OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO IZDAJA DRUŠTVO MATEMATIKOV, FIZIKOV IN ASTRONOMOV SLOVENIJE ISSN 0473-7466 OBZORNIK MAT. FIZ. LJUBLJANA LETNIK 59 ŠT. 5 STR. 161–200 SEPTEMBER 2012 C KM Y 2012 Letnik 59 5 i i “kolofon” — 2012/12/5 — 13:27 — page 1 — #1 i i i i i i OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije Ljubljana, SEPTEMBER 2012, letnik 59, številka 5, strani 161–200 Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana Telefon: (01) 4766 553, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska pošta: zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski račun: 03100–1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4, 1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787 Uredniški odbor: Peter Legiša (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek Olenik, Damjan Kobal, Petar Pavešić, Marko Petkovšek, Marko Razpet, Nada Razpet, Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik). Jezikovno pregledal Janez Juvan. Računalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja. Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1250 izvodov. Člani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 21 EUR, za druge družinske člane in študente pa 10,50 EUR. Naročnina za ustanove je 35 EUR, za tujino 40 EUR. Posamezna številka za člane stane 3,19 EUR, stare številke 1,99 EUR. DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o recipročnosti z Ameriškim matematič- nim društvom (AMS). Revija izhaja praviloma vsak drugi mesec. Sofinancira jo Javna agencija za knjigo Repu- blike Slovenije. c© 2012 DMFA Slovenije – 1886 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz mate- matike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok. Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle- ček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS) in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v računalni- ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj na- pisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki morata predvsem natančno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Če je prispevek sprejet v objavo, potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različic urejevalnikov TEX oziroma LATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek. Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu. i i “Razpet” — 2012/12/10 — 8:27 — page 161 — #1 i i i i i i NEKA VERIŽNICA MARKO RAZPET Pedagoška fakulteta Univerza v Ljubljani Math. Subj. Class. (2010): 34A05, 49J05, 49S05, 53A04 V prispevku dokažemo, da obstajajo v polarni obliki zapisane ravninske krivulje, katerih dolžina med polarno osjo in poljubno točko je enaka produktu polarnega kota in polarnega polmera te točke. Zgleda za take krivulje sta krožnica in posebna vrsta prave verižnice. A CATENARY In the article it is proved that there exist planar curves whose length between the polar axis and any point is equal to the product of the polar angle and polar radius of this point. Examples of such curves are the circle and a special kind of the catenary. Uvod Pozorni bralec v članku [2], ki obravnava tako imenovane prave verǐznice, med vsemi njenimi primeri opazi krivuljo, ki ima v polarnih koordinatah precej preprosto obliko. Izraža se namreč kar z racionalno funkcijo po- larnega kota, medtem ko v preostalih nastopajo transcendentne funkcije. Verižnica, ki jo v prispevku obravnavamo, pa ima še neko posebno lastnost. Njen naravni parameter s(ϕ) je namreč enak produktu polarnega kota ϕ in polarnega polmera r(ϕ) za vsak ϕ z nekega intervala (−ω, ω). Tako lastnost ima tudi krožnica, če pol polarnega sistema postavimo v njeno sredǐsče. Ogledali si bomo, kako poǐsčemo še druge take krivulje. Nekaj več o pravi verižnici je napisanega v zadnjem delu prispevka, podrobnosti pa najdemo v [2, 5]. Ravninske krivulje pogosto podajamo analitično v polarni obliki. Potem ko smo v ravnini izbrali točko O za pol in polarno os p, to je poltrak s krajǐsčem v O, je točka na krivulji določena s polarnim kotom ϕ in polarnim polmerom r, ki je vselej nenegativno število. Polarni polmer je razdalja točke na krivulji od pola, polarni kot pa merimo od polarne osi do polarnega polmera v pozitivni ali negativni smeri. V polarni obliki podana krivulja je določena z nenegativno odsekoma zvezno odvedljivo funkcijo ϕ 7→ r(ϕ) na intervalu [α, β]. Pri tem je seveda α < β. Ločno dolžino σ[α, β], ki ustreza spreminjanju kota ϕ po intervalu [α, β], izrazimo (glej npr. [6]) z integralom σ[α, β] = β∫ α √ r2(φ) + r′2(φ) dφ. Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 5 161 i i “Razpet” — 2012/12/10 — 8:27 — page 162 — #2 i i i i i i Marko Razpet Če vpeljemo za poljuben kot ϕ nekega intervala, ki vsebuje 0, tako imenovani naravni parameter s(ϕ) = ϕ∫ 0 √ r2(φ) + r′2(φ) dφ, (1) ki je pozitiven za pozitivne ϕ, negativen za negativne ϕ in enak 0 za ϕ = 0, potem smo na krivulji definirali naravni koordinatni sistem z izhodǐsčem v točki T , ki ustreza kotu ϕ = 0. Točki P , ki ustreza kotu ϕ, priredimo na krivulji naravno koordinato s(ϕ). Po loku krivulje je P oddaljena od T za |s(ϕ)|. Za pozitivne ϕ imajo ustrezne točke pozitivno naravno koordinato s, za negativne ϕ pa negativno. Nenavadna krivulja Za krožnico, ki ima sredǐsče v polu O, je r(ϕ) = r0, kjer je r0 pozitivna konstanta, polmer krožnice. Za lok seveda dobimo tedaj po znani formuli σ[α, β] = r0(β − α) in za naravni parameter s(ϕ) = r0ϕ. Za krožnico torej lahko zapǐsemo s(ϕ) = ϕr(ϕ). (2) Ali ima še kakšna krivulja, ki je dana v polarni obliki, lastnost (2)? Pri katerih krivuljah je naravni parameter s(ϕ) enak produktu kota ϕ in polarnega polmera r(ϕ) za vsak ϕ z nekega intervala (−ω, ω), na katerem je funkcija ϕ 7→ r(ϕ) nenegativna in zvezno odvedljiva? Spoznali bomo, da obstaja poleg krožnice še ena taka krivulja, obstaja pa tudi zlepek, ki ima lastnost (2). Če pa vztrajamo le pri zveznosti funkcije ϕ 7→ r(ϕ) in se odpovemo zveznosti njenega odvoda v končno mnogo točkah, pa je takih krivulj nešteto. Po potrebi v takih primerih v krajǐsčih intervalov jemljemo za odvod ustrezni stranski odvod (levi, desni). Poǐsčimo tako nenegativno zvezno odvedljivo funkcijo ϕ 7→ r(ϕ), za katero velja (2). Veljati mora enakost ϕr(ϕ) = ϕ∫ 0 √ r2(φ) + r′2(φ) dφ na nekem intervalu (−ω, ω). Iz te zahteve dobimo diferencialno enačbo r(ϕ) + ϕr′(ϕ) = √ r2(ϕ) + r′2(ϕ). (3) Pridružimo ji še začetni pogoj r(0) = r0 > 0. V poštev pridejo rešitve r(ϕ), za katere je izpolnjen pogoj r(ϕ) + ϕr′(ϕ) = [ϕr(ϕ)]′ ≥ 0. 162 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 5 i i “Razpet” — 2012/12/10 — 8:27 — page 163 — #3 i i i i i i Neka verižnica Po kvadriranju in preurejanju členov dobimo iz (3) diferencialno enačbo r′(ϕ)[(1− ϕ2)r(ϕ)]′ = 0, (4) ki jo bomo reševali pri začetnem pogoju r(0) = r0 > 0. V enačbi sta faktorja funkciji kota ϕ in njun produkt je lahko nič, čeprav faktorja nista identično enaka nič na intervalu (−1, 1). Enačba pri začetnem pogoju ima zvezno odvedljivi rešitvi r(ϕ) = r0 in r(ϕ) = r0 1− ϕ2 na intervalu (−1, 1), ki pa nista edini. Zvezno odvedljiva rešitev je na primer tudi funkcija, dana s predpisom r1(ϕ) = { r0, −1 < ϕ < 0, r0 1− ϕ2 , 0 ≤ ϕ < 1. Taka rešitev je tudi funkcija ϕ 7→ r1(−ϕ). Interval (−1, 1) lahko ali na levo ali na desno stran tudi podalǰsamo, če izraz 1/(1 − ϕ2) to dopušča. S tem morda nismo našli vseh rešitev. Kolobar vseh zvezno odvedljivih funkcij na intervalu (−1, 1) ima namreč delitelje niča. To pomeni, da v njem obstajata funkciji f1 in f2, ki nista na (−1, 1) identično enaki 0, pa vendar je na (−1, 1) njun produkt identično enak 0. Celo kolobar poljubno mnogokrat odvedljivih funkcij na vsej realni osi je tak. Funkciji g1 in g2, dani s predpisoma g1(ϕ) = { 0, ϕ ≤ 0, e−1/ϕ 2 , ϕ > 0, in g2(ϕ) = { e−1/ϕ 2 , ϕ < 0, 0, ϕ ≥ 0, sta definirani na vsej realni osi, neničelni in imata povsod vse odvode, njun produkt pa je povsod nič. Rešitev enačbe (4) bi bila potem tudi funkcija ϕ 7→ r(ϕ), ki bi pri začetnem pogoju r(0) = r0 hkrati rešila enačbi r′(ϕ) = f1(ϕ) in [(1− ϕ2)r(ϕ)]′ = (1− ϕ2)r′(ϕ)− 2ϕr(ϕ) = f2(ϕ), pri čemer sta f1 in f2 poljubni zvezni funkciji, ki nista na intervalu (−1, 1) identično enaki 0, toda njun produkt je tam identično enak 0. Z integracijo sicer takoj izračunamo: r(ϕ) = r0 + ϕ∫ 0 f1(φ) dφ in r(ϕ) = (1− ϕ2)−1(r0 + ϕ∫ 0 f2(φ) dφ). Ker pa je r′(0) = f1(0) = f2(0) in f1(0)f2(0) = 0, mora veljati f1(0) = f2(0) = 0, kar je v nasprotju s poljubnostjo funkcij f1 in f2. 161–169 163 i i “Razpet” — 2012/12/10 — 8:27 — page 164 — #4 i i i i i i Marko Razpet Če bi za f1 in f2 izbrali vnaprej poljubni prej opisani funkciji, za kateri sicer velja f1(0) = f2(0) = 0, bi ugotovili, da obstaja tak interval J , ki leži ali na intervalu (−1, 0) ali na intervalu (0, 1), tako da je na J ena od funkcij f1 in f2 različna od nič, ena pa identično enaka nič. Reševanje nas spet pripelje v nasprotje s poljubnostjo funkcij f1 in f2. Da bi se izognili nadaljnjim zapletom, bomo zvezno odvedljive rešitve enačbe (4) iskali med funkcijami, ki so analitične v točki 0, ker nas rešitve naloge zaradi začetnega pogoja r(0) = r0 zanimajo ravno v okolici te točke. Po [1, 3] je realna ali kompleksna funkcija ϕ 7→ f(ϕ) (realno) analitična v točki ϕ0, če je definirana na odprtem intervalu, ki vsebuje točko ϕ0, in če jo lahko na intervalu (ϕ0−ω, ϕ0+ω) za neki ω > 0 zapǐsemo kot konvergentno potenčno vrsto f(ϕ) = ∞∑ n=0 an(ϕ− ϕ0)n. Taka funkcija ima na intervalu (ϕ0−ω, ϕ0 +ω) odvode poljubnega reda, ki so tudi analitične funkcije, in za koeficiente an, ki so realna ali kompleksna števila, velja formula: an = f (n)(ϕ0) n! , n = 0, 1, 2, . . . Pravimo, da je funkcija ϕ 7→ f(ϕ) analitična na odprtem intervalu I, če je analitična v vsaki točki ϕ0 tega intervala. Temu dodajmo še pomembno lastnost. Če je funkcija ϕ 7→ f(ϕ) analitična v točki ϕ0, potem je analitična tudi na nekem dovolj majhnem odprtem intervalu, ki vsebuje ϕ0. Analitična funkcija, ki ima vse koeficiente an enake 0, je ničelna funkcija. Identično je enaka 0 na poljubnem odprtem intervalu, ki vsebuje ϕ0. Vse funkcije, ki so analitične na odprtem intervalu I, sestavljajo komu- tativen kolobar, ki nima deliteljev niča, kar je dokazano na primer v [1]. Tak kolobar imenujemo celi kolobar ali integritetno polje. To pomeni, da je produkt dveh funkcij tega kolobarja ničelna funkcija samo takrat, ko je vsaj ena od teh funkcij ničelna funkcija. Če v točki 0 analitična funkcija ϕ 7→ r(ϕ) reši naš problem iskanja krivulje z lastnostjo (2), potem sta oba faktorja v enačbi (4) očitno tudi analitični funkciji v točki 0 in enačba razpade na dve: r′(ϕ) = 0 in [(1− ϕ2)r(ϕ)]′ = 0. Njuni v točki 0 analitični rešitvi, ki zadoščata začetnemu pogoju r(0) = r0, sta r(ϕ) = r0 in r(ϕ) = r0 1− ϕ2 = r0(1 + ϕ 2 + ϕ4 + . . .), −1 < ϕ < 1. (5) Prva rešitev, r(ϕ) = r0, predstavlja krožni lok s sredǐsčem v polu, kar smo pričakovali, druga rešitev, r(ϕ) = r0/(1−ϕ2), pa da bolj zapleteno krivuljo K, ki ima asimptoto z naklonskim kotom ±1 glede na polarno os (slika 1). 