Rechenbuch für die erste Glaste der K n a b e n - B ü r g e r s ch u l e n. Von vr. Fran? Ritter non Msrnik. Achte, umgearbeitete Auflage. Mit hohem k. k. Ministerial-Erlass vom 13. Februar 1889, Zahl 1880, allgemein zulässig erklärt. I>reis: geheftet 30 kr., in Leinwand-Einband 40 lir. Nmg: Wien: Feixzig: F. TL.mpsky. F. Tempsky. G. Freytag. Buchhändler der kaiserl. Akademie der Wissenschaften in Wien. 1889. 296L41 K. I. Hofbuchdrucker Fr. Winiker L Schrckardt, Brünn. Äüij Vorerinnerung. Die für die Bürgerschulen in den einzelnen Ländern sestgestellten neuen Lehrpläne stimmen bezüglich des Rechnens zwar in dem Gesammt- inhalte des Übnngsstoffes überein, weichen jedoch in der Vertheilung des¬ selben auf die einzelnen Classen theilweise voneinander ab, indem einige Lehrstoffe hier der einen und dort einer anderen Classe zugewiesen sind. Um diesen Abweichungen Rechnung zu tragen, wurden solche Lehrstoffe in die Rechenhefte mehrerer Classen wiederholt ausgenommen. Dahin gehört in dem vorliegenden Hefte die Lehre von den Verhältnissen und Proportionen, welche hier wegzulassen ist, wenn sie nach dem Lehrplane erst in der II. Classe an die Reihe kommen soll. Der Verfasser. InlMs-vryeichnis. Seite I. Rechnen mit unbenannten und seinnamigens ganzen und Veči¬ ni alzahlen . >. - .1 1. Addieren. 1 2. Subtrahieren - - - - - .5 3. Multiplicieren ..... ..... . . 9 4. Dividieren. ....... 13 II. Lheilbarkeit der Zahlen. Größtes gemeinschaftliches Maß und kleinstes gemeinschaftliches Vielfaches.19 III. Rechnen mit gemeinen Brüchen . ..23 IV. Rechnen mit mehrnamigen Zahlen.33 V. Rechcnvortheile und Abkürzungen beim Multiplicieren und Dividieren . .-.42 1. Rechenvortheile bei der Mnltiplication.42 2. Rechenvortheile bei der Division. 44 3. Abgekürzte Mnltiplication - .45 4. Abgekürzte Division. ... 48 VI. Schlussrechnungen . . . . . . 50 VII. Verhältnisse und Proportionen.56 1. Verhältnisse. . . 56 2. Proportionen ... 58 VIII. Vermischte Wiedcrholungsaufgaben . . .... 61 Anhang. Maße, Gewichte und Münzen.68 1. Zeit-, Winkel- und Zählmaße . . ..68 2. Das französische metrische Maß- und Gewichtssystem .... 69 3. Maße, Gewichte und Münzen der österreichisch-ungarischen Monarchie . 70 I. Rechnen mit unbenannten und einnamigen ganzen und Decimatzahten. 1. Addieren. Addieren heißt, eine Zahl suchen, welche zwei oder mehreren ge¬ gebenen Zahlen zusammen genommen gleich ist. Die gegebenen Zahlen heißen Summanden, auch Posten; die Zahl, welche man durch die Addition findet, wird Summe genannt. Das Zeichen der Addition ist -fi (mehr); z. B. 5 -j- 3 8 be¬ deutet: 5 mehr 3 ist gleich 8, oder: 5 und 3 ist 8. Addition ganzer Zahlen. Aufgaben?) 1? Zähle in der natürlichen Zahlenreihe von 4 aus um 3 Einheiten, und dann von 3 aus um 4 Einheiten vorwärts; zu welcher Zahl gelangst du in jedem Falle? Was folgt daraus? 2? 37 -j- 9 1 -4 2 2 -4 6 -4 6 -j- 3 4- 5 ^? 3? Addiere folgende Zahl s,) in wagrechter, l>) in lothrechter Richtung: I-j-3-j-5fi-7-fi9-s-8^-6-j- 4 3-s-4-j-5-j-6-j-7-j-8-j-9-s-10 5 > 9-j-3-s-7 -j- 1-j-5-j-93 7-fi 4 -P 18-j-5 > 2 9 Z- 6 9-j-8-j-7 fi-6 — 8-s-4 Z-3-s- 2 Anstatt zu einer Zahl nach und nach mehrere Zahlen zu addieren, kann man zu ihr auf einmal die Summe dieser Zahlen addieren? 11? a) 458 -s- 208 -fi 92. b) 123 P- 116 -s- 84. *) Die hier und weiterhin mit einem Sternchen (*) bezeichneten Aufgaben sind im Kopfe auszuführen. Močnik, Rechenbuch f. d. I. Classe d. Knaben-Bürgerschulen. 8. Aufl. 1 2 Es ist vortheilhaft, beim Addieren größerer Zahlen weder das Wörtchen u n d, noch die einzelnen zu addierenden Ziffern auszusprechen, sondern sogleich nur die jedesmalige Summe zu neunen. So wäre bei der letzten Aufgabe zu sprechen: 2, 10, 16, 25; 2,11, 1b, 24: 2, 11, 13, 14, 20; u.s. w. - 14. 420985 -st- 373612 st- 90708 st- 123071. 15. 10924 st- 510 8-st 371248 st- 915 st- 30924. 16. 35784 -st 9876 st- 8765 st- 7654 st- 1234 st- 35197. 17. 378459 -st- 2091358 -st 1708205 -st- 197850 st- 9387193. 18. Addiere die Zahlen 7954261, 3087, 19343780, 24693, 5400738, 3507901, 8979800, 57934207. 20. Addiere die folgenden Zahlen, und zwar zuerst jene der loth- rcchten, dann jene der wagrechten Reihen; addiere ferner die bei den loth- rechten Reihen, und dann die bei den wagrechten Reihen erhaltenen Summen: 793458 st- 1237924 -j- 9321 -j- 9851367 -st 705231 85371 st- 805186 st- 572913 -st- 82190 -st-860409 134513 -st 9083 -st 74528 -st- 62804 -st 19375 618727 -s- 129158 -st 193409 -st 708356 -st 937248 9369 st- 72578 st- 385396 -st 2503124 -st 56409 1. 45-36 1359 28-74 87-69 Addition von Hecimalzahlcn. 4 -s- 9 -st 6 — 19 Hundertel — 1 Zehntel 9 Hundertel. 1-st7-st5-st3 — 16 Zehntel — 1 Einer 6 Zehntel. 1-st8-s-3-st5 — 17 Einer — 1 Zehner 7 Einer. 1-st2st-1-st4 — 8 Zehner. 2. a) 5 6 3'7 12-9 b) 65'3 29'9 77-7 e) 0-83 0-59 0-66 ä) 18'25 7-9 0086 3 3. 749-574 -j- 76'856 Z- 9'237 4. 224-57 -ch- 395-086 -s- 17'8 -j- 9'76. 5. 4-3125 -s- 2-13567 Z- 7'0084 -s- 51'383 Z- 12'1567. 6. 35-148 -f- 13'856 -s- 25'377 -s- 33'209 Z- 28'185. 7. 0'3784 > 0'4785 Z- 16 -s- 0'2345 -s- 24 -p- 1'475. 8. 0'5 -s- 0-25 -s- 0'125 -j- 0'0625 -j- 0'03125. 9. 5'0863 > 2'897 -j- 10'1306 Z- 4'77235 8'52. Iv. Welche Zahl ist um 127-75 größer als 293'125? 11. Addiere drei Zahlen, von denen die erste 17'834, die zweite um 4-83 größer als die erste, und die dritte um 5'712 größer als die zweite ist. 12. 5'347 -s- 12'84156 -s- 37'19584 -s- 0'937856. , 13. 29-3456 Z- 35'98765 Z- 213'8485 -s- 38'456. 14. Verrichte die Addition folgender Zahlen in lothrechter und wag¬ rechter Richtung: 35 246 -s- 13-73593 Z- 8'74612 -s-0'513678 -s- 277'63. 8.37947 -> 35'1236 -> 10'57809 -j-5'21936 -> 9'1578 40'897654 Z- 87'930^57 -> 9'269 -> 7'843976 -> 834'5 39-0784' -> 9-7'64318 Z- 14-79345 -s- 2-653339 -s- 84'427 0'2M37-s- 5'665524-> 7-Z31H60'97'"' -> 12'139 Addition einnamig benannter Zahlen. 1. * Jemand hat zwei Fässer Wein; das eine enthält 785 das zweite 130 r mehr; wie viel Wein ist in dem zweiten Fasse? 2. ^ Eine Bürgerschule hat in der ersten Classe 76 Knaben, in der zweiten 60, in der dritten 48; wie groß ist die Gesammtzahl der Schüler? 3. Jemand hat folgende Beträge eingenommen: im JännerJ345 fl., im Februar 810 fl., im März 98 fl., im April 635 fl., im Mai 1082 fl., im Juni 217 fl.; wie viel im ganzen? H 4. Ein Besitzer erzeugte in zehn auf einander folgenden Jahren 714, 635, 837, 512, 538, 693, 810, 855, 719,^88 Wein; wie viel wäh¬ rend des ganzen Decenniums? 3. Ein Kaufmann erhält 6 Fässer mit Öl; in dem ersten sind 240, in dem zweiten 215, in dem dritten 210, in dem vierten 220, in den; fünften 224, in dem sechsten 225 wie viel zusammen? W 4 6. Der wie vielte Tag eines gemeinen Jahres ist der 5. März, der 17. Mai, der 29. Juli, der 10. August, der 15. October, der 30. November? 7. Kaiser Franz I. wurde geboren zu Florenz im Jahre 1768, be¬ stieg in einem Alter von 24 Jahren den Thron und starb nach einer 43jährigen Regierung. Wann trat er die Regierung an, wann starb er nnd welches Alter erreichte er? 8. Jemand schuldet an 3268 fl., an 8 4550 fl., an 6 1880 fl., an I) 2736 fl.; wie viel an alle zusammen? 9. Ein Kaufmann hat Waren am Lager, und zwar Kaffee um 785 fl., Zucker um 970 fl., sonstige Artikel um 4575 fl.; wie viel ist sein ganzes Warenlager wert? 10. Von vier Eisenbahnstationen beträgt die Entfernung der Station 8 von /4 5967 m, der Station 0 von 8 7843 m, der Station D von 0 8035 m; wie weit ist 0 von ^4, wie weit I) von r4 entfernt? erntete 23'3 Korn, 8 4 47 mehr als ^4, 0 17'43 mehr als ^4 und 8 zusammen; wie viel beträgt die Gesammt-Kornernte der drei Landleute? 12. Ein frei fallender Körper legt in der 1. Secunde 4'9 m, in jeder folgenden Secunde 9'8 m mehr als in der vorhergehenden zurück; welche Strecke legt er a) in der 2., 3., 4. Secunde, b) in allen vier Sekun¬ den zurück? 13. Vier Capitalien tragen einzeln 112'35 fl., 87'5 fl., 53'125 fl., 188'75 fl. jährlichen Zins; wie viel zusammen? 1-4. Die Seiten eines Fünfeckes sind 25'124 m, 32 315 m, 20'25 m, 17'136 m, 15'248 m; wie groß ist der Umfang? 15. Ein Landwirt besitzt 63'42 ^a Äcker, 14'75 Ka Wiesen und Gärten und 57'39 /ra Wald: wie viel Bodenfläche zusammen? 16. Ein Silberarbeiter hat 2-3125, 1'872, 4'1785, 2-794 Silber- verarbeitet; wie viel beträgt dies zusammen? 17. Der Bau einer Eisenbahn verursachte folgende Kosten: für die Grundeinlösung 1808457 „ den Unterbau 19344605 „ den Oberbau 8074726 „ Gebäude 2317950 „ Verschiedenes 456082 18. Böhmen hat an Ackerland 2494384 /ra, an Weingärten 1063-ra, an Wiesen und Gärten 605574 Ka, an Weiden 394071 -ra, an Waldungen 1506188 /ra und an nicht productiver Bodenfläche 1699120 /ra: wie groß ist der Flächeninhalt dieses Kroulandes? fl- wie hoch belaufen sich diesämmt- lichen Anlagekosten? 5 19. Nach der in Österreich-Ungarn Ende 1880 vvrgenommenen Volks¬ zählung hatten die im Reichsrathe vertretenen Länder 22144244 und die Länder der ungarischen Krone 15725.710 Einwohner; wie groß war damals die Bevölkerung der ganzen Monarchie? 29. Zu einem gemeinschaftlichen Geschäfte gab 14 2956'6 fl., 8 um 532'2 fl. mehr als -4, und 6 um 464'2 fl. mehr als 8. Der Gewinn aus diesem Geschäfte wurde so vertheilt, dass >4 739'15 fl., 8 um 133'05 fl. mehr als 14, und 0 um 116'05 fl. mehr als 8 bekam. Wie viel haben alle zusammen eingelegt, und wie groß ist der ganze Gewinn gewesen? 2. Subtrahieren. Subtrahieren heißt, aus der Summe zweier Zahlen und einem der beiden Summanden den andern suchen. Die gegebene Summe als die Zahl, von welcher subtrahiert werden soll, heißt Minuend, der gegebene Summand als die Zahl, welche subtrahiert werden soll, heißt Subtrahend; die Zahl, die man als Resultat erhält, heißt Differenz oder Rest. Das Zeichen der Subtraction ist — (weniger); z. B. 7 — 4 — 3 wird gelesen: 7 weniger 4 ist gleich 3, oder: 4 von 7 bleibt 3. Subtraction ganzer Zahlen. Aufgaben. 1. * Zähle von 12 weg 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. 2. * Wie viel muss man zu 6, 7, 8, 9 zuzählen, um 15 zu erhalten? 3. * Bestimme folgende Differenzen: Man sprich: hier im ersten Beispiele: 3 und 2 ist 5, 1 und 7 ist 8, 6 und 1 ist 7, und schreibt die jedesmal addierte Ziffer unter die subtrahierten Stellen. — Im zweiten Beispiele spricht man: 8 und 7 ist 15, bleibt 1; 1 und 3 ist 4 und 0 ist 4; 3 und 7 ist 10, bleibt 1; 1 und 3 ist 4. 6 14. Um wie viel ist 8345097 Z- 1920784 -s- 764883 größer als 976342 -Z 2398745 Z- 139038? 15. Bestimme den Unterschied zwischen 78903456 — 62987491 und 33557799— 11446688. 16. Subtrahiere von den bei den Additionsaufgaben 13. bis 19. (Seite 2) erhaltenen Summen nach und nach die einzelnen Summanden. 17? 375 — 68 — 32 375 — 100 Anstatt von einer Zahl nach und nach zwei oder mehrere Zahlen zu subtrahieren, kann man auf einmal ihre Summe subtrahieren. 18? a) 234 — 57 — 43. 19. Von der Zahl 731542 Rest 216528 b) 781 — 225 — 75. Anstatt hier zuerst die zu subtrahierenden Zahlen zn addieren und sodann ihre Summe von dem gegebenen Minuend zu subtrahieren, kann man mit der Addition der zu subtrahie¬ renden Zahlen unmittelbar auch die Subtraktion von dem gegebenen Minuend verbinden. Man addiert nämlich zuerst die Einer aller zu sub¬ trahierenden Zahlen und sucht, wie viel man zu ihrer Summe 24 noch addieren müsse, um die nächste höhere Zahl zu bekommen, welche an der Stelle der Einer 2 hat, d. i. um 32 zu erhalten; dann verfährt man ebenso mit den Zehnern, Hunderten u. s. w. Da¬ bei spricht man: 8, 14. 23, 24 und 8 ist 32, bleibt 3; 3, 10,18, 23, 32 und 2 ist 34, bleibt 3; u. s. f. 26. 94789384 — (12356938 Z- 39279 -f- 64082641). 21. 13902080 - (480937ß > 23219 -s- 907456 -j- 193). 22. 8341709 — (763583 -s- 937846 -f- 293588). 23. 98765432 — (1234567 -f- 8901234 -j- 5678901 -j- 2345678). ZMraction von Decimalzahlen. 1. a) 0 735 — 0'274. b) 25'78 — 19'9. o) 7 346 — 4. 2. u) 72'4 — 9'88. b) 10 — 6'75. o) 1 - 0'384. 3. a) 37-784 — 15'384. k) 67'857 — 28'3. 4. u) 15'207 — 8'08. k) 12'3 - 9'876. 5. u) 41-8605 — 27-3926. k) 0 543 — 0'3149. 7 6. a) 55'3124 — 13'8751 k) 12 9472 — 8'315. 7. a) 333'78 — 108'333 5) 7'3 — 0'3589. 8. a) 0'673042 — 0'374998. 6) 36 — 0 00795. 9. a) 823'25463 — 788'9357. 6) 3 9527 — 2'8973176. 10. Um wie viel ist 7'8939 größer als 6'935? 11. Um wie viel ist 37'485 kleiner als 40? 12. Welche Zahl ist um 3'3333 kleiner als 12'8333? 13. Subtrahiere vou den bei den Additionsaufgaben 3. bis 9. (Seite 3) erhaltenen Summen nach und nach die einzelnen Summanden. 1-4. Um wie viel ist die Summe 3'149 -st 8'71938 st- 10'08 größer als 9'79345 st- 1'859559? 15. 371-756 — (58'3475 -st 108'99 -st 73'8055). 16. (5'34562 -st 9'07834) — (4'30855 -st 2'19931 -st 0'86603). 17. (85'367 — 35'833) -st (15'79 st- 28'108) — (13'784 -st 8'215 st- 18-75 st- 25'3092). SMrartion einnamig benannter Zahlen. 1.2 Jemand nimmt in einem Jahre 1800 fl. ein und gibt 1348 st. aus; wie viel erspart er? 2. * Ein Vater ist 60 Jahre alt, sein Sohn 32 Jahre jünger; wie alt ist der Sohn? 3. Welches Datum schreibt man am 35sten, 87sten, 104ten, 233sten, 281sten, 3O7ten, 360sten Tage eines Schaltjahres? 4.2 Zwei Fässer Kaffee wiegen 630 die Fässer für sich wiegen 22 wie viel Kaffee enthalten die beiden Fässer? 5.2 Auf einem Gebäude steht die Jahreszahl 1639; wie alt ist dieses Gebäude? 6. Der Wasserspiegel eines Flusses liegt bei ^4 2478 m-, bei L 1938 m, über der Meeresfläche; wie groß ist sein Gefälle von 14 bis L? 7. Die Erfindung des Papiers Wt in das Jahr 1240, jene des Schießpulvers in das Jahr 1356, jene des Fernrohres in das Jahr 1608, und die Erfindung der Dampfmaschinen in das Jahr 1699; wie lange ist es seit jeder dieser Erfindungen? 8. Ein Haus, aus welchem 3580 fl., 2300 fl., 1860 fl. und 1525 fl. Schulden lasten, wird um 10000 fl. verkauft; wie viel bleibt dem Eigen- thümer nach der Tilgung aller Schulden übrig? 9. Wien zählte im Jahre 1840 357815 Einwohner, im Jahre 1880 726105; um wie viel hat die Bevölkerung Wiens während der Zwischen¬ zeit zugenommen? 8 10. Jemand kauft eine Ware um 685'16 fl. nach drei Monaten zahlbar; wie viel hat er dafür sogleich zu bezahlen, wenn ihm wegen der früheren Bezahlung 17'12 fl. nachgelassen werden? 