P R E S E K
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652 Letnik 22 (1994/1995) Številka 2 Strani 116-124
Janez Strnad:
TRZAJ - SPREMEMBA POSPEŠKA V ČASU
Ključne besede: fizika, mehanika, kinematika, spreminjanje pospeška, premo gibanje, ravninsko gibanje.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/22/1216-Strnad.pdf
© 1994 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo
mm
TRZAJ - SPREMEMBA POSPEŠKA V ČASU
Študenti pri nas učitelja ne zasipajo z vprašnji, zato jih učitelj - na splošno - spodbuja, naj sprašujejo. Pred časom meje po takšnem spodbujanju presenetilo vprašanje: "Zakaj v Newtonovem zakonu ni tretjega odvoda koordinate po času?" Pogovor je razkril, da je študent primerjal zakon gibanja z zakonom o temperaturnem raztezanju ali kakim drugim zakonom, ki vsebuje snovno lastnost. Relativno spremembo prostornine telesa postavimo sorazmerno spremembi temperature, sorazmernostni koeficient je prostorninski raztezek. Zveza velja, če je sprememba temperature dovolj majhna. Pri večji temperaturni spremembi dodamo člen, sorazmeren s kvadratom temperaturne spremembe, pri še večji člen s kubom temperaturne spremembe . ..
Zakon o temperaturnem raztezanju.
Prostornina telesa je odvisna od temperature: V = V(T), Funkcijo razvijemo okoli temperature Tp v Taylorjevo vrsto:
V(l) = V{T0) + (dV/dT)0AT + ±(d2V/dT2)0{AT)2 + |-(dV/dT>}0(AT)3 4- ...
Pri tam je T — 7o «č AT. V — Vq = AV indeks 0 pa nakaže, da vzamemo količino pri temperaturi To, na primer V^ = V(To). Iz tega izhaja zakon o temperaturnem raztezanju
A V/V0 = /3AT + /?'(AT)2 -f/3"{AT)3 -f ,.,,
kjer je P = (dV/VdT)0, ¡g -- (d2V/2VdT2)0, 0" = (d3V/6VdT^)0 ... Pri dovolj majhni temperaturni razliki se zadovoljimo s prvim členom, s konstantnim prostorninskim raztezkom ¡3.
Zaradi lažjega pripovedovanja mislimo na točkasto telo, ki se giblje v eni razsežnosti, denimo, po osi x. Po študentovi zamisli naj bi silo drugega telesa na to telo izrazili kot vsoto členov: koeficient krat koordinata, koeficient krat odvod koordinate po času, to je hitrost, koeficient krat drugi odvod koordinate po času, to je pospešek, ... Sila se ne sme spremeniti, če prestavimo izhodišče po osi zato mora biti koeficient prvega člena enak nič. Sila se ne sme spremeniti, Če opazujemo telo iz vozečega vlaka; zato mora biti koeficient drugega člena enak nič, (Aristotel je z današnjega vidika predvidel zakon gibanja, po katerem bi bila sila sorazmerna s hitrostjo. Ni vedel za
ugotovitev, do katere se je pozneje dokopal Galileo Galilei.) Tretji koeficient je masa in zakon gibanja je Nevvtonov zakon: sila je masa krat pospešek Študenta je zanimal razlog, zaradi katerega so koeficienti četrtega člena in vseh nadaljnjih členov enaki nič. Opozoril sem ga na to, da je pri razmišljanju zavil na napačno pot. Nevvtonov zakon ni nekakšna Taylorjeva vrsta, ampak tak, kot je, zakon narave, ki ga podpirajo opazovanja in merjenja, Ee je hitrost teles dovolj majhna in so telesa dovolj velika.
Newtonov zakon po študentovo?
Koordinata gibajočega se telesa je odvisna od Saša: * =	Funkcijo razvijemo okoli
vrednosti tp v Taylorjevo vrsto:
x(r) = x(t0 + A t) =
= x(t0) + (dx/dt)0At + ^(d2x/dta)0(Atf 4- ^(d3x/dt3)0(At)3 + ....
Indeks 0 nakaže, da vzamemo količino pri Času t = to. Prestavimo ga od odvodov k časovnim razlikam, pa dobimo za slio F:
F = Kx + K'v + ma+ K"b+ ..,,
Če so K, K', K", ... konstantni koeficienti. Navedli smo razloga, zaradi katerih je K = 0 in K' — 0, Zakaj pa naj bi bil nič tudi koeficient K"?
