i
i
“kolofon” — 2020/1/14 — 7:53 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
Ljubljana, JULIJ 2019, letnik 62, številka 4, strani 121–160
Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana
Telefon: (01) 4766 633, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska
pošta: info@dmfa-zaloznistvo.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski
račun: 03100–1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4,
1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787
Uredniški odbor: Peter Legiša (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in
odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek
Olenik, Damjan Kobal, Petar Pavešić, Marko Petkovšek, Marko Razpet, Nada Razpet,
Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik).
Jezikovno pregledal Grega Rihtar.
Računalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja.
Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1100 izvodov.
Člani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 24 EUR, za druge
družinske člane in študente pa 12 EUR. Naročnina za ustanove je 35 EUR, za tujino 40 EUR.
Posamezna številka za člane stane 3,99 EUR, stare številke 1,99 EUR.
DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično
unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in
uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o recipročnosti z Ameriškim matematič-
nim društvom (AMS).
Revija izhaja praviloma vsak drugi mesec. Sofinancira jo Javna agencija za raziskovalno
dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofi-
nanciranje domačih znanstvenih periodičnih publikacij.
c© 2019 DMFA Slovenije – 2110 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana
NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV
Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz mate-
matike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig
s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti
o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in
razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok.
Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle-
ček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS)
in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih
lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih
virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v računalni-
ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk
je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj na-
pisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki
morata predvsem natančno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je
originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Če je prispevek sprejet v objavo,
potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane
v eni od standardnih različic urejevalnikov TEX oziroma LATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu.
i
i
“Kovic” — 2020/1/13 — 12:59 — page 121 — #1 i
i
i
i
i
i
LEONARDO DA VINCI (1452–1519) – OB
PETSTOLETNICI NJEGOVE SMRTI: LEONARDO IN
MATEMATIKA
JURIJ KOVIČ
Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko, Ljubljana
FAMNIT, Univerza na Primorskem
Math. Subj. Class. (2010): 00A66, 01A90, 01A40, 01-02
Leonardo da Vinci je zapisan v zgodovino kot znanstvenik, izumitelj in umetnik. Tudi
petsto let po njegovi smrti znanstveno-raziskovalno zanimanje za njegovo ustvarjalnost
samo še narašča. V članku bomo pregledali in ovrednotili predvsem njegove dosežke,
povezane z matematiko, še posebej geometrijo.
LEONARDO DA VINCI (1452–1519) – AT HIS 500th DEATH
ANNIVERSARY: LEONARDO AND MATHEMATICS
Leonardo da Vinci is recorded in history as an scientist, inventor and artist. Even
five hundred years after his death the scientific-research interest in his creativity is only
increasing. We will examine and try to evaluate, in particular, his achievements related
to mathematics, especially geometry.
Matematika v Leonardovem času
V članku [5] smo povedali, kakšna je bila v Leonardovem času znanost in
kakšen je bil položaj umetnika (arhitekta, slikarja). Nismo pa še natanč-
neje opredelili: Kaj je za časa Leonardovega življenja (1452–1519) oziroma
samemu Leonardu pomenila beseda »matematik«? Kaj je sestavljalo mate-
matiko tistega časa? Kakšne metode je uporabljala? Kakšne simbole? Na
kakšni ravni je bila? Kje vse so jo uporabljali? To bomo storili v tem članku.
Vsako zgodovinsko obdobje izoblikuje svojo »definicijo« matematika in
matematike, ki za druga obdobja morda sploh ni uporabna. Kot pravi znani
francoski matematik in zgodovinar matematike Jean Dieudonné (1906–1992),
je matematik »nekdo, ki je objavil dokaz najmanj enega netrivialnega iz-
reka«. V knjigi [1, str. 53] je podan seznam 52 imen matematikov, rojenih
med 1397 in 1517.
V Leonardovem času je ime matematik zaslužil, kdor se je spoznal na:
aritmetiko oz. računanje z abakusom in z arabsko-indijskimi številkami,
geometrijsko algebro grških in arabskih avtorjev in praktično matematiko
(trgovsko-knjigovodsko, finančno-bančno).
Matematiki v času renesanse (kot tudi še nekaj časa pred njo in potem)
niso bili specializirani na neko ozko področje, kot so to matematiki danes,
Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 4 121
i
i
“Kovic” — 2020/1/13 — 12:59 — page 122 — #2 i
i
i
i
i
i
Jurij Kovič
ampak so bili pogosto tudi humanistično izobraženi, bili so tudi filozofi in
umetniki, arhitekti in slikarji (teoretiki in praktiki na teh področjih).
Arhitekti so načrte cerkva in njihovih delov (npr. oken, rozet, pročelij,
mozaikov itd.) pogosto zasnovali na različnih simetričnih vzorcih; tako je
npr. Donato Bramante (1444–1514) načrt za tloris Bazilike sv. Petra zasno-
val na križnem starogrškem vzorcu s simetrijo kvadrata; podobno je Leo-
nardo risal načrte cerkva s centralno simetrijo [4, str. 143]. Pogosto so na
tleh upodabljali poliedre, vozle, labirinte (npr. na tleh Katedrale v Char-
tresu [8, str. 135]) in druge geometrijske oblike z različnimi simboličnimi
pomeni. Skrbno so pazili na proporce zgradb; tako je npr. pročelje Kate-
drale v Milanu zasnovano na koncentričnih krogih in večkratnikih števil 12
in 7 [8, str. 133]. Arhitekturo so, v povezavi s študijem antičnih piscev o
arhitekturi, npr. Vitruvija, povzdignili v znanost s teoretičnimi razpravami
o njej (prej je bila bolj v domeni mojstrov, obrtnikov, kamnosekov itd.).
Med teoretiki arhitekture sta pomembna npr. Filippo Brunelleschi (1377–
1466), »oče renesančne arhitekture«, in Leon Battista Alberti (1404–1472),
avtor prve renesančne razprave o arhitekturi O umetnosti gradnje (De Re
Aedificatoria).
Renesančni slikarji so svoje kompozicije dostikrat zasnovali na linearni
perspektivi, pa tudi na preprostih geometrijskih likih ali krivuljah. Tako so
npr. ključni elementi Leonardove slike Leda z labodom iz leta 1508 razpore-
jeni v koncentričnih krogih s sredǐsčem ob desnem robu, zunaj okvirja slike
[8, str. 149]. Na Leonardovi sliki Madona v skalni votlini (1483–86) se figure
vrtinčijo v rastoči stožčasti spirali [12, str. 238]. Uporabljali so tudi zlati
rez. Tega so upoštevali tudi kiparji, po zgledu starogrškega kipa, imeno-
vanega Kanon, katerega avtor Poliklet (ok. 480–420 pr. n. št.), eden izmed
najpomembneǰsih kiparjev klasične antike, je menil, da morajo biti vsi deli
kipa povezani med seboj s sistemom idealnih matematičnih razmerij.
Glasbeniki so že od Pitagore (ok. 570–495 pr. n. št.) dalje vedeli za
tesno povezavo med razlikami v vǐsinah tonov in razmerji njihovih frekvenc,
tudi glasbene kompozicije so že od nekdaj zrcalile »matematične« lastnosti:
simetrijo, red, harmonijo, mero, sorazmerje, število. Renesančna glasba se,
za razliko od renesančne arhitekture, književnosti in likovne umetnosti, ki je
iskala svoje vzore v antiki, ni mogla zgledovati po antični glasbi, saj se le-ta
ni ohranila. Je pa renesančna glasba razvila vrsto svojih glasbenih oblik, od
katerih ima vsaka svojo bolj ali manj določeno »matematično« strukturo.
Leonardo je besedo »matematik« uporabljal za vsakega svobodnega duha
– tako npr. za filozofa in slikarja – ki dvomi o nepreverjenih trditvah avto-
ritet in želi sam, na podlagi lastnih opazovanj, vprašanj in eksperimentov,
priti do odgovorov, in nazadnje do resnice (in lepote). Pojem »matematik«
je torej Leonardu pomenil predvsem nekoga, ki želi spoznati skrivnosti na-
rave in odkriti nekaj novega, ne le nekoga, ki obvlada določene matematične
122 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 4
i
i
“Kovic” — 2020/1/13 — 12:59 — page 123 — #3 i
i
i
i
i
i
Leonardo da Vinci (1452–1519) – ob petstoletnici njegove smrti: Leonardo in matematika
algoritme ali pozna določene že obstoječe matematične teorije. Leonardov
»matematik« je torej nekakšen skeptik in racionalist, ki pa je obenem tudi
radoveden in raje sprejema skrivnostno in neznano, kot da bi se zadovoljil z
nepreverjenim odgovorom, in ki ga ne zanimajo le odgovori na posamezne
probleme, temveč hoče preko rešitve številnih posamičnih problemov z raz-
ličnih področij uzreti širšo sliko in po možnosti razumeti ves svet, kolikor
je to človeku dano (prim. [1, str. 53]). Matematične knjige v Leonardovem
času so bile predvsem prevodi in komentarji Evklida in Arhimeda v latin-
ščini in grščini. Leonardo jih ni mogel brati, šele pozno se je sam naučil
latinsko. V matematiki je bil, vse do srečanja z Luco Paciolijem, samouk,
imel je težave z ulomki, koreni, razmerji, potencami.
Matematika v Leonardovem času ni bila tako »stroga«, pa tudi ne tako
abstraktna in konceptualna, kot je matematika danes. Slonela je na grški
in arabski matematiki. Njeno najbolj razvito področje je bilo geometrija,
zanimala se je za pravilne poliedre in zlati rez, poskušala je določiti ploščine
različnih ukrivljenih likov (s tem se je zelo rad ukvarjal tudi Leonardo),
vse bolj se je uveljavljala tudi kot orodje pri raziskovanju narave in gibanja.
Pogosto je številom (podobno kot pitagorejci) pripisovala simbolične pomene
(to je počel še Luca Pacioli, ne pa Leonardo, ki mu je npr. število 3 vedno
pomenilo samo 3 in nič drugega). Algebra je bila še slabo razvita.
Leonardo tudi kot »fizik« (čeprav fizika v pravem pomenu besede ta-
krat še ni obstajala) ni bil ravno eksakten. Bil je domiseln pri oblikovanju
problemov, ne pa vselej najbolj uspešen pri njihovem reševanju. Pogoste
računske in miselne napake ali neskladje med besedilom in slikami v njego-
vih zapiskih [3, str. 215–234] navajajo na misel, da so bili nekateri njegovi
eksperimenti očitno samo miselni, ne vselej podprti z merjenji. Kot fizik
se je ukvarjal z mehaniko, optiko, hidromehaniko. V Kodeksu Arundel, fo-
lio 17r, je z uporabo Arhimedovega zakona vzvoda določil težǐsče najprej
enakostraničnega, nato pa še poljubnega petkotnika. Kot prvi je določil
težǐsče tetraedra in, splošneje, poljubne pravilne piramide, ter dokazal, da
se nahaja na eni četrtini njegove vǐsine, merjeno od osnovne ploskve [3, str.
224–225].
Algebra
V 15. stoletju so znali rešiti splošno linearno in kvadratno enačbo, ki bi ju
danes zapisali kot ax + b = 0 in ax2 + bx + c = 0.
Takrat še ni bilo algebrajskega simbolizma, kot ga uporabljamo danes.
V srednjem veku in renesansi so uporabljali retorično algebro (»algebra re-
torica«) – besedne opise za posamezne tipe enačb (v katerih so dopuščali
samo pozitivne koeficiente), kot prikazuje tabela 1 [1, str. 22].
Naslednja stopnja v razvoju algebrske pisave je bila sinkopirana algebra
(»algebra sincopata«). Za neznanke in operacije so uporabljali okraǰsave
121–131 123
i
i
“Kovic” — 2020/1/13 — 12:59 — page 124 — #4 i
i
i
i
i
i
Jurij Kovič
BESEDNI OPIS ENAČBE USTREZNI DANAŠNJI ZAPIS
cose uguale a numero ax = b
censi e cose uguale a numero ax2 + bx = c
censi uguale a numero ax2 = b
censi uguale a cose ax2 = bx
censi e numero uguale a cose ax2 + c = bx
censi uguale a cose e numero ax2 = bx + c
cubo e cose uguale a numero x3 + bx = c
cubo uguale a cose e numero x3 = bx + c
cubo e numero uguale a cose x3 + c = bx
Tabela 1. Linearne, kvadratne in reducirane kubične enačbe s samimi pozitivnimi koe-
ficienti a, b, c.
besed iz naravnega jezika. Tako so npr. enačbo x2 = 4x + 32 pisali takole:
Qdratu aeqtur 4 rebus p: 32. Sinkopirano algebro je uporabljal npr. Luca
Pacioli (1445–1514), frančǐskanski menih in Leonardov prijatelj, sodelavec
ter učitelj matematike.
Simbolična algebra (»algebra simbolica«) je nastala šele približno sto let
po izdaji matematičnih del Luce Paciolija. Njena tvorca sta Francois Viète
(1540–1603) in René Descartes (1596–1650). Ta simbolizem je omogočil
parametrizacijo problemov in številne pomembne posplošitve [1, str. 23].
Geometrija in perspektiva
Geometri tistega časa so predvsem brali in komentirali klasična dela v gr-
ščini in latinščini. Ptolemejevo delo o astronomiji Almagest je bilo dvakrat
prevedeno iz arabščine v latinščino že v 12. stoletju. Prva tiskana verzija Ev-
klidovih Elementov je izšla v Benetkah leta 1482. Prvi prevod Elementov v
italijanščino je priskrbel Tartaglia leta 1543. Ni bilo še analitične geometrije,
ki sta jo odkrila šele Descartes in Pierre de Fermat (1601–1665), čeprav je do-
ločene ideje v tej smeri razvijal že Nicola Oresme (1323?–1382). Geometrija
tistega časa je bila sintetična, ravninska in prostorska. Evklidska geome-
trija je veljala za neizpodbojno resnico, Evklid pa upravičeno za nepresežni
zgled strogosti v dokazovanju. Geometrijo njegovih Elementov, pa tudi Op-
tike, so uporabili pri razvoju linearne perspektive. Perspektiva (z ustrezno
skraǰsavo pravih proporcev, ki pa jih slikar mora poznati) ustvari iluzijo
124 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 4
i
i
“Kovic” — 2020/1/13 — 12:59 — page 125 — #5 i
i
i
i
i
i
Leonardo da Vinci (1452–1519) – ob petstoletnici njegove smrti: Leonardo in matematika
tridimenzionalnosti (globine) na dvodimenzionalni površini slike.1 Perspek-
tivični pogled je subjektiven, relativen, odvisen od zornega kota (od kraja,
od koder gledamo), z njim je opazovalcu (slikarju) dana pomembneǰsa vloga,
kot jo je imel dotlej.
