nir in.min

..»»Bill.II IIPIIB

| Co-^n ,

-i.

Zbirka obrazcev

iz matematike in fizike

za srednje šole.

Sestavil

prof. K. Kunc.

Obrazci se smejo uporabljati pri pismenem višjem tečajnem izpitu
iz matematike.

V Ljubljani 1928.

Založila Ig. Kleinmayr & Fed. Bamberg, družba z o. z. v Ljubljani
(predstavnik Herman Hrovat).

Natisnila Zvezna tiskarna v Celju (predstavnik Milan Cetina).

Vsebina.

A.  Aritmetika.

Stran

I. Osnovni računi: a)  računi s celimi šte¬
vili, b)  največja skupna mera, najmanjši
skupni mnogokratnik, c)  računanje z ulomki,
č  računanje s potencami in koreni, d)  lo-

garitmovanje .   1—3

II. S o r a z m e r j a a ) enostavno sorazmerje,
b)  stalno sorazmerje, c) zaporedno soraz¬
merje .3—4

III. Enačbe:  n) z  eno neznanko, b) z  več ne¬

znankami, c) iracijonalne, c)  eksponentne 5

IV. Spreminjanje oblike:  a)  ulomki,

b)  korenski izrazi, c)  sorazmerje, č)  enačbe 6

V. Postopice. 6—7

VI. Obrestni in obrestno-obrestni računi  7—9

V I. K o m b i n a t o r i k a.9 — 10

Vlil B i n o m s k i z a k o n. 10

IX. Matematična verjetnost .10—11

X. Iz diferencialnega in integral-

n?ga računa  .11 12

B.  Geometrija.

I. P 1 a n i m e t r i j a : a) trikotnik, b)  četvero¬
kotnik, c) mnogokotnik, č)  krog ....  13—17

II. S t e r e o m e t r i j a : a)  prizma, b)  valj, c) pi¬

ramida, č J stožec, d)  prisekana piramida,
e)  prisekani stožec, f)  pravilna telesa,

krogla . . .'.17-19

III. Ravninska trigonometrija:  a) funk¬

cije, b ) medsebojna odvisnost funkcij,

c)  predznak furikcij, č)  vrednost funkcij,

Stian

d)  funkcije komplementarnih kotov, e)  funk¬
cije supiementarnih kotov, /) funkcije ne¬
gativnih kootv, g ) funkcije kotnih vsot in
razlik, h)  funkcije dvakratnika in polovice
kota, ;) vsota in razlika funkcij, j)  raz¬
reševanje pravokotnih trikotnikov, k)  raz¬
reševanje poševnokotnih trikotnikov . 19—24

IV. Sferična trigonometrija:  a  plo¬

ščine, b)  razreševanje pravokotnih tri¬
kotnikov, c)  razreševanje poševnokotnih
trikotnikov, č)  nekatere uporabne naloge 24—26

V. Ravninska analitika:  a ) točka, b)  re-

mica, c) krog, č)  elipsa, d)  hiperbola, e)  pa¬
rabola, /) polarno soredje, g)  paralelna
premaknitev soredja, h ) zavrtenje soredja
za kot a .27—32

C.  Fizika.

I. Geomehanika:  a)  foronomija, b)  dina¬
mika, c) stroji, č)  prožnost, d)  gravi acija 33—57

II. Hidromehanika .37—38

III. Aeromehanika. 38

IV. Termika. 39

V. Magnetizem. 40

VI. Elektrostatika  . 40

VI 1 . Elektrodinamika .41 -42

VIII. Valovanje . 42

IX. A k u s t i k a. 43

X. O p t i k a:  a)  katootrika, b)  dioptrika, c) foto-

metrija, č)  optični aparati, d)  interferenca
in polarizacija.44—45

XI. A s t r o n o m i j a.45—46

XII. Dimenzije in enote nekaterih

količin . 47—50

A.  Aritmetika.

I. Osnovni računi.

a)  Računi s celimi števili.

1. a  + {b  — c + d) — a + b  — c  + d;

2 . a — (b — c+d) — a — b + c — d.

[Obrazca 1., 2.: razreševanje oklepajev. Obratno (desna
in leva stran se zamenjata): postavljanje oklepajev.]

3. (a + b—c) [x—y)  = ax-\- bx — cx-ay — by+cy ;

4. {ax + bx-cx — ay-by+cy):(a+b — c)=x y.

Posebni primeri.

5. a (x — y) = ax— ay;

6. [a + b {c — d)} x — ax + bx (c — d),

— ax + b {cx  — dx) ;

7. (a  + b) 2  — a 2  + 2 ab  + b 2 ;

8. (a + b ) (a — b ) — a 2  — b 2 ;

9. (x + n) (x + b) — x 2  + (a  + b) x  + ab ;

10. (a + b) 3  = a 3  + 3 a 2  b  + 3 ab 2  + b 3 ;

11. (a 2  + ab  + b 2 ) (a + b) — a 3  + b 3 .

[Obrazci 3—11: razreševanje oklepajev. Obratno (razen 4):
razstavljanje na prafaktorje.]

2

b)  Največja skupna mera M  (x, y, z),  najmanjši
skupni mnogokratnik mn (x,y, z).

Če je x = abcd, y = abef, z — abcf, [a, b,  c, d, e,f
so prafaktorji števil x, y, z),  je

1. M  (x, y, z)  = ab  ;

2. mn  (x, y, z) — abcdef;

3.  mn (x, y) = x.  -r—— t.

' * M (x, y)

c)  Računanje z ulomki.

a  ^ b _ ay±bx  a  ^ b  _ m\ ±b\

x  -  y xy  ’ m^ ~ mr\ m%t\  ’

a b  _ ab

x y xy ’

_a _ b_ _ a y_

x ‘ y  ~ x b'

č)  Računanje s potencami in koreni.

Definicije: a n  = a . a . a . a  (n  faktorjev);

3

Računi: i. a m ±b n =a m ±b n , a m  + a m =2a n
a m+n , a m  b m ~ ‘" u ' m -

m

2. a m . a n  ■

3. a  ;  a  =

4. {a m ) n  =

V6/ ’

I

m \/ * M y m i/ * M y ”M~ "M x m-./ x
1 . \a ± \ b —  y a  + y a, \a + ]ja = 2]ja;

m x  n

'\ y  '""i r ‘

\b  = \a

nx my

b ;

d)  Logaritmovanje.

1 . log abc  = log a  + log b + log c;
2- log ~ = log a — log b  ;

3. log a x — x . log a;

4. log Ta =

II. Sorazmerja.

a)  Iz enostavnega sorazmerja a: b  = x:y  sledi:
1. ay  = bx ;

2. (a + b) : = (x  ± y)  : / J;

3. (a + 6) : (tf - b)  — (x + j) : (x — j).


4

b)  l. Iz stalnega sorazmerja a:x = x:b  sledi:

X \db  ; = geometrijska sredina (srednja geometrijska

sorazmernica) števil a  in b].

=  aritmetična  sredina (srednja aritmetična sorazmer-


p

niča, povprečna vrednost) števil a  in .

^ C  =  aritmetična sredina (povprečna vrednost)
števil a, b  in c J ;

[ s = 2 ab 1  ,s = harmonična  sredina števil a  in b ; — + -7-  =  “ •
a + b  . abs  J

2. Iz stalnega sorazmerja a : x = x  : {a — x)

2 2

Sledi: Jt + CLX  — CL  = o,  (količina a  je razdeljena po zla¬
tem prerezu).

c)  Iz zaporednega sorazmerja a:b : c = x : y: z
sledijo enostavna sorazmerja ;

1. a : b  = x : y, a  : c = x  : z, b  : c — y  : z;

\ a  \ x

2. (a  + b  + c)  : < b — {x  -t y  + z) : < y  ;

(c U

\a j x

3. (ma — nb  + pc) : <b = {mx — ny + pz)\  < y.

U U

5

III. Enačbe.

a) Z  eno neznanko.

