Algebraične metode v dinamičnih sistemih Avtorja Brigita Ferčec Matej Mencinger Maribor, december 2018 Naslov Algebraične metode v dinamičnih sistemih Titel Algebraic Methods in Dynamical Systems Avtorja doc. dr. Brigita Ferčec Authors (Univerza v Mariboru, Fakulteta za energetiko) izr. prof. dr. Matej Mencinger (Univerza v Mariboru, Fakulteta za gradbeništvo, prometno inženirstvo in arhitekturo) Recenzenti red. prof. dr. Marko Petkovšek Review (Univerza v Ljubljani, Fakulteta za matematiko in fiziko) red. prof. dr. Matjaž Perc (Univerza v Mariboru, Fakulteta za naravoslovje in matematiko) red. prof. dr. Valerij Romanovskij (Univerza v Mariboru, Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko) Jezikovna recenzija Jerneja Klemenčič, prof. slov in geog. Proofreading Grafične priloge Avtorja Graphic material Tehnična urednika doc. dr. Andrej Tibaut Tehical editors (Univerza v Mariboru, Fakulteta za gradbeništvo, prometno inženirstvo in arhitekturo) Jan Perša (Univerzitetna založba Univerze v Mariboru) Oblikovalce ovitka Cover designer Jan Perša (Univerzitetna založba Univerze v Mariboru) Izdajatelj Univerza v Mariboru Založnik Fakulteta za gradbeništvo, prometno inženirstvo in arhitekturo Univerzitetna založba Univerze v Mariboru Smetanova ulica 17, 2000 Maribor, Slovenija Slomškov trg 15, 2000 Maribor, Slovenija https://www.fgpa.um.si, fgpa@um.si http://press.um.si, zalozba@um.si Izdaja Prva izdaja. Edition Monografija je sofinancirana iz strani Javne agencije za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije. Tisk Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojništvo Printed by Naklada Number of copies 50 izvodov Dostopno na http://press.um.si/index.php/ump/catalog/book/380 Available at Izid Maribor, december 2018 Published © Univerza v Mariboru, Univerzitetna založba Vse pravice pridržane. Brez pisnega dovoljenja založnika je prepovedano reproduciranje, distribuiranje, predelava ali druga uporaba tega dela ali njegovih delov v kakršnemkoli obsegu ali postopku, vključno s fotokopiranjem, tiskanjem ali shranjevanjem v elektronski obliki. CIP - Kataložni zapis o publikaciji Univerzitetna knjižnica Maribor 514.74(075.8)(0.034.2) FERČEC, Brigita Algebraične metode v dinamičnih sistemih [Elektronski vir] / avtorja Brigita Ferčec, Matej Mencinger. - 1. izd. - Maribor : Univerzitetna založba Univerze, 2018 Način dostopa (URL): http://press.um.si/index.php/ump/catalog/book/380. - Nasl. v kolofonu: Algebraic methods in dynamical systems ISBN 978-961-286-226-8 (PDF) doi: 10.18690/978-961-286-224-4 1. Dr. vzp. stv. nasl. 2. Mencinger, Matej COBISS.SI-ID 95814913 ISBN 978-961-286-224-4 (PDF) 978-961-286-225-1 (Broš.) DOI https://doi.org/10.18690/978-961-286-224-4 Cena Brezplačni izvod Price Odgovorna oseba založnika red. prof. dr. Zdravko Kačič, rektor Univerze v Mariboru For publisher ALGEBRAIČNE METODE V DINAMIČNIH SISTEMIH B. Ferčec in M. Mencicnger Algebraične metode v dinamičnih sistemih BRIGITA FERČEC IN MATEJ MENCINGER1 Povzetek V monografiji se teorija dinamičnih sistemov prepleta s poglavji abstraktne algebre. Dinamika zveznih in diskretnih sistemov je osredotočena na problem centra in cikličnosti. Sisteme obravnavamo z uporabo teorije kolobarjev tako, da obravnavamo pripadajoče polinomske kolobarje in njihove ideale. Najprej obravnavamo Gröbnerjeve baze in zvezo med ideali in pripadajočimi raznoterostmi ter minimalno dekompozicijo raznoterosti. Podana je tudi informacija o programu Singular. V drugem poglavju obravnavamo najpomembnejše pojme iz teorije dinamičnih sistemov: singularne točke, limitne cikle, centralno raznoterost, problem centra in cikličnosti. Povezavo s prvim poglavjem predstavlja določanje fokusnih količin ter analiza ustreznih idealov. Gre za Bautinovo metodo, s katero dobimo potrebne pogoje za nastop centra. Zadostne pogoje določimo z Darbouxjevo metodo ali z nastavki za vrsto, ki predstavlja formalni prvi integral. V tretjem poglavju so prikazani in analizirani nekateri novejši rezultati v zveznih in diskretnih sistemih. V zveznih in diskretnih primerih je obravnavan problem centra in cikličnosti. Obravnavani so nekateri sistemi NDE v ravnini in v trirazsežnem prostoru. Obravnavane so perturbacije stopnje dve, tri ali štiri. Diskretni dinamični sistemi so omejeni na dinamiko realne funkcije, katere kvadrat (v smislu kompozituma funkcij) je identiteti podobna preslikava, ki izhaja iz Żołądkove enačbe. Obravnava cikličnosti poteka tudi s pomočjo posplošitve Christopherjevega izreka. Ključne besede: • dinamični sistem • singularnost • problem centra in fokusa • cikličnost • polinomski kolobarji • ideali • Bautinova metoda • Darbouxjeva metoda • Math. Subj. Class. (2010): 12–02, 16–02, 34–02, 37–02. NASLOVA AVTORJEV: dr. Brigita Ferčec, docentka, Univerza v Mariboru, Fakulteta za energetiko, Hočevarjev trg 1, 8270 Krško, Slovenija, e-pošta: brigita.fercec@um.si. dr. Matej Mencinger, izredni profesor, Univerza v Mariboru, Fakulteta za gradbeništvo, prometno inženirstvo in arhitekturo, Smetanova ulica 17, 2000 Maribor, Slovenija, e-pošta: matej.menciger@um.si. DOI https://doi.org/10.18690/978-961-286-224-4 ISBN 978-961-286-224-4 Dostopno na: http://press.um.si ALGEBRAIC METHODS IN DYNAMICAL SYSTEMS B. Ferčec & M. Mencicnger Algebraic Methods in Dynamical Systems BRIGITA FERČEC & MATEJ MENCINGER2 Abstract In this monograph the theory of dynamical systems meets abstract algebra. From the dynamical point of view we are focused to center and cyclicity problems. From the ring theory point of view we consider polynomial rings and their ideals. We first consider Gröbner bases, the connection idealvariety and minimal decompositions of varieties. The basic information on Singular is included. In the second chapter the most important concepts like singularities, limit cycles, central variety, the center problem and the cyclicity from dynamical theory are considered. The computation and analysis of focus quantities and corresponding (polynomial) ideals represents the connection to chapter one. We use Bautin’s (Darboux and similar) method(s) to determine necessary (sufficient) conditions for the center problem. In third chapter we present and analyze some recent results in continuous (planar and 3D systems of ODEs) and discrete systems, mostly with quadratic, cubic and quartic perturbations added. In both cases the problem of center and cyclicity is considered. Examples concerning discrete systems are limited to dynamics of a real function whose square (in sense of function composition) is a near identity function arising from Żołądek equation. The cyclicity is analyzed by a generalization of Christopher’s theorem. Keyword: • dynamical system • singularity • center-focus problem • cyclicity • polynomial rings • ideals • Bautin’s method• Darboux method • Math. Subj. Class. (2010): 12–02, 16–02, 34–02, 37–02. CORRESPONDANCE ADDRESS: Brigita Ferčec, PhD, Assistant Professor, University of Maribor, Faculty of Energy Technology, Hočevarjev trg 1, 8270 Krško, Slovenia, e-mail: brigita.fercec@um.si. Matej Mencinger, PhD, Associate Professor, Unviersity of Maribor, Faculty of Civil Engineering, Transportation Engineering and Architecture, Smetanova ulica 17, 2000 Maribor, Slovenia, e-mail: matej.menciger@um.si. DOI https://doi.org/10.18690/978-961-286-224-4 ISBN 978-961-286-224-4 Dostopno na: http://press.um.si Zaradi narave znanstveno-raziskovalnega dela pomanjkanje pogosto obˇ cutijo raziskovalcu/ki najbliˇ zji in ljubi. Zato knjigo posveˇ cava svojima druˇ zinama. Predgovor V monografiji želiva sistematično in izčrpno predstaviti nekaj novejših rezultatov na področju, ki zvezne in diskretne polinomske dinamične sisteme obravnava predvsem s stališča teorije kolo- barjev in ustreznih idealov. Glavna tema monografije je zveza med algebro (ideali v polinomskih kolobarjih) in geometrijo (raznoterostmi), ki naravno nastopa pri problemih v dinamičnih siste- mih. Pri obravnavi številnih problemov, ki so prisotni v teoriji (sistemov) navadnih diferencialnih enačb in diskretnih sistemov, ki izhajajo iz preslikav f , katerih ”kvadrati” f ◦ f so identiteti podobne preslikave, se v monografiji omejimo zgolj na problem centra in fokusa ter na problem bifurkacije limitnih ciklov, vendar probleme obravnavamo celostno in kritično. Občutek ”laične javnosti”, da je za sisteme navadnih diferencilanih enačb (NDE) v ravnini že vse raziskano, je daleč od dejanskega stanja. Kljub zmogljivostim, ki jih nudijo sodobni računalniki, in programskim orodjem, kot je na primer Mathematica ali Matlab, z numeričnimi približki ne moremo odgovoriti na vprašanja, ki so povezana s Hilbertovim 16. problemom. Glavna ideja povezave med teorijo kolobarjev (polinomskih idealov) in geometrijo (afinimi ra- znoterostmi) temelji na Hilbertovih rezultatih: na tako imenovanem Hilbertovem izreku o bazi, Hilbertovi teoriji eliminacije in tako imenovanem Hilbertovem izreku o ničlah (”Nullstellensa- tzu”). Preprosta uporaba algebre pri reševanju NDE je dobro znana že iz dodiplomske analize, na primer karakteristična enačba za linearne NDE s konstantnimi koeficienti in integralske transfor- macije pri linearnih diferencialnih enačbah (DE). Večji izziv je uporaba algebre pri nelinearnih DE in na splošno pri nelinearnih dinamičnih sistemih, kjer se lahko v faznih diagramih pojavijo limitni cikli ali pa ”čudni” atraktorji in celo kaotična dinamika. Če nelinearna DE (oziroma sistem DE) vsebuje vsaj en parameter, lahko govorimo tudi o problemu bifurkacij. Izzivu upo- rabe algebrskih metod v nelinearnih dinamičnih sistemih sledi pričujoča znanstvena monografija. Seveda pri tem izzivu znatno pomaga tudi matematična analiza (predvsem teorija analitičnih funkcij). Monografija ima krajše dodatke, v osnovi pa je razdeljena na tri poglavja. V prvem poglavju je na kratko predstavljena teorija polinomskih idealov. Pri iskanju singularnih točk (nelinearnega polinomskega) sistema NDE ali pa pri določanju centralne raznoterosti rešujemo (nelinearne polinomske) sisteme enačb. Zato so v monografiji obravnavane Gröbnerjeve baze in osnove eliminacijskih idealov ter radikalnost idealov in dekompozicija raznoterosti. Dodan je tudi kratek razdelek o uporabi programskega paketa Singular, ki je v zahtevnejših raziskavah nepogrešljivo orodje računske algebre. Drugo poglavje je namenjeno kratkemu pregledu teorije dinamičnih sistemov. Obravnavani so osnovni pojmi tako iz teorije NDE kot tudi iz diskretnih sistemov. Večinoma se omejimo na pojme, ki jih potem sistematično obravnavamo v tretjem poglavju, kjer so obravnavani nekateri konkretni primeri. Omenimo, na primer, problem določevanja centralne raznoterosti, računanje v fokusnih količin, Bautinovega ideala, bifurkacije limitnih ciklov ter Darbouxjeva metoda iskanja prvih integralov. V tretjem poglavju so prikazani in kritično analizirani nekateri novejši rezultati v zveznih in diskretnih sistemih. V vseh primerih uporabljamo Bautinovo metodo za reševanje bifurkacijskih problemov. Pri zveznih sistemih (sistemi NDE) je obravnavan problem centra in cikličnost za kubični sistem ter problem centra za sistem četrte stopnje. Diskretni dinamični sistemi so ome- jeni na dinamiko preslikave f : R → R, za katero je f ◦ f identiteti podobna preslikava, njeni ∑ parametri pa izhajajo iz Zo l¸ adek-ove enačbe Ψ ( x, y) = x+ w + n α i+ j=2 ij xiwj = 0. Obravnavan je problem centra in cikličnost centra. Obravnava poteka tudi s pomočjo posplošitve Christo- pherjevega izreka na diskretne sisteme. Nazadnje je analizirana tudi možnost uporabe funkcije Ψ ( x, y) oz. razlike Ψ ( x, y) − Ψ ( y, x) iz Żo l¸adek-ove enačbe pri iskanju centralne raznoterosti. Upava, da pričujoča monografija predstavlja kamenek v razvoju slovenske terminologije na področju, ki dinamične sisteme povezuje z algebro. Za vse nasvete pri nastajanju te monografije se iskreno zahvaljujeva profesorju Valeriju Ro- manovskemu iz CAMTP, FERI in FNM, Univerza v Mariboru. Najlepše se zahvaljujeva tudi recenzentoma: prof. dr. Matjažu Percu iz FNM Univerze v Mariboru in prof. dr. Marku Pet- kovšku z IMFM in FMF Univerze v Ljubljani, ki sta s svojimi pripombami znatno pripomogla k izboljšanju kakovosti pričujoče monografije. Maribor, Krško Matej Mencinger December 2018 Brigita Ferčec vi Kazalo Slike xiii Tabele xv 1 Polinomski ideali in afine raznoterosti 1 1.1 Osnovni pojmi polinomskih idealov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Gröbnerjeve baze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 Multideljenje polinomov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Gröbnerjeva baza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Osnove eliminacijskih idealov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4 Korenski ideali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5 Operacije na idealih in raznoterostih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.5.1 Vsota, produkt, presek in kvocient idealov . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.5.2 Dekompozicija raznoterosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.5.3 Dekompozicija raznoterosti z uporabo modularne aritmetike . . . . . . . . 34 1.5.4 Parametrizacija raznoterosti, problem implicitizacije in razsežnost razno- terosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.6 Sistem računske algebre Singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 1.6.1 Kolobarji in Gröbnerjeve baze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1.6.2 Eliminacija spremenljivk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 1.6.3 Korenski ideali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 1.6.4 Operacije na raznoterostih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2 Nekatera poglavja iz teorije dinamiˇ cnih sistemov 67 2.1 Uvod v teorijo dinamičnih sistemov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.2 Zvezni sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.2.1 Linearizacija in fazni portreti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.2.2 Centralna mnogoterost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.2.3 Problem centra in fokusa v R2 in R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 2.2.4 Fokusne količine, Bautinov ideal in centralna raznoterost . . . . . . . . . 93 2.2.5 Darbouxjevi integrali in integrirajoči množitelji v C2 . . . . . . . . . . . . 97 2.2.6 Časovna reverzibilnost in posplošena reverzibilnost . . . . . . . . . . . . . 108 2.2.7 Bifurkacije limitnih ciklov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 2.3 Diskretni sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 2.3.1 Glavne definicije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 2.3.2 Limitni cikli in njihove bifurkacije za preslikave (2.130) . . . . . . . . . . . 124 xi 2.3.3 Fokusne količine preslikave (2.130) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 3 Primeri uporabe polinomskih idealov 131 3.1 Bautinova metoda za reševanje bifurkacijskih problemov . . . . . . . . . . . . . . 131 3.2 Zvezni sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 3.2.1 Fokusne količine in zgornja meja za cikličnost . . . . . . . . . . . . . . . . 134 3.2.2 Problem centra in cikličnost kubičnega sistema . . . . . . . . . . . . . . . 138 3.2.3 Problem centra v sistemu četrte stopnje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 3.2.4 Problem centra v družini trirazsežnih sistemov NDE . . . . . . . . . . . . 161 3.3 Diskretni sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 3.3.1 Posplošitev izreka o cikličnosti komponent centralne raznoterosti in splošni rezultati o cikličnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 3.3.2 Potrebni in zadostni pogoji za nastop centra . . . . . . . . . . . . . . . . 173 3.3.3 Cikličnost centra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 Dodatki 191 Dodatek A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Dodatek B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 Literatura 201 xii Slike ( ) 1.1 Presek raznoterosti V x 2 + y 2 − z in V ( z − 2). . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.2 Parametrizacija enotske krožnice v R2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.3 V( z − x 2 − y 2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.4 V( z 2 − x 2 − y 2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.5 V( x 2 − y 2 z 2 + z 3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.6 y = x 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.7 z = x 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.8 V( y − x 2 , z − x 3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.1 Limitni cikel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.2 Sedlo in stabilni vozel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.3 Nestabilni fokus in center. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.4 (a) stabilni limitni cikel, (b) nestabilni limitni cikel, (c)–(d) delno stabilni limitni cikel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 2.5 Homoklinična orbita Γ, ki definira separatrični cikel. . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.6 Heteroklinični orbiti Γ1 in Γ2, ki definirata separatrični cikel. . . . . . . . . . . . 83 2.7 Primeri povezanih separatričnih ciklov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.8 Nestabilna centralna mnogoterost na paraboloidu. . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 2.9 Poincaréjeva sečna ploskev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 2.10 Poincaréjeva sečna premica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 2.11 Zrcalna simetrija. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 2.12 Časovna reverzibilnost. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 2.13 Fazni portret sistema (2.81). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 2.14 Fokus preslikave (2.130). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 2.15 Center preslikave (2.130). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 3.1 4-kratna točka: tangentni primer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 3.2 4-kratna točka. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 xiii Tabele 1.1 Buchbergerjev algoritem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1 Algoritem za izračun Isym. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 xv Poglavje 1 Polinomski ideali in afine raznoterosti Algebraična struktura kolobar, ki je definirana v dodatku A, ima lahko podstrukture (podko- lobarje), ki so lahko tudi ideali. Ideali niso omejeni zgolj na polinomske kolobarje, zato bomo najprej pogledali nekaj splošnih definicij, preden se omejimo na polinomske kolobarje in njihove ideale ter zvezo med polinomskimi ideali in (afinimi) raznoterostmi. V tem poglavju so na kratko razložene Gröbnerjeve baze in njihov pomen pri reševanju problemov, ki so povezani s polinomskimi ideali. Glavni problemi iz teorije dinamičnih siste- mov, ki jih lahko rešujemo s teorijo polinomskih idealov, so: problem določitve singularnih točk (reševanje algebrskega sistema enačb), problem centra in fokusa v polinomskih sistemih, pro- blem bifurkacij limitnih ciklov (iz centra ali fokusa), problem izohronosti oz. linearizabilnosti, problem p : −q resonantnega centra, problem (šibko) persistentnega centra, problem bicentra itd. Obravnavamo tudi operacije nad ideali in (njihovimi) raznoterostmi in problem ireducibilne dekompozicije raznoterosti (tudi v smislu približka - z uporabo tako imenovane modularne arit- metike). Na koncu poglavja je podan kratek pregled programskega orodja Singular, ki omogoča učinkovito obravnavo teh problemov. V nadaljevanju bomo obravnavali kolobarje polinomov k [ x 1 , . . . , xn] spremenljivk x 1 , . . . , xn nad poljem k. Elemente kolobarja k [ x 1 , . . . , xn] imenujemo polinomi. Polinome p ( x 1 , . . . , xn) ∈ k [ x 1 , . . . , xn] lahko razumemo tudi kot (skalarne) funkcije iz kn v k. 1.1 Osnovni pojmi polinomskih idealov V tem razdelku opišemo glavne značilnosti polinomov in njihovih raznoterosti. Polinom spremenljivk x 1 , . . . , xn s koeficienti iz polja k je formalni izraz oblike ∑ f = aαxα, α∈S kjer je S končna podmnožica množice N n, a 0 α ∈ k, za α = ( α 1 , . . . , αn), xα označuje monom xα 1 · · · xαn 1 n . V večini primerov bo k enak Q, R ali C. Produkt aαxα se imenuje člen polinoma f . Množico vseh polinomov v spremenljivkah x 1 , . . . , xn s koeficienti iz k označimo s k[ x 1 , . . . , xn]. Z običajnim seštevanjem in množenjem postane k[ x 1 , . . . , xn] komutativni kolobar. Stopnja monoma xα je število |α| = α 1 + · · · + αn. Stopnja člena aαxα je enaka stopnji monoma 1 2 1 Polinomski ideali in afine raznoterosti ∑ xα. Stopnjo polinoma f = a α∈S αxα označimo s st( f ) in jo izračunamo kot maksimum |α| po vseh monomih (z neničelnimi koeficienti aα) polinoma f . Če je podano polje k in naravno število n, potem množico kn = {( a 1 , . . . , an); a 1 , . . . , an ∈ k} ∑ imenujemo n-razsežen afini prostor. Če je f = a α∈S αxα polinom in ( a 1 , . . . , an) ∈ kn, ∑ f ( a 1 , . . . , an) označuje element a · · · aαn α αaα 1 1 n polja k. Tako je vsakemu polinomu f ∈ k[ x 1 , . . . , xn] prirejena funkcija f : kn −→ k, definirana z f : ( a 1 , . . . , an) −→ f ( a 1 , . . . , an) . Definicija 1.1.1 Naj bo k polje in naj bo f 1 , . . . , fs končno mnogo elementov kolobarja k[ x 1 , . . . , xn] . Afina raznoterost, definirana s polinomi f 1 , . . . , fs, je množica V( f 1 , . . . , fs) = {( a 1 , . . . , an) ∈ kn : fj( a 1 , . . . , an) = 0 za 1 ≤ j ≤ s}. Afina raznoterost V je podmnoˇ zica polja kn, za katero obstaja konˇ cno mnogo polinomov tako, da je V = V( f 1 , . . . , fs) . Podraznoterost raznoterosti V je podmnožica V , ki je sama zase afina raznoterost. Očitno je afina raznoterost V( f 1 , . . . , fs) ⊂ kn množica rešitev sistema, ki sestoji iz končno mnogo polinomskih enačb iz kn: f 1( x 1 , . . . , xn) = 0 ... (1.1) fs( x 1 , . . . , xn) = 0 . Seveda je ta množica odvisna od k in je lahko tudi prazna; npr. V( x 2 + y 2 + 1) = ∅ za k = R, vendar ne za k = C, medtem ko je V( x 2 + y 2 + 1 , x, y) = ∅ neodvisno od polja k. Če sta V, W ⊂ kn afini raznoterosti, sta tudi V ∪ W in V ∩ W afini raznoterosti (glej [27]). Jasno je, da več različnih naborov polinomov lahko definira enako raznoterost. Da bi bolje razumeli koncept raznoterosti, potrebujemo pojem ideala. Definicija 1.1.2 Ideal I je podmnoˇ zica kolobarja k[ x 1 , . . . , xn] , ki zadošča naslednjima pogo- jema: (a) ˇ ce sta f, g ∈ I, potem je f + g ∈ I, in (b) ˇ ce je f ∈ I in h ∈ k[ x 1 , . . . , xn] , potem je h · f ∈ I. Naj bodo f 1 , . . . , fs elementi iz k[ x 1 , . . . , xn]. Označimo z ⟨f 1 , . . . , fs⟩ množico vseh linearnih kombinacij polinomov f 1 , . . . , fs s koeficienti iz k[ x 1 , . . . , xn]: s ∑ ⟨f 1 , . . . , fs⟩ = { hjfj : h 1 , . . . , hs ∈ k[ x 1 , . . . , xn] }. j=1 Ni težko videti, da je množica ⟨f 1 , . . . , fs⟩ ideal kolobarja k[ x 1 , . . . , xn]. Ideal I = ⟨f 1 , . . . , fs⟩ imenujemo ideal, generiran s polinomi f 1 , . . . , fs, polinome f 1 , . . . , fs pa imenujemo generatorji ideala I. Posplošitev te ideje je sledeča: če je F katerakoli neprazna podmnožica kolobarja 1.1 Osnovni pojmi polinomskih idealov 3 k[ x 1 , . . . , xn] (lahko tudi neskončna) in če ⟨F ⟩ označuje množico vseh končnih linearnih kombi- nacij elementov iz F s koeficienti iz k[ x 1 , . . . , xn], je ⟨F ⟩ tudi ideal. Gre za ideal, generiran z elementi množice F , ki so njegovi generatorji. Hitro lahko vidimo analogijo z linearno algebro. Ideal ⟨f 1 , . . . , fs⟩ := ⟨{f 1 , . . . , fs}⟩ je podoben linearni lupini vektorjev v 1 , . . . , vs ( L( v 1 , . . . , vs)). Razlika med idealom in vektorskim podprostorom je v tem, da je ideal ⟨f 1 , . . . , fs⟩ množica vsot polinomov f 1 , . . . , fs, pomnoženih s polinomi iz kolobarja k[ x 1 , . . . , xn], linearna lupina L( v 1 , . . . , vs) pa je množica vsot vektorjev v 1 , . . . , vs, pomnoženih s skalarji iz polja k. Poljuben ideal I ⊂ k[ x 1 , . . . , xn] je končno generiran, če obstajajo polinomi f 1 , . . . , fs ∈ k[ x 1 , . . . , xn], tako, da je I = ⟨f 1 , . . . , fs⟩; množica {f 1 , . . . , fs} se imenuje baza ideala I. Za dokaz naslednjega izreka glej [27]. Izrek 1.1.3 (Hilbertov izrek o bazi) Vsak ideal v polinomskem kolobarju k[ x 1 , . . . , xn] nad poljem k je konˇ cno generiran. Direktna posledica izreka 1.1.3 je, da se vsaka naraščajoča veriga idealov I 1 ⊂ I 2 ⊂ I 3 ⊂ . . . v polinomskem idealu nad k “stabilizira”. To pomeni, da obstaja takšen m ≥ 1, da za vsak j > m velja Ij = Im. Kolobarjem, v katerih se vsaka strogo naraščajoča veriga stabilizira, pravimo noetherski1 kolobarji. Opazimo, da ima neki ideal lahko več baz (baza ideala ni enolično določena). V naslednjem razdelku bomo spoznali posebne baze ideala, ki jih imenujemo Gröbnerjeve baze. V naslednji trditvi bomo videli, da je afina raznoterost V ( f 1 , . . . , fs) odvisna le od ideala, ki ga generirajo polinomi f 1 , . . . , fs. Tako je ideal tisti, ki določa raznoterost, in ne določen izbor generatorjev tega ideala. Za dokaz glej [27]. Trditev 1.1.4 Naj bo ⟨f 1 , . . . , fs⟩ = ⟨g 1 , . . . , gm⟩. Potem je V( f 1 , . . . , fs) = V( g 1 , . . . , gm) . Videli smo, kako končen izbor polinomov določa raznoterost. Nasprotno lahko dani razno- terosti naravno priredimo ideal, kot je razvidno iz naslednje definicije. Definicija 1.1.5 Naj bo V ⊂ kn afina raznoterost. Ideal raznoterosti V je množica I( V ) = {f ∈ k[ x 1 , . . . , xn] : f ( a 1 , . . . , an) = 0 za vse ( a 1 , . . . , an) ∈ V }. Ideal, ki ga naravno povezujemo z raznoterostjo V , dopušča naslednjo relacijo v družini idealov, ki izhajajo iz polinomov v kateremkoli sistemu enačb, ki definirajo V . Trditev 1.1.6 ([27]) Naj bodo f 1 , . . . , fs elementi kolobarja k[ x 1 , . . . , xn] . Potem velja: ⟨f 1 , . . . , fs⟩ ⊂ I( V( f 1 , . . . , fs)) . Če V ni samo podmnožica kn, ampak je raznoterost, ideal I( V ), ki je naravno definiran z V , enolično, določa V : Trditev 1.1.7 ([27]) Naj bosta V in W afini raznoterosti v kn. Tedaj veljata naslednji trditvi: 1. V ⊂ W natanko tedaj, ko je I( W ) ⊂ I( V ) ; 1Poimenovani po Emmy Noether (1882-1935), nemški matematičarki, znani po rezultatih v abstraktni algebri in teoretični fiziki. 4 1 Polinomski ideali in afine raznoterosti 2. V = W natanko tedaj, ko je I( W ) = I( V ) . Če je V = {(0 , 0) } ⊂ R2, je I( V ) množica vseh polinomov dveh spremenljivk brez konstan- tnega člena. Izrazimo V kot V( f 1 , f 2) na dva različna načina. Če izberemo f 1 = x in f 2 = y, potem je V = V( f 1 , f 2) in ideal I = ⟨x, y⟩ je enak idealu I( V ), če pa izberemo f 1 = x 2 in f 2 = y, je V = V( f 1 , f 2), toda ideal J = ⟨x 2 , y⟩ sestavlja množica elementov iz R[ x, y], v kateri je vsak člen deljiv z x 2 ali y; zato velja: J $ I( V ). Opazimo, da ima tako ideal I kot tudi ideal J lastnost, da je V natanko množica skupnih ničel vseh njunih elementov, vendar I ̸= J. Potem ko spoznamo pojem ideala in njegove lastnosti, se pojavi vprašanje: kako ugotoviti, ali je dani polinom f ∈ k[ x 1 , . . . , xn] element ideala I = ⟨f 1 , . . . , fs⟩. To je tako imenovani problem pripadnosti idealu, ki je eden glavnih problemov računske algebre in se glasi takole: Problem pripadnosti idealu: Naj bo I ⊂ k[ x 1 , . . . , xn] ideal in f element iz k[ x 1 , . . . , xn] . Odločiti je treba ali je f element ideala I ali ne. Odgovor na to vprašanje dajo Gröbnerjeve baze, s katerimi se bomo podrobneje seznanili v naslednjem razdelku. Prav tako bomo videli, da Gröbnerjeve baze precej pomagajo pri reševanju sistemov polinomskih enačb. 1.2 Gr¨ obnerjeve baze V prejšnjem razdelku smo povedali, da poiskati afino raznoterost V( f 1 , . . . , fs), pomeni rešiti sistem polinomskih enačb (1.1). Kot vemo, imamo v kolobarju polinomov ene spremenljivke formule za izračun ničel poli- nomov prve, druge, tretje in četrte stopnje. Za polinome stopnje pet in več takšne formule ne obstajajo [55] in običajno uporabimo numerične metode za približen izračun ničel danega poli- noma. Seveda pa problem postane še zahtevnejši, ko je enačb še več in so polinomi, ki nastopajo v enačbah, odvisni od več spremenljivk. Učinkovitih metod za reševanje generičnih sistemov oblike (1.1) ni bilo, dokler ni sredi šestdesetih let prejšnjega stoletja Bruno Buchberger (glej [12]) vpeljal teorije Gröbnerjevih baz, ki je sedaj temelj moderne računske algebre. Kot bomo videli v nadaljevanju, je koncept Gröbnerjevih baz učinkovita metoda za hitrejše in enostavnejše iskanje rešitev sistema polinom- skih enačb več spremenljivk. Najprej se bomo seznanili s pojmom multideljenja polinomov, ko dani polinom iz k[ x 1 , . . . , xn] delimo z urejeno množico polinomov. Nato bomo spoznali pojem Gröbnerjeve baze in rešitev prej omenjenih problemov: problem pripadnosti idealu in problem iskanja rešitev polinomskega sistema (1.1). 1.2.1 Multideljenje polinomov Najprej obravnavajmo kolobar polinomov, odvisnih od ene spremenljivke. Pomembna lastnost tega kolobarja je obstoj algoritma za deljenje: naj bosta dana polinoma f in g iz k[ x] , g ̸= 0 , potem obstajata enolična elementa q in r iz k[ x] , kvocient in ostanek, tako da je f = qg + r in pri tem velja, da je bodisi r = 0 ali st( r) < st( g) . Deljenje f z g pomeni, da izrazimo f kot f = qg+ r. Pravimo, da g deli f, če je r = 0, in to zapišemo tudi kot g | f. Največji skupni delitelj dveh polinomov iz k[ x] lahko preprosto določimo z uporabo Evklidovega algoritma, ki v povezavi s Hilbertovim izrekom o bazi pokaže, da je vsak ideal v k[ x] generiran z enim elementom2. Problem 2Ideal, ki ga generira en element, se imenuje glavni ideal in kolobar, v katerem je vsak ideal glavni, je glavni kolobar. 1.2 Gr¨ obnerjeve baze 5 pripadnosti idealu je rešen: ko sta dana ideal I in polinom f, najprej najdemo generator g ideala I, potem delimo f z g in preverimo, ali je ostanek enak nič ali ne. V kolobarjih polinomov več spremenljivk želimo izpeljati podoben postopek, t.j. izvesti de- ljenje in določiti ostanek. Vendar so stvari zapletenejše, ker idealov ne generirajo le posamezni polinomi. Zato moramo oblikovati postopek za deljenje polinoma f z množico polinomov F . Algoritem deljenja je sicer možno posplošiti na elemente iz k[ x 1 , . . . , xn], vendar nastopi nova ovira, saj ostanek pri deljenju ni nujno enoličen. Za opis algoritma deljenja v k[ x 1 , . . . , xn] najprej določimo urejenost členov polinoma. V pri- meru ene spremenljivke je urejenost naravna glede na stopnjo. Če je spremenljivk več, lahko uporabimo različne urejenosti. Zato bomo definirali splošni pojem urejenosti členov in predsta- vili nekaj pogosteje uporabljenih urejenost členov. Zaradi naravnega izomorfizma med monomi xα = xα 1 xα 2 . . . xαn 1 2 n in n-tericami α = ( α 1 , . . . , αn) ∈ N je dovolj, da uredimo elemente množice N n, saj, kot v primeru ene spremenljivke, koeficienti členov v urejenosti ne igrajo nobene vloge. 0 Spomnimo se, da je delna urejenost ≻ na množici S dvočlena relacija, ki je refleksivna ( a ≻ a, za vse a ∈ S), antisimetrična ( a ≻ b in b ≻ a, samo če a = b ) in tranzitivna (iz a ≻ b in b ≻ c sledi a ≻ c ). Popolna urejenost > na S je delna urejenost, v kateri sta poljubna dva elementa primerljiva: za vsaka a, b ∈ S velja a > b ali b > a. Definicija 1.2.1 Urejenost ˇ clenov v k[ x 1 , . . . , xn] je popolna urejenost > v N n z naslednjima 0 lastnostima: 1. za vse α, β in γ ∈ N n velja: če je α > β, je α + γ > β + γ, in 0 2. N n je z urejenostjo > dobro urejena: za vsako neprazno podmnožico S ⊆ N n obstaja naj- 0 0 manjˇ si element µ ∈ S (za vse α ∈ S \ {µ} je α > µ). Monomi {xα : α ∈ N } so potem urejeni po svojih eksponentih, tako da je xα > xβ natanko tedaj, ko je α > β. Zavedati se moramo, da urejenost členov > v k[ x 1 , . . . , xn] ne ureja vseh elementov k[ x 1 , . . . , xn] , ampak samo podmnožico monomov. Zaporedje αj v N n je strogo padajoče, če za vsak j velja α 0 j > αj+1 in αj ̸= αj+1 . Trditev 1.2.2 Popolna urejenost > mnoˇ zice N n je dobra urejenost množice N n natanko tedaj, 0 0 ko se vsako strogo padajoˇ ce zaporedje v N n konča. 0 Dokaz. Če obstaja strogo padajoče zaporedje α 1 > α 2 > α 3 > . . . , ki se ne konča, potem je {α 1 , α 2 , . . .} neprazna podmnožica množice N n brez minimalnega elementa in > ni dobra 0 urejenost na N n. Obratno, če > ni dobra urejenost na N n, obstaja neprazna podmnožica A ∈ N n, 0 0 0 ki nima minimalnega elementa. Naj bo α 1 poljubni element množice A. Ker ni minimalen, obstaja α 2 ∈ A, α 2 ̸= α 1 , tako da je α 1 > α 2 . Z nadaljevanjem procesa dobimo strogo padajoče zaporedje, ki se ne konča. Zdaj definiramo tri najpogosteje uporabljene urejenosti členov v polinomskih kolobarjih. Definicija 1.2.3 Naj bosta α = ( α 1 , . . . , αn) in β = ( β 1 , . . . , βn) elementa iz N n. 0 1. Leksikografska urejenost: α >lex β natanko tedaj, ko je prva komponenta (gledano z leve proti desni) n-terice α − β ∈ Z n pozitivna. 6 1 Polinomski ideali in afine raznoterosti 2. Stopenjsko leksikografska urejenost: α >deglex β natanko tedaj, ko je n ∑ n ∑ |α| = αj > |β| = βj ali |α| = |β| in α >lex β. j=1 j=1 3. Stopenjsko inverzna leksikografska urejenost: α >degrev β natanko tedaj, ko je |α| > |β| ali |α| = |β|, in je prva neničelna (gledano z desne proti levi) n-terica α − β ∈ Z n negativna. Na primer, če je α = (1 , 4 , 4 , 2) in β = (1 , 2 , 6 , 2) , je α večji od β glede na vse tri urejenosti. Ta primer kaže tudi, da stopenjsko inverzna leksikografska urejenost ni preprosto inverz stopenjsko leksikografske urejenosti. Za dano urejenost členov > na k[ x 1 , . . . , xn] rečemo, da je aαxα > aβxβ natanko tedaj, ko je α > β. Poudarimo, da zgornje definicije urejenosti > temeljijo na urejenosti spremenljivk x 1 > . . . > xn. Ta urejenost mora biti eksplicitno določena, kadar uporabljamo neindeksirane spremenljivke. Na primer, če v k[ x, y] izberemo y > x, potem y 5 >lex x 9 (ker (5 , 0) >lex (0 , 9)) in xy 4 >deglex x 2 y 3 (ker 4 + 1 = 3 + 2 in (4 , 1) >lex (3 , 2) ). Zadnja dva monoma bomo običajno zapisali kot y 4 x in y 3 x 2 , da pokažemo izbrano urejenost spremenljivk. Če izberemo urejenost členov > na k[ x 1 , . . . , xn], je poljuben neničelni f ∈ k[ x 1 , . . . , xn] glede na > zapisan v standardni obliki kot f = a 1x δ 1 + a 2x δ 2 + . . . + asx δs, (1.2) kjer je δj = ( δj , . . . , δ ), a 1 jn j ̸= 0 za vse indekse j = 1 , . . . , s in δ 1 > δ 2 > . . . > δs. Definicija 1.2.4 Naj bo doloˇ cena urejenost ˇ clenov na k[ x 1 , . . . , xn] in naj bo f neničelni element iz k[ x 1 , . . . , xn] , zapisan v standardni obliki (1.2). 1. Vodilni ˇ clen LT ( f ) polinoma f je ˇ clen LT ( f ) = a 1 xδ 1 . 2. Vodilni monom LM ( f ) polinoma f je monom LM ( f ) = xδ 1 . 3. Vodilni koeficient LC( f ) polinoma f je koeficient LC( f ) = a 1 . Koncept deljenja polinomov z eno spremenljivko ima očitno posplošitev v primeru deljenja mo- nomov: pravimo, da monom x α = xα 1 · · · xαn · · · xβn 1 n deli monom xβ = xβ 1 1 n , zapisano x α | x β , natanko tedaj, ko je βj ≥ αj za vse j, 1 ≤ j ≤ n. V takšnem primeru zapis x β/x α določa monom xβ 1 −α 1 · · · xβn−αn 1 n . V kolobarju k[ x 1 , . . . , xn] deljenje polinoma f z neničelnimi polinomi {f 1 , . . . , fs} pomeni zapis polinoma f v obliki f = u 1 f 1 + . . . + usfs + r, kjer so u 1 , . . . , us, r ∈ k [ x 1 , . . . , xn] , in bodisi r = 0 ali st( r) ≤ st( f ) (neenakost ni stroga). Najpomembnejši del tega izraza je ostanek r in ne uteži uj, kajti kontekst, v katerem nameravamo uporabiti koncept deljenja, je, da so fα generatorji ideala I in želimo, da bi deljenje dalo ničelni ostanek r natanko tedaj, ko je f element ideala I. Najprej izberemo urejenost členov kolobarja k[ x 1 , . . . , xn] . Osrednja ideja algoritma za deljenje polinoma več spremenljivk z množico polinomov je enaka kot v primeru deljenja polinomov ene spremenljivke: zmanjšamo vodilni člen polinoma f (kot je določeno z izbrano urejenostjo členov) z množenjem s primernim kofaktorjem in odštevanjem. V nadaljevanju naj bo F = {f 1 , . . . , fs}. 1.2 Gr¨ obnerjeve baze 7 Definicija 1.2.5 (i) Za polinome f, g, h ∈ k[ x 1 , . . . , xn] , kjer je g ̸= 0 , pravimo, da se f reducira na h po modulu g: g f − → h, natanko tedaj, ko LM ( g) deli neki neniˇ celni ˇ clen X, ki se pojavi v f in velja h = f − X g. (1.3) LT ( g) (ii) Za polinome f, f 1 , . . . , fs, h ∈ k [ x 1 , . . . , xn] , kjer je fj ̸= 0 za vse 1 ≤ j ≤ s, pravimo, da se f reducira na h po modulu F : F f → h natanko tedaj, ko obstaja zaporedje indeksov j 1 , j 2 , . . . , jm ∈ { 1 , . . . , s} in zaporedje polino- mov h 1 , . . . , hm− 1 ∈ k [ x 1 , . . . , xn] tako, da je fj fj fj fj fj f 1 −−→ h 2 3 m− 1 m 1 − −→ h 2 −−→ . . . −−−−→ hm− 1 −−→ h. F Opomba 1.2.6 Z zaporedno uporabo dela (i) definicije 1.2.5 vidimo, da iz f → h sledi obstoj takih kofaktorjev uj ∈ k[ x 1 , . . . , xn] , da je f = u 1 f 1 + . . . + usfs + h. Zato se po definiciji 1.1.8 iz [114] f reducira na h po modulu F samo, ˇ ce je f ≡ h mod⟨f 1 , . . . , fs⟩. Nasprotno ne velja. Definicija 1.2.7 Predpostavimo, da so f, f 1 , . . . , fs ∈ k[ x 1 , . . . , xn] , kjer je fj ̸= 0 za vse 1 ≤ j ≤ s. Tedaj velja: 1. Polinom r ∈ k[ x 1 , . . . , xn] je reduciran glede na F, če je r = 0 ali pa noben monom, ki se pojavi v polinomu r, ni deljiv z nobenim elementom mnoˇ zice {LM ( f 1) , . . . , LM ( fs) }. 2. Polinom r ∈ k[ x 1 , . . . , xn] je ostanek pri deljenju polinoma f glede na množico F , če je F f → r in je r reduciran glede na F. Algoritem deljenja polinomov več spremeljivk je direktna poslošitev postopka, ki se upora- blja pri deljenju polinomov v kolobarju ene spremenljivke. Da bi delili f z urejeno množico F = {f 1 , . . . , fs}, uporabimo iterativni postopek in na vsakem koraku izvedemo deljenje poli- noma z enim izmed polinomov množice F . Običajno je množica deliteljev F predstavljena v nekem posebnem zaporedju in moramo zato predhodno na neki način urediti elemente; izbrano zaporedje lahko vpliva na končni rezultat. Pri prvem koraku v dejanskem postopku deljenja je “aktivni delitelj”prvi element množice F , recimo mu fj, katerega vodilni člen deli vodilni člen polinoma f ; v tem koraku nadomestimo f s polinomom h iz (1.3), ko je X = LT ( f ) in g = fj in posledično (delno) reduciramo f glede na polinom fj. Pri vsakem naslednjem koraku je aktivni delitelj prvi element iz F , katerega vodilni člen deli vodilni člen trenutnega polinoma h; pri tem koraku podobno h nekoliko reduciramo z uporabo aktivnega delitelja. Če na kateri stopnji delje- nje ni mogoče, dodamo vodilni člen polinoma h k ostanku in poskusimo z enakim postopkom ter nadaljujemo dokler nobeno deljenje ni več mogoče. Sedaj si oglejmo primer deljenja polinoma z urejeno množico dveh polinomov v k[ x, y]. 8 1 Polinomski ideali in afine raznoterosti Primer 1.2.8 Delimo polinom f = x 2 y + xy 2 + y 2 z urejeno mnoˇ zico polinomov F = {f 1 , f 2 }, kjer je f 1 = xy − 1 in f 2 = y 2 − 1 . Pri tem uporabimo leksikografsko urejenost, upoštevajoč x > y. Če f delimo z urejeno množico F , pričakujemo rezultat oblike f = q 1 f 1 + q 2 f 2 + r. Začetna shema deljenja je oblike: q 1 : q 2 : r f 1 : xy − 1 x 2 y + xy 2 + y 2 f 2 : y 2 − 1 Oznaka f ( x) pomeni, da je f ( x) polinom, ki ga delimo z množico polinomov. Vodilni člen LT ( f 1) = xy deli vodilni člen LT ( f ) = x 2 y, zato delimo x 2 y z xy in dobimo x, ki ga zapišemo h kvocientu q 1. Nato pomnožimo x z f 1 in rezultat podpišemo pod polinom f , od katerega ta rezultat tudi odštejemo, kot prikazuje naslednja shema deljenja: q 1 : x q 2 : r f 1 : xy − 1 x 2 y + xy 2 + y 2 f 2 : y 2 − 1 x 2 y − x xy 2 + x + y 2 Dobimo polinom xy 2 + x + y 2, katerega vodilni člen je deljiv tako z LT ( f 1) kot tudi z LT ( f 2). Ker pa je v urejeni množici F , s katero delimo, najprej naveden f 1, delimo xy 2 z xy in dobimo y, ki ga ponovno pripišemo h q 1. Postopek ponovimo in dobimo polinom x + y 2 + y, katerega vodilni člen x ni deljiv niti z LT ( f 1) niti z LT ( f 2), zato x pripišemo k ostanku. Sedaj dobimo y 2 + y, katerega vodilni člen delimo z LT ( f 2) = y 2 in dobimo kvocient 1, ki ga pripišemo h q 2. Na koncu dobimo polinom y +1, katerega vodilni člen y spet ni deljiv niti z LT ( f 1) niti z LT ( f 2), zato ga pripišemo v desni stolpec kot ostanek. Ostane polinom 1, ki ga prav tako pripišemo k ostanku. Tako je polinom x + y + 1 (končni) ostanek r pri tem deljenju. Celotna shema deljenja je prikazana spodaj. q 1 : x + y q 2 : 1 r f 1 : xy − 1 x 2 y + xy 2 + y 2 f 2 : y 2 − 1 x 2 y − x xy 2 + x + y 2 xy 2 − y x + y 2 + y y 2 + y → x y 2 − 1 y + 1 1 → x + y 0 → x + y + 1 Torej je f = ( x + y) · f 1 + 1 · f 2 + x + y + 1 . Po drugi strani, če zamenjamo vrstni red polinomov f 1 in f 2 v F , torej če delimo z urejeno množico {f 2 , f 1 } po istem postopku kot zgoraj, dobimo f = xf 1 + ( x + 1) f 2 + 2 x + 1 . Za dokaz naslednjega izreka glej [114]. 1.2 Gr¨ obnerjeve baze 9 Izrek 1.2.9 Naj bosta dana urejena mnoˇ zica F = {f 1 , . . . , fs} ⊂ k [ x 1 , . . . , xn] \ { 0 } neničelnih polinomov in polinom f ∈ k [ x 1 , . . . , xn] . Algoritem deljenja z več spremenljivkami ustvari poli- nome u 1 , . . . , us, r ∈ k[ x 1 , . . . , xn] , tako da je f = u 1 f 1 + . . . + usfs + r, (1.4) kjer je r ostanek polinoma f glede na F in velja { } LM ( f ) = max LM ( u 1) LM ( f 1) , . . . , LM ( us) LM ( fs) , LM ( r) . (1.5) 1.2.2 Gr¨ obnerjeva baza V prejšnjem podrazdelku smo videli (glej primer 1.2.8), da se pri spremembi vrstnega reda poli- nomov f 1 in f 2 v F kvocient in ostanek spremenita. Torej kvocient in ostanek pri multideljenju nista enolična. Odvisna sta tako od ureditve polinomov v množici deliteljev kakor tudi od izbire urejenosti členov. Vendar, kar je še slabše z vidika reševanja problema pripadnosti idealu, četudi ne spremenimo urejenosti členov, lahko obstaja element ideala, katerega ostanek je lahko nič glede na eno ureditev deliteljev in različen od nič glede na drugo ureditev deliteljev. To prikazuje naslednji primer. Primer 1.2.10 V kolobarju R [ x, y] fiksiramo leksikografsko urejenost členov, upoštevajoč x > y, in obravnavamo polinom f = x 2 y + xy + 2 x + 2 . Ko uporabimo algoritem deljenja z veˇ c spremenljivkami za reduciranje polinoma f po modulu urejene mnoˇ zice {f 1 = x 2 − 1 , f 2 = xy+2 }, dobimo f = yf 1 + f 2 + (2 x + y) . Ker je pripadajoˇ ci ostanek 2 x + y razliˇ cen od niˇ c, bi lahko domnevali, da f ni v idealu ⟨f 1 , f 2 ⟩. Toda ˇ ce spremenimo zaporedje deliteljev, tako da je f 2 prvi, dobimo f = 0 f 1 + ( x + 1) f 2 + 0 = ( x + 1) f 2 , (1.6) kar pove, da je f ∈ ⟨f 1 , f 2 ⟩. Poglejmo še primer, kjer vrstni red deliteljev ne vpliva na ostanek. Primer 1.2.11 V kolobarju R [ x, y] fiksiramo leksikografsko urejenost členov, upoštevajoč x > y. Potem je 2 y = 1( x + y) + ( − 1)( x − y) ∈ ⟨x + y, x − y⟩ , ker pa LT ( x + y) = LT ( x − y) = x ne deli 2 y, je ostanek pri deljenju 2 y z {x + y, x − y} enoličen: 2 y. Tako ima za vsako ureditev deliteljev algoritem deljenja z veˇ c spremenljivkami enak neniˇ celni ostanek. Vidimo, da smo ”izgubili orodje”, ki smo ga imeli v kolobarju polinomov ene spremenljivke, za razreševanje problema pripadnosti idealu. Na srečo pa ni vse izgubljeno. Medtem ko algoritem deljenja polinomov z več spremenljivkami na splošno ne more biti izboljšan, je znano, da za ideale, podane v obliki generirajočih množic, vedno velja, da je f ∈ ⟨f 1 , . . . , fs⟩ natanko tedaj, ko je ostanek f pri deljenju z {f 1 , . . . , fs} enak nič. Posebna generirajoča množica, s katero lahko rešimo problem pripadnosti idealu, se imenuje Gröbnerjeva baza ali standardna baza. Je glavno orodje in osnova mnogih algoritmov računske algebre in algebraične geometrije. Da bi motivirali definicijo Gröbnerjeve baze, spet obravnavajmo primer 1.2.10. V njem smo videli, da 10 1 Polinomski ideali in afine raznoterosti v kolobarju k[ x, y] glede na leksikografsko urejenost, upoštevajoč x > y, za f = x 2 y + xy +2 x+2 , f 1 = x 2 − 1 in f 2 = xy + 2 , velja {f 1 ,f 2 } f −−−−→ 2 x + y. Toda po (1.6) je f ∈ ⟨f 1 , f 2 ⟩ in mora biti tudi ostanek r = 2 x + y v ⟨f 1 , f 2 ⟩. Problem nastopi, ker vodilni člen ostanka r ni deljiv niti z LM ( f 1) niti z LM ( f 2), in to ustavi postopek deljenja v algoritmu deljenja polinoma z več spremenljivkami. Problem je v tem, da ideal ⟨f 1 , f 2 ⟩ vsebuje elemente, katerih vodilni člen ni deljiv z vodilnim členom nobenega elementa iz izbrane baze ideala. Če bi za poljuben ideal I imeli bazo B, tako da bi bil vodilni člen vsakega polinoma v I deljiv z vodilnim členom nekega polinoma iz B, bi algoritem deljenja polinomov z več spremenljivkami po tej bazi dal rešitev za problem pripadnosti idealu. Za tako bazo B bi veljalo, da je polinom f v idealu I natanko tedaj, ko je ostanek polinoma f pri deljenju z elementi baze B glede na katerokoli urejenost enak nič. To je glavna ideja Gröbnerjeve baze. Definicija 1.2.12 Gr¨ obnerjeva baza (imenovana tudi standardna baza) ideala I ⊂ k[ x 1 , . . . , xn] je konˇ cna neprazna podmnoˇ zica G = {g 1 , . . . , gm} ideala I\ { 0 } z lastnostjo, da za vsak neničelni f ∈ I obstaja takšen gj ∈ G, da LT ( gj) |LT ( f ) . V definiciji je nakazano, da pojma Gröbnerjeve baze ne obravnavamo za ničelni ideal, niti ga ne bomo potrebovali. Z Gröbnerjevo bazo ponovno pridobimo pomembno lastnost enoličnosti ostanka, ki smo jo imeli v k[ x]. Trditev 1.2.13 Naj bo G Gr¨ obnerjeva baza neniˇ celnega idela I ⊂ k[ x 1 , . . . , xn] in naj bo f ∈ k [ x 1 , . . . , xn] . Potem je ostanek f glede na G enoličen. G G Dokaz. Recimo, da f → r 1 in f → r 2 in sta r 1 in r 2 reducirana glede na G. Ker sta f − r 1 in f − r 2 v I, je tudi razlika r 1 − r 2 ∈ I. Po definiciji 1.2.7 je razlika r 1 − r 2 reducirana glede na G. Vendar pa je potem po definiciji 1.2.12 razlika r 1 − r 2 = 0, saj je r 1 − r 2 ∈ I. Definicija 1.2.14 Naj bo I ideal in f polinom v k[ x 1 , . . . , xn] . Reducirati f po modulu ideala I pomeni poiskati enoliˇ cni ostanek polinoma f pri deljenju z neko Gr¨ obnerjevo bazo G ideala I. ˇ Ce je dan neniˇ celni polinom g, redukcija f po modulu g pomeni, da f reduciramo po modulu ideala ⟨g⟩. Trditev 1.2.13 zagotavlja, da je proces jasno definiran, ko enkrat izberemo Gröbnerjevo bazo, čeprav je dobljeni ostanek odvisen od navedene Gröbnerjeve baze. Naj bo sedaj S podmnožica kolobarja k[ x 1 , . . . , xn] (lahko tudi ideal). Z LT ( S) označimo množico vodilnih členov polinomov, ki sestavljajo S, in z ⟨LT ( S) ⟩ ideal, ki ga ustvari množica LT ( S) (t. j. množica vseh končnih linearnih kombinacij elementov iz LT ( S) s koeficienti iz kolo- barja k[ x 1 , . . . , xn]) . Naslednji izrek podaja glavne značilnosti Gröbnerjevih baz. Omenimo, da F izraz f → h pomeni, da obstaja niz redukcij z uporabo neurejene množice deliteljev F , ki vodi od f do h, ki ni nujno ostanek polinoma f glede na F . To je v nasprotju z algoritmom deljenja polinomov v kolobarju polinomov z več spremenljivkami, kjer mora biti F urejena množica in določeno izbrano zaporedje določa vrstni red redukcij, ki pripeljejo polinom f do ostanka r. Izrek 1.2.15 Naj bo I ⊂ k[ x 1 , . . . , xn] neničelni ideal in naj bo G = {g 1 , . . . , gs} končna množica neniˇ celnih elementov iz I ter f poljuben element iz k[ x 1 , . . . , xn] . Potem so naslednje trditve ekvivalentne: 1.2 Gr¨ obnerjeve baze 11 (i) G je Gr¨ obnerjeva baza ideala I; G (ii) f ∈ I ⇐⇒ f → 0 ; ∑ (iii) f ∈ I ⇐⇒ f = s u j=1 j gj in LM ( f ) = max1 ≤j≤s( LM ( uj ) LM ( gj )) ; (iv) ⟨LT ( G) ⟩ = ⟨LT ( I) ⟩. G Dokaz. ( i) ⇒ ( ii) Po izreku 1.2.9 obstaja r ∈ k[ x 1 , . . . , xn], tako da f → r in r je reduciran glede na G. Če je f ∈ I, potem je r ∈ I. Zato je po definiciji Gröbnerjeve baze in dejstvu, da G je r reduciran glede na G, ostanek r = 0 . Nasprotno, če je f → 0, potem je očitno f ∈ I. ( ii) ⇒ ( iii) Recimo, da je f ∈ I. Potem po ( ii) obstaja niz redukcij gj gj gj gj gj f 1 → h 2 3 m− 1 m 1 → h 2 → . . . → hm− 1 → 0 , kar pomeni, da je f = u 1 g 1 + . . . + usgs za neke uj ∈ k[ x 1 , . . . , xn] . Kot je opisano v dokazu (glej [114]) izreka 1.2.9, velja enakost, analogna enačbi { } max LM ( u 1) LM ( f 1) , . . . , LM ( us) LM ( fs) , LM ( h) { } = max LM ( u 1) LM ( f 1) , . . . , LM ( us) LM ( fs) (1.7) na vsakem koraku reduciranja in tako enakost v ( iii) drži. Obratna implikacija v ( iii) je očitna. ( iii) ⇒ ( iv) Ker je G ⊂ I, inkluzija ⟨LT ( G) ⟩ ⊂ ⟨LT ( I) ⟩ vedno drži in tako moramo preveriti, da je ⟨LT ( I) ⟩ ⊂ ⟨LT ( G) ⟩ pri pogoju, da velja trditev ( iii). Inkluzija ⟨LT ( I) ⟩ ⊂ ⟨LT ( G) ⟩ je nakazana z implikacijo: če je f ∈ I, potem je LT ( f ) ∈ ⟨LT ( G) ⟩. Zato domnevamo, da je f ∈ I. ∑ Potem iz pogoja za LM ( f ) v ( iii) neposredno sledi, da je LT ( f ) = LT ( u j j ) LT ( gj ) , kjer vsota poteka po vseh indeksih j, tako da LM ( f ) = LM ( uj) LM ( gj). Zato velja ⟨LT ( I) ⟩ ⊂ ⟨LT ( G) ⟩. ( iv) ⇒ ( i) Za f ∈ I \ { 0 } je LT ( f ) ∈ LT ( I) ⊂ ⟨LT ( I) ⟩ = ⟨LT ( G) ⟩. Torej obstajajo h 1 , . . . , hs ∈ k[ x 1 , . . . , xn] , tako da je s ∑ LT ( f ) = hj LT ( gj) . (1.8) j=1 Vodilni monom desne strani enačbe (1.8) mora biti oblike LM ( hj) LM ( gi) za neki j ∈ { 1 , . . . , s}, torej LM ( gj) |LM ( f ) in zato tudi LT ( gj) |LT ( f ). Zapišimo LT ( f ) = cxβ 1 · · · xβn 1 n in LT ( g 1) = a 1 xα 1 · · · xαn 1 n . Če obstaja indeks u, tak da je αu > βu, potem ima vsak člen v h 1 LT ( g 1) eksponent na xu, ki presega βu, in zato se mora ta indeks v vsoti (1.8) izničiti. Podobno za g 2 do gm pomeni, da zagotovo obstaja indeks j, tako da za LT ( gj) = ajxγ 1 · · · xγn 1 n velja γu < βu za 1 ≤ u ≤ n, kar pa je natanko trditev, da LT ( gj) |LT ( f ). Torej je G Gröbnerjeva baza ideala I. Izbira Gröbnerjeve baze ideala I vodi k rešitvi problema pripadnosti idealu. Problem pripadnosti idealu - reˇ sitev. Če je G Gröbnerjeva baza ideala I, potem G je f ∈ I natanko tedaj, ko f → 0. Iz definicije 1.2.12 ni povsem jasno, da ima vsak ideal Gröbnerjevo bazo. V nadaljevanju bomo pokazali obstoj Gröbnerjeve baze za splošen ideal in podali algoritem za njen izračun. Ključni korak v omenjenem algoritmu je izračun t. i. S-polinoma dveh polinomov. 12 1 Polinomski ideali in afine raznoterosti Definicija 1.2.16 Naj bosta f in g neniˇ celna elementa kolobarja k[ x 1 , . . . , xn] , LM ( f ) = xα in LM ( g) = xβ. Najmanjˇ si skupni veˇ ckratnik monomov xα in xβ, ki ga oznaˇ cimo z LCM ( xα, xβ) , je monom xγ = xγ 1 · · · xγn 1 n , kjer je γj = max ( αj , βj ) , 1 ≤ j ≤ n. S-polinom polinomov f in g je polinom xγ S( f, g) := f − xγ g. LT ( f ) LT ( g) Naslednji izrek podaja računsko metodo za določanje Gröbnerjeve baze ideala. Za dokaz izreka glej [114]. Izrek 1.2.17 (Buchbergerjev kriterij) Naj bo I neniˇ celni ideal kolobarja k[ x 1 , . . . , xn] in naj bo < izbrana urejenost ˇ clenov v kolobarju k[ x 1 , . . . , xn] . Množica G = {g 1 , . . . , gs} je Gröbnerjeva G baza ideala I glede na < natanko tedaj, ko S( gi, gj) → 0 za vsak i ̸= j. Buchbergerjev algoritem Vnos: Množica polinomov {f 1 , . . . , fs} ∈ k[ x 1 , . . . , xn] \ { 0 }. Rezultat: Gröbnerjeva baza G ideala I = ⟨f 1 , . . . fs⟩. Postopek: G := f 1 , . . . , fs. Korak 1: Za vsak par gi, gj ∈ G, i ̸= j, izračunaj S-polinom S( gi, gj) in uporabi algoritem deljenja polinomov z več spremenljivkami za izračun ostanka rij : G S( gi, gj) → rij. ČE so vsi rij enaki 0, vrni G, SICER dodaj vse neničelne rij k množici G in se vrni na korak 1. Tabela 1.1: Buchbergerjev algoritem. Čeprav ni težko razumeti, zakaj Buchbergerjev algoritem (glej tabelo 1.1) proizvede Gröbner- jevo bazo ideala I = ⟨f 1 , . . . , fs⟩, ni povsem jasno, da se algoritem konča po končnem številu korakov. Kot bomo pokazali, je dejansko njegov zaključek posledica izreka 1.1.3. Izrek 1.2.18 Buchbergerjev algoritem vrne Gr¨ obnerjevo bazo neniˇ celnega ideala I = ⟨f 1 , . . . , fs⟩. Dokaz. Ker je originalna množica G generirajoča množica za I in na vsakem koraku algoritma dodajamo množici G polinome iz I, zagotovo na vsakem koraku G ostane generirajoča množica za I. Če so na neki stopnji vsi ostanki rij enaki nič, potem je po Buchbergerjevem kriteriju (izrek 1.2.17) množica G Gröbnerjeva baza ideala I. Zato moramo dokazati le, da se algoritem konča. V ta namen obravnavajmo zaporedje množic G 1 , G 2 , G 3 , . . . (množice G iz algoritma). Če se algoritem ne konča, imamo strogo naraščajočo neskončno zaporedje Gj $ Gj+1 , j ∈ N . Vsako množico Gj+1 dobimo iz množice Gj tako, da dodamo vsaj en polinom h ∈ I, kjer je h neničelni ostanek glede na Gj S-polinoma S( f 1 , f 2) za neki par polinomov f 1 , f 2 ∈ Gj. Ker je h reduciran glede na Gj, njegov vodilni člen ni deljiv z vodilnim členom nobenega elementa iz Gj, tako da velja LT ( h) / ∈ ⟨LT ( Gj) ⟩. Tako dobimo neskončno strogo naraščajočo verigo idealov ⟨LT ( G 1) ⟩ $ ⟨LT ( G 2) ⟩ $ ⟨LT ( G 3) ⟩ $ . . . , 1.2 Gr¨ obnerjeve baze 13 kar pa je v nasprotju s posledico Hilbertovega izreka o bazi, da se vsaka naraščajoča veriga idealov stabilizira. Čeprav je urejenost členov določena, se pri izračunu Gröbnerjeve baze pojavi pomanjkljivost, saj lahko algoritem deljenja polinomov z več spremenljivkami vrne različne ostanke za različne ureditve polinomov v množici deliteljev. V tem smislu razultat Buchbergerjevega algoritma ni enoličen. Prav tako je algoritem neučinkovit v smislu, da baza, ki jo proizvede, vsebuje več polinomov kot je potrebno. Odvečne polinome lahko iz baze odstranimo z uporabo naslednjega dejstva, ki sledi takoj iz definicije Gröbnerjeve baze. Trditev 1.2.19 Naj bo G Gr¨ obnerjeva baza ideala I ⊂ k[ x 1 , . . . , xn] . ˇ Ce je g ∈ G in LT ( g) ∈ ⟨LT ( G) \ {g}) ⟩, potem je G \ {g} prav tako Gröbnerjeva baza ideala I. Definicija 1.2.20 Gr¨ obnerjeva baza G = {g 1 , . . . , gm} se imenuje minimalna, če je za vse i, j ∈ { 1 , . . . , m} vodilni koeficient LC( gi) = 1 in za vse i ̸= j vodilni monom LM ( gi) ne deli LM ( gj) . Izrek 1.2.21 Vsak neniˇ celni polinomski ideal ima minimalno Gr¨ obnerjevo bazo. Dokaz. Po Hilbertovem izreku o bazi (izrek 1.1.3) obstaja končna baza {f 1 , . . . , fs} ideala I. Iz Gröbnerjeve baze G, dobljene iz {f 1 , . . . , fs} po Buchbergerjevem algoritmu (izrek 1.2.18), odstranimo vse tiste polinome g, za katere velja, da LT ( g) ∈ ⟨LT ( G \ {g}) ⟩. Potem delimo preostale polinome z njihovimi vodilnimi koeficienti tako, da njihovi vodilni koeficienti postanejo 1 . Po trditvi 1.2.19 je dobljena množica minimalna Gröbnerjeva baza. Za dokaz naslednje trditve glej [27, 114]. Trditev 1.2.22 Katerikoli dve minimalni Gr¨ obnerjevi bazi G in G′ ideala I ∈ k[ x 1 , . . . , xn] imata enako mnoˇ zico vodilnih ˇ clenov: LT ( G) = LT ( G′) . Zato imata tudi enako ˇ stevilo elemen- tov. Čeprav je v dokazu izreka 1.2.21 z opisanim postopkom dobljena minimalna baza lahko veliko manjša kot originalna Gröbnerjeva baza, ki jo dobimo z Buchbergerjevim algoritmom, pa le- ta ni nujno enolična. Lahko pa enoličnost dosežemo z dodatnim pogojem, ki se navezuje na Gröbnerjevo bazo. Definicija 1.2.23 Gr¨ obnerjeva baza G = {g 1 , . . . , gm} se imenuje reducirana, če za vse i, 1 6 i 6 m, velja LC( gi) = 1 in noben člen polinoma gi ni deljiv z nobenim LT ( gj) za j ̸= i. To pomeni, da je Gröbnerjeva baza reducirana, če je vsak izmed njenih elementov g moničen (t.j. njegov vodilni koeficient je enak 1) in je reduciran glede na G \ {g} (definicija 1.2.7). Če pogledamo definicijo 1.2.20, vidimo, da je vsaka reducirana Gröbnerjeva baza minimalna. Izrek 1.2.24 ([27]) Vsak neniˇ celni ideal I ⊂ k[ x 1 , . . . , xn] ima enolično reducirano Gröbner- jevo bazo glede na izbrano urejenost ˇ clenov. Spomnimo se, da po izreku 1.2.15 z Gröbnerjevo bazo G ideala I rešimo problem pripadnosti G idealu: f ∈ I natanko tedaj, ko f → 0 . Podoben problem je določitev, ali sta dva ideala I, J ⊂ k[ x 1 , . . . , xn] , (vsak podan s končno množico generatorjev) enaka ali ne. V izreku 1.2.24 podamo rešitev tega problema. 14 1 Polinomski ideali in afine raznoterosti Enakost idealov-reˇ sitev. Neničelna ideala I in J iz k[ x 1 , . . . , xn] sta enaka natanko tedaj, ko imata enako reducirano Gröbnerjevo bazo glede na izbrano urejenost členov. Buchbergerjev algoritem je daleč od najučinkovitejše poti za izračun Gröbnerjeve baze. Za praktično uporabo obstaja veliko različic in izboljšav. Pomembno je, da so takšni algoritmi omogočili računanje posebnih generirajočih množic za velike ideale. Skoraj vsak računalniški algebrski sistem, kot je Mathematica, Maple ali Reduce, ima vgrajene postopke za računanje Gröbnerjeve baze glede na različne urejenosti členov. V zadnjem razdelku tega poglavja se bomo seznanili z uporabo prostodostopnega sistema računske algebre Singular in med drugim navedli tudi primer izračuna Gröbnerjeve baze ideala. Na koncu tega razdelka si oglejmo še uporabo Gröbnerjevih baz pri reševanju sistemov poli- nomskih enačb. Izračunamo najprej Gröbnerjevo bazo ideala, ki ga generirajo trije polinomi, in s pomočjo le-te potem poiščemo rešitev sistema treh polinomskih enačb, ki je določen z genera- torji ideala. Za izračun Gröbnerjeve baze bomo uporabili Buchbergerjev algoritem (glej tabelo 1.1). Primer 1.2.25 Poiˇ sˇ cimo vse (realne) reˇ sitve sistema f 1 = f 2 = f 3 = 0 , kjer je f 1 = x 2 + y, f 2 = 2 x 2 y + x 4 , f 3 = xz + x 4 + xy + x 2 y 2 . Z uporabo Buchbergerjevega algoritma izračunamo Gröbnerjevo bazo ideala ⟨f 1 , f 2 , f 3 ⟩. Iz- beremo leksikografsko urejenost, upoštevajoč z > y > x, in zapišemo polinome f 1, f 2, f 3 glede na to ureditev: f 1 = y + x 2 , f 2 = 2 yx 2 + x 4 , f 3 = zx + y 2 x 2 + yx + x 4 . Potem izračunamo posamezne S-polinome: yx 2 1 S( f 1 , f 2) = ( y + x 2) − yx 2 (2 yx 2 + x 4) = x 4 , y 2 yx 2 2 zyx S( f 1 , f 3) = ( y + x 2) − zyx ( zx + y 2 x 2 + yx + x 4) = zx 3 − y 3 x 2 − y 2 x − yx 4 , y zx zyx 2 1 S( f 2 , f 3) = (2 yx 2 + x 4) − zyx 2 ( zx + y 2 x 2 + yx + x 4) = zx 4 − y 3 x 3 − y 2 x 2 − yx 5 . 2 yx 2 zx 2 Nato delimo S( f 1 , f 2) = 1 x 4 z urejeno množico polinomov {f x 4 2 1 , f 2 , f 3 } in dobimo ostanek 1 2 in ker je le-ta neničelni, ga pripišemo k začetni množici polinomov in dobimo urejeno množico G = {f 1 , f 2 , f 3 , f 4 }, kjer je f 4 = 1 x 4. Če delimo polinoma S( f 2 1 , f 3) in S( f 2 , f 3) z množico polinomov G, dobimo v obeh primerih ostanek 0. Prav tako, ko delimo polinome S( f 1 , f 4) = x 6, S( f 2 , f 4) = 1 x 6 in S( f 2 3 , f 4) = y 2 x 5 + yx 4 + x 7 z množico polinomov G, dobimo v vseh primerih ostanek 0. Tako je Gröbnerjeva baza ideala ⟨f 1 , f 2 , f 3 ⟩ enaka GB = {f 1 , f 2 , f 3 , f 4 }. Bazo reduciramo tako, da najprej vse vodilne koeficiente polinomov f 1 , f 2 , f 3 in f 4 postavimo na 1. Opazimo tudi, da če polinom f 2 delimo z množico {f 1 , f 4 }, dobimo ostanek 0. Zato lahko f 2 odstranimo iz Gröbnerjeve baze. Če polinom f 3 delimo z množico {f 1 , f 4 }, dobimo ostanek 1.2 Gr¨ obnerjeve baze 15 zx − x 3, ki ga v Gröbnerjevi bazi zapišemo namesto f 3. Tako je reducirana Gröbnerjeva baza ideala ⟨f 1 , f 2 , f 3 ⟩ enaka GR = {y + x 2 , x 4 , zx − x 3 }. Sedaj lahko sistem f 1 = f 2 = f 3 = f 4 = 0 rešimo zelo preprosto. Ker je drugi polinom v GR odvisen samo od spremenljivke x, je očitno x = 0. Prvi polinom v Gröbnerjevi bazi vsebuje samo x in y, od koder sledi y = 0. Zadnji polinom vsebuje spremenljivki x in z in x = 0 očitno reši enačbo zx − x 3 = 0 za vsak z, torej je z poljuben in sistem ima neskončno rešitev, ki jih zapišemo kot {(0 , 0 , z); z ∈ R }. Teorija Gröbnerjevih baz nam v splošnem omogoča najti rešitev sistema (1.1) v primeru, da ima sistem končno mnogo rešitev. V takšnem primeru je Gröbnerjeva baza glede na leksikografsko urejenost členov vedno v ”trikotni obliki”(če uporabimo jezik Gaussove eliminacije), kot lahko vidimo v naslednjem primeru. Primer 1.2.26 Obravnavajmo polinome f 1 = z 2 y + z 2 , f 2 = x 3 y + x + y + 1 , (1.9) f 3 = z + x 2 + y 3 in poiˇ sˇ cimo reˇ sitve sistema f 1 = f 2 = f 3 = 0 . Glede na leksikografsko urejenost upoštevajoč x > y > z je reducirana Gröbnerjeva baza ideala generiranega s polinomi f 1 , f 2 , f 3 v Q[ x, y, z] enaka (glej razdelek 1.6) {g 1 , g 2 , g 3 , g 4 , g 5 , g 6 }, kjer je g 1 = z 4 − z 3 , g 2 = y 11 + 3 y 8 z − 2 y 7 − 4 y 4 z + y 3 + y 2 + 2 y + z 3 − z 2 + z + 1 , g 3 = x 2 + y 3 + z, g 4 = yz 2 + z 2 , (1.10) g 5 = xy + x + y 7 + 2 y 4 z − y 3 − z 2 − z, g 6 = xz + y 10 − y 9 + y 8 + 3 y 7 z − y 7 − 2 y 6 z − y 6 + 2 y 5 z + y 5 − 2 y 4 z − y 4 − 2 y 3 z + y 3 + y 2 z − yz + y − z 3 + 5 z 2 + z + 1 . Tako je realni sistem f 1 = f 2 = f 3 = 0 ekvivalenten sistemu g 1 = 0 , g 2 = 0 , g 3 = 0 , g 4 = 0 , g 5 = 0 , g 6 = 0 . Vidimo, da je polinom g 1 odvisen samo od spremenljivke z. Nadalje je polinom g 2 odvisen od y in z in je njegov vodilni člen potenca spremenljivke y, t. j. LT ( g 2) = y 11. Potem imamo še polinom g 3, ki je odvisen od x, y in z ter je njegov vodilni člen potenca spremenljivke x, t. j. LT ( g 3) = x 2. Za rešitev sistema f 1 = f 2 = f 3 = 0 tako najprej rešimo g 1 = 0 in dobimo rešitvi z = 0 in z = 1. Nato rešimo dve enačbi stopnje 11: g 2( y, 0) = 0 in g 2( y, 1) = 0. Realni rešitvi enačbe g 2( y, 0) = y 11 − 2 y 7+ y 3+ y 2+2 y+1 = 0 sta y = − 1 in y ≈ − 0 . 59720, realne rešitve enačbe g 2( y, 1) = y 11 + 3 y 8 − 2 y 7 − 4 y 4 + y 3 + y 2 + 2 y + 2 = 0 so y = 0, y = − 0 . 72497 in y = − 1 . 5157. Za z = 0 , y = − 1 sta realni rešitvi preostalih enačb x = 1 in x = − 1. Za z = 0 , y ≈ − 0 . 59720 16 1 Polinomski ideali in afine raznoterosti je edina realna rešitev preostalih enačb x ≈ − 0 . 46150. Za z = 1 , y = − 1 je edina realna rešitev preostalih enačb x = 0. Za z = 1 in y = − 0 . 72497 ter z = 1 in y = − 1 . 5157 za x ne dobimo nobene realne rešitve. Tako smo v R3 dobili štiri rešitve sistema f 1 = f 2 = f 3 = 0, kjer so fi polinomi iz (1.9): { } (1 , − 1 , 0) , ( − 1 , − 1 , 0) , ( − 0 . 46150 , − 0 . 59720 , 0) , (0 , − 1 , 1) . V primeru generičnega sistema ima Gröbnerjeva baza veliko bolj zapleteno strukturo. Kakor- koli, če ima sistem samo končno mnogo rešitev (t. j. ideal je 0-razsežen), mora vsaka reducirana Gröbnerjeva baza {g 1 , . . . , gt} glede na leksikografsko urejenost vsebovati polinom, ki je odvisen od ene spremenljivke, recimo g 1( x 1). Nadalje je potem skupina polinomov, ki so odvisni od te spremenljivke in še ene dodatne, recimo g 2( x 1 , x 2) , . . . , gm( x 1 , x 2), itd. Tako najprej rešimo (morda le numerično) enačbo g 1( x 1) = 0. Potem za vsako rešitev x∗ enačbe g 1 1( x 1) = 0 najdemo rešitve sistema polinomskih enačb g 2( x∗, x , x 1 2) = · · · = gm( x∗ 1 2) = 0 , z neznanko x 2. Če nada- ljujemo ta proces, dobimo vse rešitve sistema (1.1). Tako v primeru končnega števila rešitev Gröbnerjeva baza poskrbi za celotno rešitev problema in lahko zapišemo naslednji rezultat, ka- terega dokaz najdemo v [1]. Izrek 1.2.27 Naj bo I 0-razseˇ zen ideal in G = {g 1 , . . . , gt} njegova Gröbnerjeva baza glede na leksikografsko urejenost, upoˇ stevajoˇ c x 1 < x 2 < · · · < xn. Potem lahko g 1 , . . . , gt uredimo tako, da za i = 1 , 2 , . . . , t velja gi ∈ K[ x 1 , . . . , xi] in LT ( gi) ∈ K[ xi] . Ponovno se bomo k polinomskim sistemom oblike (1.1) in njihovim rešitvam vrnili v razdelku 1.4, kjer se bomo seznanili z enim najpomembnejših matematičnih rezultatov 19. stoletja - šibkim Hilbertovim izrekom o ničlah, ki nam bo odgovoril na vprašanje o obstoju rešitve sistema (1.1). Situacija, v kateri raznoterost polinomskega ideala sestoji iz končno mnogo točk, nastopi zelo redko. V generičnem primeru raznoterost sestoji iz neskončno mnogo točk in rešiti polinomski sistem enačb pomeni najti dekompozicijo raznoterosti ideala na ireducibilne komponente, kar si bomo ogledali v razdelku 1.5. 1.3 Osnove eliminacijskih idealov Sistem linearnih enačb običajno reduciramo na ekvivalentni sistem trikotne oblike, v katerem v nekaterih enačbah manjka nekaj začetnih neznank. V tem razdelku se bomo seznanili s teorijo, ki podobno reducira sistem nelinearnih enačb. Ta teorija prav tako priskrbi metodo, s katero poiščemo vse rešitve polinomskega sistema v primeru, ko je množica rešitev končna ali z drugimi besedami priskrbi metodo, s katero najdemo raznoterost polinomskega ideala, ko je le-ta 0- razsežna. Glavna rezultata eliminacijske teorije sta eliminacijski in razširitveni izrek. Pogledali si bomo tudi geometrijsko interpretacijo teh izrekov in njihovih posledic. Da bi dobili občutek, kako poteka eliminacija spremenljivk, se spomnimo primera 1.2.26, kjer smo poiskali vse realne rešitve sistema enačb z 2 y + z 2 = 0 , x 3 y + x + y + 1 = 0 , (1.11) z + x 2 + y 3 = 0 . 