i
i
“kolofon” — 2018/11/9 — 7:45 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
Ljubljana, MAREC 2018, letnik 65, številka 2, strani 41–80
Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana
Telefon: (01) 4766 633, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska
pošta: zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski
račun: 03100–1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4,
1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787
Uredniški odbor: Peter Legiša (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in
odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek
Olenik, Damjan Kobal, Petar Pavešić, Marko Petkovšek, Marko Razpet, Nada Razpet,
Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik).
Jezikovno pregledal Grega Rihtar.
Računalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja.
Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1250 izvodov.
Člani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 24 EUR, za druge
družinske člane in študente pa 12 EUR. Naročnina za ustanove je 35 EUR, za tujino 40 EUR.
Posamezna številka za člane stane 3,99 EUR, stare številke 1,99 EUR.
DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično
unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in
uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o recipročnosti z Ameriškim matematič-
nim društvom (AMS).
Revija izhaja praviloma vsak drugi mesec. Sofinancira jo Javna agencija za raziskovalno
dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofi-
nanciranje domačih znanstvenih periodičnih publikacij.
c© 2017 DMFA Slovenije – 2078 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana
NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV
Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz mate-
matike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig
s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti
o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in
razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok.
Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle-
ček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS)
in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih
lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih
virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v računalni-
ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk
je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj na-
pisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki
morata predvsem natančno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je
originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Če je prispevek sprejet v objavo,
potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane
v eni od standardnih različic urejevalnikov TEX oziroma LATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu.
i
i
“Stopar” — 2018/11/9 — 7:40 — page 41 — #1 i
i
i
i
i
i
O POLOVIČNEM ODVODU FUNKCIJE
NIK STOPAR
Fakulteta za elektrotehniko
Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 26A33
Definicijo n-tega odvoda funkcije, kjer je n naravno število, lahko razširimo do defi-
nicije odvoda reda α, kjer je α realno število. V prispevku predstavimo tako imenovan
Riemann-Liouvillov odvod, ki je ena od možnih posplošitev običajnega odvoda. Pri tem
največ pozornosti namenimo polovičnemu odvodu funkcije. Za motivacijo najprej defini-
ramo odvode potenčnih funkcij na elementaren način, nato pa definicijo s pomočjo integra-
lov razširimo na splošneǰse funkcije, definirane na intervalu [0,∞). Na koncu predstavimo
nekaj pomembnih lastnosti Riemann-Liouvillovega odvoda in med drugim pokažemo, da
polovični odvod D
1
2 zadošča enakosti D
1
2 (D
1
2 (f)) = f ′ za velik razred funkcij f .
ON THE HALF DERIVATIVE OF A FUNCTION
The definition of the nth derivative of a function, where n is a positive integer, can
be extended to a definition of a derivative of order α, where α is a real number. In
this note we present the so called Riemann-Liouville derivative, which is one of several
possible generalizations of the ordinary derivative. We devote the most attention to the
half derivative of a function. For motivation we first define derivatives of power functions
in an elementary way and then extend the definition to include more general functions
defined on the interval [0,∞). At the end we present some important properties of the
Riemann-Liouville derivatives and show that the half derivative D
1
2 satisfies the equality
D
1
2 (D
1
2 (f)) = f ′ for a large class of functions f .
1. Polovični odvod
Z odvodom funkcije se prvič srečamo v srednji šoli, kjer spoznamo njegov
pomen in njegovo uporabo v matematiki. Pri fiziki s pomočjo odvoda izra-
čunamo hitrost objekta, če poznamo njegovo pot v odvisnosti od časa. Prav
ta uporaba je bila motivacija Newtonu in Leibnizu pri vpeljavi odvoda in
diferencialnega računa.
Pravimo, da je funkcija f odvedljiva v točki x0, če obstaja limita
f ′(x0) = lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
.
Vrednosti f ′(x0) pravimo prvi odvod funkcije f v točki x0. Če je funkcija
f odvedljiva v vsaki točki x z intervala (a, b), tedaj funkciji f ′ : x 7→ f ′(x)
Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 2 41
i
i
“Stopar” — 2018/11/9 — 7:40 — page 42 — #2 i
i
i
i
i
i
Nik Stopar
pravimo prvi odvod funkcije f . Njena vrednost v točki x0 ∈ (a, b) je enaka
f ′(x0). Če je tudi funkcija f
′ odvedljiva na celem intervalu (a, b), potem njen
odvod (f ′)′ označimo kraǰse z f ′′ in mu pravimo drugi odvod funkcije f . V
tem primeru rečemo, da je funkcija f dvakrat odvedljiva na intervalu (a, b).
Nobenega razloga ni, zakaj bi se pri drugem odvodu ustavili. V primeru,
da je funkcija f še večkrat odvedljiva, lahko izračunamo njen tretji odvod
f ′′′, četrti odvod f (4), peti odvod f (5) in tako dalje, vse dokler ti obstajajo.
Mnoge funkcije f so celo neskončno mnogokrat odvedljive in zanje lahko
izračunamo n-ti odvod f (n) za poljubno naravno število n.
S tem smo opredelili, kaj je n-ti odvod funkcije, če je n naravno število.
Kaj pa, če bi namesto naravnega števila vzeli kakšno drugo realno število,
recimo n = 12 ali n =
4
3 , ali celo n = π? Ali lahko tudi v tem primeru
definiramo n-ti odvod funkcije? S tem vprašanjem se bomo ukvarjali v tem
prispevku in poskusili nanj tudi odgovoriti.
Prva omemba vprašanja o definiciji odvoda poljubnega realnega reda
sega v leto 1695, ko je Leibniz v pismu L’Hôpitalu omenil možnost posplo-
šitve pojma odvoda naravnega reda do odvoda realnega reda. L’Hôpital je
takoj želel vedeti, kaj je rezultat odvoda reda 12 . Kljub temu pa so se v
literaturi odvodi realnih redov pojavili šele leta 1819, ko je Lacrox podal
prvo formalno definicijo.
V tem razdelku se bomo osredotočili na primer n = 12 . Želeli bi torej
osmisliti pomen izraza polovični odvod funkcije f . Po vzoru vǐsjih odvodov
ga označimo kar s f (
1
2
), čeprav za zdaj še ne vemo, kaj to pomeni. Seveda
želimo, da je f (
1
2
) spet funkcija, da jo lahko po potrebi ponovno odvajamo.
Poleg tega pa bi radi, da polovični odvod zadošča nekaterim lastnostim
običajnih odvodov.
Prva pomembna lastnost običajnega odvoda je linearnost, to pomeni, da
je za vsaki odvedljivi funkciji f in g in vsaki konstanti α in β tudi funkcija
αf + βg odvedljiva in zanjo velja
(αf + βg)′ = αf ′ + βg′.
Tudi za polovični odvod bomo zahtevali, da je linearen.
Do druge smiselne zahteve za polovični odvod vodijo vǐsji odvodi. Vze-
mimo funkcijo f , ki je poljubno mnogokrat odvedljiva, in naj bosta m in
n naravni števili. Če najprej izračunamo n-ti odvod funkcije f in nato m-
ti odvod rezultata, tj. (f (n))(m), tedaj dobimo (n + m)-ti odvod funkcije
42 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 2
i
i
“Stopar” — 2018/11/9 — 7:40 — page 43 — #3 i
i
i
i
i
i
O polovičnem odvodu funkcije
f (n+m), saj smo funkcijo skupaj odvajali (n + m)-krat. Zapǐsimo to še z
enačbo:
(f (n))(m) = f (n+m). (1)
Smiselno je torej zahtevati, da tudi polovični odvod ustreza tej formuli. Če
vzamemo m = n = 12 , dobimo zvezo(
f(
1
2)
)( 12)
= f ′.
Formula pove, da mora dvakratna zaporedna uporaba polovičnega odvoda
na funkciji f kot rezultat dati prvi odvod funkcije f . Skratka, če označimo
D(f) = f ′ in P (f) = f(
1
2), (2)
tedaj ǐsčemo tako preslikavo P , za katero bo veljalo P ◦ P = D oziroma
P (P (f)) = D(f) za določen razred funkcij f . Opozoriti je treba, da ne
moremo pričakovati, da bo enakost P (P (f)) = D(f) izpolnjena za poljubno
odvedljivo funkcijo f , bo pa veljala za precej velik razred funkcij.
Če se omejimo le na potenčne funkcije s pozitivnimi eksponenti, take
preslikave P ni težko najti. Oglejmo si, kako lahko pridemo do nje. Naj bo
h(x) = xk, kjer je k naravno število. Po vrsti izračunajmo običajne odvode
funkcije h in uganemo splošno formulo.
h′(x) = kxk−1,
h′′(x) = k(k − 1)xk−2,
...
h(n)(x) = k(k − 1)(k − 2) · · · (k − n+ 1)xk−n.
Opazimo, da lahko n-ti odvod zapǐsemo s pomočjo fakultet
h(n)(x) =
k!
(k − n)!
xk−n. (3)
Da bi prǐsli do definicije polovičnega odvoda, bi želeli v tej formuli n za-
menjati z 12 . Tega za zdaj še ne smemo storiti, saj je funkcija fakulteta
definirana le za nenegativna cela števila. Spomnimo se, da obstaja funkcija,
ki posplošuje funkcijo fakulteta, tj. Eulerjeva funkcija gama, in je defini-
rana za skoraj vsa realna števila. Definicijo in lastnosti te funkcije si bomo
podrobneje ogledali v naslednjem razdelku. Na tem mestu omenimo le, da
41–59 43
i
i
“Stopar” — 2018/11/9 — 7:40 — page 44 — #4 i
i
i
i
i
i
Nik Stopar
za vsako naravno število n velja Γ(n+ 1) = n!, hkrati pa za vsako pozitivno
realno število x velja
Γ(x+ 1) = xΓ(x). (4)
S pomočjo funkcije Γ lahko formulo (3) zapǐsemo v obliki
h(n)(x) =
Γ(k + 1)
Γ(k − n+ 1)
xk−n.
Za definicijo polovičnega odvoda potenčne funkcije v tej formuli n nadome-
stimo z 12 in dobimo
P (xk) =
(
xk
)( 12)
=
Γ(k + 1)
Γ
(
k + 12
)xk− 12 .
Ker je funkcija gama definirana za vsa pozitivna realna števila, lahko v tej
formuli dopustimo, da je k poljubno realno število večje od −12 . Če želimo
izračunati P (P (xk)), mora biti torej k > 0, zato se bomo omejili na funk-
cije s pozitivnimi eksponenti. Z upoštevanjem linearnosti lahko definicijo
preslikave P razširimo na poljubne linearne kombinacije potenčnih funk-
cij s pozitivnimi eksponenti. Neformalno rečeno so take funkcije polinomi
s poljubnimi, ne nujno naravnimi, pozitivnimi eksponenti. Preverimo, da
tako definirana preslikava na tej množici funkcij res ustreza zahtevani enačbi
P ◦P = D. Naj bo k > 0. Tedaj z upoštevanjem linearnosti in enakosti (4)
dobimo
P (P (xk)) = P
(
Γ(k + 1)
Γ
(
k + 12
)xk− 12) = Γ(k + 1)
Γ
(
k + 12
)P (xk− 12)
=
Γ(k + 1)
Γ
(
k + 12
) Γ (k + 12)
Γ(k)
xk−1 =
Γ(k + 1)
Γ(k)
xk−1 =
kΓ(k)
Γ(k)
xk−1
= kxk−1 = (xk)′ = D(xk).
Zaradi linearnosti od tod sledi
P (P (α1x
k1 + α2x
k2 + · · ·+ αmxkm)) = D(α1xk1 + α2xk2 + · · ·+ αmxkm)
za poljubne m ∈ N, αi ∈ R in ki > 0.
44 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 2
i
i
“Stopar” — 2018/11/9 — 7:40 — page 45 — #5 i
i
i
i
i
i
O polovičnem odvodu funkcije
2. Eulerjeva funkcija gama
V tem razdelku si bomo ogledali definicijo funkcije Γ in zabeležili njene
najpomembneǰse lastnosti, ki jih bomo potrebovali. Funkcijo Γ je uvedel
Leonhard Euler.
Definicija 1. Eulerjevo funkcijo gama definiramo s predpisom
Γ(x) =
∫ ∞
0
tx−1e−t dt
za vsako realno število x > 0.
Izkaže se, da ta integral obstaja za vsak x > 0, za x ≤ 0 pa ne obstaja.
Ena od pomembneǰsih lastnosti funkcije Γ je naslednja enakost.
Trditev 2. Za vsak x > 0 velja Γ(x+ 1) = xΓ(x).
Enakost dokažemo z integracijo po delih, dokaz pa lahko bralec najde
v [2, str. 441]. Iz te enakosti izpeljemo povezavo med funkcijo gama in
funkcijo fakulteta.
Posledica 3. Za vsako nenegativno celo število n velja Γ(n+ 1) = n!.
Definicijo funkcije Γ lahko razširimo na vsa negativna realna števila,
ki niso cela. To storimo tako, da enakost iz trditve 2 zapǐsemo nekoliko
drugače:
Γ(x) =
Γ(x+ 1)
x
. (5)
Ker je desna stran enakosti definirana za vse x ∈ (−1, 0), lahko s to
formulo razširimo definicijo funkcije Γ na interval (−1, 0). Ko to storimo, je
desna stran enakosti (5) definirana za vse x ∈ (−2,−1), zato lahko enakost
spet uporabimo za razširitev funkcije Γ na interval (−2,−1). Postopek
induktivno nadaljujemo in tako postopoma definiramo vrednosti funkcije
Γ še na intervalih (−3,−2), (−4,−3), (−5,−4), . . . Na ta način dobimo
funkcijo, katere graf je prikazan na sliki 1. Slika nakazuje, da funkcija Γ
nima nobene ničle. Prepričajmo se, da je res tako. Iz definicije 1 sledi, da
je Γ(x) > 0 za vse x > 0, saj je funkcija pod integralom pozitivna. Če pa je
x ∈ (−n− 1,−n), kjer je n nenegativno celo število, tedaj je x+ n+ 1 > 0.
