Narodna in univerzitetna knjižnica

▼ Ljubljani


NAVOD

K POČETNEMU

RISANJU IN OBLIKOSLOVJU.

METODIČNA RAZPRAVA ZA LJUDSKE ŠOLE.

NAPISAL

JOS. BEZLAJ.

IZDALO IN Z AL OŽILO

V/ V/ v/

V LJUBLJANI.

HATISHIL J. H. MILIC.

VJl h f

34496

/. * v  t*\

:i >f ; t - 1

•*A *•/

*> /

1  /


Predgovor.

Potrebo takega spisa v domačem jeziku bode spoznal
vsak, ki je skusil, kako težavno je po nemških knjigah učiti
v slovenskih šolah, ali ki je imel priliko, opazovati slabe
vspehe v risanji na naših kmetskih šolah. Ker je zaradi pre¬
velikih stroškov pri nas skoraj nemogoče izdati izvirno risarsko
zbirko, odločil sem se za najbolj razširjeno Grandauerjevo
„Elementar-Zeichenschule 11 . Držal sem se tudi njegovega
nemškega navoda „Anleitung zum Gebrauche der Elementar-
Zeichenschule", vender sem marsikaj izpremenil in dopolnil
v smislu najnovejše risarske metodike in modernih nazorov
o risanji. — Konečno sem dodal še obširnejšo razpravo o
perspektivi.

II. oddelek obsega izvirno razpravo o oblikoslovji,  ki
se v ljudski šoli sedaj poučuje deloma pri risanji, deloma pri
računstvu. Pri risanji spoznavajo učenci razne oblike in telesa,
pri računstvu se uče izračunati njih obseg (obod) in njih plo¬
ščino (vsebino), oziroma pri telesih — površino in telesni no

J. B.

Splošne opazke o risanji.

1. Vsak otrok ima sposobnost za risanje; razlika glede
nadarjenosti je taista, kakor pri drugih predmetih.

2. Sicer ne bo vsak imeniten slikar, kdor se uči risanja,
kakor tudi ne postane vsak pesnik, kdor se uči slovnice, ali
ne slavni računar, kdor se uči računstva. Toda risanje je neizo¬
gibno potrebno k splošni omiki, ker ono razvija estetični čut
in izurja duševno opazovanje.

3. Z risanjem urimo roko, vadimo oko in bistrimo duh
(ogledovanje, opazovanje, produciranje in lastno tvorjenje se
razvija pri risanji), vzgojamo pa tudi spomin in estetični okus.

4. Risanje je tudi velike važnosti za obrt.

5. Posebno važen je osnovni pouk, in ta se najbolje do¬
seže s pravilnim risanjem raznih oblik (ornamentalno risanje).
Najprvo risatno preme, potem premočrtne like, krivulje,
krivuljaste like, nadalje geometrijske in rastlinske ploskvene
ornamente; kasneje šele geometrijske telesne like in plastične
(telesne) ornamente (od gipsa). Kakor hitro mogoče, pričnimo
tudi z risanjem brez stigem.

V 4. razredu naj učenci že risajo meandre, zvezdne,
križne in vezane like na podlagi trikotnika in štirikotnika. Jako
koristne so tudi vaje v didaktnem (narekovalnem) risanji. Učitelj
naj na tej in na nižji stopinji vedno sam riše na tablo. Ako
je to risanje tudi v zvezi s primernimi pojasnili, spoznavajo
učenci natanko posamne dele narisane podobe in njih karak¬
teristiko v obliki kakor tudi celi lik. Pouk mora biti vedno
skupen s celim razredom.

V 8. razredu naj učitelj ne riše več na tablo, pač pa
naj večkrat učencem pojasni na tabli razne posebnosti kakega
lika ali pa občne napake, ki jih delajo učenci. Pri izbiri
predlog naj se učitelj tudi nekoliko ozira na individualno na¬
darjenost posamnika. Ta se najbolje pokaže v 12. in 13. letu.

6. Pouk v risanji naj bode skupen. Vsi učenci naj ri¬
šejo jedno in isto podobo s table. Izjema je le pri risanji
po predlogah (posebno barvanih) in pri risanji po modelih.
V zadnjem letu torej odpade skupni pouk.

6

7. Pouk mora biti zmožnostim učencev primeren. Učni
navod se mora počasi pomikati od lažjega k težjemu. Vsakatero
risarsko vajo moramo opustiti, ako pospešuje le mehanično
spretnost. Risarije na tabli mora učitelj vedno vpričo učencev
in v veliki meri izvrševati. Učitelj mora učencem tudi vsekdar
natanko razložiti, v kaki velikosti (meri) naj rišejo in na ka¬
terem prostoru (na svojem papirji). Marsikateri naris je treba
zaradi lepšega risati v mali meri, zopet drugega v veliki meri.

8. Risati naj prično učenci vedno s svičnikom, pozneje
šele sinejo rabiti pero, mehko kredo in barve. Za prostoročno
risanje so najboljši svinčniki Hardtmuthovi št. 2 po 5 kr., za
navadno rabo so dobri tudi tisti po krajcarji v belem lesu. Za
brisanje naj rabijo učenci le navadno gumij-elastiko, ne pa ra-
dirgumija. Brišejo naj pa prav redko. Vsa risarska priprava
mora biti vedno v redu, papir ne zmečkan, svinčniki ostro
obrezani itd. Za barvanje mora biti papir trd in dobro zliman,
tak se dolgo sveti, ako ga zmočimo. Učenci naj rišejo naj-
prvo v zvezke (v začetku v take s pikami) ali bloke, pozneje
na papir prilepljen na risarsko desko. Navodila o rabi risarske
priprave naj učitelj daje pred poukom in med poukom!

Predno rišejo učenci po polihromnih predlogah, naj jih
učitelj pouči nekoliko o barvah, njih lastnostih in harmoniji.
Predloge za risanje morajo biti vedno vzorne in brez napak!
Obrisek ali kontura mora biti vedno natančna, potem šele
smejo učenci naris izdelati s peresom, z barvami ali s kredo. Star
posušen tuš ni- dokaj prida za zopetno rabo. Čopič za slikanje
(barvanje) mora biti na konci tenak in ne predolg; prava
širokost k dolžini je 1:3.

Monohromne (jednobarvne) ornamente učitelj tudi lahko
riše na tablo. Pri risanji sence naj to učitelj prej pokaže
na beli platneni tabli z ogljem.

9. Samostojnost jako podpirajo vaje iz spomina.

10. Glede držanja telesa pri risanji veljajo taista pravila
kakor pri pisanji. Pri risanji ne sme učenec nikdar obeh rok
na klopi imeti. Život morajo učenci držati po konci, ne pre¬
blizu gledati in ne s prsmi se naslanjati na klop!

I. Prostoročno risanje.

A. Splošni pouk.

G randauerjevii risarska zbirka obsega 120 listov v XII
zvezkih. Prvi trije zvezki so namenjeni nižji stopinji. Tu
se risa po pikah ali stigmah. Sicer pa ministerska naredba
z dne 6. maja 1874. L, št. 5818, daje učitelju na prosto voljo,
da poučuje risanje takoj v začetku brez stigem, kakor ga uči
Tretau v svojem izvrstnem navodu „der kleine Zeichner“, cena
1 gld. Po Grandauerji se vrši prehod k prostemu risanju
na srednji stopinji, ki obsega IV., V. in VI. zvezek. Drugi
zvezki so- odločeni za višjo stopinjo. Ako hočemo risarsko
tvarino razdeliti na razrede in oddelke peterorazrednic, potem
imamo nižjo  stopinjo v drugem in tretjem šolskem letu
(drugem in tretjem razredu), v prvem razredu je risanje le
v zvezi s pisanjem zlasti z pisalnimi predvajami. Četrto in peto
šolsko leto obsega večinoma srednjo  stopinjo. V 6., 7. in 8.
šolskem letu, t. j. v obeh oddelkih petega razreda naj se pre¬
stopi na višjo  stopinjo. Na četverorazrednicah, trirazrednicah,
dvorazrednicah in jednorazrednicah je treba tvarino primerno
skrčiti ter previdno razdeliti na šolska leta. Kadar rišejo na
jednorazrednici in dvorazrednici manjši učenci na spodnji sto¬
pinji priproste oblike v risanke št. 1 (z gostimi pikami), takrat
naj starejši rišejo po svoji izurjenosti taiste oblike v risanke
z vedno redkejšimi pikami, spretnejši učenci zadnjih šolskih
let pa v risanke brez pik, kajti drugače izgube učenci veselje
do predmeta, in risanje postane le mehanično kopiranje brez
vsake pedagogične in didaktične vrednosti. Učitelj pa mora
vsekdar sproti risati na tablo ter razlagati črte in oblike ter
njih napake zopet na tabli popravljati vpričo vseh otrok*).

*) V novejšem času rabijo v ljudskih šolah tudi stenske risarske
table s prav dobrim vspehom. Učitelj obesi tako tablo (podobo) na steno,
opiše in razloži učencem narisano obliko, potem pa prične risati na
šolsko tablo, učenci pa rišejo za njim. Risarske stenske table, ki jih
je izdal dunajski učitelj F. Steigl, prav toplo priporočamo.

Skupno popravljanje s celim razredom se vrši tako, da učitelj
sam nariše napako na tablo ter jo popravi vpričo vseh otrok.
Učenci pa morajo potem sami popraviti svoje napake. V
ljudski šoli je risanje vedno skupni pouk. Risanje po taktu
(na povelje) je najboljša metoda, ker učenci na ta način ne
zaostajajo pri pouku.

Pri risanji je treba paziti, da učenci pravilno sede, da
risanke ravno pred-se polože, da ne pritiskajo na papir z
ostro obrezanim, ne prekratkim in ne pretrdim svinčnikom
(Hardmuth Nr. 1 v belem lesu po 1 kr.) in da ne krčijo
prstov!*) Sedeti morajo ravno, levo roko naj polože na klop,
desna se pritisne pri risanji vodoravnih črt k životu, pri
navpičnih in poševnih črtah pa se položi predse na papir, ob
jednem se leva roka pritisne k životu. Svetloba mora. priti
vedno od leve strani, nikdar pa od spredaj; ako so tam okna,
moramo jih pokriti, da se ne blišči. Tabla mora stati navpično,
da učenci natančno vidijo podobe, ako stoji preveč pošev, potem
vidimo vsled perspektive narisani krog v daljavi kakor elipso.
Ako je za tablo okno, moramo ga pokriti. Učenci ne smejo
nikdar pri risanji preblizu gledati. Paziti je tudi, da ne za¬
mažejo risank. Učenci naj pokladajo na risanko in pod risanko
snažen papir. Taki, ki preveč mažejo, naj se v šoli toliko
časa pridrže, da vse lepo osnažijo. Čednost je pri risanji
glavna stvar, najpopolnejši naris izgubi vrednost, ako je za¬
mazan. Zaradi tega naj se učencem tudi ne dovoljuje, da bi
jemali risanke domov, marveč naj se shranjujejo v šolski
omari, kjer se tudi ne zmečkajo.

V začetku je treba otrokom razložiti pojme „zgoraj,
spodaj, desno, levo, desno vprek, levo vprek i. t. d. Potem jim
razložimo, da bodo risali črte in oblike ravno tako na papir
v risanko, kakor učitelj na tablo, le s tem razločkom, da
bodo njih črte in oblike nekoliko manjše, vender bodo vlekli
ravno tako od pike do pike, kakor učitelj na tabli, ki je raz¬
deljena s pikami. Navpične črte vlečemo vedno od zgoraj
navzdol, in te črte ne smejo biti spodaj zostrene (ošpičene).

*) Svinčnike naj učenci vselej obrežejo pred poukom, pri začetka
pouka naj učitelj hitro pogleda šolske risanke in svinčnike.

9

Učenci naj se tudi privadijo, da vlečejo črte v jedni potezi,
kajti posamni kosci se nikdar ne zlijejo popolnoma v jednega.
S svinčnikom naj se odstavi le takrat, kadar se izprevidi, da
je črta potegnena napačno. Ne sme se pa precej zbrisati in
nova vleči, kajti druga je potem navadno tudi napačna in s
tem se le spraska in strga papir. Predno izbrišemo napačno
črto, popravimo jo !*) Napake najdemo najhitreje, ako obrnemo
risanko. Učenci naj vedno črte prav rahlo potegujejo, da jih
lahko potem zbrišejo, ako niso prave. Gumijelastika naj se po¬
sebno v začetku prav malo rabi, kajti drugače učenci še bolj
mažejo ter trgajo papir. Dobro je tudi za poskušnjo po zraku
s svinčnikom parkrat potegniti, predno vlečemo črto, da se
roka privadi nameri. Učitelj naj vedno riše na tablo v ve¬
liki meri, da učenci natančno vidijo, kako nastanejo podobe.
Tudi otroci naj ne rišejo premajhno, ker drugače premalo
pazijo ter izdelujejo nenatančne narise.

