Občna ARITMETIKA za učiteljišča. ' ",'i > - \ Sestavil in založil .•«V ; Xj. lavtae, c. k. profesor v Mariboru. > Kg3^ g =-^ V Ljubljani. Natisnila Narodna Tiskarna. 1879. Predgovor. Pisatelj te knjige pogrešal je ves čas svojega poučevanja na slovenskem učiteljišči aritmetike, pripravne namenu tega za¬ voda. Zbirati je moral tvarino za pouk iz knjig za nižje in višje srednje šole — večinoma iz Močnikovih in Villicusovih — da je zadoščeval načrtu za učiteljišča, ki je zdaj veljaven po ukazu vis. c. k. ministerstva za uk in bogočastje od 2G. maja 1874 št. 7114. To zbirko je pisatelj po svojej izkušnji uredil in izročil vis. dež. šolsk. svetu v Gorici, da jo presodi — in potem vvede na slo¬ venskih učiteljiščih. Presodil jo je gospod profesor Križnič prav natanko — hvala mu za njegov trud! — ter nektere nedostatke prav jasno določil, katere je potem pisatelj odpravil. Tvarina je v obče tako urejena, kakor v drugih aritmetikah. Ker pa učni načrt zahteva: „Hauptsachlich ist das Verstandnis der Operationen mit besonderen Zahlen anzustreben, das Rechnen mit allgemeinen Zahlen ist im Hinblick auf diesen Z\veck zu plie- gen,“ govorimo takoj v vvodu o desetastih (dekadičnih) številih in njihovej uredbi, in se pri vsakem računu nanje obširniše ozi¬ ramo. Računanje z imenskimi števili pred računjanjem z deka- dičnimi pripravlja na to-zadnje, da je popolnoma jasno Občna števila so za marsikoga nova in do te stopnje ne¬ znana. Njih bitje se le osvetljuje na znanih slučajih. Desetasto uredbo števil pa kandidati in kandidatinje uže poznajo iz ljudske IV šole. Kako živo torej spoznajo pomen in tudi potrebo občnega števila, ko napišejo desetasto število v občnem obrazu, ki ga iz¬ vajajo iz posebnih slučajev. Učitelj sploh, in tudi v ljudskej šoli ne sme svojim učencem pravil v glavo ubijati, ako jih nijso poprej razumeli. To pravilo mora na tolikih primerih pojasnjevati, da učenec sluti: „Pri vsakem dru¬ gem takem primeru bom pa tako računil, “ da torej konečno iz posebnih primerov občno pravilo posnema. Zategadelj so vaje v tej knjigi tako urejene, da kandidat naj¬ prej dokaze na posebnih in potem na občnih primerih izvršuje, da se torej vadi iz posebnega na obče prehajati. Včasih posebno od začetka so pa strogi dokazi za nevajene prvi trenutek morebiti razumljivi, vendar pa ne prehajajo v kri in meso. Ako pa učenec izvrši po istem izreku več nalog iz po¬ sebnih števil, spozna brez strogega dokaza, da je računjanje po tem pravilu pravo in nehote sklepa, da to pravilo velja za vsak slučaj, torej v obče. Zadnji način more namesto vati in naj bi namestoval prvega od začetka pri učencih, ki so formalno manj iz¬ obraženi. Med vajami nahajaš mnogokrat vprašanja, da utrjujemo jasno razne aritmetične pojme in izreke in da ponavljamo prejšnjo tvarino. Taka vprašanja pa tudi kandidatom kažejo, kako naj uče kot učitelji v ljudskej šoli. — Taka vprašanja staviti je sicer učiteljem naloga; vendar so jako pripravna, kedar učenec ponavlja, ali pa pri samouku. Poraba izrekov za računjanje na pamet in s pridobitkom naj tudi ta pravila pojasnjuje. — Pri računjanji v porabo so prve naloge tako rešene, da pridemo na besedice in, manj, krat i. t. d., kar je važno za učitelje v ljudskih šolah. Ravno tako so razni slučaji tako zvanega sklepnega računa v rešenih nalogah nakazani. Sploh smo skušali povsod narisati načine, po kakoršnik se mora učitelj v ljudskej šoli ravnati, da jih uže od začetka in ne še le v zadnjih razredih utrjujemo. S kratka — pisatelj je hotel to-le doseči: v 1. Utrjenje dekadičnega številnega sistema. 2. Jasne pojme števil in razumno računjanje ž njimi, posebno kar se tiče desetastih števil. 3. Jasno izpoznanje izrekov in njihovo porabo za računjanje na pamet ali s pridobitkom. 4. Spoznanje metode, po katerej učitelj v ljudskej šoli raču¬ nati mora. 5. Ne strokovnjakov v aritmetiki, ampak takih učiteljev, ki imajo tvarino popolnoma v svojej oblasti, iz katere sami po¬ učujejo. Akoravno je ta knjiga namenjena učiteljiščem, vendar jo morejo tudi gimnazijalci rabiti, kedar jim je v njihovej aritme¬ tiki kaj nejasno, ker je tukaj vse bolj na kratko izraženo. Pri vsej pozornosti so vendar ostali nekterej tiskamej po¬ greški. Te damo takoj na tem mestu tiskati, da jih vsakdo v knjigi popravi, predno jo bere. Popravki. * VI Naglica, s katero se je morala knjiga tiskati, zakrivila je, da je tudi v tekstu, osobito na prvih dveh polah, ostalo več pra¬ vopisnih napak, katere blagovoljni čitatelj sam popravi in oprosti! Ako je pisatelj zraven zgorej omenjenega namena s to knjigo našej mladini, ki se mora pečati z aritmetiko, olajšal trud, potem je dosegel popolnoma svojo namero. V Mariboru, meseca maja 1879. L. Lavtar. V v o d. Pojem števila in njegovo zaznačenje. §. 1. Odgovori na ta le vprašanja: Koliko glav, oči, ušes, prstov ima človek? Koliko klopi je v našej šolski sobi? Ko lik o oken ima naša šolska soba? Koliko učencev je v tej šoli? j. t. d. V naravi to ali uno stvar enkrat ali tudi večkrat zapore¬ doma nahajamo. Izraz, s katerim povemo, kolikokrat to stvar zaporedoma nahajamo, imenujemo število; stvar samo pa jednoto. Zraven števil postavimo ime štetih stvari, ter imamo imenasta števila. Imenasta števila imenujemo tudi količine ; stvar pa, ka¬ tero v količini večkrat nahajamo, količinsko jednoto. Z jedno- tami torej merimo količine. Moremo pa tudi samo na prestop iz vsakega kraja zaporedoma na sledečega misliti, na katerih kako star ponavljano nahajamo, brez da bi se na njeno natoro ozirali. Takrat ne zapišemo imena zraven števila, ter imamo breziinenasto število. Za jednoto imamo znak 1. Zaporedno ponavljanje te jednote pa izrazimo z znakom + (več, plus). Števila bi torej po njihovi naravi morali zaporedoma takole pisati: 1 + 1, 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + li. t. d. za katere pa imamo krajše znake 2, 3, 4 i. t. d. 1, 2, 3, 4, 5, 6 i. t. d. imenujemo naravno številno vrsto. Kedar pripovedujemo naravno številno vrsto, štejemo. Ako štetje začnemo pri manjših številih ter prehajamo na veče, štejemo na¬ prej ; ako pa pri štetji iz večih števil na manjša prehajamo, po¬ tem štejemo nazaj. Števila v naravni številni vrsti so cela števila. §•2. Koliko klopi je v nekej šoli? — Odgovor: V nekej šoli je ali 8, ali 12, ali 15 i. t. d., torej nekako število klopi. Koliko ljudi je v nekem mestu ? Koliko ovac je na nekej paši ? i. t. d. i 2 Na taka vprašanja ne moremo z določenim številom odgo¬ voriti, kakor v prejšnjih primerih. Število, katero izrazi določeno število jednot, imenujemo posebno število; število pa, katero ne¬ kako množino jednot izrazuje, občno število. Občna števila zaznačimo s črkami alfabeta, kakor a,b,c,... A, B , C , i. t. d. Pristavek: Nekatera števila nijso znana in imenujemo jih neznana števila; zaznačujemo jih z zadnjimi črkami alfabeta, na¬ vadno s tujko x ali y. §. 3. Ako imate števili a in b isto množino jednot, imenu¬ jemo ji enaki in pišemo a — b Matematični izraz enakosti dveh količin, imenujemo enačbo. Vsaka enačba ima dve strani, levo in desno. Ima pa a več jednot kot b , imenujemo ga veče, ter pišemo a > b Ako pa ima a manj jednot od b, ga imenujemo manjše, ter pišemo a<^b Matematični izraz neenakosti dveh količin imenujemo ne- enačbo. Osnovne resnice. §. 4. Opomba 1. Resnice, katere so same iz sebe razum¬ ljive, imenujemo osnovne resnice (aksijome). I. Vsaka količina je sama sebi sebi enaka. Opomba 2. Pritem si isto količino dvakrat vzeto mislimo, kajti pri primerjanji moramo dve stvari imeti. II. Vsi deli celote skupaj vzeti, dado spet to celoto. III. Celota je veča kot del te celote. IV. Dve količini tretjej enaki, ste tudi med seboj enaki. V. Ako je količina drugej enaka, druga pa ne tretjej, je tudi prva od tretje različna. VI. Enaki količini zamoremo med seboj zamenjati. Opomba 3. Ako na mesto števila a enake število b posta¬ vimo, pravimo, da število a se številom b namestimo (substi- tujemo). VIL Enako na isti način spremenjeno, da spet enako. Zaznačenje posebnih števil. §. 5. Najbolj naravni znaki za števila bi bili tisti, kateri nam tudi njihov postanek iz jednote izražujejo (glej §. 1). Ti znaki bi bili vendar nemogoči za velika števila. Treba jih je okrajšati. Pa tudi z okrajšanimi znaki bi ne mogli vseh števil 3 zaznačiti, ker bi nikoli za vsa števila znakov ne imeli in bi si tudi težko narejene znake zarad prevelike množine zapomnili. Treba je torej na to misliti, da z nekoliko znaki zaznačimo vsa števila. Take znake imenujemo številke. Rimljani so si v ta namen te-le številke naredili: I (jednojka), V (petika), X (desetika), L (petdesetika), C (stotika), D (petstotika), M (tisočika), in so števila po sledečem pravilu napisavali: Skupaj stoječe znake seštevaj; ravno tako seštevaj znake raznih veljav, ako stoje manjši na desni od večih, narobe pa jih moraš odštevati. Po tem pravilu so napisali štiri z IV, osem z VIII, šest, sedem, devet, ednajst z VI, VII, IX, XI. Beri še ta-le števila: XIV, XV, XX, XXX, XL, LX, LXIV, CCC, MDC, MDCCCLXXX. Napiši sledeča števila z rimskimi številkami: trinajst, devet¬ najst, osemindvajset, štiri in osemdeset, devet in devetdeset, šest sto pet in štirideset, tisoč sedem sto dva in devetdeset. Rimske številke pa zdaj le pri spominkih, pri oddelkih v knjigah, pri napisu letnih številk i. t. d. rabijo, ker so arabske številke 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 in O (beri: jednojka, dvojka, trojka, čveterka, petika, šestika, sedmika, osmika, devetika in ničla) za zaznačenje števil bolj pripravne. S temi številkami zaznačimo števila od jedne do devet. Z vpeljavo večih jednot — t. j. večih števil, s katerimi veča števila merimo — pa dosežemo, da moremo tudi vsa druga števila s temi številkami napisati. Za prvo večo jednoto vzamemo število, ki ima deset prvotnih jednot ali jedinic; to jednoto imenujemo jednoto prvega reda ali desetico. Na enaki način dobimo vse druge jednote. Po¬ tem ima jednota druzega reda ali stotica deset desetic, jednota tretjega reda ali tisočica deset stotič, jednota četrtega reda ali desettisočica deset tisočic, jednota petega reda ali stotisočica deset desettisočic, jednota šestega reda ali miljonica deset sto- tisočic i. t. d. Primerjaj meterske dolgostne jednote med seboj! Vsako jednoto zapišemo z znakom 1, odločimo jej pa gotovo mesto, iz katerega razvidimo njen red. Jedinice stoje na prvem mestu, desetice na drugem proti levi, stotice na tretjem, tisočice na štertem mestu i. t. d. Na nezasedeno mesto pride 0, da le določi mesto in zraven pove, katere jednote nij. Potem je 1 = prvotna jednota ali jedinica 10 — desetica 100 = stotica 1000 = tisočica i. t. d. Pri izraževanji števil je potem le treba pomisliti, koliko jednot vsake vrste to število ima. 1 * 4 Da zapišemo množino jednot katerikolega reda, postavimo pristojno številko na mesto tek jednot. Tako n. pr. zapišemo 4 stotice s 400. Pri vsakej številki moramo torej na dvoje gledati: koliko (nasebna vrednost) in kakošne jednote šteje (mestna vrednost). Tako n. pr. je v 606 nasebna vrednost šestike ista, pa mestna vrednost je različna. Z ozirom na mestno vrednost je ista številka višja, katera šteje jednote višjega reda. Jednote, izmed katerih ima vsaka višja po deset od prejšnje nižje, imenujemo desetaste (dekadiene) jednote, in števila obsto¬ ječa iz desetastih jednot imenujemo desetasta (dekadična) števila. Uredbo, po kakoršnej posebna števila z desetimi številkami napi- šujemo, imenujemo desetasti številni sistem (sestavo). Iz prej Snega sledi, de je: 1 desetica = 10 jedinic, 2 desetici = 20 jedinic, 3 desetice = 30 jedinic .... 1 stotica = 10 desetic = 100 jedinic, 2 stotici = 20 desetic = 200 jedinic .... 1 tisočica = 10 stotič -----100 desetic = 1000 jedinic, 2 tisočici = 20 stotič = 200 desetic = 2000 jedinic .... i. t. d. §. 6. Opomba. Občno število a nij omejeno, ako vsako šte¬ vilo na njegovo mesto postaviti smemo. Včasih pa naloga zahteva, da ga denemo v gotove meje. N. pr. a je katerokoli število od 0 do 10, ali od 0 do 100, ali od 0 do i000 i. t. d. drugo pa ne. Če pomenijo a, b, c, d ... . katerekoli številke ali števila od 0 do 9, je .+ d.lOOO + c.100 + 6.10 + a občni izraz za dekadična cela števila, kjer točke pomenijo, da moremo v številu še jednote višjih redov nahajati, katere pa tu¬ kaj niso napisane. V tem smislu je 6528 = 6.1000 + 5.100 + 2.10 + 8. §.7. Da velika števila laglje beremo, postavimo na desno zraven tisočic točko, zraven miljonic vejico, zraven biljonic dve vejici i. t. d. N. pr. 67,,824.396,734.681 beremo: 67 biljonov 824 tisoč 396 miljonov 734 tisoč 681. — Narekovana števila lahko napisavamo, ako številke zaporedoma od leve proti desni tako pišemo kakor jih izrekavamo; pri besedi miljoni naredimo vejico in pri besedi tisoč točko. S temi znaki razdelimo število v od¬ delke po 3 številke; če tedaj ne slišimo v enem oddelku treh številk, moramo v tem oddelku vsako neizrečeno številko nado¬ mestiti z ničlo. N. pr. napiši 42 miljonov 27 tisoč in devet; to se zgodi na sledeči način: 42,027.009; napačno bi pa bilo 42,27.9. 5 Naloge in vprašanja. 1. Napiši sledeča števila se številkami, ki imajo: a) 2 dese¬ tici, 3 jedinice; b) 5 stotič, 6 desetic, 8 jedinc; c) 2 stotici, 3 jedinice; d) 5 stotič, 9 desetic; e) 8 stotič; f) 4 tisočice, 3 sto- tice, 5 desetic, 2 jedinici; g) 5 tisočic, 6 stotič, 3 desetice; h) 8 tisočic, 3 desetice; i) 9 miljonic; k) 25 miljonic, 3 tisočice, 5 stotič; l) 2 miljonice, 4 desettisočice, 6 stotič. 2. Napiši števila prve naloge v podobi občnega izraza. 3. Napiši sledeča števila sb številkami: tri in trideset; šest¬ sto pet in devetdeset; tri tisoč pet in sedemdeset; tristo tisoč in štiri; dva in devetdeset tisoč pet sto in dvajset. 4. Napiši vsa dekadična števila od 0 do 100 na enkrat. Rešitev b. 10 + a. Kaj pomenite črki v dobljenem izrazu? — Kat r ro število v tem izrazu je največe, in kaj pomeni a in kaj b za to število? 5. Napiši na enkrat vsa dekadična števila med : a) 0—1000 ; b) 0—10000; c) 0—100000. — Kaj pomenijo črke v dobljenih izrazih? — Katero število je največe v vsakem teh izrazov in kaj pomeni vsako občno število za to število? 6. Napiši vsa dekadična števila na enkrat, povej koliko je vseh in ali moremo največe povedati? 7. Namesti v izrazu .-j- <7.1000 -p c.100 -j- 5.10 -p ci sledeče vrednosti: a) a — 4, b — 5, c = 0, d, — 6, e == 8, f — g — li = . .. — 0. b) »=:0, 5 == 2 =: c = 9, d — e = f 0. c) a = S, 5 = 6, =c3, (7=7, e = f = .. . = O i. t. d. Kaj so številke? Koliko je vseh številk? Kake dobimo de- kadične jednote ? Katera števila so dekadična? Katero uredbo števil imenujemo dekadično? t 8. Beri sledeča števila in napiši jih v obliki občnega izraza za dekadična števila: 312, 5047, 26, 27.340 — 3.100 + 1.10 + 2 (beri tri stotiee, 1 desetica, 2 jedinici). 9. a) Koliko jednot vsakega reda imajo sledeča števila: 527, 4356, 46009, 77544, 44000. Število 527 ima 5 stotič 2 desetici in 7 jedinic ali 527 = 5.100 + 2.10 + 7. b) Koliko jedinic je v vseh raznovrstnih jednotah vsakega prejšnjega števila? Koliko desetic? Koliko stotič? Koliko tisočic? i. t. d. V številu 527 je 527 jedinic, 52 desetic, 5 stotič. 6 10. a) Kako spremenimo vsako številko v številih 35, 628, 5094, 37826, če jim pripišemo 1, 2, 3, 4, 5 ničel na desni? — Kolikokrat je potem vsako število veče? b) Ali tudi spremenimo mestno vrednost številk, če prejš¬ njim številom jedno ali več ničel na levi pripišemo? Zakaj ne? c) Ali smemo kako ničlo v številu izpustiti? Načrtanje celih števil. §. 8. Cela števila moramo tudi načrtati, kakor iz pridjane podobe vidiš. Na ravno črto x x, a |-1 b 1 2 3 4 5 X - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - » X katero si proti desni brezkončno dolgo mislimo, pokladaj ravno črto ab (črtno jednoto) od začetka proti desni dalje; na tej črti potem vidiš vsa števila urejena po njihovej vrednosti in imenu¬ jemo jo številno ravnico. Na številni ravnici je številna vrsta načrtana, moremo pa tudi na tak način vsako število za se nač r tati. Načrtaj števila: 5, 3, 6, 2, 8, 1, 9. Prvi oddelek. Računanji s celimi števili. Seštevanje. §. 9. Vsoto dveh števil a in b imenujemo število, katero ima toliko jednot, kakor a in b skupaj. Števili a in b imenujemo seštevnika (sumanda). Kedar vsoto danih števil iščemo, jih sešte¬ vamo. Neznano vsoto pa dobimo, ako od števila a za b jednot naprej štejemo. Poišči vsoto števil 4 in 3, 5 in 7, 8 in 2, 6 in 9. (Na pamet.) Rešitev: 4 in 1 je 5 in 1 je 6 in 1 je 7 torej 4 in 3 je 7. Vsoto a in b zapišemo a + b. Osnovna resnica. Vsota občnih števil je občno število, t. j. a + b = c. Pišemo pa tudi a + b = (a + b). Opomba. Tukaj z oklepo ( ) povemo, da si števili a in b sešteti mislimo; potem imenujemo c ah (a = b) izvršeno, a + b 7 pa samo nakazano vsoto števil a in b. Oklepa vsotne vrednosti ne spremeni, ter jo smemo izpustiti, kedar le hočemo. Naloga. Namesti v enačbi a + b zzz (cc -j- 5j a in b s temi-le števili: a — 5, b =. 2; a = 7, b = 3; a = 4, b = 6, a = m, b = n. Vprašanja in vaje na pamet. Kaj se pravi število 3 k številu 4 prištevati? Kako ime¬ nujemo števili 3 in 4? Katera števila sploh imenujemo sumande? Povej izvršeno vsoto števil 3 in 4 in potem nakazano! Kaj je vsota danih števil: 3 in 5, 2 in 7, 9 in 24, 8 in 34, 6 in 25, m in n. §. 10. Vsoto več števil dobimo, ako prištevamo k prvemu številu drugo, k dobljeni vsoti tretje, k novi vsoti četrto število i. t. d. Potem je 3 + 5 + 7 + 6 = 8 + 7 + 6 = 15 + 6 = 21. a + b + c = (a + b) + c. a + b + c + cl zzz \(d + b') + cj + d. Tudi tukaj imajo oklepe isti pomen, kakor v §. 9. Namesti v 1. in 2. a, i, c, d s temi-le števili a z jz 3, b = 2, c = 5, d = 8, in izvrši seštevanje tako, kakor ti oklepe vele. Vaje na pamet. 1. Seštevaj sledeča števila: a) 3, 4 in 7, b) 4, 8, 9 in 2, c) 6, 5, 4 in 12, d) 20 in 30, f) 50 in 80, g) 200 in 300, h) 500 in 400. 2. a) Prištevaj začenši pri 1 toliko časa po 2, da prideš do 101; in toliko časa po 3, da prideš do 103, po 4 do 105 i. t. d. lij Z 2 pričenši prištevaj zmerom po 2, da prideš do 100; po 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 da prideš do 100. c) Pričenši s 3 prištevaj zmerom po 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, da prideš čez sto. Izreki. §. 11. Pojasnilo. Resnice, katere moremo iz ustanovljenih pojmov ali iz druzih že jzpoznanih resnic izvoditi, imenujemo do¬ vode ali izreke; tako izvodbo pa imenujemo dokaz. I. Vsotne vrednosti ne spremeniš, ako sumande med seboj zamenjaš, t. j. 3+4 = 4 + 3, 10 5. a jednot + b „ a + b < 10 7. 512 = 5.100 + 1.10 + 2 + 425 = 4.100 + 2.10 + 5 8. 6038 = 6.1000 + 0.100 + 3.10 + 8 + 3124 = 3.1000 + 1.100 + 2.10 + 4 9162 = 9.1000 + 1.100 + 6.10 + t 2 9. Š t — ^100 + b x 10 + c x d' Š 2 — c* 2 100 + & a 10 + c 2 12 10. Š x = .+ Oj 100 + MO + Ct. + S$ =.+ a 2 100 + 5 2 lO + c 2 + Š a =.+ flglOO + 6 3 10 4" C B + . Kako torej seštevamo dekadična cela števila? — 11. Izpelji še iz teh-le primerov pravilo za seštevanje dekadič- nik števil: a) 315 b) 6905 c) 25832 d) B, + 223 + 3216 + 34246 + B 2 1. Nekdo petero kapitalov izposodi, kateri posamezni 256 H. 26 kr., 102 tl. 86 kr., 93 fl. 59 kr., 166 ti. 88 kr., 427 tl. 75 kr. avstr. velj. letnik obresti prineso; koliko zneso vse obresti skupaj ? — Vse obresti zneso 256 fl. 26 kr., in 102 fl. 86 kr. in 93 fl. 59 kr. in 166 fl. 88 kr. in 427 fl. 75 kr. skupaj, t. j. 256 fl. 26 kr. 102 „ 86 „ 93 „ 59 „ 166 „ 88 „ «7 ,, 75 „ 1047 fl. 34 kr. 2. V neki tiskarni so tiskarskega popirja porabili: 3 bale 7 risov 5 bukev + 5 bal 2 risa + 2 bali 9 risov, 15 bukev + 4 bale 16 bukev + 3 bale 8 risov 10 bukev. Koliko vsega skupaj ? 3. Vinsk kupec ima trojno vino in sicer: 146 75 O 295 $f, 80 1 in 584 30^ 50 tj . Koliko vsega skupaj ? 4. Neka kmetija ima: 43 hektarov 85 arov njiv, 36 3čj a 58 °j travnikov, 16 36^ vinogradov in 102 3^ 50 °f gojzdov. Ko¬ liko je celo posestvo? Odštevanje. §. 17. Razliko ali diferenco a—b (beri „a manj b u ) števil a in b imenujemo ono število, k kateremu b prišteto a za vsoto da, t. j. (a — b) + b = a Število a imenujemo zmanjševauec (minuend) število b pa zmanjševalec, odštevanec (subtrahend). 13 Diferenco števil a in & dobimo, t. j. od števila a odštevamo število b, ako od števila a za b jednot nazaj štejemo. N. pr. 8 — 3 = 8 manj 1 je 7 manj 1 je 6 manj 1 je 5; torej je 8 manj 3 enako 5. Izračunaj še te-le diference: 6 — 2, 9 — 5, 8—6. Osnovna resnica: Diferenca občnih števil je občno število, t. j. a — b = c. Pišemo pa tudi a — b — (a ■— b) Glej opombo v oklepi v §. 9. Naloga: Namesti v enačbi a — b = (a — b) a in b s temi-le števili: a — 5, 7, 9, 12, m; b — 2, 3, 5, 4, n. Vprašanja in vaje na pamet. 1. Kako odštevamo število 5 od števila 8? Kako imenu jemo števili 8 in 5 ? Katera število imenujemo minuend, katero subtrahend? Povej izvršeno diferenco teh števil; povej njihovo nakazano diferenco. — Kaj je diferenca števil 8 in 5 ? Odgovori na ta vprašanja še za te-le pare števil: 8 — 6, 7 — 2, 24—9, m — n. 2. Odštevaj 8 od 15, 20 od 48, 25 od 30, 49 od 90. §. 18. Iz pojmov vsote in diference naravnost ti-le izreki slede: (a + b) — b = a (8 + 4) — 4 = 8 a — (a — b) = b 8 — (8 — 4) = 4 a — a — o 8 — 8 = 0 Izrazi sam te enačbe z besedami. Iz (a — b) + b = a (a + b) — b = a tudi sledi: Vrednost števila ne spremeniš, ako k njemu isto število prišteješ in odšteješ in narobe. Odštevanje je tedaj seštevanju nasprotno. Vaje. 1 . Odštevaj: 5 od 8 in prištevaj k dobljeni diferenci 5 8 12 U ,, X£l ,, ,, ,, ?! ^° ?? ?? ?? ?? ?? ?? 5 15 m ?? n ;? ?? ?? m ?> » 14 2. Seštevaj 7 in 9 in odštevaj od dobljene vsote 9 b 55 12 55 15 55 55 5 d 55 9 ,, 55 55 55 55 4 ^ rt ^ rt rt rt ?i "n ^ Izreki o diferencah. §. 19. Od vsote odštevaš število, ako ga od enega sumanda odšteješ, t. j. (5 + 3) — 4 = (5 — 4) + 3 = 4, (3 + 8) — 6 = 3 + (8 — 6) = 5 (a + b) — c = (a — c) + b 1) (a + b) — c = a + (b — c) 2) Dokaz 1). Ako smo brez pogreškov odštevali, mora vsota diference in subtrahenda minuendu enaka biti, t. j. [(a — c) + 6] + c = a + b ali [(a — c) + c] + b = a + b (glej §. 11, 2) ali a + b — a + b (glej §. 18), kar je na vsak način res, ter je naše pravilo pravo. Opomba. Izraz [(a — c) + b] imenujemo diferenco, ker je znesek odštevanja, po obliki pa ga imenujemo vsoto. Dokaži 2) na enaki način. Vaje. 1. Izračuni po tem pravilu: a) (9 + 1) — 4 = ? b) (5 + 8) — 6 = ? c) (m + n) —p — ? d) (a + m) — a = ? e) (5x + 3 ij) — Zy = ? 2. Izračuni na pamet a) 435 — 35 *= (400 + 35) — 35 i. t. d. b) 869 — 500 = (800 + 69) — 500 i. t. d. c) 582 — 40 = ? d) 758 — 48 = ? e) 956 — 800 = ? f) 1248 — 600 = ? §. 20. K številu prištevaš diferenco, ako v poljubnem redu minueud prišteješ in subtraliend odšteješ, t. j. a + (b — c) = (a + b) — c = (a — c) + b. Dokaz. Ta enačba je le obrat enačb v § 19. Vaje. 1. 6 + (8 — 7) = ? 2. 3 + (4 — 2) == ? 3. 5 + (4 — *) = ? 4. 8 + (a — 2) = ? 5. m + (n — p) ? 6. 5 m + (n — bm) = ? 7. 15^ + (2i/ — 8) = ? IB 8. Izštevili na pamet: a) 65 + 29 = 65 + (30 — 1) = 95 — 1 = 94. b) 415 + 87 = ? c) 537 + 58 = ? c) 645 + 89 = ? e) 5448 + 406 = ? §.21. Od števila odštevaš vsoto, ako zaporedoma vsak sumand odšteješ, t. j. 8 —(5 + 2) = (8 — 5) — 2 =(8 — 2) — 5= 1 a — (b + c) = (a — b ) — c = (a — c) — b Dokaz. Ker je (l> + c) + [(a — b) — c] = \(b + c) — c] + (a + b ) (glej §. 20) — b + (a — b) = a (glej §. 11 in §. 17) je prva diferenca [(a — b) — c] prava. — Dokaži na isti način, da je diferenca [(a — c) — b ] prava. Vaje. 1.9 —(3 + 2) = ? 2. 15—(7 + 10)=? 3. 12 — (5 + a) = ? 4. 10 — (2m + 3) = ? 5. m —(w+p) = ? 6. 4x — (4x + y) = ? 7. Iz— (2v + 7z) = ? 8. Izštevili na pamet: a) 546 — 56 = 546 — (46 —50) = i. t. d. b ) 328 — 50 = V c) 876 — 335 = ? §. 22. Od diference odštevaš število, ako ga od minuenda odšteješ, ali pa k subtrahendu prišteješ. (8 —2)—4 = (8—4) — 2=8 —(4 + 2) (a—b) — c —(a —c)— b— a — (b + c) Dokaz sledi iz §. 21, ako enačbo obrnemo. Vaje. 1. (12 — 3) —8 =? 2. (16 — 5) — 5 = ? 3. (12— m )— 9 =? 4. (50—14) —10 =? 5. (21 — 8a) —9=? 6. (w— m)-j) = ? 7. (3p — 8r) — 7r=? 8. Izštevili na pamet: a) 652 — 68 = (668 —16) — 68 = ? i. t. d. b) 422 — 345=? c) 5649 — 460 =? §. 23. Od števila odtševaš diferenco, ako odšteješ minuend in prišteješ subtrahend, t. j. 8 — (4 — 3) = (8 — 4)'+ 3, 5— (6 — 2) = (5 + 2) — 6. a — (b — c) = (a — b) + c =a + c) — b. Dokaz. Ker je [(a — 6) + c] + (b — c) = (a — b) + [c+ (b — c)] (glej §.11,2) — {a — b) + b (§. 11, 1 in 17) = «> 16 torej je gornje odštevanje brez pogreška. — Na isti način dokaži, da je (a + c)— 5 prava diferenca. Vaje. 1. 12 — (10 — 3) = ? 2. 5 —(8 — 6) = ? 3. 8 — (6 — x) — ? 4. m — (»—_p) = ? 5. 5 a—(y — 4a)=? 6. 15m—(15 m — 4w) = ? 7. 102— (8v — 5 z) — '? 8. Izštevili na pamet: a) 67 — 38 = 67 — (40 - 2) = i. t. d. b ) 492 — 296 = ? c) 783 — 580 = V §. 24. K diferenci prištevaš število, ako ga k minuendu pri- šteješ ali otl subtrahenda odšteješ, t. j. (8 — 5) + 6 = (8 + 6) — 4, (9 — 6) + 5 = 9 — (6 — 5) (a — b) + c = (a + c) — b = a — ( b — c) Dokaz sledi iz enačbe §. 23, ako jo obrnemo. Vaje. 1. (8 — 3) + 4 = ? 2. (10 — 8) + 5 = ? 3. (6a;+5y) + 2x = ? 4. (m — n) + p — ? 5. (8 a — 35) +35—? 6. (15w— 2«) + 3»n = ? 7. (7 s — 12) + 9 = ? 8. Izštevili na pamet: a) 95 + 76 — (100 — 5) + 72 = i. t. d. 5) 93 + 62 —. ? c) 498 + 315 = ? Odštevanje istoimenskih izrazov. §. 25. Istoimenske izraze odštevaš, ako diferenco koelici- jentov pred skupno glavno količino postaviš, tj. 6 a — 4 a = 2 a, ma — na = (m — n) a Dokaz : V 6 a imamo a 6krat, v 4 a pa 4krat, torej v 6 a menj 4a, 6krat menj 4krat, ter 2krat, t. j. 6 a — 4 a = 2 a Na isti način dokažemo to resnico v obče. a je skupen fak¬ tor, in ga tudi v tem slučaji izločiti smemo (glej §. 14); povej pravilo! kako ? 1. 8 m — oni — ? 3. ay — by = ? 5. (8 p + 3r) — 3p — ? 7. (am + bn ) — cm = ? 9 . 8 k + ( 6 1 — 3 k) = ? 11. 7c — (4c + 2 d) = ? 13. ax — (ca; + cy) — ? 2 . 15 * — 10 * = ? 4. mz — nz = ? 6. (7t + 9v) — 4r = ? 8. 4x + (5* — 2y) = ? 10. mp + (wp — 4) = ? 12. 12y - (4* + by) — ? 14. (14m — bn) — bm = ? 17 15. (lOo — 65) — 45 = ? 17 . (mp — nr) — sr — 19. 3 a — (55 — 2a) = ? 21. m« — (»» — pz) — ? 23. 7x — 9«/) + 2y = ? 25. (m« — + ^» = ? 27. (7z — 2y) + (2y-f 3y)=? 29. (5^ + 2^) —(3y— 0 ) =? 16. (ax — by) — cx — ? 18 8;r — (6x — 5y) = ? 20. ax — (bx — cy) = ? 22. (5* — 21) + 2/c = ? 24. (ax — bij) + cx = ? 26. (4 a + 3 b) + (3 a — 21) = [4 a + (3a — 2J)] + 3S = i. t. d. 28. (Ž2 — 3») + (4® — 2«) = ? 30. (2a — 45) — (a — 66) = ? §.26. V izrazih 1. [(os 4- b) -f- c] df, 2. [(c? 4" 5) — c] — d in v druzih podobnih kažejo oklepe, kako moramo zaporedoma od leve proti desni seštevanje in odštevanje danih števil izvrše¬ vati; to pa tudi že znaki 4 in — izrazijo, ter smemo oklepe tudi izpustiti, brez da bi kaj pogrešili. Potem dobimo iz onih izrazov 1. a 4- i + c + si, 2. a + b — c — d i. t. d. Znaki 4 in — razdele izraz v več delov ali členov in ime¬ nujemo ga mnogočlenski izraz ali mnogočlenik (polinom). V po¬ sebnem imenujemo izraz z dvema členoma dvočlenik (binom), s tremi členi tročlenik (trinom) in za se stoječ člen enočlenik (mo- nom). Členi z znakom 4 so dodaj alni (aditivni) in z znakom — odjemalni (subtraktivni). Znak + pred prvim členom navadno izpustimo. Ako imamo v polinomu istoimenske člene, jih moremo v en sam člen skrčiti. N. pr. 3 a — 45 4 5 a — 35 — 2 a = 6 a — 7 5, Vaje. Skrči te-le izraze; 1. 5y — 2^4 3 y — 6 y = 7 2. 5x — 2x + ix — 3y = ? 3. 5 a — 2 5 — 35 45«s + 85 — 9 a — ? Narobe pa moremo v vsakem polinomu oklepe ponoviti. N. pr. a — 5 + c — d = [(a — 5) + c] — d. §. 27. 1. Naloga. Seštevaj število m in mnogočlenik a — 5 4 c. Izvršitev: m 4- (a — 5 + c) = m 4 ([a — 5] 4 c) (glej §. 26). .. = (»» + [a —b)) + c (glej §.11, 3). “ [(m + a) — 5] + c (glej §. 20). = m 4 a — 5 + c (glej §. 26). Število in mnogočlenik seštevaš, ako člene z nespremenje¬ nimi znaki k številu pripišeš, in ako mogoče, dobljeni polinom skrčiš. 2 18 Vaje. 1. 4x + (2 y — 5z — 4x) = ? 2. (2 a — 3b + 4c) + 6b = ? 3. (7,r — 3y + 5 z) + ( 2x — 3y + 4z) — ? 2. Naloga. Odštevaj od števila m polinom a — b + c Izvršitev m — (a — b + c) — m — [(a — b) + c\ = = [m — (a —&)] — c = [(m — a) + 6J — c m. — (a — b + c) — m — a + b — c. Polinom od števila odštevaš, ako njegove člene s protiv- nimi znaki k njemu pripišeš. Vaje. 1. 5 a — (3 a — 2 b + 7 c — 1 2. 6x — (2 m — 5 n + 6 £c) = ? 3. (4 t — 2 u — 9 r) — (3 1 — 5 u — 6 v) = ? Opomba o oklepali. Ako so polinomi z oklepami zvezani, moreš oklepo polinoma, pred katero znak + stoji, naravnost iz¬ pustiti; oklepo pa, pred katero znak — stoji, tudi, ako v njej stoječe člene — ki so spet lahko polinomi — s protivnim zna¬ kom vzameš. Tako spremembo polimonov imenujemo razrešitev oklep. Narobe tudi moreš več členov polinoma v oklepo dati in sicer brez spremembe ali pa s spremembo znakov, ako postaviš znak + ali — pred oklepo. Vaje. 1. Razreši oklepe v sledečih izrazih in skrči: a) Sx + (5x — 8 a) + (8 a — 3x) — 6x — ? b) 7 a + (8 a — 2 b) + (9 — 2a) — 10 = ? c) (6 — x) + (2 + 3x) — (4 — 5x) = ? č) (9z - Ty) + (2x + 3 ij) — (bx — Sy) = ? d) (2x — 3 y) + [5# + (6 y — 1)] = ? 2. Deni sledeče izraze v oklepo in sicer postavi enkrat + drugokrat — pred oklepo, d) 5x — 2y + 3 — ? b) la + 2b — 3c — 5 = ? c) 6 m — 3 n — 5x + 2y = ? S) — 3x — 2 y — 4 z = ? 3. Izštevili vrednost izrazov : a) (2 m — n) — (3 m — 2 n) + (om — n) = ? b) {[(pm — n) — (4 m + 3«) — 2 ri\ — (6 m — 7 n) + 20/w} = ? Odštevanje inmnastih števil (glej §. 15). §. 28. Imenasta števila z enako imenasto jednoto odštevaš, ako njihove mere odštevaš, t. j. A — B — (a — b ) c. Dokaz sledi iz §. 25. 19 1. 8 <1 — 5 ^ = ? 3. 2 «/ 5 ^ 3 % ^ » 3 „ 2 „ Vaje. 2. 12 hjg — 84 S& = ? 4. 12 »/412 % Odštevanje dekadičnih celih števil. §. 29. Izvrši te-le naloge: 1. 8 jednot — 5 jednot j jedinic ali desetic ali stotič i. t. d. 3 jednote. 2. 9 jednot - 6 „ 3. 7 jednot — 6 „ 4. a jednot — b .. a > b 5. 574 = 5.100 + 7.10 + 4 — 243 = 2.100 + 4.10 + 3 4.100 10.10 6. 4527 = 4.1000 + 5.100 + 2.10 + 1 — 351 = 3.100 + 5.10 + 1 4.1000 + 2.100 — 3.10 + 6 ali 4.1000 + 1.100 + 7.10 + 6. 7. 5432 = — 3025 = 8. . 100 + 10 + c x , - , — $2 = a 2 . 100 + b 2 10 + c 2 1< ^- 1 2 3 9. & = .... + «! 100 + b x 10 + Cj — S 2 = . . . . + «2 100 + b 2 10 + c a Kako torej odštevamo dekadicna cela števila ? 10. Izpelji še iz teh-le primerov pravilo za odštevanje de¬ kadičnih števil: a) 335 b) 6905 c) 25832 d) B 1 — 223 — 3216 — 4246 — 1. Koliko ostane, ako 162 % 78 2%, 7 9f od 285 hjg 64 3%, 8 9j odšteješ?— 285 % 64 8 ^ menj 162 % 78 2% 7 9j t. j. 285 kg. 64 l>g. 8 1 a — — a Izrazi 1. do 7. z besedami! 1. Enako k enakemu prišteto, da enako i. t. d. Opomba. Veljavnost občnih rezultatov v 1. in 2. sledi iz nasebne resnice 7. v §. 4. Veljavnost občnih rezultatov v 3. do 7. pa sklepaj iz veljav¬ nosti vsakega slučaja s posebnimi števili. N. pr. tako-le: 3 = 3 7=7 9 =9 5 > 2 6 > 3 4 > 1 i. t. d. 8 > 5 13 > 10 13 > 10 torej sploh a = a b > c a + b^>a+ c Algebrajska števila. Vaje na pamet. §. 