       
P 46 (2018/2019) 1 23
Izbor ekipe za 12. mednarodno
olimpijado iz astronomije
in astrofizike
D F, A G̌
Izbor ekipe za mednarodno olimpijado iz astro-
nomije in astrofizike (MOAA) je dolgotrajen pro-
ces.
Tekmovalke in tekmovalci so se morali najprej ude-
ležiti šolskega tekmovanja iz znanja astronomije, ki
je bilo v začetku decembra 2017. Potem so se naj-
boljši spopadli z nalogami na državnem tekmova-
nju, ki je bilo v začetku januarja 2018. Prejemniki
zlatih priznanj na tem tekmovanju so postali tudi
kandidati za olimpijsko ekipo. Še v januarju 2018
je bil zanje izbirni krog Sanktpetrburške astronom-
ske olimpijade (SAO), ki šteje kot del izbirnega po-
stopka za MOAA. Najboljši so se uvrstili v teoretični
in praktični krog SAO, ki se je zaključil marca, za sre-
dnješolce pa je potekal na Gimnaziji Bežigrad. Marca
bi se morali kandidati za olimpijsko ekipo udeležiti
Messierjevega maratona, ki je preiskus znanja prak-
tične astronomije. Žal je bilo letos vreme slabo in je
Messierjev maraton odpadel, zato smo morali prak-
tični del izbirnega postopka premakniti na dan konč-
nega teoretičnega izbirnega testa, ki je bil 8. maja
na Konservatoriju za glasbo in balet Ljubljana. Ob
koncu napornega izbirnega postopka smo dobili eki-
po za 12. MOAA, ki bo letos med 3. in 11. novem-
brom v Pekingu na Kitajskem.
Člani in članica ekipe za 12. MOAA so:
Marko Čmrlec, Gimnazija Bežigrad;
Gregor Humar, Gimnazija in srednja šola
Rudolfa Maistra Kamnik;
Andraž Jelinčič, Gimnazija Bežigrad;
Klemen Keršič, Srednja šola Slovenska Bistrica;
Ema Mlinar, Gimnazija Vič, Ljubljana.
Naloge teoretičnega dela izbirnega tekmovanja
za 12. MOOA
1. Dne 24. junija opazujemo zvezdo Vego
(α = 18h36m56s , δ = +38◦47′1,2′′) iz Ljubljane
(ϕ = 46◦ 13,4′ N, λ = 14◦ 27′ E).
(a) Kdaj kulminira Vega? Kolikšna je njena višina ob
kulminaciji?
(b) Kolikšna sta višina (h) in azimut (A) zvezde, če jo
opazujemo ob 23h?
Podatki. Vega: α = 18h36m56s , δ = +38◦47′1,2′′
Ljubljana: ϕ = 46◦13,4′N, λ = 14◦27′E
(a) Za dan 24. junij lahko brez težav izračunamo
zvezdni čas na Greenwichu ob 0hUT, ki je enak
S(0hUT,24. 6.) = S(0hUT,21. 6.)+ Ṡ∆t
= 18h + 4min
dan
3dni = 18,2h.
Ko zvezda kulminira, je njen časovni kot enak 0,
torej velja
0 = H = S(0hUT,24. 6.)+ λ+ γ (tk − t0)−α
tk = t0 +
1
γ
(α− S(0hUT,24. 6.)− λ) = 1,453h.
Ker je ϕ > δ, je višina Vege ob kulminaciji enaka
hk = 90◦ −ϕ + δ = 82,56◦.
       
P 46 (2018/2019) 124
(b) Če zvezdo opazujemo ob 23h, je njen časovni kot
takrat enak
H = S(0hUT,24. 6.)+ λ+ γ (t − t0)−
α(= 21,6053h)
= −2,39h,
saj je H definiran na intervalu od −π/2 do π/2
oziroma med −12h in 12h.
S pomočjo višinske enačbe izračunamo višino Ve-
ge ob 23h:
sinh = sinϕ sinδ+cosϕ cosδ cosH = 0,88902.
Ker je h definiran med −π/2 in π/2, obstaja samo
ena rešitev in ta je
h = 62,75◦.
Azimut ob kulminaciji izračunamo s pomočjo si-
nusnega in kosinusnega izreka, ki pravita
sinδ = sinϕ sinh+ cosϕ cosh cosA
− sinA
cosδ
= sinH
cosh
.
Preverimo lahko posebej rezultate za sinus in ko-
sinus kota ali pa dobimo rešitev iz enačbe
tg
A
2
= sinA
1+ cosA = 1,05028.
Azimut je
A = 92,8098◦.
