MATEMATIKA Znano in manj znano o številu ti 4> ^ irena kosi - ulbl -> Verjetno je prvo srečanje večine osnovnošolcev s številom tt povezano z računanjem obsega in ploščine kroga. Uporaba števila tt se nato razširi na računanje površin in prostornin geometrijskih teles. Nadaljnje poglabljanje v matematiko pa razkrije prav presenetljivo pogosto pojavljanje tega števila. Po pričakovanjih srečamo število tt na najrazličnejših področjih našega življenja: radijski, televizijski, telefonski signali, navigacija in številna druga področja tehnike, kvantna mehanika, splošna teorija relativnosti. In kje se zgodba o številu tt sploh začne? Zgodovina Število tt je zelo staro število. Zgodovinarji ocenjujejo, da so matematiki že 2000 let pr. n. št. vedeli, da je razmerje med obsegom in premerom kroga enako za vse kroge. Ugotovitev je temeljila na ideji o pro-porcionalnosti: Če podvojimo razdaljo „čez krog", podvojimo tudi razdaljo „okoli kroga". V današnjem algebraičnem zapisu imamo torej formulo obseg ■ tt =-— premer Moč tega odkritja je bila velika. Kroge so ljudje namreč opazili povsod: v Soncu, Luni, v človekovem očesu, v različnih predmetih, ki jih je naredil človek, v osnovnih religioznih ritualih. Ostajalo pa je nerešeno vprašanje - kolikšna je numerična vrednost števila tt? 4 PRESEK 40 (2012/2013) 4 4 MATEMA TIKA Stari Egipčani in Babilonci so vedeli za obstoj „konstante n", vendar vrednosti števUa n niso poznali prav posebej natančno. Babilonci so za števUo n uporabljali približek 38 (3,125), stari Egipčani pa vrednost 4 ■ (8/9)2 (3,1605), s katero je bilo nekoliko težje raciunati. V sakra^h knjigah Jainov (indijska religiozna sekta) najdemo za približek števUa n število VT0 = 3,16227766... . Grki v antiki so za število n uporabljali približek ^ = 3,142857143 ... v starih kitajskih zapisihpaje za približek števila n naveden ulomek = 3,14159292 ..., kar je presenetljiva stopnja natančnosti. To vemo danes, ko lahko izračunamo veliko decimalnih mest števila n. V petem in četrtem stoletju pred našim štetjem so grški matematiki za določanje približne vrednosti števila n predlagali idejo računanja obsegov krogu očrtanih in včrtanih pravilnih večkotnikov. Ugotovili so namreč, da je obseg krogu očrtanega pravilnega večkotnika večji, obseg krogu včrtanega pravilnega večkotnika pa manjši od obsega tega kroga (slika 1). Z naraščanjem števila stranič krogu očrtanega oz. včrtanega pravilnega večkotnika se obsega obeh likov poljubno približata, zato se približujeta tudi obsegu kroga. S to idejo se je veliko ukvarjal Arhimed, ko je izračunal obsege krogu včr-tanega in očrtanega pravilnega 6-, 12-, 24-, 48- in 96-kotnika. Na osnovi rezultatov je ugotovil, da je 1 1 D7 1 število n med številoma 3 8069 in 3 18693, to je med vrednostima 3,1409097 in 3,1427807. Viète je z računanjem obsega včrtanega in očrtanega pravilnega 3 ■ 3!17 = 393216-kotnika priiiel do ocene ■ 3,1415926535 < 7T < 3,1415926537, kar pomeni, d a je izračunal vrednost izvila n na 10 derimalmh mest natančno. Leta l579 je v delu Knjiga matematičoih smernic Iteviïo n dražil tud-kot neskonrni produkt: 2 = TT 4 8 TT TT ■ — = II cos -n = cos--cos--čos--čos- ■■ = n = 2k 4 8 7 6 32 1 AJ 1- TT j ' 9/2! ' A I j III i + 2 'VIVVT' SLIKA 1. Crometrijski prikazmetode krogu včr^^n^bi inočrtanih pra-vilnih-eč kotn i kov za določeva nje; približkoAŠtevilzTTčz 4-, 8t in č 2-ketnik. Ptolomej, ki ni znan le po odkritju heliocentrič-negaplanet6rnega sistema, ampak je lbil tudi dober matematik, je z izračunom obsega krogu včrtanega pravilnega 720-kotnika dobil za približek števila n ulomek Hi7 = 3, s416666... . Naslednji korak je bil narejen 15 stoletij kasneje: francoski matematik Nizozemsloi matematik Adrian van Roomen t omenjano metodo izračunal pribl7žeA etaviSa m na 17 decimalnih mest natanmo (uporabiš je lauogu včrtoni iniaviïm 23a-Aotn7k). Zadnli, a7 se |e poakml A^aulti.l.mi/iati-do'\/(ee iic/e-^^en, je Ibil namški matematik Ludoh van Ceu-len. Za računanje o5segov Ikrogu vcrtanih pMavilnih v3čkotnikov e^em porabil i0 let; šteuilo 7T „a je aaoiiro-žil na TO deematoih mosi nžtgnčno. Svojn ddo aakljuril z besedami: „Kdor želi naj nadaljuje". Pe je nadaljeval Aar sam m priiobil cato Ma natantmh derimalmti mesd ialj^Ts^liv tt. Po njem so štev7o tt tudi mamije: Ludohovo števiJ „ tem zan-rmv jtrrikka števik je jjeî konec 17. dtole-tja pn-^ed;^^;!!