PRESEK LETNIK 020) ŠTEVILKA 2 -> RAČUNOVODSKO PRAVILO -> UKRIVLJEN ODSEV NA RAVNI POVRČINI VELIK USPEH SLOVENSKE EKIPE METODE ZA REČEVANJE NELINEARNIH ISSN 0351-6652 9HH. . M 9770351665722 9770351665722 MATEMATIČNI TRENUTKI Splošcena Zemlja Ce opazujemo klasične papirnate zemljevide, se zdi, da je Grenlandija nenavadno razpotegnjena. Na spodnjem zemljevidu pa njena površina ustreza njenemu dejanskemu deležu glede na ostalo kopno, to je nekaj manj kot desetini Afrike. Ta zemljevid je narisan s pomočjo algebre, geometrije in trigonome-trije, tako da predstavlja velikost in obliko kopna bolj verno kot ostale geografske projekcije, npr. Mer-catorjeva. Žal tudi ta projekcija ni popolna. Katerakoli metoda, ki projičira sfero na ravnino, povzroči napake: noben ploščat zemljevid ne more natančno odražati vseh geometrijskih lastnosti površja Zemlje. Izdelovalči zemljevidov to vedo, zato se morajo vsakič odločiti, katera od lastnosti, rečimo površina, oblika, smer ali razdalja, je za uporabnika pomembnejša, in katero lahko žrtvujejo. Merčatorjeva projekčija je, rečimo, zelo primerna za mornarje, ker se vsaka ravna črta na zemljevidu ujema s podatki s kompasa; pri tem pa se napačno zdita npr. Grenlandija in Rusija večji od Afrike. Zakaj torej ne olupimo globusa in ga prilepimo na list papirja? Najprej se zdi zamisel dobra, a kmalu ugotovimo, da bo treba olupek razrezati in sploščiti (poskusite z olupkom pomaranče). Ceprav je v matematiki praviloma zelo težko dokazati, da nekaj ni možno, obstaja dokaz, da ne obstaja popoln zemljevid, ki bi odražal vse lastnosti sfere. Kljub temu iz-delovalči zemljevidov niso obupali. S pomočjo matematike razvijajo tehnike za izdelavo čim boljših zemljevidov, pri čemer znajo presoditi, do kolikšnih napak prihaja. Tako lahko razvijajo in primerjajo različne pristope. Radovednejši braleč si lahko prebere članek The Equal Earth Map Projection, ki so ga B. Šavrič, T. Patterson in B. Jenny letos objavili v reviji International Journal of Geographical Information Science. XXX 2 PRESEK 47 (2019/2020)2 KOLOFON Presek list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje letnik 47, šolsko leto 2019/2020, številka 2 Uredniški odbor: Vladimir Batagelj, Tanja Bečan (jezikovni pregled), Mojca Cepič, Mirko Dobovišek, Vilko Domanjko, Bojan Golli, Andrej Guštin (astronomija), Marjan Jerman (matematika), Martin Juvan, Maja Klavžar, Damjan Kobal, Lucijana Kračun Berc (tekmovanja), Peter Legiša (glavni urednik), Andrej Likar (fizika), Matija Lokar, Aleš Mohorič (odgovorni urednik), Marko Razpet, Jure Slak (računalništvo), Matjaž Vencelj, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik). Dopisi in naročnine: DMFA-založništvo, Presek, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, telefon (01) 4766 633, telefaks (01) 4232 460, 2517 281. Internet: www.presek.si Elektronska pošta: presek@dmfa.si Naročnina za šolsko leto 2019/2020 je za posamezne naročnike 22,40 eur - posamezno naročilo velja do preklica, za skupinska naročila učencev šol 19,60 eur, posamezna številka 6,00 eur, stara številka 4,00 eur, letna naročnina za tujino pa znaša 30 eur. Transakcijski račun: 03100-1000018787. List sofinancira Javna agencija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofinanciranje domačih poljudno-znanstvenih periodičnih publikačij. Založilo DMFA-založništvo Oblikovanje Tadeja Šekoranja Tisk Collegium Graphicum, Ljubljana Naklada 1100 izvodov © 2019 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije - 2102 ISSN 2630-4317 (Online) ISSN 0351-6652 (Tiskana izd.) Razmnoževanje ali reprodučiranje čelote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno. Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana. NAVODILA SODELAVCEM PRESEKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV Presek objavlja poljudne in strokovne članke iz matematike, fizike, astronomije in računalništva. Poleg člankov objavlja Prikaze novih knjig s teh področij in poročila z osnovnošolskih in srednješolskih tekmovanj v matematiki in fiziki. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralčev, učenčem višjih razredov osnovnih šol in srednješolčem. Clanek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev) in sedež institučije, kjer avtor(ji) dela(jo). Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma razumemo ločeno od besedila. Slike v elektronski obliki morajo biti visoke kakovosti (jpeg, tiff, eps ...), velikosti vsaj 8 čm pri ločljivosti 300 dpi. V primeru slabše kakovosti se slika primerno pomanjša ali ne objavi. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (čopyri-ght). Zaželena velikost črk je vsaj 12 pt, razmak med vrstičami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku na naslov uredništva DMFA-založništvo, Uredništvo revije Presek, p. p. 2964, 1001 Ljubljana ali na naslov elektronske pošte presek@dmfa.si. Vsak članek se praviloma pošlje vsaj enemu anonimnemu re-čenzentu, ki očeni primernost članka za objavo. Ce je prispevek sprejet v objavo in če je besedilo napisano z računalnikom, potem uredništvo prosi avtorja za izvorne datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različič urejevalnikov TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek. Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu. y/\ MATEMATIČNI TRENUTKI 2 Splošcena Zemlja MATEMATIKA 4-8 MaRS 2019 (Simon Brezovnik) 9-15 FIZIKA Ukrivljen odsev na ravni površini (Jože Rakovec) ASTRONOMIJA 19-22 Velik uspeh slovenske ekipe na letošnji mednarodni astronomski olimpijadi (Andrej Guštin) 22 Popravek (Andrej Guštin) 23-29 RAČUNALNIČTVO Metode za reševanje nelinearnih enacb (Jure Korbar) RAZVEDRILO 16-17 Nagradna križanka (Marko Bokalic) 19 Poizkuševalnica doma - Magneti 2 (Mojca Cepic) 30 Rešitev nagradne križanke Presek 47/1 (Marko Bokalic) 31 Naravoslovna fotografija - Neznani leteci predmeti (Peter Legiša) TEKMOVANJA Tekmovanje srednješolcev v znanju fizike -šolsko tekmovanje 29. tekmovanje iz razvedrilne matematike šolsko tekmovanje MATEMATI KA MaRS 2019 vU nU vU Simon Brezovnik Med 28. julijem in 3. avgustom 2019 je na Pohorju potekal štirinajsti zaporedni matematični tabor za srednješolce MaRS (Matematično Raziskovalno Srečanje). Udeležilo se ga je petindvajset dijakinj in dijakov iz različnih srednjih šol iz vse Slovenije. Za uspešno krmarjenje po vesolju je skrbelo deset članov posadke: Simon Brezovnik, Klara Drofenik, David Gajser, Žan Hafner Petrovski, Rok Havlas, Petra Podlogar, Jakob Jurij Snoj, Jakob Svetina, Tjaša Vrhovnik in Nejc Zajc, v oporo pa nam je bil tudi Vid Kocijan. SLIKA 1. Lovci, levi in blondinke Glavni del tabora je zaznamovalo projektno delo. MaRSovci smo se na podlagi svojih interesov razdelili v skupine po dva oziroma tri Člane, vsaki skupini pa je bil dodeljen eden od mentorjev. Vsak mentor je svoji skupini predstavil zanimiv matematični problem, s katerim smo se spopadali. V času bivanja na MaRSu smo se naučili uporabljati program LTEX, ki omogoča pregledno pisanje matematičnih besedil. S SLIKA 2. Del posadke na letošnjem MaRSu: Petra, Jakob Jurij, Jakob in David. pridobljenim znanjem smo v vsaki skupini do konča tabora oblikovali kratek članek, v katerem smo predstavili svoje matematične probleme. Letos so se dijaki pri projektih ukvarjali z: maRSovsko geometrijo, konstruktibilnimi števili, eliptičnimi krivuljami, verižnimi ulomki, Cayleyjevim izrekom, Polyevo teorijo, čentralnim limitnim izrekom, teorijo grafov in teorijo odločanja. V nadaljevanju predstavljamo nekaj nalog, ki smo jih med našim raziskovanjem uspeli rešiti. Vabimo, nadebudneže, da se z nekaterimi tudi sami spopadejo. Za dodatno pomoč si lahko pomagate z našimi članki, ki so objavljeni na spletni strani MaRS. dmfa. si/projekti/. Problem 1. Že stari Grki so vedeli, da se tako te-žiščniče kot višine in simetrale kotov sekajo v eni točki. Giovanni Ceva, italijanski matematik iz Univerze v Pisi, je po raziskovanju trikotnikov objavil izrek. Ta izrek je danes znan kot Cevov izrek, ki pravi, da imajo daljiče, ki povezujejo oglišča z nasprotnimi straničami trikotnika skupno presečišče le pod določenim pogojem. Ali morda poznate ta pogoj? 4 PRESEK 47 (2019/2020)2 4 MATEMATI KA SLIKA 3. Del posadke na letošnjem MaRSu: Klara, Tjaša, Simon in Nejc. SLIKA 4. DelovTjašini projektni skupini Ob enih se zbudi drugi in stori enako. Ob dveh tretji in tudi on stori enako. Zjutraj vstanejo in razdelijo preostale sadeže na tri enake dele, a jim spet ostane en, ki ga podarijo vesoljcu. Kolikšno je najmanjše število sadežev, s katerimi so zaceli? Problem 3. Predstavljajte si, da morate naenkrat vreci 1000 kovancev. Zanima nas, kolikšna je verjetnost, da pade grb med 750 in 800-krat. Nasvet za reševanje tega problema je, da se najprej poučite o centralnem limitnem izreku. Na MaRSu smo se ukvarjali tudi z zanimivimi problemi iz teorije grafov, natancneje z igro Lopov in policisti. Igralno polje igre je neusmerjen enostaven graf (primer takega grafa prikazuje slika 5). Igra se zacne, ko prvi igralec doloci vozlišca, ki jih bodo zasedli policisti. Nato drugi igralec doloci vozlišce lopovu, s cimer se zakljuci 0. krog. V vsakem nadaljnjem krogu se najprej premaknejo policisti in nato lopov. Policisti in lopov se lahko v vsakem krogu premaknejo na sosednje vozlišce ali pa ta krog pocivajo (ostanejo na istem mestu). Za policiste velja tudi, da se lahko naenkrat premakne poljubna podmnožica policistov, prav tako pa lahko vec policistov zasede isto vozlišce. Igra se konca, ko policist zasede isto vozlišce kot lopov. Ce se to nikoli ne more zgoditi, pravimo, da je zmagovalec lopov. Problem 4. Najmanjše število policistov, ki jih potrebujemo, da na grafu zagotovo ujamemo lopova, imenujemo policijsko število grafa. Poskusi poiskati policijsko število grafa na sliki 5. Problem 2. Trije matematiki potujejo po vesolju in se ustavijo na planetu, na katerem je le drevo z okusnimi sadeži in prijazen vesoljec. Pred spanjem matematiki naberejo sadeže, jih zložijo na kup in se