164 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 5 i i “Razpet” — 2012/12/10 — 8:27 — page 165 — #5 i i i i i i Neka verižnica ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .. .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... ... ... ... .. ................................................................ .... ... .... ... .... ... .... ... .... ... .... ... .... ... ... .. .... ... .... ... .... ... .... ... .... ... .... ... .... ... .... ... .... ... .... ... .... ... .... ... .... ... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ..... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ................................................................................................................................................................................................................................. .... .... .... ... ... ... ... ... .. O ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ...... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... . ... ....... ....... ....... ....... ....... . ................................................................................................................................................... ...................................... pA T B T− T+ CT A− A+ α −α K • • • • •• ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .... ... ... .. .. ... .. ... .. ... . ... .... ..... ..... ..... ..... ..... .. ..... ..... ..... ..... ..... ..... .... Slika 1. Prava simetrična verižnica. Krivulja K (slika 1), ki ima v polarnih koordinatah drugo enačbo v (5), je lep zgled, pri katerem se nam posreči izračunati ločno dolžino neposredno z uporabo formule (1). Dobimo namreč √ r2(ϕ) + r′2(ϕ) = r0 1 + ϕ2 (1− ϕ2)2 = r0 ( ϕ 1− ϕ2 )′ . Zato je za (5): σ[α, β] = r0 ( β 1− β2 − α 1− α2 ) , −1 < α ≤ β < 1. V posebnem primeru je σ[−α, α] = 2r0α 1− α2 = 2r(α)α, 0 ≤ α < 1, kar pomeni, da je ločna dolžina na krivulji K med točkama T− in T+ enaka dolžini najkraǰsega krožnega loka polmera r(α) s sredǐsčem v polu O med tema dvema točkama. Polu O je na krivulji K najbližja točka T , ki ima polarni polmer r0. Ploščino S(α) izseka, ki je omejen s poltrakovoma ϕ = −α, ϕ = α in 161–169 165 i i “Razpet” — 2012/12/10 — 8:27 — page 166 — #6 i i i i i i Marko Razpet krivuljo K, izračunamo s splošno formulo S(α) = 1 2 α∫ −α r2(ϕ) dϕ. Če upoštevamo sodost funkcije pod integralskim znakom, dobimo najprej S(α) = r20 α∫ 0 dϕ (1− ϕ2)2 , nato pa z razvojem na delne ulomke in integracijo še S(α) = r20 [ ϕ 2(1− ϕ2) − 1 4 ln 1− ϕ 1 + ϕ ]∣∣∣∣α 0 . Rezultat še nekoliko preoblikujemo in nazadnje dobimo: S(α) = r20 4 ( 2α 1− α2 − ln 1− α 1 + α ) , 0 ≤ α < 1. Ukrivljenost κ(ϕ) polarno podane krivulje je v točki, ki ustreza polarnemu kotu ϕ, dana s splošnim izrazom (podrobnosti so npr. v [6], stran 448) κ(ϕ) = r(ϕ)r′′(ϕ)− r2(ϕ)− 2r′2(ϕ)√ (r2(ϕ) + r′2(ϕ))3 . Po dalǰsem računu dobimo za obravnavano krivuljo K razmeroma preprost izraz κ(ϕ) = (1− ϕ2)3 r0(1 + ϕ2)2 , za krivinski polmer v temenu T pa %(0) = 1/κ(0) = r0. Pritisnjena kro- žnica CT na K v temenu T ima torej polmer r0. Krivulja K ima asimptoti A±, ki sekata polarno os pod kotoma ±1 v točki A s polarnim polmerom r0/(2 sin 1). Iz rešitev r(ϕ) = r0 in r(ϕ) = r0/(1 − ϕ2), −1 < ϕ < 1, diferencialne enačbe (3) lahko sestavimo zvezno odvedljive funkcije, ki ustrezajo lastno- sti (2), pa tudi samo odsekoma zvezno odvedljive funkcije. Poglejmo zgleda! Zgled 1. Vzemimo najprej funkcijo ϕ 7→ r(ϕ), ki je za −α < 0 < β < 1, kjer je 0 < α < 2π − β, dana s predpisom: r(ϕ) = { r0, −α ≤ ϕ < 0, r0 1− ϕ2 , 0 ≤ ϕ ≤ β. 166 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 5 i i “Razpet” — 2012/12/10 — 8:27 — page 167 — #7 i i i i i i Neka verižnica ................................................................................................................................................................................................................................................................ .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... . .............................................................................. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .................................................... .... ... .... ... .... ... .... ... .... ... .... ... .... ... ... .. .... ... .... ... .... ... .... ... .... ... .... ... .. .. .... ... .... ... .... ... .... ... .... ... .... ... O T ϕ = β ϕ = −α r(β) r(−α) • • • • ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .. Slika 2. Krožni lok se gladko nadaljuje v lok prave verižnice. Ustrezna krivulja je sestavljena iz krožnega loka polmera r0 med kotoma −α in 0 ter loka krivulje K med kotoma 0 in β (slika 2). Funkcija ϕ 7→ r(ϕ) je zvezna na intervalu [−α, β] in njen naravni parameter je za −α ≤ ϕ ≤ 0 enak s(ϕ) = r0ϕ in za 0 ≤ ϕ ≤ β enak s(ϕ) = r0ϕ 1− ϕ2 . Zato lahko zapǐsemo: s(ϕ) =  r0ϕ, −α ≤ ϕ ≤ 0, r0ϕ 1− ϕ2 , 0 ≤ ϕ ≤ β. Funkcija ϕ 7→ r(ϕ) očitno ustreza tudi lastnosti (2). Zgled 2. Omejimo se na ϕ ≥ 0. Vzemimo še funkcijo ϕ 7→ r(ϕ), ki je za 0 < α < 1 dana s predpisom: r(ϕ) =  r0 1− ϕ2 , 0 ≤ ϕ ≤ α, r0 1− α2 , α ≤ ϕ < 2π. 161–169 167 i i “Razpet” — 2012/12/10 — 8:27 — page 168 — #8 i i i i i i Marko Razpet ................................................................................................................................................................................................................................................................ .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ..................................... .... .... ... ... .. .... ... .... ... .... ... .... ... .... ... .... ... .. .. .... ... .... ... .... ... .... ... .... ... .... ... .... ... .... ... .... ... .. O T α r(α) • • •.... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ... ..... ..... ...... ...... ..... ..... ..... ...... ....... ........ ......... .......... .. Slika 3. Lok prave verižnice se nadaljuje v krožni lok. Ustrezna krivulja je sestavljena iz loka krivulje K, ki se nadaljuje s kro- žnim lokom (slika 3). Funkcija ϕ 7→ r(ϕ) je zvezna na intervalu [0, 2π) in njen naravni parameter je za 0 ≤ ϕ ≤ α enak s(ϕ) = r0ϕ 1− ϕ2 in za α ≤ ϕ enak s(ϕ) = r0α 1− α2 + r0(ϕ− α) 1− α2 . Zato lahko zapǐsemo: s(ϕ) =  r0ϕ 1− ϕ2 , 0 ≤ ϕ ≤ α, r0ϕ 1− α2 , α ≤ ϕ < 2π. Funkcija ϕ 7→ r(ϕ) ustreza lastnosti (2). Po opisanem vzorcu lahko sestavimo tudi zglede v več točkah neodve- dljivih, sicer zveznih funkcij, ki ustrezajo lastnosti (2). Prava verižnica Krivulja K, ki ima v polarnih koordinatah enačbo r(ϕ) = r0/(1−ϕ2) (slika 1), je poseben primer prave verižnice, o čemer se sedaj lahko hitro pre- pričamo. Na splošno, obliko prave verižnice v gravitacijskem polju, ki ga 168 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 5 i i “Razpet” — 2012/12/10 — 8:27 — page 169 — #9 i i i i i i Neka verižnica ustvarja točkasta masa v točki O, zavzame v stacionarnem stanju idealna veriga (homogena, neraztegljiva, gibka, tanka), obešena v dveh točkah. Kri- vulja K, kot bomo videli, je poseben primer, pri katerem sta to točki T− in T+, ki sta od O oddaljeni za r1, daljici OT− in OT+ oklepata kot 2α, dolžina verige pa je enaka 2r1α, kar je enako dolžini krožnega loka polmera r1 pri sredǐsčnem kotu 2α < 2 (slika 1). Do konstantnega faktorja je potencialna energija verige F [r] = α∫ −α 1 r √ r2 + r′2 dϕ (6) pri pogojih P[r] = α∫ −α √ r2 + r′2 dϕ = 2r1α, r(±α) = r1. (7) V stacionarnem stanju je tedaj integral (6) minimalen. V izrazih (6) in (7) nastopajočo funkcijo ϕ 7→ r(ϕ) poǐsčemo z metodami variacijskega računa (glej npr. [4, 7, 8]). Kot je pokazano v [5], rešitev ustreza diferencialni enačbi r(ϕ)(λr(ϕ)− 1) = c √ r2(ϕ) + r′2(ϕ), (8) kjer sta c in λ konstanti. Sedaj je treba pogledati, kdaj r(ϕ) = r0/(1− ϕ2) zadošča enačbi (8) za vsak kot ϕ na intervalu (−α, α) pri pogoju (7). Iz prve zahteve dobimo enačbo λr0 − (1− ϕ2) = c(1 + ϕ2), iz katere sledi c = 1 in λ = 2/r0. Dolžina iskane krivulje je 2r0α/(1−α2) = 2r1α, iz česar dobimo r0 = (1−α2)r1. Tako imamo nazadnje enačbo posebne prave verižnice: r = r1(1− α2)/(1− ϕ2). LITERATURA [1] H. Cartan, Théorie élémentaire des fonctions analytiques d’une ou plusieurs variables complexes, Hermann, Pariz, 1975. [2] J. Denzler, A. M. Hinz, Catenaria Vera – The True Catenary, Expo. Math. 17 (1999), 117–142. [3] S. G. Krantz, H. R. Parks, A Primer of Real Analytic Functions, Birkhäuser Verlag, Basel in drugje, 1992. [4] F. Križanič, Navadne diferencialne enačbe in variacijski račun, DZS, Ljubljana, 1974. [5] M. Razpet, Prava simetrična verǐznica, Obzornik mat. fiz. 57 (2010), št. 4, 121–133. [6] I. Vidav, Vǐsja matematika I, DMFA – založnǐstvo, Ljubljana, 1994. [7] I. Vidav, Vǐsja matematika III, DZS, Ljubljana, 1976. [8] E. Zakraǰsek, Analiza III, DMFA – založnǐstvo, Ljubljana, 2002. 161–169 169 i i “Strnad-clanek” — 2012/12/10 — 8:39 — page 170 — #1 i i i i i i ATOMSKI INTERFEROMETER JANEZ STRNAD Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani PACS: 32.80.Pj, 07.60.Ly Atomski interferometri uporabljajo valovanje, ki ga priredimo delcem, kot stareǰsi interferometri uporabljajo svetlobo. Članek opǐse pojave, na katerih so osnovani atomski interferometri z gručami hladnih alkalijskih atomov, in natančna merjenja z njimi. ATOM INTERFEROMETER Atom interferometers use waves, attributed to particles, as older interferometers use light. In the article phenomena are described on which atom interferometers with clouds of cold alkali atoms are based as well as precise measurements with them. Interferenčni poskusi s curki delcev, pri katerih delci kažejo lastnosti valovanja, zbujajo pozornost, odkar so pred petinosemdesetimi leti izvedli prvi poskus z elektroni. Odtlej so naredili take poskuse s številnimi delci od nevtronov in atomov do molekul z veliko maso. Valovanje, ki ga opǐse kvantnomehanična valovna funkcija, se ukloni na atomih v kristalu, umetnih mrežicah ali stoječem elektromagnetnem valovanju. Že nekaj časa upora- bljajo to valovanje v interferometrih. Interferometri s svetlobo Interferometri s svetlobo so v rabi veliko dlje. Tak interferometer ima izvir, naprave, ki valovanje razdelijo na delna valovanja in jih vodijo po različnih poteh, ter sprejemnik za zaznavanje interferenčne slike. Kot izvir v zadnjem času navadno uporabimo laser, ki seva enobarvno svetlobo. Valovanje raz- delimo na delna valovanja na primer z uklonsko mrežico ali s polprepustno ploščico. Delna valovanja, ki potujejo po različnih poteh, na primer z zrcali ali lečami sestavimo in opazujemo interferenčne proge. Vzemimo, da valo- vanje razdelimo na dve delni valovanji, od katerih prvo prepotuje razdaljo z1 in drugo razdaljo z2. K jakosti električnega polja v valovanju, v katero se delni valovanji sestavita, v danem trenutku prispevata obe delni valovanji: E = E0exp(ikz1) + E0exp(ikz2) = E0exp(ikz1)(1 + exp(iφ)). (1) 170 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 5 i i “Strnad-clanek” — 2012/12/10 — 8:39 — page 171 — #2 i i i i i i Atomski interferometer Slika 1. Rabijeve oscilacije v sistemu z dvema stanjema (a) in prehodi med stanji pri Ramanovem pojavu (b). Gostota energijskega toka v sestavljenem valovanju je sorazmerna z: E∗E = 2E20(1 + cosφ) (2) in kaže značilne interferenčne proge. Pri tem je k = 2π/λ velikost valovnega vektorja, λ valovna dolžina in φ = k(z2− z1) = 2π(z2− z1)/λ fazna razlika. 