2. Dvozvezdje sestavljata kefeidna spremenljivka
in masivna zvezda. Za kefeido velja zveza Mabs =
2,81 · log10 P[dni]−1,43, kjer je P[dni] perioda kefeide
v dnevih, Mabs pa njena absolutna magnituda. Njena
izmerjena perioda spremembe izseva je PA = 3,97
dni, navidezna magnituda pa mA = 1,97. Masivna
zvezda leži na glavni veji HR diagrama, ima navi-
dezno magnitudo mB = −0,8 in temperaturo TB =
30000 K.
(a) Kolikšen je izsev kefeide LA? Izrazi ga v Sončevih
izsevih (L⊙).
(b) Kolikšen je radij druge zvezde (RB), ko je še na
glavni veji? Izrazi ga v radijih Sonca (R⊙).
(c) Izračunaj maso kefeide (MA), če je perioda sis-
tema 76 let, razdalja zvezd pa 51 a.e. Rezultat
izrazi v radijih Sonca (R⊙). (Namig: najprej izra-
čunaj maso masivne zvezde, MB .)
(d) Ko bo masivna zvezda porabila vodik v sredici,
bo del življenja preživela kot orjakinja in kasneje
eksplodirala kot supernova. Takrat se bo njeno je-
dro skrčilo v nevtronsko zvezdo s polmerom 10
km, ovojnica pa se bo razletela. Med eksplozijo
bodo večino sproščene energije odnesli nevtrini, le
majhen del pa se bo porabil za gibanje snovi. Koli-
kšen del sproščene energije bo v kinetični energiji
ovojnice? Izmerjena hitrost ovojnice je v = 1200
km/s. Predpostavi, da je v jedru zbrane 10 % mase
zvezde in da sta jedro in ovojnica homogena.
Podatki. mA = 1,97
mB = −0,8
TB = 30000 K
MA,abs = −3,11 (iz formule za kefeide)
(a) Najprej izračunamo razdaljo do zvezd:
mA −mA,abs = −2,5 log
(
10pc
d
)2
d = 10 pc 10(mA−mA,abs)/5
d = 10 pc 10(1,97−(−3,11))/5
= 103,9 pc
Izračunamo izsev kefeide:
MA,abs −M⊙,abs = −2,5 log
(
LA
L⊙
)
LA = 10(MA,abs−M⊙,abs)/−2,5 · L⊙
= 10(−3,11−4,83)/−2,5 · L⊙
= 1499,7 · L⊙
(b) Izsev druge zvezde je
mB −mA = −2,5 log
(
LB
LA
)
LB = 10(mB−mA)/−2,5 · LA
= 10(−0,8−1,97)/−2,5 · LA
= 19231,1 · L⊙
       
P 46 (2018/2019) 1 25
Radij druge zvezde je
R2B =
LB
σT 4B4π
= 19231,1 · 3,826 · 10
26 W
5,6726 · 10−8 Wm−2K−4 300004 K4 π
= 9,9 · 1017m2
RB = 9,9 · 108 m
= 1,4R⊙
(c) Izračunamo masoMB , in sicer iz zveze za zvezde
na glavni veji, kjer vemo, da je L ∝ M3,5 (kot pra-
vilen se upošteva faktor med 3 in 3,5; rešitve so
podane za faktor 3,5).
MB =
(
LB
L⊙
)1/3,5
M⊙
= 16,7M⊙
(d) Zapišemo posamične komponente začetne in
končne skupne energije, kjer je Rz (Mz) začetni
radij (masa) zvezde, Rk (Mk) pa končni. Upošte-
vamo homogenost zvezd, oznake tot, tot ns, ovoj
in ν pa se nanašajo na skupno energijo, skupno
energijo nevtronske zvezde, ovojnico ter nevtrine:
Wtot,z =
1
2
Wg,z =
1
2
(
−3
5
G
M2z
Rz
)
Wtot,k = Wtotns,k +Wovoj,k +Wν
Wtotns,k =
1
2
(
−3
5
G
M2k
Rk
)
= 1
2
(
−3
5
G
0,01M2z
Rk
)
Wovoj,k =
1
2
Movojv
2 = 1
2
0,9Mzv
2
Upoštevamo ohranitev energije in zapišemo zače-
tno energijo zvezde in končno energijo zvezde,
ovojnice ter nevtrinov:
Wtot,z = Wtotns,k +Wovoj,k +Wν
1
2
(
−3
5
G
M2z
Rz
)
= 1
2
(
−3
5
G
0,01M2z
Rk
)
+ 1
2
0,9Mzv
2 +Wν
Zanima nas delež energije v ovojnici glede na
sproščeno energijo. Ker večino energije odnesejo
nevtrini, nas zanima delež Wovoj,k/Wν . Tega lahko
izrazimo s pomočjo zgornje enačbe, kjer opazimo,
da bomo pri odštevanju Wtot,z − Wtotns,k − Wovoj,k
dobili termin (1/Rz − 0,01/Rk). Vendar Rk <<
0,01Rz, kar lahko preverimo, če kot začetni ra-
dij vstavimo RB . (Pred eksplozijo bo zvezda or-
jakinja, njen radij bo bistveno večji od RB , zato
ga pri izračunu ne uporabimo.) Ocenimo, da je
Wν ≃ −Wtotns,k −Wovoj,k:
Wovoj,k
Wν
= 0,0009725 ,
kjer uporabimo vrednosti v = 1200 km/s, Rk = 10
km. Posamične energije so Wtotns,k = −2,2219 ·
1046 kg m2 s−2, Wovoj,k = 2,1589 · 1043 kg m2 s−2,
Wν ≃ 2,21978 · 1046 kg m2 s−2.
