Lehr- und Nebungsbuch
der
ri 1 h m eli
für
Unterreal- und Bürgerschulen
Bon
Ul Franz Močnik.
Vierzehnte verbesserte Auflage.
Ausgabe mit böhmischer Terminologie.
Das Recht der Ueberfetzung wird vorbehalten.
Prag, 1871.
Verlag von F Tempsky
Druck von Heinr. Akercv in Prag.
Vorwort zur zwölften Auflage.
Das vorliegende Lehr- und Uebungsbuch der Arithmetik
für Unterrealschulen, welches bisher von dem k. k Schnlbücher-
Verlage in Wien unter dem Titel „Anleitung zum Rechnen für
die I. und II. Classe der Unterrealschulen" herausgegeben wurde,
nun aber in den Verlag der durch ihre Schulbücherliteratur vor-
theilhaft bekannten Firma F. Tempsky in Prag übergieng,
weiset gegen chie früheren Ausgaben in Bezug auf Inhalt und
Darstellung wesentliche Veränderungen nach, die größtentheils
durch die freundlichen Mittheilungen achtbarer Fachmänner an¬
geregt, dem Buche eine größere praktische Brauchbarkeit sichern
dürften. .
Manches wurde kürzer und bündiger gefasst, dagegen
anderes dem Bedürfnisse der Realschule gemäß erweitert und neu
ausgenommen.
Die Hunderttheilung unseres neuen Guldens, sowie die
bevorstehende Einführung der metrischen Maße und Gewichte
machen es wünschenswert, dass sich die Schüler sobald als
möglich die Sicherheit im Decimalrechnen aneignen. Ich habe
darum hier die Decimalzahlen nicht als Brüche von einer be¬
sonderen Form hingestellt und, wie es in der früheren Ausgabe
geschah, erst nach der Lehre von den gemeinen Brüchen eingereiht,
sondern dieselbe als bloße Erweiterung unseres Zahlensystems
behandelt und das Rechnen in Decimalzahlen sogleich mit dem
Rechnen in ganzen Zahlen in entsprechende Verbindung gebracht,
wodurch neben dem leichteren Verständnis auch eine bedeutende
Zeitersparnis erzielt wird.
Durch die Aufnahme der Elemente der allgemeinen Arith¬
metik hoffe ich einem vielseitig ausgesprochenen Wunsche begegnet
zu haben. Die bezüglichen Lehren sind hier möglichst leicht¬
fasslich, zugleich aber in genauem Einklänge mit dem gegenwärtigen
Standpunkte ihrer wissenschaftlichen Behandlung gegeben.
Besondere Aufmerksamkeit ist der zweckmäßigen Auswahl
der Aufgaben gewidmet worden, so dass diese nicht nur durch
Reichhaltigkeit die gründliche Einübung der theoretischen Lehren
zu sichern geeignet sind, sondern auch durch die Rücksichtnahme
auf die mannigfaltigsten Rechnungsfälle des praktischen Lebens
anregend erscheinen. Bei den Aufgaben über die Procentrechnung
habe ich den Unterschied zwischen der Rechnung von Hundert
und der Rechnung auf und in Hundert mit der uöthigen Schärfe
hervortreten lassen.
Möge sich das Buch auch in dieser neuen Ausgabe bei
Fachgeuoffeu einer wohlwollenden Aufnahme erfreuen!
Graz, im December 1866.
Der Verfasser.
Vorwort zur vierzehnten Auflage.
Die vielseitigen Abänderungen im Texte und in der An¬
ordnung des Lehr- und Uebungsstoffes, durch welche sich diese
Auflage vou den früheren unterscheidet, finden theils in dem ge¬
änderten Lehrplane für Realschulen, theils in der neuen Maß-
und Gewichtsordnung ihre Begründung.
Graz, im August 1871.
Der Verfasser.
Ilchatts-Vkrzeichnü,.
Leite
Einleitung . I
Erster Abschnitt.
Das dekadische Zahlensystem . 3
Zweiter Abschnitt.
Die vier Grundrechnungsarten mit unbenannteu und ein-
namigen ganzen Zahlen und Dccimalbrüchen.
I. Das Addieren. 7
II. Das Subtrahieren ..13
III. Das Multiplicieren.18
IV. Das Dividieren. 32
V. Abgekürzte Rechnung mit Decimalbrüchen. .... 46
Dritter Abschnitt.
Theilbarkeit der Zahlen. . 56
Vierter Abschnitt.
Das Rechnen mit gemeinen Brüchen. 68
1. Umformung der Brüche.69
II. Das Addieren und Subtrahieren der Brüche.76
III. Das Multiplicieren und Dividieren der Brüche. 81
Fünfter Abschnitt.
Das Rechnen mit mehrnamigeu Zahlen .95
Sechster Abschnitt.
Wälsche Praktik.115
Siebenter Abschnitt.
Die Verhältnisrechnungen.
I. Verhältnisse. . 122
II. Proportionen . . . 128
III. Die einfache Regeldetri. . . . .136
IV. Die Procentrechnung. 151
V. Die zusammengesetzte Regeldetri. .... 159
VI. Einfache Zinsrechnung. 165
VII. Die Terminrechnung . .177
VIII. Die Kettenrechnung .... .180
IX. Die Gesellschaftsrechnung (Theilregel) . 186
X. Die Mischungsrechnungen.193
1. Durchschnittsrechnung . 193
2. AUigationsrechnung. 196
Achter Abschnitt.
Elemente der allgemeinen Arithmetik.
I. Das Rechnen mit algebraischen Zahlen.202
II. Das Rechnen mit allgemeinen Zahlenausdrücken . . . 209
Neunter Abschnitt.
Van den Potenzen nnd Wurzeln . 226
I. Erheben auf das Quadrat und Ausziehen der Quadratwurzel . . 227
II. Erheben auf den Cubus und Ausziehen der Cubilwurzel . ... 236
Anhang.
I. Zeit- und Winkelmaße.245
II Mengeneinheiten..245
III. Das französische metrische Maßsystem.246
IV. Maße, Gewichte und Münzen der österreichisch - nngarischen
Monarchie.248
V. Die wichtigsten ausländischen Maße, Gewichte und Münzen .... 255
Einleitung.
8- 1-
Jedes einzelne Ding heißt eine Einheit (joänMg,). Kom¬
men mehrere gleiche Dinge vor, so wird die Angabe, wie viele
es sind, Zahl («Mo) genannt.
Eine Zahl, welche bloß die Menge (mnollost) der in ihr
enthaltenen Einheiten ausdrückt, heißt eine un benannte Zahl
(öislo nojmonovuuo e. boMjwonno); eine Zahl dagegen, welche
nicht nur die Menge, sondern auch die Art der Einheiten angibt,
eine benannte Zahl (ölslo jmenovuno). Fünf ist eine unbe¬
nannte, fünf Gulden eine benannte Zahl.
Eine benannte Zahl, welche Einheiten einer einzigen Be¬
nennung enthält, heißt ein namig (eislo joänojmonuö); z. B.
4 Gulden. Eine benannte Zahl, welche Einheiten verschiedener
Benennung enthält, die jedoch zu derselben Art gehören, heißt
mehrnamig (öislo vieojmonno); z. B-4 Gulden 20 Kreuzer.
Jede Einheit kann man in gleiche Theile theilen, oder sich
doch in gleiche Theile getheilt vorstellen. Eine Zahl, welche die
Einheit selbst ein- oder mehrmal enthält, heißt eine ganze Zahl
(öislo eolistvo); eine Zahl, welche nur einen Theil oder mehrere
gleiche Theile der Einheit enthält, eine gebrochene Zahl oder
ein Bruch (öisio lowoiio, ulomek). Eins, drei sind ganze
Zahlen; ein Viertel, drei Viertel sind Brüche.
8- 2.
Aus der Einheit durch fortgesetztes Hinzufügen der Einheit
neue Zahlen bilden, heißt zählen (eisliti). Die dadurch ent-
Močnik, Arithmetik m. böhm. Term. 14. Anfl. 1
stehenden Zahlen eins, zwei, drei, vier, fünf, . . . nennt man die
natürliche Zahlenreihe (öklorackl).
Die Zahlen werden mündlich durch Zahlwörter ausgedrückt,
schriftlich durch besondere Zeichen, Ziffern (öislieo), dargestellt.
Eine übersichtliche Anordnung aller verschiedenen Zahlen,
welche den Zweck hat, mit wenigen Namen und Ziffern jede be¬
liebig große Zahl darzustellen, heißt ein Zahlensystem (sou-
stava öisolnä).
Aus gegebenen Zahlen mittelst vorgeschriebener Verände¬
rungen andere neue Zahlen bestimmen, heißt rech neu (poöltati).
Die Zahl, welche durch die Rechnung gefunden wird, nennt man
das Resultat der Rechnung (v/sloäok).
Die Lehre vom Rechnen heißt Rechenkunst (umönl
xoöetni) oder Arithmetik taritlmwtikaj.
Das dekadische Zahlensyste m.
Loustava clsLaäiokä.
8- 3.
1. Dekadische ganze Zahlen.
Oökaäiekä ölsia eklistvü.
Das dekadische Zahlensystem beruhet auf dem Grund¬
sätze, dass je z e h n niedrigere Einheiten als eine neue höhere Ein¬
heit angenommen und als solche mündlich und schriftlich darge¬
stellt werden.
Man zählt dabei, von der Einheit ausgehend, mit den
bekannten Zahlwörtern: eins, zwei, ... bis zehn. Zehn
ursprüngliche Einheiten, auch Einer (jsänotk)) genannt, betrachtet
man als eine neue höhere Einheit und nennt sie einen Zehner
(äesitkn). Zehn Zehner bilden eben so eine Einheit der nächst
höheren Ordnung, ein Hundert (sstka); zehn Hunderte bilden
ein Tausend (tisloku), u. s. w. Jede Zahl ist nun aus Einern,
Zehnern, Hunderten, . . . zusammengesetzt und wird vollkommen
bestimmt, wenn man angibt, wie viele Einer, Zehner, Hunderte,
. . . sie enthält.
Zur schriftlichen Darstellung der Zahlen genügen die Zif¬
fern für die ersten neun Zahlen, nämlich 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9 und die 0 (Null, nieka), welche anzeigt, dass von einer bestimmten
Ordnung keine Einheiten vorhanden sind. Man nimmt nämlich
an, dass jede Ziffer, wenn man von der Rechten an zählt, an
der ersten Stelle Einer, an der zweiten Zehner, an der drit-
1*
4
en Hunderte, an der vierten Tausende u. s. w. bedeutet^
überhaupt an jeder folgenden Stelle nach links zehnmal so viel
gilt, als an der nächstvorhergeheuden Stelle nach rechts. Z. B. die
Zahl dreißigtausend einhundert fünf und neunzig enthält 3 Zehn¬
tausende, 0 Tausende, 1 Hundert, 9 Zehner und 5 Einer, sie wird
demnach geschrieben: 30195.
Lies folgende Zahlen:
1) 300, 450, 728, 616, 395, 861, 209, 512, 987.
2) 6000, 3280, 9123, 4054, 47311, 90768, 51402.
3) 274136, 237084, 943550, 693792, 543021, 880617.
4) 8642135, 9007925, 87093142, 13000827, 640922548.
Schreibe mit Ziffern folgende Zahlen:
1) siebenhundert fünf, vierhundert zwanzig, zweitausend
achthundert zwölf, neuntausend vier und achtzig.
2) Zwölftausend siebenhundert fünf und fünfzig, zweihundert
chtzchntausend sechshundert ein und neunzig.
3) Vierzehn Millionen eilftausend acht und dreißig.
8- 4.
2. De ei malbrüche. äosetinno.
Wenn man in einer nach dem dekadischen Gesetze geschrie¬
benen Zahl von der Linken gegen die Rechte zurückschreitet, so
bedeutet jede folgende Ziffer nach rechts nur den zehntenTheil
von dein, was sie an der vorhergehenden Stelle nach links gilt,
und man kommt schließlich auf die Einer herab. Es ist nun
nicht nöthig, die Einer als die niedrigste Ordnung von Einhei¬
ten anzunehmen; man kann einen Einer in zehn gleiche Theile
theilen, und einen solchen Theil, ein Zehntel (äesatina), als eine
noch niedrigere Einheit betrachten, ferner den zehnten Theil von
einem Zehntel, d. i. ein Hundertel (Mina), als die Einheit
einer noch niedrigeren Ordnung ansehen, und so durch fortgesetzte
Theilung zu beliebig kleinen Zahleneinheiten hinabsteigen.
Uebereinstimmend damit kann man nach dem dekadischen
Gesetze auch die Ziffernreihe von den Einern noch weiter rechts
fortsetzen, so dass eine Ziffer an der ersten Stelle nach den Einern
Zehntel (ä686tina), au der zweiten Hundertel (sotiim), an
der dritten Tau sen dt el (tisloina), . . . bedeutet; nur muß dabei
durch ein bestimmtes Zeichen angedeutet werden, wo die Einer
aufhören und die Zehntel beginnen. Dieses Zeichen ist ein Punkt,
welcher nach den Einern rechts oben gesetzt wird und der Deci-
malp unkt (tetzka clesstinnu) heißt. Die Ziffern links vor dem
Decimalpunkt bedeuten Ganze, die Ziffern rechts nach dem¬
selben heißen Decimalen (mista ciosetiimü). Es bedeutet sonach
7777777'777777 folgendes:
Ganze Decimalen
7777777'777777
Zahlen, welche Decimalen enthalten, werden Decimal-
zahlen oder Deci malbrüche (öloinkz* äosotivna) genannt.
Eine Decimalzahl wird ausgesprochen, wenn man zu¬
erst die Ganzen und dann entweder jede einzelne Decimale für
sich, oder alle Decimalen in ihrer Gesammtheit ausspricht, z B-
59'234 wird gelesen: 59 Ganze. 2 Zehntel, 3 Hundertel, 4 Tau¬
sendtel; oder 59 Ganze, 234 Tausendtel.
Aes folgende Decimalbrüche: 3'14159, 13'9085, 37'008,
17-0137, 0'8193, 0'70103, 0-00036, 00020805
Beim Anschreiben der Decimalzahlen schreibt man zu¬
erst die Ganzen an, setzt den Decimalpunkt und dann die ein¬
zelnen Decimalen nach der Ordnung ihres Stellenwertes. Wenn
einzelne Decimalstellen fehlen, so werden dieselben durch Nullen
ausgefiillt, z. B. 48 Ganze, 8 Tausendtel, 9 Zehntausendtel schreibt
man an 48-0089. Enthält eine Zahl bloß Decimalen, so schreibt
6
man an die Stelle der Ganzen links vor dem Decimalpuukte
eine Null, z. B. 8 Zehntel wird geschrieben 0-8.
Schreibe folgende Decimalbrüche an: a) 3 Ganze, 9 Zehntel ;
b) 20 Ganze, 4 Zehntel, 3 Hundertel, 7 Tausendtel; e) 35 Ganze,
208 Tausendtel; ä) 4 Ganze, 17 Zehntausendtel; o) 83tausend
5 Ganze, 7 Hundertel, 9 Milliontel; t) 8 Tausendtel; Z) 71 Zehn¬
tausendtel; k) 2tausend 13 Milliontel.
Der Wert (lloäuota) eines Decimalbruches wird nicht ge¬
ändert, wenn man ihm rechts eine oder mehrere Nullen anhängt, weil
dabei die einzelnen Ziffern ihren früheren Stellenwert (llockuota
mistui) beibehalten. Es ist also: 5 3 - 5'30 - 5'300 - 5 30000.
Wenn man in einem Decimalbrüche den Decimalpunkt 1,
2, 3, . . . Stellen weiter gegen die Rechte rückt (posuuo so
v pravo), so erhält dadurch jede einzelne Ziffer, also auch der
ganze Bruch, bezüglich einen 10, 100, 1000, . . . mal größe¬
ren Wert.
Man vergleiche die Werte der Decimalzahlen 3'856, 38'56,
385'6, 3856.
Wenn man in einem Decimalbrüche den Decimalpunkt 1, 2,
3.... Stellen weiter gegen die Linke rückt sposune so v lovo),
so erhält dadurch jede Ziffer desselben, also auch der ganze Bruch,
bezüglich einen 10, 100, 1000 . . . mal kleineren Wert.
Man vergleiche die Werte der Decimalzahlen 976-2, 97'62,
9 762, 0'9762, 0'09762.
Die hier angeführten Ziffern heißen arabische. Nebst diesen tverdrir
manchmal auch dr: römischen Ziffern gebraucht. Die Römer hatten nur
sieben Zahlzeichen: I -- I, V -- 5, X -- 10, I, - 50, 6 -- 100, 11 - 500
und Ll - 1000, und drückten mit denselben durch gehörige Nebeneinan¬
derstellung alle Zahlen nach folgenden Grundsätzen aus: 1. Steht nach einem
Zahlzeichen ein gleiches oder ein niedrigeres, so werden ihre Werte zusammen¬
gezählt, z. B. XX - 20, VI - 6, I.XXVIII - 78. 2. Steht ein niebri
geres Zahlzeichen vor einem höheren, so wird der Wert des höheren um
den Wert des niedrigeren vermindert, z. B. IV - 4, XI, - 40, X6IX -- 99.
Zweiter Abschnitt.
Die vier Grundrechnungsarten mit unbenannten und ein-
namigen ganzen Zahlen und Decimalbrüchen.
I. Das Addieren.
LöitLni.
8- 5.
Addieren heißt eine Zahl suchen, welche zwei oder meh¬
reren gegebenen Zahlen zusammen genommen gleich ist. Die ge¬
gebenen Zahlen heißen Summanden, auch Posten (sbltsnoe);
die Zahl, welche man durch die Addition findet, wird Summe
(soubot) genannt.
Um zu einer Zahl 5 eine zweite 3 zu addieren, schreitet
man in der natürlichen Zahlenreihe von 5 aus uni 3 Einheiten
vorwärts; die Zahl 8, zu der man dadurch gelangt, ist die ge¬
suchte Summe.
Das Zeichen der Addition ist -s- (mehr); z. B- 5 -s- 3 — 8
bedeutet: 5 mehr 3 ist gleich 8, oder: 5 und 3 ist 8.
8- 6.
Addition in ganzen Zahlen.
Löltälli öisol eolistv^cd.
Da nur Gleichartiges (öisla stosnorociu) zusammeugezählt
werden kann, so wird die Addition mehrerer Summanden ver¬
richtet, wenn man die Einer zu den Einern, die Zehner zu den
Zehnern u. s. w. addiert und die Summe, wenn sie einziffrig
8
ist, unter dieselbe Stelle setzt; wenn sie aber zweiziffrig ist, nur
die Einer davon unter jene Stelle schreibt, die Zehner dagegen
zu den Einheiten der nächst höheren Ordnung hinzuzählt, z. B.
Summan- t 315 2 E. > 1 E. -st 5 E. 8 Einer,
691 8 Z. -st 9 Z. st- 1 Z. 18 Z. -r 1 H. -st 8Z.
i 582 1 H. -st 5 H. -st 6 H. -st 3 H. - 15 Hundert.
Summe 1588
Aufgab en?)
1) Man zähle von 1 angefangen mit 2 aufwärts nämlich
1 -st 2 - 3, 3 -st 2 5, 5 -st 2 - 7, ... 99 -st 2 - lOI.
Ebenso zähle man mit 2 aufwärts von 2 bis 100.
2) Man zähle mit 3 aufwärts von 1 bis 100, von 2 bis
101, von 3 bis 102.
3) Auf gleiche Weise zähle man
a) mit 4 aufwärts von 1, 2, 3, 4 anfangend;
b) mit 5 aufwärts von 1, 2, 3, 4, 5;
e) mit 6 aufwärts von 1, 2, 3, 4, 5, 6;
ä) mit 7 aufwärts von 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7;
e) mit 8 aufwärts von 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8;
1) mit 9 aufwärts von 1, 2, 3, 4, 5. 6, 7, 8, 9.
4) Wenn man in der natürlichen Zahlenreihe von 4 aus
um 3 Einheiten und dann von 3 aus um 4 Einheiten fort¬
schreitet, zu welcher Zahl gelangt man in jedem Falle? Was
folgt daraus?
5) 37st-9-st1st-2-st2-st6st-6-st3st-5-?
6) Man addiere die folgenden Zahlen g.) in wagrechter,
b) in senkrechter Richtung
1-st 3 -st 5-st 7-st 9-st 8-st6-st 4
3-st4-st5-st6-st7-st8U-9-st10
5-st9-st3-st7-st1-st5-st9-st 3
7-st 4-st 1-st 8-st 5-st 2-st9-st 6
9-st 8-st 7-st 6-st^-st 4-st 3-st 2
*) Die hier und weiter unten folgenden Aufgaben sind, so weit es die
Einfachheit der Zahlen zulässt, im Kopfe auszuführen.
9.
7) 37 -s- 40 - ? 8) 59 -s- 68 - ? 9) 149 -s- 45 - ?
10) 135 -s- 316 -s- 508 - ? 11) 410 -j- 728 -s- 105 - ?
12) 2818 13) 12345 14) 53609
3207 3672 2196
4539 5070 13248
992
Es ist vortheilhaft, beim Addieren größerer Zahlen weder das Wört¬
chen und, noch die einzelnen zu addierenden Ziffern auszusprechen, sondern
sogleich nur die jedesmalige Summe zu nennen. So wäre bei der letzten
Aufgabe zu sprechen: 2, 10, 16, 25; 2, II, 15, 24; 2, II, 13,14, 20; u. s. w.
15) 420985 -j- 373612 -f- 90708 123071 - ?
16) 10924 -f- 5108 Z- 371248 Z- 915 Z- 30924 - ?
17) 35784 Z- 9876 -s- 8765 -f- 7654 Z- 1234 -f- 35197 - ?
18) 378459 -f- 2091358 -f- 1708205 -f- 197850 u-
9387193 -?
19) Man addiere die Zahlen 7954261, 3087, 19343780,
24793, 5400738, 3507901, 8979800, 57934207.
23) Man addiere folgende Zahlen a) in wagrcchter, b) in
senkrechter Richtung:
793458 -j- 1237924 Z- 9321 -f- 9851367 -f- 705231
85371 -f- 805186 -j- 572913 -s- 82190-f- 860409
134513 Z- 9083 -f- 74528 Z- 62804 Z- 19375
618727 -f- 129158 -f- 193409 -f- 708356 -f- 937248
9369 -f- 72578 ^85396 Z- 2503124 -f- 56409
10
8- 7.
Addition in Decimalbrüchen.
Löitänl riomkü itöLktinn^cd.
Man schreibt die gleichnamigen Stellen (wl8ta 8t6fnosm6llnu)
unter einander, nämlich Ganze unter Ganze, Zehntel unter Zehntel,
Hundertel unter Hundertel, u. s. w., und verrichtet die Addition
wie bei ganzen Zahlen von der niedrigsten Stelle angefangen;
der Decimalpunkt erscheint in der Summe gerade unter den De-
cimalpunkten der Summanden, z. B-
59-8
Aufgaben.
1) 65-3 2) 0-83 3) 18 25
29.9 0-59 7-9
77-7 0-6 6 0-08 6
4) 749-574 -s- 76-856 -s- 9 237 - ?
5) 224-56 -f- 395-085 -s- 17-8 -j- 9'76 - ?
6) 4-3125 -f- 2-13567 -f- 7 0084-s-51'383-j-121567 -?
7) 35-148 Z- 13 856 -j- 25 377 Z- 33'209-s-28'185-?
8> 0-3784 4- 0-4785 -f- 16 -f- 0'2345 -f- 24 -j- 1'475 -?
9) Welche Zahl ist um 127-75 größer als 293'125?
ir
10) Man addiere drei Zahlen, deren erste 17'834, die
zweite um 4'83 größer als die erste, und die dritte um 5'712
größer als die zweite ist.
11) Die Summe 3'123 -s- 4 234 -s- 5'345 -s- 6'456 soll
um 7'567 vermehrt werden.
12) 5-347 -j- 12 84156 4- 3749584 -s- 0'937856 -?
13) 29-3456 -j- 35'98765 -s- 213'8485 -s- 38'456 - ?
14) Man verrichte die Addition folgender Zahlen in senk
rechter und wagrechter Richtung:
35'246 -s- 13-73593 4- 8'74612 4- 0'513678 4- 277'63
8-37947 4- 35-1236 4- 10'57809 4- 5'21936 4- 94578
40-897654 4- 87-930857 4- 9'269 4- 7'843976 4- 844'5
39'0784 4- 9-7643184- 14-79345 4-2'653339 4- 83-427
0'246937 4- 5-6655244- 7'83156 4-097 -s- 12439
8- 8.
Addition einnamiger Zahlen.
Loeltäni öi'sol gocinosinenn/ob.
Die Summanden müssen gleichen Namen haben, welchen dann
auch die Summe erhält.
Aufgaben.
1) Jemand hat folgende Beträge eingenommen:
2) Der wie vielte Tag eines gemeinen Jahres ist der
5. März, der 17. Mai, der 29. Juli, der 10. August, der 15.
October, der 30. November?
3) Kaiser Franz I. wurde geborm zu Florenz im Jahre
1768, bestieg 24 Jahre all oen Thron und starb nach einer 43jäh
12
rigeu Regierung. Wann trat er die Regierung an, wann starb
er, und welches Alter erreichte er?
4) Jemand schuldet an 3268 fl., an L 4550 fl., an
0 1880 st., an O 2736 fl.; wie viel an alle zusammen?
5) Ein Besitzer erzeugte in 10 auf einander folgenden
Jahren 714, 635, 837, 512, 538, 693, 810, 855, 719, 688
Hektoliter Wein; wie viel während des ganzen Decenniums?
6) Ein Kaufmann empfängt 6 Fässer mit Oel; in dem
ersten sind 540, in dem zweiten 515, in dem dritten 510, in dem
vierten 520, in dem fünften 524, in dem sechsten 525 Kilogr.;
wie viel Kilogr. zusammen?
7) Böhmen hat 318 Städte, 237 Märkte und 1210',
Dörfer; wie viel Wohnorte zusammen?
8) Steiermark hat 827386 Joch Aecker, 54644 Joch Wein¬
gärten, 455504 Joch Wiesen, 397794 Joch Weiden und 1761667
Joch Waldungen; wie viel Joch beträgt die ganze productive
Bodcnfläche dieses Kronlandes?
9) Vier Capitalien tragen einzeln 112'35 fl-, 87'5 fl.,
53'125 fl., 188'75 fl. jährlichen Zins; wie viel zusammen?
10) Die Seiten eines Fünfeckes sind 25'124", 32'315",
20-25°, 17-136°, 15 248°; wie groß ist der Umfang?
11) Jemand, der bereits 27'345 Hektar Ackerfläche besitzt,
kauft noch zwei Aecker von 2 378 Hektar und 3'134 Hektar; wie
viel Ackergrnnd besitzt er nun?
12) Ein Silberarbeiter hat 2'1325, 1'772, 4'1785, 2'794
Münzpfund Silber verarbeitet; wie viel beträgt dieses zusammen?
16) Der Bau einer Eisenbahn verursachte folgende Kosten:
für die Grundeinlösung 1808457 st.
Von einer Zahl eine andere subtrahieren heißt, eine
neue Zahl angeben, welche zu der zweiten Zahl addiert, die erste
Zahl als Summe gibt. Die Zahl, von welcher subtrahiert werden
soll, heißt Minuend (mönSonso), die Zahl, welche subtrahiert
werden soll, heißt Subtrahend (mgnSitol); die neue Zahl, die
man als Resultat der Subtraction erhält, heißt Differenz oder
Rest
Um von der Zahl 7 die Zahl 4 zu subtrahieren, darf man
nur in der natürlichen Zahlenreihe von 7 aus um 4 Einheiten zn-
rückschreiten; die Zahl 3, zu der man dadurch gelangt, ist die
gesuchte Differenz.
Das Zeichen der Subtraction ist — (weniger); z. B.
7 — 4 — 3 wird gelesen: 7 weniger 4 ist gleich 3, oder:
4 von 7 bleibt 3.
s- 10.
Subtraction in ganzen Zahlen.
Oäeitäill ölsol eelistv^ell.
Da nur Gleichartiges subtrahiert werden kann, so werden
bei der Subtraction zweier Zahlen die Einer von den Einern,
die Zehner von den Zehnern, u. s. w. subtrahiert, indem man
zu der jedesmaligen Ziffer des Subtrahends so viel addiert, dass
man die darüber stehende Ziffer des Minuends, oder wenn diese
14
kleiner ist, die nächste höhere Zahl erhält, welche an der Stelle
der Einer jene Ziffer hat; die dazu addierte Zahl wird an der
betreffenden Stelle als Rest angeschrieben, z. B.
1) 785 2) 4045
613 338
172 3707
Man spricht hier im ersten Beispiele: 3 und 2 ist 5, 1 und 7 ist 8,
3 und 1 ist 7, und schreibt die jedesmal addierte Ziffer unter die subtrahier¬
ten Stellen. — Im zweiten Beispiele spricht man: 8 und 7 ist 15, bleibt
1; 1 und 3 ist 4, und 0 ist 4; 3 und 7 ist 10, bleibt 1; 1 und 3 ist 4.
Aufgaben.
1) Man zähle von 100 abwärts, indem man wiederholt
2 wegnimmt; nämlich 100, 98, 96, . . .
2) Welche Zahlen erhält man, wenn man in der natürli¬
chen Zahlenreihe s.) von 100, b) von 99, e) von 98 aus immer
um 3 Einheiten zurückschreitet?
3) Man zähle
u) mit 4 abwärts
b) mit 5 „
o) mit 6 „
ä) mit 7 „
s) mit 8 „
t) mit 9 „
4) 50 — 20 - ?
6) 63 — 35 - ?
8) 109 — 5 ff- 2 —
9) 918 - 235 - ?
11) 3156 12)
917
von 100, 99, . . 97;
„ 100, 99, . . 96;
„ 100, 99, . . 95;
„ 100, 99, . . 94;
„ 100, 99, . . 93;
„ 100, 99, . . 92.
5) 78 - 30-?
7) 58 —7ff-5 —9-?
8 — 7 - ?
10) 1057 - 809 - ?
7910 13) 6093
2578 5465
14) 53162 - 4875 - ? 15) 90084 - 71085 - ?
16) 932413 - 18975 - ? 17) 123456 - 34567 - ?
18) 234578 -j- 309875 ff- 198756 — 381409 - ?
19) Uni wie viel ist 8345097 ff- 1920784 ff- 764883
größer als 976342 ff- 2398745 ff- 139038 ?
15
20) Man bestimme den Unterschied zwischen 78903456 —
62987491 und 33557799 — 11446688.
21) Man subtrahiere von den bei den Additionsaufgaben
12) bis 23) in §. 6 erhaltenen Summen nach und nach die
einzelnen Summanden.
22) Von der Zahl 731542
sind zu sub- / 82591
trahieren die < 73859
Zahlen 127986
' 2 31578
Rest 215528
Wenn von einer gegebenen Zahl zwei oder mehrere Zahlen zu sub¬
trahieren sind, so addiert man diese Zahlen und zieht ihre Summe von der
gegebenen Zahl ab. Man kann übrigens sehr leicht mit der Addition der
abzuziehenden Zahlen zugleich die Subtraction von dem gegebenen Minuend
verbinden. Man addiert nämlich zuerst die Einer aller zu subtrahierenden
Zahlen und sucht, wie viel man zu ihrer Summe 2t noch addieren müße,
um die nächste höhere Zahl zu bekommen, welche an der Stelle der Einer
2 hat, d. i. nm 32 zu erhalten; dann verfährt man ebenso mit den Zehnern,
Hunderten u. s. w. Dabei spricht man: 8, 14, 23, 24 und 8 ist 32, bleibt
3 ; 3, 10, 18, 23, 32 und 2 ist 34, bleibt 3; u. s. f.
23) 94789384 — (12356938 -s- 39279 -j- 64082641 -s-
876450) - ?
24) 13902080 - (4809376 -s- 623219 -s- 907456 4-
193 -s- 18765) - ?
25) 8341709 - (763583 -s- 937846 293588 -s-
3084415) -?
26) 98765432 - (1234567 -f- 8901234 -s- 5678901
-s- 2345678) - ?
8- u-
Subtraction in Decimalbrüchen.
OMtnill ziomkü äosotillnFtlii.
Beim Subtrahieren der Decimalbrüche schreibt man den Sub¬
trahend so unter den Minuend, dass Ganze unter Ganze, Zehntel
16
unter Zehntel, Hnndertel unter Hundertel, u. s. w. zu stehen kommen,
und subtrahiert dann wie bei ganzen Zahlen die gleichnamigen Stellen
von der niedrigsten angefangen; der Decimalpunkt erscheint in dem
Reste genau unter den übrigen Decimalpunkten. Z. B.
18) Um wie viel ist 37'485 kleiner als 40?
19) Welche Zahl ist um 3-3333 kleiner als 12'8333 ?
20) Um wie viel ist die Summe 3'149 -st 8'71938 -st 10'08
größer als 9'79345 -st 1-8595.59?
21) 371'756 — (58-3475 -st 108'99 -st 73'8055) - ?
22) (5-34562 -st 9'07834) — (4'30855 -st 2'19931 -st 0'86603
-st 3-14159) - ?
8- 12.
Subtraction einnamiger Zahlen.
0 libitum ölsel ssänosmonnscR.
Minuend und Subtrahend müssen gleichen Namen haben,
welchen dann auch der Rest bekommt.
Aufgaben.
1) Ein Kaufmann hatte an Kaffee einen Vorrath von 2175 K,
davon verkaufte er 1405 K; wie viel Kaffee blieb ihm noch übrig?
17
2) Jemand nimmt in einem Jahre 1800 fl. ein, und gibt
1348 fl. aus; wie viel erspart er?
3) Welches Datum schreibt man am 35sten, Listen, 104ten,
233sten, 281sten, 307ten, 360sten Tage eines Schaltjahres?
4) An einem Gebäude findet man die Aufschrift 1639,
wie alt ist dieses Gebäude?
5) Die Erfindung des Papiers fällt in das Jahr 1240,
jene des Schießpulvers in das Jahr 1356, jene des Fernrohres
in das Jahr 1608, und die Erfindung der Dampfmaschinen in
das Jahr 1699; wie lange ist es seit jeder dieser Erfindungen?
6) Auf eine Schuld von 5345 fl. wird eine Abschlags¬
zahlung von 1324 fl. geleistet; wie groß ist noch der Schuldrest?
7) Zwei Fässer Kaffee wiegen 630 Kilogr.; die Fässer für
sich wiegen 22 Kilogr.; wie viel Kilogr. Kaffee enthalten die beiden
Fässer?
8) Ein Haus, auf welchem 3580 fl., 2300 fl., 1860 fl.,
und 1525 fl. Schulden lasten, wird um 10000 fl. verkauft; wie
viel bleibt dem Eigenthümer nach der Tilgung aller Schul¬
den übrig?
9) Wien zählte im Jahre 1840 357815 Einwohner, im
Jahre 1870 622087; um wie viel hat die Bevölkerung Wiens
in dieser Zeit zugenommen?
10) Jemand kauft eine Waare um 685'16 fl. nach 3
Monaten zahlbar, wie viel hat er dafür sogleich zu bezahlen,
wenn ihm wegen der früheren Bezahlung 17'12 fl. nachge¬
lassen werden?
11) Jemand schuldet 1382-47 fl., darauf zahlt er 785'64 fl. ;
wie viel bleibt er noch schuldig?
12) Eine Waare wurde um 138'35 fl. eingekauft, und um
177-38 fl. verkauft; wie viel hat man dabei gewonnen?
13) Von einem Acker, welcher 328 Hektar misst, werden
85'25 Hektar verkauft; wie viel bleibt noch übrig?
14) Der längste Tag in Wien ist 15'967 Stunden, der
kürzeste 8-583 Stunden; wie groß ist der Unterschied?
Močnik, Arithmeti m. böhm. Term. 14. Aufl- A
18
15) Eine Schüssel, welche 5'387 Mark wiegt, enthält
4'488 Mark feines Silber: wie viel ist dabei Ansatz?
16) Ein Fass enthält 37'75Hektoliter Wein; wenn nnn daraus
drei kleinere Fässer, von denen das erste 4'5 Hektoliter, das zweite
5'25 Hektoliter, das dritte 5'85 Hektoliter fasst, gefüllt werden, wie
viel bleibt noch im großen Fasse übrig?
17) Jemand nimmt iir einem Monate folgende Summen
ein: 388 fl., 295 fl., 57 fl., 167 fl., 315 fl.; dagegen gibt er
aus: 237 fl., 410 fl., 117 fl.; wie groß ist der Ueberschuss der
Einnahme über die Ausgabe?
Man verrichte folgende Subtractionen:
18) 724'7 Ctr. 19) 6315 Pud. 20) 2136 25 Kilogr.
583'65 „ 1908 „ 978'2 6„
21) Ein Londoner Pfund hat 0-4536, ein Zollpfund 0'5, ein
russisches Pf. 0 7313 Kilogr.: wie groß ist der Unterschied zwischen
> je zweien dieser Gewichte?
22) Die inittlere Entfernung der Erde von der Sonne ist
20657700 Meilen, der Venus von der Sonne 14942334, und
des Merkur 7996596 Meileu; um wie viel Meilen sind die Pla
neten Venus und Merkur der Sonne näher, als unsere Erde?
23) Unsere Erde hat eine Oberfläche von 9261436 lD Mei¬
len; davon entfallen auf jede kalte Zone 384083 ^Meilen, auf
jede gemäßigte Zone 2400146 lü Meilen; wie viel iHMeilen um
faßt die heiße Zone?
III. Das Multiplicierrn.
ULsoUsni.
8- 13-
Multiplicieren heißt eine Zahl so oft als Summand
setzen, als eine zweite Zahl anzeigt. Die Zahl, welche öfters als
Summand gesetzt werden soll, heißt Multiplicand (näsobövec),
die Zahl, welche angibt, wie oft der Multiplicand zu setzen ist,
heißt Multipli cator (näsobitol); und das Resultat der Mtll-
19
tiplication wird Product (soncin) genannt. Mnltiplicand und
Multiplicator werden beide auch mit dem gemeinschaftlichen Namen
Fac toren (öinite!) bezeichnet.
Das Zeichen der Multiplication ist X oder . (multipliciert
mit, mal); z. B. 5 X 3 — 25 oder 5.3 — 15 tvird gelesen:
5 multipliciert mit 3 ist gleich 15, oder: 3mal 5 ist 15.
EineZahl kann auch mit mehreren anderen Zahlen multipliciert
werden, indem man dieselbe zunächst mit einer dieser Zahlen mnl-
' tipliciert, das erhaltene Product mit einer zweiten, u- s. w.
Es ist für das Product gleichgiltig, in welcher Ordnung
man die Factvren mit einander multipliciert.
5.3 - 3.5 - 15;
2.3.4 - 2.4.3 - 3.2.4 - 3.4.2 - 4.2.3 - 4.3.2 - 24.
8-
Multiplication in g a n z e n Z a h len.
Käsobanl msel eelistv^ati.
I. Wenn der Multiplicator einziffrig ist
-uiLoditölem jest jeclinn eitra), so wird die Multiplication ver¬
richtet, wenn inan jeden Bestandtheil des Multiplicands io oft-
mal nimmt, als der Multiplicator Einheiten enthält, d. i. wenn
man zuerst die Einer, dann die Zehner, . . . des Multiplicands
mit dem einzisfrigen Mnltiplicator multipliciert. Z. B.
Smal 7 E. sind 85 E. -- 3 Z. -P S E.
437 X 5 z Z iS Z., und S Z. sind 18 Z. -- i H.
2185 4- 8 Z.
Smas 4 H. sind 20 H, und 1 H. sind 21 H.
Aufgaben.
1) Man nehme jede der Zahlen 1, 2, 3, . . . 8, 9 folge-
weise Imal, 2mal, 3mal, . . . 8mal, 9mal, und präge diese Pro¬
dukte dem Gedächtnisse ein (das Einmaleins, misobiikn.)
2) 8 X 2 Z- 9 X 5 - ? 3) 9 X 8 - 6 X 7 - ?
4) 5X6Z-8X1 — 7X3-?
A 7X7-8X34-4X6.-^?
6) 72 X 9 - ? 7) 59 X 8 - ? 8) 66 X 7 - ?
2*
20
9) 603 X 8 - ? 10) 281 X 9 - ? 11) 765 X 6 - ?
12) 1823 X 3 - ? 13) 8035 X 6 - ?
14) 7085 X 8 — ? 15) 9W72 X 5 ?
16) 134793 X 2 - ? 17) 35709 . 7 - ?
18) 218354 . 6 - ? 19) 836214 . 4 - ?
20) Man multipliciere 93876432 nach der Reihe mit den
Zahlen 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
21) Die Zahl 70859164 soll mit 2, das Product wieder mit
2, das neue Product noch mit 2, und das erhaltene Product wie¬
der mit 2 multipliciert werden.
22) Ebenso multipliciere man 1936787 8mal nach einander
mit 3, eben so ost mit 4, 5, 6, 7, 8, 9.
23) Wie viel ist 78945621 X 8 -s- 3109207 X 9 ?
24) Um wie viel ist 35701924 X 7 größer als 40189370 X 6 ?
25) Man multipliciere jede der Zahlen a) 9170854, b) 5891303,
e) 77026539, ä) 4789155 mit jeder der Zahlen p) 5,
3 Decimalstellen abschneiden.
Aufgaben.
1) 17 085 X 10 - ?
3) 7 4105 X 1000 - ?
5) 8 9456 X 3 -?
7) 17-345 X 9 -?
2) 314159 X 100 - ?
4) 0 956 X 100000 -?
6) 0-9876 X 90 -?
8) 7-157 X 800 -?
9) Die Zahl 15 893 soll mit 10, 100, 1000, 10000, 100000
multipliciert werden.
10) 0-1284 X 87 ?
12) 33-841 X 37 — ?
14) 0128 X 625 — ?
16) 5 19635 X 225
18) 783 X 0 09 -?
20) 7'8413 X 1'7 - ?
22) 3-5 X 1'72 - ?
24) 783 X 2-83 -?
26) 7-314 X 3-25 -?
28) 0-315 X 0 017 - ?
30) 23-915 X 9-93 -?
32) 6-451 X 8001 -?
34) 2-3456 x 6 789 - ?
36) 15-3287 X 57 89 - ?
38) 6-21046 X 0 01753 - ?
11) 129 23 X 58 -?
13) 13 837 X 531 —?
15) 3-1567 X950 - ?
17) 13-9078 X 609 —?
19) 35-27 X 0-4 —
21) 5-462 X 2'36 -?
23) 7125 X 0-03 -?
25) 17-835 X 0-71
27) 41-23 X 0-52 - ?
29) 6-521 X 0-082 -?
31) 345'123 X 0-617 -?
33) 0 4992 X 0 327 -?
35) 0-3561 X 0-1375 -?
37) 72-2286 X 0 00938 -?
39) Wie viel beträgt 3-125 X 109 -f- 7'378 X 0 037?
24
40) Um wie viel ist 37 X 3'957 größer als 12'935 X 7'108 ?
41) Wie groß ist der Unterschied zwischen 72'834 X 0'123
-s- 125 37 und 33'891 X 1'793 - 3'1974 X 8'3?
42) 840'244 X 0'09573 - ?
43) 3-444593 X 785'72 - ?
44) 781642 X 0'81593 ^ ?
45) 399'1345 X 14'8875 - ?
46) 9 51643 X 29857 - ? 47) 0 28719 X 0'53644 - ?
48) 545 0013 X 0'011378 - ?
49) Das Product zweier gleicher Factoren wird Quadrat
(ötvoroe) genannt. Man bestimme das Quadrat von a) 2'14,
b) 42-58, o) 0 17345, ä) 5'8078.
50) Das Product dreier gleicher Factoren wird Cubus (kr^eble)
genannt. Man bestimme den Cubus von a) 0'15, b) 6'34,
c) 15 38, ä) 0-7925.
51) 0-0000956 X 27851 -?
52) 8 236755 X 193 57 - ? 53) 23-8945 X 97513 -?
54) 24-94407 X 285'263 — ?
55) 1-37938 X 248571 — ?
56) 355.35914 X 31-579 Z-85'2056 X 24 806 - ?
57) 93'62853 X 6450 — 82'517425 X 5349 - ?
56073 X 1'08
kann man mit Vermeidung alles unnützen
schreiben:
56073
4485 84
6055884
8- 16.
Rechnungsvortheile bei der Multiplikation.
Obrat)- xki vusobeul.
1. Wenn der Multiplikator die Ziffer 1 enthält
so v imsobiteli uaekgLi jsämMa).
Anstatt^ 3421 x 41
'3421
13684
140261
! 4312 X 123
43 12
8 62 4
129 36
53 03'76
Wiederholens auch
25
3421 X 41
13684
140261
56073 X 1'08 43-12 X 123
4485 84 8 62 4
60558-84 1 29 36
53 03-76
Wenn daher im Multiplikator die Ziffer 1 vorkommt, so
lässt man den Multiplicand ungeändert als das erste Theil-
product (souöiu öästsöuzi) stehen, multipliciert ihn dann nur mit
den andern geltenden Ziffern des Multiplicators, und schreibt die
dadurch erhaltenen Theilproducte gehörig darunter. Z. B.
1) 521892 X 17
3653244
8872164
3) 87061 X 541
348244
435305
47100001
5) 842-18 X 61 - ?
7) 241578 X 1758 - ?
9) 3975684 X 3-125 - ?
11)
2) 35 018 X 0-501
17509 0
17544-018
4) 3 0-786 X 7-106
215 5 02
1 84716
218-7 65316
6) 351528 X 1-0009 - ?
8) 1-23456 X 7-819 - ?
10) 83600 X 3921 - ?
7935-839 X 149 -s- 2708 437 X 9.41 - ?
12) 3792-708 X 3416 - 93 7854 X 8140 -?
2. Wenn der Multipticator 11 ist (LäyL näsobi-
teiem säst 11).
Nach dem eben angeführten Vortheile hat man
381307-924 X 11
3813079 24
4194387-164^
woraus hervorgeht, daß man bei der Multiplikation mit 11 das
Product unmittelbar aus dem Multiplicand ableiten könne, wenn
man die erste Ziffer rechts ungeändert anschreibt, dann zur ersten
Ziffer die zweite, zur zweiten die dritte, und überhaupt zu jeder
Stelle die nächst höhere addiert. Z. B-
1) 178423 . 11 2) 3840 72 . 11 3) 907865 . 110
1962653" 42247'92 99865150
26
Man spricht im ersten Beispiele: 3 ist 3; 3 und 2 ist 5; 2 und 4
>st 6, 4 und 8 ist 12, bleibt 1; 1 und 8 ist 9, und 7 ist 16, bleibt 1; 1 und
7 ist 8, und 1 ist 9; 1 ist 1.
4) 358972 . 11 ? 5) 791'8046 . 1'1 - ?
6) 3156793 . 11 -s- 3911784 . 19 - ?
7) Man multipliciere 975875 mit 11, das Product wieder
mit 11, und das neue Product noch einmal mit 11.
8) Man multipliciere jede der Zahlen 123 04516, 397506,
30975'46, 98307261 9mal nach einander mit 11.
3. Wenn sich der Multiplicator in zwei Fak¬
toren zerlegen lässt (Lä/L so nasoditol müZo roxIoLiti
na äva kaktorzZ, mit denen man leicht multiplicieren
kann, so multipliciert man den Multiplicand zuerst mit dem einen
Factor, und das Product dann noch mit dem andern Factor,
Z- B.
1) 9206 X 49 2) 219'56 X 33 3) 12345 X 270
64442 7.7 658 68 3.11 111105 9.3<>
451094 724548 3333150
4) 78054 . 36 - ? 5) 513'942 . 6'3 - ?
6) 70694 . 5600 - ? 7) 8715 4637 . 24 - ?
8) 21953790 X 72 -s- 5907738 X 11 - ?
9) 437819 X 56 -s- 38429 X 54 -s- 197568 X 64 - ?
10) 1345693 X 350 -j- 99755 X 48 — 722034 X 450 - ?
4. Wenn der Multip licator aus lauter Neunern
besteht, mit Ausnahme der Einer, welche auch eine andere
Ziffer sein können. v nssobitoli, kiowö mista jtzäuotok,
käoL i sing, mira stati inüLo, samo fsou äovitk^.)
Hat man die Zahl z. B. mit 992 zu multiplicieren, so
multipliciert man mit 1000; dadurch bekommt man um das
8fache zu viel, inan muß daher die Zahl noch mit 8 multiplicieren,
und die 8fache Zahl von der lOOOfachen subtrahieren.
Wenn also der Multiplicator bis aus die Einer lauter Neuner
enthält, so addiert man zu den Einern so viel, dass man 100,1000,
... bekommt, hierauf multipliciert man den Multiplicand zuerst mit
!00, 1000, . . . dann mit der zu den Einern hinzuaddierten Zahl,
und subtrahiert das zweite Product von dem ersten. Z. B.
1) 7-534 67g°o X 994 2) 150234,^» X 9997
45 20802 1000-6 450702 10000-3
7 480-16198 1501889298
3) 132459 . 98 ? 4) 1750370 . 99600 - ?
5) 312'6547 X 995 - ? 6) 8356139 X 99930 - ?
7) 595146 X 9992 — 372819 X 9900 - ?
8) 757583 X 72 -i- 164792 X 993 - ?
9) 4082635 X 970 — 246897 X 88 - ?
5. Wenn der Multiplicator aus lauter Neunern
bestehet, mit Ausnahme der höchsten Ziffer, welche nicht
nothwendig 9 sein muß (LäxL v uäsobitoii Icromö uojv^KZillo
mistu, kcieL i jinu eilru statt müLo, samö jsou äevitk/).
Vermehrt man einen solchen Multiplicator um 1, so erhält
man eine Zahl, welche aus einer einzigen geltenden Ziffer mit
rechts folgenden Nullen besteht. Wenn mau nun den Multipli¬
kand mit dieser Zahl multipliciert, so ist das Product um das
1 fache des Multiplicands, d. i. um den Multiplicand selbst zu
groß; man muß daher von jenem Produkte noch den Multipli-
canv subtrahiren. Z. B.
1) 5682 X 399 2) 7 296 X 5999
2272800 400 - 1 43776 000 6000-1
2267118 43768-704
Hier wird der oben stehende Multiplicand von dem dar-
4) 4809156 -j- 7-99 - ?
6) 9173046 -4- 8990 - ?
8) 24688134 X 29 - ?
unter gesetzten 400fachen, oder 6000fachen desselben subtrahiert.
3) 5431678 X 59 - ?
5) 13-4967 X 3999 - ?
7) 993798 -j- 9999 - ?
9) 5344266 X 199 -j- 954680 X 6999 - ?
10) 39246817 X 19 -j- 24910333 Z- 25 - ?
11) 6072554 X 9991 — 8526631 -j- 599 - ?
12) 83119274 X 79 Z- 1945076 X 13 - 5833556 X 11 - ?
13) 67890-123 X 499- (1234567 X 150Z- 98765'4 X107) -?
.28
8- 17-
Multiplication cinnamiger Zahlen.
Mikani ölsol jeänojmonn^ed.
Bei der Multiplication kann bloß der Multiplikand
eine benannte Zahl, der Multiplicator aber muß unbemannt sein,
und das Product erhält den Namen des Multiplicands.
Aufgaben.
1) Ein metr. Ctr. Wachs kostet 205 fl.; wie viel kosten 8 Ctr. ?
8 Ctr. sind 8mal 1 Ctr., sie kosten also 8rnal 205 fl.; man hat daher
205 fl. X 6 -- 1640 fl.
2) Ein Ctr. Kupfer kostet 102 fl.; wie viel kosten 7 Ctr.,
39 Ctr., 100 Ctr.?
3) Ein Bierbrauer kauft 13 Ctr. Hopfen, den Centner zu
188 fl.; wie viel hat er dafür zu bezahlen?
4) Ein Beamter hat monatlich 126 fl. Gehalt; wie hoch ist
der Jahresgehalt?
5) Der Umfang eines Wagenrades ist 3"; wie viel Meter
legt das Rad nach 2345 Umdrehungen zurück?
6) Wie groß ist das Gewicht von 4 Cubikfuß Kanonengut,
wenn 1 Cnbikfuß Wasser 56 K wiegt, und wenn das Kanonen-
gnt 9mal so schwer ist als das Wasser?
7) Wie viel Weizen erzeugt eine Bodenfläche von 728
Hektar, wenn der Ertrag eines Hektar zu 15 Hektoliter ange¬
nommen wird?
8) In Oesterreich-Ungarn werden jährlich im Durchschnitte
81926 Münzpfund Silber gewonnen; wie viel beträgt dieses,
wenn man ein Münzpfund zu 45 fl. rechnet?
9) Ein Kaufmann erhält 2185 Kilogramm Waare; wie viel
W. Pfund sind es, da 1 Kilogramm — 1'78568 W. Pfund ist?
10) Wie viele Ellen geben 15 K Leinengarn, wenn auf 1 K
11 Sträne gehen, und wenn 1 Strän 3000 Ellen enthält?
11) Böhmen umfaßt 943'7 geogr. s^Meilen, und es kommen
auf 1 üs Meile 5641 Einwohner; wie groß ist die Bevölkerung
von Böhmen?
29
12) Ein Pendel braucht zu einer Schwingung 0'87 Se-
cunden; in wie viel Zeit wird es 20, 60, 87, 1000 Schwin¬
gungen machen?
13) Ein Pfund kostet 2'35 fl.; wie hoch kommen 9 K, 27 K,
58 K, 106 K, 238 K, 1118 K?
14) Ein Centner kostet 37'843 fl.; wie viel kosten 7'53 Ctr.,
17-24 Ctr., 33-135 Ctr., 0 2475 Ctr. ?
15) Ein Meter Tuch kostet 4'22 fl.; wie viel kosten 5, 9,
4'5, 12'25 Meter?
16) Ein Dampfwagen legt stündlich 30'2 Kilometer zurück;
wie viel in 7, 10, 3'7, 13'75 Stunden?
17) Von einem Capitale bezieht man jährlich 65'78 fl.
Zins; wie viel in 0'25, in 2'125 Jahren?
18) Ein Garten, welcher die Form eines Rechteckes hat, ist
20^ lang und 12-° breit; wie groß ist seine Fläche?
Wie viele üg°i lassen sich nach der Länge auftragen? Wie viele svlche
Streifen kommen nach der Breite neben einander zn liegen? Wie viel
enthält also die ganze Fläche?
19) Ein Hof ist 24-° lang und 13---breit; wie viel beträgt
seine Fläche?
20) Wie groß ist die Fläche eines Quadrates, dessen Seite
18»-° ist?
Man multipliciere die Länge einer Seite mit sich selbst.
21) Wie groß ist die Fläche eines Rechteckes, welches 35-34°-
lang und 1748-° breit ist?
22) Die Seite eines Quadrates ist 3'42-°, die Seite eines
zweiten Quadrates 9-75^-°; um wie viel ist der Flächen¬
inhalt des ersten Quadrates größer als der des zweiten?
23) In einem Zimmer, welches 5'4° lang und 345° breit
ist, soll ein neuer Boden gelegt werden; wie viel wird der Bo¬
den kosten, wenn für die Quadratklafter 4'38 fl. bezahlt wird?
24) Ein Hof von 15'35°- Länge und 10-83°- Breite soll init
Platten belegt werden, wovon das Quadratmeter zp 2'48 fl.
gerechnet wird; wie hoch belaufen sich die Kosten?
30
25) Eine Mane»' bat 272^" Länge, 91^" Höhe nnd 7^"
Dicke; wie viel Cub?" enthält sie?
Wie viele enthält die Grundfläche der Mauer? Wie viele Cub4">
lassen sich also auf der Grundfläche auftrageu? Wie viele solche Schichten
kann inan nach der ganzen Höhe über einander legen? Wie viel Cub.^
enthält demnach die Mauer?
26) Ein Zimmer ist 15'" lang, 9" breit nnd 4" hoch; wie
groß ist der Raum dieses Zimmers?
27) Ein cylinderförmiger Kessel ist t? tief, seine Gründe
fläche beträgt 5 HsZ wie viel hält der Kessel?
28) Wie groß ist der Cubikinhalt eines Würfels, dessen
Seite 26°" beträgt?
Man setze die Länge einer Seite 3mal als Factor.
29) Wie viel wiegt eine vierkantige Eisenstange, welche
83" lang, 4" breit und I" dick ist, wenn der Cubikzoll Eisen
9 Loth wiegt?
30) Wie viel Maß fasst ein würfelförmiges Gefäß, dessen
Seite 1-2' ist, da 1 Cubikfuß 22-32 Maß hält?
31) Der Durchmesser eines Kreises beträgt 5<>", wie groß
ist der Umfang?
Der Umfang eines Kreises wird berechnet, wenn man den Durch¬
messer mit 3'14, genauer mit 3'14159 multipliciert.
32) Wie groß ist der Umfang eines Kreises, dessen Halb¬
messer n) 4'2', b) 2'815", c) 11'75^" beträgt?
33) Wie groß ist der Umfang einer kreisrunden Tischplatte,
wenn der Durchmesser derselben 1'76" ist?
34) Ein Rad hat 0'735" im Halbmesser; wie groß ist der
Umfang desselben, und wie viele Umläufe wird es machen müßen,
um 1 Kilometer zurückzulegen?
35) Der Halbmesser eines Kreises ist 4-5"; wie groß ist
der Flächeninhalt?
Um die Fläche eines Kreises zu erhalten, multipliciert man das Quadrat
des Halbmessers mit 3'14, genauer mit 311159.
36) Wie groß ist die Bodenfläche eines kreisrunden Sales,
dessen Durchmesser 5'34° ist?
31
37) Wie groß ist die Oberfläche einer Kugel, deren Halb¬
messer ist?
Die Kugeloberfläche wird berechnet, wenn man das 4fache Quadrat
des Halbmessers mit 3'14159 multipliciert.
38) Eine Kugel hat a) 4'245 d) 5'15^ im Durchmesser;
lvic groß ist ihre Oberfläche?
39) Ein kugelrunder Turmknopf, welcher 1'1" im Durchs
Messer hat, soll vergoldet werde». Wie hoch belaufen sich die
Kosten, wenn für das HP" 17 fl. gezahlt wird?
40) Wie groß ist der Körperinhalt einer Kugel, deren
Halbmesser 7'5^ ist?
Der Cubikinhalt einer Kugel wird gefunden, wenn man entweder
u) die Oberfläche mit dem dritten Theile des Halbmessers, oder b) wenn
man ch» Les Cubus des Halbmessers mit 3'14159 multipliciert.
41) Wie viel wiegt eine eiserne Kugel von 2'4^° Durch¬
messer, wenn ein Cub?" Eisen 7'8 Kilogramm wiegt?
42) Ein Wiener Metzen hält 1'9471 Cubikfuß; wie viel
Cubikfuß sind 12 Metzen, 37'75 Metzen, 128'125 Metzen?
43) Ein Wiener Eimer enthält 1'792 Cubikfuß; wie viel
Cubikfuß sind 33 Eimer, 130'5 Eimer, 350'095 Eimer?
44) 493-38 Hektolit. X 3'5 - ?
45) 93'264 Quarter X 19'7 — ?
46) 518 75 Tschetwert X 15'28 — ?
