J?3/, Ztff/.c.iL

tv  ELEMENTA'

LE GBOMBTRICVM, EXEV*
clidis Geometria, a IO H A N N E
Vcegclin HayJpronneii Colle*
ga dmlis collegrj V ienngnfis,
ad omnium Mathemati^
ces candidatorum
utihtate decer*
ptum.

BRASSICANU

Eximium fr u&um hic folida breuitate libellus
Condnet,exa<fl:a terftis ubicpfide
Dignus item vranise qiiem perlegat undicp cultor
Si modo certa fua difcerefruge uel it*

EXC VS VM in acdibus Ioanis Singrenn*
Anno dCc. M.  D. XXVIII

Cum grada &T priuilegio
Regine Maifftads*

EMINENTISSIMO VIRO GEORGIO TAJTSTETTER COU

Umtio,drtium  er mcdicmrtm Uoilori peritifiimo, & m*
thcmxticesimnclyto viennenfiGymnafio profcjfat
riordindrioperff)icdcijtimo,pdtro*
no jiio obferudndifiimo,  IO *

HANNES Vccgeliit
Hdylpronnenfis
ptlutem.,

C /M prdegedoru Mdthemtimmuiteri me fub(Htuifes,ccepi itlU
:o cogitdre,qiid ntione tihi grutitudinentmemdecUrure,cumč^
din id me foUicitum dcdifiet, uiditundem nulk re mgismmumm te me*
umperfricutim'fire,qumfidiligentemdc štrcnumopermtihi locare;
Ed propter (ummumest mikijhidium,non folum dccurdte<ju£ iubes lege*
re,uerum etiam in his docendis eo uti ordine,quo Nlathefeos tyroncs fdcil
time erudixntur,ordd alios huiusgeneris libros idoneiduditores redidan*
tur . Cimueropofhnumerorimfcientidm quumhdc hyem;tuo monitu
interpretdtus (um, necefidria trd icndd putdrim Elementi Geometricd,
fine his enim(rujira dlidSdggredidrc difciplinds. ideo propter omniu (lu*
dioforum: commoid,  Ex E uclidis Geometrid, cm  duntdxatexcerpfi  pro=>
pofitione$,cpi£ in demonjlntioibushnedribus crebrius obuerSdtur,qu£a
Mefdtis propefunt ud difciplindrumcu Imen perducere. lnquibus ordi*
mndis pdriter ac demonjtrandis prudens nonfcmeldb Euclide difientio,
itd enim rei breuitdi  er qudm femper quefiui ficilitdtempojlulabdnt.
Runcergo libcttumobferudndifiime  P atronetao felertiexdminifubmit *
ta,nondnbigensquinprotud in me beneuolentid, emtttreprehendds  er
c ommode diffd dldcriter[u[cipids,meqj ut foles perpetuo profe  a.

<tftumdmore ,* Vdle Vienn£exciuium CoUegio,pru

die Cdcndds Mirt Us- Anno Cbrijii
* %  s $,


ru i » S

ELEMENTALIS GEOMETRICL

Caput primum*

Definitiones*

1 Puntaš, eft cufus pars nulla eft*.

2  Linča,  eft Ion gitudo fine latitudine, Cuius qu b

dem extremitates funt duo punda^

3 Linea reda,eft ab uno pudo ad aliu breuilsima
extefio,in extremitates fuas utrucp eoi^ recipies

4 Superficies,eft čj longitudine Bi  latitudine tan#
tu habet. Cuius quidem termini funt linese*

^ Superficies plana,eft ab lina linea ad alfa breuifli
ma extenfio,illas recipiens in fuas extr emitates*

6  A n guius planus, eft duaru linearu alternus co*
tadus,quarum expanfio eft fuper fuperfidem
planam,applicatiotp non direda*

7 An gub redilineus, eft que cotinet due linee r z*

8 Angulus redus, eft vterlibet eoru qui ( da:*
fiuntdu reda linea fuper redafteteriftduofčg
angulos ex utracp parte fecerit aequales»

9  Linea perpendicularis,eft reda linea reda: /nfb

ftes duoftp circum fe angulos redos fadens*

10 Angulus obtufus,eft qui redo maior eft

11 Angulus acutusjeft quiredo minor eft*
n Terminus,eft quod uniufcunqj finis eft

13 Figura eft,qua: termino uel terminis clauditur*

14 Redilinea: figura:, funt q rediš lineis cotinent*
Redilinearu figuraru, alia eft trilatera, aha quadriV

latera,alia multilatera,

T riangiilorum,aIiusifopleuros,id eft, equilaterus,
alius ifofceles,id eft, a:quicrurus / ,alius fčalenus*

.. a q

i< Aequilaterus eft qui rrib 9  scquis fini? lateribus,

1 6  Ifofceles 5 qui duo tantu habet latera aequalia»

17 Scalenus,qui tribus inscqlibus corinet laterib 9 «.
Amplius trianguloru 3 alius dl orthogoniusdd cit,

redangulus 3 alius oxygonius, id efhacutiangu
lus,alius amblygonius,id efhobtufiangulus.

18 Orrhogonius a eft qui unuhabet reduangulu*
rJ  Amblygonius,qui unu habet obtufiim angulu

20 Oxygoni 9 ,q cudos tres habctacutos angPos.

21 Ouadrilaterarum figurarum Adaadratum eft
quod £equilaterum atcp redangulum dl.

2 2 JT  etragonus longus, redangulus quidem efl,
fed sequilaterus non eft.

23 Rhombus,efl qui cequilaterus quidem, fed te*
dangulus non dl.

24 Rhoboides qui neq? latera necp angfos equales
habetdatera th oppofita SC  angulos tcquales habet
2^ Trapeziadioc efhmenfulaejomnes funkpreter

has figura: quadrilatcrte.

2 6  Multilatera? figura: pluribus ep  quatttior dau
duntur lineis«.

2 J  Aequidiflates linea? funt  q in eadem fuperficie
collocatx 3 atcpinalterutram partem protradg
nonconcurrunt,etiafi infinitum protrahatur*

PETITIONES.

1 Omnes rcdos angulos fibi inuice efle sequales,

2 Si linea reda fuper duas redas ceciderir lineas*

duofcp angulos ex una parte illius linece duob*
rediš angulis minores feceritjhas duas lineas ih
candem partem protradas coniundum triJEt
econtrario*

3 Duas rechs lineas (uperfidem ntilfam cfaudfere.

4 Si in aliq triangulo>alteru duoru lateru fliper ba

3 Si ab xqualibus sequal;a auferatur,refi* (lia,

dua erunt aequa!ia*

4 Si ab ina?qualibus a?qualia auferant : refidua erut a >  "

inccqualia* —  1  - ■ ■

< Si incequalibus aequalia addantUggregata erunt

inscqualia, A

6  Si dux res fuerint uni duplicesapfic fibi inuicem /

erunt acquafes. /

7 Si fuerint duae res quaru utracp unius & eiufde ^ 4

eft dim dium,erunt fibi inuicem gquales* -

8 Siqua res aleeri fuperponatur appliceturcp ei,
nec excedat altera alteraditc erunt fibi inuice x*

9  Omne totum maius citfua parte*

10 Totu equale eftfuis olbuspartibus fiPfiimptis,

a iij

fimftantium demittatur,alterum neceilariouel
breuius uel longius fieruQuarn nos hic quarta
ponimus petiuonem« Eudides ieptima primi li
bri propofitionem annotauit* Verum quiade^
monftratio eius difficilior uideri poffet, incipi#
enti primutn diicereekmentas6č demonftrati*
onibus Iinearibus non dum affueto. Qrq? ipia
petitioni proxima efheiufq? tifus ad modu ra*
rus,id propterea inter poftulataeaannumera*

S5


Propofitio primat

Supra datam rečlam lineam triangulum sequilate*
rum collocare.

Sit d At dimu a b, ficfuper em conjlituemus triunguU tquMe*
rum.Pofito pede circiniimmobtliin a, alter extendutur fccundum jf učiti
lineg a b&circunduttusfcribdt Arcum occaltm. Deinde circino mn
uiriuto pedem  c m immobilem ponumus in b  er alter circunduttus pri
srem urcumfecet inpundo c. Punflus Ule fctlioms c iungutur lineis
rettiscim a Z? b pundis,Zfrfi.ftuserittridngulus£quildteru{,Ndm  *
vmnes hulineg funt uni £quules, eifcilicet qu£ eftinter extremitdtes pe*
dum circini, ([udre per pr imam comuncm fententiamdnterfe funt tccjiu*
les.  A equicrurum bund dliter dutg lineg fuperpones, mfi  g, cininus um *
plius quum eft dutg linču ffucium uel minus ertendenduseji. Sculemui
m*  * :  tum fiet fi circinusprimo umplius deinde minus exteditur  g efl lineu dat A

Sccunda propofitio.

’ Quorumcunq? duorum criangulorum duo latera
unms/duobuš lateribus alterius fuerintarcjua*
lia ,8č ancmli his 2 equis lateribus contenti) equa
tesarit bausbafi, & reliciiu ansuli aeouis latgrri
bus contenti, alter alteri,<x totus triangulus to
.  o . ti triangulo ceqiia1i$«. s

e> u {[ 6 Jifo4pintducitrignguli d b c,d, e ffitčpldtus A b gquuleluteri d
e. Etldtusd c gqudle luteri a ! f,  er angului d £qudUsungulo d.

J ilabv JlDicobdfim b c £quulemeffcbdfi e f, z?dngulim b ungulo e ,er
5  dngulum c ungulo f vtotdmiridnguli a b c fuperficiem, fuperfin
ciei trunguli d c f gquuXem^dmfingelinedm d e fuperponi  er
1  fi Urdhb Kccomodari d b lineg^neutra igitur dlterdm excedct per conuerfionem
' ' r ° v k  °  “—o ottdU£ conceptionis,peft£ enim funt £qudles,&punčtus d cddet fupet
(c*»on[  fv punttumser fmiliter e punttusfuper b. Quiducrodngulus d po*
fitusejl gqmlisungulo d, neccfario cudet linču d f fuperlineum a c
er propter prgftruttdm gqudlitdtemcurum, incidet f punttus puntto
c  er erit cim eo unus pmftus , quupropter bufs  e f Cddet fuper bu*
fim b c itd ut fut cum eddineu unu, alioqui du£ rtdcg line£ cluuderent
fuperficienuquod eft contru petitionem tertium,  er quid neutru dlterdm
excedit,terinindntur enim ijsdem punttis,funt igitur equu!es. Rurfus an-
gulus e fuperpofitusejldngulo b  er em non excedit, tts&ub eo cxce

>v

iitur,efl er go d <eq tuliš. Haud aliter angulut f <equa\is probatur angu*
h c .Preterea totrn trungulm A e f totitriangulo a b c fuperpo
fitm efbdpfum neq; excedens,neq;db eo fuperdtus,qudpropter concludi
tur d ecquaks propteroUdUdm communem feutentiam»

TertiaPropofitio

Si tria latera unius trianguli fuerint 3equalia tribus
lateribas alterius trianguli, qui continentur 2 $*
quis later.ibu& anguli xquales ernnn

JlSintduo trUngult 4 b c? d c f,fit'q- Utiif d c <equaleUteri d f,

V b c <equalc ef &■ a b cequdle d dflDico angulum c cficaqud
lem dngulo  j f  e Tangulu d angulo d ty djtgulu b fiuguto e,hij eni
Idteribus relatiuii O' <equatibus continenturfadmfuperpondiurbafis d
e baft <t b,neutraitciq;,quonUmpofitcefunticqiuks,(dtermlongitudi
neu§icet.Pun£lutigitur fnon cadetalibquamfuperpunftum  c*N<tw
fi alid caderet,tuncdtterutralinearumdut d f aut e f demitteretur,
qmre per ultiimm petitionem<dterd breuiorfieret.Verbi gratid,fi linea
d f demittereturitaquidemutmineret<equdlisline <e 4 c , tune e f
linea decrejceretnecefidria  e? minorjieret qubn b c lined,quodeftco
tra bypotbcfim,funt enim pofit£<cquales. Igitur nanpoteft punttus f
alibiflin c cadere pojiq d e fuperpofitafuerit a b linea. Necefii*
rioetum cadet d f lineu fuper a c linam  cr f e fuper c b, ali
ter enimdu<eretta linea: clauderent fuperficiemJEdpropter eruntomnes
anguli reUtiuhkoc eft,aqtds Uteribmcontenti inter fe £qm\e$per odda
umconceptionem.  N dmpbiinuicemfuperpofitiprorfus congrmntac
quidnnt.. b  -» -= ~

Q_uarta Propofitio* 7

Trianguli a?quicrurfi qui fupra bafimfunt anguli,
fibi lniricem2equales funt. fi latera acqualia
protrahant,anguli qcp fiib bafi erut sequales«.