Stare kulture niso poznale perspektivnega upodabljanja. Raziskovanje
perspektive je bilo najprej empirično (npr. že v minojski kulturi na Kreti). V
renesansi postane raziskovanje perspektive bolj teoretično: nastanejo preci-
zna pravila, kodificirane norme, sistematični traktati o uporabi perspektive
pri umetnǐskih delih. Vendar pa v umetnosti racionalni, matematični pri-
stop k perspektivi nikoli ni povsem prevladal nad empiričnim. Že v poznem
srednjem veku so se številni umetniki trudili empirično določiti pravila za
zvesto in korektno upodabljanje teles na slikah. Načela linearne perspek-
tive odkrijejo v renesansi v Italiji. Formuliral jih je Filippo Brunelleschi
(1337–1446). Leon Battista Alberti (1404–1472) je v knjigi O slikarstvu
(De pictura, napisani leta 1435 v latinščini, objavljeni šele 1450) predstavil
teorijo perspektive, ki je močno vplivala na delo renesančnih slikarjev. Pi-
ero della Francesca (1415–1492), ki ga je Vasari imenoval najbolǰsi geometer
svojega časa, je napisal De prospectiva pingendi (napisana okrog 1475), v
kateri je obravnaval matematična načela perspektive za opazovalca, ki bi
gledal z enim očesom in med gledanjem ostajal nepremičen; napisal je tudi
Trattato d’abaco (Razpravo o računanju) ter pomembno delo De quinque
corporibus regularibus (O petih pravilnih telesih). Luca Pacioli je 1498 na-
pisal razpravo o zlatem rezu (De divina proporzione). Zanjo je Leonardo
narisal okrog 60 odličnih slik pravilnih (in drugih) teles, med drugim ilu-
stracije poliedrov z votlimi lici in odebeljenimi robovi, ki omogočajo dober
vpogled v strukturo. Te ilustracije so zahtevale odlične risarske sposobnosti,
veliko dela, upoštevanje zakonov perspektive ter upodabljanja svetlobe in
senc, in so bile pomembna inovacija [11].
Leonardo perspektive v [9] ni obravnaval le matematično oz. geometrij-
sko (kot npr. Piero della Francesca), temveč je upošteval tudi sfumato (teh-
niko zamegljenih, prelivajočih se barv in barvnih odtenkov) in chiaroschuro
(tehniko uporabe svetlobe in senc za prikaz plastičnosti upodobljenih teles).
Zanj je bila perspektiva nekakšna znanost o videnju, kot jo pri svojem delu
potrebuje slikar. Leonardo je učil, da obstajajo tri vrste perspektive: line-
arna, barvna (oddaljene stvari so manj intenzivnih barv) in razblinjajoča se
(oddaljena telesa je treba zaradi vpliva zraka na videnje opazovalca nasli-
kati manj jasno). Leonardo je uporabil linearno perspektivo (z določenimi
modifikacijami zaradi velikih dimenzij slike) tudi pri Zadnji večerji.
Albrecht Dürer (1471–1528) je napisal deli Institutionem geometricarum
Libri quatuor, 1525, in Unterweysung der Messung mit dem Zirkel und Ri-
1O tem, kakšni so pravi proporci človeškega telesa, so stari Egipčani, Grki in renesančni
umetniki imeli drugačna mnenja – različne kulture imajo različne lepotne ideale.
121–131 125
i
i
“Kovic” — 2020/1/13 — 12:59 — page 126 — #6 i
i
i
i
i
i
Jurij Kovič
chtsheyt, 1528. Na dveh lesorezih je prikazal perspektograf, napravo, ki
pomaga pri risanju v perspektivi. Omenja jo že Leonardo v [9]. Perspektivo
sta kot vejo geometrije uveljavila šele Federico Commandino (1509–1575) in
Guidobaldo del Monte (1545–1607). Z njunim delom sta »perspektiva ume-
tnikov« in »perspektiva matematikov« ubrali dve različni, komplementarni
poti.
Postopoma se je iz matematičnih raziskav perspektive porodila projek-
tivna geometrija. Zanjo so zaslužni Gérard Desargues (1591–1661), Blaise
Pascal (1623–1662), Gaspard Monge (1746–1818) in Jean-Victor Poncelet
(1788–1867). Tako se je v nekaj stoletjih krog sklenil: geometrija je nav-
dihnila raziskavo perspektive v slikarstvu, ta pa je spodbudila rojstvo nove
veje geometrije, projektivne geometrije (katere osnove lahko bralec najde v
[7]).
Aritmetika
Aritmetika je bila v Leonardovem času precej elementarna. V knjigi ano-
nimnega avtorja o umetnosti računanja (L’arte de l’abaco, Treviso, 1478),
ki je bila prva tiskana matematična knjiga, so predstavljeni tipični aritme-
tični postopki tistega časa. Števila so razvrščena v kategorije numeri sem-
plici : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, numeri articuli 10, 20, 30, 40, 50, in numeri misti :
11, 12, 13 itd. To razvrstitev naj bi motiviral način izvajanja operacij mno-
ženja in deljenja [1, str. 34]. V knjigi je razloženih pet osnovnih aritmetičnih
operacij: štetje, seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje (»Numerare.
Iongere. Cavare. Moltiplicare. e Partire.«), precej pozornosti je posvečene
tudi razlagi desetǐskega zapisa, ni pa modernih znakov za aritmetične ope-
racije. Znaka +,− vpelje šele G. Widmann leta 1489, znak = R. Recorde
leta 1557, G. Oughtred pa znaka × leta 1631 in : leta 1657.
Med računskimi algoritmi, razširjenimi v Leonardovem času, je treba
omeniti množenje s podvajanjem, katerega različica je bila znana že starim
Egipčanom. Tako so npr. 124 × 35 = 4340 dobili kot vsoto števil 124,
248 = 2 × 124 in 3968 = 124 × 25, saj je 35 = 1 + 2 + 32.
Uporabljali so tudi množenje s tabelo, pri katerem se zmnožke posa-
meznih parov števk vpisuje v pravokotno tabelo, potem pa »sešteva po
diagonali« enice, desetice, stotice itd., kot kaže primer v tabeli 2.
Produkt dveh dvomestnih števil so dobili s krǐznim množenjem (»per
crocetta«), kot v primeru iz tabele 3. Najprej zmnožimo enice 8 × 6 = 48,
zapǐsemo enice 8, zapomnimo si 4 (desetice); vsota obeh produktov enic in
desetic 4×6 = 24 in 8×5 = 40 je 64; prǐstejemo ji 4 in dobimo 68. Zapǐsemo
desetice 8; zapomnimo si 6 (stotic). Zmnožku desetic 4× 5 = 20 prǐstejemo
6 in dobimo 26 (stotic), torej je rezultat 2688.
Sicer pa tedanjo aritmetiko zaznamuje boj med konservativnimi privr-
ženci računanja z abakusom (»abacisti«) in napredneǰsimi privrženci ra-
126 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 4
i
i
“Kovic” — 2020/1/13 — 12:59 — page 127 — #7 i
i
i
i
i
i
Leonardo da Vinci (1452–1519) – ob petstoletnici njegove smrti: Leonardo in matematika
1 2 4
3
5
3 4 0
4
3 6
2
5
1
0
2
0
1
4340
Tabela 2. Prikaz množenja s tabelo: 124× 35 = 4320.
48
×
56
Tabela 3. Primer križnega množenja: 48× 56 = 2688.
čunanja z indijsko-arabskimi številkami (»algoritmisti«). Indijsko-arabske
številke je vpeljal v Evropo Leonardo iz Pise (Fibonacci) (1170?–1250?) v
knjigi Liber Abaci, objavljeni leta 1202 [1, str. 38]. Decimalnega zapisa
še niso poznali, tako da npr. Leonardo rezultata deljenja 10 s 6 ni mogel
zapisati kot 1,6, temveč v obliki 1 + 46 = 1
2
3 [1, str. 44].
Leonardo in matematika
Že kot otrok je učitelju matematike zastavljal izvirna vprašanja. V šoli
se je učil matematiko za trgovsko rabo, vsestranski mojster Verrochio, pri
katerem se je med svojim vajenǐstvom sicer naučil številnih praktičnih veščin
in umetnosti, pa ga je poučil tudi o nečem globljem – o lepotah geometrije.
Do svojega 44. leta, pred srečanjem z Luco Paciolijem, je bil Leonardo
kot matematik samouk, njegovo matematično znanje pa majhno ali pomanj-
kljivo. Tako je npr. za 1212 zapisal, da je enako
1
0 , do pravilnega rezultata pri
kraǰsanju 270360 je prǐsel bolj z intuicijo kot z matematiko, pri deljenju
2
3 :
3
4
pa je sicer dobil pravilni rezultat 89 , za katerega pa je menil, da ni pravilen,
saj je večji od deljenca; to sklepanje bi bilo pravilno, če bi bil delitelj večji
od 1 [1, str. 71–72]. V Arundelskem kodeksu je primer njegovega neznanja,
kako se množijo ulomki, saj je zapisal: 24 ×
2
4 =
4
4 [1, str. 73].
121–131 127
i
i
“Kovic” — 2020/1/13 — 12:59 — page 128 — #8 i
i
i
i
i
i
Jurij Kovič
In s kakšnimi matematičnimi problemi se je ukvarjal Leonardo? Z naj-
različneǰsimi, od trivialnih do izredno težkih, nerešljivih s sredstvi, ki so bila
tedaj na voljo. Leonarda so zanimale npr. geometrijske konstrukcije. Tako
je npr. (še pred srečanjem s Paciolijem) za problem, kako včrtati pravilne n-
kotnike krogu, iskal eksaktne in aproksimativne rešitve za n = 3, 4, 5, . . . , 48.
Svojih konstrukcij pogosto ne pojasni, kjer pa pravi, da bo podal dokaz,
poda samo razlago postopkov. Neznanje latinščine in grščine ga ni oviralo,
da ne bi bral, prepisoval in komentiral preprostih odlomkov iz Evklidovih
Elementov.
Paciolijevo enciklopedijsko delo Summa de aritmetica, geometria, pro-
porzioni e proporzionalitá, ki ni bilo napisano v latinščini, je izšlo v Urbinu
leta 1493 in v Benetkah leta 1494. Leonardo si je prepisoval cele pasuse iz
te knjige, naredi celo povzetek poglavij, ki se nanašajo na teorijo razmerij.
Najbolj ga je prevzela geometrija, predvsem problem kvadrature kroga in
teorija lunic med krožnimi loki. Po njunem srečanju v Milanu leta 1494
se je Leonardo močno navdušil za matematiko. Od njega se je naučil, kaj
pomeni »dokaz« v matematiki. V uvodu traktata o anatomiji je zapisal,
po vzoru napisa nad Platonovo akademijo, naj teh zapisov ne bere, kdor ni
matematik. Vendar je matematiko razumel nekoliko po svoje, v smislu tiste
temeljne znanosti, ki daje gotovost vsem drugim. Podobne poglede razo-
deva njegova izjava, da je mehanika paradiž, v katerem matematični sadeži
dozorijo.
Posebej ga je očaral zlati rez (ki ga na daljici AB določa točka E, za
katero je AB : AE = AE : EB), saj je bil ta povezan s skrivnostjo lepega v
umetnosti, s katerim so se ukvarjali že antični slikarji, kiparji in arhitekti.
V zlatem razmerju ϕ = 1+
√
5
2
.
= 1,61 se sekajo npr. diagonale pravil-
nega petkotnika, takšno je tudi razmerje diagonale in stranice pravilnega
petkotnika. Zagotovo so ga poznali že Pitagorejci, saj je bil pentagram nji-
hovo skrivno znamenje. V zlati pravokotnik (v katerem sta si stranici v
zlatem razmerju), se da včrtati kvadrat in dobiti manǰsi zlati pravokotnik,
s ponavljanjem tega postopka pa dobimo neskončno zaporedje kvadratov,
ki se vijejo v spirali, kar spominja na lupino brodnika. Po Leonardu, ki je
ob študiju Vitruvija narisal Kanon proporcev človeškega telesa, so človekovi
proporci idealni, kadar popek deli njegovo vǐsino v zlatem razmerju. To
Leonardovo misel je povzel tudi Dürer, ki na eni od svojih študij človeškega
telesa narǐse krožni lok, ki ima sredǐsče v popku, presečǐsče tega loka z vo-
doravno tangento, ki se dotika vrha glave, pa je tudi skrajna točka, ki jo
dosežejo prsti iztegnjene roke.2 Vendar je Leonardo za zlati rez uporabljal
tudi zelo grobe približke, tako je npr. daljico dolžine 12 razdelil v razmerju
4 : 8, kar je daleč od dobrega racionalnega približka 741 : 458, ki bi ga sicer
2Od tod lahko izračunamo radij r =
√
a2 + b2, če poznamo razdaljo a od popka do
vrha glave in pravokotno projekcijo b od iztegnjene roke na vodoravno tangento.
128 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 4
i
i
“Kovic” — 2020/1/13 — 12:59 — page 129 — #9 i
i
i
i
i
i
Leonardo da Vinci (1452–1519) – ob petstoletnici njegove smrti: Leonardo in matematika
B C
D
E
A F
A1 B1
C1D1
O
T
E1
Slika 1. Zlati rez v pravilnem petkotniku AD : AF = AF : FD in konstrukcija točke E1
na daljici A1B1, stranici kvadrata A1B1C1D1, za katero je A1B1 : A1E1 = A1E1 : E1B1.
lahko dobil iz svojih računov, če bi upošteval več decimalk [1, str. 89].
Za reševanje enačb z eno neznanko je uporabljal »il metodo della falsa
posizione«, znano že iz Rhindovega papirusa, zelo popularno v renesansi,
potem pa samo še v 19. stoletju. Po tej metodi npr. enačbo x + x5 = 48
poskusimo najprej rešiti s »falsa posizione« x = 5; če to vstavimo v levo
stran, dobimo 6, kar je osemkrat manj od prave vrednosti, torej je rešitev
5 × 8 = 40.
Rad je imel (tako kot Luca Pacioli) aritmetične trike s števili. Rad je
risal vozle (z vozli se danes ukvarja matematična teorija vozlov). Narisal je
številne slike tlakovanj ravnine z nepravilnimi večkotniki (kar je področje,
na katerem so se odlikovali zlasti Arabci v umetnǐskih dekoracijah svojih ar-
hitekturnih del), vendar ga je pri tem vodil bolj umetnǐski kot matematični
navdih. Imel je zelo dobro razvito prostorsko predstavo, zato je lahko izdelal
dobre zemljevide mest in pokrajin, narisane iz ptičje perspektive. Med zani-
mivimi Leonardovimi risbami z matematično vsebino je zanimiva slika nekaj
deset kock z votlimi lici in odebeljenimi robovi, zloženimi v tridimenzionalno
strukturo, podobno kakšni Escherjevi sliki [1, str. 113].
Ukvarjal se je tudi s simetrijami rozet in kupol. »Leonardov izrek«, kot
mu ga je pripisal George E. Martin v [6], pravi (v sodobnem matematičnem
jeziku), da je grupa simetrij ravninskega lika lahko le ciklična (sestavljena
iz samih rotacij) ali diedrska (sestavljena iz rotacij in zrcaljenj).3
3Pri tem se Martin sklicuje na Hermana Weyla (1855–1955), ki pri svoji obravnavi
cikličnih grup v [10] sicer večkrat citira Leonarda, nikjer pa ne pokaže mesta, kjer bi
121–131 129
i
i
“Kovic” — 2020/1/13 — 12:59 — page 130 — #10 i
i
i
i
i
i
Jurij Kovič
Povsem postranske matematične zadeve so mu vzele strahovito veliko
časa. Potem ko je npr. ugotovil, da človekovo telo in njegovi deli v gibanju
ohranjajo prostornino, prostornina je torej invarianta pri gibanju telesa,
je vrsto let z veliko zavzetostjo študiral pretvorbe teles v telesa z enakim
volumnom in pretvorbe likov v like z enako ploščino. To je vodilo do njegovih
poskusov kvadriranja kroga, ki ga je drobil na vse manǰse trikotnike. Na ta
način ni prǐsel prav daleč.
