P R E S E K
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652 Letnik 25 (1997/1998) Številka 6 Strani 368-370
Silva Kmetic:
ŠE O METODI PLOŠČINE
Ključne besede: matematika, geometrija, trikotnik, težišcnice, trapez. Elektronska verzija: http://www.presek.si/25/1354-Kmetic.pdf
© 1998 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo
ŠE O METODI PLOŠČINE
V 4. številki lanskega letnika Preseka smo prikazali, kako laliko z metodo ploščine rešimo nekatere naloge. Oglejmo si jih še nekaj!
Najprej dokažimo dve neenakosti:
1.	Naj bosta a in b dolžini kat.et, c dolžina hipotenuze in tî dolžina višine na hipotenuzo pravokotnega trikotnika. Potem velja c + v > a + b. Dokazi!
Ker imamo pravokotni trikotnik, pričnemo s Pitagorovim izrekom c2 — a" + b2. Desno stran dopolnimo do popolnega kvadrata in zagotovimo, da se enakost ohrani. Dobimo enačbo c2 +2ab ^ ct2+b2 + + 2ab. Na levi strani te enačbe upoštevamo, da je ab — cv (ploščina pravokotnega trikotnika!), torej dobimo c2 + 2cv = (o -f b)2. Nato dopolnimo še levo stran do popolnega kvadrata, kar nam da enačbo c2 + 2cv + v2 = (a+ b)2 + v2 oziroma (c + v)2 = (a + b)2 + v2. Če v tej enakosti odštejemo pozitivno število v2 na desni strani, preide v neenakost (c + v)2 > (a H- b)2. Ker je koren monotona funkcija in sta izraza c + v in a -f b pozitivna, se neenakost pri korenjenju ohrani. Sledi c + v > a + b.
2.	Dokaži, da za vsak par pozitivnih števil a, b velja neenakost
2 ~
Ob tej znani neenakosti se je tudi težko spomniti na metodo ploščine.
Morda nas na geometrijo spominja desna stran neenakosti, kjer je zapisana geometrijska sredina dveh pozitivnih števil.
S slike, ki spominja na enega izmed dokazov Pitagorovega izreka, razberemo zvezo (a + b)2 — (a — b)2 + + 4«6 > 4ab. Njen začetek in konec dasta po korenjenju željeno neenakost a + b > 2 \/ab.
b
Skupaj si poglejmo šc nalogi, v katerih uporabimo izrek: Trikotniki z enakimi osnovnicami in enakimi višinami na te osnovnice imajo enako ploščino.
a — b
a + b
T. Dokazi, da razdelijo težišč niče trikotnik tia 6 ploš črnsko enakih trikotnikov.
Na sliki najdemo tri pare trikotnikov. Trikotnika v paru imata za osnovnico vsak polovico pripadajoče stranice in enaki višini, Zato sta ploščinsko enaka, kar je upoštevano že pri oznakah na sliki.
Nato upoštevamo, da imata iz enakega razloga enako ploščino trikotnika ADC in DBC ter ABF in FCB, Torej dobimo enačbi
Si + 2 £3 = Si + 2 S2 in S3 + 2S1 = S3 + 2 S2. Iz prve sledi S3 = S2, iz druge S2 = S
2. Diagonali poljubnega trapeza delita trapez na štiri trikotnike. Ploščini trikotnikov nad osnovnicama trapeza sta m in n. Izračunaj ploščino trapeza.
Izberimo oznake kot na sliki. Trikotnika ABC in ABD imata enaki osnovnici in enaki višini na ti osnovnici, zato sta njuni ploščini enaki.
D	C
y
C
A	B
S slike sledi zveza med ploščinami S(ABC) = m + S(BCP) — m + + S(APD) = S(ABD).
Torej imata trikotnika BCP in APD enako ploščino, ki jo označimo s p. Daljico A P označimo z x in daljico PC z y. Vemo tudi. da sta ploščini trikotnikov APD in PCD v razmerju pripadajočih osuovnic (izrek pod točko 3 v prvem članku s tem naslovom), torej £ = —.
Enak zaključek velja za ploščini trikotnikov ABP in BCP, kar da
podobno enačbo — = -f	p y
lSklepamo, da je y — ^, torej je p = mn. Iskana ploščina trapeza pa je enaka S = m + n + 2 y/mn.
Silva Kmetic