31. 1. Štej od števila 35 do 12 nazaj; od 48 do 2G (glej §• 1). 2. Štej od števila 42 za 8 jednot nazaj; od 75 za 3 jednote. 3. Štej od števila 4 za 4 jednote nazaj; od 12 za 12 jednot. 4. Štej od števila 4 za pet jednot nazaj. — Odgovor: Od števila 4 moremo le za 4 jednote nazaj šteti; moralo bi se pa to še z 1 jednoto zgoditi, kar je nemogoče. 21 5. Štej od števila 8 za 10, 11, 12, 13 i. t. d. jednot nazaj. Nalogi 4. in 5. zahtevate, da bi za več jednot nazaj šteli, kakor je mogoče; akoravno pa tega v resnici storiti ne moremo, moremo vender z matematičnim znakom zapisati, da bi se to imelo zgoditi. Ta znak je — (mknj, minus), katerega pred število po¬ stavimo. N. pr. — 1 pomeni, da bi še za 1 jednoto nazaj šteti morali. Vprašanje: Kaj pomenijo sledeča števila: —2, —3, —4, .—a? Števila z znakom — pred seboj imenujemo nikavna (nega¬ tivna). Negativnim številom nasproti stoje števila naravne šte¬ vilne vrste, in te imenujemo pozitivna števila. Pred pozitivna števila postavimo znak + katerega pa tudi izpustiti smemo. N. pr. + a = a. Negativna in pozitivna števila imenujemo oziravna (relativna) ali algebrajska števila; števila brez znakov + ali — pa nasebna (absolutna) števila. Pri vsakem algebrajskem številu moramo na njegov znak in na številno vrednost gledati. Znak pove, kakošne lastnosti je število, številna veljava pa, koliko jednot z znakom določene last¬ nosti ima število. Razno zaznačeni števili z isto številno vrednostjo imenujemo protivni. Ako negativna števila s pozitivnimi vvrstimo, dobimo sledečo algebrajsko vrsto. -— 5, -4, —3, -2,-1, O + 1, +2, + 3, +4, +5 - Vrsto algebrajskih števil moremo tudi načrtati, kakor kaže sledeča podoba — 4 —3 —2 —1 O +1 +2 +3 +4 Tako ravnico imenujemo algebrajsko številno ravnico (glej §. 8). Vaje. §. 32. Nekdo ima prvi dan meseca januarja 20 fl. premo¬ ženja in porabi vsak dan 1 fl.; koliko ima na koncu meseca? Odgovor: Zadnji dan meseca ima —11 fl. premoženja, ali kakor navadno rečemo 11 fl. dolga. Po tem primeru pomeni znak — dolg, znak + pa premoženje. 2. Nekega dne kaže” toplomer ob dveh popoldne 3° gorkote; koliko kaže ob devetih zvečer, če vsako uro za jedno stopinjo pade? Odgovor: Ob devetih zvečer kaže — 4° gorkote ali 4° mraza. Po tem primeru pomeni znak — mraz, znak + pa gorkoto. 3. Barka jadra od doma proti jugu in pride že 20 kilo¬ metrov daleč, ko se vzdigne vihar in jo naravnost proti severu in 22 sicer vsako uro za 1 kilometer nazaj žene; kako daleč proti jugu prijadra barka od svojega doma, ako vihar 24 ur traja ? Odgovor: —4 fc/m daleč ali 4 fc/« na nasprotno stran. Po tem primeru pomeni znak — mer proti severu in znak + mer proti jugu. 4. Povej sam kak primer, iz katerega pomen pozitivnih in negativnih števil posnamemo: Iz navedenih primerov vidimo, da pozitivna in negativna šte¬ vila nijso samo matematična domišljija, ampak tudi potrjena od praktičnega življenja in narave; negativno število pomeni zmerom nekaj nasprotnega od pozitivnega. Seštevanje in odštevanje algebrajskih števil. §. 33. Pojma vsote in diference moremo tako razširiti, da tudi za algebrajska števila veljata. Vsoto števil + a in + b, t. j. (+ o) + (+ b) dobimo, ako od števila (+ a) za b jednot in sicer v takem smislu naprej šte¬ jemo, kakor znak števila b zahteva. Iz tega sledi: (+ 6) + (+ 3)= + (6 + 3) = + 9, (+ a) + (+ b)= + (a + b) 1.) (+6) + (—3)= +(6 — 3)= + 3, (+a) + (-i)= + (a —6)2.) (— 6) + (+ 3) = — (6 — 3) = — 3, (—o)-(-(-p b) — — (a b) 3.) (- 6) + (— 3) = — (6 + 3) = — 9, (— «) + (- b) = — (a + b) 4.) (+ 4) + (— 4) = 0, (+ a) + (-«) = 0. Pojasnilo: Ako vsoto (+ 6) + (+ 3) iščemo, moramo v algebrajski številni vrsti od števila + 6 za 3 jednote in sicer v tistem zmislu naprej šteti; na ta način pridemo do števila + 9. Pojasni enačbe 2, 3 in 4. Algebrajska števila z enakim znakom seštevaš, ako abso¬ lutne vrednosti sešteješ in pred to vsoto skupni znak postaviš. Algebrajska števila z različnim znakom seštevaš, ako ab¬ solutne vrednosti odšteješ in pred to diferenco znak veče abso¬ lutne vrednosti postaviš. Primeri. 1. (+ 4 a) + (+ 3 d) — ? 2. (+ lx) + (— 5x) — ? 3. (— Zy) + (+ 2y) = ? 4. (— 5 m) + (— 3 m) = ? Diferenco števil (+ a) in (+ b) t. j. (+ a) — (+ b) dobimo ako v algebrajski številni vrsti od števila + a za b jednot in sicer v takem smislu nazaj štejemo, kakor znak števila b zahteva. Iz tega sledi: 23 (+ 6)—(+ 3) = (+ 6) + (— 3), (+ a )—(+&) = ( + «) + (—J)l.) (+ 6)—(—3) = (+6)-f(+3), (+ a) —(— b) — (+«) + (+6)2.) (— 6)—(+ 3) = (—6) + (— 3), (—o) — (+&) — (— a) + (— b) 3.) (- 6)—(— 3) = (- 6) + (+ 3), (- a) - (- b) = (-a) + (+6)4.) Pojasnilo 1. Ako v algebrajski številni vrsti od števila ( + 6) za 3 jednote nazaj štejemo in sicer v istim smislu, dobimo isto, kakor če za 3 jednote v nasprotnem smislu naprej štejemo. Pojasni enačbe 2., 3. in 4. Algebrajska števila odštevaš, ako subtraliend s spremenje¬ nim znakom ininuendu prišteješ. Primeri. 1. (+ 5 a) — (+ 3 a) = ? 2. (— 15x) — (+ 5x) — ? 3. (+ 4 y) — (— 3 y) = ? 4. (— Im) — (— 8 m) ~ ? 5. (— 6p) — (— p) = ? 6. (+ 8r) — (+ 12r) = ? §. 34. Vsoto, v kateri so sumandi algebrajska števila, ime¬ nujemo algebra j sko vsoto. Vsako algebrajsko vsoto moremo v polinom spremeniti, ako znake algebrajskih števil v smislu račun¬ skih znakov vzamemo (primerjaj v §. 33 enačbe 1., 2., 3. in 4. In to navadno storimo. Potem pa veljate pravili za seštevanje in odštevanje polinomov tudi za seštevanje in odštevanje algebraj¬ skih vsot. Primeri. 1. (— 4 m) + (— 2 n) + (— m) + (+ 8m) = ? 2. {2x — 4 z + 2v) — (2x — 2 z) =.? 3. (m — 2 n + 3 p) + (— m — Zn + 4) = ? 4. 12a — 5 b — [4 a — (2c + 3a)] — ? 5. x — /2 y — x — \Zx — (3 y — 5x) + 5= ? Množenje. (Glei §. 12.) §.35. Opomba. Od tod naprej stoji multiplikator zmerom na desni od multiplikanda. Ako imamo produkt treh, štirih ali pa še več števil izra- čuniti, množimo prvo število z drugim, dobljeni produkt s tretjim, novi produkt s četrtim i. t. d. Tako je n. pr. a-, b . c — (a . b) c a . b . c . d = [{a . b) . c] . d Glej §.11 opombo 1 in §. 26. §. 36. Vrednost produkta ostane nespremenjena, če tndi faktorje med seboj zamenjaš, t j. 2 X 3 = 3 X2, a . b = b . a. 24 Dokaz. jednot, namreč Ako si naredimo b vrst, izmed katerih ima vsaka a a krat 1 + 1 + 1 + + 1 1 + 1 + 1 + .... + 1 : b krat 1 + 1 + 1 + .... + 1 potem je očitno, da dobimo isto množino jednot, ter iste število, če preštejemo jednote vseh horicontalnih ali pa jednote vseh ver¬ tikalnih vrst. V prvem slučaji dobimo a jednot b krat ter a b, v drugem pa b jednot a krat ter b . a. Tedaj je a . b — b . a Ta izrek velja tudi za vsako množino faktorjev. V proiuktu iz več faktorjev moremo namreč po dva in dva skupaj stoječa faktorja med seboj zamenjati, med tem ko drugi na svojem mestu ostanejo; na tak način moremo pa vse zamenjati, kakor ravno hočemo. Tako je n. pr. a.b.c = a.c.b — c.a.b i. t. d. Dokaži ta izrek še na teh-le primerih: 3x4, 5x6, 7x2, mxn. §. 37. Produkt dveh faktorjev množiš se številom ako en faktor množiš, t. j. (a b) c — (a . c) . b — a (b . c) Dokaz- Ker je a . b . c — a . c . b — a . b . c (§. 36) je tudi (a, . b) c — (a, c) . b — a . (b c) (§. 35). Narobe je a . (b . c) = (a . b) . c == (a . c) . b. Izrazi to enačbo z besedami! Vaje. 1. 3«. 4 = ? 3. ax . m = ? 5. y . az = ? 7 7 m . 3n . Ax — ? 9. Izštevili na pamet a) 64 . 20 = 64. (10 x 2) 2. 7x . 5 = ? ' 4 . 6.3 m = ? 6 . 6x.7y = ex. (7y) = ( 6 * . 7 ) y — i. t. d. 8 . 2j? . 8 a . 6y = i. t. d. b ) 87 . 40 = ? c) 95 , 50 = ? 25 7 x 3 č) 115 . 21 = ? 3x4 d) 385 . 12 = ? Produkti enakih faktorjev. §. 38. Ako imamo a 4 (m) krat kot faktor staviti, dobimo '/»krat potenco a. a. a.a — a 4 , a. a. a a — a m a m peri „a na 0 “ (potenco povzdignjen) ali a mkrat potencovan. Število a imenujemo osnovno število, podlago ali koren, število m pa potenčni eksponent (kazalo) ali tudi krajše eksponent. Ke- dar iščemo mto potenco števila a pravimo da jo potencujemo (vzmnožujemo) se številom m. Potenco a 1 imenujemo tudi kva¬ drat in potenco a 3 kubus števila a. Potenca more ali nakazana ali izvršena biti. Pri občnih po¬ tencah to razliko pokažemo, kakor vidiš v tem-le am = (am) — c Kedar nahajaš v izrazih potence kot glavne količine, so ti izrazi istoimenski, ako imajo potence enake korene in enake eks¬ ponente , n. pr. 2 a 3 in 5 a 3 ; drugače so pa raznoimenski n. pr. 3« a in 7a 6 , 4 b 3 in 7c 3 . Vaje in vprašanja. 1. a) Napiši sledeče izraze krajše in potem jih beri »krat a. a , b. b. b, c. c. c. c, x. x. x x b) Imenuj korene in eksponente prejšnjih primerov; zakaj imenujemo 2, 3, 4, n eksponente in zakaj a , b , c, x ko¬ rene? Katero število v potenci imenujemo eksponent, katero koren? Kaj se pravi število a na drugo, število b na tretjo, število c na četrto in število x na wto po¬ tenco povzdigniti. 2. Povej nakazano in potem izvršeno drugo, tretjo, četrto, peto, šesto potenco števil, 1, 2, 3, 4, c. 3. Povej kvadrat in kubus vsakega števila do 12. 4. Imenuj tri istoimenske izraze, v katerih so potence glavne količine; b) ali so izrazi 3a 6 , 4a 3 , 8 b 3 istoimenski? Iz pomena potence sledi a 1 = a \ m = 1 Eksponenta 1 navadno ne napišemo. 26 §. 39. Potence enakih podlag množiš, ako sknpno podlago z vsoto eksponentov potencuješ, t. j. a 3 . a 4 — a 7 , a> n . a» = a m + n Dokaz. Število a stoji najpred 3krat (»»krat) in potem še 4krat (»krat) ali 7krat [(m + n) krat] kot faktor; torej je naša trditev prava. Dokaži isto na teli-le primerih: 3 6 . 3 2 , 6*. 6 4 , 2 3 . 2 2 , aP. ar Produkt potenc z raznimi podlagami moremo le nakazati. Vaje. 1 . a 6 . a — ? 2. ar . w — ? 3. 9 x . x = ? 4. 8y 2 . ly 3 = ? 5. 2 1 3 . 4® 3 = ? 6 . ab . bc — ? 7. a 3 x . Jz 3 = ? 8. 4 am . 3a» = ? 9. 8Z 2 «/ 3 . 6x 3 = ? 10. a . 2« . 3a — ? 11. a™ . an . Q V = ? 12. z 3 .3 xhy. 3^»/ 2 =? §. 40. 1. Vsoto množiš se številom, ako ž njim vsak su- mand množiš in dobljena delska produkta sešteješ, t. j. (m + n) a — m a + n a Dokaz sledi iz §. 14, ako tam enačbo obrnemo. Opomba. Produkta ma in na imenujemo delska ali par- cijalska produkta. 2. Število množiš z vsoto, ako ga množiš z vsakim suman- dom in dobljena delska prodnkta sešteješ, t. j. a (m + n) — am + an Dokaz sledi iz 1., ako tam faktorje med seboj zamenjamo. Vaje. 1. (4 + a) . 3 = ? 2. (5a + b) . 4 = ? 3. (7x + 2 y) = ? 4. (4 a*b + 4 ab 2 ) .4aJ = ? 5. (2 mn 2 x + 3m 2 »y) . 5mnxhj t = ? 6. 8p 2 s 2 (3p 3 s 2 + 2p 4 s) = ? 7. (a + b + c) to = [(a + b) + c] . m = (a + b) m + cm = «ot + Jot + cm. 8. (3z 2 + 2y 3 + 3^) . 2z 2 ?/2 3 = ? 9. Izštevili na pamet a) 45 X 6 = (40 + 5) . 6 i. t. d. b) 320 X 5 = ? c) 432 X 3 = ? e) 528X7 = ? d) 348x4 = ? 3. Diferenco množiš s številom ako vsak člen (minnend in snbtraliend) množiš in dobljena delska produkta odšteješ, t. j. (m — n) a — ma — na Dokaz sledi iz §. 25. 27 4) Število množiš z diferenco, ako ga z minnendom in subtraliendom množiš in dobljena delska produkta odšteješ, t. j. a {m — n) — am — an. Dokaz sledi iz enačbe v 3. ako v njej faktorje zamenjamo. Vaje. 1. (a — 3) . 5 = ? 2. (3 m — 2n).Qx = ? 3. (6x — 5y) . 2 xy — ? 4. (3a.r 2 — 2by 2 ) . 5: r 3 y 3 = ? 5. 7m 2 w 3 a; 4 (8w%% 3 — 7mn 3 x 2 ) = ? 6. Izštevili na pamet a) 68 X 3 = (70 — 2) 3 = i. t. d. i) 398.4 = ? c) 596 . 7 = ? d) 54 . 99 = 54 (100 — 1) = i. t. d. e) 83 . 98 = /) 65 . 999 = ? 5. Vsoto ali diferenco množiš z vsoto ali diferenco, ako vsak člen multiplikanda z vsakim členom multiplikatorja mno¬ žiš in dobljene delske produkte z aditivnim ali se subtraktiv- nim znakom vzameš , kedar imata člena enaka ali različna znaka, t. j. {a + b) (c + d) — ac + bc + ad + bd (i a + b) (c — d) — ac + bc — ad — bd (a — b) (c + d) = ac — bc + ad — bd (a — b ) (c — d) — ac — bc — ad + bd Dokaz sledi iz prejšnjih izrekov, ako si misliš jeden faktor kot jedno samo število in potem izvršiš. Stori to! Iz vseh teh izrekov spoznamo to-le pravilo za znake pri delskih produktih. Delski produkt vzemi aditiven ali subtraktiven, če sta oba znaka faktorjev enaka ali različna. Vaje. 1. (3 a + 3 b) (2a + 56) = ? 2. (5x + 2 y) (4x — 3y) — ? 3. (7 m 2 — 5 n s ) (8 m 3 + 3 n 2 ) = ? 4. (6 ab 3 x 2 — 5 m 3 ny s ) (2a 2 bV — 3 m 2 n 3 y) = ? 5. (a + b) (a — b) — a 2 + ob — ah — b 2 — a 2 — b 2 Vsoto dveh števil množiš z njuno diferenco, ako odšteješ njuna kvadrata. 6. (m + n) (m — n) = ? 7. (5 a + 21) (5 a — 2b) — ? 8. (3x a — ly 2 ) (3x 2 + ly 2 ) = ? 9. (9 ab 2 z 3 + 3 m 2 v) . (5ab 2 z 3 + 3 m 2 v) = ? 28 10. Izštevili na pamet а) 34x46 = (30 + 4) (20 +6) = (30+4) .20 + (30 + 4). 6 = i. t. d. б) 29 . 23 = ? c) 37 . 41 = ? 6. Polinom množiš se številom, ako vsak člen ž njim mno¬ žiš in delske produkte zo znaki zvežeš, kakor gornje pravilo za znake veli, t. j. (a — b + c) m — am — bm + cm. 7. Število množiš s polinomom, ako ga množiš z vsakim členom polinoma in znano pravilo za znake pri delskih produk¬ tih porabiš, t. j. a (m — n + p) — am — an + ap. 8. Polinom množiš s polinomom, ako vsak člen prvega po¬ linoma množiš z vsakim členom druzega polinoma in znano pra¬ vilo za znake pri delskih produktih porabiš, t. j. (a — b + c) ( m — n — p) — am — bm + cm — cm + bn — cn — ap + bp — cp Resnica teh treh izrekov sledi iz večkratne porabe izrekov od 1 do o v tem §. Stori to ! Vaje. 1. (3 a — ob + 2c) . 2x — ? 2. 7a 2 ;« 3 (5 a 2 m — 2 am* — 6'/« 3 ) 3. 3a 2 (56 — 4a® + 9) = ? 4. (32* + 2z 3 — 5z 2 + 4) 62“ — ? 5. (3x 4 * — 2x 3 + 5* 2 — x + 1) (2x 2 + 6x — 3) = 6x 6 7 8 — 4x B + 10aP — 2x 3 + 2ai 2 , l8x B — 12x 4 + 30x 3 — 6x* + 6x — 9x 4 + 6x 3 — 15« 2 + 3x — 3 produkt= &x a + 14x 6 — 1 l# 4 + 34x 3 — 19;c 2 +$x — 3 Ako v tej nalogi oba faktorja in njun produkt natančniše pogledaš, vidiš, da ima vsak člen od prvega do zadnjega potenco z istim korenom, v kateri ima koren prvega člena naj višji in koren vsakega sledečega člena nižji eksponent od pred njim stoječega. V tem slučaji pravimo: Polinomi so po upadnih potencah skup¬ nega korena poredani. Polinome pa tudi večkrat po rastnih po¬ tencah poredamo. Pri izvršitvi množenja pišemo istoimenske izraze zarad pripravniše skrčitve navadno j eden pod drugega. 6. ( x 4 + 3x 3 + lx 2 + x + 1) {x — 1) = ? 7. (x 6 — x i + x 3 — x 2 + x — 1) (x + 1) = ? (x = 3) 8. (5x 2 — 6 ax + 2a 2 ) (3x 2 — 4 ax + 2a 2 ) = ? (a = 2,x = 4). I delski | produkti 29 1. (2a> 2 — 3a 2 ) (5a? 2 + 2a 2 ) + (3;r 2 — a 2 ) (2x 3 + 4a 2 ) = ? 2. (8 —m 2 ) (6 + w 2 ) — (8 — m 2 ) (5 + m 2 ) = ? 3. (* + 4) (x — 4) + 16 = ? 4. 2 2 — (z + 5) (z — 5) = ? 5. (3^ 2 + 2 f) (3x 2 — 2y 2 ) — (4» 2 + y 2 ) (4x 2 + y*) = ? 6. (5a; 2 + 4z — 3) (4i» + 8) — (4<3 _ yoo = 9.10 2 + 3.10 + 6 = 936 6)26x4 = ? c) 16X4 = ? c) 34X5 = ? d) 459 x 8 = ? e) 5092 x 5 = ? /) Zakaj začneš pri jedni- cah množiti ? 20. Reši sledeče naloge na pamet in pismeno: a) 54.10=(5.10 + 4). 10 = 5.10 2 + 4.10 = 5.10 2 + 4.10 + 0 = 540 31 b) 751 x 10 = ? c) a.10 3 + b. 10 2 + c.10 + d) . 10 = ? c) 84 X 100 = ? d) (a.10 3 + 6.10 2 + c.10 + d) . 100 = ? e) 5093 x 1000 = ? f) (a. 10 3 + 6.10 2 + c.10 + d) . 10'« = ? Kako množiš dekadična cela števila z 10, 100, 1000 i. t. d. 21. (3.10 3 + 5.10 * 2 + 9.10 + 6) (2.10 2 + 5) = 3596x235 7.10» + 1.10* + 9.10*-+2.10* .. 7192 1.10 6 + 0.10*+ 7.10 3 + 8.10 2 + 8.10 .. 10788 1.10 3 + 7.10 3 + 9.10 2 + 8.10 + 0.. 17980 8.10»+4.10* + 5.10 3 + 9.10 2 + 6.10 + 0. . 845060 - 22. (2.10* + 5.10 3 + 0.10 2 +8.10 + 3) . (8.10 2 + 3.10 + 2) = ? 23. (5.10 8 +0.10 2 + 4) (9.10 2 + 6.10 + 3 — ? Kako torej množiš mnogoštevilkasto število z mnogoštevil- kastim ? 24. Pokaži še na sledečih primerih, kako pravilo za mno¬ ženje mnogoštevilkastih števil z mnogoštevilkastimi dobimo: a) 5 3 2 4 x 27 = (5.10 3 + 3.10 2 + 2.10 + 4) (2.10 + 7) b) 6708x305 = ? c) 28029x513 = ? č) Katero mestno vrednost ima prva številka na desni v prvem, drugem . . . delskem produktu? To pojasni na primerih 24. naloge. 25. Pokaži na primeru 3492x532, da je vse jedno, če začneš z najvišjo ali pa z najnižjo številko multiplikatorja mno¬ žiti. — Zakaj pišemo vsak sledeč delsk produkt za jedno mesto bolj proti desni oziroma proti levi? 26. a) 350x 7500 = (3.10 2 + 5.10 + 0) (7.10 s +5.10 2 + 0.10 + 0) = (3.10 2 + 5.10) (7.H) 3 + 5.10 2 ) = 35.10.75.10 2 .. ■ . — (3.10 + 5) . 10 . (10.10 + 5 ). 1 0 2 35.75.10 3 . = (3.10 + 5) (7.10 + 5) 10 3 245 . = 2.10 3 + 4.10 2 + 5.10 175 . == 1.10 2 + 7.10 + 5 2625.10 3 =2625000=(2.10 3 + 6.10 2 + 2.10 + 5). 10 3 = 2625.10 3 — 2625000 b) 4500 X 500 = ? c) 32000 X 24 = ? 1. Izštevili z ozirom na enačbo 2. v §. 37. a) 3425 X 35~ ^ 4528 x 63 = ? ^ 7 0) 35827X64 = ? 5 č) 54087 X 560 = ? 119875 32 2. Izštevili z ozirom na §. 40 4. 100-1 100—3 a) 4834X99 = ? c) 56291x998 = ? J) 5842x97. d ) 42829x9990. 400—1 /) 52790x9930 = ? /i) 35728x399. i) 52817X4999 = ? ft) 7826X29999 = ? 3. a 254x21 6) 6842x17 = ? c) 4592 = 18 508 č) 78425 X 182 = ? d) 42567x102 = ? ~ 5334~ f) 569278X 11 = ? 1. Ako jeden meter 3 ti. 60 kr. stane; koliko velja 5»'-? Im velja 3 fl. 60 kr. 5 m „ 5krat 3 fl. 60 kr., t. j. 3 fl. 60 kr. X 5 = ? 2. 1 dekagram velja 14 kr.; koliko veljajo 3 kjg 25 S%r? 3. 1 liter vina velja 36 kraje.; koliko velja 1 9% 8 f? 4. 1 kubičen meter stane 9 fl. 40 kr.; koliko velja 62 Deljenje. §. 43. Število a se številom b deliti se pravi iskati število, katero da z b pomnoženo a za produkt; število a imenujemo (le- ljenec (dividend), število b deljitelj (divizor) in iskano število ko¬ ličnik (kvocijent). Da imamo število a se številom b deliti, za¬ pišemo Oj a : b ali (beri „a deljeno ze b) Osnovna resnica: Kvocijent občnih števil je občno število, t.j. a : b = c Pišemo pa tudi a : b — (a : b) ali ali = j (glej opombo v §. 9. Naloga. Namesti v enačbi ” = ( '^ j a in b s temi-le šte¬ vili: a = b, 9, 12, m b = 2, 3, 4, n Torej je dividend enak produktu iz kvocijenta in divi- zorja, t. j. Iz a . b ~T~ pojma kvocijenta pa še sledi: = &, 2 a \ a — 1, a •. 1 — a, o : a = O Izrazi te jednačbe z besedami! — Ali spremeniš vrednost števila, ako ga z drugim množiš in z istim deliš in narobe? Ka¬ tere jednačbe ti dajo odgovor na to vprašanje ? Pri množenji smo iskali produkt iz dveh danih faktorjev; pri deljenji pa iščemo iz danega produkta dveh faktorjev (iz divi¬ denda) in iz jednega teh faktorjev (iz divizorja) drugi faktor. De¬ ljenje je torej nasprotno množenju. Tako je n. pr. pri množenji 4x3 = 4 + 4 + 4=12; ako se pa vprašamo, kolikokrat faktor (multiplikand) 4 od 12 odšte¬ vati moremo, dobimo 12 — 4 = 8, 8 — 4 = 4, 4 — 4 = 0, t. j. 4 moremo ravno 3krat odštevati od 12; ta znesek pa dobimo krajše z deljenjem 12 : 4 = 3. Ker je množenje okrajšano seštevanje in deljenje okrajšano odštevanje, je deljenje množenju ravno tako nasprotno, kakor od¬ števanje seštevanju. Iz gornjega primera razvidamo, da dobivamo multiplikator (kvo- cijent) 3 iz produkta (dividenda) 12 in multiplikanda (divizorja) 4, ako od 12 zaporedoma 4 odštevamo. V tem slučaji je deljenje primerjanje in merjenje, ker hočemo pozvedeti, kolikokrat je divizor zapopaden v dividendu. Vprašati pa tudi moremo po multiplikandu; v tem slučaji je deljenje neka delitev (Sleden), s katero oni del iščemo, ki nam daje dividend, ako ga tolikokrat vzamemo, kakor zahteva divizor. To razliko deljenja spoznaš iz pridejane podobe, a | - 1 b c | - 1-1——|——| č d I-1- -- 1 - 1 e v katerej je ob =1, cc = 4. ah in de = 3. cč = 4.3 = 12. Multiplikator 3 dobimo iz produkta 12, ako črto de zmerimo s črto c c, multiplikand 4 pa, ako črto de delimo v tri enake dele. Obojno deljenje je bitstveno različno po pomenu; z ozirom na §. 36 je pa številna vrednost kvocijenta za vsak slučaj ista, če sta le dividend in divizor ista. Vprašanja in vaje na pamet. 1. Kaj se pravi števiio 8 se številom 4 deliti? Kako ime¬ nujemo števili 8 in 4? Katero število imenujemo dividend in katero divizor? Povej izvršeni kvocijent teh števil! — Katero število imenujemo kvocijent? — Odgovori na ta vprašanja še pri sledečih primerih: 12 : 6, 25 : 5, 20 : 4, 30 : 15, m : n. 2. a) Odštevaj, kolikorkrat moreš 8 od 40, 9 od 36, 6 od 24, 3 od 15. — Kolikokrat je torej 8, 9, 6, 3 v 40, 36, 24, 15 zapopadeno. b) Deli: 40 : 8, 36 : 9, 24 : 6, 15 : 3. 3. a) Razdeli črto ab v 3, 4, 5, 6 jednakih delov; b) Koli¬ kokrat je dobljen del zapopaden v danej črti? — 4. Deli: 8 : 8, 6 : 6, 20 : 20, a : a, m 3 : m s , 5x>» : 5x>». 5. Deli: 5 : 1, 7 : 1, 3 : 1, 15 : 1, a : 1. 6. Deli: 0 : 2, 0 : 3, 0 : 11, O : a. 7. Množi: 3 s 4 in deli dobljeni produkt s 4 5 » ® i> » » n n® 7 n ® » n » >! ■ m n n n n n n >1 n 8. Deli 12 s 3 in množi dobljeni kvoeijent s 3 30 „ 5 „ „ „ „ „5 56 n 1 n n n » n " m z n „ „ „ „ „ n Izreki. §. 44. I. Produkt deliš se številom, ako jeden faktor ž iyim deliš, t. j. 5, 7 . 8 4 = 7x2 Dokaz. b~\.c= [(-^) • c ] • b (§. 37.) = ab (§.43), torej jednak dividendu in deljenje je v resnici pravo. — Dokaži takisto drugo jednačbo. — Ali spremeniš vrednost kvoeijenta, če v poljubnem redu množiš in deliš ? Vaje. 1. Število 45 deli potem sč številom 9, ko spremeniš 45 v produkt iz faktorja 9 in iz drugega faktorja. 45 : 9 = (5X9) : 9 = 5. Na pamet: 45 je jednako 5krat 9; torej je 9 v 45 5krat zapopaden; ali 45 je jednako 9krat 5, torej je 9ti del od 45 šte¬ vilo 5. 85 2. Reši na isti način še te-le naloge: a) 72 : 8 = ? b) 800 : 2 = ? c) 612 : 6 = ? 3. 12a : 4 = ? 4. 4w : m — ? 5. : y = 7 6. 8x 3 : z 3 — ? 7. »me 2 : m — ? 8. a»me» : = V II. Število množiš s kvocijentom, ako ga v poljubnem redu z dividendoin množiš in z divizorjem deliš, t. j. •■( 4 )- 4 ; -(■!-)■■ 6 Dokaz sledi iz I. 1. Reši te-le naloge na pamet, kakor kaže prva naloga. a) 23 . 5 = 23 . = 230 : 2 = 115 A govori: lOkrat 23 je 230, in polovica od 230 = 200 + 30 je 100 + 15, t. j. 115. I) 45 . 5 = ? c) 87 . 5 = V č) 32 . 25 = 32 . = 3200 : 4 = 800. Na kratko 32 00 X 25 800 d) 48.25 = V e) 56 . 125 = 56 . —— ? /) 72 . 125 = ? 2. 4 a . 3. 5a: 3 . ~ = ? 4. 12 mz* . ■ - 4 5 4/» III. Kvocijent množiš se številom, ako dividend ž njim množiš in produkt z divizorjem deliš, ali pa dividend s kvo¬ cijentom iz števila in divizorja deliš, t j. b ^ ha ^ ( a \ c ' c V c J Dokaz sledi iz II., ako faktorje zamenjamo. Vaje. 2. . 2a 3 = V b 3. ^ . 8*,< 4W2 3 . 36 = ? 5. o mn“x l . 2 mnz 3 * 36 IV. Število deliš s produktom, ako ga z jednim faktorjem in dobljeni kvocijent z drugim faktorjem deliš, t. j. 42^ _ 6_ 42 _ 14 7.3 — 3 ’ 7.3 — ~~7~ = (_£_) :c= i Dokaz: [[—} : -ir - 6 = -r ») tt • 9 = ? '• &■* = ' 2 . = r a) ako kvoeijent divi- IX. Kvoeijent deliš s kvocijentom, dendov s kvocijentom divizorjev deliš, p) ali ako dividend z reci¬ pročno veljavo divizorja množiš, t. j. *) a T Dokaz: c _ a: c a c d b : d ' J b ' d ' a : c c (a : c) . c b : d d (b : d) . d « . ( b \ «) P) /a d\ c U ' ~e) ' ~d ~ a ~ ~b a ~F d c c ’ d d_ c ) = je pa dividend, torej deljenje pravo Vaje. 4 a 9,a 1. 3. 4 a 15 b 2 ax 3 3 by* 2« Hb ~ lby 3 3ax‘ 2 . 15 ax 3 5 a limf \2mp' l x i nr 3 z* my‘ Inr^z 3 - — ? m z px 3 X. Vrednosti kvocijenta ne spreminjaš, ako dividend in divizor z istim številom množiš ali deliš, t. j. a am a : m b bm b : m am m -ni am Dokaz: — . b — bm (glej VIII.) = «. a je pa dividend torej kvoeijent pravi. a : m a m am a b: m m b bm b torej tudi drugi kvoeijent pravi. Opomba. Kedar dividend in divizor z jednim in istim šte¬ vilom množiš, takrat kvoeijent razširiš; ako dividend in divizor z istim številom deliš, kvoeijent okrajšaš. 39 Vaje. 1. Razširi te-le kvocijente: a 2x 'oarr?x s V 3 y ’ 3 bn 3 y Okrajšaj te-le kvocijente. se 3, 2x, 5 amx\j. «) V) 1 barn x-y _ 9 bmx 3 21 a i bnx i _ 35 a , cny 3 §. 45. Potenci jednakih podlag deliš, ako skupno podlago z diferenco eksponentov potencuješ, t. j. a b : a 3 — a 2 , a m : a»- = a>»—« m j> -« Dokaz: a n . a»<—n = »4 = am Ako je m = n , dobimo po tem pravilu a m : a« = af> Ker je pa am : am = l mora za zmerom a° = 1 pomeniti, in to so matematiki tudi ustanovili. Ako je m <; n n. pr. m — 3, n — 5, dobimo po gornjem pravilu a 3 : a 6 — a~ 1 Ker je pa a 3 1 a 5 a 1 mora za zmerom pomeniti, in to so matematiki tudi ustanovili. V obče je torej 1 a—m = -- am t. j. potenca z negativnim eksponentom je enaka recipročnej veljavi iste potence pa s pozitivnim eksponentom. Dokaži to pravilo še na teh-le primerih: 1. —j, 2. m 6 : m 3 , 3. a»» ; a 3 , 4. x 6 : x *v 40 Izvrši še te-le naloge: 1 . 10 5 : 10 2 = ? 2. 10™ : 10" = ? 3. 5x : — ? 4. 3y a : if = ? 5. 24a 7 : 6a 3 = ? 6. 15W : 3fe 2 = ? 7. 12 ax 2 : 4x i — ? 8. 5 a s mx 6 :a 2 m s x ( =? 9. a m + n• «>« = 9 §. 46. I. Vsoto deliš se številom, ako vsak sumand ž njim. deliš, in delske kvoeijente sešteješ, t. j. «4i = 2 + 3 , i+i = «+l 3 mm m ~ , r« , 64 a b . _. Dokaz: ( —h- . m = — . m H-.m (.40, I.) v-m m-l m m = a + 6 (§. 43) (a + ž>) je pa dividend, torej deljenje pravo. Vaje. 1. Reši te-le naloge na pamet, in sicer tako, kakor je re¬ šena naloga a). , 124 120 + 4 a) —- — - - — 30 + 1 = 31 144 279 ~ 9 4 g + 6ž> 0 2 - • 3 5-r 3 + 3a: _ ? 4. 124V 3 +18a4/ 2 a: 5. Okrajšaj te-le kvoeijente: 5a 2 + 4 ob lmx 3 + iSnx* 12a 2 // 3 4 12a 3 ?/ 2 3 a ’ 2mx* 12a 2 y 2 II. Diferenco deliš se številom, ako minuend in subtrakend ž njim deliš in delska kvocijenta odšteješ, t. j. 8 — 2 , „ a — b a b 4—1, m m m Dokaz kakor pri I. Vaje. 1. Reši sledeče naloge na pamet in sicer tako, kakor je rešena naloga a). 112 = 120 - 8 = 30 _ 2 ^28 4 4 ,, 135 150 — 15 , 184 0 l) -5~ = -^T-= i - t - d ' c >- 8 ~ =? 5 41 o 27« — 15& 0 7 x s- 3x 2. - g - = ?, 3. --- = ?, 4 18a? y — Ux Y _ 9 3xij 5. Okrajšaj te-le kvocijente: 5 « 4 — 3a 2 & 2 9 m 2 nx 3 — 6w s a; 2 8ab 2 x 3 y i — 2 a i bx i y 3 3 a 2 b 3mn 3 x ’ 4 a 3 bx 2 y 1 §. 47. I. Polinom deliš se številom, ako vsak člen poli¬ noma ž njim deliš in delske kvocijente se znaki dividendov zve¬ žeš, t. j. a — b + c a h c m m m m _ . a — b + c ' (a — b) + c a — b c a b c m m m m m m m Vaje. 1. (3x i + 6x* — 3x) :3x = ? 2. (42 a 2 x s t/ — 14 a 3 xhj — 7 ax 2 ) : 7 ax z = ? 3. (5« 3 — 25« 4 — 10a 6 + 15a°) : 5a 2 = ? 4. (16« s 6 2 c 8 + 8a 4 6 3 c 6 — 12a 6 b*c i — 20a°5 3 c 2 ) : 4a 2 Z» 2 c 2 = ? Ker je (a — b+c) (m — n) — am — bm+cm — an+bn — cn dobimo za m = o (a — b — c ). (— n) ■■ ■ an + bn — cn ter - an + bn—cn -b + c Iz tega sledi, da jo pravilo v §. 40 tudi za znake v kvoci- jentu veljavno. Kako se glasi potem to pravilo? II. . Za deljenje polinoma s polinomom služi rešitev te-le naloge: Razloži kvocijent -pi- v dva sumanda % + x 1 kjer je % dan. ■&1 Rešitev. A_ B 1 Naj je = a 1 + x, kakor n. pr. 40 : 8 = 2 + x potem je A x — «! B x + Bj x - Oj B X = - % Ul A — + 2a*) : (4& 2 —3a6 + 2a 2 ) = ? ' 14. (27a 7 — 33 a 3 b — 45a 6 ž> 2 + 71a‘ž> 3 — 36a 2 6 6 + I6a&°) : (9a 3 — 2a i b — 5ab 2 + 4b s ) = ? 15. Okrajšaj te-le kvocijente: 2« 2 — 3x 4ab — 2ax + 3 ay x i — 1 x 2 — 1 a 2 — b 2 4;z 2 + 5x ’ 7ah + 3ay ’ x — 1 ’ * + 1 ’ a + b ' d 2 — J 2 4x 2 — 9y 2 2.x 2 — 9 y r a — b ’ 2x + 3y ’ 2x — 3y Deljenje imenastih števil. §. 48. Deljenje imenastih števil rabimo za rešitev takih nalog, s katerimi moramo določiti neko delitev ali pa pri pri¬ merjanji dveh istovrstnih števil neko zapopadenost. N. pr. a) Koliko je 5ti del od 20 gold. ? — b) Kolikokrat so 3»* v 15»* zapopadeni? V prvem slučaji je divizor, v drugem pa kvocijent le včasih brezimenasto število. Imenasto število deliš z brezimenastim, ako njegovo mero ž njim deliš, t. j. A : m — ae : m = U e (§. 44 I.) m K ' ' 44 Imenasto število deliš z istoimenskim številom, ako mero dividenda z mero divizorja deliš, t. j. A : B = ae : be = | (§. 44, IV.) Vaje na pamet. Nek dobrotnik razdeli 36 11. med tri učence; koliko dobi vsak ? — Vsak dobi Stji del od 36 fl., t. j. 36 : 3 = 12 fl. 2. Koliko kilogramov nekega blaga dobiš za 12 fl.; ako 1 kjg 2 fl. stane? — Kolikorkrat sta 2 fl. v 12 fl. zapopadena, t. j- 12 : 2 = 6 kg. 3. 8 hjg stane 8 fl. 40 kr.; koliko stane 1 % ? 4. 4 hektolitri vina stanejo 28 gold. 60 kr.; koliko stane 1 5. 1 hjg 50 nekega blaga stane 3 gold.; koliko 11%? Kolikokrat je 6 ”) ‘2 d j m 2% dolga ravnica krajša od 12 m j 4^m. dolge ravnice? Deljenje dekadičnih števil. §. 49. Vaje. 1) 6.10 6 : 3.10 2 = ? 2) 12.10 8 : 4.10 s = ? 3) 15.10«» : 5.10» = ? 4) a. 10»» : 6.10» = ? 5) 9.10 4 : 2 = (8.10 4 + 1.10 4 ) : 3 = (8.10* + 10.10 3 ) : 2 = 4.10* + 5.10 3 . 6) 7.10 3 : 5.10 == ? 7) 5.10* : 4.10 2 = ? 8) 624 : 2 = (6.10 2 + 2.10 + 4) : 2 = ? 1239 1.10* + 2.10 2 + 3.10 + 9 9) 8673 : 7 = (8.10 3 + 6.10 2 + 17.10 + 3) : 7 = 7.7.10 3 16... ..l.lu“ + 6.10 2 = 16.10 2 14.14.10 2 27...2.10 2 +7.10=27.10 21 . . 21.10 63 .. 776 + 0 + 3=63 63. ... .63 ~ 0 0 Na kratko 8673: 7 = 1239 16 27 63 10 ) 4992 : 6 = ( 4 . 10 3 + 9 . 10 2 + 9.10 + 2 ) : 6 = ? 45 Kako torej delimo mnogoštevilkasto število z jednoštevil- kastim ? 11 ) 803 985 : 65 4 =8.10 6 +0.10 4 +3.10 3 + 9.10 2 +8.10 + 5) : 651 1235' ' 803.10» ” 1.10 3 +2.10 2 +3.10 + 5 803. 803.10 3 651. 651.10 s 1529 . . .T)l52.10 3 + 9.10 2 =1529.10 2 1302.. 1302.10 a 2278. 227.10 2 + 8.10=2278.10 1953... 1953.10 3255 .... 325.10 + 5=3255 3255.3255 0 0 ~ Na kratko : 803985 : 651 = 1235 1529 2278 3255 0 12) 105547 : 23 = (1.10 6 + 0.10 4 + 5.10 3 + 4.10 2 + 4.10+7) : 23 = ? 13) 14843816 : 4204 = (1.10 7 +4.10» + 8.10 6 + 4.10 4 + 3.10 3 + 8.10 2 + 1.10 + 6) : 4204 = ? 14) Reši naloge 11., 12., 13. tako, da tudi divizor v podobo polinoma spremeniš. (8.10 5 + 0.10 4 + 3.10 3 +9.10 2 + 8.10 + 5) :(6.10 2 + 5.10 + 1) = 6.10 6 +5.10*+1.10 3 1.10 3 +2.10 2 +3.10 + 5 1.10®+ 5+0 4 + 2+0 3 + 9.10 2 15.10 4 13.10 4 + 0.10 3 + 2.10 2 2.10* + 2.10 3 -,-7. K+ + 8.10 22 . 10 3 19.10 3 + 5.10 2 + 3.10 3.10 T + 2.10 2 + 5.10 + 5 3+10 2 _ 32.10 2 + 5.10 + 5 ~0 Kako torej delimo mnogoštevilkasto število z mnogoštevil- kastim ? Ali moremo sklepati iz najvišjih številk dividenda (oziroma ostanka) in divizorja na pristojno številko kvocijenta? 46 15. Pokaži še na teh-le primerih, kako pridemo do pravila za deljenje dekadičnih števil: 5416 : 4, 12300 : 492, 1777575 : 3425. Izštevili pismeno: 9.2 (16 4284 : 18’ 5679064 : 36 (§. 44, IV.) 1. Nekdo porabi vsak dan 3 fl. 85 kr.; koliko časa izhaja s 1200 gold.? 2. Med več ubogih so 136 fi. 80 kr. tako razdelili, da je dobil vsak revež 5 h. 70 kr.; med koliko revežev so to vsoto razdelili ? 3. Neka cev daje v 24 urah 51 5% 36 'j vode; koliko v 1 uri? 4. Vlak prevozi v 1 uri 30 1%* 336 m j daljave; koliko v 1 minuti? 5. Koliko cekinov a 8 gold. 56 kr. je 642 gold. vrednih? 6. 4800 bL kave stane 3426 gold. 24 kr.; koliko stane 2400 %? Množenje in deljenje algebrajskih števil. §. 50. Produkt algebrajskih števil (+ a) in (4 b) imenujemo vsoto, v katerej nahajamo (+ a) Škrat kot sumand in sicer v istem smislu, kakor zahteva znak števila b. Algebrajski števili množiš, ako postaviš pred produkt njiji- nili številnih vrednosti znak +, kedar ste istoznačni, in znak —, kedar ste raznozuačni, t. j. 1. (+ «)•(+ b) = + ab 2. (— a).(— b) — + ab 3. (4 a). (— b) = — ab 4. (—«).