Matematiko je visoko cenil, kot kažejo zapisi iz njegovih beležnic; uvi-
del je, da je nujna pri formulaciji naravnih zakonov in naravoslovnih teorij.
Matematiko je uporabljal v umetnosti (perspektiva, proporci človeškega te-
lesa) in naravoslovju (optika, študije osvetljenosti lune in zemlje od sonca).
Zelo spretno in domiselno jo je, v povezavi s fiziko, uporabljal tudi pri svo-
jih tehničnih izumih. Za nekatere od njih je dejansko izdelal modele in jih
preizkusil, za številne, ki so bili veliko pred časom, pa je narisal le načrt
oziroma študije. Številni njegovi izumi so bili izbolǰsave izumov, ki so jih
razvili že drugi, tako npr. film Leonardo – človek, ki je rešil znanost, pove,
da je (mnogo premajhno) padalo pred Leonardom izumil že renesančni in-
ženir Taccola, ki je z napravo skušal reševati ljudi iz gorečih hǐs. Geometrijo
je obvladal bolje kot aritmetiko, algebre praktično ni poznal (lahko bi rekli:
njegova genialnost je bila bolj »analogna« kot pa »digitalna«). Paradoks,
zakaj je bil računsko nespreten pri elementarnih aritmetičnih operacijah, pri
čemer se je tudi dostikrat zmotil, precej dobro pa se je kot matematik zna-
šel pri uporabi matematike v tehničnih izumih in v umetnosti, bi bilo treba
šele razložiti; morda je odgovor prav v njegovi vsestranskosti in zmožnosti
prehajanja med različnimi področji, ki je nepogrešljiva pri vseh praktičnih
problemih. Čeprav teoretično ni bil dorasel številnim matematičnim proble-
mom, ki se jih je lotil, pa je bil neverjetno domiseln pri zastavljanju zani-
mivih problemov in zelo uspešen pri različnih uporabah matematike. Verjel
je, da mora slikar poznati geometrijo in si z njo pomagati pri kompoziciji
svojih del, podobno kot je Platon menil, da mora filozof poznati geometrijo.
Ta njegova širina pa ni ugajala vsem. Ozko usmerjeni kritiki njegovega dela
so mu npr. očitali, da je njegova geometrija »geometrija inženirja«, njegovi
izumi pa »izumi geometra«.
Traktat o slikarstvu je Leonardo napisal v matematičnem stilu, z defini-
cijami, dokazi in ilustracijami svojih opažanj in trditev. Definicije različnih
geometrijskih pojmov so raztresene po različnih kodeksih. Ravno črto de-
finira povsem drugače kot Evklid: kot takšno, ki opǐse najkraǰso razdaljo
med dvema točkama. V »definiciji premice« pravi, da premica nima v sebi
nobene substance ali materije in je torej nekakšna duhovna entiteta (»cosa
spirituale«). V kratki razpravi »O točki« točko definira kot »kar je na ne-
kem mestu, ga pa ne zaseda« oz. v italijanskem izvirniku: »il punto e in
Leonardo dejansko dokazal ali vsaj obravnaval tak izrek [1, str. 112].
130 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 4
i
i
“Kovic” — 2020/1/13 — 12:59 — page 131 — #11 i
i
i
i
i
i
Leonardo da Vinci (1452–1519) – ob petstoletnici njegove smrti: Leonardo in matematika
sito senza occupazion il sito«. K istim temam se znova in znova vrača z no-
vimi argumenti. Privlačili so ga tudi znameniti grški problemi konstrukcij
z ravnilom in šestilom. Znameniti Délski problem podvojitve kocke »reši«
aproksimativno: kocka s stranico 4 ima 64 kock, kocka s stranico 5 ima 125
kock, 2 × 64 = 128 je približno 125. Nekje drugje pa isti problem reši na
podoben način, kot so ga že v času Platona, vendar ne z ravnilom in šesti-
lom [1, str. 93–98]. V številnih kodeksih so našli njegove izračune robov,
diagonal in površin različnih teles. Veliko časa in energije je posvetil kva-
draturi različnih krivočrtnih likov, npr. likov, ki spominjajo na Hipokratove
lunice: o tej temi je že Alberti napisal knjižico De lunularum quadratura.
V Atlantskem kodeksu je 180 slik, posvečenih reševanju problema: včrtati
bel kvadrat v črn krog, nato pa dobljene krožne segmente pretvoriti v plo-
ščinsko enake like drugačnih oblik, tako da bo razmerje med črno in belo
pobarvanimi liki ostalo konstantno. To Leonardovo delo, čeprav obarvano
s slikarskim načinom razmǐsljanja – iskanjem lepih vzorcev, vsaj po svo-
jem sistematičnem pristopu spominja na matematično raziskavo z določeno
vrednostjo, npr. na različne cenzuse grafov, koristne v teoriji grafov.
Zaključimo lahko, da se Leonardo v »čisti« matematiki ni odlikoval tako
kot na drugih področjih. Je pa prispeval nekaj zelo pomembnih inovacij,
aproksimativnih konstrukcij, ilustracij poliedrov, zanimivi so tudi njegovi
poskusi kvadriranja ukrivljenih likov, slike tlakovanj, vozlov itd. Njegova
matematika je bila predvsem geometrija, namenjena uporabi v umetnosti,
pa tudi v mehaniki, inženirstvu, optiki, tehniki itd. Še danes nam je lahko
neizčrpen navdih pri iskanju uporab matematike, predvsem geometrije, na
različnih področjih.
LITERATURA
[1] G. T. Bagni in B. D’Amore, Leonardo e la Matematica, Giunti Editore, Milano, 2006.
[2] R. Byrne, The Elements of Euclid, William Pickering, London, 1847.
[3] M. Clagett, Studies in Medieval Physics and Mathematics, Variorum Reprints, Lon-
don, 1979.
[4] W. Isaacson, Leonardo da Vinci (podnaslov: Fascinantna biografija enega največjih
genijev vseh časov), Učila International, Tržič, 2018.
[5] J. Kovič, Leonardo da Vinci (1452–1519) – ob petstoletnici njegove smrti: Renesančni
človek, Obzornik. mat. fiz. 66 (2019), 105–113.
[6] G. E. Martin, Transformation geometry, Springer-Verlag, New York, 1982.
[7] M. Mitrović, Projektivna geometrija, DMFA – založnǐstvo, Ljubljana, 2009.
[8] S. Skinner, Sacred Geometry, Sterling, New York, 2006.
[9] L. da Vinci, Traktat o slikarstvu, Studia humanitatis, Ljubljana, 2014.
[10] H. Weyl, Symmetry, Princeton University Press, Princeton, 1952.
[11] Luca Pacioli, Divina proportione, dostopno na archive.org./details/
divinaproportion00paci/page/n4, ogled 2. 6. 2019.
[12] Umetnost, Svetovna zgodovina, Mladinska knjiga, Ljubljana, 2010.
121–131 131
i
i
“Zwitter” — 2020/1/15 — 6:51 — page 132 — #1 i
i
i
i
i
i
NOBELOVA NAGRADA ODKRITELJEMA PLANETOV
DRUGIH ZVEZD
TOMAŽ ZWITTER
Fakulteta za matematiko in fiziko
Univerza v Ljubljani
PACS: 11.11.Aa
Polovico letošnje Nobelove nagrade za fiziko sta dobila Michel Mayor in Didier Queloz
z Ženevskega observatorija (slednji je tudi profesor v angleškem Cambridgeu) za »odkritje
planeta okoli Soncu podobne zvezde«. Pojasnili bomo, zakaj tako natančna formulacija
utemeljitve, dosežke nagrajencev in seveda pomen tega rezultata za plaz odkritij, ki trenu-
tno šteje 4131 planetov drugih zvezd. Z ugotovitvijo, da približno polovico zvezd v vesolju
obkrožajo planeti, ki so po velikosti podobni Zemlji, sta nagrajenca nedvomno prispevala
k bolǰsemu razumevanju našega mesta v vesolju, pa tudi dejstva, da z naše pregrevajoče
se Zemlje kljub temu ne moremo nikamor.
NOBEL PRIZE TO DISCOVERERS OF PLANETS AROUND OTHER
STARS
Half of Nobel prize for physics in 2019 goes to Michel Mayor and Didier Queloz
from the Geneva observatory (the latter is also a professor in British Cambridge) for a
»discovery of a planet around a Solar-type star«. A very careful wording of this statement
deserves clarification, which will be continued with a description of achievements of the
laureates and of their impact on an impressive series of discoveries of 4131 planets around
other stars so far. Realisation that approximately every second star in the Universe is
encircled by planet(s) of size similar to Earth is clearly a landmark result which contributes
to understanding of our place in cosmos, but nevertheless it does not change the fact that
we cannot leave our planet which is getting hotter and hotter.
Gibanje zvezd s planeti
Pri iskanju planetov okoli zvezd nas vedno, razen seveda pri našem Soncu,
moti slepeča svetloba zvezde. Tako so s slikanjem doslej odkrili le 133 pla-
netov drugih zvezd (pred letom 2004 je bilo znanih le 8 takih planetov).
Namesto iskanja skrajno temnih pik v bližini svetlih zvezd je bolje prou-
čevati gibanje zvezde same. Zvezde v naši okolici potrebujejo za en obhod
okoli osrednjega dela Galaksije približno 200 milijonov let, torej lahko pred-
postavimo, da se v času opazovanj gibljejo naravnost. Razen če gre za gra-
vitacijsko vezan sistem dveh ali več zvezd ali če je zvezda obdana s planeti.
V slednjem primeru iz tretjega Keplerjevega zakona preprosto izpeljemo,
132 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 4
i
i
“Zwitter” — 2020/1/15 — 6:51 — page 133 — #2 i
i
i
i
i
i
Nobelova nagrada odkriteljema planetov drugih zvezd
da bo planet z maso mp, ki v času P obkroži zvezdo z maso M?, povzročil
nihanje hitrosti zvezde z amplitudo
v? = (2πG)
1/3mp P
−1/3M
−2/3
? , (1)
kjer smo predpostavili, da je mp  M? in je G gravitacijska konstanta.
Kroženje planeta povzroči tudi odmike zvezde od ravne poti, ki imajo am-
plitudo
r? = (2π)
−2/3G1/3mp P
2/3M
−2/3
? . (2)
Pri meritvi je treba upoštevati tudi orientacijo tirnice v prostoru. Pri prvi
enačbi preko Dopplerjevega premika lahko merimo le projekcijo hitrostnega
vektorja na smer proti Zemlji, torej na splošno lahko določimo le spodnjo
mejo za maso planeta. Kot omenjamo spodaj, včasih orientacijo tirnice
poznamo in ta težava odpade. Tudi sicer pa je malo verjetno, da bo ravnina
tira skoraj pravokotna na smer proti Zemlji in bo tako dejanska masa veliko
večja od določene spodnje meje. Pri drugi enačbi teh težav ni. Tudi v tem
primeru namesto odmika lahko merimo le spremembo smeri proti zvezdi,
torej projekcijo tira na ravnino neba. Vendar iz časovnega poteka smeri
lahko ugotovimo dejansko obliko tira. Kot primer si zamislimo eliptično
sled na nebu: če gre za projekcijo nagnjenega krožnega tira, bo premikanje
najpočasneǰse ob obeh sekanjih velike polosi, če ima tir zares obliko elipse
in leži v ravnini neba, pa bo v enem sečǐsču hitrost največja, v drugem pa
najmanǰsa.
Žal sta vrednosti, ki ju dosegata levi strani navedenih enačb, majhni.
Naš najmasivneǰsi planet Jupiter tako ob kroženju s periodo P = 11,86 leta
povzroča Sončeve hitrostne in prostorske odmike z amplitudo 12 m/s in 1,05
Sončevega polmera. Prva številka je kar 25-milijonkrat manǰsa od svetlobne
hitrosti in je zato z meritvijo Dopplerjevega premika ni lahko izmeriti. Pri
drugi je treba upoštevati, da Sončev polmer celo na razdalji Soncu najbližje
zvezde Proksime Kentavre oklepa le kot 3,6 tisočinke ločne sekunde.
Enačbi povesta, da je lažje od Zemlji podobnih planetov odkriti take,
ki dosegajo vsaj maso Jupitra, in da jih je lažje odkriti ob zvezdah z maso,
manǰso od Sončeve. Za dopplersko odkrivanje (1) je lažje najti planete
s kratko orbitalno periodo. Ker manǰsa masa zvezde pomeni tudi manǰsi
izsev, taki bližnji planeti vsaj v nekaterih primerih niso prevroči za obstoj
tekoče vode na površju. Uporabo enačbe (2) ilustrira slika 1, ki podaja
položaj sredǐsča Sonca glede na težǐsče Osončja. Pričakujemo, da bo satelit
Gaia Evropske vesoljske agencije, ki natančno meri spreminjanje smeri, v
kateri vidimo določeno zvezdo, v prihodnjih letih razkril na tisoče planetov
drugih zvezd, večinoma z masami, primerljivimi Jupitrovi.
132–145 133
i
i
“Zwitter” — 2020/1/15 — 6:51 — page 134 — #3 i
i
i
i
i
i
Tomaž Zwitter
Slika 1. Gibanje Sončevega sredǐsča glede na težǐsče Osončja, ki je v izhodǐsču. Osi
podajata odmike v ravnini ekliptike v enotah polmera Sonca. Točke označujejo položaje
ob začetku posameznih let, osenčen krog pa je velikost in položaj Sončeve krogle 1. januarja
2020. Poglavitni vpliv na gibanje Sonca imata planeta Jupiter in Saturn. Ker bosta leta
2020 in 2040 oba v opoziciji julija oziroma aprila, bo tedaj Sonce daleč od težǐsča. λ
označuje ekliptično dolžino. Pri risanju smo uporabili efemeride [26].
Meritev Dopplerjevega premika
Cilj spektroskopske meritve je ugotoviti čim točneǰse položaje čim večjega
števila absorpcijskih spektralnih črt, ki so posledica vezano-vezanih pre-
hodov elektronov v različnih atomih v zvezdini atmosferi. Skupni drobni
premik teh črt v valovni dolžini nam preko Dopplerjevega pojava omogoča
meritev radialne hitrosti oddaljevanja oziroma približevanja zvezde.
Meritev spreminjanja radialne hitrosti zvezde, ki kaže na prisotnost pla-
neta, zahteva točnost bolǰso od približno 10 m/s. Taka meritev mora biti
ponovljiva, ni pa potrebno, da je natančna, saj nas zanima spreminjanje ra-
dialne hitrosti v obdobjih tednov ali mesecev, ne pa njena vrednost sama po
sebi. Zadostuje torej meritev časovnega spreminjanja korelacijske funkcije
spektra zvezde in primernega referenčnega spektra.
