ABSTRACT 
KEY WORDS KLJUČNE BESEDE
IZVLEČEK 
Aleš Marjetič | IZRAVNAVA PO METODI NAJMANJŠIH KVADRATOV Z UPOŠTEVANJEM POGREŠKOV PRI NEZNANKAH | LEAST-SQUARES ADJUSTMENT TAKING INTO ACCOUNT THE ERRORS IN 
VARIABLES  | 205-218 |
least-squares adjustment, TLS, SVD, errors, transformation
In this article, we discuss the procedure for computing 
the values of the unknowns under the condition of the 
minimum sum of squares of the observation residuals 
(least-squares method), taking into account the errors in 
the unknowns. Many authors have already presented the 
problem, especially in the field of regression analysis and 
computations of transformation parameters. We present an 
overview of the theoretical foundations of the least-squares 
method and extensions of this method by considering the 
errors in unknowns in the model matrix. The method, which 
can be called ‘the total least-squares method’, is presented 
in the paper for the case of fitting the regression line to a 
set of points and for the case of calculating transformation 
parameters for the transition between the old and the new 
Slovenian national coordinate systems. With the results 
based on relevant statistics, we confirm the suitability of 
the considered method for solving such tasks.
izravnava po metodi najmanjših kvadratov, TLS, SVD, pogreški, 
transformacija
V članku obravnavamo postopek izračuna vrednosti 
neznank pod pogojem minimalne vsote kvadratov 
popravkov opazovanj (metoda najmanjših kvadratov) z 
upoštevanjem pogreškov pri neznankah. Problem so že 
predstavili številni avtorji, predvsem na področju regresijske 
analize in računanja transformacijskih parametrov. 
Predstavljen je pregled teoretičnih osnov metode najmanjših 
kvadratov in njene razširitve z upoštevanjem pogreškov pri 
neznankah neznank v matriki modela. Metodo, ki jo lahko 
poimenujemo »popolna« metoda najmanjših kvadratov, v 
prispevku predstavimo na primeru prilagajanja regresijske 
premice nizu točk in na primeru izračuna transformacijskih 
parametrov za prehod med starim in novim slovenskim 
državnim koordinatnim sistemom. Z rezultati na podlagi 
ustreznih statistik potrdimo primernost obravnavane metode 
za izvajanje tovrstnih strokovnih nalog.
DOI: 10.15292/geodetski-vestnik.2021.02.205-218
REVIEW ARTICLE
Received: 17. 2. 2021
Accepted: 11. 5. 2021
UDK: 528.4 
Klasifikacija prispevka po COBISS.SI: 1.02
Prispelo: 17. 2. 2021
Sprejeto: 11. 5. 2021
Aleš Marjetič
LEAST-SQUARES ADJUSTMENT 
TAKING INTO ACCOUNT THE 
ERRORS IN VARIABLES
IZRAVNAVA PO METODI 
NAJMANJŠIH KVADRATOV Z 
UPOŠTEVANJEM POGREŠKOV 
PRI NEZNANKAH
| 205 |
RECENZIRANI ČLANKI | PEER-REVIEWED ARTICLES SI  |  EN
| 65/2| GEODETSKI VESTNIK | letn. / Vol. 65 | št. / No.2 |
V
G 2021

| 206 |
| 65/2 | GEODETSKI VESTNIK  
RECENZIRANI ČLANKI | PEER-REVIEWED ARTICLES SI| EN
1 UVOD
V geodeziji količin, ki nas zanimajo, najpogosteje ne moremo neposredno izmeriti. Lahko pa te iskane 
količine izračunamo posredno na podlagi meritev. Najpogosteje za izračun iskanih količin opravimo več 
meritev od nujno potrebnih (nadštevilne meritve). V tem primeru model, ki povezuje meritve in neznane 
(iskane) količine, sestavlja več enačb od nujno potrebnih. Govorimo o predoločenem sistemu enačb za 
izračun neznanih količin oziroma o predoločenem modelu, ki povezuje meritve/opazovanja z neznankami. 
Rešitev najpogosteje določimo z izravnavo po metodi najmanjših kvadratov (v nadaljevanju MNK) 
popravkov meritev. Vrednosti neznank izračunamo po MNK s sistemom normalnih enačb (Teunissen, 
2003). Sistem enačb, ki povezujejo merske vrednosti in neznanke, pretvorimo v sistem linearnih enačb 
popravkov meritev ali tako imenovani Gauss-Markov model. V postopku izravnave sistem linearnih enačb 
popravkov meritev prevedemo v sistem normalnih enačb, ki omogočajo enolično določitev vrednosti 
neznank ob izpolnjenem kriteriju najmanjše vsote kvadratov popravkov meritev. V običajnem modelu 
izravnave obravnavamo samo pogreške meritev. Lahko pa rešitev iščemo tako, da predpostavimo, da so 
tudi v matriki modela (matrika A v izrazu (1)), to je matriki, ki povezuje neznanke z meritvami, prisotni 
slučajni pogreški. Ta pristop so v preteklosti obravnavali številni raziskovalci na tem področju: Amiri
-Simkooei in Jazaeri (2012), Neitzel (2010), Schafrin in Wiesser (2009) in drugi. Metodo izravnave so 
predstavili s kratico TLS (angl. total least squares), kar bi lahko v slovenskem jeziku poimenovali »popolna 
metoda najmanjših kvadratov«. Metoda se je pokazala kot uporabna predvsem na področjih regresijske 
analize in transformacij. V članku testiramo uporabnost metode TLS brez uteži in z utežmi (= WTLS, 
angl. weighted total least squares) na primeru linearne regresije in transformacije točk med starim in novim 
državnim koordinatnim sistemom Slovenije (D48/GK  D96/TM). Dodatno opišemo tudi računanje 
vrednosti neznank pod pogojem minimalne vsote kvadratov popravkov z uporabo razcepa SVD (razcep 
na singularne vrednosti ali SVD – angl. singular value decomposition). Cilj obravnave različnih načinov 
izračuna neznank je pokazati razlike, geometrijski pomen in oceniti kakovost posameznih rešitev.
2 ISKANJE REŠITVE PREDOLOČENEGA SISTEMA
2.1 Motivacija
Meritve in neznanke so povezane z matematičnimi izrazi. Med seboj jih v linearizirani obliki povežemo 
prek sistema (1). 
 
