Gradbeni vestnik • letnik 66 • april 2017 97 VPLIV STIKOVANJA ARMATURNIH PALIC S PREKRIVANJEM NA TOGOST RAZPOKANEGA NATEZNEGA ARMIRANOBETONSKEGA ELEMENTA: NUMERIČNI MODEL• Drago Saje, Igor Planinc, Sebastjan Bratina VPLIV STIKOVANJA ARMATURNIH PALIC S PREKRIVANJEM NA TOGOST RAZPOKANEGA NATEZNEGA ARMIRANOBETONSKEGA ELEMENTA: NUMERIČNI MODEL INFLUENCE OF REBAR LAP SPLICES ON STIFNESS OF TENSIONED REINFORCED CONCRETE ELEMENT: NUMERICAL MODEL doc. dr. Drago Saje, univ. dipl. inž. grad. drago.saje@fgg.uni-lj.si prof. dr. Igor Planinc, univ. dipl. inž. grad. igor.planinc@fgg.uni-lj.si izr. prof. dr. Sebastjan Bratina, univ. dipl. inž. grad. sebastjan.bratina@fgg.uni-lj.si Univerza v Ljubljani, FGG, Jamova 2, Ljubljana ZNANSTVENI ČLANEK UDK UDK 519.876.5:691.328.1 Povzetek l V članku predstavimo preprost numerični model za analizo vpliva stiko- vanja armaturnih palic s prekrivanjem na togost razpokanega nateznega armiranobeton- skega elementa. V numeričnem modelu armaturne palice in betonski ovoj obravnavamo ločeno, stik med njimi pa upoštevamo z nelinearnim modelom konstitucijskega zakona. Materialne parametre modela stika določimo z lastnimi eksperimenti. Ker so posplošene ravnotežne enačbe matematičnega modela nelinearne, te rešimo z deformacijsko meto- do končnih elementov. V modelu razpoke upoštevamo diskretizirano, kot kriterij za pojav razpoke v betonu pa upoštevamo doseg njegove natezne trdnosti. Učinkovitost predstav- ljenega numeričnega modela prikažemo s parametričnimi študijami. Analiziramo vpliv dolžine prekrivanja armaturnih palic in trdnostne lastnosti betonskega ovoja na togost razpokanega armiranobetonskega elementa. Študije so pokazale, da je število razpok v stabiliziranem stanju pri elementih iz betona visoke trdnosti večje kot pri elementih iz betona običajne trdnosti. Posledično so razpoke ožje, kar zagotavlja elementom iz be- tonov visoke trdnosti večjo trajnost. Študije so pokazale tudi, da je lahko potrebna dolžina stikovanja s prekrivanjem za prenos sile z ene armaturne palice na drugo pri elementih iz betona visoke trdnosti zelo majhna. Ključne besede: armiranobetonski element, razpokanost, stikovanje s prekrivanjem, be- ton visoke trdnosti, MKE Summary l The paper presents a relatively straightforward numerical model for the analysis of the influence of rebar lap splices on the stiffness of cracked tensioned reinforced concrete element. The numerical model considers the rebars and the con- crete separately, whereas the contacts between them are considered with nonlinear constitutional model. We defined the material parameters of the model with our own experiments. Due to nonlinear generalized equilibrium equations of the model, they are solved with strained-based finite element method. In the model cracks are considered discretely, whereas for the appearance of cracks in the concrete the tensile strength Gradbeni vestnik • letnik 66 • april 201798 Drago Saje, Igor Planinc, Sebastjan Bratina•VPLIV STIKOVANJA ARMATURNIH PALIC S PREKRIVANJEM NA TOGOST RAZPOKANEGA NATEZNEGA ARMIRANOBETONSKEGA ELEMENTA: NUMERIČNI MODEL criterion is taken into account. The efficiency of the presented numerical model is shown with parametric studies. We analyse the influence of the rebar lap splice lengths and the strength of the concrete on the stiffness of the cracked RC element. Studies show that the number of cracks in stabilized condition is larger for high strength concrete elements than for normal strength concrete. As a consequence, cracks are narrower, which provides better durability to the high strength concrete elements. Studies also show that for high strength concretes the rebar lap splices, required for the transfer of force from one rebar to another, can be very small. Key words: reinforced concrete element, cracking, lap splice, high-strength concrete, FEM 1•UVOD Pojav razpok in njihova velikost pomembno vplivata na togost in trajnost armiranobeton- ske (AB) konstrukcije. Zato moramo skladno z zahtevami evropskega standarda evrokod pri AB-konstrukcijah razpoke omejiti do te mere, da ne ogrožajo uporabnosti oziroma trajnosti konstrukcije ter da ne vplivajo na njen videz [SIST, 2005a]. V normalnih pogo- jih sta število in velikost razpok v konstrukciji odvisna predvsem od količine in razporeditve armature, od debeline krovnega sloja betona in od sprijemne lastnosti stika med betonom in armaturo. Pojav razpok pri AB-konstrukcijah in nji- hovo širjenje sta fizikalno zelo zahtevna procesa. Posledično je tudi matematično modeliranje tega pojava zelo zahtevno. Tako v znanstveni in strokovni literaturi zasledimo predvsem zelo veliko poenostavljenih mod- elov za analizo nastanka in širjenja razpok izoliranih delov konstrukcij. Najpreprostejši tak model je osno obtežen AB-element, sestavljen iz armaturne palice in betonskega ovoja. V sklopu tega preprostega modela predpostavimo, da betonski ovoj razpoka, ko normalna napetost doseže natezno trd- nost betona. V naslednji fazi procesa, ki ga imenujemo faza nastajanja in širjenja razpok, sta nerazpokana dela betonskega ovoja med seboj povezana z armaturno palico in tudi z agregatnimi zrni, ki pov- ezujejo dele betonskega ovoja ob razpoki [Cerioni, 2011]. S povečevanjem obtežbe se širina razpoke povečuje, prav tako pa napetosti v nerazpokanih delih betonskega ovoja. To privede do naslednjih faz procesa, kjer nastajajo nove razpoke. Razpoke v AB- elementu tako nastajajo in se širijo pa tudi krčijo, vse do t. i. stabiliziranega stanja, ko je razdalja med sosednjima razpokama tako majhna, da napetosti v nerazpokanih delih betonskega ovoja kljub povečevanju natezne sile elementa te več ne dosežejo natezne trdnosti betona. To stanje je odvisno od kval- itete oziroma nosilnosti stika med betonom in armaturo, ki določa prenos natezne sile iz armaturne