47) Wie viel Wiener Fuß sind 87 Meter? (Die näheren
Angaben zu dieser und ähnlichen Aufgaben sind im Anhänge
dieses Buches nachzuschlagen; für die vorliegende Aufgabe findet
man dort: 1 Meter - 3'16375 W. Fuß.)
48) Wie viel Wiener Ellen sind:
u) 324 cngl. Dard? d) 508'5 Meter?
49) Wie viel nied. vsterr. Maß sind:
u) 948'6 engl. Gallon? b) 1205'68 Liter?
50) Wie viel Wiener Pfund sind:
a) 7390'7 Zollpfund? b) 2958'25 türk. Oke?
51) Der Tunnel unter der Themse bei London ist 433)5
Jards lang; wie viel ist das iin Metermaß? ,
32
52) Die große Piramide bei 6126 in Aegypten hat 450
Pariser Fuß Höhe; wie viel beträgt dieses in Wiener Fuß?
53) Ein Wiener Fuß hat 0 31608 Meter, 097313 Pa¬
riser Fuß, 1'03713 russische Fuß; wie viel von jedem dieser
Längenmaße gehen auf 10, 100, 1000, 10000, 100000 Wiener
Fuß?
IV. Das Dividieren.
Oälsrli.
8- 18.
Eine Zahl durch eine andere dividieren heißt, eine neue
Zahl bilden, welche mit der zweiten Zahl multipliciert, die erste
Zahl als Product gibt. Die Zahl, welche dividiert werden soll,
heißt Dividend (cielonee), die Zahl, durch welche dividiert
wird, heißt Divisor (äölitel); die neue Zahl, welche man durch
die Division erhält, heißt Quotient (pociil).
Das Zeichen der Division ist: (dividiert durch); z. B-
8:2 — 4 wird gelesen: 8 dividiert durch 2 ist gleich 4, oder:
2 ist in 8 4mal enthalten. Ein Quotient wird manchmal auch
dadurch angezeigt, dass man den Divisor unter den Dividend,
Z
und zwischen beide einen Strich setzt, z. B- -- wird gelesen: 3 di¬
vidiert (gebrochen) durch 5, oder 3 5tel. Diese Form des Quo¬
tienten wird die Bruchform (tvar 2lomkü) geuannt.
8- 19-
Division in ganzen Zahlen.
OAöin öisel colistvFek.
Das Dividieren wird bei der höchsten Stelle des Dividends
begonnen. Man nimmt im Dividend so viele höchste Ziffern,
als ihrer der Divisor hat, oder um eine mehr, wenn die mit
jenen Ziffern gebildete Zahl kleiner als der Divisor ich, als ersten
Theildividend (äölsnoe öästeöu^) an, und dividiert diesen durch
33
ven Divisor, wodurch man die erste und höchste Ziffer des Quo¬
tienten erhält. Multipliciert man dann mit dieser Ziffer des Quo¬
tienten den Divisor, subtrahiert das Product von dem ersten
Theildividende und setzt zu dem Reste die nächst niedrigere Ziffer
des Dividends dazu, so bildet diese Zahl den zweiten Theildivi-
dend, welcher durch den Divisor dividiert, die zweite Ziffer des
Quotienten gibt. Dieses Verfahren wird fortgesetzt, bis man alle
Ziffern des Dividends in Rechnung gezogen hal. Z. B.
1) 936^3 9 H. : 3 - 3 H. ; 3 Z. : 3 - 1 Z.
212 6 E. : 3 - 2 E.
2) 3579 : 8 Man spricht: 8 in 45 ömal, bleibt 5; 8 in
572^ 57 7mal, bleibt I; 8 in 19 2mal, bleibt 3. Man
erhält also 572 als Quotienten und 3 als Rest,
welcher noch durch 8 zu dividieren ist; I in 8 gleiche Theile getheilt, gibt
1 Achtel, 3 in 8 gleiche Theile getheilt, gibt also 3 Achtel - man must
g
also im Quotienten zu der ganzen Zahl 572 noch den Bruch hinzufügen.
3) 4731 : 83 — 57 Da 83 iu 47 nicht enthalten ist, so
nimmt man 473 als ersten Theildividend.
83 in 473 (versuchsweise 8 in 47) ist bmal
enthalten; 5mal 83 ist 415, von 473 sub-
trahiert, bleibt 58; 58 Z. - 580 E. und
°" IE. dazu, stud 581 E. 83 in 581 (8 in 58)
ist 7mal enthalten; 7mal 83 ist genau 581; es bleibt also kein Rest.
4) 98648 : 418 - 236 Die Tbeilproducte aus dein
Divisor und der jedesmaligen Ziffer
des Quotienten werden gewöhnlich
-^08 sogleich während des Multiplicierens
- - - von den betreffenden Theildividende»
subtrahiert und bloß die Reste angeschrieben. Man spricht: 418 in 986 (4 in 9)
ist 2ma! enthalten; 2mal 8 ist 16, und 0 ist 16, bleibt 1; 2mal 1 ist 2,
und 1 ist 3, und 8 ist 8; 2mal 4 ist 8, und 1 ist 9. Zum Reste 150 kommt
4 herab; 418 in 1504 (4 in 15) ist 3mal enthalten: Zmal 8 ist 24, und 0
ist 24, bleibt 2; 3mal 1 ist 3, und 2 ist 5, und 8 ist 10, bleibt 1: 3mal
4 ist 12, und 1 ist 13, und 2 ist 15; u. s. f.
Wenn der Divisor 10, 100, 1000, . . . ist (LävL
stölitoiom sost 10, 100, 1000), so wird die Division verrichtet.
Močnik, Arithmetik' m. b?hm. Term. 14. Auft. H
34
indem man vom Dividend rechts 1, 2,3, . . . Ziffern abschneidet;
die links bleibenden Ziffern bilden den Quotienten, die rechts ab
2) Wie oft ist enthalten a.) 2 in 20, b) 3 in 36, o) 5 in
85, ä) 6 in 96, e) 7 in 84, f) 8 in 104?
3) Wenn man 1 Ganzes in 2 gleiche Theile theilt, wie
heißt ein solcher Theil? Wie heißt ein Theil, wenn man l
Ganzes in 3, 4, . . .8, 9, 10 gleiche Theile theilt?
Wie groß ist die Hälfte, das Drittel, Viertel, . . . Neun¬
tel , Zehntel von den auf einander folgenden natürlichen Zahlen
von 1 bis IM?
4) Man bestimme
a) 108 : 2, b) 318 : 3,
v) 416 : 6, 1) 448 : 7,
5) Man dividiere durch 8
1707, 3520, 9185.
6) 57933 : 9 -?
8) 915278 : 3 -?
10) 1957351 : 6 -?
e) 174 : 4, 6) 615 : 5,
8) 912 : 8, 6) 588 : 9.
jede der Zahlen 750, 1284z
7) 170924 : 4 - ?
9) 378238 : 7 -?
11) 577306:8 -?
12) Man dividiere 4950875 durch 6, die in diesem und
jedem folgenden Quotienten erhaltenen ganzen Zahlen wieder durch
6; um groß ist der sechste Quotient?
13) 3420 : 100 - ? 14) 1235 : 10 - ?
15) 13579 : 1000 - ? 16) 708459 : 10000 - ?
17) 684 : 12 - ? 18) 4399 : 83 - ?
19) 7577 : 62 - ? 20) 15766 : 49 - ?
21) 7840 : 20 -? 22) 25238 : 500 -?
23) 34463 : 370 -? 24) 451094 : 4900 - ?
25) 32768 : 128 - ? 26) 67130 : 274 - ?
27) 5639712 : 624 -? 28) 2823150 : 1298 ?
29) 1861704 : 3510 - ? 30) 21345738 : 72100 ?
31) 68703705 : 105
32) 20857384 : 3004 - ?
33) 98765432 : 12345 -?
34) 8642013570 56789 - ?
35) 70370088 : 25986 - ?
36) 1292671490 : 42086 - ?
37) 34639215 : 39783 - ?
38) 934215023 : 91030 - ?
39) 12345678 : 57095 - ?
40) 264808461 : 264803 -?
41) 70251807402 : 79863 - ?
42) Man dividiere jede der Zahlen
a) 78422960, d) 41065515, e) 151466112
durch jede der Zahlen
p) 616, g) 2979,
r) 43827.
8- 20.
Division in Decimalbrüchen.
vöisnl Lloinkü äesotinll^cti.
I. Ein Decimalbruch wird durch 10, 100,
1000, . . . dividiertslLä/L 86 äesstinn^ ulomek 10ti, lOOem,
3"
36
Geht die Division zuletzt ohne Rest auf, so ist der Quotient
1238 : 29 - 45 7931 . .
168
230
270
90
30
1
lOOOsm mn äöliti), indem man den Decimalpunkt 1 , 2,
3, . . . Stellen weiter nach links rückt, weit dadurch jede Ziffer
einen 10, 100, 1000, . . . mal kleineren Wert erhält. Z- B
124 85 : 10 5 74 : 1000 83574 : 100
12-485 0-00574 835'74
II. Ein Decimalbruch wird durch ciue ganze
Zahl dividiert lLävr so «iosotinny xlomek ooiistvvm
öislom mn äoliti). indem mau ihn wie eine ganze Zahl dividiert,
und in den Quotienten den Decimalpunct setzt, bevor mau die
Zehntel des Dividends in Rechnung zieht. Bleibt bei der Division
ein Rest übrig, so kann man, da der Wert eines Decimalbruches
durch Hinzufügen von Nullen nicht geändert wird, diesem so wie
jedem folgenden Reste eine Null anbängen, und die Division fort
setzen. Z. B.
29'24 : 16 — 1'8275 29 Ganze dividiert durch 16 geben
2 I Ganzes, und es bleiben noch 13 Ganze
-- 130 Zehntel; 130 -s- 2 --- 132 Zehn¬
tel. Diese durch 16 dividiert geben 8
ID Zehntel, woraus noch 4 Zehntel — 40
80 Hundertel bleiben; 40 -s- 4 - 44 Hun¬
dertel. Diese durch 16 dividiert geben 2 Hundertel, und es bleiben noch
12 Hundertel - 120 Tausendtel; diese durch 16 dividiert geben 7 Tau-
sendtel mit dem Reste 8; u. s. w.
Dasselbe Verfahren lässt sich auch bei der Division zweier-
ganzer Zahlen, wenn ain Ende ein Rest bleibt, in Anwendung
bringen. Z. B.
2783 „o : 4
695-75
37
vollkommen genau; dieses tritt nur dann ein, wenn der Divisor
2 oder 5 oder ein Product ist, das außer 2 und 5 keine anderen
Factoren enthält. Geht die Division nicht ohne Rest auf, so ist
der Quotient nur angenähert, und zwar um so genauer, je mehrere
Decimalen man entwickelt. Wie viele Decimalen man zu suchen
hat, hängt von der Natur der Aufgabe ab. Bedeutet der Decimal-
bruch z. B. Gulden, und ist er das Endergebnis der ganzen Rech¬
nung, so reicht es hin, drei Decimalen zu entwickeln; wenn aber
der Quotient nicht das Endresultat der Rechnung ist, sondern es
wäre damit noch eine Multiplication vorzunehmen, so müßte er
in mehreren Decimalen bestimmt werden.
Wenn die Division nicht aufgeht, so muß bei fortgesetzter
Rechnung einer der schon einmal übriggebliebenen Reste noth-
wendig wieder erscheinen, und es werden daher auch im Quotien¬
ten Ziffern, die schon einmal da gewesen sind, in derselben Ord¬
nung wiederkehren. Z. B-
307 : 3 - 102 33 ... 3 : 22 - 0 13636 . . .
07 30
10 80
10 140
1 80
140
8
Ein Decimalbruch, in welchem eine Ziffer oder eine Reihen¬
folge von Ziffern immer wiederkehrt, heißt ein periodischer
(jwrioäiaicF), und die Reihe der sich wiederholenden Ziffern die
Periode (porioein, odöisll). In dem ersten der obigen zwei
Beispiele besteht die Periode aus einer Ziffer (3), im zweiten
aus 2 Ziffern (36).
Man pflegt die Periode nur einmal anzuschreiben, jedoch
die erste und die letzte Ziffer derselben mit darüber gesetzten Punkten
zu bezeichnen. Es ist demnach
307 3 - 102'3, 3 : 22 - 0436.
38
III. Die Division durch einen Decimalbruch kann
in eine Division durch eine ganze Zahl verwandelt werden (vtzloni
äosotinn^m zlomkom I26 pretvoriti v äelsni bislom eo1i8tvzim),
indem man Dividend und Divisor mit 10,100, 1000, . . . mul
tipliciert, je nachdem der Divisor 1, 2, 3, . . . Decimalen hat.
Z- B-
126 : 0 9 - 1260 : 9 - 140
5-696 : 3-2 - 56 96 : 32 - 1'78
2-5415 : 0-037 - 2541'5 : 37 - 68'689 . .
321
255
330
340
7
IV. Ein anderes allgemeines Berfahren für die
Division der Decimalbrüche beruhet auf folgenden Betrachtungen :
Die Ziffernreihe des Quotienten hängt bloß von der Ziffernreihe
des Dividends und jener des Divisors ab; man bekommt daher
die auf einander folgenden Ziffern des Quotienten, wenn man
im Dividend und im Divisor die Decimalpunkte ganz unberück¬
sichtigt lässt, und die Division wie bei ganzen Zahlen verrichtet.
Der Stellenwert (lloctuota mistui) der Ziffern ist sodann vollkom¬
men bestiinrnt, wenn man den Wert der ersten oder höchsten Ziffer
kennt, da der Stellenwert jeder folgenden Ziffer um das lOfache ab¬
nimmt. Bei der Division ganzer Zahlen hat bekanntlich die erste
Ziffer im Quotienten denselben Stellenwert, wie die niederste Ziffer
im ersten Theildividend, oder was einerlei ist, wie diejenige Ziffer,
von welcher das Product aus der ersten Ziffer des Quotienten
und den Einern des Divisors subtrahiert wird. Kommen nun im
Divisor nebst den Ganzen auch Decimalen vor, so ändert dieses
an dem Stellenwerte der ersten Ziffer im Quotienten nichts; es
wird also auch da die erste Ziffer des Quotienten gleichen Stellen¬
wert mit derjenigen Ziffer des Dividends haben, von welcher das
39
Product ans der ersten Ziffer des Quotienten und den Einern des
Didisors subtrahiert werden muß.
Es ergibt sich daher für das Dividieren der Deci-
malbrüche folgendes allgemeine Verfahren:
Man bestimme die erste Ziffer des Quotienten, ohne aus
die Decimalpunkte Rücksicht zu nehmen. Sodann multipliciere
man mit dieser Ziffer den Divisor, subtrahiere das Product von
dem ersten Theildividende, und sehe, von welcher Stelle des Di-
vidends das Product aus jener Ziffer des Quotienten und den
Einern des Divisors subtrahiert wird, oder, wenn der Divisor
keine Einer hat, von welcher Stelle jenes Product subtrahiert
werden müßte, wenn die Einer vorhanden wären. Die erste Ziffer
des Quotienten bedeutet nun Einheiten derselben Ordnung, wie
die Ziffer des Dividends, von welcher das genannte Product zu
subtrahieren ist. Ist diese Stelle eine Decimalstelle, so deutet
man dieses durch Vorsetzung der erforderlichen Nullen mit dem
Decimalpunkte an; bedeutet sie Ganze, so punktiert man alle
noch folgenden ganzen Stellen und setzt dann den Decimalpunkt.
Die weitere Division wird wie bei ganzen Zahlen ver¬
richtet. Z. B.
1) 9141'2321 : 32-9 - 277'849
2561 Da hier das Product aus der ersten Zif-
258 2 2 des Quotienten mit den Einern 2 des Divi-
^7 93 sors bon der Ziffer 1 des Dividends, welche den
' Wert Hunderte hat, subtrahiert wird, so bedeu-
tet auch 2 im Quotienten Hunderte, und eS
2961 Mjjßen noch zwei ganze Stellen, Zehner und
0 Einer, folgen, deren Stellen man vor der wirk¬
lichen Bestimmung der dahin kommenden Ziffern punktiert; die Rechnung
steht daher im Anfänge:
9141 232k : 32 9 -- 2 . . -
2S6
Hierauf wird, ohne weiter auf die Decimalpunkte Rücksicht zu nehmen,
die Division wie bei ganzen Zahlen fortgesetzt.
82'7 - 0-0413 . . .
Das Product aus der ersten Ziffer 4 des-
Quotienten und Len Einern 2 des Divisors wird
hier von der Ziffer I des Dividends, also von.
den Hunderteln, subtrahiert; 4 kommt daher an
die Stelle der Hundertel.
0-123 - 21042 . . .
Hier wird das Product aus der ersten
Ziffer 2 des Quotienten mit den Zehnteln 1 des
Divisors von den Einern 2 des Dividends subtra¬
hiert; wenn daher der Divisor auch Einer ent¬
hielte, so müßte das Product derselben mit L
von den Zehnern des Dividends subtrahiert werden; darum bedeutet die erste
Ziffer 2 des Quotienten Zehner.
Aufgaben.
1) 785' 34 : 100 -? 2) 31415 : 10 - ?
3) 23-7 : 1000 - ? 4) 0'93 : 100 - ?
5) Man dividiere die Zahlen 3'985, 317-91, 0'87 durch
10, 100, 1000, 10000.
2) 3 4156 :
1076
2490
9
3) 2'5882 :
125
520
280
24
41
40) 3783-231 157'286 -?
41) 348 : 2-9156 -? 42) 1000 : 3-45016 -?
43) 0'0494:2'5786 -? 44) 781'4:27'9847 -?
Z. 21.
Rcchnungsvortheile beider Division und Multipli
cation.
(Odrst)' pri äöianl a ngsobeni.)
1. Durch 25 wird dividiert (25ti 86 4Äl), indem
man das 4fache des Dividends durch 100 dividiert. Z. B-
1) 34625 : 25 2) 153723 : 25
138500 6148 92
3) 5930450 : 24 -? 4) 2369 513 : 25 - ?
5) 13782376 : 25 — ? 6) 492 75186 : 25 -?
2. Durch 125 wird dividiert (125ti 86 däll), indem
man das 8fache des Dividends durch 1000 dividiert. Z. B-
1) 579625 : 125 2) 21)579 : 125
4637-000 ' 172-632
3) 38521-63 : 125 -? 4) 38024625 : 125 -?
5) 3794420 : 25 -s- 9588037'9 : 125 - ?
3. Wenn sich der Divisor in zwei Factoren zer¬
legen lässt, durch welche man bequem dividieren kann
(Xäz'L 86 Mjtol mÜ26 ro^IoLiti na ävg, kaktory, ktarMi dv
86 8NN26 molilo äöliti), so dividiert man den Dividend zuerst
durch den einen Factor, und den Quotienten noch durch den an¬
dern Factor. Z. B-
1) 466320 : 48
6)
77720
8)
9715
3) 49320 : 72 - ?
5) 100800 .-28 -?
2) 330579 : 45
- 6)
661158
9)
73462
4) 784345 : 35 - ?
6) 8872472 : 56 - ?
42
7) 62222 202 : 63 - ? 8) 47273394 : 5'4 - ?
9) 29861-286 : 42 - ? 10) 21758'0976 : 72 -?
4. Mit Hilfe der Division lässt sich auch die Multiplika¬
tion mit 25 oder 125 sehr vortheilhaft verrichten. Statt mit
25 zu multiplicieren, multipliciert man mit 100, und divi¬
diert das Product durch 4; statt mit 125 zu multiplicieren,
wird mit 1000 multipliciert, und das Product durch 8 divi¬
diert. Z. B-
1) 5986«° X 25 2) 3795^« X 125
149650 474375
3) 123'456.25 - ? 4) 7903124.1-25 — ?
5) 378'4232 X 125 -s- 13792 057 X 2'5 -?
6) 43782695 X 25 — 73458213375 : 125 - -
8- 22.
Division einnamiger Zahlen,
volom elsol jöänoswsnn^ed.
Bei der Division, wenn sie alsTheilung angewendet
wird, kann bloß der Dividend benannt, der Divisor aber muß
unbenannt sein, und der Quotient erhält den Namen des Divi-
dends. Wird die Division als Vergleichung (rovminl) ange¬
wendet, so sind Dividend und Divisor benannt, und zwar müßen
sie gleichnamig sein; als Quotient erhält man eine unbenannte Zahl.
Aufgaben.
1) 9 Ctr. kosten 576 fl.; wie viel kostet 1 Ctr.?
I Ctr. ist der 9te Theil von 9 Ctr.; daher kostet I Ctr. nur den
9ten Theil von 576 fl.; man hat also:
576 fl. : 9 --- 64 fl.
2) 8 Hektoliter Wein kosten n) 112 fl., b) 136 fl., o)
176 fl., 6) 232 fl.; wie hoch kommt 1 Hektoliter zu stehen?
3) Ein Beamter hat einen Jahresgehalt von 1890 fl.; wie
viel bezieht er monatlich?
4) Eine Summe von 4560 fl. ist unter 19 Personen zu
gleichen Theilen zu vertheilen; wie viel bekommt jede Person?
43
5) Für ein Unternehmen sind 1204 fl. erforderlich; wie
viel Personen müßen daran theilnehmen, damit auf eine Person
die Auslage von 14 fl. komme?
So viele Personen, als wie ost 14 fl. in 1204 fl., oder 14 in 1204
enthalten ist, also 1204 : 14 - 86
84
6) Der Umfang eines Locomotivrades ist 2°>; wie viele
Umdrehungen muß dasselbe machen, nm ein Kilometer zurück-
zulegen?
7) Eine Handlungsgesellschaft gewinnt 5184 fl.; wenn nun
davon auf jeden Teilnehmer 324 fl. entfallen, wie viele Personen
waren in der Gesellschaft?
8) Ein Hektar Ackerland liefert in Böhmen 11 Hektoliter
Getraide; wie groß ist die Ackerfläche Böhmens, wenn man das
jährliche Erträgnis an Getraide mit 26297640 Hektoliter ansetzt?
9) 25 Ctr. kosten 304-37 fl , wie hoch kommt 1 Centner?
10) Wenn 35 Deciliter Branntwein 2'5 fl. kosten, wie viel
Deciliter erhält man für 1 fl.?
11) Wenn 12 Hektoliter Gerste 48-136 fl. kosten, wie theuer
ist 1 Hektoliter?
12) Ein Capital trägt jährlich 658'35 fl. Zins; wie viel
Zins trägt es monatlich, wie viel täglich?
13) 58 metr. Centner einer Waare kosten 728'2' fl.; wie
viel kostet 1 Centner, wie viel 1 Kilogr., wie viel 1 Neuloth?
14) 67 Hektoliter Wein kosten 1058'6 fl.; wie viel kostet
1 Hektoliter, wie viel 1 Liter?
15) Wenn 90 Pariser Fuß 92-5947 Wiener Fnß betra¬
gen, wie viel beträgt 1 Pariser Fuß?
16) Wenn 5'135 Ctr. einer Waare 215'26 fl. kosten, wie
doch kommt 1 Ctr.?
17) Die Anlagekosten einer Eisenbahn, welche 8'12 Meilen
lang ist, betragen 4206000 fl.; wie groß ist das Anlagecapital
für eine Meile?
18) Eine Locomotive legte in 3'28 Stunden 100 275 Kilo-
44
meter zurück; wie viel Kilometer legte sie bei gleichförmiger Be¬
wegung stündlich zurück?
19) Ein Cub?n Wasser wiegt 1'786 W. K, ein Cub.^°
Quecksilber 24'29 W. .K; wie vielmal so schwer als das Wasser
ist das Quecksilber?
20) Eine Kanonenkugel legt in 1 Secunde 0'174 Meilen,
die Erde in ihrer jährlichen Bewegung um die Sonne in 1 Se¬
cunde 4'113 Meilen zurück; wie vielmal ist die letztere Geschwirr
digkeit so groß als die erstere?
21) 12 Meter Tuch kosten 48 fl., wie viel kosten 19 Meter?
12^ Meter kost. 48 fl.
1 „ „ 48 fl. : 12 -- 4 fl.
19 „ „ 4 fl. X tS - '6 fl.
22) 32 Arbeiter vollenden eine Arbeit in 6 Tagen; in wir
viel Tagen werden 24 Arbeiter mit der Arbeit fertig?
32 Arbeiter 6 Tage,
1 „ 6 Tage X 32 -- 192 Tage
24 - „ 192 Tage : 24 -- 8 Tage.
23) 38 metr. Ctr. Quecksilber kosten 10782 fl.; was kosten
73 Ctr.? (Hier bestimme man zuerst, was ein Ctr. kostet, und
daraus, wie viel 73 Ctr. betragen.)
24) 75 K Reis werden mit 15 fl. bezahlt; wie viel Reis
bekommt mau für 9 fl.?
25) 15 Pferde kommen mit einem gewissen Vorrathe an
Futter 28 Wochen lang aus; wie lange kommen 21 Pferde mit
demselben Vorrathe aus?
26) Wie viel kosten 27 Hektoliter Wein, wovon 28 Hekto¬
liter mit 655'2 fl. bezahlt werden?
27) - Wenn 8'07 Ctr. einer Waare mit 287'35 fl. bezahlt
werden, wie hoch kommen 35'78 Ctr. zu stehen?
28) Jemand kauft 8 Hektoliter Wein a 15 fl., 10 Hekto¬
liter n 18 fl., und 15 Hektoliter n 24 fl.; wie hoch kommt im
Durchschnitte 1 Hektoliter zu stehen?
29) Ein Zimmerboden von der Form eines Rechteckes hat
92 66 Fläche, die Länge beträgt 11'3 -°, wie groß ist die Breite?
45
M) Ein vierkantiges, durchaus gleich weites Gefäß enthält
2'25 Cub."; wenn nun die Höhe 0'5°> beträgt, wie groß ist die
Bodenfläche?
31) Eine Halle, welche 312" lang und 264" breit ist, soll
niit Platten von 9" Länge und 8" Breite belegt werden; wie
viele solcher Platten sind erforderlich?
32) Wie groß ist der Durchmesser eines Kreises, dessen
Umfang 15^ betragt? (ß. 17, Aufg. 31).
33) Der Umfang eines Kreises ist u) 3'2°, b) 5'18 e)
58'935 wie groß ist der Halbmesser?
34) Ein Speicher ist 3° 4' 8" lang und 3° 1' 2" breit;
wie viel Metzen Getraide können darauf gebracht werden, wenn
die Höhe des aufgeschütteten Getraides 9" betragen soll, und ein
Metzen - 1-9471 Cubikfuß ist? (3 Dec.)
35) Ein runder Tisch hat für 8 Personen Platz; wie groß
ist sein Durchmesser, wenn auf eine Person 8^-» des Umfanges
gerechnet wird?
36) Wie viel kosten 3'158 Ctr. einer Waare, wovon 7 Ctr.
35 Kilogr. 4 Neuloth 200 fl. kosten?
37) Ein russischer Silberrubel wiegt 20'7315 Gramm und
enthält 17'9909 Gramm feines Silber; wie viel Tausendtheile
beträgt der Feingehalt dieser Münze?
38) Niederösterreich hat 79249 Joch Weingärten, und er¬
zeugt im Durchschnitte jährlich 1810260 Eimer Wein; wie viel
Eimer entfallen auf ein Joch?
39) Der österreichische Kaiserstaat hat 35943234 Einwoh¬
ner, von denen im Durchschnitte 3179 aus eine geogr, lü Meile
kommen; wie groß ist der Flächeninhalt dieses Staates?
40) Unter allen österreichischen Ländern hat das König¬
reich Böhmen, in ibelchem 5323130 Einwohner auf 943'7 iHMeilen
leben, die dichteste Bevölkerung; am dünnsten bevölkert ist Salz¬
burg, welches 130.15 lüMeilen mit 151410 Einwohnern um¬
fasst. Wie viele Einwohner kommen auf eine OMeile in dem
erstern, wie viele in dein letztem Laude?
46
41) 34125 Liter : 35 - ?
- 42) 5578 Wedro : 27'75 - ?
43) Man verwandle 718 Wiener Fuß a) in Meter, b) in
engt. Fuß.
44) Wie viel Zollpfund machen 37 Wiener Ctr?
45) Wie viel beträgt eine Wiener Elle im Ellenmaße von
Frankreich, England, Rußland?
46) Wie viel beträgt 1 Hektoliter im Wiener, russischen,
Schweizer Getraidemaße?
47) Wie viel russische Tchetwert machen 1234 engl: Quarters?
48) Wie viel beträgt 1 preuß. Quart im Flnssigkeitsmaße
von Frankreich, England, Rußland, Schweiz?
V. Abgekürzte Rechnung mit Decimatbrüchen.
LllrLcsQs poöitäni s ctssstirmrF'vai Llorsallv.
8- 23.
Ein Decimalbruch, welcher einen bestimmten Wert nicht
völlig genau, sondern bloß näherungsweise (prlkiiLno) dar¬
stellt, heißt ein unvollständiger (noupln^) Decimalbruch,
im Gegensätze zu einem vollständigen (üpInF), dessen Bruch¬
stellen einen bestimmten Wert vollkommen genau ausdrücken.
Wenn die Division zweier Zahlen, so viele Decimalen man auch
entwickeln mag, nicht ohne Rest aufgeht, so ist der als Quotient
erscheinende periodische Decimalbruch ein unvollständiger Deci¬
malbruch.
Sowohl bei vollständigen als unvollständigen Decimal-
brüchen begnügt man sich die Rechnungsresultate bis auf eine
bestimmte Decimalstelle genau anzugeben. Den Fehler, den man
dabei durch die Weglassung der überflüssigen Decimalen begeht,
pflegt man dadurch so klein als möglich zu machen, dass man
die letzte beibehaltene Decimalzisfer um 1 erhöht, corri giert
(oprava), wenn die erste wegzulassende Ziffer 5 oder größer als
5 ist, dagegen die letzte Decimalzisfer unverändert lässt, wenn
47
die erste wegzulassende Ziffer kleiner als 5 ist. So setzt mau,
wenn auf 3 Decimalstellen abgekürzt wird, 9 873 statt 9 87294 ..
und 4016 statt 4-01641 . . .
Bei Rechnungen mit peri odischen Decimalbrüchen werden
so viele Ziffern der Periode in Anspruch genommen, als die Ge¬
nauigkeit der Rechnung verlangt.
8.24.
Abgekürzte Addition und Subtraction.
Lkraeonb 86cltänl a ocköltüni.
Um die Summe oder die Differenz gegebener Decimal-
brüche auf weniger Stellen, als diese Brüche enthalten, anzugeben,
reicht es hin, eine Stelle mehr zu berechnen, als verlangt werden,
und dann die letzte Ziffer wegzulassen, nachdem darnach die vor¬
hergehende Ziffer richtig gestellt wurde. Z. B.
aus 3 Stellen auf 4 Stellen
5-178 4239 3 9742,634
7 3421361 10583 9148
-8'5743076- 2 9158 7 . . .
2'1094 8 . . . Rest - 2-9159.
Summe — 21095.
8- 25.
Abgekürzte Multiplikation. Lkräeono näsobonl.
Wird z. B- 5'97031 mit 24-68 multipliciert, so hat man
nach der gewöhnlichen Multiplicationsmethode
5-97031 X 24 68 Soll nun das Product bloß
dieselbe zu ersparen, mit jeder Ziffer des Multiplicators nur jene
höheren Ziffern des Multiplicands multiplicieren müssen, deren
Producte auf die Stellen Einfluss haben, die im Producte ver¬
langt werden. — Wenn man mit 2 Zehnern multipliciert, so
wird man, um Tausendtel zu erhalten, offenbar bei der Ziffer 3
des Multiplicands, welche Zehntausendtel bedeutet, zu multipli-
cieren aufangen; denn 0'0003 X 20 — 0'006. Die Ziffer 2 des
Multiplikators, mit welcher der Multiplicand von der Ziffer 3
aufwärts multipliciert wird, wollen wir daher unter jene Ziffer
3 setzen. — Wird mit 4 Einern multipliciert, so muß man, um
5-97031
8642
119406
23881
3582
478
147'347
man nicht braucht :
Tausendtel zu erhalten, bei der Ziffer 0 des
Multiplicands, welche den Werth Tausendtel
hat, zu multiplicieren anfangen; man setzt
daher 4 unter die Ziffer 0 des Multiplicands.
Die Producte aus 4 mit den zwei niedrigsten
Ziffern 1 und 3 des Multiplicands enthalten
Hunderttausendtel und Zehntausendtel, welche
da jedoch in dem letzteru Producte 12 nur
die Einer 2 Zehntausendtel, die Zehner I aber Tausendtel vor¬
stellen, so darf man von diesem Producte auch nur 2 vernach¬
lässigen, 1 aber muß zu dem Producte aus 0 und welches Tau-
fendtel gibt, als Correctur (oprava) addiert werden. — Mit 6
Zehnteln muß man bei der Ziffer 7 des Multiplicands zu Mul¬
tiplicieren beginnen, um Tausendtel zu erhalten; denn 0'07 X
0'6 — 0 042 ; 6 wird daher unter die Ziffer 7 des Multipl:-
cands geschrieben. — Hat inan endlich mit 8 Hundertel zu mul¬
tiplicieren, so wird man, um Tausendtel zu bekommen, bei der
Ziffer 9 des Multiplicands zu multiplicieren anfangen; es ist
nämlich 0'9 X 0.08 — 0.072; die 8 schreibt man daher unter
die Ziffer 9 des Multiplicands. Die niedrigeren Ziffern 7, 0, 3
und 1 des Multiplicands haben auf die im Producte verlangten
Decimalen keinen Einfluss, nur das Product aus 7 und 8 muß
rücksichtlich der sich ergebenden, Zehner berücksichtiget werden; da
nämlich in 56 die Zehner 5 Tausendtel bedeuten, so niuß man
diese 5 Zehner, oder weil 56 näher an 60 als 50 liegt, rich-
49
tiger 6 Zehner als Tausendtel zu dem Producte aus 9 und 8
als Correctur addieren.
Betrachtet man die Stellung der Ziffern des Mnltiplica-
tors bei der obigen zweiten Anschreibweise, so sieht man, dass die
Ziffer der Einer des Multiplicators, nämlich 4, unter der dritten
Decimale 0, also unter derjenigen Decimalstelle des Multiplicands
steht, mit welcher das Product abbrechen soll, und dass die übri¬
gen Ziffern des Multiplicators daneben in umgekehrter Ordnung
erscheinen. Da in der letzten beizubehaltenden Stelle eines jeden
Theilproductes nicht nur das Product ans den zwei übereinander
stehenden Ziffern, sondern auch die Zehner des Prodnctes mit
der nächst niedrigeren Stelle des Multiplicands vorkommen, so
muß man, um die niedrigste beizubehaltende Stelle genau zu er¬
halten, mit jeder Ziffer des Multiplicators zuerst die um eine
Stelle weiter rechts stehende Ziffer des Multiplicands multipli-
cieren, von diesem Producte die nächsten Zehner behalten, und
diese als Correctur zu dem Producte der über einander stehenden
Ziffern addieren.
Bei der abgekürzten Multiplication der Deci¬
malk rüche verfahre man daher nach folgenden Regeln:
1. Man setze die Einer des Multiplicators unter die niedrigste
Decimalstelle des Multiplicands, welche noch im Producte vor¬
kommen soll, und schreibe daneben die übrigen Ziffern des Multi¬
plicators in umgekehrter Ordnung.
2. Man multipliciere mit der ersten rechts vorkommenden
Ziffer des Multiplicators zuerst die um eine Stelle weiter rechts
stehende Ziffer des Multiplicands, schreibe jedoch dieses Product
nicht an, sondern merke sich davon nur die nächsten Zehner, welche
die Correctur bilden; dann multipliciere man die gerade
darüberstchende Ziffer des Multiplicands, addiere zu dem Pro¬
ducte die Correctur, und fange hier das abgekürzte Thcilprodnct
(8krao6N7 Lvuöiu öüstoönzZ zu schreiben an; nun werden nach
der Reihe auch die weiter aufwärts folgenden Ziffern des Mul¬
tiplicands multipliciert. Eben so multipliciert man dann mit der
Močnik. Arithmetik m. bohm. Term. 1). Aufl. /j.
50
zweiten, dritten, . . . Ziffer des umgekehrten Multiplicators,
und schreibt die einzelnen dadurch erhaltenen abgekürzten Theil-
producte als Summanden unter einander.
3. Man addiere die abgekürzten Theilproducte, und schneide
in der Summe die verlangte Anzahl Decimalen ab.
Soll die letzte Decimale im Products vollkommen richtig
sein, so entwickle man um eine Decimale mehr, als ihrer genau
sein sollen.
Beispiele und Aufgaben.
1) Man entwickle das Product aus 5'21567 und 23'785
3mal 6 ist 18, bleibt 2 zur Correctur; 3mal 5 ist 15, und 2 ist 17,
7 angeschrieben, bleibt 1; u. s. w.
7mal 5 ist 35, bleibt 4 zur Correctur; 7mal 1 ist 7, und 4 ist 11,
1 angeschrieben, bleibt 1; u. s. w.
2) Es sollen in dem Products aus 39'208 und 5'647 nur
2 Decimalen bestimmt werden.
3) Man multipliciere 245'31 mit 0'00956 so, dass im
Products 4 Decimalen erscheinen.
51
245 31oo X 0 00956
65 9000
2207 8
122 7
14 7
2'345 2
Hier kommen die Einer 0 des
Multiplikators unter die vierte Decimal-
stelle des Multiplicands; die fehlenden
Decimalen rechts im Multiplicand wer¬
den mit Nullen ersetzt.
4) Man bestimme a) vollständig, b) in 3 Decimalen das
Product aus 0'08245 und 13'708.
Man entwickle folgende Producte:
14) 105 X 1'05 X 1'05 X 1'05 in 5 Decimalen.
15) Es soll 1'04 6mal als Factor gesetzt und das Pro¬
duct in 6 Decimalen entwickelt werden.
16) Man setze 1'02 20mal als Factor und bestimme das
Product in 6 Decimalen.
17) Man suche die Ganzen des Productes
124 256 X 308-492 X 98073.
18) Die Zahl 1'045 soll 2mal, 3mal, 4, 5, ... 9, lOmal
als Factor gesetzt, und das jedesmalige Product in 5 Decimalen
entwickelt werden.
19) Welche Producte in 6 Decimalen erhält man, wenn
1'06 8mal, 1-055 12mal, 1'0275 15mal als Factor gesetzt wird?
20) Wie viel kosten 37'3456 Centner, wenn ein Centner
41-34 fl. kostet? (3 Decimalen).
21) Ein Capital gibt jährlich 43'578 fl. Interessen,- wie
viel in 2-862 Jahren? (3 Dec.)
4*
52
22) Ein bestimmter Raumtheil Silber ist 1051mal, das
Gold 19'36mal so schwer, als ein eben so großer Raumtheil
reinen Wassers; wie schwer ist ein Cubikfuß von jedem der
genannten Metalle, wenn ein Cubikfuß Wasser 56'38 W. Pfund
wiegt? (2 Dec.).
23) Wie groß ist die Fläche eines Rechteckes, welches
13'175" lang und 8-192" breit ist? (3 Dec.)
24) Wie viel beträgt der Inhalt eines Gefäßes von 3'245^"
Länge, 1'78^" Breite und 1'208^ Tiefe? (2 Dec.)
25) Wie groß ist a) der Umfang, d) der Flächeninhalt
eines Kreises, dessen Durchmesser 2'1345" ist? (3 Dec.)
26) Der Halbmesser eines Kreises ist 4'157^"; wie groß
ist a) sein Umfang, b) sein Flächeninhalt? (3 Dec.)
27) Es soll a) die Oberfläche, b) der Körperinhalt einer
Kugel gefunden werden, deren Halbmesser 4'123^" ist. (3 Dec.)
28) Ein Gulden Capital wächst bei einem gewissen Zins¬
füße in 20 Jahren auf 2'653298 fl. an; wie hoch wächst bei
der nämlichen Verzinsungsweise und in derselben Zeit ein Capital
von 2315 fl. an? (3 Dec.)
29) Eine englische Silberkrone wiegt 28'276 Gramm (Schrot)
und enthält 0'925 feines Silbers; wie groß ist das Gewicht des
darin enthaltenen feinen Silbers (Korn)? (3 Dec.)
30) Eine Wiener Mark hat 0'5613 Zollpfund; wie viel
Zollpfund sind 3'0158 Wiener Mark? (4 Dec.)
31) Eine Toise — 1-949036 Meter, die Länge einer geo¬
graphischen Meile beträgt nach Bessel 3807'235 Toisen; wie
viel Meter hat eine geographische Meile? (2 Dec.)
32) Der Flächeninhalt der österreichischen Monarchie be¬
trägt 10816'94 österr. lü Meilen; wie viel sind dieß geographische
(^Meilen, da 1 österreichische lUMeile — 1'045102 geog. iHMei-
len ist? (2 Dec.)
33) Ein englischer Quarter hat 2'90781 , ein römischer
Rubbio 2'94465, ein russisches Tchetwert 2 09902 Hektöliter; wie
viel Wiener Metzen beträgt jedes dieser Getraidemaße? (4 Dec.)
53
8. 26.
Abgekürzte Division.
Lkrüeenö Ment.
Beider abgekürzten Division der Decimalbrüche
wird folgendes Verfahren angewendet:
1. Man suche die erste Ziffer des Quotienten und be¬
stimme ihren Stellenwert. Da der Quotient eine bestimmte An¬
zahl Decimalen enthalten soll, so ist aus dem Stellenwerte der
ersten Ziffer auch bekannt, wie viele Ziffern der verlangte Quo¬
tient im Ganzen haben soll.
2. Man schneide im Divisor von der Linken angefangen
so viele Ziffern ab, als ihrer der gesuchte Quotient enthalten
soll; diese bilden den abgekürzten Divisor. Hat der Divisor nicht
so viele Ziffern, als ihrer abgeschnitten werden sollen, so tritt die
abgekürzte Division erst später im Verlaufe der Rechnung ein.
3. Man behalte auch im Dividend nur so viele Ziffern
von der höchsten angefaugen, als ihrer der Quotient haben soll,
oder um eine mehr, wenn der abgekürzte Divisor in eben so vielen
höchsten Ziffern des Dividends nicht enthalten ist; jene beibehal-
teuen Ziffern sind der abgekürzte Dividend.
4. Man dividiere nach der gewöhnlichen Divisionsweise so
lange fort, bis die letzte Ziffer des abgekürzten Dividends herab¬
gesetzt wurde; hierauf schneide man bei jeder folgenden Division
die niederste noch vorhandene Ziffer des Divisors ab; die jedes¬
mal gefundene Ziffer des Quotienten multipliciere man dann
zuerst mit der höchsten im Divisor weggelassenen Ziffer Und zähle
die aus diesem Producte erhaltenen Zehner als Correctur zu dem
ersten eigentlichen Producte dazu.
5. Dieses Verfahren wird fortgesetzt, bis sich im Divisor
keine Ziffer mehr vorfindet.
Beispiele und Aufgaben.
1) Der Quotient 83'423 : 31'586 soll in 4 Decimalen
bestimmt werden.
54
83-423 : 3,1,5,8.6 - 2-6411
20 251 Die erste Ziffer 2 des Quotienten bedeu-
1 299 tet Einer; daher wird der Quotient im ganzen
bo 5 Ziffern enthalten; es werden daher der Divi¬
dend und der Divisor, sowie sie gegeben find,
auch schon als abgekürzt zu betrachten sein. Nach¬
dem das Product aus 2 und dem Divisor von dem Dividende subtrahiert
wurde, schneidet man, anstatt dem Reste 20251 eine Null anzuhängen, im
Divisor die niederste Ziffer 6 weg, und dividiert 20251 durch 3158;
sodann multipliciert man: 6mal 6 ist 36, bleibt 4 zur Correctur; 6mal
8 ist 48, und 4 (Correctur) ist 52 und 9 ist 61, u. s. f.
2) Es soll der Quotient 3-79357 : 13'8594 in 3 Deci¬
malen gesucht werden.
3-79,357 : 1,3-,8,594 - 0274
1 02 Da hier die erste Ziffer 2 des Quotienten Zehntel
5 bedeutet, so muß man im Quotienten 3 Ziffern ent¬
wickeln; man behält daher im Dividend und im Divi¬
sor nur die drei höchsten Stellen bei und dividiert dann abgekürzt.
3) Der Quotient 12345'6352 : 0'789 soll in 3 Deci¬
malen entwickelt werden.
12345-635,2 : 0 7,8,9 - 1564'719
4455 Die erste Ziffer 1 im Quotienten bedeu-
A10 6 tet Tausende; der Quotient wird daher 4 Ganze
Z? 2Z und 3 Decimalstellen, zusammen 7 Ziffern ent-
halten; es soll also der abgekürzte Divisor 7,
und der abgekürzte Dividend 8 Ziffern haben;
152 tzg aber diw Divisor nur 3ziffrig ist, so tritt die
73 abgekürzte Division erst dann ein, nachdem die
niederste beibehaltene Ziffer 5 Les abgekürzten Dividends in Rechnung ge
zogen wurde.
Mau bestimme abgekürzt nachstehende Quotienten:
4) 12'37 : 3'0945 in 3 Decimalen,
5) 0'8912 : 2'59 „ 2
6) 372-934 : 18'7 „ 4
7) 44-1937 : 0 8536 „ 3
8) 748 : 9'13457 „ 5
9) 0'9275 : 0 31 „ 4
55
10) 39'644 : 417 in 4 Decimalen,
41) 1 : 3 -14159 „ 5
v2) 309'27 : 0'0987 „ 2
l 3) Der höchste Berg in Asien, der Everest, erstreckt sich
27Ä2 Wiener Fuß über dem Meeresspiegel; wie groß ist seine
Höhe a) im englischen Maße, b) im Metermaße? (2 Decim.)
14) Auf eine kölnische Mark — 233'855 Gramm feinen
Silbers gehen.58'0387 griechische Drachmen; wie viele solcher
Münzstücke gehen aus ein deutsches Münzpfund — 500 Gramm
feinen Silbers? (4 Dec.)
15) Jemand ist einen Betrag von 2000 fl. nach 15 Jah¬
ren zu bezahlen schuldig; wenn er nun mit jedem Gulden, den
er jetzt zahlt, 2'078928 fl. jener Schuld berichtiget, wie viel muß
er sogleich zahlen, um die obige Schuld zu tilgen? (3 Dec.)
16) Aus einem Münzpsunde feinen Goldes werden 86-1111
Achtguldenstücke oder auch 68'2831 englische Sovereigns geprägt;
wie viel Achtguldenstücke ist ein Sovereign wert? (3 Dec.)
17) Ein Wiener Pfund beträgt 0'560012 Kilogramm
oder 1'367511 russische Pfund; wie viel Kilogramm hat demnach
1 russ. Pfund? (5 Dec.)
18) Der Umfang des Erdäquators beträgt 5400 geogr.
Meilen; wie groß ist der Durchmesser des Aequators? (2 De¬
cimalen.)
Dritter Mschnitt.
THeilbarkeit der Zahlen,
völittzlaost visel.
8- 27.
Wenn eine Zahl durch eine andere dividiert, eine ganze
Zahl zum Quotienten gibt, so heißt die erste Zahl durch die
zweite th eilbar (öi8io na Lwto äßlitoins). Z. B. 18 ist durch
3 theilbar, weil 18 durch 3 dividiert die ganze Zahl 6 zum
Quotienten gibt, und kein Rest übrigbleibt; 18 ist aber nicht
theilbar durch 5, weil 5 in 18 nicht ohne Rest enthalten ist.
Ist eine Zahl durch eine andere theilbar, so heißt die erstere
Zahl ein Vielfaches (näsobek) von der zweiten, und diese ein
Maß (eiöiitki) von jener. So ist 18 ein Vielfaches von 3, und
3 ein Maß von 18.
Es gibt Zahlen, welche durch keine andere Zahl theilbar
sind, als durch sich selbst und durch die Einheit; z. B. 1, 3, 13,
37. Solche Zahlen heißen einfache oder Primzahlen (prvo-
öisla), zum Unterschiede von den zusammengesetzten Zah¬
len (öl'sia ÄoLsnü), welche außer durch 1 und durch sich selbst
auch noch durch andere Zahlen theilbar sind. So ist 18 eine
zusammengesetzte Zahl, weil sie außer durch 1 und 18 auch durch
2, 3, ich 9 theilbar ist.
8- 28.
Kennzeichen der Theilbarkeit. ^nameni llölitoinosti.
1. Jede Zahl, welche am Ende 1,.2, 3 . . . Nullen hat,
ist ein Vielfaches von 10, 100, 1000, . . . und daher durch 10,
100, 100LH . . . theilbar (ciöiitsinö).
57
2. Jede Zahl lässt sich in zwei Bestandteile zerlegen,
deren einer ein Vielfaches von 10, der andere die Ziffer der Einer
enthält; z. B.
57876 - 57870 -j- 6; 21335 - 21330 -s- 5.
Da jedes Vielfache von 10 durch 10, somit auch durch 2
und durch 5 theilbar ist, so hängt es nur von der Ziffer der
Einer ab, ob die ganze Zahl durch 2 oder 5 theilbar ist.
Ist die Ziffer der Einer durch 2 theilbar, d. i. eine der
Ziffern 0, 2, 4, 6, 8, so ist die Zahl selbst durch 2 theilbar.
Man nennt die Zahlen, welche Vielfache von 2 sind, gerade
Zahlen (öt8la suää), während die übrigen, als 1, 3, 5, 7, 9,
11, 13, . . - . ungerade Zahlen (öisin. liedä) heißen.
Ist die Ziffer der Einer durch 5 theilbar, d. i. stehet an
der niedrigsten Stelle 0 oder 5, so ist die Zahl selbst durch 5
th eilbar.
3. Jede Zahl lässt sich in zwei Bestandtheile zerlegen,
von denen der eine ein Vielfaches von 100, der andere die zwei
niedersten Ziffern enthält; z. B.
25848 - 2500 -s- 48; 375375 - 375300 -s- 75.
Das Vielfache von 100 ist durch 4 und durch 25 theilbar;
es kommt daher nur auf die zwei niedersten Stellen an, ob auch
die ganze Zahl selbst durch 4 oder 25 theilbar ist.
Eine Zahl ist demnach durch 4 theilbar, wenn die zwei
niedersten Stellen durch 4 theilbar sind; und durch 25, wenn
die zwei niedersten Stellen durch 25 theilbar sind.
4. Jede Zahl kann in zwei Bestandtheile zerlegt werden, von
denen der eine lauter Vielfache von 9, der andere die Summe
aller Ziffern der Zahl enthält; z. B.
75624-7.100M-f-5.1000-f-6.1M-s-2.10Z-4
-7.(9999-s-1)-s-5.(999Z-1)Z-6.(99-I-1)-f-2.(9-f-l!-s'4
-7.9999-s-7-s-5.999-s-5-f-6.99-!-6-h2.9-i-2-s-4
- 7.9999-l-5.999Z-6.99-s-2.9
Z-7-s-5-l-6-s-2-s-4.
58
Der erste Bestandteil, welcher lauter Vielfache von 9 ent¬
hält, ist nun durch 3 theilbar; ist auch der zweite Bestandteil,
nämlich die Ziffernsumme, durch 3 theilbar, so ist es
auch die ganze Zahl. Die eben zerlegte Zahl 75624 ist also durch
3 theilbar, weil die Ziffernsumme 7-f-5Z-6-f-2-j-4 — 24
durch 3 theilbar ist.
Ebenso folgt auch:
Eine Zahl ist durch 9 theilbar, wenn ihre Zisferusumme
durch 9 theilbar ist.
Aufgaben.
1) Welche von den Zahlen 16, 44, 53, 3094, 7821, 13457,
28431, 33556, 132580 sind durch 2 theilbar, welche nicht?
2) Welche von den Zahlen 318, 127, 5234, 13725, 321891,
283514 4909231, 1378920 find durch 3 theilbar, welche nicht?
3) Man gebe von den nachfolgenden Zahlen diejenigen an,
welche durch 4 theilbar sind: 152, 372, 574, 1380, 2324, 198760,
293456, 135731, 832458.
4) Welche von den Zahlen 108, 327, 5436, 13578, 23456,
536463, 2937330 sind durch 9 theilbar?
5) Welche von den Zahlen 35 , 750 , 380 , 574 , 3100,
21348000 sind durch 5, 10, IM, 1M0 theilbar?
6) Welche vou den Zahlen 5148, 375, 1234, 8109, 27M,
617310, 34560, 192432 sind durch 2, welche durch 3, 4, 5, 9,
10, IM theilbar?
7) Durch welche Zahlen ist 2520 theilbar?
8) Man gebe an, durch welche von den Zahlen 2, 3, 4,
5, 9, 10 die nachfolgenden Zahlen theilbar sind: 112 , 5040,
18480, 234M, 50280, 38124, 354240.
8- 29.
Zerlegung einer Zahl in Primfactoren.
Rorveäsni ölsel uu prvoölsla.
Jede zusammengesetzte Zahl kann in Primfactoren zerlegt,
d. i. als ein Product vou lauter Primzahlen dargestellt werden.
59
Um eine Zahl in Primfactoren zu zerlegen, divi¬
diere man sie durch die kleinste Primzahl, durch die sie theilbar
ist, 1 nicht mitgerechnet; den Quotienten dividiere man wieder
durch die kleinste Primzahl, durch die er theilbar ist, die frühere
Primzahl nicht ausgenommen, und verfahre so mit jedem folgen¬
den Quotienten, bis man endlich auf einen Quotienten kommt,
der selbst eine Primzahl ist. Die nach und nach angewendeten
Divisoren und der letzte Quotient sind die gesuchten Primfactoren.
Aufg aben.
Man zerlege in einfache Factoren:
8- 30.
Größtes gemeinschaftliches Maß.
Wenn eine Zahl in zwei oder mehreren Zahlen ohne Rest
enthalten ist, so heißt sie ein gemeinschaftliches Maß (spo-
äölitel) derselben; z. B. 3 ist ein gemeinschaftliches Maß
von 9 und 15, ebenso ist 5 ein gemeinschaftliches Maß von 15,
40 und 60. Die größte Zahl, welche in mehreren anderen Zahlen
ohne Rest enthalten ist, wird das größte gemeinschaftliche
Maß (uejvtztsi spolvön/ citzlital) derselben genannt. So haben
60
die Zahlen 36 und 60 die Zahlen 2, 3, 4, 6, 12 zu gemeinschaft¬
lichen Maßen, 12 aber ist unter diesen das größte.
Wenn zwei Zahlen außer der Einheit kein anderes gemein¬
schaftliches Maß haben, so nennt man sie Primzahlen unter
einander, oder relative Primzahlen (prvoöisla vespolsk
aued prvoöisla v?tnLitä); z. B. 8 und 15 oder 5, 9 und 16.
1. Wenn zwei Zahlen 24 und 18 ein gemeinschaft¬
liches Maß 6 haben, so muß auch ihre Summe
24 -s- 18 — 42 dadurch theilbar sein. Denn 6 ist in 24
4mal, in 18 3mal, in 24 -s- 18 also 4mal und 3mal, d. i.
7mal enthalten.
2 Haben zweiZahlen24 und 15 ein gemeinsch aft-
lichesMaß, somußauchihrUnterschied24 — 15 — 9
dadurch theilbar sein. Denn 3 ist in 24 8mal, in 15 5mal,
daher in 24 .— 15 8mal weniger 5mal d. i. 3mal enthalten.
3. Ist eine Zahl 24 durch eine andere 6 theilbar,
so ist auch jedes Vielfache derselben, z. B. 24 X 5 — 120
durch dieselbe Zahl theilbar. Es ist nämlich 6 in 24
4mal, daher in 5mal 24 5mal so oft, also 20mal enthalten.
4. Wenn die Division zweier Zahlen ohne Rest
aufgeht, so ist der Divisor selbst das größte gemein-
schaftlicheMaß der beiden Zahlen. Z. B. 48: 12 - 4;
hier ist 12 ein gemeinschaftliches Maß von 48 und 12, weil es
in beiden Zahlen ohne Rest enthalten ist; es ist aber auch das
größte gemeinschaftliche Maß, da 12 offenbar durch keine größere
Zahl als durch sich selbst theilbar sein kann.
5. Wenn bei der Division zweier Zahlen ein
Rest übrig bleibt, so ist das größte gemeinschaft¬
liche Maß zwischen dem Divisor und dem Reste zu¬
gleich das größte gemeinschaftliche Maß zwischen
dem Dividend und dem Divisor. Es sei z. B. 84 durch
24 zu dividieren, so hat man
84 : 24 — 3 mit dem Reste 12,
61
also
84 - 24 X 3 -s- 12
und
12 84 — 24 X 3.
Der Divisor 24 und der Rest 12 haben nun offenbar 12
zum gr. g. Maß; dasselbe gr. g. Maß müßen auch der Divi¬
dend 84 und der Divisor 24 haben. Es ist nämlich 12 gewiss
ein gemeinschaftliches Maß von 84 und 24, da dadurch 24, da¬
her auch 24 X 3 -s- 12 — 84 theilbar ist; 12 ist aber auch
das größte gemeinschaftliche Maß von 84 und 24, denn hätten
diese zwei Zahlen noch ein größeres gemeinschaftliches Maß als
12, so müßte durch dasselbe auch 84 — 24 X 3 — 12 theil¬
bar sein, was jedoch nicht sein kann, da 12 durch keine Zahl
theilbar sein kann, die größer als 12 ist. Das gr. g. Maß 12
zwischen dem Divisor 24 und dem Reste 12 muß also auch das
gr. g. Maß zwischen dem Dividende 84 und dem Divisor
24 sein.
8- 31.
1. Um das größte gemeinschaftliche Maß zweier
oder mehrerer Zahlen zu finden, zerlege man dieselben
in Primfactoren, und suche unter diesen diejenigen heraus, welche
in allen gegebenen Zahlen gemeinschaftlich vorkommen. Das Pro¬
duct dieser Factoren ist gewiss ein gemeinschaftliches Maß der
gegebenen Zahlen; es ist aber auch das größte, weil, sobald man
noch einen anderen Factor hinzufügen würde, dieses Product nicht
mehr in allen gegebenen Zählen enthalten wäre.
Ist z. B. das gr. g. Maß von 180 und 270 zu suchen,
so hat man
62
Aufgaben.
Man suche das gr. g. Maß
1) 420 und 630;
3) 320 und 450;
5) 448 und 576;
7) 300, 360 und 840;
9) 104, 525 und 712;
von
2) 400 und 680;
4) 540 und 756;
6) 360 und 1024;
8) 740, 925 und 2035
10) 312, 468 und 624.
2. Das größte gemeinschaftliche Maß zweier Zahlen kann
auch unabhängig von ihrer Zerlegung in Factoren
gefunden werden.
Es sei z. B. das gr. g. Maß von 252 und 63 zu suchen.
252 : 63 - 4.
Da hier die Division ohne Rest aufgeht, so ist 63 selbst
das gesuchte gr. g. Maß.
Man suche ferner das gr. g. Maß zwischen 4277 und 637.
4277 : 637 — 6 mit dem Reste 455.
Da bei dieser Division ein Rest übrig bleibt, so weiß man,
dass der Dividend 4277 und der Divisor 637 dasselbe gr. g.
Maß haben, wie der Divisor 637 und der Rest 455; anstatt
zwischen den ersteren zwei Zahlen, wird man daher zwischen den
kleineren Zahlen 637 und 455 das gr. g. Maß suchen.
