r o o o a £ H c c 5 0 h O M O -H FILOZOFSKI vestnih 1/2000 F I L O Z O F S K I V E S T N I K ISSN 0353-4510 Uredniški odbor / Editorial Board Aleš Erjavec, Peter Klepec, Vojislav Likar, Rado Riha,Jelica Sumič-Riha, Matjaž Vesel Mednarodni uredniški svet / International Advisory Board Alain Badiou (Paris), Bohdan Dziemidok (Gdansk), Manfred Frank (Tübingen), Axel Honneth (Frankfurt), Martin Jay (Berkeley), John Keane (London), Ernesto Laclau (Essex), Steven Lukes (Firenze), Chantal Mouffe (Paris), Ulrich Müller (Kassel), Herta Nagl-Docekal (Wien), Aletta J. Norval (Essex), Nicholas Phillipson (Edinburgh), J. G. A. Pocock (Baltimore), Ernst Vollrath (Köln) Odgovorni urednik / Editor-in-Chief Rado Riha Glavni urednik / Managing Editor Vojislav Likar Naslov uredništva /Editorial Office Address FILOZOFSKI VESTNIK P.P. 306, Gosposka 13, 1001 Ljubljana, Slovenija. Tel.: (+ 386 1) 425 60 68 - Fax: (+386 1) 425 77 92 E.Mail: fi@zrc-sazu.si - Internet: www.zrc-sazu.si/www/fi./FILVEST.HTM Korespondenco, rokopise in recenzentske izvode knjig pošiljajte na naslov uredništva. / Editorial correspondence and enquiries and books for review should be addressed to the Editorial Office. Revija izhaja trikrat letno. / The Journal is published three times annually. Letna naročnina: 3600 SIT. Cena posamezne številke: 1400 SIT. Annual subscription: $18 for individuals, $36 for institutions. Single issue: $10 for individuals, $20 for institutions. Back issues available. Master Card / Eurocard and VISA accepted. Credit card orders must include card number and expiration date. Naročila sprejema/Orders should be sent to: Založba ZRC, P.P. 306, SI-1001 Ljubljana, Slovenija Fax: (+386 1) 425 77 94 - E.Mail: zalozba@zrc-sazu.si © Filozofski inštitut ZRC SAZU Tisk / Printed by: Littera Picta, Ljubljana, Slovenija FILOZOFSKI vestnik xxi • 1/2000 Izdaja Filozofski institut ZRC SAZU Published by the Institute of Philosophy at ZRC SAZU Ljubljana 2000 Z f l L ^ Z B R Z R C FILOZOFSKI VESTNIK je znanstveni časopis za filozofijo z interdisciplinarno in med- narodno usmeritvijo. Izhaja trikrat letno kot glasilo Filozofskega inštituta Znanstveno- raziskovalnega centra Slovenske akademije znanosti in umetnosti v Ljubljani. FILOZOFSKI VESTNIK is ajournai of philosophy with an interdisciplinary and international orientation. It is published three times annually by the Institute of Philosophy at the Scientific Research Centre of the Slovenian Academy of Sciences & Arts in Ljubljana. FILOZOFSKI VESTNIK je vključen v / is included in: Arts & Humanities Cit. Index, Current Contents / Arts & Humanities, Internationale Bibliographie der Zeistchriften, The Philo- sopher's Index, Répertoire bibliographique de philosophie, Sociological Abstracts. FILOZOFSKI VESTNIK izhaja s podporo Ministrstva za znanost in tehnologijo in Ministrstva za kulturo Republike Slovenije. FILOZOFSKI VESTNIK is published with the suppor t of the Ministry of Science and Technology and the Ministry of Culture of the Republic of Slovenia. FILOZOFSKI VESTNIK • ^ xxi. š̂ ka i. 2000 VSEBINA Zgodovina evropske ideje Tomaž Mastnak, Karolinška»Evropa«f: prispevek k zgodovini evropske ideje 7 Matematika in filozofija Boris Vezjak, Aristotelovi matematični predmeti kot »vmesne stvari<< (ta metaxu) 27 Matjaž Vesel, Nikolaj Kuzanski in Aristotelova filozofija matematike 45 Igor Skamperle, Renesančni platonizem in oblikovanje moderne znanosti.... 73 Majda Trobok, Ante rem strukturalizem 81 Ernest Zenko, Zloraba matematike v filozofiji 91 Peter Klepec, Badioujeva tematizacija matematike 99 Alain Badiou, O matematiki, logiki in filozofiji 113 lan Mueller, Matematična metoda in filozofska resnica 131 Stephen Gaukroger, Narava abstraktnega mišljenja: filozofski vidiki Descartesovega dela v algebri 157 Aristotel - Naključni dogodki Filip Grgič, Naključje in človeško delovanje v Aristotelovi Fiziki 179 Prevod Gaston Bachelard, Bistvena kompleksnost znanstvene filozofije. Oris 197 Izvlečki 207 FILOZOFSKI VESTNIK • Volume XXI . Number 1 . 2000 CONTENTS History of the Idea of Europe Tomaž Mastnak, Carolingian »Europe« ?: A Contribution to the history of the idea of Europe 7 Mathematics and Philosophy Boris Vezjak, Aristotle's mathematical objects as the intermediates (ta metaxu) 27 Matjaž Vesel, Nicholas of Cusa and Aristotle's philosophy of mathematics 45 Igor Skamperle, Renaisannce Platonism and the formation of modern science 73 Majda Trobok, Ante rem structuralism 81 Ernest Zenko, Abuse of mathematics in philosophy 91 Peter Klepec, Badiou's conceptualization of mathematics 99 Alain Badiou, Of mathematics, logic and philosophy 113 Ian Mueller, Mathematical method nad philosophical truth 131 Stephen Gaukroger, The nature of abstract reasoning: philosophical aspects of Descartes' work in algebra 157 Aristode - Lucky Events Filip Grgič, Luck and human action in Aristotle s Physics 179 Translation Gaston Bachelard, The Essential complexity of the philosophy of science: An outline 197 Abstracts 207 ZGODOVINA EVROPSKE IDEJE Filozofski vestnik Letnik/Volume XXI • Številka/Number 1 • 2000 • 7-23 KAROLINŠKA »EVROPA«? Prispevek k zgodovini evropske ideje TOMAŽ MASTNAK Današnje »združevanje Evrope« je, poleg vsega drugega, tudi veliko ideološ- ko podjeye. Del ideološkega posla, ki se odvija pred našimi očmi, pa ga pogo- sto ne vidimo, j e obdelava zgodovine. Primerno obdelana zgodovina je na- mreč del tistega veziva, ki naj bi pomagalo sodobno »združeno Evropo« drža- ti skupaj. Ena plat prikrajanja zgodovine političnemu projektu, ki se mu reče evropsko združevanje, j e brisanje zgodovinskega spomina: ta projekt naj bi bil nekaj povsem novega.1 Druga plat je ukoreninjanje »Evrope« čim dlje v preteklosti. Tisto, na kar smo navajeni spontano pomisliti, ko slišimo besedo Evropa, naj bi bilo malone večno, saj naj bi prihajalo k nam že iz predzgodo- vine.2 Kar preskromno bi torej lahko bilo širiti prepričanje, d a j e naša »Evro- pa« zrasla iz antične Grčije, oziroma da je bila stara Grčija zibelka nekakšnega »evropskega duha«. Manj ambiciozen, nikakor pa ne nepomemben, med to- vrstnimi ideološkimi konstrukti j e tisti, ki postavlja za predhodnika današnje »združene Evrope« karolinško cesarstvo. Temu je posvečen ta prispevek. V strokovni literaturi in političnih razpravah naletimo na mnenja, d a j e ne le obstajala »karolinška Evropa«, marveč tudi, da j e bila ta domnevna »ka- rolinška Evropa« nič manj kot »prva Evropa«. Karolingi naj bi bili utemeljite- lji »Evrope«, družina, ki j e skovala Evropo.3 Pod vodstvom Karla Velikega, pravijo, j e bila »na Zahodu prižgana evropska ideja«.4 Združevanje Evrope v 1 Cf. Tomaž Mastnak, Evropa: med evolucijo in evtanazijo (Ljubljana: Studia humanitatis, 1998), 14. 2Jacques Le Goff, urednikov predgovor k zbirki »Oblikovanje Evrope« (Oxford: Black- well; Pariz: Seuil; München: Beck; Bari: Laterza; Barcelona: Critica). 3 Cf. C. Delisle Burns, The First Europe: A Study of the Establishment of Medieval Christendom, A. D. 400-800 (London: George Allen & Unwin, 1947); Pierre Riehe, The Carolingians: A Family Who Forged Europe, prev. M. I. Allen (Univ. of Pennsylvania Press: Philadelphia, 1993). 4 Gerd Tellenbach, »Von der Tradition des fränkischen Reiches in der deutschen und französischen Geschichte des Hohen Mittelalters«, v Der Vertrag von Verdun 843: Neun Aufsätze zur Begründung der europäischen Völker- und Staatenwelt, ur. Th. Mayer (Leipzig: Koehler & Amelang, 1943), 181. T O M A Ž M A S I NAK našem času spremljajo mnenja, d a j e bila politika Karla Velikega »koren ideje evropske skupnosti«.5 Njegova cesarska krona naj bi simbolizirala »evropsko enotnost«,6 njegovo okronanje za cesaija na božični dan leta 800 pa naj bi bilo »rojstni dan gospe 'Evrope'«.7 Koga bi presenetilo, da dedič svetega rim- skega cesarstva in po lastnem prepričanju velik Evropejec vidi v karolinškem cesarstvu »združeno Evropo izpred tisoč let«? Karel Veliki j e zanj »Evropejec v najresničnejšem pomenu besede«, čigar delovanje j e imelo za cilj »ustvari- tev Evrope«. Frankovski kralj in cesar se kaže kot »vzor« evropskega združeva- nja in kot lik, ki »integrira« »našo skupno zgodovino«.8 Evropska ekonomska skupnost - enotno evropsko tržišče, vzpostavljeno v 50. letih prejšnjega stolet- ja - se je v resnici bolj ali manj ujemala z ozemlji, ki so bila pod karolinško oblastjo, meje nekdanjega cesarstva pa so dejansko več kot enkrat določale evropsko geopolitiko, ne nazadnje v naših časih. Priljubljenost karolinškega cesarstva kot predhodnika in obenem vzora današnjega »združevanja Evrope« j e velika. Vendar niti mnenja, kakršna sem citiral, niti možno prepoznavanje obrisov karolinškega cesarstva v naši sodob- ni evropski povezovalni politiki ne dovoljujejo brez zadržkov sklepati na de- janski obstoj »evropske ideje« ali »združene Evrope« v zgodnjem srednjem veku. Takšna mnenja seveda vsaj nekaj povejo o dandanašnjem »združevanju Evrope«, o karolinškem cesarstvu pa kaj malo relevantnega. To cesarstvo j e bilo predevropsko. Evropa, odkar se je oblikovala kot politična skupnost (to- rej kot entiteta, na katero mislimo, ko govorimo o »Evropi«), pa j e pokaro- linška. Koje nastajala, se tisti, ki so jo oblikovali, niso sklicevali na Karolinge.9 Dejstvo pa je, da j e beseda Evropa veliko starejša od politične skupnosti, ki j o poznamo pod tem imenom. In dejstvo j e tudi, da so to besedo v času karolinš- kega cesarstva na latinskem zahodu uporabljali pogosteje, kot poprej (in tudi pogosteje, kot v nekaj stoletjih, ki so sledila zatonu zahodnega cesarstva). Se več, prav v karolinškem cesarstvu naj bi beseda Evropa prvič pridobila politič- ne konotacije ali celo postala politični pojem. Takšno mnenje j e prisotno zlasti v nemškem zgodovinopisju, odkar se je med obema tako imenovanima svetovnima vojnama začelo zanimati za »idejo Evrope«,10 vendar ni splošno 5 Günther Gehl in Mathilde Reichertz, »Vorwort«, v Die Karolinger als Stammväter Euro- pas, ur. G. Gehl in M. Reichertz (Weimar: Rita Dadder, 1995), 9. 6J . Fleckstein, cit. ibid. 7 Paul Koschaker, Europa und das römische Recht (München: Biederstein, 1947), 6. 8 Otto Habsburg, Idee Europa: Angebot der Freiheit (München in Dunaj: Herlod, 1976), 19-22. ,J Gl. Mastnak, Evropa, 3. pogl. 10 Cf. Marian Henryk Serejski, Ideajednošci karolinskej: Studium nad genezq wspölnoty euro- pejskiej w srednowieczu, Rozpravy historyczne towarzystwa naukowego warszawskiego 12 (1937), fasc. 3, 89, 91; Edmund E. Stengel, »Kaisertitel und Suveränitätsidee: Studien zur 8 K A R O L I N Š K A » E V R O P A ? « sprejeto. »Zavest o Evropi«, brez katere »Evropa« ne more delovati kot politi- čen pojem, se j e med zahodnimi ljudstvi pojavila šele, ko sta karolinško in tudi otonsko cesarstvo že dolgo bili preteklost.11 V karolinškem obdobju »Evro- pa« še nikakor ni bila »običajen pojem«.12 »Na začetku naše zgodovine,« je na simpoziju, posvečenem preizpraševanju enačbe med »rojstvom Evrope« in karolinško Evropo, argumnentiral ugleden nemški medievalist, »stoji [...] 'za- hodno ' cesarstvo, ne pa 'evropsko', četudi so Karla Velikega v njegovem času opevali kot Europae ... apex, pater Europae ali Europae veneranda pharus«. Opo- zoril je , da ima v nemškem jeziku beseda »Evropa« značilen odtenek, ki »pri mnogih sproži zadržek pred tem, da bi jo uporabljalli že za karolinški čas.«13 S prikazom uporabe besede Evropa v karolinškem obdobju želim poka- zati, kako utemeljene ali neutemeljene so trditve, d a j e takrat beseda Evropa delovala kot politični pojem, ali d a j e kar obstajala »Evropa«. 1. Karolingi: od »kraljestva Evrope« do »ljudstev in plemen Evrope« Uporaba besede Evropa za označevanje dežel pod karolinško vladavino j e bila povezana z ozemeljsko širitvijo frankovskega kraljestva. Po zmagah nad Lombardi, Saši, Frizijci, Bavarci, Vendi in Avari je oblast Karla Velikega segala od Francie, osrednjega frankovskega ozemlja, proti severu do Labe, na vzhod do Ogrske ter n a j u g do Istre in Dalmacije. V 60. letih 8. stol. naj bi se pojavila Vorgeschichte des modernen Staatsbegriffs«, Deutsches Archiv für Geschichte des Mittelalters 3 (1939), št. 1, 25; Franz Dölger, »Europas Gestaltung im Spiegel der fränkisch-byzanti- nischen Auseinandersetzung des 9. Jahrhunderts«, v Der Vertrag von Verdun, 203; Jürgen Fischer, Orlens - Occidens-Europa: Begriff und Gedanke »Europa« in der späten Antike und im frühen Mittelalter (Wiesbaden: Franz Steiner, 1957 [v nadaljevanju: Fischer]); Heinz Goll- witzer, Europabild und Europagedanke: Beiträge zur deutschen Geistesgeschichte des 18. und 19. Jahrhunderts, 2. izd (München: Beck, 1964), 27-28; Herfried Münkler, »Europa als poli- tische Idee: Ideengeschichtliche Facetten des Europabegriffs und deren aktuelle Bedeu- tung«, Leviathan 19 (1991), št. 4, 530; Heinrich Fichtenau, TheCarolingianEmpire, prev. P. Münz (Toronto: Univ. of Toronto Press v sodelovanju z Medieval Academy of America, 1978), 64; Francis Oakley, The Crucial Centuries: The MediaevalExperience (London: Terra Nova, 1979), 29. 11 Raffaello Morghen, Medioevo cristiano (Bari: Laterza, 1987), 328 op. 5. Avtor postavlja vznik te »conscienza dell 'Europa« v 12. stol. kot »klasično stoletje križarskih vojn« (ibid., 81), kar pa j e tudi za kaki dve stoletji preuranjeno. 12 Klaus Herbers, Leo IV. und das Papsttum in der Mitte des 9. Jahrhunderts: Möglichkeiten und Grenzen päpstlicher Herrschaft in der späten Karolingerzeit, Päpste und Papsttum 27 (Stutt- gart: Anton Hiersemann, 1996), 307. 13 Horst Fuhrmann, »Das Papsttum und das kirchliche Leben im Frankreich«, v Nascita dell'Europa ed Europa carolingia: un'equazione da verificare, Settimane di studio del Centro italiano di studi sull'alto medioevo 27 (Spoleto: Presso la sede del Centro, 1981), 419-20. 9 T O M A Ž M A S I NAK zamisel, d a j e »Evropa« beseda, s kateroje mogoče zajeti vsa ta raznolika pod- ložna ljudstva in dežele.14 Življenje sv. Lamberta, napisano v 8. stol., j e že na majordoma Pipina II. gledalo kot na vladarja, ki je vladal »nad večino dežel in mest, ki ležijo v Evropi [Eoruppe]«.Vj Kmalu po uspešnem vojaškem pohodu proti Lombardom je Cathwulf slavil Karla Velikega kot moža, ki ga j e Bog povzdignil za vladarja »kraljestva Evrope«, regnurn Europae.16 Toda kaj j e bilo to »kraljestvo Evrope«? Kot kralj po milosti božjije Karel Veliki vladal nad »vesoljno cerkvijo«, se pravi nad entiteto, kije predstavljala najširšo družbeno skupnost vseh vernih, nad enotnim mističnim telesom, k i j e obsegalo tako kleriške kot laiške druž- bene redove, tako cesarstvo kot vidno cerkev, časno in duhovno oblast.17 Ker je Karel Veliki tako vladal nad »kraljestvom svete cerkve«,18 j e bilo njegovo »kraljestvo Evrope« izrazito versko obarvano. Zato je videti utemeljen sklep, d a j e bila »Evropa« pravzaprav »kraljestvo cerkve«, d a j e bilo telo, ki so ga imenovali Evropa, »politično telo, ki g a j e kot cement vezala krščanska vera, kakor jo je razlagala rimska cerkev«, in da sta bili Europa in ecclesia, »Evropa« in cerkev, dejansko identični.11' Ansgar iz Bremna (f 865) j e v resnici zapisal, da je Karel Veliki kot cesar vladal nad katoliško cerkvijo, k i je obstajala v Evro- pi.20 Tudi Ardo, ustanovitelj anianskega samostana, je v Življenju Benedikta leta 821 pisal, d a j e bil Karlov sin, najslavnejši Ludvik Pobožni, po milosti božje previdnosti svetli cesar »cele cerkve Evrope v njenem zatonu«.21 O verski na- ravi »kraljestva Evrope« (in o ekleziastičnem razsežju imperia Karla Velikega) ni dvoma. Vprašanje pa je , koliko lahko v zvezi z njim govorimo o politiki, ne 14 Cf. Eugen Rosenstock, v Rosenstock in Joseph Wittig, Das Alter der Kirche: Kapitel und Akten, zv. 1 (Berlin: Lambert Schneider, 1927 [v nadaljevanju: Rosenst.]), 514. 15 Vita Landiberti episcopi traiectensis vetustissimal (MGH SS rer. Merov. 6, 361). O Vita cf. Wilhelm Wattenbach, Deutschlands Geschichtsquellen im Mittelalter bis zur Mitte des dreizehn- ten Jahrhunderts, 2 zv. (Berlin: Wilhelm Hertz, 1893-94 [v nadaljevanju: Watt.]), I, 264 . 16 Cathwulf Karlu I., kralju Frankov, c. 775 (MGH Epp. 4, 503). Cf. Rosenst., 514; Wal- ter Ullmann, The Growth of Papal Government in the Middle Ages: A study in the ideological relation of clerical to lay power, 3. izd. (London: Methuen, 1970), 106; Fischer, 79. 17 Gl. Cone, parisiense V7I,ii-iii (MGH Concilia 2.2, 610). Cf. Tomaž Mastnak, Kristjanstvo in muslimani (Ljubljana: ZPS, 1996), 88 sq. Poleg literature, citirane 1. c., gl. Alain Du- breucq, uvod v Jonas iz Orleansa, Le métier de roi/De institutione regia, ur. A. Dubreucq, Sources chrétiens 407 (Paris: CERF, 1995), 65, 74. 18 Libri Carolini Praef. (ur. H. Bastgen, MGH Concilia 2, Suppl., 3). 19 Ullmann, The Growth, 106. Že prej j e tak pogled zagovarjal F. Kampers, »Rex et Sacer- dos«, HistorischesJahrbuchA5 (1925), cit. v Serejski, Ideajednošci, 86; Serejski sam, ibid., 97, je ugotavljal povezavo med »Evropo« in cerkvijo. 20 Vita S. Willehadi 5 (MGH SS 2, 381); cf. Rosenst., 515; Max Manitius, Geschichte der lateinischen Literatur des Mittelalters, 3. zv. (München: Beck, 1973-76 [v nadaljevanju: Ma- nit.]), I, 705. 21 Vita Benedcti Abbatis Anianensis et Indensis 29 (MGH SS 15, 211). Watt., I, 210. 1 0 K A R O L I N Š K A » E V R O P A ? « da bi zagrešili anahronizem. Drugo vprašanje, ki se g a j e treba dotakniti, j e zemljepisno: katera ozemljaje zajemalo »kraljestvo Evrope«, se pravi, kakšen je bil geografski obseg tistega, čemur se je pod Karolingi nekaterim zdelo pr imerno reči »Evropa«? Alkuin, učeni Northumbrijec na cesarskem dvoru, je v enem svojih pisem govoril o tem, kako j e Bog svoji sveti cerkvi naklonil milost, tako da lahko »uživa mir in napreduje in raste v deželah Evrope [in partibusEuropae].« Na- slovniku pisma je potem opisal ta nenavadni dinamični mir, nič kaj podoben avguštinovski tranquillitas ordinis: »Zakaj stari Saši in vsa frizijska ljudstva so bila po zaslugi prizadevanj kralja Karla, ki roti ene z nagradami in druge z grožnjami, spreobrnjena v Kristusovo vero. Lansko letoje ta isti kralj napadel Slovane, ki j im pravimo Vendi, in jih spravil pod svojo oblast. Pred dvema letoma so Grki z morja vdrli v Italijo, toda kraljevi poveljniki so jih porazili in Grki so zbežali na svoje ladje. [...] Podobno so Avari, kijih imenujemo Huni, prodrli v Italijo, ko pa so j ih kristjani porazili, so se v sramoti vrnili domov. Prišli so tudi do Bavarske, a krščanska vojska jih je premagala in razkropila. Poveljniki in vazali tega istega najbolj krščanskega kralja so tudi iztrgali Sara- cenom velik del Španije, obalni pas, dolg kakih tristo milj. A gorje, ti prekleti Saraceni, imenovani tudi Agareni, so gospodarji vse Afrike in večine Azije!«22 Ko j e Alkuin pisal o miru božje cerkve in partibus Europae, j e torej opisoval bojišča in osvajanja. Morda pa j e , ko je govoril o miru, hotel samo reči, da so se napadi Gotov in Hunov, ki so bili z ognjem in mečem opustošili »skoraj celo Evropo«, končali.23 Kakor koli že, govoril j e o nasilnem pokristjanjeva- nju. »Kraljestvo Evrope«, tista »Evropa« svete cerkve, ki je zdaj uživala mir, so bila ozemlja, ki j ih j e obvladoval Karel Veliki. »Evropa« j e bila, ko t je Alkuin povedal ob neki drugi priložnosti, tisti del sveta, ki ga j e označevala (prava) vera.24 Kot takšna j e bila ločena od Afrike in Azije, ki sta bili v rokah Sarace- nov, in tudi od grškega rimskega cesarstva. Vendar je bil ta zemljepisni pojem Evrope, ki je v času Karla Velikega prevladoval - po mnenju nekaterih zgodo- vinarjev o kakšni drugi razen zemljepisni rabi »Evrope« v tistem obdobju niti 22 Alkuin Colcuju, A. D. 790 (MHG Epp. 4, 32). 23 Alcuin škofu Higbaldu, po 8. juniju 793 (MGH Epp. 4, 57).Tudi VitaSeruatiivelpotius Aravatii episcopi Tungrensis iz 8. stol. j e poročala, kako so Huni »universae civetatis Eorupe et castella igni cremenda exurentur, et cuncta sanctuaria erunt combuste« etc. Vita I (MGH SS rer. Merov. 3, 88). O tej Vita gl. Wilhelm Wattenbach in Wilhelm Levison, Deutschlands Geschichtsquellen im Mittelalter: Vorzeit und Karolinger, zv. 2-6, revidiral H. Löwe (Weimar: Hermann Böhlaus Nachfolger, 1952-90), 122. 24 »Totus Orbis in tres dividitur partes, Europam, Africam et Indiam, in quibus partibus tribus modis colendus est Deus: fide, spe et caritate.« Alkuin Gallicellulu, c. 793-796 (MGH Epp. 4, 123). Cf. Fischer, 80. 1 1 T O M A Ž M A S I NAK ni mogoče govoriti23 - vse prej kot natančen. Kje so zemljepisne meje Evrope, se še danes ne ve. Nejasna je zlasti vzhodna meja. V karolinškem času so bile take tudi meje na drugih straneh neba, in jasno j e le to, da se tudi tiste jasnej- še niso prekrivale z mejami današnje Evrope, o katerih se je mogoče sporazu- meti. Ločitve oziroma delitve, o katerih je govoril Alkuin, ali j ih vsaj nakazal, niso bile le zemljepisne. Sloje za ločnice med cesarstvi, ki so bila utemeljena v veri in versko določena.26 Razločevanje od bizantinskega »rimskega cesars- tva« j e bilo ključnega pomena za karolinško, kajti njegovi pravni temelji so bili hudo majavi. Okronanje Karla Velikega za cesarja je grobo poseglo v pra- vice basileusa, konstantinopelskega »cesarja Rimljanov«, in Karel Veliki j e bil, kot je videti, dovolj tenkočuten, da tega naslova ni nikdar uporabil zase.27 Uporaba besede Evropa za označevanje geografskega obsega oblasti Karla Ve- likega naj bi ponudila izhod iz zagate: zahodni cesar ni več vladal nad »rim- skim svetom«, orbis Romanus, temveč nad orbis Europe.2* To j e zgodovinarska konstrukcija. Tako imenovani »Saški pesnik«, k i j e pisal okrog leta 888, j e 25 Cf. Federico Chabod, Storia delVidea ¿'Europa, ur. E. Sestan in A. Saitta, 10. izd. (Bari: Laterza, 1991), 29. V podporo Chabodovi tezi cf. (poleg relevantnih referenc drugje v tem prispevku) naslednje vire iz 8.-10. stol.: škof Aribo (Arbeo) iz Freisinga, Vita Haim- hrammi episcopi 1,3 (Vitae snctorum Haimhrammi et Corbiniani, ur. B. Krusch, MGH SS rer. Germ. 13, 26-7, 30; napisano 784; cf. Watt., I, 123); Versus Strabi Walahfridi ... de rebus diversisV I: A d Mautwinum episcopum [Augustodunensem], verz 12 (MGH Poet. 2, 355; Wa- lahfrid Strabo, opat v Reichenauu, 829 na cesarskem dvoru kot učitelj najmlajšega cesar- jevega sina Karla; cf. Manit., I, 302-5); Ermenrich iz Ellwangerja Grimaldu, med 850-855 (MGH Epp. 5, 536, 577 [verza 36-7]; cf. Watt., I, 282-4); Aeneas Parisiensis episcopus de Graecorum heresibus etc., A. D. 868 (MGH Epp. 6, 172; cf. Manit., I, 412 sq.); Ex Adrevaldi Floriacensis Miraculis S. Benedicti (MGH SS 15, 478; c. 880; cf. Watt., I, 417); Annales Hildes- heimenses a.862 (ur. G. Waitz, MGH SS rer. Germ. 8, 18); Regino iz Prüma, Chronicon [cum continuatione Treverensi] (ur. F. Kurze, MGH SS rer. Germ. 50, 132; začetek 10. stol.; cf. Watt., I, 260); Codicis bernensis CCCLVIIIsylloga, verza 34-5 (MGH Poetae 4.1, 260; 9. stol.); Radbod, škof v Utrechtu, Carmina: In translatione sancti Martini sequentia 3" (MGH Poetae 4.1, 165b; napisano med 899-907; cf. Manit., I, 603); Eugenius Vulgaris Sylloga XVIII,4; XXXIV (MGH Poetae 4.1, 425, 437; začetek 10. stol.; cf. Manit., I, 433 sq.); Vita Athanasii episcopi Neapolitani 1 (MGH SS rer. Lang., 439; verjetno 10. stol.); Ex Vita S. Deicoli (MGH SS 15, 675, 680; po letu 960; cf. Watt., I, 116 op. 2), kjer j e govor o »prebivalcih Evrope«. Tudi za Bizantince je bila »Evropa« v tistem obdobju »zgolj zemljepisni in upravno-teh- nični pojem«. Dölger, »Europas Gestaltung«, 203. Vobče gl. C. Raymond Beazley, The Dawn of Modern Geography, 3 zv. (New York: Peter Smith, 1949), I. Gl. Garth Fowden, Empire to Commonwealth: Consequences of Monotheism in Late Anti- quity (Princeton, N.J.: Princeton Univ. Press, 1993). 27 Percy Ernst Schramm, Kaiser, Rom und Renovatio: Studien zur Geschichte des römischen Erneuerungsgedankens vom Ende des Karolingischen Reiches bis zum Investiturstreit (Leipzig in Berlin: B. G. Teubner, 1929), I, 12-3; Ulimann, The Growth, 103. 28 Rosenst., 516. 1 2 K A R O L I N Š K A » E V R O P A ? « ponudil drugačno razlago, zakaj naj bi bila »Evropa« primernejša oznaka za cesarstvo Karla Velikega, kot »Rim«. Medtem ko so Rimljani pod svojimi šte- vilnimi vodji in v dolgih letih le s težavo podredili ljudstva Italije, j ih je Karel sam vse spravil podse v zelo kratkem času in jim vladal kot vrhovni gospod. In »dodaj k temu še številna ljudstva Evrope, ki jih je premagal, za imena katerih Rimljani še vedeli niso«!29 Takšne razlage, najsi so j ih iznašli literati karolinš- kega sveta ali skovali zgodovinarji, imajo vsaj eno pomanjkljivost: Karel Veliki sam nikdar ni uporabil besede Evropa, ko je hotel označiti svoj imperium. To besedo naj bi bil samo »toleriral«. »Evrope«, ki so jo sicer uporabljali le tu in tam, ni mogoče najti v nobenem uradnem dokumentu iz časa Karla Velike- ga.30 V najboljšem primeru je bila ta beseda neuradno ime za karolinško krš- čansko cesarstvo v njegovem zenitu.31 In še tedaj je bila le eno od imen za entiteto, ki j i j e ta cesar vladal.32 Zato bi bilo težko dokazati, d a j e v karolinš- kem času beseda Evropa začela izražati »samozavedanje latinsko-germanske- ga sveta«,33 in pokazati bi veljalo vsaj nekaj zadržanosti do teze, d a j e v tistem obdobju »Evropa« začela nastopati kot »političen pojem«. Vendar pa j e ta beseda takrat že vsebovala čustvene tone. Ce bi ne bilo tako, bi dvorni pesniki, kakršen j e bil Angilbert, ne opevali Karla Velikega kot »častitljivega vrha Evrope« (ali kot »krone« Evrope«),34 kot »častitljivega sve- tilnika Evrope« ali kot »kralja, očeta Evrope«.35 Tema pesnitve, v kateri najde- mo citirane izraze, spisane na frankovskem dvoru v času, ko je papež Leon III. iskal zaščito pri Karlu Velikem, je bila enotnost cesarja in papeža kot dveh glav (krščanskega) sveta. Karla Velikega je pesnik hvalil na dolgo in široko, vendar je ohranil predstavo o papeževem prvenstvu.38 Poleg tega tak fagon de parter bil specifičen za frankovski dvor. V opombi k Oengusovi martirologi- ji, denimo, je bil sv. Benedikt imenovan za »najvišjega opata menihov Evro- 2il Poeta Saxo, Annalium. de gestis Caroli Magni imperatoris V, verzi 651-2 (MGH Poetae 4.1, 70). Cf. Rosenst., 515. O »Poeta Saxo« gl. Manit., I, 583-4; F. J. E. Raby, A History of Secular Latin Poetry in the Middle Ages, 2 TS. (Oxford: Clarendon Press, 1934), I, 260. 30 Pojavila s e j e dvakrat v ponaredkih iz 12. stol., ki so se nanašali na karolinško obdob- je. Gl. MGH Dipl. Karol. 1, št. 315, str. 475; št. 317, str. 479; cf. op. k št. 227, str. 307. 31 Fischer, 77-8, 82. 32 Gl. Ullmann, The Growth, 105. 33 Giovanni Tabacco, »I processi di formazione dell'Europa carolingia«, v Nascita dell'Eu- ropa ed Europa carolingia, 20. 34 Apex lahko pomeni diadem. Fischer, 143 op. 15. 35 Angilbert, Karolus Magnus et Leo Papa, verzi 93, 169, 504 (MGH Poetae 1, 368, 370, 379). O »Europae veneranda pharus« gl. Rosenst., 515-6; Fischer, 81. Raby, History, I, 201, opozarja, da Angilbertovo avtorstvo citirane pesnitve ni dokazano. 3I' Gl. Carl Erdmann, Forschungen zur politischen Ideenwelt des Frühmittelalters, ur. F. Baeth- gen (Berlin: Akademie Verlag, 1951), 21-2. 1 3 T O M A Ž M A S I NAK pe«, za »prvo glavo menihov Evrope«.37 Brez čustvenega naboja bi beseda Evropa, mnogo pozneje, ne mogla postati političen pojem. Vendar zgolj čus- tvene konotacije kake besede še ne napravijo za pojem ali kar politični po- jem. Kolikor so čustveni prizvoki besede Evropa presegali golo geografijo, j e bila »Evropa« pod Karolingi predvsem »panegiriški topos, kulturni emblem«. Medtem ko je tisti, ki so imeli moč in oblast, niso uporabljali, so jo toliko raje imeli njihovi sikofanti. Ti so z njo opletali precej svobodno in se pri tem veli- ko ponavljali, ko so se prilizovali velikim in j ih hvalili.38 Pod vladavino sinov Karla Velikega, ko j e cesarstvo začelo razpadati (Ardo, kot smo videli, j e dojel dogajanje po smrti velikega cesarja kot »zaton cerk- ve«),39 seje tudi »kraljestvo Evrope« razvezalo v »evropska kraljestva« oziroma v »kraljestva Evrope«. Teodulf iz Orleansa, prominenten intelektualec v »kro- gu Karla Velikega«, je pisal cesarju Ludviku Pobožnemu takole: »Bog j e tvo- jim zakonom podredil evropska kraljestva, in Bog naj cel svet podredi tvojim zakonom.«40 To je bila prva raba adjektiva evropski v srednjem veku, »Evro- pa« pa seje pri tej inovaciji na eni strani razdrobila v kraljestva, na drugi pa se je potencialno utopila v želeni cesarjevi oblasti nad »celim svetom«.41 Ermol- dus Nigellus, pesniški dobrikavec iz časa Ludvika Pobožnega, je opeval cesar- ja kot boljšega, silnejšega in modrejšega od Salomona, zakaj biblični kralj j e vladal samo nad Izraelom, medtem ko j e pobožni Ludvik imel oblast »nad 37 The Martyrology of Oengus the Culdee, ur. W. Stokes, Henry Bradshaw Society 29 (Lon- don: [Harrison and Sons], 1905), 100 (vpis za 21. marec). »Evropo« j e povezal s slavlje- njem svojega junaka tudi Willibald v Vita S. Bonifatii Archiepiscopi VIII,23 (MGH SS 2, 345), napisani pred letom 786: zaradi uspešne misijonarske dejavnosti j e slava sv. Bonifa- cija odmevala »v večjem delu Evrope«. Cf. Watt., 1,135. Podobno Hrabanus Maurus Lud- viku Nemškemu, c. 842-846 (MGH Epp. 5, 472), o tem, kako se naslovnikov dober glas širi po vseh provincah Germanije in Galije »in po skoraj vseh delih Evrope«. 38 Karl Leyser, »Concepts of Europe in the Early and High Middle Ages«, v idem, Communications and Power in Medieval Europe: The Carolingian and Ottoman Centuries, ur. T. Reuter (London in Rio Grande, Ohio: The Hambledon Press, 1994), 10; Manfred Fuhrmann, Alexander von Roes: ein Wegbereiter des Europagedankens? (Heidelberg: Winter , 1994), 24; Heinz Gollwitzer, »Zur Wortgeschichte und S inndeutung von 'Europa '« , Saeculum 2 (1951), št. 1, 165. Gl. op. 21. 40 Teodulf iz Orleansa, AdHluduicum valedictio, verza 5-6 (MGH Poetae 1,531). Nikolai A. Alexandrenko, The Poetry of Theodulf of Orleans: A Translation and Critical Study (Ann Arbor, Mich.: Univ. Microfilms, 1971), 19, dvomi v Teodulfovo avtorstvo. O Teodul fu gl. Manit., I, 537 sq. Cf. Fischer, 83-4. 41 Teodulf jed uporabil besedo Evropa tudi v Depugna avium (= Ad Modoinum episcopum) IV, verz 202 (MGH Poetae 1, 568). Romarji v Rim so poročali o spopadu ptic »okoli lene Saone in hitre Rone«: »vse vrste letečih stvorov, ki j ih tvoje rodovitno polje, Evropa, hrani, so prišle tja«. Dogodekje napovedoval bratomorno vojno med Karolingi. Cf. Fischer, 84. 1 4 K A R O L I N Š K A » E V R O P A ? « kraljestvi Evrope«.42 Od »kraljestva Evrope«, kije bilo pripisano Karlu Velike- mu, že v naslednji vladarski generaciji torej ni ostalo prav veliko. Ko j e Ermol- dus opisoval sestavo vojske, pripravljene za pohod proti Bretoncem leta 818, so množico »kraljestev Evrope« nadomestila kar ljudstva in plemena. Pesnik j e namreč omenil, da so poleg Frankov, Svabov, Turingijcev in Burgundcev prispela »neskončna ljudstva in plemena Evrope«.43 Pri koncu 9. stol. j e Notker, ko se je oziral v ne tako daljnjo preteklost, zapisal, da so spori in boji med sinovi Ludvika Pobožnega razdelili Evropo.44 Analist iz Fulde pa j e opažal, kako so se po smrti cesarja Karla III. »v Evropi oziroma v Karlovem kraljestvu« dvignili »številni kraljici [ reguli] «.4"' Toda že zgodaj v času vladavine Ludvika Pobožnega (kije prevzel cesarstvo po smrti Karla Velikega leta 814), j e Ermoldus Nigellus slavil cesarja kot vladaija sveta, v čemer je mogoče videti ugašanje pomena »Evrope«.4" V zgodnjih 40. letih 9. stol., v Historiarum librilV, ki j ih je po cesarjevem naročilu spisal Nithard, sin že omenjenega Angilberta, »Homerja« z dvora Karla Velikega, seje »Evropa« preselila v spomine na svetlo preteklost prvega in največjega karolinškega ce- sarja.47 »Ko j e cesar Karel blaženega spomina, ki so ga vse nacije po pravici imenovale velikega, umrl v pozni starosti,« je pisal Nithard, »je zapustil celo Evropo v razcvetu.«48 Eden od razlogov za spominjanje na Karla Velikega je bil, d a j e ta cesar »z veliko truda spreobrnil Saše, kot j e znano vsakomur v Evropi,« in j ih pridobil za »resnično krščansko božjo vero«.4'J Nekaj zelo po- dobnega je povedal »Saški pesnik« v Življenju Karla Velikega v verzih, spisanem 42 Ermoldus Nigellus, In honorem Hludowicill, verz 272 (MGH Poetae 2, 32). Cf. Fisc- her, 85. O Ermoldu gl. Watt., I, 208; Manit., I, 552 sq. 43 In honorem Hludowici III, verza 267-8 (MGH Poetae 2, 48). Fischer, 85, trdi, da se je Ermoldus tu »še enkrat zaklinjal na polnost cesarske moči«. Vendar pa pesnik ni omenil ničesar, kar bi nakazovalo enotnost vseh teh ljudstev ali enotno oblast, ki bi j ih povezova- la. 44 Dve leti po Ludvikovi smrti »tres filii eius post gravissimum proelium quod de parti- cipatione regni inter eos excanduit, Europam hoc modo diviserunt.« Erchanberti Brevia- rium regum francorum, Continuatio annorum 840-881 (MGH SS 2, 329). O Notkerju gl. Ma- nit., I, 354 sq. O Notkerjevem avtorstvu tega Continuatio gl. ibid., 359; Watt., I, 273. 45 Annales Fuldenses, vpis za leto 888 (v Quellen zur karolingischen Reichsgeschichte, zv. 3., ur. R. Rau [Berlin: Rütten & Loening, 1960], 146). 46 Npr. Ermoldus Nigellus, Ad Pippinum regem II, verz 181 (MGH Poetae 2, 90): »Hludu- wicus Caesar in orbe«. Ludvikove vrline so bile znane v Evropi in tudi v Aziji: »Cuius celsa fides, probitas, sapientia, laus, pax, / Nota sat Europae finibus atque Asiae«. Ibid., verza 189-90. To v resnici ni bil strog pojem Evrope. Gl. Fischer, 85. 47 Fuhrmann, Alexander von Roes, 25; Fischer, 88 sq. 48 Nithard, Histories 1,1 (prev. B. W. Scholz s sodelovanjem B. Rogersa, v Carolingian Chronicles [Ann Arbor: Univ. of Michigan Press, 1972], 129). O Nithardu gl. Manit., I, 657 sq. 4" Histories IV,2 (1. c„ 167). 1 5 T O M A Ž M A S I NAK med letoma 888 in 891. Poeta je izjavil, da dolguje »vedno žarečo ljubezen in večno izkazovanje časti« Karlu Velikemu, ker j e s trdnim delom in gorečnost- jo, s številnimi bitkami, ki jih je bil v dolgih letih, in izpostavljajoč se mnogim nevarnostim spreobrnil njegovo ljudstvo, tako da so Saši sprejeli luč prave vere. »Skoraj vsa ljudstva Evrope se spominjajo njegovega velikega truda še dandanašnji, ker so bila pri tem udeležena.«50 »Evropa«, ki niti v obdobju Karla Velikega ni nastopala kot celina, tu ni več obsežno ozemlje, združeno pod enim kraljem ali cesarjem. Postalaje spo- minska skupnost. Pesmi Sedulija Škota (po rodu sicer Irca) iz srede 9. stol. pričajo, da seje beseda Evropa pojavljala v spominih na Karla Velikega. Karel Veliki je bil »najslavnejši cesar sveta, prav tako pa vladar Evrope in njen cesar- ski sijaj«.51 Če je »Evropa« nastopila v povezavi z nasledniki Karla Velikega, j e bilo temu tako zato, ker so ti bili njegovi potomci. Karel Plešasti j e bil prika- zan kot »dedič čudežne moči Karla Velikega«, kot ponovno rojeni Karel Veli- ki: »Naš plemeniti Karel [Plešasti], vladar Evrope in cesarska slava, j e poto- mec plemenite kraljevske rodbine«.52 Ludvik Nemški je bil »cvetoči potomec Karla Velikega«, kije žarel med ljudmi kot nova zvezda na nebu: »Libija upra- vičeno sije v blišču Kanopa in se veseli v njegovi iskrivi svetlobi; Evropa pa vpija svojo svetlobo od tebe, svojega veličastnega vladaija in svoje blesteče zvezde.«53 Karel in Ludvik skupaj sta bila »zvezdi dvojčici in slava cerkve«. »Z njima Bog in Kristus Kralj branita cerkvene žareče rogove, Evropa sije, Siono- ve hčere se radostijo in krščanska ljudstva so povsod nepremagljiva«.54 Rojstvo najmlajšega sina cesarja Lotarja, Karla (pozneje provansalskega kralja), »nove- ga Karla iz rodu Karla Velikega«, je bila upodobljena kot pojav nove zvezde, »luči ljudstev Evrope«.55 Zvezde »Evrope« pa niso bili samo kralji in cesarji. Taka zvezdaje bil tudi škof Hartgar, »Europae sidus«.56 In pod tem zvezdnim nebom je »Evropa« še vedno bila tudi stari zemljepisni pojem: svetje bil tride- len, »dežele Evrope« so bile obsežne.57 50 Poeta Saxo, Annalium de gestis Caroli Magni imperatoris V, verza 29-30 (MGH Poetae 4.1,56). 51 Carmina XXVIII: Ad Karolum Calvum, verza 1-2 (MGH Poetae 3.1, 193). O Seduliju Škotu gl. Manit., I, 315 sq. 52 Carmina XIV: Ad Karolum Calvum, verza 7-8 (MGH Poetae 3.1, 182). 58 Carmina XXX: Ad Ludewicum regem, verzi 21-8 (MGH Poetae 3.1, 195). 54 Carmina XV: De adventu duorum regum Ludewici ac Karoli, verzi 10-4 (MGH Poetae 3.1, 183). O enigmatičnem srečanju med Karlom in Ludvikom, ki ga opisuje ta pesem, gl. Sedulius Scottus, On Christian Rulers and The Poems, prev. in ur. E. G. Doyle (Binghamton, N. Y.: Medieval and Renaissance Texts and Studies, 1983), 183. 55 Carmina XIV: Ad Karolum, verzi 5-8 (MGH Poetae 3.1, 189). 5li Carmina I: Venerabilipontifici Harthgario, verz 10 (MGH Poetae 3.1, 166). 57 Carmina XXX: Ad Ludewicum regem, verz 9 (MGH Poetae 3.1, 195); Carmina VII: Ad 1 6 K A R O L I N Š K A » E V R O P A ? « Notker j e napisal Gesta Karoli po naročilu Karla III., ki g a j e dobil med cesarjevim obiskom samostana v Sankt Gallenu leta 883. Karel III. je delo naročil, ker j e Notkerjev spomin še segel v obdobje Karla Velikega.58 In Not- ker j e besedo Evropa vedno uporabljal v zvezi s Karlom Velikim ali Ludvikom Pobožnim.59 Ko se j e Karel Veliki vrnil iz vojne proti Avarom, je zmagovalca nad tako silnim ljudstvom pričakala in pozdravila »skoraj vsa Evropa,« bere- mo v Gesta Karoli,m Ker se noben vojvoda, grof, škof ali opat ni mogel izmakni- ti sodelovanju pri velikih podjetjih, za katera se je ogrel Karel Veliki, je, na primer, »vsa Evropa« sodelovala pri gradnji mostu pri Mainzu.01 Ko so na fran- kovski dvor prispeli odposlanci bagdadskega kalifa Haruna ar-Rašida, j ih je velikodušni Karel povabil na banket skupaj s »plemiči frankovske dežele ali Evrope«.02 Ko so 801. prišli k njemu odposlanci »kralja Afrike« (Ibrahima ibn Alaghlaba iz Abbasije) z darovi, j ih je Karel Veliki obdaril z »bogastvom Evro- pe«: v zameno za marmorskega leva, numidijskega medveda, špansko jeklo, tirski škrlat in »druge omembe vredne izdelke iz tistih krajev« so dobili žito, vino in olje.03 Notkerjeva omemba »Evrope« v povezavi z Ludvikom Pobož- nim je bila manj visokoleteča. Cesarje častil Kristusa v osebi vseh ubožnih, ki j im j e dajal hrano in obleko. Koje tako obdaril svoje služabnike in podložnike za veliko noč in se napotil v cerkev, ga je slavila velika množica ljudi. Glasovi zdzy spodobno oblečenih siromakov so se dvigali v nebeške višave, ko so klica- li »Kyrie eleison blaženemu Ludviku«. Tedaj pa j e neki norček dejal: »O, sreč- ni Ludvik, k i j e lahko v enem dnevu oblekel toliko ljudi! Pri Kristusu, mislim, da j ih nihče v Evropi, razen Atta, ni oblekel toliko, kot sijih ti danes.«04 Kdo je bil tisti Atto, ni znano. Je pa to prvi zabeležen primer, ko j e o »Evropi« govoril bebec. supra memoratumpontificem, verz 77 (MGH Poetae 3.1, 174). Cf. Carmina centulensia, Mico- nis tituli XIII (MGH Poetae 3.2, 297). Mico, diakon v samostanu Saint-Riquier, je pisal med 825-853. Watt., I, 301. 58 Watt., I, 273. 5!l Fischer, 96. 1,0 Gesta Karoli 1,17 (v Quellen zur karolingischen Reichsgeschichte, zv. 3., 344). Notkerjev tesni prijatelj Heriger, opat v Lobbesu, je opisoval, kako so Huni »Galliam universam impetere, cuntaque oppida et castella Europae humi coaequare« etc. Gesta episc. Leod. 23 (= Herigeri et Anselmi Gesta episcoporum. Tungrensium, Traiectensium et Leodiensium [MGH SS 7, 174]). Cf. Watt., I, 382-3. Heriger se j e opiral na Gregorja iz Toursa Zgodovino Fran- kov 11,5 sq. (prev. L. Thrope [London: Penguin, 1974], 114 sq.), kjer pa beseda Evropa ni rabljena. (il Gesta Karoli 1,30 (1. c., 366). (i2 Ibid., 11,8 (1. c„ 388). 113 Ibid., 11,9 (1. c„ 390). 64 Ibid., 11,21 (1. c., 424). 1 7 T O M A Ž M A S I NAK 2. Otonci: prenovljeno rimsko cesarstvo in zaton »Evrope« Ko je bilo zahodno cesarstvo restavrirano pod Otonci, seje »Evropa« umak- nila predstavam o »prenovljenem« rimskem cesarstvu. Besedo so sicer še upo- rabljali, toda njen pomen se je spreminjal, n jena pomembnost pa usihala. Widukind iz Corveya lepo ponazarja te spremembe. Widukind j e začel pisati Res gestae Saxonicae leta 967, ko je bil prvi saški cesar, Oton I., na višku moči. Na to svoje delo je gledal kot na izpolnitev dolga do svojega rodu in ljudstva.65 Že Otonovega očeta, Henrika I., j e Widukind imenoval »kralja in poveljnika številnih ljudstev«, »največjega med kralji Evrope«.06 Oton, še večji od svojega očeta, j e podedoval »veliko in širno cesarstvo«, pod njegovim vodstvom p a j e moč Sasov narasla tako, d a j o je bilo že boleče nositi. Oton j e bil ljubljenec celega sveta in njegov glavar, veličastnost njegove moči p a j e bila tolikšna, da so »ne le Nemčija, Italija in Galija, marveč skoraj vsa Evropa«, postale zanjo premajhne.1 '7 Njegova moč je v resnici že segala v Afriko in Azijo.88 Petje hvale in slave cesarju je doseglo novo višine, »Evropa« pa seje znašla pri tleh, zvede- na na samo na sebi nič kaj navdušujočo geografijo. Srečamo lahko sicer mne- nje, d a j e bila Widukindova ideja Evropa identična s karolinško,°'J vendar pa ni videti, da bi tu kaj veliko ostalo od impozantnega karolinškega »kraljestva Evrope«. Widukind seje še najbolj približal karolinškim predstavam o »Evro- pi«, ko je poročal o vojnah z Avari. Najprej se je spomnil vojn, ki j ih j e proti tistemu ljudstvu bojeval Karel Veliki, zatem pa opozoril, da j ih j e pred krat- kim spet vojevala saška rodbina in osvobodila teh sovražnikov »skoraj vso Evro- po«.70 Widukind je poročal, d a j e Oton, ko j e nagovoril svojo vojsko pred slavno bitko pri Lechu, skušal osrčiti vojake tako, d a j i h j e prepričeval, kakojih sovražnik sicer prekaša po številu, ne pa po pogumu. Otonova vojska naj bi bila bolje oborožena in, kar je najpomembnejše, uživala naj bi božjo pomoč. Zato nas bodi sram, je menda govoril Oton, nas, »gospodarjev skoraj vse Evrope, če pokleknemo pred temi sovražniki.«71 Liutprand, ki ga j e Oton I. povzdignil za cremonskega škofa, je začel be- ležiti znami.nite dogodke od vladavine Karla III. dalje na frankovskem dvoru 05 Watt., I, 328; Widukind, Res gestae Saxonicae 1,1 (v Quellen zur Geschichte der sächsischen Kaiserzeit, ur. A. Bauer in R. Rau [Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft, 1971], 20). O avtorju gl. Manit., I, 714 sq. Res gestae Saxonicae 1,25, 41 (1. c., 56, 78). 07 Ibid., 1,41 (1. c„ 78); 1,34 (1. c., 66-8). 08 Ibid., II, Predgovor (1. c., 82). Citirano besedilo se navezuje na imenovanje Otonove hčerke Matilde (ki j i je Widukind posvetil to delo) za domina ... totius Europae. 1,0 Cf. Stengel, »Kaisertitel«, 28 op. 2. Za podrobnejšo obravnavo gl. Fischer, 99-103. 70 Res gestae Saxonicae 1,19 (1. c., 48). 71 Ibid., 111,46 (1. c., 156). 1 8 K A R O L I N Š K A » E V R O P A ? « leta 958. Vsebino svojega dela je prvotno opisal kot zgodovino »dejanj kraljev in princev dela Evrope«.72 V sami knjigi pa j e dejal, da je zapisoval »delovanje cesarjev in kraljev cele Evrope«.73 Toda geografski obseg njegove pripovedi je bil močno omejen, saj j e zajemal predvsem Italijo, vzhodno Francio in Bi- zanc, beseda Evropa, ki j o j e komaj kdaj uporabil, pa je bila nenatančen zem- ljepisni pojem. Liutprand je poročal, d a j e kralj Arnulf podrl zid, za katerim, kot se je verjelo, so bili zaprti Ogri.74 Cepravje bil Arnulf »najmočnejši vladar med severnimi ljudstvi«, ni mogel podrediti moravskega vojvode Centebalda in j e na pomoč poklical Ogre. To ljudstvo pa, ki ni poznalo vsemogočnega Boga, ni samo porazilo Centebalda, temveč je postalo smrtna nevarnost za samo Arnulfovo ljudstvo in »za vse nacije na jugu in zahodu«. Ogri so tako »prinesli gorje celi Evropi«.75 O tem, ali je bila poganska nevarnost tista, kije navdihnila Liutpranda, d a j e posegel po besedi Evropa, je mogoče razpravlja- ti.70 Zanimivo p a j e , da Liutprand, pri vsem gnusu in sovraštvu, ki ga j e kazal do Grkov, nikdar ni uporabil te besede v naspro^u do Bizanca. Sebe samega in svojeje imenoval »zahodnjake«, razlikovalje med Grki in Rimljani ali med Grki in Franki, Grke p a j e videl kot nasprotje »latinskih in germanskih ljud- stev«.77 In ko je, med opisovanjem spletk na bizantinskem dvoru, omenil »Evro- po«, j e to storil na najbolj konvencionalen, nevtralen način: omeni l jo je sku- paj z Azijo in Afriko.78 Prenovitev »rimskega cesarstva« pod Otonci je prinesla interpretacije fran- kovskega karolinškega cesarstva kot rimskega, kot cesarstva s središčem v Rimu. Rim j e spet figuriral kot »caput mundi«.70 Ko je bila ideja rimskega cesarstva predelana v tem smislu in so saški cesarji začeli kazati aspiracije po oblasti nad orbis Romanus,]e »Evropa« spet postala del tridelnega sveta in pomenila tako malo ali veliko, kot Azija in Afrika. Obnovljeno rimsko cesarstvo je bilo seveda krščansko. Po razlagi Gerberta iz Aurillaca sta se krščansko in rimsko cesars- tvo zlili v eno v osebi Otona III. In ko je ta cesar privzel naslov »služabnika 72 Liutprand iz Cremone, Antapodosis Vsebina (v Quellen zur Geschichte der sächsischen Kaiserzeit, 244). Cf. Watt., I, 424 sq. 73 Antapodosis\,\ (1. c., 248). 74 O tej »ogradi« gl. ibid., 1,5; cf. Widukind, Res gestae Saxonicae 1,19, k i je pisal, d a j e Karel Veliki zaprl Avare za velik zid. 75 Antapodosis 1,13 (1. c., 266). 70 Fischer, 105. 77 Legatio ad imperatorem constantinopolitanum Nicephorum Phocam 22, 37, 40-3, 47 (v Quel- len zur Geschichte der sächsischen Kaiserzeil, 542, 556, 558-62, 566). Liutprand je vključeval y Franke »Germane prav tako kot Latince«. Ibid., 33 (1. c., 552). 78 Antapodosis^,22 (1. c., 470). O »Begriffsneutralität« govori Fischer, 105. 70 Gl. Fischer, ibid., ki se sklicuje na Chronicon Salernitanum 34 (MGH SS 3, 488). 1 9 T O M A Ž M A S I NAK apostolov« in razglasil prepričanje, da izvaja oblast sv. Petra, j e bil karolinški ideji Evrope zadan smrtni udarec.80 3. Necesarska »Evropa« Doslej sem obravnaval rabo besede Evropa v literaturi, povezani s fran- kovskim kraljestvom ter cesarstvi Karolingov in Otoncev. V papeških virih be- seda skoraj da ne obstaja. Videti je, d a j o je v obdobju, o keterem j e govor, uporabil en sam papež enkrat samkrat. Pomenljivo je, da se je ta beseda poja- vila v polemičnem kontekstu, ko je papež zavrnil konstantinopelske pretenzi- je po prvenstvu v verskih zadevah. Novi konstantinopelski patriarh Ignacij j e obvestil papeža Leona IV. o svoji izvolitvi. Skupaj z obvestilom, ali kmalu za- tem, mu je poslal tudi palij. Palij j e bil seveda simbol oblasti. Papež ga je pode- ljeval metropolitom in je označeval oblast, ki j o je metropolit v skupnosti z rimsko cerkvijo zakonito imel v svoji provinci. Ne preseneča torej, d a j e Leon palij vrnil patriarhu. Grškemu dostojanstveniku je nedvoumno povedal, da rimska cerkev kot učiteljica in glava vseh cerkva ne more prejeti palija od nikogar, zato pa »ga podeljuje po celi Evropi«.81 Na kaj j e papež mislil, ko j e rekel »Evropa«, nijasno,82 nedvomno pa je , d a j e besedo uporabil (podobno kot papež Gregor I. dve stoletji prej),83 da bi uveljavil svojo avtoriteto proti Bizancu. Razen v Leonovem pismu najdemo besedo Evropa v ponaredku, pripi- sanemu papežu Gregorju IV. Ponarejeno papeško pismo j e bilo naslovljeno na vse škofe »v Galiji, Evropi, Germaniji in drugih provincah«.84 Oblika bese- de Evropa, zapisana v inscriptio-Eoropicf5 - j e bila značilna za frankovske vire iz 8. stol. In medtem ko je bilo pismo datirano z 8. julijem 833, zaporedje imen -Gallia, Eoropia in Germania - spominja na delitev cesarstva, kakršno j e določala verdunska pogodba leta 843.86 »Evropa« j e omenjene še v pismu, ki je vključeno v Novaleško kroniko in v katerem j e pisec imenoval papeža Janeza 8,1 Fischer, 106-7; Carl Erdmann, »Das ottonische Reich als Imperium Romanum«, Deu- tsches Archiv für Geschichte des Mittelalters & (1943), št. 2; Schramm, Kaiser, Rom und Renova- tio, I, 157 sq. 81 Leon konstantinop. patriarhu Ignaciju, c. 853 (MGH Epp. 5, 607); cf. Herbers, Leo IV., 307; Fischer, 92-3. 82 Cf. Herbers, Leo IV., 307-8. 83 »Ecce cuncta in Europae partibus barbarorum iuri sunt tradita« etc. Gregor I. cesar- ju Mavriciju, junij 595 (MGH Epp. 1, 322); cf. Fischer, 45-7. 84 MGH Epp. 5, 73. 85 V drugem ohranjenem rkp. stoji Europa namesto Eoropia. Ibid., op. 3. 811 Gl. Fischer, 92. 2 0 K A R O L I N Š K A » E V R O P A ? « VIH. »vodjo cele Evrope«, universaeEurupae rector.™ Takšno naslavljanje pape- ža spominja na čaščenje Karla Velikega dobrih sedemdeset let pred tem, zani- mivo p a j e zato (in v tem se razlikuje od karolinških apostrofiranj), ker je - s papežem - postavilo v središče »Evrope« Rim.88 Vendar pa papež Janez sam ni nikdar uporabil besede Evropa. Njegovo pionirsko deloje bilo konceptualizi- ranje pojma kristjanstva, christianitas, kot enotnega družbenega telesa latin- skih kristjanov.8'-' Ko p a j e bil brutalno umorjen, je papeštvo za precej dolgo obdobje izgubilo na pomenu, z njim pa tudi »kristjanstvo« in Rim. Rim je, kot sem že omenil, ponovno postal središčnega pomena, ko je bilo pod Otonci restavrirano cesarstvo, toda zdaj j e bil središče cesarstva kot »rimskega sveta«, ne pa »Evrope«. »Evropa« v dolgem 10. stol. za papeštvo ni igrala nobene vloge. Šele ko je bil Oton III. leta 996 okronan za cesarja, j e temu ploskalo »ne le rimsko ljudstvo, temveč ljudstvo skoraj vse Evrope«.00 Papeška roka je sicer posadila krono na Otonovo glavo, ni pa zapisala imena Evropa; o »Evro- pi« j e govoril samo analist.01 Za konec naj omenim še nekaj uporab besede Evropa zunaj frankovske oblastne sfere. Langobardski zgodovinar Pavel Diakon (f 799), kije v mlajših letih sodeloval v uporu proti frankovski oblasti, j e v svojem zadnjem delu, Zgodovini Langobardov, pisal, da se ozemlje, ki se razteza od Dona proti zaho- du, imenuje Nemčija (četudi imajo posamezni kraji na tem področju svoja imena), Evropa p a j e mejila nanj.92 To j e seveda inverzija frankovskega (in ne le frankovskega) enačenja »Evrope« z Germanijo. Pavlov mlajši sodobnik iz Milanaje omenil, d a j e cesar Decij opustošil Evropo,03 kar dopušča domnevo, d a j e bilo njegovo razumevanje »Evrope« blizu Pavlovemu. Ekscerptor in na- daljevalec Pavlove Zgodovine Lombardov v drugi polovici 9. stol. p a j e postavil meje Evrope spet na nemški sever.04 87 Chronicon Novaliciense App. (MGH SS 7, 122). 88 Gl. Fischer, 95. 89 Cf. Jean Rupp, L'idée de chrétienté dans la pensée pontificale des origines à Innocent III (Paris: Les presses modernes, 1939), 35, 41, 47; Giulio Vismara, Impium foeudus: Le origini délia »respublica christiana« (Milano: Dott. A. Giuffrè, 1974), 31, 33. 90 Harald Zimmermann, Papstregesten 911-1024, 2. izd. (zv. 2 II. razdelkaj . F. Böhmer, Regesta imperii, Dunaj: Böhlau, 1998), št. 750, str. 229. T o j e edina omemba »Evrope« v Zimmermannovih Papstregesten za obdobje 911-1024. Prva (in edina) omemba »Evrope« v Liberpontificalisje v buli Significasti Pashala II. Gl. Liberpontificalis, ur. L. Duchesne (Pariz: Boccard, 1955-57), II, 374 sq. 91 Annales Quedlinburgenses a. 996 (MGH SS 3, 73). 92 Historia Langobardorum I,i (ur. G. Waitz, MGH SS rer. Germ. 48, 52); o Pavlu gl. Manit., I, 257 sq. 93 Anonymi Mediolanensis, Libellus de situ civitatis Mediolani, de adventu Barnabae Aposto- li et de vitis priorum pontificum Mediolanensium VIII ( Rerum italicarum scriptores, nova izd., 1.2, 62); cf. A. Colombo, Prefazione, XC. 94 Andrej iz Bergama, Historia 1 (MGH SS rer. Lang., 221); cf. Watt., I, 309. 2 1 T O M A Ž M A S I NAK Alfred Veliki, kralj Wessexa (871-899), j e svojemu prevodu Orozija v an- glosaščino dodal opis severne in vzhodne Evrope na podlagi informacij, ki sta jih zbrala dva popotnika v tiste kraje. Ti dodatki so pomemben vir za poznava- nje takratne zemljepisne in etnografske vednosti,95 a kar me zanima tu, so meje Evrope. Kralj Alfred j ih je opisal takole: »Zdaj bomo govorili, kolikor nam j e znano, o mejah EVROPE. -Od reke Don proti zahodu do reke Ren (ki izvira v Alpah in potem teče naravnost proti severu v rokav oceana, ki obkroža deže- lo, imenovano Britanija); -in potem proti jugu do reke Donave (katere izvir j e blizu reke Ren, vendar potem teče proti vzhodu, mimo dežele, ki leži severno od Grčije, v Sredozemsko morje); -in na sever do oceana, ki se imenuje Belo morje. znotraj teh meja je veliko nacij; vse skupaj pa se imenujejo Germanija.«90 Iz tega opisa sledi, d a j e bila Evropa identična z Germanijo. Vendar j e Alfred vključil v svoj »opis Evrope« tudi razpravljanje o Grčiji, Italiji, deželah zahod- no od Rena in severno od Alp med Atlantskim oceanom in Sredozemskim morjem, ki jih je imenoval Gallia Bélgica, Španiji in Britaniji,97 ter sklenil: »Go- vorili smo torej o mejah cele Evrope, kakor pač tečejo.«98 Ta ealleEuropeje bila torej večja od Germanije in dokaj blizu naši današnji zemljepisni Evropi. Podobno širno zemljepisno Evropo — celino, ki se razteza od Konstanti- nopla do Španije - j e predstavil škof Arnulf iz Orleansa. V govoru na koncilu vSaint-Baslu leta 991 je Arnulf dejal, d a j e s propadom cesarstva Rim »izgubil aleksandrijsko cerkev, dovolil, da seje izgubila An tiohija, da niti ne govorimo o Afriki in Aziji. Sama Evropa se ločuje od Rima. Konstantinopelska cerkev se oddaljuje, dežele v osrčju Španije ne poznajo več njegovih zakonov.«99 Škof je spomnil svoje poslušalce na odpadanje nacij in cerkva, o katerem j e bil govo- ril apostol (2 Tes 2.2-3), k i je napovedovalo prihod antikrista, vendar j e sam zagovarjal ideje, ki so ogrožale cerkveno enotnost in peljale v razkol z Ri- mom.100 Ta govor je Gerbert dAurillac ne samo ohranil, temveč tudi napisal (četudi je pozneje sam zagovarjal otonsko cesarstvo s središčem v Rimu).101 Bolj konvencionalno divisio orbis najdemo v Historiarum librilll, ki j ih j e napi- sal Gerbertov študent Richer in jih posvetil Gerbertu, ko je bil ta še nadškof v Rheimsu (se pravi, preden je bil posajen na papeški prestol kot Silvester II.). 05 Alfred Veliki, A Description of Europe, and the Voyages of Ohthere and Wulfstan, ur . J . Bosworth (London: Longman, 1855), ii. 96 Ibid., § 1 (angl. prev., 1-3; v anglosaškem besedilu ni kurzive). Ibid., §§ 14-18. ,JS Ibid., § 18 (angl. prev., 26). 99 Charles Joseph Hefele, Histoire des conciles d'après les documents originaux, revidiral H. Leclercq, zv. 4.2 (Pariz: Letouzey et Ané, 1911), 861 op.; cf. Gerbert , Acta ConciliiRemensis ad Sanctum Basolum (MGH SS 3, 676). 100 Hefele, Histoire, zv. 4.2, 856. 101 Gl. Erdmann, »Das ottonische Reich«, 430-1; cf. Fischer, 106-7. 2 2 K A R O L I N Š K A » E V R O P A ? « Za Richerjaje bila Evropa, preprosto, del tripartitnega sveta,102 podobno kot na primer za škofa Adalbera iz Laona v njegovi Carmen ad Rotbertum regem četrt stoletja pozneje.103 Landolfus Sagax, Italijan, k i je okrog leta 1000 dopolnjeval Rimsko zgodo- vino Pavla Diakona, je omenjal »Evropo« v okviru konvencionalne delitve sve- ta na tri dele, poleg tega pa je , ko je opisal Španijo kot prvo »provinco« Evro- pe ob zahodnem oceanu,104 ponovno uvedel termin, ki ga malo pozneje sre- čamo pri pojmovanju Evrope normanskega zgodovinarja Duda iz St. Quenti- na. Dudo, k i j e začel pisati Zgodovino Normanov okrog leta 1000 (in končal po letu 1017) po naročilu vojvode Riharda I. Normanskega, seje, tako kot mno- go drugih, sklical na kozmografe in njihovo delitev sveta: »Kozmografi pa, ki so pregledali celotno gmoto sveta [...], so razdelili vso zemljo, ki j o na vseh straneh zamejuje brezkončni Ocean, na tri dele; in za te tri dele veljajo Azija, Evropa in Afrika. Evropa, ena od njih, je prepletena s toki zelo mnogih rek, ki označujejo njene različne province in znotraj 'meje ločnice' delijo na domo- vine [patriae].« Med temi domovinamije »najširnejša in najbogatejša od vseh, kar dolguje mnogim trumam svojega ljudstva, kij ih ni mogoče prešteti, Ger- manija«.105 Ker je Germanija tukaj največja dežela na evropski celini, smo da- leč stran od njenega bolj ali manj jasno izraženega identificiranja s »kraljes- tvom Evrope«. Navdih za svoje gledanje na »Evropo« je Dudo našel pri Izidor- ju Seviljskem, ne pri karolinških piscih.10'' Za normanskega zgodovinarja »Evro- pa« ni bila niti »kraljestvo« niti zbir »kraljestev«, pač pa so jo sestavljale patri- ae. Preteči j e moralo še skoraj pol tisočle^a, d a j e »Evropa« sama postala »do- movina« zahodnih kristjanov.107 Tomaž Mastnak Filozofski inštitut ZRC SAZU Ljubljana 102 Richer, Historiarum libriIII\,\ (MGH SS 3, 568). O avtorju: Watt., I, 413 sq. 1,1:1 Carmen, verzi 160-2 (Adalbero iz Laona, Poème au roi Robert, ur. C. Carozzi, [Pariz: »Les Belles Lettres«, 1979], 12). "'4 Additamenta ad Pavli Historiarn Romanam IIII, XIIII (MGH AA 2, 251, 255, 358); cf. Manit., I, 263; Watt., I, 166,je zapisal, d a j e to delo »von geringem Werth«. "lr> Dudo iz St. Quentina, History of the Normans 1,1 (prev. in ur. E. Christiansen [Wood- bridge: The Boydell Press, 1998], 15). Za razlikovanje med provinciae in patriae gl. Izidor Seviljski, Etymologiarvrn sive originvm libri XXXIV,v,19 (ur. W. M. Lindsay, Oxford: Claren- don Press, 1911). 106 Izidor Etym. XIV,iv,4. "'7 Gl. Oratio Eneae de Constantinopolitana Clade, & bello contra Turcos, v Enej Silvij Picco- lomini, Opera quae extant omnia (Basel, 1551), 678. 25 MATEMATIKA IN FILOZOFIJA V pričujočem razdelku so objavljeni nekateri, za objavo prirejeni, referati s kolokvija »Filozofija in matematika«, kije bil v organizaciji Filozofskega inštituta ZRC SAZU 28. in 29. oktobra 1999 v Ljubljani. Tem prispevkom so dodani članki, ki se smiselno navezujejo na obravnavano problematiko kolokvija. Filozofski vestnik Letnik/Volume XXI • Številka/Number 1 • 2000 • 27-44 ARISTOTELOVI MATEMATIČNI PREDMETI KOT »VMESNE STVARI« BORIS VEZJAK Razprava o »vmesnih stvareh« (ta metaxu),] temeljnega pomena za razumeva- nje Aristotelove metafizike in njegove kritike Platona, nam dovolj nepričako- vano nakaže, v kakšni meri je bila matematika za oba misleca, kakor za klasič- no grško filozofijo v celoti, središčna tema čisto ontoloških in torej filozofskih špekulacij. Po drugi strani nam razkrije, kako in čemu j e bila izgradnja mate- matične znanosti pri Aristotelu zavezana njegovi kritiki platonskih idej: zdi se, da so »vmesne stvari« natanko takšen koncept, ki nam razkrije ne le, d a j e matematikova dejavnost v svojem jedru zavezana postuliranju idealnih entitet (kijih Aristotelov učitelj opisuje kot večne in neminljive bitnosti), temveč da ima za predmet svojega raziskovanja v prvi vrsti ravno vmesne entitete in ne večne ideje. Povedano drugače: trditev, d a j e matematika za Platona »episte- me«, ki zase terja svoj tip spoznavnega objekta, najde v Aristotelovi razlagi svojevrstno nadgradnjo: Platon naj bi verjel v vrsto bitnosti, ki so vmes med fizikalnimi predmeti in idejami, v t. i. matematične predmete, imenovane za »ta mathematika« (prim. Metaph. 992bl6,997b2). »Vmesne stvari« so torej pred- met matematične znanosti, pravi Aristotel. V osrednjem delu članka predpostavljam, d a j e Aristotelova interpretaci- ja Platona točna in d a j e »Aristotelov« Platon zapisal tisto, kar je trdil sam Platon. Iz samega besedila poskušam izluščiti v vsebinskojedro nauka o »vme- snih stvareh« in pokazati na možne konsekvence takega nauka, hkrati pa tudi nakazati motivacijo, ki omogoča postuliranje te tretje vrste bitnosti. Predpo- stavljam torej, d a j e Aristotel pravilno povzel Platonov nauk in da je ta resnič- no verjel v tretji razred vmesnih bitnosti (na koncu se dotaknem tudi tega problema). Tako si na podlagi tega izhodišča postavljam naslednji vprašanji: 1. V kakšni meri j e Aristotelova razlaga zavezana teoriji njegovega učitelja 1 Pri transliteraciji besede TCT (LETA^U se v slovenščini odločam za v angleškem in franco- skem govornem področju že skorajda utečeno varianto prepisa črke ipsilon s črko »u«. B O R I S VEZJAK in zakaj ter na podlagi kakšnih pričevanj j e torej »vmesne stvari« izenačil z matematičnimi predmeti? 2. Izenačitev »vmesnih stvari« z matematičnimi p redmet i j e odvisna od pred- postavke, da so »ta metaxu« objekti matematične znanosti, zato lahko isto vprašanje postavimo tudi na ravni razlikovanja med znanostmi in ne le predmeti , tako da se lahko vprašanje glasi tudi takole: čemu naj bi bile vmesne bitnosti predmet le matematike in ne katere druge znanosti (prim. Metaph. 9 9 7 b l 2 i s l . ) . Njegovo obravnavo analiziram na pr imeru »matematičnega števila«: kot pravi, razlikuje Platon med vrstnim (eidetičnim) in čutnim (estetskim) števi- lom. V prvem primeru štejemo števila kot čista števila in j i h r azumemo eide- tično, v drugem j ih razumemo kot števni izraz stvari. Vsako število j e enkra tno v svoji vrsti in ima status ideje, hkrati pa si naravna števila v zaporedji zlahka predstavljamo kot niz fiksiranih predmetov. V drugem pr imeru čutnega števi- la preprosto vidimo skupino stvari, k i j i h preštejemo). Toda obstajalo bo še vmesno, matematično število, ki ni nič od obojega (Metaph. 1090b35, metaxu tou eidetikou kai tou aisthetou). Pred obravnavo matematičnih predmetov kot »vmesnih stvari«, ki j o raz- vijem na podlagi vpeljave matematičnega predmeta , pa bom poskušal orisati še status, ki ga imajo matematični predmet i za Aristotela in s tem podati na- tančnejši okvir razprave, na podlagi katere j e matematične p redmete percipi- ral kot nekaj, kar stoji »vmes« med idealnostjo in čutnostjo. Se zlasti b o m poskušal opisati razliko med ti. matematičnimi in fizikalnimi bitnostmi. Na koncu članka navajam še interpretativne poti Aristotelovega branja Platona glede tega, v kakšni meri j e špekulacija o »vmesnih stvareh« resnično platon- ska in ne aristotelska. Kaj so matematični predmeti pri Aristotelu ? Mnenja o tem, kakšno veljavo j e Aristotel pripisoval matematiki, niti niso tako deljena kot mnenja o tem, kako dober matematik j e Aristotel sploh bil. Thomas Heath v svoji klasični knjigi Mathematics in Aristotlene pozabi pr ipom- niti, da Aristotel prvenstveno ni bil matematik in da to pušča sledi v njegovih delih.2 Vendar nas vrednostne sodbe ne morejo odvrniti od tega, da ne bi 2 Za kratek pregled kontroverznih mnenj o Aristotelu kot matematiku primerjaj W. K C. Guthrie (1993), str. 46 isl. O vlogi matematike v Aristotelovem opusu in njegovi »odda- ljitvi« od platonizma s tem, ko v središče postavi znanost fizike kot na jpomembnejšo »koz- mološko« znanost primerjaj članekJ.J. Clearyja, »Mathematics and Cosmology in Aristot- 2 8 A R I S T O T E L O V I MATEMATIČNI PREDMETI KOT »VMESNE STVARI« mogli podati Aristotelovih stališč, v tem primeru opisa matematičnih pred- metov in njihove vloge. Za matematične predmete (največkrat zapisane kot »ta mathematika«) bo v knjigi »Mu« njen avtor zatrdil, da si j ih lahko zamisli- mo ločeno od čutnih stvari, toda le na njihovi na podlagi. Preprosto poveda- no: naloga matematika je, da od čutnozaznavnih stvari v naravi odvzema čut- na določila.3 Ta tip odvzemanja j e po Aristotelu tipičen za vsako znanost: v znanosti naletimo na nek predmet, k i je pač takšen, kot je , preden se začne- mo z njim ukvarjati (in takšne so čutnozaznavne bitnosti). Toda na drugi strani j e vidik, s pomočjo katerega gledamo na nek predmet, ko nanj pač gledamo znanstveno, teorijsko. Npr. v fiziki sta takšna aspekta telesnost in gibanje, in temu bi lahko rekli formalni vidik obravnave predmeta. Enako bo veljalo tudi za matematiko: slednja se ukvarja s čutnimi stvarmi, toda pod določenim vidikom (Metaph. 1077b28-35)4: Na tak način bodo o stvareh v gibanju obstajale razlage in znanosti, ne kolikor so stvari v gibanju, temveč zgolj kolikor so telesa, in spet zgolj kolikor so ploskve in zgolj kolikor so daljice in kolikor so deljive in koli- kor so nedeljive, toda imajo položaj, in zgolj kolikor so nedeljive, tako da, ker je resnično, da na splošno rečemo, da bivajo ne zgolj ločene stvari, temveč da bivajo tudi neločljive stvari (na primer stvari v gibanju bivajo), je resnično tudi enostavno reči, da matematični predmeti ob- stajajo in da so prav takšni, kakor o njih govorijo matematiki. Ko torej opazujemo čutne predmete na takšen način, opazujemo na njih določene dele, segmente. Ti pa nimajo neke ontološke prioritete. Matematič- ne bitnosti po Aristotelu ne obstajajo niti kot dejanske bitnosti v čutnih pred- metih niti kot dejanske bitnosti ločeno od njih, pač pa se nal ivajo potencial- no v čutnih stvareh (dunamei on) ,5 Kar bi bilo mogoče interpretirati tudi v tem smislu, da Aristotel v bistvu ne razrešuje horizme platonskih idej, ampak jo morebiti prestavlja na raven ločnice med aktualnostjo in potencialnos^o. Ko bo Aristotel v knjigi »Epsilon« določil bistvo prve filozofije kot znano- sti o občem (ta katholou), se bo vprašal tudi, kakšen j e status matematike. Če lahko matematiko obravnavamo kot občo znanost, bo po drugi strani razpad- le^ Philosophical Development«, v: Aristotle's Philosophical Development: Problems and Pros- pects, izd. William Wians, Rowman & Littlefield, Lanham 1996, str. 193-228. 3 O tem primerjaj še zlasti odlično razlago J. Barnesa (1995), str. 87 isl. 4 Vsi prevodi iz Aristotelove Metafizike so vzeti iz prevoda Valentina Kalana (Aristoteles, Metafizika, prev., spremna beseda, opombe in glosarij V. Kalan, Založba ZRC, Ljubljana 1999). 5 O matematičnih predmetih v luči njihove potencialnosti prim. Metaph. 1051a21 isl. (podrobnejša informacija o tem j e dosegljiva v prevodu »Theta« knjige in študiji Valenti- na Kalana (1999), str. 9-29, o statusu matematike pa še v Kalan (1981), str.134 isl. 2 9 B O R I S VEZJAK la ne posebne discipline in bo njen predmet obravnave bolj specifičen. V tej knjigi iz Metafizike bo Aristotel naštel tri teorijske znanosti (theoretikai episte- mai): fizikalno, matematično in teološko (phusike, mathematike, theologike). Vsaka se ukvarja s svojo vrsto stvari: fizikalna, znanost (fizika), denimo, bo opisovala fizično bitnost {hephusike ousia). Zanjo naj bi po Aristotelu (Epsilon, 1026a) bila značilna neločljivost (achoriston) in ne negibljivost (ouk akineton), torej gibljivost. Ločljivost (choriston) se nanaša na ločljivost od tvari, hule, torej neke materialne podlage. Da bi bila neka stvar ločljiva od svoje podlage, mora vse- bovati eidos, obliko ali formo. Fizikalne bitnosti so gibljive, saj vsaka stvar v naravi po definiciji vsebuje počelo gibanja in mirovanja - zato bo takšna bit- nost gibljiva in minljiva (ousia kinete kai phtharte). Ob njih bo Aristotel naštel še matematične, ki so, tako kot fizikalne, tudi neločljive (achoriston), toda tudi negibljive (akineton). Matematične niso ločljive zato, ker vselej predpostavlja- jo neko noetično materijo (iz katere so ploskev, trikotnik, število, se pravi matematične entitete), hkrati pa so negibljive, kajti njihova podlaga ni podvr- žena spremembam ali gibanju (nastajanju in minevanju). Teološka substan- ca, k i j e tretji tip bitnosti za Aristotela, j e na podlagi obeh kriterijev opisa- na kot ločena in negibna. Med teorijskimi znanostmi torej lahko naštejemo vsaki od njih pripadajočo bitnost, od katerih so fizikalne neločljive, gibljive, matematične neločljive in negibljive, teološke, ki j ih tukaj puščam ob strani, pa ločljive in negibne (ali negibljive). Zaradi sorodnosti med njimi se lahko vprašamo, kakšnaje distinkcija med fizikalnimi in matematičnimi bitnostmi. Aristotel bo poskušal primerjati pred- mete prve in druge, nato pa še določiti, ali le-ti poučujejo naravo kot materijo ali kot obliko (formo). Tako fizika kot matematika pa se ne ukvarjata s posa- meznimi distinkcijami v stvareh — pravi predmet vseh znanosti j e vedno splo- šen, je univerzalija.6 Fizika ne raziskuje materije tega ali onega človeka, tem- več tip materije, ki ga lahko najdemo v vseh ljudeh in j e univerzalni substrat oblike ali forme človeka.7 Tako bo v tem primeru, primeru živih bitij, ki so najbolj kompleksna vrsta fizičnih entitet, govorila o materialnem vidiku, ki zadeva vsako živo biye. To je sestavljeno iz majhnih delov, t.i. »anomeomerič- nih« delov ali organov, torej delov, ki so deljivi dalje v poddelce, saj so nekak- šne minimalne oblike, v katerih se uteleša materija. S tem pridemo do »ho- meomerij«, neskončno majhnih delcev, sestavljenih iz enake materije, ki so v 6 Osnovna informacija o vlogi matematike v Aristotelovi fiziki in odnosu fizikalnega do matematičnega j e podana v članku E. Husseya »Aristotle's Mathematical Physics: A Re- construction«, v: Aristotle's Physics: A Collection of Essays, izd. Lindsay Judson, Clarendon, Oxford 1991, str. 213-242. 7 Čemur pravi Tomaž Akvinski »materia sensibilis communis« v nasprotju z »materia individualis«. 3 0 A R I S T O T E L O V I MATEMATIČNI PREDMETI KOT »VMESNE STVARI« bistvu elementi, in elementi so najpreprostejši primerki čutne materije." Geo- metrijski svet j e zato glede na fizični (fizikalni) svet v razmerju, kot ga ima kontinuiteta (suneches) do kontigvitete (haptomenon)\ v prvem primeru je ko- nec neke stvari začetek druge, v drugem ni (klasične primer iz Fizike j e odnos lesene do geometrijske kocke (Phys. 227al0). Prva težava, na katero naleti Aristotel, j e ta, da že same fizikalne bitnosti v sebi vsebujejo ravnine, telesa, daljice ali točke, ki so v bistvu predmet mate- matične znanosti. Vprašanje, ki se torej zastavljaje: na kakšen način j e lahko isti predmet v domeni dveh znanosti (kar je iz aristotelske perspektive, mogo- če res ne iz današnje, ki govori o interdisciplinarnosti, pač zelo velik problem, celo nekakšna nelogičnost, kajti znanost ali katerakoli druga dejavnost pri Aristotelu in Platonu vedno zahteva svoj specifični objektni korelat, vedno nujno referira na neko območje, na podlagi katerega se kot znanost sploh vzpostavlja). Zato matematika preučuje natanko iste predmete, vendar pa ne, kot pravi, »meje fizičnega telesa«. Drugače povedano — predmeti matematike so dejansko neločljivi od fizičnega, gibljivega telesa, toda ukvarjanje z njimije takšno, da j i h obravnavamo statično, kot negibljive. Ce naj govorimo o obstoju, denimo, kroga, si bomo po Aristotelu morali zamisliti neko zunanjo fizično substanco okrogle oblike, ki s svojo zunanjo lupino ali fizično mejo naznanja matematični predmet. Če imamo pred sabo neko homogeno telo, potem ne moremo reči, da se znotraj njega nahajajo točke, daljice, ploskve, temveč lahko govorimo zgolj o možnih, potencialnih točkah, daljicah, premicah glede na mogoče delitve, ki bi jih lahko aktualno izvedli (lahko bi rekli, d a j e to »dunamei on« status matematičnih predmetov, ki bivajo le potencialno). Sam način, na katerega si lahko zamislimo fizično telo kot negibljivo, pa j e stvar tako imenovanega postopka abstrakcije. Pri matematičnih bitnostih abstrahiramo njihovo gibanje in v pojem abstrakcijeje istočasno inkorporira- na Aristotelova kritika Platona: ta kritika odklanja pitagorejsko platonistično hipotezo o samostojni bitnosti matematični elementov, hkrati pa tudi njihovo bivanje v nadnebesnem prostoru. Matematični predmeti sploh nikjer ne biva- jo , kar pomeni , da se ne nahajajo v nobenem prostoru/mestu (Metaph. 