11 1 1 1
1
;
u
n nu u n
a axb
a axb
    
    
= ⋅=
    
    
    
Ax b

  

 (1)
V (1) predstavlja:
n – število meritev ali število enačb popravkov obravnavanega sistema,
u – število neznank,
b – vektor odstopanj,
A – matrika koeficientov pri neznankah ali tako imenovana matrika modela dimenzije n x u,
Aleš Marjetič | IZRAVNAVA PO METODI NAJMANJŠIH KVADRATOV Z UPOŠTEVANJEM POGREŠKOV PRI NEZNANKAH | LEAST-SQUARES ADJUSTMENT TAKING INTO ACCOUNT THE ERRORS IN 
VARIABLES  | 205-218 |

| 207 |
GEODETSKI VESTNIK | 65/2 |
RECENZIRANI ČLANKI | PEER-REVIEWED ARTICLES SI | EN
x – vektor neznank (popravkov približnih vrednosti neznank).
Iz (1) izhaja, da se vektor meritev b nahaja v prostoru, ki ga napenjajo stolpci matrike A. Pri tem je rang 
matrike A: rang(A)  r  min(n, u).
V sistemu (1), ki povezuje neznanke in meritve, imamo tri možne situacije za sistem n enačb za u neznank: 
predoločen sistem, ko velja n  u , enolično določen sistem, ko velja n  u, in poddoločen sistem, ko 
velja n  u (slednji ni običajen, ko obravnavamo meritve, saj vedno stremimo k nadštevilnim meritvam). 
Sistem (1) lahko zapišemo tudi v obliki, ko matriki A dodamo stolpec vektorja b:
 
[ ] |0
1

=

−

x
Ab
 (2)
Osredotočimo se samo na predoločen sistem in ga predstavimo na primeru iskanja presečišča treh premic:
 – Tri premice se sekajo v isti točki – levo na sliki 1: V tem primeru imamo opravka s sistemom n 
konsistentnih (doslednih) enačb. Sistem (1) ima lastnost, da je r  rang(A)  rang([A|b])  u.
 – T ri premice se ne sekajo v isti točki – desno, modre premice, na sliki 1: V tem primeru je r   rang(A) 
 rang([A|b])  u  1 in ne velja enačaj v (1), ampak Ax  b. Nimamo enolične rešitve. Sistem 
(1) bi radi z rešitvijo za x  x
^
 in posledično b  b
^
  prevedli na konsistenten sistem (slika 1 desno, 
rdeče premice), da bo Ax
^
  b
^
, za katerega bi veljalo, da je r  rang(A)  rang([A|b
^
])  u. Rang sistema 
[A|b] želimo torej zmanjšati za 1.
Slika 1: Levo – sistem konsistentnih enačb, desno – sistem nekonsistentnih enačb (modre premice), rešitev po MNK (rdeče premice).
Za predoločen sistem iščemo tudi tako rešitev, ki bo izpolnila zahtevo, da je || v||
2
  v
T
Pv  min., kjer 
je v  b
^ 
 b in P – matrika uteži opazovanj. Iščemo torej rešitev, ki bo izpolnila pogoj minimalne vsote 
uteženih kvadratov popravkov opazovanj (MNK). Iščemo jo lahko na naslednje načine:
a.) Najverjetnejšo rešitev iščemo prek sistema normalnih enačb po MNK – posredna izravnava:
 Ax  b, A
T
PAx  A
T
Pb, x
^
  (A
T
PA)
1
A
T
Pb oziroma v primeru opazovanj enakih natančnosti, kjer 
velja P  I,  je rešitev x
^
  (A
T
A)
1
A
T
b.      (3)
b.) Uporabimo lahko tudi splošnejši pristop, ki ga predstavlja splošni model izravnave (SMI). V tem 
primeru rešitev za iskane neznanke ne iščemo neposredno iz meritev, ampak preko vektorja ekvi -
Aleš Marjetič | IZRAVNAVA PO METODI NAJMANJŠIH KVADRATOV Z UPOŠTEVANJEM POGREŠKOV PRI NEZNANKAH | LEAST-SQUARES ADJUSTMENT TAKING INTO ACCOUNT THE ERRORS IN 
VARIABLES  | 205-218 |

| 208 |
| 65/2 | GEODETSKI VESTNIK  
RECENZIRANI ČLANKI | PEER-REVIEWED ARTICLES SI| EN
valentnih opazovanj, od katerih je vsako linearna kombinacija originalnih opazovanj. Model (1) 
bi zapisali v obliki Bb  Ax, rešitev pa izračunali z izrazom (Q – matrika kofaktorjev opazovanj):
 
( )
( )
( )
1
11
TT TT
ˆ
−
−−
= x A BQB A A BQB b
, (4)
 kjer B predstavlja matriko koeficientov pri opazovanjih.
 Pristop je uporaben predvsem v postopkih aproksimacije krivulj in ploskev določenemu nizu točk, 
kjer obravnavamo kot »eno opazovanje« dejansko koordinatne pare ( x, y) ali trojice (x, y, z), ki so 
povrhu v matematični enačbi z neznankami povezani v nelinearni obliki. V tem primeru bi bilo zelo 
težko posamezno koordinato osamiti in izraziti v linearni obliki, kot se zahteva pri posredni izravnavi. 
Enako je pri transformaciji koordinat, ko vse koordinate vseh točk obravnavamo kot opazovanja. 
Rešitev SMI je v tem primeru veliko hitrejša in enostavnejša.
c.) Rešitev iščemo z razcepom SVD, ki je samo različica izračuna po klasični metodi najmanjših kva -
dratov pod a.). Tudi pri razcepu SVD lahko upoštevamo uteži opazovanj. Če upoštevamo dejstvo, 
da je matrika P za opazovanja pozitivno definitna, potem velja P  P
c
P
c
*
 (razcep po Choleskem), in 
zato lahko prevedemo sistem (1) v obliko ( P
c
b)  (P
c
A)x.
d.) Uporabimo metodo izravnave, ki upošteva tudi pogreške pri neznankah in jo detajlno razlagamo v 
nadaljevanju.
2.2 Metoda z obravnavo prisotnosti pogreškov (tudi) pri neznankah
Metodo lahko imenujemo tudi »popolna« izravnava po metodi najmanjših kvadratov (angl. total least 
squares – TLS). V tem primeru obravnavamo predoločen sistem, ki zaradi pogreškov v meritvah povzroči, 
da Ax  b in {rank (A)  u}  {rank([A|b])  u  1}. Klasična obravnava oziroma iskanje rešitve za vektor 
neznank po MNK predpostavlja prisotnost pogreškov samo v vektorju odstopanj b. Če predpostavimo 
poleg pogreškov meritev tudi prisotnost pogreškov pri neznankah (EIV – angl. errors in variables; Neitzel, 
2010; Simkooei in Jazaeri, 2012), lahko zapišemo:
 b  v  (A  E
A
)x, (5)
s stohastičnimi lastnostmi:
 
