PRESEK LETNIK
(20
014) ŠTEVILKA 5
I
fT i
li*
[< H - '
ж Г#......- '
KROŽNA KONSTANTA
IN SKRIVNOSTNI ROKOPIS
SENCA SLAMICE
ALI OBSTAJA ŽIVLJENJE
NA EKSOPLANETU MAJA?
POMOŽ ZA TRGOVSKEGA POTNIKA
ISSN 0351-6652
9 7 7 O 3 5 I □ □ 5 I 5 9
9770351665159
9770351665159
MATEMATIČNI TRENUTKI
KOLOFON
S
M anevriranje
vesoljskih
plovil

2
Čeprav mednarodne vesoljske postaje nikoli nismo prisiljeni parkirati bočno, so večkrat potrebni natančni manevri, ki spremenijo orientacijo vesoljskih plovil. Takšne rotacije v treh razsežnostih niso enostavne. Nekatera plovila si pomagajo s potiskom, druga pa izkoristijo vrtilno količino, ki je shranjena v žiroskopih in podobnih napravah. Ustrezna programska oprema si pri izraČčunih veČčinoma pomaga s kvaternioni, ki so nekakšna štirirazsežna posplo-šitev kompleksnih števil. Tako določimo pot, ki je potrebna za spremembo orientacije. S pomočjo diferencialnih enačb je potrebno poiskati optimalne poti, ki minimalizirajo potreben čas in porabo goriva.
Dodatno težavo pri manevriranju v prostoru povzročajo napake, do katerih pride pri združevanju dveh plovil. Pri pristanku se večkrat spremenijo fizikalne lastnosti plovil, npr. njihove simetrijske osi. Ena od metod, ki jo imenujemo tudi Optimalni pogonski manever, deluje tudi v primerih, ko se plovilu spremeni masa. Potisne šobe upravlja tako učinkovito, da je samo v prejšnjem letu privarčevala več milijonov dolarjev in več kot 1100 kilogramov goriva. Število potiskov zmanjša na najmanjše možno število s pomočjo linearne algebre in aproksimacije funkcij. S tem zmanjša tudi strukturno obremenitev postaje in tako podaljša njeno življenjsko dobo.
Če vas ta tema bolj zanima, si preberite članek Optimal Propellant Maneuver Flight Demonstrations on ISS v reviji Američan Institute of Aeronautics and Astronautics, ki so ga leta 2013 napisali S. Bhatt, N. Bedrossian in L. Nguyen._x x x
PRESEK 41 (2013/2014) 5
Presek
list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje letnik 41, šolsko leto 2013/2014, številka 5
Uredniški odbor: Vladimir Batagelj, Tanja Bečan (jezikovni pregled), Mojca Čepič, Mirko Dobovišek, Vilko Domanjko, Bojan Golli, Andrej Guštin (astronomija), Marjan Jerman (matematika), Martin Juvan, Maja Klavžar, Damjan Kobal, Lucijana Kračun Berč (tekmovanja), Peter Legiša (glavni urednik), Andrej Likar (fizika), Matija Lokar, Aleš Mohorič (odgovorni urednik), Marko Razpet, Andrej Taranenko (računalništvo), Marija Vencelj, Matjaž Vencelj, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik).
Dopisi in naročnine: DMFA-založništvo, Presek, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, telefon (01) 4766 553, telefaks (01) 4232 460, 2517 281.
Internet: www.presek.si Elektronska pošta: presek@dmfa.si
Naročnina za šolsko leto 2013/2014 je za posamezne naročnike 18,00 eur - posamezno naročilo velja do preklica, za skupinska naročila učencev šol 15,75 eur, posamezna številka 3,76 eur, dvojna številka 6,89 eur, stara številka 2,71 eur, letna naročnina za tujino pa znaša 25 eur.
Transakcijski račun: 03100-1000018787.
Devizna nakazila: SKB banka d.d. Ljubljana, Ajdovščina 4, 1513 Ljubljana, swift(bic): SKBASI2X, iban: SI56031001000018787.
List sofinancira Javna agencija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofinanciranje domačih poljudno-znanstvenih periodičnih publikačij.
Založilo DMFA-založništvo
Oblikovanje Tadeja Šekoranja
Tisk Tiskarna Pleško, Ljubljana
Naklada 1400 izvodov
© 2014 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije - 1932
Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno.
Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana.
NAVODILA SODELAVCEM PRESEKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV

Presek objavlja poljudne in strokovne članke iz matematike, fizike, astronomije in računalništva. Poleg člankov objavlja Prikaze novih knjig s teh področij in poročila z osnovnošolskih in srednješolskih tekmovanj v matematiki in fiziki. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralčev, učenčem višjih razredov osnovnih šol in srednješolcem.
Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev) in sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo). Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma razumemo ločeno od besedila. Slike v elektronski obliki morajo biti visoke kakovosti (jpeg, tiff, eps, ...), velikosti vsaj 8 cm pri ločljivosti 300 dpi. V primeru slabše kakovosti se slika primerno pomanjša ali ne objavi. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (čopyri-ght). Zaželena velikost črk je vsaj 12 pt, razmak med vrsticami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku na naslov uredništva DMFA-založništvo, Uredništvo revije Presek, p. p. 2964, 1001 Ljubljana ali na naslov elektronske pošte presek@dmfa.si.
Vsak članek se praviloma pošlje vsaj enemu anonimnemu recenzentu, ki oceni primernost članka za objavo. Če je prispevek sprejet v objavo in če je besedilo napisano z računalnikom, potem uredništvo prosi avtorja za izvorne datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različič urejevalnikov TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu.
MATEMATIČNI TRENUTKI
2 Manevriranje vesoljskih plovil
4-9
9-11
12-13
14-15
18-21
22-26
27-29
MATEMATIKA
Krožna konstanta in skrivnostni rokopis
(Marko Razpet)
Prostornina sodov
(Janez Strnad)
Pravokotne ure
(Miha Mihovilovič)
FIZIKA
Razmisli in poskusi - Odgovori
na vprašanja iz prejšnjih številk Preseka
(Mitja Rosina)
Senca slamice
(Nada Razpet)
ASTRONOMIJA
Ali obstaja življenje na eksoplanetu Maja? (Gorazd Planinšič in Rick Marshall)
RAČUNALNI ČTVO
Pomoč za trgovskega potnika (Aleksander Vesel)
16-17
30-31
RAZVEDRILO
Križne vsote
Rešitev nagradne križanke Presek 41/4
(Marko Bokalič)
Nagradna križanka
(Marko Bokaličč)
Naravoslovna fotografija -
Velike Sončeve pege
(Andrej Guštin)
priloga
priloga
priloga
Ü
priloga
t I
TEKMOVANJA
49. tekmovanje iz matematike za Vegovo priznanje -področno tekmovanje 49. tekmovanje iz matematike za Vegovo priznanje -državno tekmovanje 33. tekmovanje iz fizike za bronasto Štefanovo priznanje -šolsko tekmovanje 33. tekmovanje iz fizike za srebrno Štefanovo priznanje -regijsko tekmovanje
Slika na naslovnici: Žled je ledena prevleka na rastlinah in predmetih na zemeljskem površju. Nastane po obdobju hladnega vremena, ko toplejši in vlažni zrak pride nad ohlajeno površje. Iz oblakov pada dež, ki se na poti do tal podhladi, tako da je v kapljicah voda pod lediščem. Ko kapljice dosežejo mrzla tla, tam zmrzujejo v vedno debelejšo plast ledu. Žled povzroča škodo na rastlinju, saj se led obdrži na veji, tudi ko se veja povesi. Foto: Aleš Mohorič




'/У
Krožna konstanta in skrivnostni rokopis
Marko Razpet
-» O številu n, krožnem številu ali krožni konstanti, to je o razmerju med obsegom in premerom kroga, je bilo v Preseku že veliko napisanega. Kljub temu pa ne bi škodilo, če celotno zgodbo dopolnimo še z nekaterimi, verjetno za marsikoga manj znanimi dejstvi. Morda je celo pravi čas, da to naredimo, kajti v letu 2014 praznujemo 260-letnico rojstva barona Jurija Vege in 200-letnico rojstva viteza Franca Mocnika. Oba matematika sta omenjena v nadaljevanju.
Dolgo casa, od Arhimeda iz Sirakuz (živel je približno od leta 287 do leta 212 pred našim štetjem) pa vse do Isaaca Newtona (1643-1727), so število n računali z metodo krogu včrtanih in očrtanih pravilnih večkotnikov, po tako imenovani arhimedski metodi. Najbolje to razumemo, če začnemo s pravilnim šest-kotnikom, izračunamo njegov obseg in ga delimo s premerom kroga, kateremu je bil včrtan (tabela 1). Dobimo prvi približek za število n. Nato preidemo na pravilni 12-kotnik, včrtan istemu krogu, izračunamo njegov obseg in ga delimo s premerom kroga. Dobimo drugi, boljši približek za število n. Sledi pravilni 24-kotnik in nov približek za n. Tako nadaljujemo do pravilnega 3 ■ 2n-kotnika, pri čemer na vsakem koraku iz straniče prejšnjega pravilnega več-kotnika izračunamo straničo naslednjega pravilnega večkotnika.
Krogu s polmerom r = 1 včrtamo in očrtamo pravilni n-kotnik s straničo sn oz. Sn. Oba razdelimo na enakokrake trikotnike z vrhom v središču O kroga (slika 1). Na sliki sta načrtana dva taka enakokraka trikotnika: tisti od včrtanega n-kotnika ima osnov-ničo AB z dolžino sn, oni od očrtanega n-kotnika pa ima osnovničo CD z dolžino Sn.
SLIKA 1.
Stranici krogu včrtanega in očrtanega večkotnika.
Kot ob vrhu je 2n/n (na sliki je označena poloviča tega kota) in brez težav izrazimo straniči
■	Sn = 2 sin(n/n), Sn = 2 tg(n/n)
ter ustrezna obsega, on = nsn in On = nSn. Očitno je S6 = 1 in S6 = 2V3/3.
Kaj je dolžina daljiče ali pa iz daljič sestavljene krivulje, je lahko razumeti, medtem ko je dolžina poljubne krivulje, s tem pa tudi dolžina krožnega loka, nekoliko težji pojem. Vzdolž krivulje od začetne točke Z proti končni točki K po vrsti poljubno izberemo točke T1,T2,..., Tm-1 in seštejemo razdalje:
■	IZT1I + IT1T2I + ... + |Tm-1K|.
To je približek dolžine krivulje med Z in K. Ce kakšno točko na krivulji med Z in K dodamo, dobimo kvečjemu več. Za razdalje namreč velja trikotniška neenakost. Toda točke od Z do K lahko izberemo
na nešteto načinov in dobimo nešteto ustreznih vsot dolžin. Katero sedaj izbrati za dolžino krivulje? Navadno nobene od teh. Za dolžino vzamemo natančno zgornjo mejo l, to je najmanjšo zgornjo mejo vseh vsot dolžin, dobljenih na opisani način. Ce so vse te vsote navzgor omejene, potem natanko eno tako število l zaradi narave realnih števil tudi obstaja in ga imenujemo dolžina krivulje med točkama Z in K.
Sedaj nas zanima krožni lok med točkama A in B na sliki 1. Izberimo na tem loku točki X in Y. Njuni pravokotni projekčiji na tetivo AB sta X' in Y'. Da-ljiči X'X in Y' Y podaljšamo do točk X" in Y" na daljiči AD oziroma DB. Očitno je zaradi lastnosti trikotnikov |X'Y'| < |XY| < |X"Y"|. Ce vzdolž krožnega loka od A do B kakorkoli po vrsti izberemo točke T1,T2,..., Tm-1, potem je zaradi prejšnje ugotovitve
■ Sn = |AB| < IAT1I + IT1T2I + ... + |Tm-1B| < I AD I + I DB I = Sn.
Torej obstaja dolžina ln krožnega loka med A in B in velja. sn < ln < Sn. Obseg kroga l je seveda nln in posledično je nsn < nln < nSn, zato za obseg kroga l za vsak n velja relačija on < l < On. Za razmerji med obsegoma in premerom krogu včrtanega in očrtanega pravilnega n-kotnika, ki ju ustrezno označimo s wn = on/2 in Wn = On/2, ter za razmerje med obsegom in premerom kroga, to je n = l/2, velja za vsak n relačija nn < n < Wn. Z rastočim n se razlika Wn - nn manjša in je za dovolj velik n manjša od še tako majhnega pozitivnega števila. Pri tem zaporedje {nn} narašča, zaporedje {Wn} pa pada proti istemu številu, to je ravno n. Vsak nn je spodnji, vsak Wn pa zgornji približek števila n.
Naloga 1. Načrtajte grafa funkčij x ^ sin x/x in X ^ tgx/x na intervalu (-n/2,n/2) in s pomočjo grafov preverite, da zaporedje {wn} narašča, zaporedje {Wn} pa pada proti istemu številu, in sičer proti številu n.
Med straničama sn in s2n ter med Sn in S2n obstajata zvezi
S2n = V 2 -V 4 - sn, S2n = 2
4 + Sn - 2
Sn
(1)
Z relačijama (1) lahko izračunamo zgornje in spodnje približke števila n, to je n2n in W2n. Nekaj približkov, zapisanih na 10, izračunanih pa na nekaj več dečimalk, je zbranih v tabeli 1. Avtor seveda ni računal približkov v tej in naslednjih tabelah tako, kot so delali nekoč, ampak z računalniškim programom derive, ki obvlada veliko dečimalk.
n	Wn	Wn
6	3,00000 00000	3,46410 16151
12	3,10582 85412	3,21539 03091
24	3,13262 86132	3,15965 99420
48	3,13935 02030	3,14608 62151
96	3,14103 19508	3,14271 45996
192	3,14145 24722	3,14187 30499
384	3,14155 76079	3,14166 27470
768	3,14158 38921	3,14161 01766
1536	3,14159 04632	3,14159 70343
3072	3,14159 21059	3,14159 37487
6144	3,14159 25166	3,14159 29273
12288	3,14159 26193	3,14159 27220
24576	3,14159 26450	3,14159 26707
49152	3,14159 26514	3,14159 26578
98304	3,14159 26530	3,14159 26546
196608	3,14159 26534	3,14159 26538
393216	3,14159 26535	3,14159 26536
TABELA 1.
Spodnji in zgornji približki števila n.
Naloga 2. Zapišite izraza za s2n in S2n ter preverite relačiji (1) s trigonometričnimi formulami.
Namesto s pravilnim šestkotnikom lahko začnemo tudi s kvadratom. Delo je očitno zamudno in nekateri so tako računali v potu svojega obraza število n tudi po več let. Samo ugibamo lahko, o čem so pri tem razmišljali. Je pa res, da je razvoj znanosti terjal vedno bolj natančne vrednosti matematičnih in drugih konstant.
Pomembno vlogo pri računanju števila n, pravzaprav t = 2n, je odigral zdravnik, matematik in astronom Al-Kaši, ki se je rodil okoli leta 1380 v Iranu, znanstveno pa deloval v Samarkandu v današnjem Uzbekistanu, kjer je leta 1429 tudi umrl. Znan je po marsičem, omenimo le nekaj njegovih