Taka meritev bo zaznala spremembe radialne hitrosti na nivoju metrov
na sekundo, ob tem pa ni rečeno, da ne bodo izmerki glede na dejansko
134 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 4
i
i
“Zwitter” — 2020/1/15 — 6:51 — page 135 — #4 i
i
i
i
i
i
Nobelova nagrada odkriteljema planetov drugih zvezd
radialno projekcijo hitrosti težǐsča zvezde sistematično zamaknjeni tudi za
100 m/s ali več [24]. Zamik je posledica zlasti dveh procesov: (i) Kot prvo
je tu konvekcija, ki, podobno kot pri našem Soncu, poteka v površinskih
plasteh večine zvezd, ob katerih ǐsčemo planete. Vroč plin se v konvektivni
plasti dviga, hladneǰsi pa spušča. Ker je nastanek spektralnih črt odvisen
od temperature, odražajo Dopplerjevi premiki teh črt poleg hitrosti težǐsča
zvezde tudi konvektivne premike. Večinoma so črte močneǰse v bolj vročem
plinu, zato njihovi Dopplerjevi premiki odražajo dviganje z nekaj 100 m/s
in s tem zamik proti kraǰsim valovnim dolžinam. (ii) Svetloba z zvezde na
poti z močno gravitacijsko vezane površine do opazovalca doživi gravitacij-
ski rdeči premik. Za zvezdo Sončevega tipa je ta premik za zelo oddaljenega
opazovalca enak 636 m/s, na splošno pa je odvisen od mase in velikosti
zvezde, ki ju poznamo z omejeno točnostjo. Omenjena procesa imata pra-
viloma sicer nasproten predznak, vendar se med sabo povsem ne izničita.
K sreči pa se za zvezde brez izbruhov ali močnih magnetnih polj v obdobju
do nekaj let ne spreminjata s časom. Tako dejanske radialne hitrosti težǐsča
zvezde sicer ne poznamo, še vedno pa lahko merimo njeno spreminjanje. Pri
interpretaciji podatkov je seveda treba upoštevati, da smo opazovali z vrteče
se Zemlje, ki kroži okoli težǐsča Osončja. Vendar to ni resneǰsi problem, saj
ustrezno radialno komponento hitrosti lahko izračunamo s točnostjo bolǰso
od 1 cm/s [23], pri čemer je glavni vir napake efektivni čas opazovanja [9],
saj se prosojnost Zemljine atmosfere stalno spreminja.
Leta 1942 rojeni Michel Mayor je vso svojo kariero namenil izbolǰseva-
nju točnosti spektroskopov. Z Andréjem Barannom sta leta 1981 razvila
instrument CORAVEL [3]. Radialno hitrost opazovane zvezde je določil
iz odčitkov fotopomnoževalke, ki je zabeležila, koliko svetlobe je v gorǐsčni
ravnini prepustila premična kovinska plošča z režami, ki so uokvirjale priča-
kovane položaje spektralnih črt. Za zvezde podobne Soncu so tako dosegli
točnost 300 m/s, kar je omogočalo proučevanje številnih dvojnih zvezd, ni
pa zadoščalo za odkrivanje planetov.
V devetdesetih letih se jima je pridružil še Mayorjev doktorski študent
Didier Queloz. Leta 1993 so na francoskem Observatoire de Haute-Provence
zgradili spektroskop ELODIE [4], ki je prinesel napredek na štirih podro-
čjih: (1) svetlobo so vanj speljali z optičnimi vlakni, kar je pomenilo manǰse
izgube svetlobe kot pri klasičnem Coudéjevem vmesniku, obenem pa je in-
strument lahko deloval na optični mizi v kontroliranih pogojih; (2) uporabili
so običajni stopničasti spektroskop, ki pa so ga zelo pazljivo skalibrirali; (3)
namesto fotopomnoževalke so uporabili digitalni ploskovni detektor CCD;
(4) za korelacijsko analizo so namesto plošče z režami uporabili računalnǐski
algoritem.
132–145 135
i
i
“Zwitter” — 2020/1/15 — 6:51 — page 136 — #5 i
i
i
i
i
i
Tomaž Zwitter
Slika 2. Shema stopničastega spektroskopa ELODIE [4]. S teleskopom zbrano svetlobo
v spektroskop pripeljemo z optičnim vlaknom (levo spodaj), nato jo po odboju na zrcalu
razklonimo z gosto interferenčno mrežico, katere reže so postavljene navpično. Tako do-
bimo v vodoravni smeri razklonjeno sled, v kateri pa se v isti smeri širi svetloba različnih
interferenčnih redov. Te ločimo s kombinacijo prizme in grizme z vodoravno nanizanimi
režami, ki rede razmakneta v navpični smeri. Svetlobo končno z lečami zberemo na de-
tektorju CCD, ki je na vrhu skice.
Preprosti spektroskopi z interferenčno mrežico točkasto sliko zvezde raz-
klonijo v sled, vzdolž katere se spreminja valovna dolžina. Tak način ni učin-
kovit, saj je zabeležena sled relativno kratka in zato s primerno točnostjo
lahko pokrije le skromen razpon valovnih dolžin in tako zabeleži položaje
le majhnega števila spektralnih črt. Stopničasti spektroskop (fr. echelle)
svetlobo zvezde razkloni dvakrat (glej sliko 2): najprej z zelo gosto interfe-
renčno mrežico v zelo visokem interferenčnem redu, spektroskop ELODIE
beleži svetlobo med 90. in 156. interferenčnim redom1. Žal se vsi ti redi pre-
krivajo, zato jih ločimo s še enim razklonilnim elementom, ki svetlobo rahlo
razklanja v smeri pravokotni na prvotni razklon. V spektroskopu ELODIE
so za drugi razklon uporabili kombinacijo prizme in grizme, to je prizme, ki
ima na eni od površin še interferenčno mrežico. Rezultat je 156−90+1 = 67
skoraj vzporednih sledi, ki lepo pokrivajo površino detektorja CCD in omo-
gočajo visokoresolucijsko (λ/∆λ ∼ 40.000) meritev spektra v območju va-
lovnih dolžin med 390,6 in 681,1 nm. Na skupaj približno 67.000 točkah
za zvezdo podobno Soncu zabeležimo ∼ 5000 spektralnih črt. To omogoča
1Pot svetlobe med sosednjima režama se na poti do gorǐsča spektroskopa razlikuje za
90 do 156 valovnih dolžin.
136 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 4
i
i
“Zwitter” — 2020/1/15 — 6:51 — page 137 — #6 i
i
i
i
i
i
Nobelova nagrada odkriteljema planetov drugih zvezd
meritev radialne hitrosti s točnostjo ' 15 m/s. Na teleskopu s premerom
primarnega zrcala 1,93 m je za zvezdo 9. magnitude za to potrebna polurna
osvetlitev. Tako je bil ELODIE leta 1993 daleč najtočneǰsi in najučinkovi-
teǰsi astronomski spektroskop.
Odkritje planeta ob zvezdi 51 Pegaza
Mayor in Queloz sta se takoj lotila sistematičnega opazovanja 142 Soncu
podobnih zvezd, za katere so s spektroskopom CORALIE preverili, da so
enojne in brez izbruhov ali pulzacij, ki bi zaradi časovno spremenljivega
prispevka lahko kontaminirale meritev radialne hitrosti. Med njimi je bila
tudi zvezda 51 v ozvezdju Pegaza, ki ima enako površinsko temperaturo
kot Sonce in je za ∼ 30 % večja od njega. Na razdalji 15,47 pc oziroma
50,45 svetlobnih let (ki jo po zaslugi Gaje poznamo na 0,2 % natančno) je
ta zvezda z magnitudo V = 5,46 na meji vidnosti s prostim očesom.
Slika 3. Spreminjanje radialne hitrosti zvezde 51 Peg z orbitalno fazo Φ, ki čas meri v
enotah obhodnega časa. Ta graf, ki ga razložimo z obstojem Jupitru podobnega planeta,
ki to zvezdo obkroži v 4,23 dneva, je avtorjema Mayorju in Quelozu prinesel Nobelovo
nagrado. Povzeto po [13].
Queloz je v meritvah radialne hitrosti zaznal rahla, vendar hitra niha-
nja z amplitudo 59 m/s in periodo 4,229 dneva. Zadnja vrednost je bila
povsem nepričakovana, saj imajo planeti v našem Osončju veliko dalǰse ob-
132–145 137
i
i
“Zwitter” — 2020/1/15 — 6:51 — page 138 — #7 i
i
i
i
i
i
Tomaž Zwitter
hodne čase. Celo Merkur za en obhod potrebuje 88 dni. Torej se je potožil
mentorju, da nikakor ne najde napake, ki bi razložila čudni rezultat.
Mayor je razumel, za kaj gre, in tako sta 23. novembra 1995 v reviji
Nature objavila odkritje planeta z maso vsaj polovice Jupitra, ki kroži okoli
Soncu podobne zvezde (slika 3). Planet bi bil lahko tudi nekoliko bolj ma-
siven, saj ni nujno, da Zemlja leži v orbitalni ravnini planeta in je tako
amplituda radialne komponente manǰsa od dejanske hitrosti zvezde. Ven-
dar pa je statistično neverjetno, da bi masa nevidnega telesa dosegala 13
Jupitrovih mas. V tem primeru bi bilo to telo na spodnji meji objektov, ki
jim pravimo zvezde in ki energijo pridobivajo z jedrskim zlivanjem. Konkre-
tno zvezdam z masami med približno 13 in 80 masami Jupitra pravimo rjave
pritlikavke, ki vsaj nekaj časa v svojih sredicah spajajo devterij in vodik v
3He, masivneǰse med njimi spajajo tudi litij.
Odkritje planeta je že pred objavo potrdila skupina G. Marcyja na Ha-
vajih, leta 2015 pa so opazili tudi rahel presežek v spektru svetlobe, kadar je
planet skoraj za zvezdo in odbija proti nam nekaj njene svetlobe [11]. Tako
so lahko ugotovili, da je smer proti Zemlji le 10+19−10 stopinj od orbitalne rav-
nine planeta, in da je posledično njegova masa določena na 0,46+0,06−0,01 mase
Jupitra. Ker je od svoje zvezde oddaljen le 8 milijonov km, je vroč in zato
nekoliko napihnjen, z dvojnim Jupitrovim polmerom. Leta 2015 je Med-
narodna astronomska zveza planet poimenovala Dimidium, ki v latinščini
pomeni polovica in je sklic na planetovo maso.
Predzgodovina
Kot je to pogosto, imajo pomembna odkritja svojo predzgodovino. Tako je
že leta 1989 David Latham, ki je bil leta 1986 moj profesor na poletni šoli
Vatikanskega observatorija, objavil odkritje, da ob zvezdi HD 114762 kroži
telo, ki bi bilo po masi lahko rjava pritlikavka, torej zvezda, ali masivni pla-
net [10]. Žal mu točnost meritve ni omogočala, da bi se odločil med obema
možnostma. Čeprav se je kasneje izkazalo, da gre za planet, s prvenstvom
in Nobelovo nagrado ni bilo nič.
Še pred tem je leta 1988 Fruchter s sodelavci objavil, da je ob pulzarju
PSR 1957+20 spremljevalka z maso, ki dosega le nekaj odstotkov mase
Sonca [7]. Kljub majhni masi, ki bi jo uvrščala med planete, so imeli spre-
mljevalko za zvezdo, ki pa je v bližini hitro vrtečega se pulzarja izgubila že
skoraj vso snov. Tako ta objekt razumemo tudi danes. Nato je leta 1991
Bailes s sodelavci objavil [2] odkritje planeta z desetkratno maso Zemlje, ki
kroži okoli pulzarja PSR 1829-10. Naslednje leto sta sledila Wolszczan in
138 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 4
i
i
“Zwitter” — 2020/1/15 — 6:51 — page 139 — #8 i
i
i
i
i
i
Nobelova nagrada odkriteljema planetov drugih zvezd
Frail in objavila [22] odkritje dveh planetov okoli pulzarja PSR 1257+12.
Pulzarji so izjemno kompaktne nevtronske zvezde, ki imajo ob masi ∼ 1,4
mase Sonca polmer le ∼ 10 km. Ker se zelo hitro vrtijo in imajo močna ma-
gnetna polja, je radijska svetloba, ki jo sevajo v polju pospešeni elektroni,
modulirana z rotacijsko periodo. Pulzar PSR 1257+12 se zavrti 160-krat v
sekundi, Wolszczan in Frail pa sta opazila, da radijski pulzi včasih nekoliko
zamujajo ali prehitevajo. Opaženo sta lahko razložila s prisotnostjo dveh
planetov z masama 2,8 in 3,4 mase Zemlje.
Kljub temu da je obstoj teles planetnih mas v okolici teh nevtronskih
zvezd nesporen, Nobelov odbor odkritij ni nagradil. Vzroka sta verjetno
dva. Kot prvo so ta odkritja ostala relativno osamljena, saj danes poznamo
le 16 planetov okoli pulzarjev, kar je malo v primerjavi z več kot 4000 planeti
okoli Soncu podobnih zvezd, ki v svojih sredicah spajajo vodik v helij [25].
Kot drugo pa so ta telesa sicer planetnih mas, vendar z zelo drugačnim na-
stankom in razmerami, kot vladajo na planetih običajnih zvezd. Pulzarski
planeti so verjetno nastali iz materiala, ki je ostal v okolici kljub divji eksplo-
ziji supernove, ki iz sredice masivne zvezde rodi nevtronsko zvezdo. Kako
je to mogoče, ne vemo, kar pa ni nič presenetljivega, saj imamo pri takih
eksplozijah opraviti s skrajno neravnovesnimi razmerami, izjemno močnimi
magnetnimi polji in odsotnostjo preprostih simetrij. Tudi razmere na teh
telesih so kaj nenavadne: menda bi zadostovalo okoli ekvatorja takega pla-
neta speljati žico, pa bi se v njej inducirala dovolj visoka napetost, da ne
bi bilo težav s proizvodnjo električne energije. Če vas seveda ne bi takoj
scvrlo.
Nadaljnji razvoj odkrivanja planetov
Spektroskopu ELODIE so z znatnim prispevkom Queloza in Mayorja sledili
še točneǰsi nasledniki, z imeni CORALIE in HARPS. Slednji dosega točnost
0,9 m/s, torej je valovno dolžino sposoben meriti na 9 decimalnih mest. To
omogoča odkrivanje planetov po masi podobnih Zemlji (glej npr. [19]). Z
meritvijo periodičnih nihanj radialne hitrosti zvezde so doslej odkrili skupaj
863 planetov okoli 640 zvezd [25]. V srečnih primerih je mogoče spektro-
skopsko tudi analizirati odbito zvezdno svetlobo [11] in po vpijanju zvezdine
svetlobe v atmosferi planeta, ko je ta pred zvezdo, določiti tudi kemično se-
stavo atmosfere [20]. Pričakujemo, da se bo analiza atmosfer planetov v
naslednjem desetletju močno razmahnila, saj bo leta 2024 v Čilu začel z
opazovanji teleskop ELT Evropskega južnega observatorija, ki bo s primar-
nim zrcalom s premerom 39 m presegel skupno zbiralno moč vseh sedanjih
teleskopov.