Pri risanji sestavljenih oblik na višji stopinji je treba
natančno vleči vse pomožne črte, kajti ako ni osnutek (mreža)
prav narejen, bode tudi konečna podoba (lik) napačna. Učitelj
naj riše na tablo s presledki ter naj vedno pazi na učence
in na njih delo ter naj nikdar ne nadaljuje prej, dokler ni
vsaj 3 /i učencev pravilno izvršilo naloge. Posebno težke orna¬
mente je treba razdeliti na več oddelkov ter pri vsakem od¬
delku čakaj, da delo natančno izvrši večina učencev. Risanja
nevajeni učitelj pa naj si pred šolo obrisa podobo s tankimi
črtami, da se potem pri pouku preveč ne moti. Vsak naris
naj se konečno primerja z znanimi predmeti. Razmerje po-
samnih delov mora učitelj natanko razložiti ter opoziriti na
glavne oblike, n. pr. na zvezdo, na križ, list i. t. d.

Na srednji stopinji pričnemo z narekovalnim risanjem,
na višji pa z risanjem na pamet (iz spomina), kar daje dosti
gradiva za domače naloge. Na višji stopinji moremo dati

*) Učiteljiščni profešor Pixis v Wurzburgu je pa izdal risarski
navod, v katerim prav toplo učiteljem priporoča, paziti na to, da učenci
v začetku prav nič ne rabijo gumijelastike, ampak puste črte, kakor
so jih vlekli. Na ta način spoznavajo učenci bolje svoje napake ter
se jih po učiteljevem navodu z večkratnim poskušanjem odvadijo. Gu-
mijelastiko naj rabijo učenci še le pozneje pri sestavljenih likih.

10

spretnejšim učencem predloge, da rišejo po njih, vender naj
učenci oblike vselej povečajo ali zmanjšajo, da se ne privadijo
brezmiselnemu posnemanju (kopiranju). Tudi mora učitelj
učencem prej razložiti take oblike. Boljši učenci petega raz¬
reda tudi lahko povlečejo črte z rudečo in višnjevo tinto
ter posamne oblike izčrtkajo (šrafirajo) ali pa pobarvajo s
čopičem. Napake se tu ne smejo zbrisati (radirati) z gumij-
elastiko, ampak se morajo zmivati s čistim, v vodo pomočenim
čopičem in sušiti s papirjem sušilnikom.

B. Podrobni navod.

Nižja stopinja.

I. zvezek.

List  1. nam kaže navpične in vodoravne črte, vlečene
po dveh, treh in štirih pikah, ki stoje 1 cm narazen. Učenci
naj rišejo „na povelje", t. j. po taktu. Učitelj pokaže v šolski
sobi navpičen rob v stenskem kotu ter pozove učence, naj mu po¬
kažejo še druge jednake robove na raznem šolskem orodji.
Potem pove, da bode sedaj podobo takega roba narisal na
šolsko tablo, ob jednem pa naj tudi učenci potegnejo jednako
črto na svoji risanki od jedne do druge pike. Torej: „Svinč-
nike kvišku!" (Učitelj naglo pregleda, če drže vsi učenci
svinčnike v rokah). Dalje ukaže: „Nastavite!“ (Učenci polože
svinčnike na gorenjo piko). Potem: „Vlecite do prve pike
spodaj!" Učitelj potegne ravno tako s kredo na tabli. Tako
ponavljajo vsi do zadnjih pik v vrsti. Učitelj sedaj pravi:
„črte, ki smo jih vlekli, te so ravne in navpične; ravno črto
imenujemo tudi premo. Kakšne preme so to?" Odgovor:
„Navpične preme". Sedaj jim ukaže : „Popravite !“ Učenci po¬
pravljajo ter pokažejo učitelju. Na isti način narišejo dalje
navpične preme po treh in štirih pikah. Ravno tako vodoravne.
Potem vpraša učitelj: „Kolikokrat daljša je prema po treh in
štirih pikah, kakor ona po dveh?" Tako pridejo učenci do
pojma: „ Črta je sestavljena iz dveh, oziroma iz treh delov".

11

Listi  2., 3., 4. in 5. kažejo razne zveze prejšnjih črt.
Tu naj se učenci uče spoznati „pravi kot in kvadrat 11 , naj-
prvo na predmetih, potem iz narisa. Navod pri tem je prejšnji.

Lista  6. in 7. nam predstavljata vezanje in uvrščevanje
jednodelnih in večdelnih preift.

Listi  8., 9. in 10. Jednodelne, dvodelne in tridelne
poševne (povprečne) preme, in sicer desno vprek in levo
vprek v razni zvezi in dolgosti. Pravilo: „Ako prema ni
navpična in nevodo ravna,  i m e n u j e m o j o pr e č n i c o
ali  preko 11 . Tu opazimo tudi že peterokotnik ali petero-
ogelnik.

II. zvezek.

Listi  11.  do  2 0. Zveza in skladba jednodelnih. dvo¬
delnih in tridelnih prek v razni uvrstitvi. Tu opazimo rom-
boid, ki naj se pojasni učencem na raznih vzgledih: oblika
naj se izreže tudi iz papirja ter pokaže učencem. Primeroma
naj se risanje prve podobe na 12. listu poučuje tako-le: „Od
četrte pike v prvi vrsti vlecite po štirih pikah premo desno
vprek, od tod do naslednje pike vodoravno, sedaj navpično
do poslednje ter levo vprek jedno do bližnje pike, od tod
navpično, potem vodoravno; sedaj zopet poševno desno vprek
skozi štiri pike itd.

III. zvezek.

List  2 1. Risanje in razdelitev kvadrata (štirjaka) z
navpičnimi in vodoravnimi črtami na dva, tri in štiri dele.
Tu se opazuje jednakost in nejednakost posamnih delov.

List  2 2. do  3 0. Zveze navpičnih, vodoravnih in po¬
ševnih prem na kvadratni podlogi. Priproste oblike zvezd in
križev. Vezanje in uvrščevanje teh oblik. Vštrične ali vsporedne
preme, ki jih opazujemo na orodji v šolski sobi, potem pa jih pri
risanji razno zvežemo in uvrstimo. Trakovne (zvezne) oblike.

12

Srednja stopinja.

Prehod k prostemu risanju.

IV. zvezek.

Tu so stigme 2 centimetra oddaljene.

K prostemu risanju prehajamo na sledeči način:

a)  Učitelj nariše le jeden del priproste simetriške ob¬
like na šolski tabli, druge dele pa nadaljujejo učenci sami;

V)  s povečanjem ali pomanjšanjem v določenem raz¬
merji; učitelj namreč natančno določi velikost narisa, kate¬
rega posnemajo učenci;

c) s posnemanjem predrisa v drugi določeni nameri;

d)  s prerisanjem prostega narisa v pikčasto mrežo;

e)  s posnemanjem (kopiranjem) zvezanega narisa s sa¬
mostojno določitvijo pik; in naposled

f)  s popolnim opuščanjem mreže.

Jednaki vspeli in na veliko lažji način dosežemo,
ako pričnemo prosto risati prejšnje početne vaje.*)

List  3 1. Osemkrat razdeljena prema. Podloga likov je
pet kvadratno postavljenih pičnih vrst. Štiri vmes ležeče
pične vrste naj določijo učenci samostojno.

Delitev prostora med 2 pikama  Kvadrat raz¬
delimo z navpičnicami in vodoravnicami v 4 in v 16 majhnih
kvadratov. Zadnje kvadrate razdelimo s prekatni (poševnicami)
v trikotnike (triogelnike). Kvadratna delitev v triogelnike in
štiriogeluike. Pouk se vrši, kakor prej pri pod. 12.

Učitelj pa naj se v začetku pismeno pripravlja na pouk.

List  3 2. Pošev postavljeni kvadrat. Dijagonale in raz¬
delilne preme. Razdeljevanje kvadrata s pomočjo samostojno
določenih pik (toček)**).

*) Glej Tretau: Der kleine Zeichner. — Kakor hitro so se na¬
vadili učenci dobro risati razne preme po razno oddaljenih (s kraja
gostih, potim redkih) pikah, pričnejo taiste risati prosto na papir brez
pik, potem lažje oblike v kvadratu, pozneje pa razne ornamente. Početne
prostoročne vaje so narisane na posebni prilogi „kakoršno je prinesel
tudi „Učit. Tovariš" v 19. št. 30. letnika.

**) Na nižji stopinji je bolj primeren izraz „pika“, na višji naj
se rabi znanstveni izraz „točka“.

13

List 3 3. Razni liki, katerim je podloga pet kvadratno
postavljenih pičnih vrst. Fig. 13. in 14. so priproste oblike.

Fig. 16., 17. Taiste podobe z vrisanimi liki.

Fig. 18. je četrti del črtnega okrasja, ki se nahaja na
39. listu.

List  3 4. Fig. 19. Razdelitev kvadrata.

Fig. 20., 21., 23. in 24. Razne križne oblike in njihove

zveze.

Pri risanji se rabijo zlasti samostojno določene pike.

List  3 5. Fig. 26. do 30. Posamni deli črtnih okrasij,
katerih dopolnila slede na listih 37., 38. in 40.

Fig. 25. predstavlja razdelitev kvadrata za sledeče like,
razen 29., katere podloga je le 7 kvadratno postavljenih
pičnih vrst.

List  3 6. Zvezdni liki, ploskvena in črtna okrasja. Fig.
31. Razdelitev kvadrata, prvotna oblika.

Fig. 32., 33., 34., 35. in 36. Vrisanje črt in likov v
taisto prvotno obliko za okras kvadratne ploskve.

List  37. Fig. 37. in 38. Črtni okrasi, dopolnilo fig.
26. in 27., list 35.

List  3 8. Fig. 39, in 40. Dopolnilo fig. 28. in 29.,
list 35.

List  3 9. Fig. 41. in 42. Dopolnilo fig. 15. in 18.,
list 33.

List  4 0. Dopolnilo in nadaljevanje fig. 30. na listu 35.
in fig. 33. in 36., list 36.

Pri vseh teh narisih je treba mrežo in pomožne črte
prav tanko risati, da bolje spoznamo konečno podobo. Risanje
naj prične učitelj vedno na podlogi prvotnih oblik, katere
učenci narišejo najprej. Dobro je tudi, ako učitelj narise pri¬
merja s predmeti, kajti učence oblike vse bolj zanimajo, ako
se jim reče, to je podoba tablice, ogledala, križa i. t. d.

V. zvezek.

Učenci imajo sedaj v risankah pike 4 centimetre na¬

razen.

14

List  4 1. Fig. 1. do 6. Razni liki, katerim je podloga
6 kvadratno urejenih pičnih vrst (5 praznih prostorov vmes),
vštevši določene medpike.

Pri fig. 3., kakor pri fig. 6., izvršimo zvezdne like s po¬
močjo drugih določilnih medpik.

Pri fig. 4. in 5. postopamo na jednaki način.

List  4 2., fig. 7. in 8., kakor na listu  4 3. fig. 9. in
10. so ploskvena okrasja, izrisana z uvrščenjem in dopolnilom
fig. L, 2., 3., lista 41. v kvadratni obliki.

List  4 4., fig. 11. in 12. Ponavljanje in dopolnilo fig.
32. in 34., list 36., zvezek IV. Od teh likov naj bi risali le
četrti del in učenci naj pri posnemanji in dopolnilu oblik
razdele prostor med pikama trikrat z medpikami.

(Učenci zamenjujejo v začetku pogostoma delilne točke
od delov; opozoriti jih je torej treba n pr., da tri delilne
točke napravijo 4 dele).

List  4 5., fig. 17. in 18. Zvezdni liki, katere rišemo z
drugimi prekami, kakor do sedaj. in s pomočjo samostojno
določenih bolj narazen stoječih pik.

Fig. 13., 14., 15., 16. so v pojasnilo.

List  4 6., fig. 19. do 24. Razni zvezdni liki s kvadratno
podlogo. Trikotniki, kvadrati in rombi sestavljajo simetriški
osmerokotnik (osmeroogelnik).

List  4 7. Fig. 25. in 26. Ponavljanje in vezanje likov
na listu 46.

List  4 8., fig. 27. do 32. Trakovno zavite oblike.

Fig. 27., 29., 30. in 32. Vaje za učence v posnemanji na
tablo narisanih likov v drugi leži in velikosti.

Fig. 28. in 31. sta vzgleda, kako naj učenci izvršujejo
podobe s pridržkom danih pičnih vrst.

List  49., fig. 35. Križna oblika vrisana v poševno sto¬
ječi kvadrat.

Fig. 37. Izpremenjena postava križa s porabo prejšnje
kvadratne razdelitve (fig. 33.), vender z drugim številom pičnih
vrst in v drugi velikosti.

