Matematični modeli ogrevanja in ohlajanja za nekatere primere iz prakse
UDK: 517 947.43 : 581.61; 669.046 ASM/SLA: U4S, F216
Božidar Brudar
Delo obravnava matematične modele ogrevanja in ohlajanja
—	z vodnimi curki (trakovi)
—	s sevanjem (kolobarji pločevine, žica)
—	v koračni peči (gredice)
Izdelani so računalniški programi za vsak model. Rezultati služijo nadaljnjim raziskavam, ker opozarjajo na to, kar je pri posameznem problemu ogrevanja teoretično najbolj pomembno.
Preštudirali smo naslednje probleme:
—	ohlajanje traku z vodnimi curki,
—	ogrevanje in ohlajanje kolobarjev,
—	ogrevanje in ohlajanje valja s sevanjem,
—	ogrevanje gredic v koračni peči (sevanje).
Seznam uporabljenim simbolov:
cp	specifična toplota
1	časovni korak v brezdimenzijski obliki
h	krajevni korak v brezdimenzijski obliki
rQ	referenčni polmer
r	polmer kolobarja
t0	referenčni čas
ts	čas ohlajanja s sevanjem
t,	čas ohlajanja z vodnimi curki
T	temperatura
T0	začetna temperatura
Tz	zunanja temperatura (referenčna)
Tk	končna temperatura
Tp	temperatura na površini
x	koordinata v smeri dolžine
xQ	referenčna dolžina
(i	brezdimenzijski polmer
e	emisijski koeficient
if	brezdimenzijska temperatura
\	toplotna prevodnost
\	brezdimenzijska dolžina
p	gostota materiala
a	Štefanova konstanta
t	brezdimenzijski čas
* To je povzetek elaborata, ki je bil izdelan s sofinan-siranjem SBK naloga št. 312/74.
OHLAJANJE TRAKU Z VODNIMI CURKI
Ko v valjarni štekel izvaljajo trak na predpisano debelino, ga pošljejo skozi tuše, da se ohladi. Pri tem pade temperatura površine od začetne vrednosti 850° C na približno 550° C ob koncu tuširanja. Nato trak navijejo v kolobar, kjer se temperaturne razlike zelo hitro izenačijo. Navadno je temperatura navitega kolobarja višja od končne površinske temperature tik pred navijanjem, saj je trak v notranjosti vedno nekoliko toplejši od površine. Cim debelejši je trak, tem bolj se segreje po navijanju v kolobar. Pri 5-milimetrskem traku se po navijanju ogreje toliko, da je to že lahko škodljivo za nadaljnjo predelavo (globoki vlek). To se lahko zgodi tudi pri najmanjši hitrosti, s katero potuje trak skozi tuše.
Zato smo izdelali matematični model, s katerim smo simulirali različne pogoje ohlajanja pod tuši.
Matematični model
Ohlajanje traku lahko obravnavamo enodimenzionalno. Ker poznamo zaenkrat le začetno in končno temperaturo, smo predpostavili, da temperatura površine pada v času zadrževanja pod tuši po paraboli z- stopnje.
Parameter z si lahko poljubno izberemo.
Ko trak navijemo v kolobar, spremenimo robne pogoje: toplotni tok na robu je takrat enak nič.
10
Čas (sekJ
Slika 1
Temperatura površine pada po paraboli z-te stopnje od 850° C na 550° C v 20 sekundah.
Fig. 1
Surface temperature decreases by the parabola of z-th order from 850 to 550° C in 20 seconds
Prav toliko toplote namreč v neko plast priteče iz sosednjih plasti, kolikor je odteče. Na robu je temperaturni gradient enak nič.
Računalniški program predvideva tudi različne začetne pogoje: temperatura se lahko po preseku traku spreminja po paraboli sode stopnje.
