PRESEK LETNIK ■WI (2017/2018) ŠTEVILKA 2 NA NAPAKAH SE UČIMO ALI MALFATTIJEV PROBLEM OČALA NA KONCU NOSU OPOLDANSKA SENCA RUBIKOVO MAČČEVANJE ISSN 0351-6652 9 7, 0 3 5. 665524 9770351665524 9770351665524 MATEMATIČNI TRENUTKI Lov za planeti V zadnjih dvajsetih letih so odkrili več kot tri tisoč planetov zunaj našega osončja. Kolikor manjši je planet, toliko težje ga je najti. Današnji teleskopi uspejo zaznati zatemnitev zvezd med prečkanjem planetov, četudi so ti več svetlobnih let oddaljeni od nas. Omenjena metoda zatemnitve zvezd je med najbolj uspešnimi, uporabiti pa je mogoče tudi gra-vitačijski vpliv planeta na zvezdo. Astronomi s pomočjo zapletenih naprav, algebre, trigonometrije in analize določijo približno maso, naklon tira planeta ter sestavo njegove atmosfere. S še bolj zapletenimi matematičnimi orodji pa iz meritev pridobivajo pomembne informačije in odstranjujejo šum, ki je neizbežen pri zbiranju podatkov s tako velikih razdalj. V našem osončju astronomi iščejo deveti planet. Ceprav ga še niso opazili, njegov obstoj predvideva matematični model, ki razloži neobičajno združitev orbit ledenih objektov v Kuiperjevem pasu. Pas se nahaja za Neptunovim tirom, 30 do 50 astronomskih enot stran od Sonča. Še vedno je prezgodaj govoriti o obstoju devetega planeta, četudi njegovo eksistenčo podpirajo teoretične razlage in numerične simula-čije. Popoln dokaz bomo dobili šele, ko bomo planet zagledali skozi teleskop. Ker novi planet predvidoma za pot okrog Sonča potrebuje približno 15 000 let in je trenutno najbolj oddaljen od nas, bomo verjetno morali na dokaz še nekaj časa počakati. Znanstveniki med tem opazujejo nebo in zbirajo nove podatke o Kuiperjevem pasu. Šele čez mnogo let bomo vedeli, ali deveti planet zares obstaja. Več o devetem planetu si lahko preberete v članku Alexandre Witze, Unseen planet may lurk near solar system's edge, ki je bil objavljen v reviji Nature 21. januarja 2016. XXX KOLOFON Presek list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje letnik 45, šolsko leto 2017/2018, številka 2 Uredniški odbor: Vladimir Batagelj, Tanja Bečan (jezikovni pregled), Mojca Cepič, Mirko Dobovišek, Vilko Domanjko, Bojan Golli, Andrej Guštin (astronomija), Marjan Jerman (matematika), Martin Juvan, Maja Klavžar, Damjan Kobal, Lucijana Kračun Berc (tekmovanja), Peter Legiša (glavni urednik), Andrej Likar (fizika), Matija Lokar, Aleš Mohorič (odgovorni urednik), Igor Pesek (računalništvo), Marko Razpet, Matjaž Vencelj, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik). Dopisi in naročnine: DMFA-založništvo, Presek, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, telefon (01) 4766 633, telefaks (01) 4232 460, 2517 281. Internet: www.presek.si Elektronska pošta: presek@dmfa.si Naročnina za šolsko leto 2017/2018 je za posamezne naročnike 19,20 eur - posamezno naročilo velja do preklica, za skupinska naročila učencev šol 16,80 eur, posamezna številka 3,76 eur, dvojna številka 6,89 eur, stara številka 2,71 eur, letna naročnina za tujino pa znaša 25 eur. Transakcijski račun: 03100-1000018787. Devizna nakazila: SKB banka d.d. Ljubljana, Ajdovščina 4, 1513 Ljubljana, swift(bic): SKBASI2X, iban: SI560310 0100 0018 787. List sofinancira Javna agencija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofinanciranje domačih poljudno-znanstvenih periodičnih publikačij. Založilo DMFA-založništvo Oblikovanje Tadeja Šekoranja Tisk Collegium Graphicum, Ljubljana Naklada 1300 izvodov © 2017 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije - 2043 Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno. Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana. NAVODILA SODELAVCEM PRESEKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV 2 PRESEK 45 (2017/2018) 2 Presek objavlja poljudne in strokovne članke iz matematike, fizike, astronomije in računalništva. Poleg člankov objavlja Prikaze novih knjig s teh področij in poročila z osnovnošolskih in srednješolskih tekmovanj v matematiki in fiziki. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralčev, učenčem višjih razredov osnovnih šol in srednješolčem. Clanek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev) in sedež institučije, kjer avtor(ji) dela(jo). Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma razumemo ločeno od besedila. Slike v elektronski obliki morajo biti visoke kakovosti (jpeg, tiff, eps, ...), velikosti vsaj 8 čm pri ločljivosti 300 dpi. V primeru slabše kakovosti se slika primerno pomanjša ali ne objavi. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (čopyri-ght). Zaželena velikost črk je vsaj 12 pt, razmak med vrstičami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku na naslov uredništva DMFA-založništvo, Uredništvo revije Presek, p. p. 2964, 1001 Ljubljana ali na naslov elektronske pošte presek@dmfa.si. Vsak članek se praviloma pošlje vsaj enemu anonimnemu re-čenzentu, ki očeni primernost članka za objavo. Ce je prispevek sprejet v objavo in če je besedilo napisano z računalnikom, potem uredništvo prosi avtorja za izvorne datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različič urejevalnikov TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek. Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu. MATEMATIČNI TRENUTKI 2 Lov za planeti 4-8 11-15,18 19-23 MATEMATIKA Na napakah se ucimo ali Malfattijev problem (Nada Razpet) 9-10 Bik se pase, trava rase; drugic (Marjan Jerman) FIZIKA Ocala na koncu nosu (Jože Rakovec) ASTRONOMIJA Opoldanska senca v severni nebesni pol usmerjene ravne palice na treh ravninah (Marijan Prosen) 24-30 RAČUNAL NI ČTVO Rubikovo maščevanje: algoritem za reševanje Rubikove kocke 4 x 4 x 4-2. del (Marko Jakovac) 16-17 31 priloga priloga priloga RAZVEDRILO Nagradna križanka (Marko Bokalic) Križne vsote Rešitev nagradne križanke Presek 45/1 (Marko Bokalic) Naravoslovna fotografija - Gibanje zamrznjeno v casu (Aleš Mohoric) TEKMOVANJA 8. tekmovanje iz znanja astronomije - šolsko tekmovanje 27. tekmovanje iz razvedrilne matematike - šolsko tekmovanje 27. tekmovanje iz razvedrilne matematike - državno tekmovanje P I Slika na naslovnici: Pri DMFA Slovenije so letos pripravili že cetrto Kresnicko, tekmovanje iz naravoslovja za ucence osnovnih šol. Ena od nalog je tudi astronomska - spoznavanje in prepoznavanje ozvezdij in zvezd ter orientacija po nocnem nebu. Ali lahko ugotovite, del katerega ozvezdja je na fotografiji na naslovnici? Kako se imenuje najsvetlejša zvezda na fotografiji? Foto: Andrej Guštin MATE MATIKA Na napakah se ucimo ali Malfattijev problem nU NU Nada Razpet -> Geometrijske naloge rešujemo tako, da si najprej narišemo skico, pri kateri pa včasih že upoštevamo nekatere predpostavke. Kaj pa če le te niso pravilne? Nekaj podobnega se je zgodilo italijanskemu matematiku Malfattiju. Ta je leta 1803 v delu Memoria sopra un problema stereotomico objavil naslednji problem (slika 1): Dana je pokončna trikotna prizma iz nekega materiala, npr. marmorja. Kakšna naj bo medsebojna lega treh izrezanih valjev, ki imajo enako višino, kot je prizma, da bo ostanek materiala najmanjši [1]? Malfatti je prostorski problem prevedel na ravninskega in v istem delu zapisal: Kako naj iz trikotnika izrežemo tri kroge tako, da bo njihova skupna ploščina največja? Malfatti je bil prepričan, da je vsota ploščin tako vcrtanih krogov, kot je to na sliki 1, tudi največja, ampak izkaže se, da to ne drži. Vendar je že konstrukcija teh krogov svojevrstni matematični izziv, s katerim se bomo spopadli tudi mi. Malo zgodovine Malfatti ni bil prvi, ki je zastavil ta problem. Že leta 1384 naj bi ga reševal italijanski matematik Giglio di Cecco da Montepulciano. Njegov rokopis hranijo v Biblioteca Comunale degli Intronati v Sieni. Pravijo tudi, da je leta 1703 Jacob Bernoulli reševal ta problem za enakokraki trikotnik. Kako v trikotnik vcr-tati tri med seboj dotikajoce se kroge, je leta 1811 objavil Joseph Diaz Gergonne, leta 1826 Jacob Steiner in leta 1853 Karl Schellbach. Vec najdemo v [2]. Problem so poznali tudi na Japonskem ([3]). Tam je matematik Naonubu Ajima v 18. stoletju reševal naslednji problem: Kako v trikotnik vcrtamo tri med seboj dotikajoče se kroge? (slika 2) SLIKA 1. Zgoraj: prizmi so vcrtani trije valji. Spodaj: trikotniku sovcrtani trije krogi. A / ~~~ /s A V\ A /1 \V I V / y / v / \ / n T2 v S n \ / / / \ / \ / \ SLIKA 2. Ajimov problem treh trikotniku vcrtanih krogov 36 PRESEK 45 (2017/2018) 1 MATE MATIKA Ajima je ploščino trikotnika izrazil s Heronovo