(+&) =— ab Dokaz. Število 4- a se številom + b množiti se pravi šte¬ vilo 4 a čkrat kot sumand staviti in sicer v istem smislu, torej je Jkrat (+ «)•(+ b) = (+«) + (+ a) 4>rrT+ (+ «) = = a 4- a -p a - 1- ,,, 4 n = -p ab Takisto dokažeš 2., 3. in 4. slučaj. Dokaži gornji izrek še na teh-le primerih: a ) (+ 3).(4- 4) =; b) (—2).(4 6); c) ( —4).(—5); b) (+7)-(—2); d) (+z«)-(±»). 47 Pojasni to pravilo na pojmih čas, hitrost in pot pozit. negat. Hitrost = pot v 1 sek.na desno na levo P°t. » n n n čas.pretekli prihodnji. Vaje. 1. 7a.(— 4) = ? 2. (— a 2 ) . 3a= ? 3. (— 6ct 4 ).(— 3a 2 x) == ? 4. (— 2a 2 ).3ab 2 — ‘? 5. 2 ax 3 .( — 3a 2 x).( —4 ax s ).( — x) = ? §. 51. Kvocijent algebrajškili števil (+ a) in (+ b) ime¬ nujemo ono algebrajsko število, katero daje s (+ b ) pomnoženo (+ a ) za produkt. Algebrajski števili deliš, ako postaviš pred kvocijent njiji- nih številnih vrednosti znak +, kedar ste istoznačni in znak —, kedar ste raznoznačni, t. j. 1. (+ a) :(+&)*= +~ 2 . (+ a) :(-&)= -~ 3 . (~ «) :(+&) — —Y 4 ) (_ a) : (_ h ) = +J“_ ^ Dokaz 1. ( + ) .(+ b) = + ~.b (§. 50) = + « (§• 43). + a je pa dividend, torej deljenje pravo. Takisto dokažeš 2., 3. in 4. slučaj. Dokaži gornji izrek še na teh-le primerih: (+ 8) : (+ 4), (- 2) : (+ 1), (- 10) : (- 5), (+ 12) : (- 6) (+ m) : (+ n). Vaje. 1. (+ 8a) : (+ 4) = ? 2. (— 3x s ) : (+ 3x) — ? 3. (+ 15 ax i ) : (— 5 ax^) = ? 4. (—27ni 2 y s ) : (— 9 m 2 y) — ? §. 52. Izreki o množenji in deljenji polinomov (§. 40, §. 47) veljajo tudi za algebrajske vsote; vzemi samo aditivne in subtrak- tivne člene (z ozirom na §. 34.) tukaj kot pozitivne in negativne sumande. 48 Vaje. 1. (6c< — 5&).(— 8 c) = ? 2. (7x 2 — 6# 2 ).(— 2^y) = ? 3. (2 + 3a — 4a 2 — 5a 3 ).(— 6a 2 ) = ? 4. (- 12a 2 x 2 ) .(2as 3 — 4a 2 x + 6 3 48 > 36 3 < 4 2 . m = n P > r mp > nr a) — < — b) p r 8 > 7 5 > 3 40 > 21 3. m^> n p^> r a) mp )> nr 24 > 15 2 < 5 12 >3 Izrazi 1., 2. in 3. z besedami! — Glej m n p Jg bakra, 177 % 42 S>^ kositra; koliko tehta zvon? 49 — 4. Odštevaj na pamet: a) 742 - 36, 923 — 500, 762 — 442 (§. 19.) b) 732 — 48, 862 — 92, 1512 — 432 (§. 21) c) 544 — 46, 892 — 96, 4532 — 542 (§. 22) c) 85 — 49, 582 — 78, 742 — 627 (§. 23). 5. Pojasni pravilo za odštevanje celih dekadičnih števil na tem-le primem: 7632 — 548 6. Nekdo je 780 gold. 30 kr. dolžen, in plača 458 gold. 55 kr.; koliko je še dolžen ? 7. (5x s — 2x* + x— 1) — (2& ,s —5a: + 3) + (3x 3 + 2x 2 —x + o) =? ( x — ■ 3) 8. |[(4a—25 + 3c) — 5a] — [(6a— 56 + 2c) + 8a]| + (5a—8Z» + 7c) = y 9. Izštevili na pamet: а) 38.30, 67.70, 512.40 (§.35,24) 48.32, 215.23, 560.24 (§. 37, §. 40, I., II.) б) 48.6, 498.8, 65.98, 87.999 (§. 40, IV.) c) 46.5, 83.25, 35.125 (§.44,11.) I) 3510 : 27, 272 : 16, 144 : 18 (§. 44, IV.) d) 450 : 25, 525 : 25. 875 : 125 (§. 44, VII.) e) 707 : 7, 248 : 8, 639 : 9 (§. 46, I.) f) 114:6, 406:7, 224:8 (§. 46, II.) 10. Pojasni pravilo za množenje in deljenje števil na tek-le primerih: 5432 x8, 652x 723, 12791361:28247. 11. Izštevili pismeno: 7X7 100—2 8352 X 49, 5822 x 98, 4532 X 599, 6728x 17, 5688x 11, 3487x 105, 7.4_ 8x8_ 40264:28, 4352:64 12. Mlin ima 6 kamenov; vsak kamen zmelje na dan 5 hekto¬ litrov in 36 litrov žita; koliko žita zmelje vseh 6 kamenov v 42 dneh ? 13. Krčmar kupi 4 9% vina po 30 gold. 40 kr., 1 ffifo po 24 gold. 28 kr. in 3 po 22 gld.; koliko stane 1 povprek? 14. (3a 2 — 2 ax + 5x ,a ). (2a 2 + 3 ax — 2,r 2 ) — (2 a — 4%). (2 a + 4x) = ? 15. (24x s — 26 x*y + 18^ 2 — 4 y 3 ) : (4x 2 — 3 xy + 2y 2 ) = ? 16. Namesti v 15.: x = — 2, y = + 3 17. Kako dobimo cela števila? — Koliko vrst računov imamo? — Katero število imenujemo: sumand, vsoto, minuend, 4 50 subtrahend, diferenco, multiplikand, multiplikator, faktor, dividend, divizor, kvocijent, potenco, potenčni eksponent? — Katera števila imenujemo algebrajska? — Katera pozitivna, katera negativna? — Iz katerega računa slede algebrajska števila ? — Iz katerega računa sledi množenje, iz katerega deljenje? Drugi oddelek. O deljivosti števil. §. 54. Število a je z m deljivo kedar je m v a brez ostanka zapopadeno, torej ako je a — mb V tem slučaji je m mera mnogokratnika a. N. pr. je 54 s 6 deljivo, ker je 6 v 54 ravno 9krat zapo¬ padeno. Iz tega sledi: A ko je m mera števila a, je tudi mera mnogokratnika ac. Kajti, ako je a — mb, je ac — (mb) c = m ( bc ) Pojasni to še na teh-le primerih: 12 — 3.4, 18 = 2.9, d = mf, kjer so 3, 2, m mere števil 12, 18 in d. Vsako število je deljivo z 1 in se samim seboj. Število, katero je z jednoto in se samim seboj deljivo, imenujemo abso¬ lutno praštevilo ali na kratko praštevilo. Vsako drugo število imenujemo sestavljeno število. Tako n. pr. so števila 3, 5, 7 pra- števila in števila: 4, 6, 12 sestavljena števila. Števila, katera so deljiva z 2, imenujemo parna, soda šte¬ vila; vsa druga so neparna lika. Vaje na pamet. 1. Povej vsa praštevila od 1 do 50; od 50 do 100. 2. Povej 2, 3, 4, 5 sestavljenih števil. 3. Katera števila so parna: med 1 in 20, med 35 in 64; in katera neparna? 4. Povej mero števil: 12, 18, 32, 17, 15, 23, m; kedaj je p mera števila r? 5. Povej 3 mnogokratnike števila: 3, 5, 7, 8, m. §. 55. Ako ste števili a in h se številom m deljivi, je tudi njih vsota in diferenca s tem številom deljiva. 51 Dokaz. Ker je a = mp b — mr je tudi (§. 50, I., II.) a + 5 = mp + mr — m (p + ■/') a — b—mp — mr—m ( p — r) torej vsota a + b in diferenca a — b z m deljiva. Dokaži ta izrek še na teh-le primerih: 9 in 6 deljivi s 3; 28, 12 deljivi s 4; p, r deljivi z n. Rešitev na pamet: 3 je zapopadeno v 9 3krat, v 6 2krat, torej je v 9 in 6 skupaj 3krat in 2krat, t. j. 5krat (oziroma v 9 menj 6 3krat menj 2krat t. j. lkrat) zapopadeno. §. 56. Ako a nij z b deljivo, dobimo a : b — c 28:8 = 3 bc 24 1. a — bc — o ostanek 28 — 24 = 4 -p bc = -(- bc d - 24=+ 24 2. a — bc + o 28 = 24 + 4. Iz 1. in 2. sledi z ozirom na §. 55: Vsaka skupna mera dividenda in divizorja je tudi mera ostanka; in vsaka skupna mera divizorja in ostanka je tudi mera dividenda. Spoznatki deljivosti. §. 57. I. Število je deljivo z 2, ako je številka na mestu jedinic z 2 deljiva. Dokaz. Dekadično število š je s .+ d . 1000 + c . 1000 + b. 10 + (i Po §. 55 je š deljivo z 2, ako je vsak sumand z 2 deljiv; to pa moremo reči od vsakega, samo od številke a le takrat, ke- dar je parno število. Dokaži ta izrek še na teh-le primerih: 312, 426, 5014, n. 312 = 310+2 i. t. d. II. Število je deljivo s 5, ako ima na mestu jedinic 0 ali 5. III. Število je deljivo z 10, ako ima na mestu jedinic 0. — Dokaz takisto kakor za I. — Dokaži ta izreka še na teh-le primerih : 315, 2540, 3570, n. IV. Število je deljivo se 4, ako je število iz jedinic in desetic se 4 deljivo. Dokaz, s =.'... + e. 10000 + d. 1000 + c. 100 + 5.10 + a = (...+ e. 100 + d. 10 + c).100 + 5.10 + a š . „ . 5.10 + a —=(... + e. 100 + p . 10 + c).25 +-—-^-- i* 52 Ako je tedaj 6.10 + 4 t. j. število iz desetic in jedinic se 4 deljivo, je tudi število S s6 4 deljivo. Dokaži ta izrek še na teh-le primerih: 1524, 6732, 15212, n. 1524 = 1500 + 24 i. t. d. V. Število je deljivo z 8, ako je število iz jedinic, de¬ setic in stotič z 8 deljivo. Dokaz. s (_+ e. 10 + d). 1000 + c. 100 + b.10 + d š , 7S c. 100 4- J. 10 + d ——(....+ e. 10 + d). 125 -)- g Ako je tedaj c. 100 + 6.10 4- d t. j. število iz stotič, de¬ setic in jedinic deljivo z 8, je tudi število š z 8 deljivo. Dokaži ta izrek še na teh-le primerih: 5048, 12376, n. VI. Število je deljivo s 3 ali z 9, ako je njegova, šte- vilična vsota s 3 ali z 9 deljiva. Dokaz, s = . . . + d.1000 + c.100 + 6.10 + a = ...+ d.999 + d + c.99 + c + 6.9 + 6 + a =... 4- 999d 4- 99c 4- 96 ...4-d4~c4-64-cs s .... -}- d 4- c -f- 6 -j- ^ —=_ 4- 333d 4- 33c 4- 36 4--——- H a -== .... 4 ~ llld 4~ lic 4- 6 4- ... 4- d 4- c 4- 6 a ” 9 Ako je tedaj.4- d 4- c 4- 6 4- a t. j. vsota številk s 3 ali z 9 deljiva, je tudi š s 3 ali z 9 deljivo. Dokaži ta izrek še na teh le primerih: 5712, 7803, 36261, n. VII. Število je deljivo s 6, ako je deljivo z 2 in s 3. Dokaz: Ker je š z 2 deljivo, je š = 2 a, in ker je š — 2a s 3 deljivo, je tudi a s 3 deljivo ali a — 36, torej je š == 2.36 = 66 t. j. s 6 deljivo. Vaje. S katerimi števili so ta-le števila deljiva: 3542, 7834, 36531, 5003, 78231 ? — Kedaj je m deljivo z 2, 3, 4, 5, 6 8, 9, 10? Razložitev števila v njegove prafaktorje. §. 58. Vsako sestavljeno število moremo razložiti v same prafaktorje. Dokaz. Ako je a sestavljeno število, mora imeti vsaj jeden faktor m ,; ako je spet faktor m sestavljeno število, mora imeti 53 faktor n in tako nadaljevaje moraš do praštevila p priti, ker so števila a, m, n... .zmerom manjša. Torej je a — dp Se številom d ravnaj ravno tako; na zadnje dobiš a — p.r.s.... kjer so p, r, s praštevila. Sestavljeno število pa razložiš v njegove prafaktorje, ako ga deliš s praštevilom, s katerim je deljivo; na isti način moraš deliti dobljeni kvocijent, prvi in zaporedoma vsak sledeč, s praštevili toliko časa, dokler ne prideš do kvocijenta, ki je sam praštevilo. Zaporedoma rabljeni divizorji z zadnjim kvocijentom vred so pra¬ faktorji danega števila. N. pr. poišči prafaktorje števila 4224. Rešitev. Tedaj je 4224 = 2x2x2x2x2x2x2x3x11. Naloge (ustmene in pismene). Razloži še ta-le števila v prafaktorje: 26, 32, 28, 66, 105, 524, 8442, 950, 19350. Kako razložiš število v njegove prafaktorje? Razloži v prafaktorje izraze: 3«+ 35, 15x 2 — 12x, x 2 — y 2 , 15<+ — 255°. Največja skupna mera. §. 59. Vprašanja: Števila 48 in 72 ste deljivi sč številom 4; kako imenujemo število 4 z ozirom na število 48 in kako z ozirom na število 72 ? Kako z ozirom na obe števili ? Skupno mero teb števil. Povej še kako število, s katerim je vsako teb števil deljivo; povej naj večje tako število. Kako imenujemo to število z ozirom na obe števili ? Naj večjo skupno mero teb števil. Število, s katerim je več števil deljivih, imenujemo skupno mero 54 teh števil; in največje število, s katerim je vsako teh števil deljivo, naj večjo skupno mero. Ako nema več števil nobene skupne mere, imenujemo jih medsebojna (relativna) praštevila. Tako n. pr. so 21, 25, 16 relativna praštevila. a) Največjo skupno mero dveh ali več števil dobiš, ako jih razložiš v njihove prafaktorje in tiste izmed njih izločiš, katere nahajaš v vsakem številu; produkt teh skupnih prafaktorjev je iskana najv. sk. mera. Dokaz. Na tak način dobljen produkt je gotovo skupna mera danih števil, ker nahajamo vse njegove faktorje v vsakem številu, je pa tudi največja skupna mera, ker bi ne bilo vsako število ž njim deljivo, ako bi mu prideli še jeden faktor. Poišči najv. sk. mero števil 1572 in 1092. 1572 = 3 x 2 x 2 X 131 1092 = 3x2x2x7x 13 Tedaj je najv. skupna mera števil 1572 in 1092 produkt 3x2x2 = 12. Poišči z razložitvo v prafaktorje najv. sk. mero števil a) 315, 414; b) 2516, 352; c) 457, 832; d) 3156, 438. 5102. b) Ako je število deljivo z drugim, je divizor najv. sk. mera obeh števil. Tako n. pr. je 83 najv. skup., mera števil 255 in 83. Na ta slučaj vendar navadno ne naletimo; največkrat še ostane ostanek pri deljenji. Potem pa deli divizor s tem ostankom in tako dalje zmerom prejšnji divizor z novim ostankom, dokler ne izvršiš deljenja brez ostanka. Zadnji divizor je potem najv. sk. mera danih števil. Ako je pa zadnji divizor jednak 1, ste obe števili relativni praštevili. Dokaz. Ako ste dani števili a in b in a j> b, t\ , r 2 , r ? . pa zaporedoma dobljeni ostanki, moremo račun takole nakazati: dividend a divizor b ostanek t\ » b n D » r 2 » r t » r 3 „ r 3 » U „ r 3 „ n = o Vsak ostanek je celo število in manjši od prejšnjega, mo¬ ramo torej jedenkrat priti do ostanka, ki je jednak ničli. V našem načrtu je r 4 ta ostanek, r 3 je potem skupna mera števil r 2 in r, ter tudi števil r % in r u r 4 in b torej tudi danih števil a 55 in b (§. 56). r 3 je pa tudi naj v. skup. mera števil a in b. Kajti ko bi bilo število m >> r 3 tudi skupna mera teh števil, bi bilo ono tudi sk. mera števil b in r, ter tudi števil t\ in r 2 , torej tudi števil r 2 in r 3 (§. 56), kar pa je mogoče, ker je m )> r 3 . Dokaži to pravilo še na teh-le primerih: a) 3512, 428; b) 5421, 345; c) 7504, 312; S) m, n; 3512 : 428 = 8 88 : 76 = 1 3512 488 12 ali 88 28 : 88 = 4 76 : 12 = 6 12 76 4 12 : 4 = 3 426 76 4 8 4 1 6 Po tej poti dobiš najv. sk. mero več števil, ako iščeš najv. skupno mero med dvema številoma, potem med dobljeno najv. sk. mero in tretjim številom, nadalje med najv. skupno mero teh šte¬ vil in četrtim številom i. t. d.; nazadnje dobljena najv. sk. mera je najv. sk. mera vseh danih števil. Naloge. Poišči najv. sk. mero med: a) 391 in 989; b) 1330 in 1007; c) 1334 in 754; c) 2567 in 6191; d) 3692, 6916 in 442; e) 1316, 3196 in 1034; f) 57862, 49, 788 in 90866; g) m , n\ h) w, n, p. Rešitev nalog g) in h) obstoji v tem, da poveš, kako bi ji rešil (glej gornji dokaz), ko bi bila dana števila posebna. n) 3 a s — 2 a 2 — 3a & 2 + a + 2 + &, a 2 — 6 ; o) — 2ax + a 2 , x i — a 2 ; p) 12a 3 — 2a 2 — 35a — 11, 6 a 2 + 11® + 3. 7. Išči skupno mero ravnic ab — 32’», cd = 44'». Rešitev s primerjanjem ravnic in njihovih ostankov. / i d> — cf= 32*^n. c i- 1 - 1 —i d fb — ag — gh — 12 % g h k 44 hb= fi — 8 % a 1 - 1 - 1 — 1—16 12 id = hk = kb — 4% •• 4 .4 Išči skupno mero katete in hiputenuze jednakokračnega tro- kota. 32 1 8 2 0 2 56 Rešitev: Naredi 7.) bd = ac = ab in fd -J- bc 2. ) cd — af—fg in gh - 1 - ac 3. ) cg — gh — hi i. t. d. brez konca, ker je kateta zmerom krajša od hipotenuze in hipotenuza zmerom manjša od dvojne katete. Kateta jednalto- kračnega trokota in hipo¬ tenuza torej nimate skupne mere. Količine, ki imajo skupno mero, imenujemo somerne; in ko¬ ličine brez skupne mere, nesomerne. Naj je e — neka količina (ravnica), katero si misliš, tako majhna, kakor le hočeš — mera količine A (katete ah), katera je z B (liipotenuzo bc) nesomerna, potem je A = m .e in B = ne + v kjer je v (zadnji ostanek) manjši kakor e. Za prav majhno količino e je v tudi prav majhna, da jo h rez znatnega pogreška lahko izpustiš. Potem je A — me in B = ne s prav malim pogreškom. Najmanjši skupni mnogokratnik. §. 60. Vprašanja. S katerimi števili je število 15 deljivo? Kaj je število 15 z ozirom na število 3 in kaj z ozirom na število 5? Kaj je število 15 z ozirom na vsako število (3 in 5)? Zakaj imenujemo število 15 skupen mnogokratnik števil 3 in 5? Povej še kako število, ki je skupen mnogokratnik števil 3 in 5 in po¬ tem še več takih; povej najmanjše število, kije sk. mnogokratnik števil 3 in 5? Število, ki je deljivo z dvema ali več števili, imenujemo skupen mnogokratnik teh števil, najmanjše število pa, ki je deljivo z vsakim izmed danih števil, najmanjši skupin mnogokratnik. Skupni mnogokratnik danih števil mora imeti v sebi v;e prafaktorje vsakega števila; ko bi le jeden faktor manjkal v njem z ozirom na kako število, bi uže ne bil deljiv s tem številom. Stu- pen mnogokratnik pa še zmerom ostane, če ga tudi še z nodm faktorjem množiš (§. 54). Da pa dobiš najm. sk. mnogokratiik, vzemi faktor, ki ga skupno nahajaš v dveh ali več številii, v skupnem mnogokratniku le jedenkrat. To smeš storiti, ker ima ta sk. mnogokratnik vse jedno še zmerom vse prafaktorje vsakega števila. N. pr. c 57 105 = 3.5.7, 84 = 2.2.3.7, 98 = 2.7.7. Najm. sk. mnogokr. = 3.2.2.5.7.7 = 2940. Ali nahajaš v 2940 vse faktorje števila 105, in števila 84 in števila 98, kateri so ti ? Ali ima 2940 ravno toliko prafak¬ torjev, kakor 105, 84 in 98 skupaj? Išči na istf način najm. sk. mnogokr. teb-le števil: 25, 435, 204; 72, 96, 324.— Iz tega sledi pa tudi to-le pravilo za iskanje najm. sk. mno¬ gokratnika. L Dana števila napiši v vrsto jedno zraven druzega in prečrtaj manjša, ako so zapopadena brez ostanka v večjih. 2. Vsak skupen prafaktor dveh ali več izmed danih števil izloči na drugo stran črte, potegneno na levej ali na desnej vvrste- nih števil, in deli potem vsako število, v katerem nahajaš ta faktor; dobljene kvocijente in s tem faktorjem nedeljiva števila zapiši v drugo vrsto pod prvo. 3. Taisto stori z novo vrsto, in to početje ponavljaj toliko časa, dokler ne prideš do vrste iz samih relativnih praštevil. 4. Produkt v zadnjej vrsti ostalih praštevil in izločenih skupnih faktorjev je najm. sk. mnogokratnik vseli danih števil. Ta-le primer to pravilo še bolj pojasnjuje: 0, 15, 4 najm. sk. mnogokr. števil 5, 10, 12, 15, 16 je 15x4x2x2 = 240 Poišči najm. skupni mnogokratnik števil a) 3, 18, 9, 15, 16, 20; b) 22, 20, 32, 35; c) 14, 21, 18, 33, 11, 36; č) ax, mx; d) 3x 2 , 2 ax, 4 a Zakaj smemo v teh primerih prečrtati manjša števila, ki so zapopadena v večjih brez ostanka ? Zakaj smemo izločiti skupne faktorje? Zakaj v obče moramo samo prafaktorje izločevati? Zakaj je produkt iz dobljenih relativnih praštevil in iz izločenih prafak¬ torjev skupni in zakaj najm. sk. mnogokratnik danih števil? Vaje (na pamet in pismeno). a) 5, 2; b) 3, 7; c) fr, 8; č) 8, 12; d) 2, 4; e) 3, 5, 7; f) 2, 4, 8; g) 5, 7, 10; h) 3, 6, 7; i ) 12, 18, 19, 4, 16; j) 23, 2, 5, 10, 14; k) 42, 48, 92, 4, 8; l) 105, 93, 16, 201, 819, 312; m) 3x , 3; n ) 6x 2 , 2x 3 , 15; o) am , a 2 n, mx , nx 3 ; p) y, 3, x\ r) x — a, x + a; s ) y 2 + 5, g 2 —• 5, o 58 Vaje za ponavljanje. 1. S katerimi števili so deljiva: 3522, 7803, 40752. 2. Išči najv. sk. mero števil 258, 702, 3518, 432, 856; na oba načina. 3. Načrtaj si črti: 56”»», 28»»» in išči njihovo najv. skup. mero s pokladanjem jedne na drugo. 4. Išči najm. sk. mnogokratnik števil 2, 6, 8, 12, 16. Tretji oddelek. O ulomkih ali drobili. §.61. Koliko je: deseti del 1 7. 1 %», 1 %, 1 S%; stoti del 1 gl., 1 %, 1 %, 1 °j\ tisoči del 1 *jg, 1 07. 1 OU 1 0%, šestdeseti del 1 ure, 1 minute, 1° (z ozirom na kote); šesti del 1 sežnja? Rešitev: Deseti del 1 m je 1 dm i. t. d. Naloga: Razdeli 17*/ v 5 jednakih delov. Rešitev: 17 7 : 5 = (15 + 2) : 5 == 3 7 + (2 : 5) 2 11 m / ne moremo tako deliti s 5, da bi dobili celo število zakvocijent; število 2 '") ostane, katero bi še s 5 deliti morali. To je pa le mogoče, ako razdrobimo jednoto meter v 5 jednakih delov, v 5 petin; 2'"/ imata potem 10 petin. Tedaj je 2 */ : 5 = 10 petin m f : 5 = 2 petini m f. 2 petini pišemo navadno |, torej kakor nakazano deljenje. Gornji primer izvršujemo potem tako-le 177 : 5 = 3 + f7 ali krajše = 8f7 Opazka: 17 ima 10 toraj 1 petina metra 2 d j m in 2 petini 4 Reši takisto te-le naloge: 14 gl : 10, 26 % : 8, 33 ^ : 6 Če torej tudi nij divizor v dividendu brez ostanka zapopa- den, moremo deljenje vse jedno izvršiti; treba je le vsako jednoto ostanka v toliko jednakih delov razdrobiti, kolikor ima divizor jed- not. To smo spoznali najpred za imenasta števila; velja pa tudi za brezimenasta, ker rešitev prve naloge n. pr. ne odvisi čisto nič od natore količinske jednote. 59 Deli: 28 : 6, 35 : 8, 45:7, m : n (m = an + b in b < n) Števila f, T 4 7 , f, (a-ntin), kakoršne dobiš v takih pri¬ merih, imenujemo ulomke ali drobe. Ulomki so tedaj števila, ki postanejo iz samih jednakih delov prvotne jednote. Vsak ulomek obstoji iz dveh števil; jedno pove v koliko jednakih delov imaš razdeliti jednoto, ali imenuje jednoten del, zovemo ga imenivec in pišemo ga pod ulomkovo črto; drugo pa šteje jednake dele, ime¬ nujemo ga števec, in pišemo ga nad ulomkovo črto. Ulomek | tedaj pomeni Mi del jednote akrat vzet, t. j. Ulomke ločimo v prave in neprave; pravi so tisti, v kate¬ rih je števec manjši od imenivca, nepravi pa oni, v katerih je števec veči od imenivca. Povej nekoliko pravih in potem nekoliko nepravih ulomkov. Kedaj imenujemo ulomek — pravi in kedaj nepravi? Število obstoječe iz celega števila in ulomka imenujemo me- * šano število. N. pr. ^ A k . ? y% 5f, 3#, a + - Povej še nekoliko mešanih števil. Dostavek. Iz pomena ulomka sledi, da si ga moremo misliti, kot nakazan kvocijent. Izreki za kvocijente veljajo torej tudi za ulomke. Tudi ulomke moremo načrtati, kakor je razvidno iz te-le podobe: 87654321 A 60 Bavnica ob predstavlja 1 celoto, katera je v osminke raz¬ deljena. — Načrtaj na ravnici vse tretjine, četrtine i. t. d., kakor si vsa števila na številni ravnici načrtal. Vaje na pamet in vprašanja. 1. Bazdeli jednoto v : 2, 3, 4, 5, 6,. . .a jednakih delov in imenuj vsak dobljen del. — Pokaži to na črti. Iz tega razvidamo, da je: 4 č> 4č> 4 "> 2. Izvrši ta-le nakazana deljenja: a) 5 : 8 = ? ž») 7:9==? c) 2 : 4 = ? c) 11:20 = ? d) 17:25 = ? e) 32:49 = ? f) 5 : 100 = ? g) a : b = ? (a < b) 3. Beri te-le ulomke in povej pri vsakem njegov števec in imenivec : f, T 3 T , f, — Kako postanejo ti ulomki? 4. Načrtaj te-le ulomke: 3 / 4 , 6 / s , 2 / 20 , 2 / c , 2 / 3 , Va, 6 k- 5. Koliko je: 2 polovici, 3 tretjine, 4 četrtine.... a a-tin ? 6. Koliko polovic, tretjin, četrtin,... .a-tin daje jedno celoto ? — 2 polovici, 3 tretjine i. t. d. dajo jedno celoto. a-ti del jednote a-krat vzet daje jednoto, t. j. |.o = 1. Koliko polovic moramo še vzeti zraven 1 polovice, da do¬ bimo 1 celoto? Koliko tretjin zraven 1,2 tretjin; koliko četrtin zraven 1, 2, 3 četrtin, koliko petin zraven 1, 2, 3, 4 petin, da do¬ bimo jedno celoto? 8. Pokaži na teh-le primerih, zakaj so pravi ulomki manj veljavni od jednote: f, f, f, f, — Od f do 1 celote ali f manjka šc -j. — 9. Koliko polovic je čez 1 celoto v f? Koliko tretjin v £, petin v |, šestin v y čez jedno celoto? 10. Pokaži na teh-le primerih, zakaj so nepravi ulomki večji od jednote : §-, $■, y-, 1 - g - 8 ? — jj-ima f čez '| ali čez l celoto. 11. Uredi te-le ulomke z ozirom na njihovo vsebnost pri- čenši pri največjem: f, f, J, f, — f, |, J, |. Iz teh primerov razvidamo: ulomek z istim imenivcem je toliko večji, kolikor večji je števec. 12. Uredi še te-le ulomke z ozirom na njihovo vrednost: 1 2 _ 2 2 _ 2 2 . 2 2 Tsi Tli K Tli Ki 7i 5) T Iz teh primerov razvidamo: ulomek z istim imenivcem je toliko večji, kolikor manjši je imenivec. 2 2 Ki Ti # 61 13. Zakaj je: f f, ■§ -f-f jj? Odgovor: Kolikor več jednakih delov vzamemo, toliko več moramo dobiti: kedaj je - > - ? * 14. Zakaj je | > t \, § > > l ? — Nekako število večjih delov je več, kakor isto število manjših delov (5 večih šestin je go¬ tovo včč, kakor 5 manjših jednajstin). Kedaj je —- > ~ ? Uravnavanje ulomkov. §. 02. Vsako celo število moreš spremeniti v ulomek z danim imenivcem, ako množiš celo število z danim imenivcem in ta produkt vzameš za števec. Dokaz: 5 = (5 x 3) : 3 = a — (a . b) : b = y §-61, dostavek. Kedar je števec z imenivcem deljiv, imenujemo ulomek ne¬ resničen ulomek. Vprašanja 1. Koliko polovic ima 2, 3, 4, 5. n celih?' Koliko tretjin, koliko četrtin, petin.... a-tin ?— l celota = 2 po lovici, 2 celoti = 2x2 polovici = 4 polovice = f. Mešano število spremeniš v nepravi ulomek ali ga uravnaš, ako množiš celo število z imenivcem in k produktu prišteješ števec; ta vsota je števec in imenivec ostane neizpremenjen, t. j. , m an 4- m a H-= n n Dokaz: a ima an »i-tin, torej a in na in m «-tin, t. j. m na 4 - m d H-=- n n Vprašanja: Koliko polovic je 2 celi £? Koliko tretjin je 5 in |? Koliko n-tin je a in 1 celota = 3 tretjin, 5 celot = 5x3 tretjin = 15 in še § zraven je 17 tretjin ali j 7 ; tedaj 5x3 + 2 _ 17 5 S — 3 — *■ Izprememba nepravih ulomkov v mešana števila. §. 63. Ker je ulomek nakazano deljenje, moremo to deljenje izvršiti, s čimer ravno iz nepravega ulomka mešano število dobimo. N. pr. ^ = 12:5 = 2 2 o 62 % Razširjenje ulomkov. §. 64. Vrednost ulomka ne spremeniš, ako množiš števec in imenivec z istim številom. (§. 61, §. 44, IX.) Kedar množimo števec in imenivec ulomka z istim številom, pravimo, da ulomke razširimo. Z razširjenjem moremo vsak ulomek brez izpremembe nje¬ gove vrednosti spremeniti v drug, ki ima za imenivec mnogokrat¬ nik prejšnjega imenivca. Naloge : Izpremeni 3 / 6 v ulomek z imenivcem 10, 15, 20, .... bm. 5 petin = 10 desetin, 1 petina = 5. del od 10 desetin — 2 desetini, in 3 petine = 3x2 desetini = 6 desetin ali -j 6 ^, torej pismeno .3 3X2 6 10 : 5 = 2 in cT — 10 — 10 Izpremeni še: ulomek \ v ulomek z imenivcem 14, 21, 35; ulomek * v ulomek z imenivcem 2 b, 3 Ulomek spremeniš v drug ulomek z danim imenivcem, ako deliš novi imenivec se starim in množiš števec z dobljenim kvo- cijentom; produkt je novi števec. Razširi te-le ulomke tako, da ima vsak 56 za imenivec : 8 5 7 8 _3x14_ 42 5 5 X 8 _ 40 7_7 x^_ 49. '* 4 x 14 56 * 7 7 x 8 56’ 8 8 x 7 56 Imenivec 56 imenujemo skupen imenivec razširjenih ulomkov. Razširi še in sicer kolikor mogoče na pamet: §. 65. Kedar hočemo ulomke primerjati, seštevati ali odšte¬ vati, moramo jih izpremeniti v ulomke se skupnim imenivcem; da je pa računanje kolikor mogoče kratko, poiščemo najmanjše šte¬ vilo, ki je deljivo z vsakim imenivcem danih ulomkov, torej naj¬ manjši skupni mnogokratnik imenivcev in ga naredimo za najm. sk. imenivec novih ulomkov. N. pr. spremenimo ulomke 2 / 3 , 3 / s , */«, 13 /ic v ulomke z najm. sk. imenivcem. Imenivci danih ulomkov 3, 5, 6, 9, 16 ' 2 5, 3, 9, 8 najm. sk. imenivec = 5x9x8x2 = 720 63 720 Naloge (kolikor mogoče na pamet). 1. Izpremeni ulomka f in £ v ulomka z naj m. sk. imeni vcem. Na, pamet: Najmanj, sk. imenivec je 8; 2 polovici = 8 osmink, polovica — 4 osminke; torej sta iskana ulomka I i 11 1 2. Izpremeni še te-le ulomke v ulomke z najm. sk. imenivcem. 6 15 m 2 ’ 2 5’ '5 + 5’ 3. Kateri izmed ulomkov je večji: r A 5 9 • 7,\ 6 is Tl Ul 6) 16' 4. Kateri izmed ulomkov |, a, f, § je največji in kateri najmanjši? 5. Poredaj te-le ulomke po njihovej vrednosti, pričenši z naj¬ manjšim: f, f, ■£, Okrajšanje ulomkov. §.66. Dobili smo ” = torej je tudi narobe tna a mb b Vrednost ulomka ije spremeniš, ako deliš števec in ime¬ ni vec z istim številom. S porabo tega izreka, moremo ulomek okrajšati, t. j. z manj¬ šimi števili izraziti, pa vendar ne spremenimo njegove vrednosti, kedar imata števec in imenivec skupno mero. — Ulomka ne moremo več krajšati, ako smo delili števec in imenivec z naj v. sk. mero. Naloge. 1. Okrajšaj te-le ulomke: 528 54 85 5 3.4 5. ' S12"} ST* ¥ 159 40 5 G 4 5 2 8! 88122 ¥T¥i6¥IT¥ 2. Okrajšaj te-le ulomke kar na jedenkrat kolikor mogoče: 24 8 8 1 5 6 012 1 05£ 108 2 3obx V2 a 2 X 3«05 475! ST7:T! 7?7oi 232 , 7i 12 bmx' 28ax' 1 Seštevanje ulomkov. §. 67. TJlomke jednakih imenivcev seštevaš, ako sešteješ števce, skupni imenivec pa obdržiš, t. j. a b _ a + b m m m Dokaz. Ulomek a ima jedno m-tinko a-krat in ulomek b m — jo ima 6-krat, torej oba skupaj a in fr-krat ali (a + b) m-tink, O. i- +i U 41! Dokaži to še na teb-le primerih: «)-! + ! = ? b) # + i = ? C) v + * = ? 5 T 5 - * "J ¥ T 8 - • W 0T "T ~ a . C 0 ^ 6 ^ b ■ Ulomke raznih imenivcev pa spremeni v ulomke z najm. sk. imenivcem, da jih potem moreš seštevati. N. pr. ulomke f, f, J, T V 112 d, 7, g, 14, 16 'f s najm. sk. im. >CQ rj 112 = 7 8 i 7x8x2 == 112 Naloge (kolikor mogoče na pamet). !•* + # = ? 2. | + f =? 3. || + || = ? 4 ' ,7+ !=? 5. 5®/ 7 + 3 6 / 7 =? 6. 12 6 / 10 + 24 7 / 10 + 32 c /i Rešitev nal. 5. na pamet: 5 in 3 je 8, f in f je f — l|, torej 5f in 3 f = 8 in ly = 9|. 65 7. 122* + 403§ + 82* + 105| 2 -+ 3 - + -*- = ? n n n a + x a — x ~~b 1 E 8 . 10 . 12. m + 14. 3 2 4 + 3p + ~3p b a — mn n — ? 9 A _| — Z_ • 3p + 3p ■» + = ! 13. j +4 = ? — ? t + ! = ? 15. * + * = ? 16. m n ^ # a; aa? x 18 --5+T4 =? 19- 141 + 23*=? 17. — + - = ? aa? a; 20. 6* + * + * + 3* + 4* = ? 21. 123H + 45 t 3 t + 312* + 5722** = ? 22-1 +4r + 4 + 1 4 = ?* = 3 23. 8» + ^=) 2*- S- + ^ = ? 25. 6« - i + 44*=? Odštevanja ulomkov. §. 68. Ulomke jeduakih imenivcev odštevaš, ako odšteješ števec, skupni imenivec pa obdržiš, t. j. a m b_ m a — b m Dokaz. Ulomek - ima iedno w-tinko «-krat in ulomek - m m jo ima 5-krat, torej jo ima njijina diferenca a menj 5-krat ali diferenca obeh ulomkov ima (a — b ) m-tink, t. j. " ■— Dokaži to še na teli-le primerih: a) : ? b) * $-? c) t 5 T' 'TT ^ 5 .V Ulomke raznih imenivcev pa izpremeni v ulomke z najm. sk. imenivcem, da jih potem moreš odštevati. N. pr. ulomka ;} in /V odštevamo 27 4 / 9 °/27 S.- (M 12 \ S' 6 / f) 7 / 27 f- 0, 27 najm. sk. im. = 27. Naloge (kolikor mogoče na pamet). = ? 2. **-* = ? 3. 5f — 4i = ? Rešitev 3. nal. na pamet. 5 menj 4 je 1, f menj * je *, torej K2 4| = 1*. 5 66 4. 12f— 5f = ? — Rešitev: Ker ne moremo odštevati od j , moramo jedno jednoto minuenda izpremeniti v \ in jih prišteti f, potem je 12$ — 5^- = 11 ^ — 5$ — 6$. Tako računjamo v vsakem jednakem slučaji. 5. - — - = ? X X 6 . - 5 m — 3 n 2 P 4 m “27 7. 7f + 2/t 3x l Af—h 3x* ? (a=2 x=l) Množenje in deljenje ulomkov. §. 69. a) Ulomek množiš s celim številom, ako ž njim mno¬ žiš števec in imenivec neizpremenjen pustiš. m ma - .a = n n Dokaz glej (§. 61 dostavek, §. 44, III.) Ali: ulomki z istim imenivcem so tim večji, čim večji je števec, ter a-krat večji; če je števec a-krat večji; torej je m _ ma n * a Dokaži to pravilo še na teli-le primerih: a) | x 7 = ? b) f x 2 — ? c) |x5 =? c) —— xp = V Vaje (na pamet in pismeno). 1. x 4 = ? 2. 12| x 11 — ? Rešitev na pamet: llkrat 12 je 132, llkrat $ je llkrat $ = 1 menj llkrat $ , t. j. 11 menj 1$ ali 9|, torej llkrat 12| = 141$. 3. 121 X 25 — ‘? 4. — X3 = ? 5. j s X 12 = ? Rešitev: T 7 5 x 12 = f||= 4§ ali tudi X 12 2 = 67 Če moreš celo število proti imenivcu okrajšati, okrajšaj se skupnim faktorjem še pred množenjem. 6. f X 24 = ? Rešitev na pamet: 24krat | — 2 g 4 ali 3 in 34krat = 24krat 3 ali 3krat 24 = 72. 7. I5f x 28 = ? 8. —x3x — ? 9 .~.am = ? ‘ x cm 2 10 . ~xx 3 = l 11 . -Itir "= ? 156 7 b) Ulomek tudi množiš s celim številom, ako ž njim deliš imenivec, števec pa neizpremenjen pustiš. m m n n: a Dokaz (§.61 dostavek, §. 44, VIII.) Ali: Ulomki z istim števcem so tim večji, čim manjši je imenivec, ter a-krat večji, če je imenivec a -krat manjši ali le a.-ti del od inienivca prvega ulomka, torej je m m - X a — - n n: a Dokaži to pravilo še na teh-le primerih. a) ts x 3 = ? b) | x 4 — ? c) x 6 = ? č) | x l = ? To pravilo moremo porabiti, kedar je imenivec deljiv s celim številom. Vaje na pamet. 1. |x3 = ? Rešitev na pamet: 3krat | je ^ in 3krat | je 4. 7. 5krat ^ = | = l 2 / 3 . 2. T \x4 = ? 3. 16|x6 — ? 5. x 9 y a 35J 21m 2 26w 4 X7 =? X 13w = 277/ 3 ' T' p 13« o n 6. -jrj—. xa: 3 = ? 25:e 0 9. | X 8 -Grr 12 . 11 . -xm — a 12. X 6* 5m . o - . xx 6 = ? x° 14. 17;e* 15^ x15 V 6 __ 9 Iz primera 11. izpoznaš: Ako množiš ulomek z njegovim ime- nivcem, dobiš števec za produkt. §. 70. I. Ulomek deliš s celim številom, ako ž njim deliš števec, imenivec pa neizpremenjen pustiš. Dokaz. Glej §.61 dostavek §. 44, V. Ali: Ulomki z istim imenivcem so tim manjši, cim manjši je števec ter a-krat manjši, 5 * 68 če je števec a-krat manjši ali le a-ti del od števca prvega ulomka; torej je m n a Dokaži to pravilo še na teh-le primerili: «)H: 7=? b) H:3 = ? c)«: 11=*? č)^:c = ? To pravilo moremo pa le porabiti, kedar je števec deljiv s celim številom. Vaje (na pamet in ustmeno). 1 - M ■ 7 = 5. U- : 3a 2- H : 6 3. || : 7 = ? 4. M : 25 ‘s sr 6 - - • x 9 = ? 