palice v betonski ovoj. Raziskave kažejo, da moramo pri matematičnem mod- eliranju obnašanja stika upoštevati poleg mehanskih lastnosti betona in armature tudi dva različna geometrijsko in konstrukcijsko pogojena načina porušitve stika. Odvisna sta predvsem od debeline krovnega sloja betona in od morebitnega objetja betona. Ko ima AB-element zadostno debelino krovnega sloja betona in ustrezno objetje betona s prečno (strižno) armaturo, nastopi porušitev stika z izvlekom armature, ki je pogojena s strižno porušitvijo betona med rebri arma- turnih palic. Ko pa debelina krovnega sloja betona ni zadostna oziroma betonski ovoj ni objet ali pa je slabo objet, se stik poruši, kot poročajo številni raziskovalci, zaradi razcepljanja okoliškega betona. Radialna obremenitev armature na okoliški beton povzroči, da se ta obnaša kot debelostenski cilinder, povzročena obtežba cilindra pa nastanek nateznih obročnih napetosti. Ko te napetosti dosežejo natezno trdnost be- tona, nastopi porušitev v obliki razcepljanja okoliškega betona. Ta pojav povzroči v modelu konstitucijskega zakona nenaden padec nosilnosti stika med armaturno palico in betonom ([Canbay, 2005], [fib, 2013], [Lagier, 2016a], [Tastani, 2015]). Pogosto zaradi konstrukcijskih razlogov (npr. prekratke palice, faznost gradnje) armaturne palice vzdolž AB-elementa niso neprekinjene. V takih primerih moramo izvesti stikovanje armaturnih palic, običajno s prekrivanjem. Najnovejši eksperimentalni rezultati kažejo, da je tudi v območjih stikovanja armature s prekrivanjem obnašanje stika med be- tonom in armaturnimi palicami podobno kot v območjih, kjer je v betonskem ovoju le ena palica ([Chowdhury, 2012], [Tastani, 2015]). Z razvojem betonov visoke trdnosti in uporabe le-teh v AB-konstrukcijah zasledimo v znan- stveni literaturi tudi eksperimentalne študije obnašanja tovrstnih konstrukcij v območju stikovanja armature s prekrivanjem. Največ raziskav zasledimo pri betonih, ki so ojačeni z jeklenimi vlakni, saj ti zaradi visoke trdnosti betona bistveno izboljšajo mehanske lastnosti stika ([Lagier, 2016a], [Lee, 2016]). Kar nekaj eksperimentalnih raziskav pa se pričakovano osredinja tudi na analizo vpliva stikovanja armature s prekrivanjem na togost upogib- nih AB-elementov ([Gilbert, 2015], [Hassan, 2012], [Mousa, 2015], [Rakhshanimehr, 2014]) in na vpliv stikovanja s prekrivanjem na togost AB-stebrov pri cikličnem obteževanju [Chowdhury, 2012]. Za zdaj pa v literaturi redkeje zasledimo analitične in numerične modele za analizo vpliva stikovanja armatur- nih palic s prekrivanjem na obnašanje AB-ele- mentov. Chowdhury s sodelavci [Chowdhury, 2012] poroča v svojih raziskavah o relativno preprostem analitičnem modelu za analizo cikličnega odziva AB-stebra z upoštevanjem stikovanja armature s prekrivanjem, Tastani s sodelavci [Tastani, 2015] pa podaja poenos- tavljene izraze za analizo napetostnega in de- formacijskega stanja in razpokanosti betona v območju stikovanja armature s prekrivanjem. Nekateri raziskovalci, na primer Lagier in sodelavci [Lagier, 2016b], pa območje stiko- vanja armature s prekrivanjem analizirajo s komercialnimi računalniškimi programi (npr. Abaqus). V članku bomo predstavili nov numerični mod- el za analizo togosti razpokanega nateznega AB-elementa z upoštevanjem stikovanja ar- mature s prekrivanjem. Opisani numerični model predstavlja razširitev modela za analizo togosti razpokanega natezno obremenjenega AB-elementa z neprekinjeno armaturo, ki smo ga predstavili v [Bajc, 2013]. Nastajanje in širjenje razpok bomo v modelu upoštevali z modelom diskretne razpoke [Yankelevsky, 2008], pojav delne povezanosti betonskega ovoja ob razpokah z agregatnimi zrni pa Gradbeni vestnik • letnik 66 • april 2017 99 VPLIV STIKOVANJA ARMATURNIH PALIC S PREKRIVANJEM NA TOGOST RAZPOKANEGA NATEZNEGA ARMIRANOBETONSKEGA ELEMENTA: NUMERIČNI MODEL• Drago Saje, Igor Planinc, Sebastjan Bratina 2•NUMERIČNI MODEL z nelinearnim modelom vzmeti [Rabczuk, 2005]. Konstitucijski zakon stika med beton- skim ovojem in armaturnimi palicami bomo upoštevali z delno modificiranim nelinearnim modelom skladno z literaturo [Fib, 2013], za katerega bomo materialne parametre določili z lastnimi eksperimenti. Učinkovitost razvite- ga numeričnega modela bomo prikazali s parametrično študijo. Pri tem bomo analizirali vpliv dolžine stikovanja s prekrivanjem in trd- nostne lastnosti betonskega ovoja na togost razpokanega AB-elementa. Članek ima poleg uvodnega poglavja še tri poglavja. V drugem poglavju predstavimo bistvene značilnosti numeričnega modela za analizo togosti razpokanega AB-elementa z upoštevanjem stikovanja armature s prekrivan- jem. V tretjem poglavju s parametrično študijo prikažemo učinkovitost predstavljenega numeričnega modela. Na koncu podajamo zaključke in uporabljene vire. 2.1 Osnovne enačbe Obravnavamo natezno obremenjeni AB-ele- ment z začetno dolžino L in s konstantnim prečnim prerezom b/h. Armaturo AB-elemen- ta sestavljata dve palici s premerom Ø in ploščino prečnega prereza As. Palici se na sredini dolžine elementa stikata s prekrivan- jem dolžine l0. Razmik med njima je tolikšen, da je zagotovljen ustrezen prenos sile preko betona z ene palice na drugo. Prva arma- turna palica je na prostem koncu AB-elementa vpeta, druga pa na drugem prostem koncu elementa obtežena z natezno točkovno silo P. Na sliki 1 prikazujemo nerazpokan in razpokan AB-element ter oznake vseh pomem- bnih geometrijskih količin. Slika 1• Nedeformirani in deformirani natezno obremenjeni AB-element. Oznake pomembnih geometrijskih količin. Deformiranje AB-elementa opišemo v ravnini (X, Z) prostorskega desnosučnega Kartezičnega koordinatnega sistema. Pri formulaciji numeričnega modela AB-element razdelimo na tri dele z oznakami a , b in c . Dela a in c sta dela elementa z eno armaturno