10921 fa H ,/\j\5^' O Univerza Edvarda Kardelja v Ljubljani FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN TEHNOLOGIJO VTO MATEMATIKA IN MEHANIKA Vito Lampret SPEKTER IN NUMERIGNI ZAKLAD ELEMENTA REALNE ALI KOMPLEKSNE NORMIRANE ALGEBRE (BREZ ENOTE) Disertacija Ljubljana 1982 II Math. Subj. Class. (1980) 46 H 99 Delo obravnava spekter in numerični zaklad realne ali kompleksne normirane algebre, ki je lahko tudi brez enote, a je večinoma asociativna. Opisan je odnos med spektrom in numeričnim zakladom ter med spektralnim radijem, numeričnim radijem in normo. Študirane so lastnosti poševno-hermitskih in hermitskih elementov ter pozitivnih in normalnih elementov. Obravnavana je algebrska struktura linearnega prostora H(A) + iH(A) ter njegova povezava z in-volutivnimi normiranimi algebrami. Na koncu je danih nekaj preprostih primerov, ki osvetlijo spekter in numerični zaklad elementa kompleksne oz. realne asociativne B-algebre. Ti primeri tudi pokažejo kakšne anomalije v zvezi z numeričnim zakladom in hermitskimi elementi lahko nastopajo v kompleksni asociativni normirani algebri, ki ima lahko enoto ali pa je brez nje. ABSTRACT The work cieals with spectrum and algebra numerical range of an element 01 a real ui coinpiex normed algebra which may be without a uiul. It describes the relationship between spectrum and numerical range and charac.terizes skew-hermitian elements of a real algebra as well as hermitian and positive elements of a complex normed algebra. Hermitian and #-hermitian elements are treated with respect to involutive normed algebras. The attention is drawn to the properties of ali the above mentioned alements and also to normal elements of a complev normed algebra. The main tool in this work is the complexification of a real algebra and the non-standard adjunction of a uiiit to a normed algebra. The given examples explain relations between spectrum and numerical range and show certain irregularities which may occur in connection with spectrum, numerical range and hermitian elements. This may happen in čase an algebra is without a unit or the norm of an eventual unit is £ 1. There exists lor example a complex associadve commutative B-alg«bra without a unit including a sequence h of hermitian elements such that )| sin h II >n (n £ N ). n n' III V S E B I N A 0. UVODNO POGLAVJE (polnormirane algebre, eksponentna funkcija, kompleksifikacij a realne normirane algebre, formalna adjunkcija enote) 1 - 9 1. SPEKTER 10 - 23 2. NUMERIČNI ZAKLAD 24 - 48 3. SPEKTRALNI RADIJ IN NUMERIČNI RADIJ 4-9 - 62 4. DISIPATIVNI ELEMENTI 63 - 65 5. POŠEVNO-HERMITSKI ELEMENTI 65 - 76 6. HERMITSKI ELEMENTI 77 - 87 7. POZITIVNI ELEMENTI 88 - 91 8. PROJEKTORJI 92 - 93 .9. NORMALNI ELEMENTI 94 - 101 10. PROSTOR J(A) = H(A) + iH(A) 102 - 106 11. DVOSTRANSKI ELEMENTI 107 - 108 12. INVOLUTIVNE NORMIRANE ALGEBRE 109 - 112 13. PRIMERI 112 - 122 ODPRTA VPRAŠANJA 123 - 124 LITERATURA 125 - 126 IV PREDGOVO R Teorija algebrskega numeričnega zaklada asociativne, kompleksne, enotske, Banachove algebre je razmeroma že precej razvita. To, da ima Banachova algebra enoto,je zelo lepa lastnost algebre, še posebej, če je norma enote = 1. Na primer, asociativna, kompleksna, enotska, Banachova algebra s hilbertsko normo (norma ustreza paralelogramski enakosti, t.j. izhaja iz skalarnega produkta) je izomorfna obsegu C (gl. npr. /7, IZREK 9*10 in 9*3/ na straneh 96 in 90 ) . Po drugi strani pa eksistira asociativna, kompleksna, Banachova algebra brez enote s hilbertsko normo, ki ni izomorfna obsegu G (gl. npr. Primer 2.3»13 na str. 41). Nadalje je vsaka realna (ne nujno asociativna) enotska normirana algebra z multi-plikativno normo - "absolutno vrednostjo" ()|xyj| = J|x||j|y|| za vsak x,y) končno-dimenzionalna (dimenzije = 1,2,4 ali 8). Po drugi strani pa eksistira neskončno-dimenzionalna realna (neasociativ-na) normirana algebra brez enote z multiplikativno normo (gl. npr. Proč. Amer. Math. Soc. 11(1960), 861-866). Ker v literaturi še nisem zasledil obravnave algebrskega numeričnega zaklada za Banachove algebre brez enote (oz. za Banachove algebre, za katere se ne ve, ali enoto imajo ali so brez nje), sem se vprašal, kaj bi se kljub tej pomanjkljivosti (odsotnosti enote) dalo povedati o numeričnem zakladu. Ko sem naletel na dvajset let staro disertacijo prof. G-rassellija, v kateri je avtor metrično (neposredno s pomočjo norme) definiral in okarakte-riziral sebi-adjungirane elemente asociativne, kompleksne, Banachove algebre brez enote in med drugim pokazal, da leži spekter sebi-adjungiranega elementa vedno na realni številski osi, me je to vzpodbudilo, da raziščem odnos med spektrom in numeričnim zakladom elementa asocia^t ivne, kompleksne, Banachove algebre (brez enote). Po drugi strani so prof. Vidava zanimale lastnosti, her-mitskih (sebi-adjungiranih) elementov kompleksne Banachove algebre brez enote. To me je vzpodbudilo k intenzivnemu študiju navedenega problema. Pričujoče delo je sad tega prizadevanja. Pni obravnavi problema sem sledil svoji mag. nalogi. Pokazalo se je, da se da o spektru, numeričnem zakladu in hermitskih elementih povedati veliko tudi v primeru, če algebra nima enote, oz. *Eksistira kompleksna asociativna komutativna B-algebra (A,II*H) z enoto e, llell > 1, kjer Je norma ll-ii hilbertska, pri čemer A ni izomorfna obsegu C (gl. primer 13-4--1) • v če je norma enote / 1. Rezultati za kompleksno Banachovo algebro brez enote so podobni rezultatom za kompleksno enotsko Banachovo algebro. Zahteve v zvezi z enoto v formulacijah velikega dela trditev sploh ne nastopajo. Veliko izrekov (npr. v zvezi, s her-mitskimi, poševno-hermitskimi in normalnimi elementi) velja neodvisno od tega, če algebra ima enoto ali pa je brez nje. Nekaj rezultatov (npr. v zvezi s poševno-hermitskimi elementi) je novih celo v primeru enotske Banachove algebre in delo vsebuje skoraj vse rezultate disertacije prof. Grassellija. Prisrčno se zahvaljujem prof. Vidavu za vse sugestije in dragoceno pomoč pri nastajanju tega dela! Ljubljana, oktober 1982 Vito Lampret VI O Z N A K E := ... enako po definiciji = ... izomorfizem (algebrski oz. topološki) lim ... desna limita ttO jj . |j ... norma |oj, \'\a • •• leva oz. desna operatorska polnorma (0.5.2) X ... involucija (oz. konjugiran;]e kompleksnih števil) A ... algebra (0.1.1) A* ... algebra glede na obratno množenje (0.1.3) A* ... dualni prostor normirane algebre (0.2.3) Ae ... polnormirana algebra, ki jo dobimo s formalno adjunkcijo enote (0.5.1) Ae ... kvocientna algebra po jedru polnorme na Ae (0.5.4) Ae ... izpopolnitev kvocientne normirane algebre Ae (0.5.5) ( Aq , JI. H r; ) ... kompleksif ikaci ja realne normirane algebre (A,||-||) (0.4.1) u$(A) ... algebra vseh linearnih omejenih operatorjev na normirani algebri A C ... obseg vseh kompleksnih števil coM, jco| M, coM ... konveksna ogrinjača, absolutno konveksna ogri- njača, zaprta konveksna ogrinjača podmnožice M linearnega topološkega prostora, Č75M = coM (/13, 0.0.5.24.9, 0.0.5.25.5, 0.0.6.23/) <25(A) ... množica vseh dvostranskih elementov normirane algebre A (11.1) D(A) /oz. Da(A)/ ... množica vseh levo /oz. desno/-disipativnih elementov normirane algebre A (4.1) D(x) = {f €A» : ||fH = f(x) = 1} (2.1.1) y ... obseg vseh realnih oz. kompleksnih skalarjev f(M) = {f(m) : m eM} ... slika množice M pri preslikavi f VIT F(A) /oz. Hfl(A)/ ... množica vseh levo /oz. desno/ -her- mitskih elementov normirane algebre A (6.1) H*(A) /oz. H^(A)/ ... množica vseh levo /oz. desno/ -poševno- hermitskih elementov algebre A (5.1) *H(A) ... množica vseh * -hermitsklh elementov involutivne algebre A (12.1) *H'(A) ... množica vseh * -poševno-hermitskih ele- mentov involutivne algebre A (12.1) H (A) /oz. H^(A)/ ... množica vseh levo /oz. desno/ -pozitivnih elementov algebre A (7.1) ImM = {Im m : m € M} ... imaginarni del podmnožice M obsega skalarjev y J(A) = H(A) + ill(A) o£(A) ... algebra vseh linearnih operatorjev na algebri A lanA ... levi anihilator algebre A (0.5.0) M-j\M2 ... razlika množic (= M^M^) M-^ f.