Od tod po enakosti (5) sledi
Γ(x) =
Γ(x+ n+ 1)
x(x+ 1) · · · (x+ n)
6= 0. (6)
41–59 45
i
i
“Stopar” — 2018/11/9 — 7:40 — page 46 — #6 i
i
i
i
i
i
Nik Stopar
Γ (x)
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
y
Slika 1. Graf Eulerjeve funkcije gama.
Iz enakosti (6) sledi tudi, da za vsa nenegativna cela števila n velja
lim
x→−n
1
Γ(x)
= 0. (7)
Ena izmed najbolj znanih vrednosti funkcije gama je vrednost
Γ(12) =
√
π. (8)
S pomočjo te vrednosti lahko izračunamo vrednosti Γ(n2 ) za vsa liha cela
števila n.
S funkcijo gama je povezana še ena pomembna funkcija, to je Eulerjeva
funkcija beta, ki jo označimo z B. Definirana je na naslednji način.
Definicija 4. Eulerjevo funkcijo beta definiramo s predpisom
B(x, y) =
∫ 1
0
tx−1(1− t)y−1 dt
za vsaki realni števili x, y > 0.
Funkcijo beta lahko izrazimo s funkcijo gama. Zabeležimo to povezavo v
trditev, saj jo bomo potrebovali kasneje. Podroben dokaz trditve najdemo
v [2, str. 440–441].
46 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 2
i
i
“Stopar” — 2018/11/9 — 7:40 — page 47 — #7 i
i
i
i
i
i
O polovičnem odvodu funkcije
Trditev 5. Za vsaki realni števili x, y > 0 velja
B(x, y) =
Γ(x)Γ(y)
Γ(x+ y)
.
Več o funkcijah gama in beta in njunih lastnostih lahko bralec prebere
v [2] ali [3].
3. Definicija odvoda reda α potenčnih funkcij
Spomnimo se enakosti (3) iz prvega razdelka, ki jo s pomočjo funkcije gama
lahko zapǐsemo kot (
xk
)(n)
=
Γ(k + 1)
Γ(k − n+ 1)
xk−n, k, n ∈ N. (9)
Ker je funkcija gama definirana za vsa realna števila, razen za negativna
cela števila in 0, lahko definiramo odvod reda α potenčne funkcije xr kot
(xr)(α) =
Γ(r + 1)
Γ(r − α+ 1)
xr−α, r, r − α /∈ Z−, (10)
kjer smo z Z− označili množico vseh negativnih celih števil. Omejitvi za r in
α zagotovita, da sta funkcijski vrednosti Γ(r+ 1) in Γ(r−α+ 1) definirani.
Ker funkcija Γ nima nobenih ničel, je tudi ulomek Γ(r+1)Γ(r−α+1) v tem primeru
definiran. Tako definirani odvodi potenčnih funkcij zadoščajo pričakovani
enakosti (glej enakost (1))
((xr)(α))(β) = (xr)(α+β), (11)
čim sta obe strani definirani. Bralcu prepuščamo, da veljavnost enakosti
preveri sam.
Definicijo lahko razširimo tudi na nekatere druge primere za r in α, ven-
dar moramo že vnaprej opozoriti, da razširjena definicija ne bo več ustrezala
enakosti (11). Vseeno si oglejmo, katere primere še lahko dodamo.
Če r /∈ Z− in r − α ∈ Z−, tedaj je števec ulomka Γ(r+1)Γ(r−α+1) definiran,
imenovalec pa ne. Kljub temu pa iz enakosti (7) sledi, da je
lim
t→r−α+1
Γ(r + 1)
Γ(t)
= 0,
41–59 47
i
i
“Stopar” — 2018/11/9 — 7:40 — page 48 — #8 i
i
i
i
i
i
Nik Stopar
zato je ulomek Γ(r+1)Γ(r−α+1) smiselno nadomestiti z 0 in definirati
(xr)(α) = 0, r /∈ Z−, r − α ∈ Z−. (12)
Tako je na primer (x−
1
2 )(
1
2
) = 0. S tako razširitvijo definicije odvoda je
funkcija x−
1
2 primer, ki krši enakost (11), saj je ((x−
1
2 )(
1
2
))(
1
2
) = 0(
1
2
) = 0 in
hkrati (x−
1
2 )(
1
2
+ 1
2
) = (x−
1
2 )′ 6= 0.
Kaj pa, če je r ∈ Z−? Zakaj imamo tedaj težave z definicijo odvoda reda
α? Če je α = n naravno število, seveda težav ni, saj gre tedaj za običajen
odvod. V tem primeru lahko za r < 0 odvod izrazimo kot
(xr)(n) = (−1)nΓ(n− r)
Γ(−r)
xr−n (13)
in desna stran je definirana celo za nekatere negativne n, tj. takrat, ko je
n − r > 0 in posledično n − r ∈ N. Bralcu prepuščamo, da enakost (13)
izpelje sam. Kaj pa če vzamemo na primer r = −1 in α = 12? Kaj gre tedaj
narobe? Razlog za naše težave je zelo preprost. Če bi želeli, da odvodi
zadoščajo enakosti (1), bi moralo veljati
(x−1)(
1
2) = ((lnx)′)(
1
2) = (lnx)(
3
2).
S tem pa pademo ven iz družine potenčnih funkcij in zato tudi ne moremo
pričakovati, da bi bil rezultat odvajanja potenčna funkcija. To pomeni, da
nam enakost (9) zagotovo ne more pomagati. Za določene primere, npr.
(x−1)(
1
2
), lahko celo pokažemo, da rezultat odvajanja ne more biti potenčna
funkcija. Denimo, da velja (x−1)(
1
2) = cxr. Iz zahtevane enakosti (1) tedaj
sledi (cxr)(
1
2) = −x−2. V posebnem je c 6= 0. Ker pa rezultat odvajanja v
enakostih (10) in (12) ni nikoli potenčna funkcija z negativnim celim ekspo-
nentom, mora biti r ∈ Z−. Pǐsimo r = −n, kjer je n naravno število, torej
je (x−1)(
1
2) = cx−n in (cx−n)(
1
2) = −x−2. Z upoštevanjem enakosti (1)
prvo enačbo (n − 1)-krat odvajamo, da dobimo (c1x−n)(
1
2) = c2x
−2n+1 za
neki neničelni konstanti c1 in c2. S primerjavo eksponentov v zadnjih dveh
enačbah sklepamo −2 = −2n+1, od koder dobimo n = 32 , kar je protislovje.
Torej (x−1)(
1
2) ni potenčna funkcija.
Povzemimo enakosti (10), (12) in (13) v eno definicijo.
48 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 2
i
i
“Stopar” — 2018/11/9 — 7:40 — page 49 — #9 i
i
i
i
i
i
O polovičnem odvodu funkcije
Definicija 6. Za realni števili r in α definiramo odvod reda α funkcije
f(x) = xr kot
(xr)(α) =

Γ(r + 1)
Γ(r − α+ 1)
xr−α ; r /∈ Z−, r − α /∈ Z−,
0 ; r /∈ Z−, r − α ∈ Z−,
(−1)αΓ(α− r)
Γ(−r)
xr−α ; r ∈ Z−, α− r ∈ N.
Poudariti je treba, da odvodi realnih redov niso definirani po točkah, ampak
kot funkcije. Zato moramo zgornjo definicijo razumeti v smislu funkcij z
definicijskim območjem (0,∞). Če je α naravno število, se definicija ujema
z običajnim odvodom.
Primera r ∈ Z−, α− r /∈ N tukaj ne bomo obravnavali.
4. Definicija odvoda reda α splošneǰsih funkcij
Definicijo odvoda želimo razširiti na splošneǰse funkcije, kot so potenčne.
V tem razdelku bomo predstavili eno od možnih posplošitev, tj. Riemann-
Liouvillov odvod, pri čemer se bomo omejili le na levo različico. Več o
nekaterih drugih posplošitvah lahko bralec prebere v [4].
Do Riemann-Liouvillovega odvoda pridemo s pomočjo integralov. Morda
se to zdi nenavadno, vendar je dokaj naravno, saj sta integriranje in odvaja-
nje nasprotni operaciji. Pravzaprav smo v definiciji 6 integrale že uporabili.
Če namreč vzamemo odvod negativnega reda α = −1 in naravni eksponent
n, tedaj je
(xn)(−1) =
Γ(n+ 1)
Γ(n+ 2)
xn+1 =
xn+1
n+ 1
,
kar je ravno ena od primitivnih funkcij funkcije xn. Kot bomo videli kasneje,
definicija odvoda realnega reda izkoristi dejstvo, da integrali dvigujejo red
odvedljivosti funkcij.
V nadaljevanju se bomo omejili na zvezne funkcije, definirane na inter-
valu [0,∞). Množico teh funkcij označimo s C([0,∞)). Za vsako funkcijo
f ∈ C([0,∞)) definiramo
I(f)(x) =
∫ x
0
f(t) dt, za vse x ≥ 0.
Po izreku o določenem integralu kot funkciji zgornje meje je funkcija I(f)(x)
ena od primitivnih funkcij funkcije f(x), kar pomeni, da je odvedljiva in njen
41–59 49
i
i
“Stopar” — 2018/11/9 — 7:40 — page 50 — #10 i
i
i
i
i
i
Nik Stopar
odvod je enak f(x). Preslikava f 7→ I(f) podaja operator I : C([0,∞)) →
C([0,∞)). Označimo še In = I ◦ I ◦ · · · ◦ I, kjer v kompozitumu operator I
nastopa n-krat. Poiskati želimo eksplicitno formulo za In(f)(x), podobno,
kot smo to storili v prvem razdelku pri odvodih. Pri izračunu I2(f)(x)
v notranjem integralu preimenujemo integracijsko spremenljivko, da se ne
meša z integracijsko spremenljivko v zunanjem integralu
I2(f)(x) = I
(
t 7→
∫ t
0
f(u) du
)
(x) =
∫ x
0
(∫ t
0
f(u) du
)
dt.
Integracijsko območje dvakratnega integrala je trikotnik, prikazan na spo-
dnji sliki.
x
t
x
u
Zamenjajmo vrstni red integriranja in računajmo dalje
I2(f)(x) =
∫ x
0
(∫ x
u
f(u) dt
)
du =
∫ x
0
(
f(u)
∫ x
u
dt
)
du
=
∫ x
0
f(u)(x− u) du.
Podobno izračunamo
I3(f)(x) = I(I2(f))(x) =
∫ x
0
(∫ t
0
f(u)(t− u) du
)
dt
=
∫ x
0
(∫ x
u
f(u)(t− u) dt
)
du =
∫ x
0
(
f(u)
∫ x
u
(t− u) dt
)
du
=
∫ x
0
f(u)
(x− u)2
2
du.
in
I4(f)(x) =
∫ x
0
f(u)
(x− u)3
3!
du.
50 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 2
i
i
“Stopar” — 2018/11/9 — 7:40 — page 51 — #11 i
i
i
i
i
i
O polovičnem odvodu funkcije
Od tod zlahka uganemo splošno formulo za In(f)(x). Povzemimo jo v
trditev.
Trditev 7. Za vsako funkcijo f ∈ C([0,∞)) in vsako naravno število n velja
In(f)(x) =
∫ x
0
f(t)
(x− t)n−1
(n− 1)!
dt, za vse x ≥ 0.
Formulo dokažemo z indukcijo, dokaz pa poteka na enak način kot zgor-
nja izpeljava, zato ga prepuščamo bralcu.
Pa ga imamo, splošen integral reda n funkcije f ! Bralec verjetno že sluti,
kaj sledi. Naravno število n bomo zamenjali z realnim številom α in funkcijo
fakulteta s funkcijo gama.
Definicija 8. Za vsako funkcijo f ∈ C([0,∞)) in realno število α > 0 defi-
niramo integral reda α s formulo
Iα(f)(x) =
∫ x
0
f(t)
(x− t)α−1
Γ(α)
dt, x ≥ 0.
Definiramo še I0(f)(x) = f(x) za vse x ≥ 0.
V primeru, ko je α < 1, imamo v zgornji definiciji opravka s posplošenim
integralom, saj tedaj funkcija (x− t)α−1 ni definirana pri t = x. Preverimo,
da pod pogoji iz definicije integral kljub temu obstaja in da je Iα(f) spet
zvezna funkcija na intervalu [0,∞).
Obstoj integrala za vse α > 0 sledi iz ocene∫ x
0
∣∣∣∣f(t)(x− t)α−1Γ(α)
∣∣∣∣ dt ≤ MxΓ(α)
∫ x
0
(x− t)α−1 dt = Mx
Γ(α)
· x
α
α
, (14)
kjer smo z Mx označili maksimum zvezne funkcije f na intervalu [0, x].
Če je α ≥ 1, tedaj je funkcija (x, t) 7→ f(t) (x−t)
α−1
Γ(α) pod integralom
zvezna, zato je tudi funkcija Iα(f) zvezna. Za dokaz zveznosti v primeru
0 < α < 1 izberimo pozitivni števili ε in a, za kateri velja ε < a, in naj bo
x ∈ [ε, a]. V integral vpeljemo novo spremenljivko u = x− t, da dobimo
Iα(f)(x) =
∫ x
0
f(x−u)u
α−1
Γ(α)
du =
∫ ε
0
f(x−u)u
α−1
Γ(α)
du+
∫ x
ε
f(x−u)u
α−1
Γ(α)
du.