formulo, izračunal polmer trikotniku včrtanega kroga, nato pa z uvedbo novih spremenljivk izračunal polmere posameznih krogov. Račun je podoben kot pri izračunu obrnjenega Malfattijevega problema, je pa zahtevnejši in obsežen. Ajima je po izračunu navedel še poseben primer: če merijo straniče a = 507, b = 375 in c = 252, potem je r1 = 64, r2 = 56,25, in r3 = 36. Obrnjen Malfattijev problem Tudi na lesenih tabličah (sangaku), ki so obešene na stenah japonskih templjev, najdemo primer, ki je nekakšen obrnjen Malfattijev problem: ri, r2 in r3 so polmeri treh med seboj dotikajočih se krogov (glej sliko 2). Konstruiraj trikotnik, ki se dotika vseh treh krogov, in mu včrtaj krog. Izrazi polmer včrtanega kroga s polmeri r1, r2 in r3. Pri rešitvi naloge je bilo zapisano opozorilo: Račun je dolg, rešitev pa relativno preprosta. Skičirajmo, kako je japonski matematik Omura Kazuhide v knjigi Sanpo Tenzan Tebi-kiguza (izšla leta 1841) z angleškim naslovom Algebraic Methods of Geometry rešil to nalogo. Nekaj priprave V trikotnik včrtamo krog s središčem S in polmerom r, na sliki 3 označen z rdečo barvo, in tri med seboj dotikajoče se kroge s središči S1, S2 in S3 ter ustreznimi polmeri r1, r2 in r3. Daljiči AM in AM' sta odseka na tangentah, zato je AM = AM'. Štirikotnik AMS2M' je deltoid. Tudi štirikotnika BTS3N in CPS1P' sta deltoida (na sliki 3 so deltoidi sivo obarvani). Najprej trikotniku ABC odrežemo te tri deltoide (slika 4). Nato s škarjami zarežemo še po daljičah SS1, SS2 in SS3 in staknemo krajišči M in M' ter P in P'. Dobljeni lik dopolnimo do pravokotnika, kot kaže slika 5. Dolžine daljič TP, P 'M' in MN so razdalje med dvema dotikališčema krogov s straničami trikotnika ABC. Izračunajmo eno od teh razdalj. Pomagamo si s skičo 6. Trikotnik S2HS3 je pravokotni trikotnik in zanj velja ■ (r2 + r3)2 = IS3HI2 + (r2 - n)2, |S3H |2 = |MN |2 = 4r2r3, SLIKA 3. Obarvane deltoide odrežemo. SLIKA 4. Osrednji del razrežemo in lik razgrnemo. ■ MN = 2vr2r3. (1) Ugotovili smo, da je razdalja med dotikališcema krogov ravno dvakratnik korena iz produkta polmerov dotikajocih se krogov (enačba 1). Zato velja ■ tp + P 'M'+ MN = 2(vrTr3 + vTrr2 + vr2rD. Štirikotniki TPS1S3, P 'M 'S2S1 in MNS3 S2 so trapezi, v vsakem sta osnovnici kar ustrezna polmera, 37 PRESEK 45 (2017/2018) 1 MATE MATIKA h1 s x3 h2 x3 s x2 h3 x2 s t xi k z3 pp' x3 l X2 MM' x2 J n SLIKA 5. Razgrnjeni lik dopolnimo do pravokotnika. r2\ SLIKA 6. Računanje razdalj med dotikališcema dveh sosednjih krogov višine pa razdalje med dotikališči, zato so ploščine trapezov: na trikotniku včrtanega kroga. Iz istega razloga sta enako dolgi tudi BN = BT, saj sta tudi to odseka na tangentah kotu ¡3 včrtanega kroga. Zato velja: ■ BJ = BK, BN = BT ^ KT = JN = xt, AJ = AL, AM = AM' ^ MJ = M'L = x2, CL = CK, CP' = CP ^ P 'L = PK = x3. Razdalje med dotikališcema krogov s stranicami so: ■ PT = 2Vr3ri = xi + x3 MN = 2 V r2r3 = x1 + x2 M P = 2Vr2r1 = x2 + x3. (2) Iz sistema treh enačb (enačbe 2) s tremi neznankami izračunamo x1, x2 in x3: —s, \ \ H ■ xi = r3 J \ x2 = x3 = ' pi = p(TPSiS 3) = (r3 + riVr3ri, P2 = p (P' M' S2 Si) = (ri + r2)Vrir2, P3 = PMNS3S2) = (r2 + r 3)^x2^3. Da dobimo ploščine označenih petkotnikov, moramo k ploščinam trapezov dodati še ploščino osrednjega trikotnika SiS2S3. Izračunamo jo po Heronovem obrazču. Pri tem so straniče ai = ri + r3, bi = ri + r2 in ci = r2 + r3 in poloviča obsega ri + r2 + r3: Zapišimo ploščine dodanih trikotnikov (slika 5): ■ pSHiS) = 2(r - r3)xi = p(SH4S3), p(SH2Si) = T(r - ri)x3, p(SH3S2) = T(r - r2)x2. Ploščino pravokotnika TNH4Ht izračunamo na dva načina. Prvi je kar po osnovnem obrazču za računanje ploščin, to je s produktom obeh stranič: pp = 2r(vrrT + V rir2 + -JTri)- (3) ■ p(SiS2S3) = y (ri + r2 + r3)(rir2r3). Izračunajmo še ploščine dopolnilnih trikotnikov (na sliki 5 so označeni črtkano). Vsi so pravokotni trikotniki. Ena kateta je vedno enaka razliki dveh polmerov, drugo pa moramo izračunati. Ozrimo se na sliko 3. Daljiči BJ in BK sta enako dolgi, saj sta to odseka na tangentah iz oglišča B Drugi pa z vsoto ploščin trapezov, osrednjega trikotnika in dodanih trikotnikov: ■ pp = pi + p2 + p3 + p(SiS2S3) + p(S3HiS) + p(SH4S3) + p(SH2Si) + p(SH3S2). (4) Z malo računske spretnosti lahko iz enačb (3) in (4) dobimo končni rezultat: r 2 J rir2r3 VrT + Vrž + Vrš - V ri + r2 + r3 Polmer trikotniku včrtanega kroga smo izrazili s polmeri treh dotikajočih se krogov. 38 PRESEK 45 (2017/2018) 1 MATE MATIKA Malfattijev izračun in konstrukcija Poglejmo, kako je Malfatti konstruiral svoje tri kroge [4]. Vemo, da središča krogov ležijo na simetralah kotov. Ce poznamo še odseke x, y in z (slika 7), potem znamo kroge načrtati. Vse uporabljene oznake lahko preberemo na sliki 7. Problem bomo rešili, če najdemo x, y in z, to so razdalje od oglišč do dotikališč posameznega kroga s stranicama, ali povedano drugače, če poznamo tan-gentne odseke. Vpeljimo oznake in zapišimo osnovne povezave, ki jih poznamo že iz prejšnjih primerov: ■ w = AE = AF, t = BF = BD, u = CD = CE PQ = 2vrrr2, a = t + u, b = w + u, c = w + t a = BC = AQi + QiDi + DiC ^ t + u = y + 2 V r2r3 + z, b = AC = APi + PiEi + EiC ^ w + u = x + 2 V rir3 + z, c = AB = AP + PQ + QB ^ w + t = x + 2 V rir2 + y. Iz relačij ■ aAPSi - aAFS in ABS2Q - aBSF s podobnimi trikotniki dobimo: r2 _ r y = t' (5) n x rir2 = r w r 2xy wt Vrirž = rJ—-. wt xy Na enak način ■ ABS2Q - aBSF in ACS3Di - aCSD Vr2r3 = rJ — tu in aAPSi - aAFS in ACS3Di - aCSD ^ Vrir3 = rJ—. uw Pri tem smo z r označili polmer včrtanega kroga, z ri, r2 in r3 pa polmere ostalih treh krogov. Zamenjamo izraze pod koreni v enačbah (5), ki vsebujejo polmere krogov, z novimi izrazi in dobimo xy x + y + 2rJ-= w + t, J \wt iyz y + z + 2rJ— = t + u, V tu x + z + 2r, zx uw = u + w. (6) Pri tem so r, w, t, u količine, ki so določene s trikotnikom ABC (polmer včrtanega kroga in odseki na njegovih tangentah, to je na straničah trikotnika). Iz sistema treh enačb (6) izrazimo x, y in z (Malfatti je za izračun baje potreboval nekaj strani): 2x = w + t + u - r + Vr2 + w2 -Vr2 + t2 -Vr2 + u2, 2y = w + t + u - r -Vr2 + w2 + Vr2 + t2 -Vr2 + u2, 2z = w + t + u - r -Vr2 + w2 -Vr2 + t2 + Vr2 + u2. 39 PRESEK 45 (2017/2018) 1 MATE MATIKA x = ANi = AKi y = bn2 = bk2 Z = CNZ = CK3 C\ C'. s = (g + b + c)/2 C'C" = a + b + c C'H = (a + b + c)/2 = s MT=SC+SB + SA + r MT-C'H=VW=2m VV' = m C" ■ ! ■ iT SLIKA 8. sc sb \sa r ; Malfattijeva konstruk ¡W cija treh krogov 2 m Velja: 5A = Vr2 + w2, SB Wr2 + t2 SC = Vr2 + m2 w + u + t = 5. Naj bo ■ 2m = S A + SB + SC + r - s. Potem velja ■ 2SA - 2m = S A + S A - S A - SB - SC - r + s = SA - SB - SC - r + s = 2x. Torej je ■ x = S A - m. Odseke na stranicah trikotnika x, y in z torej lahko zapišemo kot ■ x = S A - m, y = SB - m, z = SC - m. Konstrukcija je razvidna iz slike 8. Trikotniku ABC narišemo simetrale kotov in poiščemo presečišče S. Včrtamo mu krog s polmerom r. Stranico c na obeh straneh podaljšamo za b oziroma a. Dolžina daljice C 'C" je obseg trikotnika ABC. Razpolovimo daljico in dobimo polovico obsega (dolžina daljice C H). Poišcemo vsoto SC+SB + SA+r, to je MT, od nje odštejemo pol obsega s in dobimo VW = 2m. Razpolovimo daljico VW in dobimo m. Narišemo krog s središčem v S in polmerom m. Krog seka simetrale kotov v točkah Ni, N2 in N3. Velja: ■ ANi = S A - m = x BN2 = BS - m = y CN3 = SC - m = z. Narišemo krožne loke iz oglišč trikotnika A, B in C z ustreznimi polmeri ANi, BN2 in CN3. Dobimo točke Ki, K2 in K3. Iz točke Ki, K2 in K3 načrtamo pravoko-tnice na straniče. Kjer te pravokotniče sekajo simetrale kotov, so središča krogov Si, S2 in S3. Polmeri krogov so potem: ri = SiKi, r2 = S2K2 in r3 = S3K3. Ugotovili smo, da se lahko iz navidez preproste naloge marsikaj naučimo. O tem, kakšna je pravilna rešitev Malfattijevega problema, pa kdaj drugič. Literatura [1] G. Malfatti, Memoria sopra un problema stere-otomico, Mem. Mat. Fis. Soč. Ita. Sči i0, No. i, 235-244, i803. [2] J. Lorent, Not set in stone: nineteenth-century geometrical construction and Malfatti Problem, BSHM Bulletin: Journal of the British Sočiety for the History of Mathematičs, 27:3, i69-i80, DOI: i0.i080/i7498430.20i2.676962 [3] F. Hidetoshi, T. Rothman, Sacred Mathematics, Japanese Temple Geometry, Prinčeton University Press, 2i6-2i8, 293-295, 2008. [4] G. Martin, Geometric constructions, UTM Springer, str. 92-95, i998. _ XXX 40 PRESEK 45 (2017/2018) 1 MATE MATIKA Bik se pase, trava rase; drugic nU sU NU Marjan Jerman -» Ko sem