1092al9) in so torej atopični - zanje bi morali konstituirati nek poseben, drug prostor. Razlikovanje, ki zadeva matematične in druge tipe bitnosti, najdemo tudi znotraj samega pojma matematičnega predmeta. Drugače povedano, obstaja- le bodo različne vrste matematičnih predmetov, najbolj tipično aristotelsko 8 Za sumaričen prikaz obeh pojmov na podlagi razlage iz Degeneratione animalium glej Guthrie (1993), str. 227. 3 1 B O R I S VEZJAK pa je razlikovanje med aritmetičnimi in geometrijskimi predmeti. To je opisa- no v knjigi »Delta« s pomočjo definicije količine, kvantitete: Kolikostno se imenuje tisto, kar je deljivo v znotraj prisostvujoče dele, izmed katerih se vsakteri ali vsak izkazuje za nekaj enega in neko dolo- čeno bitje. Potemtakem je določena kolikšnost množica, kadar je štev- na, medtem ko je kolikšnost velikost, kadar je merljiva. Mnoštvo pa se imenuje tisto, kar je po možnosti deljivo v dele, ki niso zvezni, velikost pa tisto, kar je deljivo v neprekinjene dele; izmed velikosti pa j e tista, ki je v eni smeri zvezna, dolžina, tista, kije v dveh smereh, širina, tista pa, ki je zvezna v treh smereh, globina. Izmed teh kolikosti p a j e omejena množica število, omejena dolžinaje črta, omejena širinaje ploskev, glo- bina pa je telo. (Metaph. 1020a7-20) Kot ponazoritev določil kvantitete v obliki mnoštva in velikosti si lahko predstavljamo karkoli, kar lahko štejemo in merimo. Denimo število jablan v vrtu in dimenzije tega vrta. Kvantiteta (poson) j e tisto, s čimer lahko vse, kar je prisotno, delimo, in pri čemer je vsaka del izmed tega po naravi eno ali enota (to heri) in neko tole (tode ti). Tako j e (a) mnoštvo1' (plethos) neka količina, če je nekaj števno (arithmetori), medtem ko je (b) velikost (megethos) tisto, kar j e merljivo (metreton) in kar je deljivo na neprekinjene dele, j e »suneches«. Mnoš- tvo je tako predmet aritmetike, velikost geometrije. Mnoštvo ni neprekinje- no, kontinualno, medtem ko velikostje. Velikost, k i je neprekinjena, je lahko neprekinjena v eni smeri, in tedaj j e to dolžina (mekos), če j e v dveh, j e širina (platos), če v treh, je globina (bathos). Izmed velikosti j e omejeno mnoštvo enako številu, dolžina črti (gramme), širina ravnini (epiphaneia) in globina te- lesu (soma) (Metaph. 1020al3-15). Kaj so »vmesne stvari« (ta metaxu) ? Zdi se, da so Platonova izhodišča pri Aristotelu uporabljena kot motivaci- ja, s pomočjo katereje slednji zastavil svoj lastni premislek o matematiki. Zgo- raj smo opisali status, kot ga imajo matematični predmeti za Aristotela, zdaj pa nas zanima, kakšne eksegeze so ti predmeti deležni znotraj razlage platon- skega izročila in čemu so matematični predmeti opisani kot »vmesne stvari«. Aristotel uporabi vsaj dvakrat Platonovo ime, da bi z njim povezal tretjo vrsto entitet, tj. idej in fizičnih predmetov. Prvo od teh dveh omemb najdemo v Aristotelovem prispevku o Platonovi filozofiji, razloženem v šestem oddelku 9 V zgornjem prevodu »množica«. 3 2 A R I S T O T E L O V I MATEMATIČNI PREDMETI KOT »VMESNE STVARI« knjige »Alpha«, v drugi pa se Platonovo ime povezuje s Spevzipovim. V obeh odlomkih so »vmesna stanja« navedena kot tipična poteza Platonove filozofi- je. Aristotel omenja platonsko razločitev (chorismos) »vmesnih stvari« od idej {Metaph. 1086al2), ki so »upravičeno razločene«10, s čimer nam predstavi to razliko (med idejami in »vmesnimi stvarmi«) kot predpostavko o dveh vrstah bitnosti (Metaph. 1028bl8-21; 1069a34-6, 1076al9-21). Aristotelovo izrazje in način, kako opiše ta Platonov nauk, pa nam ne pomagata bolje doumeti, kak- šno j e bilo njegovo idejno jedro in njegova osnovna intenca. Povedo nam le, da jeml je Aristotel ideje in vmesne bitnosti za dve različni vrsti entitet, toda ta vpeljava se ne zdi preveč informativna. Aristotel govori o teh bitnostih ali entitetah kot »vmesnih stvareh« {ta metaksy), te pa na več mestih imenuje še za matematične predmete ali mate- matikalije (ta mathematika), ne da bi imel v mislih kakšno razliko." Nobenega razloga torej nimamo za domnevo, da bi mislili, kako razlikuje med obojim ali podaja kakšno distinktivno potezo. Prav nasprotno: na mestu 992bl6 izrecno pravi, da so »vmesne stvari« matematični predmeti, na mestu 997b2 pa, da so oni (^. platonisti) trdili, kako se matematične znanosti ukvarjajo z »vmesnimi stvarmi«. Tako se zdi, da Aristotel ves čas predpostavlja, da so vmesne bitnosti pred- met ali domena matematike, toda to nam še ne razloži, zakaj in čemu ravno matematične znanosti in katere druge. Čemu bi namreč ravno matematična znanost in ne katera druga morala imeti za svojo predmet nekaj, kar ni ne ideja in ne fizični predmet? Odgovor je podan neposredno v odlomku, ki nekoliko določa in morebi- ti celo spreminja koncept vmesnih entitet. Te so označene za mnoge in večne (Metaph. 991a4). Se pred tem pa pravi tole: Nadalje pa Platon trdi, da poleg čutnozaznavnih stvari in idej obstajajo kot nekaj vmesnega matematični predmeti stvari, ki se razlikujejo od čutnozaznavnih stvari po tem, da so večni in negibljivi, od idej pa po tem, da so kot določena mnoštva enaka, medtem ko je vsaka ideja po sebi zgolj ena sama.12 (moj prevod, 987bl4-18) 111 eulogos echorisen (prav tam). " O tem si velja ogledati tale mesta v Metafiziki. 987bl6, b29, 991bl9 , 992bl6, 995bl7 , 9 9 7 b l , b l 3 , 998a7, 1002bl3, b21 ,1059b6, 1077a l l , 1090b35. 12 Prim, še Rossov prevod (Barnes, 1984) in original: »Further, besides sensible things and Forms h e (Plato) says that there are the objects of mathematics, which occupy an in termedia te position, differ ing f rom sensible things and being eternal and unchangeab- le, f r om Forms in that there are many alike, while the Form is in each case unique« (fext Sfe n a p a %b a i a S e r a KOU t a e iSr | T&paGripatiKČtTČov 7ipa/y|i6aa>v s tvav v 8 eiŠmv TČO itx [iev noX'k č a r a 6 p o t a e t v a i , T6 8e etSoq AT>Tb tv £KOCCTTOV p6vov) . 3 3 B O R I S VEZJAK Vmesne bitnosti so torej večne in negibljive, podobne kot ideje, toda so drugačne od idej, ker niso zgolj ene same. Drugače povedano, niso enkratne in edinstvene, unikatne, kot so to ideje. Če j e vsaka ideja enkratna (edinstve- na) v svoji vrsti, bomo lahko imeli veliko primerkov vsake vrste »vmesne stva- ri«, ravno tako kot lahko imamo veliko primerkov vsake vrste fizičnega pred- meta. Tako so se »ta metaxu« izkazale za večne in nespremenljive, s tem po- dobne idejam, toda za razliko od njih ne bodo en(kratn) e.':< Ker je vsaka ideja je ena in enkratna v svoji vrsti, toda naštejemo lahko veliko primerkov iste vrste »vmesne stvari«, podobno kot lahko naštejemo veliko primerkov iste vrste fizičnega predmeta. Ta tretji tip bitnosti naj bi torej bil, kot bomo videli, vmes med obojim in nič od obojega. Ergo: vmesne bitnosti imajo nekatere značilnosti idej, nekatere pa imajo skupne s fizičnimi predmeti. Zdaj se zdi, že na podlagi tega citata, skorajda povsem jasno, kakšna j e ideja »vmesnih stvari«. Toda čemu in zakaj naj bi bile predmeti matematike? Aristotel nam tega ne pove, tako da moramo ta korak v njegovi argumentaciji nekako popolniti sami. Kotje splošno znano, je bila matematika splošna tema zanimanj v Platonovi akademiji, ko se ji j e priključil tudi Aristotel (okoli leta 367 pred našim štetjem). Če je Platon razumel matematiko le kot predstop- njo vzgoje in mišljenja v dialektiki, tj. v pravi filozofiji, pa j e za Aristotela mate- matika postala nekakšna paradigmatska znanost, na podlagi katere se je lote- val tudi ostalih ali jih vsaj z njenim kategorialnim instrumentarijem poskušal razložiti.14 Na kakšen način in čemu želi Aristotel govoriti o srednji, vmesni katego- riji entitet? Na podlagi kakšne obravnave matematičnih znanosti začuti potre- bo po tem, daj ih vpelje? Vzemimo primer z aritmetiko in geometrijo, pravza- prav paralelo med obojim. »Vmesne stvari« v geometriji in aritmetiki Aristotel bo v svoji predstavitvi Platonovega nauka takšno »vmesnost« pred- metov zahteval tako na področju geometrije kot na področju aritmetike - obe spadata v domeno matematičnih znanosti. Toda kakšna alternativa se nam 1:1 Trditev, d a j e vsaka ideja vselej le ena sama (TÖ 8fi ElSoi; ocircö fev fe KCCCTIOV |l6vov), le ena posamična stvar, imenuje J. Annas za »uniqueness problem« idej: ta lastnost ideje j e kriva, da moramo zavrniti ideje kot možnega kandidata za tip predmeta, s katerim se ukvarja matematik in si zamisliti nov tip bitnosti. Prim. Annas (1976), str. 19. 14 O vlogi matematičnega modela znanosti na Aristotelov opus, kakor tudi primarni vlogi matematične znanosti glej zlasti razpravo v: G. E. L Owen (1986), str. 153 isl. 3 4 A R I S T O T E L O V I MATEMATIČNI PREDMETI K O T »VMESNE STVARI« tukaj postavlja? Glede česa in glede na kaj se določa ta vmesnost? Alternativa j e kakopak platonistični chorismos, delitev na dva nivoja stvarnosti, neminljivi svet idealnih bitnosti in minljivi svet čutnozaznavnih predmetov. Za Platona j e naše znanje zavezano spoznavanju s pomočjo idej, Menon pa nam nauk o spominjanju, anamnesis, razkrije prav s pomočjo rešitve primera iz geometri- je . Za razliko od »empirično« zasnovane geometrije Platon zahteva, da mora- mo osnovne geometrijske hipoteze sprejeti kot archai, od česar bo odvisna celotna aksiomatizacija geometrične teorije.15 Gotovost geometrijskih pred- metov nam ni dana s pomočjo čutnega zaznavanja, temveč s pomočjo počel, iz katerih deduciramo hipoteze. Takšni so, denimo, geometrijski liki, ki nada- lje uprimerjajo druge geometrijske pojme kot so točke, daljice, premeri ipd. A. Wedberg nam takšno razliko med »empiristično« in »idealistično« geome- trijo kot »popularno« in »filozofsko«."' Filozofska je seveda platonska - če so v popularni geometrijske izjave dobljene na podlagi prostorskih predmetov, dobljenih iz čutnega izkustva, so v filozofski te izjave takšne, da ne zadevajo čutni svet. Po eni strani so torej geometrijske entitete za Platona idealne in so torej ideje ali oblike (eide), po drugi pa bo Aristotel podal še novo kategorijo entitet: vmesne predmete geometrije. »Vmesni predmeti« geometrije so takšni, d a j e njihova eksistenca podob- na tisti, k i jo imajo ideje, tako da imajo lastnosti, značilne zanje, in so, recimo, večni. Toda po Wedbergu so idealni geometrijski predmeti nekaj, kar (po Aristotelu) Platon postavi vmes med geometrijske ideje in čutnozaznavne stvari. Geometrijske ideje se delijo na popolne in nepopolne uprimeritve; prve so idealni geometrijski predmeti, druge čutnozaznavni prostorski predmeti.17 Zaradi tega Platon vzpostavi idejo o vmesnih geometrijskih predmetih s po- močjo naslednjih premis: (a) geometrija je resnična; (b) resnica geometrije predpostavlja obstoj predmetov, ki dejansko uprimerjajo geometrijske kon- cepte; (c) v svetu čutnih stvari ni takšnih predmetov; ergo: popolni primerki geometrijskih konceptov bivajo zunaj sveta čutnih stvari, v idealne stvarno- sti.18 Omembe geometrije so tako pri Platonu kot pri Aristotelu celo številč- nejše od omembe števil ter filozofsko zanimivejše. Platonov pristop k geome- trijskim izjavam j e tale: geometri jaje resnična, toda ne opisuje odnosov med stvarmi iz prostorsko-časovno danega sveta, ampak iz nekega drugega, ki ni lr' Še zlasti v Drugi analitiki je videti, d a j e splošna logična struktura znanosti bila nekaj, kar j e Aristotel videl v matematiki in še zlasti paradigmatsko v geometriji. Prim. Ovven (1986), str. 212 isl. "' Wedberg (1955), str. 61. 17 Prav tam, str. 62. 18 Prav tam, str. 62. 3 5 B O R I S VEZJAK zavezan modusoma prostora in časa.1'1 Toda geometrijske ideje bodo v aristo- telski kritiki zavzele veliko manj prostora od obravnave števil-idej, ker so te izenačene z naravnimi števili, medtem ko geometrijskim idejam ne moremo pripisati podobne vloge. Kako Aristotel obravnava tisto področje matemati- ke, ki zadeva aritmetiko? Matematik abstrahira od vsega čutnega - teže telesa, mehkosti, grobosti, vročine in hladu ipd. Ohranja zgolj tisto, kar j e kvantita- tivno ali kontinualno. Aritmetika opazuje stvari kot nekontinualne in neek- stenzionalne, geometrija kot kontinualne in ekstenzionalne.20 Geometrijski objekti so hiletični, materialni, toda njihova materialnost j e čista ekstenzio- nalnost, k i j e inteligibilna, ne pa čutna, fizična ali gibljiva. Aristotel bo zato 19 O tem in o odnosu do Evklidove zasnove geometrije, primerjaj Annas (1976), str. 23 isl. 20 Aristotelska abstrakcija j e intuitivni postopek, sestavljen iz dveh komplementarnih procesov, namreč pozitivnega noetičnega razumevanja (noein) in negativnega eliminira- nja. Predmet matematike je inteligibilna, miselna materija, hule noete. Tako kot si lahko fizikalne bitnosti zamislimo v njihovi čutni materialni komponent i (hule aisthete, hule kine- te), npr. kip v bakru, mizo v lesu, bo veljalo tudi za matematična določila, da s i j ih lahko zamislimo v neke vrste materialiteti, in ta materialitetaje umska, z umom dosegljiva mate- rialiteta. (Z. 1036). Aristotel bo rekel, da pridemo do nje po poti odvzemanja čutnih določil čutnim bitnostim, npr. čutnim bitnostim odvzamemo težo, toploto, mehkost in njihova nasprotja, medtem ko ohranimo njihovo kontinuiteto in kvantiteto. Glede na to, da se matematični predmeti konstituirajo šele v postopku miselnega odvzemanja, razlo- čanja, razlikovanja (aphairesis, abstractio) J i h j e Aristotel preprosto imenoval za, k a r j e po abstrakciji (ta eks aphaireseos), s čimer j e v bistvu definiral matematiko znotraj teorije ab- strakcije. Za postopek abstrakcije je torej potreben napor določenega odvzemanja lastno- sti, ki niso matematična določila. Po drugi strani pa j e matematični objekt kot p redmet matematičnega mišljena tudi negiben; iz Fizike vemo, d a j e za matematični objekt značil- na miselna ločljivost od gibanja, s čimer si sploh lahko zamislimo nek predmet kot bit- nost. Nasploh se izraza choriston, ločljiv, drži ta ambivalentnost pomena: na eni strani j e nekaj ločljivo tedaj, ko lahko razločimo formalno komponentno od materialne (npr. dušo od telesa) in v tem smislu bo Aristotel govoril o horizmi pri Platonu, ko bo kritiziral status »nasebnosti« njegovih idej, bivajočih ločeno od tega sveta (per negationem pa bo seveda za vse bitnosti govoril, da so neločljive), po drugi strani pa j e ločljivost povezana z nasebnosljo, s tem, da nekaj obstaja zase, kot enota, kot bitnost: »Kaže, da razločljivost in neko določeno tole (tode ti) pripada predvsem bitnosti« (Z, 1029a27 isl.). S pomočjo abstrakcije je tako postavljena tudi distinkcija med fizikalnimi in matema- tičnimi bitnostmi. Fizika raziskuje konkretne, sintetične, sestavljene bitnosti, ki so vselej seštevek formalne in materialne komponente, medtem ko matematika abstrahira od ma- terialne komponente, četudi slednja ni ločena od formalne. Primer obojega j e npr. po- dan v delu O duši z zavihanostjo in vbočenostjo nosu: matematika zanima nos le kot votel, zanima ga značilnost njegove vbočenosti, konkavnosti - stvari, kjer sta forma in materija povezani, kakor npr. konkavnost ali vbočenost in nos, so predmet fizike, medtem ko so abstraktna določila, kot npr. konkavnost, p redmet matematike: »tako j e zavihanost nosu (simon) vbočenost nosu (koilotes), vbočenost pa je brez čutne materije.« Vbočenost j e torej p redmet matematike, zavihanost fizike, (de An. 431bl2 isl.). Prim. še Kalan (1981), str. 135. 3 6 A R I S T O T E L O V I MATEMATIČNI PREDMETI KOT »VMESNE STVARI« rekel, da so geometrijski predmeti sestavljeni iz noetične, inteligibilne mate- rije (hulenoete). Drugače j e z aritmetiko. Tudi Aristotel nam pove, da so pitagorejci verjeli v to, da so vse stvari števila (karkoli že to pomeni).21 Po zagotovilih Platona lahko razlikujemo med števili, ki so telesne narave, in tistimi, ki to niso. Ko govorimo o aritmetiki bosta torej obstajali dve vrsti števil. Ko preštevamo, pre- števamo bodisi števila stvari ali »čista« števila.22 Vsako čisto število je enkratno v svoji vrsti: deloma zato, ker si zlahka zamislimo naravna števila kot niz posa- mičnih enkratnih predmetov, deloma pa tudi zato, ker so za Platona števila pravzaprav ideje, vsaka ideja pa je enkratna v svoji vrsti. Aristotel dvakrat po- novi, da so bila števila za Platonaideje (Metaph. 1090a4-6; 990bl7): t egapane bomo našli povsem eksplicitno pri Platonu: v Fajdonu (101 in 103-105) se zdi, da obravnava števila na prav tak način kot ideje. Četudi nikjer ne reče, da so števila ideje, pa razloži odnos med čistimi števili in njihovimi primerki kot odnos udeleženosti, participacije. To pomeni, d a j e število razumljeno pr- venstveno kot numerična lastnost in da so vse »dvojne« stvari v tem svetu po- vezane s številom 2.23 In kaj so števila? V Državi j e številom pripisana lastnost enote (R. 526a isl.), toda problem nastane, da lahko to lastnost enote (to hen) pripišemo vsem številom in j e vsem enaka. In če j e vsem enaka, po čem so števila vendarle različna med sabo? Se mar števila ne razlikujejo po tem, da vsebujejo različne enote? Ker so števila enote, j e naslednja lastnost števil tako za Platona kot Aristotela j e ta, da so števila brez delov in torej nedeljiva (Metaph. 1052b35 isl.). Paul Pritchard v svoji študiji trdi, d a j e poglavitni nesporazum v razlagi pojma števila pri starih Grkih ta, da ga ne smemo razumeti iz sodobne pers- pektive, kjer je naš horizont razumevanja števila veliko bolj abstrakten in širši, saj z njim razumemo tudi negativna, racionalna, kompleksna in druge oblike števil. Za Platona in Aristotela arithmos preprosto ni bilo število, ampak nekaj, kar označuje niz stvari oziroma šteto množico nečesa.24 Kaj to pomeni? Platon v Filebu navede razlikovanje med dvema vrstama aritmetike, tisto popularno in tisto filozofsko.25 Enote (monades), ki tvorijo števila, so v prvem primeru 21 Prim. Metaph. 986a4. 22 Na to »dvojnost« števila misli Platon v Državi, prim. 525d isl. 23 V interpretaciji J. Annas Platon (vsaj v Fajdonu) pod to idejo števila ne misli le na število 2 ali število 3 in abstracto, ampak tudi na »dvojnost« oziroma »trojnost« skupaj z »dva« in »tri«, torej tudi na lastnost in ne le objekt. Prim. Annas (1976), str. 13. 24 Prim. Pritchard (1995), str. 15 isl. 25 Primerjaj naslednjo vsebino pogovora med Protarhom in Sokratom v Filebu (56d4 isl., moj prevod): Protarh: Zdi se mi, da govoriš o aritmetiki in vsem, kar si ob njej maloprej povedal. Sokrat: Gotovo. Toda mar ne bi bilo treba tudi zanje reči, da so dvojne, Protarh"? Ali kaj? 3 7 B O R I S VEZJAK različne, v drugem pa morajo biti enake - filozofska aritmetika se ukvaija le z enotami, ki so si med sabo enake. To pomeni, da abstrahira od števil, pridob- ljenih iz čutnega sveta, in se ukvarja le z njimi samimi. V tem smislu tako Platon kot Aristotel za aritmetično enoto večkrat uporabiti izraz he monas ali pridevnik monadikos.2'' Toda števila se zmerom izreka glede na nekaj, je število nečesa. Število nečesa lahko po Pritchardu razumemo na dva načina, v bolj običajnem ali vsakdanjem in manj običajnem smislu. Če rečemo, da imamo pet jablan na vrtu, smo s tem povedali, d a j e število jablan na vrtu enako 5 in v tem smislu potrdili, da se število, v tem primeru jablan, izreka o nečem materialnem. Število 5 v tem primeru ni isto kotjablane, ki smo jih šteli, in ni bilo izpeljano iz njih. Toda to natanko ni tisti način, na katerega Platon uporablja pojem arithmos kot štete množice.27 Če rečemo, da j e nekoga pomendralo krdelo konjev, bo število konjev sovpadlo z njihovo »prezenco«. Število konjev bo istovetno s konji, ki so nekoga pomendrali. V obeh primerih torej dobimo število, k i j e število nekega x. Število bo torej tako v nekem smislu razumljeno v sodobnem, abstrak- nem smislu, po drugem pa bo identično množici predmetov in bo torej eno- stavno prešteta množica, ne pa število. V Metafiziki »Nu« Aristotel to zatrdi na podlagi določitve pojma mere (metron): mera j e tisto, kar j e skupno vsemu; če gre za konje, bo skupna mera konj, če gre za ljudi, bo skupna mera človek. Mera pa mora biti vedno prisotna v vseh stvareh kot nekaj enega in istega, na primer če so konji, je mera konj, in če so to ljudje, j e mera človek. Če pa imamo človeka in konja in Boga, je mera najbrž živo bitje, njihovo število pa bo število živih bitij. Če pa imamo človeka in belo in sprehajanje, pa skoraj ne bo števila teh stvari, ker belo in sprehajajoče pripadata enemu in istemu bivajočemu, ki je vrhu tega eno po številu; Protarh: O katerih govoriš? Sokrat: Najprej o aritmetiki - ali ni treba reči, da obstaja ena, kije namenjena množicam, druga pa za tiste, ki se ukvarjajo s filozofijo ? Protarh: Le, toda na kakšen način lahko določimo to razliko med eno in drugo aritmetiko ? Sokrat: Razlika ni majhna, Protarh. So takšni, ki res seštevajo neenake enote tistega, kar je šteli- no, denimo dve vojski ali dva bika ali dve najmanjši in dve največjih stvari med vsemi, toda drugi se s tem nikoli ne bi strinjali, če se ne dopusti, da nobena enota med nešteto drugimi ni drugačna od katere druge. Protarh: Zares imaš prav, ko praviš, da ni majhna razlika med ljudmi, ki se ukvarjajo s števili in zares smemo govoriti o dveh vrstah. 20 Aristotel eksplicitno pravi, da j e ar i tmet ično število vedno monadikos (Metaph. 1083bl6). 27 Pritchard (1995), str. 17. Primerjaj še zlasti avtorjevo kritiko J. Annas, ki očita tako Aristotelu kot Platonu, da oboje zamenjujeta, tj. da nerazlikovano uporabljata arithmos tako v smislu (abstraktnega) števila kot štete množice (prav tam). 3 8 A R I S T O T E L O V I MATEMATIČNI PREDMETI KOT »VMESNE STVARI« kljub temu paje njihovo število število rodov ali nekega drugega takšne- ga poimenovanja. (Metaph. 1088a8-14) Aristotel verjame, da dobimo število nečesa takrat, ko preštevamo enote, ki so med sabo primerljive oziroma, ki spadajo v isti rod ali vrsto (v zgornjem primeru v rod živih bitij). Število konjev lahko pridodamo k številu Bogov le v primeru, če vsa med njimi subsumiramo v rod živih bitij. Težava nastopi, ko poskušamo idejo razložiti kot število (ali razumeti po- j em ideje-števila). Četudi se zdi, da so števila (vsaj tako v Fajdonu) nekaj nese- stavljenega, saj j e taka po definiciji ideja sama, pa bo težava določitve ideje števila nastopila, ko bomo poskušali razložiti njeno vsebino. Kaj je, recimo, vsebina ideje števila 2 (dva)? Ugotovimo lahko, da ideja Dvojega pravzaprav ni število oziroma je število prav na tak način, kot rečemo lahko rečemo za idejo zelenega (k i je seveda ne čutno ne zaznavamo), d a j e to neka barva.28 Idealna števila (ali ideje-števila) torej v nekem smislu pravzaprav ne bi smeli imenovati za števila, saj so števila le v nekem izpeljanem smislu, namreč na- tanko v tistem, po katerem je tudi ideja konja sama konj. Drugi problem ločevanja na čutnozaznavno in »inteligibilno« število pa nastopi, ko ugotovimo, da so ideje-števila nekaj, kar ne moremo deliti, prište- vati, odštevati na način, kot to počnemo s stvarmi. Ta problem je navsezadnje tudi takšne narave, da ne nastopa v primeru ostalih idej. V vsakdanjem življe- nju govorimo o seštevanju številk in ostalih ponovljivih operacijah z njimi. To j e jasno že iz preproste aritmetične izjave, kot je »2+2=4«, oziroma iz tega, ko začnemo govoriti o tem, d a j e dvakrat dva enako štiri. To se zdi izjava, k i j e zadovoljiva in smiselna — Platon bi jo v svoji Državi postavil na raven otrokove- ga »resničnega mnenja«, ki preprosto verjame vanjo na podlagi izkustva, med- tem ko bo kurikulum moral pripeljati do pravega znanja, ki bo znalo razložiti logične zastavke take izjave, primerne prehodu od sfere doksične sfere k epi- stemični (noetični). Razumevanje preproste aritmetične resnice je torej na- vsezadnje zavezano tudi vzgojnemu programu, ta pa j e odvisen od znamenite Platonove delitve na štiri tipe spoznavanja, ki jim ustrezajo štiri tipi spoznav- nih objektov (prim. R. 509-511).2'1 Toda o čem natančno govorimo, ko upora- bimo takšno izjavo? Zagotovo ne o skupinah fizičnih predmetov, ker resnič- 28 Ali kot se posrečeno izrazi Pritchard ob tej zagati: »Ne smemo pričakovati, da smo zmožni uporabljati aritmetiko z idealnimi števili kaj bolj od tega, da bi bili sposobni sple- zati na idealnega konja« (Pritchard (1995), str. 151). 2'J Prim. članek F. M. Cornorda z naslovom »Mathematics and dialectics in the Repub- lic VI-VII«, v: R. E. Allen (1965), str. 61-97. O prispodobi z daljico, ta mathematika in obravnavi matematike v Državi primerjaj še moj članek »Matematizacija Dobrega: mate- matika kot način utemeljitve reda stvari«, v: Analiza 01, Društvo za analitično filozofijo in filozofijo znanosti, Ljubljana 1998, str. 76-91. 3 9 B O R I S VEZJAK nost take izjave ni odvisna od opazovanjske izkušnje te fizične skupine pred- metov. Skratka: ne govorimo in ne moremo govoriti o fizičnih predmetih. Ne govorimo niti o ideji števila 2, ker j e ta enkratna, unikatna, tako da logično ni niti mogoče, da bi jo dodajali njej sami. Prav tako ne moremo reči, d a j e smiselno govoriti o tem, kako je dvoje nekako del trojnega, ali pa da dobimo dvoje s tem, da seštejemo dve enosti. Vendar j e izjava »2+2=4« zanesljivo izjava o številih in ničemer drugem. Ergo: morala bo bivati neka tre^a vrsta števila, kije drugačna od števnih skupin predmetov in tudi drugačna od idej. Takšno število bo matematično število, ki ga uporabljamo v matematiki. Podobno in prav enako je tudi z geometrijo. Teoremi govorijo o, deni- mo, preseku (sečišču) dveh krogov. Očitno ne smemo govoriti o narisanih (fizičnih) krogih, saj teorema ne dokazujemo s tem, da kroge izmerimo. Toda ne moremo govoriti tudi ne o ideji kroga: t a j e enkratna in na smiseln način ni mogoče reči, da krog seka samega sebe: kateri j e potem namreč drugi krog? Tako se zdi, da geometrijski teoremi govorijo o nekih vmesnih krogih. Po- dobno bo veljalo za vse geometrijske predmete. Lahko bi torej rekli, da so »vmesne stvari« tip predmeta, ki ga potrebuje- jo matematične znanosti, da bi ohranile navidezen smisel matematičnih izjav, ne da bi pristali na tem, da se te izjave nanašajo na ideje ali fizične predmete (Platon vedno vztraja pri tem, da se matematika ne nanaša neposredno na fizične predmete ali karkoli čutnega). In ker se izjave kot 2+2=4 ne morejo nanašati tudi na ideje, ne da bi vzniknil problem z enkratnos^o ideje Dvojega (ideja dvojegaje pač enkratna tako kot vse druge ideje), se zdi nekakšna sred- nja pot med obojim in tretji tip bitnosti najenostavnejša rešitev. Z geometrijskimi idejami bi lahko izpeljali podoben sklep. Obstajajo tako geometrijske ideje kot vmesni predmeti geometrije, ki so tisti pravi predmet geometrovega raziskovanja. Aristotelov argument, kot pravi J. Annas, lahko uporabimo na enak in paralelen način tako za geometrijo kot aritmetiko brez posebne razlike.3" Ta razlaga, ko t j e bila podana doslej, se zdi dovolj utečena in sprejemljiva, toda manj spremenljive so njene konsekvence. Če torej za- ključimo naše vprašanje, kaj so »vmesne stvari«, lahko preprosto rečemo: so način odgovora na poseben problem, ki ga dobimo s tem, ko postuliramo matematične ideje, in sicer tega, kako so lahko matematični predmeti tako enkratni kot mnogi istočasno, tj. mnogi, toda večni. Ideja je enkratna v svoji vrsti, toda matematične izjave se očitno nanašajo na mnoštvo entitet in torej ne morejo biti poistovetene ne z idejami, kolikor so mnoge (te matematične bitnosti), in ne s fizičnimi predmeti, kolikor so večne. Vmesne bitnosti so torej preprosto predmeti takih matematičnih izjav. 30J. Annas (1976), str. 24 isl. 4 0 A R I S T O T E L O V I MATEMATIČNI PREDMETI KOT »VMESNE STVARI« Ali Aristotel upravičeno pripisuje »vmesne stvari« Platonu ? Interpretativni problem statusa »vmesnih stvari« se začne že pri dvomu v to, da Aristotel pravilno povzema Platonov nauk. Drugače rečeno: je Aristotel upravičeno trdil, da Platon verjame v razred bitnosti (entitet), ki so »vmesne stvari«, in sicer stvari, ki se nahajajo med fizičnimi predmeti in idejami? Kaj vodi Aristotela, d a j e verjame v to, kako vmesne stvari za Platona dejansko bivajo? Interpreti se običajno glede tega vprašanja o tem, ali Platon razvije in zagovarja njihov obstoj, razdelijo na dva tabora. Oris tega problema je tradicionalno dovolj jasen. Aristotel pogosto in povsem jasno pravi, d a j e Platon verjel v tretjo vrsto entitet (bitnosti), ki niso istovetne niti z idejami in ne s fizičnimi predmeti. Toda četudi najdemo v »eksoteričnih« dialogih mesta, ko bi lahko domnevali kaj takšnega, Platon takšnega nauka na izrecen in preprost način nikjer ne sprejme.31 Oba pristo- pa k razlagi tega problema sta tale: nekateri interpreti trdijo, da bi morali na podlagi tega, kar j e zapisal Aristotel, tj. pričevanj v njegovih spisih, enostavno sprejeti odlomke v Platonovih dialogih na ta način, kot d a j e Platon dejansko verjel v »vmesne stvari«.32 Druga skupina interpretov pa bo trdila, da ti odlom- ki pri Platonu eksplicitno ne vsebujejo te ideje in se jih da bolje razložiti brez take podmene. Prvi trdijo, na kratko, d a j e Aristotelovo pričevanje korektno, drugi, da ni in d a j e napačno. Toda ob teh dveh pogledih je moč najti še kompromisni predlog, kije ta, da Aristotel sam razvija samo platonsko idejo, zastavljeno v dialogih ali kje drugje znotraj Akademije, oziromajo v nekem smislu interpretira in nadgra- juje . Ta tre^a pot pač ne odstrani začetne težave (kot vsak kompromis, pred- vsem p a v metafiziki, k i je že po sebi brezkompromisna zadeva). Vsi ti pristopi se torej izrekajo o Platonovi tezi o »vmesnih stvareh«. Zau- stavimo se nekoliko ob tem, kakšni so Platonovi razlogi za tako tezo. Če pazlji- vo prebiramo Aristotelove izjave o njih, bomo ugotovili, da njegova kritika le- teh predpostavlja, da j ih Platon zagovarja na nek čisto določen način. Z drugi- mi besedami, Aristoteljih obravnava kot nasledek nekega procesa misli, neke teorije. Toda ko si pobliže ogledamo Platonove dialoge, zlahka ugotovimo, da to niso besede, s katerimi bi j ih utegnil zamisliti pisec dialogov. To nam nakazuje različnost med tem, kar pravi Platon in kar pravi Aristotel. Iz česar 31 O razlagi vloge ta mathematika kot objektu dianoia v Državi, eni najbolj opornih točk za afirmacijo takšne »srednje« pozicije matematičnih predmetov, primerjaj še B. Vezjak (1998), str. 80 isl. 32 Taki klasični avtorji so med številnimi drugimi: E. Zeller (Die Philosophie der Griechen), L. Robin v La théorie platonicienne des idees et des nombres in drugod, G. Martin v Piatons Lehre von der Zahl und ihre Darstellung durch Aristoteles, K. Gaiser: Piatons ungeschriebene Lehre, itd. 4 1 B O R I S VEZJAK lahko sklepamo, da Aristotelovo pričevanje ne rabi (ali pa vsaj ne bi rabilo) podpirati konflikta med tem, kar pravi on in kar pravi o njih Platon v dialo- gih. Gre preprosto za različna tipa dokazovanja vmesnih entitet. Kakšno je izhodišče Aristotela, ko govori o »ta metaxu«? Vmesne bitnosti niso koncept, ki ga razvija, ampak so teza, ki j o želi kritizirati. To v Metafiziki naredi na več načinov in smeli bi postaviti več orientacij ali tipov ugovorov, ki jih razvije. Kot vemo, se Aristotel upira platonizmu v matematiki in večina knjige »Mu« v Metafizikije namenjena ravno temu in prikazu njegove alterna- tive. Ker je njegova glavna zamera, da Platon postulira matematične predme- te kot negibljive in večne dejanske predmete (bitnosti) (Metaph. 1076al0- 12), ima seveda še veliko večjo zamero do teorije, ki ne samo da to narekuje, ampak takšno izhodišče teoretsko zagovarja. Na mestu 991b27-31 Aristotel kritizira Platona in se sprašuje, na kakšni podlagi lahko Platon verjame v ob- stoj matematičnih predmetov, tj. od kod prihcyajo ter čemu morajo biti med idejami in fizičnimi predmeti? Tako v razpravi o matematičnih številih na mestu 1090b31 Aristotel zatrdi o svojem učitelju, da mu povsem spodrsne ob tem, da bi kaj povedal o bivanju in statusu vmesnih števil. Povedati želi, da platonistične izjave na to temo preprosto niso dovolj razumljive. Za Aristotela j e preprosto nerazumljivo, da bi bivali abstraktni predmeti, ki bi bili števila, kar trdita Platon ali, denimo, Frege. Iz tega razloga seveda ne more sprejeti tega, da bi bivala tako matematična števila ali pa ideje števil (števila kot ideje). Ta pristop se izrazi najbolj na mestu knjige »Nu«, 1090a2-15, kjer Aristotel kritizira Spevzipa in pravi, da se mu zdi sprejemljivo verjeti tako v ideje kot v števila hkrati, saj so števila neke vrste ideje, za ideje pa imamo vsaj nekaj samo- stojnih razlogov, da vanje verjamemo. Toda Spevzip zavrača teorijo idej, ver- jame pa v eksistenco števil. Ta dva tipa zamer ali ugovorov sta načelna in zoperstavljata eno stališče z drugim. Toda drugi tip ugovorovje bolj vsebinski. Aristotel se, denimo, spra- šuje, kaj so prva počela vmesnih števil (Metaph. 991b27-31, 1090b32-1091a5) So ta počela ista kot v primeru idej-števil? V tem primeru se postavlja vpraša- nje: zakaj vmesna števila niso ista kot ideja-število, saj platonisti ne uvajajo načina razlikovanja med njimi? So sploh različna? Če ja, ne bodo le različen tip števila, ampak tudi različen tip počela (in imamo problem na ti. arheološ- ki, principielni metafizični ravni). Tretji tip ugovorov na najbolj jasen način predoči način, kako Aristotel razume »vmesne stvari« kot Platonovo rešitev problema vmesnih entitet. Na mestu 997bl2-34 Aristotel kritizira platoniste, češ da j ih ti uporabljajo le v domeni matematike, medtem ko bi načeloma moralo to narediti za vsako znanost. Platon bo se sicer zlahka strinjal, da vsako znanje, če naj bo episteme, ne sme vsebovati izjav, ki bi bile opisi dejanskega sveta: te izjave morajo biti 4 2 A R I S T O T E L O V I MATEMATIČNI PREDMETI KOT »VMESNE STVARI« resnične neodvisno od posameznega fizičnega predmeta. Toda ali so pred- meti znanosti ideje (zdi se, da so nekateri platonisti temu pritrdili)? Ce je odgovor pozitiven, potem se spet srečamo s problemom dvojnosti, tj. enkrat- nosti števila 2 kot ideje. Absurdnost ali protislovje take situacije nam lepo nakaže protiprimer: če fizika ne raziskuje dejanskega sveta, univerzuma, pa tudi ne enkratne ideje univerzuma, ni nobenega razloga, da si za njen znans- tveni predmet ne zamislimo nečesa, kar je »mnogo in večno hkrati«, takšne pa so le »vmesne stvari«, ki niso nič od obojega. Pravi predmet fizike torej niso ne ideje in ne čutni predmeti, ampak nekaj vmes. Pa tudi biologija ne bo raziskovala živali in ne ideje živali, temveč živali, ki se od obeh razlikujejo, torej neke vrste vmesne živali. Na kratko: takšen tretji rod vmesnih bitnosti lahko torej postuliramo za katerokoli znanost. V odlomku 1059b2 isl (»Kappa« knjiga Metafizike) takole razloži status vmesnih entitet v matematiki, ki bi jih moral Platon uporabiti širše: Vendar p a j e razkrito, da oblike ne bivajo (toda kljub temu, celo če bi nekdo predpostavil, da oblike bivajo, se zastavlja vprašanje, zakaj neki ni prav tako, kakor je pri matematičnih bitnostih, tudi pri drugih stva- reh, o katerih so oblike; hočem pa reči, da oni postavljajo matematične predmete med oblike in čutnozaznavne stvari kot določeno tretjo vrsto stvari poleg oblik in tukajšnjih stvari, medtem ko pa ne biva niti tretji človek niti tretji konj poleg človeka samega po sebi in določenih posa- meznih ljudi. Ta dokaz ali trditev lepo nakažeta, da je teorija o »vmesnih stvareh« pred- postavila to, da imajo matematične znanosti poseben in privilegiran status. Toda Aristotel želi reči, da ni nobenega dobrega razloga za to trditev: te bi preprosto morale biti drugje in ne le v matematiki, ker problem, ki ga vmesne bitnosti prinašajo, ni specifičen le za matematične predmete kot takšne. Toda v primeru neomejene aplikacije »vmesnih stvari« na druge znanosti bomo seveda dobili absurdno situacijo, ko bodo te lahko bivale in konstituirale vsa- ko znanost. Odgovor na vprašanje, ali ima Aristotel prav, ko pravi, da Platon verjame v »vmesne stvari«, bi zahteval podrobno analizo in primerjavo njegovih sta- lišč. Moj odgovor bi bil ta, da Platon v nekem smislu racionalizira Platona in njegovo stališče predstavi z enim samim argumentom, heterogene vsebine naredi za enovite in v njih najde le eno poanto, tj. paradoksalno potezo njiho- ve mnogoterosti in večnosti hkrati, ki sta logično nezdružljivi. Druga možnost j e še ta, da Aristotel ne govori o »vmesnih stvareh«, kot so te zapisane v Plato- novih dialogih, ampak o njegovih drugih delih, nenapisanem nauku (agrap- ha dogmata). Dalje: slog Aristotelovega pisanja daje slutiti neke vrste skliceva- 4 3 B O R I S VEZJAK nje na njegovo lastno besedilo in še zlasti na njegov komentar Platonovega znanega spisa »O dobrem«. O vseh teh možnostih bi bilo treba spregovoriti na podrobnejši način z analizo besedil. Spekulativni razmislek bi nas utegnil na- peljati tudi na ugotovitev, da se je morebiti Platonu ta problem zdel preveč tehničen in ga zato ni zapisal v svojih dialogih. Kakorkoli že, poskusil sem nakazati vsaj to, da bi bilo mogoče treba med obojim, platonskim izročilom in konceptom »vmesnih stvari« pri Aristotelu, ločevati. Boris Vezjak Pedagoška fakulteta Univerza v Mariboru Literatura R. E. Allen, Studies in Plato's Metaphysics, Routledge & Kegan Paul, London 1965. J. Annas, Aristotle's Metaphysics Books M and N, Oxford University Press, Oxford 1976. J. Annas, An introduction to Plato's Republic, Oxford University Press, Oxford 1981. J. Barnes, The Complete Works of Aristotle, Princeton University Press, Princeton 1984. J. Barnes, »Metaphysics«, v: The Cambridge Companion to Aristotle, Cambridge University Press, Cambridge 1995 J . J . Cleary, »Mathematics and Cosmology in Aristotle's Philosophical Deve- lopment« v: Aristotle's Philosophical Development: Problems and Prospects, izd. William Wians, Rowman & Littlefield, Lanham 1996 W. K. C. Guthrie, Aristotle: an Encounter (A History of Greek Philosophy, volu- me 6), Cambridge University Press, Cambridge 1993. E. Hussey, »Aristotle's Mathematical Physics: A Reconstruction«, v: Aristotle's Physics: A Collection of Essays, izd. Lindsay Judson, Clarendon, Oxford 1991. V. Kalan, Dialektika in metafizika pri Aristotelu, Mladinska knjiga, Ljubljana 1981. V. Kalan, »Metafizika, IX. knjiga (C): Bit kot možnost in dejanskost«, v: Filozof- ski vestnik, XX, št. 1, Filozofski inštitut ZRC SAZU, Ljubljana 1999. G. E. L. Owen, Logic, Science and Dialectic, Cornell University Press, New York 1986. P. Pritchard, Plato's Philosophy of Mathematics, Academia Verlag, Sankt Augu- stin 1995. B. Vezjak, »Matematizacija Dobrega: matematika kot način utemeljitve reda stvari«, v: Analiza 01, Društvo za analitično filozofijo in filozofijo znanosti, Ljubljana 1998, str. 76-91. A. Wedberg, Plato's Philosophy of Mathematics, Almqvist & Wiksell, Stockholm 1955. 4 4 Filozofski vestnik Letnik/Volume XXI • Številka/Number 1 • 2000 • 45-71 NIKOLAJ KUZANSKI IN ARISTOTELOVA FILOZOFIJA MATEMATIKE MATJAŽ VESEL Eden od bistvenih elementov filozofije matematike Nikolaja Kuzanskega je teorija o matematičnih predmetih kot »bivajočem razuma« oziroma »bivajo- čem v razumu« (ens rationis). Kuzanski že v prvi knjigi De doda ignorantia iz leta 1440 opredeli števila, to je matematične predmete, ki sodijo v aritmetiko, kot entia rationis, saj pravi, d a j e število »bivajoče razuma«, ki ga proizvede naša zmožnost primerjalnega razločevanja: numerus, qui ens rationis estfabrica- tum per nostram comparativam discretionem. V svoji kritični dimenziji j e teza o matematičnih entitetah kot »bivajočem v razumu« morda še najbolj zaostre- no formulirana v leta 1458 dokončanem spisu De beryllo, natančneje v 33. po- glavju, v katerem Kuzanski na podlagi tega uvida o naravi mathematicalia kriti- zira, kar j e nekoliko nenavadno za njegovo pretežno neoplatonistično narav- nanost, Platona in pitagorejce.1 Po Kuzanskemje zmota Platonove teorije gle- de ontološkega statusa matematičnih entitet, kot jo Kuzanski pozna na podla- gi branja Platonovega Sedmega pisma, v tem, d a j e menil, da so matematične entitete, ki so ločene od čutnih predmetov, zgolj relativno resničnejše v duhu kot v čutnih stvareh, zaradi cesarje trdil, da imajo poleg te še neko resničnej- šo bit, k i j e nad umom. Platon bi moral skladno s svojo pravilno ugotovitvijo, da so matematične entitete resničneje v duhu kot v materiji, (i.) zanikati še neko dodatno bit, ki j im j o pripisuje zunaj duha, in (ii.) ugotoviti, da so ob- like človeške umetnosti resničnejše v svojem počelu, to je v človeškem duhu, kot pa v materiji. Na podlagi tega temeljnega spoznanja o naravi matematič- nih entitet, ki so entia rationis, j e upravičena tudi Kuzančeva kritika pitagorej- skega substancializiranja števil. Tako kot v De doda ignorantia razume Kuzan- ski tudi v De beryllo matematične objekte kot proizvode človeškega duha, ki imajo svojo najbolj resnično bit v človeškem razumu. Mathematicalia so rezul- tat ustvarjanja človeškega duha in kot take ne morejo imeti svoje resnične biti 1 O tem cf. M. Vesel, »Mathematica nos docunt ad penitus absoluta: filozofija matema- tike Nikolaja Kuzanskega«, Filozofski vestnik, 18 (3/1997), str. 90-94. M A T J A Ž V E S E L zunaj njega: ne v Platonovih »nebesih«, prav tako pa ne morejo biti bitnosti, substance stvarnega sveta, saj so brez narave (natura carent). I. Kuzanski in abstrakcija matematičnih predmetov Ob tej Kuzančevi kritiki Platona in pitagorejcev pa pade v oči droben detajl, na podlagi katerega bi lahko sklepali, da Kuzanski svojo kritiko Plato- na in pitagorejcev zasnuje na podlagi Aristotelove teorije ontološkega statusa matematičnih predmetov. Kuzanski namreč v 33. poglavju De beryllo pravi, da j e Platon slabo premislil, ko j e zatrdil, da so matematični predmeti sicer re- sničnejši v duhu kot pa v čutnozaznavni stvarnosti, da pa imajo kljub temu še neko drugo, resničnejšo bit, ki je nad umom, pri čemer Kuzanski za matema- tične predmete pravi, da »so abstrahirani od čutnozaznavnih predmetov«. Sintagma »mathematicalia, quae a sensibilibus abstrahuntur« takoj asociira na Ari- stotela,2 saj Aristotel večkrat poudarja, da matematični predmeti nastanejo eks aphaireseos, to je skozi abstrakcijo od čutnozaznavnih stvari. Ravno tako se Kuzanski v 31. poglavju De beryllo sklicuje na inteligibilno, miselno materijo matematičnih predmetov, k i j e tudi eksplicitno Aristotelov koncept. Se po- menljivejša je navezava na Aristotela, če upoštevamo dejstvo, d a j e Kuzanski mathematicalia že v 11. poglavju prve knjige De docta ignorantia označil kot bolj abstraktne (abstractiora) od čutnozaznavne stvari. V članku bomo poskusili osvetliti, v kolikšni meri in na kakšen način Ku- zanski posvoji Aristotelovo teorijo abstrakcije matematičnih predmetov iz čut- nozaznavnega sveta, ter natančneje artikulirati trditev, da se »Kuzanski in Ari- stotel ujemata v tem, da ontološki status matematičnih entitet postavita v sood- visnost z dejavnostjo človeškega duha oziroma mišljenja«,3 da pa j e bistvena razlika med njima v tem, da »pri Kuzanskem človeški duh v matematičnem spoznavanju ne napreduje z abstrahiranjem, ampak s konstruiranjem«.4 Kako je mogoče, da matematične entitete »pri Kuzanskem niso abstrahirane iz ne- matematične realnosti, temveč j ih oblikuje duh, ne da bi pri tem za izhodišče jemal materialne stvari«/' kako lahko matematik po Kuzanskem »razvija svoj lastni svet, ki ni potencialno prisoten in prikrit v materialnem svetu kot nje- gov še neločen aspekt in tako že obstoječ, temveč je v svoj obstoj izpeljan iz 2 Kuzanski je, kot j e sam zabeležil (Cod. Cus. 184 f. 102v), leta 1453 dobil Bessarionov prevod Aristotelove Metafizike, ki j o j e tudi temeljito preučeval. Seveda pa so ideje iz Meta- fizike v različnih interpretacijah krožile ves visoki srednji vek. 3 M. Vesel, op. cit., str. 94. 4 Ibid. 5 Ibid. 4 6 N I K O L A J K U Z A N S K I IN A R I S T O T E L O V A FILOZOFIJA MATF.MATIKE ustvarjalne duhovne dejavnosti«,'' če pa Kuzanski eksplicitno govori o »mathe- maticalia, quae a sensibilibus abstrahuntur«? Kuzanski se na to, da so matematični predmeti abstrahirani iz čutnozaz- navnega sveta, ne sklicuje samo enkrat, običajno pa tudi ne vidi nikakršnega protislovja med abstraktnostjo ali abstrahiranosyo matematičnih predmetov in svojo teorijo matematičnih predmetov kot »bivajočega v razumu«. 1. Kot smo že omenili, Kuzanski že v 5. poglavju prve knjige De docta igno- rantia izpostavi teorijo, da so matematični predmeti »bivajoče v razumu« (ens rationis) kot nekaj samoumevnega, kar ne potrebuje dokazovanja. Tako kot mathematicalia, ki so »bivajoče razuma« in so »izdelana z našim primerjalnim razločevanjem«, predpostavljajo enost, ki je počelo takšnega števila, brez ka- terega sploh ne more biti števila, predpostavlja mnoštvo stvari, neskončno enost, iz katere izhaja in brez katere ne more biti. Razmerje med enostjo in mnoštvom pri številih je enako razmerju med neskončno enostjo (to je Bo- gom) in mnoštvom stvari. Tako kot števila izvirajo iz enosti, iz enice, in jih brez te sploh ne bi bilo, tako tudi mnoštvo stvari univerzuma izhaja iz ne- skončne enosti. Vendar pa Kuzanski v i l . poglavju prve knjige De docta ignorantia, ko po- jasnjuje, d a j e potrebno pri izhodišču raziskovanja božanskega izhajati iz »po- dobe«, k i j e najbolj gotova (certa), opisuje mathematicalia, ki ustrezajo temu pogoju, kot stvari, ki so abstractiora, to je bolj abstraktne kot sensibilia.7 Na eni strani so čutnozaznavne stvari (sensibilia), ki so zaradi potencialnosti materije v stalni nestabilnosti, na drugi pa matematični predmeti (mathematicalia), ki so »bolj abstraktni od teh«. Matematični predmeti so »bolj abstraktni« od čutnozaznavnih, pri čemer pa niso popolnoma brez navezave na materijo, saj sijih brez nje ne moremo zamisliti, obenem pa tudi niso popolnoma podvrže- ni spremenljivosti materije. Ta argumentacija, ki matematične predmete po- stavi v razmerje do čutnozaznavnih predmetov kot »bolj abstraktne«, seveda spominja na Aristotelovo tezo o matematičnih predmetih, ki so »abstrahira- ni« iz čutnozaznavne stvarnosti, čeprav v dejanskosti nikoli ne morejo biti brez materije. Vendar pa Kuzanski tu ne trdi, da so matematični predmeti (1 Ibid. 7 Cf. De docta ign I, 11: »Sunt autem omnia sensibilia in quadam continua instabilitate propter possibilitatem materialem in ipsis abundantem. Abstractiora autem istis, ubi de rebus consideratio habetur, non ut appendiciis materialibus, sine quibus imaginari nequ- eunt, penitus careant neque penitus possibilitati fluctuanti subsint, firmissima videmus atque nobis certissima, u t sunt ipsa mathematicalia.« Vse navedke iz prve knjige De docta ignorantia navajamo po: Nicolai de Cusa, De docta ignorantia, liber primus. Die belehrte Unwis- senheit. Buch I, ur., prev., predgovor in opombe napisal P. Wilpert, tretjo, pregledano izdajo ur. H. G. Senger, Felix Meiner, Hamburg 1979. 4 7 M A T J A Ž V E S E L abstrahirani iz čutnozaznavnih predmetov, temveč samo to, da so »bolj ab- straktni«. Mnogo jasnejši j e Kuzanski glede vprašanja abstrakcije matematičnih en- titet v 6. poglavju druge knjige De docta ignorantia, kjer se expressis verbisstrinja s peripatetično, kot jo imenuje sam, teorijo prisotnosti univerzalnosti oziro- ma univerzalij v posamičnih stvareh. V tem poglavju pojasnjuje »zavitje« (com- plicatio) univerzuma in tri stopnje kontrakcije univerzuma, ki je kontrahiran v vsako partikularno stvar skozi rodove, vrste in nazadnje individué. Dejansko bivajo, dejansko so zgolj individualne stvari; in v teh so vse stvari kontrahira- no. To pa tudi pomeni, da so univerzalnosti oziroma univerzalije dejanske samo kontrahirano oziroma na način kontrakcije: »Et in ista consideratione vi- detur quomodo universalia non sunt nisi contráete actu,«8 Na podlagi te izpeljave se Kuzanski strinja s peripatetiki, ki trdijo, da univerzalnosti actu, to j e dejan- sko, ne morejo biti zunaj stvari. Samo kar je singulare, to j e posamično, j e namreč dejansko, v tem singularnem pa so univerzalije na način kontrahira- nosti to posamično sámo. Kljub temu imajo univerzalije »po naravnem redu« neko univerzalno bit, kijo posamična stvar more kontrahirati. To ne pomeni, d a j e ta univerzalna bit pred kontrakcijo dejanska na kakšen drugačen način kot je »v naravnem redu«, to je kot kontrahibilna univerzalija, ki ne subsistirá sama v sebi, temveč subsistirá v tistem, kar je dejansko. To trditev ilustrira z matematičnimi predmeti, ki sodijo v domeno geometrije (točka, črta in ploskev). Ti matematični predmeti imajo »v redu narave« - tako kot univerza- lije - neko univerzalno bit, ki ni dejanska, saj so točka, črta in ploskev dejanski samo v nekem materialnem telesu, ki p a j e »pred«, predhodi tej aktualizaciji: »Kljub temu imajo univerzalije v redu narave neko univerzalno bit, k i j e kon- trahibilna od posamičnega, [in s tem] ne [mislim], da so dejanske pred kon- trakcijo [in] na drugačen način kot skladno z naravnim redom, [y. drugače kot] kot kontrahibilna univerzalija, [ki] ne obstaja samostojno v sebi, temveč v tistem, kar je dejansko, tako kot so - v napredujočem redu - točka, črta in ploskev pred [materialnim] telesom, v katerem so, [in to] samo [v njem], dejansko.«1' 8 De doda ign. II, 6. Vse navedke iz druge knjige De docta ignorantia navajamo po: Nicolai de Cusa, De doda ignorantia, Uber secundus. Die belehrte Unwissenheit. Buch II, ur., prev., pred- govor, opombe in register napisal P. Wilpert, drugo, izboljšano izdajo ur. H. G. Senger, Felix Meiner, Hamburg 1979. 0 Ibid.: »Habent tarnen universalia ordine naturae quoddam esse universale contrahibi- le per singulare, non quod sint actu ante contractionem aliter quam naturali ordine, ut universale contrahibile in se non subsistens, sed in eo quod actu est, sicut punctus, linea et superficies ordine progressivo corpus, in quo actu tantum sunt, praecedunt.« 4 8 N I K O L A J K U Z A N S K I IN A R I S T O T E L O V A FILOZOFIJA MATF.MATIKE Rečeno drugače: tako kot so »pred« telesom, predhodijo telesu (v na- slednjem vrstnem redu) točka, črta in ploskev, čeprav dejansko bivajo samo v njem, tako tudi univerzalnosti pred kontrakcijo ne bivajo drugače, kot je v naravnem redu, to j e kot nekaj univerzalnega, kar je mogoče kontrahirati, kar pa ne subsistira »v sebi«, temveč v tistem, kar je dejansko (actu est). Reče- no še drugače, univerzalije, med katere prišteva Kuzanski tudi matematične predmete, ki sodijo v področje geometrije (točka, črta in ploskev) so po ne- kem naravem redu »pred« telesom, dejansko pa so samo v telesu. Ker eksisti- ra univerzum actu samo kontraktno, eksistirajo skladno s tem actu tudi vse univerzalije samo kontraktno. Sedaj pa Kuzanski uvede odločilni poudarek, ki zadeva vprašanje abstrak- cije. Kuzanski potegne paralelo med univerzalijami ter točko, črto in ploskvi- jo , in zatrdi, da niti univerzalije niti omenjeni geometrični predmeti, kljub temu, da actu ne eksistirajo zunaj singularnih stvari, niso zgolj entia rationis. Kuzanski skuša obraniti tezo, da imajo univerzalije neko univerzalno bit, k i jo imajo univerzalije v singularnih stvareh, v katerih eksistirajo kot dejanske, oziroma skuša pokazati, da univerzalije ne nastanejo samo z abstrakcijo, kar bi pomenilo, da so zgolj ens rationis, temveč, da so univerzalije kot univerzalije v posamičnih, singularnih stvareh. To stori Kuzanski tako, da zatrdi, da tudi črta in ploskev, ki sta tudi univerzaliji, nista zgolj entia rationis, četudi actu ne eksistirata zunaj nekega singularnega materialnega telesa (in bi skladno s tem kdo lahko mislil, da nista več nekaj »univerzalnega«). Črta in ploskev eksisti- rata v nekem materialnem telesu, se pravi, da eksistirata tako, kot so univerza- lije v singularnih stvareh, vendar pa to še ne zadošča za sklep, da sta črta in ploskev kot nekaj univerzalnega zgolj entia rationis. Um s pomočjo abstrakcije povzroči, da so ti matematični predmeti zunaj stvari, in abstrakcija je gotovo ens rationis, saj točka, črta in ploskev namreč ne morejo imeti absolutne biti, saj j e v celoti univerzalen samo Bog: »Univerzalnosti niso samo bivajoče razu- ma, četudi dejansko niso zunaj posamičnih stvari. Tako kot črta in ploskev nista, četudi se ne nahajata zunaj telesa, zavoljo tega samo bivajoče razuma. Vseeno napravi um z abstrakcijo, da sta zunaj stvari. Abstrakcija pa je bivajoče razuma, ker njima ne more ustrezati absolutna bit. Popolnoma absolutno uni- verzalno je namreč samo Bog.«10 Kaj Kuzanski pove v tem odlomku? Da univerzalije kljub temu, da zunaj 10 Ibid.-, »Non sunt universalia solum entia rationis, licet non reperiantur extra singula- ria actu. Sicut et linea et superficies, licet extra corpus non reperiantur, propterea non sunt entia rationis tantum, quoniam sunt in corpore sicut universalia in singularibus. Intellectus tarnen facit ea extra res per abstractionem esse. Quae quidem abstractio est ens rationis, quoniam absolutum esse eis convenire non potest. Universale enim penitus absolutum deus est.« 4 9 M A T J A Ž V E S E L singularnih stvari niso dejansko, niso zgolj entia rationis, kar ponazori z prime- rom točke, črte in ploskve. Točka, črta in ploskev so dejansko samo v telesu, to j e v nekem čutnozaznavnem materialnem predmetu, vendar pa zato niso samo entia rationis. Zakaj ne? Ker eksistirajo v nekem konkretnem predmetu, tako kot so univerzalnosti v singularnostih. Kljub temu človeški um napravi, da so zunaj čutnozaznavnih stvari, s pomočjo abstrakcije (per abstractionem). Abstrakcija pa je ens rationis. Zakaj? Ker geometrijski predmeti, kot nekaj uni- verzalnega, ne morejo imeti absolutne biti. Tisto univerzalno, k i j e popolno- ma absolutno, to je »ločeno-od-materije«, j e namreč zgolj in samo Bog. Kuzanski torej v tem odlomku eksplicitno povezuje proces abstrakcije matematičnih predmetov iz čutnozaznavne materije s statusom mathematica- lia kot entia rationis. »Bivajoče razuma« pa eksplicitno in jasno poveže z ab- strakcijo. Najprej so točka, črta in ploskev v telesu. Um povzroči, tako da izve- de operacijo abstrakcije, da so zunaj telesa. Ta abstrakcija pa j e ens rationis. Mathematicalia so torej bivajoče razuma, kolikor so abstrahirane, to j e ločene od telesnosti oziroma materialnosti. Toda ob tem se zastavi vprašanje, kako natančno razume Kuzanski abstrakcijo? V nadaljevanju Kuzanski sicer obljub- lja, da bo natančneje razložil, »kako je univerzalno skozi abstrakcijo v umu« (»quomodo autem universaleper abstractionem in intelectu«) v knjigi De coniecturis, ki jo je snoval in delno tudi pisal vzporedno z knjigami De docta ignorantia, vendar pa v verziji, ki j o poznamo, tega ni mogoče najti. Kljub temu j e to mogoče v grobem izpeljati tudi na podlagi tega, kar pove v nadaljevanju. Ce pa je to mogoče za univerzalije, dobimo s tem obenem tudi uvid v to, kako so z abstrakcijo v umu tudi matematični predmeti, saj Kuzanski matematične predmete tu obravnava kot primere univerzalij. Univerzalno oziroma univerzalija (in tako tudi mathematicalia) j e v umu um sam in tako intellectualiter contracte, to j e kontrahirano na način uma. Ker je bit uma »jasnejše in ostrejše umevanje«, dojema kontrakcijo univerzalnosti v sebi in v drugih stvareh. Kako se to zgodi? Psi in druge živali iste vrste so združeni (uniuntur) zaradi skupne specifične narave, ki je v njih. Rečeno dru- gače, različne živali sodijo v eno vrsto, ker imajo v sebi vrsto narave, ki j im j e vsem skupna. Ta skupna specifična narava pa je v njih prisotna, in to kot kontraktna (contracta), četudi um kateregakoli človeka (Kuzanski sicer pravi »um Platona«, vendar je iz vsebine popolnoma jasno, da bi namesto Platono- vega imena lahko uporabil ime kogarkoli), v sebi oziroma sam sebi, na podla- gi primerjave podobnosti različnih primerkov živali, ne bi naredil te »vrste«. Kar zadeva dejavnost (operatio) uma, ta torej sledi »biti in življenju« in ne obratno: um s svojo dejavnos^o ne more podeliti biti niti življenja niti umeva- nja. Torej sledi, kar zadeva umevane stvari, umevanje tega istega uma, skozi podobnosti, ki j ih napravi, biti in življenju narave. Zato so univerzalnosti, ki 5 0 N I K O L A J K U Z A N S K I IN A R I S T O T E L O V A FILOZOFIJA MATF.MATIKE j ih naredi, tako da primerja posamezne substance iste vrste, podobnosti uni- verzalnosti, ki so kontrahirane v stvareh. S tem Kuzanski zaključi argument, da univerzalije, kljub temu, da so actu samo v singularnih stvareh, niso zgolj entia rationis. Do tu Kuzanski v bistvu sledi, če se lahko tako izrazimo, nominalistične- mu razumevanju univerzalnosti. Univerzalije bivajo v posamičnih stvareh, le- te pa um s svojo dejavnostjo abstrakcije teh univerzalnosti od njihovih parti- kularnih pogojev naredi za univerzalnosti, ki so v umu. Najprej je univerzal- nost, na primer vrsta »pes«, k i je na način kontrakcije oziroma kontrahirano, v partikularnih psih, nato napravi um, tako da s primerjanjem različnih psov ugotovi, da si različni psi delijo isto specifično naravo, podobnost te specifič- ne narave (v našem primeru narave vrste »pes«) v umu. Toda — pozor - na tej točki Kuzanski perspektivo obrne. Te univerzalnosti so, preden jih um skozi umevanje, k i je njegova dejavnost, »razvije« v zunanjih znakih, že v umu. Um namreč ne more umevati ničesar, kar ni na kontrahiran način že v njem [on] sam: » Quae in ipso intellectu iam sunt contracte, antequam etiam exteris illis notis explicet per intelligere, quod est operari ipsius. Nihil enim intelligere potest, quod non sit iam in ipso contracte ipsum.«n To pa pomeni, da um, s tem ko umeva, »razvi- ja« svet podobnosti, k i je v njem kontrahiran, s pomočjo znakov: »Intelligendo igitur mundum quendam similitudinarium, qui est in ipso contractus, notis et signis similitudinariis explicat.«12 To pomeni, da na ta način dobimo dva svetova: na eni strani svet kontra- hiranih univerzalnosti, ki so v stvareh, na drugi strani kontrahiran svet univer- zalnosti, ki so v umu. Um te univerzalnosti sicer abstrahira iz čutnozaznavne stvarnosti, iz singularnih instanc v katerih so, vendar to samo ob pogoju, da so te univerzalnosti na neki način prej že prisotne tudi v umu. To velja seveda tudi za mathematicalia, ki so ravno tako neke vrste univerzalnosti: preden jih um s pomočjo abstrakcije, k i je ens rationis, loči od njihovih partikularnih po- gojev, so v umu contracte. Preden um abstrahira točko, črto ali ploskev od čutnozaznavne stvarnosti nekega tridimenzionalnega telesa, so točka, črta in ploskev, ki so primeri geometričnih, torej matematičnih predmetov, ki so tudi univerzalnosti, v tem umu prisotne contracte. Univerzalnosti (vrste/species ali tudi obl ike/ /omae in matematični predmeti/mathematicalia) imajo svojo bit, če upoštevamo tudi dejstvo, da so formae dejansko samo v božji besedi, na tri načine: kot so v Bogu (absolutno), kot so v stvareh (kontrahirano), kot so v umu (na bolj absoluten način, a vseeno kontrahirano). »Oblike pa, ki so v umski ustvarjeni naravi, kljub temu, da so skladno z umsko naravo bolj abso- lutne, vseeno niso brez kontrakcije; tako so um, čigar dejavnostje umevati s 11 Ibid. 12 Ibid. 5 1 M A T J A Ž V E S E L pomočjo abstraktivne podobnosti, kot pravi Aristotel. O tem [bom] nekaj [raz- ložil] v knjigi 'De coniecturis'.«13 Kuzanski v De docta ignorantia bivanje matematičnih predmetov na eni strani poveže z delovanjem uma, kijih abstrahira iz čutnozaznavne stvarnosti, pri čemer imenuje abstrakcijo ens rationis, na drugi pa hkrati zatrdi tudi to, da so matematični predmeti že pred samo abstrakcijo prisotni v umu. Ob tem si lahko zastavimo naslednje vprašanje: čemu služi abstrakcija, če so matematič- ni predmeti, preden jih um z abstrakcijo naredi za entia rationis, prisotni v umu contracte? Kako se lahko Kuzanski sklicuje na Aristotela in njegovo teori- j o abstrakcije preko podobnosti,14 če pa hkrati trdi, da so vse univerzalnosti že prej prisotne v umu, ki to abstrakcijo izvaja? 2. Odgovor na to vprašanje dobimo v 7. poglavju De mente. Kuzanski tu pojasnjuje, kako je človeška duša gibajoče se število, k i je kot vse ostale stvari v svetu »produkt« božjega duha in kot taka sodi v »božje število« oziroma sub- stancialno število. Vendar pa je to božje število zaznamovano z izjemnostjo, ki dušo postavlja v drugačno luč kot ostala božja števila. Mens j e namreč živo božje število in sicer tako, ki je najbolje »proporcionirano« za ustreznost, pri- mernost, odsevati božjo harmonijo, in ki v sebi »zavija« vsako čutno, razum- sko in umsko harmonijo. Kajti četudi je človeški duh božje število, j e vseeno tako število, d a j e enostavna enost, ki proizvaja število iz svoje moči. Zato j e razmerje božjih del do Boga enako kot razmerje del našega duha do njega: »Kajti četudi je duh božje število, j e kljub temu število na tak način, d a j e enostavna enost, ki proizvaja iz svoje moči svoje število. Zato je razmerje del našega duha do duha samega, tako kot je razmerje božjih del do Boga.«15 Kuzanski torej ponovi trditev, ki smo jo srečali že v De docta ignorantia, da duh (prej um) na neki način v sebi »zavija« vse harmonije (čutno, razumsko in umsko) in tako na neki način tudi že vsebuje vsa mathematicalia, k i j ih potem iz svoje moči »razvija«. Na podlagi rečenega pa idiota določi razliko med bož- 13 De docta ign. II, 9: »Formae autem, quae sunt in natura intellectuali creata, licet secundum intellectualem naturam sint magis absolute, tarnen sine contractione non sunt, ut sint intellectus, cuius operatio est intelligere per similitudinem abstractivam, ut ait Aristoteles. De quo quaedam in libro De coniecturis.« Kuzanski v De docta ignorantia kar dvakrat zatrdi, da bo več o tem, kako pride do abstrakcije v umu, povedal v De coniecturis. Prvič v 6. poglavju druge knjige, drugič v 9. poglavju iste knjige. 14 V svojem prevodu Učene nevednosti napotuje J. Hopkins na De anima III 8, 431b28 - 432a4. Cf. J. Hopkins, Nicholas of Cusa on Learned Ignorance: A Translation and Appraisal of De docta ignorantia', A.J. Banning Press, Minneapolis 1981, str. 197, op. 110. 18 De mente 7: »Nam mens etsi sit numerus divinus, est tarnen ita numerus, quod est unitas simplex ex sua vi numerum suum exserens. Unde quae est proportio operum dei ad deum, ilia operum mentis nostrae ad mentem ipsam.« Vse navedke iz De mente navaja- mo po: Nicolai de Cusa, Idiota de mente. Der Laie über den Geist, ur. prev. in opombe napisa- la R. Steiger, uvod G. Santinello, Felix Meiner, Hamburg 1995. 5 2 N I K O L A J K U Z A N S K I IN A R I S T O T E L O V A FILOZOFIJA MATF.MATIKE j im duhom in človeškim duhom: t a j e taka kot med »delati«, »proizvajati« (faceré) in »gledati« (vicLere). Ko božji duh misli (concipiendo), ustvarja, naš duh pa se asimilira stvarnosti, tako da dela pojme (notiones) in umska videnja (in- tellectuales visiones). Božji duh j e vis entificativa, naš duh je vis assimilativa. Oba duha nekaj »proizvajata«: božji ustvarja stvarni univerzum, človeški pa se s tem, ko dela pojme in umske vizije, asimilira, vendar skozi to gradi svoj lastni svet, tako kot Bog lastnega. Sledi natančen prikaz postopka, kako duh »iz sebe« proizvaja »oblike stvari na način asimilacije« (quomodo mens ex se exserit rerum formas via assimilationis), pri čemer j e v ozadju klasična razdelitev znanosti na fiziko, matematiko in teologijo. Proces asimilacije našega duha lahko po Kuzanskem razdelimo na dve skupini. Prva skupina se sestoji iz asimilacij, ki so značilne za čutila, imagina- cijo in diskurzivno mišljenje (ratio). Značilnost te stopnje je, da duh tvori asi- milacije s tem, d a j e (i.) kot duša v telesu in da oživlja telo. Druga skupina vsebuje asimilacije oblik, »ne kot so te v materiji, temveč tako, kot so te v sebi in po sebi« (»non ut sunt immersae materiae, sed ut sunt in se et per se«). Oblike doseže duh na tej stopnji tako, da deluje kot čisti, od telesa ločeni duh. Duh deluje brez pomoči telesa, najprej (ii.) »kot duh po sebi, ki pa je vseeno združljiv s telesom« (»ut mens per se, unibilis tarnen corpori«), nato pa kot (iii.) »duh, ki sploh ne more biti združen s telesom«. (i.) Prva stopnja, katere rezultat so mehanične umetnosti ter fizikalni in logični približki, j e rezultat dejavnosti organskega duha (spiritus organicus). Na stopnji delovanja razumskih asimilacij (rationales assimilationes), razumeva človeška »moč duha« (vis mentis) stvari na način, kot so te »v možnosti biti oziroma materiji« (in possibilitate essendi seu materia) in »na način kot je zmož- nost biti določena z obliko« (et modo, quo possibilitas essendi est per formam deter- minata). Ker s temi asimilacijami doseže samo pojme (notiones) čutnozaznav- nih stvari, v katerih oblike stvari niso resnične, ampak zatemnjene zaradi spre- menljivosti materije, so ti pojmi prej približki (coniecturae) kot resnice. Pojmi, ki so doseženi z racionalnimi asimilacijami, so negotovi, saj bolj ustrezajo po- dobam oblik, kot pa da so resnice. »Sic itaque dico, quod notiones, quae per ratio- nales assimilationes attingitur, sunt incertae, quia sunt secundum imagines potius formarum quam veritates.«K Druga skupina asimilacij vsebuje asimilacije oblik, »ne, kot so te v materi- ji, temveč tako, kot so te v sebi in po sebi«. Mens deluje na tej stopnji kot čisti, od telesa ločeni duh, to je brez pomoči telesa, in sicer najprej (ii.) »kot duh 10 De mente 7. 5 3 M A T J A Ž V E S E L po sebi, ki p a j e vseeno združljiv s telesom«, nato pa kot (iii.) »duh, ki sploh ne more biti združen s telesom«. (ii.) Ko deluje kot »duh per se, vendar združljiv s telesom«, napravi - tako da »opazuje svojo nespremenljivost«- asimilacije oblik, ne kot so te potoplje- ne v materijo, temveč kot so »v sebi in po sebi«, in dojame nespremenljiva kajstva stvari, uporabljajoč kot orodje samega sebe, ne pa kakšen telesni duh: »Po tem tvori naš duh, ne kot potopljen v telo, katerega oživlja, temveč kot j e duh po sebi, a vendar združljiv s telesom, s tem ko gleda svojo nespremenlji- vost, asimilacije oblik, ne kot so potopljene v materijo, temveč kot so v sebi in po sebi, in zasnuje nespremenljiva kajstva stvari, uporabljajoč samega sebe kot orodje, brez kakega telesnega organa [...].«17 Rezultat te stopnje so mate- matične znanosti, saj Kuzanski gornji postopek ilustrira z dejavnostjo duha, ko snuje, »koncipira«, dojema (concipit), d a j e krog lik, ki ima vse črte, ki vodijo od središča do oboda, enake, kar pa ne more biti res za noben krog, ki je zunaj duha, to je v materiji: »[...] tako kot, ko dojema, d a j e krog lik, kate- rega črte, potegnjene iz njegovega središča, so enake - [to je ] na način biti kroga, ki ne more biti zunaj duha v materiji.«18 Problem geometrijskih likov, kot so ti v materiji, j e namreč v tem, da zaradi njene spremenljivosti ni mogo- če, da bi bile v materiji dve črti popolnoma enaki, še manj p a j e mogoče tak- šen popoln krog narisati. Zato je krog v duhu exemplar et mensura resnice kro- ga narisanega na tleh. Kakšne asimilacija napravi v tem primeru duh? Čemu se asimilira? Ker duh dela te asimilacije, kot je v sebi in ločen od materije, se tudi asimilira abstraktnim oblikam in na ta način proizvaja gotove, trdne matematične zna- nosti. Na ta način je duhu tudi očitno, d a j e njegova moč /p rednos t v asimili- ranju stvarem in delanju pojmov stvari, kolikor so te v nujnosti complexionis: »In ker duh, kot je v sebi in abstrahiran od materije, tvori te asimilacije, se tedaj asimilira abstraktnim oblikam. In z ozirom na to moč proizvaja gotove matematične znanosti in izkusi, d a j e njegova prednost asimilirati se stvarem, kolikor so v nujnosti povezave in tvoriti pojme.«1'1 17 De mente 7: »Post haec mens nostra, non ut immersa corpori, quod animat, sed ut est mens per se, unibilis tamnen corpori, dum respicit ad suam immutabilitatem, facit assi- milationes formarum non ut sunt immersae materiae, sed ut sunt in se et per se, et immu- tabiles concipit rerum quiditates utens se ipsa pro instrumento sine spiritu aliquo orgáni- co, [...].« 18 Ibid.: »[...], sicut dum concipit circulum esse figuram, a cuius centro omnes lineae ad circumferentiam ductae sunt aequales, quo modo essendi circulus extra mentem in materia esse nequit.« 19 Ibidr. »Et quia mens ut in se et a materia abstracta has facit assimilationes, tunc se assimilat formis abstractis. Et secundum hanc vim exserit scientias certas mathematicas et 5 4 N I K O L A J K U Z A N S K I IN A R I S T O T E L O V A FILOZOFIJA MATF.MATIKE Rezultat delovanja duha na tej »ravni« so torej matematične oblike, kijih duh proizvaja tako, da jemlje kot orodje v postopku samega sebe, opazujoč svojo lastno nespremenljivost, in se jim tako priliči, asimilira. Tu pa zopet nastopi obrat: četudi duh na tej stopnji proizvaja matematične predmete iz samega sebe, mora biti v te »asimilativne abstrakcije« (assimilationes abstracti- vas) spodbujen s čutnozaznavnimi predstavami, t. i. »fantazmami« (phanta- smata) oziroma podobami oblik (imagines formarum), ki j ih odkrije skozi asi- milacije, ki so narejene v telesnih organih, to je na prvi stopnji: »V te abstrak- tivne asimilacije pa j e spodbujen (incitatur) s 'fantazmami' oziroma podoba- mi oblik, katere j e odkril prek asimilacij, ki so bile narejene v organih [,..].«20 Na ta način je duh spodbujen s »fantazmami«, s čutnozaznavnimi podobami oziroma podobami oblik, da išče njihov resnični »pralik« (exemplar), tako kot je kdo spodbujen s lepoto podobe, da išče »pralik« lepote. V tej abstraktivni asimilaciji se naš duh obnaša, kot če bi bila prožnost, prilagodljivost, voljnost, »fleksibilnost« (flexibilitas), ločena/abstrahirana od vseh »fleksibilnih« mate- rialov, na primer voska, tona, metala itn., živa v duhovnem življenju, tako da bi se lahko sama po sami sebi asimilirala vsem likom (figuris), kot so v sebi in ne v materiji. »Takšna bi uvidela, da so [vsebovani] v moči njene žive prožno- sti, t o j e v njej [sami], pojmi vsega, ker se lahko vsemu priobliči.