170–181 171 i i “Strnad-clanek” — 2012/12/10 — 8:39 — page 172 — #3 i i i i i i Janez Strnad Rabijevo nihanje Svetloba sodeluje z atomi. Njihovo stanje opǐsemo z lastnimi energijami in lastnimi valovnimi funkcijami. Omejimo se na dve stanji, na osnovno stanje z energijo W0 in valovno funkcijo ψ0 ter prvo vzbujeno stanje z energijo W1 in valovno funkcijo ψ1. Razliki energij W1−W0 = ~ω01 ustrezata krožna fre- kvenca ω01 in frekvenca ν01 = ω01/(2π). Električno polje v valovanju deluje na atom. V polklasičnem priblǐzku atome obravnavamo kvantno, svetlobo pa klasično.1 Delovanje jakosti električnega polja ~E na atom zajamemo z energijo električnega dipola ~p = e~r v polju: ~p · ~E. Atom v osnovnem stanju ψ0 iz valovanja absorbira energijo ~ω01 in preide v prvo vzbujeno stanje. Prehod opǐsemo s sestavljenim stanjem α(t)ψ0 +β(t)ψ1. Verjetnost α ∗α, da naletimo na atom v osnovnem stanju, najprej s časom pojema, verjetnost β∗β, da naletimo na atom v prvem vzbujenem stanju, pa narašča. Atom v prvem vzbujenem stanju v valovanju stimulirano seva in iz prvega vzbu- jenega stanja preide v osnovno stanje. Potem atom zopet absorbira, zopet seva, in igra se ponavlja (slika 1a). Verjetnosti se spreminjata periodično: α∗α = cos2 12Ωt in β ∗β = sin2 12Ωt, 1 2Ω = ~p01 · ~E0/~. (3) To so Rabijeve oscilacije.2 Pojav spominja na nihanje sklopljenih nihal, pri katerem najprej niha samo prvo nihalo, nato začne nihati drugo nihalo, prvo pa niha vse šibkeje, in igra se ponavlja. Rabijeva krožna frekvenca Ω meri vpliv električnega polja z amplitudo ~E0 na atom. Pri tem je ~p01 =∫ ψ∗1~pψ0d 3r matrični element električnega dipolnega momenta za prehod med stanjema. Z laserskim sunkom, s katerim obsevamo atom, je mogoče vplivati na stanje atoma. Tako na primer lahko dosežemo, da je atom po obsevanju v sestavljenem stanju z α = β. 1Tako se izognemo kvantni elektrodinamiki. Pri tem bi se morali odpovedati pojmu fotona. Vendar tudi v polklasičnem približku omenjajo fotone. S tem mislijo le na energijo, ki jo seva ali absorbira atom. 2Isidor Isaac Rabi (1898–1988) je dobil Nobelovo nagrado za fiziko leta 1944 za merjenja s curki atomov. 172 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 5 i i “Strnad-clanek” — 2012/12/10 — 8:39 — page 173 — #4 i i i i i i Atomski interferometer Slika 2. Shematična risba glavnih sestavnih delov interferometra z atomi cezija [3, 4]. 1 tuljavi magneto-optične pasti, 2 para laserjev magneto-optične pasti, 3 merilna laserja, 4 laser, s katerim spravijo atome v želeno stanje, 5 laser, katerega curek odpihne atome v nepravem stanju, 6 mikrovalovi, 7 magnetna zaščita, 8 gruče cezijevih atomov, 9 zrcalo, ki niha v navpični smeri, 10 odbiti laserski curek. Ramanov pojav Pri Ramanovem pojavu3 molekule obsevamo z enobarvnim valovanjem s krožno frekvenco ω. Molekule so v stanju ψo ali v bližnjem nihajnem ali vrtilnem stanju ψr z malo večjo ali v stanju ψr′ z malo manǰso energijo. Svetloba se na molekulah prožno sipa, tako da ima sipana svetloba enako krožno frekvenco kot vpadna. Pri takem sipanju molekula energijo iz valo- vanja absorbira, preide v vzbujeno stanje ψv, nato energijo izseva in se vrne v začetno stanje. Pri tem je ψv virtualno stanje, v katerem molekula preživi zelo kratek čas, in ne njeno lastno stanje. Tako Ramanov pojav ni vezan na 3Pojav je leta 1923 napovedal Adolf Smekal, odkril pa ga je leta 1928 Chandrasekhara Venkata Raman (1888–1970). Za odkritje je Raman dobil Nobelovo nagrado za fiziko leta 1930. 170–181 173 i i “Strnad-clanek” — 2012/12/10 — 8:39 — page 174 — #5 i i i i i i Janez Strnad Slika 3. Pregledna risba glavnih prehodov atoma cezija v interferometru. Valoviti črti nakazujeta fazo v laserskem curku na obeh poteh delnih valovnih funkcij. Laserska sunka 1 2 π delujeta kot polprepustna ploščica, laserski sunek π pa kot zrcalo (levo). Ramanova prehoda med stanjema ψ0exp(ik B 0 z) in ψ1exp(i(k B 0 + k B v )z) potekata prek virtualnega vzbujenega stanja ψvexp(i(k B 0 + k B v1z)) (desno) [7]. resonanco. V redkih primerih, denimo v enem primeru na sto milijard, molekula iz virtualnega vzbujenega stanja s sevanjem ne preide v stanje ψo, ampak v stanje ψr z večjo energijo. Tedaj seva valovanje z manǰso krožno frekvenco. V spektru se poleg izrazite črte s frekvenco vpadne svetlobe pojavi šibka črta, premaknjena proti rdečemu delu (slika 1b). V drugem primeru mole- kula z absorpcijo preide v virtualno stanje in iz njega s sevanjem v stanje ψr′ z manǰso energijo od začetnega stanja. V tem primeru seva valovanje z večjo krožno frekvenco. V spektru se pojavi šibka črta, premaknjena proti modremu delu. Ramanov pojav je pomemben v kemiji. Spekter, ki na- stane, ko spreminjamo krožno frekvenco vpadne svetlobe, razkrije zgradbo molekule. Pri stimuliranem Ramanovem sevanju Ramanovemu pojavu sledi stimu- lirano sevanje. Najprej atom, ki ima v smeri curka gibalno količino ~kB0 , v stanju ψ0exp(ik B 0 z) iz laserskega curka absorbira energijo ~ωv1 = c~kv1, prevzame gibalno količino ~kBv1 in preide v stanje ψvexp(i(kB0 +kBv1)z). Prvi faktor valovne funkcije opǐse notranje stanje atoma, eksponentni faktor pa gibanje atoma kot celote. Zaradi preglednosti količine, ki zadevajo atom, se pravi valovno funkcijo ali tako imenovano Broglievo valovanje, opremimo z znakom B. Ko atom prevzame gibalno količino sevanja, je kv1 = k B v1. Drugi 174 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 5 i i “Strnad-clanek” — 2012/12/10 — 8:39 — page 175 — #6 i i i i i i Atomski interferometer laserski curek je usmerjen v nasprotno smer kot prvi. S stimuliranim seva- njem atom izseva energijo ~ωv2 = c~kv2, prevzame odrivno gibalno količino −~kBv2 in preide v stanje ψ1exp(i(kB0 + kBv )z) s kBv = kBv1 + kBv2. Gibanje atomov smo opisali z ravnim valovanjem z določeno gibalno količino. V re- snici gibalna količina, ki ustreza delni valovni funkciji, ni natanko določena. Vendar račun obvelja, ker faza ni odvisna od gibalne količine. Stimulirano Ramanovo sevanje notranje stanje atoma poveže z njegovim gibanjem. Z izbiro lastnosti laserskih sunkov je mogoče doseči, da je pri določeni Rabijevi krožni frekvenci Ω čas trajanja sunka t0 tolikšen, da je Ωt0 = 1 2π. Po enačbi (3) je po sunku atom v sestavljenem stanju, v katerem sta dela valovne funkcije enako zastopana. Tak sunek 12π po učinku ustreza polpre- pustni ploščici. S sunkom 12π radiofrekvenčnega polja na primer pri jedrski magnetni resonanci preklopijo spine atomov pravokotno na ravnino magne- tnega polja. Deloma valovne funkcije v sestavljenem stanju ustrezata giba- nji z različnima hitrostma. Dela se oddaljujeta drug od drugega s hitrostjo vo = ~kBv /m, če je m masa atoma. Nenavadno je, da delni valovni funkciji, ki ustrezata delnima valovanjema, zadevata isti atom. Interferometri z gručami hladnih alkalijskih atomov V zadnjem času se kot natančno merilno orodje uveljavlja interferometer z gručami hladnih alkalijskih atomov.4 Zasluge za njegov razvoj gredo v veliki meri raziskovalni skupini S. Chuja [1–7].5 Najprej so uporabljali gruče natrijevih atomov, nato so prešli h gručam cezijevih atomov. Osnovno stanje alkalijskega atoma je razcepljeno na stanji ψ0 in ψ1 zaradi hiperfine sklopitve spinov zunanjega elektrona in jedra. Pri natriju sta to stanji 3S1/2, F = 2,mF = 0 in 3S1/2, F = 3,mF = 0, pri ceziju pa stanji 6S1/2, F = 3,mF = 0 in 6S1/2, F = 4,mF = 0. Kvantno število F podaja velikost skupnega spina zunanjega elektrona in jedra, kvantno število mF pa njegovo komponento v smeri zunanjega magnetnega polja. 4Pri poskusih z molekulami z veliko maso so uporabili atomski interferometer z ume- tnimi mrežicami, Obzornik mat. fiz. 51 (2004) 88–93. 5Steven Chu (rojen 1948) je leta 1997 skupaj s Claudom Cohen-Tannoudjijem in Wil- liamom D. Phillipsom dobil Nobelovo nagrado za razvoj laserskega hlajenja atomov. Leta 1987 je iz Bellovih laboratorijev, v katerih je njegova skupina opravila večino nagrajenega dela, prešel na univerzo Stanford. Leta 2004 je postal direktor Državnega Lawrenceo- vega laboratorija v Berkeleyju in profesor na oddelkih za fiziko in biologijo kalifornijske univerze v Berkeleyju. Od leta 2009 je minister za energijo v amerǐski vladi. 170–181 175 i i “Strnad-clanek” — 2012/12/10 — 8:39 — page 176 — #7 i i i i i i Janez Strnad Slika 4. Klasični poti obeh delnih valovnih funkcij brez gravitacije (pikčasto) in z gra- vitacijo (neprekinjeno). Če ni gravitacije, je pot a′–b′ popolnoma enakovredna poti c′– d′. Gravitacija to spremeni. V časovnem razmiku 0 < t < T velja za zgornjo pot z = vot − 12gt 2 (a) in za spodnjo z = − 1 2 gt2 (c), v razmiku T < t < 2T pa za zgornjo pot z = voT − 12gt 2 (b) in za spodnjo z = vo(t − T ) − 12gt 2 (d). Ob t = T se spremeni na zgornji poti hitrost vo − gT v −gT in na spodnji poti hitrost −gT v vo − gT . Na zgornji poti pade delna valovna funkcija na odseku c za 1 2 gT 2, na spodnji pa na odseku b za trikrat toliko. Na risbi smo zaradi preglednosti za začetno gibalno količino atoma ~kB0 izbrali 0 in težni pospešek 350-krat pomanǰsali. Za virtualno stanje ψv izberejo stanje malo pod prvim vǐse vzbujenim stanjem P3/2. Pri prehodih iz stanja P3/2 v osnovno stanje atom cezija seva temnordečo črto z valovno dolžino 852 nm, ki ji ustreza energija 1,46 eV. Virtualno stanje mora biti dovolj pod lastnim stanjem P3/2, da atomi ne bi prešli v to stanje in iz njega s spontanim sevanjem v osnovno stanje ter bi bili za stimulirano Ramanovo sevanje izgubljeni. Prehodu med stanjema ψ0 in ψ1, na kateri je zaradi hiperfine sklopitve razcepljeno osnovno stanje atoma cezija, ustrezajo frekvenca 9 192 631 770 s−1 – z njo je določena sekunda –, valovna dolžina 3,26 cm in energija 3,81·10−5 eV. Energijska razlika med stanjema ψ0 in ψ1 je veliko manǰsa od energijske razlike med stanjem P3/2 in osnovnim stanjem. V približnem računu smemo zato kBv1 in k B v2 vzeti za enaka in postaviti k B v = 2k B v1. V interferometru z atomi cezija iz pare pri majhnem tlaku zberejo kakih petsto milijonov atomov v magneto-optični pasti med