Podoben problem srečamo tudi pri tuširanju debele pločevine v valjarni 2400. Zato smo v program vključili tudi možnost predhodnega ohlajanja s sevanjem, ker preteče nekaj časa od konca valjanja do začetka tuširanja. Nelinearni robni pogoj zaradi sevanja smo upoštevali podobno kot pri študiju ogrevanja blokov v globinskih pečeh.
Prevajanje toplote v traku opišemo z enačbo: > s2T	aT
= P-cp—	(l)
9 X*
3t
Z uvedbo novih spremenljivk:

& =-
t„=
P • cp . x„'
xz	Tz	t0	X
prevedemo enačbo v brezdimenzijsko obliko: 32 tj _ aŠ2 3-z
(2)
Enačbo rešujemo numerično in jo lahko zapi-šeno v obliki:

h2
1
(3)
Tako lahko izračunamo temperaturo v i- točki po j- časovnem koraku po formuli:
*,lJ+1 = 0i.jd-2.-l) +-l.(*i_1 >j+ (?i+i,j)(4)
Če hočemo, da izraz konvergira, mora biti izpolnjen pogoj:
1—2.— ž 0 h2
oziroma
isi h2 2
Robni pogoji
a) Sevanje:
— X . (—)p = zo. (Tp4—Tz4)
3X
(5)
(6)
Če vpeljemo # = -H- in xD =-, lahko za-
ECTT,-
pišemo pogoj (6) v brezdimenzijski obliki:
oziroma 1
—-.(—3^ + 4^1 —^p_2) = &/—1 (8) zti
Pri tem je treba upoštevati, da računamo z absolutnimi temperaturami. Enačbo (8) rešujemo z iteracijo. To delamo toliko časa, kolikor časa predvidevamo ohlajanje s sevanjem na zraku (ts).
b) Tuširanje:
Predpostavljamo, da se temperatura površine v času tuširanja (tt) niža po paraboli z- reda od neke začetne vrednosti T„ do končne vrednosti Tk. To zapišemo v obliki:
Tp = 1-1-. (tk — t)z + Tk
(9)
Za vsak nov časovni korak izračunamo pripadajoče vrednosti robne temperature.
c) Izenačevanje:
Predpostavljamo, da se po navijanju trakov v kolobar temperaturne razlike le še izenačijo:
-x.<—)P = o.
3X
oziroma:
<Vj
-. (4 /?p_i,j — it p—2. j )
(10)
(11)
cp = 0,170
Izdelali smo računalniški program, ki omogoča vse te kombinaci je.
Rezultati
Študirali smo ohlajanje 5-milimetrskega traku (p - 7800 kg/m3, X = 20 kcal/mhst, kcal/kg st).
Izhajali smo iz predpostavke, da se temperatura površine v 20 sekundah zniža od začetnih 850 na 550° C. če lahko opišemo to spreminjanje s premico (slika 2) z = 1, ugotovimo, da se dvigne temperatura kolobarja po izenačitvi na 557° C. Pri tem pa začetna porazdelitev temperature po preseku prav nič ne vpliva na končno temperaturo, če namreč predpostavimo da je 850° C v začetku le na površini traku, v sredini pa celo 900° C ali 1000° C, se začetne razlike izredno hitro izenačijo in dobimo v vsakem primeru na koncu le 557° C. Ta predpostavka je čisto formalna, saj pri 5-mili-metrskem traku česa drugega tudi ne pričakujemo.
Praksa pa kaže, da se po navijanju 5-milimetr-ski trak segreje na 600° C in še čez, čeprav je bila morda temperatura površine tik pred navijanjem 550° C. Iz tega sledi, da v praksi odvisnost temperature površine od časa zadrževanja pod tuši ni linearna.
Predpostavimo, da je z = 2! (slika 3). Če bi se temperatura površine spreminjala po taki funkciji, se praktično kolobar ne bi ogrel nad 550° C.
Očitno je, da torej v praksi temperatura površine v začetku ohlajanja pod tuši pada počasneje, nato pa vedno hitreje. Kajti le v tem primeru imamo opravka z izenačevalnim segrevanjem v kolobarju. Zato smo predpostavili tudi možnosti z = 0,5; 0,4; 0,3 (slike 4, 5, 6).