} Mp = {m-^rt, m? : m-, 6 M-,, m? e Mp} ... vsota (oz. razlika) podmnožic linearnega prostora a. M = {Xm : m€Mj ... produkt podmnožice M linearnega prostora s skalarjem x AM = {A.m : xeA. , m s M} ... produkt podmnožice _/V obsega skalarjev s podmnožico M linearnega prostora M-jMp = {m-jmp : m-,€ M-, , m« € M«} ... produkt podmnožice M-, s podmnožico M9 algebre jM| = {)m| : m cM} ... množica vseh absolutnih vrednosti (pod) množice M skalarjev M, M , <)M ... zaprtje, notranjost in rob (topološki) podmnožice M topološkega prostora N ... množica vseh naravnih števil i)T ... jedro algebrske polnorme na Ae (0.5.4) N(A) /oz. Nd(A)/ ... množica vseh levo /oz. desno/-normalnih elementov normirane algebre A (9.1) P(A) /oz. P^(A)/ ... množica vseh levih /oz. desnih/-projektor j ev algebre A (8.1) VIII R ... obseg vseh realnih števil R /oz. R~/ ... množic? vseh pozitivnih /oz. negativnih/ realnih števil ReM - {Ren : m « M} ... realni r^el podmnožice M obsega skalarjev 7 r(a) - inf{)|an|| 'T : ncNJ ... spektralni radij elementa a n or m i r ar e al geb re ( A, ||. || ) (3.1) ncN xeS S = S (A) - {a€/ : ||a|j = 1} ... enotska sfera (pol) normirane algebre (A,H.H) S» = S(A») = {f €A» : ||f|| = 1} ... enotska sfera dualnega prostora (pol)normirane algebre (3 (A, a), GjL(A,a), q-(J(A,a), q-6y(A,a) ... spekter, ? -spekter, kvazi-spekter, kvazi- y -spekter elementa. aeA glede na algebro A (l.4,1.5,1.2.1) V(A,a) /oz. V^(A,a)/... levi /oz. desni/ numerični zaklad elementa a normirane algebre A glede na algebro A (2.1.3) v(A,a) /oz. v^(A,a)/.,. levi /oz. desni/ numerični radij elemen- ta a normirane algebre A glede na algebro A (3.1) - 1 - 0.1 0.1 ALGEBRE 0.1.1 Naj bo A linearen prostor nad obsegom skalarjev ¥ ( = R ali G). Vsako preslikavo y\ A*A>->A, kjer pišemo <^(a,b) = ab, bomo imenovali množenje. Preslikavo (a,b) v—>ba := a.b imenujemo obratno množenje k množenju (a,b)>-»-ab. Če je na linearnem prostoru A definirano množenje (a,b)>->ab z lastnostmi: (i) a(b+c) = ab + ac za vsak a,b,c e A (i') (b+c)a = ba + ca za vsak a,b,c cA (ii) x (ab) = ( x a)b = a( X b) za vsak x^ in a,b e A, potem bomo imenovali A algebro nad obsegom ¥ (glede na dano množenje). 0.1.2 Algebro A imenujemo realno (kompleksno), če je 3^ = R (oz. ¥ = C). Če je A algebra nad obsegom ¥ (=R ali C), označimo z Ar algebro A glede na obseg skalarjev R realnih števil. (Če je ¥ - R, pišemo A^ = A.) 0.1.3 Če je A algebra glede na dano množenje, je očitno A algebra tudi glede na obratno množenje; to algebro označimo z A* . 0.1.4 Množenje imenujemo trivialno, če je ab=0 za vsak a,b e A. Algebro imenujemo netrivialno, če je A^{0K 0.1.5 če velja v algebri A asociativni zakon, (ab)c = a(bc) za vsak a,b,c e A, imenujemo A asociativno algebro. Algebro A imenujemo komutativno, če je množenje komutativno, t.j. če je ab=ba za vsak a,be A. 0.1.6 Vektor e 6 A imenujemo levo enoto algebre A, če je ea=a za vsak a e A. Analogno imenujemo e desno enoto, če je ae=a za vsak ae A. Leva oz. desna enota netrivialne algebre je ,^0. Vektor e imenujemo enoto algebre A, če je e hkrati leva in desna enota. 0.1.7 Preslikavo a h-* a* algebre A vase imenujemo linearno invo-lucijo, če velja: (i) a** = a za vsak a« A (ii) ( cxa + pb) = c(* a* + p»*b* za vsak a ,p> € V in a,b«A, kjer pomeni X konjugiran je kompleksnega števila X&¥ . 0.1.8 Linearno involucijo imenujemo algebrsko involucijo ali - 2 - 0.1 - 0.2 kratko involucijo, če velja enakost (ab) = b a za vsak a,b€ A. Algebro, za katero je definirana involucija, imenujemo involutivno. 0.2 POLNORMIRANE ALGEBRE 0.2.1 Urejeno dvojico (A,p) imenujemo polnormirano algebro nad obsegom V ( =R ali C), če je A algebra nad obsegom £ in p algebrska polnorma, t.j. p je preslikava A »-*R+U {0} z lastnostmi: (i) Eksistira a € A, da je p(a)/^0; (ii) p(a+b) 4 p(a) + p(b) za vsak a,b£A; (iii) p( X a) = \x\ p(a) za vsak \ztS in a € A; (iv) p(ab) 4 p(a)p(b) za vsak a,b £ A. Zaradi (i) je vsaka polnormirana algebra netrivialna. Polnormirano algebro (A,p) imenujemo enotsko, če ima A enoto e in če je p(e)=l. Polnormirano algebro (A,p) imenujemo asociativno (komu-tativno), če je A asociativna (komutativna) algebra. Polnormirano algebro (A,p) imenujemo realno (kompleksno), če je obseg skalarjev $*= R (oz. T = C). Polnormirano algebro (A,p) imenujemo normirano, če je p norma, t.j. če je jedro kerp= {0}. Polno normirano algebro imenujemo Banachovo algebro ali B-algebro. 0.2.2 Če je (A,p) polnormirana algebra nad obsegom ¥ , je množica JT:= kerp := {a cA: p(a)=0} dvostranski ideal algebre A. Zato je faktorska (kvocientna) množica A := A/JT algebra nad obsegom ¥ glede na operacije: (i) a + "b := (a+b) za vsak a,b e A (ii) *.a := ( X a) za vsak *.€? in a £ A (iii) ab := (ab)^ za vsak a,b e A kjer je x = x + JP = {x+y : y e JP} = ekvivalenčni razred elementa x (za vsak x e A). Ker je preslikava )|.|| : A»->R+U{0}, ||x|(:= p(x) za vsak x€ A (JJx|| = inf{p(x+y) : yeJC} , saj je p(x+y) = p(x) za vsak j^Jf )9 alge brska norma na A, je (A,||.||) normirana algebra, ki jo imenujemo faktorsko (kvocientno) algebro polnormirane algebre (A,p). Kvocientna preslikava q: AwA, q('.a) = a za vsak a € A, je izometrični homomorfizem. Če je (A,p) enotska polnormirana algebra z enoto e, je (A, |,| ) enotska normirana algebra z enoto e . 0.2.3 če je (A,p) polnormirana algebra nad obsegom *£ (=R ali G), potem je dualni prostor A' := {f : f linearen zvezen funkcional A >—► $"} Banachov prostor glede na dualno normo - 3 - 0.2 - 0.3 ||4, |f|:= sup{|f(x)| : x£A, p(x) « 1] = sup{|f(x)| : xcA, p(x) = 1} . Torej velja ocena ) f ( a)| < ||f ||p( a) za vsak afA, 0,2.4 Če je (A,p) polnormirana algebra nad obsegom 'Jr* (= R ali C) in (A, U.H ) njena faktorska algebra, potem inducira kvocientna preslikava q: A »-* A = k/N preslikavo Q: A» »-*(A)» takole: Q(f) = f $=S' f(x) = f(x) za vsak xeA (funkcional f je enolično definiran, t. j. vel ja: Xil,x2 £ x =» ^(x1~x2)€oV => ]f(Xl-x2)| < ||fllp(x1-x2) = O =»f(xx) = f(x2) ). Preslikava Q je linearna surjektivna izometrija (če je f* (A)* , velja za funkcional f:=f°q enakost Q(f) = f, kar pomeni surjek-tivnost preslikave Q). 0.3 EKSPONENTNA PUNKCIJA V ASOCIATIVNI BANACHOVI ALGEBRI (brez enote) Oznaka: S =S(A) = {aeA : ||a|| = 1} = enotska sfera normirane algebre (A, U.H). Naj bo (A,l|.||) asociativna Banachova algebra nad obsegom ¥ ( = R ali C); ni treba, da ima A levo ali desno enoto. Za vsak a,x e A definiramo: 00 k °° k eax = x + X It x in xea = x + 2_ x %r • Obe vrsti sta abso-k=lk! k=l CT lutno konvergentni, zato velja: (i) (a,b,x£A, ab=ba) => ea+bx = ea(ebx) = eb(eax) (ii) a,x € A^e^e"^) = x = e"a(eax) (iii) (a,x€A, n£N)=^enax = ea(ea(.. .(eax)...)) (iv) (a,b,x,ycA, ab=ba, bx=xb) => (eax) (eby) = ea+b(xy) (V) (a,x*A, ax=xa) =*(eax)n = enaxn (Vi) e",lall||x|U||eax|| ^el|allHx|| za vsak a,x eA (Vii) e"1^11^ ^ sup||exax|| 4elx|'l|a|1 za vsak x*V in a € A x fe S (Viii) (sup||e""xax||)(sup||exax||) > 1 za vsak x^ in a € A. x £S x e S Dokaz: Ker lahko absolutno konvergentne vrste v Banachovi algebri členoma množimo v poljubnem vrstnem redu, veljajo točke (i) - (v). 00 k Ker je ||eax|U 11*11 + 21 -%f- l|x|| = e,la,,||x|l, je zaradi (ii) tudi k=l K! 0.3 - 0.4 llx|| = ||e"aeax|U e" "a||)|eax||, t. j. || eax|| > e"1,a,l||xl|, kar dokazuje -L. točko (vi) in ta točko (vii). Zaradi (vi) je ||e*" y|| >0 za vsak y/0, b,y€Aj po točki (ii) je sup||ebx|| > ||eb(||e-byirVby)|| = X 6 S = )|e"" yll""1||yll za vsak b,y€A, y/^0, kar dokazuje (viii). 0.4 KOMPLEKSIPIKACIJA REALNE NORMIRANE ALGEBRE 0.4.2 Naj bo (A, U.ll) realna normirana algebra. Potem je kartezični produkt A« := AxA kompleksna algebra glede na operacije: (a,b) + (a',b') = (a+a', b+b') ... seštevanje (o(+ip> )(a,b) = (o<.a-|2>b,o) = (aa,-bb', ab^ba') ... množenje Preslikava ai->(a,0) := a je injektivni homomorfizem (vložitev). Naj bo U odprta enotska krogla v algebri A, t.j.U={ae.A : ||a|i. ai, ...,<% čil ; 5_|Xk| < 1 } in k=l k=l ||,||c Minkowski-jev funkcional množice V. Potem velja: (i) ||.IIc je algebrska norma na Ac (ii) V je odprta enotska krogla algebre Aq glede na normo ll-llc > *-J- U = l|€AG : |If liG < X } (iil) max{l|an,llbil} < l|(a,b)||c ^ 2max{ |ia||, Ubil} za vsak a,b € A (iv) l|a||c = ||a|| za vsak aeA . Če je A asociativna (Banachova) algebra, je tudi A~ asociativna (Banachova) in če ima A enoto e, je e enota algebre Ap. Normirano algebro (Ac,||.