1.3 Osnove eliminacijskih idealov 17 Naj bo I ideal, ki ga generirajo polinomi sistema (1.11): I = ⟨z 2 y + z 2 , x 3 y + x + y + 1 , z + x 2 + y 3 ⟩. (1.12) Njegova Gröbnerjeva baza je sestavljena iz polinomov g 1 , . . . , g 6, podanih v (1.10). Vemo, da imata sistema (1.11) in g 1 = · · · = g 6 = 0 enake rešitve. Ker je polinom g 1 = z 4 − z 3 odvisen samo od spremenljivke z, lahko rešimo enačbo g 1 = 0 in dobimo z 1 = 0 in z 2 = 1. Nato ti vrednosti vstavimo v g 2 in dobimo polinom spremenljivke y, od koder izračunamo rešitve za y, ki pa jih skupaj z z 1 oz. z 2 vstavimo v g 3 in izračunamo še rešitve za spremenljivko x, kot je opisano v primeru 1.2.26. Na ta način dobimo vse realne rešitve sistema (1.11). Toda kaj nam omogoča, da lahko najdemo te rešitve? Odgovor na to vprašanje sta naslednja dva koraka: • Eliminacijski korak. Najprej smo rešili enačbo g 1 = z 4 − z 3 = 0, ki vsebuje samo spremenljivko z, kar pomeni, da smo eliminirali x in y iz sistema enačb. • Razširitveni korak. Ko smo določili rešitve enačbe g 1 = z 4 − z 3 = 0, smo razširili te rešitve do rešitev originalnega sistema. Zgoraj omenjena koraka sta ključna pri teoriji eliminacijskih idealov. Opazimo, da lahko izjavo, ki smo jo navedli pri eliminacijskem koraku zapišemo kot g 1 = I ∩ C[ z] , kjer je I ideal iz (1.12). V bistvu I ∩ C[ z] sestoji iz vseh takšnih polinomov Gröbnerjeve baze ideala I, ki eliminirajo x in y. Ta ideja privede do naslednje definicije. Definicija 1.3.1 Naj bo I ⊂ k[ x 1 , . . . , xn] ideal (z implicitno urejenostjo spremenljivk x 1 > · · · > xn) in fiksirajmo ℓ ∈ { 0 , 1 , . . . , n− 1 }. ℓ-ti eliminacijski ideal ideala I je ideal v k[ xℓ+1 , . . . , xn] , definiran z Iℓ = I ∩ k[ xℓ+1 , . . . , xn] . Ideal Iℓ sestoji iz vseh takih polinomov Gröbnerjeve baze ideala I, iz katerih so eliminirane spremenljivke x 1 , . . . , xℓ. Opazimo, da različne urejenosti spremenljivk dajo različne elimina- cijske ideale. Vidimo, da eliminacija spremenljivk x 1 , . . . , xℓ pomeni najti neničelne polinome ℓ-tega eliminacijskega ideala Iℓ. Naslednji izrek nam poda rešitev eliminacijskega koraka, torej sistematični postopek za iskanje generatorjev ideala Iℓ. Izrek 1.3.2 (Eliminacijski izrek) Naj bo I ⊂ k[ x 1 , . . . , xn] ideal in G Gröbnerjeva baza ideala I pridobljena z leksikografsko urejenostjo, upoˇ stevajoˇ c x 1 > · · · > xn. Potem je Gℓ = G ∩ k[ xℓ+1 , . . . , xn] Gr¨ obnerjeva baza ℓ-tega eliminacijskega ideala Iℓ za vsak 0 ≤ ℓ ≤ n − 1 . Dokaz. Fiksiramo ℓ ∈ { 0 , . . . , n− 1 }. Ker je Gℓ ⊂ Iℓ, je po izreku 1.2.15 množica Gℓ Gröbnerjeva baza ideala Iℓ natanko tedaj, ko je ⟨LT ( Gℓ) ⟩ = ⟨LT ( Iℓ) ⟩. Inkluzija ⟨LT ( Gℓ) ⟩ ⊂ ⟨LT ( Iℓ) ⟩ je očitna, za dokaz obratne inkluzije, ⟨LT ( Iℓ) ⟩ ⊂ ⟨LT ( Gℓ) ⟩, pa moramo pokazati, da iz f ∈ Iℓ sledi, da je LT ( f ) linearna kombinacija vodilnih členov polinomov iz Gℓ. Ker delamo z monomi, bo to veljalo natanko tedaj, ko bo LT ( f ) deljiv z LT ( g) za neki g ∈ Gℓ. Najprej opazimo, da tudi f prav tako leži v I, kar pomeni, da je LT ( f ) deljiv z LT ( g) za neki g ∈ G, saj je G 18 1 Polinomski ideali in afine raznoterosti Gröbnerjeva baza ideala I. Ker je f ∈ Iℓ, LT ( g) vsebuje samo spremenljivke xℓ+1 , · · · , xn. Ker uporabljamo leksikografsko urejenost z ureditvijo spremenljivk x 1 > · · · > xn, je vsak monom, ki vsebuje x 1 , . . . , xℓ, večji od monomov v k[ xℓ+1 , . . . , xn]. To pomeni, da je g ∈ Gℓ in dokaz je zaključen. Nadalje obravnavajmo razširitveni korak. Recimo, da imamo ideal I = ⟨f 1 , . . . , fs⟩ ⊂ k[ x 1 , . . . , xn] in njegovo afino raznoterost V( I). Da bi opisali točke raznoterosti V( I), zgra- dimo rešitve postopoma koordinato za koordinato. Fiksiramo ℓ ∈ { 0 , . . . , n − 1 } in naj bo Iℓ ℓ-ti eliminacijski ideal ideala I. Rešitev ( aℓ+1 , . . . , an) ∈ V( Iℓ) se imenuje delna rešitev sistema enačb f 1 = · · · = fs = 0. Da bi delno rešitev ( aℓ+1 , . . . , an) razširili do celotne rešitve v raznoterosti V( I), ji moramo najprej dodati eno kordinato. To pomeni, da moramo najti tak aℓ, da bo ( aℓ, aℓ+1 , . . . , an) ∈ V( Iℓ− 1). Natančneje, recimo, da je Iℓ− 1 = ⟨g 1 , . . . , gt⟩ ⊂ k[ xℓ, xℓ+1 , . . . , xn], potem želimo najti rešitev xℓ = aℓ enačb g 1( xℓ, aℓ+1 , . . . , an) = · · · = gt( xℓ, aℓ+1 , . . . , an) = 0 . Zadnje enačbe pomenijo, da imamo polinome ene spremenljivke in sledi, da so rešitve aℓ samo ničle največjega skupnega delitelja polinomov g 1 , . . . , gt. Problem pa lahko nastopi, če ti polinomi nimajo skupnih ničel, t. j. lahko imamo delne rešitve, ki jih ne moremo razširiti do rešitev originalnega sistema. Kot preprost primer obravnavajmo enačbe xy = 1 , xz = 2 , xw = 3 . (1.13) Iščemo rešitve oblike ( x, y, z, w) ∈ C4. Če tvorimo ideal I = ⟨xy− 1 , xz− 2 , xw− 3 ⟩ in eliminiramo x, dobimo polinoma 3 z − 2 w in 3 y −w, ki sta generatorja prvega eliminacijskega ideala I 1. Delne rešitve so tako podane z vektorjem ( a, 2 a, 3 a) in vse, razen (0 , 0 , 0), lahko razširimo do celotne rešitve (1 /a, a, 2 a, 3 a). Želimo vedeti, katere delne rešitve lahko razširimo do celotne rešitve sistema. Osredotočimo se najprej na primer, kjer eliminiramo samo prvo spremenljivko x 1. Naslednji izrek odgovori na vprašanje, ali delno rešitev ( a 2 , . . . , an) ∈ V( I 1) lahko raširimo do celotne rešitve ( a 1 , a 2 , . . . , an) ∈ V( I). Izrek 1.3.3 (Razˇ siritveni izrek) Naj bo I = ⟨f 1 , . . . , fs⟩ ⊂ C[ x 1 , . . . , xn] in I 1 prvi elimina- cijski ideal ideala I. Za vsak 1 ≤ i ≤ s zapišimo fi v obliki fi = gi( x 2 , . . . , xn) xNi + členi, kjer ima x 1 1 stopnjo < Ni, kjer je Ni ∈ N0 in gi ∈ C[ x 2 , . . . , xn] \{ 0 }. Recimo, da imamo delno rešitev ( a 2 , . . . , an) ∈ V( I 1) . ˇ Ce ( a 2 , . . . , an) / ∈ V( g 1 , . . . , gs) , obstaja tak a 1 ∈ C , da je ( a 1 , a 2 , . . . , an) ∈ V( I) . Dokaz tega izreka poteka z uporabo rezultant in ga tukaj izpustimo. Za več informacij glej [27]. V nadaljevanju poglejmo še nekaj posledic razširitvenega izreka. Opazimo, da izrek velja samo za polje k = C. Da bi videli, zakaj je to pomembno, predpo- stavimo, da je k = R in obravnavajmo sistem enačb x 2 = 3 y, x 2 = 2 z, x 2 = w. (1.14) Če eliminiramo spremenljivko x, dobimo 3 y = 2 z = w, kar nam da delno rešitev (2 a, 3 a, 6 a) za vsak a ∈ R. Ker so vsi vodilni koeficienti v polinomih x 2 − 3 y, x 2 − 2 z, x 2 − w enaki 1 ̸= 0, nam razširitveni izrek zagotovi, da lahko vsako delno rešitev (2 a, 3 a, 6 a) razširimo, če delamo 1.3 Osnove eliminacijskih idealov 19 nad C. V R je situacija drugačna, saj enačbe x 2 = 3 a, x 2 = 2 a, x 2 = a nimajo realnih rešitev, če je a negativen in tako se do celotne rešitve sistema (1.14) razširijo samo tiste delne rešitve (2 a, 3 a, 6 a), kjer je a ≥ 0. S tem smo pokazali, da razširitveni izrek ne velja za k = R. Če pogledamo zadnji del razširitvenega izreka: ( a 2 , . . . , an) / ∈ V( g 1 , . . . , gs), vidimo, da so gi vodilni koeficienti glede na x 1 polinomov fi. Tako bi ( a 2 , . . . , an) ∈ V( g 1 , . . . , gs) pomenilo, da v delni rešitvi vsi vodilni koeficienti niso ničelni. Da bi videli, zakaj je to pomembno, si poglejmo enačbe (1.13). Te enačbe imajo delne rešitve ( y, z, w) = ( a, 2 a, 3 a). Edina rešitev, ki se ne razširi do celotne rešitve sistema (1.14), je (0 , 0 , 0) in ta je tista delna rešitev, v kateri so vsi vodilni koeficienti ( y, z in w) polinomov tega sistema enaki nič. Razširitveni izrek pove, da se razširitev lahko zgodi samo, če vsi vodilni koeficienti niso hkrati enaki nič. Čeprav razširitveni izrek navaja samo primer, ko eliminiramo prvo spremenljivko x 1, ga lahko uporabimo (induktivno) tudi, ko eliminiramo poljubno število spremenljivk. Na primer, obravnavajmo enačbi x 2 + y 2 + z 2 = 1 (1.15) xyz = 1 . Gröbnerjeva baza ideala I = ⟨x 2 + y 2 + z 2 − 1 , xyz − 1 ⟩ glede na leksikografsko urejenost je g 1 = y 4 z 2 + y 2 z 4 − y 2 z 2 + 1 g 2 = x + y 3 z + yz 3 − yz. Po eliminacijskem izreku je I 1 = I ∩ C[ y, z] = ⟨g 1 ⟩ I 2 = I ∩ C[ z] = ⟨ 0 ⟩. Ker je I 2 = ⟨ 0 ⟩, je V( I 2) = C in zato je vsak c ∈ C delna rešitev. Ideja je razširiti c postopoma, koordinato za koordinato, do rešitve sistema (1.15): najprej do ( b, c) in nato do ( a, b, c). Tako lahko s pomočjo razširitvenega izreka na vsakem koraku nadziramo, katere delne rešitve se dajo razširiti. Glavna ideja pa je, da je I 2 prvi eliminacijski ideal ideala I 1 in zato bomo s pomočjo razširitvenega izreka prešli iz c ∈ V( I 2) do ( b, c) ∈ V( I 1) in od tod do ( a, b, c) ∈ V( I). Da bi prišli od I 2 do I 1, opazimo, da je vodilni koeficient pred y 4 v g 1 enak z 2 in zato lahko delno rešitev c ∈ C razširimo do ( b, c), če c ̸= 0. Prav tako vidimo, da enačba g 1 = 0 nima rešitve, če je c = 0. Naslednji korak je od I 1 do I, kar pomeni, da najdemo tak a ∈ C, da je ( a, b, c) ∈ V( I). Če vstavimo ( y, z) = ( b, c) v (1.15), dobimo dve enačbi, odvisni od spremenljivke x in ni očitno, da imata skupno rešitev x = a. Prav tukaj razširitveni izrek pokaže svojo moč. Vodilni koeficient v prvi enačbi je 1 in v drugi enačbi yz. Ker je 1 ̸= 0, nam razširitveni izrek zagotovi, da tak a vedno obstaja in smo tako dokazali, da lahko vse delne rešitve c ̸= 0 razširimo do V( I). Posebni primer razširitvenega izreka je, ko je vodilni koeficient vsaj enega polinoma fi ∈ I = ⟨f 1 , . . . , fs⟩ konstanten. Takrat razširitveni izrek postane enostavnejši in ga lahko zapisemo na naslednji način. Posledica 1.3.4 Naj bo I = ⟨f 1 , . . . , fs⟩ ⊂ C[ x 1 , . . . , xn] in I 1 njegov prvi eliminacijski ideal. Recimo, da je za neki i ∈ { 1 , . . . , s} polinom fi oblike fi = CxN 1 + ˇ cleni, kjer ima x 1 stopnjo < N, kjer je C ∈ C \{ 0 } in N ∈ N . Potem za vsako delno rešitev ( a 2 , . . . , an) ∈ V( I 1) obstaja tak a 1 ∈ C , da velja: ( a 1 , a 2 , . . . , an) ∈ V( I) . 20 1 Polinomski ideali in afine raznoterosti Dokaz. To sledi neposredno iz razširitvenega izreka: ker je gi = C ̸= 0, je V( g 1 , . . . , gs) = ∅ in zato za vse delne rešitve velja ( a 2 , . . . , an) / ∈ V( g 1 , . . . , gs). Sedaj poglejmo še geometrijsko interpretacijo zgoraj navedenih rezultatov. Še naprej bo polje obravnave k = C. Najprej si poglejmo pojem projekcije. Preslikava πk : C n → C n−k : ( a 1 , . . . , an) 7→ ( ak+1 , . . . , an) se imenuje projekcija prostora C n na C n−k. Glavna ideja je, da eliminacija ustreza projekciji raznoterosti na nižje razsežen podprostor. Če imamo raznoterost V = V( f 1 , . . . , fs) ⊂ C n in eliminiramo prvih ℓ spremenljivk x 1 , . . . , xℓ, lahko definiramo projekcijo πℓ : C n → C n−ℓ : ( a 1 , . . . , an) 7→ ( aℓ+1 , . . . , an) in jo povežemo z ℓ-tim eliminacijskim idealom na naslednji način. Vzemimo polinom f ∈ Iℓ. Če je ( a 1 , . . . , an) ∈ V , je f ( a 1 , . . . , an) = 0, saj je f ∈ ⟨f 1 , . . . , fs⟩. Toda f je odvisen samo od spremenljivk xℓ+1 , . . . , xn in zato je f ( aℓ+1 , . . . , an) = f ( πℓ( a 1 , . . . , an)) = 0 . To dokazuje, da je f = 0 za vse točke πℓ( V ). S tem smo pokazali, da v prostoru C n−ℓ velja inkluzija πℓ( V ) ⊂ V( Iℓ) . S pomočjo te inkluzije lahko πℓ( V ) zapišemo kot πℓ( V ) = {( aℓ+1 , . . . , an) ∈ V( Iℓ) : ∃ a 1 , . . . , aℓ ∈ C in ( a 1 , . . . , aℓ, aℓ+1 , . . . , an) ∈ V }. Tako πℓ( V ) sestoji iz natanko tistih delnih rešitev, ki jih lahko razširimo do celotne rešitve. Recimo, da obravnavamo raznoterost, definirano z enačbami (1.13). Opazimo, da je V( I 1) presek ravnin 3 y − w = 0 in 3 z − 2 w = 0 v 3-razsežnem prostoru s koordinatami ( y, z, w) in, da je π 1( V ) = {( a, 2 a, 3 a) ∈ C3 : a ̸= 0 }. Ker (0 , 0 , 0) / ∈ π 1( V ), π 1( V ) ni afina raznoterost. Ta primer dobro ilustrira kaj se dejansko zgodi pri eliminaciji ene spremenljivke. Z geometrijskega vidika razširitveni izrek pove naslednje. Podana je raznoterost V = V( f 1 , . . . , fs) ∈ C n in naj bodo gi kot v razširitvenem izreku. Če je I 1 prvi eliminacijski ideal ideala ⟨f 1 , . . . , fs⟩, potem v C n− 1 velja enakost V( I 1) = π 1( V ) ∪ (V( g 1 , . . . , gs) ∩ V( I 1)) , kjer je π 1 : C n → C n− 1 projekcija na zadnjih n − 1 komponent. To pomeni, da π 1( V ) napolni celotno afino raznoterost V( I 1) razen mogoče za tisti del, ki leži v V( g 1 , . . . , gs). Na žalost v splošnem ne vemo, kako velik del raznoterosti leži v V( g 1 , . . . , gs), in včasih je lahko zelo velik. Naslednji izrek natačneje opiše zvezo med πℓ( V ) in V( Iℓ). Dokaz glej v [27, Pog. 2, § 2]. Izrek 1.3.5 (Izrek zaprtja) Naj bo V = V( f 1 , . . . , fs) afina raznoterost v C n in Iℓ ℓ-ti elimi- nacijski ideal ideala ⟨f 1 , . . . , fs⟩. Potem veljata naslednji trditvi: 1.4 Korenski ideali 21 (i) V( Iℓ) je najmanjša afina raznoterost, ki vsebuje πℓ( V ) ⊂ C n−ℓ. (ii) ˇ Ce je V ̸= ∅, obstaja afina raznoterost W $ V( Iℓ) , za katero velja: V( Iℓ) \W ⊂ πℓ( V ) . Zgoraj smo videli (posledica 1.3.4), da je razširitveni izrek preprostejši, ko je vsaj eden od vodilnih koeficientov polinomov gi neničelna konstanta. Takrat polinomi gi niso vsi ničelni v točki ( a 2 , . . . , an) in posledično lahko vse delne rešitve razširimo do rešitve originalnega sistema. Tako imamo geometrijsko različico posledice 1.3.4. Posledica 1.3.6 Naj bo V = V( f 1 , . . . , fs) ⊂ C n in predpostavimo, da je za neki i ∈ { 1 , . . . , s} polinom fi oblike fi = CxN · · · 1 + c( α) xα 1 xα 2 xαn 1 2 n , kjer je ( α) = ( α 1 , α 2 , . . . , αn) in α 1 < N in C ∈ C \{ 0 }, c( α) ∈ C in N ∈ N . ˇ Ce je I 1 prvi eliminacijski ideal ideala I, potem v C n− 1 velja: π 1( V ) = V( I 1) , kjer je π 1 projekcija na zadnjih n − 1 komponent. Razširitveni izrek in izrek zaprtja ter vsi rezultati povezani z njima so bili navedeni za polje kompleksnih števil C. V bistvu pa vsi ti rezultati veljajo za katerokoli algebraično zaprto polje k (glej [27, Pog. 4 in 5]). 1.4 Korenski ideali V tem razdelku se seznanimo s pomembnim rezultatom, ki natančno določa, kateri ideali ustre- zajo raznoterostim, kar omogoča razumevanje zveze med geometrijo in algebro, da bo katerakoli izjava o raznoterostih lahko prevedena v izjavo o idealih in obratno. S pomočjo opisane teorije bomo v naslednjem razdelku definirali nekaj algebraičnih operacij na idealih in razložili njihove geometrijske analogije ter se seznanili z najpomembnejšimi algebraičnimi in geometrijskimi kon- cepti, ki izhajajo iz Hilbertovega izreka o bazi (izrek 1.1.3): zlasti o možnosti dekompozicije raznoterosti na unijo preprostejših raznoterosti in o ustreznem algebraičnem pojmovanju ideala kot preseka preprostejših idealov. V razdelku 1.1 (definicija 1.1.5) smo videli, da lahko raznoterost V ⊂ kn obravnavamo s pomočjo ideala I( V ) = {f ∈ k[ x 1 , . . . , xn] : f ( a 1 , . . . , an) = 0 za vse ( a 1 , . . . , an) ∈ V }, polinomov f , ki imajo ničelno vrednost na V . Torej imamo preslikavo: afine raznoterosti −→ ideali V I( V ) Obratno, če imamo podan ideal I ⊂ k[ x 1 , . . . , xn], lahko definiramo množico V( I) = {( a 1 , . . . , an) ∈ kn : f ( a 1 , . . . , an) = 0 za vse f ∈ I}. Hilbertov izrek o bazi zagotavlja, da je V( I) dejansko afina raznoterost, saj obstaja končna množica polinomov f 1 , . . . , fs ∈ I, da je I = ⟨f 1 , . . . , fs⟩ in je V( I) množica skupnih ničel omenjenih polinomov. Tako imamo preslikavo: 22 1 Polinomski ideali in afine raznoterosti ideali −→ afine raznoterosti I V( I) Ti dve preslikavi podata zvezo med ideali in raznoterostmi, katere naravo bomo raziskali v tem in naslednjem razdelku. Najprej opazimo, da preslikava V ni bijektivna, saj lahko različni ideali definirajo enako raznoterost. Na primer, ⟨x⟩ in ⟨x 2 ⟩ sta različna ideala v k[ x] z enako raznoterostjo V( x) = V( x 2) = { 0 }. Resnejši problem nastopi tudi, če polje k ni algebraično zaprto. Polinoma 1 + x 2 + y 2 in 1 + x 4 + y 4 iz R[ x, y] generirata različna ideala, I 1 = ⟨ 1 + x 2 + y 2 ⟩, I 2 = ⟨ 1 + x 4 + y 4 ⟩, in noben od njiju nima realnih ničel, zato sta ustrezni raznoterosti prazni množici: V( I 1) = V( I 2) = ∅. Porodi se vprašanje, če je problem različnih idealov z enako prazno raznoterostjo vedno povezan z algebraično zaprtostjo polja k? Odgovor je pritrdilen, če smo v kolobarju polinomov ene spremenljivke k[ x]. Vzrok je v tem, ker je vsak ideal I ⊂ k[ x] generiran z enim polinomom (glej razdelek 1.1). Torej lahko vsak ideal I ∈ k[ x] zapišemo kot I = ⟨f ⟩ za neki polinom f ∈ k[ x] in je zato V( I) množica ničel polinoma f , t. j. množica takšnih točk a ∈ k, kjer je f ( a) = 0. Ampak, ker je k algebraično zaprto polje, ima vsak nekonstantni polinom iz k[ x] ničlo v k. Zato je V ( I) = ∅ samo, če je f neničelni konstantni polinom. V tem primeru pa je 1 /f ∈ k in je zato 1 = (1 /f ) · f ∈ I, kar pa pomeni, da je g = g · 1 ∈ I za vsak g ∈ k[ x]. S tem smo pokazali, da je I = k[ x] edini ideal v k[ x], ki porodi prazno raznoterost, če je polje k algebraično zaprto. Toda enaka lastnost velja v kolobarju polinomov več spremenljivk. V kateremkoli poli- nomskem kolobarju je algebraična zaprtost polja dovolj, da je edini ideal, ki definira prazno raznoterost, cel polinomski kolobar. Ta rezultat predstavlja enega največjih dosežkov poznega 19. stoletja in se imenuje šibki Hilbertov izrek o ničlah. 3 Izrek 1.4.1 (ˇ Sibki Hilbertov izrek o niˇ clah) Naj bo k algebraiˇ cno zaprto polje in I ⊂ k[ x 1 , . . . , xn] ideal, ki zadošča V( I) = ∅. Potem je I = k[ x 1 , . . . , xn] . Dokaz. S podobnim razmislekom, kot zgoraj iz 1 ∈ I sledi I = k[ x 1 , . . . , xn]. Dokaz zgradimo induktivno. Osnova indukcije je zgornji rezultat v k[ x]. Sedaj predpostavimo, da enakost velja za n − 1 spremenljivk x 2 , . . . , xn. Vzemimo katerikoli ideal I = ⟨f 1 , . . . , fs⟩ ⊂ k[ x 1 , . . . , xn], za katerega velja V( I) = ∅. Predpostavimo, da f 1 ni konstanten polinom, sicer nimamo ničesar za dokazovati. Recimo, da je stopnja polinoma f 1 enaka N . Sedaj izvedemo spremembo koordinat na naslednji način: x 1 = y 1 x 2 = y 2 + α 2 y 1 . (1.16) .. xn = yn + αny 1 , 3 Še danes običajno (tudi v angleški literaturi) za Hilbertove izreke o ničlah uporabljamo originalno nemško ime Hilbertov Nullstellensatz. 1.4 Korenski ideali 23 kjer so αi konstante iz k. Če vstavimo te nove spremenljivke v f 1, dobi le-ta obliko f 1( x 1 , . . . , xn) = f 1( y 1 , y 2 + α 2 y 1 , . . . , yn + αny 1) = p( α 2 , . . . , αn) yN 1 + členi, kjer ima y 1 stopnjo < N. Ker je p( α 2 , . . . , αn) neničelni polinom in ker vemo, da je vsako algebraično zaprto polje ne- skončno (glej [27]), lahko izberemo α 2 , . . . , αn tako, da je p( α 2 , . . . , αn) ̸= 0 [27, Pog. 1, § 1]. S takšno izbiro α 2 , . . . , αn in spremembo koordinat (1.16) vsak polinom f ∈ k[ x 1 , . . . , xn] postane polinom g ∈ k[ y 1 , . . . , yn]. Hitro lahko preverimo, da je množica J = {g : f ∈ I} ideal v k[ y 1 , . . . , yn]. Opazimo tudi, da je V( J) = ∅, sicer bi transformirane enačbe imele rešitev in posledično bi jo imele tudi originalne. Še več, če lahko pokažemo, da je 1 ∈ J, potem bo 1 ∈ I, saj sprememba koordinat (1.16) ne vpliva na konstante. Zato je dovolj pokazati, da je 1 ∈ J. V prejšnjem odstavku smo navedli, da se f 1 ∈ I spremeni v g 1 ∈ J z lastnostjo g 1( y 1 , . . . , yn) = p( α 2 , . . . , αn) yN 1 + členi, kjer ima y 1 stopnjo < N, kjer je p( α 2 , . . . , αn) ̸= 0. To nam omogoča, da uporabimo posledico 1.3.6, ki poveže V( J) z njeno projekcijo na podprostor prostora kn s koordinatami y 2 , . . . , yn. Razširitveni izrek (izrek 1.3.3) in njegove posledice veljajo nad poljubnim algebraično zaprtim poljem. Naj bo Π : kn → kn− 1 projekcija na zadnjih n − 1 komponent. Če označimo z J 1, kot običajno, prvi eliminacijski ideal ideala J , t. j. J 1 = J ∩ k[ y 2 , . . . , yn], posledica pravi, da lahko delne rešitve razširimo, t. j. V( J 1) = Π(V( J)) . To pa pomeni, da je V( J 1) = Π(V( J)) = Π( ∅) = ∅. Po indukcijski predpostavki potem velja, da je J 1 = k[ y 2 , . . . , yn]. Zato je 1 ∈ J 1 ⊂ J in dokaz je končan. Šibki Hilbertov izrek o ničlah poskrbi za metodo, s katero preverimo ali ima dan polinomski sistem oblike (1.1) rešitev nad poljem k. Dovolj je izračunati reducirano Gröbnerjevo bazo G ideala ⟨f 1 , . . . , fs⟩, glede na katerokoli urejenost členov, in polinomski sistem (1.1) nima rešitve nad k natanko tedaj, ko je G = { 1 }. Če nas zanima rešitev sistema (1.1) nad poljem k, ki ni algebraično zaprto, velja naslednje: če je { 1 } reducirana Gröbnerjeva baza ideala ⟨f 1 , . . . , fs⟩, sistem (1.1) nima rešitve. Obrat ni nujno resničen. Na primer, če ni rešitve v R n, ni nujno, da tudi v C n ni rešitve. V posebnem primeru, ko je k = C, je lahko šibki Hilbertov izrek o ničlah mišljen kot “fun- damentalni izrek algebre za polinome več spremenljivk”: vsak sistem polinomov, ki generira netrivialen ideal I ⊂ C[ x 1 , . . . , xn], ima skupno ničlo v C n. Če sedaj sklepamo po šibkem Hilbertovem izreku o ničlah, bi lahko pričakovali, da je za bijektivnost preslikav med ideali in raznoterostmi potrebna samo algebraična zaprtost polja k. Da to ne drži, vidimo iz preprostega primera. Ideala ⟨x 2 , y⟩ in ⟨x, y 3 ⟩ sta različna, vendar definirata isto raznoterost: točko {(0 , 0) } ⊂ k 2. Vidimo, da preslikava V ni bijektivna, glavni razlog za to pa je, da ima potenca polinoma, f m, enako množico ničel kot polinom f sam. Hilbertov izrek o ničlah pove, da je to edina možnost, ko imajo različni ideali nad algebraično zaprtimi polji lahko iste raznoterosti: če je f polinom, ki je enak nič za vse točke neke raznoterosti V( I), mora neka potenca tega polinoma pripadati idealu I. Izrek 1.4.2 (Hilbertov izrek o niˇ clah) Naj bo k algebraiˇ cno zaprto polje. ˇ Ce so polinomi f, f 1 , . . . , fs ∈ k[ x 1 , . . . , xn] takšni, da je f ∈ I(V( f 1 , . . . , fs)) , obstaja tašen m ∈ N , da velja: f m ∈ ⟨f 1 , . . . , fs⟩ 24 1 Polinomski ideali in afine raznoterosti (in obratno). Dokaz. Za dan polinom f , ki ima ničle v vsaki skupni ničli polinomov f 1 , . . . , fs, moramo pokazati, da obstaja tak m ∈ N in polinomi g 1 , . . . , gs ∈ k[ x 1 , . . . , xn], da velja: s ∑ f m = gifi. i=1 Najbolj direkten dokaz temelji na naslednjem “triku”. Obravnavajmo ideal J = ⟨f 1 , . . . , fs, 1 − wf ⟩ ⊂ k[ x 1 , . . . , xn, w] . Trdimo, da je V( J ) = ∅. Naj bo ( a 1 , . . . , an, an+1) ∈ kn+1. Imamo dve možnosti: • bodisi je ( a 1 , . . . , an) skupna ničla polinomov f 1 , . . . , fs • bodisi ( a 1 , . . . , an) ni skupna ničla polinomov f 1 , . . . , fs. V prvem primeru je f ( a 1 , . . . , an) = 0, ker je skupna ničla polinomov f 1 , . . . , fs tudi ničla polinoma f . Zato polinom 1 − wf zavzame vrednost 1 − an+1 f ( a 1 , . . . , an) = 1 ̸= 0 v točki ( a 1 , . . . , an, an+1) in zato ( a 1 , . . . , an, an+1) / ∈ V( J) . V drugem primeru mora obstajati najmanj en tak i, za katerega je fi( a 1 , . . . , an) ̸= 0. Če gledamo na fi kot na funkcijo n + 1 spremenljivk, ki ni odvisna od zadnje spremenljivke, je fi( a 1 , . . . , an, an+1) ̸= 0 in ponovno zaključimo, da ( a 1 , . . . , an, an+1) / ∈ V( J). Ker je ( a 1 , . . . , an, an+1) poljubna točka prostora kn+1, sledi, da je V( J ) = ∅. Iz šibkega Hilbertovega izrek o ničlah sledi, da je 1 ∈ J. Tako velja: s ∑ 1 = pi( x 1 , . . . , xn, w) · fi + q( x 1 , . . . , xn, w)(1 − wf ) , (1.17) i=1 kjer so pi, q polinomi kolobarja k[ x 1 , . . . , xn, w]. Naj bo (neodvisna) spremenljivka w enaka w = 1 /f ( x 1 , . . . , xn). Potem enačba (3.38) postane s ∑ 1 = pi( x 1 , . . . , xn, 1 /f ) · fi. (1.18) i=1 Če obe strani enačbe (3.39) množimo s f m, kjer je m dovolj veliko naravno število, se znebimo imenovalcev na desni strani enačbe in dobimo s ∑ f m = gi( x 1 , . . . , xn) · fi, (1.19) i=1 kjer je gi ∈ k[ x 1 , . . . , xn]. Nadalje se vprašamo, če lahko opišemo ideale, ki se lahko pojavijo kot ideali nekih raznote- rosti oz. z drugimi besedami, če lahko določimo tiste ideale, ki sestojijo iz vseh polinomov, ki so ničelni na neki raznoterosti V . V ta namen si najprej poglejmo naslednjo lemo. Lema 1.4.3 Naj bo V raznoterost. ˇ Ce je f m ∈ I( V ) , je tudi f ∈ I( V ) . 1.4 Korenski ideali 25 Dokaz. Naj bo ( a 1 , . . . , an) ∈ V . Če je f m ∈ I( V ), je [ f ( a 1 , . . . , an)] m = 0. Potem je tudi f ( a 1 , . . . , an) = 0. Ker je ( a 1 , . . . , an) poljuben element raznoterosti V , je tudi f ∈ I( V ). Zato ima ideal, ki sestoji iz vseh polinomov, ki so ničelni na vseh točkah iz raznoterosti V , lastnost, da če neka potenca polinoma pripada idealu, tudi sam polinom pripada istemu idealu. To nas pripelje do naslednje definicije. Definicija 1.4.4 Ideal I je korenski (ali tudi radikalni), ˇ ce iz f m ∈ I za neki m ∈ N sledi, da je f ∈ I. Opazimo, da je zaradi leme 1.4.3 ideal I( V ) vedno korenski. V smislu zgornje definicije vidimo, da Hilbertov izrek o ničlah pove, da je edini način, da neki ideal vsebuje polinome, ki so ničelni na vseh točkah raznoterosti V( I), da I vsebuje potence polinomov, ki sami niso v I ali drugače, da I ni korenski ideal. Preden nadaljujemo, se seznanimo s pojmom korena ideala. Definicija 1.4.5 Naj bo I ⊂ k[ x 1 , . . . , xn] ideal. Koren (ali tudi radikal) ideala I, ki ga √ oznaˇ cimo s I, je mnoˇ zica √I = {f ∈ k[ x 1 ,...,xn] : obstaja takšen m ∈ N , da je fm ∈ I}. √ √ Opazimo, da vedno velja I ⊂ I, saj f ∈ I pomeni, da f 1 ∈ I in zato po definiciji f ∈ I. √ Prav tako ni težko pokazati, da je ideal I korenski natanko tedaj, ko je I = I. Vzemimo sedaj √ √ poljuben ideal I in njegov koren I. Recimo, da sta f, g ∈ I. Potem obstajata naravni števili m in p, za kateri je f m, gp ∈ I. V binomski razširitvi izraza ( f + g) m+ p− 1 ima vsak člen faktor f igj z i + j = m + p − 1. Ker je bodisi i ≥ m ali j ≥ p, je bodisi f i ∈ I ali gj ∈ I in zato je f igj ∈ I. Posledično je vsak člen binomske razširitve v I. Zato je ( f + g) m+ p− 1 ∈ I in sledi, da √ √ je f + g ∈ I. Sedaj predpostavimo, da je f ∈ I in h ∈ k[ x 1 , . . . , xn]. Potem je f m ∈ I za √ neki n ∈ N. Ker je I ideal, velja ( h · f ) m = hm · f m ∈ I in zato je h · f ∈ I. Tako smo pokazali, √ √ če je I ideal, je tudi njegov koren I ideal. Hitro lahko pokažemo tudi, da je I korenski ideal √ in, da ideala I in I definirata isto raznoterost: √ V( I) = V( I) . (1.20) S pomočjo zgoraj opisanega lahko Hilbertov izrek o ničlah zapišemo v nekoliko drugačni obliki, ki pove, da če je poljuben polinom ničelen na vseh točkah raznoterosti V( I) ⊂ kn in je k √ algebraično zaprto polje, je f ∈ I. Izrek 1.4.6 (Krepki Hilbertov izrek o niˇ clah) Naj bo k algebraiˇ cno zaprto polje in I ⊂ k[ x 1 , . . . , xn] ideal. Potem velja: √I = I(V( I)) . √ √ Dokaz. Zagotovo je I ⊂ I(V( I)), saj f ∈ I implicira f m ∈ I za neki m ∈ N. Ker je f m ničelen na V( I), je tudi f enak nič na V( I). Zato je f ∈ I(V( I)). Da bi dokazali obratno inkluzijo, predpostavimo, da je f ∈ I(V( I)). Od tod sledi, da je f = 0 na V( I) in po Hilbertovem izreku o ničlah obstaja tak m ∈ N, da je f m ∈ I. To pa √ √ pomeni, da je f ∈ I in ker je polinom f poljuben, velja I(V( I)) ⊂ I. Glavna posledica Hilbertovega izreka o ničlah je dopolnitev zveze med geometrijo in algebro oz. med raznoterostmi in ideali. Trditev 1.4.7 Naj bo k poljubno polje. Potem velja: 26 1 Polinomski ideali in afine raznoterosti 1. Za preslikavi I: afine raznoterosti −→ ideali in V: ideali −→ afine raznoterosti velja: • če sta I in J ideala, za katera velja I ⊂ J, je V( J) ⊂ V( I) , • če sta V in W raznoterosti z lastnostjo V ⊂ W , je I( W ) ⊂ I( V ) , • za poljubno raznoterost V je V( I( V )) = V, kar pomeni, da je I vedno bijektivna preslikava. 2. ˇ Ce je k algebraiˇ cno zaprto polje in ˇ ce se osredotoˇ cimo samo na korenske ideale, sta presli- kavi I: afine raznoterosti −→ korenski ideali in V: korenski ideali −→ afine raznoterosti bijekciji in sta druga drugi inverzni. V tem primeru velja enakost I( V( I)) = I. Za dokaz zgornje trditve glej [27]. Zgornja trditev torej pove, da je preslikava V med ideali in afinimi raznoterostmi bijektivna samo, če so domena preslikave korenski ideali. Zato je koncept korena pomemben, saj v primeru, ko je k = C, popolnoma opiše, kdaj ideala določata enako afino raznoterost. Trditev 1.4.8 Ideala I, J ∈ C[ x 1 , . . . , xn] določata enako afino raznoterost natanko tedaj, ko sta pripadajoˇ ca korena enaka: √ √ V( I) = V( J ) ⇔ I = J . √ √ √ √ Dokaz. Če je V( I) = V( J ), iz (1.20) sledi V( I) = V( J ) in po trditvi 1.4.7 je I = J . √ √ √ √ Obratno, če je I = J , je V( I) = V( J ) in iz (1.20) sledi V( I) = V( J ). V smislu krepkega Hilbertovega izreka o ničlah se naravno pojavi vprašanje, ali je neki polinom element korena nekega ideala. To je t. i. problem pripadnosti korenu, ki ga formuliramo na naslednji način. √ Problem pripadnosti korenu. Naj bo I ⊂ k[ x 1 , . . . , xn] ideal, I njegov koren √ in f ∈ k[ x 1 , . . . , xn]. Odločiti želimo, ali je f element korena I. 1.5 Operacije na idealih in raznoterostih 27 √ Ena možnost, kako preveriti, ali je f ∈ I, je uporaba algoritma za problem pripadnosti idealu (glej razdelek 1.2), s katerim preverimo, če je neka potenca tega polinoma ( f m, m ∈ N) v idealu I. Vendar pa je ta način zelo zamuden, saj je število m lahko zelo veliko in v primeru, da √ f / ∈ I takega naravnega števila m ne najdemo (čeprav ga lahko dolgo iščemo). Na srečo smo √ že v dokazu Hilbertovega izreka o ničlah (izrek 1.4.2) podali algoritem, ki pove ali je f ∈ I, kjer je I = ⟨f 1 , . . . , fs⟩. Iz enačb (3.38), (3.39) in (3.40) sledi: če je 1 ∈ J = ⟨ 1 − wf, f 1 , . . . , fs⟩, √ √ je f m ∈ I za neki m ∈ N, kar pomeni, da je f ∈ I. Poglejmo z druge strani: če je f ∈ I, je za neki m ∈ N polinom f m ∈ I ⊂ J. Velja pa tudi, da je 1 − wf ∈ J in zato 1 = wmf m + (1 − wmf m) = wmf m + (1 − wf )(1 + wf + · · · + wm− 1 f m− 1) ∈ J. Tako smo dobili rešitev problema pripadnosti korenu. Problem pripadnosti korenu - reˇ sitev. Za poljuben polinom f ∈ k[ x 1 , . . . , xn] √ in ideal I = ⟨f 1 , . . . , fs⟩ ⊂ k[ x 1 , . . . , xn] je f ∈ I natanko tedaj, ko 1 ∈ J = ⟨ 1 − wf, f 1 , . . . , fs⟩ oz. z drugimi besedami: J = k[ x 1 , . . . , xn, w]. S tem smo dobili algoritem za preverjanje, ali je dan polinom f v korenu ideala I = ⟨f 1 , . . . , fs⟩. Najprej tvorimo ideal J = ⟨ 1 − wf, f 1 , . . . , fs⟩, kjer je w nova spremenljivka, nato izračunamo √ √ reducirano Gröbnerjevo bazo tega ideala in če je le-ta enaka { 1 }, je f ∈ I, sicer f / ∈ I. √ Geometrijski pomen tega, da je polinom f ∈ I, je, da je polinom f ničelen na raznoterosti V( I). V zvezi z koreni se pojavita še dve vprašanji: √ √ • Kako izračunati množico generatorjev korena I, t.j. množico {g 1 , . . . , gt}, da bo I = ⟨g 1 , . . . , gt⟩? • Kako odločiti, ali je I korenski ideal? Pri obeh vprašanjih odgovor najlažje dobimo s pomočjo računalnika. V razdelku 1.6 bomo v sistemu računske algebre Singular spoznali rutino4, ki izračuna koren ideala in rutino, ki nam omogoči, da preverimo enakost dveh idealov in v posebnem primeru enakost ideala in njegovega korena. 1.5 Operacije na idealih in raznoterostih V tem razdelku bomo najprej spoznali dve binarni operaciji na idealih - vsota in produkt idealov. Nadaljevali bomo s presekom in kvocientom dveh idealov. Hkrati se bomo seznanili tudi z zvezo med algebro in geometrijo, ki izhaja iz lastnosti idealov in raznoterosti. Nato si bomo v nadaljnih podrazdelkih pogledali še teorijo, ki se nanaša na raznoterosti: dekompozicijo raznoterosti, parametrizacijo raznoterosti in z njo povezan problem implicitizacije ter razsežnost raznoterosti. 1.5.1 Vsota, produkt, presek in kvocient idealov Vsota, I + J, idealov I in J je ideal, definiran z vsemi možnimi vsotami elementov iz obeh idealov: I + J := {f + g : f ∈ I, g ∈ J} , 4Rutina je podprogram (funkcija), ki ima točno določene vhodne in izhodne podatke. V programu Singular je to npr. minAssGTZ. 28 1 Polinomski ideali in afine raznoterosti produkt, I · J, idealov I in J je ideal, definiran z (vsemi) vsotami produktov, kjer nastopajo faktorji iz obeh idealov: I · J := {f 1 g 1 + · · · + frgr : f 1 , . . . , fr ∈ I, g 1 , . . . , gr ∈ J, r ∈ N } . Da se dokazati (glej npr. [27]), da sta v primeru, ko je I = ⟨f 1 , . . . , fk⟩ in J = ⟨g 1 , . . . , gs⟩, vsota I + J in I · J generirana tako I + J = ⟨f 1 , . . . , fk, g 1 , . . . , gs⟩ in I · J = ⟨figj : 1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ s⟩ , torej je ⟨f 1 ⟩ + · · · + ⟨fk⟩ = ⟨f 1 , . . . , fk⟩. Vsota I + J je najmanjši ideal, ki vsebuje I in J , in geometrijsko ustreza preseku raznoterosti: V ( I + J ) = V ( I) ∩ V ( J) . (1.21) Geometrijski pomen enačbe (1.21) si oglejmo na enostavnem primeru. Naj bosta I = ⟨x 2 + y 2 − z⟩ in J = ⟨z − 2 ⟩ ideala v R3. Potem I + J = ⟨x 2 + y 2 − z, z − 2 ⟩ vsebuje oba polinoma x 2 + y 2 − z in z − 2. Zato raznoterost V( I + J) = V( x 2 + y 2 − z, z − 2) sestoji iz tistih točk, kjer sta oba polinoma ničelna in to so ravno tiste točke, ki so v preseku V ( I) ∩ V ( J). ( ) Slika 1.1: Presek raznoterosti V x 2 + y 2 − z in V ( z − 2). 1.5 Operacije na idealih in raznoterostih 29 V primeru produkta idealov velja naslednja zveza med algebro in geometrijo idealov: V ( I · J) = V ( I) ∪ V ( J) . (1.22) Spoznajmo še binarno operacijo preseka idealov. Presek idealov I in J je množica I ∩ J = {f ∈ k[ x 1 , . . . , xn] : f ∈ I in f ∈ J}. Tako kot v primeru vsote in produkta idealov je tudi presek idealov I ∩ J ideal. Opazimo, da je produkt idealov vedno vsebovan v preseku idealov ( I · J ⊂ I ∩ J), saj so elementi I · J vsote polinomov oblike f · g, kjer je f ∈ I in g ∈ J. Produkt f · g pa pripada tako idealu I ( f ∈ I) kot tudi idealu J ( g ∈ J). Če obravnavamo ideala I = J = ⟨x, y⟩, je I · J = ⟨x 2 , xy, y 2 ⟩ in I ∩ J = I = J = ⟨x, y⟩. Vidimo, da je I · J lahko strogo vsebovan v I ∩ J (t. j. x ∈ I ∩ J ampak x / ∈ I · J). Če imamo podana ideala I in J , nas zanima, kako izračunati množico generatorjev preseka podanih idealov. Ta problem je veliko težji kot izračun generatorjev za vsoto in produkt idealov. Vzemimo kot primer ideal I, generiran s polinomom p = ( x − y)2( x 2 + y)4(2 x − 5 y) in ideal J, generiran s polinomom q = ( x − y)3( x 2 + y)3( x + 7 y). Presek the dveh idealov je I ∩ J = ⟨( x − y)3( x 2 + y)4(2 x − 5 y)( x + 7 y) ⟩. Ta izračun je preprost, saj imamo podano faktorizacijo polinomov p in q na ireducibilne poli- nome. V splošnem ta faktorizacija ni nujno podana, zato bi katerikoli algoritem, ki omogoča izračun preseka dveh idealov, moral imeti zmožnost, da se izogne tej omejitvi. Na srečo ob- staja trik, ki zreducira izračun preseka dveh idealov na izračun eliminacijskega ideala. Pre- den navedemo rezultat, katerega dokaz najdete v [27], vpeljimo nekaj novih oznak. Če je I ideal iz k[ x 1 , . . . , xn] in f ( t) ∈ k[ t] polinom ene spremenljivke t, potem f I označuje ideal iz k[ x 1 , . . . , xn, t], generiran s polinomi iz množice {f · h : h ∈ I}. Definicija produkta f I se razlikuje od definicije produkta idealov I · J, saj sta pri slednjem oba I in J ideala kolobarja k[ x 1 , . . . , xn] pri produktu f I pa je polinom f element kolobarja k[ t] in I ∈ k[ x 1 , . . . , xn]. V bistvu tudi ideal I ni ideal kolobarja k[ x 1 , . . . , xn, t], saj ni zaprt za množenje s t. Če želimo poudariti, da je neki polinom f ∈ k[ t] odvisen od ene spremenljivke t, pišemo f = f ( t), in če želimo poudariti, da je neki polinom h ∈ k[ x 1 , . . . , xn] odvisen od spremenljivk x 1 , . . . xn, pišemo h = h(x), kjer je x = ( x 1 , . . . , xn). Podobno, če želimo poudariti, da je polinom g odvisen od spremenljivk x 1 , . . . , xn, t, pišemo g = g(x , t). V smislu omenjenih označb je f I = f ( t) I = ⟨f ( t) h(x) : h(x) ∈ I⟩. Za primer vzemimo ideal I = ⟨x, y⟩ in polinom f ( t) = t 2. Potem ideal f ( t) I ⊂ k[ x, y, t] vsebuje t 2 x in t 2 y in ni težko videti, da sta zadnja polinoma tudi generatorja ideala f ( t) I. To je poseben primer naslednje trditve. Lema 1.5.1 ([27]) (i) ˇ Ce je I = ⟨p 1( x) , . . . , pr( x) ⟩ ⊂ k[ x 1 , . . . , xn] , je f ( t) I = ⟨f ( t) p 1( x) , . . . , f ( t) pr( x) ⟩ ⊂ k[ x 1 , . . . , xn, t] . (ii) ˇ Ce je g( x, t) ∈ f ( t) I in je a katerikoli element polja k, potem je g( x, a) ∈ I. S pomočjo zgornje leme lahko navedemo naslednji izrek, katerega dokaz lahko najdete v [27]. Naj bosta I in J ideala v k[ x 1 , . . . , xn]. Potem je I ∩ J = ( tI + (1 − t) J) ∩ k[ x 1 , . . . , xn] . Zgornji rezultat skupaj z eliminacijskim izrekom (izrek 1.3.2) poskrbi za učinkovit algoritem za izračun preseka dveh idealov, ki ga zapišemo v obliki naslednje trditve. 30 1 Polinomski ideali in afine raznoterosti Trditev 1.5.2 Naj bosta I = ⟨f 1 , . . . , fu⟩ in J = ⟨g 1 , . . . , gv⟩ ideala kolobarja k[ x 1 , . . . , xn] . Tvorimo ideal G′ = ⟨ tf 1( x) , . . . , tfu( x) , (1 − t) g 1( x) , . . . , (1 − t) gv( x) ⟩ ⊂ k[ t, x 1 , . . . , xn] in izraˇ cunajmo Gr¨ obnerjevo bazo G ideala G′ glede na leksikografsko urejenost, upoˇ stevajoˇ c t > x 1 > · · · > xn. Potem je G ∩ k[ x 1 , . . . , xn] Gröbnerjeva baza ideala I ∩ J. Kot preprosto ponazoritev zgornjega algoritma vzemimo primer, kjer izračunamo presek idealov I = ⟨x, y⟩ in J = ⟨y 2 ⟩ v Q[ x, y]. Najprej tvorimo ideal tI + (1 − t) J = ⟨tx, ty, (1 − t) y 2 ⟩ v Q[ x, y, t]. Če izračunamo Gröbnerjevo bazo tega ideala glede na leksikografsko urejenost, upoštevajoč t > x > y, dobimo množico {y 2 , tx, ty}, in po eliminacijskem izreku je Gröbnerjeva baza ideala ( tI + (1 − t) J) ∩ Q[ x, y] enaka {y 2 } in zato je I ∩ J = ⟨y 2 ⟩. Sedaj se vprašamo, katera operacija na raznoterostih ustreza operaciji preseka idealov. Naj bo x ∈ V( I) ∪ V( J). Potem je x ∈ V( I) ali x ∈ V( J). To pomeni, da bodisi f ( x) = 0 za vse f ∈ I ali f ( x) = 0 za vse f ∈ J. Zato je tudi f ( x) = 0 za vse f ∈ I ∩ J in posledično je x ∈ V( I ∩ J). Tako je V( I) ∪ V( J) ⊂ V( I ∩ J). Po drugi strani pa zaradi inkluzije I · J ⊂ I ∩ J velja V( I ∩ J) ⊂ V( I · J), in ker je V( I · J) = V( I) ∪ V( J), dobimo po formuli (1.21) še inkluzijo V( I ∩J) ⊂ V( I) ∪V( J). S tem smo pokazali, da je unija raznoterosti enaka raznoterosti preseka idealov: V( I) ∪ V( J) = V( I ∩ J) . (1.23) Vidimo, da ima presek idealov enako raznoterost kot produkt istih idealov. V duhu tega in dejstva, da je presek veliko težje izračunati kot produkt, se vprašamo, zakaj bi se sploh ukvarjali z izračunom preseka idealov. Razlog je, da se presek obnaša veliko bolje v operacijah na korenskih idealih: produkt korenskih idealov ni nujno korenski ideal, medtem ko je presek korenskih idealov vedno korenski ideal in velja [27]: √ √ √ I ∩ J = I ∩ J. Naslednja operacija, ki jo obravnavamo na idealih, je kvocient idealov. To operacijo bomo povezali z operacijo razlike raznoterosti. Če sta I in J ideala kolobarja k[ x 1 , . . . , xn], je njun kvocient ideal I : J = {f ∈ k[ x 1 , . . . , xn] : f g ∈ I za vsak g ∈ J}. V definiciji naslednje množice množica S ni nujno afina raznoterost: I( S) = {f ∈ k[ x 1 , . . . , xn] : f ( a) = 0 za vsak a ∈ S}. Množica I( S) je ideal kolobarja k[ x 1 , . . . , xn] in ni težko videti, da gre za korenski ideal. Definicija 1.5.3 Zaprtje Zariskega podmnoˇ zice S afinega prostora kn je najmanjˇ sa afina alge- braiˇ cna raznoterost, ki vsebuje S. Če je S ∈ kn, potem zaprtje Zariskega množice S označimo z ¯ S in velja V(I( S)) = ¯ S. Naslednji izrek pokaže, kako je kvocient idealov povezan z razliko raznoterosti. 1.5 Operacije na idealih in raznoterostih 31 Izrek 1.5.4 ([27]) Naj bosta I in J ideala v k[ x 1 , . . . , xn] . Potem velja: V( I : J ) ⊃ V( I) \V( J) . ˇ Ce je k algebraiˇ cno zaprto polje in je I korenski ideal, potem velja V( I : J ) = V( I) \V( J) . (1.24) V naslednji trditvi, katere dokaz najdete v [27], je podan algoritem za izračun kvocienta dveh idealov. Trditev 1.5.5 Naj bodo I in J 1 , . . . , Jm ideali v k[ x 1 , . . . , xn] in g neničelni element kolobarja k[ x 1 , . . . , xn] . ˇ Ce je {h 1 , . . . , hs} baza ideala I ∩ ⟨g⟩, je {h 1 /g, . . . , hs/g} baza ideala I : ⟨g⟩ in velja: m ∑ I : ( Js) = ∩m s=1( I : Js) . s=1 1.5.2 Dekompozicija raznoterosti Videli smo že, da je unija raznoterosti tudi sama raznoterost. Če na primer obravnavamo razno- terost V( xz, yz), je le-ta unija premice V( x, y) in ravnine V( z). V tem primeru je intuitivno bolj naravno razmišljati o premici in ravnini kot o V( xz, yz). Premica in ravnina sta v tem primeru tudi “ireducibilni”v smislu, da ju ne moremo zapisati kot unijo preprostejših raznoterosti. V naslednji definiciji si poglejmo pojem ireducibilnosti raznoterosti. Definicija 1.5.6 Afina raznoterost V ⊂ kn je ireducibilna, če za poljubni raznoterosti V 1 in V 2 iz V = V 1 ∪ V 2 sledi bodisi V = V 1 ali V = V 2 . Tako opazimo, da V( xz, yz) ni ireducibilna raznoterost. Po drugi strani pa ni popolnoma jasno, kdaj je raznoterost ireducibilna. Ideal I = ⟨xz, yz⟩ definira isto raznoterost kot katerikoli ideal ⟨xnzm, ypzq⟩ ( n, m, p, q ∈ N) in vendar ima ideal I najpreprostejšo obliko. Hkrati je I tudi enak √ svojemu korenu, I = I = ⟨xz, yz⟩, in ga lahko zapišemo kot presek korenskih idealov ⟨z⟩ in ⟨x, y⟩, ki ustrezata ireducibilnim komponentam raznoterosti V ( I). Od tod se naravno pojavi vprašanje, ali lahko opišemo ideale, ki ustrezajo ireducibilnim raznoterostim? Odgovor tiči v praidealih. Definicija 1.5.7 Ideal I ⊂ k[ x 1 , . . . , xn] je praideal, če za poljubna polinoma f, g ∈ k[ x 1 , . . . , xn] velja, da iz f · g ∈ I sledi bodisi f ∈ I ali g ∈ I. Iz definicij 1.4.4 in 1.5.7 sledi naslednja trditev. Trditev 1.5.8 Vsak praideal je korenski ideal. V naslednji trditvi (za dokaz glej [27]) je opisana zveza med preseki praidealov in korenjenjem. Trditev 1.5.9 Naj bodo P 1 , . . . , Ps praideali iz k[ x 1 , . . . , xn] . Tedaj je I = ∩s P j=1 j korenski ideal. V trditvi 1.4.7 smo videli, da je preslikava I, ki afini raznoterosti priredi korenski ideal, bijektivna. Naslednji izrek pove, da je tudi preslikava I, ki slika iz množice afinih raznoterosti v množico praidealov, bijektivna. 32 1 Polinomski ideali in afine raznoterosti Izrek 1.5.10 Naj bo V ⊂ kn afina raznoterost. V je ireducibilna natanko tedaj, ko je I( V ) praideal. Dokaz. Naj bo V ireducibilna raznoterost in f · g ∈ I( V ). Recimo, da je V 1 = V ∩ V( f ) in V 2 = V ∩ V( g). V 1 in V 2 sta afini raznoterosti, saj je presek afinih raznoterosti afina raznoterost. Iz f · g ∈ I( V ) sledi, da je V = V 1 ∪ V 2. Ker je V ireducibilna, je bodisi V = V 1 ali V = V 2. Recimo, da je V = V 1 = V ∩ V( f ). Tedaj je polinom f ničelen na raznoterosti V in zato je f ∈ I( V ). Tako je I( V ) praideal. Predpostavimo še, da je I( V ) praideal in naj bo V = V 1 ∪ V 2. Recimo, da V ̸= V 1. Trdimo, da je I( V ) = I( V 2). Opazimo, da je I( V ) ⊂ I( V 2), saj je V 2 ⊂ V . Za dokaz obratne inkluzije vidimo, da I( V ) $ I( V 1), saj V 1 $ V . Zato lahko izberemo f ∈ I( V 1) \I( V ). Vzemimo poljuben g ∈ I( V 2). Ker je V = V 1 ∪ V 2, je f · g ničelen na raznoterosti V in zato je f · g ∈ I( V ). I( V ) je praideal in zato je bodisi f ∈ I( V ) ali g ∈ I( V ). Ker f / ∈ I( V ), je g ∈ I( V ). Zato je I( V ) = I( V 2), od koder sledi V = V 2, saj je I bijektivna preslikava. Tako smo dokazali, da je V ireducibilna raznoterost. Zgoraj smo videli, da je raznoterost ideala ⟨xnzm, ypzq⟩ ⊂ k[ x, y, z] za vsak n, m, p, q ∈ N unija premice x = y = 0 in ravnine z = 0. Naravno se pojavlja vprašanje, ali je možno zapisati raznoterost ideala kot končno unijo ireducibilnih raznoterosti. Naj bo I ideal in V = V( I) njegova raznoterost. Tedaj velja naslednji izrek (glej [27] za dokaz). Izrek 1.5.11 Vsako afino raznoterost V ⊂ kn lahko zapišemo kot unijo V = V 1 ∪ · · · ∪ Vm, kjer so Vi ireducibilne raznoterosti. Dekompozicija V = V 1 ∪ · · · ∪ Vm, v kateri je vsaka raznoterost Vi ireducibilna, se imenuje minimalna, če za vse i ̸= j velja Vi * Vj. Za minimalne dekompozicije velja naslednji izrek. Izrek 1.5.12 ([27]) Za vsako afino raznoterost V ⊂ kn obstaja enolična minimalna dekompo- zicija V = V 1 ∪ · · · ∪ Vm. Videli smo že (trditev 1.5.9), da je presek praidealov korenski ideal. Kot direktno posledico izrekov 1.4.7, 1.5.10 in 1.5.13 dobimo v primeru, ko je k = C, naslednji rezultat. Izrek 1.5.13 Vsak korenski ideal I ⊂ C[ x 1 , . . . , xn] lahko enolično zapišemo kot presek praide- alov: √I = ∩sj=1 Pj, kjer za i ̸= j velja Pi * Pj. Podobno kot v primeru raznoterosti, tej predstavitvi pogosto rečemo minimalna dekompozicija korenskega ideala. Za kasnejšo uporabo te teorije je naš cilj razumeti množico rešitev sistema (1.1), ki je odvisna od ideala I = ⟨f 1 , . . . , fs⟩. Množica rešitev sistema (1.1) je raznoterost V = V( f 1 , . . . , fs). Če je V končna množica, jo, kot je ilustrirano v primeru 1.2.26, lahko pridobimo z izračunom Gröbnerjeve baze ideala I, glede na izbrano urejenost členov. Če V ni končna množica, po 1.5 Operacije na idealih in raznoterostih 33 izreku 1.5.13 obstaja enolična minimalna dekompozicija raznoterosti in zato je najboljši način za opis raznoterosti V , da najdemo njeno minimalno dekompozicijo. Pri tem se skličemo na trditev 1.4.8 in izrek 1.5.12. Upoštevamo še, da je koren ideala korenski ideal in ga zato lahko √ na enoličen način zapišemo kot presek praidealov: I = ∩s P j=1 j . Če uporabimo preslikavo V, potem velja: √ V = V( I) = V( I) = V( ∩sj=1 Pj) = ∪sj=1V( Pj) . (1.25) Vsak člen V( Pj) unije zgoraj določa ireducibilno podraznoterost Vj raznoterosti V . Torej je prvi korak v izračunu minimalne dekompozicije raznoterosti ideala I izračun minimalne dekompozi- cije njegovega korena, nato pa vsaka njegova komponenta Pj določa ireducibilno podraznoterost raznoterosti V . V razdelku 1.6 bomo spoznali rutini minAssGTZ in minAssChar v Singularju, ki izračunata minimalno dekompozicijo korena ideala oz. minimalno dekompozicijo raznoterosti ideala. Pogosto je bolj priročno delati z idealom I kot pa z njegovim korenom. Kot je znano, lahko vsako naravno število zapišemo kot produkt praštevil. To pomeni, da je vsak ideal kolobarja Z presek praidealov. Na žalost pa ta lastnost ne velja za ideale kolobarja k[ x 1 , . . . , xn]: poljubnega ideala I ⊂ k[ x 1 , . . . , xn] ne moremo zapisati kot presek praidealov. Vseeno se pa naravno pojavi vprašanje, če lahko poljubni ideal predstavimo kot presek preprostejših idealov, zato se najprej seznanimo s pojmom primarnega ideala. Definicija 1.5.14 Ideal I ⊂ k[ x 1 , . . . , xn] je primarni, če iz f · g ∈ I sledi, da je bodisi f ∈ I ali pa je neka potenca polinoma g (gm, m ∈ N ) v idealu I. Hitro opazimo, da so praideali tudi primarni ideali. Prav tako vidimo, da če je I primarni √ √ ideal, je I praideal, in sicer najmanjši praideal, ki vsebuje I. V tem primeru idealu I pravimo pridruženi praideal ideala I. Medtem ko vsak korenski ideal lahko zapišemo kot presek praidealov, lahko poljubni ideal I zapišemo kot končni presek primarnih idealov (glej [27, izrek 4, Pog.4, § 7]). Definicija 1.5.15 Primarna dekompozicija ideala I ⊂ k[ x 1 , . . . , xn] je zapis ideala I v obliki konˇ cnega preseka primarnih idealov Qj: I = ∩sj=1 Qj. (1.26) √ Primarna dekompozicija se imenuje minimalna, ˇ ce so vsi pridruˇ zeni praideali Qj različni in za vsak j velja ∩i̸= jQi * Qj. Minimalna primarna dekompozicija polinomskega ideala vedno obstaja, vendar ni nujno enolična, kar pove Lasker-Noetherjev izrek, katerega dokaz najdete v [27]. Izrek 1.5.16 (Lasker-Noether) Vsak ideal I ⊂ k[ x 1 , . . . , xn] ima minimalno primarno de- kompozicijo (1.26) . Vse takˇ sne dekompozicije imajo enako ˇ stevilo primarnih idealov in enako mnoˇ zico pridruˇ zenih praidealov. V razdelku 1.6 bomo poleg že omenjenih rutin za izračun minimalne dekompozicije korena ideala navedli tudi rutini za izračun primarne dekompozicije ideala. 34 1 Polinomski ideali in afine raznoterosti 1.5.3 Dekompozicija raznoterosti z uporabo modularne aritmetike V praksi se pri izračunu Gröbnerjevih baz, še posebej, ko uporabimo leksikografsko urejenost, pogosto soočamo z ogromnimi računskimi težavami, saj lahko med izvedbo algoritma velikost koeficientov S-polinomov eksponentno naraste. Celo za zelo preprost primer polinomov f 1 = 8 x 2 y 2 + 5 xy 3 + 3 x 3 z + x 2 yz, f 2 = x 5 + 2 y 3 z 2 + 13 y 2 z 3 + 5 yz 4 , (1.27) f 3 = 8 x 3 + 12 y 3 + xz 2 + 3 , f 4 = 7 x 2 y 4 + 18 xy 3 z 2 + y 3 z 3 . Z reducirano Gröbnerjevo bazo G = {g 1 , g 2 , g 3 } ideala ⟨f 1 , f 2 , f 3 , f 4 ⟩, kjer so 1 g 1 = x, g 2 = y 3 + , g 3 = z 2 , 4 nastopi v vmesnih izračunih Gröbnerjeve baze naslednji polinom: y 3 − 1735906504290451290764747182 · · · . (1.28) Število v drugem členu zgornjega polinoma vsebuje približno 80.000 števk [2]. To je števec racionalnega števila s približno enakim številom števk v imenovalcu. Ta računska težava v izračunu Gröbnerjeve baze v polju racionalnih števil je bistvena ovira za uporabo Gröbnerjevih baz. Sedaj bomo opisali pristop, ki sloni na modularni aritmetiki in ki zelo poenostavi iskanje množice rešitev polinomskega sistema. Da izpeljemo modularne izračune, na začetku izberemo praštevilo p in vse računamo po modulu p, t. j. v končnem polju karakteristike p (polje Z p = Z /p). Izkaže se, da modularni izračuni ohranijo bistvene informacije originalnega sistema in pogosto je možno s tako imenovano racionalno rekonstrukcijo razširiti oz. rekonstruirati te informacije iz rezultata izračunav v Z p in dobiti natančno rešitev v polju racionalnih števil. Za racionalno rekonstrukcijo, t. j. za rekonstrukcijo števila r/s ∈ Q, pri čemer je podana njegova slika t ∈ Z p, uporabimo naslednji algoritem [124] (v algoritmu oznaka ⌊·⌋ pomeni funkcijo spodnji del). Algoritem racionalne rekonstrukcije Korak 1. u = ( u 1 , u 2 , u 3) := (1 , 0 , p) , v = ( v 1 , v 2 , v 3) := (0 , 1 , c) √ Korak 2. DOKLER p/ 2 ≤ v 3 NAREDI {q := ⌊u 3 /v 3 ⌋, r := u − qv, u := v, v := r} √ Korak 3. ČE |v 2 | ≥ m/ 2 POTEM error() Korak 4. VRNI v 3 , v 2 Če sta podani celo število c in praštevilo p, algoritem proizvede takšni celi števili v 3 in v 2, da √ velja: v 3 /v 2 ≡ c (mod p) oz. v 3 = v 2 c + pt za neki t in |v 2 |, |v 3 | ≤ p/ 2. Če takšno število v 3 /v 2 ne obstaja, potem algoritem vrne ”error()”. Za izvedbo algoritma racionalne rekonstrukcije v programu Mathematica lahko uporabimo naslednjo kodo. RATCONVERT[c_, p_] := Block[{u = {1,0,p}, v = {0,1,c}, r}, While[Sqrt[p/2] <= v[[3]], r = u - Quotient[u[[3]], v[[3]]] v; u = v; v = r];If[Abs[v[[2]]] >= Sqrt[p/2], err, v[[3]]/v[[2]]]] 1.5 Operacije na idealih in raznoterostih 35 Na primer, če izračunamo Gröbnerjevo bazo ideala ⟨f 1 , f 2 , f 3 , f 4 ⟩ v polju s karakteristiko p = 32003, kjer so f 1 , f 2 , f 3 , f 4 polinomi iz (1.27), dobimo G = {x, y 3 + 8001 , z 2 }. Racionalna rekontrukcija nam (v smislu zgornjih oznak) da 1 / 4 ≡ 8001 (mod 32003) (torej c = 8001, p = 32003, v 3 = 1, v 2 = 4 in t = − 1). Zato je rekonstruirana Gröbnerjeva baza enaka G = {x, y 3 +1 / 4 , z 2 }. Sedaj v polinomih vmesnih izračunov ne nastopi več nobeno ekstremno veliko število; vsa števila imajo največ 5 cifer. Tudi hitrost izračunav se bistveno poveča in poraba pomnilnika se drastično zmanjša. Sedaj opišimo pristop za reševanje dolgih polinomskih sistemov (1.1), ki je bil predlagan v [109]. Imenuje se dekompozicijski algoritem z modularno aritmetiko in sestoji iz petih korakov: Korak 1. Izberemo praštevilo p in izračunamo minimalne pridružene praideale ˜ Q 1 , . . . , ˜ Qs ide- ala I v Z p[ x 1 , . . . , xn]. Korak 2. Z uporabo algoritma za racionalno rekonstrukcijo spremenimo ideale ˜ Qi ( i = 1 , . . . , s) v ideale Qi ∈ Q[ x 1 , . . . , xn] (t. j., zamenjamo vse koeficiente v ˜ Qi z racionalnimi števili z algoritmon racionalne rekonstrukcije). Korak 3. Za vsak i = 1 , . . . , s preverimo z uporabo testa pripadnosti idealu, če so polinomi f 1 , . . . , fs v korenskih idealov Qi, t. j., če je reducirana Gröbnerjeva baza ideala ⟨ 1 −wf, Qi⟩ enaka { 1 }. Če je to izpolnjeno, gremo naprej na korak 4, sicer izberemo drugo praštevilo p in se vrnemo na korak 1. Korak 4. Izračunamo Q = ∩s Q i=1 i ⊂ Q[ x 1 , . . . , xn]. √ √ Korak 5. Preverimo, če je Q = I oz., če je za vsak g ∈ Q reducirana Gröbnerjeva baza ideala ⟨ 1 − wg, I⟩ enaka { 1 } in če je za vsak f ∈ I reducirana Gröbnerjeva baza ideala ⟨ 1 −wf, Q⟩ enaka { 1 }. Če sta oba pogoja izpolnjena, je V( I) = ∪s V( Q i=1 i). Sicer izberemo drugo praštevilo p in se vrnemo na korak 1. V poglavju 3 bomo zgornji algoritem uporabili pri reševanju velikih polinomskih sistemov, ki nastopijo pri študiju problema centra. 1.5.4 Parametrizacija raznoterosti, problem implicitizacije in razseˇ znost ra- znoterosti Raznoterost V = V( f 1 , . . . , fs) lahko včasih opišemo v parametrični obliki. To je drugi način, kako opisati rešitve sistema (1.1), če jih je neskončno mnogo. Običajni zapis raznoterosti v obliki V( f 1 , . . . , fs) oz. v obliki sistema enačb f 1 = 0 , . . . , fs = 0 imenujemo implicitna oblika raznoterosti. Začnimo s preprostim primerom iz linearne algebre. V R3 obravnavamo sistem enačb x + y − z =4 (1.29) x − y + 3 z =2 . Geometrijsko sistem (1.29) v R3 predstavlja premico, ki je presek ravnin x + y − z = 4 in x − y + 3 z = 2, torej ima obravnavani sistem neskončno rešitev. Najlažje rešitve sistema (1.29) opišemo, če v ekvivalentnem sistemu x + z =3 (1.30) y − 2 z =1 36 1 Polinomski ideali in afine raznoterosti vpeljemo tako imenovan parameter t in postavimo z = t, da dobimo x =3 − t y =1 + 2 t , t ∈ R . (1.31) z = t. Rešitev (1.31) imenujemo parametrizacija sistema (1.29). Geometrijsko je (1.31) parametrizacija premice, ki je presek obeh ravnin iz (1.29) (in (1.30)). Sedaj si poglejmo parametrizacijo enotske krožnice v R2: x 2 + y 2 = 1 . (1.32) Pogosto jo parametriziramo s trigonometričnima funkcijama kosinus in sinus: x( t) = cos t y( t) = sin t , vendar obstaja tudi algebraičen način parametrizacije enotske krožnice: 1 − t 2 x = 1 + t 2 (1.33) 2 t y = . 1 + t 2 Zanimivo je, da ta parametrizacija opiše vse točke na krožnici (2.64), razen točke ( − 1 , 0). Na sliki 1.2 vidimo, kako dobimo parametrizacijo (1.33). Slika 1.2: Parametrizacija enotske krožnice v R2. Opazujemo premice p, ki potekajo skozi točko ( − 1 , 0). Če p ni vzporedna z osjo y, preseka enotsko krožnico v neki točki ( x, y), os y pa seka v točki (0 , t). Očitno za zelo navpične premice 1.5 Operacije na idealih in raznoterostih 37 p vrednost parametra t teži proti ∞ (oz. −∞). Npr. za t = 0 premica p preseka krožnico (2.64) v točki (1 , 0), za t = 1 v točki (0 , 1), itd. Torej za t ∈ ( −∞, ∞) s tem postopkom opišemo vse točke, razen točke ( − 1 , 0). Preostane najti eksplicitni formuli za x in y v odvisnosti od t. Očitno je enačba premice p enaka y = tx + t = t( x + 1). Ker je točka ( x, y) presečišče premice p in krožnice x 2 + y 2 = 1, sledi x 2 + t 2( x + 1)2 = 1 , ki predstavlja kvadratno enačbo (1 + t 2) x 2 + 2 t 2 x + t 2 − 1 = 0 . (1.34) Rešitvi enačbe (1.34) sta x-koordinati presečišča premice s krožnico. Ena rešitev je x = − 1 in druga je 1 − t 2 x = . 1 + t 2 Iz enačbe premice p sledi 2 t y = t( x + 1) = . 1 + t 2 Opazimo, da parametrizacija krožnice vsebuje kvociente polinomov, kar pomeni, da smo krožnico predstavili z racionalnimi funkcijami. Recimo, da je podana raznoterost V = V( f 1 , . . . , fs) ⊂ kn. Racionalna parametrična predsta- vitev (racionalna parametrizacija) raznoterosti V sestoji iz takšnih racionalnih funkcij r 1 , . . . , rn spremenljivk t 1 , . . . , tm, da podane točke x 1 = r 1( t 1 , . . . , tm) x 2 = r 2( t 1 , . . . , tm) ... xn = rn( t 1 , . . . , tm) ležijo na raznoterosti V . Včasih uspemo raznoterost V parametrizirati s polinomi p 1 , . . . , pn. Tedaj parametrizacijo raznoterosti imenujemo polinomska parametriˇ cna predstavitev (polinom- ska parametrizacija). Originalna predstavitev raznoterosti V kot f 1 = · · · = fs = 0 se imenuje implicitna predstavitev raznoterosti V , kot smo že zgoraj omenili. (1.29), (1.30) in (2.64) so implicitne predstavitve, (1.31) je polinomska parametrična in (1.33) je racionalna parametrična predstavitev. Pri obeh predstavitvah raznoterosti (implicitna in parametrična) se porajata vprašanji: • Parametrizacija: Ali je lahko vsaka afina raznoterost opisana z racionalno parametriza- cijo? • Implicitizacija: Ali lahko najdemo implicitno predstavitev raznoterosti, če je podana racionalna parametrizacija afine raznoterosti? Odgovor na prvo vprašanje je negativen. V bistvu večine afinih raznoterosti ne moremo pred- staviti z racionalno parametrizacijo. Poglejmo, kaj se zgodi pri vprašanju implicitizacije. Če je raznoterost opisana s parame- tričnimi enačbami, lahko nastopi težava, če parametrizacija ne opiše vseh točk raznoterosti. 38 1 Polinomski ideali in afine raznoterosti Tako imenovan problem implicitizacije se nanaša na iskanje enačb, ki definirajo najmanjˇ so ra- znoterost V , ki vsebuje dano parametrizacijo. Ko enkrat najdemo najmanjšo raznoterost V , se pojavita novi vprašanji: ali parametrizacija zavzame vse točke raznoterosti V in, če so kakšne manjkajoče točke, kako jih najdemo? Pri odgovoru na ti vprašanji si pomagamo z Gröbnerjevimi bazami in teorijo eliminacijskih idealov iz razdelka 1.3. Rešitev problema implicitizacije začnimo s polinomsko parametrizacijo, ki je podana kot x 1 = P 1( t 1 , . . . , tm) x 2 = P 2( t 1 , . . . , tm) . (1.35) .. xn = Pn( t 1 , . . . , tm) , kjer so P 1 , . . . , Pn polinomi iz k[ t 1 , . . . , tm]. Geometrijsko lahko gledamo na to kot na funkcijo F : km → kn, (1.36) ki je definirana kot F ( t 1 , . . . , tm) = ( P 1( t 1 , . . . , tm) , . . . , Pn( t 1 , . . . , tm)) . Slika funkcije F , F ( km), je podmnožica množice kn in je parametrizirana z enačbami (1.35). Ker F ( km) ni nujno afina raznoterost, problem implicitizacije pomeni najti najmanjšo afino raznote- rost, ki vsebuje F ( km). Implicitizacijo in eliminacijo lahko povežemo na naslednji način. Enačbe (1.35) definirajo raznoterost V = V( x 1 − P 1 , . . . , xn − Pn) ⊂ kn+ m in zato točke raznoterosti V lahko zapišemo kot ( t 1 , . . . , tm, P 1( t 1 , . . . , tm) , . . . , Pn( t 1 , . . . , tm)) , kar kaže na to , da na V lahko gledamo kot na graf funkcije F . Poleg funkcije F imamo še dve funkciji: h : km → kn+ m πm : kn+ m → kn, ki sta definirani kot h( t 1 , . . . , tm) = ( t 1 , . . . , tm, P 1( t 1 , . . . , tm) , . . . , Pn( t 1 , . . . , tm)) πm( t 1 , . . . , tm, x 1 , . . . , xn) = ( x 1 , . . . , xn) . Opazimo, da je funkcija F kompozitum funkcij h in πm: F = πm ◦ h, in ni težko pokazati, da je h( km) = V . Tako dobimo F ( km) = πm( h( km)) = πm( V ) , kar pomeni, da je slika parametrizacije projekcija svojega grafa. Da poiščemo najmanjšo razno- terost, ki vsebuje F ( km), lahko uporabimo eliminacijsko teorijo, kot opisuje naslednji izrek. Izrek 1.5.17 (Polinomska implicitizacija) Naj bo k neskonˇ cno polje in F : km → kn funk- cija, doloˇ cena s polinomsko parametrizacijo (1.35) . Naj bo I = ⟨x 1 − P 1 , . . . , xn − Pn⟩ ⊂ k[ t 1 , . . . , tm, x 1 , . . . , xn] ideal in Im = I ∩ k[ x 1 , . . . , xn] m-ti eliminacijski ideal ideala I. Tedaj je V( Im) najmanjša raznoterost v kn, ki vsebuje F ( km) . 1.5 Operacije na idealih in raznoterostih 39 Za dokaz tega izreka glej [27, Pog.3, § 3]. Izrek 1.5.17 poda naslednji algoritem za implicitizacijo polinomskih parametrizacij: če so po- dane enačbe (1.35), tvorimo ideal I = ⟨x 1 − P 1 , . . . , xn − Pn⟩ in izračunamo njegovo Gröbnerjevo bazo glede na leksikografsko urejenost, kjer je vsak ti večji od vsakega xi. Po eliminacijskem izreku (izrek 1.3.2) elementi Gröbnerjeve baze, ki ne vsebujejo spremenljivk t 1 , . . . , tm, tvorijo bazo ideala Im in po izreku 1.5.17 določajo najmanjšo raznoterost v kn, ki vsebuje dano para- metrizacijo. Kot primer za ponazoritev zgornjega algoritma vzemimo primer iz začetka tega razdelka, kjer smo premico (presek ravnin), opisano z enačbama (1.29) oz. ekvivalentnima enačbama (1.30), predstavili s polinomskimi parametričnimi enačbami (1.31). Obravnavajmo ideal I = ⟨x − 3 + t, y − 1 − 2 t, z − t⟩ ⊂ R[ t, x, y, z] . Izračunamo Gröbnerjevo bazo ideala I glede na leksikografsko urejenost, upoštevajoč t > x > y > z in dobimo g 1 = − 1 + y − 2 z g 2 = − 3 + x + z g 3 = t − z. Po eliminacijskem izreku je I 1 = I ∩ R[ x, y, z] = ⟨g 1 , g 2 ⟩ in po izreku 1.5.17 je raznoterost V( g 1 , g 2) rešitev problema implicitizacije za to parametrizacijo. Enačbi g 1 = 0 in g 2 = 0 sta natanko enačbi (1.30) in sedaj vemo, da definirata najmanjšo raznoterost v R3, ki vsebuje parametrizacijo (1.31). Še vedno ne vemo, če parametrizacija zavzame vse točke raznoterosti V( g 1 , g 2) ⊂ R3. Za ta odgovor moramo videti, če lahko vse delne rešitve ( x, y, z) ∈ V( g 1 , g 2) = V( I 1) razširimo do rešitev ( t, x, y, z) ∈ V( I). Da bi lahko uporabili razširitveni izrek, bomo delali najprej nad poljem C. Posledica 1.3.4 pove, da lahko vsako delno rešitev ( x, y, z) ∈ V( I 1) razširimo do rešitve ( t, x, y, z) ∈ V( I), če je vodilni koeficient polinoma g 3 konstanten. Ker je to izpolnjeno, lahko razširimo vse delne rešitve. Preostane pogledati, kaj se zgodi nad poljem R. Če pogledamo realne rešitve ( x, y, z) ∈ R3 enačb g 1 = g 2 = 0, vidimo, da se razširijo do rešitev ( t, x, y, z) ∈ V( I) ⊂ C4. Vprašamo pa se, če je parameter t vedno realen. Iz Gröbnerjeve baze {g 1 , g 2 , g 3 } vidimo, da je t realen, ko je ( x, y, z) ∈ R3. Tako smo pokazali, da parametrizacija (1.31) zavzame vse točke raznoterosti V( I). V splošnem ni lahko ugotoviti, če parametrizacija zavzame vse točke raznoterosti. Vsak primer moramo obravnavati posebej, ampak kot smo videli na primeru zgoraj, nam Gröbnerjeva baza in razširitveni izrek pomagata pri razumevanju odgovora. Naslednja trditev poda zvezo med polinomsko parametrizacijo raznoterosti in njeno ireduci- bilnostjo. Za dokaz glej [27, Pog.4, § 5]. Trditev 1.5.18 Naj bo k neskonˇ cno polje in raznoterost V ⊂ kn definirana parametrično z enaˇ cbami (1.35) . Tedaj je raznoterost V ireducibilna. V nadaljevanju se posvetimo predstavitvi raznoterosti z racionalnimi funkcijami. Racionalna 40 1 Polinomski ideali in afine raznoterosti parametrizacija je podana z P 1( t 1 , . . . , tm) x 1 = Q 1( t 1 ,...,tm) ... (1.37) Pn( t 1 , . . . , tm) xn = , Qn( t 1 , . . . , tm) kjer so P 1 , . . . , Pn, Q 1 , . . . , Qn ∈ k[ t 1 , . . . , tm]. Preslikava F iz km v kn, podana z (1.37), ni nujno definirana za vse točke prostora km zaradi zahteve po neničelnosti imenovalcev v racionalnih funkcijah. Naj bo Q produkt Q = Q 1 · Q 2 · · · Qn. Če rečemo, da je W = V( Q), potem ( ) P 1( t 1 , . . . , tm) Pn( t 1 , . . . , tm) F ( t 1 , . . . , tm) = , . . . , (1.38) Q 1( t 1 , . . . , tm) Qn( t 1 , . . . , tm) zagotovo definira preslikavo F : km\W → kn. Za rešitev problema implicitizacije moramo najti najmanjšo raznoterost v kn, ki vsebuje F ( km\W ). Kot pri polinomski parametrizaciji, lahko tudi tukaj definiramo še dve preslikavi n h : km\W → k + m n π + m m : k → kn. Ni težko preveriti, da je h( km\W ) ⊂ V( I), kjer je I = ⟨Q 1 x 1 − P 1 , . . . , Qnxn − Pn⟩. Problem nastane, ker V( I) ni nujno najmanjša raznoterost, ki vsebuje h( km\W ). Da bi se izognili tej težavi, spremenimo ideal I tako, da uporabimo dodatno razsežnost in s tem nadzorujemo imenovalce Qi. Obravnavamo polinomski kolobar k[ w, t 1 , . . . , tm, x 1 , . . . , xn] v kn+ m+1. Nadalje obravnavamo ideal J = ⟨Q 1 x 1 − P 1 , . . . , Qnxn − Pn, 1 − wQ⟩ ⊂ k[ w, t 1 , . . . , tm, x 1 , . . . , xn] . Enačba 1 − wq = 0 zagotovi, da noben imenovalec qi ( i = 1 , . . . , n) ni ničelen na raznoterosti V( J ). Obravnavajmo preslikavi n g : km\W → k + m+1 n π + m+1 m+1 : k → kn, definirani kot ( ) 1 P 1( t 1 , . . . , tm) Pn( t 1 , . . . , tm) g( t 1 , . . . , tm) = , t 1 , . . . , tm, , . . . , Q( t 1 , . . . , tm) Q 1( t 1 , . . . , tm) Qn( t 1 , . . . , tm) πm+1( w, t 1 , . . . , tm, x 1 , . . . , xn) = ( x 1 , . . . , xn) . Tudi tukaj je F = πm+1 ◦ g. Presenetljivo je g( km\W ) = V( J) v kn+ m+1. Inkluzija g( km\W ) ⊂ V( J ) sledi hitro iz definicije preslikave g in ideala J . Za obrat inkluzije najprej opazimo, če ( w, t 1 , . . . , tm, x 1 , . . . , xn) ∈ V( J), enačba q( t 1 , . . . , tm) w = 1 pomeni, da noben izmed imenovalcev Qi ni ničelni v točki ( t 1 , . . . , tm) in zato je enačba Qi( t 1 , . . . , tm) xi = Pi( t 1 , . . . , tm) rešljiva za xi = Pi( t 1 , . . . , tm) /Qi( t 1 , . . . , tm). Ker je w = 1 /Q( t 1 , . . . , tm), sledi, da točka ( w, t 1 , . . . , tm, x 1 , . . . , xn) leži v g( km\W ) in zato je V( J) ⊂ g( km\W ). 