PRESEK LETNIK 44 (2016/2017) ŠTEVILKA 3 9 770351 665432 9770351665432 9770351665432 MATEMATIČNI TRENUTKI KOLOFON • •• Skrajševanje casa vožnje letala po tleh -> Težko seje odločiti, kateri del potovanja z letalom je bolj zoprn: prehod čez detektor kovin, sezuvanje čevljev, sredinski sedeži, boj za naslonjalo za roke med sedežema ... Zagotovo na tak seznam sodi tudi čakanje na vzletni stezi tik pred vzletom. Kontrolorji letenja pogosto dovolijo letalom zapustiti izhod, četudi steza ni prosta, in tako povzročijo dolgo čakanje. Z matematičnimi modeli, ki temeljijo na verjetnostnem računu in na dinamičnem programiranju, lahko predvidimo potrebni čas do prihoda na stezo in čas čakanja na stezi. Tako pomagamo kontrolorjem izbrati med različnimi možnostmi, ki vplivajo na čas vzleta letala. Med preizkušanjem modela na različnih letališčih so uspeli skrajšati čas čakanja na stezi, kar je pripomoglo tudi k zmanjšanju gneče in k zmanjšani porabi goriva. Modeli so zelo natančni in uspejo predvideti število letal na stezi na dve letali natančno. Kljub temu, da so zelo zapleteni (vsebujejo veliko število neznank, med njimi npr. vreme in konfiguracije steze), so izračuni zelo hitri. Kontrolorji dobivajo osvežene podatke o pričakovanih čakalnih vrstah na vsakih 15 minut. Modelov še ne uporabljajo prav vsa letališča, a se to utegne zgoditi zelo kmalu zaradi predvidenega povečanja zračnega prometa v naslednjih petih letih. Analize kažejo, da s primerno organizačijo vzletov lahko izboljšamo letališča in učinkovitost letalskih družb. Za bolj natančne informačije si lahko preberete članek »A Queuing Model of the Airport Departure Pročess«, ki sta ga leta 2015 objavila I. Simaiakis in H. Balakrishnan. XXX Presek list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje letnik 44, šolsko leto 2016/2017, številka 3 Uredniški odbor: Vladimir Batagelj, Tanja Bečan (jezikovni pregled), Mojča Cepič, Mirko Dobovišek, Vilko Domanjko, Bojan Golli, Andrej Guštin (astronomija), Marjan Jerman (matematika), Martin Juvan, Maja Klavžar, Damjan Kobal, Lučijana Kračun Berč (tekmovanja), Peter Legiša (glavni urednik), Andrej Likar (fizika), Matija Lokar, Aleš Mohorič (odgovorni urednik), Igor Pesek (računalništvo), Marko Razpet, Matjaž Venčelj, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik). Dopisi in naročnine: DMFA-založništvo, Presek, Jadranska uliča 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, telefon (01) 4766 553, telefaks (01) 4232 460, 2517 281. Internet: www.presek.si Elektronska pošta: presek@dmfa.si Naročnina za šolsko leto 2016/2017 je za posamezne naročnike 19,20 eur - posamezno naročilo velja do prekliča, za skupinska naročila učenčev šol 16,80 eur, posamezna številka 3,76 eur, dvojna številka 6,89 eur, stara številka 2,71 eur, letna naročnina za tujino pa znaša 25 eur. Transakčijski račun: 03100-1000018787. Devizna nakazila: SKB banka d.d. Ljubljana, Ajdovščina 4, 1513 Ljubljana, swift(bic): SKBASI2X, iban: SI560310 0100 0018 787. List sofinancira Javna agenčija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofinančiranje domačih poljudno-znanstvenih periodičnih publikačij. Založilo DMFA-založništvo Oblikovanje Tadeja Šekoranja Tisk Collegium Graphičum, Ljubljana Naklada 1300 izvodov © 2016 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije - 2010 Razmnoževanje ali reprodučiranje čelote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno. Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana. NAVODILA SODELAVCEM PRESEKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV 2 PRESEK 44 (2016/2017)3 Presek objavlja poljudne in strokovne članke iz matematike, fizike, astronomije in računalništva. Poleg člankov objavlja Prikaze novih knjig s teh področij in poročila z osnovnošolskih in srednješolskih tekmovanj v matematiki in fiziki. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralčev, učenčem višjih razredov osnovnih šol in srednješolcem. Clanek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev) in sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo). Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma razumemo ločeno od besedila. Slike v elektronski obliki morajo biti visoke kakovosti (jpeg, tiff, eps, ...), velikosti vsaj 8 čm pri ločljivosti 300 dpi. V primeru slabše kakovosti se slika primerno pomanjša ali ne objavi. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (čopyri-ght). Zaželena velikost črk je vsaj 12 pt, razmak med vrstičami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku na naslov uredništva DMFA-založništvo, Uredništvo revije Presek, p. p. 2964, 1001 Ljubljana ali na naslov elektronske pošte presek@dmfa.si. Vsak članek se praviloma pošlje vsaj enemu anonimnemu re-čenzentu, ki očeni primernost članka za objavo. Ce je prispevek sprejet v objavo in če je besedilo napisano z računalnikom, potem uredništvo prosi avtorja za izvorne datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različič urejevalnikov TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek. Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu. MATEMATIČNI TRENUTKI 2 Skrajševanje casa vožnje letala po tleh I 4-8 9-15 18 21-23 24-28 MATEMATIKA Učinkovito razlikovanje ključev (Janja Jerebic) Naloga (Marko Razpet) FIZIKA Poskusi s svetlobo - 2. del (Andrej Likar in Nada Razpet) Razmisli in poskusi -Odgovor na vprašanje iz številke 40/3 (Mitja Rosina) ASTRONOMIJA Astronomski izzivi treh dežel (Andrej Guštin) RAČUNALNIŠTVO Klasični algoritmi za urejanje v bločnem programiranju (Igor Pesek) i I I RAZVEDRILO 18 Barvni sudoku 16-17 Nagradna križanka (Marko Bokalic) 29 Rešitev nagradne križanke Presek 44/2 (Marko Bokalic) 30-31 Naravoslovna fotografija - Halo (Aleš Mohoric) TEKMOVANJA 19-20 36. tekmovanje iz znanja fizike za Štefanova priznanja v šolskem letu 2015/2016 (Barbara Rovšek) 52. tekmovanje iz matematike za Vegovo priznanje - državno tekmovanje 60. matematično tekmovanje srednješolčev Šlovenije - šolsko tekmovanje Tekmovanje iz fizike za zlato Štefanovo priznanje - državno tekmovanje 8 9023902390239023902353 MATEMATIKA Učinkovito razlikovanje ključev Janja Jerebic -> Skoraj vsak izmed nas se je že kdaj znašel v situaciji, ko je s šopom bolj ali manj enakih ključev stal pred zaklenjenimi vrati in iskal pravega. Problem učinkovitega razlikovanja ključev je leta 1979 predstavil Frank Rubin v reviji Journal of Recreational Mathematics 1 s spodnjo nalogo, katere rešitev je bila v omenjeni reviji objavljena leta 1980, podana pa je tudi v knjigi z naslovom: Which Way Did the Bicycle Go?2 Profesor, ki je slep, ima svoje ključe zbrane na okroglem nosilcu. Na razpolago ima l različnih vrst oznak (obročev) za ključe, ki jih je mogoče ločiti po otipu. Vsako od l oznak lahko uporabi poljubno mnogokrat. Ključev brez oznak profesor ne loči. Koliko ključev ima lahko na nosilču, da bo ob uporabi l različnih oznak znal izbrati pravega, četudi se mu bo nosileč zavrtel ali obrnil? Recimo, da želimo na nosilcu imeti točno določeno število ključev. Potem vprašanje zastavimo takole: Najmanj koliko različnih oznak potrebuje profesor, da bo ločil med svojimi n ključi? Ce ima profesor le en ključ, je jasno, da posebne oznake zanj ne potrebuje. V primeru več ključev je kljuc brez oznake oznacen s tem, da nima dodatne oznake. Zato bomo v nadaljevanju predpostavili, da so vsi ključi označeni. Za en ključ na nosilču je torej dovolj ena oznaka. Kaj pa, če ima dva ključa? Ker se nosileč lahko obrne ali zavrti, ključev ne bo mogoče 1Frank Rubin, Problem 729, Journal of Recreational Mathematics volume 11, p. 128, 1979. 