KRATEK VPOGLED V ZGODOVINO INTEGRACIJE MARJAN JERMAN Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani Math. Subj. Class. (2010): 01-01, 28-03, 97I50 Predstavljene so glavne ideje, ki so vodile do razvoja integracije. Zgodovinski pogled na snov ponuja intuitiven pristop k poučevanju integralov. A SHORT INSIGHT INTO THE HISTORY OF INTEGRATION Main ideas which led to the development of integration are presented. This historical point of view can be used as an alternative intuitive approach to teaching integrals. Uvod Integrali so od nekdaj obvezna snov gimnazijske matematike pri nas in po svetu. Njihovo znanje je sestavni del splosne izobrazbe za vse dijake in nuja za vse bodoče studente naravoslovja in tehnike. Pri njihovem poučevanju in nasploh pri poučevanju bolj zapletenih poglavij matematike v srednji soli smo velikokrat v dilemi, kako narediti kompromis med strogo matematično pravilnostjo, motivacijo, intuitivnostjo in dostopnostjo. V Ameriki je v petdesetih letih, pri nas pa nekaj let kasneje, srednjesol-sko matematiko zajel val tako imenovane »nove matematike«, ki je skusala matematične pojme predstaviti dijakom na najkrajsi, najbolj eleganten in matematično pravilen način. Osnovni namen novih pristopov pri poučevanju matematike je bil na hiter in korekten način čim več dijakov pripraviti na studij tehnike, ki je imel zelo pomembno vlogo pri ogromnih potrebah razvijajoče se industrije po drugi svetovni vojni. Zal se novi pristop v praksi večinoma ni obnesel. Pozitivni učinek je dosegel le pri res najboljsih dijakih, preostali pa so matematiko začeli dojemati kot sterilno znanost, ki je večinoma sama sebi namen. Tudi na dobrih ameriskih univerzah so se se posebej predavatelji tehnike pritozevali, da matematiki na izpitih po-mečejo preveč studentov, večina tistih, ki izpit uspesno opravi, pa svojega znanja ni sposobna uporabiti v praksi. Stanje je zelo lepo opisala izjava profesorja Mortona Browna z Univerze v Mičhiganu, ki bi jo zal prevečkrat lahko uporabili tudi danes: »Študentje se naučijo zložiti skupaj nekaj ključnih simbolov, izjav in enačb in kompilacijo predstaviti kot sprejemljivo rešitev, ne da bi pri tem vedeli, kaj počnejo.« Stvar je sla tako daleč, da je leta 1962 skupina 75 znanih in uspesnih matematikov z vsega sveta napisala ali sopodpisala memorandum [1] v sedmih točkah in pozvala k bistvenim spremembam. 81 Obzornik mat. fiz. 61 (2014) 3 Marjan Jerman V osemdesetih letih je prišlo do resnih poskusov reforme pouka matematike, ki bi matematiko približali sirsi množici dijakov in predstavili njeno uporabno vrednost. Tudi nekatere univerze so bistveno zmanjsale stevilo slusateljev v posamezni predavalnici, v predavanja so vključili veliko grafičnih predstavitev, spodbujali so diskusijo med predavanji, v snov so vključili več praktičnih primerov, del ocene pa so predstavljali domači projekti, kjer je bistven del računanja opravil računalnik. Zal so dobronamerni poskusi pogosto vodili v prečejsnjo zmedo in napake pri poučevanju, kasneje pa so pogosto ugotovili, da imajo studentje večje luknje pri razumevanju osnovnih teoretičnih končeptov. Cutiti je bilo tudi odpor učiteljev, ki so jim bile nove metode poučevanja ali tuje ali prehud izziv in so jih veliko bolj obremenjevale. Zanimivo je, da je o pristopih pri poučevanju analize, se posebej integralov, temeljito premisljeval tudi znani matematik Otto Toeplitz (1881-1940). Svoje poglede [8] je leta 1926 v Düsseldorfu predstavil nemskemu matematičnemu drustvu. Bil je velik ljubitelj in poznavaleč zgodovine matematike. Zagovarjal je tako imenovani »genetski pristop« k pouku matematike, ki nove matematične pojme uvede postopoma, velikokrat s pomočjo briljan-tnih idej, ki so skozi zgodovino vodile do njihovih odkritij. Pri tem večinoma posamične konkretne probleme naravno vodi do njihovih posplositev. Eno od njegovih bolj zanimivih spoznanj je tudi, da se pri obravnavi ni nujno izogibati anahronizmom, ki so v očitnem neskladju z zgodovinskim razvojem. Tako včasih za bolj jasno in enostavno matematično obravnavo na primer ni nič narobe smiselno uporabiti matematične simbole ali čelo matematične pojme, ki v času resevanja problema se niso bili znani, dijakom in studentom