Indeksa seveda ne smemo tako prestaviti in tu je napaka! Ni osnove za misel, da bi upoštevali v zakonu gibanja tretji odvod koordinate po času ali kateri koli višji odvod.
Odslej sem se vedno, ko sem zasledil kako misel o spreminjanju pospeška s Časom, spomnil tega študenta. Ali niso najbolj nerodna vprašanja najboljša? O spreminjanju pospeška več razpravljajo, kakor bi pričakovali. A razprava teče v okviru veljavnosti l\lewtonovega zakona, nihče ne pride na misel, da bi mu dodal člen te vrste.
Hitrost točkastega telesa meri spreminjanje koordinate s časom in pospešek spreminjanje hitrosti s časom V nadaljnjem koraku vpeljejo koiicino, ki meri spreminjanje pospeška s časom. Imenujejo jo trzaj (angleško jerk, nemško Ruck). Po Slovarju slovenskega knjižnega jezika je trzaj sunkovit premik zaradi nehotenega krčenja mišic in s tem kar dober prevod angleškega in nemškega izraza. Upoštevati moramo, da je beseda "sunek'' zasedena na primer s produktom sile in časa, če je sila konstantna.
Menda je količino prvi vpeljal francoski geometer A.Transon leta 1845. Pozneje so o njej precej razpravljali drugi, ne da bi omenili, zakaj je koristna. Leta 1928 je nemški inženir P.Melchior menil, da jo je smiselno vpeljati zaradi tega, ker med gibanjem čutimo spreminjanje pospeška. Po izkušnjah pri telovadbi in vožnji z železnico je določil, kolikšen najmanjši trzaj zaznamo in kolikšen zbudi neugodnost ali nam celo škoduje. Človek naj bi brez škode prenesel še trzaj 2 ■ lO4 m/s^. Sledila je razprava o tem, ali zares občutimo trzaj ali ne. Nekateri so predlagali, naj imenujemo trzaj le nenadno spremembo pospeška. Ostalo pa je pri starem. Ni malo učbenikov mehanike, ki obravnavajo trzaj. V posameznih knjigah o merilnikih najdemo tudi opise merilnikov trzaja V redno poučevanje fizike trzaj zagotovo ne sodi. Morda pa bo kratek zapis o njem pritegnil katerega od Presekovih bralcev.
Začnimo s tem. da nadaljujemo po običajni poti, po kateri lahko vpeljemo hitrost in pospešek točkastega telesa pri premem gibanju. Vzemimo, da se telo giblje po osi x. Koordinata točkastega telesa, ki miruje, se ne spreminja s časom. Pri najpreprostejši spremembi koordinata s časom enakomerno narašča. To je enakomerno premo gibanje, pri katerem lahko vzamemo, daje koordinata sorazmerna s časom in sorazmernostni koeficient hitrost v (slika la):
x = vi, v = x/t.
Enota hitrosti je m/s. Pospešek je pri takem gibanju enak nič. Pri enakomerno pospešenem premem gibanju hitrost s Časom enakomerno narašča. Vzamemo lahko, da je hitrost sorazmerna s časom in je sorazmernostni koeficient pospešek a (slika lb):
v — at, a — v/t.
Enota pospeška je m/s^ Trzaj je pri takem gibanju enak nič Pri gibanju s konstantnim trzajem pospešek enakomerno narašča s časom. Vzamemo lahko, da je pospešek sorazmeren s časom in je sorazmernostni koeficient trzaj b (slika lc):
a = bt, b-a/t.
Enota trzaja je m/s3. Gibanje je še bolj zapleteno, Če se trzaj spreminja s časom.
¿i
6=0
1 s
(O)
6 4
1
■*! 0
6 = 0
is
(b)
bi
1
m/s3
0
b - konst
is
Cc)
Slika 1. Koordinata, hitrost, pospešek in trzaj pri premem gibanju v odvisnosti od Časa: za enakomerno gibanje (a), enakomerno pospešeno gibanje (b) in gibanje s konstantnim trzajem (c). Da je diagrame laie risati, smo izbrali v = X m/s, a = 1 m/s^ in b =■ 1 m/s^. Pri drugih podatkih so risbe uporabne, če na navpični osi uporabimo različne enote.