11. Jemand schuldet 1382'46 fl., davon zahlt er 785'64 fl.; wie viel bleibt er noch schuldig? 12. Jemand hat 5280 fl. Schulden, zu deren Bezahlung ihm 2875 fl. fehlen; wie viel Bargeld hat er? 13. Eine Ware wurde um 138'35 fl. eingekauft und um 177'38 fl. verkauft; wie viel hat man dabei gewonnen? 14. Von einem Acker, welcher 328 a misst, werden 85'25 a ver¬ kauft; wie viel bleibt noch übrig? ' 15. Der längste Tag in Wien ist 15'967 Stunden, der kürzeste 8'583 Stunden; wie groß ist der Unterschied beider? 16. Ein Fass enthält 37'75 Wein; wenn nun daraus drei kleinere Fässer, von denen das erste 4'5 U, das zweite 5'25 U, das dritte 5'85 fasst, gefüllt werden, wie viel bleibt noch im großen Fasse übrig? 17. Jemand nimmt in einem Monate folgende Summen ein: 388 fl., 295 fl-, 57 fl., 167 fl., 315 fl.; dagegen gibt er aus: 237 fl., 410 fl., 117 fl.; wie groß ist der Überschuss der Einnahme über die Ausgabe? 18- Drei Kinder erbten nach dem Tode ihres Vaters ein bestimmtes Vermögen, und zwar 5400 fl., L 4850 fl. und 0 5350 fl. weniger als und 8 zusammen; wie viel erhielt 6, wie viel erbten alle drei Kinder? 19. Um ein Zimmer, das 6 m. lang und 5'5 m, breit ist, werden am Fußende der Wände ringsherum Fußleisten, d. i. etwa 12 am. hohe Bretter, angebracht; wie viel laufende m Fußleisten sind erforderlich, wenn für die Thüröffnungen 4'2 m. in Abzug gebracht werden? 20. Ein Londoner Pfund hat 0'4536 ein deutsches Pfund 0'5 ein russisches Pfund 0'7313 wie groß ist der Unterschied zwischen je zweien dieser Gewichte? 21. Österreich-Ungarn hat 624001'22 Lm? Flächeninhalt, hievon kommen auf die Länder der ungarischen Krone 324016'97 Lm?; wie viel auf die im Reichsrathe vertretenen Länder? 22. Unsere Erde hat eine Oberfläche von 9261203 geogr. Quadrat¬ meilen; davon entfallen auf jede kalte Zone 384062 Quadratmeilen, auf jede gemäßigte Zone 2400040 Quadratmeilen; wie viel Quadratmeilen um¬ fasst die heiße Zone? , . 7-si 1 s s )/ / 3. Mnltiplicieren. Multiplicieren heißt, eine Zahl so oft als Summand setzen, als eine zweite Zahl anzeigt. Die Zahl, welche öfter als Summand gesetzt werden soll, heißt Multiplicand; die Zahl, welche angibt, wie oft der Multiplicand zu setzen ist, heißt Multiplicator; das Resultat der Multi- plication wird Product genannt. Multiplicand und Multiplicator werden beide auch mit dem gemeinschaftlichen Namen Factoren bezeichnet. Das Zeichen der Multiplication ist X oder . (multipliciert mit, mal), z. B. 5 X 3 — 15 oder 5 . 3 — 15 wird gelesen: 5 multipliciert mit 3 ist gleich 15, oder: 3mal 5 ist 15. Multiplikation ganzer Zahlen. Aufgaben. 1.* Nimm jede der Zahlen 1, 2, 3,.. .8, 9, folgeweise Imal, 2mal 3mal,,.. 8mal, 9mal, und präge diese Products dem Gedächtnisse ein (das Einmaleins). 2* n) 8 X 2 9 X 5. 8) 9 X 8 - 6 X 7. 3. * 5 X 6 -s- 8 X 1 — 7 X 3. 4. * 7X7 — 8X3Z-4X6. 5. » Wie viel ist Imal 10, 2mal 10, 3mal 10,...9mal 10? 6. * Wie viel ist 2mal 100, 3mal 100,...9mal 100? 7* Wie viel ist 2mal 40, 3mal 20, 5mal 60? 8.* Wie viel ist 3mal 200, 2mal 500, 6mal 300 ? S* a) 72 X 4. 8) 56 X 3. e) 68 X 7. 10.* Nimm jede der Zahlen: 16, 25, 37, 48, 51, 69, 88 a) 2mal, 8) 3mal, o) 8mal, ä) 5mal, s) 7mal, 1) 4mal, K) 6mal. 1t* n) 603 x 8. . 8)281X9. o) 765 X 6. 12. 437 X 5 5mal 7 E. sind 35 E. -- 3 Z. ch- 5 E. 5mal 3 Z. sind 15 Z. und 3 Z. sind 18 Z. 1 H. 8Z. 5mal 4 H. sind 20 H. und 1 H. sind 21 H. X 3. 8) 8035 X 6 X 8. 8) 91072 X 5. 15. a) 134793 X 2. 8) 35709 X 7. 1«. n) 218354 X 6. 8) 836214 X 4. 17. Multipliciere 9387 nach der Reihe mit den Zahlen 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 18. Multipliciere 7085 mit 2, das Product wieder mit 2, das neue Product uoch mit 2 und das erhaltene Product wieder mit 2. 2185 13. ») 1823 . ai 8085 10 19. Multipliciere ebenso 19367 6mal nach einander mit 3, ebenso oft mit 4, 5, 6, .7, 8, 9. 20. Multipliciere jede der Zahlen: a) 9170854, d) 5891303, o) 77026539, ä) 4789155 mit jeder der Zahlen: x) 5, y) 6, r) 8, o) 9. 2t. a) 3165 X 10. ' l>) 8279 X 10. 22. a) 7843 X 100. k) 38100 X 100. 23. a) 319 X 10000. i>) 5700 X 10000. 24. Multipliciere 39572 mit 10, 100, 1000, 10000, 100000. 25. 93572 X 1000 -j- 7845 X 100 -s- 134790 X 10. 26. 27483 X 1000 -j- 93586 X 10 — 96583 X 100. 27? Wie viel ist 13mal 20, 14mal 51, 23mal 32, 22mal 340? L3M0 52325000 37. a) 91234 X 7800. i>) 70800 X 371. 38. ») 35800 X 97800K^^' 5) 83109000 X 93857. 39. Multipliciere 617385 a) mit 67, 1») mit 386, o) mit 7083. 49. Wie viel ist 31416mal a) 29005, k) 83442, o) 179355? 41. Multipliciere jede der Zahlen: a) 6335, la) 1930, o) 68904, ä) 57013 mit jeder der Zahlen: x) 987 6130, r) 34048, s) 78623. 42. 91347 X 12357 X 3248 43. 56789 X 1234 X 678 X 456. n d) a) 44. 780523 X 935386 Z- 238719 X 3709300. 45. 468029 X 783507 - 389785 X 690528. d) b) d) d) d) d) 6) b) 783 X 0'69 7'8413 X 1'7. 3-5 X 1'72. 7-83 X 2-83. 7-314 X 3'25. 35'27 X 9'4. 5 462 X 2'36. 71'25 X 6 03. 17-835 X 0-71. 41-23 X 0'25. 6 521 X 0 082. F. ») 17-085 X 10 7-4105 X 1000. .8. 8 9456 X 3. 4. 17-345 X 6. 5, Welchen Stellenwert hat das Product, wenn man Zehntel, Hun¬ dertel, . . . a) mit Zehnern, 1>) mit Hunderten, o) mit Tausenden, . . . multipliciert. 6^ Die Zahl 15 893 soll mit 10, 100, 1000, 10000, 100000 mul- tipliciert werden. Multiplikation von Decimahahlrn. 314159 X 100. 0 956 X 100000. 0'9876 X 90 7 157 X 800. 11. ^>Y928 X 0 1. 79'28 X 0'01. Die Multiplikation einer Zahl mit 0'1, 0 61, 0 001 bedeutet, dass man von der Zahl den lOteu, lOOsten, lOOOsten Theil zu nehmen hat. 12. a) 526'23 X 0'07. 6) 279'06 X 0'08. 13. Welchen Stellenwert hat das Prodnct, wenn man Hunderte, Zehner, Einer, Zehntel, Hundertel, ... n) mit Zehnteln, b) mit Hun¬ derteln, . . . multipliciert? 14. Wie viel ist 9'234 x 5'67? 9 234 X 5 ... 46170 9'234 X 06 ... 55404 9234 x 007 .. . 0-64638 52-35678 Im Products kommen so viele Decimalstellen vor, als ihrer die beiden Factoren enthalten. 15. 16. 17 18 19. 20 12 21. a) 23'915 X 9'93. d) 345-123 X 0'617 22. a) 6'451 X 80'01. d) 0'4992 X 0'327. 23. a) 2'3456 X 6'789. d) 0'3561 X 0'1375 24. a) 15'3287 X 57'89. d) 6'21046 X 0'01753 1 25. Wie viel beträgt 3'125 X 1'09 -j- 7'378 X 0'0137. X 26. Um wie viel ist 37 x 3'957 größer als 12'935 X 7'108? 27. a) 840-244 X 0'09573. ch) 8'444593 X 785'72. 28. a) 78l '642 X 0'81593. b) 399'1345 X 14'8875. 29. a) 9 51643 X 2'9857. U) 0'28719 X 0 53644. 30. Das Product zweier gleicher Factoreu wird Quadrat genannt. Bestimme das Quadrat von a) 2'14, U) 42'58, o) 0'17345, ä) 5'8078. 31. Das Product dreier gleic^r Faktoren wird Cubus genannt. Bestimme den Cubus von u) 0'15, 5) 6'34, o) 15'38, ä) 0'7925. 32. af 0'0000956 X 27'851. d) ^5'281 X 0'0119. 33. a) 8'23675 X 193 57. U) 23'8945 X 9'7513. , ^24'94407 X 85'263. U) 1H7938 x 24 8571. Mnltipliration einnamig benannter Zahlen. 1. * Ein Wein kostet 45 fl.; wie viel kosten 8 U? 8 sind 8mal 1 4k, sie kosten also 8mal 45 fl.; man hat daher 45 sl. X 8 360 fl. 2. * Ein « Gartengrund kostet 27 fl.; wie viel kostet ein K«? 3* Ein Beamter hat monatlich 125 fl. Gehalt; wie hoch ist sein Jahresgehalt? Der Umfang eines Wagenrades ist 3m,; wie viel m, legt das Rad nach 2345 Umdrehungen zurück? 5. Ein Eisenbahnzug, welcher jede Minute 475 m. fährt, legt die Entfernung zweier Stationen in 28 Minuten zurück; wie weit sind diese Stationen von einander entfernt? 6. Zur Heizung eines Dampfkessels sind täglich 36 Steinkohlen erforderlich; wie viel in 125 Tagen? 7. Wie viel Weizen erzeugt eine Bodenfläche von 728 wenn der Ertrag eines /-« zu 15 angenommen wird? 8. In Österreich-Ungarn werden jährlich im Durchschnitte 40963 Silber gewonnen; welchen Geldwert hat dieses, wenn man ein LZ, zu 90 fl. rechnet? 9. Wie vielem, geben 15 LZ, Leinengarn, wenn auf 1 LZ, 30 Strähne gehen, und wenn ein Strähn 2250 m enthält? 13 10. Mähren umfasst 22223'85 Lm? und hat durchschnittlich 70 Ein¬ wohner auf jedem Ln^; wie groß ist die Bevölkerung von Mähren?. 11. Ein Pendel braucht zu einer Schwingung 0'87 Secunden; in wie viel Zeit wird es 20, 60, 87, 1000 Schwingungen machen? 12. Ein LA kostet 1'35 fl.; wie hoch kommen 9, 27, 58, 106, 238, 1118 LA? 13. Ein M Tuch kostet 4'22 fl.; wie viel kosten 5, 9, 4'5, 12'25 m? 14. Ein Gärber braucht im Durchschnitte jeden Monat 132 LA Knoppern ä, 0'35 fl.; wie hoch kommt ihm der jährliche Knoppernverbrauch zu stehen? 15. Ein Geflügelhändler verkaufte 8 Gänse a 2'36 fl., 12 Enten L 1 45 fl. und 18 Kapaune L 2'64fl.;^wie viel hat er dafür eingenommen? 16. Eine Locomotive legt stündlich 30'2 Lm, zurück; wie viel in 7, 10, 3'7, 13'75 Stunden? vU.7. Bon einem Cavitale l'-MP7lKMM» 'lich -LL'78 sl. Zins; wie viel in 0'25, 2'125 Jahren? - 18. Bon einer gewissen Summe, welche unter 128 Personen zur Bertheilung kam, erhielt jeder 26 fl. und 32 fl. blieben übrig; wie groß war die Summe? 19. Wenn 90 Ls Wein für 2520 fl. verkauft werden, so gewinnt man 4 fl. bei jedem Ls; wie viel hat der Wein beim Einkäufe gekostet? 20. Ein Kaufmann hat 145 m einer Ware für 754 fl. gekauft und sie zu 7 fl. per m verkauft? wie viel hat er dabei gewonnen? 21. Der Äquator der Erde hat 360 Grade, deren jeder 15 geogr. Meilen lang ist: wie viel Lm. beträgt die Länge des Äquators, da 1 geogr. Meile -- 7 42044 Lm, ist? 22. Für eine Eisenbahnstrecke kostet eine Fahrkarte der 1. Classe 3'48 fl., der 2. Elasse 2'61 fl., der 3. Classe 1'74 fl.; wenn nun für eine Fahrt auf dieser Strecke 36 Fahrkarten der 1. Classe, 98 Fahrkarten der 2. Classe und 217 Fahrkarten der 3. Classe ausgegeben wurden, wie groß war die Einnahme? 4. Dividieren. Dividieren heißt, aus dem Producte zweier Zahlen und aus einem der beiden Factoren den andern suchen. Das gegebene Product als die Zahl, welche dividiert werden soll, heißt Dividend, der gegebene Factor als die Zahl, durch welche dividiert wird, heißt Divisor; die Zahl, welche man durch die Division erhält, heißt Quotient. 14 Das Zeichen der Division ist : (dividiert durch); z. B. 20 : 5 4 Wird gelesen; 20 dividiert durch 5 ist gleich 4, oder: 5 ist in 20 4mal enthalten. Ein Quotient wird manchmal auch dadurch angezeigt, dass man den Divisor unter den Dividend und zwischen beide einen Strich setzt, z. B. K oder wird gelesen: 3 dividiert (gebrochen) durch 5, oder 3 5tel. Division ganzer Zahlen. Aufgaben. Ist: 1 in 8 gleiche Theile getheilt, gibt 1 Achtel, 3 in 8 gleiche Theile getheilt gibt also 3 Achtel — 3/z! man muss daher im Quotienten zu der ganzen Zahl 572 noch den Bruch s/g hinzufügen. 4. Dividiere durch 8 jede der Zahlen 750,1284,1707, 3520, 9185. 11. 98648:418 — 236 Die Theilproducte aus dem Divisor und ^g04 der jedesmaligen Ziffer des Quotienten werden ge- wohnlich sogleich während des Multiplicierens von den betreffenden Theildividenden subtrahiert und bloß die Reste angeschrieben. Man spricht: 418 in 986 (4 in 9) ist 2mal enthalten; 2mal 8 ist 16, und 0 ist 16, bleibt 1; 2mal 1 ist 2, und 1 ist 3, und 5 ist 8; 2mal 4 ist 8, und 1 ist 9. Zum Reste 150 kommt 4 herab; 418 in 1504 (4 in 15s ist 3mal enthalten; 3mal 8 ist 24, 24 und 0 ist 24, bleibt 2; 3mal 1 ist 3, und 2 ist 5, und S ist 10, bleibt 1; 3mal 4 ist 12, und 1 ist 13, und 2 ist 15; n. s. f. 15 12. a) 684:12. 13. a) 15766 : 49. 14. a) 1728:36. 15. a) 8323 : 29. 16. a) 8004:87. d) 4399:83. d>7840:20. d) 54201:89. k) 59500:68. d) 80012:39. o) 7577 :62. o>25238:500. o) 233410:85. o) 721872:48. o) 145426:19. 17. Dividiere 707281 durch 29, den Quotienten wieder durch 29, und so weiter, bis du auf den Quotienten 29 kommst. 18. Dividiere ebenso 24137569 wiederholt durch 17. > 19^ a) 34463:370. 6) 451094: 4900. v) 32768 :128. 29. a) 5639712 : 624. 6) 2823150 :1298. 21. a) 1861704: 3510. 6) 21345738 : 72100. 22. a) 68703705 :105. . 6) 20857384 : 3004. 23. a) 98945175:12345. 6) 86489647:56789. 24. s.) 70370088 : 25986. 6) 129267149 :42086. 25. a) 34639215 : 39783. 6) 12345678 : 57095. 26. a) 265067803 : 264803. 1>) 702518074: 79863. 27. Dividiere jede der Zahlen: a) 78422960, d) 410655515, 6) 151466112 durch jede der Zahlen: x) 616, y) 2979, r) 43827. Division von Decimatzahlen. 1. a) 785'34:100. 6) 23'7 :1000. 2. Dividiere die Zahlen 3'085, 317'91, 0'87 durch 10, 100, 1000, 10000. 3. 29'24 :16 — 1'8275 29 Ganze dividiert durch 16 geben 1 Ganzes, und es bleiben noch 13 Ganze — 130 Zehntel; 130 -j- 2 — 132 Zehntel. Diese durch 16 divi¬ diert geben 8 Zehntel, worauf noch 4 Zehntel — 40 Hundertel bleiben; 40 -s- 4 — 44 Hundertel. Diese durch 16 dividiert geben 2 Hundertel, und es bleiben noch 12 Hundertel — 120 Tausendtel; diese durch 16 dividiert, geben 7 Tausendtel mit dem Reste 8; u. s. f. Eine Decimalzahl wird durch eine ganzeZahl dividiert, indem man sie wie eine ganze Zahl dividiert und im Quotienten den Decimalpunkt setzt, bevor man Die Division einer Zahl durch 0'1, 0'01, 0'001 bedeutet, dass man von der Zahl das 10-, 100-, lOOOfache zu nehmen hat. 132 44 120 80 16 8. Es sei der Quotient 1'9278 : 5'67 zu bestimmen: a) Man multipliciert Dividend und Divisor mit 10, 100, 1000..., je nachdem der Divisor 1, 2, 3... Decimalstellen hat, hier also mit 100; dann ist, wie oben im Bei¬ spiele 3., eine Decimalzahl durch eine ganze Zahl zu dividieren. 1'8278 : 5'67 -x ivo 192'78 : 567 -- 0'34. 22 68 0 b) Man sucht die erste Ziffer des Quotienten und bestimmt ihren Stellenwert; dann sucht man die weiteren Ziffern nach dem gewöhnlichen Divisionsverfahren. 1'9278 : 5'67 - 0'34. Der Divisor ist 567 Hundertel, der erste Theildividend 1927 Tausendtel, die erste Ziffer des Quotienten 3. Um den Stellenwert dieser Ziffer zu bestimmen, fragt man: womit muss man Hundertel multiplicieren, um Tausendtel zu erhalten? Die erste Ouotientenziffer bedeutet also Zehntel; dadurch ist dann auch der Stellenwert der weiteren Ziffern gegeben. Zur Bestimmung des Stellenwertes der ersten Ziffer des Quotienten wird häufig auch folgende Regel angewendet Die erste Ziffer des Quotienten hat denselben Stellenwert wie jene Ziffer des ersten Theildividends, von welcher das Product aus der ersten Ziffer des Quotienten mit den Einern des Divisors subtrahiert werden muss. 1'9278 : 5'67 -- 0'34 1701 226 u. s. w. 17 21. a) 0-2368 : 72369. b) 3781 : 287'453. 