odpravijo spat. Ob polnoci se zbudi prvi matematik, razdeli sadeže na tri enake kupe, a ostane mu en sadež, ki ga podari vesoljcu. En kup skrije, preostala dva združi v enega, ga vrne nazaj ter se odpravi spat. SLIKA 5. Neusmerjen graf G, v smislu teorije grafov -> P PRESEK 47 (2019/2020)2 5 MATEMATIKA —^ Problem 5. Astronavt želi poleteti na MaRS, kamor ga lahko pelje ena od treh vesoljskih ladij. ■ Prva bo odletela čez eno uro in potrebuje dve uri, da pride do Lune. Tam bo z verjetnostjo 0,8 postanek za gorivo, ki traja pet ur. Od Lune do MaRSa gre vesoljska ladja lahko po dveh poteh. Prva je daljša in traja 15 ur, druga pa krajša in traja 10 ur. Na krajši poti obstaja 0,3 verjetnost, da bodo asteroidi, kar ladjo upočasni za 10 ur. ■ Druga vesoljska ladja bo odletela čez tri ure in potrebuje do Lune enako časa kot prva. Na Luni pa bo imela postanek za gorivo z verjetnostjo 0,5, ki bo trajal štiri ure. Od Lune naprej ima enake pogoje kot prva. ■ Tretja vesoljska ladja bo odletela čez pet ur. Postanek na Luni bo imela z verjetnostjo 0,1 in bo trajal pet ur. Od Lune pa bo šla do MaRSa le po krajši poti. Na katero vesoljsko ladjo naj se astronavt vkrca, če želi biti na MaRSu v čim krajšem času? Tipičen maRSovski dan se je pričel z maRSovskim zajtrkom in telovadbo. Ob dopoldnevih smo se udeležili različnih delavnič. Dr. Primož Moraveč s Fakultete za matematiko in fiziko, univerze v Ljubljani nam je v tridnevnem sklopu približal grupe. Spoznali smo definičijo grupe in nekaj osnovnih primerov grup. Govorili smo tudi o preslikavah med grupami, delovanju grup na množičah, orbitah in stabilizatorjih ter si ogledali več zgledov. Vsak dan smo MaRSovči dobili list z domačimi nalogami, kdor pa jih je naveč pravilno rešil, je dobil nagrado. Poleg zgoraj omenjenih delavnič so potekale tudi delavniče iz programiranja in urejanja matematičnih besedil. Nejč nas je naučil osnov programskega jezika Python ter uporabe programa Latex, s katerim smo na konču izdelali članke in predstavitve. Ob popoldnevih smo čas posvečali predvsem projektnem delu. Ob večerih smo bili deležni zanimivih predavanj odličnih profesorjev. Prvi dan se nam je preko Sky-pe-a iz Kalifornije oglasila gostja dr. Marinka Žitnik, postdoktorska raziskovalka na Stanfordu. Predavala je o umetni inteligenči in analizi velikih podatkov, kar je tudi njeno raziskovalno področje. Razlagala nam je o strojnem učenju, predstavitvi podatkov s pomočjo omrežij in grafov ter razložila nekaj algoritmov strojnega učenja. Razlago je popestrila s kon- SLIKA 6. Delavnica o grupah, ki jo je vodil dr. Moravec. kretnimi primeri (npr. določanje potencialnih prijateljev na družbenih omrežjih, uporaba v medičini). V ponedeljek zvečer smo prisluhnili gostu dr. Bojanu Moharju z Univerze Simon Fraser v Vancouveru v Kanadi, prejemniku prestižnih matematičnih nagrad. Spregovoril nam je o risanju grafov in prekrižnih številih. SLIKA7. Izsek iz predavanja dr. Bojana Moharja Njegovo predavanje nas je močno pritegnilo. Enega od problemov, ki smo jih obravnavali na predavanju, objavljamo tudi tukaj. 6 PRESEK 47 (2019/2020)2 MATEMATI KA Problem 6. Ali znaš narisati graf, ki ga prikazuje slika 8, tako da se povezave tega grafa sekajo najvec enkrat? K5 SLIKA 8. Polni graf na petih vozliščih V četrtek zvecer smo bili prica predavanju »Odprto - zaprto?« dr. Iztoka Baniča, profesorja na Fakulteti za naravoslovje in matematiko Univerze v Mariboru. Spoznavali smo odprte in zaprte množice ter se seznanili s topologijo, pomembno matematicno vejo, ki je tudi predavateljevo raziskovalno podro-cje. Njegovo predavanje nas je navdušilo, saj je bilo v njem ves cas cutiti strast do matematike. Vsak dan je bila MaRSovcem postavljena uganka dneva. Tisti, ki je uganko prvi pravilno rešil, je prejel posebno MaRSovsko nagrado. Objavljamo nekaj ugank, ki so vam lahko v izziv naslednjih nekaj minut (ali ur). Problem 7. Pet piratov je na svojem plenilskem pohodu našlo veliko skrinjo s 100 zlatniki. Pirati si bodo ta zaklad razdelili tako, da bo delitev najprej predlagal kapitan Andres. Ce se bodo ostali strinjali z njim, potrdijo njegov predlog, sicer ga zavrnejo. Ce se vsaj polovica piratov (šteje tudi glas kapitana) strinja s predlogom, je predlog sprejet, sicer je zavrnjen, kapitan mora v morje, nova kapitanka pa postane piratka Beatrice. Za njo bi postal kapitan Carlos, za njim Dominica, ostane še pirat Eduardo. Pirati se strinjajo s predlogom le, ce nikakor ne bodo mogli dobiti vec denarja; ce pa bi v dveh primerih lahko dobili enako denarja, bodo izbrali možnost, pri kateri bo umrlo vec piratov. Noben kapitan ne bo predlagal delitve, pri kateri bo umrl, ce se temu lahko izogne. Vsi kapitani so dobri logiki in vedo, da so to tudi ostali, poleg tega pa en drugemu ne zaupajo, zato ne sklepajo nikakršnih zavezništev med seboj. Kakšno delitev mora predlagati Andres, da ostane živ, in koliko zlata bo dobil? Problem 8. Nezemljani so prišli na Zemljo, a žal niso prevec miroljubni. Po nekajtedenskem potovanju in neokusni hrani, jim ljudje zelo dišimo, vendar pa je proti njihovim nacelom jesti inteligentna bitja, zato skupini desetih ljudi predstavijo nalogo: postavili jih bodo v vrsto od najvecjega do najmanjšega, tako da vsak vidi le vse manjše od sebe. Obracanje nazaj ni dovoljeno. Vsakemu bodo nakljucno dodelili belo ali crno kapo. Število belih ali crnih kap ni znano. Vsak lahko rece le BELA ali CRNA, vsaj devet oseb pa mora uganiti barvo svoje kape. Ugibati zacne najvišji, potem so na vrsti vedno nižji clani skupine. Na voljo imajo pet minut, da se dogovorijo, kako preživeti. V primeru kakršnegakoli goljufanja, umrejo vsi clani skupine. Vsak lahko rece le bela ali crna, nicesar ne sme sporocati z nacinom, kako to besedo pove (npr. da bi podaljšal kakšen zlog ali spremenil višino glasu). Kap tudi ne smejo sneti in si jih ogledati. Problem 9. Tvoj bogat, malce poseben stric je umrl in napisal oporoko. Imaš še 99 drugih sorodnikov, vendar pa si bil ti edini, ki se je rad družil s stricem in prisluhnil njegovim zgodbam. Stric je želel vse svoje premoženje zapustiti tebi, vendar pa je vedel, da bi bili vsi ostali sorodniki v tem primeru zelo jezni, zato je oporoko zapisal kot uganko, pri tem pa dodal, ce vsi skupaj sodelujete in odkrijete rešitev uganke, si njegovo premoženje enakomerno razdelite. Ce pa kdo ugotovi rešitev uganke sam, lahko sam poskusi odpreti sef. Ce mu uspe, je vse premoženje njegovo, ce se zmoti, ne dobi nicesar. Na branju oporoke je odvetnik vsakemu sorodniku izrocil kljuc s številko od 1 do 100. Potem ste vsi skupaj odšli v skrito sobo, kjer je stric postavil 100 ošte-vilcenih omaric. Odvetnik je dal nadaljnja striceva navodila. Kljuc s številko 1 odpre vse omarice, kljuc s številko 2 zapre vsako drugo omarico, kljuc s številko 3 spremeni stanje vsake tretje omarice (zaprte odpre, odprte zapre), kljuc s številko 4 spremeni stanje vsake cetrte omarice itd. Kodo sefa dobiš tako, da sešteješ vsa števila na omaricah, ki ostanejo odprta ob koncu odklepanja. Kakšna je koda? -> PRESEK 47 (2019/2020)2 7 MATEMATIKA Da pa so člani posadke poskrbeli tudi za našo fizično kondicijo, smo bili na taboru deležni različnih športnih dejavnosti, na primer igranja košarke in nogometa, družabnega programa in izletov. Tako smo se MaRSovci v sredo odpravili na maRSovski izlet do hotela Bellevue, kjer smo uživali ob razgledu na celoten Maribor in uživali ob kartanju in razvajanju s sladoledom. V Četrtek je sledila še maRSovska pustolovščina, ki nas je vodila po poti mimo Framskega slapu. Na pustolovščini so nas čakale različne spretnostne in miselne uganke, v nekaterih pa se lahko preizkusite tudi sami. Problem 10. Poskusite najti napako v spodnjem dokazu. Dokaz, da slon tehta toliko kot komar: x ... slonova masa, y ... komarjeva masa. Rečimo, daje vsota obeh tež enaka 2v. Potem velja ■ x + y = 2v, -y = x - 2v; x = -y + 2v. Pomnožimo prvo enačbo z x in drugo z -y ter izenačimo: ■ x2 - 2vx = y2 - 2vy. Prištejemo v2: ■ x2 - 2vx + v2 = y2 - 2vy + v2, (x - v)2 = (y - v)2, x - v = y - v, x = y. Problem 11. V vrsto postavite osem kovančev tako, da si sledijo v zaporedju: čifra - mož - čifra - mož -čifra - mož - čifra - mož. Vaša naloga je preurediti vrstni red kovančev tako, da bodo vse čifre na eni in vsi možje na drugi strani. Kovanče je dovoljeno premikati le v trojičah, in sičer tako, da hkrati zagrabite po tri sosednje in jih prestavite na začetek ali koneč vrste, ne da bi pri tem njihov vrstni red zamenjali. Poskusite rečiti problem v čtirih potezah. Vsak večer smo se MaRSovči pomerili v igranju družabnih iger, ki so kdaj pa kdaj trajale tudi pozno v noč. Na voljo smo imeli več kot 30 različnih vrst družabnih iger, tako da je bil izbor res težek. Večeri so ponujali tudi priložnost za spletanje novih prijateljstev in uživanje v sproščenem vzdušju. Zadnji večer smo imeli tradičionalni maRSovski piknik. Prišli so stari MaRSovči, tako da smo skupaj pojedli kakšno dobroto iz žara in delili spomine na pretekla maRSovska potovanja. Da smo naše potovanje zaključili v stilu, smo glavne ugotovitve svojega raziskovalnega dela predstavili tudi našim staršem in ostalim MaRSovčem. Kot vsako leto je tudi letos tabor prehitro minil in komaj čakamo prihodnje leto, da skupaj spet vedo-željno poletimo v vesolje! SLIKA 9. Ena od skupin na Klarini kontrolni točki četrtkove pustolovščine SLIKA 10. Predstavitev projeka ene od skupin XXX 8 PRESEK 47 (2019/2020)2 FIZIKA Ukrivljen odsev na ravni površini Ukrivljen odsev v dvigalu v stavbi Fizike na Fakulteti za matematiko in fiziko vU NU NU Jože Rakovec -> Na Fakulteti za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani v stavbi na Jadranski 19 (Fizika) je na kovinskih notranjih stenah dvigala vzorec; izmenjujejo se majhni zglajeni, svetleči se kvadratki in enako veliki motni kvadratki. Stena nasproti vhoda v dvigalo je stekleno zrcalo, na njej je vodoravna svetleča se prečka. Na stropu dvigala so štiri svetilke. V steklenem zrcalu in na