palico, del b pa določa območje stikovanja armaturnih palic s prekrivanjem. Pripadajoče dolžine označimo z La, Lb = l0 in Lc (glej sliko 1(a)). Za AB-element oziroma za vse njegove dele predpostavimo, da težiščne (referenčne) osi betonskega ovoja in armaturnih palic sov- padajo in ležijo v težiščni osi betonskega ovoja. Z Nj označimo število različnih (ne identičnih) razpok, z Nk pa število nerazpokanih beton- skih odsekov AB-elementa. Širino j-te identične razpoke označimo z rj (j = 1,…,Nj), dolžino k-tega deformiranega in nerazpokanega beton- skega odseka pa z L c,k (k = 1,…,Nk). Z izrazom identična razpoka označujemo razpoke, ki nastopijo sočasno in se jim širina med deformi- ranjem spreminja enako. Osnovne enačbe numeričnega modela za odseka a in c smo detajlno predstavili že drugje [Bajc, 2013], zato jih na tem mestu ne navajamo. Natančneje predstavimo le posplošene ravnotežne enačbe za odsek b in pripadajoče povezovalne enačbe odsekov s pripadajočimi robnimi pogoji. Osnovne predpostavke predstavljenega numeričnega modela so: • ravni prečni prerezi, pravokotni na ne- deformirano referenčno os, ostanejo ravni in pravokotni tudi na deformirano referenčno os, Gradbeni vestnik • letnik 66 • april 2017100 pp bc,X, in pp bX,s, pa so tangentne (strižne) kom- ponente kontaktne linijske obtežbe na stiku med betonskim ovojem in p-to armaturno palico. Oznaka (•)' v enačbah (1)–(9) in v nadaljevanju pomeni odvod količine po mate- rialni koordinati x, s katero identificiramo delec AB-elementa na referenčni osi. Sistem enačb (1)–(9), s katerimi opišemo obnašanje AB- elementa na območju stikovanja armaturnih palic s prekrivanjem, imenujemo posplošene ravnotežne enačbe AB-elementa na odseku b . Sestavlja ga 15 enačb za prav toliko neznanih količin (p = 1, 2): uc,b, ,bs, pu pb∆ , εc,b, p bs,å , Nc,b, pN bs, , pp bc,X, in pp bX,s, . S povezovalnimi enačbami povežemo posplošene ravnotežne enačbe dela a in b oziroma dela b in ʻc v AB-element: (10a) (10b) Robni pogoji za osni pomik oziroma osno silo na začetku oziroma koncu armaturne palice so: (11) Robna pogoja za nerazpokan betonski ovoj pa sta: (12a) Ko betonski ovoj razpoka, se pojavijo do- datni robni pogoji na betonskem ovoju. Pri j-ti razpoki (j = 1,…,Nj) sta dodatna robna pogoja na koncu levega nerazpokanega betonskega • oblike in velikosti prečnih prerezov beton- skega ovoja in armaturnih palic se med deformiranjem ne spreminjajo, • betonski ovoj se v nategu obnaša lin- earno elastično do pojava razpoke; ta nastane takrat, ko beton doseže natezno trdnost, • armaturna palica se obnaša linearno elastično do meje plastičnosti, • razpokanost AB-elementa upoštevamo z modelom diskretne razpoke, • velikost zamikov na stiku med betonskim ovojem in armaturno palico je relativno majhna, konstitucijski zakon stika je ne- linearen, • pojav delne povezanosti betonskih ovojev ob razpoki z agregatnimi zrni modelira- mo z nelinearno vzmetjo. Skladno z omenjenimi predpostavkami sestav- ljajo kinematične, ravnotežne in konstitucijske enačbe AB-element na delu b , tj. na območju stikovanja armaturnih palic s prekrivanjem, naslednji sistem navadnih diferencialnih in algebrajskih enačb (p = 1, 2): • kinematične enačbe: (1) (2) (3) • ravnotežne enačbe: (4), (5) (6) • konstitucijske enačbe: (7) (8) (9) Pomen oznak v enačbah (1) do (9) je nasled- nji (p = 1, 2): uc,b in pu bs, so vzdolžni pomiki referenčne osi betonskega ovoja oziroma p-te armaturne palice, pb∆ je zamik na stiku med betonskim ovojem in p-to armaturno palico, εc,b in p bs,å označujejo specifično spre- membo dolžine betonskega ovoja oziroma armaturnih palic, Nc,b in pN bs, so osne sile,  kinematične enačbe: 0ε' bc,bc, u , (1) 0ε' bs,bs,  ppu , (2) bc,bs,b uu pp  , (3)  ravnotežne enačbe: 0' 2 1 bc,X,bc,  k ppN , (4) 0' bX,s,bs,  pp pN , (5) pp pp bX,s,bc,X,  , (6)  konstitucijske enačbe: bc,ccbc, εAEN  , (7) pp AEN bs,ssbs, ε , (8) )( bbc,X, ppp fp  . (9) )0()( bc,aac, uLu  , )0()( 1 bs,a 1 as,   pp uLu , (10a) )0()( cc,bbc, uLu  , )0()( 2 cs,b 2 bs,   pp uLu . (10b) Robni pogoji za osni pomik oziroma osno silo na začetku oziroma koncu armaturne palice so: i ti : ' bc,bc, , ' ,, , ,, , t : ' ,,, , ' , ,, , , ,,, , tit ij : ,, , ,, , ,, f . ,, , ,, , ,, , ,, . i ji i i i il t i t li :  kinematične enačbe: 0ε' bc,bc, u , (1) 0ε' bs,bs,  ppu , (2) bc,bs,b uu pp  , (3)  ravnotežne enačbe: 0' 2 1 bc,X,bc,  k ppN , (4) 0' bX,s,bs,  pp pN , (5) pp pp bX,s,bc,X,  , (6)  konstitucijske enačbe: bc,ccbc, εAEN  , (7) pp AEN bs,ssbs, ε , (8) )( bbc,X, ppp fp  . (9) )0()( bc,aac, uLu  , )0()( 1 bs,a 1 as,   pp uLu , (10a) )0()( cc,bbc, uLu  , )0()( 2 cs,b 2 bs,   pp uLu . (10b) Robni pogoji za osni pomik oziroma osno silo na začetku oziroma koncu armaturne palice so:  kinematične enačbe: 0ε' bc,bc, u , (1) 0ε' bs,bs,  ppu , (2) bc,bs,b uu pp  , (3)  ravnotežne enačbe: 0' 2 1 bc,X,bc,  k ppN , (4) 0' bX,s,bs,  pp pN , (5) pp pp bX,s,bc,X,  , (6)  konstitucijske enačbe: bc,ccbc, εAEN  , (7) pp AEN bs,ssbs, ε , (8) )( bbc,X, ppp fp  . (9) )0()( bc,aac, uLu  , )0()( 1 bs,a 1 as,   pp uLu , (10a) )0()( cc,bbc, uLu  , )0()( 2 cs,b 2 bs,   pp uLu . (10b) Robni pogoji za osni p mik oziroma osno silo na začetku oziroma koncu armaturne palice so: odseka Lc,k oziroma na začetku desnega be- tonskega odseka Lc,k+1 naslednja: (12b) kjer smo z Nr (rj) označili osno silo v nelin- earni vzmeti, s katero modeliramo pojav delne povezanosti betonskih ovojev ob razpoki z agregatnimi zrni. 2.2 Konstitucijski zakoni Konstitucijska zakona obravnavanega natezno obremenjenega AB-elementa ločeno določata modela za beton in jeklo. Za natezno obremenjeni beton velja do nastanka razpok linearna elastična zveza (tj. do natezne trd- nosti betona), za armaturni palici pa do meje plastičnosti. Dodatno pa konstitucijske zakone AB-elementa določajo tudi model stika med betonskim ovojem in armaturno palico ter model vzmeti, s katerim opišemo stopnjo povezanosti betonskih ovojev ob razpoki z agregatnimi zrni. Ker sta linearno elastična modela konstitucijskega zakona za beton in jeklo zelo preprosta (glej enačbi (7) in (8)), v nadaljevanju detajlneje opišemo le nelin- earna konstitucijska zakona stika oziroma vzmeti. 