pa so veliko blizje kot originalne včasih nerodne in dolgotrajne izpeljave. Svoja spoznanja in praktične učiteljske izkusnje je Toeplitz dolga leta skupaj s studenti brusil in spreminjal v knjigo [9], ki naj bi postala univerzitetni učbenik začetnih poglavij analize. Knjige mu zal ni uspelo dokončati. Posthumno jo je uredil Gottfried Kothe (1905-1989). Takoj po drugi svetovni vojni je izsla v nemsčini, prečej preurejena pa skoraj dvajset let kasneje tudi v anglesčini. Vsem, ki jih zanima poučevanje matematike, se posebej analize, toplo priporočam, da preberejo tudi izjemno informativne predgovore v angleski različiči knjige, ki so jih napisali uredniki posameznih izdaj Gottfried Küthe, Alfred L. Putnam (1928-1977) in David M. Bressoud (1950). Zal tudi genetski pristop ni idealna metoda za poučevanje integralov. Vsi trije uredniki se strinjajo, da bi bilo knjigo tezko uporabiti kot učbenik za sirso populačijo. Zdi se jim primerna kot dodatek za bolj zainteresirane studente in za tiste, ki so osnovne tečaje analize ze poslusali in bi radi svoje znanje videli v drugačni luči. Zelo pa se jim zdi primerna za bodoče in trenutne učitelje matematike. Bralčem Obzornika, ki jih tema zanima, priporočam tudi Burnov članek 82 Obzornik mat. fiz. 61 (2014) 3 Kratek vpogled v zgodovino integracije [4], ki presenetljivo izčrpno na zelo malo straneh povzame duh Toeplitzeve knjige.1 V naslednjih poglavjih bom poskuSal predstaviti nekaj najpomembnejših in najzanimivejsih korakov, ki so skozi zgodovino vodili do matematično korektne definicije integrala. Morda bo kaksna od teh idej prisla prav kateremu od učiteljev vsaj kot motivacija, zanimivost ali popestritev pri poučevanju integralov. Ploščina kroga Grski sofist Antifon (pribl. 5. stoletje pr. Kr.) je prvi poskusal izračunati plosčino kroga z metodo izčrpavanja plosčine. V krog je zaporedoma včrto-val pravilne večkotnike s čedalje več straničami in trdil, da je plosčina kroga enaka plosčini ustreznega včrtanega večkotnika z neskončno straničami. Danes njegova razlaga ne bi vzdrzala stroge matematične presoje, kljub temu pa je ideja prava, njegov rezultat pa ima trdno matematično podlago. Slika 1. Antifonovo izčrpavanje kroga s pravilnimi 2n-kotniki. Pri vsakem dvakratnem povečanju Števila stranic zmanjSamo povrSino nepokritega dela za več kot dvakrat. V krog včrtajmo kvadrat. Ker črtkani kvadrat ABC D na sliki 1 levo vsebuje čeloten krozni izsek ABC, je plosčina osenčenega nepokritega dela kroga manjsa od plosčine včrtanega kvadrata. Zato včrtani kvadrat pokriva več kot polovičo plosčine kroga. Oglisča kvadrata in preseki simetral stranič kvadrata s krozničo so ogli-sča pravilnega osemkotnika, ki vsebuje kvadrat in je prav tako včrtan krogu (slika 1 desno). Podobno kot prej je plosčina osenčenega preostanka kroga 1 Zahvaljujem se dr. Damjanu Kobalu, ki mi je priporočil ta članek. 81-97 83 Marjan Jerman manjša od polovice ploščine črtkanega pravokotnika. Zato smo z osemkot-nikom pokrili več kot polovico dela kroga, ki bi ostal, če bi iz kroga izrezali kvadrat. S postopkom nadaljujemo. Z indukcijo lahko dokazemo, da po vsakokratni podvojitvi stevila stranic plosčino nepokritega ostanka zmanjsamo več kot za polovico. Zato je p(včrtanega 2n-kotnika) > (1 — ^n-r)p(kroga). (1) Od tod vidimo, da je plosčina pravilnega včrtanega 2n-kotnika poljubno blizu plosčini kroga, če je le n dovolj veliko stevilo. Antifonovo delo je dopolnil Brison iz Herakleje (pribl. 5. stoletje pr. Kr.), ki je krogu dodatno očrtal pravilni 2n-kotnik in pokazal, da sta plosčini včrtanega in očrtanega 2n-kotnika poljubno blizu, če je le n dovolj veliko stevilo. S tem rezultatom mu je uspelo na nekaj točnih dečimalnih mest izračunati tudi kasneje uvedeno konstanto n. Z danasnjim znanjem lahko Antifonov rezultat uporabimo za izračun plosčine kroga takole: Pravilni 2n-kotnik, ki je včrtan v krog s polmerom r, je sestavljen iz 2n skladnih enakokrakih trikotnikov s kraki dolzine r in plosčino 1 (2r sin 2n ■ r cos Jn) = 2r2 sin ^n-r, zato je plosčina pravilnega včrtanega 2n-kotnika enaka 2n-1 2 • n P2n = n r sin 2n-r. Z večanjem n in upostevanjem veljavnosti limite limx^0 = 1 dobimo, da je plosčina kroga s polmerom r enaka nr2. Prostornina