||c) bomo imenovali (standardno) kompleksifika-cijo realne normirane algebre (A,||.||) in preslikavo ai->a vložitev algebre A v An. Vložitev a^a je torej izometrični homomor-fizem in ce označimo A = (a : a €.Aj, lahko zapišemo A« = A © iA . Dokaz: /5, str. 68/. 0.4.2 Če je (A,)j.j|) realna asociativna algebra, a,x e A in £,ro €. A^, definiramo za poljuben polinom P z realnimi n k koeficienti, P(t) = X + 2L Xkt (t ,A. A]_> • • • »A. € R), k=l vektorja P(a)xeA in P( f )^ * AG takole: - 5 - 0.4 P(a)x := X.Qx + gxVkx > P( J )fZ := M + J^M N # Ker je preslikava x *-+ x izoraetrični homomorfizem, velja: le (i) P(a)x = (P(a)x)t° in zato tudi ||P(a)x|L = HP(a)x|| za vs ak a,x e A (ii) e% = (eaxT in ||eSx||c = ||eax|| za vsak a,x e A ,AV 0.4.3 Lema Naj bo (A, ||.||) realna normirana algebra, (A„,)|.||c) njena kompleksifikacija, S = (a^A : llall = 1} in Sc = { | £ Ac : ||| || c = 1} . Potem velja: (i) sup || 5+ a S || n - sup||x + axl| za vsak aeA (ii) Če je A asociativna algebra in P polinom z realnimi koeficienti, je p := sup||P(a) ? || n = sup||P(a)x|| : = p |esc -> u X€S za vsak a € A. (iii) če je (A, H.ll ) asociativna Banachova algebra, je sup||ea? |L = supHe3*!! za vsak a € A. ^Sc X€ S Opomba: Če je P linearen polinom, v točki (ii) ni potrebna aso-ciativnost algebre A. Dokaz: (i), (ii) : Ker je vložitev x «-+x izometrija, sledi iz 0.4.2(i) ocena p>p...(l). Nadalje za poljuben £>0 eksistira tak £e € sc, da je p-£ < || P(a) |$|| c ... (2) <, Po 0.4.1(ii) eksistirajo A.-j_,... ,Xn € C in X]_,.. .xn € A, da je n a n »o h =Hxvxv , 51 |XV| 4 1 in ||x,||* k=l K K k=l K K di (2) in 0.4.2(1) pomeni g-e<||P(ž)Z X^k\\c = || Ž V"(a)*kll = k—1 k=l *• = ||Zxk(P(a)xkr|| 4Z_ )xk|.||P(a)xk|| 4 (Z |Xk|)sup{||P(a)x|| : K.—1. v* K!—X K—_L x € A, «x||0, kar zaradi (1) pomeni p=p« (iii) Za vsak t e R in n £N naj bo n k °° k Pn(t) - 1 + Z |r • Potem je || eax - P (a)x|KZl *ff- 11*11 < $ k=l*"- " k=n+l "ali"*1 -_.. f Jal£ _ llall^i . ||a|l ± ± (n+1)! Ilx» fefTH - Tn+TJT l|x|1 e ln zat0 - 6 - o.4 - 0.5 sup||eax - Pn(a)xl^^|1)T el,all...(3) ter analogno tudi ,u, II J* (tnu < llalln+1 IISil _ )lalln+1 lian m f^'lef PnU,5lL^ (n+1)! e ~ r^TTT e •••«41. Po že dokazani točki (ii) je sup ||P„(a)č|l = sup||P„(a)x|l ...(5). |eSc C x e S n Za poljubno neprazno podmnožico ^ normiranega prostora X in poljubni omejeni funkciji f,g: S »-* X velja ocena ||f (x)|( ^ ^||f(x) - g(x)|| + ||g(x)|| in zato sup||f(x)|U sup||f(x) - g(x)|| + x£^ xe $ + sup||g(x)|| ter analogno tudi sup||g(x)||^ sup||g(x) - f(x)|| + X € S? Xfc 1 §€SC 5 c x £S ' ^ (|} I sup||eas|| - sup)|Pn(8)||L + sup||Pn(a)x|| - sup)|eax||| <|> (|) supjje^ - Pn(a)|||c +xSup||Pn(a)x - eax|| $ 2 gg£ za vsak n € N. Ta ocena dokazuje (iii). 0.5 FORMALNA ADJUNKCIJA ENOTE - VLOŽITEV ASOCIATIVNE NORMIRANE ALGEBRE V ENOTSKO NORMIRANO ALGEBRO (neodvisno od tega ali ima prvotna algebra enoto ali pa je brez nje) 0.5.0 V tem odstavku naj bo (A, II.II) asociativna normirana algebra nad obsegom y (= R ali C), S = jat A : ||a||=l} in lan A = = {a€A : ax = O za vsak x £ A} = levi anihilator algebre A. 0.5.1 Kartezični produkt ?r * A := A je algebra nad obsegom y z enoto e = (1,0) glede na operacije: J. (i) (*-»a) + (V,a') := [\+\'9a+a') ... seštevanje (ii) 3-0( X ,a) := ( X0Xf XQa) ... množenje s skalarjem (lil) (x,a)(\9,a9) := ( \\', X&' + \'a + aa?) ... množenje Preslikava a »-»• (O,a) := a algebre A v algebro A je injektivni homomorfizem (vložitev). Algebra A je torej izomorfna podalgebri A := {a : a £ A} algebre AQ in velja enakost Ae = ^e © A . Če je algebra A asociativna (komutativna), je taka tudi algebra Ae . - 7 - 0.5.2 - 0.5.3 0.5.2 Preslikava |.| : ( X , a) »-> sup || \x + ax|| := |(A.,a)| alge- x e S bre A v prostor R+U {0} je algebrska polnorma (gl. /10/, str. 29) in (A ,j.j) je polnormirana enotska algebra nad obsegom T (t.j. |e| = l). Polnormo \.\ imenujemo (levo) opera- torsko polnormo na algebri A . Za vsak a € A je očitno |a| ^ l|a|| . Preslikavo af-»|a| = sup||ax|| imenujemo levo operatorsko polnormo X £ S na algebri A in preslikavo a»-».|a|-, := sup)|xa|l imenujemo desno a x c s operatorsko polnormo algebre A. 0.5.3 OPOMBE: (i) Če je lanA ={0} (levi anihilator je trivialen), je leva operatorska polnorma |.| očitno norma na A. (ii) Če je lanA ={0} in je A brez leve enote, je operatorska polnorma }0| norma na A . (Naj bo namreč ax+Ax = O za vsak x eA. Če je pri tem X /O, je ((-l/a.) a) leva enota algebre A. Torej jeX=0 in zato aelanA ={0}, t.j. a=0.) (ili) leva operatorska (pol)norma \.\ je na A ekvivalentna normi \\.\\ <£=> Eksistira oc č R+ z lastnostjo, da za vsak aeA eksistira tak xae AMO}, da je ||axaH >o(lla||||xal|# (iv) Če je leva operatorska (pol)norma j.| na A ekvivalentna normi \\.\\ in je (A,||.||) B-algebra, je tudi (A , |.| ) B-algebra in velja enakost (eax)^ = eax za vsak a,x e A. (Zaradi ekvivalence norm je A poln podprostor prostora (A , \.\ ) in je zato tudi A := Te © A poln prostor.) V vsaki B*-algebri A je očitno }a| = ||a|| » Ja|d za vsak aeA. (v) Posplošeno zaporedje (e^) 6p imenujemo /omejeno/ desno (levo) kvazi-približno enoto normirane algebre (A,n.||), če je /sup||e. 1| (\I + T ) algebre A v a algebro (6(A) (Ix=x, T x=x za vsak xeA) homomorfizem in je zato preslikava |.|: A h-» R+U{0} , |(A,a)| := \\XI + T ||, algebrska polnorma . - 8 - 0.5.3 - 0.5.7 (Vil) Če ima normirana algebra (A,)|.|)) desno kvazi-približno enoto (e^LfcP , je lanA = {0}. Če je pri tem (A,|J.jj) B-algebra in je (e^) ep orne jena ter je A brez leve enote, je (A , |.| ) tudi B-algebra. 0.5.4 Naj bo JP = { S e A : \Z\ = 0} - jedro polnorme J ,| na A . j e j e Po 0.5.2 je X dvostranski ideal algebre A^ in je zato /s faktorska (kvocientna) množica A :- A /JT enotska normi-rana algebra nad obsegom ¥ glede na kvocientno normo ||.||, || E + Jf || :=l?| za vsak |€A , če definiramo: S + c£ = (č+ Ae *-+ Ae i-* Aq , a^a : = := (0,a) «->• a = a+JT»->a = [a], kjer velja: l.P polinom s koeficienti iz obsega ¥ =>||P(a)|| = ||P(a)l| = = |P(a)| = sup||P(a)x|| in v posebnem |la|l = l\aH = |a| = X £ S = sup||ax|| ^ 1|aII za vsak a e A. X €S 2. Konvergenca v algebri (A, |,g ) implicira konvergenco v algebrah (Ae, H.l\) in (Ae,||.||) (čeprav (Ae,H.||) v splošnem ni Banachova algebra): (i) (a € A, a h-»a€A)=^a »-*- a in a »-* a '*' ' n ' n ' n n oo k (ii) Če je vrsta 21 Xka (X^,X2»... * *S ) konvergentna k=l oo oo v A in ima vsoto s, sta vrsti ž_ X, a in Z_ X k=l K k=l K A — ^s — konvergentni v AQ oz. v AQ in imata vsoto s oz. s . 0.5.7 Naj bo (A, H.H ) -Banachova algebra nad obsegom y(= R ali C), običajna potenčna vrsta f (A.) = X XVX (xv € ? ) naj bo k=0 K K konvergentna za IX| < r (r > 0) in naj ima vektor a€A - 9 - 0.5.7 spektralni radij r(a) := inf ||an|l1/n( = lim|l anH1//n) < r. Potem je neN n->oo oo vrsta ž- A., a konvergentna in absolutno konvergentna v (A , J|.l\), k=0 K e njena vsota je enolično določena z f-om in jo označimo z f(a), oo f(a) = ž_ A., a ; elementa a" in f(a) očitno komutirata. Analogno k=0 K V k lahko trdimo za f (a), f(a) : = 2_ Xva . Velja: k=0 K (i) ||f(a)H = ||f(a!)ll = sup||f(a)x|l , kar pomeni x £ S (li) l|eS|| = ||eš||= sup|ieaxl( za vsak aeA . X € S Dokaz: Ker je r(a) < r, je ||an||< (r-E)n za vse dovolj velike n £N in za vsak £> 0 (n>n(e)) ... (#■) . Ker je vrsta oo Z X, X konvergentna za \X\ a izometrični homomorf izem, je ||f(a)|| = = )|f(a)|| , kar zaradi (#*) dokazuje (i). - 10 - i.i - 1.3 1 SPEKTER ELEMENTA ASOCIATIVNE BANACHOVE ALGEBRE V tem odstavku naj bo (A,||.