Elektrotehniški vestnik 80(5): 251-257, 2013 Izvirni znanstveni članek Razširjena metoda za verjetnostni izračun pretokov moči z uporabo metode kumulant Jerneja Bogovič, Gorazd Bone, Rafael Mihalič Univerza v Ljubljani, Fakulteta za elektrotehniko, Tržaška 25, 1000 Ljubljana, Slovenija E-pošta: jerneja.bogovic@fe.uni-lj.si, gorazd.bone@fe.uni-lj.si, rafael.mihalic@fe.uni-lj.si Povzetek. V elektroenergetskem sistemu (EES) se vseskozi spreminjajo pretoki moči in napetostne razmere, kar je posledica spreminjanja porabe, konfiguracije omrežja in proizvodnje. Pri vodenju in načrtovanju EES je treba predvideti vsa obratovalna stanja v EES. Ob vsaki spremembi, ki ni bila upoštevana v predhodnih izračunih pretokov moči in napetostnih razmer, je odziv sistema neznan. Zato so se začele razvijati metode za verjetnostni izračun pretokov moči in napetostnih razmer. To so metode, ki nam povedo, kolikšna je verjetnost, da bo v sistemu nastopila posamezna vrednost pretokov moči in napetostnih razmer. Najstarejša metoda za verjetnostni izračun pretokov moči je metoda Monte Carlo. Ta deluje tako, da za različne kombinacije vhodnih podatkov proizvodnje in porabe v odvisnosti od verjetnosti nastopa izračuna verjetnostne pretoke moči in napetostne razmere. Prednost te metode je, da je zelo točna, saj računa pretoke moči za dejanska stanja, medtem ko je njena slabost, da je časovno zelo potratna, saj je treba izvesti več deset tisoč izračunov pretokov moči. Zato se je začel razvoj metod, ki so hitrejše, vendar nekoliko manj točne. Ena hitrejših metod je metoda kumulant, ki je natančneje predstavljena v prvem delu, rezultati uporabe na modelu pa v drugem. Ključne besede: Gram-Charlierjev razvoj, metoda kumulant, metoda Monte Carlo, statični sinhronski serijski kompenzator (SSSC), verjetnostni izračun pretokov moči An improved method enabling probabilistic calculation of the power-system load-flow using the method of cumulants The power-system load-flow and voltage states are constantly changing as a result of the variations in the power production and consumption and network configuration. For the powersystem to operate properly, any of its operating states should be duly considered in the power-system planning phase. At any possible change that has not been accounted for in calculations, the response of the power-system is unknown. To cope with this issue, several probabilistic load-flow methods have been developed. Using these methods, the probability of a certain state that might occur in the power-system is predicted. The oldest method for probabilistic load-flow calculations is the Monte Carlo method. It calculates the states of the power-system for different combinations of the input data. Its advantage is a high level of accuracy and its disadvantage is in its being much time consuming, since it requires tens of thousands of load-flow calculations. In this paper we present new fast but slightly less accurate methods. One of them is the method of cumulants. Its presentation is given in the first part and the results of using it are shown in the second part of the paper. 