Filozofski vestnik Letnik/Volume XXI • Številka/Number 1 • 2000 • 81-89 ANTE REM STRUKTURALIZEM MAJDA TROBOK Uvod Kot poudarja Benacerraf, se platonizem v filozofiji matematike sooča z dvema glavnima problemoma, epistemološkim in ontološkim. Glavni epistemološki problem lahko na kratko formuliramo na sledeči način: če vzročna teorija vedenja drži in so matematični predmeti abstraktni ter zato vzročno brez učin- ka, potem ni možno nobeno matematično vedenje; ker pa nekakšno matema- tično vedenje imamo, je platonizem nevzdržen. Ontološki problem leži v očit- ni nedoločenosti: ker je katerokoli polje matematike možno zvesti na teorijo množic, lahko nanjo zvedemo tudi števila; vendar pa so možne različne re- dukcije aritmetike na teorijo množic, težava pa je v tem, kako določiti, katera j e prava. Ta članek se ukvarja s tem, ali j e sodobna doktrina, znana kot »struktura- lizem« — oziroma, bolj natančno, različica te doktrine, kije poznana kot »ante rem strukturalizem« - , različica platonizma, ki razreši ta dva problema. Osre- dotočila se bom izključno na ante rem strukturalizem, ki ga je uvedel Shapiro. Z izrazom »ante rem strukturalizem« bom označevala prav to različico. Strukturalizem Temeljna teza strukturalizma je, da matematika govori o strukturah. Po mnenju strukturalistov velja: Matematična knjiga ne opisuje sistema množic ali platonističnih pred- metov ali ljudi. Opisuje strukturo oziroma razred struktur. (Shapiro, 1997: 131-2) Da bi lahko ocenili to tezo, moramo razumeti razlikovanje med struktu- M A J D A T R O B O K rami in sistemi: sistem je zbirka predmetov z določenimi relacijami, medtem ko je struktura abstraktna forma sistema. ... strukturaje vzorec, forma sistema.... Potemtakemje struktura v takšnem odnosu do strukturiranega, v kakršnem je vzorec do vzorčenega, obče do posameznega, ki ga vsebuje, vrsta do primerka. (Shapiro, 1997: 84) An te r e m strukturalizem Za ante rem strukturalizem je značilna teza, da so strukture pristni pred- meti in da obstajajo, čeprav ne bi obstajal noben sistem predmetov, ki bi j ih uprimerjal. Vsaka struktura namreč uprimeija samo sebe, ker njena mesta, ki so bona fide predmeti, tvorijo neki sistem, ki uprimerja to strukturo. Matema- tika se ukvarja z abstraktnimi strukturami, kjer j e struktura abstraktna forma sistema, v »kateri niso upoštevane vse tiste značilnosti [predmetov], ki ne vpli- vajo na to, kako so [predmeti] povezani z drugimi predmeti v sistemu«. Struk- ture niso nujno matematične: o strukturi naravnih števil lahko govorimo na isti način, kot govorimo o šahovski konfiguraciji. Ontologija Pojavita se dve vprašanji, ki zadevata ontologijo strukturalizma: eno vpra- šanje se tiče ontologije matematičnih predmetov, drugo pa ontologije struk- tur samih. Antermstrukturalizemje ontološki realizem o matematičnih predmetih: Za strukturaliste nealgebraično področje, kotje aritmetika, govori o pred- metih - številih ki obstajajo neodvisno od matematikov, aritmetične izjave imajo za njih neprazne, bivalentne, objektivne resničnostne vred- nosti glede na to domeno. (Shapiro, 1997: 72) Ante rem strukturalizma pa vseeno ne moremo enačiti s tradicionalnim platonizmom. Po platonizmu lahko določimo bistvo vsakega števila brez na- našanja na ostala števila. Za platonista (nestrukturalista) j e problem v dejstvu, da - čeprav matematična teorija govori o določenih bitnostih - ne moremo dokončno določiti, kakšne vrste predmeti so. Strukturalisti zato zavračajo pla- tonistično stališče, ker: Bistvo naravnega števila so njegove relacije do drugih števil. ... Bistvo na- ravnega števila ne pripada več individualnim številom 'samim po sebi', ampak njihovim medsebojnim relacijam. (Shapiro, 1997: 72-3) 8 2 ANTE REM STRUKTURALIZEM Kaj pa je z ontološkim statusom struktur ? Ante r e m strukturalizem privzame realistični pristop, ki pravi, da strukture obstajajo same po sebi kot legitimni predmeti. Z ozirom na to stališče dana struktura obstaja neodvisno od kakršnegakoli sistema, ki jo uprimerja. (Shapiro, 1996: 149) Po Shapirovem mnenju so strukture pristni predmeti. Vsaka strukturaje univerzalija in vsak sistem, ki j o uprimerja, je primerek; lastnosti struktur so neodvisne od nas. »Matematične trditve beremo po nominalni vrednosti in števniki so singularni termini.