15

List  50., fig. 40., 41., 43. in 44. Križni in zvezdni liki
s porabo do sedaj rabljenih navpičnih, vodoravnih in prečnih
pomožnih prem.

VI. zveze k.

List  51., fig. 1. in 2. za prosto risanje po narekovanji.

Risanje po narekovanji se vrši brez učiteljevega sode¬
lovanja (risanja) na tabli. Dobro je vender, ako ima učitelj
na drugi strani table že zgotovljeno podobo, katero učencem
pokaže, kadar so zgotovili svoj naris, da ga potem lahko po¬
pravijo. Najprvo določijo učenci po učiteljevem ustnem pojas¬
nilu potrebne pike, potem pa vlečejo črto od jedne do druge
pike, ki je s črko zaznamovana, kakor jim narekujemo. V za¬
četku se to vrši na pikčastih risankah, pozneje na golem pa¬
pirji. Pripravljanje k risanju se vrši tako, kakor v začetku,
namreč na povelje: „Svinčnike  kvišku 11 , potem pa učitelj
nadaljuje:

Fig. 1. „V sredi papirja določite piko ter jo zaznamujte
s črko A.  Med piko A  in med gornjim papirnim robom ravno
nad piko v sredi prostora zaznamujte piko (točko) B.

Med točko A  in med spodnjim papirnem robom v sredi
prostora ravno pod A  zaznamujte točko C.

Točke B, A  in C  zvežite s premo, ki mora biti nav¬
pična, in točki B  in C  morate biti jednako daleč od A.

I cm na levo od točke B  zaznamujte točko d.

1 cm na levo od točke C  v tisti vrsti zaznamujte
točko e.

Na levo od točke e  v isti daljavi kakor ste točki e  od
d,  zaznamujte točko f.

Navpik točke f  v jednaki višavi s točko d  zarišite novo
točko ter jo zaznamujte z g.

Sedaj preglejte, ali so (določene) točke e in d, f  in g,
potem e in f  ter d  in g  jednako daleč narazen.

Dalje preglejte, ali ste točki e in d, f  in g  v navpični
leži in točki d , g  in e, f v vodoravni vrsti.

Med točkama d  in e  in sicer na levo od točke M 1 cm
daleč zaznamujte točko h.

16

V sredi med točkama e, f  zaznamujte točko l.  Ravno
tako zaznamujte k  v sredi med točkama f, g  ter zarišite
točko i  v sredo med g  in d.

Sedaj preglejte, ali so točke d  od h , h  od e, e  od l,
l  od f, f  od /c, k  od g , g  od i , i  od d  jednako daleč narazen-

Dalje vlecite preme od točke d  k točki h,  od h  k e, od
e k lin od točke l  k točki f.

Ravno tako se s premami zvežejo točke f  s k, k z g,
g z i in i z d.  Tako risan lik je kvadrat.

Konečno zvežemo še sledeče točke s premami: i  s h, h
z l, i  s k  in k z l.

Drugi lik je na ogel postavljen in v prejšnjem vrisani
kvadrat.

Sedaj pokažemo učencem podobo, ki je na drugi strani
table zrisana, da po njej popravijo svojo.

Labko tudi ukažemo učencem, da narekovanje samo na¬
pišejo in nalogo izdelajo doma.

Način narekovanja je taisti, kakor pri početnem risanji
„po taktu 11 . Omenjeno nalogo torej lahko porabimo v začetku,
ko učitelj še sam riše na šolsko tablo. Zrisano podobo pa
tudi lahko učenci ustno opisujejo na vprašanja, ki se jim
stavljajo.

S tem se jako oživi pouk, ki je drugače suhoparen.

II. vzgled, fig.  2.

Učitelj narekuje učencem:

Določite 1 cm na desno od B  točko e.

Določite 1 cm na desno od C  točko f.

Določite v isti daljavi, kakor je e  od f, na desno od f
točko g.

Nad točko g  v jedna,ki visokosti s točko e zarišite
točko h.

Preglejte, ali so točke f.\ e  in g , h  v napičili legi in
točki e, h  in /j g  v vodoravni vrsti.

Nadalje preglejte, ali so vse točke jednako daleč narazen.

Določite točko med točkama e  in f,  in sicer tako, da
bode od obeh toček jednako daleč, zaznamujte to točko z i.

17

Ravno tako določite v sredi med točkama e  in h  točko k.

Določite v sredi med točkama g  in h  novo točko l.

Isto tako določite med točkama g , f  točko m..

Določite med točkama e  in i  od obeh jednako daleč
stoječo točko, zaznamovano z n.  Med i  in f  postavite v sredo
točko o, med c  in k  točko p,  med k  in h  novo točko r,  med
h  in l  v sredo točko s , med l  in g  točko t,  med g  in m  točko
u,  in naposled postavite v sredo med točko m  in /' novo
točko v.

Vlecite sedaj po vrsti preme od točke p  k n,  od n  k u,
od p  k t,  od t  k m, od r  k s, od s k v,  od r  k o  in od o  k v.

Preglejte, ali so vse potegnene preme popolnoma ravne!
Ako je naris prav izgotovljen, potem so vsi koti pravikoti  in
štirikotniki so pravilni, t. j. kvadrati. Koliko kvadratov je?
So li ti kvadrati jednaki?

Opazke prejšnje naloge se uporabijo lahko tudi tukaj.

Kakor prejšnja vzgleda izvajamo tudi like na listih  52.,
53. in 54. pri risanji po narekovanji.

List  5 5. Fig. 13. in 14. Črtna okrasja. Pri obeh likih
vlečemo navpičnice d,7 in 0,11  v določeni daljavi od papir¬
nega roba ter na njih zaznamujemo določeno število delov in
v oddaljenost jednega dela razpostavimo stigme po celem listu.

List  5 6. Fig. 15. in 16. V pomožni navpičnici, potegneni
skozi sredo obeh likov, ki sta jednaka polovični višini pa¬
pirja, določena je njihova velikost in razdelitev.

List  5 7. Fig. 17. in 18. predstavljate trakove ali vezi.

Navpičnice s številkami kažejo velikost obeh narisov.

List  5 8. Fig. 19. in 20. Ponavljanje in dopolnilo oblik
iz V. zvezka, list 49.

List  5 9. Fig. 21. in 22. Vezalne oblike. Najprvo po¬
tegnemo navpičnico po sredi papirja, njena dolgost določi
visokost fig. 22. Fig. 21. daje daljni navod. Točke d, h, g,
i, e  so 1 cm od srednje preme BG  oddaljene. Točke s čr¬
kami se morajo najprej določiti. Širjava oblike je 5 /4 višine.

List  6 0. Fig. 24. Kakor pri listu 59., določimo tudi
tukaj z navpičnico BG  višino in razdelitev narisa.

2

18

Višja stopinja.

Prosto risanje.

VII.  zvezek.

Fig. 61. do 65. Uporaba različne razpostave pik za
razdelitev prostora na papirji, ki je za naris določen. Določijo
se n. pr. na listu 61. najprvo skrajne meje narisov v štirih
kotih papirja s štirimi točkami v omejeni oddaljenosti od pa¬
pirnega roba, potem določimo višino narisa z medpikami,
ležečimi med levimi točkami v kotih (oglih).

Uporaba vaj pri delitvi danih daljin in kotov. (Učitelj
naj zopet učence opozori, da (dve) delilni točki napravite tri dele).

Jednakostranični trikotnik, izpeljava pravilnega šestero-
kotnika iz njega.

Jednakokraki trikotnik.

Kvadrat; izpeljava pravilnega osmerokotnika iz kvadrata
kot podloga drugih likov, ki so narisani na listih 66., 67., 68.,
69. in 70., in katero izdelamo z delitvijo stranic glavnega lika,
z delilnicami (delilnimi premami), z dijagonalnimi in drugimi
pomožnimi premami.

Pri likih, razvitih iz jednostraničnega trikotnika (kakor
n. pr. list 66.) moramo vedno najprej risati trikotnik z vodo¬
ravno podstavo; pri likih iz kvadrata izpeljanih (kakor na
listu 67.) pa najprvo poševno postavljeni kvadrat. List 68.
obsega posamne dele likov, ki jih združujemo v kvadratu ali
v podaljšani vrsti.

VIII. zvezek.

List  7 1. do 8 0. Nadaljevalna uporaba glavnih (prvotnih)
likov iz VIL zvezka.

Krog, polukrog, četrt kroga (kvadrant). Nekolika uporaba
črte krožnice. Premočrtni geometriški ornament.

List  78. Fig. 19. Risanje kroga v kvadratu. Navpičnica
in vodoravnica v sredi kvadrata zaznamujete na svojih koncih
štiri krogove točke. Ako vlečemo dijagonale ter od središča
na nje prenesemo polumer, imamo zopet 4 točke. Skozi osem

19

toček risati krog ni več težavno. Ako je pa krog posebno
velik, potem je treba določiti še druge premere. Krogove
točke na dijagonalah dobimo tudi, ako razdelimo kvadratno
spodnjo in zgornjo stranico na 7 delov ter iz prvega in šestega
delca potegnemo navpičnice do dijagonal. Ravno tako določimo
elipsine točke v pravokotji.

IX. zvezek.

List  8 1. Krog, četrt kroga, polukrog, krožni lok.

Razvijanje geometriškega krivočrtnega ornamenta z zdru¬
ženjem krogov in krožnih lokov.

List  8 2. Koncentriški in ekscentriški krogi. Razni
krožni liki.

Liki vrisani v kvadrate na listih 81. in 82. so podloga
naslednjim oblikam.

List  8 3. Figura 13. Združenje tridelne listne oblike
na listu 81., pod. 3.

List  8 4. Fig. 15. Simetriški liki sestavljeni iz krožnih
lokov, izpolnijo prostor v pravokotji, čegar strani so približno
v razmerji kakor 14: 16.

Pravi prvotni lik je pravilni šesterokotnik, katerega naj-
prvo narišemo ter z dijagonalami razdelimo v trikotnike, iz
katerih potem naredimo pravokotje.

List  8 5. do 9 0. Sestavljeni geometriški ornamenti.

List  8 5. in 8 6. Krivočrtni liki narisani z združenjem
krogov in krožnik lokov. Lista 87. in 88. kažeta premočrtne
like, katerim je v krogu vrisani pravilni šesterokotnik in
osmerokotnik prvotna podloga. Lista 89. in 90. Elipsa (pakrog);
njene točke določimo v pravokotji na taisti način, kakor
krogove v kvadratu. Združenje elips v grško okrasje.

K risanju teh likov potrebne pomožne in delilne preme
i. t. d. so pri vsakem narisu zaznamovane ali pa v posebnem
stranskem liku narisane.

X. zvezek.

List  9 1. Fig. 1. do 6. Vaje v risanji na pamet  (iz
spomina).

2 *

20

Risanje na pamet (iz spomina) se vrši na ta način, da
učitelj z učenci temeljito opiše na tabli zrisani lik, potem
pa zakrije naris, in naloga učencev je, da ga sedaj rišejo iz
spomina. Noben učenec pa ne sme prej pričeti z risanjem,
dokler ni učitelj natanko razložil cele oblike. Ta opis se naj¬
bolje izvrši v dijalogični učni obliki (v razgovoru), posebno
je treba učence opozoriti na karakteristična znamenja lika.
Konečno naj se na tabli zrisana podoba zopet pokaže in
učenci naj poprej popravijo svoje podobe. Predmet risanju na
pamet so tudi taki liki, ki so jih učenci sami že prej risali.
Tudi tu je mnogo gradiva za domače naloge, vender moramo
tudi- sedaj napredovati po vrsti od lažjega k težjemu ter le
take naloge izbirati, katerih oblike so karakteristične in ne
preumetno sestavljene. Paziti mora učitelj pri tem risanji tudi
na učence, da slepo ne kopirajo njim znane narise.

List  9 1. do  10  0. Ornamentalne oblike. Priprosta sti-
lizovana (slogasta) listna oblika. Priprosti in sestavljeni orna¬
ment (okras) s posredovanjem geometriške podloge.

XI. zvezek.

List  101. Fig. 1. do 4. Joniška polžnica, Polžnica v
tekoči (zaporedni) vrsti ali zdržema, v simetriški in vsporedni
razvrstitvi.

List 102.  Fig. 5. Grški vzorec. Stilizovani (slogasti)
bršljanov list z zavito mladiko, z listnimi peclji in s plodom.
Podloga geometriškega lika je jednakostranski trikotnik. Srednjo
navpičnico AB  narišemo najprej, na tej zaznamujemo višino
trikotnika 14 cm, dolžina jedne stranice iznaša približno
16 cm. Drugo razvidimo iz narisa.

List 103.  Fig. 7. Rožica po orijentalskem (azijskem)
vzorci. Najprvo narišemo krog ter razdelimo njegov polumer
na štiri jednake dele, potem pa vrišemo v krog pravilni še-
sterokotnik. Natančneje razloži fig. 6.

