9 7,035, 06564, 9770351665647 9770351665647 matematični trenutki kolofon D iagnosticiranje avtizma -i' •i' vi' Avtizem prizadene vec kot odstotek otrok v Združenih državah Amerike. Žal mnoge družine nimajo dostopa do ustreznega zdravnika ali pa morajo na obisk specialista cakati vec mesecev, ceprav je vsak zamujeni mesec bistvenega pomena za otrokov nevrološki razvoj. Skupina znanstvenikov je razvila aplikacijo, ki omogoca staršem, da sledijo otrokovim odzivom na vidne dražljaje (na primer na mehurčke s slike na strani 7), jih beleži in analizira ter priporoci obisk zdravnika, ce se to zdi potrebno. Pomemben del vizualnega dela aplikacije sestavljata racunalni-ški vid in strojno ucenje, ki temeljita na uporabi linearne algebre in verjetnostnega racuna. Cetudi aplikacijo sestavljajo zapleteni algoritmi, je enostavna za uporabo, njeni zakljucki pa so primerljivi z diagnozami strokovnjakov. Aplikacijo še vedno preizkušajo, v prihodnosti pa bo omogocila zaskrbljenim staršem bistveno izboljšan dostop do diagnoze. Namen aplikacije ni nadomestiti zdravnika, bo pa zelo pomagala ljudem, ki nimajo dostopa do strokovnjakov, na primer tistim, ki živijo v manj razvitih državah. V Afriki je recimo petdeset specialistov za petsto milijonov prebivalcev. Razvijalci aplikacije so njeno uporabnost preverili tako, da so dva telefona poslali medicinski sestri v Afriki in ji naro-cili, naj aplikacijo preizkusi pri svojih obiskih v vaseh. Brez dodatnega izobraževanja ji je uspelo aplikacijo uporabiti pri petdesetih otrocih, ki sicer nikoli ne bi prišli do specialista. Zacetna uspešnost aplikacije obljublja veliko, znanstveniki pa upajo, da bodo njene zmožnosti prilagodili, tako da bo z njo možno ugotavljati tudi druge nevrološke motnje, na primer posttravmatsko stresno motnjo. Kogar tema bolj zanima, si lahko prebere clanek Automatic emotion and attention analysis of young children at home: a ResearchKit autism feasibility study, ki ga je H. L. Egger objavila junija 2018 v reviji Digital Medicine. _ xxx 2 Presek list za mlade matematike, fizike, astronome in racunalnikarje letnik 46, šolsko leto 2018/2019, številka 4 Uredniški odbor: Vladimir Batagelj, Grega Rihtar (jezikovni pregled), Mojca Cepic, Mirko Dobovišek, Vilko Domanjko, Bojan Golli, Andrej Guštin (astronomija), Marjan Jerman (matematika), Martin Juvan, Maja Klavžar, Damjan Kobal, Lucijana Kracun Berc (tekmovanja), Peter Legiša (glavni urednik), Andrej Likar (fizika), Matija Lokar, Aleš Mohoric (odgovorni urednik), Marko Razpet, Jure Slak (racunalništvo), Matjaž Vencelj, Matjaž Zaveršnik (tehnicni urednik). Dopisi in naročnine: DMFA-založništvo, Presek, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, telefon (01) 4766 633, telefaks (01) 4232 460, 2517 281. Internet: www.presek.si Elektronska pošta: presek@dmfa.si Naročnina za šolsko leto 2018/2019 je za posamezne narocnike 22,40 eur - posamezno narocilo velja do preklica, za skupinska narocila ucencev šol 19,60 eur, posamezna številka 6,00 eur, stara številka 4,00 eur, letna narocnina za tujino pa znaša 30 eur. Transakcijski racun: 03100-1000018787. Devizna nakazila: SKB banka d.d. Ljubljana, Ajdovšcina 4, 1513 Ljubljana, swift(bic): SKBASI2X, iban: SI5603100100 0018 787. List sofinancira Javna agencija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proracuna iz naslova razpisa za sofinanciranje domacih poljudno-znanstvenih periodicnih publikacij. Založilo DMFA-založništvo Oblikovanje Tadeja Šekoranja Tisk Collegium Graphicum, Ljubljana Naklada 1300 izvodov © 2019 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije - 2088 Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno. Poštnina placana pri pošti 1102 Ljubljana. navodila sodelavcem preseka za oddajo prispevkov PRESEK 46 (2018/2019) 4 Presek objavlja poljudne in strokovne članke iz matematike, fizike, astronomije in računalništva. Poleg člankov objavlja Prikaze novih knjig s teh področij in poročila z osnovnošolskih in srednješolskih tekmovanj v matematiki in fiziki. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralčev, učenčem višjih razredov osnovnih šol in srednješolčem. Clanek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev) in sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo). Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma razumemo ločeno od besedila. Slike v elektronski obliki morajo biti visoke kakovosti (jpeg, tiff, eps ... ), velikosti vsaj 8 čm pri ločljivosti 300 dpi. V primeru slabše kakovosti se slika primerno pomanjša ali ne objavi. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (čopyri-ght). Zaželena velikost črk je vsaj 12 pt, razmak med vrstičami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku na naslov uredništva DMFA-založništvo, Uredništvo revije Presek, p. p. 2964, 1001 Ljubljana ali na naslov elektronske pošte presek@dmfa.si. Vsak članek se praviloma pošlje vsaj enemu anonimnemu re-čenzentu, ki očeni primernost članka za objavo. Ce je prispevek sprejet v objavo in če je besedilo napisano z računalnikom, potem uredništvo prosi avtorja za izvorne datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različič urejevalnikov TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek. Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu. 4-7 8-10 11-12 13-15,18 MATEMATIČNI TRENUTKI Diagnosticiranje avtizma MATEMATIKA Matematika afriškega plemena Išango (Vilko Domajnko) Koliko stane zbiranje sličic? (Boštjan Kuzman) Posebno zaporedje rombov (Marko Razpet) FIZIKA Bikonveksna leca: razpršilna ali zbiralna? (Nada Razpet) ASTRONOMIJA 19-24 Lego Kepler - odkrivanje planetov (Jože Pernar) P I RAZVEDRILO 16-17 Nagradna križanka (Marko Bokalic) 18 Barvni sudoku 29 Rešitev nagradne križanke Presek 46/3 (Marko Bokalic) 30-31 Naravoslovna fotografija - Dvojni halo (Elza Rebol) TEKMOVANJA priloga 18. tekmovanje v znanju matematike za dijake poklicnih šol -državno tekmovanje priloga 28. tekmovanje iz razvedrilne matematike - državno tekmovanje priloga Tekmovanje iz fizike za srebrno Štefanovo priznanje - področno tekmovanje RAČUNALNIČTVO 25-28 Računalnik iz domin (Nina Sangawa Hmeljak, Primož Škafar, Maja Šafaric; Mentor: Vid Kocijan) Slika na naslovnici: Slika na naslovnici kaže lep in izrazit halo, ki je bil fotografiran na Krvavcu. Več o pojavu v tokratni Naravoslovni fotografiji. Foto: Elza Rebol 2 Matematika afriškega plemena Išango Vp Vp Vilko Domajnko -> Pred približno 20.000 leti, arheološko rečeno v obdobju mlajšega paleolitika, je ležala visoko v gorah v centralni ekvatorialni Afriki ob obali Edward-sovega jezera, kjer izvira Nil, ribiška vasica plemena Išango. Danes je to na meji med Zairom in Ugando. S pomočjo arheoloških izkopanin, ki so jih odkrili v preteklih desetletjih na tem območju, lahko sklepamo, da so bili Išangi tudi kanibali, kar ni bilo takrat prav nič nenavadnega. Njihova kultura je prišla v razvoju toliko daleč, da so si pri delu že pomagali z različnimi orodji, ki so jih izdelali bodisi iz kamna, lesa ali kosti, o čemer pričajo arheološke izkopanine. Ukvarjali so se z ribištvom, lovom in poljedelstvom. To so bili naši intelektualni predniki, ljudje, ki so napravili prve obotavljajoče se korake v smeri logičnega razmišljanja. Kultura na tem območju je izumrla zaradi izbruha bližnjega vulkana. Večji del arheoloških izkopavanj na tem območju je opravil belgijski arheolog Jean de Heinzelin v letih 1960 in 1961. Pri tem gre večinoma za množičo kosti in zob človeškega izvora. Delovno orodje tedanjih ljudi je bilo, kot že rečeno, še prečej primitivno, a vendar drugačno od orodja, ki so ga arheologi našli iz tega obdobja na drugih krajih Afrike. Posebno pozornost je že takoj pritegnilo orodje, podolgovata kost, ki je imela na enem konču pritrjen kristal kremena (tudi kamena strela ali kvarč). Domnevali so, daje to orodje služilo za vrisovanje kakšnih znakov ali zapisov bodisi v les ali kamen, morda tudi za tetoviranje kože. Morda čelo za pisanje. slika 1. Še zanimivejše pa so oznake na kosti. Na njej so namreč kratke črtaste zareze, ki tečejo vzdolž kosti v treh vzporednih vrstah. Strokovnjaki so kaj kmalu postavili domnevo, da te črtiče pomenijo vsekakor kaj več kot zgolj okrasje. Ker je območje, kjer je de Heinzelin našel kosti Išangov, takrat pripadalo Belgijskemu Kongu, je kost Išangov danes v Naravoslovnem muzeju v Bruslju. In obiskovalčem je na ogled seveda le na posebno prošnjo. slika 2. Na zgornji risbi so prikazane vse tri vrste (oz. stol-pči) črtič na omenjeni kosti. Na desnem konču je koniča s kremenom. 