637 : 455 — 1 mit dem Reste 182.
Man wird nun wieder, anstatt zwischen 637 und 455,
das gr. g. Maß zwischen 455 und 182 suchen.
455 : 182 — 2 mit dem Reste 91.
Da das gr. g. Maß zwischen 182 und 91 auch das gr.
g. Maß zwischen 455 und 182 sein muß, so hat man ferner
182 : 91 - 2.
Es ist also 91 das gr. g. Maß zwischen 182 und 91,
folglich auch zwischen 455 und 182, daher auch zwischen 637
und 455, und somit auch zwischen 4277 und 637.
63
Man kann die Rechnung so stellen:
637
182
0
4277 6
455 1
91 2
91 das gr. g. Maß.
Zur Auffindung des gr. g. Maßes zweier Zah¬
len führt daher folgendes Verfahren:
Man dividiert die größere Zahl durch die kleinere; bleibk
ein Rest, so dividiert man sodann den Divisor durch den Rest,
den neuen Divisor durch den neuen Rest u. s. w., bis endlich
sine Division ohne Rest aufgeht; der letzte Divisor ist das gr.
g. Maß der zwei gegebenen Zahlen. Ist der letzte Divisor 1, so
sind die beiden Zahlen relative Primzahlen.
Muß man bei diesem Rechnungsgange endlich auf eine
Division kommen, welche ohne Rest aufgeht? Warum?
Um das gr. g. Maß zwischen drei oder mehreren
Zahlen zu finden, sucht man zuerst das gr. g. Maß zweier Zah¬
len, dann das gr. g. Maß zwischen dem gefundenen Maße und
der dritten Zahl u. s. f. Das zuletzt gefundene Maß ist zugleich
das gr. g. Maß aller gegebenen Zahlen.
Soll z. B. das gr. g. Maß von 32, 48 und 116 gefun¬
den werden, so hat man zunächst
32^ 48 1 also ist 16 das gr. g. Maß
0! 16 2 von 32 und 48.
Da 16 als das gr. g. Maß zwischen 32 und 48 alle
gemeinschaftlichen Maße dieser zwei Zahlen enthält, so können
die Zahlen 32, 48 und 116 kein gemeinschaftliches Maß haben,
das nicht zugleich in 16 enthalten wäre; man braucht daher
nur noch zwischen 16 und 116 das gr. g. Maß zu suchen,
welches dann auch das gr. g. Maß zwischen 32, 48 und 116
sein muß.
16 116§ 7 4 ist also das gr. g. Maß von 16 und 116,
0 -44 daher auch von 32, 48 und 116.
64
Aufgaben.
1) Man suche das gr. g. Maß zu 2793 und 1519.
1519
245
0
2793 1
1274 1
49 5
gr. g. Maß 49.
2) Es soll das gr. g. Maß zu 120 und 847 gefunden
werden.
120 847- 7 gr. g. Maß — 1; es sind also 120 und
50 7 j 7 847 relative Primzahlen.
1
3) Welche Zahl ist das gr. g. Maß zwischen 182, 936
und 559 ?
182 j 936 §5 26 559 ! 21
0 I 26 7 39
13 1
13 ist also das gr. g. Maß zu 182, 936 und 559.
Man suche noch das gr.
4) 143 und 171;
6) 396 und 660;
8) 153 und 389;
10) 1292 und 2812;
12) 112, 372 und 516;
>. Maß von
5) 323 und 289 ;
7) 713 und 837;
9) 437 und 1035 ;
11) 3718 und 7774;
13) 1554, 3552 und 5143.
8- 32.
Kleinstes gemeinschaftliches Vielfaches,
sxoloönf lEodek.
Wenn eine Zahl durch zwei oder mehrere Zahlen theilbar
ist, so heißt sie ein gemeinschaftliches Vielfaches der¬
selben (Zpolobnz' näsodelc); z. B. 24 ist ein gemeinschaftliches
Vielfaches von 2, 3, 4, 6, 8, 12.
Da das Product stets durch seine Factoren theilbar sein
muß, so ist jedes Product ein gemeinschaftliches Vielfaches seiner
Factoren.
65
Um die Rechnungen möglichst einfach durchzusühren, ist es
oft von Wichtigkeit, zu gegebenen Zahlen das kleinste gemein¬
schaftliche Vielfache (uojmouA spoloöu^ näsobelc) d. i. die
kleinste Zahl zu finden, welche durch alle jene Zahlen theilbar ist.
Wenn unter den Zahlen, deren Vielfaches gesucht wird,
kein Paar vorkommt, welches ein gemeinschaftliches
Maß hat, so ist ihr Product selbst zugleich ihr kleinstes gemein¬
schaftliches Vielfaches; denn wie man eine Zahl oder auch nur
einen Factor weglassen würde, wäre das Product der übrigge¬
bliebenen Zahlen und deren Factoren nicht mehr durch alle gege¬
benen Zahlen theilbar.
Wenn eine oder mehrere unter den gegebenen Zahlen in
einer andern ohne Rest enthalten sind, so kann man dieselben
weglassen, und das Vielfache der übrigen wird auch durch die
weggelassenen theilbar sein.
Haben zwei oder mehrere Zahlen ein gemeinschaftliches
Maß, so kann man bei der Aufsuchung des gemeinschaftlichen
Vielfachen statt jener Zahlen das gemeinschaftliche Maß nur ein¬
mal und die Quotienten nehmen, welche jene Zahlen durch dieses
Maß dividiert geben. Z. B- die Zahlen 14 und 18 haben das
gemeinschaftliche Maß 2, und geben dadurch dividiert 7 und 9;
die Zahl nun, welche durch 2, 7 und 9 theilbar ist, wird gewiss
auch durch 2 X 7 — 14 und durch 2 X 9 — 18 theil¬
bar sein.
Auf diesen Grundsätzen beruhet das nachstehende Ver¬
fahren zur Auffindung des kleinsten gemeinschaft¬
lichen Vielfachen:
1. Man schreibe die gegebenen Zahlen in eine Reihe, und
lasse diejenigen weg, welche in andern größeren ohne Rest ent¬
halten sind.
2. Kommen unter den übriggebliebenen Zahlen zwei oder-
mehrere vor, die eine Primzahl zum gemeinschaftlichen Maße
haben, so hebe man dieses Maß heraus, dividiere dadurch und
Močnik, Arithmetik m böhm. Term. 14. Ausl. 5
66
setze in eine neue Reihe die Zahlen, welche dadurch nicht theilbar
sind, ungeändert herab, von den übrigen schreibe man nur die
Quotienten hin.
3. Mit der auf diese Art erhaltenen Reihe verfahre man
wieder auf dieselbe Weise, und setze dieses so lange fort, bis kein
Paar der letzten Reihe mehr ein gemeinschaftliches Maß hat.
4. Die Zahlen der letzten Reihe und die als Maße her¬
ausgehobenen Zahlen werden mit einander multipliciert; das
Product ist das kleinste gemeinschaftliche Vielfache der gegebenen
Zahlen. Z. B.
1) Man suche das kleinste gemeinschaftliche Vielfache zu
den Zahlen 5, 8, 9, 11.
Da von diesen Zahlen kein Paar ein gemeinschaftliches
Maß hat, so ist ihr kl. g- Vielfaches
5 . 8 . 9 . 11 - 3960.
2) Man suche das kl. g. Vielfache zwischen 2, 3, 5, 8, 16
60, 120.
Hier sind alle Zahlen in 120 ohne Rest enthalten, daher
ist 120 selbst das kl. g. Vielfache.
3) Es soll das kl. g. Vielfache zu den Zahlen 2, 3, 4, 5,
8, 10, 12, 15, 28, 36 gefunden werden.
Man hat folgende Rechnung:
2, s, 4, s, 8, 10, 42, 15, 28, 36
4, S, 15, 14, 18 2
2, 15, 7, 9 2
2, 5, 7, 3 3
Das kl. g. Vielfache der gegebenen Zahlen ist also
2. 5. 7. 3. 2. 2. 3- 2520.
Aufgaben.
Man suche das kl. g. Vielfache von
1) 3 und 5; 2) 2 und 10;
67
3) 4 und 10;
5) 3, 9 und 18;
7) 3, 5, 8 und 11
4) 2, 5 und 7;
6) 3, 4 und 14;
8) 2, 3, 5 und 20;
9) 3, 5, 8, 14, 18, 21 und 30;
10) 3, 5, 6, 18, 20, 21 und 25;
11) 2, 3, 5, 8, 11, 15, 21, 36;
12) 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 18, 33, 35, 60;
13) 12, 15, 27, 60, 72, 90, 128, 396.
5*
Werter Abschnitt.
Das Rechner! mit gemeinen Brüchen,
y xoöteeü 8 rlloiukzs.
Z- 33.
Eine Zahl, welche einen Theil der Einheit ein- oder mehr¬
mal in sich enthält, wird eine gebrochene Zahl oder ein
Bruch (ei'sio Nomons vedo ulomek) genannt. Zur Darstellung
eines Bruches sind zwei Zahlen erforderlich: der N e n n e r (smeva -
vatel), welcher angibt, in wie viele gleiche Theile die Einheit
getheilt wurde, und der Zähler (öitatel), welcher anzeigt, wie
viele solcher Theile man genommen hat.
Z. B- In dem Bruche ) (drei Achtel) ist 8 der Nenner,
und zeigt an, dass die Einheit in 8 gleiche Theile -getheilt wurde;
3 ist der Zähler, und gibt an, dass man einen solchen Theil,
nämlich 3mal genommen hat.
Ein Bruch, dessen Zähler kleiner als der Nenner ist, heißt
echt (xrav^ sioivok); z. B. -Z-, Ein echter Bruch ist
kleiner als 1.
Ein Bruch, dessen Zähler gleich dem Nenner oder größer
als der Nenner ist, heißt unecht (vopravF rloivok); z. B-
H, 4, Vn- Enn unechter Bruch ist entweder gleich 1, oder-
größer als 1.
Eine Zahl, welche aus einer ganzen Zahl und einem ange¬
hängten Bruche besteht, wird eine gemischte Zahl (ölsio
smlsovo) genannt; z. B. 1H, 5^, 91kf-A. So oft bei der Divi¬
sion ganzer Zahlen ein Rest übrig bleibt, ist der Quotient immer
eine gemischte Zahl.
89
I. Umformung der Brüche,
ikrstvorswi Äoinkü.
8- 34.
1. Jede gemischte Zahl kann in einen unechten
Bruch verwandelt werden; man darf nur die ganze Zahl
mit dem Nenner multiplicieren und zum Produkte den Zähler
addieren; diese Summe ist der Zähler, der Nenner wird unge¬
ändert beibehalten. Z. B.
^3_ 5 X 8 -s- 3 _ i z
°- 8 - °
Denn I Ganzes hat 8 Achtel, 5 Ganze sind also Smal 8-40 Achtel,
und die 3 Achtel dazu, hat man ^4.
Man richte folgende gemischte Zahlen zu unechten Brü¬
chen ein:
Is' 2Z, 5z-, 3/„ 12-, 27;, 128^, 102-,, 207-14, 1234^,
57284, 217-14, 69H4, 300z-, 298z», 39^;.
2. Jeder unechte Bruch kann in eine ganze oder
gemischte Zahl verwandelt werden; man braucht nur
den Zähler, durch den Nenner zu dividieren. Z. B-
27 : 4 - 6§.
Denn: 4 Viertel > machen 1 Ganzes, 27 Viertel also machen s»
viel Ganze, als wie oft 4 in 27 enthalten ist; man muß somit 27 durch
4 dividieren.
Man ziehe noch aus folgenden unechten Brüchen die Gan¬
zen heraus:
8 9 42 9 27 34 n z23 718 10008 2H«7 12833
5' 3' «'8' 8' 7' 10' 16' ^2 ' 64 ' 1 28 ' 4VV '
Aus diesen Verwandlungen ersieht man auch, dass ein
Bruch als ein angezeigter Quotient betrachtet wer¬
den kann (rlomok Ire xo varovati ra narnaöeil^ poäil); der
Zähler stellt den Dividend, der Nenner den Divisor vor.
8- 35.
Je mehrere gleich große Theile man nimmt, desto mehr
erhält man zusammen. Wenn daher zwei oder mehrere Brüche
70
denselben Nenner haben, so ist jener unter ihnen der größere,
welcher den größeren Zähler hat. Z. B. ist größer als
was man so schreibt:
Welcher unter den Brüchen ist der größte, wel¬
cher der kleinste, und warum?
In je mehrere Theile die Einheit getheilt wird, desto klei¬
ner sind die einzelnen Theile. Wenn also zwei oder mehrere
Brüche denselben Zähler haben, so ist derjenige unter ihnen der
kleinste, welcher den größten Nenner hat. So ist ß kleiner als
oder z- < ?.
Welcher unter den Brüchen j, -/?, ist der kleinste,
welcher der größte, und warum?
8- 36.
Erweiterung der Brüche.
Uo^lreul sloiukü.
Wenn man den Zähler und Nenner eines Bru¬
ches mit derselben Zahl multipliciert, so erhält man
einen Bruch, welcher mehrere, aber auch kleinere Theile aus¬
drückt, und zwar werden, so vielmal mehr Theile der neue
Bruch enthält, eben so vielmal die einzelnen Theile kleiner
sein, so dass der neue Bruch mit dem früheren einen gleichen
Wert hat. Man nennt eine solche Formveränderung eines
Bruches (xrotvoienl rlowku), ohne dessen Wert zu ändern, die
Erweiterung desselben (rorslreni ulomku). Z. B.
Z v 6
? mit 6 erweitert, giebt
So erhält man durch Erweiterung:
1 2 3 4 ,5_ — H — _S3 —
2 — 4 — 6 — 8 — 10 — 30 I 0 6 '
2 4 6 2.0 — 24 — 0 0 —
3 — 6 - 9 — 12 — 1 5 36 90 ' ' '
Z 6 — — 22 H — 30 — 3 7 5 —
, — s6 — 24 — 32 — 4V — 80 IVOÜ ' '
Durch die Erweiterung kann man jeden Bruch ohne Aende-
rung seines Wertes in einen andern verwandeln, dessen Nenner
ein Vielfaches von dem früheren Nenner ist. Um z. B. j in einen
71
Bruch, dessen Nenner 40 ist, zu verwandeln, darf man -- nur
mit 40: 8 d.i. mit 5 erweitern, wodurch man erhält. Um
daher einen Bruch in einen andern Bruch von gege¬
benem Nenner zu erweitern, darf man nur den neuen Nenner
durch den früheren dividieren, und mit dem Quotienten den frü¬
heren Zähler multiplicieren; das Product ist der neue Zähler.
Z. B. -Z- soll in einen Bruch vom Nenner 108 erweitert
werden; man hat
108 : 9 — 12, 7 X 12 - 84, also
Man kann durch dieses Verfahren auch mehrere Brüche
aus einen gemeinschaftlichen Nenner bringen (vlee
rüoinkü Ise nu spoIoöuMo smanovatela uvesti), sobald dieser
durch alle Nenner der gegebenen Brüche theilbar ist. Sind z. B.
die Brüche 4, § , auf den Nenner 120 zu bringen, so
hat man
120 : 3 - 40, 2 X 40 - 80, somit
120 : 4 — 30, 3 X 30 - 90, „
120 : 20 - 6, 7 X 6 42, „ - Z/«-
Man bringe
1) die Brüche § auf den Nenner 6;
Um die Rechnungen so einfach als möglich zu führen,
pflegt man die Brüche allezeit auf den kleinsten gemein¬
schaftlichen Nenner (nsMknZi spoieön^ Mknovatol) zu brin¬
gen; dieser ist offenbar die kleinste Zahl, welche durch alle gegebenen
Nenner theilbar ist, somit ihr kleinstes gemeinschaftliches Vielfaches.
72
Aufgaben.
Man bringe die Brüche § auf den kleinsten ge¬
meinschaftlichen Nenner:
Das kleinste gemeinschaftliche Vielfache von 4, 5, 9, somit
der kleinste gemeinschaftliche Nenner ist 180 und man hat
180
2 — ^3 5 2 — 72 4 _8,O,
4 — 180, 5 — 1 8 0, 9 — 1 8 0'
2) Die Brüche Z, sft sollen auf die kleinste gemein¬
schaftliche Benennung gebracht werden.
Der kleinste gemeinschaftliche Nenner ist 12, und man hat
Man bringe noch folgende Brüche auf den kleinsten gemein¬
schaftlichen Nenner:
2_3 22-2-10^ 2 4 .3, -9- IZ.
^/ 21, 3'9, 12, 52- ^/ 3, 5, 32, 40, 6 0 )
3 3 ,7, ^1. 2 ^3. 2 s 8 2 2 _7 »
^/ 3, 4, 5, 10, 15' 8, 18) 4, 12, 7, 21^ 8, 3, 15-
^7^ 2 3 4 6^ 2 _2_.
'/ 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10-
3 7 5^ 9 4 H 8 1 7 .
/ 4, 8/ 1 6, 2 5, 5, 1 5, 9, 20-
2 ^7, 8 5 5 II 13.
^/ 3, 15, 25, 8, 9, 12, 18-
IM 2 2 2 25 32 63 IL7 .
^/ 2, 4, 8, 16, "§2, 64, 128-
22 ,5, 2^3 22 3^8 29 3,.
3 0, 32, 25, 24, 7 5, 3 6, 35-
17 11. 16 ^7 32 2» 23
-^"/ 5 4, '4 8, 64, 1 8, SO, 32, 45'
Mittels der Erweiterung der Brüche ist man im Stande,
auch Brüche von ungleichen Nennern hinsichtlich ihrer Größe zu
73
vergleichen; man darf sie nur mit einem gemeinschaftlichen Nenner
darstellen, und dann auf die neuen Zähler Rücksicht nehmen. Um
z. B. zu sehen, welcher von den zwei Brüchen und der
größere ist, hat man
s - -sH - 7Ü, daher größer als
Welcher von den Brüchen ift, z f, ist der größte,
und welcher der kleinste?
, Man ordne folgende Brüche nach ihrer Größe, und zwar
von dem kleinsten angesangen: Z ?,
Z- 37.
Abkürzen der Brüche.
Lräeonl /lomkü.
Wenn man den Zähler und Nenner eines Bru
ches durch dieselbe Zahl dividiert, so ändert sich zwar
die Form des Bruches, der Wert desselben aber bleibt unver¬
ändert; denn so vielmal weniger Theile der neue Bruch ent¬
hält, eben so vielmal größer sind die einzelnen Theile. Eine solche
Formveränderung des Bruches durch die Division wird das Ab¬
kürzen (Lracenl) desselben genannt; sie kann natürlich nur dann
statthaben, wenn Zähler und Nenner des gegebenen Bruches einen
gemeinschaftlichen Theiler haben; ist dieses nicht der Fall, so hat
der Bruch bereits die einfachste Form, und kann nicht ohne
Aenderung des Wertes durch kleinere Zahlen ausgedrückt wer-
Man kürze folgende Brüche so weit als möglich ab:
50k 405 485 ^05 1415 1 64 45 2405 25 205 1 0925 >0005 1 2.3 «040'
74
Z. 38.
Verwandlung eines gemeinen Bruches in einen
Decimalbruch.
krolnöüovälli ob^öejnodo ulomku vo rilomelr ciosetiim)'.
Um einen gemeinen Bruch in einen Decimal¬
bruch zu verwandeln, darf man nur den Zähler durch den
Nenner dividieren. Z. B.
1) 2/ - 25 : 4 - 6'25 2) - 37 : 8 - 4 625
3) z - 1 : 2 - 0'5 4) r - 7 : 3 - 2 3333 ..
5) - 13o : 16 - 0 8125
20
40
80
Aufgaben.
Man verwandle folgende gemeine Brüche in Decimal-
> 2 L « s a. 7 1.4 s 2S ,1,7 rs gs 17g
g, Z, 4, 5, g, 7^ 8k 9^ 11k 12' 25k 40k 72* <7, ' 5 k
5?,, 6^, 8^, 19?„ 223^.
2) Ein Meter ist gleich 3'16375 Wiener Fuß; diesen
Wert drücken annäherungsweise die Brüche , sj!,
Vr»'/ auS; wie groß ist der Unterschied zwischen
dem wahren und jedem dieser Näherungswerte in Deciinalen?
3) Ein Wiener Metzen hat 1'9471, oder näherungsweise
W, Wiener Cubikfuß; man gebe den
Unterschied zwischen dem wahren und jedem der Näherungswerte
in Decimalen an.
Wenn bei der Verwandlung eines gemeinen Bruches die
Division zuletzt ohne Rest aufgeht, so ist der erhaltene Decimal¬
bruch dem gegebenen gemeinen vollkommen gleich, und heißt ein
endlicher Decimalbruch (ckosetiun/ Komele koneöu^).
Geht die Division nicht ohne Rest auf, so ist der erhaltene
Decimalbruch nur angenähert (MiLoo^), und drückt den Wert des
gemeinen Bruches um so genauer aus, je mehrere Decimalen
75
man entwickelt; er heißt ein unendlicher Decimalbruch (äosotiuv/
ulomek Bei solchen Decimalbrüchen reichen für die
Berechnung der meisten Aufgaben 3 oder 4 Decimalstellen hin.
Jeder unendliche Decimalbruch, welcher aus einem gemeinen
Bruche hervorgeht, ist ein p e ri o d i s cher Decimalbruch läosotiim)'
ölomolr xerioäiek^).
8- 39.
Verwandlung eines Decimalbruches in einen
gemeinen Bruch.
kromöüoväol äosetinnodo ulomku vo ulomek ob^öofn^.
Um einen endlichen Decimalbruch in einen ge¬
meinen zu verwandeln, darf man ihn nur mit Angabe
seines Nenners anschreiben. Z. B.
0 7 0-25 - - i, 3-64 3^< - 3^.
Zusammengesetzter erscheint häufig die Verwandlung eines
periodischen Dccimalbruches in einen gemeinen Bruch. Ist
z. B. der periodische Decimalbruch 0-5 durch einen gemeinen
Bruch darzustellen, so hat man:
lOfacher Bruch — 5-5555 . . >
If-ch-, „ -- o W . j n»trah,.rl
llfacher Bruch — 5
daher der einfache Bruch — ist
Bei dem periodischen Decimalbruche 0'108 — 0'108108 .. .
wird man haben:
lOOOfacher Bruch 108'108108 . . . l ..
Ifacher „ - 0'108108 . . - / '
999facher Bruch — 108
daher der einfache Bruch — NZ — — /s-
Ebenso würde man finden:
0-7 0'31 zz, 0-359 - ZN.
Ein periodischer Decimalbruch, worin die Pe¬
riode gleich mit der ersten De cimalstelle beginnt,
Wird daher in einen gemeinen Bruch verwandelt,
76
wenn man die Periode zum Zähler, und so viele Nenner, als
die Periode Ziffern hat, zum Nenner annimmt.
Beginnt die Periode nicht gleich mit der ersten
Decimale, wie in 0'73517 — 0'73517517 . . . , so
hat man
lOOOOOfacher Bruch - 73517'517517 ... 1 . . ..
lOOfacher „ 73'517517 ... j 'ErMeir
99900facher Bruch - 73517 — 73
daher der einfache Bruch —
Hier nimmt man also die Periode sammt den ihr voran¬
gehenden Decimalen, subtrahiert davon diese letztem, der Rest ist
der Zähler des gesuchten Bruches; als Nenner. nimmt man so
viele Neuner an, als die Periode Ziffern hat, mit so vielen Nullen
rechts, als ihr Decimalen vorangehen.
Beispiele.
1) 0-75 -- - S-
2) 7-0625 7-,z-^ 7^-0 - 7.U
3) 7'4 7-2.
4) 0'738 - z-24 -
5) 0 314 iU-
ch 5'213 5-'^' 5M - 5f°.
7) Man verwandle in gemeine Brüche die folgende«
Decimalbrüche:
0'8 , 0'24 , 0 025 , 3'15 , 35 005 , 50'875 , 0 2 , 0'36 , 0.08
12'3, 9'105, 0'3204, 0'5723, 17'1052, 133'30785.
II. Das Addieren und Subtrahieren der Brüche.
O söitäari s, oäöitüni slornllü.
Z- 40.
Addition der Brüche. Löltänl Llomllü.
2 Neuntel und 5 Neuntel sind 7 Neuntel, oder
L I — L
9 9 — 9'
77
Brüche von gleichen Nennern werden also ad¬
diert, indem man ihre Zähler addiert, und als Nenner den ge¬
meinschaftlichen Nenner beibehält.
Haben die Brüche ungleiche Nenner, so werden sie zuerst
auf einen gemeinschaftlichen Nenner gebracht, und dann addiert.
Z- B.
D z -f- z - z z.
12 30
4) 3z -st 2-5 3z -st 2z 6§.
Aufgaben.
1) 1'2 -s- ?
2) rst -st 2Ä -st s'ö -st st, —
3) st -st z ?
-st ?
5) 29^ -st 45 -st 16/, ?
6) 45z -st 127 z -st st, ?
7) st -st st -st st -st 4-- ?
8) st -st st -st 0-7 -st z 7- ?
9) 8 -st 3- -st 7st -st 0'3 n?
10) iz -st 5- -st 13^ -st 8st 19st ?
11) 128- -st 245- -st 208z -st 199z -st 206st° - ?
12) 2z -st 20 -st 35 -st -st 17§ -st 3stz -st5z 4- z ?
13) 5'8 -st 27^ -st 40'25 -st 9z - ?
14) 0'7 -st 2'3s -st 81-35 -st 15'36 - ?
15) 35708,/ -st 10985/° -st 78659zz -st 340795zz - ?
16) 759///-st 1813stz -st 3879M -st ?z-st 538stf ^'?
17) 17084st-z -st 95382 -st 56014/,/ -st 739//^ -st
3956st' - ?
78
18) 69374M -s- 8315//o 35717,'^ 39090z°
-i- 97§-° - ?
19) 1378924890^ 35W1>°„ -s- 46012^'
> 579^ ^?
20) Ein Landmann erzeugt 58z Hektoliter Weizen, 38 s
Hektoliter Korn, 43z Hektoliter Gerste und 70z Hektoliter Hafer;
wie viel Hektoliter Getraide macht dieses?
21) Ein Leinwandhändler kauft 4 Stück Leinwand, im
ersten sind 49 s Meter, im zweiten 42z, im dritten 54^, im vier
ten 4 die zweite um
2z größer als die erste, die dritte um 3 z kleiner als die zweite, die
vierte so groß als der Unterschied zwischen der ersten und dritten;
wie groß ist die Summe aller vier Zahlen?
43) Wie groß ist der Unterschied zwischen 37841z -f-
1738/^, und 233^ -f- 1817^ -ff 2789^?
44) Um wie viel ist 6383^ -ff 3791 z°z — 5879
kleiner als 6495.zzz -ff 4802szz — 4768zz?
UI. Das Multiplicieren und Dividieren der Brüche.
HäsobsrU a äslsni ^lovallü.
8- 42.
Multiplication eines Bruches mit einer ganzen Zahl.
Msobaui ulomku öl»l6M celistv^m.
5 Neuntel 4mal genommen sind 20 Neuntel, oder
Ein Bruch wird daher mit einer ganzen Zahl
multipliciert, indem man den Zähler mit der ganzen Zahl
multipliciert und den Nenner ungeändert beibehält.
Die Richtigkeit dieser Regel ergibt sich auch ans dem
Begriffe eines Bruches. Wenn der Nenner ungeändert bleibt, der
Zähler aber 2mal, 3mal, 4mal .... so groß wird, so erhält
man 2mal, 3mal, 4mal .... so viele eben so große Theile,
daher wird auch der Wert des neuen Bruches 2, 3, 4 . . . mal
so groß, als der Wert des früheren Bruches.
Močnik, Arithmetik m. böhm. Term. 1l. Aufl. 6
82
In einigen Fällen kann noch eine andere Art des Multi-
plicierens angewendet werden. Wenn man den Zähler eines
Bruches ungeändert lässt, den Nenner aber 2mal, 3mal,
4mal.... kleiner annimmt, so werden, weil das Ganze in
weniger Theile getheilt wird, die einzelnen Theile größer aus¬
fallen, und man erhält somit eben so viele, aber 2, 3,
4 . . . . mal größere Theile, folglich wird auch der Wert des
neuen Bruches 2, 3, 4 . . . . mal so groß, als der Wert des
früheren Bruches; oder:
Ein Bruch wird mit einer ganzen Zahl mul ti¬
si lici ert, indem man den Zähler ungeändert lässt, und den Nen¬
ner durch die ganze Zahl dividiert.
Dieses zweite Verfahren ist jedoch nur dann anwendbar,
wenn der Nenner des gegebenen Bruches durch die ganze Zahl
Heilbar ist. Z. B.
1) z X 5 32. 2) X 4 z 2z.
3) 3? X 8 - X 8 - '/4 - 26?.
4) 9/« X 5 X 5 46z.
5) z X 7 - 4. 6) -s z X 12 - 11.
Aus den letzten zwei Beispielen ersieht man, dass ein
Bruch mit seinem Nenner multipliciert den Zähler
zum Producte gibt.
7) X 9 s-z 5? oder
7 -°
X 9 -4' -- 5z.
4
Wenn der Nenner des Bruches und die ganze Zahl ein
gemeinschaftliches Maß üöiitel) haben, so wird die
Multiplikation vereinfacht (uäsodonl so rjeäuoäuSL), wenn man
dieselben noch vor dem Multiplicieren durch jenes Maß dividiert.
Ausgaben.
1) z X 7 ? 2) zz X 11 ?
3) zz X 16 - ? 4) zz X 15 ?
5) X 21 - ? 6) 37-/2 X 25 - ?
88
7) 108z X 24 - ? 8) 73z X 42 - ?
9) 7^ X 99 -: ? 10) 33zz X 125 - ?
11) 157^ X 63 - ? 12) 3752§z X 8314 - ?
13) 15934zss X 3092 - ?
14) 9540^z X 19350 - ?
15) 38064szz X 8036' - ?
16) 8642M X 7865 - ?
17) 256934z» X 13845 - ?
18) 20783s M X 36453 - ?
19) 83253) z» X 57264 - ?
20) Um wie viel ist 9360! f i X 7235 größer als 1356 m
X 13568?
21) Auf ein Hemd braucht man 3z Meter Leinwand; wie
viel auf ein Dutzend Hemden?
22) Wenn 1 -K fl. kostet, wie hoch kommen 2, 3, 7,
12, 85, 235, 3014 Ä?"
23) Eine Klafter Holz kommt auf liz fl.; wie viel kosten
3, 4, 8, 17, 25, 44 Klafter?
24) In einem gleichseitigen Vierecke beträgt jede Seite 8"
3 wie groß ist der ganze Umfang?
25) Wenn 1 Hektoliter Weizen 6^ fl. kostet, wie viel be¬
tragen 4, 8, 13, 38, 87, 108 Hektoliter?
26) Ein Pferd braucht täglich z Metzen Hafer; wie viel
brauchen 15 Pferde in 28 Tagen?
27) 4. nimmt täglich 4^, fl., L 31z fl. ein; wie viel
nimmt jeder von ihnen in 25 Tagen ein, um wie viel mehr
als L, und wie viel nehmen beide zusammen ein?
28) Jemand wechselt 35 Ducaten zu 5z fl., und 13 Acht¬
guldenstücke zu 9/g fl. ein; wie groß ist der Betrag?
29) Ein Silberarbeiter hat 16 Mark 12 z löthiges Silber,
13 Mark 12 sj löthiges, und 9 Mark 13; löthiges Silber; wie
viel Loth feines Silber hat er?
30) Ein Wiener Eimer hat 1 Cubikfuß; wie viel Cubik-
fuß enthalten 20, 87, 125, 277, 380 Eimer?
6*
84
31) Ein freifallender Körper legt in der 1. Secunde 15^
Fuß zurück, in der 2. Secunde 3mal, in der 3. Secunde 5mal,
in der 4. Secunde 7mal so viel; a) wie groß sind die Fallräume
für die 2., 3-, 4. Secunde, b) wie groß der Fallraum für alle
vier Secunden?
32) Ein Holzhändler kauft 30 Klafter Holz ü 9^ fl., 27
Klafter a 1()^„ fl., 36 Klafter L 10; fl-, und verkauft 1 Klafter
durchschnittlich um 12§ fl.; wie viel gewinnt er, wenn er 14-,". fl.
Nebenauslagen hätte?
33) Das Meter ist gleich 3^ Fuß des Wiener Längen¬
maßes; wie viel in dem letzteren Maße betragen 10, 37, 144
Meter?
Z- 43.
Division eines Bruches durch eine ganze Zahl,
völoin ulomku ölslem calistv^m.
8 Neuntel in 4 gleiche Theile getheilt, geben 2 Neun¬
tel, oder
— 2 _ 8^4
9 ' — 9 — 9 '
Ein Bruch wird also durch eine ganze Zahl
dividiert, indem man den Zähler durch die ganze Zahl dividiert
und den Nenner unverändert lässt.
Die Richtigkeit dieser Regel folgt auch unmittelbar aus
dem Begriffe eines Bruches. Wenn man den Nenner unver¬
ändert lässt, den Zähler aber 2, 3, 4 .... mal kleiner annimmt,
so erhält man 2, 3, 4mal weniger eben so große Theile, also
wird auch der neue Bruch nur der 2te, 3te, 4te . . . . Theil
von dem früheren Bruche sein.
Das hier begründete Verfahren ist jedoch nur dann anwend¬
bar, wenn der Zähler durch die ganze Zahl theilbar ist; im
entgegengesetzten Falle würde man als Zähler des Quotienten
einen Bruch bekommen, was man in der Rechnung zu beseitigen
sucht; es muß daher für diesen Fall ein anderes Verfahren der
Division aufgestellt werden.
85
Wenn der Zähler eines Bruches ungeändert bleibt, der
Nenner aber 2, 3, 4 ... . mal größer wird, so bekommt man
eben so viele, aber 2, 3, 4 . . . . mal kleinere Theile; somit
wird auch der neue Bruch 2, 3, 4 . . . . mal kleiner als der
frühere. Um daher den 2ten, 3ten, 4ten .... Theil eines
Bruches zu erhalten, darf man nur den Nenner desselben 2, 3,
4 . . . . mal so groß nehmen; oder:
Ein Bruch wird durch eine ganze Zahl divi¬
diert, indem man den Zähler ungeändert lässt, und den Nenner
mit der ganzen Zahl multipliciert. Z. B.
1) : 4 - 2) z : 3 -
3) 13z: 9 - -2' : 9 - z - iz.
4) 8s : 10 - V : 10 -
3 2
5) : 8 - M oder kürzer : 8 - /«.
Aufgaben.
I) zz - 5 ?
3) z- : 8 -I?
5) : l2 - ?
7) zz : 21 - ?
9) 3° : 5 - ?
I1) 37zz : 15 - ?
l3) 78934Zz : 378 - ?
15) 17908^- : 137 - ?
2) zz : 3 ?
4) : 11) ?
6) : 20 -?
8) 2- : 4 - ?
10) 12; : 7 - ?
12) 128-4 : 25 - ?
14) 5083izzz : 703 - ?
16) 24170 z : 865 - ?
von iz, 3z, 15z,
17) Wie viel ist der 12te Theil von 4,
1224-Ö?
18) Bon welcher Zahl ist 73- das 3fache, von welcher das
5fache, das 9fache, das 20fache, das 35fache?
19) Man addiere den 4ten, 5ten und 6ten Theil von 23§
20) Wie groß ist der Unterschied zwischen dem lOten und
12ten Theile von 108^ ?
21) Die österreichischen Eisenbahnen haben eine Spurweite
86
von 6" 6^"; wie viel beträgt dieses in Bruchtheilen einer
Klafter?
22) Ein metr. Ctr. kostet 58? fl.; wie hoch kommt I Kilogr.
23) Jemand kauft das Dutzend Seidentücher um 17? fl.;
wie hoch kommt ein Stück?
24) 48 Meter kosten 158^ fl.; wie viel kostet 1 Meter?
wie hoch kommen 2, 7, 13, 41 Meter?
25) Ein Dampfwagen legt in 5 Stunden 21; Meilen
zurück; wie viel in einer Stunde?
26) Wenn 1 Hektoliter Wein 24 fl. kostet, wie viel Hekto¬
liter bekommt man für 63s fl., wie viel für 90? fl-, für 290^ fl. ?
27) Wie viel Wiener Fuß kommen auf 1 Meter, wenn
150 Meter 474ss. Wiener Fuß enthalten?
8- 44.
Multiplication mit einem Bruche. Msobom' ulomkom.
Es sei z. B. 5 mit § zu multiplicieren. bedeutet, dass
man den 4ten Theil der Einheit 3mal zu nehmen habe; 5 X §
bedeutet daher, dass man nicht 5 selbst, sondern nur den 4ten
Theil von 5 3mal zu nehmen habe; also
5 X ? ° X 3 - - 3-.
Eine Zahl mit ; multiplicieren, oder eine Zahl §mal
nehmen, oder auch § von einer Zahl nehmen, heißt also so viel,
als: den 4ten Theil dieser Zahl 3mal nehmen.
Um demnach eine Zahl mit einem Bruche zu
multiplicieren, wird dieselbe durch den Nenner dividiert, und
der Quotient mit dem Zähler multipliciert.
Insbesondere hat man z. B.:
7 X i : 2; 8 X z -- 8 -3;
11 X z - 11 : 4.
Eine Zahl mit f . . . - multiplicieren, heißt daher
so viel, als: die Zahl durch 2, 3, 4 ... . dividieren.
Hat man einen Bruch, z. B. * mit einem Bruche ; zu
multiplicieren, so ist
87
4 4
der 9te Theil von
4 ' 4x7
und das 7fache von
Eo 4 x - 28 - '
ayo 5 X g - g - ,
d. h. Ein Bruch wird mit einem Bruche multipliciert,
indem man Zähler mit Zähler, und Nenner mit Nenner multi¬
pliciert, und das erste Product als Zähler, das zweite als Nen¬
ner annimmt.
Aufgaben.
1)8X1-? 2)15X1-?
3) 7 X -° - ? 4) 13 X - ?
5) 43 X z - ? 6) 55 X -s'2 ^ ?
7) 1 X 1 ^ ? 8) X 1 ^ ?
3
(»X 7 X/ 12 — ^8 4^ — 2 1 — 2^
x> 25 200 — 50 8 25 ^0'
2
12) X 0'36 - ? 13) 1 - X 07 - ?
14) 5; x 1 uX 1 zz 3/o.
15) 171 X 121 - X V - uu - 220A
16) 3U X 1 ^ ? 17) 11 X 271 ^ ?
18) 2/z X 3'85 - ? 19) 4-15 X 7^ - ?
20) 721 X 191 - ? 21) 73151; X 218^ ?
22) 18921» X 295; - ? 23) 97403 UU X - ?
24) 564^1; X 371)1 ?
25) 6295 X 2134/^ - ?
)26) 98071H1 X 87961111 ?
27) 81381 M X 49251M - ?
28) 8642111 X Ul -i- 1937111 X 255>11 - ?
29) 4751111 X 571— 3640111 X 460/»"o - ?
30) Wie viel ist S, wie viel 1, von 68 U?
88
31) Wie viel ist z des Unterschiedes 19/, — 8? ?
32) Wie viel beträgt /, z und von 13; zusammen-
genomuren?
13; -
kürzer: z -j- z -s-
33) Um wie viel ist
34) Ein Hektoliter Weizen wiegt 154 Kilogr.; wie viel wiegen
6s Hektoliter, wie viel 7g, 10^, 17-/^ Hektoliter?
35) Ein metr. Centner Zucker kostet.62z fl.; wie hoch
kommen 8Z Ctr-, 13^ Ctr., 18 Ctr. 15 Kilogr.
36) Der Flächenraum von Niederösterreich ist 344z üs Mei¬
len, davon betragen die Waldungen; wie viel Flächenraum
nehmen diese ein?
37) Wie viel Meter betragen 115z Aards a Meter?
38) Wie viel preuß. Meilen betragen 92,z österr. Meilen
L 1^-zz preuß. Meilen?
39) Ein Cubikfuß Wasser wiegt 56z K; das Quecksilber
ist 13^mal, das Silber 10^mal, das Eisen 7/, mal, das Zinn
7; mal so schwer als das Wasser; wie viel wiegt 1 Cubikfuß, wie
viel 2Z, 3/2, 5/, Cubikfuß von jedem dieser Metalle?
40) Eine Mark feines Silber gilt 25§ st.; wie hoch
kommen i Mark, 5z Mark, 3 Mark 5 Lth., 7 Mark 7 Lth.
2.z Qtch. Silber?
41) Wenn ein Meter 5z st. kostet, wie viel kosten 2z, 3§, 6 z
Meter?
42) Ein Kaufmann hat 204z Ctr. Kaffee; davon ist ä
Havanna, Portorico, z Mocca, und der Rest Java Kaffee;
wie viel hat er von jeder Sorte?
43) Vier Personen theilen eine Summe von 745? st. so
unter einander, dass Lz, 6 j, und I) den Rest bekommt;
wie viel kommt auf jeden?
2.-3
4
1
6 9
5
6 9
5
6 9
5
2 0
5 2 9
20
6 9 >
von 65?
_I_ — 6 9
^>2—10
x/ 2 _ 46
^>3 — 5
v/ 3 — 207
4 — 2V
184
207
- 26/,
- 26/»-
als ? von 55??
8s
44) Es werden 136^ Ctr. einer Waare, der Centner zu
23; fl., gekauft, erhält davon L;, 6j, v,-,; wie viel
muß jeder bezahlen?
45) Eine silberne Schüssel wiegt 8^ Pfund, und hat . 720
W> 'WWausendtheile Feingehalt Silber; wie viel feines Silber enthält
sie, üitd wieviel ist sie wert, wenn man das Pfund feines Silber
zu 45 fl^eN»«.
46) Wie viel AWre-r uZd Kupfer enthält ein Barren
Silber, der Pfund wieg?- i-iH.dessen Feingehalt ist?
47) WiMviel wiegel 23 vierkMhtz^^stangen von 8^
Länge, Breite, Dicke, wenn 1 Cewiffri^Msen E Ctr.
wiegt?
48) Min RechteÄ .ist 35Z" lang und 28j"> breit; wi^^§M- )
ist seine Fläche?.
49) Wie hoch wird ein Garten, welcher 62^ lang und:
23,^ breit ist, zu stehen kommen, wenn das mit 12§ fl. '
bezahlt wird?
50) Ein rechtwinkliges Gefäß hat 4-^ Länge, 3f-^ Breite
und l^ Tiefe; wie groß ist der Inhalt?
8- 45.
Division durch einen Bruch.
Oöloiu ulomkom.
j ist 5mal kleiner als 1, es wird daher j in irgend einer
Zahl 5mal so oft enthalten sein, als 1 in derselben Zahl vor¬
kommt; z ist 5mal kleiner als 3; daher wird ° in einer Zahl
5mal so oft enthalten sein als 3. Um daher zu erfahren, wie
ost z in einer Zahl enthalten ist, untersucht man zuerst, wie oft
3 darin vorkommt, d. i. man dividiert die Zahl durch den Zähler
3, und nimmt den erhaltenen Quotienten 5mal, d. i. multipliciert
ihn mit dem Nenner 5.
Eine Zahl durch einen Bruch dividieren, heißt
also, die Zahl durch den Zähler des Bruches dividieren
90
8 X z
wie 8 X -z.
4 X/
" 7 /X 3'
8X5
3
— 4X5
' 7 X 3
und den Quotienten mit dem Nenner multiplicieren.
Man hat z. B.
8 : z ? X 5 '
4.3— ^.4_ vx H
- ' - - 7X3
Es ist aber auch
8X5
- 3 '
_ 4X5
" 7X3'
Man sieht also, dass
8 : 5 dieselbe Zahl gibt
und § : - „
Die Division durch einen Bruch kann also in eine Multi¬
plikation mit dem umgekehrten Bruche verwandelt werden, und
es bestehet die Regel:
Eine Zahl wird durch einen Bruch dividiert,
wenn man sie mit dem umgekehrten Divisor multipliciert.
Insbesondere ist
7 : z - 7 X 2, 8 : z -- 8 X 3, f ? X 4.
Eine Zahl durch z, z, 4 ... dividieren, heißt also so viel,
als: die Zahl mit 2, 3, 4 . . . multiplicieren.
Aufgaben.
1) 12 : z - ?
3) 10 : z - ?
5) X
6) 4§ - 44 ?
8) 3 : 2z - 3 : z
9) 7z : z - X
10) 138 ,r- : ?
12) 18- : 2z - ?
14) 052 : 3z - ?
16) 25 s : 15 ,z - ?
2) - 4 - ?
4) 15 : z ?
1 - 4 - is-
7) ?
3 X z iz.
2 V -- 15 z .
11) 174?- : 44 - ?
13) 7z : 32/. ?
15) 37° : 0 235 - ?
17) 32587?- : 4-4 ?
91
18) 29607 : 1202M - ? 19) 1728 ° : 57ssf - ?
20) Von welcher Zahl betragen °- genau 100?
21) Welches ist die Zahl, von welche» gerade so viel ist
als § von 23^?
22) Von welcher Zahl betragen um 72^ mehr als
von 588 ss ?
23) Welches ist die Zahl, von welcher um 15weniger
betragen als von 2358sz?
24) Jemand verdient täglich Z fl.; wie lange wird er arbei¬
ten müßen, um 19z fl. zu verdienen?
25) Wenn f Meter 4s fl. kosten, wie hoch kommt 1 Meter,
wie hoch kommen 3 Meter, 5.s Meter?
26) Wie viel kostet der Centner, wenn 2° Ctr. 57 fl. 20 kr.
kosten?
27) Ein Acker, welcher 5° Hektar enthält, wird nm 1820 fl.
verkauft; wie viel kostet 1 Hektar?
28) Ein Rad hat 3'^ im Umfange; wie viel Um¬
drehungen muß es machen, um einen Weg von 1 Kilometer zu
durchlaufen?
29) Wenn ein Dampfwagen in 5 Stunden 20 s Meil.
zurücklegt; wie viel Meilen legt er in einer Stunde zurück?
30) 8 s Mark Legierung enthalten 148 Karat feines Gold;
wie viel karatig ist die Legierung?
31) Ein Hektoliter nimmt Cub." Raum ein; wie viel
Hektoliter fasst ein Fass von 2s^ Cub." Inhalt?
32) Ein Zollpfund ist gleich 28? Loth des Wiener Han¬
delsgewichtes; wie viel Zollpfund betragen 68 s Wiener Pfund?
33) Ein Rechteck hat 128 lH" Fläche; wie breit ist
dasselbe, wenn die Länge 18° 3s' beträgt?
34) Wie viel kosten 8° Hektoliter, wenn 2^ Hektoliter 47 s fl.
kosten?
35) Wenn 6 s Meter 28 s fl. kosten, wie hoch kommen
9s Meter?
92
36) Ein Wiener Fuß hat Meter; wie viel Wien. Fuß
ist ein Kilometer?
37) Ein Kaufmann bekommt zwei Sorten Kaffee; von der
ersten kostet der Centner 145' st., von der zweiten 123-,-), st.; wenn
nun von der schlechtem Sorte 3' Ctr. da waren und der ganze
Betrag 747st,^ st. ausmachte, wie viel Ctr. waren von der
bessern Sorte?
38) Ein Wasserbehälter von 110 Cub.^ Inhalt soll mit
Wasser gefüllt werden; wenn man nun jedesmal 4^ Cub.^
dazu trägt, und ein solcher Gang 51 Minuten dauert; in wie
viel Gängen und in welcher Zeit wird der Behälter gefüllt werden?
39) Eine Dose, welche 8', Lth. schwer ist und 13^ löthiges
Silber enthält, kostet 15./^ st.; wie theuer wird ein Lth. feines
Silber gerechnet?
40) Ein Ballen Baumwolle wog 248^ K, der Ballen für
sich wog 16§ K; wie hoch kommt ein Ctr. davon, wenn die ganze
Baumwolle 268-83 st. kostete?
41) Jemand kauft 45; Meter Tuch, das Meter zu 5z st.;
wie theuer muß er ein Meter verkaufen, um im Ganzen 29st-
zu gewinnen?
8- 46.
Verbindung der Multiplication und der Division
der Brüche.
Es sei z-'g X § durch s! zu dividieren. Man hat
3
,'c, X Z 7 X 3 X V . ,
H - WX8X11 " "°'
Der Quotient wird nicht geändert, wenn man den Dividend
und den Divisor mit derselben Zahl multipliciert oder durch die¬
selbe Zahl dividiert. Multipliciert man hier Dividend und Divisor
mit 10, so fällt 10 als Nenner im Dividend weg, kommt dagegen
als Factor in den Divisor. Eben so wird durch die Multiplication
mit 8 der Nenner 8 des Dividends als Factor in den Divisor, und
93
durch die Multiplication mit 11 der Nenner 11 des Divisors
als Factor in den Dividend gebracht. Der dadurch entstandene
Bruch wird sodann durch 5 (wodurch 10 und 15 theilbar sind)
abgekürzt.
Wenn gemischte Zahlen vorkommen, so werden sie zu un¬
echten Brüchen eingerichtet; z. B.
2 z X 3Z - i X 7 - s x 18 X 4 -
IZ " s "2X5X7"'- '
Man kann hier auch die Factoren des Dividends auf der
rechten, und jene des Divisors auf der linken Seite eines vertical
gezogenen Striches unter einander setzen und übrigens wie vorhin
verfahren.
Die letzte Rechnung würde nach diesem Verfahren, welches
man die Strichmethode zu nennen pflegt, so stehen:
7 (1i 2z) 5
L 3?) 18
S 4 2
7- 36 j 5j
Die Strichmethode besteht demnach in folgendem Verfahren:
Man zieht einen verticalen Strich, schreibt den Dividend
und seine Factoren auf die rechte, den Divisor und seine Factoren
auf die linke Seite. Kommen gemischte Zahlen vor, so werden
sie zu unechten Brüchen eingerichtet; die Zähler lässt man auf
jener Seite stehen, wo der Bruch sein soll, die Nenner aber
werden auf die entgegengesetzte Seite übertragen. Dann werden
die Zahlen beiderseits abgekürzt. Endlich multipliciert man die
Zahlen zu beiden Seiten, und dividiert das Product auf der
Dividendseite durch jenes auf der Divisorseite; der Quotient ist
die gesuchte Zahl.
Aufgaben.
Man verrichte nach der Strichmethode folgende Multipli-
cationen und Divisionen:
1) 20 X § : z - ? 2) 7^ X 2z : 6§ ?
3) 6z X 12z : 2z -? 4) /0 X 65° : 3/» -- ?
94
5) 25- X 214§ : § - ? 6) 319- X s : 7^ - ?
7) 1814z X 100 : 5^ X 5737sz - ?
8) 43- X 32 X 12^ : 28- X 28 -: ?
9) 5§ Ctr. einer Waare werden mit 158- fl. bezahlt;
wie hoch kommt 1 Ctr.?
10) Wenn 5z Ballen Druckpapier 124ss fl. kosten, wie
viel kostet 1 Ballen?
11) Wenn ein Meter 41 fl. kostet, wie viel Meter wird
man für 1401 fl. erhalten?
12) Ein Baugrund wird um 728 fl. verkauft; wie viel
lH" enthält er, wenn das LD'" mit 15- fl. bezahlt wird?
13) Ein Körper legt in jeder Secunde 3s Meter zurück,
ein zweiter 35- Meter; wie vielmal so schnell bewegt sich der
zweite Körper als der erste?
14) Wie viel Meter wird man für 9s fl. erhalten, wenn
2s Meter 3- fl. kosten?
15) Wie viel kosten 17/§ Ctr., wenn 8- Ctr. mit 208s fl.
bezahlt werden?
16) Ein Acker von 13 Joch 12tzs wird um 2530s fl.
gekauft; der Käufer tritt nun 2/^ Joch zu demselben Preise an
seinen Nachbar abp wie viel hat dieser zu bezahlen?
17) Ein Taglöhner bekommt für 6 Tage 4^ fl; für wie
viel Tage 14s^ fl-?
18) Wenn 57^ Ctr. 1348J, fl. kosten; wie viel Ctr. be¬
kommt man für 742- fl.. für 950 ss fl., für 2338ss fl.?
19) Wie hoch kommt eine Mauer von 78s'° Länge,
Dicke und 11-^ Höhe, wenn 20 Cub." mit 18J, fl. bezahlt werden?
Imnfter Abschnitt.
Das Rechnen mit mehrnamigen Zahlen,
v poötoeli 8 öi8l^ vleegmenllsinn.
8- 47.
Die Zahl, welche angibt, wie viele Einheiten einer niedri¬
geren Benennung eine Einheit der höheren Benennung bilden,
heißt die Verwandlungszahl (mönitol). Zwischen Gulden und
Kreuzern ist 100 die Verwandlungszahl.
Die wichtigsten Maße (im'rv), Gewichte (väk^) und Münzen
(penice) sammt ihren Verwandlungszahlen sind im Anhänge
übersichtlich zusammengestellt.
8- 48.
Das Resolvieren.
kromönovänl vMLck jmon v niLZl.
Die Einheiten einer höheren Benennung in Einheiten einer
niedrigem Benennung verwandeln, heißt jene resolvieren oder
auflösen (rorüouöiti, ro^vösti).
1. Eine einnamige Zahl wird in eine niedrigere
Benennung resolviert, indem man sie mit der entsprechen¬
den Verwandlungszahl multipli ciert. Z. B-
Wie viel Minuten sind 15 Stunden? — 1 Stunde hat
60 Minuten; 15 Stunden haben also 15mal 60 Minuten; folg¬
lich 15 Stunden — 15 X 60 — 900 Minuten.
2. Eine mehrnamigeZahl wird indie niedrigste
Benennung resolviert, indem man die Einheiten der Höch-
96
sten Benennung mit der Berwandlungszahl für die nächst niedri¬
gere multipliciert, zu dem Producte die gegebenen Einheiten dieser
niedrigeren Benennung addiert, und dieses Verfahren fortsetzt, bis
man die niedrigste Benennung erhält. Z. B.
Wie viel Tage sind 35 Jahre 7 Monate 15 Tage?
Ganz einfach gestaltet sich das Resolvieren, wenn die Ver¬
wandlungszahl 10, 100 oder 1000 ist; inan darf nur die ein¬
zelnen Benennungen nach ihrer natürlichen Reihenfolge neben
einander stellen, und die etwa fehlenden Ziffern durch Nullen
ersetzen. Z. B.
5 Ballen 3 Rieß — 53 Rieß, 8 Ctr. 35 Kilogr. — 835 Kil.
65 fl. 73 kr. - 6573 kr., 19 fl. 8 kr. - 1908 kr.
2 Cub.-- 813 Cub?" 75 Cub.°°- - 2813075 Cub.°"-
3. Die Decimalen einer einnamigen Zahl wer¬
den in Ganze der niedrigeren Benennungen resol-
viert, indem man sie zuerst mit der Verwandlungszahl für die
nächst niedrigere Benennung multipliciert, und mit den im Pro¬
ducte erhaltenen Decimalen auf gleiche Weise weiter verfahrt. Z B.
7-625 Grad - 7° 37' 30".
--X 60
37-500'
- X 60
300"
Gehören die Benennungen dem Decimalsystem an, d. i. sind
die Berwandlungszahlen 10, 100 oder 1000, so bilden immer
97
eine, zwei oder drei Decimalziffern nach rechts die nächst niedrigere
Benennung. Z. B.
37-58 fl. - 37 fl. 58 kr.; 6'05 fl. - 6 fl. 5 kr.;
25-236°° — 25°° 2^° 3°°° 6°°'°
6-3708 Hektar - 6 Hektar 37 Ar 8 lH°°
Aufgaben.
1) Wie viel Zoll enthalten 9", 23', 57', 312'?
2) Wie viel Fuß machen 7", 13°, 54°, 359°?
3) Wie viel sind 37sH°, 1132)°, 248 m»?
4) Wie viel 12° betragen 8, 19, 251 Joch?
A Wie viel Cubikzoll haben 35, 58, 108, 571 Cubikfuß?
6) Wie viel Centimeter sind 3, 12, 55, 102 Decimeter?
7) Wie viel 22^ betragen 8, 23, 87, 26522°° ? ,
8) Wie viel Cub.i°°° sind 5, 64, 123, 704 Cub.'°° ? >
9) Wie viel Liter sind 9, 37, 83, 157 Hektoliter?
10) Wie viel Maß enthalten 13, 28, 39, 99, 111 Eimer?
11) Wie viel Pfund find 3, 13, 25, 49, 177 Centner?
12) Wie viel Gramm find 5, 49, 87 144 Kilogramm?
13) Wie viel Kreuzer machen 8, 17, 83, 243, 1202 fl.?
14) Wie viel Kreuzer C. M. sind 3, 11, 57, 180 Gul¬
den C. M.?
15) Wie viel Secunden sind 12, 27, 58 Tage?
16) Wie viel sZ" sind 5, 41, 71, 31522°?
17) Wie viel Cubikzoll betragen 9, 17, 57, 119 Cub. Klftr?
18) Wie viel Cub.°°°°°° sind 4, 18, 215, 620 Cub?°°°?
19) Wie viel K machen 0'78 Ctr., wie viel 0'25 Ctr.,
0-125 Ctr.?
20) Wie viel Kreuzer beträgt 4. fl-, wie viel 4 fl., r fl.,
-so fl, 2'« fl-, 2V sl, I, fl.?
21) Wie viel Kreuzer sind ° fl., 4 fl., -/0 fl., 4! fl.,
3 - ff
5 0
22) Wie viele Monate sind 4, -f, I ./5 Jahre?
23) Wie viel Kilogramm sind °-, 4, U Ctr?
Mocink, Arithmetik m. böhm. Term. 14. Ausl- 7
98
24) Ein Metzen hat IZjZ, ein Eimer 1 Cubikfuß; wie
viel Cubikzoll beträgt jeder der beiden Brüche?
25) Wie viel Ctr., Kilogr. und Neuloth betragen 3 737
metr. Ctr. ?
26) Wie viel fl. und kr. sind 85-42 fl.?
27) Wie viel fl. und kr. betragen 347'05 fl.?
28) Wie viel Jahre, Monate und Tage sind 5'378 Jahre,
2'157 Jahre, 1'2345 Jahre, 3'888 Jahre?
29) Wie viel Klafter, Fuß, Zoll, Linien sind 5'246°, 3'158",
37'946°, 208 207°?
30) Wie viel üü"- , lH^, HI"" sind 25'3475 , 31'078511!
3'5791) °>?
31) Wie viel Hektar und Ar sind 5'27 Hektar, 27'34 Hektar,
105-7 Hektar?
32) Wie viel Cub?, Cub.", Cub?" sind 47'963 Cub.°,
127 371 Cub.°, 19'0079 Cub.°, 333'333 Cub.°?
33) Ein Jahr hat 365'24222 Tage; wie viel Stunden,
Minuten und Secunden beträgt der Decimalbruch?
34) Wie viel Wiener Fuß, Zoll, Linien, Punkte hat 1 Meter?
35) Wie viel Wiener K, Loth und Quentchen beträgt 1
Kilogramm?
36) Oberösterreich hat 208'471! Meilen; wie viel sind es
Joch und D Klafter?
37) 8° 5' 9" - ? Zoll.
38) 13 -° 4^ 25""" - ? Millim.
39) 27H 33-i'" MM -? H!°-°
40) 7 Cub. ° 63 Cub? - ? Cub?