Ostanimo pri premem gibanju. Zanimivo premo gibanje je sinusno nihanje. Tako bi se gibala drobna utež, obešena na vijačno vzmet, ko bi jo premaknili iz ravnovesne lege in spustili, če ne bi bilo treba upoštevati zračnega upora. Odmik od ravnovesne lege se spreminja takole (slika 2):
X = X0 COS LJQ t,
Če je xq amplituda odmika, = — 27r/fo krožna frekvenca in fg nihajni čas. Hitrost je
v ~ — wqXo sin ljqt.
Amplituda hitrosti je o Za pospešek dobimo
a = — cosiiiot.
Amplituda pospeška je o Za trzaj dobimo
b = WQXQsin
Amplituda trzaja je WqXq. Upoštevali smo, da je hitrost odvod koordinate po času v = dx/dt, pospešek odvod hitrosti po času a = dv/dt in trzaj odvod pospeška po Času b = = da/dt. Pospešek je torej drugi, trzaj pa tretji odvod koordinate po času. (V pomoč pri odvajanju povejmo, da je odvod cosu/of in sin^ot po času —wosinwof in cos wot.)
Slika 2. Odmik od ravnovesne lege, hitrost, pospešek in tnaj pri premem sinusnem nihanju Izbrali smo ljq = 1 s-1, da so vse amplitude enake.
Enačbe postanejo zanimivejše, a tudi bolj zapletene, ko od premega gibanja preidemo k ravninskemu. Dobra pot za ta prehod je kroženje. Kroženje si lahko mislimo sestavljeno iz dveh nihanj v pravokotnih smereh, ki sta drugo glede na drugo zakasnjeni za četrtino nihajnega časa, V ravnini vpe-Ijimo koordinatni sistem z osema x in y. Začnimo z enakomernim kroženjem, pri katerem narašča zasuk sorazmerno s časom: uvof Za komponente na osi x lahko kar prevzamemo zapisane izraze, le xq zamenjamo z radijem kroga rg, komponente na osi y pa dobimo s premikom za četrt nihaja:
x — ro cos t
= -w0rosinuot ax = — oJ^rocosuJot bx = i^rosin uot
y = r<j sin tjg t, vy = UQrQ cos tiJof-ay = —WQrosinwof-
by = —WQro coswot.
NariŠimo dobljene vektorje: krajevni vektor r = (x, y), vektor hitrosti v = =	vektor pospeška a =	'n vektor trzaja b = (bx.by)
(slika 3).
Slika 3. Krajevni vektor, vektor hitrosti, vektor pospeška in vektor trzaja pri enakomernem krojenju. Vektorji se vrtijo, ne da bi se spreminjale njihove velikosti. Izbrali smo '-';< ™ = 1 s-', da so vsi vektorji enako veliki. Pri drugih podatkih so risbe uporabne, če na oseh v različnih risbah uporabimo različne enote.
Pri enakomerno pospešenem kroženju narašča zasuk sorazmerno s kvadratom Časa joiof^, če je cko konstantni kotni pospešek. Produkt funkcij odvajamo tako, da drugo funkcijo pomnožimo z odvodom prve in prištejemo s prvo funkcijo pomnoženi odvod druge; d(fg)/dx — gdf /dx + fdg/dx.
Odvod t2 je 2t in odvod i je 1. Naposled dobimo:
x = ro cos jOiot2,	y = rosin t2',
1 ?	17
i/x — aoiro sin jaot , vy = «o^O cos t'!
ax = -(oi0i)2 r0 cos \a0t2 - a0ro sin joiof2,
3y = — (aot)2/U sin jCtot2 + Otoro cos ^of3;
bx = —3o;q i ro cos	+ («oi)3^ sin jOtof2,
by = —Scigiro sin ^aot3 — (aot)'Vo cos ^aoi3.
Narišemo dobljene vektorje in jih še razstavimo na radialno komponento v smeri zveznice točkastega telesa z izhodiščem in fangenfno komponento pravokotno na to (slika 4). Hitrost ima smer tangente, pospešek ima radialno komponento («oO2^ P1"0*' izhodišču in tangentno komponento otgro v smeri hitrosti, trzaj pa radialno komponento 3a^tro proti izhodišču in tangentno komponento (ctof)3ro v nasprotni smeri hitrosti.