132–145 139
i
i
“Zwitter” — 2020/1/15 — 6:51 — page 140 — #9 i
i
i
i
i
i
Tomaž Zwitter
Leta 1999 se je opisanim metodam odkrivanja planetov drugih zvezd
pridružila doslej najuspešneǰsa med njimi, saj smo z njo doslej zaznali kar
2969 planetov ob 2230 različnih zvezdah [25]. Če je smer proti Zemlji dovolj
natančno poravnana z ravnino tira planeta, se planet po enkrat na orbitalni
obhod za nekaj ur znajde med zvezdo in Zemljo in nam tedaj pokrije majhen
del ploskvice zvezde. Zato je zvezda med prehodom planeta preko ploskvice
videti malenkost temneǰsa. V osnovi je to klasična metoda, ki medsebojne
periodične mrke uporablja za odkrivanje dvojnih zvezd, vendar jo je bilo za
odkrivanje planetov težko uporabiti, saj ti lahko pokrijejo le majhen delež
zvezdine svetlobe. Pri Jupitru, ki je desetkrat manǰsi od Sonca, bi taka
zvezda potemnela za 1 %, če pa je v igri planet Zemljine velikosti, torej še
desetkrat manǰsi, pade gostota svetlobnega toka le za 0,1 h. Tako točnost
je z Zemljinega površja težko doseči, saj nas moti spremenljiva prosojnost
Zemljine atmosfere. Odkrivanje prehodov planetov preko zvezdnih ploskvic
se je zato polno razmahnilo šele s specializiranimi astronomskimi sateliti.
Francoskemu COROT-u [1] je sledil izjemno uspešni Nasin satelit Kepler
[5], ki ga je sedaj nasledil TESS [15], sredi prihodnjega desetletja pa upamo
na misijo PLATO [14] Evropske vesoljske agencije.
Slika 4. Zvezda Trappist-1 ima 7 planetov. Levo je narisan sij zvezde, merjen s Spi-
tzerjevim vesoljskim teleskopom, ko se pred njo giblje označeni planet. Polne točke so
posamezne meritve, prazne pa so povprečja preko časovnih oken. Vse krivulje razen zgor-
nje so navpično zamaknjene. Desno so narisane tirnice planetov, astronomska enota je
razdalja Zemlje od Sonca. Osenčen kolobar je območje temperatur, ki dopušča obstoj
tekoče vode na planetovi površini. Povzeto po [8].
Prehod preko ploskvice nam omogoča meritev velikosti planetov. Če
nam jo uspe združiti z meritvijo nihanja radialne hitrosti zvezde, ki nam da
140 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 4
i
i
“Zwitter” — 2020/1/15 — 6:51 — page 141 — #10 i
i
i
i
i
i
Nobelova nagrada odkriteljema planetov drugih zvezd
maso planeta, lahko izračunamo povprečno gostoto planeta. Tako prehodi
preko ploskvice lepo pokažejo, da gre res za planetna telesa gostote vode ali
malo več, nikakor pa ne za kaj bolj eksotičnega, recimo za črne luknje pla-
netnih mas. Slednje bi imele pri masi Jupitra Schwarzschildov polmer enak
le 2Gmp/c
2 = 3 m, kar je seveda odločno premalo za zaznavno zatemnitev
zvezdine ploskvice. Se pa izjemoma zgodi, da se planet giblje natanko pred
drugo zelo oddaljeno zvezdo (ne pred tisto, na katero je gravitacijsko ve-
zan). V tem primeru zaradi gravitacijskega lečenja vidimo ojačitev svetlobe
zvezde v ozadju.
Vse opisane metode imajo zmožnost odkrivanja zvezd z več planeti. Pre-
cej izjemen primer je zvezda Trappist-1, Sneguljčica obdana s sedmimi palčki
na poravnanih tirih s planetnimi polmeri med 0,75 in 1,13 Zemljine velikosti
[8]. Ker so si planeti tudi zelo blizu (slika 4), se med seboj dovolj gravitacij-
sko motijo, da so lahko izmerili, da so njihove mase med 0,4 in 1,4 Zemljine.
Ker ima ta zvezda 2000-krat manǰsi izsev od Sončevega, so kljub bližini
zvezde ravnovesne temperature znosne, med 170 in 400 K, torej bi bila na
štirih od teh planetov na površju lahko tekoča voda. Zvezda Trappist-1 je
z razdaljo 40 svetlobnih let relativno blizu Zemlji, torej le malo manj od
desetkratne razdalje do najbližje zvezde za Soncem, Proxime Kentavra, ob
kateri so tudi že odkrili planet.
Populacijska analiza
Trenutno poznamo 4133 planetov, torej so lastnosti celotnega vzorca bolj
zanimive od posameznih primerov. Slika 5 kaže obhodne čase in ocene mas
planetov. Označene so lastnosti poznanih planetov, ne pa vseh planetov v
neki prostornini v vesolju. Tako je težko odkrivati planete z dolgimi ob-
hodnimi časi, saj moramo variacije radialnih hitrosti opazovati vsaj eno
orbitalno periodo, pri prehodih preko ploskvice pa moramo zabeležiti vsaj
tri dogodke, da vemo, za kaj gre. Diagram je torej na desni močno nepo-
poln. Podobno je lažje opaziti masivni in s tem relativno veliki planet, na
diagramu torej šele odkrivamo Zemljine dvojnike. Ko primerjamo položaj
posameznih planetov s tistimi v našem Osončju, bi kdo lahko zmotno skle-
pal, da so vsi planeti s kratkimi periodami tako blizu svoji zvezdi, da je na
njih izjemno vroče. To je pogosto res, vendar je veliko opazovanih zvezd
po izsevu precej temneǰsih od Sonca, torej omogočajo obstoj tekoče vode
na planetovem površju tudi za zelo bližnje planete. Lep primer je zgoraj
omenjeni sistem sedmih planetov okoli zvezde Trappist-1.
Slika 5 je torej posledica naših še vedno skromnih zmožnosti odkrivanja
planetov. Vendar je tudi vrh ledene gore, ki že gleda iz vode, precej presene-
132–145 141
i
i
“Zwitter” — 2020/1/15 — 6:51 — page 142 — #11 i
i
i
i
i
i
Tomaž Zwitter
Slika 5. Obhodni časi in mase planetov za objekte odkrite z metodo radialnih hitrosti (•,
enačba (1)), prehodov preko zvezdne plokvice (•), astrometrije (+, enačba (2)), meritve
pulzarjev (×) in slikanja (2). Za radialne hitrosti je narisana spodnja meja mase, pri
prehodih preko ploskvice pa je masa planeta ocenjena iz njegovega polmera po zvezi
M = R2, kjer sta obe količini v enotah Jupitra. Označeni so tudi položaji planetov
našega Osončja.
tljiv. Vsekakor nihče ni pričakoval, da bomo odkrivali planete, ki obkrožijo
svojo zvezdo v vsega nekaj dneh. Njihov nastanek razumemo kot kombina-
cijo dveh ali treh mehanizmov: prvi je nastanek in situ, pri čemer je moral
biti protoplanetarni disk precej drugačen od tistega, ki je botroval našemu
Osončju. Drugi je radialna migracija, ko resonančni mehanizmi med planeti
povzročajo postopno izgubo vrtilne količine nekaterih planetov in s tem nji-
hov premik bližje zvezdi. Zadnji je Kozai-Lidov mehanizem, ko planet na
oddaljeni krožni orbiti povzroči, da drug planet v krožni, vendar nagnjeni
orbiti postopoma preide na precej sploščeno, vendar manj nagnjeno tirnico.
Taka sploščena tirnica je potem lahko nastavek za radialno migracijo. Re-
lativni pomen teh treh mehanizmov je še nejasen [21].
Pomen resonanc med orbitalnimi periodami planetov opazimo tudi ne-
142 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 4
i
i
“Zwitter” — 2020/1/15 — 6:51 — page 143 — #12 i
i
i
i
i
i
Nobelova nagrada odkriteljema planetov drugih zvezd
posredno. Tako za planete Jupitrovih mas vidimo presežek parov planetov,
ki imajo orbitalne periode v razmerju 2 : 1 [21], medtem ko pri planetih z
manǰsimi masami takega presežka ni. Za planete, ki so po masi podobni
Jupitru, lahko tudi trdimo, da so lastnosti njihovih zvezd podobne kot pri
zvezdah brez planetov: če ima zvezda maso manǰso od 1,16 Sončeve, se
vrti počasi, tako kot naše Sonce, in je njena vrtilna os približno poravnana
z normalo na tirnico (Sončeva vrtilna os oklepa z normalo le kot 6o). Za
zvezde z večjo maso je porazdelitev nagibov skoraj izotropna, take zvezde
se tudi hitreje vrtijo [21]. Meja pri 1,16 Sončeve mase ustreza spremembi v
strukturi zvezde: zvezde z manǰso maso imajo debele konvektivne ovojnice,
kar omogoča nastanek močnih magnetnih polj, ki vplivajo tudi na proto-
planetarni disk, medtem ko se v zvezdah z večjo maso v zunanjih plasteh
energija lahko prenaša le s sevanjem. Tudi lastnosti planetnih tirov so od-
visne od mase: pri planetih Jupitrovih mas opazimo tudi močno sploščene
tire. Vendar so zelo eliptični tiri še zlasti prisotni okoli zvezd, ki imajo v
svojih atmosferah veliko kemičnih elementov težjih od helija. Vnapreǰsnja
meritev kovinskosti zvezd je torej pomembna za izbor tarč, ki jih opazujejo
tekoči projekti, kot je TESS. Primeri rezultatov takih raziskav, ki smo jih
opravili s spektroskopom HERMES v Avstraliji, so opisani v [17], [6] in [18].
Kot smo omenili, je verjetnost za odkritje planeta odvisna od njegovega
položaja na sliki 5. Možnost za uspeh je najlažje ovrednotiti za planete, ki
jih odkrivamo po spremenljivi radialni hitrosti zvezde, saj se hitrost take
zvezde stalno spreminja in je načeloma merljiva, če le normala na orbitalno
ravnino ne kaže skoraj natanko proti Zemlji, kar pa je malo verjetno. Ti
preprosti geometrijski vplivi prinesejo ugotovitev, da z lahkoto odkrijemo
vse planete v zgornjem levem kotu slike, medtem ko je naša uspešnost spodaj
desno zanemarljivo majhna. Torej ni težko ugotoviti, kolikšen delež zvezd
bi imel planete, če bi nam uspelo odkriti prav vse. Kot rezultat lahko
povzamemo [12], da približno vsako deseto zvezdo podobno Soncu obkroža
planet podoben Jupitru, ki ima obhodni čas kraǰsi od nekaj let. Če pa se
omejimo na planete z masami manǰsimi od 30 Zemljinih mas in obhodnim
časom kraǰsim od enega leta, jih najdemo okrog vsake druge zvezde podobne
Soncu. Torej so planeti, ki so po velikosti podobni Zemlji, v vesolju res
pogosti.
Sklep
Delo, ki sta ga z uvedbo novih metod in prvimi odkritji opravila nagrajenca,
je jasno pokazalo, da so zvezde obdane s planeti pravilo in ne izjema. Ob
doslej odkritih 4131 planetih okoli drugih zvezd je jasno, da ima večina zvezd
132–145 143
i
i
“Zwitter” — 2020/1/15 — 6:51 — page 144 — #13 i
i
i
i
i
i
Tomaž Zwitter
na nočnem nebu ob sebi vsaj še kakšen planet.
Ob tem imajo včasih prav tudi pisci znanstvene fantastike: poznamo
vsaj 8 primerov, ko planet kroži okoli dvojne zvezde. Zanimivo je, da je
njegova lokacija praviloma na komaj dovolǰsnji razdalji, da je tak trojni
sistem stabilen in posledično planet ne doživi bližnjega srečanja z eno od
zvezd, kar bi se navadno končalo z izvrženjem planeta, ki ne bi bil več
gravitacijsko vezan. Tak prosto leteči nekdanji planet bi bilo seveda težko
odkriti, nekaj možnosti je le, če bi se planet za kraǰsi čas natanko poravnal
s smerjo proti oddaljeni zvezdi in bi potem svetlobo te oddaljene zvezde
zaradi gravitacijskega lečenja planeta za nekaj ur videli ojačeno.
Z odkrivanjem planetov okoli drugih zvezd Zemlja postaja vedno bolj
običajen svet. Vseeno pa je za nas edinstven, saj je do prvega primerljivega
enostavno predaleč. Za primerjavo: če bi hoteli proti najbližji zvezdi za
Soncem poslati vesoljsko plovilo, ki bi se z obiska vrnilo v 80 letih, bi moralo
potovati tja in nazaj s približno desetino svetlobne hitrosti. Tudi če bi imeli
idealen vesoljski pogon, ki bi deloval s 100-odstotnim izkoristkom, bi morali
za po dve pospeševanji in zaviranji na poti do tja in nazaj za vsako tono
naše vesoljske ladje porabiti toliko energije, kot je celotno človeštvo porabi
v 2 dneh. Seveda ena tona za 80-letno potovanje ni dovolj. Misija Apollo
11, ki se je za 10 dni odpravila le do Lune, je ob startu z Zemlje tehtala 3039
ton. Torej ne bomo nikamor šli, preprosto nimamo energije za kaj takega.
Lahko sklenemo, da se moramo ob množici planetov in vedno bolǰsem
razumevanju nastanka in razvoja vesolja tudi končno začeti zavedati, kako
nujno se je treba takoj lotiti reševanja podnebne krize, ki jo povzročamo na
naši in za nas edini Zemlji.
LITERATURA
[1] A. Baglin, COROT: A minisat for pionnier science, asteroseismology and planets
finding, Advances Space Research 31 (2003), 345–49.
[2] M. Bailes, A. G. Lyne in S. L. Shemar, A planet orbiting the neutron star PSR1829-10,
Nature 352 (1991), 311–13.
[3] A. Baranne, M. Mayor in J. L. Poncet, Coravel – A new tool for radial velocity mea-
surements, Vistas in Astronomy 23 (1979), 279–316.
[4] A. Baranne, D. Queloz, M. Mayor, idr., ELODIE: A spectrograph for accurate radial
velocity measurements, Astronomy & Astrophysics Suppl. 119 (1996), 373–390.
[5] W. J. Borucki, idr., Kepler Planet-Detection Mission: Introduction and First Results
Science 327 (2010), 977–80.
[6] S. Buder, idr., The GALAH Survey: second data release, Mon. Not. R. Astr. Soc. 478
(2018), 4513–4552.
[7] A. S. Fruchter, D. R. Stinebring in J. H. Taylor, A millisecond pulsar in an eclipsing
binary, Nature 333 (1988), 237–39.
144 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 4
i
i
“Zwitter” — 2020/1/15 — 6:51 — page 145 — #14 i
i
i
i
i
i
Nobelova nagrada odkriteljema planetov drugih zvezd
[8] M. Gillon, idr., Seven temperate terrestrial planets around the nearby ultracool dwarf
star TRAPPIST-1, arXiv:1703.01424; tudi Nature 542 (2017), 456–60.
[9] S. Halverson, idr., A comprehensive radial velocity error budget for next generation
Doppler spectrometers, Proc. of the SPIE 9908 (2016), id. 99086, str. 20.
[10] D. Latham, idr., The unseen companion of HD114762: a probable brown dwarf, Na-
ture, 339 (1989), 38–40.
[11] J. H. C. Martins, idr., Evidence for a spectroscopic direct detection of reflected light
from 51 Pegasi b, Astronomy & Astrophysics 576 (2015), A134, str. 9.
[12] M. Mayor, idr., The HARPS search for southern extra-solar planets XXXIV. Occur-
rence, mass distribution and orbital properties of super-Earths and Neptune-mass pla-
nets, arXiv:1109.2497 (2011), str. 23.