Sit triangulus a b c, cuimlatiu d b fit £qude Uteri d  c*Di=»
co angulum db c efe<cqualan angulo d c b. Nam fuper baftm b
c inalteram partem conjlriutur triangulusfiue <equilatcrus fiue <equi*
nrumsjdcpperprimdn propofitionembuiuscapitisquifit bde
puncld a d iipiga^itiir linearečta,qu£fecetbaftmin punčto f.f Intel*
ligo itaq; dtios tridnguloi d b d era c d, quorum latera unius funt
aqualulateribm dierm Ejienm a b aquale 4  c per bjpcthefm

b d ueYo<equdeipfi c d perprimmbum&d d eftutricptriangn

to comnwne,trgoper prscedentemangidus b a d eft squah$ ctngulo
c d d>quod mcmoriferna mente. Rurf w alios duos triangulot intelli*
gofcilicet a b f zr d c  /i quorum duo litem mm funt (cqua'ia in
obus lateribtvs alterius.  N am b d ešl <equale a c per hypothefim,

1 7 d f utriq;coimne,angulipr£tereacontenH^^0iislateribiKfunt
£quales,ut modo oJtendinm,crgo per frcundamhitius;dngu[uf d b f,
tqudturangulo d c f quod erat demonftrandum. Secundaparipate=~
bit demontirata decimpropofitione.  / g  ^ nM Mvumprt

Oumta propofitio* v  ycr ^f 0 !  'S'

^ Si cuius trianguli,anguli fupra bafim fiierinta?qua#

■App'*  les,latera fcu crura illius trianguli erutaequalia»

'■ sittriangulus a b c cuirn anguli fupra bafim b ZT c fint squa*

°***  1 " ics^ico katera cim a b z? d c efie squalia. Quia fi non fimt£qu 4 *
Umerit alterum coru longius,Z/ fitiUud a b. Refecetur er go ad £quax
litatem in pundo d,ut d b fit xquahs a c, zr trahatur linea d c *
Intclligo itaq- duos triangulos d b c totalem, ZT db c part ide. Et
quia duo lutcr a unius pontitur £qualia duobm lateribm dterius, latrn fci
licet d b £qualclateri a c,ipfo b c exijientecommuni,anguli etiant
his aquk lateribm contcnti [u/ntpofiti £quales,per fecundam itaq; bum,
trianguhipfi eruntinter [e tcqudes,ut a b c Jriangulus totm, triangli
I do d b c partuli>quodeft tmpofibile. I  * b

p ' -- ”  propofino»

i

Datum angulum per 2cqualia diuidere*

Sit dat us angulm in duocequalU fecandm.  A. Linea ipfum continett
tesfiftieriitt imquales,refecentur ad aqualitatem,fmt(p a b z? a c.

H ttrahatur linea b c,fuper quacoftituatur triangulmfiueaquihtem
fue squicrurifs b d c,z? cotinuentur punttd d d linea reda. Ea ipfd
angulum datudiuidetjntelligo enim duos triangulos b a d zr c a d
quonm latera uniusfunt aqualia lateribm alterius. Nam a b squde
eft d c per hypotkeftm,zr b d squde c d per primam buius, ZT d
d utriq- trianglih commune,Ver tertiam itaq- angulm b a d iequatur
angulo c a d, contincnturcnim lateribm aqudlibm,Quare patet pra*
pofitm.

Septima Propofmo*

Datam linčam re&ani per tequalia(ecare»

/

Sitlineadiuiden J 4 i b. V one pedem bmoMem circini utlibet  di?
iudiprimo in a,V alteropedecircmdudofrc duos anusoccultos,alte
rum [upra linčam, al.terum infra. Deindecircino non uariatopesimmobi
lisponaturin b  er alter i iremdudus interfecet anus modo fignatosfu
periorem quideminpu id o c, injeriorent uero in d. Hatfedionesiun*
ge linea reda c.d,qu£fecet linčam a b inpundo fr Dico itafrlinea
a b datum , inpundo f diuifam per £qualia. Proptcr demonjlrationis
euidentiam jkctriangulos manijtjlos continuans utramq; fedionein ctm
extremitatibusdat£ linea. Intedigo enim duos triangulos c a  Jer c
b d , quoru latera uniusfunt <equalia lateribus alterius,quare pertertU
umangulus  c uniuscjl £qualisangulo e alterm.Rurfusintelligoalios fr™
duos triangulos c a f er c b fr quorum duo unius latera funt <equx* &
Ua luobuslateribusalterius.Nam a c ejl£qude c b,eadancnimcir=
miextcnfmefrda funt, Et c f utriq;trungulo comune,anguliquoq\
hs £quis lateribus contenti funt apales, ut modo ofrenfum eji, er go per
fecundambafis a f ejiequalisbafi fb quoderatdeinonftrandm .

OAaua Propofitio.

A punfto in linea fignato perpendtculare educere«

Sitdatalinca a b, a cuiuspundo c fteducenda perpendiculans,

Signa itacp in linča dat a officio circini duo p uda aquali interuaUo a p itn
{lo c difiitafintfr avb.  Pojleaponepedem immobile n circini uta
funq;extenfiin a V altero circumgirato occultumfrcaram.  D einde
circiho no uariato  er pede cim immobilipvfito in b priorarcusfecetur
mpundo d,aquoad c deijciatur linea reda. Hanc dico efe ad a b
perpendicularem.Propter demonftrationem frc triangulum manijiftum
conimdo d pundo cum a er b pundis. \ntdligc ergo duos triangli
los a d c v b d c,q.ui funt omniu inter fe laterum £qualium,ejl enim
a daquahs d b utqu£ ead: circinidijlenfioedehneaUfunt,latus quoq;
a c exhypothefiefl£quale c b linea:,v d c utri f ejl communis,qua
propter per tertiamhum angulus c unius ejl <equalis angulo c alt eri?
us,uterq; igitur per diffinitionem anguliredi,ejl redus.Linea itaq.• d c
perpendiciilaris ejl ad lineam a b per diffinitionem linea perpendicu
laris. Ammaduertendum efroperaprecium efe, ffracio plani in quo tra *
henda cjl perpendiciilaris permittentrifi dua fierent decufationcs feu in*
terfedione;,d:erafupralineam,altera infra,modo quo uftfumusin pro*
pofliione feptima.Sk enim eradius trabetur perpendiciilaris »

NonaPropofitio.


l !*'-■



op c S

—>c h**’  k*


A punčto extra Iineamdatamfignato,adeamcfe<*

mittere perpendicularem.

Sit punčka A)  fcr linču ud quum deducendu cjl a punčto u perpcn*
dkuturis fit b c. Ponatur crgo circinipcs mmobilis in punčko 4 z?
ultero pcdc notmtur duo punčla in linču data qu£ fint b c. Deindectr*
cinononuuriuto pcdcmimmobileprimoin b pone,vultcrofcribcura
cim occultum- Deinde codem immobili pcdc in c pofito prior m urnim
interfccuinpunčto f. Hune cum punčto u contmukncurečtu d f
qu£fccctdatum linčan b c mpunčto d, Eu perpcndicularis ejlfuper
linčam datam-Propter demonjlrationč, trake d punčia u er f adpu*
Čl d b c linedsrečtds-.Exproceffuita<fcpropofitiona feptima patri H*
neum b c diuifumefie 'm punčto d per £qualia. mtclligc crgo duos
triangulos a b d er a d c quifunt omnium lutermi čcfialium ut
patri. Cigare per tertium ungutia d uniia e fr £qualis ungrdo d alteri
Uiicrgoutenp rečkaperdiffinitionemangulirefti,linčuit/q ;  u d per a
pcndiculuraejlddlineam b c perdiffinitkmem linc£ perpcndiculuris.

Decima Propoflt/a,

Luiea rečta fuper rečlam ftans, fatit cum ea duos

angulos atit reftos aut duobus rectis equates«.

Sit Uncu 4  d jluns fuper lineamrečtam b c, dteo angulos quos cum
cufdcituutefie rečlosuut duobusrečlis£quales.Nd>nf t lincafuperjlant
cjl udi cum cuifuperjlut perpcndiculuris ut in priorifigur u,putet propo*
fitum per diffinitionan line£ perpcndiculuris. si uero nonfiicrit perpcn*
dicularis ut infecundafigura,emittajtur per očtuuum,ex punčto d per*
pcndiculurisqwefit d e. Clar um igitur efe angulos rečtos qui funt ali*
neaperpendiculari,fcilicct e d her e d c tantumoccuparcjpaiij
quantum tcnentduo anguli quosfccit Unca non perpcndicularis d d,boe
eflunguli u d ber u d c, quarc hij duo illis duobus funt uquales per
očlduamcommuucm [ententium.  Ex hacpropofitione liquct ueritdtfecU
d£partisquart£ propofitionis. Si triunguli eecjuicruri £quulia lat era
protruhdntur angulos fubbaft efic £quales,Sit enim triangulus £quicru*
rus u b c,er protrahuntur latern ena £qualiu d b O" 4  c us q; ud d
er f.Dicoangulosfubbafifcilicet d b c er fc b efie £quales.N a pri
mu paneiusdm quart£demonftrauit angulos fupru buftm fcilicet a b
e &• a  c b cfie£quales, Prufens uero docet angulos u h c er d'b
c fimul£quariduobus rečlis,fimiliter duos u c ber b c f duobut
rečtis £quales  * Per prirnam itaq;petitionem duo unguli 4 b cer
c b d. fmd <e<imkir duobw pariter angulii  4 e b e? b  «

f. Siergo ob <equalibi;s cemantura^ualia fcilicet anptlifupra bdfim,rt*
Unquentur per tertiam ccnmunemfententiam , angulifub bdfi £quales t
quod erat demonflrandum.

