, und zieht 1)8, so ist in den: zur Sehne ^4> gehörigen größeren Ab¬ schnitte das /X bei 4) rechtwinklig daher n -s- b> — U; cs ist aber auch m -s- a — k; folglich in -8 a — a -ch also m — 6... 1) F:g. 74. Zieht man in den: zur Sehne gehörigen kleineren Abschnitte Zu einen: beliebigen Punkte 8 die Geraden iV8 und 1)8, so betragen die Winkel o und l> als Winkel in den: größeren und kleineren Abschnitte über derselben Sehne I) zusammen zwei Rechte (Z. 86, s) also o -f- 5 — 2 U: es ist aber auch n -s- in — 2 8-, folglich n -p- m — o -f- Da nun m — d ist, so ist auch n e... 2). Zieht n:an also durch einen Punkt der Kreislinie eine Tangente und eine Sehne, so ist 1. der von der Tangente und der Sehne gebildete spitze Winkel gleich den: Winkel in: größeren Kreisabschnitte, und 2. der von der Tangente und der Sehne gebildete stumpfe Winkel gleich dem Winkel in: kleineren Kreisabschnitte. Z. 90. Aufgaben. 1. Durch einen Punkt iV in der Peripherie eines Kreises an diesen eine Tangente zu ziehen. (Fig. 73.) 58 Man ziehe den Halbmesser ^0 und errichte in die l>0 ^0; dann ist 6L die verlangte Tangente (tz. 56). 2. Ans einein gegebenen Mittelpunkte einen Kreis zu beschreiben, welcher eine gegebene Gerade berührt. 6. Mit einem gegebenen Halbmesser einen Kreis zu construieren, welcher eine gegebene Gerade in einem gegebenen Punkte derselben berührt. 4. Einen Kreis zu beschreiben, welcher eine gegebene Gerade in einein gegebenen Punkte derselben berührt und durch einen Punkt außer dieser Geraden geht. 5. An einen gegebenen Kreis eine Tangente zu ziehen, welche init einer gegebenen Geraden parallel ist. Z. 91. Bon einem außerhalb eines Kreises liegenden Punkte (Fig. 75) eine Tangente an diesen Kreis zu ziehen. Fig. 75. Man ziehe die Gerade ^.0 und - beschreibe über derselben als Durchmesser einen Kreis, welcher den gegebenen in N / // X und kil' schneidet. Der Winkel N O s/ l ist als Winkel im Halbkreise ein rechter, i daher eine Tangente des gegebenen X /' Kreises. Da auch Ul'O ein rechter Winkel ist, so ist auch N' eine Tan- -'' gente desselben Kreises. Aus einem außer¬ halb des Kreises liegenden Punkte lassen sich also an denselben zwei Tangenten ziehen. Aus der Lösung dieser Aufgabe geht ferner hervor: a) Die beiden Tangenten HI und sind einander gleich. I>) Wenn sich zwei Tangenten eines Kreises schneiden, und man ver¬ bindet ihren Dnrchschnittspunkt mit dem Mittelpunkte durch eine Gerade, so halbiert diese den Winkel, den die Tangenten bilden, ferner den von ihnen abgeschnittenen Bogen, sowie den zugehörigen Ecntriwinkel. Die Aufgabe, an zwei gegebene Greife eine gemeinschaftliche Tangente zu ziehen,' wird erst später (ß. 123) gelöst werden können. 2. Einen Kreis zu konstruieren, wenn gegeben sind: s.) der Halbmesser, eine Tangente und der Berührungspunkt; I>) der Halbmesser und zwei nichtparallele Tangenten. Wie viele Auflösungen sind in jedem Falle möglich? 59 Z. 92. 1. Über einer gegebenen Strecke Hl (Fig. 76) als Sehne einen Kreis zu beschreiben, in welchem alle Peripherie¬ winkel einem gegebenen Winkel m gleich sind. Fig- 76. Man trage aus dem einen Schenkel des Winkels m vom Scheitel K. aus die gegebene Strecke auf, halbiere sie in I), und ziehe l) lr ! .4 U und K U ! 0K, so ist der Durch¬ schnittspunkt 0 der Senkrechten I)L und ^1? der Mittelpunkt und 0^ der Halbniesser des Kreises, in dessen größerem Abschnitte K.6ll> jeder Peripheriewinkel, z. B. ^6lö, dem ge¬ gebenen Winkel m gleich ist. Denn K.6 ist eine Tangente und K41 eine Sehne dieses Kreises, daher ^0D> — m. Wie wird die Auflösung lauten, wenn der gegebene Winkel ein stumpser ist? 2. Beschreibe über einer gegebenen Strecke als Sehne einen Kreis¬ abschnitt, in welchem jeder Periphcricwinkel a) 90°, l>) 45°, o) 135", ct) 60°, s) 120°, 1) 30°, §) 105° beträgt. 