i i “1593-Likar-Kako” — 2010/8/31 — 11:11 — page 1 — #1 i i i i i i List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 32 (2004/2005) Številka 4 Strani 15–19 Andrej Likar: KAKO RASTEJO SNEŽINKE? Ključne besede: fizika, prevajanje toplote, rast snežink, zmrzovanje, temperaturno polje, šestero- kotna mreža, matrika stanja, temperaturna matrika. Elektronska verzija: http://www.presek.si/32/1593-Likar.pdf c© 2005 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije c© 2010 DMFA – založništvo Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez po- prejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno. 15 Kako rastejo snežinke? FIZIKA 2. V zelo hladnem zraku padajo snežinke v obliki majhnih šest- kotnih zvezdic. Nekatere imajo nazobèane krake, druge spet dolge drevesaste izrastke (glej sliko 1). Zvezdice se moèno razlikujejo med seboj, skoraj ne najdemo dveh povsem ena- kih. Rast snežink v oblakih je oèitno zelo zapletena. Ali jo lahko vsaj v grobem pojasnimo? Pokazali bomo, da lahko s preprosto predstavo o primrzovanju vodnih molekul na lede- no površino in z upoštevanjem zakona o prevajanju toplote presenetljivo dobro opišemo ta pojav. Obravnavali bomo kar se da preprost mo- del zmrzovanja. Vodne molekule bomo po- stavili v vozlišča šesterokotne mreže v rav- nini. Najprej bomo privzeli, da vse moleku- le, razen ene na sredi, tvorijo tekočo fazo. Nato bomo začeli tekočino ohlajati tako, da bomo hladili podlago. Ko bo tempera- tura v vozlišču padla pod ledišče, bo mole- kula primrznila, vendar le, če ima kakega soseda. Ker se pri primrzovanju sprošča toplota, bomo v vozlišču dvignili tempera- turo. Seveda ne bomo dovolili, da bi mo- lekula zaradi tega spet prešla v tekočino, saj bi za to potrebovala talilno toploto, ki jo je pri primrznitvi oddala, del te toplote pa je že odtekel drugam. Na vsakem voz- lišču bomo morali računati temperaturo, saj se voda ohlaja, pa tudi segreva, in sicer tem bolj, čim bliže smo vozliščem, kjer so molekule pred kratkim prešle v led. Tem- peratura zato ne bo enaka v vseh vozliščih, opraviti imamo s temperaturnim poljem. Da pridemo do šesterokotne mreže, tvo- rimo najprej pravokotno mrežo, kamor bomo postavili molekule vode. Ker bomo rast snežink spremljali z računalnikom, si bomo omislili polje vozlišč in vsakemu vozlišču priredili par naravnih števil (i,j ). Temperaturno polje bomo predstavili z matriko T(i,j ), prav tako tudi agregatno stanje molekul z matriko p (i,j ), ki ji bomo rekli matrika stanja. Na posameznem mestu bo njena vrednost lahko le 1 ali 0. Enica bo pomenila, da je na da- nem mestu molekula del kristala, ničla pa, da je molekula še del tekočine. Na sliki 2 je predstav- ljena osnovna pravokotna mreža in sosedje vozliš- ča (i,j ). Vidimo, da so osnovna vozlišča, ki ležijo levo ali desno, precej bliže kot tista nad ali pod. (Kolikšno je razmerje med stranicama osnovnega pravokotnika?) Tako bodo sosedje vozlišča (i,j ) tvorili šestkotnik, snežinke bodo imele tako sime- trijo, ki jo opazimo v naravi. To bomo upoštevali, ko bomo matriko p (i,j ) prikazovali na zaslonu. Morda bi koga skrbelo, da smo z izbiro sosedov vozlišča (i,j ) prezrli tista, ki so mu zares najbližja. A v teh molekule nikoli ne primrznejo, saj nimajo svojih sosedov. Tako z zvijačo in malo truda pri- demo do šestkotne mreže. Na vsakem koraku računa bomo pregledali vsa vozlišča (i,j ) in zabeležili, če se je agregatno stanje molekule morebiti spremenilo, če je torej tempera- tura T (i,j ) pod lediščem in ima molekula vsaj ene- ga, že primrznjenega soseda. Vrednost p (i,j ) bomo tedaj spremenili od vrednosti 0 na vrednost 1. Pri vsaki spremembi matrike stanja bomo dano mesto segreli za 9T, saj se ob zmrzovanju spro- sti talilna toplota. Hitro lahko izračunamo velikost 9T, saj vemo, koliko toplote se sprosti, ko zmrzne 1 kg vode; qt = 80.4200 J/kg. Toliko toplote bi segrelo 1 kg vode za 80 K. Seveda moramo pri zmrzovanju to toploto odvesti, da ima mešanica vode in ledu ves čas temperaturo ledišča. Toplota zato odteče v hladno okolico, s katero sta zmrzu- Presek 4-n6.indd 15 2/9/2005 14:19:48 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 312 CVC 16 joča voda in nastali led v stiku. Pri nas pa bomo za toliko segreli vozlišče, v ka- terem je molekula primrznila. Zaradi gretja bomo morali po nekem pravilu obnavljati temperature vozlišč T(i,j ). Tako bomo upoštevali toplotne tokove od mest, kjer so molekule pri- mrznile, na sosednja vozlišča in v hlaje- no podlago s stalno temperaturo Tp. Do enačbe, ki bo opisovala temperaturne spremembe, pridemo po temle prepro- stem