1.5 Operacije na idealih in raznoterostih 41 Iz F = πm+1 ◦ g in g( km\W ) = V( J) v kn+ m+1 dobimo F ( km\W ) = πm+1( g( km\W )) = πm+1(V( J)) . Tako je slika parametrizacije projekcija raznoterosti V( J ) in naslednji izrek poda rešitev pro- blema racionalne implicitizacije. Za dokaz glej [27, Pog.3, § 3]. Izrek 1.5.19 (Racionalna implicitizacija) Naj bo k neskonˇ cno polje in F : km\W → kn funkcija, doloˇ cena z racionalno parametrizacijo (1.37) . Naj bo J = ⟨Q 1 x 1 − P 1 , . . . , Qnxn − Pn, 1 − wQ⟩ ⊂ k[ w, t 1 , . . . , tm, x 1 , . . . , xn] ideal, kjer je Q = Q 1 · Q 2 · · · Qn, in naj bo Jm+1 = J ∩ k[ x 1 , . . . , xn] ( m + 1) -ti eliminacijski ideal ideala J. Tedaj je V( Jm+1) najmanjša raznoterost v kn, ki vsebuje F ( km\W ) . Izrek 1.5.19 poda naslednji algoritem za implicitizacijo polinomskih parametrizacij: če so podane enačbe (1.37), obravnavamo novo spremenljivko w in tvorimo ideal J = ⟨Q 1 x 1 − P 1 , . . . , Qnxn − Pn, 1 − wQ⟩, kjer je Q = Q 1 · Q 2 · · · Qn. Izračunamo Gröbnerjevo bazo ideala J glede na leksikografsko urejenost, kjer so w in vsi ti večji od vseh xi. Elementi Gröbnerjeve baze, ki ne vsebujejo spremenljivk t 1 , . . . , tm, w, tvorijo bazo ideala Jm+1 in po izreku 1.5.19 določajo najmanjšo raznoterost v kn, ki vsebuje dano parametrizacijo. Kot primer ponazoritve zgornjega algoritma si ponovno poglejmo krožnico (2.64) in njeno racionalno parametrizacijo z enačbami (1.33), s katerimi tvorimo najprej ideal J = ⟨(1 + t 2) x − 1 + t 2 , (1 + t 2) y − 2 t, 1 − w(1 + t 2) ⟩. Izračunamo Gröbnerjevo bazo ideala J glede na leksikografsko urejenost, upoštevajoč w > t > x > y. Izračun Gröbnerjeve baze lahko izvedemo v kateremkoli sistemu računske algebre. Ker bomo v razdelku 1.6 pokazali, kako izračunamo Gröbnerjevo bazo v Singularju, podamo tukaj izračun v Mathematici. Vhodna koda je GroebnerBasis[{(1 + t^2) x - (1 - t^2), (1 + t^2) y - 2 t, 1 - w (1 + t^2)}, {w, t, x, y}] kot rezultat pa dobimo {-1 + x^2 + y^2, -1 + x + t y, t + t x - y, -1 + 2 w - x} Torej Gröbnerjeva baza ideala J sestoji iz štirih polinomov: g 1 = x 2 + y 2 − 1 g 2 = ty + x − 1 g 3 = tx + t − y g 4 =2 w − x − 1 . Vidimo, da je J 2 = J ∩ R[ x, y] = ⟨g 1 ⟩ in po izreku 1.5.19 je najmanjša raznoterost, ki vsebuje parametrizacijo, enaka V( J 2) = V( g 1), torej krožnica, s katero smo začeli. Sedaj s pomočjo dobljene Gröbnerjeve baze in razširitvenega izreka preverimo, če so na tej krožnici kakšne točke, ki jih parametrizacija ne opiše. V ta namen poglejmo, če lahko vse delne rešitve ( x, y) ∈ V( J 2) 42 1 Polinomski ideali in afine raznoterosti raširimo do delne rešitve ( t, x, y) ∈ V( J 1). Pri tem si pomagamo z razširitvenim izrekom, ki pove, da rešitve, kjer je vsaj en vodilni koeficient polinomov g 2 in g 3 neničelen, lahko razširimo. Pro- blem najprej obravnavajmo nad poljem C, za katerega velja razširitveni izrek. Ker je LC( g 2) = y in LC( g 3) = 1 + x, so lahko razširjene vse delne rešitve ( x, y) ∈ V( J 2) ⊂ C2, za katere je hkrati y ̸= 0 in x ̸= − 1. Ker pa je polje obravnave tukaj R, opazimo, da če je delna rešitev ( x, y) ∈ R2, je tudi ( t, x, y) ∈ R3. Torej je edina točka na enotski krožnici v R2, ki jo parametrizacija (1.33) ne opiše, točka ( − 1 , 0), kot smo videli že iz geometrijske definicije parametra t. Podobno kot pri polinomski parametrizaciji, lahko tudi raznoterost z racionalno parametri- zacijo povežemo z njeno ireducibilnostjo. Za dokaz naslednje trditve glej [27, Pog.4, § 5]. Trditev 1.5.20 Naj bo k neskonˇ cno polje in V ⊂ kn raznoterost z racionalno parametrizacijo (1.37) . Tedaj je raznoterost V ireducibilna. V nadaljevanju se posvetimo še enemu pojmu, povezanim z afino raznoterostjo V - razseˇ znost raznoterosti (ali dimenzija raznoterosti ), ki jo bomo označevali z dim V . Razsežnost kompleksne raznoterosti V lahko izračunamo s pomočjo algoritmov računske algebre, saj je enaka stopnji afinega Hilbertovega polinoma poljubnega ideala I, ki je določen z raznoterostjo V : I = I( V ) ⊂ C[ x 1 , . . . , xn] (glej [27] za več podrobnosti). Toda afin Hilbertov polinom še zdaleč ne poda celotne zgodbe. Če računamo razsežnost realne raznoterosti, ta metoda odpade, saj polje realnih števil ni algebraično zaprto. V algebraični geometriji je veliko načinov, kako pridobiti razsežnost raznoterosti. Najprej si poglejmo rezultat, ki se nanaša na raznoterosti razsežnosti nič (glej [27] za dokaz). Trditev 1.5.21 Naj bo V neprazna afina raznoterost. Tedaj V sestoji iz konˇ cno mnogo toˇ ck natanko tedaj, ko je dim V = 0 . Sedaj si poglejmo, kaj se dogaja z raznoterostmi, ki niso končne. Začnimo v ravnini R2 z raznoterostjo V( x 2 + y 2 − 1), ki predstavlja krožnico s središčem v izhodišču (0 , 0) in s polmerom r = 1. Očitno je, da je razsežnost te krožnice enaka ena. Če se premaknemo v prostor R3 in obravnavamo enačbi (1.29) (ali (1.30)), smo zgoraj videli, da je njun presek premica, katere razsežnost je ena. Zanimiva raznoterost v R3 je podana s paraboloidom V( z − x 2 − y 2), ki ga dobimo tako, da zavrtimo parabolo z = x 2 okrog osi z (to preverimo z vpeljavo cilindričnih koordinat x = r cos φ, y = r sin φ, z = z). Graf te raznoterosti je prikazan na sliki 1.3. Zanimiva je tudi raznoterost V( z 2 − x 2 − y 2) ⊂ R3, ki, kot je razvidno iz slike 1.4, predstavlja stožec. Veliko bolj zapletena ploskev v R3 je podana z V( x 2 − y 2 z 2 + z 3), ki jo lahko vidimo na sliki 1.5. Zadnji trije primeri predstavljajo v R3 ploskev razsežnosti dve. Zanimiv primer krivulje v R3 podaja raznoterost V( y − x 2 , z − x 3). Za enostavnost obravnavajmo samo tisti del, ki je v prvem oktantu prostora R3. Najprej narišimo ploskvi y = x 2 in z = x 3 (glej sliki 1.6 in 1.7). Kot presek zgornjih dveh ploskev dobimo krivuljo V( y − x 2 , z − x 3) ⊂ R3 razsežnosti ena, ki jo lahko vidimo na sliki 1.8. Opazimo, da je v R2 ena enačba predstavljala enorazsežno krivuljo (krožnica V( x 2 + y 2 − 1)). Podobno se zgodi v R3: ena enačba običajno poda ploskev razsežnosti dve (V( z −x 2 −y 2), V( z 2 −x 2 −y 2), V( x 2 −y 2 z 2 + z 3)), dve enačbi zmanjšata razsežnost za dve, t. j. njun presek predstavlja krivuljo razsežnosti ena. Glede na zgornje primere in ker vsaka enačba poda dodatno omejitev, bi intuitivno predlagali, da vsaka enačba zmanjša razsežnost celotnega afinega prostora za ena. Tako bi v R4 pričakovali, da bo afina raznoterost, definirana z dvema enačbama, predstavljala ploskev razsežnosti dve. Na žalost je pojem razsežnosti raznoterosti bolj občutljiv kot pa nakazujejo zgornji primeri. Poglejmo raznoterost V( xz, yz). Hitro vidimo, 1.5 Operacije na idealih in raznoterostih 43 Slika 1.3: V( z − x 2 − y 2). Slika 1.4: V( z 2 − x 2 − y 2). Slika 1.5: V( x 2 − y 2 z 2 + z 3). da enačbi xz = yz = 0 definirata unijo ravnine z = 0 in premice x = y = 0 ( z-os). Zato ta raznoterost sestoji iz dveh delov, ki imata različni razsežnosti, in je dim(V( xz, yz)) = 2 : eden od delov (ravnina) ima “napačno” razsežnost glede na zgornjo intuicijo. Podobno velja tudi za splošne raznoterosti. Trditev 1.5.22 ([27]) Naj bosta V in W raznoterosti v kn. Tedaj je dim( V + W ) = max(dim V, dim W ) . Iz trditve 1.5.22 sledi naslednji rezultat, ki reducira izračun razsežnosti raznoterosti na izračun razsežnosti njenih ireducibilnih komponent. 44 1 Polinomski ideali in afine raznoterosti Slika 1.6: y = x 2. Slika 1.7: z = x 3. Slika 1.8: V( y − x 2 , z − x 3). Posledica 1.5.23 Razseˇ znost raznoterosti je maksimum med razseˇ znostmi njenih ireducibilnih komponent. V nadaljevanju podamo znan primer raznoterosti višjih razsežnostih, ki izhaja iz linearne 1.5 Operacije na idealih in raznoterostih 45 algebre. Fiksiramo polje k in obravnavamo sistem m linearnih enačb z n neznankami x 1 , . . . , xn s koeficienti iz k: a 11 x 1 + · · · + a 1 nxn = b 1 , a 21 x 1 + · · · + a 2 nxn = b 2 , . (1.39) .. am 1 x 1 + · · · + amnxn = bm. Rešitev zgornjih enačb tvori afino raznoterost v kn, ki jo imenujemo linearna raznoterost (ali hiperravnina). Tako sta ravnina in premica linearni raznoterosti. Iz linearne algebre po- znamo metodo za redukcijo vrstic sistema (1.39), t. i. Gaussovo eliminacijo, ki poda učinkovit algoritem za iskanje rešitev sistema (1.39). Linearne raznoterosti lahko zelo dobro povežemo z našo razpravo o razsežnosti raznoterosti. Namreč, če je V ⊂ kn linearna raznoterost, definirana z (1.39), V nima nujno razsežnosti n − m, četudi je V definirana z m enačbami. V bistvu, če je V neprazna, nam linearna algebra pove, da ima V razsežnost n − r, kjer je r rang matrike [ aij]. Tako je za linearne raznoterosti razsežnost določena s številom neodvisnih enačb. To intu- icijo lahko uporabimo tudi za bolj splošne afine raznoterosti, vendar je pojem neodvisnosti tam občutljivejši. Posledica 1.5.23 nam omogoča določitev razsežnost raznoterosti s pomočjo njenih ireducibil- nih komponent. V trditvah 1.5.18 in 1.5.20 smo videli, da je afina raznoterost, ki ima polinom- sko ali racionalno parametrizacijo, ireducibilna. Obrat ne velja vedno. Se pa porodi naslednje vprašanje: če je afina raznoterost ireducibilna in lahko najdemo njeno polinomsko ali racionalno parametrizacijo, ali lahko s pomočjo nje določimo razsežnost raznoterosti? Zgoraj smo videli, da lahko premico (1.29) parametriziramo s polinomskimi enačbami (1.31), ter da lahko krožnico (2.64) parametriziramo z racionalnimi enačbami (1.33). Vidimo, da je parametrizacija tako pre- mice kot tudi krožnice odvisna od enega parametra in obe v ustreznem prostoru predstavljata raznoterost razsežnosti ena. Nadalje poglejmo v R3 raznoterosti V( y − x 2 , z − x 3) in V( x 2 − y 2 z 2 + z 3). Za prvo smo zgoraj videli, da predstavlja krivuljo razsežnosti ena in druga ploskev razsežnosti dve. Hitro lahko najdemo parametrizacijo krivulje V( y − x 2 , z − x 3): x = t y = t 2 z = t 3 , kjer je t ∈ R. Vidimo, da v tej parametrizaciji nastopa samo parameter t. Parametrizacijo ploskve V( x 2 − y 2 z 2 + z 3) je težje ugotoviti, vendar lahko bralec sam preveri, da enačbe x = t( u 2 − t 2) y = u (1.40) z = u 2 − t 2 , kjer je − 1 ≤ t, u ≤ 1, predstavljajo polinomsko parametrizacijo raznoterosti V( x 2 −y 2 z 2+ z 3), ki je odvisna od dveh parametrov. Glede na zgornje primere in na izrek 1.5.19 (ali izrek 1.5.17), ki pravi, da ideal Jm+1 (ali Jm) tvori najmanjšo raznoterost v kn, ki vsebuje dano parametrizacijo, bi sedaj pričakovali, da je razsežnost ireducibilne raznoterosti, parametrizirane z enačbami (1.37) (ali (1.35)) lahko največ m, kar je število parametrov parametrizacije. 46 1 Polinomski ideali in afine raznoterosti Da bi razumeli nekatere matematične objekte, včasih študiramo tudi preslikave med njimi, še posebej tiste, ki ohranijo določene lastnosti. Na primer, ko v linearni algebri obravnavamo vektorske prostore, študiramo še lastnosti linearnih preslikav med vektorskimi prostori (glej dodatek A). Da bi bolje razumeli parametrizacijo in kako je število parametrov le-te pove- zano z razsežnostjo, obravnavamo preslikave med raznoterostmi, t. i. polinomske preslikave. Algebraične lastnosti polinomskih preslikav na raznoterostih omogočijo mnoge vpoglede v ge- ometrijske lastnosti raznoterosti. Z njihovo pomočjo bomo prav tako na kratko spoznali idejo kvocientnega kolobarja. Našo obravnavo polinomskih preslikav med raznoterostmi bomo začeli s primerom ploskve, ki smo jo obravnavali zgoraj: V( x 2 −y 2 z 2 + z 3) in smo jo parametrično opisali z enačbami (1.40). V jeziku preslikav (1.36) podati parametrično predstavitev (1.40) pomeni definirati preslikavo F : R2 → R3 z F ( t, u) = ( t( u 2 − t 2) , u, u 2 − t 2) . Domena preslikave F je afina raznoterost V = {( t, u) ∈ R2 : − 1 ≤ t, u ≤ 1 } ⊂ R2 in slika preslikave F je ploskev W = V( x 2 − y 2 z 2 + z 3), ki je prikazana na sliki 1.5. Torej naša parametrizacija poda nekaj, kar bi lahko imenovali polinomska5 preslikava med raznoterostima V in W . Drugi primer najdemo v geometriji eliminacije spremenljivk iz sistema enačb (1.1), kjer smo obravnavali projekcije πk : C n → C n−k, definirane s πk( a 1 , . . . , an) = ( ak+1 , . . . , an) . Za podano raznoterost V = V( I) ⊂ C n lahko πk zožimo na V in vemo, da je πk( V ) vsebovana v afini raznoterosti W = V( Ik), kjer je Ik = I ∩ C[ xk+1 , . . . , xn] k-ti eliminacijski ideal ideala I. Zato lahko πk : V → W obravnavamo kot preslikavo raznoterosti. Prav tako vidimo, da so komponente funkcije πk polinomi v koordinatah domene. Definicija 1.5.24 Naj bosta V ⊂ km in W ⊂ kn afini raznoterosti. Funkcija ζ : V → W se imenuje polinomska preslikava, ˇ ce obstajajo polinomi f 1 , . . . , fn ∈ k[ x 1 , . . . , xn] , da velja ζ( a 1 , . . . , am) = ( f 1( a 1 , . . . , am) , . . . , fn( a 1 , . . . , am)) za vse ( a 1 , . . . , am) ∈ V . Pravimo, da vektor polinomov ( f 1 , . . . , fn) ∈ ( k[ x 1 , . . . , xn]) n predstavlja funkcijo ζ. Ko rečemo, da je ζ polinomska preslikava iz V ⊂ km v W ⊂ kn, predstavljena z vektorjem funkcij ( f 1 , . . . , fn), pomeni, da mora ( f 1( a 1 , . . . , am) , . . . , fn( a 1 , . . . , am)) zadoščati enačbam, ki definirajo W za vsak ( a 1 , . . . , am) ∈ V . Kot primer si poglejmo V = V( y − x 2 , z − x 3) ⊂ k 3 in W = V( y 3 − z 2) ⊂ k 2. Projekcija π 1 : k 3 → k 2, predstavljena z ( y, z) poda polinomsko preslikavo π 1 : V → W . To je res, saj vsaka točka v π 1( V ) = {( x 2 , x 3) : x ∈ k} zadošča enačbi y 3 − z 2 = 0, ki določa W . 5pridevnik “polinomska” se nanaša na dejstvo, da so funkcije v komponentah preslikave F polinomi spremen- ljivk t in u. 1.5 Operacije na idealih in raznoterostih 47 Če je W = k, postane ζ skalarna polinomska funkcija, definirana na raznoterosti V . Razlog, zakaj obravnavamo polinomske funkcije iz V v k, je ta, da je splošna polinomska preslikava ζ : V → kn konstruirana z uporabo poljubnih polinomskih funkcij ζi : V → k kot komponent. Če razumemo funkcije ζi : V → k, razumemo tudi, kako konstruiramo preslikavo ζ : V → kn. Tako definicija 1.5.24 pove, da je funkcija ζi : V → k polinomska funkcija, če obstaja polinom f ∈ k[ x 1 , . . . , xm], ki predstavlja ζi. Običajno podamo polinomsko funkcijo eksplicitno in zato najti tak polinom, ki predstavlja ζi, ni velik problem. Je pa situacija, ko je ta polinomski predstavnik enolično določen, zelo redka. Kot primer obravnavajmo raznoterost V = V( y − x 2) ⊂ R2. Polinom f = x 3 + y 3 predstavlja polinomsko funkcijo iz V v R. Polinomi g = x 3 + y 3 + ( y − x 2), h = x 3 + y 3 + ( x 4 y − x 6) in F = x 3 + y 3 + q( x, y)( y − x 2) predstavljajo enako polinomsko funkcijo na raznoterosti V . Ker je I( V ) množica polinomov, ki so ničelni v vsaki točki raznoterosti V , dodajanje poljubnega polinoma iz I( V ) k polinomu f ne spremeni vrednosti polinoma v točkah raznoterosti V . V splošnem torej velja, da če je V ⊂ km afina raznoterost, potem f in g predstavljata isto polinomsko funkcijo na V natanko tedaj, ko je f − g ∈ I( V ). Podobno velja tudi za vektorske funkcije: ( f 1 , . . . , fn) in ( g 1 , . . . , gn) predstavljata enaki polinomski preslikavi iz V v kn natanko tedaj, ko za vsak 1 ≤ i ≤ n velja fi − gi ∈ I( V ) (glej [27]). Tako je zveza med polinomi v k[ x 1 , . . . , xm] in polinomskimi funkcijami bijektivna samo, če je I( V ) = { 0 }, kar je natanko takrat, ko je k neskončno polje in je V = km. Definicija 1.5.25 S k[ V ] oznaˇ cimo mnoˇ zico vseh polinomskih funkcij ζ : V → k s seštevanjem in mnoˇ zenjem s skalarjem, ki sta podedovana iz k: ζ 1( x 0) + ζ 2( x 0) = ( ζ 1 + ζ 2)( x 0) in α · ζ( x 0) = ( αζ)( x 0) za vse x 0 ∈ V . Hitro vidimo, da je množica k[ V ] komutativni kolobar, saj zanjo veljajo vse običajne lastnosti vsote in produkta, ki veljajo za polinome iz k[ x 1 , . . . , xn]. V izreku 1.5.10 smo videli, da je raznoterost V ireducibilna natanko tedaj, ko je I( V ) praideal. Kolobar k[ V ] nam poda še eno karakterizacijo ireducibilnosti raznoterosti V . V dodatku A smo povedali, kdaj je komutativni kolobar cel. Če obravnavamo raznoterost V = V( x 3 + xy 2 − xz, yx 2 + y 3 − yz), vidimo, da ni ireducibilna, saj jo lahko zapišemo kot unijo V = V( x 2 + y 2 −z) ∪V( x, y). Naj bosta polinoma f = x 2 + y 2 −z in g = 2 x 2 − 3 y 4 z elementa kolobarja k[ x, y, z] ter ζ 1 = f in ζ 2 = g elementa kolobarja k[ V ]. Opazimo, da niti ζ 1 niti ζ 2 ni identično enak nič na raznoterosti V . Na primer v točki (0 , 0 , 5) ∈ V je ζ 1(0 , 0 , 5) = f (0 , 0 , 5) = − 5 ̸= 0. Podobno v točki (1 , 1 , 2) ∈ V je ζ 2(1 , 1 , 2) = g(1 , 1 , 2) = − 4 ̸= 0. Vseeno pa je produkt funkcij ζ 1 · ζ 2 ničelen v vsaki točki raznoterosti V . Razlog je, da je f · g =( x 2 + y 2 − z)(2 x 2 − 3 y 4 z) =2 x( x 3 + xy 2 − xz) − 3 y 3 z( x 2 y + y 3 − yz) ∈ ⟨x 3 + xy 2 − xz, x 2 y + y 3 − yz⟩. Zato je f · g ∈ I( V ) in ustrezna polinomska funkcija ζ 1 · ζ 2 je ničelna na raznoterosti V . Produkt dveh neničelnih elementov polja k ali dveh neničelnih elementov iz k[ x 1 , . . . , xn] ni nikoli enak nič. Za kolobar k[ V ] pa smo v zgornjem primeru videli, da to ne drži, kar pomeni, 48 1 Polinomski ideali in afine raznoterosti da ta kolobar ni cel. Obstoj takšnih ζ 1 ̸= 0 in ζ 2 ̸= 0, da je ζ 1 · ζ 2 = 0, je direktna posledica dejstva, da V ni ireducibilna raznoterost. Polinom f = x 2 + y 2 − z je ničelni na raznoterosti V 1 = V( x 2 + y 2 − z), vendar ne tudi na V 2 = V( x, y), in podobno, polinom g = 2 x 2 − 3 y 4 z je ničelni na raznoterosti V 2, vendar ne na V 1. To je razlog, da je polinom f · g ničelen v vsaki točki raznoterosti V = V 1 ∪ V 2. V naslednji trditvi vidimo zvezo med geometrijskimi lastnostmi raznoterosti V in algebraičnimi lastnostmi kolobarja k[ V ]. Trditev 1.5.26 Naj bo V ⊂ kn afina raznoterost. Tedaj je V ireducibilna natanko tedaj, ko je k[ V ] cel kolobar. Dokaz. Predpostavimo, da je V ireducibilna raznoterost. Recimo, da k[ V ] ni cel kolobar. Tedaj obstajata takšna polinoma f, g ∈ k[ x 1 , . . . , xn], da noben ni ničelni na raznoterosti V , njun produkt pa je ničelen na V . Hitro lahko pokažemo, da se da V zapisati kot V = ( V ∩ V( f )) ∪ ( V ∩ V( g)) in da tedaj velja V ∩ V( f ) ̸= V in V ∩ V( g) ̸= V . To pa je v protislovju s predpostavko, da je V ireducibilna raznoterost. Za dokaz obratne implikacije predpostavimo, da je k[ V ] cel kolobar in da V ni ireducibilna raznoterost. Po definiciji 1.5.6 lahko V zapišemo kot V = V 1 ∪ V 2, kjer sta V 1 in V 2 podrazno- terosti raznoterosti V in V 1 ̸= V in V 2 ̸= V . Naj bo f ∈ k[ x 1 , . . . , xn] polinom, ki je ničelni na V 1, vendar ne na V 2, in podobno, g ∈ k[ x 1 , . . . , xn] polinom, ki je ničelni na V 2, vendar ne na V 1. Obstoj takšnih polinomov f in g je zagotovljen, saj sta V 1 in V 2 raznoterosti in nobena ni vsebovana v drugi. Zato noben od polinomov f in g ne predstavlja ničelne funkcije v k[ V ]. Vseeno pa je produkt f · g ničelni v vseh točkah raznoterosti V = V 1 ∪ V 2. Zato je produkt ustreznih funkcij v k[ V ] ničelni. To pa je v protislovju s predpostavko, da je k[ V ] cel kolobar in zato je V ireducibilna raznoterost. Kolobar k[ V ] je poseben primer t. i. kvocientnega kolobarja k[ x 1 , . . . , xn] po modulu ideala I. Zaradi besede kvocientni bi pričakovali, da bomo definirali operacijo deljenja, ampak to ni res. Konstrukcija kvocienta je temeljno orodje v komutativni algebri in algebraični geometriji. Za zečetek si poglejmo naslednjo definicijo. Definicija 1.5.27 Naj bo I ⊂ k[ x 1 , . . . , xn] ideal in polinoma f, g ∈ k[ x 1 , . . . , xn] . Pravimo, da sta f in g kongruentna po modulu I, kar zapiˇ semo kot f ≡ g mod I, ˇ ce je f − g ∈ I. Na primer, če je I = ⟨x 2 − y 2 , x + y 3 + 1 ⟩ ⊂ k[ x, y], potem sta polinoma f = x 4 − y 4 + x in g = x + x 5 + x 4 y 3 + x 4 kongruentna po modulu I, saj je f − g = x 4 − y 4 − x 5 − x 4 y 3 − x 4 =( x 2 + y 2)( x 2 − y 2) − x 4( x + y 3 + 1) ∈ I. Najpomembnejša lastnost kongruence je, da je ekvivalenčna relacija, ki razdeli množico S na disjunktne podmnožice, t. i. ekvivalenčne razrede. Za poljuben polinom f ∈ k[ x 1 , . . . , xn] je razred [ f ] definiran kot množica [ f ] = {g ∈ k[ x 1 , . . . , xn] : g ≡ f mod I}. 1.5 Operacije na idealih in raznoterostih 49 Definicija 1.5.28 Kvocient kolobarja k[ x 1 , . . . , xn] po modulu I, k[ x 1 , . . . , xn] /I, je mnoˇ zica ekvivalenˇ cnih razredov za kongruenco po modulu I: k[ x 1 , . . . , xn] /I = {[ f ] : f ∈ k[ x 1 , . . . , xn] }. Na primer naj bo k = R, n = 1 in I = ⟨x 2 − 3 ⟩. Vprašamo se, če obstaja kak način za opis vseh ekvivalenčnih razredov za kongruenco po modulu I. Zaradi algoritma deljenja lahko vsak polinom f ∈ R[ x] zapišemo kot f = q( x 2 − 3) + r, kjer je r = ax + b za neka a, b ∈ R. Po definiciji je f ≡ r mod I, saj je f − r = q( x 2 − 3) ∈ I Zato vsak element kolobarja R[ x] pripada enemu izmed ekvivalenčnih razredov [ ax + b] in R[ x] /I = {[ ax + b : a, b ∈ R }. Za izračun generatorjev množice k[ x 1 , . . . , xn] /I v splošnem glej [27, Pog. 5, § 3]. Ker je k[ x 1 , . . . , xn] kolobar, lahko za dana ekvivalenčna razreda [ f ] , [ g] ∈ k[ x 1 , . . . , xn] /I definiramo operaciji vsote in produkta z uporabo ustreznih operacij na elementih kolobarja k[ x 1 , . . . , xn]: [ f ] + [ g] = [ f + g] (1.41) [ f ] · [ g] = [ f · g] . Operaciji (1.41) sta dobro definirani na k[ x 1 , . . . , xn] /I [27]. Kot primer vzemimo kvocientni kolobar R[ x] /⟨x 2 − 3 ⟩. Kot mo videli prej, razredi [ ax + b], a, b ∈ R, tvorijo popoln seznam elementov kolobarja R[ x] /⟨x 2 − 3 ⟩. Operacija vsote je definirana kot [ ax + b] + [ cx + d] = ( a + c) x + ( b + d) in produkt je definiran kot [ ax + b] · [ cx + d] = ( ad + bc) x + ( bd + 2 ac) . Ko enkrat vemo, da sta operaciji v (1.41) dobro definirani, takoj sledi, da je k[ x 1 , . . . , xn] /I komutativni kolobar. Sedaj želimo za dano raznoterost V opisati zvezo med kvocientnim kolobarjem k[ x 1 , . . . , xn] /I( V ) in kolobarjem polinomskih funkcij k[ V ]. Za dokaz naslednjega izreka glej [27, Pog. 5, § 2]. Izrek 1.5.29 Zveza med polinomskimi funkcijami ϕ : V → k in ekvivalenčnimi razredi polino- mov v smislu kongruence po modulu I( V ) je bijektivna oz. kolobarja k[ x 1 , . . . , xn] /I( V ) in k[ V ] sta izomorfna: k[ V ] ∼ = k[ x 1 , . . . , xn] /I( V ) . V nadaljevanju se seznanimo s pojmom koordinatnega kolobarja afine raznoterosti. Vsaka spre- menljivka xi poda polinomsko funkcijo [ xi] : V → k, katere vrednost v točki p ∈ V je i-ta koordinata točke p. Pravimo, da je [ xi] ∈ k[ V ] i-ta koordinatna funkcija na V . Tedaj iz izomor- fizma k[ V ] ∼ = k[ x 1 , . . . , xn] /I( V ) sledi, da koordinatne funkcije generirajo k[ V ] v smislu, da je poljubna polinomska funkcija na raznoterosti V k-linearna kombinacija produktov [ xi]. Definicija 1.5.30 Koordinatni kolobar afine raznoterosti V ⊂ kn je kolobar k[ V ] . Da bi videli, kaj ima k[ V ] opraviti z razsežnostjo, si najprej poglejmo pojem algebraične neod- visnosti elementov. 50 1 Polinomski ideali in afine raznoterosti Definicija 1.5.31 Pravimo, da so elementi η 1 , . . . , ηr ∈ k[ V ] algebraično neodvisni nad k, če obstaja neniˇ celni polinom p od r spremenljivk s koeficienti iz k, da je p( η 1 , . . . , ηr) = 0 . Opazimo, če so η 1 , . . . , ηr ∈ k[ V ] algebraično neodvisni nad k, so vsi ηi različni in neničelni. Prav tako ni težko videti, da je poljubna podmnožica množice {η 1 , . . . , ηr} tudi sama algebraično neodvisna nad k. Najpreprostejši primer algebraično neodvisnih elementov nastopi, ko je V = kn. Če je k neskončno polje, je I( V ) = { 0 } in zato je k[ V ] = k[ x 1 , . . . , xn]. Tukaj so elementi x 1 , . . . , xn algebraično neodvisni nad k, saj iz p( x 1 , . . . , xn) = 0 sledi, da je p ničelni polinom. Kot naslednji primer obravnavajmo krivuljo v R3, ki smo jo že spoznali in je podana z V( y − x 2 , z − x 3). Sledi, da je I( V ) = ⟨y − x 2 , z − x 3 ⟩. Pokažimo, da je [ x] ∈ R[ V ] algebraično neodvisen element nad R. Recimo, da je p tak polinom s koeficienti iz R, da zanj velja p([ x]) = 0 v R[ V ]. Zaradi definicije operacij v R[ V ] (glej (1.41)) velja, da je [ p( x)] = [0] in tako je p( x) ∈ I( V ). Vendar lahko hitro pokažemo, da je R[ x] ∩ ⟨y − x 2 , z − x 3 ⟩ = { 0 }, kar dokazuje, da je p ničelni polinom. Po drugi strani pa hitro vidimo, da [ x] , [ y] ∈ R[ V ] nista algebraično neodvisna nad R, saj je [ y] − [ x]2 = [0] v R[ V ], kar sledi iz R[ x, y] ∩ ⟨y − x 2 , z − x 3 ⟩ = ⟨y − x 2 ⟩ ̸= { 0 }. V naslednjem izreku povežemo razsežnost raznoterosti V s številom algebraično neodvisnih elementov koordinatnega kolobarja k[ V ] (glej [27, Pog. 5, § 5] za dokaz). Izrek 1.5.32 Naj bo V ⊂ kn afina raznoterost. Tedaj je razsežnost raznoterosti V enaka ma- ksimalnemu ˇ stevilu elementov koordinatnega kolobarja k[ V ] , ki so algebraiˇ cno neodvisni nad k. Vidimo torej, da d ( d = dim V ) algebraično neodvisnih elementov, ki jih najdemo v k[ V ], izhaja iz koordinat. Zato lahko uporabimo to za drugo formulacijo razsežnosti. Posledica 1.5.33 Naj bo V ⊂ kn afina raznoterost. Tedaj je razsežnost raznoterosti V enaka najveˇ cjemu ˇ stevilu r ∈ N , za katerega obstaja r spremenljivk xi 1 , . . . , xir, da velja I( V ) ∩ k[ xi 1 , . . . , xir] = { 0 } (t. j. I( V ) ne vsebuje neničelnega polinoma v spremenljivkah xi 1 , . . . , xir.. Če je k algebraično zaprto polje, lahko dokažemo (glej [27]), da posledica 1.5.33 velja tudi, če ideal I( V ) zamenjamo s katerimkoli idealom I, ki definira V . Ker znamo izračunati I ∩ k[ xi 1 , . . . , xir] (glej teorijo eliminacijskih idealov v razdelku 1.3), posledica 1.5.33 poda alternativno metodo (žal ne najbolj učinkovito) za izračun razsežnosti raznoterosti. Prav tako lahko posledico 1.5.33 interpretiramo v smislu projekcij. Če izberemo r spre- menljivk xi 1 , . . . , xir, dobimo projekcijsko preslikavo π : kn → kr, definirano s π( a 1 , . . . , an) = ( ai 1 , . . . , air). Naj bo I = I( V ) ∩ k[ xi 1 , . . . , xir] ustrezen eliminacijski ideal. Če je k algebraično zaprto polje, izrek zaprtja (izrek 1.3.5) pove, da je V( I) ∩ kr najmanjša raznoterost, ki vsebuje projekcijo π( V ). Sledi, da je I = { 0 } ⇔ V( I) = kr ⇔ najmanjša raznoterost, ki vsebuje π( V ), je kr. V nadaljevanju obravnavamo zvezo med parametrizacijo raznoterosti in razsežnostjo raznoterosti in v ta namen najprej definiramo naslednji pojem. Definicija 1.5.34 Podmnoˇ zica od kn je gosta v Zariskijevi topologiji, ˇ ce je najmanjˇ sa raznote- rost, ki vsebuje to podmnoˇ zico, mnoˇ zica kn. 1.5 Operacije na idealih in raznoterostih 51 Posledica 1.5.33 pove, da je razsežnost raznoterosti V največja razsežnost koordinatnega pod- prostora, za katerega je projekcija od V gosta v ustreznem podprostoru v Zariskijevi topologiji. Navedimo še en pojem, s katerim opišemo razsežnost raznoterosti. Naj bo ζ : V → W polinomska preslikava med afinima raznoterostima V in W . Preslikava ζ inducira homomorfizem kolobarjev ζ∗ : k[ W ] → k[ V ] (glej [27, Pog. 5, § 4]), ki je identiteta na k. Iz ζ vidimo, da je ζ( V ) ⊂ W . Pravimo, da je ζ dominantna preslikava, če je najmanjša raznoterost v W , ki vsebuje ζ( V ), raznoterost W . Vidimo, da je ζ dominantna, če je njena slika gosta v W glede na Zariskijevo topologijo. Ker velja, da je W ′ prava podraznoterost od W natanko tedaj, ko obstaja neničelni element [ f ] ∈ k[ W ], da je W ′ ⊂ W ∩ V( f ) (glej [27]), hitro izpeljemo, da je ζ dominantna preslikava natanko tedaj, ko je homomorfizem ζ∗ : k[ W ] → k[ V ] bijektiven. Od tod in iz izreka 1.5.32 sledi, da če je ζ dominantna, je dim V ≥ dim W . Predpostavimo, da je k neskončno polje in da je F : km → V polinomska parametrizacija raznoterosti V , dana z (1.35). Tako je m število parametrov in po izreku 1.5.17 je V najmanjša raznoterost, ki vsebuje F ( km), od koder sledi, da F poda dominantno preslikavo. Sledi, da je dim( km) ≥ dim V in ker je dim( km) = m, je dim V ≤ m. Podoben razmislek velja tudi za racionalno parametrizacijo: če je F : km\W → V racionalna parametrizacija raznoterosti V , dana z (1.37), je dim V ≤ m. Sedaj poglejmo, kako je razsežnost povezana z geometrijskimi lastnostmi raznoterosti V . Ko gledamo ploskev V ∈ R3, je eden izmed razlogov, da rečemo, da je dvorazsežna, to, da v točki p ∈ V majhen del ploskve izgleda kot majhen del ravnine. To se odraža v tem, da tangentna ravnina aproksimira V v točki p. Moramo pa biti previdni, kajti ploskev lahko vsebuje točke, kjer ni tangentne ravnine. Na primer, če pogledamo stožec V( x 2 + y 2 − z 2), ima tangentno ravnino povsod razen v izhodišču. Da bomo to bolje razumeli, vpeljemo koncept gladke točke. Definicija 1.5.35 Naj bo V ⊂ kn afina raznoterost in p ∈ ( p 1 , . . . , pn) ∈ V neka točka iz V . • ˇ Ce je f ∈ k[ x 1 , . . . , xn] polinom, je linearni del od f v točki p, ki ga označimo z dp( f ) , definiran kot ∂f ∂f dp( f ) = ( p)( x 1 − p 1) + · · · + ( p)( xn − pn) . ∂x 1 ∂xn Stopnja dp( f ) je kvečjemu ena. • Tangentni prostor od V v točki p, ki ga označimo s Tp( V ) , je raznoterost Tp( V ) = V( dp( f ) : f ∈ I( V )) . Če je p ∈ V ⊂ kn in I( V ) = ⟨f 1 , . . . , fs⟩, je Tp( V ) = V( dp( f 1) , . . . , dp( fr)) (glej [27, Pog. 9, § 6]). Najlepše točke raznoterosti V so tiste, kjer ima Tp( V ) enako razsežnost kot V . To načeloma ne velja, kadar V sestoji iz ireducibilnih komponent različnih razsežnosti. Na primer, naj bo V = V( xz, yz) ⊂ R3, ki je razsežnosti 2, kot smo že zgoraj videli. Ta raznoterost je unija ( x, y)-ravnine in z-osi. Hitro lahko preverimo, da je   2 p je na ( x, y)-ravnini brez izhodišča dim Tp( V ) =  1 p je na z-osi brez izhodišča . 3 p je izhodišče Vidimo, da je za točke na z-osi dim Tp( V ) < dim V in ta problem nastopi, ker smo na komponenti “napačne” dimenzije. Zato v nadaljevanju definiramo razsežnost raznoterosti v točki in gladke točke. 52 1 Polinomski ideali in afine raznoterosti Definicija 1.5.36 Naj bo V afina raznoterost. Za p ∈ V je razsežnost od V v točki p, ki jo oznaˇ cimo z dim p V , enaka maksimalni razsežnosti vseh ireducibilnih komponent razsežnosti V , ki vsebujejo p. Definicija 1.5.37 Naj bo p toˇ cka afine raznoterosti V . Tedaj je p gladka (ali nesingularna), ˇ ce je dim Tp( V ) = dim p V . ˇ Ce to ne velja, je p singularna toˇ cka raznoterosti V . Če je V ⊂ kn afina raznoterost, se množica Σ = {p ∈ V : p je singularna točka raznoterosti V } imenuje singularni lokus raznoterosti V . V splošnem imajo singularne točke raznoterosti nasle- dnje lastnosti (glej [27] za dokaz). Izrek 1.5.38 Za mnoˇ zico Σ velja: • Σ je afina raznoterost, vsebovana v V ; • če je p ∈ Σ , je dim p V < dim Tp( V ) ; • Σ ne vsebuje ireducibilnih komponent od V ; • če sta Vi in Vj različni ireducibilni komponenti raznoterosti V , je Vi ∩ Vj ⊂ Σ . Pri določanju singularnih (in gladkih) točk raznoterosti si lahko pomagamo z naslednjim rezulta- tom [27]. Še prej vpeljemo nekaj oznak. Za podane f 1 , . . . , fr ∈ k[ x 1 , . . . , xn] naj bo J( f 1 , . . . , fr) Jacobijeva matrika (matrika delnih odvodov) razsežnosti r × n,   ∂f 1 · · · ∂f 1  ∂x 1 ∂xn . .  J ( f . . . . 1 , . . . , fr ) =  . . .  . ∂fr · · · ∂fr ∂x 1 ∂xn Z Jp( f 1 , . . . , fr) označimo matriko števil J( f 1 , . . . , fr), ovrednoteno v točki p. Izrek 1.5.39 Naj bo V( f 1 , . . . , fr) poljubna raznoterost in p ∈ V točka, kjer ima Jp( f 1 , . . . , fr) rang enak r. Tedaj je p gladka toˇ cka raznoterosti V in leˇ zi na enoliˇ cni ireducibilni komponenti raznoterosti V , ki je razseˇ znosti n − r. Izrek 1.5.39 nam omogoči, da določimo gladke (in singularne) točke raznoterosti V . S tem si bomo v poglavju 3 pomagali pri določanju cikličnosti generičnih točk na komponentah centralne raznoterosti. Določili bomo cikličnost gladkih točk z izračunom t. i. minorjev Jacobijeve matrike. Vrnimo se nekoliko nazaj, kjer smo izpeljali, da je dim V ≤ m, če je V določena s polinomsko ali racionalno parametrizacijo z m neodvisnimi parametri. Če zelimo preveriti, da je razsežnost natanko m, lahko uporabimo izrek 1.5.39 na naslednji način: • Recimo, da je parametrizacija raznoterosti V podana z F ( t 1 , ..., tm) = ( f 1( t 1 , ..., tm) , ..., fr( t 1 , ..., tm)) , torej V leži v r-razsežnem prostoru. • Izračunamo Jacobijevo matriko J( f 1 , ..., fr), katere i-ta vrstica vsebuje delne odvode funk- cij fi glede na spremenljivke t 1 , ..., tm. Torej je J( f 1 , ..., fr) matrika razsežnosti r × m. • Izračunamo rang matrike J( f 1 , ..., fr) v poljubni točki ( t 1 , ..., tm). Če je rang enak m, ima raznoterost razsežnost natanko m. 1.6 Sistem raˇ cunske algebre Singular 53 1.6 Sistem raˇ cunske algebre Singular V tem razdelku na kratko opišemo sistem računske algebre Singular, ki je prosto dostopen sistem računske algebre in ga pogosto uporabljamo pri analizi polinomskih sistemov. Naj- demo ga na http: \\ www.singular.uni-kl.de. Ena izmed prednosti Singularja je, da omogoča eno najhitrejših implementacij Buchbergerjevega algoritma za izračun Gröbnerjevih baz. Prav tako omogoča faktorizacijo polinomov več spremenljivk, izračun rezultant, izračun primarne dekompozicije, resolucijo singularnosti in še veliko podobnih operacij. Mi se v tej monografiji osredotočimo predvsem na uporabo Singularja za operacije nad ideali, ki smo jih opisali v tem poglavju in jih bomo uporabili v poglavju 3 pri reševanju nekaterih problemov. Singular lahko zaženemo bodisi v načinu ”Shell” z vnosom besede Singular na terminalu ali z besedo ESingular, ki zažene Singular znotraj Emacs-a. Singular vsebuje programski jezik C, ki uporabniku omogoča pisanje svojih knjižnic in postopkov za razširitev Singularjevih zmogljivosti. Ko je Singular zagnan, vnesemo podatke za ukaz (rutino) za znakom > . Vsak ukaz se konča s podpičjem ;. Za znakom // izpišemo rezultat izračuna. 2+1; //3 Vsak objekt ima lastnost oz. “tip objekta”, na primer celoštevilske spremenljivke so tipa int. Naloga je podana s simbolom =, enakost s simboloma == in != (ali <>), Boolovi spremenljivki (0 ali 1) pa vrneta pravilnost zapisa. int i = 2; i == 1; //0 i != 2; //1 Vrednost objekta je prikazana z njegovim imenom. i; //2 Zadnji prikazan rezultat je vedno na voljo s simbolom podčrtaj _. To je še posebej uporabno, če delamo z dolgimi interaktivnimi izračuni in pozabimo shraniti rezultat v spremenljivko. LIB"general.lib"; factorial(37);""; ring r1=0,x,dp; factorial (37,0); number p= _; p; // 13763753091226345046315979581580902400000000 54 1 Polinomski ideali in afine raznoterosti Prejšnji primer kaže mnoge funkcije v Singularju, ki jih moramo opisati. V prvi vrstici kličemo knjižnico general.lib. Mnogi ukazi v Singularju so shranjeni v knjižnicah, ki jih moramo naložiti, da jih potem lahko uporabljamo. Ukaz factorial(37) vrne 37! tipa niz, če je le ta naveden z enim argumentom. Vendar, ko je enkrat kolobar (ring) definiran, vrne število (number), če je opisan z dvema argumentoma. Število je tedaj element polja (v tem primeru je to Q). Ta primer kaže, da ima lahko procedura različno število vnosnih podatkov in prav tako različno število izhodnih podatkov. Nadalje tudi ponazori, da mora biti večina objektov v Singularju definiranih znotraj konteksta kolobarja. Najboljši način, da se naučimo porabljati Singular, je uporaba spletne dokumentacije bodisi preko prej navedene spletne strani ali preko “pomoči”, ki je vključena v namestitvi. Do pomoči dostopamo z ukazom help. Na primer, če zelimo dobiti informacije o intmat, ki definira matriko celih števil, vtipkamo help intmat; Cela števila (int), celoštevilske matrike (intmat), celoštevilski vektorji (intvec) in nizi (string) so lahko definirani brez predhodne aktivacije kolobarja (ring). Celoštevilsko matriko z elementi 1,2,3,4,5,6,7,8,9, definiramo na naslednji način: intmat m[3][3]=1,2,3,4,5,6,7,8,9; //1,2,3, //4,5,6, //7,8,9 To definira 3 × 3 matriko z elementi, ki so cela števila, in jo inicializira z nekimi vrednostmi. Vsak element matrike lahko spremenimo in/ali izberemo z uporabo oglatih oklepajev [...]. V spodnjem primeru postavimo element v prvi vrstici in tretjem stolpcu matrike m na nič. Ukaz print poda lepši izpis rezultata. m[1,3]=0; m; //1,2,0, //4,5,6, //7,8,9 print(m); // 1 2 0 // 4 5 6 // 7 8 9 Za izračun sledi matrike uporabimo for zanko. Zavita oklepaja {·} označujeta začetek in konec bloka. Če definiramo spremenljivko brez podane začetne vrednosti (kot spremenljivko tr kot v primeru spodaj), ji Singular dodeli privzeto vrednost specifičnega tipa. Privzeta vrednost za cela števila je 0. Za izračun sledi matrike m uporabimo spodnji ukaz: int tr; for ( int j=1; j<=3; j++){ tr=tr + m[j,j]; } tr; //15 1.6 Sistem raˇ cunske algebre Singular 55 Nizi so razmejeni s simbolom ”(dvojni narekovaj). Lahko so uporabljeni za komentiranje podatkov, ki jih dobimo kot rezultat izračunov. Če niz vsebuje pravilne ukaze Singularja, je to lahko izvršeno s pomočjo funkcije execute. Rezultat je enak, kot če bi ukazi bili zapisani v ukazni vrstici. Ta lastnost je še posebej uporabna pri definiciji novih kolobarjev znotraj procedur. "primer za nize:"; //primer za nize: string s="Element matrike m"; s=s+"na polozaju [2,3] je:"; // zdruzevanje nizov s + s , m[2,3] , "."; //Element matrike m na polozaju [2,3] je: 6. s="m[3,1]=0; m;"; execute(s); // 1,2,0, // 4,5,6, // 0,8,9 Ta primer kaže, da so izrazi lahko ločeni z vejico, če podamo seznam izrazov. Singular ovrednoti vsak izraz tega seznama in jih loči s presledkom. Znak + v tretji vrstici uporabimo za združevanje nizov. 1.6.1 Kolobarji in Gr¨ obnerjeve baze Za uporabo objektov, kot so ideali, matrike, moduli in polinomski vektorji, moramo najprej definirati kolobar. ring r = 0,(x,y,z),dp; Definicija kolobarja sestoji iz treh delov: prvi del določa polje, drugi del predstavlja imena spremenljivk v kolobarju, tretji del pa določa urejenost členov, ki jo želimo uporabiti. Zgornji primer predstavlja polinomski ideal, označen z r, nad poljem karakteristike 0 (t. j. racionalna števila) in spremenljivkami x, y in z. Kratica dp na koncu vrstice pomeni, da uporabimo stopenjsko inverzno leksikografsko urejenost. Ostale lastnosti, ki jih lahko priredimo kolobarju, so lahko: ring r1=32003,(x,y,z),dp; ring r2=32003, (a,b,c,d);lp; Kolobar r1 v prvi vrstici je definiran nad karakteristiko 32003 v spremenljivkah x, y, z in urejenostjo dp in podobno je kolobar r2 v drugi vrstici definiran nad karakteristiko 32003 v spremenljivkah a, b, c, d in urejenostjo lp (leksikografska urejenost). Leksikografska urejenost in stopenjsko inverzna leksikografska urejenost sta le dve izmed urejenosti, ki jih lahko uporabimo v Singularju, za ostale glej http: // www.singular.uni-kl.de / Manual / 2-0-5 / sing 364.htm. Če zapišemo ime kolobarja, potem se izpišejo njegove lastnosti. Spodnji primer kaže, da je privzet kolobar v Singularju Z / 32003[ x, y, z] s stopenjsko inverzno leksikografsko urejenostjo. ring r3; r3; 56 1 Polinomski ideali in afine raznoterosti // characteristic : 32003 // number of vars : 3 // block 1 : ordering dp // : names x y z // block 2 : ordering C Ko definiramo kolobar, je le-ta trenutni aktivni kolobar (Singular mu dodeli spremenljivko basering). Aktivni kolobar (basering) je zdaj r3 in če želimo spremeniti aktivni kolobar, uporabimo funkcijo setring: setring r; Ko je kolobar aktiviran, lahko definiramo polinome. Monom, recimo x 3, lahko zapišemo na dva načina: bodisi kot x^3 ali krajše kot x3. Opomnimo, da krajša oznaka ni primerna, če ime kolobarja sestoji iz več kot enega znaka. Prav tako Singular vedno razširi oklepaje in samodejno razvrsti člene glede na urejenost členov aktivnega kolobarja. poly f = x3+y3+(x-y)*x2y2+z2; f; // x3y2-x2y3+x3+y3+z2 Ukaz size v splošnem določa število posameznih vnosov v objektu. Za polinome size določa število monomov. size(f); //5 Naravno vprašanje, ki se pojavi je, če neka točka, recimo ( x, y, z) = (1 , 2 , 0) leži na raznoterosti, definirani s polinomoma f in g. Najprej definiramo ideal, generiran z obema polinomoma, vstavimo koordinate točke v spremenljivke kolobarja in preverimo, če je rezultat nič. poly g = f^2*(2x-y); ideal I = f,g; ideal J = subst(I,var(1),1); J = subst(J,var(2),2); J = subst(J,var(3),0); J; // J[1]=5 // J[2]=0 Ukaz var(n) izpiše n-to spremenljivko glede na vrstni red spremenljivk v definiciji kolobarja, npr. v zgornjem primeru var(1) izpiše x, var(2) izpiše y in var(3) izpiše z. Ukaz subst lahko med drugim nadomesti spremenljivko kolobarja v polinomu ( ali večih polinomih) z njeno vrednostjo, npr. v zgornjem primeru ukaz subst(J,var(2),2) pomeni, da v vse polinome ideala J vstavimo vrednost spremenljivke y, ki je 2. Rezultata J[1]=5 in J[2]=0 pomenita, da ko vstavimo v elementa ideala J točko (1 , 2 , 0), je vrednost polinoma f enaka 5 in vrednost polinoma g je 0. Ker rezultat ni enak nič v obeh primerih, točka (1 , 2 , 0) ne leži na raznoterosti V ( f, g). Naslednje vprašanje, ki se lahko pojavi je, če je neka funkcija ničelna na raznoterosti oz. na algebraični način povedano, če je polinom element ideala. V ta namen izračunamo Gröbnerjevo 1.6 Sistem raˇ cunske algebre Singular 57 bazo z uporabo ukaza groebner in nato reduciramo polinom glede na izračunano Gröbnerjevo bazo. ideal GI = groebner(f); reduce(g,GI); //0 Funkcija groebner tako kot mnoge druge funkcije v Singularju lahko izpiše potek izračunov. Ukaz option(prot) omogoča izpis poteka izračunov, medtem ko ga ukaz option(noprot) one- mogoči. Druga uporabna možnost za Singularjev ukaz groebner je option(redSB), ki vrne reducirano Gröbnerjevo bazo. Za izračun Gröbnerjeve baze pa lahko uporabimo tudi ukaz std (standardna baza). Ukaz reduce izračuna ostanek polinoma pri deljenju s polinomom ali množico polinomov. V razdelku 1.2 smo s pomočjo Gröbnerjevih baz podali rešitev k problemu pripadnosti idealu. Videli smo, da je neki polinom v idealu I natanko tedaj, ko je ostanek pri deljenju tega polinoma z elementi Gröbnerjeve baze ideala enak 0. Zgornji primer je pokazal, da polinom g pripada idealu, definiranemu s polinomom f , saj je ostanek enak nič. Poglejmo še en primer. S pomočjo Singularja preverimo, ali polinom f = x 2 yz + xy 2 z 2 + x 4 + z 2 + x 2 y 24 + 4 pripada idealu I = ⟨ 2 x 2 , xy + 2 z, x + z⟩. To v Singularju izračunamo na naslednji način. ring r=0,(x,y,z),lp; poly f=x2yz+xy2z2+x4+z2+x2y2z+4; ideal I=2x2,xy+2z,x+z; ideal GI=groebner(I); reduce(f,GI); //4 Ker je rezultat 4, polinom f ni element ideala I, če pa bi rezultat bil ničelen, bi veljalo f ∈ I. V razdelku 1.2 smo prav tako obravnavali problema enakosti idealov, kjer smo navedli, da sta neničelna ideala enaka natanko tedaj, ko imata enako reducirano Gröbnerjevo bazo glede na izbrano urejenost členov. Ukaz reduce nam prav tako pomaga pri preverjanju enakosti idealov. Vzemimo ideal I iz prejšnjega primera in ideal J = ⟨x, x 2 + xz⟩ ter preverimo, če sta enaka. Uporabimo leksikografsko urejenost. ring r=0,(x,y,z),lp; ideal I=2x2,xy+2z,x+z; ideal J=x,x2+xz; ideal GI=groebner(I); ideal GJ=groebner(J); reduce(GI,GJ); reduce(GJ,GI); // [1]=z2 // [2]=yz-2z // [3]=z // [1]=-z Funkcija reduce(GI,GJ) vzame vsak generator ideala GI in izračuna njegov ostanek pri deljenju z množico generatorjev ideala GJ in podobno funkcija reduce(GJ,GI). Če so vsi ostanki enaki 58 1 Polinomski ideali in afine raznoterosti nič, sta Gröbnerjevi bazi enaki in posledično sta ideala enaka. V zgornjem primeru ostanki niso ničelni in zato ideala I in J nista enaka. V razdelku 1.2 smo omenili, da se Gröbnerjeve baze uporabljajo večinoma za reševanje sis- temov enačb. Singular uporablja simbolno-numerične metode za izračun rešitev polinomskih enačb. Četudi je zahtevnost omenjenih metod večja kot zahtevnost čistih numeričnih metod, je zaželena njihova uporaba, saj se na primer izognemo težavam blizu singularnosti ali rešimo sisteme, ki vsebujejo parametre in s tem poskrbimo za simultano rešitev za vse vrednosti pa- rametrov. Najprej poglejmo primer 1.2.25 in izračunajmo reducirano Gröbnerjevo bazo ideala I = ⟨f 1 , f 2 , f 3 ⟩ glede na leksikografsko urejenost z z > y > x. ring r=0,(z,y,x),lp; option(redSB); poly f1=x2+y; poly f2=2x2y+x4; poly f3=xz+x4+xy+x2y2; ideal I=f1,f2,f3; ideal GI=groebner(I); GI; // GI[1]=x4 // GI[2]=y+x2 // GI[3]=zx-x3 Vidimo, da dobimo enako rešitev, kot smo jo izračunali v primeru 1.2.25, t. j. Gröbnerjeva baza ideala I je G = {x 4 , y + x 2 , zx − x 3 }. Sedaj poglejmo primer 1.2.26 in pokažimo, da Gröbnerjeva baza ideala I = ⟨f 1 , f 2 , f 3 ⟩, kjer so f 1, f 2 in f 3 polinomi (1.9), sestoji iz iz polinomov g 1 , . . . , g 6, ki so navedeni v (1.10). ring r=0,(x,y,z),lp; option(redSB); poly f1=z2y+z2; poly f2=x3y+x+y+1; poly f3=z+x2+y3; ideal I=f1,f2,f3; ideal GI=groebner(I); GI; //GI[1]=z4-z3 //GI[2]=yz2+z2 //GI[3]=y11+3y8z-2y7-4y4z+y3+y2+2y+z3-z2+z+1 //GI[4]=xz+y10-y9+y8+3y7z-y7-2y6z-y6+2y5z+y5-2y4z-y4-2y3z+y3+y2z-yz+y-z3+5z2+z+1 //GI[5]=xy+x+y7+2y4z-y3-z2-z //GI[6]=x2+y3+z 1.6 Sistem raˇ cunske algebre Singular 59 Poglejmo še, kako lahko rešimo sistem, ki vsebuje proste parametre. Poiščimo rešitev line- arnega sistema enačb 3 x + y + z − u = a 13 x + 8 y + 6 z − 7 u = b (1.42) 14 x + 10 y + 6 z − 7 u = c 7 x + 4 y + 3 z − 3 u = d, kjer so a, b, c in d prosti parametri in x, y, z in u spremenljivke sistema. // definiramo kolobar s 4 parametri in 4 spremenljivkami ring r = (0,a,b,c,d),(x,y,z,u),dp; ideal I= 3x+y+z-u-a, 13x+8y+6z-7u-b, 14x+10y+6z-7u-c, 7x+4y+3z-3u-d; option(redSB); ideal G = groebner(I); simplify(G,1); // _[1]=u+(6/5a+4/5b+1/5c-12/5d) // _[2]=z+(16/5a-1/5b+6/5c-17/5d) // _[3]=y+(3/5a+2/5b-2/5c-1/5d) // _[4]=x+(-6/5a+1/5b-1/5c+2/5d) Ukaz simplify(G,1) izpiše generatorje od G kot monične polinome. Rezultat _[1]= pomeni, da je u + 6 / 5 a + 1 / 5 b + 1 / 5 c − 2 / 5 d = 0 in podobno rezultati _[2]=, _[3]= in _[4]=. Torej je enolična rešitev sistema (1.42) enaka x = 6 / 5 a − 1 / 5 b + 1 / 5 c − 2 / 5 d, y = − 3 / 5 a − 2 / 5 b + 2 / 5 c + 1 / 5 d, z = − 16 / 5 a + 1 / 5 b − 6 / 5 c + 17 / 5 d, u = − 6 / 5 a − 4 / 5 b − 1 / 5 c + 12 / 5 d. Izvedba Buchbergerjevega algoritma za izračun Gröbnerjeve baze temelji v veliki meri na izbrani urejenosti členov. V splošnem je izračun Gröbnerjeve baze najtežji z leksikografsko ure- jenostjo. Vendar, če je ideal 0-razsežen, t. j. sistem ima končno število rešitev, lahko uporabimo FGLM algoritem, ki Gröbnerjevo bazo vedno poda z leksikografsko urejenostjo (tudi, če je bila urejenost v idealu v osnovi drugače definirana). LIB "ring.lib"; timer=0; // ring R = 0,(x,y,z),dp; ideal I=x7+y7, y7+z7, x7+z7+2, x6y+y6z+z6+x; // // izracun reducirane GB glede na dp // option(redSB); 60 1 Polinomski ideali in afine raznoterosti ideal J=std(I); // ali groebner(I) timer; //4 timer=0; // //definiramo nov kolobar S, porojen z enakimi polinomi kot R, //ampak s spremenjeno urejenostjo clenov def S=changeord("lp"); setring S; ideal J=fglm(R,J); timer; //0 timer=0; // // ukaz groebner odloci najboljso metodo za izracun GB // najprej moramo kopirati originalni ideal v kolobar S ideal I=imap(R,I); ideal K=groebner(I); timer; //4 timer=0; // // direktno izracunamo reducirano GB z leksikografsko urejenostjo // K=std(I); //............................................ Zadnji izračun porabi veliko procesorskega časa, zato ga lahko tudi zaustavimo, kar v Singularju naredimo z ukazom ^C-^C. Na koncu tega razdelka pokažimo še uporabo šibkega Hilbertovega izreka o ničlah (izrek 1.4.1). Izrek pravi, da sistem polinomskih enačb f 1 = 0 , · · · , fs = 0 nima rešitve nad poljem k natanko tedaj, ko je reducirana Gröbnerjeva baza ideala ⟨f 1 , . . . , fs⟩ enaka { 1 }. Vzemimo preprost primer x + 2 y − z = 2 3 x − 8 y + 3 z = 5 (1.43) − 2 x − 4 y + 2 z = 6 . Hitro se lahko prepričamo, da ta sistem nima rešitve, kar pa lahko pokažemo tudi s preprostim izračunom v Singularju. LIB "standard.lib"; ring r=0,(x,y,z),dp; option(redSB); ideal I= x+2y-z-2, 3x-8y+3z-5,-2x-4y+2z-6; ideal GI=groebner(I); GI; //GI[1]=1 1.6 Sistem raˇ cunske algebre Singular 61 Ker je Gröbnerjeva baza ideala enaka { 1 }, po izreku 1.4.1 sistem (1.43) nima rešitve. 1.6.2 Eliminacija spremenljivk Eliminacija spremenljivk je eden izmed načinov za iskanje rešitev polinomskega sistema. V Singularju lahko bodisi izberemo primerno urejenost (na primer produktno urejenost) ali upo- rabimo ukaz eliminate, ki računa v trenutni urejenosti z dodatnim obteženim vektorjem. Določimo vse vrednosti spremenljivke z v rešitvah spodnjega polinomskega sistema enačb: 4 z 8 y − 5 z 3 x − 3 x 2 y + xy 2 = 8 z 9 − 3 z 5 xy + z 3 x − (7 x 2 + 1) y − 2 xy 2 = 1 z 9 x(5 + 2 y) + 5 z 8 y + 5 z − x 2 y − 4 xy 2 = − 1 . // Najprej definiramo kolobar s produktno urejenostjo // da eliminiramo prvi dve spremenljivki ring R = 0,(x,y,z),(dp(2),lp); ideal I=4z8y-5z3x-3x2y+xy2-8, z9-3z5xy+z3x-(7x2+1)*y-2xy2-1, z9x*(5+2y)+5z8y+5z-x2y-4xy2+1; option(redSB); ideal J=groebner(I); // najdemo univarianten polinom v spremenljivki z simplify(lead(J),1); // _[1]=z85 // _[2]=y // _[3]=x poly g=J[1]; Nadalje izračunamo vse ničle univariantnega polinoma g. Uporabimo Laguerrev algoritem, ki je v Singularju izveden v knjižnici solve.lib. LIB "solve.lib"; // definiramo kolobar s kompleksnimi koeficienti, da shranimo nicle ring Rfloat = (complex,10,I),(x,y,z),lp; poly g=imap(R,g); list L = laguerre_solve(g,100,100); size(L); //85 // // da izberemo realne nicle, naredimo zanko na L //in z ukazom {L[i];} izpiemo vse nile for (int i=1; i<=size(L); i++) { if (impart(L[i]==0) {L[i];} } // -1.8135284651 // -1.559997662 62 1 Polinomski ideali in afine raznoterosti // -0.2679041558 // 0.9657875564 // 1.1035140081 // 1.2770264747 // 2.7768083 Sedaj poglejmo primer uporabe ukaza eliminate. Obravnavajmo I, ki je generiran s pripa- dajočima polinomoma sistema (1.15). Izračunajmo Gröbnerjevi bazi idealov I 1 = I ∪ C[ y, z] in I 2 = I ∪ C[ z]. Po izreku 1.3.2 najprej izračunamo Gröbnerjevo bazo G ideala I in potem iz nje izločimo polinome s spremenljivko x, da dobimo I 1 oz. s spremenljivkama x in y, da dobimo I 2. LIB "elim.lib"; ring r=0,(x,y,z),lp; option(redSB); ideal I= x2+y2+z2-1,xyz-1; ideal G=groebner(I); G; // G[1]=y4z2+y2z4-y2z2+1 // G[2]=x+y3z+yz3-yz eliminate(G,x); // _[1]=y4z2+y2z4-y2z2+1 eliminate(G,x*y); // _[1]=0 Prav tako lahko eliminiramo spremenljivke s pomočjo ukaza elim, ki upošteva vrstni red spremenljivk, naveden pri definiciji kolobarja. elim(G,1); //eliminiramo 1. spremenljivko (x) // _[1]=y4z2+y2z4-y2z2+1 elim(G,1..2); //eliminiramo 1. in 2. spremenljivko (x in y) // _[1]=0 Če bi želeli npr. v idealu, kjer nastopajo več kot tri spremenljivke, eliminirati prvo, drugo in tretjo spremenljivko, bi to zapisali z ukazom elim(G,1..3). 1.6.3 Korenski ideali Na koncu razdelka 1.4 smo navedli dve vprašanji, ki se nanašata na korenske ideale. Prvo je √ bilo, kako izračunati množico generatorjev korena I. V Singularju obstaja ukaz radical iz knjižnice primdec.lib [31], ki izračuna generatorje korena ideala. Najprej kot primer prikažimo izračun korena ideala I = ⟨xy 2 − y 3 − xy + y 2 , x 2 y − x 3 , x 3 − y 3 − x 2 + y 2 ⟩. LIB "primdec.lib"; ring r=0,(x,y),dp; ideal I= xy2-y3-xy+y2,x2y-x3,x3-y3-x2+y2; ideal J=radical(I); J; // _[1]=xy-y2-x+y // _[2]=x2-xy 1.6 Sistem raˇ cunske algebre Singular 63 √ Koren ideala I je torej ideal I = ⟨xy − y 2 − x + y, x 2 − xy⟩. S tem smo odgovorili na vprašanje o izračunu generatorjev korena ideala. Drugo vprašanje, ki smo ga zapisali na koncu razdelka 1.4, je, kako odločiti ali je ideal I korensk ideal. Spomnimo se, da je ideal I korenski natanko √ tedaj, ko je I = I. Prav tako se spomnimo rešitve problema enakosti idealov, ki pravi, da sta dva ideala enaka natanko tedaj, ko imata enako Gröbnerjevo bazo, kar pa lahko podobno kot zgoraj preverimo z ukazom reduce, ki vrne ostanke multideljenja. Vse to preverimo na zgornjem primeru. ideal GI=groebner(I); ideal GJ=groebner(J); reduce(GI,GJ); // _[1]=0 // _[2]=0 // _[3]=0 reduce(GJ,GI); // _[1]=xy-y2-x+y // _[2]=x2-y2-x+y √ Ker ukaz reduce(GJ,GI) vrne neničelne ostanke, sta ideala različna ( I ̸= I) in zato ideal I ni korenski ideal. Opazimo pa, da ko reduciramo Gröbnerjevo bazo ideala I z Gröbnerjevo bazo √ √ ideala I, so vsi ostanki 0. To pomeni, da če je f ∈ I, je tudi f ∈ I, od koder seveda sledi, √ da je I ⊂ I, kar je vedno res, kot smo že ugotovili v razdelku 1.4. V naslednjem podrazdelku bomo spoznali dve rutini za izračun primarne dekompozicije ideala. Pri tem bomo videli, da Singular vrne rezultat iz katerega je prav tako mogoče razbrati ali je ideal korenski. Na koncu se spomnimo še rešitve enega izmed problemov, ki smo jih obravnavali v tem poglavju, t. j. problem članstva v korenu, ki sprašuje, kdaj je neki polinom f element ideala √I. Pokazali smo, da je to natanko tedaj, ko je 1 ∈ ⟨ 1 − wf,f 1 ,...,fs⟩, kjer je ⟨f 1 ,...,fs⟩. Če zelimo to pokazati v Singularju, moramo v definiciji kolobarja definirati še eno dodatno spremenljivko w. Poglejmo, če je polinom f = x 2 + y element korena ideala I zgoraj. LIB "primdec.lib"; ring r=0,(w,x,y,z),dp; ideal I= xy2-y3-xy+y2,x2y-x3,x3-y3-x2+y2; poly f= x2+y; option(redSB); ideal J=1-w*f,I; groebner(J); // _[1]=xy-y2-x+y // _[2]=wx-wy-x+y // _[3]=wy2+x2+wy-y2-1 // _[4]=x3-y3-x2+y2 √ Vidimo, da Gröbnerjeva baza ni enaka { 1 }, zato f / ∈ I. 1.6.4 Operacije na raznoterostih V tem podrazdelku se osredotočimo na operacije na raznoterostih oz. posledično tudi na idealih, ki smo jih obravnavali v razdelku 1.5. Če želimo izračunati unijo dveh raznoterosti V 1 = V( I 1) 64 1 Polinomski ideali in afine raznoterosti in V 2 = V( I 2), kjer sta I 1 in I 2 ideala, lahko v Singularju izračunamo presek idealov I 1 in I 2 in nato polinomi preseka tvorijo komponente unije V 1 ∪ V 2 (glej (1.23)). Presek idealov lahko izračunamo s funkcijo intersect. Poglejmo to na primeru preseka, ki smo ga že izračunali v razdelku 1.5, t. j. izračunajmo presek idealov I 1 = ⟨x, y⟩ in I 2 = ⟨y 2 ⟩. LIB "general.lib"; ring r=0,(x,y),lp; ideal I1=x,y; ideal I2=y2; intersect(I1,I2); // _[1]=y2 Torej je I 1 ∩ I 2 = ⟨y 2 ⟩ in zato je V 1 ∪ V 2 = {( x, 0); x ∈ R }. Na podoben način izračunamo presek več kot dveh idealov. Recimo presek idealov I, J in L izračunamo z ukazom intersect(I,J,L); Nadalje si poglejmo, kako s Singularjem izračunamo razliko raznoterosti, ki je po izreku 1.5.4 povezana z operacijo kvocienta idealov. Kvocient dveh idealov izračunamo s funkcijo quotient. Vzemimo ideala I 1 in I 2 iz zgornjega primera in izračunajmo I 1 : I 2. LIB "general.lib"; ring r=0,(x,y),lp; ideal I1=x,y; ideal I2=y2; quotient(I1,I2); // _[1]=1 Ker je 1 ∈ I 1 : I 2, je I 1 : I 2 = k[ x 1 , . . . , xn] in V( I 1) \V( I 2) = ∅. Na koncu si poglejmo še ukaze, ki so povezani z dekompozicijo raznoterosti oz. ideala. Ko rešujemo sistem enačb, je pomembno razumevanje geometrije raznoterosti, ki je defini- rana s polinomi sistema. Pomemben korak k temu je izračun primarne dekompozicije ideala. Singular poskrbi za različne metode za izračun primarne dekompozicije ideala. V knjižnici primdec.lib lahko uporabimo dva različna algoritma za izračun le-te: primdecGTZ, ki teme- lji na Gianni-Trager-Zacharias algoritmu (glej [49]) in primdecSY, ki temelji na Shimoyama- Yokoyama algoritmu (glej [119]). Spodaj je preprost primer primarne dekompozicije ideala I = ⟨xy 2 − y 3 − xy + y 2 , x 2 y − x 3 , x 3 − y 3 − x 2 + y 2 ⟩. LIB "primdec.lib"; ring r=0,(x,y),dp; ideal I= xy2-y3-xy+y2,x2y-x3,x3-y3-x2+y2; primdecGTZ(I); // [1]: // [1]: // _[1]=x-y // [2]: _[1]=x-y // [2]: // [1]: 1.6 Sistem raˇ cunske algebre Singular 65 // _[1]=y-1 // _[2]=x2 // [2]: // _[1]=y-1 // _[2]=x // [3]: // [1]: // _[1]=y // _[2]=x2 // [2]: // _[1]=y // _[2]=x Vidimo, da je rezultat podan kot seznam parov idealov, kjer je vsak ideal določen z generatorji. Prvi ideal Qj v vsakem paru je primarni ideal v primarni dekompoziciji ideala I; drugi ideal Pj √ v vsakem paru je pridruženi praideal, t. j. koren prvega ideala: Pj = Qj. Če je drugi ideal v √ vsakem paru enak kot prvi, kar pomeni, da je Qj = Qj = Pj za vsak j, potem je vsak ideal Qj praideal. To pa pomeni, da smo ideal I zapisali kot presek praidealov in zato je po izreku 1.5.13 I korenski ideal. V zgornjem primeru vidimo, da je Q 1 = P 1 = ⟨x − y⟩, vendar pa je Q 2 = ⟨y − 1 , x 2 ⟩ ̸= P 1 = ⟨y − 1 , x⟩ in Q 3 = ⟨y, x 2 ⟩ ̸= P 3 = ⟨y, x⟩. Na ta način smo še enkrat dokazali, da ideal I ni korenski, kar smo naredili že zgoraj s pomočjo rutine radical. Tako nam izračun primarne dekompozicije ideala s pomočjo rutine primdecGTZ (ali primdecSY) omogoča preveriti, ali je dan ideal korenski. Če nas zanima dekompozicija raznoterosti ideala, je dovolj izračunati minimalno dekompo- zicijo korena ideala na praideale, saj kot smo videli v (1.25), na ta način dobimo ireducibilne podraznoterosti Vj raznoterosti V . V Singularju to naredimo z rutinama minAssGTZ (temelji na Gianni-Trager-Zacharias algoritmu) in minAssChar (temelji na metodi karakterističnih množic [123]). Izračunajmo minimalno dekompozicijo korenskega ideala od I iz prejšnjega primera. LIB "primdec.lib"; ring r=0,(x,y),dp; ideal I= xy2-y3-xy+y2,x2y-x3,x3-y3-x2+y2; minAssChar(I); // [1]: // _[1]=x-y // [2]: // _[1]=y-1 // _[2]=x Vidimo, da je rezultat preprostejši kot zgoraj pri izračunu primarne dekompozicije. Seveda pa se v primeru, da je ideal korenski, dobljeni ideali ujemajo s pridruženimi ideali v primarni dekompoziciji. V obravnavanem primeru vidimo, da lahko raznoterost V( I) zapišemo kot unijo dveh ireducibilnih raznoterosti: V( I) = V( x − y) ∪ V( y − 1 , x) . Včasih, ko izračunamo minimalno dekompozicijo korena ideala, izgledajo dobljeni praideali zelo zapleteno. V takem primeru lahko izračunamo Gröbnerjevo bazo vsakega praideala in na ta način poenostavimo zapis. To naredimo na naslednji način: 66 1 Polinomski ideali in afine raznoterosti LIB "primdec.lib"; ring r=0,(x,y),dp; ideal I= xy2-y3-xy+y2,x2y-x3,x3-y3-x2+y2; list L=minAssGTZ(I); int k; for(k=1;k<=size(L);k++) {L[k]=std(L[k]); }; L; Opazimo, da enkrat uporabimo rutino minAssChar, drugič pa minAssGTZ. Za računanje mi- nimalne dekompozicije korena ideala oz. minimalne dekompozicije raznoterosti je popolnoma vseeno, katero izmed obeh rutin uporabimo. Podobno velja pri izračunu primarne dekompozicije za rutini primdecGTZ in primdecSY. Na koncu dodajmo še primer izračuna minimalne dekompozicije raznoterosti s pomočjo mo- dularne aritmetike iz podrazdelka 1.5.3. LIB "primdec.lib"; ring r=32003,(x,y,z),dp; ideal I= 8x2y2+5xy3+3x3z+x2yz,x5+2y3z2+13y2z3+5yz4,8x3+12y3+xz2+3,7x2y4+18xy3z2+y3z3; groebner(I); // _[1]=x // _[2]=z2 // _[3]=y3+8001 minAssGTZ(I); // [1]: // _[1]=z // _[2]=y-12054 // _[3]=x // [2]: // _[1]=z // _[2]=y2+12054y+5296 // _[3]=x Ko računamo z modularno aritmetiko, lahko kot karakteristiko kolobarja uporabimo tudi kakšno drugo praštevilo, recimo 104729, 4236233, 179595127. Poglavje 2 Nekatera poglavja iz teorije dinamiˇ cnih sistemov V tem poglavju so obravnavani predvsem tisti pojmi iz teorije dinamičnih sistemov, ki nastopajo v poglavju 3. S fizikalnega stališča dinamični sistemi izvirajo iz Newtonove mehanike in so primarno opisovali nihanja in druga gibanja v prostoru R n predvsem za n = 2 , 3 , 4 ter n = 2 k. Opis gibanja je podan bodisi z diferencialno oz. diferenčno enačbo ali pa kot iteracija nekih (lahko tudi različnih in slučajnih) funkcij. Kot del matematike so dinamični sistemi “zaživeli” leta 1881 z objavo Poincaréja [100] in potem še z delom Ljapunova [80] enajst let kasneje. Prvič se pojem “dinamični sistem” pojavi v knjigi Birkhoffa [9]. Poincaréjeve sečne ploskve in Poincaré-Ljapunov izrek (glej str. 95) spadajo med najo- snovnejše rezultate teorije, ki jo danes imenujemo “teorija dinamičnih sistemov”. Z razvojem računalništva se je krog raziskovalcev eksponentno širil tudi na obravnavo nelinearnih sistemov, vse do obravnave kaosa v zveznih in diskretnih sistemih. 2.1 Uvod v teorijo dinamiˇ cnih sistemov Naj bo M fazni prostor (običajno lokalno homeomorfen R n ali C n - mnogoterost) oziroma prostor stanj (dinamičnega sistema). Prostor M skupaj s funkcijo F t : T ×M → M, ki vsaki točki ⃗ x ∈ M priredi stanje - sliko po “času” t ∈ T, imenujemo (deterministični) dinamični sistem: ( ) M, F t dinamični sistem. (2.1) ( ) Formalno je dinamični sistem trojica M, T , F t , kjer je M fazni prostor (stanj), T = R ali T = Z predstavlja čas (ki določa spremembo stanja v faznem prostoru), F t pa je enoparame- trična grupa transformacij prostora M, ki je določena z neko vektorsko funkcijo f . Če gre za ( ) sistem NDE, je vektorsko polje f s transformacijo F t določeno z enačbo f ( ⃗ x) := dF t( ⃗ x) in dt t=0 pripadajoči sistem NDE ima obliko ⃗ x′ = f ( ⃗ x) . V splošnem na osnovi podanega polja f ( ⃗ x) za poljuben dinamični sistem oblike ⃗ x′ = f ( ⃗ x) oz. ⃗ xn+1 = f ( ⃗xn) ni enostavno (pri)dobiti grupe transformacij F t, ki nam predstavlja rešitve (tok) sistema (2.1). Postopek pridobivanja rešitev F t na osnovi znanega polja f ( ⃗ x) je “enostaven” samo za vektorska polja f ( ⃗ x), ki so homogena stopnje ena: f ( α⃗ x) = αf ( ⃗ x) za vsak α ∈ R, oz. linearna. Obravnavali bomo samo tako ime- novane deterministične sisteme (2.1), pri katerih je funkcija f vnaprej (jasno) določena (t. j. ni 67 68 2 Nekatera poglavja iz teorije dinamiˇ cnih sistemov odvisna od nekih slučajnih dogodkov). Rešitev dinamičnega sistema (2.1) pri danem (začetnem) pogoju ⃗ x 0 ∈ M imenujemo trajektorija (orbita v faznem prostoru ⃗x( t) ∈ R n). Fazni portret je geometrijska predstavitev trajektorij v faznem prostoru. Vsak začetni pogoj v prostoru pred- stavlja neko krivuljo ali pa (singularno) točko. Pri kvalitativni analizi sistema je lahko fazni portret v veliko pomoč. Pozicijo na trajektoriji z začetnim pogojem ⃗ x 0 ∈ M po času t označimo s F t ( ⃗ x 0) ali z ⃗x ( t; ⃗x 0). Formalno je trajektorija z začetnim pogojem ⃗x 0 ∈ M ob času t 0 ∈ T { } množica točk γ⃗x := F t ( ⃗x . Pogosto pa jo označimo v poenostavljeni obliki: 0 0) ; t ∈ T , t ≥ t 0 ⃗ x = ⃗ x ( t; ⃗ x 0) = F t ( ⃗x 0) . Danes je splošno znano, da so lahko trajektorije (orbite) F t ( ⃗ x 0) v dinamičnem sistemu NDE v R3 tudi za vektorska polja, ki na prvi pogled izgledajo dokaj preprosto; kot npr. f ( x 1 , x 2 , x 3) = ( −x 2 − x 3 , x 1 + 0 . 2 x 2 , 0 . 2 + x 1 x 3 − 5 . 7 x 3) , zelo kompleksne. Kompleksnost lahko pomeni tudi kaotičnost [73]. Za diskretne sisteme vemo (glej npr. [94], [10], [62], [53], [61]), da se tako imenovana kaotična dinamika pojavi že pri preslikavah iz R → R oziroma iz [0 , 1] → [0 , 1]. Najbolj znan primer je tako imenovana “šotorska” preslikava. V tej monografiji se bomo omejili na dinamične sisteme ⃗ x′ = f ( ⃗ x) oz. ⃗ xn+1 = f ( ⃗xn), kjer je f gladka funkcija (f ∈ C∞: poljubnokrat zvezno odvedljiva v vsaki komponenti), v razdelku 3.3 pa se omejimo na analitične funkcije. Zvezni in diskretni sistemi se v osnovi razlikujejo glede na ’naravo časa’ t ∈ T . Če je T = R (oz. interval [ α, ω] ⊆ R), je čas zvezen in govorimo o zveznem dinamičnem sistemu, če je T = Z (oz. T ⊆ N0), govorimo o diskretnem dinamičnem sistemu. Pri pojmu zvezni sistem se bomo v tej monografiji omejili na sisteme diferencialnih enačb prvega reda, ˙ ⃗ x = f ( t, ⃗ x) , ⃗ x ∈ R n. (2.2) Diskretni dinamični sistem je sistem oblike ⃗ xk+1 = f ( k, ⃗xk) , ⃗ x ∈ R n, n ∈ N . V tej monografiji bo n v večini primerov manjši ali enak dve. Zvezne in diskretne sisteme, kjer funkcija f ni odvisna od časa, imenujemo avtonomni dinamični sistemi: ˙ ⃗ x = f ( ⃗ x) zvezni avtonomni dinamični sistem, (2.3) ⃗ xk+1 = f ( ⃗xk) diskretni avtonomni dinamični sistem. (2.4) Če je funkcija f gladka in veljajo Lipschitzovi pogoji (glej izrek 2.2.2 ali [61, str. 399]), so rešitve zveznega dinamičnega sistema enolično določene, kar nam zagotavlja izrek o obstoju in enoličnosti rešitve sistema NDE (izreka 2.2.1 in 2.2.2); glej tudi [61, str. 142]. To pomeni, da za vsak začetni pogoj ⃗ x 0 ∈ M obstaja rešitev in je ena sama, oz. nobeni dve različni orbiti se ne sekata. Pomemben tip dinamičnih sistemov (2.1) so linearni sistemi, kjer je funkcija f linearna (glej npr. [61, Pogl. 5 in 6]). To so eni redkih dinamičnih sistemov, za katere lahko pridobimo eks- plicitne rešitve (angl. closed form solutions) pri poljubnem začetnem pogoju. Ostali dinamični sistemi so nelinearni. Za nelinearne sisteme si lahko rešitveno krivuljo: trajektorijo - orbito 2.1 Uvod v teorijo dinamiˇ cnih sistemov 69 ⃗ x ( t; ⃗ x 0) = F t ( ⃗x 0), za katero vemo, da obstaja in je ena sama (glej izreka 2.2.1 in 2.2.2), pri- dobimo v obliki (numeričnega) približka in le redko v ekzaktni obliki, zato je v rešitvi vedno prisotna napaka. Razlika v naravi časa prinese nekatere razlike med zveznimi in diskretnimi dinamičnimi sistemi. Ena od bistvenih razlik je enačba singularne točke, kar definiramo kasneje. Druga bistvena razlika pa je “pridobivanje rešitve” (enačbe trajektorije) pri danem začetnem pogoju t = t 0 ∈ R ( k = k 0 ∈ Z) oz. natančneje pridobivanje numeričnih približkov rešitev. Pri sistemih NDE večina raziskovalcev uporabi metodo Runge-Kutta [28]. Za diskretni sistem ⃗ xk+1 = f ( ⃗xk) ni problem pridobiti natančne vrednosti za ⃗ xk+1, če poznamo ⃗xk, vendar je (v razsežnostih n ≥ 2 in za nelinearne funkcije f ) prav tako nemogoče dobiti eksplicitne rešitve (glej na primer [70, 71]). Zato se pri analizi faznih portretov nelinearnih (zveznih in diskretnih) dinamičnih sistemov zadovoljimo s kvalitativno analizo sistema. V to rubriko spadajo različni pojavi, ki jih v grobem razdelimo na lokalne in globalne. Tako lahko govorimo na primer o lokalni in globalni stabilnosti in bifurkacijah (glej str. 123 in poglavje 3 ter [53, Pogl. 8-9 in 12]), itd. V poljubnem dinamičnem sistemu (2.1) moramo najprej raziskati singularne toˇ cke (glej de- finiciji 2.2.4 in 2.3.5) in njihovo stabilnost (glej definicijo 2.2.6), v vseh drugih točkah je po izreku 2.2.5 dinamika lokalno “zelo monotona”. V osnovi je singularna točka za vse dinamične sisteme (2.1) definirana v smislu negibne ali fiksne točke, vendar zaradi različne narave (zveznih in diskretnih) sistemov enačbe singularnih točk v zveznih in diskretnih sistemih ne sovpadajo. V zvezi s singularnimi točkami je v ravninskem zveznem sistemu najpomebnejša analiza stabilnosti singularnih točk (glej definicijo 2.2.6) in bifurkacije limitnih ciklov (glej str. 131). V diskretnih sistemih so pomembne perturbacije singularnih točk in v splošnem periodičnih orbit v smislu definicije 2.3.7. Med kvalitativno analizo spadajo lokalne tehnike linearizacije, ki so smiselne (oz. zanesljive) samo v hiperboličnih singularnih točkah, kar opisuje Hartman- Grobmanov izrek (izrek 2.2.13). Vzporedno s tem se je razvila stabilnost sistema v širšem smislu, ki jo imenujemo strukturna stabilnost (glej npr. [53, str. 90]). Strukturna stabilnost je ena od najlepših lastnosti, ki si jo za dinamični sistem lahko za- mislimo. Poenostavljeno povedano pomeni, da se kvalitativne lastnosti rešitev (trajektorij oz. orbit) sistema ne spremenijo, če sistemu ˙ ⃗ x = f ( ⃗ x) dodajamo “dovolj majhne” funckije g ( ⃗ x); torej, če (za ’dovolj majhne’ ε) f ( ⃗ x) nadomestimo z f ( ⃗ x) + ε · g ( ⃗x). Strukturna nestabilnost pomeni bifurkacijo (glej tudi definicijo 2.3.7); grobo rečeno bistveno spremembo v stabilnosti oz. (topološki) strukturi trajektorij. Pri tem je seveda zelo pomembna (topološka) ekvivalenca vektorskih polj f . Definicija 2.1.1 (Ohranjanje reˇ sitev [53]) Gladki vektorski polji f in g sta ekvivalentni glede toka F t in Gt (t. j. glede mnoˇ zice parametriˇ cno podanih reˇ sitev v faznem prostoru), ˇ ce obstaja homeomorfizem h , ki slika parametriˇ cno podane trajektorije sistema ˙ ⃗ x = f ( ⃗ x) v parametriˇ cno podane trajektorije sistema ˙ ⃗ x = g ( ⃗ x) in pri tem ohrani smisel parametra v obeh parametrizacijah. ˇ Ce za vsak ⃗ x in za vsak t 1 obstaja neki t 2 , za katerega je ( ) h F t 1 ( ⃗ x) = Gt 2 (h ( ⃗ x)) , pravimo, da preslikava h ohranja reˇ sitve iz sistema ˙ ⃗ x = f ( ⃗ x) v sistem ⃗ x′ = g ( ⃗ x) in da sta ustrezna sistema ekvivalentna (oz. da sta vektorski polji topoloˇ sko ekvivalentni). V smislu zgornje definicije je natančnejša opredelitev strukturne stabilnosti takšna. 