Zanimiva je primerjava končnih temperatur po izenačevanju pri 5-milimetrskem traku za različne vrednosti z (tabela I). Izračunali smo pa tudi temperature po izenačitvi pri trakovih različnih debelin, ki se 20 sekund ohlajajo pod tuši, pri čemer je z = 0,5 (tabela II).
Tabela I		Tabela II		
z	T izenač. (°C)	Debelina (mm)	T izenač. (°C)	
2,0	550	5	590	
1.0	557	6	598	
0,9	560	7	606	
0,8	564	8	613	
0,7	570	9	621	
0,6	578	10	629	
0,5	590			
0,4	608			P
0,3	635			
0,2	676			1
0,1	742			i
				if
20 t (s)
Ohlajanje 5mm traku
Os
lOs
20 t(s)
Ohlajanje 5 -milimeterskega traku
1000
900L
800\-
700
600 500
12s
X>S i * rrrmf
2QS izenačenje 59T C
0
1
5 D (mm)
2 3 A Slika 3
Potek temperature na površini in v preseku pri ohlajanju (z = 2)
Fig. 3
Temperature distribution on the surface and on the cross-section during cooling (z = 2)
Obe primerjavi sta prikazani na sliki 7.
Pri prehodu vročega traku skozi tuše se bolj intenzivno hladi površina na koncu kot na začetku ohlajanja. S kolikšno vrednostjo parametra z imamo opraviti, bi najlaže ugotovili, če bi merili temperaturo površine vzdolž tušev. Posredno pa bi lahko določili z tudi iz podatkov, ki jih beležijo na sami progi. Poznati bi morali začetno in končno temperaturo površine, debelino traku, temperaturo, ki se izenači v kolobarju in hitrost, s katero potuje trak skozi tuše.
Debela pločevina
Isti program lahko uspešno uporabljamo pri študiju ohlajanja debele pločevine. Tudi v valjarni 2400 se pogosto plošče po tuširanju ponovno ogre-jejo. če bi poznali več eksperimentalnih podatkov, bi lahko tudi ta problem natančneje opisali. Meriti bi morali temperaturo po ponovnem ogrevanju po končanem tuširanju.
Za primer smo si izbrali 15 milimetrov debelo ploščo z začetno temperaturo 850° C, ki se 5 sekund ohlaja na zraku s sevanjem (e = 0,99), nato pa 1 minuto pod tušem na temperaturo površine 650° C, pri čemer predpostavljamo z = 0,5 (slika 8
15s
6001-
_——■---------------_ -2oj- izenačitev 557°C
5001——J-'-i-i-'--
0 1 2 3 4 5 D(mm)
Slika 2
Potek temperature na površini in v preseku pri ohlajanju
(z = l)
Fig. 2
Temperature distribution on the surface and on the cross-section during cooling (z = 1)
900
600
1
700
600
500
Ohlajanje 5 milimeter skega traku
Os 4S Ss
I2s
■ Bs
7
5 D (mm)
gega, pokrijejo z zaščitnim zvonom in čez poveznejo električno peč, s katero vse skupaj ogrejejo na približno 720° C. Ko se material pregreje, odstranijo zvonasto peč in pokrijejo žarilni zvon s hladilnim zvonom. S pomočjo posebnega ventilatorja skušajo vložek čim hitreje ohladiti (slika 10).
Ogrevanje v zvonastih pečeh traja od 12 do 16 ur, ohlajanje pa približno 24 do 30 ur. Ves čas pa teče skozi žarilni zvon mešanica zaščitnih plinov.
Očitno je, da traja ogrevanje razmeroma zelo dolgo, ohlajanje je pa tudi zelo dolgotrajno.