||) asociativna Banachova algebra nad obsegom T? (= R ali C) in S = { a e A : Hali = l} • 1.1 Za poljubna elementa a,b € A imenujemo izraz a+b-ab := aob kvazi-produkt elementa a z elementom b. Ge je aob = 0 = boa, imenujemo b kvazi-inverzen (kratko q-inverzen) element elementa a. Če q-inverzen element elementa a eksistira, je enolično določen in ga označimo z a n . Element algebre A, za katerega eksistira q-inverzen element, imenujemo q-obrnljiv. Množico vseh q-obrnljivih elementov algebre A označimo s q-InvA (odprta množica v A). 1.2.1 Kvazi y-spekter elementa aeA glede na algebro A označimo s q- 6i,(A,a) in ga definiramo z enačbo q-GL(A,a) = = {0} U {*.£? \ {0} : (l/x)a ^ q-InvA}. Kvazi-spekter elementa a € A glede na algebro A nad obsegom ¥ označimo s q-č>(A,a) in ga definiramo takole: (i) Če je ¥ = C, je q-6,(A,a) = q- (Ac,a) (gl. 0.4). 1.2.2 Velja enakost q-6,n(AR,a) = RO(q-0f(A,a)) za vsak a€A (gl. 0.1.2). (To sledi v primeru ? = C iz dejstva RC c in v primeru *¥ - R iz ekvivalence ae q-InvA<£=£a€ q-lnvA.c . (gl. 0.4.1)) 1.2.3 Množica q- §L(A,a) je neprazna kompaktna podmnožica prostora ¥ (gl. /11, 24.2.4, 24.3.2, 24.$.4/) 1.3 Če ima algebra A enoto e, označimo z InvA množico vseh obrnljivih (regularnih) elementov algebre A in za vsak aeA definiramo: Cv(A,a) = { Xt¥ : (jte-a) <£ InvA} ... ¥ -spekter elementa a glede na algebro A. Lahko se primeri, da je 6y(A,a) = , če je ¥ = R. (i) Za vsak aeA velja: b = a i<=> e-b = (e-a) /5, Propo- zicija 3.5(ii)/, t.j. ae q-InvA <=> (e-a) 6. InvA. (il) To pomeni enakost q-QL(A,a) = 6i,(A,a)U{0} za vsak aeA (saj imamo za vsak xey\{0} ekvivalence: (lA)a { q-InvA <=$ (e-(lA)a) \ InvA<& (Xe-a) \ InvA). - 11 - 1.4 - 1.7 1. 4 SPEKTER elementa a algebre A nad obsegom T(= R ali C) glede na algebro A označimo s 6" (A,a) in ga definiramo takole: (i) Če ima A enoto in je ?= C, je 6*(A,a) = G£(A,a) (gl. 1.3) (li) če ima A enoto in je ?= R, je Gf(A,a) =f G>(Ac,a) (gl. 0.4) (iii) Če je A brez enote, je n e N (gl. /5; Definicija 2.7, Trditev 2.8 in Teorem 5.8/) (ii) Če ima A enoto, je zaradi 1.3(ii) q-6*(A,a) = G? (A,a)U{0} . (iii) Za vsak aeA je &R(AR,a) = R/n\6,(A,a) (gl. 0.1.2 in 1.2.2) in zato (iv) 6L>(A,a) =?n 6* (A, a) za vsak a 6 A, kar pomeni max|Gj\(A,a)| $ r(a) := inf )|an||l/n - lim||anj|l/n za vsak * n e N n->oo a£A (kjer definiramo max ep = -oo). 1.7 Če je A algebra, ki jo dobimo iz algebre A z adjunkcijo enote e in preslikava ai->a vložitev algebre A v A (gl.0.5-1) > potem je q- 6L(A,a) = (3L(A , a) za vsak acA (gl. /5, Lema 5.2/j in zato tudi q-G>(A,a) = 6*(A ,a) za vsak aeA. (Vse to velja neodvisno od tega, če A ima enoto ali ne. Enoto e namreč algebri A formalno adjungiramo). Če je A brez enote, to po definiciji 1.4(iii) pomeni, da je &(kta) = G? (A fa) za vsak aeA. (Če je ? = R, upoštevamo izomorfizem algebr (A«) in (A )~ ,gl.0.4, Upoštevamo: (l) a 4 q-InvA4=>a ^ q-InvA <^====> (e-a) £ InvA (2) 0 * 6>y(Ae,a), ker a \ InvAe - 12 - 1.7-1.10 0.5 in /13, Trditev 0.1.10 na str. 182/). 1.8 Trditev Ne glede na to ali ima A enoto ali ne, je q-G^(A,a) = 6^ (A0,a) D 6^( Ae ,a) 3 6L( Ae,a) za vsak aeA (gl. 0.5.1, 0.5.4 in 0.5.5), kjer je po 1.3(ii) q-6*(A,a) = = 6L (A, a) U {0} , če ima A enoto, oziroma je po 1.5 Q-(3L(A,a) = = OL(Afa), če je A brez enote. Dokaz: Upoštevamo 1.7 in to, da so po 0.5.6 preslikave £ h-> f*-* i—>| homomorfizmi A v—> A »—► A , ki preslikajo enoto v enoto (cele algebre). 1.9 Trditev Za poljubna a,b €A velja, implikacija: ab = ba =^ (D(A,a+b) CZ Q?(A,a) + tf(Af.b) in (J( A, ab) C (A,b) . Analogno e e e potrdimo tudi drugo inkluzijo. 1.10__Trditev Če je B zaprta podalgebra B-algebre (A, ||.H ) nad obsegom 5* (= R ali C), velja (gl. še /5, Propozicija 5.12/) l»(i) [(A ima enoto e in je e fcB) ali (A in B sta brez enote)]=> 9e^(B,b) CO0^( A,b) C QL(A,b) C <^(B,b) za vsak b 6 B. (ii) (A ima enoto e, e ^ B) =»9^ (B,b) C^( 6^(A,b) U {0}) C C e>L(A,b) U {0} C Gu(B,b) za vsak b e B. (iii) (A brez enote, B ima enoto) =>c>( 6^(B,b)U {0}) C C3^A,b) C C£(A,b) C q^(B,b)U {0} za vsak b £ B. 2. Če je b tak element algebre B, da je c)G{L(B,b) = 6v(B,b), velja: (i) [(A ima enoto e, e c B) ali (A in B sta brez enote)] =$ => G^(A,b) - G^(B,b). (ii) (A ima enoto e, e {. B) =£ GL(A,b)UlO} = 6^(B,b). (iii) (A brez enote, B ima enoto) ==> eL(A,b) = (S-(B,b)U {0}. - 13 - 1.10 - l.n 3. ( ¥= C, (?(B,b) CR) => <3(B,b) C 6*(A,b)U{0}. Dokaz: Trditev 1.10.l(i) velja za primer, da ima A enoto e in je e€B/l3, Trditev 0.2.32, str. 215/ ... (1). Če pa sta A ali B brez enote, formalno adjungiramo enoto e = (1,0) obema algebrama A in B. Ker je B podalgebra algebre A, je B := {(A.,b) : A (M U 10J)° = => 9 (MU iO)) = M U {0} ... (4). Trditev 1.10.1 sledi sedaj iz (2), (3), (4) in 1.5. Trditev 1.10.2 sledi neposredno iz 1.10.1, 1.10.3 sledi iz 1.10.2 in 1.6(iv). 1.10* Posledica: Naj bo B zaprta podalgebra Banachove algebre (A, JUH) nad obsegom y (= R ali G). Potem velja: (i) Ce ima B enoto, ki je enota algebre A ali pa če sta A in B brez enote, je coGi,(B,b) = co GL(A,b) za vsak b e B. (il) Če ima A enoto, ki ne leži v podalgebri B, je co 6^(B,b) = co( Gv(A,b) U{0}) za vsak b e B. (iii) Če ima B enoto, ki ni enota algebre A, je co( 6L(B,b) U {0}) = co <3L(A,b) za vsak b e B. Opomba: co cj> = cj> po definiciji. Dokaz: Trditev je neposredna posledica trditve 1.10, če upoštevamo, da za vsako kompaktno konveksno množico K končno-dimenzionalnega normiranega prostora velja enakost co3K = coK. 1.11 Trditev Naj bo (A,||.||) B-algebra (z enoto ali brez nje) nad obsegom ¥ (= R ali C). Za vsak a£A naj boA(a) = = {f : f potenČna vrsta skalarne spremenljivke X e ¥ s konvergenčnim polmerom r>r(a) := inf||an|l 'n = lim||an|| 'n} . n €. N n~>oo Množica A( a) je očitno asociativna komutativna algebra z enoto. Po 0.5.7 je definiran f(a) £ Ae in f(a) e IQ (gl. 0.5.5). Ker smemo vrste, ki so v normirani algebri konvergentne in hkrati abso- - 14 - i.ii - i.i3 lutno konvergentne, členoma seštevati in množiti v poljubnem vrstnem redu, je: (l) preslikava f nvf(a) homomorfizem algebre A(a) v algebro A , ki enoto algebre A(a) preslika v enoto e algebre /Vp; za vsak f,g€A(a) elementa f(a) in g( a) očitno komutirata. (ii) To pomeni, da je f ( 6^ (AQ ,a)) C 0^(Ae,f(t)) za vsak feA(a) (gl. /20/, prvi del dokaza Izreka 2? na str.29 in 30; po 1.8 in 1.6(iv) je sup |6L(Ae,£)U max | GiL( A,a)| <<: r(a) ). (idi) Analogno je tudi f ( G> ( Ae ,a)) C 6^(AQ ,f ( a)) za vsak f €A(a). 1.12 Spektralni teorem Če je (A,||.||) kompleksna B-algebra in a € A, veljajo enakosti: 5) . Opomba: Normirana algebra (A , 1J.|| ) ni nujno polna! Dokaz točke (i): Inkluzijo (o(f(a.)) C f(6*(a)) dokazuje v bistvu /20, drugi del dokaza Izreka 22 na str. 30/, kjer bazira dokaz na naslednjem: če je potenčna vrsta g(X) na konver-genčnem krogu IX|r(a)) povsod /0, je l/g(A.) holomorfna na tem krogu in je zato l/g *A(&) in g(a) je obrni j iv element algebre A ter velja enakost (g(a))~ = (l/g)(a) . Obratno inkluzijo "311 potrjuje 1*11(11)• To dokazuje prvo enakost v 1.12(1), drugo enakost dokažemo na enak način. 1*13 Trditev: Naj bo (A,||.||) B-algebra nad obsegom ? (= R ali C). Potem za vsak a e A eksistira lim In suplje ax H1/* (gl.0.3) t-*-«} X £ b in velja: lim In sup||etax||1//t = inf In sup||etax||1//rt = t->oo x€S t e R+ x € S = maxReGf( A ,a) . Opomba: Algebra A ima lahko enoto ali pa je brez nje (formalna adjunkcija enote). Dokaz: (i) y= G: Tedaj je (A , i|.||) kompleksna enotska B-algebra, kar po /3, Teorem 1.3.8/ pomeni maxRe6>(A ,a) = = inf ln||eta||1/t = lim ln||eta||1//t , to pa zaradi 0.5.6 u t n t-*oo in 0.5.7(ii) že dokazuje trditev (v primeru ¥ = C). - 15 - 1.13-1.14 (II) ? = R: Ker ;ie (A , ||.||) realna enotska B-algebra, je po de-firticiji 1.4(ii) (o (A p,a) = G?(A r,a) in veljajo zato spet po / 3, Teorem 1.3.8 / enakosti: maxReoo u algebre v njeno kompleksifikacijo je izometrični homomorfizem (gl. 0.4.1) in veljajo zato po 0.5.7(ii) enakosti: )|e a || = = ||eta|| = sup||etax|| ... (2). Točki (l) in (2) dokazujeta trdi- xe S tev 1.13 v primeru, da je ^ = R. 1.14 IZREK Naj bo (A,l|.||) B-algebra nad obsegom Y (= R ali C) in za vsak a€ A naj bo s(A,a) = inf In sup||e ax|| ' in t e R+ x € S s.(A,a) = inf In sup||xeta||1//t (gl. 0.3). Potem je a t e R+ x £ S s(A,a) = lim In sup||etax||1/t in sd(A,a) = lim In sup)|xeta|| in t—»• oo X € o t-+oo X c o v oznakah s(a) := s(A,a) ter s.(a) := s-,(A,a) velja: lc A ima enoto =}s(a) = sd(a) = maxRe6*( A,a) = inf ln||eta||1/t = = lim ln||eta||1/t . * ' R+ t->oo 2. A je brez enote => supRe((o( A,a) \{0}) 4 s(a), s,(a)4 maxR ed(A,a) . Opomba: Za prazno množico^ definiramo: sup <^> = -oo \ 3. Če je A brez enote in če velja vsaj eden izmed naslednjih štirih pogojev: (i) tf(A,a) = {0} , (il) maxRetf(A,a) > 0 , (iii) 0 ni izolirana točka množice Re(?(A,a) (lV) e,(A,a)0(iR\{0}) £