4 PRESEK 46 (2018/2019) 4 Bralcu za orientacijo morebiti ne bo odvec približno nakazati, kaj pravzaprav pomeni v zgodovinskem oziru teh 20.000 let nazaj v preteklost. Vemo, da iz obdobja pred približno 45.000 leti izvira medvedova kost iz današnje jame Divje babe pri Idriji, ki je obveljala kot najstarejše znano glasbilo, ki ga je izdelal Človek. V približno istem casu se je v Evropi iz neandertalca (homo sapiens neanderthalensis) razvil moderni misleci clovek (homo sapiens sapiens). V obdobje okoli 30.000 let nazaj datira naselitvena skupnost na obmocju Potocke zijalke. Iz obdobja okoli 25.000 let nazaj pa izvira znameniti kipec Wil-lendorfske Venere, ki so ga našli v Avstriji ob obali Donave. osnovo, s katero zapisuje sploh vsa števila? Ali pa so zgornja štiri števila zgolj slucajno povezana na tak nacin s številom 10? Premislimo še o pomenu števil v drugi vrstici. Števili 3 in 6 ležita na kosti zelo blizu skupaj. Za njima je vecji prostor, nato pa sta spet precej skupaj zarisani števili 4 in 8. Med njima in številom 10 je spet vecji prazen prostor, prostor je tudi med 10 in številoma 5 in 5, ki sta prav tako zapisani precej blizu drug drugemu. Na koncu vrstice je spet precej odmaknjeno od drugih zapisano število 7, ki v tem nizu, kot se zdi, ostaja brez oprijemljive logicne razlage. ■36 48 10 5 57 kaj pomenijo oznake na kosti Išangov? Crtice na kosti plemena Išango so nanizane vzdolž kosti v treh vrstah. Tudi v posameznih vrsticah so crtice razvršcene po skupinah, ki so med seboj nekoliko razmaknjene. Ce preštejemo crtice v posameznih skupinah, zlahka pridemo do števil. V prvi vrstici dobimo tako zapovrstjo števila ■ 11, 21,19,9 v drugi vrstici ■ 3,6,4,8,10, 5, 5, 7 in v tretji vrstici ■ 11,13,17,19. Odkritelj de Heinzelin je sprva menil, da so ta števila zapisana po povsem nakljucnem izboru. Pa to zagotovo ne bo držalo. Prav nasprotno. Zdi se, da ta tri številska zaporedja ponujajo mocno sugestivne iz-tocnice. Seveda je težko, ce ne kar nemogoce reci, kaj so Išangi v resnici oznacevali na tej kosti. Ugi-bajmo, torej. Poglejmo najprej nekoliko pozorneje na števila oz. crtice v prvi vrstici. Zlahka se domislimo morebitnega pravila, po katerem bi lahko bila sestavljena: 10 + 1, 20 + 1, 20 1, 10 1 Vsekakor se je težko otresti misli, da je ta niz števil na neki nacin povezan s podvajanjem. Pri tem je treba vsaj opozoriti, kako pomembna bi utegnila biti ta racunska operacija. Denimo - algoritem za množenje števil v sicer mnogo poznejši kulturi starih Egipcanov je temeljil prav na podvajanju števil. Tretja vrstica ponuja na videz še najprepricljivej-šo razlago. Števila v njej, 11, 13, 17 in 19, so seveda praštevila. Pravzaprav edina štiri praštevila med 10 in 20. A precej znanstvenikov opozarja, da so v tej vrstici zapisana vendarle samo štiri števila in da je to, da so praštevila, morebiti zgolj nakljucje. Pojem praštevila v resnici presega nivo preproste racunske matematike, je abstrakten in zahteva uporabo miselno zahtevnejših konceptov. Ne nazadnje tudi ni znano, da bi se pojem praštevila v zgodovini pojavil pred obdobjem starih Grkov v 7. stol. pr. n. št. Toda domišljijo buri, da sta zadnji dve števili v drugi vrstici (5 in 7) prav tako praštevili. Ali se tretja vrstica torej zacne morebiti že v drugi vrstici? Na ta nacin namrec dobimo že šest zaporednih praštevil. In ne nazadnje - mar bi se števil v tretji vrstici ne dalo interpretirati podobno, kot števila v prvi vrstici: ■ 12 - 1, 12 + 1, 18 - 1, 18 + 1 pri cemer je 12 = 2 ■ 6 in 18 = 3 ■ 6. Takšna razlaga vodi seveda do izpostavljene vloge števila 6. Koledar? Ali od tod že lahko sklepamo, da so Išangi številu 10 pripisovali kak poseben pomen? Morebiti podobnega kot današnja civilizacija, ki ima to število za Ponuja se še ena razlaga števil, zapisanih na kosti Išangov. Marsikomu se zdi celo oprijemljivejša od prejšnjih. 4 PRESEK 46 (2018/2019) 3 Pleme Išango so kot lovci in nabiralci plodov zagotovo živeli v tesni povezavi z naravo in s spremembami njenih letnih casov oziroma z letnim vegetacijskim ciklom. Za njihovo okolje so bile značilne celo močnejše klimatske spremembe skozi letne case, zaradi cesar je bilo to pleme najbrž polnomadsko in so se selili z nižjih na višje ležece geografske predele in nazaj. Tudi uspeh v poljedelstvu je bil mocno odvisen od casovnih predvidevanj oziroma orientacije v letu. Povsem mogoce je, da so bili s tocno doloce-nimi casovnimi obdobji povezani tudi rituali in kultni obredi. Za lažje spremljanje vseh teh ciklicno ponavlja-jocih se dogodkov je primitivni clovek zacel meriti cas. Izdelal si je prvi preprost koledar. Z njimi je lahko dolocil trenutni cas v casovnem oz. letnem ciklu, lahko pa je tudi predvidel oz. izracunal, koliko casa še manjka do kakšnega izbranega oz. casovno zakodiranega dogodka v tem ciklu. Kako se lotiti sestave koledarja? Samo ugibamo lahko, v kolikšni meri so si ljudstva v tej dobi pri sestavi koledarja pomagala tudi z opazovanjem sprememb na nebu. A tako rekoc kar samo po sebi se ponuja opazovanje treh casovnih ciklov: menjavanje dneva in noci, ■ spreminjanje Luninih men in ■ menjavanje letnih casov. Opazovanje cetrtega casovnega cikla, Soncevega, je najtežje, ceprav prav to v resnici doloca malo da ne vse današnje koledarje. Ce se pri sestavljanju koledarja opremo na preprostejše opazovanje Lune in štetje njenih men, je cikel oz. mesec cas med dvema zaporednima mlajema. Ali bi lahko bila tudi kost Išangov preprost koledar? Takšne domneve namrec vzbuja malo da ne osupljivo dejstvo, da so v kar dveh vrsticah vsote števil enake 60: ■ 11 + 13 + 17 + 19 = 60 in ■ 11 + 21 + 19 + 9 = 60 In 60 je število, ki je v tesni povezavi s spremembami na nebu. Je denimo dvakratnik mesecevega tedna oz. ciklusa. Ta traja sicer natancneje 29,53 dneva, a takšne natancnosti od Išangov v casu nastanka zapisov na kosti gotovo ne gre pricakovati. Spremljanje letnih casov s pomocjo štetja luninih men je bilo v starih casih obicajno pri marsikaterih ljudstvih. In najbrž bolj ali manj prav od tod izvira tudi številski sistem z osnovo 60, ki so ga pri racunanju uporabljali Babilonci. Ali lahko poleg zgornjih dveh vsot z rezultatom 60 navedemo še kaj v prid domneve, da kost Išangov predstavlja preprost koledar? Za zdaj med zagovorniki te hipoteze ni niti prepricljive razlage, kako bi naj tak koledar sploh uporabljali. In razen tega dodatno zadrego povzroca tudi dejstvo, da vsota števil v tretji vrstici ni 60, pac pa 48. Sploh pa je uporabna vrednost lunarnega koledarja za casovno orientacijo v letu, ki je v resnici dolo-ceno s Soncevim ciklusom, vprašljiva. Ker traja Lunarni mesec približno 29,53 dneva, meri 12 takšnih mesecev približno 354,37 dneva. To je, ce zanemarimo manjkajocih 11 dni, res da »približno« eno leto. Toda napake postanejo že po nekaj letih tako velike, da vodi lunarni koledar pri spremljanju casa oz. letnih casov v popolno zmedo. Tako so pozneje stari Egipcani zaradi teh težav že uporabljali soncni koledar. Da je leto dolgo 365 dni, so ugotovili z opazovanjem letnega poplavnega ciklusa reke Nil, še natancneje pa z opazovanjem zvezde Sirius, najsvetlejše na nebu, ki enkrat na leto vzide na nebu tik pred soncnim vzhodom. Leto so razdelili na tri letne case: cas poplave, cas setve in cas žetve. Vsak letni cas je trajal 4 mesece po 30 dni. Tem 360 dnem so dodali še 5 dni na koncu leta. Poleg razdelitve na mesece so poznali tudi delitev na tedne. Njihov teden je imel 10 dni. Ne le Išangi V resnici so arheologi našli še vec podobnih kosti, kot je ta afriška z obmocja plemena Išango. Leta 1937 je Karl Absolon našel pri Vestonicah v bližini Brna volcjo golenicno kost, približno 18 cm dolgo, ki je porisana s 57 zarezami. Ta kost je še veliko starejša od kosti Išangov, domnevno datira v obdobje okoli 35.000 pr. n. št. Na njej so vidne tri locene skupine s 25, 2 in 30 zarezami. Za prvih 25 zarez se zdi, da so zbrane v pet skupin s po 5 zarezami. V srednji skupini sta dve zarezi, ki pa sta 6 PRESEK 46 (2018/2019) 4 