« Vendar se ima Shapiro, kar se tiče struktur, za »metodološkega platonista«, ne za klasičnega. To pomeni, da kvantificira preko struktur, toda neformalno v istem smislu, kot so vsi klasični matematiki plato- nisti. Torej ne misli, d a j e ontološko zavezan strukturi v »strogem« platonistič- nem pomenu besede. V svojem spisu »Mathemathics and reality« pravi: »No- čem podati nobene drzne ontološke trditve, ki bi (tako in tako) zadevala struk- ture same.« Zdi se, da obstajata dve težavi, ki sta povezani s tem stališčem: 1 Po Shapirovem mnenju so številke - tako kot kakršnikoli drugi predmeti - bona fide predmeti, »matematični predmeti - mesta v strukturah - so ab- straktni in vzročno brez učinka«. Po drugi strani pa odobrava stališče, da se termin »predmet« nanaša na teorijo, za katero gre: Naš sklep je, da moramo, vsaj v matematiki, misliti o 'predmetu' kot eliptičnem 'predmetu teorije'... Idejo enega univerzuma, ki je a priori razdeljen na predmete, tukaj zavračamo. (Shapiro, 1997: 127) Če so potemtakem števila bona fide predmeti, so vsekakor predmeti a prio- ri in ne morejo biti vezani na teorijo. 2 Shapiro se ima za »metodološkega platonista«, ki nima glede struktur nobenih ontoloških obvez. Vseeno pa v svoji knjigi Philosophy ofMatematics - Structure and Ontology govori o objektivni eksistenci strukture naravnih šte- vil: Struktura naravnih števil ima objektivno eksistenco in dejstva o njej niso naš proizvod. (Shapiro, 1997: 137) To pomeni, da struktura naravnih števil obstaja neodvisno od nas in zato tudi neodvisno od naših jezikovnih sredstev. Po drugi strani pa se zdi, da to stališče postavlja pod vprašanj idejo, da »jezik opredeljuje ali določa struktu- ro (ali razred struktur), če opredeljuje sploh kaj«. Gre za to, d a j e način, kako ljudje dojemamo strukture, in način, kako 8 3 M A J D A T R O B O K matematični univerzum 'razdelimo' na strukture, sisteme in predmete, odvisen od naših jezikovnih sredstev. (Shapiro, 1997: 137) To stališče predlaga, d a j e razlika med strukturami in sistemi odvisna od našegajezika in je zato težko videti, na kakšen način »ni naš proizvod«. Ante r em strukturalizem in problem nedoločenosti Kotje bilo rečeno v prejšnjem delu, so matematični predmeti samo me- sta znotraj struktur; na primer, realna analiza govori o strukturi realnih števil in vse, kar lahko rečemo o realnih številih, sestoji v njihovih strukturalnih lastnostih. Ni mogoče, da bi postulirali samo eno realno število, saj bi to po- menilo, da postuliramo eno mesto znotraj strukture, kar pa ni mogoče brez nanašanja na strukturo kot celoto. Matematične bitnosti nimajo nobenih no- tranjih lastnosti in so samo položaji v strukturah. Iz tega sledi, da prav tako nimajo nobene identitete zunsy strukture. Shapiro se popolnoma strinja z Resnikom, ko ta pravi, da so različni rezultati matematike, za katere se zdi, da kažejo, da imajo matematični predmeti, kot so števila, notranje strukture, na primer nji- hova identifikacija z množicami, v bistvu znotrajstrukturalna ra/.mcrja. (Resnik. 