«21 Kuzanski ontološki status matematičnih predmetov v De mente, tako kot zev De docta ignorantia, povezuje z dvema elementoma: s čisto duhovno dejav- nos^o, ki ni povezana z čutnozaznavnim svetom, tj. z duhom kot je ta v sebi, vendar pa mora biti ta duh v to dejavnost spodbujen s čutnim zaznavanjem, torej mora biti sicer duh, kot je v sebi, toda združljiv s telesom. V produkciji matematičnih entitet j e duh v položaju presečišča med čutnozaznavnim sve- tom in čistim svetom absolutnih pojmov (rationes), kjer j e vse eno, y. območ- jem teoloških špekulacij. (iii.) Tretja stopnja asimilacij j e stopnja teoloških špekulacij. Duh na prejš- nji način še vedno ni zadovoljen, ker ne zre natančne resnice vsega, temveč vidi resnico v vsaki stvari z njej določeno nujnostjo, vidi, kako je ena stvar tako, druga drugače, in d a j e sleherna sestavljena iz delov. Ker vidi, da ta način biti ni Resnica sama, temveč udeleženost na resnici, tako d a j e nekaj resnično tako, drugo zopet drugače, ta drugost pa ne more biti lastna resnici »na sebi« (in se), motreni v njeni neskončni in absolutni natančnosti, se duh, comperit virtutem suam esse se rebus, prout in necessitate complexionis sunt, assimilan- di et notiones faciendi.« 20 Ibid.: »Et incitatur ad has assimilationes abstractivas per phantasmata seu imagines formarum, quas per assimilationes factas in organis deprehendit, [...].« 21 Ibid:. »Talis enim in vi suae flexibilitatis vivae, hoc est in se, notiones omnium, quo- niam omnibus se conformare posset, esse conspiceret.« 5 5 M A T J A Ž V E S E L opazujoč svojo enostavnost, kot je namreč ne samo abstrahiran (abstracta) od materije, temveč kot je nezdružljiv z materijo oziroma na način oblike, ki ni zedinljiva z materijo, uporablja to svojo enostavnost kot orodje, da bi se tako asimiliral vsemu, ne samo ločeno/abstraktno zunaj materije, temveč v eno- stavnosti, ki z materijo sploh ni združljiva. »In na ta način vidi v svoji enostav- nosti vse, tako kot [vidi] v točki vse velikosti in v središču krog, in tam vidi vse stvari brez sestave delov in ne kot d a j e eno to in drugo nekaj drugega, temveč vse kot eno in eno [kot] vse.«22 To j e »intuitio veritatis absolute«. Tu vidi duh, da je vse eno, in d a j e on sam asimilacija temu enemu, s katero tvori pojme o enem, k i j e vse: »In na ta način vidi, d a j e vse eno in d a j e sam asimilacija tistega enega, s katero tvori pojme o enem, k i je vse.«23 Ko Kuzanski pojasni tri različne načine, kako duh v postopku asimilacije iz samega sebe proizvaja oblike stvari, pojasni tudi, kako razume matematič- no abstrakcijo, kije obenem tudi ens rationis. Ko deluje človeški duh kot »duh per se, vendar združljiv s telesom,« napravi, uporabljajoč kot orodje samega sebe - tako da »opazuje svojo nespremenljivost« —, asimilacije nematerialnih oblik, oblik, kot so te »v sebi in po sebi«. Ko duh concipit, d a j e krog lik, ki ima vse črte, ki vodijo od njegovega središča do oboda, enake, tvori abstraktivno asimilacijo, in tako facit geometrijske predmete oziroma notiones. Rezultat de- lovanja duha so matematični liki, kijih duh proizvaja tako, dajemlje kot orodje v postopku samega sebe, opazujoč svojo lastno nespremenljivost, in se j im tako priliči, asimilira. Drugače kot čutnozaznavni matematični predmeti, ki so podvrženi spremenljivosti materije, so matematične entitete, ki j ih duh proizvede »iz samega sebe« brez te spremenljivosti, vendar pa zato še niso čista enostavnost. Matematični liki se na tej stopnji še vedno razlikujejo med seboj in tudi niso en sam lik, ki v sebi vsebuje vse ostale like: med njimi vlada drugost. Vendar pa mora biti duh v te »asimilativne abstrakcije« (assimilationes abstractivas) spodbujen. Ce ni spodbude t. i. »fantazem« oziroma »podob ob- lik« (imagines formarum), ki pa so rezultat čutnozaznavne asimilacije, se pravi popolnoma običajnega čutnega zaznavanja stvari v svetu, potem duh ne more iz sebe tvoriti čistih matematičnih predmetov. V abstraktivne asimilacije j e duh spodbujen (incitatur) s 'fantazmami' oziroma podobami oblik, ki j ih j e odkril prek asimilacij, ki so bile narejene v telesnih organih. V tej abstraktivni asimilaciji se človeški duh obnaša kot neka živeča, od materije ločena fleksi- 22 Ibid.: »Et hoc modo in simplicitate sua omnia intuetur, sicut si in puncto omnem magnitudinem et in centro circulum, et ibi omnia intuetur ansque omni compositione partium et non ut unum est hoc et aliud illud, sed ut omnia unum et u n u m omnia.« 23 Ibid.: »Et hoc modo intuetur omnia unum et se illius unius assimilationem, per quam notiones facit de uno quod omnia.« 5 6 N I K O L A J K U Z A N S K I IN A R I S T O T E L O V A FILOZOFIJA MATF.MATIKE bilnost, tako da se lahko sam po sami sebi asimilira vsem likom (figuris), kot so v sebi in ne v materiji. Na ta način, ker se lahko asimilira vsem stvarem, pa človeški duh tudi uvidi, da so v njem vsebovani »pojmi vseh stvari« (notiones omnium). Kuzanski tako za produkcijo matematičnih predmetov potrebuje dvoje: na eni strani abstrakcijo, ki izhaja iz čutnozaznavnega sveta, iz »fantazem«, ki j ih duh naredi o čutnozaznavi stvarnosti, in ki spodbudijo »abstraktivno asi- milacijo«, na drugi strani pa potrebuje tudi to, da so vsi matematični predme- ti (tako kot pojmi vsega drugega) že vsebovani v duhu in j ih duh, spodbujen z »fantazmami«, na neki način »projecira«, »konstruira« iz samega sebe, iz svoje lastne moči. Krogje tako sklenjen. Kuzanski se na to, da so matematični predmeti abstrahirani iz čutnozaznavnega sveta, ne sklicuje samo enkrat, in običajno tudi ne vidi nikakršnega protislovja med svojo teorijo matematičnih predmetov kot »bivajočega v razumu«, bivajočega, kije »brez narave«, in dejst- vom, da so matematične entitete na neki način abstrakcije iz čutnozaznavne- ga sveta, kar nakazuje, vsaj implicitno, da se Kuzanski v nekem temeljnem aspektu svoje filozofije matematike mogoče opira na Aristotela, za katerega naj bi bila značilna teorija, po kateri nastanejo matematični predmeti skozi abstrakcijo. Toda na drugi strani Kuzanski tej teoriji abstrakcije doda tudi element, ko so matematični predmeti pravzaprav proizvedeni iz duha in ne iz stvarnosti. Mathematicalia so entia rationis, izdelana v našem duhu in z našim duhom. Rečeno na kratko: Kuzanski potrebuje za vzpostavitev matematičnih enitet tako »abstrakcijo« iz čutnozaznavne stvarnosti kot »projekcijo« iz duha. II. Aristotel in abstrakcija matematičnih predmetov Vrnimo se sedaj k vprašanju razmerja Kuzančeve in Aristotelove filozofije matematike. Kot j e pokazala dosedanja analiza, se Kuzanski večkrat sklicuje na abstrakcijo matematičnih entitet iz čutnozaznavne stvarnosti, pa tudi na t. i. »miselno materijo«; abstrakcija in »miselna materija« pa sta ena od osnov- nih elementov Aristotelove filozofije matematike. V nadaljevanju bomo sku- šali ugotoviti, ali j e za Aristotela abstrakcija dejansko tudi tisti temeljni ele- ment filozofije matematike, v luči katerega je treba brati vse druge elemente (»biti-ločen-v-mišljenju«, t. i. »qua-teorijo« in že omenjeno »miselno materi- jo«),24 tako da bi bil Aristotel v tem primeru »abstrakcionist«, zastopnik teori- 24 Več o tem v: J. Annas, »Die Gegenstände der Mathematik bei Aristoteles«, v: A. Gräser (ur.), Mathematics and Metaphysics in Aristotle/Mathematik und Metaphysik bei Aristoteles, Paul Haupt, Bern/Stut tgart 1987. V nadaljevanju se v veliki meri opiramo na ta pronicljiv članek. 5 7 M A T J A Ž V E S E L je, po kateri imajo matematični predmeti svojo eksistenco samo v matemati- kovem mišljenju, s katerim ta abstrahira matematične predmete iz čutnozaz- navne stvarnosti ali ne. Ali so za Aristotela matematični predmeti kot abstrak- cije entia rationis, kot trdi Kuzanski? Aristotelovo stališče v filozofiji matematike je mogoče najlažje opisati kot »antiplatonizem«, saj Aristotel »vseskozi odklanja pitagorejsko-platonistično hipotezo o samostojni bitnosti matematičnih elementov«.2r 'Vprašanje j e seve- da, kaj to natančno pomeni in kakšnaje Aristotelova alternativa Platonovemu platonizmu. Ena od posledic interpretacije, ki vidi Aristotelovo filozofijo ma- tematike predvsem kot reakcijo na Platonov nauk, je tudi, da se Aristotelova filozofija matematike pogosto razume kot abstrakcionizem. Ker Aristotel moč- no kritizira Platonov nazor, da matematični predmeti eksistirajo samostojno in ločeno od čutnozaznavnih stvari, naj bi se on sam odpovedal takim pred- metom, ne da bi pri tem mogel zanikati, da matematični predmeti nekako eksistirajo. Zelo pogosto se iz tega izpelje sklep, da se Aristotelovi matematič- ni predmeti od Platonovih razlikujejo samo v tem, da ti »eksistitajo samo v abstrahirajočem mišljenju matematikov, ker je njihov način biti eks aphaire- seos«.26 Tako so v tej interpretaciji »predmeti matematike bistveno odvisni od mišljenja; eksistirajo samo kot predmeti abstrakcije«.27 Ker se »matematični elementi in teoremi konstituirajo šele v postopku miselnega 'od-vzemanja', 'odločanja', 'razlikovanja', je Aristoteles matematične predmete preprosto ime- noval 'tisto, kar je po abstrakciji', ta eks aphaireseos, s čimer je preko teorije matematike zasnoval teorijo abstrakcije sploh«.28 Matematični predmeti ozi- roma kar »vsa matematična določila so tako rezultat matematikovega misel- nega postopka, saj nastopajo v stvareh le potencialno in nejasno. Šele aktiv- nost matematične analize in sinteze matematičnega mišljenja j ih spravi na dan«.29 Na podlagi »abstrakcionizma« se velikokrat interpretira tudi knjiga »Mu 3« Metafizike, v kateri govori Aristotel o tem, da obravnava matematik čutno- zaznavne velikosti, vendar ne kot čutnozaznavne, temveč kot {he, qua) plosk- ve, črte itn.30 Tu igra odločilno vlogo besedica he, latinsko qua, ki pomeni 25 V. Kalan, Dialektika in metafizika pri Aristotelu, Mladinska knjiga, Ljubljana 1981, str. 133. 20 J. Annas, op. cit., str. 132. 27 Ibid., str. 133. 28 V. Kalan, op. cit., str. 134. 2" Ibid., str. 134-35. 30 Metaph XIII 3, 1077b 21-23: »[...] se razkrije, d a j e mogoče, da se tako izreki kakor tudi dokazi nanašajo tudi na čutnozaznavne velikosti, toda ne, kolikor so čutno zaznavne, temveč kolikor (he) imajo določene lastnosti.« Vsi navedki iz Metafizike so navedeni po: Aristoteles, Metafizika, prev., spremna beseda, opombe in glosarij V. Kalan, Založba ZRC, Ljubljana 1999. 5 8 N I K O L A J K U Z A N S K I IN A R I S T O T E L O V A FILOZOFIJA MATF.MATIKE »kot«, »kolikor«. Aristotel sodi, da lahko s to t. i. »qua-teorijo« pokaže, v kak- šnem smislu postavljajo matematiki matematične predmete upravičeno qua ločene, čeprav v stvarnosti niso dejansko ločeni: »Najbolje pa bi utegnilo biti mogoče vsako stvar pozorno sprevideti na ta način, če nekdo to, kar sicer ne biva samostojno po sebi [oziroma ločeno], postavi kot ločeno.«31 V Fiziki1''2- so matematični predmeti opisani kot »ločeni v mišljenju«, s čemer se še okrepi tendenca, da se tudi knjigo »Mu 3« interpretira kotabstrakcionizem. Abstrakcionistična interpretacija Aristotelove filozofije matematike ima seveda oporo v besedilih, saj Aristotel na številnih mestih govori o tem, da so matematični predmeti dojeti v našem mišljenju skozi abstrakcijo od čutnozaz- navnega. Kljub temu pa j e treba najprej ugotoviti, da so poleg abstrakcije v Aristotelovi filozofiji matematike prisotni vsaj še trije elementi (»biti-ločen-v- mišljenju«, »miselna materija« in že omenjena »qua-teorija«), in kot drugo premisliti v kakšnih medsebojnih razmerjih so ti elementi Aristotelove filozo- fije matematike. Pri tem j e seveda »veliko odvisno od tega, kateremu [od teh elementov] pripišemo glavno vlogo«.33 Med modernimi interpreti Aristotela je nekaj časa prevladovalo prepričanje, d a j e temeljni element Aristotelove filozofije matematike abstrakcija in da skladno s tem »matematični predmeti eksistirajo samo v matematikovem duhu, ki razmišlja o trikotnikih, kotih itn., kijih dojema ločeno od materije«.34 Menimo, da je takšna interpretacija zara- di različnih razlogov, ki j ih tu ne moremo natančno analizirati, napačna, če- tudi ima, kot bomo videli kasneje, abstrakcionistična interpretacija Aristote- love filozofije matematike zgodovinsko prvenstvo. Pojasnimo najprej, kaj pomeni, d a j e nekaj eks aphaireseos oziroma kaj pomeni aphairesis. Prej kot »abstrakcija« pomeni aphairesis »odvzemanje«, ozi- roma celo »odštevanje«, »subtrakcija«. Nasprotje od aphairesis\e prosthesis, to je »dodajanje« oziroma »seštevanje«, »adicija«. To »odvzemanje« lahko razu- memo kot tisto, kar se običajno razume kot abstrakcija, se pravi opustitev čutnozaznavnih lastnosti nekega predmeta. Aristotel razume te vrste abstrak- cijo kot značilno za predmete matematičnega mišljenja, čeprav nikjer ne po- jasni, kaj natančno to pomeni. Abstrakcija kot »odvzemanje« torej pomeni »odvzemanje« v mišljenju, ki pa se lahko aplicira tako na »belega človeka«35 31 Metaph. XIII 3, 1078a 21-22. 32 Cf. Phys. II 2, 193b 34. 33J. Annas, op. cit., str. 132. 34 I. Mueller, »Aristotle's doctrine of abstraction in the commentators«, v: R. Sorabji (ur.), Aristotle Transformed: the Ancient Commentators and their Influence, Duckworth, Lon- don 1990, str. 465. 35 V tem pomenu uporablja Aristotel aphairesis na koncu »Mu 2«, kjer pa sploh ne govori o matematiki, ampak o »belem človeku«, kateremuje mogoče odvzeti sestavni del 5 9 M A T J A Ž V E S E L kot na čutnozaznavne ploskve, črte itn. Aphairesis kot »odvzemanje«, »odšte- vanje«, katerega nasproten pojem je prosthesis, to je »dodajanje«, »seštevanje«, uporabi Aristotel v De caelo,30 da bi tako razlikoval »matematične predmete«, ki so ta eks aphaireseos in »fizične predmete«, ki so ta eks prostheseos.37 Najpogo- steje pa naletimo na abstrakcijo v De anima, kjer pravi Aristotel med drugim tudi naslednje: »Ker pa v resnici tudi nobena dejanska stvar ne biva, kakor se zdi, samo- stojno in ločeno poleg količin, ki so čutno zaznavne, tedaj predmeti mišljenja bivajo v zaznavnih oblikah, in sicer tako tisti, ki se izrekajo skozi abstrakcijo, kakor tudi vse lastnosti in stanja zaznavno bivajočega. To pa j e tudi razlog, zakaj nekdo, ki ne zaznava, prav tako ne bi mogel ničesar niti razumeti niti spoznati, in zakaj je nujno, da kadar misli in razpoznava, nujno hkrati gleda in opazuje neko podobo, saj so podobe prav takšne kakor čutni vtisi, samo da so brez snovi.«ss Ker so predmeti abstrakcije vsebovani v čutnozaznavnih oblikah (eide), tako kot vsako stanje in lastnost, potrebujemo, če se hočemo česa naučiti ali kaj spoznati, čutno zaznavanje. Najprej spoznavamo predmetni svet, potem pa s pomočjo nekakšne »namerne nepozornosti« opustimo čutnozaznavne lastnosti predmetov tega sveta, da bi dojeli matematične lastnosti kot rezultat abstrakcije. Matematični predmet kot rezultat matematikovega »odmišljanja«, »odvzemanja« oziroma abstrakcije, j e tako opisan tudi v Metafiziki:3!1 »Prav kakor pa matematika izvaja pazljivo spregledovanje predmetov, dob- ljenih po odmišljanju (proučuje namreč tako, da odvzame vse čutnozaznavne stvari, na primer težo in lahkost, trdoto in njeno nasprotje, nadalje pa tudi toploto in mraz in druge čutnozaznavne protivnosti, pusti pa zgolj kolikšnost in zveznost, pri nekaterih stvareh v eni razsežnosti, pri drugih v dveh, pri drugih pa spet v treh razsežnostih, in pozorno spregleduje lastnosti teh stvari, kolikor so kolikšne in zvezne, ne pa glede na kaj drugačnega, medtem ko pri drugih opazuje njihove medsebojne lege in njim pripadajoče lastnosti, pri nekaterih pa njihove soizmerljivosti in nesomernosti, pri nekaterih odnose, vendar kljub temu štejemo, d a j e o vseh teh znanost ena in ista, geometrijska znanost), na taisti način se stvari nahajajo tudi glede na bivajoče.« »človek« in mu ga zopet dodati. Aphairesis torej tu pomeni »nekaj odvzeti od neke sestav- ljene enote«. 3,1 Cf. De caelo III 1, 299a Iff. 37 Cf. tudi Anal. post. I 18, 81b 2-5 ter I 27, 87a 35. 38 De anima III 8, 432a 2-10. Vsi navedki iz De anima so navedeni po: Aristotel, O duši, prev., uvod, komentar, opombe in glosarij grških terminov V. Kalan, Slovenska matica, Ljubljana 1993. 3'-' Metaph. XI 3, 1061a 28ff. 6 0 NIKOLAJ KUZANSKI IN ARISTOTELOVA FILOZOFIJA MATf.MATIKE Kaj to pomeni za ontološki status teh abstrahiranih predmetov? Ali lahko trdimo, da to pomeni, da bivajo matematični predmeti samo v matematiko- vem mišljenju? Nikakor ne. Teorija o abstrakciji je predvsem psihološka teori- ja. Opisuje sposobnost človeškega mišljenja na področju črt, ploskev itn. Iz te teorije ne sledi, da Aristotel verjame, da »so črte, ploskve itn. v celoti ali delno proizvod našega duha«. Psihološka teorija abstrakcije nima ontoloških posle- dic in v tem pomenu Aristotel tudi ni zastopnik abstrakcionizma v smislu teo- rije, po kateri so matematični predmeti v svojem bivanju kakorkoli odvisni od človeškega abstarhirajočega mišljenja. Abstrakcijaje zgolj »način odvzemanja od tega, kar izkusimo s čutnim zaznavanjem. Če smo sposobni matematične predmete dojeti skozi abstrakcijo, so matematični predmeti nujno takšni, da so dojemljivi zaradi čutnega izkustva, ne da bi bili zaradi izhodišča iz čutnega izkustva glede narave matematičnih predmetov zapeljani v zmoto. Teorija abstrakcije implicira, da so nam objekti našega mišljenja na neki način poda- ni že v čutni zaznavi; mišljenje je zgolj odvzemanje od nečesa že podanega, ni nobeno vpeljevanje nečesa, kar leži onstran čutnosti.«40 Tak sklep o Aristotelovi filozofiji matematike lahko izpeljemo tudi na pod- lagi t. i. »qua-teorije«, po kateri so »matematični predmeti fizični predmeti, ki j ih matematik preučuje tako, da izloča iz obravnave njihove matematično ne- pomembne lastnosti.«41 Po tej interpretacijije edina razlika med fiziko in ma- tematiko v lastnosti, kijih preučevalci ene ali druge znanosti preučujejo ali pa v svojem preučevanju ne upoštevajo. V knjigu »Mu« Metafizike,42 ki predstavlja najkompleksnejši prikaz Aristotelovih lastnih stališč glede načina eksistence matematičnih predmetov, je Aristotelovo izhodiščno vprašanje zasnovano ta- kole: »Če pa matematični predmeti že obstajajo, j e nujno, da so prisotni ali v čutnozaznavnih stvareh, prav kakor govorijo nekateri, ali pa bivajo samostoj- no v ločenosti (kehorismena) od čutnozaznavnih stvari (tudi tako nekateri go- vorijo) ali pa, če ne bivajo na nobenega izmed teh načinov, ne bivajo, ali bivajo po drugem obratu, tako da naše oporekanje ne bo zadevalo njihove biti, temveč način njihove biti.« Aristotel se torej sprašuje o načinu biti matematičnih predmetov in zasta- vi dilemo kot dilemo med tem, da matematični predmeti bivajo kot čutnozaz- navne bitnosti ali kot ločeni od čutnozaznavnih bitnosti. Noben odgovor Ari- stotela ne zadovoljuje. Matematični predmeti ne morejo biti niti neposredno čutnozaznavne stvari, kar je izčrpno argumentiral v tretji knjigi Metafizike,43 ne morejo pa takšne narave matematični predmeti) bivati ločeno oziroma 40J. Annas, op. cit., str. 137. 411. Mueller, op. cit., str. 464. 42 Metaph. XIII 1, 1076a 32-37. 4S Cf. Metaph. III 2, 998a 7-19. 6 1 M A T J A Ž V E S E L samostojno po sebi, kot samostojno obstoječe bitnosti oziroma substance. Ari- stotelovi argumenti so številni in j ih zato tu seveda ne moremo obnoviti: re- zultat njegovega pretresa t. i. »delnega platonizma«, po katerem bivajo mate- matični predmeti v čutnozaznavnih stvareh, in t. i. »pravega platonizma«, po katerem bivajo matematični predmeti ločeno od čutnozaznavnih stvari, torej kot samostojno obstoječe bitnosti, j e sledeč: »[...] matematični predmeti niso bolj bitnosti kakor telesa, in niti po biti prvotnejši kakor čutnozaznavne stvari, temveč so prvotnejši zgolj po izpovedbi, in da niti ni mogoče, da bi bivali nekje samostojno po sebi, j e s tem zadostno razloženo; ker pa z druge strani tudi ni bilo mogoče, da bi bili prisotni v čutnih stvareh, se izkazuje, da ali sploh ne bivajo, ali pa po določenem obratu bivajo in zaradi tega ne bivajo enostavno: o biti namreč govorimo na mnogo različnih načinov.«44 S tem v mislih Aristotel nadaljuje: »Prav kakor se namreč tudi splošni izreki v matematiki ne nanašajo na stvari, ki bivajo samostojno in v ločenosti poleg in nad velikostmi in števili, temveč obravnavno velikosti in števila, samo da ne, kolikor so takšne, da imajo velikosti ali da bivajo kot deljive, se razkrije, d a j e mogoče, da se taki izreki kakor tudi dokazi nanašajo tudi na čutnozaz- navno velikost, toda ne, kolikor so čutnozaznavne, temveč kolikor imajo do- ločene lastnosti.«45 Nato naredi Aristotel analogijo med fizikalnim in mate- matičnim obravnavanjem narave. Tako kot fizikovo obravnavanje gibljivega kot takega ne implicira, d a j e tisto, kar je v gibanju, nekaj ločenega in samo- stojno obstoječega zunaj čutnozazvnavnih stvari, niti ne, da obstaja v čutnih stvareh neka razmejena in ločena narava, tako tudi matematik obravna dolo- čen aspekt naravnih stvari: »Prav kakor namreč obstaja mnogo razlag stvari samo z vidika, kolikor so v gibanju, neodvisno od tega, kaj vsaka od takšnih stvari j e in neodvisno od njihovih pripadnosti, in zaradi tega ni nujno, da bi bila stvar v gibanju nekaj, kar biva samostojno v ločenosti od čutnih stvari, ali da bi bila v čutnih stvareh prisotna neka razmejena in ločena narava, na tak način bodo o stvareh v giba- nju obstajala razlage in znanosti, ne kolikor so stvari v gibanju, temveč zgolj kolikor so telesa, in spet zgolj kolikor so ploskve in zgolj kolikor so daljice in kolikor so deljive in kolikor so nedeljive, toda imajo položaj, in zgolj kolikor so nedeljive, tako da, ker je resnično, da na splošno rečemo, da bivajo ne zgolj ločene stvari, temveč da bivajo tudi neločljive stvari (na primer stvari v giba- nju bivajo), je resnično tudi enostavno reči, da matematični predmeti obsta- jajo in da so prav takšni, kakor o njih govorijo matematiki.«46 44 Metaph. XIII 2, 1077b 12-16. 45 Metaph. XIII 3, 1077b 17-23. 40 Metaph. XIII 3, 1077b 24-33. 6 2 NIKOLAJ KUZANSKI IN ARISTOTELOVA FILOZOFIJA MATf.MATIKE Aristotel torej argumentira proti Platonovi substancializaciji matematič- nih predmetov, tako da izpostavi, da nobena znanost ne potrebuje še nekih posebnih bitnosti izven in zunaj čuznozaznavne bitnosti, ki pa jih različne znanosti preučujejo glede na različne vidike.47 Fizik preučuje telesnost in gi- banje, zdravnik pa zdravje nekega čutnozaznavnega predmeta. Četudi ima medicina za svoj predmet zdravje, to ne implicira tega, da eksistirajo zdrave stvari ločeno od zaznavnih predmetov. Zdravniki se prav nasprotno ukvarjajo z običajnimi čutnozaznavnimi predmeti in ne z nečim, kar bi bilo od teh stva- ri ločeno in z njimi nepovezano. Zdravnik obravnava čutnozaznavna telesa qua zdrava oziroma qua predmet zdravja in bolezni. Kar zanima zdravnika je neki vidik fizičnega telesa, kar pa ne predpostavlja, da eksistirajo substance, ki bi bile nekaj drugega kot fizično telo, ki ga obravnava. In tako je na podlagi navedenega odlomka mogoče sklepati tudi o matematiku: matematik oziro- ma »matematične znanosti se ukvarjajo z določenimi aspekti zaznavnih pred- metov - z aspektom njihove števnosti v primeru aritmetike - matematik pa ne predpostavlja ontologije, ki bi zahtevala kakšno drugo substancialno stvar.«48 Aristotel pojasni, da bi bilo mogoče, po teh analogijah matematike in fizike ter medicine, vse skupaj najbolje razumeti takole: »Najbolje pa bi uteg- nilo biti mogoče vsako stvar pozorno sprevideti na ta način, če nekdo to, kar sicer ne biva samostojno po sebi, postavi kot ločeno, kar ravno delata aritme- tik in geometer.«4'1 Rezultat celotne analize pa je povzet v prvih vrsticah četr- tega poglavja: »Glede matematičnih predmetov, da so bivajoče stvari in kako so res bivajoči in kako so prvotnejši in kako niso prej, naj tolikšne razlage zadoščaj o; [...].«50 Matematični predmeti torej niso bitnosti oziroma substance (ousiai) tem- več bivajoče stvari (onta). Kaj to pomeni? Da niso substance ali karkoli, kar pripada substancam, ampak so od substanc odvisni na kompleksen način. V povzetku j e Aristotelova teorija o ontološkem statusu matematičnih predme- tov v »Mu 3« naslednja.5 ' V matematiki so obči teoremi aplicirani tako na prostorske velikosti kot na števila, ne da bi zato bila potrebna neka tretja, od obeh ločena, vrsta predmetov. Teoremi se zaradi določenih skupnih lastnosti nanašajo na oboje. Podobno se dogaja tudi v matematiki na splošno, pa tudi v drugih znanostih, tudi v metafiziki: različne znanosti določijo predmete svo- 47 O tem cf. tudi J . Barnes, »Metaphysics«, v: J. Barnes, (ur.), The Cambridge Companion to Aristotle, Cambridge University Press, Cambridge 1995, str. 85-87. Slov. prev. »Metafizi- ka« v: J. Barnes, Aristotel-, dodatek »Metafizika«, prev. D. Merhar in B. Vezjak, Aristej, Šentilj 1999, str. 130-131. 48 Ibid. str. 130 40 Metaph. XIII 3, 1078a 21. Metaph. XIII 3, 1078b 7. 51 V nadaljevanju povzemamo J. Annas, op. cit., str. 144—145. 6 3 M A T J A Ž V E S E L j e obravnave tako, da izolirajo določene lastnosti in odmislijo tiste, ki za njih niso relevantni. Postopek matematika je tak kot postopek fizika in zdravnika. Prej kotabstrakcionizemje to neki »naivni realizem«. Matematik opazuje pred- mete v svetu, na primer nekega človeka, in opazuje ga kot nekaj razsežnega in nedeljivega itn. Na ta način odmisli njegove čutnozaznavne lastnosti, da bi lahko preučeval njegove aritmetične in geometrične lastnosti. To pa še ne pomeni, da te lastnosti v stvarnosti ne obstajajo, temveč to, da so tem lastno- stim na neki način, v matematikovi perspektivi, nadrejene. Se manj pa to im- plicira, da so te lastnosti resnične samo takrat, ko se z njimi ukvarja kak mate- matik. Dolžina obravnavanega človeka in njegova števnost sta nekaj, kar ob- staja v svetu na isti način, kot obstajata v svetu teža in barva. Seveda j e mogoče velikost in števnost ločiti v mišljenju, in števnost in velikost sta ravno tako dojemljivi skozi abstrakcijo, toda to velja zopet tudi za težo in barvo. Matema- tik postavlja matematične lastnosti kot ločene, da bi lahko s svojimi dokazi in dosežki napredoval, vendar velja popolnoma isto tudi za fizika, ko opazuje težo in barvo človeka na znanstven način. III. Aristotelovi komentatorji in filozofija matematike S tako interpretacijo Aristotelove filozofije matematike pa se ne bi stri- njali prvi Aristotelovi komentatorji. Kot je pokazal I. Mueller,52 so prvi Aristo- telovi komentatorji, katerih večji del so bili novoplatonisti, glede vprašanja ontološkega statusa matematičnih entitet na eni strani zagovarjali Aristotelov »abstrakcionizem«, na drugi pa so temu dodali tudi (novo)platonistično ra- zumevanje matematičnih predmetov kot »projekcij« iz duše.53 Po besedah I. 521. Mueller, op. cit., str. 473.1. Mueller j e svoje ugotovitve strnil v štiri točke: 1. Aleksan- der iz Afrodizije je prvi, k i je interpretiral Aristotelovo filozofijo matematike kot abstrak- cionizem. Aleksandrovo stališče so z nepomembnimi variacijami sprejeli vsi sledeči filo- zofi. 2. Nauk o abstrakcionizmu so kot resnično stališče o običajni matematiki, to j e ne- pitagorejski matematiki, sprejeli Porfirij, Amonij in Filopon, k i j e običajno matematiko razumel kot platonistični most od čutnega k inteligibilnemu svetu. 3. Jamblih j e kot pris- pevek pitagorejske matematike, ki j o j e poveličeval na račun običajne matematike, posta- vil v ospredje nauk o projekcionizmu; sledil mu j e Sirian, Proklos pa j e spremenil projek- cionizem v stališče o običajni matematiki, ki j i j e ponovno pripisal n jeno platonistično vlogo. 4. Simplicij je sprejel »porfirijansko« stališče glede običajne matematike, obenem pa j e povzdignil pitagorejsko matematiko, o kateri j e menil, d a j o pravilno opisuje projek- cionizem, na stopnjo filozofije. 53 »Projekcionistična« interpretacija filozofije matematike bi lahko imela svoje temelje v Platonovih »nenapisanih naukih«, saj se zdi, d a j e Platon v svojih poznih letih hkrati s tem, ko j e postavil pitagorejski matematični model za univerzum, definiral »Ideje kot števila ali neke vrste matematične entitete« (Dillon), te matematične entitete pa povezal 6 4 NIKOLAJ KUZANSKI IN ARISTOTELOVA FILOZOFIJA MATf.MATIKE Muellerjaje oče abstrakcionizma Aleksander iz Afrodizije, »kije [abstrakcio- nizem] vzpostavil kot avtoritativno interpretacijo Aristotela in jo napravil av- toritativno tudi za kasnejše filozofe, ki sojo uporabljali v svoji filozofiji, ker so v njej videli eno od Aristotelovih idej«.54 Po Aleksandru j e Aristotel razumel matematične predmete kot abstrahirane iz čutnozaznavnega sveta, kot takim pa naj bi j im po Aleksandru pripisal bivanje zgolj v mišljenju (epinoia) oziro- ma j ih povezal z epinoia (matematično telo je nekaj, kar ne obstaja samo po sebi, temveč j e dojeto z epinoia, ločeno od čutnozaznavnih lastnosti).55 Obe- nem pa je bil Aleksander tudi tisti, k i je največ prispeval k temu, da so mate- matične predmete obravnavali skupaj z univerzalijami. Stališče, da bivajo ma- tematični predmeti samo v abstrakciji in torej zgolj v umu, so sprejeli tudi neoplatonisti Porfirij, Amonij, Filopon in Simplicij, kar pa je zavračala druga neoplatonistična struja, katere začetnikje bilJamblih, ki je razumel matema- tične predmete kot »projekcije« duše. To teorijo je kot ustrezno teorijo spre- jel tudi Sirijan, preko njega pa tudi Proklos, k i j e razvil Sirijanovo stališče v svojem Komentarju k prvi knjigi Evklidovih Elementov/'6 Proklos umesti matematične predmete že na samem začetku Komentar- ja,57 v prvem delu prologa, v katerem obravnava matematiko na splošno, med enostavne nematerialne entitete ter razsežne in sestavljene stvari čutnozaz- navnega sveta. Superiornost matematičnih predmetov nad čutnozaznavnimi stvarmi mu dokazujeta njihova natančnost in stabilnost, saj matematične enti- tete drugače kot čutnozaznavne stvari ne vsebujejo materije in se ne spremi- njajo oziroma gibljejo. Matematični predmeti so umske entitete, ki kot take zagotavljajo temelj matematičnih dokazov. Toda na drugi strani so matema- tični predmeti na neki način vseeno razsežni: niz števil sestoji iz diskretnih, ločenih članov niza, geometrijske like pa je mogoče deliti na dele. Poleg tega ni noben matematični predmet enkraten, saj matematično razmišljanje vklju- čuje primerjave dveh ali več črt, dveh ali več krogov itn. Njihovo mnoštvo in s svetovno Dušo. Po Platonu naj bi Duša sprejemala Ideje in j ih na neki način spremenila v matematične predmete, te pa potem projecirala na materijo in tako ustvarila fizični svet. Cf. npr. J . Dillon, The Middle Platonists, Duckworth, London 1997, str. 4-6. 541. Mueller, op. cit. str. 467. 55 I. Mueller, op. cit., str. 466-467, napotuje na Aleksandrov komentar Metafizike (52, 15-19), komentar de Sensu (111, 17-19) in Simplicijevo razpravo k FizikiTV 1, 208b 22-25, ter komentar Fizike 526, 16-18, kjer se ta sklicuje na Aleksandra. O Aleksandrovi teoriji abstrakciji cf. izrstno knjigo A. de Liberaja, L'art des généralités. Théories de l'abstraction, Aubier, Pariz 1999, str. 25-157. 56 p r o c ] U S j /1 Commentary on the First Book of Euclid's Elements, prev., uvod in opombe G. R. Morrow, predgovor I. Mueller, Princenton University Press, Princenton/Newjersey 1970. 57 O Proklovi filozofiji matematike cf. tudi I. Mueller, »Mathematics and Philosophy in Proclus' Commentary on Book I of Euclid's 'Elements'«, v:J. Pépin in H. D. Saffrey (ur.), Proclus, Lecteur et Interprète des Ancienes, Vrin, Pariz 1987, str. 305-318. 6 5 M A T J A Ž V E S E L njihova razsežnost tako dokazujeta, da imajo matematični predmeti neke vr- ste materijo, to je matematično materijo, k i je njihov nosilec (subjekt). V tem se matematični predmeti razlikujejo od nematerialnega in nerazsežnega bi- vajočega, ki je predmet čistega uma. Kakšen je ontološki status teh predmetov? Kakšen »način biti« lahko pri- pišemo tem entitetam? Proklos ponudi naslednjo alternativo: (i.) matematič- ni predmeti so lahko izpeljani iz čutnega zaznavanja, in to ali z abstrakcijo ah z »zbiranjem« istih lastnosti določenih entitet; (ii.) matematični predmeti pa bi lahko bivali »pred« čutnozaznavnimi predmeti, kot zahteva Platon in naka- zuje resnični red stvari. Proklos pride na podlagi treh argumentov do sklepa, da duša matematičnih predmetov ne pridobi z abstrakcijo iz materialnih stva- ri, ali tako da »združi« partikularne lastnosti v skupen logos. Če pa matematič- ni predmeti niso izpeljani iz čutnozaznavnih stvari, potem j ih duša proizvaja iz same sebe, pri čemer pa ne deluje sama, ampak ji j e v pomoč tudi nous. Toda na drugi strani mora biti duša v proizvodnjo matematičnih entitet spod- bujena z čutno zaznavo. Razumevanje (dianoia), to j e tista funkcija duše, ki ima za predmet svojega delovanja matematične predmete, ni »prazna tabli- ca«, ki bi pridobila svojo vsebino v celoti iz čutnega izkustva, temveč je tablica, na kateri j e bilo vedno že nekaj napisano, obenem pa nanjo vedno piše tudi nous. Duša je podobnost in replika nousa. Tako so vsi matematični predmeti, ki so prisotni v nousu, že prisotni tudi v duši: »pred« števili so samogibna števi- la nousa, pred vidnimi liki so živi liki nousa itn. Toda na drugi strani j e tudi res, d a j e človeški duh na te matematične logoi opomnjen prek čutnega zaznava- nja, njegovo mišljenje pa je »razvijanje« vsebine teh logoi pod vodstvom popol- noma enotnega uma. Stopnja uma, ki deluje v matematiki, j e torej dianoia, to j e diskurzivno mišljenje, ki postopa korakoma, in napreduje od enega momenta do druge- ga, te pa nato poveže v celoto. Tako kot predmeti, ki j ih proučuje, j e tudi dianoia na vmesni stopnji med čutnim zaznavanjem in najvišjim umevanjem, ki ga Proklos imenuje noesis ali nous. Medtem ko je čutno zaznavanje frag- mentarno, nenatančno in nestalno in doseže samo stopnjo mnenja (doksa), vpelje razumevanje (dianoia) v predhodno stopnjo jasnost in natančnost, toda postopen diskurzivnen postopek razumevanja, njegovo obravnavanje pred- metov kot razsežnih in njegova odvisnost od višje vednosti (nousa), kateri dol- guje svoje prve principe in načela, razkriva, d a j e razumevanje (dianoia) infe- riorno trenutnemu in neposrednemu uvidu uma (nous). Dianoia j e tako s svojo vmesno pozicijo zavezana tako čutnemu zaznavanju kot čistemu uvide- nju nousa. Na eni strani razvija vsebino čistih oblik, k i j ih dobi od nousa, po- snemajoč njihovo enost, na drugi strani vzpostavlja paradigme, katerim se prilagajajo spremembe in različnosti čutnozaznavnega sveta. V svoji dejavno- 6 6 N I K O L A J KUZANSKI IN ARISTOTELOVA FILOZOFIJA MATf.MATIKE sti razvijanja vsebine čistih logoi pa se dianoia opira na posebno sposobnost imaginacije (upodabljanja, zamišljanja, predstavljanja), da lahko predstavi raz- ličnost in kompleksnost, k i je prisotna v matematičnih oblikah, kijih preuču- je- Tezo o imaginaciji kot posebni sposobnosti razuma razvije Proklos v dru- gem delu prologa, v katerem obravnava geometrijo. Najprej zavrne možnost, da geometrija obravnava like, tako kot ti pripadajo čutnozaznavnemu svetu, kot drugo možnost pa obravnava opcijo, da so geometrijski predmeti zunaj materije in da so njihovi logoi čisti in ločeni od čutnozaznavnih predmetov. Da bi izoblikoval teorijo, kije, kot pravi, skladna tako z dejstvi kot Platonovim naukom, naredi Proklos distinkcije, ki zadevajo sleherno univerzalijo oziro- ma univerzalno obliko. Vsaka univerzalija se lahko pojavi na naslednje tri na- čine: (i.) v partikularnih čutnozaznavnih stvareh (univerzalijaje tako neločlji- va od partikularnih čutnozaznavnih stvari); (ii.) univerzalija lahko obstaja »pred« mnoštvom in »onkraj« mnoštva partikularnih čutnozaznavnih stvari (tako pravzaprav proizvaja mnoštvo s tem, da se pojavlja v mnogih partikular- nih stvareh, vendar pa samo biva »nad« temi partikularnimi čutnozaznavnimi stvarmi kot nekaj nedeljivega); (iii.) univerzalija pa j e lahko izoblikovano tudi na podlagi partikularnih stvari, se pravi na podlagi teh partikularnih stvari kat'epinoian. Tako lahko ugotovimo, da so univerzalije lahko ali »pred« svoji- mi partikularnimi primeri, ali »v« posamičnih partikularnih primerih, ali pa so vzpostavljene tako, da so povezane z njimi, kot njihov predikat. Ta treya vrsta univerzalij ustreza Aristotelovi abstrakciji, ki pa jo j e Proklos že zavrgel kot nerelevantno za matematiko in se v nadeljevanju z njimi ne ukvarja več. Proklos vpelje dodatno distinkcijo, tako da poudari, da ne obstajajo samo čutnozaznavne partikularije, ampak tudi imaginarne partikularije. Če upo- števamo samo dva razreda univerzalij (upoštevajoč, da Proklos zanemari univerzalije kat'epinoian), dobimo četverno delitev univerzalij oziroma njiho- vih razmerij do stvari: univerzalije so ali (i.) »pred« ali (ii.) »v« čutnozaznav- nih stvareh, ravno tako so univerzalije ali (iii.) »pred« ali (iv.) »v« imaginar- nih stvareh. Razlika med čutnozaznavnimi in imaginarnimi stvarmi pa pred- postavlja razliko med dvema materijama: ena je materija stvari, ki so poveza- ne s čutnim zaznavanjem, d ruga je materija predmetov imaginacije. Na pod- lagi tega pa moramo priznati, da obstajata tudi dve vrsti univerzalnosti: uni- verzalnostje lahko čutnozaznavna, ker so v njej udeleženi čutnozaznavni pred- meti; druga univerzalnost je imaginarna, ta pa obstaja v mnoštvu podob v imaginaciji. Logoi, s katerimi operira dianoia so nerazsežni, nedeljivi, nesestavljeni in vsebujejo raznolikost svojih vsebin v nedeljivi enosti. Vendar pa je sposobnost imaginacije - ker ima na eni strani tvorbeno moč, na drugi p a j e povezana s 6 7 M A T J A Ž V E S E L telesom da proizvzya individualne podobe, ki so oblikovane, razsežne in deljive, tako daj im zagotovi inteligibilno materijo (prostor), v kateri se lahko razgrnejo. Tako ne predstavi čistih logoi, ampak neko serijo podob teh logoi. Če to ponazorimo na primeru kroga, to pomeni, d a j e krog v dianoii, p reden je projeciran na zaslon imaginacije, samo eden, brez razsežnosti, in nima niti središča niti oboda. Kot upodobljen v imaginaciji pa je razsežen in se lahko pojavi v eni od mnogih različic velikosti ali položajev. Matematik se torej uk- varja s temi podobami v imaginaciji, in j ih uporablja, da bi z njihovo pomočjo razločil tisto univerzalno lastnost, k i j e lastna vsakemu imaginarnemu krogu posebej in vsem skupaj, ter da bi tako pokazal njegove lastnosti in njegova razmerja do drugih univerzalnosti v ostalih predmetih, predstavljenih na enak način. Vse, kar imaginacija misli, j e podoba ali lik njene misli. Kljub temu, da misli krog kot razsežen, je ta krog sicer prost zunanje materije, ima pa intele- gibilno materijo, ki mu jo zagotovi imaginacija. Ta inteligibilna materija tudi omogoča, da lahko obstaja v imaginaciji več kot en sam krog, tako ko t j e zuna- nja čutnozaznavna materija vzrok tega, d a j e lahko več čutnozaznavnih kro- gov. Z materijo nastopita namreč tudi velikost in število. Tako dobimo trojno delitev. Krog v dianoiije eden, enostaven, nerazse- žen, brezobličen (velikost je brez velikosti, lik brez oblike itn.) - j e namreč logos brez materije. Krog v imaginaciji j e deljiv, oblikovan, razsežen, ni samo eden, temveč jih je mnogo, ni zgolj oblika, temveč oblika v njenih partikular- nih primerih. Ta krogje torej predmet geometrijske znanosti, saj se geome- trija ukvarja s krogi, kot so ti v imaginaciji. Medtem ko j e krog v dianoii eden, je v geometriji govora o mnogih krogih. Krog v čutnozaznavnih predmetih pa je manj natančen od tega kroga v imaginaciji in tudi manj »čist« od njega, zato ne more biti predmet znanosti. Matematična znanostje torej produkt dejavnosti duha, ki deluje na pred- metih, ki j i h j e izpeljal iz samega sebe skladno s principi svoje lastne kreativne dejavnosti. Toda to še ne pomeni, d a j e matematični »svet«:,K samovoljna krea- cija matematikovega razuma, produkt imaginacije v najbolj nedoločnem po- menu besede. Razumevanje (dianoia) j e na eni strani zavezano čutni zaznavi, ki ga spodbuja, da predstavi ideje, ki so ustrezne za razlago teh čutnozaznav- nih predmetov, obenem pa razumevanje še naprej vodi tudi čutno zaznava- nje, ko proizvaja nadaljnje izboljšave začetnih spominov. Na drugi strani pa vodi matematično razumevanje tudi višji nivo umevanja, iz katerega izpeljuje svoje logoi. Ti logoi tudi niso neka pasivna vsebina, ampak dejavne »energije«, 58 Tako kot pri Kuzanskemu ima tudi pri Proklu svet matematičnih entitet, ki so pro- dukt matematikovega razuma, paralelo v realnem svetu. Cf. G. R. Morrow, »Introduc- tion«, v: A Commentary on the First Book of Euclid's Elements, prev., uvod in opombe G. R. Morrow, Princenton University Press, Pr incenton/New Jersey 1970, str. lxii. 6 8 N I K O L A J K U Z A N S K I IN A R I S T O T E L O V A FILOZOFIJA MATEMATIKE ki se »po lastni volji«, če se lahko tako izrazimo, razvijajo v kompleksne struk- ture matematičnega univerzuma. Ko proučujemo strukture matematičnega univerzuma, te »razvijajo« in razkrivajo vedno nove aspekte lastnosti in med- sebojnih razmerij. Ko človeški um deluje na ravni razumevanja, ne »manipu- lira« z njimi, prej one na neki način »vodijo« razumevanje s seboj. Ker je dianoia pod vodstvom nousa, njena kreativnost ni samovoljna, temveč na vsaki stopnji odvisna od višjega uma in živih logoi, ki jih je dobila od njega. IV. Kuzanski in neoplatonistični interpreti Aristotela »Abstrakcionizem«, to je teorija, po kateri so »predmeti matematike iz- peljani iz čutnih zaznav takšnih lastnosti stvari, kot so njihove oblike«59, s či- mer so »zaznane lastnosti nekako duhovno ločene od njihovega materialne- ga substrata, pri čemer je ta ločitev od materije tisto, kar naredi matematiko za ustrezen most k inteligibilnemu svetu«''", ki ga je kot interpretacijo Aristo- telove filozofije matematike uveljavil Aleksander iz Afrodozije in je bil kasne- j e splošno s p r e j e t j e v nekem zelojasnem pomenu nekaj nasprotnega projek- cionizmu, ki sta ga zagovarjala Sirijan in Proklos. Kljub temu pa se zdi, kot ugotavlja I. Mueller, da med abstrakcionizmom in projekcionizmom, kar za- deva metafizične ali epistemološke predpostavke, ni nobenih razlik. »Zastop- niki obeh [stališč] sprejemajo idejo, da obstajajo oblike in logoi, ki eksistirajo pred čutnozaznavnimi stvarmi in oblike oziroma matematični predmeti, ki so izpeljani iz čutnozaznavnih stvari.«''1 Že na prvi pogled j e očitno, da se Kuzančevo razmevanje ontološkega statusa matematičnih entitet v veliki meri vpisuje v neplatonistično tradicijo filozofije matematike in njihovem razumevanju Aristotela. Tako kot neopla- tonistična tradicija se tudi Kuzanski na eni strani opira na abstrakcijo, na ab- strahiranje matematičnih predmetov iz čutnozaznavnega sveta - spomnimo se na njegove izpeljave iz De docta ignorantia in De mente-, vendar pa to abstra- hiranje, ki ga imenuje ens rationis, naveže na kreativno delovanje človeškega duha, ki iz samega sebe proizvaja matematične predmete. Tudi za Kuzanske- ga so torej matematični predmeti na eni strani posledica delovanja abstrakci- je matematičnih entitet iz čutnega sveta, in na drugi produkti duše, med enim in drugim elementom pa ne vidi nobenega protislo\ja. Kuzanski se z Aristotelom ujema v tem, da ontološki status matematičnih entitet postavi v soodvisnost z dejavnostjo človeškega duha oziroma mišljenja, 50 I. Mueller, op. cit., str. 473. Ii(' I. Mueller, »Aristotle's doctrine of abstraction in the commentators«, str. 473. 01 Ibid. 6 9 M A T J A Ž V E S E L samo če Aristotelovo filozofijo matematike dojamemo abstrakcionistično, tako kot so ga na podlagi Aleksandrove interpretacije razumeli neoplatonisti. Samo če skupaj z antično eksegetsko tradicijo Aristotelu pripišemo abstrakcionistič- no prepričanje glede statusa matematičnih entitet, lahko rečemo, da se Ari- stotel in Kuzanski ujemata v abstrakcionizmu in razlikujeta v tem, da »pri Kuzanskem človeški duh v matematičnem spoznavanju ne napreduje z abstra- hiranjem, ampak s konstruiranjem«.1'2 Matematični predmeti so za Kuzanske- ga bolj abstraktni, kot so predmeti čutnozaznavnega sveta, bolj abstraktni pa postanejejo v procesu abstrakcije, kar v konsekvenci pomeni, da so matema- tični predmeti v pravem pomenu besede resnični zgolj v duhu in so kot taki entia rationis. Kuzanski in »neoplatonistično« razumljeni Aristotel se ujemata v tem, da ontološki status matematičnih entitet postavita v soodvisnost z dejav- nostjo človeškega duha oziroma mišljenja. Ravno tako se Kuzanski strinja, v De berylo celo eksplicitno, da »se matematika ukvarja z umsko materijo, kot j e dobro rekel Aristotel«.''3 Vendar pa je to ujemanje med Kuzanskim in Aristo- telom specifično v tem, da četudi Kuzanski vseskozi omenja abstrakcijo, k i j e po definiciji zavezana abstrakciji iz čutnozaznavnega sveta, daje odločilni pou- darek dejavnosti človeškega duha. Včasih to kreativno dejavnost človeškega duha izpostavi v tolikšni meri, da se zdi, da zanemarja čutnozaznavni del spoz- navnega postopka, in se osredotoča zgolj na proizvodno dejavnost duha, na to, d a j e duh tako stvarnik matematičnih entitet, kot je Bog stvarnik realnih. Pri Kuzanskem človeški duh v matematičnem mišljenju tako na neki način ne napreduje z abstrahiranjem - ne glede na to, da Kuzanski nenehno uporablja ta izraz za opisovanje načina obstoja matematičnih predmetov — ampak s »kon- struiranjem«. Matematične entitete pri Kuzanskem niso vsakič abstrahirane iz nematematične realnosti, temveč jih oblikuje duh, ki ga v to sicer spodbudi čutnozaznavni svet, vendar pa se bistvena operacija dogaja v njem samem, oziroma tako, da uporablja samega sebe kot orodje. Matematik razvija svoj lastni svet, ki ni potencialno prisoten in prikrit v materialnem svetu kot nje- gov še neločeni aspekt in tako že obstoječ, temveč j e v svoj obstoj izpeljan iz ustvarjalne duhovne dejavnosti. Premik, ki ga Kuzanski napravi tudi glede na »abstrakcionističnega« Aristotela, j e v tem, da za izhodišče čiste konstrukcije matematičnih entitet ne jemlje čutnozaznavne stvarnosti, k i j e v procesu ab- strakcije privzdignjena do racionalnosti matematične znanosti, temveč si za izhodišče vzame produktivnost duha, ki se izraža z v njem odkritimi sredstvi (pri čemer je duh v to dejavnost spodbujen s čutnozaznavnimi predmeti) . M. Vesel, op. cit., str. 94. (>s De ber. 36: »Mathematica enim versatur circa intellectualem materiam, ut bene dixit Aristoteles.« Nav. po: Nicolai de Cusa, De beryllo. Über den Beryll, ur. C. Bormann in I. G. Senger, prev. uvod in opombe K. Bormann, Felix Meiner, Hamburg 1987. 7 0 NIKOLAJ KUZANSKI IN ARISTOTELOVA FILOZOFIJA MATf.MATIKE Kuzančeva filozofija matematike je torej zavezana neoplatonističnim inter- pretacijam Aristotela, ki razumejo matematične predmete kot že prisotne v človeškem duhu obenem p a j e za njihovo aktualizacijo potrebno tudi abstra- hiranje od čutnozaznavnih stvari. Obenem pa Kuzanski tudi to tradicijo in z njo Aristotela - kot to naredi z vso filozofsko tradicijo, ki j o inkorporira v svoj projekt — »vpotegne v gibanje misli, ki je popolnoma nova«.04 Ali kot pravi K. Flasch, ko skuša določiti Kuzančevo razmerje do Aristotela v De beryllo: »Ven- darle pa naredi velik vtis, kako se Kuzanski izogne enostavnemu »da« ali »ne« Aristotelovi filozofiji. [...] Hoče mu slediti, kolikor je to le mogoče, da bi ga potem presegel.«® Matjaž Vesel Filozofski inštitut ZRC SAZU Ljubljana ('4 E. Cassirer, The Individuum and The Cosmos in Renaissance Philosophy, University of Pennsylvania Press, Philadelphia 1972, str. 20. 65 K. Flasch, Nikolaus von Kues. Geschichte einer Entwicklung, Vittorio Klostermann, Frank- fu r t /M. 1998, str. 470: »Dennoch ist es eindrucksvoll zu sehen, wie Cusanus ein einfaches Ja oder Nein zur Philosophie des Aristoteles vermeidet. [.. .] Er will ihm folgen, so weites nur möglich ist, um dann über ihn hinausgehen.« 7 1 Filozofski vestnik Letnik/Volume XXI • Številka/Number 1 • 2000 • 73-80 RENESANČNI PLATONIZEM IN OBLIKOVANJE MODERNE ZNANOSTI IGOR SKAMPERLE Pozna renesansa je po intenzivni obuditvi platonizma, ki sega v prvo polovico 15. stol., dočakala delitev poti. L. 1618 se je razvnela polemika med Kepler- j em in Fluddom, ki se je nadaljevala nekaj let in zajela vso učeno Evropo. Ta kontroverzaje več od navadne prispodobe in izpostavlja temeljno razpotje, ki pomeni dejansko izhodišče, na katerem seje oblikovala moderna zahodna zna- nost. S polemiko med Fluddom in Keplerjem so se spoznavna polja epistemo- loško razčistila in definirala. Seveda lahko analogno kretnico poiščemo pri Ko- perniku, Descartesu in Galileju. Vendar sta Kepler in Fludd v javni polemiki izpostavila vrhunski domet dveh spoznavnih pristopov, ki j u je po bogatem sto- letju renesančne kulture dosegla človeška znanost. Polemika pod vprašaj ne postavljajo nova odkritja; pomembno ni, kaj smo odkrili, marveč kako. V igri j e bila metoda, epistemološko izhodišče, kriteriji spoznavnega postopka. Moderno in v veliki meri tudi sodobno raziskovanje Fluddov prispevek reducira na zasanjano vizijo magističnih špekulacij in ga ne obravnava resno. Študij na to t emoje malo oziromajih sploh ni. Lahko rečemo, da tudi zgodo- vino znanosti pišemo retrogradno in z zornega kota uveljavljene opcije. Koli- kor mogoče objektivni pogled lahko oblikujemo tako, da pogledamo, s kak- šnimi metodološkimi, eksperimentalnimi, metafizičnimi, estetskimi in povsem slučajnostnimi kriteriji j e bila izbrana določena opcija, druga za zavrnjena. Polemika med Fluddom in Keplerjem je v tem pogledu zgovorna. Ni bila ome- jena na osebno kontroverzo, s tiskom ji j e lahko sledila vsa učena Evropa, ki se j e ob zaostritvi stališč čutila poklicano, da od posameznika do posameznika zavzame stališče. Ne bo pretirano, če rečemo, da se tu, ali vsaj v teh letih, dogodi delitev dveh poti.1 Roberta Fludda (1574—1637) ne smemo označiti za obskurnega sanjača. 1 Med strokovnimi študijami gl. Pierre Béhar, Les langues occultes de la Renaissance, La mesures des choses, Desjonquères, Pariz 1996. Glej tudi Frances Yates, Giordano Bruno and the Hermetic Tradition, University of Chicago Press, Chicago 1964. I G O R ŠKAMPERLF. Študiral j e v Ox fordu, potoval po Evropi in se izpopolnil v medicini, kemiji in okultnih vedah. L. 1605 pridobi naziv docenta medicine. Izhodišče mu pred- stavljajo trije viri: Sveto pismo, Corpus hermeticum in renesančna filozofija na- rave. Po 1. 1614 sprejme razglas Farna fraternitatis in si prizadeva za univerzal- no znanost, ki bo obvladala strukturo sveta. Opre se na italijansko novopla- tonsko tradicijo in povzame nauke o harmoniji sveta. Izhaja iz Platonovega Timaja in skrivnostne definicije duše sveta (Timaj, 35a-36). Opira se na Ficina in njegove novoplatonske komentarje. Platonsko numerologijo trikotnika po- vezuje s kabalo, ki j o spozna s posredovanjem Pistoriusa. Bere dela Egidija iz Viterba in malo znanega Blaisa de Vigenera, kabalista in diplomata na dvoru Henrika III. Temelj Fluddovega iskanja so analogije. Človek in kozmični svet temeljita na isti strukturi, med njima j e možna analogija in korespondenca. Eksperimentalna znanost za Fludda ostaja trivialna. Pomembnejša se mu zdi intuitivna spoznava, ki gradi na simetričnih analogijah. Alkimistični kamen modrosti ali eliksir življenja pomeni analoško prispodobo makrokozmičnega procesa. Materia prima pomeni izvorno temo, prepad neuobličenega. Med poznimi renesančniki obstaja sicer dilema, ali j e materia prima bila ustvarjena, ali ne. Paracelsus meni, da ne, zato postavi večni vitalni princip: archeus. Fludd se ne izreče, vendar se bolj nagiba h kreativnemu konceptu. Bruno jasno za- govaija primarnost materije, ki j o imenuje »mati« vsega bivajočega. V dilemi med aristotelsko zmožnostjo in dejanskostjo ima prednost zmožnost (poten- tia). Od tod naprej dejansko lahko sledimo poti panteizma. Nekateri zgodovi- narji filozofije začenši z Blochom ta tok mišljenja imenujejo tudi »aristotelska levica«, ki v ospredje postavlja možnost biti (dynamei on), primat takšne kon- ceptualne zastavitve pa srečamo pri Averroesu, Brunu, Leibnizu, Spinozi (ven- dar pogojno, ker Spinoza izhaja iz judovskih virov!), in naposled pri marksi- stičnih mislecih. Toda pri tem moramo upoštevati, da znotraj aristotelske filozofije ni mo- goče konceptualizirati materije, ki bi večno obstajala brez forme, to se prav brez ključnega principa notranje oblike, forme ali informacije. Bruno s e j e tega problema zavedal, zato je svoj drugi dialog De la causa, principio e uno, v celoti namenil sprevrnitvi aristotelskih konceptov forme in materije oziroma akta (dejanskosti) in potence (zmožnosti), ki v najvišjem počelu po njegovem sovpadeta. Zavrnilje filozofsko kategorijo ločenih spiritualnih substanc, ki so bile srednjeveški temelj metafizike. Fludd kritizira tudi Avguština glede koncepta privatio, s katerim so v poz- ni antiki poskušali zapopasti pojem niča oziroma zla. Odsotnost ali pomanj- kanje, meni Fludd, je možno le znotraj določene biti. Ideje niča se potemta- kem ne moremo znebiti s principom pomanjkanja, niti ne s kategorijo odda- ljenosti od bitnega izvira, ki jo je vpeljal Plotin. Prepad kaosa, tema ali mrak, 7 4 R E N E S A N Č N I PI-ATONIZEM IN OBLIKOVANJE MODERNE ZNANOSTI ima za Fludda status samoobstojne realnosti. Ne moremo je definirati kot od- sotnost ali pomanjkanje nečesa drugega. Na teh izhodiščih razvije teorijo sime- trij, ki v metaforah zajema polarnost svetlobe in teme, kar j e vsekakor zanimiva tema. Vendar dualizem pri Fluddu nima izvirnega ali primarnega statusa, to bi nas vodilo nazaj do manihejstva in zoroastrizma, ampakje metafizično obele- žen. Nič obstaja kot virtualni nič, kot radikalna drugost, alteracija znotraj same Božje enovitosti. Fludd ne zna hebrejsko, kabalo odkrije pozno in prek krščan- skih interpretov (Pistorius, Reuchlin), tako problema alteracije znotraj Božje enovitosti ne zna rešiti. Predpostavlja nekakšen fizični panteizem, ki zaobsega vse, tudi temo in brezno niča, sloni pa na simetričnih analogijah. Toliko na kratko o Fluddovi misli. L. 1619je izdal svoje glavno delo Utrius- que cosmi, maioris scilicet et minoris, metaphjsica, phjsica atque technica historia, tj. Zgodovina obeh svetov, velikega seveda in majhnega, metafizičnega, fizične- ga in tehniškega. Prvi del (makrokozmos) je izšel 1. 1617, drugi (mikrokoz- mos) 1619. Temeljni Fluddov zastavek je bil razviti vednost, v kakšnem raz- merju sta si duša sveta in Bog. To naj bi bil ključ za razumevanje človeka in obvladovanje sveta. Leta 1618, tri dni po defenestraciji in začetku tridesetletne vojne, je Jo- hannes Kepler končal svoje najobsežnejše delo Harmonices mundi, k i j e izšlo naslednje leto. Tudi to delo ima kot glavni zastavek zarisati novo univerzalno vednost, ki bo hkrati odsev univerzalne harmonije. Pot, ki j o j e ubral Kepler, pa j e bila drugačna. Na koncu svoje razprave Kepler pokaže, da pozna Flud- dov spis Utriusque, ki ga oceni kritično in v celoti zavrne. Leta 1621 je Fludd odgovoril s štiriinpetdeset strani dolgim spisom Veritatis Proscenium. Polemika se je začela. Kepler (1571-1630) po izobrazbi ni bil filozof niti astronom, ampak teo- log. Pripada novoplatonski smeri, posebno pozornost in veselje pa je name- njal matematiki. V njem se ves čas prepletata aspekta mističnega teologa in matematika. V astronomsko vedo ga je uvedel učitelj Maestlin in z njegovim posredovanjem je konec 16. stol. sprejel kopernikansko teorijo, v kateri Son- ce nastopa kot vir gibanja in vitalna moč. Gibalni vzrok ne prihaja od zvezd stalnic, k i j ih v gibanju vzdržuje Prvi gibalec, ki se nahaja zunaj vesolja, ko t j e trdil Aristotel, ampak se vitalna in gibalna moč sproža iz sredine stvari, v pla- netarnem sistemu iz Sonca. Keplerjevi viri so Platon, Ficino, renesančni novo- platonizem, v ozadju slutimo Corpus hermeticum. Njegova mistična teologija temelji na pitagorejstvu, zato zavrne Brunovo idejo neskončnega vesolja. Ve- soljni prostor ne more biti kontinuirano nevtralen in neskončen. Kepler išče geometrijsko strukturo in zaupa v njeno harmonijo. Bolj kot v animizem ver- j ame v matematiko. Drži se matematičnih in logičnih pravil in zavrne speku- lativno prevleko števil. 7 5 I G O R Š K A M P E R L F . Ta razvoj je bil postopen. Kot štajerski deželni matematik je 1. 1596 v Gradcu izdal spis Mysterium cosmographicum, v katerem nastopa kot navdušeni novoplatonik in metafizični zagovornik Kopernikovega heliocentrizma. Ugo- tovi, vsaj tako se mu zdi, da razmerja med planeti, ki se gibljejo po pravilnih krožnicah, ustrezajo platonskim poliedrom. Pozneje je Kepler sprevidel, da to ne drži, toda njegovo izhodišče j e podobno Fluddovemu: oba navdušeno zasledujeta harmonijo sveta. Le da Fludd sledi principu analogije, zato j e bil med prvimi zagovorniki teorije krvnega obtoka, ki j o je v De Motu Cordis et Sanguinis 1. 1619 na Nizozemskem objavil William Harvey. Človeško telo j e zgrajeno kot vesolje, Soncu ustreza človeško srce. Za Keplerja, k i j e matema- tik, so takšne analogije premalo. Po njegovem harmonija temelji na konkret- nih, matematičnih razmerjih. Tu se mi zdi zanimivo opozoriti, kako je Kepler prav na podlagi intelek- tualnega (matematičnega) platonizma presegel v pozni renesansi razbohote- ni novoplatonski animizem. Za ta korak je potreboval dobrih deset let. Leta 1609, v času, ko je Galilei sestavljal teleskop, je Kepler izdal Astronomia nova, seuphysica coelestis, kjer je na podlagi Brahejevih opazovanj Marsa ugotovil, da se planeti ne gibljejo po pravilnih krožnicah, kar je bila dvatisočletna znans- tvena dogma, ampak po drugačni tirnici. Kepler je najprej sklepal na ovalno pot, poznejeje ugotovil, da gre za elipse, kar je bilo njegovo temeljno odkrit- je. To je pomenilo, da Sonce ni v središču, kot sta menila Kopernik in Galilei, ampak v enem od žarišč. S tem so se pojavila nova fizikalna vprašanja, a tudi možnost njihove rešitve. Kaj planete poganja? Tradicionalno so to pripisovali duši (entelehiji) planetov. Kepler ugotovi, da takšne duše ne obstajajo: »Če pojem duše nadomestimo s pojmom moči, dobimo natančen temeljni prin- cip moje nebesne fizike. (...) Sprva sem mislil, d a j e vzrok gibanja planeta njegova planetarna duša, ko pa sem spoznal, da se njegova hitrost z distanco [od Sonca] zmanjšuje, tako kot z odmikom upada sončna svetloba, sem ugo- tovil, da mora ta moč biti nekaj telesnega. Če že ne dobesedno, pa v prenese- nem figurativnem pomenu, tako kot rečemo, d a j e svetloba nekaj telesnega in s tem razumemo neko entiteto, ki izhaja iz telesa, ki samo na sebi ni tele- sno.«2 To je ključni trenutek vzpostavitve moderne znanosti: Kepler oblikuje koncept moči, ki proizvede telesne (natančneje, matematične) učinke, ven- dar sama moč nima takšnega, se pravi telesnega, videza. Prehod lahko označi- mo kot zamenjavo pojma duše s konceptom moči (vis). Temelj, k i je omogo- čil to miselno spremembo, pa ostaja filozofski, natančneje platonski. Gibalni 2 Behar, op. cit. Za epistemološki pregled gl. Andrej Ule, Znanje, znanost, stvarnost, ZPS, Ljubljana 1996. 7 6 R E N E S A N Č N I PI-ATONIZEM IN OBLIKOVANJE M O D E R N E ZNANOSTI vzrok planetov niso več zvezde stalnice (osma sfera), ampak Sonce, ki deluje kot gibalno polje, anima motrix. Toda to ni temeljni problem: vprašanje, ki ostaja nepojasnjeno je, kako lahko Sonce na planete vpliva na daljavo. Antro- pološka analogija govori drugače, kajti človeška duša vpliva zgolj na telo, ki j o vsebuje in s katerim sta v neposrednem stiku. Renesančni učenjaki sicer vedo za magnetizem, ki se zdi možna rešitev, toda Kepler nadaljuje po platonski poti, zaupa geometrijski strukturi in računstvu. Tu vznike kontroverza s Flud- dom. 3. februarja 1600 sta se na gradu Benatek srečala Tycho Brahe in Kepler, k i j e v rudolfinski Pragi postal Brahejev asistent. Brahe je meritvene instru- mente zelo izboljšal. Po njegovi smrti jeseni 1601 je dvorni astronom postal Kepler. V delu Astronomía nova formulira prva dva od treh zakonov, ki z ma- lenkostnim odstopanjem držijo še danes: 1) Orbite planetov so elipse, Sonce pa se nahaja v enem od dveh žarišč. 2) Orbitalna hitrost posameznega planeta se spreminja tako, da daljica, ki teče od Sonca do enega od planetov, v enakih časovnih intervalih prehodi enako mero površine eliptične ploskve. S tem so odpadle tisočletne težave z epicikli in retrogradnimi gibanji pla- netov, toda pogoj je bila odprava kristaliničnih sfer, h kateri so pripomogla opazovanja novih zvezd (supernove) in kometov. 9. oktobra 1604 sta Kepler in Galilei opazila eksplozijo nove zvezde. Strinjala sta se, da se nahaja med stalnicami in da ni atmosferski pojav. Kepler napiše De Stella nova in cauda Serpentari. Leta 1619 Kepler izda Harmonices mundi, Libri quinqué. Knjiga ne obrav- nava le astronomske problematike, ampak nasploh harmonijo, ki j o j e Bog postavil v stvarstvo. Knjiga skuša zajeti njeno evidentnost in se deli na pet delov, ki obravnavajo geometrijo, arhitektoniko (figuralno geometrijo), har- monijo povezano z glasbo, astronomijo in metafiziko. Ambicija tega komplek- snega dela, ki še čaka na ustrezno analizo, je univerzalna.3 Fluddovo in Keplerjevo delo sta skoraj sočasni. Obe sta posvečenijakobu I. angleškemu, očetu princese Elizabete, žene Friderika Palatinatskega. Ke- pler poda novo arhitektoniko sveta, kije kompleksnejša, opozori na Ptoleme- jeve napake in zavrne Fluddove nebuloznosti. V središču novega pogleda na vesoljno strukturo so eliptične poti planetov. Hkrati se Kepler zaveda, da teo- rije poliedrov, ki j o je razvil v Mysterium cosmographicum, ni moč preprosto aplicirati na vesolje. Odkrije celo nov polieder, echinus. Razdalje med planeti niso odvisne od razmerja pravilnih teles; za ugotovitev pravih razmerij potre- bujemo nekaj drugega. Kepler odkrije tretji zakon, ki pravi, da so kvadrati 3J. Kepler, Werke, VI; izbor v G. Keplero, L'armonía del mondo, Ed. del Cerro, Pisa 1994. 7 7 I G O R ŠKAMPERLF. obhodnih orbitalnih period planetov v enakem razmerju kot kubi odgovarja- jočih razdalj od Sonca. Prvi zakon nam pove, da so planetarne tirnice elipse, čeprav le malo ekscentrične. Drugi zakon predpostavlja, da planet orbito pre- hodi z različno hitrostjo, k i j e v periheliju (največji Sončevi bližini) večja, v afeliju (največji oddaljenosti od Sonca) pa manjša; kajti po Keplerjevem izra- čunu mora v enakih časovnih intervalih (največji denimo, ko je v periheliju) prehoditi večjo orbitalno pot kot tedaj, ko je v afeliju. Ploščini med daljicama sta namreč enaki. Iz tretjega zakona lahko izpeljemo oddaljenost planetov od Sonca, izhajajoč iz ene same. S tem je bil podan model za ves solarni sistem, ki g a j e uspešno povzel Newton. Tretji zakon se dejansko približa teoriji gravitacije, posebno s kon- ceptom anima motrix, gibalnim vzrokom, ki planetarni sistem vzdržuje v urav- novešenem gibanju. Kepler želi empirični pristop (opazovanja) uskladiti z matematičnim izračunom, vendar pri tem ne smemo spregledati metafizične- ga okvira, v katerem se rodi nova kozmologija. Sonce v središču nastopa kot zorni kot, ki omogoča postavitev kotnih relacij, hkrati pa nastopa kot Božje oko, izhodišče, iz katerega gledamo. Hermetične reference sojasne. Odkritje elips navidez res zavrne platonsko teorijo pravilnih krožnic, toda ne smemo pozabiti na celostno zamenjavo filozofskega pogleda, ki g a j e prinesel rene- sančni platonizem. Vesolje nastopa kot živ, animiran in kreativen organizem. Pravilna telesa morda veljajo za elementarno strukturo, npr. za minerale, te- meljni platonski atribut Stvarnika pa je animacija. Moderni astronomi so pou- darjali prelom s platonskimi principi, ki naj bi dokončno odpadli (zavrnitev krožnic), spregledali pa so, da Keplerjeve elipse nastopajo kot logična posle- dica v kontekstu živega kozmosa, ki g a j e filozofsko postavil Platon. V duhu pravega matematika si Kepler prizadeva dokazati, zakaj oživljeno telo ni pra- vilno. Na kritiko je Fludd odgovoril spomladi 1621. Kepler je izziv sprejel in avgusta istega leta objavil svojo Apologijo, v ponatisu Mysterium cosmographicum. Fluddje spet odgovoril, tokrat v tekstu Monochordm mundi simphoniacum, 1622. Naslednje leto je tiskar De Bry v Frankfurtu besedilo ponatisnil, kar dokazuje veliko zanimanje, ki ga je sprožila polemika. Kepler Fluddu očita geocentrizem in izpeljavo harmonije na podlagi pla- tonskih pravilnih teles. Toda razlike med obema so subtilnejše: Kepler zago- varja numerično vrednost števil in entitet, ki ima zanj edina teoretsko vred- nost. Fludd zagovarja simbolično vrednost števil in se naslanja na analoško metodo. Kepler poudari, da se sam naslanja na matematično metodo. Fludd se opira na hieroglifsko metodo, na vrednost podobe in njene asociacije, ki j ih moramo prevesti v diskurzivni jezik, podobno kot dela aritmetika. Takšno izhodišče nas približa numerologiji. 7 8 R E N E S A N Č N I PI-ATONIZEM IN OBLIKOVANJE M O D E R N E ZNANOSTI Kepler takšen pristop zavrne. Fluddu očita, da iz števil izpeljuje in jim pripisuje kvalitete, medtem ko sam števila obravnava izključno kvantitativno. Fludd mu očita: Kepler se na poliedre zgolj sklicuje, fiktivno, ne pojasni pa njihovega statusa niti ne spregovori o njihovem procesualnem razvoju. Gre za koncept emanacije, ki pojasnjuje celosten razvoj kozmosa, od prve monade naprej. Ta razvoj, ki ga Fludd zagovarja, od prve enovitosti preko kvalitativnega števila tri (Trojica), ustvari genezo fizičnega kozmosa. Od tod simbolična vrednost trojke, devetice, itd. (27, 36...). Tu gre iskati šifro harmo- nije. Pri tem Fludd zavrne celoten Keplerjev koncept matematike, kar je v očeh naslednikov Fludda kompromitiralo in ga izključilo iz relevantne zna- nosti, predvsem iz znanstvene skupnosti. Fludd matematiko razdeli na vulgar- no, k i j e materialna ali čutna (sensibilis), in formalno, kije vereigneus (razsvet- ljujoča). Če pojme poenostavimo, gre za delitev na kvantitativno (števno) in osvetljujočo, kije božanska, slednja namreč nosi oziroma posreduje Božjo luč kreativnosti. To j e stvariteljska matematika, kar pomeni, da moramo oznako formalna razumeti v smislu Platonovih idej. Gre za matematično matrico, ki obstaja večno v samem Bogu in premore ustvarjalno moč. V tem smislu moramo razumeti Fluddove skice in diagrame. Matemati- ka, ki j o zagovarja, pomeni figuralno geometrijo, ki temelji na analoških fizič- nih, psiholoških in metafizičnih principih. Podobe in diagrami učinkujejo magično (nezavedno). Toda pri Fluddu imajo tudi generativno vrednost, saj so govorica, s katero j e Bog ustvaril svet. Pomenijo razodene govorice, ki ni človeško aplikabilna, ker je Božja. Fludd povzema teorijo treh svetov: intelegi- bilnega, nebesnega, elementarnega. Fluddova misel ni znanstvena. Bolj spominja na imaginacijo. Fludd prin- cipe razgrne, ne da bi j ih pojasnil. Metode ne eksplicira. Njegove vizije pome- nijo vrh in ekstremni pogled renesančnega okultizma, ki je po polemiki s Keplerjem izgubil znanstveno vrednost. Kepler v središče razprave postavi ravno očiščenje števil vseh dodatnih kvalitet in z njimi povezanih okultnih pome- nov. Števila so zgolj nevtralni reprezentanti razmerja med količinami. Fludd govori o numeroloških kvalitetah, vendar razmerja med njimi ne pojasni. Ke- pler naredi ravno to; kvalitete »očisti« in definira čista razmerja. Podobe pre- stopijo v drugo govorico. Ostanejo le matematični diagrami, kijih tvorijo zna- ki: »(...) in ipsius opere plurimae sunt picture; in meo, diagrammata mathematica literis instructa. Videas etiam, ipsurn plurimum delectari rerum aenigmatibus tenebro- sis, cum ego res ipsas obscuritate involutas in lucem intellectus proferre nitar.«4 Fludd stvari zamegljuje, medtem ko se jaz trudim, da bi stvari iz teme, kijih obdaja, postavil na svetlo. 