1 Uvod Izračun pretokov moči je osnovni izračun, ki se uporablja pri obratovanju in načrtovanju EES. Ker se obratovalni pogoji v EES spreminjajo tako na strani proizvodnje kot na strani porabe, spreminja pa se tudi topologija prenosnih poti, je treba za vse te pogoje izračunati pretoke moči in napetostna stanja. Ker je nemogoče predvideti vsa obratovalna stanja, ki bodo nastopila, in s tem izvesti izračune za vsa ta obratovalna stanja, so se razvile stohastične oz. verjetnostne metode za izračun pretokov moči. Glavni motiv pri razvoju teh metod je bila želja po natančnem načrtovanju in vodenju sistema s poznavanjem vseh mogočih scenarijev, ki naj bi bili tudi finančno ovrednoteni. To pa je ključni dejavnik pri optimizaciji sistema. Če je sistem predimenzioniran, imamo po nepotrebnem povečane stroške zaradi gradnje in vzdrževanja, če pa je sistem »poddimenzioniran«, lahko nastanejo dodatni stroški zaradi povečanih izgub, povečane verjetnosti odpovedi elementov in povečane količine nedobavljene električne energije. S pomočjo verjetnostnih pretokov moči lahko poiščemo statistično optimalno dimenzioniranje postroja. Najprej uporabljena in najbolj točna izmed verjetnostnih metod za prenosna in distribucijska omrežja je metoda Monte Carlo, ki ima negativno lastnost, da je počasna in potrebuje veliko programskega prostora [3], [4], [5] in [6]. Metoda namreč za vse mogoče dogodke in stanja sistema izračuna pretoke moči in napetostne razmere. Da bi se izognili tem Prejet 1. oktober, 2013 Odobren 7. november, 2013 problemom, so bile razvite hitrejše metode za verjetnostni izračun pretokov moči. Te metode so metoda, ki predvideva normalno porazdelitev, momentna metoda, konvulucijska metoda in metoda kumulant [4], [6]. Prednost teh metod je, da so hitre, slabost pa, da so nekoliko manj točne. Kot rezultat podajo srednjo vrednost in standardni odklon oz. zbirno funkcijo verjetnosti, pri čemer se večje nelinearnosti sistema ne upoštevajo, saj se sistem linearizira okoli neke delovne točke. Na tem mestu je natančneje predstavljena metoda z uporabo kumulant in Gram-Charlierjev razvoj v vrsto za prenosna omrežja. V literaturi metoda temelji na izračunu verjetnostnih pretokov moči in napetostnih razmer, ko se spreminjajo le injicirane delovne in jalove moči [3], [7], [8], [9], [10]. Pogoj za uporabo metode so konstantne amplitude napetosti na generatorjih ter konstantna amplituda napetosti in kot napetosti v bilančnem vozlišču. Če te vrednosti niso konstantne, se lahko uporabi razširjena metoda, ki je na tem mestu dodatno predstavljena. Razširjena metoda je prav tako uporabna, če so v EES vključene regulacijske naprave (FACTS), pri čemer se spreminja pretok moči skozi napravo, injicirana napetost naprave ali želena napetost v vozlišču, kjer je naprava priključena. 2 Verjetnostni izračun pretokov moči PO METODI KUMULANT Verjetnostni izračun pretokov moči po metodi kumulant je preprosta in hitra, a ne tako točna metoda, ki nam prikaže, kolikšna je verjetnost, da bo v EES prišlo do posamezne vrednosti pretokov moči in napetostnih razmer. Do zdaj je bila metoda uporabljena tako, da je omogočala spreminjanje le injiciranih moči bremen in generatorjev, v članku pa je prikazana metoda razširjena, tako da je uporabna tudi pri spreminjanju generatorske napetosti in kazalca napetosti v bilančnem vozlišču ter upoštevanju regulacije hitrih regulabilnih naprav. Sestavljena je iz štirih korakov. Prvi korak je izračun pretokov moči po Newton-Raphsonovi metodi. Naslednji korak je linearizacija okoli delovne točke, kjer so vrednosti spremenljivk enake srednjim vrednostim. Tretji korak je izračun kumulant, zadnji korak pa izris porazdelitvene funkcije s pomočjo Gram-Charlierjevega razvoja v vrsto. Vsi koraki so v nadaljevanju podrobneje razloženi. 