i i “1593-Vencelj-Carl” — 2010/8/31 — 11:10 — page 1 — #1 i i i i i i List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 32 (2004/2005) Številka 4 Strani 5–8 Marija Vencelj: CARL FRIEDRICH GAUSS – OB 150. OBLETNICI SMRTI Ključne besede: matematika, matematiki, biografije, Nemčija, astronomija, fizika, geodezija. Elektronska verzija: http://www.presek.si/32/1593-Vencelj.pdf c© 2005 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije c© 2010 DMFA – založništvo Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez po- prejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno. 5 Carl Friedrich Gauss - ob 150. obletnici smrti MATEMATIKA 1. Površno gledano, je bilo Gaussovo življenje preprosto. Med trpkim otroštvom v revni in polpismeni družini se je izjemno zgodaj pokazala njegova velika intelektualna nadarjenost. Ko je bilo »čudežnemu otroku« štirinajst let, je začel pre- jemati štipendijo braunschweiškega vojvode, ki mu je omo- gočila, da se je naslednjih šestnajst let lahko brez večjih fi- nančnih skrbi posvečal intelektualnemu delu. Že pred svojim petindvajsetim letom je bil slaven ter upoštevan matematik in astronom. Tridesetleten je postal direktor astronomskega observatorija v Göttingenu. Tam je ostal in deloval do svoje smrti v starosti 78 let. Vse svoje življenje je delal praktično sam, brez matematičnih sodelavcev. V izrazitem nasprotju s to zunanjo preprostostjo je bilo Ga- ussovo osebno življenje zapleteno in po svoje žalostno. Nje- gov oče je bil dninar, ki se je trdo prebijal navzgor po druž- beni lestvici. Bil je vrtnar, rokodelec, preddelavec, trgovski pomočnik in nazadnje blagajnik majhne zavarovalnice. Po Gaus sovih besedah je bil sicer spoštovan, a gospodovalen, surov in neotesan človek. Gaussova mati je bila zelo inteli- gentna, toda polpismena hči vaškega kamnoseka, ki je služi- la kot dekla, preden je postala druga žena Gaussovega oče- ta. Kljub nesrečnemu zakonu je ohranila svoj vedri značaj in trdno stala ob strani svojemu edinemu sinu. Umrla je v Letos poteka 150 let od smrti enega najveèjih matematikov vseh èasov, »kne- za znanosti« Carla Friedricha Gaussa (slika 1). O vsestranskosti njegove znan- stvene vladavine na prehodu iz osemnajstega v devetnajsto stoletje prièa tudi napis na spominski plošèi v Braunschweigu, vzidani na mestu, kjer je nekoè stala Gaussova rojstna hiša (slika 2). Bil je matematik, astronom1, fizik in geo- det. V prvi vrsti in v najveèji meri pa je bil Carl Friedrich Gauss matematik. V Preseku smo Gaussa že veèkrat omenili, nazadnje v prispevkih o Abelu (Presek 29, 259–263), Galoisu (Presek 29, 346–349) in Jacobiju (Presek 31, 274–277). Slovenski srednješolci že v prvem letniku spoznajo Gaussovo elimi- nacijsko metodo za reševanje sistemov linearnih enaèb, Gaussovo ime nosijo številni pomembni matematièni izreki in pojmi, pa tudi eden od kraterjev na Luni. Slika 1. Carl Friedrich Gauss se je rodil 30. aprila 1777 v Braunschwei- gu in umrl 23. februarja 1855 v Göttingenu. Oba kraja ležita v današnji Nemčiji. Mesto Göt- tingen, tamkajšnja univerza in Gaussovo društvo so leto 2005 proglasili za Gaussovo leto. 1 Glej prispevek Marijana Prosena na strani 35. KA Presek 4-n6.indd 5 2/9/2005 14:19:29 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 312 CVC 6 MATEMATIKA starosti 97 let, potem ko je po