22. a) '348 : 2'9156. b) '1000 : 3'45016. 23. a) 0'0494 : 2'5786. 6) 781'4 .- 27'9847. 24. Dividiere a) 899960160, k) 2149'09526 durch jede der Zahlen m) 599, n) 25 039, o) 364'13. Division einnamig benannter Zahlen. 1. * 9 kosten 216 sl.; wie viel kostet 1 Li? 1 kl ist der 9te Theil von 9 kl; daher kostet 1 k-k nur den 9ten Theil von 216 fl.; man hat also: 216 fl. : 9 -- 24. 2. * 8 Li Wein kosten a) 112 fl., 8) 136 fl., o) 176 fl., ä) 232 fl.; wie hoch kommt 1 Li zu stehen? 3. * Ein Beamter hat einen Jahresgehalt von 1890 fl.; wie viel be¬ zieht er monatlich? 4. Wenn aus 1 7 Kornmehl 108 Brotlaibe gebacken werden und 1 z Kornmehl 12'96 fl. kostet, wie viel kostet das Mehl für 1 Laib? 5. Eine Summe von 4560 fl. ist unter 19 Personen zu gleichen Theilen zu vertheilen; wie viel bekommt jede Person? 6. Für ein Unternehmen sind 1204 fl. erforderlich; wie viel Per¬ sonen müssen daran theilnehmen, damit auf eine Person die Auslage von 14 fl. komme? So viele Personen, als wie oft 14 fl. in 1204 fl., oder 14 in 1204 enthalten ist, also 1204 : 14 — 86 Personen. 7. Der Umfang eines Locomotivrades ist 2'5 m,; wie viele Um¬ drehungen muss dasselbe machen, um 1 Lin. zurückzulegen? 8. Ein Garten von 54 m, Länge und 36 m Breite soll mit einem Zaune umgeben werden; wie viele Pfähle braucht man zu.dem Zaune, wenn alle 3 /n ein Pfahl gesetzt wird? 9. Eine Handlungsgesellschaft gewinnt 5184 fl.; wenn nun davon auf jeden Teilnehmer 324 fl. entfallen, wie viele Personen waren in der Gesellschaft? 10. Auf einer Eisenbahn wurden im Jahre 1883 1250855 Personen befördert; wie viel kamen durchschnittlich auf einen Tag? 11. Ein Capital trägt jährlich 658'35 fl. Zins; wie viel Zins trägt es monatlich, wie viel täglich? 12. 45 österr. Gulden enthalten 500 § feinen Silbers; wie viel ist 1 A feinen Silbers wert? 13. 25 a kosten 304'75 fl.; wie hoch kommt 1 a? Močnik, Rechenbuch f. d. I. Classe d. Knaben-Biirgerschulen. S. Aufl. 2 18 14. 67 U Wein kosten 2278 fl.; wie viel kostet 1 LL wie viel 1 ö? 15. 5800 LA einer Ware kosten 1972 fl.; wie viel kostet 1 LA? 16. 5'135 x einer Ware kosten 221'49 fl.; wie hoch kommt 1 A? 17. 1 M Tuch kostet 5'12 fl.; wie viel m. erhält man für a) 176'64 fl., i>) 348'16 fl., a) 529'92 fl.? 18. Die Anlagekosten einer Eisenbahn, welche 56'84 Lm. lang ist, betragen 4256000 fl.; wie groß ist das Anlagecapital für 1 Lnr? 19. Eine Locomotive legte in 3'28 Stunden 100'275 Lnr zurück; wie viel legte sie bei gleichförmiger Bewegung stündlich zurück? 20. Eine Gasflamme verbraucht in 210 Stunden 35 m? Gas; 1 Gas kostet 16 kr. a) Wie viel Gas braucht eine Gasflamme in einer Stunde, b) wie viel kostet sie? 21. Zum Baue eines Hauses sind 5400 Ziegelsteine nöthig; wieviel Tage wird ein Fuhrmann daran zu führen haben, wenn er jedesmal 450 Ziegel aufladet und täglich 3mal führt? 22. Drei Personen legen in ein Geschäft 9600 fl. und gewinnen da¬ mit stg der Einlage; sie ziehen sodann ihr Geld zurück; wie viel erhält ^4, der 2400 fl., 8, der 3600 fl., und 0, der den Rest eingelegt hat? 23. * 12 m Tuch kosten 48 fl.; wie viel kosten 19 m,? 12 m. kosten 48 fl. 1 m kostet 48 fl. : 12 -- 4 fl. 19 m kosten 4 fl.X19--- 76 fl. 24. 32 Arbeiter vollenden eine Arbeit in 6 Tagen; in wie viel Tagen werden 24 Arbeiter mit der Arbeit fertig? 32 Arbeiter 6 Tage 1 „ 6 „ X 32 - 192 Tage. 24 „ 192 „ : 24-- 8 „ 25. 75 LA Reis werden mit 21 fl. bezahlt; wie viel Reis bekommt man für 9 fl.? 26. 15 Pferde kommen mit einem gewissen Vorrathe an Futter 28 Wochen lang aus; wie lang kommen 21 Pferde mit demselben Vor¬ rathe aus? 27. Jemand kauft 8 L? Wein L 15 fl., 10 U L 18 fl., und 7 L? L 25 fl.; wie hoch kommt im Durchschnitte 1 U zu stehen? 28. * Wenn man zu 80 r Wein 20 i! Wasser gießt und daun 1 r um 32 kr. verkauft, wie viel war 1 vor der Verdünnung wert? 29. Ein Kaufmann kaufte 235'5 LA Kaffee für 282'6 fl. und ver¬ kaufte sie weiter mit einem Gewinn von 47'1 fl.; wie theuer hat er 1 LA a) gekauft, d) verkauft? 19 30. In Steiermark leben 1213597 Einwohner auf 22354'75 Lm?, in Kärnten 348730 Einwohner auf 10327'63 Lm-; a) um wie viel Lni? ist Steiermark größer als Kärnten; b) wie viel Einwohner hat das erste mehr als das zweite; o) wie viel Einwohner kommen in jedem Lande auf ein wo ist also die Bevölkerung dichter? II, Theilbarkeit der Zahlen. Wenn eine Zahl, durch eine andere dividiert, eine ganze Zahl zum Quotienten gibt, so heißt die erste Zahl durch die zweite theilbar; z. B. 16 ist durch 4 theilbar, 16 ist durch 5 nicht theilbar. Ist xine Zahl durch eine andere theilbar, so heißt die erstere Zahl ein Vielfaches von der zweiten und diese ein Maß von jener. Es gibt Zahlen, ^welche durch keine andere Zahl theilbar sind als durch 1 und durch sich selbst; z. B. 1, 3, 13, 37. Solche Zahlen heißen einfache oder Primzahlen, zum Unterschiede von den zusammen¬ gesetzten Zahlen, welche außer durch 1 und durch sich selbst auch noch durch andere Zahlen theilbar sind; z. B. 18. Au-fgaben. 1. Untersuche, ob folgende Zahlen durch 2 theilbar sind: 72, 126, 153, 568, 1205, 2561, 4567, 5094, 315789. Vergleiche die Einerstellen jener Zahlen, welche durch 2 theilbgr, und jener, welche nicht durch 2 theilbar sind. Welche Zahlen sind also durch 2 theilbar? 2. Welche von den Zahlen 16, 44, 53, 3094, 7821, 13457, 28431, 33556, 132580 sind durch 2 theilbar, welche nicht? 3. Untersuche, ob folgende Zahlen durch 3 theilbar sind: 84, 132, 356, 713, 1263, 5215, 8136, 24372. Bestimme in diesen Zahlen auch die Ziffernsumme und untersuche, bei welchen die Ziffernsumme durch 3 theilbar ist, und bei welchen nicht. Welches Kennzeichen ergibt sich hieraus für die Theilbarkeit durch 3 ? 4. Welche von den Zahlen 318, 127, 5234,13725, 321891,283514. 4909231, 1378920 sind durch 3 theilbar, welche nicht? 5. Untersuche, ob folgende Zahlen durch 4 theilbar sind, und zugleich auch, ob ihre niedrigsten zwei Stellen, als Zahl betrachtet, durch 4 theil¬ bar sind: 72, 86, 124, 308, 662, 2532, 7974, 28152, 858236. Welche Zahlen sind daher durch 4 theilbar? 2* 20 6. Gib von den nachfolgenden Zahlen diejenigen an, welche durch 4 theilbar sind: 152, 372, 574, 1380, 2324, 198760, 293456, 135731. 7. Welche von folgenden Jahreszahlen bezeichnen Schaltjahre: 1876, 1840, 1870, 1832, 1866, 1756, 1882, 1884? 8. Untersuche, ob die nachstehenden Zahlen durch 5 theilbar sind: 85, 92, 310, 705, 816, 1550, 7874, 8095. Welche Zahlen sind durch 5 theilbar? 9. Untersuche bei jeder der folgendeu Zahlen, ob die Ziffernsumme durch 9 theilbar ist oder nicht, und in welchem Falle auch die Zahl felbst durch 9 theilbar ist: 138, 324, 612, 5040, 7199, 13849, 273411. Welches Kennzeichen hat man daher für die Theilbarkeit durch 9? 1«. Welche von den Zahlen 108, 327, 5436,13578, 23456, 536463, 2937330 sind durch 9 theilbar? 11. Welche von den Zahlen 35, 750, 380, 574, 3100, 21348000 sind durch 5, 10, 100, 1000 theilbar? 12. Welche von den Zahlen 5148, 375, 1234, 8109, 2700, 617310, 34560, 192432 sind durch 2, welche durch 3, 4, 5, 9, 10, 100 theilbar? 13. Durch welche Zahlen ist 2520 theilbar? 14. Gib an, durch welche von den Zahlen 2, 3, 4, 5, 9, 10 die nachfolgenden Zahlen theilbar sind: 112, 5040, 18480, 23400, 50280, 38124, 354240. 15. Gib alle Primzahlen zwischen 1 und 100 an. 16. Zerlege die Zahl 630 in ihre Primfactoren. 630 -- 2 X 3 X 3 X 5 X 7. Ist eine Zahl in zwei oder mehreren Zahlen ohne Rest enthalten, so heißt sie ein gemeinschaftliches Maß derselben. Die größte Zahl, 21 welche in mehrerer anderen Zahlen ohne Rest enthalten ist, wird das größte gemeinschaftliche Maß derselben genannt. Zwei Zahlen, welche außer 1 kein gemeinschaftliches Maß haben, heißen Primzahlen zu einander. Ausgaben. Suche das größte gemeinschaftliche Maß von: 1. * n) 8 und 12; 8) l5 und 36; o) 24 und 60; 2. * a) 420 und 630; 8) 400 und 680; o) 360 und 450. 3. Suche das größte gemeinschaftliche Maß zwischen 72 und 126 mittelst Zerlegung in Primfactoren. 72 36 18 o 2 2 2 3 3 126 2 63 3 21 7 3 Größtes gemeinschaftliches Maß 2 X 3 X 3 — 18. 7 Suche ebenso das größte gemeinschaftliche Maß der Zahlen: 4. a) 120 und 500. 8) 320 und 340. o) 540 und 756. 5. a) 135 und 450. 8) 168 und 216. o) 900 und 1025. 6. n) 300, 360 und 840. 8) 740, 925 und 2035. 7. n) 104, 525 und 712. 8) 312, 468 und 624. 8. n) 294, 336 und 504. 8) 320, 512 und 576. 9. Suche das größte gemeinschaftliche Maß der Zahlen 345 und 506 mittels der Kettendivision, indem du die größere der beiden Zahlen durch die kleinere, sodann den Divisor durch den übriggebliebenen Rest, den neuen Divisor durch den neuen Rest, u. s. f. dividierst, bis endlich eine Division ohne Rest aufgeht. 506 : 345 — 1 oder 161 Rest 345 : 161 -^2 23 Rest 161 : 23 — 7. 345 506 1 23 161 2 0 7 Der letzte Divisor 23 ist das größte gemeinschaftliche Maß der zwei gegebenen Zahlen. Ist der letzte Divisor 1, so sind die gegebenen Zahlen Primzahlen zu einander. Suche ebenso mittels der Kettendivision das größte gemeinschaftliche Maß folgender Zahlen: 1t). a) 62, 279. 8) 95, 266. e) 221, 299. 11. n) 289, 323. 8) 396, 660. o) 153, 389. 22 12. a) 493, 629. 13. a) 504, 714. 14. a) 481, 1110. 15. a) 1292, 2812. 16. a) 16848, 13104. 17. a) 134748, 47871. d) 235, 637. o) 437, 1035. k) 713, 837. o) 372, 1032. b) 637, 4587. o) 1441, 4587. l) ) 1519, 2793. o) 3718, 7774. 6) 23625, 16875. 6) 11968, 237744. Ist eine Zahl durch zwei oder mehrere Zahlen theilbar, so heißt sie ein gemeinschaftliches Vielfaches derselben. Das kleinste ge¬ meinschaftliche Vielfache mehrerer gegebener Zahlen ist die kleinste Zahl, welche durch alle jene Zahlen theilbar ist. Jedes Product ist ein gemeinschaftliches Vielfaches seiner Factoren- Haben von den gegebenen Zahlen zwei oder mehrere ein gemeinschaftliches Maß, so kann man bei der Aufsuchung des gemeinschaftlichen Vielfachen statt jener Zahlen das gemeinschaftliche Maß nur einmal und die Quotienten nehmen, welche jene Zahlen, durch dieses Maß dividiert, geben. Aufgaben. Suche das kleinste gemeinschaftliche Vielfache von: 1.^ a) 3 und 5. 5) 2 und 10. e) 2* a) 8 und 12. 5) 2, 5 und 7. e) 3." u) 3, 5 und 10. 5) 6, 8 und 12. o) 6 und 20. 3, 9 und 18. 10, 12 und 15. 4. Bestimme das kleinste gemeinschaftliche Vielfache der Zahlen, 2, 3, 4, 5, 8, 10, 12, 15, 28, 36. L", 6, s, 8, 10, 15, 28, 36 4, s, 15, 14, 18 2 2, ' 15, 7, 9, 2 2, 5, 7, 3 3 Kleinstes gemeinschaftliches Vielfaches 2.5.7. 3.2. 2. 3 — 2520. Suche ebenso das kleinste gemeinschaftliche Vielfache der Zahlen: 5- a) 3, 5, 8 und 11. i>) 2, 3, 5 und 20. 6. 12, 16, 18 und 24. 7. 10, 12, 16, 18 und 25. 8. 5, 8, 9, 15, 20, 36 und 60. 9. 3, 5, 9, 14, 18, 21 und 30. 1V. 3, 5, 6, 18, 20, 21 und 25. 11. 2, 3, 5, 8, 11, 15, 21 und 36. 12. 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 18, 33, 35 und 60. 23 III. Rechnen mit gemeinen Seuchen. Eine Zahl, welche einen Theil der Einheit ein- oder mehrmal enthält, wird eine gebrochene Zahl oder ein Bruch genannt. Zur Darstellung eines Bruches sind zwei Zahlen erforderlich: der Nenner, welcher angibt, in wie viele gleiche Theile die Einheit getheilt wurde, und der Zähler, welcher anzeigt, wie viele solcher Theile man genommen hat. Man schreibt den Nenner unter den Zähler und setzt zwischen beide einen wagrechten oder einen schrägen Strich; z. B. ß oder -/z wird gelesen: fünf Achtel. Ein Bruch, dessen Zähler kleiner als der Nenner ist, heißt echt; er ist kleiner als 1. Ein Bruch, dessen Zähler gleich dem Nenner oder größer als der Nenner ist, heißt unecht; er ist entweder gleich 1 oder größer als 1. Eine Zahl, welche aus einer ganzen Zahl und einem angehängten Bruche besteht, wird eine gemischte Zahl genannt. Formveriinderung der Srüchr. Richte folgende gemischte Zahlen zu unechten Brüchen ein: 1. » 1-/4, 2sts, 3-/z, 7-/„ 12^0. 2. 27'/„ 128'sto, 102-st„ 207"/„, 69«^. 3. 217"/^, 300^, 298^, 1234"/,,, 39-"/^. 4 108"/,», 237^,, 1336^8, 4912-°/,,. Verwandle folgende unechte Brüche in ganze oder gemischte Zahlen: !r»s/ 9/ 42/ 9/ 27/ S1/ 118/ S2S/ O- /z, /g, /s, /z, /8, /iv, /9' /7- « 417/ 715/ 780/ 10008/ 21SS7/ 12SS3/ /16' /32, /43, /64, /l25, /40» 183/ 1320/ 2413/ 3173/ 4600/ « /25, /57, /345, /208, /601« Bringe die Brüche 14. Der kleinste gemeinschaftliche Nenner mehrerer Brüche ist das kleinste gemeinschaftliche Vielfache der gegebenen Nenner. Bringe hiernach die Brüche -/§, st,, und st,, auf den kleinsten gemeinschaftlichen Nenner: 24 6, 10. 15 30 F. 15 ^2 kleinster gem. Nenner 15 X 2 — 30 Bringe folgende Brüche auf den Vo 5 25 Vio 3 21 Vis 2 16 25/ /30 21/ /30 16/ /30 kleinsten gemeinschaftlichen Nenner: 15.* a) Vs und -V4. k,) Vis- Vs und "/20- 16 a) Vs, Vs» Vs- 6) */z, Vig- o) Vs, 3/4, Vg. 17. Vs, '/5, Vs2, V40, "/«°. d) "/21, »Vss, '/42, "/52- 18- Zi) Vs, b/g. Vio, ^Vis, Vs, *Vis- V4' 0/7, V21, Vs, Vs, Vis- 10- V4, Vs, Vi6, Vss, Vs, "Vs, Vs, ^Vso- 17/ 5/ 23/ 19/ 38/ 29/ 3/ /30, /52, ^25, /24, /75, /36, /35' 17/ 11/ 15/ 7/ 31/ 29/ 23/ /54, /48, /64, /18, /50, /32, /45' 22. Welcher von den Brüchen 4/^ 11^^^ 16^/^^ 29/^ ist der größte und welcher der kleinste? 23. Ordne folgende Brüche nach ihrer Größe, und zwar von dem kleinsten angefangen: Vr, Vn> Vs, "Vss, ^/gz, 'Vis- 24. Durch welche Zahlen sind Zähler und Nenner eines jeden der Brüche "Vs, ^°°/s4v, ^Vsis, ^""/isoo theilbar? Kürze sie dadurch ab. Kürze folgende Brüche so weit als möglich ab: yki » 10/ 16/ 21/ 32/ 72/ 35/ 24/ 4S/ 7S/ /12, /24, /35, /40, /SV, /50, /64, /72, /100' Y« 152/ 72/ 124/ 1S2/ 1542/ 420/ 1524/ /4S2, /108, /SS6, /240, /4644, /2526, 12040' 296/ 168/ 575/ 384/ SOV/ 560/ 684/ H "»- /836, /216, /750, /s64, /468, /8S6, '»/soo- o» soo/ 2106/ 3055/ I8S0/ 7125/ 8^4. »O- /1025, /4482, /4625» /S4S0, /7800, HWl4S0- 29. Verwandle Decimalbruch. den gemeinen Bruch a) 6) ^Vss in einen a) -- 13 : 16 0'8125 130 ' ' 20 40 80 b) --- 17 : 66 -- 0-25757.. 170 380 500 380 500 38 lPeriodische Decimalbrüche; Periode.) Verwandle folgende gemeine Brüche in Decimalbrüche: 30. -/4, Vs, "/20, 2^25, Vs, b'/io, 12--/^, 2s^^ 4317^0, 63°'^. 