70 2 Nekatera poglavja iz teorije dinamiˇ cnih sistemov Definicija 2.1.2 (Strukturna stabilnost) Vektorsko polje f : R n → R n je strukturno sta- bilno, ˇ ce za vsa dvakrat odvedljiva vektorska polja g : R n → R n obstaja ε 0 > 0 , pri katerem sta vektorski polji f in f + ε · g ekvivalentni za vse ε ∈ (0 , ε 0) . Ideja o strukturni stabilnosti je postala zanimiva v 60. in 70. letih prejšnjega stoletja, ko so upali, da bo prostor sisitemov NDE oz. vektorskih polj F = {f : M → M; f je gladko polje } mogoče enostavno razdeliti na območja, kjer je tok F t ( ⃗ x) strukturno stabilen in na območja, kjer je tok strukturno nestabilen; pri čemer bi obe območji ločile hiperploskve sorazsežnosti 1, kar je za razsežnost 2 s popolnim opisom strukturno stabilnih vektorskih polj na kompaktnih mnogo- terostih razsežnosti 2 (glej Peixotov izrek 2.1.3) tudi uspelo - ni pa prenosa v višje razsežnosti. Dokaz spodnjega izreka glej npr. v [53, str. 92]. Hiperbolična singularnost je definirana na strani 77, definicijo hiperboličnosti periodične orbite najdete npr. v [53, str. 91]. Izrek 2.1.3 (Peixoto) Naj bo D kompaktna dvorazseˇ zna mnogoterost, ki je omejena s kompak- tno enorazseˇ zno mnogoterostjo ∂D, katere zunanja normala je ⃗ n, in naj bo f : D → D dvakrat odvedljivo vektorsko polje. ˇ Ce je f · ⃗n ̸= 0 na ∂D, je polje f strukturno stabilno na D natanko tedaj, ko velja 1. vse singularne toˇ cke polja f so hiperboliˇ cne, 2. vse periodiˇ cne orbite (limitni cikli) so hiperboliˇ cne, 3. ˇ ce sta ⃗ x in ⃗ y hiperboliˇ cni sedli (tudi za ⃗ x = ⃗ y), je W s ( ⃗ x) ∩ W u ( ⃗y) = ∅. V kontekstu kvalitativne obravnave ravninskega sistema (2.3) sta pomembna predvsem dva pristopa: prehod na polarne koordinate, ko v sistem vpeljemo x = r cos φ, y = r sin φ, (2.5) in pa kompleksifikacija z = x + iy, (2.6) ko ravninski sistem s koordinatami ⃗ x = ( x, y) vložimo v kompleksno ravnino C = R+ i R; glej enačbo (2.42). S stališča uporabe teorije polinomskih idealov sta pomembna oba pristopa (glej npr. [45, 50, 51, 52, 74, 106, 93, 92, 26] in predvsem monografijo [114] ter reference v njej). Dejansko vsak iz narave izhahajoč sistem vsebuje parametre in začetne pogoje, ki jih z nobenim merilnim inštrumentom ne moremo povsem natančno izmeriti, zato je obravnavani sistem NDE vedno le približek, oziroma idealizacija, ki bolj ali manj dobro opisuje obravnavano situacijo. Tako, da je poleg izbranega sistema ˙ ⃗ x = f ( ⃗ x) vedno dobro opazovati tudi “bližnje” sisteme ˙ ⃗ x = f ( ⃗ x) + ε · g( ⃗x) , (2.7) kjer je funkcija f ( ⃗ x) dvakrat odvedljiva in ε > 0. Sistem (2.7) imenujemo perturbacija sistema (2.3). V fiziki je zelo pomembna družina hamiltonskih sistemov ∂H(x , y) ˙ x = , ˙ y = − ∂H(x , y) . (2.8) ∂y ∂x 2.1 Uvod v teorijo dinamiˇ cnih sistemov 71 Perturbacija sistema (2.8) je sistem oblike ˙ x = ∂H(x , y) + εg ∂y 2(x , y) , 0 < ε ≪ 1 . (2.9) ˙ y = − ∂H(x , y) + εg ∂x 2(x , y) Funkcijo H(x , y) v sistemu (2.8) imenujemo Hamiltonova funkcija. Opomba 2.1.4 Fizikalno x predstavlja vektor odmikov, y pa vektor momentov in sploˇ sno je lahko x , y ∈ R m. Tako je fazni prostor sistema (2.8) 2 m−razsežen. V spodnjem primeru obravnavamo kompleksifikacijo najpreprostejšega sistema (2.8). Primer 2.1.5 Sistem ˙ x = y, ˙ y = −x ( ) je hamiltonski s Hamiltonovo funkcijo H ( x, y) = 1 x 2 + y 2 , saj oˇ citno velja ˙ x = ∂H( x,y) in 2 ∂y ˙ y = − ∂H( x,y) . Kompleksifikacija tega sistema, upoštevajoč (2.6), je ∂x ˙ z = −iz. (2.10) Natanˇ cneje bo kompleksifikacija obravnavana na str. 93. Hitro opazimo, da lahko sistem (2.10) reˇ simo kot NDE v eni (kompleksni) spremenljivki (kjer tudi ˇ cas t obravnavamo kot kompleksno spremenljivko) dz = −idt ⇒ z ( t) = z 0 e−it ⇒ x( t) = x 0 cos t + y 0 sin t z y ( t) = −x 0 sin t + y 0 cos t. Splošnih ravninskih sistemov ne moremo tako preprosto rešiti, saj namesto (2.10) dobimo enačbo dz = F ( z, z∗) (glej tudi [7, 72, 94]) in moramo posledično skupaj z njo obravnavati še dt enačbo dz∗ = F ∗ ( z, z∗) (glej [114, Pogl. 3.2]), a kompleksifikacija sistema je kljub temu zelo dt uporabna, saj je pogosto sisteme (in njim pripadajoče raznoterosti ter ideale) lažje obravnavati nad poljem C (namesto nad R). Posebej pomembni so dvorazsežni (torej ravninski) sistemi. Splošni ravninski avtonomni sistem NDE je oblike ˙ x = f ( x, y) , (2.11) ˙ y = g ( x, y) . Periodična trajektorija (orbita) dinamičnega sistema (2.1) je vsaka sklenjena rešitev F t+ T ( ⃗ x 0) = F t ( ⃗ x 0) za neki ⃗x 0 ∈ M in neki T ∈ T. Definicija 2.1.6 ( ω-limitna mnoˇ zica[53]) Mnoˇ zico Ω( ⃗ x) = {⃗y ∈ R n; ∃( tn) , da tn → ∞ in F tn( ⃗x) → ⃗y ko t → ∞} imenujemo ω-limitna mnoˇ zica trajektorije ⃗ x( t) . 72 2 Nekatera poglavja iz teorije dinamiˇ cnih sistemov Definicija 2.1.7 ( α-limitna mnoˇ zica[53]) Mnoˇ zico A( ⃗ x) = {⃗y ∈ R n; ∃( tn) , da tn → −∞ in F tn( ⃗x) → ⃗y ko t → ∞} imenujemo α-limitna mnoˇ zica trajektorije ⃗ x( t) . Definicija 2.1.8 (Limitni cikel[53]) Vsaki nekonstantni izolirani periodiˇ cni trejektoriji zve- znega ravninskega sistema v fazni ravnini pripada cikel. Cikel, ki je limitna mnoˇ zica kake druge trajektorije, imenujemo limitni cikel Definicija limitnega cikla v diskretnem sistemu je podana na str. 125. Oglejmo si preprost primer limitnega cikla za sistem (2.11). Primer 2.1.9 (Limitni cikel) Obravnavajmo ravninski sistem ( √ ) ˙ x = 1 − x 2 + y 2 x + y, (2.12) ( √ ) ˙ y = 1 − x 2 + y 2 y − x. Očitno je točka x = 0, y = 0 posebna v smislu, da začetni pogoj x (0) = 0, y (0) = 0 implicira rešitev x ( t) = 0, y ( t) = 0. V nadaljevanju bomo tako (posebno) rešitev zveznega sistema ime- novali singularna točka (glej definicijo 2.2.4 na str. 75). Trajektorija x 2 + y 2 = 1 (v parametrični obliki x ( t) = sin t, y ( t) = cos t) je limitni cikel v sistemu (2.12). To najlažje vidimo, če v zgornji sistem vpeljemo polarne koordinate (2.5), da sistem dobi obliko ˙ r = (1 − r) r, ˙ ϕ = − 1 , iz katere je razvidno, da je koordinatno izhodišče (0 , 0) (oz. r = 0) mirovna točka (singularnost), vse orbite v kolobarju 0 < x 2 + y 2 < 1 se v smeri urinega kazalca oddaljujejo od izhodišča in se spiralno bližajo edini (netrivialni) sklenjeni orbiti x 2 + y 2 = 1 (limitnemu ciklu). Tudi ostale orbite so spiralne in se bližajo limitnemu ciklu, kar pomeni, da gre v tem primeru za privlačni limitni cikel. Fazni portret vidimo na sliki 2.1. Slika 2.1: Limitni cikel. 2.1 Uvod v teorijo dinamiˇ cnih sistemov 73 V poglavju 3 bomo obravnavali bifurkacije limitnih cikolv (zveznih in diskretnih dinamičnih sistemov). Pripomnimo, da se bifurkacija lahko zgodi, če sistem (na neki način) perturbiramo. Torej je bifurkacija posebni (kritični) moment perturbacije. Najslavnejši primer bifurkacij v diskretnih sistemih opisuje (Feigenbaumov) bifurkacijski diagram za logistično preslikavo (glej [32]). Diskretna dinamika je lahko zelo zanimiva in kaotična tudi za preslikave iz R → R, R2 → R2 oz. C → C, kar dokazujejo danes dobro znane Juliajeve množice (glej npr. [97]). Pri zveznih sistemih je v kontekstu uporabe polinomskih idealov najpomembnejša Hopfova bifurkacija, ko (majhna) sprememba parametra(ov) povzroči nastanek limitnega cikla okrog singularne točke. Limitni cikli in singularne točke so primeri tako imenovanih limitnih množic. Poincaré- Bendixonov izrek opiše limitne množnice ravninskih sistemov. Izrek 2.1.10 (Poincar´ e-Bendixon) Neprazna, kompaktna limitna mnoˇ zica ravninskega sis- tema (2.11), ki ne vsebuje singularne toˇ cke, je limitni cikel. Poleg singularnih točk in limitnih ciklov lahko v zveznih ravninskih sistemih nastanejo še ho- moklinične orbite (ki potekajo od singularne točke do iste singularne točke) in pa heteroklinične orbite (ki potekajo med dvema singularnima točkama). Primera sistemov z omenjenimi orbi- tami bomo spoznali na koncu podrazdelka 2.2.1. V naslednjem primeru je obravnavana Hopfova bifurkacija, ki nastopi, če okoli kake singularne točke nastane ali izgine periodična orbita ali limi- tni cikel, ko spreminajmo vrednost nekega parametra. V ravninskem sistemu je to bifurkacija v okolici nehiperbolične singularne točke, katere linearizacijska matrika ima lastni vrednosti popol- noma imaginarni (t. j. ±iβ). V n− razsežnem sistemu/prostoru govorimo o Hopfovi bifurkaciji; za primer, ko se to zgodi na dvorazsežni centralni mnogoterosti, glej podrazdelek 2.2.2. Primer 2.1.11 (Hopfova bifurkacija) ˇ Ce v sistem (2.12) vpeljemo parameter µ na naslednji naˇ cin ( √ ) ˙ x = µ − x 2 + y 2 x + y, (2.13) ( √ ) ˙ y = µ − x 2 + y 2 y − x oziroma v polarnih koordinatah ˙ r = ( µ − r) r, ˙ ϕ = − 1 , (2.14) dobimo sistem s parametrom, kar je potrebni pogoj za nastanek bifurkacij. Iz (2.14) je razvi- dno, da je toˇ cka (0 , 0) za nepozitivne vrednosti parametra µ edina limitna mnoˇ zica (singularna toˇ cka). Za pozitivne vrednosti parametra µ pa poleg singularne toˇ cke (0 , 0) nastane ˇ se ena limitna √ mnoˇ zica. To je kroˇ znica r = µ = x 2 + y 2 . Za spremembe (bifurkacije) v faznem portretu, kot se zgodijo pri Hopfovi bifurkaciji, so dovolj že zelo majhne (minimalne) spremembe v vrednostih parametrov sistema. Bifurkacije limitnih ciklov obravnavamo v poglavju 3. V monografiji [87] so obdelane izključno bifurkacije limitnih ciklov. Čeprav ravninski sistemi izgledajo zelo preprosto, smo (polarnemu pristopu navkljub) daleč od tega, da bi bilo na tem področju vse raziskano. Najbolj znan problem v dinamiki sistemov (2.11) je šestnajsti Hilbertov problem [63, 77]. Del problema sprašuje po tem, koliko limitnih ciklov (izoliranih periodičnih rešitev) lahko nastane (govorimo o bifurkacijah) iz centra ali fokusa, 74 2 Nekatera poglavja iz teorije dinamiˇ cnih sistemov če koeficiente sistema malo spreminjamo (kot v primeru 2.1.11), pri čemer mora sistem ohraniti obliko. V problemih, ki jih obravnavamo v poglavju 3, zahtevamo, da se sistemu ne spremeni maksimalna stopnja, kar imenujemo problem cikličnosti. Problem cikličnosti za polinomske sisteme še ni razrešen, čeprav so raziskave na tem področju zelo aktivne. Osnova za obravnavo cikličnosti je Bautinova teorija [6], ki je opisana na str. 131. Bistvo Bautinove teorije je, da lahko problem cikličnosti prevedemo na raziskovanje (sistemu) pripadajočega polinomskega ideala. Med pomembnejšimi referencami, kjer lahko najdete obsežno zbirko problemov in člankov, ki raziskujejo probleme povezane z dinamiko v 2D zveznih sistemih, omenimo monografijo [114]. Za osnovne namene je ravninska dinamika v zveznih sistemih nazorno opisana v večini knjig, ki obravnavajo dinamične sisteme (glej npr. [53, Pogl. 5], [61, Pogl. 2]). 2.2 Zvezni sistemi Na strani 67 so definirani splošni dinamični sistemi (2.1) in splošni sistemi NDE (2.2) ˙ d⃗ x ⃗ x( t) = = f ( t, ⃗ x( t)) , dt kjer je f ( t, ⃗ x) vektorska funkcija (polje) spremenljivk t in ⃗ x, ki sta definirani na območju D ⊆ R × R n (ali D ⊆ C × C n). Sistem (2.2) pogosto imenujemo kar enačba (v ustreznem vektorskem prostoru), saj je f : D → R n vektorska funkcija: f ( t, ⃗ x) = ( f 1( t, x 1 , . . . , xn) , . . . , fn( t, x 1 , . . . , xn)) T , in dx 1 dxn ⃗ x = ( x 1 , . . . , xn) T ter ⃗x′ = ( , . . . , ) T . dt dt Naj bo I ⊆ R odprt interval in naj bo funkcija ⃗x( t) definirana za vse t ∈ I. Če (vektorska) funkcija ⃗ x( t) zadošča enačbi (2.2), jo imenujemo rešitev diferencialne enačbe (2.2). Potreben pogoj, da je ⃗ x( t) rešitev enačbe (2.2) je, da je za vsak t ∈ I točka ( t, ⃗x( t)) vsebovana v D. Če je ⃗ x( t) rešitev enačbe (2.2), je njena restrikcija na poljuben interval J ⊂ I tudi rešitev enačbe (2.2). Če je I največji interval, na katerem ⃗ x( t) zadošča enačbi (2.2), rešitev ⃗ x( t) imenujemo maksimalna rešitev. Obstoj rešitve enačbe (2.2) je odvisen od lastnosti vektorskega polja f ( t, ⃗ x). Dokaze nasle- dnjih trditev lahko najdete npr. v [3] ali [61, str. 142]. Trditev 2.2.1 (Obstoj reˇ sitve) ˇ Ce so funkcije fi, i = 1 , . . . , n, zvezne na odprtem območju D′ ⊆ D ⊆ R n (oz. C n) za vsako točko ( t 0 , ⃗x 0) ∈ D′, obstaja rešitev ⃗x( t) , t ∈ I, enačbe (2.2), za katero za t 0 ∈ I velja ⃗x( t 0) = ⃗x 0 . Lahko se zgodi, da ima sistem/enačba (2.2) z začetnim pogojem ⃗ x( t 0) = ⃗x 0 več kot eno rešitev. V spodnji trditvi so podani zadostni pogoji, da se to ne zgodi (t. j. da so rešitve enolične). 2.2 Zvezni sistemi 75 Trditev 2.2.2 (Enoliˇ cnost reˇ sitve) ˇ Ce so vektorska funkcija f in njeni parcialni odvodi ∂f /∂xi zvezno odvedljivi na nekem odprtem obmoˇ cju D′ ⊆ D za vsak začetni pogoj ( t 0 , ⃗x 0) ∈ D′, obstaja reˇ sitev ⃗ x( t) sistema/enaˇ cbe (2.2), ki je z zaˇ cetnim pogojem ⃗ x( t 0) = ⃗x 0 enolično določena (je ena sama). Kot že omenjeno, je geometrijski pomen rešitve (trajektorije / orbite) ⃗ x = ⃗ x( t, ⃗ x 0) sistema (2.2) v prostoru M = D ⊆ R n (oz. C n) graf funkcije ⃗x( t) = F t( ⃗x 0) , ki predstavlja rešitveno krivuljo v faznem prostoru. Če je polje f na območju D zvezno, rešitve sistema (2.2) po trditvi 2.2.1 napolnijo območje D, saj mora vsaka točka iz D ležati na vsaj eni rešitveni krivulji/trajektoriji. Rešitve sistema (2.2) torej prikažemo na območju D z družino trajektorij, kar smo v uvodu ime- novali fazni portret. Pri predpostavkah trditve 2.2.2 se nobeni dve različni trajektoriji v faznem portretu ne sekata in trajektorije napolnijo prostor D. Rešitve sistema pri različnih začetnih pogojih ⃗ x 0 sestavljajo tok sistema (angl. flow). Definicija 2.2.3 (Tok) Z reˇ sitvami sistema diferencialnih enaˇ cb (2.3) je definiran tok F t( ⃗ x 0) . Funkcija F t( ⃗ x 0) slika iz R × R n v R n; urejenemu paru ( t, ⃗x 0) priredi rešitev sistema ⃗x′ = f ( ⃗x) z zaˇ cetnim pogojem ⃗ x(0) = ⃗ x 0 . Torej velja: d Ft( ⃗x 0) = f( Ft( ⃗x 0)) dt za vse ˇ case t ∈ Iω, kjer Iω predstavlja interval, na katerem rešitev z začetnim pogojem v točki ⃗ x 0 obstaja. Za vsak ⃗x 0 ∈ R n in za vse čase t 1 , t 2 ∈ Iω velja: F 0( ⃗ x 0) = ⃗x 0 , ( ) F t 1+ t 2 ( ⃗ x 0) = F t 2 F t 1 ( ⃗x 0) . Definicija 2.2.4 (Singularna toˇ cka) ˇ Ce za neko toˇ cko velja F t( ⃗ x 0) = ⃗x 0 za vse t ∈ Iω, jo imenujemo singularna ali kritiˇ cna toˇ cka. Oˇ citno je singularna toˇ cka sistema ⃗ x′ = f ( ⃗ x) doloˇ cena s sistemom enaˇ cb f ( ⃗ x) = ⃗ 0 . Toˇ cke, ki niso singularne, imenujemo regularne. Na slikah 2.2 in 2.3 vidimo, da je lahko v okolici singularne točke v ravnini dinamika zelo različna. Kot vidimo v naslednjem izreku, je v regularnih točkah dinamika bolj monotona. Izrek 2.2.5 (Flow-Box) Na dovolj majhni okolici regularne toˇ cke ravninskega sistema (2.11) obstaja odvedljiva funkcija h :R2 → R2 (glej definicijo 2.1.1), ki ohranja rešitve iz sistema (2.11) v sistem ˙ y 1 = 0 , ˙ y 2 = 1 . Definicija 2.2.6 (Stabilnost po Ljapunovu) Singularna toˇ cka ⃗ x 0 = ⃗ 0 sistema ⃗x′ = f ( ⃗x) je stabilna natanko tedaj, ko za vsak ε > 0 obstaja δ > 0 tako, da za vsak ⃗ x z normo manjˇ so od δ, in za vsak t ∈ [ t 0 , ∞) velja F t( ⃗ x) < ε. Definicija 2.2.7 (Privlaˇ cnost singularne toˇ cke) Singularna toˇ cka ⃗ x = ⃗ 0 sistema ⃗ x′ = f ( ⃗ x) je privlaˇ cna natanko tedaj, ko obstaja δ > 0 tako, da za vsak ⃗ x 0 z normo manjšo od δ velja lim F t( ⃗ x 0) = 0 . t→∞ 76 2 Nekatera poglavja iz teorije dinamiˇ cnih sistemov Definicija 2.2.8 Singularna toˇ cka ⃗ x = ⃗ 0 sistema ⃗ x′ = f ( ⃗ x) je asimptotiˇ cno stabilna, ˇ ce je hkrati stabilna in privlaˇ cna. Splošnih (neavtonomnih) sistemov (2.2) s teorijo polinomskih raznoterosti ne bomo obrav- navali. Navkljub procesom, kot so avtonomizacija, homogenizacija in celo kvadratizacija (glej [90]) se bomo omejili na (nehomogene avtonomne) polinomske sisteme NDE - torej na enačbe (2.3), kjer čas t ne nastopa eksplicitno. 2.2.1 Linearizacija in fazni portreti Linearizacijo običajno povezujemo s postopkom, ko nelinearnemu sistemu NDE (2.3) v okolici singularne točke priredimo njegov linearni približek s pomočjo Jacobijeve ali linearizacijske ma- trike in dobimo sistem (2.16). Tega ne smemo zamenjevati s pojmom linearizabilnosti (glej [33], [114, Pogl. 2 in 4], [112]). Kot bomo videli v tem razdelku, so z linearizacijo povezani Hartman- Grobmanov izrek ter izrek o stabilni/nestabilni mnogoterosti in izrek o centralni mnogoterosti. Linearizabilnost pa je povezana s Poincaréjevim linearizacijskim izrekom (glej npr. [53, Pogl. 4.1], [114, Pogl. 4]). Homogen linearni sistem m navadnih diferencialnih enačb prvega reda lahko zapišemo v matrični obliki ⃗ x′ = A⃗ x, (2.15) kjer je ⃗ x ∈ R m in A ∈ R( m,m). Sistemi oblike (2.15) so vedno rešljivi (njihovo rešitev pogosto označimo z ⃗ x( t, ⃗ x 0) = etA⃗x 0). Njihova splošna rešitev je odvisna od Jordanove normalne oblike matrike A, kar je v tesni zvezi z obliko matrike etA (podrobnosti glej npr. v [53, Pogl. 3] ali [61, Pogl. 5]). V grobem lahko rečemo, da vsaki lastni vrednosti, λ, matrike A pripada neki vektorski podprostor, Eλ, vektorskega prostora R m, ki je za sistem (2.15) invarianten. To pomeni: če je ⃗ x 0 ∈ Eλ, je tok F t ( ⃗x A 0) v celoti (t. j. za vsak t ∈ Iω ) vsebovan v vektorskem podprostoru Eλ. Direktna vsota vseh invariantnih podprostorov Eλ (po vseh lastnih vrednostih λ i i) sestavlja celoten prostor R m. Glede na različno lego lastnih vrednosti λi v kompleksni ravnini lahko invariantne podprostore Eλ ločimo v tri skupine. V ta namen razdelimo kompleksno ravnino C i na tri disjunktne dele Π − = {z ∈ C; Re( z) < 0 } , Π0 = {z ∈ C; Re( z) = 0 } , Π+ = {z ∈ C; Re( z) > 0 } . Naj bo s + n + c = m in λ 1 , λ 2, . . . , λs ∈ Π − ter λs+1 , λs+2,. . . , λs+ n ∈ Π+ in λs+ n+1 , λs+ n+2, . . . , λs+ n+ c ∈ Π0 . Zdaj lahko definiramo: 1. stabilni invariantni podprostor linearnega sistema (2.15) kot direktno vsoto ES = Eλ ⊕ E ⊕ · · · ⊕ E , 1 λ 2 λs 2. nestabilni invariantni podprostor linearnega sistema (2.15) kot direktno vsoto EU = Eλ ⊕ E ⊕ · · · ⊕ E s+1 λs+2 λs+ n in 2.2 Zvezni sistemi 77 3. centralni invariantni podprostor linearnega sistema (2.15) kot direktno vsoto EC = Eλ ⊕ E ⊕ · · · ⊕ E . n+1 λn+2 λn+ c Vsaka rešitev F t ( ⃗ x) , z začetnim pogojem ⃗ x ∈ ES, se bo končala v izhodišču A lim F t( ⃗ x) = 0 . t→∞ Vsaka rešitev F t ( ⃗ x) , z začetnim pogojem ⃗ x ∈ EU teži proti neskončnosti A lim F t( ⃗ x) = ∞. t→∞ Vsaka rešitev F t ( ⃗ x) , z začetnim pogojem ⃗ x ∈ EC je periodična. Torej obstaja (najmanjša) A perioda T > 0, da je F t+ T ( ⃗ x) = F t( ⃗ x) za vsak t ≥ 0 . Poleg tega pa velja 0 < min F t( ⃗ x) ≤ lim F t( ⃗x) ≤ max F t( ⃗x) < ∞. t∈[0 ,T ] t→∞ t∈[0 ,T ] Definicija 2.2.9 (Linearizacija) Linearizacija nelinearnega avtonomnega sistema navadnih diferencialnih enaˇ cb (2.3) v okolici toˇ cke ⃗ x 0 je sistem linearnih diferencialnih enačb oblike ⃗ x′ = f ( ⃗ x 0) + Jf ( ⃗x 0) ( ⃗x − ⃗x 0) , (2.16) kjer je Jf ( ⃗x 0) Jacobijeva matrika, ki je sestavljena iz parcialnih odvodov vektorske funkcije f : [ ] ∂f i( ⃗x 0) [ Jf ( ⃗x 0)] = . ij ∂xj Če je ⃗ x 0 = ⃗ 0 kritična točka sistema (2.3), je f ( ⃗x 0) = ⃗ 0 in linearizacija (2.16) dobi obliko ˙ ⃗ x = Jf ( ⃗x 0) ⃗x. (2.17) Znano je, da v primeru, ko ima Jacobijeva matrika Jf ( ⃗x 0) kako lastno vrednost s pozitivnim realnim delom, nelinearni sistem (2.3) v obravnavani kritični točki ni stabilen. Če ima Jacobijeva matrika Jf ( ⃗x 0) iz (2.16) spekter v celoti vsebovan na negativni polravnini Π −, je kritična točka ⃗ x 0 stabilna. Zgornja dva primera opisujeta tako imenovan izvor oziroma ponor hiperbolične ali nedegenerirane kritične točke. Definicija 2.2.10 (Hiperboliˇ cna singularnost) Kritiˇ cna toˇ cka ⃗ x 0 je hiperbolična , če Ja- cobijeva matrika Jf ( ⃗x 0) lineariziranega sistema ne premore nobene lastne vrednosti z ničelnim realnim delom (niti nobene niˇ celne lastne vrednosti). V splošnem ima lahko linearizacijska matrika Jf ( ⃗x 0) iz (2.16), ki izhaja iz realnega sistema, v hiperbolični kritični točki pozitivne in negativne ter konjugirano kompleksne pare lastnih vrednosti (z neničelnim realnim delom). Definicija 2.2.11 (Sedlo) Singularno (kritiˇ cno) toˇ cko ravninskega linearnega sistema, ki ji pripadata razliˇ cno predznaˇ cni (realni) lastni vrednosti, imenujemo sedlo . 78 2 Nekatera poglavja iz teorije dinamiˇ cnih sistemov Definicija 2.2.12 (Vozel) Kritiˇ cno toˇ cko ravninskega linearnega sistema, ki ji pripadata ne- gativni (pozitivni) lastni vrednosti, imenujemo (ne)stabilni vozel . V hiperboličnih kritičnih točkah obstaja obrnljiva preslikava, ki v bližini kritične točke tok nelinearnega sistema preslika v tok linearnega sistema. O tem govori naslednji izrek. Izrek 2.2.13 (Hartman-Grobman) ˇ Ce je ⃗ x = ⃗ 0 hiperboliˇ cna kritiˇ cna toˇ cka sistema (2.3), obstaja zvezna obrnljiva preslikava h , definirana na neki okolici toˇ cke ⃗ x = ⃗ 0 , ki reˇ sitve neline- arnega sistema ˙ ⃗ x = f ( ⃗ x) slika v reˇ sitve linearnega sistema (2.17). Preslikavo h lahko izberemo tako, da sta parametrizaciji trajektorij v obeh sistemih usklajeni (koherentni). Dokaz Hartman-Grobman-ovega izreka najdete npr. v [14, 58, 65]. Posledica zgornjega izreka je, da lahko stabilnost nelinearnih sistemov v hiperboličnih kritičnih točkah ⃗ x 0 obravnavamo preko spektra matrike Jf ( ⃗x 0). O stabilnih in nestabilnih invariantnih podprostorih v hiperboličnih kritičnih točkah lahko povemo še več. Če je U neka okolica kritične točke ⃗ x 0, lahko definiramo analoga stabilemu ( W S ( ⃗x ( ⃗ x loc 0)) in nestabilnemu ( W U loc 0)) invarian- tnemu podprostoru v nelinearnih sistemih: { } W S loc( ⃗ x 0) = ⃗y ∈ U; F t( ⃗y) ⊂ U in lim F t( ⃗y) = ⃗x 0 , t→∞ { } W U loc( ⃗ x 0) = ⃗ y ∈ U; F −t( ⃗y) ⊂ U in lim F t( ⃗y) = ⃗x 0 , t→−∞ ki ju imenujemo lokalna stabilna in lokalna nestabilna mnogoterost v točki ⃗ x 0, W S ( ⃗x loc 0) in W U ( ⃗ x loc 0). Zanju velja izrek o stabilni mnogoterosti (glej npr. [53, 14, 58, 65]. Nerešen problem ostajajo singularne točke, v katerih ima Jacobijeva matrika, Jf ( ⃗x 0) v svojem spektru σJf ( ⃗x 0) kako lastno vrednost λ, za katero velja Re( λ) = 0 (tudi λ = 0). Takšne kritične točke imenujemo nehiperboliˇ cne ali degenerirane. Naj bo (2.3) realni ravninski analitični sistem NDE in naj bo f ( ⃗ 0) = ⃗ 0. Torej (2.3) je oblike (2.11). Tedaj velja Definicija 2.2.14 (Center) Singularna toˇ cka ⃗ 0 = (0 , 0) je center (ali srediˇ sˇ ce), ˇ ce obstaja taka okolica N ( ⃗ 0) točke ⃗ 0 , za katero je za vsak začetni pogoj ⃗x 0 ∈ N ( ⃗ 0) \⃗ 0 trajektorija γ⃗x 0 sklenjena krivulja, ki v svoji notranjosti vsebuje toˇ cko ⃗ 0 . Gre za neizolirane periodiˇ cne orbite okrog singularnosti. Primer 2.2.15 Asimptotiˇ cno stabilna singularna toˇ cka ⃗ y je ω−limitna množica vsake točke na neki (dovolj majhni) okolici (bazenu privlaˇ cnosti) N ( ⃗y) in asimptotično nestabilna singularna toˇ cka ⃗ y∗ je α−limitna množica vsake točke na neki (dovolj majhni) okolici N ( ⃗y) . Za vsako singularno toˇ cko ⃗ y velja ⃗ y = ω ( ⃗ y) = α ( ⃗ y) . Spomnimo se še primera 2.1.9, kjer je enotska krožnica { } C = ( x, y) ∈ R2; x 2 + y 2 = 1 (stabilni) limitni cikel in vse rešive z neničelno začetno vrednostjo limitirajo proti (poljubni točki iz) C. Zato je ω− limitna množica poljubne neničelne točke ( x, y) ̸= (0 , 0) enaka enotski krožnici C. 2.2 Zvezni sistemi 79 Definicija 2.2.16 (Fokus) Singularna toˇ cka ⃗ 0 = (0 , 0) je stabilni fokus (ali goriˇ sˇ ce), ˇ ce obstaja taka okolica N ( ⃗ 0) točke ⃗ 0 , za katero je koordinatno izhodišče ω−limitna množica vsake točke ⃗ x 0 ∈ N ( ⃗ 0) in za vsako trajektorijo γ⃗x , z neničelnim začetnim pogojem za polarni kot φ = φ ( t) 0 velja lim t→∞ φ ( t) = ∞ ali lim t→∞ φ ( t) = −∞. Singularna točka ⃗ 0 = (0 , 0) je nestabilni fokus, ˇ ce je stabilni fokus za sistem ˙ ⃗ x = −f ( ⃗x) z “obrnjenim” časom. Singularna točka je fokus, če je bodisi stabilni fokus, bodisi nestablni fokus. Pri dvorazsežnih (ravninskih) sistemih (2.11) s singularnostjo ⃗ 0 = (0 , 0) ∈ R2 je za f = ( f, g) linearizacijska matrika [ ] a J 11 a 12 f ((0 , 0)) = A = (2.18) a 21 a 22 realna matrika razsežnosti 2 × 2, ki ji pripada natanko ena od spodnjih Jordanovih oblik J = P − 1 AP. Glede na različne možnosti lastnih vrednosti matrike A in glede na lastne (in korenske) vektorje (ki določijo prehodno matriko P ) v grobem ločimo možnosti, ko sta lastni vrednosti λ 1 in λ 2 (različni) realni števili, ter ko sta lastni vrednosti kompleksni λ 1 , 2 = α ± iβ. Posebej obravnavamo primera, ko je realna lastna vrednost dvojna ničla karakterističnega polinoma in (ne) obstaja korenski vektor: [ ] λ (a) 1 0 , λ 0 λ 1 > λ 2 ∈ R; 2 [ ] λ (b) 0 0 , λ 0 λ 0 ∈ R; 0 [ ] λ (c) 0 1 , λ 0 λ 0 ∈ R; 0 [ ] α + iβ 0 (d) , β > 0. 0 α − iβ V primeru (d) obstaja tudi (prehodna) matrika M , s pomočjo katere lahko matriko A zapišemo v (realni toda ne diagonalni) obliki [ ] α −β = e J = M − 1 AM. β α Glede na zgornje definicije lahko povzamemo kvalitativno obliko faznega portreta ravninskega sistema. V primeru, da je sistem linearen, t. j. oblike ˙ x = a 11 x + a 12 y, ˙ y = a 21 x + a 22 y, (2.19) ima le-ta v izhodišču singularno točko in fazni portret je ekvivalenten enemu izmed naslednjih kvalitativnih tipov: • (a) gre za sedlo, če je λ 1 λ 2 < 0, • (a,b,c) gre za vozel, če je λ 1 λ 2 > 0 (oz. λ 0 > 0), 80 2 Nekatera poglavja iz teorije dinamiˇ cnih sistemov • (d) gre za fokus, če je α ̸= 0 , • (d) gre za center, če je α = 0 , kjer sta λ 1 in λ 2 lastni vrednosti matrike koeficientov sistema (2.19). Sedaj povzemimo nekaj lastnosti nelinearnih ravninskih sistemov. V primeru hiperbolične singularne točke je fazni portret nelinearnega sistema lokalno topološko ekvivalenten (homeo- morfen) faznemu portretu svoje linearizacije (v obravnavani hiperbolični singularni točki). To nam zagotavlja Hartman-Grobmanov izrek. Za razliko od linearnih sistemov, so fazni por- treti teh nelinearnih sistemov redko določeni z naravo singularne točke, saj je dinamika v vsaki nehiperbolični singularni točki odvisna od dodanih nelinearnih členov. Del faznega portreta nelinearnega sistema v okolici N točke x 0 se imenuje restrikcija faznega portreta na N . Ko analiziramo nelinearne sisteme, pogosto obravnavamo restrikcijo globalnega faznega portreta na okolico točke x 0. Takšna restrikcija se imenuje lokalni fazni portret v x 0. Za enostavne linearne sisteme 1 je lokalni fazni portret kvalitativno ekvivalenten globalnemu faznemu portretu sistema. Nelinearni sistemi lahko imajo več kot eno singularno točko in pogosto lahko dobimo lokalne fazne portrete v vseh singularnih točkah. Kot smo že omenili, lokalni fazni portreti ne določajo vedno globalni fazni portret. Če pogledamo obnašanje trajektorij nelinearnega ravninskega sistema v okolici singularne točke, opazimo, da lahko vsako singularno točko ( a, b), ki ni v izhodišču, premaknemo v izhodišče koordinatnega sistema z linearno transformacijo x → x − a, y → y − b. Tako lahko brez izgube za splošnost obravnavamo nelinearni sistem s singularno točko v izhodišču, ki ga lahko zapišemo kot ˙ x = a 11 x + a 12 y + g 1( x, y) , (2.20) ˙ y = a 21 x + a 22 y + g 2( x, y) , √ kjer [ gi( x, y) /r] → 0, ko gre r = x 2 + y 2 → 0. Hartman-Grobmanov izrek opiše lokalni fazni portret sistema (2.20) v okolici hiperboličnih singularnih točk in pove, da imata sistem (2.20) in njemu pripadajoči lineariziran sistem (2.19) hiperbolično singularno točko enakega tipa. Za enostavne 2 singularne točke lahko zapišemo izrek, ki je podoben Hartman-Grobmanovemu izreku in poveže fazni portret nelinearnega sistema v okolici elementarne singularne točke v (0 , 0) s faznim portretom njegovega linearizacijskega sistema (glej. npr. [3, 35]). Izrek 2.2.17 (Linearizacijski izrek) ˇ Ce je (0 , 0) enostavna singularna toˇ cka sistema (2.20) , sta v okolici izhodiˇ sˇ ca fazna portreta sistema (2.20) in njegovega linearizacijskega sistema ena- kega tipa, ˇ ce ta singularna toˇ cka ni center. Bistvo linearizacijskega izreka je, da je center edini primer, pri katerem kvalitativna ekvivalenca nelinearnega sistema in njegovega pripadajočega lineariziranega sistema ne more biti določena iz lineariziranega sistema. V naslednjem podrazdelku bomo videli, da gre v tem primeru za tako imenovan problem centra in fokusa. Torej, če ima ravninski linearni sistem center v izhodišču, tedaj lahko ima ta sistem z dodanimi nelinearnimi členi bodisi center ali fokus v izhodišču. Na slikah 2.2 in 2.3 so prikazani fazni portreti nelinearnih sistemov, kjer v izhodišču nastopijo sedlo, nestabilni vozel, nestabilni fokus in center. Posebej je vozel (angl. node) lahko nestabilen 1Linearni sistem je enostaven, če je determinanta matrike koeficientov sistema različna od nič. 2Singularna točka sistema (2.20) je enostavna, če je linearizacija sistema (2.20) v okolici te singularne točke enostaven sistem. Sledi, da so poleg hiperboličnih singularnih točk enostavne še točke tipa center. 2.2 Zvezni sistemi 81 (izvor), če je (a) λ 2 > 0 oz. (b,c) λ 0 > 0, stabilen (ponor), če je (a) λ 1 < 0 oz. (b,c) λ 0 < 0. Tudi fokus (d) je lahko stabilen, če je α < 0 oz. nestabilen, če je α > 0. Slika 2.2: Sedlo in stabilni vozel. Slika 2.3: Nestabilni fokus in center. Poleg singularnih točk so naslednji pomemben element za karakterizacijo faznih portretov avto- nomnih sistemov navadnih diferencialnih enačb limitni cikli. Pojem limitnega cikla smo spoznali v definiciji 2.1.8. Limitni cikli različnih tipov so predstavljeni na sliki 2.4. 82 2 Nekatera poglavja iz teorije dinamiˇ cnih sistemov Slika 2.4: (a) stabilni limitni cikel, (b) nestabilni limitni cikel, (c)–(d) delno stabilni limitni cikel. V splošnem med limitne množice uvrščamo singularne točke in zaprte orbite. Poincare - Bendixsonov izrek (izrek 2.1.10) nam poda odgovor na vprašanje, katere možnosti se lahko še pojavijo. Iz izreka 2.1.10 sledi, da če je zaprta trajektorija C podmnožica α− ( A( ⃗x)) ali ω− limitne množice (Ω( ⃗ x)) za neki ⃗ x, ki ne leži na C, je C limitni cikel. Že zgoraj smo omenili, da imajo lahko sistemi tudi homoklinične orbite (zanke) in hetero- klinične orbite. Te orbite podajo primere separatriˇ cnih ciklov in t. i. povezanih separatriˇ cnih ciklov ravninskega dinamičnega sistema. Separatrični cikli so zaprte orbite, ki izhajajo iz pove- zave sedlo-sedlo. Na naslednjih dveh primerih (glej [98]) opišemo dve vrsti trajektorij. Sistem ˙ x = y ˙ y = x + x 2 s prvim integralom H( x, y) = y 2 / 2 − x 2 / 2 − x 3 / 3 ima trajektorije, ki ležijo na krivuljah, defini-ranimi z y 2 − x 2 − 2 x 3 = C. 3 Fazni portret za ta sistem je prikazan na sliki 2.5. Krivulja y 2 − x 2 − 2 x 3 / 3 = 0 poteka skozi točko ( − 3 / 2 , 0) in ima sedlo v izhodišču kot svojo α- in ω-limitno množico. Krivulja Γ se imenuje homokliniˇ cna orbita in tok na enostavni zaprti krivulji, določeni z unijo te homoklinične orbite in singularne točke se imenuje separatrični cikel. 2.2 Zvezni sistemi 83 Slika 2.5: Homoklinična orbita Γ, ki definira separatrični cikel. Sedaj konstruirajmo fazni portret za nedušeno nihanje, ki je opisano s sistemom diferencialnih enačb ˙ x = y (2.21) ˙ y = − sin x. Fazni portret sistema (2.21) je prikazan na sliki 2.6. Trajektorija Γ1, ki ima v točki ( −π, 0) sedlo kot svojo α-limitno množico in prav tako sedlo v ( π, 0) kot svojo ω-limitno množico, se imenuje heterokliniˇ cna orbita. Trajektorija Γ2 je prav tako heteroklinična orbita. Tok na zaprti krivulji S = Γ1 ∪ Γ2 ∪ {( π, 0) } ∪ {( −π, 0) } definira separatrični cikel in vsaka od krivulj Γ1 in Γ2 poda primer separatrične povezave. Slika 2.6: Heteroklinični orbiti Γ1 in Γ2, ki definirata separatrični cikel. Končna unija kompatibilno orientiranih separatričnih ciklov se imenuje povezani separatrični 84 2 Nekatera poglavja iz teorije dinamiˇ cnih sistemov cikel. Nekaj primerov povezanih separatričnih ciklov je prikazanih na sliki 2.7. Znano je, da je za ravninske polinomske sisteme poljubna ω- limitna množica bodisi singularna točka, bodisi limitni cikel ali pa separatrični cikel. Da določimo fazni portret nelinearnega sistema v ravnini, moramo določiti tip singularnih točk, najti limitne cikle, separatrične cikle in trajektorije, ki povezujejo singularne točke. Slika 2.7: Primeri povezanih separatričnih ciklov. 2.2.2 Centralna mnogoterost Centralna mnogoterost je invariantna mnogoterost, ki je lokalno (v obravnavani singularni točki) tangentna na linearni centralni invariantni podprostor. V primeru, ko obravnavana singularna točka ni hiperbolična, o stabilnosti odloča tok na centralni mnogoterosti, ki je odvisen od neli- nearnih členov. O tem govori naslednji izrek. Izrek 2.2.18 (Centralna mnogoterost) Naj bo koordinatno izhodiˇ sˇ ce kritiˇ cna toˇ cka sistema (2.3) in ES, EU ter EC stabilni, nestabilni oziroma centralni invariantni podprostor linear(izira)nega sistema (2.17). Naj bo f ∈ Cr. Tedaj obstajata Cr stabilna in nestabilna mnogoterost W S( ⃗ 0) in W U ( ⃗ 0) , ki sta v toˇ cki ⃗ x = ⃗ 0 tangentni na ES oziroma EU in sta enakih razseˇ znosti kot ES oziroma EU . Obstaja tudi Cr− 1 centralna mnogoterost W C ( ⃗ 0) . Vse tri mnogoterosti W S ( ⃗ 0) , loc W U ( ⃗ 0) in W C ( ⃗ 0) so invariantne, toda slednja ni nujno enoliˇ cno doloˇ cena. loc loc Ogejmo si tehniko eksplicitnega določanja enačbe centralne mnogoterosti, ki po izreku o centralni mnogoterosti vedno obstaja. Sistem (2.3), kjer je f vsaj C 1 funkcija in f ( ⃗ 0) = ⃗ 0 , lahko zapišemo v obliki ˙ ⃗ w = J ⃗ w + F ( ⃗ w) , kjer je F ( ⃗ w) zvezno odvedljiva vektorska funkcija (F ∈ C 1) in J Jordanova forma matrike Df ( ⃗ 0). Velja J = diag [C , S , U] , kjer so matrike C , S , U kvadratne diagonalne matrike v invariantnih podprostorih EC , ES ter EU (torej matrika C ima c lastnih vrednosti z ničelnim realnim delom, matrika S ima s lastnih vrednosti s pozitivnim realnim delom in matrika U ima 2.2 Zvezni sistemi 85 u lastnih vrednosti z negativnim realnim delom). Sistem (2.3) lahko torej zapišemo v (bločni diagonalni) obliki: ˙ ⃗ x = C ⃗ x + F1( ⃗x, ⃗y, ⃗z) , (2.22) ˙ ⃗ y = S ⃗ y + F2( ⃗x, ⃗y, ⃗z) , ˙ ⃗ z = U ⃗ z + F3( ⃗x, ⃗y, ⃗z) . Tok na W S ( W U ) je očitno usmerjen proti (od) kritični(e) točki(e), tako da o lokalnem obnašanju odloča (pod)sistem ˙ ⃗ x = C ⃗ x + F1( ⃗x, ⃗y, ⃗z). Zanimivo je obravnavati primere, ko je W U = ∅, kjer lahko enačbe (2.22) zapišemo v koordinatah ⃗ x ∈ EC, ⃗y ∈ ES: ˙ ⃗ x = C ⃗ x + F1( ⃗x, ⃗y) , ˙ (2.23) ⃗ y = S ⃗ y + F2( ⃗x, ⃗y) in imajo vse lastne vrednosti matrike C ničelni realni del, vse lastne vrednosti matrike S so negativne, funkciji F1 in F2 pa predstavljata (strogo) nelinearne člene (reda 2 in višje člene v sistemu). To pomeni, da sta v točki ( ⃗ x, ⃗ y) = ( ⃗ 0 , ⃗ 0) obe funkciji F1 in F2 in vsi njuni prvi parcialni odvodi ničelni. { } Ker je mnogoterost W C tangentna na EC = ( ⃗ x, ⃗ y); ⃗ y = ⃗ 0 , jo lahko lokalno predstavimo kot graf v odvisnosti od spremenljivke ⃗ x: { } W C = ( ⃗ x, ⃗ y); ⃗ y = h( ⃗ x), h( ⃗ 0) = ⃗ 0 in Dh( ⃗ 0) = ⃗ 0 , kjer je h : U −→ Rdim( ES) definirana na neki okolici U ⊂ Rdim( EC) točke ⃗ 0, Dh pa je Jacobijeva matrika preslikave h [ ] ∂hi [ Dh] = . ij ∂xj Torej je na W C aproksimacija toka (projicirana v podprostor EC ) določena z enačbo ˙ ⃗ x = C ⃗ x + F1( ⃗x, h( ⃗x)) . Sedaj moramo poiskati h( ⃗ x). Privzemimo, da lahko h( ⃗ x) v okolici kritične točke ⃗ x = ⃗ 0 razvijemo v Taylorjevo vrsto. Tedaj moramo upoštevati pogoja h( ⃗ 0) = Dh( ⃗ 0) = ⃗ 0 , ki zagotavljata, da je W C v točki ⃗ x = ⃗ 0 tangenten na EC (t. j. ⃗ y = ⃗ 0). Zaporedne člene v razvoju funkcije h dobimo, če časovni odvod funkcije ⃗ y = h( ⃗ x) enačimo s časovnim odvodom iz enačbe (2.23): ˙ ⃗ y = Dh( ⃗ x) · ⃗x′ = Dh( ⃗x) · [C ⃗x + F1( ⃗x, h( ⃗x))] , ˙ ⃗ y = Sh( ⃗ x) + F2( ⃗x, h( ⃗x)) . Od tod sledi enačba Dh( ⃗ x) · [C ⃗x + F1( ⃗x, h( ⃗x))] = Sh( ⃗x) + F2( ⃗x, h( ⃗x)) , (2.24) h( ⃗ 0) = Dh( ⃗ 0) = ⃗ 0 , ki jo imenujemo enačba centralne mnogoterosti, iz katere je koeficiente funkcije ⃗ y = h( ⃗ x) pri razvoju v Taylorjevo vrsto okrog točke ⃗ x = ⃗ 0 mogoče določiti do natančnosti, ki je navzgor omejena z gladkostjo funkcije f . 86 2 Nekatera poglavja iz teorije dinamiˇ cnih sistemov Primer 2.2.19 Primer sistema (2.23) za c = 2 in s = 1 ˙ x 1 = x 1 y − x 1 x 2 , 2 ˙ x 2 = x 2 y − x 2 x 2 , (2.25) 1 ˙ y = −y + x 2 + x 2 , 1 2 [ ] ( ) 0 0 x kjer je C = , S = [ − 1] in F 1 y − x 1 x 2 2 ter F + x 2 . ˇ Ce 0 0 1 ( ⃗ x, y) = x 2 ( ⃗ x, y) = −y + x 21 2 2 y − x 2 x 2 1 postavimo ( ) h ( ⃗ x) = ax 2 | 1 + bx 1 x 2 + cx 2 2 + O ⃗ x| 3 , je [ ] ( ) 2 ax 2 + bx Dh ( ⃗ x) = 1 2 + O |⃗x| 2 . bx 1 + 2 cx 2 Ko zgornja izraza vstavimo v (2.24), sledi ( ) [ ( ) ] 0 = 2 ax 2 − 1 + bx 2 x 1 ax 21 + bx 1 x 2 + cx 22 x 1 x 22 + [ ( ) ] + ( bx 1 + 2 cx 2) x 2 ax 2 − 1 + bx 1 x 2 + cx 2 2 x 2 x 21 + ( ) ( ) ( ) + ax 2 − | 1 + bx 1 x 2 + cx 2 2 x 21 + x 22 + O ⃗x| 3 Po enaˇ cenju istoleˇ znih koeficientov sledi a = 1 , b = 0 in c = 1 , zato je ( ) h ( ⃗ x) = x 2 | 1 + x 2 2 + O ⃗ x| 3 . Ko ta rezultat upoˇ stevamo v (2.25), dobimo ( ) ( ) ( ) ˙ x 1 = x 1 x 2 + x 2 − x + O |⃗x| 4 = x 3 + O |⃗x| 4 , 1 2 1 x 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ˙ x 2 = x 2 x 2 + x 2 − x + O |⃗x| 4 = x 3 + O |⃗x| 4 . 1 2 2 x 2 1 2 Lokalni fazni portret na (lokalni) centralni mnogoterosti je prikazan na sliki 2.8. Kot smo že omenili, centralna mnogoterost ni enolična, vendar je za zgornji primer na vseh centralnih mnogoterostih, ki so določene z enačbo (2.24), tok ekvivalenten toku, ki je prikazan na sliki 2.3. Centralna mnogoterost torej omogoča redukcijo stabilnostne analize originalnega sis- tema NDE, ki nastopa v višji razsežnosti, na stabilnostno analizo sistema NDE v nižji razsežnosti. Klasični problem stabilnosti z redukcijo na centralno mnogoterost je prvi obravnaval Ljapunov [80]. Pliss [99] je leta 1964 nadgradil znanje o (ne)stabilni mnogoterosti in centralni mnogote- rosti in obravnaval sistem (2.23), kjer je ⃗ x ∈ R n in ⃗y ∈ R m. Normi vektorjev ∥F1 ∥ in ∥F2 ∥ pa sta v primerjavi z ∥⃗x∥ in ∥⃗y∥ zelo majhni. Pliss [103] je dokazal, da za tak sistem invariantna mnogoterost ⃗ y = h ( ⃗ x) obstaja in da se obravnava stabilnosti sistema (2.23) lahko zreducira na obravnavo sistema (2.24), kar imenujemo Plissov redukcijski princip. Plissov redukcijski princip je na neavtonomne sisteme NDE posplošil Aulbach [4], na neskončnorazsežne sisteme Likova [85], na diferenčne enačbe pa Janglajewa [66]. 2.2 Zvezni sistemi 87 Slika 2.8: Nestabilna centralna mnogoterost na paraboloidu. V naslednjem razdelku med drugim na kratko opišemo problem centra v R3. V tretjem po- glavju pa obravnavamo družino kvadratnih trirazsežnih sistemov navadnih diferencialnih enačb in zanjo podamo pogoje za nastop centra na centralni mnogoterosti. Za sisteme, ki imajo cen- ter na centralni mnogoterosti, podamo eksplicitno enačbo centralne mnogoterosti in z njeno pomočjo reduciramo tok trirazsežnega sistema na njegovo centralno mnogoterost ter s tem do- bimo ustrezen dvorazsežni sistem. 2.2.3 Problem centra in fokusa v R2 in R3 Problem centra in fokusa v R3 spada med pomembnejše probleme (zveznih) dinamičnih sis- temov. Zaradi Plissovega redukcijskega prinicipa se problem lokalno prevede na dvorazsežno mnogoterost. V fiziki in tehniki nastopa veliko sistemov v R3 (npr. Rikitake sistem [104] za magnetno polje ali Hide-Acheson dinamo [60], Moon-Rand sistem [95] za kontrolo prilagodljivih prostorskih struktur), ki imajo singularno točko, v kateri ima linearni del eno negativno in dve čisti imaginarni lastni vrednosti ter so zato oblike ˙ u = −v + P ( u, v, w) = e P ( u, v, w) , ˙ v = u + Q ( u, v, w) = e Q ( u, v, w) , (2.26) ˙ w = −λw + R ( u, v, w) = e R ( u, v, w) , kjer je λ ∈ R+, P, Q, R pa so analitične funkcije brez konstantnih in linearnih členov. Po izreku 2.2.18 ima sistem (2.26) centralno mnogoterost oblike w = h ( u, v) . Ker je sistem (2.26) analitičen za vsak naravni r ∈ N, obstaja Cr invariantna mnogoterost W C , ki je v izhodišču tangentna na ravnino ( u, v). Sistemi (2.26) imajo centralno mnogoterost 88 2 Nekatera poglavja iz teorije dinamiˇ cnih sistemov W C ( ⃗ 0). Ker je λ > 0, se rešitve blizu singularne točke ⃗ 0 ∈ W C( ⃗ 0) z naraščanjem časa bližajo centralni mnogoterosti W C ( ⃗ 0). Neznano je samo, kaj se dogaja na sami centralni mnogoterosti, saj je v okolici izhodišča stabilnost (in s tem fazni portret) sistema (2.26) odvisna od “dodanih” nelinearnih členov P, Q, R in lahko nastopi bodisi center bodisi fokus, kar imenujemo problem centra in fokusa. Naštejmo le nekaj člankov, ki se ukvarjajo s problemom centra in fokusa v R3 in R2 [16, 17, 18, 24, 29, 112, 118, 46, 108]. Če nas torej zanima obnašanje trajektorij na centralni mnogoterosti sistema (2.26), lahko najdemo prvih nekaj členov Taylorjeve vrste mnogoterosti, ki jo iščemo v obliki w = a 1 u + a 2 v + . . . Nato jo vstavimo v prvi dve enačbi sistema (2.26) in študiramo problem centra in fokusa za dobljen dvorazsežni sistem. Kakorkoli, za računsko bolj učinkovit način poskrbi naslednji izrek, katerega dokaz najdemo v [8, § 13]. Preden ga zapišemo, potrebujemo pomembno definicijo, ki je motivirana z geometrijsko obravnavo v tem poglavju. Kot običajno naj C[x] = C[ x 1 , . . . , xn] označuje kolobar polinomov s kompleksnimi koeficienti v spremenljivkah x 1 , . . . , xn. Podan je sistem dx ˙ x( t) = = P(x) , (2.27) dt kjer je P(x) = ( P 1(x) , . . . , Pn(x)); x = ( x 1 , . . . , xn) ∈ R n (ali C n), n-razsežen sistem navadnih diferencialnih enačb. Polinomsko vektorsko polje v C n, ki ustreza sistemu (2.27), je definirano kot n ∑ X ∂ = Pi(x) , (2.28) ∂xi i=1 kjer polinomi Pi( x) ∈ C[x] nimajo nobenega skupnega faktorja za i = 1 , . . . , n. Celo število m = max { st( P 1) , . . . , st( Pn) } je stopnja vektorskega polja X . Definicija 2.2.20 Naj bo Ω odprta podmnoˇ zica mnoˇ zice R n (ali C n). Prvi integral gladkega in analitiˇ cnega sistema diferencialnih enaˇ cb (2.27) je nekonstantna odvedljiva funkcija Φ : Ω → C , ki je konstantna na trajektorijah, t. j. Φ( x( t)) je konstantna za vse vrednosti t, za katere je reˇ sitev x( t) definirana in vsebovana v podmnoˇ zici Ω . Formalni prvi integral je formalna potenˇ cna vrsta v x, katere koeficienti niso vsi niˇ celni in ki, ˇ ce jo ˇ clenoma odvajamo, zadoˇ sˇ ca d [Φ( x( t))] ≡ 0 na dt Ω . Opazimo, da je nekonstantna odvedljiva funkcija (ali formalna potenčna vrsta) Φ prvi integral (ali formalni prvi integral) sistema natanko tedaj, ko je X ∂Φ ∂Φ Φ = P 1 + · · · + Pn ≡ 0 na Ω . ∂x 1 ∂xn Poglejmo sedaj, kako je geometrijska slika trajektorij v okolici singularne točke tipa center v prostoru R3 povezana z obstojem analitičnega prvega integrala. Izrek 2.2.21 (Ljapunov izrek o centru) Koordinatno izhodiˇ sˇ ce sistema (2.26) z vektorskim poljem X ∂ ∂ ∂ := e P + e Q + e R (2.29) ∂u ∂v ∂w je center na mnogoterosti X | W C natanko tedaj, ko vektorsko polje X v okolici izhodišča (0 , 0 , 0) ∈ R3 premore realni lokalni analitični prvi integral oblike ∑ Φ ( u, v, w) = u 2 + v 2 + φjkl · ujvkwl. (2.30) j+ k+ l≥ 3 2.2 Zvezni sistemi 89 V primeru, ko na centralni mnogoterosti obstaja center, je lokalna centralna mnogoterost W C analitiˇ cna in enoliˇ cna. Če uporabimo zgornji izrek, iščemo pogoje za obstoj funkcije Φ = Φ ( u, v, w) z neznanimi koeficienti φjkl, za katero velja e ∂Φ ∂Φ ∂Φ P + e Q + e R ≡ 0 . (2.31) ∂u ∂v ∂w Iz zgornje (parcialne diferencialne) enačbe sledijo polinomski pogoji, ki za dani sistem (2.26) odločajo o potrebnih pogojih za nastop centra na centralni mnogoterosti X | W C. Na ta način bomo v tretjem poglavju poiskali pogoje za center na centralni raznoterosti trirazsežnega sistema oblike (2.26), kjer so P , Q in R kvadratni polinomi. Seveda, če v (2.26) postavimo w = 0 (in e R = 0), imamo problem centra in fokusa v R2, ki je že sam po sebi zelo pomemben problem (glej npr. [36, 46, 108]). V osnovi je bil ravninski problem centra in fokusa obravnavan za sisteme oblike ∑ ˙ u = αu − βv + ∞ α i+ j=2 ij uivj = αu − βv + b P ( u, v) , ∑ (2.32) ˙ v = βu + αv + ∞ β i+ j=2 ij uivj = βu + αv + b Q( u, v) , kjer so α, β, αij, βij realni parametri sistema. Sistem (2.32) premore center v izhodišču natanko tedaj, ko je α = 0 in obstaja prvi integral oblike ∑ Φ ( u, v) = u 2 + v 2 + φkl · ukvl. (2.33) k+ l≥ 3 To je tako imenovani izrek Poincaré-Ljapunova (glej izrek 2.2.27). Izrek pove, da je kvalitativna slika trajektorij v okolici singularne točke povezana z lokalno integrabilnostjo sistema: singularna točka je center natanko tedaj, ko obstaja analitični prvi integral oblike (2.33). Ta rezultat je najprej dokazal Poincaré ([100]) za primer, ko sta b P in b Q polinoma. Ljapunov ([80]) je posplošil ta rezultat na primer, ko sta b P in b Q realni analitični funkciji. Prav tako se da dokazati, da obstaja analitični prvi integral oblike (2.33) natanko tedaj, ko obstaja formalni prvi integral sistema (2.32), ki je oblike (2.33). Izrek Poincaré-Ljapunov pa ne poda odgovora na vprašanje, kako preveriti, če za dan sistem diferencialnih enačb obstaja prvi integral oblike (2.33). Odgovor na to vprašanje mora biti poiskan za vsak sistem posebej in do sedaj nimamo neke univerzalne metode, ki bi omogočila odgovoriti na to vprašanje za poljubni sistem (2.32). Zato obstaja odprt problem, kako identificirati sisteme s centrom znotraj podane parametrične družine ravninskih polinomskih sistemov navadnih diferencialnih enačb. To je podobno kot za trirazsežne sisteme zgoraj tako imenovani problem centra in fokusa ali (Poncaréjev) problem centra. Zaenkrat je problem centra v celoti razrešen samo za sisteme (2.32) z dodanimi kvadratnimi členi (glej [34]), z dodanimi homogenimi kubičnimi členi (glej [86]), za nekatere poddružine z dodanimi homogenimi členi reda 5 (glej [15]), za tako imenovan Kuklesov sistem (glej [84]) in za kubični sistem Kolmogorova [82, 52, 114]. V nadaljevanju si bomo ogledali nekaj pristopov, s katerimi lahko obravnavamo (Poincaréjev) problem centra. Najprej si poglejmo tako imenovano Poincaréjevo preslikavo (angl. return map) in z njo povezano Poincaréjevo sečno ploskev (angl. Poincaré section). Poincaréjava (povratna) preslikava P : Σ → Σ elementu ⃗x 0 ∈ Σ ⊂ M, ki je ob času t 0 na Poincaréjevi sečni ploskvi ( ⃗ x 0 ∈ Σ), priredi P ( ⃗x 0) = F τ( t 0) ( ⃗x 0) ∈ Σ, 90 2 Nekatera poglavja iz teorije dinamiˇ cnih sistemov kjer je T = τ ( t 0) prvi čas T > t 0, pri katerem rešitev F t ( ⃗x 0) (ponovno) preseka sečno ploskev Σ. Poincaréjeva sečna ploskev [28, str. 48] Σ je ( n − 1) − razsežna (množica) hiperploskev vložena v prostor M (glej sliko 2.9 ). V nadaljevanju želimo eksplicitno izraziti Poincaréjevo (povratno) Slika 2.9: Poincaréjeva sečna ploskev. preslikavo za sisteme (2.32). V ta namen označimo ∞ ∑ ∞ ∑ αijuivj = b P ( u, v) = P ( k) ( u, v) , i+ j=2 k=2 ∞ ∑ ∞ ∑ βijuivj = b Q ( u, v) = Q( k) ( u, v) , i+ j=2 k=2 kjer so P ( k) ( u, v) in Q( k) ( u, v) homogeni polinomi stopnje k in vpeljimo v (2.32) polarne koor- dinate (2.5). Potem sistem (2.32) dobi obliko ˙ r = αr + b P ( r cos φ, r sin φ) cos φ + b Q ( r cos φ, r sin φ) sin φ ( ) ˙ φ = β − r− 1 b P ( r cos φ, r sin φ) sin φ − b Q ( r cos φ, r sin φ) cos φ oz. po deljenju zgornjih enačb dr αr + r 2 F ( r sin φ, r cos φ) = = R ( r, φ) . (2.34) dφ β + rG ( r sin φ, r cos φ) Funkcija R ( r, φ) v (2.34) je glede na spremenljivko φ periodična s periodo 2 π in za |r| < r∗ (za neki dovolj majhnen r∗) analitična (za vsak φ). Ker je izhodišče singularnost sistema (2.32), je 2.2 Zvezni sistemi 91 r = 0 (singularna) rešitev enačbe (2.34), saj je R (0 , φ) ≡ 0. Zato je razvoj R ( r, φ) v potenčno vrsto okoli r = 0 takšen: R ( r, φ) = R 0 ( φ) + rR 1 ( φ) + r 2 R 2 ( φ) + · · · , kjer je očitno R 0 ( φ) = 0 in R 1 ( φ) = α , vse druge funkcije R β k ( φ) so periodične s periodo 2 π in zgornja vrsta je konvergentna (za vse φ− je in dovolj majhne r− je). Označimo z r = f ( φ, φ 0 , r 0) rešitev enačbe (2.34) z začetnim pogojem r = r 0 in φ = φ 0. Funkcija f je analitična v vseh treh spremenljivkah in velja f ( φ, φ 0 , 0) ≡ 0, saj je r = 0 rešitev enačbe (2.34). Zato (zaradi zvezne odvisnosti rešitev (2.34) od parametrov) rešitev enačbe (2.34) za dovolj majhne vrednosti r za vsak φ = c, 0 ≤ c < 2 π preseka žarek φ = c. To pomeni, da lahko brez izgube za splošnost vzamemo c = φ 0 = 0 in obravnavamo t. i. Poincaréjevo sečno premico Σ = {( u, v) ; v = 0 , 0 ≤ u ≤ r∗} (2.35) (za neki dovolj majhen r∗) oz. rešitve r = f ( φ, 0 , r 0) (glej sliko 2.10). Funkcijo f ( φ, 0 , r 0) lahko Slika 2.10: Poincaréjeva sečna premica. razvijemo (za dovolj majhne |r 0 | < r∗) v konvergentno vrsto f ( φ, 0 , r 0) = w 1 ( φ) r 0 + w 2 ( φ) r 20 + · · · (2.36) Ker je (2.36) rešitev enačbe (2.34), sledi ( ) w 1 ( φ) r 0 + w 2 ( φ) r 20 + · · · ≡ R 1 ( φ) w 1 ( φ) r 0 + w 2 ( φ) r 20 + · · · + ( )2 + R 2 ( φ) w 1 ( φ) r 0 + w 2 ( φ) r 20 + · · · + ( )3 + R 3 ( φ) w 1 ( φ) r 0 + w 2 ( φ) r 20 + · · · + · · · Za dovolj majhne vrednosti r 0 po enačenju istoležnih koeficientov pri rk za w 0 1 ( φ), w 2 ( φ), . . . 92 2 Nekatera poglavja iz teorije dinamiˇ cnih sistemov sledi zaporedje diferencialnih enačb ˙ w 1 = R 1 ( φ) w 1 , (2.37) ˙ w 2 = R 1 ( φ) w 2 + R 2 ( φ) w 21 , ˙ w 3 = R 1 ( φ) w 3 + 2 R 2 ( φ) w 1 w 2 + R 3 ( φ) w 31 , ... Začetni pogoj r = f (0 , 0 , r 0) = r 0 pomeni w 1 (0) = 1 , wj (0) = 0 za j > 1 . (2.38) Upoštevajoč začetne pogoje (2.38), lahko rešimo sistem (2.37) NDE za w 1, w 2, ... Očitno je α w φ 1 ( φ) = e β . Vse ostale rešitve wk = wk ( φ) za k > 2 dobimo kot rešitve linearnih NDE prvega reda. Ko v rešitev r = f ( φ, 0 , r 0) vstavimo φ = 2 π, dobimo vrednost, kjer rešitev prvič (naslednjič) preseka Poincaréjevo sečno premico (2.35). Sedaj lahko ekzaktno definiramo Poincaréjevo (povratno) preslikavo za sisteme (2.32). Definicija 2.2.22 Za izbran sistem oblike (2.32) velja: a) funkcijo (definirano za vse |r 0 | < r∗) P ( r 0) = f (2 π, 0 , r 0) = e η 1 r 0 + η 2 r 20 + η 3 r 30 + · · · , kjer je e η 1 = w 1 (2 π) in za vse k > 2 je ηk = wk (2 π) , imenujemo Poincaréjeva (povratna) preslikava, b) funkcijo D ( r 0) = P ( r 0) − r 0 = η 1 r 0 + η 2 r 20 + η 3 r 30 + · · · (2.39) imenujemo diferenˇ cna funkcija ali funkcija razlike, c) koeficient ηk za k ∈ N imenujemo k−ti Ljapunov koeficient. Prvi Ljapunov koeficient je enak 2 πα η 1 = e β − 1 . Iz geometrijskih razlogov je očitno, da je prvi neničelni koeficient v (2.39) nujno lihe stopnje η 2 k+1 ̸= 0. Če je diferenčna funcija D ( r) ≡ 0, so vse trajektorije sistema (2.32) ovalne in izhodišče je center. Izoliranim ničlam diferenčne funcije D ( r) = 0 pripadajo limitni cikli. Če poznamo Ljapunove količine nekega sistema (2.32), lahko odločimo, ali je v izhodišču center ali fokus, kot govori naslednji izrek. Izrek 2.2.23 Sistem (2.32) ima v izhodiˇ sˇ cu center natanko tedaj, ko so vse Ljapunove koliˇ cine niˇ celne. V nasprotnem primeru je v izhodiˇ sˇ cu fokus in velja bodisi η 1 ̸= 0 bodisi za neki k ∈ N velja η 1 = 0 , η 2 = 0 , . . . , η 2 k = 0 in η 2 k+1 ̸= 0 . (2.40) Ce je η 1 < 0 oz. η 2 k+1 < 0 , gre za stabilni fokus, sicer (če je η 1 > 0 oz. η 2 k+1 > 0 ) gre za nestabilni fokus. 2.2 Zvezni sistemi 93 Kot smo videli na sliki 2.3, so v tem primeru trajektorije spirale, ki vodijo k oz. od singularne α točke. Dokaz izreka 2.2.23 je v [114, Izrek 3.1.5]. Iz w φ 1 ( φ) = e β in iz zgornjega izreka sledi, da je za α < 0 ( α > 0) fokus stabilen (nestabilen). Če (2.40) velja za k > 0, se fokus v izhodišču imenuje ˇ sibki fokus reda k. Torej šibki fokus nastopi v sistemih (2.32) z α = 0, kar pomeni, da je izhodišče nehiperbolična singularna točka. 2.2.4 Fokusne koliˇ cine, Bautinov ideal in centralna raznoterost Kljub temu, da ideal definiran z Ljapunovimi količinami oz. njemu pripadajoča raznoterost, ki izhaja iz (originalnega) realnega sistema (2.41) predstavlja potrebne pogoje za nastop centra, običajno uporabljamo kompleksifikacijo sistema, saj je kompleksne raznoterosti v več pogledih lažje obravnavati. Obravnavali bomo sistem (2.32) za α = 0 (da se izognemo fokusu) in vpeljali skrčitev/razteg časa t → 1 τ. Dodani nelinearni členi bodo polinomi stopnje največ n (torej vsoti na desni strani β v (2.32) sta končni). Če odvoda po τ označimo z u′ in v′, iz (2.32) sledi u′ = −v + b P ( u, v) , (2.41) v′ = u + b Q ( u, v) , ( ) ( ) kjer je st b P ≤ n in st b Q ≤ n. V sistem (2.41) vpeljemo kompleksne koordinate (2.6), da dobimo ˙ x = R ( x, x) . (2.42) Zgornji sistem naravno nastopa s svojim konjugiranim parom ˙ x = R ( x, x) . Če namesto kompleksne konjugacije x vpeljemo novo (neodvisno) sprememnljivko y (t.j. x → y) in, če v tem smislu posplošimo tudi funkcijo R, iz obeh delov enačb sledi kompleksni sistem ( ∑ ) x′ = i x − n− 1 a = ix − e P ( x, y) , p+ q=1 pq xp+1 yq ( ∑ ) (2.43) y′ = −i y − n− 1 b = −iy + e Q ( x, y) . p+ q=1 qpxq yp+1 Očitno lahko s ponovno spremembo časa t = iτ sistem preoblikujemo na ∑ ˙ x = x − n− 1 a p+ q=1 pq xp+1 yq = x − P ( x, y) , ∑ (2.44) ˙ y = −y + n− 1 b p+ q=1 qpxq yp+1 = −y + Q ( x, y) . Če sledimo teoriji [34] in izreku Poincaré-Ljapunova, lahko razširimo koncept centra na komple- ksne sisteme oblike (2.43). Definicija 2.2.24 Obravnavamo sistem (2.43) , kjer sta e P in e Q kompleksni vrsti brez konstan- tnih in linearnih ˇ clenov v okolici izhodiˇ sˇ ca. Tedaj ima sistem (2.43) center v izhodiˇ sˇ cu, ˇ ce ima formalni prvi integral oblike ∑ Ψ( x, y) = xy + vjkxjyk. (2.45) j+ k≥ 3 94 2 Nekatera poglavja iz teorije dinamiˇ cnih sistemov Če v (2.43) e P in e Q zadoščata pogoju e Q( x, x) = e P ( x, x), imenujemo sistem (2.43) kompleksifika- cija realnega sistema (2.41) in realni sistem je lahko dobljen z zamenjavo y z x. Poudariti pa je potrebno, da je bistvo definicije 2.2.24, da ima realni sistem (2.41) center v (0 , 0) ∈ R2 natanko tedaj, ko ima njegova kompleksifikacija (2.43) center v izhodišču C2. Prvi integral, Ψ ( x, y), sistema (2.43) je definiran s parcialno diferencialno enačbo DΨ := X Ψ = ( ix − e P ( x, y)) · ∂Ψ ( x, y) + ( −iy + e Q ( x, y)) · ∂Ψ ( x, y) ≡ 0 . ∂x ∂y V praksi iščemo prvi integral Ψ v obliki vrste (formalni prvi integral) in obravnavamo približek reda 2 N + 1 (za dovolj velik N ) 2 N +1 ∑ Ψ2 N+1 ( x, y) = xy + vj− 1 ,k− 1 · xjyk k+ j=3 in na vsakem koraku i = 3 , 4 , . . . , 2 N + 1 enačimo vse koeficiente reda i v enačbi DΨ2 N+1 = 0 z nič. Pri tem na vsakem koraku dobimo sistem linearnih enačb z neznankami vj,k. Izkaže se, da imajo tako dobljeni linearni sistemi za lihe i = 2 ℓ − 1 vedno enolične rešitve, ki jih sproti upoštevamo v nadaljnem postopku, medtem ko za sode i = 2 ℓ dobimo vedno eno enačbo več kot je na tem koraku neznank oz. natančneje: ena neznanka v enačbah ne nastopa. Enačba, kjer vj,k ne nastopa, je vedno pri koeficientu oblike xℓyℓ, ki ga označimo z gℓ− 1 ,ℓ− 1. Koeficient gℓ− 1 ,ℓ− 1 je polinom, v katerem nastopajo izključno parametri sistema (2.43), ki jih označimo z ( a, b) , kjer a in b razumemo kot vektorja, ki pripadata koeficientom v polinomih e P oz. e Q. Torej imamo na 2 ℓ− tem koraku enačbo DΨ2 N+1 = g 11 ( a, b) · ( xy)2 + g 22 ( a, b) · ( xy)3 + · · · + gℓ− 1 ,ℓ− 1 ( a, b) · ( xy) ℓ + · · · , za celotni približek Ψ2 N+1 pa sledi DΨ2 N+1 = g 11 ( a, b) · ( xy)2 + · · · + gℓ− 1 ,ℓ− 1 ( a, b) · ( xy) ℓ + · · · + g 2 N− 1 , 2 N− 1 ( a, b) · ( xy) N . V splošnem za DΨ dobimo izraz DΨ = g 11 ( a, b) · ( xy)2 + · · · + gℓ− 1 ℓ− 1 ( a, b) · ( xy) ℓ + · · · , (2.46) ki ga enačimo z nič (za vsak par x, y ∈ C), kar pomeni, da morajo za obstoj prvega integrala biti vsi polinomi g 11 ( a, b), g 22 ( a, b) , . . . ničelni. Prvi integral ne obstaja vedno (lahko gre za fokus), kljub temu pa lahko totalnemu odvodu DΨ = Ψ e e xP + Ψ y Q vedno priredimo desno stran enačbe (2.46) in definiramo dvoje. Definicija 2.2.25 (Fokusne koliˇ cine) Polinome gkk ∈ C [ a, b] , ki so definirani v enačbi (2.46), imenujemo fokusne koliˇ cine. Natanˇ cneje: gkk je k−ta fokusna količina sistema (2.43). Definicija 2.2.26 (Bautinov ideal) Ideal, doloˇ cen s fokusnimi koliˇ cinami gkk ∈ C [ a, b] , B = ⟨g 11 , g 22 , . . . , gkk, . . .⟩ ⊂ C [ a, b] , imenujemo Bautinov ideal, njemu pripadajoˇ co raznoterost VC = V ( B) pa imenujemo centralna raznoterost singularne toˇ cke sistema (2.43). 2.2 Zvezni sistemi 95 S pomočjo teorije zgoraj lahko center sistema (2.41) okarakteriziramo bodisi z Ljapunovimi količinami, bodisi z obstojem prvega integrala, ali pa s fokusnimi količinami njegove kompleksi- fikacije. Naslednji izrek je verzija Poincaré-Ljapunovega izreka (glej npr. [114, Izrek 3.2.9]). Izrek 2.2.27 Naslednje trditve so ekvivalentne: • sistem (2.41) ima center v izhodišču, • vse Ljapunove količine ηk so ničelne, • (originalni realni) sistem (2.41) ima formalni prvi integral oblike (2.33) . • (pripadajoči kompleksni) sistem (2.43) ima formalni prvi integral oblike (2.45) , • vse fokusne količine gkk so ničelne. Ko obravnavamo problem centra za kompleksne sisteme oblike (2.43), si lahko pomagamo z naslednjo trditvijo (glej [114] za dokaz). Trditev 2.2.28 Centralna raznoterost sistema (2.44) sovpada s centralno raznoterostjo sistema (2.43) . Na podlagi te trditve lahko namesto sistema (2.43) obravnavamo sistem (2.44). Razlika je samo, da v prvem primeru fokusne količine vsebujejo multiplikativni faktor i in v drugem primeru ga ne. Ker nas pa zanima samo raznoterost, ki jo definirajo fokusne količine, torej njihove ničle, je prisotnost ali odsotnost takšnega neničelnega faktorja v njih nepomembna. Za sisteme (2.44) navedimo tudi naslednjo opombo, ki poda zvezo med formalnim prvim integralom in analitičnim prvim integralom sistema (2.44) (glej [114, posledica 3.2.6]). Opomba 2.2.29 Kompleksni sistem (2.44) ima formalni prvi integral oblike (2.45) natanko tedaj, ko ima analitiˇ cni prvi integral oblike (2.45) . Izrek 2.2.27 med drugim tudi pove, da rešiti problem centra je ekvivalentno kot najti cen- tralno raznoterost. Ideal, generiran s prvimi k fokusnimi količinami, ⟨g 11 , g 22 , . . . , gkk⟩, označimo z Bk. V praksi operiramo samo z ideali Bk, saj lahko za večino sistemov, kljub obsežni teoriji o fokusnih količinah (glej [114, Pogl. 3]) in kljub naprednim algoritmom za izračunavanje fokusnih količin (glej npr. [111, 112]), eksplicitno izračunamo samo prvih nekaj fokusnih količin. Potem uporabimo teorijo iz poglavja 1. Spomnimo, da je veriga idealov B 1 ⊂ B 2 ⊂ · · · ⊂ Bk ⊂ · · · naraščajoča in ima po Hilbertovem izreku o bazi vsak polinomski ideal končno generirano bazo, kar pomeni, da obstaja takšen K, da ideal B = ⟨g 11 , g 22 , . . .⟩ zadošča enakosti B = BK = ⟨g 11 , g 22 , . . . , gKK⟩ . (2.47) V bistvu je enakost (2.47) prestroga zahteva za nastop centra v izhodišču: ker nas zanima samo √ √ raznoterost ideala in ne ideal sam, je po trditvi 1.4.8 dovolj, če najdemo tak K, da je B = BK. Da bi torej našli centralno raznoterost podane družine polinomskih sistemov (2.43), lahko upo- rabimo sledeč pristop. Izračunamo prvih nekaj fokusnih količin in vzamemo prvo, ki je različna od nič, recimo gll, ter tvorimo množico I = {gll}. Nato vzamemo naslednjo neničelno foku- sno količino, gl+1 ,l+1, in jo reduciramo po modulu gll, da dobimo ˜ gl+1 ,l+1. Z uporabo rešitve √ pripadnosti korenu (glej poglavje 1) preverimo, če je ˜ gl+1 ,l+1 ∈ ⟨gll⟩. Če polinom ˜ gl+1 ,l+1 ni 96 2 Nekatera poglavja iz teorije dinamiˇ cnih sistemov √ element korena ⟨gll⟩, ga dodamo k I in je tako I = {gll, ˜ gl+1 ,l+1 }. Nato reduciramo naslednjo neničelno fokusno količino gl+2 ,l+2, po modulu ⟨I⟩, (kjer je ⟨I⟩ ideal generiran s polinomi iz I) √ in preverimo, če je ˜ gl+2 ,l+2 ∈ ⟨gll, ˜ gl+1 ,l+1 ⟩. Če to ni res, dodamo ˜ gl+2 ,l+2 k množici I in nada- ljujemo, dokler ne pridemo do najmanjše vrednosti i, za katero je I = ⟨gll, ˜ gl+1 ,l+1 , . . . , ˜ gl+ i,l+ i⟩ √ in ˜ gl+ i+1 ,l+ i+1 ∈ ⟨I⟩. Ko to dosežemo, pričakujemo, da je VC = V ( B) = V ( ⟨I⟩) . (2.48) √ Lahko izračunamo še nekaj dodatnih fokusnih količin in preverimo, da prav tako ležijo v ⟨I⟩. Ker je ⟨I⟩ ⊂ B, je očitno V ( B) ⊂ V ( ⟨I⟩) . Da bi dokazali (2.48), moramo pokazati še obratno inkluzijo, V ( ⟨I⟩) ⊂ V ( B). V ta namen izračunamo ireducibilno dekompozicijo raznoterosti V ( ⟨I⟩), V ( ⟨I⟩) = V 1 ∪ · · · ∪ Vr, in dokažemo, da ima poljuben sistem posamezne komponente Vj center v izhodišču oz. po izreku 2.2.27 prvi integral oblike (2.45). Poznamo več metod za iskanje oz. dokazovanje obstoja prvega integrala sistema. Ena izmed najučinkovitejših je metoda Darbouxjeve integracije, s katero poiščemo prvi integral ali integri- rajoči množitelj sistema. S to metodo se podrobneje seznanimo v naslednjem podrazdelku. Včasih nam pri dokazovanju integrabilnosti pomaga dejstvo, da je sistem hamiltonski. S pojmom hamiltonskega sistema smo se srečali že v razdelku 2.1. Pravimo, da je sistem ˙ x = e P ( x, y) , ˙ y = e Q( x, y) , (2.49) kjer sta x, y ∈ C in e P e Q polinoma brez konstantnih členov in m = max( st( e P ) , st( e Q)), hamil- tonski, če obstaja funkcija H : C2 → C, t. i. hamiltonova funkcija sistema, da velja: e P = −Hy in e Q = Hx. Hitro vidimo, da je ∂H e ∂H P + e Q ≡ 0 , ∂x ∂y in zato je H prvi integral sistema (2.49). Jasno je, da ima poljuben kompleksni hamiltonski sistem oblike (2.43) ali (2.44) center. Hamiltonskih sistemov znotraj družine sistemov (2.43) ni težko poiskati (glej [114, trditev 3.5.1]). Naslednji razred sistemov, ki jih bomo opisali v podrazdelku 2.2.6, so sistemi, ki imajo določeno simetrijo, ki v realnem sistemu s singularnostjo tipa center ali fokus v bistvu pomeni center, t. i. časovna reverzibilnost. Videli bomo, kako se pojem časovne reverzibilnosti posploši na kompleksne sisteme oblike (2.43). Nato reverzibilnost razvijemo še naprej in navedemo nekaj rezultatov, ki so bili pred kratkim navedeni v [44] o t. i. posplošeni reverzibilnosti sistemov oblike (2.44). Ko nobena izmed zgoraj omenjenih metod ne zadošča za dokaz obstoja prvega integrala, imamo na voljo še nekaj metod. Ena izmed metod je tudi dokaz obstoja formalnega prvega integrala sistema (2.44) v obliki potenčne vrste ∞ ∑ ∞ ∑ Ψ( x, y) = fk( y) xk ali Ψ( x, y) = fk( x) yk, k=1 k=1 kar se prevede na iskanje funkcij fk( y) (ali fk( x)) - glej razdelek 3.2.2. Zelo uporabna je tudi metoda napihovanja (angl. blow-up), ki temelji na transformaciji ( x, y) → ( x, z) = ( x, y/x) (ali ( x, y) → ( z, y) = ( x/y, y)). V tem primeru singularno točko 2.2 Zvezni sistemi 97 x = y = 0 nadomestimo s premico x = 0 (ali y = 0), ki vsebuje dve singularni točki, ki ustrezata separatrisam singularne točke v izhodišču sistema (2.44) (glej [42] za več podrobnosti). To metodo bomo uporabili za dokaz integrabilnosti kubičnega sistema v razdelku 3.2.2. V razdelku 3.2.3 si bomo pri dokazu integrabilnosti sistema četrte stopnje pomagali tudi s t. i. metodo “blow down” v vozel, ki temelji na linearizabilnosti sistema v smislu obrnljive analitične spremembe koordinat ( u, v) = ( xyr, ys) , (ali ( u, v) = ( xr, xsy)) , (2.50) ki sistem (2.44) transformira v sistem ∑ ∑ ˙ u = −u + Ujkujvk, ˙ v = −nv + Vjkujvk (2.51) j+ k=2 j+ k=2 ki ima resonantni vozel v izhodišču in konstanti r, s ∈ N zadoščata pogoju n( r − 1) = s. (2.52) S pomočjo Poincare-Ljapunove teorije o normalnih formah (glej npr. [8]) lahko sistem (2.51) s konvergentno transformacijo ∞ ∑ ∞ ∑ ξ = u + αjkujvk η = v + βjkujvk (2.53) j+ k=2 j+ k=2 preoblikujemo v njegovo normalno formo ˙ ξ = −ξ, ˙ η = −nη + aξn. (2.54) Sistem (2.51) je linearizabilen natanko tedaj, ko je koeficient a v resonantnem členu aξn enak nič in je zato njegova normalna forma enaka ˙ ξ = −ξ, ˙ η = −nη. (2.55) Ta sistem ima prvi integral ξn/η, od koder s pomočjo (2.53) in (2.50) ter pogoja (2.52) dobimo ∑ prvi integral sistema (2.44), ki je enak ˜ Ψ = xnyn + c i+ j> 2 n ij xiyj . Zato je integral oblike (2.45) prvi integral sistema (2.44), ki ima zato center v izhodišču. Za več podrobnosti o metodi “blow-down” v vozel glej npr. [23]. Pogoje za nastop centra dvorazsežnega sistema bomo poiskali v naslednjem poglavju v raz- delku 3.2, kjer bomo obravnavali družino kubičnih sistemov in družino sistemov četrte stopnje. 