P R E S E K
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652 Letnik 27 (1999/2000) Številka 2 Strani 90-93
Andrej Likar: PREPOVEDANI PAS
Ključne besede: fizika.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/27/1393-Likar.pdf
© 1999 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo
PREPOVEDANI PAS
Pri gibanju elektronov in vrzeli v polprevodnikih ne moremo mimo pojmov vale učnega, prevodnega in prepovedanega pasu. Nenavadno je, da se elektroni z energijo, ki leži v prepovedanem pasu. v kristalu ne morejo gibati. Na omejitve sicer naletimo tudi pri gibanju velikih teles. Pri gibanju planetov okrog Sonca, na primer, planet, ne sme imeti prevelike energije, da ga ne odnese iz Osončja. Tudi krogla, mora imeti dovolj veliko kinetično energijo, da prebije tarčo. Podobne omejitve veljajo tudi v mikrosvetia elementarni delec mora imeti dovolj veliko kinetično energijo, da vzbudi atomsko jedro. Samo gibanje pa seveda ni nikoli prepovedano, ne glede na kinetično energijo delca. Danes se zavedamo, da za gibanje elektronov v kristalu ne veljajo vsakdanjo predstave. To gibanje obravnavamo podobno kot valovanje. Frekvenca valovanja je povezana s kinetično energijo elektrona.
Pojavi, povezani z valovanjem, so v fiziki raznovrstni in zanimivi. V šoli spoznamo širjenje mehaničnih valov po napeti vrvi. elastičnih telesih in zraku ter tudi širjenje elektromagnetnih valov po praznem prostoru ali v prozornih snoveh. Pri nobenem od teh pa ne zasledimo prepovedanih frekvenčnih pasov. Valovna dolžina X in frekvenca v sta povezani z znano enačbo \v = c, iz katere sledi, da sta frekvenca valovanja in valovna dolžina obratno sorazmerni. Valovanje se širi po sredstvu ali v praznem prostoru ne glede na frekvenco vzbujanja.
Pri širjenju zvoka v kristalih pa opazimo povsem nove pojave, ko je valovna dolžina zvoka primerljiva z razdaljami med sosednjimi atomi v kristalu. Ker so te frekvence izredno visoke, so tovrstni poskusi zahtevni. Zato si bomo v sestavku ogledali širjenje valovanja v verigi težnih nihal, kjer tudi naletimo na prepovedane frekvenčne pasove. Valovanje s frekvenco V prepovedanem pasu se po verigi ne more širiti.
Oglejmo si pobliže širjenje valovanja v taki verigi v upanju, da nam bo po razpravi pojem prepovedanega pasu za elektrone v polprevodniku bolj domač. Verigo nihal sestavlja niz težnih nihal, ki so v mirovni legi enakomerno vsaksebi (slika 1). Težno nihalo sestavlja utež z maso m na koncu zelo lahke, a toge palice z dolžino l. Na drugem koncu je nihalo vrtljivo pritrjeno na strop tako, da se utež lahko giblje le v levo ali v desno. V ravnovesni legi sta težišči sosednjih uteži oddaljeni za h. Sosednje uteži so med seboj povezane z lahko vzmetjo s koeficientom k. V mirovni legi so vzmeti ohlapne in ne delujejo na uteži. Verige ni težko izdelati (primer kaže slika 2).
Fizika
91
I
0"


n = i
Slika 1. Veriga, težnih nihal, ki ho povezana z lahkimi vijačnimi vzmetmi. Veriga se začne s prvim nihalonl (n = 1) in se nadaljuje brez konca.
Slika 2. Izdelana veriga iz povezanih nihal.
Nihala v verigi bomo sedaj vzbujali take. da borno začeli nihati prvo nihalo na začetku verige sinusno z izbrano frekvenco, in opazovali, kako nihajo druga nihala v verigi. Ker je izdelava take verige zamudna. saj za nazorno spremljanje dogajanja potrebujemo nekaj deset nihal, bomo širjenje valovanja spremljali na računalniškem zaslonu s sprotnim izračunavanjem leg nihal v verigi. V ta namen si oglejmo nihalo, ki je n.-to po vrsti, če štejemo od začetka verige, iti njegova soseda, torej nihali z oznakama (n — 1} in (n + 1) (slika 3). Gibanju 7i-tega nihala lahko sledimo, če poznamo vsoto vseh sil, ki delujejo na njegovo utež. Obravnavali bomo majhne odmike od ravnovesne lege, zato gibanje po krožnem loku
a-„_l =0	x„ — 0	= 0	mirovne lege
Slika 3. n.-to nihalo in njegova soseda k izpeljavi sil na nihalo v vodoravni smeri.