7 3y* 48» t ž 5 » 6 : 12w 4 = ? II. Ulomek deliš s celini številom, ako množiš imenivec s celim številom, števec pa nespremenjen pustiš. m m — : a =- n n X a Dokaz. Glej §.61, dostavek, §. 44. V). Ali ulomki z istim števcem so tim manjši, čim večji je imenivec, ter a-krat manjši, če je imenivec a-krat večji; torej je m n : a = Dokaži to pravilo še na teh-le primerih: «) * : 2 = ? b)\ 4:5 = ? c) f f : 6 = ? č) Vaje. : i !• t 4. I : 2 = ? -- : c = ? 2. f : 4 = ? 5. if : 6 = ? 3. 23$ : 7 1 5 . C - tv • 0 — _ 5 _ 5 ^ 5 2 = Rešitev: Kedar imata torej 5_ 19 x 02 — 38 ““ 19 — 38 števec in celo število skupno mero, okrajšaj jih ž njo pred de¬ ljenjem. 27« 226 : b „ mjc° _ , 7. - , : 5x 3 mf 8 . 21 b* Uč" : cb 3 = ? mek §.71. Opomba. Ako imamo z ulomkom število •/«ali ulo- množiti, moramo razširiti pojem množenja. Število w ali množiti se pravi ž>~ti del števila m ali n ulomek m z ulomkom m n “ ulomka a-krat vzeti. n 69 I. Število množiš z ulomkom, ako ga y poljubnem redu deliš z imenivccm in množiš se števcem, t. j. a m . v- b m.a IT Dokaz sledi naravnost iz pojma za množenje celega števila z ulomkom. II. Ulomek množiš z ulomkom, ako množiš števec se štev¬ cem in imenivec z imenivcem, t. j. m a - X T n o ma nb Dokaz. Glej (§. 61 dostavek in §. 44 VI.) Ali po pojmu za množenje z ulomkom. Ker je «) 4x| m n m n (r : 0 a= .a: ma nb nb a ma am a m b nb bn b ' n smemo faktorje zamenjati, če so tudi ulomki. Dokaži te pravili še na teh-le primerih: ? 6)jp.^- = ? c) t"xi = ? _l . -L = ? d g Rešitev: a) 5ti del 1 celote je 4 in 4 celot -4; 3krat 4 r s d) 9 M = 12 c) 4ti del J- je f P a /s, 3krat A = 15 ^8* Vaje. ? 2. 5 ato 2»j 4- ? K 7 5 7. 125^-600*1 = ? 8 . 5 3 - 12 «v-ig| 6. 5|.8A = ? 7x — 2 5a 3T ' 4y _ c, 20 m s 5 m i ^ ~ ‘ 17w 4 ' 3» 5 ‘ 10- tf.tf = ? 12 g3 S ga • 7 Rešitev: 12.3 ~ 5.17 12 15- TO • IT ’ - — 85' = illlll ali tudi Ako imata tedaj števec jed- nega ulomka skupno mero, okrajšaj ž njo uže pred množenjem. 11 18 v 21 - 9 19 42 13 - 9 1 Q ^^ TT X Tn - • J- 41 - Tl¥-fT- ■ Ib ' b 14 ^ _^L — 9 4x« 5y» _ 0 bn ‘ 9m - 7y l * 2x* ~ ' §. 72. Opomba. Tudi za deljenje z ulomki velja isti po¬ jem za kvocijent, kakor za deljenje s celimi števili (glej §.43.) 70 Celo število deliš z ulomkom, ako ga z recipročno vrednostjo divizorja množiš, t. j. m n _ cm n m m Dokaz. Glej (§. 61 dostavek §. 44 VII). Ali: Ako število a delimo sč številom m , dobimo w-krat premajhen kvocijent -, ker je m w-krat večji od ~ ; kvocijent-^- moramo torej n-krat večji narediti, da dobimo zahtevani produkt, t. j. a an m * m Dokaži to pravilo še na teh-le primerih: «) 8 : ± = ? b) 18 : * = ? c) 132 : || = ? č) a : = ? Vaje. 1. 5:| = ? 2. 12: f = ? 3. 24 : 3f = ? 4. x : -J- 5 . 5 W 4 : i!L = ? 6. 21 : T « T = ? 0 3 11 77 7 g2 77 Rešitev: 21 : n = gi X = -y = 38| ali gj : — = -y = 38|-. Ako imata torej celo število in števec sk. mero, okrajšaj ž njo pred deljenjem. 7. 39 : = ? 8) 11 : 8f = ? 9. 315 : 2 X 5 T . 10. 15« : ^ 7„ Ot- 3 11. = ? 12. 27z 6 : 5» 10(/ 2 §. 73. Ulomek deliš z ulomkom, ako množiš dividend z recipročno vrednostjo divizorja, t. j. a _ m a ■» a« b ' n b m bm Dokaz. Glej (§.61 dostavek, §.44 IX.) ali: Ako ulomek delimo se številom m, je dobljeni kvocijent »i-krat premajhen, kvocijent moramo torej še w-krat večji narediti, da dobimo zahtevani kvocijent, t. j. a an ~bm X n bm Dokaži to pravilo še na teh-le primerih : ? C ) — : — = ? «) fV : t — ’ h) 1 1 2 eS* 5 6 17HF 71 Vaje. n . 0 __ 5 gg 'M 6 ‘ Ako imata števca ali pa tudi imenivca sk. mero, jih okrajšaj ž njo pred deljenjem. U ' 15? : 16? = ' . 1842/; 4 13. - Fic3 •• - 16*® 25* 6 . _ 212 a _ 744* ^ . ' 543* : " 27« — ’ .. 755® s _ 532y 5 r 14 ' 532? : 755* 3 ; 125m 2 _ 4596m 2 _ 39» 732 ~~ Decimalni ulomki. §.74. Ulomke z imenivci 10, 100, 1000.... 10«' imenu¬ jemo decimalne (desetinaste) ulomke v razliko od navadnih ulom¬ kov. V obče je torej decimalen ulomek. Cela desetasta števila obstoje iz raznovrstnih jednot, iz jedi- nic, desetic, stotič i. t. d. Vsaka jednota višjega reda ima 10 jednot nižjega reda; in narobe je vsaka jednota nižjega reda samo deseti del ali jednote višega reda, stotica je T ^> tisočice, de¬ setica stotice, jedinica desetice. Na ta način nadaljevaje moremo pa še dekadične jednote nižjih redov narejati. Take nižje dekadične jednote so: 1 stotina = stotine desetine = TT7 Vtt jedinice 1 desettisočina = tisočjne = desetine = TTr iy U desetine = Povej vse dekadične jednote celih števil pričenši pri je- dinicah. — Povej vse dekadične jednote celih števil pričenši pri tisoči¬ cah navzdol. — Koliki del je stotica od tisočice, desetica od sto- A 10 '« 1 desetina = -fc jedinice mhre jedinice i. t. d. 72 tiče, jedinica od desetice? Ali moremo na ta način še nižje dekadične jednote dobiti ? Kako in katere ? Iz takih dekadičnih jednot moremo takisto sestavljati števila, kakor sestavljamo cela števila iz dozdaj znanih; in v obče moreš vsako tako število tako le napisati: To + loo + Tdoo + al1 To + io 2 + 10» + ali m.10- 1 + ra.10- 2 + j?. 10— 3 + ..., kjer pomenijo m, n, p ,.... nam uže znane številke. In sploh je oblika za vsakoršno deka- dično število: _+ d.10 3 + c.10 2 + &.10 + a ali...+f/.10 3 +c.l0 2 +&.10 + «+w*-10+w.!0 -2 +i?-10 -8 +. j_«_ , _P_ , 10 10 2 10 3 ■ +_ Iz - 3254 10 2 = (3.10 3 + 2.10 2 + 5.10 + 4) : 10 2 = = 3.10 + 2 + 5.10- 1 + 2.10- 2 izpoznavaš, da decimalen ulomek v dveh oblikah pisati moreš: v ob¬ liki navadnega ulomka in v obliki dekadičnih števil. V obče je potem 10>' = ... + c. 10 2 +6.10+«+?». 10 -1 +w. 10 _2 + ... +d. 10- Številke m , n, p - v imenujemo desetilke (decimalke). Eksponent r določi število decimalk. Napiši te-le decimalne ulomke v obliki dekadičnih števil: tAtm 2 iW> Wu 8 o 9 1 TijtrVir- ~ Koliko decimalk ima vsak teh ulom¬ kov? ali kaj pomeni r za te decimalne ulomke? Rešitev: 325 1000 3 . 10 2 + 2.10 + 5 3 10 >» + 10 3 ~~ 10 1 10 2 1 10 3 Ker je narobe: 3.10 + 2 + 5.10 -1 + 4.10 -2 = 3 . 10 3 + 2 . 10 2 + 5.10 + 4 _ 3254 W 3.10 + 2 + + 10 10 2 izpoznaš, da dekadično obliko decimalnega ulomka izpremeniš v obliko navadnega ulomka, ako vse člene v ulomke z najm. sk. imenivcem izpremeniš, ter jih sešteješ. Izpremeni še te-le decimalne ulomke v obraz navadnega ulomka: a) 5 + = ? b) -4r + Tht + 2 c) 2.10 + 3 + d) 3.10 2 + 2.10 + 9 + 5 10 10 + 10 2 10 3 10 2 10 + 10 2 + 10 3 e ) lo 4- ----- = ? T 1Q , Posebna decimalne ulomke pa pišemo še nekoliko krajše in sicer takisto, kakor posebna cela dekadična števila ; na desno 73 jedinic postavljamo desetine in od tod proti desnej stoje zaporedoma zmerom manjše jednote nižjili redov. Mejo pri jedinieah zazna¬ mujemo s točko (piko) med jedinicami in desetinami, katero imenu¬ jemo decimalno točko. Ta obraz decimalnih ulomkov imenujemo krajši obraz. N. pr. 52758 _ + 2 4 _ + 5 , 8 1000 = 5.10 10 10 * 10 3 52-758. Na levej točke torej stoje cele jednote ali na kratko cele in na desnej pa decimalke. Ako nemarno nič celih, napišemo na mesto jedinic ničlo z ozirom na decimalno točko, katero moramo postav¬ ljati med jedinice in desetine. N. pr. 9-312. Napiši te-le decimalne ulomke v njih krajšem obrazu: 2.82 1 2 3 5 1 3 5 07 nnni! tu > tuu> tuuuu- Decimalne ulomke beremo lahko na tri načine. Tako n. pr. beremo ulomek 53-789 tako-le: ali 53789 tisočink ali 53 celih 7 desetink 8 stotink 9 tisočink, ali tudi in navadno 53 celih 789 tisočink. Beri te-le decimalne ulomke na vse mogoče načine: 3-75, 322-542, 30-07, 0-702, 0-08469 in jih napiši po deka¬ di čnem občnem obrazu in v podobi navadnega ulomka. Decimalen ulomek ne izpremeni svoje vrednosti, ako mu pripišeš na desnej kolikorkoli ničel. Tako n. pr. je: 23-57 = 23-5700 Zakaj? Koliko kilogramov je 5 % 26 7 9 /; 8 7 9j ? Rešitev: ^-®lg J e tuu % 1 26 pa 1 9 I J e tuttu ll fa ™ ^ 9 I~ vuW torej je 5 % 26 % 7 9j = 5 hjg + ^ kjg + TuW k ia — 5-267 %. Koliko metrov je: 12 7 % 8 % 4 % 7 % 4 % ? Koliko hektarov je 12^ 25^ ; 24 ^ 35[j]*/? Koliko Dmetrov je: 148G%; 32D%, 4|G%? Koliko kub. metrov je 1120'”/ 320%,; 4250%, 20% ? §.75. Ako ima decimalen ulomek mnogo decimalk, nemajo nižje decimalke za državljansko življenje nobednega pomena in jih zategadelj izpuščaj. Tako n. pr. je v ulomku 3-56835 gl. ne¬ koliko večji od j krajcarja in ter tem bolj T tf%uu uže neiz- plačljiv denar. Pri goldinarjih potrebujemo k večemu še tisočine, ravno tako pri metrih. In tako izpoznamo v drugih slučajih, da po¬ trebujemo ali le 2 ali 3 ali 4 decimalke i. t. d. — Ako pa izpustiš nekoliko decimalk, popravi"zadnjo ostalo decimalko t. j. povekšaj jo za 1, kedar je prva izpuščena decimalka 5 ali večja od 5. Tako n. pr. vzemi namesto decimalnega ulomka 3-56835 ulomek 3-568, ako za- doste 3 in 3 - 57, ako zadostiti 2 decimalki. Tak decimalen ulomek ime¬ nujemo okrajšan in je samo blizo izraz za popolni decimalni ulomek. Narejena pomota vender ni nikoli večja, kakor j- jednote zadnje ob- 74 držane decimalke. Okrajšani decimalni ulomek pišemo tako-le: 3-568.. Ako računjamo z okrajšanimi ulomki namesto s popolnimi nijso zanesljive nižje decimalke v znesku. Okrajšaj te-le decimalne ulomke na 4 decimalke: 0-789156, 12-5231497, 3- 7532813. Koliko decimalk zadoščuje pri goldinarjih, metrih, kvadratnih in kub. metrih, litrih, kilogramih ? Kaj se zgodi z jedinicami, z deseticami, stoticami., desetinami, stotinami i. t. d., ako decimalno točko premaknemo za 1, 2, 3 mesti i. t. d. proti desnej ali proti levej ? Ali ostanejo jednote decimalnega ulomka nespremenjene? Ali se vrednost decimalnega ulomka spremeni in kako ? — Vsaka jednota je 10, 100, lOOOkrat i. t. d. veča, oziroma manjša, ter tudi decimalni ulomek 10, 100, lOOOkrat. .. večji ali manjši. Decimalen ulomek postane 10, 100, lOOOkrat i. t. d. večji ali manjši, če premakneš decimalno točko za 1, 2, 3 mesta i. t. d. proti desnej ali proti levej. Izprememba navadnih ulomkov v decimalne. §.76. Kaj je navaden ulomek prav za prav? — Nakazano de¬ ljenje. — Kako je mogoče tako nakazano deljenje izvršiti? — Ako izpremenimo jednote ostanka v nižje, ki so del prvotne jednote. — Ali morejo te nižje jednote tudi dekadične biti ? — Tudi in sicer de¬ setine, stotine, tisočine i. t. d. Navaden ulomek izpremeniš v decimalen ulomek, ako z na¬ vadnim ulomkom nakazano deljenje tako izvršiš, da jednote vsakega ostanka izpremeniš v nižje dekadične jednote. Tako n. pr. je 7 / 8 = 7 : 8 = 0 jedinic + 8 desetin + 7 stotin + 5 tisočin = 0-875 70 desetin.70 6 „ =60 stotin.60 4 „ =40 tisočin.40 0 „ . 0 Vaje. 1. Izpremeni še te-le navadne ulomke v decimalne in opraviči to izpremembo: 2 2 1 O 7 5 J Si TTi SSSi Si 4¥- Rešitev: | = 2 ; 3 = 0-6666 i, t. d. brez konca 75 T \ == 2 : 11 = 0-181818 i. t. d. br. k. _ 10 7 ; 333 = 0-321321321 „ „ „ |= 5:6 = 0-8333 „ „ „ t = 7 : 44 = O- • 15909090 „ „ „ Ako pri izpremembi navadnega ulomka v decimalen ulomek de¬ ljenja ne moremo nikoli izvršiti brez ostanka, dobimo brezkončen decimalen ulomek, drugače pa končen. V takem brezkončnem decimalnem ulomku mora se povrniti vsak prejšenj ostanek, torej tudi decimalke kvocijenta v istem redu, in imenujemo ga povratnega (perjodskega) vrsto povračavnih decimalk pa povračaj (perjodo). V perjodskem decimalnem ulomku ne stoje ali nobene decimalke pred perjodo in imenujemo ga čisto perjodsk decimalen ulomek, ali pa stoje pred perjodo še druge decimalke in imenujemo ga nečisto perjodsk decimalen ulomek. — Povej nekoliko čisto in nekoliko ne¬ čisto perjodskik decimalnih ulomkov. V obče moremo čisto perjodsk decimalen ulomek s 3 deci¬ malkami n. pr. v perjodi tako-le izraziti: — + 10 ^ b_ 10* + c 10® P 10 ® + a 10 * + b lo® + ^ 10 6 ^ 10 9 in nečisto perjodsk decimalen ulomek: 10 6 + + .... -L. + '_J_ . . p .._ + 10 «» 10 «»+ 3 10«*+6 Napiši po tem obrazu še sledeče ulomke: 0-575757..., 0-21603603603, 0-914791479147..., 0-5217302843028430284- Kaj pomenja v vsakem teh primerov p, A, m ? Perjodsk de¬ cimalen ulomek je toliko bolj blizo jednak navadnemu, kolikor več decimalk vzameš v decimalnem ulomku. Koliko decimalk zadoščuje v vsakem slučaji posebej, pove razum sam; v kupčijskih računih večinoma uže zadoščujejo 4 decimalke. Pri perjodskem decimalnem ulomku pišemo navadno perjodo le jedenkrat; stavimo pa točko nad njeno prvo in zadnjo deci¬ malko. Tako n. pr. 0-325, 0-8174, 20‘5. Izprememba decimalnih ulomkov v navadne. §. 77. a) Končen decimalen ulomek izpremeniš v navaden, ako njegove decimalke vzameš za števec; za imenivec pa pod- 76 pišeš najnižjo dekadično jednoto decimalnega ulomka. Tako dobljeni ulomek potem še okrajšaj, ako je mogoče. Vse to je razvidno iz prejšnjega. Tako n. pr. je: 8 A.KOO - 528 | 66 u jzo — nnnmj-s Izpremeni še te-le decimalne ulomke v navadne: 0-75, 0-378, 35-25, 312-714, 500-05 b) Čisto perjodsk decimalen ulomek izpremeniš v navaden ulomek, ako vzameš perjodo za števec, za imenivec pa toliko devetik, kolikor ima perjoda decimalk. Dokaz. Naj je x x. 10 3 p 10 8 P lOi + los + '&+•• ■ 'P otem J' e zV 4- J + 1 + 1 J t 10 3 -r 10 s -r = + V - + p - + 10 3 — 10 8 — dolenje od gornjega odšteto z. 10 3 torej v — p ali x. 1000 — x — p ali 999 ,x — p. ' X — JL_ ~~~ 999 Dokaži to pravilo še na teh-le ulomkih: 0-243, 0-5, «-72, 0'3285, 17-621 Dokaz za prvi ulomek 0-243 tisočkraten ulomek 0 • 243 — 243 • 243 manj jedenkraten ulomek 0-243 = 0- 243 999kraten ulomek 0-243 — 243 torej jedenkraten „ ali 0-243 = ^ c) Nečisto perjodsk decimalen ulomek izpremeniš v nava¬ den ulomek, ako odšteješ število iz decimalk pred perjodo od števila iz decimalk pred perjodo in v perjodi in dobljeno dife¬ renco vzameš za števec; imenivec je pa število iz toliko deve¬ tik, kolikor ima perjoda decimalk in iz toliko ničel na desnej, kolikor je decimalk pred perjodo. 0-25318 2 5 2 9 3 77 Dokaz: . . . . Stotisočkraten ulomek 0-25318 = 25318-318 Vaje. L Izpremeni te-le ulomke v decimalne: i, f, 5f, 8 T \, 91 7 195 9K1 2 3 2. Izpremeni te-le decimalne ulomke v navadne: 0-25, 0-728, 5-04, 238-61835, 0'7, 0'315, 25-827, 345-0207, 45-2384, 12-53892. Računjanje z decimalnimi ulomki. Seštevanje in odštevanje decimalnih ulomkov. §. 78. Decimalne ulomke seštevaš ali odštevaš, kakor se¬ števaš ali odštevaš cela števila; samo da v vsoti ozir. diferenci še postaviš decimalno točko, kedar prideš pri številbi do nje. To pravilo dobimo na isti način, kakor pravilo za seštevanje in odštevanje celih števil. Pokaži na teh-le primerih, kako do tega pravila pridemo. a) 32-785 + 56-326 = ? 32-785 — 3.10 + 2 + 7 . 10 -' + 8 . 10~ 2 + 5 . 10~ 3 56 • 326 = 5.10 + 6 + 3 . 10- 1 + 2 . 10~ 2 + 6 . 10“ 3 89 -111 = 8.10 + 9 +"' 1 . 10- 1 + 1 . 10 —» TidF « - b) 792*5308 + 81-309 = ? c) 67-58 + 3-492 + 315.7813 = ? c) 53-835 — 7-437 = V 53-825 = 5.10 + 3''+ 8.10- 1 + 2.10~ 2 + 5.10- 3 _ 7-437 = _ 7 ± 4.10- 1 ± 3.10- 2 + 7.10- 2 """ 5.10 — 4 + 4.10- 1 — 1.10“ 2 — 2.10- 3 46 • 388 = 4.10 + 6 + 3.10- 1 + 8.10~ 2 + 8. 10- 3 d) 5-039 — 0-545 = ? 78 e) 3492-5209 — 483-479 = ? f) Dokaži to pravilo za vse decimalne ulomke (v obče). Vaje. Izvrši te-le račune: 1. 3824-567 + 291-318 + 46-7359 = ? 2. 6-27 + 3-008 + 0-32 + 478-56 = ? 3. 7-29 + 3-408 + 251 + 3‘726 = ? 4. 28-56 — 13-32 = ? 5. 362-37 — 35-3289 = ? 6. 825 — 327-534 = ? 7. 3482-309 — 392-46532 = ? Množenje decimalnih ulomkov. §. 79. Kakoršno jednoto dobiš, ako množiš: a) desetico, stotico, tisočico, desetino, stotino, tisočino, desettisočino z je- dinico; b) desetico z desetico, stotico, tisočico, desetino, sto¬ tino, tisočino, desettisočino i. t. d.; c ) stotico z desetino, stotino, tisočino i. t. d.; c) stotino z desetino, stotino, tisočino i. t. d. a) Decimalne ulomke množiš z 10, 100,1000 i. t. d., ako prestaviš decimalno točko za toliko mest proti desnej, kolikor ima multiplikator ničel. (Primerjaj §. 75.) Izvrši te-le račune: a) 3-52x10 = ? a) 77-528x 1000 = ? c)(7-308x 100 = ? c) 0-82x100000 = ? b) Decimalne ulomke množiš kakor cela števila, samo v produktu vzemi toliko decimalk, kolikor jili imata oba faktorja skupaj. Pokaži na teb-le primerih, kako do tega pravila pridemo. а) 34-25x3-724 = ? 34-25 x3-724=(3.10+4+2.10- 1 +5.10-»). (3+7.10- I +2.10- 2 +4.10-») = 102-75 = :1.10 2 +0.10+2+77l0-‘4-5.10-2 23-975 = 2.10+3+9.10- 1 +7.10- 2 +5.10- 8 0-6850 = 6.10— 1 +8.10— 2 +5.10— 3 +0.10— 4 13700= 1.10—'+3.10—'-’+7.10— :! +0 10— 4 +0.10— 5 _ 127-54700 == 1.10 a ++2.1O 5+5.10 iil +4.1()-*+7.l6^ s +0.10-*+0.10^ ,i ali: 34-25x3-724 = x -? 7 ?- = 342 ° X 3724 = 127-54700 (glej §. 73.) 10» 10» 10 5 б) 52-3x 7-35 = ? c) 315x0-78 = ? č) 827-495x0-26 = ? <6) 5-493x4532 = ? 79 e ) 1 g„ t X 1{)W = Hjfirn — koliko decimalk ima prvi in ko¬ liko drugi ulomek? — Koliko njijin produkt? Okrajšano množenje. §. 80. V produktu dobimo včasih mnogo decimalk, smemo prezirati v navadnem življenji. Tako n. pr. so v primeru 723-54852x527-327 = 5064 ! 83964 14470 9704 217064 5064839 14470970 361774260 556 64 4 ki jih tem-le 381546-67040604 zadnje decimalke 40604 nepotrebno, ako produkt pomeni gol¬ dinarje. Kako bi torej račun tako okrajšali, da bi ne iskali nepo¬ trebnih decimalk ni v produktu ni v delskih produktih. V gor¬ njem primeru so nepotrebne decimalke ločene s črto od potrebnih. Pri navadnem množenji moramo množiti multiplikand z vsako številko multiplikatorja. Ako pa množimo z jedinicanti stotisočine, desettisočine, tisočine, stotine, desetine i. t. d. dobimo zaporedoma stotisočine, desettisočine, tisočine, stotine i. t. d. Nepotrebno je torej množenje desettisočin, stotisočin z jedinicami, ker deset- tisočin in stotisočin ne iščemo. Ravno tako je nepotrebno mno¬ ženje stotisočin z deseticami; tisočin, desettisočin in stotisočin se stotinami; stotin, tisočin, desettisočin in stotisočin s stotinami; de¬ setin, stotin, tisočin, desettisočin in stotisočin s tisočinami. (Zakaj ?) Nepotrebnega množenja torej ne izvršuj; da pa pri vsakej nalogi hitro vidiš, pri katerej multiplikandovi številki moraš mno¬ ženje s kako številko multiplikatorja začenjati, piši jo ravno pod ono številko. V našem primeru stori to tako-le: 723-548 52 7 237.25 Jediniee stavi pod toliko decimalko multiplikanda, kolikor jih v produktu hočeš dobiti, vse druge številke pa zraven njih ravno narobe, nego stoje v multiplikatorji. Pri izvršitvi množenja s kako številko smeš izpustiti vse multiplikandove številke na desuej nad njo, v delskih produktih pa piši najnižje številke jedno pod drugo, ker vsaka tisočine pomenja. Ako množenje tako iz¬ vršiš, dobiš 80 723-54852 723.725 361774260 14470970 5064836 217062 14470 5061 381546-659 Najnižje decimalke okrajšanih delskih produktov in okraj¬ šanega produkta so različne od istoimenskih decimalk popolnih delskih produktov in popolnega produkta. Temu je pa uzrok, ker včasih nižje jednote pri množenji tudi uže višje dado. Torej ne smeš popolnoma prezirati v multiplikandu prve številke na desnej nad množilno številko multiplikatorja, ampak prepričati se moraš koliko višjih jednot dobiš, ako tudi njo množiš, da jih šte- ješ dalje, t. j. moraš vzeti popravo (korekturo) od nje. Zapomni si pa, da jemljemo popravo 1 od 5 do 14, popravo 2 od 15 do 24, popravo 3 od 25 do 34 i. t. d. Dani primer potem izvrši tako-le: • 723-54852x527-327 na 3 dec. 723.725 361774260 14470970 5064840 217064 14471 5065 381546-670 Iz tega primera posnemamo to pravilo za okrajšano mno¬ ženje : Pri okrajšanem množenji moraš pisati jedinice multipli¬ katorja pod toliko decimalko multiplikauda, kolikor je potreba decimalk v produktu. Vse druge številke multiplikatorja pa zapisuj zraven jedinic ravno narobe. Se številkami multipli- plikatorja množi one številke multiplikauda, ki stoje nad njo in na levej od nje, množi pa tudi prvo številko na desnej nad množilno številko, da vzameš od nje popravo. Delske produkte piši jeduega pod druzega in sicer najnižjo številko pod naj¬ nižjo in jih seštej. 81 Pojasni to pravilo še na teh-le primerih: a) 351 ‘25683 x 26'315926 na 3 decimalke b) 25‘312 x 7‘508 „ 2 c) 17‘384x51‘3752 „ 4 Vaje. 1. Izvrši te-le račune i mogoče: a) 372-5 x25 = ? b) 48-305x1-25 = ? d ) 18-5432 x 6-17 = ? f) 358-21 x49‘99 = ? h) 72935 x0.25 = ? j) 3-78215x42-78 = ? na k) 325-6893x415.327 „ sicer s pridobitkom, kedar je b) 532x0-708 — ? c) 7-54032x9-999 = ? e) 0.0594x0-0274 = ? g) 782-1 x99-95 = ? i) 5200-3x4-8 = ? decimalke n Deljenje decimalnih ulomkov. §. 81. 1. Decimalne ulomke deliš z 10, 100, 1000 i. t. d., ako prestaviš decimalno točko v dividendu za toliko mest proti levej, kolikor ima divizor ničel. (Glej §. 75.) Ako je dividend celo število, naredi toliko številk za deci¬ malke, kolikor ima divizor ničel. Izvrši te-le račune: d) 438'5 : 100 — ? 6)5-87:10 = ? c) 0-49 : 1000 = ? c) 4212 : 10000 = ? d) 578 : 100 = ? 2. Decimalne ulomke deliš s celimi števili kakor cela šte¬ vila, samo da postaviš decimalno točko v kvocijentu, kedar pri¬ deš v dividendu do nje. (Glej §. 49, nalogo 11.) Pokaži na teh-le primerih, kako pridemo do tega pravila : a) 928.72 : 26 = (9.10 2 + 2.10 + 8 + 7.10- 1 + 2.l0- 3 ): 26=3.10 + 5+ 7.10- 1 +2.10- 2 9.10 a + 2.10=92.10 14.10 + 8=148 18 + 7.10~ 1 =187.10~ 1 5.10- 1 +2.10- 2 =52.10- 2 ali krajše: " 0 . 10 3 928-72 : 26 + 35-72 148 187 52 0 6 82 b) 3088-63 : 4231 = ? c) 8-253 : 256 = ? 3. Decimalni ulomek deliš z decimalnim ulomkom, ako v divi- zorji izpustiš decimalno točko, v dividendo jo pa za toliko mest proti desnej prestaviš, kolikor ima divizor decimalk in potem deljenje izvršiš. — Ako je dividend celo število, mu pripiši toliko ničel, kolikor ima divizor decimalk. Torej je n. pr. 5-789 : 3.25 = 578'9 : 325 = i. t. d. Dokaz. Kvocijent ostane neizpremenjen, ako dividend in di¬ vizor množiš se 100. Deli in opraviči to deljenje na teh-le primerili: a) 78-35x2-7 = ? 5) 4-23:0578 = ? c) 24:5-23 =? 5) 175:0-021 =? Okrajšano deljenje. §. 82. Kedar hočeš samo neko število decimalk v kvocijentu dobiti, deli okrajšano. Pri okrajšanem deljenji je pa treba dolo¬ čiti mestno veljavo prve številke kvoeijenta, da potem veš koliko številk ima ves zahtevani kvocijent. To pozveš, ako si misliš di¬ vizor pod dividend tako podpisan, da stoji prva pomenljiva šte¬ vilka divizorja pod prvo številko dividenda ali pa pod drugo, kedar ima prvi delski dividend jedno številko več od divizorja. Mestna vrednost številke v dividendu, pod katero stoje jedinice divizorja, je tudi mestna vrednost prve številke kvoeijenta. Tako n. pr. pomeni prva številka v kvocijentu teb-le pri¬ merov : 7627-35 : 354, 527-38 : 715, 23'87 : 0053 354 71 5 005 3 zaporedoma desetice, desetinke, stotice. Določi mestno vrednost prve številke kvoeijenta teb-le pri¬ merov : 5412:45, 78'523 : 32P52, 0-574:0-00671. Ako v teh primerih iščemo kvocijent na 3 decimalke, koliko številk ima vsak kvocijent? Pri okrajšanem deljenji obdrži v divizorju le toliko številk, kolikor jih ima kvocijent v dividendu; pa ravno toliko ali pa jedno več, ako ima prvi delski dividend jedno številko več od divizorja. Po vsakem deljenji odreži od divizorja jedno število; na¬ mesto da bi k ostanku pristavil ničlo, in vzemi popravo od pro¬ dukta iz odrezane in iz ravno dobljene številke kvoeijenta. De- — 83 ljenje je dovršeno, kedar nemarno nobedne številke več v divizorju, da bi jo odrezali. Opomba. Kedar ima divizor manj številk nego kvocijent, začni še le potem okrajšano deliti, ko si uže vse številke okraj¬ šanega dividenda porabil. Ako pa ima dividend manj številk, kakor jih pri okrajšanem deljenji imeti mora, pripiši mu toliko ničel, kolikor mu številk manjka. Vaje. 1. Deli okrajšano na tri decimalke: a) 5643*6,93 : 3,5,9',3,7,54 = 15-704 20498 2529 14 0 prva številka kvocijenta pomeni desetice, ter ima zahtevani kvocijent 5 številk. b) 8784-325 : 75’3 = 116-657 1245 5013 4952 434 57 4 c) 38-52 : 0-04,7,6,5,4,2,8 = 808-322 000 39658 1535 105 10 1 2. Izvrši še te-le primere: a) 572-789 : 325-586 = ? (na 4 decim.) b) 547-06 : 0-694 = ?.„(na 2 decim.) c) 0-69457 : 0-06943 = ? (na 3 decim.) č) 60832 : 0-97523 = ? (na 2 decim.) d) 3-725 : 0-0643 = ? (na 4 decim.) e) 28-723 : 714 = ? (na 3 decim.) 6 * 84 Vaje za ponavljanje (na pamet). 1. Koliko je: * 1 fl., 1 1 <£, 1 T rb i i < y, 1 □"/, 1 Ot, 1 gl- toW 1 07, 1 Oi» 1 %• * 1 ure, 1 min., 1 stopinje? 2. Uravnaj ta-le mešana števila: 8|, 2| 9*, 12*. 3. Izpremeni v mešana števila: 14 17 25 3 , S > S • 4. Seštevaj: f + f, f + f, H + 3f. 5. Odštevaj: | — f, 5J — lf. 6. Množi: f X 5, -§X3, §xf, 2^x7, 14x2^. 7. Deli: |:4, f : 5, 6* : 2, 4*, f : f. Pismeno. Izvrši te-le naloge spremenivši jedenkrat vse decimalne ulomke v navadne, drugokrat vse navadne ulomke v decimalne: !•) H + I + 4f + 3 • 6 = ? 2.) 12| + 3-87 + 2£=? 3.) 154.235 + 312* + 31£=? 4.) 21-527 + 3.2356 + 4* = ? 5.) 12-81 + 25^325 = ? 6.) 12-85 — 3£ = ? 7.) 12* — .3*8 = ? 8.) 37-25 — 4^ = ? 9.) 3^ — 0-5312 Sledeče naloge izvrši brez izpremembe navadnih ulomkov v decimalne in narobe in sicer s pridobitkom, kedar je mogoče. 10.) 3-782 x5f = ? 12.) 431-^x9-999 = ? 14.) 315* x 59-99 = ? 16.) fff x997 = ? 18.) 418* x 31 ‘2 = ? 20.) 34^x0-997 = ? 22.) 732*^ : 0-25 = ? 24.) 7.568 :** = ? 11.) x8-25 = ? 13.) 75|x 1-25 = ? 15.) X0-11 = ? 17.) *Vx*£xl2-5 = ? 19.) |*x4"5 = ? 21.) 53-278 : 42* = ? 23.) ff*: 3"15=? 25.) 178* : 12-5 = ? V sledečih nalogah izvrši vsako množenje in deljenje na decimalke: 26.) 75-492 X 432-781 5-324 — 9 27.) 425-72 31-295 X 7542-35 35-391 3 85 . 7522-3258 . 293 51437 _ ? 42-59 ' : 3475-265 “ ' 30.) - ,(3x - 1) = ? « — 25 x — 1 35.) 2^r% : + 5 ^) = ? 36 -) 37. ) 1 hjg nekega blaga stane 1 fl. 50 kr.; koliko stane 4 % ? Rešitev na pamet: 1 hjg 1 fl. 50 kr., £ hjg 5ti del od 1 fl. 50 kr., t. j. 30 kr. 38. ) 1 m ] stane 3 gl. 40 kr.; koliko m f ? 39. ) | stane 2 fl. 70 kr., koliko 4 ? 40. ) | kjg stane 90 kr.; koliko f, f %? Rešitev na pamet: f hjg stane 90 kr., -1 3tji del od 90 kr., t. j. 30 kr., | pa 5krat 30 kr., t. j. 1 fl. 50 kr. — \hfg stane 30 k?., |=1=| 8krat 30 kr., t. j. 240 kr., ^ deveti del od 240, t. j. 26-| kr. in f 4krat 26| kr., t. j. 1 fl. 5-| kr. 41. ) Koliko stane §, f, 2| m / ; ako stane f m j 1 fl.? Reši naloge 37, 38, 39, 40, 41 tudi pismeno. 42. ) Kako se ločijo ulomki od celili števil? — Iz katerega računa izvajaš ulomke? — Koliko vrst ulomkov poznaš? Kako raz¬ vrstimo decimalne ulomke ? — Kako prideš do neizračunljivih §. 84. Količine moremo primerjati in sicer na dva načina; ali preiskavamo za koliko je količina a večja ali manjša od ko¬ ličine b , ali pa kolikokrat je a večja ali manjša od b. Tako števil ? Četrti oddelek, O omerali in razmerah. A. 0 omerah. 86 n. pr. dobimo pri primerjanji dveh pašnikov, izmed katerih ima jeden 44 arov drugi pa 11 arov, da je prvi 44— 11 = 33 arov večji od druzega, ali pa da je prvi 44:ll = 4krat večji od druzega. Prvo primerjanje nakazujemo z diferenco a — b, drugo pa s kvocijentom a : b , vsako tako matematično nakazano primer¬ janje istovrstnih količin imenujemo ornero. Omeri a — b in a : b razlikujete se bistveno, prvo imenujemo aritmetiško, drugo pa geometrijsko omero. Pečati se hočemo z geometrijskimi omerami. Omero a : b heremo „a se ima proti b u ali krajše n a proti b“. a imenujemo prvi ali prednji člen, b drugi ali zadnji člen. Iz prejšnjega je razvidno, da si moremo misliti geometrijsko omero kot nakazano deljenje, kjer je prednji člen dividend, zad¬ nji člen pa divizor. Kvoeijent, katerega dobimo, ako to nakazano deljenje izvršimo, imenujemo eksponent (kazalo) omere. §. 85. Prvi člen omere je ali večji ali jednak ali manjši od druzega člena, in omere so oziroma ali upadne ali omere jedna- kosti ali rastne omere. Tako n. pr. je omera 5 : 2 upadna, 3 : 3 omera jednakosti, in 4 : 7 rastna omera. V upadnej omeri je eksponent večji od 1, v omeri jednakosti jednak 1 in v rastnej omeri manjši od 1. Ako zamenjamo v omeri člena, imenujemo novo omero obratno z ozirom na prvo. Tako n. pr. dobimo iz omere 15 U : 4 U obratno omero 4 U : 15 U- Omeri ste jednaki, ako imate jednaka eksponenta. Tako n. pr. ste omeri 12 : 4 in 39 : 13 jednaki, ker ima vsaka eksponent 3. Ako sta člena v omeri brezimenasta, imamo številno omero, ako sta pa člena imenasta, imamo količinsko omero. V količinskej omeri morata člena biti istovrstna, ker moremo primerjati samo istovrstne količine. Pri primerjanji omer nam ni treba gledati na imena členov, ker eksponenti določujejo, ali so omere jednake ali nejednake in ti so zmerom brezimenasta števila. Tako n. pr. ima omera 20 gl. : 4 gl. eksponent 5 in omera 45 % : 9 % tudi eksponent 5, torej omeri ste jednaki, akoravno primerjamo jedenkrat goldinarje, drugokrat pa kilograme. §. 86. Iz prejšnjega je znano, da si moremo misliti omero kot nakazano deljenje in to kot ulomek po vrednosti', ne pa po pomenu. Tako je n. pr. 87 omera 13 „ 27 5 jednaka ulomku V 3 35 „ 2 7 ■ t a n M : 0 » n j potem so pa tudi narobe ulomki §£...-* jednaki omeram 13 : 5, 27 : 35_ a : b. Iz tega sledi: Vsako omero moremo izpreminjati v nava¬ den ulomek in narobe vsak navaden ulomek v omero. Vrednosti omere ne izpreminjaš, ako množiš ali deliš vsak Člen omere z istim številom. (§. 44, X.) Po tem izreku oprostiš omero od ulomkov, ako množiš vsak člen z najmanjšim skupnim mnogokratnikom imeniveev. N. pr. za T . a, 7 . i, 5 . *, m . n dobiš omere 4 : 63, 10 : 9, 7 : 6, an : bm. Po tem izreku pa tudi okrajšujemo omere, kedar imata člena skupen faktor, ako s tem vsak člen delimo. Tako n. pr. dobimo za 8:6, 66 : 11, 12 : 40, am : bm omere 4:3, 6:1, 3 : 10, a : b. §. 87. 1. Prednji člen je jednak zadnjemu členu, pomno¬ ženemu z eksponentom. 2. Zadnji člen je jednak prednjemu členu, deljenemu z eksponentom. ' (§. 43.) Neznani člen omere zaznamenjujemo s črko x. N. pr. 1. Kolik je prednji člen omere, ako je zadnji člen 2 in eksponent 3? x : 2 — 3, i = 2 x 3 = 6 2. Kolik je zadnji člen omere, ako je prednji člen omere 8 in eksponent 2? 8 : x = 2, x = 8 : 2 = 4: §• 88 . Vrednost omere nesomernih količin B in A je B A ne v n m V 'me m + v' (glej §.59); v in v' pa ne moremo nikoli natanko izšteviliti, torej tudi ne vrednosti take omere. Vrednost omere nesomernih količin je neizračunljivo (iracijonalno) število, katero pa moremo s tako natančnostjo izraževati, kakor le hočemo. Tako število je n. pr. Ludolfovo število tv, t. j. vrednost omere iz periferije kroga in uje- 88 govega primera. — Druga števila pa imenujemo izračunljiva (raci- jonalna). — Ali moremo iraeijonalna števila približavno načrtati? — Odgovor: Ker je iracijonalno število blizo jednako omeri ali ulomku , ga moremo tudi načrtati in sicer tako določno, kakor n le hočemo, da, celo popolnoma natanko. Primerjaj §. 59 s., kjer hipotenuza predstavlja iracijonalno število za racijonalno kateto. Vaje. 1. Poišči eksponente teh-le omer: 35 : 7, 7:2, 25 : 15, 144 : 12, 21 : 105, a : b, a 3 : a\ 2 R~ : 2rr:, B : r%. 2. Kolikokrat večje je jedno število od družega v teh-le primerih: 35 in 7, 52 in 26, 55 in 11, 23 in 2, 31 in 82, 6 m in 2 m, 25 a 2 in 5a 2 ? 0-54 : 3-6, 64 : 4'8, 5 m 1 : 3 m 3 , 2x 6 : 6x 2 . o. Izrazi te-le omere z najmanjšimi celimi števili: 5-9 : 4-8, 23-25 : 3"73, 66f : 285, 0-79 : 8-2, 3| : 34, 2| 5 . 