paroma nasprotnih laserskih curkov v prostoru med tuljavama (slika 2) [3, 4]. Potem zmanǰsajo gostoto magnetnega polja v pasti in naravnajo frekvenco laserjev ter s tem 176 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 5 i i “Strnad-clanek” — 2012/12/10 — 8:39 — page 177 — #8 i i i i i i Atomski interferometer ohladijo atome do efektivne temperature 1,5 · 10−6 K. Z obsevanjem z mi- krovalovi in nasprotnima laserskima curkoma še dodatno ohladijo atome in s stranskim laserskim curkom odpihnejo atome, ki nimajo smeri in veliko- sti hitrosti na želenem območju. Tako pripravijo gruče s po tremi milijoni atomov cezija, ki se počasi gibljejo navzgor, medtem ko hitrost znotraj gruč ustreza efektivni temperaturi 10−8 K. Gruče s polmerom dobrega milimetra vstopijo v prostor, zaščiten pred magnetnim poljem, se prosto dvigajo in nato prosto padajo kot kaplje vode v vodometu. V začetnem trenutku t = 0 atome obsevajo s sunkom 12π. Valovna funkcija ψ0exp(ik B 0 z) se razcepi na dela ψ0exp(ik B 0 z) in ψvexp(i(k B 0 +k B v )z). V trenutku t = T prvemu sunku sledi sunek π drugega para laserjev. Čas trajanja t′0 je tolikšen, da je Ωt ′ 0 = π (3). Tak sunek π po učinku ustreza odboju na zrcalu in valovno funkcijo ψ0exp(ik B 0 z) prevede v ψvexp(i(k B 0 + kBv )z), valovno funkcijo ψvexp(i(k B 0 +k B v )z) pa v ψ1exp(ik B 0 z) (slika 3). Dela valovne funkcije, ki sta se pred sunkom π oddaljevala, se po njem približujeta z enako veliko hitrostjo. V trenutku t = 2T sledi še tretji sunek, to pot sunek 1 2π. Po tem sunku sta dela valovne funkcije, ki sta se krajevno sestala, enako usmerjena in interferirata. Atom je tedaj v stanju ψ0 ali v stanju ψ1. Padajoče gruče atomov obsevajo z nasprotnima curkoma merilnih laserjev. V prostoru z magnetnim poljem curka resonančno ionizirata atome v stanju ψ1 in te štejejo. Fazna razlika Delež atomov v stanju ψ1 je odvisen od fazne razlike. Na fazo vpliva dvoje. Prvič: delni valovni funkciji potujeta po različnih poteh. Po Richardu P. Fe- ynmanu fazo gibajočega se delca določa akcija, časovni integral Lagrangeeve funkcije L = 12mv 2 − mgz, to je razlike kinetične in potencialne energije, deljene s ~. Računamo jo lahko za klasično pot, če je integral ∫ Ldt velik v primerjavi s ~. V našem primeru je razlika ∫ zg Ldt− ∫ sp Ldt = 0. Indeks zg zadeva zgornjo, indeks sp pa spodnjo pot (slika 4). Drugič: na fazo vpliva delovanje svetlobe na atom. V kratkem močnem sunku laserske svetlobe jakost električnega polja vsili svojo fazo delni valovni funkciji. Pri prvem prehodu iz stanja atoma v stanje z večjo energijo dobi valovna funkcija dodaten eksponentni faktor s trenutno fazo svetlobe. Pri prehodu iz stanja ψ0 v stanje ψ1, na primer, je to (1/ √ 2)exp(−i(kz1−ωt1+ 170–181 177 i i “Strnad-clanek” — 2012/12/10 — 8:39 — page 178 — #9 i i i i i i Janez Strnad Slika 5. Značilna interferenčna vrhova številka 588 538 in 589 539. Na navpično os je nanesen delež atomov v stanju ψ1, na vodoravno pa fazna razlika svetlobe. Po krivulji, ki so jo prilagodili izmerkom, so ugotovili težni pospešek na 3 · 10−9 natančno [3, 4]. φ1)). Podobno je treba tudi pri drugih prehodih upoštevati lego atoma ob času, ko ga zadene laserski curek, in fazo laserske svetlobe. Pri prehodu iz stanja z večjo energijo v stanje z manǰso se spremeni znak pred imaginarno enoto. Tako sestavimo valovno funkcijo atoma zaradi vpliva svetlobe na zgornji poti: ψ(zg) = (1/ √ 2)exp(−i(kz1−ωt1+φ1)) ·(1/ √ 2)exp(i(kz (zg) 2 −ωt2+φ2)) (4) in na spodnji poti: ψ(sp) = (1/ √ 2)exp(−i(kz(sp)2 −ωt2+φ2) ·(1/ √ 2)exp(i(kz3−ωt3+φ3)). (5) z (zg) 2 zadeva zgornjo in z (sp) 2 spodnjo pot. Delov valovne funkcije, ki opǐsejo stanje atoma, nismo upoštevali, ker smo ugotovili, da ne prispevajo k fazni razliki. Interferenčno sliko pokaže gostota verjetnosti |ψzg +ψsp|2. Če ne bi bilo gravitacije, bi bilo z (zg) 2 = z (sp) 2 = z2 in bi veljalo z1 − z2 = z2 − z3 = ∆z ter t2 − t1 = t3 − t2 = T . Po zgledu (1) in (2) bi dobili fazno razliko (φ1 − φ2) − (φ2 − φ3) = φ1 − 2φ2 + φ3. Vpliv gravitacije upoštevamo kot motnjo. Zaradi nje je z1 − z(zg)2 = ∆z − 12gT 2, a z (sp) 2 − z3 = ∆z − 32gT 2 178 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 5 i i “Strnad-clanek” — 2012/12/10 — 8:39 — page 179 — #10 i i i i i i Atomski interferometer (slika 4). Tako je skupna fazna razlika: ∆φ = φ1 − 2φ2 + φ3 + kgT 2. (6) Fazna razlika ni odvisna od začetne gibalne količine ~kB0 . Člen s težnim pospeškom je sorazmeren s kvadratom T . Merjenje je tem natančneǰse, čim dalǰsi je ta čas. Z gručami hladnih cezijevih atomov so dosegli T = 0,16 s, preden sta zaradi zunanjih motenj delni valovni funkciji prenehali biti koherentni. Atomi so se 0,32 s gibali prosto in sta se dela valovne funkcije v času T oddaljila za voT = 0,12 mm. Hitrost ob odrivu vo izračunamo iz ~kBv = mvo in dobimo vo = ~kBv /m = 2~(2π/λ)/m = 7 · 10−3 m/s. Vstavili smo kBv1 = kv1 = 2π/λ z valovno dolžino λ = 852 nm. Pri tem smo spregledali, da virtualnemu stanju ustreza malo manǰsa energija kot stanju P3/2. Zaradi težnega pospeška se v času T faza v celoti spremeni za kgT 2 = mvgT 2/~ = 3,8 · 106 radianov ali za 3,8 · 106/(2π) = 6,0 · 105 valov. Faza v delnih valovnih funkcijah po obeh poteh ∫ Ldt/~ = m(83g 2T 3 − 2vogT 2 + 12v 2 oT )/~ je enaka 2,22 · 109 radianov ali 3,53 · 108 valov. Predstavljamo si, da bi mimo mirujočega atoma v času T šlo ωT/(2π) valov. Mimo atoma, ki se v smeri svetlobnega curka premakne za ∆z, gre v tem času k∆z/(2π) valov manj. Interferometer torej primerja fazno razliko pri gibanju v časovnem razmiku od 0 do T s fazno razliko pri gibanju v razmiku od T do 2T . Prednost takega diferencialnega merjenja je, da so motnje, na primer Starkov pojav v svetlobnem električnem polju, manj izrazite. Merjenje Fazno razliko zasledujejo s svetlobo. Relativni fazi prvih dveh svetlobnih sunkov sta, na primer, enaki in lahko postavimo φ1 = φ2 = 0. Spreminjajo pa fazo φ3. V odvisnosti od nje zaznavajo spreminjajoči se tok atomov v sta- nju ψ1. Ob tem spreminjajo tudi frekvenco svetlobe, da ostane v resonanci s prehodom med stanjema ψvexp(i(k B 0 +k B v )z) in ψ0exp(ik B 0 z). Razliko fre- kvenc laserjev v prvih dveh sunkih določa stabiliziran radiofrekvenčni izvir. S tem natančno nadzirajo frekvenco in fazo svetlobe. To so glavne značilnosti atomskega interferometra. Omenimo še nekaj podrobnosti. Pri zelo natančnem merjenju so morali upoštevati, da se te- žni pospešek spreminja z vǐsino. Namesto dveh parov navpičnih laserjev 170–181 179 i i “Strnad-clanek” — 2012/12/10 — 8:39 — page 180 — #11 i i i i i i Janez Strnad Slika 6. Težni pospešek se spreminja s časom. Spremembe 8. in 9. decembra 1996 so nastale v glavnem zaradi plimovanja. 1 Gal = 1 cm/s2, tako da je 1 µGal = 10−8 m/s2 = 10−9 g [3, 4]. so uporabili dve laserski diodi. Njuna curka sta se odbila od vodoravnega zrcala na vrhu merilnega prostora. Zrcalo so v navpični smeri nihali z do- ločeno frekvenco in izbolǰsali kontrast interferenčnih prog, ko so upoštevali spreminjanje s to frekvenco. Posebno skrb so posvetili stabilnosti laserjev. Izkoristili so Dopplerjev pojav, zaradi katerega se je za padajoči atom fre- kvenca svetlobe razlikovala od frekvence za dvigajoči se atom. Posebej so si prizadevali poiskati najugodneǰse razmere in kolikor mogoče zmanǰsati šum. Tako so od objave do objave merjenja postajala vse natančneǰsa. Z relativno natančnostjo 3 ·10−9 so izmerili frekvenco radijskih valov pri prehodu med stanjema ψ0 in ψ1 atoma natrija [5]. Iz curka atomov natrija so izbrali atome, katerih hitrost je bila določena na 30 µm/s natančno, za dve velikostnji stopnji natančneje kot dotlej [6]. Potem so izdelali atomski inter- ferometer na curek atomov cezija. Z interferometrom so natančno izmerili težni pospešek (sliki 5, 6) [1–4]. Na istem kraju so izmerili težni pospešek tudi s posebnim Michelsonovim interferometrom. V njegovem navpičnem kraku je v vakuumu padal ogel optične prizme, ki je svetlobo odbil natanko v navpični smeri. Oba merilnika sta dala na 7 · 10−9 natančno enaki vre- dnosti. S tolikšno natančnostjo torej atomi padajo enako kot makroskopska telesa. Z atomskim interferometrom so izmerili rdeči premik spektralne črte v 180 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 5 i i “Strnad-clanek” — 2012/12/10 — 8:39 — page 181 — #12 i i i i i i Atomski interferometer gravitacijskem polju in z relativno natančnostjo 7 · 10−9 podprli splošno teorijo relativnosti [7]. Član skupine Achim Peters se je vrnil na Humbold- tovo univerzo v Berlinu in tam s sodelavci razvil prenosni interferometer za merjenje težnega pospeška z atomi rubidija. Druga raziskovalna skupina je merila gravitacijsko konstanto [8]. Upajo, da bodo po tej poti izbolǰsali na- tančnost, s katero je znana ta konstanta. Z interferometrom so ugotavljali, ali se konstanta fine strukture spreminja s časom [9]. V zadnjih letih se je atomska interferometrija močno razmahnila. Nara- slo je število raziskovalnih skupin, ki se ukvarjajo z atomskimi interferome- tri, in število člankov o merjenjih z njimi. Razvili so številne vrste atomskih interferometrov in izpopolnili merilne načine [10]. Z interferometrom, v katerem delni valovanji potujeta v vodoravni smeri po različnih poteh, je mogoče meriti kotno hitrost pri vrtenju. V tem primeru fazna razlika ni enaka kgT 2, ampak je zaradi Coriolisovega pospeška sorazmerna s ~S ·~ω. Pri tem je ~S ploščina ploskve, ki jo oklepata poti, in ~ω kotna hitrost. To je Sagnacov poskus v malem. Profesorju Martinu Čopiču se zahvaljujem za koristne razprave. LITERATURA [1] M. Kasevich in S. Chu, Atomic interferometry using stimulated Raman transitions, Phys. Rev. Lett. 67 (1991) 181–184; Measurement of the gravitational acceleration of an atom with a light-pulse atom interferometer, Applied Phycics B 54 (1991), 321–332. [2] A. Peters, K. Y. Chung, B. Young, J. Hensley in S. Chu, Precision atom interferome- try, Philosophical Transactions of the Royal Society London 355 (1997) 2223–2233. [3] A. Peters, K. Y. Chung in S. Chu, Measurement of gravitational acceleration by dro- pping atoms, Nature 400 (1999) 849–852. [4] A. Peters, K. Y. Chung in S. Chu, High-precission gravity measurements using atom interferometry, Metrologia 38 (2001) 25–61. [5] M. A. Kasevich, E. Riis in S. Chu, Rf spectroscopy in an atomic fountain, Phys. Rev. Lett. 63 (1989) 612–615. [6] M. Kasevich, D. S. Weiss, E. Riis, K. Moler, S. Kasapi in S. Chu, Atomic velocity selection using stimulated Raman transitions, Phys. Rev. Lett. 66 (1991) 2297–2300. [7] H. Müller, A. Peters in S. Chu, A precision measurement of the gravitational redshift by the interference of matter waves, Nature 463 (2010) 926–9929. [8] J. B. Fixler, G. T. Foster, J. M. McGuirk in M. A. Kasevich, Atom interferometer measurement of the Newtonian constant of gravity, Science 315 (2007) 74–77. [9] T. M. Fortier in drugi, Precision atomic spectroscopy for improved limits on variation of the fine structure constant and local position invariance, Phys. Rev. Lett. 98 (2007) 070801-1-4. [10] A. D. Cronin, J. Schmiedmayer, D. E. Pritchard, Optics and interferometry with atoms and molecules, Reviews of Modern Physics 81 (2009) 1051–1129. 