V ndecfma Propofitio;

Si duaj rectae linčaj fe ieccnt > angulos contrapofi*
tos facient sequaks+

Sini du<elinc£ reti* d b V c d fecantesfeinpundo e. Tiico dngtt*
loscontrapofitos,boceft aecvdebuelcebv  ded  efic
tecfudles. Vocamus autem angulos contrapofitos, quinullo communicant
Ut ere. Ferpraccdentemenim duo dnguli d e c & c e b <equantur
duobus rediš,fimUHter duo dttguli d e b cr b e c rediš duobus pdm
res funt.Quapropter per primam petitioncm duo dvguli dec v c
e b aggregati aquales funt duobus angulis d e b O" b e c fimul
fumptis.Er go ab £qualibus ablato angulo c e b communi,erutpcrter
tiamcmmunemfententidmrefidui de c er b e d interfe £quales.
Ko dliterprobabisduos angulos c e b & d e a interfe£qualesefe.

Duodecima Propofitio*

Omrtis trianguli uno latereprodu<fk),extrinj(ecus
angulus utrolibetintrinjfeco fibi oppofito ma*
iorerit*

Sit triangulus b d c (f protrahdtur latus b d in dircdumusq~
dd f.Dico angulum f d c extrinfccum maiorem efie utrohbet angulo
fibiintrinfecusoppofitofcilicetuelangulo b uelangulo c  N amperdca
cimam angulus f accumangulo c db £quatur duobus rediš.Sed an
gtilus c b d cu angulo c a b minores funt duobus rediš.Linearnim
fb cadit fuper duaslineas d c v b c concurrentes inpundo c ,er*
go pet conuerfionem fecmdtc petitionisfacit ad par tem cocurfus duos an
gulos minores duobus redis-Conflat igitur duos angulos f d c v c d
b fmulefemaiores duobus angulos c b d z? c a b fimul fumptis.
"Demptoergo ob ina^ualibus eodem connnunifcihcet dngulo c a b,re-
mnebunt per corvmunemfcientiam refidua inacfudlid fcilicet angulus ex
trinfecus f a c maior angulo c b a intrinfecus fibi oppofito,Simi*
U modo probabis angulu/m f d c maiorem efie angulo d c b*

Decimatertia propofitio*

In o? triagulojmaiori angulo maius latus oppomV

Sit in trianglih a b o angulus a miorangulo c.Ficoldtus b c

Miimeficlatcre d b.Kamfi b d linči minoriingulofuhentitcjftaHf
csi h c lined>eritper quartam angulus i <equalii angulo c quodtji
contrahypothcfiin.Qjiodfidicatur a b maiorefietj b c,rcfeccturai
tequalitatem inpuntto d,itaut b d fit£quiUs b c.Etquiapcrquarta
angulm bed dejuaretur angulo b d c,eigutusuera bde perprat
cedentem maior eft angulo b a c angulus igitur bed maior efiet
angulo a,quaremulto magis angulm b c d fuperaret angulu a quod
idem cjlcontra bypothefim.

Dedmaquarta propofino*

Omnis triangulijduo qux!ibet Iatera fimul fump*
ta funt terno maiora*

Sittriangulm a b c dico duo Iatera d b  er d c fimuliunttd,lcn
giora c ji e liter c b c,Si enim e fiati uit <cqua liaaut minord co , non pof*
fentconcunereinanguhm a,N4tnft efient aquaUa lateri b c,tmc fc
contingendo iacerent [upr a linčam b c>v ji er en tam e a Unca ima. si
uero breuiord efient,non pofifiem [e contingere,neq; in angulii cocurrere

Ded(Tiaqiunta propofino.

Si in nno quolibet trianguli latere a finibus eius dag
recfi:xl(n<?x interius concurrant-angulum faci*
ent maiorem co qui a reliquis eiusdem triangli
lilateribns continetur*

Sittriangulut b d c fuper cuiutlatere b c duterclhe conB : tuU
anguhmficiant b d c,dicocummatorem efieangulo b d c conten*
to. irelijuis duobmlateribut^idprotrabaturlined b d usfidiifccetld
trni c inpiUlo e. Er it igitur angulm b d c perduodecimdhuimmin
iordgulo b e cer peredd?angulm b e c miiovangub b d  r» multo
igitur maior erit angulus bde angulo b a c quod fuit demonjlrddii*
Decimafčxta propofino*

Ex tribus datis lineis triangulum conftituere*

SinttresUne£dat£ a. b. c.itdutqudibetdit£fimuliunlhefmt ter
tii maioretjd enmnecefianum ejl per decima quartam.Ponepedan im
mobile circiniextenftjf>acio line* b in altero termino line£ a.uerbigri
tii in d.<y altero circmduilo pede occultumfcribe arcim. Deindecirci
no extenfo(ecuitdtm. quantitatem line* c  er pede eimimmoliHpofito
m termino f» priorem aram interfca itipunlto g. Ab boe interfedia

nhpmfto trohe od teminos Utic* 4» reft#!? habebistrungulum qui
optabas*

Dedmafeptima propoGtib*

Super pun&um datum in linea redtajdeferibere ati

gulum datoanguIo2cquakm»
sit punttus d dnim m line d daU& angulus ib c datus.Subtea
decum reda lina c a.Refeca igitur ex lina dati d f linem*qualm
c b.Deinde circino didufto fecmdum quantitatem linea a b er pede
tius ‘immobili pofitoin d faibaturarcm occultus. PoRea circinum pro
fbucic line* c a extende r *S pedeeim in f pofito priorcminterfeca ir
cuminpundo  g» A quo i.l punttum d tube rcdam.Hacctm dati le
nei continebitangulum g d f aquatem angulo b dato* Namprop =*
ter demonjlrationeducatur linea f  g. Bruni ex hypothefibm latera tri *
attguli f g d aqualia lateribus trianguli a b c, ergo pertertimm*
gulili g d f aqualisejl angulo a b c£otinenturcntaquis lateribus*

Decimaodčaua propofmb*
Siduortimtrianguforum dno fateraunms fuerint
scqualia duobus lateribus afterius.cr anguli co
tenti his aequis lateribus fiierint ina?quales> erit
iliiusbafis matoreuius lateribus angulus am*
pliorcontinetur,

Sint duo trianguli a b c, e d f,& latera duo prioris a. b z? £
e fmt aqualia duobm lateribus pcjlerioris d e V d  /»V angulus a
miorangdo d.  D tcobafm b  c maioremejfebafi e f.Nd fuperpun
(io  ci li te* d e locetur per pračeJentem angulus aqualis angulo b a
e>fitq; is e d g V tinea d g fit aqualis a c fubtendaturi jj bafis
e g,quaneceflarioeritaqualisbaft b c intriangulo a b c.Qttaprop
terfiprobauerimus e  g maiorem efie e f,eritquoq-probatum b c
eadem efic mio  -e«. Trahatur f  g linea. Ltqma d  g pofitaejlaqui
Us d f, igitur pe‘quartam angulus d f g esl aquals totaliangulo d
g f, ergo idern ang dus d f g erit maior parttali angulo e g f,qua*
remultomaior erit angulus e j’ g, anguh e  g f. Latin igitur c  g m*
ius eslper decimmter lam laterc e f quod erat demonflrandtm*

Decim mona propofltio*

Si  fliper bafes duo. um triangulorum anguli iacen^

b  »j


tc&  foerint tequale§, Sc  uef bafis unius a?quafis
bafi alterius,aut urnim latus uniu$,lateri altcn>
us (e refpicienti 2cquale,erunt reliqua latera re*
liquis tequalia alterum akeri, Sč  reliquus angu*
lus reliquo angulo*.

Sintduotrianguli d b c, d e f zrangulut b fit equdtiss angub
f» Vdngulus c utigulo f.Sitifcbafts b c eequalisbdfl e fautunum
cxktersbiKtmnguli a b c pitalefuo relatrn lateri tmnguli d e
f.  D ico reliefna ldterd,reli<}uo$fy angulos cfie £<\udeu Sint primo bafei
iequdles,zjinteUigatur bafis e f fuperponibdfi b c,qu£ cu fint £*.
qules,necefeeft punftu e cdderefuper punftub, Vpunftu f[uper  c,
Et propter £qualitdte unguloru  er couerfiotte oftaua coceptiois, necefie
eji linea e d caderefuper ab,&- d ffuper d c,nonergoeritpofa
ftbile utldterd huiui ulteriui dut citerim latcribui dlterius concurrant,e*
runt igitur <cqudlid,0' anguli db eis contenti aquales per oftaua concepm
tionem,Yonatur fecundolatus d e aquale lateri a b^Etalterum dl*
terifingdtur fuperponi, propter £qualitdtemergoeorumpmftus d cdm
det fuper a punftumo’ e fuper b, linea deniq; e f fupra b c
linam cadet propter >equdUtdte anguloru v conuerfionem oftaus cotl*
ceptionie.Qucd fi d f congrueritetiamipf a c,concludesperona*
Udmcbccptionempropoftwn,Sinuero d f ceciderit aut intra aut exm
tra triangulum femper fequetur angulum e xtrinfecu effe <eqtulcm angum
le intrinfeco fibi oppofito,cum contrariu dembftrauit propofitio  .15.

Vicefima propofitio*

Si linea rcch duas lineas rečlas fecatido fecerit ati*
gulos coalternos asquales, aut angulum extriti
fecum angulo intrinfeco ex eadem parte fump
to jequale, autduosintrinfecos ex eade parte,

duobus rectts equales,linee iectg equidiftabut
line a d b fecet c d W c f lineas, c d qmdeminpunfto  g.
f f ueroinpundo b, Etficiat primoangulos coalternos fibi inuicem
ccouales,boe efl,angulum d g b angulo e h g autangulu, f h g
angulo c  g ihficenimfumpticodltcrnidicuntur.Bicolineas c dtp
e f (eqHidijhre.SidUtemnon,produ(lccconcurrantuerbigrdtia in  fc.
Trianguliergo gib angulus d g h extrinfecm <cqudlii ejl ditgu
h £ h g inmnfcco fibi oppof to,aut angulus fb  g extmfectisdngu

lot gh intrinficoftbioppofito,boeaut prt*, i z.ppofitmčimpojUbtle
efl,igitur c d & c f gduftsminime cocurr ut,er go'per diffinirioniiut
£qutdijlites,Secudoficiatlinčan bagidualiqueextrifccu*qualeintri*
fecofibi oppofito ex eade parte,dtco nibilo minm Uneas c der e f *quU
dijhre.Etfit ex?plicaufa angulus a g d extrinfecm *qualis 'mtrinfe*
eo g h f. Ojtomam angulus d g d *qualis ejl per kypotke, angulo
g I? f.Etper undecimm idern angulus 4 g d £quaUse(h c g h etn*
gulo,igiturperprimamcommunemfententiam <tngu\i e g b cr g h
f inter fefrnt £quaks t  E t hi funt coultemi, er go per primi hitim propo
fitionispartemline <e c d cr e f funt£quidijlates.TertioficiutUneA
4  b duos angulos intrinfecos exeadem parte,£quales duobus rediš,ut  i
g h cr fh  g, dteo lineas c d v e f £quidijhre,quoniam anguli
d gher fh g per bypotbefmfunt <cqude$duobm rečlis,CT per de
cimam anguli d g b gr c g b etia <eqmntur duobus re(iit,ergo
per primum pofiulatmi anguli d g h e? f h g <equdes funt angtt
iis d gh cr c g b, ablato ergo comuni angulo d g h rclinqui*
tur per ter tiamcommunemfententiam,angulus c g h £quatis angulo
f h  g, fed hi funt codternhergo perprimm partem btiius propof'tioii
line* c d er e f £quidiftant.