6 F • ?• 0 T . 6. d) x : 4 = 5. c) x : 7 = 3-5. d) 4 : x = 1. /) 5| : a? = 4f h) 2-7 : x = 0-3. I>) x : 3{ = 2f č) x : 8f = 1" 2. e) 12 : x — 4. 3f : x — 12#. i) 31 t i) * * * 5 x : « = 2-18. 7. Kako se ima: a) 1 kjg proti 1 6) 1 meter proti 1 centimetru, c) 1 goldinar proti 1 krajcarju 7 č) 1 hektoliter proti 1 litru? 8. Kako se ima d) 2 gl. proti 35 kr. ? b) 3 sežnji proti 2 črevljema? c) 8 mescev proti 3 letom? 9. Neka soba je 4° 1' dolga, 2° 3' široka; kako se ima njena dolgost proti širokosti? 10. V kakšnej omeri stoji avstrijski dvo-goldinar proti fran¬ coskemu petero-franku, ako je 1 frank = 40.j kr. av. velj.? 11. 1 ruski rubelj = 1-62 ti.; v kakšnej omeri stojita 1 goldinar in 1 rubelj ? 12. 1 marka kur. v Hamburgu je vredna 60 kr.; kako se ima 1 gl. proti 1 marki kur. ? 13. 1 dunajski vatel — ff metrov in 1 jard = ff metrov; v kakšnej omeri stojita dunajski vatel in jard? 89 15. V kakšnej omeri stoji 1 kilogram proti 1 angl, funtu, ako je 1 kjg — 1-785 dun. funtov in 1 angl. funt = 0-81 dun. funtov ? 15. Ruski pud ima 16-38 in dunajski funt 0-56 kilogramov; katera omera iz celih števil med pudom in dunajskim funtom je najmanjša? 15. 15 nemških milj = 104-32 ruskih vrst 15 nemških milj = 14-64 avst. milj, v kakšnej omeri stoji 1 ruska vrsta proti 1 avstrij. milji? 17. A prehodi v 4 urah isto pot, kakor B v 5,1 urah; kako se imate hitrosti teh oseb ? 18. Ljubljana ima 24000 in Maribor 15000 prebivalcev; v kakšnej omeri stoji množina prebivalcev v Ljubljani z množino pre¬ bivalcev v Mariboru? B. 0 razmerah. §. 88. Ako postavimo jednačaj med jednaki omeri, dobimo razmero. Če je torej a : b — e, c : d — e, je a ; b = c : d razmera, katero beremo „a (se ima) proti b , kakor c proti d“. Prvi in četrti člen (a in d) imenujemo vnanja člena; drugi in četrti člen (b in c) pa notranja člena razmere. Prvi in tretji člen sta sprednja drugi in četrti zadnja člena. Četrti člen (d) imenujemo četrto geometrijsko razmernico (proporcijonalo). Razmero imenujemo stalno, ako sta njena notranja člena jed- naka. N. pr. 2 : 4 = 4 : 8 v obče ct: b = b : c, kjer imenujemo 4, b srednjo geometrijsko proporcijonalo, 8, c pa tretjo stalno proporcijonalo k a in b. Razmero z brezimenastimi členi imenujemo številno razmero, razmero z imenastimi členi pa količinsko razmero. V količinskej razmeri morata člena jedne omere istovrstna biti, ker moremo samo istovrstne količine primerjati. Tako n. pr. postane številna razmera 5": 10 = 2 : 4 količinska razmera. 5 metrov : 10 met. = 2 fl. : 4 fl. ako pristavimo prvima členom ime meter in zadnjima ime goldinar. Neznan člen razmere hočemo zaznačiti z x. 90 Izreki o številnih razmerah. §. 89. V vsakej razmeri je produkt vnanjih členov jednak produktu notranjih členov. Torej je v razmeri a : b = c : d ad — bc Dokaz. Omeri dane razmere moremo tudi z ulomki nameščati T “ -J ; P° tem J e j ■ bd = ~.bd (§. 53, 1) ali ad = bc Dokaži ta izrek še na teh-le primerih: 1.) 6 : 2 == 3 : », 2.) 6 : 8 = x : 4, 3.) 5 : x — 2 : 7 4.) x : 12 = 4 : 9. Narobe potem moremo reči: Razmera je veljavna, ako sta produkta vnanjih in notranjih členov jednaka. Sklepi, a) Iz 3 členov razmere moreš 4. člen dobiti bc T’ (§. 53, 1) 1. ) x : 3 = 8 : 4 2. ) 7 : 2 — 21 : a; 3. ) 15 : a: = 3 : 2 4. ) 9 : 5 = x : 10 x ■■ x ■ X ■ X ■■ 3x8 4 ' 21 ' 7 15 x_2 3 9 X 10 = 6 = 6 = 10 = 18 Kedar iz 3 členov razmere 4. člen poiščemo, razmero raz¬ rešimo. Pri rešitvi razmer moraš še na to dvoje gledati: 1. Ako ima razmera ulomke, jih odpravi; 2. vsako razmero iz celih števil okrajšaj pred rešitvijo, ako je mogoče (glej §. 90). b) Razmera ostane veljavna, ako zamenjaš notranja ali vnanja člena med seboj, ali pa vnanja z notranjima členoma, t. j. 91 6. ) b : d — a : c 7. ) c : a — d : b 8. ) c : d = a : b kajti iz vsake te razmere dobivamo ad = bc, kakor iz prve. Narobe moremo iz jednakih produktov razmero sestaviti, ako faktorja jednega produkta za vnanja in faktorja druzega produkta za notranja člena naredimo. N. pr. iz 3.4 = 2.6 in m.n —p.r dobimo v razmeri 3 : 2 = 6 : 4 m: p = r : n §. 90. Ako množiš ali deliš notranji in vnanji člen raz¬ mere a : b = c : d z jednim in istim številom, dobiš spet ve¬ ljavno razmero, t. j. am : bm — c : d ali am : b — cm : d i. t. d. - : - = c : d ali — : b = — : d i. t. d. mm m m Dokaz amd = bmc ali ad — bc i. t. d. —. d — —-.c, m. —. d = m. —.c. ad = bc i. t. d. m m ’ m m S porabo tega izreka odpravljamo ulomke iz razmer, in krajšamo razmere. Naloga 1. Odpravi ulomke iz razmere a m 1) c m ’ n p 1 in 2 člen množe z m .. .a : — x m — — : x n p 1 „ 2 „ „ „ n...an : bm = j:x 1 „ 2 „ „ s p .. .anp : bm = c : x V razmeri torej imenivec odpraviš, ako množiš z imeniv- cema notranjih členov vnanji člen in z imenivcema vnanjih čle¬ nov notranji člen. Naloga 2. Okrajšaj razmero am : bm = c : x 1 in 2 člen dele z m a : b — c : x Odpravi ulomke iz teh-le razmer: !•) | : | = : x\ 2.) 2:f = £:4; 3.) f : | = tt : x 4.) f : -f — 5 : x; 5.) f-: 4 = f : x Okrajšaj še te-le razmere: 1.) 28 : 13 = 21 : x; 2.) 16 : 12 = x : 15 92 Vaje. Naredi iz vsake teli-le jednačb 8 razmer: 1.) 2x16 = 8x4; 2.) 5x9 = 3x15; 3.)4x6=3x8; 4.) 8 x 12 = 6 x 16; 5 ,)mx — ns; 6.) fg = a 2 . Izrazi te-le razmere z najm. celimi števili: = 2 .) 5 |:*= 3 |: 35 -; 3.) 2-5 : 0-27 = 25 : *; 4.) f : 6-4 = * : 7-2; = 6 ‘) ' "IT == xi ' ^ x ‘ Izračunjaj x v teh-le razmerah: 1.) 60 : 48 = 25 : x; 3.) 3| : x = 3 : 7 ; 5.) 16 : 12 = 12 : *; 7.) 4-8 : f = 3f : *; 9.) a : ab = c : x; 11.) mn : x = mp : a; 13.) ab : b — b : x; 15-) \ • x ~ \ * ~n ’ 17.) x : p = B 2 t: : r 2 -; 2.) 12 : 16 = x : 8; 4.) ir : 28-2 = 3-1 : 36; 6-) f : & — 6 : x; 8.) »:| = f 10.) ap : bp = x : b; 12.) * : 3a 3 = 2ž> : 6a 2 6; U.) h : d =x: »; 16.) *:£=-; c; ' ha' §.91. V tem §. je a : & = c : d prvotna razmera. 1. V vsakej razmeri se ima vsota ali diferenca členov prve omere proti vsoti ali diferenci členov druge oinere kakor se imata sprednja ali pa zadnja člena, t. j. (a + b) : (c + d) = a : c = b : d Dokaz. Naj je:' a : b = e, c : d = e ter a = be, c — de in a±b = be±b = b(e± 1) c + d — de + d = d (e ■+ 1), torej (a + b) : (c + d) = b (e + 1) : d (e + 1) ali (a + b) : (c + d) = b : d = a : c 2. V vsakej razmeri se ima vsota ali diferenca sprednjih členov proti vsoti ali diferenci zadnjih členov, kakor vsak spre- denj člen proti svojemu zadnjemu členu, t. j. {a + c) : (b + d) — a : b — c: d 93 Dokaz: Iz a : b = c : d dobimo a : c = b : d (§. 89, b) ter po 1.) (a + c) : (b + d) — a : b — c : d 3. Dokaži še veljavnost teb-le razmer: (a + c) : a — {b + d) : b (a + b) : a — (c + d) : c (a ±b): b — (c ± d) : d (ci -p c) ! (J> ~p d ) == ( Oj r) . (b cC) in izrazi jih z besedami. Vaje. Razreši te-le razmere z ozirom na ta §. 1. ) (16 — x) : x — 8 : x\ 2. ) (100 + x) = 2000 : 10; 3. ) (100 - x ) : 3000 = x : 150; 4. ) 105 : (2000 + x) = 5 : x. §.92. Ako imamo razmere: a \b — a x :b v b : c — : <\ c : d — c t : d 1 pišemo krajše: a : b : c : d = : b x : c t : d 1 in imenujemo tako razmero zaporedno razmero. Naloga. Izpremeni te-le razmeri v zaporedno razmero. a : b = m : n b : c — p : r Rešitev. a-.b— mp : np b : c — pn : rn a : b: c = mp :np :nz Sestavljene razmere. §. 93. Ako imamo ob jednem razmere a _ m b n c _ p d r f = ' s . dobimo y t' 94 a c f b ' d ' g m p n ' r f (§• 53, 1) ter acf mps bdg nrt Iz tega sledi: Več razmer moreš sestaviti v jedno, ako množiš njihove istoimenske člene jeden z drugim. Na ta način dobljeno razmero imenujemo sestavljeno razmero. 1 . Sestavi še te-le razmere: a) 12:3 = 4:6 b) 15:3 = 10 :6 \ 7 : 8 = 21 : 24 \ 1 : 7 = 2 : 14 { 3 : 7 = 12 ; 28 2. Sestavi te-le razmere in potem določi x. c) f 8 5 U 28 = 2 : 7 2= 10 : 4 6 = 8 : 12 a) 11:3 = 6:2 J 3:4 — z:y 4:5 —y\x 1.0.4 : 0.4.5 = 5X6 x — —; — = 6 . Č-f '■ t-lfr-T- = 30 1 3 4 divizor 3 4 okraj saje 5 dividend 5x6 X=-j-= 30 b) V Količinske razmere. §. 94. Eavnovrstne količine so odvisne mnogokrat jedna od druge, in sicer tako, da večja količina jedne vrste zahteva večjo količino druge vrste (in manjša manjšo), ali pa, da večja količina jedne vrste zahteva manjšo količino druge vrste ali narobe. Taki odvisnosti pojasnita nam ta-le primera; 1 . Ako stane 1 kilogram nekega blaga 2 gl., staneta (stanejo) 2 kjg 2 x 2 gl. = 4 gl. 3„ 3x2 „ = 6 „ 4 „ 4 X 2 „ = 8 „ a „ a x 2 „ = 2 a „ Kolikor več kilogramov, toliko več goldinarjev, ali v obče čem več jedne količine, tem več druge količine. V tem slučaji je 95 omfrra iz količin jedne 'Vrste jednaka omeri iz pristojnih količin druge vrste, ako člena v obeh omerah v istem redu vzameš ali na kratko količine takih dveh vrst so ravno raznomerne. Iz našega primera dobimo razmere 2 % : 3 % = 4 fl. : 6 fl. ■ 3 n : 6 „ = 6 „ • 12 „ 5 „ : 8 „ =10,, : 16 „ i. t. d. 2. Ako 1 delavec dovrši delo v 60 dneh, dovršita (dovršijo) to delo Čim več delavcev, tem manj dnij, ali v obče čim več jedne količine, tem manj druge količine. V tem slučaji moramo ornero iz količin druge vrste v obrat¬ nem redu vzeti od omere narejene iz pristojnih količin prve vrste, da dobimo veljavno razmero; količine teh dveh vrst so tedaj obratno razmerne. Iz našega primera dobimo razmere: 2 del. : 3 del. = 20 dnij : 30 dnevom 4 „ : 5 „ = 12 „ : 15 „ 12 „ : 6 „ = 10 „ : 5 , Itavno razmerne količine so: razno blago in njegova cena, kapitali in obresti, čas in plačilo za delo, delavci in njihovo delo i. t. d. Ravne omere spoznavamo iz primerjalnih besedi: „Čim več, tem vec“ ali tudi „čim manj, tem manj Obratno razmerne količine so: hitrost in čas, kapital in čas, delavci in čas i. t. d. Obratne omere spoznavamo iz primerjalnih besedi: „Čim več, tem mlinj,“ ali tudi „čim manj, tem več“. C. Regeldetrija. Jednostavna regeldetrija. §. 95. Ako stojite dve vrsti števil v ravnej ali obratnej omeri in ako ste dani dve števili jedne vrste, izmed obeh pristoj¬ nih števil druge vrste pa samo jedno, moremo izračuniti tudi drugo neznano število druge vrste s pomočjo postavljene razmere. Kako 96 t razmero naredimo, povedali smo ravno poprej. Naj ste n. pr. dani nalogi: 1. ) 5 metrov sukna stane 15 tl.; koliko stanejo 3 metri? Eešitev na pamet 5 m f stane 15 fl. 1 w / „ 5ti del od 15 j. 3 fl. 3 7 „ 3krat 3 fl., t. j. 9 fl. 57 15 fl. čem manj metrov, 3 „ x „ tem manj gold. 5 : 3 — la V x 3 x = 3 X 3 = 9 fl. Odgovor : 3 metri stanejo 9 fl. 2. ) 2500 fl. kapitala daje v 3 letih gotove obresti; koliko gol¬ dinarjev kapitala daje iste obresti v 2 letih? — Reši to nalogo najpred na pamet. Rešitev: 2500 fl. h ...3 1. _ » »•••3 n _ a; : 8300 = 3:8 1150 i' = 4x 1250 = 2750 fl. Odgovor : V 2 letih daje 3750 fl. kapitala ravno toliko obresti, ka- kakor 2500 fl. v 3 letih. Račune take vrste imenujemo jednostavno regeldetrijo (trostavko). V vsakej regeldetrijskej nalogi razločujemo 2 stavka: pogojni stavek, v katerem je zveza med raznovrstnima količinama določena (v gornjih primerih „5 7 • • • 15 fl “ „2500 fl. k.. . .3 l.“) in vpra¬ šalni stavek, s katerim ravno vprašamo po številu druge vrste, ki pripada k drugemu danemu številu (vprašalnemu številu) prve vrste (v gornjih primerih „3 "/ . . .x fl.“ n x fl. k... .2 1.“; 3 7> 2 ste vprašalni števili). Sestavljena regeldetrija. §. 96. Ako stoji kaka vrsta števil z dvema ali več vrstami števil v ravnej ali obratnej omeri in ako so dana jedenkrat vsa skupna števila vsake vrste (to so vsa števila pogojnega stavka), drugokrat pa tudi vsa razna števila jedne vrste, moremo izraču- niti to neznano število po tako imenovanej sestavljenej regeldetriji. To nam pojasni ta-le primer: 100 fl. kapitala da v 1 letu 5Va fl- obresti. 4350 n n „ „ o letih x „ „ s n 97 Vsako nalogo sestavljene regeldetrije moremo razstaviti v dve ali več jednostavno-regeldetrijskih nalog. Na gornjem primeru bi se to zgodilo tako-le: Na pamet: 100 11. kap. dajo 5 1 /® d- ali 5 H. 50 kr. obresti v 1 letu. 10 „ „ „ lOti del od 5 d. 50 kr., t. j. 55 kr. 4350 „ „ pa 435krat 55 kr., t. j. 239 ti. 25 kr. v 1 letu; v 3 letih 3krat 239 d. 25 kr., t. j. 717-75 d. a) 100 d.k.daje 5} d. obr. \ v . , . , . ... v istem času (v 1 letu) r> n v n p ' _ 100 : 4350 = 5 \:y iz tega : b) v 1 letu 239} d. obresti „ 3 letih x „ „ 239} d. 1 : 3 = 239} : * iz tega x = 717} d. ali 717-75 d. obe razmeri sestavljeni '100 : 4350 = 5} : y 1:3 = y \ x 1x 100 : 3X4350 _ 3 X 4350 X 5y g ali krajše 100 : 4350 1 ;3 1 X 100 5 } ! * 1.100 : 3x4350= = 5 } x ■■ 3 X 4350 X 5 >/j 1.100 in iz vsake razmere x = 717 3 / 4 d. Te vrste naloge rešujemo tudi v takej obliki: __ 5Vi X 3 X 4350 __ jijs x __ 11 X 3 X 87 _ 7J7il Vaje. * Opomenja. Lož j e naloge reši tudi na pamet; črke v okle¬ pili pomenjajo občna števila in veljajo za drugo nalogo, iz katere dobivamo občni izraz za x. — Izražaj vsako občno razmero z be¬ sedami, ravno tako dobljeni izraz za x. 1.) 12 (a) metrov nekega blaga stane 4 d. 80 kr. (h d.); ko¬ liko stane 18 (c) metrov ? 7 98 2. ) 25 (a) metrov nekega blaga stane 70 H. (b fl.); koliko metrov dobimo za 14 (c) H. ? 3. ) Nekdo dobi za 5 11. 20 kr. (a fl.) 4 kilograme (b %) nekega blaga; koliko kilogramov dobi za 13 (c) fl. 4. ) 456 bjg 12 12 2268 _ 12 - ‘ ali x = 378, y= 567, 2 = 1323. Izštevili x, y , 2 tudi na pamet, a tako, da ne bodeš rabil razmer. Naloga 2. Razdeli število š v tri dele, da se ima j eden proti drugemu, kakor a proti b proti c; kateri so ti deli ? Rešitev (glej nalogo 1) x = ct b -j- c ct -j- b *|* c A a + b + o Račune, v katerih delimo dano število v več delov, ki se imaj o j eden proti drugemu, kakor druga dana števila, imenujemo raz- delne ali družne račune; števila, katera pripovedujejo, kolik mora biti jeden del proti drugemu primerna števila; število, katero moraš razdeliti, razdelilo število ali razdelilo vsoto; in dele, katere iščeš, deleže ali tudi dele. Iz gornjih primerov spoznaš za izvršitev razdelnih računov to-le pravilo: Deli razdelim vsoto z vsoto primernih števil in množi dobljeni kvocijent z vsakim primernim številom; produkti so iskani deleži. Ako so kaka primerna števila ulomki, izpremeni vse najprej v cela števila s tem, da jih množiš z najmanjšim mnogokratnikom vseh imenivcev. Kedar pa imajo primerna števila skupno mero, okrajšaj jih ž njo. Vaje (na pamet in pismeno). 1. Razdeli število 1500 fl. tako v tri dele, da se ima jeden proti drugemu, kakor 2 proti 3 proti 5; kateri so ti deli ? 101 2. Trije trgovci se udeleže nekega podjetja. V ta namen da A 800 fl., B 600 fl. in C 1000 fi.; koliko ima vsak podjetnik do¬ bička, če vsi trije pridobe 580 d. ? 3. Neki oče zapusti štirim sinovom 28500 fl.; prvi dobi -j-, drugi tretji A in četrti ostanek premoženja. Koliko dobi vsak sin? 4. Trije bratje so kupili posestvo za 136000 fl., A je vložil £, B % in C } kupščine. Konec prvega leta bil je čist prihodek tega posestva 8500 fl. Koliko prihodka ima vsak brat od tega posestva in koliko odstotkov nese kupčija? 5. Pakfong je zmes iz 53} delov bakra, 29 delov cinka in 17} delov niklja. Koliko vsake zmesnine potrebuješ, da dobiš 28 kilo¬ gramov pakfonga. 6. Nekdo je kupcu A 1500 fl., B 800 fl., C 1200 fl., D 420 fl. in E 80 fl. dolžan. On umerje in zapusti 2300 fl. čistega premo¬ ženja; koliko izgubi vsak kupec? 7. Razdeli s fl. tako na 3 dele, x, y, z , da se ima x : y — m : n in y : z — p : q. 8. Trije dediči morajo 6150 fl. tako med seboj razdeliti, da A tolikokrat po 5 fl. dobi, kakor B po 3 in C tolikokrat po 3„ kakor Ji po 4 fl.; koliko dobi vsak dedič ? Sestavljeni razdelni račun. §. 98. Naloga 1. Trije podjetniki prevzemo skupno delo za 6596 gl. A da 25 delavcev za 64 dni B „ 20 „• „ 60 „ C „ 40 „ „ 70 „ koliko dobi vsak podjetnik? Rešitev na pamet: Ko bi vsak z jednim delavcem ravno toliko za¬ služiti hotel, bi moral delati delavec podjetnika: A 25krat 64 dni, t. j. 64 x 25 = 1600 dni R 20 „ 60 „ „ 60 x 20 = 1200 „ C 4 0 „ 70 „ „ 70 X 4 0 = 2800 „ Z jednim samim delavcem bi moral torej delati: A 1600, B 1200 in C 2800 dni. Ali na 4 dni osebe A bi prišlo 3 dni osebe B in 7 dni osebe C, ter 14 dni vseh. — 14 del od 6596 je 6596 : 14 = i. t. d. Rešitev z omerami: Ta račun moremo izpremeniti v jedno- staven račun. Število 6596 moramo razdeliti v deleže, ki se imajo z ozirom na število delavcev jeden proti drugemu kakor 25 : 20 : 40 in z ozirom na število dni kakor 64 : 60 : 70. Ako imenujemo neznane deleže x, y, z, potem je x : y — 25 : 20 in x : y = 64 : 60, ter tudi x : y s= 25 X 64 : 20 X 60. Ravno tako 102 je y : z — 20 x 60 : 40 X 70. V našem računu je torej zahtevano, da zadoščujemo pogoju: x y \ z = 25 x 64 : 20 x 60 : 40 x 70 kar pa je naloga jednostavpega razdelnega računa. Ako dalje računiš, dobiš: x = 1884^ fl., y == 1413|- fl. in 2 ! = 3298 fl. Naloga 2. Razdeli število z ozirom na razne okolščine v 3 dele, ki se imajo jeden proti drugemu v jednem obziru kakor a : b : c, v drugem• obziru kakor d : e : f. (Glej nalogo 1.) Pri sestavljenem razdelnem računu si torej pomni to-le: Množi vsa primerna števila za isti delež in misli si dobljene produkte kot primerna števila jednostavnega razdel¬ nega računa. Potem računi dalje, kakor ti je znano. Vaje. 1. Trije kupci so skupaj trgovali. Al je dal pri tej kup¬ čiji 800 fl. za 7 mesecev, B 1200 fl. za 4 mesece in C 2500 fl. za 3 mesece. Ko so se ločili, imeli so 500 fl. izgube; koliko je vsak izgubil? 2. Tri srenje so dobile za neko delo 250 fl. Srenja A je dala 11 mož skoz 10 dni po 9 ur, srenja B 9 mož skoz 9 dni po 10 ur in srenja C 15 mož skoz 5 dni po 6 ur na dan. Ko¬ liko je dobila vsaka srenja? 3. Trije kupci so skupaj kupčevali z žitom. V ta namen je vložil A 4000 fl., B 3800 fl. in C 3000 fl. Čez tri mesece priloži še B 1200 fl. in C čez 5 mesecev še 1000 fl., dobička so pa na zadnje imeli 2600 fl.; koliko dobi od tega dobička vsak kupec ? 4. Za neko podjetje je dal A 3000 fl. koj in 1200 fl. čez 20 dni; B pa 4500 fl. koj in čez 2£ meseca še 1300 fl. Čez f leta razdelila sta pridobljenih 850 fl. med-se; koliko ima vsak dobička ? JD. Sovezni račun. §. 99. Naloga 1. Koliko (cc) dunajskih črevljev je 2135 pruskih črevljev? če je 223 pruskih črevljev 70 metrov „ „ 104 metrov 329 dunajskih črevljev? To nalogo rešimo tako, da si stavimo sledeča vprašanja: Koliko metrov (y) ima 2135 pruskih črevljev, če je 70 metrov = 103 223 pruskih črevljev ? Koliko dunajskih črevljev (x) ima y metrov, če je 329 dunajskih črevljev = 104 metrov. In iz teh vprašanj sle¬ dite sledeči razmeri: y : 2135 = 70 : 223 x : y — 329 : 154 in iz teh razmer x : 2135 = 70 : 223 329 : 104 Potem je 2135x 70x329 223x 104 2120'08675 dun. č. Naloga 2. Koliko (x) jednot vrste V 1 obseza a jednot vrste V 2 če obseza a x „ „ F 2 b „ „ V 3 h V c V » » °1 )) )1 ’ 3 !) ° n !! ’ 1 To nalogo krajše tako-le napišemo: x 1 V 1 — a V 2 (hV, = bV 3 b,V s = cVi, kjer so V x , F a , V 3 imena števil x, a, a 1: b, b t , c in jo rešimo, kakor nalogo 1. Reši jo, potem dobiš: Take vrste račune imenujemo sovezne račune. Iz izrazov l.in 2. posnemamo to-le pravilo za sovezni račun: Naredi vertikalno črto. napiši na levo te črte x , na desno zra¬ ven nje pa število, ki ima isto vrednost, kakor x. Vsa druga števila napiši na levo in na desno črte in sicer tako, da stoji na levej isto¬ imensko število se zadnjim na desnej, na desnej pa število iste vred¬ nosti. Sovezo dovršiš, kedar stoji na desnej število, ki je istoimensko se številom x. Potem okrajšaj števila na desnej proti številom na levej in deli produkt ostalih števil na desnej s produktom ostalih števil na levej; kvocijent je iskano število x. Vaje. 1. Če stane 84 bavarskih vatlov nekega blaga 194 2 / 6 gl. južnonemške velj., koliko goldinarjev avstr, veljave stane 56 dunaj¬ skih vatlov? (18 bavarskih vatlov = 25 badenskih vatlov, 309 bad. v. = 278 pruskih v., 111 pruskih v. — 95 dun. v. in 6 tl. avstr. v. = 7 fl. južnon. velj.) 104 Rešitev: fl. avstr. v. x j 56 d. v. 95 111 pr. v. 278 309 bad. v. 25 18 bav. v. 84 194f fl. avst. v. x = i. t. d. 2. 1 hamb. funt kave stane 6| šilingov; koliko stane 5{ du¬ najskih ‘a v avstrij. velj. ? (100 hamb. funtov = 89f dun. funtov; 100 mark = 84^ gl. avst. velj.; 1 marka = 16 šilingov; 1 dun. cent =100 dun. funtov.) 3. Koliko stane 1 dun. cent nekega blaga, če stane 1 angl. cent tega blaga 4f šterlingov? (1 angl. cent = 128 angl. funtov, 100 angl. funt. = 81 dun. f., 1 šterling = 114 fl. avst. velj.) 4. Koliko stane v avst. v. kos 131otnega srebra, ki tehta 18f mark; če stane marka čistega srebra 21| fl. a. v. 5. Koliko frankov stane 100 kilogramov kave, če 1 dun. cent te kave stane 9 fl. 50 kr. (1 dun. f. = 0'56 kilogr., 1 frank = 40| kr. a. v.) 6. Nek dunajski kupec dobi iz Hamburga 2714 hamb. fun¬ tov bombaža, funt po 6) šilingov. Ako znašajo stroški 8^°/ 0 , koliko °/o ™ a dobička ali izgube, če na Dunaji 100 kilogramov daje 100 kilogramov daje za 87 fl. ? (100 hamb. f. = 89| d. f., 100 d. f. = 56 kjg, 16 šiling. = 1 marka, 100 mark = 84| fl. a. v.) Vprašanja za ponavljanje. Iz katerega računa slede omere? — Kaj je omera? — Kako delimo omere z ozirom na vrednost členov. — Kaj je razmera? — Kaj je količinska, kaj številna razmera? — Katere količine so ravno, katere obratno razmerne? — V kakšnej zvezi so omere, kvocijenti in ulomki? — Kaj iz te zveze sledi z ozirom na računanje ž njimi? Peti oddelek. O potencah, korenili in logaritmih. A. O potencah. §. 100. Pomen potence (glej §.38.) Za seštevanje in odštevanje potenc velja pravilo za seštevanje in odštevanje istoimenskih števil. — O množenji potenc jednakih podlag (glej §. 39). — O deljenji po¬ tenc jednakih podlag, o potenci a° in o potencah z negativnim eks¬ ponentom (glej §. 45). 105 Množenje potenc jednakih eksponentov, §. 101. Potence jednakih eksponentov množiš, ako produkt njihovih podlag se skupnim eksponentom potencnješ. am . im — (a. b)m Dokaz. Iz pomena potence sledi: »»krat »»krat a m .b m — a.a.a. .a.b.h.h. .b - Dokaži isto na teh-le primerih: a) 2 3 b) 4 2 .5 2 = ? d ) očP . y p = ? »»krat .ab . .ah = (ab)m č) 10 5 .4 6 = ? Ker je a m . l m = («.&)*», je tudi , (ab)m = am.bm t. j. produkt potencnješ, ako vsak faktor produkta za se po- teneuješ. Deljenje potenc jednakih eksponentov. §. 112. Potenci jednakih eksponentov deliš, ako kvocijent iz njihovih podlag se skupnim eksponentom potencuješ. a>n bm (!)" Dokaz. Iz pomena potence sledi: »»krat »»krat am bm a. a. .. .a b. b....b a a a T' b '' ‘T a) »»krat Dokaži isto na teh-le primerih: 12 3 „ ,, 32 4 „ , 60 6 _ ? b) 4 3 y 8* c) —- — ? y 6 5 =(:)’■ y 9 n f) Xti Ker je am bm yn ( j ) je tudi (f)" am bm t.j. kvocijent (ulomek) potencuješ, ako deliš potenco dividenda (števca) s potenco divizorja (imenivca). 106 Potencovanje potenc. §. 103. Potenco potencuješ, ako podlago s produktom obeli eksponentov potencuješ. («» »)» — a mn Dokaz. Iz pomena potence sledi: »krat »krat (a> n ) n = a m . (pn .... a m — a>n + m + ... 4 . m — amn Dokaži isto na teh-Ie primerih: a) (3 2 ) 3 = ? b) (5 s )* = ? c) (a 3 ) 3 = ? cT) (xP)r =? Ker je («»»)«■ == a>»», je tudi a mn — («?»)» t. j. število potencuješ s produktom, ako ga najpred z jednim in potem dobljeno potenco z drugim faktorjem potencuješ. Potencovanje algebrajskih števil. §. 104. Iz pomena potence sledi: (+ a ) 1 — + a (+ ®) 3 — (+ d) X (+ a) = + a 2 (+ «) 3 = (+ a) X (+ «) + (+«) = + a 3 »»krat 1. (+ o) m — (+ a) x (+ a) x .... X (+ ffl) = + « w Potenca pozitivnega števila je zmerom pozitivna. (— ra) 1 — — a (— aY = (— a) x (— a) — + a 2 (— a) 3 = (— a) X (— a) x (— a) — — a 3 (— a) 4 * = (■— a) X (— a) X (— a) x (— a) = + a 4 (— a)-> = (— a) x (— a) x (— a) x (— a) x (— d) = — a 6 2. (— a) 3 »« = [(— a) 2 ]»» = (+ a 2 )m — + a 3 >» 3. (—a) 2 ’»+ 1 =(—a) 3 '» x (—a) = (+as 2 »)x(— a) = — a 2 m+i Negativno število potencovano s parnim eksponentom daje pozitivno in potencovano z neparnim eksponentom neparno potenco. Dokaži to še na teh-le primerih: a) (— 3) a = ? b) (— 5) 6 = ? c) (— x) s — ? d) (— y) 4 — ? 107 Kvadrovanje in kubovanje binoma in polinomov. §. 105. (a + b ) 2 = (a + b) (a + b) = « 2 + 2 ab + 6 2 , t. j. kvadrat binoma je jednak kvadratu prvega člena, več dvojnemu produktu iz obeli členov, več kvadratu druzega člena. (a + b) 3 — {a + b) {a + b) (a + b) = a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + b 3 t. j. kubns binoma je jednak kubusu prvega člena, več trojnemu kvadratu prvega člena, pomnoženemu z drugim členom, več trojnemu prvemu členu, pomnoženemu s kvadratom druzega člena, več kubusu druzega člena. Vaje. 1.) 6 3 .6 2 = ? 2.) a 3 .a 3 = ? 3.) (a + by.(a + b) 3 — ? „, 432 8 5.) 7° 4-) ~ 7 T = ? ) 5803® _ * ’ 5803 7 ; a 6 /v> 7 8.) - r = ? x h 432 7 9.) h )* — ? 10.) 2 5 .5 6 = ? 11.) 5 3 .8 3 = ? (a + by 12,)a: 2 .y 2 = ? 13.) 2 4 .3 4 .5 4 = ? 14.) 3 6 a 6 x 6 y 5 = ? 15.) 2 4 .5 4 .x 4 = ? 16.) (a#) 3 = ? 17.) (7az) 2 = ? 12 * 18.) (2*) 3 = ? 19.) (lOmnp)* — ? 20.) 3 4 21 .) 24.) 188 _ 9 6 3 ( 482 /) 12 (48 : x) 12 (32 axY „ (15:4x) 8 j (8ar) 6 ' j (5 : 8) 8 25.) (ab)« . 3 26.) (abc)» _ (bc)n 270 (3 ) ! ' = ? 28.) (y ) 2 = ? 29.) (^) # = ? 30.) ( - ^ ) = ? 31.) (® + yr • (* + = ? 32.) (a - byn-K{a — 5) =: ? 33.) ~ = ? 34.) (a? + y) ,n : ( x + */)«■ = ? 35. (a; — y)» +1 : (x — y) ? 37. ) (3a — 4 b)m . (3 a + ib)™ . (3 a + 4 b)m . ( 9^2 + 16 b 2 )™ = ? 38. ) (x + l) 2 = ? 39.) (x — l) 2 = ? 40.) (5 + y) 2 = ? 41.) (4 - yY — ? 42.) (0 — 8) 2 = ? 43.) (* + l) 3 = ? 44.) (cc — l) s = ? 45.) (x + 7) 3 = ? 46.) (x — 2) 3 == ? 47.) (9 — a:) 3 = ? 48.) (5 m + 4 n) 2 = ? 49.) (3x — 2 y) 2 — ? 108 50.) (4a + 3) 3 =? 51.) (3a? — 7y) 3 =? 52.) (10« — 5y) 3 : 53.) (a 6 ) 3 = ? 54.) (10a 2 ) 3 = ? 55.) (3®y) 3 = ? 56-)(SV = ? 57.) (5a*- 59 \ 36a? 8 / . / 4x 2 It 5.s 3 \ 2 a 6y 3 ) 2 = ? 58.) (2aa; 2 + 3&?/ 2 ) 3 = ? Tbfy 12« V 61. ) a) (a + 5 + c) 2 =; [(a + J) + c] 2 = (a+5) 2 + 2 (a + 5) c + c 2 = a 2 + 2a& + & 2 +2 (a+6)c+c 2 = a 2 + (2a + i)i + [2(a + 5) + c]o P) (a + J + c + d ) 2 = [(a+6+c)+d] 2 = = (a + 6 + c) 2 + 2 (a + 6 + c) cč+d 2 = # 2 + (2o- -j- b') b -j - [2 (čž+ Z>) + c] c-|- [2($+ b + c) + d]d i. t. d. 62. ) (3x— 2y + 22) 2 =? 63.) (5m — 2n— 3 p + 4r) 2 = ? 64. ) (« + & + c) 3 =[(a+&) + c] s =(a + &) 8 +3(a + j) 2 c+3 (a + b) c 3 + c 3 = a 3 +3a 2 6 + 3a6 2 + & 3 + 3(«+ž>) 2 c+3 (a+i)c 2 + c 3 i. t. d. 65. ) (3x — 2«/ + 52) 3 = ? 66.) (ar — 2x — 3z+4») 3 = V Kvadrovanje posebnih števil. §. 106. Število kvadrujemo, ako ga dvakrat kot faktor sta¬ vimo in potem množimo. N. pr. 305 2 = 305 X 305 = 93025 (f) 2 — T X T — II 12• 5 2 = 12-5 x 12-5 = 156-25 Samo po sebi se ume, da ima kvadrat decimalnega ulomka dvakrat toliko decimalk, kakor dani decimalni ulomek. (Zakaj ?) Kvadrati jednoštevilkastili števil so: Števila (drugi koreni) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Kvadrati 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81. Naloga 1. Kvadruj število 43. 43 2 = 43 X 43 = 1849 Pa še drugače moremo število kvadrovati. V ta namen raz stavi število 43 v binom 40 + 3 in ga kvadruj kakor binom. 43 2 = (40 + 3) 2 = 40 2 .1600 4 2 .16 + 2 x 40 x 3.240 +2x4x3... 24 + 3 2 .9 + 3 2 . 9 1849 1849 109 Naloga 2. Kvadruj število 794. Troštevilkasto število razstavi v polinom, kakor to sploh stori pri vsakem mnogoštevilkastem številu. 794 2 = (700 + 90 + 4) 2 (glej nalogo 61. prejšnjega §.) 794 2 .490000 V .49 2x700x90 .126000 ali 2x7x9 .126 90 2 . 8 1 00 krajše . 9 2 . 81 2x 790x4 . 6320 2 x 79 x4- 632 4' 2 . 16 4 2 . 16 630436 ~ " 630436 Iz teh in še iz druzih na jednak način predelanih primerov dobivamo za kradrovanje mnogoštevilkastih števil to-le pravilo: Kvadrat mnogoštevilkastega števila dobiš, ako vzameš naj - pred kvadrat naj višje številke; iz vsake sledeče številke pa naredi zaporedoma dvoje delov: dvojni kvadrat pred njo stoje¬ čega števila pomnožen s to številko; potem kvadrat te številke. Vsak sledeč del piši pod prejšnji za jedno mesto proti desnej, in seštej vse te dele. Kvadruj še ta-le števila in pri nekaterih opraviči tudi to kvadrovanje: 1.) 52 2 = ? 2.) 0-78 2 = ? 3.)573 2 — ? 4.)3*12 2 = ? 5.) 27*5 2 = ? 6.) 4527 2 = ? 7.) 9*403 2 = ? 8.) 2*009 3 = ? 9.) 506'032 2 = ? 10.) 1 • 30005 2 = ? 11.) 500*9007 2 = ? Kubovanje posebnih števil. §. 107. Število kubujemo, ako ga stavimo trikrat kot fak¬ tor. N. pr. 738 3 = 748 X 738 X 738 — 401947272 7-02 3 = 7-02 X 7*02 X 7*02 = 345*948408 Kubus decimalnega ulomka ima trikrat toliko decimalk, ka¬ kor dani ulomek sam. (Zakaj ?) Kubusi jednoštevilkastih števil so : število (tretji koren) 1, 2, 3 V 4, 5, 6, 7, 8, 9. kubus 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729. Naloga 1. Kubuj število 62. 62 3 = 62 X 62 X 62 = 238328 Do drugačnega kubovanja pridemo, ako razstavimo posebno število (62) v binom. no 62 3 = (60 + 2) 3 = 60 3 .216000 6 3 .216 3 X 60 2 x 2. 21600 ali 3x6 2 x2 . 216 3 X 60 x 2 2 . 720 krajše 3 X 6 x 2 2 . 72 2 3 . 8 2 3 . 8 ~238328 Naloga 2. Kubuj število 471. 471 3 = (400 + 70+1) 3 (glej nalogo 64 §. 105.) 471 3 = 238328 400 3 . 3 x400 2 x 70. 3 X 400 X 70 2 . 70 3 . .64000000 .33600000 .58800000 . 343000 ali 3.470 2 .1 . 662700 3 X 470 x l 3 . 1410 l 3 . 1 104487111 4 3 .64 3 X 4 2 X 7 . 336 3 X 4 X 7 2 . 588 7 3 . 343 3 X 47 2 .1. 6627 3 X 47 X l 2 . 141 l 3 .._ 1 v_ 1 104487111 Iz teh in iz družili na jednak način predelanih primerov dobimo to-le pravila za kubovanje mnogo ste vilkastih števil: Naj višjo številko kubuj, iz vsake sledeče številke pa naredi troje delov namreč: 1. Trojni kvadrat prednjo stoječega števila, pomnožen s to številko; 2. trojni produkt prednjo stoječega števila in kvadrata te številke; in 3. kubus te številke. Te dele piši tako jeden pod druzega, da vsak sledeč stoji za jeduo mesto bolj proti desnej od prejšnjega. Vsota vseh teh delov je kubus števila. Kubuj še ta-le števila (in pri nekaterih številih opraviči to kubovanje): 1.) 35 3 = ? 2.) 0-23 3 = ? 3.) 652 3 = ? 4.) 40-5 3 = ? 5.) 3005 3 = ? 6.) 5'728 3 7.) 305'0206 3 = V B. O korenih. §. 108. Število a potencuješ mkrat, ako ga staviš inkrat kot faktor. am = a.a.a... .a (mkrat) = c. Narobe torej moreš število c = (am) razstaviti v m jednak ih faktorjev. — Razstavi zaporedoma števila 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 v dva (glej §. 106), in števila 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729 v tri jednake faktorje (glej §. 107). 111 Ako iščemo za kako število (potenco) c ponavljani faktor «, iz katerega je postalo, pravimo, da to število korenini«. Dano število c imenujemo korenjenec (radikand) ali navadno tudi šte¬ vilo; število m, ki pove, v koliko jednakik faktorjev imamo raz¬ staviti radikand, korenov eksponent (kazalo); iskani ponavljani faktor koren. Kedar imamo število c razstaviti v m faktorjev, m zapišemo V c kar beremo ,,mti koren iz c“. Drugi in tretji koren kakega števila imenujemo tudi oziroma kvadratni koren in ku¬ bični koren. Koren je ali le nakazan ali pa tudi izvršen. Tako 3 n. pr. je V 27 nakazani, 3 pa izvršeni tretji koren števila 27. m V a ima le takrat nek pomen, kedar je a kako število izmed 1 m , 2», ‘6 m ... i. t. d. Vaje in vprašanja. 