170–181 181 ŠOLA REŠEVANJE TREH VELIKIH STAROGRŠKIH PROBLEMOV MARJAN JERMAN Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani Math. Subj. Class. (2010): 01A20, 12F05, 97H40 Trije klasični starogrški problemi, podvojitev kocke, kvadratura kroga in trisekcija kota, niso rešljivi samo z uporabo neoznačenega ravnila in šestila. V prispevku so opisane nekatere zanimive antične nestandardne rešitve teh treh problemov. SOLVING THE THREE CLASSICAL GREEK PROBLEMS The three classical ancient Greek problems, doubling the cube, squaring the circle and trisecting an angle cannot be solved using ruler and compass only. Some interesting ancient non-standard solutions of these problems are described. Uvod Teon iz Smirne1 je med komentarji izgubljene Eratostenove2 knjige Platoni- cus zapisal zgodbo, ki je kasneje postala znana kot problem z Delosa. Okrog leta 430 pr. Kr. je približno četrtino prebivalcev grškega otoka Delosa po- morila kuga. Kot je bilo takrat običajno, so šli predstavniki otoka po nasvet k oraklju v Apolonov tempelj v Delfe. Odgovoril jim je, da se bodo kuge znebili, če podvojijo prostornino Apolonovega oltarja [v obliki kocke]. Raz- lične zgodbe govorijo o tem, da so rokodelci najprej nad oltarjem zgradili še en enak oltar, tako podvojili prostornino, a s tem pokvarili njegovo obliko. Ko so nato poskusili s podvojitvijo vseh stranic, so prostorino povečali za osemkrat. Po dolgotrajnih neuspešnih poskusih so za pomoč prosili Pla- tona.3 Ta jim je povedal, da si orakelj v resnici ni želel večjega oltarja, je pa želel s to nalogo osramotiti Grke zaradi njihovega zanemarjanja matematike in prezira do geometrije. Zgodbo s podobno matematično vsebino najdemo tudi v Evtocijevem4 komentarju Arhimedove5 razprave O sferi in valju. V sicer ponarejenem 1Teon iz Smirne (75–135), grški matematik, ki je v večini svojih del komentiral dela starejših matematikov in filozofov, predvsem pitagorejcev in Platona. 2Eratosten iz Kirene (276–195 pr. Kr.), grški matematik, geograf, pesnik, astronom in atlet. 3Platon (424–348 pr. Kr.), Sokratov študent, grški filozof in matematik. 4Evtocij iz Aškalona (480–540), grški matematik. 5Arhimed iz Sirakuze (287–212 pr. Kr.), grški matematik, fizik in astronom. 182 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 5 Reševanje treh velikih starogrških problemov pismu, ki naj bi ga Eratosten pisal kralju Ptolemaju, je zapisan mit o uža- loščenem kralju Krete Minosu.6 Njegov sin Glavk je med lovljenjem miši padel v vrč medu in se utopil. Ko je kralj videl, da je vsaka stranica sinove grobnice dolga le 100 čevljev, se mu je zdela premajhna za zadnje počiva- lišče kraljevskega potomca. Zato je obrtnikom naročil, naj ohranijo njeno obliko, prostornino pa podvojijo. Druga dva velika problema, kvadratura kroga in trisekcija kota, nimata tako slikovitega izvora, sta pa zagotovo zelo stara in razvpita. Že v Rhin- dovem papirusu,7 ki je bil napisan leta 1650 pr. Kr., je zastavljena naloga, kako konstruirati stranico kvadrata, ki je ploščinsko enak danemu krogu. Iz Aristofanove8 igre Ptiči iz leta 414 pr. Kr. celo izvira poimenovanje “kva- dratura kroga” za neplodne poskuse doseči nemogoče. Tudi trisekcija kota je zelo star problem. Antični matematiki, med njimi tudi Hipokrat9 in Ni- komed,10 so se intuitivno zavedali, da problema ni mogoče rešiti samo z ravnilom in šestilom, zato so se reševanja lotili s pomočjo dodatnih orodij. Izumili so mehanične naprave in nove krivulje, s pomočjo katerih je bila trisekcija mogoča. Da je samo z neoznačenim ravnilom in šestilom v splošnem nemogoče skonstruirati stranico kocke, ki ima dvakratno prostornino, je ob obilni zlo- rabi opija in kofeina pokazal šele Pierre Wantzel11 leta 1837. V istem delu je tudi dokazal, da ni možna trisekcija kota, in karakteriziral vse pravilne večkotnike, ki se dajo narisati samo z ravnilom in šestilom.12 Problem kva- drature kroga je bil dokončno dokazan kot nerešljiv šele leta 1882, ko je Carl Lindemann13 pokazal, da je število π transcendentno. Poenostavljeno rečeno, konstruktibilna števila so rešitve sistema dveh enačb, od katerih je lahko vsaka linearna (enačba premice skozi že konstru- irani točki) ali kvadratna (enačba krožnice s središčem v že konstruirani točki, ki ima za polmer razdaljo med že narisanima točkama), za koefici- ente pa imata konstruktibilna števila, ki smo jih dobili v prejšnjih korakih. Tako je 1 konstruktibilno število, vsa preostala pa so dobljena s smiselnim končnim zaporedjem štirih osnovnih računskih operacij in kvadratnih kore- 6Glede na arheološke najdbe v Knososu je morda v zgodbi nekaj resnice. 7Rhindov papirus je prepis dokumenta iz leta 1850 pr. Kr., verjame pa se celo, da njegova vsebina izvira iz let približno 3400 pr. Kr. 8Aristofan (446–386 pr. Kr.), pisec komedij. Še danes je v celoti ohranjenih 40 njegovih del. 9Hipokrat s Hiosa (470–410 pr. Kr.), grški matematik (in ne znani zdravnik). 10Nikomed (280–210 pr. Kr.), grški matematik, ki je izumil konhoido, s pomočjo katere je mogoča trisekcija kota. 11Pierre Wantzel (1814–1848), francoski matematik. 12Samo z ravnilom in šestilom je možno skonstruirati natanko tiste pravilne večko- tnike, katerih število stranic je produkt dvojk in Fermatovih praštevil. Nekateri štejejo konstrukcijo pravilnega sedemnajstkotnika za četrti veliki starogški problem. Drugače od prejšnjih treh ga je rešil C. F. Gauss (1777–1855) leta 1796. Rešitev je v skladu z Wantzlovo ugotovitvijo: 17 = 22 2 + 1 je praštevilo. 13Carl Louis Ferdinand von Lindemann (1852–1939), nemški matematik. 182–192 183 Marjan Jerman nov. V jeziku moderne algebre pravimo, da imajo konstruktibilna števila minimalni polinom z racionalnimi koeficienti in stopnjo 2n. Število 3 √ 2 je ničla v Q[x] nerazcepnega polinoma x3 − 2 = 0, število π pa ni ničla nobenega polinoma z racionalnimi koeficienti. Nekatere kote se seveda da tretjiniti, možna je recimo trisekcija pravega kota, običajno pa pokažemo, da ni možna trisekcija kota 60◦. Če bi bila trisekcija možna, bi lahko s pomočjo pravokotne projekcije narisali tudi daljico dolžine cos 20◦. Zaradi enakosti 1 2 = cos(60◦) = cos(3 · 20◦) = 4 cos3(20◦) − 3 cos(20◦) je cos 20◦ ničla polinoma 8x3 −6x−1 = 0. Lahko je videti, da je ta polinom v Q[x] nerazcepen, zato trisekcija kota 60◦ ni možna. V nadaljevanju prispevka bodo navedene nekatere zanimive nestandar- dne rešitve teh treh problemov. Bralca vabim, naj pri vsaki od njih ugotovi, zakaj ni izvedljiva le z ravnilom in šestilom. Podvojitev kocke Že Hipokrat je spoznal, da je za podvojitev kocke dovolj najti daljici dolžin x in y v vmesnem sorazmerju: če je a x = x y = y b , potem je ( y b )3 = a x · x y · y b = a b . V primeru, ko izberemo a = 2b, velja y3 : b3 = 2 : 1. Daljici v iskanem vmesnem sorazmerju je na najbolj impresiven način našel Arhitas.14 Rešitev najdemo med Evtocijevimi komentarji, kjer morda citira Evdemovo15 Zgodovino geometrije. Arhitas si je pri rešitvi genialno pomagal z gibanjem in s tretjo razsežnostjo prostora. Plutarh16 piše, da je ta nekonvencionalna rešitev zelo ujezila idealističnega Platona, ki je dovoljeval le ravninsko uporabo ravnila in šestila. Zaradi lažjega opisa in utemeljitve pravilnosti Arhitove rešitve si bomo pomagali z analitično geometrijo. Zavedati pa se je treba, da je koordina- tni sistem, ki je učinkovita povezava med evklidsko geometrijo in algebro, odkril šele René Descartes17 v 17. stoletju. Zgodovinsko je pomembno, da lahko celotni analitični račun nadomestimo z dobro geometrijsko predstavo 14Arhitas (428–347 pr. Kr.), pripadnik pitagorejcev, začetnik mehanike. 15Evdem z Rodosa (370–300 pr. Kr.), Aristotelov učenec. 16Plutarh (46–120), zgodovinar, biograf in esejist. 17René Descartes (1596–1650), francoski filozof in matematik. 184 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 5 Reševanje treh velikih starogrških problemov A B K1 K2 1 x y 1 x z Slika 1. Arhitova podvojitev kocke. in nekaterimi elementarnimi geometrijskimi premisleki, ki so zapisani že v Evklidovih Elementih. Večkrat je treba zvito uporabiti podobnosti triko- tnikov in potenco točke na krog. Vsi opisi bodo potekali v običajnem kartezičnem koordinatnem sistemu v R3. Pokazali bomo, kako podvojiti kocko s prostornino 1. V ravnini z = 0 imejmo krožnico K1 s središčem (1, 0, 0) in polmerom 1. Ploskev V je pokončni valj, ki ima krožnico K1 : (x − 1)2 + y2 = 1 na svojem plašču, V : x2 + y2 = 2x. Krožnico K2 dobimo z vrtežem krožnice K1 okrog abscisne osi za pravi kot. Leži v ravnini y = 0. Če krožnico K2 zavrtimo okrog osi z, dobimo torus T brez sredinske luknje. Kot je običajno pri rotacijskih telesih, enačbo za T najlažje napišemo v cilindričnih koordinatah. Pri vsakem polarnem kotu dobimo enako krožnico: (r − 1)2 + z2 = 1, r = √ x2 + y2, zato je enačba torusa T : x2 + y2 + z2 = 2 √ x2 + y2. 182–192 185 Marjan Jerman Točka A(1 2 , √ 3 2 , 0) leži na krožnici K1 in je od izhodišča O(0, 0, 0) oddaljena za 1. Premica p : x = 2, z = 0, ki je tangenta na krožnico K1, seka poltrak z začetkom v O in skozi A v točki B. Če zavrtimo OB okrog abscisne osi, dobimo del plašča stožca z enačbo x √ 3 = √ y2 + z2, ki leži na neskončnem dvojnem stožcu S : x2 + y2 + z2 = 4x2. Točka C(x, y, z) naj bo presečišče vseh treh ploskev V, T in S v prvem oktantu, točka D(x, y, 0) pa njena pravokotna projekcija na ravnino z = 0. Enačba torusa T pove, da za koordinate točke C velja √ x2 + y2 + z2 = 2 √ x2 + y2 √ x2 + y2 + z2 , iz enačbe valja V in stožca S pa dobimo x2 + y2 + z2 = (2x)2 = ( x2 + y2 )2 . Tako smo našli iskano vmesno sorazmerje med OC in OD: 2 √ x2 + y2 + z2 = √ x2 + y2 + z2 √ x2 + y2 = √ x2 + y2 1 . Če pomnožimo zgornje tri ulomke, namreč dobimo ( √ x2 + y2 )3 = 2, kar pomeni, da je OD stranica podvojene kocke s prostornino 2. Še bolj nezadovoljen bi bil Platon z Eratostenovo mehanično napravo, imenovano mesolab,18 prav tako namenjeno podvojitvi kocke. Naprava je sestavljena iz dveh vzporednih vodil in treh skladnih pravo- kotnih trikotnikov (slika 2). Trikotnik ACB je fiksen, trikotnika BED in DGF pa se lahko premikata levo in desno po vodilih. Na spodnjem delu slike je primer premaknjenih trikotnikov B̄ED in D̄GF . Z O označimo pravokotno projekcijo točke A na spodnje vodilo. Na stranici FG si izberimo točko Z tako, da bo ZG = 1 2 OA. Z X ozna- čimo presečišče stranice BC s stranico B̄E premaknjenega trikotnika B̄ED, z Y pa presek stranice DE premaknjenega trikotnika B̄ED in stranice D̄G 18Napravo je prvič omenil veliki grški matematik Papos iz Aleksandrije (290–350). 