2J. Konhauser, D. Velleman in S. Wagon, Which Way Did the Bicycle Go?, Dolciani series, Mathematical Association of America, Washington, DC, 1996. razlikovati, ce bosta enako označena. Potrebni sta torej vsaj dve različni oznaki in dve sta tudi dovolj. Jasno je namreč, da bo ključe mogoče vedno prepoznati, če bodo njihove oznake paroma različne. Naša naloga pa je, da poiščemo najmanjše potrebno število različnih oznak za učinkovito razlikovanje med ključi. SLIKA 1. Cikli Pri reševanju naloge za tri ali več ključev si bomo pomagali z orodji teorije grafov. O osnovnih pojmih teorije grafov je Presek pisal že v prispevku Stopnje tock grafov v nalogah, ki je bil objavljen v drugi številki letnika 26, še več o grafih pa lahko preberete v knjigi R. J. Wilson in J. J. Watkins, Uvod v teorijo grafov, Knjižnica Sigma 63, DMFA, Ljubljana, 1997. Okrogli nosileč z n ključi, kjer je n > 3, bomo identificirali s ciklom na n vozliščih, ki ga označimo s Cn. Vsako vozlišče čikla bo predstavljalo enega od ključev. Na sliki 1 so prikazani čikli C3, C4, C5 in C6, ki po vrsti predstavljajo nosilče s tremi, štirimi, petimi in šestimi ključi. V čiklu Cn je vsako vozlišče stopnje dva, kar pomeni, da ima natanko dve sosedni vozlišči. Ce čikel Cn poljubno zavrtimo ali obrnemo, spet dobimo čikel Cn. Ceprav se položaj vozlišč pri tem lahko spremeni, se strukturne značilnosti grafa ohranijo. Gre torej za bijektivno preslikavo objekta samega vase, ki ohranja sosednost in nesosednost med vozlišči. Rečemo ji avtomorfizem ali simetrija grafa. Formalno avtomorfizem definiramo takole: 4 PRESEK 44 (2016/2017)3 MATEMATIKA C3 Cs Cn SLIKA 2. Cikli z oštevilčenimi vozlišči a : I 1 2 3 ■ V a(1) a(2) a(3) ■ a n ^ (n) ) vozlišč iz množice V(C3). Hitro lahko ugotovimo, da je vsaka od njih tudi avtomorfizem cikla C3, saj ohranja sosednost med vozlišči, kot je prikazano na sliki 3. ai ^12 3^ ^12^ ^12 3^ 1 2 3 a2 : 1 3 2 3 3 2 1 a3 a4 1 2 3 : 1 2 3 : 1 2 3 ^ 2 1 3 J aS^2 3 ^ ^ ' ^ 3 1 2 j ae Naj bo G graf z množico vozlišč V (G) in množico povezav E(G). Bijektivna preslikava a : V (G) — V (G) je avtomorfizem grafa G natanko tedaj, ko velja uv G E(G) a(u)a(v) G E(G). Avtomorfizem a grafa G je pravzaprav permuta-cija njegovih vozlišč, ki ohranja sosednost med vozlišči (zadošča pogoju iz zgornje definicije). O permu-tacijah je Presek že pisal v tretji številki letnika 16, in sicer v prispevku O igri petnajst in permutacijah. Permutacijo a lahko podamo na vec nacinov. Eden od njih je prikaz s tabelo, kjer v zgornjo vrstico zapišemo elemente množice V (G), v spodnjo pa njihove slike. Če vozlišca cikla Cn po vrsti oznacimo s števili 1, 2,...,n, kot je prikazano na sliki 1, potem tabela permutacije a : V(Cn) — V(Cn) izgleda takole: 1 2 1 1 SLIKA 3. Avtomorfizmi cikla C3 Število vseh permutacij množice z n elementi je enako n! = n ■ (n - 1) ■... ■ 2 ■ 1. Permutaciji c, za katero je c(i) = i za vsak i = 1, 2,...,n, recemo identična permutacija oz. trivialni avtomorfizem (identiteta). Trije ključi Zaceli bomo s primerom treh kljucev oz. s ciklom C3. Vozlišca cikla C3 oznacimo s števili 1,2 in 3 kot na sliki 2. Spodaj je zapisanih vseh 3! = 6 permutacij Najmanj koliko razlicnih oznak potrebuje profesor, da bo razlikoval tri kljuce na okroglem nosilcu? Da je odgovor tri, ste verjetno že ugotovili, kljub temu pa razmislimo zakaj. Poiskati moramo takšno oznacitev vozlišc cikla C3, ki jo bo ohranjal le trivialni avtomorfizem. To pomeni, da po nobeni netrivialni simetriji nosilca za kljuce razporeditev oznacenih kljucev ne bo enaka zacetni. Profesor bo zagotovo potreboval vsaj dve razlicni oznaki, saj v nasprotnem primeru vsak izmed šestih avtomorfizmov ohranja oznacitev. Toda zakaj dve oznaki nista dovolj? Pri poljubni oznaci-tvi treh kljucev z dvema razlicnima oznakama bosta imela dva kljuca zmeraj enako oznako. Oznaki bomo na slikah oznacevali z modro in rdeco barvo. Oglejmo si sedaj oznacitev na sliki 4. Predpostavimo, da je profesor iz žepa potegnil nosilec s tako oznacenimi kljuci. Ker ima le en kljuc rdeco oznako, ki se po otipu razlikuje od modre oznake, ga bo hitro 1 1 1 s 2 4 2 3 2 4 3 1 1 1 1 3 e 2 3 s 3 3 2 2 3 1 2 3 2 2 3 3 PRESEK 44 (2016/2017) 3 5 MATEMATIKA SLIKA 4. Označitev cikla C3 z dvema oznakama O (b) (c) prepoznal. Preostala dva ključa imata enaki oznaki. Eden od njiju je sicer na levi in drugi na desni strani rdečega ključa, a kaj, ko ne ve, če in kolikokrat se mu je nosilec obrnil. Zato taka označitev z dvema oznakama ne bo dobra, saj smo našli netrivialno simetrijo čikla C3, ki to označitev ohranja. Za ta konkretni primer je to simetrija a2 s slike 3. Rečemo tudi, da označitev ni razlikovalna. Označitev vozlišč poljubnega grafa G je razlikovalna, če jo ohranja le trivialni avtomorzifem grafa G. Na podoben način kot zgoraj hitro ugotovimo, da nobena označitev vozlišč čikla C3 z dvema različnima oznakama ni razlikovalna. Profesor bo zato moral vsakega od treh ključev označiti drugače. Štirje ključi Ugotovili smo že, da sta za dva ključa potrebni dve različni oznaki, za tri ključe pa tri različne oznake. Bodo zato za štiri ključe potrebne štiri različne oznake? Razmislimo. Graf, ki predstavlja okrogli no-sileč s štirimi ključi, je čikel C4. Označitev njegovih vozlišč z eno oznako ni razlikovalna, saj jo ohranjajo vsi avtomorfizmi čikla C4. Preden nadaljujete z branjem, jih zapišite. Za razliko od permutačij vozlišč iz množiče V(C3), od katerih vsaka določa avtomor-fizem čikla C3, je v primeru čikla C4 le tretjina takih. Preverimo sedaj, ali obstaja razlikovalna označitev vozlišč čikla C4 z dvema oznakama. Na slikah ju bomo označili z rdečo in modro barvo. Glede na število oznak posamezne barve sta možnosti dve, 1 + 3 in 2 + 2, pri čemer sta pri drugi možnosti mogoči dve različni razporeditvi oznak. Ce upoštevamo še vse simetrije čikla C4, obstajajo le tri različne označitve njegovih vozlišč z dvema različnima oznakama. Prikazane so na sliki 5. Je katera od njih razlikovalna? Odgovor je ne. Predstavljajte si, da so vozlišča čikla C4 označena s števili od 1 do 4 kot na sliki 2. Potem SLIKA 5. Označitve cikla C4 z dvema oznakama lahko za vsako od označitev (a), (b) in (č) najdemo netrivialni avtomorfizem, ki jo ohranja: (a) ^ 1 2 3 4 ^ ^ 1 4 3 2 J (b) (c) : : 1234 3412 1234 2143 Kaj pa, če uporabimo tri različne oznake? Modri in rdeči dodajmo še zeleno. Pri vsaki taki označitvi bosta zmeraj dve vozlišči enako označeni. Ce upoštevamo še različne razporeditve oznak in simetrije grafa, ugotovimo, da obstajata le dve različni označitvi vozlišč čikla C4 s tremi različnimi oznakami. Prikazani sta na sliki 6. Netrivialnega avtomorfizma, ki ohranja označitev 6(a), ni težko najti. A veste, kateri je? Za označitev 6(b) na prvi pogled ni videti, da bi tak avtomorfizem obstajal. Razmislimo sedaj, kaj mora veljati za avtomorfizem grafa na sliki 6(b), ki ohranja njegovo označitev. Ker avtomorfizem ohranja označitev, se lahko vozlišče določene barve preslika le v vozliče SLIKA 6. Označitvi cikla C4 s tremi oznakami 6 PRESEK 44 (2016/2017)3 MATEMATIKA enake barve. To pomeni, da mora tak avtomorfizem fiksirati vozlišči modre in zelene barve (ju preslikati sami vase), saj sta edini vozlišči take barve. Ostaneta še vozlišči rdeče barve. Avtomorfizem, ki fiksira tudi ti dve vozlišči, je identiteta, avtomorfizem, ki bi zamenjal rdeči vozlišči in hkrati fiksiral modro in zeleno vozlišče, pa ne obstaja. Avtomorfizmi ohranjajo sosednost med vozlišči in zato zamenjava rdečih vozlišč, ki imata paroma različne barve sosednih vozlišč, ni mogoča. S tem smo dokazali, da je označitev s slike 6(b) razlikovalna označitev čikla C4 s tremi oznakami, in ugotovili, da profesor za učinkovito razlikovanje med štirimi ključi na okroglem nosilču ne bo potreboval štirih, ampak le tri različne oznake. Pet ključev Obravnavo primera s petimi ključi prepustimo zainteresiranemu bralču, ki naj dokaže, da so za razlikovanje med petimi ključi na okroglem nosilču prav tako potrebne (in zadostne) tri različne oznake. Šest ali več ključev Bodo tri oznake potrebne tudi, če imamo na nosilču šest ključev? Oglejmo si še ta primer. Da potrebujemo vsaj dve oznaki, je očitno. Vse možne označitve čikla C6 z dvema oznakama (do simetrije natančno) so prikazane na sliki 7. 