Vicefima prima propofitio;.

Si linea re&a duas aequidiftantes fecueriftfaciefe
angulos coakernos aequales.Extrtn:(ecurnm*
trinfeco exeadem partefumptoa?qualem«.Et
duos intrinfecos ex eadem parte tequales duo*
bus recftis,

Kepetatur prior figura in qua pondtur c d z? e f £quidijlxn *
tesarimo, pars propofitionis ftc demonftrdtur.  N am fi anguli codterni
ut c  g ber f h g non funt£qualcs,erit dteruter eorum maiorfitq;
c g h mdor+Ouonimigitur c g h maiore/i angulo fb g po*
natur commum angulus d g b, anguli ergo per quintamconceptione
c g b cr d g h motores funt angtdis d g h er f h g,fed per
decimam anguli c g h cr d g h *qudes funt duobus rečtis, ergo
anguli d g h CT f b g minores funt duobus rediš, ergo per fecun
dampetitionem c d c? c f protratt* concurrunt, non igitur funt
£quidifbntesquodeficontrabypotbefm,angulutigitHr c g b *qua*
tirejlfuo codterno f h g.

SecimdapArs ojkniitur, N um ut modo ojknfm ejl angulus c g k

*qud!seftdngnh f h p  er p tr tmdtcimm idetH ingulut e  g b &
quAlisejlangu[o a g d,per primam igitur conceptioncm angulus a
g d AquAltscjldngulo f h g cxtmfemfcilicetintrin[eto ex eadem
Tcrtu purs ofknditur,  N 4 « Angdus c g b £qu*lis (parte*
ejl perprimam buiusptrtem Angulo fh  g> pofito ergo communiangu
g odg b,eruntduoAnguliperfecundAmpctitionem c  g b  er d  g
k <eqtwles duobus angulis fh  g er d g b, fedperdecimAmduoAn*
guli c g hz7 d g h xquxlesfuntduobus rediš,ergocrduoAngu*
U f b gZT d g h aqualesfuntduobusrečiis,quodcrotdcmojlrand*

Vicefimafecunda propofitio*

A punefto extralineam datam afligtiato,educe
re sequidiftantem datac linese*

Sit line Adut a  b  c>er pundus cxtra cm ApignAtus a. Trde line*
amoccultam hud utcuna; contigerit,deindefuperpunčlo d collo*
ca angulum bde extrinfccum protraftalinea d e, £qudlemangu*
lo a d c htrinfeco ex eudempATte.Conjlat igitur per[ecundumpurm
tem uicejima lineAm a e eequidijlAreline£ b  c*

Vicefimatertia propofitio.

Cuiuflibct trianguli angulus extrinfecus cqua
lis eft duobus angulis intrinfecis fibi oppofitis.
Sit tmngulus a b c v protrahAturlAtus b a in f, dtcoAngit
lum f c d extrinfcam tcquAlem efie duobus intrinfecis  er oppofitis,
fcilicetAngulis b  er c. Ducaturperpnecedcntem a  punčio a,li*
neu a  d tequiiijUns b c linee. Etquu A d tequidijlAt b c line id
V in ipfnm incidit f b, erit per fecunddm pArtem uicefimprime Angu
lus f a  d extrinfecus xqudis intrinfeco ex eadem pArte Angulo Ab  c*
Kurfus qu : a pArallelefunt a  d V b c,  er e as  fecAt c A,: o ..ur per
primi pArtem eiusdem z 1 .angulus dne eqiuhs ejl fibicoAlterno in*
g ulo d c b *T otus igitur f a c extrinfecus <equAhs ejl duobus in*
trinfecis  er oppofitis c b  4 er 4 c b*

V icefima quara propofitio.

Cuiirflibet trianguli tres anguli 2cquaks funt
duobns recfhs.

N Amper precedentem angulus f a c extrinfecus <cqui\is ejl dtto»
lus Angulis intrinfecis  er oppofitis c b A C? a c b, udiito ergtt
utripfccommni angulo e a b, erunt dno anguli f a  c (J c d b

tqudkttribt»  4  b e, d c b t  e 4  b, fedptf dccmM At«StguH Ji »
cr c a b £c[iulcs fmtduobia rettis, trcs igitur 4 b c r d c b>tj t
t  b iuobiH rcttu funt /ecjulcs quod crdt demonftrdndum.

V icefima qufnta propofitio*

Diameter paralklogrammijdiuidit lpfiim pcr
aKjualia, ftfc-■&*&*■'* i&JpČr:

Sit pdrattclogr dmrnum ib c d,cuiutdidmeterfit d d.Tticobdcdi
tmetropdrdttdogrdmmum£qiuliterfec<tri.Quonum d b(? c druidi
fta>tt,crfupcredscddit a d,ejl pcrprimdm pdrtcm uicefun* privid ttn*
%ul:u b a d fuocodterno a d c £qu4.Us.Rur[utquonu a c &b d
funtpardUcld,Cf tisincidit d d eritpereandcm  zi* b ddfuocodU
terno e d d £qudlis.Suntitdcfcduo tmnguli d b do d c d,cr dnguli
bmfupcrcommuncmbdftnt a d funt£qules,pcrdccimdmnondincrgo
rcliqui dnguli  er ktcra funt £qudlid,qudre pcr fecundl propofitione trim
dngului tridngulo dqudlis. Hincetidmdiligenterintuenti pdtet \dtcn cit
tufcuncfc pdrdUelogrdmmi oppofitd efic gcpulia.

Vicefima fexta propofitio*

Omnia parallolcgrammafuper eadembafittt
atq? inlineis alternis coHocaca,funt acqualfa»

Sintlinc£dltcrn£,boceft,£quidiftdntcs dbv c d,interqudsfuper
tdttdembdftm c e fint coUocdtd duo pdrd.Uclogrj.mntd -f* dc e fe?
gce h,dicoedcfictcqudlid.Etfitprimout gcdddtinter d &f,Etquia
4 f cfltequds  g b,cimutrdc\;fit£qudlis c c,ergodbhtd comuni g ,f
remnebunt a g cfh £qtidlcs,cr d c eR<£qudlis fc propter £quU
Mjldntidm,dnguluiquoq; bfe extrinfecus cji £qudUs ungulo g d c
intrinfeco pcr fccundam p ur tem uiccfima primf.Cum crgo duoru trtin*
gulorum hfe&gdc  duo Utcrduniiu funt £qudlid duobus Uteribut
dlteriM,w dnguli £quis Idteribus contcnti £qitdles,crit pcrfccunddm dU
ter tridngulorm dltcri £qudis,didito crgo cis communi trdpczio f g
$ e crunt dggregdtdjboc cftjtfd pdrdllclogrjmnid £qud’id. Sccrndo
cdddt ginipfum punftum f ut infccunddfigurd.Etquid f d cfldcpim
tis h f ctm utrdi, fit£qudlis c coppofit£,ty d c toudlis f c oppoft -
t£iO~ dngulm h f c £qudlistmgulo fdc intrin r ecus fcilicet extrinfe
fO,perfecunddmitdq;erunttmnguli fdc&bf  c £qudlcs,ddditocr
go utria; tridngulo csmmuni f e  c, erunt per conccptioncm dggrcgatd
dfc e e* b f c c,boe ejUipfdpdrdUclogrdmmd £qudlid. Tcrtio cdddt
g cxtra f utintertiijigurd.Etquu dfcjl£qudUs  g h,idditd crgo

c

* V t g

V'"

>eomumi f g,drit a g <equališ fhJ& erit propterpHus dittdtrtitgu*
[us g d e £qudlis tridngulo h f e, ibkto er go db utrisfccmmuni trm
gulo f^g, qux relinquuntur trdpezid erunt £qudlid,fcilicet af£  c,er
g £ e b.Qtnbusfidddaturcommunistriangulus c % e,cruntdggregdt 4
<nqtidlid,quo& erat demonjlrandarn.

Vicefimafeptima propofitio«.

Si fliper imam bafim 8č  inter Iineas xquidift&
tes,- parallelogrammum 5č  triangulus ponant

parallelogrammum triangulo duplum erit*
Sim ut prim dtt£ linece d by c d £quidiftdtes,inter quds fuper bafim
x e fitpdrdllelogrmu d c e fcrtriagulus g c e, dico pardUelogrmu
duplu ef e triangulo.Nil ducatur k pučlo e linea e h <tquidijlas c  g-Pcr
prmifidergopdrdUelogramu. c ge h £qitalccftpdrdUelogrmo a c
e f. Sedper z$. e g cit fit didinettrpardUelogrami ege fadiuiditip*
fum per<sqialU,qudpYoptcr triangulus ege cft dimiditm paraUelo*
gr dimni ege b,quare etiX parattelogranu de e f quodrftpropofitfa

Vicefima oelaua propofitio
In omni triangulo rečtangufo 3 quadratiim late
ris oppofiti angulo rečlo, a?quale eft duobus
quadratis retiquorum duorumlaterum*

Sit triangulus a b c,cuiusdngulusare&iu. Quadrentur tria eiuttd
terafitf quadratu lateris b c oppofiti ungulo retto, b c d e, dico ip=>
fumefte£qualercliquisduobusquadratis,fcilicet d b fg, ab c£, qu£
E funt laterum angulum reftum continentium.Ducdtur enim db dngulo
' reli o d dd bafim d e, quadrati bede,  perpendicularis qu£ fecet b
c in m o d e in L H£cperpendicularis diuiditquadratum lateris ob*
tentiangidcrečto mduopardUclogramma fctlicet b m d l, <y m l
c e, quorum finiftrum dico efte ttqudlc qiu.drdto f niftro, v dextru qud
dratc dextra.Horum utriiq; eodem modo probdtur.  N dm trabant ur li¬
ne £ a d& c f c? probabimus quddrangulum finiftrujf:ilicet b m d U
£quale efte quadrdtofiniftro,fciiicet f g b a boe modo. Namquadrdtu
f g b a duplum eft tridngulo fb c perpr£cedentem,conjlituutureni
inter lineas £quidiftantes  g c c rfb fuper eandem bafim f b . Similiter
rettangulim bm d l duplu eft tridngulo d b d. N dm fuper candebi
fm b d inter lineds £quidiftdntes b d & umi ponuntur. Sed trian*
gulidittifunt £quales ut mox probdbitur, er go reiiunguUipfd dd<eqitd*

es tridngčos duph r unt in ter f » tccpi&d per fextd conceptioneJTridhgH
losccqudlesejicficpaut.sunteiumldterd fb er c btrmguli fb c£*
qu(tlialdteribut a b, b d trknguli d b d,dlterum dlterit angulimfu?
pir bis £quk Utenbui :c tcntifunt <equdlcs>fciUcet f b c  er db d,uterc
enim conftdt dngulo recic  c? dngulo communi d b c, funt igitur per fecU
im tridnptli<cqudles. Bodem modo oftcndes dextrum reftangultm c ni
l e (cquds efic cjudirdio dextro bde % duclis lineis d e c b £.To
lumergoquudrdtum b d c e,tequaleejlduobusquddrdtis db fgV4
h e  J quod er at demcnflrcmdtm.

