UNIVERZA V LJUBLJANI Fakulteta za elektrotehniko Andrej Jurman RAZSIPANO MAGNETNO POLJE IN LASTNOSTI TRANSFORMATORJA MAGISTRSKO DELO Ljubljana, 2008 UNIVERZA V LJUBLJANI Fakulteta za elektrotehniko Andrej Jurman RAZSIPANO MAGNETNO POLJE IN LASTNOSTI TRANSFORMATORJA MAGISTRSKO DELO Mentor: prof. dr. Konrad Lenasi Ljubljana, 2008 Zahvala Iskreno se zahvaljujem svojemu mentorju prof. dr. Konradu Lenasiju, ki me je vodil preko celotnega magistrskega študija in mi je v trenutkih, ko sem se znašel v temi, posvetil z lučjo, da sem lahko nadaljeval z delom. Ravno tako se zahvaljujem sodelavcema g. Borutu Prašnikarju za nasvete in produktivna razglabljanja o obravnavani problematiki ter mag. Evgeniju Paulusu, ki mi je s svojim znanjem pokazal bližnjico skozi svet mehanike, ki mi je bil do tedaj razmeroma nepoznan. Nenazadnje velja zahvala tudi staršem za brezpogojno ter vsestransko podporo in vsem prijateljem, ki sem jih zapostavljal v času študija in izdelave naloge. Kazalo 1 Povzetek .................................................................................................................. 1 2 Abstract ................................................................................................................... 2 3 Uvod ......................................................................................................................... 3 4 Elektromagnetna polja in lastnosti transformatorja .......................................... 5 4.1 Direktna metoda za izračun razsipanega magnetnega polja ........................................... 9 4.2 Izračun kratkostične napetosti ...................................................................................... 11 4.3 Izračun dodatnih izgub v navitju .................................................................................. 12 4.4 Izračun kratkostičnih obremenitev ............................................................................... 16 4.4.1 Izračun kratkostičnih tokov .................................................................................. 17 4.4.2 Izračun toplotne obremenitve ............................................................................... 19 4.4.3 Izračun sil in mehanskih obremenitev .................................................................. 19 4.4.4 Določitev kriterijev za ustreznost ......................................................................... 26 5 Opis in uporaba programa .................................................................................. 29 5.1 Osnovno okno ............................................................................................................... 29 5.2 Okno Rezultati .............................................................................................................. 33 5.3 Okno nastavitve ............................................................................................................ 36 6 Analiza in ovrednotenje rezultatov .................................................................... 37 6.1 Analiza rezultatov izračuna kratkostične napetosti in izgub ....................................... 37 6.2 Analiza rezultatov izračuna dinamičnih obremenitev .................................................. 42 7 Sklepne ugotovitve ............................................................................................... 45 8 Viri ......................................................................................................................... 46 I Seznam uporabljenih simbolov a ... radialna dimenzija žice [m] A ... celotni presek bakra [m2] radialna dimenzija navitja [m] b ... aksialna dimenzija žice [m] B ... vektor gostote magnetnega pretoka [T] 6nav ... višina navitja [m] Bx ... komponenta gostote magnetnega pretoka v smeri x [T] By ... komponenta gostote magnetnega pretoka v smeri y [T] Bx[i,j] ... komponenta gostote magnetnega pretoka v smeri x v točki mreže i,j [T] By[i,j] ... komponenta gostote magnetnega pretoka v smeri y v točki mreže i,j [T] c ... specifična toplota [J/kg/K] D ... srednji premer navitja [m] dx ... širina celice mreže [m] dy ... višina celice mreže [m] E ... vektor električne poljske jakosti [V/m] / ... frekvenca [1/s] / ... vektor gostote sile [N/m 3 ] /p ... polnilni faktor navitja /aks ... porazdeljena aksialna sila [N/m] /rad ... porazdeljena radialna sila [N/m] ^aksmax ... maksimalna kumulativna aksialna sila vzdolž navitja [N] g ... gostota toka [A/m2] g ... vektor gostote konduktivnega toka [A/m 2 ] gud ... gostota udarnega toka kratkega stika [A/m2] H ... vektor magnetne poljske jakosti [A/m] I ... vektor konduktivnega toka [A] /n ... nazivni tok transformatorja [A] /ks ... efektivna vrednost trajnega toka kratkega stika [A] /ud ... maksimalna vrednost udarnega toka kratkega stika [A] /ks ... gostota toka kratkega stika [A/m2] II kdaks ... faktor dodatnih aksialnih izgub kdrad ... faktor