Drugi integral v vsoti na desni strani je zvezna funkcija spremenljivke x na
intervalu [ε, a], saj je funkcija pod integralom zvezna. Prvi integral v vsoti
41–59 51
i
i
“Stopar” — 2018/11/9 — 7:40 — page 52 — #12 i
i
i
i
i
i
Nik Stopar
na desni strani je posplošeni integral in je prav tako zvezna funkcija na
intervalu [ε, a], ker integral konvergira enakomerno na [ε, a]. Enakomerna
konvergenca sledi po Weierstrassovem M-testu1, saj velja ocena∣∣∣∣f(x− u)uα−1Γ(α)
∣∣∣∣ ≤ MaΓ(α)uα−1 za vse u ∈ [0, ε] in x ∈ [ε, a],
pri čemer smo z Ma označili maksimum zvezne funkcije f na intervalu [0, a],
hkrati pa je ∫ ε
0
Ma
Γ(α)
uα−1 du =
Ma
Γ(α)
· ε
α
α
.
Ker sta bila ε in a poljubna, je funkcija Iα(f) za 0 < α < 1 zvezna na
intervalu (0,∞). Hkrati pa je zvezna tudi v točki 0, saj iz ocene (14) sledi
lim
x→0
Iα(f)(x) = 0 = Iα(f)(0).
Za vsak α > 0 imamo torej operator
Iα : C([0,∞))→ C([0,∞)).
Do definicije odvodov ni več daleč. Preden jih definiramo, pa preverimo,
da integrali zadoščajo ekvivalentni kompozicijski enakosti, kot jo pričaku-
jemo od odvodov (glej enakost (1)).
Izrek 9. Za vsaki realni števili α, β ≥ 0 in vsako funkcijo f ∈ C([0,∞))
velja Iα(Iβ(f)) = Iα+β(f).
Dokaz. Če je α = 0 ali β = 0, ni kaj dokazovati, zato predpostavimo, da sta
α, β > 0. Po definiciji je
Iα(Iβ(f))(x) =
∫ x
0
(∫ t
0
f(u)
(t− u)β−1
Γ(β)
du
)
(x− t)α−1
Γ(α)
dt
=
∫ x
0
(∫ t
0
f(u)
(t− u)β−1
Γ(β)
(x− t)α−1
Γ(α)
du
)
dt.
Označimo z Mx maksimum funkcije f na intervalu [0, x]. Z nekaj računanja
se lahko prepričamo, da velja∫ x
0
(∫ t
0
∣∣∣∣f(u)(t− u)β−1Γ(β) (x− t)α−1Γ(α)
∣∣∣∣ du) dt ≤Mx · xα+βΓ(α+ β + 1)
1Običajna različica Weierstrassovega M-testa govori o posplošenih integralih z eno od
mej ∞, glej [1, str. 268], vendar test deluje tudi za posplošene integrale, pri katerih
funkcija pod integralom v eni od mej ni definirana.
52 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 2
i
i
“Stopar” — 2018/11/9 — 7:40 — page 53 — #13 i
i
i
i
i
i
O polovičnem odvodu funkcije
za vse x ≥ 0. Torej smemo v dvakratnem integralu zamenjati vrstni red in-
tegriranja, saj notranja integrala v obeh dvakratnih integralih konvergirata
enakomerno
Iα(Iβ(f))(x) =
∫ x
0
(∫ x
u
f(u)
(t− u)β−1
Γ(β)
(x− t)α−1
Γ(α)
dt
)
du
=
∫ x
0
(
f(u)
∫ x
u
(t− u)β−1
Γ(β)
(x− t)α−1
Γ(α)
dt
)
du.
V notranjem integralu vpeljemo novo spremenljivko s = t−ux−u . Tedaj je
(t− u)β−1(x− t)α−1dt =
(
s(x− u)
)β−1(
(1− s)(x− u)
)α−1
(x− u)ds
= sβ−1(1− s)α−1(x− u)α+β−1ds,
torej dobimo
Iα(Iβ(f))(x) =
∫ x
0
(
f(u)
(x− u)α+β−1
Γ(β)Γ(α)
∫ 1
0
sβ−1(1− s)α−1 ds
)
du.
Po definiciji 4 in trditvi 5 je∫ 1
0
sβ−1(1− s)α−1 ds = B(β, α) = Γ(β)Γ(α)
Γ(α+ β)
,
zato sledi
Iα(Iβ(f))(x) =
∫ x
0
f(u)
(x− u)α+β−1
Γ(α+ β)
du = Iα+β(f)(x).
Vrnimo se k definiciji odvodov. V tem razdelku bomo odvod reda α
funkcije f označili z Dα(f) namesto f (α). V posebnem je D(f) = D1(f)
prvi odvod funkcije f in za vsako naravno število n je Dn(f) običajni n-ti
odvod funkcije f . V teh primerih pomen operatorja Dn torej že poznamo.
Pri definiciji odvoda Dα(f) za preostala nenegativna realna števila α nam
bo v pomoč zveza med operatorjema D in I. Zanju veljata enakosti
D(I(f))(x) = f(x), (15)
I(D(f))(x) = f(x)− f(0), (16)
za vse x ≥ 0. Prva enakost sledi iz dejstva, da je I(f) primitivna funkcija
funkcije f , druga pa je posledica osnovnega izreka analize. Enakosti povesta,
41–59 53
i
i
“Stopar” — 2018/11/9 — 7:40 — page 54 — #14 i
i
i
i
i
i
Nik Stopar
da sta si operatorja D in I skoraj inverzna. Smiselno je zahtevati, da sta
tudi operatorja Dα in Iα na podoben način skoraj inverzna, le da se lahko
v drugi enakosti v tem primeru pojavijo drugačni členi namesto f(0). Tako
naj bi zadoščala vsaj enakosti
Dα(Iα(f))(x) = f(x) za vse x ≥ 0. (17)
Spomnimo se, da poleg tega od odvodov želimo, da zadoščajo enakosti
Dα(Dβ(f)) = Dα+β(f) (18)
za velik razred funkcij f (iz razdelka 3 že vemo, da za vse funkcije to ne bo
mogoče). Do definicije splošnega odvoda Dα pridemo tako, da ga izrazimo
s pomočjo operatorjev Iβ, β ≥ 0, in operatorjev Dn, n ∈ N. S pomočjo
enakosti (17) in (18) lahko na primer izrazimo
D
5
3 (f) = D
5
3 (D
1
3 (I
1
3 (f))) = D2(I
1
3 (f)).
Tako pridemo do naslednje definicije.
Definicija 10. Naj bo f ∈ C([0,∞)) in α ≥ 0 realno število. Pravimo, da
je funkcija f α-krat odvedljiva, če je za neko (in zato vsako) naravno število
n > α funkcija In−α(f)(x) n-krat odvedljiva v vsaki točki x ≥ 0. V tem
primeru odvod reda α funkcije f definiramo s formulo
Dα(f)(x) = Dn(In−α(f))(x) =
dn
dxn
(∫ x
0
f(t)
(x− t)n−α−1
Γ(n− α)
dt
)
za vse x ≥ 0. Če je odvod Dα(f)(x) zvezna funkcija, tedaj pravimo, da je
f α-krat zvezno odvedljiva.
Preveriti moramo, da je definicija neodvisna od izbire naravnega števila
n. Naj bosta n > α in k naravni števili. Ker je In−α(f) zvezna funkcija, iz
enakosti (1), izreka 9 in enakosti (15) sledi
Dn+k(In+k−α(f)) = Dn(Dk(Ik(In−α(f)))) = Dn(In−α(f)).
Torej je funkcija In−α(f)(x) n-krat odvedljiva natanko tedaj, ko je funkcija
In+k−α(f)(x) (n+k)-krat odvedljiva. Hkrati ta enakost pove, da je definicija
odvoda reda α neodvisna od izbire naravnega števila n. V posebnem iz
definicije in enakosti (15) sledi D0(f)(x) = D(I(f))(x) = f(x).
54 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 2
i
i
“Stopar” — 2018/11/9 — 7:40 — page 55 — #15 i
i
i
i
i
i
O polovičnem odvodu funkcije
Za potenčne funkcije f(x) = xr definicija 10 ne posploši definicije 6,
saj pri naši omejitvi na zvezne funkcije definicijo 10 lahko uporabimo le, če
je r ≥ 0. Velja pa, da se v tem primeru obe definiciji ujemata, kar bomo
preverili v razdelku 5. Izkaže se, da za −1 < r < 0 integral iz definicije 10 še
vedno obstaja, čeprav taka potenčna funkcija ni definirana v 0, za r ≤ −1
pa integral iz definicije ne obstaja več, saj ima potenčna funkcija v tem
primeru v 0 pol previsoke stopnje.
V definiciji odvoda Dα je točka 0 odlikovana točka, ker nastopa v spo-
dnji meji integrala. V definiciji bi lahko točko 0 zamenjali s katerokoli
drugo točko a in se omejili na funkcije, definirane na intervalu [a,∞). S
tem bi seveda dobili drugačno definicijo odvoda tudi za funkcije, definirane
na celotni realni osi. Razlog, da smo izbrali točko 0, je ta, da se v tem
primeru definicija ujema z definicijo odvoda potenčnih funkcij. Če bi name-
sto z intervalom [0,∞) delali z intervalom (−∞, 0], bi dobili desno različico
Riemann-Liouvillovega odvoda, pri čemer pa bi se tudi formula za odvod
nekoliko spremenila.
Bistvena razlika med običajnim odvodom f ′ in odvodom Dα(f) je v tem,
da je vrednost f ′(x0) odvisna le od vrednosti funkcije f v okolici točke x0,
medtem ko je vrednost Dα(f)(x0), α /∈ N, odvisna od vrednosti funkcije f
na celotnem intervalu [0,∞).
5. Lastnosti odvodov
V tem razdelku si bomo ogledali nekaj lastnosti odvodov. Preverimo najprej
veljavnost enakosti (17).
Trditev 11. Za vsako funkcijo f ∈ C([0,∞)) in vsako realno število α ≥ 0
velja
Dα(Iα(f))(x) = f(x)
za vse x ≥ 0.
Dokaz. Naj bo n > α naravno število. Z upoštevanjem definicije odvoda ter
izreka 9 izpeljemo Dα(Iα(f))(x) = Dn(In−α(Iα(f)))(x) = Dn(In(f)))(x).
Iz enakosti (15) sledi, da je rezultat enak f(x).
Pri veljavnosti enakosti (18) moramo biti nekoliko bolj previdni, saj velja
le, če je funkcija f »dovolj lepa«, kar ohlapno rečeno pomeni, da ima v točki
41–59 55
i
i
“Stopar” — 2018/11/9 — 7:40 — page 56 — #16 i
i
i
i
i
i
Nik Stopar
0 ničlo dovolj visoke stopnje. Natančneje, naj bo γ ≥ 0 in n najmanǰse
naravno število, da je n − γ > 0. Za funkcijo f ∈ C([0,∞)) pravimo, da
je regularna reda γ, če je funkcija g = In−γ(f) n-krat zvezno odvedljiva in
zanjo velja g(k)(0) = 0 za vse k = 0, 1, . . . , n− 1.
Izrek 12. Naj bosta α, β ≥ 0 realni števili in f ∈ C([0,∞)). Če je funkcija
f regularna reda α+ β, tedaj velja Dα(Dβ(f)) = Dα+β(f).
Dokaz izreka 12 lahko bralec najde v [4, Theorem 2.5]. Tukaj si bomo
ogledali le dokaz za primer polovičnih odvodov, torej ko je α = β = 12 .
Za dokaz bomo potrebovali še naslednjo lemo. Bralec naj jo primerja z
enakostjo (16).
Lema 13. Naj bo α > 0 realno število in f zvezno odvedljiva funkcija, de-
finirana na intervalu [0,∞). Tedaj je funkcija Iα(f) odvedljiva na intervalu
(0,∞) in velja
Iα(D(f))(x) = D(Iα(f))(x)− f(0)x
α−1
Γ(α)
za vse x > 0.
Dokaz. V integral reda α za funkcijo f vpeljemo novo spremenljivko u =
x− t, da dobimo
Iα(f)(x) =
∫ x
0
f(t)
(x− t)α−1
Γ(α)
dt =
∫ x
0
f(x− u)u
α−1
Γ(α)
du.
Po formuli za odvod integrala s parametrom velja
D(Iα(f))(x) =
d
dx
(∫ x
0
f(x− u)u
α−1
Γ(α)
du
)
=
∫ x
0
f ′(x− u)u
α−1
Γ(α)
du+ f(0)
xα−1
Γ(α)
. (19)
Ker smo odvajali posplošeni integral, preverimo še, da formulo za odvod res
smemo uporabiti. Naj bo a > ε > 0 in M ′a maksimum funkcije f
′(x) na
intervalu [0, a]. Ker je∣∣∣∣f ′(x− u)uα−1Γ(α)
∣∣∣∣ ≤ M ′aΓ(α)uα−1 za vse u ∈ [0, ε] in x ∈ [ε, a]
56 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 2
i
i
“Stopar” — 2018/11/9 — 7:40 — page 57 — #17 i
i
i
i
i
i
O polovičnem odvodu funkcije
in hkrati velja ∫ ε
0
M ′a
Γ(α)
uα−1 du =
M ′a
Γ(α)
· ε
α
α
,
po Weierstrassovem M-testu posplošeni integral
∫ ε
0
f ′(x− u)u
α−1
Γ(α)
du kon-
vergira enakomerno na intervalu [ε, a]. Ker sta ε in a poljubna, enakost (19)
velja za vse x > 0.
Sedaj v enakosti (19) v integral vpeljemo spremenljivko t = x − u, da
dobimo
D(Iα(f))(x) =
∫ x
0
f ′(t)
(x− t)α−1
Γ(α)
dt+ f(0)
xα−1
Γ(α)
= Iα(D(f))(x) + f(0)
xα−1
Γ(α)
.
Enakost iz leme od tod direktno sledi.
Posledica 14. Naj bo f zvezno odvedljiva funkcija, definirana na intervalu
[0,∞), za katero velja f(0) = 0. Tedaj velja D
1
2 (D
1
2 (f)) = D(f).