List  10  4. Fig. 9. je del italijanskega ploskvenega
okrasja. Fig. 8. je pojasnilo k temu.

21

List 105. Fig. 10 do 15. Razni rastlinski listi, nam¬
reč : bršljanov, glogov, ribezljev (grozdjičev), kosmuljev
(agrazov).

List 106.  Fig. 16. Javorovi listi s perutastim plodom;

fig. 17. Hrastovi listi z želodi.

List  10  7. Fig. 18. Pravi vinski list z grozdom; fig.
19. List vinčevja z grozdičem.

List  10  8. Fig. 20. Rudeče jagode.

List  10  9. Fig. 21. in 22. Robovo okrasje kot risarska
vaja pravilnega združenja priprostih listnatih oblik.

List 110.  Rožica ali rozeta. Jagodni list s cvetjem in
s plodom, organično združen.

Upodabljanje naravnih rastlinskih oblik nam je v po¬
jasnilo , kako moramo po naravi risati rastlinske liste, kar
zahteva tudi ministerska naredba z dne 6. maja 1874. 1., št.
5815: „ Na vod k pouku v prostoročnem risanji na ljudskih
šolah točka 9. Učitelj pa naj se seznani tudi z risarskimi
navodi za meščanske šole (min. naredba z dne 6. maja 1874. 1.,
št. 5815) in za učiteljišča (min. naredba z dne 9. avgusta
1873. 1., št, 6708). Poleg tega mora seveda tudi natanko po¬
znati učne črteže za ljudske šole.

XII. zvezek.

Razlaganje najvažnejših perspektivnih  pra¬
vil z nekaterimi vzgledi.

Perspektiva  se sicer ne uči v naših navadnih ljud¬
skih šolah, kajti ta nauk je namenjen le višjim razredom šest¬
in večrazrednih šol; vender se pa od učiteljev zahteva, zlasti
pri skušnjah, da so tudi v tem predmetu zvedeni. Poleg tega
se pa dandanes v javnem življenji mnogokrat potrebuje znanje
perspektive.

Vsako svetilno ali razsvetljeno telo pošilja svetlobne
žarke na vse strani. Tako jih pride tudi nekaj nam v oči in
to napravi, da vidimo telo ter spoznamo njegovo obliko in
barvo, kakor tudi svetlobo in senco na njem. Toda stvari, ki
jih vidimo v bližini, kažejo se nam mnogokrat drugače, kot

22

v daljavi, tako n. pr. razločimo blizu pri hiši še šipe in
okvire od oken, nekoliko dalje še okna od vrat, v veliki da¬
ljavi pa že ne vidimno več oken, ne vrat. V dolgem drevo¬
redu se nam zdi, da so drevesa vedno manjša in bližja drug
drugemu, in raven železniški tir se nam zdi vedno ožji.*)

Vednost pa, katera nas uči stvari risati na ravnini
(tabli, papirji) tako, kakor se dozdevajo našim očem od jed-
nega stališča, imenujemo perspektivo, ali kakor se je ranjki
zaslužni Potočnik izrazil: „Perspektiva (obvidnost) je umet¬
nost, risati ali malati tako, da se vidi daleč, kar je daleč,
blizu, kar je blizu".

Ker je pa vsako telo sestavljeno iz ploskev, ploskve iz
črt in črte iz pik, potrebno je, da se najprej seznanimo s
perspektivnim risanjem (predstavljanjem) posamne pike (točke).

K temu rabimo posebni perspektivni pristroj, katerega
zovemo podobogled,  to je priprava, podobna fig. 2. v listu
lil.  ter je sestavljena iz dveh plošč. Jedna teh plošč je le¬
sena ter leži vodoravno, druga stoji na tej navpično ter je
od stekla. Prvo imenujemo podobogledno ravnino (Bildebene),
drugo pa podstavno ravnino (Grundebene). Na podstavni rav¬
nini navpik pred podobogledno ravnino stoji medena palčica,
na kateri je premična okrogla ploščica z luknjico v sredi,
skozi katero gleda risar. Judi se da palčica približati in od¬
daljiti podobogledni ravnini. Ta pristroj je pri pouku neogibno
potreben. Učitelj si ga lahko naredi sam, kupi si ga pa tudi
lahko pri mehaniku Steflitscheku na Dunaji za malo denarja.

Pri daljnem razlaganji perspektive bodemo se natanko
ravnali po vodilu, ki ga imamo v XII. zvezku.

List  111., fig. 1. nam predstavlja štiri ravnine z raz¬
lično lego. KLN  je vodoravna ravnina, ki predstavlja pod¬
stavno ravnino,  na tej navpik stoji GMR , ki predstavlja
podobogledno ravnino,  na obeh navpik stoji P’FVV
ki se sploh le imenuje navpična ravnina. HHS’S  stoji vspored
(vštric) s podstavno ravnino, ki ji pravimo obzorna ali sploh
le vodoravna ravnina. Točka P  nam predstavlja oko. Vse to

*) To prikazen pokažemo tudi lahko (na pozneje opisanem) po-
dobogledu z malimi palčicami.

23

nam kaže razen navpične in obzorne ravnine fig. 2., ki je le
skrajšana fig. 1. Poleg teh so važni pojmi: F  podnožišče
ali petišče (Fusspunkt), A  očišče ali obzorišče  (Augpunkt),
V V’  črta navpičnica  (Vertikallinie), HH’  č.*) obzornica
ali vodoravnica (Horizontlinie), PA  zaznamovano oddaljenost
očesa od podobogledne ravnine ter preneseno na obzornico
AD  imenujemo distančno črto (č. razstojnica,  Distanz-
linie); D  se imenuje distančna točka (ra zstoj išče,  Distanz-
punkt), GG'  se zove č. podstavnica  (Grundlinie), PF  č.
stojalnica  (Standlinie). Črte Ps  predstavljajo vidne žarke
(Sehstrahlen), PS  pa glavni (normalni) vidni žarek (trak,
Normalstrahl).

List  112., fig. 3. nam predstavlja, kako se določi po¬
doba kake točke S.  Za to potrebujemo podstav no in podobo-
gledno ravnino ž njenimi deli. Točka S  leži v podstavni rav¬
nini, od nje pride tudi vidni svetlobni žarek (trak) PS  v opa¬
zovalčevo oko P , ker je podobogledna ravnina prozorna.
Torej opazovalec vidi točko, njeno podobo kot točko pa za¬
pazi tam, kjer žarek (trak) prodere podobogledno ravnino.
Pri risanji se pa to ne da na prvi mah določiti. Na podobo-
gledu zaznamujemo podobo lahko s kredo na šipi,  ako po¬
gledamo skozi očesce — na točko S.  Ako potegnemo črto od
točke S  do podnožišča F  in tam, kjer ta črta reže podstavnico,
vlečemo navpičnico, vidimo, da ta (navpičnica) zadene ravno
v točko s,  ki je tudi iskana podoba. Na tak način se tudi
reši naloga pri risanji. Najprvo vlečemo premo (ravno črto)
od dane točke S  k očesu P  in drugo premo k podnožišču F;
tam, kjer ta črta reže podstavnico, potegnemo navpičnico, ki
gotovo zadene premo SP  v neki točki (s), ki je iskana po¬
doba točke S.  Fig. 4. nam predstavlja nalogo: Kako najdemo
podobo vsporednic, ki stojite navpično na podobogledni rav¬
nini. Na razpolaganje imamo podobogledno in podstavno rav¬
nino NOPtS  ter črte in točke, ki pripadajo k ravninama. To
je vselej podloga, ako iščemo kako podobo. Prej pa, ko iz¬
vršimo to nalogo, moramo znati zarisati podobo jedne preme.
Kakor znano, vsaka prema je natanko določena z dvema toč-

*) č. — črta; črke so posnete po podobah velike izdaje.

24

kama. Podobo preme torej najdemo, ako določimo podobi
skrajnih toček ter ju zvežemo; kajti s podobogledom hitro
opazimo, da je podoba preme razen jednega slučaja vedno
prema. Da učenci stvar bolje razumejo, določimo najprvo na
podobogledu na prej omenjeni način podobi skrajnih toček
preme. Pri risanji ravnamo tako, kakor je bilo prej razloženo.
Kakor določimo podobo jedne črte, tako tudi druge. Opazujemo
li podobi vsporednih prem natančneje, tedaj vidimo, da ste
obrneni k očišču. Ker najdem pri vsporednih na podobogledni
ravnini navpik stoječih premah vedno tak rezultat, sledi iz
tega pravilo: „Podobe vodoravnih v spored n i c, ki so
obrnene navpik k podobogledni ravnini, stekajo
se  v očišče".

List  113., fig. 5. nam predstavlja vodoravni vspored-
nici, ki ste vsporedni s podobogledno ravnino. Po istem vo¬
dilu ko prej pridemo do pravila: „Vodoravne vspored-
nice imajo vodoravne vsporedne podobe".

Fig. 6. nam predstavlja vodoravni vsporednici, ki ste nag-
neni 45° proti podobogledni ravnini TSUW.  Ako določimo po¬
dobo vsake preme posebej ter najdene podobe primerjamo skupno,
dobimo pravilo: „Podobe vodoravnih vsporednic,

ki so 45° nag ne n e k podobogledni ravnini, ste¬
kajo  se  v r az  st  oj  išče".

List  114., fig. 7. nam predstavlja vodoravni vsporednici,
ki nimate nobene prej omenjenih leg, torej ste poševni (po¬
prečni). Po razloženem vodilu najdemo za take preme sledeče
pravilo: „Njih podobe se stekajo v akcidentalno
točk  o ali  v naletišče 11 .

Fig. 8. nam predstavlja vertikalni vsporednici in njiju
podobe, za katere velja sledeče pravilo: „ N jih podobe so
tudi vertikalne".

List  115 , pod. 9. nam kaže vspdrednici BC , DE,  ki
ste nagneni k podstavni ravnini in se vzdigate zadaj. Podobi
nam naznanjate pravilo, „da se stekate v neko točko nad
obzorjem, ki se imenuje zračišče  (Luftpunkt)".

Fig. 10. nam kaže poševni vsporednici, ki se spredaj
vzdigate od podstavne ravnine , in njiju podobi se stekate v

25

točki pod obzorjem, ki jo imenujemo tališče
ali prstišče (Erdpunkt).*)

Vsa tu razložena pravila se dajo skrajšati: 1. Podoba
vodoravnice (preme, ki je vsporedna s podobogledno ravnino)
je vodoravna. 2. Podoba navpičnice, vsporedne k podobogledni
ravnini, je navpična. 3. Podoba vodoravnice na podobogledni
ravnini navpik stoječe, obrnena je k obzorišču (očišču).
4. Podoba preme, ki nareja s podobogledno ravnino kot
45°, obrnena je k razstojišču. 5. Podoba vodoravnice, k po¬
dobogledni ravnini pošev obrnene, steka se v kaki  točki ob¬
zorja , ki se imenuje akcidentalna točka ali naletišče. 6. Po¬
doba vsake preme je prema, točka je takrat, ako leži prema
v glavnem traku. 7. Podobe vsporednic so ali vsporedne ali
pa obrnene k neki posebni točki, ki se v obče imenuje „be-
žališče ali zmikališee" (Fluchtpunkt, V ers ch wi n d u ngsp u n k t),
drugače pa, ako se nahaja nad obzorjem, imenuje se „zra-
čišče", pod obzorjem pa „tališče".

Listi 116., 117.,  11  8. in 11  9., fig. 11., 12., 13., 14.
nam kažejo perspektivne narise raznih tehničnih predmetov.

List  119., fig. 14. nam predstavlja monumentalni križ
najprej v perspektivnem narisu, potem pa v načrtu in očrtu
(projekciji), t. j. kakor se nam kaže v ogledu od spredaj in
zgoraj.

List  12  0., fig. 15. in 16. nam predstavlja krog in njegov
perspektivni naris. Podobo kroga najhitreje določimo s po¬
močjo podobogleda. Na podstavili ravnini narisan ali na njo
položen žičen (droten) krog opazujemo pri očesci skozi šipo
in njegovo podobo narišemo s kredo na podobogledno rav¬
nino. Ta podoba je ali krog ali elipsa ali pa prema, kakeršno
ležo je namreč imel krog. Naris v Grandauerji predstavlja
vse v ravnini papirja. Nad podstavnico stoji podobogledna
ravnina, ki se strinja z ravnino narisa; na tej navpik bi mo¬
rala stati vodoravna ravnina, ki je pa navzdol potisnena tako,

*) Pri poševnicah, ki so vsporedne s podobogledno ravnino, lahko
si risanje olajšamo s palčicami (svinčniki), ki jih držimo vsporedno
z danimi premami, — potem zapazimo, kam so palčice nagnene in kje
je bežališče.