2.1 Newton-Raphsonva metoda za izračun pretokov moči Newton-Raphsonova metoda za izračun pretokov moči je metoda, ki temelji na sistemu enačb, ki opisujejo ravnotežje med proizvodnjo in odjemom delovne in jalove moči v vsakem vozlišču v EES razen v bilančnem vozlišču in generatorskem vozlišču za jalovo moč. Tako je EES opisan z (1) in (2). PLine,(U)+ PG.+ PLoaJ,= P = 0 (1) qLin, (U)+QLo< = Q = o (2) Tukaj pomeni pLnne (U) delovno moč, ki priteče po vodu v i-to vozlišče v odvisnosti od napetosti, P delovno moč generatorjev v i-tem vozlišču, poarf delovno moč bremen v i-tem vozlišču, p vsoto vseh delovnih moči v vozlišču i, qLine (U) jalovo moč, ki priteče po vodu v i-to vozlišče v odvisnosti od napetosti, Qioarf jalovo moč bremen v i-tem vozlišču in Q vsoto vseh jalovih moči vozlišču i. Enačbi (1) in (2) lahko krajše zapišemo s (3). ^ = g (X) (3) Z pomeni delovne in jalove moči v vozliščih, X napetosti in g funkcijo odvisnosti moči od napetosti. Ker je sistem enačb nelinearen, se za rešitev sistema enačb lahko uporabi Newton-Raphsonova metoda. Enačbe se razvijejo v Taylorjevo vrsto, naprej pa upoštevamo samo prve člene iz razvoja. Pri razvoju v Taylorjevo vrsto dobimo (4). Z = Z0+AZ = g(X0+AX) = g(X0) + G0AX + ... (4) Sistem enačb se lahko izrazi v matrični obliki in reši iterativno, kot je prikazano (5) - (8). (5) G AX = AZ "5p 5p " Go = 58 _dS, 8Ui 8Ui , AX = "A8" _AU,. _ , AZ = "AP" _AQi _ AX(k ) = (^T ■ AZ (k) (6) (7) X (k+1)= X(k >+AX (k) (8) Z pomeni delovno in jalovo moč v točki linearizacije, X napetosti v delovni točki, G matriko odvodov delovnih in jalovih moči po kazalcu napetosti oz. Jacobojevo matriko, AX spremembe napetosti v item vozlišču, AZ spremembe moči v i-tem vozlišču in k števec iteracij . Iteracije se izvajajo, dokler AX ni dovolj majhna. Konvergenca je zelo odvisna od izbranih začetnih približkov X(0) in je včasih vprašljiva, če začetni približki niso primeri. Več o tej metodi najdemo v [15] in [18]. 2.2 Razširjena Newton-Raphsonva metoda za izračun pretokov moči Pri spreminjanju napetosti v bilančnem in generatorskem vozlišču dodamo enačbi, ki opisujeta bilančno in generatorsko vozlišče. U = U , (9) s,s s, s,ref v / Ak) 8. =S (10) Pri tem usg pomeni amplitudo napetosti v bilančnem ali generatorskem vozlišču in U f referenčno vrednost amplitude napetosti v bilančnem ali generatorskem vozlišču, Ss fazni kot napetosti v bilančnem vozlišču in S s,ref referenčno vrednost P = P , sj sj,ref faznega kota napetosti v bilančnem vozlišču. Če pa imamo v EES dodatno vključeno še regulabilno napravo, je treba za opis le-te upoštevati še eno izmed enačb, ki opisuje regulabilno napravo. (11) (12) (13) (14) (15) sj ,ref U. =U. = *[U • C ] =4 U • I* ] s,ref /„ =1. sj,ref Urse =Use, ref Pri tem Psj in Psj,ref pomenita dejansko in referenčno vrednost pretoka delovne moči med vozliščema s in j, Qsj in Qsj,ref pomenita dejansko in referenčno vrednost pretoka jalove moči med vozliščema s in j, Us ,Us ,Usref kazalec, absolutno vrednost in referenčno vrednost napetosti v vozlišču s, I*, I., Isjref konjugirano vrednost toka, absolutno vrednost toka in referenčno vrednost toka, ki teče med vozliščema s in j, Useref, Use pa referenčno in dejansko vrednost injicirane napetosti naprave SSSC. Več o tem najdemo v [17], [18]. Pri razširjeni Newton-Raphsonovi metodi Z pomeni delovne in jalove moči ter napetosti in tokove, X napetosti in tokove ter g funkcijo odvisnosti moči od napetosti. G =■ dX (19) G pomeni matriko odvodov delovnih in jalovih moči v vozliščih, napetosti in tokov po kazalcu napetosti in tokov oz. Jacobojevo matriko v delovni točki, AX spremembe napetosti v i-tem vozlišču ter tokov in AZ spremembe moči in napetosti v vozliščih ter tokov. 