S primerno rekonstrukcijo talnih in zvonastih peči bi lahko občutno pospešili proces ogrevanja in ohlajanja. V sredino bi montirali dodaten grelec, da bi pospešili ogrevanje in omogočili, da bi pri ohlajanju v sredini imeli hlajeno jedro (slika 11).
Izračunajmo, kolikšen bi bil učinek take rekonstrukcije, če bi predpostavili, da gre za izmenjavo toplote s sevanjem. (Tak primer bi imeli, če bi žarili v vakuumu).
5BCK
2 3 t Slika 4
Potek temperature na površini in v preseku pri ohlajanju (z = 0,5)
Fig. 4
Temperature distribution on the surface and on the cross-section during cooling (z = 0,5)
a £ I
z=04
650
20 t (s)
in 9). Plošča se po končanem izenačevanju spet ogreje na 692° C, če predpostavimo takšne robne pogoje kot pri traku.
Matematični model je jasno pokazal, da v praksi padanje temperature površine s časom ni linearno.
Naredili smo naslednji poskus: pri navijanju smo zavili v sredino kolobarja tudi termočlen, s katerim smo potem merili temperaturo pri ohlajanju navitega kolobarja na zraku. Z ekstrapolacijo smo določili temperaturo v sredini tik po navijanju in prišli do zaključka, da gre pri 6-milimetr-skem traku za ohlajanje površine po krivulji z = 0,1—0,2.
OGREVANJE IN OHLAJANJE KOLOBARJEV PLOČEVINE S SEVANJEM
V žarilnici naše hladne valjarne ogrevajo kolobarje pločevine in žice v talnih (globinskih) in zvonastih pečeh. Tako na primer kolobarje pločevine (rj = 550 mm, r2 = 250 mm) naložijo drug na dru-
Ohlapnje 5 milimeterskega traku
900
800
I fc o.
I
700
600
500.
7
2 3
Slika 5
Potek temperature na površini in (z= 0,4)
Os is Bs 12s
Ks
- izenačitev 608°C
5 D(mm)
v preseku pri ohlajanju
Fig. 5
Temperature distribution on the surface and on the cross-section during cooling (z = 0,4)
0,3
Ohlajanje 5 milimeterskega traku
900-
800r
Os is
12s *5s
TO-
-----izenačitev pri 635°C
600 -
5O01_i_i_i_i_i___
0 12 3 4 5 D (mm) Slika 6
Potek temperature na površini in v preseku pri ohlajanju (z = 0,3)
Fig. 6
Temperature distribution on the surface and on the cross-section during cooling (z = 0,3)
0	5	10 D (mm)
Slika 7
Odvisnost temperature po izenačitvi od debeline in parametra z.
Fig. 7
Relationship betvveen the temperature, the thickness and the z parameter after equalization
Ohlajanje 15 milimeterskega traku
sevanje 5 sekund tuširanje na 650°C
1minuta izenačevanje. 4 sekunde
Slika 8
Primer ohlajanja debele pločevine.
Fig. 8
Example of cooling a thick sheet
Slika 9
Potek temperature na površini pri ohlajanju 15 mm debele pločevine.
Fig. 9
The surface temperature during cooling a 15 mm sheet
Pri tem smo predpostavili, da gre za homogeno črno telo. S pomočjo programa smo lahko študirali, kako se porazdeljuje temperatura v kolobarju, če ga ogrevamo ali hladimo z notranje ali zunanje strani ali z obeh hkrati.
Matematični model
Izhajamo iz enačbe za prevajanje toplote, ki jo zapišemo v cilindričnih koordinatah:

60 s 15D(mm)
zaščitni zvon
podstavek
Slika 10
Žar j en je ta ohlajanje kolobarjev v zvonastih pečeh.
Fig. 10
Heating and cooling coils ta a beli furnace
a2T 1 aT
— +—. — ar2 r ar
Robni pogoj: aT
P.cp
aT at
)p = e.er.(T< — T/)
(12)
(13)
ar
Vpeljemo nove spremenljivke:
& =
p=.