dodatnih radialnih izgub ky2 ... udarni faktor kratkega stika La ... razmik med podporami pri izračunu aksialne natezne napetosti [m] Lr ... razmik med podporami pri izračunu radialne natezne napetosti [m] Ls ... razsipana induktivnost [H] m ... masa [kg] m Cu ... masa bakrene žice [kg] N ... število ovojev navitja Nd ... število distančnikov Npl ... število podprtih letvic P ... izgube [W] Paks ... dodatne izgube v navitju zaradi aksialne komponente magnetnega polja [W] Pdistmax ... maksimalen tlak na distančnike [N/m2] Pdod ... dodatne izgube [W] Pk ... izgube kratkega stika [W] Pohm ... ohmske izgube [W] Prad ... dodatne izgube v navitju zaradi radialne komponente magnetnega polja [W] r ... polmer [m] R ... ohmska upornost [fi] rn ... notranji polmer navitja [m] rz ... zunanji polmer navitja [m] S ... Poyntingov vektor [VA/m 2 ] S 0 ... kratkostična moč mreže [VA] Sn ... nazivna navidezna moč transformatorja [VA] Šd ... širina distančnikov [m] Šl ... širina letvic [m] T0 ... začetna absolutna temperatura navitja [°C] T1 ... končna absolutna temperatura navitja [°C] ui ... inducirana napetost [V] uk ... procentualna kratkostična napetost [%] um ... procentualna impedanca omrežja [%] III ur ... procentualni ohmski padec napetosti [%] ux ... procentualna razsipana napetost [%] Un ... nazivna napetost transformatorja [V] V ... volumen [m3] V... vektorski magnetni potencial [Vs/m] Ws ... energija razsipanega magnetnega polja [J] Xs ... razsipana reaktanca [fi] a ... kot napetosti v trenutku pojava kratkega stika [rad] S ... udorna globina [m] AT ... sprememba temperature [K] At ... časovni interval [s] Ax ... diferenčni premik v smeri x [m] Ay ... diferenčni premik v smeri y [m] (p … fazni kot rezultančne impedance transformatorja in omrežja [rad] (p ... magnetni pretok /u... relativna permeabilnost IM0 ... permeabilnost praznega prostora [Vs/A/m] p ... specifična upornost [fim] o ... natezna napetost [N/m2] crCu ... specifična električna prevodnost bakra [S/m] errad ... radialna upogibna natezna napetost [N/m2] eraks ... aksialna upogibna natezna napetost [N/m2] m ... krožna frekvenca [1/s] IV 1 Povzetek Delo celovito obravnava izračun razsipanega magnetnega polja in od njega odvisnih lastnosti transformatorja. Polje je izračunano po direktni metodi. Iz znane magnetne energije v prostoru, ki ga določa kotel transformatorja, sledi njegova reaktanca, t.i. razsipana napetost, ki predstavlja induktivni del kratkostične napetosti. Nadalje opisujemo izraze in način izračuna dodatnih izgub zaradi vrtinčnih tokov v vodnikih navitja. Pretežni del naloge zaobjema obravnavo izračuna dinamičnih mehanskih obremenitev navitij in njihovega vpetja pri tripolnem kratkem stiku. Pri tem so upoštevane smernice dokazovanja ustreznosti konstrukcije, nakazane v standardu IEC 60076-5. Na osnovi teoretične obravnave je izdelan računalniški program, ki omogoča izračun opisanih parametrov in lastnosti. Program je prilagojen učinkoviti uporabi s strani proizvajalca transformatorjev oz. projektanta. Opravljena je primerjava izračunanih vrednosti z merjenimi in z rezultati obstoječih programov ter izračunov. Z njo je potrjena verodostojnost rezultatov. Ključne besede: Transformator, razsipano magnetno polje, kratkostična napetost, dodatne izgube, izračun sil v kratkem stiku. 1 2 Abstract The thesis deals with stray flux calculation and quantitative and qualitative determination of most of the transformer characteristics based on it. The magnetic field is calculated by direct method. From determined magnetic field energy in transformer tank, inductive part of short circuit impedance can be calculated. Methods and equations for calculation of additional losses in windings are presented. The main focus is on calculation of mechanical stress on windings and their clamping structure during three phase short circuit. Guidelines for theoretical evaluation of the ability to withstand the dynamic effect of short circuit follow the IEC 60076-5 standard. The theory is implemented into the computer program which can be used for transformer design by transformer manufacturer. Comparison between program calculated results, measured values and existing calculations is made to verify the reliability of the results. Key words: Stray flux, short circuit impedance, additional losses, dynamic effect of short circuit. 