α Matematika v šoli ∞ XXI. [2015] ∞ 35-43 Učenci s težavami pri izbirnem predmetu matematična delavnica Pupils with Difficulties in the Mathematical Workshop Elective Subject tilka jakob OŠ Vitanje Σ Povzetek V prispevku je prikazana izkušnja z delom z učenci s posebni- mi potrebami pri izbirnem predmetu matematična delavnica (s slabovidnim učencem, z učencema s primanjkljaji – motnja branja in pisanja, motnja pozornosti in koncentracije). Iz vsa- ke matematične delavnice (MD) je izbrana tudi ena od nalog in zapis pomoči tem učencem pri reševanju naloge. Ključne besede: matematična delavnica, učne težave, fraktal, lupa, trikotniška števila Σ Abstract The paper presents the experience of working with pupils with special needs in the Mathematical Workshop elective subject (with a visually impaired pupil and with two pupils with defici- encies – reading and writing disorder, attention deficit hyperac- tivity disorder). One assignment and written record of the help provided to these pupils in solving an assignment was selected from each Mathematical Workshop. Key words: mathematical workshop, learning difficulties, frac- tal, magnifying glass, triangular numbers 036 α Uvod Na OŠ Vitanje izvajamo izbirni predmet MD v 7., v 8. oz. 9. razredu že 10 let. Zaradi razbre- menitve učencev večino programa izvajam v strnjeni obliki na Gorenju (v času od oktobra do decembra). Delo poteka v soglasju s star- ši, ti pokrijejo stroške bivanja v domu. Star- ši svoje otroke pripeljejo v center CŠOD na Gorenje v petek ob 15.30 uri, po njih pa pri- dejo v nedeljo ob 16.30 uri. V centru so nam na voljo praktično vsi prostori, tako da se učenci lahko v prostem času ukvarjajo tudi s športom. Predmet MD je namenjen učencem različnih matematičnih sposobnosti. Izbere- jo si ga tudi učenci s posebnimi potrebami. Vsebine in oblike dela prilagajam sposob- nostim učencev, ki so vključeni v skupino, saj je to tudi splošno didaktično priporočilo, ki je zapisano v učnem načrtu za izbirni pred- met matematična delavnica. Delo izvajam tako, da so učenci večinoma časa dejavni in da znanje pridobivajo iz lastnih izkušenj. V tem šolskem letu je v skupini MD 7 bil tudi (prvič) slabovidni učenec, v skupini MD 8 učenka z motnjami branja in pisanja, v skupini MD 9 pa učenec s primanjkljaji na posameznih področjih učenja – motnja po- zornosti in koncentracije. Vsakokrat, ko sem se pripravljala na izvedbo MD v strnjeni ob- liki, sem imela v mislih te učence. Ti učenci potrebujejo drugačne metode, pripomočke, učne prijeme in poti za dosego standardov tega predmeta. Bila sem v skrbeh, ali bom us- pela ustrezno pripraviti gradivo za te učence, še posebej za slabovidnega. Ti trije učenci imajo pri rednem pouku matematike (poučuje jih druga učiteljica) prilagoditve, ki so predpisane z odločbo o usmeritvi (ZRSŠ). Slabovidni učenec ima še napotke s strani Zavoda za slepo in slabovid- no mladino Ljubljana. Na timskem sestanku pred pričetkom šolskega leta pripravimo za te učence vzgojno-izobraževalne cilje za šol- sko leto. Ob koncu vsakega redovalnega ob- dobja pa so učitelji seznanjeni z napredkom in doseženimi cilji učenca. Slabovidni učenec (po odločbi, 2010) ima pri rednih urah matematike poleg uporabe digitalne lupe in računalnika, prilagoditve gradiva (velikost pisave 22–24), z dopolnit- vami zapisa v šolski zvezek, uporabo pisal, ki puščajo debelejšo sled, uporabo šestila s flomastrom. Učenka z motnjo branja in pisanja (po odločbi, 2013) je pri rednem pouku mate- matike deležna razlage navodil, razlaga