Dokaz. Pokažimo najprej, da je funkcija g = I
1
2 (f) zvezno odvedljiva. Ker
je f(0) = 0, iz enakosti (16) sledi I(f ′) = f . Torej velja
g = I
1
2 (I(f ′)) = I(I
1
2 (f ′)),
pri čemer je zadnja enakost posledica izreka 9. Ker je f ′ zvezna funkcija,
je tudi I
1
2 (f ′) zvezna funkcija, zato je po osnovnem izreku analize funkcija
I(I
1
2 (f ′)) zvezno odvedljiva.
Ker je torej g zvezno odvedljiva funkcija, za katero velja g(0) = 0, iz
leme 13 sledi
I
1
2 (D(g))(x) = D(I
1
2 (g))(x) za vse x > 0. (20)
Po izreku 9 in enakosti (15) je D(I
1
2 (g)) = D(I
1
2 (I
1
2 (f))) = D(I(f)) = f .
Ker je hkrati I
1
2 (D(g))(0) = 0 in f(0) = 0, iz enakosti (20) sledi
I
1
2 (D(g))(x) = f(x) za vse x ≥ 0.
Funkcija f je odvedljiva, zato lahko obe strani enakosti odvajamo in upo-
števamo definicijo funkcije g, da dobimo
D(I
1
2 (D(I
1
2 (f))))(x) = D(f)(x) za vse x ≥ 0.
41–59 57
i
i
“Stopar” — 2018/11/9 — 7:40 — page 58 — #18 i
i
i
i
i
i
Nik Stopar
Upoštevamo še definicijo odvoda D
1
2 (u) = D(I
1
2 (u)) in zaključimo
D
1
2 (D
1
2 (f))(x) = D(f)(x) za vse x ≥ 0.
Za konec preverimo še, da se za potenčno funkcijo xr, r ≥ 0, odvod iz
definicije 10 ujema z odvodom iz definicije 6.
Naj bo torej r ≥ 0 in β > 0. Tedaj je
Iβ(xr) =
∫ x
0
tr
(x− t)β−1
Γ(β)
dt.
V integral vpeljimo novo spremenljivko u = tx in ga preuredimo
Iβ(xr) =
∫ 1
0
(xu)r
(x− xu)β−1
Γ(β)
xdu =
xr+β
Γ(β)
∫ 1
0
ur(1− u)β−1 du.
V zadnjem integralu prepoznamo funkcijo beta, zato s pomočjo trditve 5
dobimo
Iβ(xr) =
xr+β
Γ(β)
B(r + 1, β) =
Γ(r + 1)
Γ(r + β + 1)
xr+β.
Naj bo sedaj α > 0 in n > α naravno število. Iz zadnje enakosti in defini-
cije 10 izpeljemo
Dα(xr) = Dn(In−α(xr)) = Dn
(
Γ(r + 1)
Γ(r + n− α+ 1)
xr+n−α
)
.
Odvod na desni poračunamo in dobimo
Dα(xr) =
Γ(r + 1)
Γ(r + n− α+ 1)
(r + n− α)(r + n− α− 1) · · · (r − α+ 1)xr−α.
Če je r − α ∈ Z−, je eden od faktorjev v produktu na desni strani enak 0,
saj so vsi faktorji cela števila, pri čemer je r+n−α ≥ 0 in r−α+ 1 ≤ 0. V
tem primeru je odvod enak 0. Če pa r−α /∈ Z−, tedaj z večkratno uporabo
trditve 2 izrazimo
Γ(r + n− α+ 1) = (r + n− α)(r + n− α− 1) · · · (r − α+ 1)Γ(r − α+ 1),
od koder zaključimo
Dα(xr) =
Γ(r + 1)
Γ(r − α+ 1)
xr−α.
58 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 2
i
i
“Stopar” — 2018/11/9 — 7:40 — page 59 — #19 i
i
i
i
i
i
O polovičnem odvodu funkcije
Vidimo, da se formula ujema z definicijo 6.
Kot smo že omenili na koncu razdelka 4, definicija 10 deluje na primer
tudi za funkcijo x−
1
2 , čeprav ta ni definirana v točki 0. Z enakim raču-
nom kot zgoraj izračunamo, da je D
1
2 (x−
1
2 ) ≡ 0, kar se prav tako ujema
z definicijo 6. Ta funkcija torej spet pokaže, da enakost (18) ne velja za
poljubne funkcije, zato so v posledici 14 dodatne predpostavke na funkcijo
res potrebne.
Če smo začeli s polovičnim odvodom, pa z njim še končajmo. Z uporabo
definicije in enakosti (8) lahko polovični odvod funkcije f zapǐsemo kot
D
1
2 (f)(x) =
d
dx
(
1√
π
∫ x
0
f(t)√
x− t
dt
)
.
Izkaže se, da je le za redke elementarne funkcije polovični odvod spet ele-
mentarna funkcija. Tako na primer funkcije D
1
2 (ex), D
1
2 (sinx) in D
1
2 (cosx)
niso elementarne. Vemo že, da so D
1
2 (xr), r > 0, elementarne funkcije, za
konec pa brez dokaza omenimo le še primer
D
1
2 (arctg(
√
x)) =
√
π
2
√
x+ 1
.
LITERATURA
[1] R. G. Bartle, The Elements of Real Analysis, Second edition, John Wiley & Sons,
Inc., New York, 1976.
[2] F. Križanič, Temelji realne matematične analize, Državna založba Slovenije, Lju-
bljana, 1990.
[3] W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Third edition, International Series in
Pure and Applied Mathematics, McGraw-Hill, Inc., New York, 1976.
[4] S. G. Samko, A. A. Kilbas in O. I. Marichev, Fractional Integrals and Derivatives,
Theory and Applications, Gordon and Breach Science Publishers, Switzerland, 1993.
http://www.dmfa-zaloznistvo.si/
41–59 59
i
i
“Mihovilovic” — 2018/11/9 — 7:41 — page 60 — #1 i
i
i
i
i
i
VLOGA GLUONOV V GLOBOKO NEELASTIČNEM
VIRTUALNEM COMPTONSKEM SIPANJU
MIHA MIHOVILOVIČ1,2,3 IN SIMON ŠIRCA2,1
1Institut Jožef Stefan, Ljubljana
2Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani
3Institut für Kernphysik, Johannes Gutenberg-Universität Mainz
PACS: 24.85.+p, 25.30.-c
Podrobnosti zgradbe protona zaposlujejo znanstvenike že od samih začetkov jedrske
fizike. Kmalu zatem, ko je Robert Hofstadter s pionirskimi meritvami elastičnega sipanja
elektronov ugotovil, da proton ni točkast, so poskusi razkrili zapleteno zgradbo protona
in pomagali vzpostaviti teorijo kvarkov in gluonov, imenovano kvantna kromodinamika.
Kakšna je dinamika teh osnovnih gradnikov protona in kako vplivajo na njegove lastnosti,
danes opisujemo s posplošenimi partonskimi porazdelitvami, primernimi za opis poraz-
delitve lege in gibalne količine posameznih gradnikov. Tako si lahko ustvarimo nekakšno
holografsko podobo protona, del te slike pa je mogoče izpolniti z meritvijo comptonskega
sipanja. V članku opisujemo tovrstno meritev v globoko neelastičnem režimu, s katero
smo potrdili trenutno sprejeti opis zgradbe protona in jasno identificirali vpliv gluonov.
GLIMPSE OF GLUONS THROUGH DEEPLY VIRTUAL COMPTON
SCATTERING
Details on the internal structure of the proton are puzzling scientists since the begin-
nings of nuclear physics. Soon after the pioneering measurements of Robert Hofstadter,
who discovered that the proton is not a point-like particle, the follow-up experiments
revealed its complicated structure and paved the way for quantum chromodynamics, the
theory of quarks and gluons. The dynamics of these fundamental constituents of the pro-
ton and of the way they influence its properties, are nowadays described by generalised
parton distribution functions. They are used to characterise the position and momen-
tum distributions of the constituents, allowing us to construct a holographic image of the
proton. A part of this image can be obtained by investigating deeply virtual Compton
scattering. In the paper we describe one such measurement which confirmed the presently
accepted description of proton structure and exhibited an intriguing sensitivity to gluons.
Vsa snov, iz katere je zgrajen naš svet, je sestavljena iz atomov, mi-
kroskopskih struktur, ki jih tvorijo elektroni ter v atomska jedra povezani
protoni in nevtroni. A že več kot pol stoletja vemo, da protoni in nevtroni
niso najmanǰsi delci snovi, temveč so sestavljeni iz še manǰsih gradnikov,
tako imenovanih partonov. V okviru teorije kvantne kromodinamike, s ka-
tero pojasnjujemo zgradbo protonov in nevtronov (kraǰse nukleonov), te
poskušamo opisati s kvarki, ki jih trenutno razumemo kot najosnovneǰse in
nedeljive gradnike snovi, ter s posredniki močne sile, gluoni, ki kvarke kot
nekakšno lepilo povezujejo v nukleone. Toda kljub poznavanju osnovnih
60 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 2
i
i
“Mihovilovic” — 2018/11/9 — 7:41 — page 61 — #2 i
i
i
i
i
i
Vloga gluonov v globoko neelastičnem virtualnem comptonskem sipanju
gradnikov in sil še vedno ne znamo dovolj natančno opisati osnovnih lastno-
sti nukleonov, kot sta prostorska porazdelitev naboja [1] ali izvor njegovega
spina [2, 3]. Za slednjega so modeli sprva napovedovali, da so zanj odgo-
vorni le valenčni kvarki, a meritve so pokazale, da ti v resnici ustvarijo le
30 % celotnega spina nukleona. Kaj prispeva preostalih 70 %, ni bilo jasno
in vznemirja fizike že več desetletij. Šele sodobni kvantnokromodinamski
izračuni nakazujejo, da k spinu znatno prispevajo tudi gluoni in kratkoživi
pari kvark-antikvark, ki se v nukleonih rojevajo in umirajo dinamično [4].
Obenem je treba upoštevati še to, da imajo kvarki poleg spina tudi tirno
vrtilno količino. Le tako izračuni pokažejo, da se celotna vrtilna količina
gradnikov nukleona pravilno sešteje v spin protona.
Močna sila [5], ki jo med kvarki posredujejo gluoni, učinkuje podobno kot
vzmet med žogicama, pritrjenima na njena konca. Ko sta si blizu, vzmet ni
raztegnjena in žogici ne čutita nobene sile, ko ju razmaknemo, pa se vzmet
napne in elastična sila ju poskuša znova zbližati. Podobno so kvarki znotraj
nukleonov skoraj prosti, ko jih poskušamo izvleči iz nukleona, pa se močna
sila med njimi tako zelo poveča, da jih nukleon posrka nazaj vase. Takšna
narava močne sile je vzrok, da kvarkov in gluonov nikoli ne vidimo kot
prostih delcev. Informacije o njih zato lahko dobimo le posredno, s študijem
njihovega obnašanja znotraj nukleona in njihovega vpliva na količine, ki
jih merimo med opazovanjem izbranih fizikalnih procesov. Različne jedrske
reakcije so namreč občutljive na različne podrobnosti zgradbe nukleonov. Če
želimo to zgradbo razumeti in natančno preveriti njeno teoretično ozadje,
torej ne zadošča en sam poskus, pač pa moramo opraviti mnogo različnih
meritev, ki vsaka iz svojega zornega kota osvetli raziskovani predmet.
Najnatančneǰsi vpogled v zgradbo nukleona in njegovih gradnikov omogo-
čajo eksperimenti s sipanjem elektronov. Elektromagnetna interakcija, preko
katere elektroni interagirajo s protoni — v žargonu ji pravimo kar elek-
tromagnetna sonda — je precej šibkeǰsa od močne interakcije, obenem pa
je z uporabo kvantne elektrodinamike točno izračunljiva. To nam omogoča
neposreden in zelo natančen vpogled v najmanǰse podrobnosti strukture nu-
kleona. Kako prodorna je elektromagnetna sonda, pa je odvisno od gibalne
količine elektronov, s katerimi opazujemo nukleon, in jo lahko ocenimo z
uporabo Heisenbergove neenakosti, ki povezuje prostorsko nedoločenost in
gibalno količino:
∆x ≥ ~
p
≈ 200 MeV fm
pc
.
Če želimo proučevati protone, ki imajo velikost približno enega femtometra,
potrebujemo elektrone z gibalnimi količinami, večjimi od nekaj 100 MeV/c,
60–69 61
i
i
“Mihovilovic” — 2018/11/9 — 7:41 — page 62 — #3 i
i
i
i
i
i
Miha Mihovilovič in Simon Širca
kakršne dobimo v pospeševalnikih elektronov. Trenutno najzmogljiveǰsi je
pospeševalnik CEBAF amerǐskega nacionalnega laboratorija Thomas Jeffer-
son National Accelerator Facility (Jefferson Lab) v ZDA. Zagotavlja zvezen
žarek polariziranih elektronov z energijami do 12 GeV. V njem polarizirane
elektrone ustvarijo s posebnim izvorom delcev, kjer z lasersko svetlobo iz
polprevodnǐske katode izbijajo elektrone z dobro določeno sučnostjo. Ele-
ktrone nato vodijo v glavni del pospeševalnika, kjer delci do petkrat pre-
letijo linearni pospeševalni stopnji, v katerih vsakokrat pridobijo energijo
800 MeV. Pospešene delce nato skozi visokofrekvenčni delilnik usmerijo v
tri eksperimentalne dvorane za uporabo v poskusih. Največja med njimi
je dvorana A [6], opremljena z visokoločljivimi magnetnimi spektrometri.
V kombinaciji z različnimi jedrskimi tarčami ti omogočajo precizijski štu-
dij različnih jedrskih reakcij in hadronskih struktur. Spektrometre sestavlja
niz superprevodnih magnetov, ki jim sledi sestav za detekcijo in karakteri-
zacijo delcev. Vse skupaj je nameščeno na premično, motorizirano ploščad,
ki 1000 t težke in 25 m dolge spektrometre z natančnostjo, bolǰso od 0,01◦,
vrtijo okoli osǐsča, pri tem pa se njihovo gorǐsče ne premakne za več kot
1 mm od interakcijske točke, kjer elektronski žarek zadene tarčo.