1. Linearna (urejena) enačba x + a =  0 ima
koren x = — a;

2. kvadratna (urejena) enačba x 2 +ax +  6 = 0
ima korena x,, 2  = — -rr ±

V (!)-**;

3. enačbe višjih stopenj se pretvorijo v
linearne in kvadratne: «) z razstavljenjem leve
strani (desna = 0) na linearne in kvadratne fak¬
torje, [3) z vstavljenjem nove neznanke.

b) Enačbe z več neznankami se pretvorijo z
iztrebljenjem (eliminiranjem) neznank v enačbo
z eno neznanko. Iz kvadratnih in enačb višjih
stopenj se vobče napravi najprej ena ali več
linearnih enačb.

c) Iracijonalne enačbe se pretvorijo s kvadro-
vanjem, kubovanjem ... obeh strani v linearne
in kvadratne.

č ) Eksponentne enačbe  se pretvorijo v line¬
arne in kvadratne a) s pretvoritvijo na skupno
podlogo, [3) z logaritmovanjem;

«) iz a x  — a v  sledi x = y;

P) iz ma x  = nb y  sledi log m + x log a  =
= log n + y log b.

6

IV. Spreminjanje oblike.

a)  Ulomki. Če je ~ — A,  je tudi

am .

1 —- = A,  (razširjanje ulomkov, odpravljanje dvojnih

bm

ulomkov);

a: m .

2 . 7- = A,  (krajšanje ulomkov).

b :m

b)  Korenski izrazi. Če je x \// =  J c  * u di

1. mX ^p m y ===  B,  (odpravljanje ulomljenih eksponentov);

2. m~\j  i (krajšanje korenskih izrazov).

V p m

c)  Sorazmerja. Če je a : b = x : y,  je tudi

1. a  : b — mx : my, a-.mb  = x  : my,  (odpravljanje
ulomkov);

2. £? m  : b " 1  = X m  ’. y m ,  (odpravljanje korenov);

3 . CL  ; m  V b  = m ^X : y,  (odpravljanje potenc).

č)  Enačbe. Če je x — y — a,  je tudi

1. mx  — my = ma,  (odpravljanje ulomkov);

x y a

2. — — — ;= - - (krajšanje enačbe).

m m m

V. Postopice (progresije).

1 . Števila a, a  + d, a + 2 d, ... a  + [n —  1) d, ...
tvorijo aritmetično postopico z diferenco d,

7

števila a, ak, ak 2 ,... ak n  ',...  tvorijo geo¬
metrijsko  postopico s kvocijentom k\

2 . O n  — O  + (n  — 1 ) d,  (n„ — obCni Člen aritmetične po¬
stopice);

3_ Cl  = Clk"  *, (“n =  °b eni  Člen geometrijske postopice);

S n  = 7^ (fl + C? n ), («n =  v® 0 * 3 n  zaporednih Členov arit¬
metične postopice);

k n ~  1

5 s r= d  - (s„ = vsota n  zaporednih Členov geo-

n  k—\

metrijske postopice);

6, S = - , (s = vsota neskončne geometrijske po-

1  Jc

stopice);

7  ^ - ^  (8 — diferenca med a  in b  vrinjenih n  Členov

• n+  r

aritmetične postopice);

n +  \!~b ,

8 X = 1 — ' y ’ —  kvocijent med a  in b  vrinjenih n  členov

T a  ’

geometrijske postopice).

VI. Obrestni in obrestno - obrestni računi.

a)  Navadne obresti.

_ kip

l. o

100

pital k  Din v Z letih);

|  (o so  obresti, ki jih da po p  o/o naloženi ka-

8

kmp

2 ' ° 1  ” 7200  ’

(o 1  so obresti, ki jih da k  Din v m  mesecih).

b ) Obrestne obresti.

k) Ce se obresti kapitalizujejo celoletno, k=  1+-^

(a n  —  vrednost kapitala a  Din čez n  let, a* n  pa vrednost pred n  leti);

2. s — rk n  1  + rk n  2  H-f rk+ r= r

n  k—\

( s n  = vrednost n  letnih obrokov po r Din tisti dan, ko zapade n-ti
obrok):

3. Sn  = rk l(n ~ X)  + rk nn - 2 ' + .. + rk l +r = r

k 1 - V

[s n  —  vrednost n  obrokov po r  Din, ki se vlagajo vsakih / let, tisti
dan, ko se vloži n- ti obrok);

p) Če se obresti kapitalizujejo polletno, k 7  =  1 +

p/2

100 '

1. a n  = ak 2n , d n  =

a

~ n  kj 2n '

(a n  = vrednost kapitala a  Din čez n  let, a' n  pa vrednost pred n leti);

, 2n—2  2n-4 , , ..,.2  , .. kj 2n —  1

2 . = rkf n  + rk-t ■+ - + rk/ + r = r-

k, 2 -\ ’

( s n  — vrednost n  letnih obrokov po r  Din tisti dan, ko zapade n-ti
obrok);

9

3. s n  = rk/ (2n ~ 2)  + rAr/ (2B_4)  + • • ■ + rk 21  + r  =
Ar y a **— 1
r £ 7 2 '-l ’

(s n  = vrednost n obrokov po r  Din, ki se vlagajo vsakih l  let, tisti
dan, ko se vloži n-ti obrok);

= r,

4. s n  = r,k,

kj 2n  -1

2  n

“ 1  + r 7 kj

2n—2

+

+ r 7 k 7  + r r

k,-  l

( 5 ^ rz: vrednost 2 /z obrokov po r f  Din, ki se vlagajo vsako polovico
leta, tisti dan, ko se vloži zadnji obrok).

VII. Kombinatorika.

1. P n  = 1 .2 .3.4 . . . [n  - 1) . n  = n!

= število permutacij (premeščajev) iz n  elementov],

n!

Vn

Pn  p!
med njimi p  enakih);

(P n  r=r število permutacij iz n  elementov, če je

r n {n —  1) {n - 2) .. {n — r +  1) _ (n\
2Kn ~~\. 2. 3... .r  W'

(K r  = število kombinacij r-tega razreda iz n  elementov),

K r, P  n(ji + \)(n + 2)..(n + r-  !) _/« +r-l\
Kn  1 . 2 . 3 .... r \ r r

(K p,p  =  število kombinacij r-tega razreda iz n  elementov, če se-
elementi ponavljajo);

10

5. V r n  = n(n-  1) (n-2)... [n - r+  1) ■=(”)/•/,

[V' =  število varijacij (premen) r-tega razreda iz n  elementov),

V r ['^  == r\ {V™  =  Število varijacij r-tega razreda iz
n  elementov, če se elementi ponavljajo).

VIII. Binomski zakon.

(x  +■ y) n  = x"  + ('{ ) x ,!  1  y  -t- (2) x" 2  y 2  + ...

IX. Matematična verjetnost.

u

1 v = - (v = absolutna verjetnost, da se zgodi  izmed

m

m  mogočih eden izmed u  ugodnih dogodkov),

V = O  pomeni: n e m o g o C e je, da se zgodi dogodek,

V = 1 pomeni: popolnoma gotovo  je, da se zgodi dogodek;

m — U . U

2. V  = - = 1 — - (v  = verjetnost, da se ne

m m

zgodi  ugoden dogodek);

V 7

3. V =-[v = verjetnost, da izmed dveh dogodkov

V; + V 2

A  (z absolutno verjetnostjo v ? ) in B  (z absolutno verjetnostjo v 2 )  na¬
stopi prej A  kakor  B);

4. V — V j  + V 2  + V j,  [v — verjetnost, da se zgodi ali A
(z absolutno verjetnostjo v ? ) ali B  (v 2 ) ali C  (»pl;

tl

5. V = V; . V 2  . V j  (v = verjetnost, da s e zgodi  A, B  in  C),

V  = V/ , (v = verjetnost, da se zgodi A n-krat zapo¬
redoma),

V  = V 2  V 2  (1 — V 3 ), (v = verjetnost, da se zgodi A  i n B,
C  pa ne),

V = (1 — V j)  (1 — V 2 )  (1 - v 3 ), (V = verjetnost, da se
ne zgodi n e A,  n e B,  n e C),

V = 1 — (1 — V 7 ) (1 V 2 )  (1 — V 3 ), (v — verjetnost,

da se zgodi vsaj eden  izmed dogodkov A, B  in C),

V  = 1 — V-j V 2  Vj, (v  — verjetnost, da se ne zgodijo vsi
trije dogodki, temveč kvečjemu  dva),

V = V 7  (1 — V 2 )  + V 2  (1 — V-j ), ‘(v — verjetnost, da se
zgodi a 1 i /\, pa B ne, ali pa B, paArie),

