i i “2-1-Petek-naslov” — 2009/3/26 — 13:48 — page 1 — #1 i i i i i i List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 2 (1974/1975) Številka 1 Strani 26–28 Peter Petek: O PRAVOKOTNIH TRIKOTNIKIH IN O PRIBLIŽ- KIH ZA KOREN IZ DVA Ključne besede: matematika. Elektronska verzija: http://www.presek.si/2/2-1-Petek.pdf c© 1973 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije c© 2009 DMFA – založništvo Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo- ljeno. OPRAVOKOTNIH TRIKOTNIKIH IN O PRIBLlŽKIH ZA KOREN IZ DVA BA Kako "popraviti" trikotnik, da bo postal pravokoten? Zamislimo si, da so v ogliščih trikotnika zabiti žebljički, stranice pa so vrvica, ki je napeta na te žebljičke. Izberimo najkrajšo strani- co. žebljiček-oglišče nasproti njej izrujemo in ga toliko časa premikamo, da dobimo pravokoten trikotnik. Primer: AB 4 cm BC 5 cm AC 6 cm Po premikanju je seveda BC'+AC' = BC+AC = 11 cm. Ce označimo z x dolžino katete BC', ostane za hipotenuzo AC' (ll-x) cm. V pravokotnem trikot- niku velja Pitagorov izrek, zato ( 11-x ) 2 = x 2 +4 2 121-22x+x 2 = x 2+16 22x = 105 105 x = --n , 105, 137 . 4 88 Torej je: BC = --n' AC = ll-x = --n 1n AB = 22' Razmerje stranic tega trikotnika je torej 88:105:137. Mimogrede smo ugotovili, da je trikotnik s stranicami 88, 105, 137 pravo- koten. Vidimo, da lahko s "popravljanjem" trikotnika dobimo pra- vokoten trikotnik s celoštevilskimi stranicami. T~i cela števila a, b, c, ki so lahko dolž~ne stranic pravokotnega trikotnika (a 2+b 2=c 2), imenujemo "pitagorejsko trojico". Tedaj je 88,105, 137 pitagorejska trojica: Vsi vemo, da je v enakokrakem pravokotnem trikotniku skateto a hipotenuza a/2. Ce bi imeli enakokrak pravokoten trikotnik s celoštevilskimi stranicami a=b in c, bi brez težav lahko zapisali 12 z ulomkom: 12 = ~. To žal ni mogoče. Toda recimo, da imamo pra- vokoten trikotnik, ki je skoraj enakokrak; to se pravi, da se ka- teti le malo razlikujeta. Dobili bomo pač približek za 12. Oglej- mo si na primeru, kako dobimo vedno boljše približke. Ne pozabimo pri tem, da je na štiri ~e cimalke točno /2=1'4142 ! 26 Za začetek v z e mi mo pol j uben enakokrak trikotnik . Da bo stvar enostavnejša in števila man jša, začnimo kar z enakostraničnim trikotnikom s stranicami 1 , 1, 1 . Najprej izberimo najmanjšo stra- nico . No, ker so vse tri enake, j e vseeno, za katero se odločimo, njena dolžina je e na k a 1 , v s o t a o s t a l i h dveh je seveda 2. Premak - nemo nasprotni vr h i n po Pitagori nastavimo enačbo (2-x)2 = x 2+12 , ki jo hitro rešimo 4x = 3 3 x = 4 To je kateta, hipotenuza je 5 2-x = 4 Izrazimo še prvotno kateto s č e trt inami 1 =~ in vidimo, da 4 so stranice novega trikotnika 1=41 v razmerju 3 :4 :5. Odločimo se za podoben trikotnik (dva trikotni- ka sta podobna, če se ujemata v razmerju enakoležnih stranic), ki ima stranice štirikrat večje, torej natanko 3 , 4, 5! Pravokotnemu trikotniku podoben trikotnik je s p e t pravokoten, pa še zelo znan je ! Poznali so ga že stari Egipčani; ki so z njegovo pomočjo in z vrvjo v roki merili prave kote po plodnih tleh okrog Nila. Ampak mi bi radi dobili približek za 12 . No, števili 3 in 4 se ne raz- likujeta preveč in že imamo dva približka ~=1'6667 in ~=1·2500. Prvi približek je prevelik, drugi premajhen. Morda bi bilo bolje, če bi namesto 3 ali 4 vzeli sredino med obema ;. Naredimo to na trikotniku in že imamo spet enakokrak trikotnik ;, ;, 5 (slika); ali pa raje pomnožimo stranice z 2 , da dobimo cela števila 7,7,10. x2 10 27 Toda, g j o j , t r i k o t d k ni veF pravakotsn. BrS ga popxlavimo 1 2 2 (17-s)2 1 pr +7 2 ~ 9 - 3 & l ~ + r ~ = aP+49 54s = 250 16 9 17-a = , 119 7 =T I n p p r a v l j e n i (in s 17 pumnofenil t r W t n i k je 119, 120, 169. 1 6 9 Sedaj sta pribll2La te -go boljia. m I * Q 2 0 2 kn 3 = 1 * 4 0 8 3 . m a dedmalka jla Ee dobbra, druga pa ni hudo m b e . Mdi douolj l Ee h a brelec veselje in potrpljenje z ~Eunanjem bo 1- sam nadaljeval po f e t i pti in iarabmal &e baljHe p ~ i - bliLke.Lahko pa z&ne 2 d m g h eilakakmki,m tr tr iko tn ikom in dobi drmgaE;no aaporedje priblfZkov. Peter Petek