MATEMATIKA slika 3. bistveno daljši od vseh preostalih. V tretji skupini je zatem 30 zarez. Kost je danes v Moravskem muzeju v Brnu. O pomenu zarez oz. števil na tej kosti oziroma ro-vašu je seveda težko govoriti. Vsekakor pa ni odvec domneva, da je zapis nastal morebiti na podlagi zbiranja zarez v petice. K temu bi zapisovalca najbrž navedlo dejstvo, da je tudi prstov na roki pet. Kaj je zapisovalec označil s tem, ostaja skrivnost. Morda število ulovljenih živali, morda število živali v credi, morda kaj tretjega. O tem je težko govoriti, saj je o takratni civilizaciji na teh tleh na splošno malo znanega. Pozornost strokovnjakov pa priteguje odkritje, da so se zagotovo ukvarjali tudi z umetnostjo. Na istem obmocju so našli iz tega obdobja namrec tudi majhno podobo ženske glave, izrezljane iz mamuto-vega okla. Kost, podobno tisti iz plemena Išango, so našli tudi v Afriki. V pogorju Lembombo v Swaziju so našli kost, ki pa je še precej starejša, saj jo strokovnjaki uvršcajo v obdobje pred približno kar 40.000 leti. Na njej je 29 zarez. Ta kost velja za najstarejšo najdbo, ki dokumentira štetje naših prednikov. Takšne kosti z zarezami so skupaj s palicami z zarezami, po naše tudi rovašev, ki pa se iz obdobja vec deset tisoc let pred našim štetjem seveda niso ohranile, najzgodnejši ohranjeni dokumenti zapisovanja števil. Pomembno je, da so v tem primeru kosti ali palice bili v vlogi nosilcev zapisa. Papirja takrat še ni bilo. Zanimivo je, da se je takšno zapisovanje z rovaši ohranilo tako rekoc povsod po svetu še vse do pred nekaj stoletij. V Evropi so z rovaši denimo še pred dvesto leti oznacevali denimo število živine v credi, višino dolga pri posojilodajalcu in podobno. Ali so Išangi »počeli« matematiko? Enotnega mnenja o tem, kakšen je bil prvotni namen kosti plemena Išango, danes med strokovnjaki še zmeraj ni. Tudi vprašanje, ali so Išangi na tej kosti morebiti »poceli« matematiko, se ne zdi najbolj posreceno. Treba je imeti namrec v mislih, da matematike, kot jo razumemo danes oziroma že kar nekaj krepkih stoletij nazaj, v obdobju Išangov skoraj zagotovo ni bilo. Še danes je med matematiki precej razlicnih pogledov in razlag o tem, kaj bi naj bila matematika. Je matematika srcika samega vesolja ali pa je le plod cloveške domišljije? Ali matematika že obstaja in jo ljudje le odkrivamo ali pa smo prav mi tisti, ki jo ustvarjamo? Od kod pravzaprav matematika? _xxx slika 4. slika k matematičnemu trenutku. xxx PRESEK 46 (2018/2019)3 4 Koliko stane zbiranje sličic? ■is NU Vp Boštjan Kuzman -> Nogometna mrzlica svetovnega prvenstva v Rusiji 2018 se je zdaj že povsem polegla, nekateri navdušenci pa morda še vedno zbirajo in menjavajo zadnje manjkajoče sličice s podobami igralcev nogometnih reprezentanc. V albumu, ki je bil naprodaj v Sloveniji, je prostora za 600 razlicnih slicic. Te so se prodajale v paketkih s po 3 slici-cami s ceno 0,70 EUR za paket. Zlahka torej iz-racunamo, da je treba za poln album kupiti vsaj 200 paketkov, kar nas stane najmanj 140 EUR (oz. skoraj 7 let narocnine na Presek). Seveda pa bo koncni strošek višji, ker so paketki in slicice v njih bolj ali manj nakljucno premešane, vendar ga lahko po drugi strani zmanjšamo z menjavanjem slicic z drugimi zbiralci. Preden nadaljujete z branjem, poskusite podati svojo grobo oceno, koliko naključnih slicic je treba kupiti, da bi brez menjavanja zbrali vseh 600 različnih. Je to morda 1000, 2000, 3000 ali celo več sličic? Koliko denarja bi torej tako porabili za poln album? Ocena povprecnega števila kupljenih slicic, ki jih potrebujemo za napolnitev albuma brez menjavanja, predstavlja matematicni problem s podrocja verjetnosti, ki je v anglešcini znan tudi pod imenom Coupon collector's problem [1]. Preden se lotimo njegovega reševanja po teoreticni poti, lahko oceno poskusimo dobiti eksperimentalno. Bralke in bralci, ki poznate osnove programiranja, boste zlahka napisali ustrezno programsko simulacijo poskusa, pri kateri program nakljucno izbira števila med 1 in 600, dokler ne zbere vseh razlicnih vrednosti. Za šolsko rabo pa je zanimiva tudi poenostavljena verzija eksperimenta zbiranja 6 razlicnih slicic, ki ga lahko izvedemo s pomocjo obicajne igralne kocke. Igralno kocko vržemo veckrat zapored in si zapisu- Št. Zaporedje padlih vrednosti Št. metov T1 T2 T3 T4 T5 Te 1. 66343143353153312 17 1 2 1 2 4 7 2. 5424113356 10 1 1 1 2 2 3 3. 4666633142664335 16 1 1 4 2 2 6 4. 6163452 7 1 1 2 1 1 1 5. 2152221535614 13 1 1 1 6 2 2 6. 124255444224663 15 1 1 1 2 8 2 7. 626662463652565332261 21 1 1 5 2 2 10 8. 662563163364 12 1 1 2 1 5 9. 133664442262616231133246265 27 1 1 2 2 3 18 10. 4211243624625 13 1 1 1 4 1 5 Povprecno število metov 15,1 1,0 1,2 1,9 2,5 2,6 5,9 tabela1. Rezultati desetih ponovitev poskusa s kocko. Z modro je obarvana prva pojavitev posamezne vrednosti v zaporedju. 8 PRESEK 46 (2018/2019) 4 jemo zaporedje padlih vrednosti. Ko se v zaporedju pojavi vseh 6 različnih vrednosti, preštejemo število potrebnih metov in poskus ponovimo. Pri dovolj velikem številu ponovitev bo aritmetična sredina meritev predstavljala oceno iskanega povprečja za album s 6 sličicami. Pri 10 ponovitvah poskusa, kot so zapisane v tabeli, smo denimo dobili povprečno vrednost 151/10 oz. 15,1. Pa si oglejmo, kako bi povprečno število potrebnih metov izračunali matematično. Pri posameznem metu poštene kočke je matematična verjetnost šesti-ce enaka p = 1/6, saj je ugoden le eden od šestih enako verjetnih izidov. Statistično to pomeni, da bo pri velikem številu metov delež padlih šestič enak 1/6, ali, povedano drugače, v povprečju bo šestiča padla vsak šesti met. Torej bo od začetka poskusa do prve šestiče potrebnih v povprečju 6 metov. Podobno velja tudi pri neodvisnih zaporednih ponovitvah poskusa, pri katerem se ugoden dogodek zgodi z verjetnostjo p > 0. Povprečno število ponovitev poskusa do prvega uspeha je tedaj enako 1/p. Od te ugotovitve ni več daleč do izračuna povprečnega števila potrebnih metov, s katerimi bi zbrali vse različne vrednosti. Razmišljamo namreč takole. Prvo od šestih vrednosti bomo zagotovo dobili v prvem metu. Ko eno vrednost že imamo, bo v naslednjem metu z verjetnostjo 5/6 padla ena od vrednosti, ki je še nimamo, torej bomo za drugo vrednost v povprečju potrebovali še 6/5 = 1,2 meta kočke. Ob tem smo seveda upoštevali, da so zaporedni meti med seboj neodvisni, torej predhodni meti na naslednjega ne vplivajo. Zdaj imamo že dve različni vrednosti, zato bo naslednja manjkajoča padla z verjetnostjo 4/6 v posameznem metu, oz. v povprečju po 6/4 = 1,5 meta, in tako dalje. Za zadnjo manjkajočo vrednost bomo potrebovali v povprečju kar 6 metov, saj je njena verjetnost v posameznem metu le 1/6. Na ta način pridemo do števila 6 6 6 6 6 /1 1 1 1 1 1 1+ 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 6U + 5 + 4 + 3 + 2 + T = 14,7. To število predstavlja povprečno število metov oz. kupljenih sličič pri velikem številu ponovitev zbiranja šestih različnih vrednosti. Izračunana vrednost se približno ujema tudi z našo eksperimentalno meritvijo. Prav tako se vrednosti členov v vsoti pribli- žno ujemajo z izmerjenimi povprečnimi vrednostmi števil Ti iz tabele 1, ki pomenijo število metov od (i - 1) do i-te nove vrednosti. slika 1. Za zadnjo manjkajočo vrednost je v povprečju potrebnih kar 6 metov od skupnega povprečja 14,7 meta. Morda bi kdo iz tega prenagljeno sklepal, da je za album s 600 različnimi sličičami treba kupiti okoli 1470 sličič. To seveda ne velja, povprečno število kupljenih sličič je v tem primeru prečej večje. S posnemanjem gornjega izračuna lahko ustrezni izraz zdaj zlahka zapišemo in s pomočjo računalnika tudi seštejemo: 600 (6)0 + 5^ + š^ +... +1) = 4184,987. Ce zaokrožimo navzgor, brez menjavanja sličič bi morali torej za napolnitev albuma s 600 sličičami v povprečju kupiti 4185 sličič. To pomeni 1395 paketkov, za katere bi odšteli skupaj kar 976,50 EUR. Prečej denarja, kaj ne? Zadnji izračun velja ob predpostavkah, da so paketki in sličiče v njih enakomerno in neodvisno porazdeljeni, torej, da so pri nakupu nove sličiče vse številke enako verjetne ne glede na predhodno kupljene sličiče ali druge sličiče v istem paketku. Ce so denimo paketki treh sličič oblikovani tako, da v njih ni podvajanja sličič, potem