ERK'2021, Portorož, 139-142 139
Optimizacijski problem generiranja ˇ casovno minimalne
trajektorije z uporabo B´ ezierovih krivulj
Martina Benko Loknar, Gregor Klanˇ car, Saˇ so Blaˇ ziˇ c
Univerza v Ljubljani, Fakulteta za elektrotehniko, Trˇ zaˇ ska cesta 25, SI-1000 Ljubljana, Slovenija
E-mail: martina.loknar@fe.uni-lj.si
Povzetek
ˇ
Clanek obravnava problem ˇ casovno minimalnega plani-
ranja gladkih trajektorij za avtonomne mobilne sisteme.
Izraˇ cunana gladka pot je deﬁnirana po delih in jo sestavl-
jajo B´ ezierove krivulje. Hitrostni proﬁli na posameznih
segmentih so ˇ casovno minimalni in imajo na spojih upo-
rabljenih krivuljnih primitivov zvezno hitrost in pospeˇ sek.
Reˇ sitev iˇ sˇ cemo z izraˇ cunavanjem ˇ casa potovanja vzdolˇ z
segmentov B´ ezierovih krivulj z nekaterimi prostimi para-
metri. Pri tem uporabimo algoritem, ki vzdolˇ z dane poti
generira ˇ casovno minimalen hitrostni proﬁl z upoˇ stevanjem
omejitev hitrosti, pospeˇ ska in trzaja.
1 Uvod
Algoritmi planiranja poti imajo v mobilni robotiki izjemno
ˇ siroko uporabo in generirajo geometrijsko pot od zaˇ cetne
do konˇ cne toˇ cke prek vnaprej deﬁniranih toˇ ck. Glavni cilj
teh algoritmov je najti optimalno pot, ki (1) minimizira
razdaljo med zaˇ cetno in konˇ cno toˇ cko, (2) se izogne ovi-
ram in (3) je (dovolj) gladka. [1]. Algoritmi planiranja
trajektorij pa toˇ ckam geometrijske poti pripiˇ sejo ˇ se ˇ casovne
trenutke, ko bi naj jih mobilni sistem dosegel. Problem
ˇ casovno minimalnega planiranja trajektorij ostaja aktualen
zaradi naraˇ sˇ cajoˇ cih zahtev po optimalnem delovanju mo-
bilnih sistemov, robotov in avtomatiziranih strojev.
Deﬁniranje ˇ casovnih trenutkov vzdolˇ z poti vpliva na
kinematiˇ cne in dinamiˇ cne lastnosti gibanja mobilnega sis-
tema: sile in navori zavisijo od pospeˇ ska vzdolˇ z trajek-
torije, medtem ko vibracije njegove mehanske strukture
veˇ cinoma doloˇ cajo vrednosti trzaja. Da bi zadostili kine-
matiˇ cnim omejitvam vozila, mora biti dobljena pot gladka;
biti mora izvedljiva pri visokih hitrostih in hkrati neˇ skodlji-
va za mehanski sistem v smislu izogibanja vibracijam in
prevelikim pospeˇ skom aktuatorjev [2]. Mnogo raziskav
se zato posveˇ ca omejitvam ali minimizaciji trzaja na dani
poti [3]. Planiranje trajektorije oziroma v sploˇ snem plani-
ranje gibanja mobilnih sistemov pa se pogosto razstavi
na dva loˇ cena problema: problem planiranja poti in prob-
lem planiranja hitrosti na tej dani poti [4]. Osnovni grad-
niki gladkih poti so krivuljni primitivi, kot so na primer
polinomi, klotoide in B´ eziereve krivulje.