Visokoenergijski elektron z energijo E ob interakciji z jedrom del svoje
energije in gibalne količine preda jedru v obliki virtualnega fotona, kvanta
elektromagnetne interakcije, sam pa se odkloni in zapusti tarčo z drugačno
energijo, E′, in v drugi smeri, θe, kjer ga zaznamo s spektrometrom. Poraz-
delitvi zaznanih delcev po kotu in energiji določata sipalni presek. Celotni
sipalni presek σ ali diferencialni sipalni presek dσ sta količini, ki ju navadno
merimo v jedrskih poskusih in sta povezani s številom zaznanih delcev na
časovno enoto
Ṅ(θe, E,E
′) = Lσ(θ,E,E′) = L
∫
∆Ω
(
dσ(θ, E,E′)
dΩ
)
dΩ .
Tu je ∆Ω kotna sprejemljivost spektrometra, L pa svetilnost, določena s
številsko gostoto toka vpadnih elektronov in s ploskovno gostoto ter masnim
številom tarče.
Prvo informacijo, prvi vtis o zgradbi nukleona dobimo s študijem ela-
stičnega sipanja elektronov na protonih. V teh procesih virtualni foton na
nukleon prenese razmeroma majhno energijo, zato z njimi otipavamo nje-
govi porazdelitvi naboja in magnetizacije, določeni s prostorsko porazdeli-
tvijo kvarkov v njem. To fizikalno vsebino parametriziramo z oblikovnima
faktorjema GE(Q
2) in GM(Q
2), ki ju je mogoče tolmačiti kot Fourierovi
62 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 2
i
i
“Mihovilovic” — 2018/11/9 — 7:41 — page 63 — #4 i
i
i
i
i
i
Vloga gluonov v globoko neelastičnem virtualnem comptonskem sipanju
transformiranki porazdelitve naboja in magnetizacije [7]:
GE,M(Q
2) ≈
∫
ρE,M(~r)e
i~r·~q/~d3~r .
Oblikovna faktorja sta funkciji kvadrata četverca prenosa gibalne količine in
ju določimo tako, da izmerjeni sipalni presek (dσ/dΩ)ep primerjamo z izra-
čunanim presekom (dσ/dΩ)0 za sipanje elektronov na točkastih brezspinskih
delcih:
(
dσ
dΩ
)
ep
=
(
dσ
dΩ
)
0
1
1 + τ
[
G2E(Q
2) +G2M(Q
2)τ
(
1 + 2(1 + τ) tan2
θe
2
)]
.
Pri tem je τ = Q2/(2Mp)
2 in Mp je masa protona. Meritve so pokazale,
da lahko oblikovna faktorja protona približno opǐsemo s tako imenovano
dipolno funkcijo oblike G(Q2) = 1/(1 +Q2/Λ2)2, kjer je Λ prost parameter.
Tej funkciji ustreza eksponentna porazdelitev naboja in magnetizacije, glej
sliko 1. To je bil prvi dokaz, da proton (in kasneje tudi nevtron) ni preprost
Diracov (točkast) delec, pač pa razsežen objekt s povprečnim nabojnim
radijem 0,88 fm [8, 9].
npr. 12C
oscilirajoča
Prenos gibalne količine Q2
npr. 6Li
normalni
O
bl
ik
ov
ni
fa
kt
or
∣ ∣ G
( Q
2)
∣ ∣
npr. proton
dipol
npr. elektron
točkast
robom
sfera z difuznim
polmer r
normalna
go
st
ot
a
ρ(
r) eksponentna
točkasta
Slika 1. Zveza med oblikovnim faktorjem G(Q2) in krogelno simetrično porazdelitvijo
naboja ρ(r). Konstanten oblikovni faktor ustreza točkastemu naboju, kar velja, denimo, za
elektron. Dipolni oblikovni faktor ustreza eksponentni porazdelitvi naboja, kar približno
velja za proton. Oblikovni faktor z obliko Gaussove funkcije opisuje normalno porazdelitev
naboja. Homogeno nabiti krogli ustreza oscilirajoči oblikovni faktor.
60–69 63
i
i
“Mihovilovic” — 2018/11/9 — 7:41 — page 64 — #5 i
i
i
i
i
i
Miha Mihovilovič in Simon Širca
Pri energijah elektronskega žarka nad 1 GeV dobi elektromagnetna sonda
dovolj visoko ločljivost, da z njo vidimo v notranjost nukleona, še več, z raz-
položljivimi pospeševalniki lahko energijo povečamo do te mere, da proton
za virtualne fotone postane praktično prosojen, kar nam omogoči razisko-
vanje njegovih posameznih gradnikov, partonov. Presek za sipanje elektro-
nov na kvarkih (gluoni so brez naboja in ne interagirajo elektromagnetno)
lahko zapǐsemo podobno kot presek za elastično sipanje elektronov na pro-
tonih, vendar v njem namesto elastičnih oblikovnih faktorjev GE in GM
nastopata strukturni funkciji F1 in F2, odvisni od Bjorkenovega parametra
x = Q2/(2M(E − E′)), brezdimenzijskega razmerja, ki nam pove, kolikšen
delež gibalne količine nukleona nosi obsevani parton. Obenem presek ni več
odvisen le od prostorskega kota Ω, temveč tudi od energije E′:
(
d2σ
dE′dΩ
)
ep
=
(
dσ
dΩ
)
0
[
1
E − E′
F2(x) cos
2 θe
2
+
2
M
F1(ω,Q
2) sin2
θe
2
]
.
Strukturni funkciji F1 in F2, ki ju določimo z meritvijo tega preseka, razkri-
vata podrobnosti o zgradbi protona, predvsem porazdelitev gibalne količine
nukleona po posameznih partonih, saj ju lahko zapǐsemo kot
F1 (x) =
∑
i
e2i x fi(x) , F2 (x) =
1
2 x
∑
i
e2i x fi(x) .
Tu indeks i teče po vseh partonih z naboji ei, fi(x) pa označujejo ustrezne
longitudinalne partonske porazdelitve, glej sliko 2. Analiza tega enorazse-
žnega prereza nukleona po gibalni količini, povzeta na sliki 3, je razkrila,
da proton tvorijo trije kvarki, med seboj povezani z gluoni. Poleg treh
valenčnih kvarkov pa prostornino nukleona zapolnjujejo še kratkoživi pari
kvark-antikvark, ki se v nukleonu nenehno rojevajo in ugašajo.
Opis zgradbe nukleona je mogoče nadgraditi z uporabo tako imenova-
nih posplošenih partonskih funkcij (PPF) [12]. Te vključujejo korelacije
med lego kvarka v transverzalni ravnini in njegovo gibalno količino v lon-
gitudinalni smeri, kar v posebnem koordinatnem sistemu omogoči izdelavo
trirazsežne slike njegove zgradbe, torej nekakšno hadronsko tomografijo nu-
kleona [13]. Ker so PPF zelo zapleteni matematični objekti, potrebujemo
dolgo vrsto eksperimentov, da bi lahko natančno določili njihove lastno-
sti in pridobili informacije o trirazsežni podobi nukleona. Pri tem ne za-
došča več meritev inkluzivnih sipalnih presekov, pri katerih zaznavamo le
sipane elektrone, temveč moramo opazovati bolj zapletene procese. Eden
od glavnih načinov za določanje PPF je opazovanje polariziranega globoko
virtualnega comptonskega sipanja (GVCS) in študij ustrezne kompleksne
64 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 2
i
i
“Mihovilovic” — 2018/11/9 — 7:41 — page 65 — #6 i
i
i
i
i
i
Vloga gluonov v globoko neelastičnem virtualnem comptonskem sipanju
Slika 2. Oblike partonskih porazdelitev fi(x) ob predpostavljeni zgradbi nukleona. Če
bi bil proton sestavljen le iz enega »kvarka«, bi v eksperimentu opazili le »funkcijo« δ
pri x = 1. V primeru, da bi bil proton zgrajen iz treh nepovezanih valenčnih kvarkov z
enakimi masami, bi vsak od njih nosil tretjino gibalne količine in porazdelitev bi imela
ostro konico pri x = 1/3. Če trije kvarki interagirajo z izmenjavo gluonov, preko katerih
si lahko izmenjujejo gibalno količino, pričakujemo zvonasto obliko porazdelitve z vrhom
pri x = 1/3. Če pa upoštevamo, da so poleg valenčnih kvarkov v nukleonih prisotni tudi
kratkoživi pari kvark-antikvark z majhnimi deleži nukleonove gibalne količine, pa dobimo
obliko funkcije, kot jo prikazuje skrajno desna slika, ki ustreza meritvam.
amplitude TGVCS, ki je odvisna od štirih PPF protona. V ta namen na pro-
tonih sipamo visokoenergijske elektrone, ki elektromagnetno interagirajo s
kvarki v protonu, v končnem stanju reakcije pa se iz protona rodi foton, ki
ga v koincidenci s sipanim elektronom zaznamo z detektorji. Pri tem mo-
ramo upoštevati, da enako končno stanje (elektron in foton) izmerimo tudi v
konkurenčnih Bethe-Heitlerjevih procesih, kjer elektroni rodijo fotone in jih
opǐsemo z amplitudo TBH, glej sliko 4. Celotni presek za reakcijo ep→ epγ
torej zapǐsemo kot
d4σ(h)
dQ2dx dtdΦ
=
d2σ0
dQ2dx
[
|TBH|2 + |TGVCS|2 + I (TBH, TGVCS)
]
, (1)
kjer je I (TBH, TGVCS) interferenca med amplitudama za Bethe-Heitlerjev
in comptonski proces. Pri tem je h sučnost vpadnega elektrona, Φ pa kot
med ravnino, ki jo določata vpadni in sipani elektron, ter ravnino, v kateri
ležita virtualni in izsevani realni foton. Iz izraza za presek vidimo, da pri-
spevek zavornega sevanja zastira pogled v reakcijo GVCS. Na srečo znamo
prispevek tega procesa natančno izračunati [14], zato ga lahko s pomočjo ra-
čunalnǐskih simulacij odštejemo od izmerjenih spektrov. Po drugi strani pa
vidimo, da ločena meritev člena |TGVCS|2 sama na sebi ne omogoča rekon-
strukcije trirazsežne slike nukleona, saj z njo dobimo informacijo o velikosti
60–69 65
i
i
“Mihovilovic” — 2018/11/9 — 7:41 — page 66 — #7 i
i
i
i
i
i
Miha Mihovilovič in Simon Širca
Slika 3. Partonske porazdelitvene funkcije pri Q2 = 10 (GeV/c)2 [10]. Prispevki gluonov
in kratkoživih parov kvark-antikvark so zaradi preglednosti pomnoženi s faktorjem 0,05.
Slika 4. Shematski prikaz procesov, ki v prvem redu prispevajo k preseku za reakcijo
ep → epγ. V primeru virtualnega comptonskega sipanja končni realni foton rodi končni
tarčni proton. Pri Bethe-Heitlerjevih procesih pa ta ostane v osnovnem stanju in foton
izseva bodisi vpadni bodisi sipani elektron [11].
amplitude, izgubimo pa informacijo o kompleksni fazi. V preseku (1) ta
skrb odpade, saj v njem fazo lahko določimo iz interference med compton-
skim sipanjem in zavornim sevanjem. S tem si zagotovimo neodvisen dostop
tako do realnega kot tudi do imaginarnega dela TGVCS, ki ju potrebujemo
za izdelavo želene »tomografske slike«.
Za dovolj natančno določitev kompleksne amplitude za comptonsko si-
panje in pripadajočih PPF potrebujemo visokoločljive meritve kotne poraz-
delitve delcev ob znanih lastnostih elektronskega žarka. V ta namen je bilo
66 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 2
i
i
“Mihovilovic” — 2018/11/9 — 7:41 — page 67 — #8 i
i
i
i
i
i
Vloga gluonov v globoko neelastičnem virtualnem comptonskem sipanju
v laboratoriju Jefferson Lab in nemškem centru DESY doslej narejenih že
mnogo meritev na širokem kinematskem območju – glej sliko 5 – te pa se
bodo nadaljevale tudi v prihodnje. V poskusu, ki smo ga leta 2012 opravili v
okviru kolaboracije Hall A, pa smo ubrali drugačno pot [11]. Z uporabo ma-
gnetnih spektrometrov, ki omogočajo dva reda velikosti natančneǰse meritve
kot detektorji drugih skupin, smo na posebej izbranem kinematskem podro-
čju, kjer smo pričakovali le interakcijo elektronov s posameznimi kvarki, že-
leli preveriti natačnost trenutno razpoložljivega opisa PPF in amplitude za
comptonsko sipanje, ki iz njih sledi. Meritev preseka smo opravili z žarkom
polariziranih elektronov z energijami do 6 GeV v kombinaciji s kriogensko
vodikovo tarčo. Sipane delce smo zaznali s spektrometri, fotone pa z elektro-
magnetnim kalorimetrom, energijsko občutljivim detektorjem, sestavljenim
iz 200 kristalov svinčevega flourida.
Slika 5. Globoko virtualno comptonsko sipanje je mogoče opazovati tako v trkalnikih
(levo) kot tudi v eksperimentih s fiksno tarčo (desno). Grafa prikazujeta območja v
ravnini (x,Q2), ki so jih raziskali v različnih eksperimentih in ki jih je mogoče uporabiti
za določitev posplošenih partonskih funkcij [15].