zadnja domneva ne velja. Številni zbiralči tudi sumijo, da so nekatere sličiče redkejše od drugih, torej, da porazdelitev ni enakomerna, a v to se ne bomo spuščali. -> PRESEK 46 (2018/2019) 4 9 —^ Ce torej zaupamo proizvajalcu, da natisne enako število vseh različnih sličic, ki so dobro premešane in neodvisno razporejene v paketke na prodajnih mestih, potem je splošna rešitev problema zbiralca sličic pri zbiranju n razlicnih slicic ob zgornjih predpostavkah enaka nHn, kjer je 1 1 1 n 6 60 600 6000 nHn 14,70 280,80 4185,99 55660,88 tabela 2. Nekaj vrednosti števila nHn 600H100 = 600 (— + — + 100 V100 99 + 1) = 3112,43 Zdaj je razmislek nekoliko drugacen. Verjetnost, da nakljucno kupljena slicica ni slicica številka 1, je enaka I". Verjetnost, da nobena od 900 kupljenih 900 ■ Hn = 7 + 77 + ■■■ + -12 n t. i. n-to harmonično število. Kot je razvidno iz nekaj vrednosti v tabeli, narašcanje števila nHn v odvisnosti od n ni linearno. Bralcem z nekaj vec ma-tematicnega znanja omenimo, da je število nHn velikostnega reda O(n log n), kar je posledica znanih lastnosti harmonicnih števil. Pozorni bralec je iz dosedanje razprave verjetno razbral, daje nadražje predvsem zbiranje zadnje pe-šcice manjkajocih slicic. Samo za pridobitev zadnje manjkajoce slicice v albumu za nogometno prvenstvo 2018 bi jih morali v povprecju kupiti še 600, kar bi stalo 140 EUR. Zato je zanimivo omeniti, da založnik albuma omogoca, da zbiralec neposredno naroci 100 izbranih slicic po ceni 0,25 EUR za slicico. Za zadnjih 100 slicic bi sicer z nakljucnim kupovanjem potrebovali v povprecju nakljucnih slicic, oz. zaokroženo navzgor, 1038 paketkov, kar znese 726,60 EUR. Z neposrednim naro-cilom zadnjih 100 manjkajocih slicic tako zbiralec v povprecju prihrani vec kot 700 EUR in za napolnitev albuma porabi »le« 274,90 EUR (brez stroška pošiljanja slicic). Že samo z neposrednim naroci-lom zadnjih 20 manjkajocih slicic pa bi celotni strošek zmanjšali za približno polovico, kar lahko bralec premisli sam. Pa si postavimo še nekoliko drugacno vprašanje. Denimo, da imate 210 EUR, ki jih boste porabili za nakup 300 paketkov s skupaj 900 slicicami. Koliko razlicnih slicic za vaš album lahko v tem primeru pri-cakujete? slicic ni slicica številka 1, pa je enaka (60§) - 0.22313. Zato je verjetnost, da je med 900 kupljenimi tudi slicica številka 1, približno enaka 0,77687, kar lahko tolmačimo tudi kot povprečno število slicic številka 1 med 900 nakljucno kupljenimi. Da bi dobili povprecno število vseh razlicnih slicic med njimi, pa lahko seštejemo povprecno število slicic številka 1, številka 2, in tako dalje vse do 600. Zato izraz ■ 600 ■ 0,77687 = 466,12 predstavlja povprecno število razlicnih slicic med 900 nakljucno kupljenimi izmed skupaj 600 razlicnih. Za menjavo nam v tem primeru torej ostane v povprecju 434 slicic, s katerimi bomo ob dovolj velikem številu drugih zbiralcev v sosešcini najbrž brez težav zbrali manjkajocih 134 za poln album. V vsakem primeru pa je zbiranje slicic precej drag konjicek. Radovedna bralka in bralec lahko svoje razumevanje dosedanjih izracunov preizkusita z naslednjo nalogo. Naloga. Izracunaj in primerjaj povprecni števili razlicnih slicic, ki jih pri prej navedenih cenah dobiš za 175 EUR, ce: ■ vseh 175 EUR porabiš za nakup paketkov, ■ porabiš 140 EUR za nakup paketkov, od preostanka pa porabiš 25 EUR za neposredno narocilo 100 manjkajocih slicic in 10 EUR za poštnino. Rešitev. V prvem primeru kupiš 750 slicic, med katerimi bo v povprecju približno 428 razlicnih. V drugem primeru pa kupiš 700 slicic, med katerimi bo v povprecju približno 479 razlicnih. Literatura [1] Coupon collector's Problem, dostopno na en.wikipedia.org/wiki/Coupon_ collector\%27s_problem, ogled 14. 1. 2019 [2] Harmonic number, dostopno na en. wi ki pedi a.org/wi ki/Harmoni c_number, ogled 14. 1. 2019. _ xxx 10 PRESEK 46 (2018/2019) 4 Posebno zaporedje rombov •is •i' ■i' Marko Razpet Vzemimo pozitivni realni števili p in q, pri čemer je p < q. Njuna sredina je na splošno vsako število S(p,q), ki je s p in q natančno določeno in zanj velja relacija p < S(p,q) < q. Najenostavnejša sredina števil p in q je njuna aritmetična sredina A(p, q) = (p + q)/2, kije na pravi sredini med p in q. Ce sta p in q krajišči intervala na številski premici, potem je A(p,q) kar njegovo središče. Prav tako je pomembna geometrična sredina G(p,q) števil p in q, ki jo definiramo z relačijo G(p,q) = -Jpq. Očitno sta števili A(p,q) in G(p,q) s p in q natančno določeni. Ker je A(p,q) = p + (q - p)/2 = q - (q - p)/2, velja p < A(p, q) < q. Iz p2 < pq < q2 pa dobimo še p < G(p,q) < q. Pomembna je relačija G(p,q) < A(p,q), v kateri velja enačaj natanko takrat, ko je p = q. To vidimo iz zapisa ■ 0 < (vq - Vp)2 = p + q - 2jpq = 2(A(p,q) - G(p,q)). Primer p = q očitno ni zanimiv, zato bo v nadaljevanju p < q, ko velja p < G(p,q) < A(p,q) < q. Označimo pi = G(p,q) in qi = A(p,q). Ker je pi < qi, velja pi < G(pi,qi) < A(pi,qi) < qi tako kot prej za p in q. Ce označimo p2 = G(pi,qi) in q2 = A(pi,qi), velja p2 < G(p2,q2) < A(p2,q2)< q2. Ta postopek lahko nadaljujemo v nedogled. Ce vzamemo po = p in qo = q in pn+i = G(pn,qn) in qn+i = A(pn,qn) za n = 0, i, 2,..., dobimo neskončni zaporedji ■ po,pi,p2,... in qo,qi,q2,..., (i) pri čemer je ■ p = po n Pn qn an (°) 0 8,000000000000 24,000000000000 36,869897645844 1 13,856406460551 16,000000000000 81,786789298261 2 14,889677745633 14,928203230275 89,851944781240 3 14,908928043965 14,908940487954 89,999952177126 4 14,908934265958 14,908934265959 89,999999999995 tabela 1. Zaporedje rombov. slika 1. Zaporedje rombov. Zadnji kvocient razširimo: iVan - 4vn)2 2 = - yvn)2 + yvn)2 2 (von + Vvn)2 _ (qn — pn)2 2 (van + vpn)2 Za vsoto korenov v zadnjem imenovalcu velja: ■\iqn + -p = 2$PnOn > 2^/p2 = 2VP- Ce upoštevamo vse dobljene relacije, imamo nazadnje oceno qn+1 - Pn+1 < (qn - Pn)2 8p To pomeni, da se v zaporedjih (1) število prvih uje-majocih se cifer števil pn in qn pri prehodu na pn+1 in qn+1 vsaj podvoji. Za popestritev je smiselno nacrtati zaporedje rombov R1, R2,..., kjer ima Rn diagonali pn in qn. Diagonali se v vsakem rombu sekata pravokotno, se razpolavljata in razpolavljata kote. Na sliki 1 je začetek tega zaporedja. Z rastocim n rombi prehajajo v kvadrat z diagonalo n(p,q). V tabeli 1 in na sliki 1 lahko opazujemo tudi, kako se pri tem koti an približujejo pravemu kotu. Namesto rombov lahko vzamemo pravokotnike s stranicami pn in qn ali pa elipse z osmi pn in qn. Pravokotniki konvergirajo proti kvadratu s stranico H(p, q), elipse pa proti krogu s premerom n(p, q). Literatura [1] P. Eymard, J.-P. Lafon, The number n, AMS, Providence, Rhode Island 2004. [2] I. Vidav, Višja matematika I, DZS, Ljubljana 1968. _ xxx 12 PRESEK 46 (2018/2019) 4 Bikonveksna leča: razpršilna ali zbiralna? nu vu vu Nada Razpet -> O poskusih s plastičnim medaljonom smo v Preseku že pisali (glej [1] in [2]). Plastični medaljon je sestavljen iz dveh polovic, kot kaže slika 1. slika 1. Sestavljen in razstavljen plastični medaljon. Lupa V vsako polovičo medaljona lahko nalijemo neko tekočino in dobimo lupo. Oglejmo si primera, ko nalijemo v eno polovičo medaljona vodo, v drugo pa parafinsko olje (slika 2). Opazimo, da se vidijo nekatere napake debelih leč, kot je popačena slika na robovih in barvne lise, ki so poslediča disperzije svetlobe (različni lomni količniki za različne barve). Lupama lahko približno določimo goriščno razdaljo, če pogledamo, kdaj je povečava predmeta, ki ga opazujemo skozi lupo, naj- slika 2. Vodna in parafinska lupa. večja. To je takrat, ko je predmet v goriščni ravnini. Izmerimo razdaljo med predmetom in sredino krožne površine tekočine, to je goriščno razdaljo lupe. 13 PRESEK 46 (2018/2019) 3 Lomni količnik vode, parafinskega olja in rastlinskega jedilnega olja Tekocinske lece dobimo tako, da polovici medaljona potopimo v tekocino in ju v tekocini sestavimo. Me-daljon dobro tesni, zato tekocina ne izteka. Vemo, da slika zelo oddaljenega predmeta nastane v gorišcni ravnini lece. S posameznimi lecami pre-slikajmo zunanjost (oddaljene predmete) na steno sobe in lece premikajmo tako dolgo, da nastanejo na steni jasne slike. Izmerimo razdaljo slike od središca lece. Izmerili smo gorišcno razdaljo lece (slika 3). Iz izmerjenih