3. Izračunaj rdeči premik, na katerem sta bili go-
stoti energije snovi in sevanja enaki. Prasevanje ima
temperaturo 2,7 K, vrednost Hubblove konstante da-
nes (H(t0)) je podana. Privzemi, da so nevtrini (ta-
krat relativistični) prispevali k gostoti energije seva-
nja, njihov prispevek je gostoto energije sevanja po-
večal za 69 %.
Nasvet. Upoštevaj, da je gostota energije sevanja ena-
ka 4jc , kjer je j gostota svetlobnega toka črnega te-
lesa! Pri izračunih upoštevaj tudi, da je parameter
gostote snovi danes Ωm,0 = 0,27.
Gostota energije snovi in gostota energije sevanja se
spreminjata s skalirnim faktorjem R na sledeči na-
čin:
ρmc
2 = ρm,0c
2
R3
ρrc
2 = ρr ,0c
2
R4
.
Uporabimo enačbo R ∝ 11+z in zapišemo
ρmc
2 = ρm,0 (1+ z)3
ρrc
2 = ρr ,0 (1+ z)4
Iščemo rdeči premik, pri katerem sta ρmc2 in ρrc2
enaka, torej
ρr ,0c
2 (1+ z)4 = ρm,0c2 (1+ z)3.
       
P 46 (2018/2019) 126
Gostoto energije snovi lahko izrazimo kot
ρm,0 = Ωmρcr ,0 = Ωm
3H20
8πG
.
Gostoto energije sevanja izrazimo kot
ρr ,0c
2 = 1,69 4j
c
= 1,69 4σT
4
c
,
kjer smo upoštevali tudi prispevek relativističnih
nevtrinov:
ρr ,0c
2 (1+ z)4 = ρm,0c2 (1+ z)3
ρr ,0c
2 (1+ z) = ρm,0c2
(1+ z) = Ωmρcr ,0c
2
1,69 4σT
4
c
=
Ωm
3H20
8πGc
2
1,69 4σT
4
c
= Ωm 3H
2
0
1,69 · 4 · 8 ·πGcσT 4
z = 3285
Konstante
kratica/simbol količina vrednost
a.e. astronomska enota 149597870691 m
RZ povprečni polmer Zemlje 6371000 m
M⊙ masa Sonca 1,9891× 1030 kg
m⊙ navidezna magnituda Sonca −26,8
Mbol,⊙ absolutna (bolometrična) magnituda Sonca 4,82
MK,⊙ absolutna magnituda Sonca v K filtru 3,31
L⊙ izsev Sonca 3,826× 1026 J s−1
R⊙ radij Sonca 6,955× 108 m
jZ solarna konstanta 1370 W m−2
RL radij Lune 1738000 m
dL povprečna razdalja med Zemljo in Luno 384399000 m
G gravitacijska konstanta 6,6726× 10−11 N m2 kg−2
σ Stefan-Boltzmannova konstanta 5,6705× 10−8 J s−1 m−2 K−4
h Planckova konstanta 6,6261× 10−34Js
c svetlobna hitrost 2,9979× 108 m/s
k Boltzmannova konstanta 1,38065× 10−23 m2 kg s−2 K−1
pc parsek 3,0860× 1016 m
H0 = H(t0) vrednost Hubblove konstante danes 70 km/s Mpc−1
Osnovne enačbe sferne trigonometrije:
sina sinB = sinb sinA
sina cosB = cosb sin c − sinb cos c cosA
cosa = cosb cos c + sinb sin c cosA
Osnovne enačbe za kozmologijo:
Hubblov čas: tH(t0) = 1H0
kritična gostota: ρcr = 3H
2
8πG
Starost vesolja:
t0 = 23tH (kritični model, k = 0, Λ = 0)
Skalirni faktor: a∝ t2/3
×××