se ji večkrat ponovi, pri reševanju nalog je vode- na s pomočjo dodatnih vprašanj. Predstavi se ji več konkretnih primerov, pogovori o rešitvah, saj sama nelogičnih rešitev ne opa- zi. Težje si zapomni različne postopke, saj je njena pozornost kratkotrajna, zato tudi pos- topke večkrat ponovi. T ežave, ki jih ima z ob- račanjem številk, ne vplivajo na njeno oceno. Učencu z motnjo pozornosti in koncen- tracije (po odločbi, 2012) se pri urah mate- matike podajajo kratka in jasna navodila, pri reševanju besedilnih nalog dobi dodatna vprašanja, dodatne napotke. Snov se z njim večkrat ponovi in utrjuje na novih primerih. Dosega minimalne cilje. Kot pripomoček ima lahko žepno računalo. Podobne prilagoditve sem učencem nu- dila pri izbirnem predmetu MD. Vsebin pa za te tri učence nisem posebej prilagajala. Pri delu pogosto uporabljam Navodila za izobraževalne programe s prilagojenim izva- janjem in dodatno strokovno pomočjo za devetletno osnovno šolo, ki mi pomagajo pri iskanju ustrezne pomoči učencem s posebni- mi potrebami. Učenci s težavami pri izbirnem predmetu matematična delavnica 037 β Matematična delavnica 7 – slaboviden učenec Prav tako me je skrbelo, ali bom v prostorih CŠOD ustrezno prilagodila prostor – tako z vidika varnosti kot z vidika spodbujanja k učenju in raziskovanju. Strah je bil odveč, učenec je dobil dobro osvetljen prostor, bli- zu table, usedel se je k sošolcu, v primeru, ko pa je potreboval večjo delovno površino, pa mu jo je sošolec odstopil, tako, da se je presedel drugam. Pouk slabovidnega učenca je zahteval posebne metode dela. Pripravila sem prilagojeno gradivo. Učencu sem nekaj delovnih listov pripravila v večji pisavi (22), nekaj sem jih povečala na kopirnem stroju. Pri nekaterih delovnih listih si je pomagal z (ročno) lupo. Gradivo pa, ki sem ga imela pripravljeno na power pointu, sem mu na- ložila na njegov računalnik, na katerem ima program za povečanje teksta. Kot pripomo- ček je uporabljal tudi kalkulator. Bil je edini učenec, ki je lahko uporabljal mobilni tele- fon, na njem ima ustrezno aplikacijo – pove- čan kalkulator. Delo s slabovidnim je temel- jilo tudi na stalnem ustnem kontaktu med menoj in učencem. Saj sem le na ta način lahko sproti spremlja razumevanje učenca pri obravnavani snovi. Ne glede na ostanek vida je bil slabovidni učenci sposoben reše- vati predpisane aritmetične naloge. Zaradi slabše orientacije na listu papirja je imel pri pisnem računanju večkrat težave pri podpi- sovanju števil, še posebno pri deljenju in pri različnih računskih postopkih. Potreboval je več časa. Določene težave so se kazale pri spoznavanju geometrijskih vsebin in pri re- ševanju nalog iz geometrije. Zaradi slabšega vida je imel težave pri orientaciji na ravnini in v prostoru, to se je odražalo tudi na ocen- jevanju velikosti, razdalj, kotov. Težave so se pojavile pri nalogi, kjer je bilo potrebno na hitro skicirati podatke ali narediti skice. Raz- mišljanja o ploščinah in obsegih likov mu niso delala težav. Kljub težavam je ta učenec zelo rad izvajal naloge iz merjenja. Za svoje delo pa je potreboval nekaj več časa oziroma je naredil v istem času nekaj manj kot vide- či. Tudi z ostalimi učenci je bilo potrebno delo diferencirati in individualizirati. Saj so pri učencih, ki si izberejo ta predmet (pre- cejšnje) individualne razlike v zmogljivostih, matematičnem predznanju, sposobnostih in interesih. Več truda kot v računanje je moral uče- nec vložiti v geometrijske naloge, risanje oz. izrezovanje likov, pri tem se je uprl na pomoč sošolca. Sestavljanka 1. Na trši papir nariši kvadrat s stranico 8 cm. 2. Označi razpolovišča stranic in nariši daljico, kot kaže slika. 