CAPVT SECVNDVM

de Circulis*

Definitiones* ^ f  j

Grculuseftfiguraplana>una lineacontenta,fncu* c'

i'us medio pundus eft, a quo omnes lineas r z* hj ^^ J[ e  opf*
de ad circumferentiam pceuntes, fibi  inuicem
funt a:c|uales*

Circumferentia>eft linea continens circulum,

Centrum,eft medius ille pundus in circulo*

Diameter d'rculi,eft linea reda qug per eius centru
tranfiens;extremitatefcp fiias circuferentiae ap«»
plicansjcirculum in duo media diuiditvj
Semicirculus eftfigura plana 5  diametro circuli SC
medietate circumferentiae contenta*

Portio circuji eft figura plana, reda linea parte

circumferentte contenta* lemirirculo autma*
iorautminor*

Circulu linea cotingere dicitur 3 quaj cu circulu tan*
gat.in utrancp partem eieda eu non lecat*

Chorda,cft reda linea portione circuli continens.

Angulus fupra areum confiftercdicitur, qui a qli*
bet pundo arcus,ad terminos chorde duabus
lineis rediš exeuntibus>continetur»

c ij

Angulus confiflere fiipra centrom didtqui  a duz*
bus lincis refhs a centro ad drcumferentia pro
tračtis connnetur*

Prima propofino*

Angulus rečblineusdn (emicirculo fupra arcu con
fiftens rečhis efhln portione ucro minore (e*
micirculo confifteSjobtufusiOc in portione Cz*

micirculo maioreacutus efL
Sit circulus a b c, cuius dumetcr a  d c,er in femicirculo ab e
cotiftjlat angulus reftilir.eus a  b c, dico eum efie reftum. NA>n ducata*
b djCrprotrihatur c bode. Etquklihe<t d b & d a  perdefinitia
onem circuli funt <equdles,erit per qudrtam primi capitis Angului d b 4
tqiul:s angulo d a  b. Similitcrpropter tequalitdtcm linearum d b O"
d c, angulus d b c *qudis ejl angulo d c b. Totus itdq^ angulus Ab e
tequuUsc)l duobui angulis d Ab er d c b. Ateisdem <tqudtur per .z}*
primi cAp-Angulus extrinfecus e b a,  er go per primm communem fen*
tentiam Angului e b a  tcqualisejl angulo a  b c, ergo per definitionem
Aitgtilirefti.utercj; ejl rettus,patet igitur propof tum. Rurfus in portia
ne c b A minore femicirculo,confijht angulus rettilincus c b d,dico e»
efieobtufum. Ducuturper centrumcirculiquodfit d line a a  d e, v
imgAtur b e.  Et quU angulus ab e confijltt in femicirculo,ideo per
pr im X par trn huius propofitionis e ji reftusjed angulus a b c ejlmior
eo, per dejinitionem igitur obtufus eft^Porro in portione a b c femicir*
culo maiore confijldt Angulus reftilineus ab c ,dico eum efie acutujru*
catur per centru/m linea A d e v lineab e.Etquia angulus a b e in
femicirculo conjijlit, igitur ejl redus,angulus uero A b c, ejl tmnor co%
er go per dijfinitionem ejl acutus *

Secunda propofitio* ^ h ^iz

Circuli propofiti centrum inuenire* f 4

Sit circulus a  b c, eimcentrum ficinuenienuii . Vrotrahoturut tu* ^
betchordd a  b,er[uperalterutrm cius extremitdtem conjlituatur
gulus redus,uerbi grada,fuper terminum b, fit locaius a b c angulus  ^
reci us duda linea b c ufq;dddrcumferentia circuli. Deindc ducaturli*
ne a a  c, eaq; per medim diuidatur in pundo d, bunc dico efe cen* r **
trum circuli-Hamper hypotbefimangulus a b c eflredus,ergoperco
mfm pTAcdentis portia 4 h c in cm confijlit ejhfemircdMjiac*

,1

itdfy d e iidmterrptmlUn^ eius meiiut d centrom «

Tertia propoiitio*

Si linča'a centro exiens, chordam perarqualia
iecuerir,ad cam erit perpendicularis.

Sit eirculus a b,cuim centrum c, k quo extenfa redi d e d,cher»

ti a b.Trahantur c a v c b line*. Et (juta ti imguli d c d k
ter a <cqualid funt Uteribiu trknguii c d b.Efl enim per hypothe[im d i
dcjudlts d b,typerdefinitionem circuli c a *qualis cb.communis
*Utem utrif, triangulo c d. ldeo per icrtiAm primi,anguli c d aZ7
t d b fmtxquales,quare utcrcj;reftus, linčaigitur c d perpendicuks
ris ejlddliueam a b per dejinitionem.

Imea? ducantur, Qnxper centrum tranfieric,
omniumerit IongiflIina.Ec que diametru per*
feceri:>omniumerit brcuidima, Rcliqucc quce
centro propiores fuerint>remotioribus erunt
longiores..

Sitpunttits i fignatutin diametro d f, circuli d bed cuiut cent
trum kr V ducantur abeoad circumjirentiam line*  f ž>» £ t> £ d,  r.
Dico dbi qu*per centrum traufit omnium efie longiffmamč f - u*
Awnetrumperjicitmniubnuifinmm,lb longiorem efie  fc c g,era*
tropropin uiorfit.Et cd.lemratione c  f longiorem epe d i,atqi dcali*
K fimiliter.Connečiantur b b,b  c, k d- Oupnidjn p^rd^ciivam primi
capit.in triangu'o  t h b,duo fatera t h & h b fmt mioralaterc
t b,Z?A b vb b per dejinitionem circuli fmt *qudles,\deo e er [ecmdZ
conceptionetn»d k  fc *qudlis eft dttabits b ker b \',quareo a h Irm*
ior eft b  f.Pv«r 'usquoniam b b <equdisejl c h,zj f) teli communiu
ldeo per [ecmdamconceptionem bher  b£  line* fmt *quales c bcr
h  fc lineis,z? angulus b h  t maior efi per nonam communem fententia,
tngulo c hi  » ldeo 'er decimam oftaitam primi capitubafis b \ m,m
iorejibdft  c f. Etobeandemrationem c £ mioreft d  {SC d  £ itidm
ior e  f. Confhtergoeimqu*percc rrum tr.mfit omnium ejielongif*

dam ab per*qualiafccetinpuntio d,dicoperpendiadaremejie c d

S 'n diametro circuli pi a?ter centrum figretur
plin 5lus,8<f ab eo ad circumferentiam plurimg

Qiiarta propofitio.

[imii£rpropinqi(iom centro,remotioribas longiores efie.Rurfut d  |

s l

m u  rti

er h per decbmn qturtdin primi cdpitis miom funt d h,dt d h

perdefinitionemcirculi£qudUscJi fh>igitur d $rj- $ h maiora

fmt h f, ergoperqudrtdmcommunemfententidm,dbldtdutmcp \ h
communUreliqud d  £ mior erit f f-.Eddemrdtioite f  £ minoref
feojknderetur q c i,fiprotrattdefiet e centro h e. Mmjt/lmejb
ergo f  £ qtt£ didmetrum perficitomnitm epe minimrn.

Quinta propofitio*

Si extra circulum fignetur pund 9 , SC  ab eo ad
draimferentiam 3 iecanteseam,plurime ducati

PmonK r  n .

^  tur iine 2 e*Qu 2 cpcrccn trum tranliene, omniu
crit longiffima*C?ntro aute propiores, remo*
tioribus Iongiorcs. Particularum autcm qu3C
extriniecus circumferentiae applicantur 3 breuif
(ima erit quae diametro continuatur, 8>C ti pr o*
pinquioresrcmotioribuslongiorss* he* ll>res

Sitextracirculum t e d c bratita ccntrim n,punttia dfigftd*
tus,z? ctb eo id circumferentidmdpfam fcundo trahanturplurim£ Une£
ut £ n b, £ h c,£ g d, a f e.Dico interedt,d n b qu£perccrt
trum trunfit omnium ef.e longifiimm, reltqudt uero quo centro propin*
quiore;,eolongioresiPratereddico inter particulas difiarum linemm
exteriore;,a  | qu£ diametro contintuturMcuifiinuim epe,V reliqud/t
teintp tnmores,qu<tnto huic breuijtimsuicimom. Prim par; oftcnditur*
dticantur n c,n d,n e.EtquU a n z? n c aduales funtlinc£ 4
n b, maiore;ctutempcrdccimamquartam q a c,erit d n b quoq;
mior a c.Similimodo a n b mior ojknditur cateris expun£to d
duilii.Secundd parsfcajlruitur.Et quid d n er n c fmt £qudle; d
n v n d lineis, angulut nero a n c maior efl dngulo and,.  Icfe®
perdecimdmottdUdmprimi d c bdfismiorefl d d bdfi.Hduddliter
docebis d d mioremefie d e. Tertidpur; probatur protditis lineis
n h, n g, n f Nam d b O- b n funt per dccimdmqudrtdm primi
cdpitistmo"?; a n, ideo per 4 commmem fententiam.Si ab eis £qud*
Udduferantur n  £ er n h, ent d h refidiamdior d  fc.E odentoa
do otnne; dli£ exteriorc; particuU couincuntur maiore; epe d fyQUdr
tdpdr;ficoJknditur<Ndm d n Z? n h funt£qudlidlateribu; d n
er n g angulucautem d n h minordngulo d n g,ba[isigitur 4
b per  i $ primi minor ejl hafi d  g.

h tr es

v* r ’

%

extapropo{itio*

'»'tr,

7 ^

Si circulum reda linea contingat, & a pundo
contadus ad centrum ducatur reda linea, ipla

erit ad contingentem perpendicularis*

Sit linea a b contingemcireulum c e m puntto c>a<juoadcett»
trum d, ducatur reftalinea c d, qu£ fi non ejlperpeitdtcularis ad con
tingcntcm a b,fit d f perpendicularis adeamfecansciramferentia
in puntto e. Et quia angulm d f c eft rcttm^ritangidmf c d mi '
nor rede propter. z4. primi.Latus igitur d c per .15. primi capitis,
tnaiuscritlatere d f, fed d e efta^ualis d c per defnitionemcircu* r^ 1
li,ergo  cr d c critmior d f parsfuo totocjuodeftimpcfiibile.