gorišcnih razdalj in izracunanih kri-vinskih polmerov medaljona (v našem primeru je R = 9,3 cm, glej [2]) lahko dolocimo lomni kolicnik lece. 1 i i \ 2 f = (n - R, R n = 1 + 2f Tako doloceni lomni kolicniki seveda niso tako na-tancni, kot jih dobimo v tabelah, vseeno pa nam dajo primerjavo. Leče potopimo v vodo Z medaljonom narejena leca omogoca še eno serijo poskusov. Prazen medaljon, medaljon napolnjen z vodo in medaljon napolnjen s parafinskim oziroma jedilnim oljem potopimo v kadicko z vodo in nanje usmerimo dva vzporedna laserska curka. Pri poskusih smo uporabili laserska kazalnika. Pri vseh racunih bomo privzeli, da je leca tanka in da zanjo velja enacba za tanke lece, prav tako bomo vpliv plastike zanemarili. Omenili smo že, da za tanko leco velja: 1 i i \ 2 f = (n - 1 R' Za lece v zraku pomeni n v faktorju (n - 1) lomni kolicnik snovi, iz katerega je leca, enica pa je zaradi tega, ker je lomni kolicnik zraka enak ena. Ko leca ni v zraku, pa moramo pisati: 1 = (ni - no)R, f= R 2(ni - no) (1) slika 3. Merjenje gorišcnih razdalj vodne lece, lece s parafinskim oljem in lece z rastlinskim jedilnim oljem. Pri tem je ni lomni kolicnik snovi, iz katere je leca, no pa lomni kolicnik snovi, ki je v okolici lece. 14 PRESEK 46 (2018/2019)4 Zracna leca v vodi Ko je medaljon prazen, je lomni kolicnik lece (zraka) manjši od lomnega kolicnika okolice, to je vode. Opazimo, da gresta vzporedna svetlobna curka po prehodu skozi leco narazen. Prazen medaljon je raz-pršilna leca (slika 4). Pri tem je treba posebej poudariti, da pri steklenih lecah govorimo, da so raz-pršilne, ce so na sredini ožje kot na konceh, v tem primeru pa je bikonveksna leca razpršilna. f = 9,3 cm 2(1 - 1,33) = -14 cm < 0. (2) slika 5. Prehod svetlobnih curkov iz vode skozi vodno leco in primerjalna slika brez lece. Leca je pritrjena na dno kadicke. Svetloba vpada z leve strani. Pogled od zgoraj. slika 4. Vzporedna svetlobna curka se po prehodu skozi lece oddaljujeta. Prazen medaljon, potopljen v vodo, je razpršilna leca. Svetloba vpada z leve strani. Pogled od zgoraj. Izracunajmo gorišcno razdaljo za ta primer. Lomni kolicnik lece je nl = 1, lomni kolicnik okolice pa n0 = 1,33. Torej velja: f = R 2(ni - no) (3) Gorišcna razdalja je negativna, leca je razpršilna. Vodna leca v vodi Ko je v medaljonu voda, sta vzporedna svetlobna curka tudi po prehodu skozi leco vzporedna (slika 5). Curek prehaja iz vode v vodo in se ne lomi. Pri tem prehod skozi plastiko zanemarimo. Opazimo tudi, da se intenziteta svetlobnega curka z oddaljenostjo od izvira manjša. Pravimo, daje curek oslabljen. Izracunajmo gorišcno razdaljo te lece. Vrednost imenovalca je nic, saj za lomne kolicnike v tem primeru velja nl = no = nv. Gorišcna razdalja je neskoncno velika, ali z drugimi besedami, leca ne lomi svetlobnih curkov. Podobno bi ugotovili tudi za zracno leco v zraku. Parafinska leča v vodi Ko je v medaljonu parafinsko olje, se vzporedna svetlobna curka po prehodu skozi medaljon približujeta, zdaj imamo zares zbiralno leco (slika 6). Poglejmo še racun: f = R 9,3 cm 2(np - nv) 2(1,48 - 1,33) 31 cm (4) Z np smo oznacili lomni kolicnik parafinskega olja. Leca je zbiralna. 18 > C= "ro ti -a ^ cd cd 15 PRESEK 46 (2018/2019) 3 — oo RAZVEDRILO Vp •i' NU Nagradna križanka 16 PRESEK 46 (2018/2019) 4 RAZVEDRILO Črke iz oštevilčenih polj vpišite skupaj z osebnimi podatki v obrazec na spletni strani www.presek.si/krizanka ter ga oddajte do 15. marca 2019, ko bomo izžrebali tri nagrajence, ki bodo prejeli knjižno nagrado. xxx PRESEK 46 (2018/2019) 4 17 FIZIKA 15 t3 4-j nj ^ Barvni sudoku vp vp V 8 x 8 kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do 8 tako, da bo v vsaki vrstiči, v vsakem stolpču in v kvadratkih iste barve (pravokotnikih 2 x 4) nastopalo vseh 8 števil. slika 6. Parafinska leča, potopljena v vodo, je zbiralna leča. Da je potek curkov po izhodu iz leče vidnejši, smo morali prostor zate-mniti, sliko pa nekoliko osvetliti. Svetloba vpada z leve strani. Pogled od zgoraj. Kaj se zgodi, če v vodo potopimo stekleno lečo, to je lupo? Še vedno je to zbiralna leča, saj je lomni količnik stekla večji od lomnega količnika vode, vendar je njena goriščna razdalja večja, kot je bila v zraku. Skrbnim preizkuševalčem ne bo ušlo, da po prehodu skozi zračno lečo laserska čurka zadeneta črtast zaslon na drugi višini, kot vstopita v lečo. Razlog je jasen. Svetlobni čurek se lomi tudi v navpični smeri, kar pomeni, da zaslona ne doseže v isti višini, kot vstopi. Lega pike na zaslonu je odvisna od vrste leče (zbiralna ali razpršilna) in lege vstopnega čurka (ali zadene zgornjo ali spodnjo polovičo leče). Literatura [1] N. Razpet, Polovica leče - polovica slike?, Presek, 44, (2016/2017) 1, 18-21, DMFA - založništvo, Ljubljana. [2] A. Likar, N. Razpet, Poskusi s svetlobo, Presek, 44, (2016/2017) 3, 9-15, DMFA - založništvo, Ljubljana. 5 8 1 2 3 4 8 5 2 8 7 6 3 5 6 1 3 2 1 O v o □ O m > a < 00 > m * £ -> a S 9 L 1 E Z 17 8 2 17 8 3 1 L 6 5 17 L Z 8 L 9 S 3 6 S E 7 17 8 2 L E L L 9 Z 5 8 17 8 Z S 4 9 L E L L 3 9 S 8 17 L 2 1 8 17 Z 5 E L 9 xxx xxx 18 PRESEK 46 (2018/2019) 4 Lego Kepler - odkrivanje planetov •4/ •i' •i' Jože Pernar Uvod Eksperimentalno delo in opazovanje naj bi bilo temeljno vodilo naravoslovnih predmetov. Astronomija, kot samostojni predmet ali del vsebin pri pouku fizike, naj bi se tako opirala predvsem na opazovanje. Pri tem nam vreme, čas in zahtevna oprema prej otežita, kot olajšata zahtevno delo. Učitelj ali mentor je tako postavljen pred dodaten izziv. Najti ali izdelati naloge, ki bodo avtentične, zanimive, aktivne in predvsem poučne. Odkrivanje eksoplanetov, Lego kocke in aktivna metoda poučevanja na prvi pogled nimajo kaj dosti skupnega z navedenimi izhodi- šči. Odkrivanje in raziskovanje vzbuja pri dijakih zanimanje. Lego gradniki predstavljajo znano okolje, ki ga obvladajo skoraj brez izjeme. Aktivne oblike učenja nedvomno vplivajo tudi na pridobljeno znanje [1]. Prvi planet zunaj našega Osončja je bil najden že leta 1988. »Gamma Cephei b« je bil dokončno potrjen šele 14 let pozneje (2002). Prvi planet, ki so ga odkrili z metodo tranzitnega prehoda, pa je bil »HD 209458 b« leta 1999. S pomočjo te metode je bilo odkritih do aprila 2018 največ eksoplanetov. Metoda prehoda planeta preko zvezdine »ploskve« je očitno dala izjemne rezultate. Kako dijakom približati to znanstveno metodo? Leta 2009 je bil na Mednarodni konferenči SirIkt predstavljen prispevek »Odkrivanje planetov« [3] z interaktivnim pristopom slika 1. Diagram števila odkritih eksoplanetov z različnimi metodami (Vir: en.wikipedia.org/wiki/Discoveries_of_exoplanets) [2]. PRESEK 46 (2018/2019) 4 19 —^ aktivne oblike dela v razredu. S pomočjo merilnika osvetljenosti in modela sistema planetov iz Lego gradnikov je bil prikazan uporaben princip eksperimentalnih nalog pri fiziki. Uporabnik jez opazovanjem modela krožečih planetov iskal povezavo med zabeleženimi diagrami in dejanskim gibanjem teles okoli svetila. slika 2. Model slika 3. Merjenje Model in metoda ne zagotavljata avtentičnosti znanstvenega dela. V primeru, da model »zakrijemo« in ta ni več viden opazovalcu, se močno približamo dejanskemu načinu odkrivanja planetov z me- slika4. Opazovanje odprtega sistema. Gimnazija Krško, 14. 12. 201 8. todo tranzita. Rečimo, da je model »zvezde in planeta« v enem prostoru, opazovaleč pa ga zgolj zasleduje s pomočjo ustrezne opreme in računalnika. S tem simuliramo daljinsko zaznavanje, kot se odvija z zaznavanjem merilnikov in teleskopov v pravi meritvi. Ce model zapremo v škatlo in ga opazujemo zgolj s pomočjo merilnika osvetljenosti Vernier [4], se približamo dejanskim metodam, kjer lahko iz diagramov odčitamo določene lastnosti nekega sistema. Kar pa je najbolj zanimivo in koristno, da lahko te sisteme spreminjamo in zamenjujemo število teles, ki ga tvorijo. Prepoznavanje fizikalnih lastnosti objektov Običajno nas zanima pri planetu njegova velikost, razdalja in obhodni čas. Na sliki 7 je karakteristika prehoda dveh planetov. Najnižji del svetlobe, ki se pojavi dvakrat in jo zabeleži senzor, nakazuje, da je en planet večji od štirih ponorov, ki jih povzroči v 20 sekundah drugi planet. Večkratni prehodi dokazujejo, da ima manjši večjo hitrost. To ugotovitev potrjuje tudi čas prekrivanja - tranzičije posameznih planetov. Iz strmine padanja in naraščanja svetlobe lahko dijak zaključi tudi lastnost prehoda, ki je časovno opredeljena. 