pripravljal naloge pri Zgodovini matematike, sem iskal ideje v Newtonovi knjigi Arith-metica Universalis iz leta 1707. Naletel sem na zanimivo nalogo o volih, ki popasejo vso travo na pašniku. Nalogo lahko z današnjimi orodji prevedemo na sistem enacb. Prof. Boris Lavric me je prijazno opozoril, da je Newtonovo nalogo objavil že prof. Vladimir Batagelj v rubriki Bistrovidec prve številke desetega letnika Preseka leta 1982, vole pa je zamenjal z biki. Naloga gre takole: Dvanajst bikov je v štirih tednih popaslo tri in še tretjino jutra pašnika; enaindvajset bikov pa popase deset juter takega pašnika v devetih tednih. Koliko bikov bi popaslo štiriindvajset juter pašnika v osemnajstih tednih? Da bo naloga bolj jasna, dodajmo še, da je na začetku travnik enakomerno porasel s travo, med pašo pa trava tudi raste, in sicer enakomerno po vsem pašniku. Že Newton je vedel, da je naloga rešljiva tudi v splošnem. Na 79. strani je med aritmetičnimi vprašanji zastavil nalogo številka XI: a\ volov v b\ tednih popase c\ juter pašnika in a2 volov v b2 tednih popase c2 juter pašnika. Koliko volov popase c3 juter pašnika v b3 tednih? Konkretne številke a1 = 12, b1 = 4, c1 = 31, a2 = 21, b2 = 9, c2 = 10, b3 = 18 in c3 = 24 Newton navede kasneje kot poseben primer. Newton nalogo reši z zvitim zaporedjem sklepnih računov in naknadnimi popravki zaradi sprotne rasti trave, mi pa se je lotimo z današnjimi orodji. Najprej uvedimo še nekaj oznak. Naj z pomeni količino trave na jutru pašnika pred pašo, r naj pove, koliko nove trave zraste na teden na vsakem jutru, p pa označuje količino trave, ki jo en vol popase v enem tednu. V današnjem matematičnem jeziku napišemo, da je količina popasene trave enaka vsoti začetnega sta- SLIKA1. Naloga v rubriki Bistrovidec, Presek 1982/83, X/1 -> 41 PRESEK 45 (2017/2018) 1 MATE MATIKA Arithmetic a Unherfalis; S I V E De compositione E T resolutione ARITHMETIC A LIBER. Cui accefiit HALLEIANA ALquationum Radices Arithmetics imj entendí methodus. In Ufum Juventutis Académica. C A NT A B R I G 1 tyE Typis Academicis. LONB1NI, Impenfís Benj. Tooke Biblio» polas juxta Medii Templi Portam in vico vulgo yocato Fleeter ret. A.D, MDCCVII, SLIKA 2. Newtonova Arithmetica Universalis c1b2c2r - c2 b1c1r = c1a2 b2 p - c2a1 b1p c\b3 c3r - c3 bi cir = ci a3 b3 p - c3 ai bi p ali bolj urejeno: ■ rcic2(b2 - bi) = p(a2b2ci - a\b\c2) rcic3 (b3 - bi) = p(a3b3ci - ai bic3). Podobno kot prej se lahko znebimo spremenljivke r tako, da od (b2 - bi)c2 kratnika druge enačbe odštejemo (b3 - bi)c3 kratnik prve enačbe. Tako nam ostane le še spremenljivka p v enačbi ■ 0 = p((b2 - bi )c2 (a3 b3 ci - ai bi c3)- (b3 - bi )c3 (a2 b2 ci - ai bi c2)). Ker je razumno pričakovati, da med pašo voli pojedo vsaj nekaj trave, lahko privzamemo, da je p = 0, in dobimo iskano linearno enačbo za a3 ■ (b2 - bi )c2 (a3 b3 ci - ai bi c3 )- (b3 - bi )c3 (a2 b2ci - ai bi c2) = 0, ki ima v primeru bi = b2 rešitev a3 = c3{ a2 b2 ci (b3 - bi) + ai bi c2 b - b3)) (b2 - bi)b3cic2 ' nja in na novo zrasle trave takole: ■ ci z + bi ci r = ai bi p c2 z + b2 c2 r = a2 b2 p c3 z + b3 c3 r = a3 b3 p. Na prvi pogled ne kaže najboljše, ker moramo rešiti sistem treh enačb s štirimi neznankami a3, z, r in p. Zdi se, da manjka še ena enačba. Najprej se na običajni način z metodo nasprotnih koeficientov znebimo neznanke z: c2 kratnik prve enačbe odštejmo od ci kratnika druge in c3 kratnik prve od ci kratnika tretje. Dobimo: Radoveden braleč lahko preračuna zgornje sisteme enačb tudi v primeru bi = b2. Dobil bo dodatne pogoje za smiselnost podatkov v nalogi. Zanimivo je, da nas matematični občutek na začetku ni varal. Dobili smo enoparametrično rešitev. Vrednost p je poljubna, od nje sta odvisni vrednosti z in r. Na srečo pa je vrednost a3 v primeru bi = b2 enolično določena. Sedaj lahko rešimo staro nalogo iz Preseka tako, da vstavimo v zgornjo formulo ustrezne številke in dobimo a3 = 36. Z besedami: šestintrideset bikov popase štiriindvajset juter travnika v osemnajstih tednih. Naloga ima še dodatno zgodovinsko vrednost. Leta i835 je bila objavljena kot zadnja naloga med mešanimi problemi v Emersonovi knjigi North American Arithmetic. Emerson je brez omembe Newtona nalogo prepisal, vmešal pa se je še tiskarski škrat, ki je tretjino spremenil v polovičo, ci = 32. Junija i835 so ponudili 50 dolarjev (kar je glede na ameriško inflačijo enakovredno današnjim i32i dolarjem) za najboljšo rešitev naloge. Posebna komisija je med ii2 odgovori našla 48 pravilnih. Nagrado je dobil James Robinson, rešitev pa ni tako zelo lepa kot v primeru originalne naloge, a3 = 37 j13. XXX 42 PRESEK 45 (2017/2018) 1 FIZIKA OCala na koncu nosu -i' -i' -i' Jože Rakovec Predvsem daljnovidne (tiste, ki na dalec vidijo dobro, na blizu pa ne) pogosto vidimo, da nosijo ocala na koncu nosu. Glavni razlog je, da imajo nad ocali nemoten pogled na oddaljene predmete, saj za dalec korekcijskih lec ne potrebujejo. Ob tem pa se spremeni tudi lomna učinkovitost lec. O tem v nadaljevanju. zbira žarke. Ta drugi vzrok se pojavi pri skoraj vseh starejših ljudeh, ko njihove očesne mišice ne morejo več dovolj mocno od strani pritisniti lece, ki je zato preveč ploska, premalo izbočena (premalo »napihnjena«), torej premalo zbiralna. Zato imajo v očalih dodatne zbiralne (izbočene, konveksne) leče. Kratkovidni imajo ravno obratno napako; pri njih slika nastaja pred očesno mrežničo: ali zato, ker je njihovo oko predolgo, ali pa zato, ker njihova očesna leča premočno zbira žarke (je preveč izbočena). Zato potrebujejo v očalih dodatne razpršilne (vbočene, konkavne) leče. SLIKA1. Daljnovidnež pogosto gleda na dalec preko ocal, na blizu pa gleda navzdol skozi lece. Na sliki bivši ameriški predsednik Bill Clinton (www.concordmonitor.com/Archive/2016/ 01/BillClintonConcord-cm-012116). Leče so pri pomiku na koneč nosu tudi prečej nagnjene, a pri pogledu navzdol k časopisu ali k delu na mizi je pogled vseeno približno vzdolž osi leč. Za dober vid mora slika v očesu nastajati na zadnji steni očesa, na mrežniči, kjer so čutniče za vid. Daljnovidnim slika v očesu nastaja za očesno mrežničo: ali zato, ker imajo oko nekaj krajše od običajnega, ali pa zato, ker njihova očesna leča premalo močno SLIKA2. Daljnovidno oko je prekratko (ali pa leča v njem prešibka), zato slika ne nastane na mrežnici, ampak za njo. Kratkovidno oko pa je predolgo (ali pa leca v njem premocna), zato slika nastaja pred mrežnico (iz spletnega ucbenika fizike si.openprof.com/wb/opti\%C4\%8Dne_naprave?ch= 206#Kratkovidno_oko). Pri ljudeh, ki nimajo očal, a bi jih v resniči potrebovali, pogosto vidimo nekatere tipične načine, s katerimi si pomagajo, da bi bolje videli. Daljnovidni odmikajo knjigo ali časopis, saj na daleč vidijo bolje. To gre, dokler »roke ne postanejo prekratke« -takrat je pač treba po očala. Kratkovidni brez očal pogosto gledajo skozi priprte veke. S tem zmanjšajo PRESEK 45 (2017/2018) 1 43 FIZIKA —^ odprtino, skozi katero svetloba vstopa v oko (efektivno zmanjšajo odprtino zenice - to je »zaslonko«). Pri majhni odprtini je slika namrec ostrejša. Manjšo »zaslonko« lahko dobimo tudi pri gledanju skozi majhno luknjico kot na sliki 3. SLIKA 3. Pokojnega papeža Janeza Pavla II. je moc na kar nekaj fotografijah ali TV posnetkih videti, da si je zožil »zaslonko« tako, da je gledal skozi majhno luknjico, ki si jo je ustvaril tako, daje kazalec tesno zvil ob palec (www.evangelicaloutreach.org/ images/Pope-John-Paul-II-Eyes.jpg). Pri kratkovidnih z ocali vcasih opazimo, da repke ocal zadaj dvignejo nad ušesa, redkeje pa, da bi ocala spustili do konca nosu. Na oba nacina gledajo skozi lece postrani, ne pa vzdolž osi lece pravokotno na leco skozi njeno sredino (kar bi bilo sicer najbolje). Zakaj? Kaj se zgodi, ce skozi leco gledamo »postrani? Kje na nosu morajo biti očala? Oftalmologi in optiki priredijo ocala tako, da jih nosimo na grebenu nosu, tako da so lece na razdalji do od vrha puncice ocesa1; običaino je ta razdalja 1Tej razdalji rečejo verteks (latinsko vertex: vrh, maksimum; torej ie verteks razdalja od vrha izbokline roženice do leče, glej SLIKA 4. Z ocali je najbolje gledati »naravnost«, torej vzdolž osi lec v ocalih (levo). Vcasih pa kratkovidneži dvignejo repke ocal nad ušesa in gledajo poševno skozi ocala (sredina) - žarki od oddaljenih predmetov pridejo takrat glede na os lece »od zgoraj«; to jim očitno pomaga bolje videti. Pogled poševno skozi lece bi imeli tudi, ce bi spustili ocala na konec nosu - toda tedaj se ne bi lece le nagnile, ampak bi se hkrati povecala tudi razdalja od lec do oci, to pa bi kratkovidnežem zmanjšalo lomno ucinkovitost ocal. 14 mm. Pravimo, da sta dve leci lomno enako ucin-koviti, ce obe dajeta enako dobro sliko na mrežnici ocesa. Vzemimo za primer gledanje zelo oddaljenih objektov, od katerih prihajajo k ocesu vzporedni žarki. Ti se lomijo proti gorišcu na mrežnici ocesa. Gorišcna razdalja f od lece2 do mrežnice je vsota razdalje od lece do vrha roženice do, potem pa še razdalja d skozi oko od tam do mrežnice: f = do + d. Dolžina človeškega ocesa3 je okrog 24 mm, torej je f za ocala na grebenu nosu okrog 38 mm. Naj bo torej ena zbiralna leca na tej obicajni razdalji f od mrežnice. Leca, ki naj na mrežnici daje enako dobro sliko, a je za x dlje od mrežnice, pa ima vecjo go-rišcno razdaljo: f' = f + x. Leca dlje od ocesa je za enako dober vid torej lomno šibkejša. Oftalmologi npr. en.wikipedia.org/wiki/Vertex_distance). Ker smo ljudje razlicni, skrbni oftalmologi in optiki to razdaljo posebej izmerijo, kar je pomembno predvsem pri mocnejših lecah. 