4 Harmonices mundi, Appendix. Nav. po Behar, op. cit. 7 9 I G O R Š K A M F E R L E Fludd j e postal žrtev svojih ob-znanstvenih kriterijev. Njegova misel uvaja asociativno imaginacijo; ni znanstvena, a zaradi tega ni delirij. Ni »la folie du logis«, ko t jo je označil Malebranche. Ima svojo, drugo logiko. Predstavlja dru- gačen aspekt mišljenja. Vendar, Kepler je bil v prednosti, k i je bila odločilna. Keplerje razumel, kaj Fludd misli in kako misli. Fludd te razlike ni razumel. Ni bil matematik niti logik, kot je bil Kepler. Ni zmogel vstopiti v Keplerjevo miselno matrico, zato najbrž ni ujel zastavka kritike. Svoje argumente j e lahko razgrnil in jih ponovil, ni pa razumel nasprotnih. Ni ujel težišča, kjer so se njegova in Keplerjeva načela razlikovala. Yatesova5 polemiko med Fluddom in Kepleijem postavlja na razpoke, ki pomeni konec hermetične misli, njen umik in začetek moderne misli. Béhar komplementarno dodaja, zdi se mi, da zelo natančno, da gre za dva različna načina razumevanja platonizma. Fludd vztraja pri tradicionalni eksegezi Ti- maja in pri novoplatonizmu pozne antike. Kepler uvaja drugačen pristop, ki se mi zdi zanimiv in po vsej verjetnosti še neizčrpan: onkraj črke Timaja in Platonove špekulacije o najvišjih počelih, pravilih (Zakoni), površinah in tele- sih, želi odkriti Platonovega duha in njegovo intuicijo o matematični struktu- ri vesolja. Kepler Fluddu navsezadnje le navzven očita, d a j e slab matematik. V resnici mu želi reči nekaj drugega: d a j e premalo platonik. S tem smo dosegli vrh in po svoje tudi konec renesančnega platonizma. Koncept »moči« planetov, ki ga je Kepler uvedel namesto pojma duše, ostaja netelesen. Izgubi pase intelektualni oz. umni aspekt. Moč ne »misli«. S tem so se odprla vrata mehanicizmu, k i j e prevladal na začetku moderne dobe. Nebesna mehanika z vsemi svojimi razmerji se je znašla v govorici abstraktnih konvencionalnih znakov. Analoška razmerja so izgubila relevantno vrednost. Moderna znanost temelji na kvantiteti. Če imam v košarici petjabolk, pomeni to zgolj, da jih imam eno več kot štiri. Igor Škamperle Filozofska fakulteta Univerza v Ljubljani 5 Yates, op. cit. 8 0 Filozofski vestnik Letnik/Volume XXI • Številka/Number 1 • 2000 • 81-89 ANTE REM STRUKTURALIZEM MAJDA TROBOK Uvod Kot poudarja Benacerraf, se platonizem v filozofiji matematike sooča z dvema glavnima problemoma, epistemološkim in ontološkim. Glavni epistemološki problem lahko na kratko formuliramo na sledeči način: če vzročna teorija vedenja drži in so matematični predmeti abstraktni ter zato vzročno brez učin- ka, potem ni možno nobeno matematično vedenje; ker pa nekakšno matema- tično vedenje imamo, je platonizem nevzdržen. Ontološki problem leži v očit- ni nedoločenosti: ker je katerokoli polje matematike možno zvesti na teorijo množic, lahko nanjo zvedemo tudi števila; vendar pa so možne različne re- dukcije aritmetike na teorijo množic, težava pa je v tem, kako določiti, katera j e prava. Ta članek se ukvarja s tem, ali j e sodobna doktrina, znana kot »struktura- lizem« — oziroma, bolj natančno, različica te doktrine, kije poznana kot »ante rem strukturalizem« - , različica platonizma, ki razreši ta dva problema. Osre- dotočila se bom izključno na ante rem strukturalizem, ki ga je uvedel Shapiro. Z izrazom »ante rem strukturalizem« bom označevala prav to različico. Strukturalizem Temeljna teza strukturalizma je, da matematika govori o strukturah. Po mnenju strukturalistov velja: Matematična knjiga ne opisuje sistema množic ali platonističnih pred- metov ali ljudi. Opisuje strukturo oziroma razred struktur. (Shapiro, 1997: 131-2) Da bi lahko ocenili to tezo, moramo razumeti razlikovanje med struktu- M A J D A T R O B O K rami in sistemi: sistem je zbirka predmetov z določenimi relacijami, medtem ko je struktura abstraktna forma sistema. ... strukturaje vzorec, forma sistema.... Potemtakemje struktura v takšnem odnosu do strukturiranega, v kakršnem je vzorec do vzorčenega, obče do posameznega, ki ga vsebuje, vrsta do primerka. (Shapiro, 1997: 84) An te r e m strukturalizem Za ante rem strukturalizem je značilna teza, da so strukture pristni pred- meti in da obstajajo, čeprav ne bi obstajal noben sistem predmetov, ki bi j ih uprimerjal. Vsaka struktura namreč uprimeija samo sebe, ker njena mesta, ki so bona fide predmeti, tvorijo neki sistem, ki uprimerja to strukturo. Matema- tika se ukvarja z abstraktnimi strukturami, kjer j e struktura abstraktna forma sistema, v »kateri niso upoštevane vse tiste značilnosti [predmetov], ki ne vpli- vajo na to, kako so [predmeti] povezani z drugimi predmeti v sistemu«. Struk- ture niso nujno matematične: o strukturi naravnih števil lahko govorimo na isti način, kot govorimo o šahovski konfiguraciji. Ontologija Pojavita se dve vprašanji, ki zadevata ontologijo strukturalizma: eno vpra- šanje se tiče ontologije matematičnih predmetov, drugo pa ontologije struk- tur samih. Antermstrukturalizemje ontološki realizem o matematičnih predmetih: Za strukturaliste nealgebraično področje, kotje aritmetika, govori o pred- metih - številih ki obstajajo neodvisno od matematikov, aritmetične izjave imajo za njih neprazne, bivalentne, objektivne resničnostne vred- nosti glede na to domeno. (Shapiro, 1997: 72) Ante rem strukturalizma pa vseeno ne moremo enačiti s tradicionalnim platonizmom. Po platonizmu lahko določimo bistvo vsakega števila brez na- našanja na ostala števila. Za platonista (nestrukturalista) j e problem v dejstvu, da - čeprav matematična teorija govori o določenih bitnostih - ne moremo dokončno določiti, kakšne vrste predmeti so. Strukturalisti zato zavračajo pla- tonistično stališče, ker: Bistvo naravnega števila so njegove relacije do drugih števil. ... Bistvo na- ravnega števila ne pripada več individualnim številom 'samim po sebi', ampak njihovim medsebojnim relacijam. (Shapiro, 1997: 72-3) 8 2 ANTE REM STRUKTURALIZEM Kaj pa je z ontološkim statusom struktur ? Ante r e m strukturalizem privzame realistični pristop, ki pravi, da strukture obstajajo same po sebi kot legitimni predmeti. Z ozirom na to stališče dana struktura obstaja neodvisno od kakršnegakoli sistema, ki jo uprimerja. (Shapiro, 1996: 149) Po Shapirovem mnenju so strukture pristni predmeti. Vsaka strukturaje univerzalija in vsak sistem, ki j o uprimerja, je primerek; lastnosti struktur so neodvisne od nas. »Matematične trditve beremo po nominalni vrednosti in števniki so singularni termini.« Vendar se ima Shapiro, kar se tiče struktur, za »metodološkega platonista«, ne za klasičnega. To pomeni, da kvantificira preko struktur, toda neformalno v istem smislu, kot so vsi klasični matematiki plato- nisti. Torej ne misli, d a j e ontološko zavezan strukturi v »strogem« platonistič- nem pomenu besede. V svojem spisu »Mathemathics and reality« pravi: »No- čem podati nobene drzne ontološke trditve, ki bi (tako in tako) zadevala struk- ture same.« Zdi se, da obstajata dve težavi, ki sta povezani s tem stališčem: 1 Po Shapirovem mnenju so številke - tako kot kakršnikoli drugi predmeti - bona fide predmeti, »matematični predmeti - mesta v strukturah - so ab- straktni in vzročno brez učinka«. Po drugi strani pa odobrava stališče, da se termin »predmet« nanaša na teorijo, za katero gre: Naš sklep je, da moramo, vsaj v matematiki, misliti o 'predmetu' kot eliptičnem 'predmetu teorije'... Idejo enega univerzuma, ki je a priori razdeljen na predmete, tukaj zavračamo. (Shapiro, 1997: 127) Če so potemtakem števila bona fide predmeti, so vsekakor predmeti a prio- ri in ne morejo biti vezani na teorijo. 2 Shapiro se ima za »metodološkega platonista«, ki nima glede struktur nobenih ontoloških obvez. Vseeno pa v svoji knjigi Philosophy ofMatematics - Structure and Ontology govori o objektivni eksistenci strukture naravnih šte- vil: Struktura naravnih števil ima objektivno eksistenco in dejstva o njej niso naš proizvod. (Shapiro, 1997: 137) To pomeni, da struktura naravnih števil obstaja neodvisno od nas in zato tudi neodvisno od naših jezikovnih sredstev. Po drugi strani pa se zdi, da to stališče postavlja pod vprašanj idejo, da »jezik opredeljuje ali določa struktu- ro (ali razred struktur), če opredeljuje sploh kaj«. Gre za to, d a j e način, kako ljudje dojemamo strukture, in način, kako 8 3 M A J D A T R O B O K matematični univerzum 'razdelimo' na strukture, sisteme in predmete, odvisen od naših jezikovnih sredstev. (Shapiro, 1997: 137) To stališče predlaga, d a j e razlika med strukturami in sistemi odvisna od našegajezika in je zato težko videti, na kakšen način »ni naš proizvod«. Ante r em strukturalizem in problem nedoločenosti Kotje bilo rečeno v prejšnjem delu, so matematični predmeti samo me- sta znotraj struktur; na primer, realna analiza govori o strukturi realnih števil in vse, kar lahko rečemo o realnih številih, sestoji v njihovih strukturalnih lastnostih. Ni mogoče, da bi postulirali samo eno realno število, saj bi to po- menilo, da postuliramo eno mesto znotraj strukture, kar pa ni mogoče brez nanašanja na strukturo kot celoto. Matematične bitnosti nimajo nobenih no- tranjih lastnosti in so samo položaji v strukturah. Iz tega sledi, da prav tako nimajo nobene identitete zunsy strukture. Shapiro se popolnoma strinja z Resnikom, ko ta pravi, da so različni rezultati matematike, za katere se zdi, da kažejo, da imajo matematični predmeti, kot so števila, notranje strukture, na primer nji- hova identifikacija z množicami, v bistvu znotrajstrukturalna ra/.mcrja. (Resnik. 1981: 530) V skladu s Shapirom celo ontološkemu realistu ni treba odgovoriti na vprašanja, kot je problem Cezar, to je, ni odgovora na naslednje: ... nima smisla prizadevati si za identiteto med mestom v strukturi narav- nih števil in kakšnim drugim predmetom ... Identiteta med naravnimi števili je določena; identiteta med števili in drugimi vrstami predmetov pa ni, in prav tako ni določena identiteta med števili in položaji drugih struktur. (Shapiro, 1997: 79) Če hočemo dobiti dokončne odgovore, moramo postaviti vprašanja, ki so notranja strukturi naravnih števil, ker so matematični predmeti vezani na strukturo, katere mesta zasedajo. Torej, čeprav drugače kot Benacerraf, ante rem strukturalisti odobravajo stališče, po katerem števila so predmeti, namreč predmeti aritmetike. Zato lahko sprašujemo o številih, če so takšna vprašanja notranja strukturi naravnih števil, toje , če sprašujemo o relacijah, kij ih lahko definiramo vjeziku aritmetike. Tukaj se Shapiro še enkrat strinja z Resnikom, da sprejemanje struktura- lizma, to je presojanje matematičnih predmetov kot položajev v vzorcih, vodi do 8 4 ANTE REM STRUKTURALIZEM prevrednotenja matematičnih predmetov, ki se upira ugovoru platoniz- mu, ki temelji na naši nezmožnosti, da bi popolnoma utrdili njihovo identiteto. (Resnik, 1981: 530) Zdi se, da sta v Shapirovi teoriji dve težavi: 1 Po ante rem strukturalizmu so lahko mesta v strukturi naravnih števil zasede- na z mesti v drugih strukturah. Argumentu na ljubo predpostavimo, da pred- meti b i , b2,..., bn - mesta v strukturi SI (teh predmetovje lahko neskonč- no mnogo) - bodisi uprimerjajo strukturo S2 bodisi zasedajo mesta v takšni strukturi. Tako imajo elementi bi , . . . , bn bodisi določene lastnosti p l , ...pk, zaradi katerih uprimerjajo strukturo S2, ali pa imajo lastnosti, ki so notra- nje strukturi S2 in se ne skladajo z lastnostmi q l , q2 ql, ki so notranje glede na strukturo SI. V tem primeru so lastnosti pl , . . . , pk zunanje - to je nestrukturalne - glede na strukturo SI, lastnosti ql , . . . , ql pa zunanje glede na strukturo S2. Potemtakem nijasno, na kakšen način predmeti b i , b2,..., bn nimajo nestrukturalnih lastnosti v zvezi z obema strukturama SI in S2. 2 Prav tako je težko reči, na kakšen način lahko strukturalno obravnavamo nekatere lastnosti realnih števil, kot recimo to, da so transcendentalna; ta lastnost se nanaša na pojem polinominalnega, za katerega se zdi, da je struk- turi zunanji. Za Shapirovo teorijo pa se konec koncev tudi dozdeva, da navsezadnje dopušča vprašanja, kot je problem Cezar, ker so mesta v strukturi naravnih števil tudi bonafidepredmeti sistema. Če vprašamo »Alije Cezar = 2?«, identi- ficiramo Cezarja z naravnim številom 2 - kije predmet sistema naravnih števil —, tako da bi to vprašanje navsezadnje moralo imeti dokončen odgovor. Ra- zen tega pa, če ta dva predmeta ne pripadata isti strukturi, potem vsekakor mora obstajati odgovor na problem Cezar. Shapiro misli, da zato, ker Cezar in število 2 ne pripadata isti strukturi, problema Cezar ne moremo rešiti; toda ali ni spraševanje »Ali Cezar in število 2 pripadata isti strukturi?« samo izogi- banje vprašanju? A n t e r e m strukturalizem in epistemološki problem Strukturalizem baje rešuje tudi epistemološki problem platonizma. Sha- piro s svojo idejo sledi Resniku, da v bistvu velja naslednje: Če si - kakor si, recimo, predstavljamo stole ali avtomobile - števila, recimo, predstavimo kot predmete, med katerimi nam je vsak od njih dan izoliran od ostalih, potem seje težko izogniti temu, da bi si predsta- 8 5 M A J D A T R O B O K vili vedenje o številu kot nekaj, kar je odvisno od neke vrste interakcije med nami in tem številom. Če pa po drugi strani motrimo matematiko kot znanost o strukturah, rešimo s tem tudi platonistove epistemološke probleme. O čem govori strukturalistova epistemologija? Po Shapiru obstajajo trije možni načini dojemanja struktur: abstrakcija ali vzorčno prepoznanje, jezi- kovna abstrakcija in implicitna definicija. En način dojemanja strukture j e možen z abstrakcijo (ali vzorčno pre- poznavo). Strukturo abstrahiramo iz enega ali več sistemov, ki imajo isto struk- turo in tako dojamemo skupne relacije med predmeti. Ta način j e analogen temu, kako dojamemo vrsto črke z opazovanjem različnih primerkov črk in zanemarimo to, kar je specifično za posamezen primerek, kot so njegova bar- va, višina in podobno. Z abstrakcijo dojamemo majhne kardinalne strukture (prvih nekaj končnih kardinalnih ali ordinalnih struktur), to pa deluje na podoben način kot pri znakih in nizih. Otrok se nauči prepoznati vzorec 4 tako, da mu pokažemo različne skupine, ki imajo 4 predmete. Naslednji prob- lem je, kako dojeti velike kardinalne strukture (in nato še neskončne sisteme in strukture). Velikih kardinalnih struktur ne moremo pojmiti s preprosto abstrakcijo. Toda otroci se z jezikovnim razvojem učijo razčleniti primerke nizov, kij ih niso nikoli videli, pa tudi nize, ki morda sploh nimajo primerkov: Na določeni točki - še vedno zgodaj v procesu njegove vzgoje - otrok razvije neko zmožnost razumevanja kardinalnih in ordinalnih struktur, čeprav ne more prepoznan vseh naenkrat via vzorčna prepoznava in čeprav dejansko ne šteje ali celo ne bi mogel šteti. (Shapiro, 1997: 117) Zato da bi dojeli strukturo naravnih števil, si moramo to zamisliti zapo- redje črtic, ki postaja vse daljše in daljše in tvori pojem neskončnega (v eno smer) zaporedja črtic: To je neki neskončen niz in zato zanj v tej knjigi ne morem podati pri- merka. Običajno je tako, da napišemo nekaj namesto nečesa takšnega: - . . . Gre za to, da študentje navsezadnje razumejo, kaj menimo s to elip- so. (Shapiro, 1997:119) Da bi dosegli strukturo, k i j e večja od števne, moramo motriti množice racionalnih števil (kot pri Dedekindovem rezu), na ta način pa motrimo struk- turo realnih števil; v tem primeru govorimo o jezikovni abstrakciji. Na tretji način dojamemo strukturo z nekim neposrednim opisom, to je z n jeno impli- citno definicijo; tako lahko, na primer, strukturo naravnih števil dojamemo z razumevanjem Peanovih aksiomov, ki so njihova implicitna definicija. Shapi- ro definira implicitno definicijo na sledeči način: 8 6 ANTE REM STRUKTURALIZEM V pričujočem kontekstu je implicitna definicija hkratna opredelitev šte- vilnih predmetov v terminih njihovih medsebojnih relacij. V sodobni filo- zofiji takšne definicije včasih imenujemo 'funkcionalne definicije'. (Sha- piro, 1997:130) Tako implicitna definicija kot dedukcija podpirata stališče, d a j e mate- matično vedenje a priori'. Potemtakem velja: Če senzorno izkustvo ni vključeno v to, da smo zmož- ni razumeti implicitne definicije, niti v upravičenje tega, da je implicit- na definicija uspešna, niti v naše dojemanje logične posledice, potemje vedenje o definirani(h) strukturi (ah), ki ga dosežemo z dedukcijo iz implicitne definicije, vedenje a priori. (Shapiro, 1997:132) Kateri so glavni problemi strukturalistove epistemologije? 1) Kako lahko dojamemo strukturo? Ker so po Shapiru strukture abstraktne, nimamo z njimi nikakršnega vzroč- nega stika. Majhne končne strukture dojamemo z abstrakcijo tna vzorčno pre- poznanje. Subjekt vidi ali sliši enega ali več strukturiranih sistemov in dojame struk- turo teh sistemov ... Ideja je, da nekatere strukture - prav tako kot vrste znakov preko njihovih primerkov - dojamemo preko njihovih sistemov.« (Shapiro,1997:ll) S t e m j e tako kot z otrokovim dojemanjem različnih vrst, na primer črk: z opazovanjem različnih primerkov črk, ki mu jih pokažejo starši, otrok repre- zentira isto vrsto. Toda ali niso vrste pred primerki? Mar nimamo - prej kot nasprotno — primerkov za to, da bi reprezentirali vrste? Otroci se o vrstah lahko učijo preko primerkov, ker so bili primerki vrstam že 'pripisani'; način učenja in način dojemanja nista nujno enaka. 2) Kaj pa neskončne strukture? Strukturo naravnih števil dojamemo z implicitno definicijo, toje z nekim neposrednim opisom. To pomeni, da domnevno lahko dojamemo strukturo naravnih števil via razumevanje Peanovih aksiomov, pa čeprav Shapiro ne pove, kaj pomeni razumeti Peanove aksiome. Ponovno se to zdi bolj način učenja strukture naravnih števil kot pa način, kako to strukturo dojamemo. Ali niso Peanovi aksiomi opis strukture naravnih števil, ki smo jo nekako že dojeli in ki bi j o radi opisali? Če so Peanovi aksiomi opis strukture naravnih števil, kako lahko opišemo sliko, preden jo dojamemo? Ali se tako ne izogne- mo vprašanju? Shapiro opisuje implicitno definicijo kot »občo in močno me- todo sodobne matematike«: Praviloma teoretik poda zbirko aksiomov in navede, da teorija obravna- 8 7 M A J D A T R O B O K va vsak sistem predmetov, ki ustreza aksiomom. Kot bi se izrazil sam: aksiomi, če sploh kaj opredeljujejo, opredeljujejo strukturo ali razred struktur. (Shapiro, 1997: 12-3) Na tem mestu spet ni jasno, kako teoretiki pridejo do (Peanovih) aksio- mov? So ti aksiomi rezultat teoretikove domišljije alijih teoretik na neki način dojame? Če so rezultat njegove domišljije, potem ni jasno, kako lahko vemo, da se neka struktura ujema z njimi; če j ih j e dojel, potem j e vprašanje »Kako?«. Ni j ih mogel dojeti z dojemanjem te strukture, saj so strukture abstraktne in vzročno brez učinka (strukturalizem naj bi razrešil problematično platoni- stično epistemologijo). Lahko bi j ih dojel z dojemanjem nekega sistema, ki uprimeija strukturo naravnih števil: en možen odgovor je, da z dojemanjem števnikov, kar pa Shapiro zanika; drugi možni odgovor je , da z dojemanjem prostorskočasovnega sistema, ki uprimerja strukturo naravnih števil. Kaj pa struktura realnih števil ali katera druga neskončna struktura? Shapiro ni na- klonjen obstoju dovolj velikega števila fizičnih predmetov v vesolju. Ko kritizi- ra eliminativni strukturalizem, zaključi: Ker najbrž ni dovolj fizičnih predmetov, kar bi obranilo nekatere teorije pred nepopolnostjo, mora eliminativni strukturalizem predpostaviti, da obstaja neko ogromno področje abstraktnih predmetov. Tako je elimi- nativni strukturalizem zelo podoben tradicionalnemu platonizmu. (Sha- piro, 1997: 11) Po Shapiruje eden od razlogov za to, d a j e anterem strukturalizem najbolj sprejemljiva različica strukturalizma, ta, da za to, da bi zapolnil mesta različ- nih struktur, ne potrebuje močnega ontološkega ozadja. Toda zdi se, da bi lahko bil Shapiro - prav tako kot eliminativna različica — konec koncev zave- zan eksistenci »velikega področja abstraktnih predmetov«. 3) Nobeden od načinov, kij ih za dojemanje strukture predlaga Shapiro, ne razloži, kakoje možno, če sploh je, dojeti neko strukturo, ki ne uprimerja nobenega sistema razen strukture same. Zdi se, da bi bilo dojemanje takšne strukture prav tako problematično ko t j e za platonizem - katerega epistemo- loške probleme baje razrešuje strukturalizem - dojemanje matematičnih struk- tur, ker so strukture abstraktne in vzročno brez učinka. Prevedla Tomaž Jereb in Sergej Pečovnik Majda Trobok Filozofska fakulteta, Univerza v Reki 8 8 ANTE REM STRUKTURALIZEM Reference Benacerraf P. & Putnam H. (1964), Philosophy of Mathematics - Selected Rea- dings (Cambridge University Press, Cambridge). Carnap R. (1974), Meaning and Necessity (The University of Chicago Press, Chicago). Mac Lane S. (1996), »Structure in mathematics«, Philosophia Matematica, (3) Vol. 4, str. 174-183. Parsons C. (1990), »The structuralist view of mathematical objects«, Synthese, Vol. 84, str. 303-364. Resnik, M. D. (1981), »Mathematics as a science of patterns: ontology and reference«, Nous, 15, str. 529-550. Resnik, M. D. (1981), »Mathematics as a science of patterns: epistemology«, Nous, 16, str. 95-105. Shapiro S. (1983), »Mathematics and Reality«, Philosophy of Science, 50, str. 523-548. Shapiro S. (1996), »Space, number and structure: a tale of two debates«, Phi- losophia Mathematica, (3) Vol. 4, str. 148-173. Shapiro S. (1997), Philosophy of Mathematics - Structure andOntology (Oxford University Press, New York). 8 9 Filozofski vestnih Letnik/Volume XXI • Številka/Number 1 • 2000 • 91-98 ZLORABA MATEMATIKE V FILOZOFIJI ERNEST ŽENKO V naslovu, ki sem ga namenil svojemu prispevku, je že vsebovana implicitna predpostavka, d a j e možna zloraba matematike s strani filozofije. »Zloraba« ima (npr. po SSiy) dva osnovna pomena: prvič, kot raba nečesa dobrega za nekaj slabega; in drugič, kot napačna raba. Tema, ki se je tu lotevam, je konkretna obtožba, ki je znana kot Sokalova potegavščina oz. afera Sokal: (predvsem francoski postmoderni) filozofi naj bi zlorabili znanost - podnaslov knjige, ki to zlorabo utemeljuje, se glasi prav: Zloraba znanosti s strani postmodernih filozofov. Znanost, o kateri teče beseda, je naravoslovje in predvsem fizika, ki pa temelji na matematiki, k i j e osnovno orodje in conditio sine qua non. Večina primerov omenjene zlorabe (naravo- slovnih) znanosti se tako prevede neposredno na zlorabo matematike. To ni nepomembno. Če so namreč zakoni naravoslovja še podvrženi spre- minjanju in uspešnejša teorija prej ali slej zamenja manj uspešno, naj bi vsaj za matematične resnice veljalo, da so večne, nespremenljive in izven dosega družbenega (in večina sodobnih matematikov verjame v platonistično inter- pretacijo matematičnih objektov). Zloraba matematike je torej še hujša od zlorabe naravoslovja, ker j e - s tega stališča - zloraba absolutnega. I. Zgodba Afera oz. potegavščina j e dovolj znana in razvpita ter s e j e o njej pisalo tudi pri nas,1 kljub temu pa se mi zdi smiselno obnoviti ključne elemente v zgodbi. Tudi zato, ker j e od dogodkov minilo le nekaj let, pa ob današnjem 1 O tem glej Andrej Ule in Slavko Hozjan, »Sokalova potegavščina«, Analiza, št. 1 (1998), str. 108-125; ter Sašo Dolenc, »Neuslišana ljubezen med Fiziki in filozoFi«, Kolap$, št. 4 (1997), str. 88-90. E R N E S T Ž E N K O tempu minevanja časa vse skupaj že deluje nevarno zastarelo - nemara bolj kot kakšen Platon ali Aristotel. Prvo dejanje sega v začetek leta 1994, ko sta Američana, biolog Paul Gross in matematik Norman Lewitt objavila knjigo z naslovom Higher Superstition: The Academic Left and its Quarrels with Science (Višje praznoverje: akademska levica in njeni spori z znanostjo). Avtorja sta v njej zelo ostro napadla ameriško aka- demsko levico in njeno teoretično produkcijo, predvsem pa sta kritizirala njen odnos do naravoslovja, ki naj bi bil militanten in zaznamovan z nerazumeva- njem in odporom. Kritika je letela najprej na ameriške postmoderniste, multikulturaliste, fe- ministe, radikalne okoljevarstvenike itn. Zanimivo je, da sta kritično označila tudi delo zgodovinarjev, filozofov in sociologov znanosti. Vsi skupaj naj bi bili po njunem mnenju odgovorni za razpad univerzitetnih intelektualnih vrednot v humanistiki in družboslovju. Razmere na tem področju (avtorja se osredotočata na ZDA) naj bi bile katastrofalne, teoretska produkcija pa polna nesmislov in psevdoteoretiziranj. Omenjena knjiga je posebej navdahnila newyorškega fizika Alana Soka- la, ki j e jeseni istega leta 1994 dodal svoj prispevek h kritiki v obliki članka z nenavadnim naslovom: »Transgressing the Boundaries: Toward a Transfor- mative Hermeneutics of Quantum Gravity«2 (Prekoračenje meja: na poti k transformacijski hermenevtiki kvantne gravitacije). V njem je povezoval so- dobne fizikalne teorije s postmodernizmom, dekonstrukcijo in socialnim kon- struktivizmom, na koncu pa je dodal še impresiven seznam opomb in uporab- ljenih virov. Klub temu, da Sokal med viri ne navaja članka »Cross the Border, Close the Gap«, ki ga j e napisal Leslie Fiedler, ter je bil objavljen leta 1969 v reviji Playboy, je osnovna ideja ista - prekoračenje meja. Omenjeni č lanekje zazna- moval prelomnico, kije zatem vodila v postmodernizem: nova, postmoderna, literatura naj bi po Fiedlerjevem mnenju spajala fikcijo in realnost ter zabrisa- la mejo med njima.3 Pri Sokalovem tekstu gre natanko za to - za spajanje fikcije in realnosti. Toda, kot se je pozneje pokazalo, s čisto posebnim name- nom. Sokal j e članekje poslal na uredništvo časopisa Social Text, k i j e veljal za vodilnega na področju kulturnih študij. Imel je svojevrstno srečo, kajti ravno 2 Alan Sokal, »Transgressing the Boundaries: Toward a Transformative Hermeneutics of Quantum Gravity«, v: Alan Sokal in Jean Bricmont, Intellectual Impostures, Profile Books, London 1999, str. 199-240; (http://www.physics.nyu.edu/faculty/sokal/transgress_v2/ transgress_v2_singlefile.html). 3 Prim. Wolfgang Welsch, Unsere Postmoderne Moderne, Acta Humaniora, Weinheim 1991, str. 16. 9 2 Z L O R A B A MATEMATIKE V FILOZOFIJI tedaj so pri omenjenem časopisu pripravljali posebno številko, ki naj bi bila posvečena prav kritiki tez, ki sta j ih objavila prej omenjena Gross in Lewitt. Torej posvečena predvsem obrambi humanistike in družboslovja pred napa- di naravoslovcev. Stevilkaje izšla pod naslovom »Sciences War« poleti 1996 in v njej seveda tudi Sokalov članek, kot pomemben člen na strani obrambe. Uredniki so bili tako veseli, d a j e na njihovo stran meje prestopil naravoslovec, da so prezrli bistveno: da se Sokal le šali in da so sami le del - nenadzorovanega - eksperi- menta. Vendar niti ni tako lahko razumeti, zakaj uredniki Social Texta niso posta- li pozorni niti ob taki izjavi kot je : »[...] Evklidov n in Newtonov G [gravitacij- ska konstanta], ki so ju prej imeli za konstanti in univerzalni količini, sedaj razumemo v njuni neizogibni zgodovinskosti.«4 Ali pa: »Glavni tok zahodne fizike j e bil od Galileja dalje formuliran v jeziku matematike. Vendar kakšne matematike? To vprašanje je osnovno, kajti - kot je ugotovil Aronowitz - 'niti logika niti matematika ne uideta 'kontaminaciji' z družbenim'«.5 Vendar je Sokalov tekst ¿»¿/objavljen in Social Textje zanj celo delal rekla- mo. Zatem p a j e sledil šok in streznitev. Sokal je uredništvu časopisa namreč sporočil, da nasprotuje tako vsebini članka kot argumentom, ki so v njem. Poslal j e tudi obrazložitev - zakaj je to storil - vendar je niso želeli objaviti. Njegov zagovor j e bil zato objavljen v časopisu Dissent in zatem še v reviji Philo- sophé) and Literature jeseni 1996.6 Nekontroliranemu eksperimentu, kot ga je Sokal sam poimenoval, je sle- dila eksplozija člankov, v katerih so svoja mnenja dodali tako njegovi zagovor- niki kot tudi nasprotniki. Izkazala se je predvsem sodobna informacijska teh- nologija (internet), kajti za izmenjavo takšne količine korespondence bi npr. v Keplerjevem času potrebovali več stoletij. Podobnost s Keplerjem in njegovo kritiko Fludda namreč obstaja: Sokal ravno tako zase trdi, da oni zamegljuje- jo, medtem ko sam stvari postavlja na svetlo. Vendar to še ni bilo dovolj. Zato j e leta 1997 skupaj z belgijskim kolegom, prav tako fizikom Jeanom Bricmontom, izdal knjigo pod naslovom Impostures intellectuelles (Intelektualna posiljevanja) ? Podnaslov angleškega prevoda (knjigaje najprej izšla v Franci- ji) j e bil že omenjeni: Zloraba znanosti s strani postmodernih intelektualcev. Avtorja knjige v uvodu naštejeta več vrst takšnih zlorab. To je npr. vehe- menten oz. dolgovezen govor o znanstvenih teorijah, o katerih avtorji prak- 4 Alan Sokal, »Transgressing the Boundaries«, str. 210. 5 Ibid., str. 227. "Alan Sokal, »Transgressing the Boundaries: An Afterword«; v Alan Sokal in Jean Bric- mont, Intellectual Impostures, str. 248-258; (http://www.physics.nyu.edu/faculty/sokal/ af terword_vla/ afterword_vla_singlefile.html). 9 3 E R N E S T Ž E N K O tično ničesar ne vedo, uporabljajo psevdoznanstveno terminologijo in se ne menijo za pomen terminov, kijih uporabljajo. Poleg tega prenašajo pojme iz naravoslovja v družboslovje, ne da bi pri tem ta prenos empirično ali teoret- sko upravičili. (Npr. Lacan: struktura nevrotičnega subjekta j e topološko to- rus; ali Baudrillard: sodobne vojne potekajo v neevklidskem prostoru). Izra- žajo oz. izkazujejo odvečno učenost z uporabo znanstvenih izjav ali izjav znans- tvenikov v kontekstih, ki sploh niso v nikakršni zvezi z obravnavano temo. Cilj tega početja je po mnenju avtorjev v tem, da naredijo vtis na poslušalce in bralce. {Le Monde tako npr. neutemeljeno občuduje erudicijo Paula Virilio- ja.)8 Poleg tega se pojavlja še manipuliranje z nesmiselnimi frazami v povsem neprimernih kontekstih in celo intoksikacija z besedami, povezana s popolno indiferenco glede njihovega pomena. Avtorja poudarjata, da nikakor ne gre metati vsega v isti koš: gre za različ- ne stopnje zlorabe, najbolj očitne pa v nadaljevanju knjige tudi posebej na- tančno obdelata. Trdita, da se v tovrstnih napakah in nerazumevanju eksakt- nih ved, kaže več kot le nekaj manjših nenatančnosti, namreč globoka indife- rentnost do logičnih dejstev, do kanonov racionalnosti in intelektualne po- štenosti. Tisto ključno dejstvo, zaradi katerega naj bi se sploh lotila pisati knji- ge pa naj bi bil postmoderni odnos do objektivne realnosti kot zgolj konstruk- cije ter dvom v objektivnost znanstvenega spoznanja. Ni treba posebej pou- darjati, da so se privrženci in nasprotniki na internetu spet spopadli. Derrida v svojem komentarju najprej pove, d a j e vse skupaj žalostno. Naj- bolj pa j e žalostno »zaradi ubogega Sokala, kajti njegovo ime se pojavlja v zvezi z potegavščino in ne v zvezi z znanstvenimi deli«.'1 Prav tako j e žalostno, nadaljuje Derrida, zaradi publike, ki bi si nedvomno zaslužila česa boljšega. Sokal seje pač spustil v nenadzorovani eksperiment. Zanimivo pa je, da se tudi Sokal in Bricmont ne držita pravila, ki ga sama postavljata. Namreč, da morajo biti pojmi uporabljeni natančno in v kontekstu. Tako v uvodu v Inte- lektualna posiljevanja naletimo na naslednjo trditev: »[S]ama ideja, da obstaja distinktivna kategorija mišljenja, imenovana 'postmodernistična', j e veliko manj razširjena v Franciji kot v angleško govorečem svetu. [...] kljub temu uporabljava ta termin zaradi pripravnosti.«10 Ta termin, menita avtorja, na- mreč izraža predvsem dejstvo, da misleci, ki sodijo v njegovo kategorijo, upo- 7 Alan Sokal in Jean Bricmont, Impostures intellectuelles, Éditions Odile Jacob, Paris 1997. 8 Lyotard j e celo priznal, da je v svojem zelo vplivnem delu La condition postmoderne navajal stvari, ki j ih ni niti zares bral, kaj šele razumel. Prim, intervju zJeanom-Françoi- som Lyotardom, Lotta Poetica, št. 1 ( 1987) ; nav. v Perry Anderson, The Origins of Postmoder- nity, Verso, London 1998, str. 26. "Jacques Derrida, »Sokal et Bricmont ne sont pas sérieux«, Le Monde (20. november 1997), str. 17. 10 Alan Sokal in Jean Bricmont, Intellectual Impostures, str. 12. 9 4 Z L O R A B A MATEMATIKE V FILOZOFIJI rahljajo obskurni žargon, implicitno zavračajo racionalno mišljenje in zlorab- ljajo znanost kot metaforo. Zanimivo je , kako je »postmodernost« oz. »postmodernizem« v dveh de- setletjih iz ene najbolj obetavnih idej postal žaljivka. Veliko je v igri manjših zanimivosti. Kot npr. to, d a j e Sokal (oz. sta skupaj z Bricmontom) pod naslo- vom ameriške postmodernistične teoretske produkcije napadel francoske avtorje. Razlog, ki ga navaja, j e naslednji: tudi ameriški postmodernisti delajo podobne napake, vendar so francoski tisti, ki so res velike zvezde. Lahko se seveda vprašamo, v kakšni zvezi je zvezdništvo z objektivno znanostjo. Kako je lahko to merilo, ko pa je ravno zvezdništvo najbolj kulturno pogojeno. Niti zavist ni nekaj objektivnega. II. Analitična in dialektična kultura Kot sem že omenil, j e bil prvotni Sokalov članek objavljen v posebni šte- vilki časopisa Social Text, posvečeni »vojni v znanosti« (Sciences War) - vojni med naravoslovci in družboslovci oz. humanisti. Ne glede na to, s katerega brega gledamo na dogajanje okrog Sokalove afere, se ne moremo izogniti znamenjem, da smo danes dejansko soočeni z dvema filozofskima kulturama oz. dvema bistveno različnima načinoma miš- ljenja. In ob vsakem načinu mišljenja tudi s pripadajočo kulturno sfero, k i je pod odločilnim vplivom tega načina mišljenja. Razprava o t. i. dveh kulturah in spopadu med njima se j e razmahnila prav v času, ki je sledil Sokalovim intervencijam, čeprav so njeni začetki precej starejši. Že leta 1959 je C. P. Snow opozoril na problem »dveh kultur«, kiju sestavljata na eni strani znans- tveniki in na drugi družboslovci oz. humanistični izobraženci. Kljub temu, da se med seboj ne razlikujejo po inteligenci, rasi, družbenem ozadju ali dohod- kih, so skorajda nehali komunicirati." Očitnoje, da seje ta razlika od tedaj le še povečevala in dosegla kritično točko prav s Sokalom. Vprašanje, ki si g a j e mogoče zastaviti,je v tem, kako misliti to razliko - kje je podlaga, iz katere izvira takšno razlikovanje? Če se strinjamo, da zgodo- vina mišljenja ni nič drugega kot zgodovina njegovih modelov, potem mora- mo najprej poiskati modela, ki ustrezata obema sprtima kulturama. Njune razlike pa morajo potemtakem izhajati iz razlik med modeloma. V delu The Prison House of Language12 iz leta 1972, j e Fredric Jameson 11 Paul Grobstein, »Two Cultures or One?«, http:/ /www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/ Sokal/misc/TwoCultures.html. 12 Fredric Jameson, The Prison House of Language, Princeton University Press, Princeton 1972. 9 5 E R N E S T Ž E N K O izpostavil razliko med analitičnim in dialektičnim modelom mišljenja. Na pr- vem modelu temelji anglo-ameriška filozofska tradicija in - izven okvirov filo- zofije ter na nek način pred njo - tudi vsa naravoslovna znanost, katere temelj j e matematika. Drugi model izhaja iz lingvistike, ki j o j e razvil Ferdinand de Saussure ter se nadaljuje v strukturalizem in naprej v t. i. postmodernistično filozofijo, ki jo Sokal in Bricmont kritizirata. Če predpostavimo grobo shemo, kjer so na eni strani stvari oz. dogodki dejanskega sveta, na drugi pa razum oz. intelekt, ali — v okviru jezika — na eni strani stvari in na drugi besede, naletimo na prvo pomembno razliko. Anali- tični model na strani jezika uporablja simbole, ki usmerjajo pozornost nepo- sredno na njihove reference oz. predmete v dejanskem svetu. »Pravzaprav sam izraz 'simbol' pomeni, da odnos med besedo in stvarjo niti najmanj ni arbitraren, da j e v prvotni zvezi neko osnovno ujemanje.«13 Posledice so raz- vidne v metodologiji: pomen se tvori na osnovi odnosa ena proti ena (one-to- one); vsako stvar ali vsak dogodek v svetuje treba izolirati ter mu neodvisno od celote prirediti določen »simbol« na ravni jezika ali intelekta. Proces tvor- jenja pomenov se ves čas giblje med sistemom simbolov in svetom, na katere- ga se simboli nanašajo. Dialektični model (utemeljen, kot rečeno na Saussurjevi lingvistiki) se od predhodnega med drugim razlikuje po arbitrarnosti znaka (ne več simbo- la) in avtonomiji samega sistema znakov. Sistem vsebuje napetost med delom in celoto, tako da si enega ni mogoče misliti brez drugega - odtod upraviče- nost oznake dialektični model oz. sistem. Stvari ali dogodka ni mogoče izoli- rati in analizirati neodvisno od celote, pomen pa se tvori v okviru te celote sistema znakov, z gibanjem od označevalca do označevalca. Ni toliko vprašanje, kako je mogoče približati (kaj šele povezati) obe kul- turi oz. oba načina mišljenja. Bolj j e vprašanje, kako misliti obe hkrati. Nema- ra gre za neko elementarno dvojnost, odgovarja Jameson. In sicer v tistem smislu, kot ga j e Ferdinand de Saussure našel pri jeziku, ki ga primerja z li- stom papiija, kjer j e misel sprednja, in zvok hrbtna stran, tako da ni mogoče zarezati ene strani, ne da bi pri tem zarezali še v drugo.14 Pri tem pa se mi zdi smiselno dodati še nasednje: namreč, da ni mogoče hkrati videti obeh strani lista. Mislim, d a j e to ključni problem Sokalovega pristopa. Namreč, da v svoji obravnavi postmodernističnih avtorjev uporablja metodo z druge strani. So- kal res pokaže na nedoslednosti in nerazumevanje matematike in naravoslov- ja v njihovih tekstih. Vendar pa to doseže po analitični metodi - torej tako, da j ih kot posamezne primere iztrga iz konteksta, iz sistema in analizira neodvisno 13 Ibid., str. 32. 14 Ibid., str. 3. 9 6 Z L O R A B A MATEMATIKE V FILOZOFIJI od celote, iz katere j ih je pobral. Ker analitični način, ki ga uporablja, temelji na tem, da stvar ali izjavo o svetu izolira in določi njeno resničnost in, recimo temu, tudi pomen v izolaciji, dobi rezultat, kije z njegovega stališča za avtorja katastrofalen. In vsak pripadnik »analitične kulture« se bo s tem seveda stri- njal. Konkretno pa to pomeni, da (navajam primer, ki se v debati velikokrat pojavlja): »Lacan nima nikakršnih argumentov za to, da bi moški spolni or- gan izenačil s korenom iz minus ena.«15 Vendar pa s stališča njegovih nasprotnikov, Sokal s tem še ničesar ni zares dokazal. Lacanov sistem zaradi tega ni padel v protislovje, niti se s tem ni spremenila npr. vloga zrcalnega stadija. To kar Sokal vidi kot velik problem - ker ima pred očmi zgolj ta problem, ločen od celote - zna biti za njegove nasprotnike čisto nekaj drugega. Na to se navezuje tudi vprašanje objektivnosti znanstvene vednosti, k i je bilo Sokalu pravzaprav vodilo pri celotni aferi. Sokal (pa tudi drugi) večkrat navajajo naslednji primer iz antropologije. Obstajata dve teoriji o tem, od kod izvirajo prvotne populacije Američanov. Prva trdi, da so prišli iz Azije in na njeni strani je ves arheološki konsenz (arheološki viri to potrjujejo). Drugo pa tvorijo tradicionalni miti, ki govorijo o stvarjenju prvotnih Američanov in trdijo, da so njihovi predniki vedno živeli v Ameriki oz. Amerikah. Za Sokalaje problematično naslednje: antropologi trdijo, d a j e znanost le eden izmed mnogih načinov dojemanja sveta. Pogled na svet, ki ga imajo Zuniji (ena izmed skupin teh domorodnih Američanov) j e ravno tako velja- ven kot znanstveni - arheološki model prazgodovine. In Sokal pravi: nisem j ih mogel prepričati v nasprotno. Po mnenju antropologov kozmologija ne more biti objektivno resnična ali neresnična, lahko je določena le relativno, glede na kulturo. Tudi tu imamo problem dveh kultur, le d a j e težava verjet- no še večja, ker v primeru, da pritrdimo antropologom, zanikamo objektiv- nost znanosti, v nasprotnem primeru pa Zunijem vsilimo svoj lastni model sveta kot edini veljaven opis. * * * V razpravi, ki j e sledila Sokalovi potegavščini, naletimo na različna poj- movanja in vrednotenja tega, kaj afera dejansko pomeni za humanistiko oz. družboslovje, najdemo pa tudi odgovore na zastavljeno vprašanje: kako pre- mostiti prepad med kulturama? V svojem prispevku Andrej Ule in Slavko Hozjan opozarjata, da »Sokalo- 15 Barbara Ehrenreich, »Farewell to a Fad«, The Progressive, (marec 1999), str. 17. 9 7 E R N E S T Ž E N K O va kritika lahko zgreši cilj in izzove še večji prepad med naravoslovci in huma- nisti/družboslovci, kot je vladal dosedaj,« in nadaljujeta, »Meniva, da ima ana- litična filozofija veliko priložnost, da to nevarnost prepreči in ponudi most med sprtimi kulturami.«10 Vendar pa se zdi, da avtorja ne ponudita pravega odgovora na vprašanje, kako naj bi analitična filozofija to dosegla. Ali j e sploh mogoče, da bi bila analitična filozofija posrednik oz. most, kajti tako znanost kot analitična filo- zofija sledita isti analitični logiki mišljenja in na ta način tudi isti kulturi. Med- tem pa je kultura z druge strani prepada z obema nezdružljiva — lahko anali- tična filozofija misli dialektično? Ne bi bilo to spet postmodernistično preko- račevanje meja? Analitična filozofija seveda pazi na to, da ne uporablja na nekritičen na- čin pojmov iz matematike in naravoslovja. Vendar j e to pri vsej razpravi o dveh sprtih kulturah le manjši del problema. Pravi problem j e v tem, da se je prav s t. i. postmodernistično filozofijo in njeno kritiko pokazalo, da obe kul- turi ostcyata vsaka na svoji strani, nemara bolj oddaljeni kot kdajkoli prej. Filozofski inštitut ZRC SAZU Ljubljana 10 Andrej Ule in Slavko Hozjan, »Sokalova potegavščina«, str. 108. 9 8 Filozofski vestnik Letnik/Volume XXI • Številka/Number 1 • 2000 • 99-112 BADIOUJEVA TEMATIZACIJA MATEMATIKE PETER KLEPEC Premislek dandanašnjega razmerja med filozofijo in matematiko po našem mnenju ne more mimo sodobnega francoskega filozofa Alaina Badiouja. Ba- diou j e namreč eden redkih - če že ne kar edini — med sodobnimi filozofi, ki matematiko jemlje skrajno resno — zanj je prav matematika znanost o biti kot biti. V našem prispevku nas bo v prvi vrsti zanimalo vprašanje mesta, dometa in nasledkov omenjene teze v okviru, ki ga j e zastavila njegova knjiga L'être et l'événement (odslej EE), pri čemer nadaljnje Badioujeve samopopravke (prim. tudi prevod v pričujoči številki Filozofskega vestnika) na tem mestu puščamo ob strani. Drugo vprašanje, ki nas zanima, j e Badioujeva tematizacija razmerja med filozofijo in matematiko. Pri tem seveda ne bomo mogli mimo vprašanja, za kakšno razmerje sploh gre - za Badioujaje namreč matematika eden izmed štirih pogojev filozofije, pri čemer se že takoj na začetku zastavlja vprašanje, ali matematika v Badioujevi filozofiji vendarle ne zasede oziroma zaseda nekega posebnega in privilegiranega mesta? Drugače rečeno, ali vendarle ne gre, v Badioujevih lastnih terminih rečeno, za »prešitje« filozofije z matematiko? Se več. Mar ne gre pri Badiouju le še za eno različico podreditve filozofije eni izmed eksaktnih znanosti, podreditve, k i je tako pogosta med sodobnimi francoskimi filozofi in ki obenem, kot je domnevno pokazala tako imenovana »afera Sokal«, pomeni tako nekritično »ignorantsko« rokovanje s koncepti in koncepcijami, da postavlja pod vprašaj samo teorijo večine znanih sodobnih francoskih filozofov? Ce gre tudi v njegovem primeru za zgolj še eno »intelek- tualno prevarantstvo« in »šarlatanstvo«, kakršnega sta Lacanu, Derridaju, Kri- stevi, Latourju, Deleuzu, Irigarayevi, Baudrillardu itn. očitala Alan Sokal in Jean Bricmont1, j e - še preden se ga sploh lotimo - postavljen pod vprašaj kakršenkoli premislek razmerja med filozofijo in matematiko? A kaj j e konec koncev sploh pokazala »afera Sokal«? Je res vsem zgoraj omenjenim (če sploh ' Prim. Alan Sokal, Jean Bricmont, Impostures intellectuelles, Éditions Odile Jacob, Pariz 1997. PF.TER K L E P E C komu) dokazala intelektualno prevarantstvo, šarlatanstvo in nastopaštvo, ka- terega namen naj bi bil »impresionirati in predvsem zastrašiti ne-znanstvene- ga bralca«2? Na tem mestu nas ne zanimajo toliko podrobnosti Sokalove in Bricmontove kritike omenjenih avtorjev, njuni izrecni in skriti motivi pri tej kritiki, širši kontekst in zastavki »afere«3, vroče reakcije kritiziranih na samo kritiko, ki so temperaturo dvignile vse do vrelišča, pač pa vprašanje, koliko ome- njena kritika zadeva Badiouja, oziroma, koliko zadeva premislek razmerja med filozofijo in matematiko, kakor g a j e v svojem delu zastavil Alain Badiou. Da gre Badiouju za kakršnokoli tematizacijo razmeija med filozofijo in matematiko Sokal in Bricmont niti ne omenjata. Badiou se j ima očitno ne zdi ne dovolj »problematičen« (ali pa ne dovolj »pomemben«), saj igra. v Impostu- res intellectuelles bolj obrobno vlogo. Nastopa namreč na natanko dveh stra- neh, kjer lahko med drugim preberemo: »Badiou v Théorie du sujet (1982) veselo meša politiko, lacanovstvo in teorijo množic«4. Sledi navedek iz Théorie du sujet, ki mu je dodana pripomba, d a j e Badiou po prvi izdaji Impostures intellectuelles izdal še Abrégé de métapolitique (1998), kjer so njegove »psevdo- matematične meditacije vsaj tako bizarne kot že navedene«. V čem je bizar- nost oziroma čudnost in nenavadnost teh meditacij, predvsem pa, na katere Badioujeve meditacije v omenjeni knjigi se kritika nanaša, ne izvemo. V tej točki, toliko v »zagovor« našima kritikoma, Badiouju ni storjena kaka poseb- na krivica. Enake ali podobne, le da ponavadi obsežnejše, obravnave so delež- ni tudi vsi ostali kritizirani avtoiji — po kratkem uvodu, ki pa ne predstavi teorije ali teoretskih zastavkov, temveč kariero in uspeh nekega avtorja, sledi- jo navedki iz del, običajno dovolj obsežni in za nepoučenega tudi dovolj enig- matični, da se mu kar sam od sebe ponuja sklep: česa tako nerazumljivega in bizarnega paše ne. Edino merilo j e zdravi razum oziroma popolnoma neved- ni bralec. Edini komentar so vsi možni sinonimi besede bizarno in opombe, ki v enciklopedičnem stilu na kratko razlagajo kak koncept. Edini cilj j e doka- zati nekompetentnost: »najin cilj j e ravno povedati, d a j e kralj nag«r' Kako p a j e z deklariranim ciljem v Badioujevem primeru? Bralec, ki mu Badioujeva teorija ni znana, bi iz tistega, kar dobi v Impostures intellectuelles lahko sklepal, d a j e Badiou v šestnajstih letih objavil dve deli, oziroma, da omenjeni deli v Badioujevem opusu zavzemata osrednje mesto. Temu seveda še zdaleč ni tako. V vmesnih šestnajstih letih je Badiou objavil kak ducat knjig, predstavil svoj detaljnejši pogled na matematiko v Le Nombre et les nombres, 2 Ibid., str. 38. 3 Prim.: Impostures scientifiques. Les malentendus de l'affaire Sokal, ur. Baudouin Jurdant , Éditions La Découverte & Syros et revue Alliage, Pariz/Nica 1998; Yves Jennere t , L'affaire Sokal ou la querelle des impostures, PUF, Pariz 1998. 4 Ibid., str. 242. 5 Ibid., str. 39. 1 0 0 B A D I O U J E V A TF.MATIZACIJA MATEMATIKE svoje razumevanje razmerij med štirimi pogoji filozofije v Conditions, revizijo svojih temeljnih stališč o ontologiji in matematiki v Court traité d'ontologie tran- sitoire itn. itd. Vsega tega »naša avtorja« niti z besedico ne omenjata. Njuna kritika, če v n junem primeru tako lahko sploh še govorimo o kritiki vredni tega imena, (tudi) v Badioujevem primeru povsem zgreši naslovnika, saj ga dobesedno »izpusti«: »pravi« Badiou je prav tisti Badiou, ki ga »kritika« niti ne omenjata. Nemara j e (tudi) to še en razlog več, da si Badioujeva gledišča o matematiki pobližje ogledamo. Temelje »ontologie soustractive«, kot rečeno, je Badiou položil v L'être et l'événement, k i je izšlo januarja 1988, vendar ta še zdaleč ni prva in edina knji- ga, v kateri se je Badiou lotil problema ontologije. Toda za razliko od svojih predhodnic, tu Badiou na sistematičen in nov način poveže koncepte - dogo- dek, strukturo, intervencijo, zvestobo, subjekt in resnico - , ki sicer nastopajo že poprej, v Théorie du sujet in Peut-on penser la politique?, le da drugače pojmo- vani. L'être et l'événement je tudi že napisana v drugačnem stilu kot Théorie du sujet. Ce j e slednja napisana v stilu dnevnih zapiskov in prebliskov, je L'être et l'événement zgrajena iz sedemintridesetih meditacij (število samo po sebi ni pomembno, najbrž pa se Badiou poigrava z letnico svojega rojstva - 1937), ki so trojne: konceptualne, tekstovne in metaontološke. Vsako od teh treh zvrsti meditacij j e sicer mogoče brati posebej, vendar pa vse skupaj tvorijo neko zaključeno celoto, še več, sklicujoč se na Descartesa govori Badiou o tem, da tvorijo »l'ordre des raisons«. Da L'être et l'événement ni »še ena izmed« knjig, da tako rekoč »noče biti še ena v nizu«, priča ne le spisek avtorjev, kijih Badiou obravnava v tekstovnih meditacijah - Platon, Aristotel, Spinoza, Hegel, Mal- larmé, Pascal, Hölderlin, Leibniz, Rousseau, Descartes in Lacan - , pač pa tudi dejstvo, da gre za »masivno«, obsežno knjigo, ki obsega, vključno z dodatki, opombami in slovarjem terminov oziroma konceptov, »borih« petstoenain- šestdeset strani. In nenazadnje, že način, na katerega Badiou začenja L'être et l'événement ne dopušča nobenega dvoma - gre za ambiciozno podvzeye, ta »neskromnost« pa je rezultat temeljnega Badioujevega vodila, da le »skrajnost«, brezkompromisnost, »pretiravanje« lahko proizvedejo kaj novega. Izhodišče L'être et l'événement tvori postavka, d a j e matematika znanost o biti kot biti. Čeprav znanost o biti kot biti obstaja vse od Grkov dalje, čeravno je vprašanje o biti formulirala filozofija, nanj po Badioujevem mnenju pravza- prav odgovarja matematika. Drugače rečeno, nedvomno drži, da gre pri Gr- kih za začetek filozofije in nedvomno je ta historični začetek filozofije pove- zan z vprašanjem biti. Toda Grki niso edini, ki razmišljajo o biti in ne-biti - podoben diskurz, podoben način razmišljanja, kot ga je najti v Parmenidovi pesnitvi o biti, j e mogoče najti tudi v Indiji, Perziji, Kitajski in v starem Egiptu. Tisto, kar pa Grčijo naredi za rojstni kraj filozofije, je za Badiouja dejstvo, da 1 0 1 PF.TER K L E P E C v Grčiji ontologija, skupaj s prvimi deduktivnimi matematikami, vzpostavi ob- liko, v kateri se odigrava diskurz filozofije. Šele specifični preplet, šele speci- fična povezava filozofije in njenih pogojev, med katerimi j e tudi matematika, naredi Grčijo za rojstni kraj filozofije. Temeljna Badioujeva teza se tako glasi: matematika je ontologija, oziro- ma »matematika = ontologija« (EE, 12). Ta teza ima vsaj tri pomembne kon- sekvence. Prva zadeva razmerje med filozofijo in ontologijo — »filozofija je izvorno ločena od ontologije«. (EE, 20) Filozofija torej ni ontologija, natančneje rečeno, v svojem središču nima ontologije, pač pa kroži med to ontologijo, modernimi teorijami subjekta in svojo lastno zgodovino. Druga zadeva samo ontologijo — ne gre za ontologijo v heideggerjanskem pomenu besede, za poetično onto- logijo, pač pa za matematično ontologijo. Matematična ontologija o biti kot biti govori drugače, na drugačen način - biti se ni mogoče približati, pač p a j o je mogoče prešiti v njeni praznini. Bit se ne razkriva, bit se ne prezentira, prav tako pa ničesar ne reprezentira biti. Ontologija ni ne tavtologija ne misterij. Ni reprezentanta biti. Badiou govori o dimenziji biti, ki j e odšteta ne le iz vsake reprezentacije, pač pa tudi iz vsake prezentacije. Tisto, kar je odšteto iz vsake prezentacije, j e mnoštvo brez Enega, neskončno mnoštvo, ki ga Badiou imenuje tudi generično mnoštvo. To čisto mnoštvo, če ga lahko tako imenu- jemo, nekonsistentno mnoštvo, lahko misli le matematika. Teza, ki j o zago- varjam, pravi Badiou, je , da je sama bit matematična, d a j e sestavljena iz mate- matičnih sestavin. »To ni teza o svetu, pač pa teza o diskurzu. Teza trdi, da matematika izreka, kar je mogoče izreči o biti kot biti«. (EE, 14) Se več. Edino matematika ve, o čem govori, matematikaje edini diskurz, ki ve o čem govori, saj bit ni objekt. Matematika, tako kot za Althusserja filozofija/' nima svojega predmeta: »Matematični objekti ne obstajajo. Matematika ne prezentira, v stro- gem pomenu besede, ničesar.« (EE, 13) Matematikaje znanost, ki nima ne temelja, ne objekta, pač pa je znanost o vsem, kar je, ko t je in kolikor je. Bistvo ontologije je za Badiouja onstran razlikovanja med realnim, dejanskim, ak- tualnim in možnim. Matematični diskurz ima opravka s čistim mnoštvom, zgolj v njegovi mnoštvenosti ali, drugače rečeno, matematičnih izjav ne zanima »kajje prezentirano« - matematika predstavi zgolj absolutno razlikovanje kot 1, 2, 3... ne da bi kadarkoli postavila vprašanje: eno česa, dvoje česa itn. D a j e matematika znanost o biti kot biti preprosto pomeni, da »bit kot bit« zadeva področje, kjer sta »eksistenca neke ideje in njena artikulacija oziroma pre- zentacija nerazločljivi; vse kar si lahko zamislimo, je«.7 Matematika ni v nobe- 6 Prim. Louis Althusser, Filozofija in spontana filozofija znanstvenikov (1967), prevedel Vojislav Likar, Studia Humanitatis, Ljubljana 1985, str. 17 si. 7 Peter Hallward, Generic Sovereignity. The Philosophy of Alain Badiou, Doktorska disertaci- ja, King's College, London, januarja 1999, str. 104. 1 0 2 B A D I O U J E V A TEMATIZACIJA MATEMATIKA nem odnosu do zunanje realnosti ali eksistence. Ker torej matematika ni za- vezana nobenemu ustrezanju zunanjim stvarem, zunanjim kriterijem, je edi- no, kar šteje, njena notranja konsistenca. Ravno zaradi tega matematika ni zavezana opisu, zunanjosti ali mnenju - ker šteje edino njena notranja kon- sistenca j e matematika misel, mišljenje. V tem pomenu je torej matematika »edini diskurz, ki vé o čem govori«. Teza o identiteti matematike in ontologije, tretjič, ni ne teza o matemati- ki ne teza o ontologiji, pač pa je metaontološka. V kakšnem pomenu? Najprej v tem, da ne gre za utemeljitev filozofije oziroma ontologije. Ne gre za »proble- matiko temelja« (EE, 21). Nato v tem, da ni matematika tista, ki bi ji sledili, uporaba matematike j e strogo podvržena fdozofskim pravilom, filozofskemu razvitju. A kakor ne gre za to, da bi matematika izrekala resnico o filozofiji, tudi ne gre za to, o čemer nekoliko obširneje kasneje, da bi filozofija izrekala resnico o matematiki. Poleg tega Badiou v L'être et l'événement ne uporablja vse matematike, pač pa le nek določen del, del, ki vsak »objekt«, če lahko temu tako rečemo, zvede na čisto mnoštvo, teorijo množic. In nenazadnje, teza, d a j e matematika ontologija, teza, d a j e matematika znanost o biti kot biti, sicer j e izhodišče in osnova L'être et l'événement, nikakor pa ni njen cilj. Ta teza zgolj določi in razmeji prostor, k i j e lasten filozofiji, zgolj omogoča misliti tiste teme, tisto problematiko, kije specifična za sodob- no filozofijo - najpoprej seveda bit, a tudi tisto, kar ni bit, tisto-kar-ni-bit-kot- bit. Cilj L'être et l'événement je artikulacija dveh diskurzov in praks, matematike kot znanosti o biti kot biti in mišljenja tistega-kar-ni-bit-kot-bit, dogodka, ki je na specifičen način povezan s subjektom in resnico - subjekt, pravi Badiou, je »fragment procesa neke resnice«. (EE, 22) Če bi izbiral kategorijo, v znamenju katere se dogaja moje podvzetje, pravi Badiou, potem ta kategorija ni ne čisto mnoštvo (Cantor), ne konstruktibilno (Gôdel), ne praznina, s katero je bit ime- novana, ne dogodek, pač pa generično. Badiou se v tej točki opre na matematika Paula Cohena, ki je leta 1963 na univerzi v Stanfordu med drugim dokazal, da so nadštevilne oziroma generične množice nujno neskončne. »Generično mnoštvo (in takšnaje vselej bit neke resnice) je odšteto iz vednosti, je degradi- rano [déqualifié], neprezentabilno.« (EE, 23) Neskončno tako ni nekaj, kar bi bilo mogoče deducirati8, pač p a j e potrebno, tako kotje to storil matematik Dedekind, z njim pričeti - Badioujevo izhodišče je tako generično mnoštvo. Drugo ime za to neskončno, generično mnoštvoje nekonsistentno mnoš- tvo. Čeravno je to mnoštvo »prvo«, pa o njem lahko govorimo šele za nazey, drugače rečeno, nekonsistentno mnoštvoje retroaktivni konstrukt. Mnoštvo j e namreč vselej razklano na konsistentno in nekonsistentno mnoštvo, pri 8 Prim. Le Nombre et les nombres, str. 60. 1 0 3 PF.TER K L E P E C čemer obstaja, v strogem pomenu besede, zgolj konsistentno mnoštvo. »Obsta- jajo zgolj situacije. Ontologija je, če obstaja, neka situacija«. (EE, 33) Badiou trdno vztraja pri trditvi, da je ontologija situacija, še več, trdi celo, d a j e to stava L'être et l'événement kot take. Situacija pa ne pomeni strukture biti, takšne struk- ture za Badiouja ni. »Situacijo imenujem«, pravi Badiou, »vsako prezentirano mnoštvo«. (EE, 32) To, d a j e mnoštvo prezentirano, pomeni, da vsaki situaciji vlada neko pravilo, norma, ki določa, kaj je pravzaprav mnoštvo, kaj spada v prezentacijo mnoštva, kateri elementi spadajo v mnoštvo. To pravilo oziroma normo imenuje Badiou štetj e-za-enega. Z gledišča situacije, za .š te tj e-za-en ega j e »vse tu« - vse, kar je, j e v situaciji. Vsaka situacija je tako strukturirana dvakrat, vselej hkrati obstajata prezentacija in reprezentacija. Vsaka običajna situacija vsebuje neko strukturo, kije hkrati drugotna in nadrejena, s katero j e štetje-za- eno, ki strukturira situacijo, samo šteto za eno. »Tako imamo zagotovilo, d a j e eno dovršeno s tistim, kar ta postopek - štetje - je. »Je«, se pravi, je-eno, kajti zakon prezentirane situacije je, da »sta »eden« in »je« recipročna«. (EE, 111) Toda štetje-za-enega, ki situacijo strukturira, normira, prezentira, ni pra- vo izhodišče v strogem pomenu besede, pač pa vselej rezultat. Predpostavka konsistentnega, prezentiranega mnoštvaje nekonsistentno mnoštvo, kajti »bit mora že biti tu, da bi bilo lahko čisto mnoštvo kot mnoštvo mnoštev prezenti- rano«. (EE, 59) Vsaka situacija je tako »v resnici« neskončna. Zakaj pravimo »v resnici neskončna«? Zato, ker nikoli nimamo opravka s situacijo v njeni »pravi«, neskončni razsežnosti - »nekonsistenca kot taka ni zares prezentira- na, saj vsaki situaciji vlada zakon štetja. Nekonsistenca, kot čisto mnoštvo, j e samo predpostavka«. (EE, 65) Drugače rečeno, nikoli nimamo opravka z ne- konsistentno situacijo, pač pa vselej s končno, normirano, klasificirano situa- cijo, s strukturirano situacijo, s situacijo, k i je prezentirana na določen način. Navkljub temu, da je vsako mnoštvo »mnoštvo mnoštev« (EE, 37), d a j e mnoš- tvo kot tako vselej neskončno, d a j e bistvo mnoštva v tem, da se »množi na imanenten način« (EE, 43), z gledišča imanence situacije čistega mnoštva ni. Se več. Ker je nekonsistentno mnoštvo z gledišča situacije absolutno nepre- zentabilno, je dobesedno nek »nič« (EE, 66). Vse, kar je, j e tako v konsistenci situacije, toda vsaka situacija implicira nek nič svojega vsega - ta nič pa ni ne mesto ne termin situacije. Ker z glediš- ča situacije ničesar ne manjka, ker j e v situaciji vsebovano vse, v njej kajpak ni mogoče srečati praznine, prav tako pa ta praznina nima svojega reprezentan- ta, zastopnika - noben termin v situaciji ne označuje praznine. Praznina, ki nujno »obstaja« - štetju-za-enega, ko t je pokazal Cantor, v zadnji instanci vse- lej spodleti - , ni nič drugega kot drugo ime za bit. Prazninaje neprezentabil- na, a nujna figura, ki označuje razmik med rezultatom-enim prezentacije in tistim, »izhajajoč iz česar« obstaja prezentacija. Je ne-termin vsake totalitete, 1 0 4 B A D I O U J E V A TF.MATIZACIJA MATEMATIKE ne-eden vsakega štetja-za-eno, nek nič, ki je lasten situaciji, in ki kot neumest- ljiv potrjuje, d a j e situacija prešita nabit . Ta ne-termin, kije odštet iz štetja-za- enega ni točka, saj ni ne lokalen ne globalen, pač p a j e razprostrt povsod, na vsakem mestu, kot tisto, kar ni mogoče prezentirati, ker j e neprezentabilno. »To prešitje situacije na njeno bit imenujem praznina«. (EE, 68) Praznina je torej drugo ime za bit, drugo ime za mnoštvo, za nekonsistenco, ki grozi vsa- kemu prezentiranemu mnoštvu, saj je njegova bit kot taka. Konsistenci mnoš- tva ne uspe prezentirati praznine, k i je v situaciji ime za nekonsistenco, zato, ker j e tisto, kar uhaja nenazadnje - samo štetje. Strogo rečeno seveda štetju v resnici ne uhaja nič, oziroma natančneje rečeno, tisto, kar mu uhaja, je na- tanko »neki« nič, nič, k i j e ime za neprezentacijo v prezentaciji, nič kot »te- nant-lieu« nekonsistence, čistega mnoštva, nič kot ime za tisto, kar ne šteje, kar ni všteto, saj ga ni mogoče všteti - ravno zato je sama struktura točka, kjer j e dana praznina, k i je tako razprostrta povsod. Prazninaje namreč »v položaju univerzalne vključenosti.« (EE, 102) V tej točki Badiou, v skladu s temeljnim razlikovanjem teorije množic, razlikuje med pripadnostjo in vključenostjo neki množici, razlikovanjem, ki ga sam razglasi za nekaj, kar določa celotno mišljenje kvantitete. V čem je pravzaprav bistvo tega razlikovanja? Relacija pripadnosti pomeni, d a j e neko mnoštvo šteto kot ele- ment v prezentaciji nekega drugega mnoštva, medtem ko relacija vključenosti pomeni, d a j e neko mnoštvo podmnožica drugega mnoštva. »Pripadati neki situaciji« pomeni, d a j e neko mnoštvo prezentirano s strani te situacije, pome- ni, d a j e termin, za katerega velja relacija pripadnosti, eden izmed elementov, ki strukturirajo situacijo. Pripadnostje tako izenačena s prezentacijo, termin, ki pripada situaciji, j e element. »Biti vključen v neko situacijo« pa pomeni, da stanje situacije prešteje podmnožice, ki tvorijo množico. Vključitevje torej na strani stanja situacije, vključene so vselej podmnožice oziroma deli. Čeprav j e vključenost kot relacija drugotna glede na pripadnost, čeprav jo je mogoče pojasniti in izpeljati zgolj izhajajoč iz relacije pripadnosti, j e delov vselej več kot elementov, vselej gre za presežek vključenosti nad pripad- nostjo11. Badiou imenuje teorem ontologije izrek, ki pravi, d a j e formalno ne- mogoče, da bi bilo v vsaki situaciji vključeno vse, vsaka podmnožica, kiji pri- pada. Vselej obstajajo podmnožice, ki, čeprav so v situacijo vključene kot se- stavine mnoštev, niso števne kot termini in torej ne eksistirajo - »dobesedno nemogočeje misliti kvantitativno razmerje med »številom« elementov neke ne- skončne mnogoterosti in številom njegovih delov. To razmerje ima zgolj obli- ko blodečega presežka [exces errant].«10Tu smo pravzaprav v osrčju Badiou- 9 Prim. ibid., str. 83. 10 Manifest za čisto filozofijo, str. 173. 1 0 5 PF.TER K L E P E C jevega postopka. Število delov, ki vselej presega število elementov, j e namreč zgolj drugo ime za generično podmnožico. Generično ali nekonsistentno mnoštvoje os nauka o biti, j e tisto neskončno, ki tvori osnovo Badioujevega postopka, »priznanje, d a j e bit neskončna pa, j e »najprej priznanje neskonč- nosti situacij, domneva, da štetje-za-eno zadeva neskončna mnoštva.« (EE, 164) Generične podmnožice so preveč nedoločene, da bi ustrezale ali bile zvedlji- ve pod kakršenkoli predikatni izraz. Nobene formule F(x) ni, s katero bi lah- ko konstruirali generično podmnožico. Generične podmnožice ni mogoče poenotiti, totalizirati, strukturirati, konstrukirati. Kakršnokoli formulo, pravi- lo, normo, zakon postavimo, vselej bo ostal nek presežek - in ta presežek se imenuje generična podmnožica. Z drugimi besedami - ne glede na to, »kako gosto štejemo«, ostaja tudi po preštetju presežka nek presežek, presežek pre- sežka, in tako naprej. Zato generična množica ni nikoli končna - v vsakem jeziku je generična množica nujno neskončna. Badiou uporablja izraz »generično« tudi kot sinonim za izraz »nerazloč- ljivo«. Zakaj ta sinonimija? Zaradi tega, ker »nerazločljivo« ohranja neko ne- gativno konotacijo, ki prek nerazločljivosti pomeni zgolj, d a j e tisto, za kar gre, odšteto iz vednosti oziroma iz eksaktnega poimenovanja. »Generično« pozitivno označuje, d a j e tisto, kar ni mogoče razločiti, dejansko splošna re- snica situacije, resnica o svoji lastni biti, razumljena kot temelj vsake prihod- nje vednosti. »Generično« pojasnjuje funkcijo resnice nerazločljivega. Nega- cija, kije vsebovana v »nerazločljivem« pa vendarle ohrani tisto bistveno, d a j e resnica vselej tisto, »kar v vednost naredi vrzel.« (EE, 361) Šele na takšni osnovi, šele izhajajoč iz generičnega mnoštvaje mogoče za Badiouja tisto, kar ni bit kot bit. Tisto-kar-ni-bit-kot-bit j e dogodek. Dogodek ni transcendenca, ni nekaj, kar bi bilo situaciji ali imanenci transcendentno, hkrati pa tudi ni iz reda realnosti ", pač pa je iz reda realnega v lacanovskem pomenu besede. Drugače rečeno, tisto-kar-ni-bit-kot-bit predstavlja nemožno šte^a-za-enega, nekaj, kar ni mogoče prešteti za eno, kar šte^e-za-enega »spre- gleda«, dogodek, skratka, ni element situacije, saj j e nek »impossible-a-comp- ter-pour-un«12. Dogodekje nemožen in prepovedan hkrati, ontologija namreč prepoveduje tisto, kar ni bit kot bit. Je »zunaj zakona« dane situacije, a ni nekaj transcendentnega, je nekaj, kar je popolnoma ločeno in neodvisno od vseh pravil situacije, kljub temu pa ne nastopa zunaj same situacije, pač p a j e prisoten v sami situaciji na način generičnega mnoštva. Drugače rečeno, do- godekje kotnerazločljiv »notranji neki situaciji« (EE, 412), pa vendar situaci- ja, ontologija o njem nima kaj povedati, natančneje rečeno, ontologija ravno dokazuje, da dogodka ni, da ne obstaja, saj z gledišča situacije ne šteje niče- 11 Prim. Peut-on penser la politique?, str. 67. 12 Le Nombre et les nombres, str. 58. 1 0 6 B A D I O U J E V A TF.MATIZACIJA MATEMATIKE sar. Zato tudi Badiou govori o tem, da ontologija ne spozna nobenega dogod- ka, in da ne obstaja nobena ontološka matrica dogodka. Se več. V ontologiji tudi ni nobene procedure, pač pa zgolj struktura, ni ne dogodka ne resnice, pač pa zgolj konstrukcija biti-mnoštva vsake resnice (EE, 393). Zgled takšnega tipa ontologije, tega, da jezik ne dopušča »vrzeli« v svo- j em referencialnem prostoru, sta Spinoza in Leibniz. Prvi šteye-za-eno izena- či s strukturo, s kavzalnostjo, pri tem pa »izvrže praznino«. (EE, 130) Celotno Spinozino filozofsko podvzetje ni namreč nič drugega kot ontološko izniče- nje praznine - zanj tako ni ne naključja ne dogodka. Podobno je z Leibni- zem, katerega filozofijaje konstruktivizem. Leibniz namreč predpostavi kom- pletni in popolni jezik prezentacije in reprezentacije. Konstruktivistični uni- verzum predpostavlja, d a j e mnoštvo mogoče zapisati in verificirati - vse kar obstaja, so zakoni prezentiranega mnoštva, kontinuuma, tako da preloma, še- enega, ki prelomi s situacijo, preprosto ni, skratka, za Leibniza ni naključja. Konstruktivizem postulira radikalno imanenco mnoštva, zanj je vsako mnoš- tvo kontruktibilno - a kako bi tudi ne bilo, hudomušno pripominja Badiou, ko pa j e v konstrukcionističnem univerzumu seveda vsako mnoštvo konstruk- tibilno. Z vidika konstruktibilnega mnoštva ni mogoč ne dogodek v Badiouje- vem pomenu besede, ne sprememba situacije kot take — v konstruktivizmu oziroma nominalizmu pa ni mesta za neodločljivo, ni mesta za dogodek. Rav- no zato j e tudi Foucaultov teoretski poizkus, k i j e v osnovi za Badiouja kon- strukcionističen in nominalističen, neuspešen, saj mu ne uspe pojasniti, kako iz ene epistemske ureditve preidemo v drugo. In ker, izhajajoč iz nominaliz- ma in konstrukcionizma, ni mogoče misliti spremembe, dogodka, je njuna etična maksima v tem, d a j e vse odločljivo (EE, 348), kar j e zgolj druga različi- ca trditve, da situaciji ne uhaja nič. Konstruktibilna in generična množica sta si tako, kolikor j e le mogoče, vsaksebi - z gledišča konstruktibilne množice je vse vselej ujeto vanjo, ujeto v klasifikacijo oziroma v klasifikacije, enciklopedi- jo, mnenje, situacijo, medtem ko je generična množica na strani tistega ne- možnega in hkrati prepovedanega »niča«, ki ga v situaciji za »štetje-za-eno«, za mnenje, za obstoječe klasifikacije preprosto ni. Dogodek j e vselej v situaciji na način generičnega mnoštva, se pravi, da »zadeva« mnoštvo, k i je prezentirano v situaciji, karkoli že to pomeni. Dogo- dek j e situaciji imanenten, pa vendar ji ne pripada. V situaciji ima svoj polo- žaj, tj. položaj, k i je na robu praznine. »Dogodkovni položaj [site] imenujem takšno mnoštvo, ki je povsem a-normalno, to se pravi, takšno, da nobeden od njegovih elementov ni prezentiran v situaciji.« (EE, 195) Položaj je vselej zgolj pogoj za bit dogodka. Dogodek je situiran - je dogodek te ali one situacije - , a hkrati tisto, kar nastopa kot presežek glede na to situacijo. Ta presežek pa je tvegan in nepredvidljiv, izgine, kakor hitro se pojavi. »Dogodek brž ko vznik- 1 0 7 P E T E R KLF.PEC ne, namreč tudi že izgine. Ni drugega kot preblisk dopolnjevanja. Empiričnost dogodkaje empiričnost izginotja. Je izvorno izginevanje, kije situacijo dopolni- lo za trenutek prebliska in je vanjo umeščeno le, kolikor ga nič ne preostane, v situaciji pa vztraja v resnici prav zaradi tega, ker se ne ponavlja kot prisotnost«13. Neodločljivost kot atribut dogodka je rešilno zagotovilo njegove ne-biti. Neodločljivost pomeni, d a j e dogodek tisto mnoštvo, ki ga ne moremo ne spoznati ne videti, pač pa ga za dogodek lahko le razglasimo. Neodločljivost namreč pomeni, d a j e pri neki normi, neki klasifikacijski izjavi, ki deli izjave na resnične in neresnične, dokazljive in nedokazljive, neodločljiva tista izjava, ki ni ne ena ne druga, k i j e neumestljiva in nemišljiva glede na klasifikacijo. Badiou govori tudi o tem, da se neodločljiva izjava odšteje iz domnevne izčrp- ne klasifikacije. Dogodekje neodločljiv zato, ker ne spada pod nobeno dolo- čilo enciklopedije, dogodek za situacijo ni resničen, oziroma veridičen, razen seveda za intervenirajočega, ki se odloči za svojo pripadnost dogodku. Neod- ločljiva izjavaje tako brez vrednosti - kot je pokazal Godel s teoremi nepopol- nosti, v vsakem sistemu vselej obstaja vs£y ena izjava, k i je ni mogoče ne doka- zati ne ovreči. Rekli smo, da dogodek predstavlja izjavo, ki j o z vidika situacije, z vidika polja, o katerem odločajezik situacije, ne moremo verificirati. S tega vidika dogodka za situacijo ni. Kaj je potem dogodek? Ali predstavlja neko »trdojedro«, ki sami situaciji uhaja in do katerega situacija zaradi svoje notra- nje nemožnosti ne more? Je dogodek že nova situacija? Kakšen j e njegov on- tološki status? Badiou striktno vselej govori najprej o vzniku ali preblisku do- godka in o njegovem takojšnjem izginotju. V empiričnem pog ledu je dogo- dek zgolj mrk, preblisk, izginotje. Dogodek za dogodek naredi odločitev, da se je dogodek zgodil, odločitev pa vselej nastopa v formi intervencije. »Inter- vencijo imenujem vsako proceduro, s katero je mnoštvo priznano kot dogo- dek«, pravi Badiou. »Intervencija se dotika praznine, in j e torej odšteta zako- nu štetja-za-eno, ki vlada situaciji, natanko zato, ker njen nastopni aksiom ni povezan z enim, pač pa z dvema«. (EE, 227) Po svojem bistvu j e tako dogodek, še- eden, Dvoje. Ce je, kot smo videli, za Badiouja v jedru vsake situacije kot te- melj njenega obstoja »umeščena« praznina, in sicer na način generičnega mnoštva, je temeljna ontološka narava dogodka v tem, da vpiše, da imenuje to praznino. Natančneje rečeno, dogodek imenuje praznino v tisti meri, v kateri imenuje nevedeno, insu, dane situacije - »iz tega izhaja, da praznina uteme- ljuje Dvojico«. (EE, 210) Po drugi strani j e dogodek vselej neka stava, pari, za katero nikoli ne moremo vedeti ali bo na koncu legitimna ne le zato, ker j e vselej dvomljivo, ali j e dogodek sploh bil, pač pa zato, ker ni nobene matrice dogodka. Intervencijaje vselej korak v prazno, Badiou govori celo o tem, da 13 Conditions, str. 189-190. 1 0 8 B A D I O U J E V A TF.MATIZACIJA MATEMATIKE ima zvestoba dogodku vselej nek avanturistični prizvok v pomenu njene svo- bode in negotovosti. Edino, kar tako preostane od dogodka, je njegovo ime. V situaciji j e dogo- dek navzoč le v obliki svoje lastne sledi, v obliki poimenovanja. Odločitev, ali s e j e dogodek dejansko zgodil ali pa je samo izmišljen, je ključna, saj j e v logičnem pomenu besede neodločljiva. Drugače rečeno, ime dogodkaje nad- številno, in zatorej »ne pripada jeziku situacije« (EE, 363), intervencija se na- mreč »izmakne štetju« (EE, 251). V tem pomenu je »izbira po svojem bistvu ilegalna« (EE, 253). Dve temeljni opredelitvi dogodka sta tako »ilegalnost in anonimnost« (EE, 254). Dogodek sicer vznikne v situaciji, j e situaciji »ima- nenten«, a vendar ga ni mogoče zvesti na pravila, zakone ali norme, ki vladajo situaciji, zato je »ilegalen«. In ker kot nepovezan dodatek z vidika situacije ne šteje nič, j e »anonimen«. Kljub temu po vzniku dogodka, po intervenciji, ki dogodek razglasi za dogodek in mu s potjo generične procedure sledi, »nič ni več tako, ko t je bilo poprej«. Dogodek situacijo prelomi, prekine tako, da tudi sama situacija ni več ista, ko t j e bila poprej, pred vznikom dogodka - sedaj se deli na situacijo pred vznikom in situacijo po vzniku dogodka. Pot generične procedure, k i j e bila na začetku anonimna in ilegalna, bo na koncu postala »zakon«, ki strukturira situacijo. Pot generične procedure pa ni nič drugega kot zvestoba dogodku, ki pre- lomi s štetjem-za-eno. »Zvestobo imenujem množico procedur, s katerimi v si- tuaciji razločimo mnoštva, katerih eksistenca je odvisna od kroženja - pod imenom nadštevilnega, kiji ga podeli intervencija-, od nekega dogodkovne- ga mnoštva. Zvestoba je skratka dispozitiv, ki v množici prezentiranih mno- štev loči tista, ki so odvisna od dogodka. Biti zvest pomeni zbirati in razločeva- ti legalno postajanje naključja.