Vesti
VESTI
Sedemnajsto mednarodno tekmovanje študentov matematike
Kot že mnogo let poprej se je tudi v letu 2010 ekipa Fakultete za mate-
matiko in fiziko, Univerze v Ljubljani udeležila mednarodnega tekmovanja
študentov matematike. Tokrat so se s študenti z vsega sveta pomerili Urban
Jezernik iz tretjega letnika ter Špela Špenko, David Gajser in Gašper Zadnik
iz četrtega letnika. Kot zadnjih nekaj let se nam je pridružil še predstavnik
Univerze na Primorskem, študent tretjega letnika Peter Muršič.
Tekmovanje ni imuno za zunanje dogodke, tako se je letos število sode-
lujočih študentov prvič v zgodovini tekmovanja zmanǰsalo glede na preǰsnje
leto. Razloga naj bi bila predvsem dva: nekaterim ekipam ni uspelo zbrati
denarja za udeležbo (bojda je kriva tudi recesija), nekatere ekipe pa so imele
težave s pridobivanjem viz za Bolgarijo. Ta je že nekaj let del skupnosti dr-
žav, ki se zavzemajo za družbo znanja ter za splošno odprtost do drugih
kultur. Tako je seveda povsem logično, da so študentom matematike iz Ni-
gerije zavrnili prošnjo za vizo in ti niso mogli sodelovati. Kljub temu se je
pomerilo več kot 300 študentov, kar je med drugim nemajhen organizacijski
zalogaj. Lokalni organizatorji iz Blagoevgrada so ga izpeljali dovolj dobro,
da bodo gostili tekmovanje tudi v letu 2011.
Naša ekipa je dosegla enega večjih uspehov zadnjih let. Špela Špenko,
Urban Jezernik in Gašper Zadnik so osvojili drugo, David Gajser pa tretjo
nagrado. Tudi Peter Muršič je osvojil priznanje. Glede na to, da mnoge
univerze organizirajo posebne priprave ter izbore tekmovalcev (mi pa ne),
ta uspeh ni zanemarljiv. V posebnem točkovanju univerz smo dosegli sicer
zelo dobro 27. mesto med 90 univerzami.
Tudi družabni del ni zaostajal za preǰsnjimi leti. Na nogometni tekmi
med Srbijo in Iranom so morali posredovati celo lokalni gasilci. Huǰsega ni
bilo, le nekaj vej so zakurili (morda igralci sami, verjetno zaradi vzdušja).
A sredi poletja v Bolgariji večinoma vlada suša, zato tako početje ni ravno
zaželeno.
V študentskem domu je bilo vseskozi veselo, še posebej pa po drugem
tekmovalnem dnevu, ko je bilo delo opravljeno. Ena od posledic celonočne
zabave je bila ta, da se je izleta prihodnjega dne udeležilo nekoliko manj
študentov. Naša ekipa je poslala enega predstavnika, kar je bilo bolje od
naših sosedov v študentskem domu, ekipe iz Innsbrucka, ki so se odpravili
na avtobus pet ur po njegovem odhodu.
Ob vrnitvi domov naših študentov sicer ni pričakala navdušena mno-
žica, so pa vseeno dobili priznanja, ki jim gredo. Najprej jih je v septembru
30 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 1
Sedemnajsto mednarodno tekmovanje študentov matematike
sprejel rektor Univerze v Ljubljani prof. dr. Stanislav Pejovnik. V decem-
bru so bili povabljeni še na srečanje z ministrom Gregorjem Golobičem in
predsednikom republike dr. Danilom Türkom. Obširneǰsa poročila z obeh
dogodkov najdete na internetnih straneh Fakultete za matematiko in fiziko
Univerze v Ljubljani, Urada predsednika republike in Ministrstva za visoko
šolstvo, znanost in tehnologijo.
Še nekaj besed o matematični plati tekmovanja. Študenti so dva dni po
pet ur reševali po pet nalog. Vsak dan je bila prva naloga lahka in bi jo
morali rešiti res skoraj vsi, naslednje tri naj bi bile srednje težavnosti, zadnja
pa je bila običajno zelo težka oziroma nerešljiva. Predstavil bi dve (res lahki)
nalogi ter nekaj dilem, pred katerimi so se znašli ocenjevalci. Problemi pri
Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 1 31
Vesti
ocenjevanju izdelkov študentov so namreč pogosto, milo rečeno, nemajhni.
Poleg tega ocenjevanje po pravilu traja dolgo v noč, ko tudi koncentracija
ocenjevalcev že popusti. Tako je nujno, da obstaja možnost popravkov.
Kljub temu se včasih zgodi, da je kak študent oškodovan za kakšno točko
– kar lahko pomeni tudi nižjo nagrado (seveda moralno, saj materialnih
nagrad skoraj ni).
Poskusimo najprej rešiti najlažjo nalogo.
Naloga 1. Dokažite, da za vsak par 0 < a < b velja
∫
b
a
(x2 + 1)e−x
2
dx ≥ e−a
2
− e−b
2
.