ˇ
Siroka uporaba
B´ ezierevih krivulj, ki jih deﬁnirajo t.i. kontrolne toˇ cke, je
posledica njihovih ugodnih lastnosti [5]– [8]. Izbor kon-
trolnih toˇ ck pomembno vpliva na lastnosti generirane kri-
vulje, zato so raziskave pogosto usmerjene v optimizacijo
lege kontrolnih toˇ ck, tudi z uporabo metahevristiˇ cnih op-
timizacijskih algoritmov (npr., genetski algoritmi, opti-
mizacija z roji delcev, ang. tabu-search, ang. ﬁreﬂy algo-
rithm) [9][10]. Problem planiranja hitrosti na dani poti
pa se ukvarja z generiranjem hitrostnega proﬁla, ki je
na dani poti izvedljiv. Kot omenjajo avtorji v [11], se v
raziskavah pogosto predpostavi doloˇ ceno obliko hitrost-
nega proﬁla (polinom, trapez ipd.).
ˇ
Clanek obravnava problem generiranja ˇ casovno min-
imalnih trajektorij za kolesni mobilni sistem, ki se giba v
omejenem prostoru brez ovir. Dirkalno stezo smo razdelili
na veˇ c posameznih odsekov in na vsakem doloˇ cili B´ ezier-
ovo krivuljo, na kateri je bil ˇ cas voˇ znje najkrajˇ si.
ˇ
Casovno
minimalen hitrostni proﬁl na posameznem krivuljnem prim-
itivu smo doloˇ cili z algoritmom, ki upoˇ steva omejitve
hitrosti, radialnega in tangentnega pospeˇ ska in radialnega
in tangentnega trzaja.
2 Deﬁnicija problema
Naj bo gibanje delca vzdolˇ z trikrat zvezno odvedljive pla-
narne krivuljeC opisano kot funkcija ˇ casa t2 [0;t
f
] s
pozicijskim vektorjemr(t) z zaˇ cetkom v danem ﬁksnem
izhodiˇ sˇ cu. Vektorje hitrostiv(t), pospeˇ skaa(t) in trzaja
j(t) lahko izrazimo v tangentno-normalni obliki kot:
v(t) =v(t)  ^
T (1a)
a(t) =a
T
(t)  ^
T+a
R
(t)  ^
N (1b)
j(t) =j
T
(t)  ^
T+j
R
(t)  ^
N; (1c)
pri ˇ cemer sta
^
T in
^
N enotski tangentni in enotski nor-
malni vektor. Kolesni mobilni sistem ima nalogo, da v
ˇ cim krajˇ sem ˇ casu prevozi dirkalno stezo v ravninskem
prostoru brez ovir. Pri tem je njegovo gibanje dodatno
omejeno z dinamiˇ cnimi omejitvami hitrosti, pospeˇ ska in
trzaja:
0   k v(t)k   v
MAX
; 8t2 [0;t
f
]; (2a)
a
2
T
(t)
a
2
TMAX
+
a
2
R
(t)
a
2
RMAX
  1; 8t2 [0;t
f
]; (2b)
j
2
T
(t)
j
2
TMAX
+
j
2
R
(t)
j
2
RMAX
  1; 8t2 [0;t
f
]: (2c)
Naˇ s cilj je razviti in implementirati algoritem za gener-
iranje trajektorije, ki zadosti vsem naˇ stetim omejitvam.
140
Algoritem, ki vzdolˇ z dane poti generira ˇ casovno mini-
malen hitrostni proﬁl z omejitvami hitrosti, pospeˇ ska in
trzaja, je sestavljen iz dveh korakov. V prvem koraku
algoritma (podrobneje opisan v [12]) se upoˇ stevajo ome-
jitve hitrosti in pospeˇ ska. V drugem koraku algoritem
modiﬁcira prvotni hitrostni proﬁl tako, da so upoˇ stevane
tudi omejitve trzaja, pri ˇ cemer se postopek razlikuje glede
na tip krˇ sitve (toˇ ckaste ali intervalne krˇ sitve trzaja). Na
danem izvedljivem segmentu poti, ki je v naˇ sem primeru
Bernstein-B´ ezierova krivulja, je optimizacijski problem
najti hitrostni proﬁlv(t), ki doseˇ ze konec krivulje v min-
imalnem ˇ casu tako, da pri tem ni preseˇ zena nobena od
omejitev. Eden od dosedanjih poskusov reˇ sitve tega prob-
lema je opisan tudi v [13].