41) 23 Cub. Met. 149 Cub. Decim. — ? Cub. Decim.
42) 35 Hektoliter 82 Liter — ? Liter.
43) 4 Mark 8 Loth 3 Qtch. - ? Qtch.
44) 9 Kilogramm 7 Gramm — ? Gramm.
45) 48 fl. 23 kr. -? kr.
46) Wie viel Kreuzer sind:
a) 7 fl. 93 kr.? b) 29 fl. 44 kr.?
99
e) 58 fl. 40 kr.? 4) 305 fl. 2 kr.?
Man bringe auf die niedrigste Benennung:
47) 648 fl. 47 kr. 3 Conv. Münze;
48) 128 fl. 55 kr. süddeutsche Währung;
49) 3240 Thlr. 22 Silbergr. 6 Pf. preuß.;
50) 1309 Francs 68 Centimes franz.;
51) 884 Mark 13 Schill. 5 Pfenn. Hamburg.
Z. 49.
Das Reducieren.
kromönovüni ni/Liod jmon ve v^Lsi.
Die Einheiten einer niedrigeren Benennung in Einheiten einer
höheren Benennung verwandeln, heißt jene reducieren (siouöiti)
1. Eine einnamige Zahl wird auf eine höhere
Benennung reduciert, indem man sie durch die entsprechende
Verwandlungszahl dividiert. Z. B.
Wie viel Buch Schreibpapier siud 816 Bogen? Auf 1
Buch gehen 24 Bogen; es werden also in 816 Bogen soviel
Buch enthalten sein, als wie oft 24 Bog. darin vorkommen;
man hat daher
816 Bogen — (816 : 24) Buch — 34 Buch.
2. Eine einnamige Zahl, welche Ganze von höheren
Benennungen enthält, wird auf Ganze dieser höheren
Benennungen reduciert, wenn man sie durch die Verwand¬
lungszahl für die nächst höhere Benennung dividiert; der Quo¬
tient bedeutet Einheiten dieser höheren, der etwa gebliebene Rest
Einheiten der niedrigeren Benennung. Der Quotient wird, wenn
es angeht, ans dieselbe Art auf die nächst höhere Benennung re¬
duciert. Z. B.
Wie viel Tage, Stunden und Minuten sind 5853 Minuten?
5853 : 60 - 97 St. 97 : 24 - 4 T.
33 Min. 1 St.
also 5853 Min. - 4 Tage 1 St. 33 Min.
7»
100
Ganz einfach gestaltet sich diese Rednction für das Decimal-
system. Z. B.
9347 kr. - 93 fl. 47 kr. 1808 kr. - 18 fl. 8 kr.
4235"» — 42>° 3^ 5°°>.
31268 Neuloth — 31 Ctr. 26 Kilogr. 8 Neuloth.
3. Eine mehr namige Zahl wird auf die höchste
Benennung reduciert, indem man die Reduction nach 1. von
der niedrigsten Benennung angefangen allmälich vornimmt, und
zu dem jedesmaligen Resultate die gegebenen Einheiten der ent¬
sprechenden Benennung dazu zählt. Z. B.
Man reduciere 83° 56' 24" auf Grade.
24 : 60 - 0-4'
56-4 : 60 - 0 94°
also 83° 56' 24" - 83'94°.
Aufgaben.
1) Wie viel Gulden C. M. betragen 540 Kreuzer?
2) Wie viel fl. und kr. sind 7928 kr., wie viel 123405
kr. ö. W.?
3) 16265 Bogen Druckpapier, wie viel find es Ballen,
Rieß, Buch und Bogen?
4) Wie viel Meter, Decim., Centim, und Millimeter sind
21907 Millimeter?
7) 347947 Zeitsecunden
9) 108374 Druckbogen
11) 314586 Millimeter
13) 1900538 Cubiklinien
15) 38047 Gramm
17) 907143 Pfennige C. M
19) 357894 Pences engl.
21) 485033 Doll russ.
5) Wie viel Hektar und Ar sind 1234 Ar?
Man reduciere folgende Zahlen auf Ganze der höheren
Benennungen.
6) 3748 Bogensecunden
8) 79350 Schreibbogen
10) 24853 Zoll
12) 57843 sifjCentimeter
14) 7502 Liter
16) 34287 Kreuzer
18) 924156 Pfenn. preuß.
20) 709926 Mäßleiu schweiz.
22) Wenn jemand in jeder Secunde 1 zählen würde; wie
101
viel Zeit würde er brauchen, um eine Million, und wie viel, um
eine Billion zu zählen (das Jahr zu 365 Tagen gerechnet), vor¬
ausgesetzt, dass es möglich wäre, Tag und Nacht ununterbrochen
fortzuzählen?
23i Wenn jemand täglich 10 kr. erspart; wie groß ist das
Ersparnis in einem gemeinen Jahre?
24) Die Zeit von einem Vollmonde zum andern (syno-
discher Monat) beträgt 2551442 Secunden; wie viel sind dieß
Tage, Stunden, Minuten und Secunden?
25) Bringe 16 Buch auf einen gemeinen Bruch von Rieß.
16 : 20 - - ? Rieß.
26) Wie viel Gulden betragen 75 kr., ? kr., wie viel 6? kr,
13? kr., 49/»?
27) Wie viel Gulden betragen 12 fl- 24 kr., 3 fl. 8 kr.,
17 fl. 25? kr.?
28) Welchen Centnerbruch geben 18 Kil-, 24? Kil., 85^ Kil.?
29) Wie viel Gulden betragen 37 fl. 58 kr. ?
30) Wie viel Ctr. sind 7 Ctr. 37 K 28 Loth 2 Qtch.; wie
viel Ctr. sind 88 K 17 Lth. 1 Qtch.?
m) Wie viel Kilogramm betragen 17 Kilogramm 71 Gramm?
32) 381 fl. 8? kr. - ? fl. '
33) 4° 5' 6" 3"' - ? Klafter.
34) 8^" 5°"° 6^'° — ? Meter.
35) 3m" 27IH' 58sH" -? m°
36) 27 Hektar 67 Ar - ? Hektar?
37) 41 Cub.^ 7 Cub.°--> 28 Cub.^ - Cub.-» .
38) 6 Monate 4 Tage 16 Stund. 19 Min. — ? Jahre.
39) 2 Ballen 5 Rieß 17 Buch - ? Ballen.
8- 50.
Addition mehrnamiger Zahlen.
Löitäln öisai vleesmennMi.
Beim Addieren mehrnamiger Zahlen beginnt man bei der
niedrigsten Benennung (nesniMjmano) und reduciert die Summe,
102
wenn sie Ganze der nächst höhern Benennung enthält, auf diese
höhere Benennung (jsclnotk^ vML).
Bei benannten Zahlen, welche dem Decimalsystem angehören,
ist es am einfachsten, alle Summanden als Decimalbrüche derselben
Benennung darzustellen und dann erst die Addition auszuführen.
3) 5'2 Meter 5'2 Meter
9'4 Decimeter .0'94 „
125 Millimeter.0'125 „
8-265 Meter.
4) Jemand hat vier Capitalien, welche einzeln 124 st. 45 kr.,
48 fl. 84 kr., 213 st. 58 kr., 308 fl. 75 kr-, jährlichen Zins
tragen; wie groß ist das ganze jährliche Zinserträgnis?
5) Die Seiten eines Viereckes sind: 2'° 4^ 2°">, 5 3^
8-m 2-° 5^ 1°'", 4>° 1^ 9°-°; wie groß ist der Umfang?
6) Ein Haus hat bis zur ersten Balkenlage 1" 5^ 4",
von hier bis zur zweiten 1° 4/ 2", von da bis zur dritten
1" 2^ 5", und endlich von hier bis zum Gipfel 1" 8" Höhe;
wie viel beträgt die ganze Höhe?
7) Ein Sechseck enthält vier Dreiecke; das erste hat
480 " 25^-°, das zweite 710 °° 12^, das dritte 920°° 150
das vierte 650 "° 18^; wie groß ist die ganze Fläche' des
Sechseckes?
8) In einer Buchdruckerei werden an Druckpapier ver¬
braucht: 2 Ballen 3 Rieß 5 Buch 18 Bogen, 3 Ballen 8 Rieß
103
13 Buch 14 Bogen, 7 Ballen 9 Rieß 17 Buch 8 Bogen; wie
viel zusammen?
9) Jemand erhält 5 Fässer Zucker, welche einzeln 2 Ctr.
38 Kilogr. 46 Neuloth, 1 Ctr. 90 Kil. 20 Nlth., 2 Ctr. 12 Kil.
28 Nlth., 2 Ctr. 18 Kil. 4 Nlth., 2 Ctr. 20 Kil. wiegen; wie
groß ist das ganze Gewicht?
10) Eine Glocke enthält an Messing 12 Ctr. 47 K 9 Lth.,
an Kupfer 18 Ctr. 53 K 17 Lth., an Zinn 1 Ctr. 77 K 29 Lth.;
wie schwer ist die Glocke?
11) Jemand verkauft nach und nach an Wein: 12 Hektoliter
28 Liter, 15 Hektoliter 14 Liter, 8 Hektoliter 37 Liter, 26 Hekto¬
liter 4 Liter; wie viel macht dieses zusammen?
12) Ein Silberarbeiter verarbeitet an Silber 8 Mark
-->'75 Loth, 7 Mark 11-2 Loth, 7 Mark 13-95 Loth; wie viel
im Ganzen?
17) In Wieir tritt der Mittag 56 Minuten 11 Secunden
früher ein, als in Paris; wenn nun die Uhr in Paris 3 St.
28 Min. 40 Sec. zeigt, wie viel Uhr ist zu gleicher Zeit
in Wien?
18) Jemand wurde am 19. November 1789 geboren und
lebte 78 Jahre 8 Monate und 9 Tage; wann starb er?
104
Geburtszeit r 1788 J. 10 Mon. 18 Tage nach Chr. G.
Lebensd auer: 78 „ 8 „ 9 „
Sterbezeit: 1867 J. 6 Mon. 27 Tage nach Chr. G.
Er starb also am 28. Juli 1868.
19) Kaiser Franz Josef I. wurde am 18. August 1830
geboren und übernahm, 18 Jahre 3 Mon. 14 Tage alt, die
Regierung; wann war dieses?
20) Ein Haus, welches den 31. Juli 1767 erbaut wurde,
brannte 98 Jahre 6 Monate 29 Tage nach der Erbauung ab;
wann geschah der Brand?
21) Wenn am 13. September um 7 Uhr 24 Minuten
12 Sec. morgens Vollmond ist, und die Zeit von einem Voll¬
monde bis zum andern 29 Tage 12 Stunden 44 Min. 3 Sec.
beträgt; wann wird der nächste Vollmond eintreten?
8- 51.
Subtraction mehrnamiger Zahlen.
Oäeltünl öl8ol vleösinöllnxed.
Das Subtrahieren der mehrnamigen Zahlen beginnt bei
der niedrigsten Benennung. Wenn bei einer Benennung die Zahl
des Subtrahends größer ist, als jene des Minuends, so wird
die letztere um so viel Einheiten vermehrt, als ihrer eine nächst
höhere Einheit enthält, und dann die Subtraction verrichtet; so¬
dann wird aber, damit der Rest ungeändert bleibe, auch der
Subtrahend in der nächst höheren Benennung um 1 vermehrt.
Gehören die Zahlen dem Decimalsysteme an, so verwan¬
delt man Minuend und Subtrahend in Decimalbritche derselben
Benennung und subtrahiert diese.
Aufgaben.
1) Von 35 Ballen 7 Rieß 18 Buch werden verkauft
28 „ 4 „ 12 „ wie viel bleibt übrig?
7 Ballen 3 Rieß 6 Buch.
2) Jemand ist fl. 2148„8 schuldig, davon zahlt er
fl. 952„75; wie viel bleibt er noch schuldig?
105
fl. 2148 „ 8 oder 214808 kr. oder 2148'08 fl.
„ 952 „ 75 95275 952'75 „
fl. 1195 „ 33 119533 kr. 1195'33 fl.
- 1195 fl. 33 kr. - 1195 fl. 33 kr.
3) Von 3 Hektoliter 27 Liter subtrahiere man 83'6 Liter.
3 Hektoliter 27 Lit. oder 3'27 Hektol.
83-6- „ (4836 „
2 Hektol. 43'4 Lit. 2'434 Hektol.
4) Ein Haus wird nm 8000 fl. gekauft; der Eigenthümer
muß es später nm 6388 fl. 35 kr. verkaufen; wie viel Verlust
hat er dabei?
5) Eine Buchdruckerei
braucht an Papier 12 Ballen,
hat aber nur noch 5 „ 4 Rieß 13 Buch;
wie viel fehlt noch? 6 Ballen 5 Meß 7 Buch.
Hier spricht man: 13 Buch und 7 geben 20 Buch, d. i. I Rieß; 1 und
4 sind 5 Rieß, und 5 sind 10 Rieß, d. i. 1 Ballen; 1 und 5 sind 6 Ballen
und 6 sind 12 Ballen.
6) Von einem Acker, welcher 2 Hektar 54'7 Ar groß ist,
wird eine Fläche von 1 Hektar 21'5 Ar mit Weizen, der Rest
mit Korn besäet; wie viel beträgt die Kornfläche?
- 7) Ein Sonnenjahr beträgt 365 Tage 5 Stunden 48 Mi¬
nuten 48 Secunden, ein Mondjahr (12 Umlaufszeiteu des Mon¬
des um die Erde) nur 354 Tage 8 Stunde» 48 Minuten
36 Secunden; um wie viel ist das Sonnenjahr länger als das
Mondjahr?
8) Von 20 Ballen 7 Rieß Schreibpapier sind nach und
nach verkauft worden: 3 Ballen 6 Rieß 12 Buch, 4 Ballen
8 Rieß 16 Buch, 6 Ballen 9 Rieß 15 Buch; wie viel Papier
bleibt noch vorräthig?
9) Ein Beamter war zur Zeit seiner Anstellung 24 Jahre
3 Monate 14 Tage alt; nun ist er 51 Jahre 1 Monat 8 Tage
alt; wie lange dient er schon?
10) In einem Dreiecke betragen die drei Seiten 15 3^
106
8 1'25^, von 8 bis 6 um 1^ 4'11^, von 6 bis v
fällt sie um 5^ 5'87^, von 8 bis 8 steigt sie wieder um 1^
1'5^. Um wie viel lieflt 8 höher oder tiefer als ^.?
18) 428 Kilogr. 248 Gramm — 264 Kilogr. 549 Gramm — ?
19) 203 Ctr. 7 Unz. 11 Drachm. engl. aäp. — 88 Ctr.
10 Unz. 15 Drachm. — ?
20) 149 Pud 18 Pf. 35'62 Solotn. russ. — 39 Pud
32 Pfd. 78-75 Solotn. - ?
21) Jemand wurde am 5. November 1809 geboren; wie
alt war er am 27. Mai 1871?
107
1870 Jahre 4 Monate 26 Tage
1808 „ 10 „4
62 Jahre 6 Monate 22 Tage.
22) Der berühmte Tonkünstler Mozart wurde in Salz¬
burg am 27. Jänner 1756 geboren und starb in Wien den 5.
December 1791; wie alt ist er geworden?
8- 52.
Multiplikation mehrnamiger Zahlen.
Msoboiii elsol vicojmenn/eb.
Wenn eine mehrnamige Zahl mit einer unbenannten multi-
pliciert werden soll, multipliciert man entweder die Einheiten
einer jeden Benennung von der niedrigsten angefangen, und reduciert
die niedrigeren Produkte; oder man verwandelt die mehrnamige
Zahl in die niedrigste oder in die höchste Benennung, und ver¬
richtet dann die Multiplikation.
Ist der Multiplikand eine benannte Zahl, welche dem
Decimalsysteme angehört, so wird er auf einen Decimalbruch der
höchsten Benennung gebracht.
Aufgaben.
1) 15T.19St.45Mx23
363 T. 22 St. 15 M. "
45 M. X 23 -1035 M. -17 St. 15 M.
19 St. X23 -s- 17 St. - 454 St. -18 T. 22 St.
15T.X23-s-18T-363T.
oder
15 T. 19 St. 45 M. - 22875 M., 22785 M. X23
45570
68355
524055M. - 363 T. 22 S- 15 M.
oder auch
15T.19St.45M. - 15-82292T. 15 82292T.X23
3164584
4746876
363-92716 T. - 363T.22S1.15M.
108
2) 248 fl. 64 kr. X 6 oder 248'64 sl. X 6
1491 sl. 84 kr. 1491'84 fl.
- 1491 fl. 84 kr.
3) 25'° 3^ 38""° X 25 — ?
4) 7 Hektar 5'2 Ar X 146 — ?
5) Wenn 1 Ctr. 27 fl. 72 kr. kostet, wie hoch kommen
10 Centner?
6) Wenn 1 Ctr. 47 sl. 62 kr. kostet, was betragen 28 Ctr.,
57 Ctr., 101 Cr., 337 Ctr.?
7) Ein Hektoliter Weizen kostet 7 fl. 8 kr.; wie hoch kom¬
men 7, 28, 55, 99, 125 Hektoliter?
8) Ein Beamter bezieht monatlich 128 fl. 75 kr. Gehalt;
wie viel jährlich?
9) Wenn zwischen dem Blitze einer Kanone und deni darauf
gehörten Knalle 12 Secunden verfließen und der Schall in jeder
Secunde 332°" 2^ 5°"" znrücklegt, wie weit ist die Kanone vom
Beobachter entfernt?
10) Wenn 1 Maß Wasser 2 K 16 Lth. 3 Qtch. wiegt,
wie groß ist das Gewicht von einem Eimer Wasser?
11) Das Kilogramm hat 1 K 25'135 Lth. Wiener Gewicht;
wie viel sind 35, 89, 133, 20'48 Kilogr.?
12) Wenn 1 Dncaten 5 fl. 85 kr. gilt, was betragen 33,
57, 98, 183 Ducaten?
13) Ein Hauseigenthümer lässt 6 große und 11 kleine
Zimmer ausmahlen; von einem großen zahlt er 8 fl. 82 kr.,
von einem kleinen 5 fl. 25 kr.; wie hoch kommt die Mahlerei
sämmtlicher Zimmer?
14) Wie hoch kommen 28 Ctr. 64 Kilogr. L 34 fl. 82'5 kr.
der Centner?
15) Wenn der Centner mit 18 sl. 35 kr. bezahlt wird;
wie hoch kommen 2 Ctr. 17 Kil. 24 Nenloth?
16) 738 Lire 72 Cent. ital. X 319 - ?
17) 1204 Mark B. 9 Schill. 9 Pfenn. Hamb. X 125 - ?
18) 658 Thlr. 18 Ngr. 7 Pf. sächs. X 199 - ?
109
19) Man berechne folgenden Conto:
20) Wie lang ist eine Schnur, die sich um eine Welle, deren
Umfang 3^ 5°"> 8""" ist, 158mal Herumwinden lässt?
21) Ein Zimmer ist 3" 5^ 6" laug und 2° 3< 4" breit;
wie groß ist die Bodenfläche desselben?
3° 5' 6" - 282" 282 X 184
2» 3' 4" - 184" 2256
1128
51888
51888 : 144 - 360 list 360 : 36 - 10 m».
868
48 lH" Bodenfläche 10 lü" 480",
22) Ein Rechteck ist 9" 3'5^ lang und 5" 4^ 4<"" breit ;
wie groß ist seine Fläche?
23) Ein Gang, welcher 20" 5^ lang und 2>" 2^ breit ist,
soll niit Platten belegt werden; was kostet diese Arbeit, wenn
für das IDMeter 2 fl. 35 kr. gezahlt wird?
24) Jemand kauft einen quadratförmigen Bauplatz, dessen
Seite 12" 5' 4" ist, und zwar die Quadratklafter zu 24-245 fl. ;
wie viel muß er dafür bezahlen?
25) Wie groß ist die Oberfläche und wie groß der Körper¬
inhalt eines Würfels, dessen Seite 1^ 3^9-°-° beträgt?
110
26) Welchen Inhalt hat ein Wagenkasten, dessen Inneres
Mm Lm h^eit und 4'7^ hoch ist?
27) Ein rechtwinkliges, oben offenes Gefäß ist 1" 8^ lang,
säm 5<-m h^eit und ^am g°m hoch; welche Oberfläche haben die vier
Seitenwände und der Boden?
28) Wie hoch kommt die Aufführung einer Mauer, welche
l.Zm-4 24" ?
111
245664" : 18
: 2
122832
-. g
13648" - 3« 47' 28";
oder auch
68« 14' 24" - 68'24°
68-24° : 18
- : 2
3412
- :9
3 7911° - 3° 47' 28"
2) Man suche den 6. Theil von fl. 385 „14 kr.
fl. 385 „ 14 : 6 oder 38514 kr. : 6
fl. 64 „19 6419 kr.
- 64 fl. 19 kr.
3) 530 fl. 84 kr. .23 - ?
4) 4501 fl. 84 kr. : 56 - ?
5) 12 11 : 28 — ?
6) 289 Kilogr. 674 Gramm : 57 — ?
7) 399° 3' 2" 3'" : 27 - ?
8) Wenn 1 Ctr. Quecksilber 254 fl. kostet, wie theuer ist
1 Kilogramm?
9) Ein Hektoliter Wein kostet 37 fl. 60 kr.; wie hoch
kommt 1 Liter?
10) Ein Ballen Papier kostet 45 fl. 50 kr., wie hoch kommt
1 Rieß?
1,12
11) Eine Röhre gibt in 15 Stunden 48 Minuten 43 Hekto¬
liter Wasser; iu wie viel Zeit 1 Hektoliter?
12) 3003 Quart. 4 Bush. 6 Gall. engl. : 94 ^?
13) 2300 Tschetwert 5 Tschetwerik 1 Tschetwerka
russ. : 83 — ?
14) Wie ost sind 5 Neuloth 2 Gramm in 3 Kilogr. 38
Neul. enthalten?
5 Nlth. 2 Gr. - 52 Gr. 3380 : 52 — 65.
3 Kil. 38 Nlth. - 3380 Gr.
15) 31 sl. 50 kr. : 2 fl. 25 kr. - ?
16) 9 sH" 57 ilfl" 84 Hfl" : 24 ilfl" 56 üfl" - ?
17) 326 Ball. 1 Rieß 17 Buch 19 Druckb. : 13 Ball.
5 Rieß 18 Buch 6 Bogen — ?
18) Eine Stiege ist 3" 8^" hoch; wie viele Stufen hat sie,
wenn jede Stufe lfl" 3"" hoch ist?
19) In einer 942° 1/ 4" langen Allee befinden sich auf
jeder Seite Bäume in gleicher Entfernung von 2° 1' 4"; wie
viele Bäume zählt die Allee?
20) Wie viel Stück Ducaten braucht man, um 491 fl.
92 kr. zu zahlen, wenn die Ducaten im Curse zu 5 fl. 72 kr.
stehen?
21) Eine Fläche hat 15 lü" 30 Hfl 15 iü"; wie viele
Bretter von 1° lfl 4" Länge und 0 1" Breite braucht man, um
jene Fläche zu bedecken?
22) Ein Acker, welcher die Form eines Rechteckes hat, ist
74" 2^" lang, wie breit ist er, wenn die Fläche 699 Hj" 36 Hfl'"
beträgt?
699 ü)" 36 üfl" - 69936 Hfl" 69936 : 752 - 57
Adln ——
57-'" - 5" 7-'" Breite.
23) Ein Rechteck hat 72 12 O' Inhalt, und 2° Breite,
wie groß ist die Länge?
24) Ein cylindrisches Gefäß enthält 1 Cubfl" 683 Cub.°" ;
wenn nun die Höhe 9°" beträgt, wie groß ist Bodenfläche?
113
25) Ein Spiegel von 7^" 2°" Höhe und 5°" Breite
kostet 53 st. 82 kr.; wie hoch wird ein gerechnet?
26) Eine Linie ist viermal gemessen worden, und man fand
sie 57" 5^" 4"", 57"' 2^" 3°-", 58" 1°>" 8°", 57" 3^" 5°" lang ;
wie groß ist die Durchschnittslänge jener Linie?
27) Ein Rechteck hat 65 lü" 18 57 Flächen¬
inhalt; wie groß ist seine Breite, wenn die Länge 12'571"
beträgt?
28) Eine Mauer enthält 37'356 Cubikklafter, die Länge ist
12° 5^, die Höhe 7° 4>; wie dick ist die Mauer?
29) 5 Mark 12 Loth Silber werden um 12245 st. ver¬
kauft; wie viel kostet 1 Mark?
30) Das Licht legt den Weg von der Sonne zur Erde,
also einen Weg von 21000000 Meilen, in 8 Minuten 13'22
Secunden zurück; wie viel Meilen in einer Secunde?
31) Eine Goldstange ist 2 Mark 6'3 Loth schwer und ent¬
hält 2 Mark 1'5 Loth feines Gold; wie viel karatig ist diese
Goldmasse?
32) Eine Straße hat in einer Strecke von 854'6" eine
Steigung von 13" 4^" 8°"; wie groß ist die Steigung auf ein
Meter Länge?
33) Ein Gefäß hält 3 Cubikfuß 205'5 Cubikzoll; wie viele
Maß hält cs, jede zu 77'4145 Cubikzoll? (1 Dec.)
34) Wie viel Eimer fasst ein Gefäß von 2^ 8" Länge,
2^ 5" Breite und 1' 9" Tiefe, da 1 Eimer 1'792 Cubikfuß ent¬
hält? (2 Dec.)
^H) Ein Speicher ist 6" 4^" 8°" lang und 4" 1^" 2°"
breit; wie viel Hektoliter Getraide können darauf gebracht werden,
wenn die Höhe des aufgeschütteten Getraides 3^" betragen soll?
(3 Dec.)
36) 10 Meter Tuch kosten 52 fl. 20 kr.; wie hoch kommen
7 Meter von demselben Tuche?
37) Wenn 5 Hektoliter 108 fl. 20 kr. kosten; wie hoch
kommen 9 Hektoliter von demselben Weine?
M°c Ilik, Arithmetik m. böhm. Term. 1!. Ausl. 8
114
38) Wie viel kosten 3-158 Ctr. einer Waare, wovon 7 Ctr.
35 Kilogr. 5 Nlth. 400 fl. kosten?
39) Die Triebräder einer Locomotive haben 1" 2^ im
Durchmesser; wie viel Umläufe müßen sie machen, um die Eisen¬
bahnstrecke zwischen Wien und Linz, welche 18M" 890" beträgt,
zurückzulegen?
40) Unter drei Personen sollen 115 fl. 86 kr. so vertheilt
werden, dass .4 die Hälfte, 0 den dritten Theil und 0 den Rest
bekommt; wie groß ist der Antheil einer jeden dieser drei
Personen?
41) Jemand nimmt einen Bedienten auf, und verspricht
ihm 74 fl. 50 kr. Jahreslohn; nach 4 Monaten entlässt er den
Diener, nachdem er ihm schon 13 fl. 80 kr. gegeben hat; wie
viel hat der Diener noch zu bekommen?
42) Auf einem Getraidemarkte verkaufte man 48 Hektol.
Weizen zu 7 fl. 20 kr., 35 Hektol. zu 7 fl. 32 kr. und 17 Hektol.
zu 7 fl. 60 kr.; wie theuer wurde im Durchschnitte ein Hektol.
verkauft?
43) Jemand reiset ab und macht täglich 4 Meilen 2000
Klafter; nach 3 Tagen wird ihm ein Bote nachgeschickt, der täg¬
lich 6 Meilen 1000 Klafter zurücklegt. In wie viel Tagen holt
er ihn ein?
44) Wie viel kostet die Verführung von 1 Cub." Steinen
auf eine Strecke von 1 Kilometer, wenn man auf diese Weg¬
länge täglich 25 Fuhren, jede mit 620 Cub?" Ladung, machen ,
kann und wenn eine Fuhre für den ganzen Tag 5 fl. 20 kr. kostet? '
Wälsche Praktik,
kvxlelulluz' xotzet vM vluskä praktiLa.
8- 54.
Eine Zahl, welche mehrere Male genommen eine andere
höhere Zahl gibt, heißt ein aliquoter Theil (kolik^ äii) von
dieser letztem; z. B. 4 ist ein aliquoter Theil von 32, und zwar
der 8te Theil; 20 Kreuzer sind ein aliquoter Theil von 100 Kreu¬
zern oder von einem Gulden, und zwar der 5te Theil, ist ein
aliquoter Theil von 1; dagegen ist 4 kein aliquoter Theil von 30,
7 Kreuzer kein aliquoter Theil von einem Gulden.
Beispiele.
1) 25 kr. sind der 4te Theil von einem Gulden, 10 kr.
-- fl-
2) 25 Kilogr. — s Ctr., 5 Kilogr. — Ctr.
3) 4 Monate — Jahr, 3 Monate — -s Jahr.
4) 10 Tage - z Monat, 2 Tage - Monat.
5) Man gebe alle aliquoten Theile eines Gnldens, eines
Centners, eines Kilogramms, eines Jahres, eines Monates an;
eben so eines Pfundes Sterling, eines Thalers preuß. und sächs.,
einer Hamburger Mark Banco.
Wenn eine Zahl kein aliquoter Theil einer höheren Zahl
ist, . soMsst sie sich immer in aliquote Theile derselben zerfallen,
und zwar durch die Subtraction, wenn ihr gerade noch ein ali-
8«
116
quoter Theil bis zu der höhern Zahl fehlt, sonst durch die
Addition. Bei der Zerlegung durch die Addition sehe man darauf,
dass man immer mit den größern aliquoten Theilen anfange,
und dass wo möglich jeder folgende Theil ein aliquoter Theil
eines andern vorhergehenden sei.
Beispiele und Aufgaben.
i) 5^ i - 2) z i -
3) 80 kr. - 100 kr. — 20 kr. - 1 fl. — fl.
4) 75 Kilogr. - 100 Kil. — 25 Kil. - 1 Ctr. — f Ctr.
5) 8 Monate — 12 Monate — 4 Monate — 1 Jahr
— z Jahr.
6) r r-: -f- i 1 i -
7) 7-'. — -sx 's« 's« — 's-sx-
8) 30 kr. - 25 kr. -f- 5 kr. - f fl. -s- 2U fl.
9) 31 K - 25 « -j- 5 K -I- 1 K.
10) 19 Tage — 15 Tage -j- 3 Tage -s- 1 Tag.
11) Man zerlege die verschiedenen Kreuzerzahlen von 1
bis 100 in aliquote Theile des Guldens, wenn sie es nicht
schon sind. .
12) Man zerfalle die verschiedenen Zahlen der Kilogramme r
von 1 bis 100, welche nicht aliquote Theile eines Centners
sind, in solche.
13) Man zerlege 5, 7, 8, 9, 10, 11 Monate in aliquote
Theile eines Jahres.
Das Verfahren. nach welchem die im Rechnen vorkom¬
menden niedrigeren Zahlen als aliquote Theile einer höhern
Zahl betrachtet und als solche berechnet werden, heißt die wälsche
Praktik (vmslrü xrulltiLu öili rorlllncinv xnöst). Sie wird
insbesondere angewendet, wenn aus dem bekannten Betrage der /
Einheit der Betrag einer gleichartigen Mehrheit gefunden werden
soll, und wenn in diesem Falle im Betrage der Einheit, oder in
der Mehrheit, oder in beiden zugleich kleinere Theile eines höhern
Ganzen entweder als Brüche oder als Unterbenennungen Vorkommen.
117
Z- 55.
1. Aufgaben, in denen der Betrag der Einheit
zerlegt wird.
vs kter/ek 86 ro?KIaäst obnäLka soänotk^.
1) Wie viel kosten 64 Kilogr., wenn 1 Kil. 25 kr. kostet?
64 Kil. st 25 kr. oder s fl.
16 fl.
25 kr. sind der 4te Theil eines Guldens, 64 Kil. st 1 fl. kosten daher
" fl.; man muß also 64 fl. durch 4 dividieren, wodurch man 16 fl. erhält.
2) Wie viel kosten 46 Meter st 3 fl. 20 kr. ?
46 Meter L 3 fl. 20 kr.
138 fl. st 3 fl.
9-2 „ L 20 kr. - - fl.
147-2 fl. - 147 fl. 20 kr.
3) Wie hoch kommen 168 Meter, wenn 1 Meter 60 kr. kostet?
168 Meter L 60 kr.
84^ fl. kr? - fl.
16-8 fl. st 10 kr. — z von 50 kr.
10(18^?- 100 fl. 80 kr.
4) Man berechne den Wert von 42 Centnern zu 9 Thlr-
19 Sgr. preuß.
42 Ctr. L 9 Thl. 19 Sgr.
378 Thl. st 9 Thl.
21 „ 15 Sgr. -z Thl.
4'2 „ 3 „ — ' von 15
- 1'4-,,^ 1 „ - von 3
4046 Thl. - 404 Thl. 18 Sgr.
5) Wie viel kosten 214 Kilogr. st 1 fl. 3 7 kr.?
53 5 . 25kr.-4fl.
21'4.10 „
4^28^. 2 „ - ^vonlO
293Ä8 fl. — 293 fl. 18 kr.
118
6) Wie hoch kommen 125 Meter ä 80 kr. ?
— 25 20 kr.
100 fl.
Zu 80 kr. fehlen noch 20 kr. -- fl , um einen ganzen Gulden zu
erhalten, oder 80 kr. - I fl. — 20 kr.; man nimmt also zuerst 125 Meter
L 1 fl., wodurch man 125 fl. erhält, dann berechnet man 125 Meter ä > fl.,
wodurch man 25 fl. bekommt, und subtrahiert den zweiten Betrag vom ersten.
7) Wie viel kosten 214 Hektoliter, wenn das Hektoliter
mit 8 fl. 75 kr. bezahlt wird?
214 Hektoliter L fl. 8 „ 75
1926 . . . . a 9 fl.
— 52'8 . . . . n 25 kr.
1873-2 fl. rw 1873 fl. 20 kr.
Zu 75 kr. fehlen noch 25 kr. - fl. bis zu einem ganzen Gulden,
oder 8 fl. 75 kr. - 9 fl. — 25 kr.; man sucht daher zuerst den Wert ä 9 fl.
dann L 25 kr., und subtrahiert den zweiten Betrag vom ersten.
Man berechne:
8) 356 Meter a fl. 4 „ 50.
9) 728 N ü 20 kr.
10) 75 Rieß Papier zu fl. 3 „ 10 kr.
11) 129 Ctr. zu fl. 12 „ 30 kr. südd. W.
12) 2145 Neuloth zu 11 Neugr. sächs.
13) 158 Ku 9 Schill. Banco Hamb.
14) 1000 Stück Bäumchen u 15 kr.
15) 3240 Pfund Sterling L fl. 13 „ 16.
16) 719 Meter L 90 kr.
17) 3158 K a 3 fl. 95 kr.
18) 912 Hektoliter zu fl. 7 „ 80 kr.
19) 24 Hemden L fl. 3 „ 12.
20) 739 Ctr. zu 50 fl. 30 kr.
21) 65 Liter n 28 kr.
22 > 57 Hektoliter ü fl. 3 „ 25.
23) 98 Ellen zu 37 kr.
24) 315 Ctr. ä 4 Livr. 13 Schill. Sterling.
25) 78 Ctr. a 86 Mark 7 Schill. Banco Hamb.
119
26) 205 Meter L 1 Thl. 23 Sgr. preuß.
27) 405 Hektoliter zu fl. 25 „ 43.
28) 518 Liter zu 85 kr.
29) 1228 Kilogramm zu fl. 2 „ 39.
30) 132 Ellen zu 45 kr.
31) 115 Ducaten zu fl. 5 „ 86.
32) 387 Ctr. L fl. 100 „ 84.
33) 1345 Kilogramm L 1^ Francs.
34) 2028 engl. Pfund a 9 Schill. 8 Pences.
8- 56.
2. Aufgaben, in denen die Mehrheit zerlegt wird.
I)kolx, V6 86 rorkiflää mnoLstvl.
1) Wie viel kosten 20 Kilogramm, wenn 1 Ctr. auf 140 fl. zu
stehen kommt?
20 Kil. L fl. 140 pr. Ctr.
fl. 28
80 Kil. sind der 5te Theil von einem Centner, und kosten.daher
nur den Sten Theil von 140 fl.
2) Wie viel kostet f Meter eines Tuches, wovon das
Meter fl. 5 „ 20 kostet?
1 Meter s, fl. 5 „ 20
fl. 1 „ 30.
3) Wie hoch kommen 4 Ctr. 50 Kilogr. zu 54 fl. der Ctr. ?
4 Ctr. 50 Kil. a fl. 54 pr. Ctr.
216
50 Kil. - z Ctr._27
fl. 243
4) Wie viel kosten 3' Meter Tuch L 5 fl. 12 kr.?
3z Meter a fl. 5 „ 12
fl. 15 „ 36
" fl - » 64
fl. 16 „ -
120
5) Wie viel betragen 12 Ctr. 85 Kil. u 87 Rubel pr. Ctr.?
12 Ctr. 85 Kil. ü Rub. 87 pr. Ctr.
174
50 Kil. - 1 Ctr. 43-5
25 „ — von 50 21-75
10 „ — < von 50 8 7
Rub. 1117-95
— 1117 Rub. 95 Kopeken.
6) Man berechne den Wert von 4§ Ell. ü fl. 4 „ 40.
4- Ellen a fl. 4 „ 40
fl. 17 „ 60
-z ... „ 2 „ 20
... » „ 55
fl.^20 „ 35
7) Wie hoch kommen 75 Kilogr. L fl. 15 „ 12 pr. Ctr.
75 Kil. u fl. 15 „ 12 pr. Ctr.
ab 25 Kil. . . - „ 3 „ 78
fl. 11 „ 34
75 Kil. - I Ctr. — 25 Kil.; man nimmt daher zuerst den Wert
für 1 Ctr., dann für t Ctr., und subtrahiert.
8) Was betragens Meter u fl. 5 „ 1 2?
4.20 „ 48
ab g- . . . . . — „64
fl. 19 „ 84
Man berechne noch:
9) 25 Kilogr. L fl. 12 „ 64 pr. Ctr.
10) 51- Meter zu fl. 5 „ 45.
11) 9° Meter zu fl. 4 „ 48.
12) 81- Meter zu fl. 6 „ 12.
13) 10 Ctr. 10 Kil. zu fl. 47 „ 32 der Centner.
14) 8flg Ctr. zu fl. 25 „ 40.
15) 5 Ctr. 80 Kil. zu 64 fl. der Ctr.
16) 8 Ctr. 24 .K n fl. 35 pr. Ctr.
17) 3 Ctr. 32 Kil. 17 Neuloth zu 126?- fl. pr. Ctr.
121
18) 8 Mark 7 8th. zu 13'5 Lth. seines Silber pr. Mark.
19) 5 Eimer 20 Maß ü fl. 18 „ 26 pr. Eimer.
20) Die jährliche Einnahme kommt auf fl. 2452 „ 20; wie
viel beträgt die Einnahme in 2 Jahren 7 Monaten 18 Tagen?
8- 57.
Aufgaben, in denen sowohl die Mehrheit als der
Preis der Einheit zerlegt wird.
ve ütor^ell so i muoLstvl i eoua joäuotk^.
1) Wenn 1 Ctr. mit 48 fl. 25 kr. bezahlt wird, wie hoch
werden 20 Ctr. 62 Kil. 20 Neul. zu stehen kommen?
3) Wie viel kosten 17 Ctr. 55 Kil. 22^- Neul., wenn der
Centner mit 137 fl. 85 kr. verkauft wird?
4) Wie viel feines Silber ist in 42 Kilogr. 12 Neul. enthal¬
ten, wenn ein Kilogr. 72 Neul. 6'2 Gramm feines Silber enthält?
5) Wie viel Gulden betragen 204 Kilogr. 11^ Neul. Silber,
wenn 1 Kilogr. zu 95 fl. 34.s kr. gerechnet wird?
6) Wie viel betragen 748 Livres 17 Schilling Sterling
L 12 fl. 72 kr.?
7) Wie viel kosten 27 Ctr. 68 Kil. 6 Neuloth einer Waare,
wovon das Kilogr. 3 Mark 12 Schill. Banco kostet?
8) Wie viel kosten 3 Ctr. 35? Pfund L 1 Thlr. 18 Sgr.
Pr. Pfund?
Man führe alle diese Beispiele auch mit Hilfe der Decimal-
brüche durch.
Siebenter Abschnitt.
Die Verhältnis-Rechnungen.
0 povlevL pomtzrovFek.
1. Verhältnisse.
O povaKrsvla.
8- 58.
Bei den meisten Rechnungen wird eine Vergleichung von
-gleichartigen Größen (stojnoroäim veliöiva) vorausgesetzt, wodurch
man untersucht, wie oft die eine in der andern enthalten ist. Eine
solche Vergleichung von zwei gleichartigen Größen heißt ein Ver¬
hältnis (xomör); von den beiden Größen wird die erste das
Vorderglied (xrockin Lion), die zweite das Hinterglied
(rnäin ölen) genannt. Z. B. Unter dem Verhältnisse von 12 zu
4 verstehet man die Angabe, wie oft 4 in 12 enthalten ist,
durch diese Zahlen selbst ausgedrückt, somit den angezeigten
Quotienten 12 : 4; der Dividend 12 ist das Vorderglied, der
Divisor 4 das Hinterglied.
Wenn man das Vorderglied durch das Hinterglied wirklich
dividiert, so heißt der Quotient der Exponent («xponont,
vMaäatey des Verhältnisses; in dem Verhältnisse 12 : 4 ist 3
der Exponent, und zeigt an, dass 4 in 12 3mal enthalten ist
oder dass 12 3mal so groß ist als 4.
Aus diesen Erklärungen folgt:
In jedem Verhältnisse ist das Vorderglied gleich dem Hinter-
gliede multipliciert mit dem Exponenten, und das Hinterglied
gleich dem Vordergliede dividiert durch den Exponenten.
123
Mit Rücksicht aus den Exponenten unterscheidet man
Verhältnisse der Gleichheit (pomöry v ravnosti öi rovuo-
morzch, fallende und steigende Verhältnisse (poiuör^
868tuxno u rostouel), je nachdem der Exponent gleich 1, größer
als 1, oder kleiner als 1 ist; in einem Verhältnisse der Gleich¬
heit sind beide Glieder gleich, in einem fallenden ist das Vorder¬
glied größer, in einem steigenden kleiner als das Hinterglied.
1 : 1, 2 : 2, 7 : 7, 14 : 14 sind Verhältnisse der Gleichheit,
2 : 1, 5 : 2, 10 : 7, 37 : 14 „ fallende Verhältnisse,
1 : 3, 2 : 5, 7 : 20, 14 : 30 „ steigende Verhältnisse.
8- 59.
Die Größe eines Verhältnisses hängt von dem Expo¬
nenten ab (velikost pomöru rmvisl oä jollo oxpononta); zwei
Verhältnisse sind demnach gleich (rovn^), wenn sie denselben
Exponenten haben, und es bleibt ein Verhältnis so lange unge¬
ändert, als es denselben Exponenten beibehält. Daraus folgt:
u) Ein Verhältnis bleibt unverändert (pomor
2Ü8tävä uoxromßuön), wenn man beide Glieder mit der¬
selben Zahl multipliciert. So gibt das Verhältnis 10 : 2,
wenn man beide Glieder mit 2, oder mit 3, oder mit 5 multipli¬
ciert, die Verhältnisse 20 : 4, 30 : 6, 50 : 10, welche alle dem
ersten Verhältnisse gleich sind, weil sie denselben Exponenten 5
haben.
b) Ein Verhältnis bleibt unverändert, wenn
man beide Glieder durch dieselbe Zahl dividiert.
Z. B- Das Verhältnis 20 : 4 wird nicht geändert, wenn man
beide Glieder durch 4 dividiert; man bekommt dadurch 5 : 1,
welches Verhältnis mit dem gegebenen denselben Exponenten 5 hat.
Mit Hilfe des ersten Satzes kann ein Verhältniß, worin
Brüche oder gemischte Zahlen vorkommen, durch ganze Zahlen
darge sielt werden; man braucht nur beide Glieder mit dem
wegzuschaffenden Nenner oder wenn ihrer zwei vorkommen, mit
dem gemeinschaftlichen Vielfachen der Nenner zu multiplicieren. Z. B.
124
-3- - 5 3 - ' 3'
4'0 - Z 5 '
3 : 20 X 6 : l" 8 : 45 ^0
Man stelle folgende Verhältnisse in ganzen Zahlen dar:
7 . /I 8, . y . » 7 - 5? . r. -7. . .5 -9 . „7„
g . ' 4» ' ^8/ 2 * 3, 10 * 8, 16 ' 12,
<-3.3 11.^3 L)s)2 . 7
^7^ * 8, 25 * ^20, ^^7 * 12'
Mit Hilfe des zweiten Satzes kann jedes Verhältnis,
dessen beide Glieder ein gemeinschaftliches Maß haben, abge¬
kürzt werden, indem man beide Glieder durch jenes Maß
dividiert. Z. B.
15 : 6 28 : 8 . 10 : 5
5:2'^ 7:2' 2:1'
Man drücke folgende Verhältnisse durch die kleinsten
Zahlen aus?
6:2, 10 : 18, 12 : 16, 32 : 24, 56 : 72, 120 : 48.
Folgende Verhältnisse sollen auf die einfachste Gestalt
gebracht, d. i. in ganzen Zahlen dargestellt, und dann, wenn es
angeht, abgekürzt werden:
4 : 6-, 5' : 7z, 3- : 8', 12° : 8?, II» : 2z, iz : ?,
1 - . sz -z 9 >16^
16 * ^4, ^16 ' ^^4.
Aufgaben.
1) Eine Linie ist 12 Meter lang, eine andere 4 Meter;
wie verhalten sich die Längen dieser Linien zu einander?
2) Wie verhält sich ein Fuß zu einer Klafter?
3) Ein kaiserlicher Ducaten gilt 5'9 fl., ein Achtguldenstück
9'9 fl.; wie verhalten sich die Werte dieser Goldmünzen zu
einander?
4) Ein Ctr. Kaffee kostet 75z fl., 1 Ctr. Zucker 32? fl-,
wie verhält sich der Preis vom Kaffee zum Preise des Zuckers?
5) Von zwei Mühlsteinen dreht sich der eine in jeder
Minute 72mal, der andere 60mal um; in welchem Verhältnisse
stehen ihre Geschwindigkeiten?
6) Von zwei Rädern macht das eine 300 Umdrehungen
in 2z Minuten, das andere braucht zu eben so viel Umdrehun-
125
gen nur 1- Minuten; wie verhält sich die Geschwindigkeit des
ersten Rades zu jener des zweiten? — Wie 1; : 2j-, oder
14 : 25.
7) Wie verhält sich die englische Seemeile zur geo¬
graphischen Meile, wenn auf einen Grad des Aequators 60
englische Seemeilen, und 15 geographische Meilen gehen? — Wie
15 : 60, oder 1 : 4.
8) 45 fl. österr. Währung enthalten ein Münzpfund feinen
Silbers; eben so viel Silber ist in 30 Thalern der Thaler-
Währung, und auch in 52j fl. süddeutscher Währung enthalten;
wie verhält sich dem innern Werte nach
u) 1 fl. ö. W. zu 1 Thlr.?
b) 1 fl. ö. W. zu 1 fl. südd. W.?
o) 1 Thlr. zu 1 fl. südd. W.?
9) Ein Kreis, dessen Durchmesser 1/ ist, hat 3" Umfang;
welches Verhältnis findet zwischen dem Durchmesser und dem
Umfange statt?
10) Von zwei Locomotiven legt die eine in jeder Minute
320 Meter, die andere 360 Meter zurück; wie verhalten sich ihre
Geschwindigkeiten?
11) Ein Zimmer ist 15j°° lang und 9Z" breit; wie ver¬
hält sich die Länge zu der Breite?
12) Ein Fenster ist 5' 8" hoch und 3' 6" breit; wie
verhält sich die Höhe zu der Breite?
13) Ein Pariser Fuß hat 144 Pariser Linien, ein Wiener
Fuß 140'127 Pariser Linien; wie verhält sich der Pariser zu dem
Wiener Fuß?
14) Ein Joch hat 1600 lH" oder 0'57546 Hektar; wie
verhält sich eine Qüadratklafter zu einem Hektar?
15) Der Mond dreht sich in 27 Tagen um seine Achse;
Jupiter, der größte unter den Planeten, in 9^ Stunden; wie
verhalten sich ihre Umdrehungszeiten?
16) 1 Meter Tuch kostet 5 Gulden, 6 Meter kosten daher
126
30 Gulden; welches Verhältnis findet zwischen den Längen, und
welches zwischen den Werten des Tuches statt?
Verhältnis der Längen 1 : 6,
Verhältnis der Werte 5 : 30, oder 1:6;
es sind also beide Verhältnisse einander gleich.
17) 5 Arbeiter vollenden eine Arbeit in 8 Tagen, 10
Arbeiter werden für dieselbe Arbeit nur halb so viel Tage, also
4 Tage brauchen; wie verhalten sich die Zahlen der Arbeiter,
und wie jene der Tage?
Verhältnis der Zahlen der Arbeiter 5 :10 oder 1: 2
Verhältnis der Tage 8:4 oder 2:1;
es ist also das Verhältnis zwischen den Zahlen der Arbeiter
gleich dem Verhältnisse der zugehörigen Zahlen der Tage, aber
in verkehrter Ordnung (odraoen^ xoruäöll) genommen.
8- 60.
Die bisher betrachteten Verhältnisse heißen einfache (seäno-
äuelle), im Gegensätze zu einem zusammengesetzten (sioLsnF
xomör), dessen Vorderglied das Product aus den Vordergliedern
mehrerer einfacher Verhältnisse und das Hinterglied das Product
aus den Hintergliedern derselben Verhältnisse ist. Z. B.
s4 : 3 Exponent
Einfache Verhältnisse ^5:6 „ °
: 7 „ z
Zusammengesetztes Verh. 4.5 . 9 : 3.6 . 7 „ —
oder 10 : 7 „
Der Exponent eines zusammengesetzten Verhältnisses ist
also gleich dem Producte aus den Exponenten der einfachen
Verhältnisse.
Zusammengesetzte Verhältnisse kommen in der Anwendung
vor, wenn man Größen mit einander vergleichen will, die ein¬
zeln von zwei oder mehreren andern Größen abhängen. Z. B.
geht durch 10 Tage und legt täglich 8 Meilen zurück, L geht
127
durch 12 Tage, macht aber täglich nur 7 Meilen; wie verhalten
sich die von beiden zurückgelegten Strecken? Diese hängen offenbar
sowohl von der Zeit als von der Geschwindigkeit der Bewegung
ab; da n im Ganzen 10 X 8 Meilen, und L 12 X 7 Meilen
macht, so ist das Verhältnis der von beiden zurückgelegten Stre¬
iken 10 X 8 : 12 X 7. Man hat somit
Verhältnis der Zeiten 10 : 12
Verhältnis der Geschwindigkeiten _ 8 : 7
Verhältnis der Strecken 10 X 8 : 12 X 7
oder 20 : 21
und sagt: Die zurückgelegten Strecken stehen in zusammengesetztem
Verhältnisse der Zeiten und Geschwindigkeiten.
Ein zusammengesetztes Verhältnis wird nicht geändert, wenn
man irgend ein Vorderglied und zugleich irgend ein Hinterglied
in den einfachen Verhältnissen mit derselben Zahl multipliciert
oder durch dieselbe Zahl dividiert. Dadurch können die einzelnen
Glieder der einfachen Verhältnisse noch vor ihrer Multiplication
von Brüchen befreit und abgekürzt werden.
Aufgaben.
Man bilde das zusammengesetzte Verhältnis
1) aus 8 : 5, 10 : 7, 21 : 16;
2) aus 3z : 2, 5z : 6z, 3 : 2z;
3) aus 2z : z, 7 : 3s, 1 : 4z, - : s;
4) aus 3» : 24, 35 : 48, 27z : 25, 12 : 14s;
5) aus 1 : 2, 2 : 3, 3 : 4, 4 : 5, 5 : 6;
6) aus 13^ : 12, 15z : 8s, 7 : 10Z, 30 : 35, 35 : 25z.
7) Von zwei Rechtecken ist das eine 15 Meter lang und
12 Meter breit, das andere 18 Meter lang und 16 Meter breit;
wie verhalten sich die Flächen der beiden Rechtecke?
Verhältnis der Längen 15 : 18
„ „ Breiten 12 : 16
„ „ Flächen 5 : 8
8) Von zwei Gefäßen hat das eine 4' 8" Länge, 2^ 1"
Breite und 1? 4" Tiefe, das andere ist 3^ 6" lang, 1' 8" breit
128
und 1^ 2" tief; wie verhält sich der Inhalt des ersten Gefäßes
zu jenem des zweiten?
Verhältnis der Längen 56 : 42
„ „ Breiten 25 : 20
„ „ Tiefen 16^: 14
„ „ Inhalte 40 : 21
9) Die Längen zweier Gärten find 22" 5^ und 18° 3si
die Breiten 15°. 4^ und 16°; in welchem Verhältnisse stehen die
Flächen?
10) Von zwei Dampfmaschinen ist die eine im Stande,
108 metr. Ctr. 95" hoch, die andere in derselben Zeit 152 metr.
Ctr. 105" hoch zu schaffen; in welchem Verhältnisse stehen die
Kräfte dieser beiden Maschinen?
II. Proportionen.
O proporoivd.
§. 61.
Wenn man zwei Verhältnisse, welche denselben Exponenten
haben, und somit gleich sind, durch das Gleichheitszeichen ver¬
bindet, so heißt ein solcher Ausdruck eine Proportion (proporce.)
Z. B 10 :5 — 12 : 6 ist eine Proportion, und wird gelesen 10 ver¬
hält sich zu 5, so wie sich 12 zu 6 verhält, oder kürzer: 10 zu 5
wie 12 zu 6; 10 ist das erste, 5 das zweite, 12 das dritte
und 6 das vierte Glied der Proportion; das erste, und vierte
Glied nennt man die äußeren (krajni öienv), das zweite und
dritte die inneren Glieder (8treüol ölen^.)
Eine Proportion, in welcher das zweite und dritte Glied
gleich sind, wird eine stetige Proportion (ustaviöiui, pro¬
porce), und jedes der inneren Glieder die mittlere stetige
Proportionale (8treäni ustnvicou proporce) zwischen den
beiden äußern genannt. So ist 24 : 12 — 12: 6 eine stetige Pro¬
portion, und 12 ist die mittlere stetige Proportionale zwischen 24
und 6.
In einer Proportion können auch benannte Zahlen vor-
129
kommen; mir müßen die beiden Glieder eines jeden Verhältnisses
gleichnamig sein; z. B. 12 Pfd. : 4 Pfd. — 30 sl. : 4 fl. Da
übrigens die Benennungen, ohne die Proportion zu ändern, weg¬
gelassen werden können, und der Rechnung ohnehin nur die reinen
Zahlen unterzogen werden, so werden wir in dem Nachfolgenden
immer nur solche Proportionen voraussetzen, deren Glieder unbe¬
nannte Zahlen sind.
8- 62.
Setzt man in einer beliebigen Proportion 16 : 2 — 48 : 6
statt eines jeden Vordergliedes das Product aus dem Hintergliede
und dem Exponenten, so erhält man
2X8:2-6X8:6.
Daraus ist ersichtlich, daß sowohl die äußeren als die
inneren Glieder mit einander multipliciert, dieselben drei Factoren
2, 8 und 6 enthalten, daher auch dasselbe Product geben müßen.
In jeder Proportion ist also das Product der
äußeren Glieder gleich dem Producte der inneren
Glieder.
Umgekehrt müßen zwei Verhältnisse 16 : 2 und
48 : 6, in denen das Product der äußeren Glieder
gleich ist dem Producte der innern, nothwendig einander
gleich sein, und somit eine Proportion bilden. Wenn
nämlich
16 X 6 - 2 X 48 ist, so muß auch - 2 X 48
oder '2° — V' oder 16 : 2 — 48 : 6 sein.
Eine Proportion bleibt demnach so lange richtig, als das
Product der äußeren Glieder dem Producte der inneren gleich bleibt.
Daraus folgt :
1. Wenn man in einer Proportion die inneren
Glieder mit einander vertauscht (promöstl-li so stroänl
elonovo), so erhält man wieder eine Proportion.
Z. B- aus 8:4— 10 : 5 folgt auch 8 : 10 — 4 : 5.
Močnik, Arithmetik m. böhm. Term. 14. Aufl. A
130
2. Wenn man in einer Proportion die äußeren
Glieder mit einander verwechselt, so erhält man
wieder eine Proportion. Wenn z. B. 8 : 4 — 10 : 5 ist,
so hat man auch 5 : 4 — 10 : 8.
3. Werden in einer Proportion die inneren
Glieder mit den äußeren verwechselt, so hat man
wieder eine richtige Proportion (pravaproporce). Wenn
8 : 4 — 10 : 5, so ist auch 4 : 8 — 5 : 10.
4. Eine Proportion hört nicht auf richtig zu sein,
wenn man ein inneres und ein äußeres Glied mit
derselben Zahl multipliciert.
Z. B. Aus 8 : 4 - 10 : 5 folgt auch
8X2:4X2 — 10:5 oder 16 : 8 — 10 : 5,
8 X 2 : 4 - 10 X 2 : 5 „ 16 : 4 - 20 : 5,
8 : 4 X 2 - 10 : 5 X 2 „ 8 : 8 - 10 10,
8 : 4 - 10 X 2 : 5 X 2 „ 8 : 4 - 20 : 10.
Mit Hülfe dieses Satzes kann mau jede Proportion, in
welcher Brüche Vorkommen, mit ganzenZahlen darstellend
man braucht nur den Nenner eines äußern Gliedes als Factor
in ein inneres, und den Nenner eines innern Gliedes in ein
äußeres als Factor zu übertragen. Z. B. aus der Proportion
: 5 - 4 : x
wo x ein noch unbekanntes Glied vorstellt, folgt:
3 : 5 X 2 — 4 : x oder 3 : 10 — 4 : x.
Aus x : 2 : 2 folgt x:3 — 4:2x5x9
oder x : 3 — 4 : 90; aus 3z : x — 2 z : 1 folgt 7 : x — 7 X 2:
1X3 oder 7 : x - 14 : 3.
Man stelle folgende Proportionen in ganzen Zahlen dar:
1) x 2) 15j- : 2 17 : x
3) ° : 4 r- x : z 4) 6 z : liz x : 2z.
5) z : x — - . Z 6) 5^ : x - 2- : 3
7) x : 1 : ; 8) x : 2z - 18 : 3 z
5. Eine Prop ortion hört nicht aus richtig zu sein,
131
wenn man ein äußeres und ein inneres Glied durch
dieselbe Zahl dividiert.
Z. B. Aus 8 : 12 — 16 : 24 folgt auch
(8:4) : (12 : 4) - 16 : 24 oder 2 : 3 - 16 : 24,
(8 : 4) : 12 - (16 : 4) : 24 „ 2 : 12 - 4 : 24,
8 : (12 : 4) - 16 : (24 : 4) „ 8 : 3 - 16 : 6,
8 : 12 - (16 : 4) : (24 : 4) „ 8 : 12 - 4 : 6
Mit Hülfe dieses Satzes kann man jede Proportion, in
welcher ein äußeres und ein inneres Glied ein gemeinschaft¬
liches Maß haben, in kleineren Zahlen ausdrücken, wenn
man jene zwei Glieder durch das gemeinschaftliche Maß
dividiert. Z. B.
aus x 4 — 3 : 20 folgt x : 1 — 3 : 5
„ 10 : x - 60 : 12 „ 1 : x - 1 : 2
„ 6 : 15 — 8 : x „ 1 : 5 — 4 : x.