Ker je naloga res lahka, bi jo zmogel rešiti vsak. Uradna rešitev je upo-
rabila Cauchyjev izrek o povprečni vrednosti, nekaj odvajanja in neenakost
med aritmetično in geometrično sredino. Kot običajno so študenti našli
precej lažjo rešitev.
Rešitev. Ker je x2 + 1 ≥ 2x, je
∫
b
a
(x2 + 1)e−x
2
dx ≥
∫
b
a
2xe−x
2
dx =
[
−e−x
2
]b
a
= e−a
2
− e−b
2
.
Filozofski problem, okoli katerega so se vrteli ocenjevalci, je naslednji:
ali lahko neenakost x2+1 ≥ 2x zapǐsemo kot dejstvo? Študenti, ki so jo za-
pisali, bi jo verjetno znali tudi utemeljiti. A princip, po katerem se ocenjuje
izdelke, je seveda ta, da se oceni tisto, kar je na papirju, ne pa tisto, kar je
(najverjetneje) v študentovi glavi. Tega se zavedajo tudi nekateri študenti,
zato so zgoraj omenjeno neenakost poskusili dokazati res podrobno. Eden
izmed dokazov je bil recimo tale:
Dokaz neenakosti. Neenakost očitno velja za x ≥ 2, saj v tem primeru velja
že x · x ≥ 2 · x. Če je x ≤ 1
2
, je 2x ≤ 1 in neenakost spet velja. Ostane
območje 1
2
< x < 2. Najprej pogledamo območje 1
2
< x ≤ 1. Tu velja,
da je odvod leve strani enak 2x ≤ 2, odvod desne strani pa je enak 2. To
pomeni, da funkcija x2 + 1 počasneje narašča od 2x. Ker je v desnem robu
intervala (v x = 1) vrednost obeh funkcij enaka, velja, da je leva funkcija
nad desno, torej x2+1 ≥ 2x. Podobno razmislimo na intervalu [1, 2]: odvod
leve funkcije je 2x ≥ 2, odvod desne je še vedno enak 2. Tako smo dobili,
da za vse realne x velja x2 + 1 ≥ 2x.
Ni presenečenje, da je bila pri ocenjevalcih bolje sprejeta naslednja ar-
gumentacija: ker je x2 + 1− 2x = (x− 1)2 ≥ 0, je x2 + 1 ≥ 2x.
Podobne probleme (branje misli) smo imeli pri naslednji nalogi. Tudi ta
je bila lahka.
32 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 1
Naloga 2. Ali za vsak začetni člen x0 konvergira zaporedje, podano
rekurzivno za vsak n ≥ 0 s predpisom
(a) xn+1 = xn cosxn?
(b) xn+1 = xn sinxn?
Rešitev. Zaporedje x0 = π, xn+1 = xn cosxn ne konvergira. Velja
namreč, da je xn = (−1)
nπ.
Za drugo zaporedje je odgovor pritrdilen, kar najlažje vidimo tako: funk-
cija f(x) = x sinx je soda, kar med drugim pomeni, da je f(x) = f(−x) =
f(|x|). Poleg tega je zaporedje |xn| nenaraščajoče in seveda navzdol ome-
jeno, torej ima limito. A ker je xn+1 = f(xn) = f(|xn|) in je f tudi zvezna,
|xn| pa je konvergentno, je tudi xn konvergentno zaporedje.
Mimogrede: nenaraščajoče zaporedje je nekaj drugega kot zaporedje, ki
ne narašča. Tudi tu je bilo kar nekaj vročih mnenj v komisiji. Večinoma
smo se le domenili, da moramo nekaj tolerance pustiti tudi zaradi uporabe
tujega jezika – tekmuje se namreč v angleščini, ki ni materni jezik večine
tekmovalcev (celo tistih ne, ki prihajajo iz Londona ali Princetona).
Kogar zanimajo še druge naloge (ki so večji izziv), si jih lahko ogleda na
uradni strani tekmovanja, www.imc-math.org.uk.
Gregor Šega
PETER ŠEMRL GLAVNI UREDNIK REVIJE LINEAR
ALGEBRA AND ITS APPLICATIONS
Z novim letom je prof. dr. Peter Šemrl postal eden od štirih glavnih
urednikov ugledne revije Linear Algebra and its Applications. V tej reviji je
mnogo objavljal sam, pa tudi drugi slovenski matematiki. To veliko prizna-
nje ne preseneča, če poznamo njegovo izredno uspešno znanstveno in tudi
urednǐsko delo. Že prej je bil namreč urednik pri tej reviji. Profesor Šemrl
je urednik tudi pri reviji Linear and Multilinear algebra.
Profesor Šemrl ves čas deluje v International Linear Algebra Society
(ILAS). Bil je plenarni predavatelj na Deveti konferenci ILAS v Haifi (Izrael,
2001) in na Trinajsti konferenci ILAS v Amsterdamu (2006). Imel je Taus-
sky Todd Lecture (kar je redko podeljeno priznanje) na Enajsti konferenci
ILAS v Coimbri (Portugalska, 2004). Bil je član programskega odbora Šti-
rinajste konference ILAS v Šanghaju (2007).
Peter Legǐsa
Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 1 33