20 PRESEK 46 (2018/2019) 3 slika 5. Komplet za opazovanje gibanja »planetov okoli zvezde« slika 6. Notranjost škatle slika 8. Planet in njegova luna? Interpretacije diagramov v prisotnosti lun, ki se gibljejo z drugačnim ciklom, kot druga telesa, lahko predstavlja dodaten izziv. Njihove motnje osvetljenosti se namreč pojavljajo zelo blizu glavnih ponorov svetlobe matičnega planeta. Tako bi detajl na sliki 8 lahko interpretirali, kot prisotnost lune v bližini planeta. Daljši časovni diagram na sliki 9 pa razkriva, da gre za manjši, hitrejši planet, ki se je v času 5 s nahajal skoraj v opozičiji večjega in počasnejšega planeta. Diagram na sliki 10 predstavlja periodično pojavljanje lune na isti strani planeta. Takšna slika daje možnost predvidevanja hitrosti gibanja lune okoli svojega planeta. Kljub več mogočim rešitvam se iz razmerja podatkov lahko ugotovi, ali dijak razume obhodne čase planetov in lune. Merjenje obhodov Obhodne čase ugotovimo in izračunamo s pomočjo tabele ali odčitka na diagramski koordinati časa A t. Ugotavljanje obhodnih časov lahko razvijemo za medsebojne vplive planetov. Z ustreznim merilom se lahko lotimo tudi izračuna gravitačijskega vpliva. Z nastavljivim virom napajanja pogona sistema lahko vplivamo na hitrost mehanizma in obhodne čase posameznih teles. Zgolj zamenjava enega para zobnikov nam spremeni pogoje gibanja enega, več ali vseh teles v sistemu. 21 PRESEK 46 (2018/2019) 3 astronomija -> slika 9. Manjši in večji planet slika 11. Luna slika 10. Periodični pojav prisotnosti lune ob večjem planetu Računanje s 3. Keplerjevim zakonom Za preračunavanje tirnič in časov pa je nujno najprej izbrati pravilna razmerja zobnikov (prestavno razmerje) in prirediti dolžine ročič mehanizma, ki zagotavljajo tudi uporabo 3. Keplerjevega zakona. slika 12. Tabela omogoča zelo natančno določitev vseh časovnih podatkov. Optični pojavi Natančno opazovanje izrisanih diagramov nam omogoča dodatno komponento spoznavanja ali utrjevanja znanja s področja geometrijske optike. Ce je sistem dobro zaprt, se opazi vpliv odboja svetlobe med planeti. Anomalije na diagramih so lahko velik izziv za dodatna znanja in raziskovanja. Na diagramski sliki i4 je viden zanimiv pojav. Pred prehodom rdečega planeta (slika i5) se pojavlja povečanje svetlobnega toka, ki ga zaznava senzor. Periodično ponovljiv vzoreč kaže, da ne gre za napako pri merjenju, temveč za odboj dela svetlobe zvezde na desnem manjšem planetu. Potrditev domneve nedvomno lahko dokažemo z zamenjavo smeri vrtenja teles. 118 PRESEK 46 (2018/2019) 3 slika 15. Odboj od drugega planeta. slika 14. Mesta povečanega svetlobnega toka Orientacija - gledišče - pozicija merilnika Merilnik osvetljenosti predstavlja točko opazovali-šča. Zaznava količino svetlobe, ki se ujame v senzorju na določeni površini. Zelo avtentično situačijo lahko zagotovimo s spremembo točke zaznavanja. To storimo z enostavnim krožnim zasukom mehanizma - sistema planetov. Dodatna prostorska pro-jekčija omogoča razvoj boljše orientačije v prostoru. Oblike modelov slika 16. Opazovališce 1 različne dimenzije objektov ter njihova geometrijska razporeditev nam omogočajo ogromno možnosti različnih situačij. Pri tem lahko izkoristimo kreativnost dijakov, kajti njihovo sodelovanje in medsebojne priprave modelov naredi delo še bolj zanimivo in raziskovalno. Eksperimentalna naloga omogoča neomejeno vrsto konfiguračij, ki jih postavimo v opazovalni sistem. Oblike in število gradnikov, hitrosti gibanj (pogoni), www.presek.si 119 PRESEK 46 (2018/2019) 3 slika 17. Opazovališce 2 slika 18. Model sistema Zaključek Astronomija bi morala ostati v šolskih učnih načrtih. Nudi nam poznavanje našega prostora in dogodkov v naši neposredni in daljni okolici. Klasično opazovanje s teleskopi velikokrat ni enostavno izve-dliivo. Zelo veliko dejavnikov vpliva na izvedbo to- vrstnega pouka. Naloga in delovni listi omogočajo delo v učilnici. Ne nadomeščajo klasične aktivnosti astronomije v naravi, a ponujajo metodo dela, ki je dokaj blizu realnemu raziskovanju. Naloga ponuja ogromno dejavnikov, s katerimi lahko delo zelo poenostavimo ali pa ga pripravimo, kot zahtevni del poučevanja. Metoda omogoča kreativno delo v skupinah, kjer se razvija naravoslovna komunikačija. Interpretačija dogodkov in njihove napovedi pustijo dijaku veliko prostora za nova spoznanja. Poudarek je na branju diagramov in njihov smisel uporabe. Dijaki lahko pripravijo svoj model, ga zaklenejo in dajo v raziskovanje drugi skupini dijakov. Izmenjava idej, situačij in razprava po opravljenih nalogah krepijo naravoslovne kompetenče tistih, ki so sistem pripravili, kot skupine, ki ga je raziskovala. Nalogo je mogoče pripraviti tudi za osnovnošolsko delo. Prvi rezultati na nivoju gimnazije so dali zelo zanimive rezultate, saj se poleg delovnih listov učitelja, pojavljajo tudi vprašanja in naloge sodelujočih dijakov. Vsi diagrami in primeri so bili opravljeni novembra 2018 (oprema Vernier [5] in LoggerPro [6]). Literatura [1] G. Planinšič, Aktivno učenje ob poskusih, Ljubljana, DMFA - založništvo, Matematika-fizika, zbirka univerzitetnih učbenikov in monografij, 2010. [2] en.wikipedia.org/wiki/Discoveries_of_ exoplanets, ogled 22. 1. 2018. [3] skupnost.sio.si/sio_arhiv/si ri kt/ www.si ri kt.si/fileadmi n/si ri kt/ predstavi tve/2009/ZBORNIK_Sirkt2009. pdf, J. Pernar, 599-604, ogled 22. 1. 2018. [4] www.vernier.com/products/sensors/ l ight-sensors/l s-bta/, ogled 22. 1. 2018. [5] www.vernier.com/, ogled 22. 1. 2018. [6] www.vernier.com/products/software/lp/, ogled 22. 1. 2018. xxx 24 PRESEK 46 (2018/2019) 3 racunalnis tvo Računalnik iz domin •is ■i' ■i' Nina Sangawa Hmeljak, Primož Škafar, Maja Šafarič Mentor: Vid Kocijan -> Moderni računalniški centri porabijo enormne količine električne energije, zato je v času globalnega segrevanja pomembno, da razmislimo o alternativnih načinih računanja, ki niso električno potratni. V tem članku nas bo zanimalo, ali lahko poljuben problem, ki ga lahko izračunamo s standardnim računalnikom, izračunamo s podiranjem domin. Z dominami bomo poskusili simulirati logične izraze in iz teh sestaviti teoretični model računalnika, imenovan Turingov stroj. Spoznali bomo idejo Chur-čh-Turingove hipoteze, ki pravi, da naj bi za vsak iz-računljiv problem obstajal Turingov stroj, ki ga reši. Torej, če najdemo postopek za sestavo poljubnega ■ Turingovega stroja iz domin, pokažemo, da lahko poljuben izračunljiv problem rešimo zgolj s podiranjem domin. Najprej bomo spoznali, kaj so logični izrazi in kaj je Turingov stroj. Iz domin bomo zgradili logične izraze, z logičnimi izrazi pa bomo Turingov stroj simulirali. Ce se računalnik da simulirati z dominami, potem se ga da simulirati tudi z vsem, kar se obnaša podobno kot domine, npr. škatle za kosmiče, knjige, omare, ali pa kar nebotičniki (vsaj če si velikan v nizkokvalitetnem ameriškem filmu). Logični izrazi Neformalno povedano so logični izrazi funkčije logičnih spremenljivk, ki so povezane z logičnimi ope-račijami. Logična spremenljivka lahko zavzame le resnično vrednost »1« ali neresnično vrednost »0«. Logične izraze predstavimo s tako imenovano resnic-nostno tabelo. Vsak izraz lahko zapišemo v obliki resničnostne tabele, ki nam za vsako možno kombi-načijo vrednosti vhodnih spremenljivk poda pripadajočo izhodno vrednost. Operačije, ki so nam relevantne, so: Negačija: -X 0 1 1 0 Konjunkčija: X y X A y 0 0 0 0 i 0 1 0 0 1 1 1 Disjunkčija: X y x v y 0 0 0 0 i 1 1 0 1 1 1 1 gi ali: X y X ® y 0 0 0 0 i 1 1 0 1 1 1 0 Disjunktivna normalna oblika Pokazali bomo, da lahko za vsako resničnostno tabelo sestavimo logični izraz, ki se obnaša natanko tako, kot to veli resničnostna tabela. PRESEK 46 (2018/2019) 4 raC unalnis tvo —^ Primer: Rečimo, da želimo dobiti logični izraz, ki bo pri vseh kombinačijah vrednosti dveh spremenljivk pravilen. Za vsako možno kombinačijo vrednosti vhodnih spremenljivk najdemo konjunkčijo, ki je resnična natanko pri teh vhodih. Za vhod % = 0 in y = 1 je pripadajoča konjunkčija —x A y, saj, če preberemo izraz, ta pravi, da je resničen natanko tedaj, ko x ni resničen, y pa je. Na