3. Beschreibe mit einem gegebenen Halbniesser einen Kreisabschnitt, in welchem alle Pcripheriewinkel die in Anfg. 2 angegebene Größe haben. 4. Lage der Kreist gegen einander. Z. 93. Die Lage zweier Kreise gegen einander hängt von der Lage ihrer Mittelpunkte und von der Größe ihrer Halbmesser ab. Fig. 77. Zwei Kreise (Fig. 77), welche einen gemein- -schaftlichen Mittelpunkt haben, heißen c o n c e n tri s che Kreise. / / st ) Die zwischen den Peripherien zweier concen- st st " / ) irischer Kreise liegende ebene Fläche heißt Kreis ring. X / Zwei Kreise, welche keinen gemeinschaftlichen Mittelpunkt haben, heißen excentrische Kreise. Die Strecke, welche die Mittelpunkte zweier excentrischer Kreise ver¬ bindet, heißt die Ccntrallinie oder Centrale der beiden Kreise. tz. 94. Zwei exccntrischc Kreise können sich entweder berühren, oder schneiden, oder cs ist keines von beiden der Fall. 1. Zwei Kreise berühren sich, wenn ihre Umfänge nur einen Punkt gemeinschaftlich haben. Die Berührung geschieht von innen 60 (Fig. 78), wenn sonst der eine Kreis innerhalb des andern liegt, oder von außen (Fig. 79), wenn die Kreise sonst außerhalb einander liegen. Fig. 78. Fig. 79. Bei der inneren Berührung zweier Kreise ist die Centrale 00' gleich der Differenz der Halbmesser 0^. — 0' ; bei der äußeren Berührung ist die Centrale 00' gleich der Summe der Halbmesser 0^. si- 0'7^. Ju beiden Fällen liegt der Berührungspunkt auf der Centrale. Hieraus folgt auch: a) Der geometrische Ort der Mittelpunkte aller Kreise, welche einen gegebenen Kreis in einem gegebenen Punkte desselben berühren, ist die durch diesen Punkt und den Mittelpunkt des gegebenen Kreises gehende Gerade: b) Der geometrische Ort der Mittelpunkte aller Kreise, welche einen gegebenen Halbmesser haben und einen gegebenen Kreis be¬ rühren, ist ein mit diesem concentrischer Kreis, dessen Halbmesser gleich ist der Summe oder der Differenz der beiden gegebenen Halb¬ messer, je nachdem die Berührung von außen oder von innen stattfindet. 2. Zwei Kreise schneiden sich, wenn ihre Peripherien (Fig. 80) zwei Punkte gemeinschaftlich haben. Fig- so. Beim Durchschnitte zweier Kreise ist die Centrale 00' größer als die Differenz / der Halbmesser O^V — O'k>, aber kleiner als j Summe derselben 07V Z- O'Ik. ( / 3. Zwei excentrische Kreise, welche sich / -—weder berühren noch schneiden, können entweder ganz in einander oder ganz außer einander liegen. Die Centrale ist im ersten Falle kleiner als die Differenz, im zweiten Falle größer als die Summe der Halbmesser. Welche Fälle sind in Beziehung auf die gegenseitige Lage bei drei Kreisen möglich'? 61 tz. 95. Aufgaben. 1. Zwei Kreise zu evnstruieren, in welchen die Centrale und die Halbmesser folgende Werte haben: 3. Beschreibe mit den Halbmessern 35 mm und 20 mm zwei Kreise, die sieh von innen berühren. 4. Zeichne mit dem Halbmesser 25 -nm einen Kreis und dann zwei andere Kreise, welche den ersten schneiden und sich im Mittelpunkte des¬ selben berühren. 5. Einen Kreis zu eonstruieren, welcher einen gegebenen Kreis in einem gegebenen Punkte desselben berührt und durch einen außerhalb des Kreises liegenden Punkt geht. (Geom. Örter Z. 94, a und Z. 58.) 6. Mit einem gegebenen Halbmesser einen Kreis zu beschreiben, welcher a) einen gegebenen Kreis berührt emd durch einen Punkt außerhalb desselben geht (Geom. Örter tz. 94, d und tz. 58); d zwei sich schneidende Kreise berührt. (Geom. Ort tz. 94, 5.) VHI. Wierecke. 1. Bestandstücke des Viereckes. tz. 96. Eine von. vier Strecken begrenzte ebene Figur wird ein Bi er eck genannt. Nw 8i. Jedes Mereck Jill 01) (Fig. 81) hat vier Seiten, vier Winkel und vier Eckpunkte. Die Summe 4^—' / aller Seiten des Viereckes heißt dessen Umfang. Ö^x / Eine Strecke L.0, welche zwei gegenttbcr- ) '''x. / liegende Eckpunkte des Viereckes verbindet, heißt Ä Lt Diagonale. In wie viele Dreiecke wird das Viereck durch eine Diagonale zerlegt? Wie viele Diagonalen können in einem Vierecke gezogen werden? 