Analiza izmerjenih podatkov je pokazala nepričakovano veliko občutlji-
vost meritev na vlogo gluonov v nukleonu. Rezultati na sliki 6 kažejo, da
je na izbranem kinematskem območju izmerjene sipalne preseke mogoče
razložiti z obstoječo teorijo, a le v primeru, da v opisu poleg osnovnega
perturbativnega diagrama, kjer foton interagira z enim kvarkom, upošte-
vamo tudi procese vǐsjega reda, pri katerih sodelujejo gluoni; glej sliko 7. Z
našim eksperimentom smo tako v okviru dosežene negotovosti potrdili tre-
nutni teoretski opis partonske dinamike ter vzpostavili novo oporno točko
60–69 67
i
i
“Mihovilovic” — 2018/11/9 — 7:41 — page 68 — #9 i
i
i
i
i
i
Miha Mihovilovič in Simon Širca
 (deg)Φ
0 100 200 300
4
n
b
/G
eV
0
0.1
0.2
σ4d
σ4∆
 (deg)Φ
0 100 200 300
4
n
b
/G
eV
0
0.05
0.1
Fit LT/LO
Fit HT
KM15
Slika 6. Izmerjeni sipalni preseki v odvisnosti od kota Φ med reakcijsko in sipalno ravnino
pri energiji elektronov 4,455 GeV (levo) in 5,55 GeV (desno). Ločeno sta prikazana od
sučnosti vpadnih elektronov neodvisni del sipalnega preseka, ∆4σ, in od sučnosti odvisni
del, d4σ. Primerjava z izračuni jasno kaže, da teoretični opis z upoštevanimi popravki
vǐsjega reda (HT+NLO) precej bolje opǐse podatke od tistega, ki vključuje le vodilne
diagrame (LO) [11].
Slika 7. Primeri Feynmanovih diagramov, ki nastopajo v GVCS. V prvem redu per-
turbativne kvantne kromodinamike (QCD) virtualni foton s četvercem gibane količine q
interagira s posameznim kvarkom znotraj protona p, ta pa po reakciji izseva realni foton
z gibalno količino q′. V limiti Q2 = −q2  m2p te procese obravnavamo kot kombi-
nacijo perturbativnega računa interakcije partona s fotonom (zgornja polovica slike) ter
neperturbativne strukture nukleona, ki jo opǐsemo s posplošenimi partonskimi funkcijami.
Meritve v okviru kolaboracije Hall A so pokazale, da za zadovoljiv opis meritev ne smemo
upoštevati zgolj vodilnega člena (LO), temveč tudi člene vǐsjih redov (NLO in HT), ki
opisujejo interakcije med kvarki in gluoni. V teh procesih x in −2ξ pomenita deleža longi-
tudinalne gibalne količine, ki ju nosita partona, udeležena v interakciji. Sučnosti fotonov,
ki prispevajo k posameznim amplitudam, so označene v oklepajih ob njih [11].
68 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 2
i
i
“Mihovilovic” — 2018/11/9 — 7:41 — page 69 — #10 i
i
i
i
i
i
Vloga gluonov v globoko neelastičnem virtualnem comptonskem sipanju
za natančno razumevanje vloge gluonov v protonu. Obenem smo pokazali,
da smo s sodobnimi poskusi dandanes zmožni izmeriti sipalne preseke tako
natančno, da za zadovoljiv teoretični opis comptonskega sipanja ne zado-
šča več zgolj osnovni reakcijski mehanizem, temveč moramo upoštevati tudi
popravke vǐsjega reda, ki vključujejo razmeroma slabo raziskane korelacije
med kvarki in gluoni. Doseženi uspeh je spodbudil nadaljnje meritve v
sklopu raziskovalnega programa, ki ga na nedavno dograjenem pospeševal-
niku CEBAF začenja laboratorij Jefferson Lab. Program, posvečen študiju
tako imenovane ekskluzivne elektroprodukcije fotonov, bo omogočil še po-
drobneǰsi vpogled v zgradbo nukleona skozi študij posplošenih partonskih
funkcij in še natančneǰso opredelitev vloge gluonov v njem.
LITERATURA
[1] R. Pohl et al., The size of the proton, Nature, 466:213, 2010.
[2] J. Ashman et al., A Measurement of the Spin Asymmetry and Determination of
the Structure Function g(1) in Deep Inelastic Muon-Proton Scattering, Phys. Lett.,
B206:364, 1988.
[3] J. Ashman et al., An Investigation of the Spin Structure of the Proton in Deep
Inelastic Scattering of Polarized Muons on Polarized Protons, Nucl. Phys., B328:1,
1989.
[4] C. Alexandrou, M. Constantinou, K. Hadjiyiannakou, K. Jansen, C. Kallidonis, G.
Koutsou, A. Vaquero Avilés-Casco in C. Wiese., Nucleon Spin and Momentum De-
composition Using Lattice QCD Simulations, Phys. Rev. Lett., 119:142002, 2017.
[5] N. Brambilla et al., QCD and Strongly Coupled Gauge Theories: Challenges and
Perspectives, Eur. Phys. J., C74:2981, 2014.
[6] J. Alcorn et al., Basic Instrumentation for Hall A at Jefferson Lab, Nucl. Instrum.
Meth., A522:294, 2004.
[7] M. Vanderhaeghen in T. Walcher, Long Range Structure of the Nucleon, Nucl. Phys.
News, 21:14, 2011.
[8] J. C. Bernauer et al., Electric and magnetic form factors of the proton, Phys. Rev.
C, 90:015206, 2014.
[9] P. J. Mohr, D. B. Newell in B. N. Taylor, Codata recommended values of the funda-
mental physical constants: 2014∗, Rev. Mod. Phys., 88:035009, 2016.
[10] R. Placakyte, Parton Distribution Functions, arXiv:1111.5452, 2011.
[11] M. Defurne et al, A glimpse of gluons through deeply virtual compton scattering on
the proton, Nature Commun., 8:1408, 2017.
[12] M. Guidal, H. Moutarde in M. Vanderhaeghen, Generalized Parton Distributions
in the valence region from Deeply Virtual Compton Scattering, Rept. Prog. Phys.,
76:066202, 2013.
[13] R. Dupre, M. Guidal in M. Vanderhaeghen, Tomographic image of the proton, Phys.
Rev., D95:011501, 2017.
[14] M. Vanderhaeghen, J. M. Friedrich, D. Lhuillier, D. Marchand, L. Van Hoorebeke in
J. Van de Wiele, Qed radiative corrections to virtual compton scattering, Phys. Rev.
C, 62:025501, 2000.
[15] K. Kumericki, S. Liuti in H. Moutarde, GPD phenomenology and DVCS fitting, Eur.
Phys. J., A52:157, 2016.
60–69 69
i
i
“Novica” — 2018/11/9 — 7:41 — page 70 — #1 i
i
i
i
i
i
VESTI
11. konferenca fizikov v osnovnih raziskavah
V petek, 23. novembra bo v hotelu Vita v Dobrni potekala že 11. nacionalna
konferenca fizikov v osnovnih raziskavah, ki jo vsaki dve leti organizira
Fakulteta za matematiko in fiziko ob pomoči Instituta »Jožef Stefan« in
pod pokroviteljstvom Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije.
Srečanja potekajo od leta 1998 in na njih so predstavljeni najodmevneǰsi in
najpomembneǰsi dosežki slovenske fizike zadnjih dveh let in hkrati razisko-
valno delo uspešnih raziskovalcev mlaǰse generacije. Vsakega srečanja se
udeleži skoraj 100 udeležencev iz vseh slovenskih fakultet in inštitutov, ki
se ukvarjajo z osnovnimi raziskavami v fiziki.
Na letošnjem srečanju bomo slǐsali 15 predavanj, od tega sedem vabljenih,
in si ogledali 45 plakatov, kjer bodo avtorji predstavili rezultate svojih
raziskav, hkrati pa se bodo lahko študentje vǐsjih letnikov fizike, ki se
tudi udeležijo tega srečanja, seznanili z različnimi področji raziskovalnega
dela v fiziki in možnimi mentorji njihovih diplomskih in magistrskih nalog.
Letošnji vabljeni predavatelji bodo prof. Denis Arčon, ki bo predstavil od-
kritje kvantne spinske tekočine, prof. Boštjan Golob bo predstavil iskanje
procesov onkraj Standardnega modela z detektorjem Belle na Japonskem,
prof. Borut Bajc bo predstavil koncept asimptotske varnosti v kvantni teoriji
polja, dr. Tanja Petrushevska bo predavala o raziskovanju supernov, doc.
Primož Rebernik Ribič bo predstavil nastanek femtosekundnih optičnih vrt-
incev v območju ekstremne ultravijolične svetlobe, doc. Lev Vidmar bo
predstavil teoretične raziskave termalizacije izoliranih kvantnih sistemov in
dr. Martin Klanǰsek eksperimentalno potrditev obstoja anyonov. Sloven-
ski fiziki se lahko v zadnjih letih pohvalijo z vrsto objav v najugledneǰsih
znastvenih revijah kot so Science, Nature, Nature Physics, Physical Review
Letters in drugih, tako da je enodnevno srečanje kar prekratko za celovito
predstavitev vseh dosežkov. Tudi na letošnjem srečanju si lahko tako obe-
tamo zanimive predstavitve in plodovite debate. Vsi podatki o srečanju so
na http://konfor.fmf.uni-lj.si/.
Miha Škarabot
70 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 2
i
i
“Prezelj” — 2018/11/9 — 7:43 — page 71 — #1 i
i
i
i
i
i
Matematične novice
Matematični adventni koledar
Vse ljubitelje matematičnih nalog med 3. in 21. decembrom 2018 vabimo k
reševanju nalog v Matematičnem adventnem koledarju na naslovu
http://advent.famnit.upr.si/
Za reševanje vsake naloge bo na voljo en dan (od polnoči do polnoči).
Osnovnošolci (8. in 9. razred) in dijaki lahko sodelujejo v nagradnem
delu tekmovanja, ki bo potekalo v treh kategorijah: 8. in 9. razred, 1. in 2.
letnik ter 3. in 4. letnik. V vsaki tekmovalni kategoriji bodo podeljene tri
enakovredne nagrade: USB ključek in majica. Vse učitelje zato naprošamo,
da svoje učence opozorijo na možnost sodelovanja in jim posredujejo spletni
naslov koledarja.
Za pokušino še naloga z lanskega koledarja v kategoriji 3. in 4. letnik.
Zaporedje a0, a1, . . . zadošča zvezam:
a0 = 2 , a2n = an , a2n+1 =
4an − 16
an + 4
.
Določite a2017.
Jasna Prezelj
Matematične novice
Igor Klep je prejel Nagrado za raziskave Novozelandskega
matematičnega društva
Igor Klep, profesor na Univerzi v Aucklandu, je dobil to Nagrado za razisko-
valno delo (Research Award) za leto 2017. Utemeljitev pravi, da je zaslužen
za »globoke in fundamentalne dosežke v realni algebraični geometriji in njeni
uporabi na raznih področjih, med drugim v teoriji operatorjev, optimizaciji,
konveksnosti in von Neumannovih algebrah . . . « To nagrado podeljujejo za
matematične raziskave, objavljene v revijah ali knjigah v zadnjih petih letih.
Kandidati morajo biti člani Novozelandskega matematičnega društva in biti
v obdobju raziskav vsaj tri leta rezidenti v Novi Zelandiji.
Poročilo o nagradi Klepu je bilo objavljeno tudi v marčni številki revije
Notices of the American Mathematical Society.
Igor Klep je doktoriral leta 2006 na FMF v Ljubljani. Njegov mentor
je bil Jaka Cimprič. Klep je bil skupaj s Cimpričem mentor pri doktoratu
Aljaža Zalarja leta 2017 na naši univerzi. Že leta 2013 je bil skupaj z
Janezom Povhom mentor pri doktoratu Kristijana Cafute, prav tako na
UL. Sam je bil letos v Aucklandu mentor pri doktoratu Juriju Volčiču.
Peter Legǐsa
Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 2 71
i
i
“Legisa” — 2018/11/5 — 8:27 — page 72 — #1 i
i
i
i
i
i
NOVE KNJIGE
Marta Zabret, MaRtematične prigode, DMFA–založnǐstvo, Ljub-
ljana 2017, 145 str.
Knjiga je unikaten izdelek. Gre za
zbirko kratkih zgodb, v katerih je
strnjeno zelo veliko število avtoričinih
življenjskih izkušenj. Del snovi sloni
na pripovedih, ki jih je avtorica več
kot desetletje objavljala v prilogi ča-
sopisa Dnevnik. Vendar je tudi to
napisala na novo.
Ko sem prvič dobil v roke del te
knjige, je bil med njimi, na prvem
mestu eden od (maloštevilnih) bolj
čustvenih zapisov, morda tisti z naslo-
vom . . . DO LJUBEZNI (ki je zdaj
umeščen na konec). Take stvari mi
je zmeraj nekako nerodno prebirati,
tako da sem sprva stvar odložil. Poz-
neje sem dobil celotno besedilo. Ko sem ga začel pregledovati, mi je bila
stvar bolj in bolj všeč in sem vse prebral v zelo kratkem času. Po manj kot
pol leta knjigo berem še enkrat in ugotavljam, da je v njej zbrano toliko za-
nimivih zgodb in izkušenj, da bi si jih zelo težko zapomnil ob prvem branju.
Tako sem užival tudi ob ponovnem srečanju.
Rdeča nit knjige sta matematika in šola. Izvemo za avtoričino pot do
matematične izobrazbe, za dileme v poučevanju. Eno od poglavij nosi naslov
BLIŠČ IN BEDA TEHNOLOGIJE. V boju s permisivnimi predpisi in do-
bičkarstvom (razdelek Državna šola, zlata jama) je Marta Zabret pokazala
veliko civilnega poguma in, kot lahko preberete, dosegla marsikaj.
Predvsem pa so zanimive zgodbe njenih dijakinj in dijakov. Avtorica je
zaradi zaščite zasebnosti seveda spremenila imena in morda še kaj drugega.