5 ^O"^ 3 4 Cn SLIKA 7. Označitve cikla C6 z dvema oznakama SLIKA 8. Označitev cikla Cn, n > 6, z dvema oznakama Pričakovali bi, da bomo za vse primere hitro našli avtomorfizem, ki ohranja označitev. Toda za označitev (f) na sliki 7 je videti, da takega avtomorfizma ni (za vse ostale obstaja - poiščite ga!). Osredotočimo se sedaj na označitev (f) in si oglejmo njene posebnosti. Prva od teh je, da obstaja le eno rdeče vozlišče (4) z dvema modrima sosedama (3 in 5), od koder sledi, da ga avtomorfizem, ki ohranja označitev, mora fiksirati. Prav tako obstaja le eno modro vozlišče (3) z dvema rdečima sosedama (2 in 4), ki se bo zato tudi preslikalo samo vase. Vsako vozlišče v čiklu ima natanko dve sosedni vozlišči. Ce avtomorfizem neko vozlišče fiksira, lahko ta isti avtomorfizem njegovi sosedni vozlišči bodisi fiksira bodisi zamenja. Ce je eno od sosednih vozlišč fiksno, mora biti tudi drugo. Z zaporedno uporabo zgornjega razmisleka po vrsti ugotovimo, da so poleg vozlišč 3 in 4 fiksna še vozlišča 2, 5, 1 in 6 čikla C6 s slike 7(f). Pri tem je bilo ključno to, da smo našli dve sosedni vozlišči čikla, ki ju mora poljuben avtomorfizem, ki ohranja označitev, fiksirati. Predstavljajte si sedaj, da med vozlišči 5 in 6 čikla s slike 7(f) vrinemo še poljubno dolgo verigo modrih vozlišč in na ta način dobimo označen čikel Cn, kjer je n > 6 (slika 8). Tak čikel spet vsebuje natanko eno rdeče vozlišče z dvema modrima sosedama in natanko eno modro vozlišče z dvema rdečima sosedama. Zato mora avtomorfizem, ki ohranja označitev, ti dve vozlišči fiksirati. Omenjeni vozlišči sta poleg tega še sosedni. Ker ima vsako od njiju natanko dve sosedni vozlišči, od katerih je eno fiksno, mora biti tudi drugo fiksno. S tem posopkom nadaljujemo in ugotovimo, daje edini avtomorfizem čikla Cn, ki ohranja označitev s slike 8, identiteta. Rezultat je dokaj presenetljiv. Pričakovali bi, da bomo za 1 3 PRESEK 44 (2016/2017) 3 7 MATEMATIKA —^ razlikovanje med več ključi potrebovali več različnih oznak, a se je izkazalo drugače - če ima profesor na okroglem nosilcu šest ali več ključev, bo za učinkovito razlikovanje med njimi potreboval le dve različni oznaki. Razlikovalno število grafa Zgoraj predstavljeni problem so raziskovalči pred približno dvajsetimi leti posplošili tako, da nosileč za ključe ni bil več nujno okrogel in da so definirali razlikovalno število poljubnega grafa G, D(G) kot najmanjše število d, za katerega obstaja razlikovalna označitev grafa G z d različnimi oznakami. Končept razlikovalnega števila je bil vpeljan v članku M. O. Albertson in K. L. Collins, Symmetry breaking in graphs, Elečtron. J. Combin. 3(1996), R18. Danes smo torej določili razlikovalno število čiklov in ugotovili, da je D(C3) = D(C4) = D(C5) = 3 ter D(Cn) = 2 za n > 6. O znanih razlikovalnih številih drugih grafov pa več kdaj drugič. _ XXX Naloga Marko Razpet -> Izračunaj ■ 62 - 5 , 562 - 452, 5562 - 4452, 55562 - 44452. Nato rezultate posploši na razliko kvadratov oblike 55... 5 62 - 44... 4,52 . n n Rešitev Uporabimo enakost a2 - b2 = (a - b)(a + b) in dobimo: ■ 62 - 52 = (6 - 5)(6 + 5) = 1 ■ 11 = 11, ■ 562 - 452 = (56 - 45)(56 + 45) = 11 ■ 101 = 1111, ■ 5562 - 4452 = (556 - 445)(556 + 445) = 111■1001 =111111, ■ 55562 - 44452 = (5556 - 4445)(5556 + 4445) = 1111 ■10001 = 11111111. Predvidevamo, da velja enakost 55... 5; 62 - 44... 4 52 = 11... 1. n n 2n+2 (1) Ce hocemo (1) zares izpeljati, ne le uganiti, se moramo spomniti, kaj desetiški mestni zapis števil sploh pomeni. 1949 je npr. le krajši zapis števila 1 ■ 103 + 9 ■ 102 + 4 ■ 10 + 9. Brez težav pa lahko krajše izrazimo vsoto Sn = 1 + q + q2 + ... + qn, kjer je q poljubno število, ki ni enako 1, n pa poljubno naravno število. Ker je qSn = q + q2 + q3 + ... + qn + qn+1 = Sn - 1 + qn+1, dobimo Sn iz enacbe qSn = Sn + (qn+1 - 1): ■ Sn = 1 + q + q2 + ... + qn = V posebnem primeru q = 10 je qn+1 - 1 q -1 1 + 10 + 102 + ... + 10n = 1 (10n+1 - 1). 9 (2) Enakost (1) lahko sedaj z uporabo mestnega zapisa in (2) preverimo tako: 55... 5 62 - 44... 4i 52 = nn = (55... ^ 6 - 44... 4ß 5)(55... ^ 6 + 44... 4:5) = n n n n = ,11... 1.-1,00... 0,1 = n+1 n = (10n + ... + 10 + 1)(10n+1 + 1) = 1 (10n+1 - 1)(10n+1 + 1) = 1 ((10n+1)2 - 1) = 99 1 9 9 (102n+2 -1) = 1 + 10 + ... + 102n+1 = 11... 1 2n+2 XXX 8 PRESEK 44 (2016/2017)3 FIZIKA Poskusi s svetlobo - 2. del ^ ^ nU Andrej Likar in Nada Razpet V drugem delu poskusov s svetlobo se bomo posvetili preslikavam z lečo, poskusom z laserskim kazalnikom, valovni optiki, polarizaciji svetlobe in optični aktivnosti ter zaključili z doma izdelanimi ukrivljenimi zrcali s folijo. Preslikave z lečo Realna slika z dvema Fresnelovima lečama Fresnelova leča ima lahko v primerjavi s premerom zelo kratko goriščno razdaljo. Dve taki leči tvorita realno sliko predmeta, ki jo brez težav opazujemo z obema očesoma. Zdi se nam, da slika lebdi v prostoru. Vodna leča Tudi z vodo lahko naredimo lečo. Imeti moramo ustrezen model, kamor vodo nalijemo. Z merjenjem krivinskih polmerov modela in goriščne razdalje leče lahko določimo lomni količnik vode. Pripomočki: vrč z vodo, sestavljivi plastični približno krogelni kapiči (dobimo ju pri prodajalču plastičnih okraskov), zaslon. Navodilo. Oba dela plastičnega modela ločeno potopite v vodo in ju pod vodo sestavite. Model naj bo na začetku popolnoma napolnjen z vodo. Z vodno lečo preslikajte oddaljen predmet. Slika nastane v goriščni ravnini leče. Izmerite goriščno razdaljo. Pripomočki: Fresnelovi leči (ali dve leči grafoskopa), barvna žarniča, stojali za leče. Navodilo. Leči postavite drugo za drugo. Sliko žar-niče lahko opazujemo z obema očesoma. Slika lebdi v prostoru. Dve leči omogočita večji prostorski vtis, ker vidimo realno sliko že iz manjše oddaljenosti z obema očesoma hkrati. SLIKA 1. Lebdeča žarnica SLIKA 2. Realna slika na zaslonu z vodno leco. vode v modelu. Spreminjamo količino -> PRESEK 44 (2016/2017) 3 9 FIZIKA Nato vodo izlijte in model le delno napolnite z vodo. Kaj se zgodi s sliko (goriščno razdaljo)? Kaj vse lahko ob takem poskusu povemo o preslikavah z lečo? Opomba. Prečni presek modela je elipsa. Ukrivljenost najlaže ugotovimo tako, da opazujemo senco predmeta (slika 3). Poiščemo krožnico, ki se elipsi dobro prilega, in izmerimo polmer. Vstavimo v enacbo 1 = (n - 1) 2, f r pri čemer je f goriščna razdalja leče, n lomni količnik vode, r krivinski polmer modela. Pri tem smo vpliv plastike zanemarili. Si SLIKA 3. Senca prečnega preseka modela in prilegajoča se krožnica SLIKA 4. Napis vidimo povečan. Lega osi ni pomembna. Izginjajoči napis Navadno dijakom pokažemo, kako se pojavi kova-neč, ko v prazno posodo, na dnu katere je ob robu kovaneč, nalijemo dovolj vode. Tokrat naredimo obraten poskus. Poglejmo, kako lahko napis izginja. Cilindrična leča Pripomočki: vrč z vodo, valjasta prozorna posoda, pisalo, karton. Navodilo. Prozorno plastenko, katere en del ima obliko valja, napolnite z vodo in jo zamašite. Na kos kartona napišite dve veliki tiskani črki, ki nista simetrični, npr. FR. Karton postavite za plastenko. Ko pogledamo skozi plastenko, vidimo povečano sliko napisa ne glede na to, ali je os valja navpična ali vodoravna (slika 4). Zdaj pa napis FIZIKA postavite za čilindrično lečo tako, da boste videli napis preslikan, kot kaže slika 5. Vse primere ponazorite še grafično. Pripomočki: vrč z vodo, večji neprozoren lonček, manjši plastični prozoren lonček, knjižno kazalo. Navodilo. V večji lonček nalijte vodo, v prozoren lonček ob rob pritisnite knjižno kazalo. Lonček s knjižnim kazalom počasi potapljajte v vodo. Preizkusite prozorne lončke z različno plastiko. Spreminjajte svojo lego in opazujte, kako to vpliva na dolžino vidnega oz. potopljenega dela knjižnega kazala. V plastično posodo nalijte vodo. V prozoren (manjši) lonček ob rob pritisnite knjižno kazalo. Lonček s knjižnim kazalom počasi potapljajte v vodo. Kaj opazite? Preizkusite prozorne lončke z različno plastiko. Spreminjajte svojo lego in opazujte, kako to vpliva na dolžino vidnega oziroma potopljenega dela knjižnega kazala. Skičirajte potek žarkov. 