62 Z. 97. Zieht man in dem Vierecke (Fig. 81) die Diagonale ^.0, so wird dadurch das Viereck in zwei Dreiecke zerlegt und es be¬ tragen die vier Winkel des Viereckes genau so viel, als die sechs Winkel der zwei Dreiecke zusammengenommcn; die Winkel der beiden Dreiecke betragen nun 4 U. Daraus folgt: Die Summe aller Winkel eines Viereckes ist gleich Vier- Rechten oder 360°. Wenn in einem Vierecke alle vier Winkel derselben? gleich sind, wie groß ist jeder Z. 98. Mit Rücksicht auf die Lage der gegenüberliegenden Seiten unterscheidet man drei Arten der Vierecke. Ein Viereck, in welchem keine Seite mit einer an¬ dern parallel ist, heißt ein Trapezoid (Fig. 82, I). Ein Viereck, in welchen! zwei gegenüberliegende Seiten parallel, die anderen ein Trapez (Fig. 82, II). ttberliegende Seiten parallel (Fig. 82, III). zwei Seiten aber nichtparallel sind, heißt Ein Viereck, in welchem je zwei gegen¬ sind, heißt ein Parallelogramm 2. Sehnen- und Tangentenvierecke. tz. 99. Ein Viereck, dessen Seiten Sehnen eines Kreises sind, heißt ein Sehnenviereck, wie (Fig. 68); der Kreis ist dem Vierecke umgeschrieben. In jedem Sehncnvierccke ist die Snmme zweier gegen¬ überliegender Winkel gleich zwei Rechten. Denn je zwei gegenüberliegende Winkel eines Sehuenviereckes bilden die Winkel im größeren und kleineren Kreisabschnitte über derselben Sehne: ihre Summe ist somit nach §. 86, s) gleich zwei Rechten. Um ein Viereck lässt sich daher ein Kreis nur dann beschreiben, wenn je zwei gegenüberliegende Winkel des Viereckes zusammen zwei Rechte betragen. tz. 400. Ein Viereck, dessen Seiten Tangenten eines Kreises sind, heißt ein Tangcntenviereck; der Kreis ist dem Vierecke eingeschrieben. In jedem Tangentenvicrccke ist die Summe zweier gegen¬ überliegender Seiten gleich der Summe der beiden anderen. (Fig. 83). Fig. 83. Denn nach ß. 9l, a) ist AL AL, KL KL, 68 OL, DO DL; daher durch Addition AK -st OD — KO st- AD. In ein Viereck lasst sich daher ein Kreis nur dann beschreiben, wenn die Summen je zweier gegenüberliegender Seiten gleich sind. 3. Allgemeine Eigen schalten der Parallelogramme. §. KL. Es sei (Fig. 84) AK ü DO und AD ss KO, also AKOD ein Parallelogramm. Zieht man die Diagonale KD, so sind die Wechsel- Fig- 84. winkel m und u, und ebenso die Wechfel- -winkel p und H einander gleich; daher ist / /A ALD Zx OKD (I. Gongruenzsatz), / X / und folglich AK — OD und AD — KO. / Xu/ A--Daraus folgt: 1. Jedes Parallelogramm wird durch die Diagonale in zwei congrucnte Dreiecke gctheilt. 2. In einem Parallelogramme sind je zwei gegenüberliegende Seiten gleich; oder Parallele zwischen Parallelen sind einander gleich. Sind in einem Parallelogramme zwei anstoßende Seiten gleich, so sind cs alle. Nach der Länge der Seiten unterscheidet man daher gleich¬ seitige und ungleichseitige Parallelogramme. Aus dem obigen zweiten Satze folgt auch: Normale zwischen Parallelen sind einander gleich. Die Normale zwischen zwei Parallelen gibt den Abstand derselben an. Der geometrische Ort aller Punkte, welche von einer gegebenen Geraden auf einer bestimmten Seite derselben einen gegebenen Abstand haben, ist die mit der Geraden auf derselben Seite in dem gegebenen Abstande gezogene Parallele. 64 Nimmt man in einem Parallelogramme eine der Seiten als Grundlinie an, so heißt ihr Abstand von der gegenüberliegenden Seite die Höhe des Parallelogramms. Unter der Höhe eines Trapezes versteht man den Abstand der zwei parallelen Seiten. Z. 102. Es seien in dem Vierecke 241301) (Fig. 84) die Seite 2413 — 01) und 241) UO. Zieht man die Diagonale UI), so ist l4UO UOO (IV. Con- gruenzsatz); da 24U — OO ist, muss anch na — u, daher, da diese Winkel Wechselwinkel sind, .41) sj UO sein; wegen 24O — UO folgt ebenso p — c^, und somit 24U jj 1)0. Es ist also 2413 ss OO und 24OHUO, mithin das Viereck 24UOO ein Parallelogramm. Sind also in einem Vierecke je zwei gegenüberliegende Seiten gleich, so ist das Viereck ein Parallelogramm. 