26

da je priložena k podobogledni ravnini. Pri risanji kroga pa¬
zimo istotako na posebne točke, kakor pri premah. V ta
namen obrisan je krogu kvadrat, kateri zaznamuje več važnih
toček. Take točke so: 1, 2, 4, 6, 7, 8, 10, 12. Potem
poiščemo podobo vsake točke po vrsti, ki so zopet točke
1, 2, 4, 6, 7, 8, 10, 12. Te točke nadalje zvežemo s črto, ki
je elipsa. Krog v fig. 15., čegar podobo smo iskali, leži v
podstavni ravnini tako, da se dotika podstavnice v točki 1.
Podobe posamnih toček najdemo na sledeči način: „Prema
1, 7 stoji navpik na podstavnici, torej tudi na podobogledni
ravnini; njena podoba se steka po znanem pravilu v obzo-
rišče A.  Točka 1 je v podobogledni ravnini, torej tudi njena
podoba. Pod. 7 najdemo s pomočjo dijagonale in jedne kvad-
ratove stranice, ki stoji navpik. Njena podoba se torej tudi
steka v obzorišče. Dijagonala 2, 8 pa je 45° naklonjena k po¬
dobogledni ravnini, torej se njena podoba steka v razstojišče
(distančno točko). Ta in prejšnja prema se režete, od todi
gre potem podoba vodoravno ter zaznamuje točko 7. Ivva-
dratova podoba je trapeč, v katerem so tudi štiri krogove
točke. Na jednaki način so nadalje določene vse druge prej
naštete točke krogove.

Fig. 16. nam predstavlja krog, v katerem je več drugih
krogovih črt. Perspektivni naris napravimo tako kot prej. —
Začetnik dobro stori, da vse sproti pri branji risa, kajti ri¬
sanja in torej tudi perspektive se moremo le naučiti, ako se
vadimo s svinčnikom v roki.

Znanje perspektive je potrebno že pri risanji geomet-
riških teles, kajti ona se razprostirajo na tri strani, t. j. v
dolžini, širini in višini; med tem ko ravnina narisa (papir,
tabla) predstavlja le dolžino in širino.

Iz predzadnjih narisov, kakor tudi iz opazovanja pred¬
metov v naravi je razvidno, da se nam vsako oddaljeno telo
manjše dozdeva, kakor pa je v resnici, kar je bilo povedano
tudi že precej v začetku. Vender, kadar kak predmet v na¬
ravi rišemo, tudi ne smemo preblizu njega si izbrati stališča,
ker potem ga ne moremo popolnoma pregledati in torej tudi

27

ne napraviti natančnega narisa o njem. Sploh veljajo za ri¬
sanje predmetov po naravi sledeča pravila:

1. Postavi se vselej na tak kraj, da si od predmeta
vsaj dvakrat toliko oddaljen, kolikor iznaša njegova velikost.
2. Postavi si v duhu kako navpično ravnino za podobogledno,
n. pr. bližnjo steno. 3. Določi si v tej ravnini nasprotno točko
za „obzorišče“ ter navpičnico in obzornico. 4. Preglej, ali je
predmet pod obzorjem ali nad obzorjem, na levi ali na desni
strani navpičnice. 5. Telesne robove smatramo za črte, opa¬
zujemo njih lego in njih namer, poiščemo dozdevno oddalje¬
nost posamnih robov od navpičnice in obzornice, narišemo
njih podobe in določimo njih dolgost s pomočjo svinčnika.
Podobe vseh robov skupaj nam predstavljajo podobo telesno
(predmetovo).

Za temeljiti pouk v perspektivi priporočamo še sledeče
vaje, katere naj učitelj narekuje ali samo na pol izdela, vse
drugo pa naj prepusti učencem ter naj jih le nadzoruje pri
izvršitvi. K temu le potreba več različnih modelov; posebne
koristi so aparati sestavljeni v Steflitschkovi zbirki in pripo¬
ročani od ministerstva

S pomočjo prejšnjih pravil rišejo učenci po žičnih mo¬
delih : črte, kote, trikotnike, kvadrate, peterokotnike, šestero-
kotnike in osmerokotnike, kroge, kocke itd., in vse to v raz¬
ličnih nastavah.*) Dobro je tudi, ako učenci menjavajo svoje
sedeže. Kar ne razumejo učenci, pokaže jim učitelj na po-
dobogledu ter zaznamuje podobe z ogljem ali z belo barvo
(s čopičem, s kredo) na podobogledni ravnini.

Jako praktični so tudi Dupuisovi žični modeli.

Posebno vrednost ima izdelovanje sledečih nalog:

a)  Prema v raznih nastavah.

b)  Kvadrat, najprvo v prvotni leži ravnin

v sledečih na¬

poteni pa s potisneno podstavno ravnino B
stavah: 1. V podstavni ravnini z jedno stranico naslonjen

*) Ministerska zbirka modelov z dne 10. decembra 1879. 1.,
št. 18774.

28

na podobogledno ravnino. 2. V podstavili ravnini s stranicami
45° proti podobogledni ravnini naklonjenimi. 3. Navpik ter
naslonjen na podobogledno ali podstavno ravnino. 4. Navpik
na podobogledni in 45° pošev na podstavni ravnini. 5. Navpik
na podstavni in 45° pošev na podobogledni ravnini. 6. Navpik
in vspored podobogledni ravnini. 7. Navpik na obe ravnini.
8. Vodoravno v podstavni ravnini.

c) Potem 9 horicontalnih kvadratov in 9 vertikalnih
v razni leži.

d)  Krog v ravno tistih ležah kakor kvadrat, in sicer
najprvo v obrisanim kvadratu. — Vsako nalogo lahko še v
več drugih razdelimo, n. pr. ako krog postavimo jedenkrat
nad,  drugikrat pod obzorje, ali pa na desno in levo stran
navpičnice.

e)  Kocka v nastavah kakor krog in kvadrat.

f)  Kakor s kocko, tako ravnamo, tudi z drugimi te¬
lesi in predmeti.

O risanji po modelih.

Perspektivno risanje po modelih (vzorih) se more pra¬
vilno vršiti le pri 30 učencih, ker drugače je vidni kot (ki
pravilno iznaša 30°—45°) premajhen, in učenci v zadnjih klopeh
ne vidijo oblik teles natančno. Sedeti pa tudi ne smejo pre¬
blizu, kajti pravilno iznaša oddaljenost od predmeta dvakratno
njegovo \išino. Ako je torej več učencev, treba jih je razdeliti
na oddelke po 30. Dobro je tudi, ako se učencem izpreminjajo
sedeži. Ako učenci sede v dveh vrstah, potem jim moramo
nastaviti dva modela 2 metra pred prvo klop in sicer za vsako
vrsto posebej in povsod v sredo. Tudi ne sme stati model
previsoko, da ne pride iz svetlobnega trakovnega stožca, ki
ima svojo ost v očesu; stranici pa bodite 30°—45° nagneni. Ker
se je pa treba ozirati na vse tri učence, mora trakovni stožec
biti še nekoliko manjši. Ako iznaša predmetova oddaljenost
od prve risarske klopi 2 metra, potem sme vidni kot (kot
prej omenjenega trikotnika) biti k večemu 50°—60°. Zaradi
tega mora tedaj model stati ravno pred onim v sredi sedečim
učencem, ker drugače oba na strani sedeča učenca nimata
pravega pregleda, ki bi se vjeinal z učiteljevem razlaganjem.
Tudi papir mora biti dovolj velik

Naposled naj še učenci pridno rišejo po naravi, namreč
hiše, ulice, železnice, drevorede itd. To naj bode njih delo
doma, in učitelj naj zahteva, da mu prineso svoje narise v
pregled in popravek.

Risanje po naravi je namreč pravi namen risanja, in k
temu je znanje perspektive ueobhodno potrebno.

30

Dodatek.

Prve vaje pri risanji brez stigem.*)

1. Učitelj, ki sam riše na tablo, narekuje: „Zaznamujte
na risanki v levem kotu 2 prsta od gornjega in 2 prsta od
stranskega roba točko. — Isto tako spodaj v levem kotu“.

„Vlecite sedaj od gornje točke k spodnji — premo, in
sicer najprvo parkrat po zraku, dokler se roka nameri ne
privadi; potem pa vlecite rahlo s svinčnikom po papirji ter
položite svinčnik poleg narisane preme, — s tem spoznate
svoje napake. Popravite jih ter potegnite premo debeleje.
Kaka prema je to?“ Učenci jo poznajo že od prej ter bodo
odgovorili: „To je navpična prema ali č. navpičnica 11 .

Ravno tako vlečemo navpično premo ob desnem papirnem
robu dva prsta od kraja. Učitelj vpraša zopet učence: „Kaki
premi ste to?“ Učenci ju poznajo tudi že od prej, torej od¬
govore: „To ste vsporedni navpičnici 11 .

Učitelj nadaljuje: „Zvežimo sedaj prejšnji premi zgoraj
in spodaj z vodoravnima, ki ste oddaljeni 2  prsta od roba.
— Vlecite zopet parkrat po zraku, potem rahlo po papirji
ter položite svinčnik vodoravno poleg narisane črte. Popra¬
vite napake ter potegnite preme debeleje. Kak lik smo dobili?“

Odgovor: „To je pravokotje 11 .

Učitelj: „Sedaj vlecite iz jednega ogla v druzega dija-
gonale na isti način ko prej. Kaki premi ste to?“

Odgovor: „To ste poševni premi ali č. poševnici 11 .

Učitelj: „Dijagonali se sečete (režete) v sredi. Skozi to
točko potegnemo zopet s poskušnjami v zraku č. navpičnico
in isto tako č. vodoravnico. Kake oblike imamo sedaj in ko¬
liko? 11

Odgovor: „lmamo 8 pravokotnih trikotnikov 11 .

Učitelj: „Sedaj vlecimo zopet dijagonale iz ogla v ogel,
potem navpičnice in vodoravnice 11 .

*) čitatelj naj sproti risa, da bode razlaganje lažje razumel.

Pod.

31

To ponavljamo lahko še dalje, najbolje na novi strani lista.

2. Učitelj: „Poiščite na zgornjem papirnem robu sredo
ter zaznamujte jo s točko. Pomerite sedaj s svinčnikom, ali je
res v sredi. Ako ni, prestavite jo in pomerite z nova. Dva
prsta pod njo zaznamujmo drugo točko. Ravno tako naj pride
točka v sredi na spodnjem robu, potem druga dva prsta višje.
Sedaj potegnemo od gornje točke k spodnji č. navpičnico.

Nadalje storimo istotako na desnem in levem papirnem
robu, zaznamujmo od srednje točke dva prsta notri drugo
ter potegnimo od leve k desni č. vodoravnico. Tako smo na¬
redili križ s štirimi pravimi koti. Sedaj potegnimo tudi ob
kraji križa č. navpičnico in vodoravnico. Kake oblike smo do¬
bili. Odgovor: „Sedaj imamo prejšnji križ v okviru ali štiri
pravokotja 11 .

„V prvem pravokotji zaznamujmo zopet točki v sredi
na gornji in spodnji stranici ter potegnimo navpičnico od
jedne do druge. Dobili smo iz prejšnjega pravokotja dva
manjša. Ako potegnemo po sredi teh pravokotij povsod nav¬
pičnice, dobimo 8 podolgovatih pravokotij“. — To ponavljamo
toliko časa, da so navpičnice 1 prst jedna od druge narazen.

V desnem gornjem pravokotji, t. j. na desni gornji
strani prvotnega križa vlecimo na isti način več č. vodoravnim

V levem spodnjem pravokotji rišemo č. poševnice in
sicer najprvo dijagonalo, potem razpolovične vsporednice po
srednjih točkah.

V desnem spodnjem pravokotji rišemo nasprotne č. po¬
ševnice.

To so glavne prve vaje. Učenci naj jih toliko časa po¬
navljajo, dokler si ne pridobe sigurnosti in spretnosti v po-
tezanji raznih prem in v polovični delitvi.

Potem pa lahko takoj pričnemo z risanjem raznovrstnih
likov, katerim podloga je pravokotje ali kvadrat.*)

Pozneje rišemo razne ornamente brez stigem.

*) Glej priloga, pod. 3. in 4. — Pod. 1. in 2. ste prej razloženi
vaji. V ta namen porabimo tudi lahko prejšnje narekovalne naloge iz
Grandiluerjeve zbirke list 51., fig. 1. in 2 .

II. Oblikoslovje.

Uvod.