Slika 4. Krajevni vektor, vektor hitrosti, vektor pospeška in vektor trzaja pri enakomerno pospešenem kroženju in njihove radialne in tangentne komponente. Izbrali smo trenutka, ko je ^«o enako jj tt in ter cco — j
Zanimivo bi bilo obdelati še kako bolj zapleteno gibanje Od mogočih zgledov nam pridejo na misel gibanje po Arhimedovi spirali, ko zveznica
točkastega telesa z izhodiščem enakomerno kroži, njena dolžina pa narašča sorazmerno s Časom: r— vrt:
x = vrt cosljqt, y — vrisin
gibanje po eni od Lissajousovih krivulj:
x — xo cos nxUQt, y = yosin nyu)ot,
če sta nx in ny majhni celi števili, gibanje planeta po elipsi Vendar z računanjem ne kaže pretiravati.
Me kaže zamolčati, kako občutimo pospešek in trzaj. Mislimo si, da se peljemo v avtobusu po gladki in ravni cesti. Po poskusih v avtobusu ne moremo ugotoviti, kako hitro se giblje, dokler se giblje s konstantno hitrostjo. Potnik lahko določi hitrost le tako. da pogleda iz avtobusa, poskusi v njem pa potekajo enako, kot če bi avtobus miroval. Opazovalni sistem, ki ga vpelje potnik v avtobusu, je enakovreden sistemu opazovalca s ceste. Oba sta inercialna opazovalna sitema. To Galilejevo spoznanje, ki ga lahko imenujemo zakon relativnosti, smo že omenili.
Drugače je, Če se avtobus gibije s konstantnim pospeškom, ker pač nanj delujejo telesa iz okolice s konstantno vsoto zunanjih sil. Potnik v avtobusu še naprej opazuje pojave s svojega stališča, zase on miruje. Vidi, da se telesa ob cesti gibljejo s konstantnim pospeškom v nasprotni smeri vožnje, in upošteva ta pospešek kot sistemski pospešek. S tem pospeškom poveže sistemsko silo. Sistemski pospešek in sistemska sila imata enako velikost, a nasprotno smer kot pospešek avtobusa in vsota vseh zunanjih sil, s katero delujejo telesa iz okolice na avtobus. Sistemski pospešek in sistemska sila imata smer vožnje, če avtobus zavira Po sistemskem pospešku in sistemski sili sklepa potnik v avtobusu, da se giblje pospešeno. {Glej še članek A.Likarja Vrteči se opazovalni sistem, Presek 6 (1979) 145.)
Mislimo si, da pospešek avtobusa enakomerno narašča, torej da je trzaj avtobusa konstanten in ima smer vožnje. Po tem, kar smo ugotovili, tudi sistemski pospešek in sistemska sila v nasprotni smeri vožnje enakomerno naraščata Potnik v avtobusu vpelje sistemski trzaj, ki je enako velik kot trzaj avtobusa, a ima nasprotno smer. Ta sistemski trzaj občuti potnik, ki se giblje z naraščajočim pospeškom.
V tem prispevku se zadovoljimo z obdelanimi preprostimi zgledi za premo gibanje in gibanje v ravnini. IMa eni strani smo se vadili v odvajanju, na drugi pa izračunali ne samo hitrost in pospešek, ampak tudi mnogo manj znani
trzaj. Prvi dve količini moramo poznati, za trzaj pa si lahko mislimo, da smo ga dodal), ne da bi ga morali poznati, in ga lahko spustimo - kot tisti, ki se je od časa do časa udaril po prstu, zato da mu je bilo bolje, ko se ni udaril.
Obravnavali smo samo gibanje in se nismo spraševali po vzroku zanj. Ni težko vključiti Nevvtonovega zakona, samo pospešek pomnožimo z maso, pa dobimo silo, s katero deluje na opazovano točkasto telo drugo telo in ki povzroča opisano gibanje. Da bi spoznali globlje ozadje trzaja, pa bi morali gnati razpravo še precej dlje.1
Janez Strnad
1 Bralcu, ki ga to zanima, priporočamo članek Stevena H, Scotta, Jerk: The time rate of change of acceleration, American Journal of Physics 46 (1978) 1090. Zanimiv je tudi članek T. R. Sandina, The jerk, The Physics Teacher 28 (1990) 36, v katerem je obdelan trzaj tudi v teoriji relativnosti. V Newtonovi mehaniki se trzaj pri prehodu iz tnercialnega opazovalnega sistema v drug tak sistem sploh ne spremeni. V posebni teoriji relativnosti pa je enačba, ki opiše prehod veliko bolj zapletena, V nekem snercialnem opazovalnem sistemu je lahko trzaj enak nič, pa je v drugem od nič različen.