V  = (t — V 7 ) + (1 — V 2 )  + (1 ~ v 3 ), (v = verjetnost,
da se eden  izmed dogodkov A, B,  Cnezgodi);

6 . (J  = (IV, (U  = matematična vrednost upanja na dobitek
a  Din, če je v  verjetnost, da se zadene)-

X. Iz diferencialnega in integralnega
računa.

1- Če je y  = /(x)

/' fx)J =

ci > ent lH y'

je njen diferencijalni kvo-
lim  f(x ~dx )-f (x)
dx  = o dx

2.  Če je y  — x n ,  je y' = n x n

3. Če je y — k,  j e / = 0  ;

n.  Če je y = k.f(x),  je y' — k.f (x);

5.  Če je y  = <p (x) ± i (x), je y  = <p' (x) + <J/ (x);

6. Če je j = sin x,  je / = cos x;

12

7. Če j 2  y — cos x,  je y'  = — s/n x ;

8. Če je j =/(z), z = a (x.) je y  = ^ ^ =

= /' (z) • <p' (*)■
cfv

9. - = tg 7 ,  (a — naklonski kot črte y = / (x) v točki
(x,  jr)];

a = 0°, torej tudi ^ = 0, kjer ima funkcija

maksimum ali minimum,

« >90°,  torej &  ^ 0, kjer funkcija

10.  Če je = /' M. je y = Sf' M dx, b  = ne-

določeni integral funkcije /' (x)].

x ” +1

11. Ix' ! č/X = ^ TT  + ^;

12. J flfx == X + /f;

13. J k .f  (x) dx —  A: J / (x) dx;

14. j -  [cp (x) ± tji (x)] dx  = j 1  tp (x) c/x ± J 4 1  (*)

15. J s/n x cfx = - cosx + k;

16. J cos x dx — sin x + k;

17.  Če je j f  (x) dx  = F(x), je £^/(xl dx —

<x o) ax + fi x i)  dx + f  (x 2 ) rfx +... +/(x„_j)
£/x] = Z 7  (x„) — F (x 0 ),

(i J / (x) dx = določeni integral funkcije / (x) med mejama
x 0  in x n ].

B.  Geometrija.

I. Planimetrija.

(a, p, y  • • n °tranji koti; a ; » (3,, y/ • • • :  zunanji koti; a, b, c ...:
stranice; p, r, r a , r^,  r c : polumeri vCrtanega, očrtanega in pričrtanih
krogov.)

c) Trikotnik. Splošni trikotnik.

1 . a + (3 + y =r 180 0  ;

2. a 7  + (3 ?  + y 7  —  360°;

3. oc 7  = (3 + y;


4. P —  -o~> P — V s [s — a) (s —b) (s — c),

l s==

5 .  p =

6. r =

O + 6 + 6' j

s ’
abc_

4 p  ’

. P

ab .

[, P — ~2 sin  y;

s — a

r h  =

P

s-b'

P

s — c

7. r

14

Pravokotni trikotnik.

1. Cl 2  -j- jj2  = o?*  (Pitagorov izrek);

2. O 2  = a-j C, b 2  = bj C,  (Euklidov izrek: a v  b t :  projek-

ciji katet na hipotenuzo);

3.  v 2  = a 1  b 1 ;

4.  a + 6 = 2p + 2r=2p + c;

ab

5. v = —.

c

Enakostranični trikotnik.

U , _

i. v = y V3;

2. p — -J  V 3;
v «

3 f = 3 = 6 <3;

2 v a ,

’ r  = T = Y'' 3 '

Podobni trikotniki.

A : a = B : b = C: c  == V: v =.

ali = xa, 5 = x6, C = xc, V = xv,... (* =

—  sorazmernostni faktor).

b ) Četverokotnik.  Splošni četverokotnik.

1. oc+[3 + y + B = 360 0 ;

2. + y 7  + B, = 360 °.

15

Tetivni četverokotnik.

1. «'+y = P + S = 180°; J

2. CLC  + bd  = cf,  (Ptolemejev izrek; e, f:  diagonali);

3 - P —  V (s — aj (s - b ) (s - c)  (s — d),

r a + b + c + d  |

I 2  J

Tangentni četverokotnik.
a + c = b + d.

Paralelogram.
p — ov.

Kvadrat.

e 2

1. p  = a 2 , p  = —, ( e  = diagonala);

a a

2. e = a V 2, r = yY2, p = y.

Trapez.

a + c

1 .^= —-v,

(a, c:  obe vzporednici, v =  višinaj;

2 . 5

a + c

2  ’

(s = srednjica).

Četverokotnik z e 1 f.
ef

p  == ^ t  (c,/; diagonali Četverokotnika).

16

c  j Mnogokotnik. Splošni mnogokotnik.

1. a+(3 + y+ ... + &>= 180° (tl  — 2), (n —  šte-

vilo stranic);

2. a-j + (3.| + y 1  ... + co-j = 360 0 ;

, n (ti -  3)

3. a —  -—-, (d —  število diagonal v n-kotniku).

Pravilni mnogokotnik.

1  on n n - 2

1. a = loU . -, (a — notranji kot pravilnega /z-kot-

nika);

2. : S 10  = S 10  : (r — S u ),  («,0  = stranica pravilnega de-
seterokotnika);

3. S 5  = ]/r 2  4" (s 5  = stranica pravilnega peterokotnika);

4 . 5 .

2n

r  ) 2  — \ 4 --^-,

stranici /z-kot-

nika, 2 /z-kotnika, ki sta včrtana krogu s polumerom r );

2 rs

5. S = , v;  - , (S = stranica očrtanega, s pa včrta-

V 4 r  — S 2

nega mnogokotnika z istim številom stranic);

c)  Krog.

1. fl = 2 «, (j3 — obodni kot, ležeč nad lokom središčnega
-kota a );

2 . o = 2 %r;

3. p — % r 2 ;

17

4. I

180

5. t =

ra,  (/ = 1 ok, ki pripada središčnemu kotu a) :

2 P

T  a = — , — ploščina izseka, ki pripada

360

kotu a , oziroma loku /);

6 . p = t:  (R 2  — r 2 ), {p  = ploščina kolobarja);

L  + / , p, ,

7. I ~=  --— (/r— r), (7=ploščina kolobarjevega izseka);

8. P = S 2  — V 2 , (P —  potenca točke s središčno razdaljo s
z  ozirom na krog s polumerom r).

II. Stereometrija.

(P =  površje, O  — osnovna ploskev, p  = plašč, K =  prostornina,
Z) = telesna diagonala, a , 6, c.. robovi, v = višina, s = stranica.)

a)  Prizma.

Splošna prizma.

1. P = 20 + p;

2. K = Ov.

Kvader.

1. D —  V a 2  + b 2  + c

2. P = 2 ab  + 2 ac +

3. K — abc.

Kocka.

1. D — a ] 3;

2. P  = 6a 2 ;

3. K — a 3 .

b ) Valj.

Splošni valj.

1. P  = 2ttr 2  + 27trv;

2. R = xr 2 v.

2 bc;

Enakostranični valj.

1. v = 2  r;

2 . P = 6 tč  r 2 ;

3. AT = 2 k  r 3 .

Kunc,  Obrazci.

2

18

c) Piramida.

1 . a, : a  = v-, : v;

2. o : O = v 2  : v 2 ;

3.  P = 0 + p;

č ) Stožec.

Splošni stožec.

1.  /i : r = v,: v;

2.  p  = tu  r s;

3.  P = Kr 2  + ~rs;

4. K = \r 2 v.

Enakostranični stožec.

1. s — 2 r\

2. P — 5tz  r 2 ;

d) Prisekana piramida,
l. P = 0 + o + p\

2 . K = \  (O + Voo + o).

O

e) Prisekani stožec.

1. p = % [R  + r) s;

2. P = % R 2  + 7T r 2  + k (P + r)  s;

3. K  = \  v (P 2  + Pr + r 2 ).

O

f) Pravilna telesa, g)  Krogla.
Tetraeder. l. P —  4tt r 2 ;

1. v- yV6;

2. K  = — r
3

3  .

19

2. P =

3.  K =

a 2  Y3;
fl 3 V 2
12  '

3. p —  2 sr V, (p = kapica,
oziroma pas z višino v).

Krogelni odsek.

Heksaeder glej spredaj
pod a)  Kocka.

Oktaeder.