Najvažnejši in za življenje najkoristnejši oddelek iz ge¬
ometrije je brez dvombe „merjenje črt, ploskev in
teles".  V tein smislu ima tudi državna šolska novela z
1. 1883. prenarejen učni črtež. Učenci namreč ta nauk lahko
razumejo brez posebno obširnega geometriškega znanja. Ako
učenci poznajo razne črte, ploskve in telesa po imenu in po
obliki ter vedo njih razsežnost, in če so tudi dobro podkovani
v metrični meri,  — potem so popolnoma pripravljeni za
meritev. Treba jim je pa tvarino prav umevno razlagati, brez
vsake znanstvene podloge.

Na kocki se jim razlože črte v razni leži, pravi kot in
kvadrat; na drugih telesih se nauče spoznavati razne kote,
trikotnike, štirikotnike in večkotnike (ogelnike). Ako jih hočemo
n. pr. seznaniti z romboidom, pokažemo jim poševno prizmo,
ki ima romboide za stranice, narišemo jim potem na tablo
tak roinboid ter zapišemo zraven besedo „romboid“, ne pa,
kakor nahajamo v srednješolskih geometrijah, črki A,  Z?, C, D ;
kaj takega je otrokom težko umljivo, tako naj se le na srednjih
šolah uče merstva. Ako jim hočemo razložiti višino v rom-
boidu, zapišemo tudi poleg črte besedo „višina" in ne črk
Z), E.  Dobro je tudi, ako si učenci vse to sami narišejo in
zapišejo na papir, da si to bolj vtisnejo v spomin ter so
pazljivejši pri pouku.

Najboljša metoda je tudi pri tem pouku, ako učitelj iz¬
prašuje to, kar je učencem že znano, in ako te odgovore
razširja s primernimi dostavki. Podobe geometriških likov
(figur) in teles naj si bralec poišče v kaki geometriji. Ter¬
minologija je vzeta večinoma iz Lavtarjeve geometrije za
učiteljišča.

33

Sedaj hočemo najprvo pokazati, kako naj učitelj v za¬
četku postopa pri tem pouku.

Učitelj: Kake reči vidite tukaj v šoli ?

Učenec: V šoli vidimo klopi, tablo, peč, omaro, mizo, stol.

Učitelj: Kake reči so pa zunaj ?

Učenec: Zunaj so hiše, drevesa, kamenje.

Učitelj: Vse to skupaj imenujemo — telesa. Vsa telesa
pa niso jednaka. Poglejte natančneje tukaj moj klobuk in tam
peč. Kakšen je klobuk po zunanjosti, je li okrogel ali na ogle?

Učenec: Klobuk je okrogel.

Učitelj: Ali je peč tudi okrogla?

Učenec: Ne, peč ni okrogla, ona je na štirioglata.

Učitelj: Imenujte mi sedaj več okroglih in več oglatih
teles? — Kako telo je to tukaj po zunanjosti (učitelj jim
pokaže kocko)?

Učenec: To telo je oglato.

Učitelj: Resje, imenujemo ga pa „kocko“  ali „kubus“.
Zapomnite si! Oglejmo si jo natančneje. Kakor vidite, ima
jednako visokost, širokost in debelost, kajti vsi robovi so
jednaki. Koliko jih je in kakšni so?

Učenec: Robov je 12 in vsi so jednaki.

Učitelj: Zaradi tega pravimo, da ima to telo jednako
dolgost, širokost in debelost. Koliko robov vidimo na vsaki
strani ?

Učenec: Na vsaki strani vidimo 4 robove.

Učitelj: Tako stran imenujemo ploskev. Ploskve so raz¬
lične. To tukaj imenujemo kvadrat ali št ir jak.  Koliko ploskev
ima tedaj kocka.

Učenec: Kocka ima šest ploskev in sicer kvadratov.

Učitelj: Vsak kvadrat ima štiri robove, kakor vidite
tukaj. Jeden teh robov nam predstavlja dolgost, drugi širokost
ali visokost ploskve. Vsaka ploskev ima dve razteznosti, t. j-
dolžino in širino. Rob, kakor vidite, razteza se pa le na jedno
stran, in to imenujemo dolgost ali dolžino. Koliko jih je ?

Učenec: Kocka ima 12 robov.

Učitelj; Rob pa tudi lahko narišemo. Ako potegnemo
s kredo po tabli na ta način -, imamo podobo roba, ter

3

34

jo imenujemo črto*) in sicer vodoravno. Ako pa narišem po¬
dobo tega roba (navpičnega), imamo navpično črto. Sedaj pa
vidimo na kockinih koncih še nekaj. Kdo ve?

Učenec: To je ogel.

Učitelj: Koliko oglov ima kocka ?

Učenec: Kocka ima 8 oglov.

Učitelj: Tudi podobo ogla lahko narišemo na tablo, ako
pritisnemo s kredo malo na jednem mestu. Kako imenujemo to?

Učenec: To imenujemo piko.

Učitelj: Ali točko. Kakor vidite, ogel**) nima nikake
razsežnosti, niti dolgosti, niti širokosti, kajti on je tako rekoč
konec roba, torej nekaj mišljenega. Isto tako točka. Podoba
točke na tabli pa je košček krede, torej v resnici telo. Po¬
pišite mi sedaj kocko?

Učenec: Kocka je telo, ki ima 6 kvadratnih
ploskev, 12 robov in 8 oglov.

Učitelj: Učili se bodemo sedaj še o drugih telesih in
o ploskvah. Ploskve so različne, kakeršne tu vidite iz papirja
zrezane tri-, štiri-, pet- in večstranske. Imenujemo jih oblike
ali like; nauk o oblikah in telesih pa oblikoslovje:

(Kakor pri kocki, postopamo pri drugih geometriških
telesih; na okroglih telesih spoznavajo učenci krive ploskve.)

A. Meritev črt.

Učitelj; Kaj predstavlja črta?

Učenec: črta predstavlja dolgost ali dolžino.

Učitelj: Ako hočemo črte meriti, potrebujemo posebno
mero. Kako imenujemo navadno mero za dolžine?

Učenec: To je meter.

Učitelj: Pazite sedaj, kako se meri. Ako hočem izvedeti,
kako dolga je ta klop, položim meter do konca (ogla) tako,

*) To razlaganje se sicer ne vjema z znanstvenimi pojmi, ali učen¬
cem je zelo umljivo. Pri prostoročnem risanji postopamo lahko narobe. Tu
narišemo na tablo č. navpičnico. Potem pokažemo pri omari navpični rob
ter ukažemo: „Poiščite tu v šolski sobi še druge navpične robove".

**) Telesni ogel seveda je v znanstveni geometriji nekaj druzega.

35

da je z robom odrezan. Na drugi strani zaznamujem si konec
metra. Od tukaj zopet položim meter ter zaznamujem konec,
in tako na dalje. Sedaj pa vidite, da meter lahko samo dvakrat
podolgoma položim po klopi, in da mi ostane kos, ki je krajši
kot meter. Treba bode tudi izmeriti ta ostanek. Kakor veste,
meter je razdeljen na več jednakih delov. Kako pa imenujemo
te dele, in koliko jih je?

Učenec: To so decimetri, in teh je deset.

Učitelj: Prav! Sedaj pa pazite, do katerega delca pride
konečni rob klopi? Povej ti!

Učenec: Do šestega.

Učitelj: Koliko torej obsega konec?

Učenec: Šest decimetrov.

Učitelj: In cela klop?

Učenec: Cela klop meri dva metra in šest deci-
metrov.

Učitelj: Res je tako!

Opomnja. Na ta način merimo še druge dolžine na
raznem orodji v šolski sobi. Spretnejši učenci tudi lahko
merijo sami. Potem pričnemo meriti črte na tabli; merimo
jih tako, kakor prej dolžino klopi. Učence tudi lahko povpra¬
šujemo, naj primeroma naznanijo dolžino kake narisane črte.
Tako dobimo različne odgovore in različne mere. Na to izmeri
učitelj dotično premo vpričo otrok natanko z metrom tako,
da vsak izve svojo pomoto. Tako ravnanje napravlja učencem
veliko veselja, privadi se pa tudi njih oko, da neizmerno
hitro in natanko cenijo dolžine. Nadalje naj si učenci sami
narede iz papirja merilo,  kako, to jim pokaže učitelj na
tabli. Njih mera pa se ve, da ne more biti 1 meter dolga,
ampak krajša, morebiti le 1 decimeter. Tako se učenci se¬
znanijo z „omaljenim merilom". Potegnejo si tudi preme na
papirji ter jih merijo s svojim merilom tako, kakor jih je
prej učitelj meril na tabli z metrom. Tudi sedaj se lahko
vadijo meriti po vidu ali „na oko“ (AugenmaG); potem pa
jim tudi lahko narekujemo: štiri, pet, šest metrov in več ali
manj dolge preme narisati!

Vse te vaje so jako koristne.

3 *

36

B. Meritev ploskev.*)

1. Učitelj nariše kvadrat na tablo ter vpraša: Kako
imenujemo ta lik?

Ucenec: To je kvadrat.

Učitelj pokaže manjši kvadrat iz papirja ter zopet vpraša :
Kaj pa je to?

Učenec: Tudi kvadrat.

Učitelj: Stran tega kvadrata meri 1 din, kako ga torej
imenujemo?

Učenec: Imenujemo ga kvadratdecimeter.

Učitelj: Ali pa veste, kako velik je kvadrat na tabli?

Učenec: Ne vemo.

Učitelj: Vidite, kakor smo preme merili le s premami,
tako moramo sedaj ploskve meriti s ploskvami. Ta dm 2  je
naše merilo. Poskusimo torej, kolikokrat ga lahko položimo
na uni kvadrat. Pazite in glejte, vsakokrat bodem zarisal mali
kvadrat. Kolikokrat sem ga položil?

Učenec: Devetkrat.

Učitelj: Koliko meri tedaj kvadrat ?

Učenec: Kvadrat meri devet kvadratdecimetrov.

Učitelj: Jedna stran kvadrata, kakor vidite, meri tri
decimetre, in trikrat tri je tudi devet. Iz tega torej sledi
pravilo: „Ploščino (površino) kvadrata dobimo,

ako mero jed n e strani množimo z ravno tistim
šte vilom“.

Opazka.  Treba je na ta način izmeriti več kvadratov
in tudi take, pri katerih ostane kak pas (proga ali trak), ki
ga potem izmerimo z manjšo mero, n. pr. s kvadratcenti-
metrom. S tem popolnoma dokažemo resnico prejšnjega pravila.

2. Učitelj pokaže na tabli pravokotje ter vpraša: Kaj
je to?

Učenec: To je pravokotje.

*) Marsikatero vprašanje mora učitelj razdeliti na več vprašanj,
da ga učenci lažje razumejo. Ta opazka velja tudi pri prejšnjem raz¬
laganji.

37

Učitelj: Na jednaki način ko prej določimo tudi tukaj
ploščino, ali pa, če razdelimo vsako stran pravokotja na de¬
cimetre ter potegnemo črtice od jedne strani k nasprotni
skozi razdelke, potem razpade pravokotje na kvadratdeciinetre,
in sicer, ako meri jedna stran tri decimetre, druga pa pet,
imamo petnajst kvadratdecimetrov, t. j. 3 X 5. Ker se pa ta
razmera pokaže pri vsakem pravokotji, kakšno pravilo sledi
torej iz tega?

Učenec: Ploščino pravokotja dobimo, ako
množimo dolgost s širokostjo.

Učitelj: Prav tako! Tukaj vidite iz papirja izrezan lik.
Kaj je to?

3. Učenec: To je romboid.

Učitelj: Vidite, sedaj potegnem navpičnico (višino) iz
jednega ogla na nasprotno stran (podstavnico, osnovnico) rom-
boida in po tej premi prerežem lik s škarjami. Kakor vidite,
odpade mi majhen trikotnik, katerega prenesem na nasprotno
stran. Kakšen lik dobim potem?

Učenec: Romboid se je izpremenil v pravokotje.

Učitelj: Dobro! Ker nam je znana ploščina pravokotja,
in je romboid jednak pravokotji, kakor ste se prepričali, kaj
mislite, kako bomo izračunih njegovo ploščino?

Učenec: Ploščino romboida dobimo, ako mno¬
žimo osnovnico z višino.

4. Učitelj: Ravno tako izpremenimo lahko „romb“  v
pravokotje. Ne bode vam torej težko povedati, kako dobimo
njegovo ploščino?

Učenec: Ploščino romboida dobimo, ako mno¬
žimo jedno stran z višino.

5. Učitelj: Tukaj vidite iz papirja izrezan trikotnik,
in k temu izrežem še jednega ravno tako velikega. Ako dru¬
gega k drugemu položimo, kaj dobimo?

Učenec: Potem dobimo romboid.

Učitelj: Koliki del romboida je tedaj trikotnik ?

Učenec: Trikotnik je polovica romboida.

Učitelj: Kako pa izračunimo ploščino romboida?

38

Učenec: Ploščino romboida dobimo, ako množimo osnov¬
nico z višino.

Učitelj: Kako torej dobimo ploščino trikotnika?