sosednjih pravokotnih stenah (levo in desno od zrcala) se zrcalijo slike kovinske precke (slika 1). Najbolj je seveda izrazita slika v zrcalu na isti steni, kot je precka. Na sosednjih pravokotnih stenah se zrcalita tako precka kot njena slika v zrcalu - torej še po dve ravni sliki precke (na levi in na desni steni). Na vsaki od stranskih sten pa odsevata, ce gledamo od zgoraj, še manj svetli in rahlo motni ukrivljeni sliki precke. Cim nižje gledamo, tem manj sta ti sliki ukrivljeni; ce počepnemo, tako da so naše oci v višini precke, je tudi ta slika ravna. Vse slike na stranskih stenah nastanejo ob odbojih na »kvadratkih«, ki so ornament kovinske stene dvigala. Na zglajenih kvadratkih prihaja do mocnega zrcalnega odboja in zato do ravnih slik precke, hrapavi kvadratki okrog njih pa so temnejši. Od hrapavih, motnih kvadratkov je odboj od razlicno nagnjenih manjših površin razpršen. Ukrivljena slika ni kaj dosti razmazana. To pomeni, da odboj od hrapavih kvadratkov ni enako mocan na vse strani, ampak v neke smeri mocnejši kot v druge. Zato nekateri od hrapavih kvadratkov »svetijo« proti opazovalcu, drugi pa ne. SLIKA 1. Svetleča se kovinska precka, njena slika v steklenem ogledalu, ravni sliki obeh na levi kovinski pravokotni steni ter nekoliko motna in manj svetla, a še vedno dobro vidna ukrivljena slika prečke. Podobnost z zgornjim tangentnim lokom hala Kaj pa, ce posvetimo z lucko na steno? Pokažejo se ukrivljeni odsevi (slika 2), ki mocno spominjajo na del hala, ki ga vcasih vidimo na kristalckih ledu v ci-rusnih oblakih na nebu, in sicer na zgornji tangentni lok hala, ki se dotika kroga s premerom 22° (slika 3). -> PRESEK 47 (2019/2020)2 9 FIZIKA jm SLIKA 2. Bolj ali manj konkavna slika lucke na steni dvigala; zgoraj lucka nižje (in/ali bliže steni), spodaj lucka višje (in/ali dlje od stene). Ker je o halu Presek že večkrat pisal, o njem le na kratko. Halo se na nebu vidi, kadar Sonce sije skozi cirusne oblake. V njih so kristalcki vode (ledu), na katerih se svetloba odbija in lomi. Kristalcki so skoraj vedno heksagonalne prizme, od nizkih šesteroro-bih plošcic do višjih stebričkov, le včasih nastajajo tudi razvejane »zvezdice« ali pa piramide in še kaj. Pri nas je halo viden nekajkrat letno. Smer žarkov od sonca se pri prehodu skozi dve ne-sosednji stranski ploskvi prizem, med katerima je kot a = 60o, seveda spremeni. Za prehod v ravnini, ki je pravokotna na glavno os kristalckov, najvec svetlobe spremeni smer za okrog 22o. Ce so ledeni stebricki povsem nakljucno orientirani, vidimo samo krog hala. Tangentni lok hala se pokaže takrat, kadar je vecina heksagonalnih kristalckov ledu orientirana bolj ali manj horizontalno (osi prizem so blizu vodorav-nici). Osrednji del tangentnega loka se dotika kroga hala, stranski deli loka pa se blizu sredine ukrivljajo navzgor, dlje od sredine pa nazaj navzdol (slika 3). SLIKA 3. Računalniška simulacija hala s programom HaloSim (www. atoptics.co.uk/halo/downld.htm). Lega sonca v sredi kroga hala je samo označena, sicer bi bilo mnogo bolj svetlo. V nastavitvenem oknu je mogoče nastaviti marsikaj, obliko in orientacijo kristalov ledu, razpon teh orientacij, višino sonca na nebu. Za to sliko je izbrano, daje sonce 15° visoko nad obzorjem, da so vsi kristalcki heksagonalne prizme, od teh jih je 25 % nakljucno orientiranih (na teh nastane krog). Drugi so bolj ali manj horizontalno orientirani: 40 % v horizontalni smeri s standardno deviacijo a = 0,1°, 20% horizontalno s a = 8° in 15% horizontalno s a = 5°. Slika je rezultat prehoda žarkov od Sonca skozi tisoc kristalckov na nebu. Če so kristalcki morda druge oblike ali pa drugace orientirani, ima halo tudi druge loke. Gm nižje je Sonce na nebu, tem bolj je spodnji rob zgornjega tangentnega loka hala konkaven. Za to, da ustvarimo sliko hala z računalnikom, je prosto na razpolago nekaj simulacijskih programov, npr. HaloSim (www. atopti cs.co. uk/hal o/downld. htm). S tem programom je narejena slika 3. Pri programu HaloSim je torej mogoče izbirati, kako visoko na nebu je Sonce in predvsem s tem se oblika zgornjega tangentnega loka močno spreminja. Slika 2 pokaže, daje tudi z odsevom lucke tako. Cim bliže steni je lucka in od Cim bolj visoko gledamo, tem bolj konkavno-konveksna je slika. Ce je lucka dlje od stene, pa je slika vse bolj konkavna. Ob pogledu z višine lucke pa, kot smo že rekli za precko, vidimo tudi to sliko ravno. Kaj se torej naucimo iz primerjave med slikami na steni dvigala s tangentnim lokom hala? To, da morajo biti za izraziti tangentni lok vsi odsevi (pri 10 PRESEK 47 (2019/2020)2 FIZIKA halu točneje, dvakratni lomi svetlobe) na približno enako orientiranih kristalih (prizme so »drobna zr-calca«). Ali kaj podobnega velja tudi za hrapave kvadratke v dvigalu? Ce pogledamo steno dvigala prav od blizu, vidimo, da je hrapavost motnih kvadratkov dosežena z vertikalnimi praskami. Ker so praske velike v primerjavi z valovno dolžino svetlobe, ne gre za uklonski pojav, ampak za odsev na teh kvadratkih - na navpičnih vdolbinah in izboklinah v kovini. Torej gre tudi pri dvigalu za izrazito orientirana »drobna zrcalca« na kovini. SLIKA 4. Motnost kvadratkov na steni dvigala je narejena z brušenjem, z navpičnimi praskami v kovini. Slika je narejena ob osvetlitvi od stani, zato se svetloba od gladkih kvadratkov ne odbija proti opazovalcu in zato le-ti izgledajo temni. Zdi se, da smo bistveno pojasnili: ker so vertikalne raze na brušenih odbojnih ploskvicah stene dvigala vse orientirane v isto smer, dobimo pri odboju na njih sliko, podobno zgornjemu tangencialnemu loku hala na ledenih kristalckih cirusnih oblakov, ki so tudi orientirani pretežno vsi v isto smer. Isti pojav na večji brušeni ploskvi Ce so res raze vse v isti smeri, bi morali videti nekaj podobnega na vsaki zrcalni površini z brazdami. Dandanes ima marsikateri prenosnik ali kuhinjski aparat pokrov ali vrata iz brušene svetlece se kovine. Pa poglejmo! SLIKA 5. Odsevi svetlobe lučke od brušene plošče nerjavečega jekla Zgoraj levo: pogled z iste višine, kot je lučka. Zgoraj desno: pogled nekoliko od zgoraj. Spodaj levo: lučka bliže jeklu. Spodaj desno: pogled nekoliko od zgoraj in od strani. Nekaj razlage Zdi se, daje prvi objavljen obsežen opis odbojev svetlobe od valovite ali brazdaste površine knjiga Light and Watter iz leta 1903 barona Sira Montagu-Pollocka: archive.org/details/lightwaterstu-dyo00montuoft/page/n8. V njej je veliko slik odsevov na blago valoviti vodni površini pri razlicnih smereh valov glede na vir svetlobe (ponavadi Sonce). Valove na spodnji desni strani slike 6 je povzrocil coln, iz katerega je bila posneta fotografija. SLIKA 6. Rahlo valovanje na jezeru Como pri Bellagiu, slika XVII iz Montagu-Polločkove knjige iz leta 1903. -> 11 PRESEK 47 (2019/2020) 2 FIZIKA —^ Pollock smeri odsevov od različno nagnjenih delov valov nazorno razloži z risanjem odbojev in grafično pokaže, da gre v neke smeri več svetlobe kot v druge. Zanimivo je, da se po prvem odboju pol žarkov odbije bolj strmo, pol pa manj strmo navzgor kot pri odboju od ravne površine. Ker pa se nekateri žarki ob prvem odboju preusmerijo tudi navzdol, se le-ti ob odboju na sosednjem valu preusmerijo nazaj navzgor. Zato se od zmerno valovite površine več žarkov odbija bolj strmo in le nekaj bolj položno, kot bi se jih z ravne površine. SLIKA 7. Risba odbojev z rahlo valovite vodne površine v najrazličnejše smeri. Opazovalec seveda vidi samo tiste, ki se preusmerijo proti njemu. Slika je iz Montagu-Pollockove knjige iz leta 1 903. Ali bi morda tudi sami poskusili določati smeri odbojev z rahlo valovite površine? Za deset ali dvajset odbojev vzdolž valovne dolžine, rečimo na vsakih 2n/10 ali 2n/20? Določanje nagibov sinusne funkčije res ni težko, tudi določanje nagibov pravokotnič nanjo ne - so za 90o večji. Ko poznamo smeri pravokotnič, tudi določanje smeri prvič odbitih žarkov ni težko. Malo več pazljivosti pa je potrebno pri določanju morebitnih drugih odbojev. Do teh lahko pride pri tistih prvih odbojih blizu vrhov in dolin valov, ko se žarki preusmerijo nekoliko navzdol. Treba je ugotoviti, kje tak žarek zadene sosednji val. Kam gre drugi odboj, pa je spet odvisno od smeri pravokotniče na tistem mestu. V Montagu-Polločkovi knjigi je opisan in narisan tudi eksperiment, ki v laboratoriju ponazarja opažanja iz narave, in sičer s slikami odsevov na šipi, ki leži na mizi pred prižgano svečo. Cez šipo, na- SLIKA 8. Odsevi sveče na šipi s črtami iz vazelina iz knjige M. Pol-locka (1903): levo zgoraj -črte pravokotne na smer pogleda proti sveči, desno zgoraj - zasukane za 45o in spodaj - črte v smeri pogleda proti sveči. mazano z vazelinom, položimo kos blaga in ga potegnemo preko šipe. Na ta način nastanejo vzdolž potega tanke ravne vzporedne brazde. Ce so le-te pravokotne na pogled proti sveči (slika 8, levo zgoraj), je odsev od sveče raven in naravnost proti nam. Kadar je šipa nekoliko zavrtena (slika 8, desno zgoraj), se tudi odsevu spremeni smer. Ce pa so črte vzdolž pogleda proti sveči, je odsev tudi približno pravokoten in nekoliko razmazan (slika 8, spodaj). Pomembno je poudariti, da se ob zavrtitvi šipe smer odseva spremeni za dosti manj od kota zavr-titve. Ta poskus s črtami na šipi je po Montagu-Polločku v svoji knjigi Light and Color in the Outdoor (1974), ki sičer opisuje še mnoge druge pojave v zvezi s svetlobo v naravi, povzel tudi Marčel Min-naert, ki pa še leta 1974 pravi, da vse podobnostih tega pojava še niso pojasnjene, a da bistvo vseeno razumemo. 