2 3 Uvod Fizikalno matematični principi delovanja transformatorja so znani že več kot stoletje in tudi od fizične izdelave prvega transformatorja je minilo približno toliko časa. Od takrat do danes se je veliko spremenilo, vendar predvsem na področju konstrukcijskih rešitev ter materialov, ki omogočajo vse nižje izgube, boljšo izolacijsko trdnost in posledično zmanjševanje volumna in mase transformatorja na enoto prenesene moči. Fizikalni princip prenosa energije, ki temelji na lastnostih časovno spreminjajočega elektromagnetnega polja opisanega z Maxwellovim sistemom enačb (1), pa je poznan že od časov Nikole Tesle. Za poglobljeno razumevanje delovanja transformatorja in izboljševanje njegove konstrukcije je poznavanje tega polja bistvenega pomena. Skozi zgodovino so se v sodelovanju med fiziko, tehniko ter matematiko razvile številne metode za določitev polj. Morda največji skok v razvoju predstavlja ena od mlajših vej matematike, t.j. numerična matematika, ki je skupaj z razvojem računalništva ponudila celo vrsto metod. Te so za razliko od analitičnega reševanja, omogočile določitev polj v bistveno bolj kompleksnih geometrijah. S tem so se odprla vrata za boljši vpogled v delovanje elektromagnetnih naprav, tudi transformatorjev. Trenutno je zaradi svoje univerzalnosti in hitrosti najbolj uveljavljena metoda končnih elementov. Praktično vsi današnji proizvajalci transformatorjev pri svojem delu uporabljajo različne programske pakete, ki temeljijo na metodi končnih elementov. Uporabljajo jih predvsem za izboljševanje konstrukcije in optimiranje svojih izdelkov. Programi sami se iz leta v leto izboljšujejo, ravnotako se z neustavljivim razvojem računalništva povečujejo njihove zmožnosti. Pri tem imamo v mislih predvsem prehod iz dvodimenzionalnega izračuna, kjer je bilo potrebno modele bolj ali manj poenostavljati ter predpostavljati njihovo simetrijo, na tridimenzionalni izračun, kjer je dejansko možno modelirati napravo, tako kot je. Pomanjkljivost omenjenih programov je, da so relativno zahtevni za uporabo in da modeliranje naprave ter izračun rezultatov zahteva veliko časa. Zato so bolj primerni za razvojno delo in manj za izračun transformatorjev, kjer je pomembnejša možnost enostavnega in razmeroma hitrega izračuna polja ter lastnosti transformatorja, ki jih pogojuje . Veliko lastnosti oz. parametrov, ki so odvisni od magnetnega polja, je namreč garantiranih oz. določenih s standardom. Največkrat so tudi vsebovane v tehničnem delu pogodbe med 3 kupcem in proizvajalcem transformatorja. Projektant zato za učinkovito izvajanje svojega dela potrebuje računalniška orodja, prilagojena opisanim zahtevam ter tehnologiji lastne tovarne. Cilj pričujoče naloge je izdelava računalniškega programa, ki celovito obravnava lastnosti transformatorja povezane z magnetnim poljem, kot so kratkostična napetost, izgube v navitjih in dinamična stabilnost ob kratkih stikih. Pri nekajletnem opravljanju projektantskega dela v tovarni transformatorjev, smo namreč spoznali potrebo po takšnem programu, saj obstoječi programi obravnavajo probleme ločeno in so medsebojno nepovezani, kar otežuje in upočasnjuje delo. Metode za izračun magnetnega polja in ostalih veličin, ki smo jih uporabili, so poznane. Potrebno jih je bilo poglobljeno spoznati in razumeti ter jih na novo implementirati preko sodobnega programskega okolja v celovit program, prilagojen vsakodnevnemu projektantskemu delu. Delo posega tudi na področje strojništva, predvsem v poglavju izračuna dinamičnih obremenitev v kratkem stiku. Program je narejen z namenom, da bi omogočil enostavnejše in učinkovitejše delo projektantov, povečal njihovo razumevanje obravnavane problematike in s tem vodil v izboljšavo konstrukcije transformatorjev. Predstavlja dobro osnovo za nadaljnjo proučevanje dodatnih izgub v transformatorju, bodisi s paketom za tridimenzionalne elektromagnetne izračune na osnovi končnih elementov, bodisi s statistično obdelavo večjega števila transformatorjev. Nenazadnje lahko koristi tudi pri dokazovanju ustreznosti konstrukcije pred kupci transformatorja, ki vse pogosteje zahtevajo natančen vpogled v dokumentacijo in izračun na t.i. »design review«-ju. 4 4 Elektromagnetna polja in lastnosti transformatorja Poenostavljeno lahko rečemo, da je klasični oljni transformator jedrnega tipa fizično zgrajen iz t.i. aktivnega dela, t.j. magnetnega jedra ter primarnega in sekundarnega navitja. Aktivni del je zaprt v transformatorski kotel, ki zadržuje tekoči dielektrik – transformatorsko olje, ki ima vlogo izolacijskega in hladilnega sredstva. Poleg tega je na kotel nameščen hladilni aparat ter ostala oprema kot so skozniki, konzervator, sušilci zraka, komandna omarica, termična slika ipd. Slika 1: Aktivni del in kotel transformatorja. Različni deli transformatorja so med obratovanjem naprave na različnih električnih potencialih. Nekateri so ozemljeni, drugi so na napetosti pripadajočega omrežja, skozi navitja teče bremenski tok. Vse to v povezavi z geometrijo in lastnostmi materialov, torej kapacitivnostmi in induktivnostmi, povzroča elektromagnetna polja v transformatorju. Čeprav gre dejansko za eno in isto polje, opazovano z vidika mirujočega oz. enakomerno gibajočega koordinatnega sistema, kar prikazujejo Lorenzove transformacije (2), razdelimo obravnavo polj na električno in magnetno polje. Električno polje obravnavamo predvsem pri dimenzioniranju izolacije, torej pri določevanju razdalj, oblik in količine