—^ del. Na veliko decimalk je izračunal sin1° z itera-cijo, o cemer smo že pisali v Preseku, z uporabo pravilnega 3 ■ 228-kotnika pa je okoli leta 1424 našel na devet šestdesetiških mest za celim delom število: t = 6; 16, 59, 28,01, 34, 51,46,14, 50. Zapis pomeni t = 6 + 16 ■ 60-1 + 59 ■ 60-2 + 28 ■ 60-3 + ..., kar je v desetiškem sistemu t = 6,283 185 307179 5864 in je pravilno na 16 decimalk.
Druga zanimivost je kosinusni izrek za ravninske trikotnike. Izrek povezuje stranice trikotnika a,b,c z enim njegovim notranjim kotom, npr. s kotom у, ki je nasproti stranice c: c2 = a2 + b2 - 2ab cos у. Do Al-Kašija sta bila znana kosinusna izreka (za stranice in kote) za sferne trikotnike, ki so ju uporabljali v astronomiji. Kosinusni izrek za ravninske trikotnike je v bistvu zapisal že Evklid v svojih Elementih, le da ni uporabljal funkcije kosinus, ampak ustrezno pravokotno projekcijo. Ko je kosinusni izrek, ki ga je odkril Al-Kaši, prišel na Zahod, so ga nekateri imenovali Al-Kašijev izrek. Francozi v Franciji mu še vedno pravijo Théorème d'Al-Kashi, v drugih deželah, kjer govorijo francosko, pa Loi des cosinus, kar dobesedno pomeni kosinusni zakon.
Ludolph van Ceulen (1540-1610) je polovico svojega življenja porabil za izracun števila n po arhi-medski metodi in svoje delo okronal s 35 tornimi decimalkami. Ocitno se je uporabljena metoda izcr-pala.
Do Newtona bistvenega napredka v racunanju decimalk števila n ni bilo. Newton ga sicer ni izracu-nal na vec kot 15 decimalk, je pa uporabil novost, in sicer številske vrste. Vzel je krog, omejen s kro-žnico X2 + y2 = X, od katerega je s premico x = 1/4 odrezal odsek, in zapisal njegovo plošano S na dva nacina: kot razliko plošcin krožnega izseka z notranjim kotom 2n/3 in temu vcrtanega enakokrakega trikotnika ter z integralom funkcije x ~ Vx - x2 na intervalu [0,1/4]:
1 2n_ 1 . 2n _ 2
S 2 ■ 22 ■ 3 2 ■ 22 ■sin 3 2
1/4
Vx - X2 dx.
Ker je že poz al bi omsko vrsto, mu to i bilo težko, brez zadrege jo je clenoma integriral in nazadnje dobil:
n = M ■ 2 _ 24 V n(2n - 2)!
•	24(2n + 3)24n+i(n!)2.
SLIKA 2.
Krožni odsek, ki nam pomaga izraziti število n.
Seštel je nekaj clenov dobljene vrste, izracunal še л/3, pri cemer je vse delal na primerno število decimalk in leta 1666 našel približek za število n na 15 decimalk natanmo. Tabela 2 kaže, kako raste število tocnih decimalk, ko v zgornji vrsti upoštevamo prvih m clenov in dobimo približke nm števila n.
m
10 20 30 40 50 60

3,14159 26541 3,14159 26535 3,14159 26535 3,14159 26535 3,14159 26535 3,14159 26535
65068 11554 89793 35498 89793 23846 89793 23846 89793 23846 89793 23846
17997 46458 34596 47026 26864 65927 26433 83300 26433 83279 26433 83279
4
TABELA 2.
Približki števila n po Newtonovi metodi.
0
V tistih Casih je bila že znana vrsta
arctg X = ^ (-1)
n= 0

2n +1
2n + 1'
(2)
ki konvergira, Ce je \x\ < 1. Ponovno jo je odkril James Gregory (1638-1670). Ponovno zato, ker jo je poznal že Indijec Madhava iz Sangamagrame (13401425) v obliki, ki jo dobimo, Ce v (2) x zamenjamo s tg ф, pri Cemer mora za konvergenco veljati
I tgф\ < 1.
Vrsta (2) konvergira tem hitreje, Cim manjši je x. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) je vedel, da za X = 1 dobimo vrsto
п
=4
n=0
(-1)n 2n + 1 '
ki pa zelo poCasi konvergira. Za borih deset toCnih decimalk števila п je treba sešteti kakšnih pet milijard njenih Clenov.
Abraham Sharp (1653-1742) je v vrsto (2) vstavil X = л/3/3, dobil po poenostavitvi vrsto
п = 2V3 ^
(-1)n
n=0
3n(2n + 1)
(3)
in uspel leta 1699 najti 71 toCnih decimalk števila п. Formula je nerodna zaradi faktorja v3, ki ga je treba tudi izraCunati na veliko število decimalk.
Na sreCo pa imajo trigonometriCne funkcije adi-cijske izreke s svojimi posledicami, s katerimi dosežemo mnogo hitrejšo konvergenco. Ena takih je Machinova formula
п = 4(4 arctg1 - arctg 239)
(4)
There are various other ways of finding the Length, or Areas of particular Curve Lines, or Phnes, which may very much facilitile the Praöice ; as for Infrante, in the Circle, the Diameter is to Circumference as 1 to
id
5
4 23 9
16
5s
x-K
16

239} ' ' 5r 239'
3= x. This Series (among others for the fame purpofe, and drawn from the fame Principle) I re-ceiv'd^ from the Excellent Anaiyft, and my much E-fteem'd Friend Mr, $оЬпЯЛлсЫп ; and by means thereof, Ум Cenleti s Number, or that in Art. Ć4.38. may be Examin'd with all deiireable Eafe and Difpàtcb.
poimenovana po Johnu Machinu (1680-1751), ki je oba Clena v (4) po formuli (2) razvil v vrsti, seštel dovolj Clenov in izraCunal število п na 100 pravilnih decimalk. Pri tem je ocitno potekal ves racun samo z racionalnimi števili. William Jones (1675-1749) je leta 1706 v delu Synopsis Palmariorum Matheseos opisal Machinov uspeh z vsemi stotimi decimalkami števila п, avtorja zelo pohvalil glede natanCnosti in predlagal, da se krožno konstanto oznaCi s п, ker je to prva Crka grške besede nep^épeia, kar pomeni obod, krog (slika 3). To besedo uporablja tudi Ev-klid v svojih Elementih. Formulam, ki so oblike (4), v
SLIKA3.
Kako je William Jones označil krožno konstanto.
katerih je lahko tudi veC Clenov z arctg racionalnega števila, pravimo formule Machinovega tipa.
Thomas Fantet de Lagny (1660-1734) je bil še bolj vztrajen kot Sharp, kajti z vrsto (3) je leta 1719 izraCunal število п na 127 decimalk, dve leti kasneje pa je bil rezultat objavljen. Prvih 112 decimalk je v De Lagnyjevem rezultatu toCnih, 113. decimalka pa je napaCna (namesto 8 je zapisano 7), naslednje, od 114. do 127. pa so pravilne. Morda gre pri ne-sreCni 113. decimalki le za napako pri prepisovanju ali stavljenju v tiskarni. Kot kaže, se dolgo vrsto let z raCunanjem števila п nihCe ni veC resno ukvarjal in kot najboljši dotakratni rezultat so po matematiCnih besedilih navajali objavljeni De Lagnyjev približek z napako na 113. decimalki vred.
Leonhard Euler (1707-1783) je pri vsem svojem ogromnem delu razvil tudi nekaj formul Machinovega tipa za izraCun števila п. Sam z raCunanjem krožne konstante ni izgubljal dragocenega Casa, izraCunal je na hitro le 20 njenih decimalk leta 1755. S svojim velikim vplivom pa je dosegel, da se jo še danes oznaCuje s п, kar je prvi predlagal omenjeni Jones.
Baron Jurij Vega (1754-1802) je uporabljal formule Machinovega tipa in leta 1789 poslal akademiji znanosti v Sankt Peterburg svoj izraCun števila п na 143 decimalk z opisom postopka vred. Bil je prepri-Can, da je 140 decimalk toCnih, v resnici pa jih je bilo toCnih samo 126. Je pa odkril, da je 113. De Lagny-jeva decimalka 8, ne pa 7. Akademija je z objavo zakasnila: namesto leta 1791 je luC sveta Vegov п v Rusiji ugledal šele leta 1795. Toda Vega je najbrž sam