krogle Arhimed (287-212 pr. Kr.) je svoj izjemen občutek za naravo uporabil pri izračunu prostornine krogle. Pri tem si je pomagal z navorom in tedaj ze znanima prostorninama valja in stozča. Na tem mestu bomo zagresili anahronizem in Arhimedovo ponekod zapleteno premisljevanje utemeljili z uporabo analitične geometrije, ki jo je izumil sele Rene Descartes (1596-1650) več kot tisočletje kasneje. Valj, sto-zeč in kroglo bomo predstavili kot vrtenine. Enačba (x — a)2 + y2 = a2 predstavlja kroznico s sredisčem (a, 0) in polmerom a (slika 2 levo). Prepisemo jo lahko v obliko x2 + y2 = 2ax. Enačba bo dobila fizikalni pomen, če jo pomnozimo s primernimi konstantami: 2a ■ (nx2 + ny2) = x ■ n(2a)2. (2) 84 Obzornik mat. fiz. 61 (2014) 3 Kratek vpogled v zgodovino integracije Slika 2. Arhimedov izračun prostornine krogle. Pri vrtenju premic y = 2a, y = x in kroZnice x2 + y2 = 2ax okrog abscisne osi dobimo valj, stoZec in kroglo. Ko stoZec in kroglo obesimo na rocico 2a, dobimo ravnovesje navorov s silo teZe valja, ki je namescen na nasprotni strani in ima za os daljico med fiksno tocko in skrajno rocico 2a. Posamezne količine v enačbi najprej interpretiramo takole: Na sliko narisimo se premici p: y = x in q: y = 2a. Pri vrtenju premice p, kroZnice in premice q okrog abscisne osi na intervalu [0,2a] dobimo zaporedoma stoZec, kroglo in valj. Kolicine nx2, ny2 in n(2a)2 so ploscine krogov, ki so prerezi stoZca, krogle in valja na oddaljenosti x od ordinatne osi. Enacbo (2) interpretirajmo fizikalno z navorom. V R3 postavimo fiksno tocko v izhodisce koordinatnega sistema, gugalnica pa naj lezi na abscisni osi med x = -2a in x = 2a. Prerez z ravnino y = 0 je narisan na sliki 2 desno. Tedaj enacba (2) pove, da dosezemo ravnovesje, ce na levi strani gugalnice pri rocici -2a obesimo rezino stozca nx2 in rezino krogle ny2, na nasprotni strani pa pri rocici x > 0 obesimo rezino valja n(2a)2. Sedaj sestejmo navore vseh rezin stozca, krogle in valja v ustreznih prijemaliscih. Upostevajmo ze tedaj znano dejstvo, da lahko vsoto navorov vseh rezin valja nadomestimo z navorom sile teze celotnega valja, ki prijemlje v njegovem teziscu. Ce torej na levi strani na rocico dolzine 2a obesimo kroglo in stozec, dosezemo ravnovesje s silo teze valja, ki v celoti prijemlje pri rocici x = a. Demokrit (470-360 pr. Kr.) je ze poznal prostornini valja in stozca. Enakost 81-97 85 Marjan Jerman navorov zato lahko napišemo z enačbo 2a ■ (n(2a)3 ' 2a + Vkrogle) = a ■ (n(2a)2 ■ 2a), iz katere izračunamo, da je prostornina krogle s polmerom a enaka v _ 43 Vkrogle 3na • Kvadratura parabole Arhimed je samo s pomočjo elementarne geometrije izračunal tudi ploščino parabole pod njeno sekanto. Sledili bomo njegovim idejam, zaradi enostav-nejse obravnave pa si bomo zopet pomagali s koordinatnim sistemom. Slika 3. Arhimedova kvadratura parabole. Naj bosta Si (a, a2) in S2(b, b2), a < b, točki na paraboli, podani z enačbo y _ x2 (slika 3). Izračunali bomo plosčino p lika, ki ga od parabole odreze sekanta S1S2. Liku bomo najprej včrtali trikotnik, nato pa bomo nepokriti del zapolnili s čedalje manjsimi trikotniki. Prvi, največji včrtani trikotnik naj ima za oglisča točki S1, S2 in dotika-lisče T tiste tangente na parabolo, ki je vzporedna sekanti S1S2. Tangenta na parabolo v točki T(x,x2), ki je vzporedna sekanti S1S2, ima naklon 2x _ V-T _ b + a, zato gre skozi sredinsko točko T(, ()2). Na primer s pomočjo koordinat lahko izračunamo, da je plosčina trikotnika S1 TS2 enaka P1 _ (¥ )3. (3) 86 Obzornik mat. fiz. 61 (2014) 3 Kratek vpogled v zgodovino integracije Diagonali SiT in TS2 črtkanih pravokotnikov na sliki 3 razdelita ustrezna pravokotnika na ploSčinsko enaka dela. Zato trikotnik S1TS2 pokriva več kot polovico lika, ki ga določata parabola in sekanta. V nadaljevanju v levi in desni nepokriti del parabole na enak način včr-tamo trikotnika. Prvi manjsi včrtani trikotnik S1T1T je določen s točkama Si, T in točko T1 na paraboli, kjer je tangenta na parabolo vzporedna se-kanti S1T. Podobno je desni trikotnik TT2S2 določen s točkama T in S in točko T2, kjer je tangenta vzporedna sekanti TS2. Enačba (3) pove, da je plosčina vsakega tako včrtanega trikotnika enaka kubu poloviče dolzine