[13] M. Mayor in D. Queloz, A Jupiter-mass companion to a solar-type star, Nature 378
(1995), 355–359.
[14] H. Rauer, idr., The PLATO 2.0 mission, Experimental Astronomy, 38 (2014), 249–
330.
[15] G. R. Ricker, idr., Transiting Exoplanet Survey Satellite (TESS), J. Astr. Telescopes
Instruments & Systems 1 (2015), id. 014003, str. 10.
[16] S. Udry, idr., The HARPS search for southern extra-solar planets. XI. Super-Earths
(5 and 8 M⊕) in a 3-planet system, Astronomy & Astrophysics 469 (2007), L43–47.
[17] S. Sharma, idr., The TESS-HERMES survey data release 1: high-resolution spectro-
scopy of the TESS southern continuous viewing zone, Mon. Not. R. Astr. Soc. 473
(2018), 2004–2019.
[18] S. Sharma, idr., The K2-HERMES Survey: age and metallicity of the thick disc,
Mon. Not. R. Astr. Soc. 490 (2019), 5335–5352.
[19] S. Udry, idr., The HARPS search for southern extra-solar planets. XI. Super-Earths
(5 and 8 M⊕) in a 3-planet system, Astronomy & Astrophysics 469 (2007), L43–47.
[20] A. Vidal-Madjar, idr., Magnesium in the atmosphere of the planet HD 209458 b: ob-
servations of the thermosphere-exosphere transition region, Astronomy & Astrophysics
560 (2013), A54, str. 15.
[21] J. N. Winn in D. C. Fabrycky, The Occurrence and Architecture of Exoplanetary
Systems, Annual Review Astr. Astrophys. 53 (2015), 409, str. 41.
[22] A. Wolszczan in D. A. Frail, A planetary system around the millisecond pulsar
PSR1257 + 12, Nature 355 (1992), 145–47.
[23] J. T. Wright in J. D. Eastman, Barycentric Corrections at 1 cm s−1 for Precise
Doppler Velocities, Pub. Astr. Soc. Pacific 126 (2014), str. 838.
[24] T. Zwitter, idr., The GALAH survey: accurate radial velocities and library of observed
stellar template spectra, Mon. Not. R. Astr. Soc. 481 (2018), 645–654.
[25] Exoplanet Encyclopaedia, dostopno na exoplanet.eu, ogled 26. 11. 2019.
[26] JPL Horizons System, dostopno na ssd.jpl.nasa.gov/horizons.cgi, ogled 23. 11.
2019.
132–145 145
i
i
“Razpet” — 2020/1/9 — 11:41 — page 146 — #1 i
i
i
i
i
i
IZ ZGODOVINE
Spomini na študijska leta in profesorja Plemlja
Ob 50. obletnici smrti akademika profesorja dr. Josipa Plemlja in 100. oblet-
nici ustanovitve ljubljanske univerze, katere prvi rektor je bil, je na Semi-
narju za zgodovino matematičnih znanosti prǐslo do pobude, da bi zbrali
nekaj spominov nekdanjih študentov na svoja študentska leta in na svoje
profesorje. Vabilu, da naj nekaj o tem napǐsejo, so se prijazno odzvali častni
članici DMFA Slovenije prof. Jožica Dolenšek in prof. Martina Koman ter
žal že pokojni prof. Marjan Vagaja, prejemnik priznanja DMFA Slovenije.
Pridobljeno gradivo sva pod prispevkom zapisana uredila in popravila nekaj
manǰsih napak.
Oglejmo si nekaj zbranih dragocenih spominov. Navedeni so v vrstnem
redu glede na pripovedovalčevo letnico vpisa na ljubljansko univerzo.
Martina Koman: Moji spomini na študijska leta 1950–1954
Spomini na matematiko
Matematika mi v gimnaziji ni delala preveč težav. Zadnja štiri leta so to
izkoristili profesorji in so mi priskrbeli dosti inštrukcij iz matematike. Zato
pri vpisu na univerzo nisem oklevala. Matematika je imela še eno prednost.
Ker je matematikov zelo primanjkovalo, je bila služba praktično zagoto-
vljena. Brucevske težave so se začele že pri vpisu: kako pravilno izpolniti
indeks. Matematiko I smo poslušali skupaj s študenti drugih fakultet: s
fiziki in tehniki. Matematiko je tisto leto v prvem letniku predaval prof.
Plemelj. Začel je tako preprosto z osnovnimi aksiomi, da je nepotreben
strah že prvo uro izginil. Učni programi in način dela na univerzi se je
začel spreminjati v letih mojega študija. Takrat še ni bilo nobenih pogo-
jev za vpis v naslednji letnik, izjema so bili štipendisti. Diplomska izpita
A in B sta vključevala vso matematiko, ki smo jo poslušali v štirih letih.
Pred diplomo je bilo treba narediti izpite iz drugih predmetov: fizike, me-
hanike, astronomije. Vendar pa je bilo nujno potrebno sprotno učenje, če
si hotel predavanja dobro izkoristiti. V prvem letniku še ni bilo nobenih
ustreznih učbenikov v slovenščini. Učbenika Vǐsja matematika I in Vǐsja
matematika II prof. Vidava sta izšla kasneje. Uporabljali smo učbenike v
srbohrvaščini. Poceni in kvalitetne učbenike v ruščini je bilo možno kupiti
kasneje. Predavanja prof. Plemlja so bila zelo kvalitetna. Ker je govoril po-
146 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 4
i
i
“Razpet” — 2020/1/9 — 11:41 — page 147 — #2 i
i
i
i
i
i
Spomini na študijska leta in profesorja Plemlja
časi in samo bistvene stvari, se je zlahka dalo zapisovati njegova predavanja.
Najbolj se spomnim vpeljave praidealov. Nemoč dosedanje matematike je
izrazil s stavkom: »Vse je padlo v vodo.« Enkrat se je zmotil in namesto
koren iz minus pet je rekel »koren iz minus fünf.« Pri tem se je ustavil, se
nasmehnil in nas vprašal: »Ali ste slǐsali, kaj sem rekel?« Danes, ko bolje
poznam pozabljivost starostnikov, je bil lapsus za prof. Plemlja redek signal
njegovih let. Še ta dogodek. Ko je bil pri vajah pri tabli kolega, ki je pisal
praktično nečitljivo in ni upošteval Plemljeve zahteve, da naj pǐse lepše, se
je na koncu razjezil in dejal: »Boste popoldan ostali tu, da vas bom naučil
čitljivo pisati.« Kolikor vem, te grožnje ni uresničil. Prof. Plemelj je res
poskrbel in izkoristil vsako malenkost, da so bila njegova predavanja čim
bolj razumljiva. Zadnji dve leti (morda tudi tri leta) mojega študija je bil
božič že delovni dan. Študentje smo se dogovorili, da na predavanja ne
bomo prǐsli. Ko smo naslednji dan, 26. decembra, že čakali na predavanja,
pride kolega in reče: »Jaz sem še vedno praznično razpoložen. Ali gremo
domov?« Takoj smo ga ubogali in zapustili predavalnico. Po pripovedova-
nju kolega je OZNA poizvedovala pri profesorjih, koliko študentov je bilo za
božič na predavanjih. Prof. Plemelj jim ni hotel povedati z utemeljitvijo,
da za študente predavanja niso obvezna. Pri predavanju prof. Plemelj ni
omenil naše odsotnosti. Profesor astronomije Fran Dominko je to priložnost
izkoristil in nam razložil, da je božič v bistvu praznik astronomije: »Dies
natalis solis invicti – Rojstni dan nepremagljivega Sonca.« Merjenje časa
določa Sonce. Vsak dan opoldan je Sonce najvǐsje na nebu. Vǐsina Sonca
na nebu se spreminja, najvǐsje je Sonce poleti, pozimi pa najnižje. Ko so
astronomi po zimskem solsticiju ugotovili, da vǐsina Sonca na nebu počasi,
toda vztrajno narašča, so se upravičeno razveselili in praznovali. Cerkev je
temu prazniku dodala svoj pomen: rojstvo Jezusa. V letih mojega študija je
prof. Plemelj praznoval dva redka jubileja, ne samo v slovenskem prostoru,
temveč kar v svetovnem merilu. Ko sem bila, če me spomin ne vara, v tre-
tjem letniku, je prof. Plemelj predaval že stoti semester. V četrtem letniku
pa je praznoval svoj 80. rojstni dan. Seveda smo se teh jubilejev spomnili
tudi študentje v matematičnem seminarju. Ko je obujal spomine na svoje
delo, je med drugim rekel: »Ker sem vse življenje bil med mladimi, se tudi
jaz nisem tako hitro staral.«
Anekdota o prof. Vidavu. Pred izpitom je šel študent Tomo Skubic
vprašat, kaj je treba znati za izpit. Prof. Vidav mu je odgovoril: »Nič, če
hočete pasti.«
Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 4 147
i
i
“Razpet” — 2020/1/9 — 11:41 — page 148 — #3 i
i
i
i
i
i
Iz zgodovine
Spomini na fiziko
Fiziko 1 nam je v prvem letniku skupaj s študenti tehničnih fakultet predaval
prof. Anton Peterlin. Vodil je tudi vaje. Nekoč je študenta, ki je hotel
na tablo zapisati integral, poučil: »Ne pǐsite integralov, saj ne veste, kaj
pomenijo.« Naslednji študent, ki je na tablo pisal vaje, je dobro znal, tako
da je prof. Peterlin pokazal, da je zadovoljen z njegovim znanjem. Zataknilo
se je, ko bi moral zapisati integral. Pa mu je nekako začudeno pomagal prof.
Peterlin: »To se vendar zapǐse z integralom.« Študent pa mu je pojasnil:
»Saj sem hotel zapisati z integralom, pa se nisem upal, ker ste rekli, naj
ne pǐsemo integralov.« Prof. Peterlin se je samo zasmejal, dobra volja ga ni
minila.
Moj izpit iz fizike 2 je potekal takole. Predavanja iz fizike 2 je imel prof.
Anton Moljk. Po končanih predavanjih je odšel za dalj časa v Ameriko. Izpit
smo delali pri prof. Ivanu Kuščerju. Izpit smo delali skupaj s tehničnimi
fiziki. Čakali smo kar v predavalnici, kjer smo delali izpite. Najprej so
odgovarjali fiziki. Prof. Kuščer se je jezil zlasti takrat, ko mu niso znali
snovi, ki je bila objavljena v Obzorniku. Zelo sem si želela, da ga ne bi
razjezila tudi jaz. Na vprašanje, kaj je jedrska izomerija, sem mu pravilno
odgovorila: »To so atomi z istim vrstnim številom in z različno maso.« Na
vprašanje, ali je ta pojav že razjasnjen, mu nisem znala odgovoriti. Rekla
sem: »Ne vem, zame še ni.« Na tako natančen odgovor se je samo posmejal.
Pri naslednjem vprašanju se je prof. Kuščer zmotil, ko je dal pripombo za
računanje integrala za povprečno hitrost molekul v plinu: »Ta integral se
izračuna s substitucijo.« Pa ga popravim: »Ne, gre per partes.« Začudeno
je pogledal proti mojemu pravilnemu popravku, izpit sem uspešno opravila.
Marjan Vagaja: Pripoved o prof. Plemlju
Ko sem se jeseni 1951 vpisal v prvi letnik študija matematike na ljubljanski
univerzi, nas je bruce prvi dan pouka sprejel prof. Plemelj v spremstvu
asistenta Križaniča. Izprašal nas je, kakšne ocene smo imeli iz matematike
na srednji šoli. Vsi smo bili odlični, le eden prav dober. Nato je rekel: »Prav
dober? To ni nič. Za vas ostale (odličnjake) pa je veliko vprašanje, če bo
kaj iz vas.« Nadalje ga je zanimalo, ali smo se v srednji šoli učili o odvodu in
integralu, tako kot sta na primer obravnavana v predvojni Kunčevi knjigi.
Nobeden od nas te snovi ni poznal, ker takrat ni bila v učnem programu
148 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 4
i
i
“Razpet” — 2020/1/9 — 11:41 — page 149 — #4 i
i
i
i
i
i
Spomini na študijska leta in profesorja Plemlja
slovenskih srednjih šol. Smerni koeficient tangente smo na primer določali
z limitnim procesom. Profesor Plemelj je nato pripomnil: »No, dobro, vas
vsaj niso nič narobe naučili.« Naj ob tem še pripomnim, da takoj po vojni
v srednjih šolah sploh nismo imeli ne takega ne drugačnega učbenika za
matematiko. Učitelji so nam po navadi kar narekovali domače naloge iz
svojih zapiskov.
V drugem letniku smo prvič srečali matematični seminar, ki je bil sicer
skupen za drugi, tretji in četrti letnik. V resnici je bil to zelo pomem-
ben predmet. Na njem smo ponavljali in utrjevali snov, ki smo jo slǐsali
pri predavanjih, tako da smo na tabli reševali naloge z danega matematič-
nega področja. Tako smo z vajami preverjali svoje znanje, izpopolnjevali
matematično mǐsljenje, profesor pa je tako že pred izpiti spoznal naše spo-
sobnosti. Ko smo se v drugem letniku prvič prikazali na seminarju, nas
je nagovoril študentski kolega Tomo Skubic, tedaj slušatelj četrtega letnika.
Povedal nam je, da na seminarju v skladu s tradicijo hodijo k tabli izključno
študentje drugega letnika, in to utemeljil takole: »Mi stareǰsi se ne smemo
blamirati, vi novinci pa se še lahko.« Ta metoda je dobro delovala, »žrtve«
smo bili drugošolci, ki smo po abecedi hodili k tabli reševat naloge. Spo-
minjam se samo enega primera, ko smo drugošolci kolektivno izostali od
seminarja; tedaj so hočeš nočeš morali k tabli naši kolegi iz vǐsjih letnikov.
Vedno je bil na seminarju navzoč tudi prof. Plemelj, ki nas je pri tem opra-
vilu nadziral in nam pogosto tudi pomagal. Seveda ni bil nič kaj zadovoljen,
če nam reševanje ni šlo. Nekoč se kolega ni spomnil, kako se razstavi izraz
an − bn, zato se je profesor zelo razburil in izjavil, da »je to škandalozno«.
Če je kdo delal pred tablo večje neumnosti, ga je seveda poslal v klop in na
vrsti je bil naslednji.
Nekoč je prof. Plemelj na seminarju zagledal v prvi vrsti dva nova obraza
in ju vprašal »Kaj pa vidva?« Odgovorila sta: »Ja, prepisala bi se rada iz
gradbenega oddelka na matematiko.« Z njunim odgovorom pa profesor ni
bil zadovoljen: »Hm, če bi bilo obratno, da bi se prepisala z matematike
na gradbenǐstvo, potem bi razumel. Tako kot vidva želita, pa ne bo šlo.«
Naslednji dan sta bila spet prisotna. Po profesorjevi pripombi: »Kaj vidva
tukaj sploh še ǐsčeta?!« ju potem ni bilo več na spregled.