186 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 5 Reševanje treh velikih starogrških problemov A B D F C E GO O A B C B̄ D E X Y D̄ F G Z U Slika 2. Eratostenova naprava. premaknjenega trikotnika D̄GF . Trikotnika BDE in DGF je treba poma- kniti v levo, tako da bodo točke A, X, Y in Z ležale na isti premici p.19 Naj bo U presek premice p s spodnjim vodilom po zahtevanem premiku trikotnikov. Najprej po Talesovem izreku o razmerjih v trikotniku AOU velja AO XC = OU CU = AU XU . Razmerja v trikotnikih ACU in XCU nam zaporedoma povejo, da je AU XU = CU EU = XC Y E . Z enakim premislekom dobimo XC Y E = Y E ZG . Tako smo našli vmesno soraz- merje AO XC = XC Y E = Y E ZG in AO : XC = 3 √ 2 : 1. V primeru, ko vzamemo AO = 2 in ZG = 1, je Y E = 3 √ 2 stranica podvojene kocke. 19Bralci se lahko z napravo poigrajo na spletni strani demonstrations.wolfram.com/- TheEratosthenesMachineForFindingTheCubeRootOfTwo/. Simulacijo je prispeval slo- venski matematik dr. Izidor Hafner. 182–192 187 Marjan Jerman Eratosten je še dodal, da lahko napravi dodamo nove skladne trikotnike in s tem dobimo dodatna vmesna sorazmerja.20 Prav tako je svetoval, da se zaradi enostavnosti njegove naprave ni vredno mučiti z Arhitovimi zaplete- nimi preseki ploskev. S podvojitvijo kocke so se ukvarjali tudi drugi veliki matematiki. Me- najhmos21 si je pomagal s presekom parabole in hiperbole. Nikomed22 je v ta namen izumil novo krivuljo konhoido,23 Diokles24 pa cisoido.25 Apo- lonij26, Heron27 in Filon28 pa so izumili metodo, pri kateri je treba ravnilo zasukati tako, da so določene daljice, ki jih ravnilo odreže, enako dolge. Trisekcija kota Veliko bolj enostavna in mehanično lažje izvedljiva je antična trisekcija kota, skicirana na sliki 3. Zelo verjetno jo je izumil Arhimed, zanjo pa vemo iz Tabitovega29 arabskega prevoda Knjige lem, ki jo s pridržki štejejo za Arhimedovo delo. Naj bo ϕ kot z vrhom V , ki ga želimo razdeliti na tri dele. Če je kot ϕ top, ga lahko razrežemo na pravi kot in ostri kot. Pravi kot se da enostavno razdeliti na tri dele, zato lahko brez škode za splošnost privzamemo, da je kot ϕ oster. X ϕ/3 Y V ϕ A B C Slika 3. Arhimedova trisekcija kota. 20To se enostavno vidi iz zadnje izpeljave. 21Menajhmos (380–320 pr. Kr.), grški matematik in geometer. 22Nikomed (280–210 pr. Kr.), grški matematik. 23Parametrična enačba konhoide je x = a + b cos t, y = a tg t + b sin t, a 6= 0. 24Diokles (240–180 pr. Kr.), grški matematik in geometer. 25Cisoido lahko podamo z enačbo y2 = x 3 2a−x . 26Apolonij iz Perge (262–190 pr. Kr.), grški geometer in astronom. 27Heron iz Aleksandrije (10–70), grški matematik in inženir. 28Filon (pribl. 4. stoletje pr. Kr.), grški arhitekt. 29Tabit Ibn Kora (826–901), arabski matematik, fizik, astronom in prevajalec. 188 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 5 Reševanje treh velikih starogrških problemov Najprej narišimo krožnico s središčem V in poljubnim polmerom. Kro- žnica naj seka kraka kota ϕ v točkah A in B. Levo od V potegnimo poltrak iz V , ki leži na isti premici kot polmer V A. Sedaj vzmemimo ravnilo in ga fiksirajmo v točki B. Ravnilo naj odreže poltrak v točki X in seka krožnico v točkah Y in B. Vrtimo ga okrog B, dokler razdalja XY ne postane enaka polmeru krožnice. Na koncu narišemo poltrak iz V , ki leži v notranjosti kota ϕ in je vzporeden ravnilu. Če poltrak seka krožnico v točki C, trdimo, da je kot ∠CV A tretjina kota ϕ. Najprej zaradi izmeničnih kotov velja ∠CV B = ∠V BY . Trikotnik BV Y je enakokrak, zato je ∠V BY = ∠BY V . Zunanji kot ∠BY V trikotnika XV Y pri oglišču Y je enak vsoti notranjih nepriležnih kotov ∠Y XV + ∠Y V X, ki pa sta zaradi našega izbora XY = Y V enaka. Tako zaradi vzporednosti ravnila in daljice V C dobimo ∠CV B = 2∠Y XV = 2∠CV A, to pa smo želeli pokazati. D B Y V C A M X Slika 4. Hipokratova trisekcija kota. Na sliki 4 je skicirana še ena simpatična metoda za trisekcijo kota, ki jo je poznal že Hipokrat. Naj bo ϕ kot z vrhom V in krakoma V A in V B. Narišimo pravokotnik V CBD z diagonalo V B in osnovnico V C na kraku V A. Iz točke D potegnimo poltrak v smeri B. Ravnilo, ki ga fiksiramo v V , naj seka stranico CB v X in poltrak iz D v Y . Vrtimo ga okrog V , dokler ne postane razdalja XY dvakratnik razdalje V B. Trdimo, da je kot ∠XV A tretjina kota ϕ. To vidimo recimo takole: Najprej s točko M razpolovimo daljico XY . Glede na lego ravnila je XM = MY = V B = BM . Zadnja enakost velja, ker je trikotnik XY B pravokoten in je po Talesovem izreku MB polmer njegove očrtane krožnice. Zato sta trikotnika V MB in BMY enakokraka. Velja: ∠BV M = ∠V MB = ∠MBY + ∠MY B = 2∠MY B = 2∠Y V A, to pa je bilo treba pokazati. Trisekcija kota je možna tudi z Nikomedovo konhoido in s Hipijevo30 30Hipija (živel v 5. stoletju pr. Kr.), sofist. 182–192 189 Marjan Jerman kvadratriso, ki je bila prvotno namenjena kvadraturi kroga. Kvadratura kroga Okrog leta 420 pr. Kr. je grški sofist Hipija izumil novo krivuljo, za katero je kasneje Dinostrat31 pokazal, da omogoča kvadraturo kroga, zato so jo poimenovali kvadratrisa. Vzemimo pravokotni krožni izsek OAB z vrhom O in polmerom 1. Točka Q naj z enakomerno hitrostjo potuje po loku AB, točka R pa po kraku OB. Točki Q in R naj začneta potovati istočasno proti točki B, R iz točke O in Q iz točke A, premikata pa naj se tako hitro, da hkrati prispeta v točko B. Kvadratrisa je krivulja, ki jo sestavljajo preseki daljice OQ s pravokotnico na OB v točki R v vsakem trenutku tega gibanja. A B R Q P ϕ y xO A B y P O y 3 P ′ ϕ 3 Slika 5. Na levi sliki je skicirana definicija Hipijeve kvadratrise. Desna skica pa kaže, kako si s kvadratriso pomagamo pri tretjinjenju kota. Kvadratriso najlažje opišemo, če postavimo krožni izsek v pravokotni koordinatni sistem takole: O(0, 0), A(1, 0) in B(0, 1). Presek daljice OQ in pravokotnice v R(0, y) označimo s P , kot ∠AOQ pa s ϕ. Po definiciji kvadratrise je y : ϕ = 1 : π 2 . Zato koordinati točke P (x, y) na kvadratrisi za y ∈ (0, 1] zadoščata enačbi x = y ctg ϕ = y ctg πy 2 . V primeru y = 0 kvadratriso zvezno razširimo: x(0) = lim yց0 y ctg πy 2 = lim yց0 y tg πy 2 = lim yց0 cos2 πy 2 π 2 = 2 π . Tako bi s pomočjo kvadratrise lahko narisali število 2 π . Z uporabo podobno- sti je možno z ravnilom in šestilom risati produkte in kvociente že konstru- iranih števil, s pomočjo Talesovega izreka pa se da risati tudi korene. Zato 31Dinostrat (390–320 pr. Kr.), grški matematik in geometer, Menajhmov brat. 190 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 5 Reševanje treh velikih starogrških problemov bi lahko v nekaj korakih iz števila 2 π dobili tudi število √ π, ki je stranica kvadrata s ploščino π. Antifon32 je poskušal priti do kvadrature kroga z zaporednim včrtova- njem pravilnih večkotnikov s čedalje več stranicami, Arhimed si je pomagal s spiralo, Apolonij pa je za kvadraturo izumil novo krivuljo, ki se je žal izgubila skozi zgodovino.33 S kvadratriso je možna tudi trisekcija kota. Spet se lahko omejimo na primer, ko je kot, ki ga želimo tretjiniti, oster. Kot ϕ postavimo tako, da se eden od krakov pokriva z nosilko daljice OA, drugi krak pa seka kvadratriso v točki P (x, y). Po definiciji kvadratrise je ϕ = y · π 2 . Naj bo R(0, y) pravokotna projekcija točke P na ordinatno os. Daljico OR lahko tretjinimo samo s šestilom in ravnilom, naj bo R′(0, y 3 ). Pravokotnica na OB iz R′ seka kvadratriso v točki P ′(x′, y 3 ). Ponovno uporabimo definicijo kvadratrise in dobimo ∠P ′OA = y 3 · π 2 = ϕ 3 . Zanimivo je, da v zapuščini grške antične matematike ne najdemo prav nobenega napačnega dokaza o možnosti rešitve katerega od opisanih treh problemov z ravnilom in šestilom. To priča o idealistični naravi starogr- ških matematikov, ki so skušali strogo slediti Platonovi viziji matematike. Praktične zemljemerske, davčne in celo verske potrebe pa so skozi zgodovino prinesle kar nekaj približnih rešitev. Prispevek končajmo z egipčansko in indijsko aproksimacijo kvadrature kroga. Naloga številka 50 v Rhindovem papirusu sprašuje po ploščini krožnega polja s premerom 9 khetov.34 Pisar Ahmes je napisal odgovor takole: Od- vzemi devetino premera, dobiš 8. Sedaj število 8 pomnoži samo s sabo. Ploščina je 64. Egipčani še niso poznali simboličnega zapisa in so splošne formule raz- lagali s primeri. Danes bi egipčansko formulo za ploščino napisali takole: p = ( 8 9 · 2r )2 = 256 81 r2. Od tod vidimo, da so za π uporabljali približek 256 81 . = 3,16. Stranica kva- drata, ki je ploščinsko enak danemu krogu, pa je približno a = 16 9 r. Indijsko rešitev najdemo v Sulbasutrah, dodatku k indijskim Vedam, ki izvirajo iz let med 15. in 5. stoletjem pr. Kr. Vede opisujejo žrtvovalne ritu- ale, ki so bili pomemben del tedanje vere, Sulbasutre pa vsebujejo navodila za konstrukcije oltarjev. Veliko konstrukcij, ki so izvedene z vlečenjem vrvi, je popolnoma korektnih. Zelo navdušujoča je na primer metoda, ki poišče kvadrat, ki je ploščinsko enak danemu pravokotniku. 32Antifon (konec 5. stoletja pr. Kr.), sofist. 33O krivulji je ostal le podatek, da je „sestra“ kohloide. 