1981: 530) V skladu s Shapirom celo ontološkemu realistu ni treba odgovoriti na vprašanja, kot je problem Cezar, to je, ni odgovora na naslednje: ... nima smisla prizadevati si za identiteto med mestom v strukturi narav- nih števil in kakšnim drugim predmetom ... Identiteta med naravnimi števili je določena; identiteta med števili in drugimi vrstami predmetov pa ni, in prav tako ni določena identiteta med števili in položaji drugih struktur. (Shapiro, 1997: 79) Če hočemo dobiti dokončne odgovore, moramo postaviti vprašanja, ki so notranja strukturi naravnih števil, ker so matematični predmeti vezani na strukturo, katere mesta zasedajo. Torej, čeprav drugače kot Benacerraf, ante rem strukturalisti odobravajo stališče, po katerem števila so predmeti, namreč predmeti aritmetike. Zato lahko sprašujemo o številih, če so takšna vprašanja notranja strukturi naravnih števil, toje , če sprašujemo o relacijah, kij ih lahko definiramo vjeziku aritmetike. Tukaj se Shapiro še enkrat strinja z Resnikom, da sprejemanje struktura- lizma, to je presojanje matematičnih predmetov kot položajev v vzorcih, vodi do 8 4 ANTE REM STRUKTURALIZEM prevrednotenja matematičnih predmetov, ki se upira ugovoru platoniz- mu, ki temelji na naši nezmožnosti, da bi popolnoma utrdili njihovo identiteto. (Resnik, 1981: 530) Zdi se, da sta v Shapirovi teoriji dve težavi: 1 Po ante rem strukturalizmu so lahko mesta v strukturi naravnih števil zasede- na z mesti v drugih strukturah. Argumentu na ljubo predpostavimo, da pred- meti b i , b2,..., bn - mesta v strukturi SI (teh predmetovje lahko neskonč- no mnogo) - bodisi uprimerjajo strukturo S2 bodisi zasedajo mesta v takšni strukturi. Tako imajo elementi bi , . . . , bn bodisi določene lastnosti p l , ...pk, zaradi katerih uprimerjajo strukturo S2, ali pa imajo lastnosti, ki so notra- nje strukturi S2 in se ne skladajo z lastnostmi q l , q2 ql, ki so notranje glede na strukturo SI. V tem primeru so lastnosti pl , . . . , pk zunanje - to je nestrukturalne - glede na strukturo SI, lastnosti ql , . . . , ql pa zunanje glede na strukturo S2. Potemtakem nijasno, na kakšen način predmeti b i , b2,..., bn nimajo nestrukturalnih lastnosti v zvezi z obema strukturama SI in S2. 2 Prav tako je težko reči, na kakšen način lahko strukturalno obravnavamo nekatere lastnosti realnih števil, kot recimo to, da so transcendentalna; ta lastnost se nanaša na pojem polinominalnega, za katerega se zdi, da je struk- turi zunanji. Za Shapirovo teorijo pa se konec koncev tudi dozdeva, da navsezadnje dopušča vprašanja, kot je problem Cezar, ker so mesta v strukturi naravnih števil tudi bonafidepredmeti sistema. Če vprašamo »Alije Cezar = 2?«, identi- ficiramo Cezarja z naravnim številom 2 - kije predmet sistema naravnih števil —, tako da bi to vprašanje navsezadnje moralo imeti dokončen odgovor. Ra- zen tega pa, če ta dva predmeta ne pripadata isti strukturi, potem vsekakor mora obstajati odgovor na problem Cezar. Shapiro misli, da zato, ker Cezar in število 2 ne pripadata isti strukturi, problema Cezar ne moremo rešiti; toda ali ni spraševanje »Ali Cezar in število 2 pripadata isti strukturi?« samo izogi- banje vprašanju? A n t e r e m strukturalizem in epistemološki problem Strukturalizem baje rešuje tudi epistemološki problem platonizma. Sha- piro s svojo idejo sledi Resniku, da v bistvu velja naslednje: Če si - kakor si, recimo, predstavljamo stole ali avtomobile - števila, recimo, predstavimo kot predmete, med katerimi nam je vsak od njih dan izoliran od ostalih, potem seje težko izogniti temu, da bi si predsta- 8 5 M A J D A T R O B O K vili vedenje o številu kot nekaj, kar je odvisno od neke vrste interakcije med nami in tem številom. Če pa po drugi strani motrimo matematiko kot znanost o strukturah, rešimo s tem tudi platonistove epistemološke probleme. O čem govori strukturalistova epistemologija? Po Shapiru obstajajo trije možni načini dojemanja struktur: abstrakcija ali vzorčno prepoznanje, jezi- kovna abstrakcija in implicitna definicija. En način dojemanja strukture j e možen z abstrakcijo (ali vzorčno pre- poznavo). Strukturo abstrahiramo iz enega ali več sistemov, ki imajo isto struk- turo in tako dojamemo skupne relacije med predmeti. Ta način j e analogen temu, kako dojamemo vrsto