3 Krivuljni primitivi
N-dimenzionalen Bernsteinov polinomn-tega reda,r
n
(  ) :
[0;1]!R
N
, je deﬁniran kot:
r
n
(  ) =
n
X
i=0
P
i;n
B
i;n
(  );   2 [0;1] (3)
pri ˇ cemer je  normaliziran ˇ cas (0      1),P
i;n
2R
N
jei-ta kontrolna toˇ cka inB
i;n
(  ) je baza Bernsteinovih
polinomov, deﬁnirana kot:
B
i;n
(  ) =
  n
i
    i
(1    )
n  i
; (4)
za vsei2f0;:::;ng, pri ˇ cemer je
  n
i
  binomski koeﬁ-
cient. Naj boP
n
= [P
0;n
;:::;P
n;n
]2R
N  (n+1)
vek-
tor kontrolnih toˇ ck polinoma r
n
(  ). Bernsteinov poli-
nom v enaˇ cbi(3) lahko tedaj zapiˇ semo v matriˇ cni obliki:
r
n
(  ) =P
n
2
6
6
4
B
0;n
(  )
B
1;n
(  )
:::
B
n;n
(  )
3
7
7
5
(5)
Kadar se Bernsteinovi polinomi uporabljajo za opis pla-
narnih in prostorskih krivulj, se jih pogosto imenuje tudi
B´ ezierove krivulje. Zaradi ugodnih geometrijskih last-
nosti in numeriˇ cne stabilnosti se B´ ezierove krivulje pogosto
uporabljajo pri naˇ crtovanju poti mobilnih sistemov [5].
Prva in zadnja toˇ cka Bernsteinovega polinoma iz enaˇ cbe
(3) sta tudi njuni konˇ cni toˇ cki:
r
n
(0) =P
0;n
and r
n
(1) =P
n;n
: (6)
Poleg tegaN-dimenzionalen Bernsteinov polinomn-tega
reda leˇ zi notraj konveksne ogrinjaˇ ce, ki jo deﬁnira P
n
.
Zaˇ cetek in konec B´ ezierove krivulje je tudi tangenten na
prvi in zadnji odsek konveksnega poligona:
dr
n
d            =0
=n(P
1;n
  P
0;n
) (7)
dr
n
d            =1
=n(P
n;n
  P
n  1;n
) (8)
Preostale lastnosti Bernsteinovih polinomov (odvodi, raˇ cunanje
doloˇ cenih integralov, de Casteljaujev algoritem, viˇ sanje
stopnje polinomov ipd.) ne spadajo v vsebinskega okvir
tega ˇ clanka; za zainteresiranega bralca je veˇ c detajlov na
voljo v [5].
