i i “1452-Razpet-Sestavimo” — 2010/8/23 — 10:09 — page 1 — #1 i i i i i i List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 28 (2000/2001) Številka 5 Strani 290–294, XIX Nada Razpet: SESTAVIMO „ČETVEREC“ IZ ENAKIH KROGEL Ključne besede: matematika, geometrija, prostorska predstavljivost, sestavljanje tetraedrov. Elektronska verzija: http://www.presek.si/28/1452-Razpet.pdf c© 2001 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije c© 2010 DMFA – založništvo Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo- ljeno. Matematika I SESTAVIMO 'ČETVEREC' IZ ENAKIH KROGEL Ob koncu lanskega leta smo lahko na policah nekaterih trgovin opazili zanimivo geometrijsko sestavljanko. Iz štirih skladnih teles je potrebno sest avit i pravilni (enakorobi) četverec. Prvi ra zrez četverca je 1940. leta patentiral Edward T. Johnson. Igra, ki sem jo kupila , pa je narejena po predlogi Wolfganga Schn eiderja. D A B c Slika 1. T loris sestavnega dela. :Jx :D Slika 2. Stranska p loskev ses tavlje nega pravilnega četverca. Robovi t elesa so: DC = 3x, AB = AE = DH = GC = x, BC = AD = H G = 2x . Osnovna ploskev je enakokraki t rapez ABCD, stranske ploskve enakokraki trapezi DHGC, DAEH, BCGF in kvadrat ABFE, zgornja ploskev pa enakokraki trapez EFGH. Izdelava mreže tega telesa je preprosta. Ob tej sest avljanki sem se spomnila na sestavljanko iz samih enakih krogel. Eno izmed takih sestavljank prodajajo tudi v naših trgovinah. Iz 20 danih krogel, ki so zleplj ene v gruče tako, kot kaže slika 3, je potrebno sestaviti pravilni 'četverec' . Slika 3. Slika 4 . Iz 20 krogel lahko sestavimo 'četverec ' tudi, če so štirje sestavni deli med seboj enaki. Kako jih povežemo , kaže slika 4, kako zložimo pa fotografija na III. st rani ovitka. I Mat ematika N ekaj računanja Koliko krogel potrebujemo za pravilni 'četverec' , če osnovni rob sestavlja n krogel? Slika 5. Označimo število krogel na osnovni ploskvi s Pn , V celotnem ' četvercu' pa s K n . S slike razberemo, da ima vsaka vrsta v osnovnem trikotniku eno kro glo manj . Začnemo z n kroglami in končamo z 1 kroglo. Tor ej je 1 (n + 1)Pn= n+(n-1)+(n-2) + ... + 1 = "2 n (n + 1)= 2 . Vsaka naslednja plast , ki sestavlja pr av ilni ' četverec' , je trikotnik, ki ima za osnovnico eno kroglo manj . Vse kro gle dobimo , če seštejemo kro gle po plasteh . Torej je: Po znanih formulah dobimo 1(1 1) 1 (n +2)K; ="2 6" n(n + 1)(2n + 1) + "2 n(n + 1) = 6"n(n+ 1)(n+2) = 3 . Za nekaj začetnih šte vil sestavimo tabelo za šte vilo krogel K n , ki j ih potrebujemo za sest avljanj e ' četverca ', ki ima na osnovnici n kro gel. Če želimo sestaviti prav ilni četverec iz 4 skladnih delov, mora biti število krogel deljivo s 4. To pa pomeni , da je pr va t aka možnost (če ne up oštevamo trivialne rešitve, ko je n = 2) četverec z robom n = 4. Tega smo že sestavili. 292 Mat ematika I Druga naslednja možnost je, da vzamemo za osnovni rob 6 krogel (potrebujemo 56 krogel). Izkaže se, da ne moremo naredi ti št irih skladnih delov; tudi pri n = 7, ko potrebuj emo 84 krogel, ne gre (sestavni deli so zrcalno simetrični ). Prvi naslednji pravilni četverec , ki ga lah ko sest avimo iz 4 skladnih delov, ima rob n = 8. Zanj potrebuj emo 120 kroglic. Vsak del ima to rej 30 kroglic. To pa bi lahko ugot ovili že iz slike st ranske ploskve četverca, ki smo ga sestavili iz št irih skladnih teles na pr vi sliki. Osnovni rob četverca je bil razdeljen v razmerju 1 : 3. Sestavni del za pravilni četverec z robom n = 8 ima dve plasti. Spodnj a plas t sestavnega dela za prav iln i četverec z robom n = 8. Slika 6. Zgornja plast sestavn ega dela za pra- vilni četverec z ro bom n = 8. Pravilnemu 'četvercu' iz krogeločrtamo pravilni četverec Poglejmo še, kako bi izračunali st ranico pravilnega četverca, ki mu je ' četverec ' iz krog el včrtan. Da bomo lažje posplošili primer , začnimo s pr avilnim 'četvercem' iz 4 krogel (tri v prvi plasti in ena v drugi) . Središča krogel A, B , C in D ležijo v ogliščih kocke in tvorijo oglišča pr avilnega četverca. z A \ \ \ \ \ ,', \ , /, / ~~..,.:..- - - - - f) - Slika 7. B c lj Mat ematika Ko ord inatno izhodišče post avimo v središče kocke, koordinatne osi pa vzporedno z njenimi robovi . Rob kocke naj bo l . Polmer kro gel naj bo r . Očitno je, da je r = ~j2 . Glede na izbrani koordinatni sistem imajo središča krog el naslednje koordinate: Določimo enačbo ravnine, ki gre skozi točke A , B , C. Normalni vektor ravnine skozi točke A , B , C je ii = (1, 1, 1) in enačba ravnine je 1 x+ y+ z - - = o2 . Razdalj a t e ravnin e od koord inatnega izhodišča je do = 1j (2V3). Četverec , ki je očrtan kroglam , ima eno izmed ploskev vzpored no s to ravnino. Označimo jo s 11. Ravnina 11 je od točk A, B in C oddaljena ravno za po lmer kro gel. Oddaljenost dl ravnine 11 od koordinatnega i zhodišča je d = _1_ + ~ = 1 + V6 l 2V3 2 2V3 · Ker pa so si vsi prav ilni četverci med seboj podobni, dobimo iz razme rja d . ~ _ 1 + V6 . ~ _ 6 + V6 l ' - -- -- ---. - 2V3 . 2 - 6 splošni izraz za dl , ki se glas i: Razdalja dl naj bo polmer včrtane krogle za četverec s stranico a2. Iz znane form ule za polmer pravilnemu četvercu včrtane krogle d _ a2V6 l - 12 8 dim rmbmmo+ da ss do&e &w& ofxkrtega btverca pri do- drajaaju p m d h plasti rmBujejo r ~ v m za premer h g e l [p~kwim &ranice 8e mdfkuje za I-). Ker je pri a = 2 strdea as = 2(fi+ l)r, je p13 n kraglah na a~nmici &rsLnia oCrt~nqta W v m a enah