( )
2
0
00
~, ,
vec 0 0
b
AA A
σ
      
⋅

     

      
vv Q
eE Q
 (6)
kjer je e
A
  vec(E
A
) vektor, sestavljen iz stolpcev matrike E
A
 dimenzije n ∙ u × 1. Q
B
 predstavlja matriko 
kofaktorjev meritev, Q
A
 pa matriko kofaktorjev koeficientov v matriki A.
Rešitev za x sistema (5) izpeljemo z vektorjem Lagrangeovih multiplikatorjev ali korelat k (dim n × 1). 
Pogoj minimalne vsote kvadratov zapišemo z utežno funkcijo Φ:
 Φ  v
T
Q
B
1
v  e
A
T
Q
A
1
e
A
  2k
T
(b  v  Ax  E
A
x)  min. (7)
V (7) nastopa vektor e
A
, ki pripada matriki E
A
. Poenotimo zapise za e
A
 in E
A
 v (7) z uporabo kronec -
kerjevega produkta:
 Φ  v
T
Q
B
1
v  e
A
T
Q
A
1
e
A
  2k
T
(b  v  Ax  (x
T
I
n
)e
A
)  min. (8)
Aleš Marjetič | IZRAVNAVA PO METODI NAJMANJŠIH KVADRATOV Z UPOŠTEVANJEM POGREŠKOV PRI NEZNANKAH | LEAST-SQUARES ADJUSTMENT TAKING INTO ACCOUNT THE ERRORS IN 
VARIABLES  | 205-218 |

| 209 |
GEODETSKI VESTNIK | 65/2 |
RECENZIRANI ČLANKI | PEER-REVIEWED ARTICLES SI | EN
Za določitev minimuma utežne funkcije Φ moramo parcialne odvode po spremenljivkah v, x, e
A
 in k 
izenačiti z 0 (Simkooei in Jazaeri, 2012).
 1
T
1
0
2
b
−
∂Φ
= +=
∂
Qvk
v
 (9)
 
( )
1
T
1
0
2
AA n
A
−
∂Φ
= +⊗ =
∂
Qe x Ik
e
 (10)
 
( )
T
T
1
0
2
nA
∂Φ
=+− + ⊗ =
∂
b v Ax x I e
k
 (11)
 TT
T
1
0
2
A
∂Φ
= −+=
∂
Ak Ek
x
 (12)
Iz odvodov (9) in (10) izhaja:
 v  Q
B
k, (13)
 e
A
  vec(E
A
)  Q
A
(xI
n
)k. (14)
Če (13) vstavimo v (11), dobimo:
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
T1
b nA n
b
−
−
=+ ⊗− ⊗ = − k Q x I Q x I b Ax Q b Ax

 (15)
kjer je 
( ) ( )
T
b nA n
b
=+⊗ ⊗ Q Q x IQ x I

.
Z upoštevanjem (15) iz (12) sledi rešitev za vektor neznank x ob predpostavki pogreškov v modelu:
 
( )
( )
( )
1
TT
11
ˆ
AA
bb
−
−−
= −− x AE QA AE Qb

, (16)
kjer bi 
( )
( )
T
1
A
b
−
− AE QA

 lahko predstavljal matriko normalnih enačb razširjenega modela 
b  v  (A  E
A
)x, ki predpostavlja tudi pogreške v modelu. Vendar ta matrika ni simetrična in ni pozi -
tivno definitna za razliko od matrike normalnih enačb N  A
T
PA modela b  v  Ax, kot smo ga »vaje -
ni«. Rešitev nam predstavlja prevedba izraza (16) z upoštevanjem zveze  oz. :
AA
= −= + AAE AAE

 
( ) ( )
TT
11
ˆ
AA
bb
−−
−= − AE QA x AE Qb

 (17)
Obema stranema odštejemo ( )
T
1
: ˆ
AA
b
−
− A E Q Ex

 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
T T TT
1 1 11
TT
11
ˆˆ ˆ
ˆˆ
A AA A AA
b b bb
A AA A
bb
−−−−
−−
− −− =− −−
− −=− −
AE QA x AE QE x AE Qb AE QE x
AE Q AEx AE Q bE x


 (18)
Iz (18) sledi rešitev za neznanke:
 
( ) ( )
( )
( ) ( )
1
TT
11
ˆˆ
A AA A
bb
−
−−
= −−−− x AE Q AE AE Q bE x

 (19)
 
( ) ( )
( )
( )
1
TT
11
ˆ
A AA
bb
−
−−
= −−− x AE Q AE AE Qb


, (20)
kjer je ˆ
A
= − b b Ex

. Rešitev za vektor opazovanj in vektor popravkov modela dobimo z upoštevanjem 
(5) in (9) z izrazoma:
Aleš Marjetič | IZRAVNAVA PO METODI NAJMANJŠIH KVADRATOV Z UPOŠTEVANJEM POGREŠKOV PRI NEZNANKAH | LEAST-SQUARES ADJUSTMENT TAKING INTO ACCOUNT THE ERRORS IN 
VARIABLES  | 205-218 |

| 210 |
| 65/2 | GEODETSKI VESTNIK  
RECENZIRANI ČLANKI | PEER-REVIEWED ARTICLES SI| EN
 
( )
ˆ
ˆ
A
= − b AEx
 (21)
 ˆˆ
b
= −+ = − v b Ax Q k

 (22)
Če upoštevamo (14), da je ( ) ( ) ( )
TT
ˆ
A n A nA
vec = ⊗= ⊗ E xxI E xI e , lahko zapišemo matrike kofaktor -
jev za izravnava opazovanja in neznanke:
 ( ) ( )
T
ˆˆ
b nA n
b
=+⊗ ⊗ Q Q x IQ x I

 (23)
 
( )
1
T
ˆ
1
x
b
Q
−
−
= QAA


 (24)
Pripadajoča referenčna varianca a-posteriori:
 