1. v = a  V 2;

2. P = 2a 2 V3;

1. P = 2^rv + 7t,o 2 ;

2 . = 4 (3 r - v).

Krogelni izsek.

1. P = 2 7tn/ + tt  p r;

2. K=  ^r 2 v.

O

Dodekaeder.

1. P = 3 o 2 V25 + 10V5;

2. /C= ^(15 + 7V5).

Ikozaeder.

1. P = 5a 2 V3;

2. K  = (3 + V5).

III. Ravninska trigonometrija.

o) Funkcije, sin x cos x  — —, a =

a x  b c a

= corp a = —. scc a = -7-. cosec a = —.
b s  a b c

2 »

20

b ) Medsebojna odvisnost funkcij.

1. sin 2  x + cos 2  x = 1;

2. 1 + tang 2  x = sec 2  a =-;

&  cos 2  x

3. 1 + cofj? 2  a = cosec 2  a = .  ;

&  stn 2  K

4. /ang a =

5. co/g a =

1

sin  x  _ _

cos a co/gx’

cos  a 1

s/n « /ang  x

c) Predznak funkcij

v I. II. III. IV. kvadrantu.

sin +  + — —

cos  + — — +

tang, cotg  + — + —

č)  Vrednost funkcij za nekatere kote.

d) Funkcije komplementarnih kotov.

1 . sin  (90 — x) = cos x;

2. cos (90 — x) = sin  x;

21

3. tang  (90 — a) — cotg  a;

4. cotg  (90 — «) = tang  a.

. a + p r

1.  s/n — = COS

K + S . V

2. cos —— 11  = sin -L,

a + S v

3. tang 2 ~^~ =  cotg ,

a + p v

l. cotg  —= tang±.

če je a + p +
-f Y = 180°, oz.

a+ p

~T‘

= 90-

e) Funkcije suplementarnih kotov.

1. sin  (180 — a) = sin  a;

2. COS (180 — a) = — cos  a;

3.  tang  (180 — a) = — a;

H. COtg  (180 — a) = — COtg  a.

1. S/'// (a + p) = s/n y,

2. cos (a + p)) = — cos  y, j

3. ton^ (a + p) = — tang  y,

4. COi^ (a + P) = — cotg  y,

če je

a + P + y =

= 180°.

/)  Funkcije negativnih kotov in kotov
(360 - a).

!• ( 36 O-J = -«««;

2. cos ( 36 0  “ a ) =cosa;


22

3 - tan s  ( 3 60  - «) = - tan s K ;

4 - c ° 1 g (360 —  «) = - C0 ^ K -

g) Funkcije kotnih vsot in razlik.

1 . s/n (a + j3) = sin  a cos (3 + cos  a s/n |3;

2. cos (a + (3) = cos a cos p + s/n a s/n [3;
/ong a + /ong [3
1 + tang  a /ang -  [3 ’

_ cotg  k  co/g [3 + 1
co/g p ± cotg  a

3. /ong (oc ± [3)

4. co/g (a ± [3)

k)  Funkcije dvakratnika in polovice  kota.

1 . sin 2 x — 2 sin  a cos a;

2.  cos 2 a = cos 2  a — s/n 2  a ;

2 /ong «

/ong 2 « =
co/g 2a =

1 — /ong 2  a ’
CO/g 2  a — 1

2 co/g a

1. srn

- V L

2. cos -j- =

3. tang  -§- = y[

^i = Vr

COS a

1 + COS a

COS «

+ COS a

cos a

- cos a

23

i)  Vsota in razlika funkcij.

■ o „ . a + 3 «— S

1. s/n a + sin  [3 = 2 sin  —cos  —i

„ • -q.o  a + (3 . cc — 8

2 . s/n a — s/n p =± 2 cos ——^ s/n —;

a + [3 « - 3

- m  c* _' •

3. cos a + cos [3 = 2 cos — 2 ~‘- cos

„ „ . a + 3 . * — 3

4. cos a - cos p = — 2 s/n — 2 -L sin - c '

o s/n (a ± 3)

5. tang  a ± */np- 3 = - - ;

& s  ^ cos x cos  3

2  ’

zJ

2  ’

6. COf£ a ± CO/^ 3

s/n (3  + a)
s/n a sin  3 '

7. s/n a + s/n 3 + sin  y = 4 cos — cos ™ cos ",

8. /on» a + tono- 3 + tang  y = tang  oc tang  p fan^ y,

7. in 8.: če je oe + 3 + y = 180°.

y)  Razreševanje pravokotnih trikotnikov.

(kateti: a, b,  nasprotna kota a. (3)-

1. kateta iz hipotenuze : a — C sin  oc = C COS 3l

2. kateta iz katete : a = b tang  k = b COtg  3;

a a

3. hipotenuza iz katete: C = —r—- = - 7 -.

S/n a COS 3

24

k)  Razreševanje poševnokotnih trikotnikov.
1 . a : b : c = sin a.: sin p : sin  y, ali pa

a

—  2 T,  (sinusov izrek);

sin  a sin  (3 sin  y

2. a * 2 3  = b 2  + C 2  — 2 bC COS  a, (kosinusov izrek);

, a+13

n + b tan š ~2~

3.

a — b

a — p ’
2

(tangensov izrek);

4.

a — p . a — p

a + b __ cos  ~2~ a — b _ sin  2  (Moiiwei-

soz

Y

COS

Y

dejevi

enačbi);

5. SZ«

« \ l(s — b) (s — C)  K 1 /.

V“ /Te ’ C 0 S Y)

's (s — a)

6c

ta«?

a i l(s-b)(s — c)  p

— = i/- 7 ---= —- — (izrek o polovicah

2 )  ° ° ~.

06

- z ---— —, iizren o poiuvican

5 (5 d )  5 (X  trikotnikovih kotov);

6 .p  — sin  y = 2 r 2  sin oc sin  (3 sin  y =

P 2  cotg  y co/£ cotg 3-

IV. Sferična trigonometrija.

a)  Ploščine.

1 . p = %r 2

90

■ (ploščina sferiCnega dvokotnika);

25

2. p — %  r 2  -Tjjr, [e=a  + 3 + y=  180], (ploščina

loO

sferičnega trikotnika);

3 . p = z r 2  [d —  360 — (o + b  + c)), (Pio-

ščina polarnega trikotnika).

b)  Razreševanje pravokotnih s f e -
ričnih trikotnikov.

Kosinus vsake sestavine je
enak produktu sinusov nasprot¬
nih sestavin ali pa produktu
kotangensov priležnih sestavin.

(Neperjevo pravilo).

c) Razreševanje poševnokotnih sferič-
nih trikotnikov.

1. sin a  : sin b : sin c  = sin x  : sin  (3 : srn  y, (si-

nusov izrek);

2. cos a = cos b cos c  + sin b sin c cos  a ali pa
cos b cos (c  — x)

cos a  =---, kjer je tang x  =

cos x

— tang b COS  a (kosimisov izrek za stranice);

3. cos  a == — cos  p cos  y  + s/n p s/n y cos o, ali
cos p s/o (y — x) .

pa cos a =-—:—--, kjer je cotg x =

^ sin x > >

= tang  P COS a,  (kosinusov izrek za kote).

26

č ) Nekatere uporabne naloge.

(/.= geografska dolžina, = geogr, širina kraja, a  = azimut zvezde,
v —  višina. S = deklinacija, u  = urni kot.)

1. cos d  = sin  ep, s/n <p 2  + cos cp n  cos cp 2  c os  (>, 2  — ),

[d = zračna črta dveh krajev A  ().,, rp t ) in B  0. 2 , cp 2 )].

