i
i
“1266-Arnus-Kako” — 2010/7/22 — 13:43 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 23 (1995/1996)
Številka 4
Strani 216–219
Olga Arnuš:
KAKO SI PREDSTAVLJAMO ŠTIRIDIMENZIONALNO
KOCKO?
Ključne besede: zanimivosti, razvedrilo, matematika, geometrija, šti-
ridimenzionalne kocke.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/23/1266-Arnus.pdf
c© 1996 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
Zanimivosti - Razvedrilo I
KAKO SI PREDSTAVLJAMO
ŠTIRIDIMENZIONALNO KOCKO?
Beseda kocka nam običajno pomeni geometrijsko telo, ki ga narišemo ta-
kole (slika 1):
./ ./
./ ./
Slika 1.
S sliko smo ponazorili tridimenzionalno kocko . Kako pa izgledajo
kocke nižjih dimenzij?
Začnimo s točko T1 . Ta lahko predstavlja ničdimenzionalnokocko Ko.
Enodimenzionalno kocko 1(1 dobimo, če točko T1 premaknemo za neko
razdaljo po premici . Odločimo se lahko kar za razdaljo 1. Enodimenzio-
nalna kocka je daljica T1T2 • Omej ujeta jo dve točki , dve ničdimenzionalni
kocki . Če to daljico premaknemo v smeri pravokotno nanjo za enoto ,
dobimo kvadrat T1T2T3T4, ki nam predstavlja dvodimenzionalno kocko
1(2. Nje n rob vsebuje št iri enodimenzionalne kocke (st ranice) . Če kva-
drat premak nemo za enoto pravo kotno na oba prejšnja prem ika , dobimo
tridimenzionalno kocko T1T2T3T4T5T6T7T8 . To pokriva šest dvodimenzi-
onalnih kock (slika 2) .
11 13
[IJ
t;
~./ .s-:
Te
T4 l
17
Slika 2.
Kako pa naprej? Sposobnost naš e prostorske predstave nam ne do-
voljuje , da bi našli še eno smer , pravokotno na prejšnje t ri. Pa kaj zato!
IZanimivost i - Razvedrilo
T~
.A--------,--~ Ti
Slika 3 .
~-----__T-+--....".. T~
T~
T{
Recim o, da se to da vseeno na-
rediti . Četrti "prem ik" naj na
sliki izgleda tako, kot da bi koc-
ko K 3 "napihnili" ali "skrči li" .
Temu , kar dobimo, recimo šti-
ridimenzionalna kocka K 4 (sli-
ka 3).
K4 vsebuj e osem tridimen-
zionalnih kock (Katere so to?) . ](4
Za našo prostorsko pr edstavo
sicer TiT2T3T4T{T~T~T~ ne iz-
gleda kot prava kocka . Ampak ,
rok o na src e, tudi pri risanju tri-
dimenzionalne kocke ne rišemo
sam ih kvadratov (Ti T4T8Ts je
paralelogram), pa nas to nič ne
moti .
V matematiki so včasih stvari bolj preprost e, če si jih ne skušamo za
vsako ceno nazorno predst avlj ati , ampak poiščemo ustrezni model. En a
najbolj up or abnih iznajdb v matematiki j e uvedba koordinatnega sistem a
ali določitev točk s št evili. V eno dome nziona lnem prostoru (na premici)
lahko vsako točko določimo z enim številom (koordinato) , če smo pr emico
seveda ustrezn o oprem ili s koordinatnim začetkom in enoto . Vzemimo, da
začetna točka Ti predstavlj a koordinatno izhodišče , torej šte vilo O, T2 pa
naj predstavlja štev ilo 1. Predstavitev kock Ki , K 2 in K3 s koordin atami
pr ikazuje slika 4.
(O, l) (1, 1)
D (1, 1, O)
(1, 1, 1)
(1, O, O)
lV ./'
(I,O, J)
(0,1 ,0)
./' ./'
(0,0 ,0)
(0,1,1)
(O , O,
(1, O)(0,0)
(l )
•
(O)
•
Slika 4 .
Pri K4 pa dobijo oglišča še četrto koordinato (slik a 5) .
Zan im ivost i - Ra zvedrilo I
Ta model lepo poka-
že, zakaj uvedb a nove di-
menzije število oglišč pod- (0 ,1 ,1,1) (1,1 ,1,1)
voji (vsem prejšnjim ogli š-
čem dodamo novo koordi-
nato z vrednostrn a Oin 1) .
Št evilo kock K a v kocki
K 4 dobimo z naslednjim
razmislekom: eno koordi-
nato je t reba fiksirati (po-
stavim o vrednost bodisi O
ali pa 1) . Ker smo to na-
redili s katerokoli od štirih (1,1,0,1)
koordinat , j e vseh mož-
nosti skupno 4 . 2 = 8. Če (0 ,0,0 ,1) (1 ,0,0 ,1)
j e na primer četrta koordi-
nata O, na ostalih mestih Slika 5.
pa up ošt evamo vse možne
razvrsti tv e ničel in enic, dobimo kar prv otno kocko Ka (notranj o na sliki) .
Spomnimo se še, kako naredimo mehanski model kocke iz kock nižje
dimenzij e. Začnimo z enodimenzionalno kocko - daljico, ki jo lahko pred-
stavimo s palico . Iz št irih takih palic lahko oblikuj emo kvadrat. Za tri-
dimenzionalno kocko potrebuj emo šest kvadratov (mreža kocke). Zlepiti
mor amo ustr ezne robove (slika 6).
D
Slika 6.
~tiridimewionalno kocko bi bilo po andogqi mogoie oblikovati iz 
osrnih tridimemionalnih kock, Ee slepimo ustrezne mejne plmkve. Analo- 
gijo ponwarja di 7. 
S U s  7. 
ZddjuEirno s sliko slikarja Salvadora Dalija, ki j e  upodubil Kristusa na 
. k rh ,  ki predstavha &o Etiiidimen%ionalne ko&a. S Wrto dimeeo je 
verjetno skuM doseEi bolj nwlemdjski uEinek. Sliker je na notranji atrani 
ovitka, ~adaj . 
Olga Amtd