izolacije za zagotovitev zadostne dielektrične trdnosti. S pomočjo poznane energije električnega polja je možno določiti tudi kapacitivnosti med posameznimi deli transformatorja, torej med navitji, med navitji in ozemljenimi deli ipd. 5 Slika 2: Slika električnega polja med nizko in visokonapetostnim navitjem. Ko govorimo o magnetnem polju v transformatorju, se lahko sklicujemo na t.i. glavno magnetno polje v transformatorskem jedru ali na t.i. razsipano magnetno polje v prostoru transformatorskega okna. Glavno magnetno polje v pretežni meri zagotavlja s strani Farraday-evega zakona (1) zahtevan magnetni pretok zaradi inducirane napetosti v navitjih, razsipano magnetno polje pa je posledica bremenskega toka skozi navitja. Razsipano magnetno polje s svojim vplivom na lastnosti transformatorja je tudi osrednji predmet naše obravnave. Slika 3: Glavno magnetno polje v magnetnem jedru (levo) in razsipano magnetno polje v transformatorskem oknu (desno). 6 Pripadajoče induktivnosti so prikazane v električnem modelu transformatorja, ki ga ponuja znano T nadomestno vezje transformatorja (Slika 4), s katerim lahko analiziramo padce napetosti pri ustreznih pretokih moči. Pomen in vloga elementov vezja so znani in jih na tem mestu ne bomo podrobneje opisovali. R1 coLs1 coLs2' R2' U1 U2' Slika 4: Električni model dvonavitnega transformatorja (T-nadomestno vezje). Razsipano magnetno polje je mnogokrat obravnavano kot izgubljeno magnetno polje, saj po definiciji predstavlja tisti del magnetnega fluksa, ki magnetno ne povezuje obeh navitij in tako povzroča padec napetosti na transformatorju. Dejstvo je, da je zaradi fizične ločenosti primarnega in sekundarnega navitja, ki ga pogojujeta po eni strani tehnologija izdelave in po drugi zahtevana izolacijska razdalja, razsipano magnetno polje neizogibno. S strani prenosa energije med navitjema pa je nujno potrebno. Če namreč pogledamo na dogajanje v transformatorju z vidika Poyntingovega teorema (1), vidimo da je ravno razsipano polje v glavnem izolacijskem kanalu med primarnim in sekundarnim navitjem tisto, ki skupaj z induciranim električnim poljem zaradi časovno se spreminjajočega fluksa v magnetnem jedru, omogoča prenos moči med navitjema. Vektorski produkt električne in magnetne poljske jakosti podan z izrazom Š = ExH (4.1) namreč kaže od primarnega proti sekundarnemu navitju (Slika 5). 7 Slika 5: Poyntingov teorem in elektromagnetni prenos energije. Razsipano magnetno polje ima poleg svoje koristne vloge tudi nekaj nezaželenih stranskih učinkov, ki se odražajo v lastnostih transformatorja in katerih poznavanje ter kvalitativno ovrednotenje je zelo pomembno pri dimenzioniranju transformatorja. Poleg omenjenega padca napetosti na transformatorju, ki ga imenujemo razsipana napetost, so to še t.i. dodatne izgube v navitjih in ostalih prevodnih delih ter sile na navitja in ostale konstrukcijske dele, ki pridejo do izraza predvsem pri različnih vrstah kratkih stikov, ko so vrednosti tokov lahko tudi več desetkrat višje od nazivnih. V nadaljevanju poglavja bomo podrobneje opisali vsako od omenjenih lastnostih, njeno fizikalno naravo ter metodo za njeno kvalitativno ovrednotenje. 8 4.1 Direktna metoda za izračun razsipanega magnetnega polja Kot je bilo omenjeno že v uvodu, je trenutno najbolj razširjena metoda za izračun polj metoda končnih elementov. Zaradi relativno enostavne geometrije in ob predpostavki o rotacijski simetriji transformatorja, smo se v našem primeru odločili za t.i. direktno metodo izračuna magnetnega polja. Metoda je enostavna, saj obravnava navitja kot preme vodnike pravokotnega prereza, feromagnetno jedro, ki obdaja transformatorsko okno, je upoštevano s pomočjo zrcaljenja. Prispevek posameznih navitij in njihovih zrcalnih slik se po vseh točkah mreže, ki se prilega transformatorskem oknu, sešteva po principu superpozicije. Vpliv magnetnega kotla ter feromagnetnih jaremskih letev je zanemarjen. Ker je bila predstavitev metode podrobneje obravnavana v našem diplomskem delu (3), naj na tem mestu podamo le enačbo za izračun radialne in aksialne komponente magnetnega polja premega vodnika pravokotnega prereza v poljubni točki T s koordinatama (x,y) povzeto po (4): 8nab a)' 1 (y + b)2 + (x + a)2 1 _ (y + 6)2 + (x 2CX J (y - Ö)2 + (x + a)2 2CX aJ (y - Ö)2 + (x - a)2 + . i- . 7 \ f . x+a , x-a\ , , -. / , x+a , x-a\ +(y + ö) [arctg — - arctg —J - (y - b) [orctg — - arctg —J (4.2) H0·1 (1 (x + a)2 + (y + ö)2 1 (x + a)2 + (y - b)2 By-+8^b\2iy + b)ln(x-a)2 + (y + by~2iy~b)ln(x-ay + (y-by +(x + a) (arctg-------arctg -—J — (x — a) (arctg ^—— arctg ^—— J + (4.3) y' By hT(x,y) b ©r x A b k 0 x a a Slika 6: Gostota magnetnega pretoka premega vodnika pravokotnega prereza v poljubni točki. 