3.1 Konstrukcija posamezne krivulje
B´ ezierove krivulje, ki jih doloˇ ca zelo veliko ˇ stevilo kon-
trolnih toˇ ck, so numeriˇ cno nestabilne, zato je pri plani-
ranju poti zaˇ zeljeno konstruirati gladko pot, ki jo ses-
tavlja veˇ c B´ ezierovih krivulj nizkega reda. Na spojih
posameznih krivulj mora biti izpolnjen pogoj zvezne ukriv-
ljenosti. Najmanjˇ si red B´ ezierovih krivulj, ki zadosti tej
zahtevi jen = 5. B´ ezierova krivulja petega redar
5
(  ) =
[x(  );y(  )]
T
je deﬁnirana s ˇ sestimi kontrolnimi toˇ ckami
P
i;5
= [x
i
;y
i
],i2f0;1;:::5g:
r
5
(  ) = (1    )
5
P
0;5
+5  (1    )
4
P
1;5
+10  2
(1    )
3
P
2;5
+10  3
(1    )
2
P
3;5
+5  4
(1    )P
4;5
+  5
P
5;5
(9)
ˇ
Clanek obravnava zgolj B´ ezierove krivulje petega reda,
zato bomo v nadaljevanju ˇ clanka zaradi preglednosti pri
sklicevanju na kontrolne toˇ cke izpuˇ sˇ cali drugi indeks, ki
oznaˇ cuje red krivulj. Za uˇ cinkovito iskanje optimalne tra-
jektorije je zelo pomemben naˇ cin konstrukcije B´ ezierovih
krivulj in izbor ustreznih optimizacijskih parametrov. Od-
vod ukrivljenosti doloˇ ca vrednost radialnega trzaja (prvi
ˇ clen v spodnjem izrazu):
j(t) =
   v  v
3
  2
    ^
T+
1
v
  d
dt
v
3
      ^
N (10)
ki jo vP
0
postavimo na 0 kot smiselno dodatno omejitev
trzaja na spojih zlepkov. Koordinate posameznih kontrol-
nih toˇ ckP
i
oznaˇ cimo z(x
i
;y
i
) zai2f0;:::;5g. Zai2
f0;:::;4g pa oznaˇ cimo razdalje med zaporednimi kon-
trolnimi toˇ ckamid(P
i
;P
i+1
) zd
i+1
in kote^(d
i
;y = 0)
s’
i
(slika 1). Velja:
x
i+1
  x
i
=d
i+1
cos’
i+1
(11a)
y
i+1
  y
i
=d
i+1
sin’
i+1
(11b)
Izraza 11a-11b ovrednotimo za i 2 f0;1g, uporabimo
adicijske izreke in dobimo naslednji izraz za ukrivljenost
  0
vP
0
:
lim
  !0
  (  ) =  0
=
4
5
d
2
d
2
1
sin(’
2
  ’
1
) (12)
in za odvod ukrivljenosti  0
0
vP
0
:
lim
  !0
d  d  =
12
5
1
d
2
1
d
3
sin(’
3
  ’
1
)+
+  0
    12
d
2
d
1
cos(’
2
  ’
1
)+6
  (13)
ˇ
Ce drugi ˇ clen v izrazu (13) postavimo na 0, potem:
d
2
d
1
=
1
2cos(’
2
  ’
1
)
(14)
Ukrivljenost in njen odvod vP
0
sta tedaj:
  0
=
4
10
tan(’
2
  ’
1
)
d
1
(15a)
  0
0
=
12
5
d
3
sin(’
3
  ’
1
)
d
2
1
(15b)
Konstrukcija posamezne B´ ezierove krivulje tako poteka
v naslednjih korakih (slika 1):
141
1. Zaˇ crtamo prvo kontrolno toˇ cko in jo oznaˇ cimo z
P
0
. V smeri’
1
odmerimo dolˇ zinod
1
in oznaˇ cimo
drugo toˇ cko zP
1
.
2. V smeri’
1
nato odmerimo dolˇ zinod
jj
2
, ki sledi iz
izraza (14):
d
jj
2
=d
2
cos(’
2
  ’
1
) =
1
2
d
1
(16)
3. V pravokotni smeri nato odmerimo razdaljo d
?
2
,
(izraz 12):
d
?
2
=
5
4
d
2
1
  0
(17)
in tretjo kontrolno toˇ cko oznaˇ cimo sP
2
.
4. Vse toˇ cke, ki so odP
2
v isti smeri (pravokotno na
daljicoP
0
P
1
) oddaljene zad
?
3
(izraz 13), oznaˇ cimo
s ˇ crtkano ˇ crto:
d
?
3
=
5
12
d
2
1
  0
0
(18)
5. Zaˇ crtamo zadnjo kontrolno toˇ cko in jo oznaˇ cimo s
P
5
. V smeri kota’
5
odmerimo dolˇ zinod
5
in peto
kontrolno toˇ cko oznaˇ cimo sP
4
.