oo x 6 S 1.13 ... (1) . 1. A ima enoto £,__T=_C : Ker je sup|(etax|| 4 ||eta||.l in x e S sup)|etax|l > l|eta||'l|e|r1 za vsak t € R+, slede po (l) in x € S h + i /+ /3, Teorem 1.3.8/ enakosti s(a) = inf In sup|letax|r/ x - t i R+ x e S ' = lim In supl|etax|(l/t = lim ln||eta||l/t = inf+ln||eta||:i/t = t->oo x e S t-*<» t € R+ - 16 - 1.14 = maxReG>( A, a) ... (2) . A ima enoto g , y = R : Po 1.4(ii) je maxReC>( A, a) = = maxRe<£( A^, a) in ker je £ enota kompleksif icirane algebre Ap (gl. 0.4.1), slede za algebro A^ in element aeA„ iz točke (2) enakosti: maxRe<3( A,a) = inf ln||eta||;!/t = t ^ R+ = Um Infle^H^ = lim In sup))etSf||^/t = inf. In sup||et^||j/t t->oo t->oo |e Sq teR |6Sc k;jer je SQ = {J e AQ : ||^||c = 1 } . Od tod zaradi 0.4.3(iii) spet sledi trditev (2) ... (2') . Zaradi (2) in (2») velja za število s(a) trditev 1.14.1 ... (3). A brez enote, y = C : Po 1.8, 1.5, 1.2.l(i), 1.4(iii) in 1.4(i) je &(kfR)^^(ke9ai) ... (4), kar zaradi (1) in 1.13 pomeni maxRe(3(A,a) > maxRe6*(A ,a) = s(a) ... (5). Če jeO>(A,a)\ {0} / (p f vzemimo poljuben \c , A. £ 3>(A,a)\ {0\ ... (6). Potem je a / 0 in veljajo zaradi 1.6(i), /ll, Spektralni teorem 24.5.5 na str. 693/ ter točke (C) za vsak n€N ocene sui)||enax|| > ||ena||air1a]| = X 6 Š = llair^e^all >||a|r1max |0,( A,enaa)| '=' )|air1max {|en;i x| : Xe&(k,a)} f iair1^11^^! - llalf1 |ao| enReXo in zato lim In sup||enaxH1//n> lim(r7 lnTžK+ ReXo) > kar zaradi (1) in n->oo x € S n->oo n ll '• (6) pomeni s(a) > supRe(6*( A,a) \ {0}) ... (7). Točki (5) in (7) kažeta, da za število s(a) velja trditev 1.14.2 in to v primeru, ko je V - C ...(8). A brez enote, y = R : Po 1.4(iv) je6*(A,a) = G>(Ac,a) ...(9). Ker je A« kompleksna B-algebra (brez enote, gl. /5, Propozi-cija 13.5(i)/), je zaradi (5) in (7) supRe(Č(AQ,a) \ {0}) ^ ^ s(a) ^ maxRetf(Ap,a) ... (10). Zaradi 0.4.3(iii) je s(a) = s(a) ... (11). Točke (9), (10) in (11) pomenijo, da velja za število s(a) trditev 1.14.2 tudi v primeru, ko je y = r ... (12). Če vzamemo namesto algebre A algebro A* (obratno množenje, gl. 0.1.3), je očitno G^(A#fa) = (a(A,a) in s(A',a) = sd(a). To zaradi (3), (8) in (12) v celoti dokazuje 1.14.1 in 1.14.2 . Če je A kompleksna algebra brez enote in je G*(A,a) = {0}, je zaradi 1.8 (gl. 1.4(iii), 1.2.1(1) in 1.3) in 1.6(i) tudi CS(A ,a) = {0} in je zato zaradi (l) in 1.13 maxRetf(A,a) = = 0 = s(a) ter analogno tudi maxReGi(A,a) = maxRe6^( A*, a) = - 17 - 1.14 - 1.15 = O = s(A*,a) = sd(a) ... (lj) . 3! Če je A realna algebra brez enote in je Qf(A,a) = {0}, je po 1.4(iv) {0} =(3(A,a) = (?(Ac,a) in zato po (13) s(a) = s^(a) = 0, kar zaradi 0.4.3(iii) spet pomeni s(a) = = sd(a) = 0 = maxRe(3>(A,a) ... (14). Zaradi (13) in (14) je predpostavka (i) v 1.14.3 zadosten pogoj za enakosti s(a) = s-,(a) = maxRe ixp(a+b) = (ixpa)o (ixpb) in je zato (ixpa)_1 = ixp(-a) (gl. 1.1) J. Za vsak aeA eksistira limita lim ln(l + )|ixp(ta)||) ' : = t € R,t-*oo := s (A,a) in velja: (i) sq(A,a) = inf+ln(l + || ixp( ta)|| )1/t = maxRe(q-6>( A, a)) (il) Če je A brez enote, to pomeni s (A,a) = maxReG>(A,a) in če ima A enoto, je maxReG>(A,a) «$ s (A, a) = = maxRe((D(A,a)U {0}) . Opomba: Primerjaj 1.14! (i) Pokažimo točko 1.15.3(i): a) y - G : Algebri A formalno adjungiramo enoto e = (1,0) (ne glede na to, če že ima enoto) in na razširjeni algebri A (gl. 0.5.1) definiramo normo ]| . || : )|(fc,a)|| = \X\ + ||a|[ . Potem je (A . j|.|l ) kompleksna enotska B-algebra .,* (1). e e Ker je preslikava a -> a = (0,a) izometrični homomorfizem, je ||et§||e =||e - ixp(ta)||e = ||(l, -ixp(ta)))|e = 1 + || ixp(ta)|| ... ... (2). Zaradi (l) in/3, Teorem 1.3.8/ je raaxRe6>(A ,a) = = inf ln||eta||l/t = lim in||eta]|l/t _# (3). Po 1.7 in t €R+ e t-roo e 1.2.1(1) je3(Ae,a) = q- °° realne algebre A v njeno kompleksifikacijo A^ izometrieni homomorfizem (gl. 0.4.1), velja trditev 1.15.3(i) tudi v primeru, da je f = R . (ii) Trditev 1.15.3(ii) potrjujeta 1.4(iii) in 1.6(ii), če upoštevamo pravkar dokazano točko 1.15.3(i). 1.16 Primer Naj bo Y obseg skalarjev (= R ali G), A = T x $ in a = (1,0) ter b = (0,1). Potem je A asociativna dvodimenzionalna Banachova algebra nad obsegom 3* z bazo {a,b} , če definiramo: (i) («a + pb) + (oCa + p'b) = (o( + oc')a + ( p + (b')b za vsak c*,«' 9P>fp>9 e *% (li) A(oca+Ab) = (A.ot)a + (Xp>)b za vsak cx,p,Ae^ (iii) (oca + pb)(oc»a + p'b) = (por) a + ((2>|V)b za vsak o^oc' >p»p' e a . Torej je aa = 0 = ab, ba = a in bb = b, t. j . a e lanA in b je leva enota algebre A. (iv) Norma: )|oc a + pb|| :- \a\ + |(i| za vsak eT (V) Ker je lanA /= {0} , A nima desne enote. Torej A nima enote in je zato 6^(A,x) = q- 6^(A,x) za vsak x e A. (Vi) Za vsak A e $\{0} je očitno (-l/A.)a = <(lA)a)_1 (gl. 1.1), kar pomeni 6^(A,a) = {0} (gl. 1.2.1 in 1.5). Ker je b leva enota, je (l/l)b + x - (l/l)bx = = b £■ 0 za vsak x € A, kar pomeni le<5L(A,b). Po drugi strani pa je za vsak A.ey\{0,l} (l/(l-X))b = = ((lA)b)^1 (gl. 1.1), kar pomeni 6y(A,b) = {0,1} in zato G^.(A,-b) = {-1,0} ... (*). Opomba: Vse to očitno velja za kvazi-V-spekter poljubnega elementa a iz levega ali desnega anihilatorja algebre A in za levo ali desno enoto algebre A,A poljubna, (Vii) Ker je b leva enota, je e ' 'x = e~ x za vsak t €^ in zato sup||e"t(-b)x||1/"t = e""1 za vsak t£R+, kar za- xčS radi (■*) v točki (vi) pomeni enakost (gl. 1.14) : s(A,-b) = -1 = maxRe(6L(A,-b)\{0». (vili) Za vsak x = ota + pb je xb = pb in je zato xe "" = = cxa + pb + (21 '""^j )((3b) = o(a + pe""tb za vsak t €*£. - 19 - 1.16 - 1.18 To pomeni sup||xe ^ "* '|| = sup { \oL\ + |ft| • e~ : X € S o^p^T , Ic*l + |(M = l}= sup{l - r(l - e"**) : r e[0,l]} = 1 za vsak ta+ . Od tod sledi (gl. 1.14) enakost s.(A,-b) = 0 = maxRe 6$ (A,-h) . (ix) ixp'fta) = -ta in ixp(tb) = -(e - l)b, kar pomeni sn(A,a) = lim lnCl+t)1^ = 0 = max 6L(A,a) in s (A,b) = lim ln(l + (ex - l))±/x = 1 = max 6i(A,b) . q t -»-oo * 1.17 Posledica Naj bo (A, ]|.|j ) B-algebra nad obsegom Tf (= ^ ali C) ter naj bo & = supRe((o( A, a) \ (0} ) (če je na desni prazna množica, pišemo G30 = -oo), (d = maxReC>(A,a) in G> = maxRe( eGot in sup||xeta|| > e6*0* za vsak t > O X 6S X € S (gl. 0.3) (ii) Če ima A enoto, je ||e a|| ^ maxfsup||e ax||, sup||xe a||} ^ x £ S x € S ^ e za vsak t > O (idi) ||ixp(ta)|| > e^ - 1 za vsak t > O (gl. 1.15) (iv) Če je A brez enote, je ||ixp(ta)|| > e^$t - 1 >0 za vsak t^O . Opomba: Po 1.6(iii) je 6iR(AR,a) = R/1(o(A,a) C G>(A,a). Dokaz: Točki (i) in (ii) sledita iz 1.14.2 in 1.14.1, točki (iii) in (iv) pa sta posledici trditve 1.15(ii). 1.18 Posledica Naj bo B zaprta podalgebra Banachove algebre (A, )|. j|) nad obsegom ? (= R ali G). Za vsako neprazno množico M C C naj co(Re)M označuje množico coReM v primeru, ko je *$* = R oziroma množico coM, če je ¥ = G. V teh oznakah potem velja: (i) Če ima B enoto, ki je enota algebre A ali pa če sta A in B brez enote, je co( Re)C>( B,b) = co( Re)(3( A,b) za vsak b e B. (ii) Če ima A enoto, ki ne leži v podalgebri B, je co(Re)e»(B,b) = co(Re)(6,(A,b) U {0}) za vsak b 6 B. (iii) Če ima B enoto, ki ni enota algebre A, je co(Re)( maxRe(AK-|) = maxRe(xKp) za vsak A.e^ , U| = 1 ... (1). Za vsak b cB in Xf7 je supReCA-M^) ^ supRe(xM2_) za vsak X e1? , lxl = 1 ... (1). Za vsak a € A in A. € C je G?