2.4 Metoda kumulant Metoda kumulant spada med napredno statistiko. Kumulante se uporabljajo za opis oz. aproksimacijo funkcije gostote verjetnosti in porazdelitvene funkcije. V teoriji verjetnosti in statistiki so kumulante Kn funkcije gostote verjetnosti alternativa opisu funkcije z momenti. Funkciji gostote verjetnosti, ki imata enake momente, imata enake tudi kumulante. V nekaterih primerih so teoretični izračuni s kumulantami preprostejši od tistih, ki uporabljajo momente. Kumulanta Kn slučajne spremenljivke x je opredeljene s funkcijo za izračun kumulant (20). m 1= Z k- (20) n = 1 n! h (t) = ln (E (etx) Pri tem h {t) pomeni funkcijo za izračun kumulant, E operator pričakovane vrednosti slučajne spremenljivke x, t neodvisno spremenljivko, k kumulanto in n red kumulante. N-ti odvod funkcije h(t), kjer je t = 0, je kumulanta n-tega reda. Kumulanta prvega reda pomeni srednjo vrednost, kumulanta drugega reda varianco oz. kvadrat standardnega odklona, kumulanta tretjega reda koeficient simetrije in kumulanta četrtega reda koeficient sploščenosti. Kumulante višjih redov nimajo matematičnega pomena [14]. Za računanje s kumulantami veljajo ekvivalenca (21), invarianca (22), homogenost (23) in aditivnost (24). K {x + c) = k( x) + c (21) 2.3 Linearizacija okoli delovne točke V matematiki se linearizacija nanaša na ugotovitev linearnega približka funkcije v dani delovni točki. V študiji dinamičnih sistemov linearizacija omogoča ocenjevanje lokalne stabilnosti ravnovesne lege sistema nelinearnih diferencialnih enačb ali diskretnih dinamičnih sistemov. Za linearizacijo EES se uporablja Taylorjev razvoj v vrsto. Pri razvoju (3) v Taylorjevo vrsto dobimo (16). Z = Z0+AZ = g(X0+AV) = g(X0) + G0AV + ... (16) Naprej pa zanemarimo vse višje rede vrste ter dobimo (17) in (18). Zo = g (X0) (17) AZ = G • AX (18) dZ K ( x + c) = K (x) K (cx) = cX (x) Kn (x + y) = Kn (X) + Kn (J) (22) (23) (24) Pri tem in n red kumulante, x in y slučajni spremenljivki in c konstanto [9], [12], [13]. 2.5 Gram-Charlierjev razvoj v vrsto Zadnji korak pri verjetnostnem izračunu pretokov moči je izris funkcije gostote verjetnosti vozliščnih napetosti in vejskih tokov iz izhodnih kumulant. Poznamo več vrst, s katerimi lahko iz kumulant izdelamo funkcije gostote verjetnosti izhodnih spremenljivk. To so Gauss-Hermitski, Edgeworth, Cornish-Fisherjev in Gram-Charlierjev razvoj v vrsto. Za izris smo izbrali Gram-Charlierjev razvoj v vrsto, ker za razvoj v vrsto uporablja funkcijo gostote verjetnosti za normalno porazdelitev in ker omogoča izris funkcije gostote verjetnosti v primerih, ko imamo kumulante višjih redov. Za sam izris funkcije z Gram- Charlijevim razvojem v vrsto moramo poznati vse kumulante funkcije. Če so le-te poznane, se izris funkcije gostote verjetnosti izvede s (25) in zbirne funkcije verjetnosti oz. porazdelitvene funkcije s (27). K (3 w x K p = u2 2 • g22 K5m(5){~\ . K6 + 10*3 „(6) -f{ ^>(-) +