Man drücke folgende
ganzen Zahlen aus:
1) 9 : 27 - 5 : x
3) 27 : x - 6 : 8
5) 9z : 3^ — 2 : x
7) x : 3s 5," : /
9) z : z - X: z
11) : 27/. >3,/
12) 81^ : 110/f, - x
Proportionen durch die kleinsten
2) 21 : 24 - 14 : x
4) x : 8 — 56 : 64
6) 2-z : 3z x : 9 z
8) 4; : x - 5z : 5z
10) 42z : X - 25,-/ : 47,/
x
5o:z.
6. Wenn man in zwei oder mehreren Propor¬
tionen die ersten, die zweiten, dritten und vierten
Glieder mit einander multipliciert, so bilden die
Productc wieder eine Proportion. Z. B.
Aus den Proportionen
2:3- 4:6
5 : 3 - 15 : 9
7 : 2 — 28 : 8 folgt auch
2X5X 7:3X3X2-4X15X28:6X9X8
oder
70 : 18 - 1680 : 432.
9^
132
Eine Proportion, welche durch die Multiplikation der
gleichvielten Glieder mehrerer gegebener Proportionen entsteht,
heißt eine zusammengesetzte Proportion.
7. In jeder Proportion verhält sich dieSumme
oder die Differenz der Vorderglieder zur Summe
oder D ifferen z der Hinterglieder, wie jedesVorder?
glied zu seinem Hintergliede.
Z. B. Aus 24 : 8 — 18 : 6 folgt auch
(24 -s- 18) : (8 -j- 6) - 24 : 8 und -8:6
(24 18) : (8 — 6) - 24 : 8 -8:6.
8. In jeder Proportion verhält sich dieSumme
der Glieder des ersten Verhältnisses zu ihrer
Differenz, wie die Summe der Glieder des zweiten
Verhältnisses zu ihrer Differenz.
Z. B. Aus 24 : 8 - 18 - 6 folgt auch
(24 -s- 8) : (24 — 8) - (18 6) : (18 - 6)
oder 32 : 16 - 24 : 12.
Z. 63.
Aus einer Proportion, in welcher drei Glieder bekannt
sind, das unbekannte Glied finden, heißt die Proportion
auflö s e n (proporci roxtzoclnouti). Das unbekannte Glied wird
gewöhnlich mit einem der Buchstaben x, 2 bezeichnet.
Die Auflösung der Proportionen geschieht nach folgenden
zwei Sätzen:
1. Jedes äußere Glied einer Proportion ist
gleich dem Producte der beiden inneren Glieder, divi¬
diert durch das andere äußere Glied. Z. B.
Aus x : 12 - 3 : 4 folgt x - 9,
„ 4 : 5 — 12 : x „ x — — 15.
2. Jedes innere Glied einer Proportion ist
gleich dem Producte der äußeren Glieder, dividiert
durch das andere innere Glied. Z. B.
133
Aus 7 : x - 14 : 8 folgt x - ? 8
„ 2 : 5 - x: 15 „ x - - 6.
Wenn eine Proportion Brüche enthält oder wenn sie sich
abkürzen lässt, so hat man dieselbe zuerst in den kleinsten ganzen
Zahlen darzustellen, und dann erst aufzulösen. Dabei kann man
sich sehr vortheilhaft der Strichmethode (motdolla pkotrllovaei)
Aufgaben.
Man löse folgende Proportionen auf:
20- 4-156 : 71-34 15'749 : x.
§. 64.
Wenn zwei Gattungen von Größen so von einander ab¬
hängen, dass, wenn die eine Gattung größer wird, auch die
134
andere in demselben Verhältnisse zunimmt, so heißen die beiden
Gattungen von Größen gerade proportioniert (oba roäv
voiiöin jsou sodo xrlwo srovnnlo). Z. B. 2mal soviel von der¬
selben Waare kostet auch 2mal so viel Geld, für die Zfache Waare
muß mau auch das Zfache Geld bezahlen; der Preis einer Waare nimmt
also in demselben Verhältnisse zu, in welchem die Menge der Waare
zunimmt; Waare und Preis sind demnach gerade proportioniert.
Bei gerade proportionierten Gattungen von Größen ist das
Verhältnis zwischen je zwei Größen der einen Gattung gleich
dem Verhältnisse der beiden zugehörigen Größen der andern
Gattung in derselben Ordnung genommen.
Wenn zwei Gattungen von Größen so zusammenhängen,
dass, wenn die eine Gattung zunimmt, die andere in demselben
Verhältnisse kleiner wird, so heißen die beiden Gattungen von
Größen verkehrt proportioniert (clva rväv veiiöjn ssou
k solle ollräosnö srovnaik voll v obräesno srovnalosti). Z. B.
2 Arbeiter werden zu derselben Arbeit nur halb so viel Zeit,
3 Arbeiter werden nur den 3ten Theil so viel Zeit brauchen als I
Arbeiter; wenn also die Zahl der Arbeiter 2mal, 3mal so groß
wird, so beträgt die Arbeitszeit nur den 2ten, 3ten Theil, so
dass die Zeit der Arbeit in demselben Verhältnisse abnimmt,
in welchem die Zahl der Arbeiter zunimmt; die Anzahl der Arbeiter
und die Zahl der Arbeit sind daher verkehrt proportioniert.
Bei verkehrt proportionierten Größenarten ist das Ver¬
hältnis zwischen je zwei Größen der einen Gattung gleich dem
Verhältnisse der beiden zugehörigen Größen der andern Gattung
aber in umgekehrter Ordnung genommen.
Um zu beurtheilen, ob zwei Arten von Größen gerade
oder verkehrt proportioniert sind, reicht es im Allgemeinen hin,
die Größe der ersten Art doppelt so groß auzunehmen, und zu
sehen, ob unter übrigens gleichen Umständen die dazu gehörige
Größe der andern Art doppelt oder nur halb so groß wird; im
ersten Falle sind die beiden Größenarten gerade, im zweiten ver¬
kehrt proportioniert.
135
So sind gerade proportioniert:
Waare und Preis MoÄ a eaua); denn doppelt soviel
Waare kostet auch doppelt so viel Geld.
Capital und Zins (sistiua a ürok/); doppelt so viel
Capital trägt unter übrigens gleichen Umständen auch doppelt so
viel Zins.
Zeit und Zins Ms n ür(M); in doppelt so viel Zeit
bekommt man auch doppelt so viel Zins.
Dagegen sind verkehrt proportioniert:
Die Zahl der Arbeiter und die Zeit der Arbeit
(poöot- äeiulkü a cas prnevvui); denn doppelt so viel Arbeiter
brauchen nur halb so viel Zeit.
Die Zahl der zu Nährenden und die Dauer der
Lebensmittel (xoeat stravmkü a vMaLaui strav^); doppelt
so viel Personen werden mit denselben Lebensmitteln nur halb so
viel Zeit ausreichen.
Capital und Zeit (.Mina n öas); doppelt so viel
Capital braucht nur halb so viel Zeit angelegt zu sein, um den¬
selben Zins zu geben.
Man beurtheile, ob folgende Arten von Größen gerade
oder verkehrt proportioniert sind:
1) Arbeitszeit und Lohn Ms praeovni a
2) Geschwindigkeit und zurückgelegter Raum MMost a v^-
konanä 668tn);
3) Zeit und zurückgelegter Raum Ms a Mronanä eosta);
4) Zeit und Geschwindigkeit Ms a rMckost);
5) Gewicht der Last und Frachtlohn (tiLa uäklaäu a povodno) ;
6) Weite des Weges und Frachtlohn (äLikaeast^a povodno);
7) Gewicht der Last und Weite des Weges (tiLö uaklnäu a
cksika cast)');
8) Länge und Inhalt (äaM a obsalr);
9) Breite und Inhalt (sirka a odsali);
10) Höhe und Inhalt MMg. a obsnü);
136
11) Länge und Breite bei gleichem Inhalte (äöikn a Kirka pri
8t6D6M obsuku);
12) Einlage bei einer Unternehmung und Gewinn (vklaä b
sistömu poänikäul a risk);
13) Größe der Einlage und die Zeit bei gleichem Gewinne (veli -
kost vklaäu a öas pri stojnem poällu v 2isku);
14) Zahl der Erben und die Größe des Erbtheils (poöst äoäioü
a volikost äöäienöko poclllu);
15) Preis des Getraides und Gewicht eines Backwerks bei gleichem
Preise des letztem (cena obilni a vaba poöiva, pokuä toto
v stosns cono so proäava).
III. Die einfache Regeldetri.
O isänotwäna po atu trofolsriovsua Lili rsgula cls tri.
8- 65.
Wenn zwei Arten von Größen gerade oder verkehrt pro¬
portioniert sind, und es sind zwei Zahlen der einen Art gegeben,
von den beiden zugehörigen Zahlen der andern Art aber nur eine
bekannt, und die andere zu suchen; so heißt eine solche Aufgabe
eine Aufgabe der einfachen Regeldetri (poöot troMevov^,
rkAulö ä6 tri).
Z. B. 2 Meter einer Waare kosten 8 Gulden; wie viel
Gulden kosten 5 Meter? 20 Gulden. — Die beiden Arten von
Zahlen, welche hier vorkommen, nämlich die Anzahl Meter und
die Anzahl Gulden, sind gerade proportioniert; von der ersten
Art sind zwei Zahlen, 2 Meter und 5 Meter, gegeben, von der
zweiten Art ist nur eine Zahl, 8 Gulden, bekannt, die andere,
20 Gulden, aber zu suchen. Dieß ist also eine Regeldetri-
Aufgabe.
1. Auflösung der Regeldetri- Aufgaben mittelst
der Proportion.
8- 66. ,
Jede Regeldetri-Aufgabe kann mit Hülfe einer Pro¬
portion aufgelöst werden. Man darf nur das Verhältnis
137
zwischen zwei Zahlen der einen Art dem Verhältnisse der zuge¬
hörigen Zahlen der andern Art, in derselben oder in umgekehrter
Ordnung genommen, gleich setzen, je nachdem die beiden Arten
gerade oder verkehrt proportioniert sind, und die so angesetzte
Proportion auflösen. Es ist dabei gleichgiltig, in welches Glied
die unbekannte Zahl, welche gewöhnlich durch x ausgedrückt
wird, zu stehen kommt; am zweckmäßigsten erscheint es, dieselbe
sogleich in das erste Glied zu setzen. Z. B.
4 Meter kosten 22 fl.; wie viel fl. kosten 7 Meter? —
Da hier die beiden Arten von Zahlen gerade proportioniert
sind, so setzt man das Verhältnis der Gulden x : 22 gleich
dem Verhältnisse der dazu gehörigen Zahlen der Meter in der¬
selben Ordnung, also gleich 7:4, und hat die Proportion
x : 22 — 7 : 4, durch deren Auflösung man x : 38z fl.
bekommt. — Hier erhält man eigentlich die Proportion
x fl. : 22 fl. n 7 Meter : 4 Meter; allein bei der Auflösung
muß wenigstens das zweite Verhältnis als unbenannt angesehen
werden, denn man hätte sonst (nach Z. 63, 1) zuerst 22 fl.
mit 7 Meter zu multiplicieren, was keinen Sinn hat; es ist aber
erlaubt, ein Verhältnis, dessen beide Glieder einerlei Namen haben,
als unbenannt hinzustellen, weil z. B. die Verhältnisse 7 Meter :
4 Meter und 7 : 4 denselben Exponenten 1? haben, und somit
das eine von ihnen für das andere gesetzt werden kann. Das
erste Verhältnis in der Proportion kann benannt bleiben; denn aus
x fl. : 22 fl. - 7 : 4 folgt x - 38z fl.,
was keine Ungereimtheit in sich enthält; übrigens ist es am
zweckmäßigsten, im Ansätze die Benennungen der Glieder ganz
wegzulassen, und dann dem x jenen Namen beizulegen, den das
damit gleichartige zweite Glied hat.
Hat man die folgende Aufgabe: 12 Arbeiter vollenden
eine Arbeit in 30 Tagen; wie viel Arbeiter muß man aufnehmen,
damit dieselbe Arbeit in 20 Tagen vollendet werde? so muß
man, da die beiden Arten von Größen verkehrt proportioniert
138
sind, das Verhältnis der Zahlen der Arbeiter x : 12 dem Ver¬
hältnisse der zugehörigen Zahlen der Tage in umgekehrter
Ordnung genommen, also 30 : 20, gleich setzen; man erhält
dadurch x : 12 — 30 : 20, welche Proportion x — 18 gibt.
2. Auflösung der Regeldetri - Aufgaben durch
Schlüsse (Schlußrechnung).
8- 67.
s.) Einfachere Aufgaben der Regeldetri können im Kopfe
(2 xnmöti) durch einfache Schlüsse aufgelöst werden. Dabei
wird im Allgemeinen aus der gegebenen Bestimmung für eine
Mehrheit auf diejenige für die Einheit geschloffen, und sodann
aus der gefundenen Bestimmung für die Einheit wieder die für
eine andere Mehrheit gesucht. Z. B.
9 Hektoliter Korn kosten 54 st.; wie viel kosten 7 Hekto¬
liter? — Wenn 9 Hektol. 54 st. kosten, so kostet 1 Hektol. den
9ten Theil von 54 st., also 6 st.; wenn 1 Hektol. 6 st. kostet,
so kosten 7 Hektol. 7mal 6 fl. d. i. 42 sl.
6 Arbeiter bringen eine Arbeit in 16 Tagen zu Stande;
in wie viel Tagen bringen dieselbe Arbeit 8 Arbeiter zu Stande?
— Wenn zu einer Arbeit 6 Arbeiter 16 Tage nöthig haben, so
braucht dazu 1 Arbeiter 6mal 16 Tage, also 96 Tage; 8 Ar¬
beiter aber werden nur den 8ten Theil von 96 Tagen d. i.
12 Tage brauchen.
Leichter wird die Rechnung im Kopfe, wenn die Mehrheit,
deren Werth man sucht, ein Vielfaches, oder ein Theil, oder
das Vielfache eines Theiles der Mehrheit ist, deren Werth
man kennt. Z. B.
6 Meter kosten 22 st. 32 kr., wie viel kosten 30 Meter?
— 30 Meter sind 5mal 6 Meter, sie kosten also 5mal 22 fl.
32 kr., somit 111 fl. 60 Kr.
100 fl. Capital geben jährlich 6 fl. Zins, wie viel Zins
geben 25 fl. Capital? — 25 fl. Cap. sind der 4te Theil von
100 fl. Cap., sie geben daher nur den 4ten Theil von 6 fl., also
1 fl. 50 kr. Zins.
139
60 Liter kosten 19 fl. 20 kr.; wie viel kosten 24 Liter?
— 24 Liter sind 2mal 12 Liter, 12 Liter sind der 5te Theil
von 60 Liter; 12 Liter kosten demnach den 5ten Theil von
19 fl. 20 kr. d. i. 3 fl. 84 kr.; 24 Meter kosten daher 2mal
3 fl. 84 kr., also 7 fl. 68 kr.
Häufig lassen sich die Aufgaben der Regeldetri auch durch
eine schickliche Zerfall ung der Mehrheit, deren Werth gesucht
wird, auflösen. Z. B-
12 Meter kosten 14 fl. 88 kr.; wie viel kosten 26 Meter?
- 26 Meter sind 2mal 12 Meter und noch 2 Meter; 2mal
12 Meter kosten 2mal 14 fl. 88 kr., d. i. 29 fl. 76 kr.; 2 Meter
sind der 6te Theil von 12 Meter und kosten daher den 6ten Theil
von 14 fl. 88 kr., d. i. 2 fl. 48 kr.; 29 fl. 76 kr. und 2 fl. 48 kr.
sind 32 fl. 24 kr.
Wie viel kosten 23 Hektoliter Weizen, wenn 8 Hektoliter
mit 58 fl. bezahlt werden? — 23 Hektoliter sind 3mal 8 Hektol.
weniger 1 Hektol-; 3mal 8 Hektol. kosten 3mal 58 fl., d. i.
174 fl.; 1 Hektol. kostet den 8ten Theil von 58 fl. d. i. 7 fl.
25 kr.; von 174 fl. zuerst 7 fl. weg, bleiben 167 fl., und davon
noch 25 kr. weg, bleiben 166 fl. 75 kr.
d) Kommen in einer Regeldetri-Aufgabe größere ganze
Zahlen, Brüche oder mehrnamige Zahlen vor, so können auch
da dieselben Schlüsse, wie beim Kopfrechnen gemacht werden;
bloß die Ausrechnung wird schriftlich durchgeführt, und heißt
dann die Zweisatzrechnung (poeor ävoMvuov^). Z. B.
35 Meter kosten 65 fl.; wie viel kosten 49 Meter?
35 Meter kost. 65 fl.
1 —
49 „ „ ^ fl- -91fl.
Wie viel kosten 254 Hektoliter Wein, wenn 2^ Hektoliter
mit 37fl. bezahlt werden?
140
Häufig lässt sich bei der Auflösung von Regeldetri-Aufgaben
auch die wälsche Praktik mit Vortheil anwenden. Z. B.
30 Kilogr. kosten 23 fl. 20 kr.; wie hoch kommen 23 Kilogr.
60 Dekagr.?
30 Kilogr. fl. 23-2
23 Kil^20 Dkgr. fl. 18-213 fl.18,,21.
Aufgaben.
8- 68.
Die nachfolgenden Aufgaben sind theils mit Hilfe der Proportion,
theils durch die Schlußrechnung, und im zweiten Falle, wenn es die Einfachheit
der Zahlen zuläßt, auch im Kopfe zu lösen.
1) 6 Meter Tuch kosten 18 fl.; wie viel kosten 12 Meter?
Mit Hilfe der Proportion:
6 Met. 18 fl. x: 18 - 12 : ß
12 „ x „ -_ 2
x - 36 fl.
Durch die Schlußrechnung.
g.) Im Kopfe: Wenn 6 Meter 18 fl. kosten, so kostet 1
Meter den 6ten Theil von 18 fl., also 3 fl.; 12 Meter werden
daher 12mal 3 fl. d. i. 36 fl. kosten. — Oder kürzer: 12 Meter
141
sind 2mal 6 Meter, sie werden also auch doppelt so viel kosten
als 6 Meter, also 2mal 18 fl. d. i. 36 fl.
b) Schriftlich: 6 Met. kosten 18 fl.
1 „ „ 7 „ 3 fl.
12 „ „ 3 „ X 12 — 36 fl.
2) Ein Knecht hat jährlich 45 fl. Dienstlohn; wie viel
kommt auf 5 Monate?
3) In einer Mühle werden stündlich 8 Hektoliter Weizen
gemahlen; wie lange dauert es, bis 60 Hektoliter gemahlen sind?
Im Kopfe: Um 8 Hektoliter zu mahlen, braucht man 1 Stunde;
um 60 Hektoliter zu mahlen, braucht man so viele Stunden Zeit, als wie
oft 8 in 60 enthalten ist, nämlich 74-,
4) Ein Fuhrmann verspricht für ein bestimmtes Frachtgeld
6 Centner 8 Meilen weit zu führen; wie viel Centuer wird er
für dasselbe Frachtgeld 12 Meilen weit führen?
Im Kopfe: Wenn 8 Meilen weit 6 Ctr. geführt werden, so wird
man 1 Meile weit um dasselbe Geld 8mal so viel Ctr, also 48 Ctr. führen;
und 12 Meilen weit nur den I2ten Theil so viel Ctr., als 1 Meile weit,
nämlich den I2ten Theil von 48 Ctr., d. i. 4 Ctr.
5) 16 Maurer können eine Mauer in 20 Tagen auf-
sühren; in wie viel Tagen würde dieselbe Mauer von 10 Arbei¬
tern aufgeführt werden?
Im Kopfe: Wenn 16 Maurer zu einer Arbeit 20 Tage brauchen, so
braucht ein Maurer dazu 16mal so viel Zeit, also 320 Tage; 10 Maurer
brauchen nur den lOten Theil von der Zeit, die 1 Maurer braucht, also nur
den lOten Theil von 320 Tagen d. i. 32 Tage.
6) 5 Ctr. Kaffee kauft man um 320 fl.; wie viel Kaffee
bekommt man um 32 fl.?
7) Für 10 Ctr. verlangt der Fuhrmann 15 fl. Fracht;
wie viel Ctr. wird er für 27 fl. aufladen?
8) Wenn 12 Schnitterinnen einen Acker Weizen in 8 Tagen
schneiden; wie viel Schnitterinnen muß man aufnehmen, damit
der Weizen in 6 Tagen geschnitten werde?
9) Wie lange können 18 Pferde mit einem Futter aus¬
kommen, welches für 12 Pferde auf 9 Wochen bestimmt ist?
142
10) Ein Manuscript gibt 126 Seiten zu 45 Zeilen; wie viel
Seiten wird es geben, wenn auf die Seite nur 35 Zeilen kommen?
11) Um eine Mauer, welche 20 Meter lang ist, aufzu¬
führen, sind 35 Arbeiter erforderlich; wie viel Arbeiter braucht
man, damit eine eben so hohe und dicke Mauer, welche aber 28
Meter lang ist, in der nämlichen Zeit vollendet werde?
12) Ein Haus trägt 540 fl. jährlichen Zins; wie viel
kommt auf 8 Monate?
13) Eine Familie braucht alle 8 Tage 1 Kilogr. Kaffee;
wie viel Kaffee verbraucht diese Familie in 365 Tagen?
14) Um eine Waare 12 Meilen weit zu verführen, ver¬
langt der Fuhrmann 2 fl.; wie viel wird er fordern, wenn die¬
selbe Waare 30 Meilen weit verführt werden soll?
15) Jemand zahlt jährlich 280 fl. Miethzins; wie viel
kommt auf 11 Monate?
16) Wenn 16 Maurer täglich 12 Stunden arbeiten, so
wird eine Mauer in 15 Tagen fertig; in welcher Zeit wird die
Mauer fertig, wenn jene Maurer täglich nur 10 Stunden arbeiten?
17) 45 Menschen brauchen für eine Arbeit 24 Tage; wie
viel Arbeiter muß man aufnehmen, damit die Arbeit in 15 Tagen
vollendet werde?
18) Um eine Wiese abzumähen, braucht man 18 Mäher
durch 4 Tage; in wie viel Tagen werden 12 Mäher damit
fertig werden?
19) Ein bewegter Körper legt in 14 Minuten 244 Meter
zurück; wie viel in einer Stunde?
20) Auf den Umfang eines Rades gehen 30 Zähne, wenn
sie 9°^ von einander entfernt sind; wie viel Zähne gehen darauf,
wenn sie 6°" auseinander stehen?
21) Zu einem Dache braucht man 6936 Stück Ziegel,
wenn jeder Dachziegel 36 Quadratzoll deckt; wie viel Stück sind
erforderlich, wenn jeder Ziegel nur 27 Quadratzoll deckt?
143
22) 5 Meter Leinwand werden mit 24 fl. bezahlt; wie
hoch kommen 12 Meter?
23) 1 metr. Ctr. kostet 254 fl., wie viel kosten 39 Kilogramm ?
24) Wenn 4 Neuloth 14^ fl. kosten; wie viel Neuloth be¬
kommt man für 15 kr. ?
25) Wie viel kosten 3j metr. Ctr., wenn 4 Kilogr. für
94 fl. gekauft werden?
4 Kilogr. kosten.st
ia 2H
I Ctr. kostet 25mal so viel - fl.
4 Ctr. kostet den 5. Theil - ^ ^st.
Ctr. kosten I6mal so viel - ^'^'"fl- — 760 fl.
26) Wenn 30 Personen ein Werk in 4/^ Monaten voll¬
enden, wie viel Zeit brauchen dazu 9 Personen?
27) Ein Mühlgang mahlt in 51- Stunden 14^ Hektoliter
Korn; wie viel in 134 Stunden?
28) Jemand braucht für seinen Unterhalt im Durchschnitte
alle 10 Tage 34§ fl.; wie lange wird er mit 792 fl. 30 kr.
auskommen?
29) Ein Arbeiter verdient alle 3 Tage 24 fl.; wie lange
muß er arbeiten, um 474 fl- zu verdienen?
30) Jemand zahlt je 5 Arbeitern zusammen täglich 4 fl.
75 kr., und hat im Ganzen 122 Arbeiter; wie viel beträgt der
tägliche Arbeitslohn aller?
31) Eine Familie gibt im Durchschnitte wöchentlich 12 fl. 40kr.
aus; wie viel in 2 Monaten 10 Tagen?
32) 6 Taglöhner graben ein Feld in 44 Tagen um; wie
viel Taglöhner müßen gedungen werden, damit jene Arbeit in
3 Tagen zu Stande komme?
33) Mit einem bestimmten Vorrathe können 20 Menschen
15§ Monate ausreichen; wie lange werden damit 35 Menschen
ausreichen?
144
34) 47 Liter Olivenöl wiegen eben sv viel als 43 Liter
Wasser; wie viel wiegt ein Liter Olivenöl, wenn ein Liter Wasser
2 Zollpfund wiegt?
35) Aus einer bestimmten Menge Garn kann der Weber
84 Meter Leinwand, welche 75°" breit ist, weben; wie viel Meter
80°^ breiter Leinwand kann er daraus erzeugen?
Bei 75°I» Breite erhält man 84 Met.
„ 5» „ „ „ nur den 16. Theil - Met.
-- 78'/, Met.
36) Jemand braucht zu einem Kleide 3^ Meter Tuch, wenn
dieses 2^ breit ist; im Tuchladen findet sich aber nur Tuch von
sm Breite; wie viel Meter sind nun zu dem Kleide erforderlich ?
37) Ein Garten ist 40 Meter lang und 28 Meter breit;
es soll nun ein zweiter Garten um 16 Meter länger werden,
aber dieselbe Fläche einschließen; wie groß wird seine Breite sein
müßen?
38) Ein Gefäß, welches 8-^ hoch ist, hält 65 Liter; wie
hoch muß ein Gefäß von gleicher Weite sein, wenn es 40 Liter
halten soll?
39) Eine Röhre gibt in 1 Stunde Hektoliter Wasser,
eine zweite Röhre in derselben Zeit § Hektoliter; in wie viel
Stunden erhält man 51 Hektoliter Wasser, wenn beide Röhren
zugleich geöffnet sind?
Beide Röhren geben in 1 Stunde ff- H — -fff Hektoliter Wasser
! Hekt. in 1 Stunde
^2 ,, in dem 17. Theile der Zeit - St.
1 „ in 12mal so viel Zeit - 4?.
51 „ in 51mal so viel Zeit - St. - 36 St.
40) Eine gleichmäßig ansteigende Straße steigt auf 2^
Meilen 148^; wie groß ist die Steigung auf -s Meile?
145
41) Wie viel kosten 3 Dekagramm einer Waare, wovon
1 Kilogramm 2 fl. 24 kr. kostet?
42) Wie viel kosten 28 Meter 35 Centim., wenn man 16
Met. 725 Millim. für 19.) fl. bekommt?
43) Ein Acker von 55) ll>° Fläche wird mit 8- fl. bezahlt;
wie hoch kommt ein Joch Ackergrnnd von gleicher Güte?
44) 7 Dekagramm Quecksilber kosten 26 kr.; wie theuer
sind 13) Kilogramm?
45) Wenn 11) Meter Taffet 32 fl. 40 kr. kosten, wie
hoch kommen 3§ Meter?
46) Wie viel muß man für 48° Kilogr. einer Waare be¬
zahlen, wovon der metr. Centner 66) fl. kostet?
47) Wenn 1) Ctr. mit 145 fl. bezahlt wird, wie viel von
derselben Waare bekommt man für 87 kr. ?
48) 56) Hektoliter Wein kosten 834 fl.; wie viel Hekto¬
liter bekommt man für 1112 fl. ?
49) Wenn man für 3 Ctr. 8) fl. Fracht zahlen muß, wie
viel wird die Fracht für 13) Ctr. betragen?
50) Um 6) fl. führt ein Fuhrmann eine bestimmte Waare
12) Kilometer weit; wie weit wird er dieselbe um 4 fl. 75 kr.
führen?
51) Für 8) Ctr. wird 6) fl. Fracht gezahlt; wie viel Ctr.
werden für 2) fl. Fracht aufgeladen?
52) Ein Centner wird um 1 fl. 20 kr. 35 Kilometer weit
geführt; wie weit um 32 kr. ?
53) 20 Schnitter mähen eine Wiese in 4 Tagen ab; es
kommen nun noch 4 Schnitter dazu; in wie viel Tagen wird
dann die Wiese abgemähet sein?
54) Mit dem Bau einer Eisenbahn können 3000 Arbeiter
in 9 Monaten fertig werden; wie viel Arbeiter wird man noch
ausnehmen müßen, damit der Bau in 6 Monaten fertig werde?
55) Eine Festung, welche 12000 Mann Besatzung hat, ist
auf 10 Monate mit Lebensmitteln versehen; wenn nun 2000
Roinik, Arithmetik m. böhm. Term. 14. Aufl. 10
146
Mann abziehen, wie lange werden jene Lebensmittel für die
übriggebliebene Mannschaft ausreichen?
56) In einer Festung liegen 15000 Mann, welche auf 4
Monate Lebensmittel haben; der Commandant will aber damit
ein Jahr ausreichen; um wie viel Mann muß er die Besatzung
vermindern?
57) Ein Vater hinterlässt bei seinem Absterben 7 Kinder,
und vermacht jedem 4500 fl.; nun sterben 3 Kinder ab; wie
viel wird auf jedes der übriggebliebenen kommen?
58) Wenn das Hektoliter Weizen 7 fl. 20 kr. kostet, so
wiegt eine Kreuzersemmel 1) Dekagramm; wie schwer wird eine
solche Semmel auszubacken sein, wenn der Preis des Weizens auf
7 fl. 80 kr. steigt?
59) Durch eine von zwei Röhren wird ein Wasserbehälter
in 3^, durch die andere in 2^ Stunden gefüllt; die erste Röhre
liefert stündlich 4 Hektoliter 20 Liter; wie viel liefert die zweite
Röhre in jeder Stunde?
60) Jemand bekommt vier Fässer Zucker, welche zusammen
342 Kilogr. wiegen; die leeren Fässer wiegen 43 Kilogr.; wie
viel Zucker ist in den Fässern, und wie viel ist es werth, wenn
2? metr. Ctr. mit 133 fl. bezahlt werden?
61) 477 fl. Capital geben in einer bestimmten Zeit 45 fl.
Zins; wie viel Capital muß man anlegen, damit es in derselben
Zeit 80 fl. Zins gebe?
Im Kopfe. Zu 45 fl. Zins gehören 477 fl. Cap.
,, 90 „ „ „ 9o4 ,, „ /
„ 10 „ „ „ 106 „ „ f
also zu 80 fl. Zins „ 848 fl. Cap.
62) 71 hat an I- 900 fl. auf 5 Monate geliehen, und zwar
ohne Interessen-, wie lange muß L an ein Capital von 1250 fl.
borgen, um jene Gefälligkeit auszugleichen?
63) Wie viel Zins gibt ein Capital in 2^ Jahren, wenn
es in 4 Monaten 28 fl. trägt?
147
64) Ein Capital bringt in 2 Jahren 123 fl. 40 kr. Zins;
wie viel in 1 Jahre 7 Monaten?
65) 750 fl. Capital geben in einer gewissen Zeit 132-ss fl.
Zins; wie viel Zins geben in derselben Zeit 240 fl. Capital?
66) Wie viel Capital muß man auf 5's Jahre ansleihen,
damit man eben so viel Zins davon erhalte, als von 370 fl.
in 9 Jahren?
67) Wie lange muß ein Capital angelegt bleiben, um
414 fl. 70 kr. Zins einzutragen, wenn es in 1 Monate 15 fl.
95 kr. Zins gibt?
68) Ein senkrechter Stab, welcher 1'5" lang ist, wirft einen
2'1" langen Schatten; wie hoch ist ein Thurm, welcher zu der¬
selben Zeit einen 43" langen Schatten wirft?
69) Ilm die Entfernung von der Sonne bis zur Erde,
d. i. 21 Millionen Meilen zurückzulegen, braucht das Licht 8 Mi¬
nuten 7'5 Secunden; in welcher Zeit würde das Licht von dem
nächsten Fixsterne bis zu uns gelangen, wenn man diese Entfernung
auf den kleinsten möglichen Betrag von 4261000 Millionen
Meilen ansetzt?
70) Um an einen Ort in 15 Tagen zu gelangen, muß man
täglich 5s Meilen zurücklegen; in wie viel Tagen wird man
dahin kommen, wenn man täglich nur 4^ Meilen macht?
71) hat einen Weg, indem er täglich 7 Meilen geht,
in 6 Tagen zurückgelegt; zur Rückreise braucht er 8 Tage; wie
viel Meilen hat er täglich gemacht?
72) Ein Eisenbahnzug geht vou Wien auf der Westbahu
ab und legt stündlich 33 Kilometer zurück; nach 1^ Stunden
wird ihm eine Locomotive nachgesendet, welche stündlich 48 Kilo¬
meter zurücklegt; in welcher Zeit wird sie den Zug erreichen?
Vorsprung des Zuges - 33 X t s — Kilom.
Beschleunigung der Locomotive in 1 St. - 48—33 - 15 Kilom.
10*
148
Zu 15 Kilom. braucht also die Locom. 1 St.
„ 1 ,, " " » » St.
I, -d-
„ 2 ,, /e „ 3V
9 9 9^9 _, ^L_3_
„ 2 „ „ „ „ „ 3 0^. - o,o ^>r.
73) Von zwei Rädern, welche in einander greifen, hat das
eine 48, das andere 32 Zähne; wie oft wird sich das zweite
Rad umdrehen, wenn sich das erste 38mal umgedreht hat?
Bei 48 Zähnen 38 Umdrehungen
„16 .38.3 „
„32 „ _ Umdrehungen.
74) Von zwei Rädern soll das eine 200 Umdrehungen
machen, während sich das andere 80mal umgedreht hat; wie viel
Zähne muß man dem zweiten Rade geben, wenn das erste 26
Zähne hat?
75) Bei einem Wagen hat das Vorderrad 2.f Fuß, das
Hinterrad 3f Fuß im Durchmesser; wenn sich nun das Hinter¬
rad in einer gewissen Zeit 32mal umdreht, wie viele Umdrehungen
macht in derselben Zeit das Vorderrad?
76) Zwei Personen treten zu einem Geschäfte zusammen,
und legen 1200 st. ein. Wenn nun 4. 700 fl. eingelegt hat, und
das Geschäft einen Gewinn von 480 fl. abwirft, wie viel gewinnt
4., wie viel 8?
77) Bei einer Unternehmung haben 4. 2400 fl., 8 3000 fl.
und 6 3600 fl. stehen. Durch einen Unfall erleiden sie einen
Schaden von 300 fl.; wie groß ist der Schaden, der jeden ein¬
zelnen trifft?
78) Bei einem Geschäfte gewinnt 4. 900 fl., 8 700 fl.;
wenn nun 4. zu diesem Geschäfte 4500 fl. hergegeben hat, wie
groß war die Einlage des 8?
79) Ein Acker von 6; Hektar gibt einen Ertrag von 68^-
Hektolit. Weizen; a) wie viel Weizen trägt eine Ackerfläche von
3j Hektar? b) auf wie viel Hektar erhält man 37f Hektoliter
Weizen?
149
80) Wenn 1 Rad in 48 Minuten 262s Umdrehungen
macht, a) wie viele Umdrehungen macht es in 2 Stunden 10
Minuten? d)°in wie.viel Minuten dreht es sich 840mal?
81) 55 Meter sind 174 W. Fuß; a) wie viel W. Fuß
sind 253-6 Meter, b) wie viel Meter sind 98' 3" W. Fußmaß?
82) 60 Meter - 77 W. Ellen; a) wie viel W. Ellen
sind 128'65 Meter, b) wie viel Meter sind 162 s W. Ellen?
83) 1 W. Elle kostet 3 fl. 20 kr.; wie viel kostet 1 Meter
desselben Stoffes?
84) 1 Meter kostet 5 fl. 36 kr.; wie viel kostet 1 W. Elle?
85) 61 Hektar — 106 n. ö. Joch; a) wie viel Joch sind
583 Ar, b) wie viel Hektar sind 73§ Joch?
86) 1 Joch Ackergrund kostet 564 fl.; wie hoch kommt 1 Hektar ?
87) 1 Hektar Weingartengrund kostet 1250 fl.; wie viel
kostet 1 Joch?
88) 91 Hektoliter — 148 W. Metzen; a) wie viel W.
Metzen sind 50 Hektoliter, b) wie viel Hektoliter sind 209/,,
Metzen?
89) 1 W. Metzen Weizen kostet 5 fl. 8 kr.; wie hoch kommt
1 Hektoliter?
-90) 1 Hektoliter Korn kostet 6 fl. 50 kr. ? wie viel kostet
1 Wiener Metzen?
91) 58 Liter - 41 W. Maß; a) wie viel Maß sind 328
Liter? b) wie viel Liter sind 7 Eimer 28 Maß?
92) 1 W. Maß Wein kostet 48 kr.; wie viel kostet 1 Liter?
93) 1 Liter Bier kostet 18 kr.; wie viel ist 1 Maß werth?
94) 14 Kilogramm — 25 W. Pfund; u) wie viel W-
Pfund sind 758 Kilogramm? d) wie viel Kilogramm sind 1304s
W. Pfund?
95) 1 W. Pfund Kaffee kostet 72 kr.; welches ist der ent¬
sprechende Preis für 1 Kilogramm?
96) Wenn ein Kilogramm einer Waare 46 kr. kostet, wie
viel ist 1 W. Pfund werth?
160
97) 19 Wiener Metzen enthalten 37 Cubikfuß; wie viel
Cubikfuß sind 388° Metzen?
98) 1000 englische Seemeilen machen 244'o2 österreich.
Meilen; wie viel österr. Meilen sind 7554 engl. Seemeilen?
99) 46 russ. Tschetwert sind 964 Hektoliter; a) wie viel
Hektoliter sind 219° Tschetwert? b) wie viel Tschetwert sind 1023°
Hektoliter?
IM) 20 schweiz. Ohm — 53 n. ö. Eimer; n) wie viel
n. ö. Eimer sind 208'23 schweiz. Ohm? b) wie viel schweiz.
Ohm sind 3444 n. ö. Eimer?
101) Wie viel Mark lOlöthiges Silber geben 24 Mark
13 löthiges Silber?
102) Wie viel Pfund Gold von 9M Tausendtheilen Gehalt
geben 64 Pfund Gold a 720 Tausendtheilen?
103) Zu 12 Mark 13löthiges Silber nimmt man 3 Mark
Kupfer; wie viel lölhig wird die Legierung sein?
104) Wie viel Kupfer muß man zu 8 Pfund Silber von
720 Tausendtheilen dazuschmelzen, damit die Legierung 540 Tau¬
fendtheile Gehalt erhalte?
105) 45 österr. Gulden enthalten 5M Gramm feinen
Silbers; wie viel ist ein Gramm feinen Silbers wert?
106) Aus' 1 Kilogramm feinen Silbers werden 90 österr.
Guldenstücke geprägt; wie viel Guldenstücke gehen auf 1 Kilo
gramm Münzsilber d. i. feines Silber?
Bei 4v Feingehalt ... 90 Gulden
107) Aus 1 Kilogramm Münzgold feines Gold) werden
155 Achtguldenstücke geprägt; wie viel solche Stücke gehen auf 1
Kilogramm feinen Goldes?
108) 45 fl. österr. Währung sind gleich 524 fl. süddeutscher
Währ.; wie viel fl. ö. W. betragen 23584 fl- südd. Währ.?
109) 13 russ. Silberrubel machen 27° Hamburger Mark
Banco; wie viel Mark Banco sind 2000 Rubel?
151
110) 9'718 Dollars in den nordamerikanischen Freistaaten
sind gleich 51'934 Francs; wie viel Francs betragen 3240
Dollars?
111) Ein Wiener Kaufmann stellt auf Frankfurt einen
Wechsel von 2085 st. südd. Währung aus; wie viel st. österr.
Währ, wird er dafür beziehen, wenn der Curs auf Frankfurt
103'5 ist (100 fl. südd. Währ. - 103'5 fl. österr. Währ.)?
Ein Wechsel (sinöullu) ist eine Urkunde, durch welche sich der Aus¬
steller unter wechselrechtlicher Haftung verpflichtet, eine Summe Geldes an
eine bestimmte Person und zu einer bestimmten Zeit entweder selbst zu zah¬
len oder von einem Dritten zahlen zu lassen.
112) Ein Wiener kauft einen Wechsel auf Hamburg über
7484 Mark 12 Schill. Banco im Curse zu 90-8 (100 Mark
Banco — 90'8 fl. österr. Währ.); wie viel in österr. Währ,
muß er dafür bezahlen?
113) Ein Marseiller Kaufmann schuldet an einen Wiener
3857 fl.; welchen Wechselbetrag in Francs wird der Wiener
dafür entnehmen, wenn der Curs auf Marseille 48'5 steht (IM
Francs — 48-5 fl. österr. Währ.) ?
114) Welcher Curs findet auf London statt (wie viel fl.
österr. Währ, für 10 Pfund Sterling), wenn 518 Pfund Sterling
4 Shilling mit 6482 fl. 68 kr. österr. Währ, bezahlt werden?
115) Wie viel kostet ein Staatslos vom Jahre 1854
(Nennwert 250 fl. C. M.) im Curse zu 94'9 (94'9 fl. österr.
Währ, für je 100 fl. C. M. Nennwert)?
IV. Die Procentrechnung.
koötzt proasntovö.
8- 69.
Bei verschiedenen Berechnungen des bürgerlichen Lebens
pflegt man das Pro cent (stroeento), d. i. den Ertrag von IM,
zur Grundlage anzunehmen.
Z. B. wie groß ist der Ertrag von 1543 fl. zu 5"/, (5
152
Procent), d. i. wie viel kommt auf 1543 fl., wenn man auf je
100 fl. einen Ertrag von 5 fl. rechnet? Man hat
x fl. Ertrag von 1543 fl. x : 5 — 1543 : 100
5 100 x — X 5
o „ k, ff — 100
oder durch die Schlußrechnung:
100 fl. geben 5 fl. Ertrag
I fl. gibt^fl „
1543 fl. geben Ertrag.
Daraus folgt:
Um denErtrag einerSumme nach Procenten zu
berechnen (aby 86 vMos 2 fiste sumx po proeentaek v^-
poeital), multipliciere man die Summe, deren Ertrag gesucht
wird, mit dem Procent, und dividiere das Product durch 100.
Aufgaben.
1) Wie viel sind 6°/, von 550?
550 X 6
33-00 - §3
2) Wie viel betragen:
n) 3°/„ von 960? b) 5°/g .von 384'2?
e) 4z°/g von 74? ä) 6^/, von 7952?
3) 500 fl. Capital sind zu 4°/g angelegt, d. h. jede 100 fl.
Capital geben jährlich 4 fl. Zins; wie viel Zins bezieht man
von dem ganzen Capitale?
Im Kopfe: 1 Hundert Capital gibt jährlich 4 fl. Zins,
5 Hundert geben 5mal so viel, also 20 fl.
Schriftlich: 500 X 4
2" fl.
4) Wie groß ist der jährliche Zins von 2549 fl. zu 4^«/,?
25 49 X 4-z
10196
12 74'5
114'70 5 - fl. 114„70'5
153
5) Wie viel beträgt der jährliche Zins s) von 825 fl. zu
5°/,? b) von 3000 fl. zu 5 z«/«?
6) Wie groß ist der jährliche Zins von a) 3754 fl. b)
1819 fl., c) 2475 fl., zu 4«/«, zu 4z«/,„ zu 4j«/«, zu 5«/«, zu
5^/,„ zu g«/»?
7) Ein Wechselschuldner vergleicht sich mit seinem Gläubiger
dahin, daß er ihm auf die Forderung von 3600 Thlr. 6H«/«
gebe; wie viel wird der Gläubiger erhalten?
8) 100 fl. Capital zu 3°/, angelegt geben eben so viel
Interesse, als ein anderes Capital zu 4z«/« angelegt; wie groß
muß dieses letztere Capital sein?
9) Zu wie viel «/« muß man ein Capital anlegen, damit
es in 7 Jahren eben so viel Zins bringe, als es zu 3 z«/« in 8
Jahren bringen würde?
10) Von welcher Summe geben 6°/« den Betrag 75 fl-?
100 fl. geben 6 fl. x : IM — 75 : 6
x „ „ 75 „ x — 1250 fl.
oder
6 fl. Betrag gehört zur Summe IM fl.
IM fl. „ s,
75 „ „ „ „ „ 16§ fl. X 75 1250 fl.
11) Wie viel Capital muß man zu 4z«/« anlegen, damit
die jährlichen Interessen 127 § fl. betragen?
12) Ein Haus trägt an Wohnzins jährlich 548 fl.; wie
groß ist der Wert dieses Hauses, wenn es sich zu 5«/„ verzinset?
13) Wie viel «/« muß man von 7975 fl. nehmen, um
638 fl. zu erhalten?
x fl. geben IM fl. x : 638 — IM : 7975
638 „ „ 7975 „ x - 8 fl.
oder
zur Summe 7975 fl. gehören 638 fl.
„ „ 1 „ -7^ fl.
„ „ IM „ „ X IM) fl. -r 8 fl.
154
Man muß also 8 fl. von 100 fl. d. i. 8°/g nehmen.
14) Von 1675 fl. hat man in einem Jahre 83^ fl. In¬
teressen eingenommen; wie hoch waren 100 fl. Capital verzinset?
15) Jemand nimmt von 1 fl. Capital jährlich 20 kr.
Zins; wie viel macht dieses?
16) Eine Waare wog beim Empfange 4800 Pfd., nach
einiger Zeit wog sie nur 4704 K.; wie viel sind eingetrocknet?
17) In Oesterreich machen die Grundbesitzer 19'5°/„ der
Gesammtbevölkerung, welche 35944000 beträgt, aus; wie viel
Grundbesitzer gibt es?
18) Wie groß ist die Bevölkerung eines Ortes, wenn 15"/„
derselben 10881 betragen?
19) Von 409 35jährigen Menschen sterben 40°/» bis zum
60sten Jahre; wie viele erreichen demnach das 60ste Jahr?
20) Rom, die Hauptstadt der katholischen Christenheit,
zählte im Jahre 1800 153004, im Jahre 1866 dagegen 210701
Einwohner; um wie viel Procent hat während dieser Zwischen¬
zeit die Bevölkerung Roms zugenommen?
21) Jemand kauft um 6300 fl. Maaren, und gewinnt bei
deren Verkaufe 9"/^; wie viel beträgt der ganze Gewinn?
22) Wenn das Meter Tuch im Einkäufe 3 fl. 20 kr. kostet,
wie hoch muß es im Verkaufspreise gesetzt werden, wenn man
l2"/„ gewinnen will?
23) Ein Kaufmann kauft 5; Ctr. einer Waare für 297 fl.
und verkauft den Ceutner zu 6lsi! fl.; wie viel "/g gewinnt er?
24) Eine Waare wiegt sammt dem Behältnisse 2350 Pfd.;
wenn nun wegen des Gewichtes des Behältnisses 8"/„ abgezogen
werden, wie hoch stellt sich dieses Gewicht?
Das Gewicht einer Waare und des Behältnisses, worin sie sich be¬
findet, heißt Las Brutto- oder Sporco-Gcwicht (väbs, krubä), das
Gewicht des Behältnisses die Tara (tarn öili srLzka us, und das
Gewicht der Waare allein Las Netto-Gewicht (väks. öistä).
25) Wie viel beträgt die Tara von
155
a) 738 Pfd. L 5"/o? b) 1249 Pfd. L 4'»/»?
e) 648-2 Kilogr. L 6°/«? 4) 216 Pud L 7s«/,?
26) Eine Waare wiegt Brutto 565 Kilogr.; wie viel be¬
trägt a) die Tara ü 10"/,, b) das Netto-Gewicht?
27) Von einer Waare ist das Brutto-Gewicht 2150 Pfd.,
das Netto-Gewicht 1978 Pfd.; wie viel "/^ beträgt die Tara?
28) Jemand kauft für einen Kaufmann uni 4200 fl.
Maaren ein, und lässt sich als Vergütung für seine Mühe beim
Einkäufe 14"/g bezahlen; wie viel beträgt seine ganze Vergütung?
Wenn Jemand die Vollziehung eines Geschäftes, z. B. den Einkauf
oder Verkauf von Waare», einem anderen aufträgt, so heißt die Person,
welche Liesen Auftrag erhält und vollzieht, der Commissionär lsoäimte!,
üommionLr), die Vergütung aber, welche dieser für seine Bemühung erbält,
Provision (provise, oämöuu).
29) Wie groß ist die Provision L 2"/« von
u) 758 fl.? b) 1044-54 fl.?
e) 349 Pfd. Sterling? 4) 2590 Francs?
30) Für den Einkauf von Maaren im Betrage von 3548 fl.
erhält der Commissionär 53 fl. 32 kr. als Provision; zu wie
viel "/o wurde diese berechnet?
31) Wie viel beträgt bei einem Waareubetrage von 4712 fl.
die Sensarie ü »/«,?
Zur Abschließung von Geschäften desselben Ortes gibt es beeidete Per¬
sonen, welche Sensale oder Mäkler sseosül, lloda^ovae) heißen. Die
Vergütung für ihre Mühe wird Sensarie (äolrockno, äoluEvne) genannt.
32) Wie groß ist die Sensarie L. von
u) 2348 fl.? b) 1207 fl. 72 kr.
Manchmal wird der Ertrag nach Promille ("/oo) (vvnos
Promille °/y„) d. i. nach 1000 berechnet. In diesem Falle muß
die Summe, deren Ertrag man sucht, mit dem Promille multi-
pliciert, und das Product durch 1000 dividiert werden.
33) Jemand hat 2o/o„ von 12560 fl. zu fordern d. i. 2 fl.
von je 1000 fl.; wie viel beträgt dieses?
12460 X 2
25-120 - fl. 25.12
156
34) Ein Wechselsensal kaust für jemanden um 2500 fl.
Staatspapiere ein, und erhält 1°/o, Sensarie; wie viel be¬
trägt diese?
35) Ein Haus, dessen Wert auf 18350 fl. geschätzt wurde,
wird bei einer Feuer-Versicherungs-Gesellschaft zu flg°/g assecuriert;
wie viel beträgt die Versicherungsprämie?
36) Jemand hat ein jährliches Einkommen von 1645 fl.;
wie viel beträgt davon die Einkommensteuer ä 7°/g?
37) Steiermark hat 3590069 Joch productives Flächenmaß,
darunter 1Z-"/„ Weingärten; wie viel Joch betragen diese?
38) Zu einem Baue hat man 64800 Ziegelsteine uöthig;
wie viel Stück müßen geliefert werden, wenn man für Bruch
und Verlust 8^^ rechnet?
39) Wie viel löthig ist ein Silber, dessen Feingehalt 75°/g,
81jo/o, 9O°/o beträgt?
40) Wie viel karatig ist ein Gold, dessen Feingehalt 92-^"/,,,
76^»/o, 9O»/o beträgt?
8- 70.
In den vorhergehenden Aufgaben war die Summe, von
welcher die Procente berechnet wurden, durchgängig mit der
Grundzahl 100 selbst gleichartig. Die Procentrechnung ist
in diesem Falle eine Rechnung von Hundert, zum Unterschiede
von der Rechnung auf Hundert und in Hundert, welche ange¬
wendet wird, wenn die Summe, von welcher das Procent be¬
rechnet wird, nicht mit der Grundzahl 100 selbst, sondern bezü-
lich mit der um das Procent vermehrten oder vermin¬
derten Grundzahl 100 gleichartig ist.
41) Wie groß ist der Betrag von 2173 fl. ä 6"/ft auf
Hundert, d. i. wie viel wird von 2173 fl. berechnet, wenn man
von 106 fl. 6 fl. berechnet?
x : 6 - 3173 : 106; x - 123 fl.
157
42) Man berechne die Beträge auf Hundert von
n) 3148 fl. a 5°/„ b) 958 fl. 25 kr. ü 8°/,„
e) 1507 Thlr. st 4z«/,, ä) 5033z Aiark Banco L 2",.
43) Eine Waare kommt mit Einrechnung von 2°/, Pro¬
vision auf 628 fl. 48 kr.; wie viel beträgt die Provision?
44) Jemand zahlte für eine ihm zu 5z°/, geliehene Summe
nach einem Jahre 2143 fl. 32 kr. an Capital und Interessen
zurück; u) wie viel betrugen dabei die Interessen, b) wie groß
war das Capital?
45) Wie viel «/, auf Hundert sind 27 fl. von 702 fl.?
46) Jemand, welcher nach einem Jahre 654 fl. zu zahlen
hat, will die Zahlung sogleich leisten; wie viel muß ihm bei 5«/,
Zins nachgelassen werden, damit weder dem Gläubiger noch dem
Schuldner ein Schaden erwachse?
Hier muß auf Hundert gerechnet werden. Denn 100 fl. jetzt zahlbar
haben bei 5°/, Zins gleichen Wert mit 105 fl. nach einem Jahre zahlbar;
folglich sind auch umgekehrt 105 fl. nach einem Jahre gleich 100 fl. sogleich
zahlbar, also sind von je 105 fl. bei contantem Zahlen 5 fl. nachzulaffen.
Wenn ein unverzinsliches Capital, ein Waaren- oder Wechselbetrag
vor dem festgesetzten Zahlungstermine bezahlt wird, so heißt der Abzug,
welcher wegen der Vorausbezahlung bewilligt wird, Discont, Sconto,
auch Rabatt (vFtSLelc, sraxka oä sumv).
47) Wie viel beträgt der Discont auf Hundert von
a) 718 fl. L 4°/, ? b) 1571'5 fl. ü 2°/, ?
o) 3102 Lire L 3z «/« ä) 2660 fl. südd. W. ü z'/, ?
48) Wie viel würde für die Beträge und Procente der
vorhergehenden Aufgabe der Discont vom Hundert betragen?
Wiewohl nach Aufg. 46) der Discont auf Hundert berechnet werden
soll, so pflegt man doch bei Waaren- und Wechselbeträgen, da es sich dabei
nur um kleinere Zeitabschnitte handelt, für diese aber die Resultate der
Rechnung auf Hundert und von Hundert nur unbedeutend abweichen, den
Discont allgemein nach der bequemeren Rechnung v o n Hundert zu berechnen.
Wenn daher nicht ausdrücklich das Gegentheil bemerkt wird, so versteht man
unter Discont immer den von Hundert.
49) Jemand kauft um 3456 fl. Waaren auf 3 Monate
158
Zeit; wenn er nun die Zahlung sogleich leistet, wird ihm ein
Sconto von 1Z- °/, bewilligt; wie viel beträgt a) der Sconto,
d) die contante Zahlung?
50) Wie viel beträgt die Barzahlung eines Waarenbetrages
von 1048 sl. 56 kr. nach Abzug von u) 2°/„ b) 1^°/„ e)
1!f°/„ Sconto?
51) Eine Waare lostet bei 4 88 kr. mit 5°/,, bei L 92 kr.
mit 7°/g Sconto; wo ist sie wohlfeiler?
52) Eine Wechselsumme von 658 fl. wird 2 Monate vor
der Verfallzeit mit 6°/, discontiert; u) wie viel beträgt der
Discont, b) wie viel hat der Käufer zu bezahlen? (Der Dis-
cont für 2 Monate ist 1°/,.)
53) Wie viel beträgt eine Buchhäudlerrechnung von 358
Thalern nach Abzug von 25°/, Rabatt?
Der Buchhändler-Rabatt, d. i. der Abzug am Ladenpreise der
Bücher, wird stets von Hundert gerechnet.
54) Ein Buch kostet Netto 1 Thlr. 20 Ngr.; wie hoch
wird der Ladenpreis bei 33,°/, Rabatt sein?
55) Wie groß ist der Betrag von 1224 fl. zu 4°j, in Hundert,
d. h. wie viel werfen 1224 fl. ab, wenn 96 fl. 4 fl. abwerfen?
x : 4 — 1224 : 96; x — 51 fl.
56) Wie groß sind die Beträge in Hundert von
u) 982 fl. L 4^°/o? b) 692-64 fl. ä 5°/, ?
c) 2805 Francs ä 2°/,? ä) 5177 Mark B. L 3f»/„?
57) Für eine verkaufte Waare erhält man nach Abzug von
2°/„ Provision 2158 fl. 88 kr.; wie viel beträgt die Provision?
58) Jemand zahlte für einen Waarenbetrag, von welchem
ihm ein Sconto von 1°°/, bewilligt wurde, 1551 fl.; wie groß
war u) der Sconto, b) der Waarenbetrag?
59) Jemand zahlte für eine Steuer bei 4°/„ Nachlass
208 fl. 58 kr.; wie groß war die Steuer?
60) Wenn der Centner einer Waare contant um 27'99 fl.
verkauft wird, wie theuer muß er auf Zeit mit 2^°/, Sconto
verkauft werden?
159
V. Die zusammengesetzte Regeldetri.
Sloüsnä rsguls äs tri
8- 71.
Wenn eine Art von Zahlen von zwei oder mehreren Arten
so abhängt, dass sie mit ihnen einzeln genommen, theils in
geradem, theils in verkehrtem Verhältnisse steht, und es ist eine
Reihe zusammengehöriger Zahlen aller dieser Arten bekannt, von
einer zweiten Reihe zusammengehöriger Zahlen aber eine derselben
unbekannt; so heißt die Rechnung, durch welche man diese unbe¬
kannte Zahl findet, die zusammengesetzte Regeldetri (sio-
Z6»ä reZuIs cts tri eiii xoöet troMsnov^.)
1. Auflösung zusammengesetzter Regeldetri-
Aufgaben mit Hülfe der Proportion.
Jede zusammengesetzte Regeldetri kann in mehrere einfache
zerlegt werden. Z. B.
Wenn 18 Centner 20 Meilen weit um 24 fl. verführt
werden, wie viel Centner werden 30 Meilen weit um 32 fl.
verführt?
Man kann diese Ausgabe durch folgende zwei Ansätze der
einfachen Regeldetri auflösen:
1) Wenn 18 Centner 20 Meilen weit um 24 fl. geführt
werden, wie viel Ctr. werden 30 Meilen weit um 24 fl.
verführt. Oder: wenn 18 Ctr. 20 Meilen geführt werden, wie viel
Ctr. werden für dasselbe Geld 30 Meilen weit geführt? —
Zur Lösung hat man
18 Ctr. 20 Meilen : 18 — 20 : 30 . . . u)
,V ,, 30 „ also v — 12 Ctr.
2) Wenn 12 Ctr. 30 Meilen weit um 24 fl. verführt
werden, wie viel Ctr. wird man 30 Meilen weit um 32 fl.
führen. Oder: wenn 12 Ctr. um 20 fl. geführt werden, wie viel?
Ctr. wird man eben so weit um 32 fl. führen? — Man hat
die Rechnung:
160
12 Ctr. 24 fl. x : 12 — 32 : 24 .b)
x „ 32 „ also x — 16 Ctr.