T1 T1
2
0
ˆˆ
ˆ
bb
nu nu
σ
−−
= =
−−
vQ v kQ k

 (25)
2.1.1 Algoritem za izračun
Gre za iterativni postopek v naslednjih korakih (Simkooei in Jazaeri, 2012):
KORAK 1: Nastavimo začetno vrednost vektorja neznank
Začetne vrednosti neznank prevzamemo iz »navadne« izravnave po MNK, kjer upoštevamo natančnosti 
opazovanj
1
 P  Σ
b
1
.
 ( )
1
0T T
ˆ
−
= x A PA A Pb (26)
KORAK 2: i  0 ( i – iteracija)
 
ˆ
ii
= − v Ax b
 (27)
 
( )
( )
( )
T
A
ˆˆ
ii i
bnn
b
=+⊗ ⊗ Q Q x IQ x I

 (28)
V izrazu (28) nastopa blok matrika Q
A
, ki je odvisna od natančnosti opazovanj, ki nastopajo v izravnavi 
in jo izračunamo na naslednji način (Simkooei in Jazaeri, 2012):
 
T
A
11
,
uu
i j ij
ij = =
= ⊗
∑∑
Q cc Q
 (29)
pri tem sta c
i
 in c
j
 enotska vektorja z enico na mestu, ki pripada neznanki, drugje so členi enaki 0. Ma -
trika Q
ij
 predstavlja matriko kofaktorjev opazovanj, ki nastopajo ob neznankah, in je dimenzije n × n.
Izračunamo vektor e
A
i
, ki v i-ti iteraciji pripada matriki E
A
i
:
 
( ) ( )
1
A
ˆ
i i ii
An
b
−
= −⊗ e QxIQ v
 (30)
 
ˆ
i ii
A
= − A A Ex
 (31)
1
 Nanaša se na opazovanja, ki jih v običajni izravnavi po MNK obravnavamo kot opazovanja. Zadevo pojasnujemo na primeru določitve regresijske 
premice v nadaljevanju.
Aleš Marjetič | IZRAVNAVA PO METODI NAJMANJŠIH KVADRATOV Z UPOŠTEVANJEM POGREŠKOV PRI NEZNANKAH | LEAST-SQUARES ADJUSTMENT TAKING INTO ACCOUNT THE ERRORS IN 
VARIABLES  | 205-218 |

| 211 |
GEODETSKI VESTNIK | 65/2 |
RECENZIRANI ČLANKI | PEER-REVIEWED ARTICLES SI | EN
 
ii
A
= − b bE
 
( )
( )
1
1
1T
ˆ
ii i
b x
−
−
+
= Q AQ A
 

i
 (32)
 
( ) ( )
( )
( ) ( )
1
111 1
1 1T T T 1
ˆ
T
ˆ
i i ii i i ii ii
bbb b x
−
−−−−
++ −
= = = x QAQ b AQ A AQ bN AQ b
 
    
iii i
 (33)
 i  i  1
KORAK 3: preverimo konvergenco 
 
1
ˆˆ ,
ii
δ
+
−< xx (34)
kjer je δ predhodno izbrana vrednost za prekinitev iteracijskega postopka. V primeru izpolnjevanja pogoja 
(34) zaključimo z iteracijskim postopkom.
2.1.2 Ocena natančnosti 
Sistem b + v  Ax smo prevedli na sistem += b v Ax
 
 . Torej imamo, če upoštevamo (21), (22) in (33):
 
( ) ( ) ( ) ¡
1 1
T1 T ˆ
ˆ ˆ
bb
A
− −
−
=+= = − = = b b v Ax A E A A Q A A Q b P b

     

A
x
 (35)
 
( )
¡
ˆ
ˆ
b
A
=−= − =− vbb Qk IPb


 (36)
Iz zvez (35) in (36) lahko zapišemo pripadajoče matrike kofaktorjev:
 
¡
T
ˆ ˆˆ xx
b b
A
= = Q PQ AQ A


 (37)
 
( )
¡ ˆ ˆ v
bb b
A
= −= − Q IPQ Q Q

 (38)
Referenčna varianca a-posteriori znaša:
 
T1
2
0
ˆˆ
ˆ
b
nu
σ
−
=
−
vQ v

 (39)
2.2 Metoda »popolne« izravnave z uporabo razcepa SVD
Kot smo že omenili, če iščemo rešitev za vektor neznank x v sistemu (1), potem hočemo doseči, da je 
( ) ( )
rank rank | u

= =

A Ab
   
. Sistem (1) v obliki razširjene matrike lahko zapišemo kot:
 |0
1


=


−

x
Ab

 
 (40)
Če razcepimo razširjeno matriko |


Ab
 
 po metodi SVD (Strang in Borre, 1997), dobimo (Markovsky 
in Van Huffel, 2007):
 
1
1
1
2
12
1
1
1
0
    
|| |
 
|
|| |
    
,
 
0
u
n iii r
i
u
u
λ
λ λ
λ
+
=
+
+

 −− 
 

−−
 

 = = =
  

 


 −− 



∑
uv



 
   



 



v
v
uu u
v
Ab UV Λ
 (41)
Aleš Marjetič | IZRAVNAVA PO METODI NAJMANJŠIH KVADRATOV Z UPOŠTEVANJEM POGREŠKOV PRI NEZNANKAH | LEAST-SQUARES ADJUSTMENT TAKING INTO ACCOUNT THE ERRORS IN 
VARIABLES  | 205-218 |

| 212 |
| 65/2 | GEODETSKI VESTNIK  
RECENZIRANI ČLANKI | PEER-REVIEWED ARTICLES SI| EN
kjer sta U in V kvadratni ortogonalni matriki ter L diagonalna matrika singularnih vrednosti (Soldo in 
Ambrožič, 2018).
Doseči želimo, da se rang zgornjega sistema iz u  1 zmanjša na u ob tem, da se čim manj spremeni 
matrika |


Ab
 
. Zato najmanjšo singularno vrednost v enačbi (41) 
u1
λ
+

 spremenimo v 0. Torej se zgor -
nji izraz prevede na:
 
1
1
2
u
2
1 2 n iii
i1
u
u1
0
|| |    
 
|| |
     
0 0
λ
λ
λ
λ
=
+

 −− 
 

−−
 

=
 

 