2Pri tem zanemarimo dejstvo, da gre pri cloveku z ocali pravzaprav za sestav treh »lec« - tiste v ocalih, pa potem roženice, ki prispeva približno tri cetrtine lomne ucinkovitosti ocesa, ter še ocesne lece, ki prispeva še cetrtino. Kako pridemo do efektivne ucinkovitosti sestava vec lec, razloži Gullstrandova enacba (glej npr. instrukcije.net/wp-content/uploads/ 2013/08/lece.pdf.). Razlaga enacbe za ucinkovistost lec je npr. na drdrbill.com/downloads/optics/ophth-optics/ Lens_Effectivity.pdf 3Po en.wi ki pedia.org/wi ki/Human_eye#Si ze. 12 PRESEK 45 (2017/2018)2 FIZIKA in optiki večinoma ne govorijo o goriščnih razdaljah, ampak o dioptrijah, ki so obratne vrednosti gorišč-nih razdalj. Torej je za prvo lečo D = 1/f, za drugo, šibkejšo, za x dlje od očesa, ki pa daje na mrežnici enako dobro sliko: D' = 1/(f + x). Ko obe enačbi povežemo, dobimo D' = D 1 + xD Na večji razdalji od oči bi daljnovidnežem (D > 0) za dober vid torej zadostovala tudi šibkejša leča (delimo z več kot ena, torej je D' manjši kot D). Ce pa očala z dioptrijo D pomaknemo na koneč nosu, je ta dioptrija pretirana - lomna učinkovitost očal je prevelika. Dlje od očesa je zbiralna leča, tem bolj učinkovita je njena lomnost. Zato si daljnovidneži s pomikom očal na koneč nosu lahko povečajo lomno učinkovitost. Pri kratkovidnežih (z razpršilnimi lečami pa je obratno - učinkovitost leč na konču nosu se zmanjša (negativna dioptrija D < 0, števeč manjši kot ena). Predvsem kratkovidneži uporabljajo tudi kontaktne leče, ki pa so na samem očesu in je zato x negativen: x = -d0. Negativna dioptrija D in negativni x - števeč večji od ena: zato so za kratkovidneže dioptrije kontaktnih leč praviloma šibkejše od dioptrij očal. Še kratka pripomba: večinoma ljudje rečejo »dioptrija plus tri« ali pa »dioptrija minus pet«. V resniči bi bilo treba reči »plus tri na meter« ali pa »minus pet na meter«, saj ti vrednosti -3 ali pa -5 veljata za enote m-1. (Ob uporabi čol ali jardov ali pa čenti-metrov bi bile številke drugačne!) Kratkovidnost in razpršilna leca mreč prak kratkim objavljen prispevek o fotografskih objektivih in o pravokotnem ter nagnjenem prehodu svetlobe skoznje [2]. Tam je razloženo marsikaj, kar je v zvezi tudi s temle prispevkom, poleg tega pa so leče obravnavane tudi v šoli. Zato se bomo tukaj zadovoljili kar z risbami, pri katerih za vsak prehod iz zraka v lečo ali obratno upoštevamo lomni zakon. Ta zakon je ena od zgolj dveh stvari, ki jih potrebujemo za obravnavo. Z lomnim količnikom pomnoženi sinus vpadnega kota je glede na pravoko-tničo na mejno ploskev konstanten: n sin a =konst. Za zrak je lomni količnik skoraj enak ena, za steklo pa je njegova vrednost 1,5. Tako velja ■ nzr sin azr = nst sin ast — sin azr = 1,5 sin ast. Sinus kota glede na pravokotničo je v zraku torej 1,5-krat tolikšen kot v steklu in zato je tudi kot azr vedno večji od kota ast. Poznati moramo tudi smer pravokotniče na ploskve leče. Pravkoten na kroglo ali krog je polmer R. Za polmer, ki seka krog na razdalji l od osi leče, velja (slika 5) ■ sin & = l/R. Zgolj ti dve enačbi zadoščata in že lahko se lotimo risanja žarkov. / / R / optična os leče 1 V-.... rr Najprej povejmo nekaj o normalnem gledanju krat-kovidnežev vzdolž osi skozi razpršilno lečo. Vzemimo za primer človeka, ki ima dioptrijo D = -5/m = 1/f. Goriščna razdalja f = -1/5 m = -20 čm. Clovek s tako dioptrijo zelo dobro vidi na razdalji 20 čm - torej brez težav bere brez očal. Tisti s šibkejšo dioptrijo, npr. -4/ m, dobro vidi na razdalji 25 čm, z dioptrijo -3 /m na razdalji 33 čm. Tu bomo preskočili vse razlage v zvezi z lečami, njihovimi gorišči in dioptrijami. V Preseku je bil na- SLIKA 5. Polmer R ima glede na os leče smer ki je za vsako razdaljo l od osi lece drugačna: sin

c Glej npr. sl.wikipedia.org/wiki/Astigmatizem_(oko). ro 6So pa tudi oftalmologi, ki pravijo, da za te argumente ni prepricljivih podatkov - npr. doctorbase.com/forum/post/ 28263/view. -o ro ro d c 5 PRESEK 45 (2017/2018)2 15 RAZVEDRILO 15 T3 4-J ro ^ Kaj pa, če bi tudi kratkovidneži očala nagnili tako, da bi jih spustili na konec nosu (kot na desni sliki 4)? S tem bi jih tudi nagnili, a obenem bi bile leče tudi dlje od očesa. Kot smo povedali že v poglavju o tem, kje na nosu naj bodo očala, to za kratkovidneže ni kaj koristno - lomna učinkovitost se za razpršilne leče pri večji oddaljenosti od očesa zmanjša. Za konec To, da imajo daljnovidneži pogosto očala na konču nosu je razumljivo: na daleč tako ali tako dobro vidijo tudi preko očal, skoznja gledajo samo na blizu (ponavadi malče navzdol) in na konču nosu imajo njihova očala tudi večjo lomno učinkovitost. Nagibanje očal z dviganjem repkov kratkovidne-žem pri izostritvi pogleda morda malče pomaga, a vseeno je bolje, da nam okulist določi tako dioptrijo, da bomo skozi očala videli dovolj dobro tudi brez nagibanja. Nagibanje namreč povzroči močno sferno aberačijo in zato tudi neenakomerno kvaliteto slike. No, če že, potem je vseeno bolje malo dvigniti repke očal, kot pa očala spustiti na koneč nosu. Nagibanje leč pa je kdaj lahko tudi zelo koristno. V že omenjenem Preseku je profesor Legiša [2] pojasnil tudi t. i. Sčheimpflugovo načelo, ki pove, da z nagibanjem objektiva glede na ravnino slike (po starem ravnino filma, danes pa tipala fotoaparata) lahko dosežemo, da so vsi predeli ravne ploskve, ki jo fotografiramo, na film ali na tipalo enako ostro preslikani. Literatura [1] Več internetnih virov, zajetih med 20. in 25. januarjem 2017. [2] P. Legiša, Fotografski objektivi in Sčheimpflugovo načelo, Presek 43, 2015/2016, 13-18. _ XXX Križne vsote -> Naloga reševalča je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 1 do 9 tako, da bo vsota števk v zaporednih belih kvadratkih po vrstičah in po stolpčih enaka številu, ki je zapisano v sivem kvadratku na začetku vrstiče (stolpča) nad (pod) diagonalo. Pri tem morajo biti vse števke v posamezni vrstiči (stolpču) različne. 12 11 \ 11 7 8 17 7 6 7 V 14 22 12 RES ITEV KRIŽ NE VSOTE E 6 6 S 8 22 E 6 S 41 ZL 6 8 * 17 Z * L L Z S < 21 www.dmfa.si XXX 18 PRESEK 45 (2017/2018) 2 18 ASTRONOMIJA Opoldanska senca v severni nebesni pol usmerjene ravne palice na treh ravninah -i' -i' -i' Marijan Prosen Dolžina opoldanske sence v severni nebesni pol usmerjene ravne palice na vodoravni ravnini Zadajmo si nalogo, da izračunamo dolžino 5 opoldanske sence, ki jo od Sonca osvetljena in v severni pol usmerena ravna palica z dolžino v meče na vodoravno ravnino (tla) v kraju na severni Zemljini poluti z geografsko širino & > 0 določenega dne v letu, ko je 5 deklinacija Sonca znana. Za deklinacijo Sonca velja omejitev -23,5° < 5 < 23,5°, kar pomeni, da leži med omenjenima vrednostma. Višinski kot p Sonca opoldne je ¡3 = 90° - (& - 5). Dolžina 5 opoldanske sence na vodoravni ravnini je enaka vsoti dolžin senc si in s2, torej je: ■s = v(cos& + sin& ■ tg(& - 5)) cos & ■ cos(& - 5) + sin & ■ sin(& - 5) v v cos(& - 5) cos 5 cos(& - 5)' Dolžino sence hitreje izracunamo po sinusnem izreku s _ sin(90° - 5) ' v = sin(90° - (& - 5)) in cos 5 5v cos(& - 5)' Zgledi ■ Ob enakonocju (5 = 0) je s = v / cos & in opoldanska dolžina sence pri znani dolžini palice je odvisna le od geografske širine. Na ekvatorju (& = 0) severni nebesni pol (Severnica) V. 5i = v cos & f/ <5y -v / v» / A/ vi vi s2 = tgp v v sin & = tg p f/ / sever /¡\ "i jug Si s vodoravna tla SLIKA 1. Dolžina sence palice opoldne je v tem