12 PRESEK 47 (2019/2020) 2 FIZIKA Leta 2011 so David K. Lynch, David S. P. Dearborn in James A. Lock opisali različne odseve svetlobe na morski površini, med njimi tudi fotografijo in računalniško simulacijo ukrivljenega odseva od sonca. Tudi oni so upoštevali vec kot 100 let stare slike in razlage iz Pollocka in tako kot on razlagajo pojav odboja na blagih sinusnih valovih na vodi z najvecjo strmino valov a. Pokažejo, da gredo vsi odbiti žarki pri poševnem vpadu v razpon kotov, širok 4a. Pri pravokotnem vpadu je to od -2a do +2a, pri poševnem pa od a0 do a0 + 4a. Njihova fotografija kaže odsev nizkega Sonca, ki je v daljavi raven (od povsem neurejenih valov). Blizu opazovalca, ki pluje na colnu, so valovi od premca colna dokaj urejeni in klinasto odklonjeni od smeri plutja colna (torej podobno kot pri Pollockovi sliki z jezera Como). Poleg te fotografije pa je še slika, dobljena z racunalniško simulacijo. Tam, kjer se pojavijo urejeni valovi, se odblesk sonca na morski gladini ukrivi. Spet so torej vzrok za ukrivljanje slike urejene brazde - v tem primeru valovi. Ce torej racunalniška simulacija verno ponazori prizor iz narave, potem so v njej zagotovo upoštevani pravi algoritmi. Svetloba se odbija v raz-licne smeri, ampak samo v vpadni ravnini, ker so valovi (brazde) dolgi. SLIKA10. Računalniška simulacija tega pojava, iz Lynch in sod. (2011), dosegljivo tudi na engagedscholarship.csuohio. edu/sciphysics_facpub/104/. Sliki 9 in 10 sta objavljeni z dovoljenjem prvega avtorja D. Lyncha. SLIKA 9. Fotografija ukrivljenega odseva na morski površini. Še enkrat o halu Prve omembe hala so že iz antike, zelo natancno pa je pojav hala v Sant Petersburgu 18. junija 1790 opisal Tobias Lowitz. Petdeset let kasneje je halo opisal, razložil in podal nekatere glavne enacbe o njem Auguste Bravais, fizik in pomemben mineralog v svoji obširni razpravi iz leta 1847 (www.ursa.fi/ blogi/ice-crystal-halos/an_old_halo_book_ available/). Že takrat je med drugim vpeljal prilagojeni lomni kolicnik n' = Vn2 - cos2 6/ sin 6 za prehode žarkov skozi ledeni kristal v ravnini, ki ni pravokotna na glavno os kristala, kar še danes uporabljajo, npr. tudi Walter Tape za analiticno obravnavo oblik hala (1980). Walter Tape obravnava razlicno orientirane prizmaticne kristale ledu in za vsakega -> 13 PRESEK 47 (2019/2020) 2 FIZIKA —^ definira smer glavne osi O (to je smer, pravokotna na osnovno ploskev prizme), smer proti Soncu S ter smer normalne n na vpadno ploskev prizme ter kote med temi smermi, npr. kot 6 med S in O, vpadni kot, itd. Nabor vrednosti vseh kotov je omejen, saj pri nekaterih vpadih žarek na izstopni ploskvi ne more ven iz kristala (mejni kot totalnega odboja). Ce so torej intervali vseh možnih vrednosti kotov omejeni, je omejena tudi možnost spremembe smeri žarkov A, ki torej tudi obsega samo omejeno obmocje vrednosti. Kako je potem Tape to območje A »preslikal« na nebesno kroglo, pa presega obicajno težavnost opisov v Preseku. Seveda pa so danes na razpolago tudi numerične simulacije, kakršna je že omenjena Halo-Sim. Še nekaj odsevov svetlobe Ce nimate pri hiši nobene ravne ploskve iz brušene kovine, bi morda lahko pogledali odsev luci na pravšnjem rešetkastem kovinskem predpražniku, toda le na takšnem, ki ima vzdolžne brazde. Ce bi bile kovinske palice predpražnika idealno gladke (brezhibno zrcalo), bi namrec odboja vstran sploh ne bi bilo. Ker ima površina palic pri predpražniku na sliki 12 brazde (da na njih manj drsi), njegove od svetilke osvetljene palice svetijo tudi v druge smeri. Ce ni v vaši bližini nobenega takšnega predpražnika, pa lahko obcudujete sliko na kakšnih rahlo upognjenih kovinskih žaluzijah na svoji ali sosednji hiši. A le težko boste našli tako lep odsev, kot je s stene stavbe, prekrite z žaluzijami na sliki 13. Zakaj ima glavni krog hala polmer 22°? Prehod žarkov skozi kristal ledu, skozi heksa-gonalno prizmo, je najpreprosteje opisati za prehod v ravnini, ki je pravokotna na glavno os kristala. V tej ravnini je presek kristala enakostranicni šesterokotnik. Pri razlicnih vpadnih kotih se sicer žarki preusmerjajo v razlicne smeri (leva slika 11), a največ se jih v približno isto smer preusmeri pri simetricnem prehodu, zato gre v to smer največ svetlobe (debelejše označeni žarek na levi sliki 11). Pri tem je sprememba smeri žarkov najmanjša, in sičer malo manj kot 22°. Tak je torej pri povsem naključno orientiranih heksagonalnih ledenih prizmah tudi polmer notranjega roba obroča hala. Zaradi lomov ob drugačnih vpadnih kotih krog ni tanka črta, ampak obroč z ostrim notranjim robom. Lahko je pre- ¿A « 22 "A > 22 hod sičer pravokoten na os kristala, a nesimetričen (tanki žarek na levi sliki 11). Pri »poševnem« prehodu v kaki drugi ravnini, ki ni pravokotna na glavno os kristala, temveč kot med vstopnim žarkom in to glavno osjo kristala 6 ± 90°, je slika šesterokotnika prečno raztegnjena (desna slika 11). Zato je kot med dvema ne-sosednjima ploskvama večji od 60° in posledično tudi preusmeritev žarkov pri simetričnem prehodu večja od 22°. Pri prehodu skozi eno stransko in eno osnovno ploskev prizme lahko nastane tudi krog s polmerom 46°. Ker so lahko kristali tudi še kako drugače orientirani ali pa niso heksagonalne prizme, ima včasih halo veliko dodatnih lokov in peg. Tak je bil npr. halo, ki ga je opisal Lowitz. In če se je kaj takega videlo na nebu, so ljudje rekli: »Znamenja so na nebu, vojska bo ...«. 'a > 60° \ A > 22° SLIKA 11. Lom svetlobe pri prehodu skozi šestra-nicno prizmo; levo -v ravnini, pravokotni na glavno os prizme in desno v ravnino poševno glede na glavno os prizme. 14 PRESEK 47 (2019/2020) 2 FIZIKA SLIKA 12. Ukrivljen odsev na predpražniku v veži ob odprtih vratih, skozi katera od leve zgoraj prihaja svetloba cestne svetilke, v okvirčku pa brazde na kovinskih palicah. Odsev opazujemo približno v smeri kovinskih letev predpražnika. Za konec Naj povzamemo. Ponavljajoče se odsevne »črte«: raze, brazde ali valovi, imajo v svoji mikrostrukturi različne nagibe vdolbin in izboklin (ledeni kristalčki pa različne orientacije vpadnih in izstopnih ploskev). Zato odbijajo svetlobo glede na kot med vpadnim žarkom in normalo na to mikro odbojno ploskev. Do opazovalca pridejo iz nekega območja odsevne ravnine (na nebu pa iz nekega območja nebesne krogle) samo tisti žarki, katerih sprememba smeri je ravno pravšnja, da se preusmerijo proti opazovalču. Zato so odsevi tudi iz ravnih ploskev s črtami pri pogledu od strani lahko ukrivljeni. Pojav je v podrobnostih drugačen, kot je odboj od ukrivljene površine. Rezultat pa je podoben: v vsaki smeri pogleda se namreč v vdolbinah ali na izboklinah brazd z različnimi nagibi najde kak nagib, ki je enak nagibu dela enakomerno ukrivljene ploskve v tej isti smeri. Tiskani viri, ki so posebej navedeni v nadaljevanju, so vsi dostopni tudi na spletu, a ne vsi brezplačno. Drugi, netiskani internetni viri so navedeni samo med tekstom. Do vseh smo dostopili 22. 6. 2019. SLIKA 13. Ukrivljeni odsev sonca na steni javne knjižnice v Strasbourgu, prekrite z nekoliko zaobljenimi žaluzijami (www.paraselene.de/ ?uk:127313). Objavljeno z dovoljenjem avtorice slike E. Seidenfaden. Literatura [1] A. Bravais, Mémoire sur les Halos, Extrait du Journal de l'École royale Polytechnique, XXXIe Cahier, xii+266pp+IVpl, 1847. www.ursa.fi/blogi/i ce-c rystal -halos/an_ old_ha1o_book_available/. [2] D. K. Lynch, D. S. P. Deaborn in J. A. Lock, Glitter and Glints on Water, Appl. Opt. 50 2011, 39-F49, engagedscholarship.csuohio. edu/sci physi cs_facpub/104/. [3] M. Minnaert, Light and Color in the Outdoors, Springer; Corrected edition (April 13, 1995, 449 pp, www.springer.com/gp/book/ 9780387979359. [4] Sir Pollock-Montagu, Light And Water: A Study Of Reflection And Color In River, Lake And Sea, London, George Bell and Sons, xii+115 pp, 1903. Ponatis oktobra 2009 pri Kessinger Publishing, LLC, archive.org/detai1s/ 1ightwaterstudyo00montuoft/page/n8. [5] W. Tape, Analytic foundations of halo theory, J. Opt. Soc. Am. 70 1980, 1175-1192, www.osapubli shi ng.org/josa/abstract. cfm?uri=josa-70-10-1175. _ XXX 15 PRESEK 47 (2019/2020) 2 RAZVEDRILO nU sU sU Nagradna križanka AVTOR MARKO BOKALIČ NAŠ POKOJNI MATEMATIK (FRANCE) VEDA O ČLOVEKU PODOBNIH STROJIH AMERIŠKI PODROČJE JAZZOVSKI OBLASTI GLASBENIK ARABSKEGA (SAM) KNEZA ČEVELJ POPIVANJE z NIZOM POZNO KOLEŠČKOV VNOC NA PODPLATU ŽENSKI SKAKALNI CENTER OB SAVINJI RAZTOPINA BITUMNA ZA PREMAZ PROTI VLAGI MERSKA OTROŠKO PREDPONA IGRANJE ZATRILI-ZŽOGO JONINO ENOTE STAREJŠI ROMUNSKI TERENEC BAVARSKO MESTO MESTO NA AŽURNI OBAU NASPROTJE ZDRAVJA ŠPANSKI NAŠ NOGOMETNI OPERNI VRATAR BASIST CASILLAS (SAŠA) VELIK OTOK PRED M.»rP ZAHODNO VANJE OBALO VANJE SUMATRE FUNKCIJA V ŠIRŠEM RIMSKI PESNIK VEJA MÄTE- E JAPONSKI FILMSKI REŽISER (JASUDŽIRO) SEBIČNEŽ RIBIŠKA VRVICA PIVO STARIH SLOVANOV STAROGRŠKI EP VELIK UGLED, SLOVES JEZIKOVNI IZRAZ SPEČI ČLOVEK 10 NAJVEČJA MORSKA ŽIVAL JULLJ NARDIN RAZKOŠJE SPODNJA PLOSKEV POSODE DELOVNI, VELIKL OKRASNI GRM OSREDNJA FIGURA PRI ŠAHU IT. MESTO OB REKI ADDI JV.OD MILANA ANG. FIZIK, NOBELOVEC ZA KEMIJO (FRANCIS WILLIAM) AVSTRLI. SMUČARKA VEITH, NAŠ POKOJNI FIZIK (JANEZ) INDIJSKI BOG OGNJA NAŠ NEKD. PEVSKI TRIO VASE ZAPRT, SAMOŠEN OTROK SLOVENSKI PRIIMEK PRVE BRAZILSKA DRŽAVA ZVOK DOLOČENE VIŠINE PRIVLAČNA ZANIMIVOST SPRETNOST, PRIPRAVNOST ORIENTALSKA UTEŽNA MERA TRETJA OSEBA MNOŽINE SUROVINA ZA ČOKOLADO ANGLEŠKI ASTRONOM (JOHN COUCH) OTRDELOST SKLEPA OD "ZGORAJ" DOLOČEN POTEK ŽIVLJENJA REČ, ZADEVA 16 PRESEK 47 (2019/2020)2 RAZVEDRILO 1 2 3 1 «il an Û31 2 «12 «22 «32 n a\n Cl2n Cl3n ™ dm 1 dm 2 m« KOLESAR POGAiAR VESNA FABJAN GRŠKI B0I (A ATOMSKA ZBIRALEC *3& H»oštEV NABOJEM JAPONSKI PISATELJ NOBELOVEC (KENZA-BURO) AMERIŠKI DIRIGENT (LORIN) VPIS PODATKOV NEMŠKI GLASBENI ZAKONSKI PAR (ROBERT IN CLARA) TEMPERATURA PREHODA VTRDNO STANJE SPOJINA ŽELEZA IN OGLJIKA, ŽELEZOV KARBID HELENA JAVORNIK LJUBLJANSKA PAMETNA KARTICA SAMEC SVINJE AMERIŠKI BOKSAR (MOHAMED) SLEPI TEBANSKI VIDEČ V GRŠKI MITOLOGIJI RUDOLF MAISTER STRELSKA TABLA BELOCVET. GOZDNO DREVO 11 PODROBNOST SUMERSKA BOGINJA 12 PEVKA ALENKA ŠMID UMETNI PREBIVALEC DRAGULJI HRIBOVIT. IZSVIN- DELA ČENEGA SEVERNE STEKLA ISTRE KARL ERJAVEC DANSKI OTOK SEDMA GRŠKA ČRKA ITALIJAN. PEVEC (ADRIANO) NAŠ RADLIEC (RADO) 14 MESNI IZDELEK NOG. KLUB IZ FIRENC GLASBENA OZNAKA ZA POČASI LETOVIŠČE PRICRIK-VENICI RUS. VELEPOSESTNIK NEZAVEDNI JAZ, ID OKRAJŠAN IZRAZ ZA ORANJE PISATELJ CANETTI ALBERT EINSEIN