moževi smrti zadnjih 22 let živela pri sinu. Mali Gauss je znal računa- ti, še preden je dobro govo- ril. Ko mu je bilo tri leta, je svojega očeta opozoril na napako v izračunu tedenske mezde za enega od delavcev. Brati se je naučil sam. Iz ranega otroštva izhaja tudi zgodbica, ki jo o Gaussu naj- večkrat pripovedujejo. Ko mu je bilo osem let, je osup- nil svojega učitelja z blisko- vitim izračunom vsote prvih sto naravnih števil2 . Po tem dogodku je učitelj opremil mladega genija s knjigami in ga ob materini podpori, očetovemu nasprotovanju navkljub vzpodbudil k na- daljnemu izobraževanju. Do enajstega leta je nad Slika 2. Prevod napisa: Tu je stala rojstna hiša Carla Friedricha Gaussa – matematika, astronoma, fizika, geodeta – ki se je rodil 30. 4. 1777 v Braunschweigu in umrl 23. 2. 1855 v Göttingenu. je njegova naravoslovna in klasična izo- brazba daleč presegala nivo študentov njegove starosti. Že v tem času je odkril številne pomembne matematične rezul- tate. Nekatere je »ponovno odkril«, ne da bi vedel, da so pred njim prišli do njih že Euler, Lagrange ali drugi mate- matiki 18. stoletja (tudi kvadratni reci- pročnostni zakon v teoriji števil). Veliko rezultatov pa je bilo novih. Leta 1795 se je vpisal na univerzo v Göttingenu. Tam je imel dostop do li- terature, ki je v Braunschweigu niso imeli. Dobesedno požiral je klasične mojstrovine in matematične članke v Carlom Friedrichom bedel matematik Martin Bartels, tedanji pomočnik na šoli v Braunschweigu in kasnejši učitelj velikega ruskega matematika Lobačev- skega v Kazanu. Leta 1788 je oče Ga- uss popustil pritiskom z vseh strani in dovolil svojemu sinu, da se vpiše v gim- nazijo. V gimnaziji je mali Gauss izred- no hitro napredoval v vseh predmetih, najbolj v svojih najljubših, klasiki in ma- tematiki. Na nenavadno nadarjenega dečka so opozorili braunschweiškega vojvodo, ki je Gaussa leta 1792 začel štipendirati in mu s tem omogočil neod- visnost. Ko se je Gauss istega leta vpi- sal na Karlov kolegij v Braunschweigu, 2 Opazil je, da imajo v 1+2+3+...+98+99+100 pari števil: prvo in zadnje, drugo in predzadnje, tretje in predpredzadnje itd. enake vsote, in sicer 101. Takih parov je petdeset, torej je vrednost zapisane vsote 5050. 3 Fundamentalni izrek algebre pravi, da ima vsaka algebrska enačba s kom- pleksnimi koeficienti vsaj eno kompleksno rešitev. Od tod sledi, da ima vsaka taka enačba stopnje n natanko n komplaksnih rešitev. starih revijah, pri čemer je ugotovil, da številna njegova odkritja niso nova. Razočaranje, ki je sledilo, in dejstvo, da sta ga poučevala briljantni klasik Hei- ne in drugorazredni matematik Käst- ner, je malodane odločilo, da postane jezikoslovec. Toda leta 1796 je devetnajstleten pri- šel do bleščečega odkritja, ki ga je za- pisalo matematiki. Že v antiki je bilo znano, da lahko zgolj z uporabo šestila in neoznačenega ravnila konstruiramo enakostranični trikotnik in pravilni pet- kotnik, niso pa znali konstruirati nobe- nega drugega pravilnega večkotnika s praštevilskim številom stranic, niti niso vedeli, če je to sploh možno. Gauss je pri sistematski obravnavi krožnodelitvene enačbe xn – 1 = 0 kot stranski produkt našel pogoj za konstrukcijo pravilnega n-kotnika s šestilom in ravnilom. Pogoj izpolnjuje tudi praštevilo 17 in tako je lahko objavil konstrukcijo pravilnega