 −− 



∑
v
v
u u u uv
v


 



  




 (42)
Zapišemo lahko:
 
TT
11
1
|0
u
u iii u
i
λ
++
=


⋅= ⋅=



∑
A b v uv v
  
  
, (43)
kjer je:
T
1
0
iu +
⋅= vv  , ker so vrstice v V med seboj ortogonalne,
T
T
1 1,1 1,2 1, 1, 1
    
u u u uu uu
vv vv
+ + + + ++
 =

v   – zadnji stolpec matrike V.
Če povežemo (40) in (43), dobimo:
 
T
1,1 1,2 1, 1, 1
||    0
1
u u uu uu
vv vv
+ + + ++

  ⋅=⋅ =

  
−

x
Ab Ab



  (44)
Iz (44) izhaja rešitev za vektor neznank, ko upoštevamo tudi popravke (pogreške) pri neznankah:
 
T
TLS 1,1 1,2 1,
1, 1
1
    
u u uu
uu
vv v
v
++ +
++
 = −…

x 
 (45)
V tem primeru najdemo rešitev brez stohastične obravnave. Če bi želeli v izračunu upoštevati tudi uteži 
opazovanj, tako na strani vektorja b kot na strani matrike A, nastane težava. V razširitvi (2) oziroma (40) 
ne moremo upoštevati tako uteži opazovanj kot tudi uteži pri neznankah, kot je nakazano v poglavju 2.1 
z razcepom matrike P po Choleskem. T u obravnavamo dve različni matriki uteži.
3 OBRAVNAVA NA PRAKTIČNEM PRIMERU
3.1 Regresijska premica
Desetim točkam določamo regresijsko premico. Matematična enačba, ki povezuje meritve in neznanke, 
je enačba premice: y  kx  n. Neznanke predstavljata koeficienta k in n, koordinata x »konstantno« 
vrednost, koordinata y pa »merjeno« vrednost. Primer koordinat in pripadajočih uteži je prevzet iz Neri 
Aleš Marjetič | IZRAVNAVA PO METODI NAJMANJŠIH KVADRATOV Z UPOŠTEVANJEM POGREŠKOV PRI NEZNANKAH | LEAST-SQUARES ADJUSTMENT TAKING INTO ACCOUNT THE ERRORS IN 
VARIABLES  | 205-218 |

| 213 |
GEODETSKI VESTNIK | 65/2 |
RECENZIRANI ČLANKI | PEER-REVIEWED ARTICLES SI | EN
in sod., 1989, in predstavljen v Simkooei in Jazaeri, 2012.
Preglednica 1: Točke na premici, ki jim prilagajamo premico.
Konstanta »Meritve« Utež [A|b]
Točka x y px py A b
T1 0,0 5,9 1000 1 0,0 1 5,9
T2 0,9 5,4 1000 2 0,9 1 5,4
T3 1,8 4,4 500 4 1,8 1 4,4
T4 2,6 4,6 800 8 2,6 1 4,6
T5 3,3 3,5 200 20 3,3 1 3,5
T6 4,4 3,7 80 20 4,4 1 3,7
T7 5,2 2,8 60 70 5,2 1 2,8
T8 6,1 2,8 20 70 6,1 1 2,8
T9 6,5 2,4 2 100 6,5 1 2,4
T10 7,4 1,5 1 500 7,4 1 1,5
Rank matrike A znaša 2, razširjene matrike [A|b] pa 3. Seveda je to posledica, ker točke ne ležijo na isti 
premici. Sedaj poiščemo rešitev za neznanki k in n na naslednje načine:
 – izravnava po MNK brez upoštevanja uteži (MNK),
 – uporaba razcepa SVD brez upoštevanja uteži (SVD) kot alternativa MNK brez upoštevanja uteži,
 – popolna izravnava z uporabo razcepa SVD brez upoštevanja uteži (TLS SVD),
 – izravnava po MNK z upoštevanjem uteži (MNKP),
 – popolna izravnava z upoštevanjem uteži (WTLS),
 – splošni model izravnave (SMI).
Preglednica 2: Rešitve izravnave regresijske premice glede na različne obravnave.
Metoda 
izračuna
Upoštevam 
uteži
k n σ
k
σ
n 0
ˆ σ 
MNK ne -0,53958 5,76119 0,04213 0,18949 0,316
SVD ne -0,53958 5,76119 / /
TLS_SVD ne -0,54886 5,81004 / /
MNK da -0,61066 6,09902 0,06216 0,42275 2,072
WTLS da -0,48129 5,48425 0,07017 0,35716 1,219
SMI da -0,46513 5,40367 0,07086 0,35207 1,156
Kriterij prekinitve iteracijskega postopka za »popolno« izravnavo z upoštevanjem uteži (WTLS) je izbran 
10
-12
. V tem primeru dosežemo 8 iteracij.
Na sliki 2 vidimo, da se pri izravnavi po MNK z upoštevanjem uteži (vijolična črta) rešitev popolnoma 
prilagodi točkam z večjo utežjo za koordinato y. Rešitev po metodi WTLS (zelena črta) pa enakomerno 
upošteva vse uteži, tako za y kot x. Rešitev je v tem primeru veliko bolj smiselna. Rešitev splošnega modela 
izravnave je po numeričnih vrednostih blizu rešitve WTLS.
Geometrijski pomen izravnave z upoštevanjem pogreškov pri neznankah v primeru regresijske premice 
lahko razložimo na naslednji način (Golub in Van Loan, 1980; Markovsky in Van Huffel, 2007): Če 
Aleš Marjetič | IZRAVNAVA PO METODI NAJMANJŠIH KVADRATOV Z UPOŠTEVANJEM POGREŠKOV PRI NEZNANKAH | LEAST-SQUARES ADJUSTMENT TAKING INTO ACCOUNT THE ERRORS IN 
VARIABLES  | 205-218 |