primeru s = s1 + s2. Kot med palico in vodoravno ravnino je višinski kot severnega nebesnega pola in je enak zemljepisni širini & kraja, opoldanski višinski kot Sonca pa je p = 90° - (& - 5). je s = v. Palica je vodoravna, Soncevi žarki pa padajo nanjo pravokotno. Pri nas (& = 45°) je s = v/(\fl/2) = v42. Na severnem polu (& = 90°) pa je opoldanska dolžina sence nedolocena, saj je višinski kot Sonca nic (Sonce je na obzorju). Za kraje na Zemljinem ekvatorju (& = 0) je s = v cos 5/ cos(-5) = v; dolžina sence je vse leto konstantna. Na severnem Zemljinem polu je s = v cos 5/ sin 5 = v / tg 5 in je senca vidna samo spomladi ter poleti, ko je Sonce nad obzorjem in doseže ob poletnem Soncevem obratu najmanjšo dolžino (minimum) okoli 2,3v. PRESEK 45 (2017/2018) 1 19 ASTRONOMIJA —^ Na splošno se opoldanska dolžina sence 5 = v cos 5/ cos(< - 5) pri konstantnem < v casu enega leta spreminja od v cos23,5°/cos(< + 23,5°) do v cos23,5°/cos(< - 23,5°). Ce npr. vzamemo za v = 1 m in < = 45°, se dolžina sence spreminja od 1 m (poletni Sončev obrat) do 2,5 m (zimski Sončev obrat). Dolžina opoldanske sence v severni nebesni pol usmerjene ravne palice na navpični ravnini Zapicimo ravno palico v navpicno ravnino (steno) vzhod-zahod tako, daje usmerjena proti severnemu nebesnemu polu. Podnožišce palice leži v ravnini na severni strani, vrh palice pa je spušcen na južni. Kot, ki ga oklepa palica z navpicno ravnino, je 90° - <, ce je < severna geografska širina kraja (< > 0). Izracunajmo dolžino sence 5, ki jo opoldne od Sonca osvetljena v severni nebesni pol usmerjena ravna palica z dolžino d mece na navpicno ravnino (steno) v kraju z geografsko širino < dolocenega dne v letu, ko je deklinacija 5 Sonca znana. Za deklinacijo Sonca velja omejitev -23,5° < 5 < +23,5°. Sonce je opoldne na jugu. Dolžino 5 opoldanske sence te palice na navpicni ravnini izracunamo po sinusnem izreku 5/d = sin(90° + 5)/ sin (< - 5) in 5d cos 5 sin(< - 5)' < = 5 je dolžina sence neoprede- --^r 90° - < \ d 5 5 -90° + 5 5 /1^90° - (<- -5) jug sever vodoravna ravnina za (< - 5) = 0 ljena. Dolžina sence se med letom spreminja. Odvisna je od kraja < in letnega casa, kar pove deklinacija 5 Sonca, ki se med letom spreminja. Poleti so sence daljše kot pozimi. Zgledi ■ Ob enakonocju (5 = 0) sledi 5 = d/ sin <. Dolžina sence je pri znani dolžini palice odvisna le od kraja <. Za < = 0 (ekvator) je senca nedo-locena, saj se Sonce za kraje na ekvatorju ta dan giblje od vzhoda do zahoda natanko po nebesnem ekvatorju in je opoldne navpicno. Za < = 45° (približno v naših krajih) je 5 = d\[2. Za < = 90° je 5 = d in dolžina palice se projicira sama vase, kadar je pac Sonce nad obzorjem. SLIKA 2. Dolžina opoldanske sence 5, ki jo od Sonca osvetljena in v severni nebesni pol usmerjena ravna palica z dolžino d mece v kraju z geografsko širino < na navpicno ravnino vzhod-zahod. Opoldanski višinski kot Sonca je 90° - (< - 5), kot med smerjo Sončevega žarka opoldne in navpicno ravnino pa je (< - 5). Poleti je 5 > 0, pozimi je 5 < 0, ob enakonocjih pa 5 = 0. ■ Za kraje na Zemljinem ekvatorju (< = 0) je 5 = d cos 5/ sin(-5) = -d/ tg 5. Dolžina sence je odvisna le od 5. Ce je 5 = 0, je senca nedolocena. Vemo že, ce je 5 > 0, ne pride do sence, za 5 < 0 pa pride (od jesenskega do spomladanskega ena-konocja, torej vso jesen in zimo). ■ Na severnem Zemljinem polu (< = 90°) velja 5 = d cos 5/ cos 5 = d za vse leto, ko je Sonce nad obzorjem (spomladi in poleti). Na splošno se opoldanska dolžina sence 5 pri konstantnem < v casu enega leta spreminja od dcos(-23,5°)/sin(<+23,5°) do dcos23,5°/sin(<-23,5°). Za < > 23,5° je vedno zvezna krivulja, razen na severnem Zemljinem polu ob enakonocjih. Ce npr. vzamemo d = 1 min < = 45°, se dolžina sence spreminja od 1 m (zimski Soncev obrat) do 2,5 m (poletni Soncev obrat). 20 PRESEK 45 (2017/2018) 1 20 ASTRONOMIJA Dolžina opoldanske sence v severni nebesni pol usmerjene ravne palice na ekvatorialni ravnini Palico z dolžino oz. višino v zapicimo navpično v ekvatorialno ravnino tako, da njen vrh kaže v severni nebesni pol. Izračunajmo dolžino 5 opoldanske sence, ki jo od Sonca osvetljena palica, usmerjena proti severnemu nebesnemu polu, mece na ekvatorialno ravnino v kraju s severno geografsko širino p > 0 dolocenega dne v letu, ko je deklinacija 5 Sonca znana. Za deklinacijo Sonca velja omejitev -23,5° < 5 < +23,5°. Ekvatorialna ravnina oklepa z vodoravno kot (90° - p). V njej leži nebesni ekvator, po katerem se navidezno giblje Sonce ob enakonocjih. Sonce je opoldne na jugu. V tem primeru je opoldanska dolžina sence severni nebesni pol 5 = tg 5 in je neodvisna od p kar pomeni, da se v vseh krajih severne geografske širine enako spreminja. Za negativne vrednost 5 pa senca ni definirana, saj sence preprosto ni (glej sliko 3). Zgledi ■ Ob enakonocju (5 = 0) je dolžina sence palice neopredeljena za vse p. ■ Za kraje na Zemljinem ekvatorju (p = 0) je palica usmerjena vodoravno proti severnemu nebesnem polu. Sence so le, ce je 5 > 0, to je od spomladi do jeseni. Ob spomladanskem enakonocju je neopredeljena, nato se senca krajša in ob poletnem Soncevem obratu doseže najmanjšo vrednost (minimum v/tg23,5° = 2,3v), nato se veca do neopredeljenosti ob jesenskem enakonocju. Jeseni in pozimi pa sence ni (ni vidna), saj za 5 < 0 ni definirana. ■ Na severnem Zemljinem polu (p = 90°) je palica usmerjena navpicno proti severnemu polu in je ob spomladanskem enakonocju neopredeljena. Nato se krajša do najmanjše vrednosti 2,3v ob poletnem Soncevem obratu, daljša se do neopredeljenosti ob jesenskem enakonocju, potem pa Sonca sploh ni na spregled in sence ni, saj je Sonce pod obzorjem vso jesen in zimo. Nato se zadeva ponovi. 90° - p vodoravna ravnina SLIKA 3. V tem primeru je opoldanska dolžina sence 5 = v/ tg5 in je ob enakonocju neopredeljena. Definirana je le za pozitivne 5, saj samo tedaj pride do sence. Opazujemo jo lahko le od spomladanskega do jesesenskega enakonocja, kar velja za vse kraje na severni Zemljini poluti. Na splošno se torej dolžina sence 5 = v / tg 5 za vse kraje na severni Zemljini poluti v casu enega leta spreminja enako: od neopredeljene vrednosti ob enakonocjih do najmanjše vrednosti v/ tg23,5° ob poletnem Soncevem obratu. Ce npr. vzamemo v = 1 m in p = 45°, se dolžina sence spreminja od neopredeljene vrednosti do 2,3 m (poletni Soncev obrat). Naloge Pri risanju grafov velja omejitev -23,5° < 5 < 23,5°. Zato jih rišite od tocke do tocke. Pomagate si z astronomskimi efemeridami Naše nebo, ki jih vsako leto izdaja Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije (tu dobite podatke za deklinacijo Sonca) v PRESEK 45 (2017/2018) 1 21 ASTRONOMIJA —^ in žepnim računalom. Grafe narišite za dve zaporedni leti, tj. od prvega spomladanskega enakonočja mimo drugega do tretjega spomladanskega enakonočja. Vsakič sestavite tabelo: čas (datum) | 5 oziroma tabelo 5|5 in nato narišete graf. Seveda grafe lahko skičirate, s čimer si ustvarite samo kakovostno sliko poteka senč. Grafe smiselno komentirate. 1. naloga ■ Narišite graf 5 = čos 5/ čos(45° - 5), ki prikazuje, kako se med letom spreminja opoldanska dolžina senče metrske v severni pol usmerjene ravne pa-liče na vodoravna tla v kraju z geografsko širino p = 45°, to je približno tako kot pri nas. ■ Narišite graf 5 = čos 5/ čos(-5), ki prikazuje spreminjanje opoldanske dolžine senče metrske v severni nebesni pol usmerjene paliče na vodoravna tla v krajih na ekvatorju. ■ Narišite graf 5 = čos 5/ sin 5, ki prikazuje spreminjanje opoldanske dolžine senče omenjene metrske paliče na vodoravna tla na severnem Zemljinem polu. Upoštevajte samo 5 > 0, ko je Sonče nad obzorjem. Rešitve ■ V času enega leta se dolžina senče spreminja približno od okoli 1 m (minimum) do 2,5 m (maksimum). Senča je vidna vse leto. Krivulja, ki prikazuje potek dolžine senče med letom, je zvezna, to je nepretrgana. ■ V času enega leta se dolžina senče ne spreminja in je vse leto konstantna 1 m. ■ V času enega leta se dolžina senče spreminja od neopredeljene vrednosti do minimalne 2,3 m (ob poletnem Sončevem obratu). Opazujemo jo lahko le spomladi in poleti; jeseni in pozimi pa senče ni, saj je Sonče pod obzorjem. 