P R E S E K
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652 Letnik 23 (1995/1996) Številka 2 Strani 65-69
Olga Arnuš:
MATRIKE (ali skladišča informacij)
Ključne besede: matematika, linearna algebra, matrike, determinante. Elektronska verzija: http://www.presek.si/23/1259-Arnus.pdf
© 1995 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo
MATRIKE
(ali skladišča informacij)
Gospa Korenčkova je nameravala kupiti 3kg jabolk in 2kg pomaranč. V prvi trgovini so bila jabolka po 120 SIT za kg, pomaranče pa po 150 SIT za kg. Sadje bi jo torej stalo 3 ■ 120 SIT + 2 ■ 150 SIT = 660 SIT. V zgoščeni obliki bi zgornje podatke zapisali v dveh stolpcih:
količina cena
jabolka 3	120
pomaranče 2	150
Dogovorimo se, da bomo oba stolpca zapisali v oglatih oklepajih. Skupni strošek za sadje smo dobili s preprostim gospodinjskim računom, ki mu borno rekli skalarno množenje:
'3'		'120'
2		_ 150 _
= 3-120+ 2-150 = 660.
V splošnem zapišemo ta račun takole:
= nj6i + na^a-
»1		V
		M.
Gospa Korenčkova je pogledala še v drugo trgovino. Tam so bila jabolka po 110 SIT, pomaranče pa po 160 SIT za kg. Skupni strošek bi bil 3 ■ 110 + 2 - 160 = 650, torej manjši kot v prvi trgovini. Podatke o cenah lahko spravimo v tabelo:
jabolka pomaranče
trgovina 1 120 150 trgovina 2 110	160
Taki tabeli števil rečemo v matematiki matrika. Običajno jo zapišemo med oglata oklepaja ali pa med dve dvojni navpični črti. Zgornja matrika ima dve vrstici in dva stolpca (matrika reda 2 x 2). Število vrstic ni nujno enako številu stolpcev. Tudi eno vrstico ali stolpec bomo šteli k matrikam.
Vse dosedanje gospodinjske podatke gospe Korenčkove lahko zapišemo z dvema matrikama: prva zgoščeno prikazuje cene v obeh trgovinah, druga pa nakupne količine. Iz teh podatkov lahko izračunamo zneska za obe trgovini. Tudi ti dve števili lahko zložimo v stolpec:
' 120,	150'		'3		'120-3+ 150-2'		'660
110,	160		2		110 3+ 160-2		650
Izvedli smo neko operacijo, ki je matriki in stolpcu priredila nov stolpec. To je poseben primer operacije, ki jo imenujemo množenje matrik.
Denimo, da imamo opravka še z gospo Peteršiljčkovo, ki je nameravala kupiti Ikg jabolk in 2kg pomaranč. Za prikaz vseh količin obeh gospodinj potrebujemo matriko reda 2x2:
jabolka pomaranče
3, 1 2, 2
Drugi stolpec se nanaša na gospo Peteršiljčkovo. Primerjavo zneskov za obe gospodinji in obe trgovini nam da naslednji račun z matrikami:
"120,	150'		'3, 1"
110,	IGO		2.
120	3+ 150	2,	120	1+150-2'		'660,	420"
110	3+160	2,	110	1 + 160-2		650,	430
Drugi stolpec nam pove, da se gospe PeteršiljČkovi bolj izplača kupiti sadje v prvi trgovini.
Iz primera vidimo, da matrike množimo tako, da skalarno množimo vrstice iz prve matrike s stolpci iz druge matrike (skalami produkt j-te vrstice prve matrike in i-tega stolpca druge matrike je v rezultatu število, ki leži v j-ti vrstici in k-tem stolpcu). Bralec naj premisli, kakšen pogoj mora veljati za dimenzije dveh matrik, da ju je mogoče zrrinožiti.
Matrika torej predstavlja zgoščeno informacijo. Ta je skrita v številih
in v položaju števil v tabeli. V našem primeru je 120 cena, prva vrstica pove, da gre za jabolka, prvi stolpec pa, da se cena nanaša na prvo trgovino. Dve matriki sta enaki natanko tedaj, ko se ujemata v istoležnih številih. Namesto številnih razmetanih računov nam množenje matrik v zgoščeni in urejeni obliki prikaže primerjavo zneskov. Množenje matrik, ki smo ga spoznali na našem primeru, je samo ena od možnih operacij z matrikami. Lahko jih na primer tudi seštevamo ali pa množimo s številom.