| 214 |
| 65/2 | GEODETSKI VESTNIK  
RECENZIRANI ČLANKI | PEER-REVIEWED ARTICLES SI| EN
iščemo rešitev z obravnavo koordinat y kot meritev x pa kot konstant, dobimo rešitev pod pogojem mi -
nimalne vsote kvadratov merskih vrednosti. T orej minimalne vsote kvadratov popravkov koordinat y po 
izravnavi (slika 3, črtkana črta). Če obravnavamo tudi koordinate x kot merjene vrednosti, pa dejansko 
iščemo minimum vsote kvadratov popravkov merjenih koordinat x in y hkrati. Torej minimiziramo 
vsoto kvadratov pravokotnih oddaljenosti »merjenih« točk od regresijske premice (slika 3, polna črta).
Slika 2: Rešitve regresijske premice.
Slika 3:  Metoda najmanjših kvadratov (črtkano) v primerjavi s popolno izravnavo po MNK (polna črta).
Seveda je smiselna zgornja primerjava odmikov v smeri y in pravokotno samo, če ne upoštevamo uteži 
oziroma so te za vse »meritve« enake (npr. P  I). Pri upoštevanju uteži ne moremo obravnavati pravoko -
tnih oddaljenosti, ampak neke poševne. Če sedaj zgornji primer obravnavamo z enotsko utežno matriko, 
lahko vidimo razliko v rezultatu – vsota kvadratov odmikov točk od regresijske premice:
 – pravokotni odmik od premice: 
22 2
0.78748 0.78649
MNK SMI WTLS
dd d
⊥⊥ ⊥
==>=
∑∑ ∑
 
Aleš Marjetič | IZRAVNAVA PO METODI NAJMANJŠIH KVADRATOV Z UPOŠTEVANJEM POGREŠKOV PRI NEZNANKAH | LEAST-SQUARES ADJUSTMENT TAKING INTO ACCOUNT THE ERRORS IN 
VARIABLES  | 205-218 |

| 215 |
GEODETSKI VESTNIK | 65/2 |
RECENZIRANI ČLANKI | PEER-REVIEWED ARTICLES SI | EN
 – odmik v smeri y od premice: 
22 2
0.89480 0.89593
yy
MNK SMI WTLS
dd d
⊥
==<=
∑∑ ∑
 
Pri enotski utežni matriki za opazovanje (= vhodne koordinate točk) je rešitev za regresijsko premico 
enaka za posredno izravnavo in splošni model izravnave po metodi najmanjših kvadratov. Kot še vidimo, 
je rešitev WTLS taka, da minimizira pravokotni odmik točk od izračunane premice.
3.2 Transformacija koordinat
Različne pristope k iskanju rešitve izravnave obravnavamo na primeru iskanja transformacijskih parametrov 
za prehod iz koordinatnega sistema D48/GK v D96/TM. T o sta prejšnja in aktualna različica slovenskega 
državnega koordinatnega sistema. Obravnava prehoda med obema različicama koordinatnih sistemov 
je aktualna, saj se v vsakdanji uradni geodetski praksi prepletajo podatki o točkah v obeh koordinatnih 
sistemih – točke zemljiškega katastra, stare točke različnih nivojev geodetskih mrež, točke izmere GNSS 
itd. Vprašanje oziroma tematika transformacije med koordinatnima sistemoma D48/GK in D96/TM 
je bila že večkrat obravnavana (Berk, 2017; Berk in Duhovnik, 2007; Marjetič in Pavlovčič, 2018, in 
drugi). Na ravni države oziroma za podatke, katerih skrbnik je Geodetska uprava Republike Slovenije, 
je bila uradno sprejet vsedržavni model trikotniške transformacije (odsekoma afine transformacije, Berk, 
2017). V tej nalogi smo se lotili iskanja transformacijskih parametrov za prehod iz D48/GK v D96/TM 
na lokalnem območju JZ dela Ljubljane na podlagi točk, ki so bile dane v starem koordinatnem sistemu 
in določene z metodo GNSS v novem koordinatnem sistemu (Marjetič in Pavlovčič, 2018).
Preglednica 3: Seznam obravnavanih točk za transformacijo.
D48/GK D96/TM
T y [m] x [m] p
y
p
x
e [m] n [m] σ
e
 [mm] σ
n
 [mm] p
e
p
n
240-C2 461832,4600 99989,5000 1 1 461461,4803 100475,9817 1,2 1,7 10 5
240-C1 461849,9300 99989,2200 1 1 461478,8845 100475,7180 1,4 2,0 8 5
124-C0 459984,0200 99868,1900 1 1 459613,0262 100354,6710 1,5 2,0 8 5
204-C0 459937,1900 101340,7500 1 1 459566,2221 101827,2837 0,4 0,8 25 10
893-C0 456202,4000 99557,5400 1 1 455831,3858 100044,0614 0,2 0,3 40 35
292-C0 454777,1400 100905,6500 1 1 454406,2259 101392,2533 0,7 0,8 10 10
Natančnosti določitve koordinat točk v D48/GK ne navajamo, ker o tem nimamo podatka. Ocenjujemo, 
da so bile koordinate določene s centimetrsko natančnostjo (ali slabše). Natančnost koordinat točk v 
D96/TM izhaja iz rezultatov izmere in izračuna geodetske mreže (Marjetič in Pavlovčič, 2018) in je v 
splošnem nekajkrat boljša kot v D48/GK. Temu ustrezno priredimo tudi uteži posameznim točkam v 
obeh koordinatnih sistemih (preglednica 3).
Obravnavamo 4-parametrično podobnostno transformacijo v ravnini, ki ima obliko:
 
,
e aby c
n bax d
      
= +
      
−
      
 (46)
kjer so:
e, n – koordinate točk v novem koordinatnem sistemu,
y, x – koordinate točk v starem koordinatnem sistemu,
Aleš Marjetič | IZRAVNAVA PO METODI NAJMANJŠIH KVADRATOV Z UPOŠTEVANJEM POGREŠKOV PRI NEZNANKAH | LEAST-SQUARES ADJUSTMENT TAKING INTO ACCOUNT THE ERRORS IN 
VARIABLES  | 205-218 |