2.2.5 Darbouxjevi integrali in integrirajoˇ ci mnoˇ zitelji v C2 V tem razdelku predstavimo metodo Darbouxjeve integracije za dokazovanje obstoja prvih inte- gralov in integrirajočih množiteljev za kompleksne ravninske polinomske sisteme diferencialnih enačb. S st( P ) označimo stopnjo polinoma P . Nadalje, s Π s P j=1 j označimo produkt P 1 P 2 · · · Ps, kjer je s neko naravno število. Obravnavamo sisteme oblike ˙ x = P ( x, y) , ˙ y = Q( x, y) , (2.56) 98 2 Nekatera poglavja iz teorije dinamiˇ cnih sistemov kjer sta x, y ∈ C, ter P in Q polinoma brez konstantnih členov, ki nimata nekonstantnega skupnega faktorja in m = max( st( P ) , st( Q)). Naj X označuje ustrezno vektorsko polje, kot je definirano v (2.28). Predpostavimo, da ima sistem (2.56) prvi integral H v okolici izhodišča. V naslednji trditvi bomo obravnavali produktno α obliko prvega integrala H = Π f j in dokazali, pri katerih pogojih vsak polinom f j j iz produkta α Π f j deli X f j j . α Trditev 2.2.30 Recimo, da je H = Π s f j prvi integral sistema (2.56) , kjer za vsak j velja j=1 j αj ∈ C in fj ∈ C[ x, y] je ireducibilen in za k ̸= j polinoma fk in fj ne vsebujeta skupnih faktorjev. Tedaj za vsak j velja fj|X fj. Dokaz. Obravnavamo sistem oblike (2.56). Odvod polinoma fj po vektorskem polju je X ∂fj ∂fj fj = P + Q. ∂x ∂y α Ker je po predpostavki H = Π s f j = f α 1 f α 2 f α 3 · · · f αs j=1 j 1 2 3 s prvi integral, velja ∂H ∂H P + Q = 0 . ∂x ∂y Iz enačb ∂H ∂f 1 α = α j 1 f α 1 − 1 f α 2 · · · f · · · fαs ∂x 1 ∂x 2 j s + ∂f 2 α + α j 2 f α 2 − 1 f α 1 f α 3 · · · f · · · fαs 2 ∂x 1 3 j s + . . . ∂fs α α + α j s− 1 sf αs− 1 · · · · · · s f α 1 f α 2 f f ∂x 1 2 j s− 1 ∂H ∂f 1 α = α j 1 f α 1 − 1 f α 2 · · · f · · · fαs ∂y 1 ∂y 2 j s + ∂f 2 α + α j 2 f α 2 − 1 f α 1 f α 3 · · · f · · · fαs 2 ∂y 1 3 j s + . . . ∂fs α α + α j s− 1 sf αs− 1 · · · · · · s f α 1 f α 2 f f ∂y 1 2 j s− 1 sledi ∂H ∂H P + Q = α 1 f α 1 − 1 f α 2 · · · f αs ∂x ∂y 1 2 s ( X f 1)+ + α 2 f α 1 f α 2 − 1 f α 3 · · · f αs 1 2 3 s ( X f 2) + · · · α + α s− 1 sf α 1 f α 2 · · · f f αs− 1 1 2 s− 1 s ( X fs) = 0 . Zadnjo enačbo delimo s skupnim faktorjem f α 1 − 1 f α 2 − 1 · · · f αs− 1 1 2 s in dobimo α 1 f 2 f 3 · · · fs( X f 1) + α 2 f 1 f 3 · · · fs( X f 2) + · · · + αsf 1 f 2 · · · fs− 1( X fs) = 0 . 2.2 Zvezni sistemi 99 Člen αjf 1 f 2 · · · fj− 1 fj+1 · · · fs( X fj) prenesemo na drugo stran in dobimo αjf 1 · · · fj− 1 fj+1 · · · fs( X fj) = − α 1 f 2 f 3 · · · fj · · · fs( X f 1) − − α 2 f 1 f 3 · · · fj · · · fs( X f 2) − · · · − αj− 1 f 1 · · · fj− 2 fj · · · fs( X fj− 1) − αj+1 f 1 · · · fjfj+2 · · · fs( X fj+1) − · · · − αsf 1 f 2 · · · fj · · · fs− 1( X fs) . Če na desni strani zadnje enačbe izpostavimo fj, dobimo ( αjf 1 · · · fj− 1 fj+1 · · · fsX fj = fj − α 1 f 2 · · · fj− 1 fj+1 · · · fs( X f 1) − − α 2 f 1 f 3 · · · fj− 1 fj+1 · · · fs( X f 2) − · · · − αj− 1 f 1 · · · fj− 2 fj+1 · · · fs( X fj− 1) − − αj+1 f 1 · · · fj− 1 fj+2 · · · fs( X fj+1) − · · · ) − αsf 1 · · · fj− 1 fj+1 · · · fs− 1( X fs) . Ker za vsak k ̸= j velja fj - fk (in fk ter fj sta ireducibilna), sledi, da fj - f 1 · · · fj− 1 fj+1 · · · fs. Zato mora veljati fj | X fj. Dejstvo, da za vsak polinom fj obstaja neki polinom Kj ∈ C[ x, y], za katerega je X fj = Kjfj, pomeni, da je raznoterost V( fj) invariantna krivulja (glej definicijo 2.2.31) za (2.56), saj potem velja ( ) ∂f j ∂fj P + Q = (grad f j , ( P, Q)) = X fj| ∂x ∂y V( fj ) ≡ 0 . (2.57) V( fj ) V( fj ) Za sisteme (2.56) lahko prvi integral iščemo v obliki produkta potenc polinomov, katerih ničelne množice so invariantne krivulje v faznem prostoru. To je motivacija za definicije in rezultate v nadaljevanju tega razdelka. Definicija 2.2.31 Nekonstanten polinom f ( x, y) ∈ C[ x, y] se imenuje algebraični parcialni in- tegral sistema (2.56), ˇ ce obstaja tak polinom K( x, y) ∈ C[ x, y] , da velja X ∂f ∂f f = P + Q = Kf. (2.58) ∂x ∂y Polinom K se imenuje kofaktor k f . Dokazali bomo, da je st( K) ≤ m − 1 (glej primer 2.2.32). Krivuljo f ( x, y) = 0 imenujemo algebraiˇ cna invariantna krivulja sistema (2.56). Geometrijsko krivulja f ( x, y) = 0 določa trajektorijo sistema (2.56). Trditev 2.2.32 Za vsak polinom K, ki zadoˇ sˇ ca identiteti (2.58) , velja st( K) ≤ m − 1 . Dokaz. Vemo, da velja X f = ∂f P + ∂f Q = Kf , kjer je max( st( P ) , st( Q)) = m. Dokazali ∂x ∂y bomo, da je st( K) ≤ m − 1. Recimo, da je st( f ) = k. Potem je f oblike f = Pk( x, y) + Pk− 1( x, y) + . . . + P 1( x, y) + P 0( x, y), pri čemer so Pj homogeni polinomi stopnje j s poljubnimi koeficienti in velja ( ) ( ) ∂f ∂f st ≤ k − 1 in st ≤ k − 1 . ∂x ∂y 100 2 Nekatera poglavja iz teorije dinamiˇ cnih sistemov ( ) ( ) Ker je st( P ) ≤ m in st( Q) ≤ m, sta st ∂f P ≤ k − 1 + m in st ∂f Q ≤ k − 1 + m. Od ∂x ∂y tod sledi, da je ( ) ∂f ∂f st P + Q ≤ k − 1 + m. ∂x ∂y Ker f zadošča identiteti ∂f P + ∂f Q = Kf , sledi, da je st( Kf ) ≤ k − 1 + m. Ker je st( f ) = k, ∂x ∂y sledi, da je st( K) ≤ m − 1. Očitno za operator X veljata naslednji izjavi. 1. Če je f algebraični parcialni integral za (2.56) s kofaktorjem K, je vsak konstanten večkratnik od f tudi algebraični parcialni integral za (2.56) s kofaktorjem K. 2. Če sta f 1 in f 2 algebraična parcialna integrala za (2.56) s kofaktorjema K 1 in K 2, je f 1 f 2 algebraični parcialni integral za (2.56) s kofaktorjem K 1 + K 2. Dokaz točke 1. je trivialna posledica linearnosti odvoda; natančneje formule ( αf ) ′ = αf ′, ki velja tudi za parcialno odvajanje. Trditev iz toke 2. je posledica formule za odvod produkta ( f 1 f 2) ′ = f ′ f . Ker sta f 1 2 + f 1 f ′ 2 1 in f 2 algebraična parcialna integrala za (2.56) s kofaktorjema K 1 in K 2, zanju velja: X ∂f 1 ∂f 1 f 1 = P + Q = K 1 f 1 , ∂x ∂y X ∂f 2 ∂f 2 f 2 = P + Q = K 2 f 2 . ∂x ∂y Potem je X ∂( f 1 f 2) ∂( f 1 f 2) f 1 f 2 = P + Q ∂x ∂y ( ) ( ) ∂f 1 ∂f 2 ∂f 1 ∂f 2 = f 2 + f 1 P + f 2 + f 1 Q ∂x ∂x ∂y ∂y ( ) ( ) ∂f 1 ∂f 1 ∂f 2 ∂f 2 = f 2 P + Q + f 1 P + Q ∂x ∂y ∂x ∂y = f 2 K 1 f 1 + f 1 K 2 f 2 = ( f 1 f 2)( K 1 + K 2) . Zato je tudi produkt f 1 f 2 algebraični parcialni integral za (2.56). Pripadajoči kofaktor k pro- duktu f 1 f 2 je polinom K 1 + K 2. Če je f algebraični parcialni integral, je V( f ) algebraična invariantna krivulja. Naslednja trditev pa pove, da velja tudi obrat. Trditev 2.2.33 ([114]) Naj bo f ∈ C[ x, y] . Raznoterost V( f ) je algebraična invariantna kri- vulja sistema (2.56) natanko tedaj, ko je f algebraiˇ cni parcialni integral sistema (2.56). Dokaz. Dokazati je potrebno zgolj eno implikacijo. Zapišimo polinom f kot f = f α 1 · · · f αs 1 s , kjer je fj za vsak j ireducibilen polinom. Enakost X f |V( f) = 0 pomeni, da je X fj|V( f) = 0 za vsak j. Tako je V( fj) ⊂ V( X fj) in po trditvi 1.1.7 je X fj ∈ I(V( X fj)) ⊂ I(V( fj)). Ker je fj ireducibilen, je ⟨fj⟩ zaradi trditve 1.5.8 korenski praideal in po trditvi 1.4.7 je I(V( fj)) = ⟨fj⟩ 2.2 Zvezni sistemi 101 in ugotovimo, da je X fj ∈ ⟨fj⟩ za vsak j. Torej je X fj = Kjfj za neke Kj ∈ C[ x, y] tako, da je vsak polinom fj algebraični parcialni integral sistema (2.56). Kot je dokazano zgoraj, če sta g in h dva algebraična parcialna integrala s kofaktorjema Kg in Kh, je tudi g · h algebraični parcialni integral s kofaktorjem Kg + Kh. Zato je f = f α 1 · . . . · f αs 1 s algebraični parcialni integral sistema (2.56). Definicija 2.2.34 Recimo, da so krivulje f 1 = 0 , . . . , fs = 0 algebraične invariantne krivulje sistema (2.56) in da αj ∈ C za 1 ≤ j ≤ s. Prvi integral sistema (2.56), oblike H = f α 1 · . . . · f αs 1 s , (2.59) imenujemo Darbouxjev prvi integral sistema (2.56). Obstoj Darbouxjevega prvega integrala je lahko zelo restriktiven. Na primer, če je za vsak j konstanta αj realna ali racionalna, vsaka trajektorija sistema (2.56) leži na algebraični krivulji. Če najdemo dovolj algebraičnih invariantnih krivulj, je mogoče konstruirati Darbouxjev prvi integral, kot prikazuje naslednji izrek. Izrek 2.2.35 (Darboux) Predpostavimo, da ima sistem (2.56) q algebraiˇ cnih invariantnih kri- vulj fj( x, y) = 0 , 1 ≤ j ≤ q, kjer je fj ireducibilen za vsak j nad poljem C2 in q > m 2+ m . Tedaj 2 ima sistem (2.56) Darbouxjev prvi integral. Dokaz. Naj C m− 1[ x, y] označuje kompleksen vektorski prostor polinomov stopnje kvečjemu m − 1. Homogeni polinom stopnje p ima p + 1 členov in tako je C m− 1[ x, y] razsežnosti m + ( m − 1) + . . . + 1 = m( m+1) . Po trditvi 2.2.33 obstajajo takšni polinomi K 2 j ∈ C m− 1[ x, y], da je X fj = Kjfj za 1 ≤ j ≤ q. Tako je število vektorjev Kj večje od razsežnosti C m− 1[ x, y], zato je množica {K 1 , . . . , Kq} linearno odvisna in obstajajo takšne konstante αj, ki niso vse enake nič, da je q ∑ q ∑ X fj αjKj = αj = 0 . fj j=1 j=1 ˇ α Ce za te polinome f q j in konstante αj definiramo H kot H = f α 1 · . . . · f 1 q , dobimo q ∑ X q ∑ X fj H = H αj = H αjKj = 0 , fj j=1 j=1 kar pomeni, da je H, če ni konstanten, prvi integral sistema (2.56). Ker so algebraične krivulje fj = 0 ireducibilne in vse konstante αj niso ničelne, funkcija H ni konstantna. Posledica 2.2.36 ([114]) ˇ Ce ima sistem (2.56) najmanj q = m 2+ m algebraiˇ cnih invariantnih 2 krivulj fj( x, y) = 0 , od katerih je vsaka ireducibilna nad C2 in ne poteka skozi izhodišče (t. j. α f q j (0 , 0) ̸= 0 ), premore Darbouxjev prvi integral oblike H = f α 1 · · · f 1 q . Dokaz. Privzemimo, da so vsi kofaktorji oblike Kj = ax + by + · · · . Tako so vsebovani v vektorskem prostoru C m− 1[ x, y] razsežnosti m 2+ m. 2 Zelo redko se zgodi, da ima sistem oblike (2.56) več neodvisnih algebraičnih invariantnih krivulj, kot je dim( Cm− 1[ x, y]). Včasih je kljub manjšemu številu odkritih algebraičnih invari- antnih krivulj mogoče najti Darbouxjev prvi integral. Dejansko dokaz izreka 2.2.35 pokaže, da 102 2 Nekatera poglavja iz teorije dinamiˇ cnih sistemov če je f 1 , . . . , fs poljubno število različnih ireducibilnih algebraičnih parcialnih integralov sistema (2.56), bo H = f α 1 · · · f αs 1 s prvi integral sistema (2.56), če so le netrivialne linearne kombinacije ustreznih kofaktorjev enake nič, t. j. s ∑ αjKj = 0 . (2.60) j=1 Če ni mogoče najti prvega integrala sistema (2.56), poskušamo najprej poiskati integrirajoči množitelj in z njim konstruirati prvi integral. Sistem (2.56) lahko preoblikujemo na enačbo dy = Q( x,y). Zato trajektorije sistema (2.56) zadoščajo enačbi dx P ( x,y) P ( x, y) dy − Q( x, y) dx = 0 . (2.61) Pravimo, da je izraz na levi strani enačbe (2.61) popolni diferencial, če obstaja takšna funkcija H( x, y), da velja X ∂H ∂H H = dx + dy ≡ P ( x, y) dy − Q( x, y) dx. (2.62) ∂x ∂y Tako funkcijo H( x, y) imenujemo prvi integral enačbe (2.61). Iz (2.62) sledi, da je leva stran enaˇ be (2.61) popolni diferencial, če velja: ∂H ∂H = −Q in = P. (2.63) ∂x ∂y Od tod lahko izpeljemo formulo, s katero preverimo, ali je (2.61) popolni diferencial ali ne. Če sta funkciji P in −Q zvezni in imata zvezna parcialna prva odvoda, potem, če odvajamo P po spremenljivki x in −Q po spremenjlivki y, dobimo ∂P ∂ 2 H = , ∂x ∂x∂y ∂( −Q) ∂ 2 H = . ∂y ∂y∂x Zaradi predpostavke, da je H zvezna funkcija dveh spremenljivk x in y, velja, da sta njena mešana druga odvoda ∂ 2 H in ∂ 2 H enaka. Tako velja ∂x∂y ∂y∂x ∂P ∂( −Q) = . (2.64) ∂x ∂y Ta pogoj je potreben in zadosten, da je enačba (2.61) popolni diferencial oz. da ima sistem (2.56) prvi integral H( x, y), ki zadošča (2.62). Če izraz na levi strani enačbe (2.61) ni popolni diferencial, poskušamo najti takšno funkcijo µ( x, y), da je izraz na levi strani enačbe µ( x, y) P ( x, y) dy − µ( x, y) Q( x, y) dx = 0 popolni diferencial. Iz formule (2.63) sledi, da tedaj obstaja takšna funkcija H( x, y), da velja ∂H ∂H = −µQ in = µP. (2.65) ∂x ∂y 2.2 Zvezni sistemi 103 Funkcijo µ( x, y) imenujemo integrirajoči množitelj sistema (2.56) na odprti množici Ω, kjer sta izpolnjena pogoja (2.65). S pomočjo formule (2.64) vidimo, da ima sistem (2.56) integrirajoči množitelj µ( x, y), če velja ∂( µP ) = −∂( µQ) . (2.66) ∂x ∂y Ko enkrat najdemo integrirajoči množitelj sistema (2.56), lahko s pomočjo formule (2.65) kon- struiramo prvi integral H( x, y) sistema (2.56). Najprej integriramo po spremenljivki y enačbo ∂H = µP in dobimo ∂y ∫ H( x, y) = µ( x, y) P ( x, y) dy + h( x) . (2.67) Ker mora H zadoščati tudi enačbi ∂H = −µQ iz (2.65), lahko funkcijo h( x) določimo prav iz ∂x slednje. Označimo z div X divergenco vektorskega polja X : div X = ∂P + ∂Q . Potem lahko pogoj (2.66) ∂x ∂y zapišemo tudi kot je navedeno v naslednji definiciji, kjer zahtevamo, da sta P in Q odvedljivi funkciji. Definicija 2.2.37 Integrirajoˇ ci mnoˇ zitelj sistema (2.56) na odprti mnoˇ zici Ω je takˇ sna odve- dljiva funkcija µ( x, y) na obmoˇ cju Ω , da identiteta X µ = −µdivX (2.68) velja na celotni mnoˇ zici Ω . Integrirajoˇ ci mnoˇ zitelj oblike µ = f β 1 · . . . · f βs 1 s , (2.69) kjer je fj algebraični parcialni integral za (2.56) na Ω za 1 ≤ j ≤ s, imenujemo Darbouxjev integrirajoˇ ci mnoˇ zitelj na mnoˇ zici Ω . Kot smo že navedli, je ta definicija integrirajočega množitelja ekvivalentna klasični definiciji integrirajočega množitelja, ki je navedena pred definicijo (2.2.37), saj lahko (2.66) zapišemo kot ( ) ∂µ ∂µ ∂P ∂Q P + Q + µ + ≡ 0 , ∂x ∂y ∂x ∂y kar sovpada z enačbo (2.68). Sedaj pokažimo, da je funkcija µ oblike (2.69) integrirajoči množitelj natanko tedaj, ko je   s ∑ X µ + µ div X = µ  β  j Kj + div X ≡ 0 , j=1 kjer so Kj ustrezni kofaktorji algebraičnih parcialnih integralov fj za j = 1 , . . . , s. Predposta- vimo najprej, da je funkcija µ oblike (2.69) integrirajoči množitelj in dokažimo, da je   s ∑ µ  β  j Kj + div X = 0 . (2.70) j=1 104 2 Nekatera poglavja iz teorije dinamiˇ cnih sistemov Funkcija µ = f β 1 . . . f βs 1 s je integrirajoči množitelj natanko tedaj, ko velja formula (2.68). Če vstavimo µ v (2.68), dobimo X ∂µ ∂µ µ = P + Q = ∂x ∂y ( ) ∂f 1 β ∂fs = β s− 1 1 f β 1 − 1 f · · · f f βs− 1 P 1 2 · · · fs + · · · + βsf β 1 ∂x 1 s− 1 s ∂x ( ) ∂f 1 β ∂fs + β s− 1 1 f β 1 − 1 f · · · f f βs− 1 Q 1 2 · · · fs + · · · + βsf β 1 ∂y 1 s− 1 s ∂x ( ) ∂f 1 ∂f 1 = β 1 f β 1 − 1 f β 2 · · · f βs P + Q + · · · 1 2 s ∂x ∂y ( ) β ∂fs ∂fs + β s− 1 sf β 1 f β 2 · · · f f βs− 1 P + Q . 1 2 s− 1 s ∂x ∂y ∂f ∂f Za vsak j = 1 , . . . , s je j P + j Q = K ∂x ∂y j fj . Zato je X µ = β 1 fβ 1 fβ 2 · · · fβs f β 2 · · · f βs 1 2 s K 1 + · · · + βsf β 1 1 2 s Ks = f β 1 f β 2 · · · f βs 1 2 s ( β 1 K 1 + β 2 K 2 + · · · + βsKs) s ∑ = µ βjKj. j=1 ∑ Po (2.68) je X µ + µ div X = 0, zato sledi µ s β j=1 j Kj + µ div X = 0. Koncept Darbouxjeve integrabilnosti je mogoče razširiti na širši razred funkcij, ki vključuje limite prvih integralov oblike H = f α 1 · . . . · f αs 1 s . Uporabimo lahko naslednji pristop. Recimo, da sta za vsako vrednost parametra ε blizu nič f = 0 in f + εg = 0 invariantni krivulji sistema (2.56) z ustreznima kofaktorjema Kf in Kf+ ϵg. Potem je ( ) X ( f + εg) X f X g g X g Kf+ εg = = + ε = Kf 1 − ε + O( ε 2) + ε + O( ε 2) f + εg f + εg f + εg f f X g − gKf = Kf + ε + O( ε 2) . f Ker je Kf+ εg polinom stopnje največ m − 1, je X g − gKf K′ def = f polinom stopnje največ m − 1. Tako je Kf+ εg = Kf + εK′ + O( ε 2) in ([ ] ) 1 [ ]1 ( ) [ ]1 ε ε ε X f + εg f + εg Kf+ εg f + εg = − Kf = ( K′ + O( ε)) . f f ε ε f 2.2 Zvezni sistemi 105 ( )1 g ε def Ko gre ε proti nič, se f + εg približuje k h = e f , ki očitno zadošča enačbi f X h = K′h. (2.71) Tako funkcija h zadošča enačbi za algebraično invariantno krivuljo in ima polinomski kofaktor K′ stopnjo največ m − 1. V naslednji definiciji se seznanimo s pojmoma Darbouxjeve funkcije in eksponentnega fak- torja Definicija 2.2.38 Funkcijo oblike g e f Π f αj, j g kjer so f , g in fj polinomi, imenujemo Darbouxjeva funkcija. Funkcijo oblike h = e f , ki zadošča enaˇ cbi (2.71), kjer je K′ polinom stopnje najveˇ c m − 1 , imenujemo eksponentni faktor. Kot prej, je K′ kofaktor k funkciji h. Včasih se eksponentni faktor imenuje “izrojena algebraična invariantna krivulja”, da pouda- rimo njegov izvor iz združitve algebraičnih invariantnih krivulj. Zgornje ime je boljše, saj faktor g g e f ni niti algebraičen, niti ni krivulja. Lahko preverimo, da če je h = e f eksponentni faktor, potem je f = 0 algebraična invariantna krivulja in g zadošča enačbi X g = gKf + fKh, (2.72) kjer je Kf kofaktor k f in Kh kofaktor k h. Ker je produkt dveh eksponentnih faktorjev ponovno eksponentni faktor, je brez izgube za splošnost eksponentni faktor v definiciji 2.2.38 enoličen. Teorija Darbouxjeve integrabilnosti za algebraične invariantne krivulje, ki je predstavljena zgoraj, ostaja bistveno nespremenjena, ko dodamo več algebraičnih krivulj. Obstoj najmanj m( m+1) + 1 invariantnih algebraičnih krivulj ali eksponentnih faktorjev zagotovi obstoj Dar- 2 bouxjevih prvih integralov in obstoj najmanj m( m+1) invariantnih algebraičnih krivulj ali ek- 2 sponentnih faktorjev pomeni obstoj Darbouxjevega integrirajočega množitelja. Naslednji izrek govori o obstoju Darbouxjevega prvega integrala, ko je število algebraičnih invariantnih krivulj in eksponentnih faktorjev majhno. Izrek 2.2.39 Recimo, da ima sistem (2.56) q (razliˇ cnih) ireducibilnih algebraiˇ cnih parcialnih gj integralov f h j z ustreznimi kofaktorji Kj , 1 ≤ j ≤ q in r (razliˇ cnih) eksponentnih faktorjev e j z ustreznimi kofaktorji Lj, 1 ≤ j ≤ r, za katere obstaja q kompleksnih konstant αj, 1 ≤ j ≤ q in ∑ ∑ r kompleksnih konstant β q r j , 1 ≤ j ≤ r, ki niso vse 0 , tako da je α β j=1 j Kj + j=1 j Lj ≡ 0 . Tedaj ima sistem (2.56) prvi integral oblike ( ) ( ) g β α 1 1 gr βr H = f α 1 · · · f q e h 1 · · · ehr . (2.73) 1 q ( ) ( ) g β α 1 1 gr βr Dokaz. Pokažimo, da je H = f α 1 . . . f q e h 1 . . . e hr prvi integral sistema (2.56). Po- 1 q kazati moramo, da je X H ≡ 0, t. j. ∂H ∂H P + Q ≡ 0 . ∂x ∂y 106 2 Nekatera poglavja iz teorije dinamiˇ cnih sistemov Najprej odvajamo H po spremenljivki x in dobimo ( ) ( ) ( ) ∂H ∂f g β β g β 1 α 1 1 gr r ∂f 2 α 1 1 = α q h q h 1 f α 1 − 1 f α 2 . . . fq e 1 . . . e hr + f α 1 α 2 f α 2 − 1 . . . fq e 1 . . . ∂x 1 ∂x 2 1 2 ∂x ( ) ( ) ( ) gr βr g β α ∂f β q 1 1 gr r . . . e q − 1 hr + . . . + f α 1 f α 2 . . . α e h 1 . . . e hr + 1 2 q fq ∂x ( ) ( ) ∂g ( ) ( ) g β g 1 ∂h 1 g β α 1 1 − 1 1 h 1 − g 1 2 2 gr βr + f α 1 f α 2 . . . f q e h ∂x ∂x 1 e h 1 e h 2 . . . e hr + . . . 1 2 q β 1 h 21 ( ) ( ) ( ) ∂g g β r ∂hr α 1 1 gr βr− 1 gr hr − gr + f α 1 f α 2 . . . f q e h ∂x ∂x 1 . . . β e hr e hr . 1 2 q r h 2 r Podobno odvajamo H po spremenljivki y in dobimo ( ) ( ) ( ) ∂H ∂f g β β g β 1 α 1 1 gr r ∂f 2 α 1 1 = α q h q h 1 f α 1 − 1 f α 2 . . . fq e 1 . . . e hr + f α 1 α 2 f α 2 − 1 . . . fq e 1 . . . ∂y 1 ∂y 2 1 2 ∂y ( ) ( ) ( ) gr βr g β α ∂f β q 1 1 gr r . . . e q − 1 hr + . . . + f α 1 f α 2 . . . α e h 1 . . . e hr + 1 2 q fq ∂y ( ) ( ) ∂g 1 ∂h ( ) ( ) g β g h 1 g β α 1 1 − 1 1 β ∂y 1 − g 1 ∂y 2 2 gr r + f α 1 f α 2 . . . f q e h 1 e h 1 e h 2 . . . e hr + . . . 1 2 q β 1 h 21 ( ) ( ) ( ) ∂gr ∂h g β h r α 1 1 gr βr− 1 gr ∂y r − gr ∂y + f α 1 f α 2 . . . f q e h 1 . . . β e hr e hr . 1 2 q r h 2 r Če vstavimo zgornja izraza za ∂H in ∂H v izraz ∂H P + ∂H Q, sledi ∂x ∂y ∂x ∂y ( ) ( ) ∂H ∂H ∂f g β β 1 α 1 1 gr r P + Q = α q h 1 f α 1 − 1 P f α 2 . . . fq e 1 . . . e hr + ∂x ∂y 1 ∂x 2 ( ) ( ) ∂f g β β 1 α 1 1 gr r + α q h 1 f α 1 − 1 Qf α 2 . . . f e 1 . . . e hr + 1 q ∂y 2 ... ( ) ( ) g β α ∂f β q 1 1 gr r + f α 1 f α 2 . . . α q − 1 P e h 1 . . . e hr + 1 2 q fq ∂x ( ) ( ) g β α ∂f β q 1 1 gr r + f α 1 f α 2 . . . α q − 1 Q e h 1 . . . e hr + 1 2 q fq ∂y ( ) ( ) ∂g ( ) g β g 1 ∂h 1 α 1 1 − 1 1 h 1 − g 1 gr βr + f α 1 f α 2 . . . f q e h ∂x ∂x 1 e h 1 P . . . e hr + 1 2 q β 1 h 21 ( ) ( ) ∂g 1 ∂h ( ) g β g h 1 α 1 1 − 1 1 β ∂y 1 − g 1 ∂y gr r + f α 1 f α 2 . . . f q e h 1 e h 1 Q . . . e hr + 1 2 q β 1 h 21 ... ( ) ( ) ( ) ∂gr ∂h g β h r α 1 1 gr βr− 1 gr ∂y r − gr ∂y + f α 1 f α 2 . . . f q e h 1 . . . β e hr e hr P + 1 2 q r h 2 r ( ) ( ) ( ) ∂gr ∂h g β h r α 1 1 gr βr− 1 gr ∂y r − gr ∂y + f α 1 f α 2 . . . f q e h 1 . . . β e hr e hr Q . 1 2 q r h 2 r 2.2 Zvezni sistemi 107 ( ) ( ) g β α 1 1 gr βr Iz prvih dveh členov izpostavimo α q h 1 f α 1 − 1 f α 2 . . . f e 1 . . . e hr , iz j-tega člena iz- 1 2 q ( ) ( ) g β α α α α 1 1 gr βr postavimo α j− 1 j − 1 j+1 q h j f α 1 f α 2 . . . f f f . . . f e 1 . . . e hr in tako dalje. Tako dobimo 1 2 j− 1 j j+1 q ∂H ∂H P + Q = ∂x ∂y ( ) ( ) ( ) g β α 1 1 gr βr ∂f 1 ∂f 1 α q h 1 f α 1 − 1 f α 2 . . . f e 1 . . . e hr P + Q + · · · 1 2 q ∂x ∂y ( ) ( ) ( ) g β α 1 1 gr βr ∂fq ∂fq + α q − 1 h q f α 1 f α 2 . . . f e 1 . . . e hr P + Q + 1 2 q · ∂x ∂y ( ) ( )  ( ) ( ) ∂g 1 ∂h 1 g β P + ∂g 1 Q h 1 − P + ∂h 1 Q g 1 α 1 1 gr βr ∂x ∂y ∂x ∂y + β q h   1 f α 1 f α 2 . . . f e 1 . . . e hr · + · · · 1 2 q h 21 ( ) ( )  ( ) ( ) ∂gr ∂hr g β P + ∂gr Q hr − P + ∂hr Q gr α 1 1 gr βr ∂x ∂y ∂x ∂y + β q h   r f α 1 f α 2 . . . f e 1 . . . e hr + · . 1 2 q h 2 r Najprej poglejmo izraze ( ) ( ) ∂gi P + ∂gi Q h ∂hi P + ∂hi Q g ∂x ∂y i − ∂x ∂y i . (2.74) h 2 i gi Kot smo že navedli, je L h i kofaktor od e i . Po enačbi (2.72) je ( ) X ∂gi ∂gi gi = P + Q = giKh + hiLi. ∂x ∂y i Velja tudi ∂hi ∂hi P + Q = Kh hi. ∂x ∂y i Izraz (2.74) postane giKh h L h h 2 L i i + h 2 i i − Khi igi i = i = Li. h 2 h 2 i i In to velja za vse tovrstne izraze ( i = 1 , . . . , r). Torej formule z zgornjimi izračuni in (2.58) postanejo: ( ) ( ) ( ) ( ) g β g β α 1 1 gr βr α 1 1 gr βr f α 1 . . . f q e h q 1 . . . e hr α . . . f e h 1 . . . e hr α 1 q 1 K 1 + . . . + f α 1 1 q q Kq + ( ) ( ) ( ) ( ) g β g β α 1 1 gr βr α 1 1 gr βr + f α 1 . . . f q e h q 1 . . . e hr β . . . f e h 1 . . . e hr β 1 q 1 L 1 + . . . + f α 1 1 q r Lr . ( ) ( ) g β α 1 1 gr βr Vidimo, da lahko pri vsakem členu izpostavimo f α 1 . . . f q e h 1 . . . e hr in dobimo 1 q ( ) ( ) g β α 1 1 gr βr f α 1 . . . f q e h 1 . . . e hr ( α 1 q 1 K 1 + . . . + αq Kq + β 1 L 1 + . . . + βr Lr ) . (2.75) Ker je α 1 K+ . . . + αqKq + β 1 L 1 + . . . + βrLr = 0, je izraz (2.75) enak nič in velja X H ≡ 0. V naslednjem izreku je trditev (i) posledica iz [30], trditev (ii) pa izhaja iz [21, 22]. 108 2 Nekatera poglavja iz teorije dinamiˇ cnih sistemov Izrek 2.2.40 ([81]) Predpostavimo, da polinomsko vektorsko polje X stopnje m v C2 vsebuje p ireducibilnih algebraiˇ cnih invariantnih krivulj fi = 0 , takšnih, da fi paroma nimajo skupnih faktorjev in p ustreznih kofaktorjev Ki za i = 1 , . . . , p. Naj X vsebuje tudi r eksponentnih ( ) gj faktorjev e hj s kofaktorji Lj za j = 1 , . . . , r. Tedaj velja: ∑ ∑ (i) Obstajajo λ p r i, µj ∈ C , ki niso vsi niˇ celni, tako da je λ µ i=1 iKi + j=1 j Lj = −divX natanko tedaj, ko je funkcija (2.73) integrirajoˇ ci mnoˇ zitelj vektorskega polja X . ( ) ∑ ∑ (ii) ˇ Ce je p + r = m+1 , je funkcija (2.73) prvi integral, ˇ ce velja p λ r µ 2 i=1 iKi + j=1 j Lj = 0 ∑ ∑ ali je integrirajoˇ ci mnoˇ zitelj, ˇ ce velja p λ r µ i=1 iKi + j=1 j Lj = −divX , pri ˇ cemer niso vsi λi, µj ∈ C enaki nič. Ker nas zanima integrabilnost sistemov oblike (2.44), lahko včasih uporabimo naslednjo trditev, ki se navezuje na integrirajoče množitelje. Funkcija V = 1 /µ se imenuje inverzni integrirajoči množitelj. Lema 2.2.41 (i) ˇ Ce ima sistem (2.44) inverzni integrirajoˇ ci mnoˇ zitelj oblike m ∏ V = ( xy) α F βi , i i=1 kjer je Fi analitična v x in y, Fi(0 , 0) ̸= 0 za i = 1 , . . . , m, α ̸= 0 , in α je celo število, ki ni večje od 1, ima (2.44) prvi integral oblike (2.45). (ii) ˇ Ce ima sistem (2.44) inverzni integrirajoˇ ci mnoˇ zitelj oblike V = ( xy) α in aα− 1 ,α− 1 = bα− 1 ,α− 1 = 0 , ima (2.44) prvi integral oblike (2.45). Točka (i) v lemi je poseben primer izreka 4.13 (iii) iz [23]. Točka (ii) sledi iz formule (4.28) iz [23]. Darbouxjeva metoda je eno najučinkovitejših orodij pri študiju problema centra sistema (2.56). Če lahko konstruiramo Darbouxjev prvi integral (2.59) ali Darbouxjev integrirajoči množitelj (2.69) z algebraičnimi invariantnimi krivuljami fi = 0, ki ne potekajo skozi izhodišče, potem imamo zagotovo prvi integral, ki je analitičen v okolici izhodišča. Če ima sistem (2.43) (ali (2.44)) Darbouxjev prvi integral (2.59), tedaj ima tudi prvi integral (2.45) in zato center v izhodišču (glej [23]). ∑ Ko iščemo algebraične parcialne integrale sistema (2.56), jih iščemo v obliki F = s α i+ j=0 ij xiyj ∑ s K = m− 1 β i+ j=0 ij xiyj ( m je stopnja sistema). Nato vstavimo te izraze v enačbo ∂F ∂F ˙ x + ˙ y = KF (2.76) ∂x ∂y in enačimo koeficiente pred enakimi monomi na obeh straneh enačbe (2.76), dobimo sistem polinomskih enačb v spremenljivkah αij, βij. Če rešitev sistema obstaja, dobimo algebraični parcialni integral (ali več integralov) sistema (2.56). 2.2.6 ˇ Casovna reverzibilnost in posploˇ sena reverzibilnost Časovno reverzibilna simetrija nastopi v mnogih primerih v klasični in kvantni mehaniki. V nadaljevanju obravnavamo sisteme, ki imajo simetrijo, ki v realnem sistemu s singularnostjo 2.2 Zvezni sistemi 109 tipa fokus ali center dejansko pomeni center. Zato časovno reverzibilni sistemi premorejo neko simetrijsko os (premico) L. Če (ne) upoštevamo smeri toka, imamo v realnem sistemu glede na os L dve vrsti simetrij: zrcalno simetrijo, kjer je dovolj poznati le polovico faznega portreta, druga polovica faznega portreta je potem zrcalna slika glede na os L; in ˇ casovno reverzibilno simetrijo, ki obravnava tudi tok orbite. Časovno reverzibilna simetrija pomeni, da se vsaka orbita na eni strani premice L zrcali v sebi obratno (glede na čas obrnjeno) orbito na drugi strani premice L. Glede na čas obrnjeno orbito x( t) mislimo, da čas teče v nasprotni smeri: x( −t). Kot primer si poglejmo linearni sistem v ravnini ( u, v), kjer je premica L na osi u. Prvo simetrijo ponazorimo s kanoničnim linearnim sedlom ˙ u = −u, ˙ v = v (glej sliko 2.11), drugo pa s kanoničnim linearnim centrom ˙ u = −v, ˙ v = u (glej sliko 2.12) . Slika 2.11: Zrcalna simetrija. Slika 2.12: Časovna reverzibilnost. V splošnem je realni sistem ˙ u = U ( u, v) , ˙ v = V ( u, v) , (2.77) zrcalno simetričen glede na os u natanko tedaj, ko velja U ( u, −v) = U ( u, v) in V ( u, −v) = −V ( u, v) , (2.78) in je časovno reverzibilen glede na os u natanko tedaj, ko velja U ( u, −v) = −U ( u, v) in V ( u, −v) = V ( u, v) , (2.79) (glej [114]). Nas bo zanimala samo časovna reverzibilnost, saj jo lahko povežemo s problemom centra in fokusa, kajti vsak sistem, ki ima v izhodišču singularno točko tipa center ali fokus, ima zaradi zgoraj omenjene simetrije, ki določa časovno reverzibilnost, dejansko center. Na primer, obravnavajmo sistem ˙ u = −v − vf ( u, v 2) , ˙ v = u + g( u, v 2) , (2.80) kjer je f analitična funkcija brez konstantnega člena in g analitična funkcija brez konstantnega in brez linearnih členov. Vemo, da je izhodišče tega sistema bodisi center ali fokus. Ker sistem (2.80) zadošča pogoju (2.79), kar v praksi pomeni, da transformacija u → u, v → −v, t → −t 110 2 Nekatera poglavja iz teorije dinamiˇ cnih sistemov pusti sistem nespremenjen, je sistem časovno reverzibilen. Torej je os u premica simetrij za trajektorije in zato nobena trajektorija na okolici (0 , 0) ne more biti spirala. Odtod sledi, da ima sistem (2.80) center v izhodišču. Poglejmo preprost primer sistema (2.80) ˙ u = −v − 3 uv 3 + 2 v 5 , ˙ v = u + 5 u 2 v 6 . (2.81) Vidimo, da ta sistem zadošča enačbi (2.79), kar pomeni, da je časovno reverzibilen. Slika 2.13 prikazuje fazni portret sistema (2.81) in vidimo, da ima sistem center v izhodišču. Slika 2.13: Fazni portret sistema (2.81). Če so vse trajektorije sistema simetrične glede na neko premico L, pravimo, da je L os simetrije sistema (2.77). Na sliki 2.13 vidimo, da je os simetrije sistema (2.81) os u. Kot smo že zgoraj navedli, je lažje obravnavati problem centra za kompleksne sisteme. zato najprej opišimo posplošitev te geometrijske časovne reverzibilnosti na kompleksne sisteme. S substitucijo x = u + iv kompleksificiramo realni sistem (2.77), da sistem (2.77) postane (kom- pleksna) diferencialna enačba ˙ x = P ( x, x) (2.82) in ji dodamo njeno kompleksno konjugirano enačbo ter obravnavamo x kot novo spremenljivko y in privzamemo, da so parametri druge enačbe poljubni. Tako dobimo sistem ˙ x = P ( x, y) , ˙ y = Q( x, y) . (2.83) Funkcija P ( x, x) v (2.82) zadošča enačbi (1 1 ) (1 1 ) P ( x, x) = U ( x + x) , ( x − x) + iV ( x + x) , ( x − x) . 2 2 i 2 2 i Tako zrcalna kot tudi časovna reverzibilnost sta zajeti v preprostem pogoju na vektorju a koefi- cientov polinoma P ( x, x): sistem (2.77) ima eno izmed teh dveh simetrij glede na os u natanko tedaj, ko je ( ) U ( u, −v) + iV ( u, −v) ≡ ± U ( u, v) − iV ( u, v) , kar v jeziku polinoma P pomeni pogoj P ( x, x) = ±P ( x, x), iz katerega sledi, da je ¯ a = ±a. Pozitivni predznak povsod zgoraj pomeni zrcalno simetrijo, negativni pa časovno reverzibilnost. Tako imamo naslednjo lemo. 2.2 Zvezni sistemi 111 Lema 2.2.42 Vektor a naj oznaˇ cuje koeficiente polinoma P ( x, x) v (2.82) . (i) Sistem (2.77) je zrcalno simetriˇ cen (ˇ casovno reverzibilen) glede na os u natanko tedaj, ko je a = ¯ a (a = −¯ a), t. j. vsi koeficienti so realni (vsi koeficienti so ˇ cista imaginarna ˇ stevila). (ii) ˇ Ce je a = ±¯ a, je u os simetrije sistema (2.77) . Iz zgornje leme sledi, da je u os simetrije sistema (2.82), če je P ( x, x) = P ( x, x) , (2.84) kar ustreza zrcalni simetriji, ali če je P ( x, x) = −P ( x, x) , (2.85) kar ustreza časovno reverzibilni simetriji. Če je izpolnjen pogoj (2.85), je sistem (2.82) z invo- lucijo x → ¯ x, ¯ x → x (2.86) transformiran v sistem ˙ x = −P ( x, ¯ x) , ˙¯ x = −P ( x, x) . (2.87) Torej, če je (2.82) dobljena iz (2.77) in v enačbi (2.82) ter v njej konjugirani enačbi uporabimo transformacijo (2.86), je realni sistem (2.77) časovno reverzibilen in ima posledično center v izhodišču. Če os simetrije L, ki poteka skozi izhodišče, ne sovpada z osjo u, lahko uporabimo rotacijo x 1 = e−iφx, ki os L zarotira za ustrezen kot φ in jo preslika v os u. V novih koordinatah ( x 1 , ¯ x 1) sledi enačba: ˙ x 1 = e−iφP ( eiφx 1 , e−iφ ¯ x 1) := P ( x 1 , ¯ x 1) . Iz leme (2.2.42) sledi, da je ta sistem časovno reverzibilen glede na premico Im x 1 = 0, če velja analog pogojev (2.85), t. j. P ( x 1 , x 1) = −P ( x 1 , x 1), kar po kratkem izračunu prinese eiφP ( eiφx 1 , e−iφ ¯ x 1) = −e−iφP ( eiφ ¯ x 1 , e−iφx 1) . Zato je (2.82) časovno reverzibilen, ko obstaja takšen φ ∈ [0 , 2 π), da je e 2 iφP ( x, ¯ x) = −P ( e 2 iφ ¯ x, e− 2 iφx) . (2.88) Kot smo videli zgoraj, dobimo kompleksifikacijo sistema (2.77) tako, da enačbi (2.82) dodamo njeno konjugirano enačbo. Iz enačbe (2.88) in njene konjugirane enačbe sledi naslednja naravna posplošitev časovne reverzibilnosti v C2. Definicija 2.2.43 Sistem dz = F( z) , dt kjer je F : C2 → C2 (ali F : R2 → R2 ), je časovno reverzibilen, če obstaja linearna transforma- cija T : ( x, y) 7→ ( γy, γ− 1 x) , γ ∈ C \{ 0 }, (2.89) da je d( T z) = −F( Tz) . dt 112 2 Nekatera poglavja iz teorije dinamiˇ cnih sistemov Za sisteme oblike (2.83) lahko zgornjo definicijo ekvivalentno zapišemo na naslednji način. Definicija 2.2.44 Sistem (2.83) je ˇ casovno reverzibilen glede na transformacijo (2.89) , ˇ ce in samo ˇ ce velja P ( x, y) = −γQ( γy, γ− 1 x) (2.90) za vse γ ∈ C \{ 0 }. Kot smo videli zgoraj, ima realni polinomski sistem s singularnostjo tipa center ali fokus, ki je časovno reverzibilen glede na premico, ki poteka skozi to singularno točko, nujno center v obravnavani singularni točki. V naslednjem izreku (dokaz glej v [114]) vidimo, da podobno velja za kompleksne sisteme oblike (2.43). Izrek 2.2.45 Vsak ˇ casovno reverzibilen sistem oblike (2.43) (ali (2.44) ) ima center v izhodiˇ sˇ cu. Opomba 2.2.46 V izreku 2.2.45 koeficienti v sistemu (2.43) ne zadoˇ sˇ cajo nujno pogoju bqp = apq, saj govorimo o splošnem kompleksnem sistemu. Množica časovno reverzibilnih sistemov v prostoru parametrov sistema (2.43) ni nujno ra- znoterost, saj je, kot bomo videli v nadaljevanju, definirana z racionalno parametrizacijo. Za ν = ( ν 1 , . . . , ν 2 ℓ) ∈ N2 ℓ naj [ ν] označuje monom v C[ a, b], ki je podan s 0 ν [ ν] = aν 1 · · · ℓ+1 · · · p aνℓ bq bν 2 ℓ . (2.91) 1 ,q 1 pℓ,qℓ ℓ,pℓ q 1 ,p 1 Naj b ν označuje involucijo od ν; torej: b ν = ( ν 2 ℓ, . . . , ν 1) . Za fiksno družino (2.43) (ali (2.44)) in ustrezno preslikavo L podano z ( ) ( ) ( ) ( ) L p 1 pℓ qℓ q 1 ( ν) = ν 1 + · · · + νℓ + νℓ+1 + · · · + ν 2 ℓ, (2.92) q 1 qℓ pℓ p 1 definiramo množico M = {ν ∈ N2 ℓ 0 : L ( ν) = ( j, j) za neki j ∈ N0 }. (2.93) Naj bo Isym ideal definiran z Isym = ⟨[ ν] − [b ν] : ν ∈ M ⟩ ⊂ C[ a, b] . (2.94) Ideal Isym imenujemo simetrijski ideal ali ideal Sibirskega za družino (2.43) (ali (2.44)). Za dokaz naslednje trditve glej [114]. Trditev 2.2.47 Fokusne koliˇ cine sistema (2.43) (ali (2.44) ) imajo obliko ∑ ( ν) gkk = g ([ ν] − [b ν]) . (2.95) kk {ν: L( ν)=( k,k) } Zaradi definicije Bautinovega ideala B in trditve 2.2.47 je B ⊂ Isym, zato je V( Isym) ⊂ V( B), kar pomeni, da ima vsak časovno reverzibilni sistem (2.43) (ali (2.44)) center v izhodišču, torej izrek 2.2.45 drži. Naslednji izrek poda karakterizacijo množice časovno reverzibilnih sistemov (za dokaz glej [115]). 2.2 Zvezni sistemi 113 Izrek 2.2.48 Naj bo R ⊂ E( a, b) množica vseh časovno reverzibilnih sistemov v družini (2.43) . Tedaj velja: (i) R ⊂ V( Isym) in (ii) V( Isym) \R = {( a, b) ∈ V( Isym) : obstaja par ( p, q) ∈ S z lastnostjo apqbqp = 0 in apq+ bqp ̸= 0 }. Ker je Isym praideal (glej [110]), je raznoterost V( Isym) ireducibilna (glej poglavje 1). Dejan- sko je bila za vse polinomske sisteme, obravnavane do sedaj, V( Isym) komponenta centralne raznoterosti. Avtorja v [114] postavita domnevo, da je to vedno res v sistemih oblike (2.43). V nadaljevanju si poglejmo, kako izračunamo množico časovno reverzibilnih sistemov R. Označimo z ( a, b) = ( ap , a , . . . , a , b , . . . , b , b ) 1 ,q 1 p 2 ,q 2 pℓ,qℓ qℓ,pℓ q 2 ,p 2 q 1 ,p 1 urejen vektor koeficientov sistema (2.43), z E( a, b) = C2 ℓ označimo prostor parametrov sistema (2.43) in s C[ a, b] polinomski kolobar spremenljivk apq in bqp nad poljem (obsegom) C. Pogoj (2.90) pomeni, da je sistem (2.43) časovno reverzibilen, če je       n− 1 ∑ n− 1 ∑ n− 1 ∑ i  x − a      pq xp+1 yq = γi γ− 1 x − bqp( γy) q( γ− 1 x) p+1 = i x − bqpγq−pxp+1 yq , p+ q=1 p+ q=1 p+ q=1 in odtod sledi, da je apq = γq−pbqp oz. ekvivalentno bqp = γp−qapq, (2.96) kar ni ne fiksni polinomski opis množice R (ker je število γ različno za različne sisteme), niti ni polinomska parametrizacija od R. V izreku 2.2.48 smo videli, da je R ⊂ V( Isym). Sedaj bomo pokazali, da je V( Isym) zaprtje Zariskega množice R z uporabo izreka racionalne implicitizacije (izrek 1.5.19). Začnimo s parametrizacijo množice R: zapišimo pogoj (2.96) v obliki ap = t = γpk−qk t k qk k , bqkpk k , (2.97) kjer je k = 1 , . . . , ℓ. Iz geometrijskega vidika enačbe (2.97) definirajo hiperploskev v afinem prostoru C3 ℓ+1 = ( ap , a , . . . , a , b , . . . , b , b , t 1 ,q 1 p 2 ,q 2 pℓ,qℓ qℓ,pℓ q 2 ,p 2 q 1 ,p 1 1 , . . . , tℓ, γ) . Tako je množica vseh časovno reverzibilnih sistemov projekcija te hiperploskve na C2 ℓ = E( a, b) . Spomnimo se enačb (1.37) in (1.38) ter izreka 1.5.19 in definirajmo za 1 ≤ r ≤ ℓ: Qr( t 1 , . . . , tℓ, γ) ≡ 1 , za ℓ + 1 ≤ r ≤ 2 ℓ: { γq 2 ℓ−r+1 −p 2 ℓ−r+1 , če je p Q 2 ℓ−r+1 − q 2 ℓ−r+1 ≤ 0 r ( t 1 , . . . , tℓ, γ) = 1 , če je p 2 ℓ−r+1 − q 2 ℓ−r+1 > 0 , za 1 ≤ r ≤ ℓ: Pr( t 1 , . . . , tℓ, γ) = tr, 114 2 Nekatera poglavja iz teorije dinamiˇ cnih sistemov za ℓ + 1 ≤ r ≤ 2 ℓ: { t P 2 ℓ−r+1 , če je p 2 ℓ−r+1 − q 2 ℓ−r+1 ≤ 0 r ( t 1 , . . . , tℓ, γ) = γp 2 ℓ−r+1 −q 2 ℓ−r+1 t 2 ℓ−r+1 , če je p 2 ℓ−r+1 − q 2 ℓ−r+1 > 0 . Nadalje definiramo Q = Q 1 · · · Q 2 ℓ { a , če je 1 ≤ r ≤ ℓ x prqr r = bq če je ℓ + 1 ≤ r ≤ 2 ℓ 2 ℓ−r+1 p 2 ℓ−r+1 in naj bo H = ⟨ 1 − wQ, Qrxr − Pr | r = 1 , . . . , 2 ℓ⟩ ⊂ C[ w, t 1 , . . . , tℓ, γ, a, b] . (2.98) Potem je po izreku 1.5.19 najmanjša raznoterost, ki vsebuje množico vseh časovno reverzi- bilnih sistemov v družini sistemov (2.43) R = V( I) , kjer je I = C[ a, b] ∩ H. (2.99) Vidimo, da je zaprtje Zariskega množice vseh časovno reverzibilnih sistemov raznoterost ideala I. Da bi našli množico generatorjev ideala I, je po izreku 1.3.2 dovolj izračunati Gröbnerjevo bazo ideala H glede na urejenost z {w, γ, tk} > {ap , b | k = 1 , . . . , ℓ} in nato iz seznama k qk qkpk dobljenih polinomov vzeti tiste polinome, ki so odvisni samo od ap , b , k = 1 , . . . , ℓ. k qk qkpk Iz (2.99) in izreka 2.2.48( i) sledi, da je V( I) ⊂ V( Isym). Dokazati je mogoče (glej [110]), da velja Isym = I. (2.100) Ker je ideal Isym praideal (glej zgoraj), iz (2.100) sledi, da je tudi I praideal. Iz (2.99) in (2.100) pa dobimo naslednji rezultat, ki opisuje časovno reverzibilne sisteme. Izrek 2.2.49 Raznoterost ideala Sibirskega Isym je zaprtje Zariskega množice R vseh časovno reverzibilnih sistemov v druˇ zini (2.43) (ali (2.44) ). Algoritem spodaj poskrbi za množico generatorjev ideala = Isym ( I), ki ustreza sistemu (2.43) ali (2.44). Pravilnost algoritma je dokazana v [114]. Algoritem za izraˇ cun Isym Vnos: Urejena množica indeksov {( p 1 , q 1) , . . . , ( pℓ, gℓ) }, ki določa družino sistemov (2.43). Rezultat: Reducirana Gröbnerjeva baza G ideala Isym. Postopek: 1. Izračunaj reducirano Gröbnerjevo bazo GH ideala H, definiranega z (2.98) glede na leksikografsko urejenost z w > t 1 > · · · > tℓ > γ > ap > · · · > b . 1 q 1 q 1 p 1 2. G := GH ∩ C[ a, b] . Tabela 2.1: Algoritem za izračun Isym. 2.2 Zvezni sistemi 115 Zgornji algoritem bomo v poglavju 3 uporabili pri izračunu množice časovno reverzibilnih sistemov znotraj družine kubičnih sistemov in sistemov četrte stopnje. Sedaj obravnavamo dve vrsti t. i. posplošene reverzibilnosti sistemov (2.43) oz. kot smo videli zgoraj, če obravnavamo problem centra ekvivalentnih sistemov (2.44) s homogenimi neli- nearnostmi stopnje d glede na preslikave oblike k 1 y k 2 x x 1 = , y 1 = . (2.101) f ( x, y)1 /( d− 1) f ( x, y)1 /( d− 1) Trditve, ki jih predstavimo v nadaljevanju, so bile prvič uporabljene pri dokazu integrabilnosti za nekatere sisteme v [43] in so bile pred kratkim dokazane v [44]. Označimo polinoma na desni strani sistema (2.44) s P( x, y) in Q( x, y): n− 1 ∑ ˙ x = x − apq xp+1 yq = P( x, y) , p+ q=1 (2.102) n− 1 ∑ ˙ y = −y + bqp xqyp+1 = Q( x, y) . p+ q=1 Splošni kompleksni sistem oblike (2.83) je (časovno) reverzibilen, če obstaja obrnljiva trans- formacija R, ( x 1 , y 1) = R( x, y), da je sistem nespremenjen glede na transformacijo R in spre- membo časa t → −T. Najpreprostejši primer reverzibilnosti je, ko je R linearna transformacija oblike R : x 1 → γy, y 1 → γ− 1 x, (2.103) za neki γ ∈ C \ { 0 }. Če je sistem (2.102) reverzibilen glede na (2.103), smo v izreku 2.2.45 videli, da ima center v izhodišču. Na pojav, ki ga obravnavamo v naslednji trditvi, lahko gledamo kot posplošeno reverzibilnost, saj je sistem nespremenjen glede na obrnljivo transformacijo koordinat in spremembo časa dt → ˜ f ( u, v) dT. Trditev je podana bolj splošno za sisteme z nehomogenimi nelinearnostmi. Trditev 2.2.50 Recimo, da za sistem diferencialnih enaˇ cb (2.102) obstaja obrnljiva sprememba koordinat u = u( x, y) , v = v( x, y) z inverzom x = x( u, v) , y = y( u, v) , ki sistem spremeni v sistem du P( u, v) dv Q( u, v) = − , = − , (2.104) dt ˜ f ( u, v) dt ˜ f ( u, v) kjer sta P( x, y) in Q( x, y) enaka polinoma kot v (2.102) v spremenljivkah ( u, v) , ˜ f ( u, v) ̸= 0 , in ( ) ∂u P P ∂u ( u, v) ( x, y) + Q( x, y) = − , (2.105) ∂x ∂y ˜ x= x( u,v) ,y= y( u,v) f ( u, v) ( ) ∂v Q P ∂v ( u, v) ( x, y) + Q( x, y) = − , (2.106) ∂x ∂y ˜ x= x( u,v) ,y= y( u,v) f ( u, v) xy = uv + h.o.t. (2.107) Tedaj ima sistem (2.102) center v izhodiˇ sˇ cu.. 116 2 Nekatera poglavja iz teorije dinamiˇ cnih sistemov Dokaz. Predpostavimo, da sistem (2.102) ni integrabilen. Ker je P = x + · · · , Q = −y + · · · , obstaja formalna potenčna vrsta F ( x, y) = xy + · · · , takšna, da velja dF ( x, y) ∂F ( x, y) ∂F ( x, y) = P( x, y) + Q( x, y) = λm( xy) m + · · · , (2.108) dt ∂x ∂y (2.102) kjer je m naravno število in λm ̸= 0 je konstanta. Potem je dF ( x, y) ∂F ( u, v) ∂u ∂F ( u, v) ∂v = P( x, y) + P( x, y) dt ∂u ∂x ∂v ∂x (2.102) ∂F ( u, v) ∂u ∂F ( u, v) ∂v + Q( x, y) + Q( x, y) (2.109) ∂u ∂y ∂v ∂y [ ] − 1 ∂F ( u, v) ∂F ( u, v) = P( u, v) + Q( u, v) = −λ ˜ m( xy) m + · · · , f ( u, v) ∂u ∂v kjer druga enakost drži zaradi (2.105) in (2.106) in zadnja zaradi (2.107). Iz (2.108) in (2.109) sledi, da je λm = 0 za vse naravne m. To pomeni, da je ustrezen sistem (2.102) integrabilen in ima zato center v izhodišču. Trditev 2.2.50 bomo uporabili v razdelku 3.2.3 za dokaz integrabilnosti sistema četrte stopnje. Tukaj podamo drug primer njene uporabe z rešitvijo odprtega problema, ki je bil predlagan v [40]. Pokažimo, da ima sistem ˙ x = x + b 04 x 5 + x 2 y 3 − y 5 , (2.110) ˙ y = − y + x 5 − x 3 y 2 + b 04 y 5 center v izhodišču. Za sistem (2.110) so avtorji v [40] našli samo eno invariantno krivuljo stopnje štiri f ( x, y) = 1 + b 04( x 4 − y 4), ki ni dovolj za konstrukcijo Darbouxjevega prvega integrala ali Darbouxjevega integrirajočega množitelja. Lahko uporabimo trditev 2.2.50, da dokažemo, da ima ta sistem prvi integral oblike (2.45). V sistem (2.110) vpeljemo novi koordinati y x u = in v = . (2.111) f ( x, y)1 / 4 f ( x, y)1 / 4 Hitro lahko preverimo, da (2.111) zadošča pogojem (2.105)–(2.107). Zato je po trditvi 2.2.50 sistem (2.110) integrabilen in ima zato center v izhodišču. Enačba ˜ f ( u, v) = 0 v trditvi 2.2.50 ne definira nujno invariantne krivulje sistema (2.102), četudi je v vseh primerih, kjer smo uporabili trditev 2.2.50, enolična invariantna krivulja, ki nam pomaga pri konstrukciji transformacije v dokazu. Včasih je reverzibilnost skrita in jo lahko zaznamo skozi spremembo koordinat in časa. Na- slednja trditev obravnava situacijo, ko sistem postane reverzibilen glede na involucijo (2.103) po spremembi koordinat in časa. Trditev 2.2.51 Predpostavimo, da je z obrnljivo analitiˇ cno transformacijo oblike z = k 1 x + h.o.t., w = k 2 y + h.o.t. (2.112) in spremembo ˇ casa dt = ˜ f ( w, z) dT sistem (2.102) zapisan v obliki dz dw = −z(1 + h( z, w)) , = w(1 − h( z, w)) , (2.113) dT dT kjer je h( z, w) analitiˇ cna funkcija spremenljivk ( z, w) . Tedaj ima sistem (2.102) center v iz- hodiˇ sˇ cu, ˇ ce je sistem (2.113) invarianten glede na transformacijo z → w, w → z in T → −T . 2.2 Zvezni sistemi 117 Dokaz. Sistem (2.113) je invarianten glede na transformacijo z → w, w → z in T → −T , kar pomeni, da je časovno reverzibilen. Zato ima po izreku (2.2.45) sistem (2.113) prvi integral oblike ψ = zw + · · · , t. j., ima center v izhodišču in posledično, ker je (2.112) obrnljiva v okolici izhodišča, ima tudi sistem (2.102) center v izhodišču. V razdelku 3.2.3 bomo trditev 2.2.51 uporabili pri dokazu integrabilnosti sistema četrte stopnje. Sedaj poglejmo, kako je lahko trditev 2.2.51 uporabna pri iskanju integrabilnih sistemov znotraj polinomske družine Lotka-Volterrovih sistemov (2.102) s homogenimi nelinearnostmi. Najprej navedimo naslednjo pomožno trditev. Lema 2.2.52 Naj bo f polinom oblike f ( x, y) = 1 + F ( x, y) , kjer je F homogen polinom stopnje m. Tedaj obstaja takˇ sen polinom ˜ f ( w, z) stopnje m, da je ˜ f ( w, z) f ( x, y) ≡ 1 za z = k 1 y/f ( x, y)1 /m in w = k 2 x/f ( x, y)1 /m. (2.114) Lahko trdimo ˇ se veˇ c, in sicer velja ˜ f ( x, y) = 1 + G( x, y) , (2.115) kjer je ( ) x y G( x, y) = −F , . (2.116) k 2 k 1 Dokaz. Iščemo ˜ f ( x, y) v obliki (2.115) in po kratkem izračunu dobimo G( k 2 x, k 1 y) = −F ( x, y) , kar prinese (2.116). Obravnavajmo polinomski Lotka-Volterrov sistem oblike ˙ x = x(1 + A( x, y)) , ˙ y = −y(1 + B( x, y)) , (2.117) kjer sta A in B homogena polinoma stopnje d. Trditev 2.2.53 Obstaja polinom f oblike f ( x, y) = 1 + F ( x, y) , kjer je F takˇ sen homogen polinom stopnje d − 1 , da sprememba koordinat z = k 1 y/f ( x, y)1 /( d− 1) and w = k 2 x/f ( x, y)1 /( d− 1) , (2.118) katere inverzna sprememba je podana z x = w/( k ˜ ˜ 2 f ( w, z)1 /( d− 1)) and y = z/( k 1 f ( w, z)1 /( d− 1)) , (2.119) kjer je ˜ f ( w, z) = 1 /f ( x( w, z) , y( w, z)) , transformira (2.117) v sistem oblike (2.113) . ˇ Se veˇ c, A + B f = 1 + (2.120) 2 118 2 Nekatera poglavja iz teorije dinamiˇ cnih sistemov in ( (( ) 1 1 ∂( A + B) h( w, z) = ( ˆ B − ˆ A) + x ( ˜ f + ˆ A) − 2 d − 1 ∂x x= w/k 2 ,y= z/k 1 ( ) )) ∂( A + B) y ( ˜ f + ˆ B) , (2.121) ∂y x= w/k 2 ,y= z/k 1 kjer je ˆ A( w, z) = A( w/k 2 , z/k 1) , ˆ B( w, z) = B( w/k 2 , z/k 1) . (2.122) Dokaz. Če izvedemo substitucijo (2.118), dobimo ( ) 1 ∂f ∂f ˙ z = − z(1 + B) − 1 /( d − 1) z x (1 + A) − y (1 + B) , f ∂x ∂y ( ) (2.123) 1 ∂f ∂f ˙ w = w(1 + A) − 1 /( d − 1) w x (1 + A) − y (1 + B) , f ∂x ∂y kjer je desna stran sistema definirana z (2.122). Če v (2.123) spremenimo čas dt = ˜ f ( w, z) dT , dobimo sistem ˙ z = Z( z, w) , ˙ w = W ( z, w) . (2.124) Če odštejemo drugo enačbo v (2.124) od prve, vidimo, da je (2.124) oblike (2.113), če je ˜ f (2 + ˆ A + ˆ B) = 2 , kjer ˆ A, ˆ B pomenita polinoma A in B, ovrednotena z (2.119). Iz zadnje enačbe ugotovimo, da je ˜ f = 1 − A( w/k 2 , z/k 1) + B( w/k 2 , z/k 1) . 2 Iz tega izraza za ˜ f in iz (2.116) vidimo, da je polinom f definiran z (2.120). Če odštejemo drugo enačbo v (2.124) od prve, vidimo, da je polinom h( w, z) oblike (2.121). Kot direktno posledico trditev 2.2.51 in 2.2.53 dobimo naslednji kriterij za obstoj centra v sistemu (2.117). Trditev 2.2.54 Sistem (2.117) ima center v izhodiˇ sˇ cu, ˇ ce je h( w, z) + h( z, w) ≡ 0 , (2.125) kjer je h funkcija definirana z (2.121) . Z uporabo trditve 2.2.54 in algoritmov računske algebre lahko najdemo pogoje za obstoj cen- tra v polinomskih Lotka-Volterrovih sistemih s homogenimi nelinearnostmi, kot so to naredili avtorji v [44, izrek 2.6]. Podoben pristop lahko uporabimo za katerikoli sistem s homogenimi nelinearnostmi (ne samo Lotka-Volterrovi sistemi), vendar v splošnem primeru ne moremo trans- formirati sistema v obliko (2.113) in tako ne moremo najti posplošitve trditve 2.2.53. Pokažimo, 2.2 Zvezni sistemi 119 kako pristop deluje za splošne sisteme s homogenimi nelinearnostmi z uporabo kvadratičnih sistemov ˙ x = x + a 10 x 2 + a 01 xy + a− 12 y 2 , (2.126) ˙ y = − y + b 10 xy + b 01 y 2 + b 2 ,− 1 x 2 . Naj bosta f = 1 + c 1 x + c 2 y in ˜ f = 1 − c 1 w/k 2 − c 2 z/k 1. Potem je f ˜ f v spremenljivkah xk 2 yk 1 w = , z = (2.127) f f identično enak 1. Če uporabimo inverz od (2.127) v sistemu (2.126), dobimo kubični sistem, ki je zelo dolg. Zato ne izpišemo. Dobljen sistem je časovno reverzibilen, če zadošča pogojem izreka 6 v [67]. Vstavimo koeficiente dobljenega sistema v polinome izreka 6 v [67] in dobimo polinome, ki generirajo ideal, ki mu dodamo polinoma 1 − k 1 α, 1 − k 2 β (s tem preprečimo, da bi kateri izmed k 1 ali k 2 bil ničelni). Iz dobljenega ideala eliminiramo spremenljivke α, β, k 1 , k 2 , c 1 in c 2 ter izračunamo minimalno dekompozicijo raznoterosti ideala. Dobimo dve ireducibilni podraznoterosti, ki jih definirata naslednja ideala: J 1 = ⟨a 10 a 01 − b 10 b 01 , a− 12 b 3 − 10 b 2 ,− 1 a 301 , a 310 a− 12 − b 2 ,− 1 b 301 , a 10 a− 12 b 2 − ⟩ 10 a 201 b 2 ,− 1 b 01 , a 210 a− 12 b 10 − a 01 b 2 ,− 1 b 201 , in J 2 = ⟨b 10 , a 01 , a 3 ⟩ 10 a− 12 − 6 a 10 a− 12 b 01 b 2 ,− 1 + b 3 01 b 2 ,− 1 + 8 a 2 − 12 b 22 ,− 1 . Raznoterost ideala J 1 je komponenta centralne raznoterosti sistema (2.126), ki ustreza sistemom, ki so reverzibilni glede na transformacijo x 7→ γy, y 7→ γ− 1 x, t 7→ −t, (glej npr. [114, § 3.7]) in raznoterost ideala J 2 je podmnožica komponente centralne raznoterosti, ki ustreza Darbouxjevim integrabilnim sistemom s tremi invariantnimi premicami. 2.2.7 Bifurkacije limitnih ciklov Teorija bifurkacij limitnih ciklov, kot jo obravnavamo v tej monografiji, izhaja iz (polinomskih) ravninskih sistemov NDE oblike (2.32). Proučujemo spremembe obnašanja orbit v faznem pro- storu poljubnega ravninskega sistema, ki ga označimo z ⃗ u′ = f ( ⃗ u). Še posebej proučujemo število in (medsebojno) postavitev limitnih ciklov sistema ⃗ u′ = f ( ⃗ u), kot sprašuje šestnajsti Hilbertov problem. Mnoge študije se osredotočajo na bifurkacije Hamiltonskih sistemov, kjer za rešitev problema uporabimo tako imenovano Melnikovo funkcijo [68] oziroma tako imenovan Abelov integral, če gre za polinomski Hamiltonski sistem. V tej monografiji obravnavamo tako imenovano Bautinovo metodo, ki je opisana v razdelku 3.1. Za nadaljnje branje priporočamo monografijo [87], ki obravnava izključno probleme bifurkacij v sistemih NDE, in vsebuje preko dvesto virov. Pri problemu cikličnosti je bistveno prešteti največje možno število limitnih ciklov, ki lahko nastanejo s perturbacijo enostavnega centra ali fokusa v sistemu ⃗ u′ = f ( ⃗ u). Brez izgube za splošnost obravnavajmo singularnost ⃗ u 0 = (0 , 0) sistema ⃗u′ = f ( ⃗u) . S F = Jf ( ⃗u 0) označimo 120 2 Nekatera poglavja iz teorije dinamiˇ cnih sistemov Jacobijevo matriko preslikave f v singularni točki ⃗ u 0. V enostavnem centru ali fokusu je det (F) ̸= 0. Zaradi Hartman-Grobmanovega izreka se v hiperbolični singularni točki rav- ninskega polinomskega sistema število limitnih ciklov ne spremeni (ostane enako nič). Torej v hiperbolični singularni točki je cikličnost vedno (ne glede na naravo perturbacije) enaka nič. Obravnava cikličnosti v hiperbolični singularni točki zato ni zanimiva. Nehiperbolična singular- nost ravninskega sistema nastopi, če je det (F) = 0 (kar v ravnini ustreza izrojenim primerom) ali det (F) > 0 in sled (F) = 0 (kot v sistemu (2.32) z α = 0, ki je najzanimivejši ravninski primer in opisuje centre in/ali fokuse). S spremembo časa t → βt lahko sistem (2.32) preoblikujemo v obliko ˙ u = λu − v + P ( u, v) (2.128) ˙ v = u + λv + Q ( u, v) , ki omogoča perturbacije, pri katerih je sled (F) ̸= 0 . V sistemu (2.128) je λ = α , polinoma P β in Q pa sta brez prostih in linearnih členov s stopnjo kvečjemu n. Naj bo P ( u, v) = A 20 u 2 + A 11 uv + A 02 v 2 + A 30 u 3 + · · · + A 0 nvn in Q ( u, v) = B 20 u 2 + B 11 uv + B 02 v 2 + B 30 u 3 + · · · + B 0 nvn in označimo A = ( A 20 , ..., A 0 n), B = ( B 20 , ..., B 0 n) . Tedaj prostor parametrov sistema (2.128) standardno označimo z E ( λ, ( A, B)). Ko je λ = 0, sistem (2.128) postane ˙ u = −v + P ( u, v) (2.129) ˙ v = u + Q ( u, v) , kar je v bistvu sistem (2.41). Definicija 2.2.55 Obravnavajmo sistem (2.128) s parametri ( λ, ( A, B)) in z n (( λ, ( A, B)) , ε) oznaˇ cimo ˇ stevilo limitnih ciklov sistema (2.128), ki v celoti leˇ zijo znotraj ε−okolice točke ⃗u 0 = (0 , 0) , ki je singularna toˇ cka sistema (2.128). Toˇ cka ⃗ u 0 = (0 , 0) sistema (2.128) z določenimi (fiksiranimi) koeficienti ( λ∗, ( A∗, B∗)) ∈ E ( λ, ( A, B)) ima (glede na prostor E ( λ, ( A, B)) ) cikliˇ cnost c, ˇ ce obstajata taki pozitivni konstanti δ 0 in ε 0 , da za vsak 0 < ε < ε 0 in 0 < δ < δ 0 velja max {n (( λ, a) , ε) : |( λ, ( A, B)) − ( λ∗, ( A∗, B∗)) | < δ} = c. Koncept cikličnosti in idejo metode za obravnavo le-te, ki jo bomo predstavili v poglavju 3, lahko pripišemo ruskemu matematiku Bautinu [6]. Predvsem povzamemo rezultate po [114] in se osredotočimo na iskanje zgornje meje za cikličnost. Spomnimo se, da je za sistem (2.128) funkcija razlike D ( r 0) − r 0 = η 1 r 0 + η 2 r 2 + η + · · · 0 3 r 3 0 (definirana v (2.39)) v faznem prostoru povezana z limitnimi cikli okoli ⃗ u 0 = (0 , 0) . Spomnimo se tudi, da koeficiente funkcije razlike imenujemo Ljapunovi koeficienti. Izolirane ničle funkcije razlike (2.39) očitno pripadajo limitnim ciklom sistema (2.128). In v grobem lahko rečemo, da je cikličnost sistema enaka številu pozitivnih ničel funkcije razlike (2.39) na majhni okolici točke r 0 = 0. Ljapunovi koeficienti sistema (2.128) so realne analitične funkcije spremenljivke λ in koeficientov polinomov P in Q; za fiksno vrednost parametra λ so to polinomi. V razdelku 2.2.3 smo videli, da jih lahko rekurzivno izračunamo. Iz geometrijskih lastnosti Poincaréjeve (povratne) preslikave sledi, da ima prvi neničelni Ljapunov koeficient lihi indeks, npr. 2 k + 1, k ∈ N0. V primeru šibkega fokusa (ko je k > 0) ima funkcija D ( r 0) največ k ničel in zato ima sistem največ k limitnih ciklov, ki obkrožajo izhodišče (glej izrek 6.2.7 v [114]). Ko je izhodišče center ( D ( r 0) ≡ 0), problem cikličnosti postane problem iskanja posebne baze ideala, generiranega z Ljapunovimi koeficienti, ko so le-ti obravnavani kot elementi relevantnega kolobarja funkcij, odvisnih od parametrov sistema. Splošna definicija takšne baze je sledeča. 2.3 Diskretni sistemi 121 Definicija 2.2.56 Naj bosta podana N¨ otherski kolobar R in urejena mnoˇ zica V = {v 1 , v 2 , . . .} ⊂ R. Konstruiramo bazo M(I) ideala I = ⟨ v1 , v2 , . . .⟩ kot sledi: (i) poiˇ sˇ ci prvi neniˇ celni polinom vp ∈ V in postavi M(I) = { vp }, (ii) preveri naslednje elemente vj ∈ S, začenši z j = p + 1 , in dodaj vj v M(I) , če in samo če vj / ∈ ⟨ M(I) ⟩. Baza M(I) , ki jo konstruiramo na tak naˇ cin, se imenuje minimalna baza ideala I glede na urejeno mnoˇ zico V. ˇ Stevnost mnoˇ zice M(I) imenujemo Bautinova globina ideala I [64]. Izkaže se, da sta ideal, generiran z Ljapunovimi koeficienti, in ideal, generiran z realnimi fokusnimi količinami pripadajoče kompleksifikacije, enaka (in imata enako bazo), zato v praksi namesto z Ljapunovimi koeficienti običajno raje delamo s fokusnimi količinami. V razdelku 3.2 bomo pokazali prej omenjeno enakost idealov in zvezo med fokusnimi količinami in cikličnostjo sistema. Videli bomo, kako nam lahko minimalna baza ideala v nekaterih primerih pomaga določiti natančno zgornjo mejo za število limitnih ciklov, ki bifurcirajo iz centra sistema. 2.3 Diskretni sistemi V tem razdelku bomo razložili nekatere osnovne pojme v teoriji diskretnih dinamičnih sistemov. V nadaljevanju bomo s pomočjo teorije polinomskih idealov iz poglavja 1 obravnavali limitne cikle za sisteme (R , f ) v smislu definicije 2.3.1, kjer bo f : R → R realna analitična funkcija oblike ∞ ∑ f ( x) = −x + akxk+1 . (2.130) k=1 Sistemi s preslikavo (2.130) očitno (za nobeno kombinacijo koeficientov ak) ne morejo imeti cikla s periodo 3 (in zato po izreku Šarkovskega [62, Polgl. 5]) ne premorejo kaotične dinamike. Ker lahko pri diskretnih sistemih že za preslikave f : R → R oz. za f : [0 , 1] → [0 , 1] naletimo na kaotično dinamiko, pa tudi z namenom sklenitve razdelka v zaključeno celoto, bomo definirali nekatere za diskretne dinamične sisteme ključne pojme; vključno z definicijo kaosa. Kaos so v dinamičnih sistemih začeli odkrivati na prelomu 19. stoletja s študijem problema gibanja treh (in več) teles [96, 100]. Za ponovni razcvet oz. uradno rojstvo teorije kaosa pa danes štejemo [96] Lorenzovo delo z naslovom “Deterministic nonperiodic flow” [83]. Za raziskovalce je bilo presenetljivo predvsem odkritje determinističnega kaosa (ki ga danes imenujemo kar kaos) v sistemih navadnih diferencialnih enačb in zveza med kaotično dinamiko ter občutljivostjo na začetne pogoje. Teorija kaosa se je razmahnila v sedemdesetih in osemdestih letih 20. stoletja, vzporedno z razvojem računalništva. Od tedaj je predmet intenzivnega raziskovanja v mate- matiki, fiziki, astronomiji, biologiji itd. Čeprav obstaja veliko definicij za kaotični dinamični sistem, splošno sprejete definicije ni [11]. V tem poglavju bomo povzeli najpogosteje privzeto Devaneyevo definicijo kaotičnega (diskretnega) dinamičnega sistema, ki temelji na tranzitivno- sti, gostosti periodičnih točk in občutljivosti na začetne pogoje. Ena od klasičnih poti do kaosa je tako imenovano podvajanje periode v točkah bifurkacij (glej npr. [10], [62, Pogl. 10] in [32, str. 130]), ko najdemo orbite s periodami k, 2 k, 4 k, . . . Nenazadnje lahko imajo sistemi (2.130) (za posebne vrednosti parametrov ak) vse sode peri- ode in na pripadajočih raznoterostih lahko obravnavamo posplošitve limitnih ciklov s poljubno periodo, kar v literaturi še ni raziskano. Zanimivo bi bilo raziskati tudi morebitne zveze takih 122 2 Nekatera poglavja iz teorije dinamiˇ cnih sistemov limitnih ciklov s cikli reda 2, ki so obravnavani v [92] in [93], ter že prej v [105, 111, 127]. Prav tako je zanimiva posplošitev sistema ( S, f ), kjer je f oblike (2.130), na preslikave ( ) 2 ∑ 2 ∑ f ( x, y) = − ( x, y) + a 1[ k, 2 −k] xky 2 −k, a 2[ k, 2 −k] xky 2 −k + (2.131) k=0 k=0 ( ) 3 ∑ 3 ∑ + a 1[ k, 3 −k] xky 3 −k, a 2[ k, 3 −k] xky 3 −k + · · · , k=0 k=0 kjer je f :R2 → R2. 2.3.1 Glavne definicije Definicija 2.3.1 Diskretni dinamčni sistem je par ( S, f ) kjer je S poljubna mnoˇ zica in f : S → S preslikava mnoˇ zice S vase. Z zaporednim delovanjem preslikave f definiramo n−ti iterat preslikave f kot f n = f ◦ f ◦ · · · ◦ f | {z } , n ∈ N0 . (2.132) n−krat Po dogovoru je f 0 identiˇ cna prelikava na S f 0 = ids : S → S. (2.133) Poudarimo, da pri diskretnih dinamičnih sistemih oznaka f n pomeni n− ti iterat in ne n− to potenco preslikave f . Definicija 2.3.2 Za dano toˇ cko x 0 ∈ S in izbrano preslikavo f : S → S lahko obravnavamo zaporedje iteratov xn+1 = f ( xn) , n = 0 , 1 , 2 , ..., ki predstavlja pozitivno orbito (tir) točke x 0 : Of( x 0) = O( x 0) = {fn( x 0) , n ≥ 0 }. (2.134) Pomembna kategorija orbit so tako imenovane periodiˇ cne orbite in v tesni povezavi z njimi periodične točke. Definicija 2.3.3 Toˇ cka x 0 je periodična , če za neki n ≥ 1 velja f n( x 0) = x 0 . V tem primeru orbiti reˇ cemo (periodiˇ cni) cikel periode n, najmanjˇ semu takemu n pa perioda cikla . Definicija 2.3.4 Toˇ cka x 0 je predperiodična , če je za neki m ∈ N0 iterat f m( x 0) periodična toˇ cka. Množico vseh periodičnih in predperiodičnih točk diskretnega dinamičnega sistema ( S, f ) označimo s P er( f, S) oziroma s P erP er( f, S). Natančni definiciji sta takšni: P er( f, S) = {x ∈ S, f n( x) = x, za neki n ≥ 1 }, P erP er( f, S) = {x ∈ S, f m+ n( x) = F m( x) , za neki n ≥ 1 , m ≥ 0 }. 2.3 Diskretni sistemi 123 Definicija 2.3.5 Cikel dolˇ zine ena imenujemo tudi negibna (fiksna) točka sistema ( f, S) oz. singularnost. Singularna toˇ cka x 0 diskretnega dinamičnega sistema ( S, f ) zadošča enačbi f ( x 0) = x 0 . (2.135) ˇ Ce je mnoˇ zica S nedvoumno doloˇ cena (znana), piˇ semo kar P er( f ) in P erP er( f ) namesto P er( f, S) oz. P erP er( f, S) . { } Naj bo x∗ fiksna točka sistema ( f, S), kjer je S ∈ R , R2 . Za poljubno matriko A defini- ramo njen spektralni radij, ρ ( A), kot največjo absolutno vrednost njenih (kompleksnih) lastnih vrednosti ρ ( A) = max {|λ|} . λ∈σ( A) Definicija 2.3.6 (Hiperboliˇ cna fiksna toˇ cka) Pravimo, da je fiksna toˇ cka x∗ hiperboliˇ cna, ˇ ce za Jacobijevo matriko A = Jf ( x∗) velja, da je ρ ( A) ̸= 1 . Podobno kot za zvezne sisteme Hartman-Grobman-ov izrek za diskretne sisteme (glej npr. [38, Razdelek 4.10]) zagotavlja, da je dinamika okoli hiperbolične fiksne točke diskretnega sistema lokalno homeomorfna dinamiki pripadajočega lineariziranega sistema. Prav tako imamo analog izreka o stabilni in nestabilni mnogoterosti (glej [38, Izrek 4.12]). Definicija 2.3.7 Naj bo ( fr, S) dinamični sistem s parametrom r. Vrednost parametra r, pri kateri se kvalitativno obnaˇ sanje dinamiˇ cnega sistema ( fr, S) nenadno spremeni, imenujemo bi- furkacijska vrednost . V nadaljevanju naštejmo še nekaj definicij. Definicija 2.3.8 Naj bo x 0 fiksna točka preslikave f . Pravimo da je točka x asimptotična k toˇ cki x 0 , če je lim n→∞ fn( x) = x 0 . S spodnjim izrazom W s( x 0) = {x; x je asimptotična k točki x 0 } je definirana stabilna množica fiksne toˇ cke x 0 . Definicija 2.3.9 Naj bo x 0 periodična točka s periodo k. Pravimo, da je točka x asimptotična k toˇ cki x 0 , če je lim n→∞ fnk( x) = x 0 . Za poljubno preslikavo f definiramo množico Bf = {x; Of( x) je omejena }, ki predstavlja množico vseh točk (preslikave f ) z omejeno orbito. Če je iz konteksta nedvoumno razvidno, za katero preslikavo f gre, lahko indeks f tudi opustimo in pišemo kar B. Tudi za diskretni sistem (2.4) lahko definiramo ω− limitno množico. Definicija 2.3.10 Toˇ cka y je element ω−limitne množice točke x za preslikavo f , če obstaja tako zaporedje naravnih ˇ stevil nk, da velja lim d( f nk ( x) , y) = 0 . k→∞ 124 2 Nekatera poglavja iz teorije dinamiˇ cnih sistemov Definicija 2.3.11 Bazen privlaˇ cnosti, BAtt ( x 0) , privlačne fiksne točke x 0 je množica vseh točk x za katere velja ω( x) = x 0 . Obravnavajmo dinamični sistem ( S, f ) in naj bo B ⊂ S. Definicija 2.3.12 ˇ Ce za vsako toˇ cko x ∈ B velja, da je njena pozitivna orbita Of ( x) = O( x) = {fn( x) , n ≥ 0 } vsebovana v B, pravimo, da je množica B invariantna množica sistema ( S, f) . Osnovna naloga diskretne dinamike je klasifikacija točk x ∈ S glede na obnašanje orbit Of( x) . Če je S zgolj množica brez dodatne strukture, je tipična naloga diskretne dinamike opisati množico periodičnih oziroma predperiodičnih točk P er( f, S) , P erP er( f, S)) in poiskati vse periode periodičnih točk. Če je množica S “obogatena” z dodatno strukturo (na primer s topologijo, metriko, algebro), lahko s pomočjo le-te definiramo dodatne lastnosti orbit oz. dinamičnih sistemov, kot na primer konvergenco, gostost orbite v prostoru, gostost periodičnih točk, občutljivost na začetne pogoje, lastnosti posebnih algebrskih elementov itd. Oglejmo si najpomembnejše definicije in lastnosti dinamike v topoloških oz. metričnih prostorih. Definicija 2.3.13 Naj bo D ⊂ X podmnožica topološkega prostora ( X, τ ) in f : D → D, preslikava mnoˇ zice D vase. Preslikava f je topološko tranzitivna , ˇ ce za poljubni odprti mnoˇ zici U in V iz topoloˇ skega prostora ( X, τ ) , ki sekata D, obstaja element z ∈ U ∩ D in tako naravno ˇ stevilo n, da je f n( z) ∈ V. Zgornja definicija je topološka. Ekvivalentna definicija v metričnem prostoru je takšna. Definicija 2.3.14 Funkcija f je topoloˇ sko tranzitivna na metriˇ cnem prostoru ( D, d) , ˇ ce za po- ljubni toˇ cki x, y ∈ D in vsak ε > 0 , obstaja tak z iz ( D, d) , da za neki n ∈ N velja d( z, x) < ϵ in d( f n( z) , y) < ϵ. (2.136) ( ) Pogosto je metrični prostor X = R2 , d , kjer je za poljuben par ⃗x = ( x 1 , x 2) , ⃗y = ( y 1 , y 2) iz R2 , metrika d definirana takole √ d ( ⃗ x, ⃗ y) = ( x 1 − y 1)2 + ( x 2 − y 2)2 . (2.137) Med pomembnejše osnovne rezultate na tem področju spada spodnja trditev, ki poveže gostost periodičnih točk in topološko tranzitivnost (dokaz glej npr. v [32]). Trditev 2.3.15 Naj bo D ⊂ X podmnožica metričnega prostora X in f : D → D. ˇ Ce je mnoˇ zica vseh periodiˇ cnih toˇ ck gosta v D in ˇ ce obstaja toˇ cka, ki ima gosto orbito v D, je f topoloˇ sko tranzitivna na D. 2.3.2 Limitni cikli in njihove bifurkacije za preslikave (2.130) V nadaljevanju se omejimo na sisteme (R , f ), kjer je f oblike (2.130). Za zvezne sisteme smo razliko med centrom in fokusom podali v definicijah 2.2.14 in 2.2.16. Za sisteme (R , f ), kjer je f oblike (2.130), sta ustrezni definiciji takšni. Definicija 2.3.16 Singularno (fiksno) toˇ cko x = 0 preslikave (2.130) imenujemo: 2.3 Diskretni sistemi 125 1. stabilni fokus, če obstaja tak ε > 0 , da je za vse x, za katere je |x| < ε, limita lim k→∞ fk ( z) enaka nič , 2. nestabilni fokus, če je stabilni fokus za (inverzno) preslikavo f − 1 ( x) , 3. center, če obstaja tak ε > 0, da je za vse vrednosti x, za katere je |x| < ε, izpolnjena enakost f 2 ( x) = x. Definicija 2.3.17 (Limitni cikel) Toˇ cko x 0 > 0 imenujemo limitni cikel preslikave (2.130), ˇ ce je x 0 izolirana rešitev enačbe f 2 ( x) − x = 0 . (2.138) Preslikave (2.130) so lahko implicitno definirane (to je obravnavano tudi v [111], [105], [93], [92]) preko spodnje družine enačb n ∑ Ψ ( x, w) = x + w + αijxiwj = 0 . (2.139) i+ j=2 Na tak način je prvi obravnaval sisteme (2.130) Żo l¸ adek v [127]. Pravimo, da ima polinom (2.139) center v izhodišču, če ima enačba Ψ ( x, w) = 0 rešitev oblike (2.130), ki je tudi sama center za x = 0. Analogno definiramo fokus enačbe (2.139). Če želimo obravnavati število limitnih ciklov, ki nastanejo blizu x = 0, je najbolje uporabiti pristop, ki ga je v [127] predlagal Żo l¸ adek in temelji na tako imenovani Ljapunovi funkciji Φ , definirani v (2.140), ki je očitno direktna posplošitev (v smislu analogije) prvega integrala iz (2.46). Vrednosti g 2, g 4 , ... iz (2.140) pa so analogne fokusnim količinam iz enačbe (2.46); glej definicijo 2.2.25. Ljapunova funkcija, Φ, in fokusne količine, g 2 k, za sistem (2.130) oz. (2.139) so definirane s spodnjo enačbo Φ ( f ( x)) − Φ ( x) = g 2 x 4 + g 4 x 6 + · · · + g 2 kx 2 k+2 + · · · (2.140) Če za izbrano preslikavo (2.130) obstaja Ljapunova funkcija Φ , jo formalno zapišemo v obliki vrste ( ) ∞ ∑ Φ ( x) = x 2 1 + bkxk . (2.141) k=1 Koeficiente g 2 k iz (2.140) tedaj imenujemo fokusne količine. Spodnja trditev je iz [111]. V dokazu uporabimo kompozicije formalnih vrst, ki so za preslikave (2.130) dobro definirane, saj vedno uporabimo samo končne vsote. Trditev 2.3.18 ˇ Ce so za vse k ∈ N fokusne količine g 2 k enake nič, ima preslikava (2.130) v izhodiˇ sˇ cu center. ˇ Ce je g 2 = · · · = g 2 k− 2 = 0 vendar g 2 k ̸= 0 , je x = 0 stabilni (oz. nestabilni) fokus preslikave (2.130), ˇ ce je g 2 k < 0 (oz. g 2 k > 0 ). Dokaz. V primeru, ko je g 2 k = 0 za vse k ∈ N, je Φ ◦ f = Φ implicira Φ ◦ f 2 = Φ . Naj bo f 2 ( x) = x + ckxk + · · · , kjer je očitno k ≥ 3 . Če vstavimo ta izraz v Φ ◦ f 2 = Φ, sledi (za vsak k ≥ 3) x 2 + b 1 x 3 + · · · + bk− 1 xk+1 + 2 ckxk+1 + v. ˇ c. = x 2 + b 1 x 3 + · · · + bk− 1 xk+1 + v. ˇ c., 126 2 Nekatera poglavja iz teorije dinamiˇ cnih sistemov od koder sledi ck = 0, kar omplicira f 2 ( x) ≡ x (oznaka v. ˇ c. pomeni višje člene). Če je g 2 = · · · = g 2 k− 2 = 0 in g 2 k ̸= 0, je (2.140) oblike Φ ( f ( x)) − Φ ( x) = g 2 kx 2 k+2 + · · · . ( ∑ ) Za dovolj velik m označimo Φ m m ( x) = x 2 1 + b . Tedaj je j=1 j xj ( ) Φ2 k ( f ( x)) − Φ2 k ( x) = g 2 kx 2 k+2 + O x 2 k+3 . Če v zgornji enačbi x nadomestimo z f ( x), sledi ( ) ( ) Φ2 k f 2 ( x) − Φ2 k ( f ( x)) = g 2 k [ f ( x)]2 k+2 + O x 2 k+3 ( ) ( ) Φ2 k f 2 ( x) = Φ2 k ( f ( x)) + g 2 k [ f ( x)]2 k+2 + O x 2 k+3 ( ) Φ2 k f 2 ( x) = Φ2 k ( x) + g 2 kx 2 k+2+ [ ] ( ) 2 k+2 + g 2 k −x − a 2 x 2 − · · · + O x 2 k+3 ( ) ( ) Φ2 k f 2 ( x) − Φ2 k ( x) = 2 g 2 kx 2 k+2 + O x 2 k+3 Brez izgube za splošnost lahko privzamemo, da je x ≥ 0. Potem je tudi f 2 ( x) ≥ 0 . Ker je Φ (in Φ2 k) za dovolj majhne x ≥ 0 injektivna in naraščajoča, iz zadnje enačbe za g 2 k < 0 sledi, ( ) da je Φ2 k f 2 ( x) − Φ2 k ( x) < 0 in potem je (za dovolj majhne pozitivne x) tudi f 2 ( x) − x < 0 , kar pomeni, da je lim n→∞ f 2 n ( x) = 0 . Podobno za f− 1 v primeru, ko je g 2 k > 0, sledi, da je ( ) ( )2 n Φ2 k f 2 ( x) − Φ2 k ( x) > 0 iz tega pa f 2 ( x) − x > 0 in končno: lim n→∞ f− 1 ( x) = 0 , kot smo želeli dokazati. To še dodatno potrjuje analogijo Ljapunovih funkcij (2.141) s prvim integralom Φ ( x, y) v zveznih sistemih (2.41), ki obstaja natanko tedaj, ko je g 2 k = 0 za vsak k ∈ N. Poleg tega obstaja očitna analogija med izrekom 2.2.23 in zgornjim rezultatom. Očitna pa je tudi podobnost med slikama 2.3 (levo) in 2.14 ter slikama 2.3 (desno) in 2.15. Slika 2.14: Fokus preslikave (2.130). Slika 2.15: Center preslikave (2.130). 