ugotovil napako in leta 1794 v dodatku k svoji Popolni zakladnici logaritmov objavil število n na 140 decimalk, od katerih pa so zadnje štiri spet napačne. Isti rezultat so ponatisnili še 15 let po Vegovi smrti v njegovem učbeniku. Ker boljšega rezultata tisti čas ni bilo, nihče pravzaprav ni vedel, katere decimalke od 126. naprej so pravilne.
Sledi glavno presenečenje. Leta 1822 je Bernhard Friedrich Thibaut (1775-1832), profesor matematike v Göttingenu, v svojem učbeniku objavil 157 deči-malk števila n. Na tamkajšnji univerzi je takrat deloval tudi Carl Friedričh Gauß (1777-1855), najboljši takratni matematik sploh. Pravijo, da Gauß ni nič kaj rad predaval, kajti Thibaut ga je kot predavatelj popolnoma zasenčil. Od kod sedaj Thibautu število n na toliko dečimalk? Ce pa pozorno pogledamo v njegov učbenik, opazimo napako že na 10. dečimalki: namesto 5 piše 9. Naslednja napaka je na 108. de-čimalki: namesto 6 stoji 3. Potem sledijo pravilne dečimalke vse do 127. Sledita popolnoma napačni dečimalki 4 in 6, za katerima pa je šest pravilnih de-čimalk, samo da so za dve mesti pomaknjene v desno. Sledi dečimalka 1, ki je napačna, nato pa kar 19 pravilnih dečimalk, ki so za tri mesta pomaknjene v desno. Zadnji dve, 156. in 157. pa sta napačni. Verjetno so napake nastale pri prepisovanju ali stavljenju v tiskarni, kajti v naslednji izdaji učbenika leta 1831 sta popravljeni 10. in 108. dečimalka, izpuščene so vrinjene dečimalke 4, 6 ter 1 in tako natiskano število n je popolnoma pravilno na 152 dečimalk. Napačni sta le zadnji dve, 0 in 2, kar se lepo vidi v tabeli 3, v kateri je zapisanih nekaj dečimalk, od vključno 126. naprej.
V tabeli 3 kratiča in letniča pomenita, kdo in kdaj je približek števila n objavil oz. poslal v objavo: L — De Lagny, V — Vega, T — Thibaut, R — Rutherford, D — Dase. Prečrtane števke so napačne, podčrtane pa odveč. Thibaut je sičer opisal postopek za izračun, ni pa navedel, od kod mu 154 dečimalk, od tega kar 152 pravilnih.
Leta 1841 je William Rutherford (1798-1871) objavil 208 dečimalk števila n, ki ga je izračunal po formuli Mačhinovega tipa. Opisal je postopek in zapisal, da se njegov izračun zagotovo ujema na 152 dečimalk z izračunom na rokopisu, ki leži v Radčliff-ski knjižniči v Oxfordu. Fizik John Radčliffe (16521714) pa je tisti, po katerem je knjižniča dobila ime. Žal je bilo kljub vsemu trudu samo teh 152 dečimalk
		111 3 4 5 0 0 0
	prav	46095505822317253594081284811174...
L	1719	46
V	1789	
V	1794	460955058226136
T	1822	
T	1831	46095505822317253594081284802
R	1841	4609550582231725359408128484737$-..
D	1844	46095505822317253594081284811174...
TABELA 3.
Zadnje decimalke objavljenih približkov števila n.
točnih, vse nadaljnje pa napačne, o čemer Rutherford ni mogel vedeti, ker boljšega rezultata ni bilo. Na vprašanje, ki ga mu je nekdo zastavil leta 1842 glede rokopisa v Oxfordu, je odgovoril, da ga sičer sam ni videl, da pa o njegovem obstoju ne dvomi, češ daje naveden z vsemi do takrat znanimi dečimal-kami v Penny Cyclopaedia, Vol. XIX iz leta 1841. Pod geslom Quadrature of the circle je res opisana vsa problematika v zvezi z obsegom in ploščino kroga ter seveda z računanjem števila n. Med drugimi je omenjen tudi Vega in njegovih 140 dečimalk. Pomemben pa je zapis, da je grof Franz Xaver Začh (1754-1832), priznani astronom, seznanil Montučla o Radčliffskem rokopisu. Frančoz Jean-Étienne Montučla (1725-1799) je bil uveljavljeni zgodovinar matematike. Ce je to res, je nekdo izračunal število n na 152 točnih dečimalk že pred letom 1800. Očitno pa so ga prepisovali in pošiljali naokoli. Verjetno ga je tako dobil tudi Thibaut. Ostaja pa popolna skrivnost, kdo je avtor omenjenega rokopisa. Novejše uradne kronologije števila n v Radčliffskem rokopisu niti ne omenjajo.
Leta 1844 je Johann Martin Začharias Dase (18241861) izračunal 200 točnih dečimalk števila n po neki drugi formuli Mačhinovega tipa. Formulo je izpeljal Leopold Karl Sčhulz von Straßnitzki (1803-1852). Rezultat je bil objavljen v nemški reviji Crelle's Journal, kar je popularno ime za Journal für die reine und angewandte Mathematik, ki izhaja še danes, ustanovil pa jo je leta 1826 matematik August Leopold Crelle (1780-1855).
Nevertheless the ratio was consecutively carried to 75 places by Abraham Sharp, to 100 by Machin, and to 128 places by De Lagny, and at the end of the last century to 140 places by Vega. And Baron Zach informed Montucla that he had вееп a manuscript in the Radclifife Library at Oxford, in which it was carried to 154 places.
Vegas result, which, as far as it goes, is confirmed by those of Machin and De Lagny, is as follows :— 3* 14169 26535 89793
14169 58209 74944 82148 08651
32823
93846 /8164 06647
26433 06286 09384
83279 20899 46095
50289 86280 50562
41971 69399 37510 34845 34211 70679 26136
But the Oxford manuscript gives as the ending (according to Montucla)—
46095 50582 23172 53594 08128 4802
SLIKA 4.
Penny Cyclopaedia 1 841 ; detajl.
Straßnitzki takoj za petimi vrsticami decimalk števila n predstavi Daseja iz Hamburga kot nadpov-preCnega raCunarja, sposobnega raCunanja na pamet z dolgimi veCmestnimi števili. Dase se je preživljal s tem, da je po gostilnah za denar na pamet raCunal s takimi števili. Ravno zaradi izjemne sposobnosti je Straßnitzki najel Daseja kot nekakšno živo raCunalo, da mu je izraCunal krožno konstanto na 200 deCi-malk, in to v dveh meseCih. Mimogrede omeni tudi dokument v RadCliffski knjižniCi in ujemanje Dase-jevega izraCuna na prvih 152-ih deCimalkah. Prosil je Celo oblasti, da bi mlademu Daseju pomagale najti primerno službo. Žal je Dase prej umrl, preden je dobil stalno zaposlitev.
Straßnitzki, rojen v Krakovu, je študiral matematiko, fiziko in še nekatere druge vede na Dunaju. Med letoma 1827 in 1834 je predaval matematiko na ljubljanskem liCeju in našega FranCa MoCnika (18141892), bodoCega matematiCnega pedagoga in pisCa matematiCnih uCbenikov, navdušil za študij matematike. V Ljubljani je Straßnitzki imel veC javnih predavanj iz višje matematike in astronomije. Iz Ljubljane je odpotoval v Lvov, kjer je leta 1834 doktoriral in postal univerzitetni profesor. Nazadnje pa se je ustalil na Dunaju, kjer je razmeroma mlad umrl.
Za koneC omenimo, daje Rutherford še enkrat stisnil zobe in število n leta 1853 izraCunal na 440 toC-nih deCimalk. Takrat je bilo drugaCe: primerjal se je lahko z Williamom Shanksom (1812-1882), ki je istega leta izraCunal 527 toCnih deCimalk. _XXX
Prostornina sodov
Ф nI/ Ф
Janez Strnad
-> Johannes Keplerje sicer najbolj znan po treh zakonih o gibanju planetov (1609 in 1618). Odkril pa je tudi vecino spoznanj geometrijske optike, ki jo vsebujejo današnji srednješolski uCbeniki. Med drugim je tako navedel približek a/ß = n za lomni zakon, ki ga tedaj še niso poznali in ga še dandanes uporabljamo pri preprostih raCunih za leCe. Obravnaval je tudi sestave leC ter predlagal daljnogled z dvema zbiralnima leCama. Po obliki snežink je sklepal, da kristale sestavljajo gosto naložene krogliCe.
Leta 1613 je trta obilno obrodila in na donavski obali v Linzu so živahno trgovali ter nalagali sode z vinom na ladje. Tudi Kepler je kupil nekaj sodov. Postal je pozoren na to, kako je trgoveC izmeril prostornino vina in doloCil Ceno. Skozi odprtino na sredi zgornjega dela ležeCega soda je poševno segel do dna z merilno paliCo. Na paliCi je odCital, do kod je segalo vino, in po tem doloCil Ceno. Kepler spo-Cetka temu ni zaupal in se je zadeve lotil z matematiko. Hitro je sestavil kratek rokopis, ki pa je obtiCal pri tiskarju. Kasneje je v njem popravil napake in besedilo dopolnil; leta 1615 je tako izšla Nova stereometrija vinskih sodov. V njej je izraCunal prostornino 92 razliCnih teles, ki so nastala z vrtenjem dela krožniCe, elipse, parabole ali hiperbole. S tem je Kepler naredil enega od korakov proti diferenCialnemu raCunu, ki sta ga kasneje razvila IsaaC Newton in Gottfried Wilhelm Leibniz (slika 3). Telesa je poimenoval po plodovih s podobno obliko: jabolko, sliva, limona. . . Paul Guldin, s katerim si je Kepler dopisoval, je opozoril, da so nekateri Keplerjevi sklepi le
->
PRESEK 41 (2013/2014) 5
9
—^ približni, drugi pa povsem zgrešeni. Po Keplerjevi zaslugi pa so se matematiki zaceli podrobneje ukvarjati z vrteninami.
A vrnimo se k sodom.
Uradno imenovani cenilci - »vizirci« - so na opisani način z merilno palico segli v sod poševno do osnovne ploskve na eno in na drugo stran. Upoštevali so povprecje potopljene dolžine, ce sod morda ni bil cisto simetricen ali ni stal na cisto vodoravni podlagi.
Keplerja je zanimala predvsem prostornina soda, to je prostornina vina v zvrhano polnem sodu. Vzemimo, da je sod valj s premerom 2r in dolžino L (sliki 1 in 2). Prostornina je zmnožek plošcine osnovne ploskve, to je kroga pb = nr2, in dolžine Vb = pbL = nr2L. Od sredine soda na vrhu do spodnjega roba vodi diagonala v polovici osnega preseka
D = д/(2r)2 + (\l)2. Z njo je Kepler izrazil kvadrat polmera r2 = 4D2 - 16L2 in dobil za prostornino soda Vb = n(4LD2 - ^L3). Vprašal se je po razmerju L/(2r) za sod, ki ima pri dani diagonali D naj-vecjo prostornino. Iz zahteve, daje odvod dVb/dL = n(4D2 - 16L2) = b, je izlušcil zvezo D2 = iL2 = (2r)2 + 1gL2 in koncno dobil L/(2r) = v2. Ugotovil je, da to presenetljivo dobro ustreza »avstrijskim« sodom. Pomislil je celo, da ne gre za nakljucje. Prostornina takega soda Vb = nD3/(3л/3) je sorazmerna s kubom diagonale D. Z merjenjem diagonale je potemtakem mogoce ugotoviti prostornino soda. Najbolje je na merilno palico narisati kubimo skalo.
SLIKA 2.
Keplerjeva risba soda.
Zares je sorazmernostni koeficient odvisen od razmerja med 2r /L. Vendar zaradi zahteve dVb/dL = b odvisnost ni izrazita. Kepler se je preprical, da je rezultat uporaben tudi za »avstrijske« sode z rahlo izbocenim plašcem.
Kepler se je vprašal, ali je mogoce na opisani nacin ugotoviti tudi prostornino vina v sodu, ki ni zvrhano poln. Namignil je, da je to pomembno vprašanje za gospodarja, ce ga skrbi, da kdo brez njegove vednosti prazni sod. Na to vprašanje odgovorimo po svoje.
I i r-'-'1 m \ 2m	L
\ i \ r - h	^ 11 / 2l /
/ ^	f V h
/ i /d / ]	l \ r - h r \
L
2r
SLIKA 1.
Pogled na sod z vinom v smeri osi (levo) in pravokotno nanjo (desno).
Gladina vina v sodu je vodoravna in njegova prostornina je V = pL, ce je p ploščina spodnjega krožnega odseka. Plošcino odseka dobimo, ko od plošcine krožnega izseka s središčnim kotom ф odštejemo ploščino trikotnika:
■ p = 1 r ■ гф - 2Ih = 2r2(ф - sinф).
Upoštevali smo, da je l = 2r sin1 ф, h = r cos 1 ф in Ih = 2r sin1 ф ■ r cos 1 ф = r2 sin ф.
Višina vina r - h je proti premeru soda 2r v enakem razmerju kot potopljeni del merilne palice d proti diagonali D:
d h -r 1 /h _
D = 2r = 2 V r -
Razmerje med prostornino vina in prostornino soda je
V
V0
1 r2(ф - sin ф)L
= T1 (ф - sinф). 2n
nr 2 L
Iz zveze h = r cos 1 ф izracunamo:
ф = 2 arccos(h/r) = 2 arccos(1 - 2d/D).
Tako naposled dobimo V 1
— = — [2 arccos(1 - 2d/D) -V0 2n
- sin (2 arccos(1 - 2d/D))],
d/D
SLIKA 4.
Razmerje prostornin delno praznega in polnega soda V/V0 v odvisnosti od razmerja d/D (debelejša krivulja). Približek V/V0 = d/D (tanjša krivulja) se od tega razlikuje kvečjemu za 0,06.
Diagram kaže, da je dober približek te funkcije V/V0 = d/D (slika 4). (Najvecja napaka doseže 0,06.) Ker izrazimo prostornino z razmerjem V/V0 in dolžino d z razmerjem d/D, lahko na opisani nacin v dobrem približku ugotavljamo tudi prostornino vina v sodu, ki ni poln. Kaže tudi, da Keplerjevi sodobniki prostornine sodov niso merili natancno. Izražali so jo namrec v vedrih (Eimer); »avstrijsko« vedro je imelo 56,6 litra. Po tem sklepamo, da so se lahko zmotili za vec litrov.
SLIKA 3.
Tako je Kepler pojasnil enačbo za ploščino kroga nr2. Krog je razdelil na vse večje število vse ožjih krožnih izsekov, ki so se vse manj razlikovali od trikotnikov. Nazadnje je izračunal ploščino kroga kot ploščino trikotnika, ki ima za osnovnico obseg kroga in za višino polmer. Arhimedov način dokazovanja se je marsikateremu Keplerjevemu sodobniku zdel težaven. Keplerje za n uporabil 22/7, čeprav je poznal boljše približke.
_XXX
Pravokotne ure
ффф
Miha Mihovilovič
-> V nedeljo mi je Janez zastavil zanimivo nalogo, ki se je spominja še iz mladosti. Zanimalo ga je, kolikokrat na dan ter ob katerih časih kazalca na uri oklepata pravi kot. Takoj sem začel razmišljati o rešitvi.
Urni kazalec za en obhod potrebuje dvanajst ur, kar pomeni, da se giblje s kotno hitrostjo ши = h-1. Minutni kazalec za isto pot potrebuje le eno uro in ima zatorej kotno hitrost шм = h-1. Denimo, da kroženje kazalcev zaCnemo opazovati toCno opolnoCi, ko sta kazalca poravnana v navpiCni legi. Ker se kazalca gibljeta enakomerno, njuna trenutna odklona od navpicnice фи, фм izracunamo tako, da njuni kotni hitrosti pomnožimo s trenutnim casom t. Kot med kazalcema Дф potemtakem do-loca razlika med njunima odklonoma:
Дф = |фм(t) - Фи(t) | ,
фм = Шм t, фи = Ши t. (1)
Čase tn, pri katerih kazalca oklepata pravi kot, poi-šcemo tako, da rešimo enacbo:
Periodo nn potrebujemo zato, da poleg kota Дф = n/2 upoštevamo tudi kot Дф = 3n/2, ko se minutni kazalec nahaja na nasprotni strani ure, ter vse nadaljne kote, ko minutni kazalec zacne prehitevati urnega (glej sliko 1). Uporabimo izraz (1) v enacbi (2):
11П
■ |Шм - Шн | tn = —T" tn = n/2 + nn,
6h
n = 0,1, 2,...
Če od tod izrazimo tn, dobimo koncno formulo, po kateri izracunamo case, ko kazalca na uri oklepata pravi kot:
3
tn = (2n + 1) 11 h,
n = 0,1, 2,...
(3)
Kolikokrat na dan pride do omenjenega pojava, izra-cunamo tako, da iz enacbe (3) izrazimo n in dobljeni izraz izracunamo za t = 24 h:
11 1
n = t + ТГ 6h 2
= 44,5.
t=24 h
Аф(П = n/2 + nn, n = 0,1, 2,...
(2)
Ker je n nenegativno celo število, vzamemo le celi del rezultata. Urina kazalca tako 44-krat na dan oklepata pravi kot. Tomi casi, ob katerih se to zgodi, pa so zbrani v tabeli na naslednji strani.
zap. št.	cas
1	00:16:22
2	00:49:05
3	01:21:49
4	01:54:33
5	02:27:16
6	03:00:00
7	03:32:44
8	04:05:27
9	04:38:11
10	05:10:55
11	05:43:38
12	06:16:22
13	06:49:05
14	07:21:49
15	07:54:33
16	08:27:16
17	09:00:00
18	09:32:44
19	10:05:27
20	10:38:11
21	11:10:55
22	11:43:38
zap. št.	cas
23	12:16:22
24	12:49:05
25	13:21:49
26	13:54:33
27	14:27:16
28	15:00:00
29	15:32:44
30	16:05:27
31	16:38:11
32	17:10:55
33	17:43:38
34	18:16:22
35	18:49:05
36	19:21:49
37	19:54:33
38	20:27:16
39	21:00:00
40	21:32:44
41	22:05:27
42	22:38:11
43	23:10:55
44	23:43:38
Križne vsote
ф Ф Ф
-> Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 1 do 9 tako, da bo vsota števk v zaporednih belih kvadratkih po vrsticah in po stolpcih enaka številu, ki je zapisano v sivem kvadratku na zaCetku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem morajo biti vse števke v posamezni vrstici (stolpcu) razliCne.
	8	6			
5			15		
6					
		2			
					