2. s/n B = s/n v s/n 9 — cos v cos 9 cos a, (8 = de-

klinacija zvezde, ki ima v kraju (m) v nekem trenotku azimut a > n
višino v) ;

sin  a cos v

3. S/n n =-. (u = urni kot zvezde z dekli-

COS B

nacijo 8 v trenotku, ko ima azimut a in višino v) ;

4.  s/n v = s/n 8 sin  9 + cos B cos 9 cos n, (v = vi¬
šina zvezde z deklinacijo § v trenotku, ko ima urni kot u );

5. COS U 0  = — tg*b tg  9, (« 0  = urni kot zvezde z deklina¬
cijo {5, ko zahaja v kraju s širino cp t , 2 « 0  = dnevni lok zvezde,
2 u Q  = dolžina tistega dne, ko ima solnce deklinacijo 8, brez upo¬
števanja refrakcije);

sin  52'

COS «, = COS «n-, < 2  “t = dolžina dneva,

COS B COS 9

če se upošteva refrakcija, 2 u 0  = dolžina brez upoštevanja refrakcije),

COS U 0  —  — tg  S tg  9, (2 « 0  = najdaljši dan v kraju s ši¬
rino ep, £  = 230 27' 8"),

COS Uq  — tg t tg  9, (2 u g  = najkrajši dan v kraju s širino o);

. , s/n B

6. S/n u =  - (d = jutranja (večerna) daljina zvezde

COS 9

z deklinacijo 8),

7. S/n 8 == Sin  s S/n X (8 = deklinacija zvezde z astro-
nomijsko dolžino 5., e  = 230 27' 8").

27

V. Ravninska analitika.

a)  Točka.

1. d = ^ Xf 2  + y-f 2 ,  [d = razdalja točke T  (xi,yi) od (0,0)];.

X

2. tang  X = ——, [a = naklonski kot smeri od (0, 0) proti

y  t

T  (x, j-,)];

3. d = ] (x^  — X 2 ) 2  + (Tl —  T 2 ) 2 . P =  razdalja točk
Xi (xi, yi) in Ti (x 2 , y 2 ));

y, — v.

4. tang" X = - , [tan^ d = smerni koeflcijent da-

X 2  — X!

ljice T\  r 2 );

X. + X ?  Vi + V 2

5. C = —*-pr—- , ‘/j = ---, [(?. r]) je razpolovišče

Z z

daljice 7i Tb] ;

6. 2 p = x, (y 2  - y 3 ) + x 2  (y 3  - vJ + x 3  - y 2 ),

[p —  ploščine trikotnika z oglišči Ti, T 2 , T 3 ]-

Premica.

1. aX-\~by-\~C — O,  (občna enačba premice);

2. y  = .4 X + (premica s smernim koeficijentom A in
odsekom B  na ordinatni osi);

* , y

"z  - -4— .

C B

1 1  (premica z odsekom C na abscisni in B

na ordinatni osi);

4 . y  — y.| — A (X  — Xf),  [premica, ki gre skozi točko
(x,, r,) in ima smerni koeflcijent A]\

28

5. y <— yi  = —-— (X — x), [premica, ki gre skozi

x 2  X 1

točki (x,, y,) in ( x 2 , y 2 )];

6. x cos w + y sin o — p — o,  ali
= o, [p

ax  +  by  + c _

y a 2  + 6 2

± V a 2  + 6 2

je pravokotnica iz (o, o), ^ naklonski kot te

pravokotnicej;

7. J — -.4 X, [premica skozi (o, o)];

8. X = a,  (vzporednica z ordinatno osjo);

9. J/ (vzporednica z abscisno osjo);

10. X = O,  (ordinatna os);

11 . y = O,  (abscisna os);

1

12. y — -— X -t £>!, (pravokotnica na premico y — Ax + B );

13. (x cos  cp! + y sin  cp, —/? t ) + (xcoscp 2 +;ys//zcp 2  —

— p 2 ) ~ O,  (enačbi kotovih simetral);

14. (ax + by  + c) + 1  (a, x + b-i y  + c,) == o,

[vsaka 0. je poljubno število) premica, ki gre skozi presečišče dveh
premic];

’ 5 - ,ane  8  - TT17V

.y — A i x + B t  m y = A 2  x + B 2 ) -,

(S = kot, ki ga oklepata

16. d  = — (X-, COS cp + J/, SI/Z cp — p) =

axi + by, + c  ,

;=- 1 - J  - [d —  razdalja točke (x |t  j/j)  od

+ ^ a 2  -f b 2  ’ ax + by + c — o].

29

c)  Krog.

1 . X 2  + y 2  — f 2 ,  [krog s središčem (o, o)];

2. (x — p ) 2  + (y — q) 2  — r 2 ,  [krog s središčem (p, q )J

3 . y 2  —  2  K X  — X 2 ,  [krog, ki se dotika ordinatne osi v (o,  o)];

4 . X) X  + y-\ y = r 2 ,  [tangenta na krog x 2  + y 2  = r 2  v do-
tikališču (x ( , y l  ));

5 . T 2  (1 + A 2 ) = B 2 ,  pogoj, da je y = Ax  + B  tangenta
na x 2  + y 2  = r 2 );

6. (*, - p) (x - p) + (y, - q) (y  - q)  = r 2 ,

[tangenta na krog (x — p) 2  + (y — q ) 2  = r 2  v dotikališču (x , p,)];

7. (*! - p) (x - /?) + - q) (y - q) = r 2 ,

[polarna pola (x , y f )  o ozirom na krog (x — p) 2  + (y — q ) 2  —  r 2 ];

8. V — Vi — ^ (X — Xi), [normala na krog (x -  pl 2  +

' 1,1  x^- p

+ (r - 9) 2  = r 2  v točki (*,, p,)];

9. (x — /t) 2  + [y - q) 2  — r 2  — (x — pA 2  +

J r {y  — <7i) 2  — T^ 2 , [potenčna premica dveh krogov).

č) Elipsa.

1 b 2 x 2  + a 2 y 2  = a 2  b 2 ,  ali —= 1, [ciips»

* a 2  b 2

s središčem (o, o),  2a na abscisni, 2 b  na ordinatni osi);

P X 2

2 1/2 =  2  p X  — —- [elipsa, ki se dotika ordinatne osi

' J  a '

v (o, o), 2 a  v absc. osi);

3 g 2  = (j 2  — b 2 ,  [a = razdalja žarišča od središča);

€ X C X

4. /7) = a  + —, p 2  = O-— (Pl* p 2  :  prevodnici

točke (x, jr)];

30

b 2

5 P —  —, P  = parameter);

a

6. P  = TZdb, (.P  = ploščina elipsne ploskve);

7.  b 2  x, x + a 2  ja, y  = a 2  6 2 , ali =

= l f  [tangente na elipso v dotikališču (x , y t )];

8. b 2  + d 2  A 2  = Z? 2 , (pogoj, da je j> = + B tangenta

na b 2  x 2  -j- n 2  y 2  = a 2  P 2 );

9.  fr 2  X-, X + a 2  y-t y — a 2  b 2 , [polara pola (x,, j/,) z ozi-
rom na elipso 6 2  x 2  -J- a 2  y 2  = a 2  6 2 ];

io. y - y-i =

a 2  j;.

'<X,,  y,)j.

d)  Hiperbola.

b 2  Xi

(X — X-)), [normala na elipso v točki

1. b 2  X 2

a 2  y 2

a 2  b 2 ,  ali

• *

a 2

r_

b 2

1, [hi¬

perbola s središčem (o, o),  2 a  na absc., 2 b  na ordinatni osi];
n x 2

2 V 2  = 2 P X  + -, [hiperbola, ki se dotika ordinatne

a

osi v (o, o), 2a  na absc. osi];

3. e 2  — Cl 2  + b 2 ,  (e = razdalja žarišča od središča);

P X C X

4. P-i  = + d, p?  =- a,  [p,. P, : prevodnici

a a ’  1 2

točke (x, j/)J;

b 2

5. P  = -, (2p = parameter);

a

45. y —  + — X, (obe asimptoti);

31

7. b 2  x^x — a 2 y- i y — a 2  b 2 ,  ali

x i x  _ Vi y .

a 2  b 2

[tangenta na hiperbolo v dotikališču (x,, y )];

8. — b 2  + a 2  A 2  — B 2 ,  (pogoj, da je y = Ax  + B  tan¬
genta na £2  x 2 — a 2  = n 2  ft 2 );

9.  b 2  X^X — a 2  JA, J = a 2  b 2 ,  [polara pola (x,, j,) z ozi¬
rom na hiperbolo 6 2  x 2  _ a 2  y 2  = a 2  * 2 ] ;

e)  Parabola.

I. y 2  — 2 p X,  [parabola z vrhom (o, o),  parametrom 2 p  in
osjo na abscisni osi];

parabolni lok in koordinati točke (x r  y )];

3. Vi y ~P  (* + *i) p  [tangenta v dotikališču (x i  y f J];

H.  2 A B — p,  (pogoj, da je y — Ax  -j- B  tangenta na y2—
— 2 px)-,

5. y^y — P (X + X^),  [polara pola (x,, y,) z ozirom na
parabolo y 2  = 2px];

6. y ~ y 1  —  — {X  — X!), [normala v točki (x,, y,)].