2.3 Diskretni sistemi 127 Analogija med prvim integralom in Ljapunovo funkcijo Φ je motivacija, da preslikavi (2.130) priredimo analog Poicaréjeve povratne preslikave R ( x) = f 2 ( x) = x + c 2 x 3 + c 3 x 4 + · · · ter analog funkcije razlike (2.39) P ( x) = f 2 ( x) − x = c 2 x 3 + c 3 x 4 + · · · , (2.142) podobno, kot v definiciji 2.2.22. 2.3.3 Fokusne koliˇ cine preslikave (2.130) V nadaljevanju bomo privzeli, da so koeficienti ai preslikave (2.130) polinomi parametrov {αij} iz (2.139) za i + j ≤ k ali i + j = k ( k ≤ n) in bomo označili {αij} = {α 1 , . . . , αm}. To pomeni, da so koeficienti g 2 k ter bi in ci iz (2.140) ter (2.141) in (2.142) polinomi v spremenljivkah α 1 , . . . , αm (t.j. g 2 k, bi, ci ∈ R[ α 1 , . . . , αm]). Označimo prostor parametrov {αij} = {α 1 , . . . , αm} z A in δ− okolico od α∗ ∈ A z N δ ( α∗) = {α ∈ A; |αi − α∗| ≤ i δ, ∀i ∈ { 1 , ..., m}} . Nadalje označimo z ∞ ∑ fα ( x) = −x − ak ( α) · xk+1 (2.143) k=1 preslikavo (2.130), ki ustreza točki α ∈ A. Na primer α = ( α 20 , α 11 , α 02 , α 30 , α 21 , α 12 , α 03) ali α = ( α 20 , α 11 , α 02) ali α = ( α 30 , α 21 , α 12 , α 03). Predpostavili bomo tudi, da je za vsako vrednost α∗ ∈ A desna stran enačbe (2.143) konvergentna na dovolj majhni okolici |x| < ε, α ∈ N δ ( α∗). Podobno, kot v podrazdelku 2.2.7, kjer smo obravnavali bifurkacije limitnih ciklov v zveznih sistemih ⃗ u′ = f ( ⃗ u), je tudi za sisteme (2.130) v prostoru parametrov A smiselno obravnavati, koliko limitnih ciklov nastane v neki okolici N δ ( α∗) točke α∗ ∈ A, če parametre sistema malo spreminjamo. Definicija 2.3.19 ([111]) Z nα,ε označimo število limitnih ciklov preslikave fα na okolici |x| < ε. Tedaj ima singularna toˇ cka x = 0 preslikave fα∗ cikličnost c v okolici izhodišča v prostoru parametrov A, ˇ ce obstajata taka δ 0 in ε 0 , da je za vsak 0 < ε < ε 0 in vsak 0 < δ < δ 0 max nα,ε = c. α∈N δ( α∗) Kot bomo videli v naslednjem razdelku in v razdelku 3.3, je tudi v primeru preslikav (2.130) smiselno cikliˇ cnost preslikave fα obravnavati preko fokusnih količin, ki so definirane v naslednjem razdelku. V nadaljevanju bomo opisali teoretični postopek (kot je opisan v [111]) za pridobivanje fokusnih količin g 2 k. Uporabljamo Ljapunovo funkcijo Φ, ki je definirana s (2.140). Spomnimo se, da sistem enačb g 2 = g 4 = · · · = g 2 k = · · · = 0 določa centralno raznoterost preslikave f (glej (2.130)). V praksi v (2.140) namesto f uporabljamo (glej npr. [92, 93, 105, 111]) približek ( ) n ∑ n ∑ fn ( x) = −x − akxk+1 = −x 1 + akxk , k=1 k=1 128 2 Nekatera poglavja iz teorije dinamiˇ cnih sistemov tako, da (2.140) dobi obliko Φ ( fn ( x)) − Φ ( x) = g 2 x 4 + g 4 x 6 + · · · + g 2 kx 2 k+1 + · · · Potem lahko fokusne količine g 2 k izrazimo kot polinome spremenljivk ak. Desno stran zgornje enačbe označimo s Ψ Ψ ( x) = g 2 x 4 + g 4 x 6 + · · · + g 2 kx 2 k+1 + · · · . Problem centra in fokusa za (2.130) je potem poiskati tak Φ ( b 1 , b 2 , . . . ) (t. j. poiskati koeficiente bk) in tak Ψ ( g 2 , g 4 , . . . ) (t. j. poiskati koeficiente g 2 k) v odvisnosti od koeficientov ak, k = 1 , 2 , . . . , n, da bosta za vsak n ∈ N (formalni) vrsti za Φ ( fn ( x)) − Φ ( x) in Ψ ( x) hkrati ničelni: Φ ( fn) − Φ ( x) = 0 , Ψ ( x) = 0 . Za obravnavo fokusnih količin g 2 k je zelo pomembn kolobar monomov M, ki je definiran kot M = {v; L ( v) = 2 k za k = 0 , 1 , 2 , . . .} , (2.144) L ( v) je linearni operator, ki slika N n → N 0 0 (N0 = N ∪ { 0 }) in je definiran z L (( v 1 , v 2 , . . . , vn)) = 1 · v 1 + 2 · v 2 + · · · + n · vn. (2.145) Označimo v := ( v 1 , v 2 , . . . , vn), |v| := v 1+ v 2+ · · ·+ vn in [ v] := av 1 ·av 2 ·· · ··avn 1 2 n in izračunajmo Φ ( fn). Najprej izračunamo m− to potenco od fn: ∑ m! ( ) v f m 2 · · · n = ( −x) n ( a 1 x) v 1 a 2 x 2 ( anxn) vn . v | 1! · · · vn! v|= m− 1 Torej je koeficient pri xk+ m v Φ ( fn) enak ∑ m! ( − 1) m [ v] . v 1! · · · vn! v: |v|= m− 1 l( v)= k V skladu z zgornjimi oznakami iz Φ ( fn) − Φ ( z) = Ψ ( z) = 0 sledi: 1 b 2 i− 1 = S 2 i− 1 ( a 1 , . . . , an) , 2 g 2 i = S 2 i ( a 1 , . . . , an) , kjer je ∑ k− 1 2! ∑ ∑ ( j + 2)! Sk = [ v] + ( − 1) j bj [ v] (2.146) v v | 1! · · · vn! 1! · · · vn! v|=1 j=1 |v|= j+1 l( v)= k l( v)= k−j in b 2 i lahko izberemo poljubno (seveda izberemo b 2 i = 0). Induktivno lahko dokažemo (glej [111, lema 3]), da za vsak monom [ v], ki je vsebovan v g 2 i, velja L ( v) = 2 i, kar lahko za prvih nekaj 2.3 Diskretni sistemi 129 fokusnih količin g 2 i hitro preverimo: za g 2 = − 2 a 2 + 2 a in [ v 1 2 sta [ v 1] = a 2 1 2] = a 2 edina monoma in velja: L ( v 1) = 1 · 2 + 2 · 0 = L ( v 2) = 1 · 0 + 2 · 1 = 2. Podobno za 13 g 4 = a 4 − 7 a 2 − 6 a 1 a 3 + 2 a 4 2 1 2 1 a 2 + a 22 velja l ( v) = 4 in [ v 1] = a 41 = ⇒ L ( v 1) = 1 · 4 + 2 · 0 + 3 · 0 + 4 · 0 = 4 [ v 2] = a 21 a 2 = ⇒ L ( v 2) = 1 · 2 + 2 · 1 + 3 · 0 + 4 · 0 = 4 [ v 3] = a 22 = ⇒ L ( v 3) = 1 · 0 + 2 · 2 + 3 · 0 + 4 · 0 = 4 [ v 4] = a 1 a 3 = ⇒ L ( v 4) = 1 · 1 + 2 · 0 + 3 · 1 + 4 · 0 = 4 [ v 5] = a 4 = ⇒ L ( v 5) = 1 · 0 + 2 · 0 + 3 · 0 + 4 · 1 = 4 . Lastnost [ v] ∈ g 2 i = ⇒ L ( v) = 2 i implicira, da so fokusne količine invariantne za transfor- macijo x 7−→ −x v prostoru parametrov, ki so določeni z (2.130). To uvidimo, če koeficiente iz f ( −x) označimo z a′ . Očitno je a′ = ( − 1) k a ) v 1 · · · ( a′ k k k in za [ v′] = ( a′ 1 n) vn sledi [ ] v′ = ( − 1) l( v) [ v] = ( − 1)2 i [ v] = [ v] prej omenjena invariantnost. Računanje fokusnih količin je lahko za zvezne sisteme zelo zamudno (glej str. razdelek 2.2 in npr. [107, 113]). Teoretično lahko v (diskretnem) primeru preslikave (2.130) fokusne količine g 2 i zaradi zgoraj naštetih lastnosti (dodatne informacije najdete v [111, izrek 1]) dobimo zaporedno; tako, da na vsakem koraku (t. j. za vsak vektor v ∈ N n) izračunamo pomožni količini V 0 ( v) in U( v). Za v− je, za katere velja |v| = 1, postavimo V( v) = 1 , če je L ( v) liho število, in V( v) = 0, če je L ( v) sodo število. Za vse v− je, za katere velja |v| > 1, pa definiramo { ( ∑ ) 1 ∆ ( v) − ( L( µ)+2)! če L ( v) = 2 i − 1 V 2 0 <µ<|v| V( µ) ( θ( µ,v))!( v ( v) = 1 −µ 1)! ···( vn−µn)! . (2.147) 0 če L ( v) = 2 i Za |v| = 1 postavimo U( v) = 2, če je L ( v) sodo, in U( v) = 0, če je L ( v) liho. Za |v| > 1 pa definiramo { 0 če L ( v) = 2 i − 1 U ∑ ( v) = . (2.148) ∆ ( v) − ( L( µ)+2)! če L ( v) = 2 i 0 <µ<|v| V( µ) ( θ( µ,v))!( v 1 −µ 1)! ···( vn−µn)! V (2.147) in (2.148) je   0 če |v| ̸= 2 ∆ ( v) =  2 če |v| = 2 in ∃vi,vj tako, da je vi · vj ̸= 0 1 če |v| = 2 in ∃! vi tako, da je vi ̸= 0 in n ∑ θ ( µ, v) = l ( µ) + 2 − ( vi − µi) . i=1 Ko imamo dovolj pomožnih količin U( v) in V( v), je 2 i− ta fokusna količina enaka ∑ g 2 i = U( v) [ v] . (2.149) l( v)=2 i 130 2 Nekatera poglavja iz teorije dinamiˇ cnih sistemov Opomba 2.3.20 Pomoˇ zni koliˇ cini (2.147) in (2.148) ter sama formula (2.149) sta v [111, izrek 1] izpeljani s pomoˇ cjo (2.146). V praksi pa je raˇ cunanje fokusnih koliˇ cin tudi s pomoˇ cjo teh formul dokaj zamudno, zato raje uporabimo kak raˇ cunski algebrski sistem. Poglavje 3 Primeri uporabe polinomskih idealov 3.1 Bautinova metoda za reˇ sevanje bifurkacijskih problemov Bautinova metoda za reševanje bifurkacijskih problemov, ki je opisana v tem razdelku, je upo- rabna tako za zvezne kot tudi za diskretne sisteme. Metodo je z namenom reševanja drugega dela šestnajstega Hilbertovega problema vpeljal ruski matematik N. N. Bautin sredi prejšnjega stoletja (glej [6]). Problem cikličnosti za polinomske sisteme ˙ u = −v + P 2 ( u, v) + · · · + Pn ( u, v) , ˙ v = u + Q 2 ( u, v) + · · · + Qn ( u, v) , (3.1) kjer s Pn ( u, v) in Qn ( u, v) označimo homogene polinome stopnje n, sprašuje po (maksimalnem) številu in razporeditvi limitnih ciklov, ki lahko nastanejo v faznem portretu sistema (3.1). Pojem cikličnosti je vpeljal Bautin in v [6] rešil problem cikličnosti za kvadratne sisteme oblike (3.1); torej za n = 2. V tem razdelku obravnavamo Bautinovo metodo/izrek, ki je znana kot glavna metoda reševanja problema cikličnosti. Dokaze Bautinovega izreka lahko najdemo npr. v [47, 57, 125, 126]. Podrobneje je metoda opisana v [114, 117]. Kljub navidezni preprostosti problema ci- kličnosti za sisteme (3.1), je odgovorov oz. rešitev relativno malo. Posledično je to bogat vir trenutnih raziskav različnih avtorjev. Po številnih zapletih so različni avtorji uspeli dokazati Dulacov izrek, da je za vsak sistem (3.1) število limitnih ciklov, ki lahko nastanejo (z dodaja- njem nelinearnosti do členov reda n), končno, “samo” za n = 2. Podrobnejše informacije o tem najdete v [114], str. 249. Še danes ni jasno, koliko limitnih ciklov lahko nastane v kvadratnih sistemih (3.1). Bautin je originalno dokazal, da je to število vsaj 3 (glej [114]). Bistvo Bautinove metode je, da se problem cikličnosti za elementarne singularne točke (t. j. izolirane singularne točke z vsaj eno neničelno lastno vrednostjo) lahko preoblikuje na ocenjeva- nje števila izoliranih ničel blizu izhodišča neke analitične funkcije in v končni fazi na algebrski problem iskanja baze polinomskega ideala, ki izhaja iz prej omenjene analitične funkcije, ter ga imenujemo Bautinov ideal. Poleg tega je Bautinov ideal generiran s fokusnimi količinami (glej npr. razdelek 2.3.3). Iz poglavja 1 vemo, da je vsak polinomski ideal končno generiran, toda pogosto je težko najti bazo Bautinovega ideala. Splošne rešitve žal ni in problem cikličnosti je razrešen samo za kvadratne in kubične sisteme (glej [120]). Če je sistemu pripadajoč Bauti- nov ideal korenski, je, kot bomo videli v nadaljevanju, cikličnost v nekaterih primerih relativno enostavno razrešiti, v nasprotnem primeru lahko uporabimo aproksimacijsko metodo, ki jo je za zvezne sisteme predlagal Christopher v [20]. Kot je obravnavano v [93], lahko isto metodo uporabimo tudi za diskretne sisteme (2.130). 131 132 3 Primeri uporabe polinomskih idealov Obravnavajmo analitično funkcijo F : R ×A → R, kjer je α ∈ A ⊂ R n (v nadaljevanju bo to prostor parametrov), ki je v okolici točke z = 0 oblike ∞ ∑ F ( z, α) = fj ( α) zj (3.2) j=1 in velja, da je za vsak j ∈ N0 funkcija fj ( α) za vsak α∗ ∈ A analitična in funkcija (3.2) konvergentna na (majhni) okolici točke ( z, α) = (0 , α∗). Zanimajo nas majhne pozitivne ničle funkcije (3.2) za vsako izbrano vrednost α∗; torej rešitve enačbe F ( z, α∗) = 0 v okolici z = 0 ∈ R. Smiselno je definirati multiplikativnost za vrednost parametra a = α∗. Definicija 3.1.1 (Multiplikativnost) Za izbrano vrednost parametra α = α∗ ∈ A ⊂ R n in dovolj majhno vrednost ε > 0 oznaˇ cimo z N ( α, ε) število izoliranih ničel funkcije (3.2) na intervalu (0 , ε) ⊆ R . Pravimo, da ima točka α∗ glede na prostor parametrov A v oklici točke z = 0 ∈ R multiplikativnost c, če obstajata taki pozitivni konstanti δ 0 in ε 0 , da za vsak 0 < δ < δ 0 in 0 < ε < ε 0 velja max {N ( α, ε) : ∥α − α∗∥ ≤ δ} = c, pri ˇ cemer ∥.∥ označuje evklidsko normo na R n. V zvezi z multiplikativnostjo je mogoče dokazati naslednjo trditev (dokaz najdete v [114, trditev 6.1.2, posledica 6.1.3]). Trditev 3.1.2 Naj bo F : R × R n → R funkcija, ki jo lahko zapišemo v obliki F ( z, α) = f 1 ( α) zj 1 (1 + Ψ1 ( z, α)) + · · · + fs ( α) zjs (1 + Ψ s ( z, α)) , (3.3) kjer so ju ∈ N in za u = 1 , ..., s velja j 1 < · · · < js. Poleg tega naj bodo funkcije f 1 , ..., fs ter Ψ1 , ..., Ψ s za neki pozitivni realni vrednosti δ in ε na območju {( z, α) ; |z| < ε and |α − α 0 | < δ} realne in analitiˇ cne in za vse j = 1 , ..., s naj velja Ψ j (0 , α∗) = 0 . Potem obstajata števili ε 1 in δ 1 , za kateri ima enačba F ( z, α) = 0 za vsako izbrano vrednost α, ki zadoˇ sˇ ca neenaˇ cbi ∥α − α∗∥ < δ 1 , kvečjemu s − 1 izoliranih ničel na intervalu 0 < z < ε 1 . Pri izbrani vrednosti α enačbo F ( z, α) = 0 obravnavamo kot enačbo glede na eno realno spremenljivko z. Posledica 3.1.3 ˇ Ce koeficienti funkcije F iz enaˇ cbe (3.2) zadoˇ sˇ cajo pogojem f 0 ( α∗) = · · · = fm ( α∗) = 0 , fm+1 ( α∗) ̸= 0 , je multiplikativnost funkcije F pri vrednosti parametra α∗ kveˇ cjemu m. Dokaz. Ker v okolici točke α∗ velja fm+1 ( α∗) ̸= 0, lahko (3.2) zapišemo v obliki m ∑ F ( z, α) = fj ( α) zj + fm+1 ( α) zm+1 (1 + Ψ ( z, α)) j=1 in uporabimo trditev 3.1.2. Z BI označimo bazo ideala I ⊆ R [ α 1 , . . . , αm] in naj bo BI = {g 1 , g 2 , . . . , gs} . Tedaj za vsak g ∈ I = ⟨g 1 , g 2 , . . . , gs⟩ obstajajo polinomi h 1 , . . . , hs ∈ R [ α 1 , . . . , αm], da velja g = h 1 g 1 + h 2 g 2 + · · · + hsgs. 3.2 Zvezni sistemi 133 Trditev 3.1.4 Naj bo F funkcija oblike (3.2), ki je za |z| < ε in za α ∈ N δ ( α∗) konvergentna. ˇ Ce je BI = {fk , f , . . . , f } minimalna baza ideala I = ⟨f 1 k 2 ks 1 , f 2 , . . . , fk, . . .⟩, kjer fi izhahajo iz enaˇ cbe (3.2), obstajata 0 < ε < ε 0 in 0 < δ < δ 0 , pri katerih je število pozitivnih ničel enačbe ∞ ∑ F ( z, α) = fj ( α) zj = 0 j=1 v okolici toˇ cke z = 0 za vse α ∈ N δ ( α∗) manjše od s. 0 3.2 Zvezni sistemi V tem razdelku se najprej seznanimo z enim od pristopov za reševanje problema cikličnosti za realne dvorazsežne polinomske sisteme. Pristop temelji na izračunu fokusnih količin in iskanju minimalne baze Bautinovega ideala, s katero smo se seznanili v razdelku 2.2.7. Če želimo rešiti problem cikličnosti, najprej rešimo problem centra (poiščemo fokusne količine), nato pa se lotimo povsem algebraičnega problema (iskanja baze ideala z uporabo teorije iz poglavja 1). V prvem podrazdelku se seznanimo s teorijo, ki povezuje fokusne količine sistema z zgornjo mejo za cikličnost. Celoten pristop, ki ga tukaj opišemo, je povzet po [114]. V naslednjih dveh podrazdelkih rešimo problem centra za dve družini dvorazsežnih polinomskih sistemov NDE. Družina kubičnih sistemov, za katero bomo najprej poiskali pogoje za center v izhodišču, je bila obravnavana v [45], kjer so bili izračuni centralne ranoterosti izhodišče za nadaljnjo obravnavo cikličnosti tega sistema. V drugem podrazdelku na podlagi pridobljenih rezultatov za problem centra družine kubičnih sistemov pridobimo tudi zgornjo mejo za cikličnost s pomočjo rezultatov, ki so izpeljani v prvem podrazdelku. Prav tako obravnavamo cikličnost vsake komponente centralne raznoterosti in na ta način pokažemo, da znotraj obravnavane družine obstajajo sistemi s centrom v izhodišču, iz katerega bifurcira natanko toliko limitnih ciklov, kot je bilo predhodno dokazano, da je zgornja meja za cikličnost sistema. Pri tem si pomagamo z naslednjim rezultatom [20, izrek 2.1]. Izrek 3.2.1 Naj bo α ∈ A točka na centralni raznoterosti sistema (2.129) in naj ima prvih k Ljapunovih koliˇ cin L ( i) ; i = 1 , . . . , k neodvisne linearne dele. Tedaj α leˇ zi na komponenti centralne mnogoterosti s sorazseˇ znostjo vsaj k, in obstajajo bifurkacije, ki glede na parameter α iz centra porodijo k − 1 limitnih ciklov. ˇ Ce poleg tega vemo, da α leˇ zi na komponenti s sorazseˇ znostjo k, je α gladka toˇ cka raznoterosti in cikliˇ cnost glede na parameter α iz centra je natanko k − 1 . V slednjem primeru je k − 1 tudi cikličnost generične točke na tej komponenti centralne raznoterosti. Prav tako bomo ta rezultat uporabili v tretjem razdelku tega poglavja, kjer ga posplošimo na preslikave (2.130). V obeh primerih bomo z njegovo pomočjo cikličnost komponent centralne raznoterosti povezali z njihovo razsežnostjo. Tako bomo uporabili teorijo o izračunu razsežnosti raznoterosti (glej poglavje 1) in pridobili natančno vrednost za cikličnost nekaterih sistemov, ki imajo center v izhodišcu. V tretjem podrazdelku rešimo še problem centra za dvorazsežno družino sistemov četrte stopnje, ki je bila prvič obravnavana v [43] in za katero so bile fokusne količine izračunane s pomočjo modularne aritmetike opisane v razdelku 1.5. 134 3 Primeri uporabe polinomskih idealov V zadnjem podrazdelku si bomo na kratko pogledali trirazsežno družino kvadratnih sistemov NDE, za katero poiščemo pogoje za nastop centra na centralni mnogoterosti. Nato za vsak sistem s centrom poiščemo enačbo centralne mnogoterosti in s pomočjo le-te reduciramo sistem na ustrezen dvorazsežen sistem. 3.2.1 Fokusne koliˇ cine in zgornja meja za cikliˇ cnost Kot smo že omenili v razdelku 2.2.3, je pridobitev Ljapunovih koeficientov (glej definicijo 2.2.22) z računskega vidika zahteven problem. Ker tako Ljapunovi koeficienti, kot tudi fokusne količine, katerih izračun je lažji, določajo sisteme s centrom znotraj družine (2.129), predvidevamo, da obstaja povezava med njimi. Ta povezava nam omogoča, da obravnavamo problem cikličnosti s pomočjo fokusnih količin. Ključ do povezave množice Ljapunovih koeficientov, ki izhajajo iz originalnega sistema (2.129), in množice fokusnih količin, ki izhajajo iz kompleksifikacije sistema, je ta, da delamo na invariantni ravnini x = ¯ x v C2, ki vsebuje kopijo faznega portreta realnega sistema. Problem, ki se pri tem pojavi in, katerega bomo tudi izpostavili, je, da medtem ko fokusne količine izhajajo iz kompleksifikacije sistema (2.129), perturbacije nastopijo znotraj večje družine (2.128). V (2.129) in (2.128) naj bosta n ∑ n ∑ P ( u, v) = Aj,kujvk in Q( u, v) = Bj,kujvk. j+ k≥ 2 j+ k≥ 2 Z ( A, B) označimo množico parametrov Aj,k in Bj,k sistema (2.129) in z E( A, B) prostor, ki je povezan s parametri. Podobno z ( λ, ( A, B)) označimo množico parametrov λ, Aj,k in Bj,k sistema (2.128) in z E( λ, ( A, B)) ustrezen prostor parametrov. Če sledimo postopku kompleksifikacije, ki je opisan v podrazdelku 2.2.3, najprej v sistem (2.128) vpeljemo kompleksno spremenljivko x = u + iv in dobimo enačbo N ∑ ˙ x = λx + i( x − ajkxjxk) . (3.4) j+ k=2 Enačba (3.4) je kompleksna oblika realnega sistema (2.128). K tej enačbi dodamo njeno konju- girano enačbo in dobimo N ∑ N ∑ ˙ x = λx + ix − ajkxjxk, ˙ x = λx − ix + ajkxkxj. j+ k=2 j+ k=2 Zamenjamo x z neodvisno spremenljivko y in vse kompleksne koeficiente ajk z neodvisnimi kompleksnimi koeficienti bkj in dobimo N ∑ ˙ x = λx + i( x − ajkxjyk) , j+ k=2 (3.5) N ∑ ˙ y = λy − i( y − bkjxkyj) . j+ k=2 3.2 Zvezni sistemi 135 Če v sistemu (3.5) določimo λ = 0, dobimo kompleksifikacijo sistema (2.129). Ker koeficienti ( a, b) kompleksifikacije zadoščajo enačbi b = ¯ a in je gkk( a, ¯ a) ∈ R za vsak a in ker so Re ajk in Im ajk polinomi z racionalnimi koeficienti v spremenljivkah koeficientov ( A, B) originalnega sistema, lahko s spremembo koordinat ajk = Ajk + iBjk in bkj = Ajk − iBjk pridobimo fokusne količine ustreznega realnega sistema, ki so polinomi v spremenljivkah ( A, B) z racionalnimi koeficienti in ki jih označimo z g R : kk g R kk ( A, B) = gkk ( a( A, B) , a( A, B)) . (3.6) Za dokaz naslednjega izreka glej [114, izrek 6.2.3]. Izrek 3.2.2 Naj bodo ηj Ljapunovi koeficienti, definirani z (2.39) sistema (2.128) in g R naj kk bodo fokusne koliˇ cine realnega sistema (2.129) , definirane s (3.6) . Tedaj velja: (i) η 1 = η 2 = 0 ; (ii) η 3 = πg R ; 11 (iii) za k ∈ N , k ≥ 2 , η 2 k ∈ ⟨g R , . . . , g R ⟩ in η ∈ ⟨g R , . . . , g R ⟩ v R[ A, B] . 11 k− 1 ,k− 1 2 k+1 − πg R kk 11 k− 1 ,k− 1 Zarodek analitiˇ cne funkcije (angl. germ of analytic function) v točki θ∗ ∈ kn ( k je R ali C) je ekvivalenčni razred analitičnih funkcij glede na relacijo “f je ekvivalentno g”, če obstaja okolica točke θ∗, na kateri f in g sovpadata. Z Gθ∗ označimo kolobar analitičnih zarodkov funkcij odvisnih od θ v točki θ∗ ∈ kn. Direktna posledica izreka 3.2.2 je enakost idealov ⟨g R kk : k ∈ N ⟩ = ⟨ηk : k ∈ N ⟩ = ⟨η 2 k+1 : k ∈ N ⟩ v R[ A, B] in enakost ustreznih idealov v kolobarju G( A∗,B∗). Od tod sledi naslednji rezultat [114, posledica 6.2.5]. Izrek 3.2.3 Naj bodo ηk Ljapunovi koeficienti singularnosti sistema (2.129) v izhodišču, gkk fo- kusne koliˇ cine kompleksifikacije sistema (2.129) in g R naj bodo fokusne koliˇ cine realnega sistema kk (2.129) , definirane s (3.6) . Predpostavimo, da sta {ηk , . . . , η } in {g , . . . , g } minimalni 1 km j 1 ,j 1 jn,jn bazi ideala ⟨η 2 k+1 : k ∈ N ⟩ = ⟨gkk : k ∈ N ⟩ ⊂ G( A∗,B∗) glede na urejeni množici {η 3 , η 5 , . . .} in {g 11 , g 22 , . . .}. Tedaj je m = n in za g = 1 , 2 , . . . , m je kq = 2 jq + 1 . Izrek 3.2.3 poveže Ljapunove koeficiente sistema (2.129) s fokusnimi količinami ustrezne kom- pleksifikacije sistema (2.129). Bifurkacije, ki povzročijo nastanek limitnih ciklov, nastopijo v večji družini (2.128). Za obravnavo problema cikličnosti s pomočjo fokusnih količin, moramo pogledati povezavo med minimalno bazo ideala, generiranega z Ljapunovimi koeficienti družine (2.129), in minimalno bazo ideala, generiranega z Ljapunovimi koeficienti družine (2.128). V ta namen z ηk označimo Ljapunove koeficiente, ki so odvisni le od parametrov ( A, B) in z ηk( λ) ti- ste, ki so odvisni od parametrov ( λ, ( A, B)). Seveda velja ηk(0 , ( A, B)) = ηk( A, B). Ker funkcije ηk( λ) niso polinomi, delamo v kolobarju G(0 , ( A∗,B∗)). Naslednji rezultat je pomožna trditev 6.2.8 v [114]. Izrek 3.2.4 Fiksiramo druˇ zini (2.129) in (2.128) , ki imata enaka nelinearna dela. Naj bodo {ηk( λ) : k ∈ N } Ljapunovi koeficienti družine (2.128) in {ηk : k ∈ N } Ljapunovi koeficienti druˇ zine (2.129) . Fiksiramo ( A∗, B∗) in predpostavimo, da je minimalna baza ideala ⟨η 1 , η 2 , . . .⟩ ⊂ G( A∗,B∗) enaka {ηk , . . . , η }, kjer je k , . . . , η } minimalna 1 km 1 < · · · < km. Tedaj je {η 1( λ) , ηk 1 km baza ideala ⟨η 1( λ) , η 2( λ) , . . .⟩ ⊂ G(0 , ( A∗,B∗)) . 136 3 Primeri uporabe polinomskih idealov Naslednji izrek priskrbi orodje za določanje zgornje meje cikličnosti sistemov oblike (2.128). Izrek 3.2.5 Recimo, da za ( A∗, B∗) ∈ E( A, B) minimalna baza M ideala J = ⟨g R , g R , . . .⟩ v 11 22 G( A∗,B∗) za ustrezni sistem oblike (2.129) sestoji iz m polinomov. Potem je cikličnost izhodišča sistema oblike (2.129) glede na perturbacijo v (2.128) kveˇ cjemu m. Dokaz. Cikličnost izhodišča sistema znotraj družine (2.129) glede na perturbacijo v družini (2.128) je enaka maksimalnemu številu pozitivnih ničel (multiplikativnosti) funkcije razlike (2.39). Po predpostavki izreka 3.2.5 in izreku 3.2.3 minimalna baza ideala ⟨η 3 , η 5 , . . .⟩ ⊂ G( A∗,B∗) vsebuje m elementov in zato ima po izreku 3.2.4 minimalna baza ideala ⟨η 1( λ) , η 2( λ) , . . .⟩ ⊂ G( A∗,B∗) m + 1 elementov. Tako je po trditvi 3.1.4 maksimalno število pozitivnih ničel funkcije D( r 0) enako m. Da lahko uporabimo izrek 3.2.5, potrebujemo računsko metodo za določitev minimalne baze ideala ⟨g R : k ∈ N ⟩, v kateri je eksplicitno podanih samo prvih nekaj generatorjev. Če je kk izhodišče šibki fokus reda k, je za sisteme (2.129) cikličnost kvečjemu k − 1, za sisteme (2.128) pa kvečjemu k. Zato je določitev zgornje meje za cikličnost izhodišča relevantna samo, ko je izhodišče center. Zato predpostavimo, da je problem centra rešen in poznamo najmanjši K, za katerega je V( B) = V( BK). Naslednji izrek pove, kako je koncept minimalnosti Bautinovega ideala povezan s cikličnostjo centra v izhodišču [76, 114]. Izrek 3.2.6 Predpostavimo, da za sistem (3.5) z λ = 0 veljata naslednja dva pogoja: (a) V( B) = V( BK) , (b) BK je korenski ideal. Tedaj je cikliˇ cnost izhodiˇ sˇ ca sistema (2.129) glede na perturbacije v sistemu (2.128) kveˇ cjemu enaka ˇ stevnosti M( B K) , t. j. Bautinovi globini (glej definicijo 2.2.56) ideala BK. Dokaz. Po predpostavki ( a) so polinomi gkk ničelni v vsaki točki raznoterosti V( BK) za vsak k ∈ N in zato je gkk ∈ I(V( BK)). Po krepkem Hilbertovem izreku o ničlah (izrek 1.4.6) pa √ je I(V( BK)) = BK, kar je po predpostavki ( b) enako BK in je zato B ⊂ BK, odkoder sledi B = BK. Potem pa je minimalna baza ideala B enaka {gk , . . . , g }, kar je minimalna baza 1 k 1 kmkm ideala BK, ki jo lahko izračunamo. Tako za vsak k ∈ N obstajajo funkcije f 1 ,k, . . . , fm,k ∈ C[ a, b], da je gkk = f 1 ,kgk + · · · + f . 1 k 1 m,k gkmkm Ker pa je gkk( a, ¯ a) = g R ( A( a, ¯ a) , B( a, ¯ a)) ∈ R za vsak k ∈ N, pomeni, da je kk g R kk = ( Ref 1 ,k ) g R k + · · · + ( Ref . 1 k 1 m,k ) g R kmkm Tako je za vsak ( A∗, B∗) ∈ E( A, B) množica S := {g R , . . . , g R } baza ideala ⟨g R : k ∈ N ⟩ ⊂ k 1 k 1 kmkm kk G( A∗,B∗). Očitno je, da četudi S ne bi bila minimalna baza ideala ⟨g R : k ∈ N ⟩ v G kk ( A∗,B∗) (ni nujno, da vsak gk privede do g R = 0), vsebuje minimalno bazo , ki ima zato lahko največ q kq kqkq m elementov. Zaključek izreka sledi iz izreka 3.2.5. Pogoja ( a) in ( b) izreka 3.2.6 torej pomenita, da je B = BK. Da preverimo pogoj ( a), moramo rešiti problem centra za ustrezni sistem. 3.2 Zvezni sistemi 137 √ Da preverimo pogoj ( b) izreka 3.2.6, izračunamo BK in nato še reducirani Gröbnerjevi bazi √ idealov BK in BK ter preverimo njuno enakost (glej poglavje 1). Druga možnost pa je, da v Singularju izračunamo primarno dekompozicijo ideala BK. Vemo, da takšna dekompozicija vedno obstaja (glej Lasker-Noetherjev izrek - izrek 1.5.16 v poglavju 1) in v razdelku 1.6 smo videli, da je rezultat izračuna v Singularju podan kot seznam parov idealov, kjer je vsak ideal določen z generatorji. Prvi ideal Qj v vsakem paru je primarni ideal v primarni dekompoziciji ideala BK; drugi ideal Pj v vsakem paru je pridruženi praideal prvega ideala, t. j. koren prvega √ √ ideala, Pj = Qj. Če je za vsak j drugi ideal v vsakem paru enak prvemu: Qj = Qj = Pj, je vsak Qj praideal in zato je BK korenski ideal. Vedno obstaja takšen K, da je prvi pogoj izreka 3.2.6 izpolnjen, za drugi pogoj pa to ni vedno res. V nekaterih primerih se je možno izogniti težavam, ki nastopijo zaradi nekorenskosti ideala BK tako, da izračune izvajamo v drugem kolobarju, v katerem slika Bautinovega ideala postane korenski ideal ali ima preprostejšo strukturo (glej [45, 74, 76] za več podrobnosti). √ Če je Bautinov ideal nekorenski in ima primarno dekompozicijo oblike ∩s Q Q i=1 i, kjer je i = √ Qi za 1 ≤ i ≤ k, medtem ko je Qi ̸= Qi za i = k + 1 , . . . , s, si lahko pomagamo s sledečo trditvijo. Trditev 3.2.7 Naj bo I = ⟨g 1 , . . . , gt⟩ ideal kolobarja C[ x 1 , . . . , xn] s primarno dekompozicijo I = P 1 ∩ · · · ∩ Pk ∩ Q 1 ∩ · · · ∩ Qm, √ √ kjer so Pi in Qi primarne komponente, za katere velja Pi = Pi (za i = 1 , . . . , k ) in Qj ̸= Qj (za j = 1 , . . . , m). Naj bo Q = Q 1 ∩ · · · ∩ Qm in naj bo g polinom, ki je na V ( I) ničelen. Naj bo x∗ = ( x∗, . . . , x∗ 1 n) poljubna toˇ cka raznoterosti V ( I) \V ( Q) . Potem na majhni okolici točke x∗ vedno velja g = f 1 g 1 + · · · + ftgt, kjer so f 1 , . . . , ft potenčne vrste, ki so v točki x∗ konvergentne. Dokaz. Po predpostavki je √ √ √ I = P 1 ∩ · · · ∩ Pk ∩ Q 1 ∩ · · · ∩ Qm. √ √ Naj bo g ∈ I. Potem je g ∈ P = P 1 ∩ · · · ∩ Pk in g ∈ Q. Za vsak polinom q ∈ Q je qg ∈ P in qg ∈ Q, zato je qg ∈ I. Torej obstajajo polinomi b f 1 , . . . , b ft ∈ C[ x 1 , . . . , xn], da je qg = b f 1 g 1 + · · · + b ftgt. (3.7) Ker je x∗ = ( x∗, . . . , x∗ 1 n) ∈ V ( I ) \ V ( Q), obstaja q ∈ Q, za katerega je q( x∗) ̸= 0. Ker je tak polinom q v lokalnem kolobarju (t. j. ko gledamo Taylorjeve približke) v točki x∗ obrnljiv, lahko pišemo b f b 1 ft g = g 1 + · · · + gt. (3.8) q q b Očitno lahko za vsak ℓ ∈ { 1 , . . . , t} kofaktorje fℓ izrazimo kot (konvergentne) potenčne vrste v q b okolici x∗ (t. j. f fℓ ℓ = ), kar zaključi dokaz. q 138 3 Primeri uporabe polinomskih idealov 3.2.2 Problem centra in cikliˇ cnost kubiˇ cnega sistema Obravnavamo kompleksni sistem ˙ x = x(1 − a 10 x − a 20 x 2 − a 11 xy − a 02 y 2) , (3.9) ˙ y = −y(1 − b 01 y − b 02 y 2 − b 11 xy − b 20 x 2) . Zgornji sistem je bil obravnavan v [45], kjer sta avtorja pridobila rešitev problemov centra in cikličnosti. Dobljene rezultate navedemo spodaj. Naslednji izrek poda pogoje za center v izhodišču sistema (3.9). Izrek 3.2.8 Naj bo V( B) raznoterost Butinovega ideala sistema (3.9) in naj bo B 4 = ⟨g 11 , g 22 , g 33 , g 44 ⟩. Tedaj je V( B) = V( B 4) in V( B) sestoji iz sledečih petih ireducibilnih komponent: V( B) = V( J 1) ∪ V( J 2) ∪ V( J 3) ∪ V( J 4) ∪ V( J 5) , kjer je J 1 = ⟨a 2 − 10 b 02 − a 20 b 2 01 , a 02 a 20 − b 20 b 02 , a 02 a 2 10 b 20 b 201 , a 11 − b 11 ⟩ J 2 = ⟨a 20 + b 20 , a 11 − b 11 , a 02 + b 02 ⟩ J 3 = ⟨a 11 , a 02 , b 02 , b 11 ⟩ J 4 = ⟨a 20 , a 11 , b 11 , b 20 ⟩ J 5 = ⟨a 11 , a 02 , b 11 , b 20 ⟩. Dokaz. Z uporabo pristopa, opisanega v razdelku 2.2.4 izračunamo prvih sedem fokusnih količin g 11 , . . . , g 77 sistema (3.9). Prav tako preverimo izračune s pomočjo kode v programu Mathematica, ki je podana v dodatku B (glej tudi [114, dodatek, str. 308]). Prve štiri fokusne količine sistema (3.9) so g 11 = b 11 − a 11 , g 22 = − a 02 a 20 + 6 a 10 a 11 b 01 − 6 a 10 b 01 b 11 + b 02 b 20 , g 33 = − 15 a 02 a 2 − 10 a 11 − 7 a 02 a 11 a 20 + 24 a 10 a 2 11 b 01 + 20 a 02 a 10 a 20 b 01 − 108 a 2 10 a 11 b 2 01 4 a 11 a 20 b 201 − 3 a 210 a 11 b 02 + 4 a 11 a 20 b 02 + 16 a 02 a 210 b 11 + 5 a 02 a 20 b 11 + 108 a 210 b 201 b 11 + 3 a 20 b 201 b 11 + 4 a 210 b 02 b 11 − 4 a 20 b 02 b 11 − 24 a 10 b 01 b 211 + 8 a 02 a 11 b 20 − 16 a 11 b 201 b 20 − 5 a 11 b 02 b 20 − 20 a 10 b 01 b 02 b 20 − 8 a 02 b 11 b 20 + 15 b 201 b 11 b 20 + 7 b 02 b 11 b 20 , g 44 = − 1944 a 02 a 2 − 10 a 2 11 150 a 202 a 210 a 20 − 243 a 02 a 211 a 20 − 162 a 202 a 220 + 7128 a 02 a 310 a 11 b 01 + 4320 a 10 a 3 − 11 b 01 + 3832 a 02 a 10 a 11 a 20 b 01 − 10800 a 2 10 a 2 11 b 2 01 4752 a 02 a 210 a 20 b 201 (3.10) 3.2 Zvezni sistemi 139 − 1584 a 2 − 11 a 20 b 2 01 270 a 02 a 220 b 201 + 26640 a 310 a 11 b 301 + 1668 a 10 a 11 a 20 b 301 +1296 a 210 a 211 b 02 − 258 a 02 a 210 a 20 b 02 + 135 a 211 a 20 b 02 + 108 a 02 a 220 b 02 +1368 a 310 a 11 b 01 b 02 − 1412 a 10 a 11 a 20 b 01 b 02 + 2574 a 02 a 210 a 11 b 11 + 90 a 02 a 11 a 20 b 11 − 7428 a 02 a 310 b 01 b 11 − 10800 a 10 a 211 b 01 b 11 − 2068 a 02 a 10 a 20 b 01 b 11 + 2826 a 11 a 20 b 201 b 11 − 26640 a 310 b 301 b 11 − 1368 a 10 a 20 b 301 b 11 − 2826 a 210 a 11 b 02 b 11 − 1668 a 310 b 01 b 02 b 11 +1412 a 10 a 20 b 01 b 02 b 11 − 576 a 02 a 210 b 211 + 117 a 02 a 20 b 211 + 10800 a 10 a 11 b 01 b 211 +10800 a 2 − − 10 b 2 01 b 2 11 1296 a 20 b 201 b 211 + 1584 a 210 b 02 b 211 135 a 20 b 02 b 211 − 4320 a 10 b 01 b 311 + 12 a 202 a 210 b 20 + 225 a 02 a 211 b 20 + 180 a 202 a 20 b 20 − 1328 a 02 a 10 a 11 b 01 b 20 + 576 a 211 b 201 b 20 − 174 a 02 a 20 b 201 b 20 + 7428 a 10 a 11 b 301 b 20 +174 a 02 a 210 b 02 b 20 − 117 a 211 b 02 b 20 + 2068 a 10 a 11 b 01 b 02 b 20 + 4752 a 210 b 201 b 02 b 20 +258 a 20 b 201 b 02 b 20 + 270 a 210 b 202 b 20 − 108 a 20 b 202 b 20 + 1328 a 02 a 10 b 01 b 11 b 20 − 2574 a 11 b 201 b 11 b 20 − 7128 a 10 b 301 b 11 b 20 − 90 a 11 b 02 b 11 b 20 − 3832 a 10 b 01 b 02 b 11 b 20 − 225 a 02 b 211 b 20 + 1944 b 201 b 211 b 20 + 243 b 02 b 211 b 20 − 12 a 02 b 201 b 220 − 180 a 02 b 02 b 220 + 150 b 201 b 02 b 220 + 162 b 202 b 220 . Reduciramo g 55, g 66 in g 77 po modulu Gröbnerjeve baze ideala B 4 = ⟨g 11 , g 22 , g 33 , g 44 ⟩ in dobimo g 55 , g 66 , g 77 ≡ 0 mod B 4 . Sedaj preverimo pripadnost korenu za polinom g 44 in dobimo √ g 44 / ∈ ⟨g 11 , g 22 , g 33 ⟩. √ √ √ √ √ To pomeni, da je B 1 $ B 2 $ B 3 $ B 4 = B 5 = · · · . Zato pričakujemo, da je V( B 4) = V( B). Inkluzija V( B) ⊂ V( B 4) je očitna. Obratno inkluzijo preverimo tako, da poiščemo ireducibilno dekompozijo raznoterosti V( B 4) in nato preverimo, če poljubna točka vsake komponente ireducibilne dekompozicije pripada sistemom, ki imajo center v izhodišču. Za izračun ireducibilne dekompozicije raznoterosti V( B 4) izvedemo izračune z rutino minAssGTZ v Singularju (glej razdelek 1.6) glede na stopenjsko inverzno leksikografsko urejenost z a 02 > a 10 > a 11 > a 20 > b 02 > b 11 > b 01 > b 20. Kot rezultat dobimo komponente V( Ji), i = 1 , . . . , 5, ki so navedene v izreku 3.2.8. Sedaj dokažimo, da so pogoji vsake komponente zadostni za nastop centra v izhodišču sistema (3.9) oz. po izreku 2.2.27, da ima poljuben sistem (3.9), ki zadošča pogojem poljubne komponente V( Ji), i = 1 , . . . , 5, formalni prvi integral oblike (2.45). Komponenta V( J 1) . Pokažimo, da je J 1 = Isym. Z uporabo algoritma, ki smo ga navedli v razdelku 2.2.6 (glej tabelo 2.1), za izračun generatorjev ideala I = Isym izračunamo Gröbnerjevo bazo G ideala H, definiranega z (2.73), ki je v našem primeru enak H = ⟨ 1 − wγ 2 , a 02 − t 1 , a 10 − t 2 , a 11 − t 3 , a 20 − t 4 , γ 2 b 20 − t 1 , b 01 − γt 2 , b 11 − t 3 , b 02 − γ 2 t 4 ⟩. Nato z dobljene Gröbnerjeve baze eliminiramo polinome, ki so odvisni od spremenljivk w, γ, t 1 , t 2 , t 3 , t 4, kar pomeni, da izračunamo šesti eliminacijski ideal glede na urejenost spremenljivk {w, γ, t 1 , t 2 , t 3 , t 4 } ≻ {a 02 , a 10 , a 11 , a 20 , b 02 , b 11 , b 01 , b 20 }. Na ta način dobimo Gröbnerjevo bazo GH ideala H ∩ C[ a, b], ki je enaka GH = {a 11 − b 11 , a 02 a 20 − b 02 b 20 , a 2 } 10 b 02 − a 20 b 2 01 , a 2 10 a 02 − b 20 b 2 01 . 140 3 Primeri uporabe polinomskih idealov Zato je zaprtje Zariskega vseh časovno reverzibilnih sistemov znotraj družine (3.9) raznoterost ideala Isym = ⟨a 11 − b 11 , a 02 a 20 − b 02 b 20 , a 2 ⟩ 10 b 02 − a 20 b 2 01 , a 2 10 a 02 − b 20 b 2 01 . Vidimo, da je V( J 1) raznoterost ideala Sibirskega za sistem (3.9) in zato ima po izreku 2.2.45 vsak sistem (3.9) s parametri iz V( J 1) center v izhodišču. Komponenta V( J 2). Sistem (3.9), ki ustreza komponenti V( J 2), je oblike ˙ x = x(1 − a 10 x + b 20 x 2 − b 11 xy + b 02 y 2) , (3.11) ˙ y = −y(1 − b 20 x 2 − b 01 y − b 11 xy − b 02 y 2) . Za ta sistem najdemo dva algebraična parcialna integrala l 1 = x in l 2 = y, s pomočjo katerih pridobimo Darbouxjev integrirajoči množitelj µ = ( xy) − 2 in iz njega prvi integral 1 Ψ( x, y) = (1 − a 10 x − b 01 y + b 20 x 2 − b 02 y 2) + b 11 log( xy) . xy Vidimo, da zgornji prvi integral ni analitična funkcija v okolici izhodišča, zato za dokaz obstoja prvega integrala oblike (2.45) uporabimo drugo metodo, in sicer metodo napihovanja. Upora- bimo transformacijo x ( x, y) → ( z, y) = ( , y) , (3.12) y ki sistem (3.11) spremeni v ˙ z = 2 z − b 01 yz − a 10 yz 2 − 2 b 11 y 2 z 2 = F( z, y) (3.13) ˙ y = − y + b 01 y 2 + b 02 y 3 + b 11 y 3 z + b 20 y 3 z 2 = G( z, y) . Iščemo prvi integral oblike ∞ ∑ H( z, y) = fk( z) yk. (3.14) k=2 Ko izračunamo ˙ H = ( ∂H/∂z) F +( ∂H/∂y) G in koeficient vsake stopnje spremenljivke y enačimo z nič, dobimo naslednjo rekurzivno diferencialno enačbo za fk: ( k − 2)( b 02 + b 11 z + b 20 z 2) fk− 2 + ( k − 1) b 01 fk− 1 −kfk − 2 b 11 z 2 f′ − k− 2 z( b 01 + a 10 z) f ′k− 1 + 2 zf′k = 0 . Za k = 2 , . . . , 8 dobimo f 2 = z, f 3 = z( b 01 + a 10 z), f 4 = z( b 2 + b − b 01 02 + ( a 2 10 20) z 2), f 5 = zP 3, kjer je P 3 polinom stopnje 3, f 6 = zQ 4( z), kjer je Q 4( z) polinom stopnje 4, ki ne vsebuje člena z monomom z 2, f 7 = zR 5( z), kjer je R 5 polinom stopnje 5, f 8 = zS 6( z), kjer je S 6( z) polinom stopnje 6, ki ne vsebuje člena z monomom z 3. Zato predpostavimo, da je za vsak lihi k polinom fk oblike fk( z) = z( C 0 + C 1 z + C 2 z 2 + · · · + Ck− 2 zk− 2) in za vsak sodi k je polinom fk oblike fk = zQk− 2, kjer je Qk− 2 neki polinom stopnje največ k k − 2 brez člena z monomom z − 1 2 , t. j. k k f − 2 k ( z) = z( C 0 + C 1 z + C 2 z 2 + · · · + C k − z 2 + C z 2 + · · · + C 2 k k− 2 zk− 2) . 2 2 3.2 Zvezni sistemi 141 Z uporabo indukcije dokažemo, da za vsak k dobimo polinom fk. Recimo, da domneva velja za k = 1 , . . . , n − 1 in izračunamo fk za k = n tako, da rešimo diferencialno enačbo [ 1 f ′ − n n fn = (2 − n)( b 02 + b 11 z + b 20 z 2) fn− 2 − ( n − 1) b 01 fn− 1 2 z 2 z ] (3.15) + 2 b 11 z 2 f ′n− 2 + z( b 01 + a 10 z) f′n− 1 . Naj bo najprej n lih in želimo dokazati, da je fn( z) = zQn− 2, kjer je Qn− 2 polinom stopnje največ n − 2. Če je n lih, je tudi n − 2 lih, n − 1 pa je sodo število. Izraz na desni strani diferencialne enačbe (3.15) je polinom stopnje kvečjemu n − 2 in ta izraz označimo z Rn− 2( z). Diferencialna enačba (3.15) postane f ′ − n n f 2 z n = Rn− 2( z). Vemo, da je splošna rešitev linearne diferencialne enačbe oblike f ′( z) + g( z) f ( z) = h( z) (3.16) enaka ∫ ( ∫ ∫ ) f ( z) = e− g( z) dz C + e g( z) dzh( z) dz . (3.17) V našem primeru je g( z) = − n in h( z) = R 2 z n− 2( z) = A 0 + A 1 z + · · · + An− 2 zn− 2. Zato je rešitev ∫ [ ∫ ∫ ] n n f dz dz n( z) = e 2 z C + e− 2 z ( A 0 + A 1 z + · · · + An− 2 zn− 2) dz [ ∫ ] n = e ln z ln z 2 C + e− n 2 ( A 0 + A 1 z + · · · + An− 2 zn− 2) dz ∫ n n = Cz 2 + z 2 z− n 2 ( A 0 + A 1 z + · · · + An− 2 zn− 2) dz ∫ n n n = Cz − 2 2 + z 2 ( A 0 z− n 2 + A 1 z 1 − n 2 + · · · + An− 2 z 2 ) dz n n n = Cz − 1 2 + z 2 ( ˜ A 0 z 1 − n 2 + ˜ A 1 z 2 − n 2 + · · · + ˜ An− 2 z 2 ) n = Cz 2 + ˜ A 0 z + ˜ A 1 z 2 + · · · + ˜ An− 2 zn− 1) n n = Cz 2 + z( ˜ A 0 + ˜ A 1 z + · · · + ˜ An− 2 zn− 2) = Cz 2 + zQn− 2( z) . Za C = 0 dobimo fn( z) = zQn− 2( z), kot smo predpostavili. Opazimo, da se za lihe n v izračunih ne pojavi logaritemski člen, kar pa ne moremo zagotoviti v primeru, ko je n sodo število. Zato je v tem primeru potrebna podrobnejša analiza. Naj bo torej n sodo število. Tedaj je tudi n − 2 sodo in n − 1 je liho število; funkcije fn− 2, f′ , f so oblike n− 2 n− 1, in f ′n− 1 n n f − 3 − 1 n− 2( z) = z ( C 0 + C 1 z + C 2 z 2 + · · · + C n − 3 z 2 + C n − 1 z 2 2 2 + · · · + Cn− 4 zn− 4) , n n n n f ′ − − 3 − 1 2 2 n− 2( z) = C 0 + 2 C 1 z + 3 C 2 z 2 + · · · + ( 2) C n − + C n − 2 3 z 1 z 2 2 2 + · · · + ( n − 3) Cn− 4 zn− 4 , fn− 1( z) = z( A 0 + A 1 z + A 2 z 2 + · · · + An− 3 zn− 3) , f ′n− 1( z) = A 0 + 2 A 1 z + 3 A 2 z 2 + · · · + ( n − 2) An− 3 zn− 3 , kot smo predpostavili zgoraj. Sedaj te izraze vstavimo v rekurzivno diferencialno enačbo (3.15). Želimo, da pri integriranju te diferencialne enačbe ne nastopi logaritem v funkciji fn( z), in to je 142 3 Primeri uporabe polinomskih idealov n takrat, ko je koeficient pred monomom z 2 enak nič. Z enostavnim izračunom lahko preverimo, da dobimo fn = zQn− 2, ki je oblike n n f − 2 n = z( B 0 + B 1 z + B 2 z 2 + · · · + B n − 2 z 2 + B n z 2 + · · · + Bn− 2 zn− 2) . 2 2 Torej je prvi integral sistema (3.13) enak ∞ ∑ ∞ ∑ H( z, y) = zQk− 2( z) yk = zy 2 + zQk− 2( z) yk k=2 k=3 in prvi integral sistema (3.11) je ∞ x x ∑ x x Ψ( x, y) = H( , y) = ( ) y 2 + · ˜ Qk− 2( ) · yk y y y y k=3 ∞ ∑ x x x = xy + xyk− 1( B 0 + B 1 + B 2( )2 + · · · + Bk− 2( ) k− 2)) y y y k=3 ∞ ∑ = xy + ( B 0 xyk− 1 + B 1 x 2 yk− 2 + B 2 x 3 yk− 3 + · · · + Bk− 2 xk− 1 y) , k=3 kar je formalni prvi integral zahtevane oblike. Komponenta V( J 3). Pokažimo, da ima sistem ˙ x = x(1 − a 10 x − a 20 x 2) = F ( x, y) , ˙ y = −y(1 − b 20 x 2 − b 01 y) = G( x, y) (3.18) center v izhodišču, t. j., da premore prvi integral oblike (2.45). Ekvivalentno lahko pokažemo, da ima ta sistem prvi integral oblike ∞ ∑ Ψ = fk( y) xk, (3.19) k=1 kjer je za k ∈ N fk( y) analitična funkcija v okolici 0. Naj bo ¯ fk− 1 = b 20 yf′ ( y) −( k− 1) a k− 2 10 fk− 1( y). Vidimo, da je ˙ Ψ = ∂Ψ F + ∂Ψ G = 0 natanko tedaj, ko je ∂x ∂y f 1( y) + y( b 01 y− 1) f ′ 1( y) = 0 , (3.20) −a 10 f 1( y)+2 f 2( y) + y( b 01 y− 1) f′ 2( y) = 0 , (3.21) −( k − 2) a 20 fk− 2( y)+ ¯ fk− 1+ kfk( y)+ y( b 01 y− 1) f′k( y) = 0 , (3.22) za k ≥ 3. Predpostavimo, da so fk( y) v (3.20)–(3.22) oblike Pk( y) fk = , for k = 1 , 2 , . . . , (3.23) ( b 01 y − 1) k kjer je Pk( y) polinom iz C[ y] stopnje največ k. To dokažemo z indukcijo. Če integriramo (3.20) in (3.21), dobimo yc 1 y( a 10 + yc 2) f 1( y) = , in f 2( y) = , c 1 , c 2 ∈ C , 1 − b 01 y (1 − b 01 y)2 3.2 Zvezni sistemi 143 kar dokazuje našo domnevo za k = 1 , 2. Postavimo c 1 = 1, c 2 = 0 in predpostavimo, da naša domneva velja za k = 1 , 2 , . . . , j − 1, ter pokažimo, da prav tako velja za k = j. Obravnavamo (3.22) za k = j in opazimo, da je ¯ fj− 1( y) oblike (3.23) s k = j − 1. Zato je za k = j enačba (3.22) ekvivalentna Qj− 1( y) y( b 01 y − 1) f ′j + kfj = , ( b 01 y − 1) j− 1 kjer je Qj− 1( y) ∈ C[ y] stopnje največ j − 1 oz. ekvivalentno y( b 01 y − 1) jf ′j + j( b 01 y − 1) j− 1 fj = Qj− 1( y) . (3.24) Pokazati moramo, da je fj( y) v (3.24) oblike (3.23). Če je P P ′( y)( b j ( y) j 01 y − 1) − jb 01 Pj ( y) fj( y) = , potem je f ′ . ( b j ( y) = 01 y − 1) j ( b 01 y − 1) j+1 Če vstavimo zgornja izraza v (3.24), dobimo yP ′j( y) − jPj( y) = Qj− 1( y) . (3.25) Rešimo diferencialno enačbo (3.25) in dobimo, da je Pj( y) polinom spremenljivke y stopnje največ j, saj je glede na (3.16) in (3.17) ∫ ∫ ∫ j [ − j ] P dy dy Qj− 1( y) j ( y) = e y C + e y dy y [ ∫ a ] 0 + a 1 y + · · · + aj− 1 yj− 1 = yj C + dy yj+1 b 0 b 1 bj− 1 = Cyj + yj( + + · · · + ) yj yj− 1 y = Cyj + bj− 1 yj− 1 + · · · + b 1 y + b 0 . Zato je funkcija fj( y) oblike (3.23), kar dokazuje predpostavko. Lahko se zgodi, da je integral (3.19) samo formalni prvi integral sistema (3.18), kar pa glede na izrek 2.2.27 zadošča za obstoj centra v izhodišču sistema (3.18). Komponenta V( J 4) . Ta primer je podoben prejšnjemu, namreč, če v vsakem generatorju ideala J 3 zamenjamo vsak aij z bji in obratno, vsak bij zamenjamo z aji, dobimo generatorje ideala J 4. Zato vsak postopek, ki proizvede prvi integral sistema, določenega z V( J 3), prav tako proizvede prvi integral sistema, določenega z V( J 4), in sicer tako, da v prvem integralu sistema, ki ustreza pogojem komponente V( J 1 3), izvedemo involucijo akj ↔ bkj . Komponenta V( J 5) . V tem primeru je sistem (3.9) enak ˙ x = x(1 − a 10 x − a 20 x 2) , ˙ y = −y(1 − b 01 y − b 02 y 2) , (3.26) za katerega najdemo naslednje algebraične parcialne integrale: l 1 = x, l 2 = y, l 3 = 1 − b 01 y − b 02 y 2 , l 4 = 1 − a 10 x − a 20 x 2 , 1Podoben argument lahko navedemo pri nekaterih primerih v razdelku 3.2.3, kjer bomo samo zapisali, da dobimo obravnavan primer iz drugega primera z involucijo akj ↔ bkj. 144 3 Primeri uporabe polinomskih idealov in ustrezne kofaktorje k 1 = 1 − a 10 x − a 20 x 2 , k 2 = − 1 + b 01 y + b 02 y 2 k 3 = −y( −b 01 − 2 b 02 y) , k 4 = x( −a 10 − 2 a 20 x) . Lahko konstruiramo inverzni integrirajoči množitelj oblike V = xyl 3 l 4 . Zato ima po lemi 2.2.41( i) sistem (3.26) prvi integral oblike (2.45). Sedaj obravnavamo problem cikličnosti za družino realnih kubičnih sistemov, ki so izraženi v kompleksni obliki kot ˙ x = λx + ix(1 − a 10 x − a 20 x 2 − a 11 xx − a 02 x 2) , (3.27) kjer je x = u + iv. K enačbi (3.27) dodamo njeno kompleksno konjugirano enačbo in obravnavamo x kot novo spremenljivko y, ter aij kot nove parametre bji. Tako dobimo kompleksni sistem ˙ x = λx + ix(1 − a 10 x − a 20 x 2 − a 11 xy − a 02 y 2) , (3.28) ˙ y = λy − iy(1 − b 01 y − b 02 y 2 − b 11 xy − b 20 x 2) . Za pridobitev meje za cikličnost izhodišča realnega sistema (3.27) obravnavamo strukturo Bau- tinovega ideala sistema (3.28) z λ = 0 in njegovo raznoterost. Videli bomo, da bo izrek 3.2.6 po- dal oceno za cikličnost elementarnega centra za skoraj vse točke centralne raznoterosti. Rešitev problema centra za sistem (3.28) z λ = 0 je zapisana v izreku 3.2.8, kjer smo dokazali, da je V( B) = V( B 4). Z uporabo tega rezultata dokažimo naslednji izrek, ki poskrbi za mejo cikličnosti izhodišča sistema (3.27). Izrek 3.2.9 ˇ Ce je a 11 ̸= 0 ali a 20 − ¯ a 02 ̸= 0 , je cikličnost centra v izhodišču sistema (3.27) kveˇ cjemu ˇ stiri. Dokaz. Za dokaz cikličnosti uporabimo izrek 3.2.6. Enakost V( B) = V( B 4) je bila dokazana v izreku 3.2.8 in zato pogoj ( a) izreka 3.2.6 drži. Sedaj preverimo, če je B 4 korenski. Izračunamo √ generatorje ideala B 4 z uporabo ukaza radical v Singularju. Nato izračunamo reducirani √ √ Gröbnerjevi bazi idealov B 4 in B 4. Ideal B 4 je korenski natanko tedaj, ko sta B 4 in B 4 enaka. Izkaže se (to preverimo s pomočjo ukaza reduce v Singularju), da se nekateri elementi korena √ √ B 4 ne reducirajo v nič po modulu Gröbnerjeve baze ideala B 4. Zato B 4 ̸= B 4 in B 4 ni korenski ideal. Torej ne moremo direktno uporabiti izreka 3.2.6. Da bi natančneje videli, kateri del ideala B 4 ni korenski, izračunamo primarno dekompozicijo ideala B 4. Primarno dekompozicijo izračunamo v Singularju s pomočjo rutine primdecGTZ in dobimo B 4 = P 1 ∩ · · · ∩ P 5 ∩ Q, (3.29) kjer so P 1 , . . . , P 5 praideali in Q ni praideal, kar potrjuje, kar smo povedali že zgoraj, da B 4 ni korenski. Rezultat izračunov v Singularju je podan v dodatku B. Opazimo, da je Q v (3.29) √ primarni ideal, za katerega velja Q = ⟨a 11 , b 11 , a 02 + b 02 , a 20 + b 20 ⟩. Tako ima B 4 strukturo iz trditve 3.2.7. V prostoru parametrov E( a, b) (kjer je ( a, b) = ( a 10 , a 20 , a 11 , a 02 , b 20 , b 11 , b 02 , b 01)) je raznoterost V( Q) definirana z enačbami a 11 = b 11 = a 02 + b 02 = a 20 + b 20 = 0 . Presek V( Q) 3.2 Zvezni sistemi 145 s prostorom parametrov E( a) je množica a 20 − ¯ a 02 = a 11 = 0 . Naj bo ( a∗, a∗) točka iz E( a, b), ki ustreza sistemu (3.28). Če je a 11 ̸= 0 ali a 20 − ¯ a 02 ̸= 0, velja ( a∗, a∗) / ∈ V( Q). Zato po trditvi 3.2.7 obstajajo takšne funkcije fj,k, da v okolici ( a∗, a∗) z a 11 ̸= 0 ali a 20 − ¯ a 02 ̸= 0 velja gkk = g 11 f 1 ,k + g 22 f 2 ,k + g 33 f 3 ,k + g 44 f 4 ,k (3.30) za vsak k > 4. Tako je po izreku 3.2.5 cikličnost centra v izhodišču sistema (3.27) pri a 11 ̸= 0 ali a 20 −¯ a 02 ̸= 0 kvečjemu štiri. Sedaj obravnavamo število limitnih ciklov, ki lahko bifurcirajo iz vsake komponente centralne raznoterosti sistema (3.27). Naš pristop temelji na rezultatu iz [20], ki poveže ta števila z razsežnostjo vsake komponente. Najprej vpeljimo nekaj oznak. Naj g R označuje realne fokusne količine kot v (3.6). Potem kk je centralna raznoterost realnega sistema (3.27) raznoterost VR v prostoru parametrov E( A, B) ideala B R = ⟨g R , g R , . . .⟩. Z J ) označimo Jacobijevo matriko polinomov g R , g R , . . . , g R v 11 22 p( B R k 11 22 kk točki p in z rang( J k p ) rang matrike Jp( B R) . k Naslednji izrek je majhna reformulacija izreka 3.2.1. Izrek 3.2.10 Predpostavimo, da za sistem (3.4) z λ = 0 in toˇ cko p ∈ VR , velja rang( Jkp) = k. Tedaj je sorazseˇ znost raznoterosti VR najmanj k in obstajajo bifurkacije sistema (3.4) , ki lokalno proizvedejo k limitnih ciklov iz centra, ki ustreza vrednosti parametrov p. ˇ Se veˇ c, ˇ ce p leˇ zi na komponenti C raznoterosti VR sorazseˇ znosti k, je p gladka toˇ cka centralne raznoterosti in cikliˇ cnost toˇ cke p in generiˇ cne toˇ cke komponente C je natanko k. Da bi uporabili ta izrek, najprej poiščemo vse ireducibilne komponente raznoterosti VR. Te lahko pridobimo iz ireducibilnih komponent kompleksne centralne raznoterosti sistema (3.28) (opisane v izreku 3.2.8) z vpeljavo a 10 = A 10 + iB 10 a 20 = A 20 + iB 20 a 11 = A 11 + iB 11 a 02 = A 02 + iB 02 (3.31) b 02 = A 20 − iB 20 b 01 = A 10 − iB 10 b 11 = A 11 − iB 11 b 20 = A 02 − iB 02 . Velike črke označujejo koeficiente realnega sistema, zapisanega v kompleksni obliki kot (3.4). Opazimo, da koeficienti, ki se pojavijo v (3.31), ne sovpadajo s koeficienti iz (2.128). Koeficienti sistema (2.128) so dodelani izrazi koeficientov v (3.31). Naslednji izrek podrobno opiše raznoterost VR. Izrek 3.2.11 Centralna raznoterost v R8 realnega sistema (3.27) z λ = 0 sestoji iz naslednjih treh ireducibilnih komponent VR = V( G 1) ∪ V( G 2) ∪ V( G 3) , kjer so G 1 = ⟨B 11 , A 20 B 02 + A 02 B 20 , A 210 B 02 + 2 A 02 A 10 B 10 − B 02 B 210 , A 210 B 20 − 2 A 10 A 20 B 10 − B 210 B 20 ⟩ G 2 = ⟨B 11 , A 02 + A 20 , B 02 − B 20 ⟩ G 3 = ⟨A 11 , B 11 , A 02 , B 02 ⟩. Komponenti G 1 in G 2 sta razsežnosti 5 , komponenta G 3 je razsežnosti 4 . 146 3 Primeri uporabe polinomskih idealov Dokaz. Ideale G 1, G 2 in G 3 dobimo, če uporabimo spremembo koordinat (3.31) na generatorjih idealov J 1, J 2 in J 5 izreka 3.2.8. Opazimo, da če uporabimo (3.31) na J 3 in J 4 izreka 3.2.8, dobimo isti ideal ⟨A 11 , B 11 , A 02 , B 02 , A 20 , B 20 ⟩, ki določa podraznoterost raznoterosti V( G 3). Očitno je, da je razsežnost raznoterosti V( G 2) enaka 5 in da je razsežnost raznoterosti V( G 3) enaka 4. Sedaj pokažimo, da je razsežnost raznoterosti V( G 1) enaka 5. Poiščimo racionalno parametrizacijo raznoterosti V( G 1). Trdimo, da je podana z A 11 = f 1 A 02 = f 2 A 10 = f 3 B 10 = f 4 f (3.32) 6 f 7 A 20 = f 5 B 11 = f 0 B 02 = B 20 = , g 1 g 1 kjer je f 0 = 0, f 1 = t, f 2 = u 1, f 3 = u 2, f 4 = u 3, f 5 = u 4, f 6 = − 2 u 1 u 2 u 3, f 7 = 2 u 2 u 3 u 4 in g 1 = u 2 − u 2. 2 3 Za dokaz naše trditve tvorimo ideal I 6 z eliminacijo spremenljivk w, t, u 1 , u 2 , u 3 , u 4 iz ideala I = ⟨ 1 − wg 1 , A 11 − f 1 , A 02 − f 2 , A 10 − f 3 , B 10 − f 4 , A 20 − f 5 , g 1 B 02 − f 6 , g 1 B 20 − f 7 ⟩ v kolobarju R[ w, t, u 1 , u 2 , u 3 , u 4 , A 02 , A 10 , A 11 , A 20 , B 20 , B 10 , B 02] . Izračun pokaže, da je I 6 = G 1. Zato je po izreku 1.5.19 (3.32) racionalna parametrizacija raznoterosti G 1 in razsežnost raznoterosti V( G 1) manjša ali enaka 5. Ker je rang Jacobijeve matrike funkcij f 0 , . . . , f 7 v naključno izbrani točki t = 0 , u 1 = 1 , u 2 = − 1 , u 3 = 2 , u 4 = 3 pet, je razsežnost natanko 5, kar zaključuje dokaz izreka. Definirajmo naslednje polinome: F 1 = A 11( B 02 − B 20)( A 210 + B 210) F 2 = −A 11(2 A 02 A 10 B 10 + ( B 2 − 10 A 210) B 20) F 3 = (2 A 10 A 20 B 10 − A 210 B 20 + B 210 B 20)2( A 220 + B 220) . Izrek 3.2.12 Cikliˇ cnost generiˇ cne toˇ cke p raznoterosti V( G 1) z F 1( p) ̸= 0 in točke p′ raznote- rosti V( G 2) z F 2( p′) ̸= 0 je tri. Cikličnost točke p′′ raznoterosti V( G 3) z F 3( p′′) ̸= 0 je štiri. Dokaz. Ugotovimo, da je za V( G 1), rang( J 3 p) = 3 v točki p z F 1( p) ̸= 0; podobno za V( G 2) dobimo rang( J 3 p′ ) = 3 v točki p′ z F 2( p′) ̸= 0. Zato po izreku 3.2.10 bifurcirajo trije limitni cikli iz izhodišča sistemov, ki ustrezajo točki p ali p′. Za V( G 3) imamo rang( J 4 p′′) = 4 v točki p′′ z F 3( p′′) ̸= 0 . Ker je sorazsežnost raznoterosti V( G 3) enaka 4, je po izreku 3.2.10 cikličnost sistema, ki ustreza točki p′′, enaka štiri. 3.2.3 Problem centra v sistemu ˇ cetrte stopnje Kot naslednji primer ilustracije idej, ki smo jih razvili do sedaj, v tem razdelku poiščemo množico zadostnih pogojev za obstoj centra v družini sistemov četrte stopnje. Preden se posvetimo ob- stoju centra oz. (ekvivalentno) integrabilnosti omenjene družine sistemov, navedimo še pomožni rezultat, s katerim si lahko pomagamo v primeru, ko preiskujemo integrabilnost in dobimo inte- gral ali integrirajoči množitelj, ki ni definiran za vse vrednosti parametrov. Namesto, da iščemo eksplicitno obliko prvega integrala za te vrednosti parametrov, kjer integral ni definiran, lahko pogosto zaključimo, da integral obstaja, če uporabimo geometrijski argument, podan v naslednji pomožni trditvi. 3.2 Zvezni sistemi 147 Lema 3.2.13 Naj bo E( a, b) = C2 ℓ (ℓ je kardinalnost indeksne množice {( p, q) : 1 ≤ p + q ≤ n − 1 , p ∈ N ∪ {− 1 , 0 }, q ∈ N ∪ { 0 }}) prostor parametrov sistema (2.44) in naj bosta V in W takˇ sni raznoterosti v E( a, b) , da ima sistem (2.44) analitiˇ cni prvi integral oblike (2.45) za vse vrednosti parametrov V \W . ˇ Ce je V \W = V, (3.33) ima sistem analitiˇ cni prvi integral oblike (2.45) za vse vrednosti parametrov v V . Dokaz. Po izreku 2.2.27 je množica vseh sistemov, ki vsebujejo analitični prvi integral oblike (2.45) raznoterost Bautinovega ideala V( B). Po predpostavki je V \W ⊂ V( B) in če vzamemo zaprtje Zariskega, dobimo V \W ⊂ V( B). Zato je po (3.33) V ⊂ V( B) in vsi sistemi iz V premorejo analitični prvi integral oblike (2.45). Za nekatere raznoterosti lahko enačbo (3.33) hitro preverimo. Če so raznoterosti bolj zaple- tene in je npr. V = V( I) in W = V( J ), pogledamo, če je ideal I korenski. Tedaj, ker je k = C algebraično zaprto polje, je po (1.24) V \W = V( I : J) in enačba (3.33) drži, če je I : J = I. Če √ √ I ni korenski, ga lahko zamenjamo z I, saj je V( I) = V( I). Sistem, ki ga obravnavamo v tem razdelku, je ˙ x = x(1 − a 30 x 3 − a 21 x 2 y − a 12 xy 2 − a 03 y 3) , (3.34) ˙ y = −y(1 − b 30 x 3 − b 21 x 2 y − b 12 xy 2 − b 03 y 3) . Ta osem parametrična družina sistemov je bila obravnavana v [43]. Sistem (3.34) ima dve kompleksni invariantni premici, ki potekata skozi izhodišče in zato ga imenujemo Lotka-Volterrov kompleksni sistem. Podobno kot v prejšnjem razdelku izračunamo generatorje ideala Isym za sistem (3.34) tako, da izračunamo Gröbnerjevo bazo G ideala H, definiranega z (2.73), ki je za sistem (3.34) enak H = ⟨ 1 − wγ 3 , a 30 − t 1 , a 21 − t 2 , a 12 − t 3 , a 03 − t 4 , γ 3 b 30 − t 4 , γb 21 − t 3 , b 12 − γt 2 , b 03 − γ 3 t 1 ⟩. Nato iz dobljene Gröbnerjeve baze eliminiramo polinome, ki so odvisni od spremenljivk w, γ, t 1 , t 2 , t 3 , t 4, kar pomeni, da izračunamo šesti eliminacijski ideal glede na urejenost spremenljivk {w, γ, t 1 , t 2 , t 3 , t 4 } ≻ {a 30 , a 21 , a 12 , a 03 , b 30 , b 21 , b 12 , b 03 }. Dobimo Gröbnerjevo bazo GH ideala H ∩ C[ a, b], ki je enaka GH = {a 30 a 03 − b 30 b 03 , a 21 a 12 − b 21 b 12 , a 30 b 3 − − 12 a 321 b 03 , a 30 a 12 b 212 a 221 b 21 b 03 , a 30 a 2 − 12 b 12 − a 21 b 2 21 b 03 , a 21 a 03 b 2 21 a 212 b 30 b 12 , a 221 a 03 b 21 − a 12 b 30 b 212 , a 3 − 12 b 30 − a 03 b 3 21 , a 3 21 a 03 − b 30 b 3 12 , a 30 a 3 12 b 321 b 03 } in zaprtje Zariskega vseh časovno reverzibilnih sistemov (3.34) je raznoterost ideala Isym = ⟨GH⟩. Da rešimo problem centra, izračunamo prvih 24 fokusnih količin gjj in dobimo B 24 = ⟨g 11 , . . . , g 24 24 ⟩. Izkaže se, da so fokusne količine g 3 k 3 k za k = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 neničelni 148 3 Primeri uporabe polinomskih idealov polinomi. Vse ostale fokusne količine so enake nič. Prvi dve neničelni fokusni količini sta g 33 = a 12 a 21 + a 03 a 30 − b 12 b 21 − b 03 b 30 , 1 g 66 = (180 a 30 a 3 + 90 b 30 a 3 + 1350 a 2 a 2 − 180 a 30 b 12 a 2 − 1440 a 21 b 21 a 2 − 225 b 12 b 30 a 2 45 12 12 21 12 12 12 12 + 45 a 30 b 2 a a b 12 12 + 1440 b 12 b 2 21 12 + 1465 a 03 a 21 a 30 a 12 − 100 a 21 a 30 b 03 a 12 − 1215 a 2 21 12 a 12 − 1170 a 03 a 30 b 21 a 12 + 90 b 2 b 12 30 a 12 − 85 a 03 a 21 b 30 a 12 − 1100 a 21 b 03 b 30 a 12 + 1170 b 03 b 21 b 30 a 12 (3.35) − 90 a 03 b 3 − 180 b + 160 a 2 a 2 − 1350 b 2 b 2 + 225 a + 180 a − 160 b 2 b 2 21 03 b 3 21 03 30 12 21 03 a 21 b 2 21 21 b 03 b 2 21 03 30 + 175 a 03 b 03 b 2 − 100 a b b b 30 03 a 2 30 03 − 1215 a 03 a 21 a 30 b 12 − 90 a 03 a 2 21 21 + 1215 a 21 b 2 12 21 − 45 a 2 b b a 21 03 b 21 + 1100 a 03 a 30 b 12 b 21 + 100 a 30 b 03 b 12 b 21 + 100 a 30 b 2 03 30 − 175 a 2 03 30 b 30 + 1215 a 21 b 03 b 12 b 30 + 85 a 03 b 12 b 21 b 30 − 1465 b 03 b 12 b 21 b 30) . Ostale so predolge, da bi jih zapisali tukaj, vendar jih lahko bralec izračuna sam s pomočjo kateregakoli sistema računske algebre in teorije, opisane v razdelku 2.2.4, ali pa s pomočjo kode v dodatku B, ki je zapisana za program Mathematica. Z ˜ B 8 označimo ideal, generiran s prvimi osmimi neničelnimi fokusnimi količinami: ˜ B 8 = ⟨g 33 , g 66 , . . . , g 24 24 ⟩. Opazimo, da če sta v sistemu (3.34) a 12 ̸= 0 in b 21 ̸= 0, lahko po linearni transformaciji X = ax, Y = by, 1 / 3 2 / 3 2 / 3 1 / 3 kjer je a = a b in b = a b , postavimo v (3.34) a 12 21 12 21 12 = b 21 = 1. Če to upoštevamo, lahko poenostavimo izračunave in razdelimo sistem (3.34) na tri podsisteme, ki jih ločeno obravnavamo v treh primerih: ( α) a 12 = b 21 = 1 , ( β) a 12 = 1 , b 21 = 0 , ( γ) a 12 = b 21 = 0 . Za primer ( α) dobimo pogoje za center v izhodišču, ki so predstavljeni v izreku 3.2.14. Ostala dva primera sta obravnavana v izrekih 3.2.15 in 3.2.17. Če uporabimo na pogojih izreka 3.2.15, ki poda pogoje za primer ( β), involucijo aij ↔ bji, dobimo pogoje za center sistema (3.34) za primer a 12 = 0, b 21 = 1. Tako izreki 3.2.14 - 3.2.17 podajo celotno rešitev za kompleksni center sistema (3.34). Ti pogoji v izrekih so torej reducirani, saj so nekateri parametri ( a 12 in b 21) fiksni. V [39] je podan pristop, kako iz reduciranih pogojev dobiti splošne pogoje za center, t. j. pogoje, kjer sta a 12 in b 21 splošna parametra. Izrek 3.2.14 Sistem (3.34) z a 12 = b 21 = 1 ima center v izhodišču natanko tedaj, ko velja eden od naslednjih pogojev: 1) a 21 −b 12 = 2 a 03 b 12 + b 12 b 03 −a 03 − 2 b 03 = a 30 b 12 +2 b 30 b 12 − 2 a 30 −b 30 = a 30 a 03 −b 30 b 03 = 0 ; 2) a 30 − b 30 = a 21 − b 12 = a 30 − b 03 = 0 ; 3) b 12 − 2 = b 30 = a 21 − 2 = a 30 = 0 ; 4) b 03 = b 12 − 2 = a 03 = a 21 − 2 = 0 ; 5) b 12 − 2 = a 03 − 2 b 03 = a 21 − 2 = 2 a 30 − b 30 = 0 ; 6) b 03 − 1 = b 30 + b 12 − 2 = a 03 − b 12 + 2 = a 21 + b 12 − 4 = a 30 − 1 = 0 ; 3.2 Zvezni sistemi 149 7) 12 a 03 − 8 b 12 − 3 b 03 + 7 = 3 a 30 + 8 a 21 − 12 b 30 − 7 = 2 b 30 b 03 − a 21 + b 12 = 0 , 8 a 21 b 03 + 12 b 12 − 7 b 03 + 3 = 32 b 2 − 20 b 12 12 + 27 b 03 − 7 = 8 b 30 b 12 + 3 a 21 − 7 b 30 − 6 = 0 , 8 a 21 b 12 − 7 a 21 − 7 b 12 − 4 = 8 a 2 − 23 a 21 21 + 27 b 30 + 14 = 0 ; 8) b 03 − 4 = b 12 + 9 = 4 b 30 − 5 = a 03 − 8 = a 21 + 2 = 4 a 30 + 1 = 0 ; 9) 4 b 03 + 1 = b 12 + 2 = b 30 − 8 = 4 a 03 − 5 = a 21 + 9 = a 30 − 4 = 0 ; 10) 9 b 03 + 16 = 3 b 12 + 5 = 16 b 30 + 9 = 9 a 03 + 8 = 2 a 21 + 1 = 16 a 30 − 3 = 0 ; 11) 4 b 03 − 1 = b 12 − 1 = b 30 + 4 = a 03 = a 21 = a 30 + 8 = 0 ; 12) 16 b 03 − 3 = 2 b 12 + 1 = 9 b 30 + 8 = 16 a 03 + 9 = 3 a 21 + 5 = 9 a 30 + 16 = 0 ; 13) b 03 + 8 = b 12 = b 30 = a 03 + 4 = a 21 − 1 = 4 a 30 − 1 = 0 . Dokaz. Za pridobitev potrebnih pogojev za obstoj centra v izhodišču sistema (3.34) z a 12 = b 21 = 1 izračunamo ireducibilno dekompozicijo raznoterosti ideala ˜ B 8 = ⟨g 33 , g 66 , . . . , g 24 24 ⟩, kjer je a 12 = b 21 = 1. To je zelo zahteven računski problem, ki predstavlja najtežavnejši del obravnave tega problema. Z uporabo ukaza minAssGTZ sistema računske algebre Singular ne moremo najti ireducibilne dekompozicije raznoterosti V( ˜ B 8) nad poljem racionalnih števil. Zato uporabimo dekompozicijski algoritem z modularno aritmetiko, opisan v podrazdelku 1.5.3. Naj- prej izračunamo minimalne pridružene praideale ideala ˜ B 8 v Z32003[ a 30 , . . . , b 30], t.j. izračunamo ireducibilno dekompozicijo raznoterosti V( ˜ B 8) v polju karakteristike 32003.2 Dobimo naslednjih 13 praidealov: 1) ⟨a 21 −b 12 , a 03 b 12 − 16001 b 12 b 03 +16001 a 03 −b 03 , a 30 b 12 +2 b 30 b 12 − 2 a 30 −b 30 , a 30 a 03 −b 30 b 03 ⟩, 2) ⟨a 03 − b 30 , a 21 − b 12 , a 30 − b 03 ⟩, 3) ⟨b 12 − 2 , b 30 , a 21 − 2 , a 30 ⟩, 4) ⟨b 03 , b 12 − 2 , a 03 , a 21 − 2 ⟩, 5) ⟨b 12 − 2 , a 03 − 2 b 03 , a 21 − 2 , a 30 + 16001 b 30 ⟩, 6) ⟨b 03 − 1 , b 30 + b 12 − 2 , a 03 − b 12 + 2 , a 21 + b 12 − 4 , a 30 − 1 ⟩, 7) ⟨a 03 + 10667 b 12 − 8001 b 03 − 13334 , a 30 − 10665 a 21 − 4 b 30 − 10670 , b 30 b 03 + 16001 a 21 − 16001 b 12 , a 21 b 03 − 16000 b 12 − 12002 b 03 − 4000 , b 2 − 4001 b 12 12 − 9000 b 03 + 13001 , b 30 b 12 − 4000 a 21 − 12002 b 30 + 8000 , a 21 b 12 − 12002 a 21 − 12002 b 12 + 16001 , a 2 − 12004 a 21 21 − 3997 b 30 − 7999 ⟩, 8) ⟨b 03 − 4 , b 12 + 9 , b 30 − 8002 , a 03 − 8 , a 21 + 2 , a 30 + 8001 ⟩, 9) ⟨b 03 + 8001 , b 12 + 2 , b 30 − 8 , a 03 − 8002 , a 21 + 9 , a 30 − 4 ⟩, 10) ⟨b 03 − 7110 , b 12 − 10666 , b 30 − 6000 , a 03 − 3555 , a 21 − 16001 , a 30 + 2000 ⟩ 2 Število 32003 je bilo največja možna karakteristika končnega polja v prejšnjih verzijah sistema Singular. V novejši verziji Singular 3 je največja karakteristika 2147483629. Vendar pa so izračuni v Z2147483629 počasnejši kot v Z32003. Večinoma ugotovimo, da je učinkoviteje, če računamo v polju karakteristike 32003. 