6. Vse toˇ cke, ki so od P
4
oddaljene za d
?
4
(izrazi
11a-11b, 12 zai = 4) pravokotno glede na daljico
P
4
P
5
, oznaˇ cimo s ˇ crtkano ˇ crto:
d
?
4
=
5
4
d
2
5
  5
(19)
7.
ˇ
Cetrta kontrolna toˇ ckaP
3
leˇ zi na preseˇ ciˇ sˇ cu obeh
ˇ crtkanih ˇ crt. B´ ezierova krivulja je sedaj popolnoma
deﬁnirana.
Slika 1: Konstrukcija B´ ezierove krivulje.
3.2 Generiranje celotne trajektorije
Kolesni mobilni sistem se po ravni podlagi lahko giba
po dirkalni stezi – omejenem prostoru brez ovir. Da bi
poveˇ cali uˇ cinkovitost optimizacije, dirkalno stezo razde-
limo na posamezne odseke, na katerih iˇ sˇ cemo optimalne
trajektorije. Problem je zastavljen tako, da je na posa-
meznem odseku steze vnaprej znan poloˇ zaj(x
1
;y
1
) prve
kontrolne toˇ cke B´ eziereve krivulje, kot’
1
, ter vrednosti
ukrivljenosti  0
in odvoda ukrivljenosti  0
0
vP
0
.
Shema na sliki (2) opisuje sploˇ sno delovanje pred-
stavljenega algoritma za generiranje trajektorij. Dirkalna
steza je sestavljena izm segmentov inj je trenutno za-
poredno ˇ stevilo segmenta, na katerem se izvaja raˇ cunanje:
j 2 f1;2;:::mg. Uporabljena nelinearna optimizaci-
jska metoda je funkcija fmincon programskega okolja
MATLAB, gradientna metoda, ki v vsaki iteraciji spre-
meni proste parametre krivulje tako, da se vrednost kri-
terijske funkcije (ˇ cas potovanja vzdolˇ z krivulje) postopno
zmanjˇ suje in naposled doseˇ ze minimum.
ˇ
Cas potovanja
t
T
vzdolˇ z krivulje se izraˇ cuna z uporabo algoritma, ki
generira ˇ casovno minimalen hitrostni proﬁl. Pri tem je
potrebno paziti, da so hitrosti in pospeˇ ski na spojih zlep-
kov zvezni. Postopek se ponavlja na vsakem segmentu,
dokler ni doloˇ cena celotna trajektorija vzdolˇ z dirkalne
steze.
  
            
𝑗 = 1 
𝑗 = 𝑗 + 1 
NES 
NE 
vhodni podatki: omejitve poti, 
dinamične omejitve 
Bézierova krivulja s fiksnimi 
parametri: (𝑥 1
, 𝑦 1
), 𝜑 1
, 𝜅 1
, 𝜅 1
′
  
Rešitev na 𝑗 -tem segmentu:  
▪ 𝑃 𝑖 za Bézierovo krivuljo 
▪ čas. min. hitrostni profil  
časovno minimalen hitrostni 
profil (zveznost: 𝑣 (𝑡 ), 𝑎 (𝑡 )) 
 ⇒ 𝑡 𝑇 
spremeni: 𝑑 1 
, 𝑑 5 
 / 𝑑 1 
, 𝑑 5 
, 
(𝑥 5
, 𝑦 5
), 𝜑 5
, 𝜅 5
 
  
konec 
začetek  
Type equation here. 
DAS 
 𝑡 𝑇 = 𝑡 𝑀𝐼𝑁 ?  
DAS 
𝑗 = 𝑚 ? 
fmincon 
Slika 2: Konstrukcija B´ ezierove krivulje.