8- 103. Es sei , o und ck als Gegenwinkel gleich, ferner die Winkel o, 1, A und b gleich, da ihre Schenkel parallel sind. Die genannten vier Dreiecke haben also eine Seite mit den beiden anliegenden Winkeln gleich, sind folglich congruent: den gleichen Winkeln o, 1, A und Ii liegen in diesen Dreiecken die Seilen 0 8, 80, 03 und 38 gegenüber, also ist 08 — 80 — 03 — 38. Die dritte Seite 08 ist somit wirklich in vier gleiche Theile getheilt worden. Wenn also in einem Dreiecke eine Seite in mehrere gleiche Theile getheilt ist, nnd man zieht durch jeden Thei- lungspunkt eine Parallele zu einer zweiten Seite, so wird dadurch auch die dritte Seite in ebenso viele unter einander gleiche Theile getheilt. Fig. 93. 0 6. Congruenz der Vierecke. F. 114. Zwei Vierecke sind congruent, wenn in denselben alle vier Seiten nnd alle vier Winkel nach der Ordnung paarweise gleich sind. Ans dieser Erklärung folgt: 0 Zwei Parallelogramme sind congruent, wenn in den¬ selben zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel paarweise gleich sind. 2. Zwei Rechtecke sind congruent, wenn in denselben zwei anstossende Seiten paarweise gleich sind. 3. Zwei Quadrate sind congruent, wenn sie eine Seite gleich haben. 69 Um drei Eckpunkte zu bestimmen, sind drei von einander unab- hüugige Bestimmungsstücke nothwcudig; zur Bestimmung des vierten Eck¬ punktes sind noch zwei weitere Stücke erforderlich. Ein Viereck ist demnach im allgemeinen durch fünf von einander unabhängige Stücke bestimmt. 7. Construetionsaufgnben. ß. 115. 1. Mit einer gegebenen Seite a (Fig. 94) ein Qua¬ drat zu beschreiben. Fig. 94. Man constrniere einen rechten Winkel schneide , " i an den Schenkeln t^.8 — ^8 — a, ab und beschreibe 0 aus 8 und 8 mit dem Halbmesser s, Kreisbogen, welche sich in 6 schneiden. Zieht man 80 und 0D, so ist 7^808 das verlangte Quadrat. Durch welche Vestandstiickc wird ein Quadrat bestimmt? L 2. Zeichne ein Quadrat, dessen Seite 34 mm ist, und construiere a) den ihm eingeschriebenen, d) den ihm nmgeschrie- benen Kreis. 3. Construiere ein Quadrat, dessen Umfang 1 äm ist. 4. Zeichne ein Quadrat, welches mit einem gegebenen Rechtecke gleichen Umfang hat. 5. Ein Quadrat zu konstruieren, wenn dessen Diagonale (36 mm) gegeben ist. K. 116. 1. Ein Rechteck zu construieren, wen» zwei an¬ stoßende Seiten a und t> (Fig. 95) gegeben sind. Flg- 95. Man zxichne einen rechten Winkel mache ! -" -' ^8 — a, >V8 — 6, und beschreibe aus 8 mit , L , dem Halbmesser 6, und aus 8 mit dem Halb¬ messer s, Bogen; der Schnittpunkt / / —a, —d, und / / / beschreibe aus kl und 1) / / mit den Halbmessern b A und a Bogen, welche sich in 6 schneiden; ist das gesuchte Parallelogramm. Durch wie viele und welche Stücke wird n) ein Rhombus, b) ein Rhomboid vollständig bestimmt? 2. Eineu Rhombus zu konstruieren, wenn die beiden Diago¬ nalen (44 min, 32 mm) gegeben sind, und ihm dann einen Kreis ein¬ zuschreiben. 3. Cs soll ein Rhombus construiert werden, wenn gegeben sind: a) eine Seite und ein Winkel (34 mm, 30°); l>) eine Seite und eine Diagonale (24 mm, 32 mm); o), die beiden Diagonalen (18 mm, 28 mm). 4. Zeichne ein Rhomboid, wenn gegeben sind: a) zwei Seiten (25 mm und 33 mm) und der von ihnen ein- gcschlossene Winkel 60°; b) zwei anstoßende Seiten und die durch ihren Schnittpunkt gehende Diagonale (22 mm, 29 mm, 35 mm); e) die beiden Diagonalen und eine Seite (31 -um, 34 mm, 25 mm); ä) die beiden Diagonalen nnd der von ihnen eingeschlvssene Winkel (36 mm, 43 mm, 60°). ß. 118. I. Zu einer gegebenen Geraden in einem ge¬ gebenen Abstande eine Parallele zu ziehen. Plan errichte zu der Geraden eine Normale, mache diese gleich dem gegebenen Abstande und ziehe zu ihr im Endpunkte wieder die "Normale; diese ist zu der gegebenen Geraden parallel. (H. 101.) 