341 khet = 100 kubitov, 1 kubit = 6 dlani, 1 dlan = 4 prste, 1 prst = 1,88 cm. 182–192 191 Marjan Jerman 13 15 · 2r 3x x Slika 6. Indijska kvadratura kroga. Njihova metoda za kvadraturo kroga pa ni točna. Za stranico ustreznega kvadrata so vzeli 13 15 premera danega kroga. To ustreza približku π . = 676 225 . = 3. V istem delu obravnavajo tudi obraten problem. Krog, ki naj bi bil ploščinsko enak danemu kvadratu, najdejo takole: Najprej kvadratu očrtaj krog. Nato skozi središče kroga potegni pravokotnico na eno od stranic kvadrata. Del pravokotnice zunaj kvadrata in v notranjosti kroga razdeli na tri enake dele. Iskani krog gre čez prvo tretjino, ki je bližja kvadratu, torej r = 1 3 (a √ 2 2 − a 2 ) + a 2 = a 6 ( 2 + √ 2 ) . Zanimivo je, da nam konstrukcija tokrat da drugačen približek za π . = ( 6 2+ √ 2 )2 . = 3,088. LITERATURA [1] J. J. O’Connor in E. F. Robertson, The MacTutor History of Mathematics archive, http://www-history.mcs.st-and.ac.uk [2] E. W. Hobson, „Squaring the circle“, a history of the problem, Cambridge University Press, 1913. [3] L. Houghtalin in S. Sumner, Lessons for classics from the history of mathematics, The Classical Journal 104 (2009) 4, 315–362. [4] C. A. Huffman, Archytas of Tarentum: Pythagorean, philosopher and mathematician king, Cambridge University Press, 2005. [5] T. W. Hungerford, Algebra, Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1974. [6] Stanford encyclopedia of phylosophy, Archytas, http://plato.stanford.edu/entries- /archytas 192 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 5 i i “Kovic” — 2012/12/10 — 9:01 — page 193 — #1 i i i i i i NOVE KNJIGE E. Hairer, G. Wanner, Analysis by Its History, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1995, 374 strani. Sijajno komponirana knjiga predstavi postopen razvoj idej analize od začetnih po- gumnih, a nezadostno doka- zanih metod računanja z ne- skončno majhnimi količinami prek postopnega izčǐsčevanja pojmov ob pomembnih pro- blemih, primerih in protipri- merih do formulacije njenih načel v strogi obliki in razši- ritve njenega dometa na pro- bleme z več spremenljivkami. Številni originalni citati in primeri nalog tvorcev analize (Eulerja, Newtona, Bernoul- lijev itd.) bralcu še dodatno omogočijo globlje vživetje v duha analize, kot ga prinese zgolj premočrtno obvladova- nje njenih že izdelanih po- stopkov. Knjiga je razdeljena na štiri poglavja. Prvo poglavje z naslovom Uvod v analizo neskončnosti obravnava izvor elementarnih funkcij in pojasni pre- lomni vpliv, ki ga je imela Descartesova Geometrija (1637) na njihovo izra- čunavanje. Descartesa je navdihnil eden od nerešenih problemov starogrške geometrije, Pappusov problem, ki ga je rešil z vpeljavo koordinatnega sis- tema, v katerem pa se osi ne sekata pod pravim kotom (kar običajno pove- zujemo s pojmom kartezičnega koordinatnega sistema). Samo idejo prevesti geometrijski problem na sistem enačb, v katerih znane in neznane količine Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 5 193 i i “Kovic” — 2012/12/10 — 9:01 — page 194 — #2 i i i i i i Nove knjige označimo s črkami, ki je pri Descartesu doživela poln razcvet, je formuliral že François Viete v delih In artem analyticam isagoge (1591) in Algebra nova (1600). Nadaljnja prelomna ideja je bila namesto algebraičnih enačb tipa f(x) = g(x) iskati ničle polinoma y = p(x). Avtorja zelo jasno prikažeta zveze med interpolacijskim polinomom, Newtonovo diferenčno shemo, Pa- scalovim trikotnikom in binomskim izrekom (pri dokazu katerega je Pascal podal enega prvih dokazov z indukcijo) ter posplošenim binomskim izrekom. Predstavita tudi ključno vlogo, ki jo je odigral Euler pri definiciji in izpeljavi osnovnih formul v zvezi z eksponentno, logaritemsko in trigonometrijskimi funkcijami ter kompleksnimi števili (npr. eix = cosx+ i · sinx). Na primeru računanja logaritmov ter iskanja približkov za π spoznamo ogromen napre- dek, ki so ga prinesle neskončne vrste, neskončni produkti ter verižni ulomki (s pomočjo katerih je bilo mogoče npr. dokazati, da je π/4 = arctan 1 iraci- onalno število). Avtorja posvečata veliko pozornost primerjavi konvergence različnih vrst (npr. Mercatorjeve (1668) za ln(1 + x) in Gregoryjeve (1668) za 1+x1−x). Konvergenco različnih vrst nazorno prikažeta tudi s številnimi slikami. Drugo poglavje, naslovljeno Diferencialni in integralski račun, prikaže nastanek diferencialnega in integralskega računa (ki je precej stareǰsi, saj je računanje ploščin, površin in volumnov zaposlovalo največje matematike od antike dalje – npr. Arhimeda, Keplerja, Cavalierija, Vivianija, Fermata). Predstavljene so osnovne formule v zvezi z odvodom, vǐsjimi odvodi, obrav- navan je Fermatov problem o maksimumih in minimumih, Fermatovo načelo lomljenja svetlobe, Taylorjeve vrste, Newtonova metoda iskanja ničel, ovoj- nice in ukrivljenost krivulj. Poudarjen je prelomen pomen, ki ga je imelo odkritje Newtona, Leibniza in Johanna Bernoullija, ki so neodvisno drug od drugega spoznali, da je integracija inverzna operacija od diferenciranja, kar je omogočilo, da se reševanje nalog s tega področja prevede na nekaj prepro- stih pravil. Avtorja predstavita še uvedbo nove spremenljivke, integracijo po delih, Taylorjevo formulo z ostankom, integracijo racionalnih funkcij in numerične metode računanja integralov. Obravnavo navadnih diferencial- nih enačb uvajajo Leibnizeva izohrona, traktrisa (katere iskanje je spodbudil Claude Perrault), Bernoullijeva verižnica, ter brahistohrona. Predstavljena 194 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 5 i i “Kovic” — 2012/12/10 — 9:01 — page 195 — #3 i i i i i i je tudi Eulerjeva (1768) metoda iskanja rešitev enačb s t. i. Eulerjevimi poligoni ter Euler-MacLaurinova sumacijska formula. V tretjem poglavju, Temelji klasične analize, je predstavljeno obdobje, ki je sledilo Eulerjevi smrti 1783, ko se je zdelo, da je Euler na 30 000 straneh svojega dela odkril že vse, kar je bilo vrednega odkriti. Novo obdobje, ki je prekinilo to stagnacijo, so napovedale Lagrangeeva ” Theorie des fonctions analytiques“ (1797), Gaussova disertacija (1799) o ” Osnovnem izreku alge- bre“ ter študij konvergence hipergeometrijske vrste (Gauss 1812). Cauchy je (1821) v svojem slavnem ” Cours de analyse“ zastavil naslednja vpraša- nja: Kaj so v resnici odvod, integral, neskončna vrsta? Odgovor na vsa ta vprašanje je bil: limite. In kaj je limita? Število. In kaj je število? Na to vprašanje so odgovorili Weierstrass in sodelavci okrog 1870–1872. Razjasnili so pojme enakomerne konvergence, enakomerne zveznosti ter odvajanja in integriranja neskončnih vrst po členih. Četrto poglavje, Diferencialni in integralski račun v več spremenljivkah, se začne z obravnavo topologije n-razsežnega prostora, potem pa obravnava večkratne integrale in mnoge pojave, ki pri funkcijah ene spremenljivke sploh ne nastopajo (npr. Jacobijevo (1834) produktno formulo za gama funkcijo). Med drugim srečamo tudi slavno Cantorjevo množico (1883), pa trikotnik in kvadrat Sierpinskega (1915, 1916) in krivuljo Peano-Hilberta (1890, 1891). Knjiga je vredna branja, saj prikaže znane teme iz analize v zgodovinski perspektivi, z zanimivim prikazom in številnimi izvornimi citati ter netrivi- alnimi nalogami pa bralca še dodatno motivira za nadaljnji poglobljen študij analize. Jurij Kovič VESTI POROČILO O STROKOVNEM SREČANJU IN 64. OBČNEM ZBORU DMFA SLOVENIJE Vsakoletno srečanje članov našega društva je letos potekalo 19. in 20. ok- tobra 2012 v Rimskih Toplicah. Dvodnevni strokovni program je prinesel vrsto zanimivih prispevkov, ki so jih pripravili avtorji z različnih ustanov – med drugimi so na srečanju sodelovali predavatelji z vseh štirih slovenskih Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 5 195 i i “Kovic” — 2012/12/10 — 9:01 — page 196 — #4 i i i i i i Vesti Slika 1. Hotelski kompleks Rimske Terme univerz. Kljub občutno manǰsi udeležbi kot še pred nekaj leti in nekaterim zapletom s hotelskimi dvoranami je srečanje potekalo v prijetnem ozračju v čudovitih prostorih in okolici prenovljenega hotelskega kompleksa Rim- ske Terme. Predavanja in drugi strokovni prispevki Ob stoletnici rojstva Alana Turinga, pionirja sodobne teorije algoritmov, smo pripravili niz predavanj z naslovom Algoritmi in pouk matema- tike. V njem smo osvežili znanje, ki bi ga moral imeti o algoritmih vsak učitelj matematike. Uvodno predavanje Kaj imajo skupnega linearna funk- cija, urejanje in hanojski stolpi? je pripravil Andrej Brodnik, UL FRI in UP FAMNIT, letošnji prejemnik nagrade Republike Slovenije za izjemne dosežke na področju visokega šolstva. Sledila so predavanja Izvor besede algoritem (Marko Razpet, UL PeF), Optimalni vzpon na goro (Gašper Jaklič, UL FMF in UP IAM), Kako ǐsče Google? (Marjeta Kramar, UL FGG), Polinomski algoritmi za iskanje praštevil (Miha Vuk, Adacta) in Evklidov algoritem 2500 let kasneje (Marjan Jerman, UL FMF). Niz je z odličnim predavanjem Hilbert, Gödel, Turing: Matematika in algoritmi vsebinsko zaokrožil Marko Petkovšek, UL FMF, eden mednarodno najugledneǰsih strokovnjakov za to področje v Sloveniji. Samostojno eksperimentalno delo dijakov in učencev postavlja pred uči- telja fizike vedno znova nove izzive in od njega zahteva sveže ideje. Pre- davatelji s fakultet in drugi aktivni člani društva so zato predstavili vrsto 196 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 5 i i “Kovic” — 2012/12/10 — 9:01 — page 197 — #5 i i i i i i Poročilo o strokovnem srečanju in 64. občnem zboru DMFA Slovenije zanimivih prispevkov v sklopu z naslovom Preprosti fizikalni poskusi, ki ga je vodila Nada Razpet (UL PeF). Prispevki so imeli naslednje naslove: O napakah v fizikalnih učbenikih (Janez Strnad, UL FMF), Razmisli in poskusi – nekaj zgledov iz statike (Mitja Rosina, UL FMF), Pot h kvalitativnemu ra- zumevanju fizike s preprostimi poskusi (Tomaž Kranjc, UL PeF), Mehurčki za nizke tone (G. Planinšič, UL FMF), Uporaba skenerja za preučevanje pojavov, ki so posledica elektronskega zavesnega zaklopa (Bor Gregorčič, UL FMF), Preprosti eksperimenti z elastičnimi trki (Andrej Likar, UL FMF), Toplotni stroj in skrivnostni skodelici (Tine Golež, ŠKG Ljubljana), Poskusi z IR kamero (R. Repnik, UM PeF in FNM), Inovativni materiali pri pouku fizike (Jaka Banko, ZRSŠ) in Fizikalni poskus – bo uspel, ne bo uspel? (Da- libor Šolar, SŠ Jesenice). Predstavljeni prispevki so tudi izhodǐsče za zimski strokovni seminar iz fizike, ki ga pri DMFA Slovenije načrtujemo 1. in 2. fe- bruarja 2013 in bo poleg predavanj omogočal tudi aktivneǰse sodelovanje udeležencev v delavnicah. Ob omenjenih sklopih je bila na srečanju v petek in soboto predstavljena še vrsta drugih strokovnih prispevkov s področja matematike (J. Bone, ZRSŠ: Poznavanje računskih algoritmov in uporaba žepnega računala pri po- uku matematike, D. Felda, UP PeF: Izkrivljena matematika, M. Razpet, UL PeF: Pravilni petkotnik, N. Razpet, UL PeF: Geometrijski magični kvadrati, M. Milanič, UP FAMNIT: FAMNIT-ovi izleti v matematično vesolje in po- letni tabor Matematika je kul), fizike (B. Ketǐs, OŠ Šmartno ob Paki: Na- ravoslovni dan s fizikalnimi vsebinami, P. Prelog: Igrica: ko ure ne kažejo enako) in astronomije (A. Guštin, ERSŠ Ljubljana: Kako izkoristiti vi- šek Sončeve aktivnosti za popestritev pouka fizike in astronomije, B. Kham, GJP Ljubljana: Ujemi krivuljo sončevega vzhoda, kulminacije in zahoda – PINHOL kamera, K. Šmigoc: Obeležje poldnevnika srednjeevropskega časa v naselju Vrhtrebnje). Vzporedno s petkovim strokovnim programom je ves dan potekala tudi 8. konferenca fizikov v osnovnih raziskavah, svojo bogato ponudbo strokovne literature pa je na stojnici oba dneva predstavljalo tudi DMFA–založnǐstvo. Petkovo popoldne je sklenilo spominsko predavanje Milene Strnad, po- svečeno lani preminulemu Jožetu A. Čibeju, ki je zapustil izjemen prispevek k poučevanju statistike, verjetnosti in finančne matematike v slovenskih sre- dnjih in visokih šolah. V večernem programu pa sem podpisani predstavil animirani film Kaos francoskih avtorjev in mednarodno pobudo Matema- tika planeta Zemlja 2013, ki jo podpirajo organizacije UNESCO, IMU in ICIAM. Med razmǐsljanjem o možnih aktivnostih našega društva smo se posebej navdušili nad predlogom Tineta Goleža, da bi slovenski dijaki v sodelovanju z dijaki šol z druge zemeljske poloble merili razdaljo do