T -
pri čemer je r„ =
t.v.U
t„ =
X ■ P • Cp e2. a2. T„6
\ =
e ■ ff ■ r, ■ T/
in zapišemo enačbo v poenostavljeni obliki: aP2 p ' aP ~ aT
Robni pogoj pa zapišemo takole: aP
(15)
Ker gre za ogrevanje kolobarjev, je ugodno vpeljati novo spremenljivko:
R = ln p p = eR
Enačba (14) dobi enostavnejšo obliko:
a2# „ 9»
aR2
e2«.

Robni pogoj (15) pa zapišemo takole:
■A.
A
( aR
-Rp
e = &*-
(16)
Enačbo (16) rešujemo numerično:
'»i + l.J ~ 2 »j, j + ffi-i,j_e,Bi _ ^i.j + i— <?i,j
h2 h2 .(01+1J+ &i+U)	(18)
Če gre na robu za izmenjavo toplote s sevanjem, rešujemo enačbo (17) z iteracijo:
• (-3 + 4 - ). e-Rp = Ap
zn
(19)
Če je na robu toplotni tok enak nič, izračunamo robne temperature po formuli:
= y ■ (4 • iVi-V-2)	(20)
Krajevni korak h in časovni korak 1 moramo izbrati tako, da je izpolnjen pogoj:
( , , • ®	maksimalno — "T-	(21)
h2 2
Pri tem je treba upoštevati minimalni polmer, oziroma
3 ■ =
rmin —
Ta pogoj sledi iz indeksnega kriterija za stabilnost podobno kot v enačbi (5).
Izdelali smo računalniški program za študij ogrevanja in ohlajevanja s sevanjem. Pri tem gre
Slika 11	Fig. 11
Predlagana rekonstrukcija zvonaste peči in žarilnega zvona. Proposed reconstruction of the beli furnace and the anneal-
ing beli
lahko za enostransko ali dvostransko ogrevanje ali ohlajanje. Kolobar smo obravnavali kot kompakten blok.
Namen te obdelave je bil prikazati, kako bi se spremenil proces ogrevanja v vakuumu v primeru, če bi znotraj kolobarjev montirali dodatni grelec, oziroma če bi pri ohlajanju imeli znotraj hlajeno mrzlo steno.
Na slikah 12 in 13 so prikazani primeri ogre- ^ vanja in ohlajanja z ene ali dveh strani.	g
Zelo lepo se vidi, da bi dodatni grelec močno | skrajšal ogrevanje. To bi se še posebno poznalo f
Polmer ( mm )
v lačet/nj
Fblmer (mm)
Slika 12 a
Ogrevanje kolobarja samo z notranje strani. Začetna temperatura kolobarja 20° C. Temperatura vroče okolice 700" C.
Fig. 12 a
Heating of the coil on!y from the internal side. Initial coil temperature 20° C. Surrounding temperature 700" C.
Slika 13 a
Ogrevanje kolobarja z zunanje m notranje strani. Začetna temperatura kolobarja 20" C. Tempeatura vroče okolice 700° C.
Fig. 13 a
Heating of the coil from the external and internal side. Initial coil temperature 20° C. Surrounding temperature 700» C.
0------
250 300 350 400 450 500 550
Polmer (mm)
Slika 13 b
Ohlajanje kolobarja z notranje in zunanje strani. Začetna temperatura kolobarja 20" C. Temperatura vroče okolice 20° C.
Fig.13 b
Cooling of the coil from internal and external side. Initial coil temperature 700° C. Surrounding temperature 20° C.
Polmer (mm)
Slika 12 ib
Ohlajanje kolobarja z zunanje strani. Začetna temperatura kolobarja 700° C. Temperatura hladne okolice 20" C.
pri večjih kolobarjih takih dimenzij, kot jih bodo uporabljali v novi hladni valjarni. Podobne ugotovitve veljajo tudi za ohlajanje.
