i i “Selinger” — 2011/10/5 — 19:35 — page 157 — #2 i i i i i i AVNOJ leta 1978 in Zoisovo nagrado za življenjsko delo leta 2008. Ambasa- dor znanosti je postal leta 1991. Leta 2002 je prejel zlati častni znak svobode Republike Slovenije. Prejel je nagrado mednarodnega združenja magnetne resonance ISMAR leta 1977 in nagrado Mednarodnega združenja za jedr- sko kvadrupolno resonanco leta 2004. Akademik prof. dr. Robert Blinc je bil član Saške akademije znanosti v Leipzigu, grške akademije znanosti v Atenah, Evropske akademije znanosti in umetnosti (Salzburg), Evropske akademije (London), Hrvaške akademije znanosti, Makedonske akademije znanosti, Poljske akademije znanosti in Mednarodne inženirske akademije s sedežem v Moskvi. Akademik prof. dr. Robert Blinc je bil od leta 2003 tudi častni član Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije. Janez Seliger OSEMNAJSTO MEDNARODNO TEKMOVANJE ŠTUDENTOV MATEMATIKE Leta 1994 sta Univerza v Sofiji in University College London organizirala prvo mednarodno tekmovanje študentov matematike v Plovdivu v Bolga- riji. Namen začetnih tekmovanj, ki jih je finančno podpiral evropski projekt Tempus, je bila primerjava kvalitete študija na evropskih univerzah. Slo- venci se tekmovanja redno udeležujemo od leta 1995. Pogosto se z nostalgijo spominjam prvih tekmovanj, ko je le nekaj več kot 60 tekmovalcev reševalo izjemno estetske matematične naloge, popoldneve preživljalo ob nogome- tnih tekmah, večere pa ob breskvah, melonah, lubenicah in sangriji, ki jo je pripravljala španska ekipa. Z leti je tekmovanje postalo zelo popularno in zares mednarodno. Letos je tekmovalo že več kot 300 študentov iz 44 držav. Tako tudi organizacija tekmovanja postaja čedalje bolj zahtevna. Zaradi tradicije in zelo dobrih izkušenj z Amerǐsko univerzo v Bolgariji je bilo tekmovanje letos že šestič v Blagoevgradu. Tekmujejo študentje prvih štirih letnikov. Med tekmovalci se najdejo tudi fiziki in študenti tehničnih fakultet. Naloge so v grobem iz snovi, ki se na večini študijev matematike predavajo v prvih dveh letih. Dan po prihodu je sestanek vodij ekip, kjer do poznega večera izbiramo tekmovalne naloge. Izbrati je treba deset nalog, po pet za vsak tekmo- valni dan. Teža nalog narašča z zaporedno številko; prvo nalogo reši večina študentov, zadnje pa skoraj nihče. Pazimo tudi, da so različna področja Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 4 157 i i “Selinger” — 2011/10/5 — 19:35 — page 158 — #3 i i i i i i Vesti Slika 1. Slovenska ekipa: Peter Muršič, Miha Habič, Tom Primožič, Marjan Jerman, Jan Kralj in Jure Vogrinc. matematike smiselno zastopana. Končni izbor nalog je dosežen z glasova- njem. Letos sem bil nad izborom nalog prvič razočaran. Vodje ekip, ki v tekmovanju vidijo nadaljevanje srednješolskih olimpijad, so izglasovali ne- sorazmerno veliko nalog, kjer se namesto občutka in talenta za matematiko preverja tekmovalne izkušnje in poznavanje trikov. Tako v končnem izboru ni bilo nobene lepe naloge iz realne ali kompleksne analize. Naslednja dva dneva študenti tekmujejo, vodje ekip pa ocenjujemo na- loge. Da bi zagotovili največjo mero poštenosti, vsako nalogo neodvisno popravita dva ocenjevalca, ki se morata kasneje strinjati z oceno. Seveda so možne tudi pritožbe, ki se upoštevajo, če se z njimi strinjata vsaj dva popravljavca ali pa neodvisna, vnaprej izbrana komisija treh vodij ekip. Kot običajno sem se javil za ocenjevanje zelo lepe naloge iz linearne algebre, ki je bila prvi dan zastavljena kot druga naloga: I.2. Ali obstaja realna matrika A velikosti 3× 3 s sledjo 0, za katero velja: A2 +A> = I ? 158 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 4 i i “Selinger” — 2011/10/5 — 19:35 — page 159 — #4 i i i i i i Osemnajsto mednarodno tekmovanje študentov matematike Študenti so našli kar nekaj različnih rešitev, ena od njih gre takole: Matrika A je normalna, ker je AA> = A(I −A2) = (I −A2)A = A>A . Zato imata matriki A in A> iste lastne vektorje, ustrezne lastne vrednosti pa so konjugirane. Vsaka lastna vrednost mora tako izpolnjevati enakost λ2 + λ̄ = 1 , zato je λ = 1± √ 5 2 . Vsota lastnih vrednosti matrike A je enaka sledi matrike A. Hitro se lahko prepričamo, da samo s števili oblike 1± √ 5 2 ne moremo dobiti vsote 0. Iz rešitve se lepo vidi, da je privzetek o velikosti in realnosti matrike odveč. Ta dva privzetka pa sta koristna, če se reševanja naloge lotimo drugače. Hitro se recimo vidi, da je vsota kvadratov lastnih vrednosti enaka 3. S premetavanjem enačbe in Vietovimi formulami lahko dobimo še vsoto četrtih potenc lastnih vrednosti in nato pokažemo, da takemu sistemu enačb ne zadoščajo ničle karakterističnega polinoma z realnimi koeficienti. Drugi dan je bila kot druga zastavljena zelo simpatična kombinatorična naloga z elementi znanstvenofantastične sociologije: II.2. V neki nezemeljski rasi so osebe treh različnih spolov. Poročeni trojček je sestavljen iz treh oseb paroma različnih spolov, ki so si med seboj všeč. Vsaka oseba je lahko v največ enem poročenem trojčku. Čustva v rasi so vedno obojestranska: če je oseba x všeč osebi y, velja tudi obratno. Oddaljeni nenaseljeni planet želijo kolonizirati z odpravo, v kateri je po n oseb vsakega spola. Ugotovili so, da je vsakemu članu odprave všeč vsaj k oseb vsakega od preostalih dveh spolov. Naloga odprave je tvoriti čim več poročenih trojčkov, ki bodo sčasoma z v zakonu rojenimi otroki poselili planet. (a) Če je n sodo število in je k = n 2 , pokaži, da morda ni mogoče ustvariti niti enega poročenega trojčka. (b) Če je k ≥ 3n 4 , pokaži, da je vedno možno ustvariti n disjunktnih poro- čenih trojčkov in tako poročiti vse člane odprave. Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 4 159 i i “Selinger” — 2011/10/5 — 19:35 — page 160 — #5 i i i i i i Vesti Prvi del naloge je zelo lahek, za drugi del pa se je treba pošteno potruditi. Pomaga uvedba relacije ” si nista všeč“, za katero se izkaže, da ne pokriva prevelikega dela populacije. Zelo zanimiva je bila tudi četrta naloga prvega dneva, ki kaže, kako lepo se da rešiti na videz zapleteno nalogo z malo bolj globokim vpogledom v matematiko. I.4. Naj bodo A1, . . . , An končne neprazne množice. Funkcija f je defini- rana s pravilom f(t) = n∑ k=1 ∑ 1≤i1<...