AVSTRIJ. PESNIK IN PISATELJ (ERNST) MUZEJ NA PROSTEM 16 PROFESORICA ANG. JEZIKA NOSILNI OKVIR VOZILA ŠPORTNO DRUŠTVO IGRALKA FURLAN IGRALKA IN KNEGINJA KELLY NIKOLA TESLA ITALIJAN. IGRALEC TOGNAZZI VISOKA VAUASTA POSODA Z ROČAJEM TUR HIŠICA NA U RAZKOŠJE, SIJAJ (STAR.) 13 NKO JČIČ IZKORIŠČEVALEC DEDNA OSNOVA V CELICI SPODNJA POVRŠINA ZAPRTEGA NARAVEN PODZEMNI PREHOD ZAŠČITA KOŽE SESALCEV EGIPTOV. KRISTJANI MAKEDON. LJUDSKI PLES V OBLIKI KOLA DOSEG MATE- KLICA MATIK ŠIBASTA VIDAV OBVODNA VRBA ZALEZOVANJE DIVJADI SLAVNOSTNA PESEM PROSTI BRANILEC V ŠPORTU 15 OBLAČILO MULSIMANK GLAS PRI SPAHO-VANJU TEKSTILNI IZDELEK NA MTZT SOSEDI CRKES VEDA O ZVOČNIH IN DRUGIH VALOVNIH POJAVIH NAŠ JEZIKOSLOVEC (RAJKO) N A G R A D N I R A Z P I S -> Črke iz oštevilčenih polj vpišite skupaj z osebnimi podatki v obrazec na spletni strani www.presek.si/krizanka ter ga oddajte do 1. decembra 2019, ko bomo izžrebali tri nagrajence, ki bodo prejeli knjižno nagrado. XXX PRESEK 47 (2019/2020)2 17 FIZIKA Magneti 2 ^ ^ ^ Mojca Čepic -> V prejšnjem prispevku [1] smo se seznanili s ploščatimi cilindričnimi neodimskimi magneti. Z igranjem z njimi nadaljujemo; tokrat poskusimo poiskati odgovore še na nekaj vprašanj. Naj spomnimo, da izhajamo iz del Leoša Dvoraka iz Karlove univerze v Pragi [2-4]. Razlogom za opažanja pa se bomo posvetili v naslednji številki Preseka. Najprej iz dveh neodimskih magnetov izdelajmo magnetno nihalo. Kot magnetno nihalo uporabimo magneta na vrvici, kot smo že predlagali v prejšnjem prispevku (slika 1). Sukanec povlecite med dva magneta ali pa prilepite en magnet na lepilni trak, le-tega pa na mizo, preko položite sukanec in ga pokrijte z drugim enakim neodimskim magnetom. Lepilni trak bo poskrbel, da magnet z mize ne bo pobegnil k svojemu bratu in pozabil na sukanec. Lepilni trak nato odtrgate in magnetno nihalo je narejeno. Sukanec dvignimo, da magnet prosto obvisi. Kako je usmerjena simetrijska os magnetov? SLIKA 1. Zgoraj: priprava magnetnega nihala, spodaj: Prosto viseče magnetno nihalo. Natančen pogled pokaže, da sta viseča magneta nekoliko nagnjena. Z magnetom na sukancu hodite naokoli po prostoru. Kako je dvojec magnetov usmerjen? Kateri predmeti lahko spremenijo smer visečega magneta? Magnet na sukancu tudi pogosto sučno niha. Raz-iščite, kaj vpliva na frekvenco nihanja. V bližini drugih magnetov niha drugace, kot kadar drugih magnetov ni v bližini. Sestavite še en dvojec magnetov in razišcite, kako morate dvojec magnetov postaviti, da bo magnet na sukancu v njegovi bližini nihal z vecjo ali manjšo frekvenco. Ugotovite, kako se frekvenca sucnega nihanja spreminja z oddaljenostjo od dvojca magnetov na mizi ter z medsebojno orientacijo visecega dvojca in dvojca na mizi. Poskusite najti takšno postavitev obeh magnetov, da magnet na sukancu ne bo nihal, temvec se bo vrtel. Literatura [1] M. Cepic, Magneti 1, Presek: list za mlade matematike, fizike, astronome in racunalnikarje, 2019/2020, 47, 1, 18-20. [2] Dvorak L., O magnetu, magnetickych tele-sech a velikem magnetu Zemi, In: Dilny He-ureky 2016/Heureka Workshops 2016. Sbor-nik konference projektu Heureka. E.: V. Koudelkova. Matfyzpress Praha 2017. ISBN 978-80-7378-338-9 (PDF, v cešcmi), str. 723. Dostopno na kdf.mff.cuni .cz/heureka/ sborniky/DilnyHeureky_2017.pdf, ogled 6. 8. 2019. Pripomba: Naslov je mogoce prevesti v anglešcino kot On the Magnet, Magnetic Bodies, and the Great Magnet the Earth kar spominja na znamenito knjigo W. Gilberta.) [3] Dvorak L., Magnets and magnetic field around them: what can we learn from simple experiments, sprejeto v objavo v zbornik konference GIREP v Dublinu 2017. [4] Dvorak L., O magnetech II (On magnets II) In: Dilny Heureky 2017/Heureka Workshops 2017. Sbornik konference projektu Heureka. Ed.: V. Koudelkova. MatfyzPress, Praha, 2018, ISBN 978-80-7378-359-4 (PDF, v cešcini) str. 721. Dostopno na kdf.mff.cuni .cz/heureka/ sborniky/DilnyHeureky_2017.pdf, ogled 6. 8. 2019. _ XXX 18 PRESEK 47 (2019/2020)2 ASTRONOMIJA Velik uspeh slovenske ekipe na letošnji mednarodni astronomski olimpijadi vU nU NU Andrej Guštin -> Slovenski srednješolci, ki so se letos od 2. do 10. avgusta udeležili 13. mednarodne olimpijade iz astronomije in astrofizike (MOAA) v mestu Kesz-thely ob madžarskem jezeru Balaton, so se domov vrnili s srebrnima medaljama in pohvalo. Udeležba na olimpijadi je bila rekordna po številu držav (47), na njej pa je tekmovalo vec kot 250 mladih astronomov s celega sveta. Tekmovanje je bilo zelo zahtevno, saj so srednješolce Čakale različne preizkušnje (teoretične, opazovalne ter analiza podatkov). Letošnjo olimpijsko ekipo so sestavljali: Ema Mlinar (Gimnazija Vic), Marko Cmrlec (Gimnazija Bežigrad), Jon Judež (Gimnazija Novo mesto), Vito Levstik (II. gimnazija Maribor), Matej Mali (Gimnazija in srednja šola Rudolfa Maistra Kamnik). Izbrani so bili izmed najboljše uvrščenimi srednješolci na tekmovanju iz znanja astronomije za Dominkovo priznanje, ki ga od mednarodnega leta astronomije 2009 prireja Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije (DMFA Slovenije). Izbor ekipe je potekal vse leto, saj so se srednješolci preizkusili tudi v opazovalnem tekmovanju Messierov maraton, sanktpeterburškem astronomskem tekmovanju in izbirnem postopku, v olimpijsko ekipo pa je bilo izbranih samo najboljših pet. Izbrana ekipa se je v poletnih mesecih udeležila Tekmovanja treh dežel, kjer se je preizkusila z ekipama s Hrvaške in Madžarske, ter priprav, ki so jih vodili mentorji prof. dr. Andreja Gomboc (Univerza v Novi Gorici), dr. Dunja Fabjan (Fakulteta za matematiko in fiziko), Katja Bricman (Univerza v Novi Gorici), Krištof Skok in Rok Kovac (študenta na Fakulteti za matematiko in fiziko) in Andrej Guštin (DMFA Slovenije). Slovenija je na olimpijadi nastopila sedmic, pri tem sta clana ekipe Marko Cmrlec in Ema Mlinar osvojila srebrni medalji, Jon Judež pa pohvalo. Ekipo so spremljali glavni mentor Andrej Guštin ter študenta Rok Kovac in Krištof Skok. SLIKA 1. Slovenska ekipa po podelitvi na 1 3. MOAA. Od leve proti desni: Vito, Jon (pohvala), Matej, Marko (srebro), Ema (srebro) ter mentorji Rok, Krištof, Andrej in Dunja. -> PRESEK 47 (2019/2020)2 19 ASTRONOMIJA —^ V nadaljevanju objavljamo nekaj najzanimivejših teoretičnih nalog 13. MOAA. 1. Slavni astronomski dogodki Razvrsti naslednje astronomske dogodke po kronološkem vrstnem redu od najstarejšega do najnovejšega. Zapiši številko dogodka (med 1 in 11). 1. Izstrelitev Hubblovega teleskopa. 2. Sondi Viking prispeta na Mars. 3. Odkritje Fobosa in Deimosa. 4. Zadnje prisončje kometa 1/P Halley. 5. Odkritje Ceresa (asteroid / pritlikavi planet). 6. Odkritje Urana (planet). 7. Prva uspešna meritev paralakse zvezde. 8. Odkritje prve planetarne meglice. 9. Odkritje zvezdnih populacij I in II. 10. Prva identifikacija kvazarja z optičnimi opazovanji. 11. Odkritje širjenja vesolja. 2. Odklon radijskih valov v gravitacijskem polju telesa našega Osončja A. Eddington in F. Dyson z otoka Principe ter C. Davidson in A. Crommelin iz Sobrala (Brazilija) so izmerili odklon svetlobe zvezd, ki so bile med popolnim Soncevim mrkom leta 1919 navidezno blizu Sonca. Meritve so se skladale s teoreticno napovedjo 1,75". Svetlobni curek (ali foton), ki leti na razdalji d od središca Sonca, se odkloni za kot A0 oc 4GM0 dc2 Današnja locljivost sistema anten VLBI (Very Long Baseline Interferometry) v obmocju radijskih valov je 0,1 mas (kotne milisekunde). Ali je z VLBI mogoce zaznati odklon radijskih valov kvazarja zaradi gravitacijskega vpliva (a) Jupitra, (b) Lune? Oceni kot odklona za oba primera. 3. Supermasivni črni luknji v središču naše Galaksije in galaksije M 87 Prvo sliko crne luknje je pred kratkim sestavila mednarodna ekipa programa Event Horizon Telescope (EHT). Fotografirano obmocje obdaja supermasivno crno luknjo v središcu galaksije M 87. Opazovanja za koncno sliko so izvedli pri valovni dolžini A = 1,3 mm, kjer medzvezdna ekstinkcija ni prevelika. ■ Kolikšen mora najmanj biti premer teleskopa, da bi z njim razlocili senco supermasivne crne luknje v središcu galaksije (polmer ujetja fotonov je trikrat vecji od polmera dogodkovnega horizonta)? Zapiši rezultat kot funkcijo razdalje d in mase M crne luknje. ■ Rezultat podaj v enotah polmera Zemlje za supermasivno crno luknjo v središcu M 87 (dBH-M87 = 5,5 ■ 107 svetlobnih let, Mbh-M87 = 6,5 ■ 109 M0); ■ in Sgr A*, supermasivno crno luknjo v središcu naše Galaksije (dSgr A* = 8,3 kpc, MSgr A* = 3,6 ■ 106 M0). Katero tehnologijo potrebujemo, da ustvarimo tako napravo? ■ Gravitacijsko lecenje zaradi temne snovi. ■ Interferometrija z mrežo radijskih teleskopov. Upocasnitev fotonov v gostem mediju. ■ Zmanjševanje ucinka popacenja vpadnih valovnih front. Fokusiranje nevtrinov z mocnimi elektromagnetnimi polji. 4. Nadgradnja reflektorskega teleskopa Ucenec ima Cassegrainov teleskop povprecne kvalitete s primarnim in sekundarnim zrcalom, ki imata aluminijasto prevleko z odbojnostjo £1 = 91 %. ■ Kolikšna bo izboljšava mejne magnitude teleskopa, ce ucenec zamenja prevleko zrcala z bolj kakovostno prevleko z £2 = 98 %? Ucenec ima v fokuserju teleskopa z zrcali z odbojnostjo £1 še diagonalo z odbojnostjo £1. Kolikšna je izboljšava, ce zamenja diagonalo z modelom z odbojnostjo £3 = 99 %, zrcali teleskopa pa z modeloma z odbojnostjo £2? (Diagonala je ravno zrcalo, ki je nagnjeno za 45° na opticno os.) 20 PRESEK 47 (2019/2020)2 ASTRONOMIJA ■ Ali je ta razlika očitno opazna s človeškim očesom? Upoštevaj čelotno območje vidnih valovnih dolžin in zanemari kakršnekoli odvisnosti od valovne dolžine in geometrijske efekte. 