			14		
TABELA 1.
ToCni casi, ob katerih kazalca na uri oklepata pravi kot.
_XXX
-i' Ф Ф
Resitev testa
iz prejSnje stevilke preseka
-> V prejšnji številka Preseka smo vam v clanku »Ful drgacen test iz mate« zastavili nekaj vprašanj in možnih odgovorov nanje. Edini pravilni odgovori so:
■ 1f, 3e, 5b, 7c, 8b, 9d, 10b, 11a,b.
_XXX
www.presek.si
reSitev kriZne vsote
8	9	И			
E	L	»			
	17	8			
		L	17	s	
		a	Z	E	s
			6	8	
XXX
Razmisli in poskusi
Odgovori na vprašanja
iz prejšnjih številk Preseka (38/6, 40/4, 41/2)
Mitja Rosina
43. »Varcne žarnice«
Preverimo, ali so »varčne žarnice« zares varčne. Preberemo na reklamnem letaku, da 8-wattna varčna žarnica sveti enakovredno kot 40-wattna navadna žarnica z wolframovo nitko, 20-wattna varčna žarnica pa kot 100-wattna wolframova.
Poskus. Svetilnost žarnič sem primerjal z digitalnim fotoaparatom. Na mizo sem položil bel papir z besedilom in slikal. Avtomatski fotoaparat se sam prilagodi osvetljenosti in javi podatke o slikanju. Svetlobni tok, ki ga foroaparat sprejme, je sorazmeren z osvetljenostjo papirja, s časom ekspozičije in s kvadratom premera zaslonke.
Vzel sem navadno žarničo (40 W, 415 lumnov) in »varčno žarničo« (8 W, 400 lm). Pri prvi je javil fotoaparat f = 5,8 mm, 2592 x 1944 pikslov, osvetlitev 1/40 s, premer odprtine 2,8. Pri varčni pa f = 5,8 mm, 2592 x 1944 pikslov, osvetlitev 1/50 s, premer odprtine 2,8. Torej imata res približno isto svetilnost (tako kot piše v reklami). Tudi vtis na sliki je podoben, le da je pri navadni žarniči svetloba bolj rdečkasta, pri varčni pa bolj bela. (Levo besedilo na sliki je osvetljeno z navadno, desno pa z varčno žarničo.)
Nekaj podatkov. Zeleni svetlobi ustreza občuteni svetlobni tok 680 lm/W (lumna na watt), navadni 40-wattni žarniči 10 lm/W (izkoristek 1,5%), navadni 100-wattni žarniči 17 lm/W (izkoristek 2,5 %), varčni 8-wattni žarniči pa 50 lm/W (izkoristek 7,5 %). Diode LED (light emitting diodes) pa imajo izkoristek do 30 %.
52. Ali led plava na alkoholu?
Vsi vemo, da led plava na vodi. Plava zaradi vzgo-na, saj ima voda gostoto 1000 kg/m3, led pa le 900 kg/m3. V čistem etanolu (p = 790 kg/m3) pa led potone. Na alkoholu torej plava, če ga dovolj razredčiš.
Poskus. V posodico sem s pipeto nalil 30 ml etanola (96 vol. %, p = 808 kg/m3), košCek ledu je potonil. Ko sem dolil 15 ml vode, je led zaplaval. Na videz ustreza taki mešanici gostota 870 kg/m3 namesto 900. Morda je kdo preje etanol dodatno rahlo razredCil, verjetnejši razlog pa je, da je skupni volumen po mešanju manjši od njune vsote. (Kar pomislite, Ce nalijete v liter soli liter vode, bo skupaj še vedno komaj dober liter.)
54. Debelina milnega mehurčka
Mehurček napihujte počasi z dovolj debelo čevko, da bo zrastel čim večji. V začetku se bo prelival v lepih barvah, ko bo pa dovolj velik (in tanek!), bodo barve postale medle in izginile, mehurček bo prozoren. Kmalu za tem bo počil. Kako debel je takrat?
Razlaga. Barve lahko razložimo z interferenco. Svetloba se odbije na zadnji steni kožice mehurCka z obratno fazo kot na sprednji; pri tanki kožici se prispevka unicita. To velja za tanjšo kožico, kot je velikostni red valovne dolžine svetlobe. Pri debelejši kožici pa ustreza raznim barvam svetlobe razlirno število valovnih dolžin inje za nekatere interferenca konstruktivna, za nekatere pa destruktivna.
Poskus. Premer cevke je bil 20 mm. Mehurcek je bil najprej rdeckast, potem rumenkast, moder in vijo-licast. Pri pri premeru mehurcka 200 mm so barve izginile, pri 240 mm je pocil.
Volumen milnice sem ocenil tako. S cevke sem kanil nabrano milnico 40 krat, da sem napolnil žlicko, 33 žlick vode pa je napolnilo skodelico 100 ml, kar da volumen V = 76 mm3. Pri radiju r = 100 mm je imel mehurcek debelino
, V	76 mm3
d = --= ---4-у = 0,60 u m.
4nr2 4n ■ 104 mm2
To lepo ustreza valovni dolžini svetlobe.
_ XXX
www.presek.si