sedemnajstkotnika, kar je pomenilo prvi napredek na tem področju po več kot 2000 letih. Gauss je odkritje pro- slavil z začetkom pisanja svojega ma- tematičnega dnevnika, v katerega je v naslednjih osemnajstih letih zapisal veliko svojih odkritij in rezultatov. Leta 1798 se je Gauss vrnil v Braunsch- weig, kjer je v izolaciji intenzivno delal. To je bil začetek obdobja desetih izjem- no uspešnih braunschweiških let. Leta 1799 je s prvim od svojih štirih dokazov fundamentalnega izreka algebre3 dok- toriral na univerzi v Helmstadtu. Leta 1801 se je ustvarjalnost preteklih let odrazila v dveh izjemnih dosežkih: mo- nografiji Disquisitiones arithmeticae s področja teorije števil in natančnem Presek 4-n6.indd 6 2/9/2005 14:19:35 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 312 CVC 7 MATEMATIKA Slika 3. Glavna področja Gaussovega znanstvenega delovanja in nji- hova medsebojna povezanost. Puščice nakazujejo, kako so Ga- ussa raziskave na danem podro- čju motivirale oziroma navdih- nile za delo na drugem podro- čju. Štirje njegovi najpomemb- nejši izumi so navedeni zunaj ovalov. Velikosti ovalov približ- no ustrezajo pomembnosti in vlogi vpisanih področij v celo- tnem Gaussovem znanstvenem delovanju, vpisana števila pa Gaussovo starost v času ukvar- janja s posameznim področjem. Presek 4-n6.indd 7 2/9/2005 14:19:41 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 312 CVC 8 MATEMATIKA izračunu orbite na novo odkritega pla- netoida Ceresa. V delu Disquisitiones arithmeticae je Gauss zbral vsa mojstr- ska dela svojih predhodnikov in ga do- datno tako obogatil, da velja danes za začetek moderne teorije števil. Astronomija je Gaussu ponudila zani- mivo alternativo. Čeprav je bil še vedno deležen vojvodove podpore, celo pove- čane, si je želel trdnejšega položaja. Misel, da bi poučeval matematiko, ga je odbijala. Tedaj je to pomenilo ele- mentarno urjenje slabo pripravljenih in nemotiviranih študentov. Domneval je tudi, da bi mu kot poklicnemu astro- nomu ostalo več časa za raziskave kot profesorju matematike. Začel se je pri- pravljati na kandidaturo za direktorja astronomskega observatorija v Göttin- genu. S sistematičnim programom te- oretičnega dela in opazovanj je kmalu postal najprimernejši kandidat za to mesto. Ko je bil leta 1807 nastavljen, je bil že uveljavljen znanstvenik. O tem priča ponujeno službeno mesto v car- skem mestu Petrogradu in članstvo v londonski Kraljevi družbi ter ruski in francoski akademiji znanosti. Prva leta Gaussovega službovanja v Göttingenu so pomenila drugi veliki val Gaussovih idej in rezultatov na različ- nih področjih matematike. Kmalu se je Gauss začel zanimati za perturbacije planetov. Tako so nastala njegova dela: Teorija gibanja nebes- nih teles (1809), članek o privlačnosti splošnih elipsoidov (1813), delo o me- hanski kvadraturi (1814) in študija o sekularnih perturbacijah (1818). Iz te dobe je tudi Gaussov članek o hiper- geometričnih vrstah (1812), ki je po- menil prvo sistematično proučevanje konvergence vrst. Po letu 1820 se je začel Gauss aktivno zanimati za geodezijo. Svoje teoretične matematične rezultate je uporabljal pri triangulaciji. Za njegov najpomembnej- ši dosežek iz te dobe bi lahko šteli teo- rijo ploskev, opisano v delu Disquisitio- nes generales circa superficies curvas (1827), kjer so praktična