Lune Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 5 197 i i “Kovic” — 2012/12/10 — 9:01 — page 198 — #6 i i i i i i Vesti s pomočjo paralakse. Več o načrtovanih aktivnostih bomo predvidoma do konca koledarskega leta objavili na društveni spletni strani. Vabljeni znanstveni predavanji V skladu z dolgoletno tradicijo društvenih srečanj smo v soboto dopoldne poslušali dve vabljeni znanstveni predavanji. Prvega je predstavil Valerij Romanovskij, matematik ruskega rodu, ki že dobro desetletje deluje v Slo- veniji in je v letu 2011 prejel Zoisovo priznanje Republike Slovenije za po- membne znanstvene dosežke na področju matematike. Raziskovalec, ki dela na Centru za uporabno matematiko in teoretično fiziko (CAMTP) Univerze v Mariboru, nam je v predavanju z naslovom Nekateri problemi teorije navadnih diferencialnih enačb med drugimi predstavil problem stabil- nosti, Poincaréjev problem centra, problem izohronosti ter 16. Hilbertov problem. Zahtevno vsebino je učinkovito ilustriral s preprostimi modeli re- alnih pojavov, ki jih lahko opǐsemo z diferencialnimi enačbami, omenil pa je tudi številne lastne rezultate, na podlagi katerih je skupaj z R. Shafferjem objavil znanstveno monografijo o problemih centra in cikličnosti pri založbi Birkhäuser (2009). Slika 2. Valerij Romanovskij in Danilo Zavrtanik Predavanje o eni najzanimiveǰsih nerešenih ugank sodobne fizike z na- slovom Meritve kozmičnih žarkov ekstremnih energij pa je pripra- 198 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 5 i i “Kovic” — 2012/12/10 — 9:01 — page 199 — #7 i i i i i i Poročilo o strokovnem srečanju in 64. občnem zboru DMFA Slovenije vil Danilo Zavrtanik, sicer rektor Univerze v Novi Gorici in raziskovalec na Institutu Jožef Stefan. Kozmični žarki ekstremnih energij so izjemno redki, saj na Zemljo pade le kakšen delec na kvadratni kilometer na stoletje. Dr. Zavrtanik je sodeloval pri nastajanju največjega observatorija za njihovo detekcijo na svetu, katerega atmosferski kalorimeter meri 50 000 kubičnih ki- lometrov, postavljen pa je v provinci Mendoza v Argentini. V predavanju se je dotaknil razlik pri meritvah v fiziki osnovnih delcev in astrofiziki osnovnih delcev ter predstavil nekaj izbranih rezultatov o spektru kozmičnih žarkov, potencialnih astronomskih izvorih in identifikaciji primarnih delcev. Svoje predavanje je prof. Zavrtanik posvetil akad. prof. dr. Gabrijelu Kernelu, pre- jemniku Zoisove nagrade Republike Slovenije za življenjsko delo v letu 2011, ki se letošnjega srečanja žal ni mogel udeležiti. 64. občni zbor DMFA Slovenije Občni zbor DMFA je potekal po tradicionalnem dnevnem redu in se je zares pričel šele z drugim sklicem po odmoru za kavo. Sejo je vodil delovni predsednik Mitja Rosina. Poročila o izvedenih aktivnostih v zadnjem letu so bila zbrana in natisnjena v biltenu, ki so ga udeleženci prejeli že pred tem, zato o njih ni bilo dalǰse razprave. Za posebej slovesne trenutke sta poskrbela imenovanje novega častnega člana Milana Hladnika in podelitev društvenih priznanj Tinetu Goležu in Lucijani Kračun – Berc, o katerih poročamo v posebnem prispevku. Občni zbor je v nadaljevanju razrešil dosedanjega predsednika DMFA Slovenije Sandija Klavžarja in za novega predsednika v mandatu november 2012 – november 2014 izvolil Andreja Likarja, rednega profesorja za podro- čje fizike na Fakulteti za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani. Hkrati je potrdil tudi predlagano sestavo upravnega odbora, v kateri ni večjih spre- memb v primerjavi s preǰsnjim mandatom. Omembo pa si na tem mestu zasluži še novica, da je društvo na pobudo članov ustanovilo študentsko sekcijo, ki načrtuje nekaj aktivnosti, namenjenih študentom in dijakom, vo- dila jo bo Maja Alif, študentka Fakultete za matematiko in fiziko. Upamo, da se bodo tako v delovanje društva aktivneje vključevali študentje zadnjih letnikov matematičnih in fizikalnih smeri z vseh slovenskih univerz. Okrogla miza o dijaških raziskovalnih nalogah Strokovno srečanje smo sklenili v soboto popoldne z okroglo mizo o uva- janju nadarjenih dijakov v raziskovalno delo, ki sem jo vodil podpi- sani. Na njej smo predstavili nekaj uspešnih primerov raziskovalnega dela Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 5 199 i i “Kovic” — 2012/12/10 — 9:01 — page 200 — #8 i i i i i i Vesti dijakov predvsem na področju matematike ter razglabljali o možnih temah in učinkovitih pristopih k tovrstnim aktivnostim tudi na področjih fizike in astronomije. Za uvod v razpravo je David Gajser (IMFM), vodja pri- prave projektov na letošnjem srednješolskem raziskovalnem taboru MARS, na kratko predstavil način dela in letošnje marsovske projekte. Nato je študent Rok Gregorič predstavil raziskovalno nalogo Parakompleksna ana- liza, ki jo je izdelal v minulem šolskem letu kot dijak Gimnazije Poljane. Nekdanji dijakinji Gimnazije Bežigrad, zdaj študentki Vesna Iršič in Anja Petković pa sta predstavili svojo nalogo Matematični model sprotnega in kampanjskega učenja. Obe predstavitvi sta navdušili poslušalce – prva s su- vereno razlago zahtevnih abstraktnih konceptov in globino matematičnega predznanja mladega avtorja, druga pa z domiselnostjo in izvirnostjo avtoric, ki sta oblikovali lasten matematični model za raziskovanje svojih hipotez. V nadaljnji razpravi sta svoje misli o mentorstvu z navzočimi delila men- torja ene od predstavljenih nalog, Drago Bokal in Vilko Domajnko, Borut Jurčič Zlobec pa je kot dolgoletni član komisije za ocenjevanje raziskovalnih nalog iz matematike na Srečanjih mladih raziskovalcev Slovenije pri ZOTKS predstavil širši pregled izdelanih nalog in razmǐsljanja članov tekmovalnih komisij o tem, kaj je kvalitetna raziskovalna naloga iz matematike. Ob koncu okrogle mize so nekaj predlogov raziskovalnih tem predstavili še Jurij Bajc, Gregor Dolinar, Sandi Klavžar, Peter Šemrl ter Dunja Fabjan, ki je predstavila nagradni natečaj Slovenija iz vesolja 2012/13. Za konec Evalvacija strokovnega programa sicer še ni končana, več udeležencev pa je ustno posebej pohvalilo nekatera predavanja in okroglo mizo o raziskovalnih nalogah, zato si upam kljub temu zapisati, da je bilo srečanje nasploh zelo uspešno. Kot eden od organizatorjev bi se v imenu organizacijskega odbora še enkrat zahvalil vsem, ki ste se srečanja udeležili, še posebej pa tistim, ki ste sodelovali tudi s strokovnimi prispevki. Potrudili se bomo, da se bo uspešna tradicija srečanj z nekaj osvežitvami programskega koncepta uspešno nadaljevala tudi v prihodnjem letu. Obenem pa se za vso pomoč zahvaljujem sodelavcem, ki so največ pomagali pri organizaciji srečanja, posebej Nadi Razpet, Barbari Rovšek, Janezu Krušiču, Matjažu Željku in Sandiju Klavžarju. Boštjan Kuzman 200 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 5 i i “Kovic” — 2012/12/10 — 9:01 — page 201 — #9 i i i i i i Vesti DR. MILAN HLADNIK NOVI ČASTNI ČLAN, MAG. TINE GOLEŽ IN MAG. LUCIJANA KRAČUN – BERC NOVA PREJEMNIKA PRIZNANJ DMFA SLOVENIJE Štiriinšestdeseti občni zbor DMFA Slovenije je 20. oktobra 2012 na pre- dlog Upravnega odbora za novega častnega člana DMFA Slovenije imenoval dr. Milana Hladnika, izrednega profesorja za matematiko na Fakulteti za matematiko in fiziko UL, ” zaradi njegove bogate znanstvene in strokovne dejavnosti, poglobljenega pedagoškega dela, še posebej s študenti in učitelji matematike, in dolgoletnega aktivnega delovanja v DMFA Slovenije“. Komisija za društvena priznanja pri DMFA Slovenije pa je obravnavala vse pravočasno prispele predloge in podelila priznanji dvema zelo aktivnima članoma društva. Priznanji DMFA Slovenije za leto 2012 sta tako prejela mag. Tine Golež, profesor fizike na Škofijski gimnaziji v Ljubljani, ” za njegovo uspešno in ustvarjalno delo z dijaki ter za bogato predavateljsko, avtorsko in urednǐsko dejavnost, posebej na področju medpredmetnega po- vezovanja“, in mag. Lucijana Kračun – Berc, profesorica matematike na Gimnaziji Lava ŠC Celje, ” za njeno uspešno in ustvarjalno delo z di- jaki ter za večletno vestno sodelovanje pri organizaciji in izvedbi društvenih strokovnih dejavnosti“. Dalǰse utemeljitve vseh treh predlogov so bile objavljene v biltenu Stro- kovno srečanje in 64. občni zbor DMFA Slovenije, ki so ga prejeli udeleženci srečanja v Rimskih Toplicah. V imenu Upravnega odbora in Komisije za društvena priznanja novemu častnemu članu in obema prejemnikoma pri- znanj še enkrat čestitam in se jim iskreno zahvaljujem za njihov dosedanji, pa tudi bodoči prispevek k delovanju društva in širše slovenske družbe. Prof. dr. Sandi Klavžar, predsednik Komisije za društvena priznanja Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 5 XIX i i “kolofon” — 2012/12/5 — 13:27 — page 2 — #2 i i i i i i OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO LJUBLJANA, SEPTEMBER 2012 Letnik 59, številka 5 ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53 VSEBINA Članki Strani Neka verižnica (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161–169 Atomski interferometer (Janez Strnad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170–181 Šola Reševanje treh velikih starogrških problemov (Marjan Jerman) . . . . . . . . 182–192 Nove knjige E. Hairer, G. Wanner, Analysis by Its History (Jurij Kovič) . . . . . . . . . . . . . 193–195 Vesti Poročilo o strokovnem srečanju in 64. občnem zboru DMFA Slovenije (Boštjan Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195–200 Dr. Milan Hladnik novi častni član, mag. Tine Golež in mag. Lucijana Kračun-Berc nova prejemnika priznanj DMFA Slovenije (Sandi Klavžar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIX CONTENTS Articles Pages A catenary (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161–169 Atom interferometer (Janez Strnad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170–181 School . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182–192 New books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193–195 News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195–XIX Na naslovnici je Michelsonov interferometer, najbolj običajen optični interferome- ter. Zasnoval ga je Albert A. Michelson. Interferometer sta skupaj z Edwardom Morleyem uporabila pri poskusu, s katerim sta želela izmeriti vpliv hitrosti etra na hitrost svetlobe. Poskus je ovrgel idejo o etru in navdihnil posebno teorijo rela- tivnosti. Interferometer sestavljata dve zrcali in polprepustno zrcalo. Na polpre- pustnem zrcalu se laserski curek razdeli na dva delna curka, ki potujeta vsak po svojem kraku interferometra, do zrcala, se tam odbijeta in ponovno združita za polprepustnim zrcalom. Tam svetloba iz delnih curkov interferira in na belem za- slonu lahko opazujemo ojačeno ali oslabljeno svetlobo, odvisno od razlike optičnih poti v krakih interferometra. Foto in besedilo: Aleš Mohorič