Septima propofitio*

A pundo dato ad circulum ducere lineam co?

hi

s;

tmgentem*

11

'I

Sitpmdiuidatus a,cvrcdm b f c, centrum cius d. Expuntto d
adcirculum b f c,ficduciturcontmgens.Punttum diungecumcen*
trocirculi d linearetta,quampera:qualiidiuideinpmtto e, fittoq;
eo centro,duccirculimoccultu,quifecet circulum datum b f c mdu
o btispunttis b v c.Deinde a  pundo dato a ad punttafettionu b
€7  c trabantur line.c reda a b & a c,has dico circulum contins
. gere PDucantur d centro d ad puntta mterfettiomm linea: d b (7
d c, Z 7  circulus fuper e centroferiptmfiat manifefm.Et quia uterefc j  /. . 1

angulorum d c a o d b a confiftitfupra areum in femicirculo cir hu -m t*

, culi defcrtptifuper centro e,ideoperprimmhumc<ip,utercpejlre£iu4 ^ elan

Outercfccontineturlineadutta  <t centro parui cir culi b f c ad pun* Ulr,h’K  ,
dum quo linea ex pundo a dutta circulum b f c tangit , ideo per U , > r £

conuerfamprtcedentklinea a boa ccontinguntcircuhm b fc  1  <s a
quod er at demonjhrandum,  pl h o  1 5

Odaua propofitio*

Fn circulo angulus confiftens fuper centiofdu*
plus eft eius qui fuper circufercntia cofiftk, qn t

anguli eandem ba(im fiabuerint, ~^»ru hipL x

Sintin circulo a b c eumeentrum d-, fuper linam bafim,id eft,.

duo anguli,epuorum alter a b c fupeV areum coftfht,,  j /

1p<L \M-nfvh

l) ji  /aT<

areum a c

alter autem a d c fuper centrum , dico angulm a

g centratemt

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tJfeiuplutHdddHgultm 4  l  - .cireunnfimtUem. O&oificojtehMm
tur.Aut enim lateracircumfirentialk angulimcludunt angulum centra
lem,ut in prime. figur a,ant a\tcYum ex Idteribm angulm circmftrcnti
alem continentibm jit una line d cm. dltero laterum.anguli centratis ut in
f rcunda figura.  A ut umm ex Uteribus anguli circumfirentidlis fecdt alte
rum ex lateribin anguli centrdk ut in tertict figura. Includm ergo pru
mo latera anguli ad ciramfirentUm b a,cr b c, angulum d d. c cen
trdem, v trahatur Unca bde.  E tquia angulm d d e exlrinfecut
per  z 3  primicap.eji aqualis duobinangulistntrinfeck & oppofitk, d
h d, d a b,cr hi funt aquates,per quartam primi cap.eji enim d b
tkJUdlis d d per definitionem circuli,ideo angulm d d e duplin er it
anguli d b d, propter eandem ceufam angulm e d c duplin eftadan
gtiltm d b c,totm igitur d d c centralis duplin efhtd d b c angti
jmcircmfirentidkm.SccundofttldtUi a b anguli dd circamfirenti
dmunalinedcumldtere d d anguli dd centrum ut in fccunda figura.
Ef quia angulm d d c *quaUs ejlper  zj primi capitis duobmintrin
fecis anguln d b c V d c b.Hiautemfuntaqualesper quarta pri
. mi. ideo ad unumeorum boe eft,angulum d b c circwmferentiale,ium
plinefiangulus a d c centrato.TcrtiolatM d b anguliadeireum*
jfirentiamfecetldtus d c anguli adcentrum Ut in tertia figura. Produ
caturlinea b d mepad  e* Per z5 igitur primi er it angulut e d c
aquahs duobus anguln d b c er d c b,biautemfunt dquef.es per 4
primicapitis.ldeo angulm e d c duplinefiadangulm d b c.Vratt
reaangulm e d a pereandem  z$ primiduplmejladaitgulum d b 4
tiepto igfturhinc dup'o e d a,ffHnefvr.plo d b a,eritrefidum a
i c centralis duplm ad refidum d b c circumfirentialem quod er at
iemonfirandum*

Nonapropofirio*

stjfi'  In eadem portione quotIibet anguli fuper ar#

cum confiftentes a?quales fant*

Quoduniuerfditer proponitur de anguln confifkntibm fuper čire
€umferentU!!,demon(lr.itur tantum debnttngulis quifuper areumma*
itrem femicirculo confiflunt.Non dttinet enim id. demonftrare de angulif
fuperfemicirculum confifkntibm,quos omnes primd propofitio huiin ca *
docuit efie reftos, o ea propter aqua!es primd petitione afiipulante.  De
angulis autem dd areum minorem femicirculo, non potefi ofiendi eos tfie
*qtiales,mfi prim fequens propofitio demonfhetur.  In portione igitur a
e d e b mJore femicirculo confijlant fuper ar cu anguli a c ha d b


fr



4 e b, dico eo‘ efičdq:id!es.tJdm  .1  cetgro tircuH f ducjntUrtine* f 4
V f b.EtqnuMgului a fb ceittruhs fupere.tjhtbdfifuperqud dn
g ulut d c b circumfercntidlts igiiur ad cam dupluspropter precedi:*
tempereudanrationeeritdttpluutddngulmi <i d b Z7 dngulic d e b
ergo pcrfcptimdmcanununem fententidm funt interfe ccqudes.

rt«,  ,-ffri. Dcarnapropofitio.

(» tf U~~f °  In circulss quadniaterorLim odtenttum angu
oppofiti,duobus rcclis funt cequaks«.
Sitcircului 4  5 c d,c in co quddrildterit d b c d,dicoquof
Ubet duos eius dngulos oppofitos finud,duobus rcčtis £qudri.Ndm ex pri
vu.bitimperfticuum cflunum dngulurcftum d fcmicirculofufcipi,qud
propterduo redidnguli J. toto fufcipiuntur cimdo,Scdquicunbgduodti
guli oppofiti in quddiiUterš d b c d k toto fufcipiuntur circulo,er go
■*qudles funt duobus rediš, ut dngulus b d d fufcipitur db dreu b d d
A7 dngulus b .c d fufcipitur db dnu b c d,drcusdutem b d d<y b
Jt d totum circulum integrdnt, crgo pdtet propofitum,  Q uod fi dngu*
■los a d c & d b c confyderes,idemexpenerislExbdcpfojpo(xtiom-
liquidutt e(l,quotlibet dngulos confijhntes ftiper <trcum m portionc mino
fe f>micirculo efie dqiules.  N am finguli eonm cum dngulo con f (lente in
relicjtu, portioncjiciunt quddrildtertm, (7 propter hdnc propofitionem
finguli eorum cum dngulo reliqu£ portionis tequdles funt duobus rediš,
per primdttt ergo pctitionem,finguli cum dngulo portionis reliqux funt
4 qudles fmgulis am eodem dngulo, Mdto ergo undiq • communt dngulo,
onfiflcnte.f.in reliqud portionc, relinqucntur interfe£quales dnguli’,co
f ijlentes in portionc minorefemicirculo.

V ndecima propofirio*

Si circulum Kucarecla conringat,et a conta flu
in circulum,quxdam cum diipelcens recta lb
J aittrmln  nca,pra'ter centrum ducatur,anguli quos cum
c ncv-  contingente facit, a?quales funt ris qux in alter*
nis circuli portionibus confiftunt angulis.
Sitlincd d d b contingens circulum d e f b, cuius centrum
g Z? d pundocontddus d trdhdtur przter centrum hned d f quc
fecetcirculummdudsportioncs,dextrdm d e fftniflram d h ffkcU
adefc angulos duos cum contingente b d f dextrum,(7 4 d f finijlrit
D icodftgulmdextrum quem (kit Hned d f cum contingente ,fcilicet

6

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b d f, £quilcmefie angulo qumfufcipitfinijlu circuliportio d h f.
Et angulum fnijirtm quemfaeit linča d f cmcontingente.f. id
£qudemefic anguloauem dextrifufdpitportio d e f.Trabltur a  pu
do contadus per centrum lina d g h erconnedaturf h, ConftU
tuituretim ihportione d e f ingulusutlubitumfuerit.Qu : cquid de
bit duobus angulis monflritimjuerit,de omnibus ib his duabus p jr t ioni
busfrufceptis 'miubitanter procedet.Suntenm omnes, qui ib čadom por*
„ z-.  — tionc fufdpiuntur anguli,£qudes per nonmbuius. Et quia angulus d fh

^ m femkirculo confijtitjdeo p primi hum ejl redus,reliqui er go dno an*

k - "— guli ide triingulo d f b, fimitl mi rečto £quantur per z4 primi

' r ) capitis,dngulus quo$totus b d b redus ejl per fextam buius,p er pri

trum itacfepetitionem duo inguli d h f v f d h £qudes funt angulo
b d h. Ablatoergo communi angulo f d h,eruntre[idui b d f er f
b d £quales,qu£fuit propofiti um pars.Rurfus duo inguli f b d er
f e d inquadrilatero f h d e per dednram buius funt £quales duobus
rediš. At per dcdmam primi capitis,duo inguli b d f &■ a d f <eque
funt duobus redišpires,ergo per primampojlulationem duo inguli f h
d  er f e d funt £qudes duobus angulis b d f v i d f.Ablatis
ergo £qualibus utrinek angulis, hinc quidem f h d,illinc autem b d f
eruntpertertimconceptionemrefiduiinguli d e fv i d f inter
fe cequiles,qu£ eji propofiti alt en pan.

Duodecima propofmo.,

Cuiamcp  triangulo circufčribere circulum.

Sittriangulus i b c,cmcircufcnbiturcirculusbocmodo.Vesimobi
liscirciniutlibetextentipomturprimo m i V dtcropedefiant duo
occultiarcusalterfupralineam a b,alterinfra eam,Deindedrdnono
uariito pedemimmobilem transfer id ingulum b e-priores arcusin*
terfeci,pundiq^ fedionum iungclinei reda.Sm1iter fiant du£ intcrfe*
dionesfuper er infra lineam a c, ant b c, erinterfediones ut antea
iunge line a reda.  H £c ctm priori concurret,ooncurrat iutem in pundo
dihunc dico efecentrum drculi circumfcribendi triingulo i b c.  N<*
abangulisadpundim d tube lineas redas db.d a. d c.hifkd
le p rob ant ur efie £quales,per fecimdam primi cap. Line£ enim fediones
iungetes fecant latera truguli per media,et funtfuper e as perpediculares

Cap.tertium de proportione*
Proportio,eft duarum quanti'tatum eiusde ge
neris, inter fehabitudo*

PROPORTIO efl d‘uplex,Rationalis & irrationahs.

PRO P O RTIO rationalis,ejl qu£ denominatur ab aliquo numero.tt efl
inter quantitates commenfurabiles.

PRO P O RTI O irrationalis,efl qu£ no denomintttur ab aliquo namero,
V eflinter quantitates incommenfurabiles, ut inter cojlam  er dia*
metrum quadrati,qu£ funtafymmetr£,

PROPORTIO rationahseflduplex,£quditathCin&uuUtsiis
PROPORTIO i cquditatis efl quando£qudle ad£qude comparatur,

■ ■ ut 4 <td  4.

PRO P ORTIO in£qualitatis,ejlqua in<equdu inter fe conferuntur,ut
8 ad  4.

PRoPORTIO in£quditatiseflduplex,mdoris in£quxlitdtis  >er mi*
PROPORTIO maiorisin£qualitatiseflquandomaior  ( noriš,
quantitas comparatur ad minorem,ut  4 ad  z.

HVIVS quinq;fmtfpecies.Multip!ex,fuperparticularis,fuperparties,
Multiplex fuperparticularis,multiplex fuperpartiens *

MVXTIPLEX eftquando maior continet minorem plus cffemel,ut 1 z
ad } t H£c crefcit in infinitum.  N 'um dia efl dupla,dia tripla  ere.
S VPERP ARTIČ VLAR 1 S efl quando maior continet minorem,£r in*
fuperaliepuam eius partem.Et p£c decrefclt in infinitum.Sunt eius
ff>ecic$,fefquidtera quando maior continet minorem.& minorit di
midium.Ouodfi ultrafimmam minoris major continet eius tertu
p ar tem uocatur fefquitertia &c.