projekčije ustrezne sekante na absčisno os. Zato je plosčina vsakega od trikotnikov S1T1T in TT2S2 enaka „ _ /1 b-a\3 _ 1 p2 = = 23p1. Postopek nadaljujemo s stirimi se manjsimi trikotniki nad sekantami S1T1, T1T, TT2 in T2S2, nato z ustreznimi osmimi trikotniki in tako naprej. Vsakič z novimi trikotniki pokrijemo več kot polovičo preostanka plosčine, ki je se ne pokrivajo trikotniki iz prejsnjih korakov. Plosčina parabole pod sekanto S1S2 je manjsa od vsote plosčin včrtanih disjunktnih trikotnikov, zato je p > P1 (1 + 2 ■ £ + 4 ■ 43 + ■ ■ ■) = P1 = 4P1. (4) k=0 Po drugi strani z novimi trikotniki vsakič pokrijemo več kot polovičo nepokritega dela parabole: p < 2p1, p < p1 +2 ■ 2p2, p < p1 + 2p2 + 2 ■ 4p3, ... Zato za poljubno stevilo n velja tudi p < p1(1 + 1 + ••• + 4n—i +2 ). (5) Ker sta si vsoti v očenah (4) in (5) poljubno blizu, smo s tem izračunali plosčino parabole pod sekanto S1S2, p = |p1. Na poti k osnovnemu izreku analize Nikolaj Oresme (pribl. 1320-1382) je bil eden od najbolj aktivnih in bistrih srednjeveskih mislečev. Med drugim je prvi dokazal divergenčo harmonične vrste. Nas bo najbolj zanimalo njegovo delo na področju kinematike. Da bi lahko grafično predstavil hitrost v vsakem času gibanja, je izumil stolpčne 81-97 87 Marjan Jerman diagrame. Kar je danes videti samoumevno, je bilo v tistih casih, ko se niso poznali koncepta funkcije in koordinatnega sistema, revolucionarno odkritje. Privzel je, da se telo na posameznem časovnem intervalu giblje s konstantno hitrostjo. Nato je nad vodoravno os nanasal pravokotnike, katerih sirina (intensio, latitudo) je bila sorazmerna času, visina (extensio, longitudo) pa hitrosti, ki jo je imelo telo na tem časovnem intervalu (slika 4 levo). biffatm/fl mifoimiKr rcdif mtfoi mn-T Diffomufcrcwfformc;. C 3Lititn* vtu form i fcuiorie c lU q ut1 ouilii» gruduuj cq DitUuiJ} hut u*¿i 4>port0$ *.u ni a p P«>; tjc eqbuiw. Tla i mr O-cclLue ¿raduuj utter t c cq ouUuu fcHrau^ponoi cqtiu -0« uc ca a;itn° vnifamu tM.crid ut p; cjc cirtiiwwuitw* inonDro:um IcojJc oujiu oia Kiiriui m ruiUa proporci o t eiujc uiic nollj pjiia jumdi vinornu taa m Utundim: tali t iu iierveiici ?rnlb:m.£ei oiho.m t oiftoama C 01? oiffoinucr oiifojrmter oifformia i ilU q uucr t\cdiua graduu cque oii}«ntiuj non tauat cartdcm proporponem iuu.'fii fc «rtdi parte putcbiL Tlotartdum temen rti ¿j* fiCut in fupradictia oiffimioit^ ul» logrur t€ eticfTa g? jtjuum m ter fe eque ouUmium fflpafaf «d ii| ¿mM ti, or.oirtvf« te, Slika 4. Na levi sliki so Oresmejevi diagrami, ki so predhodniki pojmov funkcije in koordinatnega sistema, na desni pa je Galilejev dokaz izreka o srednji hitrosti. Med preučevanjem teh stolpcnih diagramov je ugotovil, da je vsota plo-scin vseh pravokotnikov enaka dolzini prevozene poti. Ce bi dovolili zelo kratke casovne intervale, bi lahko njegov rezultat interpretirali takole: i s' (t) dt = s(b) - s (a). J a Prav tako je s pomocjo interpretacije diagramov izpeljal izrek o srednji hitrosti,2 ki pove, da enakomerno pospeseno telo naredi enako pot kot telo, ki se istocasno giblje enakomerno s hitrostjo, ki je enaka polovici koncne hitrosti pospesenega telesa. Zelo nazoren intuitiven dokaz sledi iz interpretacije enakih ploscin v stolpcnem diagramu. Enak dokaz je podal tudi Galileo Galilei (1564-1642) vec kot dvesto let kasneje (slika 4 desno). Modernizacija metode izčrpavanja Luca Valerio (1552-1618) se je sistematično lotil računanja težišč, ploscin in prostornin. Pri računanju se ni omejil le na klasične like in telesa. Izračunati je znal prostornine teles, ki imajo veliko simetrije ali pa nastanejo ž rotačijo. 2 Izrek so odkrili matematiki z Merton Collega v Oxfordu okrog leta 1330 in ga zato pogosto imenujemo tudi Mertonov izrek o srednji hitrosti. Walter de Merton (1205-1277) je bil sicer politik, po katerem so poimenovali kolidz. 88 Obzornik mat. fiz. 61 (2014) 3 Kratek vpogled v zgodovino integracije Pri računanju je antično metodo izčrpavanja pripeljal bližje definiciji Riemannovega integrala. Glede na današnje standarde je malo nerodno napisal: »Ce ravninskemu liku pada širina z obeh strani, mu lahko včrtamo in očrtamo lik, ki je sestavljen iz samih pravokotnikov, pri tem pa se ploščini včrtanega in očrtanega lika poljubno malo razlikujeta.