i
i
“2-1-Vadnal-naslov” — 2009/3/26 — 13:35 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 2 (1974/1975)
Številka 1
Strani 16–19
Alojzij Vadnal:
ZAČETNI POJMI NOMOGRAFIJE
Ključne besede: matematika.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/2/2-1-Vadnal.pdf
c© 1974 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2009 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
ZAeETNI POJMI NOMOGRAFIJE
1. Uvod
Pri numeričnem računanju po predpisanem obrazcu si marsikdaj
radi pomagamo s kakimi grafičnimi metodami. Med posebno zanimive
in praktično uporabne grafične metode računanja spadajo nomograf-
ske metode, ki so v zadnjih sto letih prerasle v posebno panogo
geometrije, ki se imenuje nomografija.
Beseda nomografija je grškega izvora in jo sestavljata besedi
nomos = zakon in grafo = pišem. Bistvo nomografije je, da nek po-
seben geometričen način ponazarja z aritmetičnimi obrazci formu-
lirane zakonitosti.
Od prvih začetkov nomografije je minilo že skoraj 200 let. Pr-
vi nomogram je izdelal leta 1795 francoski matematik Pouchet (pu-
še) in sicer mrežni nomogram za množenje dveh števil. Francoski
inženir Lalanne (lalan) je skonstruiral leta 1843 Logaritemsko
skaLo, ki je osnova logaritemskemu računalu, in Logaritemsko mre-
žo, ki jo dandanes lahko kupimo pod imenom Logaritemski papir.
Za razvoj nomografije so med drugim še pomembni Cauchy (koš!),
Mobius, Massau (maso) in zlasti d'Ocagne (dokanj), ki te objavil
v letih 1884-1931 nad 80 publikacij s področja nomografije, in ki
ga mnogi štejejo za znanstvenega utemeljitelja nomografije. Ime
nomografija je bilo za to panogo geometrije sprejeto leta 1890 na
mednarodnem matematičnem kongresu v Parizu. Dandanes je nomograf-
ska metoda računanja splošno razširjena in se uporablja zlasti v
tehniki. Bistvo nomografije bomo v naslednjem prikazali z nomogra-
mom za procent ni račun.
2. Lestvasti nomogram za procentni račun
Pri procentnem računu nastopajo tri količine in sicer:
a osnovna vrednost,
p procentna mera (%) in
o procentni delež.
Pri procentnem računu velja obrazec o = ~o~ . Ce sta dve ko-
ličini znani, lahko izračunamo po tem obrazcu tretjo. Za grafično
računanje po tem obrazcu uporabljamo nomogram na sliki 1. Tu nas
16
PROCENTNI RAČUN Obrazec:
a ·p
0= 100
100 100 a : osnovna vrednost 100
90 90
80 p: procentna mera 8 0
70 50 procentni delež 70o:
60 40 60
30
20
10
1 1
5
1
20 4 20
3
<\1
2
Q
~....
<IJ
Q
' N <\1:: Ql 1-
'ti Qj QlQl s1- 'ti
:>
.~ <\1
<II :::: .... 0 ,5 i::::> Ql 0,4 QlQ U U:: Q Q<IJ 1- 0 ,3 1-O Q, Q,
0 ,2
Shema uporabe
0 ,1
Primer
Dano: a =20a
0 ,05 0 =16
2 0 ,04 Rezultat: p =80 2
0,03
0 ,02
0 ,01 1
s1. 1 Le stvasti nomogra~ z a p ro c e nt n i račun
17
ne zanima , k ako je ta no mogram konstruiran , ampak nas zanima samo ,
k ako ga lahko uporabi mo. Nomoeram sestavljajo tri vzporedne da l j i -
ce , k i so nosilke ustreznih l o ga ri t e ms k i h skal . Razde lišča na le-
vi skal i ponaz a r jaj o vrednos t i osno vne količine a , r azdel iš ča na
srednj i skali ponaz a r ja jo vrednost i procentnega d e l e ž a o in razde -
lišča n a desni skal i ponazarja jo vrednosti procentnega deleža p.
Bi s t ve n a lastnost tega nomog r ama je , da ležijo po tri razdeli-
š č a , k i ponazarjajo vrednost i ko l ič i n a, o in p , na i sti premici ,
če le ust rez a jo te vrednost i obrazcu za procentni račun. Za r adi
te lastnost i l a hko določimo s pomočjo no mogr ama preprosto s po la-
gan jem p ro zornega r avn i la vrednost tret j e kol ičine , č e poznamo
vrednost prvih dveh količin.
Reš i mo s tem nomogramom nekaj nalog .
l. nalog a: Računanje procen"nega deleža o. Koliko je 5% od 60? Tu
je a=60, p =5 in i z računat i ~oramo o. Ravnilo položimo
tako , d a gre njegov rob sko zi razdelišče 60 leve s ka -
l e i n skozi razdelišče 5 desne s k a l e ; rob ravn ila s e k a
srednjo ska lo v razdel iš ču 3. 5% o d 60 je to rej 3 .
2. naloga : R ačun an je p rocent ne mere p . Od 20 učencev je izde l alo
razre d 16 učencev . Kol iko procentov učencev je izde la-
lo? Tu je a=20, 0 =16 in izračunati j e t reba p . Ra vn i l o
po l ož imo t ako , da gre njego v rob s ko zi razd e l iš če 20
na l e v i skal i i n skozi razdel išče 16 na s redn j i skali ;
rob ravnila seka desno skalo v raz delišču 80. Izde lalo
je tore j 8 0% učencev .
J. naloga: Računanje osnovne vre dnosti a . Delavec , ki je izdela l
1 9 ko sov , j e do s e gel 9 5% pre d pisane norme . Ko l ikš na je
nj e gova norma ? Tu je 0 =19 , p =95 in izračunati je treba
a. Ravnilo položimo tako , da gre n j e go v rob s kozi raz-
delišče 19 srednje skale in skozi razdelišče 95 desne
skale; pri tem seka rob r avnila levo skalo v razdeli -
š ču 20 . De l avč e va norma znaša torej 20 ko s o v .
Presodi, z aka j ne dobi š z nomogr a f sko metodo natančnih ampak
s amo zao krož e ne r e zu ltate .
Vzem i t o le nalogo: Kol iko j e 6 , 5% od 82 ,45 d in? Reši na logo
naj prej aritme t ično; p r i tem dobiš natančen r ezultat. Reš i nalo-
go š e z no mogramom na sl.l. Al i i maš pri reševanju k ake t ežave
pri polaganju ro ba r a vn i l a skozi rezdelišča skal ? Ka k š en r ezultat
18
dob$&? R.,fieeaaj %%ntarjeni maultat z %e img.Qmank. 
M i  z m g r - n a  sl.1 nckaj n a l ~ g ,  ki jib Ilajdd v svpjem 
mate@atiE:nem u.Ehnilcu. A l i  j o  re8iti vse te t%al~p;e s na- 
rbsaaim -mP