10 PRESEK 44 (2016/2017)3 FIZIKA SLIKA 5. Preslikava napisa FIZIKA. Os valja je vodoravna (zgoraj), os valja je navpična (spodaj). Predmet v leči Vodna cilindrična leča omogoča poskuse, pri katerih je predmet v leči. Spreminjamo lego predmeta v posodi in opazujmo, kaj se dogaja z njegovo sliko. Plošča v leči Pripomočki: valjasta posoda, vrč z vodo, trši plastični pravokotnik, svinčnik, karirasti papir, merilo. Navodilo. V prozorno plastično valjasto posodo nalijte vodo. Pod posodo postavite karirast papir. Plastični pravokotnik postavite navpično v posodo in ga pritisnite ob sprednjo steno. Nato ga počasi oddaljujte od stene. Opazujte, kako se navidezna širina pravokotnika spreminja v odvisnosti od razdalje od prednje ploskve. Opazovanje loma svetlobe Pripomočki: prozorni kozarči različnih oblik, barva za pirhe, voda. Navodilo. Kozareč napolnite z vodo in ga postavite na mizo ali okensko poličo. Na vodoravni podlagi SLIKA 6. Kazalo pritisnemo ob rob prozornega lončka in ga skupaj z lončkom postopoma potapljamo v lonček z vodo. opazite svetlobne lise, ki nastanejo zaradi loma svetlobe, ki prihajajo od sonča oz. od odboja na oknih in vratih. Oblika svetlobnih lis je odvisna od lastnosti kozarča, kot sta oblika in napake v stenah, pa tudi od kota, pod katerim padajo vzporedni svetlobni žarki na kozareč. PRESEK 44 (2016/2017)3 11 FIZIKA stena posode merilo smer gledanja SLIKA 8. Svetloba prihaja iz dveh smeri (zgoraj). Na kozarec pada direktna svetloba s sonca in odbita svetloba od okna in steklenih vrat. Vodo v kozarcu smo obarvali (spodaj). SLIKA 7. Pravokotno plošco smo postavili navpično v valjasto posodo z vodo (zgoraj). Premikanje plošče (spodaj). Ponovite poskuse še s praznimi kozarci. Slamica v valjasti posodi z vodo Pripomočki: slamica, valjasta posoda, vrc z vodo, merilo. Navodilo. V posodo natocite vodo. Postavite sla-mico poševno v posodo, kot kaže slika 9. Kaj opazite? Spreminjajte lego glave. Kaj opazite? Nato postavite slamico navpicno in jo premikajte od leve proti desni, kot kažejo slike 13. Kaj opazite? SLIKA 9. Slamico postavimo poševno v vodo. Kje mora stati slamica in kje opazovalec, da bo del slamice, ki je pod vodo, izginil? 12 PRESEK 44 (2016/2017)3 FIZIKA SLIKA 10. Slamico premikamo od leve proti desni. SLIKA 11. Dela slamice, kije pod vodo, ne vidimo. Literatura Poskusi z laserskim kazalnikom Laserska pahljača Ozek čurek svetlobe iz laserskega kazalnika lahko razširimo v ravnino, če čurek usmerimo na ozko okroglo stekleno paličičo. S takim čurkom si označimo točke na prostorsko razgibanem predmetu, odbiti žarek pa lahko pokaže drobne odklone od sičer gladke površine predmeta. Tako lahko opazujemo šibke valove na vodni gladini. Pripomočki: laserski kazalnik, steklena paličiča ali čevka, zaslon. Navodilo. Laser usmerite na sredino čevke. Na zaslonu opazite rdečo črto. Poskusi z laserskim kazalnikom Ozek čurek svetlobe iz laserskega kazalnika lahko ponazori svetlobne žarke. Tuje nekaj poskusov, kjer to izrabimo. [1] N. Razpet, Postavimo predmet v lečo, Naravoslovna solniča, 19, štev 1 (jesen 2014), str. 36., Modrijan. [2] D. Ivanov, S. Nikolov, Optičs demonstrations using čylindričal lenses, Physičs Edučation, 50, September 2015, str. 578 - 559 [3] N. Razpet, Poloviča leče -poloviča slike?, Presek, 44, štev. 1, str. 18 - 21, 2016/2017. Pripomočki: laserski kazalnik, trak, lončki, črn zaslon, voda. podstavek, lepilni Navodilo. Pritrdite laserski kazalnik na podstavek. Posvetite z njim na rob praznega lončka. Potem lonček napolnite z vodo in poskus ponovite. Uporabite različne lončke. Nato v kozarček z vodo dodajte ka-pljičo mleka ali natočite vodo tako, da bo v njej dovolj zračnih mehurčkov (slika 13). Opazujte odboje od sten kozarčka. PRESEK 44 (2016/2017) 3 13 FIZIKA SLIKA 12. Potek žarkov iz oddaljenega svetila skozi stekleno paličico (zgoraj). Na zaslonu se pojavi črta (spodaj). Valovna optika Valovno optiko demonstriramo s standardnimi poskusi, kot je poskus z režama. Z laserjem se taki poskusi prav lepo posrečijo. Kaj pa z belo svetlobo? Ena od možnosti je seveda prikaz oljnih madežev. Drugo omenjamo tu - s pogledom skozi režo mikro-metrskega vijaka pri dovolj zaprtem vijaku se pojavijo barve. Tu prikažemo še eno, ne tako pogosto omenjano možnost - interferenčne barve, ki nastanejo na jeklenem merilu z milimetrskimi graviranimi oznakami. Svetloba iz reže pada na ravnilo pod zelo ostrim kotom. Na sliki 14 zgoraj je na levi svetla reža, na desni pa njena odbita svetloba na ravnilu s polmilimetrskimi oznakami. Odboj na delu ravnila brez oznak ne kaže barvnih prog (spodaj). SLIKA 13. Dvakratni odboj laserskega žarka na stenah kozarčka z vodo (zgoraj). Laserski žarek usmerimo na rob kozarčka, na zaslonu opazimo pahljačo (spodaj). SLIKA 14. Barvne interferenčne proge po odboju na jeklenem merilu Pripomočki: jekleno ravnilo z milimetrskimi ali polmilimetrskimi razdelki. 14 PRESEK 44 (2016/2017) 3 FIZIKA Navodilo. Na ravnilo posvetite skoraj tangenčialno z močno belo lučjo in opazite barvne interferenčne proge. Polarizacija svetlobe in optična aktivnost Poskusi s polariziranimi čurki svetlobe so med najzanimivejšimi. Zakaj se beli čurki polarizirane svetlobe čudovito obarvajo, lahko le bežno razložimo. Ker je svetloba iz računalniškega zaslona linearno polarizirana, se taki poskusi vsakomur posrečijo, saj moramo imeti le polarizačijska očala, ki jih ni težko dobiti. za znanost, saj moramo vanjo izvrtati luknjo, kamor montiramo čevko za zrak. Skrbna izdelava se poplača, zrčalo sičer nima vrhunskih optičnih lastnosti, za prikaz realne slike pa je prav primerno. SLIKA 15. Napetosti v plastičnem trikotniku, kot jih vidimo v svetlobi iz računalniškega zaslona s polarizacijskimi očali (levo). Tudi celofan ali različno debele plasti prozornega lepilnega traku se pravljično obarvajo (desno). Pripomočki: plastičen trikotnik, čelofan, prozorne plastične folije, polarizačijska očala, računalnik. Navodilo. Trikotnik postavite pred bel zaslon in ga opazujte s polarizačijskimi očali. Nagnite glavo na levo in nato na desno stran. Namesto trikotnika lahko uporabite tudi več plasti prozornega lepilnega traku, prozoren ovojni papir, tanko plastično folijo, ki jo raztegujete in trgate. Kako ugotovite smer po-larizačije? Konkavno zrcalo s folijo Konkavno ali konveksno zrčalo večjega polmera lahko izdelamo iz elastične aluminizirane folije, kije na voljo v vsakem kompletu avtomobilske prve pomoči. Ker kompleti zastarajo in jih je potrebno obnoviti, ni težko najti tak zavržen komplet s folijo, ki se je ni nihče niti dotaknil. Primerno posodo žrtvujemo SLIKA 16. Doma izdelano zrcalo s folijo. Ce v posodo zrak vpihnemo, dobimo konveksno zrcalo, če ga izsesamo, pa konkavno zrcalo. Pripomočki: aluminizirana folija (zaščitna folija), primerna okrogla plastična posoda, plastična čevka. SLIKA 17. V dno plastične posode izvrtamo luknjo in vanjo vstavimo plastično cev. Navodilo. Najprej v dno posode ali pri strani izvrtajte luknjo in vanjo vstavite plastično čev, jo pritrdite in poskrbite, da dobro tesni. Zaščitno folijo raz-prostrite na mizo. Nanjo položite plastično posodo. Posoda naj ima rob in naj bo neupogljiva. Folijo pritrdite na posodo tako, da pod rob tesno navijete vr-vičo ali pa jo na posodo prilepite z močnim lepilnim trakom. Skozi čev boste izsesali (vpihnili) zrak in tako oblikovali konkavno (konveksno) zrčalo. Takemu zrčalu lahko spreminjamo goriščno razdaljo. _ XXX PRESEK 44 (2016/2017) 3 15 RAZVEDRILO ^ ^ ^ N a g ra d n a k r i ž a n ka avtor marko bokauč dobava dobrin, potrebnih wildov junak gray 'konec" pomoíi pomanjkanje apettta antično poslopje za glasbene prireditve nekdanji argentinski nogometaš (juan) klinast predmet za trdno namestitev javen poziv mlečni napitek japonski premier (šinzo) moteča hladnejša območja v fotosferi sonca tekoče telesno tkivo stara predivnica izum johanna reisa nas jezikoslovec (jakob) poletno ozvezdje v zenitu z zvezdo vega 11 glavno mesto malua ekstenzor (mišica) standardizacija avstrd. pesnik (rainer m.) ganski diplomat (kofi) staro naselje prizadru italijan. motorist (valentino) telo četverec naš nadškof (stanislav) krvno telesce za strjevanje krvi reka v severozahodni nemčiji poganjek za cepljenje nekdanji francoski predsednik d'estaing vzhod-njakinja voltamper tvor vas ob madžarski meji pri lendavi grafično oblikovanje matevž bokauč področje matematike nagrajen umetnik au znanstvenik šahistka petek (profesorica ma-temahke) razstava na vsaki dve leti kraj pod gradom rihemberk na primorskem 15 svedski astrofizik (hannes) 16 mehka težka kovina smučarski v tujih sestavljenkah kazimir tarman steklar. mesto na nizozem. območje za obrtno dejavnost odbite obresti denarna enota v gruziji zunanji preizkus znanja na osnovni šou stara davščina plemenski oven po gorenjsko slikarska tehnika sladek primorski drevesni sadež musliman. moš.ime srednjeevropska reka nas pisatelj (fran) pritok dordonje reka in dvojno jezero na severu irske sestavni del (snov) kondenzatorjev oče v arabskih imenih samoglasniki stik north carouna angleški nogometni zvezdnik (david) pevec leskovar sokratova žena enaka so-glasnika poletno zodia-kalno ozvezdje štorklji soroden tropski ptič življenjski prostor na morskem dnu smučarski skakalec prevc, petrov brat oče prašič kraj pri brežicah 16 PRESEK 44 (2016/2017) 