SVTERPARTIENS efl quando maior continet minorem  er aliquotem
iuspartes, Quod fi continet duas tertias uocatur fuperbipartiens
tertias,ut  y 5. si trn quartas,fupertripartiens quartas,ut  7 4 *
M V LTIPLEX fuperparticularis efl,quando maior continet minorem
plusqudm femeUcr infuper aliquam eiuspartem.  Q uod ft continet eu bis
er eiusdimidtum,dupla fefquidtera uocatur, ut  y* z, Si ter O"
tertiam partem,triplafefquitertia,ut  10* 3.

MVLTIPLEX fuperpar tiens efl quandomior continet minorem piti
quamfemel er aliquotpr£tereapartes. Quod fi continet eum bis,
er duas tertias uocatur dupla fuperbipartiens tertias,ut  8- 3.
ter,gr tres quartas,triplafupertripartiensquartas,ut  15. 4 *
PROPORTIO minoris m£qualitatis,eflquandominorquantitascom*
paraturadmaiorem,ut  z. ad  4. Et eius totfunt]fecies,quotma
ioris in£qualitatis,neq ; differut ab illis nomine,nifi  g, uocabulis pro
portionu mdoris \nxquditatis additurprapofttio fub, utfub mul*

d  3

tip!ex z 4 . SulfuptrpdrticuUris. z.  $. &e.

©ENOMINATIO proportionis , minorkqrmtit.itisdd mioremejl
purs uel partes,ut denommtio praporttots inter  3 v  5 ejl  j
Vinter z  4 » J

DENOMINATIO proportionis , qudntitdtis mioris adminorem eft
totum,uel totum vpm,uel totum v pdrtes ut denomindtio pro *
p orttonis 4 dd  5 eh  1 |

TERMINI proportionis funt miniminumeri in d!iqud proportione, ut
proportionis fcfcpddlter£.tcmini funt  3» z. quibtu minores in
bde proportione reperiri non poffunt.

Propofmo prima*

Numeros datsc proportionis ad terminos eius
reducere*

D iuiddtur imior numerus per minorem,v ntinor per refiduum duri*

ftonkprioris,v refiduum primcediuifionis per refiduum fccuncLe ditufio*
nis,fidtq; tuliš reciprocd diuifio, doneč occurrut nliquis numerus qui
diuidendum totum coHfunut.Dcindeper hunc numerti ultimo oc *
currentemdtuideut’rosq;numeros proportionis ddt£,qui exeunt
funtminimimmerukoc ejl,terminiern proportionis. Vtnumeri
proportionisqiueejlinter 50 V >S fcredigunturadterminos
proportionis. Trigintd diuiddnturper  18. V relinquentur  1 z.
per qux diuiduntur  ig V relincpicntur  6, perqu£rurfmdiui*
duntur iz v confumrntur.  Per hunc er go fendriim diuiddntur
numeridittifcilicet  3 o v  18. exibuntq;  j 3, termini,f.pro*
porportionis ddtoru m numerorum.

Hicdnimdduertcndum,quodfi in tdli reciprocd dim fone dd unitdte per ue
niretur ,ipfosddto$ numeros efe terminosneq- poficminores  r?«
pjeriri.

Secunda propoimo.

Cuiufčunc^ proportionis datar > denormnationem
inuenire*

Si proportio ddtdfuerit imioris in£qudlitdtis»diuide miiorem nue
rum perminorem,v numerus quiexit,denomindtio ejl proportio*
nis ddt£.si uero proportio ddtdfuerit minoris in£qudlitdtis, fuper
pone minorem mdiori inter ieftd uirgu!d>more mimtidrum uulgd «
rium,vhdbebis denomindtionem,reducenditdmen funt nameriti
terminos per prucedentem ficubiopusjiterit *

Tertiapropoimo*

Si unus numerus duos multiplicetj erit m uldpfica#
torum &produčtoru unaproportio;

Vt 3  er z mltipliceturfendrio,Vprouenict  i8.cr sz.edndecufto
dicntcs proportione qudm  5 er z* Smiliterediuerfo, Siunusnucrus,
duos diuidedo utruncp, confumat,erit diuiforu  c quotientu um pr opor*
tiotUt 6  cofumit 18 C? iz exeutquotietes  3 er z in edde proportione.

Proportionem proportioni addere*

MultiplicČtur untccedctesproportionudcitaruin fe D & deindcconfeque*
tes in fe,produtti nueri cujlodiet proportione copofta ex dudbus ddtis,ut
proportio  3 di z fitdddeddproportici 4 ud  3. Mt/ltiplico primo  5 er
4.dHtcced r :tesm fe er proueniiit  1 z.deinde z v  5 J. cofecjuetesinf
er proueniunt 6+lnter  is igiturC 6 ejlproportiocopofitdexdudbus
datis proportionibus.f.  5 dd z  ef 4 ud  3. N d midtiplicetur anteccdes
imim proportiois in confec[ucntČdlterw,ut  3 in  3 proueniut 9 qui
fhtuatur inter 1  ser 6 boe mo izkjč.tn  his iUq; tribus meriš uideš
dittds duisproportiocs.Na  Iz ad  9 efcpportioficut 4 /d  5.er 9 dd 6
ficut  5 dd  s* <Jko<J  prftet reducendo ecs dd terminos per primm huius.

Quinta propofitio,

Proportionem a proportione fubtrahere,

A ntecedes mioris proportionismultipliceturin cofequente nmoris, dem

inde cofeque$ nuioris in dntecedente minoris,duo nueri produtti cujiodim

ent proportione refidudm,ut 4 dd}pportiofit[ubtruhčdd a proportio

ne  5 -dd z.fmo er go ut diftu efter relinquitur proportio 9dd  8. N<?

tnultiplicetur dntecedesrmiorisindntecedenteminoris  er produttu Jh*  ^

tuednte dittos nileros boe modo  iz.9.8. N one iz. dd S.proportio eji f ^  j> &&  ,

ficut  5 dd  z. d qud ft dbieceris proportionem iz dd 9 id ejl 4 dd  5 fp

relinquitur proportio 9 dd  8*

Sexta propofitio*

Quot!ibct ^ppprtiaes eiusde denoiatiois cotinuare
Oudrdtur per priniajdte proportiois termini,Et pro dudbus continua,
disjucdtur antecedes ddtx proportiois primo in fe,deinde in confequete,
pojlremo cofequčs infe,tres nueriprodufiiduds cuftodiut proportiones
fimiles d&t£ .V erbigrdtid.Sint du£{c(quidlterx cdtinuddd.Eroportiois
fefquidlter£ termini funt  3 er z.Hultiplico igitur  5 in fe.demde in z

Quarta propofitfo.

e

De Proportionalitate. Cap JIIL

PROPORTIONALITAS cjlproportiommfimlitiido^

QV ANtitutes dicuntur proportionules quurm una eft propertio.

PROF ORtion ulit us  ril duplex,cotinuu  er difcontinuu.

CONTlnuu cftquundo oes quuntitutes funt untecedetes& conftquČtes y
pftCter primdquu eft untecedes tuntu,  er ultimu qu,e eft confapens
tuntu.Ethuc rcperitur ud minimu in tnbus termumut 4.  z. 1.

CISC ON tinuu eft quddo nuUu quutitus ftmul  er untecedes eft,  er c on fen
quens,ut iz.6.g.4.Et buc ud minimu in quuttuor reperitur terminis.

SEX funtftecies proportionulitutis,Conuerfd, Vermut ut a,  C oiunttu,
Uifwrittu,Euerfu,0'Aecptu.

CONvERSA eft.quudo eft primu ud fecundu, ficut tertiuud quurtu,v
exhoc inftrtur fecundu eft e ud primu ficut quurtu ud tertid,ut fiefts

ud u. fetit 6 ud ).erit ecouerfo 4 ud g. ficut  3 ud 6.

PERMVtutu eft. quudo primu e st ul fecundu,fcut tertiuud quurtum,et
ex hoc cocluditttr primu efte ud ter tiu,ficut fecundu ud quurtum ,utft
eft  8 ud 4.ficut 6 ud ^.eritpermututim  S ud 6 . ficut  4 ud  3.

CONiimčlu eft,quudo eft primu ud fecundu,ficut ter tiu ud quartu,cr ex
hoc inftrtur primu cti fecudu efte ud fecundu,fcut ter tiu cu quurtu ud
quurtu,utfieft  8 ud 4. ficut 6 ud ^.entconiunclm  iz ud 4. ficut

DISlVNCTA eft,quudo eft primu ud fecudu,ficut ter tiu (9 ud 5.

ud quurtu,tj ex hoc inftrtur,exceftus primu fuper fecundu efte ud fc
čudu,ficutexceftustertuefuperquurtu udquurtu,ut fieft 1$ ud  6.
ficut  9 ud i.eritdifiimttm  iz ud 6. ficut 6 ud  3.

JE RS A eft,quundo eft primu ud fecundu, ficut ter tiu ud quurtu,  Cr ex
hoc inftrtur primu efte ud exceft a eius fuper fecundu, ficut ter tiu ud
exceftu fuu fuper quurtu,ut fieft iz ud 4,ficut 9 ud i-eriteuerfm
tz ud S.ficut  9 ud 6.

AEQV a proportiomlitus,eft quudo funt dno ordines proportionmhet

proportionrs Inuim ordinis funt «cquales proporiionibm itiiut ordinis,
intermifsisq;<equalinuerointermcdijsinutrocpordine, infertur ude
efie praportio cxtremorum,ut fintduo  z4 48

ordines cequdlium proportionu,v intermitta*  8 id

Sifuerinttres nueri proportionales, quod cotinet
lub extremis, tcquu eft quadrato medi}*
Sinttresnucncdtimutiinproportioefc[quidtcrd t 9*6.4.ducdturcxtre
mi 9  er 4infe,producut  3 6 .qtnbm £qude efl quadratii medij fenarif.
Secunda propofitio*

Quelibet ex tnbus ^pportionalib 9  ignotu,inuenire
Si alter extremoriiignotm juen't,quadretur medim,er produttu diuida*
tur per extremii notu,prodiUt extremmignotm. si medim ignoretur,
ducatur extremi infe,er produtti radix quadrataerit medim.

T ertia propofirio.

Si fuerint quattuor nueri proportionales,quod co
tinetur fub extremis,sequu eft ei quodiub inter*
medrjs con tinetur*

S intquattuornueri \pportionales 6. 3,4. z.extremidutti infeprodu*
cunt  1 z.cui<equale eft quodcoftcitur ex mcdijs  5 er 4 in fe duttis.

Quarta propofitio*

Quelibet ex efttuor ,pportionafib.ignotu uienfre*

Si qm extremorii ignoretur, ducatur medij in fe,&r produttu diuidatur
per extremu not tl,v prodibit extremm ignotm.Quod fi quis intermedi
or um ignotmfuerit,multiplicentur m fe extremi,  er produttm per medi
um notum diftribuatur,prodibit medim ignotm .

QV AND O produtt uex duobm nuens eji tcqiule produtto ex alijs qui*
buslibet duobm nueris x tuc fi hipofleriores duo,prioribus duobm interpo
natur, aut ecotrario,erut hi quattuor nueri proportionales, ut t  pduttucx
iz.er l.hoceft,  3 6.ncquatur produtto ex  9 er 4-Quarefi 9 er 4  in ter
ferdtur iz V  3  hocmo 1 z.9.4. 3.er ut proportionales. Rut fiintcr 9
V4pondtur  iz er ^^nihilominm črtit vportionales,ut 9.  iz-3.4.

turutrobiq; duo intemedij, cernes extremo=>
rum eandem efe proportionem.