31. Vs, Vs, Vo, Vil, 2"/22, V14, 8V13, b'/ii, 6'Voo, "Vsso- 25 32. Ein Meter ist gleich 3'16875 Wiener Fuß; diesen Wert drücken annäherungsweise die Brüche "Vss, aus; wie groß ist der Unterschied zwischen dem wahren und jedem dieser Näherungswerte in 5 Decimalen? 33. Verwandle den Decimalbruch 6'75 in einen gemeinen Bruch: 6'75 ^6^oo ^6-/4. Verwandle ebenso in gemeine Brüche: 34. 0'4, 1'8, 0'15, 12'25, 2'12, 7'35. 35. 0 025, 36 16, 38'75, 0 245, 6'0675. 36. Verwandle den rein periodischen Decimalbruch 0'69 — 0'696969.. in einen gemeinen Bruch. lOOfacher Wert —69'6969.. davon Ifacher „ — 0'6969.. bleibt 99facher Wert 69 also Ifacher „ --°Vss 'Vss- Verwandle noch folgende rein periodische Decimalbrüche in gemeine Brüche: 17. 0'3, 0'5, 8'6, 3'8, 0'21, 2'42, 3 75, 0'60. 18. 0 03, 0 27, 0 504, 9'816, 0'243, 4'675. 19. Verwandle den gemischt periodischen Decimalbruch 0'354 — 0'35454.. in einen gemeinen Bruch. lOOOfacher Wert — 354'54.. davon IQf acher „ — 3'54 bleibt 990facher Wert —351 also Ifacher „ — ^'/sso Verwandle ebenso in gemeine Brüche: 40. 0'54, 0'83, 3'28, 4'07, 0 416, 0 326. 41. 4 196, 0'718, 9'069, 0'5723, 4'15285. Addition drr Lrücht. 1. * ») V.»-s- V.»- d) -/s-s- Vs- --) Vs > Vs -s- Vs- 2. " a) 7-/o -s- 8. 8) I8-/4 V4- <-) 32"/2» > IS"/-,- 3. * a) '-/2- -V ^/25 V2s- d) 48"/-2 's- ?Vs2 's- 6'Vs-- d)2/z-s-V4. 5. a) 8Vs^2'Vi5--11Vr«. 6, 1 5_ 8V« 5 25 '2, 5 I 3 2"/,z 2 26 kleinster gem. 'Nenner 2 X 5 X 3 -- 30 11^0 "/zo '^0 I V10 26 6. k) Vt- -i- "/ib. d) "/ib -fl- "/24- o) -»/2, flfl 27, 7. a) 29-/i0 Z-45 -fl 16'/ib. 6) 45-/2 fl- 127-fl fl- "/ib- A- a) -fl _fl 5^. j» 8 -fl 3-/« -fl 7-/, flfl 0-3. d. 1'/b-I-5»/b-i-13'/i2>82/b-i-19»/b. 1«. 128-/, 245^ >208^ -fl 199 Vg fl- 206-fl«. 1 j. 2-fl -fl 20 -fl 3-/, -fl °/i2 -fl 172/, -j- 3"/i, -fl 5fl, -/2. 12. 0'7 -j- 2-31 -fl 81'/,g -fl 15-36. 13. 35708-/^ fl- 10985^g fl- 78659"/,« fl- 340795'»/24. 14. 759^/i2» fl- 1813"/^ fl- 3879"-/.so fl- ^/^ -fl 538»/,,. 15. Addiere folgende Zahlen zuerst in senkrechter, dann in wagrechter 16. Wie groß ist die Summe von fünf Zahlen, von denen die erste 731"/i2 und jede folgende um 27-fl größer als die vorhergehende ist? 17. Ein Landmann erzeugt 58'7, T-T Weizen, 38 -/, /-7 Korn, 43'fl 7-7 Gerste und 70°/, Tri! Hafer; wie viel TrT Getreide macht dieses?" 18. Ein Leinwandhändler kauft 4 Stück Leinwand; im ersten sind 29^2 in, im zweiten 32-fl nr, im dritten 34-/, »rr, im vierten 30-fl m; wie viel m enthalten alle 4 Stück? 19. Jemand hat 8-/,„ fl., 37-/, fl., 28-/5 fl., O-fl« fl., 19^ fl. zu zahlen; wie viel zusammen? 2Ü Ein Fußgänger macht in fünf aufeinander folgenden Tagen einen Weg von 341/2 Lm,, 352/g Lnr, 36 -/, Lm., 37'1/, L-u und 35--/go 4-7»,; wie viel Tcm, zusammen? 21. Vier Zimmer einer Wohnung haben an Bodenfläche 32-/, 19-/z 7772, ^2 28"/^, 7772; wie viel zusammen? 22. Fünf Maurer führen in einer gewissen Zeit 2/, 7-r-, -/, 7^2, Viv "/20 und "/zz 777-Mauerwerk auf; wie viel alle zusammen? 23. Die Seiten eines Dreieckes betragen 72-/, m., 46-/5777, 40^fl« 777; wie groß ist der Umfang? 24. Die Winkel eines Viereckes betragen einzeln 78-/z«°, 108-/,/, 57-// und 115"/,o»; wie groß ist ihre Summe? 25. Eine Wasserpumpe kann das in einer Grube enthaltene Wasser in 15 Tagen, eine andere in 12 Tagen herausschaffen; welcher Theil des Wassers wird von beiden Maschinen zusammen in einem Tage heraus¬ gepumpt? 27 26. Ein Wasserbehälter wird durch 3 Röhren gefüllt, und zwar durch die erste Röhre allein in 4 Stunden, durch die zweite iu 5, durch die dritte iu 6 Stunden. Der wie vielte Theil des Behälters wird in einer Stunde gefüllt, wenn man das Wasser a) bloß aus der ersten, U) aus der zweiten, o) aus der dritten, ä) aus allen drei Röhren zugleich fließen lässt? 27. Das Ausgraben eines Brunnens kostet für das erste Meter 2-/. fl, und für jedes folgende Meter 1^ fl. mehr als für das vorhergehende; wie viel wird das Ausgraben des Brunnens kosten, wenn derselbe 8 Meter¬ tief ist? Snbtraction der Brüche. 1.* n) V« - -/«. U) 3/4. - -/4.. e) ö.b/^ - 1,^. 2* a) 5--/.. - -°/... t>) 3-/,» - 1»/.o. o) 10 - -/4. 1V. a) 100"/48 - 15"/72. b) 125-^» - 31'/«. 11. a) 92-/,» - 68^z. 1,) 208"/-- - 128-3/2». 12. a) E/,« - 27"/2». b) 251«/2i - 94- V--;- 13. w) 755-3/»» - 283^7- 1234'^4 - 807^. 14. a) 37945-°Vi2° - 29086"/^. U) 7358'^/^, - 997'^,. 15. u) 23985--/.4 — 10845^/4,. U) 309123/»» — 30905--/»». 16. a) 12345«-/». - 60823°/»». b) 57830"/,^ - 37921 17. Um wie viel verändert sich der Bruch «-/4., wenn man a) zum Zähler und zum Nenner 8 addiert; U) wenn man vom Zähler und vom Nenner 8 subtrahiert? 18. Um wie viel wird der Bruch größer oder kleiner, wenn man im Zähler und Nenner a) die letzte, U) die zwei letzten Ziffern rechts weglässt? 19. Um wie viel ist der Unterschied 37^g — 11«/» größer als der Unterschied 28-/45 —19-^ ? 20. Jemand nimmt 125^ fl. ein und gibt 88-/4 fl. aus; wie viel bleibt ihm noch übrig? 21. Um wie viel sind --/z» fl. mehr als ^/» fl.? 22. 74 ist 25S/4 Jahre alt, L 17 Jahre; um wie viel ist 74 älter als 13? 28 23. Jemand besitzt 27 d« Ackergrund; wie viel behält er noch, wenn er ?3/io /ra verkauft? 24. Ein Thurm ist 527z nr hoch, ein anderer 9 3/- m, niedriger; wie hoch ist der zweite Thurm? 25. Ein Stück Leinwand hat 32'/z m-, davon kauft ^4 12^/^ m,, 8 lO^/o m,, 6 den Rest; wie viel m kauft 0? 26. Die Winkel eines Dreieckes betragen zusammen 180°, zwei Winkel sind 657/ und 58chig°; wie groß ist der dritte Winkel? 27. Von einer Schuld von 200 fl. werden nach und nach 30 sl., 259z fl., 417, fl., 183/gz fl. abgezahlt; wie groß ist noch der Schuldrest? 28. Aus einem Fasse, welches 32'/4 di Wein enthält, werden drei kleinere Fässer, von denen das erste 7 7, das zweite 6^, das dritte 6'/20^ fasst, gefüllt; wie viel Wein bleibt noch im großen Fasse übrig? 29. In einem Fasse befinden sich 14?/, di Wein; wenn nun 87 di und 33/g iri herausgenommen und dann wieder 47 di hineingegossen werden, wie viel di Wein sind schließlich im Fasse enthalten? 39. Sechs Kisten wiegen mit dem darin enthaltenen Candiszucker 567, 49, 437, 527, 427, 407« /-A; die leeren Kisten wiegen 57, 57, 47, 57, 4'7», 47 L§; wie viel Candis ist in allen sechs Kisten? 31. Man hat vier Zahlen; die erste ist 89,,, die zweite um 2^ größer als die erste, die dritte um 37 kleiner als die zweite, die vierte so groß als der Unterschied zwischen der ersten und dritten; wie groß ist die Summe aller vier Zahlen? Multiplikation eines Sruches mit einer ganzen Zahl. 1? 2.* 3 4? 5.* K9 7. 8. u) 7 X 7. 3) -si» X 2. 0) V« X 12. u) "/oo X 15. b) 4-/4 X 8. 0) 259, x 10. a) '7, X 11. i>) »/,5 X 21. 0) "/,0 X 35. u) 5mal 3st,o, 4ö/iz, 6°/zo- 3) 4mal 57, 67z, 7'7z. u) 6mal 4'7,. 37io, 8^/2.. b) 7mal 2'°7, 37„ 7i4- b) 737 X 42. d) 33'7,7 X125. Wie viel gibt das 8fache des Unterschiedes zwischen 107 und 3^ u) 1083/4X24. u) 7374z x 99. 9. u) 1573/iz x 63. 19. a) 15934"stzig X 3092. 11. u) 8643^32/,,, x 7865. 12. a) 20783^-7,x 3645. b) 37523°/4o X8314. b) 954033°/,,, x 19350. b) 256934°°/zz X 13846. b) 8325332°/,og X 57264. 13? Auf ein Hemd braucht man 33/4 m, Leinwand; wie viel auf ein Dutzend Hemden? 29 14. Wenn ein kostet, wie hoch kommen 2, 3, 7, 12, 85, 235, 3014 15. In einem Quadrate beträgt jede Seite 32'/^ nr; wie groß ist der ganze Umfang? 16. Wenn 1 Weizen 6^g fl. kostet, wie viel kosten 4, 8, 13, 38, 87, 108 E 17. Ein Garten, welcher 55 m lang und 38 m, breit ist, soll ein¬ gezäunt werden; wie viel kostet der Zaun, wenn 1 laufender m, Zaun 2-/.0 fl. kostet? 18. Ein Pächter verkauft 28 U Weizen L 6^ fl. und 18 U Korn L 5°/g fl.; wie viel fehlt ihm noch, damit er den Pachtzins von 350 fl. bezahlen kann? 19. Ein Pferd braucht täglich U Hafer; wie viel brauchen 15 Pferde in 52 Tagen? 2V. nimmt täglich 4^« fl., L 3Wz„ fl. ein; wie viel nimmt jeder von ihnen in 25 Tagen ein, um wie viel mehr als L, und wie viel nehmen beide zusammen ein? 21. Ein freifallender Körper legt in der 1. Secunde 4---/^ m zurück, in der 2. Secunde 3mal, in der 3. Secunde 5mal, in der 4. Secunde 7mal so viel; a) wie groß sind die Fallräume für die 2., 3., 4. Secunde, b) wie groß ist der Fallraum für alle 4 Secunden? 22. Ein Holzhändler kauft 80 n^Holz L 4-/^ fl., 47 nr» L ö-^fl., 66 L 5?/z fl., und verkauft 1 durchschnittlich um 6^ fl.; wie viel gewinnt er, wenn er 14^. fl. Nebenauslagen hat? Division eines Bruches durch eine ganze Zahl. 9. Wie viel iss der 12. Theil von von I-/2, 3^, 15^, 1224^g? 10. Addiere den 4ten, 5ten und 6ten Theil von 23^. 11. Wie groß ist der Unterschied zwischen dem 10ten und 12ten Theil von 108^25? 80 12. Um wie viel ist der 5te Theil von 86-/4 größer als 3mal Ifl,»? 13. * 1 kostet 68-/4 fl.; wie hoch kommt 1 4^? 14. * Mit einem Hut Zucker im Gewichte von 7fl, reicht eine Familie 4 Wochen aus; wie viel verbraucht dieselbe in einer Woche? 15* Jemand kauft das Dutzend Seidentücher um 16fl» fl.; wie hoch kommt ein Stück? 16. 48 m. kosten 158-/2 fl.; wie viel kostet 1 m,; wie hoch kommen 2, 7, 13, 41 M? 17. Ein Dampfwagen legt in 5 Stunden 159 fl,» Lm, zurück; wie viel in 1 Stunde? 18. Wenn 1 4/ Wein 24 fl. kostet, wie viel 4/ bekommt man für 63fl, fl., wie viel für 85-/, fl., für 290'flz, fl.? 19. Ein Landmann verkauft 17 U Weizen und 15 4/ Gerste zu¬ sammen für 189 hfl fl.; wie viel erhält er für 1 4/ Weizen, wenn 1 4/ 'Gerste zu 5'/« fl. gerechnet wird? Multiplikation mit einem Bruche. 1.* Multipliciere 18 mit -fl, d. h. suche von 18 den 6ten Theil. 2* Wie viel ist -fl von 15? fl, von 22? -flz von 66? 3* Multipliciere27 mit fl„ d. h.nimm 3mal den 5tenTheilvon 27. 8. fl» X "/25 "/2°° - "Vs° oder - X M -- 'fl,,. »1 18. a) 1892^ x 2951/5. i>) 97403"/,»z X ""/5-57- IS. a) 564--"/,^ X 37-"/g,z. b) 6295 X 2134'i-/gz„. 2ü. Wie viel ist Hz, wie viel hg, h,z von 68h, g. 21. Wie viel ist Hz des Unterschiedes von 19h,g—8H4? 22. Wie viel beträgt Vz, Hz und h, von 13hz zusammengenommen? 20 131/5 -- °hg 6-/5 X -h,» .-c 138 "H-Xhz^"/« 4 184 "°/5 X "/4 '°V2o 1 207 26»/2«. kürzer: hh h«ch- h. -- -h,z; -hg x --/,2 -- '^/2° 26-/20. 23. Um wie viel ist Hz von 65 hg größer als -/4 von 55 hg ? 24. Ein Weizen wiegt 76 wie viel wiegen 6'/? LH wie viel 7H«, 10V2, 17'/,5 ^r? 25. Um wie viel ist das Product der Brüche -/4 und Hz kleiner als jeder der beiden Factoren? 26. Um wie viel ist das Product der Brüche Oz, Hz, -/4 und 1/5 kleiner als ihre Summe? 27. Der Flächenraum von Niederösterreich ist l97h,g davon sind "/o« Waldungen; wie viel Flächenraum nehmen diese ein? 28. Wenn 1 m 5-/5 fl. kostet, wie viel kosten 20z, 3Hz, 6-/4 m.? 29. 1L§l Kaffee kostet 1hg fl.; wie viel kosten 6'/,, 10hz, 15Hz L^? 3tt. Wie viel kosten 8H, m. Sammt ä 9Hz fl.? 31. Ein Fass mit Ware wiegt 205h,g das Fass allein 13h, wie viel kostet die ganze Ware, wenn 1 Ware 2Hz fl. kostet? 32- Vier Personen theilen eine Summe von 745 hg fl. so unter ein¬ ander, dass 'h, L Hz, 0 Hz und v den Rest erhält; wie viel kommt ans jeden? 33. Es werden 136 Hz Lr Wein ä, 23 hg fl. gekauft, verhält davon h,, L hg, 6 ho, v den Rest; wie viel muss jeder bezahle»? Division durch einen 6euch. 1* Wie oft ist Hz enthalten in Hz, 2, 5, 4Hz? 2* Wie oft ist enthalten? U) H4 iN 2'/,? l>) hg in h,,? 0) hg in 1Hz? 3. * Theile 7 durch Hz, d. h. nimm 7 3mal. 4. * Dividiere 12 durch Hz, h„ h«, h,«. 5. ^ Dividiere 8 durch hg, d. h. nimm von 8 den 4ten Theil 5mal. 32 6? 2)^:7-- k) 10:-/,. 7- 7i°:b/5-7-°X73-'/°-1V«. 8. a) '7, ,:"/„. d) ^:-/2o- 9. 3:272-3:72--3X 7s^17-. 10. 7^.i/^2^x2--"/s--157s. e) 15:-/z. o) °7«4 - '7-2. d) 17'721^7l2 d) 7-/«: 3-/>o> b) 377^:0 235. 11. a) 1387i5:7io- 12. a) 187, : 27s- 13. a) 0'52:37,. 14. a) 257^: 157,». 15. a) 29607 : 1202-7,28- 16. a) 20 X 74 : 7»- 17. a) 25-/«x2147.:7z- 18. a) 181 4^2X100 5 72 X 57 37'72» 19. a) 57» X 9 X 77, . 474 X 7s- b) 32587'7,» : "7»». b) 1728-'-/,2,:57'-72b°. b) 77« X 2 72: 6-/4. b) 3197,x7s-774- 6) 437, X 32 X 187z . 287, X 28 b) 5'/2 X 774 X 3'/« X 67, 274 X 47, X 31. 29. Von welcher Zahl betragen 78 genau 100 ? 21. Welches ist die Zahl, von welcher so viel ist als 7g von 23 72? 22. Von welcher Zahl betragen '7ss um 727» mehr als 13'7is von 588'7«,? 23. Welches ist die Zahl, von welcher '-/,<> um 15-/ss weniger be¬ tragen als -748 von 2358'7,0? 24. Jemand verdient täglich -/4 st-; wie lange wird er arbeiten müssen, um 19'/, fl. zu verdienen? 25. Wie viel Eisenbahnschienen von 5'/, m Länge gehören zu 1 Lm. Doppelgeleise? 26. 1 i Wein wiegt "/25 wie viel wiegt ein Fass, das 204 ö Wein enthält, wenn das leere Fass 33'/2 LA wiegt? 27. Wenn 78 "r 4'/s st. kosten, wie hoch kommt 1 m? 7« m kosten "/5 fl. 7s nr kostet 7, fl. 1 »4 kostet '7, fl. -- 47, fl. 28. Ein Geselle erhält sür die Anfertigung von einem Paar Stiesel, wozu er I-/4 Tage braucht, 2'8 fl.; wie viel Taglohn macht dies? 29. Ein Acker, welcher 57, L« enthält, wird um 4129'7s» st- ver¬ kauft; wieviel kostet 1 /r« ? 30. Wenn ein Dampfwagen in 67,5 Stunden 1477, zurücklegt, wie viel Lm. legt er in 1 Stunde zurück? 33 31. Ein U nimmt Vio m? Raum ein; wie viel Lö fasst ein Fass vvn 2"/zg Inhalt? 32. Jemand kauft 45^/z m, Tuch, das m zu 5^ fl.; wie theuer muss er 1 m, verkaufen, um im ganzen 25?/ioo fl. zu gewinnen? 33. Ein Baugrund wird um 728^o fl. verkauft; wie viel ent¬ hält er, wenn das mit 15^/, fl. bezahlt wird? 34. Jemand kauft 12 fl? A Zucker 4 37^g fl. und verkauft den Zucker mit einem Gewinn von 61'/4 fl.; wie theuer wurde 1 A verkauft? 35. 15 Säcke, mit österr. Guldenstücken gefüllt, wiegen 105^ LA; wie viel Gulden befinden sich in den Säcken, wenn jeder leere Sack flzg LA und 1 Guldenstück hgi LA wiegt? 36. 74 kauft Tuch und zwar jedes -n für 4^ fl., im Verkaufe gibt er je 5 m, für 27 fl. und gewinnt 78 fl.; wie viel -m sind verkauft worden? 37. Zwei Stück Leinwand haben zusammen 73'/4 m,; ein Stück hat um 3'/z m mehr als das andere und kostet deshalb um 2fl^ mehr; wie viel M hat jedes Stück und wie viel kostet jedes? 38. Ein Ballen Baumwolle wog I04h'^ LA, der Ballen für sich wog 8^/g L^; wie hoch kommt 1 LA davon, wenn die ganze Baumwolle 268'83 fl. kostete? 