« (EE, 257) Zvestobaje, prvič, vselej partikular- na, saj zadeva dogodek, drugič, ni termin-mnoštvo, pač pa tako kot štetje-za- enega, operacija, struktura. Tretjič, ker zvestoba razločuje in premešča pre- zentirana mnoštva, šteje dele situacije. Zvestobaje tako zvestoba »odločitvi«, da se poslej sklicujemo na situacijo z vidika dogodkovnega dopolnila. Biti zvest nekemu dogodku pomeni gibati se v situaciji, v kateri namreč ta »dogo- dek nastopi kot dopolnilo biti« (EE, 394), tako da situacijo mislimo (a vsaka misel j e praksa, preizkus) »glede na« dogodek. To pa seveda zahteva - kajti dogodek je bil zunaj vseh normalnih zakonov situacije - invencijo novega načina bivanja in delovanja v situaciji. Toda ali s e j e to, kar Badiou opisuje kot dogodek, sploh kdaj zgodilo? Badiou navaja številne dokaze za dogodke. V Etiki tako navaja francosko revo- lucijo iz leta 1792, srečanje Heloise in Abelarda, galilejsko fiziko, Haydnovo iznajdbo klasičnega glasbenega sloga, kulturno revolucijo na Kitajskem, oseb- no l jubezensko strast, Grothendieckovo matematično teorijo toposov, 1 0 9 PF.TER K L E P E C Schônbergovo invencijo dodekafonizma itn.14. V Manifestu je v redu ljubezni dogodek delo Jacquesa Lacana, v matematiki so dogodki Cantor, Gôdel in Cohen, v pesnitvi Pessoa, Mandelstam, Celan, v politiki mračni dogodki v le- tih 1968-1980ir'. V L'être et l'événement takšnih zgledov Badiou sicer ne navaja, le ob obravnavi Pascala pripominja, da krščanstvo predpostavlja nek še-eden kot dogodek, kar bo kasneje, skupaj z idejo, d a j e krščanstvo oziroma cerkev prva institucija človeštva, k i je pretendirala na univerzalizem, nekoliko siste- matičneje razdelal v svoji knjigi o svetem Pavlu. Takšna je torej okvirno osnovna zastavitev L'être et l'événement — toda kak- šni nasledki izhajajo iz Badioujevega pojmovanja dogodka in generične pro- cedure zvestobe"' za filozofijo? V kakšni povezavi sta filozofija in dogodek? Ali sama filozofija proizvaja dogodke? Filozofija sama za Badiouja ne proizvaja dogodkov, zato tudi je pogojena s procedurami zvestob svojega časa, te proce- dure pa Badiou imenuje tudi štirje pogoji filozofije. Ti pogoji oziroma resnič- nostne procedure so: matem, pesnitev, politična invencija in ljubezen. Kot pokaže Badiou v Manifestu za čisto filozofijo, bi odsotnost enega samega izmed teh štirih pogojev povzročila, da bi filozofija izginila. Zato, d a j e sploh prišlo do nastopa filozofije, so bili potrebni vsi štirje pogoji hkrati. Vsi štirje pogoji, vse štiri resničnostne, ali kot j ih Badiou tudi poimenuje, generične procedu- re, imajo enak status - nobena od teh štirih generičnih procedur zvestobe ne sme prevladati nad ostalimi tremi, nobeden od teh štirih pogojev ne sme iz- ključiti ostalih treh. Čim filozofija svoje mišljenje izroči enemu samemu gene- ričnemu postopku, takoj ko prenese svoje funkcije na enega izmed svojih po- gojev, dobimo tisto, kar Badiou imenuje »prešitje«. In če filozofija ni zvedljiva na eno od teh štirih generičnih procedur, tudi te generične procedure po drugi strani niso zvedljive ne druga na drugo ne na filozofijo, k i j i ostajajo radikalno zunanje, heterogene. Te »vsaj štiri resnice« niso filozofske resnice, pač proces zvestobe dogodku, ki prelomi s situacijo na imanenten način. Skratka, kot pravi Badiou kasneje v Conditions, v razmerju med filozofijo in resnicami ne gre za »prevlado, subsumpcijo, utemeljitev ali garancijo«17. Filozofija ne utemeljuje svojih pogojev, a hkrati tudi ne sovpada z njimi, pač pa je njena naloga v tem, da predlaga in predstavi okvir za njihovo sestavlji- vost, composibilité. Če torej Badiou izpostavi tezo, d a j e ontologija matematika, to za dogodek in resnico, za katera Badioujevi teoriji gre, ne pomeni tako rekoč nič. To namreč ne pomeni, da matematična ontologija razpolaga s kon- 14 Prim. Etika, str. 35. 15 Prim. Manifest, str. 172 si. 16 O Badioujevi etiki zvestobe prim. tudi Jelica Sumič-Riha, »Anahronizem emancipaci- je«, Problemi, letnik XXXIV, št. 5 -6 /96 , Ljubljana 1996, str. 25-46. 17 Conditions, str. 68. 1 1 0 B A D I O U J E V A TF.MATIZACIJA MATEMATIKE ceptom resnice, saj j e vsaka resnica podogodkovna, vsaka resnicaje procedu- ra zvestobe dogodku, k i j e s strani ontologije prepovedan. Zaradi tega samo filozofija misli resnico. To mišljenje resnice je proces, procedura, kar pomeni, da resnica ni ne rezultat ne merilo, s katerim bi filozofija lahko razpolagala, še manj pa predstavlja neko vednost, saj j e resnica odšteta vednosti. Ni nobe- nega »zakona« resnice, ni zakona, ki bi določal »pravo« pot resnice - resnico j e nemogoče anticipirati in reprezentirati. Drugače rečeno, potek generične procedure je , tako kot sama njegova začetna točka (dogodek), prepuščen na- ključju. Ni »formule resnice«18. Nikakor ni nujno, da resnica je, da obstaja - povsem možno j e namreč, da času, v katerem živimo, ni uspelo proizvesti nobenega dogodka v badioujevskem pomenu besede. Se več. Če drži, da na nobenem področju, pa naj gre za matematiko, politiko, ljubezen ali umet- nost, nismo priča dogodku, nam tudi nihče ne more zagotoviti, da bo do dogodka tudi še kdaj prišlo. Prav tako tudi ni nobenega pravila, da bomo te- daj, ko enkrat »stopimo na pravo pot«, na pot resnice, na tej poti tudi vztrajali v prihodnje. »Pravilo, kakršnokoli žeje, ne more samo po sebi zagotoviti učin- ka resnice, saj nobena resnica ni zvedljiva na formalno analizo. Vsaka resnica, k i je hkrati univerzalna in singularna,je kajpak urejen proces, toda ta proces ni nikoli koekstenziven s svojim pravilom.«19 Kot pripominja Badiou nekje drugje, »osebno sem resnico sam vselej dojemal kot aleatorično pot, neko podogodkovno avanturo, avanturo brez zunanjega zakona«20. Kakšen bi bil potemtakem, nekoliko na hitro, sklep, ki iz navedenega zade- va razmerje med filozofijo in matematiko? Če ni nobenega garanta, nobenega zagotovila in pravila, s pomočjo katerega bi lahko dogodek napovedali, pri njem vztrajali in ga ločili od »simulakra«, če vselej in povsod obstajajo trenutki krize, in če j e kljub temu tudi v trenutku krize, v trenutku dvoma, potrebno zgolj nadaljevati že začeto - »nadaljevati celo takrat, ko si izgubil vsako sled, ko ne čutiš več, da te »preči« proces, ko seje sam dogodek zameglil, ko je njegovo ime izgubljeno, ali pa, ko se sprašuješ, ali nisi poimenoval napake ali celo simula- kra«21 potem to v našem primeru pomeni, da mora filozofija vselej (znova) vztrajati pri mišljenju matematike kot generične procedure. Peter Klepec Filozofski inštitut ZRC SAZU Ljubljana 18 Ibid., str. 192. Obširneje o tem: Peter Klepec,»Badioujeva konceptualizacija resnice«, Filozofski vestnik, XVIII, št. 1/1997, str. 203-220, Ljubljana 1997. 1(1 D'un désastre obscur, str. 47. 20 Deleuze, str. 87. 21 Etika, str. 60. 1 1 1 PF.TER K L E P E C Literatura Alain Badiou : - »Being by Numbers. Lauren Sedofsky talks with Alain Badiou«, v: Artfo- rum, oktober 1994, str. 84-87, 118, 123-124. - »Lacan in Platon. Alije matem ideja?«, prevedli Alenka Zupančič in Mateja Peršak, Problemi-Eseji, št. 2-3, 1994, Problemi, XXXII, Ljubljana, str. 145- 165. - »On a Finally Objectless Subject«, prevedel Bruce Fink, v: Who cornes ater the subject ?, ur. Eduardo Cadava, Peter Connor &Jean-Luc Nancy, Rout- ledge, London 1991, str. 24-32. - Abrégé de métapolitique, zbirka L'ordre philosophique, Seuil, Pariz 1998. - Conditions, zbirka L'ordre philosophique, Seuil, Pariz 1992. - Court traité d'ontologie transitoire, zbirka L'ordre philosophique, Seuil, Pa- riz 1998. - Deleuze. »La clameur de l'Etre«, Hachette, Pariz 1997. - D'un désastre obscur (Droit, Etat, Politique), Éditions de l 'aube, La tour d'Ai- guës 1991. - L'éthique. Essai sur la conscience du Mal, zbirka Optiques, Hatier, Pariz 1993. (Prim. slov. prev.: Etika. Razprava o zavesti o zlu, prevedla Jelica Sumič- Riha, Problemi, XXXIV, št. 1, 1996, Ljubljana) - L'être et l'événement, Seuil, Pariz 1988. - Manifeste pour la philosophie, Seuil, Pariz 1989. (Slov. prev.: Manifest za čisto filozofijo, prevedla Jelica Sumič-Riha, v: Filozofski vestnik, XIII, št. 1, 1992, Ljubljana, str. 149-186.) - Le Nombre et les nombres, zbirka »Des travaux«, Seuil, Pariz 1990. - Petit manuel d'inesthétique, zbirka L'ordre philosophique, Seuil, Pariz 1998. - Peut-on penser la politique?, Seuil, Pariz 1985. - Saint Paul. La fondation de l'universalisme, zbirka Les essais du Collège in- ternational de philosophie, PUF, Pariz 1997 (Slov. prev.: Sveti Pavel. Ute- meljitev univerzalnosti, prevedla Alenka Zupančič, Problemi 5-6/1998, Ana- lecta, Ljubljana) - Théorie du sujet, Seuil, Pariz 1982. 1 1 2 Filozofski vestnih Letnik/Volume XXI • Številka/Number 1 • 2000 • 113-130 O MATEMATIKI, LOGIKI IN FILOZOFIJI ALAIN BADIOU Platonizem in matematična ontologija V uvodu v Philosophy of Mathematics, zbirki člankov, ki stajo uredila Benaceraff in Putnam, najdemo naslednje: Platoniki so tisti, ki menijo, da je matematika odkrije resnic, ki zadeva- jo strukture, eksistirajoče neodvisno od dejavnosti ali mišljenja matema- tikov. V kvazi-totalnosti del filozofije znanosti s tem kriterijem zunanjosti (ali transcendence) matematičnih struktur (ali objektov) poistovetijo »platoni- zem«. To poistovetenje pa j e zagotovo netočno. Njegova netočnost sestoji iz tega, da pri platoniku predpostavlja razlikovanje med znotraj in zunaj, med spoznavajočim subjektom in spoznanim »objektom«, kije absolutno tuje pra- vemu platonskemu dispozitivu. Naj je to razlikovanje še tako zasidrano v obi- čajni epistemologiji, naj je tema objekta in objektivnosti glede na subjekt in na subjektivno še tako utemeljena, j e gotovo, da lahko, izhajajoč iz takšnih pred- postavk, zgolj v celoti zgrešimo proces mišljenja, ki je na delu pri Platonu. Naj najprej pripomnimo, da je »neodvisna eksistenca« matematičnih struk- tur za Platona popolnoma relativna. Metafora reminiscence označuje natan- ko to, da misel nikoli ni soočeno z objektivnostmi, od katerih naj bi bilo loče- no. Ideja [L'Idée] j e vselej že tu. Ce bi je ne bilo »mogoče aktivirati« v mišlje- nju, bi ostala nemišljiva. Ko gre zlasti za matematične ideje, j e ves konkretni dokaz Menonav tem, da dokaže njihovo prisotnost v najmanj izobraženem, v najbolj anonimnem mišljenju: mišljenju sužnja. Temeljna Platonova skrb j e razglasiti imanentno identiteto, sopripadnost spoznanega in spoznavajočega duha, njuno bistveno ontološko komenzura- bilnost. Če obstaja točka, v kateri j e Platon nadaljevalec Parmenida, ki trdi: »Isto je hkrati misliti in biti«, potem j e to ta. Ker matematika zadeva bit, j e po svojem bistvu misel. In obratno, če je matematika misel, zadeva bit po sebi. A I . A I N B A D I O U Motiv spoznavajočega subjekta, ki naj bi »meril« na nek zunanji objekt - mo- tiv, katerega izvor je empirističen celo tedaj, ko je predpostavljeni objekt idea- len - , j e popolnoma neprimeren za filozofsko rabo, ki j o je Platon naredil iz eksistence matematike. Platona še toliko manj skrbijo matematične strukture, ki obstajajo »na sebi«, kajti: 1. Idealnost je splošno poimenovanje tistega, kar se zgodi misljivemu, in v ničemer ne singularizira matematike. Zato, ker mislimo umazanijo ali las, kot je stari Parmenid pripomnil še čisto mlademu Sokratu, j e treba prizna- ti, da obstaja ideja umazanije in ideja lasu. Dejansko j e »Ideja« ime tistega, kar j e mišljeno, kolikor je mišljeno. Platonska tema sestoji prav v tem, da imanenco in transcendenco naredimo za nerazločljivi, da se postavimo na mesto mišljenja, k jer je to razlikovanje neučinkovito. Matematična ideja ni niti subjektivna (»dejavnost matematika«) niti objektivna (»strukture, ki eksistirajo neodvisno«). V enem samem gibanju je matematična ideja pre- lom s čutnim in postavitev intelegibilnega, namreč tistega, kar j e treba ime- novati misel; 2. Platona ne zanima status domnevnih matematičnih »objektov«, temveč gi- banje misli, saj j e matematika pravzaprav poklicana zgolj zato, da bi preko razlike identificirali dialektiko. V misljivem je torej vse Ideja. Na strani »ob- jektivnosti« bi bilo torej zaman iskati kakršnokoli razliko med režimi mišlje- nja. Zgolj singularnost gibanja (izhajati iz hipotez oziroma priti do načela) avtorizira razmejitev matematične dianoia od dialektičnega (ali filozofske- ga) umevanja. Ločitev objektov j e drugotna in vselej nejasna. Je podobrav- nava indicev »v biti«, ki so zajeti v misel. In nekaj je nenazadnje gotovo: matematika j e misel (kar v Platonovi go- vorici pomeni, da prelomi z neposredno čutnim), dialektika je prav tako mi- sel, ti dve misli pa sta, če ju obravnavamo po protokolu njunega izvajanja, različni misli. Platonski vpis matematičnega pogoja za »filozofiranje« bi lahko skušali definirati izhajajoč iz tega: Pripoznanje matematike kot neprehodne misli za čutno in jezikovno izkustvo, od- visne od odločitve, ki naredi mesto za neodločljivo, in ki predpostavlja, da vse, kar je konsistentno, obstaja, je platonsko. Da bi izmerili polemični pomen te »definicije« platonizma, si oglejmo definicijo, ki jo Fraenkel in Bar-Hillel predlagata \ Foundations of Set Theory. »Platonikje prepričan, da v povezavi z vsakim dobro definiranim mona- dičnim pogojem [gre za atribucijo predikata variabli tipa P(x)] na splo- šno obstaja množica ali razred, ki vsebuje vse entitete, ki izpolnjujejo ta 1 1 4 O MATEMATIKI, I .OGIKL IN FILOZOFIJI pogoj, in zgolj te entitete; in kije po svoje neka entiteta, katere ontološ- ki status je podoben ontološkemu statusu njenih elementov.« Prepričan sem, da bi nič takšnega ne prepričalo platonika. Sam Platon nenehno skuša pokazati, d a j e lahko korelat dobro definiranih pojmov ali propozicij prazen ah nekonsistenten. Oziroma, da »entiteti«, ki mu ustreza, lahko ustreza nek ontološki status, ki presega vse, kar je zajeto v izhodiščni formuli. Na tak način korelat Dobrega, naj je pojem, kolikor je le mogoče, jasno določljiv, naj j e njegova praktična instanca še tako očitna, zahteva v biti izjemo za status Ideje (Dobroje onstran Ideje). Eksplicitni namen Parmenida je , ko gre za izjavi, ki sta popolnoma jasni, »eden je« in »eden ni«, dokazati, da pod kakršnokoli predpostavko, kar zadeva korelat in enega ter »druge od enega«, pr idemo do nekonsistence. To je pravzaprav prvi primer, čeprav či- sto filozofski, argumentacije absolutne neodločljivosti. V nasprotju s tem, kar trdita Fraenkel in Bar-Hillel, trdim, d a j e neodloč- ljivo ključna kategorija platonizma, in da prav nikoli ni predvidljivo, da neki dobro definirani formuli ustreza misljiva entiteta. Neodločljivo priča o tem, da platonik nima nobenega zaupanja v jasnost jezika pri odločitvi o eksisten- ci. V tem pomenu se Zermelov aksiom - Zermelo je platonik - , glasi, da ne smemo za neko dano formulo sprejeti eksistence »entitet«, ki jo potrjujejo ter da j ih lahko razvrstimo zgolj v predhodno obstajajočo dano množico. Misel namreč potrebuje neko konstantno in imanentno zagotovilo biti. Neodločljivo j e tisto, kar v bistvu poveljuje aporetičnemu stilu dialogov: pripeljati do točke neodločljivega, da bi pokazali, da se misel mora odločiti glede na dogodek biti; da misel ni najpoprej opis ali konstrukcija, temveč prelom (z mnenjem, z izkustvom), in d a j e torej odločitev. V tem oziru se mi zdi Godel, ki ga »filozofya matematike« vselej uvršča med »platonike«, dejansko nadvse luciden. Vzemimo pričujoči odlomek iz slavnega teksta »Kaj je Cantorjev problem kontinuuma?«: Vsekakor vprašanje objektivne eksistence objektov matematične intuici- je (vprašanje, kije, mimogrede rečeno, natanko odgovor na vprašanje po objektivni eksistenci zunanjega sveta) ni odločilno za problem, o katerem tu razpravljamo. Preprosto psihološko dejstvo eksistence intui- cije, k i je dovolj jasna za ustvaritev aksiomov teorije množic, ob začet- nem sklepu razširitve teh aksiomov zadošča za osmislitev vprašanja re- snice ali napačnosti propozicij, kakršna je Cantorjeva hipoteza o konti- nuumu. Tisto, kar nemara bolj kot karkoli drugega vendarle vsiljuje spre- jetje tega kriterija resnice v teorijo množic, je, da so ponavljajoča se skli- cevanja na matematično intuicijo neizogibna ne le zato, da bi dobili 1 1 5 A I . A I N B A D I O U nedvoumne odgovore na vprašanja teorije transfinitnih množic, temveč tudi za rešitev problemov finitistične aritmetike (tipa Goldbachove dom- neve), ki ne dopuščajo nobenega dvoma o nedvoumnem in s smislom obogatenim značaju pojmov, kijih vpeljuje. To sledi iz dejstva, da za vsak aksiomatski sistem obstaja neskončno neodločljivih propozicij tega tipa. Katere so najpomembnejše poteze tega »platonskega« teksta? - Beseda intuicija tu nima drugega pomena kot pomen odločitve inventivne- ga mišljenja glede na inteligibilnost aksiomov. Gre za, s samim Godlom rečeno, zmožnost »proizvesti aksiome teorije množic«, eksistenca te zmož- nosti p a j e čisto dejstvo. Pripominjamo, da intuitivni funkciji ne gre za zzyet- je »zunanjih« entitet, temveč zajasno odločanje o prvi ah ireduktibilni pro- poziciji. Obsežna iznajdba aksiomov matematično propozicijo potrdi za mi- sel in j o potemtakem izpostavi resnici. - Vprašanje »objektivne« eksistence domnevnih objektovje izrecno razglaše- no za drugotno (ni »odločilno za problem, o katerem teče razprava«). Po- leg tega nikakor ne označuje matematike, saj j e ta eksistenca na istem kot eksistenca zunanjega sveta. Dejansko je to, da v matematični eksistenci ne vidimo nič več oziroma nič manj kot eksistenco kot tako, zelo platonsko: v vseh primerih lahko misljivo (umazanijo, las, trikotnik ali raznoimenska števila) preizprašamo glede na njegovo eksistenco, k i j e nekaj drugega od njegove biti. O njegovi biti pa priča že to, da ga razvija misel. - Ključni problem je problem resnice. V trenutku, ko obstaja inventivna mi- sel (in inteligibilnost aksiomov to dokazuje), lahko »osmislimo vprašanje resničnosti ali napačnosti« propozicij, k i j ih ta misel avtorizira. Ta smisel izhaja natanko iz tega, da misljivo, kot Ideja, nujno zadeva bit. In »resnica« je vselej zgolj ime, s katerim se v enkratnem procesu združita bit in misel. - Neskončno in končno za misel ne tvorita zelo pomembnega razlikovanja. Godel vztraja pri dejstvu, »da sprejetje kriterija resnice« rezultira iz tega, da nenehno potrebujemo intuicijo (namreč aksiomatizirajočo odločitev) tako za rešitev problemov finitistične aritmetike kakor za probleme, ki zadevajo transfinitne množice. To se pravi, da gibanje misli, k i je edino pomembno, v neskončnem ni bistveno drugačno od gibanja v končnem. - Neodločljivo je organsko povezano z matematiko. In manj gre za »mejo«, kot včasih pravijo, kot pa za neprestano spodbudo k uporabi inventivne intuicije. Iz tega, da vsak dispozitiv matematične misli, ki ga povzemajo te- meljni aksiomi, vsebuje neodločljivo, izhaja, da intuicija ni nikoli nekorist- na: o matematiki je treba nenehno ponovno odločati. In končno, določil bi tri točke, kijih je, glede modernega matematičnega pogoja, torej tudi ontologije, legitimno imenovati platonska filozofska usme- ritev. 1 1 6 O MATEMATIKI, I .OGIKL IN FILOZOFIJI 1. Matematika j e misel. To trditev sem že na dolgo in široko razvil, j e pa tako pomembna, da bi j o želel vsaj ponovno poudariti. Spomnimo na to, kot primer, da Wittgenstein, ki v tej temi ni nevednež, pravi, da »matematični stavek ne izraža nobene misli« (Logično-filozofski traktat 6.21). Wittgenstein zgolj povzema, s svojo obi- čajno radikalnosyo, glavno tezo vsakega empirizma, kakor tudi vsake sofisti- ke. Nikoli j e ne bomo nehali spodbijati. D a j e matematika misel, še zlasti pomeni, da, kar zadeva matematiko, razlikovanje med spoznavajočim subjektom in spoznanim objektom nima no- bene pertinence. Obstaja urejeno gibanje misli, ki je koekstenzivno z bitjo, ki j o razvija - koekstenzij a, ki j o Platon imenuje »Ideja« - , gibanje, v katerem sta odkritje in invencija pravzaprav nerazločljiva. Prav tako kot sta nerazločljiva ideja in njen ideat. 2. Vsaka misel - torej, matematika - angažira odločitve (intuicije) s točke neodločljivega (ne-deduktibilnega). Iz te poteze, kar zadeva misljivo, izhaja maksimalna ekstenzija načela izbi- re: ker j e odločitev prva in nenehno zahtevana, je zaman, če jo skušamo zvesti na konstruktivne ali zunanje normirane protokole. Prisile konstrukcije (po- gosto napačno imenovane »intuicionistične« prisile, saj j e pravi branilec in- tuicije platonik) j e treba nasprotno podrediti svoboščinam misleče odločitve. Zaradi tega platonik nima kaj početi, s prosto rabo izključenega tretjega in, posledično, s sklepanjem ad absurdum, če so učinki misli količkaj maksimalni. 3. Matematična vprašanja eksistence napotevajo zgolj na inteligibilno konsi- stenco tistega, kar j e mišljeno. Eksistenco je tu treba obravnavati kot notranjo določitev dejanske misli, ker ta razvija bit. Da jo ne razvija, se vselej izkaže z nekonsistenco, k i jo je treba skrbno ločevati od neodločljivosti. Bit, misel in konsistenca so v matematiki ena in ista stvar. Iz teh potez izhajajo pomembne konsekvence, s pomočjo katerih prepoz- namo modernega platonika, k i je platonik mnoštvene biti. - Najpoprej gre, kot pokaže Gödel, za ravnodušnost do domnevnih »para- doksov« aktualnega neskončnega. Kolikor sfera inteligibilnosti, ki jo vzpo- stavi neskončno, ne postavlja očitno nobenega specifičnega problema, niti v aksiomatski intuiciji niti v dokaznih protokolih, so razlogi za to, da si s tem belimo glavo, vselej zunanji, psihološki ali empiristični, in matematiki zani- kajo njeno samozadostnost kar zadeva režim misljivega, ki ga določa. Nadalje, želja po maksimalnosti pri dopustitvi eksistence: več koje eksisten- ce, bolje je. Platonik prakticira [manier] drznost misli. Nasprotuje omeji- 1 1 7 A I . A I N B A D I O U tvam in cenzuram od zunaj (še zlasti malodušnim filozofemom). Dokler je misel zavezana biti, ki jo razvija, j e mogoče in treba, da bi ne zapadla v nekonsistenco, iti naprej v predpostavkah eksistence. Tako misel sledi črti intenzifikacije. In končno, pripoznanje kriterija, ko se navidezna opcija vsili postajanju ma- tematike. Ta kriterij je prav kriterij maksimalne ekstenzije konsistentno mis- ljivega. Tako bi platonik prej sprejel aksiom izbire kot njegovo negacijo, saj je sicer univerzum z aksiomom izbire večji in gostejši v pomembnih poveza- vah od univerzuma, ki tega aksioma ne sprejema. A contrario, bi bil platonik, kar zadeva sprejetje hipoteze kontinuuma, še bolj pa hipotezo konstrukti- bilnosti, zadržan. Kajti univerzumi, ki j ih urejajo te hipoteze, se kažejo kot ožji in bolj prisiljeni. Kontruktibilni univerzum je še posebej boren: Row- bottom j e dokazal, da če priznamo neko posebno vrsto velikega kardinal- nega števila (Ramseyevega kardinalnega števila), so konstruktibilna realna števila preštevna. Preštevni kontinuum se za platonika izkaže za intuicijo, ki j e preveč prisiljena. Rowbottomov teorem utrdi njegovo prepričanje: da prednost odločenim konsistencam pred kontroliranimi konstrukcijami. Ugotovili bomo torej, da »ensemblistična« odločitev glede matematike, namreč ontološka obnovitev Cantorjevih pojmovanj, za katera sem pokazal, da so v misli izčistila bit kot čisto mnoštvo, vsili platonsko usmeritev, v pome- nu, o katerem bom pravkar spregovoril. Sicer pa to potrjujejo filozofske izbi- re Godla, največjega (skupaj s Cohenom) Cantoijevega nadaljevalca. Teorija množic je primer tipa teorije, kjer (aksiomatska) odločitev za se- boj potegne (definicijsko) konstrukcijo. Empiristi in privrženci »jezikovnega obrata« našega stoletja sicer niso zamudili teoriji ugovarjati, češ, da celo ni uspela priti do definicije oziroma pojasnitve svojega organskega pojma, poj- ma množice. Na to bi platonik, kot j e Godel, vselej odvrnil, da štejejo aksio- matske intuicije, ki tvorijo prostor resnice, ne pa logična definicija preprostih relacij. Teorija množic pozna, v nasprotju z aristotelovsko (možnost kot prva sin- gularizacija substance) ali leibnizovski (logično možno kot »pretenzija biti«) usmeritvijo, zgolj aktualno mnoštvo. D a j e aktualnost dejanska forma biti in da sta možno ali potencialnost fikciji, j e globoko platonski motiv. Nič ni bolj značilnega v tem pogledu od ensemblistične obravnave koncepta funkcije. Tisto, kar je videti dinamični operator, pogosto v obliki prostorskih, celo fizi- kalnih shem (če y= j(x), potem bomo rekli da y »variira« v funkciji variacij x, itn.),je v ensemblističnem okviru obravnavano kot aktualno mnoštvo: funkcija ima za mnoštveno bit svoj graf, namreč množico, katere elementi so urejeni pari tipa (x, y), vsako dinamično namigovanje ali »v variaciji«, j e odpravljeno. Na isti način j e koncept »limite«, če j e zaznamovan z izkustvom postaja- 1 1 8 O MATEMATIKI, I .OGIKL IN FILOZOFIJI nja, z usmeritvijo proti, z asimptotičnim gibanjem, zveden na imanentno ka- rakterizacijo določenega tipa mnoštvenosti. Da bi tako omejeno ordinalno število identificirali, ga ni treba predstaviti za tisto, proti čemu »tendira« za- poredje ordinalnih števil, katerih limita je, to pa zato, ker je samo to zapored- j e (ker so elementi tega zaporedja tisto, kar ga definira kot množico). Ordi- nalno transfinitno število N„, ki sledi »za« celimi naravnimi števili, ni nič dru- gega kot množica vseh celih naravnih števil. Povsod je, vjasni povezanosti s platonovskim genijem, virtualnost mišlje- na kot aktualnost: obstaja zgolj en tip biti, Ideja (oziroma v tem primeru mno- žica). Aktualizacija torej ne obstaja, saj vsaka aktualizacija predpostavlja več režimov eksistiranja (vsaj dveh, možnosti in dejanja). Teorija množic sicer uboga načelo eksistencialne maksimalnosti. Vse od Cantoija naprej je njen navdih prekoračiti vse predhodne omejitve, vse - zu- nanje - kriterije »umne« eksistence. Sprejele vse bolj in bolj orjaških kardi- nalnih števil (nedosegljivih, Mahlojevih, merljivih, kompaktnih, nadkompakt- nih, enormnih, itn.) j e njen naravni genij. Hkrati pa tudi prek teorije na- drealnih števil sprejetje infinitezimalnih števil vseh vrst. Poleg tega ta dispozi- cija razvija vse bolj in bolj saturirane in kompleksne »nivoje« biti, ontološko hierarhijo (kumulativno hierarhijo), k i je , v skladu z intuicijo, tokrat z neo- platonskim poudarkom, takšna, d a j e njena (nekonsistentna) totaliteta vselej reflektirana na konsistentni način v enem izmed nivojev v naslednjem pome- nu: če j e neka izjava veljavna za ves univerzum (drugače rečeno, če kvantifika- torje vzamemo brez meje, če »za vsak x« pomeni »za katerokoli množico vsega univerzuma«), eksistira torej neka množica, v kateri j e ta izjava veljavna (kvan- tifikatorji so tokrat vzeti »relativizirano« za množico, za katero gre). Kar po- meni, da ta množica, k i j e obravnavana kot »omejeni univerzum«, reflektira univerzalno vrednost izjave, j o lokalizira. Ta teorem refleksije nam pravi, da j e lahko tisto, kar lahko izjavimo glede na bit »brez meje«, vselej na nekem mestu. Oziroma, da vsaka izjava predpiše možnost lokalizacije. V tem lahko prepoznamo platonsko temo inteligibilne lokalizacije vsega tako imenovanega umnega. Ravno zaradi tegajo Heidegger kritizira kot operacijo »izreza« z Idejo, »tistega, kar seje izvalilo« iz biti oziro- ma naravne estance biti. Bolj bistveno rečeno, platonovska obarvanost teorije množic počiva na treh konstitutivnih kategorijah vsake filozofske ontologije: razliki, prvotnem imenu biti in neodločljivem. Razliko za Platona določa ideja Drugega. Tako kot je ta ideja predstavlje- na v Sofistu, nu jno implicira inteligibilno lokalizacijo razlike. Ker neka ideja »participira« na Drugem, j o lahko razglasimo za različno od druge. Obstaja torej lokalizabilno ovrednotenje razlike: lastni način, na katerega neka ideja, 1 1 9 A I . A I N B A D I O U četudi j e ista sami sebi, participira na Drugem kot druga ideja. To točko prev- zame v teoriji množic aksiom ekstenzionalnosti: če je neka množica različna od druge, j e to zato, ker eksistira vsaj en element, ki pripada eni in ne drugi. Ta »vsaj en« lokalizira razliko in prepove čisto globalne razlike. Vselej obstaja točka razlike (ker za Platona tudi ideja ni »na sebi« drugo od drugega, temveč zgolj, kolikor participira na Drugem). V tem je glavna poteza, zlasti, ker ome- juje (tako aristotelovske kot deleuzovske) pravice kvalitativnega, globalne in naravne razlike. V platonovskem stilu ensemblizma se drugost razreši v punk- tualnosti, razlika je pripisljiva na uniformen in vselej elementaren način. Prvotno ime biti v teoriji množic, j e praznina, prazna množica. Vsa hie- rarhija korenini v tem. V nekem določenem smislu »je« edino praznina. Logi- ka razlike pa implicira, d a j e praznina enkratna. Dejansko se ne more razliko- vati od druge praznine, ker ne vsebuje nobenega elementa (nobene lokalne točke), ki bi lahko potrdila to razliko. Ta kombinacija prvotnega imenovanja z enostavnim absolutnim (ali in-diferentnim, k i j e status enega v Parmenidu) in temeljne enkratnosti je nedvomno platonska: kajti o eksistenci tega, kar pokriva njegovo prvotno ime (namreč eksistenca prazne množice), mora biti aksiomatsko odločeno, prav tako kot - to pomenijo aporije Parmenida - j e zaman hoteti deducirati eksistenco (ali neeksistenco) enega: treba se je odlo- čiti, in vzeti nase konsekvence. Končno, kot vemo vse od Cantorjevega teorema dalje, je hipoteza konti- nuuma po svojem bistvu neodločljiva. Mnogi menijo, da gre tu za resnično uničenje ensemblističnega projekta, oziroma za »pluralizacijo« tistega, kar se je predstavljalo za enotno konstrukcijo. Iz povedanega j e dovolj razvidno, da je moje stališče nasprotno: neodločljivost hipoteze kontinuuma dejansko do- vrši teorijo množic kot platonsko usmeritev. Nakazuje bežiščnico, aporijo, ima- nentno blodnjo, kjer se misel izkusi kot ne-utemeljeno soočenje z neodločlji- vim, ali — če uporabimo Godlovo besedišče — kot kontinuirano zatekanje k intuiciji, se pravi, k odločitvi. Antikvalitativna lokalizacija razlike, enkratnost eksistence prvotnega ime- novanja, intrinzično preizkusi neodločljivo: takšne so poteze, prek katerih lahko, onstran preproste logike form, filozofija zajame teorijo množic s teori- jo resnice. Kljub temu bodo ugovarjali, da se v svojih dokaznih protokolih vsaka ma- tematika nenazadnje opira na logiko. V kakšni zvezi sta konec koncev mate- matika kot misel biti kot biti oziroma teorija čistega mnoštva in matematika kot »formalna« znanost, kot prisilni dokazni protokoli? Za vpeljavo v to strahovito vprašanje, ki se nanaša na ontološki status logi- ke, strukturo onto-logije, je koristno, če se vrnemo k aristotelovskem pojmo- vanju, k i je gotovo »drugi« primitiv platonizma. 1 2 0 O MATEMATIKI, I .OGIKL IN FILOZOFIJI Aristotelovska usmeritev in logika Osrčje vsakega »aristotelovskega« razmerja do matematike je prepriča- nje, da matematika ni misel. Videli smo, da sam Aristotel, ki nedvomno ni aristotelik, vendarle sklepa, da matematika konec koncev nikakor ne izhaja iz ontologije, temveč iz estetskega zadovoljstva. V tem pomenu j e naše stole^ e veliko bolj aristotelovsko kot si predstavlja- mo. Sicer pa je to neizogibni učinek njegovega bistvenega antiplatonizma, antiplatonizma, katerega prerok j e Nietzsche, ki p a j e prav tako skupen tako »jezikovni« anglo-saški usmeritvi, ki nenehno graja »naivni« platonizem, ka- kor tudi hermenevtični heideggerjanski usmeritvi, za katero Platon z Idejo zbriše izvorno rojstvo biti kot (|)ucn.c;. Celo slovar znanosti rajnke ZSSRje pou- darjal materialistične Aristotelove zasluge in Platona obravnaval kot ideologa lastnikov sužnjev. Za tako razširjen konsenz gre. Kaj pomeni trditev, po kateri matematika ni misel? Vsekakor ne tega, da ne tvori koherentne in racionalne vednosti, temveč da ta vednost, oropana vsakega načela biti, ne more pretendirati na resnico. V tem primeru je prav malo pomembno, d a j e načelo biti, na katerega se sklicujejo, metafizičnega (kot Aristotelova substanca ali Leibnizeva monada) ali empirističnega tipa (kot so sense data pozitivističnega izvora). V vseh primerih je osrednja teza, da matematika ostaja čisto formalna (ali »prazna biti«), kar ji prepoveduje real- no razvitje, ki se zahteva za vsako dejansko misel. Za platonika Ideja, kakršenkoli ontološki status na koncu pripišemo temu terminu, eksplicitno označuje preplet [nouage] matematike in realnega, pre- plet, na katerega se opira trditev, d a j e smiselno govoriti o matematičnih re- snicah. Za aristotelika ali leibnizovca kategorizacija biti v podobi singularno- sti (substanca kot lokalna informacija materije, monada kot »metafizična toč- ka«) matematiko oropa vsakega realnega vpisa. Trikotnik ali diferencial na- mreč nista niti substanca niti monada. Da matematika ni misel, ni sodba, kije pomembna za misel. Znano je, da Leibnizevo metafiziko v celoti »nosi« njeno matematično pojmovanje konti- nuuma, izračun maksimumov itn. Matematikaje nedvomno pomembnejša za izgraditev Leibnizevega sistema, kot pa je navsezadnje za aporetično Platono- vo ontologijo. In Aristotelova razmišljanja o matematiki so v določenih pogle- dih natančnejša od Platonovih. Toda mnogo stvari, ki niso misli, j e zelo po- membnih zamisel. Naposled je tako za Leibniza kot za Aristotela matematika stkana zgolj iz relacij, če ne fiktivnih, pa vsaj čisto idealnih. Matematika daje konvencije virtualnemu inteligibilnemu. Izhaja iz umetnosti računanja. Ta umetnost temelji v umu, ni pa misleče načetje [entame] biti. Natančneje rečeno, matematikaje slovnica možne eksistence. Ta točkaje 1 2 1 A I . A I N B A D I O U nedvomno odločilna: za platonikaje matematika znanost realnega (to j e La- canova definicija, kije v tem pogledu docela platonik). Za Aristotela ali Leib- niza matematika povzema določene formalne danosti mnoštvene biti. Bistve- noje , da so te danosti analitične, kar pomeni, da ne zadevajo singularnosti, ki j e vselej sintetična, da ne zadevajo tistega, kar je. Za platonika ni misel nikoli opisna, vzpostavi se v prelomu z opisom, saj je neprehodna za mnenje, torej za izkustvo. Za aristotelikaje misel konstruk- cija adekvatnega opisnega okvira, kjer izkustvo ali mnenje najdeta brez zareze tisto, v razmerju do česar se utemeljita. Nič ni presenetljivejšega od razlike v slogu, ki j o implicira ta razlika reprezentacije misli. Tisto, kar šteje za platoni- ka, so načela preloma. Tisto, kar šteje za aristotelika, so protokoli legitimaci- je. To naspro^e, če ga apliciramo na vpis matematike v polje filozofije, da naslednje: ves interes platonikaje usmerjen na aksiome, kjer se odigrava mi- sleča odločitev. Ves interes aristotelika (ali leibnizovca) j e usmerjen na defini- cije, kjer se odigrava reprezentacija možnega. Vse to povzema nekaj v temelju dovolj enostavnega: tako za aristotelika kot za leibnizovca je bistvo matematike logika. Nobeno naključje ni, d a j e Ari- stotel avtor Druge Analitike, prve izpričane formalne logike v zgodovini, in d a j e Leibnizvse od svojih mladih let delal na »univerzalni karakteristiki«, ki bi j o naj po njegovem imeli za prednico sodobne matematične logike. Za ta dva misleca matematika deluje na strani koherentnega možnega. Oropana ontološkega te- melja, matematika abstraktno idealizira sprejemljive posledičnosti, algoritme kontrole »resnične« misli, ki si, substancialno ali monadično, prilašča singu- larnosti. Matematikaje torej splošna logika racionalnega možnega. Če pa je matematika logika možnega, ji vprašanja eksistence niso notra- nja (kot so za platonika). Temeljni problem, ki ga postavlja filozofija, kar za- deva matematiko, preneha biti problem njenega gibanja misli in njenega pre- pleta z bitjo. Recimo, da, ker se predpostavlja čisto idealno dimenzijo mate- matičnih entitet, ne gre več za vpraševanje po njihovi resnici. Gre za problem empiričnega, jezikovnega, racionalnega izvira matematičnih idealnosti. Od- tod izhaja nagnjenje k verificiranju tega izvira, da bi se izognili temu, da bi bile forme preveč svobodne ali da bi bile neupravičeno vzete za resnice. Kaj pa dopušča verifikacijo izvira matematičnih idealnih formul? Kolikor so povezane zreprezentacijami, prostorskimi ah drugimi, so konstrukcije. Koli- kor so povezane zjezikom, šifriranjem, računanjem, so algoritmi. Za aristoteli- ka ali leibnizovca mora biti matematika algoritmična*(na svojem algebraič- nem področju) in konstruktivna (na svojem geometričnem področju). Samo to postavlja njen logični cilj pod kontrolo realnega uma. Vse to vsebuje logične previdnosti, protokole nadzorovanja, naper jene proti načelu maksimalne drznosti, za katerega se zavzema Platon. 1 2 2 O MATEMATIKI, I.OGIKL IN FILOZOFIJI - Sistematični dvom glede uporabe aktualnega neskončnega, naj gre za ne- skončno veliko ali neskončno majhno. Kajti neskončno je krepko odšteto konstrukcijskim verifikacijam in algoritmom, neskončno je odločeno [décidé]. Ce priznamo da matematično neskončno »eksistira« — kakršenkoli j e že status te eksistence - , obstaja veliko tveganje obnovitve zveze z bitjo, poza- be, da matematika ni nič drugega kot logika možnega. Celo stvaritev Leib- nizovega kalibra v polju diferencialnega in integralnega računa realno ne- skončno prihrani za metafiziko, za božji absolut, ki mu edini podeljuje nje- gov »monadičen« status. Trditve, da je neskončno numerično, ali celo geo- metrično, ni mogoče zagovarjati: »Bistvu števila, črte in katerekoli celote pripada, d a j e omejeno«. In »resnično neskončno v skrajnem primeru ni nič drugega kot absolut, ki predhodi vsakemu sestavljanju in ki nikakor ni tvorjen iz dodajanja delov.« - Omejitev in nadzorovanje eksistencialnih trditev v matematiki. Logično bis- tvo matematike j e transparentno dokler smo v formalnih posledičnostih in definicijah možnosti. Čim izjavimo »eksistenco«, se zabriše. Zato se torej zahteva, da vsako trditev tega žanra spremlja eksplicitna konstrukcija, ki j o potrjuje, logični pokaz primera eksistence. - Tendenca k pluralističnemu perspektivizmu. č e je matematika »formalna znanost«, ustrezna koherentnemu opisu možnega, ni pretirano zahtevati (kot je primer, če je prepletena z bitjo in zmožna resnice), d a j e nenazad- nje enkratna. Lahko bi vzeli v obzir koeksistenco »različnih« matematik, prav tako kot v Leibnizovem božjem umu koeksistirajo možni svetovi, ki so kajpada med seboj protislovni, a notranje koherentni. Velike tendence aristotelovskega (ali leibnizovskega) dojetja matematike bi končno bile: logicizem, algoritmični finitizem ali konstruktivizem ter plu- ralizem umnih možnosti. Tako dobimo pošiljko, ki je vse od Grkov dalje namenjena polemiki kon- stitutivni za filozofsko do je le matematičnega pogoja. Platon ali Aristotel (toda prav tako Descartes ali Leibniz) so imena tega nesoglasja. Za filozofsko misel gre za osrednje in kompleksno nesoglasje. Kajti mate- matika je po eni strani, dojeta filozofsko, nedvomno zavezana vprašanju biti, takoj ko se misel ne le več ne tepe z neprosojnostjo izkustva, temveč se vidno osvobodi prisil končnosti. Po drugi strani p a j e vendarle gotovo, d a j e mate- matika paradigmatična v tistem, kar zadeva sklepanja, posledičnosti in doka- ze. In d a j e v širšem smislu njena logična vrednost eminentna. Iz tega izhaja, da se matematika, glede konstrukcije filozofskega mesta, dobro umesti v dvoj- ni register odločitve, kar zadeva misel biti in formalno konsistenco argumen- tov. Za filozofaje matematika hkrati ontološka in logična. Recimo, da je onto- loška: Platona in Aristotela tu loči vezaj. V mojem lastnem jeziku bi rekli, da 1 2 3 A i . A I N B A D I O U matematika ne razsvetli filozofije le v intervenirajoči dimenziji vsake resnice (aksiomov, načel, drznosti), temveč tudi v dimenziji zvestobe (formalnih ope- ratorjev, kontinuitete misli, definicij, previdnosti). Ponovno obravnavati to dvojno pogojenost v mojem elementu (predlagati moderni koncept resnice in na novo staviti na filozofijo), j e naloga, ki zahteva temeljito soočenje s samo matematično vitalnostjo. Da bi situacijo pojasnili, s e j e treba dejansko vrniti k velikim sodobnim matematičnim dispozitivom, k dispozitivom, ki skušajo dati matematiki njen poenoteni prostor, oziroma njen izvorni jezik. Danes obstajata zgolj dva dispozitiva tega žanra, tako eden kot drugi sta se rodila iz notranjih potreb žive matematike, ne pa iz kake zunanje aplikacije kakšne jezikovne filozofije: - teorija množic, od Cantorja do Cohena, ki seje pojavila v prejšnjem stoletju iz zahtev realne analize in topologije; - teorija kategorij in topoi, ki s e j e pojavila v petdesetih letih iz zahtev alge- braične geometrije. Na ta dva dispozitiva seje treba sklicevati, da bi preučili, kar zadeva veliko nasprotje med platonizmom in aristotelizmom, kakšna ontološka konfigura- cija (oziroma katera logika ontološkega) lahko danes ponovno oživi filozofski projekt v njegovi singularnosti, ne da bi kakorkoli popustili specializaciji »fi- lozofije matematike«. Toda preden prispemo do teh strašnih ovir (kij ih bomo sicer v pričujo- čem delu zgolj očrtali), s e j e treba vrniti k logični označbi matematike, in splošneje k naslednjemu problemu: če matematika s seboj »prinaša« logične predpise, če je torej njeno filozofsko poistovetenje z znanostjo čistega mnoš- tva, ali prve ontologije, treba podvojiti (v tem se Aristotel povsem ne moti), poistovetiti z onto-logijo, kakšne konsekvence izhajajo iz tega za samo filozo- fijo? In splošneje rečeno, kakšna so, oziroma kakšna bi morala biti, razmerja med logiko in filozofijo? Logika, filozofija, »jezikovni obrat« Pravi način, na katerega se filozofija sklicuje na izkustvo mišljenja v nje- govem pojmovnem prostoru, ne izhaja strogo iz domnevnega zakona objekta, temveč iz ciljev in operatorjev same te filozofije. Torej ni mogoče, da bi šlo za to: filozofija se mora zanimati za logiko, ki je dandanes povsem matematizira- na, ker j e ta konstituirani objekt, dana forma vednosti. Zahtevamo imanent- no dojetje tega imperativa. Na tem mestu bi se radi lotili te imanence v filozo- fiji sodobnega dojemanja logike. 1 2 4 O MATEMATIKI, LOGIKI IN FILOZOFIJI Prava filozofska zareza logike sestoji v naslednjem: matematizacija logike Boola, Fregeja, Russela, Hilberta, Gödla in mnogih drugih je tesno povezana s tistim, kar imenujemo jezikovni obrat v filozofiji. Vzemimo, za kar gre meni samemu, d a j e filozofski projekt premislek tegajezikovnega obrata, oziroma identifikacija mišljenja in resnic kot proces, v katerem je jezik zgolj ena da- nost med drugimi, ali še: če želimo opustiti vsako transcendentalno pojmova- njejezika, j e torej nujno filozofsko ponovno premisliti matematizacijo logike. Recimo bolj grobo: če vozel misli in biti, ki se filozofsko nakazuje pod imenom resnice, nima gramatikalnega bistva, oziroma, če je pod pogojem dogodka, naključja, odločitve in a-topične zvestobe, ne pa pod pogojem an- tropoloških in logičnih pravil jezika oziroma kulture, seje potem treba vpra- šati, kakšnaje natanko ontološka določitev matematizirane logike. V mojem dispozitivu mislije to vprašanje kompleksno. Rekel bi, da j e nek lik torzije. Ker postavljam, da ontologija, namreč tisto, kar se od biti kot biti lahko vpiše oziroma piše kot logos, prav sama matematika, iz tega izhaja, da postane vprašanje po tistem, kaj je ontološka določitev matematizirane logike, naslednje vprašanje: kakšnaje matematična določitev matematizirane logike? V čem j e lahko to vprašanje filozofsko? Videti je, da napoteva na prepro- sto notranjo distanco matematike. Distanco, kjer se, izhajajoč iz same mate- matike, misli logični status kot matematično disciplino. Ali misel tega notra- njega razmika izhaja iz filozofije? Tako smo tu umeščeni v kompleksno triangulacijo, katere trije poli so matematika, logika in filozofija. Aksiom razločevanja, ki g a j e v tem primeru treba vpeljati, j e po mojem mnenju naslednji: filozofija je danes v veliki meri odločena z njenim položa- j em v razmerju do dveh drugih kotov trikotnika, matematike in logike. Pride zlasti do tega, da jezikovnemu obratu sodobne filozofye v veliki meri bolj ali manj vlada eksplicitna teza o poistovetenju logike in matemati- ke. Teze, katere Russelov logicizem je zgolj ena izmed skrajnih in ne nujnih oblik. Teze, ki j o očitno olajša integralna matematizacija logike. Teze, kot smo rekli, aristotelovskega ali leibnizovskega izvora. Jezikovni obrat ima, kot je znano, dve navidez zoperstavljeni obličji, kate- rih vodilni imeni sta Wittgenstein in Heidegger. Od prvega bomo ohranili trditev, da izjavlja strogo koekstenzivnost med svetom in jezikom, meje enega so prav meje drugega. Od drugega bomo ohranili trditev, d a j e mišljenje v času obupa najpoprej napoteno na besedo; oziroma, da, kot pravi Heidegger ob Rilkeju, »obstaja skrivanje, ker se bistveno področje odteguje; ostaja pa pesem, ki imenuje Zemljo«. V obeh primerih je mesto, kjer se odigrava usoda mišljenja sama meja izrekljivega. In ker naj bo to mesto takšno, matematika, zvedena na kalkulacijsko in slepo logiko, ne sme biti misel. 1 2 5 A I . A I N B A D I O U Wittgenstein je hkrati trdil: »Matematika j e logična metoda« (Logično-filozofski traktat, 6.2), ter, kot smo že navedli: »Matematični stavek ne izraža nobene misli« (Logično-filozofski traktat 6.21) Heidegger je v isti gesti matematiko zvedel na račun tehničnega obvlado- vanja: »Pride do tega, da bit bivajočega postane misljiva v čistem mišljenju matematike. Tako izračunljiva bit, postavljena v račun, v matematični struktu- ri iz bivajočega naredi nekaj obvladljivega v jedru moderne tehnike«. Tako j e Wittgensteinu in Heideggeiju skupno poistovetenje matematike in logike, vjedru kalkulacijske dispozicije, kjer misel ni več misleča. In oba to poistovetenje postavita glede na pribežališče v pesnitev, kot tisto, kar v jeziku vztraja v imenovanju tistega, kar se odteguje. Po Heideggeiju nam ostaja zgolj pesem, ki imenuje Zemljo. Wittgenstein pa bo tudi zapisal: »Mislim, da svojo držo v pogledu filozofije povzamem s tem, ko rečem: filozofija bi morala biti napisana kot poetska kompozicija«. Jezikovni obrat je tako filozofsko vzpostavljeno bistveno ustrezanje med na eni strani kalkulacijsko identiteto matematike in logike, ki je odtegnitev mišljenja v korist slepe in tehnične moči pravila, ter po drugi strani arhi-estet- skem zatekanju k pomirjujoči in pojasnjujoči moči pesnitve. Protokol preloma s to filozofsko dispozicijo potemtakem zahteva vsaj dve gesti: Prvaje ponovni kritični premislek pesnitve kot opore arhi-estetskega poj- movanja usode filozofije. To sem, kar se mene tiče, sam opravil v številnih študijah o Mallarmeju, Beckettu ali Hölderlinu. V teh študijah sem razvil splo- šno filozofsko kategorijo »dobe pesnikov«. Singularne operacije poezije sem poistovetil z mislijo (dezobjektivacijo, dezorientacijo, interupcijo in osamitvi- jo) . Pokazal sem, da te operacije niso zmogle podpreti arhi-estetske teme. Toda o tem tu ne bom govoril. Druga gesta je ponovno premišljena ločitev logike in matematike, k i j e zmožna ponovno obnoviti matematiki njeno mislečo dimenzijo preko teze, po kateri je matematika misel biti kot biti. Ponovna obnovitev matematike v njenem mislečem bistvu vzame za svoje izhodišče, kot smo videli, idejo, d a j e bit razvitje čistega mnoštva, in zaradi tega znanost o biti kot biti. Ponovno premišljena ločitev logike in matematike zadeva razlikovanje med ontološko odločitvijo preskriptivnega značaja, ter logičnim nadzorstvom deskriptivnega značaja. To točko bi želel, kot sem že nakazal, na tem mestu utemeljiti. Za kakšno metodo gre? Kar zadeva filozofijo menim, d a j e filozofija vselej pod pogojem dogodkov misli, ki so filozofiji zunanji. Ti dogodki niso niti 1 2 6 O MATEMATIKI, LOGIKI IN FILOZOFIJI njena materija, saj filozofija ni forma, niti njeni objekti, saj filozofija ni reflek- sivna. So pravzaprav njeni pogoji, namreč tisto, kar avtorizira to, da obstaja filozofija oziroma transformacija v filozofiji. Sam jezikovni obrat je bil tako pod pogojem temeljnega dogodka misli: matematizacije logike. Kajti logika, ne pozabimo, je bila tisto, izhajajoč iz če- sar se je filozofija, s ciljem, da bi si misleče prisvojila bit, polaščalajezika. Lo- gika j e bila, med Aristotelom in Heglom, filozofska kategorija moči ontologi- j e nad jezikom. Matematizacija logike nasprotno avtorizira to, da se, če lahko tako rečem, jezik polasti filozofije. Cena za to pa je bila destitucija vsake onto- logije; bodisi v obliki, k i j i jo je podal Wittgenstein: izjave ontologije nimajo smisla; bodisi v obliki, ki j i j o j e podal Heidegger: izjave metafizike so v dobi svoje nihilistične zapore. Vprašamo se torej: kateri dogodek misli, ki zadeva logiko, avtorizira filo- zofijo, da se iztrga gramatikalni in jezikovni moči? Kako si zagotovimo novo notranjo distanco med matematično mislijo kot takšno in matematizirano logiko? Ta dogodek je mogoče povsem identificirati, četudi j e še filozofsko tih. Toda, kot je rekel Nietzsche v razpravi med Zaratustro in Ognjenim psom: »Največji dogodki nas ne presenetijo v najbolj glasnih urah, temveč v času največje tišine.« Ta tihi dogodek j e temeljna sprememba stila v matematični prezentaciji logike. Gre za prezentacijo logike v okviru teorije kategorij, s kon- ceptom toposa ali »univerzuma« v njenem središču. Ta dogodek se pričenja v štiridesetih letih prejšnjega stoletja z Eilenbergovo in MacLanevo stvaritvijo ka- tegorialnegajezika za potrebe algebraične geometrije. Nadaljeval seje v petde- setih letih z Grothendiekovo iznajdbo koncepta univerzuma. Dovršil se je v šestdesetih letih z Freydovo in Lawverovo reformulacijo totalitete logike vje- ziku kategorij. Koncept elementarnega toposa]e postal transparentno orodje. Jean-Toussaint Desanti m e j e prvi opozoril na to, da ontologija, ki izključ- no temelji na teoriji množic - kar j e imenoval intrinzična ontologija - , spre- gleda po njegovem glavni prispevek matematičnega pojmovanja, ki ga podpi- ra edina danost morfizmov oziroma urejenih korelacij med strukturami. Rečem lahko, da sem s tem, ko sem filozofijo postavil pod pogoj teorije topoi vsaj delno razrešil svoj problem po zelo dolgem obdobju blodenja ali abstinence. Refolmulirajmo ta problem, na povsem artikuliran način. To bom storil v šestih tezah. Prva teza: Treba j e prelomiti z jezikovnim obratom, ki je zajel filozofijo. 1 2 7 A I . A I N B A D I O U Druga teza: To j e treba storiti, ker ta usmeritev misli dandanes vodi v dislokacijo brez pogojev in omejitev filozofske želje kot take. Filozofija bodisi postane, kot na anglo-saškem področju, nekakšna ogromna sholastika, slovnica položajev, celo nekakšna pragmatika kultur, bodisi odrešitev mišljenja zaupa, v svoji heideg- gerjanski odvisnosti, postfilozofskim operacijam, nekakšni fragmentarni arhi- estetiki. Tretja teza: Vjedru pogojevjezikovnega obrata obstaja formalno poistovetenje logi- ke in matematike, ki ga v zadnji instanci avtorizira matematizacija logike. Četrta teza: Treba je torej filozofsko proizvesti novo mišljenje razmejitve med mate- matiko in logiko, popolnoma sprejemajoč to, d a j e logika matematizirana. Peta teza: Postavimo, d a j e matematika znanost o biti kot biti, ontologija v ožjem pomenu besede. Šesta teza: Daje logika matematizirana nakazuje torej ustrezanje, še vedno nemišlje- no, med ontološko odločitvijo in logično formo. To ustrezanje j e treba prive- sti na dan pod vrsto ireduktibilnega razmika. Prispevši do te točke, lahko pojasnimo tako težavnost problema kot tudi tisto, kar fiksira za njegovo rešitev dogodkovni pogoj teorije topoi. Najprej težava. Če j e matematizacija logike avtorizirala jezikovni obrat filozofije, j e to očitno zato, ker s e j e logika predstavila kot sintaktična mate- matizacija. S tem hočem reči, d a j e bila vsa njena tema, vse od Fregejeve ideo- grafije dalje, konstituirati logične jezike kot formalne objektitete. Kako v teh pogojih upati, da bo nova izolacija logike kot take lahko zrahljala stisk grama- tikalnosti nad filozofijo? Tudi ločitev logike in matematike lahko še naprej pusti obstoj jezikovnega terorizma, to se pravi, dandanes, kulturalno in relati- vistično pragmatiko, če v vseh primerih matematika pripeljemo vjezikovno in sintaktično sfero. Rečete lahko, na primer: formalizirana teori jaje logika, če so njene izja- ve veljavne v vsakem modelu, ki ni prazen; formalizirana teori jaje matemati- ka, če ji ustreza zgolj singularna družina modelov. Toda ta razmejitev j e filo- zofsko neoperativna. Kajti matematika v njej nastopa zgolj kot primer logike, 1 2 8 O MATEMATIKI, LOGIKI IN FILOZOFIJI oziroma logika j e v njem zgolj neke vrste podstruktura univerzalne sin taktike matematike. Ker ustrezna pojma sintakse in semantike ostajata določujoča v razmejitvi, ta filozofske želje ne more osvoboditi od jezikovnega vpliva. Lahko tudi rečete, to je različica: matematika, in ne le logika, bi bila for- malizirana teorija, ki bi sprejemala eksistencialne aksiome, ki niso zvedljivi na univerzalne aksiome; ki bi o eksistenci in vzpostavitvi svoje konsistence lahko odločila zgolj okoli te odločitve. Tako bi bila sama teorija množic matemati- ka, kolikor aksiomatsko odloča o eksistenci prazne množice in o eksistenci vsaj neskončne množice. Toda tudi tu razmejitev predpostavlja sintaktično bit, k i j e skupna logiki in matematiki, saj razmik zadeva, če lahko tako reče- mo, edino razlikovalno dejavnost kvantifikatorjev. V resnici pa je vse od trenutka, ko je logika matematizirana v obliki sin- takse, ali formalne teorije, njena jezikovna povezava prvobitna, kot sicer to takoj v obliki simptoma izjavi polje njenih označitev v naravnem jeziku: for- malnijeziki, pravila formacije, izjave, propozicije, sintaksa, semantika, postav- ljanje ločil, interpretacija itn. Odslej celo teza, po kateri matematika je onto- logija, izgubi del svojih konstitutivnih moči. Kajti logika, k i j e izpostavljena kot formalni jezik te ontologije, ponovno vpelje jezikovno preskripcijo, ne da bi se mogla ontološka odločitev zlahka vrniti k tej preskripciji. Kakšna je potemtakem vrednost dogodka, ki rematematizira logiko, to- krat v okviru teorije kategorij? Izhaja iz popolne sprevrnitve perspektive. To- rej tega, da sintaktična prezentacija logike kot formalnega jezika razpolaga v kategorialni prezentaciji z univerzumi oziroma modeli kot semantičnimi in- terpretacijami, — tisto, kar je, so univerzumi, katerih logika je notranja dimenzija. Drugače rečeno: vjezikovni prezentaciji j e ontološka dispozicija ustrezni re- ferent formalne teorije. To j e očitno tisto, kar avtorizira neskončno anglosaš- ko gloso, ki loči in artikulira formalno in empirično. V kategorialni prezenta- ciji izhajamo iz geometričnih opisov univerzuma in opazimo lahko, da tej in tej dispoziciji univerzuma na imanenten način ustreza ta in ta logična dispo- zicija. Logika potemtakem postane notranja dimenzija možnih univerzumov. Ali bolj bistveno: opisna karakterizacija misljivega ontološkega stanja sklepa na logične lastnosti, ki so same prezentirane v prostoru biti, ali univerzumu, ki ga opisuje misel. V tej sprevrnitvi je izginilo dvoje: - najprej formalna in jezikovna predhodnost logike, ali splošneje rečeno, gra- matikalnega položaju univerzuma oziroma ontološki odločitvi; - nato razmerje razvitja matematike s strani logike. Dejansko nastopi logika kot notranja prisila, razvita s strani matematike. Predvsem pa je logika loka- lizirana. Je prezentirana in določljiva dimenzija univerzumov, katerih mož- nost skuša opisati matematika. 1 2 9 A I . A I N B A D I O U Problem razmejitve med matematiko in logiko torej dobi povsem druga- čen aspekt. Te razmejitve ni več mogoče odločiti zjezikovnimi kriteriji, ki soji izčrpali moč. Napotenaje na razlikovanja, ki so sama ontološka, in ki so mno- go bolj temeljna, in ki zadevajo dva konceptualna para: par realnega in mož- nega ter par globalnega in lokalnega. To bi lahko imenovali bistveno geome- trizacijo razmerja in de-razmerja [dé-rapport] med logiko in matematiko. Prevedel Peter Klepec 1 3 0 Filozofski vestnik Letnik/Volume XXI • Številka/Number 1 • 2000 • 131-155 MATEMATIČNA METODA IN FILOZOFSKA RESNICA* IAN MUELLER I. Platonova Akademija in znanosti Nekje med začetkom osemdesetih in sredino šestdesetih let četrtega stoletja pr. n. š. j e Platon ustanovil šolo, k i je pozneje postala znana kot Akademija.1 Naši podatki o zgodnji Akademiji so zelo pičli. Vemo, d a j e bil Platon vodja (sholarh) Akademije vse do smrti in da ga je na tem položaju nasledil njegov nečak Spevzip. Vemo, da so prihajali na Akademijo mladeniči z vseh koncev grškega sveta in d a j e najslavnejši med njimi, Aristotel, ostal tam približno dvajset let. Kaže pa, da - vsaj v Platonovem času - za udeležbo v Akademiji ni bila potrebna šolnina.2 Tako ni videti verjetno, d a j e imela kakršnokoli urad- no »poklicno osebje« ali da so »študenti« vpisali vrsto predavanj, ki bi jih us- posabljala za doseganje določenega položaja v življenju. Akademija je bila po vsej verjetnosti bolj skupnost intelektualcev, ki so se sami preživljali in ki so se zbirali okoli Platona ter se ukvarjali z različnimi vprašanji; ta so segala od metafizičnih abstrakcij do bolj konkretnih političnih in etičnih problemov. V 7. knjigi Države Sokrat opisuje načrt višje izobrazbe, ki naj bi usposobil najbolj obetavne mladeniče utopičnega mesta-države za idealne voditelje. Po- * Copyright © 1992 Cambridge University Press. Tiskano z dovoljenjem avtorja in založbe. Pre- vedeno po: lan Mueller, »Mathematical method and philosophical truth«, v: The Cam- bridge Companion to Plato, ur. Richard Kraut, Cambridge University Press, Cambridge 1992, str. 170-199. Zahvaljujem se Richardu Krautu za pripombe k zgodnejši verziji te razprave. 1 Uporabno razpravo o Platonovi Akademiji najdemo v 2. poglavju knjige Johna Patric- ka Lyncha, Aristotle's School (Berkeley, 1972). Dokazovanje večine trditev o Platonu in Akademiji j e zelo zapleteno. Jasno skušam nakazati, kdaj je tisto, kar pravim, splošno sprejeto, kdaj pa j e bolj sporno. 2 Glej Diogen Laertski, Življenja in misli znamenitih filozofov, IV. 2; Olimpiodor, Komentar k Alkibiadu večjemu, 140. 16-17 (F. Creutzer, Olympiodorus: In Platonis Alcibiadem Comentarii [Frankfurt, 1821]); ter Olimpiodor, Anonimni uvod v Platonovo filozofijo, 5. 24-27 (L. G. Westerink, Anonymous Prolegomena to the Philosophy of Plato [Amsterdam, 1962]). 1 3 1 I A N M U E L I . E R gosto domnevajo (kar je seveda povsem naravno), d a j e ta učni načrt tesno povezan s Platonovimi načrti za Akademijo; včasih celo predpostavljajo, da gre v temelju pravzaprav prav za te načrte.3 Pomembno j e uvideti, d a j e treba to predpostavko vzeti s precejšnjim pridržkom. Prvič, Atene v četrtem stoletju niso niti približek Platonove utopije; Platon ni mogel pričakovati, da bodo vstopajoči v Akademijo tako zavzeti, kot naj bi bili utopični državljani. Drugič, urnik poučevanj a v Državi je videti popolnoma neizvedljiv v privatno organizi- rani ustanovi svobodnega mesta: deset let matematike - se pravi aritmetike, geometrije, stereometrije, matematične astronomije in nauka o harmoniji;4 pet let dialektike; petnajst let praktičnih izkušenj; nato pa, za nekaj izbranih petdesetletnikov, vzpon k Dobremu, ki so mu izmenično sledila obdobja vla- danja in filozofiranja. Ne vemo, ali je Akademija sploh imela kakšne potrebe po učnem načrtu, vendar pa se mi zdi zelo verjetno, da bi se že takoj na začet- ku izjalovila, če bi Platon oznanil novim članom, da bodo začeli z najpomem- bnejšim študijem šele čez trideset let. Verjetno moramo domnevati, d a j e bilo akademsko »izobraževanje« pre- cej bolj zgoščeno, da so torej matematika, dialektika in razpravljanje o Do- brem potekali sočasno. Toda kako j e potekal pouk? Spet mislim, da kaže pri tem poudariti neformalnost. Skupine ljudi so se zbrale, da bi razpravljale o zadevah splošnega interesa. V teh razpravah so bili očitno prisotni tudi vodje, učitelji. Vemo, d a j e imel Platon vsaj enkrat javno predavanje o Dobrem, več namigov pri Aristotelu pa nas napeljuje k mišljenju, d a j e Platon v tej razpravi poudaril nekatere ideje, ki j ih v dialogih ni izrazil."' Verjetno so bila kakšna predavanja tudi pri pouku matematike, vendar pa lahko upravičeno sklepa- mo, da so bile običajne tudi oblike sokratske razprave. Kar se tiče predmetov znanstvene razprave, se je treba zavedati, da so po naših dokazih v Akademiji poučevali več disciplin, kot pa j ih je omenjenih v Državi. Najsplošnejši dokaz so že interesi različnih ljudi, ki so bili tesno pove- 3 Dva vplivna primera tega sta Paul Shorey, What Plato said (Chicago, 1933), str. 30, ter F. M. Cornford, »Mathematics and Dialectic in the RepublicVl- VII«, Mind41 (1932), str. 173-174 (ponatis v Studies in Plato's Metaphysics, ur. R. E. Allen [London, 1965], str. 77- 78). O kritiki tega glej Harold Cherniss, The Riddle of the Early Academy (Berkeley, 1945), str. 66-82. 4 Sokrat imenuje te predmete mathemata, kar j e splošni naziv za stvari, ki se j ih j e treba naučiti. Zaradi vpliva Države so začeli besedo uporabljati posebno za te predmete, in tako je mathemata postal strokovni izraz, ki ga ponavadi prevajajo kot »matematika«. Tudi sam bom uporabljal ta prevod, vendar j e pomembno uvideti, da vsebuje za Platona in druge antične pisce »matematika« tako predmete, k i j ih povezujemo s fiziko, kot tudi nekatere, kij ih povezujemo s čisto matematiko. 5 Za uvod v to zelo zapleteno vprašanje glej Konrad Geiser, »Plato's Enigmatic Lecture On the Good«, Phronesis25 (1980), str. 5-37. 1 3 2 M A T E M A T I Č N A M E T O D A IN FILOZOFSKA RESNICA zani z Akademijo.0 Vendar pa imamo na voljo tudi bolj dragocena pričevanja. Eno izvira iz pogovora neimenovanih sogovornikov v fragmentu komedije Platonovega sodobnika Epikrata (Theodorus Kock, ur., Comicorum Atticorum Fragmenta, 3 zv. [Leipzig, 1880-88], 2. zv, str. 287-288): Kaj pa Platon, Spevzip in Menedem?7 S katerimi zadevami se ukvaijajo zdaj? Katero misel, kateri dokaz (logos) preučujejo? Če karkoli veš o teh rečeh, mi prosim to preudarno povej. Odkrito lahko govorim o teh stvareh. Na panatenajah sem videl gručo mladeničev v gimnaziju Akademije8 in jih slišal govoriti neizrekljivo čud- ne reči. Govorili so o razlikah v zvezi z naravo, o življenju živali, o naravi dreves in o rodovih zelenjave. Med drugim so preučevali, katerega rodu je buča. Kako so ga določili in kateri je rod rastline? Pojasni mi to, če veš. No, najprej so vsi molče stali, se sklanjali predse in precej časa premiš- ljevali. Nenadoma, medtem ko so mladeniči še vedno stali sklonjene glave in razmišljali, jo je nekdo proglasil za okroglo zelenjavo, drugi za travo, tretji za drevo. Sicilski zdravnik, kije slišal te stvari,je prdnil proti tem bedakom. To je moralo študente zelo razkačiti. Verjetno so kaj zavpili zaradi po- smehovanja tega moža. Kajti ne spodobi se početi takih reči med raz- pravo. Niso se vznemirjali. Platon je bil tam in ukazal j imje, zelo blago in brez razburjenja, naj še enkrat poskusijo od začetka in razločijo rod buče. In tako so nadaljevali s tem. Zanesljivost komične predstavitveje vedno podložna skepticizmu učenja- kov, ki imajo teorije za nezdružljive s predstavitvijo. Ta prikaz Platona, kako nadzira biološko klasifikacijo, se ne ujema prav dobro z izobrazbenim načr- tom Države. Toda kot sem že dejal, to je idealni načrt za idealno državo. Prav tako j e prilagojen posebnemu filozofskemu namenu, namreč pokazati, kako določeni študiji usmerjajo dušo z zaznavnega sveta k inteligibilnemu svetu. (Prim. zlasti 521 C-D.) Ta filozofski namen zelo zaznamuje Sokratov opis 0 Glej G. C. Field, Plato and his Contemporaries, 3. izd. (London, 1967), str.40-45. 7 Platonov učenec Menedem je bil po Spevzipovi smrti leta 339 skorajda izvoljen za sholarha Akademije. Glej François Lasserre, De Léodamas de Thasos à Philippe d'Oponte, 2. zv.: La scuola di Platone (Neapelj, 1987), str. 93-96, s komentarjem. "Tukaj j e Akademijajavni prostor na obrobju Aten, po katerem je Platonova Akademi- j a dobila ime. Platon j e učil na javnem prostoru in blizu njega uredil rezidenco. Dve uporabi izraza »Akademija« včasih vnašata nekaj zmede v naše vire. 1 3 3 I A N MUEI.I .F .R poteka višje izobrazbe; čeprav bi bilo zmotno sprevračati njegove besede do te mere, da bi celo zanikali, da j ih Platon sploh resno misli, ne smemo pred- postavljat; da j e to, kar pravi, že povsem izčrpalo Platonovo stališče o znanosti ali d a j e varno pred retoričnim pretiravanjem. Drug dokaz, o katerem bi rad govoril, nas vodi neposredno na področje matematike. To je poročilo o Platonovem delovanju, ki ga najdemo v Filode- movi zgodovini platonske šole, napisani v prvem stoletju pr. n. š.'J Na žalost se je ohranila v papirusnem zvitku v bornem stanju in zahteva dopolnjevanje, katerega stopnja zanesljivostije različno visoka. V svojem prevodu nakazujem nekatera glavna vprašljiva mesta.10 V tem času je prišlo do velikega napredka v matematiki, ko je Platon deloval kot glavni vodja (architehtonountos) in natančno določil proble- me, matematiki pa so jih resno raziskovali. Na ta način so metrologija (metrologia) in vprašanja v zvezi z <...>" prvič dosegli visoko raven, ko so E[ks]12 in njegovi nasledniki preobrazili staromodno delo (a[rch]ai- smon) pota.13 Tudi geometrija je zelo napredovala; kajti razvi- li so analizo in [lemo] v zvezi z diorismoi, pa tudi na splošno je geometri- ja doživela velik razvoj. Pa tudi te in mehanike nikakor niso zanemarjali. Marsikaj bi se dalo reči o tem odlomku, toda za zdaj želim obravnavati le zadeve, ki so povezane s Platonom. Izraz metrologia se ne pojavlja nikjer drugje 9 Tako imenovani Academicorum Philosophorum Index Herculanensis. Filodem navaja iz- vlečke iz zgodnejših avtorjev, toda vprašanje o tem, katerega avtoija navaja v našem od- lomku, j e sporno. O razpravi v zvezi s tem glej Konrad Gaiser, Philodemus: Academica (Sup- plementum Platonicum I) (Stuttgart-Bad Cannstatt, 1988), str. 76-77, 88-91, čigar re- konstrukciji (str. 152-153) sem v marsičem sledil. 10 Črke v lomljenih oklepajih (< >) ustrezajo vrzelim v papirusu, črke v oglatih oklepa- jih ([ ]) pa črkam, ki j ih ni mogoče zanesljivo razbrati. Te nadrobnosti sem navajal le v primerih, ko je bilo to pomembno za mojo temo. 11 Vrzel tukaj j e dolga približno za sedem črk, sledijo pa j i čitljive črke 2MOYZ. Dom- nevno gre za: definicije, števila, razmerja, diorismoi, oltarje, astronomijo, atome. Gaiser omenja kot drugi možnosti ritme in odseke. 12 Evdoks, ki je bil nemara največji matematik in astronom četrtega stoletja, j e verjetno prav tako prebil nekaj časa v Akademiji, čepravje preživel precej časa tudi drugod in vodil šolo v Knidu. Gradivo, ki se nanaša nanj, na jdemo v delu Françoisa Lasserra, Die fragmente des Eudoxos von Knidos (Texte und Kommentare IV) (Berlin, 1966). Kratek povzetek nje- govih dosežkov podaja Charles C. Gillispie, ur., Dictionary of Scientific Biography (New York, 1970-80). Ta slovarje na splošno zanesljiv vir podatkov o znanstvenih dosežkih večine grških matematikov, ki so omenjeni v tej razpravi in v drugih delih o grški znanosti. 13 Ce j e rekonstrukcija pravilna, gre za Hipokrata s Hiosa, najzgodnejšo osebo (pozno 5. stoletje), kiji lahko zanesljivo pripišemo posebna matematična znanja. Kot pravi Pro- klos (Komentar k prvi knjigi Evklidovih Elementov, 66. 7-8) , j e bil Hipokrat prvi, za katerega vemo, d a j e napisal Elemente (več kot stoletje pred Evklidom). 1 3 4 M A T E M A T I Č N A M E T O D A IN FILOZOFSKA RESNICA v ohranjeni grški literaturi. Še najbolje ga lahko prevedemo kot »teorijo mer- jenja«, toda ni jasno, kaj bi lahko bila takšna teorija.14 Evdoksovo najbolj zna- no delo v čisti matematiki se ukvarja s teorijo razmerij ter merjenjem površin in prostornin s posrednimi postopki (Evklid, Elementi, 5. in 12. knjiga); zanj j e posebej značilna logična tankovestnost njegovih metod. Če bralci Države niso presenečeni ob omembi, d a j e geometrija pod Platonovim vodstvom napre- dovala, pa j ih utegne osupniti omenjanje optike (domnevno) in mehanike (nesporno). Nekateri bi se morda radi zatekli k lastnim domnevam in skušali tako upravičiti to omembo, toda kot sem že nakazal, j e veliko bolj razumno, če sprejmemo kot dejstvo, da Platonova Akademija še zdaleč ni bila tako »pla- tonska« kakor institucija višje izobrazbe v Državi. Filodemov odlomek govori o Platonovem vodenju matematike, o tem, kako je razgrinjal probleme, ki so j ih matematiki nato vneto in z velikim uspe- hom raziskovali. V zvezi s tem vidikom Platonove dejavnosti obstajata dve do- bro znani anekdoti. Prva se tiče tako imenovane podvojitve kocke, torej kon- strukcije kocke z dvakrat večjo prostornino, ko t j o ima dana kocka.15 Kot pra- vijo stare zgodbe, so pri Platonu zanimanje za to vprašanje spodbudili Delci, ki so se obrnili nanj, naj j im pomaga ugoditi bogu Apolonu, ki jim je bil zau- kazal, naj dvakrat povečajo obseg oltarja. V skladu z drugo zgodbo je Platon očital Evdoksu, Arhitasu in Menehmu, da so problem podvojitve zvedli na mehanično konstrukcijo in tako uničili dobrost geometrije, saj so jo »obrnili nazaj k čutno zaznavnim stvarem, namesto da bi j o povzdignili navzgor, da bi doumela večne in netelesne podobe« (Plutarh, Quaestiones Convivales [»Po- govor ob mizi«], 718 E—F). To j e pravi »platonizem«, povsem v skladu z Drža- vo. Zal j e rešitev problema podvojitve, ki jo pripisujejo Platonu, še bolj meha- nična kot tiste, kij ih je menda kritiziral, saj vključuje konstrukcijo instrumen- ta. Seveda se lahko odločimo, da te rešitve ne bomo pripisali Platonu, toda to je težje pojasniti kot pa zgodbo o njegovem grajanju drugih rešitev. Drug primer Platonovega razgrinjanja vprašanj se tiče nepravilnega gi- banja planetov v primerjavi s soncem in luno.16 Sonce in luna po vsem sodeč 14 Kot Gaiser se tudi sam nagibam k misli, da ima nekaj opraviti z obravnavo splošnih mer in njihovo odsotnostjo (tj. inkomenzurabilnostjo). Lahko pa bi bil povezan tudi z določanjem površin in prostornin. 