(A,A.a) = A. 6» (A, a) in (^(A^Aa) =A.6*(Ae,a) ... (2). Po 1.14.2 in 1.12 je supRefe( AfAa)\ {0}) .< s(A,a) = maxReG( Z ,Aa) za vsak ' ^ e a € A in A. €■ C. To po točkah (l) in (2) pomeni inkluzijo co(tf(A,a)\ {0}) C coeT(Ae,a) = coe»(Ae,a) za vsak a 6 A...(?)• ?o 1.8, 1.5 in 1.4(iii) pa Je & (A ,a) C Gt(A9a) za vsak a € A ... (4) « Točki (3) in (4) dokazujeta trditev 1.19.1 . Če je za element a izpolnjen eden izmed treh pogojev trditve 1.19.2, je po 1.14.3 in 1.13 maxRed(Ae,\a) = s(A,xa) = = maxRe(2(A, Aa) za vsak AeC. To zaradi (l) in (2) dokazuje trditev 1.19.2 . 1.20__Posledica Naj bo (A,l|#l|) B-algebra (z enoto ali brez nje) nad obsegom ¥ (=R ali G). Potem so za vsak a£A ekvivalentne naslednje trditve: (i) 6"(A,a) C 1R (ii) lim In sup||etax||l/,t,= 0, (ii*) lim In sup||xeta||l/,t| = 0 t£R,|t|-»co xeS t€R,|ti-*ooX€S (gl. 0.3) (iii) inf In sup||etaxl|1/,ti= 0, (iii») inf In sup||xeta|(1/|tl = 0 t € R x € S t e R x e S 21 - 1.20 - 1.21 (iv) Za vsak £eR eksistira tak t- € R f da velja: (teR, |t\ >t£) => sup||etax|| < e lt|8 x € S (iV?) Za vsak e^R+ eksistira tak t£ e R , da velja: (t e R, |tl > t, ) => sup)|xeta|| < e ,t|£ X € S e (V) Za vsak 6 e R+ eksistira tak t£ € R , da velja: (t € R, |t| >t£)=> ||ixp(ta)|| < e ,t!e - 1 (gl. 1.15) / 1 in sup||xeta|| >y 1 za vsak te R. x e S x € S Dokaz: Če je 0*(A,a) C iR, je Re<3(A,a) = {0} in zato maxRe<5>( A,-a) = 0, kar po 1.14.1 ter po 1.14.3(i) in (iv) pomeni s(-a) = s.(-a) = 0. Torej velja implikacija: g(A,a) CiR^ s(ta) = sd(±a) = 0 ... (1). Zaradi 1.14.1, 1.4(iii) ter 1.14.3(ii) velja tudi obratna implikacija: s(-a) = = sd( i a) = 0 =>maxRe(D(A,±a) = 0 =3> ^maxRe<3(A,ia) = 0 <=> s (A,±a) = 0, ki zaradi 1.15.3(i) dokazuje ekvivalenco naših trditev (i), (vi) in (vii). Trditvi (v) in (vii) sta očitno ekvivalentni. Vse trditve (i), (ii),...,(vii) so ekvivalentne trditvama (iii) in (iii'), iz katerih sledi tudi zadnji del trditve 1.20. 1.21 Posledica Naj bo (A,ll.ll) Banachova algebra (z enoto ali brez nje) nad obsegom Y (= R ali C), acA in M e R+. Potem velja: (i) (sup||etax|UM za vsak t€R)=>(M>l, sup||etax|| > (l/M) x e S x e S za vsak t cR in (o( A,a) C iR) (i') (supllxeta|| ^M za vsak t e R) => (M>1, sup||xeta|| >(l/M) X € S X € S za vsak t e R in G>(A,a) C iR) (gl. 0.3) (ii) ()|ixp(ta)||^ M za vsak t6R)=>g(A,a) C iR . - 22 - 1.21 - 1.22 Dokaz: (i) Po 0.3(ii) in predpostavki točke (i) je ||xl| = ||e~ta(etax)IU M||etax|| za vsak t e R in x e A, kar ta > 1 ter -(lnM/|t|) < In sup|]etax U1/ ^ < (lnM/|t|), t.j. pomeni oceno (l/M)^ sup||e ax||-$M za vsak t € R in zato x eS X€S lim In suplle^H1' '"^ = 0, kar po 1.20(ii) pomeni G> (A,a) C iR. t€R,|t|-»»X€S (i*) Ta primer lahko reduciramo na primer (i), če vzamemo namesto algebre A algebro A* (obratno množenje, gl. 0.1.3). (ii) Po predpostavki trditve (ii) je 0 4 ln(l + II ixp( ta)l|) ^ <: ln(l + M) in zato lim ln(l + ]|ixp( ta))|) ^ ^ = 0, t € R, |th>oo kar po 1.20(vii) pomeni G?(A,a) C iR. 1.22 Trditev Naj bo (A,ll.||) normirana algebra nad obsegom "J" (= R ali C) in naj ima A enoto e. Potem je preslikava ai->Tn (T0x = ax za vsak x e A) očitno injektivni zvezni a a homomorfizem (leva regularna reprezentacij a) algebre A v algebro (fe(A) linearnih orne jenih operatorjev na normiranem prostoru (A, H.il), ki preslika enoto e algebre A v identiteto I algebre (£>(A) ter velja za vsak aeA naslednje: (i) a 6 InvA =>T e Inv(fe(A) in T'1 = T _i (gl. 1.3) (ii) To £ Inv<£(A) => a e InvA in a""1 = T^e (<3C(A) je alge-a a bra linearnih, ne nujno omejenih operatorjev na A) (iii) <3g.(A,a) = G»j.(*(A),Ta) = 6*¥( &(A),Ta) (gl. /5, Propozicija I.2.19-0pomba/) (iv) 6*(A,a) = C?((fc(A),Ta) Dokaz: (i) aa"1 = e = a^a * T^.j. = Taa_x = Tg = I = Ta_la = = Ta-lTa=* Te Inv = ((fo(A))c ter (fe~= db(Ac) (gl. 0.4.1). Za vsak a č A je a = (a,0) e Ac, T g € ):= ( F e(£)': j|F|| = 1}. Za vsak x€S naj bo D(x) := D(A,x) = {f e S » : f(x) = 1} in za vsak xeS naj bo D(x) := D(A,x) = {F€§» : F(x) = l). 2.1.2 Trditev Če je (A,p) polnormirana algebra nad obsegom J (= R ali G) in JP = fai A : p(a) = o}, velja: (i) (x€A, ycjf )=> p(x+y) = p(x) (ii) (xc s, ycjf )=> D(x+y) = D(x) £ 4> (iii) x€ S => D(x) = {? : f e D(x)} (gl. 0.2.4) Dokaz: (i) p(x+y) 4: p(x) + p(y) = p(x) = p((x+y)-y)<: ^ p(x+y) + p(y) = p(x+y) (ii) Zaradi (i) velja: (p(x) = 1, fcD(x), y € Jf ) => =»((x+y)es, f(x+y) = f(x) + f(y) = f(x), ker je I f(y )| ^ p(y) = 0). Torej: yeJf=>D(x) C D(x+y) in zato tudi D(x+y) C D((x+y) + (-y)) = D(x) . Če je p(x) = 1, velja za funkcional f , f (Xx) :=X , ki je definiran na prostoru Y :={Xx : A.cT} . ocena |f0(y)| ^ p(y) za vsak y4Y. Po H-B izreku lahko zato funkcional f0 razširimo do funkcionala f, ki je linearen na A in za katerega velja ocena |f(a)| ^ p( a) za vsak a C A. Torej je D(x) / (j) . (iii) Sledi iz 0.2.4 . 2.1.3 DEFINICIJA (gl. 2.1.1): (i) Za vsak a € A in x € S naj boV(A,a,x) ={f(ax) : f € B(x)} in Vd(A,a,x) ={f(xa) : f € D(x)} . (ii) Množico Y(A,a) :={f(ax) : xeS, feD(x)} = U V(A,a,x) x€ S imenujemo levi numerični zaklad elementa a polnormirane algebre (A,p) glede na algebro A. (iii) Množico V.(A,a) :={f(xa) : xeS, feD(x)) =U V,(A,a,x) a x€ S a imenujemo desni numerični zaklad elementa a polnormirane algebre (A,p) glede na algebro A. - 25 - 2.1.4 - 2.1.5 2.1.4__Trditev Naj bo (A,p) polnormirana algebra (ne nujno asociativna) nad obsegom T(= R ali C). Potem veljajo za vsak a,b e A naslednje trditve: 1. V(A,a) = V(A,a) (gl. 0.2.2) 2. Ce označimo z fe(A) enotsko normirano algebro vseh line- arnih omejenih operatorjev (sup - norma) A »—► A in s T^ operator iz (fe>(A), ki ga definira enačba T«g.f = aj za vsak f cA (T-s. je operator levega množenja na algebri -A), -* a velja: (i) V(A,a) = V(T-0 = prostorski numerični zaklad opera- a torja T g (gl. /3, Definicija 5.9.1/) in zato (ii) cbV(A,a) = V((fe(S),Tg) . 5. V(A,a) je neprazna, orne jena in povezana podmnožica prostora Hf z lastnostjo sup|V(A,a) < supp( ax) ^ p(a) . x e S 4. V(A,Xa) = XV(A,a) za vsak X e? . 5. V(A,a+b) CV(A,a) + V(A,b) 6. Vd(A,a) = V(A',a) (gl. 0.1.3) . Dokaz: 1. Po 2.1.2(iii) in 0.2.4 je V(A,a) = (F(ax) : xe Š, ?€D(x)} ={f((ax)/s) : x€S, fcD(x)) = { f(ax) : xeS, f e D(x)} - V(A,a) 2. (i) Po /3, Definicija 3.9.1/ je V(Tg) = V(A,a), kar zara- di 2.1.4.1 dokazuje enakost (i). (ii) Sledi iz (i) in /3, Teorem 3.9.4(i)/. 3. Zaradi 2.1.2(ii) je V(A,a) / > zaradi 2.1.4.2(i) in /3, Korolar 3.11.5/ je V(A,a) povezana v ¥ in po definiciji 2.1.3(ii) velja: A. e V( A,a) => eksistira x € S in f £D(x), da je *. = f(ax).=> 1X1 ^ )|f||p(ax) = p(ax) ^ ^ p(a)p(x) = p(a) (gl. 0.2.3). 4. ,5.,6. Očitno. 2.1.5 Trditev Naj bo (A,p) enotska polnormirana algebra nad obsegom V (= R ali C) z enoto e (p(e) = l). Potem za vsak a € A velja: (i) V(A,a) = Vd(A,a) = { f ( a) : f € D(e)} neprazna kompaktna in konveksna podmnožica prostora T . (ii) maxReV(A,a) = inf((p(e+ta)-l)/t) = lim((p(e+ta)-l)/t) t 6 R+- 110 ' (iii) Če je B podalgebra algebre A in e € B, je V(B,b) = = V(A,b) za vsak b eB . - 26 - 2.1.5 - 2.2.1 Dokaz: (i) Ker je faktorska algebra (A,)|.||) polnormirane algebre (A,p) enotska normirana algebra z enoto e (gl. 0.2.2), je po /3, Lema 1.2.2 in Teorem 1.2.V V(A,a) = (F(a) : P € D(e)} neprazna kompaktna in konveksna podmnožica prostora ?... ... (1). Po 2.1.4.1 je V(A,a) = V(A,a) ... (2) in po 2.1.2(iii) ter 0.2.4- sledi {P(a) : Fčd(Š)} ={f(a) : f€D(e)} = { f(a) : f 6D(e)} ... (3). Trditev (i) dokazujejo točke (l), (2), (3) in trditev 2.1.4.6 . (ii) Zaradi 0.2.2 je (p(e+ta)-l)/t = (|| e+ta||-l)/t za vsak t e R+ in ker je faktorska algebra (A,l|.||) enotska normirana, to zaradi 2.1.4.1 in /3, Teorem 1.2.5/ že dokazuje trditev (ii). (iii) Zaradi 2.1.4.4, (i) in (ii) je maxKe[xV(B,b)] = = inf((p(e+ta.b)-l)/t) = maxRe[xV( A,b)] za vsak b € B in t€R+ A-tJ , Ker sta po (i) V(A,b) in V(B,b) kompaktni in konveksni množici, to že dokazuje trditev (iii) (gl. točko (l) v dokazu trditve 1.18). 