2. naloga ■ Narišite graf 5 = čos 5/ sin(45° - 5), ki prikazuje, kako se med letom spreminja dolžina senče metrske v severni nebesni pol usmerjene ravne paliče na navpično ravnino vzhod-zahod v kraju z geografsko širino p = 45°, to je približno tako kot pri nas. ■ Narišite graf 5 = čos 5/ sin(-5) = -1/ tg 5, ki prikazuje spreminjanje dolžine senče v severni nebesni pol usmerjene metrske ravne paliče v ekvatorskih krajih na navpično ravnino. Upoštevajte le 5 > 0. ■ Narišite graf 5 = čos 5/ sin(90° - 5), ki prikazuje spreminjanje dolžine senče v severni nebesni pol usmerjene metrske paliče na severnem Zemljinem polu na navpično ravnino. Upoštevajte samo 5 > 0. ■ Ravno paličo z dolžino d zapičimo v navpično ravnino vzhod-zahod tako, da leži v smeri sever-jug (podnožišče paliče na ravnini je na severu, vrh na jugu) in oklepa z vodoravno ravnino kot 90° - p (paliča leži v ekvatorialni ravnini). Izračunajte dolžino najdaljše senče, ki jo od Sonča osvetljena paliča z dolžino d = 1 m v naših krajih s p = 45° opoldne meče na navpično ravnino. Razpravljajte o rezultatu. Narišite graf, ki prikazuje, kako se med letom spreminja opoldanska dolžina senče tako naklonjene metrske ravne paliče na navpično ravnino v kraju z geografsko širino p = 45° (približno tako kot pri nas): 5 = sin 5/ sin(45° - 5): [5 = d sin 5/ sin(p - 5) — 5 = sin23,5°/ sin21,5° = 1,09 m] Rešitve ■ V času enega leta se dolžina senče paliče spreminja približno od 1 m (minimum ob zimskem Sončevem obratu) do 2,5 m (maksimum). Senča je vidna vse leto. Krivulja, ki prikazuje potek dolžine senče med letom, je zvezna. ■ V času enega leta se dolžina senče paliče spreminja od nedoločene vrednosti ob enakonočjih do 2,3 m (minimum) ob zimskem Sončevem obratu. Senčo lahko opazujemo le v jesenskem in zimskem času, spomladi in poleti pa je ni, saj se Sonče giblje po nebu za steno. V času enega leta se dolžina senče ne spreminja, meri 1 m, in to od spomladanskega do jesenskega enakonočja (spomladi in poleti), jeseni in pozimi pa senče sploh ni, saj se Sonče giblje pod obzorjem. www.dmfa-zaloznistvo.si 22 PRESEK 45 (2017/2018) 1 22 RAZVEDRILO 3. naloga ■ Narišite graf 5 = i / tg 5, ki prikazuje, kako se med letom spreminja opoldanska dolžina senče metrske v severni pol usmerjene ravne paliče na ekvatorialno ravnino v poljubnem kraju severne geografske širine (tudi v tistem z geografsko širino op = 45°, približno tako kot pri nas). Krivulja ni zvezna, ob enakonočjih je pretrgana in vsako leto doseže minimum 2,3 m (ob poletnem Sončevem obratu). ■ Izračunajte dolžino najkrajše senče, ki jo od Sonča osvetljena navpična paliča z višino v = i m v naših krajih s qp = 45° meče na ekvatorialno ravnino. Senča je definirana, ko jo opazujemo, za 5 > 0. Razpravljajte o rezultatu: [s = v sin(o -5)/sin5 — s = sin2i,5°/ sin23,5° = 0,68 m] Narišite ali samo skičirajte graf, ki prikazuje, kako se med letom spreminja opoldanska dolžina senče metrske navpične paliče na ekvatorialno ravnino v kraju z geografsko širino qp = 45° (približno pri nas): s = sin(45° - 5)/ sin 5. ■ Izračunajte dolžino najkrajše senče, ki jo od Sonča osvetljena vodoravna paliča z dolžino d = i m v naših krajih s qp = 45° meče na ekvatorialno ravnino. Senčo opazujemo le, ko je 5 > 0. Razpravljajte o rezultatu: [s = d čos(o - 5)/ sin5 — s = čos 2i,5°/ sin23,5° = 2,33 m] Narišite ali samo skičirajte graf, ki prikazuje, kako se med letom spreminja dolžina senče metrske vodoravne paliče na ekvatorialno ravnino v kraju z geografsko širino qp = 45° (približno kot pri nas): s = čos(45° - 5)/sin5. Literatura [1] F. Avseč in M. Prosen, Astronomija, DMFA - založništvo, Ljubljana 2006. [2] M. Prosen, Astronomska opazovanja, Presekova knjižniča 3, DMFA - založništvo, Ljubljana i978. [3] M. Prosen, Ukvarjanje s senco, Presekova knjižniča 39, DMFA - založništvo, Ljubljana 2003. _ XXX RESITEV NAGRADNE KRlS ANKE presek 45/1 -> Pravilna rešitev nagradne križanke iz prve številke Preseka je Začetek šole. Izmed pravilnih rešitev so bili izžrebani Suzana Avšic iz Mirna, Karel Rankel iz Kranja in Alen Dudaric iz Celja, ki so razpisane nagrade prejeli po pošti. _ XXX PRESEK 45 (2017/2018) 2 23 RACUNALNIŠ TVO Rubikovo maščevanje; algoritem za reševanje Rubikove kocke 4 x 4 x 4 - 2. del Marko Jakovac V prejšnji številki revije Presek, natancneje v clanku [3], smo spoznali Rubikovo kocko dimenzije 4 x 4 x 4, ki jo poljudno imenujemo tudi Rubikovo mašcevanje. Za njeno reševanje smo izbrali algoritem, ki ga sestavljajo štirje koraki (enobarvne sredine, dvobarvni robovi, algoritem za Ru-bikovo kocko dimenzije 3 x 3 x 3 in OLL/PLL par-nost). Kako sestaviti enobarvne sredine, smo se že naucili, v tem clanku pa bomo predstavili še preostale tri korake. Pred nadaljevanjem še enkrat preverimo, da ima naša kocka pravilno sestavljenih vseh šest enobarvnih sredin (slika 1). Dvobarvni robovi Rubikovi kočki dimenzije 4 x 4 x 4 bomo sestavili vseh 12 robnih vrstič tako, da bo vsaka robna vr-stiča imela le dve barvi (obe kočkiči poljubne robne vrstiče bosta enaki). Algoritem bo potekal tako, da bomo najprej sestavili prvih osem dvobarvnih robnih vrstič in jih shranili v U-plast in D-plast, nato pa sestavili še zadnje štiri dvobarvne robne vrstiče. Opomba. Na slikah 2 in 5-12 bo temno siva robna vrstiča predstavljala robno vrstičo z dvema različnima robnima kočkičama. V primeru, da je temno siva robna vrstiča že ustrezna, po potrebi obrnite U-plast, da bo na ustreznem mestu vrstiča z dvema različnima robnima kočkičama. Cilj: sestaviti 12 dvobarvnih robnih vrstič. Pogled spredaj/levo/zgoraj Pogled zadaj/levo/spodaj SLIKA 1. Pravilno sestavljenih vseh šest enobarvnih sredin Postavitev kočke: kočko lahko pred vsakim korakom algoritma poljubno obrnete tako, da U-plast in D-plast ostaneta na svojem mestu ali zamenjata vlogi (kočko obrnemo na glavo). Ponavljajte, dokler v U-plasti in D-plasti skupaj ni osem dvobarvnih robnih vrstič. Ponavljajte, dokler v U-plasti in D-plasti skupaj ni osem dvobarvnih robnih vrstič in v u-plasti in d-plasti obstaja dvobarvna robna vrstiča. ■ Izberite poljubno dvobarvno robno vrstičo v u-plasti in d-plasti (v našem primeru zeleno-rdeča robna vrstiča). Ce so v U-plasti že štiri dvobarvne vrstiče, kočko obrnite tako, da U-plast postane D-plast in obratno (kočko obrnite na glavo). Kočko pripravite, kot prikazuje slika 2, in izvedite: Llevo, Ulevo, Ldesno. Opomba. Ta korak zamenja dvobarvno robno vrstičo v u-plasti in d-plasti z robno vr-stičo z dvema različnima robnima kočkičama v U-plasti. 24 PRESEK 45 (2017/2018) 2 24 RACUNALNIŠ TVO Pogled spredaj/levo/zgoraj Pogled spredaj/levo/zgoraj SLIKA 2. Zamenjava dveh robnih vrstic Ponavljajte, dokler v U-plasti in D-plasti skupaj ni osem dvobarvnih robnih vrstic in v u-plasti in d-plasti ne obstaja dvobarvna robna vrstica. ■ Izberite poljubno robno kockico v u-plasti in poiščite njej enako drugo robno kockico (v našem primeru rumeno-modri robni kockici na slikah 3-12). ■ Če so v U-plasti že štiri dvobarvne vrstice, kocko obrnite tako, da U-plast postane D-plast in obratno (kocko obrnite na glavo). ■ Če je ena izmed izbranih robnih kockic v U-plasti, kot prikazujeta sliki 3 ali 4, izvedite: Rdesno Ulevo Rlevo Opomba. Ta korak premakne izbrano robno kockico iz U-plasti v eno izmed srednjih plasti. Pogled spredaj/levo/zgoraj X \ \ SLIKA 3. Postavitev ene izmed dveh izbranih robnih kockic v U-plasti ■ Če obstaja postavitev izbranih robnih kockic kot prikazuje slika 5, izvedite: ddesno, Rdesno Ulevo Rlevo dlevo ■ Če obstaja postavitev izbranih robnih kockic kot prikazuje slika 6, izvedite: dlevo, Llevo Udesno Ldesno dlesno ■ Če obstaja postavitev izbranih robnih kockic kot prikazuje slika 7, izvedite: d2, Rdesno \ s \ \ V \ X \ \ V N \ \ \ \ V \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ SLIKA 4. Postavitev ene izmed dveh izbranih robnih kockic v U-plasti Pogled spredaj/levo/zgoraj Pogled zadaj/levo/zgoraj SLIKA 5. Postavitev dveh izbranih robnih kockic Pogled spredaj/levo/zgoraj Pogled zadaj/levo/zgoraj SLIKA 6. Postavitev dveh izbranih robnih kockic Ulevo Rlevo d 2 Če obstaja postavitev izbranih robnih kockic kot prikazuje slika 8, izvedite: d2, Ldesno Udesno Llevo d2 Če obstaja postavitev izbranih robnih kockic kot prikazuje slika 9, izvedite: L2, d2, Rdesno Ulevo Rlevo d 2 Če obstaja postavitev izbranih robnih kockic kot prikazuje slika 10, izvedite: L2, d2, Ldesno Udesno Llevo d2 PRESEK 45 (2017/2018) 2 25 RACUNALNIŠ TVO —^ Pogled spredaj/levo/zgoraj Pogled zadaj/levo/zgoraj Pogled spredaj/levo/zgoraj Pogled zadaj/levo/zgoraj SLIKA 7. Postavitev dveh izbranih robnih kockic SLIKA 10. Postavitev dveh izbranih robnih kockic Pogled spredaj/levo/zgoraj Pogled zadaj/levo/zgoraj Pogled spredaj/levo/zgoraj Pogled zadaj/levo/zgoraj SLIKA 8. Postavitev dveh izbranih