39. Drei Personen haben eine bestimmte Summe zu bezahlen und zwar 74 derselben, L 2/g ^d 0 den Rest; wenn nun 6 120 fl. zu zahlen hat, wie groß ist dann die zu bezahlende Summe, wie viel hat wie viel L zu zahlen? 40. Von einer Summe erhält ^/g, L und 0 den Rest. Der Antheil des 8 beträgt 314/z fl.; wie viel erhält wie viel 0? 41. Ein Landmann verkauft 28 L? Weizen und 15^ Roggen für 2672/g fl. Für das L? Weizen erhält er 6^/Z fl.; wie viel bekommt er für das U Roggen? 42. Jemand mischt 2^ Wein, wovon das ? fl. kostet, mit 47/10 U, wovon das ö 27^00 fl. kostet; wie viel ist a) die ganze Mischung, d) jedes ? der Mischung wert? IV, Rechnen mit mehrnamigen Zahlen. Nrsolvieren. Die Einheiten einer höheren Benennung in Einheiten einer niedrigeren Benennung verwandeln, heißt jene resolvieren oder auflösen. Močnik, Rechenbuch f. d. I. Classe d. Knaben-Bürgerschulen. '8. Aufl. 3 34 Aufgaben. 1. Wie viel cm. sind a) 45 m, l>) 13 m, e) 28 ^m, 7 om., cis 4 m. 8 c/m 5 ein? 2. Wie viel in, ^m, em. und m.m sind n) 5'047 m, b) 0'568 m., o) 7°/g m? 3. Verwandle in m?, c/m.^ und em? n) 15'6614m.V 6) 0'8904 mV 7°Viss m^. 4. Wie viel ,n? sind rr) 28 a, 6) 7 /ra, v) 3 /ra 8 a 36 m^? 5. Wie viel cm? sind a) 35 c/m?, 6) 6 m^ 317 c/nr? 61 cmb? 6. Verwandle in L/, / und a) 23'456 /r/, d) 5'086 /r/, o) 12°Viss 7. Wie viel mA sind n) 64 oa, 6) 31 o, o) 3 a 85 mA? 8 Wie viel A sind 3.) 18 c/LA, 6) 7 LA, o) 2 LA 73 c/LA 5 A? 9. Wie viel LA, ckLA und A sind n) 390'358 LA, 6) 12'076 LA, v) 0125 LA? 10 Wie viel Kreuzer sind u) 8 fl., 6) 53 fl., o) 12 fl. 75 kr., ä) 5 fl. 5 kr.? 11. Wie viel Kreuzer beträgt Vs, Vi, Vs, Vio, Vso, Vss fl-? 12. Wie viel Kreuzer sind Vi, Vs, Viv, "/ss, ^/so fl-? 13. Wie viel Gulden und Kreuzer sind u) 735-98 fl., 6) 19'03 fl. o) 0'688 fl., ä) 57 »/z fl.? 14. Verwandle in Secunden u) 57 Minuten, 6) 18 Stunden, o) 48 Tage; ä) 4 Tage 18 Stunden 35 Minuten 24 Secunden. AI 15. Wie viel Monate sind Vs, Vs, Vi, Vs, Vi», Vss Jahre? 16. Wie viel Jahre, Monate und Tage sind n) 5'378, 6) 3'888, o) 1'245, ä) 2'157 Jahre? 17. Ein Jahr hat 365'24222 Tage; wie viel Tage, Stunden, Mi¬ nuten und Secunden sind es? 18. Verwandle in Bogensecunden a) 36' d) 8' 35", v) 37° 54' 28". Uednrieren. Die Einheiten einer niedrigeren Benennung in Einheiten einer höheren Benennung verwandeln, heißt jene reducieren. 33 Aufgaben. Neduciere folgende Zahlen auf Ganze der höheren Benennungen: 1. a) 314586 mm b) 57843 am?; 2. a) 83045 m? b) 934625 am?; 3. a) 7315 2 . 6) 38047 A. Reduciere aus Ganze der höheren Benennungen? 4. a) 1957 Kreuzer 5) 75808 Kreuzer; 5. a) 347947 Zeitsecunden 1») 37481 Bogensecundeu. 6. Wenn jemand in jeder Secunde 1 zählen würde; wie viel Zeit würde er brauchen, um eine Million, und wie viel, um eine Billion zu zählen (das Jahr zu 365 Tagen gerechnet), vorausgesetzt, dass es möglich wäre, Tag und Nacht ununterbrochen fortznzählen? 7. Wenn Jemand täglich 10 kr. erspart, wie groß ist das Ersparnis in einem gemeinen Jahre? 8. Die Zeit von einem Bollmonde zum andern (synodischer Monat) beträgt 2551443 Secnnden: wie viel sind dies Tage, Stunden, Minuten und Secunden? Berwandle s.) in einen Decimalbruch, 6) in einen gemeinen Bruch der nächst höheren Benennung: 9. a) 16 Kreuzer 6) 8'/z 10. a) 4 -2m 6) 37'/, 11. a) 135 « 6) 602' 12. a) 14 "/4 Kreuzer Conv. M. Berwandle in einen Decimalbruch 13- a) 3 m 4 <2m 5 am 6 mm 14. a) 15 m? 59 -2m? 32 am? 15. a) 21 m? 88 -2m? 315 am? 16. 328 2A 93 -2LA 5 F; 17. a) 12 fl. 23 kr. 18. 6 Monate 4 Tage 16 Stun Kreuzer 0) 1365 Kreuzer; «2m e) 564 am; /2 2 a) 28'4 -2LA; 6) 19 835 Stunden. der höchsten Benennung: 6) 47 Lm 67 m; k) 2 L-r 7 a 72 m?; 6) 63 L2 58 2; 6) 75 fl. 8'/2 kr. 36 Minuten — ? Jahre? Addition mehrnamiger Zahlen. Addiere: 3* 36 <4. Jemand hat vier Capitalien, welche einzeln 124 fl. 45 kr., 48 fl. 84 kr., 213 fl. 58 kr., 308 fl. 75 kr. jährlichen Zins tragen; wie groß ist das ganze jährliche Zinserträgnis? 5. Die Seiten eines Viereckes sind: 2 m 4 ^m 2 em, 5 m 3 ckm 8 em, 2 m 5 äm 1 em, 4 m 1 9 em; wie groß ist der Umsang? 6. Um einen Punkt herum liegen fünf Winkel; von diesen ist a 85° 33' 46", U --- 47° 18' 48", o -- 63° 29' 17" ä — 58° 43' 50", e — 104° 54' 19"; wie groß ist die Summe aller dieser Winkel? 7. Ein Haus hat bis zur ersten Balkenlage 3 m 5 äm 4 em, von hier bis zur zweiten 3 m 4 äm 2 em, von da bis zur dritten 3 m 2 c?m 5 em, und endlich von hier bis zum Gipfel 3 m 5 8 em Höhe; wie viel beträgt die ganze Höhe? 8. Die Strecke der Südbahn von Wien bis Graz beträgt 227 Lm 629 m, die Strecke von Graz bis Laibach 221 Lm 778 m und von Laibach nach Triest 144 Lm 933 m; wie lang ist die ganze Strecke von Wien bis Triest? 9. Ein Sechseck enthält vier Dreiecke; das erste hat 48 m- 25 äm'st das zweite 91 m? 12 das dritte 92 m? 15 <2mst das vierte 65 18 Äm?; wie groß ist die ganze Fläche des Sechseckes? 1ü Eine Glocke enthält an Messing 647 LA 78 ) 37 Am, 287 m X 9. 2. u) 7 A-r 5'2 « X 146; b) 15 56 r X 39. 3. n) 8 47 X 64; 6) 317 fl. 84 kr. X 542. 4. Wenn 1 « 27 fl. 72 kr. kostet, wie hoch kommen 10 a? 5. EinU Weizen kostet 6 fl. 58 kr.; wie hoch kommen 7, 28, 55, 99, 125 ^? 6. Ein Beamter bezieht monatlich 128 fl. 75 kr. Gehalt; wie viel jährlich? 7. Ein Capital trägt jährlich 158 fl. 48 kr. Zinsen; wie viel in 3^ Jahren? 8. Wenn zwischen dem Blitze einer Kanone und dem darauf gehörten Knalle 12 Secunden verfließen und der Schall in jeder Secunde 332 m 2 5 om zurücklegt, wie weit ist die Kanone vom Beobachter entfernt? 9. Wenn ein Ducaten 5 fl. 95 kr. gilt, wie viel betragen 33, 57, 98, 183 Ducaten? 40 10. Wie lang ist eine Schnur, die sich um eine Welle, deren Um¬ fang 3 clm 5 em 5 mm ist, 38mal Herumwinden lässt? 11. Eine Eisenbahnschiene wiegt 2 A 43 L§; welches Gewicht haben 40 solche Schienen? 12. Wie viel Schritte macht ein Mensch in 2 Stunden 35 Minuten, wenn er in jeder Minute 90 Schritte macht? 13. Mit einem Pfluge kann in einem Tage eine Fläche von 50 a 25 M? umgeackert werden; welche Fläche von 4 Pflügen in 6 Tagen? -Li 4. Zu einer Wasserleitung braucht man 320 weite Röhren von 2 m 2 Länge und 610 engere Röhren von 4 M 1 c/m Länge; wie lang ist die Wasserleitung? Berechne -z15. 65 LA L 140 fl. pr. A. 16. 127 M ä 3 fl. 55 kr., L 2 fl. 90 kr. 17. 7 L? 35 r ä 42 fl. pr. KL 18. 51 LA 32 ckLA ä, 1^ fl. pr. LA 19. 21 La 84 n zu 925 fl. pr. La. 20. Wie viel kostet der Rahmen zu einem Bilde, das 52 om hoch und 42 em breit ist, wenn 1 M zu 55 kr. gerechnet wird? 21. Wenn man das Sonnenjahr, welches 365 Tage 5 Stunden 48 Minuten 48 Secunden beträgt, zu 365 Tagen rechnet und wegen des dabei Vernachlässigten jedes vierte Jahr als Schaltjahr mit 366 Tagen annimmt; wie groß wird der Fehler, den man bei dieser Rechnungsweise in 400 Jahren begeht? Division mehrnamiger Zahlen. Bestimme: 1. a) 530 fl. 84 kr. : 23; 6) 9225 fl. 30 kr. : 382. 2. a) 120 Lm 509 M : 37. b) 289 LA 674 A 57. 3. Wenn 1 A Quecksilber 254 fl. kostet, wie theuer ist 1 LA? 4. Ein Capital trägt jährlich 351 fl. 84 kr. Zinsen; wie viel Zinsen kommen ans 1 Monat? 5. Ein Dampfwagen legt in 6 Stunden 168 Lm 750 M zurück; wie viel in 1 Stunde? 6. Für ein Zimmer, dessen vier Wände 88 M? Fläche haben, kosten die Tapeten 15 fl. 84 kr.; wie hoch kommen die Tapeten für 1 m?? Zwei Fässer Petroleum, das eine mit 3 L? 10 r, das andere mit 2 Lö 95 ?, kosten zusammen 127 fl. 5 kr.; wie viel kostet 1 ?? 41 8 Eine Röhre gibt in 15 Stunden 48 Minuten 43 U Wasser; in wie viel Zeil 1 /r^? 9. 31 fl. 50 kr. : 2 fl. 25 kr. 19. 0 »»' 57 84 cm^ : 24 cim^ 56 s»r^. 11. 1108 14 : 5 6 12. Eine Stiege ist 3 m 8 cöm hoch: wie viele Stufen hat sie, wenn jede Stufe 1 eim 3 cm hoch ist? ^c13 Wie viel Stück Ducaten braucht man, um 512 fl. 56 kr. zu zahlen, wenn die Ducaten im Curse zu 5 fl. 96 kr. stehen? ^14. Jemand kauft um 358 fl. 20 kr. Achtguldenstücke, das Stück zu 9 fl. 95 kr.; wie viel Stücke erhält er? /^15. Unter drei Personen sollen 115 fl. 86 kr. so vertheilt werden dass die Hälfte, L den dritten Theil und 0 den Rest bekommt; wie groß ist der Antheil einer jeden dieser drei Personen? .16. Eine Linie ist viermal gemessen worden, und man fand sie 57 m 5 <2m 4 cm, 57 m 2 cim 3 cm, 58 m 1 ' EDlultipliciere jede der Zahlen u) 71593, 6) 531979, e) 841076, ä) 284321 mit jeder der Zahlen m) 105, u) 11, o) 63, x) 995, c^) 799, r) 250, 8) 125. ' -* L. Rechenvortheile bei der Division. 1. Wenn sich der Divisor in zwei Factore zerlegen lässt, durch welche man bequem dividieren kann, so dividiert man den Dividend zuerst durch den einen Factor und das Ergebnis noch durch ^den andern Factor. Z. B. 2. Durch 25 wird dividiert, indem man das 4fache des Divi- dends durch 100 dividiert. Z. B. 34625: 25 153723 : 25 138500 6148'92 45 3. Durch 125 wird dividiert, indem man das 8fache desDivi- dends durch 1000 dividiert. Z. B. 579625 :125 21579 :125 4637'000 172'632 Aufgaben. Berechne mit Anwendung der Vortheile: 3. Abgekürzte MultiMcatiou. Will man im Produkte zweier Decimalbrüche nur eine bestimmte Anzahl von Decimalen erhalten und dabei jede überflüssige Rechnung ver¬ meiden, so bedient man sich der abgekürzten Multiplication. Schreibe unter den Multiplikand 48'3164 die Ziffern des Multipli¬ kators 23'579 in umgekehrter Reihenfolge so an, dass die Ziffer der Einer des Multiplikators unter dl? a) Zehntel, b) Hundertel, o) Tausendtel des Multiplicands zu stehen kommt, und bestimme dann den Stellenwert des Produktes je zweier untereinander stehender Ziffern. a) 48 3164 b) 48'3164 o) 48'3164 97532 97532 97532— Schreibt man den Multiplikator in umgekehrter Ordnung unter den Multiplicand, so hat das Product je zweier untereinander stehen¬ der Ziffern immer mit derjenigen Ziffer des Multiplicands, unter welcher die Einer des Multiplica tors stehen, gleichen Stellenwert. Auf dieser Anschreibweise beruht folgendes Verfahren bei der abge¬ kürzten Multiplication: 1. Man fetze die Einer des Multiplikators unter die niedrigste Deci- malstelle des Multiplicands, welche noch im Produkte vorkommen soll, und schreibe daneben die übrigen Ziffern des Multiplikators iu umgekehrter Ordnung; daun haben die Produkte von je zwei untereinander stehenden Ziffern gleichen Stellenwert mit der niedrigsten im Produkte verlangten Ziffer. 46 2. Man mnltipliciere mit der ersten rechts vorkommenden Ziffer des Multiplikators zuerst die um eine Stelle weiter rechts stehende Ziffer des Multiplicands, schreibe jedoch dieses Product nicht an, sondern merke sich davon nur die nächsten Zehner, welche die Correctur bilden; dann mul- tipliciere man die gerade darüberstehende Ziffer des Multiplicands, addiere zu dem Products die Correctur und fange hier das abgekürzte Theilproduct zu schreiben an; nun werden nach der Reihe auch die weiter aufwärts fol¬ genden Ziffern des Multiplicands multipliciert. Ebenso multipliciert man dann mit der zweiten, dritten, . . . Ziffer des umgekehrten Multiplikators und schreibt die einzelnen dadurch erhaltenen abgekürzten Theilproducte so an, dass ihre niedrigsten Ziffern, da sie gleichen Stellenwert haben, unter¬ einander zu stehen kommen. 3. Mau addiere die abgekürzten Theilproducte und schneide in der Summe die verlangte Anzahl Decimalen ab Soll die letzte Decimale im Products verlässlich sein, so entwickle man um eine Decimale mehr, als ihrer genau sein sollen. Das hier für Decimalzahlen abgeleitete abgekürzte Multiplicationsverfahren kann auch bei derMultiplication ganzer Zahlen, wenn man im Produkte nur einige höchste Stellen erhalten will, angewendet werden. Beispiele und Aufgaben. 1. Es soll das Product aus 5'21567 und 23'785 in 3 Decimalen Man setzt die Einer 3 des Multiplikators unter die dritte Decimale 5 des Multiplicands, schreibt die übrigen Ziffern des Multiplicators in umgekehrter Ordnung und multipliciert': 2mal 7 ist 14, bleibt 1 zur Correctur; 2mal 6 ist 12, und 1 ist 13, Zangeschrieben, bleibt 1; 2mal 5 ist 10, und 1 ist II; u. s. w. 3mal 6 ist 18, bleibt 2 zur Correctur; 3mal 5 ist 15, und 2 ist 17, 7 angeschrieben, bleibt 1; u. s. w. 7mal 5 ist 35, bleibt 4 zur Correctur; 7mal list 7, und 4 ist II, 1 angeschriebeu, bleibt 1; u. s. f. 2. Multipliciere 245'31 mit 0'00956 so, dass im Products 4 Deci¬ malen erscheinen. 245'31 «o X 0'00956 659000 22078 Hier kommen die Einer 0 des Multiplicators 1227 unter die vierte Decimalstelle des Multiplicands; die 147 fehlenden Decimalen rechts im Multiplikand denkt man 2'3452 sich durch Nullen ersetzt. entwickelt werden. 5'21567 X 23 785 58732 104313 15647 3651 417 26 124054 47 Bestimme abgekürzt folgende Produkte: 3. 7'064 X 2-859 4. 31-365 X 12 408 5. 52-482 x 0-3762 mit 3 Decimalstellen. 6. 83'78 X 8-6405 7. 45'803 X 6'54 8. 70'86 X 0'529 9. 19-376 X 5-904 mit 2 Decimalen. 1V. 0 8551 X 11 39 11. 7-8415 X 0-6213 12. 0'0764 X 3-1416 13. 9'0256 x 4'378 mit 4 Decimalen. 14. 69'234 X 0-0947 15. 8-42087 x 0'2092 X 7'5548 (4 Decimalen). 16. 1-045 x 1'045 x 1'045 x 1 045 (6 Decimalen). 17. Es soll 1'04 6mal als Factor gesetzt und das Product in 6 Decimalen entwickelt werden. 18. Setze 1'02 lOmal als Factor und bestimme das Product in 6 Decimalen. 19. Welche Products in 6 Decimalen erhält man, wenn 1'06 8mal, 1'055 12mal als Factor gesetzt wird? 20. Suche die Ganzen des Produktes 124 256 X 308'492 X 98'073. 21. Bestimme das Product 260853 X 79415 bis auf die Millionen herab. 22. Wie viel kosten 37'3456 LA, wenn ein LA 941'34 fl. kostet? (3 Decimalen.) 23. Ein Capital gibt jährlich 43'578 fl. Zinsen; wie viel in 2'862 Jahren? (3 Decimalen.) 24. 1 Gulden Capital wächst bei einem gewissen Zinsfüße in 20 Jahren auf 2'653298 fl. an; wie hoch wächst bei der nämlichen Verzinsungsweise und in derselben Zeit ein Capital von 2315 fl. an? (3 Decimalen.) 25. Die atmosphärische Luft übt auf 1 om? einen Druck von 1'0336 LA aus; welchen Druck haben daher 15'2145 om? auszuhalten? (3 Decimalen.) 26. Die mittlere Entfernung der Sonne von der Erde ist 20657700 aeoar. Bieilen; wie viel Lm sind dies, da 1 qeoqr. Meile — 7'42044 Lm ist? (1 Decimale.) 48 27. Der Flächeninhalt der österreichisch-ungarischen Monarchie be¬ trägt 10843'44 österr. Quadratmeilen; wie viel sind dies da 1 öfterr. Ouadratmeile — 57'54642 ist? (2 Decimalen.) 