2,1.6 Trditev Naj bosta (A,p) in (B,q) enotski polnormirani algebri nad obsegom V (= R ali C) z enotama e € A in f « B ter naj bo (p homomorfizem algebre A v algebro B z lastnostjo (e) = f in q((J> (a)) 4 p( a) za vsak a e A. Potem je V(B, $(a)) = V($(A), $(a)) C V(A,a) za vsak a e A. Dokaz: Enakost sledi iz 2.1.5(iii), inkluzija pa iz ocene maxRe[^V(čf> (A), $(a))] = maxReV( $ (A) , $ (\a) ) 4 ^ maxReV(A,A.a) = maxRe[xV(A,a)] , ki velja za vsak \€.t$ ( \X\ = 1) in ki je posledica trditev 2.1.4.4 in 2.1.5(ii) (gl. točko (l) v dokazu trditve 1.18 oz. 1.19). 2.2 NUMERIČNI ZAKLAD ELEMENTA NORMIRANE ALGEBRE NAD OBSEGOM ? (= R ali C) V vsem odstavku 2.2 naj bo (A,||.||) normirana algebra nad obsegom (= R ali C), ne nujno asociativna! 2.2.1 Trditev Če je B netrivialna podalgebra algebre A, je V(B,b) C V(A,b) za vsak b e B. Dokaz: H-B izrek nam omogoča razširitev funkcionala f0£D(Bfx) do funkcionala f €D(A,x). _ ?7 - 2.2.2 - 2.2.3 2.2.2 Trditev (i) xeS4V(A,a,x) = P|K (a,x) neprazna, -------------------- A.€yx kompaktna in konveksna podmnožica prostora j , kjer je K (a,X) ={dLel? : |oc-A.| ^ || ax - Xx|) zaprt "krog" s sredi- ščem v točki x e. T . (11) V(Afa) =U O K (a,X) s f) U K (a,X) xeS AeT x ju* xeS x Opomba: Ni treba, da je A asociativna! Dokaz: (i) a) Naj bo x c S in a. e f\ K (a,x). Potem je )a - X| ^ x^v x 4 || ax - XX H za vsak ju1? ".....(l). Ce je ax ko line aren z x, ax =mx, potem je f(ax) =uf(x) =u za vsak feD(x), kar zaradi (1) pomeni | ot - f(ax)| 4 llax - f(ax)x|| = llmx za vsak ^ € y ) f potem za funkcional f0, f0(|ax +°px) :=?<* + *9 velja f0(ax) = o( , f0(x) = 1 ... (2) in zaradi (1) je za vsak S € 5* \ { 0} tudi |f 0(| ax +n^x)|^ | E oc + ro | = = |f II*- (-ty/f>)| ^ Iflllsa - (-(7/|))x|| = |||ax +7x||, t. j, j fQ(£ax + ^x)| ^ || čax + noxH za vsak | , m e $* . Po H-B izreku lahko zato f0 razširimo do f € A' tako, da je )|f|| = |jf0|*l. To zaradi (2) spet pomeni oceV(A,a,x) . b) Naj bo a e V( A, a,x). Potem eksistirata x e. S in f€D(x), da je * = f(ax). Zato | : x €. S } konveksna podrnnožica prostora V za vsak aeA, kjer je <,> (enolično določen) skalami produkt, ki ga inducira norma \\.\\ : ||a||2 = za vsak a e A. Opomba: 1) Če je (A,||.|J) kompleksna enotska B-algebra in za normo || . || hkrati tudi Hilbertov prostor, je A izomorfna obsegu G kompleksnih števil /7* [%1Ql,t%3] /. Če pa je (A, ||.||) kompleksna B-algebra brez enote in za normo ||. || tudi Hilbertov prostor, algebra A ni nujno izomorfna obsegu C (gl. 2.3-13)-2.) Ni treba, da je A asociativna ! 3.) Paralelogramska e. ni potreben pogoj za konveksnost n. zaklada! Dokaz: Vzemimo poljuben xcS. Po Riesz-ovem izreku eksistira za vsak f e D(x) natanko en tak y cA, da je ||yll = ||f|| in f(z) = za vsak z gA. Ker je f eD(x), je 1 = f(x) = = llf|| in preide aato Schwarz-ova neenakost v enakost: || = = |f(x)| = 1 s= ||x||||y||. To pomeni, da eksistira tak X £ V , da je y = Xx. Zato je X = f(xx) = f(y) = = l|y||2 = 1, t. j. y = x, t. j. f(z) = za vsak z e A. Obratna implikacija je očitna in zato V(A,a) = { : x e S} ... (l). Zaradi 2.1.4.3 je treba dokazati konveksnost množice V(A,a) *gl. 13-2.4(15), 13-2.5(24), 13.3-2(5), 13-3-4(7), 13.4.2(4) in 4(9) - 29 - 2.2.4 - 2.2.5 le za primer, da je ^ = C. Za vsak aeA je operator T levega množenja (T x = ax za vsak x eA) ... (2) linearen in omejen a operator na Hilbertovem prostoru (A,<,>) in je zato po /4, Teorem 5.15.11/ "skalami" numerični zaklad W(T ) = { : x€S} konveksna podmnožica prostora C ... (3). Točke (1), (2) in (3) dokazujejo konveksnost množice V(A,a). 2.2.5 Trditev Ce ima algebra A levo enoto e, definiramo za vsak aeA množici V (A, a) in V" (A, a), V* (A, a) : = :={g(a) : g e D(A,e/llel|)} - { g( a) : g e k9 , ||g|| = l, g(e) = liell} inV"(A,a) :={g(a) : gcA», l/latt < |g|a) sta za vsak aeA kompaktni podmno- žici prostora ¥ . (lil) Za vsak a e A in X,M. e 5* je V'(A,Xa+Me) = A.V'(A,a) + + {<^HeH} , V"(A,xa+ue) = \V»'(A,a) + { u) inV(A,e) = = {1} • (iv) Za vsak a,be A je V'(A,a+b) C V»(A,a) + V'(A,b) in V9 >(A,a+b) C V"(A,a) + V"(A,b) . (v) Če je B podalgebra algebre A in e e B, je V,(B,b) = = V'(A,b) in V"(B,b) = V"(A,b) za vsak b € B. (Vi) Za vsak ae A je V'(A,a) C le| Vd( A,a) in V(A,a) C C V"(A,a) ("Va*) Če je e enota (dvostranska) algebre A, je (l/||ell)V'(A,a) C V( A , a) f\ Vd( A,a) C V(A,a)UVd(A,a) C C V,,(A,a) za vsak aeA. (Vii) Če je Hell = 1, je V(A,a) C V"(A,a) = V'(A,a)C C Vd(A,a) (vii5) Če je e enota (dvostranska) algebre A in je ||e|| = 1, je V»(A,a) = V"(A,a) = V(A,a) = Vd(A,a) za vsak ae A. Opomba: Ni treba, da je A asociativna! Dokaz: (i) Definicija 2.1.5(1) in trditev 2.2.2(1). (ii) Da je V»(A,a) kompaktna, sledi iz (i) in 2.2.2(1). Da je tudi V'»(A,a) kompaktna, sledi iz šibke*-kompaktno-sti množice G :={g£A' : g(e) = 1, l/\\e\\ 4. \\g\\ š l), ki je posledica šibke*-zaprtosti množice G- in šibke*-kompaktno- sti enotske krogle prostora A'. - 30 - 2.2.5 - 2.2.7 (iii), (iv) Očitno. (v) Hahn-Banachov izrek. (vi) a) g€ D(e/He|l) => g e A', g(e/llell) = 1 = ||g||=»g(a) = = llel|g((e/llell )a) e \\e\\ Vd( A,s ). Torej V'(A,a) C C lle||Vd(A,a) in analogno V'(A,a)C lle||Vd( A", a) = = ||e||V(A,a) , če je e desna enota (gl. 2.1.4.6). b) Vzemimo poljuben xeS, f€L(x) in naj bo X = f(ax). Za funkcional g, g(y) := f(yx) za vsak yeA, zato velja: g(e) = 1 in g(e/l|eii) = {l/lle« )f (x) = l/l|e||, t.j. )| g || > 1/llell, |g(y)| < l|fllllyllllx|U l.lly|l.l za vsak y € A, t. j. Ilgtl^l ter * = f(ax) = g( a) € € V"(A,a). Torej V(A,a) C V»'(A,a). (vi') Če je e enota algebre A, je e tudi leva enota algebre A* (gl. 0.1.3) in je zato po točki (vi) V»(A,a) = = V»(A*,a) C lle||Vd(A#,a) = HellV(A,a) in Vd(A,a) = = V(A#,a) C V"(A#,a) = V"(A,a) , kar skupaj s točko (vi) dokazuje (viJ). (vii) Sledi neposredno iz (vi) in iz definicije množic V'(A,a) in V"(A,a). (vii*) Sledi iz (vi*). 2.2.S Lema Za vsak xeS eksistira lim((l| x+tax||-l)/t) in je t|0 supReV(A,a,x) ^ inf((l|x+tax||-l)/t) = lim( (]| x+tax||-l)/t) . t €R+ t|0 Opomba: Ni treba, da je A asociativna! Dokaz: a) (x€S, f e D(x)) => Ref ( ax) = Re((f(x+tax)-l)/t) ^ 4 (lf(x+tax)| -l)/t ^ (||x+taxl|-l)/t za vsak t € R+ . b) Ker je preslikava y€A> je preslikava t >-* (cp(t) - ^(0))/(t-0) - (||x+ty||-l)/t monotono rastoča na R in je zato inf<( (f(t) - l)/t) = lim(( c#(t) - l)/t) . ter t| o 2.2.7 IZREK Za vsak aeA je supReV(A,a) « = inf sup((||x+taxl|-l)/t) = lim sup(( ||x+tax||-l)/t) = t€ R+xeS tlO xeS = sup inf((||x+tax||-l)/t) = sup lim(()|x+tax||-l)/t) X€S t€R+ xeS UO Opomba: Ni treba, da je A asociativna! - 31 - 2.2.7 - 2.2.8 Dokaz: Ker je preslikava l|.|| norma, je ničelni prostor Jf = {0} (gl. 0.2.2) in je zato faktorska algebra (A,\|.||) izome-trično izomorfna algebri (A,H.||). Po 2.1.4 je zato čoV(A,a) = V( B izometrični homo-morfizem z lastnostjo S(B) = $(S(A)), potem je cbV(B, (a)) = coV(A,a) za vsak a £ A. Dokaz: Če je X topološki prostor in f: X *->- R zvezna funkcija, velja za vsako neprazno podmnožico M C X enakost supf(x) = supf(m). Ker je S(B) = $(S( A)) in je <§> izome- xe¥ meM trični homomorfizem, pomeni to enakosti: sup|| f + t$(a)č|( = 6cS(Br = sup||^ + t$(a)f|| = sup|($(x) + t$(a)$(x)|| = sup)|$(x+tax)|l = |c$(S(A)) > xcS(A) xeS(A) = sup||x+tax|| za vsak t tT . Zato je po 2.1.4.4 in po 2.2.7 xes(A) supRe[XcoV(B, $(a))] = supReV( B, £ (Xa)) = = inf sup((||S+ t$(Xa)f||-l)/t) = inf sup((l| x+t(Xa)x||-l)/t) = t 6 R+ge S(By > t€R+ xcS(A) = supReV( A,A.a) = supRe[XcbV( A, a)] za vsak X C 5* , | X\ - 1 . - 3? - 2.2.8 - 2.2.10 Ker je zaprta konveksna ogrinjača omejene (gl. 2.1.4.3) pod-množice prostora. Tf kompaktna, to dokazuje našo trditev (gl. točko (l) v dokazu trditve 1.19)• Zm2.9 Posledica Naj bo (A,||.||) normirana (nepolna) algebra nad obsegom Y (= R ali G), (A,H.||) njena standardna izpopolnitev in a »-> a izornetrična homomorfna vložitev algebre A v A (A := {a : a € A} gosta v A, gl. /13, 0.2.14.1/). Potem j e coV (A, a) = coV(A, a) z a vsak a € A. Dokaz: Ker je A gosta v A, eksistira za vsak M S(A) tako zapo- redje a^ € A, da je £ = lima^ . Zaradi jlla^JI - l| = - \\%i\\ -H§ll| 4 || §n -fll 3e lim||ani| = lim|[a^J| = 1 in za zapo- n-*oo n->oo redje bn :=(an/|| an)|) € S (A) je zato limbn =€ . Torej S(A) C _______ n -*oo * C (S(A))~ . Trditev sledi sedaj iz 2.2.8 . 