9 Glede na rezultate in dognanja iz (3), smo se odločili zgolj za enkratno zrcaljenje navitij preko jarmov. Omogočen je tudi izračun brez zrcaljenja preko jarmov, torej le z zrcaljenjem preko stebra, ki ponazarja razmere v delu navitja, ki se ne nahaja pod magnetnim jarmom. Rezultat izračuna sta torej rezultančna radialna in aksialna komponenta magnetnega polja v vseh točkah mreže transformatorskega okna. Silnice magnetnega polja predstavljajo ekvipotencialne krivulje vektorskega magnetnega potenciala, definiranega kot (1): B = rotV (4.4) Po komponentah in z upoštevanjem rotacijske simetrije ter postavitvijo premega vodnika vzdolž z osi (V = (0,0, Vz) = (0,0, V)): (BX, By, 0) — r / k d d d dx dy dz 0 0 V = (—,-—,0} -+ dV = Bx • dy = \dy dx J x j By • dx (4.5) Pri izračunu z komponente vektorskega magnetnega potenciala v vseh točkah mreže v transformatorskem oknu je torej potrebno ob vsakem diferenčnem premiku iz ene točke mreže v drugo vzdolž y osi, vrednosti potenciala v prvi točki prišteti produkt komponente magnetne gostote Bx in y dimenzije celice mreže. Podobno je ob premiku vzdolž x-osi potrebno odšteti produkt komponente By in dimenzije celice mreže v x smeri. Potencial nič je definiran v izhodišni točki mreže. Z medsebojnim povezovanjem točk z enakimi vrednostmi potenciala, dobimo sliko t.i. magnetnih silnic. 10 4.2 Izračun kratkostične napetosti Tudi vsebina tega poglavja je bila podrobneje obravnavana v (2), zato naj le na kratko povzamemo bistvene stvari. Induktivni del kratkostične napetosti ux izračunamo iz skupne razsipane induktivnosti Ls, ki jo določimo iz energije magnetnega polja v transformatorskem oknu z enačbama: ux(%) = Xs • — • 100 % = n • 100 % = n • 100 % (4.6) U n Un Sn "2.'(i'W */^ ATrf'W Jjv^?—'Bs'ClV ux(%) =------^ • 100 % = ——- • 100 % =------------------100 % (4.7) 5n -Jn 5n 5n Potrebno je torej integrirati kvadratno vrednost gostote magnetnega pretoka po celotnem prostoru transformatorskega okna. Pri tem je, kot že omenjeno, predpostavljena rotacijska simetrija, tako da se dejansko sešteva prispevke energij posameznih obročev, v katerih je gostota magnetnega pretoka konstantna. Ohmski del kratkostične napetosti lahko izračunamo iz poznanih kratkostičnih izgub. Pk ur(%) = — -100 % (4.8) Celotna kratkostična napetost je geometrijska vsota ohmskega in induktivnega dela uk = yj(u% + uf) (4.9) Fizikalno je torej kratkostična napetost dejansko impedanca transformatorja, pretežno induktivnega značaja, ki po eni strani povzroča padec napetosti na transformatorju, po drugi strani pa omejuje višino kratkostičnih tokov. Je eden od osnovnih parametrov transformatorja, zahtevan s strani naročnika, njene minimalne vrednosti za transformatorje določene moči so podane v standardu (5). Iz zgornjih enačb je razvidno tudi, da je količina magnetne energije razsipanega magnetnega polja v transformatorju sorazmerna s produktom njegove nazivne moči in induktivnega dela kratkostične impedance. To dejstvo lahko uporabimo pri grobi oceni pričakovanih dodatnih izgub. Le te so namreč močno odvisne od velikosti in oblike razsipanega magnetnega polja, kar bomo opisali v naslednjem poglavju. Izračun kratkostičnih napetosti za enostavnejše geometrije je relativno točen tudi z enostavnimi analitičnimi izrazi, ki predpostavljajo določeno poenostavljeno obliko magnetnega polja. Poleg večje natančnosti rezultatov je glavna prednost izračuna na podlagi energije magnetnega polja ta, da omogoča izračun za poljubno porazdelitev navitij in delnih navitij po transformatorskem oknu. Poznani 11 morajo biti toki, ki po teh navitij tečejo. Njihov izračun je lahko v določenih primerih paralelnih vezav ali folijskih navitij nekoliko zahtevnejši. 4.3 Izračun dodatnih izgub v navitju Časovno spreminjajoče se magnetno polje povzroča v prevodnih materialih t.i. vrtinčne tokove, ki v njih povzročajo ohmske izgube. Ker jih želimo razlikovati od ohmskih izgub zaradi glavnega toka, ki teče po navitjih, jih imenujemo dodatne izgube. Pojavljajo se v vseh prevodnih delih, ki so izpostavljeni razsipanemu magnetnemu polju, torej v navitjih, konstrukcijskih delih kot so stebrne in jaremske letve ter kotlu transformatorja. V našem delu se bomo omejili na izračun dodatnih izgub v navitju, saj natančnejši izračun dodatnih izgub v ostalih delih zahteva bolj podrobno tridimenzionalno modeliranje transformatorja in izračun pripadajočega razsipanega magnetnega polja in vrtinčnih tokov. Naj za začetek izpeljemo izraz za izračun dodatnih izgub v vodniku pravokotnega prereza, ki je izpostavljen zunanjemu magnetnemu polju. Predpostavimo, da vrtinčni tok, ki se inducira v vodniku, ne vpliva na zunanje magnetno polje, ki ga povzroča, iz česar sledi, da je gostota magnetnega pretoka konstantna po celotnem volumnu vodnika. Predpostavka je po naši oceni upravičena dokler se dimenzije vodnikov ne razlikujejo bistveno od vdorne globine elektromagnetnega polja. Za baker in frekvenco 50 Hz velja: 111 i 8 = , = -1= • , = 503 • , = m = 9,3 mm (4.10) yjnfßacu V^o y/fßr^Cu V50-1-58-106 Dejansko se dimenzije vodnikov v navitjih močnostnih transformatorjev gibljejo v tem velikostnem razredu. 