Prof. Plemelj je, kot pravi Gorenjec, vedno rad hodil v gore, in to še v
razmeroma visoki starosti. Ko je v začetku petdesetih let moja generacija
začela študirati matematiko, je bil star že skoraj osemdeset let, pa se je v
družbi še podal v Julijce, a na sam Triglav mu po letu 1950 ni več uspelo
Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 4 149
i
i
“Razpet” — 2020/1/9 — 11:41 — page 150 — #5 i
i
i
i
i
i
Iz zgodovine
priti. Spominjam se, da so se nekoč odpravili v triglavsko pogorje skupaj
Plemelj, Kuščer, Vidav in Moljk, a so prǐsli le do Kredarice. Od njih je
bil najbrž Vidav najmanj vnet planinec. Ko smo ga namreč po vrnitvi
vprašali, ali bi se še povzpel na Triglav, je odgovoril: »Zakaj pa? Saj nisem
tam ničesar pozabil.« Z leti se je prof. Plemlju starost seveda čedalje bolj
poznala in tudi predaval je bolj počasi. Včasih se je moral med predavanjem
za hip ustaviti. Da bi prikril svojo utrujenost, si je ob takih trenutkih dal
opraviti s kakšno rožo v cvetličnem lončku ali s kakšnim drugim razlogom
za kratek premor. Študentje takrat nismo vedeli, da je trpel tudi za čirom
na želodcu in se je zato moral strogo držati diete.
Prof. Plemelj nam je v drugem letniku predaval algebro s teorijo števil,
v tretjem letniku diferencialne enačbe in variacijski račun in v četrtem le-
tniku teorijo analitičnih funkcij. To je bil njegov stalni triletni cikel vǐsje
matematike. Drug tak cikel smo poslušali pri prof. Vidavu: osnove geome-
trije (afino, projektivno in neevklidsko geometrijo), diferencialno geometrijo
ter kritični uvod v infinitezimalni račun. Oba profesorja sem imel tudi na
diplomi: julija leta 1955 sem opravil prvi del, ki je obsegal geometrijo, al-
gebro s teorijo števil in uvod v infinitezimalni račun, 4. novembra 1955 pa
še drugi del (diferencialne enačbe in variacijski račun ter teorijo analitič-
nih funkcij). Obakrat smo pisali tudi klavzurno nalogo in potem opravili
še ustni izpit. Na ustnem diplomskem izpitu me je prof. Plemelj vprašal
razcep števila na praštevila in izražanje analitičnih funkcij v okolici singu-
larnih točk. Prof. Vidav pa mi je zastavil vprašanja o metriki v projektivni
geometriji, o Riemannovem tenzorju ter o družini krivulj z dano fleksijsko
in torzijsko ukrivljenostjo.
Prof. Plemlja sem med študijem večkrat srečal oziroma ga dohitel na
poti iz Gradǐsča na univerzo. Med potjo sva se pogovarjala o matematiki;
marsikaj mi je sam povedal, pa tudi vprašal sem ga to in ono iz snovi, ki
smo jo poslušali preǰsnji dan. Po diplomi z njim nisem imel več osebnih
stikov. Po dekretu sem bil namreč postavljen za profesorja matematike na
gimnaziji v Postojni, nato sem moral za leto dni še k vojakom; kasneje pa
tudi ni bilo več priložnosti.
Navkljub prej opisanim zdravstvenim in starostnim nadlogam je prof.
Plemelj ostal dolgo telesno in duševno čil. Spominjam se njegovega opti-
mizma: ko je praznoval svojo 80-letnico, bilo je to na začetku našega tre-
tjega letnika, je ob študentskih čestitkah izjavil: »Jaz sem kot ptič feniks,
ki vstane iz pepela. Sklenil sem, da bom dočakal 100 let.«
150 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 4
i
i
“Razpet” — 2020/1/9 — 11:41 — page 151 — #6 i
i
i
i
i
i
Spomini na študijska leta in profesorja Plemlja
Na žalost mu to ni uspelo, saj je umrl maja 1967 v 94. letu starosti.
Najprej je ležal na mrtvaškem odru v avli univerze, kjer so mu kolegi in bivši
študentje držali častno stražo. Na pokopalǐsču je pri slovesu o pokojnem
tovarǐsu profesorju govoril Križanič, pri grobu pa Vidav, ki je povedal, da
je imel ob njegovem vpisu na univerzo prof. Plemelj za seboj že dve tretjini
življenja, in poudaril, da si je z rešitvijo Riemannovega problema postavil
trajen spomenik.
Jožica Dolenšek: Spomini na prof. dr. Josipa Plemlja
Na matematiko v Ljubljani sem se vpisala v šolskem letu 1956/57. Tisto
leto se je na to smer vpisalo veliko študentov, več kot 20. Prvi nas je prǐsel
pozdravit prof. dr. Josip Plemelj. Zbrani smo bili v veliki matematični
predavalnici na Kongresnem trgu. Rekel je, da se nas je preveč vpisalo na
matematiko. Svetoval nam je, naj se prepǐsemo na druge fakultete. »Vem,
da ste pridni in boste drugod uspešni. Matematika pa zahteva več kot
pridnost.« Nekaj študentov je upoštevalo profesorjev nasvet in so se res
prepisali na druge smeri študija. A še vedno smo bili po številu študentov
močan letnik.
Zelo se me je dotaknila profesorjeva točnost prihodov na predavanja.
Nikoli ni zamujal. Na predavanje je prihajal do minute natančno. Tudi po
predavanju je iz predavalnice odhajal ob točno določeni uri. Ob tem je tudi
vedno končal s snovjo tiste ure. Mene se je to zelo dotikalo, saj smo imeli
iz srednje šole, in že tudi z univerze, tudi drugačne izkušnje. Ko sem bila
kasneje učiteljica, sem vedno pazila, da sem točno prihajala v razred in da
s podalǰsevanjem ure nisem dijakom jemala odmora. V lepem spominu so
mi ostala tudi Plemljeva predavanja. Predaval je enostavno in razumljivo.
Nikoli se ni zapletel pri dokazih. Njegova predavanja so bila kot pesem.
Tudi prek težjih dokazov je šel kot občudovalec v cvetočem parku.
Zahvala
Pričujoči članek je nastal na podlagi besedil, ki so jih skrbno pripravili Igor
Mezgec, Milan Hladnik in Seta Oblak po razgovorih z Martino Koman,
Marjanom Vagajo in Jožico Dolenšek. Vsem iskrena hvala za trud.
Marko in Nada Razpet
Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 4 151
i
i
“porociloObcniZbor” — 2020/1/14 — 7:51 — page 152 — #1 i
i
i
i
i
i
VESTI
Sedemdeset let DMFA Slovenije, 72. občni zbor DMFA Slovenije
Tokratno srečanje DMFA Slovenije je potekalo 27. in 28. septembra 2019
na Bledu v hotelu Bled Rose. Ker smo praznovali 70-letnico društva, so ob
občnem zboru potekali še drugi dogodki:
• 1. mednarodna konferenca o poučevanju matematike, fizike in astrono-
mije
• Women of mathematics on the Mediterranean shores
• Srečanje mladih raziskovalcev
Med dogajanjem na Bledu so si udeleženci lahko ogledali tudi 11 plakatov,
s katerimi smo obeležili nekatere dejavnosti društva.
Za vsebinski del konference je skrbel programski odbor konference v se-
stavi: Aleš Mohorič, predsednik, Sandra Cigula, Ciril Dominko, Darjo Felda,
Andreja Gomboc, Boštjan Kuzman, Barbara Rovšek, Nataša Vaupotič in
Blaž Zmazek. Za organizacijo konference pa je bil zadolžen organizacijski
odbor v sestavi: Andrej Guštin, predsednik, Marjeta Kramar-Fijavž, Aleš
Mohorič in Nada Razpet.
Organizatorki konference Women of mathematics on the Mediterranean
shores sta bili Marjeta Kramar-Fijavž in Jasna Prezelj, ki sta skupaj z Anjo
Petković poskrbeli tudi za mlade raziskovalce v matematiki. Barbara Rovšek
pa je k sodelovanju na 1. konferenci o poučevanju matematike, fizike in
astronomije povabila še mlade raziskovalce v fiziki.
V tem poročilu se bomo osredotočili le na 1. mednarodno konferenco
o poučevanju matematike, fizike in astronomije in na občni zbor DMFA
Slovenije.
Program mednarodne konference je potekal v petek dopoldan v eni sek-
ciji, popoldan in v soboto pa smo se razdelili v dve sekciji, razen pri plenarnih
predavanjih, ki so bila skupna za vse udeležence mednarodne konference.
Povzetki predavanja so objavljeni na spletu in v Biltenu, zato bomo
našteli le naslove predavanj in njihove predavatelje.
Kot je že tradicija, smo tudi letos k sodelovanju na občnem zboru po-
vabili prejemnika Zoisovih priznanj. Letošnja vabljena predavatelja sta bila
prof. dr. Martin Milanič, prejemnik Zoisovega priznanja 2017 za pomembne
znanstvene dosežke na področju diskretne matematike, in prof. dr. Saša
Prelovšek Komelj, dobitnica Zoisovega priznanja 2018 za pomembne do-
sežke na področju teoretične fizike osnovnih delcev.
152 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 4
i
i
“porociloObcniZbor” — 2020/1/14 — 7:51 — page 153 — #2 i
i
i
i
i
i
Sedemdeset let DMFA Slovenije, 72. občni zbor DMFA Slovenije
Prof. dr. Martin Milanič je izvedel polurno predavanje z naslovom Pro-
blemi dominacije v grafih, ki je med poslušalci vzbudilo veliko zanimanje,
ker je predavatelj opozoril na praktično uporabo teorije grafov.
Prof. dr. Saša Prelovšek Komelj pa je predavala o Kvarkih, močni sili
ter običajnih in neobičajnih hadronih. Ne prav lahko temo ji je uspelo
predstaviti na poljuden način in obenem opozoriti na pomen takih raziskav.
Plenarna vabljena predavanja na konferenci so imeli:
• Péter Juhász, Institute of Mathematics, Hungarian Academy of Scien-
ces, Budapest, Hungary, Mathematical talent nurturing with the Pósa
method;
• Marián Kireš, Faculty of Science Pavol Jozef Šafárik, University in Ko-
šice, Student skills and physics teacher professional development within
Young Physicists’ Tournament;
• Hrvoje Mesić, Udruga PRIRODOPOLIS, Zagreb, Hrvaška, Ionizirajoče
- neionizirajoče;
• Grzegorz Stachowski, Kraków Pedagogical University, Kraków, Poland,
International Olympiad on Astronomy and Astrophysics.
Program konference so zapolnila sekcijska predavanja:
• Anka Arko in Vesna Božič, Formativno spremljanje v podporo učenja
ulomkov in trikotnikov v 7. razredu;
• Jurij Bajc, Ali potrebujemo NPZ iz fizike?
• Tadina Bence Virág, Matematični časopis;
• Marija Blažič, Formativno s Pitagoro in IKT;
• Dolores Bončina, S preiskovanjem do ploščine in obsega;
• Mitja Bončina, Uporaba aplikacije Classflow pri pouku matematike;
• Jerneja Bone, Naloge z utemeljevanjem na Nacionalnem preverjanju
znanja iz matematike;
• Aljaž Božič, Inovativni pristop k pripravam na tekmovanje;
• Nataša Brlič, Delo z nadarjenimi učenci pri matematiki na OŠ Pesnica;
• Dragica Čander, Spletna učilnica in ocenjevanje domačega dela pri fiziki
v OŠ;
• Monika Čemažar, Avto na vodik in gorivna celica;
• Milan Černel, Poskočna poštevanka;
• Matjaž Črček, Delo z nadarjenimi dijaki pri astronomiji;
• Helena Derstvenšek, Problemski pouk;
Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 4 153
i
i
“porociloObcniZbor” — 2020/1/14 — 7:51 — page 154 — #3 i
i
i
i
i
i
Vesti
• Petra Drnovšček, Svetlobno onesnaženje;
• Marija Ermenc, Kako navdušiti nadarjene in manj nadarjene za astro-
nomijo in jih uspešno pripraviti na tekmovanje;
• Andreja Eršte, Globoko nebo pod drobnogledom;
• Sergej Faletič, Gorazd Planinšič, Marisa Michelini in Alberto Stefanel,
Znanstveno raziskovanje v šolskem laboratoriju, kako?
• Milan Gaberšek, Delo z matematično nadarjeno učenko;
• David Gajser, MaRS, Matematični tabor za tekmovalce in netekmo-
valce;
• Danijela Gerkšič Blatnik, Uporaba matematičnega znanja v gospodar-
stvu;
• Jadranka Golčer, Socrative pri matematiki;
• Alojz Grahor, Kako do ideje za raziskovalno nalogo iz matematike?
• Danjela Gustinčič, Talesova odprta učilnica;
• Andrej Guštin, Tekmovanje iz znanja astronomije in stalna strokovna
usposabljanja učiteljev;
• Jelka Hedžet, Matematično in drugo raziskovanje na drugi;
• Tea Horvat, Alenka Lipovec in Blaž Zmazek, Evalvacija i-učbenika za
matematiko v osnovni šoli: razmerje in podobnost;
• Tanja Jagarinec, Modeliranje prostega padanja papirnatih krožnikov z
upoštevanjem sile upora;
• Marko Jagodič, Načrtovanje, izvedba in učinek samostojnega razisko-
valnega dela nadarjenih dijakov pri fiziki;
• Nina Jereb, Prosti pad in drugi meti v opazovalnem sistemu, ki se giblje
z g;
• Marko Juretič, Pouk v naravi in tabor preživetja – medpredmetno ce-
lostno učenje v neformalnem naravnem okolju;
• Leon Jurčić, Examples of good practice in use of low cost experiments
in physics classroom;
• Aleksandar Jurǐsić in Mojca Mikac, Aplikacija eQuiz za interaktivno
učenje;
• Mojca Kosi, Delo z nadarjenimi učenci pri interesnih dejavnostih raz-
vedrilna matematika in logična pošast;
• Hanka Lebič, Na začetku je bilo število – medpredmetna povezava ma-
tematike in angleščine;
154 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 4
i
i
“porociloObcniZbor” — 2020/1/14 — 7:51 — page 155 — #4 i
i
i
i
i
i
Sedemdeset let DMFA Slovenije, 72. občni zbor DMFA Slovenije
• Biserka Ledinšek, Spremljanje nadarjenih dijakov in rezultati tekmova-
nja iz znanja metematike;
• Tinka Majaron, Čudovita statistika;
• Tanja Manfreda, Pouk verjetnosti in znameniti paradoksi;
• Urška Markun, Raziskovalno delo v programu mednarodne mature;
• Nejc Mežnar in Barbara Rovšek, Eksperimentalna naloga za deveto-
šolce z državnega tekmovanja v znanju fizike 2019: analiza naloge in
rezultatov;
• Alenka Mravljak, Socrative pri pouku fizike;
• Margareta Obrovnik Hlačar, Učenje z raziskovanjem in projektnim so-
delovalnim delom;
• Irena Olenik, Matematična igra: Vesolje v barvah;
• Nataša Pavšič, Delo z nadarjenimi učenci na področju matematike;
• Mateja Pogorelc, Brihtna glava se v naravi zabava;
• Ines Potočnik, Igrarije v matematiki;
• Marjana Sitar, Pomen dobre priprave za izvedbo astronomskih opazo-
vanj;
• Urša Strenčan, Analiza naloge z navori z državnega tekmovanja osmo-
šolcev;
• Aleš Toman, Evropske statistične igre in spodbujanje statistične pisme-
nosti pri matematiki;
• Brigita Vahen, Učilnica pobega (Escape classroom);
• Milena Valentan, Učenje astronomije s pomočjo zgodbe in giba;
• Samo Zanjkovič, Zbiralne leče;
• Tadeja Zorč Čarga, Pravilni večkotniki;
• Marinka Žarn, Matematična bralna pismenost in znanje poštevanke;
• Adela Žigert, Posodobitev pouka in popularizacija fizike s projektom
EDU-ARCTIC;
• Sašo Žigon, Hitri (instant) poskusi pri pouku fizike.