4. Abgekürzte Division. Soll der Quotient nur auf eine bestimmte Anzahl von Decimalstellen entwickelt werden, so bedient man sich der abgekürztenDivision. Da¬ bei wird folgendes Verfahren angewendet: 1. Man suche die erste Ziffer des Quotienten und bestimme ihren Stellenwert. Da der Quotient eine bestimmte Anzahl Decimalen enthalten soll, so ist aus dem Stellenwerte der ersten Ziffer auch bekannt, wie viele Ziffern der verlangte Quotient im ganzen haben soll. 2. Man behalte im Divisor von der Linken angefangen so viele Ziffern, als ihrer der gesuchte Quotient enthalten soll; diese bilden den abgekürzten Divisor. Hat der Divisor nicht so viele Ziffern, als man be¬ halten soll, so tritt die abgekürzte Division erst später im Verlaufe der Rechnung ein. 3. Man behalte auch im Dividend nur so viele Ziffern von der höchsten angefangen, als ihrer der Quotient haben soll, oder um eine mehr, wenn der abgekürzte Divisor in eben so vielen höchsten Ziffern des Divi- dends nicht enthalten ist; jene beibehaltenen Ziffern sind der abgekürzte Dividend. 4. Man dividiere nach der gewöhnlichen Divisionsweise so lange fort- bis die letzte Ziffer des abgekürzten Dividends herabgesetzt wurde; hierauf lasse man bei jeder folgenden Division die niederste noch vorhandene Ziffer des Divisors weg; die jedesmal gefundene Ziffer des Quotienten multipli- ciere man dann zuerst mit der höchsten im Divisor weggelassenen Ziffer und zähle die ans diesem Products erhaltenen Zehner als Correctur zu dem ersten eigentlichen Produkte dazu. 5. Dieses Verfahren wird fortgesetzt, bis sich im Divisor keine Ziffer mehr vorfindet. Das abgekürzte Divisionsverfahren kann auch bei der Division ganzer Zahlen, wenn man im Quotienten nur einige höchste Stellen erhalten will, augewendet werden. Beispiele und Aufgaben. 1. Der Quotient 83'423 : 31'586 soll in 4 Decimalen bestimmt werden. 49 83'423 : 3.1-.5.8.6 --- 2'6411 20251 Die erste Ziffer 2 des Quotienten bedeutet Einer, daher wird der Quotient im ganzen 5 Ziffern enthalten; bo es werden daher der Dividend und der Divisor, so wie sie gegeben sind, auch schon als abgekürzt zu betrachten sein. Nachdem das Product aus 2 und dem Divisor von dem Dividend subtrahiert wurde, lasse man, anstatt dem Reste 20251 eine Null anzuhängen, jm Divisor die niederste Ziffer 6 weg und dividiert 20251 durch S158, sodann multipli- cicrt man: 6mal 6 ist 36, bleibt 4 zur Torrectur; 6mal 8 ist 48, und 4 (Correctur) ist 52 und 9 ist 61, u. s. f. 2. Es soll der Quotient 3'79357 : 13'8594 in 3 Decimalen ge¬ sucht werden. 3'79.357 : 1.3'.8.594 0'274 102 Da hier die erste Ziffer 2 des Quotienten Zehntel bedeutet, g so muss man im Quotienten 3 Ziffern entwickeln; man behält daher im Dividend und im Divisor nur die drei höchsten Stellen bei und dividiert dann abgekürzt. 3. Der Quotient 12345'6352 : 7'89 soll in 3 Decimalen entwickelt werden. mit 3 Decimalen. mit 2 Decimalen. mit 4 Decimalen. 12345 635.2 : 7'.8.9 —1564'719 4455 5106 3723 5675 152 73 Die erste Ziffer 1 im Quotienten bedeutet Tausende; der Quotient wird daher 4 Ganze und 3 Decimalstellen, zu¬ sammen 7 Ziffern enthalten; es soll also der abgekürzte Divisor 7 und der abgekürzte Dividend 8 Ziffern haben; da aber der Divisor 3ziffrig ist, so tritt die abgekürzte Division erst dann ein, nachdem die niederste beibehaltene Ziffer 5 des abgekürzten Divi- dends in Rechnung gezogen wurde. Bestimme abgekürzt nachstehende Quotienten: 4. 11'224:2'576 5. 1237:3'0946 6. 263'2:0'0427 7. 44'1937.0'8536 8. 0'6938:4'715 9. 354: 3'1416 10. 0'8912:2 59 s 11.0'9275:0'31 j 12. 309'27 : 0 0987 s 13. 372'934:18'7 14. 39'644:417 15. 106'2793.-0'5736 16. 0 39576:2 0951 Močnik, Rechenbuch f. d. I. Classe d. Knaben-Biirgerschulen. 8. Aust. 4 50 17. 748:9'134571 18 1 3 14159 sinit 5 Decimalen. 19. Bestimme den Quotienten 4651037 : 6315 bis auf die Hunderte herab. 20. In Wien leben auf einer Fläche von 59'01 726105 Ein¬ wohner; wie viel kommen auf 1 Lm?? (Ganze Zahl.) 21. Der höchste Berg in Asien, der Everest, erhebt sich 28219 eng¬ lische Fuß über den Meeresspiegel; wie viel m, beträgt feine Höhe, da Im, — 3'2806 englische Fuß ist? (2 Decimalen.) 22. Aus einem halben 4A seinen Goldes werden 86'1111 Achtgulden¬ stücke oder anch 68'3831 englische Sovereigns geprägt; wie viel Achtgulden¬ stücke ist ein Sovereign wert? (3 Decimalen.) VI. Schlussrechnungen. (MultiplicationS- und Divisionsaufgaben.) Schluss von der Einheit ans eine Mehrheit. 1. Im. kostet 5 fl.; wie viel kosten 12 m,? 2. 1 L? kostet 21 fl.; wie viel kosten 3, 8, 12 Lö? 3. 1 « kostet 13 fl.; wie viel kosten 4, 9, 15, 25 a? 4. Ein Arbeiter verdient wöchentlich 8 fl. 50 kr.; wie viel in 5, 8, 20 Wochen? 5. Ein Beamter hat 75 fl. Monatgehalt; wie viel bezieht er an Gehalt in 3, 5, 8 Monaten, in 1 Jahre? 6. Eine Locomotive legt in 1 Stunde 27 Lnr zurück; wie viel in 6 Stunden? 7. Ein Capital gibt in 1 Jahre 27 fl. 50 kr. Zins; wie viel Zins gibt es in 2, 3, 5 Jahren? 8. 1 sl. Capital trägt jährlich 6 kr. Zinsen? wie viel tragen 18 fl., 45 fl., 80 fl. Capital? 9. Wenn man auf eine Person täglich Mehl rechnet, wie viel brauchen 15 Personen in 8 Tagen? 10. Mit eineni Pfluge kann man täglich 2st^ La Land umackern; wie viel mit 12 Pflügen? 11. Ein Fußgeher legt in einer Stunde 4stz Lm. Weg zurück; wie viel in 4stg Stunden? 12. 74 betheiligt sich an einem Geschäfte mit einer 6mal so großen Summe als L; wenn nun von dem erzielten Gewinne 8 835 fl. erhält, wie viel erhält 74? 51 13. 1 kostet 45 kr.; a) wie viel Zehner kostet 1 m., b) wie hoch kommen 4, 5, 13 M? 14. 1 Wein kostet 32 kr.; a) wie viel Gnlden kostet 1 L^, d) wie hoch kommen 3, 8, 15 L^? 15. 1 LA Reis kostet 36 kr.; a) wie viel Gulden kostet 1 A, d) wie viel kosten 2, 7, 20 A? 16. 1 LA Kaffee kostet 1 fl. 60 kr.; wie viel kostet 1 A, 6) wie viel kosten 5, 9, 12 A? 17. 1 M kostet 43 kr.; wie viel kosten 13 m,? 13 M ü 43 kr. 13 m L 4 Zehner kosten 13mal 4 Zehner — 82 Zehner — 5 fl. 20 kr. 13 »- L 3 kr. „ 13mal 3 kr. . 39 kr. zusammen 5 fl. 59 kr. 18. 1 LA Rindfleisch kostet 62 kr.; wie viel kosten 12 LA? 19. Wie viel kosten 8, 12, 15, 20 r L 36 kr? 2V. Wie viel kosten 5, 9, 21, 32 LAÜ 72 kr.? 21. Wie viel kosten 3, 6, 11, 16 LA L 1 fl. 26 kr. 22. Jemand verkauft 56 LA Kaffee ä, 1 fl. 54 kr. und gewinnt daran 8 fl. 4 kr.; wie viel hat er beim Einkäufe dafür ausgegeben? 23. 1 Mäher mäht eine Wiese in 6 Tagen ab; wie viele Tage würden 3 Mäher dazu brauchen? 24. 1 Maurer würde eine Mauer in 48 Tagen aufführen; in wie viel Tagen wären 6 Maurer damit fertig? 25. 1 Pferd würde mit einem gewissen Futtervorrathe 20 Wochen auskommen; wie lange können 5 Pferde mit demselben Vorrathe auskommen? Schluss von einer Mehrheit auf die Einheit. 26. 8 U kosten 72 fl.; wie viel kostet 1 Lö? 27. 6 L-A „ 9 fl.; I LA? 28. 4 M „ 31 fl.; „ „ „ 1 m.? 29. 1 Dutzend kostet 9 fl.; wie hoch kommt 1 Stück? 39. Für 39 fl. erhält man 12 m,; wie viel kostet 1 M? 31. Für 12 fl. kauft man 16 LA; wie viel für 1 fl.? 32- 12 Arbeiter verdienen täglich 13'/z fl.; wie viel verdient 1 Ar¬ beiter ? 33- 15 Maurer führen in einem Tage 37 Hz m? Mauerwerk auf; wie viel führt 1 Maurer auf? 34. 1 m, kostet 6 Zehner; wie viel Kreuzer kostet 1 ckm? 35. 1 kostet 9, 15, 24 fl.; wie hoch kommt 1 r? 4* 52 36- 1 L kostet 24, 47, 162 fl.; wie viel kostet 1 LA? 37. Wie viel kostet 1 m, wenn a) 9m72fl., 6) 20m 110 fl. kosten? 38. 11 m. kosten 8 fl. 58 kr.; wie viel kostet 1 in? 8 fl. 58 kr. --- 77 Zehner -p- 88 kr. 39. 9 LA kosten 5 fl. 4 kr.; was kostet 1 LA? 40. 3, 4, 5 ? kosten 1 fl. 20 kr.; wie viel kostet 1 ö? 41. 6, 7, 9 in kosten 12 fl. 60 kr.; wie viel kostet Im? 42. 5, 9, 11 Stück kosten 34 fl. 65 kr.; wie hoch kommt 1 Stück? 43. 8 Arbeiter brauchen zu einer Arbeit 7 Tage; wie viel Tage würde 1 Arbeiter brauchen? 44. 12 Schnitter werden mit dem Abmähen einer Wiese in 3 Tagen fertig; wie viel Schnitter sind nothwendig, um die Wiese in 1 Tage ab¬ zumähen? 45. Ein Heuvorrath reicht für 12 Pferde 8 Tage aus; wie lange würde er für 1 Pferd ausreichen? Schluss von einer Mehrheit aus ein Vielfaches derselben. 46. 8 LA kosten 13 fl.; wie viel kosten 24 LA? 24 L-7 sind 3mal 8 Ls, sie kosten also 3mal 13 fl. — 39 fl. 47. 12 m kosten 40 fl.; wie viel kosten 48 m? 48. Wenn von einer Ware 5 m 17 fl. kosten, wie viel kosten 10, 15, 25 m derselben Ware? 56. 9 Arbeiter verdienen täglich 13 fl.; wie viel verdienen täglich 18, 27, 45 Arbeiter? 57. In 5 Tagen verdient ein Arbeiter 8 fl.; wie viel Tage muss er arbeiten, um 32 fl. zu verdienen? 58. 4 m? Baugrund kosten 18^/z fl.; wie viel kosten 48 m? Baugrund? 59. Wenn ein Rad in 6 Minuten 245 Umdrehungen macht, wie viel Umdrehungen macht es in 30 Minuten? 60. 100 fl. Capital geben 4 fl. Zins; wie viel Zins geben 200, 300, 800, 1500, 2000 fl. Capital? 53 61. 5 Arbeiter brauchen zur Vollendung einer Arbeit 20 Tage; wie viel Tage werden 10. 20, 25 Arbeiter brauchen? 62. 24 Mann reichen mit einem gewissen Vorrathe Brot 3 Tage aus; wie viel Mann werden mit demselben Vorrathe 6, 9, 12 Tage ausreichen ? 63. 8 Mann reichen mit einem gewissen Vorrathe 125 Tage aus; wie lange kommen 40 Mann aus? 64. Von einem 75 om breiten Stoffe braucht man 18^ m; wie viel m braucht man von einem 150 om breiten Stoffe? Schluss von riner Mehrheit auf einen Theil derselben. 65. 15 m kosten 43 fl.; wie hoch kommen 3m,? 3 M sind der 5te Theil von 15 IN, sie kosten also den 5ten Theil von 43 fl., d. i. 8 fl. 60 kr. 66. 12 kosten 9, 15, 21 fl.; wie viel kosten 4 LZf? 67. 20 r" „ 7, 10, 14 fl.; „ „ „ 5 r? 68. 4 U Wein kosten 93 fl. 60 kr.; wie viel kosten 50 ?? 69. 48 m kosten 153 fl. 60 kr.; wie viel kosten24,16,12,8, 6m.? 70. Für 36 zahlt man 46 fl. 8 kr.; wie viel für 18, 12, 9, 6. 4, 3 L§? 71. Für 60 fl. erhält man 18 m; wie viel für 30,20,15,12, 10 st. 72. 100 fl. Capital geben 5 fl. Zins; wie viel Zins geben 20 fl. Capital? 73. Ein Capital bringt in 1 Jahre 256 fl. Zins; wie viel Zins bringt es in 6, 4, 3, 2 Monaten? 74. Ein Pferd legt in 40 Minuten 6 Lm zurück; wie viel in 10 Minuten? 75. Ein Mühlgang mahlt in 15 Stunden 6 in wie viel Stun¬ den 2 U? 76. 15 m kosten 24 fl.; wie viel kosten 35 m? 35 m — 30 M -s- 5 77. 1U kostet 30 fl.; wie viel kosten 26 ^? 26 -s- 1 78. Wie viel kosten 49 wenn 1 72 fl. kostet? 79. 15 Arbeiter vollenden eine Arbeit in 6 Tagen; wie viel Tage brauchen dazu 5 Arbeiter? 80. Wenn eine Summe unter 36 Personen getheilt wird, kommt auf jede 5 fl.; wie viel erhält jede Person, wenn dieselbe Summe unter 9 Per¬ sonen getheilt wird? 54 Einfache Procent- und Zinsrechnnngen. 81. Vivo von einer Zahl heißt 1 Pro cent (A) derselben. Gib 1 A von den folgenden Zahlen an: a) 100, 300, 500, 800, 1200, 2500, 3800; ib) 120, 250, 336, 568, 1082, 3565, 4271; o) l6 5, 3'82, 56 4, 2 63, 7'5, 0 07, 0 002. 82. 2L, 3L, 4A, . . . einer Zahl sind »/.„g, ^g, . . dieser Zahl. Berechne von den in 81 angeführten Zahlen 2^, 3A, 4L, 5A, 8^. 83. Der wievielte Theil einer Zahl sind 5A, 10A, 20A, 25A ? 84. Berechne von den folgenden Zahlen zuerst 1L nnd daraus 2 B . SA, 2-5^, 4-2L, 0 6L: a) 200 fl., 450 fl., 832 fl., 1475 fl., 2308 fl.; l>) 300 LA, 620 LA, 924 LA, 2040 LA, 3125 LA. 85. Die Einwohnerzahl eines Ortes beträgt 3560; wie viel sind 15 A davon? 86. Jemand besorgt für seinen Geschäftsfreund die Eincassiernng von 2580 fl. nnd erhält für seine Mühe 1V«L; wie viel in Gulden? 87. Bei einem Concurse erhalten die Gläubiger nur 65 A ihrer For¬ derungen; wie viel erhält welcher 4360 fl.' zu fordern hat? 88. Zu einem Baue sind 8450 Ziegelsteine erforderlich; wenn 8A für Bruch in Abzug gebracht werden, wie viele muss man bestellen? 89. Eine Ware, welche für 2280 fl. gekauft wurde, wird mit 12 A Gewinn verkauft; wie viel beträgt der ganze Gewinn? 90. Jemand kauft den Centner einer Ware für 150 fl. und will beim Verkaufe 16 L gewinnen; wie hoch muss der Verkaufspreis gestellt werden? 91. Eine Ware kostet im Einkäufe 84 fl.; wie hoch kommt dieselbe, wenn noch für Fracht und andere Spesen 10 A auszulegen sind? 92. Wenn jemand, der früher 350 fl. Wohnzins zahlte, um 8A ge¬ steigert wurde, wie viel muss er jetzt zahlen? 93. Jemand bestimmt von seinem jährlichen Einkommen von 1850 fl. 18 A für die Wohnung; wie viel ist dies? 94. Ein Hans, das im Einkäufe 32000 ft. gekostet hat, trägt jährlich rein 4'/tB; wie groß ist der jährliche Reinertrag des Hauses? 95. Jemand zahlt 65 fl. 28 kr. Staatssteuer; wie viel muss er an Gemeindeumlage zahlen, wenn diese 19 L der Staatsstener beträgt? 96. Rindfleisch verliert beim Sieden 15 A seines Gewichtes; wie viel wiegt ein Stück von 2Hz LA roh (ohne Knochen) nach dem Sieden? 55 97. Die Herstellung eines Winterrockes kostet dem Schneidermeister 27'5 fl.; wie theuer wird er ihn verkaufen, wenn er daran 16 A ver¬ dienen soll? 98. Eine Ware, welche früher 348 wog, verlor durch Eiutrockneu 2VzA; wie viel wiegt sie jetzt? 99. 100 fl. Capital geben jährlich 4 fl. Zins; wie viel Zins gibt 1 fl. Capital? 109. Wie viel Kreuzer Zins erhält man jährlich von 1 fl. Capital, wenn man von 100 fl. Capital 5, 6, 7 fl. Zins erhält? 101. Ein Capital ist zu 5^ angelegt, d. h. 100 fl. Capital geben jährlich 5 fl. Zins; wie viel Zins erhält man von 25 fl. Capital? 102. Wie viel Zins geben 6 fl., b) 14 fl., o) 40 fl., ä) 55 fl., s) 84 fl. zu 4L? 103. Wie viel Zins geben 250 fl. Capital zu 4A, zu 5A, zu 6A? 104. Wie groß ist der jährliche Zins a) von 500 fl. zn 5A? 0) von 460 fl. zu 5A? o) von 340 fl. zu 6A? ck) von 834 fl. zn 3A? 105. Wie viel jährlichen Zins geben u) 25, 56, 65, 140, 235, 426, 805 fl. zu 4A? 1)) 60, 84, 128, 320, 548, 705, 980 fl. zu 5L? 106. Wie viel Zins geben 480 fl. Capital zu 5L in 1 Jahre, wie viel in 2, 3, 4 Jahren? 107. Wie viel Zins geben? a) 290 fl. Capital zn 4A in 2 Jahren? d) 1400 fl.4flzL „ 3 „ a) 2840 fl. „ „ 5L „4 108. Wie viel Zinsen erhält man a) von 1250 fl. Capital zu 6^ in 3 Jahren? 0) „ 5360 fl 5fl^ „2 „ ? o) ,, 3800 fl. „ „3^ „ 4^ „ ? 109. Wie viel Zins erhält man von 650 fl. zu 4A in 1 Jahre, wie viel in 6, 4, 3, 2 Monaten? 