3 RAZVEDRILO kotna funkcija grško-rimsko obdobje knjiga ali usti z natipkanimi predavanji za študijske namene pritok bosne pri doboju strupena oljnata tekočina izetiln. alkohola kratek povzetek vsebine listine ivan vidav geometr. telo rimeno rjava barva 10 mrena, ki ovija pljuča, poprsnica rozevi-nast izrastek na glavi živali knjižni izraz za pekel skandinavski drobiž, oer ohm po naše pekočina v požiralniku 13 krono-meter "sredina" kolone enota za električni tok sestavni element 'konec' veljave ime več poljskih kraljev domi5lek v filmu področje matematike 12 doba prvih razvojnih stopenj v pred-klasičniumenosti italijan. dramatik (dario) palestin. voditelj (jaser) vojaška pivnica stranica pri kegu. stezi našarg. pevec največja reka v toskani gora nad posočjem način dela, metoda črno kurivo iz lesa primorska jed iz zelja, krompirja in fižola z njo se kaj zašije trz. pisat. (boris) evropska vesoljska sonda mejna reka med nemčijo in luksemburgom naprezanje poglavje korana doba, epoha človek posameznik naš knjiž. (miloš) industr. oblikovanje mesto pri torinu dolžinska mera za blago puccini-jeva opera izrazit rt na vzhodni obau španije veuka papiga 2. oseba množine ibsenova dramska junakinja blato na dnu voda, mulj steza vsnegu 14 biatlonka sachenbacher olimpijske igre krajevna skupnost it. pisateljica morante 100 m2 jurčičev vaški posebnež [ finski arhitekt (eero) NAGRADNI RAZPIS Crke iz oštevilcenih polj vpišite skupaj z osebnimi podatki v obrazec na spletni strani www.presek.si/krizanka ter ga oddajte do 15. januarja 2017, ko bomo izžrebali tri nagrajence, ki bodo prejeli knjižno nagrado. XXX PRESEK 44 (2016/2017) 3 17 FIZIKA Razmisli in poskusi Odgovor na vprašanje iz ŠTEVILKE 40/3 Mitja Rosina 51. Kako visok stolp iz kock lahko zgradite? Zabavno je tekmovanje, kdo bo zgradil višji stolp iz kock ali kamnov, predno se bo podrl. Vzeli smo lesene kocke s stranico a = 3,15 cm iz otroške zlagal -nice. Po nekaj poskusih se nam je posrečilo zložiti n = 22 kock (višina stolpa skoraj 70 cm). Omejitev je seveda, koliko vodoravna je miza, koliko vzporedni in gladki sta nasprotni ploskvi kock, koliko je prepiha in treslajev iz okolice in kako mirno roko imamo. Dokler položimo malo kock, je stolp zelo stabilen, potem pa moramo cedalje mirneje in na-tancneje polagati kocke, ki se hocejo rahlo nagniti ali pozibavati. Potem se nenadoma stolp podre. Stolp se podre, ce se nagne toliko, da seka nav-picnica skozi težišce spodnji rob. Višina težišca se poviša z na/2 na diagonalo C. Višinska razlika je torej (glej sliko 1) Az = C - na/2 = na/2)2 + (a/2)2 - na/2 « a2/4(na). Potencialna energija se poveca za AWpot = nmgkz = mg a/4, torej neodvisno od števila kock. Kriticni kot nagiba _ = a/2 = 1 a tga na/2 n in je obratno sorazmeren s številom kock, torej je pri narašcajocem številu kock potrebna cedalje vecja natancnost. Pri našem poskusu je bil kriticni kot nagiba a « 1/22 = 4,5 % = 2,6°. Pri tem nagibu se je povecala potencialna energija samo za mga/4 (toliko, kot ce bi dvignili eno kocko za 8 mm ali vse kocke za 0,36 mm). In stolp se je prevrnil! SLIKA 1. _ XXX Barvni sudoku V 8 X 8 kvadratkov morate vpisati zacetna naravna števila od 1 do 8 tako, da bo v vsaki vrstici, v vsakem stolpcu in v kvadratkih iste barve (pravokotnikih 2 X 4) nastopalo vseh osem števil. 3 1 5 2 7 5 7 3 6 .............. 8 5 .............. 8 3 7 4 8 5 6 6 1 XXX 18 PRESEK 44 (2016/2017)3 FIZIKA 36. tekmovanje iz znanja fizike za Stefanova priznanja v šolskem letu 2015/2016 •is 4" Barbara Rovšek -> Tekmovanje je potekalo brez večjih zapletov. Naloge so bile rešljive, eksperimenti so se posrečili, učilnice niso zgorele, priznanja in nagrade so šli v prave roke. Državna tekmovalna komisija pri DMFA Slovenije v sestavi Vesna Harej, Barbara Rovšek, Jelka Sakelšek, Mojca Štembergar in Lucija Željko je z opravljenim delom zadovoljna. Šolskega tekmovanja se je udeležilo 7771 učencev 8. in 9. razreda in od teh jih je 2862 prejelo bronasta Stefanova priznanja. Na področno tekmovanje, ki je potekalo v 17-ih regijah po Sloveniji, se je prebilo 1714 učencev, 617 jih je osvojilo srebrno priznanje. Državno tekmovanje je bilo v soboto 9. aprila 2016 na Pedagoški fakulteti v Ljubljani, Fakulteti za naravoslovje in matematiko Univerze v Mariboru ter na Osnovni šoli Dušana Bordona Semedela-Koper. Tekmovala sta 302 učenca, od katerih jih je 107 osvojilo zlata priznanja, 195 pa srebrna priznanja, podeljena na državnem tekmovanju. Številčni podatki o udeleženčih tekmovanja, mentorjih in podeljenih priznanjih so od leta 2001 naprej javno dostopni in na voljo na spletni strani https://www. dmfa. si/Tekmovanja/Stati sti ka.aspx. Pri eksperimentalnem delu državnega tekmovanja so osmošolči proučevali upogib plastičnega ravnila. Na krajišče ravnila so obešali uteži in merili, kako je odklon ravnila od vodoravne lege odvisen od mase uteži in dolžine ravnila. Seveda so morali narisati tudi nekaj grafov in v grafično predstavljenih rezultatih meritev prepoznati vzorče in pravila. Merjenje, ki so ga opravili devetošolči, tokrat ni bilo (kljub pričakovanjem mnogih) povezano z elektriko. Pri eksperimentalni nalogi so devetošolči nad plamenom sveče pekli pokovko. Zrna koruze so pred SLIKA 1. Tekmovalci na državnem tekmovanju v Ljubljani beležijo upogib ravnila. (Foto: Jan Šuntajs) peko in po njej stehtali z enakoročno mikrotehtničo. Večinoma so vsi pravilno ugotovili, da je razpočeno zrno koruze lažje od zrna koruze pred peko. Mikrotehtničo, katere glavni sestavni del je bila slamiča, so pred tehtanjem koruze umerili. Graf, ki so ga risali devetošolči, je bila umeritvena krivulja za mikro-tehntičo. Pomemben del naloge je obsegal proučevanje občutljivosti mikrotehtniče. Razpis tekmovanja za novo šolsko leto, v katerem so zapisane vsebine tekmovanja, pravilnik tekmovanja in bilten 36. državnega tekmovanja, kjer najdeš tudi naloge z državnega tekmovanja z obširnimi rešitvami, so objavljeni na prenovljenih spletnih straneh DMFA Slovenije, https://www.dmfa. si/Tekmovanja/FiOS/Default.aspx. Lepo je med nagrajenči videti dekleta - tudi v 9. razredu je nekaj deklet le za las zgrešilo nagrade. Zanimivo pa je tudi to, da je slaba poloviča nagrajen-čev (6 od 13) z Gorenjske. PRESEK 44 (2016/2017) 3 19 FIZIKA 8. razred 9. razred V 8. razredu so prejeli nagrade štirje učenči in tri učenke. 1. nagrada ■ Gregor Globevnik, OŠ Stražišče Kranj, mentoriča Silva Majčen. 2. nagrada ■ Simon Bukovšek, OŠ Škofja Loka-Mesto, mentor Matjaž Pintarič; ■ Marjetka Zupan, OŠ Ig, mentoriča Martina Brenče; ■ Jakob Schrader, OŠ Majde Vrhovnik, Ljubljana, mentoriča Milena Valentan. 3. nagrada ■ Jure Majcen, OŠ Karla Destovnika-Kajuha, Šoštanj, mentoriča Irena Rotovnik Aplinč; ■ Laura Drašler, OŠ Ivana Cankarja, Vrhnika, mentoriča Ana Turk; ■ Tjaša Sušnik, OŠ Naklo, mentoriča Špela Knez. V 9. razredu je prejelo nagrade šest učenčev. 1. nagrada ■ Tevž Lotrič, OŠ Predoslje, Kranj, mentoriča Erna Fajfar. 2. nagrada ■ Martin Šifrar, OŠ Janka Modra, Dol pri Ljubljani, mentoriča Tatjana Cvelbar; ■ Vladimir Smrkolj, OŠ Toneta Cufarja, Ljubljana, mentoriča Sonja Koželj; ■ Gašper Košir, OŠ Komenda Moste, mentoriča Damijana Ogrineč. 