2. Ein Dreieck zu construieren, wenn gegeben sind: u) zwei Seiten und die zur drittelt Seite gehörige Höhe (38 mm, 45 mm, 30 mm); 6) zwei Seiten und die zur ersten Seite gehörige Höhe (42 mm, 36 mm, 28 mm). 71 Der geometrische Ort des Scheitels ist eine Gerade, welche zu der Grundlinie in einem Abstande gleich der Höhe parallel gezogen wird. (Z. 101.) Aufgabe o) gibt zwei verschiedene Auflösungen. Aufgabe l>) hat ebenfa lls! im allgemeinen zwei Auslösungen; wann ist die Aufgabe eindeutig, wann unlösbar? 3. Ein gleichschenkliges Dreieck zu konstruieren, wenn ein Schenkel (36 mm) und die Hohe (28 Mm) gegeben sind. 4. Ein rechtwinkliges Dreieck zu konstruieren, wenn die Hypotenuse (45 MM) und die Höhe auf dieselbe (26 mm) gegeben sind. 5. Mit einem gegebenen Halbmesser einen Kreis zu konstruieren, welcher n) eine gegebene Gerade berührt und durch einen außerhalb derselben liegenden Punkt geht (Geometrische Örter ZZ. 101 und 23); d) zwei sich schneidende Gerade berührt (Geonietrische Örter KZ. 60 und 101); o) einen gegebenen Kreis und eine außerhalb desselben liegende Gerade berührt (Geometrische Örter tzß. 94, 1>, und 101). ß. 119. 1. Ein Trapez zu konstruieren, wenn eine Pa¬ rallelseite a, die zwei nichtparallelcn Seiten b und e und der von a und 6 eingcschlossene Winkel (80") gegeben sind. Man konstruiere einen Winkel — 80°, mache 4k?, — a; -4V — d. Durch v ziehe man eine Parallele mit -4.? und beschreibe aus L mit dem Halbmessers einen Kreisbogen, welcher jene Parallele in 6 schneidet. Zieht man nun?O, so erhält man das Trapez ^?OV, welches die vier gegebenen Stücke enthält. Da aber der aus R beschriebene Kreis¬ bogen die Parallele 1)0 noch in einem zweiten Punkte 0' schneidet, so gibt es auch noch ein zweites Trapez ilIZO'O, welches dieselben vier Stücke enthält. Die Aufgabe lässt also im allgemeinen zwei Auflösungen zu. Wann erhält man nur ein, wann gar kein Trapez? Durch wie viele und welche Stücke wird u) ein Trapez überhaupt, b) ein gleichschenkliges Trapez vollständig bestimmt? Sind unter den Bestimmungsstücken die beiden Parallclseiten gegeben, so ge¬ schieht die Constrnction mit Hilfe eines Dreieckes, dessen Grundlinie gleich ist der Differenz der Parallelseiten. 72 Fig. 88. 2. Construiere ein Trapez, in welchem die Parallelseiten 38 mm und 32 mm vorkommen und eine der zwei nichtparnllelen Seiten 27 mm ist und mit der ersteren Parallelseite den Winkel von 60" bildet. 3. /Zeichne ein Trapez, wenn gegeben sind: a) die Parallelsciten und die nichtparallelen Seiten (42 MM, 30 mm, 36 mm, 28 mm); k>) die zwei Parallelseiten und die der ersten anliegenden Winkel (45 mm, 28 mm, 45°, 60"); e) die zwei Parallelsciten, ein Winkel an denselben und die Höhe (40 min, 32 mm, 60", 26 mm); ^ck)/die zwei Parallelsciten, ein Winkel an denselben und eine der nichtparallelen Seiten (42 mm, 29 mm, 75", 33 mm); s) die zwei nichtparallelen Seiten, eine Parallelseite und die Höhe (34 mm, 42 mm, 48 mm, 27 mm). Die Aufgabe s) ist zweideutig. 4. Construiere ein gleichschenkliges Trapez, von welchem die Parallelseiten (36 mm, 32 mm) und die nichtparallele Seite (28 mm) gegeben sind, und beschreibe um dasselbe einen Kreis. 5. Construiere ein gleichschenkliges Trapez, wenn gegeben sind: s) die Parallelseiten und die Höhe (38-nm, 3 em, 26 mm); k>) die Parallelseiten und ein Winkel (32 mm, 24 mm, 120"); o) die nichtparallclc Seite, die Diagonale und die Höhe (36 mm, 46 ms», 28 mm). Z. 120. 1. Ein Deltoid, von welchem zwei Seiten und die Sym- metrale (30 mm, 36 mm, 45 mm) gegeben sind, zu evnstruieren und in dasselbe einen Kreis zu beschreiben. 