1. a) ltazstavi ta-le števila : 25, a 2 v dva faktorja; 27, b 8 v tri faktorje; c 4 v štiri in <7« v m faktorjev. b) Imenuj radikande in eksponente prejšnjih primerov; zakaj imenujemo 25, a 2 , 27, b z , c; 4 , d » radikande, za¬ kaj 2, 3, 4, m korenove eksponente? Kaj se pravi iz števila a drugi, tretji, Četrti, mti koren iskati ? 2. Povej nakazan in potem izvršen: drugi koren iz 36, a 2 ; tretji koren iz 125, b 3 ; mti koren iz a"«. 3. Povej prvi koren iz števil: 2, 3, 4, 5, m. Iz teli prime¬ rov spoznaš: Prvi koren iz kateregakoli števila je število samo, l t. j. K« = «• Za prvi koren torej ni treba zapisavati niti korenovega znaka niti eksponenta 1. Pri drugem ali kvadratnem korenu pišemo navadno le korenov znak, ne pa eksponenta 2, tako da je Va 2 ravno toliko, kakor V «• 4. Povej prvi, drugi, tretji, mti koren Števila 1. Iz tega spoznaš: Vsak poljuben koren števila 1 je 1, t. j. m •« v i = i. 5. Povej 3. potenco števila 10, 11, 12, b in išči iz dobljene potence 3. koren. Kaj dobiš, ako povzdigneš število a na mto potenco in iz dobljene potence iščeš mti koren?— Ako iščeš iz m »ute potence mti koren, dobiš podlago, t. j. K a»K 112 6. Povej 3. koren števila 343 in potencuj trikrat dobljeni koren. Kaj dobiš, ako iščeš mti koren iz a in dobljeni koren po¬ vzdigneš na mto potenco? — Ako potencuješ koren s korenovim eksponentom, dobiš ra- m dikand, t. j. (Va) m —a. Iz 5. in 6. sledi: Števila ne izpreminjaš, ako ga v poljub¬ nem redu potencu ješ in koreniš z j ednini in istim številom. Potencovanje in korenjenje sta torej protivna računa. — Po¬ tem moremo vsako število v obliki korena napisati. Napiši n. pr. število 5 v obliki 3. korena. — 3 5 = p5 3 Opomba. 2., 3., 4., 5., 6. slede iz pojma o korenu. 7. Povej kvadratni koren števil 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 in povzdigni dobljen koren na drugo potenco. 8. Povzdigni na tretjo potenco števila: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 in išči iz dobljene potence tretji koren. 9. Napiši v obliki m. korena števila: 1, 2, 3, 4, 5, 6, x. 3 11. Napiši te-le potence v obliki 3. korena: a 2 — pa 6 , 3 6 , 4*, m 3 , x b , cd. 12. Napiši v obliki mtega korena te-le potence: 3 8 , 2 3 , 5 8 , a 3 , 6 7 , cn. Računanje s koreni. S koreni računamo ravno tako, kakor z občnimi števili sploh. Krčiti moremo le istoimenske korene, t. j. take, ki imajo isti ra- dikand in eksponent. Tako je n. pr. 3 pa:—2 y~x — pr, m m m n n n 5 pa — 7 pa = — 2 y~a, a Vy b Yy = (a + b ) py. Množenje korenov jednakih eksponeniov. §. 109. Korene jednakih eksponentov množiš, ako koreniš produkt radikandov se skupnim eksponentom. m m m P a. yb = p a. b m m Dokaz. Naj je p« = x , p5 = //, torej a — x>», b — y m in X>n . ym — ah ali (xy)m = ab, ter tudi 113 m xy = fab ali mm m Va.Vb — \fa.b Dokaži isto na teh-le primerih : 3 3 5 5 a) J/l • T9 = ? b) ^216 .^27 = ? c) y m . y n = V a a d) yh. yi = v m m m Ker je ya.yb — yab, je tudi m m m yab — y a. yb t. j. produkt koreniš, ako koreniš vsak faktor za se. Deljenje korenov z jednakiml eksponenti. §. 110. Korena jednakih eksponentov deliš, ako kvocijent radikandov se skupnim eksponentom koreniš. m m Dokaz. m m Naj je ya = x, yb — y , xm a r x — = -=- ali — = ym b V y J , ter a = x>n, ~ ter tudi b b == ym in m m m n 8 114 m on ■ / JL K« V b — m Vb t. j. kvocijent (ulomek) koreniš, ako dividend in divizor (števec in imenivec) za se koreniš. §. lil. Koren potencuješ se številom, ako radikand ž njim potencuješ, t. j. m m (k«)” = V a' 1 m Dokaz. Naj je V'a — x ali x>n = a , potem je (xr»)n — «« ali (ar»)»» = a« torej m m on xn = \Tan ali (K"«) w = /a n Dokaži isto na teli-le primerih: 3 r (r4) 2 , (K120) 3 , (Yp)s Narobe je: yan — (V a)n Izrazi to jednačbo z besedami! — Ali je vse jedno, v kate¬ rem redu koreniš in potencuješ? §. 112. Koren koreniš se številom, ako radikand s produk¬ tom eksponentov koreniš, t. j. on mn \/~ \ r a — [/" a m Dokaz. Naj je: J/ y a — x n potem je x m — y a in x»m — a ter tudi m mn mn /-» /- x — ya ali y y a = J/ a Dokaži to še na teli-le primerih: [/'k l/k l/k 115 m mn - n Narobe je: ya=y Va Izreci to jednačbo z besedami! §. 113. Korena ne izpreminjaš, ako korenovi in potenčni eksponent z istim številom množiš ali deliš, t. j. m m m.p p yan = 1.) ya»p = 2.) ya P M Dokaz. 1. Naj je y an = x ali x» l = an torej tudi xmp — anp, potem je mp m mp X~y a n P ali yan = y anp S porabo tega izpreminjamo korene na jednake eksponente. 3 N. pr. Izpremeni ya, yb v korena z jednakima eksponentoma. 2.3 6 3.2 6 Eešitev: \fa 3 = fa 8 , Vb 2 = Vb 2 - mp m Narobe je: yanp = yan. Korenovi in potenčni eksponent moremo torej se skupno mero okrajševati. n , T ■ ■ m n o .. 2. Naj je - — a, - — p ali m = p x, n m pfs potem je m pa yan = yaP-i i a yap yap Ako je n deljivo z m, moremo p = m staviti, potem je m ln n y'an = y 8» s=s (fin Izrazi to jednačbo z besedami! Kedar je m z n deljivo, moremo p — n staviti in dobimo m m m n n y a n — y a 1 = y a. Izrazi to jednačbo z besedami! Dokaži gornji izrek še na tek-le primerih : 3 9 r ya i , ya 6 , Ka« 8 15 am Okrajšaj korene: K« 6 , K« 10 , yx em . 8 * 116 6 5 2 m 3» Izvrši te-le naloge: Va s , yx 10 , Va»\ yx* a . m n n Opomba. Številni obliki a™ in V a tudi obdržimo, ako nij n jedno izmed števil m in n mnogokratnik od druzega. a m potem le pomeni, da moramo število a z n potencovati in z m koreniti; m n ya pa, da imamo mti koren števila a z n potencovati. 2 § v - Kaj pomenijo ti-le izrazi: « 4 , 125 3 , P36, p729, y a ? Izvrši kolikor mogoče. Naloge. 3 3 3 mm' 1.) Va + 4 ya + 5pa = ? 2.) 7Ks» — 3K*» = ? 3. ) a + & K m + c — d )fm — ? 4. ) 3K2 — 7K& + 4^2 + 5^5 = ? 3 3 5. ) 3pa — bya + + ny~a— ? 8 8 8 6. ) 5K« s + 2 K« — 3K« 3 = ? m n m n n m 7. ) apT* — 2& K«— 2a P7-* + 8& pa — 55 p0 + 6ap5 = ? 8. ) y~2.y3 = ? 9.) y6.y8 = ? 10 . r|.r| = ? 5 5 u.) rs.rt = > is.) y/±.y/s. = , 13.) r = v 14.) (,/ j' ■ \/'{ - j/’ j =? 15.) p5. p5 — ? 16.) pl3.pl3 = ? 3 3 3 wi wi 17 .) y7.y7.y7 = ? 18 .) ya**— 3 . ya s = ? 19.) V 36.25 = ? 20.) P49.64 = ? 21.) Pa*&» = ? 22.) fa 2 b 2 .bW = ‘! 23.) Kl6.9~.49 =? 24.) 8/0 = ? 3 3 3 25.) ya 3 b.b 2 c 3 — ? 26.) K8.27.64 = ? 27.) K 16.12.9 = ? 3 3 28.) pl2 : y 3 = ? 29.) P304 : pl9 = ? 30.) pl6 : P2 = ? 117 3 3 . K24 V '72 K50 31.) K108 : T4 = ? 32.) — + ? 3 3 3 Q „. T2560 K81 H28 33.) - + -g- - n n = ? 34.) (a+K&) (®- -r&) = 2^2): 3 1 3 3 r5 r 3 r2 35.) (8 - 3^5) (7 + 2^5) = ? 36.) (4 + 3^2) (3 37. ) (2^3« — y3) (3^3 a + K3) =■? 4 4 38. ) (3J/7 + 4^3) (2^7 — 3K3) = ? 3 3 3 39. ) (Va*b — Vab*) : Vab = ? 40.) Ko 1 3 41.) (V6) 3 = ? 42.) (2JA4) 2 = ? 43.) (K* 3 + Vi/ 3 ) 2 — ? 44.) (2K"« S — 3r& 3 ) 2 =? 45.) (a^m 6 —iK - « 6 )(«r»w 6 +&rw 6 ) : a 46.) j/"r« 3 = ? 47.) y/~Vx = ? 48.) ^9 = ? 6 a : Ka + 5 = ? 49.) K729 12 50.) ri6« 4 = ? 3 S K) 51. ) Izpremeni korene 5V% 2 , 2 V Vi 3 V x Vi v korene z jednakimi eksponenti in množi jih potem. 3 52. ) Deli korena 12 Va 3 x 3 , 6pa 3 ,/; 4 izpremenivši jih v korena z jednakima eksponentoma. 6 8 4 53. ) Ta 6 = ? 54.) Va 3 — ? 55.) V% 6 = ? 56.) V%Y = ? §. 114. Iz §. 104 sledi: 3 _ m 1. ) V + « 2 =4 ■ a, V+a 3 = + a .... K+a» = + a Koren pozitivnega radikanda je pozitiven. 4 m 2. ) K + ® 2 = — a, K + a 6 =— a. .. K+ a 2 ™ +1 = — a Pozitiven radikand s parnim eksponentom korenjen daje tndi negativen koren. 3 5 2»»+l 3. ) V— a 3 — — a, V— a 6 — — a, . V_ a 2 m + 1 __ _ a _ Negativen radikand z neparnim eksponentom korenjen daje negativen koren. 118 Kaj dobiš, ako negativno število s parnim številom koreniš? N. pr. K—4 = ? Rešitev: Koren ni ne + 2 in ne — 2, ker je (+2) 2 = (— 2) 2 = + 4 ; V — 4 je neka nova številna oblika, ima¬ ginarno število imenovana. 6 2 m Ravno tako so imaginarna števila: V — 1, V —3, ... V — a sploh parni koreni iz negativnih števil. V — l pišejo tudi krajše z i. Kvadratni koren posebnih števil. §. 115. V §. 106 spoznali smo zakon, po katerem so šte¬ vilke danega števila sestavljene v njegovem kvadratu. Iz tega zakona pa moremo narobe dobiti pravilo za iskanje kvadratnega korena kakega števila. Ako n. pr. povzdignemo število 6837 na kvadrat, dobimo 6837 2 = Ker iz prve korenove številke jedno ali dve številki v kva¬ dratu dobimo, vsled vsake sledeče številke pa še po dve številki, ima kvadrat kakega števila ali dvakrat toliko številk kakor nje¬ gov koren ali pa jedno številko manj. Ako tedaj razdelimo kva¬ drat od desne proti levej v razrede po dve številki, dobimo jih toliko, kolikor ima koren številk. V prvem razredu na levej, ki more tudi imeti jedno samo številko, nahajamo kvadrat prve ko¬ renove številke; v vsakem sledečem pa: 1. dvojno sledečo šte¬ vilko pomnoženo sb številom iz pred to številko v korenu sto¬ ječih številk. 2. kvadrat te številke, kjer dvojni produkt do prve številke v razredu seza. Dela katerekoli korenove številke pa dajeta večkrat jednote, katere moramo v višji razred prištevati; posanftzni razredi torej navadno nemajo čistih del korenove številke, ampak so za neko¬ liko večji. Iz vsega tega posnemamo to-le pravilo za iskanje kvadrat¬ nega korena kakega števila: 119 1. Dano število moraš razdeliti v razrede po dve številki od desne proti levej ; prvi razred more imeti tudi le jedno šte¬ vilko. 2. Iz vsakega razreda dobiš po jedno korenovo številko in sicer tako-le: a) Poišči največje število, katerega kvadrat še ne preseza šte¬ vila v prvem razredu; to število povzdigni na kvadrat, da ga odšteješ od prvega razreda. — (Zakaj moraš odštevati od prvega razreda kvadrat prve korenove številke?) b) Sledeče številke kvadratnega korena dobiš z deljenjem. Pripiši namreč k ostanku sledeči razred; to število je dividend, izvzemši zadnjo številko; divizor je dvojni dob¬ ljeni del korena; kvocijent tega deljenja pa nova številka korena. — (Zakaj izpuščaš najnižjo številko pristavljenega razreda? Zakaj moraš deliti z dvojnim dobljenim delom korena, da dobiš novo korenovo številko?) c) Pod dividend podpiši dvojno število, stoječe v korenu pred dobljeno številko (t. j. divizor) množeno z novo številko in pod ta produkt samo za jedno stopinjo proti desnej kva¬ drat te številke; vsoto obeh teh deiov odštevaj od števila stoječega nad njima; to se pa zgodi ob jednem s tem, ako pripišeš divizorju dobljeno številko, in tako dobljeno število množiš z novo korenovo številko in produkt odšte¬ vaš od vsega števila (iz ostanka in pripisanega razreda). — (Zakaj moraš odštevati od števila iz ostanka in pripisanega razreda omenjeno vsoto?) d) K ostanku pripiši sledeči razred in ponavljaj tako raču¬ nanje toliko časa, dokler nemaš nobednega razreda več, da bi ga k ostanku pripisal. Tako dobimo n. pr. drugi koren števila 46744569. K46|74|45|69 = 6837 107 t 4 : 12 8 X 8 5045 : 136 8 x 3 95669 : 1366,x7 0 Išči še drugi koren teb-le števil in odgovori na primernem kraji na vprašanja, kakoršna- imaš napisana pri raznih točkah pra¬ vila: 70157376,'36216324, 37636, 5890329. Iskanje kvadratnega korena iz decimalnih ulomkov. §. 116. Naloga. Išči drugi koren decimalnega ulomka 1-53760. 120 n . KQ7R I/-1537« — . v x rr „ . 12 4 — 1-94 04 / b — y TT xnnr — ^ioooo — tto — 1 A ali krajše: V 1 *153176 = 1-24 5(3*: 2 a x 2 9 76 : 24 4 x 4 0 Išči še drugi koren števil: 5-76, 10-7534, 2-362369 po daljšej in krajšej poti. Iz takih primerov spoznavamo, da korenimo decimalne ulomke ravno tako, kakor cela števila; zapomniti si pa moramo, da de¬ limo v razrede po dve številki od decimalne točke proti desnej in proti levej. Decimalno točko v korenu takrat postavljamo, kedar pridemo do prvega razreda iz decimalk. Kako navadne ulomke korenimo, nam je znano iz §. 110. §. 117. Kvadratna števila od 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 so 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81. Števila, katera ne nahajamo v drugej številnej vrsti, kakor n. pr. 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10 i. t. d. nijso kvadratna števila. Njihovih korenov ne moremo izraževati ni s celimi števili, ni z ulomki, ni z mešanimi števili, ker je kvadrat ulomka spet ulomek in kvadrat mešanega števila spet mešano število. Koreni takih števil so ne¬ izračunljivi (iracijonalni). Koreni pa, katere moremo izraževati ali s celimi števili, ali z ulomki ali z mešanimi števili, so izra¬ čunljivi (racijonalni) koreni. Izračunljivi koreni so n. pr. V 81 = 9, irci - 1/25 — 5 - 01 l/~2 5 - 5 Imamo torej mnogo števil, za katere ne moremo dohiti na¬ tančno drugega korena. Mogoče je pa koren iz takega števila tako natančno izračunjati, kakor ga le hočemo, ker moremo šte¬ vilu kolikorkoli ničel za decimalke tako pripisavati, da ga s tem nič ne izpreminjamo, ter dobiti v korenu poljubno mnogo decimalk. — Neizračunljivi koren si moremo misliti kot število, ki ima brez¬ končno mnogo decimalk. N. pr. ^5 — K5‘00 = Yz> • 0000 = K 5-000000 i. t. d. Koreni 3-41 KjFTl = 1-84661... 24(1 : 2 S 170(0 : 3 6 4 2440(0 : 368 G 22840(0 : 3692 c 684400 : 36932! 315079 i. t. d. 121 §. 118. Neizračunljivi koreni imajo brezkončno mnogo deci¬ malk. Zadosti jih pa po navadi uže malo število in tak račun moremo jako okrajšati s tem, da določimo v korenu polovico šte¬ vilk in še jedno na navadni način, ostale številke pa z okrajšanim deljenjem. Divizor za okrajšano deljenje je dvojno število iz šte¬ vilk , katere so uže v korenu izračunane. Določimo n. pr. drugi koren števila 3-41 s štirimi decimalkami. kjer smo prve 3 številke na navadni način in zadnji dve z okrajšanim de¬ ljenjem določili. I.)p5329 = ? 2.) yi • 7956 = '? 3.) j/16777216 = ? 4.) p2502' 400576 = ? 5.) /^0 ■ 0576 = ? 6.) pO. 00283024 = ? Pri vajah L), 2.), 3.), 4.), 5.) in 6.) določi pred korenjenjem število korenovik številk. 13.) p3 = ? (na 4 decim.) 14.) p435 = V (na 3 decim.) 15.) pO-83 = ? (na 5 decim.) 16.) P6-375 = ? (na 4 decim.) 17.)P1M = ? 18.) Pff = ? 19.) P30§ = ? 20. ) P15-2379 = ? 21. ) Kolika je hipotenuza pravokotnega trokota, v katerem je jedna kateta 165 druga pa 52 m j dolga? 22. ) Tetiva nekega kroga je 42 (L dolga in je od središča za 20 oddaljena; kolik je polomer tega kroga? 23. ) Kako dolga je dijagonala kvadrata, ki ima 100 m [ dolgo stran ? 24. ) V pravokotnem trokotu je hipotenuza = 37 jedna kateta = 25'T’; kako dolga je druga kateta? 25. ) Za koliko je oddaljena 3-74 */ dolga tetiva od središča kroga, ki ima za poloma 2-05 ? 26. ) Dijagonala pravokotnika je 169 dolga; kako dolg je pravokotnik, ako je 119 ™j širok? 27. ) Kolika je stran kvadrata, ki je ravno tolik, kakor pravo¬ kotnik s 544 dolgo podložnico in s 306 m f dolgo visočico ? 28. ) Kvadratni prostor je pokrit z 2304 jednakimi kvadratnimi ploščami; koliko plošč je na vsakej strani? P3.41 = 1-8466 241 : 2 g 170,0 : 3 6 4 244 : 3,6,8 23 1 Vaje. 122 29. ) Rob neke kocke je 1 m / dolg; kolika je dijagonala med dvema nasprotnima ogloma? 30. ) Kolik je polomer kroga, ki ima za plošnino in*/? 31. ) Ako je radij kroga 1 dolg, je obseg vpisanega pravilnega deseterokota = 5 (y5 — 1) metrov opisanega „ „ = 4^(5— 2^5)5 „ vpisanega „ peterokota = 5^(5 — R5)£ „ opisanega „ „ = 10^(5 — 2^5) „ in plošnina teb mnogokotov oziroma y (5 — R5) 2 kvadratnih metrov 2K(5 - 2 K5) 5 „ 4- yž>) j ,, d sr(5 — 2 K5) izračunjaj navedene veljave na 5 decimalk. 32. ) Ako sta krogu s polomerom r vpisana pravilen «-kot in pravilen 2w-kot, dni se stranjo S, ta se stranjo s, potem je s = y[2r — y(4r 2 — S 2 )]r; iz tega izračunjaj stran vpisanega pravilnega dvanajstero- kota, ako je polomer r = 1. 33. ) Kolik je polomer kroglje s površjem 1 □'"/ ? 34. ) Kolik je polomer krožnine, katera je dvakrat večja od krož- nine s polomerom r = 1 m ? 35. ) Načrtaj ta-le iracijonalna števila: y 2, y 8, V 18, y2m 2 . Rešitev: (Glej §. 59, nalogo s.) Kubični koren posebnih števil. §. 119. V §. 107 spoznali smo zakon, po katerem so se¬ stavljene številke danega števila v njegovem kubusu. Iz tega zakona pa moremo narobe dobiti pravilo za iskanje tretjega ko¬ rena kakega števila. Ako n. pr. povzdignemo število 6487 na kubus, dobimo 5487 3 = 5 3 .125! 165ll98i036!303 123 Ker dobimo iz prve korenove številke jedno ali dve ali tri številke v kubusu (glej §. 104), vsled vsake sledeče številke pa še po tri številke, ima kubus kakega števila ali trikrat toliko številk, kakor njegov kubični koren ali pa dve ali pa jedno šte¬ vilko manj. Ako tedaj razdelimo kubus od desne proti levej v razrede po tri številke, dobimo toliko razredov, kolikor ima koren številk. V prvem razredu na levej, ki more tudi imeti le dve ali tudi jedno samo številko, nahajamo kubus prve korenove številke; v vsakem sledečem razredu pa trojni kvadrat pred sledečo šte¬ vilko v korenu stoječega števila pomnožen se številko, trojno pred številko v korenu stoječe število pomnoženo s kvadratom številke in kubus te številke; prvi omenjeni del seže do predzadnje šte¬ vilke, drugi do zadnje in kubus do konca razreda. Deli katerekoli korenove številke pa dajo večkrat jednote, katere moramo prišteti v višji razred; posamezni razredi torej nemajo navadno čistih delov korenove številke, ampak so za ne¬ koliko večji. Iz vsega tega posnemamo to-le pravilo za iskanje tretjega korena kakega števila: 1. Razdeli dano število od desne proti levej v razrede po 3 številke; kolikor razredov ima število, toliko številk ima koren. 2. Iz vsakega razreda dobiš po jedno korenovo številko in sicer tako-le: a) Poišči največjo številko, katere kubus še ne preseza šte¬ vila v prvem razredu, ona je prva korenova številka; kubus te številke odštevaj od prvega razreda. (Zakaj moraš odštevati od prvega razreda kubus prve kore¬ nove številke?) b) K ostanku pripiši sledeči razred — (kaj dobiš s tem?), odreži prve dve številki na desnej in deli število iz osta¬ lih številk s trojnim kvadratom dobljenega korenovega dela, kvocijent daje drugi del korena, ter ga pripiši k uže dobljenemu. * (Zakaj izpuščaš najnižji dve številki pristavljenega razreda, da dobiš dividend ? Zakaj -moraš deliti s trojnim kvadratom dobljenega korenovega dela, da dobiš novo korenovo številko ?) c) Potem naredi te-le produkte: a) Množi z dobljeno korenovo številko rabljeni divizor, produkt pa piši pod dividend, preziraje odrezani šte¬ vilki. 124 P) Množi trojni prvi del korena s kvadratom dobljenega druzega dela korena in piši ta produkt pod prvega tako, da stoji za jedno mesto bolj proti desnej od prvega. y) Naredi kubns dobljene korenove številke in ga piši tako pod prejšnji produkt, da stoji za jedno mesto bolj proti desnej od prejšnjega produkta. Vsoto vseh teh treh delov odštevaj od števila nad njimi stoječega. (Zakaj moraš te tri dele na omenjeni način pisati ? Zakaj moraš odštevati njihovo vsoto od števila iz ostanka in pripisa¬ nega razreda?) d) Dobljene korenove številke si misli kot j eden del korena in ponavljaj tako vršitev, kakor je zahtevana v točkah b) in c), dokler nemaš nobednega razreda več, da bi ga pri¬ pisal k ostanku. e) Ako je dividend manjši od divizorja, pripiši v korenu ničlo kot kvocijent in dividendu pa sledeči razred. — (Zakaj ?) Vaje. 1. ) Povzdigni števila 53, 72, 406, 7802 na kubus in poišči tretji koren iz dobljenih potenc; a opravičuj računanje s po¬ toma. 3 3 3 2. ) V2048383 = ? 3.) K132651 = ? 4.) K21952 = ? Iskanje tretjega korena iz decimalnih ulomkov. §. 120. Naloga. Išči tretji koren iz 91-125. s « K9M25 91125 1000 K91125 KI 000 45 = io = 4 - 5 ali krajše K9l"|225 = 4-5 271 ( 25 : 48 240 300 125 0 Išči še tretji koren števil 10-360232, 17-576, 0-132651, 0-014348907 po daljšej in krajšej poti. 125 Iz takih primerov vidimo, da korenimo decimalne ulomke ravno tako, kakor cela števila; zapomniti si pa moramo, da de¬ limo v razrede po tri številke od decimalne točke proti desnej in proti levej. Decimalno točko v korenu takrat postavimo, kedar pridemo do prvega razreda iz decimalk. Kako navadne ulomke korenimo, nam je znano iz §. 110. §. 121. Kubična števila od 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 so 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729. V drugej vrsti ne nahajamo gotovih števil, kakor n. pr. 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 i. t. d.; ta števila nijso kubična. Njihovih korenov ne moremo izraževati ni s celimi števili, ni z ulomki, ni z mešanimi števili, ker je tudi kubus ulomka ali mešanega števila spet ulomek ali mešano število. Tudi te vrste koreni so neizračunljivi (primerjaj §. 113), vendar pa koren iz takega števila z decimalnim ulomkom tako blizo lahko izrazimo, kakor ga le hočemo. Poišči n. pr. tretji koren števila 139. 3 a _ . K139 = V 139 * 1000| 000[ 000-= 5-17_ 140,00 : 75 75 15 1 63490,00 : 7803 54621 7497 343 • " '811587000 : 801867 i. t. d. Na tem primeru vidimo, da postane računanje zmerom bolj nespretno, kolikor več številk v korenu dobiti hočemo; pa tudi tukaj moremo račun priprostejši narediti, ako prve številke korena iščemo na navadni način, druge pa z okrajšanim deljenjem. Ko bi hoteli n. pr. koren prejšnjega primera s 5 decimalkami izraziti, morali bi tam, kjer smo prenehali račun, tako-le nadaljevati: 811,587 "8,0,1,867 = 101 9 1 Ako oba ta dva računa združimo, dobimo približavno 3 K139 = 5-17101. 126 Vaje. 3 3 1.) '^1367631 = ? 2.) r 1144445336 = ? 3 3 3.) ^2720547136 = ? 4.) VI ‘036433728 = ? 3 5. ) ^65110-360167 = ? — Določi v primerih L), 2.), 3.), 4.), 5.) pred korenjenjem, koliko številk ima koren. 3 3 3 6. ) VŠ$M = ? 7.) V?VA 1 t = ? 8.) V5-8 = ? (na 4 decim.) 3 3 9.) ^99 = ? (na 3 decim.) 10.) ^102-875 = ? (na 4 decim.) 3 3 3 11.) ro- 125 = ? (na 4 decim.) 12.) VH = ? 13.) VU = ? 3 14.) J^15f = ? 15.) Kolik je rob kocke s telesnino 13-824 kub”/ ? 16. ) Kolik je rob kocke, katera ima telesnino dvakrat toliko, kolikoršno kocka z robom 1 m j V 17. ) Izračuni radij krogle, ki ima za telesnino 1 kub.”/. 18. ) Izračuni neznana člena te-le razmere: 288 : x 2 = x : 48. 19. ) Jedna kocka je 3 ”/ druga pa 5 m [ visoka; kako visoka je kocka, ki ima toliko telesnino, kolikoršno obe dani kocki skupaj ? 20. ) Ako zmanjšaš 7 ”/ visoko kocko za 6 m f visoko kocko in ostanek spet v kocko izpremeniš, kako visoka je nova kocka ? 21. ) Ako zaznačimo površje krogle s p in telesnino s t, potem * 3 je p = V36 .t 2 . t.\ koliko je površje krogle s telesnino 10 kub. 7? 22. ) Kolik je radij krogle, katera je ravno tolika, kolikoršna krogla s \ m j in še druga krogla s {”/ dolgim radijem? 22.) Kako visoka je kocka, katera je ravno tolika, kakor krogla s premerom 1 ”f ? C. O logaritmih. §. 122. Iz nakazane potence a> H dobimo število 6, tako da je a ,n = b (glej §. 38.); in narobe sledi iz tega m a = Vb (glej §. 108.) 127 V prvem slučaji določita potenco b koren a in eksponent m, v drugem je izražen koren a s številom b in eksponentom m. Razven teh dveh slučajev imamo še tretjega, v katerem govorimo o odvisnosti eksponenta m od števil a in b ; eksponent m imenu¬ jemo logaritem logaritmanda ali na kratko števila b za podlago ali osnovno število a\ to napišemo m z= logi ali tudi priprav- a neje m = log b , kedar imamo zmerom jedno in isto podlago na mislih. — Imenuj logaritem, logaritmand in podlago v izrazih: 3*= 81, 5 3 = 125, 10 6 = 100000, 10«= c, b» — d. §. 123. Ako povzdignemo zaporedoma na O, 1, 2, 3, 4,... mto potenco število ker si moremo misliti tudi števila ležeča med števili 1, 2, 4, 8, 16, i. t. d. kot potence števila 2, ravno tako tudi števila ležeča med 1, 3, 9, 27, 81 i. t. d. kot potence števila 3 i. t. d., je jasno, da moremo dobiti logaritme teh števil za podlago 2 oziroma pod¬ lago 3 i. t. d. Ako izračunimo logaritme vseh števil zaporedoma, kakor jih nahajamo v naravni številni vrsti, za jedno in isto pod¬ lago, t. j. ako določimo, kolika potenca omenjene podlage je vsako teh števil, dobimo logaritemsko sestavo. Ker ne moremo dobiti s potencovanjem negativnega števila vsako pozitivno število in ker je vsaka potenca od 1 spet 1, mo remo za podlago logaritemske sestave samo pozitivno število vzeti, ki je različno od števila 1. Večjidel se poslužujemo navadne ali Briggove logaritemske sestave, katera ima za podlago število 10. Za višo analizo je posebno važna naravna ali Neperjeva logari¬ temska sestava s podlago 2'78182818. ... iracijonalno število na¬ vadno zaznačeno s črko e. Naravnost razvidamo iz gornjih potenc števil 1, 2, 3, 4.. .p te le izreke: 1. Logaritem šlevila 1 je za vsako podlago jednak 0. 2. Logaritem katerekoli podlage je jednak 1. 3. Logaritem je večji, ako je število večje. 4. Logaritmi raznih podlag za jedno in isto število so raz¬ lični. 128 §. 124. a) Logaritem produkta je jednak vsoti iz logarit¬ mov faktorjev. log ( a.b ) = log a + log b Dokaz. Naj je za podlago p log a — x, log = (J tedaj a — p* , b — p ?, potem je ab = p* + P t. j. log (ab) — 'J- X ali log (ab) = log a + log b. Dokaži to še za te-le produkte z ozirom na podlago 10: 10.100, 100.1000, 10.1000, 2.3, 5.7, a.b. b) Logaritem kvocijenta (ulomka) je jednak diferenci iz logaritmov dividenda iu divizorja (števca in imenivca). Dokaz. log. - = log a — log b Naj je za podlago p log a = a, log b = p tedaj a=p* , b = p r ?, potem je - t. j. l°gx = * — P log-j- = log a — log b Dokaži to še za te-le kvocijente z ozirom na podlago 10: ioo 1000 ITT 1 TtfTT ? ‘ti 5 75 c) Logaritem potence je jednak logaritmu podlage po¬ množenemu s poteučnim eksponentom. log a>» — m log a Dokaz. Naj je za podlago p log a = a ter tudi a — p* , potem je a«» = j p a »», t. j. log a«* = a .m ali log a»' = m log a. Dokaži to še za te-le potence z ozirom na podlago 10 : 3 6 , 5 7 , 32 4 , an. d) Logaritem korena je jednak logaritmu radikanda de¬ ljenemu s korenovim eksponentom. 129 , log a log v a = Dokaz. Po prejšnjem je log bm — m log b ter tudi , , lOg Im log h — m ako je b>n — a, torej b = V a, potem je , Z log a log V « = —— ° m Dokaži to še za te-le korene z ozirom na podlago 10 3 5 n riOOO, riOOOOO, vb. Vaje. 1.) log 5 mng = ? 2.) log 8 xyz — ? 3.) log b (c + d) = ? 4.) log a (as* — 1) = ? 5.) log — = ? 6.) log 4 = ? ab _ . , 3« — 2 u „ _ , , o 2 — & 2 „ n \ i 5)»» 7 -) lQ g ra = ? 8 -) log - "isr = ? 9 -) log = •' 2a + 10.) log 2a 3 — ? 11.) log 5a 2 # 3 = ? 12.) .... 2 a 3 „ ..s, SmriV . 13.) l0g IteT = ? 14.) lOg --r- = ? ? 5 5 .a 3 26 4 =s ? 9p2y 5 15.) log [(f )‘ ■ Ct)’] = ? 16 -> '"S W<5Py 5 17.) log Yx\a* = ? 18.) j/"| 3 8 20.) log r * 7 r «/ 3 6 4 n 19.) log^=? 3pT> 21.) Ka 2 ž> 2 c 2 =S ? 22.) log m |X= ? 23.) log —\ V a 1 V ? * V,. 3‘. K17.13 5 |/ti s c 14 2 . (/69 0 Briggovih logaritmih. §.125. Po Briggovej logaritemskej sestavi (podlaga 10) je 0 logaritem od 1 1 „ „ 10 2 „ „ 100 3 „ „ 1000 4 „ „ 10000 i. t. d. 9 130 Logaritmi celih potenc števila 10 so cela števila ter racijo- nalni. Njim nasproti pa stoje iracijonalni logaritmi vseh števil ležečih med 1, 10, 100, 1000, 10000 i. t. d. Ker je logaritem večjega števila večji, je n. pr. logaritem števil med 1 in 10 večji od O in manjši od 1, tedaj ulomek, v ki je toliko večji, kolikor bolj se bliža logaritmand številu 10. Šte¬ vila med 10 in 100 imajo logaritem, ki je za neki ulomek večji od 1 in večji za večje število. Logaritem vseh števil med 100 in 1000 je % in še neki ulomek, ki raste s temi števili i. t. d. Tako je n. pr. log 101 = 2-004321 log 108 = 2-033424 log 491 = 2-691081 log 899 = 2-953760 i. t d. Iz teh primerov ob jednem spoznaš, da logaritme z deci¬ malnimi ulomki izražujemo, in sicer se 7 (glej Vegove logaritme) ali tudi s 6 decimalkami (glej Močnikove logaritme leta 1858) ali pa tudi še z manjšim številom decimalk (Adamovi logaritmi s 5 decimalkami). Vsak iracijonalen logaritem obstoji iz dveh delov. Ta dva sta: a) cele, katere imenujemo tudi značajko ali karak¬ teristiko ; b) decimalke, katere imenujemo pridavek, mantiso. Tako je n. pr. v log 491 = 2-691081 število 2 karakteri¬ stika in decimalke 691081 mantisa. Karakteristika odvisi od mesta decimalne točke v številu. Ako ima n. pr. število v celih 4 številke, je karakteristika = 4 — 1 = 3. Cele s petimi zahtevajo 5 — 1 — 4 za karakteristiko nji¬ hovega logaritma. Sploh je karakteristika n — 1, ako ima šte¬ vilo v celih n številk. Decimalke števila ne določujejo čisto nič karakteristike loga¬ ritma. V logaritmovniku, kjer so sestavljeni logaritmi števil, je navedena samo mantisa logaritmov, ker karakteristiko tako kar naravnost iz množine številk v celih določiti moremo, kakor vemo iz prejšnjega. §. 126. Izračunjanje logaritmov je jako težavno posebno, ako jih hočemo dobiti po elementarnej poti. Brigg je izračunil logaritem kakega števila s tem, da ga je oklepal v zmerom ožje meje. Ako imamo n. pr. logaritem števila 2 izračunih, delamo tako-le: 2 leži med l in 10 log 2 ,, „ log 1=0 in log 10—1 Razlika med veljavama mej: 1 — 0 = 1. Vi .10 = 3-16227766 = a, log a = | (log 1 + log 10) = 0 - 5 131 2 leži med 1 in a log 2 „ „ log 1 = 0 in log a = O - 5 Razlika med vrednostima mej: 0-5 — 0 = 0-5 VT7a = 1-77827 = b , log b — % (log 1 + log a) = 0‘25 2 leži med b in a log 2 „ „ log b — 0-25 in log a = 0-5 Razlika med mejnima vrednostima 0-5 — 0-25 = 0-25. Razvidno je, da se meji logaritmanda 2 zmerom bolj bližati jedna drugej. Z nadaljevano vršitvijo dobimo: Vb.a= 2-37137 — c, log c = £ (log b + log a) = O - 375 Vb.c = 2-05352 — d , log d — £ (log b + log c) = 0-3125 V b.d = 1-91095 = f, log f= | (log b + log d) = 0-28125 ff.d = 1.98095 = g, log g = ^ (log f + log d) — 0-296875 Vg .d — 2-01691 = h, log h = £ (log g + log d) — 0-3046875 Vg. h == 1*99885 = i, log i = ^ (log g + log h) = 0-3007812 ¥¥1= 2 • 00786 — k, log A = £ (log h + log i) = 0-3027343 Vk.i — 2-00335 = l, log l = | (log k + log i) = 0-3017577 V i.l — 2-0011 = m, log m = | (log i + log l) = 0-3012695 V i.m=l-999977=w, log n = | (log i + log m) =0'3010253 Tukaj moremo prenehati in namesto 1-999977 vzeti število 2 in namesto 0-3010253 logaritem 0-30103, kar nam da log 2 = 0-30103 Kako moremo logaritme še na drug način izračuniti, o tem v tej knjigi ne moremo govoriti. Ko izračunjamo mantise loga¬ ritmov vseh števil od 1 do 10000 ali od 1 do 100000, jih sesta¬ vimo v posebnih tabelah, katero imenujemo logaritmovnik; ta se¬ stava je taka (glej Močnikove logaritme leta 1858 stran 7): 9 132 Iskanje logaritma za dano število. §. 