3. nagrada ■ Jan Klemenc, OŠ Orehek Kranj, mentor Tomaž Ahčin; ■ Tadej Strah, OŠ Ferda Vesela, Šentvid pri Stični, mentoriča Aniča Vozel. SLIKA 2. Nepopolna skupina nagrajencev 36. tekmovanja osnovnošolcev za Štefanova priznanja na prireditvi Bistro-umi 2016, ki je potekala 14. maja 2016 v Gallusovi dvorani Cankarjevega doma v Ljubljani, skupaj s po-deljevalkama nagrad, Jelko Sakelšek in Barbaro Rovšek. (foto: Jan Šuntajs) _ XXX 20 PRESEK 44 (2016/2017)3 ASTRONOMIJA Astronomski izzivi treh dežel nU NU NU Andrej Guštin -> Med 21. in 23. oktobrom je v organizaciji DMFA Slovenije potekalo 2. astronomsko tekmovanje treh dežel. Srednješolske olimpijske ekipe Madžarske, Hrvaške in Slovenije so se zbrale v idilični kraški vasi Avber, kjer so se tekmovalci in tekmovalke soočili z zahtevnimi nalogami v treh olimpijskih kategorijah: astronomska opazovanja, obdelava astronomskih opazovanj, teoreticne naloge. Naloge sta sestavila dr. Dunja Fabjan in Andrej Guštin. Zmagovalec tega tekmovanja, ki je nekakšna pripravljalnica za mednarodno olimpijado iz astronomije in astrofizike, je bil Madžar Antal Gemes, drugo mesto je zasedel naš izkušeni tekmovalec Jakob Robnik, hrvaški tekmovalec Ilija Sr- pak pa je zasedel tretje mesto. V ekipnem tekmovanju so bile ekipe tako izenacene, da smo organizatorji vse tri ekipe razglasili za zmagovalke. Tudi to tekmovanje je pokazalo, da vsem dijakom največ težav povzročajo opazovalne naloge. Večinoma je to poslediča pomanjkanja izkušenj in premalo ob teleskopu preživetih noči. Tako načeloma enostavna astronomska opazovanja postanejo pretežek zalogaj. Kratki teoretični nalogi 1. Sistem treh zvezd ima skupno navidezno magni-tudo -1,0. Dve izmed teh zvezd imata navidezno magnitudo m1 = 0,8 in m2 = 3,5. Za najsvetlejši zvezdi trojnega sistema veš, da se v njunem jedru spaja vodik. Kolikšno je razmerje njunih mas? SLIKA 1. Udeleženci 2. astronomskega tekmovanja treh dežel. Foto: Andrej Guštin PRESEK 44 (2016/2017)3 21 ASTRONOMIJA —^ 2. Komet Curjumov-Gerasimenko 67P, ki ga je preučevala sonda Rosetta, je perihelij dosegel 16. avgusta 2015, ko je bil od Sonca oddaljen 1,24 astronomske enote in se je takrat gibal s hitrostjo 34,0 km/s. Katerega leta se bo povrnil v perihelij? Kolikokrat je hitrost kometa v afeliju manjša od hitrosti v perihe-liju? Ekipna naloga - Določitev zemljepisne širine opazovališča Cas izvedbe: 1 ura. Pripomočki: sekira, kompas, tračni meter, ura. S priloženimi pripomočki izmerite zemljepisno širino opazovališča. Skicirajte metodo merjenja, zapišite račune, očenite napako. Opomba. Okoli lokalnega poldneva postane naloga zelo enostavna, pravi izziv pa je določitev zemljepisne širine opazovališča ob poljubnem času. Tekmo-valči so nalogo dobili v dopoldanskem času, nahajali pa so se sredi kraške gmajne. Potrebo po sekiriči si lahko razložite sami. Opazovalna naloga - M15 Cas izvedbe: 10 minut. ■ S teleskopom poišči Messierjev objekt M 15. ■ Kateri tip nebesnega telesa je M 15? ■ V krog, ki predstavlja zorno polje teleskopa, nariši M 15 in zvezde, ki jih še vidiš v vidnem polju. Na robu kroga označi smeri neba. ■ Očeni kotno velikost M 15. Kako se imenuje tip teleskopa, s katerim opazuješ? ■ Kako se imenuje tip montaže, na kateri je teleskop? Obdelava astronomskih opazovanj -Določitev oddaljenosti asteroidov od Sonča Na fotografiji s časom osvetlitve 70 minut so se zarisale sledi asteroidov, ko so bili ti v opozičiji s Son-čem. Orbite asteroidov ležijo v ravnini ekliptike. ■ Sledi asteroidov na fotografiji označi z zaporednimi številkami. Določi oddaljenost asteroidov od Sonča v astronomskih enotah. SLIKA 2. Foto: RAS Obdelava astronomskih opazovanj -Karakteristike eksoplaneta Eksoplanet Kepler-5b je eden prvih planetov, ki jih je odkril vesoljski teleskop Kepler. Grafa 1 in 2 kažeta njegove meritve svetlobne krivulje prehodov planeta preko matične zvezde, na sliki 3 pa so narisane kasnejše meritve radialne hitrosti zvezde z Zemlje. Planet se giblje po krožni orbiti okoli zvezde s temperaturo T* = 6300 K, radijem R* = 1,79 R Sonča in maso M* = 1,37 M Sonča. Inklinačija orbite je 85,7°. 22 PRESEK 44 (2016/2017) 3 ASTRONOMIJA Ostale podatke, ki jih potrebuješ pri nalogi, razberi iz priloženih grafov in meritve posebej napiši. ■ Izracunaj oddaljenost planeta od zvezde. ■ Izracunaj radij planeta in njegovo maso in ju izrazi v enotah Jupitrovega radija in mase. ■ Privzemi, da je albedo planeta enak 0 in izracunaj povprecno temperaturo planeta. S primerjavo gostote planeta z gostoto Jupitra in Zemlje oceni, ali bi planet lahko bil kamnit. GRAF1. Svetlobna krivulja z meritvami vec zaporednih prehodov planeta Kepler-5b cez maticno zvezdo. Na x osi so dnevi, na y osi pa relativna intenziteta. Vir: NASA SLIKA 3. Meritve radialne hitrosti maticne zvezde planeta Kepler-5b, kot so jih izmerili z Zemlje. Orbitalna faza prehoda je podana na x osi, radialna hitrost (m/s) pa na y osi. Vir: NASA _ XXX Barvni sudoku nU vU NU D v O a D m > CL < ca > m ^ >m m 4 3 1 8 6 7 5 2 7 5 6 2 1 4 3 8 1 7 8 5 4 3 2 6 3 6 2 4 8 1 7 5 2 1 4 7 5 8 6 3 5 8 3 6 7 2 4 1 8 4 5 3 2 6 1 7 6 2 7 1 3 5 8 4 XXX GRAF 2. Detajlni graf svetlobne krivulje prehoda planeta Kepler-5b preko zvezde. Faza je podana na abscisni osi v urah, relativna intenziteta pa na ordinatni osi. Središce faze oznacuje nicla. Vir: NASA www. obzornik.si www.presek.si PRESEK 44 (2016/2017)3 23 RAČUNALNIŠTVO Klasični algoritmi za urejanje v bločnem programiranju Igor Pesek -> V prvi številki letošnjega Preseka smo predstavili program Blockly Games [?], s katerim lahko s pomočjo iger napravite prve korake v programiranje. V današnjem prispevku bomo predstavili spletni program Blockly [?], ki omogoča programiranje v vizualnem okolju s pomočjo blokov. Spletni naslov programa najdete na koncu prispevka med viri. Blockly nima v naprej pripravljenih nalog, kot je to bilo narejeno v Blockly Games, zato bomo delo v okolju Blockly predstavili s pomočjo algoritmov za urejanje. Priprava seznama za urejanje Preden se lotimo algoritmov urejanja, potrebujemo seznam naključno izbranih števil, ki jih bomo kasneje uredili. Postopek priprave seznama bomo uporabili tudi za razlago okolja Bločkly. Delovno okolje Bločkly je prikazano na sliki 1 in je razdeljeno na tri področja. Prvo, označeno s številko 1, je območje, kjer programiramo oz. sestavljamo programe. Območje 2 vsebuje vse bloke, ki jih lahko pri programiranju uporabimo. Bloki so razvrščeni v kategorije po njihovi namembnosti. Ko kakšen blok potrebujemo, ga povlečemo na območje 1. Na območju 3 pa so zavihki, ki prikažejo kodo izbranega programskega jezika; ta je ekvivalentna kodi našega bloč-nega programa. Skrajno desno je tudi rdeč gumb, ki začne izvajanje našega programa. Ce niste reševali Bločkly games, si lahko za delo s programom Bločkly pomagate s priročnikom, ki ga najdete na https ://gi thub. com/googl e/bl ockl y/wi ki [?]. Da ustvarimo seznam desetih naključnih števil, moramo najprej ustvariti spremenljivko, ki na začetku predstavlja prazen seznam. Sledi zanka, ki se izvede desetkrat in v vsaki ponovitvi naključno izbere število iz določenega obsega (v našem primeru med 1 in 100). Seznam smo s tem ustvarili, preostane nam še samo klič funkčije za urejanje. Celoten program je prikazan na sliki 2. SLIKA 1. Delovno okolje programa Blockly 24 PRESEK 44 (2016/2017)3 RACUNALNIŠ TVO Preden nadaljujemo, bomo predstavili še funkčijo za zamenjavo dveh elementov v seznamu, saj jo pri urejanju večkrat potrebujemo in je zato smiselno, da jo sami sprogramiramo. Na sliki 3 je prikazan postopek za zamenjavo, kjer smo uporabili dodatno spremenljivko. Samostojno razmislite, kako zamenjati dva elementa v seznamu brez uporabe dodatne spremenljivke ali razširitve polja. Urejanje z mehurčki Algoritem urejanja z mehurčki (ang. Bubble sort) je eden najbolj znanih algoritmov za urejanje. Osnovna ideja algoritma je, da pregledujemo seznam od prvega elementa in paroma primerjamo sosedne elemente. Če je levi element para večji od desnega elementa, potem ju zamenjamo. Primerjanje nadaljujemo do konča seznama in postopek ponavljamo, dokler v čelotnem seznamu nismo zamenjali nobenega elementa več. Zakaj pa ime urejanje z mehurčki? Ime izhaja iz dejstva, da izgleda tako, kot da levi element para damo v mehurček in ga premikamo desno, dokler je trenutni desni element manjši od elementa v mehurčku. Pomembno je omeniti, da element, ki ga premikamo v mehurčku, ne pride nujno na svoje kočno mesto v urejenem seznamu, torej je lahko večkrat v mehurčku. Časovna zahtevnost algoritma je O(n2), saj se v najslabšem primeru zunanja zanka izvede n-krat, notranja pa se vedno izvede n - 1 krat. UrejanjeZMehurcki(A, dno, vrh): zamenjan = true ponavljaj dokler zamenjan: zamenjan = false za vsak i = dno+1 do vrh ponavljaj: ce (A(i-1) > A(i)) potem zamenjaj(A, i-1, i) zamenjan = true Na sliki 4 je prikazan algoritem Urejanja z mehurčki še v Bločkly-ju. Hitro urejanje Hitro urejanje (ang. QuičkSort) [?] je predstavnik algoritmov strategije Deli in vladaj, o kateri smo v Pre- PRESEK 44 (2016/2017) 3 25 RAČUNALNIŠTVO seku že pisali [?]