2.2.1 Konstitucijski zakon stika V literaturi [Fib, 2000] lahko zasledimo ve- liko eksperimentalnih raziskav o stopnji pov- ezanosti (stika) med betonom in armaturno palico. Največkrat raziskovalci opišejo zvezo v obliki funkcijske zveze med zamikom ∆ in strižno (sprijemno) napetostjo τ . Omenili smo že, da je ta zveza odvisna tudi od načina 0)0(1as,  pu , 0)( b 1 bs,   LNp in 0)0(2bs,  pN , PLNp  )( c 2 cs, . (11) Robna pogoja za nerazpokan betonski ovoj pa sta: 0)0(ac, N , 0)( ccc, LN . (12a) )()( rk,c jk rNLN  , )()0( r1,c jk rNN  , (12b) pp cX,   p = f p (p), (13) crr )(σ)( ArrN jj  , (14) 0)0(1as,  pu , 0)( b 1 bs,   LNp in 0)0(2bs,  pN , PLNp  )( c 2 cs, . (11) Robna pogoja za nerazpokan betonski ovoj pa sta: 0)0(ac, N , 0)( ccc, LN . (12a) )()( rk,c jk rNLN  , )()0( r1,c jk rNN  , (12b) pp cX,   p = f p (p), (13) crr )(σ)( ArrN jj  , (14) 0)0(1as,  pu , 0)( b 1 bs,   LNp in 0)0(2bs,  pN , PLNp  )( c 2 cs, . (11) Robna pogoja za nerazpokan betonski ovoj pa sta: 0)0(ac, N , 0)( ccc, LN . (12a) )()( rk,c jk rNLN  , )()0( r1,c jk rNN  , (12b) pp cX,   p = f p (p), (13) crr )(σ)( ArrN jj  , (14) 0)0(1as,  pu , 0)( b 1 bs,   LNp in 0)0(2bs,  pN , PLNp  )( c 2 cs, . (11) Robna pogoja za nerazpokan betonski ovoj pa sta: 0)0(ac, N , 0)( ccc, LN . (12a) )()( rk,c jk rNLN  , )()0( r1,c jk rNN  , (12b) pp cX,   p = f p (p), (13) crr )(σ)( ArrN jj  , (14) Slika 2• Konstitucijski zakoni stika med betonom in armaturo: (a) zakona skladno z literaturo [Fib, 2013], (b) modificiran zakon stika. Drago Saje, Igor Planinc, Sebastjan Bratina•VPLIV STIKOVANJA ARMATURNIH PALIC S PREKRIVANJEM NA TOGOST RAZPOKANEGA NATEZNEGA ARMIRANOBETONSKEGA ELEMENTA: NUMERIČNI MODEL  kinematične enačbe: 0ε' bc,bc, u , (1) 0ε' bs,bs,  ppu , (2) bc,bs,b uu pp  , (3)  ravnotežne enačbe: 0' 2 1 bc,X,bc,  k ppN , (4) 0' bX,s,bs,  pp pN , (5) pp pp bX,s,bc,X,  , (6)  konstitucijske enačb : bc,ccbc, εAEN  , (7) pp AEN bs,ssbs, ε , (8) )( bbc,X, ppp fp  . (9) )0()( bc,aac, uLu  , )0()( 1 bs,a 1 as,   pp uLu , (10a) )0()( cc,bbc, uLu  , )0()( 2 cs,b 2 bs,   pp uLu . (10b) Robni p goji za sni p mik oziroma osno silo na začetku oziroma koncu armaturne palice so: posplošene ravnotežne enačbe za odsek b in pripadajoče povezovalne enačbe odsekov s pripadajočimi robnimi pogoji. Osnovne predpostavke predstavljenega numeričnega modela so: ravni prečni prerezi, pravokotni na nedeformirano referenčno os, ostanejo ravni in pravokotni tudi na deformirano referenčno os, oblike in velikosti prečnih prerezov betonskega ovoja in armaturnih palic se med deformiranjem ne spreminjajo, betonski voj se v nategu bnaša linearno elastično do pojava razpoke; ta nastane takrat, ko beton doseže natezno trdnost, armaturna palica se obnaša linearno elastično do meje plastičnosti, razpokanost AB-elementa upoštevamo z modelom diskretne razpoke, velikost zamikov na stiku med betonskim ovojem in armaturno palico je relativno majhna, konstitucijski za on stika je nelinearen, pojav deln povezanosti etonskih vojev ob razpoki z agregat imi zrni modeliramo z nelinearno vzmetjo. Skladno z omenjenimi predpostavkami sestavljajo kinematične, ravnotežne in konstitucijske enačbe AB-element na delu b , tj. na območju stikovanja armaturnih palic s prekrivanjem, naslednji sistem navadnih diferencialnih in algebrajskih enačb (p = 1, 2): kinematične enačbe: 0ε' bc,bc, , (1) 0ε' bs,bs, =− ppu , (2) bc,bs,b uu pp , (3) ravnotežne enačbe: posplošene ravnotežne enačbe za odsek b in pripadajoče povezovalne enačbe odsekov s pripadajočimi robnimi pogoji. Osnovne predpostavke predstavljenega numeričnega modela so: ravni prečni prerezi, pravokotni na nedeformirano ref renčno os, ostanejo ravni in pravokotni tudi na deformirano referenčno os, oblike in velikosti prečnih prerezov betonskega ovoja in armaturnih palic se med deformiranjem ne spreminjajo, betonski ovoj se v nategu obnaša linearno elastično do pojava razpoke; ta nastane takrat, ko beton doseže natezno trdnost, armaturn palica se obnaša linearno elastično do meje plastičnosti, razpokan st AB-elementa upoštevamo z modelom diskretne razpoke, velikost zamikov na stiku med betonskim ovojem in armaturno palico je relativno majhna, konstitucijski zakon stika je nelinearen, pojav delne povezanosti betonskih ovojev ob razpoki z agregatnimi zrni modeliramo z nelinearno vz etjo. Skladno z omenjenimi stavkami estavljajo kinematične, ravnotežne in konstitucijske enačbe AB-element na delu b , tj. na območju stikovanja armaturnih palic s prekrivanjem, naslednji sistem navadnih diferencialnih in algebrajskih enačb (p = 1, 2): kinematične enačbe: 0ε' bc,bc,u , (1) 0ε' bs,bs, ppu , (2) bc,bs,b uu pp −=∆ , (3) ravnotežne enačbe: ( ) bsbs pp ( ) bcbsb pp ( ) r 2 1 bcbc k p ( ) bsbs pp ( ) pp bsbc ( ) bcccbc ( ) pp bsssbs ( ) )( bbc ppp ( ) )()( bcaac )()( 1 bsa 1 as  pp ( ) )()( ccbbc )()( 2 csb 2 bs  pp ( ) r r r r i ti : ' c,c, , ' ,, , ,, , t : ' ,,, , ' , ,, , , ,,, , tit ij : ,, , ,, , ,, . ,, , ,, , ,, , ,, . i ji i i i il t i t li :  inematične enačbe: 0ε' bc,bc, u , (1) 0ε' c,bc,b u , (2) bc,bs,b uu pp  , (3)  ravnotežne e ačbe: 0' 2 1 bc,X,bc,  k ppN , (4) 0' bX,s,bs,  pp pN , (5) pp pp bX,s,bc,X,  , (6)  konstitucijske enačbe: bc,ccbc, εAEN  , (7) pp AEN bs,ssbs, ε , (8) )( bbc,X, ppp fp  . (9) )0()( bc,aac, uLu  , )0()( 1 bs,a 1 as,   pp uLu , (10a) )0()( cc,bbc, uLu  , )0()( 2 cs,b 2 bs,   pp uLu . (10b) Robni pogoji za osni pomik oziroma osno silo na začetku oziroma koncu