robnih kockic SLIKA11. Postavitev dveh izbranih robnih kockic Pogled spredaj/levo/zgoraj Pogled zadaj/levo/zgoraj SLIKA 9. Postavitev dveh izbranih robnih kockic ■ Ce obstaja postavitev izbranih robnih kočkič, kot prikazuje slika ii, izvedite: L2, ddesno, Rdesno ylevo Rlevo dlevo ■ Če obstaja postavitev izbranih robnih kočkič, kot prikazuje slika i2, izvedite: L2, dlevo, Llevo ydesno L^esno dlesno Opomba. Koraki sestavijo dvobarvno robno vrstičo dveh izbranih robnih kočkič in jo zamenjajo z robno vrstičo v U-plasti z dvema razliČčnima robnima kočkičama. Pogled spredaj/levo/zgoraj Pogled zadaj/levo/zgoraj SLIKA 12. Postavitev dveh izbranih robnih kockic ■ Ponavljajte, dokler kočka ne vsebuje i2 dvobarvnih robnih vrstič. Izberite poljubno robno kočkičo v u-plasti, ki ne sestavlja dvobarvne robe vrstiče, in poiščite njej enako drugo robno kočkičo (v našem primeru belo-oranžni robni kočkiči na slikah i3-20). ■ Če obstaja postavitev izbranih robnih kočkič, kot prikazujeta sliki i3 ali i4, izvedite: ddesno, Rdesno plevo ušesno Rlevo pdesno dlevo 26 PRESEK 45 (2017/2018) 2 26 RACUNALNIŠ TVO Pogled spredaj/levo/zgoraj Pogled zadaj/levo/zgoraj Pogled spredaj/levo/zgoraj Pogled zadaj/levo/zgoraj SLIKA 13. Postavitev dveh izbranih robnih kockic SLIKA 16. Postavitev dveh izbranih robnih kockic Pogled spredaj/levo/zgoraj Pogled zadaj/levo/zgoraj SLIKA 14. Postavitev dveh izbranih robnih kockic Pogled spredaj/levo/zgoraj Pogled zadaj/levo/zgoraj SLIKA 15. Postavitev dveh izbranih robnih kockic Ce obstaja postavitev izbranih robnih kockic kot prikazujeta sliki 15 ali 16, izvedite: L2, d2 Rdesno plevo ydesno Rlevo pdesno d2 Če obstaja postavitev izbranih robnih kockic kot prikazujeta sliki 17 ali 18, izvedite: d2 Rdesno plevo ydesno Rlevo pdesno d2 Če obstaja postavitev izbranih robnih kockic kot prikazujeta sliki 19 ali 20, izvedite: L2 ddesno Rdesno plevo ydesno Rlevo pdesno dlevo Pogled spredaj/levo/zgoraj Pogled zadaj/levo/zgoraj SLIKA 17. Postavitev dveh izbranih robnih kockic Pogled spredaj/levo/zgoraj Pogled zadaj/levo/zgoraj SLIKA 18. Postavitev dveh izbranih robnih kockic Če ste uspešno izvedli vse korake , potem bi morala kocka imeti pravilno sestavljenih vseh šest enobarvnih sredin ter 12 dvobarvnih robnih vrstic (primer na sliki 21). Najtežji del je sedaj za nami, saj sledi le še sestavljanje Rubikove kocke dimenzije 3 x 3 x 3 in nekaj morebitnih zakljucnih popravkov na njej. PRESEK 45 (2017/2018) 2 27 RAČUNALNIŠTVO —^ Pogled spredaj/levo/zgoraj Pogled zadaj/levo/zgoraj SLIKA 19. Postavitev dveh izbranih robnih kockic SLIKA 22. Rubikova kocka dimenzije 4 x 4 x 4 kot Rubikova kocka dimenzije 3 x 3 x 3 Pogled spredaj/levo/zgoraj Pogled zadaj/levo/zgoraj SLIKA 20. Postavitev dveh izbranih robnih kockic Pogled spredaj/levo/zgoraj Pogled zadaj/levo/spodaj SLIKA 21. Primer pravilno sestavljenih 12 dvobarvnih robov Algoritem za Rubikovo kocko dimenzije 3 x 3 x 3 Po uspešnem sestavljanju enobarvnih sredin in dvobarvnih robov smo Rubikovo kocko dimenzije 4 x4 x 4 preoblikovali tako, da jo lahko rešimo s pomocjo algoritma za sestavljanje Rubikove kocke dimenzije 3 x 3 x 3. Najprej si predstavljajmo, da na Rubikovo kocko dimenzije 4 x 4 x 4 pogledamo, kot prikazuje slika 22. Ce smo vse dosedanje korake sestavljanja naredili pravilno, bi v strukturi Rubikove kocke di- menzije 4 x 4 x 4 morali prepoznati Rubikovo kocko dimenzije 3 x 3 x 3. Od tu naprej je reševanje prepušceno vsakemu posamezniku, saj poznamo veliko algoritmov, s pomo-cjo katerih lahko rešimo Rubikovo kocko dimenzije 3 x 3 x 3. Mi se bomo v nadaljevanju osredotocili na Fridrichino metodo [4], ki je bila uporabljena tudi v clanku [8]. Ta metoda, kot tudi mnoge druge, predvideva, da kocko rešujemo po plasteh. Reševanje prvih dveh plasti bi moralo potekati brez težav, in ce imamo sreco, bo brez težav potekalo tudi reševanje zadnje plasti. Obicajno pa ugotovimo, da je Rubi-kova kocka dimenzije 4 x 4 x 4 v zadnjem koraku za nas prihranila še zadnje dejanje svojega mašcevanja. Pri reševanju zadnje plasti se lahko zgodi, da rešujemo nerešljivo Rubikovo kocko dimenzije 3 x 3 x 3. Do tega pride, ker smo pred tem loceno sestavljali sredine in robne vrstice. Hiter razmislek pove, da lahko sredine in robne vrstice sestavimo na vec kot le en nacin (zamenjamo diagonalni kockici v poljubni sredini, ali zamenjamo obe kockici v poljubni robni vrstici). Oba problema lahko le v nekaj korakih elegantno odpravimo s prepoznavanjem OLL in PLL par-nosti, ki sta opisani v naslednjem poglavju. Glede na opisano težavo imamo dve možnosti, kako do konca rešiti Rubikovo kocko dimenzije 4x4x4. Ko s pomocjo algoritma za reševanje Rubikove kocke dimenzije 3 x 3 x 3 rešimo prvi dve plasti, se lotimo še reševanja tretje plasti in pri tem ignoriramo morebitne napake v zadnji plasti. Vse napake nato odpravimo na koncu s pomocjo algoritma za OLL in/ali PLL parnost. Bolj izkušeni sestavljavci bodo napake v zadnji plasti opazili, še preden se bodo lotili njenega reševanja, jih odpravili in nato do konca rešili zadnjo plast. 28 PRESEK 45 (2017/2018) 1 28 RAČUNALNIŠ TVO OLL in PLL parnost Predpostavimo, da sta prvi dve plasti Rubikove koč-ke dimenzije 3x3x3 že rešeni, kar za nas pomeni, da imamo v Rubikovi kočki dimenzije 4 x 4 x4 rešene že tri od štirih plasti. Kočko nato obrnemo tako, da četrta, nerešena plast postane U-plast (zgornja plast). Privzemimo, da smo s pomočjo algoritma za reševanje Rubikove kočke dimenzije 3 x 3 x 3 reševali tudi zadnjo plast. Pri tem lahko nastopita dve napaki v postaviti kočk zadnje plasti, ki ju imenujemo OLL in PLL parnost. V primeru, da na zadnji ploskvi ostane nerešena zgolj ena robna vrstiča z napačno orientačijo, jo imenujemo OLL parnost. Le-ta nastane pri neustreznem predhodnem sestavljanju sredin Rubikove kočke dimenzije 4 x 4 x 4, saj bi štiri enake sredinske koč-kiče lahko postavili tudi drugače, ko smo tvorili enobarvne sredine. Primer OLL parnosti lahko vidimo na sliki 23. Problem OLL parnosti odpravimo z naslednjim algoritmom. Pogled spredaj/levo/zgoraj SLIKA 23. Primer OLL parnosti Ce pa na zadnji ploskvi ostaneta nerešeni dve robni vrstiči, ki sta zgolj napačno permutirani, ali pa ostaneta nerešeni dve kotni kočkiči, ki sta prav tako napačno permutirani, govorimo o PLL parnosti. Le-ta nastane pri neustreznem predhodnem sestavljanju robnih vrstič Rubikove kočke dimenzije 4 x 4 x 4, saj bi v poljubni robni vrstiči dve enaki robni kočkiči lahko postavili tudi tako, da ju zamenjamo. Primere PLL parnosti lahko vidimo na slikah 24-27. Problem PLL parnosti odpravimo z naslednjim algoritmom. Pogled spredaj/levo/zgoraj Pogled zadaj/levo/zgoraj SLIKA 24. Primer PLL parnosti Pogled spredaj/levo/zgoraj Pogled zadaj/levo/zgoraj SLIKA 25. Primer PLL parnosti Cilj: odpraviti OLL parnost. Postavitev kočke: kočko postavite tako, da se nepravilno orientirana robna vrstiča nahaja na robu med U-plastjo in F-plastjo (primer na sliki 22). ■ Izvedite: r2, B2, U2, ldesno, U2, rlevo, U2, rdesno, U2, F2 rdesno f2 llevo B2 r2 Opomba. Ta korak popravi orientačijo robne vr-stiče, a ponovno premeša U-plast (zadnjo plast). ■ S pomočjo algoritma za sestavljanje Rubikove kočke dimenzije 3 x 3 x 3 ponovno sestavite U-plast (zadnjo plast). Pogled spredaj/levo/zgoraj Pogled zadaj/levo/zgoraj SLIKA 26. Primer PLL parnosti - -> PRESEK 45 (2017/2018) 1 29 RAČUNALNIŠTVO —^ Pogled spredaj/levo/zgoraj Pogled zadaj/levo/zgoraj SLIKA 27. Primer PLL parnosti Cilj: odpraviti PLL parnost. Postavitev kocke: kocko postavite tako, da se ena izmed napacno permutiranih robni vrstic ali kotnih kocki nahaja na robu med U-plastjo in F-plas-tjo (primeri na slikah 24-27). ■ Izvedite: r2, U2, r2, U2, u2, r2, u2. Opomba. Ta korak popravi permutacijo robnih vrstic ali kotnih kockic, a ponovno premeša U-plast (zadnjo plast). ■ S pomocjo algoritma za sestavljanje Rubikove kocke dimenzije 3 x 3 x 3 ponovno sestavite U-plast (zadnjo plast). Zaključek Ce je vaša Rubikova kocka dimenzije 4 x4 x4 takšna, kot prikazuje slika 28, potem ste uspešno prebrodili vse korake njenega reševanja. Čestitam! V nasprotnem primeru nic hudega, saj lahko poskusite ponovno. Pogled spredaj/levo/zgoraj Pogled zadaj/levo/spodaj SLIKA 28. Sestavljena Rubikova kocka dimenzije 4 x 4 x 4 Ceprav reševanje Rubikove kocke dimenzije 4x4x 4 zahteva precej napora, vas bo presenetilo dejstvo, daje lažje rešiti Rubikovo kocko dimenzije 5 x 5 x 5. Prav ste prebrali, tudi ta obstaja in jo poljudno imenujemo Profesorjeva kocka [5]. Za razliko od Rubikove kocke dimenzije 4 x 4 x 4, se pri Rubikovi kocki dimenzije 5 x 5 x 5 (tako kot pri Rubikovi kocki dimenzije 3 x 3 x 3) sredinska kockica ne premika in nam nudi oporo pri njenem reševanju. Pravzaprav naš razmislek velja tudi v splošnem, da je Rubikove kocke sodih dimenzije težje reševati kot Rubikove kocke lihih dimenzij. Kaj torej še čakate? Ce ste uspešno rešili Rubikovi kocki dimenzij 3 x 3 x 3 in 4 x 4 x 4, potem ste pripravljeni tudi na reševanje vecjih Rubikovih kock. Zelo hitro boste ugotovili, da vam bodo poteze, ki ste se jih naucili do sedaj, koristile tudi pri reševanju vecjih kock. Literatura [1] Best Speed Cubes, dostopno na www. bestspeedcubes.com/4x4-rubi ks-cubes/, ogled 22. 