     
P 49 (2021/2022) 38
Tangens 7π/24 na tri načine
D M. M̌́ (   B̌ K)
Za nekatere matematične probleme poznamo le
eno rešitev. So kot gorski vrh, ki je dostopen le
z ene strani. Pri nekaterih drugih pa lahko k re-
ševanju pristopimo iz različnih smeri. Tako spod-
bujamo duh raziskovanja in pridobivamo matema-
tično zrelost. Kot zgled naj služi naslednja naloga,
ki jo bomo rešili na tri načine.
Naloga. V pravokotnem trikotniku ima ena od katet
dolžino 1 in s hipotenuzo oklepa kot β = 7π24 . Dokaži,
da je dolžina druge katete enaka 2+
√
6−
√
3−
√
2.
1
?
β
SLIKA 1.
1. način (enakokraki trikotniki in Pitagorov izrek).
Označimo oglišča A,B,C kot na skici, tako da je kot
pri B znani kot β, kot pri C pravi kot in ima stra-
nica BC dolžino 1. Izberimo točko D na stranici
AC tako, da bo trikotnik ABD enakokrak. Dolžini
krakov označimo z y . Ker je ABD = DAB, je
CBD = π/12 = 15◦. Nato izberemo še točko E
na stranici BC tako, da bo trikotnik EBD enakokrak.
Sledi, da je CED = π/6 = 30◦, zato je dolžina
stranice |ED| enaka dvakratniku dolžine |CD|, kar
označimo z 2x in x. Zdaj uporabimo Pitagorov iz-
rek v trikotniku CDE s katetama dolžin x in 1 − 2x
ter hipotenuzo 2x. Z rešitvijo kvadratne enačbe do-
bimo x = 2 −
√
3 (druga rešitev je prevelika, saj je
2x < 1). Nato uporabimo še Pitagorov izrek v tri-
kotniku BCD, da podobno dobimo y = 2
√
2−
√
3.
S kvadriranjem ni težko preveriti, da je zadnji izraz
enak y =
√
6−
√
2, iskana dolžina pa je ravno x+y ,
kot smo želeli dokazati.
B C
A
E
D
2x
x
y
y
SLIKA 2.
2. način (trigonometrijske formule). Dolžina druge
katete je enaka tangensu kota 7π24 . Ker je
7π
24 =
π
4 +
π
24 =
π
4 +
1
2
(
1
2
(
π
6
))
, lahko uporabimo formuli za tan-
gens vsote tg(x + y) = tgx+tgy1−tgx tgy in tangens polovič-
nega kota tg x2 =
1−cosx
sinx . Z nekaj računanja dobimo
rezultat. S podobnim izračunom bi dobili rezultat
tudi iz zvez 7π24 =
π
6 +
π
8 ali
7π
24 =
π
3 −
π
24 .
3. način (kosinusni izrek). Kot prej označimo ogli-
šča A,B,C in znana kota. Na stranici AB tokrat iz-
beremo točko D tako, da je trikotnik BCD enako-
krak z osnovnico 1. Potem je BDC = 10π24 = 75◦
in s pomočjo kosinusnega izreka za ta kot lahko iz-
razimo kvadrat dolžine |BD|. Pri tem izračunamo
cos 75◦ = sin 15◦ = 14(
√
6 −
√
2) z uporabo formule
za sinus polovičnega kota. Označimo z E razpolovi-
šče daljice BD in x = |BE| = |BD|/2. Iz doslej znanih
podatkov lahko s Pitagorovim izrekom določimo še
dolžino daljice |CE| = y . Ker je trikotnik BCE pravo-
koten, zaradi podobnosti sledi, da je iskana dolžina
katete enaka |CA| = yx . Bralke in bralce vabimo, da
sami dodajo skico in manjkajoče podrobnosti.
×××