| 216 |
| 65/2 | GEODETSKI VESTNIK  
RECENZIRANI ČLANKI | PEER-REVIEWED ARTICLES SI| EN
a, b – parametra transformacije, ki vključujeta spremembo merila in orientacije ( a  m ∙ cos α, b  m∙sin α; 
m – merilo, α – rotacija), ter
c, d – parametra premika izhodišča koordinatnega sistema v smeri x in y.
T ransformacijske parametre izračunamo na štiri različne načine, ki jih obravnavamo v tem prispevku: po 
MNK z upoštevanjem uteži, s postopkom »popolne« izravnave z razcepom SVD brez upoštevanja uteži 
(TLS_SVD) in s postopkom »popolne« izravnave z upoštevanjem uteži (WTLS, preglednica 4). V izra -
čunu obravnavamo reducirane koordinate na težišče mreže v izvornem koordinatnem sistemu (D48/GK).
Preglednica 4: Rezultati izračuna transformacijskih parametrov.
Metoda 
izračuna
Upoštevam 
uteži
a b c [m] d [m] α [˝] m [ppm]
[ ]
0
ˆ m σ
MNK da 0,9999986 0,0000132 -370,98998 486,51088 2,72229 -1,35 0,09911
TLS_SVD ne 0,9999942 0,0000143 -370,98587 486,51985 2,94140 -5,83 /
WTLS da 0,9999948 0,0000140 -370,98617 486,51914 2,89402 -5,18 0,04278
SMI da 0,9999948 0,0000140 -370,98617 486,51914 2,89398 -5,18 0,06051
Iz rezultatov v preglednici 4 vidimo, da metoda WTLS v obravnavanem primeru zagotavlja precej po -
dobne rezultate z ali brez upoštevanja uteži (TLS_SVD) v izravnavi in so tudi enaki rezultatom splošnega 
modela izravnave (SMI), nekoliko je različna samo a-posteriori ocena natančnosti in kot rotacije a.
Zanima nas tudi ocena kakovosti transformacije z vidika primerjave transformiranih koordinat na podlagi 
izračunanih parametrov (preglednici 5 in 6). Pri tej analizi se omejimo samo na izračuna, ki upoštevata 
uteži (WTLS in MNK).
Preglednica 5:  Razlika med transformiranimi in podanimi koordinatami v ciljnem koordinatnem sistemu – izračun po MNK z 
upoštevanjem uteži.
MNK Novi KS (D96/TM) Razlika T ransformirano v D96/TM
T e [m] n [m] de [m] dn [m] e [m] n [m]
240-C2 461461,4803 100475,9817 -0,0178 -0,0065 461461,4625 100475,9752
240-C1 461478,8845 100475,7180 0,0480 -0,0231 461478,9325 100475,6949
124-C0 459613,0262 100354,6710 -0,0028 0,0187 459613,0235 100354,6897
204-C0 459566,2221 101827,2837 -0,0092 -0,0354 459566,2130 101827,2484
893-C0 455831,3858 100044,0614 0,0187 0,0287 455831,4045 100044,0901
292-C0 454406,2259 101392,2533 -0,0617 -0,0363 454406,1642 101392,2170
RMS [m] 0,0338 0,0268
Iz rezultatov izračuna transformacijskih parametrov (preglednice 2–4) lahko razberemo, da so rezultati 
nekoliko drugačni, če izvajamo izravnavo klasično po metodi najmanjših kvadratov z upoštevanjem 
uteži ali pa obravnavamo tudi pogreške pri neznankah (WTLS). Razlike v transformiranih koordinatah 
v D96/TM med MNK in WTLS so reda velikosti centimetra. Z različico metode TLS z razcepom SVD 
dobimo zelo podobne rezultate kot z metodo WTLS. 
Kateri rezultati so boljši, če primerjamo MNK in WTLS? Nekaj parametrov, ki smo jih tu izračunali, 
kaže na boljšo kakovost izravnave po metodi WTLS. Če nam merilo kakovosti predstavlja a-posteriori 
Aleš Marjetič | IZRAVNAVA PO METODI NAJMANJŠIH KVADRATOV Z UPOŠTEVANJEM POGREŠKOV PRI NEZNANKAH | LEAST-SQUARES ADJUSTMENT TAKING INTO ACCOUNT THE ERRORS IN 
VARIABLES  | 205-218 |

| 217 |
GEODETSKI VESTNIK | 65/2 |
RECENZIRANI ČLANKI | PEER-REVIEWED ARTICLES SI | EN
ocena natančnosti, ki jo računamo iz vektorja popravkov meritev/opazovanj (koordinat točk), potem 
je vrednost boljša pri obravnavi WTLS (preglednica 4). Če je podana vrednost standardnega odklona 
a-priori 0,020 m za izhodiščne koordinate v D48/GK in 0,005 m za koordinate v D96/TM, je a-pos -
teriori vrednost za obravnavo po MNK z upoštevanjem uteži pri opazovanjih velikosti približno 10 
centimetrov, če so obravnavani tudi pogreški pri neznankah, pa znaša 4 centimetre. T udi povprečje kva -
dratov odstopanj transformiranih koordinat na podlagi izračunanih parametrov od podanih v končnem/
ciljnem koordinatnem sistemu (preglednici 5 in 6) je pri obravnavi WTLS manjša. Iz tega izhaja, da so 
vrednosti izračunanih transformacijskih parametrov z metodo WTLS določene/izračunane tako, da se 
transformirane koordinate v povprečju bolje prilegajo končnim »merjenim« koordinatam.
Preglednica 6: Razlika med transformiranimi in podanimi koordinatami v ciljnem koordinatnem sistemu – izračun po WTLS.
WTLS Novi KS (D96/TM) Razlika T ransformirano v D96/TM
T e [m] n [m] de [m] dn [m] e [m] n [m]
240-C2 461461,4803 100475,9817 -0,0247 0,0005 461461,4557 100475,9822
240-C1 461478,8845 100475,7180 0,0411 -0,0160 461478,9256 100475,7020
124-C0 459613,0262 100354,6710 -0,0027 0,0278 459613,0235 100354,6988
204-C0 459566,2221 101827,2837 -0,0077 -0,0319 459566,2144 101827,2518
893-C0 455831,3858 100044,0614 0,0330 0,0421 455831,4188 100044,1035
292-C0 454406,2259 101392,2533 -0,0408 -0,0268 454406,1851 101392,2265
RMS [m] 0,0292 0,0275
4 ZAKLJUČEK
K problemu iskanja optimalne rešitve za neznanke v predoločenem sistemu enačb, ki povezujejo opazo -
vanja in neznanke, lahko pristopimo na več načinov. Geodetu je v splošnem najbolj blizu izravnava po 
metodi najmanjših kvadratov, kjer prek Gauss-Markovega modela (1) v linearizirani obliki povežemo 
opazovanja, neznanke in konstante. Rešitev lahko v tem primeru prek sistema normalnih enačb izraču -
namo z ali brez upoštevanja natančnosti oziroma uteži (priredimo vsem meritvam enako utež, na primer 
1) meritev. Tak način obravnave je včasih problematičen. Na primeru iskanja regresijske premice za niz 
točk v ravnini lahko samo eno koordinatno komponento točk obravnavamo kot opazovanje, druga pa 
predstavlja konstanto. Vendar je včasih smiselno, da obe koordinatni komponenti vstopata v model iz -
ravnave kot opazovanji. Glede na matematično povezavo nastopa koordinata x na strani modelne matrike 
A in tako »vsiljuje« obravnavo pogreškov tudi na strani neznank (EIV). Podobna situacija nastane pri 
izračunu transformacijskih parametrov, kjer želimo, da imajo tako točke v izvornem kot tudi v ciljnem 
koordinatnem sistemu v izravnavi status opazovanj. Kot razširitev standardnega postopka izravnave po 
MNK je bil poleg znanega splošnega modela izravnave razvit postopek popolne izravnave po metodi 
najmanjših kvadratov, v strokovni literaturi poznan pod imenom »total least squares« ali TLS. Postopek 
upošteva pogreške na strani neznank oziroma v matriki modela izravnave A, tudi z možnostjo upoštevanja 
uteži (WTLS, angl. weighted total least squares).
V članku smo na računskem primeru izračuna koeficientov regresijske premice in izračuna transfor -
macijskih parametrov predstavili klasično izravnavo po MNK in različico TLS ter primerjali rezultate. 
Regresijska premica niza točk na ravnini, izračunana po postopku TLS, se prilagaja glede na podane 
Aleš Marjetič | IZRAVNAVA PO METODI NAJMANJŠIH KVADRATOV Z UPOŠTEVANJEM POGREŠKOV PRI NEZNANKAH | LEAST-SQUARES ADJUSTMENT TAKING INTO ACCOUNT THE ERRORS IN 
VARIABLES  | 205-218 |