Besedila so izpiljena in večinoma napisana strnjeno; včasih prav mini-
malistično, brez odvečnih besed. Jezik je lep, bogat in izražanje pogosto
72 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 2
i
i
“Legisa” — 2018/11/5 — 8:27 — page 73 — #2 i
i
i
i
i
i
MaRtematične prigode
prav mojstrsko, tako da razumemo, zakaj je avtorica nihala med študijem
matematike in slovenščine. Očitno se s pisanjem ukvarja že dolgo in je na
tem področju dosegla, lahko rečemo, profesionalni nivo. Pisateljičin stil
bi bilo težko posnemati: včasih je pripoved bolj čustvena, drugič ironična
in sarkastična, tudi samokritična; najdemo tudi posrečen (in rahlo robat)
gorenjski humor.
Zgodbe lahko beremo samostojno; nekatere so tako kratke, da so pravza-
prav utrinki. Originalni so že naslovi. Zakva bom pa jest to rabu?! je
vprašanje, ki smo ga v tej ali podobni obliki srečali mnogi, ki smo pouče-
vali na smereh, pri katerih matematika ni ravno v ospredju. Pomoč ali
potuha govori o inštrukcijah; skoraj vsakega matematika so doletele prošnje
za tovrstne usluge (ki jih prosilci včasih pozabijo plačati). Z (ne ravno sim-
patičnimi) posebnostmi slovenskega narodnega značaja se ukvarja razdelek
Boš že videla.
Mnogi, ki učijo v osnovni ali srednji šoli (pa ne samo matematiko), bodo z
zanimanjem prebrali razdelek INTERNO, EKSTERNO, INFERNO. Težko
bi našli bolj strnjen, dobro premǐsljen in humoren prikaz problemov z in-
ternim in eksternim ocenjevanjem. Manj navdušeni nad tem razdelkom
bodo »helikopterski« starši in poklicni prodajalci »naprednih« in učen-
kam/dijakom »prijaznih« rešitev, ki se na koncu navadno izkažejo kot škod-
ljive za skoraj vse v šoli, razen morda za nekaj najbolj brezobzirnih in razva-
jenih posameznikov. Podrobno statistično analizo razkoraka med internimi
in eksternimi ocenami je na zadnjem občnem zboru DMFA v Vipavi pred-
stavil Darjo Felda. Martina opažanja se seveda ujemajo s temi podatki.
Knjiga ima tudi čisto matematične vsebine, denimo v obliki problemov:
Naloga Ena, večno zelena . . .
Naslovnico je lepo oblikovala Neža Vavpetič, matematično navdihnjene
izvirne in posrečene ilustracije ter vinjete sta prispevali Ariana Godicelj in
Ana Hafner.
Knjiga je nadvse dobrodošla novost in veseli me, da je njena avtorica
prav iz naših, matematičnih krogov.
Peter Legǐsa
Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 2 73
i
i
“Kovic” — 2018/11/6 — 7:51 — page 74 — #1 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
Tristan Needham, Visual Complex Analysis, Oxford University
Press Inc., New York, 1998, 592 strani.
Na staro kitajsko modrost, da ena slika
odtehta tisoč strani besedila, matema-
tiki (v svojem stremljenju k logični
strogosti) dostikrat pozabljamo.1 Pre-
tirano abstraktna razlaga brez uporabe
slik lahko vodi v nerazumljivost in po-
sledično učni neuspeh.2 Po drugi strani
pa nekateri moderni učbeniki komple-
ksne analize uporabljajo t. i. fazne port-
rete, ki reprezentirajo funkcije komple-
ksne spremenljivke kot barvne slike na
njihovih domenah.3 Morda je prav
Needhamova knjiga iz leta 1998 (s šte-
vilnimi črno-belimi slikami) utrla pot
nazorneǰsemu podajanju snovi na po-
dročju kompleksne analize in je zato
po svoje še vedno aktualna. Tako kot
glasbe ni mogoče resnično razumeti in doživeti le z analiziranjem, ne pa tudi
s poslušanjem, tako tudi matematike ni smiselno poskušati učiti ali razu-
meti brez pomoči slik. Prav ta misel je avtorja motivirala, da je napisal
knjigo, v kateri so temeljni pojmi in izreki kompleksne analize predstavljeni
na preprost in nazoren način. Idejo za pisanje takšne knjige o »geometriji
kompleksne ravnine« (Uvod, str. ix) je dobil ob študiju Newtonove Philo-
sophiae Naturalis Principia Mathematica iz leta 1687. Kot pravi sam, ga
je fascinirala Newtonova elegantna geometrijska metoda.4 Domislil se je,
da bi podobno, na geometriji osnovano metodo, lahko uporabil pri razlagi
1Nekateri avtorji so tezo o nepotrebnosti slik zagovarjali celo v geometriji! Tako je npr.
francoski matematik Jean Dieudonné (v knjigi Algebre linéaire et géométrie élémentaire
iz leta 1964) elementarno geometrijo aksiomatsko zgradil na pojmih vektorskega prostora.
2To misel potrjujejo tudi spoznanja moderne psihologije in pedagogike o tem, kako
novo snov usvajamo hitreje in bolje, če so v učenje smiselno vključeni različni senzorni
kanali, ki nagovarjajo različne vrste človekovih inteligenc.
3Glej npr. E. Wegert, Visual Complex Functions, 2012.
4Newtonova prvotna verzija infinitezimalnega računa iz leta 1665 je temeljila na upo-
rabi neskončnih vrst. Leibnizev »simbolični račun« je nastal okrog 1675. Newton, ki ni bil
najbolj zadovoljen z nobeno od teh prvih dveh različic, je svojo »geometrijsko različico«
infinitezimalnega računa razvil okrog leta 1680.
74 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 2
i
i
“Kovic” — 2018/11/6 — 7:51 — page 75 — #2 i
i
i
i
i
i
Visual Complex Analysis
osnovnih pojmov in rezultatov kompleksne analize.
Knjiga je pregledno razdeljena na 12 poglavij, vsako od njih se deli še
na manǰse enote in se konča z vajami.
V 1. poglavju Geometrija in kompleksna aritmetika so predstavljeni
ključni mejniki iz zgodovine kompleksnih števil. Ena izmed takih je bila
npr. Bombellijeva »drzna misel«, da se iz rešitve x = 3
√
2 + 11i+ 3
√
2− 11i,
ki jo po Cardanovih formulah dobimo iz kubične enačbe x3 = 15x + 4,
mora nekako dobiti realno rešitev x = 4. Predsodki v zvezi s kompleksnimi
števili so se postopoma umikali spoznanju o njihovi uporabnosti. Avtor se
precej potrudi, da bralcu pojasni zgodovinski in matematični kontekst z ra-
znimi pomembnimi odkritji o kompleksnih številih. Za Eulerjevo formulo
eiϕ = cosϕ+ i sinϕ predstavi dva argumenta, ki potrjujeta njeno veljavnost
na intuitivni, pred-logični ravni: kinematični argument s po enotski kro-
žnici gibajočim se delcem, ter argument s potenčnimi vrstami (str. 10–14).
Sledijo primeri uporabe kompleksnih števil v trigonometriji za izpeljevanje
raznih formul, kot je npr. 24 cos4 φ = 2 cos 4φ+8 cos 2φ+6, geometriji (npr.
za prikaz rotacij ter za lažje dokazovanje trditev, kot je npr. ta, da sta da-
ljici, ki povezujeta sredǐsči po dveh kvadratov nad nasprotnima stranicama
poljubnega četverokotnika v ravnini, pravokotni in enako dolgi), infinitezi-
malnem računu, algebri, ter pri operacijah z vektorji. Kompleksna števila
se naravno pojavijo tudi pri skrbnem premisleku o geometriji evklidske rav-
nine, konkretno lahko pravilo za množenje kompleksnih števil dobimo kot
posledico vedenja kompozitumov raztegov in rotacij.
V 2. poglavju avtor za vizualizacijo kompleksnih funkcij w = f(z) pred-
stavi z in njeno sliko w kot točki v kompleksni ravnini, in tako lahko f in-
terpretira kot transformacijo ravnine5. Tako je npr. preslikava z 7→ w = zn,
kjer je n naravno število, po prepisu v polarno obliko z = reiϕ in w = rneiϕn
prikazana kot razteg in razvitje »pahljače« okrog izhodǐsča. Ta vizualiza-
cija pa omogoča elegantno razrešitev paradoksa v zvezi z rešitvami kubičnih
enačb: čeprav se zdi, da bi po Cardanovih formulah morali imeti devet re-
šitev, se izkaže, da se Cardanova rešitev prevede na Vietovo. Prav tako
5Omeni pa tudi druge možnosti vizualizacije kompleksnih funkcij, npr. z vektorskim
poljem, kjer je kompleksno število f(z) upodobljeno z vektorjem izhajajočim iz z, pa
tudi z Riemannovimi ploskvami. Določeno predstavo o funkciji da tudi njena modu-
larna ploskev, kjer je nad točko z v trirazsežnem prostoru upodobljena njena absolu-
tna vrednost |f(z)|. V knjigi ni omenjeno domensko barvanje (opisano npr. na spletni
strani http://users.mai.liu.se/hanlu09/complex/domain_coloring.html), preprosta
tehnika, ki točki z priredi barvo njene slike w = f(z).
Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 2 75
i
i
“Kovic” — 2018/11/6 — 7:51 — page 76 — #3 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
posrečeno je razloženo, zakaj lahko potenčne vrste na robu konvergenčnega
kroga v okolici nekaterih točk »eksplodirajo« oziroma »podivjajo«. Po-
učna je tudi pot, po kateri lahko z elementarnimi sredstvi (uporaba težǐsč
in mnogokotnikov) postopoma pridemo do Gaussovega izreka o povprečni
vrednosti: Če je kompleksna funkcija f(z) izrazljiva s potenčno vrsto, in če
krog C (z radijem R in sredǐsčem k) leži znotraj konvergenčnega kroga te
potenčne vrste, potem je 〈f(z〉)C = 12π
∫ 2π
0 f(k +Re
iϕ)dϕ = f(k).
V 3. poglavju, posvečenem Möbiusovi transformaciji in inverziji, av-
tor pojasni zvezo Möbiusovih transformacij M(z) = az+bcz+d z neevklidskimi
geometrijami, Lorentzovo transformacijo 4-dimenzionalnega prostora-časa
in Einsteinovo teorijo relativnosti, pa tudi z dvorazmerjem [z, q, r, s] =
(z−q)(r−s)
(z−s)(r−q) . Reprezentira jih z 2 × 2 matrikami in pokaže, da imajo vse ne-
identične Möbiusove transformacije največ dve negibni točki. Po Kleinovi
ideji klasificira Möbiusove transformacije v štiri razrede: eliptične, hiperbo-
lične, loksodromske in parabolične. Vsakega od teh razredov tudi nazorno
vizualizira (s slikami, ki kažejo, kako oziroma kam se z Möbiusovimi transfor-
macijami preslikujejo posamezni krivočrtni štirikotniki iz različnih tlakovanj
kompleksne ravnine, prirejenih različnim Möbiusovim transformacijam).
Resnično čudovita uporabnost kompleksne inverzije, ki z = reiϕ preslika
v 1/(reiϕ) = (1/r)e−iϕ, preslikuje krožnice in premice v krožnice in premice
in ohranja kote, je prikazana na treh primerih. Najprej je uporabljena za
dokaz trditve, da sredǐsča neskončnega zaporedja dotikajočih se krogov med
dvema od znotraj dotikajočima se krožnicama ležijo na krožnici. Nato je
uporabljena za dokaz trditve, da zrcalne slike poljubne točke v notranjosti
četverokotnika s pravokotnima diagonalama prek njegovih stranic ležijo na
krožnici. Nazadnje je kompleksna inverzija uporabljena še za dokaz Ptole-
mejevega izreka, ki pravi, da je v tetivnem četverokotniku vsota produktov
nasprotnih stranic enaka produktu diagonal.
V 4. poglavju, posvečenem odvajanju kompleksnih funkcij, Needham
za opisovanje (in nazorno vizualno ponazoritev) lokalnega delovanja kom-
pleksnih funkcij z 7→ f(z), ki vsako kompleksno število, predstavljeno kot
vektor iz določene točke z, enako raztegne (ali skrči) in enako zavrti, vpelje
pojem »vrtinca« (angl. amplitwist). Nato pokaže, da so vse takšne »lokalno
vrtinčne« preslikave konformne (tj. ohranjajo kote med krivuljami in nji-
hovo orientacijo); in da se analitične ali holomorfne funkcije v točkah, kjer
je odvod različen od nič, lokalno obnašajo kot takšni vrtinci.
V 5. poglavju so z uporabo »infinitezimalne geometrije« na novo izpeljani
76 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 2
i
i
“Kovic” — 2018/11/6 — 7:51 — page 77 — #4 i
i
i
i
i
i
Visual Complex Analysis
Cauchy-Riemannovi pogoji za analitičnost funkcij v polarnih koordinatah
namesto kartezičnih. V razdelku o nebesni mehaniki je obravnavan problem,
kdaj se delec v centralnem polju sil (tj. v polju, kjer je velikost sile odvisna le
od oddaljenosti r od danega sredǐsča) giblje po elipsi. Da dobimo eliptično
tirnico le v dveh primerih (če sila linearno narašča z razdaljo: F (r) =
cr, ali če pada s kvadratom razdalje: F (r) = c/r2), se je zdelo Newtonu
zelo presenetljivo (»very remarkable«); kot je opazil Nobelov nagrajenec S.
Chandrasekhar, »si Newton nikjer drugje v Principih ni dovolil podobnega
izraza presenečenja.«
V 6. poglavju, ki obravnava neevklidsko geometrijo, Needham poudari
analogijo s kompleksnimi števili. Ta so bila po začetnem odporu dokončno
sprejeta kot matematično neproblematična šele po njihovi konkretni pred-
stavitvi v kompleksni ravnini. Presenetljivo podobno usodo so doživele ne-
evklidske geometrije Gaussa, Bolyaia in Lobačevskega. Uveljavile so se šele
po Beltramijevem odkritju, da se da hiperbolično geometrijo konkretno re-
prezentirati na t. i. Beltramijevi psevdosferi (sklenjeni ploskvi, sestavljeni iz
dveh neskončno dolgih lijakov, zlepljenih vzdolž njunega širšega roba, tako
da ta ploskev nima roba).