3. Razreži na tri dele. 4. Iz teh delov poskušaj sestaviti: trikotnik, kvadrat, pravokotnik, paralelogram, trapez, petkotnik, šestkotnik. Je možno še kaj drugega? 5. Opiši like, ki si jih sestavil. Kolikšna je ploščina nastalih likov? [Slika 1] Kvadrat 038 Učenci s težavami pri izbirnem predmetu matematična delavnica V primeru sestavljanke mu je razpoloviš- ča pomagal poiskati sošolec, nato je učenec sam pravilno vrisal črti. Nato pa mu je po za- risanih črtah kvadrat na like razrezal sošolec. Sestavljene like je dobro opisoval, prav tako mu raziskovanje ploščin ni delalo težav. [Slika 2] Povečan tekst na računalniku [Slika 3] Branje s pomočjo lupe γ Matematična delavnica 8 – primanjkljaji – motnje branja in pisanja V skupini je bila učenka z motnjo branja in pisanja. Učenka je imela težave pri orientaciji v prostoru, pri organizaciji, slabše je razume- la prebrano, bolj hitro je pozabljala. Težave so se kazale pri izražanju misli v pisni obliki, pri povezovanju glasov in simbolov. Težko je usklajevala več procesov hkrati, npr. hkratno poslušanje in pisanje. Zamenjuje podobne črke (d b …) oz. zloge (do od ...). Težave ji dela tudi uporabljanje simbolov. Ker pisan- je in branje ni avtomatizirano, pozornost usmeri v tehniko branja in pozabi na vsebino prebranega. Te učenke pri branju besedila na glas nisem izpostavljala. Na glas je prebrala samo kakšno kratko navodilo. Poudarek sem dajala na njeno razmišljanje, da je iskala do- ločene odgovore, da je povezovala znanje, da se smiselno organizirala za delo. Vesela pa je bila sprotne povratne informacije o njeni uspešnosti, saj je s tem zmanjšala strah in napetosti pred delom s tekstom. Težave je imela na področju reševanja aritmetičnih problemov, zlasti računanja z velikimi števili, težave pri merjenju dolžin, težave z iskanjem strategij za reševanje matematičnega prob- lema, težave je imela pri osvajanju strategij za igre – igre s kartami, spomin, sudoku ... Učenki sem pomagamo z učenjem po kora- kih, povezovanjem matematičnih problemov s primeri iz življenja. Še največ pa je učenka pridobila s sodelovalno obliko učenja – z vrst- niškim učenjem. Trikotniška števila – T n Trikotniško število je število, ki je predstav- ljeno v obliki točk mreže trikotnika, kjer na posamezni stranici leži ena točka več kot na stranici manjšega trikotnika (Slika 4). Trikotniška števila pa si lahko predstavlja- mo tudi drugače. Te točke lahko preuredimo tako, da oblikujejo enakokrake, pravokotne trikotnike. V prvo vrsto položimo eno točko, v drugo dve, v tretjo tri itn. Pri iskanje trikotniških števil je bila učen- ka uspešna, dokler si je pomagala s sliko. Nato sva po korakih izpolnili preglednico, 039 T 1 = 1 T 2 = 3 T 3 = 6 T 4 = 10 [Slika 4] Trikotniška števila se večkrat vrnile nazaj na prvi korak (sliko). Skupino pa sem do splošne ugotovitve, vo- dila s pomočjo zlaganja dveh enakih trikot- nikov (trikotniških števil) skupaj tako, da je nastal pravokotnik. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • T 1 = 1 T 2 = 3 T 3 = 6 T 4 = 10 Zgornje slike prikazujejo prva štiri trikotniška števila so 1, 3, 6, 10. a) Z risanjem poišči peto in šesto trikotniško število. b) Koliko točk potrebuješ za sedmo trikotniško število? c) Sistematično zapisuj, koliko točk potrebuješ za posamezno število. Koliko točk potre- buješ za n-to število? ime n = 1 2 3 4 5 6 7 8 … n T n 1 3 6 [Preglednica 1] Trikotniška števila 1 + 1 ali 1 · 2 3 + 3 ali 2 · 3 6 + 6 ali 3 · 4 10 + 10 ali 4 · 5 040 Videli smo, da oba trikotnika skupaj se- stavljata pravokotnik. Najprej smo določili, koliko točk je v nastalem pravokotniku (npr. 4 · 5 = 20). Nato pa koliko je vseh točk enega trikotnika (npr. 4 · 5 : 2 = 10). Učenci so ugotovili, da je vseh točk enega trikotnika, polovica točk, ki oblikujejo pra- vokotnik in tako smo prišli do formule: T n = oz. n-to trikotniško števi- lo dobimo tako, da število n pomnožimo z n + 1 in dobljeni zmnožek delimo z dve. For- mulo smo nato večkrat ponovili v enostavni obliki, ki so si jo zapomnili vsi učenci. Učenka pa najbolj s pomočjo, da smo na glas ponovili skupaj nekaj primerov. Npr. če iščeš 7 trikotniško število, izračunaš produkt števila 7 in za eno večjega števila, to je 8, nato dobljeni produkt deliš z 2. Formulo je nato uspešno uporabila pri nalogah o vsoti zaporednih naravnih števil. 1 = 1 1 + 2 = 3 1 + 2 + 3 = 6 … Poišči vsoto vseh naravnih števil od 1 do 20. Ta vsota je dvajseto trikotniško šte- vilo. T 20 = ? Kolikšna je vsoto prvih 100 naravnih števil? δ Matematična delavnica 9 – primanjkljaji na posameznem področju učenja – motnje pozornosti in koncentracije Učenec je dobro obvladal postopke, ki so avtomatizirani (npr. pisno seštevanje, pisno deljenje), imel pa je težave zaradi nezmož- nosti vizualizacije matematike. Ta učenec je potreboval veliko slikovnih ponazoril in usmeritev, da je lahko dejavnosti, ki so se od- vijale uspešno, izvedel od začetka do konca. Učencu je zelo pomagala postopna pomoč, pomoč po korakih, kratki namigi, kot tudi povezovanje matematičnih problemov s pri- meri iz življenja. T a učenec ni bil zmožen sam dolgo ohranjati pozornost in biti vztrajen. T o je zmogel ob podpori, ali s strani sošolcev ali pa z moje strani. Sedel je blizu table in mene. Pomagala sem mu tudi z jasnimi in kratki- mi pravili, z ustaljenim redom obveznosti, z vključevanjem zanimivih dogodkov (gibalne dejavnosti, slikovno gradivo, menjavanje vi- šine glasu ipd.), z razdelitvijo daljših nalog na posamezne dele, z rabo učnih in tehnič- nih pripomočkov in seveda z vključitvijo ve- čih odmorov. Učenci pri MD imajo zelo radi sodelovalne oblike dela, zlasti skupinsko. Veliko jih spodbujam k samostojnemu razis- kovanju, seveda se na začetku lotimo lažjih nalog, da učenci ne potrebujejo dodatnih nasvetov. Ker pa so skupine zelo heterogene, učenci najdejo različne poti reševanja, kar takšno delo še posebej bogati. Trikotnik Sierpinskega (fraktal) [Slika 5] Nastanek trikotnika Sierpinskega Učenci s težavami pri izbirnem predmetu matematična delavnica 041 Algoritem, ki ga izvajamo se glasi: 1. Dan je enakostranični trikotnik. 2. Razdelimo ga na štiri enake trikotnike in odvzemimo srednjega. 3. Postopek ponavljajmo na vseh trikotni- kih, nastalih na ta način. Učenec s posebnimi potrebami je po ri- sanju trikotnikov Preglednico 2 izpolnil z napotki: preštej število trikotnikov, upošte- vaj, da je produkt števila trikotnikov in ploš- čina enega trikotnika vedno 16 kvadratnih enot … Učenec je prepoznal zaporedje po- tenc števila 4, zapisala pa sva jih skupaj. Tudi za n-ti trikotnik sva tabelo izpolnila skupaj ... Ideje za nalogo o trikotniških številih sem dobila v prispevku (Harej, 2013) in delov- nem zvezku (Felda, idr., 2005). Naloga o tri- kotniku Sierpinskega je povzeta iz prispevka (K. Kmetec, 2013). ε Zaključek Kljub vsemu so bili ti učenci ves čas vključeni v dinamiko skupine, kjer so spoznavali različ- ne strategije, pri katerih so