armaturne palice so: ε ε Gradbeni vestnik • letnik 66 • april 2017 101 porušitve stika. Stik se lahko poruši strižno z izvlekom armaturne palice oziroma zaradi razcepljanja okoliškega betona. Značilna konstitucijska modela stika za oba načina porušitve prikazujemo skladno z literaturo [Fib, 2013] na sliki 2(a). V predstavljenem numeričnem modelu uporabimo nekoliko modificirano obliko modela konstitucijskega zakona stika, ki predpostavi porušitev stika z izvlekom, in sicer v obliki odsekoma lin- earne zveze (slika 2(b)). V modelu smo s τ1 označili strižno napetost na meji elastičnosti, s τu strižno (sprijemno) trdnost stika, s τ2 pa preostalo strižna trdnost, z ∆1 do ∆4 pa pripadajoče zamike. V numeričnem modelu zakon stika (glej enačbo (9)) določa zveza med strižno kom- ponento kontaktne linijske obtežbe pp cX, na stiku med betonskim ovojem in p-to armaturno palico in pripadajočim zamikom. Zvezo med sprijemno napetostjo τ p in kontaktno linijsko obtežbo pp cX, predstavlja zveza (p = 1, 2): (13) kjer smo predpostavili konstantno sprem- injanje sprijemne napetosti τ p po obodu 0)0(1as,  pu , 0)( b 1 bs,   LNp in 0)0(2bs,  pN , PLNp  )( c 2 cs, . (11) Robna pogoja za nerazpokan betonski ovoj pa sta: 0)0(ac, N , 0)( ccc, LN . (12a) )()( rk,c jk rNLN  , )()0( r1,c jk rNN  , (12b) pp cX,   p = f p (p), (13) crr )(σ)( ArrN jj  , (14) Slika 3• Kalup za izdelavo preizkušancev. Slika 4• Naprava za izvedbo izvlečnega testa (angl. pull-out testa) in geometrijski podatki preizkušanca. VPLIV STIKOVANJA ARMATURNIH PALIC S PREKRIVANJEM NA TOGOST RAZPOKANEGA NATEZNEGA ARMIRANOBETONSKEGA ELEMENTA: NUMERIČNI MODEL• Drago Saje, Igor Planinc, Sebastjan Bratina Gradbeni vestnik • letnik 66 • april 2017102 armaturne palice. V predstavljenem pris- pevku materialne parametre modela stika med betonskim ovojem in armaturnimi pali- cami določimo z eksperimentalnimi rezultati izvlečnega testa skladno s standardom SIST EN 10080:2005 [SIST, 2005b], ki sta ga izvedla Saje in Lopatič [Saje, 2016]. V nad- aljevanju na kratko opišemo potek eksperi- menta. Preizkušanec je betonska kocka z robom dolžine 20 cm, v katero je vbetonirana armaturna palica s premerom Ø = 12 mm. Za izdelavo preizkušancev smo uporabili pose- ben leseni kalup, ki nam je omogočal izde- lavo večjega števila preizkušancev hkrati (glej sliko 3). Izvlečni preizkus smo opravili s pomočjo elektrohidravličnega preizkuševalnega stro- ja Instron 1345 kapacitete ±1000 kN. Na sliki 4 prikažemo dimenzije preizkušanca za izvlečni test, ki smo jih določili glede na premer uporabljene armaturne palice. Objetje armaturne palice z betonom zagotovimo pri dolžini 5Ø oziroma 6 cm. Na preostalih 14 cm pa preprečimo sprijemnost med arma- turno palico in betonom z gumijasto cevko. Preizkušanec med testom stoji na gumijasti podlagi (7) in dodatni jekleni ploščici (6). Ar- maturno palico med preizkušanjem vpnemo v spodnjo čeljust (5) preizkuševalnega stroja. V zgornjo čeljust (1) vpnemo podporno jekleno kletko. Spodnjo in zgornjo ploščo kletke povežemo s štirimi navojnimi pali- cami. Na zgornjem, neobremenjenem koncu armaturne palice z elektronsko merilno urico (2) merimo zamik palice glede na zgornjo ploskev betonskega preizkušanca. Na arma- turno palico namestimo ekstenziometer (4), s katerim merimo njeno specifično deforma- cijo. Natezno obremenjevanje preizkušanca izvedemo z vodenim premikanjem spodn- jega bata preizkuševalnega stroja s hitrostjo 0,01 mm/s. Pred začetkom preiskave nas- tavimo maksimalni hod bata na 50 mm. Izvlečni test izvajamo do porušitve stika med armaturo in betonom ali do mejnega hoda hidravličnega bata, če se ta zgodi prej. S preizkuševalnim strojem, ustrezno merilno opremo in programsko opremo za zajem podatkov izmerimo silo na poteznem koncu armaturne palice in zamik prostega konca armaturne palice. Pri določitvi sprijemne napetosti upoštevamo predpostavko o ena- komerni razporeditvi napetosti vzdolž sidrne dolžine. S tem je sprijemna napetost definira- na kot količnik med silo in nazivno ploščino plašča palice na sidrni dolžini. Preizkus smo opravili za kocko iz betona običajne trdnosti (NSC) in za kocko iz be- tona visoke trdnosti (HSC). Rezultate meritev prikazujemo na sliki 5. Parametre odsekoma linearnega modela konstitucijskega zakona stika (črtkane črte na sliki 5) določimo tako, da se konstitucijski diagram najbolj prileže rezultatom eksperimenta. Zberemo jih v preglednicah na sliki 5, in sicer ločeno za NSC in HSC. Na sliki 5 dodatno prikažemo še modela konstitucijskega zakona stika za oba načina porušitve skladno z literaturo [Fib, 2013]. 2.2.2 Konstitucijski zakon vzmeti Konstitucijski zakon vzmeti, s katerim mod- eliramo delno povezanost betonskega ovoja ob razpoki z agregatnimi zrni, povzamemo po literaturi [Rabczuk, 2005] in ga prikazujemo na sliki 6. Podajnost vzmeti je odvisna od natezne trdnosti betona fct in energije loma betona Gf. Največjo širino razpoke označimo z wcrit in jo določimo skladno z izrazom: wcrit = 2Gf / (fct (αt+βt)). Konstitucijsko zvezo med normalno napetostjo σr in širino razpoke r določa bilinearna zveza na sliki 6. Konstituci- jska zveza, prirejena za AB-element, pa je: (14) kjer je Ac ploščina prečnega prereza beton- skega ovoja. 2.3 Reševanje enačb Zaradi nelinearnih konstitucijskih zvez je seve- da matematični model nateznega AB-elemen- ta nelinearen in zanj analitičnih rešitev ne poznamo. Zato ga rešimo numerično, in sicer z deformacijsko metodo končnih elementov. Zaradi zaporednega pojavljanja razpok mora- mo posplošene diskretne ravnotežne enačbe rešiti z inkremento-iteracijskim postopkom. De- tajle takega reševanja diskretnih posplošenih ravnotežnih enačb smo natančneje opisali v literaturi [Bajc, 2013]. Slika 4• Modificirana konstitucijska zakona stika in pripadajoči materialni parametri za betonski ovoj iz: (a) NSC, (b) HSC. Slika 6• Konstitucijski zakon delne povezanosti betonskih ovojev ob razpoki z agregatnimi zrni [Rabc- zuk, 2005]. 