« Težje razumljivo zahtevo, da Širina pada z obeh strani, bi lahko interpretirali z računanjem ploščine pod krivuljo, ki do neke točke raste, potem pa pada. Analogno trditev za prostornino pod ploskvijo je napisal tudi za telesa. Zapleteno metodo izčrpavanja, ki potrebuje posredno dokazovanje s protislovjem, je prvi skusal prevesti na enostavnejse direktno sklepanje Simon Stevin (1548-1620). S pomočjo Aristotelovih silogizmov je pokazal, da sta količini, ki sta si poljubno blizu, v resniči enaki. Valerio se je posrednemu sklepanju izognil s premislekom, ki bi ga v danasnjem jeziku interpretirali takole: Ce za neka konvergentna zaporedja (an)n, (&n)n, (bn)n in (b'n)n z neničelnimi členi in limitami a, a' = 0, b in b' = 0 velja an bn — = — za vse n G N, aL bL potem je tudi a an bn b 1 = lim — = lim tt = 77 a' n^ra a'n n^ra b'n b' Naj bosta L in L' lika, v katera včrtujemo in okrog katerih očrtujemo čedalje boljse aproksimačije z unijo pravokotnikov. Ce sta plosčini an in a'n v L in v L' včrtane unije pravokotnikov in plosčini bn in bfn očrtane unije vedno v enakem razmerju, sta v istem razmerju tudi plosčini likov L in L'. To Slika 5. Skica pri četrti lemi v prvi knjigi Newtonovih Principov: Lika sta v enakem ploscinskem razmerju kot ploSčine njunih včrtanih in očrtanih unij pravokotnikov. 81-97 89 Marjan Jerman je vsebina četrte leme v prvi knjigi Newtonovih Principov3 (slika 5) in kasneje poimenovano Cavalierijevo načelo, ki v ravninskem primeru pravi: Ce imata lika, ki se nahajata med dvema vzporednima premicama, enako dolge preseke z vsako vmesno vzporedno premico, sta plosčini likov enaki. Danes lahko gledamo na Cavalierijevo načelo kot na poseben primer Fubinijevega4 izreka. Infinitezimale in nedeljive količine Johann Kepler (1571-1630) je sicer dobro poznal grsko matematiko in njene stroge standarde dokazovanja, a je bil zelo prakticen znanstvenik, kije bil za ceno rezultatov pripravljen zamizati na eno oko v primerih, ko z metodami 17. stoletja ni bilo mogoce korektno resiti kaksnega od tezjih problemov. Prakticne potrebe pri racunanju prostornin sodov so pripeljale do mnogih novih metod in rezultatov, ki jih je leta 1615 objavil v knjigi Nova stereome-trija. Like in telesa je rezal na infinitezimalno majhne ne nujno vzporedne koscke razlicnih oblik. S pomocjo izjemne intuicije mu je uspelo kljub zelo liberalnemu delu z infinitezimalno majhnimi kolicinami vedno priti do pravilnih rezultatov. Zvezo med povrsino in prostornino krogle je recimo dobil takole: Najprej je povrsino krogle razrezal na zelo majhne disjunktne koscke. Te koscke si je predstavljal kot osnovne ploskve nekaksnih stozcev s skupnim vrhom v srediscu krogle. S tem je kroglo razrezal na te neobicajne stozce. Ko je sestel prostornine vseh stozcev, so se povrsine njihovih osnovnih ploskev sestele v povrsino krogle. S povecevanjem stevila stozcev so postale njihove osnovne ploskve skoraj ravne, zato je za prostornino teh stozcev vzel kar prostornino obicajnega stozca. Tako je dobil Vkrogle = 3(S1 + S2 + • • •) = 3 Skrogle. Iz Arhimedovega rezultata za volumen krogle tako lahko izracunamo povrsino krogle Skrogle = 4nr2. Skupaj je Kepler izracunal prostornine 96 teles, ki nastanejo z vrtenjem delov stoznic okrog razlicnih osi. Galileo Galilei (1564-1642) je trdil, da je zvezna snov sestavljena iz ne-skoncno kosov nedeljivih delov, do katerih pa ne moremo priti z zaporednim drobljenjem snovi. Bonaventura Francesco Cavalieri (1598-1647) je njegovo idejo uporabil tako, da je vsak lik predstavil kot neskoncno unijo vzporednih daljic, ki so tako tanke, da jih ne moremo vec razdeliti na tanjse dele. S pomocjo te predstave je recimo pokazal, da imata trikotnika, na katera deli diagonala paralelogram, enako ploscino. Naj bo ABCD paralelogram 3Isaac Newton: Philosophiae naturalis principia m,athem,atica 4Guido Fubini (1879-1943) 90 Obzornik mat. fiz. 61 (2014) 3 Kratek vpogled v zgodovino integracije D C C E H F H A B A E N G B Slika 6. Levo je Cavalierijev dokaz, da imata trikotnika, na katera z diagonalo razpade paralelogram, enako ploščino. Desno je primer, kjer metoda ne deluje. z diagonalo AC (slika 6 levo). Trikotnika ACD in ABC