110. Berechne den Zins a) von 780 fl. zu 6L in 1 Jahre 4 Monaten; b) von 2560 fl. zu 5A in 2 Jahren 6 Monaten; c) von 1025 fl. zu 4A in 3 Jahren 3 Monaten. - Tj 'S. / 56 VII, Verhältnisse und Proportionen. 1. Verhältnisse. Durch den Quotienten zweier Zahlen im Sinne der Messung wird angegeben, wie vielmal die zweite Zahl in der ersten enthalten ist. Ein solcher Quotient heißt auch das Verhältnis der ersten Zahl zu der zweiten. Ist z. B. 12 durch 3 im Sinne des Messens zu dividieren, d. i. zu bestimmen, wie vielmal 3 in 12 enthalten ist, so drückt der Quotient 12 : 3 das Verhältnis von 12 zu 3 aus und wird als solches gelesen: 12 verhält sich zu 3, oder kürzer: 12 zu 3. Der Dividend 12 heißt das Vorderglicd, der Divisor 3 das Hinterglied und der ausgerechnete Quotient 4 der Exponent des Verhältnisses. In jedem Verhältnisse ist das Vorderglied gleich dem Hiutergliede mnltipliciert mit dem Exponenten, und das Hinterglied gleich dem Vorder gliede dividiert durch den Exponenten. Zwei Verhältnisse sind gleich, wenn sie denselben Exponenten haben. Ein Verhältnis bleibt daher unverändert, wenn man beide Glieder mit derselben Zahl mnltipliciert oder beide Glieder durch dieselbe Zahl dividiert. Mittels der Multiplikation beider Glieder kann ein Verhältnis, in welchem Brüche Vorkommen, durch ganze Zahlen dargestellt werden. Z. B. Mittels der Division beider Glieder kann jedes Verhältnis, dessen beide Glieder ein gemeinschaftliches Maß haben, abgekürzt werden. Z. B. 15 : 6 o 28 : 8 , 5:10 Aufgaben. 1. Gib den Exponenten in folgenden Verhältnissen an: a) 8 : 2 b) 7 : 3 e) 5 - r/z 2:8 20 : 4 : 6 12 : 4 5 : 25 '/« : 4 : 12 6 : 21 3^ : 1?/z. 2. Bestimme das Vorderglied eines Verhältnisses, dessen Hinterglied a) 3, l>) 8, o) 5'/z und dessen Exponent 3 ist. 3. Suche das Hinterglied eines Verhältnisses, dessen Vorderglied a) 10, 6) 22, o) 8^, und dessen Exponent 5 ist. 57 wenn es angeht, abgekürzt o) 80 : 32 96 : 144 120 : 48. U) 32 : 56 : 21 : 6) 12-/7 : 8^/7 11 Vs : 2'/5 IV« : «/7 24 72 49 auf die einfachste Gestalt gebracht, dann, 4. Stelle folgende Verhältnisse in ganzen Zahlen dar: a) V« : 4 2 : °/4 7 : 6 Hs 0) "/1° - 8-/4 12 5 : 6'5 8'25 : 7-5. 0) 3'4 : 5 3 : 1'73 6'2 : 7'5 17'81 : 9-025. 5. Wie Verhalten sich zwei Brüche von gleichen Nennern? 6. Drücke folgende Verhältnisse durch die kleinsten Zahlen ans: a) 6:2 10 : 18 12 : 16 7. Folgende Verhältnisse sollen dargestellt und 6) Hz : hh 8H7 - V» 23-/s : 1°/- d. i. in ganzen Zahlen werden: s.) 4 : 6^ - 5Vs : 7H, ZV« : 8-H5 8. Eine Linie ist 12 nr lang, eine andere 4 m,; wie verhalten sich die Längen dieser Linien zu einander? 9. Wie verhält sich 1 zu 1 m.? 10. Ein kaiserlicher Ducaten gilt 6 fl., ein Achtguldenstück 10 fl.; wie verhalten sich die Werte dieser Goldmünzen zu einander? 11. Ein Centner Kaffee kostet 168 fl., 1 CentnerZucker 48 fl.; wie verhält sich der Preis vom Kaffee zum Preise des Zuckers? 12. Von zwei Mühlsteinen dreht sich der eine in jeder Minute 72mal, der andere OOmalum; in welchem Verhältnisse stehen ihre Geschwindigkeiten? 13. geht in 4 Stunden so weit als L in 5 Stunden; wie ver¬ hält sich die Geschwindigkeit des zu jener des L? 14. Von zwei Rädern macht das eine 300 Umdrehungen in 2hg Minuten, das andere braucht zu ebensoviel Umdrehungen nur IVs Mi¬ nuten; wie verhält sich die Geschwindigkeit des ersten Rades zu jener des zweiten? 15. Ein Arbeiter verdient in 4 Tagen ebensoviel als ein anderer in 6 Tagen; wie verhält sich der Taglohn des ersten zu jenem des zweiten? 16. Ein Wasserbehälter wird durch eine Röhre in 6?/z Stunden, ein zweiter Behälter durch eine gleiche Röhre in 4Vg Stunden gefüllt; wie ver¬ halten sich die zwei Behälter dem Rauminhalte nach? 17. Ein Kreis, dessen Durchmesser 1 m, ist, hat 3HH m. Umfang; welches Verhältnis findet zwischen dem Durchmesser und dem Umfange eines Kreises statt? 58 18. Bo» zwei Locoinotiven legt die eine in jeder Minute 520 -n, die andere 560 m, zurück; wie Verhalten sich ihre Geschwindigkeiten? 19. Von zwei Locomotiven legt die eine 1Lnr in 2sig Minuten, die andere in l°/g Minuten zurück; wie verhalten sich ihre Geschwindigkeiten? 29. Ein Zimmer ist 15 V-, m. lang und 9^ nr breit; wie verhält sich die Länge zu der Breite? 21. Ein Fenster ist 1 m, 8 hoch und 1 -u 2 ckm, breit; wie verhält sich die Höhe zu der Breite? 22. Eine Dampfmaschine hebt 150 und eine andere 125 in derselben Zeit auf eine gleiche Höhe; wie Verhalten sich die Leistungskräfte der beiden Maschinen? 23. Ein Vater ist 36, sein Sohn 9 Jahre alt. Wie verhält sich das Alter des Vaters zu jenem des Sohnes; in welchem Verhältnisse stand es vor 6 Jahren? 24. 1 LA Gold ist 1395 fl., 1 Silber 90 fl. wert; wie verhält sich der Wert des Goldes zu jenem des Silbers? 25. Welches Wertverhältnis findet zwischen einem österr. Achtgulden¬ stücke und einem deutschen Zwanzigmarkstücke statt, wenn 5 Achtguldenstücke 4 Zwanzigmarkstücke wert sind? 26. Ein freifallender Körper legt in 2 Secunden 19'6 m., in 3 Se¬ kunden 44'1 m zurück; in welchem Verhältnisse stehen u) die Zeiten, k) die Fallräume? 2. Proportionen. Die Gleichstellung zweier gleicher Verhältnisse heißt eine Propor- tion. Z. B. 10 : 5 ----- 12 : 6 ist eine Proportion und wird gelesen: 10 verhält sich zu 5, sowie sich 12 zu 6 verhält, oder kürzer: 10 zu 5 wie 12 zu 6; 10 ist das erste, 5 das zweite, 12 das dritte und 6 das vierte Glied der Proportion; das erste und vierte Glied nennt man die äußeren, das zweite und dritte die inneren Glieder. Nimmt man eine beliebige Proportion 16 : 2 — 48 : 6 an, so ist 16 — 48 2 6 und, wenn man beiderseits mit 2 x 6 multipliciert, X 2 X 6 X 2 X 6, oder 16 X 6 ---- 48 X 2. 2 6 In jeder Proportion ist also das Product der äußeren Glieder gleich dem Products der inneren Glieder. 50 Wenn das Product zweier Factoren und einer derselben bekannt ist, so findet man den anderen Factor, indem man das Prodnct durch den be¬ kannten Factor dividiert. Aus dem letzten Satze folgt daher: k. Jedes äußere Glied einer Proportion ist gleich dem Producte der beiden inneren Glieder, dividiert durch das andere äußere Glied. 2. Jedes innere Glied einer Proportion ist gleich dem Producte der äußeren Glieder, dividiert durch das andere innere Glied. Mit Hilfe dieser zwei Sätze kann man aus einer Proportion, in welcher drei Glieder bekannt sind, das unbekannte Glied finden, d. h. die Proportion anflösen. Weise an der Proportion 18 : 6 — 12 : 4 die Richtigkeit folgender Sätze nach: 1. Werden in einer Proportion: a) die äußeren Glieder mit einander vertauscht, tz) die inneren Glieder mit einander vertauscht, o) die äußeren Glieder mit den inneren vertauscht, so erhält man wieder eine richtige Proportion. 2. Eine Proportion hört nicht auf richtig zu sein, wenn man ein inneres und ein äußeres Glied a) mit derselben Zahl multipliciert, d) durch dieselbe Zahl dividiert. Mit Hilfe der Multiplikation zweier Glieder kann man jede Pro¬ portion, in welcher Brüche vorkommen, mit ganzen Zahlen darstellen; mit Hilfe der Division kann jede Proportion, in welcher ein inneres und ein äußeres Glied ein gemeinschaftliches Maß haben, durch dieses abge¬ kürzt werden. Weise an der Proportion 20 : 4 — 15 : 3 die Richtigkeit folgender Sätze nach: 1. In jeder Proportion verhält sich die Snmme oder die Differenz der Vorderglieder zur Snmme oder Differenz der Hinterglieder, wie jedes Borderglied zu seinem Hintergliede. 2. In jeder Proportion verhält sich die Summe der Glieder des ersten Verhältnisses zu ihrer Differenz, wie die Summe der Glieder des zweiten Verhältnisses zu ihrer Differenz. 60 Aufgabe n. 1. Bilde Proportionen, indem du zu den nachstehenden Verhältnissen je ein neues findest. 21. 4156:71'34--- 15 749 :x. VIII. Vermischte Mederholullgsaufgaben. 1. * 88 -s- 20; 124 -s- 70; 359 -s- 50; 785 Z- 200. 2. * 68 -P 57; 144 -V 56; 477 -s- 38; 759 -P 63. 3. * 703 -i- 156; 384 -P 472; 536 Z- 345; 695 Z- 347. 4* 76 — 40; 371 — 50; 939 — 70; 644 — 300. 5* 124 — 45; 362 — 85; 531 — 83; 746 - - 99. 6.* 684 — 355; 743 - 349; 480 — 157; 903 - 287. 7* 3mal 95, 124, 213, 226, 312, 434, 518. 61 8* 7mal 43, 75, 137, 214, 338, 509, 723. 9« 12mal 18, 23, 37, 45, 57, 73, 84, 92. 10* Durch welche Zahlen sind folgende Zahlen theilbar: 10, 18, 24, 30, 45, 56, 72, 80, 100, 136? 11. ^4 liegt 7'825 M. höher als L, L 12'15 M höher als 0, 6 9'023 m, höher als O; um wie viel liegt ^4 höher als O? 12. Ein m? Bauholz kostet 37'84 st.; wie viel kosten 7'53, 17'24, 33'135, 0'247 13. Wie viel Ziegelsteine von 1792 Inhalt braucht man zu iener Mauer, welche 237'44 enthält? 14. Eine Schüssel, welche 1' Silber; wie viel ist dabei Zusatz? 15. a) 30627 X 30695. 16. a) 71904 X 47081. 17. n) 31062 X 90704. 18. Dividiere die Zahl 4i ^7 LZl wiegt, enthält 0'902 feines b) 84091 X 35709. 6) 37925 X 85026. la) 24831 X 39506. ;5'88 n) durch 66, b) durch 4'62 a) durch 0'516. 19. Dividiere durch 4'18 die Zahlen n) 340753, 5) 9864'8, o) 58'1248. 20. " Jemand verkauft 48 Zucker L 42 kr. und gewinnt dabei 1 st. 92 kr.; wie viel hat er beim Einkäufe dafür ausgegeben? 21. Das Herzogthum Schlesien hat 565475 Einwohner auf 5147'3 das Herzogthum Salzburg hat 163570 Einwohner ans 7154'54 Lm?; wie viele Einwohner kommen auf ein Lm? in dem ersteren, wie viele in dem letzteren Lande? 22. Das Licht, welches in 1 Secunde 310800 Lm durchläuft, legt den Weg von der Sonne bis zur Erde in 8 Minuten 13'22 Secunden zu¬ rück; wie viel Lm. ist hiernach die Erde von der Sonne entfernt? Suche das größte gemeinschaftliche Maß von: 23. * a) 24 und 32; la) 48 und 72; o) 72 und 120; 24- a) 168 nnd 216; 5) 135 und 450; o) 900 und 1025; 25. n) 351 und 765; k,) 731 und 918; e) 581 nnd 830. Suche das kleinste gemeinschaftliche Vielfache von: 26. * a) 6 und 8; 6) 16 und 20; o) 30 und 48; 27* a) 2, 6, 30; la) 2, 4, 10; e) 3, 5, 12; 28. a) 5, 12, 8, 10, 21, 28, 30; b) 5, 12, 7, 9, 21, 45, 57; 29. a) 16, 12, 9, 8, 25, 15, 24; b) 12, 27, 36, 28, 35, 54, 62 30. Jemand erhält 5 Fässer Zucker, welche einzeln 138 46 ^L§>, 120 20 cZL^, 112 28 118 4 rZL^, 120 wiegen; wie groß ist das ganze Gewicht? 31. Wenn die Uhr in Wien 10 Uhr 30 Minuten zeigt, ist es in Petersburg 11 Uhr 25 Minuten 46 Secunden; wie viel Uhr ist es in Wien, wenn die Petersburger Uhr 10 Uhr 30 Minuten zeigt? 32. Ein Straße von 10 Lm 156'8 m Länge wurden zu beiden Seiten mit Bäumen besetzt, die 20 Schritte L 48 em, von einander standen; wie viel Bäu'me waren erforderlich? 33? n) 18 Z ä 32 kr. 34? n) 12 m ü 54 kr. 35? a) 10 LZ L 4 fl. 35 kr. 36? Z 37. In der Bahn, welche die Erde jährlich um die Sonne beschreibt, durchläuft dieselbe in 3 Stunden nahe 43866 geographische Meilen; wie 6) 65 a 20 kr. b) 9 LZ ü 8 fl. 30 kr. 6) 16 m n 5 fl. 90 kr. m kosten 2/s fl.; was kostet Im,? viel Meilen legt sie in einer Minute zurück? 38. Die mittlere Entfernung der Erde von der Sonne ist 20657700 geogr. Meilen, der Venus von der Sonne 14942334, und des Mercur von der Sonne 7996596 Meilen; nm wie viel Meilen sind die Planeten Venus und Mercur der Sonne näher, als unsere Erde? 39. Zu 30 Z Wein a 36 kr. gießt man 15 Z einer besseren Sorte und ist dann 1 Z der Mischung 40 kr. wert; wie viel kostet 1 Z der besseren Sorte? 40? Verwandle in Meter-Decimalbrüche: n) 45 m 4 cZm 8 em; 6) 13 m 5 em. 7 mm; o) 3 ckm 9 em 2 mm; ä) 8 Lm 39 m 28 em. 41?' Verwandle a) I Stunden, §, 3, 2z, 16, 12Z Stunden in Tage; b) ß Minuten, .2, 5z, 13Z, 36, 8ß Min. in Stunden. 42? z von 240, 360, 128, 76, 192, 276, 104, 332. 43? i von 420, 246, 348, 150, 204, 357, 5111. 44? Z von 150, 205, 350, 78, l12, 47z, 108Z. 45. 32408 -f- 18297 Z- 73582 Z- 15965 -s- 81425. 46. 86'431 -j- 29'505 -s- 23'568 -j- 53'156 -s- 83'118. 47. 6'4536 -s- 78'327 -j- 0'76874 -s- 876'54 -s- 2593'6. 48. n) 34785 — 23957. 6) 104670 — 30574. 49. a) 38'639 — 68'845. U) 206'35 — 118 08. 50. n) 7'368 - 0'92515. 6) 10 — 7'914256. 63 51. * -4 und L haben zusammen 250 fl., um 25 fl. mehr als L; wie viel hat wie viel L? 52. * Ein Weinhändler kauft das U Wein um 27 fl. 24 kr. und will 4 fl. 76 kr. daran gewinnen; wie theuer wird er das l verkaufen? 53. Eine Eisenbahn steigt von der Station i4 zur Station L um 3 m 2'8 von L bis 6 um 2 m, 1'3 ci»r, von 6 bis O fällt sie um 4 m. 4'9 ckm, von O bis L steigt sie wieder um 3 m, 3'4 um wie viel liegt L höher als ^4? 54. Jemand kauft ein Dutzend Hemden für 35?/z fl.; wie hoch kommt ein Hemd? 55. Prag hat 4 Almuten 11 Secunden früher Mittag als Berlin und 7 Minuten 48 Secunden später als Wien; wie viel Uhr ist es in Berlin und Wien, wenn es in Prag 2 Uhr 25 Minuten ist? 56* Mache folgende Brüche gleichnamig: a) stz und °/z; U) »/z und 'Visi o) '»/,., und "/20i ä) "/z, "/4, st»; e) V2,'/4, °/«; Vi°, Vi2, "/20. 57. * Bringe folgende Brüche auf den kleinsten Ausdruck: 8/ 12/ 187 20/ 15/ 12, 24/ 14/ 50 75/ /12/ /16» /20, /24, /25- /27, /S0, /»5- /60' '100- 58. ,4. gibt den 4ten Theil von 11352/z fl. aus, L den 5ten Theil von 1731^ fl.; wie viel geben beide zusammen aus? 59* Auf welche Länge erreicht das Ansteigen einer Eisenbahn 1 m. Höhe, wenn dieselbe auf je 50 m, Länge um m ansteigt? 60. * Ein Arbeiter hat in 2?/z Monaten 181°/« fl. verdient; wie viel in st, Monat? 61. * 'Z- st- '/5 st- V2; "/5 st- "/1°; st- '/5 st- "/12- 62* 2stz -st 18st2 -st 5»/«; 7^/2 st- 9'/,«; 42'/« 19'/,«. 63. * -/4 - -,/z; '/10 - st4i 4 - "/«; 10 - 8'/,; 15'/,« - 7. 64. * 3st2 - 1-/.; 64'/« -55st«; 87"/« - 68'/,«; 103'/« - 88st,. 65. Ein Buchbinder erhält 150 Lg- Pappendeckel ü 11'/4 fl. pr. 100 die Fracht kostet 1'/« fl.; wie hoch kommt ihm 1 zu stehen? 66. Was ist vortheilhafter, 8'/«^ einer Ware für 16'/« fl., oder Ilst/z derselben Ware für 22'/,« fl. einzukaufen? 67. Eine Summe von 750 fl. wird unter zwei Personen so getheilt, dass 7 und L 5 eben so große Theile erhält; wie viel erhält .4., wie viel L? 68. Multipliciere mit Anwendung von Vortheilen: u) 1237, 5229, 13'894, 98785, 792'477 mit 1l; U) 82256, 54225, 173'48, 9'32537 mit 25. 64 69. Bestimme ebenso folgende Produkte: a) 57108 X 19. 4 7834 X 301. I») 67279 X 35. 554437 X 54. o) 48182 X 198. 376'45 X 397. 70. Bestimme mit Anwendung von Vortheilen 239673 X 193. 