15 S tem vprašanjem so se verjetno ukvarjali že v času pred Platonom, saj je bil Hipokrat s Hiosa menda prvi, ki j e ugotovil, da je vprašanje konstrukcije kocke, ki ima dvojno prostornino kocke z dolžino roba l, rešljivo tako, da najdemo tak x in y, da bo l: x:: x: y:: y : 2 L Z a podrobnejše poznavanje grškega obravnavanja teh vprašanj glej Thomas Heath, A History of Greek Mathematics, TM. 1 (Oxford, 1921), str. 244-270. Heath podaja domnevno Platonovo rešitev na str. 255-258. Drug matematični dosežek, ki so ga v starih časih pripi- sovali Platonu, j e bil postopek za izračunavanje kvadratnih števil, enakih vsoti dveh kva- dratnih števil; glej ibid.., str. 79-82. Opis, ki ga tu podajam, j e poenostavljen. Grki so imeli sonce in luno za planeta, kajti 1 3 5 I A N M U E L L E R vsak dan prepotujeta enakomerno pot čez nebo z vzhoda proti zahodu in vsak mesec ali leto enakomerno pot z zahoda proti vzhodu. Planeti prepotujejo vsak dan isto enakomerno pot z vzhoda proti zahodu, toda na njihovi poti z zahoda na vzhod se pojavljajo osupljivi odkloni, vključno z obdobji navidez- nega gibanja z vzhoda na zahod. V svojem komentarju k Aristotelovemu delu O nebu Simplikij (četrto stoletje našega štetja) pojasnjuje vprašanje »reševa- nja« teh nepravilnih gibanj oziroma podajanja njihovih razlag: Da bi ta mnogotera gibanja rešili v posamičnih primerih, predpostavlja- jo nekateri obstoj ekscentrov [krožnih orbit, ki imajo druga središča kot Zemlja] in epiciklov [krožnic, ki imajo središča na obodu krožečih sfer], drugi pa postavljajo hipotezo o tako imenovanih nasprotno delujočih homocentrih.17 V resničnem prikazu se planeti ne ustavljajo ali gredo nazaj, niti ne povečujejo ali zmanjšujejo hitrosti, četudi se zdi, da se gibljejo na tak način, nitijih hipoteze ne dopuščajo kot takih, pač pa so nebesna gibanja pokazana kot preprosta in krožna in enakomerna in urejena z očitnostjo svoje lastne bitnosti. Ker pa ni mogoče, da bi zmož- nost, kije omejena na pojavnosti (phantasia), točno doumela, kako so planeti razpostavljeni, in ker posledice, izpeljane iz takšne zmožnosti, niso resnica, je bilo rečeno, naj bi poskusili odkriti hipoteze, po katerih je mogoče navidezna gibanja planetov razrešiti z enakomernimi, ureje- nimi in krožnimi gibanji. In kot poroča Evdem [Aristotelov družabnik] v drugi knjigi svoje Zgodovine astronomije - kot tudi Sozigen [drugo sto- letje našega štetja], ki se opira na Evdema - , je bil, kot pravijo, Evdoks iz Knida pivi Grk, ki seje ukvarjal s takšnimi hipotezami; kot pravi Sozi- gen, je problem postavil Platon tistim, ki so se ukvaijali s temi zadevami: s postavljanjem hipotez o enakomernih in urejenih gibanjih, s katerimi je mogoče razrešiti navidezna gibanja planetov. (Simplikij, Komentar k Aristotelovemu »O nebu«, 488.7-24) Astronomijaje vključena v učni načrt Države, toda kot bomo videli, Sokra- tov opis tega predmeta na prvi pogled ni združljiv s Platonovim domnevnim interesom za »reševanje fenomenov«. Zopet je tu očitno naspro^e med znans- v nasprotju z zvezdami stalnicami sta se očitno pomikala z zahoda proti vzhodu. Med mnogimi viri, iz katerih se lahko poučimo o stari grški astronomiji, naj omenim delo D. R. Dicksa Early Greek Astronomy to Aristotle (Ithaca, N.Y., 1970). 17 Simplikij se tukaj sklicuje na teorije, kakršne j e razvijal Evdoks. Vključujejo pogled, da so sonce, luna in planeti pritrjeni na sfere, ki krožijo okoli Zemlje kot središča. Da bi razložil nepravilna gibanja, je Evdoks predpostavil dodatne sfere, ki krožijo v drugi smeri in delujejo nasprotno od gibanja prvotne sfere nebesnega telesa. 1 3 6 M A T E M A T I Č N A M E T O D A IN FILOZOFSKA RESNICA tveno prakso in Platonovim poskusom v Državi, da bi vključil znanost v izobra- ževanje vladarjev idealne države. Toda na tem mestu bi rad poudaril predvsem očitno dejstvo, d a j e Platon imel nekakšno vlogo splošnega matematičnega voditelja, k i je postavljal vpra- šanja pred matematike svojega časa, včasih z osupljivimi rezultati. Ni nam tre- ba domnevati, d a j e delo, povezano s Platonovo pobudo, v celoti potekalo v Akademiji, in v primeru Evdoksa upravičeno predpostavljamo, da ni. Prav tako ni treba misliti, d a j e Platona vloga vodje odvračala od tega, da uporabi svoje lastne darove pri reševanju znanstvenih problemov. Vendar pa ni pre- pričljivega dokaza, d a j e imel Platon kaj prida uspeha na tem področju, in mnogi matematični in znanstveni odlomki v njegovem pisanju so obloženi z nepredirno nejasnostjo. Najbolje j e torej, če vidimo v Platonu vir izziva in navdiha za matematike, ne pa matematika, ki bi bil resnično pomemben.18 II. Matematična metoda: analiza, sinteza, diorismoi in leme Poleg navajanja različnih vej matematike omenja Filodemov odlomek tudi »analizo in lemo v zvezi z diorismoi«. Pojma analiza in diorismos se v grških razpravah pojavljata na nekoliko nejasen način,19 četudi osnovne zamisli niso težke. Moj pristop bo malce poenostavljen. Analizo si lahko zamislimo kot proces, v katerem iščemo dokaz za trditev P tako, da iščemo propozicije, iz katerih sledi P, propozicije, iz katerih sledijo te propozicije in tako naprej, vse dokler ne dosežemo propozicij, ki so že potrjene; pri sintezi preprosto zabele- žimo dokaz, ki g a j e odkrila analiza, se pravi, gremo skozi korake analize po vzvratni poti. V najsplošnejšem primeru se osredotočimo na eno samo potrje- no propozicijo Q ki (združena s propozicijami Qp ... Qn, tako odvzetimi kot dodanimi) implicira P, se pravi, j e zadosten pogoj za resničnost P, lahko se zgodi, da tudi P implicira Qin v tem primeru bo tudi Qnujni pogoj za resnič- nost P. Diorismos ponavadi razlagajo kot določitev nujnih in zadostnih pogojev za rešitev problema ali za resničnost propozicije. Standardni primer ponuja 22. propozicija prve knjige Evklidovih Elementov. 18 O tem glej temeljno razpravo Harolda Chernissa, »Plato as Mathematician«, Review of Metaphysics 4 (1951), str. 395-426, ponatisnjeno v njegovih Selected Papers, ur. Leonardo Taran (Leiden, 1977). 10 Glavni vir zbeganosti (in protislovnosti) izhaja iz opisov analize, v katerih j e ta pred- stavljena kot dejavnost, ki ima opravka bolj z deduciranjem sklepov kot pa z iskanjem predpostavk. V zvezi z razpravo o tem glej Norman Gulley, »Greek Geometrical Analysis«, Phronesis 3 (1958), str. 1-14. 1 3 7 I A N M U E L L E R 1. 22 Iz treh premic, ki so enake trem danim premicam, konstruirati trikotnik; nujno paje, da sta dve, vzeti skupaj na kakršenkoli način, večji od preostale. Tukaj drugi stavek, diorismos, potrjuje nujni in zadostni pogoj, d a j e trikotnik mogoče konstruirati iz treh danih premic. Toda Evklid ga formulira kot nujni pogoj in pokaže (z izvedbo konstrukcije), d a j e zadosten.20 Da j e pogoj nujen, je dokazal že v propoziciji 1. 20: 1. 20 V kateremkoli trikotniku sta dve stranici, vzeti skupaj na kakršen- koli način, večji od preostale. V svojem Komentarju k prui knjigi Evklidovih Elementov Proklos pojasnjuje, kaj je lema: Izraz lema ponavadi označuje katerokoli premiso, ki j o privzamemo pri potrjevanju nečesa drugega, kakor kadar ljudje pravijo, da so dobili do- kaz iz toliko in toliko lem. Toda v geometriji je lema premisa na pose- ben način, saj potrebuje verifikacijo (pistis). Kadarkoli v konstrukciji ali dokazu privzamemo nekaj, kar ni bilo pokazano, temveč potrebuje izra- čun (logos), imenujemo to podmeno lema, saj se nam zdi vredna razi- skovanja, četudije v sebi dvomljiva; razlikujemo jo od postulata in aksio- ma, ker je dokazljiva, medtem ko ona dva privzemamo brez dokaza, da bi verificirali druge stvari. Najboljši način, kako najti lemo, je razmišlja- nje (dianoia).... Vseeno pa se metode prenašajo. Najboljšaje, da to, kar iščemo, z analizo zvedemo na dogovorjeno načelo, kar je metoda, ki jo je baje Platon prenesel Leodamantu; izhajajoč iz nje naj bi Leodamant odkril toliko stvari v geometriji. (Komentar k Evklidu, 211.1-23) Proklos omenja Leodamanta21 v prikazu zgodovine matematike pred Ev- klidom, zlasti zgodovine geometrije: Platon je dosegel velik napredek geometrije in preostale matematike zaradi resnosti, s katero ju je obravnaval, kar je razvidno iz pogostnosti matematičnih razmislekov (logoi) v njegovih spisih22 in iz tega, kako je v privržencih filozofije povsod zbujal občudovanje za matematiko. V tem času so živeli tudi Leodamant s Tasosa, Arhitas iz Tarenta in Teajtet iz 2(1 Gotovo so situacije, ko seje treba zadovoljiti z zadostnimi, toda ne nujnimi pogoji, ali pa vedeti, da so nekateri pogoji nujni, vendar ni mogoče dokazati, da so zadostni, toda Grki se pri razpravah o diorismoi ne dotikajo tega vprašanja. 21 Leodamant je tudi naslovljenec Platonovega Enajstega pisma, katerega vsebina se tiče politike. Sicer ne vemo o njem ničesar, razen tega, kar nam pravi Proklos. 22 Dokaj dober seznam matematičnih odlomkov iz Platonovih del, skupaj z razpravo, najdemo v: Attilio Frajese, Platone e la matematica net mondo antico (Rim, 1963). 1 3 8 M A T E M A T I Č N A M E T O D A IN FILOZOFSKA RESNICA Aten. ... Neoklid in njegov učenec Leon sta bila mlajša kot Leodamant in sta dodala nova odkritja k tistim njunih predhodnikov, tako d a j e Leon sestavil Elemente, ki so po svojem obsegu in uporabnosti rezultatov prekašali vse dotlej, poleg tega pa je odkril diorismoi, [ki nakazujejo], kdaj je problem mogoče rešiti in kdaj nemogoče. (Komentar k Evklidu, 66.8-67.1 )23 Četudi j e Filodemov izraz »lema v zvezi z diorismoi« komajda razviden, se mi zdi povsem verjetno, da nima nič bolj specifičnega pomena kot izraz »ana- liza« in da Filodemov odlomek pripisuje Platonovemu času zanimanje za iska- nje lem in diorismoi, se pravi zadostnih (in morda nujnih) propozicij za dokaz drugih teoremov, ter pogojev, pod katerimi je mogoče problem rešiti (ali teorem dokazati). Nedvomno imamo kljub raznolikosti terminov opraviti z eno samo osrednjo metodologijo. Iskanje premis (analiza), ki so potrebne za potrditev propozicije ali rešitev konstrukcijskega problema, lahko vodi nazaj k potrjenim propozicijam ali konstrukcijam (uspešna analiza), ah v potrebi po dokazu k lemi, ali k omejitvi propozicije ali konstrukcije na pogoje, pod katerimi sta lahko dokazani ali izvršeni (diorismos). Platonu samemu pripisu- jejo, d a j e to metodologijo prenesel drugim.24 Ne bom se dlje ukvarjal s tem vidikom Platonove dejavnosti, ampak bom prešel na nekatere ključne odlom- ke, ki kažejo vpliv teh matematičnih metod in pojmov na Platonovo lastno metodološko mišljenje. III. Raziskava iz hipoteze v M e n o n u Platon besed »lema«, »diorismos«, »analiza« ali »sinteza« ne uporablja v njihovem tehničnem pomenu, toda v Menonu kot proceduralni precedens priklicuje matematični način razgrinjanja pogojev, pod katerimi je mogoče rešiti neki problem. Menon prosi Sokrata, naj mu pove, ali j e mogoče vrlino učiti, in Sokrat ga prosi, naj bo sposoben obravnavati vprašanje »iz hipoteze«. Kar mislim s tem »iz hipoteze«, je podobno načinu, kako geometri po- 23 Celoten ta odlomek (ki se nadaljuje do 68.6 in ga lahko beremo v angleškem prevo- du Glenna R. Morrowa v: Proclos: A Commentary on the First Book of Euclid's Elements [Prince- ton, 1970]) j e temeljni dokument za interpretacijo Platonovega odnosa do matematike njegovega časa. Jasna implikacija tega odlomka (ki navsezadnje veijetno izvira od Evde- ma) j e ta, d a j e vsa matematična dejavnost v četrtem stoletju potekala pod Platonovim vplivom in verjetno na Akademiji. Toda Platon sam je opisan le v navedenem odlomku, kjer j e omenjen kot entuziast, ki zna navdihniti druge. 24 Gotovo j e tudi naloga »razreševanja navideznih gibanj planetov« zahteva po analizi navideznih gibanj in njihovem zvajanju na enakomerna krožna gibanja. 1 3 9 I A N M U E L L E R gosto pretresajo kako vprašanje, kijim ga kdo postavi, na primer o dolo- čeni površini, alijo je mogoče vrisati v določen krog kot trikotnik. Nek- do bi lahko rekel: »Ne vem še, ali j e takšna, toda mislim, da imam neko za to stvar uporabno hipotezo, kakor je naslednja: če je ta površina tak- šna, da se postavljena k dani daljici kroga zmanjša za takšno površino, v kolikršni je bila postavljena, potem mislim, da odtod sledi en rezultat, drug pa, po drugi strani, če se to ne more zgoditi. S tem, ko postavljam hipotezo, vam torej želim povedati rezultat, ki se tiče vrisovanja te povr- šine v krog, namreč ali je možno ali ne.« (Menon, 86 E-87 B)25 Sokrat tu po vsem sodeč opisuje situacijo, v kateri geometer obravnava problem, ki bi ga Evklid izrazil kot: Problem. Vrisati trikotnik dane površine v dani krog. Sokratov geometer »rešuje« ta problem s postavljanjem pogoja, da mora po- vršina ustrezati. Evklid bi dodal ta pogoj k svoji postavitvi problema kot diori- smos: Diorismos. Tako je nujno, da se površina trikotnika, »postavljena k dani daljici kroga zmanjša za takšno površino, v kolikršnije bila postavljena«. Da bi bil ta diorismos učinkovit, moramo seveda poznati (ali privzeti) teorem v naslednjem smislu: Teorem. Če je površina trikotnika, vrisanega v krog, »postavljena k dani daljici kroga, se zmanjša za takšno površino, v kolikršnije bila postavlje- na«. Sokratova predstavitev geometrijskega problema ne pojasnjuje, ali j e zanj hi- poteza, od katere je odvisen problem, diorismos ali pa teorem. Dejansko j e seveda odvisen od obeh: da bi rešili problem, moramo vsiliti pogoj, ki ga po- daja diorismos, in se opreti na teorem. Ko se Sokrat vrne k predmetu vrline, pravi: Tako torej v zvezi z vrlino, ker ne vemo niti, kaj je, niti, kakšna stvar je, postavimo hipotezo in poglejmo, al i jo je mogoče učiti ali ne: kakšna stvar med tistimi, ki so povezane z dušo, bi bila vrlina, da bi jo bilo mo- 25 Moj prevod Menona se z zelo rahlimi popravki ravna po R. W. Sharplesu, Plato, Meno (Warminster, 1985) [Slovenski prevodi grških citatov so usklajeni z izvirnikom, upošteva- joč avtorjevo razumevanje in poudarke. - Op. prev.]. Sharpies na kratko razpravlja o nejasnostih matematičnega primera na str. 158-161. Sam bom pisal, kot d a j e pomen primera razviden, primer torej preprosto podajam, ne da bi ga razlagal. Interpretacijo celotnega odlomka dolgujem Ernstu Heitschu, »Piatons hypothetisches Verfahren im Menon«, Hermes 105 (1977), str. 257-268. 1 4 0 M A T E M A T I Č N A M E T O D A IN FILOZOFSKA RESNICA goče učiti ali ne učiti? Prvič, če je nekaj različnega od vednosti ali po- dobnega vednosti, ali jo je mogoče učiti ali ne? ... Oziroma, ali je vsaj to jasno vsakomur, da človeka ni mogoče učiti ničesar drugega kot vedno- sti? Toda če je vrlina nekakšna vednost, potem je jasno, da jo je mogoče učiti. Torej smo s tem hitro končali: če je takšna, jo je mogoče učiti, če je drugačna, pa ne. (Menon, 87 B-C) Pri tej aplikaciji hipotetične metode Sokrat ne opisuje diorismos, ampak izvaja to, kar sem imenoval analiza, se pravi, zvede vprašanje ugotavljanja, alije vrli- no mogoče učiti, na trditev, d a j e vrlina vednost, če in samo če jo je mogoče učiti, ali vsaj: Hipoteza-teorem. Če je vrlina vednost, tedaj jo je mogoče učiti. Toda v skladu s potrebo po diorismos v geometrijskem primeru je hipoteza- teorem uporabna samo, če lahko postavimo: Hipoteza-lema. Vrlina je vednost. Med poznavalci vlada nesoglasje o tem, katero od teh dveh hipotez ima Sokrat za hipotezo, na katero j e zvedel vprašanje učljivosti. Najbolj izrecna besedila (89 C-D) kažejo na hipotezo-teorem, in to bi tudi pričakovali z vidi- ka modela geometrijske analize. Seveda p a j e hipoteza-lema tudi podmena, in treba jo je potrditi, da bi pokazali (ob uporabi hipoteze-teorema), d a j e vrlino mogoče učiti. Sokrat j o v nadaljevanju potrjuje z uporabo nadaljnje hipoteze, d a j e vrlina dobra (87 C-89 A; Sokrat se sklicuje na »vrlinaje dobra« kot hipotezo v 87 D). Ni jasno, a l i je ta nova hipoteza pojmovana kot »teo- rem« ali kot »lema«, k i j o j e še vedno potrebno upravičiti. Sokrat govori o njej kot o obdrževanju (menein, 89 D) in jo ohranja do konca Menona, kakor tudi hipotezo-teorem. Menon vsebuje priredbo metode analize do te mere, da zve- de učljivost vrline na dve hipotezi-teorema. Vendar pa nikakor ne gre za po- polno ujemanje z uspešno matematično analizo, kajti dialog se konča s Sokra- tovim spodbijanjem tako hipoteze-leme kot učljivosti vrline (89 C in dalje). Odsotnost popolnega ujemanja je po mojem mnenju odsev praktične razlike med matematiko in filozofijo. Če se ozremo na matematiko, si ne mo- remo kzy, da ne bi bili prevzeti nad njenim uspehom, nad navidez dokonč- nim načinom, kako rešuje odprta vprašanja in razrešuje spore. Ta pogled na matematiko se izraža v nagnjenju Grkov, da vidijo v geometrijski analizi uspe- šno analizo, bolj metodo najdevanja kot pa metodo iskanja. Prav tako nam 1 4 1 I A N M U E L L E R lahko razloži, zakaj ni v Menonu nobenega poskusa, da bi povezali naknadno ovržbo trditve, da j e vrlina vednost, z matematikovim raziskovanjem iz hipote- ze. Toda v filozofiji »analiza« in odkritje lem veliko manj verjetno privedeta do dokončnega odgovora na vprašanje; kajti tako kot v Menonu je lema pogo- sto spoznana za vprašljivo. Ce je razmeroma jasno, d a j e v Menonu filozofska hipoteza »teorem«, pa se bo pojasnilo, da Platon uporablja besedo »hipote- za« za leme, ki so mišljene kot poskusne in podvržene raziskovanju. Zares, lahko bi rekli, da vključuje Platonov razvoj hipotetične metode poskus, kako združiti običajno gladko delovanje matematike z neizprosnos^o sokratskega preučevanja naukov. Odsotnost popolnega ujemanja med matematično metodo in n jeno pri- redbo pri Platonu morda ne bi zastavljala resnih ovir interpretaciji, če bi bil Platon sam jasen glede teh neskladnosti. Toda Menonje dober primer Plato- nove težnje, da zanemari razlike. Ta težnja in ohlapnost ujemanja sta navedli nekatere razlagalce k opuščanju povezave med platonsko metodologijo in matematiko. Toda zgodovinski dokazi povezave so premočni, da bi lahko ta pristop zaživel. Naša naloga bo, vzpostaviti kar najbolj tesno povezavo, ne da bi zgubili spred oči nepopolnost ujemanja. Te naloge nam niti malo ne olaj- šuje Platonova splošna nepripravljenost, da bi uporabljal natančen besednjak. Kjer uporablja Platon eno samo besedo »hipoteza«, se nam zdi priporočljivo razlikovati med teoremi, lemami in diorismoi. V nadaljevanju tega poglavja bom opozoril še na druge primere vprašljivega besednjaka in ohlapnosti uje- manja. S tem ne nameravam omalovaževati Platonovih dosežkov, temveč zgolj izboljšati naše razumevanje Platonove priredbe matematične metode. IV. Metoda hipoteze v Fa jdonu V Fajdonu, začenši s 95 E 7,20 podaja Sokrat splošni opis filozofske metode, ki je videti utemeljena na matematični analizi in sintezi, vendar ju v pomem- bnih pogledih daleč presega. V naslednjem odlomku Sokrat opisuje - kot uvod v dokaz o nesmrtnosti duše - metodo, ki j o j e izdelal za določitev »razlage (aitia) vsake stvari, zakaj nastane, zakaj neha biti, zakaj je« (96 A 9-10): Vsakokrat postavljam za hipotezo stavek (logos), ki ga presodim kot naj- močnejšega, in kar se mi zdi, da se z njim sklada (symphonein), postavim Na tem mestu se ne spuščam v podrobno obravnavo vprašanj, k i j ih odpira ta odlo- mek. Za izčrpno razpravo glej opombe k Plato, Phaedo, prevod z opombami David Gallop (Oxford, 1975). 1 4 2 M A T E M A T I Č N A M E T O D A IN FILOZOFSKA RESNICA kot resnično, pa če gre za vzroke ali karkoli drugega, kar pa se ne, kot neresnično. (Fajdon, 100 A 3-7) Sokratovo priporočilo bi morali tu razumeti kot postavljeno v odnos do predmeta raziskave. Predlaga, naj bi za vsak predmet raziskave vzeli kot hipo- tezo ustrezno prepričanje, v katero imamo največ zaupanja, dodali nadaljnje ustrezne zamisli, ki se (v nekem smislu) skladajo s hipotezo, in zavrnili ustrez- ne zamisli, ki se ne skladajo z njo.27 Kar ima v mislih, ponazori ob primeru vprašanja nesmrtnosti (ali razlage vsake stvari) s postavljanjem hipoteze, da j e vsaka ideja nekaj (očitno privzemanje tega, da ideje obstajajo), in dodaja- njem prepričanja, da vsaka stvar je ali nastane (to, kar je) z udeležbo na pri- merni ideji. Primer (pa tudi poznejši primer v 105 B-C) nakazuje, da j e meto- da, za katero se zavzema, odgovoriti na dana vprašanja z oblikovanjem konsi- stentne teorije, k i jo bo z dodajanjem združljivih prepričanj mogoče aplicirati na predmet razprave. V poznejših antičnih logičnih spisih lahko beseda »sklad- nost«, ki jo uporablja Sokrat, pomeni zgolj logično konsistentnost. Tukiy vklju- čuje pojem logične konsistentnosti, vendar je predvidoma močnejša; mnoge razlage bivanja in nastajanja so konsistentne z obstojem idej, toda razlaga z udeležbo j e — v nekem primerno jasnem, toda ne zlahka razložljivem smislu - prikladna za tistega, ki verjame v ideje. V 101 C Sokrat pravi, da bi morala ob soočenju z drugimi razlagami na- stajanja oseba, ki sledi njegovi metodi, prepustiti te razlage drugim in se »držati varnosti hipoteze«. Pred tem se je Sokrat skliceval le na izvorno podmeno kot hipotezo, toda to, na kar se sklicuje zdaj, mora vključevati dodatno razlago biva- nja in nastajanja. Menim, da ima v mislih celotno teorijo, k i je bila zgrajena z zraščanjem usklajenih podmen.28 Sokrat se zdaj loti statusa »hipoteze«: Če bi ti kdo posegel po sami hipotezi, se poslovi od njega in mu ne odgovarjaj, dokler ne pregledaš iz nje izhajajočih stvari (ta hormethenta), ali se medsebojno skladajo ali si nasprotujejo. Če pa bo treba dati račun o njej sami, ga boš dal enako, torej boš postavil drugo hipotezo, ki se bo zdela izmed višjih najboljša, dokler ne boš prišel do zadovoljive. (Fajdon, 101 D 3-E 1) 27 Vzporednica med Sokratovim metodološkim predlogom in Platonovim izzivom as- t ronomom nam daje misliti: da bi rešil fenomene, je astronom prisiljen postaviti hipote- zo o enakomernih krožnih gibanjih in prečiščevati njihov opis, dokler ne označujejo fe- nomenov. 28 Izraz, ki ga uporablja Sokrat, bi lahko bolj dobesedno prevedli »ta [del?] hipoteze, ki j e varen«, in se tako lahko nanaša na razlago s pomočjo udeležbe kot varnim dodatkom k izvorni hipotezi o idejah. Glej Paul Plass, »Sokrates' Method of Hypothesis in the Phae- do«, Phronesis 5 (I960); str. 111—112. 1 4 3 I A N M U E L L E R Dovolj zlahka vidimo, kako j e mogoče metodo analize povezati z zadnjim stavkom. Ker smo prisiljeni utemeljiti podmeno, ki smo jo postavili, najdemo podmeno, kijo bo utemeljila, in če se zahteve po utemeljevanju znova zastavi- jo, nadaljujemo na enak način, dokler ne najdemo podmene, ki ne potrebuje utemeljitve. Sokrat ne nakazuje, katere pogoje bi morala hipoteza izpolnjeva- ti, da bi bila »zadostna«, toda očitno bi matematika sama ponudila primere uspešne analize, v katerih j e bila zadostnost dosežena, oz i romaje vsaj veljalo prepričanje, da j e bila dosežena. Vendar p a j e celo na tej točkijasno, da Plato- nov filozofski interes širi prepad med njegovo hipotetično metodo in geome- trijsko analizo. Kajti četudi ideal dokončno zadovoljive utemeljitve ostaja v igri, pa zgodnejše hipoteze, naj so še tako močne ali dobre, niso potrjeni »teo- remi«, ampak provizorične leme, ki so podvržene preskusu in morebiti še vedno potrebujejo utemeljitev. Poleg tega postane v uspešni analizi hipoteza-teorem izhodiščna točka, s katere je propozicija, k i j o preučujemo, deducirana v sintezi. Videli pa smo že, da v svojem prvotnem opisu Sokrat pojmuje izvorno hipotezo kot osnovo za sprejetje dodatnih zamisli, kijih presoja kot skladne z njo, in za zavračanje tistih, k i j ih presoja kot neskladne. Sokratova edina ponazoritev zavračanja prepričanj je zavračanje razlag, da sta bivanje in nastajanje nekaj drugega kot udeležba na ustrezni ideji (100 C - 101 D), se pravi zavračanje prepričanj, ki so očitno nezdružljiva s prepričanji, ki so že sprejeta kot usklajena z izvorno hipotezo. V drugem odlomku govori Sokrat o preverjanju, ali so stvari, ki pridejo po hipotezi, medsebojno usklajene.2 ' 'Videti je , da ima v mislih tisto vrsto preverjanja človeških pogledov, s katero se ukvarja v drugih dialogih, kot na primer v Evtifronu. Ta postopek se v matematiki ne zdi pomemben, in težko je videti, kako se lahko prilega v metodo, k i j o vpeljuje Sokrat. Morda lahko tisto, kar ima v mislih, razumemo v luči njegovega primera. Problem, s katerim se Sokrat sooča, je razlaga stvari v našem svetu, zakaj nastanejo, pro- padejo in so. Da bi prišel do takšne razlage, Sokrat trdi, da obstajajo ideje, in dodela očitno skladno podmeno, da stvari nastanejo in so, kar so, z udeležbo na idejah. (Ni nam rečeno, kako bi Sokrat uporabil svojo teorijo za razlago tega, kako stvari propadejo.) Da bi v celoti raziskali ustreznost te teorije, bi morali preučiti »iz nje izhajajoče stvari«, ne le posledice, ampak tudi druge 29 V 101 E Sokrat vztraja, da o hipotezi ne bi smeli dvomiti, dokler nismo preverili ujemanja iz nje izhajajočih stvari. Njegova ločitev vprašanja možnosti utemeljevanja hipo- tetične teorije s sklicevanjem na višjo in preverjanja notranje trdnosti teorije j e metodo- loško nedvomno smiselna, toda v praksi j e videti zelo neverjetno, da bi lahko ljudi odvr- nili od vpraševanja o nauku o idejah in udeležbi, dokler ne bi bil nauk v celoti preizkušen glede svoje skladnosti. Poleg tega pa (vsaj s sodobnega zornega kota), če s e j e hipoteza izkazala za skladno in ponujala razumen prikaz nastajanja, propadanja in bivanja vsake stvari, bi se nam utegnilo zdeti vprašanje zadostnosti razmeroma nepomembno . 1 4 4 M A T E M A T I Č N A M E T O D A IN FILOZOFSKA RESNICA podmene, ki so očitno v skladu z njo, na primer o značaju in razmerju idej, naravi nastajanja in tako naprej. Naposled bo to preučevanje vključevalo preiz- kuse konsistentnosti, toda preizkusi se bodo nanašali na bogat niz očitno sklad- nih prepričanj o svetu. Ne glede na očitno skladnost tega bogatega niza se nam iz tega ali onega razloga še vedno lahko zdi nezadosten - lahko denimo dvomimo, da ideje obstajajo. Naloga branilca idej je poiskati »višjo« hipotezo, ki bo skladna z razvitim nizom. Sokrat ne pove ničesar o tem, kaj naj bi ta višja hipoteza bila, toda ta in drugi odlomki v Fajdonu (npr. 107 B) dajejo slutiti vsaj to, da zahteve po hipotezi, ki bi bila višja od hipoteze o idejah, nima za neustrezno. V analizi pomeni lotevanje problema iskanje med propozicijami, dokler ne najdemo hipoteze-teorema, iz katere lahko deduciramo rešitev problema (sinteza). V metodi iz Fajdona vključuje lotevanje problema postavljanje hipo- teze, ki j o presodimo kot najmočnejšo med tistimi, ki so nam na razpolago, in - prek dodajanja skladnih idej - izgrajevanje teorije, ki je ustrezna za rešitev problema. Točka, kjer se hipotezi-teoremu še najbolj približamo, je zadovolji- va hipoteza. Dedukciji pa se še najtesneje približamo s skladnim širjenjem hipoteze. Z našega stališča je med dedukcijo in skladnim širjenjem, med po- sledico teorije in verjetnim dodajanjem teoriji, precejšnja razlika. Menim, da Platon tej razliki ni pripisoval temeljnega pomena. S tem ne mislim, da bi bil Platon voljan spregledati nadomestitev matematičnih dokazov z verjetnimi razmisleki. Mislim le, d a j e bil zaradi filozofskih razlogov volj an uvrstiti skupaj dedukcijo in manj formalne metode resne argumentacije. Model matematič- ne metode ostaja, vendar je bil v svoji filozofski priredbi razširjen. To širjenje pojma sinteze, ki bo vključevala skladno razdelavo, bo pomembno v nasled- njem pogla-\ju. V. Matematika in dialektika v 6. in 7. knjigi Države Matematika pride v Državi v ospredje v slavni prispodobi o daljici na kon- cu 6. knjige. Na tem mestu bom zanemaril obilico interpretativnih vprašanj, ki so povezana s tem odlomkom, in se posvetil le nekaterim, ki me zdaj zani- majo.30 Delitve daljice očitno vključujejo vse stvari, čutno zaznavni svet, k i j e sestavljen iz predmetov in njihovih podob in mu vlada sonce, in inteligibilni svet, ki mu vlada ideja Dobrega. Sokrat se ne izjasni o razmerju med tema dvema svetovoma. Daljica in primerjava med soncem in Dobrim nakazujeta ostro delitev, toda prispodoba votline in matematični učni načrt kažeta na 30 Bralec si lahko pogleda 10. in 11. poglavje v: Julia Annas, An Introduction to Plato's Republic (Oxford, 1981). 1 4 5 I A N M U E L L E R dokajšnjo kontinuiteto, ki je bila po vsej verjetnosti pomembna poteza Plato- novega splošnega pogleda. Sokrat deli inteligibilni svet s pomočjo sklicevanja na dve miselni stanji (pathemata), ki bi ju danes lahko imenovali spoznavna načina.31 Enega od njiju (noesis)32 identificira z uporabo dialektike, drugega (dianoia) pa ponazori s sklicevanjem na matematiko, »geometrijo in njej se- strske veščine« (511 B 1-2). Vprašljivo je , ali slednja ponazoritev izčrpa vsebi- no ustreznega odseka ali pa obstajajo tudi nematematični primeri dianoia. Za moje namene zadošča dejstvo, da ta odsek vključuje matematiko, ki popolno- ma obvladuje Sokratovo razpravljanje. Sokrat poudari dve nasprotji med dianoia in noesis: 1. Dianoia je prisiljena preučevati svoje predmete z napredovanjem od hipoteze proti sklepu, noesis pa preučuje svoje predmete z napredova- njem od hipoteze proti nehipotetičnemu začetku (načelu). 2. Dianoia uporablja čutno zaznavne stvari kot podobe, noesis pa ne upo- rablja nobenih podob in sistematično napreduje skozi ideje. Skoraj nedvomno ima Sokrat tu v mislih dve potezi matematike, ki j u povezujemo posebno z geometrijo: uporabo diagramov pri dokazovanju in izpeljevanje sklepov iz začetnih podmen (sinteza). Prvo, kar je treba omeniti pri Sokratovi razlagi matematične uporabe diagrama, je, da po njegovem mne- nju matematiki, četudi izdelujejo svoje dokaze (logoi) o podobah, ne mislijo (dianoein) nanje, ampak na one stvari, ki so jim podobne; dokaze izdelujejo zaradi (heneka) četverokotnika samega in diagonale same [tj. idej četverokotnika in diagonale], ne pa zaradi tega, ki so ga narisali...33 Stvari, kijih oblikujejo in rišejo, ... uporabljajo le kot podo- be, ko iščejo, da bi videli one stvari, kijih ni mogoče videti drugače kot z dianoia. {Država, 510 D 6-511 A l ) Moderni filozof matematike bi lahko rekel, da geometri - četudi uporab- ljajo pri svojem dokazovanju narisane like - ne razpravljajo o likih (kajti liki zadoščajo njihovim hipotezam le približno), ampak o nečem drugem (kar hipotezam natančno zadošča). Sokrat namesto tega pravi, da geometri raz- 31 Z izrazom »spoznavni način« bolj nakazujem kot pa razlagam, o čem Sokrat govori. Kot primer različnih načinov spoznanja bi lahko vzeli razliko med vednostjo in veijet jem ali med osebo, ki je bila priča dogodku, in tisto, k i j e le slišala o n jem ali sklepala, da s e j e verjetno zgodil. 32 Sokratova izraza za ta dva spoznavna načina nam nista kaj prida v pomoč pri razume- vanju distinkcije, na katero meri. Raje j u puščam neprevedena in se tako izognem vnaša- nju zavajajočih konotacij. 33 Tukaj in drugod sem spremenil sokratsko retorično vprašanje v trditev. 1 4 6 M A T E M A T I Č N A M E T O D A IN FILOZOFSKA RESNICA pravljajo o vidnih likih, toda to počenjajo zavoljo razumevanja oziroma da bi razumeli nekaj drugega, namreč (inteligibilne, ne pa zaznavne) matematič- ne oblike/ideje. Težko je z gotovostjo vedeti, kako daleč lahko tukaj vztraja- mo pri Sokratovem besednjaku (»razpravljati o«, »misliti o«, »razpravljati za- voljo«) , toda nedvomno je videti, kot d a j e zanj matematika bolj poskus, kako razumeti inteligibilni svet z razmišljanjem o čutno zaznavnih stvareh, kot pa poskus (kot bi utegnili predpostavljati), kako razmišljati o inteligibilnem sve- tu z uporabo čutno zaznavnih stvari. Pomembnost tega nasprotja nam lahko postane bolj jasna spričo dejstva, da Sokrat dvakrat govori o matematikih, češ da so prisiljeni (anagkazomai) uporabljati hipoteze, nikoli pa ne govori, da so prisiljeni uporabljati podobe. Poleg tega bi to, kar pravi v 510 B, lahko pomenilo, da uporaba podob prisili dušo k hipotetičnemu poizvedovanju. Tako lahko Sokrat misli, da je matema- tik prisiljen uporabljati hipoteze, ker v poskusu, da bi razumel inteligibilne stvari, razmišlja o čutno zaznavnih stvareh. V drugem odlomku govori Sokrat podobno o geometrih, češ da so prisiljeni uporabljati jezik delovanja, četudi j e tajezik zavajajoč glede na inteligibilne predmete, zavoljo katerih se ukvar- ja jo z geometrijo: Govorijo zelo smešno in prisilno (anagkaios); kajti o kvadriranju, pola- ganju, dodajanju in vsem takem govorijo tako, kot da delujejo in da tvorijo trditve zaradi delovanja; vsa mathema pa obstaja zaradi prizadeva- nja za spoznanjem. [Država, 527 A 6-B 1) Splošna slika j e tedaj ta, d a j e matematik v položaju, ko skuša dojeti inte- ligibilni, statični svet idej, toda to skuša storiti z razpravljanjem o vidnih stva- reh. Ta način razpravljanja sili matematika k temu, da govori o delovanju na stvari in da izhaja iz hipotez. Verjetno je dovolj jasno, zakaj razprava o diagramih potrebuje govoije- nje o dejavnostih in operacijah, ni pa takoj jasno, zakaj uporaba diagramov potrebuje tvorjenje hipotez. To si lahko nekoliko pojasnimo, če pogledamo, kaj nam ima Sokrat povedati o hipotezah matematikov, ki po njem postavljajo hipoteze o lihem in sodem in likih in treh vrstah kotov [o- stri, pravi, topi] in drugih takšnih stvareh v skladu z vsako posamezno znanostjo (methodos)', hipoteze o teh stvareh postavljajo kot znane, ne da bi se jim o njih zdelo vredno dati račun in sebi in drugim, kot da so jasne vsem; izhajajoč iz tega nadaljujejo skozi ostalo in končajo v skladu s tem, zaradi česar so se lotili raziskave. (Država, 510 C 3-D 3) Tukaj naletimo na osupljivo vzporednico s Sokratovim postavljanjem hi- 1 4 7 I A N M U E I . I . E R potez v Fajdonu. Tam razprava pokaže, d a j e Sokratova začetna hipoteza dokaj razdelana hipoteza o idejah, vendar pa izrazi hipotezo preprosto kot »da lepo samo po sebije nekaj, in je dobro, i n j e veliko, in j e preostalo.« Podobno tam, kjer mislimo, da postavlja matematik dokaj izdelane podmene o vzporedni- cah, enakosti in pomenu določenih izrazov, Sokrat v Državi omenja le »liho in sodo in like in tri vrste kotov in druge takšne stvari v skladu z vsako posamez- no znanostjo«. Ne vemo dovolj o načinu, kako so prikazovali matematiko v zgodnjem četrtem stoletju, da bi presodili točnost Sokratove označbe, vendar pa lahko vidimo, da si ne beli glave s podrobnostmi. Nič od povedanega ne vključuje tega, da matematik izpeljuje posledice iz predpostavljenih propozi- cij, v nasprotju z dokazovanjem na temelju kakšne v ozadju predpostavljene vednosti o različnih pojmih.34 Morda j e ravno slednja vrsta vednosti tista, ki mora biti po Sokratovem mnenju predpostavljena, če kdo »razpravlja o« li- kih. Položaj postane bolj nejasen, ko se obrnemo k dialektiki. Sokrat pravi, da matematik raziskuje iz hipotez in napreduje h končni točki, bolj kot pa k izhodišču, medtem ko dialektik napreduje iz hipoteze k »nehipotetičnemu izhodišču« in napreduje »s pomočjo idej in skozi ideje«, ne da bi uporabljal podobe. Nasprotje usmeritveje predvidoma v povezavi z naspro^em med ana- lizo in sintezo, toda gibanje navzgor je tukaj pripisano fdozofu in se razlikuje od matematičnega postopka bolj kot zgolj po svoji smeri. Sokrat v nadaljeva- nju pripiše metodo navzdol tudi dialektiku: [Dialaktični dokaz] ne napravi hipotez za izhodišča (archai), ampakjih ima v resnici za hipoteze [dob. podlage],35 kot na primer oporišča in vire zagona (hormai), da bi prišel do tistega nehipotetičnega, k izhodiš- ču vsega; ko se polasti tega in ima zopet stvari, ki so za tem, se spusti dol k koncu, pri čemer ne uporablja sploh nič čutno zaznavnega, ampak le ideje skozi ideje v ideje, in konča v idejah. (Država, 511 B 5-C 2) Razlike med tem odlomkom in metodološkim opisom v Fajdonu nemara niso tako pomembne, kot jih včasih prikazujejo. Nekatere med njimi, zlasti vztrajanje pri uporabi podob, po vsem sodeč izvirajo iz dejstva, da se Sokrat v Državi posebej ukvarja z matematiko, medtem ko gre v Fajdonu bolj za splošni metodološki poudarek, četudi utemeljen na matematični metodi. V Državi ni 34 Za nadaljno razpravo o matematičnih hipotezah, ki j ih omenja Sokrat, in o matema- tičnih principih v zgodnji grški matematiki in filozofiji glej moj prispevek »On the Notion of a Mathematical Starting Point in Plato, Aristotle, and Euclid«, v: Science and Philosophy in Classical Greece, ur. Alan Bowen (London in New York, 1991), str. 59-97. 35 Sokrat se tu opira na etimologijo grške besede hypothesis. 1 4 8 M A T E M A T I Č N A M E T O D A IN FILOZOFSKA RESNICA nobene jasne razlike med gibanjem dialektike navzgor in navzdol, razen nje- gove smeri. Naravno je torej, če domnevamo, d a j e dialektična metoda navz- dol enaka kot matematična metoda navzdol, in če priličimo prvo temu, kar vemo o slednji, d a j e namreč dedukcija iz propozicij (sinteza). Prav tako je tudi naravno, če predpostavljamo, d a j e metoda navzgor dedukcija iz propo- zicij ali nekaj njej primerno podobnega. Toda v Fajdonuje »metoda« navzgor preprosto stvar tvorjenja »višjih« hipotez, metoda navzdol pa po vsem sodeč vključuje tvorjenje dodatnih hipotez, ki so usklajene z dano. Ne vidim pamet- nega razloga za mnenje, d a j e Platon v Držav? bolj restriktiven. Kajti Sokratovi primeri hipotez matematikov v Državi se ujemajo z njegovim sprejemanjem idej kot vzorčno hipotezo v Fajdonu. Najbolj osupljiva razlika med tema dve- ma odlomkoma je morda nasproye med Sokratovim priklicevanjem nehipo- tetičnega načela vseh stvari v Državi in njegovim malce ohlapnim skliceva- njem na nekaj zadostnega v Fajdonu. Toda zadnje mestoje dovolj ohlapno, da povzame vase to, kar je rečeno v Državi™ Videli smo, da se v Fajdonu in Menonu prikaz hipotetičnega razmišljanja poveže z zamislimi ovržbe, ki igra po vsem sodeč manjšo vlogo v matematiki kot v filozofiji. V prispodobi daljice v Državije nesmiselno, da bi bila bodisi za matematika bodisi za dialektika hipoteza kdajkoli nezadovoljiva. Matematiki dosledno končujejo s hipotezami, dialektiki pa se od svojih hipotez pomikajo navzgor in spet nazaj navzdol, verjetno k istim »hipotezam«. Pozneje, v 7. knjigi, Sokrat nakazuje, da dialektika resda vsebuje ovržbo dokazov, vendar d^ye jasno vedeti, da bodo uspešni dialektiki sposobni braniti svoje stališče proti vsem poskusom ovržbe (534 B-D). Toda tik pred tem odlomkom opiše Sokrat dialektika kot nekoga, ki »odpravlja ali uničuje (anairein) hipoteze« (533 C 8), o matematiki pa govori rahlo podcenjujoče: Geometrija in z njo povezane veščine kot v sanjah zasledujejo nekaj od bivajočega; budne pa tega ne morejo videti, dokler uporabljajo hipote- ze in jih imajo za negibne, ne da bi mogle dati račun o njih. Kajti kadar ne poznamo izhodiščne točke, konec in tisto vmes pa sta spletena iz tega, česar ne poznamo - kateri pripomoček bi iz takšne složnosti nare- dil vednost? (Država, 533 B-C) Nekateri poznejši platoniki so se sklicevali na ta odlomek, da bi omalova- ževali matematiko,37 in sodobni poznavalci so razpravljali o tem, kaj bi lahko 3l' Za razpravo o tem, d a j e nehipotetično načelo v Državi primer nečesa zadovoljivega v smislu Fajdona, glej Harold Cherniss, »Some War-Time Publications concerning Plato. I«, American Journal of Philology 68 (1947); str. 141 (ponatisnjeno v njegovih Selected Pa- pers) . 37 Glej Proklos, Komentar k Evklidu, 29. 14-24. 1 4 9 I A N M U E I A E R imel Sokrat v mislih z uničevanjem matematičnih hipotez. Mislim, da se ne motim, če rečem, da obstaja zdaj soglasje o tem, d a j e edino uničenje, ki ga ima Sokrat v mislih, uničenje hipotetičnega značaja matematičnih hipotez z njihovo podreditvijo nehipotetični izhodiščni točki. Prav tako tam, kjer zani- ka, d a j e navadna matematika vednost, ne misli, d a j e napačna, temveč le, da ji primanjkuje potrebnega temelja, da bi veljala kot nekaj spoznanega. Koli- kor matematika oskrbuje dialektiko s svojimi hipotezami, začenja dialektika z resnicami, kijih bo preverila, ne pa spodbijala. Prispodoba daljice torej poudarja naslednje poteze matematike: 1. Razmišljanje o čutno zaznavnih predmetih in likih, zavoljo oziroma z na- menom razumevanja inteligibilnih. 2. Postavljanje hipotez, ki so prikazane kot podmena o določenih predmetih (lihem in sodem, likih, vrstah kotov), toda dejansko vsebujejo podmene o naravi teh predmetov in načinih, kako j e mogoče upravljati z njimi. 3. Razvijanje teh hipotez navzdol, vključno z dedukcijo, toda ne nujno omeje- no nanjo. Platon vidi v prvi od teh lastnosti vzrok za drugo in verjetno tudi tre^o: ker matematiki razmišljajo o čutno zaznavnih stvareh, morajo izdelovati hipo- teze in se pomikati navzdol od njih, ker morajo govoriti o delovanju na čutno zaznavne stvari. Smiselna je predpostavka, d a j e Platonov opis matematike, češ d a j e ta odvisna od hipotez, k i j ih ne skuša matematik nikoli utemeljiti, točen opis matematike njegovega časa. Toda zakaj Platon misli, d a j e smer navzdol nujna lastnost matematike? Navsezadnje opravljajo matematiki anali- ze na propozicijah, ki so pod ravnijo njihovih končnih hipotez. Zakaj ne bi mogli poskušati storiti enako na teh hipotezah? Odgovor utegne biti tu preprosto stvar definicije: za Platona bi takšno gibanje navzgor odvedlo nekoga zunaj območja matematike. Toda morda je v tem še kaj več. Za Platona bi bilo utemeljevanje matematičnih hipotez v odgo- voru na vprašanja, kotso »kajje lik?« ali »kajje kot?«. Ponujanje zadovoljivega odgovora na tovrstna vprašanje pa zahteva od nekoga, da se pomakne od raz- pravljanja o čutno zaznavnih stvareh k razpravljanju o idejah. Očitno lahko ista oseba preklopi z matematičnega razvijanja hipotez k postavljanju platon- sko/sokratskih vprašanj o hipotezah, toda ta sprememba je sprememba od razpravljanja o čutnih zaznavnostih k razpravljanju o inteligibilnostih, se pra- vi, sprememba od matematike k dialektiki. Sokrat izreče nekaj podobnega v 523 A in dalje, ko opisuje matematični učni načrt. Tu Sokrata ne zanimajo več vidiki gibanja matematike navzdol, temveč njena moč, da obrne pozor- nost duše navzgor od čutno zaznavnih stvari k inteligibilnim. Da bi dokazal, kako ima aritmetika, če se pravilno ukvarjamo z njo, to moč, razlikuje med vidiki stvari, ki so videti za čute protislovni, in tistimi, ki niso. Tako na primer 1 5 0 M A T E M A T I Č N A M E T O D A IN FILOZOFSKA RESNICA dejstvo, da zagleda prst, navadnega človeka ne napelje ali prisili (anagkazein)38 k temu, da vpraša, kaj je prst, toda če vidi, da j e en prst daljši kot drugi, pač pa manjši od tre^ega, ga to napelje ali primora k temu, da vpraša, kaj je velikost, da torej postavi vprašanje o idejah. Glavkon ponudi izjavo, da spada enotnost v drugo kategorijo, ker vidimo isto stvar sočasno kot eno in neskončno mno- go.39 Sokrat dodaja, da isto velja za vsa števila. Sokratov način govorjenja o opuščanju čutnih zaznavnosti v dialektičnem dokazu so prevzeli novoplatoniki in se sklicevali na skrivnostno »nediskurziv- no« misel, ki - med drugimi rečmi - krši Aristotelov izrek (O duši, T 7, 431 a 16-17), da »duša nikoli ne misli (noein) brez podobe [phantasma)«,40 Zdi se mi, da nič v Državi ne upravičuje tega novoplatonističnega branja, četudi ne moremo izključiti možnosti, d a j e imel Platon v mislih nekaj podobnega. Ven- dar pa se sam nagibam k mišljenju, da Sokrat, kadar opisuje dialektiko kot omejeno na ideje, ne govori o tem, kaj se dogaja v zavesti dialektika na delu, temveč preprosto razvija nasprotje med dialektiki in matematiki. Matematiki razmišljajo o čutnih zaznavnostih zavoljo inteligibilnosti; uporabljajo pa čut- ne zaznavnosti. Dialektiki razmišljajo o inteligibilnostih zavoljo inteligibilno- sti; najsi se v njihovih mislih pojavljajo podobe ali ne, najsi se nanašajo na čutno zaznavne stvari ali ne, pa o čutno zaznavnih stvareh ne razmišljajo in jih ne uporabljajo. Od 7. knjige Države naprej postane jasno, d a j e nehipotetično prvo poče- lo vseh stvari ideja Dobrega (532 A in dalje). Prav tako postane ustrezno jasno (534 B—D), d a j e njen nehipotetični značaj odvisen od dejstva, da se lahko ljudje, ki j o docela dojamejo, branijo, kadar se skuša kdo »polastiti« njihove hipoteze. Se pravi, če naj bi bilo načelo nehipotetično, ne potrebuje nobene višje hipoteze, ki bi ga upravičila, in se je torej sposobno samo postaviti po robu napadu dokazovanja. Zdi se mi, d a j e pojmovanje prvega počela vseh stvari nemogoče smiselno konstruirati z vidika strogo deduktivnega modela poti navzdol. Dobro postane takšna hipoteza le z dodajanjem drugih hipotez, ki so v skladu z njo. S stališča moderne logika so dodatne hipoteze dodatne 38 Sokrat omenja, da matematika prisili nekoga, da se pomakne navzgor v inteligibilni svet, že v prispodobi o daljici, 511 C 7. 39 Videti je , da Platon tu jemlje kot samoumeven Zenonov dokaz, d a j e mogoče razsež- no stvar razdeliti na neskončno mnogo delov, in svoje lastno prepričanje (prim. Parnienid 127 D-130 A), da se Zenonovi dokazi nanašajo bolj na vidne kotna inteligibilne stvari. To prepričanje nemara potr juje verjetje, da so razsežne vse in zgolj vidne stvari, toda trditev, da dejansko vidimo stvari kot ene in mnoge (bolj kot dokazovanje, da so razsežne stvari ene in m n o g e ) , j e treba po vsem sodeč bolj utemeljiti, kot pa to stori Sokrat. 40 Za razpravo o nediskurzivni misli glej A. C. Lloyd, »Non-Discursive Thought - An Enigma of Greek Philosophy«, Proceedings of the Aristotelian Society 70 (1969-70), str. 261- 274. 1 5 1 I A N M U E L L E R hipoteze, toda za Platona je hipoteza dobrega pogoj, ki omejuje te nadaljnje hipoteze in je tako višja od njih. Ne verjamem, d a j e mogoče iz Platonovega stališča tukaj potegniti dokončno zadovoljiv logični smisel,41 toda če ga upo- števamo, je to predpogoj za razumevanje implikacije v Državi, da so matema- tične hipoteze podrejene ideji Dobrega. Platon ne nakazuje, d a j e mogoče matematične hipoteze deducirati iz podmen o Dobrem,42 pač pa »le«, da se bodo skladno prilegale v docela razvito teorijo, zasidrano v Dobrem. Za Plato- na je dobro, d a j e vsota sodih števil soda in da se planeti gibljejo enakomerno v krožnih orbitah. Slednje od teh prepričanj lahko skušamo razložiti s sklice- vanjem na teleološko pojmovanje sveta, prvo pa s sklicevanjem na lepoto in dobroto matematične resnice. Toda malo verjetno je, da bi Platon ti dve last- nosti jasno razlikoval; kolikor vemo, je zanj najbolje, da se soda števila sešteva- jo v sodo število, in res je, d a j e svetovni sistem lepa stvar. Omenil sem že, da Sokrata, ko razgrne svoj matematični učni načrt, sko- rajda izključno zanima moč matematike, da odvrne dušo od čutno zaznavne- ga k inteligibilnemu. Po njegovem dokazu, da ima aritmetika to moč, doda še drugi razmislek, ki naj bi pokazal, da se aritmetik resnično ukvarja z inteligi- bilnim: Slutiš namreč, da bi se mogočni v teh stvareh, če bi kdo eno v razpravi (logos) delil, smejali in tega ne bi sprejeli; toda če bi ga ti razcepil, bi ga oni pomnožili, izogibajoč se temu, da se ne bi eno pokazalo kot ne-eno, ampak kot mnogo delov.4-1... Glavkon, kaj torej misliš, če bi jih kdo vpra- šal: »Čudaki, o kakšnih številih se pogovaijate, pri katerih je eno, kakor sodite, vsako v vsem povsem enako drugemu, ne da bi se vsaj malo razliko- valo, in ne vsebuje v sebi nobenega dela?« Kaj misliš, da bi odgovorili? To, da govorijo o stvareh, ki so lahko edino mišljene (dianoethenai), z njimi pa ni mogoče postopati na noben drug način. (Država, 525 D 8-526 A 7) Tukaj Sokrat nakazuje, da aritmetike način, kako govorijo, zavezuje k in- 41 Zdi se, d a j e nekaj smiselnega v zamisli, d a j e hipoteza o idejah »višja kot« hipoteza, da so stvari to, kar so, z udeležbo na idejah. Toda če je slednje resnično nadaljnja hipote- za, ki ni vsebovana v prvi, potem težko uvidimo, kako j e lahko mišljeno, da prva izključi vse alternative drugi v kakršnemkoli strogo logičnem smislu besede »izključiti«. 42 Nasprotno primerjaj npr. stališče F. M. Cornforda v: »Mathematics and Dialectic«, zlasti str. 178-181, 187-190 (Studies in Plato's Metaphysics, ur. Alien, str. 82-85, 91-95). 43 Ni jasno kaj, če sploh kaj, ima Sokrat v mislih s tem poskusom, da bi razdelil eno, ali z dejanskim deljenjem in množenjem enega. Enega od poskusov povezave Sokratovih besed z grško matematično prakso najdemo pri B. L. van der Waerdenu, Science Awake- ning (New York, 1963), str. 115-116. Za drugačno in bolj verodostojno branje glej M. F. Burnyeat, »Platonism and Mathematics: A Prelude to Discussion«, v: Mathematics and Me- taphysics in Aristotle, ur. Andreas Graeser (Bern in Stuttgart, 1987), str. 226. 1 5 2 M A T E M A T I Č N A M E T O D A IN FILOZOFSKA RESNICA teligibilnemu svetu. Ne potegne razlike — ki j o je vpeljal v prispodobi o daljici - med tem, o čemer razmišljajo aritmetiki in tem, zavoljo česa razmišlja sam. Zares, izrecno pravi, da aritmetik razpravlja o inteligibilnih enotah, raje kot da bi rekel (kot mislim, da bi moral zavoljo doslednosti), da aritmetik raz- pravlja o čutnih zaznavnostih zavoljo inteligibilnosti. Razlog za to neskladje je v tem, da hoče Platon uporabiti način, kako aritmetiki govorijo, kot indikaci- jo, da se njihovo zanimanje nanaša na inteligibilno. V njegovi obravnavi geo- metrije, ki sledi takoj za tem, in v poznejši obravnavi astronomije in nauka o harmoniji hoče poudariti, d a j e matematična praksa zavajajoča. Geometri, pravi, govorijo, kot da bi kaj počeli, toda njihova vednost se ne tiče spreminja- jočih se stvari, ampak tega, kar vedno je. Sokrat ne dokazuje tega sklepa;44 omenja ga Glavkon, ki g a j e , kot lahko predpostavljamo, k temu napeljala Sokratova obravnava matematike v prispodobi o daljici. Toda celo Glavkon ni videti povsem pripravljen na Sokratovo razpravo o astronomiji,45 razpravo, ki j o j e treba tolmačiti v luči posebne vloge pritegovanja navzgor, ki jo Sokrat pripisuje matematiki. Geometri razmišljajo o čutno zaznavnih likih zavoljo inteligibilnih stvari, zavoljo kvadrata samega, diagonale same in tako naprej. V astronomiji zavze- ma prostor čutno zaznavnih likov tisto, kar opazujemo na nebu. Kar ustreza matematičnim idejam, so - po eni od Platonovih bolj nejasnih izjav - »resnič- ne stvari, ki se z resnično hitrostjo in resnično počasnostjo v resničnem številu in povsem resničnih likih medsebojnem premikajo in premikajo to, kar vse- bujejo« (529 D 1-5). Sokrat nadalje pravi, da ne bi smeli pričakovati, da bomo našli resnico o razmerjih na vidnem nebesnem svodu, ali misliti, da bo čas poti nebesnih teles okoli sonca vseskozi ostal nespremenjen; kot čutno zaz- navni predmet torej nebo ne more popolnoma utelešati znanstvenih zako- nov. Sokratov sklep se glasi: Pristopajoč k problemom se bomo ukvarjali z astronomijo, kot se ukvar- 44 Poznejši filozofi, vključno z antičnimi, dokazujejo, da čutne zaznavnosti ne zadovo- ljujejo pogojev, kijih postavljajo geometri, tj., da črte brez širine ne morejo biti zaznavne. Takšni dokazi so voda na Platonov mlin, toda tudi če se jih je zavedal, j ih nikoli izrecno ne priklicuje. O poskusu, pripisati kakšne take dokaze Državi, glej Burnyeat, »Platonism and Mathematics«, str. 221-225. 45 Na tem mestu se ne oziram na Sokratove opazke o stereometriji. V njegovih trditvah o zaostalosti stereometrije so videli odraz Platonovega pojmovanja stanja matematike v četrtem stoletju. Težko s e j e upreti domnevi, d a j e imel Sokratov poziv k upravljanju stereometričnih študij kakšno zvezo z Platonovo vlogo v Akademiji. Prav tako se ne bom ukvarjal s Sokratovo obravnavo nauka o harmoniji, ki se mi zdi povsem v skladu z njegovim opisom astronomije. Za razpravo o astronomiji in harmoniji glej moj članek »Ascending to Problems: Astronomy and Harmonics in Republic Vil«, v: Science and the Sciences in Plato, ur. John P. Anton (Albany, 1980), str. 103-121. Prispevka Mourelatosa in Vlastosa v istem zvezku sta dragocena obravnava istega gradiva, le da se osredotočata na astronomijo. 1 5 3 I A N M U E L L E R jamo tudi z geometrijo, tisto na nebu pa bomo pustili na miru, če hoče- mo, deležni resnične astronomije, tisto v duši po naravi misleče narediti iz neuporabnega uporabno. (Država, 530 B 6 - C 1 ) Sokratova obravnava astronomije j e spravila Platonove občudovalce v do- bršno mero zadrege. Pomagati so si hoteli na različne načine, toda nič ni moglo izbrisati dejstva, da se »resnična« astronomija ne tiče vidnega neba nič bolj kot se aritmetika in geometrija tičeta čutno zaznavnih predmetov. V naši navadi je, da razlikujemo med uporabnimi in čistimi znanostmi. Tudi če kdo od nas ne sprejema Platonovega stališča o čistih znanostih, pa bo večina vsaj priznala veljavnost zamisli, da se aritmetika in geometrija, na primer, ukvarja- ta z nezaznavnimi resničnostmi. Toda predstava, da naj bi se resnična astro- nomija ukvarjala s takšnimi resničnostmi, j e videti nenavadna. Ali lahko reče- mo karkoli, kar bi omililo to zagato? Prvič, upravičeno smo lahko gotovi, da Platon sam ni zanemarjal pome- na, ki ga ima takšna ali drugačna razlaga navideznih gibanj nebesnih teles. Kajti če lahko verjamemo Simplikiju, j e zadal astronomom nalogo, naj razlo- žijo ta navidezna gibanja s pomočjo hipoteze o enakomernem krožnem giba- nju. Platon sam zariše zasnutke take razlage v Timaju (36 B-D), pomen razu- mevanja gibanja planetov pa znova potrdi v Zakonih (822 A).41' Simplikij ome- nja to nalogo kot problem, pa tudi v Filodemovem odlomku j e Platon opisan kot nekdo, ki zastavlja probleme. Potemtakem j e videti verjetno, da ima So- krat v Državi pri govorjenju o astronomiji v mislih poskus, kako rešiti pomem- bna vprašanja z njihovim zvajanjem na bolje razumljene stvari. Toda medtem ko lahko v geometriji Platon navaja (resnične) hipoteze, o katerih si geome- ter ne zastavlja vprašanj, v astronomiji ni česa podobnega. Drugače rečeno, v geometriji se uspešne redukcije ali analize problemov preselijo v hipoteze- teoreme, v astronomiji pa takih teoremov ni; naloga analize je , da se preseli k hipotezam-lemam - v primeru Platonovih problemov s področja astronomije so to enakomerna krožna gibanja. Platon ne zastavlja vprašanja o statusu teh lem, kadar so postavljene kot hipoteze, toda mislim, da lahko upravičeno re- čemo, da so v dialektičnem gibanju navzdol vzpostavljene kot »teoremi«, ki so v skladu z idejo Dobrega. Preostaja vprašanje, kako Platon razume razmerje med astronomskimi pojavi in hipotezami resničnega astronoma. Ce se držimo Države, potem se te hipoteze ne morejo nanašati na pojave nič bolj, ko t j e tisto, kar ugotavlja geo- meter, resnica o čutno zaznavnih stvareh. In ko Sokrat pravi, da bi morali v resnični astronomiji pustiti stvari na nebu pri miru, j e morda naravno, če 4,1 Glej Gregory Vlastos, Plato's Universe (Seattle, 1975), str. 49-61, z dragocenimi dodatki. 1 5 4 M A T E M A T I Č N A M E T O D A IN FILOZOFSKA RESNICA vidimo v njegovih besedah namig, da bi se lahko astronomija razvila, ne da bi kdorkoli sploh kdaj pogledal v nebo. Toda takšen pogled je tako neverjeten, da ga le neradi pripišemo komurkoli. Bolje je, če se opremo na Sokratovo primerjavo med astronomijo in geometrijo. Geometri razmišlj^o o čutno zaz- navnih stvareh zavoljo inteligibilnosti; to pomeni, da njihove resnice, tako kot resnice aritmetikov, niso resnice o čutno zaznavnih stvareh. Toda geome- tri se zavedajo tega dejstva, zatojim ni treba govoriti, naj pustijo čutno zaznav- ne stvari pri miru, namreč v tem smislu, da se posvetijo inteligibilnim. Seveda nam ni treba predpostavljati, d a j e Platon priganjal geometre, naj pri svojem razmišljanju prenehajo uporabljati diagrame.47 Po analogiji lahko rečemo, da Platon priganja astronome, naj nehajo misliti, da so njihov predmet čutne zaznavnosti, vendar pa j ih ne priganja, naj nehajo uporabljati astronomske pojave kot astronomske pojave. Astronomi se lahko ukvarjajo s pojavi, raz- glabljajo o njih, toda to morajo početi zavoljo oziroma z namenom razumeva- nja inteligibilnega sveta, ki vsebuje »resnične stvari, ki se z resnično hitrostjo in resnično počasnos^o v resničnem številu in povsem resničnih likih medse- bojnem premikajo in premikajo to, kar vsebujejo« To stališče se nam zdi težko sprejemljivo, kajti za nas govori astronomija o pojavih in ne o inteligibilnem svetu. Toda Sokrat v Državi misli, da se znans- tveno spoznanje tiče večnih nespremenljivih resnic, nebo ali karkoli čutno zaznavnega pa zanj ni nekaj, kar bi bilo nespremenljivo na način, ki bi dopuš- čal takšno spoznanje. Toda to ne pomeni, da astronomska resnica ničesar ne prispeva k našemu razumevanju čutno zaznavnega sveta, kot tudi dejstvo, da aritmetika in geometrija govorita o inteligibilnem svetu, ne pomeni, da niče- sar ne prispevata k našemu razumevanju čutno zaznavnega sveta.4S Ključnoje to, d a j e za Platona takšno razumevanje odvisno od razumevanja drugega, idealnega sveta, ki mu vlada Dobro. Prevedla Seta Knop in Franci Zore 47 Tukaj se lotevam zelo težavnega vprašanja. V odlomku o daljici opisuje Sokrat mate- matika kot nekoga, ki uporablja like in hipoteze. Dialektik uničuje hipotetični značaj teh hipotez, toda ni razloga, da ne bi matematik iz njih še vedno izpeljeval sklepov. Kaj pa uporaba likov? Ali lahko dialektik na kakršenkoli način omogoči geometrijo, v kateri pri dokazovanju ne bi več uporabljali likov? Vidimo lahko, kako bi utegnil kdo iz Sokratovih besed sklepati na takšno možnost. Toda on tega ne pravi in običajni načini, ki skušajo osmisliti to možnost, so anahronistični. (Izjemen primer takšnega anahronizma najdemo pri A. E. Taylorju, Plato the Man and his Works, 5. izd. [London, 1948], str. 289-295.) Zelo dvomim, d a j e imel Platon pred očmi to možnost, nisem pa si na jasnem glede tega, v čem j e videl Platon povezavo med uporabo diagramov in razumevanjem resnice o inteligibil- nem svetu. Njegovemu pomanjkanju izrecnosti ob tem vprašanju ustreza njegovo po- manjkanje izrecnosti ob razmerju med astronomskimi pojavi in astronomskim spozna- njem. 48 O pomenu uporabne matematike glej Fileb, 55 D in dalje. 1 5 5 Filozofski vestnik Letnik/Volume XXI • Številka/Number 1 • 2000 • 157-176 NARAVA ABSTRAKTNEGA MIŠLJENJA Filozofski vidiki Descartesovega dela v algebri * STEPHEN GAUKROGER Nihče ni k zgodnjemu razvoju algebre prispeval toliko kot Descartes. Bil je sposoben v veliki meri povezati aritmetiko in geometrijo, s tem, da je pokazal na njune medsebojne povezave v izrazih algebraičnega zapisa. To je bil dose- žek, k i j e zasenčil njegovo drugo znanstveno delo in Descartes je bil prepri- čan, da bi lahko algebra služila kot model za njegova druga prizadevanja. Zvezo med algebro in drugim znanstvenim delom je Descartes raziskoval, ob upoštevanju vprašanja metode, v svojem prvem objavljenem delu Razprava o metodi kako pravilno voditi razum ter v znanostih iskati resnico, skupaj z optiko, me- teorologijo in geometrijo, ki so zgledi v tej metodi (1637). Kar se nam tu otipljivo ponuja, j e splošna razprava o metodi, kateri so pripeti trije zgledi metode. Gre za tri zelo uspešne zglede, kajti pri vsakem od njih n a m j e zagotovljen vsaj en temeljni rezultat: sinusni lomni zakon v Optiki, izračun in eksperimentalna potrditev kotov mavričnih lokov v Meteorologiji in rešitev Pappusovega proble- ma lege za štiri ali več premic v Geometriji. Vendar pa bi naredili resno napako, če bi v Geometriji videli zgolj ponazoritev metode. Descartes uspešno obravna- va algebraični pristop, ki ga j e razvil v Geometriji, predvsem kot izhodišče pra- vilne metode in ne zgolj kot njeno ponazoritev. Poleg tega metodološki vidiki algebre na noben način ne izčrpajo zanimanja zanjo, in čeprav se jih bom dotaknil, bo žarišče te obravnave ležalo drugje. Tri osnovne teme, s katerimi se nameravam ukvarjati, so: kaj Descarteso- vo delo v algebri dejansko pomeni, v čem je njegova izvirnost, in kako je mo- goča aplikacija algebre na fizični svet. Toda v osnovi teh tem leži globlji prob- * Copyright © 1992 Cambridge University Press. Tiskano z dovoljenjem avtorja in založbe. Pre- vedeno po: Stephen Gaukroger, »The nature of abstract reasoning: philosophical aspects of Descartes' work in algebra«, v: The Cambridge Companion to Descartes, ur. John Cotting- ham, Cambridge University Press, Cambridge 1992, str. 91-114. Avtor Citira Descartesa po izdaji, ki s ta jo uredila Adam in Tannery (AT). Kjer za navedeno mesto obstaja sloven- ski prevod, smo na to opozorili v opombi; ostale citate iz omenjene izdaje je iz latinščine prevedel Matjaž Vesel, iz francoščine pa V. Likar. S T E P H E N G A U K R O G E R lern, namreč vprašanje abstraktne narave algebre. Ena izmed tem, kij ih bom poskušal razjasniti, j e vprašanje, v čem j e za Descartesa bistvo te abstraktnosti. I. Narava Descartesove algebre Algebra, aritmetika in geometrija Grki so geometrijske probleme razvrstili na bodisi ravninske, na proble- me prostorskih teles ali na linearne, glede na to, ali njihova rešitev zahteva premice in krožnice, stožernice oz. bolj kompleksne krivulje. Evklid seje omejil na dva postulata: d a j e mogoče povleči premico skozi poljubni točki, in d a j e mogoče načrtati krožnico, ki ima za središče poljubno točko ter gre skozi drugo poljubno dano točko. Vendar je obseg problemov, ki j ih j e mogoče rešiti zgolj na osnovi teh dveh postulatov zelo omejen in poznejši matematiki so dodali treyi postulat; namreč, da lahko dani stožec seka dana ravnina. Geo- metrija stožernic, k i je temu sledila, j e bila v antiki pojmovana kot težko ra- zumljiva veja matematike z malo praktičnega pomena. Aristotel j e prepričlji- vo pokazal, da je naravno gibanje teles bodisi premočrtno (v primeru zemelj- skih teles) bodisi krožno (v primeru nebesnih teles) ; tako j e s fizikalnega sta- lišča sledilo, da lahko shajamo brez kompleksnejših krivulj: te očitno nimajo temelja v naravi in so zanimive zgolj s stališča matematike. Vendar je do se- demnajstega stoletja potreba po obravnavi krivulj mimo premice in kroga postala neodložljiva. Parabolo, pot, kij i sledi projektil, so preučevali v balisti- ki, astronomi pa so se zelo dobro zavedali dejstva, da planeti in kometi opisu- jejo eliptične, parabolične in hiperbolične poti. V optiki, k i je bila ena izmed najbolj intenzivno proučevanih področij v naravoslovju sedemnajstega stolet- ja, je bilo potrebno pri konstrukciji leč in ogledal vsaj poznavanje stožernic. Delo aleksandrijskih matematikov na stožernicah j e bilo nezadovoljivo in mno- gi njihovi rezultati so bili prej kot ne posledica iznajdljivosti - prej obrobne rešitve problemov kot posledica uporabe kakega splošnega postopka. Natanko takšen splošen postopekje Descartes razvil in uporabil v Geome- triji, razpravi, kije imela revolucionarne posledice za razvoj matematike. Geo- metrija obsega tri knjige: prva obravnava »probleme, ki jih je mogoče kon- struirati zgolj z uporabo krožnic in premic«, druga se ukvarja z »naravo kri- vulj« in tretja s konstrukcijo problemov prostorskih in hiperprostorskih [su- persolid] teles. Kar zadeva temelje algebre je prva knjiga najpomembnejša, in posledično se bom osredotočil prav na njo.1 1 Za popolni pregled Geometrije glej J. F. Scott, The Scientific Work of René Descartes, Taylor & Francis, London 1952, poglavja 6-9. 1 5 8 N A R A V A ABSTRAKTNEGA MIŠLJENJA Ob naslovu, ki namiguje, da zadeva le tiste probleme, ki pri svoji kon- strukciji uporabljajo premice in krivulje, bi bilo mogoče pričakovati, da bo prva knjiga vsebovala tradicionalno snov, medtem ko bosta drugi dve vsebo- vali novejšo. Navsezadnje j e Evklid podal dokaj izčrpno obravnavo proble- mov, kijih j e mogoče konstruirati samo z uporabo premice in krožnice. Toda dejansko je namen prve knjige predvsem prikazati nova algebraična sredstva pri reševanju geometrijskih problemov z uporabo aritmetičnih postopkov, in obratno. Z drugimi besedami, cilj je pokazati, kako lahko, če o njih razmišljamo v algebraičnih izrazih, kombiniramo sredstva obeh področij. Geometrija se prične z neposredno primerjavo med aritmetiko in geome- trijo (AT VI 369). Tako kot so v aritmetiki operacije, kijih uporabljamo, sešte- vanje, odštevanje, množenje, deljenje in iskanje korenov, tako lahko tudi v geometriji vsak problem zvedemo na takega, ki ne zahteva nič drugega kot poznavanje dolžin daljic, ter ga v tej obliki lahko rešimo zgolj z uporabo petih aritmetičnih operacij. Descartes potemtakem uvaja aritmetične izraze nepo- sredno v geometrijo. Moženje j e npr. operacija, ki jo je mogoče izvesti zgolj z uporabo premic (se pravi zgolj z uporabo ravnila): Vzemimo na primer, da j e AB enota, in daje treba pomnožiti BD z BC; ni mi treba drugega, kakor da povežem točki A in C in nato povlečem vzporednico DE s CA in BE je produkt tega množenja. (AT VI 370) Če po drugi strani želimo poiskati kvadratni koren, potrebujemo premi- ce in krožnice (torej ravnilo in šestilo): Če pa je treba poiskati kvadratni koren od GH, mu dodam v premi črti FG, kije enota in razdelim FH na dva enaka dela v točki K, iz središča K povlečem krog FIH; potem iz točke G povlečem premo črto do I pravo- kotno na FH, in GI je iskani koren. (AT VI 370-1) 1 5 9 S T E P H E N G A U K R O G E R Vredno j e omeniti, da se v primeru, ko j e FG poljubno izbrana enota, dolžina GI prav lahko izkaže za iracionalno: to za geometrijsko konstrukcijo ni rele- vantno. Descartes nadalje pokaže, da nam dejansko ni treba risati črt, temveč j ih lahko označimo s črkami. Svetuje nam, naj na ta način označimo vse daljice, tako tiste, katerih dolžino želimo določiti, kakor tudi tiste, katerih dolžina j e znana, in zatem nadalje, kot da smo problem že rešili, povezujemo daljice med seboj tako, d a j e mogoče vsako količino izraziti na dva načina. S tem j e določena enačba in cilj je poiskati takšno enačbo za vsako neznano daljico. V primerih, ko to ni mogoče, poljubno izberemo daljice z znanimi dolžinami, za vsako neznano daljico, za katero nimamo enačbe, in: če obstaja še vedno več enačb, jih je treba uporabiti vsako zapored, bo- disi dajih vzamemo posamič ali daj ih primerjamo z drugimi, da bi ugo- tovili vsako od neznanih daljic, in tako z razmotavanjem povzročili, da bi ostala le ena sama, enaka kakšni drugi znani daljici, katere kvadrat, ali kub, ali kavadrat kvadrata, ali peta ali šesta potenca itd. bi bili enaki seštevku ali razliki dveh ali ali več količin, od katerih bi bila ena znana, druge pa sestavljene iz sorazmerij med enoto in tem kvadratom, ali ku- bom, ali kvadratom kvadrata itd., pomnoženimi z drugimi znanini dalji- cami. To lahko zapišem na tak način: z = b ali z2 = -az + b2 ali z3 = az2 + b2z - c3 ali z4 = az3 - c?z + d4 itd. Se pravi, da je z, ki gajemljem za neznano količino, enak b\ ali kvadrat od zje enak kvadratu od b minus a pomnoženo z z ... In tako je vedno mogoče zvesti vse neznane količine na eno samo, kadar se da problem konstruirati s krogi in premimi črtami, ali s koničnimi sekcijami, ali celo s kakšnimi drugimi črtami, ki so zgolj za stopnjo ali dve bolj sestavljeni. (AT VI 373-4) To je neobičajen pristop k problemu. Algebraične enačbe z dvema nez- nankama F(x, y) - 0, so bile tradicionalno pojmovane kot nedoločene, ker iz takšne enačbe ni bilo mogoče določiti obeh neznank. Kar j e bilo mogoče narediti, j e bila zamenjava poljubno izbranih vrednosti za x in nato reševanje enačbe za y pri vsaki od teh vrednosti, kar pa na noben način ni moglo veljati za splošno rešitev enačbe. Toda Descartesov pristop omogoča preoblikovanje tega postopka v splošno rešitev. Kar mu uspe narediti, j e to, da vzame x za absciso točke in ustrezen y za njeno ordinato ter omogoči spreminjanje nez- nanega x-a tako, da vsaki vrednosti x-a ustreza vrednost y-a, ki j o j e mogoče 1 6 0 N A R A V A ABSTRAKTNEGA MIŠLJENJA izračunati iz enačbe. Na ta način končamo z množico točk, ki oblikujejo po- polnoma določeno krivuljo, ki zadovoljuje enačbo. Zgled: Descartesova obravnava Pappusovega problema lege2 Ta postopek ponazarja Descartesova rešitev enega izmed velikih nereše- nih matematičnih problemov, ki j ih je zapustila antika, Pappusovega proble- ma lege za štiri ali več daljic. Za kaj pri tem pravzaprav gre. V primeru proble- ma za tri daljice, so podane tri daljice in njihove lege, naloga pa je poiskati lego točk, iz katerih j e mogoče načrtati tri nove daljice k prej podanim dalji- cam tako, da vsaka nova daljica z dano daljico tvori dani kot, pri čemer je produkt dolžin dveh daljic konstantno sorazmeren s kvadratom tretje. Pri Pappusovem problemu za štiri daljice so podane štiri daljice in njihove lege, poiskati pa moramo lego točk, iz katerih lahko k danim daljicam načrtamo štiri nove daljice tako, d a j e produkt dolžin dveh načrtanih daljic v konstant- nem sorazmerju s produktom preostalih dveh. V antiki j e bilo znano, d a j e lega v vsakem primeru stožernica, ki gre skozi presečišča daljic, vendar ni bil razvit noben splošen postopek za rešitev dane- ga problema. Descartesova obravnava naloge je algebraična in popolnoma splošna, omogoča nam, da izrazimo odnose med daljicami z uporabo zgolj dveh spremenljivk. Njegov pristop je v tem, da pokaže, kako j e mogoče prob- lem, eksplicitno rešen za primer štirih daljic, vendar na način, ki ga j e teore- tično mogoče posplošiti na n daljic, zvesti na problem, pri katerem je vse, kar moramo vedeti, le dolžine določenih daljic. Te daljice so koodinatne osi, dol- žine pa nam podajajo abscise in ordinate točk. Problem štirih daljic je prika- zan na naslednji način (AT VI 382-7): 1 6 1 S T E P H E N G A U K R O G E R Na sliki so polno prikazane tiste daljice, ki so podane in črtkano tiste, ki jih iščemo. Descartes vzame AB in BC za osnovni daljici ter nadaljuje tako, da vse ostale z njima postavi v odnos. Njuni dolžini sta x ter y in AB v resnici predstavlja »-os, BC pa ;y-os; moment, k i j e v Descartesovem diagramu zastrt ob dejstvu, da AB in BC nista prikazani pravokotno druga na drugo (ker bi to zakrilo razmerja). Zdaj so koti trikotnika ABR dani, tako d a j e razmerje AB:BR znano. Če to razmerje pišemo kot f, potem velja BR = in CR = y + ^ (kjer točka B leži med C in R). Koti trikotnika DRC so prav tako znani, in če raz- merje CR:CD označimo z f, velja CR = y + in CD = ^ + . Nadalje, ker so lege AB, AD in EF določene, je k, kot dolžina AE, s tem podana; torej EB = k + x (kjer A leži med E in B). Koti trikotnika ESB so prav tako dani, s tem pa j e dano tudi razmeije BE:BS. Če zaznamujemo to razmerje z -jr, dobimo BS = dk^x i n c s = zy+dk+dx ( B l e ž . m e d s i n c ) K o t i t r i k o t n i k a p s e so dani, zato poznamo razmerje CS:CF. Če ga zapišemo kot j , dobimo CF = +c'tk+de.