4. 2017. [2] How to Solve the Rubik's Cube! (Beginner Method), dostopno na www.youtube.com/watch? v=tYmtdFM1Zwk, ogled 22. 4. 2017. [3] M. Jakovac, Rubikovo maščevanje: algoritem za reševanje Rubikove kočke 4x4x4 - 1. del, Presek 44 (2017/2018), 1, 22-29. [4] Jessiča Fridričh, dostopno na www.ws. binghamton.edu/fridrich/, ogled 22. 4. 2017. [5] Professor's Cube, dostopno na en.wikipedia. org/wiki/Professor\%27s\_Cube, ogled 22. 4. 2017. [6] Rubik's Revenge, dostopno na: en.wikipedia. org/wi ki/Rubi k\%27s\_Revenge, ogled 22. 4. 2017. [7] Solving the Rubik's Revenge (x4 x 4), dostopno na www.speedcubing.com/chris/ 4-sol uti on . html, ogled 22. 4. 2017. [8] N. Špur, Algoritem za reševanje Rubikove kočke, Presek 42 (2014/2015), 4, 23-29. _ XXX 30 PRESEK 45 (2017/2018) 1 30 RAZVEDRILO Gibanje zamrznjeno v casu nU vU NU Aleš Mohoriš -> Nedavno je bilo v norveškem Bergnu svetovno prvenstvo v kolesarstvu. Na kronometru je izvrstno drugo mesto dosegel naš Primož Roglič. Med navdušenimi navijači ob progi je bila tudi Slovenka, ki živi v Bergenu; prav ona je posnela tokratno naravoslovno fotografijo. Fotografija je posneta s posebno tehniko fotografiranja s sledenjem objektu (angleško panning). To tehniko pogosto uporabimo, kadar želimo na fotografiji ustvariti vtis gibanja; z njo fotografiramo objekt, ki se giblje. Cas osvetlitve podaljšamo. Med fotografiranjem objekt spremljamo s kamero, tako da kamero vrtimo okrog osi, pravokotne na smer gibanja objekta in na smer, v kateri je objekt. Pri tem ostane objekt na fotografiji pri miru in oster, okoliča pa se zabriše. Telesa v ozadju, ki pravzaprav mirujejo, se na sliki premaknejo vsa enako, točke na kolesu bičikla pa sorazmerno njihovi oddaljenosti od osi. To je jasen znak, da je obodna hitrost krožečega telesa sorazmerna polmeru krožniče. Iz časa osvetlitve in dolžine sledi na fotografiji, ki jo izrazimo z dolžino znanega telesa na fotografiji, lahko izračunamo hitrost objekta. V našem primeru upoštevamo premer kolesa 66 čm, čas osvetlitve 1/200 s in dolžino sledi, ki jo na fotografiji pusti mirujoče telo, ter pridemo do hitrosti 30 km/h. Razmislite, katere podatke bi potrebovali, da ugotovite razdaljo med fotografinjo in Primožem. SLIKA 1. Levo: fotografija Primoža Rogliča med izvrstno vožnjo, s katero je osvojil drugo mesto na kronometru svetovnega prvenstva v kolesarstvu, narejena s tehniko sledenja objektu. Desno: povečana podrobnost slike, z označenimi premiki točk na telesu - telesa v ozadju se med časom osvetlitve na fotografiji premaknejo vzporedno za toliko, kot je označeno z rdečima navpičnima črtama; točke, ki krožijo (točke na kolesu krožijo okoli osi), se premaknejo sorazmerno svoji oddaljenosti od osi. Fotografija: Tina Pavlin _ XXX PRESEK 45 (2017/2018) 2 31 Matematični kenguru Osnovna naloga tekmovanja Kenguru je popularizačija matematike. Zanimiv, zabaven in igriv način zastavljanja matematičnih problemov je pripomogel, da se je tekmovanje kmalu razširilo po vsej Evropi, hkrati pa so se v tekmovanje vključevali tudi otroči in mladostniki iz drugih držav sveta. Tekmovanje je preseglo evropske okvire in postalo Mednarodni matematični kenguru. Leta 2016 se ga je udeležilo več kot 6 milijonov tekmovalčev iz več kot 60 držav sveta. V Sloveniji Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije organizira tekmovanje za učenče od prvega razreda osnovne šole do četrtega letnika srednje šole. Poseben izbor je pripravljen za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol, za dijake srednjih pokličnih šol ter za študente. Naloge, zbrane v teh knjigah, so najboljše možno gradivo za pripravo na prihodnja tekmovanja. Predvsem zato, ker je vsaki nalogi dodana podrobno razložena rešitev, ki bralča vodi v logično mišljenje in spoznavanje novih strategij reševanja. Marsikatera naloga, kije sprva na videz nerešljiva, postane tako dosegljiv iskriv matematični izziv. MEDNARODNI MATEMATIČNI KENGURU 2012-2016 10,99 EUR 18,74 EUR 14,50 EUR 23,00 EUR Pri DMFA-založništvo je v Presekovi knjižniči izšlo že pet knjig Matematičnega kenguruja. Na zalogi so še: • Evropski matematični kenguru 2002-2004, • Mednarodni matematični kenguru 2005-2008, • Mednarodni matematični kenguru 2009-2011, • Mednarodni matematični kenguru 2012-2016 (novost). Poleg omenjenih ponujamo tudi druga matematična, fizikalna in astronomska dela. Podrobnejše predstavitve so na spodnjem naslovu, kjer lahko vse publikačije tudi naročite: http://www.dmfa-zalozni stvo.si/ Individualni naročniki revije Presek, člani DMFA Slovenije, dijaki in študentje imate ob naročilu starejših zbirk nalog pri DMFA-založništvo 20 % popusta na zgornje čene - izkoristite ga! RAZVEDRI LO n|/ n|/ n|/ Nagradna križanka ZMAGO SAGADIN NEKDANJA ADMINISTRATORS ZA STROJNO PISANJE OVENČANI NAGRAJENEC MOČVIRSKA RASTLINA RAČUNALNIŠKO MED-MREZJE ZMAGOSLAVJE BLONDINEC Z ODTENKOM RUMENE BARVE NEMŠKI HIGIENIK (WILHELM) JAMSKI SIFON IVAN MINATTI PRAVILNI ŠTIRI-KOTNIK SPOGLED- ________ UIVOST «ggji NA VRTU HIŠICA LEVI PRITOK BOSNE PRI DOBOJU USIHANJE HRBTNEGA MOZGA POUSKO MESTO ORODJE PRI PLUGU ŽAMETU PODOBNA TKANINA REKA NAJUGU PORTUGALSKE NEMŠKI SKLADAT. (KASPAR) REKA SENA PO FRANC. GRČASTA IZBOKLINA NA STEGNENICI, TROHANTER ŽIVLJENJSKA DOBA RADIOAKT. DELCEV KLJUN STIKLJIV OTROK VPRAŠAL- NICA PO ČASU NAŠ SKLADATELJ (RISTO) SILVA ČEH KOVINSKA POSODA ZA DROBLJENJE, MOZNAR MESTO OB REKI ROCK RIVER V ILLINOISU PROSOJNA MEGLICA GL. MESTO FERSKIH OTOKOV STAR IZRAZ ZA ANTRAKS IZDELOVALEC OSTREŠIJ INDIJSKA DRŽAVA V ZALEDJU BENGAL. ZALIVA VELIK PERZIJSKI MITIČNI PTIČ OČKA STRELJANJE NA LETEČE TARČE POKOJNI TURŠKI TIRANSKI VODITELJ (KENAN) TRTNI. ZAVIJ AC (NAREČNO) CEPLJENJE DRV OBRAMBNI SKOK VRATARJA PRI NOGOMETU ČRPALKA, DELUJOČA NA CUREK VODE AL IE NASILNA PRISVOJITEV TUJE STVARI NAŠ STROKOVNJAK ZA POMOR. PRAVO (MARKO) MOČNO POŽELENJE NEM. ML PISATELJ ODRSKO DELO V OBLIKI DIALOGOV KANADSKO-AMERIŠKI IGRALEC CARREY OKROGLA PLETENA POSODA CITROENOV OLDTIMER MED SEBOJ POVEZANI KRAJANI, SOSESKA AMERIŠKA USTANOVA ZAVESOU. RAZISKAVE EDEN DREVESNA ŽIVAL IZ TROPSKE AZLJE, BINTURONG AVTOBUSNA CENJEN, UPOŠTEVAN ČLOVEK 16 PRESEK 45 (2017/2018) 2 RAZVEDRILO "SRCE" NUKLEARKE KRAJ NA GORIŠKEM DUHOVNI DVOJNIK FIZIČNEGA TELESA V OKULTIZMU ALOJZIJ VADNAL ŠUM VODE, KI PREHAJA ČEZ OVIRO SKUPNOST PRVEGA IN DRUGEGA ENORAZ-SEŽNA GEOMETRIJSKA TVORBA RAČUNALNIKOV DELOVNI POMNILNIK REZILNI PRIBOR IZRAZIT RT PRI VALENCII STARO-VESKA JUDOVSKA MENIŠKA SKUPNOST ENAKI ČRKI IME FRAN-KOVSKIH KRALJEV ZAPESTNICI PODOBEN PREDMET NA NADLAKTI JULIJ NARDIN V OTROK, ŽIVEC NAŠ IGRALEC NAMIZNEGA TENISA (BOJAN) ODSTRANJENA LUPINA ANGLEŠKO IME ZA DUNAJ ŽENA, KIJE DALJ ČASA BREZ MOŽA FILMSKI JUNAK VENTURA KRAJ PRI GROSUPUU NAJFINEJŠI PESEK PRIPRAVA ZA UBIJANJE Z UDARCEM AJATOLA ODPRTINICA V ZIDU PORTUGAL. PISATELJ (FERNANDO) NAS MAKRO-EKONOMIST (MOJMIR) ŠPAR-TANSKI KRAU NEKD. FR. KOLESAR (JACQUES) NAŠI MOTO KROSISTI POLJE _ 11fa IGRIŠČA HUMORISTKA PUTRIH DUH, DUŠA NORVEŠKO MESTO PRI OSLU STARI OCE SOCIALNA ŽUŽELKA PODREDNI VEZNIK REŽISERKA IN FOTO-GRAFINJA RIEFENSTAHL PRIŽNICA VMOSEJI ČRNO-BEL ROPARSKI DELFIN POČIVALNIK PRED TELEVIZORJEM ŠPORT ZZOGO CERKVENO POGOSTO HRVAŠKO MOŠKO IME 3. OSEBA EDNINE OPEČNA STENA PLOŠČATO REZILO ŽAGE BRITANSKA PEVKA (RITA) STRANICA TRAPEZA BRITANSKI MITIČNI KRAU GLASBENIK IN IMITATOR ARTAČ SLOG PLAVANJA SOLSKA TRAJA 45 MINUT GLAVNO .MESTO SKOTSKE IVAN TAVČAR ORGAN, KI IZRAZA ZELO MAJHNO STOPNJO SOBNA RASTLINA S PRSTA-STIMI USTI PRIO-STRENA KONICA RAKETNI MODELAR NAGRADNI RAZPIS -> Crke iz oštevilčenih polj vpišite skupaj z osebnimi podatki v obrazeč na spletni strani www.presek.si/kri zanka ter ga oddajte do 1. decembra 2017, ko bomo izžrebali tri nagrajenče, ki bodo prejeli knjižno nagrado. _ X X X _ PRESEK 45 (2017/2018) 3 64