2. Ein Deltoid zu konstruieren, wenn gegeben sind: a) zwei Seiten und die von der Symmetrale geschnittene Dia¬ gonale (42 »nm, 31 mm, 37 mm); i») die beiden Diagonalen und eine Seite(45mm, 28mm, 32mm). tz. 121. Ein Viereck zu evnstruieren, welches mit einem gegebenen Vierecke ^LOV (Fig. 98) congrucnt ist. Zieht man die Dia¬ gonale LV, constrniert das Dreieck v v v Z>^.LV, nnd über VI4 das Dreieck v 6 II Z^LOV, so ist das Vier¬ eck VLOV^^LOV. Es ist übrigens nicht 73 nöthig, die Diagonale I >0 wirklich zu ziehen; man braucht nur die Eck¬ punkte 13, 0, 6-, II des neuen Biereckes entsprechend zn bcstimnien, was auf folgende Art geschieht: Man mache 13 L — ^13, beschreibe aus 13 und 13 mit den Halb¬ messern nnd LI) Bogen, welche sich in H schneiden; ferner be¬ schreibe man aus 13 und L mit den Halbmessern 130 und 00 Bogen, welche sich in 6- schneiden, und ziehe 138, II6- und 08 8- 122. Eine gegebene Strecke ^13 (Fig. 99) in mehrere, z. B. in fünf gleiche Theile zu thcilcn. Fig. 99. Man zieht durch den einen End- punkt unter einem beliebigen Winkel einen Strahl ^.X, trägt darauf fünf ^^x) X gleiche Strecken von beliebiger Größe X X bis 0 auf und verbindet 0 mit dem X, X. X X zweiten Endpunkte L. Dadurch erhält ^7 K man ein Dreieck /VOL, in welchem die Seite 7^.0 in fünf gleiche Theile getheilt ist; damit auch die Seite XII in fünf gleiche Theile getheilt werde, braucht mau uur durch jeden Thei- lungspunkt der ^.0 eine Parallele zu 013 zu ziehen. Theile eine Strecke in 3, 6, 7, 9, 10, 12 gleiche Theile. H. 123. Hier kann auch die folgende Aufgabe gelöst werden: Au zwei gegebene Kreise eine gemeinsame Tangente zu ziehen. Es seien 0 und o die Mittelpunkte, 0^. und ou die Halbmesser der zwei Kreise. a) Man beschreibe (Fig. 100) aus 0 mit einem Halbmesser 013, welcher gleich ist der Differenz 0^. — ou der gegebenen Halbmesser, einen Kreis und ziehe an denselben von o die Tangenten oI3 und 08. Fig. 100. Verlängert man dann die Halbmesser 013 und 013' bis zum Durch¬ schnitte des gegebenen Kreises iu 0 und 0' und zieht oO 00 und 74 o Vieleck genannt. 77 Lin Vieleck, dessen Seiten Tangenten des Kreises sind, heißt dem Kreise umgcschrieben, und der Kreis heißt in das Bieleck beschrieben. Ein dem Kreise umgeschriebenes Vieleck wird auch ein Tangentenvieleck genannt. Regelmäßige Sehnen- und Tangentenvirlecke. H. 129. Jedem regelmäßigen Vielecke lässt sich ein Kreis a) umschreiben, t>) einschreiben. Fifl. 104. Es sei ^VOOLI? (Fig. 104) ein regelmäßiges Vieleck. Halbiert man zwei Winkel, z. B. und R, so ist der Schnitt¬ punkt 0 der Halbierungslinien von allen Eckpunkten und ebenso von allen Seiten gleichwcit entfernt. s.) Beschreibt man daher aus dem Mittelpunkte O mit dem Halbmesser .-X 0 eine Kreislinie, so muss dieselbe durch alle Eckpunkte R, O, O, L, I? gehen, und ist somit den, Vielecke um¬ geschrieben. 1>) Sind 06k, OH, Ock, OL,.... die gleichen Abstände des Mittelpunktes O von den Seiten des Vieleckes, und beschreibt man aus 0 mit dem Halbmesser 06k einen Kreis, so muss dieser durch die Punkte 6k, H, <1, 16,... gehen, und da die Seiten des Vieleckes Tangenten zu dem Kreise sind, so ist dieser dem Vielecke eingeschrieben. H. IM. Wird die Peripherie eines Kreises in mehrere gleiche Theile getheilt, so sind die Theilungspunkte n) die Eck¬ punkte eines eingeschriebenen, und b) die Berührungspunkte eines umgeschriebenen regelmäßigen Vieleckes. Fig. io5. -Es sei (Fig. 100) die aus O mit dem Halb¬ messer 0P-. beschriebene Kreislinie in mehrere gleiche Theile getheilt. s.) Zieht man durch die Theilungspunkte die Sehnen RO, 01), OL,.. und dreht das dadurch entstehende, dem Kreise eingeschriebene Vieleck ^.ROOL.. nm den Mittelpunkt 0, bis jeder Thcilungspunkt den nächstfolgenden deckt, so deckt auch jede Seite des Vieleckes die folgende Seite und jeder Winkel den folgenden Winkel; das Vieleck ist also regelmäßig. 