/^! matematik Jolhn Wahis, a7 je na desni strani nizraza zapiis4l neskončni produkt: .^^iill6!1:^8 2 7~T'3'3'â'5'7'o'9' T'' ' 2 lii^'tteir^ima ■jt3 jasni -Trsžen vzirec sod-h -n lih-h štev-l v ¿^"^(//v/crilr ot-™!; faktoopev/: Anglež- mstemst-k AbrvhamShsrp je ns piehidlu iz ir, v j stole^e opszî1, ds m jîir^jj imenjene 55:r;i|t€t za funkc-jo arctg je: pkii % = ^ t^^n(clel"dn;š deviacija^ ^ma gjis^eto verjetnosti P (x) = cr ' 22 a 2 I^avamttltev a pjt jDoljutonn rftalnn šttviln, pvvvmtttv a jdv ^ol,jullT]tLii ]j)ii;p^tivni) Ttevilo. 3. Stirtingova enačbe: n! V2Vrn (— . e 4- Plaštiua lika pak krivulja e x (slika ■): 2 dx = pn ■ Kaka si zapomniti deeima(na mesla števila l? ^ eiievi(nip jeeikip sa (jubile(ji števila n ustvarili povedi, verze, mini drame, kamiine epiezde, ki s šlevi(2m irk vosameene besede ponazarjajo elevke ■ 6 PRESEK 40 (2012/2013)4 MATEMATIKA y 1,25 "0,750,50,250 -2,5 -1,25 0 1,25 2,5 * SLIKA2. Graf funkcije f (x) = e—x2 na decimalnih mestih števila n. Slovenski dosežek je: „Kdo o tebi z glavo razmišlja, da spomni števk teh?"(3,141592653). In še angleška poved za približek števila n: „How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics!" Na 32. decimalnem mestu števila n je števka 0. Za njeno kodiranje je bilo tako potrebno v spominske pripomočke vključiti tudi besedo z desetimi crkami... Eden najdaljših tekstov, ki omogoča pomnjenje 740 decimalk števila n, temelji na pesmi The Raven (Krokar), ki jo je napisal ameriški pesnik, pisatelj in kritik Edgar Allan Poe. ■ Nekateri ljudje vidijo v številu n različne inspiracije (npr. zapisovanje števila v različnih bazah, ne le desetiški), nekateri mu pripisujejo celo religiozni pomen. Prirejajo tudi tekmovanja v poznavanju cim vecjega števila decimalnih mest števila n na pamet (svetovni rekord je leta 2007 postavil Japonec, ki je decimalna mesta števila n recitiral okoli 16 ur in tako pravilno povedal okoli 42 000 prvih decimalk števila n). Ljubitelji števila n pravijo, da lahko sam sebe imenuješ n-fan, ce znaš na pamet vsaj njegovih prvih 100 decimalnih mest. ■ Številu tt se poevečajo tudi umetniki različnih smeri (slika 3): * TT a) SLiKA3. Na zgornjih slikah je risarska oz. slikarska upodobitev števila n neznanih avtorjev, na spodnji sliki pa je prikazana skulptu-rav centru Seattlea. Čeprav je človeštvo spoznavnju števila i namenilo žt več tisoč let, bo to število ostalo privlačno št za mnoge generacije matematikov in drugih ljubiteljev „zanimivih" števil. Literatura [1] Kaleidoscope: Nonrepeating, patternless, and perpetually approximated, QUANTUM, nov ./dec. 2000,\^ol.ll, 2, str. 28-29. [2] http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.pi.html Povzetodne:13. 2.2013 ■ Obstaja tudi n - dan, praznik, namenjen številu n, ki ga ljubitelji števila n praznujejo 14. marca (verjetno ni težko ugotoviti, zakaj so izbrali ravno ta datum). Ideja o prazniku prihaja iz San Francisca, sicer pa tekmovanja v zvezi s številom n na ta dan potekajo tudi pri nas (recitiranje decimalk števila n, inovativno računanje števila n). ■ Frekvenca števk 0, 1, 2, ..., 9, ki se pojavljajo na decimalnih mestih števila n, je približnao enaka -torej ni nobena števka zastopana bolj ali manj. [3] http://mathforum.org/isaac/problems/pil .html Povzetodne:13. 2.2013 [4] http://mathforum.org/library/drmath/view/-50543.0tmlPovoeto0ne:13.1.2013 [5] Pttp:eematPforvm.orgeiibrarye3rmatPeviewe-57045.Ptml Pometo dni;: 13. h. htf3 [6 ] Pttp:eematPforvm.orgeiibrarye3rmatPeviewe-57543.html Povzeto dne: 13. h. htf3 PRESEK 40 (2012/2013) 4 7 MATEMA TIKA —^ [7] http://oldweb.cecm.sfu.ca/pi/pi.html Povzeto dne: 13. 2. 2013 [8] http://www.maa.org/mathland/ mathland_3_11 .html Povzeto dne;: 13. 2. 2013 [9] http:/ewww.thefredlibrary.c2mtBiting-i-2fmc -recorO breaki ng-piece+of+pi .-ia053 703 2 6 5 Ppvze/o dne: 13. 2. 2013 [10] http:t/www.artbywiclss.c2mecbstrcct_art_ i nte ri or_dmco rati n g. htm I Povzeto dne: 13. 2. 2013 XXX Barvni sudoku ^ • V 6 x 6 kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do 6, tako da bo v vsaki vrstici, v vsakem stolpcu in v kvadratkih iste barve nastopalo vseh 6 števil. 1 2 4 6 4 3 XXX 8 PRESEK 40 (2012/2013) 4