Na konferenci so svoje raziskovalno delo na poljuden način, razumljiv širši
publiki osnovno- in srednješolskih učiteljev fizike, predstavili tudi štirje
mladi raziskovalci v fiziki. Predavali so:
• Mimoza Naseska, Ultrafast spin density wave dynamics in iron-based
pnictides at intense optical pulse excitation;
• Gregor Pirnat, Mikrolaserji kot biosenzorji;
Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 4 155
i
i
“porociloObcniZbor” — 2020/1/14 — 7:51 — page 156 — #5 i
i
i
i
i
i
Vesti
• Jan Rozman, Mehanski model organoidov;
• Jaka Vodeb, Kvantno računalnǐstvo.
V petek po večerji je gost s Hrvaškega Hrvoje Mesić komentiral in pri-
kazal niz zanimivih eksperimentov, ki so ilustrirali resnice in neresnice o
sevanju v vsakdanjem življenju.
Konferenca se je zaključila v soboto v zgodnjih večernih urah. Do konca
je vztrajalo lepo število udeležencev konference, ki so bili z njo zelo zado-
voljni in upajo, da bo postala tradicionalna. Če že ne vsakoletna, pa vsaj
bienalna.
72. Občni zbor DMFA Slovenije
Občnega zbora, ki je potekal 27. septembra 2019, se je udeležilo 68 članov
DMFA (od tega 12 članov upravnega odbora DMFA Slovenije in 6 častnih
članov).
Dnevni red:
1. Otvoritev
2. Izvolitev delovnega predsedstva
3. Društvena priznanja
4. Poročila o delu društva
5. Razprava o poročilih
6. Vprašanja in pobude
7. Računovodsko in poslovno poročilo DMFA Slovenije za leto 2018
8. Nadomestne volitve
9. Razno
Ad 1. Ker je ob 17.30 prisotnih manj kot polovica članov DMFA Slove-
nije, začne občni zbor v skladu s 16. členom Pravil DMFA Slovenije z delom
ob 18.00.
Ad 2. V delovno predsedstvo so izvoljeni: predsednik Mitja Rosina,
člana Neža Mramor Kosta in Gregor Dolinar, zapisnikar Janez Krušič. Ove-
rovatelja zapisnika sta Marko Razpet in Matjaž Željko.
Delovni predsednik najprej pozdravi udeležence občnega zbora. Še po-
sebej Dušana Modica, udeleženca ustanovnega občnega zbora leta 1949, ki
156 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 4
i
i
“porociloObcniZbor” — 2020/1/14 — 7:51 — page 157 — #6 i
i
i
i
i
i
Sedemdeset let DMFA Slovenije, 72. občni zbor DMFA Slovenije
v kraǰsem nagovoru obudi spomine na ustanovitev društva in svoje kasneǰse
delovanje v njem.
Z minuto molka se občni zbor pokloni spominu na v zadnjem letu premi-
nule člane: Etbina Brasa, Angela Česnika, Franca Hočevarja, Štefana Kirna,
Marjana Vagajo, Marka Vakslja ter Stanislava Vrhovca.
Ad 3. Novi častni član DMFA Slovenije
Za častnega člana DMFA Slovenije je imenovan profesor Frederick Dun-
can Michael Haldane, teoretični fizik, prejemnik Nobelove nagrade za
fiziko leta 2016.
Utemeljitev prebere Zvonko Trontelj.
Društvena priznanja
Komisija za društvena priznanja je letos prejela štiri predloge. Vsi so kva-
litetni in ustrezno utemeljeni. Priznanje DMFA za leto 2019 prejmejo:
• Sašo Strle, UL FMF, za kvalitetno in požrtvovalno urednǐsko delo pri
društvenih publikacijah;
• Kristijan Kocbek, Prva gimnazija v Celju, za izjemno uspešen mate-
matični krožek in mentorstva mladim tekmovalcem in tekmovalkam;
• Jožef Senekovič, OŠ Bojana Ilicha Maribor, za izjemne uspehe pri
mentorstvih mladim raziskovalcem ter bogato strokovno dejavnost na
področju matematike;
• Margareta Obrovnik Hlačar, OŠ Louisa Adamiča v Grosupljem, za
navduševanje mladih in bogato strokovno dejavnost na področju fizike
in naravoslovja.
Utemeljitve prebereta Barbara Rovšek in Boštjan Kuzman.
Ad 4. O številu članov (stanje na dan 25. 9. 2019) poroča Janez Krušič:
788 individualnih članov in 115 članov prek kolektivnega članstva oddelkov
na IJS. V letu 2019 se je v društvo včlanilo 25 novih individualnih članov,
115 članov prek kolektivnega članstva, izstopilo je 20 članov, umrlo je 7
članov, zaradi neplačevanja članarine je članstvo prenehalo štirim članom.
Poročila o delu društva so objavljena v biltenu 72. občnega zbora, ki je
dostopen tudi na društveni domači strani: www.dmfa.si/ODrustvu/Doku-
menti/OZ2019-Bilten.pdf. (Udeleženci občnega zbora so ga dobili tudi v
tiskani obliki.) Dodatnih poročil ni.
Ad 5. Poročila so sprejeta brez dodatnih razprav.
Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 4 157
i
i
“porociloObcniZbor” — 2020/1/14 — 7:51 — page 158 — #7 i
i
i
i
i
i
Vesti
Ad 6. Potrjen je sklep upravnega odbora z dne 18. 6. 2019 o vǐsini
prijavnine na tekmovanja.
Prijavnina z vštetim DDV za šolsko leto 2019/2020 znaša:
• za tekmovanja, ki se končajo z mednarodno olimpijado (MaSŠ-A, FiSŠ,
astronomija SŠ) je prijavnina na najnižji stopnji 2,90 EUR;
• za vsa druga tekmovanja v organizaciji DMFA Slovenije pa 1,70 EUR.
• Za udeležbo na vǐsjih stopnjah tekmovanja prijavnine ni.
Ad 7. O sklepih nadzornega odbora poroča Janez Krušič:
• pravilnost finančnega poslovanja za leto 2018 je nadzorni odbor ugotovil
na svoji seji 15. 3. 2019;
• z delom upravnega odbora je nadzorni odbor vseskozi seznanjen, bodisi
s prisotnostjo na sejah bodisi z zapisniki sej upravnega odbora.
• Podatki iz bilance stanja in izkaza poslovnega izida za leto 2018:
Prihodki 314.079 EUR
Stroški 310.530 EUR
Poslovni izid 3.549 EUR
Saldo 31. 12. 2018 79.475 EUR
Računovodsko in poslovno poročilo DMFA Slovenije za leto 2018 je
soglasno sprejeto.
Ad 8. Z delom v upravnem odboru DMFA Slovenije je na svojo željo
prenehala dr. Maja Remškar – predsednica Slovenskega odbora za fiziko.
Za nadomestnega člana je predlagan dr. Martin Klanǰsek, raziskovalec
na IJS, ki je soglasno izvoljen.
Ad 9. O organizacijskih pripravah in vsebini 8. evropskega matematič-
nega kongresa, ki bo od 5. do 11. julija 2020 v Portorožu, poročata Boštjan
Kuzman in Amalija Žakelj. (Podrobnosti so na www.8ecm.si/.)
Občni zbor je bil zaključen ob 19.15.
Pripravila Janez Krušič in Nada Razpet
158 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 4
i
i
“porociloPrezelj” — 2020/1/14 — 7:52 — page 159 — #1 i
i
i
i
i
i
Srečanje »Women of mathematics on the Mediterranean shores« na Bledu in Srečanje
mladih raziskovalcev v matematiki
Srečanje »Women of mathematics on the Mediterranean shores«
na Bledu in Srečanje mladih raziskovalcev v matematiki
V okviru Občnega zbora ob 70-letnici DMFA, ki je potekal med 27. in
28. septembrom 2019 na Bledu, je Odbor za ženske pri DMFA pod vod-
stvom Marjete Kramar Fijavž organiziral mednarodno konferenco z naslo-
vom Women of mathematics on the Mediterranean shores [1], ki jo je spre-
mljalo tudi Srečanje mladih raziskovalcev v matematiki. Srečanji sta bili
namenjeni popularizaciji raziskovalne matematike med mladimi s poudar-
kom na prikazu različnih uspešnih kariernih poti izbranih matematičark,
ter medsebojnemu spoznavanju med doktorskimi in podoktorskimi študenti
matematike iz vseh treh slovenskih univerz. Hkrati to predstavlja tudi prvo
raziskovalno srečanje slovenskih matematičark.
Slika 1. c©Noel Tovia Matoff
Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 4 159
i
i
“porociloPrezelj” — 2020/1/14 — 7:52 — page 160 — #2 i
i
i
i
i
i
Vesti
Imeli smo devet vabljenih predavanj z različnih matematičnih področij:
• Valentina Beorchia, Universita’ degli Studi di Trieste, Geometry of al-
gebraic fibred surfaces with vector bundles techniques,
• Dijana Ilǐsević, University of Zagreb, On isometries and projections on
some Banach spaces,
• Sofia Labropoulou, NTU Athens, Greece, The theory of knotoids and
braidoids and applications in proteins,
• Neža Mramor Kosta, Univerza v Ljubljani, Topology and data,
• Sylvie Paycha, University of Potsdam, on leave from the University
Clermont-Auvergne, Are locality and renormalisation reconcilable?,
• Eszter Sikolya, Eötvös Loránd University, Budapest, Introduction to a
semigroup approach for dynamical networks,
• Biljana Stamatović, University of Donja Gorica, Cellular automata ba-
sed algorithms,
• Betül Tanbay, Boǧaziçi University Istanbul, How do Pure States extend?
A story about the Kadison-Singer problem,
• Helga Wagner, Johannes Kepler University Linz, Bayesian treatment
effects modeling of earnings effects of maternity leave.
Z namenom razširitve razstave Women of mathematics throughout Eu-
rope – A gallery of portraits [2] smo izbrane predavateljice na srečanju
tudi intervjuvali in portretirali. Avtorici razstave sta matematičarka Sylvie
Paycha, ki opravlja intervjuje, in fotografinja Noel Tovia Matoff. Razstava
je bila prvič postavljena na 7. Evropskem matematičnem kongresu leta 2016
v Berlinu in je od takrat gostovala že v več kot 70 mestih po Evropi in svetu.
V sklopu 8. Evropskega matematičnega kongresa, ki bo potekal julija 2020
v Portorožu [3], bomo namreč pripravili razširitev razstave z 8 portreti ma-
tematičark iz mediteranskih držav.
Na Srečanju mladih raziskovalcev v matematiki so mladi matematiki, ki
svojo akademsko kariero šele dobro začenjajo, predstavili svoje raziskovalne
probleme ter se med seboj tudi spoznali v sproščenem vzdušju v Plemljevi
vili, ki jo je za to priložnost dalo na voljo društvo DMFA. Predstavili so
naslednje teme:
160 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 4
i
i
“porociloPrezelj” — 2020/1/14 — 7:52 — page 161 — #3 i
i
i
i
i
i
Srečanje »Women of mathematics on the Mediterranean shores« na Bledu in Srečanje
mladih raziskovalcev v matematiki
• Maja Žulj, Univerza v Mariboru, On persistent p : −q resonant problem,
• Brett Chenoweth, Univerza v Ljubljani, Carleman approximation by
directed holomorphic immersions,
• Barbara Arcet, Univerza v Mariboru, Limit cycle bifurcations in a che-
mical model,
• Simon Brezovnik, Univerza v Mariboru, The resonance graphs of cata-
condensed even ring systems (CERS),
• Vesna Iršič, Univerza v Ljubljani, Domination games,
• Blas Fernández, Univerza na Primorskem, On the Terwilliger Algebra
of Distance-Biregular Graphs,
• Philipp Haselwarter in Anja Petković, Univerza v Ljubljani, Computer
Formalisation of Mathematics,
• Gregor Podlogar, Univerza v Ljubljani, Noncommutative rational inva-
riants,
• Mi Hu, Univerza v Ljubljani, Interior Dynamics of Fatou Sets,
• Timotej Hrga, Univerza v Ljubljani, High-performance computing and
semidefinite programming in combinatorial optimization,
• Michael Kaplin, Univerza v Ljubljani, Relatively uniformly continuous
positive semigroups on vector lattices.
Poleg DMFA so nam pri organizaciji srečanja in priprav na razstavo
finančno pomagali tudi UL FMF, IMFM in UP FAMNIT ter zavarovalnici
Triglav in Sava Re, za kar se vsem iskreno zahvaljujemo.
LITERATURA
[1] Women of mathematics on the Mediterranean shores, dostopno na conferences.
matheo.si/e/WoM-Bled-2019, ogled 30. 10. 2019.
[2] Women of mathematics throughout Europe. A gallery of portraits, dostopno na
womeninmath.net, ogled 30. 10. 2019.
[3] 8th European Congress of Mathematics, dostopno na www.8ecm.si, ogled 30. 10. 2019.
Marjeta Kramar Fijavž, Jasna Prezelj, Anja Petković
Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 4 XV
i
i
“kolofon” — 2020/1/14 — 7:53 — page 2 — #2 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
LJUBLJANA, JULIJ 2019
Letnik 66, številka 4
ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53
VSEBINA
Članki Strani
Leonardo da Vinci (1452–1519) – ob petstoletnici njegove smrti:
Leonardo in matematika (Jurij Kovič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121–131
Nobelova nagrada odkriteljema planetov drugih zvezd
(Tomaž Zwitter) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132–145
Iz zgodovine
Spomini na študijska leta in profesorja Plemlja
(Marko in Nada Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146–151
Vesti
Sedemdeset let DMFA Slovenije, 72. občni zbor DMFA Slovenije
(Pripravila Janez Krušič in Nada Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152–158
Srečanje »Women of mathematics on the Mediterranean shores«
na Bledu in Srečanje mladih raziskovalcev v matematiki
(Marjeta Kramar Fijavž, Jasna Prezelj, Anja Petković) . . . . . . . . . . . . . 159–XV
CONTENTS
Articles Pages
Leonardo da Vinci (1452–1519) – at his 500th death anniversary:
Leonardo and mathematics (Jurij Kovič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121–131
Nobel prize to discoverers of planets around other stars
(Tomaž Zwitter) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132–145
Miscellanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146–151
News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152–XV
Na naslovnici: Položaji 4131 planetov drugih zvezd na nebesni karti satelita Gaia
Evropske vesoljske agencije. Ekvator je ravnina Rimske ceste, katere središče je
sredi slike. Zgostitev levo od sredine je področje, ki so ga opazovali s satelitom Ke-
pler. Intenzivna opazovanja v drugih smereh bi odkrila podobno gostoto planetov.
Zgostitev pod sredino sovpada z Baadejevim oknom, kjer je zaradi nižje medzvez-
dne ekstinkcije mogoče videti zelo gosta zvezdna polja blizu središča Galaksije,
s tem pa odkriti tudi več zvezd s planeti, (glej članek na straneh 132–145). Avtor
slike: Tomaž Zwitter.