črke z opazovanjem različnih primerkov črk in zanemarimo to, kar je specifično za posamezen primerek, kot so njegova bar- va, višina in podobno. Z abstrakcijo dojamemo majhne kardinalne strukture (prvih nekaj končnih kardinalnih ali ordinalnih struktur), to pa deluje na podoben način kot pri znakih in nizih. Otrok se nauči prepoznati vzorec 4 tako, da mu pokažemo različne skupine, ki imajo 4 predmete. Naslednji prob- lem je, kako dojeti velike kardinalne strukture (in nato še neskončne sisteme in strukture). Velikih kardinalnih struktur ne moremo pojmiti s preprosto abstrakcijo. Toda otroci se z jezikovnim razvojem učijo razčleniti primerke nizov, kij ih niso nikoli videli, pa tudi nize, ki morda sploh nimajo primerkov: Na določeni točki - še vedno zgodaj v procesu njegove vzgoje - otrok razvije neko zmožnost razumevanja kardinalnih in ordinalnih struktur, čeprav ne more prepoznan vseh naenkrat via vzorčna prepoznava in čeprav dejansko ne šteje ali celo ne bi mogel šteti. (Shapiro, 1997: 117) Zato da bi dojeli strukturo naravnih števil, si moramo to zamisliti zapo- redje črtic, ki postaja vse daljše in daljše in tvori pojem neskončnega (v eno smer) zaporedja črtic: To je neki neskončen niz in zato zanj v tej knjigi ne morem podati pri- merka. Običajno je tako, da napišemo nekaj namesto nečesa takšnega: - . . . Gre za to, da študentje navsezadnje razumejo, kaj menimo s to elip- so. (Shapiro, 1997:119) Da bi dosegli strukturo, k i j e večja od števne, moramo motriti množice racionalnih števil (kot pri Dedekindovem rezu), na ta način pa motrimo struk- turo realnih števil; v tem primeru govorimo o jezikovni abstrakciji. Na tretji način dojamemo strukturo z nekim neposrednim opisom, to je z n jeno impli- citno definicijo; tako lahko, na primer, strukturo naravnih števil dojamemo z razumevanjem Peanovih aksiomov, ki so njihova implicitna definicija. Shapi- ro definira implicitno definicijo na sledeči način: 8 6 ANTE REM STRUKTURALIZEM V pričujočem kontekstu je implicitna definicija hkratna opredelitev šte- vilnih predmetov v terminih njihovih medsebojnih relacij. V sodobni filo- zofiji takšne definicije včasih imenujemo 'funkcionalne definicije'. (Sha- piro, 1997:130) Tako implicitna definicija kot dedukcija podpirata stališče, d a j e mate- matično vedenje a priori'. Potemtakem velja: Če senzorno izkustvo ni vključeno v to, da smo zmož- ni razumeti implicitne definicije, niti v upravičenje tega, da je implicit- na definicija uspešna, niti v naše dojemanje logične posledice, potemje vedenje o definirani(h) strukturi (ah), ki ga dosežemo z dedukcijo iz implicitne definicije, vedenje a priori. (Shapiro, 1997:132) Kateri so glavni problemi strukturalistove epistemologije? 1) Kako lahko dojamemo strukturo? Ker so po Shapiru strukture abstraktne, nimamo z njimi nikakršnega vzroč- nega stika. Majhne končne strukture dojamemo z abstrakcijo tna vzorčno pre- poznanje. Subjekt vidi ali sliši enega ali več strukturiranih sistemov in dojame struk- turo teh sistemov ... Ideja je, da nekatere strukture - prav tako kot vrste znakov preko njihovih primerkov - dojamemo preko njihovih sistemov.« (Shapiro,1997:ll) S t e m j e tako kot z otrokovim dojemanjem različnih vrst, na primer črk: z opazovanjem različnih primerkov črk, ki mu jih pokažejo starši, otrok repre- zentira isto vrsto. Toda ali niso vrste pred primerki? Mar nimamo - prej kot nasprotno — primerkov za to, da bi reprezentirali vrste? Otroci se o vrstah lahko učijo preko primerkov, ker so bili primerki vrstam že 'pripisani'; način učenja in način dojemanja nista nujno enaka. 