127. a) V logaritmovniku navadno nahajamo mantise logaritmov za štirištevilkasta števila (v našem načrtu od 3670 do 3739), in sicer dobimo prve tri številke takega števila v razredku Z , četrto številko pa v najgornjej ali pa v najdolnjej z O, 1, 2 ...9 zaznačenej povprečnej vrsti. Zadnje 4 decimalke dotične mantise nahajamo v razredku 4. številke danega števila in sicer v ravno istej vrsti, v katerej nahajamo prve 3 številke, prvi dve decimalki moramo pa iskati od začetka vrste v razredku o, ali če je tam prazen prostor, bolj zgoraj, ali tudi bolj zdolaj od začetka najbližne popolne vrste, in sicer na zadnji način, ako nahajaš točko pred štirimi številkami mantise. Tako n. pr. dobimo za 3694 mantiso 567497, torej log 3694 = 3-567497 in za logaritem števila 3717 mantiso 570193 torej log 3717 = 3-570193. Poišči logaritme števil 3679, 3693, 3712, 3738. Z logaritmi za štirištevilkasta cela števila dobimo tudi uže logaritme vseh onih, katera slede iz množenja ali deljenja štiri- številkastih števil z 10 ali potencami števila 10. Ako imamo n. pr. poiskati logaritem 36940, vemo da je log 36940 = log 3694 + log 10 = 3-567497 + 1 = 4-567497. Ravno tako je log 371700 = log 3717 + log 100 = 3-570193 + 2 = 5-570193. Iz logaritma za število 3694 pa dobimo tudi na jedenkrat logaritme števil 369-4, 36-94, 3'694, 0’3694, 0-03694, 0-003694 i. t. d. Ker je namreč 369-4 = *$$*, 36-94 = 3-694 = UU i. t. d. moramo od logaritma števila 3694 zaporedoma 1, 2, 3, 4, 5 i. t. d. odštevati. Potem je: log 3694 = 3-567497 log 369-4 = 3-567497 — 1 = 2-567497 log 36-94 = 3-567497 — 2 = 1-567497 log 3-694 = 3-567497 — 3 = 0-567497 log 0-3694 = 3.567497 — 4 = 0-567497 — 1 log 0-03694 = 3-567497 — 5 = 0.567497 — 2 log 0-003694= 3-567497 — 6 = 0-567497 — 3 V zadnjih treh slučajih samo toliko odštevamo, kolikor imamo celih v log 2694, drugo odštevanje pa le nakazujemo, da se ogibamo negativnim logaritmom. S tem dobivamo logaritme z negativno karakteristiko. Logaritem pravega ulomka je zmerom negativen. Iz prejšnjega je torej razvidno : Mantisa ne odvisi od kraja decimalne točke, ampak samo od številk števila, t. j. logaritmi vseh števil, katera obstoje iz istih številk v istem redu pisanih, imajo isto mautiso, naj so 133 cela števila ali decimalni ulomki, naj je decimalna točka na kateremkoli mestu in naj stoje še ničle pred temi številkami ali za njimi. I) Ako ima število, za katero moremo iskati logaritem, manj nego 4 številke, si mislimo še toliko ničel pripisanih, da dobimo štirištevilkasto število. Tako je mantisa števila 369 jednaka man¬ tisi števila 3690. c) Ako ima število, za katero iščemo logaritem, več nego 4 številke, n. pr. število 3688-527, poišči v logaritmovniku man¬ tiso za najvišje 4 številke, za sledeče številke pa išči popravo, katero prišteješ k dohljenej mantisi. Popravo pa dobiš tako-le. Najpred išči diferenco med mantiso za 4 najvišje številke in med sledečo mantiso, torej v našem primeru diferenco med mantisama za števili 3688 in 3689; s tem pozveš, da je mantisa števila 3689 od mantise števila 3688 za 118 večja. Naše število pa nij večje za 1 jedinico od števila 3688 ampak za 0-527, torej nje¬ gova mantisa za 118x0-527 = 62-186 večja od mantise za šte¬ vilo 3688. Da torej popravo dobiš, moraš omenjeno diferenco množiti z ostalimi številkami števila vzete kot decimalke; cele dobljenega produkta so poprava, katero moraš prišteti k mantisi najvišjib številk. Diferenco mantis dobiš večjidel uže izračunjano v razredku D in sicer v vrsti mantis. — Poišči n. pr. logaritem števila 37135-26; za število 3713 dobiš mantiso 569725 in dife¬ renco 117; ker je pa 0-526 x 117 = 61-542 je mantisa za 3713.569725 poprava za številke 526. 62 torej mantisa za 37135-26... .569787; karakteristika je 4, ker imajo cele 5 številk, tedaj je log 37135-26 = 4-569787. Iskanje števila danega logaritma. §. 128. Iskanje števila danega logaritma nakazujemo s tem, da stavimo pred logaritem num. log. (numerus logaritbmus.) Število dobiš, ako poiščeš v logaritmovniku mantiso da¬ nega logaritma in k mantisi dotično štirištevilkasto število; za cele vzemi jedno številko več, nego karakteristika veli. Mogoča sta pa dva slučaja: 1. Ali nahajaš mantiso danega logaritma natančno v loga¬ ritmovniku; potem tudi dobiš naravnost iz logaritmovnika število danega logaritma. 134 2. Ali pa ne nahajaš mantise danega logaritma natančno v logaritmovniku, kar je navadno; potem pa poišči mantiso v lo- garitmovniku, ki je za najmanj manjša od dane mantise; v do- tičnem številu te mantise so najvišje številke iskanega števila; nižje številke iskanega števila pa dobiš, ako manjšo mantiso od dane odštevaš in dobljeno diferenco z diferenco mantis v logarit¬ movniku deliš; decimalke kvocijenta so nižje številke iskanega števila. Naj je n. pr. dani logaritem 0-568563 manjši logaritem.54 ~97: 1(1(7 = 0-077; 8 vse številke iskanega števila so 3703077 in sicer imajo cele jedno številko, ker je karakteristika O; potem je num. log. 9-568563 = 3-703077. Vaje. 1. Poišči iz logaritmovnika logaritme teh-le števil: 9, 52, 325, 873, 2136, 5709, 7312, 9247, 39070, 678200, 39•12, 8-016 92729, 43009, 0-67425, 85-201, 0-091457, 0-003628,4-48197. 2. Poišči dotična števila k tem-le logaritmom: 5-872036, 3-530219, 1-027801, 0-923570, 9-072861 — 1, 2-000358,0-864009 — 3, 3-123456, 0-426000 — 2, 3.200007, 4-821321, 4-821321, 0-998877 — 4, 2-580321. Poraba Briggovih logaritmov. §. 129. S porabo občnih izrekov, katere smo razvili v §. 124 moremo izpremeniti množenje v seštevanje, deljenje v odštevanje, potencovanje v množenje in korenjenje v deljenje. Ako nahajamo med danimi števili negativna, mislimo si jih med računanjem kot absolutna števila in znak določimo potem, ko smo dobili znesek. 1. Množenje števil s porabo logaritmov. Poišči produkt iz 1-0954, 0-91567, — 3-1571 in 1-00782. Rešitev. log 1-0954 = 0-039573 log 0-91567= 0-961739 — 1 log 3-1571 = 9-499289 log 1-00782 = 0-003383 log produkta = 0-503984 135 num. log. 0-503984 = 3-191419 tedaj 1-0954 X 0-91567 X —3-1571 X 1-00782= — 3'191419 2. Deljenje števil s porabo logaritmov. 1. Deli 321 : 608. Rešitev, log 321 = 2-506505 = 3-506505 — 1 log 608 = 2-783904 = 2-783904 log" = 0-722691 — 1 num. log. 0-722691 — 1 = 0-527959. ■ 3. Potencovanje s porabo logaritmov. Išči 6. potenco števila 2-307. Rešitev, log 2-307 = 0-363048 X( . log 2•307« = 2-178288 num. log. 2-178288 = 150-76 2-307« = 150-76 4. Korenjenje števila s porabo logaritmov. Poišči 10. koren iz 100. Rešitev. log 100 = 2 . 10 10 log yioo = o-2 num. log. 0-2 = 1-58489 10 rioo = 1-58489 Vaje. Izračunjaj s porabo logaritmov te-le izraze: 1.) 3-2576x 1-386 = ? 2.) 58-6873x0-19758 = ? 3. ) 0-27649x5-31872x1*2764 = ? 4. ) 2-00415x0:28x0-00278x10 = ? 25.25 0 „ . 1 0 . 23-83 X 315 12.12 ' ' 3-562-— • 5.) 8 .) 10 .) 432 x 518 X 3-24 0-0056 X 28-4 (425 x 7 256) 8 3 11 .) - 4-527 ~ 9.) 1-07 35 = ? 3-278 3 X 5-629* x 329 (3-26 x 56-2)5 12.) V 612 = ? 13.) ^343 = ? 14.) KŠ762 = ? 5"72 2 X 3-8693 s 4 — 136 5 ./- . • /“4o92 /~ a, 0 15.) V 32'56431 = ? 16.) |/ 5734 = ? 17.) [/ 13 ^6 18.) -J** .. = ? 11 r.5 KI 24 12 19 >|/C1) 7=? 20 .) K37-8. K12* K7139456 3 = ? 21 . r 1/ 58 KIO'189 K2-40373 22 ^ 347 KO'35 + K55-33 3 _ ? 4-927481 23. )|/ 4-3268*. K 3-1996. K17-39 15 4 . K94-34 — 9 K3-4071 Izračunjanje obrestnih obresti s porabo logaritmov. Kedar obresti kakega kapitala zraven kapitala puščamo in jih tudi na obresti nalagamo, pravimo: kapital je naložen na ob¬ restne obresti. §. 130. Naloga. Kapital (k) je naložen na obrestne obresti (p °/o) dano število let (Z); na koliko (h) se naraste ta kapital? 100 fl. se naraste do konca leta na 100 + p 100 +j> 1 n » j ? » n n » 100 , 100 +p ^ n n n » n n n 40O fl. n n Zarad krajšega naj je v sledečem p 100 = a. Potem k fl. se naraste do konca 1. leta na k (1 4- «) fl. * (! + «) „ „ m „ ,, 2. „ „ k (1 + a)» „ * (l+«) 2 » „ „ „ „ 3- » „ * (! + «) 3 „ &(l + a)Z-l„ „ „ „ Z. „ „*(l+a)*„ ker je vsak kapital konec leta (1 + a)krat večji, kakor od začetka leta. Vrednost kapitala k je torej čez Z let h — k (l + a)* 137 Vaje. 1. ) Ako naložiš 6000 fl. s 5°/ 0 na obrestne obresti, na koliko se narastejo v 4 letih? k,, = 6000.1-05 4 log \ = log 6000 + 4 log 1.05 log 6000 = 3-77815 4 log 1-05 = 0-08476 log h = 3-86291 h = 7293 fl. Odgovor: 6000 fl. se naraste v 4 letih na 7293 fl. 2. ) Na koliko se naraste 100 fl. po 5% obrestnih obresti v 40 letih? 3. ) Koliko dobiš za 1000 fl. čez 25 let, ako jih naložiš na ob¬ restne obresti po 5 °/ 0 ? 4. ) Nekdo nese 6028 fl. v hranilnico, katera plačuje po 4|°/ 0 , obresti pa vsakega pol leta zaračunja. Čez 20 let vzame denar z obresti in obrestnimi obresti iz hranilnice; koliko je dobil vsega skupaj? Take račune pa tudi takrat rabimo, kedar druge količine v stanovitej omeri rastejo, kakor n. pr. pri narastanji prebivalcev kakega kraja ali dežele, drevja kakega gozda i. dr. t. 5. ) V nekem gozdu je drevja za 20840 metrov derv; ako vsako leto še 3% drevja zraste, koliko ga bo čez 10 let v gozdu ? 6. ) Neko mesto ima 896000 prebivalcev; koliko prebivalcev bo imelo čez 16 let, ako se število prebivalcev vsako leto za l£°/ 0 povekša. 7. ) Reši gornji izraz za h z ozirom na število k, potem dobiš . h ~ (i+# 8. ) Kolik kapital moraš na obrestne obresti po 5% naložiti, da dobiš 15 letih 8000 fl. nazaj? 9. ) Kolik kapital je nekdo naložil na obrestne obresti po 4|°/ 0 , ko je v 9 letih 13490 fl. dobil nazaj? 10. ) Od nekega kapitala, ki je s 5°/ 0 na obrestne obresti naložen, dobi nekdo v 25 letih 5492 fl. 73 kr.; kolik kapital je moral od začetka vložiti? 11. ) Neko mesto ima 6000 ljudi, koliko ljudi je bilo v tem mestu pred 30 leti, ako je znesel naraščaj vsako leto po 2% ? 138 12. ) Reši jednačbo za ki z ozirom na (1 + a) in potem z ozirom na p , potem dobiš log (1 + «) = Num log m — n = 1 d- st, in a = w — 1 ter p = 100 (» — 1). 13. ) Po koliko °/ 0 moraš 6000 fl. na obrestne obresti naložiti, da dobiš v 4 letib 7294 fl. 14. ) V nekem gozdu se je v 12 letih drevja od 27000 metrov na 35000 metrov narastlo; po koliko % se je drevje vsako leto narastlo? 15. ) Reši jednačbo za ki z ozirom na l, potem dobiš , _ log ki — log k log (1 + o) 16. ) Nek bogat mož je zapustil 2. januarja 1844 nekemu mestu za uboge 12000 fl. pod tem pogojem, da so ta kapital na¬ ložili na obrestne obresti po 5°/ 0 in da ga toliko časa ležati puste, dokler se ne naraste na 30000 fl. Katerega leta sme mesto kapital za uboge porabiti? 17. ) V kolikih letih se podvoji 5000 fl. kapitala, ako so naloženi po 4|°/ 0 na obrestne obresti; v kolikih letih postane 3krat (»M-krat) večji? 18. ) V kolikih letih se zviša število prebivalcev nekega kraja od 5200 na 9433 ljudi, ako pride na narastaj po l^°/o ? §. 131. Zračunjanje gotovine (g) čez l let, ako priložimo vsako leto d fl. na obrestne obresti po p°/ 0 - Na obrestnih obrestih leži prvi donesek l let, drugi l —1 let, tretji 1—2 let i. t. d. predzadnji 2 leti in zadnji 1 leto. Potem se naraste (glej §. 127) prvi donesek na d (1 +a) ; fl. drugi „ „ d(l+a)l— 1 fl. tretji „ „ d (l+«y-2 „ predzadnji,, „ d (1 +«) 2 „ in zadnji „ „ d (l + a) „ vsi doneski skupaj na g = d (l+uy + d (1 + a)l —1 + d (1 + a)*— 2 + ... + d (1+a) 2 + d (1 + d) ali g = d (1 + a) [(1 + a)l— 1 + (1 + a)l —2 + (1 + a,y —3 +.'... + (1 + «) + 1 ] 139 Naj je x — (1+a)*—1 + (l+«y—2 + (l+«y—3 + ... + (l+«) + l ter (1 d-o) x — (1 -j-$y (1 o)^' l -f- (l 2 -j-.., -j- (i —j— 2 + (1 + ®) In ako odšteješ gornji izraz od dolnjega, dobiš (1+ra) % — x = (1 + a)l — 1 ali x — ^ ^ -— cc Potem je pa tudi (l+o)* 9— d (1+a) Kedar nakladamo doneske na koncu in ne od začetka vsakega leta, dobimo __ d [(l+a) ; — 1] Če pa naložimo zraven kapitala k še donesek d na konec vsakega leta na obrestne..obresti, dobimo (glej §. 130) 7 V . d [(1 +a)^ — 1] g— k (1 + a)l H. ... .- Vaje. 1. ) Nekdo nese od začetka vsakega leta 50 fl. v hranilnico na obrestne obresti, katera po 4|°/ 0 plačuje; koliko dobi čez 10 let? 2. ) Nekdo je začel od 26. leta svoje starosti po 120 fl. od za¬ četka vsakega leta v hranilnico na obrestne obresti nositi; ko je 50. leto svoje starosti dovršil, vzame denarje iz hra¬ nilnice; koliko je dobil vsega skupaj, ako hranilnica po 5% plačuje. 3. ) Oče hoče svojemu sinu do njegovega 24. leta nek denar za¬ varovati in plača nekej banki od rojstnega dne sina do onega časa od začetka vsakega lena 100 fl. Koliko mora banka sinu povrniti, ako plačuje na leto po 4°/ 0 ? 4. ) Nekdo naloži 5000 fl. na obrestne obresti po 41°/ 0 ; konec vsakega leta pa priloži še k kapitalu po 500 fl.; koliko dobi v 8 letih nazaj ? 5. ) Reši prvo in drugo jednačbo za g z ozirom na d, potem dobiš 1 w — ___ 2 ) d — • (l+a)[(l+«)* —1] ; (l+a)l — l 6. ) Koliko moraš od začetka vsakega leta v hranilnico nesti na obrestne obresti, da dobiš v 12 letih 3000 fl., ako ti pla¬ čajo po 5% ? 140 7.) Nekdo si hoče v 17 letih 4000 fl. prihraniti in nese konec vsakega leta gotov denar v hranilnico, ki plačuje po 4|°/o; koliko mora vsako leto v hranilnico dati? §. 132. Nekateri ljudje prijemajo delj časa v jednakih ob¬ rokih denar od naloženega kapitala; ta denar imenujemo priho¬ dek (Rente). Koliko (k) moraš na obrestne obresti po p°l 0 naložiti, da do¬ biš skoz l let vsako leto d fl. ? Ako naložiš k fi. na obrestne obresti po p°l 0 skoz l let, dobiš ki — k (l + a)Z (glej §. 130) Ako pa konec vsakega leta d fl. proč vzameš od kapitala, je vsota vseh odneskov d [(1+aV - 1] 9 = j- -- glej §. 131. tv Kapital k, ki je naložen na obrestne obresti, pa porabiš po¬ polnoma, kedar je k (l+o)l = a ali , d[(l + o)» — 1] o(l+o)* Vaje. 1. ) Koliko moraš plačati nekej banki, ki plačuje po 5°/ 0 , da da dobiš od nje skoz 10 let konec vsakega leta po 500 fl. 2. ) Neka oseba, ki je 52 let stara, hoče konec vsakega leta po 600 fl. prihodkov imeti; koliko mora v nekej banki pla¬ čati, če ta računa po 4|°/ 0 ? Opomba. Banka računa čas življenja na 16 let. 3. ) Reši jednačbo za k z ozirom na d, potem dobiš _ ka (l+a) z C ~ (l+a)l _ i 4. ) Nek človek ima 8000 gl. premoženja in misli, da bo še 12 let živel, zato nese ta denar nekej banki, ki plačuje po 4,}°/ 0 , na obrestne obresti, da bi jej skoz teh 12 let dajal prihodek. Koliko dobi konec vsakega leta? Vprašanja. Katera števila imenujemo cela, ulomljena, racijonalna, iraci- jonalna, imaginarna? — Na kakšen način si ta števila spoznal? 141 — Katera števila imenujemo algebrajska? Ali moremo vsa omen¬ jena števila načrtati na jednej samej ravnici? — S kakošnimi ulomki iracijonalna števila najrajši izražujemo ? — Pri katerih ra¬ čunih si nahajal iracijonalna števila? Ponavljaj vse, kar veš o dekadičnih številih; kako so sestavljena, kako dobimo pravila za računjanje ž njimi ? — Koliko vrst računov poznaš ? — V kakšnej zvezi so ti računi? Šesti oddelek. O jed nat* bali. A. iednačbe prve stopnje. §. 130. S seštevanjem, odštevanjem, množenjem, deljenjem, potencovanjem in korenjenjem dobimo raznovrstne matematične iz- 3 ^ raze. N. pr. 3 + 5, 2 a — Ib, — 6x 5 , 7K5 m 2 . Vsak tak izraz ima gotovo vrednost. Tako n. pr. ima izraz 3 + 5 število 8, 2 a — Ib število c za vrednost. Dva matematična izraza imata ali jednako vrednost ali pa razno. Kedar hočemo povedati v matematiki, da imata dva izraza jednaki vrednosti, zapišemo med njima znak = (jednačaj). Izraza jednakih vrednosti zvezana z jednačajem naredita jeduačbo. (Primerjaj §. 3.) Jednačba torej obstoji iz dveh izrazov ali iz dveh delov, iz¬ med katerih mora imeti vsak jeden ali več členov. Tako n. pr. je v jednačbi 12« + 3b = bc prvi del 12« + 3b s členoma 12« in 3 b in drugi del 5c. V jednačbah nahajamo določena in nedoločena števila. Tako so n. pr. v jednačbi 3x — 4 = 5 števila 3, 4 in 5 določena, šte¬ vilo x pa nij določeno. Kavno tako so v jednačbi (a — 3) 2 = a 2 — 6« + 9 števila 3, 2, 6, 9 določena števila, a pa ne. Te dve jednačbi se pa razločite jedna od druge z ozirom na nedoločnost števil. — V prvej jednačbi smemo za x vzeti le število 3, da jej zadostujemo; vsaka druga vrednost za število x izpremeni jed- načbo v nejednačbo. Vstavi v 3x — 4 = 5 za x število: 3, 1, 4, 5; kaj dobiš na levej, kaj na desnej od jednačaja? — Drugače je pri drugej jednačbi, v njej smemo staviti za a katerokoli vrednost in jed¬ načba ostane vsejedno resnična. Vstavi v jednačbi (« — 3) 2 = a 1 — 6« + 9 število: 1, 2, 3, 4, 5, G; kaj dobiš na levej, kaj na desnej od jednačaja? 142 Jednačbe so torej dvojne: 1. take, katere ostanejo le za gotove vrednosti njihovih nedoločenih števil veljavne in 2. take, katere ostanejo v vsakem slučaji veljavne. Jednačbe prve vrste imenujemo določilne, ker ž njimi je vrednost še nedoločenih šte¬ vil določljiva; jednačbe druge vrste pa identične jednačbe. Nedoločena števila določilne jednačbe, katera jej zadostujejo, imenujemo jednačbiue nezuanke. Neznanke zaznačujemo s tuj¬ kama x, y in z zadnjimi črkami alfabeta z, ž, v.. moramo jih pa razločiti od znanih občnih števil. — Povej razliko med ne¬ znanko in občnim številom. — Ali imamo v identičnih jednačbah tudi neznanke ? Vrednosti neznanke, katere zadoste jednačbi, imenujemo jednačbiue korene. Tako n. pr. je število 3 koren jednačbe 3x — 4 = 5. Kedar iščemo korene jednačbe, jo rešujemo. V jednačbi nahajamo neznanko ali samo v prvej, ali pa tudi v drugej, tret j ej in višjej potenci. Najvišja potenca neznanke do¬ loči stopnjo jednačbe in z ozirom na to imamo jednačbe prve, druge, tretje.... stopnje. Tako n. pr. je 3x — 7 = 2 jed- načba prve, 5x 2 — 2y = 3x jednačba druge, 5x 3 — 2x 2 + 3 = 0 jednačba tretje stopnje. V jednačbi je ali samo jedna ali pa več neznank, z ozirom na to imamo jednačbe z jedno, dvema, tremi in več neznankami. Tako n. pr. je 5x — 8 = 3x jednačba z jedno, 3x — 2y — 5 jednačba z dvema, 5x — 4y — 3z jednačba s tremi neznankami. Rešitev jednačb prve stopnje z jedno neznanko. §. 131. Jednačba prve stopnje z jedno neznanko je rešena, kakor hitro jo izpremenimo tako, da je neznanka s pozitivnim koeficijentom 1 sama na jednej strani jednačbe, na drugej strani pa same znanke. Pri rešitvi jednačb se opiramo na to-le temeljno resnico: Jednako izpremenjeno na jednaki način daje jednako ! Iz tega sledi: 1. Jednako k jednakemn prišteto daje jednako. 2. Jednako od jednakega odšteto daje jednako. S porabo teh dveh izrekov moremo prenesti vsak člen iz jedne strani jednačbe na drugo. Tako n. pr. dobimo iz jednačbe ‘2x — 5 = a jednačbo 2x = a + 5, ako prištejemo vsakemu delu jednačbe število 5. Iz jednačbe x + m = 3 dobimo jednačbo x = 3 — m, ako odštejemo od vsakega dela število m. Iz tega 143 sledi: „Vsak člen jednačbe smeš prenesti iz jedne strani na drugo stran jednačbe, ako le izpremeniš njegov znak“. Vaje. Prenesi v teh-le jednačbah vse člene z neznanko na levo in vse člene brez neznanke na desno stran jednačbe in skrči kolikor mogoče. 3 = 7; 2.) 2« =12 —3«; 3.) 78« —8 = 6« + 5; - 2 = ~ + 7; 5.) 5« ——- + 5 = 2« + 6 ; - 32 — x —š. 7 \ _£_ 4 . 1 -SL . 5 . m + c = 6« — m; 9.) 3« — 6 m — 2x = lm — ax\ 1.) 5« 4) 4- > 3 6 -) - 5 - 8.) a« • 3. Jednako z jednakim ninožeuo daje jednako. S porabo tega izreka moremo odpraviti iz jednačbe ulomke, ako množimo vsak člen jednačbe z najmanjšim skupnim mnogo¬ kratnikom imenivcev. Tako n. pr. dobimo iz jednačbe ~—5 = |r jednačbo 2« — 30 = x. Vaje. Odpravi ulomke iz teh-le jednačb, prenesi Člene z neznanko na levo in člene brez neznanke na desno stran jednačb in po¬ tem skrči. 3x 1 .) 3.) 3 bx 3 2 r= -j- + 7 ; 2.) 5« — 7 - + 5 = 2« + 6; 8.) 10 .) 8 X 7 J n 12 .) ** n 1 — -f = 2x ir 3x 8 ~ 5 . 7 ’ m IT’ 4 ) » + JL_ JI ' A 3 1 6 5.)^_ 4 =^ = l; 6 .) —■ X u . n \ ~Q~ 1 >•) 3« + 7; 2x_ _ 7 ~ ]f>5. 9.) 11 .) x 1 7. x 5x _ 2x ~ a ’ a ax . .. , „ , 16 - + cj- 13.) 7 ^ 15.)-1^ = 2; 16.) — 77 ^ 7 a — ~ 5 . y + 15 6 — x 18.) — ~===&; ' a + x 12; 14.) 17 -) 77 8 a x — b 3* + 2 c; 5=7; 19.) ax — o bx — a C. 4. Jednako z jednakim deljeno daje jednako. 144 S porabo tega izreka moremo v jednačbi odpraviti koefici- jent neznanke, ako delimo vsako stran jednačbe z neznaničnim koeficijentom. Tako n. pr. dobimo iz jednačbe 5« — 10 = 24 jednačbo x — 2 = 2 /. Pa tudi okrajšati moremo jednačbo s pomočjo tega izreka, ako je le vsak člen vsake strani jednačbe deljiv z jednim in istim številom. Tako n. pr. dobimo z jednačbe 25« — 40 = 15 priprostejšo jednačbo 5« — 8 = 3. Vaje. Odpravi ulomke iz teb-le jednačb, prenesi člene z neznanko na levo in člene brez neznanke na desno. Vsako stran jednačbe skrči in odpravi koeficijent neznanke. 1.) -s- — 2 = 3.)fe-v = 4 ; 5.) Sx ax - + 2 ; 2 .) 4.) ax ~b 3x — 4 bx c = b — d ; 6.) 3a; + 4 ax m + b = = 12 ; b cx , + — = -čnr — d Okrajšaj te-le jednačbe. 1.) 5« — 10 = 15« — 5; 2.) 24« = 6« + 18; 3.) ax — ma — na. Potem jednačbe prve stopnje tako-le rešuj : 1. Ako nahajaš v jednačbi oklepe, jih razreši. 2. Ako v jednačbi nahajaš ulomke, jih odpravi s tem, da množiš vsak člen na vsakej strani jednačbe z najm. skupnim ime- nivcem. 3. Prenesi vse člene z neznanko na jeduo stran in vse člene brez neznanke na drugo stran. 4. Skrči, kar moreš. 5. Oprosti neznanko od koeficijenta s tem, da deliš z njim vsak člen jednačbe; tudi koeficijent — 1 moraš odpraviti. O pravej rešitvi jednačbe se prepričamo, ako v njej dobljeno vrednost neznanke namesto neznanke vstavimo in vsako stran ko¬ likor mogoče skrčimo. Zneska obeh strani morata biti jednaka; če nijsta jednaka, je jednačba napačno rešena. Vaje. (Bolj priproste rešuj na pamet). 1.) x + 5 — 7 Rešitev na pamet: Število 7 je za 2 večje od šte^ vila 5 ; torej je « = 2. 145 35.) a — (b + c) x — (b X X 3 + 3 36. ) a — (x 37. ) to 2 (m 38. ) 40.) 42.) 44.) 2x + to) n - x) — = 8 ; = 4; (i n c) x; x) m ; nmx: n 2 (n + x) 39.) - + * = b ; 7 /7 n. 3x 2x _ 1 T _ IT ~ 1 . a.x cx , 41 -> y + ~b= d ' , o \ ax CX 1 43 -) T - T + + i - 5 . „ . 1x , 2x 5x , 3x 45 .) j + j-r2 + j = 2x 10 ; 46. ) 47. ) 48. ) tix hx 2 d ~ Ed x + 3 5 x + ‘2 3 4- 7 -, = mx -r- n 4 d x ■ 3 k 9 — ( 4x + 5 * + 2 6 6 10 146 49 . , /- 2 * — a \ , , f 2 * — 6 \ •)«( a +^)+4 6 -+2^) = , - , „ 6 x — 3 a 50.) 5-- - ' X X a + x 11 51. ) a + m f = 52. ) 53. ) 2 x — i K , \ 2ic -f- 4 . 54 -^ ^+ 15 =1; 1 56. ) 20 — 57. ) 100 - 2*+ 3 X — = 26 2x — 3 5 7 3 (2x + 4) 5(5x —4) 3* —7 4 69 + 4x - 5 ’ 3 (3.r — 4) 2(5* — 1) 5 6 9 3 58.) (12^ 3 — x 2 — 26* + 15) : (3* 2 •+ 2* — 5) = 5* — 8. Poraba jednačb za rešitev nalog. §. 132. Jednačbe, katere smo zdaj rešili, so bile uže dane; naša slednja naloga je pa, da jednačbe še le naredimo ali — ka¬ kor pravijo — nastavimo. — Za to početje je bistroumnosti in vaje treba, ako hočemo dano nalogo prenarediti v jednačbo. V obče si zapomni to-le: Iskano število zaznači z *, potem sestavi člene in jih združi se znaki, kakor zahteva naloga. Zraven tega pa skrbi, da dobiš dva izraza jednake vrednosti in postavi med nja jednačaj. Kakor hitro je jednačba nastavljena, moreš uže neznanko izračuniti, ako rešiš jednačbo. — V sledečem reši priproste naloge tudi na pamet. Vaje. Opomba. Vaje prejšnjega paragrafa izrazi tako se stavki, da slišimo vsak matematičen znak. N. pr. * več 5 je jednako 7. V sledečih nalogah povej besede, katere zahtevajo matematičen znak, in ko nastavljaš jednačbo, izrekaj pri vsakem znaku besedo, katero zahteva ta znak. 1.) Poišči število, katero dvakrat in še trikrat vzeto 75 da. Na pamet. Dvojno in trojno število je petero ; 75 je torej petero iskanega števila ali iskano število je peti del od 75, tedaj 15. Algobraj- sko: Iskano število naj je x, dvojno to število je 2* in trojno 3*, dvojno in trojno 2* + 3*. Po pogoju dane naloge mora tedaj biti 2x + 3* = 75 Ako to nalogo rešimo dobimo x = 15. Poskus : 2.15 + 3.15 = 30 + 45 = 75. 2.) Oče je star 32 (a) sin pa 2 ( b ) leti; čez koliko let bo oče ravno trikrat (m-krat) starejši kakor sin? Čez x let. In takrat bo oče 32 in x t. j. 32 + x {a + x) in sin 2 in x t. j. 2 + x (b + x) let star ; očetova starost 32+* v obče a + x je pa trikrat tolika kakor sinova starost 2 + x (b + x) ; da bi bili te dve starosti jednaki, morala bi biti sinova starost 3 (2 + x) ; imamo tedaj 32 + x — 3 (2 + x) a + x — 3 (b + x) Ako rešimo to jednačbo, dobimo x — 13, x — — Poskus, čez 13 let ima oče 45 in sin 15 let; oče je torej v resnici trikrat stareji od sina. Sledeče naloge nastavi sam. Priproste reši tudi na pamet. Občna števila v oklepih porabi za izračunjanje občnih oblik za neznanko. 3. Katero število moramo za 123 (a) zvekšati, da dobimo 321 (J)? Povej še sam kako tako nalogo, in jo reši; n. pr. katero število moramo za 25 zvekšati, da dobimo 42 ? — Zdaj pa še po¬ vej kakšno ravno tako nalogo, samo s tem razločkom, da to neznano število pomeni gotove stvari; n. pr. katero število ovac (hrušk, jabelk, učencev i. t. d.) moramo za 12 zvekšati, da dobimo 25 ovac (hrušk, jabelk i. t. d.) ? — Izrazi take naloge v obliki, ki se še bolj razloči od mate¬ matičnega jezika!— N. pr.: Nekdo ima več ovac, kupi jih pa še 12, da ima vseh skupaj 25; koliko ovac je imel od začetka? V sledečem ponavljali bomo isto zahtevanje pri nekterih na¬ logah. — Zarad krajšega hočemo pred take naloge postaviti znak *. *4.) Katero število moremo zmanjšati za 345 («), da dobimo 543 (b) ? *5.) Ako od 900 (a) gotovo število odštejemo, ostane 444 (b), ko¬ liko je neznano število ? *6.) Katero število moramo množiti s 63 (a), da dobimo 2268 ( b ) za produkt? *7.) Katero število moramo deliti s 4-| (a ), da je kvocijent jednak 3f (6)? *8.) Ako 4200 ( a ) delimo s številom, dobimo za kvocijent 56 (b ); katero je to število ? 10 * 148 *9.) Neki delavec zasluži vsak dan 4 fl.; v koliko dneh zasluži 48 gl. ? no.) Osmerno (a-terno) in sedmerno (S-ternd) nekega števila znaša 195 (c); katero je to število ? m. Trinajsterno (a-terno) nekega števila je za 9 (h) manjše od 100 (c); katero je to število? *12.) Ako 16erno (a-terno) nekega števila odštevamo od 1000 (b) znese ostanek 440 (c); katero je to število ? *13.) Ako neko število delimo se 24 (a) in kvocijent za 2) ( b) zvekšamo, dobimo 7 (c); katero je to število? 14.) Nekdo ima pri sebi dvanajstino svojega čistega premoženja, poravna s tem neki račun čez 37,]- 11. in ostane mu še 62]-11.; koliko čistega premoženja je imel? *15.) Ako delimo 864 (a) z nekim številom in kvocijent odšte¬ vamo od 180 (b), je ostanek jednak 72 (c); koliko je ne¬ znano število? *16.) Ako množimo neko število z 18 (a), produkt za 19 (b) zvek¬ šamo in vsoto delimo z 20, dobimo za kvocijent 5 (d); koliko je neznano število ? *17.) Neko število dobimo, ako f (£) tega števila odštevamo od 140 (a); koliko je to število? *18.) Katero število je tako, da dobimo isto, ako to število zvek¬ šamo za 8 (a) ali pa ako to število trikrat (J-krat) vza¬ memo ? *19.) Ako neko število delimo s 4 (n), ali pa to število od 4 (n) odštevamo, dobimo v obeh slučajih isto; katero je to število ? *20.) Osmerno (raterno) nekega števila za 4 (a) zvekšano, je ravno toliko, kakor deseterno (m-terno) tega števila za 20 (b) zmanj¬ šano ; koliko je to število ? 21.) Neki oče je 40 (a), njegov sin 4 ( b ) leta star; čez koliko let bo oče 3krat (»-krat) toliko star, kakor sin? Kešitev: 40 + x = 3 (4 + x ); x — 14 i . ,t | \ a — nb a + x = n (o + x ); x — n _\ Kaj dobimo, ako v občnem izrazu za x vzamemo: 1. ) n = 1; čez koliko let bo torej oče ravno toliko star ka¬ kor sin? 2. ) a — 30, b = 10, n = 2 ; 3.) a — 48, b — 8, n — 5; 4.) a =52, b — 12, n — 5; ali bo tedaj oče lcedaj 5krat sta¬ rejši od sina? Ali nam znak — pred vrednostjo za x ven¬ dar kaj pove? 149 5.) a = 30, b = 9, n — 4; ali bo ta oče kedaj 4krat stareji od sina? Kaj nam pove tukaj znak — pred vrednostjo za x? Kedaj je x pozitiven, kedaj negativen ? — Ako je a >- nb oziroma a •< nb; povej to z besedami primernimi k nalogi. Kedar je starost očeta večja od produkta i. t. d. Kedar preiskavamo, kakšen pomen ima neznanka za razne vrednosti občnih števil, pretresavamo (diskutujemo) znesek. — Pretresavaj na tak način, kakor v tej nalogi, tudi zneske dru- zih nalog. 22. ) Neki oče je 58 (a), njegov sin pa 14 (b) let star; pred ko¬ liko leti je bil oče 5(m)krat starejši kakor sin? 23. ) Neka mati je 5krat (n) starejša od svoje hčere, čez 8 (a) let pa bo 3krat (m-krat) stareja od nje; koliko let ima ta mati? 24. ) Razdeli med osebi A in B 4000 (a) fl. tako, da se imata deleža oseb A in B kakor 3 in 5 (m : n ); koliko dobi vsak ? 25. ) V dveh blagajnicah je 6000 fl. (a) skupaj in sicer je v jednej 600 fl. več kakor v drugej; koliko je v vsakej bla- gajnici ? 26. ) Med tri brate, izmed katerih je A 32 (a), B 28 (b), C 24 (c) let star, imamo razdeliti 8400 (m) goldinarjev po omeri njihove starosti; koliko dobi vsak ? 27. ) Dve gospodinji kupite 150 kilogramov sladkorja. A vzame vzame 80 %; B obdrži ostanek. Prva porabi vsak teden 1|, zadnja pa le 1 % sladkorja; čez koliko tednov imate obe gospodinji jednako sladkorja ? 28. ) V nekej družbi hočejo nabrati miloščino za reveža. Ako da vsak navzočnih 1| gold., dobi ubogi 2\ gold. mžmj, kakor potrebuje. Ako pa da vsak navzočnih 1.} gold., dobi revež 1| gold. čez potrebo; koliko oseb je v tej družbi? 29. ) V katera dva dela moramo razdeliti število 100 (a), da do¬ bimo večji del z manjšim dele 6 (b) za kvocijent in 9 (c) za ostanek? 30. ) 8mi («-ti) del nekega števila je za 1 (a) manjši kakor deveti (f«-ti) del za 3 zvekšanega števila; katero je to število? 31. ) Neki služabnik dobi za letno plačilo 120 fl. (a) in obleko. Čez 8 (m) mesecev zapusti službo in dobi 69 fl. in še obleko ; za koliko so mu zaračunili obleko? 32. ) Nekdo porabi za razveseljevanje | svojih prihodhov. Ko mu pa prihodke za 300 fl. povekšajo, porabi v isti namen £ svojih prihodkov in vendar mu še ostane 212-5 fl. čez po¬ trebne stroške več kakor pred zvekšanimi prihodki; koliki so njegovi prihodki? 150 35.) Neki tovorni vlak, ki preleti vsako uro 3) milj, zapusti kraj A ob osmih zjutraj, brzovlak, ki preleti vsako uro 6 milj, zapusti kraj A ob jednej popoludne in zateče prvi vlak v kraji B ; za koliko sta kraja A in B oddaljena? 34. ) Dva prijatelja A in B gresta jeden drugemu nasproti in sicer prehodi A vsak dan 4, B pa 3 milje; vendar A za¬ pusti svoj dom 2 dni pozneje, kakor B ; kedaj in kje pri¬ deta skupaj, ako sta njijina doma 20 milj jeden od druzega oddaljena? 35. ) Za nekim poslom pošljejo čez 2 dni druzega, ki mora prvega v 4 dneh zateči; koliko milj prehodi prvi posel vsak dan, ako drugi posel vsak dan lj- milj več prehodi kakor prvi? 36. ) Dva prijatelja si gresta nasproti in sicer zapustita oba ob istem času svoja, doma; jeden bi potreboval 8 ur za vso pot, drugi pa 12 ur; v kolikih urah se srečata? 37. ) Dve telesi se ob istem času začnete jednakosno vsako od svo¬ jega kraja v tistej meri premikati; ta dva kraja ste za 6 metrov oddaljeni; sprednji preteče v vsakej minuti j in zadnji £ metrov; kedaj ste te dve telesi za 4 metre oddaljeni? 38. ) Neka gospodinja kupi za 11 • 875 h. pol kosa platna manj 5 metrov; čez nekoliko dni pa vzame še ostanek kosa, in plača 18-125 fl.; koliko metrov meri celi kos? 39. ) Neki mojster obljubi svojemu pomagaču za vsak dan, kedar dela, 1 fl. in hrano; mora pa za vsak dan, kedar dela, 25 krajcarjev za hrano plačati. Čez 30 dni dobi pomagač 20 fl.; koliko dni je delal? 40. ) Neki igravec zgubi pri prvi igri § od denarja, kar ga je pri¬ nesel sč seboj, dobi potem j ostanka, v tretjej igri zgubi f od vsega, kar je imel po drugej igri, v četrtej igri dobi polovico vega ostanka, potem pa zgubi -j od tega, kar je imel na zadnje in neha igrati. Zgubil je 25 fl.; koliko je imel od začetka ? 