/)  Polarno s o r e d j e.

I. X = rCOSdji, }'  = VSitl  O, (transformacijakoordinata,J)
v koordinati r, <p);

2, f  = --, [premica, cp, = naklonski kot pravo-

COS  (cp -- (p,)

kotnice p  iz (o, o)];

32

3 r  — -—- U = — 2p = parameter, elipsa

1 — £ COS  cp a

(£ < 1), hiperbola (£ > 1), parabola (£ = 1)].

£•) Paralelna premaknitev soredja.

X — %  + m, y —  7 ] + n,  [točka (m, n)  je izhodišče
novega soredja].

/?) Zavrten j e soredja za kot a.

x = % cos  a — t)  s/n <x = r cos  (cp + a),
y = X sin  a + r) cos % = r sin  (ep + k).

C.  Fizika.

I. Geomehanika.

CL ) F O I -  O !1 O m i j 3. (f = £as gibanja, s = v t  sekundah na-
pravljena pot, c, v —  hitrost, y = pospešek gibanja, g =.  pospešek
prostega pada).

1 . Enakomerno gibanje: s = ct.

2.  Enakomerno pospeševano gibanje :

v = -{ t,  v = V2y s.

3. Vertikalni met j

V = C±gt;

T =z — [T —  dvižna
1  n ’  doba).

C 2

— _  (H =  metna

V cr’  višina).

cr

4. Horizontalni met: x — ct, y  = y t 2 ,

Kunc, Obrazci.

3

34

5. Poševni met:

x = ct cos  a, y — ct sin  a — ~ t 2 ,

v x  — c cos «, v y  = c s/n y. — gt ;
c s/n a

7" = - f  (T  = dvižna doba),

// =

g

c 2  sin 2  k

2 g"

f  (// = metna višina),

, c 2  s/n 2 a

(7  = - (d = metna daljina).

6. Kroženje :

c 2  r

Y = — = —^ 2 —> (Y — centripetalni pospešek).

7. Harmonično gibanje:

. 2  %

e = a Sin t,  (e = elongaclja, a = amplituda, T  :
— nihajna doba, f = fazni čas);

2  a %  2  n .

v  = T  cos t ;

4 o 7t 2  . 2 jr 4tt 2

T p2 'p t p2  '

6) Dinamika.

1. y = m  Y, (/ din  je sila, ki podeli m gramom pospešek
7  cm sek —2 ) ;

35

2. 5 = —, (s = specifična teža snovi, katere K cm 3 tehta

K P  gramov);

3. R 2  = P 2  + Q 2  + 2 P Q COS (X,  ( R =  rezultanta sil

P  in Q,  kadar oklepata a°)i

’ 2  4  t s 2  mr

-, (P = centripetaina sila, ki ob-

4. P

mc‘

r

T 2

drži maso m  pri hitrosti c  na krogu s polmerom r);

5. P —

4  k 2  me

T 2

(P = sila, ki mora učinkovati pri elon-

gaciji e  na maso m,  da niha z nihajno dobo P);

5. T=2r. V

je na njo v elongac

'• T ='%’

/77 _ [T  = nihajna doba, ki jo ima m , če

p’

deluje na njo v elongaciji e sila P);

7  j  ==  ^ j/_ (P — nihajna doba matematičnega nihala

z dolžino /);

8. 7" = Ti

/r

Mgd’

(T  = nihajna doba fizičnega nihala, če

deluje na maso z vztrajnostnim momentom K  največji vrtilni mo¬
ment Mgd;

J2

9. K =

7v

Mgd, (K  = vztrajnostni moment telesa, ki za¬

radi vrtilnega momenta Mgd  niha z nihajno dobo P);

10 . M  = .Ptf, CAf = vrtilni moment sile P, ki prijema z ro¬
čico a);

11. Pa  = /ft, (Pa = vrtilni moment, ki podeli vztrajnostnemu
momentu K kotni pospešek p);

12. D  = / 7 S, (£> = delo, opravljeno s premagovanjem upora
p  na poti s);

3 *

36

D

13. E  = —, (E =  efekt sile, ki opravi v t  sekundah delo O);

tTIC ^ Koc, ^

14. E —  -, Ei  = ———, (f? = kinetična energija, ki jo

Z z

ima masa m,  kadar se giblje s hitrostjo c; E t  pa kinetična energija,
ki jo ima masa z vztrajnostnim momentom K,  kadar se vrti s kotno
hitrostjo cc),'

15. E  — mgh,  (£ = potencijelna energija lege, ki jo ima m,
če je h cm  nad tlemi).

c)  Stroji. Pogoji ravnotežja med delo oprav¬
ljajočo silo P  in bremenom Q.

1. Strmina ..: . P = Q Sin  a, (P  II 1,  a = naklonski kot

strmine),

P  = Q tang  oc, (Pilo);

2. Pritrjeni škripec. . .: . P = Q ;

3. Gibljivi škripec . . .: . P  =

Q.
2  ’

4. Kolo na vretenu P = -=. Q,  (# = polmer

P

kolesa, r  vretena);

* r , ti  ^ zv (“ = ročica sile,

5 - Vzvod. :. P = — Q, b  bremena);

6. Navadno škripčevje . . P

Q  (2 n =  število
2 / 2 ' vse ' !  škripcev);

Q

število

7 . Potenčno škripčevje . . R =  —(« =

gibljivih škripcev);

P " /*

8. Diferenčno škripčevje . . P ~  -5- Q, (tfmr

Z P

polmera dvostrokega škripca);

37

9. Klin. P

2 b

Q — Q sin  a, (a = celo,

b  = stranica klina, a = naklonski kot stranic);

10. Vijak ... P — - h - Q, (h =  višina zavoja, R=ro-
£ K K  čica siie).

11. tang 0C =  — D.  (občutljivost tehtnice, l  = dolžina,

s  Gd

G =.  teža prečke, d —  razdalja težišča od vrtišča).

c) Prožnost.

1 Pl

"k = —  - (). — podaljšek l m  dolge, q mm?  debele žice

E q

iz snovi s prožnostnim modulom E,  če jo nateza P kg).

d)  Gravitacija. Nevvtonov zakon.

„ Mm

P  — x = sila, s katero se privlačujeta masi M  In m,

r 2  -s

če sta r cm  narazen ; ■ /t  = 6'685.10 din).

II. Hidromehanika.

j Pb = Qd,  ("na ploskev n izvajan pritisk P deluje na plos¬
kev b  z jakostjo Q);

2. P  = sfh, (P  = hidrostatični pritisk na ploskev /, ki je
h cm  pod nivojem tekočine z gostoto s);

3  V — K G,  (V = vzgon telesa s prostornino K,  potoplje¬
nega v tekočino z gostoto <;);

4, v = ^2gh,  (v — hitrost iztekanja tekočine skoz luk¬
njico h cm  pod nivojem);

38

5. E = Ph kgm  = konjskih sil, (£ = efekt

vodne sile, če teče čez jez vsako sekundo P litrov vode in je gladina
pred jezom h  metrov višja kakor pod jezom).

III. Aeromehanika.

1.  — b Q  . 0'999875 A , (b/i  — povprečni barometrski
pritisk h  metrov nad morsko gladino);

2. p V  — p V , (P =  napetost plina v prostornini v, te  ima
ista množina plina v prostornini v 0  napetost p 0  pri isti temperaturi);
Bogle Mariottov zakon;

/ P \n

3. d„= d„ \  ■ ,  ), ( d„  = gostota z zračno razredče-

n  ' P  + TV'

valko razredčenega plina po n  dvigih bata; = prostornina recipl"
jenta, T  trobe);

^ == rj — (8 = dosegljivi minimum gostote; š

OlT'  .... .