sta sestavljena iz daljic, ki so vzporedne osnovnici AB. Vsaki daljici EF || AB, E e AD, F e AC, lahko najdemo natanko eno enako dolgo daljico GH || AB, G e AC, H e BC, in obratno. Ker sta trikotnika ACD in ABC sestavljena iz enakih daljic, imata enako ploscino. Pri previdni uporabi je Cavalierijeva metoda z nekaj sreče vodila do pravilnih rezultatov. Zelo kmalu pa je metoda dozivela resne kritike, ko so njegovi sodobniki, med njimi na primer Evangelista Torricelli (1608-1647), nasli primere, pri katerih metoda ne deluje pravilno. Vzemimo recimo neenakokrak trikotnik ABC z osnovnico AB in ga z visino NC razdelimo na trikotnika ANC in NBC (slika 6 desno). Enako kot prej lahko oba trikotnika sestavimo iz daljic, ki so vzporedne visini NC. Vsaki navpicni daljici EF v trikotniku ANC lahko najdemo natanko eno enako dolgo navpicnico GH v trikotniku NBC in obratno, vendar trikotnika ANC in NBC ocitno nimata enake ploscine. Z danasnjim znanjem analize se da lepo razloziti, zakaj Cavalierijeva metoda enkrat deluje, drugic pa ne. Ce si nedeljive daljice predstavljamo kot zelo tanke letvice, ki sestavljajo trikotnike, sta v levem primeru letvici EF in GH enako dolgi in enako visoki. V desnem primeru pa sta letvici EF in GH sicer enako visoki, njuna sirina pa je v razmerju AN : NB. V danas-njem jeziku bi rekli, da v primeru, ko daljici AN in NB parametriziramo s spremenljivko t na intervalu [0,1], enkrat sestevamo ploscine pravokotnikov z osnovnico AN ■ dt, drugic pa ploscine pravokotnikov z osnovnico NB ■ dt. Descartes je v tem casu povzrocil revolucijo v matematiki z uvedbo koordinatnega sistema. Sam je zaradi nekonsistentnosti zavracal uporabo infini-tezimalnih kolicin. Ploscina pod krivuljo 81-97 91 Marjan Jerman Arhimedov antični rezultat o kvadraturi parabole pove, da je ploščina med parabolo y = x2 in sekanto y = a2 enaka štirim tretjinam ploščine al 3 2 3l intervalu [0, a] enaka včrtanega trikotnika, = 4a3, zato je ploščina pod krivuljo y = x2 na 2(2a ■ a2 - |a3) = 1 a3. Cavalieri je skušal priti do enakega rezultata s pomočjo novih orodij. Interval [0, a] je razdelil na n enakih delov in nad všakim delom včrtal in očrtal pravokotnik. Tako je v bištvu ponovno uporabil antično metodo izčrpavanja. Ker parabola narašča, je špodnja očena za ploščino p pod krivuljo enaka n (0 + ( n )2 + (2a )2 + ••• + (^ )2), zgornja pa n ((n )2 + (2a )2 + (3a )2 + ••• + (na ?) ■ Z uporabo tedaj ze znane formule ^n=i i2 = 1 n(n + 1)(2n +1) je tako dobil očeno a3(n - 1)n(2n - 1) a3n(n + 1)(2n + 1) 6n3 P 6n3 . Takrat šičer še nišo poznali končepta limite, a je bilo Cavalieriju jašno, da od tod šledi pričakovani rezultat p = |a3. Podobno je š pomočjo znanih formul za všoto potenč zaporednih števil izračunal ploščine pod krivuljami y = xn za n < 9. S pomočjo izjemnih izkušenj z analitično geometrijo je Pierre de Fermat (1601-1665) izračunal ploščino pod krivuljo y = xm tudi v primeru, ko je m > —1 realno število. Pokazimo le, kako še je lotil špodnjih všot (šlika 7). Najprej je izbral pozitivno število p < 1 in interval (0, a] razbil na neškončno različno dolgih podintervalov oblike (apl,api-1], i € N. Všota ploščin nad temi intervali včrtanih pravokotnikov je enaka S = ^(api-1 - api)(api)r i=1 = am+1pm(1 - p) ¿(p^r1 =am+1pm(1 p) i=1 1 - pm+1 Zadnja enakošt drzi, ker zaradi m > -1 velja pm+1 < 1 in zato vršta konvergira. V primeru, ko je m naravno število, lahko zadnjo enakošt preoblikujemo v obliko nm+1 nm S = a p 1 + p + p2 + • • • + pm ■ 92 Obzornik mat. fiz. 61 (2014) 3 Kratek vpogled v zgodovino integracije Slika 7. Fermatov izračun integrala potenčnih funkcij s pomočjo različno dolgih podin-tervalov. Ko pošljemo p proti 1, dobimo Cavalierijev rezultat za poljubno naravno število m brez uporabe vsote potenc zaporednih naravnih števil. Ce pa m ni naravno število, je v današnjem jeziku treba izračunati limito 1 - pm+1 lim-, p^i 1 — p ki je enaka odvodu funkcije y = xm+l v točki 1. To je Fermat po všeh izkušnjah z iškanjem tangent vedel in dobil rezultat, ki ga daneš napišemo kot i'a J xm dx = m+j am+1,m> —1. Ideja z izbiro različno dolgih intervalov je verjetno prišla iz njegovih izkušenj pri računanju ploščine pod krivuljo y = na neškončnem intervalu [a, to). Osnovni izrek analize Ošnovni izrek analize po navadi povemo takole: Ce je f zvezna funkčija na intervalu [a, b], x € [a, b] in je rx F (x) = f (t) dt, a 81-97 93 Marjan Jerman potem je F odvedljiva in F' = f na intervalu (a, b). Drugače: ce je F primitivna funkcija na intervalu [a, b] zvezne funkcije f, je f f (x) = F (b) - F (a). Ja Prvi je osnovni izrek analize zapisal James Gregory (1638-1675). V razširjeni verziji ga je objavil Isaac Barrow (1630-1677), njegov ucenec Isaac Newton (1643-1727) pa je izrek vkljucil v matematicni kontekst. Napisimo njegov dokaz v modernem jeziku. Slika 8. Skica k Newtonovemu dokazu osnovnega izreka analize. Naj bo f nenegativna funkcija, za katero velja f (0) =0. Za x > 0 naj bo y = f (x), h > 0 pa infinitezimalno majhno število. Naj bo z ploščina pod krivuljo y = f(x) na intervalu [0,x] (slika 8). Izberimo število v, za katero je ploščina pravokotnika s stranico h in višino v enaka ploščini pod krivuljo na intervalu [x, x + h]. Ploščina pod krivuljo na intervalu [0,x + h] je enaka všoti ploščin na intervalih [0, x] in [x, x + h], zato je enaka z + hv. Ce povečanje ploščine hv delimo z uštreznim povečanjem abščiše h, dobimo v. Ker je h infinitezimalno majhno število, lahko vzamemo, da je enako 0, zato je v = y in = y. Ce prevedemo ploščinške in infinitezimalne argumente v današnji jezik, bomo opazili, da dokaz potrebuje zveznošt funkčije f. Glede na argumente v dokazu je Newton verjetno dodatno impličitno privzel, da je funkčija f monotona. Zveznošt šta definirala šele Bernard Bolzano (1781-1848) in Auguštin-Louiš Caučhy (1789-1857). Po izreku o šrednji vrednošti za zvezno funkčijo f obštaja število £h € (x, x + h), da je r x+h v = f (&) = h f (t) dt. x 94 Obzornik mat. fiz. 61 (2014) 3 Kratek vpogled v zgodovino integracije Sedaj ponovno zaradi zveznosti f velja = lim + ~ Z(X) = lim f (&) = f (x) = y. hiO h hi 0 Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716), ki je uvedel danaSnjo notacijo za odvode in integrale, je prvi poudaril, da rezultat pove povezavo med določenim integralom in primitivno funkcijo. Interpretacija je tako mocno vplivala na poučevanje, da večina dijakov Se danes napačno razume določeni integral kot obratno operačijo k odvajanju. Definicija določenega integrala George Berkeley (1685-1753) je prvi resno podvomil o logičnih temeljih Newtonove analize. Zapisal je, da tedanji analizi kljub pravilnim rezultatom, ki jih daje, ne moremo zaupati nič bolj kot religiji. Se posebej so ga zmotile neskončno majhne količine, ki jih je primerjal z duhovi umrlih količin. Takrat običajni izračun odvoda funkcije f (x) = x2 je sel recimo takole: dy (x + dx)2 — x2 2x ■ dx + (dx)2 = 2x + Potem so na dx nekako pozabili, ker je bilo poljubno majhno stevilo, in dobili f'(x) = 2x. Berkeley je pri izračunu ponudil dve moznosti: bodisi je dx = 0 in z njim ne smemo deliti bodisi je 2x + dx = 2x, kar pomeni, da je izračun odvoda napačen. Veliko izjemnih matematikov je skoraj stoletje neuspesno poskusalo utrditi temelje analize, zares pa je uspelo Caučhyju in Karlu Weierstrassu (1815-1897) s korektno definiranima pojmoma limite in odvoda. Tako danes odvod funkčije f (x) = x2 v točki xo izračunamo kot limito lim f(xo + h) — f(xo) = lim (xo + h)2 — x0 = lim 2x°h + ^ = 2xo. h.^0 h h^o h h^o h Zanimivo je, daje Abraham Robinson (1918-1974) sele leta 1966 logično pravilno definiral infinitezimalno majhne količine kot primerne ekvivalenčne razrede zaporedij realnih stevil. Robinsonova nestandardna analiza sičer opravičuje klasično računanje z infinitezimalnimi količinami brez danes običajnega ukvarjanja z e in č, a je tako nenavadna, da se ni uveljavila niti v poučevanju niti v raziskovanju. Pred prvo korektno definičijo določenega integrala je prav, da se zavedamo motivačije takratnih matematikov. Integral jim je pomenil plosčino pod grafom funkčije, kot funkčijo pa so si predstavljali predpis y = f (x), ki je bil v večini primerov elementarna funkčija, zagotovo pa zvezna in pogosto 81-97 95 Marjan Jerman tudi nenegativna ter monotona funkcija na integracijskem intervalu. Da so lahko »smiselne« funkcije tudi drugačne, so se zavedeli Sele, ko seje pojavila potreba po integraciji vsot Fourierovih vrst. Cauchy