78 d) Errichtet man in den Theilungspunkten 8, 0, D,... auf die zu denselben gezogenen Halbmesser Normale, so erhält man das dem Kreise umgeschriebene Vieleck 68388... Dieses Vieleck ist regelmäßig; denn dreht man dasselbe um den Mittelpunkt, bis jeder Theilungspunkt mit den nächstfolgenden zusninmenfällt, so deckt auch jeder Halbmesser den folgenden, daher auch jede Tangente die folgende, und somit auch jeder Winkel des Vieleckes den folgenden. 3. Congruenz und Symmetrie der Vielecke. K. 1,31. Zwei Vielecke sind congruent, wenn sie alle Seiten und alle Winkel nach der Ordnung paarweise gleich haben. Zwei Vielecke ^801)88 und 63I388LI (Fig. 106), welche aus gleich vielen, der Ordnung nach congruenten Dreiecken zusammengesetzt sind, sind selbst congruent. sich auch die ganzen Vielecke, d. i. sie sind Denn legt man beide Vielecke so aufeinander, dass zwei gleichliegende Dreiecke aufeinander fallen, z. B. 3c 8 6 auf 083, so wird auch das zweite Paar Dreiecke sich decken, folglich auch das dritte Paar,...; daher decken congruent. Zur Bestimmung von drei Eckpunkten sind drei Bestimmungsstücke erforderlich; um jeden neuen Eckpunkt zu erhalten, braucht man zwei weitere, von einander unabhängige Bestimmungsstücke. Die Anzahl der zur Construction eines Polygons nothwendigen unabhängigen Bestimmungs¬ stücke ist also nm drei kleiner als die doppelte Anzahl der Eckpunkte. Ein regelmäßiges Vieleck von gegebener Seitenanzahl ist durch die Seite oder durch den Halbmesser des ein- oder des umgeschriebenen Kreises bestimmt. Z. 132. Zieht man in dem Vielecke 1^.86888 (Fig. 107) von den Eckpunkten zu der 7^8 die Normalen 83, 8o, 8t, und wendet das Vieleck als eine feste Verbindung um ^8 als Achse um, so liegt das Vielcck 3c 8(88'8'8', welches man dadurch erhalt, in Beziehung auf die Gerade ^.8 zu dem gegebenen Vielecke symmetrisch, und das 79 ganze Vieleck .V U UI)(1U <" I) U' ist in Beziehung auf die Sy ni- uietrale ein symmetrisches Gebilde (Z. 57). Fig. 107. U Zwei symmetrisch liegende ebene Gebilde sind immer auch kongruent; ihre gleichen Bestandstücke folgen jedoch in Beziehung auf die Symmetrale in entgegengesetzter Ordnung auf einander. K. 133. Bezüglich der Symmetrie der regel¬ mäßigen Polygone gelten folgende Sätze: 1. Sowohl jede Seitensymmetrale als jede Winkelsymmetrale eines regel¬ mäßigen Vieleckes ist eine Symmetrieachse desselben (Fig. 103). Von der Richtigkeit überzeugt man sich durch Umwendung um die bezügliche Symmetrale. 2. Ein regelmäßiges Vieleck hat so viele Symmetrieachsen, als es Seiten hat. Ist die Seitenanzahl des Vieleckes gerade, so haben immer je zwei gegenüberliegende Seiten und je zwei gegenüberliegende Winkel dieselbe Symmetrale. Ist dagegen die Seitenanzahl ungerade, so fallen immer eine Seiten- und eine Winkelsymmetrale zusammen. 4. Construetionsaufgabcn. K. 134. 1. Ein Fünfeck zu constrnicrcn, wenn die Seiten a, lo, o, cl und die von diesen eingcschlossenen Winkel 132°, 125° und 84° gegeben sind. Man mache (Fig. 108) — a, trage in 13 den Winkel 132° auf; auf dem neuen Schenkel schneide man UO — Io ab, trage in 0 den Winkel 125° ans; mache ferner (II) — o, zeichne in 1) den Winkel 84°, nnd schneide — ei ab. Zieht man nun so ist das verlangte Fünfeck. 80 2. Zeichne ein Sechseck, in welchem die Seiten 22 mm, 37 mm, 18 mm, 25 mm, 40 mm nach der Ordnnng die Winkel 120°, 105°, 105°, 135° einschlicßen. Z. 135. Ein Vieleck zu übertragen. a) Durch Bestimmung der Eckpunkte mittelst der Construction vvn Dreiecken. Fig. 109. Denkt man sich das gegebene Vieleck XLODIXI^ (Fig. 109) durch Diagonalen in Dreiecke zerlegt und das /X, 6H3 ^XIIO, über 6 3 das /X 63IX XOI), über 6L das /X OIXD M XI)L und über 60 das /X 6 6 XI XliO construiert, so ist das Vieleck 683IXOLIM-^VODIXO. Man braucht übrigens nicht diese Dreiecke wirklich zu zeichnen, es genügt, ihre Eckpunkte 6, II, 3, IX, O,LI zu bestimme». Zu diesem Ende macht man 6II — XI,, beschreibt aus 6 und II mit den Halbmessern XO und LO Bogen, durch deren Durchschnitt man den Punkt 3 erhält; dann beschreibt man aus 