5. Pečica na prasevanje Človeško telo je v glavnem sestavljeno iz vode, zato je dober absorber za mikrovalove. Privzemi, da je astronavtovo telo popoln sferičen absorber z maso m = 60 kg in s povprečno gostoto ter toplotno ka-pačiteto kot voda, torej p = 1000 kgm-3 in C = 4200 Jkg-1 K-1. ■ Kolikšno moč prasevanja v wattih bi astronavt absorbiral v medgalaktičnem prostoru? Za spekter prasevanja lahko privzameš spekter črnega telesa s temperaturo TCMB = 2,728 K. ■ Približno koliko fotonov prasevanja astronavt absorbira vsako sekundo? Ce zanemariš ostalo prejeto in oddano energijo, koliko časa je potrebno, da se astronavtovo telo ogreje za AT = 1 K? 6. Višina dimnika elektrarne Tiszaujvaros Program European Coperničus Earth-observation upravlja z dvema satelitoma Sentinel-2. Ta satelita krožita okoli Zemlje na polarnih orbitah, sinhronih s Sončem, na višini približno 800 km. Do preleta nekega dela površja pride vsakih nekaj dni in takrat vsakič ob istem lokalnem času posnameta fotografije površja (na nekaj minut natančno). Kamere so občutljive na 13 različnih spektralnih pasov v vidnem in bližnjem IR delu spektra. Ločljivost fotografij je 10 metrov. Tretja največja zgradba na Madžarskem je dimnik elektrarne blizu mesta Tiszaujvaros. V nadaljevanju sta natisnjeni dve fotografiji s satelitov Sentinel-2 v nepravih barvah, posneti leta 2016. Sliko 2a so posneli 29. junija, sliko 2b pa 16. dečembra, torej blizu poletnega in zimskega solstičija. Orientačija fotografij je taka, da je sever zgoraj, vzhod pa desno. Očenjeni dolžini senč na slikah sta x1 = 125 m in x2 = 780 m. Odgovori na naslednja vprašanja: ■ Na kateri dan pričakujemo, da bo senča daljša? ■ 29. junija. ■ 16. dečembra. V katerem delu dneva sta satelita Sentinel-2 letela čez to območje? ■ Zgodaj zjutraj. ■ Dopoldne. ■ Zgodaj popoldne. ■ Pozno popoldne. Na podlagi danih dolžin senč očeni višino dimnika. Za ta izračun (samo za ta izračun) privzemi, da sta satelita fotografije posnela ob lokalnem poldnevu. Kaj bi lahko vplivalo na natančnost izračuna višine dimnika (možnih je več odgovorov)? ■ Oblika Zemlje je sploščeni sferoid. ■ Omejena ločljivost satelitskih posnetkov in nejasen rob senče. ■ Nadmorska višina spodnjega dela dimnika. ■ Razlike v nagnjenosti Zemljine rotačijske osi v različnih letnih časih. ■ Upoštevanje učinka atmosferske refrakčije. SLIKA 2. -> 21 PRESEK 47 (2019/2020)2 ASTRONOMIJA —^ 7. Učinek Sončevih peg na izsev Sonca Od leta 1978 dalje so detektorji na umetnih satelitih ves cas merili solarno konstanto. Te natančne meritve so pokazale variacije solarne konstante v mesecih, letnih časov, letih in še daljših obdobij. Vzrok za variacije v letnih casih je periodicno spreminjanje razdalje med Zemljo do Soncem, desetletja dolge in približno cikličnege spremembe pa so v glavnem posledica ciklov Sonceve aktivnosti. ■ Izracunaj vrednost solarne konstante (nad ozra-cjem) na razdalji 1 astronomske enote za »mirno Sonce«. Predpostavi, da Sonce seva kot idealno crno telo. Izracunaj vrednost solarne konstante (nad ozra-cjem) popolnoma mirnega Sonca v zacetku januarja in v zacetku julija ter doloci njuno razmerje. Ponovno izracunaj solarno konstanto na oddaljenosti 1 a.e., ce se blizu ekvatorja Sonca nahaja pega s povprecno temperaturo Tsp = 3300 K in premerom Dsp = 90 000 km. Izracunaj razmerje vrednosti, ce na Soncu ni peg ali pa je na v fotos-feri Sonca taka pega. Pego obravnavaj kot krog in zanemari ucinek sfe-ricne projekcije pege. Predpostavi tudi, da se Sonce vrti dovolj hitro, da je njegov izsev še vedno izotropen. ■ V resnici pa Sonce ne seva izotropno. Izracunaj razmerje med obsevanostjo Zemlje, ko pega z Zemlje ni vidna, in v primeru, ko je vidna na sredini ploskvice Sonca. _ XXX Popravek novega clanka, temvec zaradi navideznega gibanja Lune okoli Zemlje. Izracunajmo hitrost, s katero se torej Luna giblje glede na zvezde. Ker gre za grobo oceno casa zakritja zvezde, lahko predpostavimo, da je to gibanje enakomerno, ne upoštevamo deklina-cije Lune in zvezd itd. Siderski obhodni cas Lune okoli Zemlje, torej glede na zvezde, je približno 27,3 dneva. To pomeni, da se Luna glede na zvezde giblje s kotno hitrostjo co = 360°/27,3 dan = 13,2°/dan = 0,55°/h. Pri najdaljšem zakritju Luna zvezdo precka s premerom ploskvice. Navidezni zorni kot Lune na nebu je 0,5°, zato je najdaljši cas zakritja zvezde tmaks = 0,5°/0,55°/h = 0,9 h = 54 minut. Groba ocena najdaljšega zakritja zvezde da vrednost okoli ene ure, ne pa dve minuti, kot je to zapisano v clanku. _ XXX Barvni sudoku vi' >u >u V 8 X 8 kvadratkov moraš vpisati zacetna naravna števila od 1 do 8 tako, da bo v vsaki vrstici, v vsakem stolpcu in v kvadratkih iste barve (pravokotnikih 2 X 4) nastopalo vseh osem števil. Andrej Güstin V 1. številki letošnjega Preseka je v clanku Najdaljši cas trajanja Luninega zakritja zvezde Marjana Prosena napaka, na katero so nas opozorili naši zvesti bralci. Luna ne zakrije zvezde zaradi vrtenja Zemlje, kot je to mogoce sklepati iz zadnjih odstavkov Prose- 6 5 8 4 3 1 2 HMMj 6 6 5 2 7 6 3 5 3 4 2 8 4 XXX 22 PRESEK 47 (2019/2020)2 RACUNALNIŠTVO Metode za reševanje nelinearnih enacb -i' •i' Vp Jure Korbar -> Nelinearne enacbe so enacbe, ki lahko vsebujejo linearne clene npr. (x, 2x, f) in konstante, poleg tega pa vsebujejo še nelinearne clene npr. (x2,x3, sin(x)). Primer linearne enacbe je f = 13, primer nelinearne enacbe pa je ■ 3x3 + 5x2 = 4. (1) (2) Ce tako enacbo pretvorimo v funkcijo, je njen graf razlicen od premice. Vsako enacbo lahko pretvorimo v problem iskanja nicel funkcije tako, da vse clene enacbe prestavimo na eno stran in te clene zajamemo v funkciji f(x). Tako pretvorjena enacba (1) nam da funkcijo f(x) = - 13. (3) Sedaj rešujemo enacbo f(x) = 0. Rešitve te enacbe dobimo tako, da poišcemo nicle oz. korene funkcije f(x). Najbolj klasicen primer nelinearnih enacb so polinomi oz. iskanje nicel le-teh. Za iskanje nicel polinoma druge stopnje v srednji šoli spoznamo formulo za nicle kvadratne enacbe, za polinome višje stopnje pa nam predstavijo Hornerjev algoritem, ki pa je precej omejen, saj z gotovostjo najde le racionalne nicle. Kako pa bi se lotili reševanja spodnjih enacb? cos(x) = x (4) (5) Omenjeni enacbi spadata v kategorijo transcendentnih enacb1, zanje pa je znacilno, da pogosto nimajo 1Primer transcendentnih funkcij so: sin(x), cos(x), ex, xx ...; transcendentne enacbe vsebujejo transcendentne funkcije, lahko pa vsebujejo tudi clene algebrskiih funkcij (x,x2,x 2 ,xx+x ■■■)■ analiticnih rešitev, ce v enacbi nastopa spremenljivka, tako v obliki transcendentne funkcije (leva stran enacb (4) in (5)) kot tudi v obliki algebrske funkcije (desna stran enacb (4) in (5)). Izjema tega pravila je npr. enacba sin(x) = x, za katero vemo, da je rešitev enacbe x = 0, a si moramo priznati, da smo to rešitev uganili, saj vemo, da je vrednost obeh strani enacbe za primer x = 0 enaka 0. Kako pa se potem v praksi lotimo reševanja enacb (4) in (5)? Odgovor se skriva v numericnih metodah; vsako enacbo bomo pretvorili v problem iskanja ni-cel funkcije. Zaceli bomo z oceno nicle in nato iterativno iskali boljši približek. Zacetni približek bomo dolocili z izrisom grafa funkcije in ocenili, kje se ni-cla nahaja, nato pa bo izbrana metoda iskanja nicle dolocila boljši približek z vsako iteracijo te metode. V praksi ta približek velikokrat poznamo ali pa ga dolocimo s kakšno drugo vrsto grobe aproksimacije. Najprej bomo predstavili teoreticno ozadje metode in ob enacbah in grafih pokazali njihovo delovanje, predstavili njihove prednosti in slabosti, za konec pa bomo enacbi (4) in (5) rešili s predstavljenimi metodami. Bisekcijska metoda Od vseh metod je najbolj preprosta in poznana bi-sekcijska metoda. Njeno delovanje je prikazano na sliki 1. Metoda temelji na dejstvu, da mora biti na intervalu, kjer zvezna funkcija spremeni predznak, vsaj ena nicla. Torej moramo pri tej metodi najprej definirati interval, na katerem se nicla pojavi (kjer funkcija spremeni predznak). Na sliki 1 je to interval [xo, x1]. Bisekcijska metoda ta interval razpolovi (x2 = xo2x1 ) in tako dobimo dva podintervala. Nicla se nahaja na podintervalu, na katerem pride do spremembe predznaka (interval [x0,x2]). Tako dobimo nov, krajši interval, na katerem se nahaja nicla, in s tem je končana prva iteracija. V naslednji iteraciji -> ex = -x PRESEK 47 (2019/2020)2 23 RACUNALNIŠTVO -> f1 = Ax Y' po drugi iteračiji je napaka f2 = — Ax 2 22 ' po n-ti iteračiji pa je napaka Ax miramo: 2n = Ax f Ax n ln 2 = ln — f Ax n = log2 —' (7) SLIKA 1. Potek delovanja bisekčijske metode: f je funkčija, katere ničlo iščemo, x0 in x1 sta meji začetnega intervala, na katerem se ničla pojavi, x2,x3,x4 in x5 pa so točke, ki jih dobimo s to metodo. uporabimo interval [x0, x2]. Nadaljevanje metode da intervale [x3,x2], [x4, x2], [x4, x5]. Očena napake Napaka, ki jo naredimo pri bisekčijski metodi (kot tudi pri ostalih metodah), je odvisna od števila ite-račij in metode same. Največja začetna napaka je enaka velikosti začetnega intervala Ax = x1 - x0. Napako po n-ti iteračiji označimo z fn. Največja možna napaka po prvi iteračiji je enaka fn 2n (6) pri čemer n zaokrožimo na naslednje čelo število. Prednost bisekčijske metode je ta, da spada med zaprte metode. To pomeni, da vedno najdemo ničlo, ki je znotraj začetnega intervala, in je nemogoče, da bi se iskanje ničle prestavilo v področje izven začetnega intervala. Ima pa tudi določene slabosti: konvergira relativno počasi (druge metode potrebujejo nižje število iteračij za primerljivo natančnost rezultata); ničel sode stopnje2 s to metodo ne moremo najti, saj funkčija v tem primeru ne spremeni predznaka; metoda ne razlikuje med ničlo in polom, saj je vezana le na spremembo predznaka funkčije, ne preverja pa vrednosti funkčije v okoliči potenčialne ničle; na intervalu, ki vsebuje več ničel, le-teh ne razločimo in zaznamo samo eno izmed njih. Sekantna metoda Sekantna metoda spada med odprte metode iskanja ničel. Najprej pojasnimo njeno delovanje, nato pa bomo na primeru iz slike 2 videli, da s to metodo zares lahko najdemo ničlo, ki ne leži znotraj začetnega intervala. Tako kot pri bisekčijski metodi si moramo tudi pri sekantni izbrati začetni interval [x0, x1], za katerega predvidevamo, da v njem leži ničla (toda ni nujno, da to drži). Nato vrišemo premičo skozi točki f(x0) in f(x1) ter pogledamo, kje je presečišče premiče oz. sekante (po čemer se metoda imenuje) z absčiso. To točko označimo z x2. Interval za iskanje ničle v naslednji iteračiji je [x1,x2]. Na sliki 2 vidimo, da se po štirih iteračijah bolje približamo dejanski ničli kot pri bisekčijski metodi, Ničlo moramo natančno izračunati, zato metodo po primernem številu iteračij ustavimo. Da dosežemo želeno natančnost f, enačbo (6) obrnemo in logarit- 2Enačba ima lahko več rešitev, ki so si medsebojno enake; če je število ponovitev neke rešitve sodo, imamo opravka s sodo ničlo (enačba (x - 6)2 = 0 ima eno dvojno rešitev: x = 6). 