P R E S E K
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652 Letnik 22 (1994/1995) Številka 2 Strani 68-69
Ivan Vidav: O ŠTEVILU n
Ključne besede: matematika, iracionalna števila, Duffinov razvoj. Elektronska verzija: http://www.presek.si/22/1216-Vidav.pdf
© 1994 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo
O ŠTEVILU 7T
Število it je od nekdaj vzbujalo veliko zanimanja tako pri matematikih kakor pri nematematikih. Je namreč razmerje med obsegom in premerom kroga, krog pa velja za najpopolnejšo krivuljo.
Že v starem veku je Arhimed izračunal, da je ir približno enak ^ — — 3^. Veliko boljši približek je ulomek	Vendar števila tt ni mogoče
predstaviti z nobenim ulomkom, ker ni racionalno temveč iracionalno število. To dejstvo je dokazal leta 1761 švicarski matematik Lambert. (Tudi razmerje med diagonalo in stranico kvadrata, ki je enako \/2, je iracionalno število. To so odkrili že stari Grki v starem veku.)
če razvijemo t v decimalni ulomek, dobimo
t = 3.141 592 653 589 793 238 46 ...
Za decimalno piko sledi neskončno decimalk, ki se ne ponavljajo periodično, ker x ni racionalen. Zato v njegovem desetiškem zapisu ne moremo razbrati nobene zakonitosti med števkami. Isto seveda velja, če razvijemo -k v dvo-jtškem a!i kakem drugem številskem sistemu. Ljudje z bujno domišljijo so zato prišli na misel, da je morda v zaporedju števk števila ir na neki skriti način zapisana usoda sveta, oziroma, da tiči v njem kako pomembno sporočilo. Do tega sporočila bi prišli, če bi odkrili ključ, v katerem je šifrirano, in seveda izračunali dovolj decimalk števifa ir. Včasih je bilo to računanje sila zamudno delo. Danes so ga olajšali zmogljivi računalniki in z njimi so izračunali -jt na milijone mest natančno.
Kakor rečeno, v zaporedju števk števila tt ni kakšne razvidne zakonitosti niti v desetiškem niti v kakem drugem sistemu. Pred kratkim pa je R J. Duffin z univerze Carneggie Mellon, Pittsburgh, opisal, bolj za šalo kakor za res, neki razvoj za realna števila, v katerem se ir izraža na videz presenetljivo preprosto. Oglejmo si ta razvoj!
Naj bo x dano pozitivno število. Pomnožimo ga zaporedoma z vsemi naravnimi števili 1,2,3,... Denimo, da smo x pomnožili z n, Od produkta nx odštejemo njegov celi del. ostanek, ki leži med 0 in 1, označimo z (nx), (Celi del danega realnega števila je največje celo število, ki ne presega tega števila.) Če je nx celo število, je seveda celi del enak nx in je v tem primeru ostanek (nx) — 0. V splošnem pa velja 0 < (rrx) < 1. Pomnožimo zdaj s 7 in si oglejmo celi del produkta 7(nx). Ta celi del označimo z 3n. Ker je 7(nx) < 7, je an eno izmed števil 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Na opisani način dobimo za vsak n neko število an, ki ga imenujemo n—ta števka števila x.
Zapišimo lepo po vrsti vse Števke
Temu zaporedju bomo rekii Duffinov razvoj števila x.
Za zgled poiščimo Duffinov razvoj od x = Pri n = 1 imamo (nx) = = (x) = j. Največje celo število, ki ne presega produkta 7{x) = \ = 2\, je 2 in je zato aj = 2. Pri n = 2 imamo (2x) = | in 7(2x) = ^ = torej a2 = 4. Nadalje je 3x = l,(3x) = 0, 7(3x) = 0, tako da je a3 - 0. Podobno izračunamo 34 = 2, 35 = 4, 3g = 0 itd. Duffinov razvoj za x = 3 se glasi
240 240 240...
Trojka števk 240 se periodično ponavlja.
Oglejmo si zdaj razvoj za tt. V tem primeru je (tt) = ir—3 = 0.14159.. in 7(ir) = 0,99114.., torej 3! = 0. Nadalje imamo (2ir) = 0.28318.. in 7(2ir) = = 1.98229.., tako da je a2 = 1. Podobno izračunamo (3tt) = 0.42477.., 7(3ir) = 2.97344.., se pravi ~ 2. Če tako nadaljujemo, dobimo po vrsti 34 = 3, 35 = 4, ag = 5, 37 = 6, potem pa spet od začetka: ag — 0, 39 — 1 itd. Za -tt smo našli tale Duffinov razvoj
0123456 0123456 0123456 012...
Sedmerica zaporednih Števk 0123456 se periodično ponavlja. Dobljeni razvoj je res zelo pregleden. Pa teče to tako lepo v nedogled? Žal moramo povedati, da je imel tu vrag svoje prste vmes in je red pokvaril Šestnajstkrat se ponovi omenjena sedmerica števk, na stotrinajstem mestu se red podre, namesto 0 se tam pojavi števka 6.
Na koncu postavimo bratcu nekaj vprašanj:
1.	Kakšen je Duffinov razvoj za x — 3y?
2.	Kje tiči razlog, da se v razvoju števila ir sedmerica števk 0123456 ponovi šestnajstkrat? (Arhimedov približek 3^ za t je nekoliko prevelik, ulomek nekoliko premajhen. Pišimo ir = 3 +	kjer je £ pozitiven Ocenimo e.)
3.	Denimo, da poznamo celi del števila x in njegov Duffinov razvoj. A!i je s temi podatki x določen?
Literatura:
R. J. Duffin, The Patron Saint of Mathematics, The Math. Intelligencer, Vol. 15, No. I, str. 52.
Ivan Vid a v