. Algoritem deluje rekurzivno na seznamu A v dveh korakih. Deli. Preuredimo seznam A[dno, vrh] v dva seznama A[dno, q - 1] in A[q + 1,vrh] na takšen način, da so vsi elementi v seznamu A[dno, q - 1] manjši ali enaki od A[q] ter da so vsi elementi A[q + 1, vrh] večji od A[q]. Index q določimo med postopkom preurejanja. Vladaj. Rekurzivno uredimo podseznama A[dno, q - 1] in A[q + 1,vrh]. Pri strategiji deli in vladaj je običajno še tretji korak, kjer delne rešitve, ki smo jih v koraku deli razdelili, združimo. Pri algoritmu hitro urejanje ta korak ni potreben, saj je delna rešitev že urejena in na pravem mestu. Najprej bomo zapisali algoritem za korak vladaj. HitroUredi(A, dno, vrh): ce dno < vrh potem q = deli(A, dno, vrh) HitroUredi(A, dno, q-1) HitroUredi(A, q+1, vrh) Opazimo, da v rekurzivnih klicih HitroUredi ne urejamo elementa, ki je na q mestu v seznamu A. Zakaj? To je posledica metode deli, ki jo bomo zapisali v nadaljevanju. deli(A, dno, vrh): pivot = A[dno] i = dno j = vrh ponavljaj dokler (i < j): ponavljaj dokler (A[i] <= pivot) i ++ ponavljaj dokler (A[j] > pivot): j++ ce (i < j) potem: zamenjaj(A,i,j) ce (i > j) potem: zamenj aj(A,dno,j) rezultat = j Na začetku metode določimo pivotni element, običajno je to prvi ali zadnji element seznama; v našem primeru je to prvi. S pomočjo pivota bomo seznam A razdelili na dva podseznama. V prvem seznamu bodo elementi, ki so manjši od pivota, v drugem pa elementi seznama A, ki so večji od pivota. Prvi seznam gradimo od indeksa dno proti vrhu (od leve proti desni glede na seznam), drugi seznam pa gradimo od vrha proti dnu (od desne proti levi). Sam algoritem za delovanje ne potrebuje dodatnega po-mnilniškega prostora, saj neposredno preureja originalni seznam. Z zankami ponavljaj sedaj pregledujemo polje z leve in desne ter iščemo elemente, SLIKA4. Urejanje mehurčki z 26 PRESEK 44 (2016/2017)3 RAČUNALNIŠ TVO ■ ki so večji od pivotnega elementa (prva notranja zanka ponavljaj) in ■ ki so manjši od pivotnega elementa (druga notranja zanka ponavljaj). Ko se obe zanki zaključita, sta možni dve situaciji in sicer, ■ da je i manjši od j ali ■ da je i večji od j. V prvem primeru imamo še vedno dva elementa, kjer je element na i-tem mestu večji od pivota in element na j-tem mestu manjši od pivota. Zato ju lahko takoj zamenjamo, saj na ta način na začetek seznama prestavljamo manjše elemente in na koneč večje elemente. V drugem primeru pa se indeksa i in j prekrižata, kar pomeni, da nismo našli več takšnega para elementov, ki bi na obeh indeksih stali na napačnih mestih. Zato menjave ne izvedemo, zaključimo pa zunanjo zanko ponavljaj, saj s trenutnim pivotom ne moremo več deliti seznama. V zadnjem koraku moramo umestiti pivotni element v seznam na tako mesto, da bodo levo od njega manjši elementi in desno od njega večji. Katero mesto v seznamu je to? Razmislek pokaže, da je to lahko ali indeks i ali indeks j. Ce bi menjali element na indeksu i, potem bi na indeks dno postavili element, ki je večji od pivota (element na i-tem indeksu namreč to je). Zaradi tega bi prišli v navzkrižje s pravilom, da so v levem podseznama vsi elementi manjši od pivota. Ce menjamo pivot z j-tim elementom (ta kaže na element, ki je manjši od pivota), pravila ne kršimo, zato menjamo pivot in j-ti element. Posledično pivotni element sedaj stoji na mestu, ki se do konča urejanja ne bo več spremenilo, saj so v seznamu levo od njega manjši in desno večji elementi in ga zato ni potrebno več urejati niti upoštevati pri rekurzivnih kličih. To je tudi odgovor na prej zastavljeno vprašanje, zakaj elementa na mestu q ne urejamo več. Časovna zahtevnost algoritma je v najslabšem primeru O(n2), vendar se je v testih pokazalo, da je praktična časovna zahtevnost O(n log n), kar ga uvršča med najhitrejše algoritme urejanja. Njegova prednost je tudi, da ne zahteva dodatnega prostora, saj čelotno urejanje poteka samo znotraj danega seznama. Algoritem Hitro urejanje bomo implementirali tudi v vizualnem okolju Bločkly. Kot smo to storili že pri urejanju z mehurčki, najprej z naključnimi števili napolnimo seznam (slika 5). Nato sledi klič funkčije HitroUredi, ki je prikazana na sliki 6. Ker funkčijo uporabljamo rekurzivno, je prisoten zaustavitveni pogoj, kjer preverimo, ali je potrebno urediti še kakšen podseznam. V primeru, da je dno = vrh, bi urejali samo en element, kar pa ni smiselno. SLIKA 5. Pripravimo seznam PRESEK 44 (2016/2017) 3 27 RACUNALNI STVO SLIKA 6. Hitro uredi SLIKA 7. Postopek deli V pogojnem stavku najprej pokličemo funkčijo deli, ki seznam na prej opisan način preuredi in kot rezultat vrne na mesto, kjer je pivotni element. Funk-čija deli je prikazana na sliki 7. Kot smo že uvodoma zapisali, nam okolje Bločkly omogoča, da algoritem, ki smo ga bločno sprogrami-rali, izpišemo tudi v različnih programskih jezikih. V nadaljevanju je na sliki 8 prikaz algoritma Hitro urejanje v programskem jeziku Python. Opazimo, da je sedaj razumevanje kode zapisane v Pythonu lažje, če ga lahko primerjamo z Bločkly različičo. Zaključek V prispevku smo predstavili program Bločkly, ki omogoča bločno programiranje tudi bolj zahtevnih algoritmov. Razložili smo delovanje dveh algoritmov za urejanje, urejanje z mehurčki ter hitro urejanje in jih sprogramirali v Bločkly-ju. Velika prednost Bločkly-ja pri učenju programiranja je, da uporabniku omogoča program, izdelan v bločnem načinu izpisati v različnih programskih jezikih, kar lahko koristi pri učenje izbranega programskega jezika. Literatura [1] I. Pesek, Naučimo se programiti s pomočjo vizualnega programiranja, Presek 44 (1), 2016/2017. [2] https://blockly-demo.appspot.com/ static/demos/code/, ogled 20. 11. 2016. [3] T. H. Cormen et al., Introduction to Algorithms, MIT Press, 2009. [4] https://github.com/google/blockly/ wi ki, ogled 20. 11. 2016. [5] A. Taranenko, Reševanje problemov s pristopom deli in vladaj, Presek 37 (4), 2009/2010. www.dmfa.si 28 PRESEK 44 (2016/2017)3 RAZVEDRILO import random x = None j = None seznam = None i = None zamenjan = None vrh = None dno = None pivot = None s = None list2 = None """Funkcija v seznamu zamenja i-ti in j-ti element def zamenjaj(seznam, i, j): x = seznam[int(i - 1)] seznam[int(i - 1)] = seznam[int(j - 1)] seznam[int(j - 1)] = x """Funkcija z metodo Hitro Uredi uredi dano zaporedje""" def hitroUredi(seznam, dno, vrh): if dno < vrh: s = deli(seznam, dno, vrh) hitroUredi(seznam, dno, s - 1) hitroUredi(seznam, s + 1, vrh) """Funkcija preuredi seznam v dva manjša seznama, za katera velja, da so elementi levega seznama manjši od pivota ter elementi desnega seznama vecji od pivota.vrne mesto na katerem je postavljen pivotni element.""" def deli(seznam, dno, vrh): pivot = seznam[int(dno - 1)] i = dno j = vrh while i < j: while seznam[int(i - 1)] <= pivot and i < vrh: i = i + 1 while seznam[int(j - 1)] > pivot and j > dno: j = j - 1 if i < j: zamenjaj(seznam, i, j) if i > j: zamenjaj(seznam, dno, j) return j seznam = [] for j in range(1, 11): seznam[int(j - 1)] = pri nt(seznam) dno = 1 vrh = len(seznam hitroUredi(seznam, dno, pri nt(seznam) random.randint(1, 100 vrh) SLIKA 8. Hitro urejanje v Pythonu XXX vU sU vU 999 JJJ 999 999 999 S - S H 31 «r ffin « X h«? S P» s k X T i T a UJLH v e 'i T X ss t r b 0 v l j e Ili m a l g a j r 0 3l k a 5 v r 8h e v 0 l t ^— M 0 n a H" "IP _ a v 0 r «m i N x A \E k s c t t t r i č n 0 s t sss s "H* H IZ" SS m m e k i n x e s _n_ e 0 n ¡¡¡E' ie" k 0 s(Tir {issnje > rs "S" If - ►P" T T ¥ u T a c i j e r g S? m s i r hf v r v ■S" T "p a n K a ¥ BmfaJ „S, S JI a l 0 i z i j n p A t T he 0 T X X max e 'v i d e n t x r a n j X - T i a T r A m d 2o l a r g e p A r d s m v i n JI t 0 k "J ►s l e d 1! — 0 v i r A s a T A m 3e f i •s" i k e 4d u e l a n t k l e A H s S 0 m jfi s a 1< 0 D n 0 llf k X r n i j s I] e a l p e 9 j A T 0 - s T e "e v e ® k n e z |§- r i s ir i n i c i a t 0 r vr a r i 7c a S e b T T h a r t e r 0 k j\l 0 ilj? 0 s t X n e k S # \R u b i JI T v S k 0 _c k a - c a m č u t u 'h t a w 6t a ¥ v 0 d k m s m ¿s T Š t a r jolovol^ k v t x n 0 -ffl- e w s r A ¥ p a s š Č i ise n T A n s a 5; i v b t 5i T r a ur 9e 0 n i! č e t T i k JBin i n c e s x a t m 0 x f e r a T" r 0 X k a «e k i h _0_ t 0mfa _z_ i b t—» K_ _r_ t JI REŠITEV NAGRADNE KRIŠANKE presek 44/2 Pravilna rešitev nagradne križanke iz druge številke 44. letnika Preseka je Holditchev izrek. Izmed pravilnih rešitev so bili izžrebani Urška Poje iz Ljubljane, Tadina Bence Virag iz Lendave in Lidija Mikec iz Novega mesta, ki so razpisane nagrade prejeli po pošti. _ XXX PRESEK 44 (2016/2017) 3 29 RAZVE DRILO Halo m. sU nU vU Aleš Mohorič Bralka nam je poslala fotografijo, ki jo