RESITEV NAGRADNE KRIŽ ANKE
presek 41/4
-> Pravilna rešitev nagradne križanke iz cetrte številke 41. letnika Preseka je Krepko stiskanje. Izmed pravilnih rešitev so bili izžrebani Luka Jevšenak iz Velenja, Boris Kožlin iz Dobrova v Brdih in Barbara Zorman iz Preddvora, ki so razpisane nagrade prejeli po pošti.
_ XXX
razvedrilo
Nagradna križanka
razvedrilo
stara enota prejete
novinarka kočar
najstarejše rusko mesto v sibiriji
delovno področje, pristojnost
gradbeni material iz zgane gline
101 rimskimi številkami
oleg antonov
PRITOK DRAVE V AVSTRUI
grafično oblikovanje;. matevž bokauc
HOLLY-
filmska nagrada
sosedi Spancev
PISATELJICA FEROCI
tovarna v ribnici
osnovna mera
slano močvirje v 5z. afriki
lahkotno glasbeno odrsko delo
gospodarski obrat
enota za množino
snovi vkemui
središče jüznega
dela poljske
odrska igrica
del velike britanije
astat
igralka
pripadnik najštevilnejšega slovan. naroda
zgodov. mesto vtuskani
PREIZKUS TREZNOSTI
PERNATA ŽIVAL
enojka
majhen tovornjak
mehiško indiian. ljudstvo
NACE SIMONčIč
delavec, ki
opremlja prizorišče
madžar. pisatelj (lajos)
glavno mesto albanije
trosni mešiček
pri zaprto-trosnicah
EGIPTOV. BOMBAŽ
polprevodniki element
nemški slikar in lesorezec (louis)
naša nestrupena kača
teoretik kitajske revolucije (sun)
ZAKLAD vst. rimu
denis hdvato
pevec smolar
pisec epa ENEIDA
13
VISOK MOŠKI PEVSKI glas
londonska galerua
11
rastlina, ki vsebuje mentol
dejavnost za oskrbo z energijo
william golding
ljivec
elegantna lahko-živka v franc.
sosed iraka
človekov notranji jaz
oznaka slovaške
namizno pregrinjalo
GRADITELJ SUEŠKEGA PREKOPA (FERDINAND)
10
leonhard euler
funkcija iz višje matemat. ms.
nemški rezbar iz pozne gotike
živalsko ozvezdje ob
nebesnem ekvatorju
staro izrael. pristaniško mestu
14
NAGRADNI RAZPIS
-> Črke iz oštevilčenih polj vpišite skupaj z osebnimi podatki v obrazec na spletni strani
www.presek.si/krizanka
ter ga oddajte do 15. maja 2014, ko bomo izžrebali tri nagrajence, ki bodo prejeli knjižno nagrado.
_ XXX
Senca slamice
Nada Razpet
-> Sence nas lahko zanimajo iz različnih razlogov. Poleti jo iščemo, da se v njej nekoliko ohladimo. Kadar kaj delamo pri umetni svetlobi, pazimo, da nam predmeti ne mečejo sence na delovno površino. Tokrat nas zanimajo sence, ki jih opazimo na dnu posode, v kateri je voda.
Za razlago pojavov potrebujemo nekaj priprav. Najprej si oglejmo, kaj lahko opazimo pri predmetih, ki jih položimo na vodno gladino.
V posodo nalijemo vodo in na vodno gladino previdno položimo pisarniško sponko ali kovanec (sliki 1 in 2).
Pri pisarniški sponki opazimo, da je tam, kjer je sponka, in v bližnji okolici vodna gladina »vdrta«. Sponka leži nekoliko nižje od gladine vode. Težo sponke in kovanca uravnovešata vzgon, ki je majhen in površinska napetost. Prepricajmo se, da je površinska napetost pomembna. Zmanjšajmo jo tako, da na površino kanemo kapljico detergenta ali mila. Tako kovanec kot sponka hitro potoneta.
Če sponko rahlo vlecemo iz vode, je slika dru-gacna. Del površine ob sponki se dvigne (slika 3). Lahko bi rekli, da s sponko vlecemo za seboj tudi del vodne gladine.
Ponovimo še lomni zakon, ki ga zapišemo v obliki:
■ n1 sin a = n2 sin ß,
Pri tem je ni = 1 lomni kolicnik zraka in n2 = 4/3 lomni kolicnik vode. Z a smo oznacili vpadni kot, z ß pa lomni kot. Na sliki 4 imamo oznacena dva vpadna kota (to sta kota med vpadnim žarkom in vpadno pravokotnico) a in у in njima pripadajoca lomna kota ß in ö. Pri prehodu iz zraka v vodo se žarki lomijo k vpadni pravokotnici. Kaj to pomeni? Narisali smo tri vzporedne žarke (a, b in c). Opazimo, da se žarek c pri prehodu iz zraka v vodo ne lomi, ostala žarka pa se lomita. Žarek c pada pravokotno na mirno gladino. Druga dva žarka padata na val. Vpadna pravokotnica je pri žarku c kar v smeri žarka, vpadni kot je 0° in zato tudi lomni kot 0°. Pri žarku b pa se vpadna pravokotnica ne ujema s smerjo žarka. Vse vpadne pravokotnice smo na sliki oznacili z debelejšo rdeco crtkano crto. Če se žarek
SLIKA 1.
Na vodni gladini plava sponka. Težo sponke uravnovešata vzgon in površinska napetost.
SLIKA 2.
Kovaneč plava navodni gladini. Leži pod gladino.
b pri prehodu iz zraka v vodo ne bi lomil, bi šel v smeri crtkane crne crte. Ker pa se lomi, kaže smer žarka daljica b'. Pri prehodu žarka iz zraka v vodo je vedno lomni kot manjši od vpadnega kota. Pravimo, da je voda opticno gostejše sredstvo. Pri prehodu žarka iz opticno redkejšega sredstva (v našem primeru je to zrak zrak) v opticno gostejše sredstvo (voda) je vedno lomni kot manjši od vpadnega kota, torej se žarek lomi k vpadni pravokotnici.
Zdaj pa nazaj k sencam. Posodo z vodo smo postavili pod svetilko tako, da so svetlobni žarki padali na dno posode navpicno. Tako lego smo izbrali zato, da bosta razlaga in risanje žarkov preprostejša. Pojave opazimo tudi takrat, ko padajo žarki poševno na dno posode.
Kadar držimo slamico nad banjico, na dnu banjice opazimo senco slamice, ki ima obliko pravokotnika, kar nas seveda ne preseneca (slika 5). Žarki, ki vpa-dajo pravokotno na mirno gladino se pri prehodu v vodo ne lomijo. Slamica pa svetlobe ne prepušca. Na dnu posode z vodo je zato tam senca. K fotografiji smo dodali še skico žarkov.
Zdaj naj bo del slamice potopljen v vodo (slika 6), drugi del pa držimo v roki in ga rahlo vlecemo navzgor.
Ker slamico rahlo vlecemo, se del gladine tik ob slamici nekoliko dvigne (tako kot pri vlecenju pisarniške sponke na sliki 3). Oglejmo si podrobneje potek žarkov v navpicni ravnini (pravokotno na slamico). Slika 6 spodaj ponazarja dogajanje. Prerez (po-
ševno ležece) slamice smo predstavili z elipso, dvig vode ob slamici zaradi površinske napetosti pa narisali pretirano. Opazimo, da se žarki, ki padajo na dvignjeni del navpicno, pri prehodu iz zraka v vodo lomijo tako, da padajo na dno posode tudi v obmo-cje pod slamico. Zato je tudi ta del dna osvetljen in je senca tam prekinjena. Navpicni žarki, ki padajo na slamico, seveda ne morejo skozi slamico, zato je pod njimi na dnu senca. Ostala površina vode je ravna, zato se navpicni žarki pri prehodu v vodo ne lomijo in je tam zopet svetlo. Na dnu je torej pod slamico senca tam, kjer je gladina vode ravna. Pod delom, kjer je gladina dvignjena, je na dnu svetlo. Senca je tam prekinjena.
SLIKA 3.
Pisarniško sponko rahlo vlečemo iz vode. Vodna gladina je ob sponki dvignjena.
SLIKA 4.
Del vodne gladine je raven, del pa valovit. Na sliki je prikazan lom svetlobnih žarkov pri prehodu iz zraka v vodo.