Učenec: Ploščino trikotnika dobimo, ako
osnovnico množimo s polovico višine.

Učitelj: Kako imenujemo ta lik iz papirja?

6. Učenec: Ta lik imenujemo „trapec“.

Učitelj: Jedno od nevsporednih stranij razdelimo na po¬
lovico, skozi polovišče potegnemo k nasprotnemu gornjemu
oglu črto, po tej črti pa prerežemo trapeč, kaj nam odpade?

Učenec: Potem nam odpade majhen trikotnik.

Učitelj: Ta trikotnik pristavimo k ostanku trapeča in
sicer k ostali polovici odrezane strani, tako da se strinjate
polovici, kaj dobimo?

Učenec: Dobimo še večji trikotnik, ki je prejšnjemu
jednak.

Učitelj: Kako bodemo torej izračunih ploščino trapeča,
ker nam je znano izračunanje ploščine trikotnikove.

Učenec: Ploščino trapeča dobimo, ako nje¬
gove vsporedne strani izmerimo, (te merski šte¬
vili) seštejemo in vsoto množimo s polovično vi¬
šino.

Učitelj: Kaj pa nam predstavlja ta iz papirja izrezani lik.

7. Učenec: To je trapecoid.

Učitelj: Z dijagonalo (črto povprečnico) razdelimo tra¬
pecoid v dva trikotnika, kako bodemo tedaj izračunih njegovo
ploščino ?

Učenec: Ako izračunimo ploščino posamnih trikotnikov
ter seštejemo te števili.

Učitelj: Prav! Ah pa krajše: „P1 o š čin o trapecoida
dobimo, ako seštejemo višini ter polovico tega
števila množimo z osnovnico 11 .

Učitelj: Kaj pa nam predstavlja tukaj to?

8. Učenec: To je „poligon“  (mnogokotnik).

Učitelj: Kako bi preračunih poligonov obseg ?

Učenec: Treba bi bilo izmeriti vse strani in sešteti njih

merska števila.

39

Učitelj: V kaj pa razpade poligon, ako v njem iz jed-
nega ogla potegnemo k vsem drugim oglom č. dijagonale?

Učenec: Poligon razpade v same trikotnike.

Učitelj: Kako bodemo torej dobili njegovo ploščino?

Učenec: Ploščino poligona dobimo, ako pre¬
računi m o ploščino posamnih trikotnikov ter se¬
štejemo ta števila.

Učitelj: Res je. Kaj pa je to?

Učenec: To je „krog“.

Učitelj: Sleharni krog ima lastnost, da je njegov obod
(obseg) 3 1 /7krat večji kot premer; to vam lahko precej do¬
kažem, ako ovijem okrog kroga nit in potem njeno dolgost
primerjam s krogovim premerom. Sedaj lahko uganete, kako
izračunimo krogov obod ?

Učenec: Krogov obod dobimo, ako njegov pre¬
mer (dijameter) množimo  s 3 1 /? (z Ludolfovim šte¬
vilom).

Učitelj: Ako v krogu potegnemo neizmerno veliko po-
lumerov, jednega tik drugega, n. pr. 360, v kaj razpade ta?

Učenec: Krog razpade na ta način v same trikotnike

(360).

Učitelj: Kako bi torej preračunih krogovo ploščino ?

Učenec: Krogovo ploščino preračunimo, ako izračunimo
ploščino vseh trikotnikov in seštejemo ta števila.

Učitelj: Ker so pa vsi ti trikotniki skupaj jednaki trikot¬
niku, ki ima krogovemu obodu jednako osnovnico, višino pa jed-
nako njegovemu polumeru, tedaj je „ploščina kroga jed-
n a k a v z m n o ž k u i z o b o d a i n i z p o 1 o v i c e p o 1 u m e r a“ ;
2 r .n  r. r 2  n.

360 ' T =

namreč 360.

Opazka.  Da se razprava preveč ne raztegne ter ne
postane predolgočasna, hočemo v izpremembo „obseg in plo¬
ščino elipse “ razložiti bolj na kratko.

Ako ovijemo okrog elipse (pakroga) vrvico ter potem iz¬
merimo njeno dolgost, spoznamo vsekdar, da je ona jednaka
računu (a + b). n , v katerem je a  polovična velika, b  pa po¬
lovična mala os. Obod elipsin torej izračunimo, ako

40

seštejemo polovični osi ter to vsoto množimo z
Ludolfovim številom.

V geometriških knjigah za meščanske šole, za spodnje
realke in gimnazije, pa tudi za učiteljišča najdemo sicer pra¬
vilo za določitev elipsne ploščine, ali zaman iščemo dokaza
ali kakega tehtnega pojasnila za obliko a. b. n.  — V ome¬
njenih knjigah sicer beremo opazko, da je elipsna ploščina
jednaka krogovi, ako je kvadrat krogovega polumera jednak
produktu elipsnih polosij. Ali to pravilo je le rezultat naloge
o izpremembi kroga v elipso ali narobe.

V sledečem pa hočemo znano obliko za elipsno ploščino
a. b. n  izvesti na prav priprost in jako razumljiv način tako,
da bode umljiva tudi učencem na nižji stopinji.

Za primero in v lažje razumevanje ponavljam tu dolo¬
čitev krogove ploščine, katero smo razdelili v trikotnike, kakor
je že bilo povedano. 360ti del krogovega oboda (torej 1°) je
gotovo na papirji ali tabli tako malo zakrivljena črta, da
velja lahko za popolno ravno (premo). Ako zvežemo končišči
(točki) te črtice s krogovim središčem, dobimo trikotnik. Ako
pa to storimo pri vseh sledečih delcih (360°), imamo 360
takih trikotnikov. Ploščina vsakega teh trikotnikov iznaša
r ti

— = ——- , ploščina vseh trikotnikov ali celega

/L  ODU

2 r n
360

kroga pa 360.

r n
360

— r n.

Skoraj še lažje umljivo je izvajanje elipsne ploščine.
Treba je le polovico velike osi deliti na 7 delov, potegniti
tangento kot vsporednico velike osi, potem pa zarisati na
tej vsporednici na jedno stran 4 jednake prejšnje dele, če¬
trti del pa zvezati z bližnjim temenom. Na ta način dobimo
trapeč, ki je jednak x / 4  elipse, kar prav lahko razsodimo že
z očmi. Ni težko namreč zapaziti, da elipsa na jednem kraji
nekoliko moli iz trapeča, na drugem pa trapeč za ravno toliko
iz elipse. Cela elipsa je torej sestavljena iz 4 trapecov, in

ploščina sleharnega trapeča je po znanem pravilu - J 7 Q ■■ b,

£

41

ako ste amb  velika in mala elipsna polos; — zatorej je plo¬

ščina elipse 4

(a  -j- 4 /7 a)

. b  ali dalje izračunjeno (2 a -f a) b.

= — a. b —  3'14 ab , tedaj skoraj natančno a. b. n\  — to

je obrazec, ki so ga učenjaki z natančnimi računi iznašli za
elipsno ploščino.

Ta razprava sicer nima veljave strogega dokaza, ali
vender bode dobro služila učitelju geometrije na omenjenih
šolah, ker moremo ž njo sleharnemu učencu razumljivo raz¬
jasniti izračunanje elipsne ploščine. To je pa gotovo vedno
bolje, kakor učence priganjati, da se pravil mehanično uče
na pamet.

C. Telomerstvo.

K temu pouku so neizogibno potrebni pripravni modeli;
narisi sami ne zadostujejo. Našemu navodu najbolj ugajajo
modeli teles od kamena ali od kovine, ki se potope v vodi.
Ako pa imamo lesene modele, lahko tudi dokažemo jednakost
telesnin, ako jih potisnemo s kako iglo pod vodo*), ali pa s
pomočjo tehtnice (vage), kajti jednako težka telesa imajo
jednako telesnino, ako.je njih snov (materija) jednaka (jedne
vrste les).

Učitelj lahko prične: Kako razdelimo geometriška telesa.

Učenec: Geometriška telesa delimo na oglata in okrogla.

Učitelj: Katera telesa pa imenujemo oglata ?

Učenec: Oglata telesa imenujemo tista, katerih povr¬
šina je sestavljena iz ravnih likov (figur). Taka so: kocka,
paralelepiped, prizma, piramida.

Učitelj: Katera telesa imenujemo okrogla?

Učenec: Telesa, katerih površina je sestavljena iz ravnih
in okroglih ali pa samo iz okroglih ploskev, imenujemo
okrogla telesa. Taka so: valj (cilinder), stožec (kegelj), kroglja.

1. Učitelj: Tukaj vidite kocko.  Kaj je torej kocka?

Učenec: Kocka je oglato telo, čegar površina nam pred¬
stavlja šest jednakih kvadratov.

*) V sili učencem lahko to tudi pojasnimo z risanjem.

42

Učitelj: Površino (površje) vsakega telesa pa najlažje
izračunimo, ako razgrnemo njegovo površje. Ako si razgrneno
površje (mrežo) nekoliko natančneje ogledate, lahko uganite,
kako se izračuni površje kocke.

Učenec: Najprvo izračunimo jedno stran, to je jeden
kvadrat, in ta znesek vzamemo šestkrat.

.Učitelj: Prav tako! Ali pa, kar je vse jedno:'„Kva-
drirani kockini rob množimo s 6“.

Oglejmo si še natančneje jedno stran ali jeden kvadrat
na kocki. Ako meri kockin rob 6 din, koliko meri potem celi
kvadrat?

Učenec: Celi kvadrat meri tedaj 6 X 6 = 36 dm 2 .

Učitelj: Na vsakem kvadratu imamo torej 6 vrst po
6 dm 2 , naj štejemo vrste na širjavo ali dolžino. Ako sedaj
razrežemo kocko na jedni strani kocke po črtah, ki ločijo
vrste, kaj dobimo?

Učenec: Potem razpade cela kocka v 6 jednakih plošč
(plastij).

Učitelj: Na prvi plošči pa imamo zopet 6 vrst po 6 dm 2 ,
ako smo razdelili na prej omenjeni način kockino površje.
Razrežimo sedaj te vrste počez in podolgoma. V kaj razpade
cela plošča?

Učenec: Cela plošča razpade v majhne kocke, katere
niso drugega, nego kubikdecimetri.

Učitelj: In koliko je teh ?

Učenec: Teh je 6X6,  t. j. 36.

Učitelj: Ker so pa vse plošče jednake, koliko kubik-
decimetrov je v vsaki, in koliko jih je v vseh skupaj?

Učenec: V vsaki plošči jih je 36 in 6 X 36 = 216 je
vseh skupaj, ker je šest plošč.

Učitelj: Koliko meri torej kocka, ako so njeni robovi
6 dm dolgi?

Učenec: Taka kocka meri 216 dnj 3 .

Učitelj: Res je! To nam tudi posebno dobro predstavlja
kocka, ki smo jo rabili pri metrični meri, kajti na njej so
bile zaznamovane vse te črte, ter cela kocka nam je kazala
skladovnico malih kocek.

43

Število 216 pa tudi dobimo, ako število 6 trikrat s
seboj množimo (kvadriramo), vsaj je 6X6X6  = 216. Ker
tako izvajanje lahko dokažemo pri sleharni kocki, sklepamo
iz tega pravilo: „Telesnino (prostornino) kocke iz-
računimo, ako k ubiramo dolži n o j e d n ega roba“.

2. Učitelj: Kaj je prizma?

Učenec: Prizma je telo, katero je zgoraj in spodaj skle-
neno od dveh -vsporednih ( ||) in stičnih (£V> ) poligonov, na
straneh pa jo obdajajo paralelogrami.

Učitelj: Ne bode vam torej težko izračuniti njeno po¬
vršino. Najprvo bodemo izračunih spodnji poligon (osnovno
ploskev, stalo, podslombo), ker je pa ta jednak gornjemu,
podvojimo to število in k temu prištejemo še merska števila
stranskih ploskev (paralelogramov). Stransko površje
(obstranje) navpične prizme dobimo, ako obseg podslombe
pomnožimo z višino,  kar razvidimo brez dokazov iz
njene mreže.

Znano vam je, da prizme delimo navadno po številu
stranskih ploskev v tristranske, štiristranske, petstranske in
večstranske; po njihovi leži pa v nadpične in poševne.

Učitelj: Kako imenujemo prizmo, ki ima za podslombo
št ir jak,  stranske ploskve pa so pravokotja?

Učenec: Tako prizmo imenujemo paralelepiped.

Učitelj: Oglejmo si natančneje tukaj ta paralele¬
piped  in primerimo ga s prejšnjo kocko. Kako se razloči od
kocke, če merijo robovi na višavo 12 dm, na širjavo in dol¬
žino pa 6 dm.

Učenec: Razločka ni drugega, kakor da je paralelepiped
še jedenkrat večji kakor kocka.