Fig. 12 b	V praksi je treba sicer računati, da imamo
Cooling of coil from the external side. Initial coil tem- °Pravka tudi s konvekcijo. Delno smo tudi tO Že perature 700" C. Surrounding temperature 20" C.	upoštevali, ko smo predpostavili, da je E = 1.
OGREVANJE IN OHLAJANJE VALJA
S SEVANJEM
V patentirnici žice se pojavlja problem pri ohlajanju žice v svincu, žica prinese v kopel razmeroma veliko količino toplote. Namen te naloge pa je računsko določiti, koliko toplote odda žica pri prehodu iz peči v svinec. V tistem delu gre namreč za ohlajanje s sevanjem.
Iz dosedanje prakse je znano1, da je ohlajanje s sevanjem zelo intenzivno, če je temperatura površine dovolj visoka. Žica se sicer na prehodnem delu ne zadržuje dolgo, vendar pa to bistveno vpliva na količino toplote, ki pride v svinčevo kopel.
Matematični model
Izhajamo iz enačbe (14): _ aj? £> P a t
| 1
"a P2 P
(22)
pri čemer pomenijo T
& =
r„ =

T =-
ro t
t„ =
AP =
e • cr. T03 X.p.Cp
e2 . a2. T0« T0.X
£ ■ o" ■ r„ . T/
Če si izberemo krajevni interval h in časovni interval 1, lahko zapišemo enačbo za i- točko (i > 1) po j- časovnem koraku v diferenčni obliki takole:
# j-i, j ~2 + #i+l,j
+
1
h2 (i—1). h
. ffi+l.j —ffi-l.j _ # i,j + l —fti.j 2 h 1
Za središče valja (i = 1) velja3:
4 • (#2, j — fll.j) _ <?i,j + l — #l,j
h2
1
(23)
(24)
Temperaturo po j- koraku v vsaki točki, razen v središču, izračunamo po formuli:
(25)
V središču pa velja: 4.1 h2
(26)
Konvergenca je zagotovljena, če si izberemo h in 1 tako, da je izpolnjen poggj:
— ž -	(27)
h2 4
Zadostni pogoj za konvergenco zahteva sicer za običajne enodimenzionalne probleme2, da mora biti
h2 2
Razmere v središču valja pa opisuje enačba (26).
Ce namreč označimo točno rešitev parcialne diferencialne enačbe z U^ in definiramo razliko
ei.i = UU — se izkaže3, da je
|elij + 1| = (l-4.-L).|eu | +4-1
h2
h2
. |e 2, j | + konst. Sledi, da mora biti 1 1
h2" = 4
Ko gre za sevanje, zapišemo robni pogoj v diferenčni obliki takole:
1 2h
.(3 &p — 4 + & p_2) = Ap—
(28)
Primer
Obdelali smo dva primera: ohlajanje 6 mm debele žice z začetno temperaturo 1000° C in 1 meter debelega valja s temperaturo 1000° C na zraku s temperaturo 20° C.
V primeru 6-milimetrske žice smo razdelili polmer na 10 delov, pri 1 meter debelem valju pa smo razdelili polmer na 20 delov. Računalnik nam je izpisal temperaturno porazdelitev vsakih 5 minut ohlajanja (valj), oziroma vsako sekundo (žica) ohlajanja na zraku.
1 S
I
0,5	1,0 (m)
Slika 14
Ohlajanje valja (0 1 m) na zraku s tempratura 20"C.
Fig. 14
Cooling of cylinder (0 1 m) in air with temperature 20" C.
v začetku
= 2 uri
- 3 ure = 4 ure = 5 ur ;6 ur N. = 7ur \=S ur
- J ura
1000-
o
o
-v—
e
I
500
0-
v začetku
t= lOs
t = 20s t = 30 s
t =40 s t = 50 s t =60 s
i-r
0 1 2 3 4 5 5 ( mm )
Slika 15
Ohlajanje žice (0 6 mm) na zraku s temperaturo 20* C.