Kürzer kann die Aufgabe mit Hülfe einer einzigen zusam¬
mengesetzten Proportion gelöst werden. Stellt man nämlich die
früher erhaltenen zwei Proportionen zusammen, indem jedoch statt der
gefundenen Zahl 12 der Buchstabe 7 beibehalten wird, und multipliciert
darin die gleichvielten Glieder mit einander, so hat man
X : 18 - 20 : 30
x : 7-32:24
v.x : l>-. v - 20.32 : 30. 24,
und wenn man das erste Verhältnis durch 7 abkürzt,
x : 18 - 20.32 : 30.24,
was der leichteren Uebersicht wegen auch so geschrieben werden kann:
x : 18 - 20 : 30
32 : 24,
wobei man sich denken muß, daß die unter einander stehenden
Zahlen zu multiPlieieren sind.
Das Verhältnis x : 18 ist demnach gleich dem zusammen¬
gesetzten Verhältnisse aus 20 : 30 und 32 : 24.
Vergleicht man die Ordnung der Zahlen in diesen Ver¬
hältnissen mit der Stellung der Zahlen in der Aufgabe, nämlich
18 Ctr. 20 Meil. 24 fl.
x „ 30 „ 32 „
so sieht man, daß die zu x Ctr. und 18 Ctr. gehörigen Zahlen
der Meilen, welche mit der Zahl der Centner verkehrt propor¬
tioniert sind, in umgekehrter, die zugehörigen Zahlen der Gulden
aber, welche mit der Zahl der Centner gerade proportioniert sind, in
der nämlichen Ordnung zu einem Verhältnisse verbunden erscheinen.
Daraus ergibt sich für die Lösung der zusammengesetzten
Regeldetri-Aufgaben folgendes Verfahren:
1. Man setze die unbekannte und die damit gleichnamige
Zahl in das erste Verhältnis.
2. Das zweite Verhältnis der Proportion ist ein zusam¬
mengesetztes, dessen einfache Verhältnisse man findet, wenn man
161
die Art von x mit jeder andern Art vergleicht, um zu sehen, ob
die beiden Arten gerade oder verkehrt proportionirt sind, und
dann die beiden zu x und zu der damit gleichnamigen Zahl
gehörigen Zahlen einer jeden Art in derselben oder in umgekehrter Ord¬
nung nimmt, je nachdem diese Art mit der Art vonxgerade oder verkehrt
proportionirtist. Diese Verhältnisse werdenuntereinander geschrieben.
3. Die Proportion wird aufgelöst, indem man das Product
aller in den inneren Gliedern vorkommenden Zahlen durch das
Product aller in den äußeren Gliedern befindlichen Zahlen dividiert.
2. Auflösung zusammengesetzter Regeldetri-
Aufgaben durch die Schlußrechnung.
8- 72.
a) Einfachere Aufgaben können auch hier durch leichte
Schlüsse im Kopfe gelöst werden. Z. B.
4 Arbeiter, welche täglich 12 Stunden arbeiten, bringen
eine Arbeit in 7^ Tagen zu Stande; wie viel Tage brauchen
dazu 6 Arbeiter, wenn sie täglich 10 Stunden arbeiten?
Wenn 4 Arbeiter Tage brauchen, so hat 1 Arbeiter
4mal so viel Zeit, also 4mal 7^ — 30 Tage nöthig; 6 Arbeiter
aber brauchen nur den 6ten Theil von 30 Tagen d. i. 5 Tage
bei täglich 12stündiger Arbeit; würden sie aber.nur 1 Stunde
täglich arbeiten, so hätten sie 12mal 5 Tage — 60 Tage daran zu
thun; da sie nun 10 Stunden täglich arbeiten, so brauchen sie
nur den lOten Theil von 60 Tagen, also 6 Tage.
b) Dieselben Schlüsse, wie beim Kopfrechnen, liegen auch
der schriftlichen Zweisatzrechnung zu Grunde.
Für die in Z. 71 behandelte Aufgabe würde sich die schrift¬
liche Schlußrechnung so stellen:
20 Meil. weit um 24 fl. 18 Ctr.
1 ."
ZO „ „ „ 24 „ ba --
30 1
18.20.32 Ig Ctr
Mv.cxik, Arithmetik m. böhm. Term. 14. Auf!.
162
Anfänglich werden wegen des besseren Ueberblickes der
Schlußfolgerungen alle Zwischenresultate vollständig angeschrieben;
bei vorgerückter Uebung setzt man unmittelbar zu der mit x
gleichnamigen Zahl nach und nach diejenigen Zahlen, mit denen
multipliciert werden soll, in den Zähler, diejenigen aber, durch
welche dividiert werden soll,- in den Nenner als Factoren dazu,
so daß am Schlüsse nur das Endresultat da steht, an welchem
dann die Ausrechnung vollzogen wird.
Hiernach würde sich die Lösung der vorhergehenden Aufgabe
so darstellen:
20 Meil.
1 .
30 „
30 „
30 ,,
, x —
- 16 Ctr.
weit um 24 fl.
24 „
24 „
1 ,,
32 „
18 . 20 . 32 -
M^!!4
Aufgaben.
8- 73.
1) 100 fl. Capital geben in 1 Jahr 4z fl. Zins; wie viel
Capital muß man anlegen, um in 3 Jahren 837 fl. Zins zu
bekommen?
Mit Hilfe der Proportion.
100 fl. Cap. in 1 I. 4z fl. Zins x : 100 —1:3
x „ „ „ 3 „ 837 „ „ 837 : 4z
^2
6200 fl. Cap.
Durch die Schlußrechnung.
163
2) Aus 12 K Garn verspricht der Weber 60 Meter Lein¬
wand zu machen, welche 1^ Meter breit sein soll; wie viel Meter
Leinwand wird man von 6 K Garn bekommen, wenn die Lein¬
wand nur 1s Meter breit ist?
3) 8 Pferde brauchen in 15 Tagen 32 Metzen Hafer; wie
viel Metzen braucht 1 Pferd in 7 Tagen?
4) Ein Garten, welcher 44" lang und 18" breit ist, wird
nm 360 fl. verkauft; wie viel wird nach demselben Verhältnisse
ein anderer Garten kosten, welcher 68" lang und 22" breit ist?
5) 15 Arbeiter verrichten eine Arbeit in 10 Tagen, wenn
sie täglich 12 Stunden arbeiten; wie viele Arbeiter wird man
aufnehmen müßen, damit sie die nämliche Arbeit in 6 Tagen
vollenden, indem sie täglich nur 10 Stunden arbeiten?
6) Ein Buch, dessen jede Seite 32 Zeilen zu 45 Buchstaben
enthält, hat 240 Seiten; wie viele Buchstaben muß man im Durch¬
schnitte in einer Zeile anbringen, um den Inhalt jenes Buches auf
200 Seiten, deren jede 36 Zeilen enthält, zu bringen?
7) Aus 500 Gramm feinen Silbers werden 45 Gulden¬
stücke ö. W. geprägt; ein Maria-Theresien-Thaler wiegt 28'063
Gramm und hat einen Feingehalt von 833 s Tausendtheilen.
Welchen Wert in österr. Guldenstücken hat 1 Maria-Theresien-
Thaler ?
8) Ein österr. Achtguldenstück wiegt 6'45161 Gramm und
ist 900 Tausendtheile fein, ein russischer Halb-Imperial wiegt
11*
164
6'544 Gramm und enthält 916h Tsth. feines Gold; wie viel
in Achtguldenstücken ist 1 Halb-Imperial wert?
9) Auf einem Acker von 150°? Länge und 30"* Breite können
1H Hektoliter Weizen gesäet werden; wie lang muß ein 36°° breiter
Acker sein, um darauf 2H Hektoliter Weizen säen zu können?
10) Von zwei Rädern, welche in einander greifen, hat das
eine 56, das andere 21 Zähne; wenn nun das erste in 2/^ Mi¬
nuten 58 Umläufe macht, wie vielmal dreht sich das zweite Rad
in 3H Minuten um?
11) Zu einer Mauer, welche 15" lang, 5" hoch und 2H'
dick ist, braucht man 60000 Ziegelsteine; wie viel braucht man
von solchen Ziegelsteinen zu einer Mauer, welche 18" lang, 8° hoch
und 3' dick ist?
12) Die Abschrift eines Werkes kann von 6 Schreibern,
welche täglich 12h Stunden schreiben, in 8 Tagen vollendet
werden; wie viele Schreiber wird man noch dazu aufnehmen
müßen, damit sie mit der Abschrift desselben Werkes in 5 Tagen
fertig werden, wo sie täglich nur 12 Stunden schreiben?
13) 4500 Mann haben auf 8 Monate Brot, wenn jeder
täglich 2H K bekommt. Nun kommen 500 Mann dazu; wie viel
8 wird jeder täglich bekommen, damit das Brot auf 7H Mo¬
nate ausreiche?
14) Wenn 5H Stück einer Waare, von der jedes Stück
18 Meter lang und 1h Meter breit ist, 742 st. 30 kr. kosten;
wie viel kosten 12h Stück von einem gleichwertigen Stoff, von
welchem jedes Stück 25 Meter lang und 1h Meter breit ist?
15) Ein Capital gibt zu 5h°/g in 4 Jahren 7 Monaten
1643 st. 65 kr. Zins; wie viel Zins gibt dasselbe Capital zu
6°/y in 2 Jahren 9 Monaten?
16) Welches Capital gibt in 6 Jahren zu 5°/g eben so
viel Zins, als 4250 sl. Capital zu 5ho/„ in 10 Jahren?
17) 750 sl. Capital zu 3°/g angelegt, bringen in einer
gewissen Zeit 78 sl. 75 kr. Zins; zu wie viel °/„ müßen 500 st. Ca-
165
pital ausstehen , damit sie in dzr nämlichen Zeit 61 fl. 25 kr. Zins
geben?
18) 20 Weber weben in 4^ Wochen, die Woche zu 5
Tagen, den Tag zu 10 Stunden, 150 Stück Tuch, deren jedes
45 Meter lang und Meter breit ist; wie viel Stück von 36
Meter Länge und 2 Meter Breite werden 25 Weber in 12 Wochen
weben, wenn sie wöchentlich 6 Tage, und täglich 12 Stunden arbeiten ?
19) 5 Pferde verzehren in 6 Tagen 320 K Heu, und
10 Kühe in 5 Tagen 175 K Heu; wie viel Heu werden 12 Pferde
und 18 Kühe in 13 Tagen verzehren?
20) 100 fl. Capital geben in 1 Jahre 5^ fl. Zins; g.) wie
viel Zins geben 7654 fl. 22 kr. in 2^ Jahren; b) welches
Capital gibt in 1f Jahren 542 fl. 50 kr. Zins; o) in welcher
Zeit geben 4800 fl. Capital 540 fl. Zins?
21) 15^ Centner werden 12f Meilen weit für 12^ fl.
geführt; u) wie viel Fuhrlohn wird man bezahlen müßen, damit
37 Z, Ctr. 224 Meilen weit geführt werden; b) wie weit werden
20^ Ctr. für 184 fl. geführt; c) wie viel Ctr. wird der Fuhr¬
mann für 12 po fl- 18 Meilen weit führen?
22) Aus 155 K Garn werden 7 Stück Leinwand gewebt,
deren jedes 48 Meter lang und f Meter breit ist; a) wie viel
Stück von 52 Meter Länge und Meter Breite wird man aus
237^- K Garn weben; b) wie viel K Garn sind erforderlich, um
11 Stück von 45 Meter Länge und 1 Meter Breite weben zu
lassen; c) wie breit wird die Leinwand sein, wenn man aus
160^ K Garn 8 Stück zu 42 Meter weben will; 6) wie viel
Meter wird das Stück enthalten, wenn aus 130 K 6 Stück §
Meter breite Leinwand gewebt wird?
VI. Einfache Zinsrechnung.
r>oöst nrollov^.
8- 74.
Berechnung der Zinsen. Vxpoöitäväm ürokü.
Ein Capital von 5380 fl. ist zu 5°/g angelegt; wie groß
ist der Zins in 3 Jahren?
166
Nach der Proportion:
100 fl. Cap. in 1 I. 5 fl. Zins x : 5 - 5380 : 100
5380 „ „ „ 3 „ x „ „ 3 P
5380 X s X 3
X — IM 6'
- 807 fl. Zins.
Durch die Schlußrechnung:
Daraus folgt:
Die Zinsen sind gleich dem Producte aus dem
Capital, dem Procent und der Zeit in Jahren di¬
vidiert durch 100. (Ilrok^ ssou rovu^ souöiuu 2 sistiny,
procentu u öusu liöloncwu lOOein.)
Aufgaben.
1) Wie viel Zins geben 2860 fl. Capital zu 4"/g in 4
Jahren?
2860 X 4 X 4 n .
x — -lOÖ — — 4c>7'60 fl. — fl. 457„60 kr.
2) Ein Capital von 4321 fl. ist zu 5s"/„ durch 2 Jahre
angelegt; wie viel Zins trägt es?
3) Wie viel Zins bekommt man von 799 fl. 45 kr. zu
6z°/g in 2° Jahren?
4) Wie viel Zinsen geben 750 Francs Capital in 2 s
Jahren zu 5°/°?
5) Wie groß ist das Interesse von 1335 fl. 95 kr. in 2
Jahren zu 5s"/«?
6) Jemand hat 5238 fl. zu 5°/g durch 2 Jahre 9 Monate,
und 4855 fl. 35 kr. zu 4§°/o durch 3 Jahre 5 Monate
167
ausgeliehen; welches Capital brachte ihm mehr Zinsen, und
um wie viel mehr als das andere?
8- 75.
Am kürzesten und einfachsten werden die Zinsen auf Jahre,
Monate und Tage nach der wälschen Praktik berechnet, und zwar:
1. Die Zinsen für ein Jahr berechnet man nach der Procent¬
rechnung, indem man das Capital mit dem Procent mul-
tipliciert, und das Product durch 100 dividiert.
2. Um die Zinsen für mehrere Jahre zu finden, darf man
nur die einjährigen Zinsen mit der Anzahl der Jahre
multiplicieren.
3. Die Monate werden als aliquote Theile des Jahres,
und die Tage als aliquote Theile des Monates betrachtet,
die auf diese Theile entfallenden Zinsbeträge durch die
Division bestimmt, und zuletzt zu den Zinsen auf Jahre
addiert.
Aufgaben.
1) Wie viel Zins geben 2584 fl. zu 4°/^ in einem Jahre?
fl. 25 84 zu4°/o
10336 - fl. 103 „36.
2) Wie viel Zins geben in einem Jahre:
a) 739 fl. L 5°/o? b) 1346 fl. 60 kr. L 6"/., ?
e) 905 Thl. a 4"/, ? in 181 Tagen;
15) von 3377 fl. zu 5°/o vom 20. April bis 15. Juli;
16) von 3025 Mark zu 7^«/„ vom 1. Juli bis 23. Nov.
8- 77.
Berechnung des Capital s. V^pobltstvstnl sistiu^.
Ist z. B. die Größe eines Kapitals zu finden, welches
in 2 Jahren zu 4°/» 188 fl. Zins trägt, so hat man:
172
dividiert durch das Product aus dem Procent und
der Zeit in Jahren, (llistiua rovnä 86 100 näsobuvm
nroküm, ktereL se ro^äöii sonöiuem r; xroaent u rolcü.)
Aufgaben.
1) Jemand bezieht in 3 Jahren 556 fl. als Zins; wie
groß ist das Capital bei 6°/g?
x ^0 Z088-888 fl. - fl. 3088„89.
2) Welches Capital gibt zu 5°/g in 2 Jahren 586 fl. Zins?
3) Jemand bezieht jährlich 330 fl. als 6"/» Zins; wie
groß ist das Capital?
4) Wie groß muß das Capital sein, welches zu 4^/^ m
6^ Jahren 320 Thl. Zins bringen soll?
5) Welches Capital wird zu 4^^ in 3 Jahren einen Zins
von 837 Francs abwerfen?
6) Wie groß muß das Capital sein, welches zu 5^°/g in
2 Jahren 7 Monaten 398 fl. 58 kr. Zins gibt?
>. 8. 78.
Berechnung der Zeit. Vxpoöitävünl öasu.
Ist z. B. die Anzahl Jahre zu suchen, in welcher ein
Capital von 3800 fl. zu 6°/« 684 fl. Zinsen gibt, so hat man
100 fachen Zinsen, dividiert durch das Product aus
dem Capital und dem Procent.
173
Aufgaben.
1) In welcher Zeit geben 4700 fl. Capital zu 44"/„ 423
fl- Zins?
423 X 100 .
" 47M X 4l - '
2) Wie lange muß ein Capital von 6520 fl. zu 5"/<, aus¬
stehen, um 320 fl. Interessen zu geben?
3) In wie viel Zeit geben 3541 Thl. Capital zu 4"/„ ein
Interesse von 352 Thl.? *
4) Wie lange müssen fl. 5244 „ 55 zu 5^°/, angelegt
bleiben, damit sie fl. 956„3 Zins bringen?
5) Wie lange muß ein Capital von 5460 Thl. zu 5.s"/„
angelegt bleiben, um 365 Thl. Zins zu bringen?
6) In wie viel Zeit tragen 6580 fl. 50 kr. Capital zu
4^/„ 849 fl. 82 kr. Zins?
8- 79.
Berechnung des Procentes. Vxxocltaväni procenta.
Es sei z. B. zu bestimmen, zu wie viel °/„ man 3460 fl.
Capital anlegen müße, damit es in 3 Jahren 519 fl. Zins ab¬
werfe. Um zu berechnen, wie viel Zins 100 fl. Cap. in 1 Jahre
geben, hat man
3460 fl. Cap. in 3 I. 519 fl. Zins
., 519
" 3460 " "
sisxioo
„ c> "
1 519 XWO
" 3460 X 3 " "
d. h. das Procent ist gleich den lOOfachen Zinsen, divi¬
diert durch das Product aus dem Capital und der
Anzahl Jahre.
174
Aufgaben.
1) Zu wie viel muß ein Capital von fl. 3250 angelegt
werden, damit es in 3 Jahren fl. 390 Zins gebe?
390 X 100
3250 X 3 "
2) Jemand leihet 16000 aus; wie viel "/y muß er ver-
Langen^ um davon ein jährliches Einkommen von 900 fl- zu
genießen?
3) Zn wie viel °/g geben 4240 Rubel Capital in 3^ Jahren
848 Rubel Zins?
4) 7840 fl. 50 kr. bringen in 1 Jahr 6 Mon. 705 fl-
65 kr. Zins; zu wie viel geschieht die Verzinsung?
5) Zu wie viel °/y muß man 9110 fl. anlegen, damit sie
vom 2. Mai bis 15. October 206 fl. 23 kr. Zins bringen?
8- 80.
Berechnung des Wertes einer Geldsumme nach einer
bestimmten Zeit.
V^xoeltävrwl iioänotz- nullte 26 sum/ ponö? po uröitem öusu-
Um den Wert eines Capitals nach einer bestimmten Zeit
zu finden, berechne man die Zinsen davon für diese Zeit, und
addiere sie zu dem gegebenen Kapitale; oder man suche unmittel¬
bar den ganzen Belauf, indem man zuerst ausmittelt, wie viel
100 fl. sammt den Zinsen nach jener Zeit betragen werden, und
dann die Regeldetri anwendet.
Aufgaben.
1) Auf einem Gute lastet eine Schuld von 8500 fl.; nach
2 Jahren zahlt der Besitzer die Schuld und die 5^°/o Interessen;
wie viel muß er zahlen?
175
8500 L 5^/g
425
42B Capital fl. 8500
467D für 1 Jahr Int. für 2 Jahre „ 93 5
935 fl. für 2 Jahre Belauf nach 2 Jahren fl. 9435;
oder:
IM fl. geben zu 51"/<, in 2 Jahren 11 fl. Zins, folglich be¬
tragen IM fl. sammt Zinsen nach 2 Jahren 111 fl.; man
hat daher
IM fl. Cap. 111 fl. Belauf x : 111 - 8500 - IM
8500 „ „ x „ „ x — 9435 fl.
2) Jemand nimmt 2560 fl. auf 6 Monat zu 5°/<, auf
Zinsen; wie viel wird er nach Verlauf dieser Zeit zu zahlen
haben?
3) Ein Kaufmann hatte eine Summe von 4108 fl. am
20. October zu zahlen, leistete aber die Zahlung erst am 31.
December ; wie viel hatte er da bei 6"/, Zins zu bezahlen?
von: 20. Oct. bis 20. Dec. sind 60 Tage
„ 20. Dec. „ 31. „ ^11 „
zusammen 71 Tage
4108 X 71
28756- Schuld ain 20. Oct. fl. 4108
291'668 Zins für 71 Tage „ 48„6 l
48'611 Belauf am 31. Dec. „ 4156„61
Nach der Regeldetri würde sich dieses Beispiel minder bequem aus-
arbeiten lassen.
4) Jemand nimmt 1580 Thl. auf 22 Tage zu 6"/„ auf
Zinsen; wie viel wird er nach Verlauf dieser Zeit zu zahlen
haben?
5) Wenn 2518 fl. 24 kr. südd. Währ, durch 2 Jahre
5 Monate zu 5^°/„ ausstanden, wie viel muß dann an Capital
und Zins zurückgezahlt werden?
170
6) hatte an L zu zahlen:
am 5. Juli fl. 2325„82,
am 27. Sept., 978„39,
am 19. Nov. „ 1815„40;
dagegen hatte L an 6 zu bezahlen:
am 13. Aug. fl. 1546„6,
am 5. Dec. „ 2410,,—.
Am 31. December werden die gegenseitigen Schulden mit
5°/„ Zins ausgeglichen; wie viel hat da L. an L zu bezahlen?
8- 81.
Berechnung des Wertes eines Geldbetrages vor
einer bestimmten Zeit.
V^poöltuvnni iioänot/ Mts sum^ psnör: prsä uröitxm Lnssm.
Um den Wert eines Geldbetrages vor einer bestimmten
Zeit mit Rücksicht auf die gewöhnlichen Zinsen zu berechnen,
bestimme man zuerst den Wert, den 100 fl. mit den Zinsen in
jener Zeit erhalten, und wende dann die Regeldetri an.
Aufgaben.
1) Für ein Capital, welches durch 3 Jahre zu MM aus¬
gestanden ist, erhält man an Capital und Zinsen 5359 fl.; wie
groß war das Capital?
100 fl. betragen sammt den MM Zinsen nach 3 Jahren
IUM- fl.; man hat also
100 fl. Cap. 11M fl. Cap. mit Zins
x „ „ c>359 „ „ „ „
x : 100 - 5359 : 116z
also x - 4600 fl.
2) Jemand hat nach 4 Monaten 5240 fl. zu bezahlen,
er wünscht aber seine Schuld sogleich zu berichtigen. Wie viel
wird die contante Zahlung betragen, wenn man 6M Zins rechnet?
177
3) Wie viel sind 850 fl., welche nach 2 Jahren bezahlt
werden sollen, bei 5°/, Zins jetzt werth?
4) Jemand zahlt für ein durch 6 Jahre benütztes Capital
sammt den 5.^°/o Zinsen fl. 452„20 zurück; wie groß war das
ursprüngliche Capital?
5) L. soll an 6 nach 5 Jahren 1245 Francs bezahlen;
wie viel hätte er bei 5j°/g nach 2 Jahren zu zahlen?
6) bietet für ein Haus entweder 8410 fl. bar, oder
8785 fl. nach 9 Monaten zahlbar. Wenn nun der Verkäufer das
Geld zu 5°/g ausleihen kann; welches Anbot ist für den Käufer,
und welches für den Verkäufer vortheilhafter?
VII. Die Terminrechnung.
kvötz? Hrütue.
8- 82.
Wenn eine Geldsumme theilweise in verschiedenen Zeitfristen
oder Terminen zahlbar ist, so nennt man das Verfahren, durch
welches ermittelt wird, zu welcher Zeit statt der ratenweisen
Zahlungen das ganze Capital auf einmal abgetragen werden
kann, ohne daß dabei der Schuldner (ciluLnik) oder der Gläubiger
(vöritoy einen Nachtheil habe, die Terminrechnung (poöst
Ikütnzi).
Bei dieser Rechnung werden einfache Zinsen zu Grunde
gelegt, und man kann demnach sagen: 500 fl. geben in 4 Jahren
eben so viel Zins, als 4 X 500 fl. in 1 Jahre; oder 700 fl.
geben in 8 Monaten eben so viel Zins, als 8 X 700 fl. in
1 Monate.
Es sei nun folgende Aufgabe zu lösen. hat ein Haus
um 8000 fl. unter der Bedingung gekauft, das; die Zahlung in
mehreren Terminen ohne Zins und zwar in folgender Weise
geleistet werden soll: 3500 fl. nach 2 Monaten, 2000 fl. nach
3 Monaten, 1500 fl. nach 4 Monaten und 1000 fl. nach
Mocuik, Arithmetik m. behm. Term. 11. Aufl. 12
178
5 Monaten; wenn nun die ganze Kaufsnmme auf einmal bezahlen
will, wann muß dieß geschehen?
Wenn die einzelnen Zahlungen in den festgesetzten Terminen.
gemacht werden, so genießt 71 die Zinsen
von 3500 fl. auf 2 Mon. oder von 2 X 3500 — 7000 fl. auf 1 Mon.
„ 2000,, „ 3 „
,, 1500,, ,, 4 ,,
„ 1000,, „ 5 „
„ „ 3 X 2000 - 6000,, „ 1 „
„ „ 4X 1500 - 6000,, „ 1 „
„ „ 5 X 1000 — 5000,, „ 1 „
also zusammen von 24000 fl. „ 1 „
.4 wird daher die Zahlung der ganzen Summe von 8000 fl.
so lange zurückhalten dürfen, bis die von derselben eingebrachten
Zinsen gerade so viel betragen, als die Zinsen von 24000 fl. in
1 Monate, auf welche er bei der bedungenen Zahlungsweise das
Recht hat. Damit nun 8000 fl. eben so viel Zinsen bringen,
als 24000 fl. in 1 Monate, müßen sie so viele Monate angelegt
bleiben, als wie oft 8000 fl. in 24000 fl. enthalten ist, somit durch
3 Monate. Die ganze Kaufsumme von 8000 fl. müßte also nach
3 Monaten gezahlt werden.
Um also den mittleren Zahlungstermin mehrerer
Ratenzahlungen (strecknl Illüta xlatobnl rm vloo Ikütn^tR
Zxläeonl) zu finden, multipliciert man jede Terminzahlung
mit der Zeit, nach welcher sie geleistet werden soll, und dividiert
die Summe dieser Products durch die Summe aller Termin¬
zahlungen; der Quotient zeigt den mittleren Termin an.
Aufgaben.
1) Wenn jemand 400 fl. nach 3 , 500 fl. nach 6, und
600 fl. nach 8 Monaten bezahlen sollte, nach wie viel Monaten
müßte die ganze Summe zugleich bezahlt werden?
400 fl. nach 3 Monaten — 1200
500 „ „6 „ — 3000
600 „ „ 8 „ - 4800
1500 9000
9000 : 1500 - 90 : 15 - 6 Mon.
179
2) Eine Summe von 10000 fl. ist in 4 Terminen zu
bezahlen, und zwar: 3000 fl. nach 4 Monaten, 2500 fl. nach
0 Monaten, 2000 fl. nach 8 Monaten, und der Rest nach 1
Jahre. Wenn nun die ganze Summe auf einmal erlegt werden
soll, wann wird dieses geschehen?
3) Jemand hat 6000 fl. sogleich, 4500 fl. nach 4 Mo¬
naten, 4500 fl. nach 8 Monaten, 4500 fl. nach 12 Monaten
und 4500 fl. nach 16 Monaten zu entrichten. Wann wird
die Zahlung geschehen müßen, wenn sie auf einmal geleistet
werden soll?
4) Jemand soll 800 fl. in 4 Jahren bezahlen, und zwar
am Ende eines jeden Jahres 200 fl. Er wünscht aber die ganze
Schuld auf einmal zu tilgen; wann wird dieses geschehen müßen?
200 fl. nach 1 Jahre — 200
200 „ „ 2 Jahren — 400
200 „ „ 3 „ - 600
200 „ „4 „ - 800
800 2000
20,00 : 8,00 - 2z Jahr.
Wenn die Terminzahlungen gleich sind, so erhält man den Mittlern
Zahlungstermin kürzer, wenn man nur die Zeiten addiert und die Summe
Lurch die Anzahl der Terminzahlungen dividiert. In dem letzten Beispiele
hätte man:
1 2 -s- 3 -s- 4 -- 10, 10 : 4 -- 2z Jahr.
5) L kauft einen Garten für 1200 fl., wovon er sich nach
je 3 Monaten 240 fl. zu zahlen verpflichtet. Wann müßte er
die ganze Summe auf einmal entrichten?
6) Jemand hat 6000 Lire in drei gleich großen Raten
zu zahlen, und zwar je 2000 Lire nach 1, nach 4, nach 10 Mo¬
naten; wann wird die Zahlung erfolgen, wenn er die ganze
Summe auf einmal abtragen soll?
7) Jemand ist 900 fl. schuldig und zwar soll er 225 sl.
nach 4, 150 fl. nach 6, 3M fl. nach 9, und den Rest nach
12*
180
12 Monaten entrichten. Wenn nun die Summe auf einmal
bezahlt werden soll, wann muß dieses geschehen?
8) /V ist vertragsmäßig verpflichtet, 4800 Thl. sogleich,
2000 Thl. nach 1 Jahre, und 2200 Thl. nach 15 Monaten zu
zahlen-, wann kann er diese ganze Schuld auf einmal tilgen?
9) Es hat jemand nach und nach folgende Zahlungen zu
leisten: den 17. März 250 fl., den 13. Juli 300 fl-, den 21.
August 400 fl., den 7. October 250 fl. und den 18. December
500 fl. An welchem Tage kann er statt dessen diese sämmtlichen
Posten aus einmal abtragen? (Man berechne hier die einzelnen
Zeiten vom 31. December angefangen, von welchem Zeitpunkt
an dann auch das Resultat zu nehmen ist.)
10) Am 18. Mai erhält ein Commissionär folgende Wechsel
zum Eincassieren zugesendet: 600 Thl. zahlbar nach 36 Tagen,
800 Thl. zahlbar nach 45 Tagen und 400 Thl. zahlbar nach
60 Tagen. An welchem Tage wird er semeni Committenten
die Summe derselben gutschreiben?
11) 4. ist an I- zu zahlen schuldig: 200 fl. sogleich, 300 fl.
nach 5 Monaten, 450 fl. nach 8 Monaten, 3M fl. nach 11
Monaten, 6M fl. nach 15 Monaten und 4M fl. nach 20 Mo¬
naten. Dagegen ist 0 an 4. zu zahlen schuldig: 350 fl. nach
3 Monaten, 5M fl. nach 7 Monaten und 6M fl. nach 1 Jahre.
Nun wollen beide mit einander abrechnen und es soll der Rest
auf einmal abgezahlt werden; wie viel beträgt der Rest, und
wann muß seine Zahlung erfolgen?
VIII. Die Kettenrechnung,
kravlälc» rstZ2ovs.
8- 83.
Die Kettenrechnung wird angewendet, wenn aus einer-
bekannten Zahl einer Art die zugehörige unbekannte Zahl einer-
andern Art durch Hilfe einer oder mehrerer Mittelbestimmungen
(uröitosti irwAtiwirl) gefunden werden soll.
181
Z. B- Wie viel Kreuzer österr. Währung kosten 4 Dekagramm
von einer Maare, wovon 7 z Kilogramm auf 13? Thaler kommen?
Um hier den zu 4 Dekagr. gehörigen Preis in kr. öst. Währ,
zu finden, muß man nebst der Angabe, dass 71 Kilogr. 13z
Thaler kosten, noch folgende Mittelbestimmungen zu Hilfe neh¬
men: 1 Kilogr. hat IM Dekagr., 1 Thaler gilt 150 Kreuzer
österr. Währ.; und die vollständige Aufgabe lässt sich dann in
folgende Kettenverbindung (rvtöLovs sxojvnl) bringen:
kr. ö. W. x kosten 4 Dekagramm
wenn Dekagr. 100 .... 1 Kilogr. machen,
wenn Kilogr. 7,j. . . . 13§ Thaler kosten,
und wenn Thaler 1 . . . . 150 kr. ö. W. gilt.
In diesem Ansätze hat jede Zahl auf der rechten Seite mit
der links stehenden gleichen Wert; jede Zahl auf der linken Seite
ist mit der nächstvorhergehenden auf der rechten Seite gleiches
Namens und gleicher Natur, und die letzte Zahl rechts ist mit der
ersten Zahl links d. i. mit x gleichnamig. Auf diese Art hängen
alle Zahlen des Ansatzes wie die Glieder einer Kette zusammen.
Jede Kettenrechnung kann durch wiederholte
Anwendung der einfachen Regeldetri ausgeführt
werden. Für das frühere Beispiel hätte man folgenden
Rechnungsgang:
1) Wie viel Kilogr. sind 4 Dekagr., wenn IM Dekagr.
1 Kilogr. ausmachen?
7 Kilogr. 4 Dekagr. 7 : 1 — 4 : IM
4 V 1
1 „ 100 „ 7 2'5 Kilogr.
2) Wenn 7z Kilogr. 13? Thaler kosten, wie hoch kommen
4 v 1
400 " 2'5 Kilogr.?
7z Kilogr. 13? Dhl. 2 - 13? - : 7z
4X1 — 4 X 1 X 13I ,, F-Ls
100 " 2 " 100 X 7z v-
182
4 V 1 X IZ
3) Wie viel kr. ö. W. betragen—^oO x 7'
Thl., wenn 1 Thl. 150 kr. ö. W. gilt?
« ^4 XIX 13 §
x kr. o. W. ^oy x 7z
150 „ l"
daher:
x - X 15 0 n ö. W.
100 X 7z X 1
Es ist nun nicht nöthig, bei solchen Aufgaben alle diese
weitläufigen Rechnungen durchzuführen. Vergleicht man näm
. c n . 4X1 X13^ X 150 .
lrch den gefundenen Ausdruck x — — i(D">^ 7^X l
der oben in die Kettenverbindung gebrachten Aufgabe, so sieht
man, daß x gleich ist dem Producte aller rechts stehenden Zahlen
dividiert durch das Product aller links erscheinenden bekannten
Zahlen. Zieht man daher bei dem obigen Kettensätze zwischen
beiden Reihen von Zahlen einen aufrechten Strich, so kann der
Wert von x sogleich aus dem Kettenansatze nach der gewöhnlichen
Strichmethode gefunden werden.
Für die Kettenrechnung hat man daher Folgen¬
des zu beobachten:
Man bilde zuerst den Kettenansatz. Zu diesem Ende schreibt
man x mit seiner Benennung auf die linke Seite eines aufrechten
Striches, und rechts die bekannte Zahl, deren Betrag gesucht
wird; darunter setzt man alle Mittelbestimmungen, und zwar
fängt man jedesmal links mit einer Zahl an, welche mit der
nächstvorhergehenden Zahl auf der rechten Seite völlig gleichen
Namen und gleiche Natur hat, und rechts neben jede Zahl
kommt diejenige Zahl zu stehen, welche mit ihr gleichen Wert
hat; die Kette muß mit einer Zahl schließen, die mit x gleich-
183
namig ist. Die Auflösung der angesetzten Kette erfolgt nach der
Strichrechnung.
Aufgaben.
1) Wie viel metrische Centner machen 317 Londner Centner,
wenn 97 Londn. Pfund — 44 Kilogramm sind, wenn 1 Londn.
Centner 112 Londn. Pfund und 1 metr. Ctr. 100 Kilogr. enthält?
metr. Ctr. x 317Londn.Ctr.
Londn. Ctr. 1 112 Londn. K
Londn. K 97 i 44 Kilogr.
Kilogr. IM > 1 metr. Ctr.
x — 161'049 metr. Ctr.
Man beginnt die Kette mit
der Frage x metr. Ctr. machen
317 Londn. Ctr., indem man jene
Zahl links, diese rechts des Stri¬
ches schreibt. Da man mit Londn.
Ctr. aufhört, so muß die folgende
Mittelbestimmung mit Londn. Ctr. anfangen; dieß geschieht, indem man an¬
setzt: wenn 1 Londn. Ctr. 112 Londn. Pfd. gibt. Hier hört man rechts mit
Londn. Pfd. auf, daher muß man wieder links mit Londn. Pfd. anfangen ; man
sagt: wenn 9? Londn. Pfd. 44 Kilogr. machen. Man hört hier mit Kilogr.
auf; La aber x metr. Ctr. bedeutet, so muß man noch die Mittelbestimmnng
zu Hilfe nehmen: wenn 100 Kilogr. 1 metr. Ctr. geben.
Weil bei der Regeldetri höchstens das Verhältnis, in welchem x vor¬
kommt, während der Rechnung als benannt betrachtet werden kann, und der
Kettensatz eigentlich nichts anderes ist als die Zusammenfassung mehrerer
Regeldetri-Ansätze, so folgt, dass man auch beim Kettensätze während der
Rechnung nur x und die damit gleichnamige Zahl als benannt betrachten
dürfe, wenn auch in dem Ansätze wegen der leichtern Anordnung auch den
übrigen Zahlen ihre Benennung beigesetzt wird.
2) Wie viel kosten 2 metr. Ctr. Quecksilber, wenn man 4
Dekagramm um 7 kr. bekommt?
3) Jemand gibt für 4 Wien. Ctr. einer Waare 42 fl.;
wie hoch kommt 1 K davon zu stehen?
4) Jemand hat von seinem Freunde 20 Hektoliter Weizen
geborgt, und will ihm statt des Weizens Wein zurückstellen.
Wenn nun 1 Hektoliter Weizen 7 fl. 20 kr., das Hektoliter Wein
aber 24 fl. kostet; wie viel Hektol. Wein müßen für 20 Hektol.
Weizen gegeben werden?
5) Ein Cubik-Decimeter Wasser wiegt 1 Kilogramm; wie
184
viel Wien. K wiegt 1 W. Cubikfuß, da 600 Cub. Decimeter
— 19 Cubikfuß, und 56 Kilogramm — 1 Wien. Ctr. sind?
6) Wie viel wiegt 1 Wien. Maß Wasser, da ein Cubikfuß
Wasser 56 s Pfd. wiegt und 1 Eimer — 1'792 Cubikfuß ist?
7) Wie viel Hektoliter enthält ein englischer Quarter, wenn
1 Hektoliter 5041s und 1 Quarter 14654s alte Pariser Cubik-
zoll hat?
8) Wie viel kostet 1 Wien. Loth Seide, wenn 1 Gramm
in Frankreich 7 Centimes kostet, und wenn 500 Gramm — 1
Zoll K, 100 W. K — 112 Zoll K und 100 Francs — 48 s
fl. ö. W. sind?
9) In Aegypten kostet 1 Ardeb Weizen 92 Piaster; wie
viel macht das in unserm Maße und Gelde, wenn 100 Ardeb —
27 Hektoliter, und 100 Piaster — 8s fl. sind?
10) Eine Goldstange wiegt 6 Mark 5 Loth, und hat an
Feingehalt 20s Karat; wie viel ist der Betrag davon in ö. W.
zu 390 fl. per Mark fein?
11) Ein österr. Guldenstück enthält 900 Tausendtheile feines
Silber; wie viel Gramm wiegt es, wenn 45 Guldenstücke 500
Gramm feinen Silbers enthalten?
12) Wie viel wiegen 36 Wien. Cubikfuß Eisen, wenn 1
Cubikfuß Eisen so viel wiegt als 7s Cubikfuß Wasser, und wenn
1 Cubikfuß Wasser 56s Wien.K wiegt?
13) In England wiegen die Eisenbahnschienen 57 Pfund
Adp. pr. Jard; wie viel Kilogramm gibt dieses auf ein Meter?
(100 K Adp. - 45/, Kilogr., 10 Yard - 91 Met.)
14) Jemand kauft in Hamburg 3751 K Kaffee um 1713
Mark Banco; wie viel Gulden ö. W. kostet ein metr. Ccntner,
wenn 2 Hamb. K — 1 Kilogr., und wenn 100 Mark Banco —
90; fl. ö. W. sind?
15) Ein Pud Silber kostet in Rußland 825 Silberrubel;
wie viel Francs kostet nach diesem Verhältnis ein Kilogramm in
Frankreich? (1 Pud — 29-25 W. K, 56 Kilogramm — IM
W. K, 162 Francs — 40s Silberrubel)
185
16) Wie viele alte österr. Zwanziger, von denen 60 aus
eine köln. Mark fein Silber gehen, wiegen 1 Münzpfund, wenn
sie 9^ Loth fein sind? (1 Mark — 233'87 Gramm.)
17) Wie viele kais. Ducaten sind gleich einem Achtgulden¬
stücke, da 1 Achtguldenstück 5'80645 Gramm feines Gold enthält,
und aus einer köln. Mark (233'87 Gramm) 23; Karat feines
Gold 67 Ducaten geprägt werden?
18) Wie viele Achtguldenstücke können aus 22^ köln. Mark
Gold, welches 21^ karatig ist, geprägt werden?
19) Welcher Werth in fl. ö. W- ergibt sich für 1 Acht-
guldeustück, da 155 Stück auf 1 Kilogramm Silber von 900
Tausendtheilen Feingehalt gehen, wenn das Verhältnis des Goldes
zum Silber wie 15^ : 1 angenommen wird?
20) Ein Kaufmann in Odessa sendet nach Genua 5218
Tschetwert Weizen, welches dort zu 19§ Lire pr. Hektoliter verkauft
wird, und erhält für den Betrag Baumöl, wovon 1 Barile
54 Lire kostet; wie viel Wedro Baumöl werden es sein? (10
Tschetwert — 21 Hektoliter, 115 Wedro 23 Barili.)
21) Ein Weinhändler verkauft das Liter Wein zu 40 kr.
und gewinnt dabei 10°/g, d. h. für jede 100 fl., die beim Ein¬
käufe ausgelegt wurden, nimmt er beim Verkaufe 110 fl. ein;
wie theuer hat er beim Einkäufe das Hektoliter bezahlt?
22) Jemand kauft 3 Stück Tuch ü 32 Meter um 315 fl.
ein; wie theuer muß er das Meter verkaufen, um 12°^ zu ge¬
winnen?
23) 12 Ctr. 36 K Wiener Gewicht kosten im Einkäufe
358 fl.; wie theuer muß das Pfund verkauft werden, damit
man 8'7g gewinne?
24) Wenn 37^ badische K 22j fl. süddeutscher Währung
kosten; wie hoch in österr. Währ, kommen in demselben Verhältnis
85 Wiener K, da 56 bad. K n 50 Wien. K und 52.s fl. südd.
W. - 45 fl. ö. W. sind?
25) Wie viel österr. Meilen machen 238 russ. Wersten,
wenn 1 österr. Meile 24000 Wien. Fuß enthält, wenn 100
186
Wersten — 14 3762 geogr Meilen, 1 geogr. Meile — 7 4204
Kilometer und 55 Meter — 174 Wien. Fuß sind?
26) Der Hamburger Ctr. hat 100 Hamb. K, wovon jedes
0'5 Kilogramm enthält, das Wien. K wiegt 0 56 Kilogramm;
wie viel fl. ö. W. kostet der Wiener Ctr. von einer Waare,
wovon 4 Hamb. Ctr. 3824 Mark Banco kosten, wenn man
100 Mark Banco zu 91 fl. ö. W. rechnet?
27) Von den Gasgesellschaften in Großbritannien und
Irland werden jährlich 7600 Millionen engl. Cubikfuß Gas
verkauft, welche ein Licht von gleicher Stärke wie 33 Millionen
Gallons Oel liefern; wie viel Wien. Cubikfuß Gas gibt das auf
1 Wien. K Oel? (1000 englische Cubikfuß — 896 Wien. Cubikf.,
100 Gallons — 321 Wien. Maß, 1000 Wien. Eimer — 1792
Wien. Cubikf., 1 Wien. Cubikf. Oel wiegt 53 W. K.)
IX. Die Gesellschastsrcchnung (Theilregel).
koöst spolsLu^.
8- 84.
Wenn mehrere gleichartige Größen so bescyasfen sind, dass
die erste z. B. so vielmal 2 Einheiten enthält, als deren die
zweite 5, und die dritte deren 7 enthält, so dass sich die erste
zur zweiten wie 2 : 5, und die erste zur dritten wie 2 : 7 ver¬
hält, so sagt man, die drei Größen verhalten sich so
wie die Zahlen 2, 5, 7, oder sie sind den Zahlen 2, 5, 7
proportional.
Die Rechnung, durch welche eine Zahl in mehrere Theile
getheilt wird, welche gegebenen Zahlen proportional sind, wird
die Gesellschaftsrechnung oder Theilregel (poeot spo-
leönF) genannt.
Die Zahlen, in deren Verhältnisse die Theilung zu ge¬
schehen hat, heißen Verhältniszahlen (ölsla pomörova).
Wenn in einer Aufgabe nur eine Reihe von Verhältnis¬
zahlen gegeben und somit eine Theilung nach einfachen Verhält-
187
nissen vorzunehmen ist, so heißt die Gesellschaftsrechnung eine
einfache (Mnotnf); dagegen eine zusammengesetzte (slo-
öeu)'), wenn die Theilung nach zusammengesetzten Verhältnissen
zu geschehen hat, und daher mehrere Reihen von Berhältnis-
zahlen (ruäv ölsei pomorovveii) gegeben sind.
8- 85.
Einfache Gesellschaftsrechnung,
llollnotn^ poöet spoleöns-.
Bei der einfachen Gesellschaftsrechnung dividiert
man die zu theilende Zahl durch die Summe der auf die ein¬
fachste Form gebrachten Verhältniszahlen, und multipliciert den
Quotienten mit jeder Verhältniszahl.
Ist z. B. die Summe von 3600 fl. unter drei Personen
so zu theilen, dass 2, L 3, 0 7 Theile bekommt, dass sich
also die Theile den Zahlen 2, 3, 7 proportional verhalten, so
bilde man zuerst 2 -j- 3 -j- 7 — 12 gleiche Theile, indem man
3600 fl. durch 12 dividiert; man bekommt dadurch 300 fl. als
die Größe eines Theiles; von solchen Theilen bekommt nun
^.2, L 3, 07; man muß also den Quotienten 300 fl. noch
mit jeder Verhältniszahl multiplicieren.
Die Rechnung steht
2 300 X 2 - 600 fl. bekommt
L 3 300 X 3 - 900 „ „ L,
0 7 300 X 7 - 2100 „ „ 0,
3600 : 12 - 300 3600 fl. zusammen.
Ausgaben.
1) Drei Personen treten zu einem Handlungsgeschäfte zu¬
sammen, und zwar gibt 1800 fl-, L 2700 fl., 0 4500 fl.
zu dem gemeinschaftlichen Fonde her; wenn nun bei dem Geschäfte
1570 fl. gewonnen werden, welchen Antheil an dem Gewinne
wird jeder haben?
188
Hier muß der Gewinn den Einlagen 1800, 2700, 4500
oder, wenn man durch 900 abkürzt, den Zahlen 2, 3, 5 pro¬
portional getheilt werden. Man hat also
2 — 314 fl. gewinnt
3 -- 471 „ „ 8
5 — 785 „ ,, 0
1570fl. ganzer Gewinn.
2) Zu feinem rothen Siegellack braucht man 4 Theile
Terpentin, 1 Theil Kreide, 6 Theile Zinnober und 6 Theile
Schellack; wie viel von jedem dieser Bestandtheile muß man zu
102 K Siegellack nehmen?
3) Drei Personen legen zu einem gemeinschaftlichen Unter¬
nehmen 12800 fl. zusammen, und zwar 4300 fl., 8 3800 fl.,
6 den Rest; wenn sie nun dabei 3000 fl. gewinnen, wie viel
gebührt einem jeden?
4) legt in eine Handlung 5000 fl., 8 7400 fl.,
6 8400 fl-, 8 6200 fl. Wenn sie nun zusammen 1800 fl. gewin¬
nen, was erhält jeder vom Gewinne?
5) Jemand ist an /V 500 fl., an 8 700 fl., an 0 400 fl.,
an 8 300 fl. schuldig; er hat aber nur 1710 fl. im Vermögen;
wie viel erhalten die Gläubiger nach Verhältnis ihrer Forderung?
6) Zu weißem Glase nimmt man 25 Theile Kiessand,
5 Theile Pottasche und einen Theil Kreide; wie viel braucht man
von jedem dieser Bestandtheile zu einer Masse von IM K?
7) Zu Porzellan nimmt man 25 Theile Thon, 1 Theil
Gyps und 2 Theile Kies; wie viel von einem jeden braucht man
zu einer Masse von 85 K?
8) Wie viel Sauerstoff und Stickstoff befindet sich in einem
lufterfüllten Raume von 87 Cub. Meter, wenn in IM Theilen
atmosphärischer Luft 21 Theile Sauerstoff und 79 Theile Stick¬
stoff enthalten sind?
9) An den Enden eines 3'8 Meter langen Hebels sollen
zwei Gewichte, das eine von 264 Kgr., das andere von 312 Kgr-,
189
ins Gleichgewicht gebracht werden; ivohin muß der Stützpunkt
des Hebels kommen?
10) Eine Waare ist bei zwei Assecnranzgesellschaften ver¬
sichert, und zwar mit 5000 Francs und 7000 Francs; wie
viel hat jede Gesellschaft von dem entstandenen Schaden von
3854 Francs zu tragen?
11) Zwei Kaufleute kaufen gemeinschaftlich 72 Ctr. einer Waare;
gibt dazu 280 fl., L 320 fl. Wie viel Centner erhält jeder?
12) Von 2734 Kilogramm Mandeln und 2891 Kilogr
Kaffee zahlt man 12l fl. 95 kr. Fracht; wie viel entfällt davon
für die Mandeln, wie viel für den Kaffee?
13) Ein Kaufmann erhält 3 verschiedene Maaren, welche
einzeln 385 Thl., 560 Thl. und 625 Thl. kosten. Wenn nun
die nach Procenten gerechneten Spesen für alle drei Maaren
68^ Thl. betragen, wie viel entfällt davon auf jede einzelne Waare?
14) Es sollen 252 fl. in drei den Zahlen j, j, Z, pro¬
portionale Theile getheilt werden.
Hier bringt man die Verhältnisbrüche auf einen gemein¬
schaftlichen Nenner, und behält die neuen Zähler als Verhältnis¬
zahlen bei; denn zwischen Brüchen, welche einerlei Nenner haben,
findet dasselbe Verhältnis statt, wie zwischen ihren Zählern.
12
1 3 3 21 X 3 - 63 fl.
1 4 4 21 X 4 - 84 „
1!5 21 X 5 - 105 „
252 : 12 - 21 252 fl.
15) Drei Personen kaufen ein Schiff um 24000 fl. Da¬
von zahlt 12000 fl., L 8000 fl., 0 den Rest; welchen Theil
«der Part wird jeder am Schiffe haben?
Das ganze Schiff wird als Einheit angenommen.
12WS 3 > x 3 - z Part
0 8Wfl 2 > X 2 - i „
O 4flW 1 r x 1 - - „
1:6- '
190
16) An einem Schiffe hat ^4 8 s und 6 ^4 Part;
wenn nun dieses Schiff 1845 fl. Fracht verdient, wie viel wird
der Antheil eines jeden betragen?
17) Vier Personen nehmen ein Lotterieloos; dazu gibt ^4
50 kr., 8 1 fl., O 1 fl. 50 kr., v 2 fl., sie gewinnen damit
8000 fl.; wie viel bekonimt jeder?
18) Jemand ist an 5000 fl., an 8 6000 fl., an
0 8000 fl., an O 9000 fl. schuldig; sein Vermögen beträgt
nur 22820 fl.; wie viel wird jeder Gläubiger unter diesen Um¬
ständen erhalten?
19) Es sollen 67270 fl. nach dem Verhältnisse der Zahlen
5, es unter ^,8, O, I) und 8 getheilt werden;
wie viel komnit auf jede Person?
20) Im Sprengpulver verhalten sich die Massen von Sal¬
peter, Kohle und Schwefel, wie die Zahlen 1, /g ; wie viel
von diesen Stoffen ist zu 5934 Kilogr. Sprengpulver nöthig?
21) Vier Personen sollen 48000 fl. so unter einander thei-
len, dass sich ihre Theile wie die Zahlen 2, 2^, 3 und 4 ver¬
halten; was bekommt jede Person?
22) Vier Dörfer sollen eine Kriegssteuer von 1500 fl.
bezahlen, und zwar nach Verhältnis ihrer Grundsteuer. Das
Dorf 4 zahlt 758 fl. 40 kr., 8 813 fl. 22 kr., 0 459 fl. 78 kr.,
v 908 fl. 60 kr. Grundsteuer; wie viel muß jedes Dorf zu
jener Kriegssteuer beitragen?
23) Bei einem Geschäfte, zu welchem ^4 3500 fl., 8
2850 fl., 0 4180 fl- hergegeben hat, werden 11°/,, gewonnen;
wie viel gewinnt jeder?
24) Zu einem gemeinschaftlichen Unternehmen gibt .4 -s,
8 und 0 den Rest der Summe. Wenn nun der Gewinn von
1355 fl. so getheilt werden soll, dass wegen seiner besonderen
Dienstleistung außer seinem verhältnißmäßigen Antheile noch
6°/(, des Gewinnes erhalte; wie viel bekommt jeder?
191
25) 3 Personen theilen 3060 fl. so unter einander, dass
L doppelt so viel als , und 0 3mal so viel als 8 bekommt;
wie viel erhält jede Person?
26) Wie viel erhält jeder von 688 fl., wenn so oft
2 fl. als 8 3 fl. und 0 so oft 6 fl. als 8 5 fl. erhalten soll?
27) Drei Kaufleute haben 760 fl. im Handel gewonnen;
der Antheil des verhält sich zu dem des 8 wie 4 : 3, der
Antheil des 8 zu dem des 6 wie 6 : 5. Wie viel bekommt jeder?
8- 86.
Zusammengesetzte Gesellschaftsrechnung.
LIoLon^ poeet sxoleön^.
Bei der zusammengesetzten Gesellschaftsrechnung
muß nian die auf denselben Theil sich beziehenden Verhältnis¬
zahlen mit einander multiplicieren, und die Producte als Ver¬
hältniszahlen einer einfachen Gesellschaftsrechnung betrachten, nach
welcher dann das weitere gerechnet wird.
Au f gab en.
1) Drei Kaufleute sind mit einander in Gesellschaft getreten
und haben zusammen 1150 fl. gewonnen. Wenn nun 2000 fl.
durch 8 Monate, 8 4000 fl. durch 6 Monate, und 0 8000 fl.
durch 5 Monate in dem Gesellschaftsfonde liegen ließ; wie viel
von dem Gewinne wird jeder von ihnen bekommen?
1150 fl. ganzer Gewinn.
192
Hier werde» je zwei »eben einander siebende Verhältniszahlsn mnlli-
plicicrt, denn es ist gleichviel,
ob -1 2006 fl. durch 8 Mon. oder 16000 fl. durch 1 Mo».
ob L 4000 „ „ 6 „ „ 240)0 „ „ 1 „
ob 6 8000 „ „ b „ „ 40000 „ „ 1
in dem Fonde liegen lasst. Da nun im zweiten Falle die Zeit bei allen
gleich ist, nämlich 1 Monat, so hängen di? einzelnen Antheile am Gewinne
bloß von den Einlagen, nämlich den Producten 16000, 24000, 40000 ab,
welche daher als Verhältniszahlen einer einfachen Gessllschaftsrechnung be¬
trachtet werden.
2) Drei Personen handeln auf gemeinschaftlichen Gewinn.
legt ein 1500 fl. auf ein Jahr, L 1200 fl. auf 6 Monate,
6 1000 fl. auf 8 Monate. Sie gewinnen 960 fl.; wie viel
erhält jeder davon?
3) Zu einem gemeinsamen Geschäfte gibt 1250 fl. auf
4 Monate, L 2380 fl- auf 5 Monate, 0 3000 fl. auf 3 Mo
nate und v 2710 fl. auf 10 Monate. Der Gewinn beträgt
2188 fl. 48 kr.; wie viel erhält jeder?
4) Vier Fleischhauer pachten einen Weideplatz. lässt
30 Ochsen durch 4 Monate, L 40 Ochsen durch 6 Monate,
0 60 Ochsen durch 3 Monate, I) auch 60 Ochsen aber durch
5 Monate darauf weiden. Sie zahlen 126 fl. Pachtzins; wie
viel hat jeder einzelne zu zahlen?
5) Bei einem Durchmarsch hatte -4 4 Mann 7 Tage,
L 5 Mann 4 Tage, 0 4 Mann 8 Tage lang in Quartier; sie
erhielten von der Regierung 8 fl. Vergütung; wie viel bekam jeder?
6) Zu eineni Festungsbaue schickt das Dorf L. 40 Maun
durch 28 Tage, das Dorf L 25 Mann durch 24 Tage, und
6 30 Mann durch 30 Tage. Es wird dafür eine Entschädigung
von 850 fl. hergegeben; wie viel bekommt jedes Dorf?
7) beginnt im Anfänge des Jahres ein Handelsgeschäft
mit einein Fonde von 8000 fl.; nach 3 Monaten tritt L mit
4000 fl. bei, und noch 2 Monate später gesellt sich auch 0 mit
5000 fl. dazu. Beim Jahresschlüsse ergibt sich ein Gewinn von
1250 fl.; wie viel erhält jeder davon?
193
8) Es sollen in möglichst kurzer Zeit 1764 Hektoliter Roggen
auf 4 Mühlen gemahlen werden, von denen in 4 Stunden
15 Hektoliter, II in 3 Stunden 16 Hektoliter, 6 in 5 Stunden
14 Hektoliter, v in 2 Stunden 9 Hektoliter mahlt; wie viel
Hektoliter sind jeder dieser Mühlen zuzutheilen, damit sie gleich¬
zeitig fertig werden?
X. Die Mischungsrechnungen.
Durchschnittsrechnung, krümörnö spoLtönl.
8- 87.
Wenn der Wert der Einheit einer Mischung, welche aus
gleichartigen Theilen von verschiedenem Werte hergestellt wird,
gefunden werden soll, wendet man die Durchschnittsrechnung
sspoötönl xrümörue) an. Der gefundene Wert wird der D u r ch-
schnitts- oder Mittelwert (lloänotu xrümörnä) genannt.
Die Durchschnittsrechnung heißt einfach (jeänotnö), wenn
die Theile, aus denen die Mischung besteht, nur unter einer
Beziehung, z. B. im Preise, ungleich sind, in den übrigen Um¬
ständen aber übereinftimmen; zusammengesetzt (sloLeuö),
wenn die einzelnen Bestandtheile in mehrfacher Beziehung, z. B.
in der Quantität und im Preise, verschieden sind.
8- 88.
Bei der einfachen Durchschnittsrechnung addiert
man die gegebenen Zahlen und dividiert die Summe durch die
Anzahl derselben; der Quotient gibt den gesuchten Mittelwert.
Z. B. Jemand mischt 1 Liter Wein zu 36 kr. , 1 Liter
zu 40 kr. und 1 Liter zu 56 kr. zusammen; wie viel ist 1 Liter
der Mischung wert?