24 PRESEK 47 (2019/2020)2 RACUNALNIŠTVO SLIKA 2. Potek delovanja sekantne metode: f je funkcija, katere ničlo iščemo, xo in x\ sta meji začetnega intervala, točke x2,x3,x4 in x5 pa so rezultat delovanja metode. čeprav v začetnem intervalu [xo,xi] ničla sploh ni bila vsebovana. Za boljšo predstavo so na sliki sekante oštevilčene glede na pripadajočo iteracijo. Opisani postopek moramo sedaj prevesti v enačbe, da to metodo lahko dejansko uporabimo. Izbrali smo vrednosti x0 in x1 in poznamo vrednost funkcije v teh dveh točkah, zanima pa nas, kako določimo vrednost x2. Pri tem si pomagamo s podobnimi trikotniki, kot je prikazano na sliki 3. Vidimo, da sta trikotnika 1 in 2 podobna, torej je razmerje stranič za oba trikotnika enako. Iz te ugotovitve lahko zapišemo enačbo: f(xi) - f(xo) f(xo) xi - xo xo - x2 Enačbo obrnemo in izpostavimo x2: xo - x2 = f(xo) xi - xo x2 = xo - f(xo) f(xi) - f(xo)' xi - xo f(xi) - f(xo)' SLIKA 3. Izpeljava enačbe za sekantno metodo: f(x0) in f(x1) sta vrednosti funkcije f v krajiščih začetnega intervala [xo,xi ], x2 pa je točka, ki jo dobimo po prvi iteraciji. To hitrost narekuje red konvergence, ki nam pove, katera metoda bo potrebovala manj iteracij za izračun nicle z zadovoljivo natančnostjo. Red konvergence dolocimo tako, da primerjamo oceno napake iz prejšnje iteracije z oceno napake trenutne itera-cije. To v splošnem zapišemo kot £n = C £n-1 : (9) kjer je C konstanta, k pa imenujemo red konvergence, ki bistveno vpliva na hitrost delovanja metode. Enacba (9) za bisekcijsko metodo je videti tako: £n =2 £n-i , za sekantno metodo pa £n = C ■ £ i.6i8... n- i (io) (ii) (8) V naslednji iteraciji v enacbi (8) za vrednost x0 uporabimo vrednost x1 iz prejšnje iteracije, za vrednost x1 pa uporabimo x2 iz prejšnje iteracije. Red konvergence V procesu primerjave sekantne metode z bisekcijsko se pojavi vprašanje, katera se hitreje približuje nicli. Red konvergence sekantnte metode je ravno zlati rez, a je takšen le pri dovolj lepih funkcijah. Ker je višji kot pri bisekcijski metodi, ta metoda v splošnem zahteva manjše število iteracij za želeno na-tancnost. Druge prednosti sekantne metode so: metoda ne temelji na spremembi predznaka in uspe najti niclo, tudi ce je ta sode stopnje; ■ preprosta implementacija; ne potrebujemo dodatnih informacij o funkciji, ki bi omejile uporabnost metode. -> PRESEK 47 (2019/2020)2 25 RACUNALNIŠTVO -> Tudi sekantna metoda ima določene slabosti: ■ spada med odprte metode, zaradi česar lahko najde drugo ničlo od predvidene, odvisno od občutljivosti funkcije (zaradi lokalnih ekstremov lahko se-kanta postane zelo položna, kar lahko popolnoma spremeni interval iskanja), lahko se tudi zacikla ali divergira v neskončnost; ■ obstajajo metode, ki imajo še višji red konvergen-če in so zato hitrejše od sekantne metode. Newton-Raphsonova metoda To je ena izmed najbolj razširjenih metod (imenovana tudi Newtonova oz. tangentna metoda) za iskanje ničel. Tako kot sekantna metoda tudi ta spada med odprte metode. Za razliko od prej omenjenih metod si tu ne izberemo začetnega intervala ampak zgolj eno začeto točko. Metoda deluje tako, da pri izbrani vrednosti % na funkčijo postavi tangento in določi novi približek za ničlo tam, kjer ta tangenta seka absčiso. To vrednost uporabimo tudi za naslednjo iteračijo. Potek delovanja je prikazan na sliki 4. y = f (X) kot f'. Vrednost f ' (%) odvoda funkčije f v točki % pove, kakšen je smerni koefičient tangente na funkčijo f v točki %. Tu se ne bomo ukvarjali z izračunom odvoda; vedeti moramo le, da odvod potrebujemo, če želimo uporabiti Newtonovo metodo, saj zanjo potrebujemo naklonske koefičiente tangent. Na sliki 4 vidimo, da v tem primeru že po dveh iteračijah pridemo zelo blizu ničle, s tretjo iteračijo pa se približamo toliko, da na tej sliki ne razločimo razlike med ničlo in rezultatom tretje iteračije. New-tonova metoda ima namreč kvadratični red konver-genče, zaradi česar je zelo priljubljena. Ob sliki 5 izpeljimo še enačbo za Newtonovo metodo. Začetno očeno ničle kot ponavadi označimo z %o, v točki f (%o) pa postavimo tangento z naklonom f' (x0). Naklon tangente v točki %0 je definiran kot f'%o) = £% = A% %0 - %i (12) Iz enačbe (12) izpostavimo %1 in dobimo enačbo za določitev ničle po Newton-Raphsonovi metodi: %o - %i = %i = %o - f(%o) f'(%o)' f(%o) f '(%o)' (13) Prednost Newtonove metode je predvsem red kon-vergenče. Metoda zato hitreje najde boljši približek ničle. Kot vse metode pa ima tudi ta svoje slabosti: metoda ima kvadratični red konvergenče dejansko samo v bližnji okoliči enostavne ničle (če je ničla višjega reda, je konvergenča nižja); spada med odprte metode in se, tako kot sekan- tna metoda, lahko oddalji od ničle, če naletimo na okoličo lokalnega ekstrema; lahko divergira, če so začetni približki slabi. SLIKA 4. Potek delovanja Newtonove metode: f je funkcija, katere ničlo iščemo, %o je začetni približek iskane ničle, %1,%2 in %3 pa so izboljšani približki ničle dobljeni s to metodo. Da pa lahko v dani točki na funkčijo postavimo tangento, moramo poznati točko, v kateri se tangen-ta dotika funkčije, prav tako pa moramo poznati njen naklon. Naklon tangente matematično popišemo z odvodom funkčije. Odvod funkčije f označimo Ostale metode Poleg navedenih metod poznamo še druge, npr. Mul-lerjeva metoda, Ridderjeva metoda in metoda regula falsi (v dobesednem prevodu to pomeni metoda napačnega pravila). Mullerjeva metoda je podobna sekantni, a namesto dveh začetnih točk izberemo tri, skoznje pa namesto premiče teče parabola (s tremi točkami namreč lahko enolično določimo parabolo). 26 PRESEK 47 (2019/2020)2 26 RACUNALNIŠTVO y = f ( X SLIKA 5. Izpeljava enacbe za Newtonovo metodo: x0 je začetni približek nicle, f(x0) je vrednost funkcije f v točki x0, f '(x0) je vrednost smernega koeficienta tangente na funkcijo f v točki x0, x1 pa je rezultat prve iteracije metode. Ridderjeva metoda deluje podobno kot bisekcij-ska metoda, le da po izračunu srednje vrednosti to vrednost uporabi v posebni formuli. S tem dobi boljši približek, s katerim prvotni interval razdelimo na dva dela, potem pa kot pri bisekcijski metodi pogledamo, v katerem intervalu pride do spremembe predznaka. Metoda regula falsi pa je skupek sekantne in bi-sekcijske metode. Je zaprta metoda, torej mora biti ničla vedno znotraj začetnega intervala. Nato po postopku sekantne metode dolocimo nov približek ničle, interval za naslednjo iteracijo pa je tam, kjer funkcija spremeni predznak. Rešitev uvodnih problemov Lotimo se še problemov iz uvoda. Te bomo rešili s predstavljenimi metodami. Najprej pretvorimo enac-bo (4) v funkcijo f(x) in enacbo (5) v funkcijo g(x): f(x) = cos(x) - x, g(x) = ex + x. (14) (15) SLIKA 6. Grafa funkcij f(x) in g(x) za začetni vrednosti pri bisekčijski metodi. Za začetno vrednost sekantne in Newtonove metode uporabimo vrednost % = 0. Sekantna metoda potrebuje dva začetna približka, tako kot metoda bisekčije. V tem primeru potrebujemo samo en začetni približek, saj ničlo iščemo s paketom scipy v okolju python, ta pa sam določi drugo vrednost intervala. Newtonova metoda potrebuje odvod funkčije f(x), ki je f '(x) = - sin(x) - 1. (16) Sedaj išcemo nicle teh dveh funkcij. Pomagajmo si z grafi na sliki 6. Iz grafa na sliki 6 zgoraj vidimo, da je nicla nekje na intervalu 0 < x < 1. Ta podatek bomo uporabili V tabeli 1 so prikazani rezultati iskanja ničel s temi tremi metodami na 14 dečimalnih mest natančno. Vidimo, da je Newtonova metoda konvergirala že pri četrti iteračiji, sekantna metoda je konvergirala pri sedmi, bisekčijska metoda pa po desetih iterači-jah še ni uspela doseči primerljive natančnosti. Le-to -> PRESEK 47 (2019/2020)2 27 RACUNALNIŠTVO -> iteračija bisekčija sekantna Newtonova 1 0,50000000000000 0,99995000250029 0,75036386784024 2 0,50000000000000 0,68508231592328 0,73911289091136 3 0,62500000000000 0,73629993134121 0,73908513338528 4 0,68750000000000 0,73911934458885 0,73908513321516 5 0,71875000000000 0,73908511214521 0,73908513321516 6 0,73437500000000 0,73908513321500 0,73908513321516 7 0,73437500000000 0,73908513321516 0,73908513321516 8 0,73828125000000 0,73908513321516 0,73908513321516 TABELA1. 9 0,73828125000000 0,73908513321516 0,73908513321516 Prvih 10 iteracij funkcije f(x) 10 0,73828125000000 0,73908513321516 0,73908513321516 je dosegla šele pri 44. iteraciji. S tem smo našli želeni približek za rešitev enačbe (4). Rešimo še enačbo (5). Iz grafa na sliki 6 spodaj razberemo, da ničla leži nekje na intervalu -1 < % < 0. Spet bosta ti dve vrednosti predstavljali začetni interval za bisekcijsko metodo, za sekantno in New-tonovo metodo pa uporabimo za začetni približek vrednost % = -1. Odvod funkčije g(x), ki ga potrebujemo za uporabo Newtonove metode je: g'(x) = ex + 1. Pokažimo še, da zgornji predpis g' res podaja smerni koeficient tangente na funkcijo ex + x. Na sliki 7 je na funkcijo g postavljena tangenta v tocki x = 0. Vrednost funkcije v tej tocki je ■ g(0) = e0 + 0 = 1, vrednost odvoda funkcije pa je po enacbi (17) enaka ■ g'(0) = e0 + 1 = 2. Ce v enacbo za premico y = kx + n vstavimo vrednosti x,y in k lahko izracunamo vrednost n in tako dobimo enacbo za tangento. y = kx + n, 1 = 0 ■ x + n, n = 1. Enačba tangente se tako glasi: ■ y = 2% + 1. (17) g M tangenta v točki x=0 (18) SLIKA 7. Graf funkcije g(x) in tangenta na funkcijo g v tocki x = 0 Iz grafa na sliki 7 vidimo, da enacba (18) zares drži. Ponovimo postopek še za vrednost x = 1. Vrednost funkcije g je tu enaka ■ g(1) = e1 + 1 = e + 1, vrednost odvoda v tej tocki pa je enaka ■ g'(1) = e1 + 1 = e + 1. Izracunajmo še zacetno vrednost n tangente v tej tocki: y = kx + n, e + 1 = (e + 1 ) ■ 1 + n, n = 0. 