Sedmo poglavje obravnava preprost, a izjemno pomemben koncept ovoj-
nega števila (»winding number«), ki pove, kolikokrat sklenjena krivulja za-
okroži okrog dane točke, in njegovo uporabo v topologiji.
Osmo poglavje obravnava kompleksno integracijo in Cauchyjev izrek:
Če analitična funkcija nima nobenih singularnosti znotraj dane sklenjene
krivulje, potem je njen integral po tej krivulji ničeln. Kot intuitivno razlago
veljavnosti tega izreka nam avtor ponudi trditev, da če sklenjeno krivuljo
lahko deformiramo in skrčimo v točko, ne da bi prečkali kakšno singularnost,
potem je integral analitične funkcije po njej enak nič.
Deveto poglavje je namenjeno uporabi Cauchyjeve formule, ki pove, da
če je kompleksna funkcija f(z) analitična na enostavni sklenjeni krivulji L
in znotraj nje, in če je a točka znotraj L, potem je 12πi
∮ f(z)
z−adz = f(a). Iz
Cauchyjeve formule izpelje tri osnovne lastnosti analitičnih funkcij: da so
neskončnokrat odvedljive, da se v okolici regularnih točk izražajo s Taylor-
jevo vrsto, v okolici singularnih točk pa z Laurentovo vrsto.
V 10. poglavju so kompleksne funkcije upodobljene kot vektorska polja,
ta reprezentacija pa je uporabna tudi v fiziki in topologiji. To poglavje, v
katerem je podan tudi Hopfov dokaz Poincaré-Hopfovega izreka6, lahko po
6Ena od posledic tega izreka je, da na sferi S2 ne more obstajati gladko vektorsko
Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 2 77
i
i
“Kovic” — 2018/11/6 — 7:51 — page 78 — #5 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
avtorjevih besedah bralcu služi kot motivacija za nadaljnji študij Rieman-
novih ploskev.7
Enajsto poglavje obravnava vektorska polja in kompleksno integracijo.
Dvanajsto poglavje govori o tokovih in harmoničnih funkcijah. Tokovi,
ki v svojem teku od izvorov do ponorov naletijo na različne ovire, so pred-
stavljeni z nazornimi slikami, ki pomagajo k razumevanju njihove strukture.
Da bi bila vsebina knjige kar se da privlačna za bralca, jo je avtor po
lastnih besedah ubesedil in oblikoval tako, kot bi ideje razlagal v živo ka-
kšnemu prijatelju. Bralcu pomaga aktivno sodelovati pri razvijanju idej in
napredovanju v razumevanju na ta način, da mu v posebni obliki že med
samim tekstom (ne le na koncih poglavij) ponuja vaje, v katerih mora sam
izdelati podrobnosti v zaporedju jasno določenih opornih točk na poti do
rešitve. Te vaje pripomorejo tudi k poglabljanju razumevanja teorije (tako
npr. vaja 6 na str. 468 nazorno vizualizira razliko med eliptičnimi, parabo-
ličnimi in hiperboličnimi tipi vektorskih polj v okolici dane točke).
Med didaktičnimi poudarki knjige je treba omeniti tudi avtorjevo spod-
bujanje bralca, da pri svojem matematičnem raziskovanju uporablja raču-
nalnik, podobno kot fizik uporablja svoj laboratorij oziroma eksperimente
– »za preverjanje obstoječih idej o tem, kako je konstruiran svet, ali kot
sredstvo za odkrivanje novih pojavov, ki potem zahtevajo nove ideje za nji-
hovo razlago.« Da se ta misel danes matematikom zdi že skoraj sama po
sebi umevna, so v veliki meri pripomogle tudi knjige, kot je Needhamova
Visual Complex Analysis, ki bralcu ne predaja le določenega znanja, temveč
spodbuja in krepi tako bralčevo aktivno sodelovanje pri izgradnji razumeva-
nja konkretne matematične vsebine kot tudi njegove splošne matematične
sposobnosti in veščine.
Čeprav je vsebina knjige zahtevna, ali pa morda prav zato, je bila avtor-
jeva odločitev, da bralca pritegne in motivira z intuitivnimi argumenti ter
sugestivnimi slikami, posrečena. Morda je kljub temu dobra ideja ob njej
vzporedno študirati še kakšen drug standarden učbenik kompleksne analize
in si tako dodatno razjasniti morebitna težja mesta.
Jurij Kovič
polje brez negibnih točk, kar se da formulirati tudi tako, da se sfere ne da počesati brez
vrtincev.
7Posebej naj bi npr. to poglavje bralcu omogočalo lažje branje Kleinove knjige On Rie-
mann’s Theory of Algebraic Functions and Two Integrals iz leta 1881, ki sledi Riemannovi
originalni predstavitvi multifunkcij s tokovi na ploskvah v prostoru.
78 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 2
i
i
“Razpet” — 2018/11/6 — 7:52 — page 79 — #1 i
i
i
i
i
i
Mathematicians Fleeing from Nazi Germany
Reinhard Siegmund-Schultze, Mathematicians Fleeing from Nazi
Germany, Individual Fates and Global Impact, Princeton Univer-
sity Press, Princeton and Oxford, 2009, 502 strani.
Konec januarja 1933 so v Nemčiji
prǐsli na oblast nacisti pod vod-
stvom Adolfa Hitlerja. Takoj so
začeli izvajati svoj peklenski na-
črt, ki je vključeval tudi dokončno
rešitev židovskega vprašanja. Že
7. aprila 1933 so sprejeli Zakon o
strokovni javni službi, ki je bil uper-
jen predvsem proti Židom in po-
litičnim nasprotnikom nacistov v
javnih službah. Po tem zakonu so
bili ljudje židovskega izvora (do-
volj je bilo, da je bil eden od nji-
hovih starih staršev Žid) iz javnih
služb odpuščeni ali prisilno upoko-
jeni. Težave so imeli tudi tisti iz
nemško-židovskih zakonov. Zakon
je med drugimi prizadel tudi učitelje, visokošolske profesorje in pravnike.
Sprva so bili izjeme le tisti, ki so se izkazali v prvi svetovni vojni na nemški
strani oziroma na strani nemških zaveznikov. S kasneǰso novo odredbo pa
so bili odpuščeni do konca leta 1935 vsi javni uslužbenci židovskega rodu. Iz
leta v leto se je sistematično preganjanje Židov v Nemčiji samo še stopnje-
valo ter se preneslo tudi na anektirane in v drugi svetovni vojni okupirane
dežele. Na nemških univerzah se je po letu 1933 dogajalo marsikaj, na pri-
mer bojkot predavanj židovskih profesorjev in sovraštvo do židovskih štu-
dentov. Težave so nastopile pri dokončanju študija, objavah, habilitacijah
itd. Še tako bleščeča znanstvena dela židovskih avtorjev so bila nenadoma
razvrednotena.
Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 2 79
i
i
“Razpet” — 2018/11/6 — 7:52 — page 80 — #2 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
V takih razmerah je bilo prizadetim profesorjem in znanstvenikom naj-
bolje zapustiti državo, kar ni bilo prav enostavno. To v evropski zgodovini
ni bilo prvič. Zaradi oktobrske revolucije so mnogi zapustili Rusijo oziroma
Sovjetsko zvezo, po pohodu na Rim leta 1922 pa Italijo. V vsakem primeru
je šlo za velik beg možganov, od katerega so imele največ koristi države, ki
so sprejele ubežnike.
Avtor knjige, ki jo predstavljamo, obravnava predvsem izseljevanje mate-
matikov iz Evrope med nacistično vladavino. Knjiga je temeljito dokumen-
tirano delo, ki se ukvarja s tovrstno problematiko, verjetno celo eno prvih.
Uporablja tudi nekatere arhivske vire, ki jih prej še nihče ni proučeval. Prav-
zaprav je delo precej razširjen prevod nemške izdaje iz leta 1998. Opisuje
odhod 145 matematikov iz nacistične Nemčije, njihove razloge za odhod,
njihove gmotne in druge probleme v zvezi z odhodom, sprejem izseljencev
v razne države, pridobivanje novega državljanstva in poudarja njihove pri-
spevke k razvoju matematike v svetovnem merilu. Priliv številnih odličnih
matematikov v druge države je imel za posledico temeljito preoblikovanje
matematičnih znanosti, zlasti v ZDA, ki so se na ta račun povzpele na vo-
dilno mesto v matematičnih raziskavah. Veliko emigrantov je nadaljevalo s
svojim znanstvenim delom na prestižnih amerǐskih univerzah in inštitutih,
kot sta na primer Harvard in Princeton. Posledično je angleščina postopoma
postala prevladujoči jezik v znanostih.
Navedimo nekaj bolj znanih imen izseljencev, ki smo jih srečali pri štu-
diju matematike: Emil Artin (1898–1962), Felix Bernstein (1878–1956), Ri-
chard Courant (1888–1972), Max Dehn (1878–1952), Adolf Fraenkel
(1891–1965), Kurt Gödel (1906–1978), Richard von Mises (1883–1953), Otto
Neugebauer (1899–1990), Johann von Neumann (1903–1957), Emmy Noet-
her (1882–1935), Georg Pólya (1887–1985), Hans Rademacher (1892–1969),
Issai Schur (1875–1941), Olga Taussky-Todd (1906–1995), Otto Toeplitz
(1881–1940), Hermann Weyl (1885–1955), Max Zorn (1906–1993). Nekateri
od prvih izseljencev so izdatno pomagali mnogim, da so jim lahko sledili,
na primer Richard Courant in Hermann Weyl.
80 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 2
i
i
“Razpet” — 2018/11/6 — 7:52 — page 81 — #3 i
i
i
i
i
i
Mathematicians Fleeing from Nazi Germany
Avtor podrobno raziskuje prefinjene mehanizme za izgon matematikov
z univerz in iz Nemčije, opisuje, kako so se vključevali v družbo v državah,
ki so jih sprejele, in usode matematikov, ki se jim ni uspelo izseliti. Od
teh je navedenih 14 matematikov, ki so bili umorjeni ali prisiljeni narediti
samomor. Med temi so bili na primer znani matematiki Otto Blumenthal
(1876–1944), Friedrich Hartogs (1874–1943), Felix Hausdorff (1868–1942),
Georg Pick (1859–1942) in Alfred Tauber (1866–1942). Sledi še seznam 72
matematikov, ki so bili tako ali drugače preganjani, predvsem iz političnih
razlogov. Med njimi so zelo znani Erich Kamke (1890–1961), Edmund Lan-
dau (1877–1938) in Ernst Zermelo (1871–1953). Pri tem se je treba zavedati,
da objavljeni seznami morda niso popolni.
Do leta 1933 je bila matematika v Göttingenu v velikem razcvetu, tako
da lahko govorimo kar o göttingenski matematiki. Tam so delovali priznani
matematiki, na primer Felix Klein (1849–1925) in David Hilbert (1862–
1943). Mnogi so se zadrževali v Göttingenu na izpopolnjevanju le za kraǰsi
čas, med temi je bil v akademskem letu 1900/1 tudi naš Josip Plemelj (1873–
1967), mnogi pa so tam doktorirali. Po letu 1933 je zaradi odhoda židovskih
matematikov göttingenska matematika praktično zamrla. Ko je leta 1934
Hilberta na nekem banketu nemški prosvetni minister vprašal, kako je kaj
z matematičnim inštitutom v Göttingenu, potem ko so odšli židovski profe-
sorji in njihovi prijatelji, je Hilbert odvrnil: »Inštitut? Tega sploh ni več.«
Reinhard Siegmund-Schultze, rojen leta 1953 v Cantorjevem mestu Halle,
avtor predstavljene knjige, je profesor zgodovine matematike na univerzi v
Agderju na Norveškem. Napisal je že več knjig, ki obravnavajo matematike
in njihove usode v nacistični Nemčiji. Od leta 2000 je član Mednarodne
akademije zgodovine znanosti v Parizu, od leta 2016 pa sourednik revije
Historia Mathematica.
Marko Razpet
Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 2 VII
i
i
“kolofon” — 2018/11/9 — 7:45 — page 2 — #2 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
LJUBLJANA, MAREC 2018
Letnik 65, številka 2
ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53
VSEBINA
Članki Strani
O polovičnem odvodu funkcije (Nik Stopar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41–59
Vloga gluonov v globoko neelastičnem virtualnem comptonskem
sipanju (Miha Mihovilovič in Simon Širca) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60–69
Vesti
11. konferenca fizikov v osnovnih raziskavah (Miha Škarabot) . . . . . . . . . 70
Matematični adventni koledar (Jasna Prezelj) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Matematične novice (Peter Legiša) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Knjige
Marta Zabret, MaRtematične prigode (Peter Legiša) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72–73
Tristan Needham, Visual Complex Analysis (Jurij Kovič) . . . . . . . . . . . . . . . 74–78
Reinhard Siegmund-Schultze, Mathematicians Fleeing from
Nazi Germany (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79–VII
CONTENTS
Articles Pages
On the half derivative of a function (Nik Stopar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41–59
Glimpse of gluons through deeply virtual Compton scattering
(Miha Mihovilovič and Simon Širca) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60–69
News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70–71
New books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72–VII
Na naslovnici: Shematski prikaz globoko virtualnega comptonskega sipanja. Vi-
sokoenergijski elektron iz pospeševalnika elektromagnetno interagira s protonom
v vodikovi tarči in si pri tem z njim izmenja virtualni foton. V reakciji nastane realni
foton, ki ga skupaj z izhodnim elektronom zaznamo v detektorjih. Kotna in ener-
gijska porazdelitev zaznanih delcev nosi informacijo o zgradbi nukleona in vlogo
gluonov v njej (glej članek na straneh 59–68). Vir: Miha Mihovilovič, Shutterstock.