Meknlk, Arithmetik m. brl'M. Term. tt. Auf!. 1''
194
1 Liter des ersten Weines kostet 36 kr.
1 „ „ zweiten „ „ 40 „
1 „ „ dri tten „ „ 56 „
3 Liter der Mischung kosten 132 kr.
also kostet 1 Liter 44 kr.
Aufgaben.
1) Jemand mischt vier Gattungen Kaffee zu gleichen
Theilen; von der ersten Gattung kostet das Pfund 60 kr., von
der zweiten 72 kr., von der dritten 76 kr., von der vierten
92 kr.; welchen Wert hat 1 K der Mischung?
2) Ein Goldarbeiter legiert Gold von 1000 Tansend-
theilen (feines Gold), von 920, 850 und 750 Tausendtheileu
Feingehalt zn gleichen Theilen; wie viel Tausendtheile Gold ent¬
hält ein Kilogramm der Mischung?
3) Ein Gut gibt in 5 auf einander folgenden Jahren
2565 fl. 24 kr., 2844 sl. 64 kr., 2085 fl. 38 kr., 2633 fl.,
2408 fl. 84 kr. reinen Ertrag; wie groß ist der jährliche
Durchschnittsertrag?
4) Der Curs der Bankactien stand an einem Tage auf
748, 751, 752, 749, 746; wie hoch stellt sich der mittlere Curs
derselben?
5) Im Laufe einer Woche war das Silberagio notiert:
22z°/„ 22i°/o, 22°/„ 2iz°/o, 21-»/«, 21-°/,,; welches ist der
Durchschnittscurs dieser Woche?
6) 5 Capitalien fl 800 fl. sind für dieselbe Zeit zu 5°/,,„
6°/o, E/g, 5^°/o verzinslich ausgeliehen; zu wie viel
ist im Durchschnitte das ganze Capital von 4000 fl. ausgeliehen ?
7) 5 gleiche Capitalien sind den 31. Jänner, 31. März,
15. April, 20. Mai und 15. Juni fällig; auf welchen Tag fällt
die mittlere Verfallzeit dieser Capitalien, wenn man zur Berech¬
nung vom 31. December ausgeht? (Ein Monat zu 30 Tage.)
195
- - - V, ß. 89.
Bei der zusammengesetzten Durchschnittsrechnung
bestimmt man den Betrag eines jeden Bestandtheiles durch Mul-
tjplication der dazu gehörigen Zahlen, addiert dann sowohl die
Zahlen, welche die Menge der einzelnen Bestandtheile ausdrücken,
als die erhaltenen Beträge, und dividiert die zweite Summe
durch die erste; der Quotient ist der gesuchte Mittelwert der
Einheit.
Z. B. Ein Kaufmann mischt dreierlei Kaffee: 7 K st 96 kr.,
9 K u 72 kr. und 8 K st 60 kr.; wie viel kostet 1 K der Mischung?
, 7 K st 96 kr. kosten 672 kr.
9 ,. st 72 „ „ 648 „
8^^, st 60 „ „ 4 80 „
24 K der Mischung kosten 1800 kr.
: 24
also kostet 1 K 75 kr.
Aufgaben.
1) Ein Weinwirt mischt 4 Hektoliter Wein st 24 fl., 3
Hektoliter L 28 fl. und 5 Hektoliter st 30 fl.; wie viel ist 1
Hektoliter des so gemischten Weines wert?
2) , Jemand mischt 4 Mark IMthiges, 2 Mark 12löthiges
und 3 Mark lOlöthiges Silber; wie viel löthig ist die Mischung?
3) Es werden 5 K Silber st 720 Tauseudtheile und 2 K
st 900 Tsdth. zusammengeschmolzen; welchen Grad der Feinheit
hat die Mischung?
4) Zu 2 KGold st 900 Tauseudtheile setzt maul K feines
Gold und 1 K Gold st 560 Tsdth.; welchen Gehalt hat die
Mischung?
5) Jemand mischt 16 Hektoliter Spiritus st 8O"/o (80Grad)*)
und 4 Hektoliter st 7O°/o; welchen Gehalt hat die Mischung?
6) Zu 5 Eimer Spiritus st 90°/, schüttet man 25 Maß
ch Spiritus von 80°/g enthält unter 100 Raumtheilen 80 Theile Wein¬
geist ^Alkohol) und 20 Theile Wasser.
13*
IW
Wasser (a 0°/u) zu; auf wie viel wird dadurch der Gehalt
des Spiritus erniedriget?
7) Auf einem Wochenmarkte werden 42 Hektoliter Gerste
L fl. 5„35, 37 Hektoliter fl fl. 5„60, 25 Hektoliter fl fl. 5„12
und 36 Hektoliter fl fl. 3„36 verkauft; wie groß ist der Mittel-
Preis pr. Hektoliter?
8) Jemand hat 3600 fl. fl 4Z"/„, 4500 fl. L 5°/, und
1900 fl. fl 6"/g ausgeliehen; zu wie viel °/„ müßte die Summe
aller drei Capitalien ausgeliehen werden, um gleich viel Zinsen
zu erhalten?
9) Jemand hat 60 Kilogramm einer Waare fl 60 kr. und
80 Kilogr. fl 55 kr.; er setzt noch 100 Kilogr. einer dritten
Sorte dazu, und nun kostet 1 Kilogr. der Mischung 50 kr.,
wie viel kostet das Kilogr. der letzten Sorte?
2. Die Alligationsrechnung.
koöot smöZovuek.
8- 90.
Um das Verhältnis zu finden, in welchem gleichartige Dinge
von verschiedenem Werte mit einander verbunden werden müßen,
um eine Mischung von bestimmtem Mittelwerte zu erhalten, wird
die Alligationsrechnung (poöot snMovrwi) angewendet.
a. Wenn nur zwei Gattungen gemischt werden sollen.
Z. B. Ein Weinhändler will Wein zu 20 fl. pr. Hekto¬
liter haben, er hat aber nur Weine zu 16 fl. und zu 30 fl.; in
welchem Verhältnisse muß er diese beiden Gattungen mischen,
damit 1 Hektoliter der Mischung gerade den Preis von 20 fl.
erhalte? — Ein Hektoliter der bessern Sorte kostet 30 — 20 —
10 fl. mehr, 1 Hektoliter der schlechtem Sorte 20 — 16 — 4 fl.
weniger, als 1 Hektoliter der Mischung. Man wird also beim Ver¬
kaufe der Mischung an 4 Hektolitern der besseren Sorte, welche
darin vorkommen, eben so viel verlieren, als an 10 Hektolitern
197
der schlechteren Sorte gewonnen wird, nämlich 4 x 10 - 40 fl.
Man wird daher, damit sich der Verlust und der Gewinn aus¬
gleichen, je 4 Hektoliter der besseren Sorte mit 10 Hektolitern
der schlechteren, oder man wird die bessere Sorte mit der gerin¬
geren in dem Verhältnisse 4 : 10 mischen.
Um daher das Mischungsverhältnis zweier Gat¬
tungen, damit daraus eine Mittelgattung erhalten
werde, zu finden, setze man die beiden Gattungen unter ein¬
ander, und schreibe links in der Mitte die Mittelgattung hin;
sodann bestimme man den Unterschied zwischen der Mittelgattung
und der geringeren, und setze denselben rechts neben der besseren
Gattung; ebenso bestimme man auch den Unterschied zwischen
der Mittelgattung und der besseren, und schreibe ihn rechts neben
der geringeren. Die Unterschiede sind die Verhältniszahlen der
Mischung für die nebenstehenden Gattungen; sie werden, wenn sie
durch dieselbe Zahl theilbar sind, noch dadurch abgekürzt.
Für das frühere Beispiel hat man folgenden Ansatz:
30 42
90 1
16! 105
Aufgaben.
1) Ein Weinwirt braucht zum Ausschanke einen Wein zu
40 kr. pr. Liter; er hat aber nur Weine, wovon das Liter 48 kr.
und 36 kr. kostet; wie wird er diese beiden Gattungen mischen,
um einen Wein zu dem gewünschten Preise zu erhalten?
4841 Die Berhältniszahlen der Mischung
36 8 2 sind also 1 und 2. d. h. der Wirt muß von
dem besseren Werte 1 Theil, von dem schlechteren aber 2 eben solche
Theile zusammenmischen, oder er muß von dem Weine zu 36 kr.
doppelt so viel zur Mischung nehmen, als von dem besseren
zu 48 kr.
2) Ein Weinwirt will zweierlei Weine, wovon der erste
16 fl., der zweite 28 fl. pr. Hektoliter kostet, so mischen, dass er
24 Hektoliter zu 23 fl. bekommt; wie viel von jeder Gattung
wird er zu der Mischung nehmen müßen?
198
Diese Aufgabe enthält zwei Theile: der erste Theil bildet eine Al li¬
ga tionsreck-nun g , nämlich: in welchem Verhältnisse müßen zweierlei
Weine zu 16 fl. und 28 fl. gemischt werden, um Men Wein zu 23 st. zu
erhalten?
02 16 5 Man muß also die Weine zu 16 fl. und 28 fl, in
28 7 dem Verhältnisse 5 : 7 mischen.
Der zweite Theil der Aufgabe ist eine Gesellschaftsrechnung,
welche so lautet: um einen Wein zu 23 fl. zu erhalten, muß man die
Weine zu 16 fl. und 28 fl. in dem Verhältnisse 5:7 mit einander mischen;
wie viel von jeder dieser Gattungen wird man nehmen müßen, um 21 Hekto¬
liter zu 23 fl. zu erhalten?
5 2 X 5 - w Hektoliter zu 16 fl.
7 2 X 7 - 14 „ „ 27 „
24 : 12 --- 2
Um sich von der Richtigkeit zu überzeugen, wendet man die Durch¬
schnittsrechnung an; man kehrt nämlich die Aufgabe um, und sagt:
wenn man 10 Hektoliter Wein zu 16 fl. und 14 Hektoliter Wein zu 28 fl.
mischt, wie viel wird ein Hektoliter von der Mischung kosten? Man hat
10 Hektoliter ü 16 fl. -- 160 fl.
14 „ ü 28 „ -- 392 „
24 Hekt. der Mischung 552 fl.
- : 24
also 1 Hekt. „ „ 23 fl.
3) Wie viel feines Silber und wie viel Kupfer (Olöthiges
Silber) braucht mau zu einer Masse von 12 Mark 13löthigen
Silbers?
16.13 s X 13 - 'V Mark - 9 Mark 12 Loth fein. Silber
0, 3 E X 3 „ ^2 „ 4 „Kupfer
12 : 16
4) Feines Silber und Silber von 640 Tausendtheilen
Gehalt sollen zu Silber von 750 Tausdth. eingeschmolzen werben;
wie-viel von jedem Bestandteile kommt auf 24 Kilogramm?
5) Aus 14löthigem und 8löthigem Silber sollen 20 Mark
12löthiges Silber. zusammengeschmolzen werden; wie .viel von
jeder Sorte wird man zu der Mischung verwenden?- . . :
199
6) Wie viel feines Silber und wie viel Kupfer muß man
nehmen, um 12^ Mark 12^löthiges Silber zu bekommen?
7) Ein Goldschmied hat 20karatiges und 12karatiges Gold;
wie viel von jeder Sorte muß er nehmen, um 1^ Mark Gold
zu erhalten, welches 18 Karat 5 Gran fein ist?
8) Wie viel feines Silber und Kupfer muß man zusam¬
menschmelzen, um 4 K Silber n 720 Tausendth. Gehalt zu be¬
kommen?
9) Ein Goldschmied braucht zu einer Arbeit y Gold
st 700 Tausendth.; er will solches aus Gold von 650 und 900
Tsdth. Gehalt Herstellen; wie viel muß er von jedem nehmen?
10) Wie viel 12karatiges Gold muß zu 3 Mark 18kara-
tigeu Gold gemischt werden, wenn 14karatiges Gold daraus ent¬
stehen soll?
11) Zwei Gattungen Kaffee, zu 76 kr. und 64 kr. das
Pfund, sollen so gemischt werden, daß man einen Centner zu
72 kr. das K erhält; wie viel von jeder Gattung muß dazu ge¬
nommen werden?
12) Aus zwei Sorten Wein, von denen das Liter 20 und
36 kr. kostet, sollen 50 Liter so gemischt werden, daß ein Liter
30 kr. koste ; wie viel von jeder Gattung wird man dazu nehmen?
13) Ein Getreidehändler hat zweierlei Korn; von der
bessern Sorte gilt das Hektoliter 6 fl. 60 kr., von der schlechtem
6 fl. 20 kr. ; er will nun 42 Hektoliter so mischen, daß er jedes
Hektoliter um 6 fl. 36 kr. verkaufen kann; wie viel muß er von
jeder Sorte dazu nehmen?
14) Jemand will Spiritus zu 90"/g und zu 56°/g zusam¬
mengießen, um 720 Liter zu 70"/g zu erhalten; wie viel Liter
muß er von jeder Sorte nehmen?
15) Wie viel Liter Wasser von 30" k. müßen zu 4 Liter
Wasser von 15" R. hinzugegosseu werden, damit die Mischung
eine Temperatur von 24-' k. habe?
16) Von einer Waareugattung kostet das Kilogramm 22
Francs, von einer anderen 12 Francs; wie viel muß mau von
200
18^3
1Wi3
jeder Sorte zu einer Mischung von 70 Kilogramm nehmen, wen»
das Kilogramm 18 Francs kosten soll?
8- 91.
i>. Wenn mehr als zwei Gattungen zur Mischung
verwendet werden sollen, so lassen sich verschiedene Zusammen¬
setzungen vornehmen, welche alle auf die verlangte Mittelgat¬
tung führen.
Um die Verhältniszahlen der Mischung bei diesen verschie¬
denen Zusammenstellungen zu erhalten, verbindet man immer je
eine bessere und eine geringere Gattung so, dass man die Mittel¬
gattung erhält, und bestimmt dabei das Mischungsverhältnis nach
der im vorhergehenden tz. für zwei Gattungen gegebenen Vorschrift.
Z. B. Aus Silber von 500, 640 und 900 Tausendtheilen
soll Silber von 720 Tsdth. Gehalt zusammengeschmolzen werden;
in welchem Verhältnisse wird die Mischung geschehen?
500180
720 0^180
900^220 -i- 80 30st!5
Hier verbindet man die erste Sorte mit der dritten, dann die zweite
mit der dritten, und erhält so die Verhältniszahlen 3, 3 und 8.
Nimmt man z. B. 3 Pfund Silber ä 500, 3 Pfund ä 640 und 5 Pfund
a 900 Tsdth., so erhält man II Pfd. L 720 Tsdth.: denn es ist
3 Pfund L 500 Tsdth. -- 1500 Tsdth.
3 „ L 640 „ - 1920 „
^5 „ L 900 „ - 4500 „
I I Pfund der Mischung - 7920 Tsdth,
also kommen auf I Pfund 720 Tsdth.
Aufgaben.
1) In welchem Verhältnisse kann man drei Sorten einer
Waare, von denen das Pfund 56, 60 und 80 kr. kostet, zu¬
sammensetzen, um eine Mischung zum Preise von 72 kr. pr. K
herzustellen?
2) Ein Silberarbeiter braucht 7§ Mark IMthiges Silber;
er hat aber nur feines und IMthiges Silber, und muß daher auch
LOL
Kupfer dazu mischen; wie viel Mark muß er von jeder Sorte
zur Mischung nehmen?
3) Ein Kaufmann besitzt von einer Waare drei Sorten zu
60 kr., 66 k., 80 kr. pr. Kilogramm; wie viel muß er von
jeder Sorte' nehmen, um durch die Mischung 340 Kilogramm
n 72 kr. zu erhalten?
4) In welchem Verhältnisse kann man Weine n 26 fl.,
20 fl., 16 fl. und 12 fl. Pr. Hektoliter mischen, um einen Wein
zu erhalten, wovon das Hektoliter 18 fl. wert ist?
5) Jemand will aus 4 Sorten Kaffee, n 80 k., 72 kr.,
64 kr. und 60 kr. pr. K, 240 K ä 68 kr. zusammensetzen; wie
viel kann er von jeder Sorte nehmen?
6) Wie viel Wasser muß man zu 6 Hektoliter Spiritus
n 92o/„ z Hektoliter n 88°/, und 2 Hektoliter n 80°/, gießen,
um den Gehalt auf 84°/, zu bringen?
Achter Abschnitt.
Elemente der allgemeinen Arithmetik.
kokLIK.v kiiHiutztikz vdeeutz.
I. Das Rechnen mit algebraischen Zahlen.
k>oöitäiri Llgskraiok^nai.
8- 92.
Durch fortgesetztes Hinzufügen einer Einheit kann man in der
natürlichen Zahlenreihe ohne Ende vorwärts (lru xreäu) schreiten.
Wenn man eben so von irgend einer Zahl aus durch fortgesetztes
Wegnehmen einer Einheit in der Zahlenreihe rückwärts (imspöt)
schreitet, so gelangt man nach und nach zu 1, und endlich, wenn noch
eine Einheit weggenommen wird, zur 0. Es ist nun nicht nöthig, bei
der 0 stehen zu bleiben; man kann nach demselben Gesetze die
Zahlenreihe von 0 aus auch weiter rückwärts fortsctzen, sobald
der Gegensatz der von 0 nach vorwärts und nach rückwärts fort¬
schreitenden Zahlen entsprechend ausgedrückt wird. Letzteres ge¬
schieht, indem man die ursprünglich vorhandenen Zahlen, welche
von 0 aus immer um eine Einheit vorwärts schreiten, positiv
tlelsänz'), die Zahlen aber, zu denen man gelangt, wenn man von
0 nach dem gleichen Bildungsgesetze rückwärts schreitet, negativ
(rmporn^') nennt, nnd die ersteren mit dem Vorzeichen -s- (mehr),
die letzteren mit dem Vorzeichen — (weniger) bezeichnet. Die
dadurch entstehende zweiseitige Zahlenreihe ist daher
. - - — 4, — 3, — 2, — 1, O, -s- 1, -s- 2, -s- 3, -s- 4 . . .
203
Während hier die positiven Zahlen die ursprünglichen Zah¬
len der natürlichen Zahlenreihe vorstellen, treten die negativen
Zahlen als Zahlen einer neuen Form auf, die den Gegensatz zü
den positiven ausdrückeiu
Die mit Vorzeichen versehenen Zahlen werden relative
oder algebraische Zahlen (v^tasnä üili alZobraickg, öisls)
genannt, im Gegensätze zu den ursprünglichen Zahlen, welche
absolute Zahlen (elsla prosta) heißen.
Jede algebraische Zahl, z. B. Z- 3 oder — 3, besteht,
aus einem Vorzeichen -s- oder — und einem Zahlcmvcrte, hier 3.
Das Vorzeichen zeigt an, ob sich die Zahl auf der positiven
oder negativen Seite der Zahlenreihe befindet; der Zahlenwert
(lloänota ölseina) ist eine absolute Zahl und zeigt au, welche Stelle
die Zahl in der Reihe der positiven oder der negativen Zahlen
einnimmt.
Das Vorzeichen -p wird am Anfänge eines Zahlenausdruckes üni>
nach dem Gleichheitszeichen nicht angeschrieben; das Zeichen — darf nie weg
gelassen werden. Wenn daher vor einer Zahl kein Vorzeichen steht, ist sie als
positiv anzusehen; z. B. 3 bedeutet so viel als -s- 3.
Eine algebraische Zahl, welche mit einer andern durch eine Rech¬
nungsoperation zu verbinden ist, umgibt man mit Klammern;
z. B. -s- 3 — 5) bedeutet die Differenz der Zahlen -s- 3 und — 5.
Zwei Zahlen, welche gleichen Zahlenwert, aber verschiedene
Vorzeichen haben, z. B. Z- 3 und — 3, heißen einander ent¬
gegengesetzt.
Zur Darstellung der algebraischen Zahlen dient die nach¬
stehende Zahleulinie, auf welche von 0 aus nach vorwärts und
nach rückwärts gleiche Strecken aufgetragcn werden:
-4-3-2- 1 0-j-1-s-2Z-3Z-4
. .. :-- . i-?- —
Die Erweiterung des Zahlengebietcs durch die Einführung der nega¬
tiven Zahlen macht es erst möglich, die Subtraktion zweier Zahlen anck dann
ausznführen, wenn der Subtrahend größer als der Minuend ist. Um z. B.
die Differenz 4—7 zu bestimmen, soll man nach dem Begriffe der Subtrak¬
tion von 4 ans um 7 Einheiten znriickschreiten ; dieses ist unmöglich, sö
lange man auf das Gebiet der absoluten Zahlen beschränkt ist. Wird aber
204
die durch die Aufnahme der negativen Zahlen erweiterte Zahlenreihe zu
Grunde gelegt, so gelangt man, von 4 um 7 Einheiten zurückschreitend, zur
Zahl — 3, und erhält sonach die Differenz 4 — 7 - — 3 ihre ganz be¬
stimmte Bedeutung.
Der Begriff des Gegensatzes, welcher zwischen den positiven
und negativen Zahlen besteht, tritt in zahlreichen Fällen des
praktischen Lebens hervor, z. B. bei der Bewegung nach auf¬
wärts und abwärts, nach rechts und links, bei der Zeit vor und
nach Christi Geburt, bei Vermögen und Schulden, Einnahme
und Ausgabe, Gewinn nnd Verlust u. dgl. Der Gegensatz besteht
darin, dass alle diese Größen einander entweder ganz oder theil-
weise aufheben.
Die Einführung der negativen Zahlen hat zur Folge, dass mit
Rücksicht auf den Gegensatz derselben zu den positiven Zahlen
auch die Begriffe der Rechnnngsoperationen angemessen erweitert
werden müßen.
8. 93.
Das Addieren algebraischer Zahlen.
Löltäni eisol alZodraiek^ck.
Bei der Addition absoluter Zahlen schreitet man in der
natürlichen Zahlenreihe vom ersten Summand um so viele Ein¬
heiten vorwärts, als der zweite Summand angibt.
Um algebraische Zahlen zu addieren, schreitet man in
der algebraischen Zahlenreihe vom ersten Summand um die
Einheiten des zweiten ebenfalls vorwärts, wenn der zweite Sum¬
mand positiv, dagegen rückwärts, wenn derselbe negativ ist, also
allgemein in derselben Richtung fort, welche das Vorzeichen
des zweiten Summanden angibt; die Zahl der Zahlenreihe, zu
der man dadurch gelangt, ist die gesuchte Summe.
Ist z. B. die Summe -st 5 -st (-st 3) zu suchen, so schreitet
man von -st 5 aus in positiver Richtung um 3 Einheiten fort,
wodurch man zur Zahl -st 8 gelangt; also
-st 5 -st (-st 3) -- -st (5 -st 3) -st 8.
205
Uni ferner die Summe — 5 -ff (—3) zu erhalten, schreitet
man von — 5 aus in negativer Richtung um 3 Einheiten fort,
wodurch man zur Zahl — 8 gelangt; folglich
— 5 -ff (—3) - - l5 -ff 3) - - 8.
Eben so erhält man
ff- 5 ff- (-3) -r ff- (5 - 3) -- ff- 2,
- 5 ff- (ff-3) - (5 - 3) - 2.
Zwei algebraische Zahlen werden also addiert,
indem man der Summe ihrer absoluten Werte das gemeinschaft¬
liche Vorzeichen, oder der Differenz ihrer absoluten Werte das
Vorzeichen der größeren gibt, je nachdem dieselben gleiche oder
verschiedene Vorzeichen haben.
Die Summe zweier Gewinne wie zweier Verluste ist wieder ein Ge¬
winn oder ein Verlust; die Summe eines Gewinnes und eines Verlustes
gibt den Ueberschnß des einen über den andern als Gewinn oder Verlust,
Aufgaben.
1) ff- 7 ff- (ff- 2) wr?
3)- 4 ff-(ff-5) --?
5) - 38 -ff (ff- 13) - ?
7) -ff 297 ff- (— 128) --st>
2)^-7ff-(- 2)-?
4)-4-ff(- 5) --?
6) ff- 35 ff- (- 35) - ?
8) -3048-ff (-1763)-?
9) ff- 15 -ff (- 8) ff- (ff- 5) 7 ff- (ff- 5) - 12
10) - 31 ff- (ff- 57) -ff (- 38) ?
11) - 217 ff- (— 196) ff- (ff- 790) - ?
12) 9 ff- (- 7) ff- (ff- 12) -ff (- 3) -?
13) -ff 229 ff- (ff- 31 7) -ff (- 50'1) -ff (- 19) - ?
14) - 702'13 -)- (ff- 819'92) ff- (— 563 09) -ff (ff- 85'58) - ?
K. 94.
Das Subtrahieren algebraischer Zahlen.
Ockjtwänl cisol algskrgiekz'eü.
Bei der Subtraction absoluter Zahlen schreitet man in
der natürlichen Zahlenreihe vom Minuend aus mir so viele Ein¬
heiten rückwärts, als der Subtrahend anzeigt.
Um algebraische Zahlen zu subtrahieren, schreitet man
206
in der algebraischen Zahlenreihe voin Minuend aus um die Ein¬
heiten des Subtrahends ebenfalls rückwärts, wenn dieser positiv,
dagegen vorwärts, wenn derselbe negativ ist, also allgemein in der
entgegengesetzten Richtung fort, als sie das Vorzeichen des
Subtrahends angibt; die Zahl der Zahlenreihe, zu welcher man
aus diese Art gelangt, ist die gesuchte Differenz.
Um z. B. die Disserenz ff- 5 — (ff- 3) zu finden, schreite
Män von ff- 5 aus um 3 Einheiten in negativer Richtung fort;
man gelangt dadurch zu der Zahl ff- 2. Dies ist aber derselbe
Rechnungsgang, als ob man zu ff- 5 die Zahl — 3 addiert,
folglich
-s- 5 — (ff- 3) — ff- 5 ff- (— 3) — ff- 2.
Es sei ferner ff- 5 — (— 3) zu bestimmen. Hier muß man
vom ff- 5 aus um 3 Einheiten in positiver Richtung fortschreiteu;
wodurch man zu der Zahl ff- 8 gelangt. Dies ist aber derselbe
Rechnungsgang, als ob man zu ff- 5 die Zahl ff- 3 addiert; also
-st 5 - (- 3) -st 5 ff- lff- 3) ff- 8.
Ebenso findet man
- 5 - (ff- 3) - 5 -st (- 3) 8,
- 5 3) - 5 Z- (-st 3) - 2.
Daraus folgt:
Algebraische Zahlen werden subtrahiert, wenn
man zu dem Minuend den Subtrahend mit entgegengesetztem
Zeichen addiert.
Statt Jemandem 3 fl. Vermögen zu nehmen, kann man ihm 3 st.
Schulden (die Verpflichtung, so viel zu bezahlen) geben; statt ihm 3 fl.
Schulden abzunehmen, kann man ihm 3 fl. Vermögen (die Schuld damit
selber zu zahlen) geben.
Aufgaben.
1)-st8-(ff-3)-a? 2)ff-8-(-3)
3) — 13 — (ff- 15) - ? 4) - 13 — (— 15) - ?
5) ff- 210 — (98) - ? 6) - 317 - (- 509) - ?
M
7) — 5786 — (-j- 2214) —? 8) -j- 1234 — (^- 945) - ?
9) - 378 — (— 249) - (Z- 518) - ?
10) -s- 7552 — (— 5864) -s- (— 9046) - ?
11) -s- 987 Z- )- 368 - (- 245)) - ?
12) - 37'68 — s-j- 24'02 — (Z- 10'08)) - ?
13) -s- 95358 — s 13561 Z- 58912 - (— 3796))) - ?
8- 95.
Das Multiplicieren algebraischer Zahlen.
M8oboul ölssi alAkbrnielcz-oü.
Bei der Multiplication absoluter Zahlen setzt man den
Multiplicand so oft als Summand, wie der Multiplicator anzeigt.
Um algebraische Zahlen zu multiplicieren, wird, wenn
der Multiplicator positiv ist, auch der Multiplicand selbst unver¬
ändert, wenn aber der Multiplicator negativ ist, das Entgegen¬
gesetzte des Multiplicands, d. i. der Multiplicand mit entgegen¬
gesetztem Vorzeichen, so oft als Summand gesetzt, wie der Zahlen¬
wert des Multiplicators anzeigt.
Hiernach ist
-s- 4 .4- 3 — Z- 4 Z- (-s- 4) -s- (-s- 4) — -s- 12,
Z-4. — 3 — — 4-s- ( — 4) Z- (— ^) — — 12,
— 4 . -s- 3 - - 4 -s- (- 4) 4) - — 12,
— 4 . -—'3 — 4- 4 -s- (-P- 4) Z- (-s- 4) — 12.
Zwei algebraische Zahlen werden demnach mit
einander multipli ciert, indem man das Product aus ihren
absoluten Werten positiv oder negativ nimmt, je nachdem beide
Factoren gleiche oder verschiedene Vorzeichen haben.
Man drückt diesen Satz auch so aus:
Zwei gleichbezeichnete Factoren geben ein posi¬
tives, zwei ungleichbezeichnete Factoren ein nega¬
tives Product.
Wer 4 Schritte nach vorwärts 3mal macht, kommt 12 Schritte nach
vorwärts; wer 4 Schritte nach rückwärts 3mal macht, legt 12 Schritte nach
208
rückwärts zurück. Jemandem 4 fl. Gewinn 3mal hinwegnehmen (ihn darum
verkürzen), ist so viel, als ihm einen Verlust von 12 fl. zuziehen. Jemandem
4 fl. Verlust 3mal hinwegnehmen (ersparen), ist so viel, als ihm einen
Gewinn von 12 fl. zumitteln.
Für drei oder mehrere Factoren ergibt sich aus dem
vorhergehenden Satze:
1. Sind alle Factoren positiv, so ist auch das
Product positiv.
2. Sind alle oder auch nur einige Factoren
negativ, so ist das Product positiv oder negativ, je nachdem
die negativen Factoren in gerader oder ungerader Anzahl vor¬
kommen.
Aufgaben.
1)-s-9 .-s-5-? 2)-s-9.--5-?
3) - 15 . -s- 3 - ? 4) - 15 . — 3 - ?
5) — 118 . -s- 63 - ? 6) -s- 307 . - 41 - ?
7) — 53-28 . — 7-49 - ?
8) - 1328 . -s- 299 - ?
9) — 19 . — 27 . -s- 31 - ?
10) -s- 83 . — 25 . -j- 49 —?
11) - 72-8 . — 125 . - 991 . — 417 - ?
12) -s- 83 . - 11 . — 70 . -j- 72 . — 91 - ?
13) s— 345 -s- (-j- 209)) . s-s- 596 - (— 374)s - ?
14) s-f- 2315 — (-)- 788)) . s— 749 - (-s- 385)s .
s-s- 569 -s- (— 219)1 - ?
8- 96.
Das Dividieren algebraischer Zahlen,
völslll ölsol LlAodraickz-ed.
Der Quotient muß so beschaffen sein, dass er mit dem
Divisor multipliciert den Dividend gibt.
Ist nun -s- 12 durch -s- 3 zu dividieren, so ist der Quo-
209
tient der Zahlenwerte 4, und zwar muß derselbe positiv sein,
weil nur eine positive Zahl -s- 4 mit einer positiven -Z 3 mul-
tipliciert ein positives Product -j- 12 geben kann; also
12 : -s- 3 - -j- 4.
Es sei ferner -s- 12 durch — 3 zu dividieren. Hier soll
Der Quotient mit — 3 multipliciert -s- 12 geben, welcher For¬
derung nur — 4 entspricht; folglich
-f- 12 : — 3 - — 4.
Eben so erhält man
- 12 : -f- 3 - — 4,
— 12 : — 3 - -s- 4.
Zwei algebraische Zahlen werden demnach durch
einander dividiert, indem man den Quotienten ihrer abso¬
luten Werte positiv oder negativ nimmt, je nachdem Dividend und
Divisor gleiche oder verschiedene Vorzeichen haben.
Aufgaben.
1) -s-72 :-j-9 - ? 2) -f-72 : - 9-->
Z) — 144 : _j_ 6 - ? 4) — 144 : — 6 - ?
5) -s- 2185 : — 5 -? 6) — 3840: — 30 - ?
7) — 73-242 : -j- 13 - ? 8) -s- 10416 : — 48 - ?
9) 5070736 : — 752 - ?
10) — 342-316 : -s- 52 - ?
11) — 56035 . -j- 4923 : — 34461 —-
12) s-s- 74608 - (— 14816)) : s- 278 — (- 422)s - ?
II. Das Rechnen mit allgemeinen Zahlenausdrücken,
ikoöltäni v^raAzk oksou^uai.
8- 97.
Jede durch Ziffern ausgedrückte Zahl kann nur eine be¬
stimmte Menge von Einheiten vorstellen. Man nennt eine solche
Motnik, Arithmetik m. bohm. Term. 1t. Anfi.
210
Zahl eine besondere Zahl (Llslo svIaStni), im Gegensätze zu
einer allgemeinen Zahl (öiaio odsenö), welche irgend eine
beliebige Menge von Einheiten vorstellen kann.
Die allgemeinen Zahlen werden durch Buchstaben (pis-
M6v)') bezeichnet. So bedeutet z. B. a irgend eine ganze oder
gebrochene, positive oder negative Zahl.
Die Lehre vom Rechnen mit allgemeinen Zahlen heißt die
allgemeine Arithmetik (aritmetika oboonä), zum Unter¬
schiede von derbesonderenArithmetik (aritmetika rviaLtül),
welche nur die besonderen Zahlen in Betrachtung zieht.
8- 98.
Die Operationszeichen für allgemeine Zahlen sind dieselben,
wie für besondere Zahlen.
Sind zwei oder mehrere allgemeine Zahlen mit einander
zu multiplicieren, so wird das Multiplicationszeichen X oder .
gewöhnlich weggelassen; z. B.
statt a X b oder a . b schreibt man ab
„aXbXe „a.b.o „ „ abo.
Das Lfache, Zfache, 4fache, . . . einer allgemeinen Zahl a
wird durch 2a, 3a, 4a, . . . ausgedrückt. Die vor einem Buch¬
stabenausdruck stehenden besonderen Zahlen heißen Coefficienten
(souöinitsl).
Der Coefficient einer allgemeinen Zahl kann immer als-
Factor derselben betrachtet werden; denn
2a — a X 2 — a -s- a,
3a — a X 3 — a -s— a -s- a,
4a — aX4 — a-s-a-s-a-s-a.
1 wird als Coefficient nicht angeschrieben; es bedeutet daher-
a soviel als la.
Wenn mehrere gleiche Zahlen als Factoren gesetzt werden
sollen, so schreibt man zur Abkürzung einen solchen Factor nur
211
einmal, und fügt demselben rechts oben die Zahl an, welche
angibt, wie oft dieser Factor vorkommt. Z. B.
statt an schreibt man
„ xxxx „ „ X*.
Ein Product aus mehreren gleichen Factoreu nennt man
eine Potenz (potoneš, moenota); die Zahl der gleichen Factoren
heißt der Potenzexponent (Exponent, moenitei), und der
Factor, der so oft steht, als der Exponent anzeigt, die Wurzel
(koken). So ist g.4 xine Potenz, 4 ist der Exponent und 3 ist
die Wurzel. Der Exponent 1 wird nicht angeschrieben und ist
daher 3 so viel 3'.
Die Begriffe Coesficient und Exponent dürfen mit einander
nicht verwechselt werden; es ist
4a — a-s-3-s-3-s-3,
g? — aXaXaX»,
welche Ausdrücke wesentlich verschieden sind, da z. B- für 3 — 2
4a - 2 -s- 2,-j- 2 -s- 2 - 8,
34 - 2 x 2 X 2 X 2 - 16
ist.
Die zweite Potenz einer Zahl wird gewöhnlich auch das
Quadrat (kvaärät Li ötvoroe), die dritte Potenz der Cubus
(Kubus öi krzeble) genannt.
8- 99.
Ein Zahlenausdruck, welcher durch ein Zeichen, einen
Coefficienten und einen Buchstaben oder auch mehrere ohne Zeichen
mit einander verbundene Buchstaben dargestellt ist, heißt ein ein¬
gliedriger algebraischer Ausdruck oder ein Monom
(seänoölonn^ oigebraiekv eili monom); z. B- 3, 3b,
— 4ae, 5a^bx^.
Ein Zahlenausdruck, welcher mehrere durch das Zeichen -s-
oder — verbundene eingliedrige Ausdrücke enthält, heißt ein mehr-
14*
212
gliedriger algebraischer Ausdruck oder ein Polynom
(vlcoöisnllx v^rgL uIZedraiek^ Lili innodoölen). Die einzelnen
durch das Zeichen -f- oder — verbundenen Bestandtheile eines
solchen Ausdruckes nennt man seine Glieder (ölen^). Kommen
in einem Ausdrucke zwei Glieder vor, so heißt er insbesondere
ein Binom (ävouölon); kommen darin drei Glieder vor, so heißt
er ein Trinom (troMön). So ist z. B- 2x — 3^ ein Binom,
u" — ax -j- x? ein Trinom, und beide Ausdrücke sind mehrgliedrig.
Mehrgliedrige Ausdrücke werden, wenn damit Rechnungs¬
operationen vorzunehmen sind, in Klammern eingeschlossen.
Wenn in einem Polynom mehrere Potenzen derselben Wurzel
vorkommen, so Pflegt man wegen der leichteren Ucbersicht die ein¬
zelnen Glieder nach den Potenzexponenten der gemeinschaftlichen
Wurzel zu ordnen (pokückati), indem^mau entweder mit der
höchsten Potenz beginnt und dann imnier niedrigere Potenzen folgen
lässt, oder indem man zuerst jenes Glied setzt, welches keine oder die
niedrigste Potenz der gemeinschaftlichen Wurzel enthält und dann zu
immer höheren Potenzen hinaufsteigt. Im ersten Falle heißt das
Polynom fallend (ssstupiF), im zweiten steige n d (vsestupu^)
geordnet. So erhält z. B. der Ausdruck
3x- -j- 4 -f- 5x — 6x- -j- x^
fallend geordnet die Form:
x* — 6x^ -s- 3x? -s- 5x -j- 4,
und steigend geordnet:
4 -s- 5x -j- 3x- - 6x« -s- x«.
Ausdrücke, in denen dieselben Buchstaben und diese auch in
gleicher Anzahl vorkommen, heißen gl eichnamig (stosnojmonn^);
die Zeichen und Coesficienten können darin auch verschieden sein.
Ausdrücke, in denen entweder verschiedene Buchstaben, oder gleiche
Buchstaben, aber in ungleicher Anzahl vorkommen, heißen un¬
gleichnamig (ll68twjiwMsnn^); die Zeichen und Coesficienten
können darin auch gleich sein. Z. B.
213
„s sind gleichnamige,
— a-x, 4a-xi
2n 3i>
— 5ax — ungleichnamige Ausdrücke.
8. 100.
Das Addieren allgemeiner Zahlenausdrücke.
Leltanl v^rasür obsco^eli.
Bei allgemeinen Zahlen kann die Addition nicht, wie bei
besonderen Zahlen, wirklich verrichtet werden; man kann die
Summe nur anzeigen, indem man die Glieder der Summanden
mit ungeänderten Zeichen neben einander setzt.
Nur gleichnamige Ausdrücke können wirklich addiert, d. i.
auf einen einfacheren Ausdruck reduciert werden.
Es ist zunächst
-j- a — a — -s- a — (-j- a) — 0
-s- 3a — 3a — -s- 3a - (-s- 3a) - 0,
d. h. zwei entgegengesetzte Ausdrücke heben sich auf
(geben 0 zur Summe) (v^ra^ protiruo rusl so).
Ferner ist
Z- 5a Z- 3a — -s- a -s- a a Z- a Z- a -s- a a -s- a — 8,
— 5a — 3a - — a — a —-a — a — a — a — a — a — — 8a;
d. h. zwei gleichnamige Ausdrücke, welche dasselbe
Vorzeichen haben, werden reduciert (v/rarovs sou-
Mkllnl stogvö pornaäoul roäukufi so), indem man die Summe
der Coesficienten mit dem gemeinschaftlichen Vorzeichen vor den
gemeinschaftlichen Buchstabcnausdruck setzt.
Endlich ist
-j-5a— 3a — -s-a-s- a-s- a-j-a-s-a— a — a—a—-s-a-s-a--s-2a,
— 5a-j- 3a — — a —a—a—a—aZ-a-s-a-s- a — — a a — 2a;
d. h. zwei gleichnamige Ausdrücke, welche verschie¬
dene Vorzeichen haben, werden reduciert, indem man
214
die Differenz der Coefficienten mit dem Vorzeichen des größeren
vor den gemeinschaftlichen Buchstabenausdruck setzt.
Allgemeine Zahlen ausdrücke werden also
addiert, indem mau die Glieder der Summanden mit unver¬
änderten Zeichen neben einander setzt, und wenn darunter gleich¬
namige Zahlen vorkommen, diese reduciert.
Aus diesem Satze folgt auch:
Steht vor einer Klammer das Zeichen -s-, so bleiben bei
Weglassung der Klammern die Zeichen innerhalb derselben unver¬
ändert; z. B.
a -- b -s- o -s- (p — g -s- r) — a — b-j-c-s-p — g-j-r.
Aufgaben.
Man addiere folgende Zahlen:
1) 2a, 3b; 2) 3a, 5b;
3) — 7mx", 8vv"; 4) 7a, — 2b, — 3e;
5) — 5x", 9z^, — 72"; 6) gmn, — 8mp, 6mg.
Man reduciere folgende gleichnamige Ausdrücke:
7) 7a -s- 8a; 8) 19 bx — 5bx;
9) 3a^ -j- 7a^ — 5a^;
10) I2m — 9m — 17m -f- 3m;
11) 9a — 8m — 13m — 2a;
12) 20x s- 13z: — 9 x -f- 7x;
Man addiere folgende Ausdrücke:
13) 2 a — 3
2e -s- 56
15) a? -s- ab
— ab — b"
17) 7 m - 13n
8m — n
m -s- 6n
19) 4 a"x-3b"^ (2a"x
20) 9a — 5b-s-c-s-s4a
14) 9 a — 5 b
6a — 3b
16) I3x -s- 7 x
— 4x -f- 3):
8x — 10):
18) 3x — 2): -s- 2
— X -s- 3): -f- 22
2x -s- X -s- 32
7b" y) -f- (8b"):-9a" x) - ?
-f- 12b-6c-s- (a— 3b-f-5o)! - ?
215
8. ioi.
Das Subtrahieren allgemeiner Zahlenausdrücke.
Ockslmain vvra^üv oboeu^eb.s
Allgemeine Zahlenausdrücke werden subtra¬
hiert, indem man zu dem Minuend den mit entgegengesetzten
Vorzeichen genommenen Subtrahend addiert, und wenn gleich¬
namige Ausdrücke vorkommen, diese reduciert.
Für einen eingliedrigen Subtrahend folgt die Richtigkeit
dieses Satzes unmittelbar aus Z. 94.
Für einen mehrgliedrigen Ausdruck kann man sich davon
aus folgende Art überzeugen:
Es sei a — b der Minuend und p — g st- r der Sub¬
trahend. Den Minuend kann man auch so darstellen:
a — bst-x — pst-g — g-j-r- r.
Nimmt man nun von dem so ausgedrückten Minuend den
Subtrahend st- p — g st- r hinweg, so bleibt a — b — x st- g — r
als Rest; mithin
a — b — (p — g st- r) — a — b — p 4- 4 — r.
Daraus folgt auch:
Steht vor einer Klammer das Zeichen —, so müßen bei
Weglassung der Klammern die Zeichen innerhalb derselben in die
entgegengesetzten verändert werden.
Aufgaben.
9) 3a'x -j- 5ax- — (— 5a?x -i- 3ax») - ?
216
10) 5 — 4a -s- 3a- - 2a- - (1 — 2a -s- 3a" — 4a«) - ?
11) 37b^ — (- 18b^») — (-s- 13b^^) - ?
12) 9x - 7^ - (5x (87 - x) ?
13) 50x^2 — s25x^2 -s- (— 10x)-^)1 — ?
14) 17ax -s- 8b^ — s3ax — 5b^ — (2ax — 3b^)s — ?
15) 9a - 5b — s7a - 4b - f3a -j-10b — (4b - 7a)Z - ?
8- 102.
Das Multiplicieren allgemeiner Zahlenausdrücke.
Msobnnl v)'rar:üv oboon/ob.
1. Es seien die eingliedrigen Ausdrücke 4 a und —3b mit
einander zu multiplicieren. Da die Coefficienien als Factoren der
allgemeinen Zahlen betrachtet, und die Factoren in jeder belie¬
bigen Ordnung mit einander multipliciert werden können, so ist
4a. — 3b — 4. — 3.a.b — — 12. ab — — 12 ab.
Eingliedrige algebraische Ausdrücke werden
daher mit einander multipliciert, indem man das Product
der Coesficienten mit dem entsprechenden Vorzeichen (Z. 95.)
dem Producte der allgemeinen Zahlen voraussetzt.
Kommen in den Factoren Potenzen derselben Wurzel vor,
so läßt die Rechnung eine bedeutende Vereinfachung zu. Es ist
a . a? — a . aa — aaa — a?,
3? . a? — aa . aaa — aaasa — a?,
a* . a? — aasaa . aa — aaaaaaa — a'.
Po tenzen derselben Wurzel werden also multipliciert,
indem man der gemeinschaftlichen Wurzel die Summe der Expo¬
nenten der Factoren zum Potenzexponenten gibt.
2. Ist ein mehrgliedriger Ausdruck a -j- b mit einem ein¬
gliedrigen m zu multiplicieren, d. i. a -s- b mmal als Sum¬
mand zu setzen, so hat man
(a -s- b) . in — (a -j- b) -s- (a Z- b) -s- (a -j- b) -s- ... mmal
a P a -j- a s- .. mmal -s- b -s- b -s- b -s- .. mmal
— am -s- bin,
217
also
(a -fl d) . m — am -s- bw,
d. h. ein mehrgliedriger Ausdruck wird mit einem
eingliedrigen multipliciert, indem man jedes Glied des
ersteren mit dem eingliedrigen Factor multipliciert und die Theil-
producte addiert.
Da das Product nicht geändert wird, wenn man die Fak¬
toren vertauscht, so ist auch
m . (a d) — am -fl dm.
3. Sollen zwei mehrgliedrige Factoren a b 4- e und
p r multipliciert werden, so hat man, wenn der Mul¬
tiplikand a -s- d -s- o vorläufig durch m bezeichnet wird,
m . (p -s- g -s- r) — m . p -s- m . y -s- m . r;
folglich, wenn man statt m wieder seinen Wert setzt,
(a -s- d -s- e) . (p -s- g -s- r) — (a -s- b -s- o) . p
4- (a -s- d -s- a). q
(a -s- b -s- e). r
oder
(a -s- d -j- c) . (p -j- <1 -j- r) — ap -s- bp -j- cp
4-ug -j- dg -s- cg
-s-ar -j- br -s- cr;
d. h. zwei mehrgliedrige Ausdrücke werden mit ein¬
ander multipliciert, indem man jedes Glied des Multipli-
cands mit jedem Gliede des Multiplicalors multipliciert und die
Theilproducte addiert.
Man pflegt die mehrgliedrigen Factoren unter einander zu
stellen, wie auch die Theilproducte so zu schreiben, dass die etwa
vorkommenden gleichnamigen Ausdrücke gerade unter einander zu
stehen kommen.
4. Wichtig sind folgende Ergebnisse der Multiplikation:
a) a 4- b also (a -j- b) (a — b) - a? — I?;
a — d
a? -s- Kd
— ab — d?
a- — b-
218
d: h. die Summe zweier Zahlen multipliciert mit
deren Differenz gibt die Differenz der Quadrate
dieser Zahlen.
b) a b also
a -s- b (3 > b)- (a -s- b) (3 Z- b) 3- -s- 2ab -s- b-
a? 4- ab
_ -s- ab -s- b -
a^ -s- 2ab -s- b^
Eben so erhält man
(a — b)- - a- —2ab -s- b^.
Das Quadrat eines Binoms besteht also aus
dem Quadrate des ersten Gliedes, dem doppelten
Produkte beider Glieder und dem Quadrate des
zweiten Gliedes.
e) (a -s- b)^ — (a -s- b)^ (a -s-b) — (a?-s- 2ab-s-b?) (a-s-b)
- a' -s- 3a-b -s- 3ab' -s- b'.
Ebenso ist
(a — b)" - a' - 3a^b -s- 3ab^ — b'.
Der Cubus eines Binoms besteht also aus dem
Cubus des ersten Gliedes, dem dreifachen Quadrate
des ersten Gliedes multipliciert mit dem zweiten,
dem dreifachen ersten Gliede multipliciert mit dem
Quadrate des zweiten, und dem Cubus des zweiten
Gliedes.
Aufgaben.
1) 7 x . 3^?
3) — 7 a . — 3 a - ?
5) — 2 a- . 7a° - ?
2) 9ab . — 5e — ?
4) 5 3b . — 8bc — ?
6) 8 ax? . —> 2 3?x — ?
7) 7aV . 4a-e^ . 3be -?
8) 5 wx? . — 6nx^ . 7 p)?? — ?
9) (2 3 -s- 3 b — 5 e) . 4 m — ?
10) (8 x- — 3 x^ -s- 5 7°) . — 2 X)" - ?
11) (1 — 5x -s- 6x- -f- 3x" - 2x«) . — 5x- -?
219
12) (67" - 47' - 87 -s-1) - 67' (87' - 4.7 -s- 5 - ?
13) (7 a - 2b) (4m -s- 3n) -?
14) (5x -s- 87) (2x — 37) -?
15) (3 3 -s- 2 b) (3 3 — 2 b) - ?
16) (4x' — 37') (4x' -s- 37') -?
17) (4 x - 5 7)' - ? 18) (3 m -j- 8 n)' - ?
19) (9 3 -s- b)- - ? 20) (2 x — 3 7)- - ?
21) 3x' — 4x — 5
2x' — 3x -i- 4
6 x^ — 8 x" — 10x'
— 9x^ 12x' -j- 15x
_ . -l- 12x' — 16x — 20
6 x" — 17 x" -s- 14 x^ — x — 20
22) (a-- — 5g."- -s- 6) (4 3. - 7) - ?
23) (3a'x' — 4sx — 9) (7 3X -s- 8) — ?
24) (9x- - 24x -s- 16) (3x - 4) - ?
25) (x -s- 3) (x — 5) (x -s- 6) - ?
26) (3 x — 5 a) (6 x — 7 3) (7x -s- 4 3) - ?
27) (1 — 2x -s- 3x') (2 - 3x 4x') - ?
28) (5b"- 4- 3b7 — 7') (2b' — 4b7 -j- 57') - ?
29) (53" -s- 23' — 7 3 -s- 8) (33' - 73 - 6) -?
30) (7a'x' — 4 3X -1-1) (3a'x- 33x -s- 2)
(3'x' — 23X -s- 3)
8- 103.
Das Dividieren allgemeiner Zahlenausdrücke.
Oölenl V7v32Üv obecn^eb.
1. Es ist
3b . e — abe, daher abe: c — 3b;
3bx . — 23 - — 6abx, „ — 63bx : — 2a - 3 bx;
— 7 m . — 3 np — 21 mnp, „ 21 mnp : — 3np - — 7m.
Eingliedrige algebraische Ausdrücke werden
daher durch einander dividiert, indem man den Quotienten
220
der Coefsicienten mit dem entsprechenden Vorzeichen (8 96.) dem
Quotienten der allgemeinen Zahlen voraussetzt. Man erhält aber
den Quotienten der allgemeinen Zahlen, wenn man im Dividende
diejenigen Buchstaben, welche auch im Divisor vorkommen, und
zwar in gleicher Anzahl weglässt.
Kommen im Divisor Buchstaben vor, welche der Dividend
nicht enthält, so kann man diese Division durch diese Buchstaben
sie in den Nenner des Quotienten
ax
Einfach gestaltet sich die Division allgemeiner Zahlen, wenn
sie Potenzen derselben Wurzel sind. Man hat
: n — arm : g, — sa — n?,
8° : 3^ — 83888 : 88 — 888 — 8?,
8' : 8^ — 8888888 : 888 — 8388 — 8*.
Potenzen derselben Wurzel werden also divi¬
diert, indem man von dem Exponenten des Dividends den
Exponenten des Divisors subtrahiert, und die erhaltene Differenz
der gemeinschaftlichen Wurzel zum Potenzexponenten gibt.
Dieser Satz hat vorerst nur Sinn und Giltigkeit, wenn
der Potenzexponent des Dividends größer ist als jener des Divi¬
sors. Sind beide Exponenten gleich, so würde man nach diesem
Satze eine Potenz mit dem Exponenten Null erhalten; ist der
Exponent des Dividends kleiner als der des Divisor, so käme
bei Anwendung des obigen Satzes eine Potenz mit negativem
Exponenten zum Vorschein. Es muß daher zunächst noch die
Bedeutung solcher Potenzen festgestellt werden.
Nach dem obigen Satze ist
8^ : 8^ — 8°;
es ist aber auch
: 8? — 888 : 833 — 1;
folglich 3° — 1;
d. h. eine Potenz mit dem Exponenten 0 ist gleich 1.
nur anzeigen, indem man
setzt; z. B.
abx : , —
221
Nach dem obigen Satze hat inan ferner
8? : 9? — a" ° — ast
es ist aber auch
_ 1 _ 1 .
- - — — —
aaäaa aaa
folglich
a » - ;
a^ '
d. h. eine Potenz mit negativem Exponenten ist g eich
1 dividiert durch dieselbe Potenz mit positivem
Exponenten.
Nach dieser Erweiterung des Begriffes einer Potenz hat
nun der oben für die Division zweier Potenzen derselben Wurzel
aufgestellte Satz allgemeine Giltigkeit.
2. Es ist
(a st- b st- e) . m — am st- bin st- am,
folglich umgekehrt
(am st- bm st- em) : m — a st- b st- e.
Ein mehrgliedriger Ausdruck wird also durch
einen eingliedrigen dividiert, indem man jedes Glied
desselben durch den eingliedrigen Divisor dividiert.
Wenn der Dividend eingliedrig und der Divisor mehrgliedrig ist, so
kann man den Quotienten nur anzeigen; z. B.
, , . 3>
a: (m -p n) - .
w-s-n
3. Wenn man a -st- b -st e mit p st- g st- r multipliciert,
so erhält man
Multiplicand a st- b st- e Divisor
Multiplicator P st- g st- r Quotient
l ap-s-bp st-ep )
Product > st- ag -st bg st- eg j Dividend
j st- ar st- br st- er j
Wird hier das Product als Dividend und der Multipli¬
kand als Divisor angenommen, so muß der Multiplicator als
222
Quotient herauskommen. Aus dem Gesetze, nach welchem die
Glieder des Divisors und des Quotienten in ihrem Producte,
dem Dividende, zusammengestellt erscheinen, ergibt sich nun für
die Division zweier mehrgliedriger Ausdrücke folgen¬
des Verfahren:
1) Man dividiere das erste Glied des Dividends durch das
erste Glied des Divisors, so erhält man das erste Glied des
Quotienten. Mit diesem multipliciere man den vollständigen
Divisor und subtrahiere das Product vom Dividende.
2) Man dividiere das erste Glied des Restes durch das
erste Glied des Divisors, wodurch man das zweite Glied des
Quotienten erhält, und wiederhole das vorhergehende Verfahren,
bis alle Glieder des Dividends in Anspruch genommen wurden.
Sind der Dividend und der Divisor Polynome, welche
Potenzen derselben Wurzel enthalten, so müßen sie vor der Di¬
vision übereinstimmend geordnet werden.
4. Es ist
(a? — t?) : (a -s- b) — a — b,
U? -j- Ll)
— ab — t)2
— ab — t?
-s- -l-
0
(a? — t?) : (g, — b) — g, -j- b;
a? — ab
— -s-
-s- ab - b-
-s- ab - t?
0
d. h. die Differenz zweier Quadrate durch die Summe
der Wurzeln dividiert, gibt die Differenz derWur-
zeln; die Differenz zweier Quadrate durch dieDiffe-
223
renz der Wurzeln dividiert, gibt die Summe der
Wurzelu.
Aufgaben.
1) 15ab : 3b — ?
2) —24mx/ : — 4x/ — ?
3) 8a' : 4a" - ?
4) 16x«v« : 8x'/' — ?
5) 54ab"x' : 6dx" n?
6) —7a"w' : 4a"w — ?
7) (20ae-12bc) : 4e - ?
8) (15a"-18ab) : -5a - ?
9) (21m« 15m' — 18m'-) : 3m" - ?
10) (5r? — 25a« - 10a' -j- 15a°) : 5a" - ?
11) (16x'/' — 12x"/" -j- 8x/ -f- 4) : 4x"/" -?
12) (15a" 19ab - 10b") : (5a — 2b) - 3a -f- 5b
15a" — 6ab
— -f- _
25ab - 10b"
-j- 25ab — 10b"
_ - -f-
0
13) (9x" - 49) : (3x -f- 7) - ?
14) (25a" - 80a/ -j- 64/") : (5a - 8/) - ?
15) (15-U8x — 32x"-j-32x' - 15x«) : (3 -f- 4x - 5x")
15-f-20x—25x" — 5 — 4x-f-3x"
-I _
-12x- 7x"U-32x--
—12x-16x"-f-20x'
-b -f- —
-f- 9x"-j-i2x'—15x«
-f- 9x"-f-12x'—15x«
- - —
0
224
16) (loa- Z- 4a^b - 29ab"- -s- 10b') : (3a -s- 5b) -?
17) (a« - 9aV -j- 27a^x« — 27x°) : (a« - 6a^^
-s- 9x^) -?
18) (12 -s-x — 18x^ — 73x^ -s- 36xZ: (4 — 5x - 6x") - ?
19) (8m° -j- 27) : (4m« — 6m- -f- 9) -?
20) (12 g? — 37 a« Z- 29 Z- 13 a - 20) : (3a"-
— 7 a -f- 5) ?
21) (x° — 16x^° -i- 64^°) : (x« -f- 4x^ -s- 12x^^
-j- 16x7-- -j- I67«) -?
22) (15 x" Z- 8X--7 - 41x-2- -s- 10x7' -j- 87«):
(5x» -j- 6x7 — 87°) - ?
8- 104.
Das Substituieren.
Lubstituoväni ci nabraLoväul voiiöin völiöinami sin/mi.
In einem Zahlenausdrucke an die Stelle der allgemeinen
Zahlen (Buchstaben) besondere Zahlenwerte setzen, und mit diesen
die vorgeschriebenen Rechnungen ausführen, heißt substituieren.
Z. B. Ist der Ausdruck 7 — ax? -j- 2bx für a — 2,
b — 1 und x — 4 zu berechnen, so hat man
7 - 2 . 4- -s- 2 . 1 . 4 - 32 -f- 8 - 40.
Ausgab en.
Man bestimme die Zahlenwerte folgender Ausdrücke für die
beigefügten Substitutionen:
1) — a -f- 2b — 3o für n — 3, b — 2, c — 1.
2) L — 2m — 3n-j-4x für m — 8, u-— 3, p —— 1.
3) 0 — 1 -f- 2x -s- 3x^ -s- 4x^ für x — 5.
4) O — 3 ab — 5 ae Z- 3be für a —5, b—4, o—3.
5) L — 6x^ — 15x^ — 10 für x — 3.
6) x - 72x- — 17x7 — 727- für x - 7 - z.