28 PRESEK 47 (2019/2020)2 28 RACUNALNIŠTVO iteracija bisekcija sekantna Newtonova 1 -1,00000000000000 -0,53787041498982 -0,53788284273999 2 -0,75000000000000 -0,56929601628683 -0,56698699140541 3 -0,62500000000000 -0,56715474022392 -0,56714328598912 4 -0,62500000000000 -0,56714328595119 -0,56714329040978 5 -0,59375000000000 -0,56714329040979 -0,56714329040978 6 -0,57812500000000 -0,56714329040978 -0,56714329040978 7 -0,57031250000000 -0,56714329040978 -0,56714329040978 8 -0,57031250000000 -0,56714329040978 -0,56714329040978 9 -0,56835937500000 -0,56714329040978 -0,56714329040978 10 -0,56738281250000 -0,56714329040978 -0,56714329040978 Enacba tangente v tocki % = 1 je tako ■ y = (e + 1) ■ x, (19) graf na sliki 8 pa potrjuje, da smo pravilno izracunali enacbo tangente. Rezultati 10 iteracij teh metod za funkcijo g(x) so predstavljeni v tabeli 2, prav tako na 14 decimalnih mest natancno. Ponovno je najhitreje konvergirala Newtonova metoda, sekantna metoda je bila tudi zelo hitra, metoda bisekcije pa je za tako natancen rezultat potrebovala 48 iteracij. / Il —g M J j - tangenta v točki x=1 / /I X SLIKA 8. Graf funkcije g(x) in tangenta na funkcijo g v tocki x = 1 TABELA 2. Prvih 10 iteracij iskanja ničle funkcije g(x) Poglejmo si še, kako v nekaj vrsticah v python-u pridemo do rezultata z modulom scipy na primeru funkcije f(x): import numpy as np import scipy from scipy.optimize import bisect, newton def f(x): return np.cos(x) - x def df(x): return -np.sin(x) - 1 print(bisect(f, , )) print(newton(f, )) print(newton(f, , df)) Na ta nacin torej rešujemo nelinearne enačbe, za katere nimamo eksplicitnih formul ali pa so te prezapletene, da bi jih splacalo uporabljali. Ce modulu newton ne podamo odvoda funkcije, ta izvede sekan-tno metodo. S predstavljenimi metodami pa lahko išcemo tudi nicle polinomov, kar je zelo ugodno, saj za delovanje teh metod ni pomembno, kakšni so koeficienti polinoma (za Hornerjev algoritem so koeficienti kljucnega pomena). Pri uporabi teh metod pa moramo biti pazljivi, saj ima vsaka dolocene slabosti, ki lahko vplivajo na rezultat. Proces iskanja nicel moramo zato prilagoditi glede na funkcijo in niclo, ki jo išcemo. _XXX PRESEK 47 (2019/2020)2 29 RAZVEDRILO MaRtematicne prigode Marta Zabret MArTEMATICNE PRIGODE Marta Zabret MArTEMATICNE PRIGODE 146 strani format 14 x 20 cm 12,50 EUR Izšla je nova knjiga MaRtematicne prigode. Avtorica Marta Zabret je profesorica matematike in specialistka matematičnega izobraževanja. Knjiga je množica kratkih zgodb, v katerih so strnjene mnoge izkušnje s podrocja poucevanja in spremljajocih aktivnosti na srednjih šolah. Jedro knjige so zanimivi zapisi o njenih dijakinjah in dijakih. Besedila so napisana lepo in strnjeno, v njih je tudi precej humorja. Zgodbe lahko beremo samostojno; nekatere so prav kratke. Knjiga ima tudi nekaj cisto matematicne vsebine, denimo v obliki originalno predstavljenih problemov na srednješolskem nivoju. Za lepo zunanjo in notranjo obliko knjige so poskrbele tri nekdanje Martine dijakinje: Neža Vavpetic, Ariana Godicelj in Ana Hafner. Poleg omenjene lahko v naši ponudbi najdete še veliko drugih knjig. Podrobnejše predstavitve so na spodnjem naslovu, kjer lahko starejše knjige tudi narocite s popustom: http://www.dmfa-zalozni stvo.si/ceni k/ Dodatne informacije lahko dobite v uredništvu Preseka po telefonu (01) 4766 633. nU NU NU b r ir a >g l e ROM p 0 r i d l^JL l a a v i n a c e t c a, "e m 19e p s 0 k s üt t a ♦ k l i JLl t e r j k a ■¿KER * r v i e b z 0 Z i a m RESITEV NAGRADNE KRlS ANKE PRESEK 47/1 -> Pravilna rešitev nagradne križanke iz prve številke Preseka je Poi-menujmo eksoplanet. Izmed pravilnih rešitev so bili izžrebani Anja Tratnik iz Solkana, Majda Šimic iz Kopra in Jure Karo iz Orehove vasi, ki bodo razpisane nagrade prejeli po pošti. _ XXX 30 PRESEK 47 (2019/2020)2 RAZVEDRILO Neznani leteči predmeti -i' -i' •i' Peter Leciša -> Kaj predstavlja fotografija na naslovnici, posneta v zadnjih soncnih žarkih nekega oktobrskega vecera? Celo avtor fotografije je bil skrajno pre-senecen in zmeden nad rezultatom in »neznanimi letecimi predmeti«. Gre za majhen izrez iz večje slike, torej gre za pre-čejšnjo povečavo originala. Od daleč, z močnim te-leobjektivom, je bilo slikano nekaj, kar je bilo videti kot roj mušič, vrteč se na bolj ali manj istem mestu. Ogled v živo od bliže bi lahko žuželke razpršil. Biolog, kije videl sliko, je takoj vprašal, kako dolga je bila ekspozičija. Kamere danes vse obeležijo in izkazalo se je, da je bil čas osvetlitve 1/30 sekunde. Ker v naravi miniaturne leteče preproge težko srečamo, je edino mogoče, da je vsaka taka preproga sled leta mušiče v času 1/30 sekunde. Kakšno je v re-sniči gibanje kril mušiče, lahko s slik le ugibamo. Ce mušiča leti vodoravno, imajo v enem zamahu krila dvakrat vertikalno hitrost 0. Takrat pustijo močnejši odtis na sliki. Morda so le v eni od teh leg krila tudi močno odbijala sončno svetlobo. Ce preštejemo število teh močnih odsevov na tiru vsake od mušič, je to nekako od 18 do 20. Sklepamo torej, da mušiča s krili zamahne kakih 300-krat ali pa 600-krat na sekundo. Z drugimi besedami, s krili maha s frekvenčo okrog 300 Herzov ali pa 600 Hz. Tako visoka številka je bila za avtorja spet presenečenje. A dr. Tomi Trilar iz Prirodoslovnega muzeja Slovenije ga je poučil, da je po literaturi frekvenča mahanja s krili pri žuželkah od 50 do 2000 Hz. Fotografija je bila posneta s sorazmerno počeni »superzoom« kamero z malim tipalom velikosti nekaj več kot 7 mm x 5 mm. Na tem prostoru je nagnetenih 12 milijonov pikslov. Vsak od teh pikslov je zelo majhen in nanj pade v šibki svetlobi bolj malo fotonov. Vsak nezaželen vpliv - šum - ima tako pre-čejšen škodljiv vpliv, še posebno če signal ojačimo. Že pri ojačitvi na 400 ISO je šuma veliko. Kamera skuša šum zgladiti. Rezultat pa je, da je slika razmazan in komajda uporaben »akvarel«. Zato je fotograf imel občutljivost nastavljeno na 100 ISO, kar je ob pojemajoči svetlobi dalo dolg čas osvetlitve. Nekatere fotografije so bile neostre, a na predstavljeni sliki je avtomatično ostrenje kljub gibajočim se subjektom delovalo. Fotografija na naslovniči je bila posneta iz roke, brez stojala, z zaslonko odprto maksimalno, na vrednost 2,8. Goriščna razdalja je bila 108 mm. Ce upoštevamo, da tipalo na kameri polnega formata meri približno 36 mm x 24 mm, torej so dimenzije približno petkrat večje, bi to ustrezalo goriščni razdalji kakih 550 mm na kameri polnega formata. Pravimo, da je bila slika narejena z ekvivalentom goriščne razdalje 550 mm. Za kamere polnega formata velja, da mora biti ek-spozičija inverzna vrednost goriščne razdalje ali krajša, če ne želimo stresene slike. Pri standardni goriščni razdalji 50 mm moramo torej slikati z 1/50 sekunde ali s še krajšim časom. Seveda tudi potem ni rečeno, da bo vsaka slika ostra. (Ljudje imamo različno mirne roke in avtor članka se počuti kolikor toliko varen šele, če pri goriščni razdalji 50 mm slika z 1/125 s.) Pri (ekvivalentu) 550 mm bi torej morali slikati z 1/500 sekunde ali manj. Slika se je posrečila, ker je v objektivu vgrajen stabilizator. Del optike objektiva je gibljivo vpet in elektronika kompenzira tresenje kamere s premikanjem tega sestava leč (po možnosti majhnega in lahkega). Običajno tak stabilizator omogoča kake »tri zaslonke« boljše vrednosti, torej 23 = 8-krat daljši čas osvetlitve. Namesto 1/500 sekunde lahko tako uporabimo 1/60 s. Ce smo prisiljeni uporabiti še počasnejšo ekspozičijo, pa naredimo veliko posnetkov in morda bomo tudi v tem primeru dobili kako ostro sliko. Tako je bilo v našem primeru. Na več kamerah z izmenljivimi objektivi imamo stabilizačijo tipala. Senzor je gibljivo vpet in spet kompenzira tresenje kamere. Lahko to čelo dela v spregi s stabilizačijo v objektivu, kar poveča učinkovitost. _XXX PRESEK 47 (2019/2020)2 31 Matematični kenguru Osnovna naloga tekmovanja Kenguru je popularizacija matematike. Zanimiv, zabaven in igriv način zastavljanja matematičnih problemov je pripomogel, da se je tekmovanje kmalu razširilo po vsej Evropi, hkrati pa so se v tekmovanje vključevali tudi otroci in mladostniki iz drugih držav sveta. Tekmovanje je preseglo evropske okvire in postalo Mednarodni matematični kenguru. Leta 2016 se ga je udeležilo več kot 6 milijonov tekmovalcev iz več kot 60 držav sveta. V Sloveniji Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije organizira tekmovanje za učenče od prvega razreda osnovne šole do četrtega letnika srednje šole. Poseben izbor je pripravljen za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol, za dijake srednjih pokličnih šol ter za študente. Naloge, zbrane v teh knjigah, so najboljše možno gradivo za pripravo na prihodnja tekmovanja. Predvsem zato, ker je vsaki nalogi dodana podrobno razložena rešitev, ki bralča vodi v logično mišljenje in spoznavanje novih strategij reševanja. Marsikatera naloga, kije sprva na videz nerešljiva, postane tako dosegljiv iskriv matematični izziv. MEDNARODNI MATEMATIČNI KENGURU 18,74 EUR 14,50 EUR 2012-2016 23,00 EUR Pri DMFA-založništvo je v Presekovi knjižniči izšlo že pet knjig Matematičnega kenguruja. Na zalogi so še: • Mednarodni matematični kenguru 2005-2008, • Mednarodni matematični kenguru 2009-2011, • Mednarodni matematični kenguru 2012-2016. Poleg omenjenih ponujamo tudi druga matematična, fizikalna in astronomska dela. Podrobnejše predstavitve so na spodnjem naslovu, kjer lahko vse publikačije tudi naročite: http://www.dmfa-za1ozni stvo.si/ Individualni naročniki revije Presek, člani DMFA Slovenije, dijaki in študentje imate ob naročilu starejših zbirk nalog pri DMFA-založništvo 20 % popusta na zgornje čene - izkoristite ga!