150 3 Primeri uporabe polinomskih idealov 11) ⟨b 03 − 8001 , b 12 − 1 , b 30 + 4 , a 03 , a 21 , a 30 + 8 ⟩ 12) ⟨b 03 + 2000 , b 12 − 16001 , b 30 − 3555 , a 03 − 6000 , a 21 − 10666 , a 30 − 7110 ⟩, 13) ⟨b 03 + 8 , b 12 , b 30 , a 03 + 4 , a 21 − 1 , a 30 − 8001 ⟩. Sedaj za teh 13 idealov uporabimo algoritem racionalne rekonstrukcije, ki je skupaj s pre- prosto kodo za izvedbo tega algoritma v programu Mathematica opisan v podrazdelku 1.5.3. Dobimo ideale, ki so generirani s polinomi, ki nastopajo v pogojih izreka 3.2.14. Označimo jih s Qi, i = 1 , . . . , 13. Npr. Q 1 = ⟨a 21 − b 12 , 2 a 03 b 12 + b 12 b 03 − a 03 − 2 b 03 , a 30 b 12 + 2 b 30 b 12 − 2 a 30 − b 30 , a 30 a 03 − b 30 b 03 ⟩ je ideal, generiran s polinomi pogoja 1) izreka 3.2.14; Q 2 = ⟨a 30 − b 30 , a 21 − b 12 , a 30 − b 03 ⟩ je ideal, generiran s polinomi pogoja 2) izreka 3.2.14 itd. Če sledimo dekompozicijskemu algoritmu z modularno aritmetiko, v tretjem koraku preverimo, da je vsaka fokusna količina g 3 k 3 k v vsakem korenu idealov Qi, t. j. reducirana Gröbnerjeva baza vsakega ideala ⟨ 1 − wg 3 k 3 k, Qi⟩, kjer je k = 1 , . . . , 8 in i = 1 , . . . , 13, je enaka { 1 }. Ker je odgovor na ta korak dekompozicijskega algoritma z modularno aritmetiko pritrdilen, lahko nadaljujemo s četrtim korakom, kjer preverimo, da v izračunih noben pogoj ni izgubljen. V Singularju izračunamo presek Q = ∩ 13 Q i=1 i nad poljem racionalnih števil in dobimo 28 polinomov, ki jih √ √ označimo s q ˜ 1 , . . . , q 28. Kot zadnji korak moramo preveriti še, da je Q = B 8. V ta namen izračunamo Gröbnerjevo bazo vsakega ideala ⟨ 1 − wqi, ˜ B 8 ⟩ za i = 1 , . . . , 28 in Gröbnerjevo bazo vsakega ideala ⟨ 1 − wg 3 k 3 k, Q⟩, k = 1 , . . . , k. Izkaže se, da so vse Gröbnerjeve baze enake { 1 }, √ √ kar pomeni, da je Q = ˜ B 8, od koder po trditvi 1.4.8 sledi, da je V( ˜ B 8) = V( Q) oz. po (1.23) je V( ˜ B 8) = ∪ 13 V( Q i=1 i). S tem smo pokazali, da so pogoji izreka 3.2.14 potrebni pogoji za nastop centra v izhodišču sistema (3.34) z a 12 = b 21 = 1. Pokažimo še njihovo zadostnost tako, da za vsak sistem (3.34), ki zadošča enemu izmed trinajstih pogojev izreka 3.2.14, najdemo ali dokažemo obstoj formalnega prvega integrala oblike (2.45). Za nekatere pogoje tega izreka in prav tako naslednjih dveh izrekov so bili dokazi zadostnosti, ki jih navedemo tukaj, izvedeni v [51]. Kot smo že zgoraj navedli, ima sistem (3.34) dve invariantni premici x = 0 in y = 0, ki potekata skozi izhodišče in ju v nekaterih primerih uporabimo pri konstrukciji Darbouxjevega integrala ali integrirajočega množitelja. Sistem (3.34), ki zadošča pogoju 1) izreka 3.2.14, je oblike ˙ x = x(1 − a 30 x 3 − b 12 x 2 y − xy 2 − a 03 y 3) , ( ) (3.36) ˙ y = −y 1 − a 30(2 −b 12) x 3 − x 2 y − b y 3 . 2 b 12 xy 2 − a 03(2 b 12 − 1) 12 − 1 2 −b 12 Z Darbouxjevo metodo najdemo integrirajoči množitelj 2 − 3 b 12 µ = ( xy) b 12 − 1 , s pomočjo katerega konstruiramo prvi integral 1 − 2 b 12 H = ( xy) b 12 − 1 (2 − b 12 + a 30( b 12 − 2) x 3 + (2 − 5 b 12 + 2 b 212)( x 2 y + xy 2) + a 03(1 − 2 b 12) y 3) . Vidimo, da H ni definiran za b 12 = 1 in da izraz na desni strani druge enačbe sistema (3.36) ni definiran za b 12 = 2 in b 12 = 1 / 2. Označimo z V raznoterost V( I), kjer je I ideal generiran s polinomi pogojev 1) izreka 3.2.14, I = ⟨a 21 − b 12 , 2 a 03 b 12 + b 12 b 03 − a 03 − 2 b 03 , a 30 b 12 + 2 b 30 b 12 − 2 a 30 − b 30 , a 30 a 03 − b 30 b 03 ⟩, 3.2 Zvezni sistemi 151 in z J 1 = ⟨b 12 − 1 ⟩, J 2 = ⟨b 12 − 2 ⟩ in J 3 = ⟨b 12 − 1 / 2 ⟩. Vidimo, da H ni definiran za točke raznoterosti V( I), kjer je b 12 enak 1, 2 ali 1 / 2, t. j. definiran je za točke iz V \W , kjer je W = V( J 1) ∪ V( J 2) ∪ V( J 3) = V( J) in J = J 1 ∩ J 2 ∩ J 3. Najprej izračunamo ideal J in dobimo J = ⟨ 2 b 3 − 7 b 2 + 7 b 12 12 12 − 2 ⟩. Nato izračunamo kvocient idealov I in J ; dobimo ideal I : J = ⟨a 21 − b 12 , 2 a 03 b 12 + b 12 b 03 − a 03 − 2 b 03 , a 30 b 12 + 2 b 30 b 12 − 2 a 30 − b 30 , a 30 a 03 − b 30 b 03 ⟩. Vidimo, da je I : J = I, kar pomeni, da je V \W = V, zato ima po lemi 3.2.13 sistem (3.34) v vsaki točki raznoterosti V center v izhodišču 3. Sistemi, ki zadoščajo pogojem primera 2), so časovno reverzibilni, saj njihovi parametri ležijo v raznoterosti V( Isym| ), kjer je a 12= b 21=1 Isym| = ⟨a − a 3 − a 2 a 03 a 30 − b 03 b 30 , a 21 − b 12 , a 30 b 3 12= b 21=1 12 21 b 03 , a 30 b 2 12 21 b 03 , a 30 b 12 − a 21 b 03 , a 03 a 21 − b 12 b 30 , a 03 a 2 − − 21 b 212 b 30 , b 30 − a 03 , a 03 a 321 b 312 b 30 , a 30 − b 03 ⟩. Sistem, ki zadošča pogojem 3), ima obliko ˙ x = x(1 − 2 x 2 y − xy 2 − a 03 y 3) , (3.37) ˙ y = −y(1 − x 2 y − 2 xy 2 − b 03 y 3) . Za dokaz integrabilnosti oz. obstoja centra v tem sistemu uporabimo metodo “blow-down” v vozel. Vpeljemo analitično spremembo koordinat u = xy 2 , v = y 3 , (3.38) in sistem (3.37) postane ˙ u = −u + 3 u 2 + (2 b 03 − a 03) uv, (3.39) ˙ v = − 3 v + 3 u 2 + (6 + 3 b 03) uv. Za sistem (3.39) lahko s transformacijo oblike (2.53) dobimo njegovo normalno formo in vidimo, da je koeficient a v resonantnem členu aξ 3 ničelni, t. j. normalna forma je linearna: ˙ ξ = −ξ, ˙ η = − 3 η. (3.40) Sistem (3.40) ima prvi integral ξ 3 /η. Če se vrnemo nazaj k originalnim koordinatam x in y, ∑ dobimo, da je prvi integral sistema (3.37) enak x 3 y 3 + c i+ j=7 ij xiyj in sledi, da ima sistem (3.37) prav tako prvi integral oblike (2.45) (glej razdelek 2.2.4). Primer 4) dobimo iz primera 3) z involucijo akj ↔ bjk. Sistem (3.34), ki zadošča pogojem 5), ima obliko ( ) ˙ x = x 1 − b 30 x 3 − 2 x 2 y − xy 2 − 2 b , 2 03 y 3 ˙ y = −y(1 − b 30 x 3 − x 2 y − 2 xy 2 − b 03 y 3) . 3S podobnim računom dokažemo integrabilnost sistemov, ki jih študiramo spodaj, če Darbouxjev integral ali integrirajoči množitelj ni definiran povsod. 152 3 Primeri uporabe polinomskih idealov in premore invariantno krivuljo f = 0, kjer je f = (4 − 24 x 2 y − 24 xy 2 + 36 x 4 y 2 + 18 b 30 x 4 y 2 + 108 x 3 y 3 − 54 b 03 b 30 x 3 y 3 − 54 b 30 x 6 y 3 + 27 b 03 b 230 x 6 y 3 + 36 x 2 y 4 + 36 b 03 x 2 y 4 − 108 x 5 y 4 + 54 b 03 b 30 x 5 y 4 − 108 x 4 y 5 + 54 b 03 b 30 x 4 y 5 − 108 b 03 x 3 y 6 + 54 b 203 b 30 x 3 y 6) , z ustreznim kofaktorjem k = − 6 x( x − y) y. Inverzni integrirajoči množitelj je podan z V = ( xy) − 2 f. Obstoj analitičnega prvega integrala v okolici izhodišča sledi iz leme 2.2.41( i). V primeru 6) je sistem (3.34) oblike ˙ x = x(1 − x 3 − (4 − b 12) x 2 y − xy 2 − ( b 12 − 2) y 3) , (3.41) ˙ y = −y(1 − (2 − b 12) x 3 − x 2 y − b 12 xy 2 − y 3) . V ta sistem vpeljemo nov parameter λ in novi neznanki X in Y tako, da je b 12 = 2 + iλ, x = X + iY , y = X − iY . Na ta način skupaj s spremembo časa t = iT dobimo sistem dX = −(1 − 2 X)(1 + 2 X + 4 x 2) Y, dT (3.42) dY = X(1 − 4 X 3 − 4 λX 2 Y + 4 XY 2 − 4 λY 3) . dT S pomočjo transformacije u X = , 1 (1 + 4 u 3) 3 3 v Y = , 1 λ 2 − 3 (1 + 4 u 3) 3 [3(1 − 16 u 6) 18 + 4 λu 2 v] 1 3(1 − 4 u 3)(1 − 16 u 6) 6 dτ = dT λ 2 1 3(1 − 16 u 6) 18 + 4 λu 2(1 − 16 u 6) 6 v dobimo iz (3.42) sistem du = −v = P( u,v) , dτ (3.43) dv λ 2 − 12 3 −λ 2 = u(1 − 16 u 6) 9 [1 − 4 λ(1 − 16 u 6) 6 (45 − 432 u 6 + 32 λ 2 u 6) v 3] = Q( u, v) . dτ 27 Vektorsko polje, definirano s (3.43), je simetrično glede na os v za poljubno kompleksno konstanto λ. Če vzamemo z = v + iu, w = v − iu in τ 1 = −iτ , lahko sistem (3.43) zapišemo kot ∞ dz ∑ = z + αjkzjwk = F ( z, w) , dτ 1 j+ k=2 ∞ (3.44) dw ∑ = −w − βjkwjzk = −G( z, w) , dτ 1 j+ k=2 3.2 Zvezni sistemi 153 kjer je ( ) ( ) i( w − z) w + z i( w − z) w + z F ( z, w) = −P , + iQ , 2 2 2 2 ( ) ( ) (3.45) i( w − z) w + z i( w − z) w + z G( z, w) = −P , − iQ , . 2 2 2 2 Ker je P ( u, v) = P ( −u, v) in Q( u, v) = Q( −u, v), iz (3.45) sledi, da je F ( z, w) = G( w, z) in zato je αjk = βjk za vse ( j, k). Tako ima po izreku 2.2.45 sistem (3.44) prvi integral oblike Ψ = zw + · · · in od tod sledi, da ima sistem (3.41) prvi integral oblike (2.45). V primeru 7) ima sistem (3.34) obliko ( ) 27(2 − a 21) y 3 ˙ x = P( x, y) = x 1 − (1 + 4 a 21)(7 − 8 a 21) x 3 − a 21 x 2 y − xy 2 + , 27 (7 − 8 a 21)2 ( ) (2 − a 21)(7 − 8 a 21) x 3 (4 + 7 a 21) xy 2 27(1 + 4 a 21) y 3 ˙ y = Q( x, y) = −y 1 + − x 2 y + + , 27 7 − 8 a 21 (7 − 8 a 21)2 (3.46) kjer je 7 − 8 a 21 ̸= 0. Sistem (3.46) premore algebraično invariantno krivuljo f ( x, y) = 0, kjer je 3(1 + 4 a 21) xy 2 27(1 + 4 a 21) y 3 f ( x, y) = 1 − (1 + 4 a 21)(7 − 8 a 21) x 3 − (1 + 4 a 21) x 2 y + + . 27 3 7 − 8 a 21 (7 − 8 a 21)2 Za dokaz obstoja centra v izhodišču uporabimo trditev 2.2.50. Obravnavamo spremembo koor- dinat 9 y (7 − 8 a 21) x u = u( x, y) = , v = v( x, y) = , (3.47) 1 1 (7 − 8 a 21) f 3 ( x, y) 9 f 3 ( x, y) katere inverzna sprememba je podana z 9 v (7 − 8 a 21) u uv x = , y = , xy = . 1 1 2 (7 − 8 a 21) f 3 ( u, v) 9 f 3 ( u, v) f 3 ( u, v) Sistem (3.46) v spremenljivkah ( u, v) postane du P( u, v) dv Q( u, v) = − , = − , (3.48) dt f ( u, v) dt f ( u, v) kjer sta P( u, v) in Q( u, v) enaka polinoma kot v (3.46) v spremenljivkah ( u, v). Tako (3.47) zadošča pogojem (2.105)–(2.107) trditve 2.2.50 in zato ima sistem (3.46) center v izhodišču. Sistem (3.34), ki zadošča pogojem 8), je ˙ x = x(1 + x 3 / 4 + 2 x 2 y − xy 2 − 8 y 3) , ˙ y = −y(1 − 5 x 3 / 4 − x 2 y + 9 xy 2 − 4 y 3) , in ima dva algebraična parcialna integrala f 1 = 1 + x 3 + 3 x 6 / 8 + x 9 / 16 + x 12 / 256 + 8 x 2 y + 3 x 5 y − x 11 y/ 16 + 28 xy 2 + 3 x 4 y 2 − 15 x 7 y 2 / 4 + 7 x 10 y 2 / 16 − 60 x 3 y 3 + 20 x 6 y 3 − 7 x 9 y 3 / 4 + 78 x 2 y 4 − 45 x 5 y 4 +35 x 8 y 4 / 8 + 48 x 4 y 5 − 7 x 7 y 5 − 20 x 3 y 6 + 7 x 6 y 6 − 4 x 5 y 7 + x 4 y 8 , 154 3 Primeri uporabe polinomskih idealov in f 2 = 1 + 3 x 3 / 4 + 3 x 6 / 16 + x 9 / 64 + 6 x 2 y + 3 x 5 y/ 4 − 3 x 8 y/ 16 + 21 xy 2 − 9 x 4 y 2 +15 x 7 y 2 / 16 + 21 x 3 y 3 − 5 x 6 y 3 / 2 − 15 x 2 y 4 + 15 x 5 y 4 / 4 − 3 x 4 y 5 + x 3 y 6 , z ustreznima kofaktorjema k 1 = x( x − 2 y)(3 x + 14 y) in k 2 = 3 x( x − 2 y)(3 x + 14 y) / 4. Enačba (2.60), ki je v tem primeru enaka α 1 k 1 + α 2 k 2 = 0 , ima rešitev α 1 = − 3 in α 2 = 4 in odtod konstruiramo Darbouxjev prvi integral H( x, y) = f − 3 f 4 1 2 . Primer 9) dobimo iz primera 8) z involucijo akj ↔ bjk. V primeru 10) ima sistem (3.34) obliko x 2 y y 3 ˙ x = x(1 − 3 x 3 + − xy 2 + 8 ) , 16 2 9 (3.49) 9 x 3 5 xy 2 16 y 3 ˙ y = −y(1 + − x 2 y + + ) . 16 3 9 Za dokaz integrabilnosti tega sistema uporabimo metodo napihovanja. Uvedemo transformacijo (3.12) in sistem (3.49) postane 8 y 3 z 2 y 3 z 2 3 y 3 z 4 ˙ z = 2 z + + − y 3 z 3 + = F 1( x, y) , 3 3 2 8 (3.50) ˙ y = −y − 16 y 4 − 5 y 4 z + y 4 z 2 − 9 y 4 z 3 = F 2( x, y) . 9 3 16 Podobno kot v dokazu izreka 3.2.8 (komponenta V( J 2)) iščemo prvi integral oblike (3.14). Izračunamo ˙ H = ( ∂H/∂z) F 1 + ( ∂H/∂y) F 2 in enačimo z nič koeficient vsake stopnje spremen- ljivke y, dobimo naslednjo rekurzivno diferencialno enačbo za fk: 1 p 3( z) fk− 3 + z(64 + 16 z − 12 z 2 + 9 z 3) f ′ − kfk + 2 zf′ 24 k− 3 k = 0 , kjer je p 3( z) polinom tretje stopnje. Za k = 2 , . . . , 8 dobimo f 2 = Cz in izberemo C = 1; 3 f 3 = Cz 2 in izberemo C = 0; f 4 = Cz 2 in brez izgube za splošnost izberimo C = 0 (lahko izberemo tudi C ̸= 0, saj bo f 4 v vsakem primeru polinom); f 5 = zP 3( z), kjer je P 3 polinom 7 stopnje 3, f 6 = Cz 3 in ponovno izberemo C = 0; f 7 = Cz 2 in vstavimo C = 0; f 8 = zS 6( z), kjer je S 6( z) polinom stopnje 6, ki ne vsebuje člena z monomom z 3. Zato predpostavimo, da je za vsak lihi k polinom fk oblike fk( z) = z( C 0 + C 1 z + C 2 z 2 + · · · + Ck− 2 zk− 2) , in za vsak sodi k je polinom fk oblike fk = zQk− 2, kjer je Qk− 2 neki polinom stopnje največ k k − 2 brez člena z monomom z − 1 2 , t.j. k k f − 2 k ( z) = z( C 0 + C 1 z + C 2 z 2 + · · · + C k − z 2 + C z 2 + · · · + C 2 k k− 2 zk− 2) . 2 2 3.2 Zvezni sistemi 155 Z uporabo indukcije dokažemo, da za vsak k dobimo polinom fk. Dokaz poteka na enak način kot je potekal dokaz integrabilnosti komponente V( J 2) izreka 3.2.8. Dobimo, da je fn( z) = zQn− 2( z), kjer je Qn− 2( z) polinom stopnje kvečjemu n − 2 in v posebnem primeru, če je n sod, n polinom Q − 1 n− 2( z) ne vsebuje člena s potenco z 2 , za kar smo potrebovali podrobnejšo analizo. Torej je prvi integral sistema (3.50) enak ∞ ∑ ∞ ∑ H( z, y) = zQk− 2( z) yk = zy 2 + zQk− 2( z) yk k=2 k=3 in odtod je prvi integral sistema (3.49) oblike (2.45). V primeru 11) je sistem (3.34) oblike ˙ x = x(1 + 8 x 3 − xy 2) , (3.51) ˙ y = −y(1 + 4 x 3 − x 2 y − xy 2 − y 3 / 4) , in premore algebraična parcialna integrala f 1 = 1 − 3 xy 2 / 2 − y 3 / 4 , in f 2 = 1 + 8 x 3 − 3 xy 2 / 2 − y 3 / 4 , z ustreznima kofaktorjema k 1 = 3 y 2(2 x+ y) / 4 in k 2 = 3(4 x+ y)(8 x 2 − 2 xy+ y 2) / 4. Konstruiramo integrirajoči množitelj − 5 / 6 1 / 6 µ = ( xy) − 2 f f . 1 2 Za dokaz obstoja analitičnega prvega integrala v okolici izhodišča uporabimo točko ( ii) leme 5 / 6 − 1 / 6 2.2.41. Obe enačbi sistema (3.51) množimo z f f in dobimo sistem 1 2 ˙ x = P ( x, y) , ˙ y = Q( x, y) , (3.52) ki ima integrirajoči množitelj µ = ( xy) − 2 oz. inverzni integrirajoči množitelj V = ( xy)2 in koeficienta pred monomom x 2 y v P in xy 2 v Q sta ničelna. Zato po lemi 2.2.41 sistem premore prvi integral oblike (2.45). Primer 12) dobimo iz primera 10) z involucijo akj ↔ bjk. Primer 13) dobimo iz primera 11) z involucijo akj ↔ bjk. Za potrebne pogoje primera ( β), ki so predstavljeni v izreku 3.2.15, poiščemo ireducibilno dekompozicijo raznoterosti ideala ˜ B 8 , in podobno za potrebne pogoje primera ( γ), ki so ( β) predstavljeni v izreku 3.2.17, poiščemo ireducibilno dekompozicijo raznoterosti ideala ˜ B 8 . V ( γ) obeh primerih so izračuni lažji kot v primeru ( α) in so zato lahko izvedeni v polju racionalnih števil. Izrek 3.2.15 Sistem (3.34) z a 12 = 1 , b 21 = 0 ima center v izhodišču natanko tedaj, ko zadošča enemu izmed pogojev: 1) a 21 = 2 a 03 b 12 + b 12 b 03 − a 03 − 2 b 03 = a 30 b 12 + 2 b 30 b 12 − 2 a 30 − b 30 = a 30 a 03 − b 30 b 03 = 0 ; 2) b 03 = b 12 − 2 = a 03 = a 21 = 0 ; 3) b 30 = a 21 = a 30 = 0 ; 156 3 Primeri uporabe polinomskih idealov 4) b 12 − 2 = a 03 − 2 b 03 = a 21 = 2 a 30 − b 30 = 0 ; 5) 8 b 12 − 7 = 4 a 03 + b 03 = a 30 − 4 b 30 = 2 b 30 b 03 − a 21 = 16 a 21 b 03 + 27 = 8 a 2 + 27 b 21 30 = 0 ; 6) b 12 = b 30 = 2 a 03 − b 03 = a 30 b 03 + 2 a 21 = a 21 b 03 − 8 = a 2 + 4 a 21 30 = 0 ; 7) b 12 = b 30 = 2 a 03 + b 03 = a 30 b 03 − 2 a 21 = a 21 b 03 + 8 = a 2 + 4 a 21 30 = 0 . Dokaz. Dokažimo, da ima sistem (3.34) z a 12 = 1, b 21 = 0, ki zadošča poljubnemu pogoju izreka 3.2.15, center v izhodišču oz. prvi integral oblike (2.45). V primeru 1) je sistem (3.34) enak ( ) ˙ x = x 1 − a 30 x 3 − xy 2 + b 03( b 12 − 2) y 3 , 2 b 12 − 1 ( ) (3.53) ˙ y = −y 1 + a 30( b 12 − 2) x 3 − b . 2 b 12 xy 2 − b 03 y 3 12 − 1 Sistem (3.53) ima algebraično invariantno krivuljo f 1 = 1 − a 30 x 3 + (1 − 2 b 12) xy 2 − b 03 y 3 = 0, z ustreznim kofaktorjem k 1 = − 3 a 30 x 3 − xy 2 + 2 b 12 xy 2 + 3 b 03 y 3 in odtod konstruiramo analitični prvi integral 1 −b 12 H = xyf 2 b 12 − 1 , 1 ki je oblike (2.45). V primeru 2) je sistem enak dx dy = x(1 − a 30 x 3 − xy 2) , = −y(1 − b 30 x 3 − 2 xy 2) . (3.54) dt dt Z uvedbo novih koordinat u = x 3, v = xy 2 postane ta sistem du dv = 3 u(1 − a 30 u − v) , = v( − 1 + (2 b 30 − a 30) u + 3 v) . (3.55) dt dt Izhodišče sistema (3.55) je sedlo in sistem (3.55) je linearizabilen v izhodišču (glej [54]), t. j. obstajata potenčni vrsti x = uf ( u, v), Y = vg( u, v) z f (0 , 0) = g(0 , 0) = 1, da je sistem (3.55) v koordinatah ( X, Y ) enak dX dY = 3 X, = −Y. dt dt Tako je sistem (3.54) s transformacijo 1 1 ξ = X 3 = xf 3 , (3.56) 1 1 η = X− 16 Y 2 = yf − 16 g 2 , kjer je f = f ( x 3 , xy 2), g = g( x 3 , xy 2), transformiran v linearni sistem dξ dη = ξ, = −η, dt dt ki ima prvi integral ¯ Ψ( ξ, η) = ξη. Od tod dobimo z uporabo (3.56) prvi integral sistema (3.54), ki je oblike (2.45). 3.2 Zvezni sistemi 157 V primeru 3) je sistem oblike ˙ x = x − x 2 y 2 − a 03 xy 3 , ˙ y = −y + b 12 xy 3 + b 03 y 4 . (3.57) S substitucijo (3.38) dobimo sistem ˙ u = −u + (2 b 12 − 1) u 2 + (2 b 03 − a 03) uv, ˙ v = − 3 v + 3 b 12 uv + 3 b 03 v 2 . (3.58) Če izračunamo normalno formo sistema (3.58), vidimo, da je koeficient v resonantnem členu aξ 3 enak nič in zato je normalna forma oblike (3.40). S podobnim razmislekom kot v primeru 3) izreka 3.2.14 ugotovimo, da ima sistem (3.57) prvi integral oblike (2.45). Sistem (3.34), ki zadošča pogojem primera 4), je oblike ˙ x = x(1 − b 30 x 3 − xy 2 − 2 b 03 y 3) , ˙ y = −y(1 − b 30 x 3 − 2 xy 2 − b 03 y 3) (3.59) 2 in ima algebraično invariantno krivuljo f = 0, kjer je f = 4 − 24 xy 2 + 18 b 30 x 4 y 2 − 54 b 03 b 30 x 3 y 3 + 27 b 03 b 230 x 6 y 3 + 36 x 2 y 4 + 54 b 03 b 30 x 4 y 5 + 54 b 203 b 30 x 3 y 6 , z ustreznim kofaktorjem k = 6 xy 2. Inverzni integrirajoči množitelj sistema (3.59) je podan z V = ( xy) − 2 f . Obstoj analitičnega prvega integrala v okolici izhodišča je zagotovljen s točko ( i) leme 2.2.41. V primeru 5) je ustrezni sistem 27 x 4 ˙ x = x + − 27 x 3 y − x 2 y 2 − a 03 xy 3 , 128 a 2 64 a 03 03 (3.60) 7 xy 3 ˙ y = −y − 27 x 3 y + − 4 a 03 y 4 . 512 a 2 8 03 Za sistem (3.60) najdemo samo eno algebraično invariantno krivuljo 27 x 3 f 1 = 1 + − 9 x 2 y − 3 xy 2 + 4 a 03 y 3 = 0 , 128 a 2 16 a 2 03 03 s kofaktorjem 3(3 x − 8 a 03 y)(9 x 2 + 16 a 03 xy + 64 a 2 y 2) k 03 1 = . 128 a 203 Krivulja f 1 = 0 in obe invariantni premici x = 0 in y = 0 ne zadoščajo za konstrukcijo Darbo- uxjevega prvega ali Darbouxjevega integrirajočega množitelja. Za dokaz zadostnosti teh pogojev uporabimo trditev 2.2.51. Vpeljemo novi koordinati z in w tako, da je 512 a 3 y 3 z 3 = 03 , 3(1024 a 2 + 135 x 3 − 216 a xy 2 + 1536 a 3 y 3) 03 03 x 2 y − 960 a 2 03 03 (3.61) − 9 x 3 w 3 = . 1024 a 2 + 135 x 3 − 216 a xy 2 + 1536 a 3 y 3) 03 03 x 2 y − 960 a 2 03 03 158 3 Primeri uporabe polinomskih idealov Potem je − 1024 a 2 w 3 x 3 = 03 , 9(1 − 9 z 3 − 15 z 2 w + 9 zw 2 + 15 w 3) (3.62) 6 z 3 y 3 = . a 03(1 − 9 z 3 − 15 z 2 w + 9 zw 2 + 15 w 3) S spremembo časa dt = (1 − 9 z 3 − 15 z 2 w + 9 zw 2 + 15 w 3) dT dobimo sistem dz dw = −z(1 + h) , = w(1 − h) , (3.63) dT dT kjer je h = 3( z − w)(2 z 2 + 2 w 2 − 45 z 5 − 117 z 4 w − 94 z 3 w 2 − 94 z 2 w 3 − 117 zw 4 − 45 w 5) . Očitno je sistem (3.63) invarianten glede na transformacijo z → w, w → z, T → −T, in zato ima po trditvi 2.2.51 sistem (3.60) center v izhodišču. Sistem (3.34), ki zadošča pogojem 6), je oblike a 2 8 ˙ x = x(1 + 21 x 3 − a 21 x 2 y − xy 2 − 4 y 3) , ˙ y = y( − 1 + y 3) . (3.64) 4 a 21 a 21 Sistem ima algebraična parcialna integrala a 2 f 21 1 = 1 − 8 y 3 , f 2 = 1 + x 3 − 3 a 21 x 2 y a 21 4 2 z ustreznima kofaktorjema 24 3 k 1 = y 3 , k 2 = a 21 x 2( a 21 x − 2 y) , a 21 4 5 2 s pomočjo katerih konstruiramo inverzni integrirajoči množitelj V = ( xy)2 f 6 f 3 . Če množimo 1 2 5 2 obe enačbi sistema (3.64) z f 6 f 3 , dobimo sistem 1 2 ˙ x = P ( x, y) , ˙ y = Q( x, y) , ki ima inverzni integrirajoči množitelj V = ( xy)2 in koeficienta pred x 2 y v P ( x, y) in xy 2 v Q( x, y) sta ničelna. Tako ima sistem (3.64) po lemi 2.2.41 prvi integral oblike (2.45). V primeru 7) je sistem oblike (3.34) a 2 ˙ x = x(1 + 21 x 3 − a 21 x 2 y − xy 2 − 4 y 3) , ˙ y = y( − 1 − 8 y 3) (3.65) 4 a 21 a 21 in ima algebraična parcialna integrala 8 a 2 8 f 21 1 = 1 + y 3 , f 2 = 1 + x 3 − 3 a 21 x 2 y + y 3 a 21 4 2 a 21 3.2 Zvezni sistemi 159 z ustreznima kofaktorjema 3 k 1 = − 24 y 3 , k 2 = ( a 21 x 2 + 2 a 21 xy + 8 y 2)( a 21 x − 4 y) . a 21 4 a 21 − 1 2 Sistem (3.65) ima inverzni integrirajoči množitelj V = ( xy)2 f 6 f 3 . S podobnim argumentom 1 2 kot v primeru 6) in z uporabo leme 2.2.41 vidimo, da ima sistem (3.65) prvi integral oblike (2.45). Opomba 3.2.16 Nekatere funkcije, ki nastopajo v dokazih izrekov 3.2.14 in 3.2.15, niso defi- nirane za specifiˇ cne vrednosti parametrov. Obstoj analitiˇ cnega prvega integrala za te specifiˇ cne vrednosti sledi iz dejstva, da je mnoˇ zica vseh sistemov (3.34) s centrom zaprta mnoˇ zica v topo- logiji Zariskega in iz podobnega izraˇ cuna, kot smo ga izvedli v dokazu primera 1) izreka 3.2.14. Izrek 3.2.17 Sistem (3.34) z a 12 = b 21 = 0 ima center v izhodišču natanko tedaj, ko zadošča enemu izmed pogojev: 1) b 03 = a 03 = a 21 = 0 ; 2) a 30 a 03 − b 30 b 03 = a 30 b 3 − a 3 b a = 0 ; 12 21 03 = a 3 21 03 − b 30 b 3 12 3) b 12 = b 30 = a 30 = 0 ; 4) 2 a 03 + b 03 = a 30 + 2 b 30 = 0 ; 5) a 03 − 2 b 03 = 2 a 30 − b 30 = 2 a 21 b 12 − 9 b 30 b 03 = 0 . Dokaz. V primeru 1) dobimo sistem ˙ x = x − a 30 x 4 , ˙ y = −y + b 30 x 3 y + b 12 xy 3 , (3.66) ki s transformacijo (3.12) postane ˙ z = 2 z − b 12 y 3 z 2 − a 30 y 3 z 4 − b 30 y 3 z 4 , ˙ y = −y + b 12 y 4 z + b 30 y 4 z 3 . (3.67) Izračunamo ˙ H = ( ∂H/∂z) F 1 + ( ∂H/∂y) F 2 in koeficient vsake stopnje spremenljivke y enačimo z nič. S tem dobimo naslednjo rekurzivno diferencialno enačbo za fk: ( k − 3) z( b 12 + b 30 z 2) fk− 3 − z( b 12 + ( a 30 + b 30) z 2) f′ − k− 3 kfk + 2 zf ′k = 0 . Za k = 2 dobimo rešitev f 2 = Cz in za k = 3 , . . . , 8 dobimo zelo podobne rešitve kot v primeru 10) izreka 3.2.14, zato poteka dokaz na podoben način kot tam in ga lahko bralec sam enostavno izpelje. Torej je vsak polinom fk oblike fk = zQk− 2, kjer je Qk− 2 neki polinom stopnje k največ k − 2, ki je v primeru, da je k sodi, brez člena z monomom z − 1 2 . Zatorej je prvi integral sistema (3.67) enak ∞ ∑ ∞ ∑ H( z, y) = zQk− 2( z) yk = zy 2 + zQk− 2( z) yk k=2 k=3 in prvi integral sistema (3.66) je oblike (2.45). 160 3 Primeri uporabe polinomskih idealov Sistem, ki zadošča pogojem 2), je časovno reverzibilen, saj pogoji 2) določajo raznoterost ideala Isym| = ⟨a − a 3 − b 3 a 03 a 30 − b 03 b 30 , a 30 b 3 12= b 21=0 12 21 b 03 , a 03 a 3 21 12 b 30 ⟩. Primer 3) dobimo iz primera 1) z involucijo akj ↔ bjk. V primeru 4) ima sistem (3.34) obliko ˙ x = x(1 + 2 b 30 x 3 − a 21 x 2 y − a 03 y 3) , ˙ y = −y(1 − b 30 x 3 − b 12 xy 2 + 2 a 03 y 3) . in ima invariantno krivuljo f = 0, kjer je f = 1 + 2 b 30 x 3 − 2 a 21 x 2 y − 2 b 12 xy 2 + 2 a 03 y 3 , s kofaktorjem k = 2(3 b 30 x 3 − a 21 x 2 y + b 12 xy 2 − 3 a 03 y 3). Lahko konstruiramo Darbouxjev prvi integral H = xyf − 1 / 2, ki je analitični prvi integral oblike (2.45). Sistem (3.34), ki zadošča pogojem primera 5), ima obliko ( ) ( ) ˙ x = x 1 − a 30 x 3 − a 21 x 2 y − 2 a 21 b 12 y 3 , ˙ y = −y 1 − 2 a y 3 . (3.68) 9 a 30 30 x 3 − b 12 xy 2 − a 21 b 12 9 a 30 Sistem (3.68) ima invariantni krivulji f 1 = 0 in f 2 = 0, kjer sta a 2 b 12 f 21 1 = 1 − 2 a 21 x 2 y − 2 b 12 xy 2 + 3 a 30 b 12 x 4 y 2 + 2 a 21 b 12 x 3 y 3 + x 2 y 4 3 a 30 in f 2 = − 18 a 21 a 230 + 54 a 221 a 230 x 2 y + 54 a 21 a 230 b 12 xy 2 − 27 a 321 a 230 x 4 y 2 − 81 a 21 a 330 b 12 x 4 y 2 − 9 a 421 a 30 x 3 y 3 − 54 a 221 a 230 b 12 x 3 y 3 − 81 a 330 b 212 x 3 y 3 + 27 a 221 a 330 b 12 x 6 y 3 + 81 a 430 b 212 x 6 y 3 − 9 a 321 a 30 b 12 x 2 y 4 − 27 a 21 a 230 b 212 x 2 y 4 + 27 a 321 a 230 b 12 x 5 y 4 + 81 a 21 a 330 b 212 x 5 y 4 +9 a 421 a 30 b 12 x 4 y 5 + 27 a 221 a 230 b 212 x 4 y 5 + a 521 b 12 x 3 y 6 + 3 a 321 a 30 b 212 x 3 y 6 in ustrezna kofaktorja sta k 1 = − 2 xy( a 21 x−b 12 y) in k 2 = − 3 xy( a 21 x−b 12 y). Ker je 3 k 1 − 2 k 2 = 0, je Darbouxjev prvi integral enak H( x, y) = f 3 1 f − 2 . 2 Kot smo že zgoraj navedli, so pogoji v izrekih 3.2.14–3.2.17 reducirani, saj sta parametra a 12 in b 21 fiksna (imata vrednost ena). Čeprav s temi pogoji načeloma popolnoma rešimo pro- blem centra, je lahko včasih pomembno poiskati pogoje za cel sistem brez omejitve parametrov. V [39] avtorica predlaga pristop za iskanje pogojev za center splošnega kompleksnega sistema (2.44) ob predpostavki, da je problem že rešen za nekatere fiksne parametre (kot npr. zgoraj). Geometrijsko fiksiranje enega parametra pomeni, da sekamo centralno raznoterost s hiperrav- nino. Z uporabo metode, predlagane v [39], lahko konstruiramo celotno centralno raznoterost iz presekov s hiperravninami. Ko imamo rešitev problema kompleksnega centra za sistem (3.34), lahko enostavno prido- bimo pogoje za ustrezen realni sistem četrte stopnje iz pogojev za kompleksni center in sicer s substitucijo: a 30 = A 30 + iB 30 , a 21 = A 21 + iB 21 , (3.69) a 12 = A 12 + iB 12 , a 03 = A 03 + iB 03 . 3.2 Zvezni sistemi 161 Obravnavamo enačbo ˙ x = ix(1 − a 30 x 3 − a 21 x 2 ¯ x − a 12 x¯ x 2 − a 03 ¯ x 3) . (3.70) Izvedemo substitucije (3.69) in x = u + iv v (3.70) ter ločimo realni in imaginarni del enačbe (3.70). Tako dobimo realni sistem oblike (2.41), t. j. ˙ u = −v + α 40 u 4 + α 31 u 3 v + α 22 u 2 v 2 + α 13 uv 3 + α 04 v 4 , (3.71) ˙ v = u + β 40 u 4 + β 31 u 3 v + β 22 u 2 v 2 + β 13 uv 3 + β 04 v 4 , kjer je α 40 = B 30 + B 21 + B 12 + B 03 , β 40 = −( A 30 + A 21 + A 12 + A 03) , α 31 = 4 A 30 + 2 A 21 − 2 A 03 , β 31 = 4 B 30 + 2 B 21 − 2 B 03 , α 22 = − 6 B 30 + 2 B 12 , β 22 = 6 A 30 − 2 A 12 , α 13 = − 4 A 30 + 2 A 21 − 2 A 03 , β 13 = − 4 B 30 + 2 B 21 − 2 B 03 , α 04 = B 30 − B 21 + B 12 − B 03 , β 40 = −( A 30 − A 21 + A 12 − A 03) . Realna centralna raznoterost sistema (3.71) (t. j. množica parametrov sistema (3.71), za katere ima sistem (3.71) center v izhodišču) je, kot smo videli že v prejšnjem podrazdelku, lahko izračunana s pomočjo komponent centralne raznoterosti ustreznega kompleksnega sistema (3.34) in to je lahko izhodišče za obravnavo bifurkacij limitnih ciklov v tej družini polinomskih sistemov. Videli smo že, da se zanimive bifurkacije pojavijo v okolici centralne raznoterosti. Zato, ko imamo rešitev problema centra celega sistema brez restrikcij na parametrih, lahko dobimo realno centralno raznoterost in obravnavamo limitne cikle, ki bifurcirajo iz vsake komponente centralne raznoterosti realnega sistema (3.71), podobno kot smo to naredili v prejšnjem podrazdelku za kubični sistem. 3.2.4 Problem centra v druˇ zini trirazseˇ znih sistemov NDE Obravnavamo družino trirazsežnih sistemov navadnih diferencialnih enačb ˙ u = −v + au 2 + av 2 + cuw + dvw, ˙ v = u + bu 2 + bv 2 + euw + f vw, (3.72) ˙ w = −w + Su 2 + Sv 2 + T uw + U vw, za katero z uporabo pristopa, opisanega na strani 89, poiščemo pogoje za nastop centra na centralni mnogoterosti. Izrek 2.2.21 nam zagotovi, da je izhodišče sistema (3.72) center za X | W C, kjer je X ustrezno vektorsko polje, definirano z (2.29), natanko tedaj, ko X premore realni analitični prvi integral oblike (2.30). V našem primeru iščemo pogoje s pomočjo funkcije 16 ∑ Φ = Φ ( u, v, w) = u 2 + v 2 + φjkl · ujvkwl j+ k+ l≥ 3 z neznanimi koeficienti φjkl, ki mora ustrezati enačbi (2.31). Izračune izvedemo v Mathematici. Ko vstavimo Φ v izraz, ki je na levi strani enačbe (2.31), pogledamo koeficiente pred različnimi monomi. Koeficienti pred monomomi u, v, w in u 2, v 2, w 2, uv, uw ter vw so ničelni. Nadalje pogledamo koeficiente v kubičnih členih in jih zaradi pogoja (2.31) enačimo z nič. Tako dobimo naslednji sistem enačb: 162 3 Primeri uporabe polinomskih idealov 2 a + φ 210 = 2 c + φ 111 − φ 201 = φ 012 − 2 φ 102 = − 3 φ 003 = 2 b + 2 φ 120 − 3 φ 300 = 2 d + 2 e + 2 φ 021 − φ 111 − 2 φ 201 = − 2 φ 012 − φ 102 = 2 a + 3 φ 030 − 2 φ 210 = 2 f − φ 021 − φ 111 = 2 b − φ 120 = 0, od koder lahko hitro izračunamo vse koeficiente φjkl, kjer je j + k + l = 3. Pri naslednjem koraku pogledamo koeficiente v členih četrte stopnje in podobno kot zgoraj dobimo sistem enačb: 4 ab + 2 / 5(3 c + d + e + 2 f ) S + φ 310 = 6 bc − 2 ae − 2 / 5 b(2 c − d − e − 2 f ) + 4 / 5 a(3 c + d + e + 2 f ) + 2 / 5(3 c + d + e + 2 f ) T + φ 211 − φ 301 = −(2 / 5) e(2 c − d − e − 2 f ) + 4 / 5 c(3 c + d + e + 2 f ) + φ 112 − 2 φ 202 = φ 013 − 3 φ 103 = − 4 φ 004 = − 4 a 2 + 4 b 2 − 2 / 5(2 c − d − e − 2 f ) S + 2 φ 220 − 4 φ 400 = − 4 ac + 6 bd + 4 be − 2 / 5 a(2 c − d − e − 2 f) − 2 af + 4 / 5 b(2 c − d − e + 3 f) − 2 / 5(2 c − d − e − 2 f) T + 2 / 5(3 c + d + e + 2 f ) U + 2 φ 121 − φ 211 − 3 φ 301 = −(2 / 5) c(2 c − d − e − 2 f ) − 2 / 5(2 c − d − e − 2 f ) f + 4 / 5 d(3 c + d + e + 2 f ) + 4 / 5 e(2 c − d − e + 3 f ) + 2 φ 022 − 2 φ 112 − 2 φ 202 = − 3 φ 013 − φ 103 = 2 / 5(3 c + d + e + 2 f ) S + 2 / 5(2 c − d − e + 3 f ) S + 3 φ 130 − 3 φ 310 = 2 bc − 4 ad − 6 ae − 2 / 5 b(2 c − d − e − 2 f ) + 4 bf + 4 / 5 a(3 c + d + e + 2 f ) + 2 / 5(2 c − d − e + 3 f ) T − 2 / 5(2 c − d − e − 2 f ) U + 3 φ 031 − φ 121 − 2 φ 211 = −(2 / 5) d(2 c − d − e − 2 f ) + 4 / 5 f (2 c − d − e + 3 f ) − 2 φ 022 − φ 112 = − 4 a 2 + 4 b 2 − 2 / 5(2 c − d − e − 2 f) S + 4 φ 040 − 2 φ 220 = 2 bd − 2 / 5 a(2 c − d − e − 2 f) − 6 af + 4 / 5 b(2 c−d−e+3 f )+2 / 5(2 c−d−e+3 f ) U −φ 031 −φ 121 = − 4 ab+2 / 5(2 c−d−e+3 f ) S −φ 130 = 0 . Opazimo, da je ena neznanka (koeficient φjkl) v zgornjem sistemu neodvisna in jo lahko izberemo poljubno. Brez izgube za splošnost izberemo φ 400 in ji dodelimo vrednost 0. Prav tako izračun pokaže, da je sistem rešljiv ob pogoju, da je S( c + f ) = 0. Označimo s p 1 = S( c + f ). Pri naslednjem koraku izračunamo vse φjkl, kjer je j + k + l = 5. Nato pri šestem koraku ponovno dobimo sistem, kjer je en koeficient φjkl neodvisen in podobno kot prej izberemo φ 600 = 0. Podobno kot pri četrtem koraku je p 2 = 0 pogoj za rešljivost ustreznega sistema, kjer je p 2 = S(16 abc − 4 a 2 c − 676 b 2 c − 28 a 2 d + 32 abd − 12 b 2 d + 12 a 2 e + 32 abe + 28 b 2 e − 36 a 2 f − 16 abf − 644 b 2 f + 52 c 2 S + 32 cdS − 4 d 2 S + 32 ceS − 8 deS − 4 e 2 S + 88 cfS + 32 dfS + 32 ef S + 20 f 2 S − 36 acT − 48 bcT + 8 adT + 4 bdT − 12 aeT − 16 beT − 24 af T − 52 bf T + 9 cT 2 + 3 dT 2 + 3 eT 2 + 11 f T 2 + 52 acU − 24 bcU − 16 adU + 12 bdU + 4 aeU − 8 beU + 48 af U − 36 bf U − 6 cT U − 2 dT U − 2 eT U + 6 f T U + 11 cU 2 − 3 dU 2 − 3 eU 2 + 9 f U 2) . Če nadaljujemo na tak način, dobimo pri osmem koraku zopet polinom, ki ga označimo s p 3 in ki predstavlja pogoj p 3 = 0, pod katerim je sistem rešljiv; pri desetem koraku dobimo polinom p 4 in podobno še pri dvanajstem, štirinajstem koraku dobimo p 5 in p 6. Polinomov p 3 , . . . , p 6 nismo izpisali, ker so predolgi. Iz pogoja p 1 = 0 vidimo, da je bodisi S = 0 ali c = −f . Če je S = 0, imajo tudi vsi ostali polinomi pi vrednost nič. Torej je S = 0 pogoj za nastop centra v izhodišču sistema (3.72) na centralni mnogoterosti in lahko zapišemo naslednji izrek. Izrek 3.2.18 ˇ Ce je v sistemu (3.72) S = 0 , ima ta sistem center v izhodiˇ sˇ cu na lokalni centralni mnogoterosti. Dokaz. Če je S = 0, ima sistem (3.72) obliko ˙ u = −v + au 2 + av 2 + cuw + dvw, ˙ v = u + bu 2 + bv 2 + euw + f vw, (3.73) ˙ w = −w + T uw + U vw. 3.2 Zvezni sistemi 163 Centralna mnogoterost za ta sistem je w = 0 in ustrezni dvorazsežni sistem na tej centralni mnogoterosti je ˙ u = −v + au 2 + av 2 , ˙ v = u + bu 2 + bv 2 (3.74) in ima center v izhodišču za vse a, b ∈ R (glej [36, izrek 2]). Nadaljujemo s pogojem c + f = 0 in predpostavko, da je S ̸= 0. Če koordinato w pomnožimo z 1 /S, lahko prav tako predpostavimo, da je S = 1. Ko vstavimo c = −f in S = 1 v polinome p 2 , . . . , p 7, dobimo ˜ p 2 , . . . , ˜ p 7. V Singularju poskušamo izračunati ireducilno dekompozicijo raznoterosti V(˜ p 2 , . . . , ˜ p 7) in vidimo, da so izračuni pretežki. Zato podamo dodatne omejitve. To naredimo na dva načina: prvič predpostavimo, da je a = b = 0 in drugič, da je c − f = d + e = 0. Izvedemo dva ločena izračuna v Singularju in dobimo naslednji rezultat. Izrek 3.2.19 Sistem (3.72) ima center v izhodiˇ sˇ cu za X | W C, če velja eden od naslednjih po- gojev: (a) a = b = c + f = 8 c + T 2 − U 2 = 4( e − d) − T 2 U 2 = 2( e + d) + T U = 0 in S = 1; (b) a = b = c = f = d + e = 0 in S = 1; (c) d + e = c = f = T − 2 a = U − 2 b = 0 in S = 1; (č) c = d = e = f = 0 in S = 1 . Dokaz. Če vstavimo pogoj (a) v sistem (3.72) in označimo α = T −U in β = T + U , dobimo 2 2 sistem ˙ u = −v − 1 αβuw − 1 β 2 vw, 2 2 1 1 ˙ v = u + α 2 uw + αβvw, (3.75) 2 2 ˙ w = −w + u 2 + v 2 + ( α + β) uw + ( β − α) vw, Iskanje algebraičnih invariantnih ploskev nas pripelje do eksplicitne enačbe centralne mnogote- rosti W c, ki je podana z w = u 2+ v 2 . Vstavimo izraz za w v sistem (3.75) in dobimo sistem 1 −αu−βv ˙ u = −v − β( αu + βv)( u 2 + v 2) , 2(1 − αu − βv) α( αu + βv)( u 2 + v 2) ˙ v = u + , 2(1 − αu − βv) kar prinese, da je v lokalnih koordinatah blizu izhodišča ( αu + βv − 1) X | W C enak ( ) ˙ u = v − ( αu + βv) v − 1 β ( αu + βv) u 2 + v 2 , 2 (3.76) 1 ( ) ˙ v = −u + ( αu + βv) u + α ( αu + βv) u 2 + v 2 . 2 Oblika sistema narekuje simetrijo glede na radialno premico, ki je pravokotna premici αu + βv = 0. Z rotacijo α β α u = √ U − β √ V, v = √ U + √ V α 2 + β 2 α 2 + β 2 α 2 + β 2 α 2 + β 2 164 3 Primeri uporabe polinomskih idealov sistem (3.76) postane √ √ ˙ α 2 + β 2 U = V − α 2 + β 2 U V, ˙ V = −U + α 2 + β 2 U 2 + U ( U 2 + V 2) 2 in je neobčutljiv na spremembo ( U, V, t) → ( U, −V, −t), kar pomeni, da je časovno reverzibilen in ima zato center v izhodišču. Za primer (b) dobimo sistem ˙ u = −v + dvw, ˙ v = u − duw, (3.77) ˙ w = −w + u 2 + v 2 + ( T u + U v) w, ki ima prvi integral Φ( u, v) = u 2 + v 2. Sistem (3.72) s pogojem iz (c) postane ˙ u = −v + au 2 + av 2 + dvw, ˙ v = u + bu 2 + bv 2 − duw, (3.78) ˙ w = −w + u 2 + v 2 + 2 auw + 2 bvw. Ta sistem ima centralno mnogoterost w = u 2 + v 2. Če vstavimo izraz za w v sistem (3.78), dobimo sistem ˙ u = −v + ( a + dv)( u 2 + v 2) , ˙ v = u + ( b − du)( u 2 + v 2) , ki ga z rotacijo a b a u = √ U − b √ V, v = √ U + √ V a 2 + b 2 a 2 + b 2 a 2 + b 2 a 2 + b 2 prevedemo v sistem √ ˙ U = −V + ( a 2 + b 2 + dV )( U 2 + V 2) , ˙ V = U − dU ( U 2 + V 2) . Ta sistem je neobčutljiv na transformacijo ( U, V, t) → ( −U, V, −t), zato je časovno reverzibilen in ima posledično center v izhodišču. V primeru (č) ima sistem (3.72) obliko ˙ u = −v + au 2 + av 2 , ˙ v = u + bu 2 + bv 2 , (3.79) ˙ w = −w + u 2 + v 2 + T uw + U vw in ima centralno mnogoterost ( ) 1 T U w = u 3( − 2 a + 2 b + T − U ) + u 2 v −a − b + + 2 2 2 ( ) ( ) T T U + uv 2 −a + b + − U + v 3 −a − b + + + u 2 + v 2 , 2 2 2 2 3.3 Diskretni sistemi 165 na kateri je ta sistem enak sistemu (3.74), ki ima center v izhodišču. V dokazih izrekov 3.2.18 in 3.2.19 smo videli, da nam centralna mnogoterost zagotovi zmanjšanje razsežnosti sistema, o čemer smo govorili v razdelku 2.2.2 (glej str. 86). V [36] so avtorji obravnavali problem centra na centralni mnogoterosti za sistem (3.72) in pridobili enake pogoje, kot so v izrekih 3.2.18 in 3.2.19. Dokaza zgoraj sta deloma povzeta po dokazih v [36]. Pogoje, ki so jih pridobili, so izračunali na nekoliko drugačen način, s kom- pleksifikacijo, podobno, kot smo zgoraj pridobili pogoje za dvorazsežni sistem. Namreč, če v sistem (2.26) vpeljemo kompleksno spremenljivko x = u + iv, sta prvi dve enačbi sistema (2.26) enakovredni enačbi ˙ x = ix + X( x, ¯ x, w), kjer je X vsota homogenih polinomov stopenj med 2 in N . Podobno kot na str. 93 dodamo tej enačbi njeno konjugirano enačbo, povsod zamenjamo ¯ x z y, ki ga obravnavamo kot neodvisno kompleksno spremenljivko in zamenjamo w z z. Dobimo kompleksifikacijo sistema (2.26), N ∑ ˙ x = ix + apqrxpyqzr, p+ q+ r N ∑ ˙ y = − iy + bpqrxpyqzr, (3.80) p+ q+ r N ∑ ˙ z = − λz + cpqrxpyqzr, p+ q+ r ∑ kjer je b N pqr = ¯ apqr, za koeficiente cpqr pa zahtevamo, da je vsota c p+ q+ r pqr xp ¯ xqwr za vsak x ∈ C in vsak w ∈ R realna. Naj Y označuje sistemu (3.80) pripadajoče vektorsko polje v C3. Obstoj prvega integrala (2.30) za sistem v družini (2.26) je zagotovljen z obstojem prvega integrala ∑ Ψ( x, y, z) = xy + vjklxjykzℓ (3.81) j+ k+ ℓ=3 za ustrezen sistem v družini (3.80). Podobno kot pri dvorazsežnih sistemih lahko obravnavamo obstoj prvega integrala Ψ za sistem v družini (3.80) z izračunom koeficientov funkcije YΨ in nato z iskanjem njihove raznoterosti. Za sistem (3.80) lahko vedno najdemo funkcijo Ψ oblike (3.81), ki zadošča enačbi YΨ( x, y, z) = g 110 xy + g 220( xy)2 + g 330( xy)3 + · · · . Koeficienti gkk 0 so fokusne količine in njihova raznoterost predstavlja potrebne pogoje za obstoj prvega integrala oblike (3.81) sistema (3.80) (glej [36] za več podrobnosti). 3.3 Diskretni sistemi V tem razdelku obravnavamo centralne raznoterosti in bifurkacije limitnih ciklov sistemov (2.130). V veliki meri je to poglavje povzeto po originalnih člankih avtorjev [92] in [93]. Podobna pro- blematika je obravnavana že v [105] in [111]. V nekaterih primerih je dosežena zgornja vrednost zmogljivosti sodobnih računalnikov in algebrskih računskih sistemov. S podobnim pristopom (glej razdelek 2.3) je mogoče obravnavati tudi preslikave (2.131). Za razrešitev zahtevnejših primerov bi bilo treba uporabiti drugačen pristop. 166 3 Primeri uporabe polinomskih idealov Obdelani so sistemi oblike (2.130), ki izhajajo iz enačbe (2.139). Obravnavamo centralne raznoterosti preslikav y = f ( x) , ki izhajajo iz enačb (2.139), in njim pripadajoče ideale ter cikličnost na centru. Obravnavamo tudi posplošitev izreka 2.1 iz [20] za ocenjevanje cikličnosti v smislu prenosa ideje iz teorije NDE na preslikave (2.130). Posplošeni izrek potrdimo na nekaterih znanih in novih primerih. Ključ dokaza posplošenega izreka 3.3.4 je (v primerjavi z zveznim primerom) podobna zveza med Ljapunovimi koeficienti in podobna oblika le-teh. Pri dokazu lahko zato uporabimo enako linearno algebro, kot v [20], kjer so obravnavani zvezni sistemi. Glede na to, kateri nelinearni členi so prisotni v enačbi Ψ( x, y) = 0, bomo uporabljali oznake iz [92] in [93]. Če y = f ( x) izvira iz enačbe Ψ( x, y) = 0 in je Ψ( x, y) = x + y + Ax 2 + Bxy + Cy 2 , (3.82) uporabimo oznako 2. Za y = f ( x) in Ψ( x, y) = x + y + Dx 4 + Ex 3 y + F x 2 y 2 + Gxy 3 + Hy 4 , (3.83) uporabimo oznako 0:0:4. Za y = f ( x) in Ψ( x, y) = x + y + Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx 3 + Ex 2 y + F xy 2 + Gy 3 (3.84) uporabimo oznako 2:3. Za y = f ( x) in Ψ( x, y) = x + y + Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx 4 + Ex 3 y + F x 2 y 2 + Gxy 3 + Hw 4 (3.85) uporabimo oznako 2:0:4. Cikličnost preslikav (2.130) tipa 2, 0:0:4 in 2:3 s fokusom v izhodišču je bila obravnavana že v [105, 111]. Samo v primeru 2, ki je najenostavnejši in je bil tudi kronološko prvi obrav- navan v [127], je pripadajoči ideal ⟨g 2 , g 4 , . . . , g 2 k, . . .⟩ korenski. Posledično je to edini primer, za katerega lahko uporabimo izrek 3.3.4 v celoti oziroma trditev 3.3.5 in/ali trditev 3.2.7. V vseh drugih primerih ima pripadajoči ideal ⟨g 2 , g 4 , . . . , g 2 k, . . .⟩ v primarni dekompoziciji nekaj korenskih in nekaj nekorenskih komponent. V teh primerih lahko za oceno cikličnosti uporabimo samo prvi del izreka 3.3.4 oz. ocenimo cikličnost s pomočjo trditve 3.2.7. Kljub zmogljivosti sodobnih računalnikov in programa Singular izračuni primarne dekompozicije ideala centralne raznoterosti v primeru 2:3 v literaturi še niso obdelani. Če je pripadajoči ideal korenski, so rezultati, ki sledijo iz izreka 3.3.4 natančni, drugače pa lahko uporabimo samo prvi del izreka, ki nam da oceno cikličnosti, ki je veljavna lokalno (v smislu razvoja v Taylorjevo vrsto). Torej, prvi del izreka 3.3.4 velja lokalno tudi na nekorenskih komponentah, kar je njegova glavna prednost. Rezultati iz primarne dekompozicije v primerih 0:0:4 in 2:0:4 so za analizo cikličnosti uporabljeni na enak način kot npr. v [45] in [75]. V smislu zgornjih oznak so v [92] na podoben način obravnavani še primeri 0:0:0:0:6, 0:0:0:0:0:0:8 in 0:0:0:0:0:0:0:0:10. Sode homogene primere višjih stopenj iz očitnih razlo- gov raje imenujemo kar glede na stopnjo homogenosti n = 6 , 8 , 10 itd. Nazadnje so obravnavani tudi splošni primeri n = 2 ℓ, ℓ ∈ N. Na osnovi rezultatov za n = 2 , 4 , 6 , 8 in 10 sta za pogoje centralne mnogoterosti in cikličnosti iz centra induktivno postavljeni domnevi. Za ugotavljanje cikličnosti v okolici fokusa je odgovor, kot vidimo v naslednji trditvi, dokaj preprost. Trditev 3.3.1 ˇ Ce ima preslikava fα∗ v izhodišču fokus reda k, je cikličnost v x = 0 vsaj k − 1 . 3.3 Diskretni sistemi 167 Prav tako z ugotavljanjem cikličnosti in s pogoji centralne mnogoterosti v lihih homogenoh primerih 0:3, 0:0:0:5, 0:0:0:0:0:7, ... torej za n = 2 ℓ + 1, ℓ ∈ N, kot vidimo v naslednjem izreku, ni težav. Izrek 3.3.2 Polinom doloˇ cen z (3.95) za lihe n porodi preslikavo (2.130) s centrom v izhodiˇ sˇ cu natanko tedaj, ko je ∑ ( − 1) j αlj = 0 . l+ j= n Cikliˇ cnost iz centra je za vse n = 2 ℓ + 1 , ℓ ∈ N , enaka nič. Izrek 3.3.2, ki je dokazan v ([105, izrek 2.4]), skupaj s pogoji centra in cikličnosti za primere n = 2 in n = 4 nakazujejo, da za višje homogene sode primere koeficiente A, B, C, D, E, F , G, H iz enačb (3.82), (3.83) označimo z indeksi, kot je nakazano v (2.139). V primerih n = 6 , 8 , 10 bomo namesto αij uporabili Aij za elemente iz prostora parametrov A. Naš končni cilj v tem razdelku bo torej obravnava cikličnosti iz centra v sodih primerih. 3.3.1 Posploˇ sitev izreka o cikliˇ cnosti komponent centralne raznoterosti in sploˇ sni rezultati o cikliˇ cnosti Izrek 2.1 v [20] poda zgornjo mejo limitnih ciklov pri bifurkacijah iz komponent centralne ra- ∞ ∑ znoterosti sistema NDE (2.41). Avtor obravnava povratno preslikavo h( c) = c + βici, ki i=1 pripada sistemu (2.41). Koeficienti βi so polinomi v prostoru parametrov in izhajajo iz sistema NDE; torej iz koeficientov polinomov b P ( u, v) ter b Q ( u, v). Vemo, da limitni cikli sistema (2.41) pripadajo izoliranim ničlam preslikave h( c) − c, ki smo jo imenovali funkcija razlike. Obravnava funkcije razlike torej odgovori na vprašanje cikličnosti: treba je obravnavati koeficiente ai in nji- hove skupne ničle ali natančneje ideal, ki ga vsi koeficienti βi generirajo ter njemu pripadajočo raznoterost. Avtor v [20] definira Ljapunove koliˇ cine L ( i), ki so odvisne od koeficientov βi. Z namenom ocenjevanja cikličnosti iz (posameznih ireducibilnih komponent) centralne raznotero- sti, predlaga izbiro (generične) točke na vsaki komponenti in linearizacijo Ljapunovih količin okrog te generične točke. Seveda je ravno izbira te generične točke lahko ”problematična”, še posebej, če obravnavani ideal ni korenski [27, str. 173, posledica 3]. Sedaj želimo koncept Ljapunovih količin in izrek 2.1 iz [20] posplošiti na preslikave (2.130), ki izvirajo iz enačbe (2.139). Glede na [111, dokaz trditve 3] lahko funkcijo razlike (2.142), P ( x) = f 2 ( x) − x, za preslikave (2.130) izrazimo s fokusnimi količinami, g 2 k, ki so definirane v razdelku 2.3.3. To pomeni, da za obravnavo problema centra in fokusa preslikav (2.130) obstajata dva pristopa. Funkcijo razlike lahko obravnavamo direktno iz Ljapunovih količin P ( x) = f 2 ( x) − x = c 2 x 3 + c 3 x 4 + · · · in obravnavamo ideal ⟨c 2 , c 3 , . . .⟩, ali pa obravnavamo ( ∑ ) Ljapunovo funkcijo Φ ( x) = x 2 1 + ∞ b , za katero je dokazano [111] (glej tudi dokaz k=1 k xk trditve 2.3.18), da preko zveze (2.140) razlikuje med centri in fokusi preslikave (2.130). Ideal, generiran s koeficienti ck iz funkcije razlike (2.142), in ideal, generiran s fokusnimi količinami g 2 k sovpadata in pogoji g 2 = g 4 = · · · = g 2 k− 2 = 0 ter g 2 k ̸= 0 so ekvivalentni pogojem c 2 = c 3 = · · · = c 2 k− 1 = 0 ter c 2 k ̸= 0. Zato je obravnava preslikav (2.130) preko Ljapunovih količin in preko fokusnih količin enaka kot pri ravninskih sistemih NDE (2.41); glej tudi [114, posledica 6.2.7]. V [111, dokaz trditve 1] je dokazano tudi, da je V ( ⟨c 2 , c 3 , . . .⟩) = V ( ⟨g 2 , g 4 , . . .⟩) . (3.86) 168 3 Primeri uporabe polinomskih idealov Poleg tega je dokazano tudi, da lahko funkcijo razlike P ( x) vedno zapišemo v obliki P ( x) = gk xk 1 (1 + Ψ xks (1 + Ψ 1 1 ( α, x)) + · · · + gks s ( α, x)) . (3.87) Iz članka [78, trditev 2.1 in izrek 2.2] lahko sklepamo, da sta enačbi (3.86) ter (3.87) nespre- menjeni, tudi če delamo na lokalnih kolobarjih v prostoru parametrov (ki izhajajo iz potenčnih vrst pri razvoju okoli koordiantnega izhodišča). Skratka, v jeziku preslikav (2.130) Christopherjev izrek (izrek 3.2.1) temelji na analizi ideala ⟨c 2 , c 3 , . . .⟩, ki izhaja direktno iz (2.142), medtem ko posplošitev izreka [20, izrek 2.1] na preslikave (2.130) v [93] temelji na zvezi (2.22) ter na Bautinovi metodi. Če želimo posplošiti Christopherjev izrek na sisteme (2.130), je treba videti, da koefici- enti cn iz Poicaréjeve povratne preslikave za (2.130) zadoščajo enakim pogojem kot koeficienti Poicaréjeve povratne preslikave sistemov NDE (2.41). Najprej dokažimo, da koeficienti cn iz Poicaréjeve povratne preslikave R ( x) = f 2 ( x) = x + c 2 x 3 + c 3 x 4 + · · · zadoščajo enačbi (2.145); tako kot kolobar monomov M definiran v (2.144). V ta namen poglejmo izraz za f 2 ( x) in zvezo ∞ ∑ med koeficienti cn in an. Če je f ( x) = − anxn+1 in je a 0 = 1, sledi n=0 ( ) ( )2 f 2 ( x) = − −a 0 x − a 1 x 2 − · · · − a 1 −a 0 x − a 1 x 2 − · · · − · · · ( ) ( ) = a 0 x + a 1 − a 2 − 0 a 1 x 2 + a 2 a 30 2 a 0 a 21 + a 2 x 3+ ( ( ) ) + a 3 − a 40 a 3 − a 1 a 21 + 2 a 0 a 2 + 3 a 20 a 1 a 2 x 4 + · · · ( ) ( ) ( ) = x + 2 a 2 − 2 a 21 x 3 + a 1 a 2 − a 31 x 4 + a 21 a 2 − 6 a 3 a 1 + 3 a 22 + 2 a 4 x 5 + · · · Torej prvih nekaj koeficientov cn je takšnih: c 0 = ( − 1)0 · 1 · a 0 a 10 = 1 c 1 = ( − 1)0 · 1 · a 0 a 11 + ( − 1)1 · 1 · a 1 a 20 = a 1 − a 1 = 0 c 2 = ( − 1)0 · 1 a 0 · a 12 + ( − 1)1 · 2 a 1 · a 10 a 11 + ( − 1)2 · 1 a 2 · a 30 = 2 a 2 − 2 a 21 c 3 = ( − 1)0 · 1 a 0 · a 13 + ( − 1)1 · 2 a 1 · a 10 a 12 + ( − 1)1 · 1 a 1 · a 21+ + ( − 1)2 · 3 a 2 · a 20 a 11 + ( − 1)3 · 1 a 3 · a 40 = = a 1 a 2 − a 31 c 4 = 1 · a 0 a 4 − 2 a 1 a 0 a 3 − 2 a 1 a 1 a 2 + 3 a 2 a 0 a 21 + 3 a 2 a 20 a 2 − 4 a 3 a 30 a 1 + 1 · a 4 a 50 = a 21 a 2 − 6 a 3 a 1 + 3 a 22 + 2 a 4 . Iz formule ( ) ∞ ∑ ∞ ∑ n ∞ ∑ ∑ An Amxm = κk A · · · Aks x( k · m) 1 ,...,ks sAk 1 m s, 1 ms n=1 m=1 s=1 µs≤s, ki∈ Z+ m 1 <··· 0 število pozitivnih ničel enačbe G ( x, ε) = 0 blizu (0 , 0) enako 2 k. Slika 3.1: 4-kratna točka: tangentni primer. Slika 3.2: 4-kratna točka. Sedaj lahko dokažemo analog izreka 3.2.1, ki velja za preslikave (2.130). Iz enačb (3.89) in (3.90) je očitno, da (polinomski) koeficienti funkcije razlike za (2.130) tvorijo ideal, ki je generiran izključno s koeficienti c 2 k, ki jih imenujemo Ljapunove količine L ( k). To po Hilbertovem izreku ∑ o bazi pomeni, da se P ( x) da zapisati v obliki P ( x) = N c k=0 2 k x 2 k+1 (1 + Ψ ( x, α 1 , ..., αn)), ( ) kjer je Ψ 0 , ⃗ 0 = 0. Izrek 3.3.4 Naj bo α ∈ A točka na centralni raznoterosti enačbe (2.139) in naj ima prvih k funkcij c 2 k oz. glede na (3.86) g 2 k neodvisne linearne člene. Potem točka α leži na komponenti centralne raznoterosti s sorazseˇ znostjo vsaj k in obstajajo bifurkacije, ki lokalno blizu vrednosti α povzroˇ cijo k − 1 limitnih ciklov. ˇ Ce poleg tega vemo, da toˇ cka α leˇ zi na komponenti sorazseˇ znosti k, je α gladka toˇ cka razno- terosti in cikliˇ cnost centra za vrednost parametra α je natanko k − 1 . V tem primeru je k − 1 tudi cikliˇ cnost generiˇ cne toˇ cke na obravnavani komponenti. 172 3 Primeri uporabe polinomskih idealov Dokaz. Brez izgube za splošnost lahko obravnavano vrednost parametra α premaknemo v koor- dinatno izhodišče. To poenostavi račune in polinomski ideal I, generiran s prvimi k Ljapunovimi količinami, lahko obravnavamo v kolobarju potenčnih vrst R[ A], prostora parametrov A, kjer so potenčne vrste obravnavane glede na izhodišče. Ker izrek govori o lokalnih lastnostih okoli izhodišča v prostoru A, lahko izberemo koordinatni sistem tako, da prvih k Ljapunovih količin c 2 k izrazimo samo s parametri α 0 , α 1 , . . . , αk− 1. Ker so parametri αi neodvisni, lahko izberemo αk− 1 = 1 in αi = tiε 2( k−i− 1) za i < k − 1, kjer so ε, ti ∈ R. Potem je funkcija razlike (2.142) analitična funkcija spremenljivk x, ε in velja ( ) k− 1 ∑ P( x) = x tix 2 iε 2( k−i− 1) + F ( x, ε) , i=0 kjer F vsebuje samo člene višjega reda od 2 k − 1 v spremenljivkah x in ε. Koeficiente ti zaradi s ∑ neodvisnosti parametrov lahko izberemo tako, da bodo linearni členi v vsoti tix 2 iε 2( k−i− 1), i=0 s = 0 , 1 , . . . , k − 1 , imeli paroma različne rešitve. P Zato je ( x) analitična funkcija spremenljivk x, ε, ki je v okolici izhodišča 2 k− kratna in vsak x od k (kvadriranih linearnih) faktorjev ima približno rešitev x = viε + v. č. in glede na enačbo P( x) P = 0. Za majhne vrednosti ε to pomeni natanko k majhnih pozitivnih ničel enačbe ( x) = 0. x x Poleg tega opazimo, da Ljapunove količine c 2 , c 4 , . . . , c 2 k vedno zadostujejo za obravnavo enačb, ki določajo centralno raznoterost (oz. definirajo pripadajoči ideal). Po Hilbertovem izreku o bazi ideala so od nekega k− ja naprej vse Ljapunove količine L ( i) za i > k znotraj ideala I = ⟨L (2) , L (4) , ..., L (2 k) ⟩ ⊂ R[ A] in potem lahko uporabimo Bautinova rezultata (glej trditvi 3.1.2 in 3.1.4 oz. [114]). Nazadnje povejmo, da vrednosti parametrov, za katere centralna raznoterost ni gladka, ali kjer prvih k Ljapunovih količin ni linearno neodvisnih, očitno tvorijo zaprto podmnožico na centralni mnogoterosti. Izrek 3.3.4 nam torej poda oceno za cikličnost preslikav (2.130) na vsaki komponenti centralne raznoterosti. Pri analizi cikličnosti peslikav (2.130), ki izhajajo iz (2.139), pa si lahko poleg izreka 3.3.4 pomagamo tudi s spodnjo trditvijo, ki temelji na konstrukciji minimalne baze ideala, generiranega s fokusnimi količinami sistema (2.130), in ki poda zgornjo mejo za cikličnost centra v izhodišču preslikave. S pojmom minimalne baze smo se seznanili v razdelku 2.2 (glej str. 121), kjer smo obravnavali zvezne sisteme. V spodnji trditvi povežemo pojem minimalnosti ideala fokusnih količin in cikličnost centra. Naj bo G = ⟨g 2 , g 4 , g 6 , . . .⟩ ⊂ C[ α 1 , . . . , αm] ideal, generiran s fokusnimi količinami g 2 k, ki so definirane v enačbi (2.140). Z BG označimo minimalno bazo ideala G. Trditev 3.3.5 ([111]) Naj bo BG = {gk , . . . , g } in naj bosta G ⊂ C[ α , . . . , g ⟩ 1 ks 1 , . . . , αm] in ⟨gk 1 ks korenska ideala. Potem je cikliˇ cnost centra v izhodiˇ sˇ cu preslikave (2.130) kveˇ cjemu s − 1 . Dokaz trditve 3.3.5 lahko najdete v [111, p.8]. Za določevanje cikličnosti preslikave (2.130) jo uporabimo na naslednji način. Naj bo Gk ideal generiran s fokusnimi količinami g , . . . , g , s k 1 ks torej Gk = ⟨g , . . . , g ⟩. Poiščemo tak k ) , kar pomeni, da rešimo s k 1 ks s, da velja V ( G) = V ( Gks problem centra pripadajoče preslikave (2.130). Nato preverimo, če je Gk korenski. Oba pogoja s implicirata, da je G = Gk . Če to drži, je cikličnost preslikave (2.130) v izhodišču kvečjemu s enaka Bautinovi globini ideala Gk manj ena. Vidimo, da je pristop zelo podoben kot pri s 3.3 Diskretni sistemi 173 zveznih sistemih, kjer smo podobna pogoja zapisali v izreku 3.2.6. Vedno obstaja število ks, ki izpolni pogoj V ( G) = V ( Gk ) , toda drugi pogoj, da je G korenski, ni vedno izpolnjen. V s ks takem primeru je primarna dekompozija, ki jo izračunamo v Singularju, sestavljena iz parov idealov, kjer v vsaj enem paru primarni ideal in njegov pridruženi ideal nista enaka. Tako kot že pri zveznih sistemih si v tem primeru lahko pomagamo s trditvijo 3.2.7, da dobimo vrednost za cikličnost tistih preslikav, katerih parametri ležijo na raznoterosti korenskega dela ideala Gk . s 3.3.2 Potrebni in zadostni pogoji za nastop centra Zaradi samozadostnosti monografije bomo obravnavali primere 2, 0:0:4, 2:3, 2:0:4, 0:0:0:0:6, 0:0:0:0:0:0:8 in 0:0:0:0:0:0:0:0:10 ter splošni sistem, kjer v enačbi Ψ( x, y) = 0 dodamo ho- mogene monome sode stopnje n. Pogoj za nastop centra x = f ( y) oz. f ( f ( x)) = f ( y) = x je ekvivalenten zrcalni simetriji glede na premico y = x, kar lahko opišemo tudi v obliki x 7→ y, y 7→ x. Če se, na primer, vsota (2.139) konča s členi stopnje 4 (kot v primerih 2, 0:0:4, 2:3, 2:0:4), moramo obravnavati primere, kjer Ψ( x, y) vsebuje bodisi linearne, kvadratne ali pa kubične faktorje s simetrijo x 7→ y, y 7→ x (ali pa celo Ψ( x, y) premore to simetrijo v celoti). Primer 2: Primer (3.82) je prvi obravnaval in razrešil Żo ladek v [127]. Centralna raznoterost (3.82) vsebuje natanko dve ireducibilni komponenti ( i) A − B + C = 0 , ( ii) A − C = 0 . Označimo Z 4 ( A, B, C) = 13 A 2 − 32 AB + 15 B 2 + 26 AC − 16 BC − 3 C 2 , Z 6 ( A, B, C) = 150 A 4 − 743 A 3 B + 1235 A 2 B 2 − 809 AB 3 + 175 B 4 + 684 A 3 C− − 1985 A 2 BC + 1618 AB 2 C − 349 B 3 C + 616 A 2 C 2 − − 605 ABC 2 − 25 B 2 C 2 − 156 AC 3 + 317 BC 3 − 110 C 4 . Izračun fokusnih količin iz (2.140) nam da g 2 = − 2( A − C)( A − B + C) , g 4 = − g 2 · Z 4 ( A, B, C) , 4 g 2 · Z 6 ( A, B, C) g 6 = , 8 ... kar pomeni, da sta zgornja pogoja potrebna in zadostna, saj velja I = ⟨g 2 , g 4 , g 6 , ...⟩ = ⟨g 2 ⟩. Primer 0:0:4: Obravnavamo problem centra in fokusa za sisteme (2.130), ki izhajajo iz enačbe Ψ( x, y) = 0 za polinome oblike Ψ( x, y) = x + y + Hx 4 + Ix 3 y + J x 2 y 2 + Kxy 3 + Ly 4 . (3.91) 174 3 Primeri uporabe polinomskih idealov Izrek 3.3.6 Polinom (3.91) doloˇ ca center v izhodiˇ sˇ cu natanko tedaj, ko je izpolnjen eden od spodnjih pogojev: (S) s 1 = s 2 = 0 , kjer je s 1 = H − L in s 2 = I − K; (T) t 1 = 0 , kjer je t 1 = H − I + J − K + L. Dokaz. Izračunamo prvih 12 fokusnih količin g 2, g 4, . . . , g 24. Izkaže se, da je samo vsaka tretja fokusna količina neničelna. Torej: g 2 = g 4 = g 8 = g 10 = g 14 = g 16 = g 20 = g 22 = 0 (t.j. g 6 k ̸= 0). Potem reduciramo vsak neničelni polinom g 6 k tako, da ga delimo z množico polinomov, ki jo določa Gröbnerjeva baza ideala G 6( k− 1) = ⟨g 6 , . . . , g 6( k− 1) ⟩ in ostanek pri deljenju označimo z e g 6 k (pravimo, da smo polinom g 6 k reducirali po modulu Gröbnerjeve baze ideala G 6( k− 1)). V Singulaju za ta namen uporabimo ukaz (rutino) reduce (glej razdelek 1.6). Po redukciji dobimo g 6 = − 2(2 H − I + K − 2 L)( H − I + J − K + L) , (3.92) e g 12 = − 1( I − K)( I − 2 J + 3 K − 4 L)2( H − I + J − K + L) , (3.93) 4 e g 18 ≡ 0 , e g 24 ≡ 0 . Z ukazom minAssGTZ v Singularju izračunamo dekompozicijo raznoterosti V ( ⟨g 6 , e g 12 ⟩) in dobimo pogoja (S) in (T), kar dokazuje, da sta ta pogoja potrebna pogoja, da ima (3.91) center v izhodišču. V nadaljevanju bomo dokazali še njuno zadostnost, pri čemer bomo za polinome (3.91) uporabili uvodoma opisan simetrijski pristop. Pogoj (S) očitno implicira simetrijo polinoma Ψ( x, y) = x + y + Hx 4 + Ix 3 y + J x 2 y 2 + Ixy 3 + Hy 4 , zato enačba Ψ( x, y) = 0 predstavlja centre (za vse vrednosti ustreznih parametrov H, I, J ). Nadalje preverimo simetrije polinoma Ψ( x, y). Simetrijo dobimo iz enačbe ( x + y)(1 + a 10 x + a 01 y + a 20 x 2 + a 11 xy + a 02 y 2 + a 30 x 3 + a 21 x 2 y + a 12 xy 2 + a 03 y 3) = Ψ( x, y) . Ko enačimo koeficiente istoležnih monomov na levi in desni strani zgornje enačbe in eliminiramo spremenljivke a 10 , a 01 , a 20 , a 11 , a 02 , a 30 , a 21 , a 12 , a 03 , dobimo natanko pogoj (T). Če velja pogoj (T), ima enačba Ψ( x, y) = 0 rešitev x = −y, kar porodi center v izhodišču. Primer 2:3: Primer (3.84) je bil obravnavan v [111]. Centralna raznoterost polinoma (3.84) je sestavljena iz treh ireducibilnih komponent. {   A − C = 0 , A − B + C = 0 , ( S) ( H) D − G = 0 , D − E + F − G = 0 .  E − F = 0 . 3.3 Diskretni sistemi 175 in    0 = D 2 − DF + EG − G 2 ,       0 = −C 2 D + C 2 E − BCF + C 2 F + F 2 + B 2 G − BCG−      − C 2 G + 4 DG − 4 EG − 2 F G + 5 G 2 ,      0 = − 2 CDE + BDF + CDF + CEF − AF 2 − 3 BDG + 3 CDG+       + 4 AEG − 2 BEG − CEG + BF G − 2 CF G − 3 AG 2 + 3 BG 2 ,   0 = 2 AD − BD − CD + CE − AF + AG + BG − 2 CG, ( T )    0 = −BCD + C 2 D + C 2 E − ACF + 2 DF + 2 ABG − ACG−      −  BCG − 2 DG − 4 EG + 2 F G + 2 G 2 ,      0 = − 2 B 2 D + 5 BCD − C 2 D − 4 ACE + 2 BCE − C 2 E + 8 DE+      + 2 ABF − ACF − 2 BCF + 2 C 2 F − 6 DF − 4 EF + 2 F 2+       + 3 ACG − 3 BCG + 2 C 2 G − 10 DG + 8 EG + 2 F G − 8 G 2 ,  0 = A 2 − AB + BC − C 2 − D + E − F + G. Da bi našli minimalno bazo ideala, generiranega s fokusnimi količinami, izračunamo prvih 5 fokusnih količin g 2, g 4, g 6, g 8, g 10. Potem vsak polinom g 2 k reduciramo po Gröbnerjevi bazi ideala ⟨g 2 , . . . , g 2( k− 1) ⟩. Po redukciji dobimo g 2 = − 2( A 2 − AB + BC − C 2 − D + E − F + G) , e g 4 = − 2( ABD − B 2 D − ACD + 2 BCD − C 2 D − 2 D 2 − ACE + BCE − C 2 E + 2 DE + ACF − BCF + C 2 F − DF − EF + F 2 − ABG + B 2 G + ACG − 2 BCG + C 2 G + DG + EG − 2 F G + G 2) , e g 6 = BCD 2 − 3 C 2 D 2 + 2 D 3 − BCDE + 4 C 2 DE − 2 D 2 E − C 2 E 2 + ACDF − BCDF − C 2 DF − 2 D 2 F − ACEF + 2 BCEF − C 2 EF + 4 DEF + ACF 2 − 2 BCF 2 + 2 C 2 F 2 − 2 DF 2 − 2 EF 2 + 2 F 3 − ACDG + 2 BCDG − C 2 DG + 4 D 2 G + 2 ABEG − 2 B 2 EG − 3 ACEG + 3 BCEG − C 2 EG − 8 DEG + 2 E 2 G − 2 ABF G + 2 B 2 F G + 2 ACF G − BCF G − 2 C 2 F G + 6 DF G + 2 EF G − 6 F 2 G + ACG 2 − 3 BCG 2 + 4 C 2 G 2 − 2 DG 2 − 2 EG 2 + 8 F G 2 − 4 G 3 in e g 8 ≡ 0, e g 10 ≡ 0. Primer 2:0:4: V tem primeru iščemo centre polinoma (3.85). Izrek 3.3.7 Polinom (3.85) doloˇ ca center v izhodiˇ sˇ cu natanko tedaj, ko je izpolnjen eden od spodnjih pogojev: (M) m 1 = m 2 = m 3 = 0 , kjer je m 1 = A − C, m 2 = D − H, m 3 = E − G, (N) n 1 = n 2 = 0 , kjer je n 1 = D − E + F − G + H, n 2 = A − B + C. Dokaz. Izračunamo prvih sedem fokusnih količin g 2, g 4, . . . , g 14. Potem vsak polinom g 2 k reduciramo po modulu Gröbnerjeve baze ideala ⟨g 2 , . . . , g 2( k− 1) ⟩ in z e g 2 k označimo ostanek pri 176 3 Primeri uporabe polinomskih idealov deljenju polinoma g 2 k z Gröbnerjevo bazo ideala ⟨g 2 , . . . , g 2( k− 1) ⟩. Po redukciji dobimo g 2 = − 2( A − C)( A − B + C) , e 1 g 4 = (13 A 4 + 15 B 3 C − 31 B 2 C 2 + A 3( − 45 B + 26 C) + A 2(47 B 2 − 29 BC − 16 C 2) 2 + B(13 C 3 + 8 D − 4 E + 4 G − 8 H) − A(15 B 3 + 16 B 2 C − 61 BC 2 + 26 C 3 + 12 D − 8 E + 4 F − 4 H) + C(3 C 3 − 4 D + 4 F − 8 G + 12 H)) , e g 6 = − 2( − 4 C 3(2 D − 2 E + F ) + B 3( D − E + G − H) + (2 D − E + G − 2 H) ( D − E + F − G + H) + 4 AC 2( F − 2 G + 2 H) + 4 BC( C(3 D − 3 E + F + G − H) − A( F − 2 G + 2 H)) + B 2( −C(6 D − 6 E + F + 4 G − 4 H) + A( F − 2 G + 2 H))) , e g 8 = −( B − 2 C)(3 B( E − G) + 2 C(4 D − 5 E + 5 G − 4 H))( D − E + F − G + H) , e g 10 = − 1( B − 2 C)( − 3 E 3 + 20 F 2 G − 65 F G 2 + 45 G 3 − 28 F 2 H + 192 F GH − 189 G 2 H 2 − 148 F H 2 + 264 GH 2 − 120 H 3 + 4 D 2(7 F − 18 G + 30 H) + E 2(23 F − 45 G + 75 H) + E( − 20 F 2 + 42 F G + 3 G 2 − 64 F H − 30 GH + 48 H 2) + D(3 E 2 + 28 F 2 − 80 F G + 27 G 2 + 120 F H − 48 GH − 6 E(8 F − 19 G + 32 H))) , e g 12 = − 1( E − G)( E − 2 F + 3 G − 4 H)2( D − E + F − G + H) , 4 e g 14 ≡ 0 . Nato izračunamo dekompozicijo raznoterosti V ( ⟨g 2 , e g 4 , e g 6 , e g 8 , e g 10 ⟩) in dobimo pogoja (M) in (N), ki sta potrebna pogoja za nastop centra v izhodišču. Pokažimo, da sta tudi zadostna. Pogoj (M) očitno implicira zrcalno simetrijo Ψ( x, y) = x + y + Ax 2 + Bxy + Ay 2 + Dx 4 + Ex 3 y + F x 2 y 2 + Exy 3 + Dw 4 , zato enačba Ψ( x, y) = 0 predstavlja centre. Sedaj poglejmo faktorizacijo Ψ( x, y) = ( x+ y)(1+ a 10 x+ a 01 y+ a 20 x 2+ a 11 xy+ a 02 y 2+ a 30 x 3+ a 21 x 2 y+ a 12 xy 2+ a 03 y 3) . (3.94) Po enačenju istoležnih koeficientov na levi in desni strani enačbe (3.94) dobimo naslednji sistem enačb a 02 = 0 , −a 02 − a 11 = 0 , −a 11 − a 20 = 0 , a 20 = 0 , −a 10 + A = 0 , −a 01 − a 10 + B = 0 , −a 01 + C = 0 , −a 30 + D = 0 , −a 21 − a 30 + E = 0 , −a 12 − a 21 + F = 0 , −a 03 − a 12 + G = 0 , −a 03 + H = 0 z neznankami a 10 , a 01 , a 20 , a 11 , a 02 , a 30 , a 21 , a 12 , a 03 , A, B, C, D, E, F, G, H. Eliminacija spremenljivk a 10 , a 01 , a 20 , a 11 , a 02 , a 30 , a 21 , a 12 , a 03 da pogoj (N). Kot vidimo, pogoj (N) implicira rešitev x + y = 0 z zahtevano zrcalno simetrijo v izhodišču, kar zaključi dokaz. Primer 0:0:0:0:6: V nadaljevanju obravnavamo homogene enačbe n ∑ x + y + αn−j,jxn−jyj = 0 (3.95) j=0 3.3 Diskretni sistemi 177 za različne sode vrednosti parametra n. Sedaj, na primer s Ψ6( x, y) označimo polinom neline- arnih členov v (3.95) za n = 6. Torej Ψ6( x, y) = A 6 , 0 x 6 + A 5 , 1 x 5 y + A 4 , 2 x 4 y 2 + A 3 , 3 x 3 y 3 + A 2 , 4 x 2 y 4 + A 1 , 5 xy 5 + A 0 , 6 y 6 in (3.95) se poenostavi na obliko x + y + Ψ6 ( x, y) = 0 . (3.96) Naj bo A = ( A 6 , 0 , . . . , A 0 , 6) in z A označimo prostor parametrov, ki pripada enačbi (3.96). Za preslikavo (2.130) lahko formuliramo naslednji izrek. Izrek 3.3.8 Polinom Ψ6 iz enačbe (3.96) določa center v izhodišču natanko tedaj, ko je izpolnjen eden od spodnjih pogojev: ( S 6) A 6 , 0 − A 0 , 6 = A 5 , 1 − A 1 , 5 = A 4 , 2 − A 2 , 4 = 0 ; ( T 6) A 6 , 0 − A 5 , 1 + A 4 , 2 − A 3 , 3 + A 2 , 4 − A 1 , 5 + A 0 , 6 = 0 . Dokaz. Izračunamo prvih sedem neničelnih fokusnih količin. Izkaže se, da je komaj vsaka peta fokusna količina neničelna; torej g 10 k ̸= 0. Potem reduciramo vsak neničelni polinom g 10 k po modulu Gröbner-jeve baze ideala ⟨g 10 , . . . , g 10( k− 1) ⟩ in z ˜ g 10 k označimo pripadajoči ostanek pri deljenju (temu ostanku pravimo tudi reducirana fokusna količina). Po redukciji dobimo g 10 = − 2( A 0 , 6 − A 1 , 5 + A 2 , 4 − A 3 , 3 + A 4 , 2 − A 5 , 1 + A 6 , 0)( − 3 A 0 , 6 + 2 A 1 , 5 − A 2 , 4 + A 4 , 2 − 2 A 5 , 1 + 3 A 6 , 0); ˜ g 20 =( A 0 , 6 − A 1 , 5 + A 2 , 4 − A 3 , 3 + A 4 , 2 − A 5 , 1 + A 6 , 0)(5 A 1 , 5 − 4 A 2 , 4 + 4 A 4 , 2 − 5 A 5 , 1) ( − 6 A 0 , 6 + 5 A 1 , 5 − 4 A 2 , 4 + 3 A 3 , 3 − 2 A 4 , 2 + A 5 , 1)2; ˜ g 30 = − ( A 0 , 6 − A 1 , 5 + A 2 , 4 − A 3 , 3 + A 4 , 2 − A 5 , 1 + A 6 , 0)( A 2 , 4 − A 4 , 2) (10 A 0 , 6 − 10 A 1 , 5 + 8 A 2 , 4 − 5 A 3 , 3 + 2 A 4 , 2)3(4330 A 0 , 6 − 5030 A 1 , 5 + 4304 A 2 , 4 − 2795 A 3 , 3 + 1146 A 4 , 2)( − 6 A 0 , 6 + 5 A 1 , 5 − 4 A 2 , 4 + 3 A 3 , 3 − 2 A 4 , 2 + A 5 , 1)2; ˜ g 40 ≡ 0; ˜ g 50 ≡ 0 . Izračunamo dekompozicijo raznoterosti V ( ⟨g 10 , ˜ g 20 , ˜ g 30 ⟩) in dobimo pogoje ( S 6) in ( T 6) izreka 3.3.8. Zato so pogoji ( S 6) in ( T 6) potrebni za nastop centra pri sistemih, ki izhajajo iz polinoma Ψ6. Pogoj centra f 2( x) = x je ekvivalenten zrcalni simetriji glede na premico y = x (oz. y → x, x → y). Zato je za dokaz zadostnosti treba dokazati, da enačba (3.96) (in s tem Ψ6) premore to simetrijo (v vsaj enem faktorju). Pogoj ( S 6) očitno porodi trivialno (glede na celotni izraz) zrcalno simetrijo polinoma x + y + Ψ6( x, y), posledično enačba (3.96) porodi center. Sedaj obravnavamo enačbo 5 ∑ x + y + Ψ6( x, y) = ( x + y)(1 + cijxiyj) . i+ j=1 Po enačenju istoležnih koeficientov na levi in na desni strani enačbe in po eliminaciji spremenljivk cij dobimo pogoj ( T 6) , kar dokazuje, da ( T 6) vsebuje člen x + y = 0, ki porodi center v izhodišču. 