7) 6 - für a - 450, b - 23 84.
a-f-b ' '
225
sb — 6
2
L
für x - — a - — 2,
Z-7 b e - 4, ä - 2.
8) II - für N - 80, w - 20, O - 5, e-8.
9) X — ux^ — bx^ -f- ex —ä für a-1, d—2, 6—3,
6 — 4, x — 2.
10) X — w'' — 4m^u 6mV — 4ma^ -f- für
m — 3, ii - — 2.
11) U — (3 x -f- 5^ — 6 2) (7x — 2^ -f- 3?) für
x — 4, — 5, 2 — 6.
IS» f»- - - g,
b - 7, c - - 5.
13) k — ^/s(8 —a)(s — d) (8 —e) für s — 75'8,
b — 554, e — 50'2 und 8 —
... LI41V -f- ratv ...
15) R — - fur N — 1, w —10, 4^—100,
N7V -f- inv '
t — 22'5, 7V — 8, v — g>o.
"" b - I^df^-° -I- ->) - -I- » -I- t)f
für a 6-287, b 0'14, c 1, I 144, k 0 025,
I 19, w 8, v 0 000142, k 2176, p -- 10330,
4 0'00000023.
Močnik, Arithmetik m. bohm. Term. 14. Au^l.
15
Neunter Abschnitt.
Von den Potenzen und Wurzeln,
v poteueivli a korenovk.
8- 105.
Ein Product, das aus lauter gleichen Factoren entstanden
ist, heißt eine Potenz (potenco, nwenota); jeder der gleichen
Factoren ist die Wurzel (koren), und die Zahl, welche anzeigt,
wie vielmal die Wurzel als Factor gesetzt wurde, wird der Ex¬
ponent (expoueut, lnocoitol) genannt (Z. 98). Z. B.
4 X 4 — 16
4 X 4 X 4 - 64
4X4X4X4- 256.
Hier ist 16 die 2. Potenz von 4, 64 die 3., 256 die 4.
Potenz von 4; dagegen ist 4 die 2. Wurzel von 16, die 3.
Wurzel von 64, die 4. Wurzel von 256.
Eine Zahl zur 2., 3., 4. . . . Potenz erheben
(Asio 2ou, 3ti, 4tou, ?vMti potenci) heißt, diese Zahl 2mal,
3mal, 4mal ... als Factor setzen.
Wird eine gegebene Zahl in lauter gleiche Factoren aufgelöset,
so heißt dieses Verfahren das Wurzelansziehen (äob/väui
kokeue). Aus einer Zahl die 2., 3., 4., ... Wurzel aus¬
ziehen heißt demnach, eine Zahl suchen, welche 2mal, 3mal, 4mal,...
als Factor gesetzt, die vorgelegte Zahl zum Producte gibt; z. B.
aus 125 die dritte Wurzel ausziehen heißt, eine Zahl suchen,
welche 3mal als Factor gesetzt, 125 gibt; diese Zahl ist 5, denn
5 X 5 X 5 — 125, 5 ist also die dritte Wurzel von 125. Das
Wurzelausziehen zeigt mau dadurch an, dass man vor die gege¬
bene Zahl das Wurzelzeichen (X, und in dessen Oesfnung den
Exponenten setzt; 125 bedeutet die 3. Wurzel aus 125.
227
Der Exponent 2 wird nicht angeschrieben, so dass z. B.
IX 64 die zweite Wurzel aus 64 vorstellt.
Die zweite Wurzel einer Zahl wird insbesondere auch ihre
Quadratwurzel (koron kvuckrütov/ei ötvoreov^), und die
dritte Wurzel die C ubikwur z e l (koron knbiek^ ei kr^eklonv)
genannt.
I. Erheben auf das Buadrat und Aussehen der Nuadratnmyel.
^ov^sowi 2» kvaciräb A äob^väni korsws kvaärätovöllo.
8- 106.
Um eine Zahl zum Quadrat zu erheben (povMti
öl8lo 2a kvaärät), darf man sie nur mit sich selbst multiplicieren; z. B.
137- - 137 X 137 - 18769,
/3 >2 — 3 xx 3 __9
V5/ — 5 5 -E 25^
2-73- - 2 73 X 2-73 7'4529.
Aus dem dritten Beispiele sieht man, dass das Quadrat
eines Decimalbruches doppelt so viel Decimalen enthält, als der
gegebene Decimalbrnch, woraus folgt, dass in einem vollstän¬
digen Quadrate die Decimalen immer in gerader Anzahl vor¬
kommen müßen.
Die Quadrate der einziffrigen Zahlen sind:
Quadratwurzel: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;
Quadrat: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81.
Um weiterhin das Ausziehen der Quadratwurzel leichter
begründen zu können, soll hier noch ein anderes Verfahren beim
Quadrieren einer Zahl entwickelt werden.
Nach 8- 102, 4. ist
(a -s- b)- — a- -s- 2ad -s- b--
Hat man nun eine zweiziffrigeZahl, z.B. 46 auf das Quadrat
zu erheben, so zerlege man sie in zwei Theile 40 -s- 6, und
setze a — 40, b — 6, so ist nach der obigen Formel
L K d'
46- - (40 -s- 6)- - 40- -s- 2 . 40 . 6 -s- 6-
Jst eine dreiziffrige Zahl 864 — 800 -s- 60 -s- 4 zum
Quadrate zu erheben, so setze man u 800, b 60, e 4,
15*
228
lind ziehe die ersten zwei Theile a und b in ein Glied zusammen,
welches L heißen soll, so daß L — 800 -s- 60 — 860 wird;
dann hat man zunächst
L L d L? 2»b i)d
860- - (800 -j- 60)- - 800- -s- 2 . 800 . 60 -s- 60-,
und daher
L o n» LNo
864- - (860 > 4)- - 860- -j- 2 . 860 . 4 -s- 4-,
oder, wenn statt 860- der obige Wert gesetzt wird,
? a- Sali l>» SLo
ad e
864- - 800- -s- 2 . 800 . 60 -s- 60- -s- 2. 860 . 4 -s- 4-,
und wenn man die Bestandtheile unter einander schreibt,
u
864 -
a- - 800- - 6400M
2ab - 2.800.60 - 960M
d- - 60- - 3600
2Le - 2.860.4 - 6880
e- - 4- - 16
746496.
Ebenso erhält man
6
L I
a d 6 ä
4273- -
a- - 4000- - 16000000
2ab - 2.4000.200 - 16000M
d- - 200- - 400M
26e - 2.4200.70 - 588000
6- - 70- - 4900
264 - 2.4270.3 - 25620
ä- - 3- - 9
18258529.
Die Nullen können hier auch weggelassen werden, sobald
nur jeder folgende Bestandtheil um eine Stelle weiter rechts
hinaus gerückt wird. Ohne Nullen würden sich die letzten zwei
Beispiele so darstellen:
229
- 18258529
Hieraus ergibt sich für die Bildung des Quadrates einer
mehrzisfrigen Zahl folgendes Gesetz:
1. Die höchste Ziffer der Wurzel gibt ihr eigenes Quadrat.
2. Aus jeder folgenden Ziffer wachsen im Quadrate zwei Be¬
standteile zu: die doppelte ihr vorangehende Zahl multi-
pliciert mit dieser Ziffer, und ihr eigenes Quadrat.
3. Werden alle diese Bestandtheile so unter einander geschrieben,
daß jeder folgende um eine Stelle weiter rechts erscheint,
und dann, so wie sie stehen, addiert, so ist die Summe
das Quadrat der vorgelegten Wurzel.
Aufgaben.
107-
Das Verfahren beim Ausziehender Quadratwurzel
ist die Umkehrung der früher dargestellten Erhebung zum Quadrate.
230
Es sei z. B- 467 zum Quadrate zu erheben, und dann
aus dem gefundenen Quadrate die Quadratwurzel zu ziehen.
Wir stellen, um die Vergleichung zu erleichtern, das Qua-
drieren und das Ausziehen der Quadratwurzel unter /einander.
Da die erste Wurzelziffer im Quadrate eine oder zwei
Stellen gibt, wegen jeder folgenden Wurzelziffer aber im Qua¬
drate immer zwei Stellen zuwachsen, so enthält das Quadrat
einer Zahl entweder doppelt so viel Ziffern, als deren die
Wurzel hat, oder um eine weniger. Wenn man daher das
Quadrat von der Rechten gegen die Linke in Abteilungen zu
zwei Ziffern theilt, wobei die erste Abtheilung links auch nur
eine Ziffer enthalten kann, so hat man so viele Abteilungen,
als die Quadratwurzel Ziffern hat. Im vorliegenden Falle hat
das Quadrat 218089, woraus die Quadratwurzel gezogen werden
soll, drei solche Abteilungen.
Das Quadrat der ersten Wurzelziffer ist in der ersten Ab¬
teilung enthalten; man findet daher die erste Ziffer a der Qua¬
dratwurzel, wenn man die Zahl sucht, deren Quadrat der Zahl
231
in der ersten Abteilung am nächsten kommt, ohne größer als sie
zu sein; dieselbe Zahl ist 4, also a — 4.
Wird a" — 4? — 16 von der ersten Abtheilnng subtra¬
hiert, und zu dem Reste 5 die zweite Abtheilung 80 hinzugesetzt,
so müßen in der so entstehenden Zahl 580 die Bestandtheile
vorkommen, welche die zweite Wurzelziffer b im Quadrate her¬
vorbringt, nämlich das Produkt 2ad aus ihr und der doppelten
ersten Ziffer und ihr Quadrat t?, ^d zwar erstreckt sich das
Produkt 2ab nur bis auf die erste Ziffer in der zweiten Ab¬
theilung, ist also in 58 enthalten. Dividiert man daher die Zahl
580 mit Ausschluß der letzten Ziffer, nämlich 58, durch das
doppelte 2a der ersten Wurzelziffer, nämlich durch 8, so erhält
man die zweite Wurzelziffer b — 6.
Wenu man dann die Bestandtheile des Quadrates, welche
aus dieser zweiten Wurzelziffer entstehen, nämlich 2al> — 48
und b" — 36 an den gehörigen Stellen von 580 subtrahiert
und zu dem Reste 64 die dritte Abtheilung 89 hinzusetzt, so
enthält die dadurch entstehende Zahl 6489 die Bestandtheile, welche
die dritte Ziffer e im Quadrate hervorbringt, und zwar kommt
das Product 2 (a -s- b) e — 26e aus dieser Wurzelziffer und
der doppelten ihr vorangehenden bereits gefundenen Zahl in der
Zahl 6489 mit Ausschluß der letzten Ziffer, also in 648 vor.
Dividiert man daher 648 durch 28 — 92, so erhält man die
dritte Wurzelziffer e — 7; u. s. w.
Da 2ab -s- i? — (2a -s- b) b ist, so kann man, anstatt
2ad und i? zu subtrahieren, sogleich zu dem bezüglichen Divisor
2a mit Rücksicht auf den Stellenwert die neugefundene Wurzel¬
ziffer b dazu setzen, und sodann das Produkt aus der dadurch
gebildeten Zahl und der neuen Wurzelziffer b subtrahieren. Hier¬
nach würde sich die Rechnung so stellen:
232
^/21j8089 — 467
a-. . . 16
58,0 : 86 . 6
(2a -s- b) b. . . ^16
6 48,9 : 927 . 7
(2L -s- o) o. . . 6489
Das Product aus dem jedesmaligen Divisor, nachdem man
ihm die neue Wurzelziffer augehängt hat, und aus dieser neuen
Ziffer kann auch sogleich während des Multiplicierens von dem
Dividende subtrahiert werden. Die Rechnung steht dann:
^/21j80P9 - 467
58,0 : 86.6
6 48,9 : 927.6
Beim Ausziehen der Quadratwurzel verfährt
man daher nach folgenden Regeln:
1. Man theile die gegebene Zahl von der Rechten gegen
die Linke in Abtheilungen von zwei Ziffern; die höchste Abtheilung
kann auch nur eine Ziffer enthalten. Sodann sucht man die größte
Zahl, deren Quadrat in der ersten Abtheilung links enthalten ist,
schreibt dieselbe als erste Ziffer der Wurzel an, und subtrahiert
ihr Quadrat von der ersten Abtheilung.
2. Zu dem Reste setzt man die nächstfolgende Abtheilung
hinzu. Wird diese Zahl, mit Hinweglassung der niedrigsten Stelle,
durch das doppelte der bereits gefundenen Wurzel dividiert, so
gibt der Quotient die zweite Ziffer der Wurzel, welche man nicht
nur zu der Wurzel, sondern auch zu dem Divisor hinschreibt.
3. Der so ergänzte Divisor wird dann mit der neu gefun¬
denen Ziffer der Wurzel multipliciert, und das Product von dem
Dividende mit Zuziehung der früher weggelassenen Ziffer sogleich
während des Multiplicierens subtrahiert.
4. Zu dem Reste setzt man wieder die nächste Abtheilung
233
4
Findet man 0 als eine Zif-
der Wurzel, so wird sogleich
nächste Classe herabgesetzt, nur
zel als zu dem Divisor geschrieben
4) /"654481 -?
6) /"2999824 -?
8) ^/91068849 —?
10) /"11669056 -?
12) /"54782211136 ?
14) l/15 2-2 7j56 - 12-34
5,2 : 22
8 2,7 : 243
9 856 : 2464
2) /"92j1 6-96
111,6 : 186
herab, und wiederholt dasselbe Verfahren wie früher, bis man
alle Abtheilungen in Rechnung gezogen hat.
Beispiele und Aufgaben.
1) ^/1!53!7 6 - 124
5.3 : 22 X 2
9 7,6 : 244 X
3) 1/25M4 9 - 507
70 4,9 : 1007
fer
die
muß diese Null sowohl in tzie Wur-
wcrden.
5) /"404496 -?
7) /"5943844 - ?
9) ^/104101209 - ?
11) 1/100020001 -?
13) /"4222140484 -?
Bei Decimalbritchen geschieht
die Eintheilung der Ganzen vom
Decimalpunkte gegen die linke, und
die Eintheilung der Decimalen vom
Decimalpunkte gegen die rechte; es
wird dann in der Wurzel der Deci-
malpunktgesetzt,bevorman die erste Abtheilung von Decimalen in Rechnung zieht.
15) /"0'2704 - ?
17) /"5-4756 -?
19) /"73-8 - 27-16 . .
33,8 : 47
90,0:541
35 90,0 : 5426
3 34 4
16) ^/59-29 -?
18) /"229'2196 - ?
Bleibt beim Wurzelauszie¬
hen am Ende ein Rest, so ist die
Wurzel nicht vollkommen genau;
sie kann jedoch näherungsweise mit
jeder beliebigen Genauigkeit be¬
stimmt werden, indem man sich
nämlich der vorgelegten Zahl beliebig viele Decimalabtheilungen von Nullen
beigefügt denkt, und dem jedesmaligen Reste eine Abtheilung von zwei Nullen
anhängt, übrigens aber wie vorhin verfährt.
Soll mau in der Quadratwurzel sehr viele Decimalstellen
erhalten, so kann die Arbeit bedeutend abgekürzt werden; nachdem
234
man nämlich um eine Ziffer mehr als die halbe Anzahl der
Wurzelziffern nach dem gewöhnlichen Verfahren gefunden hat,
lässt man, anstatt zu dem Reste eine neue Abtheilung von Nullen
anzuhängen, in dem neuen Divisor die letzte Ziffer weg, und
entwickelt die folgenden Wurzelziffern mittels der abgekürzten
Division.
20) Mau entwickle ^/17'478 in 6 Decimalen.
a. nach dem gewöhnlichen Verfahren:
^/17-4 7!8« - 4-180669
1 4,7 : 81
6 68,0 : 828
5 6000,0 : 83606
583 6 40,0 : 836126
819 6440,0 : 8361329
6 7 12 43 9
b. abgekürzt:
^/17-4 7,8« - 4-1 8 0 669
14,7 : 81
6 6 8,0 : 828
5 60.0:8,3,6.0
58 4
82
7
21) >/5 --> 22) ^/7-3---?
23) ^/0-08 - ? 24) ^/228-314 ?
25) ^/9 0571 - ? 26) ^0'008739 ?
27l V/ ?
0 ^-7« - ^/576
28) VÄ - ^/0-l2 - 0-3 4 641 . . .
30,0 : 64
4 40,0 :686
28 4 : 6,9,2
7
235
29) - ? 30) M - ?
31) Wie groß ist die Seite eines Quadrates, dessen Flächen¬
inhalt 9216 beträgt? (Z. 26, Aufg. 20.)
32) Ein Feldstück von der Form eines Quadrates misst
gerade ein Joch; wie groß ist sein Umfang?
33) Wie groß ist die Seite eines Quadrates, welches so
groß ist als zwei andere Quadrate zusammengenommen, deren
Seiten 1">2^ 4°^ und 1-°5^ 2<-°- sind?
34) Wie groß ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Drei¬
eckes, dessen Katheten 4 52°>und 6'38"° sind?
35) In einem rechtwinkligen Dreiecke beträgt die Hypo¬
tenuse 31° U und die eine Kathete 14" 4'; wie groß ist die
andere Kathete?
36) Drei Balken werden so an einander gelegt, dass zwei
derselben einen rechten Winkel bilden; wenn nun diese beiden
Balken 1" 3^ 4°°° und 1" 1^ 8°^ lang sind, wie groß wird die
Länge des dritten Balkens sein?
37) Man bestimme die Diagonale eines Quadrates, dessen
Seite 5'24-^ beträgt.
38) Ein Messtischblatt ist ein Quadrat von 2' 6" Seiten¬
länge; wie lang ist die Diagonale?
39) Wie lang muß eine Leiter sein, um bis zur Spitze
einer 8° hohen Mauer zu reiche», wenn sie unten 1° 5' von der
Mauer absteht?
40) Wie viel Meter muß man eine 10'4"> lange Leiter von
der Mauer eines 9'6-° hohen Giebels stellen, wenn sie bis zur
Spitze reichen soll?
41) Eine 12>° 3^ lange Leiter wird gegen eine verticale
Wand so aufgestellt, dass der Fuß der Leiter 2"> 7^ von der
Wand absteht; wie weit ist das obere Ende der Leiter vom
Fußboden entfernt?
42) Auf ein 28' breites Haus soll ein 12' hohes Dach
gesetzt werden; wie lang müßen die-Dachsparren sein, wenn sie
2' Vorsprung erhalten?
236
43) Wie groß ist die Höhe eines gleichseitigen Dreieckes,
wenn eine Seite 2" 3^" 4°" beträgt?
44) Ein Garten von der Form eines Rechteckes ist 24" 2^
lang und 16" 5^" breit; ein anderer Garten hat denselben Flächen¬
inhalt, aber die Form eines Quadrates; wie groß ist eine Seite
desselben?
45) Die Oberfläche eines Würfels beträgt 1 üfl 78 m".
wie lang ist eine Kante desselben?
46) Welchen Durchmesser hat ein Kreis von 23 H)" 93
14 Inhalt? (§. 21. Auf. 35.)
47) Die Oberfläche einer Kugel beträgt 60sH°"; wie groß
ist der Halbmesser derselben? (Z. 21. Aufg. 37.)
48) Auf einer falschen Wage wiegt ein Körper in der einen
Wagschale 47 K 12 Loth, in der anderen aber nur 45 K 16 Lth.;
wie groß ist das wahre Gewicht dieses Körpers? (Man multi-
pliciert die beiden falschen Gewichte, und zieht aus dem Producte
die Quadratwurzel.)
II. Erheben auf den Cubus und Ausziehen der Cubikwurzci.
kov^ssniKubus n clob^vämi korsus kublokebcr.
8. 108.
Um eine Zahl zum Cubus zu erheben (povMti
eislo Kubus), setzt man dieselbe 3mal als Factor; z. B.
319' - 319 X 319 X 319 - 32461759,
/5 >3 — 5 x/ 5 xx 5 _ I 2 5
V8/ — 8 8 8 — 512,
1-28' - 1-28 X 1-28 X 1'28 - 2'097152.
Der Cubus eines Decimalbruches enthält immer 3mal so
viel Decimalen als der gegebene Decimalbruch; daher muß in
einem vollständigen Cubus die Anzahl der Decimalen stets ein
Vielfaches von 3 sein.
Die dritten Potenzen der einziffrigen Zahlen sind:
Cubikwurzel: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;
Cubus: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729.
Wegen der leichteren Begründung der Lehre vom Ausziehen
237
der Kubikwurzel soll auch hier eiu zweites Verfahren, eine Zahl
zum Cubus zu erheben, abgeleitet werden.
Dabei soll die in Z. 102, 5 entwickelte Formel
(a-s-b)" - a" -s- 3a"b -s- 3ab" -s- b"
zu Grunde gelegt werden.
Ist z. B. die Zahl 59 zum Cubus zu erheben, so hat man
L d L- SL-d »Ld- d-
59" - (50 -s- 9)- - 50" -s- 3.50".9 -s- 3.50.9" -s- 9".
Um eine dreiziffrige Zahl, z B. 248 — 200-s-40-j-8 auf
den Cubus zu erheben, setze man n - 2M, b — 40, o — 8
und a -s- b — 2M -s- 40 — ö; dann ist
8 LdL- SL-d s-b- d-
240" - (200Z-40)" - 200" -s- 3.200". 40 -j- 3.2M. 40" -s- 40",
und
L c L- Sö-a göc- d-
248" - (240 -s- 8)" - 240" -4- 3.240". 8 -s- 3.240.8" -s- 8",
oder wenn man statt 240" den früheren Wert setzt,
L> ZL-d SLd- d-
248" - 200" -s- 3.200".40 -s- 3.200.40" -s- 40"
SN-c SNo- o-
-s- 3.240".8 Z- 3.240.8" -s- 8".
Werden die Bestandtheile unter einander geschrieben und
wirklich berechnet, so ist
n
248"
15252992.
238
Auf dieselbe Art erhält man
6
Die Nullen kann man weglassen, sobald nur jeder folgende
Bestandtheil um eine Stelle weiter rechts hinaus gerückt wird.
Dann stellen sich die letzten zwei Beispiele so heraus:
Für den Cubus einer mehrzisfrigen Zahl ergibt sich hieraus
folgendes Bildungsgesetz:
1. Die erste Ziffer links gibt ihren eigenen Cubus.
239
2. Jede folgende Wurzelziffer gibt drei Bestandtheile: das Pro¬
dukt aus dem dreifachen Quadrate der ihr vorangehenden
Zahl mit dieser Ziffer, das Produkt aus der dreifachen vor¬
angehenden Zahl und dem Quadrate dieser Ziffer, endlich
ihren eigenen Cubus.
3. Diese Bestandtheile werden so unter einander geschrieben,
daß jeder folgende um eine Stelle weiter rechts erscheint,
und dann, so wie sie stehen, addiert.
Aufgaben:
Das Verfahren, nach welchem aus einer Zahl die Kubik¬
wurzel ausgezogen wird, läßt sich aus dem Gesetze ableiten,
nach welchem die Ziffern der Kubikwurzel in dem Cubus zu¬
sammengestellt erscheinen.
Erhebt man z. B. 537 zum Cubus, und es sei dann aus
dem gefundenen Cubus die Kubikwurzel zu ziehen, so hat man
240
Stellen gibt, wegen jeder folgenden Wurzelziffer aber im Cubus
immer drei Stellen znwachsen, so enthält der Cubus einer Zahl
entweder dreimal so viel Ziffern, als deren die Cubikwurzel hat,
oder um zwei oder eine weniger. Theilt man daher den Cubus
von der Rechten gegen die Linke in Abteilungen zu drei Ziffern,
wobei die erste Abteilung links auch nur zwei oder eine Ziffer
enthalten kann, so hat man so viele Abteilungen, als die Wurzel
Ziffern enthält. Im vorliegenden Falle hat der Cubus 154854153,
woraus die Cubikwurzel gezogen werden soll, drei solche Ab¬
teilungen.
Der Cubus der ersten Wurzelziffer a ist in der ersten Ab¬
teilung enthalten; die erste Ziffer der Cubikwurzel wird daher
gefunden, wenn man die größte Zahl nimmt, deren Cubus in der
241
ersten Abteilung enthalten ist; in 154 ist der Cubus von 5,
nämlich 125, enthalten; die erste Wurzelziffer a ist also 5.
Wird o? — 125 von der ersten Abtheilung subtrahiert und
zu dem Reste 29 die zweite Abtheilung hinzugesetzt, so enthält
die so entstehende Zahl 29854 die Bestandtheile, welche aus der
zweiten Wnrzelziffer d hervorgehen, nämlich 3a"b, 3ab" und bch
und zwar erstreckt sich 3a^b nur bis auf die erste Ziffer der
zweiten Abtheilung. Wird daher die Zahl 29854 mit Ausschluß
der letzten zwei Ziffern, nämlich 298, durch das dreifache Qua¬
drat 3a 2 der ersten Wurzelziffer, nämlich durch 75, dividiert, so
erhält man die zweite Wurzelziffer b — 3.
Entwickelt man dann die drei Bestandtheile, welche diese neue
Ziffer im Cubus hervorbringt, nämlich 3a" k — 225, 3ak? — 135
und — 27, und rückt jeden derselben um eine Stelle weiter
nach rechts, subtrahiert dann diese Zahlen von 29854, und setzt
zu dem Reste 5977 die dritte Abtheilung dazu, so enthält die
so gebildete Zahl 5977153 die Bestandtheile, welche die dritte
Ziffer e im Cubus hervorbringt, und zwar kommt das Product
3 (a -s- b)^e — 38^ aus dieser Wurzelziffer und dem dreifachen
Quadrate der ihr vorangehenden Zahl in der Zahl 5977153 mit
Ausschluß der letzten zwei Ziffern, also in 59771, vor. Dividiert
man daher 59771 durch 38^ — 8427, so erhält man die dritte
Wurzelziffer o —7; n. s. w.
Beim Ausziehen der Kubikwurzel ist daher fol¬
gendes Verfahren anzuwenden:
1. Man theilt die Zahl von der rechten gegen die linke in
Abtheilungen von je drei Ziffern; die links stehende Abtheilung
kann auch bloß eine oder zwei Ziffern enthalten. Sodann sucht
man die größte Zahl, deren Cubus in der ersten Abtheilung zur
Linken enthalten ist, schreibt dieselbe als erste Ziffer in die Wurzel,
und zieht ihren Cubus von der ersten Abtheilung ab.
2. Die folgenden Ziffern der Kubikwurzel werden durch die
Močnik, Arithmetik m. böhm. Term. ii. Anss. 16
242
Division gefunden. Man setzt nämlich zu dem jedesmaligen Reste
die nächstfolgende Abthcilung herab, und betrachtet die dadurch
entstehende Zahl mit Ausschluss der zwei letzten Ziffern rechts
als Dividend, das dreifache Quadrat des bereits gefundenen
Theiles der Wurzel aber als Divisor. Der Quotient wird als
eine neue Ziffer in die Wurzel geschrieben.
3. Man bildet die Bestandtheile, welche diese neue Ziffer
im Cubus hervorbringt, nämlich das dreifache Quadrat der ihr
vorangehenden Zahl multipliciert mit dieser Ziffer, die dreifache
vorangehende Zahl multipliciert mit dem Quadrate dieser Ziffer,
und ihren eigenen Cubus, schreibt den ersten Bestandtheil unter
den Dividend, jeden folgenden aber um eine Stelle weiter rechts
darunter, und subtrahiert die Summe der so gesetzten Bestand¬
theile von dem Dividende mit Zuziehung der früher weggelassenen
zwei Ziffern. Lässt sich diese Summe nicht subtrahieren, so ist
die neue Ziffer der Wurzel zu groß; sie muß daher nach und
nach kleiner genommen werden, bis man subtrahieren kann.
4. Dieses Verfahren wird fortgesetzt. Bleibt am Ende ein
Rest, so ist die Cubikwurzel nicht vollkommen genau; sie kann
aber mit jeder beliebigen Genauigkeit in Decimalen bestimmt
werden, indem man nämlich jedem Reste eine Abtheilung von drei
Nullen anhängt, und übrigens wie vorhin verfährt.
Kommen in der gegebenen Zahl auch Decimalen vor, so
werden diese vom Decimalpunkte augefangen gegen die Rechte hin
in Abtheilungen eingetheilt; hat die letzte Decinialabtheilung rechts
weniger als drei Ziffern, so werden die fehlenden durch Nullen
ersetzt. In der Wurzel setzt man den Decimalpunkt, bevor man
die erste Decinialabtheilung in Rechnung zieht.
243
Beispiele und Aufgaben.
3 3
l) 12Ä 3(1590^464 - 2304 2) ^/5'832 -?
8 -
3 6 4) ^328-509 - ?
54
27
63 5904,64 : 158700
63 4800
11040
64
3 3
5) ^/7301384 -? 6) ^/139798359 -?
s g
7) ^/152273-304 -? 8) ^/223648543 -?
s
9) >/1593413632 -? 10) ^60006085875 -?
s
11) ^/9I95 - 21 025 . . . 12) V^58 -?
-b_ 1Z) 6/8-539 -?
12,95-12
12 14) ^/5 -?
6
15) ^123456 -?
__ s
340000,00 : 132300 16) ^/0'8035 - ?
264609 -,
252 0 V/25-47382
8
75147 920,00 : 13255212
66276 060
15 765 0
125
8856 093 75
16*
244
19) - ^/0'275 - 0-65029 . .
3 S
20) 21)^ ^?
22) Wie groß ist die Seite eines Würfels, dessen Cubik-
inhalt 12 Cub.'" 167 Cub.^ beträgt? (Z. 17, Aufg. 28.)
23) Wenn man 21952 gleiche würfelförmige Steine so
in einen Haufen bringen würde, dass in der Länge, Breite
und Höhe gleich viele Stücke sind; wie viel Steine kommen in
jede Reihe?
24) Wie lang ist die Seite eines Würfels, welcher so viel
Raum einnimmt, als 2 Würfel zusammengenommen, deren Seiten
zäm ^„d 2^ 7°" sind?
25) Es soll ein würfelförmiger Kessel gefertigt werden,
welcher 18 Hektoliter hält; wie lang wird eine Seite des Kessels
werden? (1 Liter — 1 Cub.^.)
26) Ein eiserner Würfel wiegt 18 Kilogr.; wie groß ist eine
Seite, wenn das Cubikdecimeter Eisen 7'6 Kilogr. wiegt?
27) Wie groß ist der Durchmesser einer Kugel, wenn ihr
Cubikinhalt 13-144256 Cub.-Decimeter beträgt? (Z. 17, Aufg. 40.)
28) Wie groß ist der Halbmesser einer Kugel, welche mit
einem Würfel von 1"' 5''"' Seitenlänge gleichen Inhalt hat?
29) Wie groß ist der Durchmesser einer 24pfündigen Kanonen¬
kugel, wenn ein Cubikzoll Eisen zu 8s Loth angenommen wird?
30) Aus einer bleiernen Kugel von 3°'" Durchmesser sollen
zwei andere gegossen werden; wenn nun die eine 2°"> Durch¬
messer haben soll, welcher Durchmesser ist der anderen zu geben?
L n h a n g.
Uebersicht der Maße, Gewichte und Münzen.
klsLIvä mtzr, väd a miuel.
I. Zeit- und Winkelmaße.
Llirz? össovö a üdslnä.
Die Einheiten zur Zeitbestimmung (uröovüni öasu) sind
Jahre, Monate, Wochen, Tage u. s. f.
Ein Jahr hat 12 Monate, 1 Monat wird in der Zins¬
rechnung gewöhnlich zu 30 Tagen, somit das Jahr zu 360 Tagen
angenommen. Nach dem Kalender hat der Februar 28 oder 29
Tage, April, Juni, September, November haben je 30 und die
übrigen Monate haben je 31 Tage, so dass auf ein gemeines Jahr
365, auf ein Schaltjahr 366 Tage kommen. Eine Woche hat
7 Tage, 1 Tag 24 Stunden, 1 Stunde 60 Minuten, l Mi¬
nute 60 Secunden.
Der Umsaug eines jeden Kreises wird in 360 Grade
eingetheilt. Jedem Bogengrade entspricht am Mittelpunkte des
Kreises ein Winkel, welcher auch ein Grad genannt wird. Ein
Grad (°) hat 60 Minuten, 1 Minute^) 60 Secunden (").
II. Mengeneinheiten.
cksclQiökz? üromLäwe.
Ein Schock (kopu) hat 60, ein Schilling Wink) 30,
ein Mandel (munciel) 15, ein Dutzend (tuest) 12 Stück.
246
Ein Bund (8VL?nk) Federn sind 25 Stück.
Ein Ballen (balik) Papier hat 10 Rieß, 1 Rieß (r^s)
20 Buch, I Buch(knisia) 24 Schreibbogen oder 25 Druck¬
bogen.
III. Das französische metrische Maßsystem.
k'ra.noormskL nastriokä soo.sts.va.
Die G ru n d e i n h eit des metrischen System? ist das Meter
(wetr), welches man als den zehnmillionsten Theil der Länge eines
Erdmeridian-Quadranten angenommen hat.
Das Meter ist die Einheit des Längenmaßes; die
Einheit für das allgemeine Flächenmaß ist das Quadrat¬
meter (ctveroenv inetr), für das Bodenflächenmaß das
A r (ar) — 100 Quadratmeter; die Einheit für das a ll g e m e i n e
Körpermaß ist das Kubikmeter (kr^elllovF inetr), welches
als Holzmaß Ster (st^r) heißt, und für das Getreide- und
Flüssigkeitsmaß das Liter (iiti) — -^'oo Kubikmeter. Die Ein¬
heit des Gewichtsmaßes ist das Gramm (Framm), d. i.
das Gewicht des in Liter enthaltenen destillirten Wassers
bei 4° des lOOtheiligen Thermometers.
Die Vielfachen und Untertheilungen der Längen-, Flächen-,
Körper- und Gewichtsmaße werden nach dem Decimalsystem ge¬
bildet, indem man vor den Namen der Einheit bei den Vielfachen
griechische, bei den Untertheilungen lateinische Zahlwörter setzt.
Es wird nämlich das lOfache der Einheit durch das vorgesetzte
Wort Deka, das lOOsache durch Hekto, das lOOOfache durch
Kilo und das lOOOOfache durch Myria, dagegen der lOte Theil
der Einheit durch das vorgesetzte Wort Deci, der lOOste Theil
durch Centi, der lOOOste Theil durch Milli ausgedrückt. Hier¬
nach baut sich das metrische System auf folgende Weise auf:
Vielfache
Myria Kilo Hekto Deka
10000 1000 100 10
Einheit
Meter, Ar,
Ster, Liter,
Gramm
Untertheilungen
Drei Centi Milli
-I- .1, _I,.
10 l o o 1 o o a
247
Insbesondere hat man für das Längenmaß:
1 Myriameter (^) — 10000 Meter,
1 Kilometer (^) — 1000 „
1 Heliometer (^) — 100 „
1 Dekameter (^) — 10 „
1 Meter (Einheit)(") — 1 „
1 Decimeter (^) — 01 „
1 Centimeter (°">) — 001 „
1 Millimeter (">") — 0'001 „
Für das allgemeine Flächenmaß ist
1 — 100000000 1
1 lH^ - 1000000 „ 1
1 — 100M „ 1
1 lü^ — 100 „ 1
Hü'" (Einheit) — 1iH"
- 001 „
lü"»- - O'OMI „
- 0 OOOOOI „
Für das B o d e n fläch e n m aß hat man
1 Myriar (Na) — 1000000 iü"
1 Hektar (Ha) - 10000 „
1 Ar (Einheit) (a) — 100 „
1 Centiar (ca) — 1 „
Für das algemeine Körpermaß ist
1 Knb. - 1000000000000 Kub. »
1 Knb. - 1000000000 „
1 Kub.^ - 1000000 „
1 Kub. - 1000 „
1 Kub. (Einheit) — 1 „
1 Kub.^ - 0001 „
1 Kub. °" - 0'000001 „
1 Kub.-°-° - 0-0M000M1 „
Als Holzmaß ist
1 Dekaster (Vst) - 10 Kub. »
1 St er (Einheit) (st) — 1 „
1 Decister (cist) — 0'1 „
248
Als Hohlmaß hat man
1 Kiloliter (LI) - 1000 Kub. "-°
1 Hektoliter (HI) — 100 „
1 Dekaliter (1)1) — 10 „
1 Li ter (Einheit) (I) — 1 „
1 Deciliter (41) — 0'1 „
1 Centiliter (ei) — 0 01 „
Für das Gewichtsmaß ist
1 Myriagramm (Ng) — 10000 Gramm
1 Kilogramm (LZ) — 1000 „
1 Hektogramm (HZ) — 100 „
1 Dekagramm (vg) — 10 „
1 Gramm (Einheit) (g) — 1 „
1 Decigramm (6Z) — 0'1 „
1 Centigramm (es) — 0 01 „
1 Milligramm (ms) — 0 001 „
IV. Maße, Gewichte und Müiyen der österreichisch-ungarischen
Monarchie.
Llirz^, vLlrzr a miwss rstrousko-ulisrsies riss.
Die neuen österreichischen Maße und Gewichte sind die
metrischen, nur mit dem Unterschiede, daß jene Maßglieder
des französischen Systems, welche für das praktische Leben und
für die Wissenschaft entbehrlich erscheinen, in die österreichische
Maß- und Gewichtsordnung nicht ausgenommen wurden.
Längenmaße. Mr^ äololc.
a. Bisherige Längenmaße.
Die Einheit ist der Fuß (stopa) oder Schuh (stbovlo).
Der Werkfuß 0 (stkovi'e stavitelskF), dessen man sich
im gewöhnlichen Leben bedient, wird in 12 Zoll (") und der Zoll
(ooul, paloe) in 12 Linien (öärüa) ('") eingetheilt; 6 Werkfuß
nennt man eine Klafter (sLü) (°). Beim Feldmessen wird der
Fuß in 10 Zoll, und der Zoll in 10 Linien eingetheilt. 10 Fuß nennt
E
man eine Ruthe (prut). Jenes Maß heißt das Duodecimal-
(mlra, ävanäetinnü), dieses das D e c i m a l m aß (mira ässstinna).
4000 Wiener Klafter machen eine österreichische Post-
meile (rakouslrä milö poZtovska); 1 österr. Meile — 1'022302
geographische oder deutsche Meilen; 1 geogr. Meile — 0'978184
österr. Meilen.
Als Schnittwaarenmaß dient die Elle, welche in Halbe,
Viertel, Achtel, oder in Drittel eingetheilt wird. Die Wiener
Elle ist — 2'46 Wiener Fuß.
b. Neue Längenmaße.
Die Einheit des Längenmaßes ist das Meter (motr)-
Untertheilungen: das Decimeter (äeoimetr) — Fg Meter, das
Centimeter (oontimetr) — Meter und das Millimeter
(inilliwetr) — Meter. Vielfache: das Kilometer (llilo-
metr) — 1000 Meter und das Myriameter (in^riainotr)
- 10000 Meter.
o. Verhältnis zwischen den bisherigen und den
neuen Längenmaßen.
1 Meter - 3-16375 Fuß 1 Fuß - 0 31608 Meter
1 Meter 1'28608 Ellen 1 Elle - 0'77756 Meter
1 Kilomet. — 0'13182 öst. Meil. 1 ö. Meile — 7'58594 Kilom.
1 Kilomet. — 0'13476geogr. „ 1 g.Meile — 7'42044 Kilom.
Flächenmaße. Nir)' plocll.
a. Bisherige Flächenmaße.
1 Quadratklafter hat 36 Quadratfuß (lü'),
1 Quadratfuß 144 Quadratzoll (ssü"), und 1 Quadrat¬
zoll 144 Quadratlinien (Hß"); 1 Quadratmeile ent¬
hält 16000000 Hf«; 1 österr. O Meile - 1'045102 geogr.
O Meilen; 1 geogr. O Meile — 0'956844 österr. O Meilen.
Das Joch ((fitro) zu 3 Metzen Aussaat hat 1600 0°.
d Neue Flächenmaße.
Die allgemeinen Flächenmaße sind die Quadrate der
250
Längenmaße. 1 100 L lOOOOM LH°-; 1 dd hat
100 lH L 100 Hk" ü, 100
Die Einheit des Bodenslächenmaßes ist das Ar (ar) —
100 LH". Vielfaches: das Hektar (Iwktar) — 100 Ar.
Illi Fuß - 009991 HI"
1 ö. cm Meil. - 0 57546 dsU"
1 Joch - 0 57546 Hektar
c. Verhältnis zwischen den bisherigen und den
neuen Flächenmaßen.
1lü" - 10 00931 d> Fuß
- 1-73773 ö.m Meil.
1 Hektar - 1'73773 Joch
Körpermaße. Mr^ töles.
a. Bisherige Körpermaße.
Zur Bestimmung des Inhaltes eines Körpers dient das
Kubikmaß (wlra kr^cklona).
1 Kubikklafter - 216 Kubikfuß, 1 Kub." - 1728
Kubikzoll, 1 Kub." — 1728 Kubiklinien.
Zum Körpermaße gehört auch das sogenannte Hohlmaß,
womit das Getreide und die Flüssigkeiten gemessen werden.
Beim Getreide maße (wlra na obili) hat man folgende
Eintheilung:
1 Mut (mot) hat 30 Metzen, 1 Metzen (mörioo) 2 Halbe,
4 Viertel oder 8 Achtel; 1 Achtel — 2 Müllermaßel (volka, mlrka)
oder 8 Futtermaßel (mala, wlrka) zu 2 Becher (repico) ; 1 Metzen
hat 1'9471 Kubikfuß.
Das Flüssigkeitsmaß (mlra tokutin) hat nachstehende
Verwandlungszahlen:
1 Fuder Wein (naklaä vlna) — 32 Eimer; 1 Fass
Wein hat 10, und 1 Fass Bier 2 Eimer; 1 Eimer — 40 Maß
zu 4 Seidel; 1 Eimer hat 1'792 Kubikfuß.
b. Neue Körpermaße.
Die allgemeinen Körpermaße sind die Würfel der Längen¬
maße. 1 Cub.n" - 1000 Cub.^-° L 1000000000 Cnb." ;
1 Cub." - 1000 Cub?" ä 1000 Cub.°" ä 1000 Cub."".
Die Einheit des Hohlmaßes ist das Liter (litr) — 1
251
Cub.^. Untertheilungen: Das Deciliter (äeoiiitr) —
Liter und das Centiliter (centiiitr) — Liter. Viel¬
faches: Das Hektoliter (koktoktr) — 100 Liter.
Das Brennholz wird nicht nach dem Ster, wie in dem franzö¬
sischen Systeme, sondern nach dem Quadratmeter in der Richtung der Schnitt¬
flächen des geschichteten Holzes, unabhängig von der Scheitlänge, gemessen.
Die Theilung erfolgt durch fortgesetzte Halbierung bis zu t Quadratmeter.
e. Verhältnis zwischen den bisherigen und den
neuen Körpermaßen.
1Cub.-° - 31-66695 Cub. Fuß.
1 Hektolit. - 1-62637 Metzen
I Hektolit. - 1-76713 Eimer
I Liter - 0 70685 Maß
1 Cub. Fuß -003158 Cub.
1 Metzen n 0-61487 Hektol.
1 Eimer - 0 56589 Hektol.
1 Maß - 1-41472 Liter.
Gewichte. Vük/.
n. Bisherige Gewichte.
Das Handels gewicht (vuka odekoäni). Ein Centner
hat IM Wiener Pfund (K), 1 Pfund 32 Loth, l Loth
4 Quentchen.
Das Markgewicht (vrika krivonnä), dessen man sich
beim Abwägen des Silbers und der daraus verfertigten Sachen
bedient. Die Einheit desselben ist die Wiener Mark (krivim);
sie hat 16 Loth, 1 Loth 4 Quentchen, 1 Quentchen 4 Pfennige
oder Denar, 1 Pfennig 2 Heller, 1 Heller 128 Richtpfennige,
so dass auf eine Mark 65536 Richtpfennige kommen. Ein Loth
des Markgewichtes ist etwas schwerer als 1 Loth Handelsgewicht.
Beim Münzwesen bediente mau sich früher in Deutschland
meistens der kölnischen Mark (krivimKolinska), welche etwas
leichter ist als die Wiener Mark; es gehen nämlich 6 köln. Mark
auf 5 Wiener Mark. Gegenwärtig wird bei der Ausmüuzung
das Zollpfund, welches nahe 281 Loth des Wiener Handels¬
gewichtes beträgt, zu Grunde gelegt. Dieses Pfund wird als
Münzgewicht in 1000 Tausendtheile und jeder solche Theil
wieder in 10 gleiche Theile, welche Ass (as) heißen, eiugethcilt.
Das Zollpfund » 30 Zollloth wird auch bei Postsendungen angewendet.
252
Das Ducatengewicht (vaka äukatova) zum Abwägen
des Goldes und der daraus verfertigten Sachen. Der Ducaten (PsJ
als Gewicht wird in 60 Ducatengran eingetheilt; 80z wiegen
1 Wiener Mark.
Das Juwelengewicht (vaka klouotnieka). 1 Karat —
4 Juwelengran — 48' W. Richtpfennige.
Das Apothekergewicht (vaba lokarnieka). 1 Pfund —
12 Unzen, 1 Unze — 8 Drachmen, 1 Drachme — 3 Skrupel,
1 Skrupel — 20 Apothekergran. Ein Apothekerpfund enthält 24,
daher eine Unze 2 Loth des Handelsgewichtes.
Das symbolischeGewicht (väka 8xmdolioka) zur Prü¬
fung des Goldes und des Silbers. Die Einheit ist die verjüngte
Mark (krivna Monsona), welche einen Pfennig des Mark-und
Silbergewichtes enthält. Für Gold wird die Mark in 24 Karat
(Karat) zu 12 Grän eingetheilt, und es heißt z. B. 23karatig
solches Gold, welches 23 Theile feines Gold und 1 Theil Zusatz
enthält. Beim Silber theilt man die Mark in 16 Loth zu
18 Grän (rrno), und nennt z. B. 13löthig solches Silber, in
welchem'13 Theile feines Silber, und 3 Theile Zusatz vorkommen.
Der Feingehalt der Gold- und Silbermünzen der neuen
Währung wird in Tausendtheilen ausgedrückt. So z. B.
enthält der neue österr. Gulden 900 Tausendtheile feines Silber
und 100 Tausendtheile Kupfer; sein Feingehalt ist also
oder .
d. Neue Gewichte.
Die Einheit des Gewichtes bildet das Kilogramm (kilo¬
gram), gleich dem Gewichte eines Cubikdecimeters (Liters) de¬
stillierten Wassers im luftleeren Raume bei der Temperatur von
4 Grad des lOOtheiligen Thermometers. Untertheilungen: Das
D ek ag ramm (äokagram)*) — Xg,das Gramm sgram) —
*) Insofern in einigen Aufgaben statt Dekagramm der in den ursprünglichen
Entwurf der neuen Maß- rind Gewichtsordnung aufgenommene, schließlich
aber beseitigte Ausdruck „Neuloth" angewendet erscheint, ist darunter
das Dekagramm zu verstehen.
253
-j-ö'äo das Decigramni (ckseiZrnm) — Gramni,
das Centigramm (centiZram) — Gramm und das
Milligramm (miliHram) — Gramm. Vielfache:
der metrische Centn er (metri ek)' oent) — 100 LZ und
die Tonne (tünö) — 1000 LZ.
2. Verhältnis zwischen den bisherigen und den
neuen Gewichten.
IKilogr. - 1-78552 W. Pfd. IW.Pfund -0'56006 Kilogr.
1 Dekagr. - 0'57137 W. Lth. -1W. Loth - 1'75019 Dekagr.
IKilogr. - 3'56293 W. Mark ! IW.Mark -0'28067 Kilogr.
1 Gramm — 0'28646 Ducaten 1 Dnc. Gold-
Goldgewicht gewicht — 3'49090 Gramm
1 Gramm — 4'85510 W. Karat IW.Karat — 0'20597Gramm
1 Dekagr.-0'6 Postloth IPostloth -1'66667 Dekagr.
IKilogr. - 2'38070 Apoth.Pfd. i l Apoth.Pf. -0-42005 Kilogr.
Geld und Münzen, konire u minoe.
In Oesterreich rechnete man früher nach Gulden (^lnt^),
Kreuzern (krescurzZ und Pfennigen (vläeüskzi) Conven¬
tions-Münze (konveneni wince), wornach aus einer köl¬
nischen Mark feinen Silbers 20 Gulden ausgeprägt wurden.
1 Gulden (fl.) hatte 60 Kreuzer, 1 Kreuzer 4 Pfennige.
Seit 1. November 1858 ist die österreichische Wäh¬
rung (rakouslee öislo), in welcher aus einem Zollpfund feinen
Silbers 45 Gulden geprägt werden, das alleinige gesetzliche Geld
der ganzen Monarchie. Ein neuer Gulden wird in 100 Nen-
kreuzer (kr.) eingetheilt.
100 fl. C. M. - 105 fl. ö. W.
Die gegenwärtig geprägten Münzen sind theils Landes-,
Heils Scheide, theils Handelsmünzen (minee obolloäm).
Landesmünzen (mince ^emsktz) werden in Silber
ausgeprägt und sind: Zweiguldenstücke zu 22^, Einguldenstücke
zu 45 , und Viertelguldenstücke zu 180 aus einem Zollpfund
feinen Silbers.
254
Scheidemünzen (mineš drobne) dienen nur zur Aus¬
gleichung von Beträgen, die kleiner sind als 25 kr. Sie werden
theils in Silber, theils in Kupfer ausgeprägt; jedoch haben die
Silberscheidemünzen einen geringeren Feingehalt, als sie verhält¬
nismäßig zu den Landesmünzen haben sollten.
In Silber werden Stücke zu 20, 10 uud 5 kr., in Kupfer
Stücke zu 4, 1 und f kr. ausgeprägt.
Handelsmünzen endlich haben die Eigenschaft eines
allgemeinen Zahlungsmittels; ihr Wert gegen die Landeswährung
bleibt deshalb auch nicht unveränderlich, sondern richtet sich nach den
Bedürfnissen des Handels. Als Handelsmünzen werden ausgeprägt:
1) Kronen und halbe Kronen; von den ersteren entfallen
50, von den letzteren 100 auf ein halbes Kilogramm feinen Goldes.
Eine Krone gilt ungefähr 13 fl. 80 kr. und wird weiter in 10
Kronzehntcl getheilt.
2) Achtguldenstücke und Merguldenstücke; von den ersteren
gehen 77^ Stücke, von den letzteren 155 Stücke auf ein halbes
Kilogramm Gold, das fein ist.
3) Die kais. Ducaten, 67 Stück auf eine köln. Mark Gold,
welches 23ß Karat fein ist.
4) In S ilber die sogenannten Levantiner-Thaler mit dem
Bildnis der Kaiserin Maria Theresia und der Jahreszahl 1780,
10 Stück aus einer köln. Mark feinen Silbers.
Außerdem hat man in Oesterreich als Papiergeld (panlrm
papirovs) die Banknoten u 10, 100, 1000 Gulden, und Staats¬
noten ü 1, 5 uud 50 Gulden.
In den meisten österreichischen Provinzen rechnete man
früher auch noch in Scheinen oder Wiener Währung (vldeüsko
öislo). 100 fl. W. W. - 40 fl. C. M. - 42 fl. ö. W. Dieses
Geld ist jedoch seit 1. Juli 1858 außer Umlaus gesetzt.
L 5
V. Die wichtigsten ausländischen Maste, Gewichte und Münzen.
HeMüleLitöM Lirwrwuaslls uairze, vsd^ a psui^s.
1. Längenmaße. LIirx
Baiern. 1 Fnß hat 12 Zoll ä 12 Linien; 1 geom. Ruthe
- 10 Fnß. 1 baier. Fnß - 0 2919 Met. - 0 9233 W.
Fuß. 1 baier. Elle — 0 833 Met. - 10691 W. Ellen.
England. 1 Aard u 3 Fuß - 0'9144 Met. - 2'8929 W.
Fuß - 1 1736 W. Ellen.
Frankreich. Das Meter, wie oben unter III.
1 alte Toise hat 6 Pariser Fuß a 12 Zoll L 12 Linien.
1 Pariser Fuß - 0'32484 Met. - 1'02883 W. Fuß.
Hamburg 1 Elle - 0'5731 Met. - 07355 W. Ellen.
Italien. Der Metro, wie in Frankreich.
Preußen. 1 Stab (Meter) — 100 Neuzoll (Centimeter) L
10 Strich (Millimeter), 10 Stab — 1 Kette (Dekameter).
Rußland. 1 Saschen — 3 Arschin — 7 Faß. 1 russ. Fuß —
0'3048 Met. - 0 9643 W. Fuß. 1 Arschin - 0'7112
Met. - 0'9128 W. Ellen.
Sachsen, wie Preußen.
Schweiz. 1 Klafter hat 6 Fuß u 10 Zoll ä 10 Linien; 1 Ruthe
- 10 Fuß. 1 schweiz. Fuß — 03 Met. - 0 9491 W.
Fuß. 1 schweiz. Elle - 0 6 Met. — 0 7701 W. Ellen.
2. Getreidemaße, ülirx obilni.
Aegypten. 1 Ardeb von Cairo — 2'71 Hektol. — 4'4074
W. Metzen.
Baiern. 1 Scheffel u 6 Metzen - 2'2236 Hektol. - 3'6164
W. Metzen.
England. 1 Quarter hat 8 Bushels a 8 Gallons. 1 Quarter
- 2'9078 Hektol. - 4'7291 W. Metzen.
Frankreich. Das Hektoliter, wie oben unter III.
Italien, wie Frankreich.
Preußen. 1 Cubikstab hat 1000, 1 Scheffel 50 Kannen (Liter).
256
Rußland. 1 Tschetwert hat 8 Tschetwerik ü 4 Tschetwerka.
1 Tschetwert 2 099 Hektol. — 3 4137 W. Metzen.
Sachsen, wie Preußen.
Schweiz. 1 Malter hat 10 Viertel a 10 Jmmi oder L 16
Mäßlein. 1 Malter 1'5 Hektol. - 2 4395 W. Metzen.
3. Flüssigkeitsmaße. Mrx tekutinue.
Baiern. 1 Schenkeimer hat 60, ein Visiereimer 64 Maß. 1 baier.
Maß 1-069 Lit. 0'7556 W. Maß.
England. Die Tonne für Wein hat 252, für Ale 192 Gallons.
1 Gallon „ 4-5435 Lit. 3'2116 W. Maß.
Frankreich. Das Liter, wie unter HI.
Italien, wie Frankreich.
Preußen. 1 Fass (Hektoliter) hat 100 Kannen (Liter) ü 2
Schoppen.
Rußland. 1 Fass hat 40 Wedro a 10 Kruschke. 1 Kruschka
1-2299 Lit. 0-8694 W. Maß.
Sachsen, wie Preußen.
Schweiz. 1 Ohm hat 100 Maß. 1 schweiz. Maß 1'5 Lit.
1-0603 W. Maß.
4. Gewichte.
Baiern. 1 Centner hat 100 Pfund L 32 Loth. 1 baier. Pfund
056 Kilogr. 0'999979 W. Pfund.
England. Das Handels- oder ^.voir-clu-poills-Gewicht (aäp.):
die Tonne hat 20 Centner zu 4 Quarters oder 8 Stein
oder 112 Pfund ü 16 Unzen ü 16 Drachmen. 1 Pfd. allp.
04536 Kilogr. 0'81 W. Pfund. — Das Trop-Pfund
von 12 Unzen a 20 Pennyweights ü 24 Grains — 0'3733
Kilogr. 0-6665 W. Pfund.
Frankreich. Das Kilogramm, wie oben unter III.
Hamburg. 1 Centner hat 100 Pfund (Zollpfund) a 10 Neu-
loth ü 10 Quint L 10 Halbgrammen. 1 Zollpfund — 0 5
Kilogr. 0-8928 W. Pfund.
Italien, wie Frankreich.
257
Preußen. 1 Centner hat IM Pfund (Zollpfund) g. 50 Nein
loth 4 10 Gramm n 10 Centigramm u 10 Milligramm.
2 Pfund sind 1 Kilogramm, 1000 Kilogr. — 20 Centner
— 1 Tonne.
Rußland. 1 Pud hat 40 Pfund n 96 Solotnik a 96 Doli.
1 russ. Pfund - 0 4095 Kilogr. - 0 7313 W. Pfund.
Sachsen, wie Preußen.
Schweiz. 1 Centner hat IM Pfund (Zollpfund) a 32 Loth
n 4 Quentchen.
Zollverein. 1 Zollcentner — 100 Zollpfund L 30 Loth. 1 Zoll¬
pfund — 05 Kilogramm - 0'8928 W. Pfund.
5. Rechnungsmünzen. Ninos poöltaol.
Baden rechnet nach Gulden süddeutscher Währung, von
denen 52^ aus einem Zollpfund feinen Silbers geprägt
werden. 1 fl. südd. W. — fl. ö. W. 1 Gulden hat
60 Kreuzer L 4 Pfennige.
Bai ern, wie Baden.
Belgien, wie Frankreich.
Dänemark rechnet nach Reichsthalern ä. 6 Mark u 16 Schil¬
linge. 1 Reichsthl. - 1-1377 fl. ö. W.
England rechnet nach Pfund oder Livres Sterling « 20 Schil¬
ling a 12 Pences oder Deniers. 1 Pfund Sterling —
101051 fl. ö. W.
Frankfurt a. M., wie Baden.
Frankreich rechnet nach Francs ä IM Centimes. 1 Franc —
0-405 fl. ö. W.
Griechenland rechnet nach Drachmen n 100Lepta. 1 Drachme
- 0 3626 fl. ö. W.
Hamburg rechnet nach Mark ä 16 Schillinge g. 12 Pfennige.
1 Mark Banco — 0 7584 fl. ö. W.; 1 Mark Courant —
0-6 fl. ö. W.
Holland rechnet nach Gulden L IM Cents, l fl. holl. —
0-8505 fl. ö. W.
1 7
Močnik, Arithmetik m. böhm. Tenn. 14- Aufl. '
258
Italien rechnet nach Lire nuove ä 100 Centesimi. 1 Lira
nuova — 1 Franc — 0'405 fl. ö. W.
Nordamerikanische Freistaaten rechnen nach Dollars ä
lOO Cents. 1 Dollar - 2'0155 fl. ö. W.
Portugal rechnet nach Millereis a 1000 Reis. 1 Mittereis —
2 2435 fl. ö. W.
Preußen rechnet nach Thalern der norddeutschen Thalerwährung
n 30 Silbergroschen ä 12 Pfennige. 1 Thlr. — 1s fl. ö. W.
Rußland rechnet nach Rubeln a 100 Kopeken. 1 Silberrubel
- 1'6192 fl. ö. W.
Sachsen rechnet nach Thalern Thalerwährung ä 30 Nengroschen
a 10 Pfennige. 1 Thl. — 1^ fl. ö. W.
Schweden rechnet nach Reichsthalern Reichsmnnze ä 100 Oere.
I Reichsthaler - 0'5739 fl. ö. W.
Schweiz rechnet nach Franken u 100 Rappen. 1 Frank —
0 405 fl. ö. W.
Spanien rechnet nach Duros (Piaster) ä 20 Reales. 1 Duro
- 2-1298 fl. ö. W.
Türkei rechnet nach Piastern ä 40 Para. 1 Piaster —
0-0899 fl. ö. W.
Würtemberg, wie Baden.
M0M IX MMMkM
5/9 095