6 und 3 mit den Halb¬ messern XI) und 01) Bogen, welche sich in IX schneiden, u. s. w. 5) Durch die Coordinaten der Eckpunkte. Zieht man (Fig. 110) einen Fig. iio. 41 X L- L in einer Ebene von einem bestimmten Punkte X Strahl XX, und von irgend einem Punkte LI zu dieser» Strahl eine Normale Lik, so heißt das dadurch abgeschnittene Stück Xk des Strahls die Abscisse, die Normale LIO selbst aber die Or¬ dinate, und beide zusammen die Coordinaten jenes Punktes LI. Der Strahl XX heißt die Ab- scisscnlinie, der Punkt X der Anfangspunkt, Wenn der Anfangspunkt X XX gegeben sind, so ist die Lage bestimmt, wenn dessen Coordinaten und die Richtung der Abscissenlinie eines jeden Punktes LI vollkommen X? und Llk bekannt sind; denn 81 man braucht nur van aus an der Abscissenlinie ein Stück abzu- schneiden, welches der Abscissc gleich ist, dann im Punkte k eine Normale zu errichten, und die Ordinate k iU darauf aufzntragen; der Endpunkt ist der gesuchte Punkt N. Um mittels der Cvordinaten ein Gebilde (Fig. 111) zu übertragen, nehme man in demselben irgend eine Gerade als Abscissenlinie und als Anfangspunkt derselben an, und ziehe van allen Eckpunkten Narmale zu der Abscissenlinie. Sodann ziehe inan die neue Abseissenliuie na, trage auf ihr iu der Ordnung alle Abscissen von s, bis k, I, m, n,... auf, errichte in diesen Punkten Normale und trage ans ihnen die entsprechenden Ordinaten von bis U, von I bis i, von in bis o, .. . auf; dadurch ist dann die Lage aller Eckpunkte des mit m O I) L .. . cvngruentcn Vieleckes bestimmt. 2. Ein Vieleck zu construieren, das zu einem gegebenen Vielecke in Beziehung auf eine gegebene Symmetrale sym¬ metrisch ist. (Z. 132.) K. 136. 1. Um ein regelmäßiges u) Dreieck, b) Viereck, o) Sechseck einen Kreis zu beschrcibeu. (ß. 129.) 2. Iu ein regelmäßiges y.) Dreieck, d) -Viereck, o) Sechseck einen Kreis zu beschreiben. (Z. 129.) 3. Einem gegebenen Kreise n) ein gleichseitiges Dreieck, U) ein regelmäßiges Sechseck ein- und umzuschreiben. (K. 130.) 4. Einem gegebenen Kreise u) ein Quadrat, l>) ein regelmäßiges Achteck ein- und umzuschreibcn. 5. Einem gegebenen Kreise mit Hilfe des Transporteurs ein regel¬ mäßiges s.) Fünfeck, U) Zehneck ein- und umzuschreibcn. 6. In einen Kreis ist ein regelmäßiges Vieleck beschrieben; man beschreibe in denselben ein solches von doppelt so viel Seiten. M oö n ik, Geom. Anschauungßlehre. I. Abth. 0 82 K. 137. 1. Über einer gegebenen Strecke ein regelmäßiges Vieleck zu construieren. -m Bei der Lösung dieser Aufgabe kommt es nnr darauf an, die Größe des Kreises zu finden, welchem das verlangte Vieleck eingeschrieben erscheint. Zn diesem Ende berechne man zuerst die Größe eines Vicleckswinkels, ziehe eine Strecke, welche der gegebenen Seite gleich ist, und trage in jedem Endpunkte den halben Bieleckswinkel auf. Aus dein Schnittpunkte der beiden neuen Schenkel beschreibe man nun durch die Endpunkte der Strecke einen Kreis und trage in demselben die gegebene Seite als Sehne herum. st) Sollen über einer gegebenen Strecke regelmäßige Sechs-, Sieben, ... Zwölsecke construicrt werden, so lässt sich dieses auf folgende mechanische Weise ausführen: Fig. ii 2. Ist HI> (Fig. 112) die gege¬ bene Strecke, so errichte man im Halbierungspnnkte 0 eine Senk¬ rechte, beschreibe aus kl mit dein Halbmesser H1> den Bogen Hst und theilc denselben zuerst in 2, und jede Hälfte noch in 3 gleiche Theile; sodann ziehe man aus den, Punkte st als Mittelpunkt die Kreis¬ bogen o 7, ä 8, s st u. s. w. Fn dem Kreise, dessen Mittelpunkt st und dessen Halbmesser Hst ist, lässt sich nun H L stmal hcrum- tragcn; in dem Kreise, dessen Mittelpunkt 7 und dessen Halbmesser H7 ist, kann H1> 7mal auf¬ getragen werden; u. s. w. 2. Zeichne eine Strecke von 2 om Länge und coustruicrc über der¬ selben ein regelmäßiges a) Fünfeck, st) Sechseck, o) Achteck, 6) Zehneck, s) Zwölfeck.