2) Kaj pa neskončne strukture? Strukturo naravnih števil dojamemo z implicitno definicijo, toje z nekim neposrednim opisom. To pomeni, da domnevno lahko dojamemo strukturo naravnih števil via razumevanje Peanovih aksiomov, pa čeprav Shapiro ne pove, kaj pomeni razumeti Peanove aksiome. Ponovno se to zdi bolj način učenja strukture naravnih števil kot pa način, kako to strukturo dojamemo. Ali niso Peanovi aksiomi opis strukture naravnih števil, ki smo jo nekako že dojeli in ki bi j o radi opisali? Če so Peanovi aksiomi opis strukture naravnih števil, kako lahko opišemo sliko, preden jo dojamemo? Ali se tako ne izogne- mo vprašanju? Shapiro opisuje implicitno definicijo kot »občo in močno me- todo sodobne matematike«: Praviloma teoretik poda zbirko aksiomov in navede, da teorija obravna- 8 7 M A J D A T R O B O K va vsak sistem predmetov, ki ustreza aksiomom. Kot bi se izrazil sam: aksiomi, če sploh kaj opredeljujejo, opredeljujejo strukturo ali razred struktur. (Shapiro, 1997: 12-3) Na tem mestu spet ni jasno, kako teoretiki pridejo do (Peanovih) aksio- mov? So ti aksiomi rezultat teoretikove domišljije alijih teoretik na neki način dojame? Če so rezultat njegove domišljije, potem ni jasno, kako lahko vemo, da se neka struktura ujema z njimi; če j ih j e dojel, potem j e vprašanje »Kako?«. Ni j ih mogel dojeti z dojemanjem te strukture, saj so strukture abstraktne in vzročno brez učinka (strukturalizem naj bi razrešil problematično platoni- stično epistemologijo). Lahko bi j ih dojel z dojemanjem nekega sistema, ki uprimeija strukturo naravnih števil: en možen odgovor je, da z dojemanjem števnikov, kar pa Shapiro zanika; drugi možni odgovor je , da z dojemanjem prostorskočasovnega sistema, ki uprimerja strukturo naravnih števil. Kaj pa struktura realnih števil ali katera druga neskončna struktura? Shapiro ni na- klonjen obstoju dovolj velikega števila fizičnih predmetov v vesolju. Ko kritizi- ra eliminativni strukturalizem, zaključi: Ker najbrž ni dovolj fizičnih predmetov, kar bi obranilo nekatere teorije pred nepopolnostjo, mora eliminativni strukturalizem predpostaviti, da obstaja neko ogromno področje abstraktnih predmetov. Tako je elimi- nativni strukturalizem zelo podoben tradicionalnemu platonizmu. (Sha- piro, 1997: 11) Po Shapiruje eden od razlogov za to, d a j e anterem strukturalizem najbolj sprejemljiva različica strukturalizma, ta, da za to, da bi zapolnil mesta različ- nih struktur, ne potrebuje močnega ontološkega ozadja. Toda zdi se, da bi lahko bil Shapiro - prav tako kot eliminativna različica — konec koncev zave- zan eksistenci »velikega področja abstraktnih predmetov«. 3) Nobeden od načinov, kij ih za dojemanje strukture predlaga Shapiro, ne razloži, kakoje možno, če sploh je, dojeti neko strukturo, ki ne uprimerja nobenega sistema razen strukture same. Zdi se, da bi bilo dojemanje takšne strukture prav tako problematično ko t j e za platonizem - katerega epistemo- loške probleme baje razrešuje strukturalizem - dojemanje matematičnih struk- tur, ker so strukture abstraktne in vzročno brez učinka. Prevedla Tomaž Jereb in Sergej Pečovnik Majda Trobok Filozofska fakulteta, Univerza v Reki 8 8 ANTE REM STRUKTURALIZEM Reference Benacerraf P. & Putnam H. (1964), Philosophy of Mathematics - Selected Rea- dings (Cambridge University Press, Cambridge). Carnap R. (1974), Meaning and Necessity (The University of Chicago Press, Chicago). Mac Lane S. (1996), »Structure in mathematics«, Philosophia Matematica, (3) Vol. 4, str. 174-183. Parsons C. (1990), »The structuralist view of mathematical objects«, Synthese, Vol. 84, str. 303-364. Resnik, M. D. (1981), »Mathematics as a science of patterns: ontology and reference«, Nous, 15, str. 529-550. Resnik, M. D. (1981), »Mathematics as a science of patterns: epistemology«, Nous, 16, str. 95-105. Shapiro S. (1983), »Mathematics and Reality«, Philosophy of Science, 50, str. 523-548. Shapiro S. (1996), »Space, number and structure: a tale of two debates«, Phi- losophia Mathematica, (3) Vol. 4, str. 148-173. Shapiro S. (1997), Philosophy of Mathematics - Structure andOntology (Oxford University Press, New York). 8 9