je opazil, da se z oZanjem osnovnic pravokotnikov, ki imajo osnovnico na abscisni osi in so vcrtani grafu, vsota njihovih ploscin priblizuje ploscini pod grafom. Doloceni integral je definiral za zvezno funkcijo f na zaprtem intervalu [a, b] kot limito vsot oblike f (xo)(x1 - x0) + f (x1 )(x2 - xl) + • • • + f (xn-1)(x n xn-1 ), (6) a = X0 < Xl < X2 < • • • < Xn = b, ko gre sirina najsirsega podintervala [xi-1,xi] proti 0. Nato je pokazal, da taksna limita vedno obstaja. Natancen pregled njegovega dokaza pokaze, da je intuitivno pravilen, implicitno pa privzema polnost mnozice realnih stevil, pojem, ki takrat se ni bil znan. Bernhard Riemann (1826-1866) je doloceni integral posplosil na nez-vezne funkcije. V primeru, ko je a = x0 < x1 < ■ ■ ■ < xn = b in so ti € [xi-1,xj] za i = 1, •••,«, je izbor D = {([xj-1,xi],ij); i = ^•••n} poimenoval označena delitev s sirino max1 0 obstaja tak ô > 0, da za vsako označeno delitev D s Širino, manjSo kot ô, velja |R(f, D) - 11 0 tocke nezveznosti lezijo v stevni uniji primerno izbranih odprtih intervalov (aj, bi) s skupno dolzino ^i |bj — a^| < e. Tako na primer Dirichletova funkcija %q, ki je enaka 1 na mnozici racionalnih stevil in 0 drugje, ni zvezna v nobeni tocki, zato ni Riemannovo integrabilna. Karl Johannes Thomae (1840-1921) je Dirichletovo funkcijo predelal v funkcijo T (x) =i i 0; x €{0}U (R V x = okrajsan ulomek p, q € N, p € Z, n 96 Obzornik mat. fiz. 61 (2014) 3 Kratek vpogled v zgodovino integracije ki je nezvezna le v vsaki nenicelni racionalni točki, zato je Riemannovo integrabilna na vsakem intervalu.5 Ce je funkcija integrabilna v Riemannovem smislu, se za vsako dovolj drobno delitev Riemannova vsota malo razlikuje od določenega integrala, ne glede na izbiro označenih točk. Ce torej iz Cauchyjeve definicije izpustimo zahtevo po zveznosti funkcije f, je vsaka Riemannovo integrabilna funkcija integrabilna tudi v Cauchyjevem smislu. Tezje je videti, da za omejene funkcije velja tudi obratno. Prakticne probleme, ki so se pojavili pri integraciji bolj neobicajnih funkcij, recimo vsot Fourierovih vrst in funkcij, ki se naravno pojavljajo v verjetnostnem racunu, je uspelo resiti Henriju Leonu Lebesgueu (1875-1941) z vpeljavo merljivih mnozic in aproksimacijo z enostavnimi funkcijami. V precej povrsni interpretaciji bi si lahko predstavljali, da pri Riemannovem integralu najprej razdelimo abscisno os na podintervale in sestejemo plo-scine pokoncnih pravokotnikov, ki imajo te podintervale za osnovnico, pri Lebesgueovem integralu pa najprej na podintervale razdelimo zalogo vrednosti in za osnovnice lezecih pravokotnikov vzamemo ustrezne praslike. V Lebesgueovem smislu je integrabilna tudi Dirichletova funkcija xq. Njen integral na intervalu [0,1] je enak 0. LITERATURA [1] L. V. Ahlfors, ... , A. Wittenberg, On the mathematics curriculum of the high school, American Mathematical Monthly 69 (1962), 189-193. [2] W. S. Anglin, Mathematics: a concise history and philosophy, Undergraduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, Springer-Verlag, New York, 1994. [3] M. E. Baron, The origins of the infinitesimal calculus, Dover Phoenix Editions, 2003. [4] R. P. Burn, Integration, a genetic introduction, Nordisk Mat. Did., April 1999, 7-27. [5] E. Carruccio, Mathematics and logic in history and in contemporary thought, New Brunswick, NJ Aldine 2006. [6] J. J. O'Connor, E. F. Robertson, The MacTutor history of mathematics archive, http://www-history.mcs.st-and.ac.uk [7] O. A. Hernandez Rodriguez, J. M. Lopez Fernandez, Teaching the fundamental theorem of calculus: a historical reflection - Newton's proof of the FTC, Loci, January 2012. [8] O. Toeplitz, Das Problem der Universitatsvorlesungen über Infinitesimalrechnung und ihrer Abgrenzung gegenüber der Infinitesimalrechnung an den höheren Schulen, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 36 (1927), 88-99. [9] O. Toeplitz, The calculus, a genetic approach, The University of Chicago Press, 1963. 5MnoZiča Q je stevna, zato lahko točke nezveznosti funkčije t postavimo v zaporedje (fln)n. Vsak člen an zaporedja lezi v odprtem intervalu (an — 2-n-2e,an + 2-n-2e) z dolzino 2-n-1e. Vsota dolzin intervalov je enaka 1 e. 81-97 97