premisleku. Denimo, da merimo temperaturo valjastega merjenca, ki je v toplotnem stiku z dvema velikima telesoma s temperaturama T1 in T2. Če je toplotni stik z obema telesoma enak, bo njegova končna temperatura na sredi ravno povprečna temperatura 1 2(T1+T2). Podoben premislek velja, če je zvezdasto oblikovan merjenec v stiku z več telesi z različnimi temperatura- mi. Temperaturno spremembo vozlišča (i,j ) pri majhnem časovnem koraku 9t bomo zato določili kot 9T(i,j )=a (T – –T(i,j )), kjer smo s T– označili povprečno tempe- raturo najbližjih sosedov, s katerimi je vozlišče v toplotnem stiku T – = 1_n R n k=1 Tk . S slike 2 razberemo, da je povprečna temperatura najbližjih šestih sosedov vozlišča (i,j ) in podlage podana takole: T – = 1_7T(i+2,j)+T(i+1,j –1)+ T(i+1,j+1)+T(i–1,j–1)+ T(i–1,j+1)+T(i–2,j )+Tp )). Poleg temperatur sosednjih vozlišč smo upoštevali še temperaturo podlage, s katero je vsako vozlišče v stiku. Koe- ficient a je povezan s časovnim kora- kom 9t, toplotno prevodnostjo, gostoto in specifično toploto ledu ali vode ter razdaljo med najbližjimi sosedi. Spet FIZIKA Slika 1. Fotografije snežink, ki jih včasih opazimo v naravi. Večinoma so snežinke nepravilnih oblik, mnoge so v obliki paličic in stebričkov, ki jih naš račun ne zajema. Slike posameznih snežink smo našli na spletni strani http://www.its.caltech.edu/~atomic/snowcrystals/photos. bomo privzeli, da so lastnosti ledu in vode povsem enake. Čim manjši a iz- beremo, tem natančnejši bo račun. Se- veda se bo s tem podaljšal skupni čas računanja, zato ne kaže pretiravati z natančnostjo, še posebno ne, ker smo v našem preprostem računanju marsi- kaj zelo poenostavili. Prevelike vred- nosti a >> 1 pa vodijo do nesmisel- nih rezultatov. Priporočljivo je izbrati časov ni korak 9t tako, da je na primer a = 0.25. Program, s katerim smo sledili rasti snežink, je zelo preprost. Priporočljivo je delati z dvema temperaturnima ma- trikama Ts(i,j ) in Tn(i,j) ter dvema ma- trikama stanja ps(i,j) in pn (i,j). Indek- sa s in n označujeta staro stanje, ki ga moramo obnoviti, in obnovljeno novo stanje. Za naslednji korak prepišemo novo stanje temperatur in agregatnih stanj v staro. Na sliki 3 je prikazana hitra rast sne- žinke, ko je bila temperatura podlage za 0,7 K pod lediščem, na sliki 4 pa po- Presek 4-n6.indd 16 2/9/2005 14:19:49 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 312 CVC 17 FIZIKA Slika 2. Šestkotna mreža, kamor postavimo molekule vode. Prikaza- no je vozlišče (i,j) in sosednja vozlišča, ki tvorijo šestkotno mrežo. časna rast, ko je bila ta temperatura le 0,1 K pod lediščem. S spreminjanjem temperature podlage med rastjo se lah- ko tvorijo tudi drugačne oblike. Skup- no vsem snežinkam s te slike so dolgi zvezdasti izrastki. Nastanejo zato, ker se vozlišča blizu izrastkov najhitreje ohlajajo. To je posebno pomembno pri rasti blizu ledišča. Na sliki 5 vidimo nekaj razvojnih stopenj snežink, ki so nastajale pri temperaturi 0.025 K pod lediščem. Na tretji sličici sta prikazani dve snežinki na istem mestu, mlajša s krožci, starejša s pikami. Tako vidimo, na katerih mestih snežinka najhitreje raste. Zanimivo je, da lahko tako zapleten pojav, kot je rast snežink, kar dobro pojasnimo z zelo prepro- stim računanjem. Naše snežinke so seveda zelo majhne, saj jih sestavlja le nekaj sto molekul. Tudi če si namesto molekul mislimo mikroskopske kap- ljice, bo primrzovanje kazalo enake značilnosti. Zapleten vzorec nastane zaradi zelo preprostih zakonitosti, ki uravnavajo zmrzovanje. V naravi so seveda razmere precej bolj zapletene, posebno zato, ker snežinke rastejo tudi v debelino. Razme- re so v oblakih lahko precej drugačne kot na na- šem polju vozlišč. Zato najdemo v naravi snežinke, ki jih z našim računom ne moremo pričarati. Na spletni strani http://www.its.caltech.edu/~ato- mic/snowcrystals najdemo poleg lepih posnetkov snežink tudi nekaj razlage o njihovi rasti. Andrej Likar Presek 4-n6.indd 17 2/9/2005 14:19:51 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 312 CVC 18 Slika 5. Rast snežinke pri zuna- nji temperaturi Tp = –0.025 K. Največji snežinki sta narisani na istem mestu, manjša s krož- ci, večja s pikami, da se vidijo mesta najhitrejše rasti. Slika 3. Rast snežinke pri zunanji temperaturi Tp = – 0,7 K FIZIKA Presek 4-n6.indd 18 2/9/2005 14:19:52 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 312 CVC 19 Slika 4. Počasnejša rast snežinke pri zunanji temperaturi Tp = – 0, 1 K FIZIKA SE NADALJUJE NA STRANI 24 Presek 4-n6.indd 19 2/9/2005 14:19:53 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 312 CVC