\ ^ ^ l označuje dano dolžino AB, velja BG = l - r, če znano vrednost razmerja BG.BT v trikotniku BGT označimo z - j , potem BT = J1 / x in CT = —-, in če razmerje CT:CH v trikotniku TCH pišemo kot i , velja CH = Ne glede na to, koliko daljic z dano lego imamo, je mogoče dolžino dalji- ce, ki poteka skozi točko C in oklepa s temi daljicami dane kote, vedno izraziti s tremi izrazi oblike ax+ by+ c. Za tri izmed štirih podanih daljic j e dobljena enačba kvadratna enačba, kar pomeni, da lahko za vsako znano vrednost y-a, vrednosti x-a določimo zgolj z uporabo ravnila ter šestila; dovolj veliko število vrednosti nam omogoča slediti krivulji, na kateri mora ležati točka C. Za prob- lem s petimi ali šestimi daljicami j e enačba kubična, pri sedmih ali osmih daljicah j e enačba četrtega reda, z devetimi ali desetimi petega in tako naprej; red enačbe se poveča za ena z vsakima dvema novima daljicama. Descartesov napredek onstran meja stare matematike TL rešitvijo Pappusovega problema je Descartes rešil enega izmed najtež- jih problemov, ki j ih je zapustila stara matematika, in rešil g a j e na preprost, eleganten način, z možnosjo posplošitve. S tem j e razvil tehniko, ki precej presega tiste, ki so se uporabljale v antiki. V drugi knjigi Geometrije Descartes nadaljuje obravnavo Pappusovega prob- lema lege za tri ali štiri daljice s tem, da razločuje krivulje, ki ustrezajo enač- bam drugega reda, namreč elipso, hiperbolo in parabolo. Ta obravnava j e precej izčrpna, vendar Descartes upošteva le zelo malo primerov, ki ustrezajo kubičnim enačbam, zatrjujoč (nekoliko optimistično, kot se je pokazalo)3 da njegova metoda kaže, kako naj bi le-te obravnavali. Njegova splošna razvrsti- 1 6 2 N A R A V A ABSTRAKTNEGA MIŠLJENJA tev krivulj in zlasti opustitev transcendentnih krivulj je izzvala veliko razprav,4 vendar nas tu ne bo zanimala. Kljub temu j e nemara vredno omeniti, d a j e Descartesova metoda načrtovanja tangente na krivuljo dobila nov pomen z raz- vojem [diferencialnega] računa (h kateremu sam ni neposredno prispeval), saj predstavlja ekvivalent k iskanju nagiba krivulje v vsaki točki, kar je oblika odva- janja. Končno Descartes v tretji knjigi obravnava probleme prostorskih in hi- perprostorskih teles. To predstavlja pomemben napredek v primerjavi z alek- sandrijskimi matematiki, ki so le z odporom priznavali uporabo krivulj, ki niso bile premice ali krožnice, kategorije problemov prostorskih teles pa niso nikoli sistematično premislili. Tukaj Descartes razširja svojo algebraično analizo daleč prek interesov antičnih matematikov. Najbolj osupljiva značilnost njegovega pris topaje v tem, d a j e za ohranitev splošnosti svoje strukturalne analize enač- be pripravljen dopustiti ne le negativne korene, temveč tudi imaginarne ko- rene, kljub sicer intuiciji popolnoma nasprotujoči naravi le-teh. Da bi lahko zapopadli, kako radikalno je to, kar počne, moramo najprej povedati nekaj več o naravi algebre in Descartesovem mestu v njenem razvoju. II. Izvirnost Descartesovega pristopa Geometrijska algebra Značilna poteza algebreje njena abstraktnost. Obsega matematične struk- ture, definirane v popolnoma operativnih in relacijskih izrazih, brez vsake omejitve glede na lastnosti operandov. Natančno rečeno, nima nikakršne last- ne vsebine, temveč pridobi vsebino le skozi interpretacijo. Tako razmišljamo o algebri danes, vendar ni bila vedno pojmovana na tako abstrakten način; razlikujemo lahko dve ključni stopnji v njenem razvoju: osvobajanje števila od prostorske intuicije ter osvoboditev same algebre od izključno numerične in- terpretacije. K razvoju prve j e v veliki meri prispeval Descartes. Vendar pa izvirnost Descartesovega algebraičnega pristopa ni vedno cenjena. Se skoraj do nedavnega j e veljalo, da so Grki obvladali »geometrijsko algebro«, to je postopek ukvarjanja s pristno algebraičnimi problemi, k i j e zaradi krize, na- stale s pitagorejskim odkr i tem linearne inkomenzurabilnosti, rezultirala v geometrijski formulaciji in razrešitvi teh problemov. Dokazovalo seje, d a j e bila ta geometrijska algebra pozneje ponovno odkrita, v delih Descartesa in 3 Glej Grosholz, »Descartes' Unification of Algebra and Geometry«, v: S. Gaukroger (ur.), Descartes, Philosophy, Mathematics, and Physics, Harvester, Sussex 1980, str. 156-168. 4 Glej predvsem J. Vuillemin, Mathématiques et métaphysique chez Descartes, PUF, Pariz 1960,21987. 1 6 3 S T E P H E N G A U K R O G E R drugih j e izgubila svoj geometrijskijezik in tako postala bolj splošna. Sporno je, ali lahko geometrijske formulacije in rešitve določenih vrst matematičnih problemov pri Grkih tolmačimo kot algebro v geometrijski preobleki. Ni mo- goče zanikati, d a j e npr. pri Evklidu mnogo matematičnih izjav, za katere zlahka najdemo ekvivalentne algebraične rezultate. Se več, mnogim izjavam iz druge knjige Evklidovih Elementov j e mogoče poiskati zelo neposredno al- gebraično interpretacijo, medtem ko so bile vedno opazne težave z njihovo čisto geometrijsko interpretacijo. Videti j e navsezadnje, kakor d a j e bila geo- metrijska algebra natanko tisto, kar je predstavljalo odgovor na krizo v mate- matiki, sproženo z odkritjem linearne inkomenzurabilnosti, z odkritjem, ki mu razpoložljivi aritmetični postopki niso bili kos. Dvomi v takšno vrsto interpretacij so dejansko obstajali vse od tridesetih let dvajsetega stoletja, toda šele pred nedavnim s e j e začelo v splošnem priz- navati, d a j e nekaj narobe s pogledom geometrijske algebre. Jacob Klein j e npr. v svojem pionirskem delu o zgodnjem razvoju algebre pokazal, da so bile potrebne zelo radikalne spremembe v konceptu števila, predno je algebra postala možna, ter da te niso bile realizirane vse do Vietajevega dela ob koncu šestnajstega stoletja.5 Drugič je zdaj očitno, d a j e bila pitagorejska geometrija ploskev, kije bila sicer daleč od tega, da bi bila geometrijska algebra, posveče- na reševanju problema inkomenzurabilnosti, v resnici namenjena ukinitvi tega, kar je veljalo za nerešljiv problem.(l Tretjič imajo vse izjave iz Evklidovih Ele- mentov v resnici geometrijske interpretacije7 in v številnih primerih j ih njiho- va algebraična predstavitev preprosto trivializira.8 Verjamem, d a j e sklep, ki ga moramo iz tega izpeljati, da preprosto ni nobenih dokazov, ki bi podpirali tradicionalno trditev, da so grški matematiki operirali s kakršno koli pristno algebraično idejo, zavestno ali kako drugače. Vendar reči, da Grki niso operirali z geometrijsko algebro, ne pomeni, da geometrija ni igrala pomembne vloge v grški aritmetiki. Dejansko je igrala zelo pomembno vlogo, toda vlogo prav nasprotno tradicionalni interpretaci- ji, ker je prej zmanjšala kot pa povečala abstraktnost aritmetike. Razumevanje te vloge je pomembno, če naj popolnoma ovrednotimo izvirnost Descarteso- ve algebre; njegov pristop je smiselno primerjati z zelo vplivno obravnavo šte- vila, ki j o j e ponudil Aristotel v svoji Metafiziki? 5 J. Klein, Greek Mathematical Thought and the Origin of Algebra, MIT Press, Cambridge, Mass. 1968. G A. Szabo, The Beginnings of Greek Mathematics, Reidel, Dordrecht 1978, predvsem dodatek. 7 Glej predvsem razpravo o petem izreku iz druge knjige Elementov, ibid., str. 332-353. 8 S. Unguru, »On the need to rewrite the history of Greek mathematics«, v: Archive for History ofExactScirencesXV (1975-6), str. 67-114. 9 Kar sledi, je izpeljano iz S. Gaukroger, »Aristotle on intelligible matter«, v: Phronesis XXV (1980), str. 187-97, kjer je mogoče najti veliko popolnejšo obravnavo. 1 6 4 N A R A V A ABSTRAKTNEGA MIŠLJENJA Aristotelovo pojmovanje: število, materija in prostor Za Aristotela so matematični predmeti materialni, in to njihovo materijo imenuje »noetična materija«. Matematika je za Aristotela odlikovana z dejs- tvom, da se njeni predmeti ne spreminjajo in nimajo neodvisne eksistence. Ti predmeti so noetični, v nasprotju s čutnimi, do njih pa pridemo skozi abstra- hiranje od »čutnih« števil in oblik, se pravi števil in oblik čutnih predmetov. Čutne predmete tvori čutna materija, Aristotel pa meni, da morajo biti mate- matični predmeti narejeni iz noetične materije. Ta nauk privzema, ker verja- me, da so števila ter oblike lastnosti, in da morajo biti lastnosti vedno nečemu vpisane. Čutna števila in oblike so uprimerjene v čutni materiji, toda noetična števila in oblike to ne morejo biti, ker so zgolj predmeti mišljenja; kljub temu, ker so lastnosti, morajo biti v nečem uprimerjene in tako Aristotel odkrije novo obliko čisto abstraktne materije, v kateri so uprimerjena števila in oblike. Aristotel v primeru geometrije uporablja dve različni vrsti abstrakcije. Prva vključuje neupoštevanje materije čutnih predmetov, tako da nam ostanejo le lastnosti kot »biti trikoten« in »biti okrogel«. Geometrija raziskuje »biti okro- gel« v zelo splošnih izrazih kot obliko česarkoli, kar je, najbolj splošno reče- no, okroglo. In karkoli je, najbolj splošno rečeno, okroglo, je nekaj, do česar pr idemo s komplementarnim načinom abstrakcije, pri kateri prezremo last- nosti čutnih objektov, tako da postane predmet raziskave tisto, kar ima te lastnosti. Tako nam preostane podlaga nedoločene razsežnosti [¿determina- te extension], določen zgolj v izrazih prostorskih dimenzij: dolžine, širine in globine. To abstrakcijo j e mogoče peljati naprej, s čimer dobimo ravnine ter nazadnje premice in točke, pri čemer ima vsaka od teh podlag različno di- menzijo. Te podlage ne morejo niti biti čutne, ker so bile oropane lastnosti, ki bi j ih prikazale kot čutne, niti ne morejo imeti neodvisne eksistence, saj so samo abstrakcije in so to, kar Aristotel imenuje noetična materija.. Aristotel pravzaprav isto trdi o številih, kar pa je bolj problematično. Geo- metrijsko noetično materijo si lahko predstavljamo kot prostore z eno, dvema ali tremi dimenzijami, toda kako naj si predstavljamo noetično materijo števi- la? Odgovor je: na približno enak način - pod pogojem da upoštevamo, da v grški matematiki, za razliko od geometrije, ki operiraš premicami, aritmetika operira z njihovimi dolžinami* (ali površinami oz. prostorninami). Razlika je izjemnega pomena, česar s e j e Aristotel dobro zavedal. Dolžino daljice, do- kler j e le-ta določene dolžine, j e mogoče razumeti kot potencialno deljivo v diskontinuirane dele, se pravi, v določeno mnoštvo enotskih dolžin. Šele z * Izraz za premico z določeno dolžino (na obeh straneh omejeno premico) je v sloven- skem jeziku daljica, medtem ko se v angleščini za oboje uporablja line oz. straight line. (Op. prev.) 1 6 5 S T E P H E N G A U K R O G E R obravnavanjem npr. dolžine stopala kot nedeljive dolžine, lahko to dolžino obravnavamo kot enotsko, kot mero drugih dolžin (primerjaj prvo knjigo Ari- stotelove Metafizike). In v tem primeru dolžina daljice postane dejansko isto kot število, ki ga Aristotel definira kot mnoštvo merjeno z enoto oz. »enim«. Osrednja razlika med aritmetiko in geometrijo leži v dejstvu, da se prva ukvar- ja z diskontinuiranimi, druga pa z kontinuiranimi velikostmi. Premica razum- ljena preprosto kot premica vstopi v sfero geometrije zato, ker j e neskončno deljiva in ima potemtakem kontinuirano velikost, toda razumljena kot enot- ska dolžina ali vsota enotskih dolžin vstopa na področje aritmetike. V izrazih te razlike lahko jasno vidimo kaj pomeni aritmetika v Aristotelo- vem pojmovanju: je metrična geometrija. Čeprav nikoli eksplicitno ne ome- nja metrične geometrije, njegova aritmetična terminologija - linearna, plo- skovna in prostorska števila, merjena števila, faktorji, ki merijo produkte pri mno- ženju - konsistentno nakazuje, da gre za pojmovanje aritmetike, ki mu je bilo samoumevno. Metrična geometrija j e v resnici bistveno aritmetična discipli- na, skupna vsem starim matematikom od starobabilonskega obdobja do alek- sandrijcev.10 V pričujočem kontekstu njen pomen leži v dejstvu, da se kljub ukvarjanju s premicami, ravninami itn., ukvarja z njimi ne qua premicami in ravninami, temveč qua enotskimi dolžinami in enotskimi površinami oz. vso- tami ali produkti takšnih enotskih dolžin in površin. Aristotel v svojih delih vseskozi govori o številih v eni dimenziji, ravninskih številih in prostorskih številih ter nikoli ne vpelje ideje geometrične predstave števil. Dejansko tudi noben grški ali aleksandrijski avtor ne govori o številih, predstavljenih geo- metrijsko. Poučno na tem mestu je, da so aritmetične izjave v Evklidovih Ele- mentih, ki sestavljajo knjige od VII do IX, eksplicitno izražene v terminih dol- žin daljic, kot da bi števila bila dolžine daljic. In natančno to tudi so. Aristotel ni bil v matematiki nikoli inovator. Ni nameraval razviti nove oblike matematike, temveč zagotoviti pravo filozofsko osnovo za matematiko njegovega časa. To, čemur zagotavlja osnovo v primeru aritmetike, ni oblika aritmetike, kije zaradi svoje utemeljenosti v geometrijski algebri posebej ab- straktna in splošna, temveč predvsem oblika aritmetike, ki je zaradi utemelje- nosti na izrazih metrične geometrije, odvisna od prostorskih predstav, in j e posledično resno omejena. Vzemimo npr. aritmetično operacijo množenja in posebej spremembo dimenzije, ki j o vključuje ta operacija, ter se pojavlja v produktu, ki ima vedno višjo dimenzijo. To ni omejenost zapisa; notranje j e povezana z idejo, da so števila za grške matematike vedno števila nečesa. Posle- dica tega je, da moramo, ko množimo, množiti števila nečesa: ne moremo 10 O zgodnjem razvoju metrične geometrije glej W. R. Knorr, The Evolution of the Eucli- dean Elements, Reidel, Dordrecht 1975, str. 170. si. 1 6 6 N A R A V A ABSTRAKTNEGA MIŠLJENJA npr. množiti dva krat tri, vedno moramo množiti dva nečesa krat tri nečesa. V tem smislu j e Klein pri Grkih števila imenoval »determinirana«. Ne simbolizi- rajo splošnih velikosti, temveč vedno določajo mnoštvo predmetov.11 Poleg tega v aritmetičnih operacijah niso ohranjeni samo dimenzijski vidiki, temveč tudi fizična in intuitivna narava teh dimenzij, tako da npr. ni mogoče zmnoži- ti med seboj več kot treh dolžin, ker je nastali produkt prostorsko telo, ki izčrpa število razpoložljivih dimenzij.12 Kartezijanska algebra in abstrakcija Descartes eksplicitno nasprotuje temu prostorskemu pojmovanju. Na za- četku Geometrije, potem ko nam j e pokazal geometrijske postopke za množe- nje in iskanje kvadratnih korenov, vpelje posamezne črke, da bi označil dolži- ne daljic. Toda njegova interpretacija teh črkje pomenljivo drugačna od tra- dicionalne interpretacije. Če je po tradicionalni interpretaciji a dolžina dalji- ce, j e a1 kvadrat s stranicami dolžine a, ab\e pravokotnik, ki ima stranice dol- žine a in b, a' pa j e kocka z dolžinami stranic a. Vendar pa so po Descartesovi interpretaciji vse te količine dimenzijsko homogene: Opozoriti je tudi treba, da se morajo vsi deli ene in iste črte praviloma izraziti z enako razsežnostmi tako eni kot drugi, medtem ko enota v problemu sploh ni določena: tako a3 vsebuje toliko razsežnosti kot ab2 ali b3, ki so sestavni deli črte, ki sem jo imenoval \jva3 - b3 + ab2 (AT VI 371) T u j e premestitev med aritmetiko in geometrijo nekaj, kar podpira abstrahi- ranje operacij, ne nekaj, kar njihovo abstrakcijo omejuje, kot pri starih poj- movanjih. Odločilno j e vprašanje ravni abstrakcije. Pri antičnih matematikih j e nekdo lahko trdil, d a j e rešil matematični problem le, če je bil sposoben konstruirati ali izračunati določen lik ali število. Se več, edina števila, ki so bila dopustna kot rešitve, so bila naravna števila: negativna števila so bila še pose- bej »nemogoča« števila. Res je, da se proti koncu aleksandrijskega obdobja, najbolj opazno v Diofantovi Aritmetiki, pojavljajo iskanja problemov in rešitev, povezanih s splošnimi velikostmi, vendar iz teh postopkov nikoli ni nastalo nič drugega razen pomožnih tehnik v stanju pred končno stopnjo, ko se dolo- čeno število izračuna. Descartes temu pogledu eksplicitno nasprotuje in vpra- 11 J. Klein, op. cit., str. 133 si. 12 Edina izjema k tej omejitvi pri množenju se pojavlja v relativno poznem aleksandrij- skem delu, Heronovi Metrica I 8, kjer sta dva kvadrata, se pravi, površini zmnoženi med seboj. 1 6 7 S T E P H E N G A U K R O G E R vilu XVI, med Pravili kako naravnavati umske zmožnosti, z zelo jasnimi izrazi pojasnjuje naspro^e med njegovim in tradicionalnim pristopom: Da bi vse to jasneje razumeli, je treba biti najprej pozoren na to, da so aritmetiki označili posamične velikosti z več enotami oziroma z nekim številom, mi pa, nasprotno, tu nič manj ne abstrahiramo od samih šte- vil, kot malo prej od geometrijskih likov, ali česar- koli drugega. To delamo zato, da bi se izognili razvlečenosti dolgega in nepotrebnega računanja, predvsem pa, da bi deli v obravnavi, ki sodijo k naravi problema, ostali vedno razločeni in ne bi bili zakriti z nekorist- nimi števili. Ce npr. iščemo hipotenuzo pravokotnega trikotnika, kate- rega dani stranici sta 9 in 12, bo aritmetik rekel, daje ta v a/225 oziroma 15, mi pa bomo namesto 9 in 12 napisali a in i in odkrili, d a j e hipote- nuza v -\[a2 + b2. Tako bosta tista dva dela, a2 in b2, ki sta bila spojena v številu, ostala razločena. ... Mi, ki iščemo jasno in razločno spoznanje stvari, vse te stvari razločujemo, pa ne aritmetiki, ki so zadovoljni, če pridejo do iskanega rezultata, četudi ne opazijo, kako je ta odvisen od tistega, kar je dano; to pa je pravzaprav prava znanost. (AT X 455-6, 458) Za Descartesa je ukvarjanje s splošnimi velikostmi konstitutivno za matema- tično obravnavo. Nobenih števil ali likov ne ocenjuje za »nemogoče« na intui- tivni osnovi. Dejanskoi rade volje sprejme čisto algebraične omejitve, ki zahte- vajo takšno razširitev »števila«, da ne bi vsebovalo zgolj celih števil, pač pa tudi ulomke in iracionalna števila. Strukturalna analiza enačbe ga je pripeljala do tega, d a j e sprejel negativne in imaginarne korene. T u j e naša intuicija glede tega, kaj so števila, žrtvovana strukturalni definiciji števila, ki j o predpisuje algebra. V tem pogledu Descartes odpira razvoj, v katerem se zbirka predmetov, ki sodijo v kategorijo »števila«, razširja in utrjuje, medtem ko se povečuje splo- šnost algebre in njena pravila operacij definirajo kot števila nove vrste bitno- sti. Kot je pokazal Kneale, ls je bil odnos matematikov do razširjanja ideje šte- vila, vse do vpeljave kompleksnih števil in vključno z njo, nereflektiran. Ohra- nitev splošnih pravil algebre je od njih zahtevala vpeljavo novih oblik bitnosti, katere so bili prisiljeni sprejeti, da bi rešili probleme, zastavljene na zgodnejši stopnji, vendar si niso zastavljali nikakršnih splošnih vprašanj glede tega po- stopka. Položaj se je spremenil v poznih tridesetih in zgodnjih štiridesetih letih devetnajstega stoletja. Najprej so Peacocke, Gregory in de Morgan priče- li dojemati algebro v tako abstraktnih matematičnih izrazih, da kot operandi-v 13 W. Kneale in M. Rneale, The Development of Logic, Oxford University Press, Oxford 1962, str. 390 si. 1 6 8 N A R A V A ABSTRAKTNEGA MIŠLJENJA njenih operacijah sploh niso več nujno nastopala števila. Zatem se je Hamil- ton začel ukvarjati z algebro hiperkompleksnih števil, katera, ker so definira- na z algebraičnimi operacijami, ne zadovoljujejo vseh pravil, ki veljajo za kom- pleksna števila. Ti dve obliki razvoja sta nakazovali, d a j e algebra lahko splo- šnejša, kot se je mislilo. V tem kontekstu sije bil George Boole, v očeh mnogih utemeljitelj sodobne formalne logike, sposoben zamisliti abstraktni račun za logiko. Ko je pokazal, kako je mogoče zakone algebre formalno izraziti brez interpretacije in kako zakoni, ki veljajo za števila do kompleksnih števil, ne veljajo nujno vsi skupaj v vsakem algebraičnem sistemu, je lahko nadaljeval z razvojem omejene algebre, k i j e predstavljala operacije tradicionalne silogi- stike. Osvobojena svoje izključno numerične interpretacije j e algebra postane veliko močnejša priprava, njena aplikacija v logiki pa jo je neposredno peljala k najbolj temeljnim vprašanjem. Takšen razvoj predstavlja nadaljevanje Des- cartesovega dela v algebri, vendar j e to nadaljevanje tuje Descartesovemu pri- stopu. Da bi razumeli, zakaj je tako, moramo pogledati, kaj Descartes šteje za metodološko posebnost algebre. Algebra, dedukcija in kartezijanska »analiza«14 Descartes kot smo videli trdi, da medtem, ko so se zgodnji matematiki ukvarjali izključno z izračunavanjem določenih numeričnih rešitev enačb, on sam abstrahira iz števil, ker ga zanimajo strukturne značilnosti samih enačb. Na tem mestuje zdaj mogoče povleči neposredno analogijo z logiko. Če naj o logiki razmišljamo v algebraičnih izrazih, tako kot Descartes razmišlja algebraič- no o aritmetiki, moramo abstrahirati iz delnih resnic (tako kot Descartes abstra- hira iz posameznih števil) in raziskati odnos med resnicami neodvisno od njiho- ve vsebine, v abstraktnih strukturalnih izrazih. Toda ta premik k višjemu nivoju abstrakcije, ki se ga bežno dotakne Leibniz, in kije konstitutiven za moderno logiko in filozofijo matematike, je bil Descartesu popolnoma tuj. Descartes ni videl možnosti razlage logike kot podaljška njegovih algebraičnih tehnik, ker je dojemal logiko (kije bila zanj aristotelovska silogistika) kot odvečno metodo predstavitve že doseženih rezultatov, medtem ko je za algebro menil, d a j e ne- kaj popolnoma drugega, namreč metoda odkrivanja novih rezultatov. Vpraša- nje metodeje bilo obravnavano drugje v tem besedilu, kljub temu nekaj besed o specifični povezavi z algebro na tem mestu ne bi bilo odveč. 14 Za podrobno razpravo o temah, izpostavljenih v tem poglavju, glej S. Gaukroger, Cartesian Logic, Oxford University Press, Oxford 1989. 1 6 9 STEPI IEN G A U K R O C E R Ko Descartes v pravilu IV iz Pravil, kako naravnavati umske zmožnosti, raz- pravlja o potrebi po 'metodi odkrivanja resnice', usmerja svojo pozornost k matematiki. Pove nam, da mu je bila matematika, ko j o j e prvič študiral, neza- dovoljiva. Čeprav so rezultati, ki so j ih dobili matematiki resnični, niso poja- snili, kako so prišli do rezultatov in v veliko primerih kaže, kakor da gre bolj za srečo kot za veščino. Dokaj razumljivo so mnogi zaradi tega matematiko zavrnili kot prazno in otročjo. Vendar pa so začetniki filozofije v antiki posta- vili matematiko za prvi pogoj proučevanja modrosti. To j e navedlo Descartesa na misel, da so morali imeti »matematiko, kaj različno od tiste, ki j o uče za naših dni« (AT X 376; slov. prev.* str. 120) in skušal j e najti sledi te »resnične matematike« v pisanju Pappusa in Diofanta. Toda omenjena avtorja sta se bala, »»da bi njuna matematika izgubila kaj ugleda, ko bi se zaradi lahkote in enostavnosti razširila med vse ljudi, in sta se zato odločila, da nam namesto nje prikaže ta kot sadove svoje umetnosti nekaj sterilnih resnic, strogo deduci- ranih že iz zaključkov .« (AT X 376-7; slov. prev., str. 121-122). Umetnost raziskovanja, za katero je Descartes verjel, d a j o j e ponovno odkril, j e to kar imenuje »analiza«. V antiki sta bili analiza in sinteza komle- mentarna postopka in Pappusje razlikoval dve vrsti analize: »teoretično ana- lizo«, pri kateri poskušamo dokazati resnico teorema in »problematično analizo«, pri kateri poskušamo odkriti nekaj neznanega. Če so ti postopki uspešno dokončani, moramo naše rezultate nato potrditi s sredstvi sinteze, pri čemer začnemo iz definicij, aksiomov in pravil ter naše rezultate deducira- mo izključno iz njih. Antični matematični teksti, ki so se ukvarjali s strogim dokazovanjem, so predstavili zgolj sintetične dokaze. Descartes naredi dvoje: učinkovito omeji »analizo« na problemsko analizo in popolnoma zavrne po- trebo po sintezi. Slednje postane očitno takoj, ko si bežno pogledamo Geome- trijo. Tradicionalni seznami definicij, postulatov itn. so popolnoma odsotni in takoj smo soočeni s tehnikami reševanja problemov. Za Descartesa j e cilj te vaje, cilj, ki ga, kot verjame, lahko omogoči na sistematičen način le algebra, reševanje problemov. Ko je enkrat problem rešen, je za Descartesa predstavi- tev rezultatov v sintetičnih izrazih popolnoma odveč. Splošneje rečeno, to pomeni zavračanje vrednosti deduktivnega sklepanja v matematiki. To j e eden izmed najbolj problematičnih delov Descartesovega pojmova- nja algebre in v tej zadevi se razhaja ne le z modernimi matematiki, temveč tudi s svojimi sodobniki. Vir problema se po njegovem mnenju nahaja v tem, * René Descartes, Razprava o metodi kako pravilno voditi razum ter v znanostih iskati resnico; Pravila kako naravnavati umske zmožnosti, prevedel Boris Furlan, Slovenska matica, Ljublja- na 1957. (Op. prev.) 1 7 0 N A R A V A ABSTRAKTNEGA MIŠLJENJA da deduktivni sklep ne more imeti nikakršne spoznavne vrednosti in ne more igrati nobene vloge v razvoju vednosti. Leibniz je bil prvi filozof, ki se je v celoti odzval na ta pogled; pokazal je, da v tem, ko so lahko analize koristne kot način reševanja posameznih problemov, pa v sintetični oz. deduktivni pred- stavitvi rezultatov v matematiki sprožimo sistematično strukturiranje in Širitev vednosti, ki omogoča prepoznavanje, natančno identifikacijo in razrešitev za- gat, težav, pomanjkljivosti itn. Kakorkoli, problem j e globok in mnogo filozofovje postavilo pod vprašaj položaj dedukcije. Sekst Empirik, eden najpomembnejših antičnih skeptikov, j e nasproti deduktivnemu sklepu ponudil naslednji bistroumen argument.Ir ' Primerjajmo naslednja sklepa: A B (1) Ce je dan, j e svetlo. Dan je. (2) Dan je. Svetlo je. (3) Svetlo je. A predstavlja deduktivni dokaz, B nededuktivnega. Sekstov dokazje v tem, da so deduktivna sklepanja vedno po lastnih kriterijih pomanjkljiva. V prika- zanem primeru npr. ali (3) sledi iz (2) ali pa ne. Če sledi, potem je B popol- noma sprejemljiv sklep, kajti v B preprosto sklepamo na (3) iz (2). Vendar, če to drži, j e izjava (1) očitno odvečna. Po drugi strani, če (3) ne sledi iz (2), potem j e (1) neresnična izjava, kajti (1) jasno trdi, da [(3) sledi iz (2)]. Tako deduktivni sklep ni možen: kar nam A pove več od B, je ali odvečno ali nere- snično. Ni bilo veliko filozofov, ki bi bih pripravljeni iti tako daleč kot Sekst, vendar j ih je mnogo izražalo splošno zaskrbljenost glede smisla dedukcije. Nekateri, kot J. S. Mill, so bili mnenja, da premise v deduktivnih sklepanjih vsebujejo iste trditve kot sklep, ter da so sklepanja dejansko zaradi tega veljav- na.10 Na tem mestu j e treba zastaviti vprašanje glede smisla deduktivnih skle- panj. Drugi, kot npr. logični pozitivisti, so trdili, da so logične resnice analitič- no resnične in zato se iz njih nikoli ne moremo naučiti ničesar novega. To zagotovo ne more biti res, kajti včasih se naučimo česa novega tudi iz deduktivnih dokazov. Poglejmo si npr. prvo Hobbesovo srečanje z Evklidovi- mi Elementi, kot ga opisuje Aubrey v svojih Brief Lives: Ko je bil v knjižnici za gospode, so Evklidovi Elementi ležali odprti na 47 El. libri I. Prebral je izrek. Za B - , je dejal (tu in tam je s poudarkom izustil zanos no kletev), to j e nemogoče! Tako je prebral njegov dokaz, 15 Seextus Empiricus, Outlines of Pyrrhonism, II, 159 (V izdaji Loeb: zv. I, str. 253-255). 111 Glej drugo Millovo knjigo, A System of Logic [1843], Longmans, London 1976. 1 7 1 S T E P H E N G A U K R O G E R ki ga je napotil na naslednjega, ki ga je prav tako prebral. [In tako na- prej] daje bil naposled nazorno prepričan v njegov resničnost. Tako se je zaljubil v geometrijo.17 Hobbes ne začne zgolj s tem, da v nekaj ne verjame, temveč celo s tem, da ne verjame, d a j e kaj takega sploh mogoče; veriga deduktivnega sklepanja pa ga prepriča v nasprotno. Gre za očiten primer spoznavnega napredovanja, se pravi, Hobbes konča s prepričanjem, ki ga sicer ne bi bil dosegel in za to novo prepričanje je odgovorno čisto deduktivno sklepanje. Res je, da vsa deduktiv- na sklepanja s seboj ne prinašajo spoznavnega napredka: sklepanje »če p, po- tem p« očitno ne vsebuje spoznavnega napredovanja, čeprav gre za formalno veljaven deduktivni sklep. Descartes zgreši pravo pot s tem, ko zanika, da kate- rikoli deduktivni sklep vsebuje spoznavno napredovanje. Kakor kaže Hobbe- sov primer, to ni preprosto razvidno. Nadalje, tudi če deduktivni sklep ne bi mogel nikoli povzročiti spoznavne- ga napredovanja, bi vseeno imeli dober razlog za ukvarjanje s sistematičnimi odnosi med resnicami, npr. med geometrijskimi resnicami in aritmetičnimi resnicami, kajti dokaj pomembno je, da vemo, na kakšen način nekatere izha- jajo iz drugih in natančno v čem je bistvo tega »slediti iz«. Toda Descartes predpostavlja, d a j e spoznavno napredovanje edini kriterij, ki ima vrednost, to pa ga vodi v opustitev vsega, za kar meni, da ni metoda raziskovanja. Alge- bro razume kot metodo raziskovanja par excellence, in natanko zato, ker j o do- jema na tak način, mu j e zaprta možnost razmišljanja o dedukciji v algebraič- nih izrazih. III. Aplikacija matematike na realnost Abstraktna narava algebre, kot se je zavedal Descartes, j e vir njene moči. Vendar je tudi potencialni vir težav, kajti če je matematika tako abstraktna kot zatrjuje Descartes, lahko njen odnos do materialnega sveta postane proble- matičen. To je za Descartesa posebej pomembno vprašanje, ker želi razviti matematično fiziko, popolnoma matematično razlago materialnega sveta. Des- cartes obravnava vprašanje matematične fizike v Pravilih kako naravnavati um- ske zmožnosti na način, ki med seboj povezuje matematiko, epistemologijo in naravoslovje, njegov prispevek pa ni uporaben zgolj kot pomoč pri razumeva- nju načina, kako razmišlja o tem, da bi lahko nekaj tako abstraktnega kot algebra povezal z naravnim svetom, temveč tudi kot osvetlitev njegovega raz- mišljanja glede vprašanja, v čem ta abstraktnost obstaja. 17 Aubrey's Brief Lives, ur. Oliver Lawson Dick, Seeker in Warburg, London 1960, str. 150. 1 7 2 N A R A V A ABSTRAKTNEGA MIŠLJENJA Enostavne narave V Pravilih Descartes ves čas vztraja, da mora spoznavanje začeti s tem, kar imenuje »enostavne narave«; to so tiste stvari, kijih ni mogoče dalje analizira- ti in katere lahko zapopademo na neposreden in intuitiven način. Takšne enostavne narave j e mogoče zapopasti le z razumom, čeprav »moremo sicer ugotoviti, d a j e samo intelekt zmožen znanstvenega spoznanja, da pa mu mo- rejo biti pri tem v pomoč ali v oviro tri druge sposobnosti, namreč imaginaci- ja, čuti in spomin.« (AT X 398; slov. prev. str. 143) V pravilu XIVje povezava med razumom in imaginacijo izpeljana na dokaj zanimiv način: Z 'razsežnostjo' razumemo vse tisto, kar ima dolžino, širino in globino, ne da bi se spraševali, ali je to resnično telo ali zgolj prostor. Zdi se, da to ne potrebuje nadaljnjega pojasnjevanja, kajti naša imaginacija nič ne zaznava lažje kot to ... Kajti četudi bi kdo, ob predpostavki, d a j e vse razsežno izničeno, lahko prepričal samega sebe, da to ne bi preprečilo obstoja razsežnosti same na sebi, za ta koncept ne bi uporabil telesne ideje, temveč samo slabo presojajoč razum. To bo tudi sam priznal, če bo pozorno razmislil o podobi te razsežnosti, ki jo bo tedaj skušal upo- dobiti v svoji fantaziji. Opazil bo namreč, da je ne zaznava brez vsakega subjekta, temveč da sijo popolnoma drugače predstavlja, kotjo presoja; in dodajam (ne glede na to, kaj naš razum) veijame glede resnice stvari ), da tiste abstraktne entitete v fantaziji niso nikoli tvoije- ne ločeno od subjektov. (AT X 442-3) Descartes nadaljuje s trditvijo, da medtem, ko sta »razsežnost« in »telo« zasto- pana v imaginaciji z eno in isto idejo, to za razum ne velja. Ko rečemo, da »število ni števna stvar« ali da »razsežnost ali oblika ni telo«, sta pomena »šte- vila« in »razsežnosti« tukaj takšna, da jima v imaginaciji ne ustrezajo nobene posebne ideje. Ta dva stavka sta »delo čistega razuma, ki ima sam sposobnost ločevanja abstraktnih bitnosti te vrste« (AT X 444). Descartes vztraja, da mo- ramo ločiti tiste vrste stavke, v katerih so pomeni izrazov ločeni od vsebine idej v imaginaciji, od stavkov v katerih izrazi, čeprav »se izrekajo na isti način v abstrakciji od njihovih subjektov, kljub temu ne izključujejo ali zanikajo ni- česar, od česar se realno ne razlikujejo« (AT X 445). Razum in imaginacija Razlika med dvema vrstama izjavje nemara najbolj jasno izražena v razliki med njunimi lastnimi predmeti, to je med predmeti razuma in predmeti ima- ginacije. Lastni predmeti razuma so popolnoma abstraktne bitnosti in osvo- bojeni podob ali »telesnih predstav«. Ko se ukvarja s svojimi lastnimi dejav- 1 7 3 S T E P H E N G A U K R O G E R nostmi, se razum zares »sam obrne proti sebi« (AT VII 73) in zre tiste stvari, ki so čisto razumske, kot misel in dvom, kot tudi tiste »enostavne narave«, ki so skupne tako duhu kot telesu, kot so eksistenca, enotnost in trajanje. Vendar se razum lahko usmeri tudi k »idejam« v imaginaciji. Na ta način izvršuje tudi operacijo, ki ji je lastna, vendar pa je imaginacija ni sposobna izpeljati, na- mreč, izločanja komponent teh idej z abstrahiranjem. Na tem mestu se pojavi potreba po imaginaciji, kajti razum sam nima sploh nikakršne povezave s svetom. Bitnosti, ki j ih dojame razum, so nedolo- čene. Imaginacija je potrebna, da bi postale določene. Ko npr. govorimo o številih, moramo uporabiti imaginacijo, da bi nam prikazala nekaj, kar j e mo- goče izmeriti z mnoštvom predmetov. Razum dojema »pet-nost« [fiveness] kot nekaj ločenega od petih predmetov (ali odsekov premice, ali točk, ali česarkoli) in tako je potrebna imaginacija, če naj ta »pet-nost« ustreza neče- mu v svetu. To, s čimer imamo tu dejansko opraviti, je , vsaj kar zadeva razum, algebra. To drži vse dotlej, dokler je predmete algebre, katerih nedoločeno vsebino je izločil razum, mogoče prikazati in dojemati simbolno, kot premice in ravnine, ki jih je mogoče identificirati z dejanskim svetom. Algebra se uk- varja s popolnoma abstraktnimi bitnostmi, dojetimi v razumu, toda te abstrakt- ne bitnosti morajo biti predočene simbolno in s tem prikazane kot določene, kar zahteva pomoč imaginacije. Imaginacija na ta način predočuje splošne ve- likosti (abstraktne bitnosti) kot določene velikosti (ki se ne razlikujejo od tega, česar velikosti so). Vseeno vsaka vrsta določene velikosti tu ne bo primerna. Privilegirana določena velikost, ki j o želi Descartes izbrati, j e prostorska razsežnost. Za to obstajata dva razloga. Prvič, algebraične bitnosti j e mogoče prikazati geome- trijsko, se pravi v izrazih čiste prostorske razsežnosti. Drugič, Descartes trdi (npr. v pravilu XII) da tedaj, ko se ukvarjamo s fiziološkimi, fizikalnimi in op- tičnimi vidiki zaznave, postane jasno, da to kar vidimo na noben način ni po- dobno telesom v svetu. Sam svet ne vsebuje barv, vonjev itn. (nobenih sekun- darnih kvalitet) temveč zgolj prostorsko razsežno telo. Sekundarne kvalitete, ki jih zaznavamo, so preprosto značilnosti interakcije naših čutnih organov, spoz- navnega aparata itn., z zunanjim svetom. So psihični dodatki zaznavajočega duha. Tako je svet samo enostavno prostorsko razsežno telo in kar se zabeleži v imaginaciji niso nič drugega kot preprosto prostorsko razsežne velikosti. Skratka, fizični svet in abstraktne bitnosti algebre so potemtakem v ima- ginaciji predočene kot razsežne velikosti oz. kot merila razsežnih velikosti, pri čemer se prve preslikajo v slednje: 1 7 4 N A R A V A ABSTRAKTNEGA MIŠLJENJA razum abstraktne bitnosti (algebra) i imaginacija premice, dolžine daljic, itn. (geometrija in aritmetika) fizični svet . razsežne velikosti t materialni predmeti (materialna razsežnost) V tej shemi se čisto mišljenje, značilno za algebro, s katero se ukvarja razum, neposredno ne preslika v fizični svet. Prej gre za to, da se njegov prikaz v obliki aritmetike in geometrije preslika v prikaz fizičnega sveta, v prikaz, ki se sestoji iz izključno dvodimenzionalnih oblik. To pojmovanje je podvrženo mnogim težavam, kar je mogoče pričakovati iz obravnave, ki zadeva tako te- meljna vprašanja, vendar pa nam zagotavlja prvi eksplicitni epistemološki in metafizični temelj za matematično fiziko v zgodovini filozofije, in v marsikate- rem pogleduje njegova vloga v Descartesovi misli celo bolj središčna kot pri »cogitu«. Kar je pri Descartesovem delu v algebri izjemno, je nivo njene abstrakt- nosti. Ta dosežek je bil vedno postavljen v senco, bodisi z Descartesovo lastno trditvijo, d a j e bilo vse, kar je počel, samo ponovno odkrivanje skrite metode raziskovanja, znane že antičnim matematikom, bodisi s širše sprejetim mo- dernim pogledom, da so ti matematiki poznali 'geometrijsko algebro', to je, algebraično interpretacijo aritmetike, k i je vsebovala geometrijski zapis. Po- dal sem nekaj razlogov, zaradi katerih sem prepričan, da takšna razlaga in predvsem slednje ne drži. To, kar so poznali antični matematiki, dejansko ni bila posebna abstraktna algebraična interpretacija aritmetike, temveč pred- vsem njena posebno konkretna geometrijska interpretacija. Do abstraktne interpretacije pride le s kombinacijo sredstev aritmetike in geometrije, ki proi- zvede nekaj, kar j e veliko močnejše in abstraktnejše, kot vsaka izmed obeh; in to j e Descartesov dosežek. Descartes (z Vietajem in drugimi) utemelji to, kar sem prepoznal kot prvo stopnjo v razvoju algebre, namreč osvobajanje števila od prostorske intuicije. To je odprlo pot drugi stopnji, osvobajanju same alge- bre od izključno numerične interpretacije. Vendar p a j e premik k tej drugi stopnji v popolnem naspro^u s celotno vodilno mislijo Descartesovega pristo- Sklep 1 7 5 S T E P H E N G A U K R O G E R pa. Do tega ni prišlo toliko zaradi tega, ker nas vodi do ravni abstrakcije, kij i niti sam ni bil naklonjen, kajti njegova zgodnja ideja »univerzalne matemati- ke« je vključevala ekstremno abstraktno (vendar neizvedljivo) pojmovanje ma- tematike, ki presega katerokoli specifično vsebino, ukvarjajoč se zgolj s tem, kar ima red in velikost (AT X 378). Temveč predvsem zaradi njegove zahteve, da naj bo to metoda raziskovanja, kar nadalje pomeni, da mora biti spoznav- no informativna. Deduktivni sklep, kot (napačno) misli, ne more biti nikoli spoznavno informativen, zato zavrača vsako povezavo med algebro in logiko. Vendarle se druga stopnja v razvoju algebre zgodi v veliki meri kot rezultat njene uporabe v sistemih deduktivnega sklepanja. Descartesa potemtakem sploh ni vznemirjala abstraktna narava njegove algebre v matematičnem kontekstu. V več pogledih je še bolj izjemno, da ga ni vznemirjala niti v fizikalnem kontekstu. Njegov poglavitni namen j e bil razviti matematično fiziko, matematika pa je za Descartesa konec koncev al- gebra. Dobro zavedajoč se, vsaj po njegovi zgodnji fazi »univerzalne matema- tike«, da [matematična fizika] ne more biti zgolj stvar uporabe sistema, tako abstraktnega kotje algebra, na nečem tako konkretnem in specifičnem ko t j e realni svet, je poskušal dokazati, da imata nekaj bistveno skupnega: geometri- jo. Edine dejanske lastnosti snovi so tiste, ki jih je mogoče v celoti razumeti v geometrijskih izrazih, algebra pa j e v imaginaciji prikazana v čisto geometrij- skih izrazih. Potemtakem je geometrija tista, ki obe med seboj povezuje. To nemara ni najbolj ploden način uvajanja temelja za matematično fiziko,18 toda sama smelost in bistroumnost zamislije presenetljiva, in zaresje to prvi ekspli- citen filozofski poskus razčiščevanja do zadnje podrobnosti tega, kako bi lah- ko bila možna matematična fizika. Skratka, Descartesovo delo v algebri j e nekaj, kar se širi daleč preko same matematike. Zaradi tega dela velja Descartes za enega največjih matematikov sedemnajstega stoletja. Ce torej sledimo posledicam, ki j ih je imelo njegovo delo v razvoju kvantitativnega mehanskega razumevanja fizičnega sveta, j e bil eden izmed največjih naravoslovcev sedemnajstega stoletja; če pa sledimo po- sledicam, ki jih je imelo za vprašanje metode, je postal njegov največji filozof. Prevedel Ernest Zenko 18 Glej Gaukroger, »Descartes' project for a mathematical physics«, v: S. Gaukroger (ur.), Descartes, Philosophy, Mathematics, and Physics, str. 97-140. 1 7 6 ARISTOTEL - NAKLJUČNI DOGODKI Filozofski vestnik Letnik/Volume XXI • Številka/Number 1 • 2000 • 179-194 NAKLJUČJE IN ČLOVEŠKO DELOVANJE V ARISTOTELOVI FIZIKI FILIP GRGIČ 1. Uvod Med dogodki v svetu obstajajo nekateri dogodki, ki se upirajo dokončni razla- gi. Če kdo vpraša, zakaj s e j e tak dogodek pripetil, ni mogoče odgovoriti s sklicevanjem na neki določen vzrok. Nekateri izmed teh dogodkov so takšni, da so se lahko pripetili zaradi razumskega načrtovanja ali po naravni poti, in če so se pripetili na ta način, potem bi lahko pravilno rekli, d a j e bil za to, da so se pripetili, odgovoren (cdtiog) neki smoter, ki bi ga potemtakem lahko poimenovali njihov vzrok ali razlaga (odila). Takšne dogodke, ki bi se lahko pripetili zaradi razumskega načrtovanja ali po naravni poti, imenuje Aristotel spontani dogodki oziroma spontani izidi (tet aj to Tai)TO|xaTOu), njihova podvrsta pa so spontani dogodki na področju človeškega delovanja, ki se ime- nujejo naključni dogodki oziroma naključni izidi ( t a cuto TI^S) . 1 Neki dogodek j e potemtakem naključni dogodek, če j e takšen, da bi se lahko pripetil zaradi razumskega človeškega delovanja. Če bi kdo vprašal, za- kaj se je zgodil, potem ni mogoče reči, da se je zgodil zavoljo nekega smotra, kar bi bil pravilen odgovor, če bi dogodek ne bil naključni dogodek. Naključ- ni dogodek bi se lahko zgodil zaradi neskončnega števila vzrokov, od katerih pa se nobeden ne nanaša na smoter, in edini primerni odgovor na vprašanje, zakaj s e j e zgodil, j e »zaradi naključja«. Kakorkoli že, Aristotelovo stališče v Fiziki 2.5 je, da naključni dogodki vendarle so zaradi nekega smotra (cilja), četudi se ne zgodijo zaradi nekega smotra v smislu, da ta smoter uravnava 1 Beseda avrofiarov iz Phys. 2.4—5 je rabljena v dveh pomenih: v širšem pomenu, ki vključuje naključje, in v ožjem pomenu, omejenem na naravne pojave. V drugih besedi- lih, kjer j e beseda TV r̂/ rabljena v veliko širšem pomenu kot pa v Phys. 2.4-6, Aristotel ponavadi ne razlikuje med Tvxf] in avrofiarov (glej, na primer, An. Post. 2.11, 95a3-9). Seveda bi bilo treba pripomniti, da, ko Aristotel reče nekaj takšnega kot Tvy_r/ xai (oziro- ma r)) amonarov {De Caelo 1.12, 283a35-6; Metaph. Z.7, 1032a29; A.3, 1070a6-7, itd.), ni popolnoma jasno, ali sploh razlikuje med tema dvema terminoma ali ne. F I L I P GRC.IČ proces njihove dogoditve, se pravi, da jim pripisuje lastnost, da so »zaradi nečesa«. Menim, d a j e Aristotelovo stališče naslednje. Vzemimo primer, ki si ga bomo natančneje ogledali pozneje. Če grem nakupovat na tržnico, in če tam srečam prijatelja, ki sem ga želel srečati, a ga tam nisem pričakoval, tedaj je ta naključni dogodek (kasneje bomo videli, kaj natanko j e v tem primeru naključni dogodek) po Aristotelu »zaradi nečesa«, saj - ko t j e rečeno v opisu tega dogodka - sem si želel srečati prijatelja in dogodek mi je mojo željo izpolnil. Po drugi strani pa, če grem na tržnico z namenom, da bom tam srečal prijatelja, pri čemer vem, da bo on tam, j e potem tudi ta dogodek - dogodek, ki je rezultat »resnično« teleološkega procesa - »zaradi nečesa«. Če Aristotel zares verjame, da lahko naključne dogodke označimo kot »biti zaradi nečesa«, potem bi se lahko upravičeno vprašali, kako j e v to mogo- če veijeti in kateri so njegovi razlogi, da v to verjame. Med številnimi drugimi eksegetskimi in splošnimi filozofskimi problemi, ki spremljajo Aristotelovo razpravo o naključnih dogodkih v Fiziki 2 A-6, je ta problem nemara najtežji. Aristotel namreč običajno strogo zoperstavi naključne dogodke in dogodke, ki so »zaradi nečesa«.2 Potemtakem je očitno, da ima v Fiziki posebne razloge za to, da naključne dogodke prilagodi teleološki vrsti razlage, in nek poseben način, za katerega meni, d a j e to mogoče storiti. Komentatorji obiczyno priv- zamejo, da bi morali, ko Aristotel naključnim dogodkom pripiše lastnost »biti zaradi nečesa«, frazo »zaradi nečesa« razumeti v njenem nevzročnem oziro- ma nepojasnjevalnem pomenu.3 Razlikovanje vzročnega oziroma pojasnjeval- nega in ne-vzročnega oziroma ne-pojasnjevalnega pomena fraze »zaradi ne- česa« ima v besedilu prav malo opore, nadaljnji problem pa prinaša dejstvo, da Aristotel v Fiziki 2.4-6 ne poda nobenega pojasnila glede možnih alterna- tivnih rab te fraze. V pričujočem prispevku bom predlagal nekaj razlogov, zakaj Aristotel vztra- ja pri tem, da naključne dogodke postavi v kontekst teleološke razlage, tako da zanje lahko rečemo, da so »zaradi nečesa«. Omejil se bom na pojem na- ključja, svojo razlago pa bom opiral v glavnem na tisto, kar Aristotel pove v Fiziki 2.5. Čeravno Aristotel meni, da tisto, kar velja za naključne dogodke, prav tako velja tudi za spontane dogodke (2.6, 197;i36-b2), se mi zdi, d a j e razmerje med naključnimi in spontanimi dogodki veliko bolj zapleteno, kot 2 Prim.: Protr. B 12 Düring, An. Post. 1.12, 95a8-9; PA 1.5, 645a24-5; Rhet. 1.10, 1369'32- l ,l. 3 Prim.: Lennox, str. 60: »Pri Aristotelu ima evepca rov nek vzročni in opisni smisel, in ... spontani procesi so »zaradi njihovih rezultatov« samo v nevzročnem smislu. Prav ti 'bi lahko bili zaradi premisleka ali narave', medtem ko resnično teleološki procesi so.« Prim. tudi: Simplicius, in Phys. 335.33-336.5; Ross, str. 517-519; Charlton, str. 106. Prim. tudi: Judson, str. 77-78, ki meni, da bi »£ je zaradi nečesa v nepojasnjevalnem smislu« v naj- boljšem primeru lahko razložili kot ».E dejansko prinaša neko korist«, tj. » £ j e per se vzrok neke koristi«. Prim tudi 4. razdelek našega prispevka. 1 8 0 NAKLJUČJE IN ČLOVEŠKO DELOVANJE V ARISTOTELOVI FIZIKI bi iz omenjenega lahko sklepali, zaradi česar nisem pripravljen trditi, da se sklepi, do katerih bom prišel, nanašajo na vse procese, usmerjene k nekemu smotru, in ne zgolj na človeško delovanje. Primer človeškega delovanja ima- mo namreč lahko za nekakšen zgled, ki nam pomaga razumeti vlogo sponta- nosti v Aristotelovi filozofiji nasploh. V prvem delu prispevka se bom osredotočil na sam pojem naključja. Ari- stotel pravi, d a j e naključje vzrok akcidentalno (xara OV[IFIEFIRJY.og), tj., da lahko naključne dogodke uvrstimo v širši razred dogodkov, ki se zgodijo akci- dentalno. Ker je skupna poteza tako naključnih kot akcidentalnih dogodkov nasploh v tem, da ne ene ne druge ne moremo označiti kot nekaj, kar se zgodi vedno ali večinoma na isti način, bom najprej preučil pomen označbe »niti vedno niti večinoma« ter predložil poseben način, kako lahko to označi- tev pripišemo naključnim dogodkom. Moja naslednja naloga bo pokazati, kako Aristotel razlikuje med akcidentalnimi in naključnimi dogodki, tako da uvrsti naključne dogodke v skupino akcidentalnih dogodkov, ki so »zaradi nečesa«. Na koncu bom pojasnil, kako se naključni dogodki ujemajo z Aristotelovo teleološko razlago človeškega delovanja: skušal bom dokazati, da naključne dogodke ne le lahko smiselno označimo kot »biti zaradi nečesa«, temveč da tudi dejstvo, da so »zaradi nečesa«, v nekem pomenu ohranja prvenstvo teleo- loške razlage človeškega delovanja - da Aristotelova teleologija dejansko po- trebuje naključne dogodke, ki so »zaradi nečesa«. 2. »Niti vedno niti večinoma« Aristotel vpelje pojem naključja tako, da v polju dogodkov začrta dvoje razlikovanj. Prvo razlikovanje je razlikovanje med dogodki, ki se vedno ali večinoma zgodijo na isti način, in dogodki, ki se na isti način ne zgodijo niti vedno niti večinoma: Najprej je, ker vidimo, da nekatere stvari nastajajo vedno na isti način, druge pa večinoma tako, očitno, da se naključje ali njegov rezultat ne imenuje vzrok nobene od teh - tj. tistega, kar je po nujnosti in vedno, oziroma tistega, kar je večinoma. Ker pa obstajajo druge stvari, ki nasta- jajo poleg teh, za katere vsi pravijo, da so rezultat naključja, očitno ob- staja nekaj takega, kot je naključje [tyche] in spontanost [automaton]; saj vemo, da so takšne stvari rezultat naključja, in da so rezultat naključ- ja takšne stvari. (2.5, 196b10-17) 1 8 1 F I L I P GRC.IČ Prva značilnost naključnih dogodkovje potemtakem to, da se ne dogodi- jo niti vedno niti večinoma na isti način.4 Aristotel ima frazo »niti vedno niti večinoma« ponavadi za specifično potezo akcidentalnih dogodkov nasploh.5 Vseeno pa obstaja še nek poseben pomen, v katerem se ta fraza nanaša na naključne dogodke. Po Fiziki 2.5 se naključni dogodki pojavijo na področju človeškega delo- vanja. Očitno se na področju človekovega delovanja nič ne zgodi vedno na isti način, tako da so naključni dogodki zoperstavljeni dogodkom, ki se večinoma zgodijo na isti način. Toda Aristotelovo rabo fraze »večinoma« ponavadi ome- jujejo na naravne dogodke, ne pa na človeško delovanje; »večinoma« in »po naravi« ima Aristotel običajno za sinonimna.1' Potrebujemo torej razlago nači- na, na katerega lahko človeško delovanje označimo za nekaj, kar se večinoma dogaja na isti način. Aristotel se o tem nikoli eksplicitno ne izjasni, čeprav lahko potegnemo nekaj sklepov, še zlasti, če premislimo vlogo »večinoma« v odlomku, o kate- rem bomo v nadaljevanju razpravljali (2.5, 197a4). Vzemimo Aristotelov pri- mer in predpostavimo, da se nekdo loti zbiranja denarja za praznovanje, pri čemer pa ve, da je denar na Egini. V tem primeru j e očitno mogoče reči: »Večinoma (če zbira denar, gre na Egino).« Kaj v tem primeru označuje fraza »večinoma«? Zbiranje denarja je smotrni vzrok delovanja neke osebe, med- tem ko je odhod v Egino sredstvo, ki ga izbere v procesu analize možnih sred- stev (EN3.3). Potemtakem lahko domnevamo, da v tem primeru fraza »veči- noma« označuje razmerje med smotrom in sredstvi: če neka oseba po preu- darku izbere določena sredstva (odhod na Egino) za dosego določenega cilja (zbiranja denarja), potem ji bodo ta sredstva v večini primerov omogočila doseči cilj (smoter), pod pogojem, da privzamemo Aristotelov pogoj iz neke- ga drugega, čeravno podobnega konteksta, da vmes ne poseže nič zunanjega (Phys. 2.8, 199a10-ll; 199b18, 26) in da si medtem ta oseba ni premislila. Po- temtakem se ljudje večinoma obnašajo na isti način, ker svoje cilje (smotre) v glavnem dosežejo z uporabo sredstev, ki sojih izbrali. Pomembnoje poudariti, da tako razumljena fraza »večinoma« ne naznačuje pogostnosti. Če neka oseba, 4 Za vlogo »vedno ali večinoma« pri Aristotelu glej predvsem Mignuccija. Njegovo inter- pretacijo spodbija Judson, str. 82-89. 5 »Ker so torej med bivajočimi stvarmi nekatere takšne, da so vedno v istem stanju in iz nujnosti ... nekatere bivajoče stvari pa ne bivajo iz nujnosti niti vedno, temveč večinoma: to je počelo in to je vzrok biti naključja; kar namreč pač biva, a niti vedno niti večinoma, to pravimo, d a j e pripetljaj.« Metafizika E.2, 1026''27—33, nav. po prevodu Valentina Kala- na: Aristoteles, Metafizika, zbirka Philosophica — series classica, Založba ZRC, Ljubljana 1999, str. 152. 11 Prim.: An. Pr. 1.13, 32b4-13; De Caelo 1.12, 283a2-3; 3.2, 301 "7-9; Rhet. 1.10,1369a32-b2. 1 8 2 NAKLJUČJE IN ČLOVEŠKO DELOVANJE V ARISTOTELOVI FIZIKI ko se loti zbiranja denarja, ve, d a j e denar na mestih a, b in c, potem bo šla, če izbere, da bo šla v a, »večinoma« zbirat denar v a, četudi to ne pomeni, da gre pogosteje zbirat denar v a kot v ž» in c (v resnici bi lahko običajno šla v b)? Kako naj potem interpretiramo Aristotelovo vztrajanje pri tem, da se na- ključni dogodki ne zgodijo niti vedno niti večinoma na isti način? Delna reši- tev problema se nahaja v dejstvu, da Aristotel praviloma uporablja negativno formulacijo »niti vedno niti večinoma«; nikoli pa ne uporabi kake pozitivne fraze, kakršni sta »redko« ali »izjemoma«. Naključni dogodki so nedvomno redki in izjemni, četudi j ih njihova redkost in izjemnost v razmerju do celot- nega števila dogodkov v svetu ne naredi za naključne dogodke. Recimo, da se neka oseba loti zbiranja denarja in ve, d a j e denar v a, ne ve pa, d a j e v b. Recimo nadalje, da se ukvarja z zbiranjem denarja ob treh priložnostih, in da ga vsakič, ko ga zbira, tudi zbere: enkrat tako, da gre v a zato, da bi ga zbrala, dvakrat pa tako, da gre v b, toda tja ne gre zato, da bi zbrala denar, temveč zaradi kakšnega drugega razloga. Nabiranje denarja v b bo Aristotel označil kot naključni dogodek. Vendar v takšnem primeru ne moremo reči, da so dogodki zbiranja denarja v b redki, saj predstavljajo večino v razmerju do na- mernega zbiranja denarja z odhodom v a. Prav tako ne moremo reči, da z odhodom v b oseba zbira denar večinoma na isti način v aristotelskem pome- nu besede. Kljub temu pa lahko rečemo: »Večinoma (če neka oseba zbira denar, gre v a)«, saj je polna oblika antecedensa »Če neka oseba zbira denar in ve, d a j e denar v a« oziroma »Če neka oseba zbira denar in se odloči iti v a, ker ve, d a j e denar v a«. To pomeni, da moramo Aristotelov opis naključnih dogodkov »ne veči- noma na isti način« brati kot skrajno negativni opis: kot indikacijo nemožno- sti tega, da bi naključni dogodek predstavili v pogojniku tipa »večinoma (če B, potem A)«, pri čemer je B nameravani cilj (smoter), A sredstva, ki so izbra- na po preudarku, in »večinoma« neke vrste operator, ki označuje razmerje med njima. To tudi pomeni, da ga ne moremo parafrazirati kot »redko (če neka oseba zbira denar in ne ve, d a j e denar v b, gre v b)«, saj se tu »redko« razteza čez celotni pogojnik in označuje samo, da je dogodek, za katerega gre, redek v razmerju do vseh drugih dogodkov zbiranja denarja. 7 Isto velja za procese, ki temeljijo na r¿xvt]: če gradim hišo in se odločim, da bom uporabil opeke, potem j e večinoma tako, da bom hišo zgradil iz opek, ni pa nujno, bodisi zato, ker so opeke kot materija, iz katere je hiša, takšne, da dopuščajo, da so lahko druga- če (npr., lahko se izkaže, da so tako slabe kvalitete, da iz njih ni mogoče zgraditi nobene hiše), bodisi zato, ker se lahko medtem premislim. 1 8 3 F I L I P G R C . I Č 3. Akcidentalni in naključni dogodki Potemtakem obstaja posebni pomen, v katerem je lastnost dogajanja »niti vedno niti večinoma na isti način« pripisana naključnim dogodkom. To j e prva značilnost, ki razlikuje naključne dogodke in akcidentalne dogodke na- sploh. Da bi našli še drugo značilnost, si oglejmo začetek Aristotelove razpra- ve v Phys. 2.5: Od stvari, ki nastajajo, nastanejo nekatere 'zaradi nečesa', nekatere pa ne. Od prvih so nekatere v skladu z izbiro in nekatere ne, oboje pa so med stvarmi, ki so 'zaradi nečesa'. Tako je očitno, da so med stvarmi, ki niso niti nujne niti večinoma, nekatere, ki so lahko 'zaradi nečesa'. (196'T7-21) Aristotel argumentira takole: Naj bo C razred vseh stvari, ki se zgodijo, Cj njegov podrazred, ki vključuje stvari, ki se zgodijo vedno ali večinoma na isti način, C 2 pa podrazred, ki vključuje stvari, ki se ne zgodijo niti vedno niti večinoma na isti način. Tako po Aristotelu sledi, da v primeru, če lastnost »biti zaradi nečesa« lahko pripišemo nekaterim članom C-ja, j o lahko prav tako pripišemo nekaterim članom C2, rečeno drugače, obstajajo nekateri ak- cidentalni dogodki, ki so zmožni biti »zaradi nečesa«.8 Iz dejstva, da lahko lastnost »biti zaradi nečesa« pripišemo nekaterim ak- cidentalnim dogodkom, seveda ne sledi, da dejansko obstaja akcidentalen dogodek, ki je »zaradi nečesa«. Zato Aristotel na 196b21-4 pove, kdaj ta last- nost pripada akcidencam: Toda stvari 'zaradi nečesa' so tiste, ki bi mogle biti stoijene kot izid premisleka ali narave. Ko take stvari nastajajo akcidentalno, tedaj pravi- mo, da so [nastale] po naključju. Primerjajmo tudi sklepno opombo v Phys. 2.5: Kot smo rekli, sta torej tako naključje kot spontanost vzroka na akciden- talen način [kata symbebekos] za stvari, ki ne morejo nastati niti eno- stavno niti večinoma, in za takšne [stvari], ki bi lahko nastale 'zaradi nečesa'. (197a32-5) Dogodek je torej »zaradi nečesa«, če j e takšen, da bi bil lahko storjen kot rezultat premisleka ali narave.9 Očitno je, da obstajajo takšni akcidentalni do- 8 Prim.: Ross, str. 517. Tako Charlton pravilno reče na str. 106 o logiki Aristotelove argumentacije, da »bi moral to (cf. An. pr. I 29a6-10) bolje domisliti«. 'J Torstr ikje predlagal, d a j e na 196b21-2 (ecrti d' EVEKO. TOV ooa TE dno diavoiag av 7tQaxOELT] xal ooa and (pvaeuojg) treba spremeniti besedo noayJ)nir] v ngax9fj, saj Aristo- tel običajno pravi, d a j e »zaradi nečesa« tisto, kar j e strnjeno s premislekom ali po naravi, ne 1 8 4 NAKLJUČJE IN ČLOVEŠKO DELOVANJE V ARISTOTELOVI FIZIKI godki, da bi lahko bili storjeni kot rezultati premisleka; potemtakem jejasno, da obstajajo akcidentalni dogodki, ki so »zaradi nečesa«, in ti akcidentalni dogodki so naključni dogodki. Aristotel na 197a32-5 pove isto: tu, znotraj razreda akcidentalnih dogodkov, razlikuje dogodke, ki niso le akcidentalni, temveč tudi takšni, da bi j ih lahko opisali kot dogodke, ki so »zaradi nečesa«; in ko j ih dejansko označi na takšen način, jih potem poimenuje naključni dogodki.10 Takoj pa nastopita dve težavi. Vse prej kotjasno je, prvič, kaj v tem prime- ru pomenijo akcidentalni izidi; drugič, nejasno je, kaj je kriterij, s pomočjo katerega lahko za nek akcidentalni izid rečemo, d a j e »zaradi nečesa«, saj j e »tisto, kar je lahko storjeno kot izid premisleka«, dovolj široko, da prikrije mnoge akcidentalne dogodke. Za razrešitev teh težav predlagam najprej premi- slek Aristotelovega primera na 2.5, 196b33-197a5: Nekdo, na primer, zbira prispevke za praznovanje (xo/xi£oftevog tov egavov). Če bi vedel, bi prišel z namenom dobiti denar. Dejansko pa ni prišel s tem namenom, a zgodilo seje, daje prišel in tako postopal zara- di zbiranja prispevkov (TOV xo(iioao9ai evexa). To pa, četudi ni priha- jal na to mesto niti večinoma niti nujno. Smoter, prispevek, ni zanj eden izmed vzrokov, temveč predmet izbire in izid premisleka. In v tem pri- meru za njegov prihod pravimo, da je izid naključja, medtem ko, če bi izbral in prišel s tem namenom, in bi mesto obiskal vedno ali večinoma, medtem ko bi zbiral prispevke (x0fiL^0fiEV0g), bi tega ne imenovali re- zultat naključja." pa tisto, kar bi moglo biti povzročeno s premislekom ali po naravi (str. 445-446). Torstrikov predlog bi morali zavrniti ne le zato, ker ga ne potrjujejo rokopisi, temveč tudi zato, ker ne upošteva celotnega konteksta. Aristotela na 196h21—2 v prvi vrsti ne zanima opis narave »resnično« teleoloških procesov, temveč podajanje premise argumenta, da naključni do- godki so »zaradi nečesa«: so »zaradi nečesa«, ker bi jih lahko povzročil premislek. 10 To je pomembno omeniti, saj nekateri poznavalci Aristotela domnevajo, da j e Aristo- telov poudarek v tem, da so naključni dogodki dogodki, ki so zmožni »biti zaradi nečesa«, oziroma, da obstajajo dogodki (se pravi, naključni dogodki), ki so »zaradi nečesa« v po- menu, da so zmožni »biti zaradi nečesa«, in da Aristotel na tem mestu »zaradi nečesa« uporabi v širšem smislu kot običajno. Prim, na primer: Sauvé Meyer, str. 808. " T u j e pomembno opozoriti na nekatere tekstovne težave, saj je razumevanje primera odvisno od tega, katero različico teksta izberemo. Glede na to, da sem se oddaljil od Rosovega teksta, je potrebno določeno pojasnilo. Na mestu XOUI'ÇÔUEVOÇ na 196b34 drugi viri omenjajo xofiL'Çofiivov (ki ga sprejema Ross), xofiioauêvov in xo/Moôfievoç. Problem s KOUI'QO/IEVOV ')c v tem, da vpelje drugega delujočega, dolžnika {y.o/ji'Çofiévov TOV EQCLVOV. »ko j e njegov dolžnik zbiral prispevke«), kar pomeni, da Aristotel uporablja isti glagol za dve različni dejanji: dejanje dolžnika in dejanje tistega, ki je prišel na omenjeno mesto. Sam predlagam branje xofiiÇôjuevoç, saj se mi zdi, d a j e vpeljava drugega delujočega od- večna in brezpredmetna glede na Aristotelove poglavitne namene in za povrh tudi zelo dobro osmišlja in se obenem sklada s tistim, kar Aristotel pravi na 197al in 197a35-6, da bi, 1 8 5 F I L I P G R C . I Č Mož j e prišel do omenjenega mesta ( imenujmo ga Egino12) iz nekega določenega razloga, denimo da zaradi tega, da bi šel v gledališče; potemta- kem njegov prihod na Egino kot pr ihod na Egino ni akcidentalni izid. Nada- lje, glede na to, da se j e lotil zbiranja prispevkov za praznovanje, j e popolno- ma naravno, da potem, ko je prispel na Egino zaradi tega, denimo, da bi šel v gledališče, pridobiva denar; potemtakem tudi njegovo pridobivanje denar ja ni tisto, kar se zgodi akcidentalno. Po mojem mnen ju j e na jpr imerne je pred- postaviti, d a j e omenjeni akcidentalni dogodek povezava pr ihoda in pridobi- vanja denarja.13 Aristotel akcidentalne izide pogosto opisuje kot povezave, ki niso samo če bi dogodek ne bil izid naključja, mož prišel zaradi zbiranja prispevkov. (Morda bi bil xoflicrôfiEVOÇ še primernejši, toda pri Aristotelu bi morali pričakovati xofuovfievoç, prim.: EN 8.14, 1163'18; 9.7, 1167b24 in Wagner, str. 469.) KOfuÇÔf.i£VOç sprejemata, na primer, Hardie in Gaye, v: Works of Aristotle translated into English, W. D. Ross (ur.), Clarendon Press, Oxford 1930. Naslednja težava j e s TOV xofiloaoOai ëvexa (196b35-6): Bonitz, str. 240, in Torstrik, str. 448, sta predlagala izbris teh besed, medtem ko j e Charlton, tako na str. 48 kot v prevodu, predlagal (sledil m u j e j u d s o n , str. 77 in op. št. 3), da bi morali brati TOVTO [TO] rov xofiloaodai evexa. Končno je Torstrik, str. 449f., ki m u j e sledil Ross, predlagal izbris xo/XLÇôfievoç na 197a4-5. Z branjem xoui'ÇôfiEvoç na 196''34, TOV xo/uíaao6ai evexa lahko ostane kot je , kakor tudi xo/ui^ójuevog na 197a4—5 (glej tudi spodaj, op. 18). 12 Prim. Metaph. A.5,1015a25-6, kjer se Aristotel morda sklicuje na isti dogodek kot tu, v Fiziki. 15 To potrjuje »zgodilo seje , d a j e prišel in to storil« (ovvéfir] avTcô èXdeïv, xal jtoifjaai TOVTO, 196b35), saj je, po mojem mnenju, še najbolj verjetno, da »to« napotuje na »dobiti denar« (196b33-4) in »zgodilo seje« kot napotevanje na »prišelje in to storil«, ne pa zgolj na »prišel je«. Aristotelov običajni način sklicevanja na akcidence j e z rabo oblike izjave » x s e j e zgodil y-u«, pri čemer »x« zastopa dogodke ali stanja stvari, in »y«, praviloma v tretjem sklonu, pa osebe (prim, izvrstno razpravo v: Ebert, str. 138-139). V pr imeru iz Metaph. A.30, 1025a25-7, se j e nekomu pripetilo, d a j e prišel na Egino, ker g a j e tja priti- ral vihar, oziroma so ga zajeli razbojniki, v tem primeru pa bi, v nasprotju z našim prime- rom iz Fizike, lahko rekli, da se m u j e zgodil prihod na Egino. Temu bi lahko ugovarjali, da Aristotelove besede na 2.6, 19VT8—22 predlagajo, d a j e prihod na Egino akcidentalen (tj., naključen dogodek), medtem ko j e zbiranje prispev- kov njegov izid: »Očitno j e potem, da na področju stvari, ki se normalno (ânXwç) zgodijo zaradi nečesa, pravimo, če se nekaj zgodi, a ne zaradi tistega, kar rezultira, in če ima zunanji vzrok, da j e spontani izid; če j e takšen izid za nekaj možen izbire in če j e predmet izbire, ga imenujemo rezultat naključja.« Kajti pr ihod na Egino se ni zgodil zaradi tistega, kar rezultira (zbiranje prispevkov za praznovanje), temveč zaradi nečesa drugega (obiska gledališča, na primer) in zbiranja prispevkov za praznovanje, ki se normalno (oziroma simpliciter oziroma, kot to postavi Charlton, na splošno - pomen àjilùjç na tem mestu ni ravno jasen) zgodi kot rezultat preudarka, ima zunanji vzrok, saj ni notranji delujočemu (prim.: 2.5, 197 ; 'l-2). Ce to sprejmemo, moramo kljub temu povedati, da ni prihod sim- pliciter tisti, ki ga lahko opišemo kot naključni dogodek, temveč prihod in zbiranje pris- pevkov, ali prihod zaradi zbiranja prispevkov. Ker Aristotel eksplicitno omenja pridobitev denarja kot nekakšnega posrednika med pr ihodom na Egino in zbiranjem prispevkov, j e nemara primerneje primer konstruirati, kakor smo ga konstruirali zgoraj. 1 8 6 NAKLJUČJE IN ČLOVEŠKO DELOVANJE v ARISTOTELOVI FIZIKI po sebi umevne.14 Toda povezava prihoda na Egino in pridobitve denarja je posebna vrsta povezave. Prihod na Egino ima svojo lastno vzročno zgodovino, ki je neodvisna od vzročne zgodovine pridobivanja denarja: ni se zgodil zaradi pridobivanja denarja. Pridobivanje denarja, četudi seveda sledi prispetju na Egino, ni povezano z vzročno zgodovino prihoda na Egino v pomenu tistega, zaradi česar pridemo na Egino. Skratka, omenjena povezava je takšna, da v teleološkem smislu ni samoumevna, to pa je prva značilnost, ki jo razlikuje od drugih vrst akcidentalnih povezav. Ko Aristotel pravi, na primer v An. Post. 1.4, 73b10-13, d a j e povezava hoje in strele akcidentalna, saj se ena stvar ne zgodi zaradi druge (ko udari strela, medtem ko nekdo hodi, in strela ne udari zaradi tega, ker nekdo hodi), omenjena povezava ni takšna, d a j e ne-samou- mevna v teleološkem smislu. Isto velja za povezavo kopanja in sončnega mrka (Phys. 2.6,197h27-8). Aristotel podaja v Phys. 2.6 preprost preizkus, na osnovi katerega lahko določimo, ali j e povezava akcidentalna v teleološkem smislu ali ne: če so členi povezave v takšnem medsebojnem razmerju, da ni mogoče reči, d a j e en člen v razmerju do drugega nepomemben, potem povezava ni akcidentalna v teleološkem smislu.15 Drug način, na katerega se povezava prihoda na Egino in pridobivanja denarja razlikuje od ostalih akcidentalnih povezav, je v tem, d a j e kot celota »zaradi nečesa«, namreč zaradi zbiranja prispevkov za praznovanje.10 Ali je neka povezava, ki ni samoumevna, takšna, da ni samo akcidentalen ampak tudi naključni dogodek, je mogoče ugotoviti zgolj iz opisa situacije, ko t je to v našem primeru. Če takšen opis umanjka, potem lahko dogodek, za katerega gre, opišemo hkrati kot akcidentalni in kot naključni dogodek. Dober primer je, ko nekdo odkrije zaklad, medtem ko koplje luknjo za rastlino. Aristotel pravi oboje: da gre za ovfi/3£/3r]x6g [to j e za akcidentalni dogodek] v širšem pomenu besede (Metaph. A.30, 1025a15-16), in da gre za naključni dogodek (EN 3.3, 1112a27; Rhet. 1.5, 1362a8-9). Če je najdba zaklada takšna, da bi se lahko zgodila kot izid razumskega načrtovanja, potem je ta dogodek »zaradi nečesa«. Če hoče na primer neka oseba obogateti, ali pa če ima velike finan- čne težave, v katerih lahko pomaga le še evzv^ia, oziroma, če se ta hip loteva 14 Prim. Kirvvan, str. 181; prim. tudi: Sorabji, str. 4ff. Ideja akcidence kot povezave, ki ni sama po sebi umevna, je, po mojem mnenju, najboljjasno izražena v Metaph. A.30,1025a21- 4: »Tako da ker potemtakem nekaj, kar je pripadajoče, obstaja in pripada nečemu, toda nekatere izmed teh lastnosti pripadajo samo nekje in kdaj, bo naključje tisto, kar sicer utegne pripadati, toda ne zaradi tega, ker je bil to ta določen osebek ali sedaj ali na določenem kraju.« (Nav. po prev. Valentina Kalana, op. cit., str. 144-145.) 15 Prim.: 197h22-9. Preizkus je zares nenavaden; toda Aristotelov namen je opozoriti na povezavo besed fiazr/v (»nepomemben«) in avrofiarov; četudi je njegova etimologija najverjetneje napačna (glej: Ross, str. 523), je razlaga komajda sporna. 111 Cf. rov xouiaao0aL evexa 196b35-6; eori de TO zeXo<;, r) xopndr) 197T. 1 8 7 F I L I P G R C . I Č iskanja zaklada, tedaj je dogodek, če pri tem, ko koplje luknjo za rastlino, odkrije zaklad, resnično »zaradi nečesa«: lahko bi se zgodil kot izid razumske- ga načrtovanja, saj je ta določen z opisom okoliščin in delujočega. Če p a j e na drugi strani tisti, ki najde zaklad, medtem ko koplje luknjo za rastlino, Sokrat, potem pa bi le težko rekli, da bi se Sokratova najdba zaklada lahko zgodila kot izid razumskega načrtovanja, saj Sokrat ni takšna oseba, za katero bi pričako- vali, da se bo lotila načrtnega iskanja zaklada. Končno je tudi očitno, zakaj se naključni dogodek, o katerem teče raz- prava, ne zgodi niti vedno niti večinoma na isti način v pomenu fraze »niti vedno niti večinoma«, ki smo jo razložili zgoraj: ne moremo preprosto reči »večinoma (če nekdo zbira prispevke za praznovanje, gre na Egino [ne ve- doč, da j e denar tam] in dobi denar)«. Če nekdo, vedoč, d a j e denar naEgini , izbere odhod na Egino zato, da bi ga dobil, potem bi lahko rekli, d a j e večino- ma tako, da gre na Egino zavoljo zbiranja prispevkov.17 Preučimo sedaj primer iz 2.4, 196a3-5. Ta primer j e zanimiv, ker tu Ari- stotel ponazori stališče nekaterih filozofov, ki zanikajo obstoj naključja. Ko potem mi pravimo, daje bilo to, da je nekdo prišel na tržnico in tam srečal nekoga, ki gaje želel srečati, ni pa pričakoval, da ga bo, rezultat naključja, oni trdijo, daje bil vzrok v tem, daje nekdo želel iti na tržnico po nakupih. Če upoštevamo stališče Aristotelovih nasprotnikov, je jasno, da fraza »re- zultat naključja«, podobno kot v prejšnjem primeru, poveže prihod nekoga na tržnico in njegovo snidenje s prijateljem. Zanimivo je, da se Aristotelu ni zdelo nujno predstaviti nobenega argumenta proti njihovi trditvi. Reče le to, da po njihovem mnenju obst£ya določeni vzrok vsega, za kar mi pravimo, da se zgodi po naključju (196 Jl-3), ter njihovo stališče enostavno zoperstavi svoje- mu. Glede na samo formulacijo njihovega stališča, kakor tudi glede na dejs- tvo, da Aristotel na 2.5, 196''14 omenja, da vsakdo pravi, da naključni dogodki dejansko obstajajo, pa je jasno, da ima stališče svojih nasprotnikov za nedvom- no napačno. Njihovo stališče, četudi j e na tem mestu bistveno nepojasnjeno, bi lahko imeli za podobno stališču determinista v Metaph. E.3, ki vztraja pri tem, da iz dejstva, da lahko vsak dogodek dojamemo kot člen vzročne verige, sledi, da se vse dogaja po nujnosti.1S Ker je srečanje prijatelja na tržnici člen 17 Tu lahko vidimo razlog, zakaj je ohranitev xofu^o[ZEVog na 197u4-5 nujna, pa brez zamereTorstrik in Ross. Ključno ni, ali nekdo vedno ali večinoma (oziroma pogosto) obi- skuje Egino, niti ali jo vedno ali večinoma obiskuje tedaj, ko zbira prispevke (prim.: Jud- son, str. 86), temveč ali jo vedno ali večinoma obiskuje tedaj, ko zbira prispevke, in ko izbere odhod na Egino kot sredstvo za to. 18 Kljub temu j e treba pripomniti, da determinist v Metaph. E.3 argumentira pod pred- 1 8 8 NAKLJUČJE IN ČLOVEŠKO DELOVANJE V ARISTOTELOVI FIZIKI vzročne verige, ki neakcidentalno sledi iz odhoda na tržnico, ki zopet neakci- dentalno sledi iz želje po nakupovanju, Aristotelovi nasprotniki sklepajo, da to pomeni, da ima prvi člen verige za posledico nujno tudi zadnji člen. Druga- če rečeno, Aristotelovi nasprotniki predpostavljajo, da j e vzročna razlaga pre- hodna in d a j e to razlog, zakaj srečanje prijatelja ni naključen dogodek, tem- več ima določen vzrok.19 Če pa njihovo stališče konstruiramo na ta način, je očitno, da j im Aristotel ne more odgovoriti niti tako, da reče, d a j e odhod na tržnico rezultat naključja, saj j e dejansko rezultat želje po nakupovanju, niti tako, da reče, d a j e to srečanje prijatelja, saj je to dejansko rezultat prihoda na tržnico zaradi nakupovanja. Tako pa je to, kar na tem mestu preostane, isto, s čimer smo imeli opravka v prej obravnavanem primeru: tisto, kar je akciden- talno, je povezava odhoda na tržnico in srečanje prijatelja.20 Ta povezava se izmika razlagi deterministov: ti ne morejo odgovoriti na vprašanje »Zakaj je nekdo odšel na tržnico in srečal svojega prijatelja?