178 3 Primeri uporabe polinomskih idealov Primer 0:0:0:0:0:0:8: Obravnavamo primer (3.95) za n = 8. V ta namen definiramo 8 ∑ Ψ8( x, y) = A 8 −j,jx 8 −jyj j=0 in enačba (3.95) dobi obliko x + y + Ψ8 ( x, y) = 0 . (3.97) Podobno, kot v prejšnjem primeru naj bo A = ( A 8 , 0 , . . . , A 0 , 8) in naj A označuje prostor para- metrov, ki pripada enačbi (3.97). Izrek 3.3.9 Polinom Ψ8 v (3.97) določa center v izhodišču natako tedaj, ko je izpolnjen eden od pogojev: ( S 8) A 8 , 0 − A 0 , 8 = A 7 , 1 − A 1 , 7 = A 6 , 2 − A 2 , 6 = A 5 , 3 − A 3 , 5 = 0 ; ( T 8) A 8 , 0 − A 7 , 1 + A 6 , 2 − A 5 , 3 + A 4 , 4 − A 3 , 5 + A 2 , 6 − A 1 , 7 + A 0 , 8 = 0 . Dokaz. Dokaz je podoben dokazu izreka 3.3.8. Izračunamo prvih nekaj fokusnih količin. Izkaže se, da je vsaka sedma fokusna količina neničelna; t. j. g 14 k ̸= 0. Potem reduciramo neničelne po- linome g 14 k po modulu Gröbnerjeve baze ideala ⟨g 14 , . . . , g 14( k− 1) ⟩ iz z ˜ g 14 k označimo pripadajoči ostanek. Po redukciji dobimo g 14 = − 2( A 0 , 8 − A 1 , 7 + A 2 , 6 − A 3 , 5 + A 4 , 4 − A 5 , 3 + A 6 , 2 − A 7 , 1 + A 8 , 0) ( − 4 A 0 , 8 + 3 A 1 , 7 − 2 A 2 , 6 + A 3 , 5 − A 5 , 3 + 2 A 6 , 2 − 3 A 7 , 1 + 4 A 8 , 0); ˜ g 28 =( A 0 , 8 − A 1 , 7 + A 2 , 6 − A 3 , 5 + A 4 , 4 − A 5 , 3 + A 6 , 2 − A 7 , 1 + A 8 , 0) ( − 7 A 1 , 7 + 8 A 2 , 6 − 5 A 3 , 5 + 5 A 5 , 3 − 8 A 6 , 2 + 7 A 7 , 1) ( − 8 A 0 , 8 + 7 A 1 , 7 − 6 A 2 , 6 + 5 A 3 , 5 − 4 A 4 , 4 + 3 A 5 , 3 − 2 A 6 , 2 + A 7 , 1)2; ˜ g 42 =( A 0 , 8 − A 1 , 7 + A 2 , 6 − A 3 , 5 + A 4 , 4 − A 5 , 3 + A 6 , 2 − A 7 , 1 + A 8 , 0) ( −A 2 , 6 + A 3 , 5 − A 5 , 3 + A 6 , 2)(28 A 0 , 8 − 28 A 1 , 7 + 25 A 2 , 6 − 20 A 3 , 5+ + 14 A 4 , 4 − 8 A 5 , 3 + 3 A 6 , 2)2( − 8 A 0 , 8 + 7 A 1 , 7 − 6 A 2 , 6 + 5 A 3 , 5 − 4 A 4 , 4+ + 3 A 5 , 3 − 2 A 6 , 2 + A 7 , 1)2; ˜ g 56 =( A 0 , 8 − A 1 , 7 + A 2 , 6 − A 3 , 5 + A 4 , 4 − A 5 , 3 + A 6 , 2 − A 7 , 1 + A 8 , 0) ( − 8 A 0 , 8 + 7 A 1 , 7 − 6 A 2 , 6 + 5 A 3 , 5 − 4 A 4 , 4 + 3 A 5 , 3 − 2 A 6 , 2 + A 7 , 1)2 ( − 28 A 0 , 8 + 28 A 1 , 7 − 28 A 2 , 6 + 23 A 3 , 5 − 14 A 4 , 4 + 5 A 5 , 3)2( A 5 , 3 − A 3 , 5) (28 A 0 , 8 − 28 A 1 , 7 + 25 A 2 , 6 − 20 A 3 , 5 + 14 A 4 , 4 − 8 A 5 , 3 + 3 A 6 , 2)2; ˜ g 70 ≡ 0; ˜ g 84 ≡ 0 . Izračunamo dekompozicijo raznoterosti V ( ⟨g 14 , ˜ g 28 , ˜ g 42 , ˜ g 56 ⟩) in dobimo pogoje ( S 8) in ( T 8). Nato uporabimo simetrijski pristop. Pogoji ( S 8) očitno implicirajo trivialno (celotno) zrcalno simetrijo polinoma x + y + Ψ8( x, y), zato (3.97) porodi center. Da so tudi pogoji ( T 8) zadostni, je razvidno iz simetrije oblike 7 ∑ x + y + Ψ8( x, y) = ( x + y)(1 + cijxiyj) . i+ j=1 3.3 Diskretni sistemi 179 Po enačenju istoležnih koeficientov na obeh straneh zgornje enačbe in po eliminaciji spremenljivk cij sledi pogoj ( T 8), kar pomeni, da ima ( T 8) simetrijo x + y = 0, kar dokazuje, da pod tem pogojem (3.97) porodi center. Primer 0:0:0:0:0:0:0:0:10: Obravnavamo enačbo (3.95) za n = 10 . V ta namen definiramo 10 ∑ Ψ10( x, y) = A 10 −j,jx 10 −jyj j=0 in preoblikujemo (3.95) na obliko x + y + Ψ10 ( x, y) = 0 . (3.98) Z A = ( A 10 , 0 , . . . , A 0 , 10) označimo elemente prostora A parametrov enačbe (3.98). Izrek 3.3.10 Polinom Ψ10 v (3.98) določa center v izhodišču natanko tedaj, ko je izpolnjen eden od spodnjih pogojev: (S 10 ) A 10 , 0 − A 0 , 10 = A 9 , 1 − A 1 , 9 = A 8 , 2 − A 2 , 8 = A 7 , 3 − A 3 , 7 = A 6 , 4 − A 4 , 6 = 0 ; (T 10 ) A 10 , 0 − A 9 , 1 + A 8 , 2 − A 7 , 3 + A 6 , 4 − A 5 , 5 + A 4 , 6 − A 3 , 7 + A 2 , 8 − A 1 , 9 + A 0 , 10 = 0 . Dokaz. Izračuni fokusnih količin kažejo, da je vsaka deveta količina neničelna; t. j. g 18 k ̸= 0. Po redukciji neničelnih fokusnih količin g 18 k po modulu Gröbnerjeve baze ideala ⟨g 18 , . . . , g 18( k− 1) ⟩ dobimo g 18 ̸= 0, g 36 ̸= 0 , g 54 ̸= 0 , g 72 ̸= 0 , g 90 ̸= 0 in ˜ g 108 ≡ 0, kjer z ˜ g 18 k označimo ostanek pri deljenju (po redukciji). Polinomi g 36 , g 54 , g 72, g 90, g 108 so zelo dolgi, zato jih ne bomo izpisali. Enostavno lahko preverimo, da je g 18 = ( F g 18 , 1) ( F g 18 , 2) , ˜ g 36 = ( F ˜ g 36 , 1) ( F ˜ g 36 , 2)2 , ˜ g 54 = ( F ˜ g 54 , 1) ( F ˜ g 54 , 2)2 ( F ˜ g 54 , 3)2 , ˜ g 72 = ( F ˜ g 72 , 1) ( F ˜ g 72 , 2)2 ( F ˜ g 72 , 3)2 ( F ˜ g 72 , 4)2 , ˜ g 90 = ( A 6 , 4 − A 4 , 6) ( F ˜ g 90 , 2)2 ( F ˜ g 90 , 3)2 ( F ˜ g 90 , 4)2 ( F ˜ g 90 , 5)2 , kjer je F g 18 , 1 = − 2( −A 10 , 0 + A 9 , 1 − A 8 , 2 + A 7 , 3 − A 6 , 4 + A 5 , 5 − A 4 , 6 + A 3 , 7 − A 2 , 8 + A 1 , 9 − A 0 , 10) , F g 18 , 2 = − 5 A 10 , 0 + 4 A 9 , 1 − 3 A 8 , 2 + 2 A 7 , 3 − A 6 , 4 + A 5 , 5 − 2 A 4 , 6 + 3 A 3 , 7 − 4 A 2 , 8 + 5 A 0 , 10 , F ˜ g 36 , 1 = 6 A 9 , 1 − 8 A 8 , 2 + 7 A 7 , 3 − 4 A 6 , 4 + 4 A 6 , 4 − 7 A 3 , 7 + 8 A 8 , 2 − 6 A 1 , 9 , F ˜ g 36 , 2 = A 9 , 1 − 2 A 8 , 2 + 3 A 7 , 3 − 4 A 6 , 4 + 5 A 5 , 5 − 6 A 4 , 6 + 7 A 3 , 7 − 8 A 2 , 8 + 9 A 1 , 9 − 10 A 0 , 10 , F ˜ g 54 , 1 = 14 A 8 , 2 − 21 A 7 , 3 + 15 A 6 , 4 − 15 A 4 , 6 + 21 A 3 , 7 − 14 A 2 , 8 , F ˜ g 54 , 2 = A 9 , 1 − 2 A 8 , 2 + 3 A 7 , 3 − 4 A 6 , 4 + 5 A 5 , 5 − 6 A 4 , 6 + 7 A 3 , 7 − 8 A 2 , 8 + 9 A 1 , 9 − 10 A 0 , 10 , F ˜ g 54 , 3 = 4 A 8 , 2 − 11 A 7 , 3 + 20 A 6 , 4 − 30 A 5 , 5 + 40 A 4 , 6 − 49 A 3 , 7 + 56 A 2 , 8 − 60 A 1 , 9 + 60 A 0 , 10 , F ˜ g 72 , 1 = 7 A 7 , 3 − 8 A 6 , 4 + 8 A 4 , 6 − 7 A 3 , 7 , F ˜ g 72 , 2 = 7 A 7 , 3 − 22 A 6 , 4 + 42 A 5 , 5 − 62 A 4 , 6 + 77 A 3 , 7 − 84 A 2 , 8 + 84 A 1 , 9 − 84 A 0 , 10 , F ˜ g 72 , 3 = A 9 , 1 − 2 A 8 , 2 + 3 A 7 , 3 − 4 A 6 , 4 + 5 A 5 , 5 − 6 A 4 , 6 + 7 A 3 , 7 − 8 A 2 , 8 + 9 A 1 , 9 − 10 A 0 , 10, F ˜ g 72 , 4 = 4 A 8 , 2 − 11 A 7 , 3 + 20 A 6 , 4 − 30 A 5 , 5 + 40 A 4 , 6 − 49 A 3 , 7 + 56 A 2 , 8 − 60 A 1 , 9 + 60 A 0 , 10 , F ˜ g 90 , 2 = 7 A 7 , 3 − 22 A 6 , 4 + 42 A 5 , 5 − 62 A 4 , 6 + 77 A 3 , 7 − 84 A 2 , 8 + 84 A 1 , 9 − 84 A 0 , 10 , 180 3 Primeri uporabe polinomskih idealov F ˜ g 90 , 3 = A 9 , 1 − 2 A 8 , 2 + 3 A 7 , 3 − 4 A 6 , 4 + 5 A 5 , 5 − 6 A 4 , 6 + 7 A 3 , 7 − 8 A 2 , 8 + 9 A 1 , 9 − 10 A 0 , 10, F ˜ g 90 , 4 = A 6 , 4 − 3 A 5 , 5 + 5 A 4 , 6 − 6 A 3 , 7 + 6 A 2 , 8 − 6 A 1 , 9 + 6 A 0 , 10 , F ˜ g 90 , 5 = 4 A 8 , 2 − 11 A 7 , 3 + 20 A 6 , 4 − 30 A 5 , 5 + 40 A 4 , 6 − 49 A 3 , 7 + 56 A 2 , 8 − 60 A 1 , 9 + 60 A 0 , 10 in ˜ g 108 ≡ 0 . Ko izračunamo ireduciblno dekompozicijo raznoterosti V ( ⟨g 18 , ˜ g 36 , ˜ g 54 , ˜ g 73 , ˜ g 90 ⟩) , dobimo po- goje v ( S 10) in ( T 10). Pogoji ( S 10) vodijo do zrcalne simetrijo polinoma x + y + Ψ10( x, y) v celoti, pogoj ( T 10) pa vodi do simetrije tipa 9 ∑ x + y + Ψ10( x, y) = ( x + y)(1 + cijxiyj) , i+ j=1 kar zaključi dokaz. Primer n = 2 ℓ V [92] je za ta primer postavljena domneva, v kateri predvidimo pogoje centra. Domnevo dobimo po analogiji glede na primere n = 2 , 4 , 6 , 8 in 10. Torej, obravnavajmo primer (3.95) za n = 2 ℓ in zapišimo 2 ℓ ∑ Ψ2 ℓ( x, y) = A 2 ℓ−j,jx 2 ℓ−jyj, j=0 da (3.95) dobi splošno obliko x + y + Ψ2 ℓ ( x, y) = 0 . (3.99) Naj bo spet A = ( A 2 ℓ, 0 , . . . , A 0 , 2 ℓ) in naj bo A prostor parametrov, ki pripadajo enačbi (3.99). Če privzamemo, da imajo pripadajoče fokusne količine gk(4 ℓ− 2) ter ostanki ˜ gk(4 ℓ− 2), ki jih dobimo z redukcijo polinomov gk(4 ℓ− 2) po modulu Gröbner-jevih baz idealov ⟨g 4 ℓ− 2 , . . . , g( k− 1)(4 ℓ− 2) ⟩, 3.3 Diskretni sistemi 181 obliko 2 ℓ ∑ ℓ− 1 ∑ (1) g 4 ℓ− 2 = − 2( ( − 1) jA 2 ℓ−j,j)( ( − 1) jα ( A j 2 ℓ−j,j − Aj, 2 ℓ−j )) j=0 j=0 2 ℓ ∑ ℓ− 1 ∑ 2 ℓ ∑ (2) ˜ g 2(4 ℓ− 2) =( ( − 1) jA 2 ℓ−j,j)( ( − 1) jα ( A ( − 1) j− 1 jA j 2 ℓ−j,j − Aj, 2 ℓ−j ))( 2 ℓ−j,j )2 j=0 j=1 j=1 2 ℓ ∑ ℓ− 1 ∑ 2 ℓ ∑ (3) ˜ g 3(4 ℓ− 2) =( ( − 1) jA 2 ℓ−j,j)( ( − 1) jα ( A ( − 1) j− 1 jA j 2 ℓ−j,j − Aj, 2 ℓ−j ))( 2 ℓ−j,j )2 j=0 j=2 j=1 P 1( A 2 ℓ− 2 , 2 , . . . , A 0 , 2 ℓ) 2 ℓ ∑ ℓ− 1 ∑ 2 ℓ ∑ (4) ˜ g 4(4 ℓ− 2) =( ( − 1) jA 2 ℓ−j,j)( ( − 1) jα ( A ( − 1) j− 1 jA j 2 ℓ−j,j − Aj, 2 ℓ−j ))( 2 ℓ−j,j )2 j=0 j=3 j=1 P 1( A 2 ℓ− 2 , 2 , . . . , A 0 , 2 ℓ) P 2( A 2 ℓ− 3 , 3 , . . . , A 0 , 2 ℓ) 2 ℓ ∑ ℓ− 1 ∑ 2 ℓ ∑ (5) ˜ g 5(4 ℓ− 2) =( ( − 1) jA 2 ℓ−j,j)( ( − 1) jα ( A ( − 1) j− 1 jA j 2 ℓ−j,j − Aj, 2 ℓ−j ))( 2 ℓ−j,j )2 j=0 j=4 j=1 P 1( A 2 ℓ− 2 , 2 , . . . , A 0 , 2 ℓ) P 2( A 2 ℓ− 3 , 3 , . . . , A 0 , 2 ℓ) P 3( A 2 ℓ− 4 , 4 , . . . , A 0 , 2 ℓ) ... 2 ℓ ∑ ∑ 2 ℓ ∑ ( ℓ) ˜ gℓ(4 ℓ− 2) =( ( − 1) jA 2 ℓ−j,j)( ( − 1) jα ( A ( − 1) j− 1 jA j 2 ℓ−j,j − Aj, 2 ℓ−j ))( 2 ℓ−j,j )2 j=0 j= ℓ− 1 j=1 P 1( A 2 ℓ− 2 , 2 , . . . , A 0 , 2 ℓ) P 2( A 2 ℓ− 3 , 3 , . . . , A 0 , 2 ℓ) · · · Pℓ− 2( Aℓ+1 ,ℓ− 1 , . . . , A 0 , 2 ℓ) , kjer so Pi za i = 1 , . . . , ℓ− 1 polinomi in αi ∈ R+, dobimo domnevi, ki sta podani v nadaljevanju. j Pri teh privzetkih ima k− ta reducirana fokusna količina obliko: 2 ℓ ∑ ℓ− 1 ∑ 2 ℓ ∑ ( ℓ) ˜ gk(4 ℓ− 2) =( ( − 1) jA 2 ℓ−j,j)( ( − 1) jα ( A ( − 1) j− 1 jA k 2 ℓ−j,j − Aj, 2 ℓ−j ))( 2 ℓ−j,j )2 j=0 j= k− 1 j=1 P 1( A 2 ℓ− 2 , 2 , . . . , A 0 , 2 ℓ) P 2( A 2 ℓ− 3 , 3 , . . . , A 0 , 2 ℓ) · · · Pk− 2( A 2 ℓ−k+1 ,k− 1 , . . . , A 0 , 2 ℓ) , za k ∈ { 2 , . . . , ℓ} in ˜ gk(4 ℓ− 2) ≡ 0 , za k > ℓ. Potrebni pogoji, pri katerih ima (3.99) center v izhodišču sledijo iz raznoterosti, ki pri- pada idealu I 2 ℓ = ⟨g 4 ℓ− 2 , . . . , gℓ(4 ℓ− 2) ⟩ (iščemo skupne ničle vseh (reduciranih) fokusnih količin v R2 ℓ+1). ∑ Pri zgornjih privzetkih vsaka (reducirana) fokusna količina vsebuje polinom 2 ℓ ( − 1) jA j=0 2 ℓ−j,j , zato je prvi potrebni pogoj, da ima (3.99) center v izhodišču 2 ℓ ∑( − 1) jA 2 ℓ−j,j = 0 . (3.100) j=0 182 3 Primeri uporabe polinomskih idealov ∑ ( ℓ) Dodatni pogoji sledijo iz drugega faktorja ℓ− 1 ( − 1) jα ( A j= k− 1 k 2 ℓ−j,j − Aj, 2 ℓ−j ) (privzete) oblike fokusnih količin gk(4 ℓ− 2). Ker ℓ− ta fokusna količina (kot faktor) vsebuje polinom ∑ ( ℓ) ( ℓ) ( − 1) jα ( A ( A j 2 ℓ−j,j − Aj, 2 ℓ−j ) = ( − 1) ℓ− 1 αℓ− 1 ℓ+1 ,ℓ− 1 − Aℓ− 1 ,ℓ+1) , j= ℓ− 1 dobimo pogoje Aℓ+1 ,ℓ− 1 = Aℓ− 1 ,ℓ+1 . (3.101) Namreč, induktivno, ( ℓ − 1) − ta fokusna količina vsebuje polinom ℓ− 2 ∑ ( ℓ) ( − 1) jα ( A j 2 ℓ−j,j − Aj, 2 ℓ−j ) j= ℓ− 2 ( ℓ− 1) ( ℓ− 1) = ( − 1) ℓ− 2 α ( A ( A ℓ− 2 ℓ+2 ,ℓ− 2 − Aℓ− 2 ,ℓ+2) + ( − 1) ℓ− 1 αℓ− 1 ℓ+1 ,ℓ− 1 − Aℓ− 1 ,ℓ+1) , ki po upoštevanju pogoja (3.101) in enačenju z nič vodi do enačbe Aℓ+2 ,ℓ− 2 = Aℓ− 2 ,ℓ+2 . (3.102) Če s takim induktivnim sklepanjem nadaljujemo, iz ( ℓ − 2) − te fokusne količine, upoštevajoč (3.101) in (3.102) ter vse pogoje, dobljene na prejšnjih korakih tega postopka, dobimo iz druge fokusne količine pogoj A 2 ℓ− 1 , 1 = A 1 , 2 ℓ− 1 in končno iz prve fokusne količine sledi pogoj A 2 ℓ, 0 = A 0 , 2 ℓ. Torej drugi sklop pogojev za nastop centra preslikave (3.99) je A 2 ℓ−j,j = Aj, 2 ℓ−j, j = 0 , 1 , . . . , ℓ − 1 . (3.103) Pri dokazu, da sta oba pogoja (3.100) in (3.103) tudi potrebna, spet uporabimo simetrijski pristop. Očitno pogoj (3.103) implicira (trivialno) zrcalno simetrijo polinoma x + y + Ψ2 ℓ( x, y) v celoti, kar pomeni, da (3.99) porodi center. Pogoje (3.103) pa dobimo iz naslednje faktorizacije 2 ℓ− 1 ∑ x + y + Ψ2 ℓ( x, y) = ( x + y)(1 + c 2 ℓ− 1 −j,jx 2 ℓ− 1 −jyj) . j=0 Če v zgornji enačbi enačimo istoležne koeficiente na obeh straneh enačbe, dobimo naslednji sistem: x 2 ℓ : c 2 ℓ− 1 , 0 = A 2 ℓ, 0 x 2 ℓ− 1 y : c 2 ℓ− 1 , 0 + c 2 ℓ− 2 , 1 = A 2 ℓ− 1 , 1 x 2 ℓ− 2 y 2 : c 2 ℓ− 2 , 1 + c 2 ℓ− 3 , 2 = A 2 ℓ− 2 , 2 ... (3.104) x 2 y 2 ℓ− 2 : c 1 , 2 ℓ− 3 + c 2 , 2 ℓ− 2 = A 2 , 2 ℓ− 2 xy 2 ℓ− 1 : c 1 , 2 ℓ− 2 + c 0 , 2 ℓ− 1 = A 1 , 2 ℓ− 1 y 2 ℓ : c 0 , 2 ℓ− 1 = A 0 , 2 ℓ. 3.3 Diskretni sistemi 183 Če vsako drugo enačbo v sistemu (3.104) pomnožimo z − 1 in vse enačbe seštejemo, dobimo A 2 ℓ, 0 − A 2 ℓ− 1 , 1 + A 2 ℓ− 2 , 2 − · · · + A 0 , 2 ℓ = 0 , kar je natanko pogoj (3.100). Na podlagi zgoraj naštetih ugotovitev (in privzetkov) lahko zapišemo naslednjo domnevo. Domneva 3.3.11 Polinom Ψ2 ℓ v enačbi (3.99) določa center v izhodišču natanko tedaj, ko je izpolnjen eden od pogojev: ( S 2 ℓ) A 2 ℓ−j,j = Aj, 2 ℓ−j, j = 0 , 1 , . . . , ℓ − 1 ; ∑ ( T 2 ℓ 2 ℓ) ( − 1) jA j=0 2 ℓ−j,j = 0 . 3.3.3 Cikliˇ cnost centra V tem razdelku obravnavamo cikličnost (posameznih komponent) centralne raznoterosti v prime- rih, za katere je centralna raznoterost in njena ireducibilna dekompozicija obdelana v prejšnjem razdelku. Obravnavamo bifurkacije majhnih limitnih ciklov iz izhodišča, vključno s primeri, ko je x = 0 center. Primer 2: Videli smo, da je g 2 k ∈ ⟨g 2 ⟩ za vse k ∈ N in je zato minimalna baza sestavljena samo iz polinoma g 2 . Ker je ideal ⟨g 2 ⟩ korenski, iz trditve 3.3.5 sledi, da je zgornja meja za cikličnost enaka 0 in cikličnost je (glej [127] ali [111]) dejansko enaka 0 za vse preslikave f ( x) = −x−· · · , ki izhajajo iz enačbe (3.82). Tudi po izreku 3.3.4 dobimo enak rezultat, saj imata obe komponenti ( i) in ( ii) sorazsežnosti 1. Primer 0:0:4: Za preslikavo (3.91) najprej podajmo zgornjo mejo cikličnosti. Trditev 3.3.12 Denimo, da je I − 2 J + 3 K − 4 L ̸= 0 in H − J + 2 K − 3 L ̸= 0 . Tedaj je cikliˇ cnost centra preslikave (3.91) v izhodiˇ sˇ cu kveˇ cjemu 1. Dokaz. Naj bo G 2 = ⟨g 6 , g 12 ⟩. Centralna raznoterost je enaka V ( G 2) = V ( ⟨g 6 , g 12 , g 18 , . . .⟩). Primarna dekompozicija ideala G 2 sestoji iz treh delov: G 2 = P 1 ∩ P 2 ∩ Q, (3.105) kjer sta P 1 in P 2 praideala toda Q ni praideal; kar pomeni, da G 2 ni korenski. Torej izreka 3.3.5 ne moremo direktno uporabiti. Izkaže se, da je P 1 = ⟨H − L, I − K⟩, P 2 = ⟨H − I + J − K + L⟩, medtem ko za Q iz (3.105) velja √ Q = ⟨I − 2 J + 3 K − 4 L,H − J + 2 K − 3 L⟩. Naj bo a∗ = ( H∗, I∗, J ∗, K∗, L∗) poljubna točka iz raznoterosti V ( G 2) \V ( Q). Po trditvi 3.2.7 lahko v okolici točke a∗ za vse k ≥ 3 polinom g 6 k zapišemo v obliki g 6 k = f 1 g 6 + f 2 g 12. Ker je 184 3 Primeri uporabe polinomskih idealov {g 6 , g 12 } minimalna baza ideala ⟨g 6 , g 12 , g 18 , . . .⟩, je za preslikavo (3.91) po izreku 3.3.5 cikličnost centra v izhodišču pri pogoju I − 2 J + 3 K − 4 L ̸= 0 in H − J + 2 K − 3 L ̸= 0 kvečjemu 1. Sedaj preglejmo, koliko limitnih ciklov lahko nastane (bifurcira) iz vsake komponente na centralni raznoterosti preslikave (3.91). Uporabimo izrek 3.3.4, ki na to vprašanje odgovori glede na sorazsežnost posamezne komponente oz. glede na število linearno neodvisnih linearnih faktorjev v prvih nekaj začetnih Ljapunovih količinah (oz. fokusnih količinah, ki, kot smo videli v (3.86), porodijo isto raznoterost kot fokusne količine). Najprej vpeljimo oznake, ki jih bomo v nadaljevanju potrebovali. Z J k p označimo Jacobijevo matriko prvih k fokusnih količin, izračunanih v točki p. V tem primeru je eksplicitno izpisana samo prva vrstica matrike J 2 p za p = ( H, I , J, K, L) , glede na g 6 in g 12 iz (3.92) in (3.93)   − T 2 (4 H − 3 I + 2 J − K) ∂g 12  ∂H   2 (3 H − 2 I + J − L) ∂g 12  ∂I   J 2 p =   − 2 (2 H − I + K − 2 L) ∂g 12  ∂J   2 ( H − J + 2 K − 3 L) ∂g 12  ∂K 2 ( −I + 2 J − 3 K + 4 L) ∂g 12 ∂L ( ) V drugi vrstici ∂g 12 , . . . , ∂g 12 oz. transliranem stolpcu so parcialni odvodi predolgi, da bi jih ∂H ∂L lahko v celoti zapisali v matriko J 2 p . Za točko p∗ = ( I − J + K − L, I, J, K, L) iz druge komponente (T) centralne raznoterosti (s pomočjo programa Mathematica) dobimo naslednje minorje ranga 1:   − T 2 ( I − 2 J + 3 K − 4 L) − 2( I − 2 J + 3 K − 4 L)3   2( I − 2 J + 3 K − 4 L) 2( I − 2 J + 3 K − 4 L)3     − 2 ( I − 2 J + 3 K − 4 L) − 2( I − 2 J + 3 K − 4 L)3    2( I − 2 J + 3 K − 4 L) 2( I − 2 J + 3 K − 4 L)3  − 2 ( I − 2 J + 3 K − 4 L) − 2( I − 2 J + 3 K − 4 L)3 Trditev 3.3.13 Ireducibilni komponenti (S) in (T) centralne raznoterosti polinoma (3.91) imata (po vrsti) razseˇ znosti 3 ter 4. Dokaz. Ireducibilni komponenti izračunamo s Singularjem. Razsežnosti sta očitni. Trditev 3.3.14 Cikliˇ cnost generiˇ cne toˇ cke p iz raznoterosti V ( ⟨s 1 , s 2 ⟩) , pri pogoju M(S)( p) ̸= 0 , je 1. Cikliˇ cnost generiˇ cne toˇ cke p∗ iz raznoterosti V ( ⟨t 1 ⟩) , pri pogoju M(T)( p∗) ̸= 0 , je enaka 0. Dokaz. Minorje matrike J 2 p izračunamo v programu Mathematica. Na komponenti (S) je rang( J 2 p ) = 2 za vse točke p, če je le M(S)( p) ̸= 0. Ker je sorazsežnost komponente (S) enaka 2, je cikličnost točke p enaka 1. Podobno je na komponenti (T) rang( J 1 p∗ ) =rang( J 2 p∗ ) = 1 , če je le M(T)( p∗) ̸= 0 zato za preslikavo, ki pripada točki p∗, v oklici izhodišča ne nastane (bifurcira) noben limitni cikel in cikličnost je enaka nič. Primer 2:3: Ker pripadajoči ideal ni korenski, za ocenjevanje zgornje meje cikličnosti ne moremo uporabiti trditve 3.3.5. Glede na [111, p. 18] je cikličnost kvečjemu 2. Sorazsežnosti komponent ( S) , ( H) , ( T ) so (glej [111, Th. 2]) po vrsti 2, 3, 3. Rangi pripa- dajočih matrik J 3 p∗ v (generičnih) točkah p∗ so: 3.3 Diskretni sistemi 185 • Za komponento ( S) je generična točka p∗ = ( B − C, B, C, E − F + B, E, F, G) in rang matrike J 3 p∗ je enak 2. Zato je na tej komponenti cikličnost po izreku 3.3.4 največ 1. To velja za vse točke, razen za točke, kjer je ( B − 2 C)( E − 2 F + 3 G) = 0. • Podobno za komponento ( H) z generično točko p∗ = ( C, B, C, G, F, F, G) izračunamo, da je rang matrike J 3 p∗ enak 3, razen če je B − 2 C = 0. Torej je za vse točke, kjer je B − 2 C ̸= 0 po izreku 3.3.4 cikličnost največ 2. • Na komponenti ( T ) za ananlizo ranga izberemo točko na krivulji { } C ⊂ ( A, B, C, D, E, F, G) ∈ R7 , ( √ ) ( √ )2 ki je določena z enačbo A = 5 , C = 1 15 + 17 , D = 2 , E = − 45 + 1 15 + 17 + 4 8 ( √ ) ( √ ) √ 2 ( ) 10 B − 1 B 15 + 17 , F = − 21 + 1 15 + 17 + 5 B − 1 B 15 + 17 in G = 1 , in je 2 16 4 ( √ ) podraznoterost raznoterosti ( T ) . Za poljubno točko p∗ ∈ C (razen, če je B = 1 35 + 17 ) 4 izračunamo rang matrike J 3 p∗ ki je 3 (z drugimi besedami: vsi minorji ranga 3 imajo skupni ( √ ) faktor: 4 B − 35 + 17 ). To pomeni, da je (po izreku 3.3.4) cikličnost vseh točk p∗ ∈ C, ( √ ) kjer B ̸= 1 35 + 17 , največ 2 . Če raznoterost ( T ) predstavimo v parametrični obliki 4 −D 2 + DF + G 2 E = G A 2 − C 2 − D + E − F + G B = A − C F D − GD − D 2 + A 2 G − C 2 G − F G + 2 G 2 = , G ( A − C) kjer D določimo iz enačbe −ACD+ C 2 D+ D 2 + A 2 G−ACG− 2 DG+ G 2 = 0 in predstavlja skupni faktor vseh ostalih enačb, dobimo ( ) 1 √ D = ( A − C) C ± C 2 − 4 G + G. 2 Za vsako točko p∗ iz raznoterosti ( T ) , kjer je A − C ̸= 0, je rang matrike J 3 p∗ enak 3 (ali drugače vsi minorji ranga 3 vsebujejo faktor A − C). Po izreku 3.3.4 je cikličnost na raznoreosti ( T ) enaka 2. Primer 2:0:4: Analiza bifurkacij limitnih ciklov iz vsake komponente na centralni raznoterosti v tem primeru nam da naslednji izrek. Izrek 3.3.15 Ireducibilni komponenti (M) in (N) centralne raznoterosti polinoma (3.85) imata (po vrsti) sorazseˇ znosti 3 ter 2. Dokaz. Ireducibilni komponenti izračunamo s Singularjem. Razsežnosti sta očitno 5 in 6. Ker je razsežnost celotnega prostora enaka 8, sta sorazsežnosti enaki 3 in 2. Z J 6 p označimo Jacobijevo matriko prvih 6 fokusnih količin, izračunanih v točki p. Definiramo polinoma: Q(M) = ( B − 2 C)( F − 2 G + 2 H) , Q(N) = ( B − 2 C)( E − 2 F + 3 G − 4 H) . 186 3 Primeri uporabe polinomskih idealov Izrek 3.3.16 Cikliˇ cnost generiˇ cne toˇ cke p′ iz raznoterosti V ( ⟨n 1 , n 2 ⟩) , kjer je Q(N)( p′) ̸= 0 , je 1. Cikliˇ cnost generiˇ cne toˇ cke p∗ iz raznoterosti V ( ⟨m 1 , m 2 , m 3 ⟩) , kjer je Q(M)( p∗) ̸= 0 , je 2. Dokaz. Za poljubno točko p∗ na komponenti (M), kjer je Q(M)( p∗) ̸= 0, v programu Mathematica izračunamo minorje in dobimo, da je rang( J 6 p∗ ) = 3. Po izreku 3.3.4 je cikličnost na komponenti (M) enaka 2. Podobno za vsako točko p′ iz komponente (N), kjer je Q(N)( p′) ̸= 0, izračunamo, da je rang( J 6 p′ )= 2 in zato je po izreku 3.3.4 cikličnost enaka 1. Primer 0:0:0:0:6: Analiza bifurkacij limitnih ciklov iz vsake komponente na centralni razno- terosti preslikave (2.130), ki izhaja iz enačbe (3.96), nam da naslednji izrek. Izrek 3.3.17 Denimo, da je 6 ∑ 6 ∑ ( − 1) j+1 jA 6 −j,j ̸= 0 in A 6 , 0 ̸= ( − 1) j( j − 1) A 6 −j,j. (3.106) j=1 j=2 Tedaj je cikliˇ cnost centra preslikave (2.130) , ki izhaja iz enaˇ cbe (3.96) , najveˇ c 2. Dokaz. Pri dokazu uporabimo trditev 3.3.5. Preveriti moramo, če je ideal I 6 = ⟨g 10 , g 20 , g 30 ⟩ korenski. V ta namen izračunamo primarno dekompozicijo ideala. V našem primeru je primarna dekompozicija ideala I 6 enaka I 6 = P 1 ∩ P 2 ∩ Q 1 ∩ Q 2 , (3.107) kjer sta P 1 in P 2 praideala, toda Q 1 in Q 2 sta “samo” primarna. Zato ideal I 6 ni korenski v R[ A] in trditve 3.3.5 ne moremo direktno uporabiti. Ideala P 1 in P 2 iz (3.107) sta generirana s polinomi iz komponent ( S 6) oz. ( T 6). Ideala Q 1 in Q 2 iz (3.107) sta primarna ideala, za katera √ velja: Q 1 = ⟨A 51 − 2 A 4 , 2+3 A 3 , 3 − 4 A 2 , 4+5 A 1 , 5+6 A 0 , 6 , A 6 , 0 −A 4 , 2+2 A 3 , 3 − 3 A 2 , 4+4 A 1 , 5 − 5 A 0 , 6 ⟩ √ in Q 2 = ⟨ 2 A 4 , 2 − 5 A 3 , 3+8 A 2 , 4 − 10 A 1 , 5+10 A 0 , 6 , A 5 , 1 − 2 A 3 , 3+4 A 2 , 4 − 5 A 1 , 5+4 A 0 , 6 , 2 A 6 , 0 −A 3 , 3+ √ √ 2 A 2 , 4 − 2 A 1 , 5 ⟩. Struktura ideala I 6 se sklada z oznakami v trditvi 3.2.7. Presek idealov Q 1 ∩ Q 2 √ √ √ je Q 1 , saj je Q 1 ⊂ Q 2. V prostoru parametrov A je raznoterost V( Q 1 ∩ Q 2) = V( Q 1) določena z enačbami A 51 − 2 A 4 , 2 + 3 A 3 , 3 − 4 A 2 , 4 + 5 A 1 , 5 + 6 A 0 , 6 = A 6 , 0 − A 4 , 2 + 2 A 3 , 3 − 3 A 2 , 4 + 4 A 1 , 5 − 5 A 0 , 6 = 0. Opazimo, da se pogoja, ki določata raznoterost V( Q 1 ∩ Q 2) in pogoja (3.106) izključujeta. Naj bo A∗ ∈ A, tedaj po trditvi 3.2.7 obstajajo racionalne funkcije f 1, f 2 in f 3 , za katere je za vsak A∗, ki zadošča enačbi (3.106), in za vsak k > 3, v neki okolici točke A∗ izpolnjena enakost g 10 k = f 1 g 10 + f 2 g 20 + f 3 g 30 . Torej je po trditvi 3.3.5 cikličnost iz centra v izhodišču za preslikave (2.130), ki izhajajo iz enačbe (3.96), s parametri, ki zadoščajo pogojema (3.106), največ 2. V izreku 3.3.17 je podana zgornja meja cikličnosti. Sedaj poglejmo, kaj lahko glede cikličnosti povemo po komponentah na centralni raznoterosti v tem primeru. Pri analizi po komponentah uporabimo izrek 3.3.4. Najprej vpeljimo naslednje oznake: z Jp( Bk) označimo Jacobijevo matriko polinomov g 10 , g 20 , . . . , g 10 k, izračunano v točki p, z rang( Jk p ) označimo rang matrike Jp( Bk). Z G 6 , 1 = ⟨A 6 , 0 − A 0 , 6 , A 5 , 1 − A 1 , 5 , A 4 , 2 − A 2 , 4 ⟩ označimo ideal, generiran s polinomi iz komponente ( S 6), z G 6 , 2 = ⟨A 6 , 0 − A 5 , 1 + A 4 , 2 − A 3 , 3 + A 2 , 4 − A 1 , 5 + A 0 , 6 ⟩ pa označimo ideal, generiran s polinomi iz komponente ( T 6). Iz izreka 3.3.8 vidimo, da pripadajoča centralna raznoterost iz R7 sestoji iz 3.3 Diskretni sistemi 187 dveh ireducibilnih komponent V( G 6 . 1) in V( G 6 , 2). Očitno je, da sta razsežnosti komponent V( G 6 , 1) in V( G 6 , 2) po vrsti enaki 4 in 6. V naslednjem izreku potrebujemo polinoma F 6 , 1 = A 3 , 3 − A 2 , 4 + 2 A 1 , 5 − 2 A 0 , 6 , F 6 , 2 = A 51 − 2 A 4 , 2 + 3 A 3 , 3 − 4 A 2 , 4 + 5 A 1 , 5 + 6 A 0 , 6 . Izrek 3.3.18 Cikliˇ cnost generiˇ cne toˇ cke p ∈ V( G 6 , 1) je enaka 2, če je F 6 , 1( p) ̸= 0 . Cikličnost generiˇ cne toˇ cke p′ ∈ V( G 6 , 2) je enaka 0, če je F 6 , 2( p′) ̸= 0 . Dokaz. Na raznoterosti V( G 6 , 1) je v poljubni točki p, za katero je F 6 , 1( p) ̸= 0, rang matrike J 3 p enak 3. Na raznoterosti V( G 6 , 2) pa je rang poljubne točke p′, za katero je F 6 , 2( p′) ̸= 0, rang matrike J 1 p′ enak 1. Po izreku 3.3.4 lahko iz točke p nastaneta (bifurcirata) dva limitna cikla, iz točke p′ pa noben. Primer 0:0:0:0:0:0:8: Analiza bifurkacij limitnih ciklov iz vsake komponente na centralni raznoterosti preslikave (2.130), ki izhaja iz enačbe (3.97), nam da naslednji izrek. Izrek 3.3.19 Denimo, da je 8 ∑ 8 ∑ ( − 1) j+1 jA 8 −j,j ̸= 0 in A 8 , 0 ̸= ( − 1) j( j − 1) A 8 −j,j. (3.108) j=1 j=2 Tedaj je cikliˇ cnost centra preslikave (2.130) , ki izhaja iz enaˇ cbe (3.97) , najveˇ c 3. Dokaz. Preverimo, če je ideal I 8 = ⟨g 14 , g 28 , g 42 , g 56 ⟩ korenski. Izračunamo primarno dekompo- zicijo ideala I 8 in dobimo I 8 = P 1 ∩ P 2 ∩ Q 1 ∩ Q 2 ∩ Q 3 , (3.109) kjer sta P 1 in P 2 praideala, toda Q 1, Q 2 in Q 3 so ’samo’ primarni. Zato I 8 ni korenski v R[ A] in trditve 3.3.5 ne moremo direktno uporabiti. Ideala P 1 in P 2 iz (3.109) sta po vrsti generirana s polinomi iz komponent ( S 8) in ( T 8). Primarni ideali Q 1, Q 2, in Q 3 pa so takšni, da velja √ √ √ √ Q 1 ∩ Q 2 ∩ Q 3 = Q 1 = ⟨A 71 − 2 A 6 , 2 + 3 A 5 , 3 − 4 A 4 , 4 + 5 A 3 , 5 + 6 A 2 , 6 − 7 A 1 , 7 + 8 A 0 , 8 , A 8 , 0 − A 6 , 2 +2 A 5 , 3 − 3 A 4 , 4 +4 A 3 , 5 − 5 A 2 , 6 +6 A 1 , 7 − 7 A 0 , 8 ⟩. Torej v prostoru parametrov A je raznoterost V( Q 1) določena z enačbami A 71 − 2 A 6 , 2 + 3 A 5 , 3 − 4 A 4 , 4 + 5 A 3 , 5 + 6 A 2 , 6 − 7 A 1 , 7 + 8 A 0 , 8 = A 8 , 0 − A 6 , 2 + 2 A 5 , 3 − 3 A 4 , 4 + 4 A 3 , 5 − 5 A 2 , 6 + 6 A 1 , 7 − 7 A 0 , 8 = 0. Spet uporabimo trditev 3.2.7. Naj bo A∗ ∈ A, tedaj obstajajo racionalne funkcije f 1, f 2, f 3 in f 4 , za katere je za vsak A∗, ki zadošča enačbi (3.108), in za vsak k > 4 v neki okolici točke A∗ izpolnjena enakost g 14 k = f 1 g 14 + f 2 g 28 + f 3 g 42 + f 4 g 56 . Torej je po trditvi 3.3.5 cikličnost iz centra v izhodišču za preslikave (2.130), ki izhajajo iz enačbe (3.97), s parametri, ki zadoščajo pogojema (3.108), največ 3. Sedaj s pomočjo izreka 3.3.4 preglejmo cikličnost komponent centralne raznoterosti, ki pripada enačbi (3.97). Z Jp( Bk) označimo Jacobijevo matriko polinomov g 14 , g 28 , . . . , g 14 k, ki jo izračunamo v točki p. Z rang( J k p ) označimo rang matrike Jp( Bk). Z G 8 , 1 = ⟨A 8 , 0 −A 0 , 8 , A 7 , 1 −A 1 , 7 , A 6 , 2 −A 2 , 6 , A 5 , 3 −A 3 , 5 ⟩ označimo ideal, generiran s polinomi iz komponente ( S 8) (glej izrek 3.3.9). Z G 8 , 2 = ⟨A 8 , 0 − 188 3 Primeri uporabe polinomskih idealov A 7 , 1 + A 6 , 2 − A 5 , 3 + A 4 , 4 − A 3 , 5 + A 2 , 6 − A 1 , 7 + A 0 , 8 ⟩ iznačimo ideal, generiran s polinomi iz komponente ( T 8). Ireducibilni komponenti V( G 8 , 1) in V( G 8 , 2) centralne raznoterosti sta v R9, njuni razsežnosti sta po vrsti 5 in 7. V naslednjem izreku potrebujemo polinoma F 8 , 1 = A 4 , 4 − 2 A 3 , 5 + 2 A 2 , 6 − 2 A 1 , 7 + 2 A 0 , 8 , F 8 , 2 = A 71 − 2 A 6 , 2 + 3 A 5 , 3 − 4 A 4 , 4 + 5 A 3 , 5 + 6 A 2 , 6 − 7 A 1 , 7 + 8 A 0 , 8 . Izrek 3.3.20 Cikliˇ cnost generiˇ cne toˇ cke p ∈ V( G 8 , 1) je enaka 3, če je F 8 , 1( p) ̸= 0 . Cikličnost generiˇ cne toˇ cke p′ ∈ V( G 8 , 2) je enaka 0, če je F 8 , 2( p′) ̸= 0 . Dokaz. Izračunamo, da je za poljubno točko p ∈ V( G 8 , 1) rang matrike J 4 p enak 4, če je F 8 , 1( p) ̸= 0. Podobno je za vsako točko p′ ∈ V( G 8 , 2), za katero je F 8 , 2( p′) ̸= 0, rang matrike J 1 p′ enak 1. Ostalo sledi iz izreka 3.3.4. Primer 0:0:0:0:0:0:0:0:10: Analiza bifurkacij limitnih ciklov iz vsake komponente na cen- tralni raznoterosti preslikave (2.130), ki izhaja iz enačbe (3.98), nam da naslednji izrek. Izrek 3.3.21 Denimo, da je 10 ∑ 10 ∑ ( − 1) j+1 jA 10 −j,j ̸= 0 in A 10 , 0 ̸= ( − 1) j( j − 1) A 10 −j,j. (3.110) j=1 j=2 Tedaj je cikliˇ cnost centra preslikave (2.130) , ki izhaja iz enaˇ cbe (3.98) , najveˇ c 4. Dokaz. Dokaz je podoben kot pri izrekih 3.3.17 in 3.3.19. Ideal I 10 = ⟨g 14 , ˜ g 28 , ˜ g 42 , ˜ g 56 ⟩ ponovno ni korenski. Primarna dekompozicija je oblike I 10 = P 1 ∩ P 2 ∩ Q 1 ∩ Q 2 ∩ Q 3 ∩ Q 4 , (3.111) kjer sta P 1 in P 2 praideala, toda Qi, za i = 1 , 2 , 3 , 4, niso praideali. Zato lahko trditev 3.3.5 za enačbo (3.98) uporabimo samo za vrednosti parameterov iz V( I 10) \V( Q 1 ∩Q 2 ∩Q 3 ∩Q 4). Izkaže √ √ √ √ √ se, da je Q 1 ∩ Q 2 ∩ Q 3 ∩ Q 4 = Q 1 in raznoterost V( Q 1) je definirana z A 91 − 2 A 8 , 2 + 3 A 7 , 3 − 4 A 6 , 4 +5 A 5 , 5 + 6 A 4 , 6 − 7 A 3 , 7 + 8 A 2 , 8 − 9 A 1 , 9 + 10 A 0 , 10 = A 10 , 0 − A 8 , 2 + 2 A 7 , 3 − 3 A 6 , 4+ 4 A 5 , 5 − 5 A 4 , 6 + 6 A 3 , 7 − 7 A 2 , 8 + 8 A 1 , 9 − 9 A 0 , 10 = 0. Podobno, kot v dokazih izrekov 3.3.17 in 3.3.19 lahko sklepamo, da je cikličnost v izhodišču na centralni raznoterosti enačbe (3.98) pri parametrih, ki zadoščajo pogojema (3.110), največ 4. Podobno, kot v prejšnjih primerih, označimo z G 10 , 1 oz. G 10 , 2 ideala, generirana s polinomi iz ( S 10) oz. ( T 10) . V naslednjem izreku potrebujemo še polinoma F 10 , 1 = A 5 , 5 − 2 A 4 , 6 + 2 A 3 , 7 − 2 A 2 , 8 + 2 A 1 , 9 − 2 A 0 , 10 , F 10 , 2 = A 91 − 2 A 8 , 2 + 3 A 7 , 3 − 4 A 6 , 4 + 5 A 5 , 5 + 6 A 4 , 6 − 7 A 3 , 7 + 8 A 2 , 8 − 9 A 1 , 9 + 10 A 0 , 10 . Izrek 3.3.22 Cikliˇ cnost generiˇ cne toˇ cke p ∈ V( G 10 , 1) je enaka 4, če je F 10 , 1( p) ̸= 0 . Cikličnost generiˇ cne toˇ cke p′ ∈ V( G 10 , 2) je enaka 0, če je F 10 , 2( p′) ̸= 0 . 3.3 Diskretni sistemi 189 Primer n = 2 ℓ Če so fokusne količine takšne, kot smo predvideli v podrazdelku 3.3.2, potem Bautinov ideal za primer n = 2 ℓ sestoji iz ℓ fokusnih količin I 2 ℓ = ⟨g 4 ℓ− 2 , g 2(4 ℓ− 2) , . . . , gℓ(4 ℓ− 2) ⟩. Iz primerov za n = 2 , 4 , 6 , 8 in 10 lahko sklepamo, da je za n = 2 ℓ primarna dekompozicija ideala I 2 ℓ oblike I 2 ℓ = P 1 ∩ P 2 ∩ Q 1 ∩ . . . ∩ Qℓ− 1 , kjer sta P 1 in P 2 praideala, generirana s polinomi iz komponent ( S 2 ℓ) in ( T 2 ℓ). Po analogiji velja ∑ P 2 ℓ 1 = ⟨A 2 ℓ−j,j − Aj, 2 ℓ−j : j = 0 , 1 , . . . , ℓ − 1 ⟩ in P 2 = ⟨ ( − 1) jA j=0 2 ℓ−j,j ⟩; ter Q 1 , . . . , Qℓ− 1 so primarni ideali, za katere velja √ √ √ Q = Q 1 ∩ . . . ∩ Qℓ− 1 = ⟨p 1 , p 2 ⟩, kjer je 2 ℓ ∑ p 1 = ( − 1) j− 1 jA 2 ℓ−j,j, j=1 (3.112) 2 ℓ ∑ p 2 = A 2 ℓ, 0 − ( − 1) j( j − 1) A 2 ℓ−j,j. j=2 V prostoru parametrov A, je raznoterost V( Q) določena z enačbama p 1 = p 2 = 0. Naj bo A∗ ∈ A, tedaj po trditvi 3.2.7 obstajajo racionalne funkcije f 1 , . . . , fℓ, za katere je za vsak A∗ ∈ V( I 2 ℓ) \V( Q), ki zadošča enačbi (3.99), in za vsak k > ℓ v neki okolici točke A∗ izpolnjena enakost gk(4 ℓ− 2) = f 1 g 4 ℓ− 2 + f 2 g 2(4 ℓ− 2) + · · · + fℓgℓ(4 ℓ− 2) , kar pomeni, da lahko glede cikličnosti podamo naslednjo domnevo. Domneva 3.3.23 Denimo, da je p 1 ̸= 0 in p 2 ̸= 0 , kjer sta p 1 in p 2 polinoma, določena v (3.112) . Tedaj je cikličnost centra preslikave (2.130) , ki izhaja iz enaˇ cbe (3.99) , najveˇ c ℓ − 1 . Sedaj s pomočjo izreka 3.3.4 preglejmo cikličnost komponent centralne raznoterosti iz do- mneve 3.3.11. Z Jp( Bk) označimo Jacobijevo matriko polinomov g 4 ℓ− 2 , g 2(4 ℓ− 2) , . . . , gk(4 ℓ− 2) , izračunanih v točki p, z rang( J k p ) označimo rang matrike Jp( Bk). Ideal, generiran s polinomi iz komponente ( S 2 ℓ) iz domneve 3.3.11, označimo z G 2 ℓ, 1 = ⟨A 2 ℓ−j,j − Aj, 2 ℓ−j : j = 0 , 1 , . . . , ℓ − 1 ⟩ ∑ in ideal, generiran s polinomi iz komponente ( T 2 ℓ 2 ℓ), označimo z G 2 ℓ, 2 = ⟨ ( − 1) jA j=0 2 ℓ−j,j ⟩. Komponenta V( G 2 ℓ, 1) sestoji iz ℓ linearnih pogojev. Ker je prostor parametrov A razsežnosti 2 ℓ + 1 , je razsežnost te komponente ℓ + 1, sorazsežnost pa ℓ. Označimo ℓ ∑ F 2 ℓ, 1 = Aℓ,ℓ − 2 ( − 1) j− 1 Aℓ−j,ℓ+ j. (3.113) j=1 190 3 Primeri uporabe polinomskih idealov Za vse točke p, z lastnostjo F 2 ℓ, 1( p) ̸= 0, je rang( Jℓp) = ℓ. Torej je po izreku 3.3.4 cikličnost take generične točke ℓ − 1. Komponenta V( G 2 ℓ, 2) ima razsežnost 2 ℓ, zato je njena sorazsežnost enaka 1. Označimo 2 ℓ ∑ F 2 ℓ, 2 = ( − 1) j− 1 jA 2 ℓ−j,j. (3.114) j=1 Ker je v vsaki točki p′, kjer je F 2 ℓ, 2( p′) ̸= 0, rang( J 1 p′) = 1, je na tej komponenti cikličnost enaka 0. Dodatki Dodatek A Notranja dvočlena (binarna) operacija ∗ na množici G je preslikava iz G × G v G. Pravimo tudi, da je množica G zaprta za takšno operacijo. Definicija 3.3.24 Neprazno mnoˇ zico G z notranjo dvoˇ cleno operacijo ∗ imenujemo grupa , če za vse elemente a, b, c ∈ G velja: (i) asociativnost: a ∗ ( b ∗ c) = ( a ∗ b) ∗ c, (ii) obstaja element e ∈ G (enota ali nevtralni element), za katerega je e ∗ a = a ∗ e = a, (iii) za vsak element a ∈ G obstaja inverzni element a− 1 , za katerega velja a∗a− 1 = a− 1 ∗a = e. Grupo z operacijo ∗ zapišemo v obliki urejenega para ( G, ∗). Grupa ( G, ∗) je Abelova, če za operacijo ∗ poleg zgoraj naštetih lastnosti velja še komutativnost: a ∗ b = b ∗ a za vse a, b ∈ G. Definicija 3.3.25 Naj bo ( G, ∗) grupa. Podmnožica H ⊆ G je podgrupa grupe ( G, ∗) , če je grupa za isto operacijo ∗ : H × H → H. Definicija 3.3.26 Mnoˇ zica K z dvema notranjima dvoˇ clenima operacijama + (seˇ stevanje) in · (mnoˇ zenje) je kolobar , ˇ ce velja: (i) ( K, +) je Abelova grupa, (ii) operacija mnoˇ zenja · je asociativna, (iii) operaciji + in · sta povezani z distributivnostnima zakonoma a · ( b + c) = a · b + a · c ∀a, b, c ∈ K, ( a + b) · c = a · c + b · c ∀a, b, c ∈ K. Kolobar z operacijama seštevanja + in množenja · zapišemo v obliki urejene trojice ( K, + , ·). V kolobarju K nevtralni element za seštevanje označimo z 0, inverzni element za prištevanje k elementu a ∈ K pa označimo z −a. V kolobarju ( K, + , ·) lahko obstajata neničelna elementa a, b ∈ K, katerih produkt je nev- tralni element za seštevanje a · b = 0 . V tem primeru rečemo, da je a levi delitelj niča in b desni delitelj niča. 191 192 Dodatki Če je množenje v kolobarju ( K, + , ·) komutativno, ga imenujemo komutativni kolobar. Če v komutativnem kolobarju obstaja enota za množenje 1 ∈ K, tako da je a · 1 = 1 · a = a za vsak a ∈ K, kolobar ( K, + , ·) imenujemo kolobar z enoto. V kolobarju z enoto nam do posplošitve pojma števila manjka samo še deljenje (torej obstoj inverznega elementa a− 1 za vse neničelne elemente a ∈ K). V komutativnem kolobarju so levi in desni delitelji niča enaki in jim pravimo kar delitelji niˇ ca. Definicija 3.3.27 ˇ Ce komutativen kolobar ( K, + , ·) nima deliteljev niča, ga imenujemo cel ko- lobar . V celem kolobarju velja za vsak neničeln element 0 ̸= a ∈ K tako imenovano pravilo krajšanja: krajšanje z desne: x · a = y · a & a ̸= 0 = ⇒ x = y, krajšanje z leve: a · x = a · y & a ̸= 0 = ⇒ x = y. Definicija 3.3.28 Kolobar z enoto, v katerem vsakemu neniˇ celnemu elementu a ∈ K pripada inverz (glede na mnoˇ zenje) a− 1 , imenujemo obseg . Definicija 3.3.29 Obseg, v katerem je mnoˇ zenje komutativno, imenujemo komutativni obseg ali polje . Opomba. V tej monografiji uporabljamo samo komutativne obsege. Obseg z operacijama seštevanja + in množenja · zapišemo v obliki urejene trojice ( O, + , ·). Vsak obseg je cel kolobar. Primeri komutativnih kolobarjev z enoto, ki so hkrati tudi polja in jih najpogosteje uporabljamo, so (Q , + , ·), (R , + , ·) in (C , + , ·). Primer kolobarja z enoto, ki ni obseg, je (Z , + , ·). Najpogostejši in najpomembnejši primeri kolobarjev v tej monografiji so kolobarji polinomov. Ker je množenje v kolobarju ( K, + , ·) asociativno, lahko za vsak a ∈ K in n ∈ N definiramo potenco an ∈ K takole: a 1 = a in an = an− 1 · a za vse n ≥ 2 . Če ima kolobar K enoto, definiramo še a 0 = 1. Polinom (ene spremenljivke x) f ( x) = a 0 + a 1 · x + a 2 · x 2 + · · · + an · xn; an ̸= 0 določajo koeficienti a 0 , a 1 , . . . , an ∈ F polja ( F, + , ·) (lahko tudi kolobarja ( K, + , ·)). Za konstantne polinome f ( x) = a 0 (ko je v zgornji definiciji n = 0) je lahko tudi a 0 = 0 (ničelni polinom). Množico vseh polinomov spremenljivke x nad poljem ( F, + , ·) označimo z F [ x]. Naj bosta f, g ∈ F [ x] in naj velja n 1 ∑ n 2 ∑ f ( x) = akxk in g ( x) = bkxk. k=0 k=0 Naj bo n = max ( n 1 , n 2). Potem je vsota polinomov f in g algebraično definirana kot: n ∑ ( f + g) ( x) = f ( x) + g( x) = ( ak + bk) xk, k=0 Dodatek A 193 produkt polinomov f in g pa je algebraično definiran kot:   2 n ∑  ∑  ( f · g) ( x) = f ( x) · g( x) =   a  ibj  xk. k=0 i+ j= k 0 ≤i,j≤n Pri obeh definicijah manjkajoče koeficiente polinoma nižje stopnje postavimo na nič. S tako defi- niranima operacijama + in · postane množica F [ x] kolobar, ki ga imenujemo kolobar polinomov nad poljem ( F, + , ·). Ničelni element za seštevanje v kolobarju F [ x] je polinom n ( x) = 0. Enota za množenje v kolobarju F [ x] je polinom e ( x) = 1. Analogno označimo kolobar polinomov dveh spremenljivk x in y nad poljem (R , + , ·) z R [ x, y]. Podobno označimo kolobar polinomov z n spremenljivkami x 1, x 2, . . . , xn nad po- ljem (C , + , ·) s C [ x 1 , x 2 , . . . , xn]. ∑ Polinomu f ( x) = n a k=0 k xk lahko priredimo preslikavo, ki vsakemu α ∈ K priredi vrednost ∑ f ( α) = n a k=0 k αk ∈ K . Definicija 3.3.30 Naj bo f ∈ F [ x] . Vse vrednosti x ∈ F , za katere je f ( x) = 0 , imenujemo ničle polinoma f . Definicija 3.3.31 Polje F je algebraično zaprto , ˇ ce ima vsak polinom stopnje 1 ali veˇ c iz kolobarja F [ x] vsaj eno niˇ clo v F . Opomba. Iz zgornje definicije s Hornerjevim algoritmom takoj dobimo, da vsak polinom stopnje d nad algebraično zaprtim poljem F razpade na d linearnih faktorjev, kar pomeni, da ima d ničel, če jih štejemo z ustreznimi večkratnostmi. Polje realnih števil (R , + , ·) ni algebraično zaprto, saj polinom x 2 + 1 ∈ R [ x], ki ima realne koeficiente a 0 = a 2 = 1 ∈ R in a 1 = 0 ∈ R, nima ničel v R. Polje kompleksnih števil (C , + , ·) je primer algebraično zaprtega polja. Definicija 3.3.32 Karakteristika polja z multiplikativno enoto 1 je najmanjˇ se ˇ stevilo p, za ka- tero velja 1 + 1 + · · · + 1 | {z } = 0 . p−krat ˇ Ce ne obstaja p ∈ N , ki reši zgornjo enačbo, je karakteristika polja enaka 0 . Če obstaja p ∈ N, ki reši zgornjo enačbo, je p očitno praštevilo. Med polji z neničelno karakte- ristiko p omenimo polja (Z p, + , ·) , ki jih krajše označimo z Z p. Polje je končno, če premore končno število elementov. Z p so edini primeri končnih polj, ki nastopajo v tej monografiji. Polja Z p = { 0 , 1 , 2 , . . . , p − 1 } najpreprosteje opišemo kot množico ostankov pri deljenju praštevila p z operacijama seštevanja in množenja po modulu p. Znano je, da je kolobarje Z p mogoče opisati kot kvocientne kolobarje kolobarja (Z , + , ·) po idealu p Z, ki predstavlja večkratnike števila p. Med ostalimi končnimi polji omenimo le Galoisjeva polja. Galoisjeva polja s karakteristiko p imajo pk elementov, kjer je k ≥ 1 poljubno naravno število. 194 Dodatki Definicija 3.3.33 Podmnoˇ zica W ⊆ K kolobarja ( K, + , ·) je podkolobar , če je zaprta za mnoˇ zenje · in je ( W, +) podgrupa grupe ( K, +) . Definicija 3.3.34 V komutativnem kolobarju ( K, + , ·) je podmnožica I ⊆ K ideal , če je ( I, + , ·) podkolobar kolobarja ( K, + , ·) in velja K · I ⊆ I, kjer je K · I = {a · b ∈ K; a ∈ K & b ∈ I}. Vsak kolobar K ima vsaj dva ideala, ki ju imenujemo trivialna ideala I 1 = K in I 2 = { 0 }. Ostale ideale imenujemo netrivialni ideali. Če v kolobarju ( K, + , ·) obstaja kak netrivialni ideal I, lahko definiramo kvocientni kolobar. Na množici K lahko namreč definiramo ekvivalenčno relacijo ∼ nad elementi kolobarja K. Za a, b ∈ K velja a ∼ b ⇔ a − b ∈ I. Dejansko je relacija ∼ kongruenčna relacija, saj očitno (zaradi definicije ideala) iz a ∼ b ∧ c ∼ d sledi a + c ∼ b + d in a · c ∼ b · d za vse a, b, c, d ∈ K. Zato a ∼ b označimo tudi kot a ≡ b (mod I) (beremo: a je kongruentno b po modulu I). Ekvivalenčni razred elementa a ∈ K označimo z [ a] [ a] = {b ∈ K; a ∼ b} . Definicija 3.3.35 Naj bo ( K, + , ·) komutativni kolobar in I njegov ideal ter ∼ idealu pri- padajoˇ ca kongruenˇ cna relacija. Mnoˇ zico vseh ekvivalenˇ cnih razredov kongruenˇ cne relacije ∼ oznaˇ cimo s K/I in jo imenujemo kvocientna množica (kolobarja K glede na ideal I). Na kvo- cientni mnoˇ zici lahko med elementoma a + I ∈K/I in b + I ∈K/I naravno definiramo operaciji seˇ stevanja in mnoˇ zenja na naslednji naˇ cin ( a + I) + ( b + I) = ( a + b) + I, ( a + I) · ( b + I) = ( a · b) + I. S tema dvema operacijama postane kvocientna mnoˇ zica K/I kolobar, ki ga imenujemo kvocientni kolobar . Množico V , katere elemente lahko med sabo seštevamo in množimo s skalarji iz nekega obsega imenujemo vektorski prostor. Elemente vektorskega prostora imenujemo vektorji. Operacija seštevanja vektorjev je notranja dvočlena operacija nad množico V + : V × V → V. Operacija množenja vektorjev z elementi α iz obsega F je tipa · : F × V → V. Natančneje je vektorski prostor definiran spodaj. Definicija 3.3.36 Vektorski prostor nad obsegom F je mnoˇ zica V skupaj z operacijama seˇ stevanja vektorjev + in mnoˇ zenja vektorjev s skalarji ·, za kateri velja: (i) asociativnost seˇ stevanja vektorjev: ⃗ v 1 + ( ⃗v 2 + ⃗v 3) = ( ⃗v 1 + ⃗v 2) + ⃗v 3 , za vse ⃗v 1 , ⃗v 2 , ⃗v 3 ∈ V , Dodatek A 195 (ii) komutativnost seˇ stevanja vektorjev: ⃗ v 1 + ⃗v 2 = ⃗v 2 + ⃗v 1 , za vse ⃗v 1 , ⃗v 2 ∈ V , (iii) obstaja niˇ celni element za seˇ stevanje: ⃗ 0 + ⃗ v = ⃗ v + ⃗ 0 = ⃗ v, za vse ⃗ v ∈ V , (iv) za vsak ⃗ v ∈ V obstaja nasprotni element ( −⃗v) ∈ V , tako da je ⃗v + ( −⃗v) = ( −⃗v) + ⃗v = ⃗ 0 , (v) za vsak α, β ∈ F in ⃗v ∈ V velja α ( β⃗v) = ( αβ) ⃗v, (vi) za vsak α, β ∈ F in ⃗v ∈ V velja ( α + β) ⃗v = α⃗v + β⃗v, (vii) za vsak α ∈ F in vsak par ⃗v 1 , ⃗v 2 ∈ V velja α ( ⃗v 1 + ⃗v 2) = α⃗v 1 + α⃗v 2 , (viii) za vsak ⃗ v ∈ V velja 1 ⃗v = ⃗v, kjer je 1 enota obsega F : 1 · α = α · 1 = α za vsak α ∈ F . Vektorski prostor označimo z urejeno trojico ( V, + , ·). Podmnožica vektorskega prostora, ki je tudi sama vektorski prostor, je vektorski podprostor. Definicija 3.3.37 Naj bo F polje in V vektorski prostor nad poljem F . Naj bo W podmnoˇ zica mnoˇ zice V (W ⊆ V ). Tedaj je W vektorski podprostor , če velja: ( i) ⃗ 0 ∈ W, ( ii) za vse ⃗ w 1 , ⃗ w 2 ∈ W velja ⃗ w 1 + ⃗ w 2 ∈ W, ( iii) za vse α ∈ F in ⃗ w ∈ W je α · ⃗ w ∈ W . Naj bo V vektorski prostor nad poljem F . Podani naj bodo vektorji ⃗ v 1, ⃗v 2, ..., ⃗vn ∈ V in skalarji α 1, α 2, ..., αn ∈ F. Potem je α 1 · ⃗v 1 + α 2 · ⃗v 2 + · · · + αn · ⃗vn linearna kombinacija vektorjev ⃗ v 1, ⃗v 2, ..., ⃗vn ∈ V . Definicija 3.3.38 Naj bo V vektorski prostor nad poljem F . Za izbrane vektorje ⃗ v 1 , ⃗v 2 , ..., ⃗ vn ∈ V množico vseh mogočih linearnih kombinacij L ( ⃗v 1 ,⃗v 2 , ...,⃗vn) = {⃗x ∈ V ; ∃α 1 , α 2 , ..., αn ∈ F : ⃗x = α 1 · ⃗v 1 + α 2 · ⃗v 2 + · · · + αn · ⃗vn} . imenujemo linearna lupina vektorjev ⃗ v 1 , ⃗v 2 , ..., ⃗vn. Naj bo ( V, + , ·) vektorski prostor nad poljem F . Preslikava ∗ : V × V → V , ki vsakemu ure- jenemu paru ( ⃗ x, ⃗ y) ∈ V × V priredi element ⃗x ∗ ⃗y, je notranja dvočlena operacija nad vektorskim prostorom ( V, + , ·), ki jo imenujemo množenje vektorjev. Definicija 3.3.39 Naj bo F polje in V vektorski prostor nad F , ki je opremljen z dodatno operacijo ∗ množenja vektorjev, za katero za vsak skalar α iz polja F in za poljubne vektorje ⃗ x, ⃗ y, ⃗ z ∈ V velja: ( α⃗ x) ∗ ⃗y = ⃗x ∗ ( α⃗y) = α( ⃗x ∗ ⃗y) , ( ⃗ x + ⃗ y) ∗ ⃗z = ⃗x ∗ ⃗z + ⃗y ∗ ⃗z, ⃗ x ∗ ( ⃗y + ⃗z) = ⃗x ∗ ⃗y + ⃗x ∗ ⃗z. Tedaj pravimo, da je A = ( V, + , ∗) algebra nad poljem F . 196 Dodatki Opomba. Zgornje lastnosti množenja vektorjev imenujemo bilinearnost. Algebra je poseben primer vektorskega prostora, kjer množica vektorjev ni le Abelova grupa za seštevanje, ampak je kolobar (za seštevanje in množenje). Definicija 3.3.40 Podmnoˇ zica W ⊆ V algebre A = ( V, + , ∗) je podalgebra (algebre A), če je vektorski podprostor prostora ( V, +) in ˇ ce je tudi sama algebra za isti operaciji (zoˇ zeni na W ). Ali je množica W ⊆ V podalgebra algebre V , najlažje ugotovimo, če preverimo, ali sta razlika a − b in produkt a ∗ b poljubnih elementov a, b ∈ W tudi v množici W (glej [121]). Ob koncu dodatka A omenimo še preslikave, ki jih obravnavamo v zvezi z vektorskimi pro- stori, t.i. linearne prelikave. Definicija 3.3.41 Naj bosta V in W vektorska prostora. Preslikava A : V → W je linearna, ˇ ce zanjo velja: (i) aditivnost: A( ⃗v 1 + ⃗v 2) = A( ⃗v 1) + A( ⃗v 2) za vse ⃗v 1 , ⃗v 2 ∈ V , (ii) homogenost: A( λ⃗v) = λA( ⃗v) za vse λ ∈ F in ⃗v ∈ V . ˇ Ce je A linearna, potem iz aditivnosti in homogenosti sledi A( λ 1 ⃗v 1 + λ 2 ⃗v 2) = A( λ 1 ⃗v 1) + A( λ 2 ⃗v 2) = λ 1 A( ⃗v 1) + λ 2 A( ⃗v 2) za vse λ 1 , λ 2 ∈ F in vse ⃗v 1 , ⃗v 2 ∈ V . Velja tudi obratno: če je A( λ 1 ⃗v 1 + λ 2 ⃗v 2) = λ 1 A( ⃗v 1) + λ 2 A( ⃗v 2) za vse λ 1 , λ 2 ∈ F in ⃗v 1 , ⃗v 2 ∈ V , potem, če izberemo λ 1 = λ 2 = 1, dobimo A( ⃗v 1 + ⃗v 2) = A( ⃗v 1) + A( ⃗v 2), kar pomeni, da je A aditivna preslikava; in če izberemo λ 2 = 0, dobimo A( λ 1 ⃗v 1) = λ 1 A( ⃗v 1), kar pomeni, da je A homogena. Zato lahko zgornjo definicijo zapišemo krajše. Trditev 3.3.42 Preslikava A : V → W je linearna natanko tedaj, ko velja A( λ 1 ⃗v 1 + λ 2 ⃗v 2) = λ 1 A( ⃗v 1) + λ 2 A( ⃗v 2) za vse za vse λ 1 , λ 2 ∈ F in vse ⃗v 1 , ⃗v 2 ∈ V . Dodatek B 1. Koda v programu Mathematica za izračun fokusnih količin sistema (3.9). • Operator (3.71) v [114] za sistem (3.9) l1[nu_1,nu_2,nu_3,nu_4,nu_5,nu_6,nu_7,nu_8]:= 1nu_1+2nu_2+1nu_3+0nu_4+2nu_5+1nu_6+0nu_7+0nu_8 l2[nu_1,nu_2,nu_3,nu_4,nu_5,nu_6,nu_7,nu_8]:= 0nu_1+0nu_2+1nu_3+2nu_4+0nu_5+1nu_6+2nu_7+1nu_8 • Definicija funkcije (4.52) v [114]. Dodatek B 197 v[k_1,k_2,k_3,k_4,k_5,k_6,k_7,k_8]:=v[k1,k2,k3,k4,k5,k6,k7,k8]= Module[{us,coef},coef=l1[k1,k2,k3,k4,k5,k6,k7,k8]-l2[k1,k2,k3,k4,k5,k6,k7,k8]; us=0; v[0,0,0,0,0,0,0,0]=1; If[k1>0, us=us+(l1[k1-1,k2,k3,k4,k5,k6,k7,k8]+1)*v[k1-1,k2,k3,k4,k5,k6,k7,k8]] If[k2>0,us=us+(l1[k1,k2-1,k3,k4,k5,k6,k7,k8]+1)*v[k1,k2-1,k3,k4,k5,k6,k7,k8]]; If[k3>0,us=us+(l1[k1,k2,k3-1,k4,k5,k6,k7,k8]+1)*v[k1,k2,k3-1,k4,k5,k6,k7,k8]]; If[k4>0,us=us+(l1[k1,k2,k3,k4-1,k5,k6,k7,k8]+1)*v[k1,k2,k3,k4-1,k5,k6,k7,k8]]; If[k5>0,us=us-(l2[k1,k2,k3,k4,k5-1,k6,k7,k8]+1)*v[k1,k2,k3,k4,k5-1,k6,k7,k8]]; If[k6>0,us=us-(l2[k1,k2,k3,k4,k5,k6-1,k7,k8]+1)*v[k1,k2,k3,k4,k5,k6-1,k7,k8]]; If[k7>0,us=us-(l2[k1,k2,k3,k4,k5,k6,k7-1,k8]+1)*v[k1,k2,k3,k4,k5,k6,k7-1,k8]]; If[k8>0,us=us-(l2[k1,k2,k3,k4,k5,k6,k7,k8-1]+1)*v[k1,k2,k3,k4,k5,k6,k7,k8-1]]; If [coef!=0, us=us/coef]; If [coef==0, gg[k1,k2,k3,k4,k5,k6,k7,k8]=us; us=0]; us] • gmax je število fokusnih količin, ki jih izračunamo gmax=7; • Izračun količin q[1],q[2], . . . ,q[n] do n=”gmax” Do[k= sc; num=k; q[num]=0; For[i1=0,i1<=2 k,i1++ , For[i2=0,i2<=(2 k-i1),i2++ , For[i3=0,i3<=(2 k-i1-i2),i3++ , For[i4=0,i4<=(2 k-i1-i2-i3),i4++, For[i5=0,i5<=(2 k-i1-i2-i3-i4),i5++, For[i6=0,i6<=(2 k-i1-i2-i3-i4-i5),i6++, For[i7=0,i7<=(2 k-i1-i2-i3-i4-i5-i6),i7++, For[i8=0,i8<=(2 k-i1-i2-i3-i4-i5-i6-i7),i8++, If[(l1[i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,i8]==k) &&(l2[i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,i8]==k), v[i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,i8]; q[num]=q[num]+gg[i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,i8]TT[i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,i8]]]]]]]]]], {sc,1,gmax}] • Definiranje monomov sistema (3.9) TT[l1_,l2_,l3_,l4_,l5_,l6_,l7_,l8_]:= a10^l1 a20^l2 a11^l3 a02^l4 b20^l5 b11^l6 b02^l7 b01^l8 • Rezultat (fokusne količine) Do[Print[gg[i]=q[i]], {i,1,gmax}]; 2. Koda v programu Mathematica za izračun fokusnih količin sistema (3.34). l1[nu_1,nu_2,nu_3,nu_4,nu_5,nu_6,nu_7,nu_8]:= 3nu_1+2nu_2+1nu_3+0nu_4+3nu_5+2nu_6+1nu_7+0nu_8 l2[nu_1,nu_2,nu_3,nu_4,nu_5,nu_6,nu_7,nu_8]:= 0nu_1+1nu_2+2nu_3+3nu_4+0nu_5+1nu_6+2nu_7+3nu_8 198 Dodatki v[k_1,k_2,k_3,k_4,k_5,k_6,k_7,k_8]:=v[k1,k2,k3,k4,k5,k6,k7,k8]= Module[{us,coef},coef=l1[k1,k2,k3,k4,k5,k6,k7,k8]-l2[k1,k2,k3,k4,k5,k6,k7,k8]; us=0; v[0,0,0,0,0,0,0,0]=1; If[k1>0, us=us+(l1[k1-1,k2,k3,k4,k5,k6,k7,k8]+1)*v[k1-1,k2,k3,k4,k5,k6,k7,k8]] If[k2>0,us=us+(l1[k1,k2-1,k3,k4,k5,k6,k7,k8]+1)*v[k1,k2-1,k3,k4,k5,k6,k7,k8]]; If[k3>0,us=us+(l1[k1,k2,k3-1,k4,k5,k6,k7,k8]+1)*v[k1,k2,k3-1,k4,k5,k6,k7,k8]]; If[k4>0,us=us+(l1[k1,k2,k3,k4-1,k5,k6,k7,k8]+1)*v[k1,k2,k3,k4-1,k5,k6,k7,k8]]; If[k5>0,us=us-(l2[k1,k2,k3,k4,k5-1,k6,k7,k8]+1)*v[k1,k2,k3,k4,k5-1,k6,k7,k8]]; If[k6>0,us=us-(l2[k1,k2,k3,k4,k5,k6-1,k7,k8]+1)*v[k1,k2,k3,k4,k5,k6-1,k7,k8]]; If[k7>0,us=us-(l2[k1,k2,k3,k4,k5,k6,k7-1,k8]+1)*v[k1,k2,k3,k4,k5,k6,k7-1,k8]]; If[k8>0,us=us-(l2[k1,k2,k3,k4,k5,k6,k7,k8-1]+1)*v[k1,k2,k3,k4,k5,k6,k7,k8-1]]; If [coef!=0, us=us/coef]; If [coef==0, gg[k1,k2,k3,k4,k5,k6,k7,k8]=us; us=0]; us] gmax=8; Do[k= sc; num=k; q[num]=0; For[i1=0,i1<=2 k,i1++ , For[i2=0,i2<=(2 k-i1),i2++ , For[i3=0,i3<=(2 k-i1-i2),i3++ , For[i4=0,i4<=(2 k-i1-i2-i3),i4++, For[i5=0,i5<=(2 k-i1-i2-i3-i4),i5++, For[i6=0,i6<=(2 k-i1-i2-i3-i4-i5),i6++, For[i7=0,i7<=(2 k-i1-i2-i3-i4-i5-i6),i7++, For[i8=0,i8<=(2 k-i1-i2-i3-i4-i5-i6-i7),i8++, If[(l1[i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,i8]==k) &&(l2[i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,i8]==k), v[i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,i8]; q[num]=q[num]+gg[i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,i8]TT[i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,i8]]]]]]]]]], {sc,1,gmax}] TT[l1_,l2_,l3_,l4_,l5_,l6_,l7_,l8_]:= a30^l1 a21^l2 a12^l3 a03^l4 b30^l5 b21^l6 b12^l7 b03^l8 Do[Print[gg[i]=q[i]], {i,1,gmax}]; 3. Rezultat izračuna primarne dekompozicije v Singularju ideala B 4 za sistem (3.27) z λ = 0 (ali sistem (3.9)). [1]: [1]: _[1]=a10^2*a02-b20*b01^2 _[2]=a20*b01^2-a10^2*b02 _[3]=a20*a02-b20*b02 _[4]=a11-b11 [2]: _[1]=a10^2*a02-b20*b01^2 _[2]=a20*b01^2-a10^2*b02 _[3]=a20*a02-b20*b02 _[4]=a11-b11 Dodatek B 199 [2]: [1]: _[1]=a02+b02 _[2]=a20+b20 _[3]=a11-b11 [2]: _[1]=a02+b02 _[2]=a20+b20 _[3]=a11-b11 [3]: [1]: _[1]=b02 _[2]=b11 _[3]=a02 _[4]=a11 [2]: _[1]=b02 _[2]=b11 _[3]=a02 _[4]=a11 [4]: [1]: _[1]=b11 _[2]=a02^2+2*a02*b02+b02^2 _[3]=a20*b02+a02*b20+2*b20*b02 _[4]=a20*a02-b20*b02 _[5]=a20^2+2*a20*b20+b20^2 _[6]=a11 [2]: _[1]=b11 _[2]=a02+b02 _[3]=a20+b20 _[4]=a11 [5]: [1]: _[1]=b11 _[2]=b20 _[3]=a02 _[4]=a11 [2]: _[1]=b11 _[2]=b20 _[3]=a02 _[4]=a11 [6]: [1]: 200 Dodatki _[1]=b11 _[2]=b20 _[3]=a20 _[4]=a11 [2]: _[1]=b11 _[2]=b20 _[3]=a20 _[4]=a11 Literatura [1] W. W. Adams, P. Loustaunau, An Introduction to Gr¨ obner Bases. Graduate Studies in Mathematics. Vol. 3. Providence, RI: American Mathematical Society, 1994. [2] E.A. Arnold, Modular algorithms for computing Gr¨ obner bases. J. Symbolic Comput. 35 (2003) 403–419. [3] D.K. Arrowsmith, C.M. Place, Dynamical Systems: Differential equations, maps and cha- otic behaviour. London - New York: Chapman & Hall, 1992. [4] B. Aulbach, B. Kieninger, On Three Definitions of Chaos, Nonlinear Dynamics and Sy- stems Theory, 1 (2001) 23–37. [5] J. Banks, J. Brooks, G. Cairns, G. Davis, P. Stacey, On Devaney’s Definition of Chaos, Am. Math. Monthly, 99 (1992), 332–334. [6] N.N. Bautin, On the number of limit cycles which appear with the variation of coefficients from an equilibrium position of focus or center type. Math. Sb. 30 (1952) 181–196; Amer. Math. Soc. Transl. 100 (1954) 181–196. [7] A. F. Beardon, Iteration of Rational Functions, New York: Springer-Verlag, 1991. [8] Y.N. Bibikov, Local Theory of Nonlinear Analytic Ordinary Differential Equations, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 702, New York: Springer-Verlag, 1979. [9] G.D. Birkhoff, Dynamical Systems. Amer. Math. Soc. Colloq.Publ. 9. New York: American Mathematical Society, (1927) 295 pp. [10] T. Bountis, Fundamental Concepts of Classical Chaos I, Open System and Information Dynamics, (1995) 23–95. [11] R. Brown, L. O. Chua, Clarifying Chaos: Examples and Counterexamples, Int. j. bifurc. chaos appl. sci. eng. 6 (1996) 219–249. [12] B. Buchberger. Ein Algorithmus zum Auffinden der Basiselemente des Restlassenringes nach einem nulldimensionalen Polynomideal. PhD Thesis, Mathematical Institute, Uni- versity of Innsbruck, Austria, 1965; An Algorithm for finding the basis elements of the residue class ring of a zero dimensional polynomial ideal. J. Symbolic Comput. 41 (2006) 475–511. [13] R. L. Burden, J. D. Faires, Numerical Analysis. Pacific Grove, CA: Brooks/Cole, 1997. 201 202 Literatura [14] J. Carr, Applications of Center manifold Theory. New York: Springer-Verlag, 1981. [15] J. Chavarriga, J. Giné, Integrability of a linear center perturbed by a fifth degree homoge- neous polynomial. Publ. Mat. 41 (1997) 335–356. [16] J. Chavarriga, J. Giné, I.A. Garc´ıa, Isochronous centers of a linear center perturbed by fourth degree homogeneous polynomial. Bull. Sci. Math. 123 (1999) 77–96. [17] J. Chavarriga, M. Sabatini, A survey of isochronous centers. Qual. Theory Dyn. Syst. 1 (1999) 1-70. [18] X. Chen, V.G. Romanovski, W. Zhang, Linearizability conditions of time-reversible quartic systems having homogeneous nonlinearities. Nonlinear Anal. 69 (2008) 1525–1539. [19] X. Chen, V.G. Romanovski, W. Zhang, Persistent centers of complex systems. Bull. Sci math. 138 (2014) 110–123. [20] C. Christopher, Estimating limit cycle bifurcations from centers, Differential Equations with Symbolic Computations, Trends in Mathematics (2006) 23–35. [21] C. Christopher, J. Llibre, Algebraic aspects of integrability for polynomial differential equa- tions, Qual. Theory Dyn. Syst. 1 (1999) 71–95. [22] C. Christopher, J. Llibre, Integrability via invariant algebraic curves for planer polynomial differential systems, Ann. Differ. Equ. 16 (2000) 5–19. [23] C. Christopher, P. Mardešić, C. Rousseau, Normalizable, integrable, and linearizable saddle points for complex quadratic systems in C2 . J. Dyn. Control Sys. 9 (2003) 311–363. [24] C. Christopher, C. Rousseau, Nondegenerate linearizable centres of complex planar qua- dratic and symmetric cubic systems in C2 . Publ. Mat. 45 (2001) 95-123. [25] C. Christopher, C. Rousseau, Normalizable, integrable and linearizable saddle points in the Lotka-Volterra system. Qual. Theory Dynam. Syst. 5 (2004) 11–61. [26] A. Cima, A. Gasull, J.C. Medrado, On persistent centers, Bull. Sci. Math. 133 (2009) 644–657. [27] D. Cox, J. Little, D. O’Shea, Ideals, Varieties, and Algorithms: An Introduction to Com- putational Algebraic Geometry and Commutative Algebra. New York: Springer, 3rd ed., 2007. [28] P. Cvitanović, R. Artuso, R. Mainieri, G. Tanner, G. Vattay, Chaos: Classical and Quan- tum, ChaosBook.org (Niels Bohr Institute, Copenhagen 2016) (online) (citirano 24. 3. 2018). Dostopno na naslovu: http://chaosbook.org/ [29] V. I. Danilyuk, A. S. Shubé, Distinguishing the cases of the center and focus for cubic systems with six parameters. (Russian) Izv. Akad. Nauk Moldav. SSR Mat. (1990) 18–21. [30] G. Darboux, M´ emoire sur les ´ equations diff´ erentielles alg´ ebriques du premier ordre et du premier degr´ e (M´ elanges), Bull. Sci. Math. 2ème série 2, 60–90; 123–144; 151–200, 1878. Literatura 203 [31] W. Decker, S.Laplagne, G. Pfister, H.A. Schonemann, SINGULAR 3-1 library for com- puting the prime decomposition and radical of ideals, primdec.lib, 2010. [32] R. L. Devaney, An Introduction to Chaotic Dynamical Systems, Cambridge MA: Westview Press, 2003. [33] D. Dolićanin, G. V. Milovanović, V. G. Romanovski, Linearizability conditions for a cubic system, Applied Math. and Comp., (2007) 937–945. [34] H. Dulac, D´ etermination et int´ egration d’une certaine classe d’´ equations diff´ erentielles ayant pour point singulier un centre, Bull. Sci. Math. Sér. (2) 32 (1908) 230–252. [35] F. Dumortier, J. Llibre, J.C. Artés, Qualitative Theory of Planar Differential Systems. Berlin: Springer-Verlag, 2006. [36] V. F. Edneral, A. Mahdi, V. G. Romanovski, D. S. Shafer, The center problem on a center manifold in R3, Nonlinear Anal. 75 (2012) 2614–2622. [37] S. N. Elaydi, An introduction to difference equations. Third edition. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer, New York, 2005. xxii+539 pp. [38] S. N. Elaydi, Discrete chaos. Boca Raton, FL: Chapman & Hall/CRC, 2000. [39] B. Ferčec, On integrability conditions and limit cycle bifurcations for polynomial systems. Applied mathematics and computation, 263 (2015) 94–106. [40] B. Ferčec, X.Chen, V. Romanovski, Integrability conditions for complex systems with ho- mogeneous quintic nonlinearities. Journal of applied analysis and computation, 1 (2011) 9–20. [41] B. Ferčec, W. Fernandez, M. Mencinger, R. Oliveira, Linearizability of cubic weakly persi- stent centers, Electronic journal of qualitative theory of differential equations, 2018 (2018) 1–27. [42] B. Ferčec, J. Giné, Blow-up mehod to prove formal integrability for planar differential systems, Journal of Applied Analysis and Computation, 8 (2018) 1811–1820. [43] B. Ferčec, J. Giné, Y. Liu, V. Romanovski, Integrability conditions for Lotka-Volterra planar complex quartic systems having homogeneous nonlinearities, Acta applicandae ma- thematicae. 124 (2013) 107–122. [44] B. Ferčec, J. Giné, V. Romanovski, V. F. Edneral, Integrability of complex planar systems with homogeneous nonlinearitiesn. Journal of mathematical analysis and applications 434 (2016) 894–914. [45] B. Ferčec, A. Mahdi, Center conditions and cyclicity for a family of cubic systems: Com- puter algebra approach, Mathematics and Computers in Simulation, 87 (2013), 55–67. [46] B. Ferčec, M. Mencinger, Isochronicity of centers at a center manifold, AIP conference proceedings, 1468. Melville, N.Y.: American Institute of Physics, 2012, 148–157. 204 Literatura [47] J.P. Françoise, Y. Yomdin, Bernstein inequalities and applications to analytic geometry and and differential equations. J. Funct. Anal. 146 (1997) 185–205. [48] P. Gaspard, R¨ ossler systems, Encyclopedia of Nonlinear Science (2005), 808-811. [49] P. Gianni, B. Trager, G. Zacharias, Gr¨ obner bases and primary decompositions of polyno- mials. J. Symbolic Comput. 6 (1988) 146–167. [50] J. Giné, C. Christopher, M. Prešern, V.G. Romanovski, N.L. Shcheglova, The resonant center problem for a 2 : − 3 resonant cubic Lotka-Volterra system, CASC 2012, Maribor, Slovenia (2012), 3–6. Lecture Notes in Computer Science 7442 (2012) 129–142. [51] J. Giné, Z. Kadyrsizova, Y. Liu, and V.G. Romanovski, Linearizability conditions for Lotka–Volterra planar complex quartic systems having homogeneous nonlinearities Com- put. Appl. Math. 61 (2011) 1190–1201. [52] J. Giné, V. G. Romanovski, Integrability conditions for Lotka-Volterra planar complex quintic systems. Nonlinear Analysis: Real World Applications 11 (2010) 2100–2105. [53] P. Glendinning, Stability, Instability and Chaos, Cambridge: Cambridge University Press, 1994. [54] T. Gravel, P. Thibault, Integrability and linearizability of the LotkaVolterra system with a saddle point with rational hyperbolicity ratio. J. Differential Equations 184 (2002) 20-47. [55] R. Gregorič, Abel–Ruffinijev izrek preko zank in permutacij. Obzornik za matematiko in fiziko 63 (2016) 161–174. [56] G. M. Greuel, G. Pfister, H. A. Schönemann. SINGULAR 3.0 A Computer Algebra System for Polynomial Computations. Centre for Computer Algebra, University of Kaiserslautern (2005). http://www.singular.uni-kl.de. [57] M. Han, H. Zang, T. Zhang. A new proof to Bautin’s theorem. Chaos Solitons Fractals, 31 (2007) 218–223. [58] P. Hartman, Ordinary Differential Equations, New York: Wiley, 1964. [59] J. Heidel, F. Zhang, Nonchaotic and chaotic behavior in three-dimensional quadratic sy- stems: five-one conservative cases. Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg. 17 (2007) 2049-2072. [60] R. Hide, A. C. Skeldon, D. J. Acheson A study of two novel self-exciting single-disk ho- mopolar dynamos: theory, Proc. R. Soc. Lond. A 452 (1996) 1369–1395. [61] M. W. Hirsch, S. Smale, R. L. Devaney, Differential equations, dynamical systems, and an introduction to chaos. Second edition. Pure and Applied Mathematics, Amsterdam: Elsevier/Academic Press, 2004. [62] R. A. Holmgren, A First Course in Discrete Dynamical Systems, New York: Springer, 1996. Literatura 205 [63] Yu. Ilyashenko, Centennial history of Hilbert’s 16th problem. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 39 (2002) 301–354. [64] Yu. Il’yashenko, S. Yakovenko, Lectures on analytic differential equations. Graduate Stu- dies in Mathematics. 86, Providence: American Mathematical Society, 2008. [65] M. C. Irwin, Smooth Dynamical Systems, New York: Academic Press, 1980. [66] K. Janglajew, On the reduction principle of difference equations, Dyn. Contin. Discrete Impulsive Syst. 6 (1999) 381–388. [67] A. S. Jarrah, R. Laubenbacher, V. Romanovski, The Sibirsky component of the center variety of polynomial differential systems, J. Symbolic Comput. 35 (2003) 577–589. [68] A. Jebrane, H. Żo ladek, A note on higher order Melnikov functions, Qual. Theory Dyn. Syst. 6 (2005) 273-287. [69] M. K. Kinyon, A. A. Sagle, Differential Systems and Algebras, Differential Equations, Dynamical systems and Control Science, 152 (1994) 115–141. [70] M. Kutnjak, On chaotic dynamics of nonanalytic quadratic planar maps, Nonlinear Phe- nom. Complex Syst. 10 (2007) 176–179. [71] M. Kutnjak, On ideal structure in quadratic DDS in R2. 7th International Summer School/Conference at the University of Maribor, 29 June - 13 July 2008, Maribor, Slovenia. ”Let’s face chaos through nonlinear dynamics”, (AIP conference proceedings), Melville: American Institute of Physics, 1076 (2008) 137–141. [72] M. Kutnjak, Kaos v diskretnih homogenih kvadratiˇ cnih sistemih v ravnini : doktorska di- sertacija. Maribor: Fakulteta za naravoslovje in matematiko, 2014. [73] J. Ladyman, J. Lambert, K. Wiesner, What is a Complex System? , Europ. J. for Philoso- phy of Sci. 3 (2013) 33–67. [74] V. Levandovskyy, A. Logar, V. G. Romanovski, The cyclicity of a cubic system, Open Syst. Inf. Dyn. 16 (4) (2009) 429–439. [75] V. Levandovskyy, G. Pfister, V. G. Romanovski, Evaluating cyclicity of cubic systems with algorithms of computational algebra. Commun. Pure Appl. Anal. 11 (2012), 2023–2035. [76] V. Levandovskyy, V.G. Romanovki, D.S. Shafer, The cyclicity of a cubic system with nonradical Bautin ideal. J. Differential Equations, 246 (2009) 1274–1287. [77] J. Li, Hilbert’s 16th problem and bifurcations of planar polynomial vector fields, Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg. 13 (2003) 47–106. [78] N. Li, M. Han, V.G. Romanovski, Cyclicity of some Li´ enard systems, Comm. pure and applied analysis, 14 (2015) 2127–2150. [79] T.Y. Li, J. A. Yorke, Period Three Implies Chaos, Amer. Math. Monthly, 10 (1975) 985– 992. 206 Literatura [80] A. Liapounoff, Probl` eme g´ en´ eral de la stabilit´ e du mouvement. Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse Sér. 2 9 (1907) 204–474. Reproduction in Annals of Mathematics Studies 17, Princeton: Princeton University Press, 1947, reprinted New York: Kraus Reprint Corporation, 1965. [81] J. Llibre, X. Zhang, On the Darboux Integrability of Polynomial Differential Systems, Qualitative Theory of Dynamical Systems, 11 (2012) 129–144. [82] N.G. Lloyd, J.M. Pearson, E. Sáez, I. Szántó, A cubic Kolmogorov system with six limit cycles, Comput. Math. Appl. 44 (2002) 445–455. [83] E. N. Lorenz, Deterministic nonperiodic flow, J. Atmospheric Sci. 20 (1963) 130–141. [84] W. S. Loud, Behaviour of the period of solutions of certain plane autonomous systems near centers. Contributions to Differential Equations, 3 (1964) 21-36. [85] O. B. Lykova, The reduction principle in Banach space, Ukrainian Math. J., 23 (1971) 391–397. [86] K. E. Malkin, Conditions for the center for a class of differential equations. (Russian), Izv. Vysš. Učben. Zaved. , 50 (1966) 104–114. [87] H. Maoan, Bifurcation Theory of Limit Cycles, Beijing: Science Press, 2013. [88] L. Markus, Quadratic Differential Equations and Nonassociative Algebras, Ann. Math. Studies, Princeton Univ. Press, 45 (1960) 185–213. [89] M. Mencinger, Stabilnost kvadratiˇ cnih sistemov : doktorska disertacija, Pedagoška fakul- teta v Mariboru, Maribor, 2003. [90] M. Mencinger, On quadratizations of homogeneous polynomial systems of ODEs, Glas. Mat. Ser. III 50 (70) (2015) 163-182. [91] M. Mencinger, On nonchaotic behavior in quadratic systems. Nonlinear Phenom. Complex Syst. 9 (2006) 283-287. [92] M. Mencinger, B. Ferčec, The center and cyclicity problems for some analytic maps, Applied mathematics and computation 306 (2017) 73–85. [93] M. Mencinger, B. Ferčec, R. Oliveira, D. Pagon, Cyclicity of some analytic maps, Applied mathematics and computation 295 (2017) 114–125. [94] J. Milnor, Dynamics in one complex variable: introductory lectures, Braunschweig: Vie- weg, 2000. [95] F. C. Moon, R. H. Rand, Parametric stiffness control of flexible structures, Jet Propulsion Laboratory Publication, 85-29 (1985) 329–342. [96] C. Oestreicher, A history of chaos theory, Dialogues Clin Neurosci. 9 (2007) 279 – 289. [97] H. O. Peitgen, H. Jürgens, D. Saupe, Chaos and Fractals, New Frontiers of Science, New York: Springer-Verlag, 1992. Literatura 207 [98] L. Perko, Differential Equations and Dynamical Systems: Texts in Applied Mathematics 7. New York: Springer-Verlag, 3rd edition, 2001. [99] V.A. Pliss, A reduction principle in the theory of stability of motion. Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 28 (1964) 1297–1324. [100] H. Poincaré, M´ emoire sur les courbes d´ efinies par une ´ equation diff´ erentielle. J. Math. Pures et. Appl. (Sér. 3) 7 (1881) 375–422; (Sér. 3) 8 (1882) 251–296; (Sér. 4) 1 (1885) 167–244; (Sér. 4) 2 (1886) 151–217. [101] D. Poland, Cooperative catalysis and chemical chaos: a chemical model for the Lorenz equations, Physica D, 65 (1993) 86–99. [102] T. Puu, Nonlinear Economic Dynamics, New York: Springer, 1997. [103] A. Reinfelds, K. Janglajew, Reduction principle in the theory of stability of difference equations, Discrete Contin. Dyn. Syst, 12 (2007) 864 – 874. [104] T. Rikitake, Oscillations of a system of disc dynamos. Proc. Cambridge Philos. Soc. 54 (1958) 89–105. [105] V. Romanovski, Bifurcations of periodic points of some algebraic maps, Math.Comput.Sci. 1 (2007) 253–265. [106] V.G. Romanovski, Computational Algebra and Limit Cycle Bifurcations in Polynomial Systems, Nonlinear Phenom. Complex Syst. 10 (2007) 79–85. [107] V. Romanovski, M. Han, Critical period bifurcations of a cubic system, Journal of Physics. A, Mathematical and general 36 (2003) 5011–5022. [108] V. G. Romanovski, M. Mencinger, B. Ferčec, Investigation of center manifolds of 3-dim systems using computer algebra, Program. comput. softw., 39 (2013) 67–73. [109] V. G. Romanovski, M. Prešern, An approach to solving systems of polynomials via modular arithmetics with applications, J. comput. appl. math. 2 (2011) 196–208. [110] V.G. Romanovski, Time-Reversibility in 2-Dimensional Systems. Open Systems & Infor- mation Dynamics 15 (2008) 359–370. [111] V. Romanovski, A. Rauh, Local dynamics of some algebraic maps, Dynam. Systems Appl. 7 (1998) 529–552. [112] V. G. Romanovski, M. Robnik, The centre and isochronicity problems for some cubic systems, J.Phys. A 34 (2001) 10267–10292. [113] V. Romanovski, D. Shafer, On the center problem for p : −q resonant polynomial vector fields, Bulletin of the Belgian Mathematical Society, 115 (2008) 871–887. [114] V.G. Romanovski, D.S. Shafer, The Center and cyclicity Problems: A computational Al- gebra Approach. Boston: Birkhäuser, 2009. 208 Literatura [115] V.G. Romanovski, D.S. Shafer, Time-reversibility in two-dimensional polynomial systems, In: Trends in Mathematics, Differential Equations with Symbolic Computations (D. Wang and Z. Theng, Eds.), 67–84. Basel: Birkhäuser Verlag, 2005. [116] O. E. Rössler, An equation for continuous chaos, Phys. Lett. A 57 (1976) 397–398. [117] R. Roussarie, Bifurcation of planar vector fields and Hilbert’s sixteenth problem. Progress in Mathematics, 164 Basel: Birkhäuser, 1998. [118] A. P. Sadovskii, Solution of the center and focus problem for a cubic system of nonlinear oscillations, Differ. Equ. 33 (1997) 236–244. [119] T. Shimoyama, K. Yokoyama, Localization and primary decomposition of polynomial ide- als. J. Symbolic Comput. 22 (1996) 247–277. [120] K. S. Sibirskii, On the conditions for existence of a center and focus. (Russian), Uč. Zap. Kišinevsk. Univ. 11 (1954) 115–117. [121] I. Vidav, F. Lebedinec Algebra. Ljubljana: DMFA, 2010. [122] S. Walcher, Algebras and Differential Equations, Palm Harbor: Hadronic Press, Inc., 1991. [123] D. Wang, Elimination Methods. New York: Springer-Verlag, 2001. [124] P.S. Wang, M.J.T. Guy, J.H. Davenport, P-adic reconstruction of rational numbers. ACM SIGSAM Bull. 16 (1982) 2–3. [125] S. Yakovenko, A geometric proof of the Bautin theorem. Concerning the Hilbert Sixteenth Problem. Advances in Mathematical Sciences. Amer. Math. Soc. Transl. 165 (1995) 203– 219. [126] H. Żo l¸ adek, On a certain generalization of Bautin’s theorem. Nonlinearity 7 (1994) 273– 279. [127] H. Żo ladek, The problem of center for resonant singular points of polynomial vector fields. J. Differential Equations 137 (1997) 94–118.