12 Slika 7: Vrtinčni tokovi v vodniku pravokotnega prereza. Doprinos izgub zaradi vrtinčnega toka v infitizimalno ozkem traku zapišemo z izrazom (o)B·2xl)2 2 lf^.1 dp = hl = kii R R 21 fjr — 8-tt-^ · f^ · q^ · x · 1 · a · a · dx (4.11) Integriramo po celem vodniku in dobimo: P = 8n2 · f2 · B2 · la · aCu · / x2dx = 8n2 · f2 · B2 · l · a · a----(4.12) Z upoštevanjem izraza za volumen opazovanega dela vodnika V = lab, sledi končni izraz za izgube na enoto volumna: - = 3,289 · aCu · f2 · B2 · b2 (4.13) Z upoštevanjem prevodnosti bakra 58 MS/m, se izraz poenostavi: -= 190,8 · 106 · f2 · B2 · b: (4.14) Dejansko je potrebno za izračun celotnih izgub vseh treh faz zaradi radialne komponente gostote magnetnega pretoka integrirati volumsko gostoto izgub po celotnem volumnu navitja. Ustrezen izraz za dodatne izgube zaradi radialne komponente megnetnega polja se glasi: P = 3 · /p · 190,8 · 106 · f2 · b2 · / nav/rrz 2n · r(x) · B2(x,y) · dxdy (4.15) bnav r P = 3,596·/p · 109·f2·b2·^ndVj;zr(x)·B2(x,y)·dxdy (4.16) 13 pri čemer je fp polnilni faktor navitja, torej razmerje med presekom čistega bakra v navitju in presekom celotnega navitja. Za izračun doprinosa k dodatnim izgubam zaradi aksialne komponente polja, je potrebno namesto komponente polja Bx vstaviti komponento By ter namesto aksialne radialno dimenzijo bakrenega vodnika. V diskretni obliki dobimo izraza: Prad = 3,596 · 10-6 · f2 · b2 ·?i?jr(iJ) · BL(i,j) · ?x?y (4.17) Paks = 3,596 · /p · 10T6 · f2 · a2 · ?f?yKU) · B2{i,j) · ?x?y (4.18) pri čemer so dimenzija žice, radij r ter dimenziji diskretne delitve ?x in ?y v [mm]. Polnilni faktor je pri izračunu radialnih izgub namenoma izpuščen, saj je dejansko v večini primerov delež izolacije v radialni smeri v navitju bistveno manjši od tistega v aksialni smeri. Slednji ima tako prevladujoč vpliv na zniževanje polnilnega faktorja pod vrednost ena. V primeru širokih aksialnih kanalov se je potrebno tega zavedati in za točnejši izračun radialnih izgub navitje predstaviti z dvema delnima navitjema. Slika 8: K izrazu za numerični izračun dodatnih izgub v navitju. Poleg dodatnih izgub program izračuna tudi glavne ohmske izgube po izrazu: Pohm = mCu · g2 · 2,36 = 3 · 8,92 · n/2 · 2 · D · St · Nt · 10~6 · g2 · 2,36 (4.19) Oba izraza, tako za ohmske kot tudi za dodatne izgube veljata pri standardni temperaturi bakra 75°C. 14 Razmerje med dodatnimi izgubami in glavnimi ohmskimi izgubami imenujemo faktor dodatnih izgub, ki je merilo za delež dodatnih izgub v skupni bilanci izgub: /cdrad = 1 + —^- (4.20) ^ohm kdaks = 1 +-^l (4.21) Glavni ukrep za zmanjševanje dodatnih izgub v navitjih transformatorja je drobljenje vodnikov na večje število paralelno povezanih manjših vodnikov. Vendar je mehanska trdnost drobnejših vodnikov manjša, zato so manj odporni na sile, ki se pojavljajo pri kratkih stikih. Izračun tovrstnih mehanskih obremenitev med drugim obravnava naslednje poglavje. 15 4.4 Izračun kratkostičnih obremenitev V tem poglavju se podajamo na področje, kjer so tesno povezani pojmi in poglavja elektrotehnike in strojništva, natančneje trdnostnih izračunov. Električni del zajema izračun kratkostičnih tokovnih obremenitev in v povezavi z znanim magnetnim poljem pripadajočih sil. Le-te predstavljajo obremenitve na mehansko strukturo navitij transformatorja, kjer se srečamo s pojmi natezne napetosti, upogiba, stabilnostnih kriterijev ipd. Pri izvedbi izračuna in določitvi kriterijev za ustreznost konstrukcije smo se oprli na standard IEC 60076-5, ki celovito obravnava to problematiko. Po standardu mora biti transformator dimenzioniran tako, da skupaj z vso pripadajočo opremo brez poškodb vzdrži termične in mehanske obremenitve pri vseh vrstah kratkih stikov. Omejili smo se na izračun razmer pri tripolnih kratkih stikih, ki predstavljajo v večini primerov najhujši slučaj. Obravnavali bomo s standardom definirano skupino transformatorjev z oznako II, ki vključuje transformatorje moči od 2,5 MVA do 100 MVA. Ker kratkostične tokove omejuje predvsem kratkostična napetost transformatorja in v manjši meri tudi impedanca omrežja, izražena s kratkostično močjo, so v standardu podane tudi minimalne vrednosti za določene nazivne moči oz. napetosti. Standard določa dva načina dokazovanja ustreznosti konstrukcije z vidika odpornosti na kratke stike. Prvi je s pomočjo izvedbe kratkostičnega preizkusa, ki je pogostokrat drag in težko izvedljiv, drugi pa z izračunom obremenitev ter na njih osnovanim dokazovanjem ustreznosti konstrukcije in izdelave transformatorja. Slednja se dokazuje bodisi s primerjavo računskih vrednosti opazovanega transformatorja z računskimi vrednostmi dinamično preizkušenega transformatorja podobnega tipa, bodisi s primerjavo računskih vrednosti z dokumentiranimi pravili za določanje ustreznosti, določenimi s strani proizvajalca. Proizvajalec mora imeti določene maksimalne dovoljene vrednosti