12'7546 X 6'4. 0 92705 X 9992 folgende Quotienten: a) 17725 : 25. b) 85608 : 24. 378'75 : 2'5. 598125 : 125. 125'86 : 35. 4727'3394 : 5 4. 71. Eine Röhre füllt in 1 Stunde ?/z Raumtheile eines Gefäßes; in wie viel Zeit füllt sie das ganze Gefäß? 72. Ein Wasserbehälter kann durch zwei Röhren gefüllt werden, und zwar durch die erste in 4, durch die zweite in 5 Stunden; in welcher Zeit wird der Behälter gefüllt, wenn beide Rohren gleichzeitig fließen? 73. Ein Tnchhändler kauft ein Stück Tuch für 136 fl. und verkauft davon 8^ nr 4 4chg fl., lOflz M ä 5 fl. und den Rest das m. L 5^ fl.; wie viel m. hat das Stück, wenn 24chg fl. gewonnen werden? 74.* Löse folgende Aufgabe auf verschiedene Weise: 1 nr kostet 24 kr., wie viel kosten 50 m.? 1. oOmal 24 kr.; 2. 50mal 2 Zehner -j- 50mal 4 kr.; 3. SOmal 7« st- -Z oOmal 4 kr.; 4. 50mal 'st fl. — 50mal 1 kr.; 5. 50 m L 1 kr. -- st, fl-, 50 m L 24 kr. -- "/z fl. 75. * Berechne ebenso: a) 20 ü 75 kr. ä) 25 ? L 48 kr. s) 40 r ä, 24 kr. 76. 355'35924 X 31'579 16) 52 nr ä, 95 kr. o) 42 m, L 1 fl. 21 kr. Y 21 /»r L 9 fl. 90 kr. 85'2056 X 24'806. 77. 93 62853 X 6450 — 82 517425 X 5349. 78. Suche mittelst der Kettendivision das größte gemeinschaftliche Maß von a) 372 und 1032; d) 3276 und 9867; e) 11968 und 237744; ck) 80219 und 172843; e) 435, 522, 667; b) 3828, 5858, 8845. 79. Kaiser Josef II. wurde am 13. März 1741 geboren und starb in einem Alter von 48 Jahren und 7 Tagen; berechne seinen Sterbetag. 80. Kaiser Ferdinand I. trat die Regierung am 2. März 1835 an und legte sie am 2. December 1848 nieder; wie lauge regierte er? 81. 14,13 und 6 haben 2100 fl. so unter sich zu theilen, dass L 75 fl. mehr als 14, und 0 75 fl. mehr als L erhält; wie viel erhält jeder von ihnen? 65 82. Eine Summe von 2952 fl. soll unter vier Personen so getheilt werden, dass ffg, L '/,o, 0 ^/gg und v den Rest erhält; wie viel kommt auf jede Person? o» 3402 X 125 X 96 966 X 1001 X 126 5670 X 35 ' 56 X 99 X 49 ' 84. a) 8642'^ X "'/g««. 6) i9371-b/„ x 255"^^. 85. a) 729^, : 13. 1>) 3165'/,« : 23. 86. Der Umfang eines Wagenrades beträgt 2 m, 7 5 a-n; wie viele Umläufe muss das Rad machen, um einen Weg von 6 Lm. zurück¬ zulegen ? 87. * Ein Wirt zapft ein Fässchen Wein von 75 ? in Flaschen ab, deren jede '/^ r fasst; wie viel Flaschen Wein erhält er? 88* 1 z Kaffee kostet im Einkäufe 160 fl.; wie viel wird daran gewonnen, wenn man den Kaffee a) mit 20°/y, i>) mit 15"/„ o) mit 12 ff//» Gewinn verkauft? 89.* Wie groß ist der jährliche Zins a) von 15, 75, 92, 156, 207, 880 fl. zu 4°/,? U) von 60, 105, 264, 535, 618, 972 fl. zu 5°/»? o) von 20, 85, 125, 340, 782, 836 fl. zu 6°/»? 9Ü. Bestimme mit Anwendung von Vortheilen: a) 13725 : 25; d) 2971625 : 125; o) 78286 : 33^; ä) 595486 : 12^. 91. 84^ > 206--/, ff-917ff, 846"/2, 1556"/,oo. 92.980'/, ff- 945'/« ff- 62"^ ff- 2034^ ff- 290"/,«. 93. 875"/,2 ff- 3848-/,o ff- 793--'/^ Z- 357'/« ff- 88ff,. 94. u) 100"/^ - 15^^72. d) 12^'/2» - 31'/«. 95. a) 92ff„ - 68'/, z. d) 208"/,2 - 128"/^. 96. In einer Stadt von 35600 Einwohnern starben in einem Jahre 3'//ff; wie viele waren gestorben? 97. Eine Wasserpumpe kann das in einer Grube enthaltene Wasser in 15 Tagen, eine andere in 12 Tagen herausschaffen; welcher Theil des Wassers wird von beiden Maschinen zusammen in einem Tage heraus¬ gepumpt? 98. Eine Arbeit kann von ^4 allein in 6 Tagen, von L allein in 8 Tagen vollendet werden; in wie viel Tagen wird die Arbeit vollendet, wenn sich beide Arbeiter gemeinschastlich daran betheiligen? 99. Verwandle in Decimalbrüche: 5/ 018/ 40/ -7S/ 1N11/ N1/ 29/ 39/ «SII/ 2-/ /ll/ O /z,, /4,, / /7, 49 /,g, 9 /g, /gg, /74, v /44g. Močnik, Rechenbuch f. d. I. Classe d. Knaben-Bürgerschulen. 8. Aufl. 5 66 100. Verwandle folgende Decimalbrüche in gemeine Brüche: a) 0'8, 0-15, 3 45, 0 05, 7'35, 10'l6, 0125, 8'l375; 1>) 0-2, 0-72, 2 315, 0 36, 0 450, 3'2793, 0'12423. 101. Von dem bei einem Geschäfte erzielten Gewinne entfällt auf r/g, auf L und auf Oder Rest; wenn nun ausL 252fl. entfallen, wie groß ist der ganze Gewinn, wie viel erhält wie viel 0? 102. Die zwei größten deutschen Dichter sind Göthe und Schiller; a) Göthe wurde am 28. August 1749 geboren und erreichte ein Alter von 82 Jahren 6 Monaten 23 Tagen; wann starb er? d) Schiller starb am 9. Mai 1805 in einem Alter von 45 Jahren 5 Monaten 29 Tagen; wann wurde er geboren? 103. 5(?/g X 25; 125»/g2 X 48; 348"/20 X 824. 104. 38"/-° X 45^; 49"/rz X 57"/^; 87^ X 9l°Vs°- 105. 2184 fl« : 75; 16009^ : 412; 726 : 3?/,°. 106. 313>/z : 73h/,; 72^ : 30^°; 319^ : 134 "/1°. 107. Berechne nach der abgekürzten Multiplikation in 3 Decimalen: a) 3-9765 X 4'378; 6) 0'00576 X 37'85; e) 7'6534 X 2'5637; ä) 58'3468 X 0'07583; o) 0'578 X 97'65; Y 0'6087 X 0'6087. 108. Jemand legt in jeder Minute durchschnittlich einen Weg von 73 m, zurück; wenn er nun im ganzen 15 310 m znrücklegen soll, welche Strecke hat er noch zurückzulegen, wenn er bereits 3 Stunden gegangen ist? 109. Eine telegraphische Depesche geht von Wien nm 1 Uhr 24 Min. 18 Sec. nach Berlin ab und kommt dort nach 58 Min. 30 Sec. an; wie viel Uhr ist es bei der Ankunft der Depesche in Berlin, wenn die Wiener Uhr nm 11 Min. 57 Sec. der Berliner Uhr vorgeht? 4°^ X V« ' 111. * n) 26 LA ä 40 kr. 112. * L) 16 r L 26 kr. 113. * a) 14 m, L 3 fl. 38 kr. 114. * n) 93/4 m ü 4 fl. 40 kr. SV- x 7-/4 X 3fl« X 6V4 2-/4 X 4fl, X 31 - l>) 112 m. ä 43 kr. 6) 13 Ducaten n 5 fl. 92 kr. U) 24 m, L 5 fl. 90 kr. U) 8 80 r L 30 fl. pr. LL 115. und L kaufen gemeinschaftlich 12 U Wein, das zu 24 V- st.; ^4 nimmt davon 2'5 U mehr als L; wie viel muss jeder bezahlen? 116.* Wie viel gewinnt man an: a) 450 fl. bei 20°/«, 6) 86 fl. 20 kr. bei 10°/«, v) 772 fl. 40 kr. bei 12^°/«, ä) 1224 fl. bei 25°/« Gewinn? 67 117. Jemand hat 385 für 173 fl. 25 kr. gekauft nnd beim Verkaufe 20°/» gewonnen; wie thener ist das verkauft worden? 118. Wie viel betragen die einjährigen Zinsen zu 6°/g von 975, 1225, 2870, 5995, 8445, 12760 fl.? 119. erhält ein Fass Baumöl im Gewichte von 256 das Fass allein wiegt 31 er bezahlt 1 Öl mit 76 kr. und außerdem an Spesen 22 sl. 50 kr.; wie viel gewinnt er, wenn er das um 96kr. verkauft? 120. Bestimme nach der abgekürzten Division auf 3 Decimalen: a) 11-224 : 2'576; ll) 106'2793 0'5736;. v) 263'2 : 0'0427; ä) 0'6938 : 4'715; e) 0'04379 : 0'1986; 1) 354 : 3'1416. ' 121. Das Licht legt den Weg von der Sonne zur Erde, d. i. eine Entfernung von 20657700 geogr. Meilen, in 493'22 Secunden zurück; wie viele Meilen in 1 Secunde? 122. Eine Hagelversicherungs-Gesellschaft nimmt für Prämie und Kosten von der zu versichernden Summe; wie viel hat ein Landmann an Prämie und Kosten zu zahlen, wenn er den Weizen zu 680 sl., das Korn zu 560 fl., die Gerste zu 250 fl. versichert hat? 123. Jemand kaufte 1 Essig, wovou das 16 kr. kostet; er hat lO°/g Spesen uud will dem Essig so viel Wasser zusetzen, dass er das / zu 16 kr. verkaufen kann und doch 100/g gewinnt; wie viel Wasser muss er zugießen? 124. Von drei Maurern macht der erste in 3 Stunden 158 Än?, der zweite in 4 Stunden 205 der dritte in 6 Stunden 281 u) wie viel cöm? fertigen alle zusammen in einer Stunde, b) in wie viel Tagen werden sie eine Maner von 1708 m? Herstellen, wenn sie täglich 10 Stunden arbeiten? Anhang. Übersicht der Maße, Gewichte und Münzen. 1. Zeit-, Winkel- und Zählmaße. Ein Jahr hat 12 Monate, 1 Monat wird in der Zinsrechnung gewöhnlich zu 30 Tagen, somit das Jahr zu 360 Tagen angenommen. Nach dem Kalender hat der Februar 28 oder 29 Tage, April, Juni, September, November haben je 30, und die übrigen Monate haben je 31 Tage, so dass auf ein gemeines Jahr 365, auf ein Schaltjahr 366 Tage kommen. Eine Woche hat 7 Tage, 1 Tag 24 Stunden, 1 Stunde 60 Minuten und 1 Minute 60 Secunden. Der Umfang eines jeden Kreises wird in 360 Grade eingetheilt. Jedem Bogengrade entspricht am Mittelpunkte des Kreises ein Winkel, welcher gleichfalls ein Grad genannt wird. Ein Grad (") hat 60 Mi¬ nuten, 1 Minute (0 60 Secunden ("). Ein Schock hat 60, ein Schilling 30, ein Mandel 15, ein Dutzend 12 Stück. Ein Ballen Papier hat 10 Ries, 1 Ries 10 Buch, 1 Buch 10 Lagen, 1 Lage 10 Bogen. 2. Das französische metrische Maß- und Gemchtssystem. Die Grundeinheit des metrischen Systems ist das Meter, wel¬ ches man als den zehnmillionsten Theil der Länge eines Erdmeridian- Quadranten angenommen hat. Das Meter (mH ist die Einheit des Längenmaßes; die Einheit für das allgemeine Flächenmaß ist das Quadratmeter (m?), für das Bodenflächenmaß das Ar (a) — 100 Quadratmeter; die Einheit für das allgemeine Körpermaß ist das Cubikmeter (m^) und für das Getreide- und Flüssigkeitsmaß das Liter M — ^gg» Cubikmeter. Die Einheit des Gewichtsmaßes ist das Gramms), d. i. das Gewicht des in i/iooa Liter enthaltenen destillierten Wassers bei 4° des lOOtheiligen Thermometers. Die Bielfacheu und Untertheilungen der Längen-, Flächen-, Körper- und Gewichtsmaße werden nach dem Decimalsystem gebildet, indem man 69 vor den Namen der Einheit bei den Vielfachen griechische, bei den Unter¬ theilungen lateinische Zahlwörter setzt. Es wird nämlich das lOfache der Einheit durch das vorgesetzte Wort Deka, das lOOfache durch Hekto, das lOOOsache durch Kilo und das lOOOOfache durch Myria, dagegen der lOte Theil der Einheit durch das vorgesetzte Wort Deci, der lOOste Theil durch Centi, der lOOOste Theil durch Milli ausgedrückt. Hiernach baut sich das metrische System auf folgende Weise auf: Vielfache Myria Kilo Hekts Deka 1OO0O 1000 100 10 Einheit Meter, Ar, Fiter, Gramm Untertheilungen Deri Centi Milli Vio Vivo 1/lvoo Insbesondere hat man für das Längenmaß: 1 Myriameter (,amh — 10000 m 1 Kilometer (L-u) — 1000 m, 1 Hektometer — 100 m, 1 Dekameter — 10 m, 1 Meter Mnheits — Im 1 Decimeter (ckm) — 01m 1 Centimeter (am) — 0'01 m 1 Millimeter (mm) — 0'001 m Für das allgemeine Flächenmaß ist: / 1 Quadratmyriameter (/cm^) 1 Quadratkilometer (Lm?) 1 Quadrathektometer --- KfOOO 1 Quadratdekameter — 100 1 Qu adratmeter sEinheits— 1 --- 10,0,000,00 m- -- 10,00,000 m-- m? 1 c^m^ — m^ 1 am? — m^ 1 -um? — Als Bodenflächenmaß hat man: 1 Hektar (Ha) — 100 a 1 Ar (Einheit) 1a — 100 m^ 0'01 m- 0'0001 m- 0'000001 m' Für das allgemeine Körpermaß ist: 1 Cubikmyriameter <>m?) 1 CubiMometer (Lm?) 1 Cubikhektometer 1 Cubikdekameter 1 Cubikmeter (Einheit) 1 Cubikdecimeter (^m?) 1 Cubikcentimeter (am->) 1 Cubikmillimeter (mm-^) -- 10000,00.0,00000 m- -- " 1000000000 m- 1000000 m- — 1000 m- — 1m- --- 0'001 m- — 0'000001 m — m 70 3. Maße, Gewichte und Miiiyen der ölterreichisch-ungarischen Monarchie. Die neuen österreichischen Maße und Gewichte sind die metrischen, nur mit dem Unterschiede, dass jene Maßglieder des französischen Systems, welche für das praktische Leben und für die Wissenschaft entbehrlich erscheinen, in die österreichische Maß- und Gewichtsordnung nicht ausgenommen wur¬ den, und dass in dieser bei den Gewichten das für die Praxis wichtigste Glied, das Kilogramm, die Einheit bildet. Längenmaße. Die Einheit des Längenmaßes ist das Meter (m). Unter¬ theilungen: das Decimeter (a das Gramm (Z-) — Viaoo das Decigramm (^) —F, dasCenti- gramm (cA) — A und das Milligramm (m^) — ^oooA. Vielfache: der metrische Centn er (^) — 100 und die Tonne (t) — 1000 Frühere Gewichte. Die Einheit des Handelsgewichtes war das Wiener Pfund von 32Loth; 100 W. Pfund — 1 W. Centn er. IW. Pfund — 0'56006 LA. Beim Abwägen des Silbers und der daraus verfertigten Sachen bediente man sich der Wiener Mark von 256 Pfennigen. 1 W. Mark — 0'28067 1^. Beim Münzwesen bediente man sich früher in Österreich und in Deutschland meistens der kölnischen Mark, welche in Wien — 233'87 A angenommen wurde. Später wurde bei der Ausmünzung das Zollpfund — 500 zugrunde gelegt. Als symbolisches Gewicht zur Prüfung der Feinheit des Goldes nnd des Silbers wurde die verjüngte Mark, welche einen Pfennig des Markgewichtes enthält, angewendet. Beim Golde wurde die Mark in 24 Karat, beim Silber in 16 Loth eingetheit. 72 Die Feinheit der Gold- und Silbermünzen der neuen Währung wird in Tau- sendtheilen auSgedrückt. So z. B. enthält der neue österreichische Gulden 900Tausend- theile feines Silber und 100 Tausendtheile Kupfer; seine Feinheit ist also oder Vi». Geld und Münzen. In Österreich rechnete man früher nach Gulden, Kreuzern und Pfennigen Conventions-Münze, wornach aus einer kölnischen Mark feinen Silbers 20 Gulden ausgeprägt wurden. 1 Gulden (fl.) hatte 60 Kreuzer, 1 Kreuzer 4 Pfennige. Seit 1. November 1858 ist die österreichische Währung, in welcher aus einem halben Kilogramm feinen Silbers 45 Gnlden geprägt werden, das alleinige gesetzliche Geld der ganzen Monarchie. Ein neuer Gulden wird in 100 Kreuzer (kr.) eingetheilt. 100 fl. C. M. — 105 fl. ö. W. Die gegenwärtig geprägten Münzen sind theils Landes-, theils Scheide-, theils Handelsmünzen. Landesmünzen werden in Silber ausgeprägt und sind: Zwei- guldenstücke, Einguldenstücke und Viertelguldenstücke. Scheidemünzen dienen nur zur Ausgleichung von Beträgen, die kleiner sind als 25 kr. Sie werden theils in Silber, theils in Kupfer aus¬ geprägt; jedoch haben die Silberscheidemünzen' eine geringere Feinheit, als sie verhältnismäßig zu den Landesmünzen haben sollten. In Silber werden Stücke zu 20, 10 und 5 kr., in Kupfer Stücke zu 4, 1 und flz kr. ausgeprägt. Handelsmünzen endlich haben die Eigenschaft eines allgemeinen Zahlungsmittels; ihr Wert gegen die Landeswährung bleibt deshalb auch nicht unveränderlich, sondern richtet sich nach den Bedürfnissen des Handels. Als Handelsmünzen werden ausgeprägt: 1. Achtguldenstücke und Vierguldenstücke; von den ersteren gehen 77stz Stücke, von den letzteren 155 Stücke auf ein halbes Kilogramm Gold, das °/io fein ist. 2. Die kais. Ducaten, 67 Stück auf eine köln. Mark Gold, welches 23?/z Karat fein ist. 3. In Silber die sogenannten Levantiner-Thaler mit dem Bildnis der Kaiserin Maria Theresia und der Jahreszahl 1780, 10 Stück aus einer köln. Mark feinen Silbers. Außerdem hat man in Österreich als Papiergeld Banknoten LIO, 100, 1000 Gulden, und Staatsnoten ü 1, 5 und 50 Gulden.