razmišljanja s področja višje geodezije tesno poveza- na z abstraktno diferencialno analizo. Toda celo v tej dobi, ko je Gauss vso svojo aktivnost osredotočil na proble- me iz geodezije, ni zanemaril svoje prve ljubezni, teorije števil. V letih 1825 in 1831 sta izšla njegova članka o bikva- dratnih ostankih, nadaljevanje njegove teorije o kvadratnih ostankih iz Disqui- sitiones arithmeticae. Uporabil je pov- sem novo metodo, teorijo kompleksnih števil. Nova teorija kompleksnih števil je razjasnila številne nejasnosti v arit- metiki. V delu iz leta 1831 je Gauss po- dal tako algebro kot aritmetiko kom- pleksnih števil. Poleg tega je kompleks- na števila ponazoril s točkami v ravnini in tako za vedno odstranil misterij, ki jih je obdajal. V letih 1833 in 1834 je Gaussa začela privlačiti fizika. V tej dobi je opravil ve- liko poskusov v zvezi z zemeljskim mag- netizmom. Toda čas je našel tudi za iz- V ta čas sodijo tudi edina leta Gaussove osebne sreče. Leta 1805 se je poročil z Johanno Osthoff, ki mu je rodila sina in hčerko ter ustvarila prijazen in veder dom. Umrla je po tretjem porodu leta 1809, kmalu za njo tudi novorojenček. Gauss je »za- tisnil angelske oči, v katerih je pet let gledal nebesa« in se potegnil v osamljenost. Izgube ni nikoli zares prebolel. Manj kot leto dni po Johannini smrti se je poročil z Minno Waldeck, najboljšo prijateljico svoje pokojne žene, najverjetneje iz potrebe po urejenem življenju. Imela sta dva sina in hčerko, vendar družina ni bila srečna. Minna je bila večno nezadovoljna in slabega zdravja, Gauss je bil gospodovalen oče svojima hčerama in se grobo prepiral z mlajšim sinom, ki je zato emigriral v Ameriko. Miren in prijazen dom je svojemu očetu ustvarila po smrti svoje matere (1831) najmlajša Gaussova hči Theresa, ki mu je bila tudi zaupna prijateljica zadnjih štiriindvajset let življenja. Carl Friedrich Gauss je umrl v spanju 23. februarja 1855. redno pomemben teoretični dosežek. V članku iz leta 1840 obravnava teorijo privlačnih in odbojnih sil med telesi, ki so obratno sorazmerne z razdaljami med telesi. To je bil začetek potencialne teorije kot posebne veje matematike. Gauss je delal vse do svoje smrti. V po- znejših letih se je čedalje več ukvarjal z uporabno matematiko. Žal Gaussove objave ne dajo prave slike o njegovi znanstveni veličini. Iz njegovih dnevnikov in nekaterih pisem vidimo, da je nekatere najpronicljivejše misli obdržal zase. Zdaj vemo, da je Gauss že leta 1800 odkril eliptične funkcije4 in zagotovo že okoli leta 1816 obvladal neevklidsko geometrijo5, čeprav s teh področij ni nikoli ničesar objavil. Tudi pričujoči zapis je le bleda sen- ca primerne predstavitve Gaussovega dela. Kaj več ne dopuščata ne obseg in ne zahtevnostna raven Preseka. Vsaj malo poskušajmo to nepopolnost po- praviti z diagramom na sliki 3. Marija Vencelj 4 Sloviti dvoboj med Abelom in Jacobijem pri raziskavi eliptičnih funkcij, ki smo ga opisali v članku o Abelu (Presek 29, 359–263), se je odvijal leta 1828. 5 Lobačevski je o Evklidovem 5. aksiomu predaval leta 1826, njegova knjiga o izgradnji neevklidske geometrije pa je izšla 1829/30. V tem času je tudi Madžar Bolyai objavil svoja razmišljanja o tej temi (Presek 21, 186–189). Presek 4-n6.indd 8 2/9/2005 14:19:41 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 312 CVC