6 iz
5  6

Qiiinta propofitio*

s ;

rt-

k

Sexta propofitio.

Si totius ad totu eft proportio qux  detradli ad de^
tradum,erit refidui etia ad refiduu proportio,
qua2 totius ad totum,

Vt  i z. er $.babet proportione fefquialterd.Detrabdtur itaq; ab ds duo
meri qui eande hab e It proportione,ex i  z. quide detrakatur 9.vcx  3
(luferdtur 6 . Dicoreftduos fimiliiuftos proportioe. Ndfubtrattisp de
izreUnquutur  5. At 6  de 8  abiettis,rcmanent  s. 3 autcmrcffnciunt
z. fefquialtera proportione.

De triangulis aequiangulis, Cap»quintu*

Si duo trianguli ponantur inter lineas a?quidiftan*

tesarit ipforu tridguloru ^porfitio,qua ejl baftu,quibus 'mfijtunt.
Sint duo tridguli abcerd e f,inter lineas aquidiftdtes be-er af, dico ip
forii eflc t pportione,qu&cfl bafiu.Nd fi pofiti fuerint fliper bafes acptales
trianguli,funt aquales,fiuero fuper bafesinaqua!es, er tpfiinaquales per
z 6 . v z7.  Q uia uero taliu trianguloru aqualitas er inaqualitas,conco*
mitatur aqualitate er inaqualitatem baftm , necefiario erit triangido *
rim proportio qua eft baftum *

Secunda propofitio.

Sihnea retfa duo tridgulilaterafccet,tertio aquidijids ,erut fegmenta la
teru. proportionalia.Sit triangidus a b c,cuius lat era a b er c b fecet line4
d e aquidiflanter bafi a c , dico adaddb proportione ef e,ficut c e ud e b*
Trahat ur enim line a d c er e a, Er iit itaq; duo tridguli de a er de c aqu.t
les.Ndponutur fuper eande baftm d e,inter lineas d cera e aquidiftdtes,
quap rop ter babet ad tridgulu d b e,eande proportione.Sed proportio tri
angulia d c ad triangulu d e b,e ji per pracedente ficut bafis a d adbafim
d b. Nd tridguli ade,er db e ponutur inter lineas a:quidijldtes,quodpa
terctfiducereturaputto e <equidiftdslineaab.Similiterperpramifiam
proportio tridguli d e c ad triangulu deb eft ficut proportio bafis c e ad.
bafim eb.Nd tridguli de cer deb ponuntur inter lineas aqui:liftantes r
quodpatcret ftducereturd putto d Unca aquidijtans linea bc.Cum er go
trianguloru eft eadeproportio,ut modo oftenfum ejl, crit per coceptio*
nem prim d,er bafiu eade proportio,qua funt fegmenta in qua lat er a tri »
anguli ah c dijiettafunt,ergopatetpropofitum.

T erria propofitio*

DVORVM trianguloru(cquianguloru,lateracequosangulos reffiden
tiafuntproportionalia*

Sint duo triaguli £quianguli abc&def, [itangulus d tonalit angulo
d, ZJ angulus b angulo e,z? angulus c angulo f, dico latcra aquosangu
los afpicientia efte proportionalia, boccjl, pr opor time Uteris ah ad d e,
Z?acaddf,z?b c ud e f, efte ima.N  d fi triaguli funt £quilatcri, babe*
burit lateraaquis angulis oppofita proportione aqualitatis.siuero fuerlt
lateruin£qualiu,fupcrponaturprimodgulusbangulo e.Etquiafunt£*
quil.es ex hypothefi,cadet propter ottaud coceptionČ l.itus b a  fuper latus
ed,z?latusbc fuperlutuse f, z?quidangulusbaccftaqualtsangulo e
d f, erit linča a c £quidiftds linča d f per fecundd par te uiceftma.H d line
is a c z? d fincidit e d lineaficiens angulit extrinfecu eac aquale in trin ==
fecofliexeadeparteoppofito ed ftperpracedenteergodaad a b ficut
feadeb  z? per proportionalitate comunčtam d a e adab  ficut f cead
ad cb.Deinde angulus d con gruat angulo d, ZZT fimili modo probetur f d
eftead c a ficut e d ad b a,Z7patcbitpropofitum*

QuartapropolItio,

Si a b  angulo rečlo trianguli orthogonrj > ccciderit

ah bafim pcrpedicularis,erut tres trianguli.ftotalis z?duo partia
les <tquianguldv.nde perpedicularis inter fegmenta bafs  medio lo*
co erit proportiondisiUe utrunq, latusmedio locoproportioiude
erit inter to tam bafmz? fegmentum fibi contermimle.

Sit triagulus abc,  cuius angulus b reftus, d quoad bafim a c cadat perpe
dicularis b  d f Dico totale triangulu a b c-fS duos partialesa bdzpbdcin
ter fe efte aqmngulos.  N a quilibet eoru habet angul  t redu,totalis qui*
de a b c,partiales uero,angulos qmfuntadd,comumcat ifuper uterq; par
tialiu cit totaliin uno angulo, quare tertij er ut ctii aqualesppter 24. pri
cap.Memeto igiturangulu b a daqu.de efte angulo d b c, z? angulu abd
<cquale angulo b c d.Corollarij utra'q■, parsfticile probatnr/i diligeter ud*
uerteris,qu£ lat era cequalibus oppondtur anguliS. Cu enim duo partiales
trianguli fint£quianguli,emu pcrpracedente Utera £quosangulos re*
fficientia proportionalia. Latus itaq; a d finiftri trianguli ad tat us d b tri
anguli dextri,ejl ficut ide latus db trianguli finiftri ad latus d c trianguli
dextri.Uic aduerte b d line d bis funti, prim ut latus dextri trianguli, de
inde ut latus fnifiri triaguli,z?ut uarie fmitur,ita uarios aftpicitangu*
los. Rurfus latus a c totalis trianguli ad latus a b finiftri ficut latus ab to*
tališ trianguli ad latus a d finiftri, uiden latus b a medio loco eftepropor
tionale inter totd bafnt a c,et part e fibi conterminalea d. Similiter latuf
a c totalis trianguli adlalusb c dextri,ficut Utus b c totalis ad latus d c
dextri » e  5

J P JjTt&~  U‘*« , Y

Quintapropo{itio* r ;

Duabus lineis propofitis, tertfam i-nter eas in pro*
portionalitate continua collocare*

Sint ducc linc£ dbzrb c,inter quds linei ntedio loco proportiondlis ime•>
Hitur hoc modo.  D ata line te continuetur m direftu,cr fnuub c,de'mdeftt
per eds cotinudtis duedtur femicirculm i d c>cr apuiido b educitur per
pendieuhris d b m J; ud circuferentiim femicirculi+udc dico efie medio lo
co proportiondle inter lineis abgr bcddtis. N iprotributurline£ d d
KT d  c*En> itd'qfper primi fecudi cupitis angulus id c rc(tw,k quo id bi
JkZjffcdl a i)  J/r f ,mac ca dit perbypothefim perpendicuUris b d, per pneedente ergo
h  pig  .  ipfd bdejl medio loco proportiondlis inter fegmentd bdfis a borbe,hoc

I

p

I

e ji,ir. ter lineis ddtis.

Sexta propofitio*

Duabus lineis clatisjtertiam ds  in continua propor
tionalitate Cubmngere.

Sint duc line c dit.e 4 b,er c, propofitueft ekfubiugcre tertii, ud qui -  .
fehibedt fecunddftcut primi febahetad fecundi.Coiunge ergo anguldS
rit er Unec 4 b linei 4 d temile c ddtte vconeditur b d.Deindelinei  ’ /


tl b protrihempid e iti ut b e fit tequihs c ddtte,®- expuntto e e duc
aquidij}4nteipfibd,qu4pr^igdgnec£bcurrgtcu a d protračUinpu*
do f.Dico df efteci qule qmritur.Ni ottriinguh de ftltnci b d.fecit
duo cim liter d df er 4 c, tequidiftins ter'ao,ergo per fecundi hfiiusfeg
mentierutproportiomlid,hocejl 4 b id b c,quirectiimid c,funt
enim pofitte 4 qudles,ficut d d, er ob id c, id d f.

Septima propofitio*.

Si in circulo duše redtac lineacfeadinuicemfecue*
rint 5 reCtangulu coprehenfum fub feclioil) 9  uni*
us,xquale eft ei quod fub fegmentis alterius cof
prtehenditunredtangulo.

In circulo ddbe  fecentfe dutt rede uteuefc cotigerit ab er c din pufto
r  e. Dico redigulu quod cotinetur fub lineis de® e b.tcqudle efte ei qd’co

f-. fb tineturfub d c®ec.Trdhitur d d®cb  rečic.Et quil triiguli led

•  .4  •» ere cb funttequunguli>ri4angulus ded tequdturfibi cotnpofito b e

f- per undecimim primi cip.utr angulus d de tcqudis cftingulo b c e


/

/g

Ji

\$4~

*frf*

per' undecimim primi cip,V angulus d de tcqudlis eftangulo  1
per nouim fecundi cip. fufdpiuntur enim ib eodemarcu fcilicet dic.b,

tčrtim itdcfc angulm tertio £cpu&$ eft propter z4 primi cdpitis ; Lrfife
rd itaij;čcjuosctngulosrcfptcieiuidjuntproportionahd per tertimhu*
iusJEcrgo d e dd e c ficut e d dd e b,ergo per tcrtiam quarti ca
pitis,quodfit cx a. e in cb tequdle eft ei qnodfit ex e c 'm e d
quodeftpropofitm.

Očfciua propofirio«

Si circulum linea conringar, Sc  a termino contin^
gentis trahatur linea circulum difpefces 5 quod
continetur fub tota dilpefčente &č  parte eius

gentis 4

Sit circulus bde,  quemlined d b conlingdtinpuntto b,cr d ter
mino d linea contingentk utcimaj libuerit,trdhdtur Unca circulum ir
chus portiones defpcfcens,fitq; d d c. Dico rettdnguhtm quod fub to-
td d d c continetur,CT portionc exteriori d d, aquu/m efte quddrd*
to linc.ccontingmtis d b.Trdhdtur d puntto eontdttus b ddpunda
quibui lined d d c circulum fecdt, linc£ b d z? b c. Hdbes duos'
tridttgulos aquidngulos totdlem ,fcilicet d b c & purtidlem d b d.
N dm angulm bed,  totdlis tridnguli, <equdlis ejlper undecimdm fecu*
dicdp.dngulo d b d, pdrtialis tridnguli JLtdngulus b d d utricj;cfi
communis,tertiusigiturtertio <equdUsejl. Et quid trianguli d b c z?
db d fu / nt(cquidnguli,eruntper tertidmhuins ,ldterd tcquos dnguloi
rejpicientia proportionalid. Latus jgiiur totdlis tridnguli c d d,dd b
4 Idtm pdrtidlis tridtiguli, ficut Idtus b d totdlis tridnguli,adldtui d
d pdrtidlis trianguli. Tres ergolinece c d, d b, d d,
funteontinue proportiondlcs■ perprimam er go qudr»

exteriori, tequum eft quadrato lineaecontiiv

tiedpitisquodfitex prirod c d intertidm
d d <equim eft cjuadrdto medi# d b,
fwd eut demonjirandm -

PIN 1 S*