obravnavamo kot gibanje v vodoravni smeri. Sila palice na utež Fj je tedaj kar sorazmerna z odmikom xn: Fp = rng^f-, siia desne vzmeti je Fd = kxn+1 — kxn, leve pa F; = kxn — kxn+i. Po Newtonovem zakonu, ki povezuje vsoto teli sil s pospeškom uteži v vodoravni smeri, zapišemo
rnaT, = Ft + Fp + Fd .
iz znanega pospeška v času t bomo izračunali hitrost nihala v času i + Ai iz enačbe vn(t + Af) = vn(t) + a„Ai. Odmik bomo izračunali iz enačbe xn(t + A i) = xn(t) + vn(t)At + |o„.(i)(Ai)2. Obe enačbi veljata le pri enakomerno pospešenem gibanju. Če pa je časovni korak AI dovolj majhen, je natančnost računanja kljub temu, da se pospešek spreminja, zanesljiva. Računanje bomo seveda prepustili računalniku (vključimo čim več nihal v verigi), mi pa bomo opazovali odmike v zaporednih časih. Ker so računalniki izredno hitri, najlaže opazujemo rezultate tako, tla za vsak časovni korak izrišemo lege posameznih nihal v verigi na zaslon.
Sedaj se lotimo poskusov. Prvo nihalo naj niha sinusno z izbrano frekvenco in opazujmo gibanje ostalih nihal v verigi. S preskušanjem, še lažje pa z računom, ugotovimo, da valovanje v verigo ne prodre, če je njegova frekvenca nižja od mejne krožne frekvence teto = v/T- Niha le nekaj nihal blizu prvega, ostala nihala pa se po daljšem času povsem umirijo, kljub nenehnemu vzbujanju. Na sliki 4 smo odmike nihal v izbranem trenutku risali pravokotno na verigo, da je slika preglednejša. Prav tako se nihala, globlje v verigi ne zmenijo za vzbujanje, ki ima krožno
frekvenco večjo od = \J f + Tudi tu niha le nekaj začetnih nihal (slika 5). Krožni frekvenci uJ0 in Wi sta meji dovoljenega pasu. Valovanje s krožno frekvenco, ki je med tema mejama, se širi po verigi. Širjenje pa
jc nekoliko nenavadno, če ga primerjamo h širjenjem valovanja po napeti vrvi (slika 6). Pas frekvenc nad je zgornji prepovedani pas, pas pod u>o pa spodnji prepovedani pas.
Slika 4, Trenutna lega nihal, ko verigo dlje Časa vzbujamo s frekvenco v spodnjem prepovedanem pasu. Zaradi preglednosti smo odmik nihal risali pravokotno na verigo, kot da bi bilo valovanje transverzalno. V resnici je longitudinalno.
0.4 r------------
0.3 . 0.2
¡g
e o.i
S	■
o.o ...............................
-0.1
<1.2 ---------
0	20	40
n
Slika 5. Trenutna lega nihal, ko verigo dlje časa vzbujamo s frekvenco v zgornjem prepovedanem pasu. Slika je risana po predlogi slike 4.
	U.4	
odmik	0.3 0.2 0.1 0.0 -0.1	* . ■ ■ j» m * • • « • * « A Aa- • ;. •: v
	-0.2	• - V V
	-0.3	v
	-04	
0 20 40 60 80 10 n
Slika G. Trenutna lega nihal, ko vzbujamo prvo nihalo s frekvenco v dovoljenem pasu. Širjenje tega valovanje nekoliko spominja na ¡širjenje teinih valov na vodni gladini.
Pojav prepovedanih in dovoljenih pasov pri širjenju valovanja po verigi težnih nihal nekoliko osvetli pojav prepovedanih in dovoljenih energijskih pasov pri gibanju elektronov v kristali h. Razen teh pasov pa pojava nimata kake globlje stične točke, saj mehanično valovanje le v zelo grobih potezah spominja na valovanje, s katerim ponazorimo gibanje elektronov v kristalih. Včasih pa tudi oddaljene podobnosti kakega pojava z mehaničnim modelom pomagajo, da nenavadna dejstva iz fizike mik ros vet a laže sprejmemo.
Andrej Likar