0)0(1as,  pu , 0)( b 1 bs,   LNp in 0)0(2bs,  pN , PLNp  )( c 2 cs, . (11) Robna pogoja za nerazpokan betonski ovoj pa sta: 0)0(ac, N , 0)( ccc, LN . (12a) )()( rk,c jk rNLN  , )()0( r1,c jk rNN  , (12b) pp cX,   p = f p (p), (13) crr )(σ)( ArrN jj  , (14) Gradbeni vestnik • letnik 66 • april 2017 103 Slika 7• Natezni AB-element s prekinjeno vzdolžno armaturo. 3•PARAMETRIČNA ŠTUDIJA S parametrično študijo prikažemo učinkovitost predstavljenega numeričnega modela za analizo togosti razpokanega AB-elementa z upoštevanjem stikovanja armaturnih palic s prekrivanjem. Parametrično študijo vpli- va stikovanja opravimo za različne dolžine prekrivanja armaturnih palic ter za betonski ovoj iz betona običajne trdnosti (NSC) in iz betona visoke trdnosti (HSC). 3.1 Osnovni geometrijski podatki Obravnavamo natezni AB-element z dolžino L = 80 cm in s pravokotnim prečnim prerezom dimenzij b/h = 7,2/10,8 cm (glej sliko 7). Ele- ment je armiran z rebrasto armaturno palico premera Ø = 12 mm. V osrednjem delu AB- elementa je izvedeno stikovanje armaturnih palic s prekrivanjem, in sicer pri dolžini l0. AB-element modeliramo z 80 deformacijskimi linijskimi končnimi elementi. Število prostost- nih stopenj je 2641 (element z neprekinjeno armaturno palico [Bajc, 2013]). V sklopu parametrične študije najprej določimo projektno dolžino prekrivanja l0 skladno s standardom SIST EN 1992-1-1:2005 [SIST, 2005a]. Določimo jo za mejna stanja upo- rabnosti (MSU) in za mejna stanja nosilnosti (MSN). Vrednosti zberemo v preglednici 1. Ker so vrednosti prekrivanja armaturnih palic skladno s standardom [SIST, 2005a] različne, v parametrični študiji vpliva stikovanja na tog- ost AB-elementa iz betona običajne trdnosti (NSC) izberemo tri različne dolžine prekrivan- ja: NSC0l = 10, 20 oz. 30Ø. Ker so pri betonih visoke trdnosti projektne dolžine prekrivanja zaradi višjih sprijemnih trdnosti precej manjše, se v sklopu te parametrične študije odločimo še za dolžino 5Ø, tako da pri HSC analiziramo vpliv stikovanja na togost elementa za štiri različne dolžine prekrivanja: HSC0l = 5, 10, 20 in 30Ø (preglednica 1). 3.2 Materialni podatki V parametrični študiji materialne parame- tre betona NSC in HSC določimo skladno s standardom [SIST, 2005a] na osnovi iz- merjenih vrednosti tlačnih trdnosti betonov (glej razdelek 2.2.1). Materialne parametre armaturnih palic pa povzamemo po [SIST, 2005a]. Izmerjene oziroma izbrane vrednosti parametrov so naslednje: • za beton običajne trdnosti (NSC): fcm,cube = 4,9 kN/cm2, elastični modul Preglednica 1• Spreminjanje dolžine prekrivanja armaturnih palic skladno s standardom [SIST, 2005a] in izbrane dolžine v parametrični študiji Slika 8• AB-element iz NSC. Pojavljanje in razporeditev razpok v stabiliziranem stanju: (a) brez stiko- vanja armature, (b) za stikovanje s prekrivanjem v dolžini NSC 0l = 10Ø, (c) 20Ø in (d) 30Ø. SIST EN 1992-1-1 MSU MSN parametrična študija NSC 0l 26,5Ø 40Ø 10, 20 oz. 30Ø HSC 0l 19Ø 28Ø 5, 10, 20 oz. 30Ø Ec = 3350 kN/cm2, natezna trdnost fct = 0,31 kN/cm2, • za beton visoke trdnosti (HSC): fcm,cube = 8,1 kN/cm2, Ec = 3900 kN/cm2 in fct = 0,44 kN/cm2, • za armaturni palici: elastični modul Es = 20000 kN/cm2 in mejo elastičnosti fyk = 50 kN/cm2; natezna sila na meji plastičnosti je Pmej = Py = 56,5 kN. Za materialne parametre zakona stika upo- rabimo rezultate izvlečnega testa, predstav- ljene v razdelku 2.2.1. Pri tem predpostavimo porušitev stika z izvlekom armaturne palice. Parametri so prikazani v preglednici na sliki 5, ločeno za NSC in HSC. Tudi materialne para- metre nelinearne vzmeti, s katero upoštevamo vpliv delne povezanosti betonskih ovojev ob razpoki z agregatnimi zrni (glej sliko 6), izberemo za ovoj iz betona običajne trdnosti (NSC): lomna energija betona Gf = 90 N/m, αt = 0,14, βt = 0,2335, mejna širina razpoke wcrit = 0,155 mm, ter za ovoj iz betona visoke trdnosti (HSC): Gf = 120 N/m, αt = 0,14, βt = 0,1945 in wcrit = 0,163 mm. Gradbeni vestnik • letnik 66 • april 2017104 Drago Saje, Igor Planinc, Sebastjan Bratina•VPLIV STIKOVANJA ARMATURNIH PALIC S PREKRIVANJEM NA TOGOST RAZPOKANEGA NATEZNEGA ARMIRANOBETONSKEGA ELEMENTA: NUMERIČNI MODEL Slika 9• AB-element iz NSC. Vpliv dolžine prekrivanja armaturne palice na: (a) spreminjanje dolžine elementa, (b) spreminjanje širine prve identične razpoke r1. Slika 10• AB-element iz NSC. Potek osne sile v betonskem ovoju in armaturnih palicah za stikovanje s prekrivanjem pri dolžini 20Ø: (a) tik pred ( = 25,79 kN) in (b) tik po nastanku prvih identičnih razpok r1 ( = 25,79 kN). Gradbeni vestnik • letnik 66 • april 2017 105 3.3 Analiza vpliva dolžine prekrivanja arma- turnih palic (AB-element iz NSC) V parametrični študiji najprej analiziramo vpliv dolžine prekrivanja armaturnih palic na zaporedje pojavljanja razpok (r1, r2 …) in razporeditev razpok v stabiliziranem stanju pri AB-elementu iz NSC (glej sliko 8). Za primer- javo prikažemo na sliki 8 tudi rezultate analize AB-elementa z neprekinjeno armaturno palico. Pri AB-elementu brez stikovanja armature se prva razpoka r1 pojavi na sredini dolžine elementa pri natezni sili P = 25,97 kN, za AB-elemente s stikovanjem armature pa se v vseh treh analiziranih primerih pojavita sočasno dve identični razpoki, pričakovano na začetku oziroma koncu stikovanja ar- maturnih palic. Pripadajoče natezne sile so: P = 25,28 kN ( NSC0l = 10Ø), 25,79 kN (20Ø) in 26,57 kN (30Ø). S povečevanjem obtežbe P se v vseh primerih dodatno pojavita še dve identični razpoki r2, razen v elementu z dolžino prekrivanja 30Ø. Na sliki 9(a) in 9(b) prikazujemo za vse obravnavane AB-elemente spreminjanje dolžine betonskega elementa oziroma sprem- injanje širine prve razpoke