levi strani spodnje sheme se nahaja resničnostna tabela, ki je vhod našemu postopku. Za vsako vrstičo je na desni strani podan logični izraz, ki je resničen natanko pri kom-binačiji vhodnih vrednosti podanih v isti vrstiči. rezultat logičnega x y izraza 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 ( —x A —y) ( —x A y) (x A —y) (x A y) Nato izraze na desni povežemo z disjunkčijami, da dobimo izraz, ki je vedno pravilen: ■ (—x A —y) v (—x A y) v (x A —y) v (x A y) Primer 2: Rečimo, da želimo skonstruirati logični izraz, ki se obnaša kot naslednja logična tabela: x y rezultat logičnega izraza 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 V tem primeru potrebujemo logična izraza, ki bosta pravilna zgolj za vhode v prvih dveh vrstičah tabele. Oba logična izraza povežemo z disjunkčijo, da dobimo nov logični izraz, ki je pravilen pri natanko zgornjih dveh vhodih. www.dmfa-zaloznistvo.si x y rezultat logičnega izraza 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 (—x A —y) (—x A y) g (—x A —y) v (—x A y) Vidimo, da bodo izrazi, zgrajeni na tak način, vedno podobne oblike, to je, več konjunkčij, povezanih z disjunkčijami. Pravimo, da so ti izrazi v disjunk-tivni normalni obliki. Iz primerov zgoraj je razvidno, da lahko logični izraz v disjunktivni normalni obliki zgradimo za poljubno resničnostno tabelo. To pomeni, da lahko iz negačije, disjunkčije in konjunk-čije zgradimo poljuben logični izraz. Ce je vhodnih spremenljivk več, bo dolžina tega izraza naraščala eksponentno. To v praksi sičer ni optimalno, vendar, ker nas zanima zgolj »Ali se da?« in ne »Ali se da učinkovito?« se zadovoljimo tudi z zelo ogromnimi formulami, če le opravijo delo. Poln nabor operatorjev Ce lahko iz nabora operatorjev sestavimo poljuben logični izraz, pravimo, da je tak nabor operatorjev poln. Dokažimo, da lahko sestavimo poln nabor tudi z manj operatorji. Najlažji način je, da z novim naborom izrazimo nabor, za katerega že vemo, da je poln, torej {—, A, v}. Negačija (—) in disjunkčija (v) sta poln nabor, saj lahko konjunkčijo x A y po De Morganovem zakonu izrazimo z —(—x v —y) Logične operačije iz domin Z dominami lahko modeliramo logične operačije. Logični izraz bomo zapisali kot zaporedje domin, tako da bo podiranje domin služilo kot pročes računanja. Podrte domine predstavljajo logično vrednost 1, stoječe pa logično vrednost 0. Vrednost vhodnih spremenljivk vnesemo tako, da podremo pripadajoče vrste domin, nato pa počakamo, dokler se pročes podiranja domin ne zaključi. Na drugi strani zaporedja podrte oziroma stoječe vrste predstavljajo izhodno vrednost spremenljivk. Računanje v notranjosti zaporedja poteka preko logičnih operačij, ki jih sestavimo iz domin. Upora- 26 PRESEK 46 (2018/2019) 4 —* raC unalnis tvo bljene logicne operacije so predstavljene na slikah 1, 2 in 3. Na skicah se domine podirajo od spodaj navzgor. Dokažimo, da je nabor {v, e, 1}, ki smo ga sestavili iz domin, poln. Konstanto 1 predstavimo kot vrsto domin, ki jo na vhodu zagotovo podremo, preostali dve operaciji pa sta bili predstavljeni na slikah 1, 2 in 3. 1 y x e 1 = —x 1 0 1 1 1 0 Iz tega lahko zakljucimo, da iz domin lahko sestavimo tudi nabor {-, v}, za katerega smo že dokazali, daje poln. Torej lahko iz domin sestavimo poljuben logicni izraz. Turingov stroj V tem razdelku vpeljemo skico definicij in nekaterih dokazov v zvezi s Turingovim strojem. Ker gre za matematicno precej kompleksen model, se bomo natancnim definicijam ognili. Bralec, ki ga zanima tocna izpeljava, lahko to najde v knjigi [1]. Turingov stroj je abstrakten model racunanja, ki sledi strogim navodilom. Deli takšnega stroja so: ■ Neskoncen trak - To je spomin, na katerem so napisane 0, 1 (vhodni podatki) in prazna polja. Spomin je neomejen. ■ Glava - Glava po traku bere in zapisuje podatke. V vsakem koraku se nahaja nekje na traku, kjer vsebino polja lahko prebere in prepiše, nato pa se premakne za najvec eno polje levo ali desno. Stanja in prehodi med njimi - So stroga, natancna navodila za delovanje stroja. V vsakem koraku je stroj v enem izmed sranj. Glede na trenutno stanje stroja in znak pod glavo, prehodi natancno do-locajo, kaj glava zapiše na trenutno mesto, kam se premakne in v katerem stanju bo Turingov stroj v naslednjem koraku. slika 1. Kopiranje: Iz enega vhoda dobimo dva izhoda (kopiranje vrednosti vhodne spremenljivke). Ta vrata uporabimo, ce se neka spremenljivka v izrazu pojavi vec kot enkrat. slika 2. Disjunkcija dveh vhodnih spremenljivk Alan Turing si je Turingov stroj zamislil leta 1936 in z njim matematicno opredelil pojem racunalnika in izracunljivosti. Turingovi stroji so po zmožnosti tega, kaj je z njimi mogoce izracunati, ekvivalentni racunalniškim programom. slika 3. Strogi ali dveh vhodnih spremenljivk -> PRESEK 46 (2018/2019)4 27 0 RAC UNALNIS TVO —^ Turingov stroj ima koncno število stanj in je v vsakem trenutku v enem izmed teh stanj, zato ga lahko predstavimo z nizom nicel in enic. Za fiksne vhodne podatke so izhodni podatki vedno enaki in ponovljivi, saj rezultat ni odvisen od zunanjih dejavnikov ali nakljucja. Church-Turingova hipoteza Church-Turingova hipoteza pravi, da za vsak izra-cunljiv problem obstaja Turingov stroj, ki ga reši. Torej, ce Turingov stroj, ki reši problem, ne obstaja, je problem neizracunljiv tudi z najmocnejšim racu-nalnikom. To je le hipoteza in je ne moremo dokazati, a vseeno služi kot definicija izracunljivosti. Resnicna je za vse do sedaj znane prakticne modele racunanja. Simulacija Turingovega stroja z logicnimi izrazi Ker bi bil temeljit dokaz obsežen in zahteven, bomo skicirali zgolj glavne tocke. Nadobudnega bralca pa vzpodbujamo, naj si vec prebere v literaturi [1]. Glavne tocke dokaza: Turingovega stroja ni mogoce predstaviti le z enim koncnim logicnim izrazom. Vsak logicni izraz ima fiksno velikost, vhod Turingovemu stroju pa je lahko poljubno velik. Zato popravimo naš cilj in Turingov stroj predstavimo z družino izrazov: Za vsako dolžino niza vhodnih podatkov drugacen logicni izraz. ■ Z logicno funkcijo predstavimo i-ti korak Turingo-vega stroja. Vemo, da je stanj Turingovega stroja koncno mnogo. Vhodnih podatkov Turingovemu stroju je bilo prav tako koncno mnogo in zaradi popravljenega cilja vnaprej znano (recimo, da je bilo popisanih d elementov traku), torej je po i korakih zagotovo popisanih najvec d+i polj traku. Iz tega zakljucimo, daje vhodnih (in izhodnih) spremenljivk naši logicni funkciji koncno mnogo in jo lahko sestavimo iz domin. ■ Iz zgornjih dveh alinej zakljucimo, da lahko rezultat enega koraka Turingovega stroja izracunamo z dominami. Ce poznamo zgornjo mejo števila korakov Turin-govega stroja, ga torej lahko predstavimo kot kompozicijo funkcij, ki izracunajo posamezne korake. Žal pa se nekateri Turingovi stroji nikoli ne ustavijo, zato bi za simulacijo takih strojev potrebovali neskoncno mnogo domin. Prakticna izvedba Nekateri Turingovi stroji se na nekaterih vhodih ne ustavijo, ampak racunajo v nedogled. Da bi tak ra-cun simulirali, bi torej potrebovali neskoncno mnogo domin, ali pa tekoci trak in robota, ki bi domine postavljal hitreje, kot se podirajo. Posledicno je sestava Turingovega stroja zelo težka. Vzrok za to izhaja iz narave domin, saj se vsaka domina podre samo enkrat - realizacija povratnih zank ni mogoca. Kljub temu so preproste programe, kot je seštevanje dveh števil, že sestavili iz domin, posnetki teh eksperimentov pa so dostopni na spletnemu portalu You-tube. Vabilo na MaRS 2019 Zgornji clanek je nastal kot povzetek projekta, izdelanega na matematicnem taboru MaRS 2018. Bralce vabimo, da se nam pridružijo prihodnje leto, vec na http://mars.dmfa.si/. Literatura [1] M. Sipser, Introduction to the Theory of Computation, Course Technology, second edition, 2006. _ xxx 28 PRESEK 46 (2018/2019) 4 razvedrilo MaRtematične prigode Izšla je nova knjiga MaRtematične prigode. Avtorica Marta Zabret je profesorica matematike in specialistka matematičnega izobraževanja. Knjiga je množica kratkih zgodb, v katerih so strnjene mnoge izkušnje s podrocja poucevanja in spremljajocih aktivnosti na srednjih šolah. Jedro knjige so zanimivi zapisi o njenih dijakinjah in dijakih. Besedila so napisana lepo in strnjeno, v njih je tudi precej humorja. Zgodbe