PRESEK 41 (2013/2014) 5
19

SLIKA 5.
Zgoraj: Senca slamice, ki je v zraku, vzporedno z mirno vodno površino. Spodaj: Skica dogajanja. Žarki vpadajo pravokotno na mirno gladino, zato se pri prehodu v vodo ne lomijo. Slamica svetlobe ne prepušca, pod njo je senca.
SLIKA 6.
Zgoraj: Senca slamice, katere en konec je potopljen v vodo, drugi del pa držimo v roki in ga rahlo vlecemo navzgor. Spodaj: Žarki, ki so v obmocju dvignjenega dela gladine, po prehodu v vodo padejo na dno v obmocje pod slamico. Senca je zato prekinjena.
I
SLIKA 7.
Zgoraj: Fotografija sence. Spodaj: Kako nastane odebeljena senca.
Kaj pa ce slamico držimo tako, da en konec opremo na dno, drugi pa ob rob posode in jo rahlo ti-šCimo navzdol? V tem primeru pa na senci opazimo odebeljeni del (slika 7 zgoraj).
Še tu narišimo premi presek. Kaže ga slika 7 spodaj. Ker je zdaj vodna gladina ob slamici ukrivljena drugace, se žarki po prehodu iz zraka v vodo lomijo tako, da noben od njih ne pade na doloceno obmocje na dnu posode. Zato je tam zdaj senca, ki je »debelejša«, kot je slamica.
Z malo poigravanja pa lahko opazimo oba pojava obenem (slika 8).
Ali lahko dobimo še drugamo sliko? Pojav je opazen na sliki 7. Okrog odebeljenega dela sence opazimo odebeljen svetel »obroc«. Slamica je gladka in del svetlobe odbija, pri risanju pa od slamice odbitih žarkov nismo upoštevali. Prav tako izbocena vodna površina deluje kot zbiralna leca (svetle lise lahko zato opazujemo tudi na dnu bazena, ce vodna gladina ni mirna). O tem si vec lahko preberete v starejših letnikih Preseka.
Poskusi se lepo posreojo, ce vzamemo vecjo posodo iz bele plastike ali pa prozorni posodi pod dno položimo bel kos papirja. V posodo nalijemo nekaj centimetrov vode in vanjo delno potapljamo slamico. Če vode ni dovolj, prekinjene sence ne vidimo. Zakaj? Odgovor je na sliki 6. Namesto slamice lahko uporabo leseno ali plastimo palicico. Ni potrebno, da je presek palicice krog, lahko je tudi pravokotnik; tudi v tem primeru bomo lahko opazovali prekinjeno in odebeljeno senco.
SLIKA 8.
Del sence je odebeljen in del prekinjen.
_ XXX
Ali obstaja življenje na eksoplanetu Maja?1
ффф
Gorazo Planinčič in Rick Marshall -> Astronomija in astrofizika sta zelo priljubljeni pri učencih; eksperimentalno delo, ki ga lahko učenci izvedejo v šoli, pa je žal precej omejeno. Iskanje življenja drugje v vesolju (eksobiologija) je po hitro narašcajocem številu odkritih planetov -eksoplanetov, ki krožijo okoli drugih zvezd v naši Galaksiji, v polnem zagonu. Nedavno (marca 2012) so astronomi izoblikovali tehniko za iskanje znakov življenja na eksoplanetih. Kljub temu, da ek-soplaneti sami niso locljivi kot samostojni objekti, tehnika izkorišca polarizacijske lastnosti svetlobe, ki jo seva maticna zvezda in se odbija od ekso-planeta. Članek opisuje nacin, kako lahko dokaj enostavno to tehniko preizkusimo tudi v šolskem laboratoriju.
Ali obstajajo planeti podobni Zemlji drugje v vesolju? Če obstajajo, potem na njih mogoce obstaja tudi življenje. Leta 1995 so porocali o odkritju prvega ek-soplaneta. Do danes jih je odkritih okoli 1000. Eden od ciljev takih raziskav je najti tudi eksoplanet, na katerem obstaja življenje. Ena od metod odkrivanja planetov ponuja možnost za dolocanje narave snovi na planetu in s tem njegovo morebitno primernost za obstoj življenja. Lastnosti svetlobe, ki se odbije od eksoplaneta, so namrec odvisne od narave njegove površine.
Ko eksoplanet pride med zvezdo in teleskop, s katerim se izvaja opazovanje (temu pojavu pravimo
1Prevod clanka: Gorazd Planinšic, Rick Marshall, Is there life on exoplanet Maja? A demonstration for schools, Physics Education 47 (2012), 584, prevedla Anja Lautar. Založnik IOP Publishing Ltd. ne odgovarja za pravilnost prevoda. ©IOP Publishing. Natisnjeno z dovoljenjem. Vse pravice pridržane.
prehod planeta pred zvezdo), je mogoce zaznati majhen padec v siju maticne zvezde. Ko eksoplanet ni pred zvezdo, se bo nekaj svetlobe zvezde, ki osvetljuje eksoplanet, odbilo v smeri teleskopa. Seveda s teleskopi ni mogoce neposredno razlociti eksopla-neta od zvezde. Ne samo, da je preblizu maticni zvezdi, ampak se skromni sij planeta izgubi v mnogo večjem siju zvezde. Vendar pa obstaja nacin, kako lahko planetni sij loamo od zvezdnega sija. Svetloba, ki se odbije od eksoplaneta, je delno polarizirana, medtem ko je svetloba zvezde nepolarizirana.
Intenziteta odbite svetlobe od razlicnih vrst površin se spreminja glede na vpadni kot ter je delno polarizirana. Odbita intenziteta je najmanjša pri pravokotnem vpadu na površino (vpadni kot je enak 0°). Z vecanjem vpadnega kota se povecuje tudi odbita intenziteta, dokler se pri majhnih kotih ne odbije vsa svetloba (vpadni kot je enak 90°). Tako bodo razlicne površine na eksoplanetu, ki so usmerjene razlicno glede na smer svetlobe z zvezde, povzroale razlimo stopnjo polarizacije v odbitem planetnem siju. Lo-cimo npr. lahko razlicne kombinacije tekoce vode, kamnin in vegetacije. Metoda, o kateri bo govora v nadaljevanju, omogoca odkrivanje takšnega »biološkega prstnega odtisa« v odbiti svetlobi. Planet, na katerem je življenje mogoce, bo verjetno imel kamnito površje, delno pokrito s tekoco vodo. Metoda sloni na meritvah locenih spektrov svetlobe, ki niha v izbranih smereh (tj. ima doloceno polarizacijo). Ker gre za metodo, ki združuje meritve spektrov in meritve polarizacije svetlobe, so jo poimenovali spektro-polarimetrija.
Preprosta demonstracija
Odkrivanje planetov s potencialnimi pogoji za življenje s spektropolarimetricno metodo lahko demonstriramo tudi v šoli. Glede na to, da metoda vklju-cuje abstraktne koncepte, kot so spekter in polarizacija, je pomembno zaceti s preprostimi pojavi, ki
jih dijaki in študentje lahko neposredno opazujejo. Preproste pojave nato postopoma združujemo v bolj kompleksne zamisli, ki so potrebne za razumevanje astronomskih opazovalnih tehnik. Predlog, kako to storiti, je opisan v nadaljevanju.
Vzemite motno žarničo (npr. 60 W klasično žar-ničo s premerom 8 čm) kot model za zvezdo ter žogo (npr. žogičo iz stiropora, prebarvano na zeleno, s premerom 6 čm) kot model za planet. Vsi planeti imajo ime; mi smo naš model planeta poimenovali Maja. Modela postavite na mizo in prilagodite njuni višini tako, da sta njuni središči približno v isti ravnini (slika 2). Dijakom dajte polarizačijske filtre ter jih razporedite okrog mize. Zatemnite prostor, pri-žgite žarničo in prosite dijake naj pazljivo opazujejo »zvezdo« in »planet«, medtem ko vrtijo polarizačij-ski filter.
Opozorite jih, naj iščejo spremembe v svetlosti planeta. Opazovalči, ki stojijo približno v rdečem območju (slika 1), bodo lahko opazili spremembe v intenziteti svetlobe, ki se odbija od planeta, medtem ko drugi sprememb ne bodo opazili. Kot je prikazano na sliki 2, sprememba ni zelo velika, je pa jasno vidna. Posnetki na sliki 2 so bili narejeni s pola-rizačijskim filtrom, obrnjenim navpično (a) in vodoravno (b).
SLIKA 1.
Dijaki, ki stojijo približno v rdeCem obmoCju (pogled od zgoraj), bodo lahko opazili spremembe v intenziteti svetlobe, ki se odbija od zelene žoge (planeta), ko jo opazujejo skozi polari-zacijski filter.
V našem primeru se je intenziteta odbite svetlobe najbolj zmanjšala, ko je bil polarizator obrnjen vodoravno (slika 2 b). V tem primeru je bil eksoplanet še vedno viden, kar kaže na to, da je svetloba, ki se odbija od njega, le delno polarizirana. Majhne razlike v intenziteti so bolj izrazite, če obe sliki med seboj odštejemo (slika 2 č). Za dobre meritve morata biti sliki zajeti z natanko istega položaja. V ta namen smo uporabili fotografsko stojalo ter samospro-žileč na fotoaparatu, s čemer smo se izognili morebitnim tresljajem. Odštevanje slik se lahko naredi v skoraj vsakem programu za urejanje slik (uporabili smo brezplačni program ImageJ). Uporabili smo postopek imenovan »differenče« (razlika). Ta postopek odšteje intenziteto vsake slikovne točke na eni sliki od iste slikovne točke na drugi sliki in rezultat poda v absolutni vrednosti razlik. Slika razlik, ki nastane kot rezultat razlike barvnih slik, ima nenavadne barve. Da se izognemo temu motečemu učinku, smo pretvorili sliko razlik v črno belo sliko, na kateri so vidne le razlike v intenziteti. Intenziteta končne slike je največja tam, kjer je oddana svetloba linearno polarizirana v navpični ali vodoravni smeri. V našem primeru je to del eksoplaneta, od katerega se je odbila svetloba. Vse površine, ki oddajajo nepola-rizirano svetlobo (tako kot sredina žarniče) ali oddajajo svetlobo, polarizirano pod kotom 45° glede na navpičničo, se kažejo kot črne, ker sta na teh mestih intenziteti na obeh slikah enaki (braleč naj sam razmisli, zakaj je tako pri kotu 45°; namig: za kot 45° velja, daje sin45° = čos45° ). Svetloba, razpršena na stekleni površini žarniče, je tudi delno polarizirana v smeri pravokotni na steklo. To je razlog za svetli halo okoli robov slike žarniče. Temni madeži na približno 45° so v skladu z razmislekom, ki smo ga prepustili bralčem.
Bolj realistični model za življenje primernega planeta
Dijaki bi se lahko pritožili, da so planeti kamniti in ne iz stiropora. Prav tako lahko rečejo, da nas najbolj zanimajo planeti, na katerih je voda ter mogoče čelo nekaj rastlin. Ni težko narediti model takega planeta in s pomočjo zgoraj opisane metode raziskati svetlobo, ki se odbija od njegovega površja. Naš planet smo spremenili v kamniti planet tako, da smo na krogličo iz stiropora nanesli lepilo in jo posuli z drobnim peskom. Ko se je lepilo posušilo, smo na

—^ krogliCo pritrdili regratov list, ki predstavlja vegetaCijo, ter majhen kos toaletnega papirja, prepojenega z vodo, ki predstavlja oCeane, jezera in reke (slika 3 a). Planet smo posneli iz treh različnih kotov, približno 30o narazen. Iz vsakega položaja smo posneli dve fotografiji s pomoCjo polarizaCijskega filtra, eno z navpiCno in eno z vodoravno usmeritvijo polariza-torja. Slike 3 b-d prikazujejo slike razlik med pari posnetkov, narejenih iz treh razliCnih kotov. Slike 3 b-d so bile narejene z zmanjševanjem kota med fotoaparatom, planetom in zvezdo od približno 90o do 30o .
Opazimo, da je pesek videti približno enako temen na vseh slikah, kar kaže na to, da odboj od pe-skaste površine komajda vpliva na polarizaCijo svetlobe (nepolarizirana svetloba ostane taka tudi po odboju). Regratov list predstavlja najsvetlejše obmo-Cje na vseh slikah in kaže na to, da je stopnja polarizaCije svetlobe, ki se odbije od njega, preCej visoka. Moker toaletni papir je svetel na sliki b, vendar bledi z zmanjševanjem kota med fotoaparatom, planetom in zvezdo. Iz tega lahko sklepamo, daje stopnja polarizaCije svetlobe, ki se odbija od razliCnih površin, odvisna ne le od materiala ampak tudi od kota opazovanja.
Spektropolarimetrija
Čeprav je odštevanje slik koristno astronomsko orodje, ga ni mogoCe uporabiti, kot je pojasnjeno v uvodu, v raziskovanju oddaljenih planetov. Zvezde
in eksoplaneti, ki krožijo okoli njih, so od nas pre-veC oddaljeni, da bi jih lahko loCili kot samostojne objekte. Toda Ceprav ne moremo razloCiti njihovih podob, lahko še vedno analiziramo sestavo svetlobe s pomoCjo njenega spektra. Zamisel, ki so jo predlagali avtorji Clanka, objavljenega v reviji Nature (Stersik M F et al 2012 Nature 483 64-6), združuje spektrometrijo z analizo polarizaCije svetlobe. Temelji na predpostavki, da je odbita svetloba delno polarizirana, svetloba, ki prihaja neposredno od zvezde, pa sploh ni polarizirana. Posnamemo lahko dva spektra, enega z vodoravno in enega z navpiCno usmerjenim polarizatorjem ter ju odštejemo. Če vpadna svetloba vsebuje polarizirane komponente, bi se v spektru razlik morala pojaviti neniCelna vrednost. Le-ta kaže na prisotnost planeta, od katerega se je svetloba odbila. NeniCelna vrednost spektra razlik naCeloma vsebuje informaCije o lastnostih snovi, ki se nahajajo na površju planeta.
Spektropolarimetrija v šolskem laboratoriju
Poglejmo, kako to lahko naredimo s šolsko opremo. Spektrometri za analizo svetlobe v vidni svetlobi so dostopni po razumnih Cenah pri veC proizvajalCih šolske opreme (mi smo uporabili Vernierjeve naprave). ObiCajno se za vodenje svetlobe do spektrometra uporablja optiCno vlakno, ki ima preCni prerez manjši od poloviCe kvadratnega milimetra. Izostritev slike žarniCe (zvezde) in žoge (eksoplaneta) na tako majhno površino bi v uCilniCi bilo težko doseCi. Tudi
SLIKA 2.
Posnetek žarnice (zvezda) in žoge (planet) z uporabo dveh usmeritev polarizacijskega filtra: (a) navpiCna in (b) vodoravna usmeritev. Slika (c)je rezultat razlike med slikama (a) in (b). Zaradi jasnosti je pretvorjena v crno belo sliko.
ce bi nam uspelo, bi takšno fokusiranje bilo podvrženo vec napakam med merjenjem. Zato je bolje poskus izvesti na preprostejši naan, ki še vedno vodi do istega konmega rezultata.
Žarnico (zvezda) in žogo iz stiropora (eksoplanet) lahko projiciramo na zaslon s pomocjo zbiralnih lec (npr. z leco z gorišcno razdaljo 27 cm). Postopek je sledec. Iz belega kartona izrežite zaslon in v njem naredite majhno luknjo. Nato skozi luknjo porinite opticno vlakno in ga pritrdite s pomocjo prižeme. S pomocjo druge prižeme pritrdite polarizacijski filter med opticno vlakno in leco. Vse tri elemente pritrdite na stojalo, kot je prikazano na sliki 4. S premikanjem stojala ali posameznega elementa bi morali na zaslonu, na mestu kjer je opticno vlakno, dobiti sliko žarnice ali sliko žoge. Z zasukom polarizacij-skega filtra za 90o lahko loceno posnamemo spekter svetlobe, ki jo oddaja žarnica, in spekter svetlobe, ki se odbije od žoge za obe usmeritvi polarizatorja. Rezultati so prikazani na slikah 5 a in b.
Meritve kažejo, da svetloba iz središca žarnice ni polarizirana, da je svetloba odbita od žogice delno polarizirana in da ima svetloba odbita od žogice naj-vecjo intenziteto v obmocju zelene barve. Seveda takih spektrov ne moremo dobiti z opazovanjem dejanskih eksoplanetov, saj njihove podobe ne moremo lociti. Vendar pa z analizo teh spektrov lahko dobimo informacijo, kakšen spekter pricakujemo pri opazovanju eksoplanetov. Vse, kar moramo narediti, je sešteti spekter žarnice in spekter svetlobe odbite od žoge, za vsako usmeritev polarizatorja posebej (slika 6 a).
zvezda
eksoplanet leca
polarizacijski filter
opticno vlakno spektrometer vmesnik
SLIKA 4.
Preprosta postavitev šolske spektropolarimetrije.
Spekter, ki ustreza primeru zvezde brez planeta, je spekter same žarnice, prikazan na sliki 5 a. Kakršnakoli razlika med spektroma na slikah 5 a in 6 a je rezultat prisotnosti svetlobe, odbite od modela eksoplaneta. Razlike postanejo veliko bolj izrazite, ce isto vrsto spektrov, ki ustrezajo dvema raz-licnima polarizacijama, med seboj odštejemo (slika 6 b). Spekter razlike svetlobe same žarnice predstavlja bela krivulja. Če bi svetloba žarnice bila popolnoma nepolarizirana in ce bi oprema bila brezhibna, bi ta spekter moral imeti nicelno vrednost pri vseh valovnih dolžinah. Zelena krivulja prikazuje spekter razlike, pri katerem je svetloba žarnice kombinirana
SLIKA 3.
(a) Planet Maja s kamnitim površjem (drobni pesek), vegetacijo (regratov list) in oceani (kos mokrega toaletnega papirja); (b)-(d) Slike razlik, narejene pri treh različnih kotih.