Oglejmo si še, kakšna pravila veljajo za to množenje matrik. Omejili se bomo na matrike 2x2.
1. Zelo pomembno lastnost množenja odkrijemo, če zmnožimo na primer
1, 2 3, 5
nato pa še
3, 2 2, 1
'3,	2'		'1, 2"	
.2.	1		3, 5	
1-3 + 2-2, 1-2 + 2-1 3-3 + 5-2, 3-2 + 5-1
3-1 + 2-3, 3 2 + 2-5 2-1 + 1-3, 2-2 + 1-5
	7,	4 '
	15,	11
1	"9,	16¿
	.5,	9
Množenje matrik torej ni komutativno.
2. Nekoliko daljši račun bi bil potreben za dokaz asociativnosti. Če tri poljubne matrike označimo z A, B in C, to pomeni (AB)C = A(BC). Bralec naj to opravi sam.
3. Prav posebno vlogo ima matrika I =
1, 0 0, 1
Če jo množimo s
katerokoli matriko A =
(z leve ali z desne), dobimo kar
matriko A. Tako lastnost ima pri množenju števil število 1.
4. V množici realnih števil lahko za vsako število a ^ 0 najdemo tako število b, da je ab = 1 ah b = a-1 ali b = 1 : a (inverzna vrednost Števila a). Ali je to mogoče tudi v množici matrik? Namesto števila 1
a. b
bomo seveda vzeli matriko 7. Matriki A ~
bi radi priredili
tako matriko B ~
, da bo AB = I aii
a, b		y		'1,	
c, d		11, v		.o.	lj
To nas privede do sistema enačb:
ar + bu = 1, ay + bv — 0 cx + du = 0, cy + dv — 1
z rešitvijo
x =
ad — bc
V =
-6 ad — be'
u —
—c ad — bc '
v =
ad — bc
Rešitev seveda obstaja, če je število ad — bc različno od nič. Imenujemo
a, b c, d
ga determinanta D matrike A =
. Če je torej D ^ 0, je matrika
B =
D — c L D
D
inverzna matrika matrike A ali AB = I. Bralec se lahko prepriča, da je tedaj tudi BA = I. Zato je smiselna oznaka B = A-1. Za matrike, ki imajo determinanto enako nič, pravimo, da niso obrnljive.
Omenjena pravila pomagajo pri reševanju nekaterih matričnih enačb.
Naj bosta na primer dani matriki A =
in B =
4,
3,
Zanima
nas taka matrika X, da bo AX = B. Da bi izračunali A", bi morali enačbo "deliti" z A, kar pa pomeni množiti z inverzno vrednostjo, če ta seveda obstaja. Zaradi nckomutativnosti množenja moramo paziti na vrstni red faktorjev, v našem primeru moramo z leve strani množiti obe strani enačbe z A~l (da bosta faktorja A~] in A skupaj):
A~1(AX) = A~XB, Upoštevamo asociativnost množenja:
(A~1A)X =A~1B.
Od tod
IX = A~lB in X = A~]B.
r 3 —i
V danem primeru je determinanta ¿> = 2 3-5-1 = 1, /l-1 = '
-5, l
X =
"3, -r		■4, r		"9, 1 "
_ —5, 2		3, 2		-14, -1.
Zaradi nekomutativnosti množenja ima enačba XA = B drugačno rešitev. Tu je treba z A~] množiti z desne (vaja za bralca).
Do naloge rešiti matrično enačbo bi prišli, če bi v zgledu iz uvoda poznali količine kupljenega sadja, na primer:
gospa K, gospa P.
jabolka 3;5	4
pomaranče 2	2
Te podatke naj predstavlja matrika A. Znani naj bodo tudi skupni zneski za sadje, ki sta jih gospodinji plačali enkrat v prvi in naslednjič v drugi trgovini:
gospa K. gospa P.
trgovina 1 610	660
trgovina 2 675	730
Te podatke naj predstavlja matrika B. iiralec naj izračuna matriko, ki bo predstavljala cene jabolk in pomaranč v obeh trgovinah.
Olga Arnuš