lahko beremo samostojno; nekatere so prav kratke. Knjiga ima tudi nekaj cisto matematicne vsebine, denimo v obliki originalno predstavljenih problemov na srednješolskem nivoju. Za lepo zunanjo in notranjo obliko knjige so poskrbele tri nekdanje Martine dijakinje: Neža Vavpetic, Ariana Godicelj in Ana Hafner. Marta Zabret Marta Zabret MArTEMATICNE PRIGODE MArTEMATICNE PRIGODE 146 strani format 14 x 20 cm 12,50 EUR Poleg omenjene lahko v naši ponudbi najdete še veliko drugih knjig. Podrobnejše predstavitve so na spodnjem naslovu, kjer lahko starejše knjige tudi naroČite s popustom: http://www.dmfa-zalozni stvo.si/ceni k/ Dodatne informacije lahko dobite v uredništvu Preseka po telefonu (01) 4766 633. nu vu vu REŠITEV NAGRADNE KRIŠANKE PRESEK 46/3 Pravilna rešitev nagradne križanke iz tretje številke Preseka je Žvr-golej. Izmed pravilnih rešitev so bili izžrebani Daniel Šimic iz Kopra, Nena Šefman Hodnik iz Logatca in Blaž Anžič iz Ljubljane, ki so razpisane nagrade prejeli po pošti. _ xxx 29 PRESEK 46 (2018/2019) 3 RAZVEDRILO Dvojni halo -i' •i' •i' Elza Rebol -> Čudovita igra svetlobe z neba, snežna dežela in ples Sonca nad nami očarajo in navdušijo. Vsi poznamo različne pojave v naravi, ki jih pričara svetloba. Opazimo jih lahko vsepovsod, ne samo na nebu, a za zdaj se posvetimo tem. Najbolj znana je zagotovo mavrica. Bolj pogost, a manj opazen pojav je halo. Opazimo ga kot svetel obroč, ki obkroža Sonce na kotni razdalji 22° stopinj, redkeje pa opazimo drugega na kotni razdalji 46°. Halo lahko opazimo povsod po svetu in skozi celo leto. V hladnem vremenu ga lahko opazimo tudi okoli Lune (največkrat ga opazimo ob polni Luni) ali uličnih svetilk, pomembno je le to, da je v zraku dovolj ledenih kristalov. Kot številni drugi svetlobni pojavi, je tudi halo po-slediča loma in odboja sončne svetlobe, in sičer na mnogih ledenih kristalih v ozračju. Običajno se ti nahajajo v oblakih, čirusih, na sredini troposfere, okoli 5 do io km nad zemeljskim površjem. Skoraj vsi ledeni kristali v ozračju so šestkotne prizme, se pravi, da sta osnovni ploskvi v obliki šestkotnika, stranske ploske pa z njima oklepajo kot 9o°. Dolžina stranskih ploskev določa višino prizme. Lahko je bolj podolgovata ali bolj sploščena, vsem pa je skupna šest-kotna oblika. Toda vsi ledeni kristali ne povzročijo halojev. Pomembna je namreč njihova velikost. Za nastanek haloja morajo biti kristali veliki med o,o5 in o,i mm (debelina človeškega lasu). Ce so manjši, se večina svetlobe ukloni in haloji so zelo šibki ali preprosto neopazni. Ce so večji od desetinke milimetra, izgubljajo šestkotno obliko in urejenost. Svetloba prehaja skozi stranske ploskve, zato je za nastanek haloja pomembno, daje glavna os kristalov približno pravokotna na sončne žarke. Po dvakratnem lomu, prvič, ko svetloba vstopi v led, in drugič, ko izstopi v zrak, je izstopni kot med 22° in 5o° glede na vpadni žarek. Noben žarek se ne lomi pod manjšim kotom, zato je notranji rob haloja oster. Natančnejši opis nastanka haloja lahko poiščete v starejših Presekih (24/i, 24/3 in 44/3). Večji obroč, 46° halo, nastane enako kot 22° halo, le da se v tem primeru svetloba lomi na dveh ploskvah, ki sta med seboj pravokotni, bodisi ploskvi pravokotne prizme bodisi osnovniča in ena od stranskih ploskev šestkotne prizme. Del haloja pa niso le svetli obroči, ampak tudi par-helij, sosonča ali pasonča. Parhelij sta dve svetli lisi na levi in desni strani Sonča. Bolj verjetno je, da ga opazimo ob vzhodu ali zahodu, ko je Sonče nižje nad obzorjem. Nastane zaradi loma na močno ploščatih kristalih. Zaradi gravitačije se kristali obrnejo vzporedno s horizontom opazovalča, zato opazimo zgolj svetlobo, ki se lomi na kristalih, ki se nahajajo na enaki višini kot Sonče. Svetloba vstopa v kristal skozi stranske ploskve in se v njem dvakrat lomi. Velikokrat sosonča spremlja halo. Več o sosončih lahko preberete tudi v Preseku 43/i. Ob sosončih težko in redko opazimo Lowitzove loke. Loki nastanejo na podoben način kot sosonča, le da na njihov nastanek vpliva to, da med počasnim padanjem vodoravno ležeči kristali nihajo okoli ene izmed svojih vodoravnih osi. Več o lokih je v Preseku 24/i. Še en spremljevaleč haloja je tudi tangenčialni ali sončni lok, ki se pojavi nad Sončem ali pod njim in se obroča haloja tangentno dotika. Pojavi se, kadar je Sonče med 22° in 29° nad obzorjem. Nastane zaradi paličastih kristalov, ki so z daljšo simetrijsko osjo obrnjeni horizontalno. Nad tangenčialnim lokom se pne redko viden Parryjev lok. Lok nastane zaradi loma na podolgovatih kristalih, ki nimajo vodoravne le daljše simetrijske osi, temveč imajo vodoravne tudi dve od stranskih ploskev prizme. 30 PRESEK 46 (2018/2019) 4 RAZVEDRILO Pri vseh pojavih lahko opazimo, da je notranji rob bolj rdece barve. To se zgodi zaradi disperzije, ki je tudi razlog za barvno zaporedje v mavrici. Vsaka barva ima svojo valovno dolžino. Najdaljšo valovno dolžino ima rdeca svetloba, sledijo ji oranžna, rumena, zelena, modra, najkrajšo valovno dolžino pa ima vijolicna svetloba. Svetloba z razlicno valovno dolžino se v ledu zaradi disperzije lomi pod razlic-nimi koti, kljub istemu vstopnemu kotu. Svetloba z vecjo valovno dolžino se lomi pod manjšimi koti, zato je rdeca na notranjem robu loka. Nad in pod soncem se kot del haloja lahko pojavi tudi soncni steber (vec v Presek 38/6). Ti nastanejo zaradi odboja svetlobe na osnovnicah plošcatih kristalckov, ki se uredijo tako, da je njihova simetrijska os nav-picna. Tudi nad 46° halojem opazimo tangencialni (Gal-lejev) lok, nekaj stopinj nad njim pa je cirkumzeni-talni (Bravaisov) lok, ki ima izrazite mavricne barve. Tangencialni lok nastane zaradi loma na kristalih z obliko pravokotne prizme z vodoravnimi lomnimi ploskvami. Skozi Sonce, vodoravno, vzporedno z obzorjem poteka parhelijski krog. Ta ni obarvan, kar namiguje, da nastane zaradi odboja in ne loma. Do odboja prihaja na stranskih ploskvah podolgovatih kristalov, katerih osi so usmerjene navpicno. Vsi opisani deli haloja so oznaceni na sliki 1. Zima torej ne navdušuje samo zaradi vseh radosti, ki jih lahko doživimo na snegu, temvec tudi zaradi razlicnih fizikalnih pojavov, ki jih lahko opazujemo. Parryev lok 46° halo gornji tangencialni lok 22° halo soncni steber Lovvitzov lok parhelijski sosonce slika 1. Deli haloja, ki so vidni na sliki z naslovnice. xxx PRESEK 46 (2018/2019)4 31 Matematični kenguru Osnovna naloga tekmovanja Kenguru je popularizačija matematike. Zanimiv, zabaven in igriv način zastavljanja matematičnih problemov je pripomogel, da se je tekmovanje kmalu razširilo po vsej Evropi, hkrati pa so se v tekmovanje vključevali tudi otroči in mladostniki iz drugih držav sveta. Tekmovanje je preseglo evropske okvire in postalo Mednarodni matematični kenguru. Leta 2016 se ga je udeležilo več kot 6 milijonov tekmovalčev iz več kot 60 držav sveta. V Sloveniji Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije organizira tekmovanje za učenče od prvega razreda osnovne šole do četrtega letnika srednje šole. Poseben izbor je pripravljen za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol, za dijake srednjih pokličnih šol ter za študente. Naloge, zbrane v teh knjigah, so najboljše možno gradivo za pripravo na prihodnja tekmovanja. Predvsem zato, ker je vsaki nalogi dodana podrobno razložena rešitev, ki bralča vodi v logično mišljenje in spoznavanje novih strategij reševanja. Marsikatera naloga, kije sprva na videz nerešljiva, postane tako dosegljiv iskriv matematični izziv. MEDNARODNI MATEMATIČNI KENGURU 2005-2008 MEDNARODNI MATEMATIČNI KENGURU 2009-2011 18,74 EUR 14,50 EUR 23,00 EUR Pri DMFA-založništvo je v Presekovi knjižniči izšlo že pet knjig Matematičnega kenguruja. Na zalogi so še: • Mednarodni matematični kenguru 2005-2008, • Mednarodni matematični kenguru 2009-2011, • Mednarodni matematični kenguru 2012-2016. Poleg omenjenih ponujamo tudi druga matematična, fizikalna in astronomska dela. Podrobnejše predstavitve so na spodnjem naslovu, kjer lahko vse publikačije tudi naročite: http://www.dmfa-za1ozni stvo.si/ Individualni naročniki revije Presek, člani DMFA Slovenije, dijaki in študentje imate ob naročilu starejših zbirk nalog pri DMFA-založništvo 20 % popusta na zgornje čene - izkoristite ga!