—^ s svetlobo, odbito od žoge. NeniCelna komponenta tega spektra je jasno vidna in kaže na prisotnost polarizirane svetlobe. Intenziteta doloCene valovne dolžine v takem spektru je odvisna od stopnje polarizacije, smeri polarizacije in intenzitete svetlobe pri tej valovni dolžini. Zato je interpretacija takega spektra zapletena naloga.
Kaj smo se iz teh poskusov nauCili? Da je spek-tropolarimetrija uporabna pri odkrivanju sledi od-
bite svetlobe znotraj moCne svetlobe, ki jo oddaja oddaljen izvor in da lahko z analizo takšne svetlobe izvemo nekaj o naravi predmetov od katerih se svetloba odbija. Metodo so astronomi preizkusili z opazovanjem svetlobe, ki se najprej odbije od Zemlje, nato pa od Lune in spet pride nazaj na Zemljo. Metoda se je pokazala kot dober naCin za opazovanje planetov zunaj OsonCja, ki je morda primerna tudi za odkrivanje življenja na eksoplanetih.
,0 : 1 ' ---- -
400	500	600	700	400	500	600	700
valovna dolžina (nm)	valovna dolžina (nm)
SLIKA 5.
Spektra dveh delov slike: (a) spekter žarnice in (b) spekter svetlobe, odbite od žoge iz stiropora. Spektra, ki ustrezata navpicno in vodoravno usmerjenemu polarizatorju, sta prikazana z belo in crno krivuljo.
' 400	500	600	700	400	500	600	700
valovna dolžina (nm)	valovna dolžina (nm)
SLIKA 6.
(a) Kombinirani spekter svetlobe žarnice in svetlobe, odbite od žoge iz stiropora (spektra, ki ustrezata navpično in vodoravno usmerjenem polarizatorju, sta prikazana z belo in crno krivuljo). (b) Razlika med spektroma iste svetlobe, pridobljenima s pomocjo pravokotno usmerjenima polarizacijskima filtroma: zelena krivulja prikazuje razliko med spektroma na sliki 5(a), bela krivulja med spektroma na sliki 5(b).
_ XXX
Pomoc za trgovskega potnika
-i' Ф Ф
Aleksander Vesel
Trgovski potnik ima problem
Trgovski potniki, poštarji, vozniki dostavnih vozil, kurirji in ljudje podobnih poklicev nimajo prav lahkega dela. Pred delom dobijo seznam krajev oz. naslovov, ki jih morajo obiskati, ter se vrniti v izhodi-šCe. Pomembno je, da obišCejo vse kraje s seznama in da za obisk porabijo Cim manj sredstev, predvsem Casa in goriva. Izkaže se, da je pravilna izbira vrstnega reda obiskanih krajev zelo pomembna, saj lahko z nerodno izbiro bistveno poveCamo stroške poti.
MatematiCno lahko opišemo problem trgovskega potnika na naslednji naCin. Dana je množiCa mest C = [ci,C2, ■ ■■, cn}. Za vsak par mest ci, cj je znana Cena povezave od mesta ci do mesta Cj, ki jo ozna-Cimo z di j. Trgovski potnik mora zaCeti pot v enem od mest, obiskati vsa preostala mesta s seznama ter se vrniti v izhodišCe, tako da bo skupna Cena poti Cim manjša. Z drugimi besedami, poiskati želimo takšno zaporedje mest (cm ,cn2,cnn) iz C, da bo vrednost izraza dnum + d^n + ■■■ + dnn-inn + dnn.m najmanjša. Zaporedju mest, ki minimizira zgornji izraz, bomo rekli tudi najcenejša rešitev.
Nalogo problema trgovskega potnika zelo naravno predstavimo z grafom, v katerem so mesta vozli-šCa grafa. Vsako vozlišCe grafa povežemo z vsemi drugimi vozlišCi, povezavi pa priredimo število, ki je enako Ceni poti med mestoma, ki predstavljata kra-jišCe povezave.
Kot primer si poglejmo množiCo mest C = {c1, c2, c3, c4, c5}, Cene povezav med njimi pa so d1,2 = d2,i = 132, di,3 = d3,i = 308, di,4 = d4:i = 68, di,5 = d5,i = 233, d2,3 = d3,2 = 180, d2,4 = d4,2 = 66, d2,5 = d5,2 = 114, d3,4 = d4,3 = 240, d3,5 = d5,3 = 80 in d4,5 = d5,4 = 167. Primer je predstavljen na sliki 1.
Hitro opazimo, da je Cena povezave od mesta ci do mesta cj enaka Ceni povezave od mesta cj do mesta ci, velja torej ditj = djti za vsak par mest ci in cj. Omejitev je preCej naravna, saj je naCeloma dolžina poti med dvema mestoma enaka v obeh smereh. Ker je v praksi pogosto Cena povezave sorazmerna dolžini razdalji med mestoma, je v takih primerih zato tudi Cena povezave enaka v obe smeri. Problem s to
lastnostjo imenujemo simetrični problem trgovskega potnika.
Malo težje je opaziti, da v primeru s slike 1 za Cene velja trikotniška neenakost. S tem povemo, daje Cena povezave od mesta cj do mesta ci vedno manjša ali enaka vsoti Cen povezav od mesta cj do mesta ci preko mesta ck. Z drugimi besedami, za poljubno trojiCo mest ci,cj,ck velja di j < di,k + dkj. Tudi ta omejitev je naravna, saj je dolžina direktne poti med dvema mestoma obiCajno manjša od dolžine poti, pri kateri naredimo ovinek preko tretjega mesta.
Naivni algoritem
Spomnimo se, da želimo poiskati najCenejšo krožno pot, to je pot, ki se zaCne v nekem mestu, gre skozi vsa preostala mesta in se zakljuCi v izhodišCu. Hitro opazimo, da je vseeno, v katerem mestu zaCnemo krožno pot. Brez izgube za splošnost bomo zato vedno zaCenjali v c1.
RazliCnih krožnih poti je veliko, njihove Cene pa zelo razliCne. Če npr. mesta iz slike 1 obišCemo glede na narašCajoCe indekse, dobimo krožno pot (c1,c2,c3,c4,c5) s Ceno 952. Že majhna sprememba v zaporedju lahko povzroCi bistveno spremembo Cene. Če v zgornjem zaporedju c2 premaknemo na
SLIKA 1.
Primer problema trgovskega potnika.

—^ konec, dobimo krožno pot (c\, c3, c4, c5, c2) s ceno 961, Ce pa na konec zaporedja premaknemo c3, dobimo krožno pot (c1, c2, c4, c5, c3) s ceno 753. Tudi najcenejšo pot za ta primer lahko hitro najdemo. Ker bomo vedno zaceli v mestu c1, moramo pravilno razporediti preostala štiri mesta. Poiskati moramo vse ureditve zaporedja c2, c3,c4, c5 in izracunati cene pripadajocih krožnih obhodov. Z drugimi besedami, potrebno je poiskati in ovrednotiti vse permutacije zaporedja s štirimi elementi. Teh je natanko 4! = 24, zato jih lahko razmeroma enostavno preverimo tudi brez racunalnika. Najcenejši obhod s ceno 627 nam tako da zaporedje (c1, c2, c3, c5, c4) (glej levo stran slike 2).
Tudi v splošnem primeru lahko naredimo podobno kot zgoraj: potrebno je samo poiskati vse permutacije zaporedja c2,c3,... ,cn in izracunati ceno pri-padajocega krožnega obhoda. Opisani postopek zaradi preprostosti imenujemo tudi naivni algoritem in ga brez težav zapišemo v programskem jeziku. Ker so racunalniki in racunalnikom podobne naprave danes zelo vsakdanja stvar, si ni težko zamisliti, da bi takšen program namestili na racunalniško tablico ali pametni telefon. Program bi omogocil trgovskemu potniku vnos podatkov o mestih in cenah med njimi ter mu izracunal krožno pot z najmanjšo ceno.
Ali bomo s takim programom v resnici lahko pomagali trgovskemu potniku? V nekaterih primerih že, v vseh pa še zdalec ne. Spomnimo se, da je vseh permutacij zaporedja c2, c3, ...,cn natanko (n - 1)!. Težava je zato v tem, da število krožnih obhodov,
ki jih mora pregledati program, glede na n izredno hitro narašca. Že pri seznamu s štirinajstimi mesti število pregledanih zaporedij presega šest milijard, pri n = 42 pa dobimo število krožnih obhodov, ki je vecje od skupnega števila vseh atomov na Zemlji!
V realnem svetu to pomeni, da je problem lepo rešljiv za primere, ko je mest na seznamu malo. Ko gre za trgovskega potnika, ki potuje po Sloveniji, je to seveda cisto realna predpostavka. Drugace pa je, ko bi radi pomagali poštarju pri raznosu pošiljk znotraj večjega mesta, saj lahko pricakujemo, da je na njegovem seznamu vec deset naslovov. V tem primeru še tako hiter racunalnik ne bo pomagal, saj bi bil cas racunanja programa mnogo prevelik.
Ce hiter racunalnik ne pomaga, se je seveda smiselno vprašati, ali bi mogoce pomagal manj naiven in zato hitrejši algoritem. Hitrejši algoritmi v resnici obstajajo, a niso bistveno hitrejši od naivnega algoritma. V praksi to pomeni, daje možno z zmogljivim namiznim racunalnikom v smiselnem casu rešiti problem za 16 ali 17 mest. Reševanje problema za vecje število mest pa bi se hitro zavleklo v vec mesecev, let ali celo stoletij, ce bi le bilo število mest dovolj veliko.
Problem trgovskega potnika spada med tako imenovane NP-težke probleme. Zelo poenostavljeno povedano s tem izrazom oznaamo probleme, ki jih ne znamo rešiti s hitrimi algoritmi, torej z algoritmi, ki bi omogocali izracun rešitve v sprejemljivem casu tudi za vecje število vhodnih podatkov. Seznam težkih problemov je zelo dolg, med zelo znane in pro-
-------132 ^^(сЛ-^^^
/ 1	V C2 )/ 1	V C2 )
308308
233233
/ \/ \180/ --------- \180
\68	/ \ \------ 168	/ N. \
CX-/66 \\--/66
C3C3
16^4 1 / ^^^^167\ 1 /
240240
C4 C4
SLIKA 2.
Najcenejša rešitev (levo) in rešitev pridobljena z algoritmom najbližja toCka (desno).
ucevane probleme s tega seznama tako npr. spada tudi problem izdelave urnika.
Aproksimacija
Glede na zgoraj povedano bi lahko pomislili, da trgovskemu potniku, ki mora obiskati vecje število mest, sploh ne moremo pomagati. Na sreco zadeva ni popolnoma brezupna, le svoje želje mora trgovski potnik nekoliko prilagoditi. Namesto da bi se trudil z iskanjem najcenejše rešitve, se bo moral zadovoljiti z obhodom, ki zelo verjetno ne bo najcenejši, bo pa izraCunan dovolj hitro. Tako izraCunanemu zaporedju mest bomo rekli približna rešitev.
Obstaja veliko pristopov, kako hitro izraCunati približno rešitev problema trgovskega potnika ali kakega drugega težkega problema. Zelo zanimivi so postopki, pri katerih znamo oceniti, za koliko se bo v najslabšem primeru izraCunana približna rešitev razlikovala od najcenejše. Algoritme s to lastnostjo imenujemo aproksimacijski algoritmi. Posebej zaže-ljeni so seveda aproksimacijski algoritmi, pri katerih se izracunana približna rešitev prevec ne razlikuje od najcenejše.
Algoritem z zgornjo lastnostjo za splošni problem trgovskega potnika žal ne obstaja, obstajo pa aproksimacijski algoritmi za problem trgovskega potnika, ki zadošca trikotniški neenakosti. Tukaj bomo predstavili algoritem najbližja točka.
Algoritem postopoma gradi krožno pot D, ki najprej obsega samo mesto c1. V nadaljevanju na posameznem koraku doda v krožno pot tisto mesto, iz katerega med vsemi mesti, ki še niso uvršcena v trenutno krožno pot, vodi najcenejša pot do nekega mesta, ki je že na trenutni krožni poti. Algoritem 1 opisuje postopek še formalno.
Algoritem 1: Najbližja tocka Vhod: Množica mest C = {c1, c2 ,...,cn}, cene dij za vsak par ct , cj.
Izhod: Zaporedje mest D = (cni, cU2,..., cnn ). begin
D := (ci);
for i := 2 to n do
X naj bo mesto izven D, iz katerega vodi najcenejša pot do nekega mesta y v D; Dodaj X v D takoj za y ; end end
Predstavimo potek algoritma za primer s slike 1. Pred vstopom v zanko se v zaporedje D vstavi mesto c1. Algoritem nato vstopi v zanko in med preostalimi mesti c2,c3,c4,c5 išce tisto, iz katerega vodi najcenejša pot do c1. Ocitno je to c4, iz katerega pridemo v c1 za ceno 68. Podobno se zgodi na naslednjem koraku. Algoritem izmed mest s seznama c2,c3, c5 išce tisto, iz katerega vodi najcenejša pot do c1 ali c4. Do c1 pridemo najceneje iz c2 za ceno 132, do c4 pa prav tako iz c2 za ceno 66. Zato v D dodamo c2 takoj za c4. Na podoben nacin ugotovimo, da najceneje v zaporedje (c1,c4, c2) dodamo c5 takoj za c2. Na zadnjem koraku ostane c3, ki ga najceneje prikljucimo v obhod za c5. Podrobneje je potek algoritma predstavljen v tabeli 1.
i		yD	mesta izven D	
				