Fig. 15
Cooling of vvire (0 6 mm) In air with temperature 20° C.
Na slikah 14 in 15 so narisane temperaturne porazdelitve po preseku pri ohlajanju žice in valja.
Ohlajanje žice smo v grobem tudi eksperimentalno preverili v našem laboratoriju: rezultati se zelo lepo ujemajo. Nerodno je le to, ker se ohlajanje tako zelo hitro konča. S kolegi na Ravnah smo se domenili, da bodo skušali tudi eksperimentalno preveriti ohlajanje 1 meter debelega valja.
Očitno je, da bi se pri 6 mm debeli žici pri sedanji hitrosti znižala temperatura od začetnih 1000° C na 900° C, če bi bila temperatura okolice (pokrova) 20° C. To bi pa bistveno prispevalo k hitrejšemu ohlajanju v svincu.
OGREVANJE GREDIC V KORAČNI PECI
S podobnim modelom, kot smo ga uporabili za opisovanje ogrevanja brame B 8 s sevanjem, smo simulirali tudi oerevanjc sredic v koračni peči.
Gredice potujejo z določeno hitrostjo skozi posamezne cone peči, kjer se ogrejejo na temperaturo 1250° C. Od temperaturnega profila peči in od hitrosti je odvisno, če se gredice dovolj pre-grejejo.
Izdelali smo računski model, po katerem računamo temperaturo v preseku gredice v odvisnosti od temperaturnega profila peči in hitrosti pomika. Pri tem smo upoštevali, da gre za ogrevanje s sevanjem s treh strani, spodnji rob je toplotno izoliran. Na sliki 16 je prikazan temperaturni profil
20 Dolžina peii (m.
Cos (mini
30	tO	50
Slika 16
Temperaturni profil koračne peči.
Fig. 16
Temperature profile of the rocker-bar heating furnace
peči dolžine 21 metrov, ki jo prepotujejo gredice kv. 135 mm v 80 minutah. Na sliki 17 so narisane izoterme v preseku gredice po določenih časih ogrevanja.
Na sliki 18 je narisana časovna odvisnost temperaturnega gradienta na sredini zgornjega roba preseka. Iz tega se lepo vidi, da je zelo važno, da je temperatura v prvem delu zadosti visoka, v končni izenačevalni coni pa je treba pokriti le izgube v peči. Matematični model, ki smo ga uporabili pri študiju ogrevanja gredic v koračni peči je natančneje opisan že v prvem delu te naloge1.
Edina razlika je v tem, da se tu robni pogoji s časom spreminjajo. Rezultat predhodnega koraka je začetni pogoj za novi korak. Sicer pa poteka obdelava prav tako kot ogrevanje brame B 8, le da predpostavljamo, da je ena stranica kvadrata toplotno izolirana.
ZAKLJUČEK
Iz opisanih primerov je razvidno, kako je mogoče matematično opisati prevajanje toplote za primere iz neposredne prakse. Za vsak primer, ki je opisan v tem elaboratu, smo izdelali računalniški program, ki je na voljo v raziskovalnem oddelku železarne Jesenice.
Na podlagi rezultatov modela ohlajanja trakov v valjarni štekel bomo rekonstruirali hladilno linijo, kjer bomo v bodoče ohlajali trakove z lami-narnimi curki.
Program za ohlajanje valja s sevanjem bo služil za računanje temperaturne porazdelitve pri ohlajanju debelih valjev in žice. S primerno modifikacijo programa bo mogoče upoštevati tudi temperaturno odvisnost specifične toplote in toplotne prevodnosti. Uporabljali ga bomo lahko pri študiju ohlajanja (segrevanja) v različnih fazah valjanja žice, služil bi pa tudi za orientacijsko ocenjevanje hitrosti ohlajanja valjev večjih dimenzij, kakršne kujejo v Ravnah.