Algoritem za generiranje ˇ casovno minimalne trajek-
torijeT je bil izveden v dveh razliˇ cicah. V prvi razliˇ cici z
reˇ sitvijoT
2
sta prosta parametra le dva, razdaljid
1
ind
5
,
zaˇ cetni pribliˇ zek optimizacije pa je ˇ cas potovanja vzdolˇ z
hevristiˇ cno doloˇ cene B´ ezierove krivulje. V drugi razliˇ cici
z reˇ sitvijoT
5;II
), pa je prostih parametrov pet: razdaljid
1
,
d
5
,(x
5
;y
5
), kot’
5
in  5
. Zaˇ cetni pribliˇ zek optimizacije
(T
5;I
) pa je reˇ sitev optimizacijskega problema na istem
odseku z dvema prostima parametroma.
4 Rezultati simulacij in komentarji
Simulacije smo izvedli v programskem okolju MATLAB.
Na dani dirkalni stezi, razdeljeni na 6 odsekov, smo z
gradientno metodo izraˇ cunali ˇ casovno minimalno trajek-
torijo za kolesni mobilni sistem z naslednjimi dinamiˇ cnimi
omejitvami:v
MAX
= 1:5m=s,a
TMAX
= 2m=s
2
,a
RMAX
= 4m=s
2
,j
TMAX
= 6m=s
3
andj
RMAX
= 8m=s
3
.
142
Slika (3) prikazuje dano 6-segmentno dirkalno stezo
in ˇ casovno minimalne trajektorije (debele ˇ crte). Vmesni
rezultati iteracij so prikazani s tankimi ˇ crtami.
Slika 3: Iskanje ˇ casovno minimalnih trajektorij T2 (zgoraj) in
T5;II (spodaj).
Tabela (1) prikazuje ˇ case potovanjat
i
[s] na posameznih
odsekih dirkalne steze. Trenutni delni rezultati naˇ se ˇ stu-
dije so pokazali, da naj bi bil ˇ cas potovanja najkrajˇ si v
primeru optimizacije le dveh prostih parametrov, ki doloˇ cata
B´ ezierove krivulje. Poleg tega, da nastavitev moˇ znosti
optimizacije v funkcijifmincon zahteva veliko izkuˇ senj,
pa nekonsistentnost rezultatov lahko kaˇ ze na nezveznost
kriterijske funkcije, kar je veliko bolj kompleksen, a ne
nereˇ sljiv problem.
t
1
t
2
t
3
t
4
t
5
t
6
P
6
i=1
t
i
T
2
1,97 0,62 2,73 2,34 0,93 0,47 9,06
T
5;I
1,97 0,59 2,81 2,34 0,98 0,54 9,23
T
5;II
1,91 0,57 2,78 2,29 0,98 0,54 9,07
Tabela 1: ti in celoten ˇ cas potovanja
P
6
i=1
ti zaT .
5 Zakljuˇ cek
ˇ
Clanek predstavi delovanje algoritma za planiranje ˇ cas-
ovno minimalnih trajektorij v okolju brez ovir. Temelji na
uporabi B´ ezierovih krivulj in upoˇ steva prostorske (gibanje
po dirkalni stezi v ravnini) in dinamiˇ cne omejitve (hitrosti,
pospeˇ ska in trzaja). Kljub nekaterim omejitvam pred-
stavljene metode verjamemo, da bodo rezultati te ˇ studije
lahko osnova za naˇ se raziskovanje v prihodnosti.
V prihodnje se bomo najprej usmerili v razvoj in val-
idacijo algoritma za generiranje ˇ casovno minimalnih tra-
jektorij s hkratnim upoˇ stevanjem poteka dirkalne steze na
naslednjih odsekih (analogija s strategijo pomiˇ cnega hor-
izonta, v ang. receding horizon strategy) in natanˇ cnejˇ so
analizo uˇ cinkovitosti algoritma (raˇ cunskih ˇ casov). Morda
bi se kot ugoden naˇ cin reˇ sevanja izkazala tudi uporaba
B´ ezerovih krivulj viˇ sjega reda.