Učitelj: Ker vam je telesnina kocke znana, lahko izra-
čunite tudi telesnino paralelepipeda. Kolika je?

Učenec: 2 X 216 dm 3  = 432 dm 3 .

Učitelj: To število bi pa tudi dobili, ako bi bili para¬
lelepiped tako razdelili in razkosali na plošče, plasti in ku-
bikdecimetre, kakor smo to prej storili s kocko. Še krajše
pa pridemo do istega izida (rezultata), ako „podslombo

44

množimo zvišino ali pa dolžino sširino invišino 11 .
To pravilo velja za vsak paralelepiped, kdor ne verjame, naj
ga razdeli na omenjeni način.

Ako primerjamo različne paralelepipede in prizme s
pravokotnim paralelepipedom, spoznamo, da je vsak paralele¬
piped in sploh sleharna prizma prostorno (telesno) jednaka
pravokotnemu paralelepipedu, ako ima ž njim jednako pod-
slombo in višino.

Učitelj: Kaj sledi iz tega?

Učenec: Iz tega pač sledi, da „telesnino prizem
izračuni m o, ako podslombo množimo  z višino 11 .

Učitelj: Prav tako! Prepričati vas pa tudi hočem o res¬
nici tega pravila. Glejte, tukaj imam pravokotni paralelepiped
in petstransko poševno prizmo; obe telesi imate jednako ve¬
liko podslombo in jednako dolgo višino, kdor tega ne verjame,
prepriča se lahko sam po šoli z merjenjem. Tu pa vidite dve
popolnoma jednaki (kalibrovani) cilindrasti posodi, napolnjeni
z vodo. Sedaj spustim po niti v jedno posodo paralelepiped,
v drugo pa prizmo, da se potopite. Kaj zapazite?

Učenec: Iz obeh posod izteče nekoliko vode.

Učitelj: Sedaj potegnem obe telesi iz vode ter postavim
jedno posodo tik druge, kaj vidite?

Učenec: V obeh posodah je izteklo jednako vode.

Učitelj: Kaj sledi iz tega?

Učenec: Da ste telesi prostorno jednaki.

Učitelj: Kaj je s tem dokazano?

Učenec: Resnica prejšnjega pravila je potrjena.

3. Učitelj: Kaj je piramida?

Učenec: Piramida  je telo, ki ima poligon za pod¬
slombo in trikotnike za stranske ploskve.

Učitelj: Tukaj vidite razgrneno piramido ali mrežo nje¬
nega površja, torej sami lahko izračunite njeno površino, kako?

Učenec: Najprvo izmerimo podslombo, potem po vrsti
vse stranske ploskve in seštejemo ta števila.

Učitelj: Tukaj vidite 3 tristranske piramide, ki imajo
jednake podslombe in jednake višine in katere skupaj zložene

45

napravijo tristransko prizmo, ki je ravno tako velika, kot ta
tukaj. Koliki del prizme je torej piramida, ki ima ž njo jed¬
il ako podslombo in višino?

Učenec: Taka piramida je tretjina prizme.

Učitelj: To dokažemo lahko tudi s prejšnjima posodama.
Ako jedno teh piramid spustim v posodo, napolnjeno z vodo,
prizmo pa v drugo, potem pa jih zopet ven vzamem, kaj
vidite?

Učenec: Iz posode, v kateri je bila prizma, izteklo je
več vode, kakor iz one, kjer je bila piramida.

Učitelj: In sicer trikrat več. Ako moram v prvo po¬
sodo naliti tri kozarčke vode, da jo napolnim, treba jo je v
drugo samo jeden kozarček (kupico). In to se pokaže, naj
vržem katero si bodi izmed teh treh piramid; kaj sledi iz tega?

Učenec: „Da je vsaka piramida tretjina prizme, s ka¬
tero ima jednako podslombo in jednako višino". Potem pa
tudi, da so „piramide prostorno jednake, ako imajo jednake
podslombe in jednake višine", naj si bodo drugače navpične
ali poševne.

Učitelj: Kako izmerimo telesnino tristranske piramide ?

Učenec: „Telesnino tristranske piramide do¬
bimo, ako podslombo pomnožimo z višino in od
tega števila vzamemo tretjino".

Učitelj: Tu pred seboj imate šeststransko poševno pi¬
ramido, in zopet vam lahko dokažem s posodama, da je te¬
lesno jednaka s tristransko piramido, ki ima jednako pod¬
slombo in višino. Ker pa to lahko dokažemo tudi pri vsaki
drugi piramidi, velja v obče pravilo: Telesnino piramide
dobimo, ako množimo podslombo s tretjino vi¬
šine.

4. Učitelj: Kaj je cilinder ali valj?

Učenec: Cilinder  je telo, čegar površina je sestav¬
ljena iz podslombe, ki je krog, in iz zavite, okrogle, cevi po¬
dobne ploskve, ki je tudi na vrhu pokrita z jednakim krogom.

Učitelj: Ako razgrnemo navpični papirnati cilinder, kaj
vidimo?

Učenec: Celo stransko površje se razvije v pravokotje.

46

Učitelj: Torej lahko izračunimo površje, ako izra¬
čuni mo podslombo in izmerimo višino. Treba  nam
je  le  podslombo dvakrat vzeti, njen obod z višino
pomnožiti in vse vkup sešteti.

Ako natančneje opazujemo cilinder, s katerim oglatim
telesom ga lahko primerjamo ?

Učenec: Primerjati ga moremo le s prizmo.

Učitelj: V resnici se tudi prizma od daleč ne razloči
nič od cilindra, ako ima ona prav veliko robov. O tej podob¬
nosti se prepričamo tudi lahko s posodami. Na ta način do¬
kažemo zopet, da imata cilinder in prizma jednako telesnino,
ako ste njuni podslombi in višini jednaki. Iz tega pa sledi,
da telesnino cilindra ravno tako izračunimo, kakor prizme,
namreč ?

Učenec: »Podslombo množimo  z višino 11 .

5. Učitelj: Kaj je kegelj?

Učenec: Kegelj ali stožec  je piramidi podobno telo
čegar podslomba je krog, stranska površina pa okroglo za¬
vita, lijaku podobna ploskev (plašč).

Učitelj: Ako navpični kegelj razgrnemo, kaj vidimo?

Učenec: Vidimo krog, ki se drži trikotniku podobnega
krogovega izseka, čegar osnovnica je odvit krogov obod.

Učitelj: Kako tedaj izračunimo kegljevo površje?

Učenec: Zmerimo podslombo (krog), potem
plašč (krogov izsek) in seštejemo števili.

Učitelj: Tako je prav! če pa kegelj primerjamo z ogla¬
timi telesi, komu je podoben?

Učenec: Kegelj je le piramidi podoben?

Učitelj: To tudi lahko natanko dokažemo s posodama.
Kako tedaj izmerimo njegovo telesnino?

Učenec: „Telesnino keglja dobimo, ako izme¬
rimo njegovo podslombo in to mersko število
množimo s tretjino  višine 11 .

Pristavek: V vsakdanjem življenji, zlasti pri prodaji
lesa, rabimo pogostoma pravilo za telesnino „okrajšane
piramide" ali okrajšanega keglja".  Z znanimi poso¬
dami zopet lahko dokažemo, da sta okrajšana piramida ali

47

okrajšani kegelj prostorno jednaka prizmi ali cilindru, ki ima
podslombo jednako polovični vsoti obeh podslomb okrajšane
piramide oziroma okrajšanega keglja, višino pa ravno taisto.
Iz povedanega sledi pravilo: „Telesnina okrajšane pi¬
ra mi de (okraj ša n ega keglj a) j e jednaka produktu
iz polovične vsote obeh podslomb  in  višine 11 .

Akoravno ni to pravilo matematično popolnoma natančno,
vender se vedno rabi v praktičnem življenji, ker je pogrešek
neznaten. Pri hlodih in pri brunih jemljejo zunanjo dolgost
za, višino.

6. Učitelj: Kaj je krogla?

Učenec: Krogla  je okroglo telo-, ki ima lastnost, da
je njeno središče na vse strani od površja jednako oddaljeno.

Učitelj: Ako hočemo njeno površino izmeriti, razdelimo
jo z ekvatorjem in z meridijani na majhne trikotnike. Tri¬
kotnike potem izmerimo in seštejemo. N. pr.: Ekvator smo
razdelili na 10 delov, torej imamo 20 trikotnikov, jeden meri

2 r n

~T(T

X

2 r n
8

4 r 2  n 2
80

vsi pa .20 X

4 r 2  n*
80

= T‘ n‘

Ta račun pa ni popolnoma prav, kajti trikotniki niso navadni,
ampak skrivljeni (sferični), torej nekoliko večji. Pomota pa
takoj izgine, ako vzamemo jedenkrat n  = 4 mesto 3'14, potem
dobimo 4 r 2  n.  To se pravi: „Površino krogle dobimo,
ako obod največjega kroga množimo s- polume-
rom  (radijem) 11 .

Iz površja labko izračunimo tudi njeno telesnino. Ako
prejšnje trikotnike zvežemo s središčem, kaj dobimo?

Učenec: Vsa krogla razpade v 20 malih piramid.
Učitelj: Treba je torej izračuniti te piramide in jih

» V

sešteti. Telesnina vsake piramide iznaša p X -5-; vseh 20

O

v 1* 4

ali cela krogla torej 20. p. — = P. — = — r 3  n.  Tu po-

O OO

meni p  podslombo in v  višino jedne piramide, P  pa površino
in r  polumer krogle. Pravilo se tedaj glasi: „Telesnino
krogle dobimo, ako njeno površje množimo s
tretjino p o luni  era 11 . S tem končamo merstvo!

48

Opomnja. Ta nauk postane koristen šele, ako učenci
izdelajo veliko nalog, kajti potem razumejo pravila še bolje
in si jih vtisnejo v spomin. Brez takih vaj pa imajo pravila
majhno veljavo, ker učenci jih kmalu pozabijo, pa tudi
porabiti jih pozneje več ne znajo. V šoli naj se torej učitelj
in učenci mnogo pečajo s takimi nalogami. Za vzgled nave¬
demo tudi tu spodaj nekatere.

Dobro je, ako se učenci tudi nauče geometriška telesa
(perspektivno) tako risati, da ločijo vidne robove od nevidnih
z dvojnimi črtami, namreč s polnimi in pikčastimi.

Uporab a, pravil:

1. Seststranska pravilna navpična prizma meri na vi¬
šavo 5 m, obod podslombe meri 12 m, koliko iznaša njena
površina in koliko telesnina?

Površina  brez podslomb = 6. 2. 5 = 60 m 2 . Te¬
lesnina  = 10’38.5 = 51 '9 m 2 .

2. Podslomba (stalo) 12 dm visoke piramide je kvadrat
6 dm dolg, postranska visokost iznaša 12■ 37 dni; kolika je
a)  površina, b)  telesnina piramidina?

Obseg podslombe — 4. 6 — 24 dm, stransko površje
1 2*37

= 4. 6. —-— = 148*44 dm 2 .

A

Vsebina podslombe = 6. 6. ==.  36 dm, telesnina  =
36. ~ =  144 dm 3 ; 36 + 148'44 = 184'44 dm 2  cela po¬
vršina.

3. Na štiri robove obtesano in 5 m dolgo bruno je na
spodnjem konci 28 cm široko in 22 cm visoko, na gornjem
konci je pa 24 cm široko in 19 cm visoko; koliko m 3  lesa
ima v sebi?

Telesnina

28.22 + 24.19
2

. 500

616 -f 456
2 ~

500

1072

2

500 = 536.500 = 268.000 cm 3

0'268 m 3 .

4. 12 - 6 m dolg hlod meri na debelejšem konci 40 cm
v premeru, na tanjšem pa 27 cm; koliko iznaša površina nje¬
gove skorje (lubja) in koliko telesnina?

49

„ .. 40.3 14 -|- 27.314 loeA  125'6 + 84'78

Površina  = - --- 1260 = - - - .

1260 = 132539 4 cm 2  = 13 25 m 2 .

20 2 . 3-14 -f- 13-5 2 . 3-14

Telesnina =

1260 =

1256 + 572-265
2

. 1260 = 1 151806-32 cm 3  = 1152 m 8


Predgovor .

Splošne opazke o risanji

Stran

3

5

Okt "L

I. Prostoročno risanje.

A.  Splošni pouk. 7

B.  Podrobni navod. Nižja stopinja.10

Srednja stopinja. Prehod k prostemu risanju.12

Višja stopinja. Prosto risanje.18

O risanji po modelih.29

Dodatek.

Prve vaje pri risanji brez stigem.30

II. Oblikoslovje.

Uvod.32

A.  Meritev črt.34

B.  Meritev ploskev.36

C.  Telomerstvo.  41

J

I l

NARODNA IN UNIVERZITETNA
KNJIŽNICA

00000420748