i
i
“869-Arslanagic-Obrat” — 2010/5/31 — 13:48 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 15 (1987/1988)
Številka 1
Strani 11–13
Šefket Arslanagíc, Dragoljub M. Milošević, prevod
in priredba Tomaž Košir:
OBRAT PTOLOMEJEVEGA IZREKA
Ključne besede: matematika, algebra.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/15/869-Arslanagic.pdf
c© 1987 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
OBRAT PTOLEMEJEVEGA* IZREKA
V geometriji je znan Ptolemejev izrek:
V vsakem tetivnem četverokotniku ABCD je produkt dolžin obeh diagonal
enak vsoti produktov dolžin nasproti ležečih stranic
AC. BD =AB. CD + BC . DA
V matematični literaturi najdemo več dokazov tega izreka. V tem članku pa
bomo podali dva dokaza obrata Ptolemejevega izreka:
Če v konveksnem četverokotniku ABCD velja
AC. BD = AB. CD + BC. DA
je ta četverokotnik tetivni.
"
Dokaz 1. Podan je konveksni četverokotnikABCD. Označimo stranice AB =a,
BC = b, CD = e in DA = d , diagonali AC = e, BD = f ter kote 4DAB = a,
4 BCD = r in 4 (AC, BD) = I/J (slika 1). Ploščina četverokotnika ABCD je ena-
ka vsoti ploščin trikotnikov ABD in BCD: P = 1/2 ad sina + 1/2 be sirry, ali
4p =2ad sina + 2be sinr (1)
Ker je diagonala f skupna stranica trikotnikoma ABD in BCD, z uporabo kosi-
nusovega izreka dobimo b2 + e2 - 2be cosv = a2 +d2 - 2ad cosa ali
b2 + e2 - a2 - d2 = 2be cosr - 2ad cosa (2)
Iz enakosti (1) in (2) sledi:
(4P)2+(b2_e2_a2_d2)2 = (2ad sina - 2be sinr)2+(2be cosr - 2ad cosul?
Od tod z nekaj računanja pridemo do enakosti:
16p2 = 4(ad +bc)2_(b2+c2_a 2_d2)2 - 16abcd cos? a;"Y (3)
-... ......
Skalarni produkt vektorjev AC in BD nam bo pomagal najti še drugo enačbo za
kvadrat ploščine P:
--lI>~ --:.. -.:lo __ ~--30 -1l.-"'"
AC.BD =AC.(AD - AB) =AC.AD - AC.AB
(4)
upoštevajmo pomen skalarnega produkta in uporabimo kosinusov izrek za tri-
kotnika ACD in ABC:
ef.cosl/J = 1/2 (e2 +d2 - e2) -1/2(e2 +a2 _b2)
2ef cosl/J = b2 + d2 - a2 - e2
ali
* Klavdij Ptolemej (2. stol .). grški matematik, astronom in geograf
11
(6)
(7)
Ker je ploščina četverokotnika ABGD enaka P = 1/2 ef.sin l/J, lahko zapišemo:
16p2 = 4 e2 f sin2 l/J = 4 e2 f (1 - cos2 l/J ) (5)
Iz (4) in (5) sledi:
16p2 = 4e2 f2 _ (b2 + d 2 _ a2 _ c2 ) 2
Če izenačimo (3) in (6) , dobimo
4abcd cos?~~-= (ac +bd) 2 - e2 f
2
Upoštevajmo v (7) pogoj izreka ef = ac +bd
4abcd cos? _~J: = O
2
Torej mora biti a + 1 = 180 0 .
Ker je četverokotnik , v katerem je vsota nasprotn ih kotov 180 0 ,. tetivni četve­
rokotnik, je izrek dokazan.
A a
Sl ika
c
A
Slika 2
a B
Dokaz 2. lzberirno točko E, da bo veljalo: ;(;,.EA D = 1 in ;(;,.EDB = ;(;,.GDB
(slika 2). Označimo Še ;(;,. EDB = ;(;,. GOA = lj. Ker sta si trikotnika AED in DBG
podobna , velja
~E=E..~=5.E. ali ED=l}...f in EA=l}...hco BC OB c ' c
Uporab imo kosinusov izrek za trikotnike AEB, EDB in AGO:
EB2 = 2:- .b2 + a2 - ~~!!.cf- cos(a + 1)
c 2 c
12
(8)
(9)
(10)