r1 v odvisnosti od velikosti natezne sile P. S primerjavo rezulta- tov nedvoumno ugotovimo, da ima dolžina prekrivanja velik vpliv na togost razpokanega AB-elementa ter tudi na spreminjanje širine prve razpoke r1. Za AB-element s prekrivan- jem 10Ø je togost bistveno manjša od tog- osti AB-elementa brez stikovanja armature. Ko dolžino prekrivanja povečamo na 20Ø, se togost razpokanega AB-elementa bistveno poveča, vendar je pri visokih nivojih natezne sile (P > 40 kN) še vedno manjša od tog- osti AB-elementa brez stikovanja armature. Za dolžino prekrivanja armaturne palice 30Ø se togost AB-elementa še dodatno poveča. Zdaj je ta v celoti primerljiva s togostjo AB-elementa brez prekinjanja armature tudi pri visokih nivo- jih natezne osne sile. Dodatno lahko tudi ugo- tovimo, da je sprememba dolžine razpokanega AB-elementa s stikovanjem armature pri dolžini 30Ø celo manjša od spremembe dolžine elementa brez stikovanja. Je pa širina prve identične razpoke r1 za vse elemente s stiko- VPLIV STIKOVANJA ARMATURNIH PALIC S PREKRIVANJEM NA TOGOST RAZPOKANEGA NATEZNEGA ARMIRANOBETONSKEGA ELEMENTA: NUMERIČNI MODEL• Drago Saje, Igor Planinc, Sebastjan Bratina Slika 11• AB-element iz HSC. Pojavljanje in razporeditev razpok v stabiliziranem stanju: (a) brez stiko- vanja armature, (b) za stikovanje s prekrivanjem v dolžini 5Ø, (c) 10Ø, (d) 20Ø in (e) 30Ø. Slika 12• AB-element iz HSC. Vpliv dolžine prekrivanja armaturne palice na: (a) spreminjanje dolžine elementa, (b) spreminjanje širine prve identične razpoke r1. vanjem armature s prekrivanjem vedno večja od širine prve razpoke pri AB-elementu brez stikovanja armature. Zanimivo je tudi, da se ob pojavu druge identične razpoke r2 širina prve razpoke r1 nekoliko zmanjša. V vseh primerih pa širina prve razpoke že takoj po nastanku preseže vrednost 0,2 mm. Zato je v teh primerih vpliv delne povezanosti betonskega ovoja ob razpoki z agregatnimi zrni zane- marljiv, saj je širina razpoke večja od kritične širine wcrit = 0,155 mm, ki še zagotavlja prenos normalnih napetosti σr med sosednjima ner- azpokanima deloma betonskega ovoja (glej sliko 6). Gradbeni vestnik • letnik 66 • april 2017106 Na sliki 10 za AB-element z dolžino prekrivanja 20Ø prikazujemo potek osne sile v betonskem ovoju oziroma v obeh armaturnih palicah tik pred nastankom oziroma tik po nastanku prve identične razpoke r1, torej pri sili P = 25,79 kN. Tik pred nastankom prvih identičnih razpok r1 je na mestu predvidenega nastanka razpoke napetost v betonskem ovoju enaka natezni trdnosti betona, armaturni palici pa sta skoraj neobremenjeni. Takoj po nastanku razpoke pa napetost v betonskem ovoju na tem mestu pade na nič, tako da celotno obremenitev AB- elementa prevzame armaturna palica. 3.4 Analiza vpliva dolžine prekrivanja arma- turnih palic (AB-element iz HSC) Podobno parametrično študijo vpliva stiko- vanja armaturnih palic s prekrivanjem smo Slika 13• Potek osne sile v betonskem ovoju in armaturnih palicah v AB-elementu iz HSC za stikovanje s prekrivanjem 20Ø: (a) tik pred nastankom in (b) tik po nastanku prvih razpok r1. Drago Saje, Igor Planinc, Sebastjan Bratina•VPLIV STIKOVANJA ARMATURNIH PALIC S PREKRIVANJEM NA TOGOST RAZPOKANEGA NATEZNEGA ARMIRANOBETONSKEGA ELEMENTA: NUMERIČNI MODEL izdelali še za AB-element iz betona visoke trdnosti (HSC). Tako lahko analiziramo tudi vpliv kvalitete betona na togost nateznega AB- elementa. Rezultate analize prikazujemo v is- tem zaporedju, kot smo jih prikazali v razdelku 3.3. Na sliki 11 tako najprej prikažemo v AB-elementu zaporedje pojavljanja razpok (r1, r2 …) in njihovo razporeditev v stabiliziranem stanju v odvisnosti od dolžine prekrivanja armaturnih palic. Prve identične razpoke r1 se pojavijo na enakih mestih kot pri AB-elementih iz NSC, le natezne sile so zaradi višje natezne trdnosti betona nekoliko večje. Tako se v AB- elementu brez stikovanja armaturnih palic prva razpoka pojavi pri sili P = 36,26 kN, v AB-elementih s stikovanjem armaturnih palic pa sočasno na začetku oziroma koncu stiko- vanja. Pripadajoče natezne sile so: P = 35,27 kN ( HSC0l = 5Ø), 35,63 kN (10Ø), 35,73 kN (20Ø) in 35,80 kN (30Ø). S povečevanjem natezne sile se pojavljajo nove razpoke. Nji- hovo število je v stabiliziranem stanju precej večje kot pri AB-elementih iz NSC, in to ne glede na dolžino prekrivanja. Zanimivo je, da se za dolžini prekrivanja 20Ø oz. 30Ø razpoke pojavijo tudi na območju stikovanja armaturnih palic. V nadaljevanju na sliki 12(a) in 12(b) prikažemo še spreminjanje dolžine beton- skega ovoja oziroma spreminjanje širine prvih identičnih razpok r1 za vse analizirane AB- elemente. Pri elementu z dolžino prekrivanja 5Ø je togost precej manjša od togosti AB- elementa brez stikovanja armature. Pri preos- talih AB-elementih s prekrivanjem armaturnih palic v dolžini 10Ø, 20Ø in 30Ø pa se njihova Gradbeni vestnik • letnik 66 • april 2017 107 togost precej poveča in je primerljiva s tog- ostjo AB-elementa brez stikovanja armature. Zanimivo je, da dolžina prekrivanja 10Ø ali več nima omembe vrednega vpliva na širino prvih identičnih razpok r1. Širine teh razpok pa so primerljive s širinami razpok AB-elementa brez stikovanja armature. V teh primerih širina VPLIV STIKOVANJA ARMATURNIH PALIC S PREKRIVANJEM NA TOGOST RAZPOKANEGA NATEZNEGA ARMIRANOBETONSKEGA ELEMENTA: NUMERIČNI MODEL• Drago Saje, Igor Planinc, Sebastjan Bratina prve razpoke praktično ne preseže vrednosti 0,2 mm. Na koncu za AB-element iz HSC z dolžino prekrivanja 20Ø prikažemo še potek osne sile v betonskem ovoju oziroma v obeh armaturnih palicah tik pred nastankom ozi- roma tik po nastanku prve razpoke r1, tj. pri sili P = 35,73 kN (glej sliko 13). Opazimo, da zdaj napetost v betonskem ovoju na začetku oziroma koncu stikovanja armaturnih palic ne pade na nič. To je posledica vpliva delne