Zahvala
ˇ
Clanek je nastal s ﬁnanˇ cno podporo Agencije Republike
Slovenije za raziskovalno dejavnost (ˇ st. P2-0219).
Literatura
[1] A. Tharwat, M. Elhoseny, A. E. Hassanien, T. Gabel, and
A. Kumar, “Intelligent B´ ezier curve-based path planning
model using Chaotic Particle Swarm Optimization algo-
rithm,” Cluster Computing, vol. 22, pp. 4745–4766, 2019.
[2] A. Gasparetta, P. Boscario, A. Lanzutti, and R. Vi-
doni, Motion and Operation Planning of Robotic Systems,
vol. 29 of Mechanisms and Machine Science. Cham:
Springer International Publishing, 2015.
[3] D. Gonz´ alez, J. P´ erez, V . Milan´ es, and F. Nashashibi, “A
Review of Motion Planning Techniques for Automated
Vehicles,” IEEE Transactions on Intelligent Transporta-
tion Systems, vol. 17, no. 4, pp. 1135–1145, 2016.
[4] X. Qian, F. Altch´ e, P. Bender, C. Stiller, and A. De
La Fortelle, “Optimal trajectory planning for autonomous
driving integrating logical constraints: An MIQP perspec-
tive,” IEEE Conference on Intelligent Transportation Sys-
tems, Proceedings, ITSC, pp. 205–210, 2016.
[5] C. Kielas-Jensen and V . Cichella, “BeBOT: Bernstein
Polynomial Toolkit for Trajectory Generation,” IEEE In-
ternational Conference on Intelligent Robots and Systems,
no. 3, pp. 3288–3293, 2019.
[6] L. Zheng, P. Zeng, W. Yang, Y . Li, and Z. Zhan, “B´ ezier
curve-based trajectory planning for autonomous vehicles
with collision avoidance,” IET Intelligent Transport Sys-
tems, vol. 14, no. 13, pp. 1882–1891, 2020.
[7] R. Cimurs, J. Hwang, and I. H. Suh, “Bezier curve-based
smoothing for path planner with curvature constraint,”
Proceedings - 2017 1st IEEE International Conference on
Robotic Computing, IRC 2017, pp. 241–248, 2017.
[8] H. Li, Y . Luo, and J. Wu, “Collision-free path planning for
intelligent vehicles based on b´ ezier curve,” IEEE Access,
vol. 7, pp. 123334–123340, 2019.
[9] G. Kamaras, P. Stamatopoulos, and S. Konstantopou-
los, “Path planning for terrain of steep incline using
Bezier curves,” Proceedings - International Conference
on Tools with Artiﬁcial Intelligence, ICTAI, vol. 2020-
Novem, pp. 101–105, 2020.
[10] B. Li, L. Liu, Q. Zhang, D. Lv, Y . Zhang, J. Zhang,
and X. Shi, “Path planning based on ﬁreﬂy algorithm and
Bezier curve,” 2014 IEEE International Conference on In-
formation and Automation, ICIA 2014, no. July, pp. 630–
633, 2014.
[11] X. Qian, I. Navarro, A. de La Fortelle, and F. Moutarde,
“Motion planning for urban autonomous driving using
B´ ezier curves and MPC,” in 2016 IEEE 19th International
Conference on Intelligent Transportation Systems (ITSC),
vol. 2030, pp. 826–833, IEEE, nov 2016.
[12] G. Klanˇ car, A. Zdeˇ sar, S. Blaˇ ziˇ c, and I.
ˇ
Skrjanc, Wheeled
Mobile Robotics: From Fundamentals Towards Au-
tonomous Systems. 2017.
[13] M. Loknar, G. Klanˇ car, and S. Blaˇ ziˇ c, “Trajectory Plan-
ning By Applying Optimal Velocity Proﬁle Algorithm
on Bernstein-B´ ezier Motion Primitives,” 29. Mednarodna
Elektrotehniˇ ska in raˇ cunalniˇ ska konferenca, pp. 144–147,
2020.