škod¬

ljivi prostor);

4. d n  — d Q  ^ 1 + tl  —^ , ( d n  =  gostota z zračno zgo-

ščevalko zgoščenega plina po n  potiskih bata);

__ T

B — d o ,  (8 = dosegljivi maksimum gostote,);

5. V  — ^, (v  = hitrost iztekanja plina z go¬
stoto u iz prostora z napetostjo b  v prostor z napetostjo b x ).


39

IV. Termika.

1. l t  = l 0  (1 + It), V (  = V 0  (1 + Y.t), Ut =  dol¬
žina, Vf =  prostornina pri t°; a  = linearni, ,t == 3  X = kubični ko-
eficijent raztezka);

2. b 0  = (1 — 0'000182 /), (t >0  = na 0° reducirana

barometrska višina živosrebrnega barometra);

3. p t  = p Q  (1 + X t ), (p* = napetost zaprtega plina pri

in stalni prostornini);

p  v  = p„  v 0  a + X/) = p ^-t

2 nmc 2
5  ~2~’

Mariotte—Gag—Lussacov zakon, (p = napetost v prostornini v cm 3
zaprtega plina pri temperaturi t°, oz.  absol- temperaturi T^,  če ima
ista množina plina pri 0° v prostornini v Q  napetost p Q );

5. K  = C p t,  (/č = množina kalorij, ki jih sprejme p kg
težko telo, iz snovi s spec. toploto c, če se segreje za f°);

6. z = %p (T — t), (z =  množina toplote, ki jo odda na
sekundo p cm 2  površja na T 0  segretega telesa obdajajočemu sred¬
stvu s temperaturo t £ == koeficijent zunanje provodnosti);

7. n  =

(n = množina toplote, ki pride v 1 se¬

kundi od prereza q cm 2 ,  segretega na T°>  do / cm  oddaljenega enako
velikega prereza s temperaturo £°; v = koeficijent notranje provod¬
nosti) ;

„ „ 10333 p q h n r ,  _

8. E  = - -  _ _ - /f. S, (■£ = teoretični efekt par-

60.75

nega stroja, v katerem premakne para z napetostjo p atmosfer bat
s prerezom q m 2  vsako sekundo /z-krat za h  metrov).

40

V. Magnetizem.

7-1 M-1 V-2

1. P  = ——j- 1  Coulombov zakon, (P =  sila, s katero učin¬

kuje pol [J.J polovih enot na r cm  oddaljeni pol ix 2 );

2  Mu.  ,

- -  (P = sila, s katero učinkuje magnet z mo-

r o 1

2. P

mentom M  na pol ki je v smeri magnetne osi r cm  oddaljen od
središča magneta).

VI. Elektrostatika.

C C

1. P —  1  ^  Coulombov zakon, (P = sila, s katero učin¬

kuje elektrenina e t  absolutnih enot na r cm  oddaljeno elektrenino e 2 )j

.. e

2. V  = —, (V —  potencijal elektrenine e  v točki, ki je r cm

r

od nje oddaljena);

3. E = K V, (E  = elektrenina, ki jo ima konduktor s ka¬
paciteto K,  kadar je naelektren na potencijal tč);

H. D

K V 1

f  (D —  energija, ki jo ima konduktor s kapa¬

citeto K , kadar je naelektren na potencijal V);

.. o /

5 K —  -— (K  = kapaciteta kondenzatorja, ki ima dve

4  Ti d

vzporedni plošči po / cm 2  ploščine v razdalji d cm,  če je med plo¬
ščama izolator s konstanto j);

6. K  = K. + Ko, -jr 7  = -jr  + “T, (K —  kapaciteta

1 1  K  AT, K 2

dveh vzporedno, K'  pa zaporedno staknjenih kondenzatorjev).

41

VII. Elektrodinamika.

e /

1. I  = — , U = — -, Ohmov zakon, (i  ~ jakost toka, ki

u kq

ga propušča upor u,  če imata njegova konca potencijalni diferenco e,

u =  upor l  metrov dolge žice s prerezom q mm 2  iz snovi s speci¬
fično provodnostjo k);

n e

2. I — -(< = jakost toka iz baterije n  zaporedno

n u + z

staknjenih elementov, če ima vsak element potencijalno diferenco e,
notranji upor u in če se zvežeta pola baterije z uporom z);

3 . I

+ Z

(i —  jakost toka iz baterije n  vzporedno
staknjenih elementov);

n. P  =

[j. i  X sin

Biot-Savartov zakon, (P  = sila, s ka¬

tero učinkuje cm  toka i  na r cm  oddaljen pol pi, če oklepa
s smerjo proti p. kot cp);

5 i  — - tang a, U =  jakost toka, ki odkloni na tan-

2 % n

gentni busoli magnetno iglo za a° i z  magnetnega meridijana na
mestu, kjer ima jakost zemeljskega magnetizma horizontalno kom¬
ponento H\  tokovodnik je zvit v n  krogov s polumeri r;

6 #  i  = -}- i 2>  i A  : / 2  = u 2  'H\,  Kirchhoffova zakona,

(i , i 2  sta jakosti tokov, v katera se razcepi tok i,  Ce gre skoz dve
vzporedno staknjeni veji z uporoma u x  in u 2 )\

dveh vzporedno,

i , i ,

- -1 -, «=«.+«,. ( “

«1 «2

u’  dveh zaporedno staknjenih uporov);

= upor

42

8. D = i 2  u t  jouleov = 0‘2387 .. i 2  u t  kal,

Jouleov zakon, (D = množina toplote, ki jo proizvaja tok i, te  teče
t  sekund skoz upor u);

9, E = e i, (E =  efekt toka z napetostjo e  in jakostjo i);

10. e = F l V,  (e = inducirana elektromotorska sila, če se
l cm  dolga žica premika s hitrostjo v cm\sek  skoz magnetno polje
jakosti F  pravokotno na silnice);

/“ i

11. e = D  —-—, (e = inducirana elektromotorska sila, če
se v i sekundah spremeni jakost toka od i  na /);

12. T  = 2 7U "Y L K, (T  = nihajna doba elektriških nihajev
v krogu s kapaciteto in samoindukcijo L) ;

i i.i., ,

13. ~r~ — -j—  + -j—, L = L\  + L 2 , = samoin-

L x-<-j Z^2

dukcija dveh vzporedno, L'  dveh zaporedno staknjenih tuljav).

VIII. Valovanje.

1. C = n (c  — hitrost, s katero se razširjajo valovi dol¬
žine 1 in frekvence n);

2. C = ~\/ ^  (c  = hitrost, s katero se razširjajo valovi v

\ d

sredstvu s prožnostnim modulom E  in gostoto d);

5.  [3 = X, <cc  = vpadni kot, j3 = odbojni kot žarka);

4 .

sin y.
sin  y

= n, (a —  vpadni kot, v = lomni kot;

= lomni količnik za prehod iz sredstva s hitrostjo c, v sredstvo c 2 ).

43

IX. Akustika.

1. Relativne višine tonov diatonične skale:

1 1 1 1 3  1 M

8 ' • 4 ’ 3 ’ 2 ’ 3 ’ 8 ’ 2 ’

Relativne višine tonov harmonične skale:

lili! 13  9

lf  8 ’ T’ 3 ’ 2 ’ 5 ’ 8 ’ ’

2. tl =

2 r /

-j (n = višina osnovnega tona, ki ga da

dr.

struna z dolžino l  in debelino 2 r,  če ima napetost P in je iz snovi
z gostoto d);

C C

3 . tl —  = = višina  osnovnega tona, ki

ga da l cm  dolga odprta, n, pa zaprta piščal);

H. C  = ^ 1 ‘41 (1  + X /), (c = hitrost zvoka v su¬

hem zraku temperature t; d 0  = gostota pri O o, p 0  = normalni pri¬
tisk) ;

n c

5  fl =  - (n = višina tona, ki se sliši, če se zvočilo,

' 1  C —V

ki daje ton n,  približuje ušesu s hitrostjo v; c —  333  mišek);

/ V \

6. /J 2  = n  ^1 + — J,  ( n 2  = višina tona, ki se sliši, če
se uho približuje s hitrostjo v  zvočilu, ki daje ton n).

m

X. Optika.

b)  Katoptrika.

1,1  1  2

1. - + —— = —— = -. (b —  razdalja slike

a b f r

od sferičnega zrcala, če je predmetna razdalja a, f —  goriščna raz¬
dalja, r = krivinski polmer).

b.  D i o p t r i k a.