		(c1)	c2, c3, c4, c5	
2	c4	c1 (c1, c4)	c2, c3, c5	
3	c2	c4 (cbc4,c2)	c3,c5	
	c5	c2 (c1,c4,c2,c5)	c3	
5	c3	c5 (cbc4,c2,c5,c3)		
TABELA 1.
Potek izračuna algoritma za primer s slike 1.
Izracunano zaporedje predstavlja krožno pot s ceno 636, ki je predstavljena na desni strani slike 2, dobljena rešitev pa je le za dober odstotek slabša od najcenejše krožne poti. V splošnem sicer ne moremo vedno pricakovati tako dobrega približka, dokazano pa je, da je vrednost izracunane rešitve tudi v najslabšem primeru najvec dvakratnik najcenejše rešitve. Za konec povejmo, da je znanih še nekaj aproksimacijskih algoritmov za rešitev problema trgovskega potnika, ki zadošca trikotniški neenakosti. Najboljši med njimi je Christofidesov algoritem, s katerim lahko izracunamo približno rešitev, ki se za najvec 50 odstotkov razlikuje od najcenejše.
Literatura
[1] T. H. Cormen, C. E. Leiserson in R. L. Rivest, Introduction to algorithms, The MIT Press, 2001.
_XXX
RAZVEDRILO
Velike Sončeve pege
Andrej Güstin

-> Sonce je v večini starih kultur veljalo za brezmadežno nebeško luc, še posebej v zahodni kulturi. Ta se je do znanstvene renesanse naslanjala na antično podobo nespremenljivega vesolja. Toda občasno, najpogosteje ob višku Sončeve aktivnosti, se na Soncu pojavijo orjaške pege, ki so ob zaha-janju ali vzhajanju Sonca, pa tudi skozi gosto meglo vidne tudi s prostim ocesom. Marsikdo je zato še pred odkritjem daljnogleda opazil nekakšne madeže na brezmadežni nebeški luci. Taka videnja so v kronikah iz prvega stoletja pred našim štetjem zapisali že kitajski pisci, pa tudi v srednjeveški Evropi so vedeli, da se na Soncu obcasno pojavijo temne lise.
Zaradi pricakovane brezmadežnosti so stvar pripisovali prehodu kakega temnega nebesnega telesa pred Soncem. Celo slavni astronom Kepler je leta 16b7 videl tako pego, a je menil, da je to planet Merkur. Šele po letu 16b8, ko je nizozemski optik Lippershey odkril daljnogled, so se zacela nekoliko bolj sistematicna opazovanja naše zvezde, ki so potrdila obstoj Soncevih peg. Odkritje obstoja le-teh je leta 1612 objavil Galileo Galilei, ki naj bi pege prvic opazoval že dve leti prej. Z gotovostjo je trdil, da so pege na Soncu pege in ne nekakšen privid ali prehod planeta pred Soncem.
Trenutni višek Sonceve aktivnosti je najskromnej-ši v zadnjih 1bb letih, kar pomeni, da je na Soncu v povprecju peg v tem obdobju sorazmerno malo. Kljub temu pa se je v zacetku letošnjega leta na Soncu pojavilo nekaj peg, ki so bile naceloma vidne tudi s prostimi ocmi brez pomoa daljnogleda. Gotovo se bo še kaka!
Take velike pege so tudi zelo fotogenime, saj jih lahko posnamemo že s skromnejšim teleobjektivom.
Fotografiranje Soncevih peg pa vseeno ni povsem preprosto, saj se moramo spopasti z najmanj dvema velikima ovirama: Sonceva ploskvica je na nebu relativno majhna, Sonce pa zelo svetlo.
Prva ovira - velikost Sonca
Sonceva ploskvica se nam na nebu le zdi zelo velika. V resnici je njen premer b,5 kotne stopinje - to je njen zorni kot. Kaj to pomeni pri fotografiji? Pomagajmo si z malo racunstva.
Premer slike Sonceve ploskvice na cipu fotoaparata D, ki nastane v gorišcni ravnini objektiva, enostavno povežemo z gorišmo razdaljo objektiva f in z zornim kotom Sonceve ploskvice na nebu ф:
■	tg ф = D/f, iz cesar sledi
■	D = f tg ф « b,bb9 ■ f.
Ce imamo fotoaparat z 2bb-milimetrskim teleobjektivom, kar je že »poštena zadeva«, potem je premer slike Sonca na cipu fotoaparata le 1,8 mm! To pa ni prav veliko, kajne?
Zelo velike pege imajo premer okoli 1/2b Sonce-vega in so torej na cipu velike
Dp
b,bbb45 ■ f.
Ce jih torej fotografiramo z 2bb-milimetrskim objektivom, so na cipu velike le b,b9 milimetra. Predpostavimo, da ima cip fotoaparata 1b mikronov velike slikovne elemente. To pomeni, da premer slike pege pokrije le devet slikovnih elementov. To je res skromna velikost, sploh ce naš fotoaparat sliko »pre-žveci« in jo »izpljune« le v formatu jpg, ki dodatno prizadene detajle. Rešitev je ta, da vzamemo teleobjektiv z daljšo gorišcnico, ce ga seveda imamo.
razvedri lo
Druga ovira - velika svetlost Sončeve ploskvice
Ko je Sonce visoko na nebu, je svetlost njegove ploskvice tako velika, da z nobenim fotoaparatom ni mogoCe posneti pravilno osvetljene fotografije. Seveda si lahko pomagamo s filtri, a ne s fotografskimi, saj so ti premalo gosti. Najbolje je uporabiti kar varilsko steklo, ki ga (nekako) pritrdimo pred objektiv. Težava takega filtra pa je ta, da je iz precej debelega stekla in nima antirefleksnega sloja, kar pomeni, da bo fotografija Sonca obremenjena z odsevi. Poleg tega filter prinese še druge opticne napake, tako da tudi velika pega na fotografiji ne bo prav ostra. Varilsko steklo lahko nadomestimo s folijo mylar, ki je namenjena prav varnemu opazovanju Sonca; a izkušnje kažejo, da je kakovost slike tedaj še slabša kot pri varilskem steklu.
Fotografsko najlepša rešitev je ta, da Sonce in pego na njem posnamemo, ko je Sonce tik nad obzorjem, saj v tem primeru ozracje poskrbi za naravni filter. Poleg tega pa lahko tako naredimo tudi panoramsko sliko s fotogenicnimi objekti na obzorju.
Kljub temu, da so pege temnejša obmocja na zelo svetli fotosferi Sonca in je zaradi tega med pegami in okolico velik kontrast, so že na malo nadosvetljeni fotografiji pege »prežgane«, torej zalite s svetlobo fotosfere. Na posnetku jih tako sploh ne bo videti oz. bo kontrast med njimi in okolico zelo majhen. Pravzaprav postanejo pege na fotografiji dobro vidne le, ce je slika nekoliko podosvetljena in je tako tudi manj »parazitske« svetlobe svetlega dela ploskvice Sonca. Pri tem se ne gre zanašati na avtomatske nastavitve ali podatke svetlomera, temvec je modro narediti vec posnetkov z razlicnimi casi osvetlitve. To še posebej velja pri fotografiji Sonca tik nad obzorjem, saj so takrat pogoji (prosojnost neba, meglice, oblaki) vsakic razlicni. Pri fotografiji Sonca in njegovih peg velja pravilo - veckrat poskusiti in si tako nabrati prepotrebnih izkušenj.
Za konec še dve malenkosti. Pri fotografiranju Sonca fotoaparat pritrdimo na fotografski stativ. Nikoli ne gledamo skozenj naravnost v Sonce, morda le takrat, ko je Sonce tik nad obzorjem. Sicer bomo oslepeli!
SLIKA 1.
XXX
Matematični kenguru
Osnovna naloga tekmovanja Kenguru je popularizacija matematike. Zanimiv, zabaven in igriv na-cin zastavljanja matematicnih problemov je pripomogel, da se je tekmovanje kmalu razširilo po vsej Evropi, hkrati pa so se v tekmovanje vkljucevali tudi otroci in mladostniki iz drugih držav sveta. Tekmovanje je preseglo evropske okvire in postalo Mednarodni matematici kenguru z vec kot 6 milijoni tekmovalcev iz 47 držav sveta v letu 2011. V Sloveniji Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije organizira tekmovanje za ucence od prvega razreda osnovne šole do cetrtega letnika srednje šole. Poseben izbor je pripravljen za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol, za dijake srednjih poklicnih šol ter za študente.
Naloge, zbrane v teh knjigah, so najboljše možno gradivo za pripravo na prihodnja tekmovanja. Predvsem zato, ker je vsaki nalogi dodana podrobno razložena rešitev, ki bralca vodi v logicno mišljenje in spoznavanje novih strategij reševanja. Marsikatera naloga, ki je sprva na videz nerešljiva, postane tako dosegljiv iskriv matematici izziv.
EVROPSKI
MATEMATIČNI
KENGURU

N\f\ I США I XtlNA
KENGURU
-<LNOVOSTj>-
2002-2004
10,99 EUR
18,74 EUR
14,50 EUR
Pri DMFA-založništvo sta v Presekovi knjižnici izšle že 4 knjige Matematicnega kenguruja.
•	Evropski matematični kenguru 1996-2001 (pošlo),
•	Evropski matematični kenguru 2002-2004,
•	Mednarodni matematični kenguru 2005-2008,
•	Mednarodni matematični kenguru 2009-2011 (novost).
Poleg omenjenih ponujamo tudi druga matematima, fizikalna in astronomska dela. Podrobnejše predstavitve so na spodnjem naslovu, kjer lahko vse publikacije tudi narocite:
http ://www.dmfa-zalozni stvo.si/
Individualni naromiki revije Presek, clani DMFA Slovenije, dijaki in študentje imate ob narocilu pri DMFA-založništvo 20 % popusta na zgornje cene - izkoristite ga! Dodatne informacije lahko dobite v uredništvu Preseka po telefonu (01) 4766 553.