obremenitev, pri katerih konstrukcija ne utrpi nikakršnih posledic ter kritične vrednosti, pri katerih pride do trajnih deformacij. Te vrednosti mora pridobiti bodisi z meritvami na modelih, bodisi s preteklimi opravljenimi kratkostičnimi preizkusi. Računske vrednosti obremenitev po standardu ne smejo presegati vrednosti maksimalnih dovoljenih oz. dopustnih. Istočasno ne smejo presegati 80 % kritičnih vrednosti. Ustreznost določenih vrednosti proizvajalec dodatno potrjuje z dokazi o brezhibnem večletnem delovanju transformatorjev, konstruiranih na osnovi teh kriterijev. Standard podaja tudi orientacijske vrednosti za maksimalne dovoljene vrednosti obremenitev, ki služijo kot kriteriji ustreznosti. Slednje smo uporabili tudi mi. 16 4.4.1 Izračun kratkostičnih tokov Časovni potek kratkostičnega toka zapišemo z izrazom iz katerega sta razvidni enosmerna in izmenična komponenta (6): i(t) =--------/n • V2 • sin(o: - ep) • e~ + sin (cot + a - (p)\ (4.22) uk+um L J Fazni kot rezultančne impedance transformatorja in omrežja (p, je zaradi prevladujoče induktivne narave omrežja in transformatorja v večini primerov približno enak: oil n (p = aretan— = - (4.23) Efektivna vrednost trajnega toka kratkega stika, ki ga predstavlja izmenična komponenta je torej enaka: /ks =---------/n (4.24) uk+um pri čemer je relativna impedanca omrežja določena s kratkostično močjo omrežja ter nazivno močjo transformatorja: um = — • 100% (425) So Če pogledamo časovne poteke toka za različne kote, vidimo, da je vrednost udarnega toka kratkega stika največja v primeru, ko se kratek stik pojavi v trenutku a=0, torej ob prehodu napetosti skozi ničlo. Takrat ima tok največjo vrednost, govorimo o t.i. vrednosti udarnega toka kratkega stika: /ud =---------/n • V2 • k (4.26) uk+um Maksimalna vrednost toka se pojavi po ca. 10 ms, kar je ravno 1/(2f) (6). Razmerje med maksimalno in efektivno vrednostjo trajnega toka kratkega stika, t.i. udarni faktor k X V2 je močno odvisen od razmerja X/R, torej od razmerja med prevladujočo skupno induktivno ter skupno ohmsko komponento omrežja in transformatorja. 17 i HtLeIks 2.5 2 1.5 1 0.5 -0.5 a = 0 t @sD iHtL 2.5 2 1.5 1 0.5 -0.5 -1 eIks a = jr/6 t @sD a = jr/3 t @sD -0.5 -1 i HtLeIks 0.5 -, ¦0.5 -1 a = n/2 t @sD Slika 9 Časovni poteki kratkostičnega toka za različne kote a (X/R=30). Enosmerna komponenta izzveni po približno 10 periodah, kar časovno pomeni po 0,2 s. Standard določa, da če ni zahtevano drugače, za transformatorje kategorije II, torej do moči 100 MVA, velja vrednost zafex V2, ki je enaka 2,55. Za transformatorje nad to močjo pa vrednost 2,69. 3.0 2.8 2.6 2.4 2.2 2.0 1.8 1.6 1.4 1 , 1 1 1 1 1 1 1 1 X/R 0.6 0.8 10 -------R/X 3 4 5 678910 20 30 40 5060 80100 90° 80° 70" 60° 50° «° ------"

F2> F3 (4.36) lahko za uravnotežen sistem zapišemo rezultančne sile na posamezni vodnik: Flrez = F1- F12 (4.37) g t F? — F7 + Fi — F- 12 23 (4.38) F — Fr + F- 23 (4.39) Ker so vsi vodniki iz enakega materiala ter zaradi opisanega razmerja sil in prenosa obremenitve velja, da so upogibi vseh treh vodnikov enaki, kar pomeni, da so tudi vse tri rezultančne sile med seboj enake in enake sili F'. Iz zgornjega sistema enačb je možno relativno enostavno pokazati, da je rezultančna sila ravno enaka srednji vrednosti obremenitvenih sil: i * 1 * 9 f^ * Vrez 2rez 3rez = ~(F1 + F2 + F3) (4.40) 22 Oz. v splošnem za n vodnikov v svitku: F' =-•L"=! Fn (4.41) Pri zgornjem izvajanju je ponovno zanemarjeno trenje med posameznimi vodniki, kar predstavlja določeno rezervo pri izračunu obremenitev. Dodatno rezervo predstavlja tudi neupoštevanje ukrivljenosti svitka, ki pri manjših dolžinah oz. kotih, značilnih za navitja transformatorja, pomeni le do nekaj odstotkov nižje natezne napetosti. Na osnovi vsega povedanega lahko zapišemo končne enačbe za izračun radialnih in aksialnih nateznih napetosti. Zaradi nedefiniranega položaja vodnikov in izolacije v navitju, enačbe temeljijo na predpostavki, da je magnetno polje znotraj vodnika konstantno. S tem ko poiščemo vrednosti najvišjih obremenitev po celotnem navitju, tako določimo vrednost natezne napetosti, ki na mestu dejanskega položaja vodnika zagotovo ni presežena. j 1 ^ 'N r Oaks(ij) OradO) Slika 14: K izrazom za izračun upogibnih nateznih napetosti. Znotraj vsake vertikalne delitve navitja določimo radialno upogibno natezno napetost (Grad(j)): 2 2 Q]i5ud-By(ij)-Ax)-Lr2 ffradO') = /rad'^r gigud-gy(tj)-Ax)-q-z) Lr ' a2-b 2-a2-b 2-alt az-ö 2-alt-a pri čemer je razdalja med roboma podprtih letvic enaka: Šj (4.43) (4.42) j _ n-D Li — TT N Vi i 23 Upogibne natezne napetosti v radialni smeri se po zgornji enačbi računajo le za navitja, pri katerih radialna sila deluje navznoter. Za navitja, kjer radialna sila deluje navzven je prevladujoča t.i. »hoop« natezna trdnost, ki jo bomo podrobneje opisali v naslednjem podpoglavju. Zato naj na tem mestu podamo le enačbo za izračun: 0"rari(/') = /rad'D = 'gud y ------ _ i8ud y(l,J) (4.44) ™vy 2-alt-b 2-alt-b 2-alt Aksialno natezno napetost v poljubni točki navitja izračunamo z izrazom: g"aks(t,/)= , = -----------o^ _ «ua (4.45) aKsv. >JJ 2-a-b2 2 a-b2 2-b Razdaljo med roboma distančnikov, ki je odvisna od radialnega položaja mesta določa izraz: La =------Šd (4.46) Pri plastnih navitjih, kjer se vodniki v aksialni smeri nahajajo drug zraven drugega, je La enak nič in zato aksialna upogibna napetost ni prisotna. Skupno natezno napetost v poljubni točki navitja dobimo z aritmetično vsoto radialne in aksialne upogibne natezne napetosti. Pri upogibu se namreč prečne obremenitve na nosilec (vodnik) pojavijo kot vzdolžne natezne oz. kompresijske napetosti (Slika 12), torej delujejo v isto smer tako za aksialno kot radialno komponento upogibnih sil. Zato torej aritmetično in ne geometrijsko seštevanje: a(i,j) = (TradO) + °aks(U) (4.47) Aksialna komponenta sil je pri klasični konstrukciji prisotna predvsem v območju ob zgornjem in spodnjem robu navitij. Njen kumulativni učinek stiska celotno navitje in pri raznih oblikah nesimetrij obremenjuje vpetje navitij, torej montažne plošče, stebrne in jarmske letve ter same jarme magnetnega kroga. Slika 15 prikazuje tipičen potek aksialne sile (modra krivulja) in skupne aksialne sile (rdeča krivulja) za notranje in zunanje navitje. Aksialno silo na poljubni višini navitja dobimo s seštevkom aksialnih komponent po širini navitja: ^aksOO = (Zi fl'ud * Bx ' Ax) ' Ay • 7T • D (4.48) Z vzdolžnim integriranjem oz. seštevanjem prispevkov dobimo skupno aksialno obremenitev na določeni višini navitja, ki jo ponazarja rdeča krivulja na Slika 15. ^aksO) = (L]j' = 1Faks(j') (4.49) 24 Maksimalna vrednost te sile Faksmax je pomembna tako za oceno nevarnosti zvračanja vodnikov (t.i. »tilting«), kot tudi za izračun tlaka na distančnike med svitki navitja, ki ga enostavno izračunamo kot: ^distmax = Fafmax (4.50) Slika 15: Tipične aksialne obremenitve po višini navitja notranjega in zunanjega navitja. Vsota aksialne sile vzdolž celotne višine navitja, ki se odraža kot razlika med vrednostjo rezultančne aksialne sile v skrajnih točkah navitja, predstavlja silo, ki v kratkem stiku deluje na vpetje navitij. V idealno simetričnih razmerah, ko sta magnetni osi obeh navitij popolnoma poravnani , navitji pa sta postavljeni točno v sredino transformatorskega okna (primer na Slika 15) je ta sila enaka nič. Že nekaj milimetrska odstopanja magnetnih osi zaradi proizvodnih toleranc lahko vodijo v nezanemarljive aksialne sile, ki jih je potrebno upoštevati pri določanju debelin montažnih plošč in ostalega vpetja na magnetni krog. 25 4.4.4 Določitev kriterijev za ustreznost V prejšnjem podpoglavju smo opisali metode za izračun mehanskih obremenitev na dele navitja in njegovega vpetja v kratkem stiku. Vendar samo kvantitativno poznavanje obremenitev ni dovolj. Določiti je potrebno tudi kriterije, ki določajo ali so izračunane obremenitve še dopustne, oz. ali jih bo transformator preživel brez usodnih posledic. Že v uvodnem delu tega poglavja smo omenili, da standard za tovrstno določanje ustreznosti konstrukcije transformatorja ponuja dve možnosti. Prva možnost je primerjava računskih vrednosti obravnavanega transformatorja z računskimi vrednostmi podobnega transformatorja, ki je uspešno prestal preizkus kratkega stika. Ker so tovrstni preizkusi dragi in za proizvajalca tvegani, se izvajajo bolj poredko in marsikdaj niso izvedeni. Zato standard dopušča, da se računane vrednosti lahko primerjajo tudi s pravili oz. maksimalnimi dovoljenimi vrednostmi, ki jih določa in utemeljuje proizvajalec transformatorjev, na osnovi svojih izkušenj in predhodno opravljenih kratkostičnih preizkusih ter meritvah na modelih. Standard tudi podaja orientacijske vrednosti obremenitev, ki so lahko tudi presežene, če proizvajalec dokaže, da so še dopustne. Kriterije za ustreznost oz. dovoljene vrednosti obremenitev v našem programu bomo oblikovali ravno po teh orientacijskih vrednostih. Do sedaj smo govorili le o t.i. trdnostnih izračunih, ko izračunamo natezno napetost pri upogibu. Kot bomo videli v nadaljevanju, to vrednost primerjamo z dopustno vrednostjo. Ekvivalentno bi lahko postavili tudi kriterij, ki bi določal še dopusten upogibek. Poleg trdnostnih kriterijev pa so zelo pomembni tudi t.i. stabilnostni kriteriji. Po izkušnjah se namreč redkokdaj zgodi, da bi vodniki popolnoma izgubili svojo trdnost. Pogosteje pride do t.i. vbočitve (ang. »buckling«) navitja, ki je posledica izgube stabilnosti. Do te pride pri bistveno nižjih vrednostih nateznih napetosti. Za uvedbo stabilnostnega kriterija se moramo spoznati s pojmom »hoop« napetosti. Radialna obremenitev, ki deluje na obroč, se namreč odraža kot vzdolžna natezna ali kompresijska natezna napetost v njem. Če obroč v neki točki prerežemo in pogledamo kakšen tlak deluje na prerez, lahko zapišemo: o _ o rad sincp----------