1. B = ( 0 ^ + 0C 2 ) — (0, (S = deviacija žarka pri pre¬
hodu skoz prizmo z lomečim kotom o>! a, = vpadni kot pri vstopu,
a 2  = lomni kot pri izstopu);

2. n

sin

sin

B„ f oj

2 (n = lomni količnik snovi, iz katere

-, je prizma z lomečim kotom I 8 0  “

d> = minimum deviacije);

2

(6 = razdalja slike od leče iz snovi z lomnim količnikom n  in kri-
vinskima polmeroma r t  in r 2 , oz. žariščno razdaljo /, če je predmetna
razdalja a).

c)  F o t o m g t r i j a.

I cos o
Tz r 2 ’

(i =  osvetljenost ploskve, ki je r cm  od¬

daljena od svetila s svetilnostjo /, če vpadajo žarki pod kotom <p).

č) Optični aparati.

b . ,

1. V = —jr  + 1, (v = linearni poveček konveksne leče
z  žariščno razdaljo f,b =  zorna razdalja);

45

2. V —

f{b+p )

P  («-/)’

objektiv ima žariščno razdaljo /, okular pa p;
meta od objektiva, b  pa zorna razdalja);

(v = linearni poveček mikroskopa, čigar

razdalja pred-

3. V

- (v = linearni poveček teleskopa, čigar objektiv

p

ima žariščno razdaljo /, okular pa p).

d)  Interferenca in polarizacija.

1. p = y 2  r  (2 n  + I) p' =  y 2  r.  2 n~-,

(p := polmer n-tega svetlega, p' pa n-tega temnega kolobarja, ki na¬
stane na Nevvtonovem steklu s krivinskim polmerom r,  če pade nanj
homogenska svetloba z valovno dolžino X);

2. d sin oc — (2 n —  1)-^-, d sin  a, = 2 n  —,

z z

(a = uklonski kot n-te svetle, a, P a  n-te temne proge, če gre ho¬
mogenska svetloba z val. dolžino X skoz špranjo z odprtino d);

3. tang p — n,  (p = polarizacijski kot pri odboju na sred¬
stvu z lomnim količnikom n).

XI. Astronomija.

j f —  p -|- u t  [t =  zvezdni čas v trenotku, ko ima zvezda
z rektascenzijo p urni kot n);

2  f — T  + B, (t — povprečni čas takrat, ko je pravi solnčni
čas T,  če je S časovna enačba tistega dne);

3 K  — J5 Sin  (p, (a.  — kot, za kolikor se vsako uro zavrti
nihajna ravnina v kraju z geografsko širino cp);

46

4. d  =

r sin z-,

—.- (d—  razdalja zvezde od zemlje,

sin p A

sin p

če ima zvezda obzorno paralakso p , oz. dnevno paralakso p y  takrat,
ko je njena zenitna daljina z { , r  = polmer zemlje);

5. 1/ = B + (90 — (p), (V = višina zvezde z deklinacijo §
v kraju s širino cp v trenotku zgornje kulminacije; V =  opoldanska
višina solnca tisti dan, ko ima deklinacijo §);

6. sin  B = Sin  £ sin  X, ^ = deklinacija zvezde (solnca(
z astronomijsko dolžino z  — 23° 27'8" == naklon ekliptike);

7. CCS u—ig^tgo, COS  P = — tgl tg  cp, (2 a =
= nočni lok, 2 p = dnevni lok zvezde z deklinaciji § v kraju s ši¬
rino cp; 2 a  r= dolžina noči, 2 p = dolžina dneva tisti dan, ko ima
solnce deklinacijo §);

8. T-i 2  : T 2 2  = Kepplerjev zakon, ( T  : ob¬

hodne dobe planetov, R  njihove povprečne razdalje od solnca);

9. P =  7„

M m

Newtonov zakon, (P —  sila, s katero se

privlačujeta masi M  in m , če imata razdaljo r, •/ = 6*685.10 8);

4 n 2  R 3

10 lil —  - —(m = masa telesa, okoli katerega kroži

7. T

v razdalji R  drugo telo z obhodno dobo T; ■

6'685.10—S);

11 .

7.

masa zemlje, s —  pospešek prostega

pada, r polmer zemlje, -/. = 6-685.10 8).

XII. Dimenzije in enote nekaterih količin.

s

■*

= S

o

2 S

2 e

- I

|g

^ 1°
ro _ <0

tl X

rt v :

Ž *

~  3.

oj  _

s 5

S§

s.

s.

s JI

E S

E E

00 §

S .

ho 2

O

ca

c

O

a

03

n

ca

c

>u

HA

O

C/3

O

a

(A

ca
a >cj

CJ

HA

CJ

CL

(A  ca

JsC

c/3

O

a c/)

to ^ IQ h- X

a

o\

»

5 o

= o-

=" o

5

CJ --

O  '

03

« s

5

5  I

cs

^ o

ll 3 ž

g 00 O
Ji >U

irt _ oj  C n

•f"? (rt O

-* E

0

c

01

(rt

X)

ra

o

*©

co

c

o

c

Čj

o

O

ii

>»

c

< 1 >

X

c c

u bo

(rt o

E ra E rt

_• O _• O

O) c OJ C

• OJ • o>

UJ

oi 3  S

O ■ O T=J _•

>5, XI B3L

Popravki.

49

Definicije nekaterih enot.

1. \ g  mase  je vztrajnostni odpor 1 c/n 3  čiste vode pri 40 C.

2. 1 dina je Sila, ki podeli 1 gramu  mase 1 cm sek~ 2  po¬
speška.

1 g  S i 1 e je pritisk 1 cm 3  čiste vode pri 40 C na horizontalno
podlago v brezzračnem prostoru v Parizu; (statična defin.);

1 g  S i 1 e je sila, ki podeli 1 gramu  mase 981 cm sek  2  po¬
speška;

3. 1 er g  je delo, ki ga opravi sila, kadar premaguje upor 1 dine
na poti 1 cm;

1 kgm  je delo, ki ga opravi sila, kadar vzdigne 1 kg  1 m  ver¬
tikalno navzgor;

1 wattska Lira je delo, ki ga v 1 uri opravi sila, ki ima
efekt 1 watta;

1 Kalorija je množina toplote, ki segreje 1 kg  vode za

lo c.

4. 1 sekundni erg efekta ima sila, ki opravi vsako sekundo
1 erg  dela;

1 watt efekta ima sila, ki opravi vsako sekundo 1 joule  dela.

5.  1 polova enota je tisti magnetni pol, ki učinkuje na
drug enako velik pol v razdalji 1 cm  s silo 1 dine.

6.  1 enota elektrenine je tista množina elektrike, ki
učinkuje na drugo enako veliko množino v razdalji 1 cm s silo

1 dine;

1 elektron je množina proste elektrike na enovalentnem
atomu.

7. 1 absolutno elektrostatično enoto po¬
tenci j ala ima tisto mesto v električnem polju, kamor se
mora prinesti iz kakega mesta izven polja 1 absolutna enota
elektrenine, da se opravi 1 erg  dela;

50

1 absolutno elektromagnetno enoto po-
t e n C i j al n e diference imata oba konca žice, če
opravi abs. elektromagnetna enota toka vsako sekundo 1 erg
dela;

1 volt potencijalne diference imata oba konca
žice, Ce opravi 1 amper toka vsako sekundo 1 joule  dela.

8. 1 Cin  kapacitete  ima kondenzator, Cigar potencijal se
zviša za 1 absolutno elektrostatično enoto, kadar se mu pri¬
vede 1 absolutna enota elektrenine;

1 farad  kapacitete ima kondenzator, čigar potencijal se
zviša za 1 volt, če se mu privede 1 couiomb elektrike.

9. 1 absolutno elektrostatično enoto ja¬
kosti ima tok, kadar teče vsako sekundo skoz žico 1 ab¬
solutna elektrostatična enota elektrike;

1 absolutno elektromagnetno enoto ja¬
kosti ima tok, ki učinkuje, kadar teče po krogu s pol¬
merom 1 cm,  na enotni pol v središču tega kroga s silo

2 Tj din;

1 amper  jakosti ima tok, kadar teče vsako sekundo skoz
žico 1 couiomb elektrike.

10. 1 Ohm upora ima tokovodnik, ki propušča 1 amper toka,
kadar imata oba konca 1 volt potencijalne diference.

11. 1 henrg  samoindukcije ima žica, v kateri se inducira elek-
tromotorska sila 1 volta, kadar se spremeni tok vsako sekundo
za 1 amper.










UNIUERZITETNR KNJIŽNICA MARIBOR

21411

000510117

••