41. ) Neki kmet prinese v košu jajca na semenj in prodaja po 20 jajc za 0-5 fl. Nekdo pa pride memo njega, mu prevrže koš in ubije 5 jajc. Ko je bil kmet odškodovan, premisli se in proda vsako ostalo jajce po 0- 03 fl., tako daje s tem razen odškodbe še 0-15 fl. dobička naredil; koliko jajc je prinesel v mesto ? 42. ) V nekej družbi je bilo od začetka dvakrat (ra-krat) toliko go¬ spodov kolikor gospa. Ko je pa še 6 (a) gospodov zraven pri¬ šlo in ko ste 2 (b) gospe odšli, bilo je v družbi 3krat (m-krat) toliko gospodov kolikor gospa; koliko gospodov in koliko gospa bilo je od začetka v družbi? 151 43. ) Neka kmetica prinese v mesto gosi in race, vseh skupaj 10, in speča zanje 17-5 fl. Proda pa vsako gos po 2’25 fl. in vsako raco po goldinarji; koliko gosi in koliko rac je pri¬ nesla se sabo? 44. ) Nek kupec zgubi 2, ako proda neko blago za 24f fl.; koliko odstotkov zgubi ali zasluži, ako isto blago proda za 26 fl. 45. ) Kolika je specifična težkota srebrne stopljave, katera obstoji iz 42 kub.%i čistega srebra, 6 kub. c / ft bakra, ako je specifična težkota srebra = 10|, in težkota bakra = 8 T 7 T ? 46. ) Prostornini dveh teles ste v in F, in specificifični težkoti s oziroma S; kolika je specifična težkota zmesi, ako se pri stopljavi nobedno teles ne zgosti? 47. ) Nekdo stavi pri vsakej igri 4 fl. proti 3 fl. V 28 igrah nij nič zgubil in nič dobil, koliko iger je zgubil, koliko dobil? 48. ) Neki oče obljubi svojemu sinu za vsako nalogo brez pomote 10 krajcarjev, za vsako nalogo s pomotami mora pa sin očetu 5 krajcarjev plačati; pri 20 nalogah je ostalo sinu od očetovih daril 80 kr.; koliko nalog je naredil brez pomot in koliko s pomotami ? lednaebe z dvema neznankama. §. 133. Naloga. Reši to-le jednačbo z ozirom na x Rešitev: 3x + iy — 24 24 — 4 n Vrednost neznanke x nij določena, ker moremo za y vzeti katerokoli število. Tako n. pr. je za m = 1, x — 6f » y = 2, x = 5i Ako imamo torej jednačbo z dvema neznankama, potrebujemo še drugo od prve neodvisno jednačbo, da določimo z obema vred¬ nosti neznank, kateri njima zadostujete. Iz obeh jednačb namreč moremo dobiti jedno jednačbo z jedno samo neznanko; to jednačbo moremo rešiti in ostalo neznanko določiti. Ako iz dveh ali več jednačb odpravimo kako neznanko, pra¬ vimo , da to neznanko iztrebimo. Dobljeno jednačbo imenujemo iztrebljeno jednačbo. Navadno rabijo tri načine za iztrebljevanje: 1. primerjalni način, 2. zamenjalni način in 3. način jednakih koeficijentov. 152 1. Po primerjalnem načinu rešimo vsako jednačbo z ozirom na isto neznanko; dobljeni vrednosti ste jednaki (glej §. 4., IV), ter daste jednačbo, iz katere dobimo vrednost druge neznanke. N. pr. 1.) 5x — 4 y — 23 in 2.) 3x + ly — 42 5x — 23 42 — 3x y = -ir- y = -r- . 5x — 23 42 — 3x ter —i- = -7 — in x = 7 potem je y = 3 (po 1. ali po 2. jednačbi). 2. Po zamenjalnem načinu rešujemo jedno jednačbo z ozirom na jedno neznanko, vrednost te neznanke namestujemo v drugej jed¬ načbi, iz katere dobimo vrednost druge neznanke. N. pr. 1. ) x + y = 14 iz te jednačbe y — 14 — x ; y — 6 2. ) 3a; — 2 y= 12 „ „ „ 3x — 2 (14 — x) = 12; x — 8 3. Po načinu jednakik koeficijentov skrbimo, da dobimo v vsakej jednačbi pri jednej in istej neznanki jednaka koeficijenta; to pa dosežemo, ako množimo vsak člen vsake jednačbe s pri¬ mernim faktorjem. Jednačbi potem seštevamo ali odštevamo, ako imata jednaka koeficijenta razna oziroma jednaka znaka; dobljeno jednačbo z jedno neznanko potem rešimo. N. pr. 1. ) 5x + 3y — 45 2. ) lx — 2 y— 32 1. jednačbo množimo se 7 35x + 21 y = 315 35x — 10 y— 160 - + - 31 y — 155 y = 5 1. jednačbo množimo z 2 2. „ „ s 3 \0x + 6y = 90 21x — 6y = 96 31x 186 x = 6 Vaje. 1. ) x + y = 5555 in x — y — 3087 2. ) x + y — 2a „ x — y = 2b 3. ) x+ 19?/ = 207 „ x + 12y = 137 4. ) x + ay — c „ bx + y = d 5. ) x -f- 3-| y = 80 „ 4 \y x = 83 6. ) ax + y — c „ bx — y = d 153 Poraba jednačb z dvema naznankama za rešitev nalog. §. 134. Opomba. Bolj lahke naloge reši tudi z jedno ne¬ znanko, in tudi na pamet. 1. ) Dve osebi ste stari 100 (n) let skupaj; B je pa za 12 let mlajši od A; koliko je stara vsaka oseba? 2. ) Vsota dveh števil znaša 560 (2v), njihova diferenca pa 286 (2 d); kateri ste te dve števili? 3. ) Vsota dveh števil je jednaka 210 (a), njihov kvocijent pa 4 ( b ); povej te dve števili ? 4. ) Diferenca dveh števil znaša 844 (d), njihov kvocijent pa 18 (b); koliki ste te dve števili? 5. ) A pravi k B : „Daj mi 30 fl., potem imam ravno toliko, kakor ti. Ne, odgovori mu B , daj mi ti 30 fl., potem imam jaz dvakrat toliko kakor ti; koliko ima vsak? 6. ) A in B imata skupaj 1200 fl., šesterno premoženje od A in osmerno premoženje od B bi pa znašalo 8000 fl.; koliko ima vsaka oseba? 7. ) Mislimo si dve števili. Ako povekšamo jedno za 20, je dvakrat toliko, kakor drugo. Ako pa drugo za 20 povek¬ šamo, je pa le fkrat večje od prvega. Kateri ste te dve števili ? 154 8. ) A proda 2 fflfc rži in 3 30^ pšenice vse skupaj za 37‘5 fl., drugokrat pa proda po istej ceni 3 5% rži in 2 pšenice vse skupaj za 35-75 ti. Po čem je rž, po čem je pšenica? 9. ) Neki oče pravi svojemu sinu: Pred osmemi leti sem bil 8krat stareji od tebe; v 16 letih bom pa 2krat toliko star, kakor ti. Koliko je star oče in koliko sin ? 10. ) Nekdo ima dve čaši in jeden pokrov, s katerim more vsako čašo pokriti. Brez pokrova je vsaka čaša 15 fl. manj vredna, kakor s pokrovom. Ako pokrijemo prvo čašo s pokrovom, je ta lfkrat več vredna od druge. Ako pa položimo pokrov na drugo čašo, je ta ravno toliko vredna, kakor prva čaša. Koliko stane vsaka čaša? 11. ) Nekdo ima dva konja in dve sedli; jedno sedlo stane 50 fl. Ako dene boljše sedlo na prvega konja, slabše pa na dru- zega, je prvi konj 100 fl. več vreden, kakor drugi. Ako pa slabše sedlo položi na prvega konja, boljše pa na druzega, je pa drugi konj le T \krat toliko vreden, kakor prvi konj. Koliko je vsak konj vreden? 12. ) Ako prištevamo k števcu in imeniveu nekega ulomka 1, je njegova veljava jednaka T 9 7 ; ako pa od števca in ime- nivca odštevamo 1, je njegova vrednost = §; kateri je ta ulomek? 13. ) V neki vodnjak teče voda po dveh ceveh. Ako je prva cev 4|, druga pa 3 ure odprta, priteče po obeh 24 kub . m j vode. Ako je pa prva cev 5, druga cev 4 ure odprta, priteče po po njih 29 kub . m f vode. Koliko vode priteče skoz vsako cev v jednej uri ? 14. ) Neki vinski kupec ima dvoje vino. Ako zmeša 2 litra slab¬ šega s 3 litri boljšega, stane liter zmesi 1 -14 fl. Ako pa zmeša 2 litra boljšega in 3 litre slabšega, mora pa pro¬ dati liter zmesi po 1-11 fl. Koliko stane liter vsa¬ kega vina? 15. ) Neki mojster in njegov pomočnik dobita 55 fl. za plačilo. Mojster je delal 12, pomočnik 20 dnij. Koliko je zaslužil vsak na dan, ako mojster v 3 dneh 2£ fl. več zasluži, ka¬ kor pomočnik v 4 dneh ? 16. ) Neki gospod najame služabnika in voznika; vsakemu obljubi na leto 120 fl., jedno obleko in 1 par črevljev. Čez 9 me¬ secev zapusti služabnik službo in dobi zraven obljubljene obleke še 85j- fl. Mesec pozneje pa odide tudi voznik iz iz službe; dobi obljubljen par črevljev in 133f fl. Po čem za¬ računa gospod obleko in po čem črevlje? 17. ) Poišči dve števili, katerih diferenca je j-(a) krat, produkt pa 7£(ž>)krat večji od njihove vsote. — 155 — 18. ) Poišči dve števili, katerih diferenca, vsota in produkt se imajo, kakor 1:2:3 ali a : b : c 19. ) Dve števili se imate kakor 4 : 3, njihova diferenca in pro¬ dukt pa kakor 1 : 36. Kateri ste te dve števili? 2 0.) Dve števili se imate kakor a: 5, njihova vsota in produkt pa kakor c : d. Poišči te dve števili. 21. ) Nekega očeta vprašajo po številu otrok in njegov sin odgo¬ vori: Jaz imam toliko sestra kakor bratov, tiči pa reče: jaz imam dvakrat toliko bratov kakor sester. Koliko sinov in koliko hčera je imel ta oče? 22. ) 21 gramov srebra izgubi v vodi 2 grama na težkoti, in 96 gramov zlata pa 5 gramov. Stopljava iz zlata in srebra, ki tehta 1 • 14 kilogramov, izgubi v vodi 92 gramov. Koliko srebra, koliko zlata je v tej stopljavi? 23. ) Iz zlata in srebra narejena krona kralja Ilierona iz Sirakuza je tehtala 11-2012 kilogramov, pod vodo pa le 10-57891 * Ig . Ako zlato pod vodo T V in srebro -fo svoje težko te izgubi, koliko zlata in koliko srebra je bilo v kroni? 24. ) Dva prijatelja A m. B stanujeta 32 milj narazen. Ako si gresta ob jednern nasproti, prideta v 4 dneh skupaj. Ako pa B gre za A in sicer ob istem času od doma, ga zateče v 16 dneh. Koliko milj prehodi vsak na 1 dan? 25. ) 24 mark I 3 }lotnega srebra stopimo z 12 markami nekega druzega srebra in dobimo 121otno srebro ; koliko lotov čistega srebra ima marka druzega srebra? 26. ) Stopi čisto in 800tisočno delo srebro tako, da dobiš 920- tisočdelno srebro. Koliko vsakega srebra potrebuješ, da do¬ biš 30 hjg zmesi? 27. ) Koliko bakra moraš 6 kilogramom 900tisočdelnega srebra primešati, da dobiš 750tisočdelno srebro? 28. ) Ako zmešaš 8 kilogramov slabše kave s 24 kilogrami boljše kave, stane kilogram te zmesi 95 kr.; ako pa zmešaš 12 % slabše kave z 20 kilogrami boljše kave, stane kilogram te zmesi 92.} kr.; po-čem je slabša in po čem boljša kava? Jednačbe s tremi ali veo nezankami. §. 135. Jednačbe s tremi ali več neznankami rešujemo na iste načine, kakor jednačbe z dvema neznankama; o tem se pre¬ pričamo na teh primerih. 156 1. primer. 1.) 4x — 3 y + 5z — 23, 2.) 3x + 2y — 4 z = 11, 3.) 5x — y + 2z — 27. Ako množimo 3.) z 2 in množeno jednačbo prištejemo k 2.) dobimo \3x = 65, tedaj x — 5 za x namestimo v 1.) in 2.) njogovo vrednost, in dobimo 5z — 3y — 3, 4z — 2y — 4 Iz teh jednaeb dobimo 2 y = 8, tedaj y = 4, z= 3 2. primer. 1.) 8* + 5y + 2z — 24, 2.) 6x — 3 t/ + z — 3, 3.) 4x + 9 y — 3z = 4. , 24— 5«/ — 2z _ 3 + 3 y— z _ + tedaj 24 — 5y — 2z 8 In iz teh jednačb 60—22 3 + 3?/ — z 3 + 3 y — z 6 ’ 6 4 — 9j/ + 6s y 27 6 + 202 “33 , tedaj 60 — 22 6 + 202 27 33 in konečno z — 3. Ako za 2 ? namestimo njegovo vrednost v jed- nem dobljenih izrazov za y , dobimo y = 2 In ako za y in z namestimo njihovi vrednosti v jednem doblje¬ nih izrazov za x , dobimo x — 1 3. primer. 1.) 3x + 4y = 31, 2.) 2y + 3z = 17, 3.) 4z + 5 u = 22, 4.) 2x + 3 u = 16. Ako množimo 2.) z 2 in od nje odštevamo 1.) dobimo a) 2 z — x — 1 157 Ako množimo x) z dvema in jo odštevamo od 3.), dobimo P) 2x + 5m = 20 Ako odštevamo 4.) od fs) dobimo 2 u — 4, tedaj u = 2 iz 3.) z = 3 iz 2.) y — 4 iz 1.) ali 4.) x = 5 4. primer. 1.) 3x + // + 2 = 18, 2.) 2x + 3 y + 2 z = 28, 3.) 5x + 2 y 4“ 32 === 38. Iz prve jednačbe dobimo x = 1 *’'. Ako to vrednost O namestimo v 2. in v 3. dobimo po urejenji ly + iz = 48, y + iz = 24 Iz zadnje jednačbe sledi y = 24 — 4z; ako to vrednost v predzadnjej jednačbi namestimo, dobimo 24z =120 tedaj z — 5 iz zadnje jednačbe y = 4, iz izraza za x x — 3. Vaja. 1. ) x + y = 24, x + 0 = 20, y + 2 = 18 2. ) x + y = 2a, x + 2 = 2b, y + z = 2 c 3. ) x + 3y = 21, 2x + 5z = 27, 3y + 72 = 36 4. ) ax + by — m, cx + dz — n , fy + gz — p 5. ) x — 22 — 2//, y — 22 — 32, 2 = 37 — 4x 6 . ) a: + y — 2 = 14, a: — y + 2 = 10, "+4 + 4 = 50 , 4 2 3 3 12.) x : y : z — 2:3:4, 3£ + 2y + 2 = 96 1,1 1,1 ,1 X + ]L + - ‘ A ' O 4z = 50 = 48 13.) - + - x y 7 + y + 7 158 14.) - + - ' 'V X 1 y _T^ ~ 12 ’ + + 15.) - + - X y 1 — — a, z ‘ 4 ’ V - + - y z - + - y z 16.) - + - ' x v 17 : 60 x 1—A i_I + A z 60 ’ x y z n.) »+“+«=1!, “ + *+i=»ii ' x y z x y z 4 L 6 + 6 _° + 4 - 8 = 37 X V z 21 18 .) y 60 , 48 , 36 48 , 36 . 60 -- - — 64 . -- 1 - 1 - x y z ’ x y z x + y + z + u = 18 x + y — z — u —4 x — y + 2 — u = 2 3 x + y — 2=19 ~Z= 24 : 18 20 23 4 _3 60 ’ y + y + z' 7 + 7 + i = i 20 .) x + y + z = ! x + y + u = 18 z u — 7 x 21 .) x + 2 y 2 >y — 2 z + u 42 — 2 x + ij x — 2 u = 1 2 : 22 22.) x + y — ij + z = 18 z ~\~ u — 14 x — u — 16 Poraba jednačb z mnogoterimi neznankami za rešitev nalog. §.136. 1.) Poišči 3 strani x, y, z trokota, akoje x + y = 179'», x + z = 166'» va. y -\- z =. 155»» 2. ) Vsota 3 števil znaša 200; prvo deljeno z drugim da 2 za kvocijent in 14 za ostanek; drugo deljeno s tretjim da za kvoeijent 3 in 12 za ostanek. Katera so ta števila? 3. ) Osebe A, B in C dolže skupaj 8800 fl. Ves dolg pa morejo . le plačati, ako B da f svojega premoženja k celemu premo¬ ženju od A, ali A 7 % svojega premoženja k celemu premoženju od B, ali B f svojega premoženja k celemu premoženju od C. Koliko ima vsak premoženja? 4. ) Neki oče je dejal svojima sinoma, izmed katerih je jeden 4 leta starejši od druzega: Pred 4 leti bil sem 3krat toliko star, kakor vidva oba skupaj. Ako pa še 20 let živim, bom pa ravno to¬ liko star, kakor vidva skupaj. Koliko je star oče, koliko vsak sin? 5. ) A, B in C primerjajo svoje imetje. A pravi osebi B: Daj mi 500 fl., potem imam ravno toliko kakor ti. C pa pravi osebi A: Daj ti meni 500 tl., potem imam 4krat toliko kakor ti. Nazadnje pa še pravi B osebi C: Daj ti meni 625 fl., potem imam 3krat toliko kakor ti. Koliko ima vsaka oseba ? 159 6. ) Nekdo ima dva polna soda, A, B in prazen sod C, kateri je največji. Vsi 3 sodi drže 1900 litrov. Da napolni sod C ., mora preliti ves sod A in § od B , ali pa ves sod B in polovico soda A. Koliko litrov drži vsak sod ? 7. ) Nekdo ima 3 kovinske stopljave; prva obstoji iz 35 gr. zlata, 50 gr. srebra in 75 gr, bakra, druga iz 28 gr. zlata 32 gr. srebra in 60 gr. bakra, tretja iz 12 gr. zlata, 18 gr. srebra in 30 gr. bakra. On hoče od vsake stopljave nekoliko tako stopiti, da je v dobljenej stopljavi 18 gr. zlata, 24 gr. srebra in 40 gr. bakra. Koliko vsake stopljave mora vzeti v ta namen ? 8. ) A. N, C in 1) imajo vsi skupaj 512 zlatov a 8 fl. Sklenejo pa, pri vsakej igri, katere hočejo igrati, mora vsak, ki izgubi, vsakemu drugemu toliko plačati, kolikor ima denarja. Naj- pred izgubi A, potem B, potem C in nazadnje D in pokazalo se je po teh igrah, da ima vsak jednako zlatov. Koliko zlatov je imel vsak od začetka ? 9. ) Osebe A, rB, C in D se usedejo k igri in sklenejo, da mora izgubeči vsakemu drugemu polovico od tega plačati, kar ima ravno ta. Najpred izgubi A, potem B, potem C in na zadnje D; po teh igrah ima vsak 162 H. Koliko je imel vsak od začetka igre? 10. ) Tri števila znašajo vsa skupaj 200. Ako odštevamo 10 od prvega in od druzega, se imata ostanka, kakor 3:5. Ako pa odštevamo 10 od druzega in tretjega se imata ostanka kakor 5:9. Katera so ta števila? 11. ) Neko število pišemo s 3 številkami, izmed katerih je notranja jednaka polovici vsote vnanjih dveh. Ako pa delimo omenjeno troštevilkasto število se številčno vsoto, dobimo za kvoci- jent 48. In ako to število zmanjšamo za 396, dobimo število, v katerem stoje številke ravno narobe od številk iskanega šte¬ vila. Katero je to troštevilkasto število ? B. Jednaobe druge stopnje z jedno neznanko. Čisto kvadratne jeduaebe. §.136. Kvadratno jednačbo imenujemo čisto, ako ima ne¬ znanko samo v drugej potenci; n. pr. x i — a in to je oblika, v kakoršno moremo izpremeniti vsako čisto kvadratno jednačbo. Naj je n. pr. dana jednačba. 3x 2 — 12 = 4x 2 + 42 — 7x 2 160 Ako v tej jednačbi prenesemo člene v neznanko na levo in člene brez neznanke na desno, dobimo po krčenji 6x 2 = 54 tedaj x 2 = 9 Čisto kvadratno jednačbo rešujemo, ako korenimo dvakrat vsako stran jednačbe izpremenjene na osnovno obliko. Iz x 2 — a dobimo x = + pa t. j. x x = + pa, x 2 = — V a Čisto kvadratna j ednačba ima dva protivna korena, ker dobimo isto, ako pozitivno ali negativno število z isto številno vrednostjo povzdignemo na drugo potenco. To razvidimo še iz teh-le primerov: a) x 2 — 9, x = + 3, x x = '+ 3, x 2 =z — 3 b ) a? 2 = 25, x — + 25, Xx = + 5, x % = — 5 c) x 2 = 100, x = + 10, = + 10, x % = — 10. Vaje. 1.) 13a: 2 = 2206672 2.) ax 2 = b, 3.) 2z 2 — 32 = 148 — ‘6x 2 4.) J*2L_ = 5.) i + 6.) 12 = 120 — A** '14— žc 7 J— x x ’ 7 \X“ 4x 7.) 2ab + x* = a 2 + b\ 8.) - = y , 9.) a; 2 — 169 = 0 10.) a: 2 — a = 0, 11.) 1 - ^- = | -~- 12 .) 13. ) Poišči število, katerega četrtina pomnožena z njegovo tretjino 9408 za produkt da. 14. ) mti del nekega števila pomnožen z njegovim «tim delom, da a za produkt. Katero je to število'? 15. ) Ako množimo 2fkratno (m-kratno) nekega število z njego¬ vim 3^kratnim (w-kratnim), dobimo za produkt 2200 (a). Koliko je to število? 16. ) Kolika je dijagonala kvadrata se stranjo 20 (a) metrov? 17. ) Kako visok je istostransk trokot, ki ima za stran s =20 (a) metrov? 18. ) Pravokoten vrt je 87™/ dolg in 29'“/ širok. Naredijo pa ta vrt za neko število metrov širji in za 3krat toliko metrov krajši, ter ga zmanjšajo za 507 □”/. Za koliko so širo- kost vrta zvekšali ? 161 19. ) Kolik je obseg kvadrata, ako je za 40*/ daljši od obsega druzega kvadrata, ki ima za plošnino ff od prvega? 20. ) Kako dolga je stran kvadrata, ako je njegova plošnina ^krat večja za 5*/ daljšo stran? 21. ) V nekem pravokotnem trokotu, ki ima 360"/ dolgo hipote- nuzo, je jedna kateta 2fkratno od druge. Kako dolgi ste obe kateti? 22. ) Kako dolg in širok je pravokotnik, ki ima 246 */ dolgo dijagonalo, ako se ima dolgost proti širokosti kakor 40 : 9 ? 23. ) A in B zapustita ob istem času isti kraj. A gre proti severu in prehodi vsak dan 3f milj. B gre proti zahodu in prehodi vsak dan 5 milj. V koliko dneh sta 25 milj narazen. Nečisto kvadratne jeduačbe. §. 138. Kvadratno jednačbo imenujemo nečisto, ako v njej nahajamo neznanko v drugej in prvej stopnji. N. pr. X* + ax — b V tej jednačbi ima najvišja potenca neznanke (x 2 ) koeficijent 1, neznanko nahajamo samo na jednej strani, člen brez neznanke pa na drugej strani. In v tako obliko moremo spremeniti vsako nečisto kvadratno jednačbo s koeficijentom druge potence neznanke i. t. d, t. j. ako jednačbo uredimo. 4x + 17 = 587 4 % Ureditev 16x 2 + 17# = 587 . x TF x - T6- Ako je nečisto kvadratna jednačba urejena, moremo jo rešiti. Naj je dana jednačba x 2 + ax = b Ker iz izraza x 2 + ax ne moremo drugega korena poiskati, je treba, da pridenemo temu izrazu še tretji člen, tako imenovano kvadratno dopolnitev, s katerim dobimo na levej strani kvadrat binoma. V izrazu x 2 + ax manjka samo kvadrat druzega člena, ako si mislimo člen ax kot dvojni produkt binomovih členov. Drugi člen je potem -j, ker je 2 „~.x — ax. Da pa ostane jednačba resnična, moramo obema stranema prišteti kvadrat druzega člena ( 1 2 t. j. j. S tem dobimo ff2 x 2 + ax+-£=zb + — ali 11 162 * + f = ± (X 5 + T in * = - Irij/* + f V urejenej nečisto kvadratnej jednačbi je tedaj neznanka jednaka polovici koeficijenta prve potence neznanke z nasprot¬ nim znakom, več ali manj kvadratnemu korenu iz znanega člena povekšanega za kvadrat one koeficijentove polovice. Pokaži še na teh-le jednačbah, kako do rešitve nečisto kva¬ dratne jednačbe pridemo: 1.) + 8x — 20, 2.) x 2 + ox= — 6 , 3.)%* —9#= — 20, 4.) x 2 — 4x — 12, 5.) x 2 — Sz; = — 15, 6.) x 2 + mx = n Vaje. 1.) x 2 — 6x = 16 x = 3 ±K9 + 16 = 3 ±K25 = 3 ±5 Xi == 8 , x% - — 2 Poskus: 82 — 6.8 == 16 (—2)2 —6.(— 2) = 16 2.) x 2 + 8x = 240. 3.)x* + 2ax = b, 4.) 3x 2 + 18z = 216 5.) ax 2 + bx — c, 6.) 8.) 9a; 2 — 72x = — 135, 9.) 10 .) 4z; = 117, 7.) x 2 - ax ■ ax- 9000z 2 12.) 4x + 17 1 14. ) 15. ) x +1 5x + 2 x 25# 2 _ 587 ix 1 x-j-2 40 5x — 2 9025, x 13.) ~ + 15.) 1 30’ + 5, 16.) 11 .) 20 x + 5 x —1 x — 2 5» +1 bx = c, ax — bx 2 + 2.r — 3 ' .V 1-0 ■b , - Q 5 — °1S' i a; — 3 x — 4 3x — 1 1 24 1 + 3 = 0 17. ) Neka njiva, ki ima podobo pravokotnika, meri 2-58 hektarov. Njena dolgost je 22 metrov daljša od širokosti. Kako dolga in kako široka je ta njiva? 18. ) Razdeli 36 ”j dolgo črto tako v dva dela, da pravokotnik iz teh dveh delov meri 320 □ “/. 19. ) Neka družba hoče od svojih udov 1080 d. nabrati. Koliko oseb je v tej družbi, ako bi morala vsaka oseba 6 11. več dati, če 6 udov izstopi? 20. ) Nek kupec ima dve vrsti nekega blaga. 10“/ boljše vrste stane 2-5 d. več kakor 10”/ slabše vrste, Ako kupiš vsa¬ kega blaga za 10 d., dobiš slabšega blaga 2 ‘"j več kakor boljšega. Koliko stane meter vsake vrste? 163 21. ) Nekdo kupi vrt za nek denar, kmalo potem ga proda za 750 fi. Dobička ima toliko odstotkov od kupnine, kolikor je njeni 20. del. Za koliko je kupil vrt? 22. ) Nekdo kupi za 225 fi. ovsa, hektoliter po nekej ceni. Čez jeden teden bi bil za isti denar 10 SUfo manj dobil, ker je hektoliter za 25 kr. se podražil. Koliko hektolitrov ovsa je kupil? 23. ) Dijagonala pravokotnika s 534'"'/ dolgim obsegom je 195®/ dolga; kako dolg in kako širok je ta pravokotnik? 24. ) V pravokotnem trokotu je jedna kateta za 1 meter daljša ka¬ kor druga, hipotenuza pa 9*/ daljša od manjše katete. Kako dolge strani ima trokot? 25. ) Delavca A in B prevzameta neko delo; delavec B dela 1| dneva sam in oba skupaj še 6 dni, da je delo dovršeno. V ko¬ likih dneh bi vsak delavec sam to delo dovršil, ako delavec B za to delo 3 dni več potrebuje kakor A? 26. ) Ako odpremo dve cevi, napolnite ob jednem nek vodnjak v 6 urah. Po jednej cevi samej bi pa napolnili vodnjak 5 ur pozneje z vodo, kakor po drugej cevi samej; v kolikih urah napolni vsaka cev za se vodnjak? 27. ) Nek popotnik potrebuje 3 dni več od druzega, da prehodi 60 milj, ker drugi vsak dan miljo več prehodi kakor prvi. Koliko dni potrebuje za to pot? 28. ) Razdeliti imamo med neko število ljudi 240 fi. Ako pa 4 pre¬ puste svoj delež ostalim, dobi vsak ostali človek 3 ff. več. Za koliko ljudi je bil ta denar namenjen? 29. ) Nek oče je zapustil svojim otrokom 14400 tl., in vsakemu jednako. Kmalo po njegovej smrti umerjeta 2 otroka in vsled tega dobi vsak ostalih otrok 1200 fi. več, kakor bi bil drugače dobil. Koliko otrok je zapustil oni oče? 164 Terminologija. A. 165 F. gfaftor, množnik, faktor. gbrtlmtfettbe ‘tproportioit, zaporedna golgefafc, posledek, izvodek. razmera. gmitfer, petika. G. ©efeHfd)aftžredjramg, družni račun, ©letcfjbejeidjnet, istoznačen. ©letdptamig, istoimensk. ©letdjuttg, jednačba. ®lieb, člen. ^auptgro^e, glavna količina. Ikvcmžljdien, izločiti. I. Imaginaren, mmginar. Imenivec, -Jiemter. „ skupni, gemetnfdE)aftličt)er 9fenner. ■Sntereffen, obresti. Istoimensk, gletcEjuamig. Istoznačen, gleidjbejetdjnet. Izločiti, I)erauSf)eben. Jednačba, ©letdpmg. „ določilna, $8efihratrurtgS= gleid)ung. „ identična, ibentifdje ®Iet- djung. „ kvadratna, quabratifd)e @Ietd)ung. „ čistokvadratna, reutquct= bvattfdje ®letd)ung. „ nečistokvadratna, uttretm quabratifd)e ©leidjuttg, „ iztrebljena, ©ttmirutttond= gleidjmtg. ©rab, stopnja. ©rijfje, količina. ©runboperation, osnovni račun, ©vunbfati, osnovni izrek. H. Ihtnberter, stotica. |junberttaiifenber, stotisočica. Izpoznatek, spoznatek, ^etrasetdjen. Izrek, 8eljrfa£. „ osnovni, ©rmtbfafj. Izraz mnogočlenkast, mef)rg(iebri= ger Službrud. Iztrebiti, eltnttmerett. Izvod, jprobuft. Iztrebljena jednačba, @ltnttncttion&= gletdjuttg. Jednojka, (Strtfer. Jednota, (Stnfjeit. „ prvotna, ©runbetnljett. „ prvega reda, erfter Drb= nung. „ druzega reda, jtoetter Drb= mtng. „ tretjega reda, brttter £)vb* nung. i. t. d. u. f. m. „ desetasta, befabifdje ©in= fjeit. „ črtna, Stuieneinljeit. 166 K. Capital, glavnica, kapital. Kazalo, ©jponent. ^emtjetdjen, spoznatek. $ennjtffer, značajka, karakteristika. $ettenregel, sovezni račun. Količina, ©rojje. Količnik, Ouotient. Koren, SSurjel. „ kvadraten, Duabratourjel. „ kubičen, jhtbiftourjel. Koren izračunljiv, rajiortale SBurjet. „ neizračunljiv, irrajionale SBurjel. Koreniti, SČurjelauSjte^en. Korenjenec, 9iabifanb. Krožnina, $retSflad)e. Kubus, ŠutmS. Kvadrat, Ouabrat. Kvocijent, Ouotient. „ delsk, 2f)eilquotient. Seljtfag, izrek, dovod. Sogaritljem, logaritem. Sogaritljmanb, logaritmand. L. Logaritemska sestava, Iogaritl)nti= fdjež ©pftem. Logaritmovnik, Sogaritfjmentafet. M. SJJafj, mera. SDčarttiffe, mantisa, pridavek, SDieljrjtffttg, mnogeštevilkast. Merjenje, STOeffen. Mera, SJČajj, Skakal)!. „ skupna, gemetnfdjaftltdješ SKafj. Milijonice, Stkittioiten. 2Rtmtenb, minuend, zmanjšanec. Mnogokratnik, 2?ielfad)e$. „ skupni, baž gemetn= fct)afttidje SSietfadje. Množenec, SCUultiplifanb. Množenje, Skultiplifation. Množiti, muttipKjieren, Množilec, Skultiplifator. Množnik, gaftor. Stkonom, jednočlenik, monom. SRuttiplifaticm, množenje. SDluItiplifator, množilec, multipli- kator. SJJultipltfanb, množenec, multipli- kand. ‘Dtultipltjieren, množiti. N. Način, Sltetfjobe. Načrtanje, Darftedmtg. „ primerjalni, ©ontparationž« Namestiti, fubftituieren. metljobe. Nastaviti, anfegen. „ zamenjalni, ©ubjlttutionž* Dčeunet, imenivec. metljobe. 9?euner, devetika. „ jednakih koeficijentov, 9Dte= Neznanka, Unbefctrtnte. tfjobe gleidjer ©oeffijtenten. Ničla, 9M. Obresti, ginfett. Odstotek, jprojent. O. Odštevanec, ©ubtraljenb. Odštevanje, ©ubtraction. 167 Okrajšati, Stbftirjen. Omera, 58 eri) Sitni b. „ geometrijska, geom. Seri). „ upadna, faHenbež. ®ert). „ rastna, fleigettbeS SSerl). „ jednakosti, SSerlj. b. @letd)= l)eit. Omera obratna, umgeleijrtež Serij. „ številna, 3alj(en=Serl). „ količinska, @r&jjeit=Serlj. Obrten, urediti. DrbnungSjaljlen, redovna števila. Osmika, Stoter. Ostanek, jReft. P. Petika, 3?iinfer. Sertobe, povračaj, perjoda. Šlu8, več, plus. Podlaga, 23aftS. Podložnica, ©runbltnic. Solpnom, mnogočlenik, polinom. Polovica, bie bpalfte. Posledek, jjolgefafc. Potenca, potenj. „ upadna, faHenbe potenj. „ rastna, fteigenbe potenj. Potencovati, potenjieren. Ouogient, količnik, kvocijent. Razdelno število, SljetlungSjaljt. Razdelna vsota, Stjettungžfumme. Račun, 9tedjnung. Stabtcanb, korenjenec, radikand. Razlika, SDtfferenj. Razločitev, .gerlegmtg. Razmera, j)3roporttoit. „ stalna, ftetige iJSroportion. „ številna, 3nl)lenproport. „ sestavljena, jufammetts gefejjte ^roportton. „ količinska, ©rojjenprop. Razmeren, proportionirt. „ ravno, gerabe proport. „ obratno, »erlel)rt prop. Razmernica, ^roportionale. „ geometrijska, geotnes trijdje jproportionale. Potencovanje, ^otenjtetcn. Pretresavati, biScutieren. Pridobitelc, Sortljeil. Pridavek, SSPantiffe. Primerjanje, Sergleid)eit. Pristavek, 3 u f ai l* Srobult, izvod. Produkt delsk, iljetlprobuft. Sroportion, razmera, jproportionirt, razmeren. Stojent, odstotek. Q B. Raznoimensk, ungletdjmimt g. Raznoznačen, ungtetdjOejeid) ttet. Razrešitev, 2luflojurtg. jftedjnen, številiti, računiti. Recipročna, vzratna vrednost, rejt= p roler SBertt). jftebujteren, skrčiti, šftebuftton, skrčite v, Regeldetrija, jftegetbetrie. „ jednostavna, etnfadje jftegetbetrie. „ sestavljena, jufcmt* mengefejste 'Jiegelbetrie. jfteft, ostanek, jftefuttat, znesek. Rešiti, auflojeit. 168 S. <2>ecf)fer, šestika. Sedmika, ©tebeiter. Skrčiti, rebujteren. Skrčitev, 9?ebuction. Seštevati, abbiereit. Seštevnik, ©ununanb. Stopnja, ©rab. Stotina, bpunberter. Š. Šestika, ©ed)fer. Šterka, Sierer Šteti, §af)tett. Šteti nazaj, riicfroartž jaljien. v „ naprej, norroartS jahten. Številka, 3iffer. „ „ višja, IjoEjere 3iffer. Steviliti, redjneu. Številna črta, ,3a()teitlurie. ,, uredba, „ vrsta, ,3afylenreti)e. Število, 3al)L „ algebrajsko, algebratjdje 3 ll P- „ desetasto, befabtfdje „ „ dodajalno, abbitine „ „ jednoštevilkasto, einjifferige 3#- £aitfenber, tisočica. Sdjeitbar, deljiv. jEfjeilbarieit, deljivost. 3d)etlred)ramg, razdelili račun. £t)etiuug, delitev. Stotisočina, |iunberttattfenber. ©ubftituieren, namestiti, substito- vati. ©ubtractiou,. odštevanje, ©ubtraljenb, odštevanec, zmanjše- valec, subtrahend. ©unnne, vsota. ©untntaub, seštevnik. Število mešano, gemifdjte 3“^- „ mnogoštevilkasto, meljrjtff* rige 3at)t. „ neparno, ungerabe 3 a ^- „ nikavno, negativno, nega= tise 3al)I. „ občno, attgemeine 3^1- „ oziravno, relativno, retutiue 3 #- „ odjemalno, fubtractioe 3aljl. „ parno, gerabe „ „ posebno, befonbere „ „ pozitivno, pofittoe „ „ sestavljeno, jufammengefe^te 3 #- „ osnovno, ©ruubjaljL T. Tetiva, bie ©etjne. Tisočica, $aufenber. Točka decimalna. jErinont, tročlenik. trinom. Trojka, SDreier. V. Ulomek, 33rud). „ brezkončen, decimalen, tmenblidjer ©ejtmalbrud). „ čisto perjodsk, rent periobifcf)er ®ejtmatbrud). „ decimalen, desetinast, ©ejimcdbruci). „ končen, decimalen, enblidjer ©ejtmalbtud). „ navaden, gemeiner 33rud). 169 Ulomek, nečisto perjodsk, uttreitt periobifcfjer ©ejtmalbrudj. „ nepravi, rmedjter ©rud). „ neresničen, unetgentlitf)er ©rud). „ perjodsk, povraten, pertobtfdjer iDejmtat&rud). „ pravi, ed)ter ©rud). „ razširjen, ertoeiterter ©rud). Uubefamtte, neznanka. Ungletdjnatmg, raznoimensk. Ungleidj&ejetdjnet, raznoznačen. Uravnati, einrtdjtett. Urediti, orbneit. F. Več, nteljr, ptuS. Vrednost, SBertt). „ številna, 3 a ^ cnMj ertl). „ številčna, 3tff ern ' t,er ^)‘ „ mestna številčna, ©tettett= mertlj ber 3iff er - ©ergteidjen, primerjati. ©erljaltniž, omera. ©telfnd)eb, mnogokratnik. ©terer, šterka. Visočina, |)6t)e. ©ortljeil, pridobitek. Vsota, (Sumnte. „ številčna, 3tff ern f umme - „ izvršena, auSgefiiljrte ©murne. „ nakazana, angejetgte „ „ algebrajska, ntgebratfrfje „ Vzratna vrednost, redprofer SBertf). SBertf), vrednost. W. SBurjet, Koren. Z. 3cd)I, število. 3nl)tenred)e, številna vrsta. 3cd)tenfl)ftem, številna uredba. 3atilen, šteti. 38()ter, števec. Zaporedna razmera, fortlaufenbe ©roportiott. 3e^ner, desetica. 3el)tttaufenber, desettisočiča. 3erteguug, razložitev. 3tffer, številka. Zmanjševalec, ©ubtraljenb. Zmanjševanec, SJdtutenb. Značajka, Sennpffer. Znesek, 9tefultat. 3 ujal 5 , pristavek. 3®eier, dvojka. 12 Kazalo Stran Predgovor.III. Vvod. Pojem števila in njegovo zaznačenje.1 Osnovne resnice.2 Zaznačenje posebnih števil.2 Načrtanje celili števil.6 Prvi oddelek. Raounjanje s celimi števili. Seštevanje sploh.6 Seštevanje imenastih števil.10 Seštevanje dekadičnih celili števil.11 Odštevanje sploh.12 Odštevanje imenastih števil.18 Odštevanje dekadičnih celih števil.19 Seštevanje in odštevanje jednačb in nejednačb.20 Algebrajska števila.20 Seštevanje in odštevanje algebrajskih števil.22 Množenje sploh.23 Množenje imenastih števil.29 Množenje dekadičnih števil.29 Deljenje sploh.32 Deljenje imenastih števil.43 Deljenje dekadičnih števil.44 Množenje in deljenje algebrajskih števil.46 Množenje in deljenje jednačb in nejednačb.48 Drugi oddelek. O deljivosti števil.50 Razložitev števila v njegove prafaktorje.52 Največja skupna mera.52 Najmanjši skupni mnogokratnik.56 Tretji oddelek. Stran. 0 ulomkih ali drobih..58 Uravnavanje ulomkov.61 Izprememba nepravih ulomkov v mešana števila . . . .61 Razširjenje ulomkov.62 Okrajšanje ulomkov.63 Računjanje z ulomki.64 Decimalni ulomki.71 Izprememba navadnih ulomkov v decimalne in narobe . . 74 Računjanje z decimalnimi ulomki.77 Četrti oddelek. 0 omerah in razmerah. A. O omerah.85 B. O razmerah.88 C. Regeldetrija ..95 C. Družni ali delni račun.100 D. Sovezni račun . ..102 Peti oddelek. O potencah, korenih in logaritmih. A. O potencah.105 B. O korenih.110 C. O logaritmih.•.126 Nesti oddelek. 0 jednaobah, A. Jednačbe prve stopnje.141 Jednačbe z jedno neznanko.142 Jednačba z dvema neznankama.151 Jednačbe s tremi ali več neznankami.155 B. Jednačbe druge stopnje z jedno neznanko.159 Čisto kvadratne jednačbe .159 Nečisto kvadratne jednačbe.161 Terminologija . . ^.164