povezanosti betonskih ovojev ob razpoki z agregatnimi zrni, saj je širina razpoke manjša od wcrit (glej sliko 6). V članku smo predstavili nov numerični model za analizo vpliva dolžine stikovanja armaturne palice s prekrivanjem na togost razpokanega natezno obremenjenega AB-elementa. Model je zasnovan na deformacijski metodi končnih elementov. Za konstitucijski zakon stika, s katerim smo opisali stopnjo povezanosti ar- maturnih palic in betonskega ovoja, smo izbrali delno modificirano obliko zakona skladno z literaturo [Fib, 2013]. Materialne 4•SKLEP 6•LITERATURA 5•ZAHVALA parametre modela pa smo določili z lastnimi eksperimenti. S parametričnimi študijami smo analizirali vpliv stikovanja s prekrivanjem na togost razpokanega AB-elementa iz betonov običajne in visoke trdnosti. Ugotovili smo, da se v betonskem ovoju iz betona visoke trdnosti razpoke pojavijo pri večji natezni sili kot pri betonskem ovoju iz betona običajne trdnosti. Podobno je tudi število razpok v stabiliziranem stanju večje, posledično so razpoke ožje, kar zagotavlja večjo trajnost AB- elementa iz betona visoke trdnosti. Dodatno smo ugotovili, da ustrezen prenos sile iz ene armaturne palice na drugo zagotavlja že zelo kratka dolžina prekrivanja, ki je bistveno krajša od priporočene v Evrokodu 2. Pri tem smo seveda predpostavili, da se okoliški beton ne začne razcepljati. Naše nadaljnje delo bo usmerjeno predvsem v pridobivanje lastnih eksperimentalnih podatkov, s katerimi bomo lahko validirali natančnost in s tem tudi primernost predstavljenega numeričnega modela za določitev togosti nateznih AB- elementov. Predstavljeni rezultati so pridobljeni v sklopu dela programskih skupin Gradbene konstruk- cije in gradbena fizika (P2-0158) ter Mehanika konstrukcij (P2-0260), ki ju financira Javna agencija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije. Za finančno pomoč se ji iskreno zahvaljujemo. Bajc, U., Bratina, S., Saje, M., Planinc, I., Nelinearna analiza razpokane armiranobetonske natezne palice – primerjava numeričnih metod, Gradbeni vestnik, 62:105–116, 2013. Cerioni, R., Bernardi, P., Michelini, E., Mordini, A., A general 3D approach for the analysis of multi-axial fracture behavior of reinforced concrete elements, Engineering Fracture Mechanics, 78:1784–1793, 2011. Canbay, E., FroschLagier, R. J., Bond Strength of Lap-Spliced Bars, ACI Structural Journal, 102:605–614, 2005. Chowdhury, S. R., Orakcal, K., An analytical model for reinforced concrete columns with lap splices, Engineering Structures, 43:180–193, 2012. Fib, International Federation for Structural Concrete, Bond of reinforcement in concrete: state-of-art report prepared by Task Group Bond Models, Lausanne: FIB, 2000. Fib, International Federation for Structural Concrete, fib Model Code for Concrete Structures 2010, Berlin: Ernest & Sohn GmbH & Co. KG., 2013. Gilbert, R. I., Kilpatrick, A. E., The strength and ductility of lapped splices of reinforcing bars in tension, Australian Journal of Structural Engineering, 16: 35–46, 2015. Hassan, M. N., Feldman, L. R., Behavior of Lap-Spliced Plain Steel Bars, ACI Structural Journal, 109:235–243, 2012. Lagier F., Massicotte B., Charron J. P., Experimental investigation of bond stress distribution and bond strength in unconfined UHPFRC lap splices under direct tension, Cement and Concrete Composites, 74:26–38, 2016a. Lagier, F., Massicotte, B., Charron, J. P., 3D Nonlinear Finite-Element Modeling of Lap Splices in UHPFRC, Journal of Structural Engineering ASCE, 142:04016087-1–14, 2016b. Gradbeni vestnik • letnik 66 • april 2017108 Lee, J. K., Bonding Behavior of Lap-spliced Reinforcing Bars Embedded in Ultra-High Strength Concrete with Steel Fibers, KSCE Journal of Civil Engineering, 20:273–281, 2016. Mousa, M. I., Flexural behaviour and ductility of high strength concrete (HSC) beams with tension lap splice, Alexandria Engineering Journal, 54:551–563, 2015. Rabczuk, T., Akkermann, J., Eibl, J., A numerical model for reinforced concrete structures, International Journal of Solids and Structures, 42:1327– 1354, 2005. Rakhshanimehr, M., Esfahani, M. R., Kianoush, M. R., Mohammadzadeh, B.A., Mousavi, S. R., Flexural ductility of reinforced concrete beams with lap-spliced bars, Canadian Journal of Civil Engineering, 41:594–602, 2014. Saje, D., Lopatič, J., Bond strength between steel rebar and concrete, 9th International Concrete Conference 2016 Environment, Efficiency and Economic Challenges for Concrete, Dundee, Scotland, UK, 1049–1056, 2016. SIST, SIST EN 1992–1–1:2005, Evrokod 2, Projektiranje betonskih konstrukcij – Del 1-1, Splošna pravila in pravila za stavbe, Slovenski inštitut za standardizacijo, Ljubljana, str. 227, 2005a. SIST, SIST EN 10080:2005, Jeklo za armiranje betona – Varivo armaturno jeklo – Splošno, Slovenski inštitut za standardizacijo, Ljubljana, str. 69, 2005b. Tastani, S. P., Brokalaki, E., Pantazopoulou, S. J., State of Bond along Lap Splices, Journal of Structural Engineering ASCE, 141:04015007-1–14, 2015. Yankelevsky, D. Z., Jabareen, M., Abutbul, A. D., One-dimensional analaysis of tension stiffening in reinforced concrete with discrete cracks, En gineering Structures, 30:206–217, 2008. VABILO NA SKUPŠČINO VABILO ZVEZA DRUŠTEV GRADBENIH INŽENIRJEV IN TEHNIKOV SLOVENIJE vabi na REDNO SKUPŠČINO, ki bo v četrtek, 15. junija 2017, s pričetkom ob 12. uri, v prostorih Gostilne Livada, Hladnikova 15, Ljubljana. Skupščina bo obravnavala in sprejemala: 1. Poročilo o delu ZDGITS v letu 2016 2. Poslovno poročilo ZDGITS za leto 2016 z bilanco stanja in izkazom poslovnega izida 3. Letni program in 4. Finančni načrt ZDGITS za leto 2017 5. razrešila organe ZDGITS in izvolila nove ter 6. podelila priznanja zaslužnim in častnim članom ZDGITS. Predsednik ZDGITS doc. dr. Andrej Kryžanowski, univ. dipl. inž. grad