S poskusno rekonstrukcijo žarilnega zvona bi po opisanem modelu lahko znatno povečali pro-
Slika 17
Temperaturna porazdelitev v preseku gredice v različnih časih ogrevanja.
Fig. 17
Temperature distribution in the bar cross section after various times of heating
12grad T l'C) .
50-
duktivnost žarilnice. Dodatni grelec v sredini bi sicer trosil dodatno moč, ki pa bi se v celoti koristno porabila. Ohlajanje kolobarjev z vodo bi bilo prav gotovo mnogo bolj učinkovito.
K)
Dolžina peci Cm)
Slika 18
Temperaturni gradient na površini.
Fig. 18
Temperature gradient on the surface.
Literatura
1.	B. Brudar: Ogrevanje blokov v globinskih pečeh, magistrsko delo, FNT 1973
2.	H. Kohne: Digitale und analoge Losungsmethoden der Warmeleitungsgleichung, Forschungsberichte des Landes Nordrhein — Westfalen.
Nr. 2120, VVestdeutscher Verlag, Koln und Opladen.
3.	G. D. Smith: Numerical Solution of Partial Differential Equations Oxford University Press, 1971.
4.	T. Kolenko, F. Pavlin: Ogrevanje vložka v potisni peči. Rudarsko metalurški zbornik, št. 3, leto 1973, stran 235—247.
ZUSAMMENFASSUNG
Mathematische Modelle der Erwarmung und Abkiihlung in einer und zwei Dimensionen fiir einige Beispiele aus der Praxis sind beschrieben:
—	Abkiihlen des Stahlbandes durch Wasserstrahl
—	Erwarmen und Abkiihlen der Stahlbander durch Strahlen
—	Envarmen der Kniippel im Hubbalkenofen.
Fiir jeden Fall ist ein Rechnerprogramm ausgearbeitet, so dass es moglich ist, versehiedene Bedingungen zu simu-lieren.
Die Ergebnisse der mathematisehen Bearbeitumg dienen als Ausgangspunkt, bei den vorgesehenen Verbesserungen der Bandabkiihlung und fiir die Kontrolle der Ervvar-mungsvorschriften der Kniippel im Hubbalkenofen.
SUMMARY
Mathematical models for one and two dimensional heating and cooling for some praotical cases are deseribed:
—	cooling of strips by water jets
—	heating and cooling of sheet coils by radiation
—	heating and cooling of cylinder by radiation
—	heating of billets in a rocker-bar heating furnace
For each čase o computer program is made so that various conditions can be simulated.
Results of mathematical treatment are the starting-point for expectad improvements (cooling of strips) and for checking the correctness of instructions for heating (billets in the rocker-bar heating furnace).
3AKAK>qEHHE
Aah HCK0T0pux npnMepoB h3 npaKTHKH AaHO onncaHiie MaTe-m3th*tecKHX MOAeAeft HarpeBaHHH h oxAaatAenn«. PaccMOTpeHo CAe-Ayiomee:
—	oxAawAeHHe noAoc b CTpye boau,
—	narpeBaHHe h oxAa>KAeHHe pvaohob jkccth H3Ay"ieHHeM,
—	HarpeBaHHe n oxAa»AeHHe BaAKOB H3AyMeHHeM,
—	HarpeBaHHe 3aroTOBOK b nemi c KaMajoujiiMH 6aAKaMH.
np« noMomu cMeTHHKa aa» Ka«Aoro npHMepa npnroTOBAena pac^ethaa nporpaMMa, tbkhm o6pa3oM ectb bo3mohcho npoH3BecTH CHMyAaUHK) pa3AHMHUX VCAOBHH.
PeavAbTaTbi MaTeMaTHiecKHX o6pa5oTK c,\y>KaT KaK hcxoahoh nyHKT aa» npeabhaehhlix y.\y<ime}inii (oxAa»aehhe noAoc) h aa« npoBepKH npaBHABHOCTH HCTpyKUHfi AAH narpesamia (aaroTOBKH b newh c kaqaiomhmh 6aakamh).