v ospredju med- sebojno učenje, komunikacija, pripravljenost za sodelovanje in pomoč. Učenje v skupini pa seveda vpliva na motivacijo, ki se poveča, Naloga: Nariši trikotnik po prejšnjem navodilu s to razliko, da tistega, ki ga odvzameš, pobar- vaš z barvo (za vsak novi odvzem trikotnikov uporabi drugo barvo). Ploščina prvega (črnega) trikotnika je 16 kvadratnih enot. Na podlagi tega izpolni spodnjo preglednico. korak trikotnik število trikotnikov ploščina trikotnika (e 2 ) produkt št. trikotnikov x ploščina trikotnika 1. 1 = 4 0 16 = 4 2 16 2. 4 = 4 1 4 = 4 1 16 3. 16 = 4 2 1 = 4 0 16 4. 64 = 4 3 ¼ = 4 -1 16 5. 256 = 4 4 1/16 = 4 -2 16 6. 1024 = 4 5 1/64 = 4 -3 16 n-ti 4 n-1 4 -n+3 16 = 4 2 [Preglednica 2] Izpolnjena preglednica – trikotnik Sierpinskega 042 poveča se tudi vztrajnost pri iskanju rešitev. Spontano prihaja do izzivov, iskanja različ- nih poti reševanja, povezovanja med učenci v skupini (nesebična pomoč drug drugemu). V treh dneh intenzivnega dela se uspešno stkejo tudi socialne vezi med vrstniki. Potrebno je bilo več pripovedovanja, tudi ponovitev navodil, stikov s temi učenci, delo poteka po korakih. Posebno dobro se je po- kazala izkušnja s slabovidnim učencem, ker je bil zelo vedoželjen in vztrajen. Učenci so do- segli zahtevane standarde znanja. Pomembno pa je tudi to, da so se v skupini dobro počuti- li. Ob zaključku, ob evalvaciji dela, so učenci povedali, da so se imeli lepo, da so spoznali veliko novega, da so bile naloge tudi težke, da je hitro minilo. Motivacijo, da takšno obliko dela (ki zahteva veliko energije) izvajam še na- prej, pa sta mi dala ravno dva zgoraj omenje- na učenca, ki sta rekla naslednje: »Ali bomo z MD drugo leto tudi šli na Gorenje?« in »Dru- go leto spet izberem ta predmet!«. K dobremu vzdušju in počutju učencev pripomore tudi dobra oskrba v domu (dobra hrana), kot popestritev prostega časa s špor- tom. Izkazalo se je, da so bili učenci s poseb- nimi potrebami pri taki obliki dela uspešni in zadovoljni. Ni jih omejeval čas šolske ure, delo je bilo lahko diferencirano tako, da je spodbudilo vsakega posameznika, s tem pa so izgubili tudi strah pred tem izbirnim predmetom. Zavedam se, da je takšna oblika dela prispevek k sodobnejši šoli. Iz takšnega večdnevnega druženja pa prihajamo boga- tejši tako učitelji kot učenci. η Literatura 1. Felda, D., Arnuš, O., Jakob, M., Domajnko, V . (2005), Matematična delavnica 7, Ljubljana: Državna založba Slovenije. 2. Harej, V. (2013), Matematični tabor za nadarjene. V: Matematika v šoli, letnik XIX, št. 3/4, str. 4–18. 3. Kmetec, K. (2013), Primeri vzorcev. V: Posodobitve pouka v osnovnošolski praksi. Matematika. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. 4. Košir, S., et al. (2008), Otroci s primanjkljaji na po- sameznih področjih učenja: navodila za prilagojeno izvajanje programa osnovne šole z dodatno strokovno pomočjo, Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za šol- stvo. Dostopno: http://www.mizs.gov.si/fileadmin/ mizs.gov.si/pageuploads/ministrstvo/Publikacije/ Navodila_Primanjkljaji_podrocja_ucenja.pdf (10.12. 2014). Učenci s težavami pri izbirnem predmetu matematična delavnica 043 5. Navodila za izobraževalne programe s prilagojenim iz- vajanjem in dodatno strokovno pomočjo za devetletno osnovno šolo, Ljubljana 2003. Dostopno: http://www. zrss.si/doc/210911075800__pp_prilagojeno_izvaja- nje_programa_os_maj.doc (3. 12. 2014). 6. Učni načrt izbirni predmet Matematična delavnica. Nacionalni kurikularni svet, Zavod RS za šolstvo, Ljub- ljana, 2004.