| 218 |
| 65/2 | GEODETSKI VESTNIK  
RECENZIRANI ČLANKI | PEER-REVIEWED ARTICLES SI| EN
natančnosti tako x- kot tudi y-koordinat, kar je smiselno. Pri transformaciji koordinat lahko na podlagi 
izračunanih statistik ugotovimo, da se pri izravnavi po metodi WTLS vrednosti neznak bolje prilagajajo 
točkam v končnem (ciljnem) koordinatnem sistemu. Glede na natančnosti podanih koordinat, ki so v 
končnem koordinatnem sistemu (D96/TM) nekajkrat boljše kot v začetnem (D48/GK), je tak rezultat 
seveda primernejši.
Literatura in viri:
Amiri-Simkooei, A., Jazaeri, S. (2012). Weighted total least squares formulated by 
standard least squares theory. Journal of Geodetic Science, 2 (2), 113–124. 
DOI: https://doi.org/10.2478/v10156-011-0036-5
Amiri-Simkooei, A., Zangeneh-Nejad, F., Asgari, J., Jazaeri, S. (2013). Estimation of 
straight line parameters with fully correlated coordinates. Measurement, 48 
(2014), 378–386. DOI: https://doi.org/10.1016/j.measurement.2013.11.005
Berk, S. (2017). 3TRA – Brezplačni program za transformacijo prostorskih podatko v 
nov referenčni koordinatni sistem Slovenije. Geodetski vestnik, 61 (4), 659–665. 
www.geodetski-vestnik.com/61/4/gv61-4_berk.pdf, pridobljeno 15. 1. 2021.
Berk, S., Duhovnik, M. (2007). Transformacija podatkov geodetske uprave Republike 
Slovenije v novi državni koordinatni sistem. Geodetski vestnik, 51 (4), 803–826. 
http://www.geodetski-vestnik.com/51/4/gv51-4_803-826.pdf, pridobljeno 
15. 1. 2021.
Golub, G. H., Van Loan, C. F . (1980). An Analysis of the Total Least Squares Problem. 
Society for Industrial and Applied Mathematics, 17 (6), 883–893. DOI: https://
doi.org/10.1137/0717073 
Marjetič, A., Pavlovčič-Prešeren, P . (2018). Določitev položajev cerkvenih zvonikov 
v koordinatnem sistemu D96/TM. Geodetski vestnik, 62 (4), 587–603. DOI. 
https://doi.org/10.15292/geodetski-vestnik.2018.04.587-603 
Markovsky, I., Van Huffel, S. (2007). Overview of Total Least-Squares Methods. 
Signal Processing, 87 (10), 2283–2302. DOI. https://doi.org/10.1016/j.
sigpro.2007.04.004 
Neitzel, F . (2010). Generalization of total least-squares on example of unweighted and 
weighted 2D similarity transformation. Journal of Geodesy, 84 (12), 751–762. 
DOI: https://doi.org/10.1007/s00190-010-0408-0 
Neri, F., Saitta, G., Chiofalo, S. (1989). An accurate and straightforward approach to 
line regression analysis of error-affected experimental data. Journal of Physics 
E: Scientific Instruments, 22 (4), 215–217. DOI. https://doi.org/10.1088/0022-
3735/22/4/002 
Soldo, J., Ambrožič, T. (2018). Deformacijska analiza po postopku München. 
Geodetski vestnik, 62 (3), 392–412. DOI: https://doi.org/10.15292/geodetski-
vestnik.2018.03.392-414 
Strang, G., Borre, K. (1997). Linear Algebra, Geodesy, and GPS. Wellesley-Cambridge 
Press, ZDA.
Teunissen, P . J. G. (2003). Adjustment theory – an introduction. Delft: Faculty of 
Civil Engineering and Geosciences, Department of Mathematical Geodesy and 
Positioning, Delft University of Technology.
doc. dr. Aleš Marjetič, univ. dipl. inž. geod.
Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo
Jamova cesta 2, SI-1000 Ljubljana 
e-naslov: amarjeti@fgg.uni-lj.si
Marjetič A. (2021). Izravnava po metodi najmanjših kvadratov z upoštevanjem pogreškov pri neznankah. 
Geodetski vestnik, 65 (2), 205-218. DOI: https://doi.org/10.15292/geodetski-vestnik.2021.02.205-218
Aleš Marjetič | IZRAVNAVA PO METODI NAJMANJŠIH KVADRATOV Z UPOŠTEVANJEM POGREŠKOV PRI NEZNANKAH | LEAST-SQUARES ADJUSTMENT TAKING INTO ACCOUNT THE ERRORS IN 
VARIABLES  | 205-218 |