najdete na naslovnici te številke Preseka. Fotografija je bila posneta v Piranu na dokaj jasen, jesenski dan. Nebo so prepredale le koprene cirostratusov. Na fotografiji vidimo Sonce in okrog njega tudi obroc svetlobe. Zakaj nastane ta obroc in kako ga imenujemo? Mavrica to ni. Mavrico vidimo v nasprotni smeri od Sonca, ce gledamo v nebo tako, da je Sonce za našim hrbtom. Ta obroc tudi ni korona. Obroc korone je bližje Soncu in ima bolj izrazite barve. Korono smo v tej rubriki že predstavili, v Preseku 40/5. Preden razmišljamo, kaj bi opaženi pojav lahko povzro-cilo, najprej ocenimo velikost obroča. Z velikostjo v tem primeru mislimo zorni kot, pod katerim obroc opazujemo. Zgolj po fotografiji ne moremo sklepati, kolikšen je ta zorni kot. Obroc bi sicer lahko primerjali s Soncem, ki ga vidimo pod zornim kotom 0,5°, vendar je Sonce na fotografiji delno zastrto z oblaki in njegovega roba ne moremo dolociti. Zorni kot obroca lahko poišcemo drugace. Digitalni fotoaparati datoteko, v kateri je shranjena fotografija, opremijo z nekaterimi dodatnimi podatki. Te podatke lahko preberemo tako, da na ime datoteke kliknemo z desnim gumbom na miški in v oknu, ki se odpre, izberemo Lastnosti (Properties). Nekaj lastnosti naše fotografije kaže slika 1. Med drugim lahko preberemo, da je bila fotografija posneta z zaslonskim številom 8 in s casom osvetlitve 1/800 sekunde. Za nas je uporaben podatek, da je bila med posnetkom go-rišcna razdalja objektiva 6 mm. S tem podatkom bi lahko izracunali velikost slike, ce bi poznali velikost slikovnega tipala. Vendar tega podatka nimamo. Tipala se v razlicnih tipih fotoaparatov med seboj razlikujejo po velikosti. Zato obicajno namesto dejanske gorišcne razdalje objektiva fotografskega aparata navedemo njegovo ekvivalentno gorišcno razdaljo. To je gorišcna razdalja objektiva, ki bi na- H lidija babic PA090015.JPG Properties General Details Property Value Height 2976 pixels Horizontal resolution 350 dpi Vertical resolution 350 dpi Bit depth 24 Compression Resolution unit 2 Color representation sRGB Compressed bits/pixel Camera Camera maker OLYMPUS IMAGING CORP. Camera model STYLUS1 F-stop f/8 Exposure time 1/800 sec. ISO speed ISO-lOO Exposure bias 0 step Focal length 6 mm Max aperture 3 Metering mode Pattern Subject distance Flash mode No flash, auto Flash energy 35mm focal length 28 ■ v Remove Properties and Personal Information Cancel Apply SLIKA 1. Nekatere lastnosti fotografije z naslovnice Preseka. redil na tipalu velikem 36 x 24 mm2 fotografijo z enakim zornim kotom. Tako tipalo je standardnega 35-milimetrskega formata. 35 mm ustreza, skupaj s perforacijo, širini nekdaj najbolj pogosto uporabljenega filmskega traku. Pri naši fotografiji je bila ekvivalentna gorišcna razdalja (35 mm focal length) enaka 28 mm. Da dolocimo zorni kot obroca, najprej izmerimo razmerje med premerom obroca na fotografiji in širino fotografije. Nato z nekaj racu-nanja pridemo do zornega kota, pod katerim opazujemo obroc (slika 2). Izkaže se, da je kot med zve-znico Sonca in ocesa ter zveznico ocesa in tocke na obodu obroca (zorni kot, pod katerim vidimo polmer obroca) enak 22°. Ta kot je znacilen za 22-stopinjski halo (Presek 24/1). Halo nastane, ko svetloba s Sonca potuje mimo ledenih kristalckov, ki lebdijo v ozracju. Halojev je vec vrst - nastopajo v obliki obarvanih ali belih obrocev, lokov, svetlih peg. Nekateri nastanejo na strani neba, kjer je izvir svetlobe (Sonce), nekateri na nasprotni. Mednje sodijo tudi soncni stebri (Presek 38/6) in so-sonca (Presek 43/1). 30 PRESEK 44 (2016/2017) B RAZVEDRILO b0r <4> = arctan-= 22° /r. gonscna tipalo C-Ij> v raZdalja fotografija SLIKA 2. K izpeljavi zornega kota; za b0 vzamemo 36 mm/2. Ledeni kristali, ki povzrocajo halo, so obicajno v cirusih ali cirostratusih. Ti oblaki so visoko v zgornji troposferi, na višini 5-10 km. Kadar je zelo hladno, nastanejo primerni kristali tudi bližje tlom. Katero vrsto haloja bomo opazili, je doloceno z obliko kristalov in njihovo orientacijo. Oblika in orientacija kristalov vplivata na lom in odboj na kristalnih ploskvah. Pri 22°-haloju se svetloba lomi na kristalih, ki imajo obliko pravilne heksagonalne (šeststrane) prizme (slika 3a)). K haloju prispevajo prizme, ki so obrnjene tako, da so vpadni žarki pravokotni na geometrijsko os kristala. Žarki, ki vpadajo pravokotno na ploskev ali pod dovolj majhnim vpadnim kotom, po prehodu kristala ne spremenijo smeri. Žarki, ki vpadajo pod dovolj velikim kotom, se odklonijo za najmanj 22°, kot kaže slika 3a). Natancnejši racun, v katerem upoštevamo disperzijo - odvisnost lomnosti ledu od valovne dolžine svetlobe, pokaže, da se modra svetloba odkloni malenkost bolj (22,37°) kot rdeca (21,54°), in zato je notranji rob haloja, kije bližje Soncu, rdeckast, zunanji rob pa modrikast. V oblaku je veliko število kristalc-kov, ki odklanjajo svetlobo na podoben nacin. Svetlobo, ki gre skozi oblak skoraj neodklonjena, vidimo v bližnji okolici Sonca. Svetloba se vseeno toliko si-plje, da roba Sonceve ploskvice na fotografiji ne moremo natancno opazovati. Del svetlobe, ki opazovalca ne bi dosegel, se lomi na kristalckih in razprši v vse smeri, najvec pod kotom 22° glede na vpadno smer. Pri pojavu haloja igrajo posebno vlogo kri-stalcki, ki ležijo na plašcu stožca. To je stožec, ki ima vršni kot 22° pri ocesu ter njegova os tece od ocesa proti Soncu. Ti kristali, ce so primerno orienti- rani, odklonijo svetlobo proti ocesu, kot kaže slika 3b). Zato v pasu vidnega polja opazimo svetlejši obroc na nebu. Kristalcki, ki ležijo znotraj stožca, ne lomijo svetlobe proti ocesu in zato je notranji del obroca videti nekoliko temnejši. V ljudskem izrocilu haloje pogosto povezujejo s pretecimi nevarnostmi in prihajajocimi neurji. Cirusi zares vcasih nastanejo kak dan pred nevihtno fronto, vendar pa niso njen zanesljivi znanilec. a) b) sončni žarek ledeni kristal šeststrana prizma SLIKA 3. a) Žarek svetlobe, ko vstopi v ledeni kristal skozi stransko ploskev, se na njej zlomi prvic in potem še enkrat, ko zapusti kristal. Sprememba smeri žarka je enaka kot pri prehodu skozi trikotno prizmo z vršnim kotom 60°. b) Svetloba s Sonca na poti proti tlom sreca množico ledenih kristalckov. Kristalcki del svetlobe odklanjajo. Proti ocem jo odklonijo tisti, ki ležijo na plašcu stožca z vršnim kotom 22°, vrhom pri ocesu in osjo usmerjeno od ocesa proti Soncu. _XXX PRESEK 44 (2016/2017) 5 31 Matematični kenguru Osnovna naloga tekmovanja Kenguru je popularizačija matematike. Zanimiv, zabaven in igriv način zastavljanja matematičnih problemov je pripomogel, da se je tekmovanje kmalu razširilo po vsej Evropi, hkrati pa so se v tekmovanje vključevali tudi otroči in mladostniki iz drugih držav sveta. Tekmovanje je preseglo evropske okvire in postalo Mednarodni matematični kenguru z več kot šest milijoni tekmovalčev iz 47 držav sveta v letu 2011. V Sloveniji Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije organizira tekmovanje za učenče od prvega razreda osnovne šole do četrtega letnika srednje šole. Poseben izbor je pripravljen za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol, za dijake srednjih pokličnih šol ter za študente. Naloge, zbrane v teh knjigah, so najboljše možno gradivo za pripravo na prihodnja tekmovanja. Vsaki nalogi je dodana podrobno razložena rešitev, ki bralča vodi v logično mišljenje in spoznavanje novih strategij reševanja. Marsikatera naloga, ki je sprva na videz nerešljiva, postane tako dosegljiv iskriv matematični izziv. EVROPSKI MATEMATIČNI KENGURU 2002-2004 10,99 EUR 18,74 EUR 14,50 EUR Pri DMFA-založništvo so v Presekovi knjižniči izšle že štiri knjige Matematičnega kenguruja: • Evropski matematični kenguru 1996-2001 (pošlo), • Evropski matematični kenguru 2002-2004, • Mednarodni matematični kenguru 2005-2008, • Mednarodni matematični kenguru 2009-2011. Poleg omenjenih ponujamo tudi druga matematična, fizikalna in astronomska dela. Podrobnejše predstavitve so na spodnjem naslovu, kjer lahko vse publikačije tudi naročite: http://www.dmfa-zalozni stvo.si/ Individualni naročniki revije Presek, člani DMFA Slovenije, dijaki in študentje imate ob naročilu pri DMFA-založništvo 20 % popusta na zgornje čene - izkoristite ga! Dodatne informačije lahko dobite v uredništvu Preseka po telefonu (01) 4766 553.