«, predpostavljajo pa, da lahko - ker lahko odgovorijo na vprašanje tipa »Zakaj?«, postavljenega za vsak člen povezave - razložijo tudi samo povezavo. Aristotelovo stališče, drugače kot stališče njegovih nasprotnikov, priznava, da to povezavo lahko dojamemo kot tisto, kar j e »zaradi nečesa«, namreč zaradi izpolnitve želje, ki jo ima nek- do, da bi srečal svojega prijatelja. Tako pa lahko tudi v tem pogledu primer konstruiramo podobno primeru iz 2.5.21 4. Naključje in »zaradi nečesa«: zakaj Aristotel potrebuje naključje Potem, ko smo proučili način, na katerega so nekatere akcidentalne po- vezave »zaradi nečesa«, se lahko vprašamo, zakaj Aristotel pri tem vztraja. Zelo verjetna domnevaje , da j ih lahko opišemo kot »biti zaradi nečesa«, ker dejav- niku prinašajo nekaj vrednega ali dobrega;22 Aristotel se nenazadnje na smo- ter (cilj) navadno sklicuje kot na nekaj dobrega. Vendar pa v tem primeru postavko, d a j e vzročna veriga neskončna, medtem ko je v Phys. 2.4 vzročna veriga dom- nevno končna. Za takšno interpretacijo Metaph. E.3, prim.: Grgič. 10 Za pojem prehodnosti prim.: Owens, str. 15-19. 20 Prim. tudi: Wagner, str. 467. 21 Tako je vloga »nekoga, ki ga j e želel« (196''4) vzporedna vlogi »moža, ki se loti zbira- nja prispevkov za praznovanje« (2.5, 196''33). 22 Ta tip rešitve predlaga Lennox: »Moj predlog je v tem, d a j e Aristotel pripravljen opisati spontane procese kot »zaradi njihovih rezultatov«, pod pogojem, da so izpolnjeni določeni pogoji. Ko Aristotel pravi, da so zaradi nečesa brez določitve, toda ne zaradi tistega, kar dejansko rezultira [197^18—20) ], po mojem mnenju meni naslednje: rezultat ni bil odgovoren za proces (ni ahia procesa), ki pripelje do njega; kljub temu je bil rezultat za povzročitelja koristen, in je takšna vrsta stvari, ki jo tipično dosežemo s k smo- tru usmerjeno dejavnostjo« (str. 58). Prim. tudi:Judson, str. 77-78 in op. št. 3, zgoraj. 1 8 9 F I L I P GRC.IČ nastopi problem, kako se to ujema z dejstvom, da Aristotel deli naključne dogodke na primere dobrih naključij in slabih naključij (2.5, 197a25-30). Obravnavani primeri so primeri dobrih naključij, a zlahka bi j ih prilagodili primerom slabih naključij. Nekdo gre, na primer, na tržnico nakupovat in tam sreča prijatelja, ki gaje želel srečati, pa ga tam ni pričakoval, toda vmes se je njegovemu prijatelju zmešalo in ga ob srečanju ubije. Sedaj se vprašanje glasi: ali j e ta primer v skladu s tem, kar Aristotel imenuje naključni dogodki v strogem pomenu besede? Če je, tedaj naključni dogodki niso »zaradi neče- sa« samo zato, ker so za delujočega nekaj vredni, koristni ali dobri. Če ne, potem nismo daleč od .sklepa, da Aristotelova razprava o naključnih dogod- kih v Fiziki ne pušča nobenega prostora za slabe naključne dogodke.23 Daje ta primer v skladu z Aristotelovo razlago o naključnih dogodkih, j e jasno, takoj ko spoznamo, da lahko samo srečanje na tržnici imenujemo na- ključni dogodek v pravem pomenu besede ne glede na to, kaj se lahko pripeti kasneje. Po srečanju lahko možakar in njegov prijatelj prijazno pokramljata, tako d a j e to za našega možakarja dobro naključje, lahko pa se njegovemu prijatelju zares zmeša in ga ubije, tako d a j e to zanj slabo naključje oziroma v resnici veliko zlo (2.5, 197a28). Toda slabo naključje oziroma nesreča s e j e zgodila šele potem, ko je akcidentalna povezava povzročila dosego smotra oziroma cilja (srečanje prijatelja): če bi ta smoter ne bil dosežen, se slabo naključje oziroma nesreča ne bi zgodila. Skratka, Aristotelova razlaga naključ- nih dogodkovje nevtralna, dokaj splošna in nedoločna glede vprašanja, ali j e dogodek za akterja dober ali slab. To pa samo po sebi seveda ne pomeni, d a j e narobe reči, da so naključni dogodki »zaradi nečesa«, ker so, med drugim, dobri, kajti »dobro« ne pomeni nujno »veliko dobro«. Toda poan ta je v tem, da to ni glavni razlog, zakaj so označeni kot »biti zaradi nečesa«. Da bi razumeli, zakaj Aristotel dejansko vztraja pri prilagoditvi naključ- nih dogodkov teleološki strukturi, bi morali problem premisliti v širšem kon- tekstu. Aristotelova razprava o naključnih dogodkih se opira na tri predpo- stavke, kijih ima za nevprašljive. Prva predpostavka je, da do naključnih do- godkov prihaja: obstajajo neki dogodki, za katere »vsi pravijo, da so rezultat naključja«, tako da »očitno obstaja nekaj takega, kot je naključje in spontanost; saj vemo, da so takšne stvari rezultat naključja, in da so rezultat naključja tak- šne stvari« (2.5, 196b14—17). Druga predpostavka je, da so vzroki takšnih do- godkov akcidentalni, tj. nedoločni. Tretja predpostavka, k i je Aristotel v Phys. 2.4-6 ne omenja, ki pa jo ima za nekaj gotovega v vsakem kontekstu, kjer razpravlja o vzrokih, je metodološka predpostavka, da so izhodišča vsake razi- skave pojavi - v našem primeru naključni izidi - in da šele potem, ko dokaže- 23 To j e Mansionov sklep, str. 307-308; prim. tudi:Judson, str. 77-78, op. 12. 1 9 0 NAKLJUČJE IN ČLOVEŠKO DELOVANJE V ARISTOTELOVI FIZIKI mo pojave, lahko govorimo o njihovih vzrokih, tj. postavimo vprašanje: »Za- kaj?« (PA 1.1, 640a14). Potemtakem j e naše izhodišče naključni izid. Kar je naravnost očitno, je, da ga je povzročil naključni dogodek, kije njegov (delujoči) vzrok perse. Toda to ne zadostuje: da bi podali polno razlago, moramo spoznati, da j e naključni izid član nekega širšega razreda stvari, drugače rečeno, d a j e stvar takšne in takšne vrste. Ce tako poznamo vse relevantne okoliščine, lahko vidimo, d a j e naše izhodišče takšna vrsta stvari, ki j o običajno označujemo kot »tisto, zaradi česar [je nekaj]« (rd ov evexa), potem pa lahko sklepamo, da v primeru, če je takšna, nujno obstaja nekaj, kar j e »zaradi tega« (O TOVTOV evexa). Zbiranje prispevkov za praznovanje, izhodišče naše raziskave, je član razreda stvari, katerih skupna poteza je, da so »tisto, zaradi česar [je nekaj]«, tako da mora obstajati nekaj, kar je »zaradi tega«. In edini dogodek, ki je na takšen način v razmerju do zbiranja prispevkov za praznovanje, je naš naključni dogodek - akcidentalna povezava-, saj j e takšne vrste dogodek, ki ga normalno opišemo kot »biti zaradi nečesa«. Ker je tako naključni izid neka takšna stvar, ki j o normalno opišemo kot »tisto, zaradi česar [je nekaj]«, lahko naključni dogo- dek opišemo kot tisto, kar je »zaradi tega«. To bi lahko formulirali tako, da bi rekli, da, četudi se naključni dogodek ni zgodil »zaradi nečesa«, je »zaradi ne- česa«, saj j e to, cesa r j e vzrok per se, neka stvar, ki je »tisto, zaradi česar [je nekaj]«. Obstaja še en, globlji, razlog, zakaj Aristotel potrebuje naključne dogod- ke s takšnimi lastnostmi: tako opisani naključni dogodki ohranjajo na ne-ne- posreden način prvenstvo teleološke razlage človeškega delovanja. Da bi to dokazali, predpostavimo zavoljo argumenta, da imajo Aristotelovi nasprotni- ki iz 2.4 prav: vse, vključno s tistim, za kar se zdi, d a j e naključni izid, ima določen vzrok. Predpostavimo dva nadaljnja dogodka: (1) Mož gre na tržnico nakupovat in tam sreča prijatelja, ki g a j e želel srečati, katerega pa tam ni pričakoval. (2) Mož gre na tržnico zaradi tega, da bi tam srečal prijatelja (ve, da bo njegov prijatelj tam) in ga tam sreča. Posledica determinističnega stališ- ča je, da - ker imata oba dogodka določen vzrok, ta vzrok v obeh primerih proizvede dosego istega cilja, srečanje prijatelja - , deterministi nikakor ne morejo pripoznati prvenstva kateregakoli od njiju. Kajti če bi priznali prvens- tvo smotrnega vzroka, k i j e odgovoren za dosego cilja pri (2), bi ne mogli trditi, d a j e bil (1) naključni dogodek. Vendar pa v tem primeru sledi nekaj še bolj problematičnega. Dogodek, kakršnoje naključno snidenje na tržnici, lah- ko razložimo na nedoločeno mnogo načinov: srečala sta se, ker je nekdo šel na tržnico nakupovat, ker j e nameraval njegov prijatelj na tržnici imeti javni govor; tema dvema razlagama lahko dodamo razlage tipa »nek možje zapu- stil svoj dom ob 10.30 zjutraj, tržnicaje kakšen kilometer vstran...«, itn. Toda 1 9 1 F I L I P GRC.IČ poanta je v tem, da v primeru, če ignoriramo prvenstvo smotrnega vzroka, j e potem na tak način mogoče razložiti vsak dogodek, tj., možnoje navesti nedo- ločeno mnogo vzrokov, ne da bi kakršnemukoli od njih prisodili prvenstvo. In ker j e tisto, kar ima nedoločeno mnogo vzrokov, spontani ali naključni dogodek, se izkaže, d a j e vsak dogodek spontani ali naključni dogodek. Če domnevamo, d a j e to nasledek stališča Aristotelovih nasprotnikov, lahko njihovo stališče primerjamo z stališčem določenih predsokratskih filo- zofov, ki so tarča Aristotelove kritike v Phys. 2.8 in ki skušajo razložiti naravne procese preprosto v terminih materialnega in delujočega vzroka: vse naravne stvari se po njihovem mnenju obnašajo tako, kot se, ker imajo materialni ele- menti, iz katerih so sestavljene, določene nujne lastnosti. Kar j e v takšnem pristopu po Aristotelovem mnenju med drugim napačno, je njegova razlagal- na moč, ki jo ima Aristotel za prešibko, pa vse do tega, da se ta sprevrne v svoje nasprotje, namreč v spontanost. Če želimo razložiti, zakaj imajo, na primer, ljudje takšne zobe, kot jih imajo - sprednji zobje so ostri in primerni za grize- nje, zadnji zobje so širši in služijo žvečenju hrane —, tedaj bi, če ignoriramo razlago v terminih smotrnega vzroka, morali reči, da s e j e enostavno zgodilo, da so takšni, kakršni pač so. Toda obstaja še neka druga možna razlaga, teleo- loška razlaga namreč: ker so ljudje takšni in takšni, so zobje takšni in takšni zaradi takšne in takšne funkcije. Eden izmed razlogov, zakaj ima Aristotel teleološko razlago za primernejšo, najdemo na 198b29-32: V primerih, ko so se stvari dogodile tako, kot da bi nastale 'zaradi neče- sa', so - prikladno sestavljene kot rezultati spontanosti - , preživele; ko se niso, so propadle, in še propadajo, kot pravi Empedokles za teleta s človeško glavo. Če imajo predsokratski filozofi, kijih Aristotel kritizira, prav, nastopi vpra- šanje, kako je mogoče, da j e preživela takšna in takšna oblika zob, če je, kot so prisiljeni trditi, rezultat spontanosti. Na to niso zmožni odgovoriti; edino, kar lahko rečejo,je, d a j e to zato, ker so zobje (spontano) prikladno zgrajeni na takšen način. Vendar pa to ne more biti poln odgovor, saj ne ugotovi zakaj, na primer, teleta s človeško glavo niso preživela. Da bi odgovor dopolnili, bi morali reči, da so rezultati spontanosti preživeli zato, ker so bili prikladno zgrajeni na isti način, na katerega bi bili zgrajeni, če bi do njih prišlo »zaradi nečesa«, iz česar sledi, d a j e teleološka razlaga boljša od konkurenčne. Moč- nejši razlog njene premoči najdemo na 198a34-199;i5: takšna in takšna oblika zobje naravni pojav; naravni pojavi se, kot nekaj, kar je zoperstavljeno rezul- tatom spontanosti, bodisi vedno bodisi večinoma obnašajo na isti način; zato je takšna in takšna oblika zob, če ni rezultat spontanosti, »zaradi nečesa« (saj 1 9 2 NAKLJUČJE IN ČLOVEŠKO DELOVANJE V ARISTOTELOVI FIZIKI j e prejšnji argument pokazal, da obstajata le dve možni razlagi, »spontano« in »zaradi nečesa«). Vprašanje »Zakaj imajo zobje obliko, kakršno imajo, in zakaj je ta prežive- la?« je podobno vprašanju »Kaj j e običajni razlog zakaj srečamo naše prijate- lje na tržnici?« — obe vsako zase zadevata regularnost naravnih in človeških dogodkov. Zlahka je mogoče videti, d a j e stališče Aristotelovih nasprotnikov na 2.4 glede razlage človeškega delovanja skoraj enako kot stališče njegovih nasprotnikov na področju filozofije narave. Ker se ne menijo za vlogo smotr- nega vzroka pri razlagi človeškega delovanja, so prisiljeni vztrajati pri tem, da se preprosto zgodi, da na tržnici srečamo svoje prijatelje. Prav tako j e očitno, da se isti argument, ki ga Aristotel uporabi na 2.8 proti predsokratskim filozo- fom narave, nanaša tudi na naš primer. Nadalje, eden izmed razlogov za na- pačno razlago tako na področju človeškega delovanja kot na področju narav- nih procesovje sprevrnitev pravega reda razlage. Aristotel včasih zgodnje filo- zofe kritizira zato, ker ne izhajajo iz dejstva, d a j e explanandum takšna in tak- šna stvar, temveč iz načina, na katerega se je zgodil (PA 1.1, 64(P10-14). Če pri poskusu razlage naključnega dogodka izhajamo iz načina, na katerega se j e zgodil, tedaj sledi eden (ali oba) izmed naslednjih sklepov. Prvič, na podla- gi tega smo prisiljeni sklepati, da ima obravnavani dogodek določen vzrok, kar trdijo Aristotelovi nasprotniki na 2.4. Drugič, na podlagi tega smo prisilje- ni sklepati, da to ni »zaradi nečesa«, saj bi smoter, zaradi katerega bi se to zgodilo, če bi se ne zgodilo po naključju, ne vladal procesu njegove dogodi- tve. Če v naspro^u s tem za svoje izhodišče vzamemo dejstvo, d a j e naključni izid takšna in takšna vrsta stvari, potem se izognemo obema tema sklepoma. Aristotelova trditev, da so naključni dogodki »zaradi nečesa«, j e potemtakem naravna posledica konsistentne uporabe načel, kijih ponavadi priporoča filo- zofom narave; tako pojasnjen obstoj naključnih dogodkov pa potrjuje njego- vo prepričanje, da ima teleološka razlaga premoč nad vsemi ostalimi vrstami razlage. Prevedla Dragana Kršič Filip Grgič Inštitut za filozofijo Zagreb 1 9 3 F I L I P GRC.IČ Viri in literatura Bonitz, H., Aristotelische Studien /., Sitz.-Ber. d. K. Wiss., Phil.-Hist. Cl., zv. 39, Dunaj 1862. Charlton, W., Aristotle's Physics: Books I and II., prev. z uvod. študijo in opom- bami, 2. izd., Clarendon Press, Oxford 1992. Ebert, Th., »Aristotelian Accidents«, Oxford Studies in Ancient Philosophy, 16, 1998, str. 133-159. Grgic, F., »Aristotle against the Determinist: Metaphysics 6.3«, International Phi- losophical Quarterly, 38, 1998, str. 127-136. Judson, L., »Chance and 'Always or For the Most Part' in Aristotle«, v: Judson L., (ur.), Aristotle's Physics: A Collection of Essays, Clarendon Press, Oxford 1991, str. 73-99. Kirwan, Ch., Aristotle's Metaphysics: Books r, A andE, prev. z opombami, Cla- rendon Press, Oxford 1971. Lennox,J., »Aristotle on Chance«, Archivfur Geschichte derPhilosophie, 66,1984, str. 52-60. Mansion, A., Introduction à la physique aristotélicienne, 2. izd., Institut supérieur de philosophie, Louvain 1946. Mignucci, M., »a>ç èjtl TO JTOXV et nécessaire dans la conception aristotélicien- ne de la science«, v: E. Berti (ur.), Aristotle on Science: The Posterior Analy- tics, Editrice Antenore, Padua 1981, str. 173-203. Owens, D., Causes and Coincidences, Cambridge University Press, Cambridge 1992. Ross, W. D., Aristotle's Physics, tekst z uvodom in opombami, Clarendon Press, Oxford 1936. Sauvé Meyer, S., »Aristotle, Teleology, and Reduction«, Philosophical Review, 101, 1992, str. 791-823. Sorabji, R., Necessity, Cause, and Blame: Perspectives on Aristotle's Theory, Duck- worth, London 1980. Torstrik, A.: »jtegi rvyy]ç, xai avro/xâtov: Arist. Phys. B 4-6«, Hermes, 9, 1875, str. 423-70. Wagner, H., Aristoteles, Physikvorlesung, 5. izd., Akademie-Verlag, Berlin 1989. 1 9 4 PREVOD Prevedeno besedilo je uvod v knjigo Novi znanstveni duh (1934). Prevedeno po G. Bachelard, Le nouvel esprit scientifique, PUF, Pariz 141978, str. 5-22. Filozofski vestnik Letnik/Volume XXI • Številka/Number 1 • 2000 • 197-206 BISTVENA KOMPLEKSNOST ZNANSTVENE FILOZOFIJE Oris GASTON BACHELARD I Od WilliamaJamesa naprej so pogosto ponavljali, d a j e vsakemu izobražene- mu človeku usojeno slediti neki metafiziki. Nam se zdi natančneje reči, da se vsak človek v svojem prizadevanju za znanstveno kulturo ne opira na eno, marveč na dve metafiziki. In ti dve naravni in prepričljivi, implicitni in trdoži- vi metafiziki sta v protislovju. Daju na hitro začasno poimenujemo, označimo ti dve temeljni filozofski naravnanosti, ki sta mirno združeni v modernem znanstvenem duhu, s klasičnima oznakama racionalizma in realizma. Želite takoj zdaj dokaz za ta miroljubni eklekticizem? Razmislite o tem postulatu znanstvene filozofije: »Znanost je produkt človeškega duha, produkt, k i j e skladen z zakoni našega mišljenja in prilagojen zunanjemu svetu. Ponuja nam torej dva vidika, enega subjektivnega, drugega objektivnega, oba pa sta enako nujna, saj nam j e enako nemogoče karkoli spremeniti tako v zakonih našega duha kot v zakonitostih sveta.«1 Ta čudna metafizična deklaracija lahko vodi k nekakšnemu podvojenemu racionalizmu, ki bi v zakonih sveta odkrival za- kone našega duha, kakor tudi k univerzalnemu realizmu, ki bi »zakonom na- šega duha«, ki so pojmovani kot del zakonov sveta, nalagal absolutno invaria- bilnost. V resnici se znanstvena filozofija od Bout)jeve deklaracije naprej ni pre- čistila. Ne bi bilo težko pokazati, da, na eni strani, najbolj odločen racionalist v svojih znanstvenih sodbah dnevno dobiva poduk od realnosti, kije ne pozna temeljito, in da, na drugi strani, najbolj nepopustljiv realist preide k takojš- njim poenostavitvam, kot da bi natančno dopuščal informatorična načela ra- cionalizma. Lahko bi se torej reklo, da za znanstveno filozofijo ni ne absolut- nega realizma ne absolutnega racionalizma, in da se pri presoji znanstvenega 1 Edmond Bouty, La vérité scientifique, Pariz 1908, str. 7. G A S T O N B A C H E L A R D mišljenja ne sme izhajati iz splošne filozofske naravnanosti. Prej ko slej bo znanstveno mišljenje postalo osnovna tema filozofske polemike; to mišljenje bo privedlo do zamenjave intuitivnih in neposrednih metafizičnih sistemov z objektivno rektificiranimi diskurzivnimi metafizičnimi sistemi. Če sledimo tem rektifikacijam, se na primer prepričamo, da realizem, ki se je srečal z znans- tvenim dvomom, ne more biti več iste vrste kot neposredni realizem. In ena- ko se prepričamo, da racionalizem, ki je korigiral sodbe a priori, kot se j e primerilo pri novih razširitvah geometrije, ne more več biti zaprti racionali- zem. Prepričani smo, da bi bilo torej zanimivo lotiti se znanstvene filozofije same na sebi, presojati o njej brez vnaprejšnjih koncepcij in celo zunsy preveč strogih obligacij tradicionalnega filozofskega besednjaka. Znanost dejan- sko ustvarja filozofyo. Filozofija mora torej ukloniti svoj jezik, da lahko prevede sodobno mišljenje v njegovi mehkobi in gibkosti. Mora pa tudi spoštovati to čudno dvoumnost, ki terja, da se vsaka znanstvena misel in- terpretira obenem v realističnem in racionalističnem jeziku. Morebiti bi bilo potemtakem treba vzeti v razmislek kot prvo lekcijo, kot dejstvo, ki g a j e treba razložiti, tisto metafizično nečistost, ki jo prinese dvojni smisel znanstve- nega dokaza [preuve scientifique], ki se potrjuje v izkustvu enako dobro kot v umovanju [raisonnement], hkrati v stiku z realnosyo in v sklicevanju na um. Sicer pa se zdi, d a j e mogoče hitro razložiti to dualistično osnovo vsake znanstvene filozofije: samo dejstvo, d a j e filozofija znanosti filozofija, ki se apli- cira, pomeni, da ne more ohraniti čistosti in enotnosti spekulativne filozofije. Vsaka znanstvena dejavnost, ne glede na njeno izhodišče, lahko polno prepri- ča, samo če zapusti osnovno območje: če eksperimentira, mora sklepati [raison- ner]; če sklepa, mora eksperimentirati. Vsaka aplikacija j e oblika transcendence. Pokazali bomo, d a j e tudi v najpreprostejših znanstvenih postopkih mogoče zapopasti neko dvojnost, neko vrsto epistemološke polarizacije, ki teži h klasi- ficiranju fenomenologije pod dvojno rubriko barvitega in doumljivega, dru- gače rečeno, pod dvojno etiketo realizma in racionalizma. Če bi se znali, ko gre za psihologijo znanstvenega duha, postaviti natanko na mejo znanstvene- ga spoznavanja, bi videli, d a j e sodobna znanost zaposlena s pravo sintezo metafizičnih protislovij. Vendar pa se nam zdi smer epistemološkega vektorja povsem jasna. Zagotovo kaže od racionalnega k realnemu in nikakor ne naro- be, od realnosti k splošnemu, kot so učili vsi filozofi od Aristotela do Bacona. Drugače rečeno, aplikacija znanstvenega mišljenja se nam kaže kot bistveno realizirajoča. V tem delu bomo torej skušali pokazati to, kar bomo imenovali realizacija racionalnega ali bolj splošno realizacija matematike. Čeprav je ta potreba po aplikaciji v čistih matematičnih znanostih bolj skrita, pa v njih ni nič manj učinkovita. V te navidez homogene znanosti vnaša prvino metafizične dvojnosti, izgovor za polemiko med realisti in nominalisti. 1 9 8 B I S T V E N A K O M P L E K S N O S T ZNANSTVENE FILOZOFIJE Če prezgodaj obsodimo matematični realizem, je to zato, ker nas je zapeljala čudovita razširitev formalne epistemologije, se pravi nekakšno funkcionira- nje v prazno matematičnih pojmov. Če pa ne odmislimo neupravičeno psiho- logije matematika, dokaj hitro opazimo, da obstaja v matematični dejavnosti nekaj več kot le formalna organizacija shem, in d a j e vsaka čista ideja podvo- j ena s psihološko aplikacijo, z nekim zgledom, ki igra vlogo realnosti. In če razmišljamo o matematikovem delu, opazimo, da vedno izhaja iz razširitve nekega na realnem doseženega spoznanja, in da se v sami matematiki real- nost manifestira v svoji bistveni funkciji: dati misliti [faire penser]. Matema- tični realizem začne - v bolj ali manj jasni obliki, v bolj ali manj pomešanih funkcijah - slej ko prej dajati polnost [corser] mišljenju, mu dajati psihološko permanenco in končno razpolavljati duhovno dejavnost tako, da se vsepo- vsod pokaže dualizem subjektivnega in objektivnega. Ker nameravamo preučevati predvsem filozofijo fizikalnih znanosti, bo realizacija racionalnega v fizikalnem izkustvu tisto, kar bomo morali izposta- viti. Ta realizacija, ki odgovarja tehničnemu realizmu, se nam zdi ena od raz- ločevalnih potez sodobnega znanstvenega duha, k i j e v tem pogledu precej drugačen od znanstvenega duha zadnjih stoletij; precej oddaljen zlasti od pozitivističnega agnosticizma, ali tolerantnosti pragmatizma, in ki navsezad- nje nima nobene zveze s tradicionalnim filozofskim realizmom. Gre namreč za realizem druge pozicije, za realizem, kije v reakciji proti navadni realnosti, ki j e v polemiki zoper neposredno, za realizem, ki ga tvori realizirani um, eksperimentirani um. Realno, ki mu ustreza, ni pahnjeno v območje nespoz- natne stvari na sebi. Ima povsem drugačno noumenalno bogastvo. Medtem ko j e stvar na sebi noumenon z izključitvijo fenomenalnih lastnosti, se nam zdi, da znanstveno realno tvori prav noumenalni kontekst, katerega lastnost je , da nakazuje osi eksperimentiranja. Znanstveno izkustvo je tako potrjeni um [une rasion confirmée]. Ta novi filozofski vidik znanosti pripravlja vrni- tev normativnega v izkustvo: ker teorija dojame nujnost izkustva preden ga odkrije opazovanje, j e naloga fizika, da dovolj izčisti fenomen, da bi znova našel organski noumenon. Sklepanje s pomočjo konstrukcije, ki gaje Goblot izpostavil v matematičnem mišljenju, seje pojavilo v matematični in v eksperi- mentalni fiziki. Zdi se nam, d a j e celotnemu nauku o delovni hipotezi usojen skorajšnji propad. Kolikor j e bila hipoteza vezana na izkustvo, toliko jo je tre- ba šteti za enako realno kot izkustvo samo. Je namreč realizirana. Čas mobil- nih in nevezanih hipotezje minil, ko t je minil tudi čas izoliranih in nenavad- nih eksperimentov. Poslej je hipoteza sinteza. Če je neposredna realnost goli izgovor za znanstveno mišljenje in ne več spoznavni predmet, bi bilo treba preiti od deskriptivnega kako k teoretskemu komentarju. * Ta razvlečena razlaga začudi filozofa, ki bi vselej hotel, da bi se 1 9 9 G A S T O N B A C H E L A R D razlaga omejila na razvozlavanje kompleksnega, na prikaz enostavnega v se- stavljenem. Toda resnično znanstveno mišljenje j e metafizično induktivno; znanstveno mišljenje razbere, kot bomo večkrat pokazali, kompleksno v eno- stavnem, izreka zakon ob kakem dejstvu, postavlja pravilo ob kakem zgledu. Videli bomo s kakšno širino posploševanja, ki j ih izvaja moderno mišljenje, dovršujejo posamična spoznanja. Razkrili bomo neke vrste polemično pos- ploševanje, ki pomakne um od vprašanja zakaj k vprašanju zakaj ne. Ob analo- giji bomo napravili prostor paralogiji in pokazali, da stari filozofiji kot da-ja sledi v znanstveni filozofiji - filozofija zakaj neja. Kot pravi Nietzsche: vse, kar je odločilnega, nastane le navkljub. To velja enako v svetu mišljenja kakor v svetu delovanja. Vsaka nova resnica nastane kljub evidenci, vsako novo izkus- tvo nastane kljub neposrednemu izkustvu. Neodvisno od spoznanj, ki se kopičijo in prinašajo progresivne spremem- be v znanstveno mišljenje, bomo tako odkrili razlog za skoraj neizčrpno pre- navljanje znanstvenega duha, za neke vrste bistveno metafizično novost. Ce namreč znanstveno mišljenje lahko igra na dva nasprotna si člena, prehajajoč na primer od evklidskega k neevklidskemu, je videti, kot da bi bilo zajeto v nek prostor prenove. Če menimo, da gre tu le za način izražanja, za bolj ali manj udobne jezike, bomo temu razcvetu novih jezikov pripisovali zelo maj- hen pomen. Če pa verjamemo, kot bomo sami poskusili dokazati, da so ti izrazi bolj ali manj ekspresivni, bolj ali manj sugestivni, in da vodijo k bolj ali manj popolnim realizacijam, bo treba tem razširjenim matematičnim jezikom pripisati čisto drugačno težo. Vztrajali bomo torej, da imajo nove doktrine kot so ne-evklidska geometrija, ne-arhimedovsko merjenje, ne-newtonovska mehanika z Einsteinom, ne-maxwellovska fizika z Bohrom, aritmetika z ne- komutativnimi operacijami, ki bi j o lahko označili kot ne-pitagorejsko, svojo dilematično vrednost. V filozofskem sklepu našega dela bomo tako poskusili predstaviti značilnosti neke ne-kartezijanske epistemologije, za katero se nam zdi, da zares potrjuje novost sodobnega znanstvenega duha. Da bi preprečili nesporazum, je koristno opozoriti, da v teh zanikanjih ni nič avtomatičnega in da ne smemo upati, da bomo našli nekakšno preprosto konverzijo, ki bi mogla nove doktrine logično postaviti nazaj v okvir starih. Gre namreč za resnično razširitev. Ne-evklidska geometrija ni bila zgrajena, da bi oporekala evklidski geometriji. Je vse prej neke vrste dodatni dejavnik, ki omogoča totalizacijo, dovršitev geometrijskega mišljenja, absorbcijo v neko pangeometrijo. Ne-evklidska geometrija, k i j e konstituirana na obrobju ev- klidske geometrije, riše od zunaj z izjemno natančnostjo meje starega mišlje- * V izvirniku: »du comment de la description au commentaire théorique«; gre za besedno igro (Op. prev.) . 2 0 0 B I S T V E N A K O M P L E K S N O S T ZNANSTVENE FILOZOFIJE nja. Enako bo z vsemi novimi oblikami znanstvenega mišljenja, ki bodo nak- nadno projicirale rekurentno svetlobo na nejasnosti [obscurités] nepopol- nih spoznanj. Ves čas našega poizvedovanja bomo odkrivali iste kriterije ek- stenzije, sklepanja, indukcije, generalizacije, komplementarnosti, sinteze, to- talitete - same ekvivalente za idejo o novosti. In ta novostje globoka, saj to ni novost kake najdbe, temveč novost neke metode. Je treba spričo tega razcveta epistemologije še naprej govoriti o neki dalj- ni, neprosojni, masivni, iracionalni realnosti? To bi pomenilo pozabiti, d a j e znanstveno realno že v dialektičnem odnosu z znanstvenim umom. Po dialo- gu, ki že toliko stoletij traja med svetom in duhom, ni več mogoče govoriti o nemih izkušnjah. Da bi izkustvo lahko radikalno zavrnilo sklepe neke teorije, nam mora razkriti razloge svojega nasprotovanja. Negativen eksperiment fizi- ku ne vzame zlahka poguma. Michelson je umrl, ne da bi našel pogoje, ki bi po njegovem mnenju vendarle omogočili uspešno izvedbo njegovega posku- sa detekcije etra. Prav na podlagi tega negativnega poskusa pa so drugi fiziki sprejeli občutljivo odločitev, d a j e ta, v Newtonovem sistemu negativen ekspe- riment, pozitiven v Einsteinovem. Ti fiziki so prav na ravni eksperimenta ure- sničili filozofijo zakaj neja. Potemtakem je dobro opravljen eksperiment ved- no pozitiven. Toda takšen sklep ne rehabilitira absolutne pozitivnosti ekspe- rimenta kot takega, kajti eksperimentje lahko dobro izveden, samo če je po- poln, to pa se zgodi samo na podlagi dobro premišljenega predhodnega na- črta, ki izhaja iz dovršene teorije. Eksperimentalni pogoji so konec koncev pogoji eksperimentiranja. Ta droben odtenek daje čisto nov vidik znanstveni filozofiji, ker poudarja tehnične težave, ki obstajajo pri realizaciji zamišljene- ga teoretskega projekta. Nauki realnosti veljajo le, kolikor sugerirajo racio- nalne realizacije. Kakor hitro premišljujemo o znanstvenem delovanju, opazimo, da si rea- lizem in racionalizem neprestano izmenjujeta nasvete. Ne prvi ne drugi sam zase ne zadošča za konstituiranje znanstvenega dokaza; na področju fizikal- nih znanosti ni prostora za nekakšno zrenje pojava, ki bi na en mah zarisalo temelje realnega; še manj za neko - absolutno in definitivno - racionalno prepričanje, ki bi vsiljevalo temeljne kategorije našim metodam eksperimen- talnega raziskovanja. Pač pa obstaja tu razlog za metodološke novosti, ki ga bomo morali še osvetliti; odnosi med teorijo in izkustvom so tako tesni, da nobena metoda, naj bo eksperimentalna ali racionalna, ne more zanesljivo ohraniti svoje veljave. Se več: celo odlična metoda lahko prične izgubljati svo- j o plodnost, če ne prenavljamo njenega predmeta. Epistemologse mora torej postaviti pravna križišče poti, med realizem in racionalizem. Na tej točki namreč lahko zapopade novi dinamizem teh nas- protnih si filozofij, dvojno gibanje, s katerim znanost simplificira realno in 2 0 1 G A S T O N B A C H E L A R D komplicira um. Samo tako se skrajša pot, ki pelje od eksplicirane realnosti k apliciranemu mišljenju. In prav na tej kratki poti je treba razviti vso pedagogi- jo dokaza, pedagogijo, ki je, kot bomo pokazali v zadnjem poglavju, edina možna psihologija znanstvenega duha. Ali pravzaprav ne obstaja, na splošno vzeto, interes, da se bistveni metafi- zični problem realnosti zunanjega sveta prenese prav na področje znanstvene realizacije? Čemu bi venomer izhajali iz nasprotja med nedoločno [vague] naravo in neoblikovanim duhom in brez diskusije mešali pedagogiko iniciaci- je s psihologijo kulture? Od kod nam drznost, da z izstopom iz jaza poustvari- mo [recréer] svet v eni uri? Od kod tudi pretenzija zapopasti neki enostaven in goli jaz [moi] prav zunaj njegovega bistvenega delovanja v objektivnem spoznavanju? Da bi odvrnili našo pozornost od teh elementarnih vprašanj, bo dovolj, če probleme znanosti podvojimo s problemi psihologije znanstvenega duha, če vzamemo objektivnost kot težavno pedagoško nalogo in ne več kot prvotno danost. Sicer pa se verjetno prav v znanstveni dejavnosti najbolj jasno vidi dvojni smisel ideala objektivnosti, realno in socialno vrednost objektivacije hkrati. Kot pravi Lalande, znanost ne meri samo na »medsebojno asimilacijo stvari, temveč tudi in predvsem na medsebojno asimilacijo duhov.« Brez slednje asi- milacije takorekoč ne bi bilo problema. Če bi bili prepuščeni samim sebi, bi ob soočenju z najbolj kompleksnim realnim spoznanje iskali na strani slikovi- tega, v moči evokacije: svet bi bil naša reprezentacija. Če pa bi bili, nasprotno, v celoti prepuščeni družbi, bi spoznanje iskali na strani splošnega, koristnega, dogovorjenega: svet bi bil naša konvencija. Znanstvena resnica pa j e dejansko neka predikcija, bolje, neka predikacija. S tem ko napovemo znanstveno no- vico, ko hkrati sporočamo misel in izkustvo in pri tem misel vežemo na izkus- tvo v verifikaciji, pozovemo duhove naj se usmerijo k isti točki: znanstveni svet je torej naša verifikacija. Tostran subjekta, onstran neposrednega objekta se mo- derna znanost utemeljuje na projektu. Subjektovo razmišljanje o objektu si v znanstvenem mišljenju vedno nadene obliko projekta. Seveda pa bi se motili, če bi dokaz za redkost dejanskega odkr i l a črpali iz prometejskega napora. Celo v najbolj skromni znanstveni misli se namreč kaže nujno potrebna teoretska priprava. V eni prejšnjih knjig* smo brez oma- hovanja zapisali: realnega ne kažemo, ampak ga dokazujemo. To še zlasti ve- lja, ko gre za to, da sprožimo nek organski** pojav. Brž ko se namreč objekt predstavi kot kompleks relacij, g a j e treba dojemati s pomočjo več metod. Objektivnosti ni mogoče odrezati od družbenih značilnosti dokaza [preuve]. * La Valeur inductive de la relativité, Pariz 1929. (Op. prev.) ** Pojma organski Bachelard tu ne uporablja v biološkem pomenu, temveč v pomenu nečesa, kar j e notranje strukturirano. (Op. prev.). 2 0 2 B I S T V E N A K O M P L E K S N O S T ZNANSTVENE FILOZOFIJE Objektivnost lahko dosežemo samo tako, da na diskurziven in podroben na- čin razvijemo metodo objektivacije. Na znanstvenem področju je ta teza o predhodnem dokazovanju [de- monstration] , za katero verjamemo, da je v osnovi vsakega objektivnega spoz- navanja, vendar tako očitna! Že opazovanje potrebuje neki korpus previdnost- nih ukrepov; ti privedejo do tega, da se premišljuje, preden se opazuje, in da se preobrazi vsaj prvo videnje, tako da prvo opazovanje ni nikdar sprejeto kot nevprašljivo. Znanstveno opazovanje je vedno polemično opazovanje; potrdi ali razveljavi prejšnjo trditev, predhodno shemo, načrt opazovanja; kaže s tem, ko dokazuje; vzpostavlja hierarhijo pojavov [apparences], transcendira nepo- sredno; rekonstruira realno, potem ko je rekonstruiralo njegove sheme. Brž ko preidemo od opazovanja k eksperimentiranju, postane seveda polemični značaj spoznavanja še jasnejši. Fenomen mora biti zdaj izbran, filtriran, pre- čiščen, mora biti ulit v kalup instrumentov, proizveden na ravni instrumen- tov. Instrumenti pa niso nič drugega kot materializirane teorije. Od tod feno- meni, ki so vseskozi zaznamovani s teoretskim pečatom. Med znanstvenim fenomenom in znanstvenim noumenonom torej ne gre več za neko oddaljeno in brezdelno dialektiko, ampak za alternativno gibanje, ki, po nekaj rektifikacijah projekta, vedno teži k dejanski realizaciji noumenona. Resnično znanstvena fenomenologija je torej v bistvu fenome- notehnika. Ojača tisto, kar preseva skozi tisto, kar se pojavlja.* Instruira se pri tistem, kar konstruira. Čudodelni um riše svoje okvire na orisu svojih čudes. Znanost ustvarja [suscite] nek svet, toda ne več z magičnim impulzom, k i je imanenten realnosti, temveč z racionalnim impulzom, kije imanenten duhu. Potem ko j e bil v prvih naporih znanstvenega duha izoblikovan um po podo- bi sveta, si duhovna dejavnost moderne znanosti prizadeva zgraditi svet po podobi uma. Znanstvena dejavnost realizira v polnem pomenu izraza racio- nalne celote [ensembles rationnels]. Nemara lahko prav v tej dejavnosti tehnične zamisli najbolje premerimo bistveno filozofsko dihotomijo, k i je v drugi Renouvierjevi metafizični dilemi povzeta pod imenom dilema substance. Ta dilema je odločilnega pomena, ker povleče za sabo vse druge. Renouvierjo takole izrazi: ali j e »substanca ... logični subjekt z neopredeljivimi kvalitetami in relacijami,« ali pa je »substan- ca bit na sebi in kot nasebna neopredeljiva, nespoznatna«.- Med oba člena dileme pa tehnična znanost uvaja, tako se nam zdi, tretji člen: substancializi- rani substantiv. Substantiv, logični subjekt, postane na splošno substanca, ka- kor hitro kaka vloga poenoti sistem njegovih kvalitet. Tako bomo videli, da * V izvirniku: »Elle renforce ce qui transparaît derrière ce qui apparaît«; gre za besed- no igro. (Op. prev.). 2 Charles Renouvier, Les dilemmes de la Métaphysique pure, Alcan, Pariz 1901, str. 248. 2 0 3 G A S T O N B A C H E L A R D znanstvena misel konstituira celote, ki pa zadobijo enotnost šele z odločilni- mi funkcijami. Na primer, skupina atomov v neki substanci, ki j o sintetizira organska kemija, nam lahko pomaga razumeti ta prehod od logične kemije k substancialistični kemiji, od pomena prvega člena Renouvierove dileme do pomena drugega. Dialektika fizikalnih znanosti se nam tako kaže bolj instruk- tivna kot masivne dialektike tradicionalne filozofije že zaradi dejstva, ker sta pola, med katerima se odigrava, bliže skupaj in manj heterogena. Dejansko j e znanstveno mišljenje tisto, ki omogoča najbolj jasno proučevati psihološki prob- lem objektivacije. II Zapopasti sodobno znanstveno misel v njeni dialektiki in tako pokazati njeno bistveno novost je filozofski cilj te drobne knjige. Kar nas pri znanosti preseneti na samem začetku je, da njena tako pogosto navajana enotnost ni nikoli ustrezala kakemu stabilnemu stanju, in d a j e zategadelj dokaj nevarno postulirati neko unitarno epistemologijo. Ne samo da znanstvena zgodovina izkazuje alternativni ritem atomizma in energetike, realizma in pozitivizma, diskontinuitete in kontinuitete, racionalizma in empirizma, in ne samo da psihologija znanstvenika v njegovem vsakodnevnem prizadevanju niha med identiteto zakonov in raznovrstnostjo stvari, marveč se tudi znanstvena misel prav ob vsaki temi praviloma in dejansko deli. Zato nismo imeli nobenih te- žav pri nizanju poglavij, ki ilustrirajo to dihotomijo. Lahko bi jih celo razdro- bili in potem bi se nam znanstvena realnost v vsaki od svojih značilnosti poka- zala kot stekališče dveh filozofskih perspektiv - empirična rektifikacija bi bila vedno vezana na teoretsko precizacijo. Čistost kemične snovi določimo tako, da preciziramo njeno kemično funkcijo; kolikor bolj j e ta funkcija jasna, toli- ko čistejša je snov. Ali predstavlja ta dialektika, h kateri nas vabi znanstveni fenomen, meta- fizični problem za duha sinteze? To j e vprašanje, ki ga nismo zmogli jasno razrešiti. Ob vseh spornih vprašanjih smo seveda vsakokrat, ko s e j e zazdela možna bodisi eksperimentalna bodisi teoretska sprava, nakazali pogoje za sin- tezo. Toda ta sprava se nam je vedno kazala kot kompromis. Se več, in to j e za nas bistven poudarek, ta sprava ne izbriše dualizma, k i j e vpisan v zgodovino znanosti, v ves pedagoški razvoj, v samo mišljenje. Dvojnosti aspekta v nepo- srednem fenomenu bi se nemara lahko izbrisale: zapisali bi j ih na račun bež- nih odtenkov, trenutnih iluzij, tega, kar oporeka identiteti fenomena. Ne mo- remo pa ravnati enako, kadar najdemo sled te dvoumnosti [ambiguité] v znans- tvenem fenomenu. Zato je povsem umestno, da predlagamo nov pristop do 2 0 4 B I S T V E N A K O M P L E K S N O S T ZNANSTVENE FILOZOFIJE dvoumnosti, da bi znanstvenemu duhu priskrbeli prožnost, k i je nujna za ra- zumevanje novih doktrin. Zdi se nam torej, da bi morali v sodobno znanstve- no filozofijo vpeljati zares nova epistemološka načela. Takšno načelo bi bila na primer ideja, da morajo biti komplementarne značilnosti vpisane v bistvo biti, ideja ki prelamlja s tihim prepričanjem, d a j e bit vedno znak enotnosti. Če je namreč bit na sebi neko načelo, ki se sporoča duhu — povsem enako kot vstopi neka materialna točka v relacijo s prostorom v nekem polju delovanja — ne more biti simbol enotnosti. Potrebno bi bilo torej utemeljiti ontologijo komplementarnosti, ki bi bila manj ostro dialektična od metafizike protislov- nosti. III Čeprav seveda ni naš namen vzpostaviti metafiziko, ki bi naj služila za podlago moderne fizike, pa vendarle lahko poskusimo nakazati, kako mehke morajo biti običajne filozofske pozicije vpričo realnosti, ki nam jo odkriva laboratorij. Povsem jasno je, da znanstvenik ne more več biti realist ali racio- nalist na način filozofov, ki so verjeli, da se zmorejo takoj soočiti z bitjo, zapo- padeno bodisi v njeni zunanji obširnosti [prolixité], bodisi v njeni intimni enotnosti. Za znanstvenika biti ne zapopadeta v enem kosu [en un bloc] ne izkustvo, ne um. Epistemologija mora potemtakem upoštevati bolj ali manj mobilno sintezo uma in izkustva, četudi bi se ta sinteza filozofsko pokazala kot brezupen problem. V prvem poglavju bomo na izvoru neevklidske geometrije najprej prou- čevali dialektično ločitev mišljenja in temu sledečo sintezo. To poglavje bo kar se da kratko, kajti naš cilj j e preprosto v najbolj enostavni, najbolj čisti obliki predstaviti dialektično igro uma. V drugem poglavju si bomo prizadevali priklicati v spomin, še vedno v istem duhu dialektičnega poduka, pojavitev nenewtonovske mehanike. Zatem bomo dospeli do manj splošnih in težjih vprašanj. Drugega za dru- gim bomo obravnavali sledeče dilematične probleme: materija in sevanje - delci in valovi - determinizem in indeterminizem. Videli bomo, da zadnja dilema globoko načenja naše pojmovanje realne- ga in daje temu pojmovanju neko nenavadno ambivalenco. Tako se bomo lahko vprašali, ali kartezijanska epistemologija, ki se v celoti opira na skliceva- nje na enostavne ideje, lahko zadostuje za označitev sedanjega znanstvenega mišljenja. Videli bomo, da deluje duh sinteze, ki oživlja moderno znanost, na povsem drugačni globini in s čisto drugačno svobodo kot kartezijanska kompo- zicija. Poskusili bomo pokazati, da ta duh široke in svobodne sinteze spravlja v 2 0 5 G A S T O N B A C H E L A R D tek isto dialektično igro, s kakršno s e j e začela igra neevklidskih geometrij. Sklepno poglavje bomo zato poimenovali: nekartezijanska epistemologija. Izkoristili bomo vsako priložnost in sproti poudarjali novatorski značaj sodobnega znanstvenega duha. Ta novatorski značaj bo pogosto dovolj viden s preprostim primerjanjem dveh zgledov, od katerih bo en vzet iz fizike osem- najstega ali devetnajstega stole^a, drugi pa iz fizike dvajsetega stoletja. Na ta način bomo videli, da se sodobna fizika tako v podrobnosti spoznanj kot v splošni strukturi vedenja predstavlja z nespodbitno novostjo. Prevedel Vojislav Likar 2 0 6 IZVLEČKI • ABSTRACTS TOMAŽ MASTNAK Karolinška »Evropa«? Prispevek k zgodovini eirropske ideje Ključne besede: Evropa, zgodovina evropske ideje, karolinško cesarstvo, otonsko cesarstvo. Današnje »združevanje Evrope« je med drugim veliko ideološko podjetje. Del tega podjetja j e prikrajanje zgodovine političnemu projektu evropskega združevanja, ena plat tega prikra- janja pa j e ukoreninjanje Evrope kot politične skupnosti v obdobjih, v katerih ta še ni obsta- jala. Priljubljen med tovrstnimi ideološkimi konstrukti je tisti, ki postavlja za predhodnika današnje »združene Evrope« karolinško cesarstvo. Na podlagi analize uporabljanja besede Evropa v zgodnjesrednjeveških virih avtor dokazuje, d a j e govorjenje o obstoju »evropske ideje« v karolinškem obdobju neutemeljeno, še bolj pa prikazovanje karolinškega cesarstva kot »prve Evrope« ali kot »vzora« za današnje »združevanje Evrope«. TOMAŽ MASTNAK Carolingian »Europe«? A Contribution to the history of the idea of Europe Key words: Europe, history of the idea of Europe, Carolingian Empire, Otonian Empire. The »integration of Europe« taking place in our own times is, among other things, a huge ideological undertaking. Part of that undertaking entails the appropriation of history for the political project of building a »European Union«. One aspect of that appropriation of hi- story is the rooting of Europe as political community in historical times and places where Europe as such did not exist. Popular among such ideological constructs is presenting the Carolingian Empire as the predecessor of our contemporary »united Europe«. By analyzing Early Medieval usages of the word Europe, the author argues that it is unwarranted to speak of any clear »idea of Europe« in the Carolingian period or, in turn, to portray the Carolin- gian Empire as the »first Europe« and a potential model for today's »integration of Europe«. • BORIS VEZJAK Aristotelovi matematični predmeti kot »vmesne stvari« Ključne besede: Platon, Aristotel, filozofija matematike, vmesne stvari, število. V svoji Metafiziki Aristotel pogosto in eksplicitno pravi, da j e Platon vetjel v tretjo vrsto entitet, ki niso istovetne ne z idejami in ne s fizičnimi predmeti. To so tako imenovane »vmesne stvari« (ta metaxu). Dasitudi lahko pri Platonu zares najdemo podobna izhodišča, pa pri njem ne bomo našli neposredne potrditve za takšen pomemben in nepričakovan nauk. Ker so »vmesne stvari« izenačene z matematičnimi predmeti, nam bo sam koncept prvih pomagal razumeti značilnosti drugih. Toda čemu bi morale biti »vmesne stvari« natanko predmeti matematike? Mar ne bi smeli postulirati istega tipa vmesne entitete prav tako v vsaki drugi znanosti? V članku se dotaknem še različnih pristopov v razlagi Aristotelove obravnave Plato- na - j e obstoj »vmesnih« stvari nekaj, kar trdi Platon, morebiti nekaj, kar je Aristotelov izum ali p a j e le modifikacija platonskih idej, ki so bile pri Aristotelu uporabljene zato, da bi izbolj- šal svoje lastne predpostavke filozofije matematike? 2 0 7 IZVLECKI - A B S T R A C T S BORIS VEZJAK Aristotle's mathematical objects as the »intermediates« Key words: Plato, Aristotle, philosophy of mathemtics, intermediates, number. In his »Metaphysics« Aristotle often claims plainly that Plato believed in a third class of enti- ties, which are identical neither with Forms nor with physical objects - these are the so-called intermediates (ta metaxu). But although there are passages in Plato where similar ideas seem to be indicated, nowhere does he accept this important and rather unexpected doctrine in a straightforward way. Since the intermediates are identified with mathematical objects, the very concept of the former helps us to understand the features of the latter. But why should the intermediates be exactly and only the objects of mathematics? Can' t we postulate the same form of intermediate objects for every other science? In this article I also tackle diffe- rent approaches to understanding Aristotle's reading of Plato: is the existence of intermedia- tes something claimed by Plato, by Aristotle only or a kind of modification of Plato's con- cepts in Aristotle's work in order to overcome his own difficulties within the philosophy of mathematics? MATJAŽ VESEL Nikolaj Kuzanski in Aristotelova filozofija matematike Ključne besede: matematika, abstrakcija, »bivajoče razuma«, Nikolaj Kuzanski, Aristotel. Eden osnovnih elementov filozofije matematike Nikolaja Kuzanskega j e njegova teorija o matematičnih predmetih kot »bivajočem razuma« (ens rationis). O teh večkrat govori kot o »abstrahiranih iz čutnozaznavnih stvari«, kar daje misliti, da se Kuzanski svojo filozofijo ma- tematike opira na Aristotelovo filozofijo matematike. Tudi Aristotel namreč večkrat govori o tem, da matematični predmeti nastanejo z abstrakcijo (eks aphaireseos). Avtor analizira, kako Kuzanski razume abstrakcijo v De doda ignorantia in De mente ter skuša pokazati, d a j e po Kuzanskem abstrakcija, ki je ens rationis, hkrati tudi spodbuda za to, da človeški duh iz same- ga sebe proizvaja matematične entitete. Avtor skuša tudi pokazati, da se Kuzančeva filozofija matematike ne opira neposredno na Aristotelovo filozofijo matematike - Aristotel ni »ab- strakcionist« v tem pomenu, da bi eksistenco matematičnih predmetov pripisoval matemati- kovemu mišljenju-, ampak na »abstrakcionistično« interpretacijo Aristotela, ki j o j e uveljavil Aleksander iz Afrodizije, ki so mu sledili kasnejši, pretežno neoplatonistično usmerjeni Ari- stotelovi komentatoiji, ki niso videli kakih pomembnih razlik v metafizičnih in epistemološ- kih postavkah »abstrakcionizma« in t. i. »projekcionizma«, to j e teorije, da matematični pred- meti že bivajo v človeški duši. MATJAŽ VESEL Nicholas ofCusa and Aristotle's philosophy of mathematics Keywords: Mathematics, abstraction, entity-of-reason, Nicholas of Cus a, Aristotle. One of the basic elements of Nicholas of Cusa's philosophy of mathematics is his theory of mathematical objects as »entities-of-reason« (entia rationis). He refers to these as being »ab- stracted f rom sensible things«. That is why it is possible to assume that Nicholas bases his theory of mathematics on Aristotle's philosophy of mathematics. Aristotle too describes mat- hematical objects as coming into being through abstraction (ex aphaireseos). The author analy- ses Cusa's understanding of abstraction in De docta ignorantia and De mente and tries to show that - according to Nicholas of Cusa - the abstraction, which is ens rationis, simultaneously 2 0 8 IZVLEČKI - A B S T R A C T S stimulates the human mind to produce mathematical objects from within itself. The author attempts to show how Cusa's philosophy of mathematics is not directly based on Aristotle's philosophy of mathematics - Aristotle is not an abstractionist and does not ascribe the exi- stence of mathematical objects to the mind of the mathematician - but on the abstractionist interpretation of Aristotle by Alexander of Aphodisias, who was followed by the predomi- nantly neoplatonist commentators of Aristotle. These commentators did not see any impor- tant differences in the metaphysical or epistemological underpinnings of abstractionism and the so-called projectionism, i.e. the theory according to which mathematical objects pre-exist in the soul. • IGOR SKAMPERLE Renesančni platonizem in oblikovanje moderne znanosti Ključne besede: renesansa, platonizem, znanstvena metodologija, Kepler. Razprava obravnava obuditev platonizma v renesansi in njegov vpliv na oblikovanje moderne znanosti, predvsem na področju kozmologije. Poudarek eseja je na znameniti polemični raz- pravi, ki s e j e leta 1619 sprožila med Keplerjem in Fluddom. Pomembna razlika med njima leži v različnem odnosu do matematike in znanstvene metodologije. Ta ostaja pri Fluddu kvalitativna in se opira na hermetično-novoplatonski pogled na svet. Kepler v naravoslovno znanost uvaja kvantitativni, meritveni in eksperimentalni kriterij. To j e bil pristop, ki je omo- gočil razvoj moderne znanosti, vendar avtor opozarja, d a j e tudi Keplerjev epistemološki prelom izhajal iz platonizma in platonsko razumljene matematike kot intencionalne struktu- re univerzuma. IGOR SKAMPERLE Renaissance Platonism and the formation ofmodern science Key words: Renaissance, platonism, scientific methodology, Kepler. The article considers the revival of Platonism in Renaissance and the influence of Plato on the formation of modern science, particularly in the field of cosmology. The main topic of this essay is the polemic discussion between Fludd and Kepler, which started in 1619. An irhportant distinction between Fludd and Kepler lies in their different approach to mathe- matics and scientific methodology. Fludd conserves and uses the qualitative method, based on the hermetic and neoplatonic view of the universe. Kepler introduces the measuring, quantitative and experimental method as a criterion of natural science. It was this approach which made possible the development of modern science, but the author points out that Kepler's epistemological break also derives from Platonism and Platonically understood ma- thematics as the intentional structure of the universe. MAJDA TROBOK Ante rem strukturalizem Ključne besede: struktura, sistem, naravna števila. Članek obravnava strukturalizem, bolj natančno, ante rem strukturalizem, ki ga je mogoče obravnavati kot neke vrste (netradicionalni) platonizem in ki skuša razrešiti probleme, ki 2 0 9 IZVLEČKI - A B S T R A C T S zaposlujejo platonizem. Domnevno rešuje tako a.) »neprijeten položaj matematičnega plato- nista, ki nastane zaradi obstoja večkratnih redukcij večjih matematičnih teorij«, in b.) episte- mološki problem platonizma, ki nastane zaradi tega, ker so matematične entitete vzročno inertne. Ante rem strukturalizem, oziroma verzija, ki j o zastopa Shapiro, j e nauk, po katerem se matematika ukvarja z abstraktnimi strukturami, pri čemer elementi struktur nimajo nobe- nih drugih lastnosti poleg strukturalnih, se pravi, da nimajo nobenih nestrukturnih lastnosti. Matematični predmeti (števila, množice, ...) so zgolj mesta znotraj struktur; tj. realna analiza govori o strukturi realnih števil in vse, kar lahko rečemo o realnih številih, sestoji iz njihovih »strukturalnih« lastnosti. Po Shapiru obstajajo trije načini dojetja strukture: abstrakcija ozi- roma prepoznavanje vzorca, jezikovna abstrakcija in implicitna definicija. Avtorica pokaže na nekatere težavne točke Shapirove teorije, ki zadevajo njegovo ontologijo in epistemologi- jo. Te vključujejo povezavo objektov teorije s teorijo samo in težave z dojemanjem strukture. MAJDA TROBOK Ante rem structuralism Key words: structure, system, natural numbers. This paper is about structuralism, more precisely about the ante rem structuralism, version of which can be treated as a sort of (non-traditional) platonism and which tries to solve prob- lems that platonism is concerned with, i.e. it allegedly solves both a) »the plight of the mathe- matical Platonist arising from the existence of multiple reductions of the major mathematical theories«, and b) the epistemological problem for platonism due to abstract mathematical entities being causally inert. Ante rem structuralism, more precisely, the version endorsed by Shapiro, is the doctrine according to which mathematics is concerned with abstract structures and the elements of the structures have no properties beside the structu- ral ones; that is, they have no non-structural properties. Mathematical objects (numbers, sets,...) are just places within structures; e.g. real analysis is about the real number structure and everything we can say about real numbers consists in their »structural« properties. Ac- cording to Shapiro, there are three ways of grasping structure: abstraction or pattern recog- nition, linguistic abstraction and implicit definition. Author points out several difficulties with Shapiro's theory, concerned both with ontology and epistemology. These include the relativity of the objects of a theory to the theory itself, and problems concerned with grasping a structure. • ERNEST ZENKO Zloraba matematike v filozofiji Ključne besede: Šakalova potegavščina, postmodernost, študije znanosti. V članku j e predstavljena t.i. Sokalova potegavščina, poskus ameriškega fizika Alana Sokala, da bi javno opozoril na nedoslednostih postmoderne teoretske produkcije in krizo univerzitet- nih intelektualnih vrednot v humanistiki in družboslovju. Posebej j e izpostavil zlorabo mate- matike in naravoslovja s strani poststrukturalističnih intelektualcev. S tem je Sokal vstopil v nenadzorovani eksperiment širših razsežnosti, v vojno med humanisti in naravoslovci. Že C. P. Snow je opozoril, da gre za dve kulturi, ki j ima pripadata različni kulturni sferi in med seboj praktično ne komunicirata. V debati, ki j e sledila potegavščini, se j e pokazalo kot ključno dejstvo, da ena in druga stran vidita problem zgolj s svoje strani. To j e tudi osnovni problem Sokalovega pristopa. Ni toliko vprašanje, kako j e mogoče približati oba način mišljenja, tem- več kako j u misliti hkrati. 2 1 0 IZVLEČKI - A B S T R A C T S ERNEST ZENKO Abuse of mathematics in philosophy Key words: Sokal Hoax, postmodernity, science studies. In his paper the author presents the so-called Sokal Hoax, an experiment carried out by Ame- rican physicist Alan Sokal who intended to draw attention to the shortcomings of postmo- dern theoretical production as well as the crisis of university intellectual values in humanism and cultural studies. He particularly pointed out the poststructuralist intellectuals and their abuse of mathematics and natural sciences. Thus Sokal entered a broader uncontrolled ex- periment, into the warbetween humanist and natural scientists. C. P. Snow has already shown that we must take into consideration two different cultures, in common with their distinct cultural spheres, that hardly communicate with each other. During the debate which follo- wed the hoax, it was noted that the most crucial point lies in the fact that both sides see the problem only from their own perspective. This is also the main problem of Sokal's approach. It is not so much the question of how to bring both ways of thinking closer but of how to conceive them together. PETER KLEPEC Badioujeva tematizacija matematike Ključne besede: Badiou, matematika, ontologija, resničnostneprocedure, sestavljivost. Premislek razmerja med filozofijo in matematiko po našem mnenju ne more mimo sodobne- ga francoskega filozofa Alaina Badiouja. Osnovno tezo in izhodišče L'être et l'événement, dela, na katerega se osredotočamo v svojem prispevku in v katerem j e Badiou postavil temelje svojega filozofskega projekta, namreč tvori trditev, d a j e matematika znanost o biti kot biti. Matematika, trdi Badiou, je ontologija. V našem prispevku nas zanima vprašanje mesta, do- meta in nasledkov omenjene teze tako za Badioujev filozofski sistem, kot tudi za samo raz- merje med filozofijo in matematiko. Ontologija namreč ni temeljni cilj Badioujeve teorije, obenem pa j e matematika (zgolj) eden izmed štirih pogojev za nastop filozofije, pri čemer v razmerju med filozofijo in štirimi resničnostnimi procedurami ne gre za »prevlado, subsump- cijo, utemeljitev ali garancijo«, pač pa j e naloga filozofije v tem, da predlaga in predstavi okvir za njihovo sestavljivost. PETER KLEPEC Badiou''s conceptualization of mathematics Key words: Badiou, mathematics, ontology, procedures of truth, compossibility. The reconsideration of the relationship between philosophy and mathematics cannot ignore the theory of the contemporary French philosopher Alain Badiou. The basic thesis and the starting point of L'être et l'événement, Badiou's work which interests us here mostly and in which he has laid down the foundations of his philosophical project, is that mathematics is the science of being qua being. Badiou claims that mathematics is ontology. What interests us here is the question of the place, extent and consequences of this thesis concerning Badi- ou's own philosophical system as well as the relationship between philosophy and mathema- tics. Ontology is not the goal of Badiou's theory, while on the other hand mathematics is (only) one of the four conditions of philosophy. The relationship between philosophy and the four procedures of truth is not the relationship of »domination, subsumption, founda- 2 1 1 IZVLEČKI - A B S T R A C T S tion or guarantor«. The tasks of philosophy is not to create its conditions, to overlap with them, but to invent and present the frame of their compossibility. FILIP GRGIČ Naključje in človeško delovanje v Aristotelovi Fiziki Ključne besede: naključje, »zaradi nečesa«, akcidentalno, človeško delovanje, Aristotel. Aristotel v Fiziki 2.4-6 razpravlja o tako imenovanih naključnih dogodkih (ta apotuches) in j ih definira kot dogodke, ki se zgodijo akcidentalno in ki so takšni, da bi se lahko zgodili zaradi razumskega človeškega delovanja. Dejstvo, da j im pripiše lastnost, da so »zaradi nečesa«, j e najbolj sporno. Zagotovo ne obstajajo »zaradi nečesa« v istem pomenu, v katerem j e »običaj- ni« teleološki proces »zaradi nečesa«, tj. v pomenu, d a j e rezultat procesa odgovoren za nje- govo pripetitev. Avtor v tem eseju predoči nekatere razloge, zakaj Aristotel vztraja, da so naključni dogodki dogodki »zaradi nečesa«. Pokazati poskuša, d a j e takšna označba naključ- nih dogodkov naravna posledica konsistentne rabe načel, ki j ih Aristotel običajno priporoča filozofom narave. Avtor skuša tudi dokazati, da Aristotel dejansko potrebuje naključne do- godke, opisane na takšen način: da eksistenca naključnih dogodkov, ki j ih opiše kot dogodke »zaradi nečesa«, potijuje njegovo zaupanje v premoč teleološke razlage človeškega delova- nja. FILIP GRGIČ Luck and human action in Aristotle's Phys i c s Keywords: luck, »for the sake of something«, accidents, human action, Aristotle. In Physics 2.4-6, Aristotle discusses so-called lucky events (ta apotuches) and defines them as events that occur accidentally and that are such that might have occurred by virtue of ratio- nal human action. The most controversial point of the discussion is the fact that he ascribes them the property of being for the sake of something. They are certainly not for the sake of something in the same sense in which a 'normal ' teleological process is for the sake of somet- hing, i.e. in the sense that the result of the process is responsible for its occurrence. Thus, if Aristotle really believes that lucky events can be characterised as being for the sake of somet- hing, then one could rightly ask how is it possible to hold such a belief and what are his reasons for holding it. In this essay, the author suggests some answers to these questions. He tries to show that such a characterisation of lucky events is a natural consequence of the consistent application of principles that Aristotle recommends as standard to natural philo- sophers. He also tries to demonstrate that Aristotle actually needs lucky events described in such a manner: that the existence of lucky events described as being for the sake of somet- hing confirms his belief in the superiority of the teleological explanation of human action. 2 1 2 F I L O Z O F S K I V E S T N I K PRIPRAVLJAMO • IN PREPARATION Estetika in filozofija kulture Aesthetics and the philosophy of culture Let. /Vol. XXII, š t . /no . 2 (jesen / Autumn 2001) U r e d n i k / Edi to r : Aleš Erjavec Behemoth Le t./Vol. XXIII, š t . /no . 2 (jesen / Autumn 2002) U r e d n i k / Edi to r : T o m a ž Mas tnak Social Theory and Practice An International and Interdisciplinary Journal of Social Philosophy Social Theory and Practice publishes discussions of important and controversial issues in social, political, legal, economic, educational, and moral philosophy, including critical studies of classical and contemporary social philosophers. We feature original philosophical work by authors from all relevant disciplines, such as the humanities, the social sciences, and the natural sciences. James P. Sterba Richard Lippke Louise Collins Andrew Vails Andy Hetherington Tara Smith Highlights from Vol 25 (1999) Reconciling Public Reason and Religious Values Making Offenders Pay—For the Costs of Their Punishment Emotional Adultery: Cybersex and Commitment The Libertarian Case for Affirmative Action The Real Distinction Between Threats and Offers Justice as a Personal Virtue Phillip Montague Sin Yee Chan Michael Gorr Ruth Anna Putnam Erin Kelly David Waller Lisa Tessman Forthcoming in 2000 (Selections) The Myth of Parental Rights Paternalistic Wife? Paternalistic Stranger? The Morality of Plea Bargaining Neither a Beast Nor a God Habermas on Moral Justification The Paradox of Voluntary Motherhood Moral Luck in the Politics of Personal Transformation Special Offer! Purchase a two-year (2000-2001) subscription now and receive all 1999 issues of STP free of charge (while supplies last). Enter my subscription! D One year (no special offer) OTwo years (1999 issues free) Name Payment Options: Address U Check/Money Order OVisa/MC Card No. Exp. Date Phone ( ) Signature Subscriptions (3 issues/yr.): Individuals $18; Institutions $40; Foreign orders add $6 postage per year. Copy and mail to: STP, Dept. of Philosophy, Florida State University, Tallahassee, FL 32306-1500 Or contact us: Phone (850) 644-0220; Fax (850) 644-3832; E-mail: joumals@maiIer.fsu.edu Visit our web site! http://www.fsu.edu/-philo/STP Aristoteles METAFIZIKA Prevod, uvodno besedilo, opombe in glosarij Valentin Kalan Zbirka Philosophica-Series Classica 1999, LXXXVI + 437 str., 14 x 21 cm, t rda vezava, ščitni ovitek, ISBN 961-6182-90-0. CENA: 5.832 SIT Naročila sprejema: Založba ZRC Gosposka 13, 1000 Ljubl jana Tel /Fax: (01) 425 77 94 E-Pošta: zalozba@zrc-sazu.si Če bi moral i imenovat i t r ideset knjig, ki po Nietzschejevih pesniških besedah ustanavljajo in oh ran j a jo evropsko kulturo, m e d njimi ne bi smela manjka t i Aristotelova Metafizika. To Aristotelovo delo z nepreve- dljivim naslovom »Metaphysica, TA META TA PHYSIKA« sestavlja štiri- najst knjig: veliki in mali Alpha, Beta, Gamma, Delta, Epsilon, Zeta, Eta, The ta , Iota, Kappa, Lambda , My in Ny. V njih j e p o d a n a zoritev evrop- ske modros t i iz čuden ja , na to pa j e prikazano celotno drevo znanosti, od fizike in medic ine , p rek tehnike in ekonomije , etike in politike, prek logike in matemat ike , d o splošne znanosti ontologije, filozofije umetno- sti in teologije. Aristoteles n a m prikaže način srečevanja stvari v njihovi samodanost i , tako naravnih kakor tehniških, tako predmetov delovanja, ki zadevajo človekov ethos, kakor predmetov vedenja, ki j ih oblikujeta matemat ika in umetnos t . Naposled Aristoteles obravnava človekov od- nos d o celote sveta in d o Boga, k i j e tema bajeslovja, religije in filozofske teologije. Metafizična m o d r o s t nas tako spomni na resnico kot luč člove- kovega življenja in s t em p r i p o m o r e k dobrobi t i človeštva. Knjiga vsebuje po leg s p r e m n e besede še obsežna prevajalska in uredniš- ka pojasnila, glosarij Aristotelovih terminov, seznam Aristotelovih spi- sov, izbrano bibliografi jo in imensko kazalo. I m m a n u e l Kant KRITIKA RAZSODNE MOČI fioxofdti mftut ire MIK Immanuel Kant KRITIKA RAZSODNE MOČI Prevod in spremna beseda Rado Riha Zbirka PhilosophicarSeries Classica 1999, 504 str., 14 x 21 cm, trd; vezava, ščitni ovitek, ISBN 961-6182-91-9. CENA: 5.292 SIT Naročila sprejema: Založba ZRC Gosposka 13, 1000 Ljubl jana Te l /Fax : (01) 425 77 94 E-Pošta: zalozba@zrc-sazu.si Tre t ja Kantova Kritika, prvič objavl jena leta 1790, j e bila do lgo časa v senc: prvih dveh, ki sta, kot s e j e zdelo, vsebovali vse, kar j e bilo bistveno z\ utemeljitev kriticizma: prva j e odgovai ja la na vprašnje pogoja možnost; objektivnega spoznanja, d ruga na vprašanje pogoja možnost i mora lneg ; delovanja. Tre t ja naj bi torej zgradila nekakšen most m e d ločen ima po dročj ima teoret ičnega in prakt ičnega uma . V e n d a r pa t re t ja Kritika ni M poskus premostiti p repad m e d naravo in svobodo, a m p a k vsebuje tud Kantovo »estetsko teorijo«, teori jo lepega in subl imnega , in teor i jo narav ne teleologije, ki odgovarja na vprašanje smotrnost i sveta in človeškeg. bivanja v n jem. V notranj i p rep le tenos t i t r eh kl jučnih p rob lemat ik tretj. Kritike pa se zarisuje tudi nova p o d o b a temel jn ih pojmov Kantove filozc fije. Tako s e j e danes že uveljavilo p repr ičan je , da Kritika razsodne moči bo! nadal juje , kakor pa konču je Kantovo filozofsko misel. V n je j so vsebovan zametki drugega »kopernikanskega obrata«, v ka te rem subjekt ni več d d j e t kot gospodar nad zunan jo in n o t r a n j o naravo, a m p a k s e j e naučil oc krivati v sebi m o m e n t e neodpravlj ive he terogenos t i . S tem pa j e t ret ja Kr tika postavljena v središče sodobn ih filozofskih in družboslovnih diskus in problemov. Knjiga je opreml jena z uredniškimi o p o m b a m i in pojasnili ter imenskii in stvarnim kazalom. OBVESTILO AVTORJEM prispevke in drugo korespondenco pošiljajte na naslov uredništva. Uredništvo ne spreje- ma prispevkov, ki so bili že objavljeni ali istočasno poslani v objavo drugam. Nenaročenih rokopisov ne vračamo. Avtorsko pravico objavljenega prispevka zadrži izdajatelj, razen če je posebej drugače dogovorjeno. Prispevki naj bodo poslani v tipkopisu in na disketi, pisani na IBM kompatibilnem raču- nalniku (v programu Word 97 - okolje Windows). Besedili na disketi in na izpisu naj se natančno ujemata. Priložen naj bo izvleček (vslovenščini in angleščini), ki povzema glav- ne poudarke v dolžini do 150 besed in do 5 ključnih besed (v slovenščini in angleščini). Prispevki naj ne presegajo obsega ene in pol avtorske pole (tj. 45 000 znakov) vključno z vsemi opombami. Zaželeno je, da so prispevki razdeljeni na razdelke in opremljeni, če j e mogoče, z mednaslovi. V besedilu dosledno uporabljajte dvojne narekovaje (npr. pri na- vajanju naslovov člankov, citiranih besedah ali stavkih, tehničnih in posebnih izrazih), razen pri citatih znotraj citatov. Naslove knjig, periodike in tuje besede (npr. a priori, epochê, élan vital, Umwelt, itd.) j e treba pisati ležeče (ali podčrtano). Opombe in reference se tiskajo kot opombe pod črto. V besedilu naj bodo opombe ozna- čene z dvignjenimi indeksi. Citiranje naj sledi spodnjemu zgledu: 1. Gilles-Gaston Granger, Pour la connaissance philosophique, Odile Jacob, Paris 1988, str. 57. 2. Cf. Charles Taylor, »Rationality«, v: M. Hollis, S. Lukes (ur.), Rationality and Relati- vism, Basil Blackwell, Oxford 1983, str. 87-105. 3. Granger, op. cit., str. 31. 4. Ibid., str. 49. 5. Friedrich Rapp, »Observational Data and Scientific Progress«, Studies in History and Philosophy of Science, Oxford, 11 (2/1980), str. 153. Sprejemljiv j e tudi t.i. »author-date« sistem z referencami v besedilu. Reference morajo biti v tem primeru oblikovane takole: (avtorjev priimek, letnica: str. ali pogl.). Popoln, po abecednem redu urejen bibliografski opis citiranih virov mora biti priložen na koncu poslanega prispevka. Avtorjem bomo poslali korekture, če bo za to dovolj časa. Pregledane korekture j e treba vrniti v uredništvo v petih dneh. FILOZOFSKI VESTNIK I • 2000 Vsebina ZGODOVINA EVROPSKE IDEJE Tomaž Mastnak, Karolinška »Evropa « ?: prispevek k zgodovini evropske ideje MATEMATIKA IN FILOZOFIJA Boris Vezjak, Aristotelovi matematični predmeti kot »vmesne stvari« Matjaž Vesel, Nikolaj Kuzanski in Aristotelova filozofija matematike Igor Skamperle, Renesančni platonizem in oblikovanje moderne znanosti Majda Trobok, An te rem strukturalizem Ernest Zenko, Zloraba matematike v filozofiji Peter Klepec, Badioujeva tematizacija matematike Alain Badiou, O matematiki, logiki in filozofiji lan Mueller, Matematična metoda in filozofska resnica Stephen Gaukroger, Narava abstraktnega mišljenja: filozofski vidiki Descartesovega dela v algebri ARISTOTEL - NAKLJUČNI DOGODKI Filip Grgič, Naključje in človeško delovanje v Aristotelovi Fiziki PREVOD Gaston Bachelard, Bistvena kompleksnost znanstvene filozofije. Oris ISSN 0353-4510 770353 451019