2.2.10 Posledica Naj bo (A,11.11) realna normirana algebra, (Aq,|J.||c) njena kompleks if ikaci j a (gl. 0.4) in a »-> a : = (a,0) izometrično homomorfna vložitev A v Aq. Potem je V(A,a) = ReV(Ar.,a) za vsak a € A. Dokaz: Po 2.2.7 in 0.4.3(i) je maxReV(Ac,a) = supReV(Ac,a) = = inf sup(( ||£+ taf||-l)/t) = inf sup(()|x+taxll -l)/t) = t€R+ pS(Ac)b * c t€R+ x€SCA) = supV(A,a) = maxV(A,a), t. j. maxReV(Aq,a) = maxV(A,a) za vsak a^A ...(l). Zato je tudi minReV(AQ,a) = -maxReV(Aq,-a) = = maxV(A,-a)•= minV(A,a) ... (2). Ker sta po 2.1.4.3 ReV(AQ,a) in V(A,a) kompaktna intervala, sledi iz (l) in (2) iskana enakost. - 33 - 2.3.1 - 2.3.2 2.3 NUMERIČNI ZAKLAD ELEMENTA NETRIVIALNE ASOCIATIVNE NORMIRANE ALGEBRE NAD OBSEGOM ¥ (= R ali C) 2.3.1 Izrek Če je (-,11.11) asociativna normirana algebra nad obsegom f (= R ali G) in če ima A enoto e ()|ell £ l)i lahko algebro A renormiramo do enotske normirane algebre (A,}|.||-j): l|a||-j := supf)ax}| za vsak a€A. Če označimo na kratko z A normira- x€S no algebro glede na prvotno normo ||.|| in z A-, (enotsko) normirano algebro glede na novo normo |(.||n , velja za vsak a € A enakost: coV(A,a) = V(A-,,a) = V(A -a) , kjer je A^ enotska normirana algebra, ki jo dobimo Iz normirane algebre A s formalno adjunk- cijo enote (gl. 0.5.4). Dokaz: Po 2.2.5(i) in (vil') sta V(A^,a) in V(A ,a) neprazni kompaktni in konveksni podmnožici obsega & ... (2). Ker sta A-, in A enotski normirani algebri, je po 2.1.5(ii) in 2.2.7 maxReV(An,a) = inf ((Ile+talU - l)/t) = 1 t*R+ L = inf sup((||x+tax|| - l)/t) = supReV(A,a) = maxRecoV(A,a) za t^R+ XGS vsak a e A ... (2). Analogno je po 2.1.5(ii), 0.5.6.1 in 2.2.7 maxReV(A,£) = inf ((||e+ta|| - l)/t) = e t€Rf = inf sup((||x+tax|| - l)/t) = maxRečTbV(A,a) za vsak a g A ... (3). teR+ X€S Izrek dokazujejo točke (l), (2) in (3) in trditev 2.1.4.4 (gl. točko (1) v dokazu trditve 1.18 oz. 1.19). 2.3.2 IZ REK Naj bo (A,l|.||) asociativna normirana algebra nad obsegom ?(= R ali C) z enoto ali brez nje. Potem je coV(A,a) = V(Ae,a) = V(A0,a) = V(Ae,a) za vsak a € A (gl. 0.5.1, 0.5.2, 0.5.4 in 0.5.5). Opomba: Algebre Ae, Ag in A0 tvorimo formalno, neodvisno od tega ali A ima enoto ali ne! Dokaz: Po 0.5.2, 0.5.4 in 0.5.5 so (Ae,l.|), ( Ae , )|. ||) in (Ae,||.||) enotske (pol)normirane algebre in so zato po 2.1.5(1) V(Ae,a), V(A ,a) in V(A ,a) neprazne, kompaktne in konveksne podmnožice prostora ¥ za vsak a £ A ... (i)* Po 2.1.5(11), 0.5.2 in 2„2.7 je maxReV(Ae,a) = = inf((|e+ta| - l)/t) = inf(( |(l,ta)| - l)/t) = teR+ t€R+ ' - 34 - 2.3.2 - 2.3.4 = inf sup((||x+taxl| - l)/t) = supReV(A, a) = maxRecoV( A , a) za t^R+ X€S vsak a € A ... (2). Po 2.1.5 in 0.5.6.1 je maxReV(AQ,a) = inf ((||e+tali - l)/t) = inf sup((||x+tax|| - l)/t) = t€R+ t R+ xeS = inf((||e+ta|) - l)/t) = maxfieV(L,a) za vsak a € A ... (3). Izrek dokazujejo točke (l), (2) in (3) in trditev 2.1.4.4 (gl. točko (1) v dokazu trditve 1.18 oz. 1.19). 2. 3«2* Opomba Če je normirana algebra (A,ll.||) brez enote, lahko na "adjungirani" algebri Ae = Y X A (gl. 0.5.1) definiramo normo i). |U : ||(A.,a)|L = \X\ + \\a,\\ za vsak (\,a) e Ae . Potem je (Ae,H.||^) enotska normirana algebra nad obsegom *S z enoto e = (1,0); to normirano algebro označimo kratko z A-,. Preslikava a*-*(0,a) := a algebre A v algebro A,, je izometrični homomorfizem in za vsak a € A je V(A-.,a) = = { \zc5' : 1X1 ^ llall} zaprt "krog" v obsegu V c Dokaz: Ker je A-^ enotska normirana algebra, je po 2.1.5(i) nume-rični zaklad V(A-^,a) neprazna, kompaktna in konveksna podmnožica prostora $* . Po 2.1.4.4 in 2.1.5(i) veljajo za vsak X € $" , \\\ = 1 enakosti maxRe[aV(A1,a)] = = maxReV(A, ,A.a) = inf((||e+tXa|L - l)/t) = inf((||(l,-Ua)|L - l)/t) 1 t£R+ L t€R+ L = inf(((l + )|txal|) - l)/t) = ||a|| , ki pomenijo, da je V(A-,,a) t€R+ x zaprt "krog" v obsegu ? , ki ima središče v točki 0 in polmer r = l|al| . 2.3.5__Trditev Naj bo (A,l|.||) asociativna normirana algebra nad obsegom ?(= R ali C) in B njena netrivialna podalgebra. Potem je V(B,b) C V(A,b) in 5oV(B,b) = coV(A,b) za vsak b € B. Dokaz: Inkluzijo potrjuje točka 2.2.1, po drugi strani pa je zaradi 2.1.5(iii) in 2.3.2 č~oV(B,b) = V(B_,b) = = V(Ae,b) = coV(A,b) za vsak b £ B, saj je B = ^e © B o> e podalgebra algebre A = Te © A in je enota e e B_ (gl. 0.5.1). 2.3.4 Trditev Naj bosta (A, II .H) in (B,||.||') asociativni normirani algebri nad obsegom T (= R ali C) in ^> : A *-> B (algebrski) homomorfizem z lastnostima ; - 35 - 2.3.4 - 2.3. 6 (i) II $(a)H* ^ llajl za vsak a £A tli) S(B) C $(S(A)) . Potem je coV(B, $ ( a)) = coV( <§(A) , xeS(A) = sup)|$(Xx + ax)||' ^ sup]|Ax + ax|| = 1 (A.,a)l za vsak (X,a) Uo ... xeS(A) x£S(A) e ... (*) . Ker sta (A , |.|) in (B , |.|f) enotski polnormirani alge- bri, sledi iz (#) in 2.1.6 inkluzija V"(B , $(a)) C V(Ae,a) , kar zaradi 2.3.3 in 2.3.2 pomeni coV( $( A) , cjb(a)) = = coV(B, $(a)) C č~6V(A,a) . 2.3. 5 Trditev Naj bo (A, H.|| ) kompleksna asociativna B-algebra. Potem velja za vsak a,b €. A ekvivalenca: (ab - ba) ^ lanA = ■ levi anihilator algebre A £=> U coV(A,e*abe~" a) - C . A.eC Dokaz: Izrek je bil dokazan za kompleksno enotsko B-algebro (gl. /13, Izrek 5.3/) ... (l). Če algebra A nima. enote (ali pa enoto e ima in je llell / l), veljajo pri vložitvi a ►-+ a algebre A v A (gl. 0.5.5) po 0.3 in 0.5.6.2(ii) za^vsak x,y,beA enakosti (exbeyf = (ex(bey))~ = ex(bey) = exbey ...(Z). Zaradi 0.5.6.1, točk (1) in (2) ter 2.3.2 veljajo ekvivalence (ab - ba) { lanA<=»(ab - ba)~ / ° <=> ab /- ba «=> Učč>V(A,eAabe"~Xa) = = UV(A .exabe-xa) = C . x«c e 2.3.6 IZREK Naj bo (A,II.II) asociativna B-algebra nad obsegom T (= R ali C). Potem za vsak a€A eksistira lim In suplle*8*!!3^ = (= In lim sup||etax R1/* = t*R xeS 110 x*S t*0 = lim sup ln||etax|| , gl. 0.3(vi)) in velja: tlO X€S - $6 - 2.3.6 (i) II« In sup||etax||l/t = sup In sup||etax||l/t = t|0 xeS tePt xeS ■ <= In sup suplle*8*!!1/* = sup sup ln||etax||1//t = = sup sup ln||etax||1/t =) = supReV(A,a) xeS teR+ (i>) infReV(A,a) = lim In inf II e*8*!!1^ = inf inf ln||etax||1//t ttO xeS t€R- xeS (gl. 0.3(vi)) (ii) sup|ReV(A,a)| = sup In sup||etax)|1/'t' = teR\{0i xeS = (= In sup sup||etax|il/|t> = sup sup ln||e^aXH1/ ]t] = teR\{0};xeS t€RMP}x«S = sup sup ln||etax||l/,t| ). xeS teRHO} Dokaz: Ker je (A ,11.II) enotska B-algebra nad obsegom T (gl. 0.5.5), eksistira po /3, Teorem 1.3.4/ lim ln||eta||1//t, ki je = sup lnlleta||1/t = maxReV(I ,a) ... tlO t*R+ e ... (1). Po 2,3-2 je maxReV( A0,a) = maxReč~6V( A, a) = = supReV(A,a) ... (2).Po 0.5.7(ii) je ||eta|| = supl|etaxl| . ..<3)< xeS Trditev 2.3.6(i) sledi iz (l), (2) in (3), če upoštevamo, da "In" komutira z "lim" in s "sup" in da "sup" komutira s "sup". (i') Zaradi (i) in 2.1.4.4 je infReV(A,a) = -supReV(A,-a) = = -lim In sup||et(-a)x||l/t = lim ln(sup)|e~tax||l/t)-1 = tfO xeS t*0 xeS = lim In lnfl|e~tax||"'3/t = lim In inf)|etax||1//t ... (4). Analogno t*0 xeS ttO xeS je zaradi (i) tudi infReV(A,a) = -sup In sup||e ax)| ' = teR+ x€S = inf In inf||e"taxl|"1//t = inf In inflle*8*!1/* ... (5). Točki teR+ xeS t£R~ xeS (4) in (5) dokazujeta (i'), če upoštevamo, da "inf" komutira z "In". (ii) Ce je sup) ReV( A,a)| = supReV(A,a), je zaradi (i) sup. In BUp||e"tax|H * = supReV(A,-a) = sup[-ReV(A,a)l ^ teR+ xeS • sup|ReV(A,a)| = supReV(A,a) = sup In sup|jetax||1/t , t. j. t£R+ xeS sup|ReV(A,a)| = sup In suplle*8*!!1/ '*! ... (6). Če je t*R\{0} xeS sup|ReV( A,a)| = sup[-ReV( A, a)] , v izvajanju (6) zamenjamo element a z (-a). - 37 - 2.3.7 ~ 2.3. 2.3.7 Posledica Naj bo (A,||.||) asociativna B-algebra nad obsegom ? (= R ali G). Potem velja: (i) etinfReV(A,a) sup||etax|| < etsupReV( A, a) za ysak a G A in t € R+U{0}. (ii) ||eax|U<||xHesuPReV(A'a.) = ||x||suPeReV(A>a) - = ||x||sup|eV'A,a)| za vsak a,xeA. Dokaz: (i) Zaradi 2.3.6(i) je supReV(A,a) > In sup||etax||1//t xeS za vsak as A in za vsak t&R+ ... (*) , kar dokazuje desno neenakost. Zaradi (*) je tudi sup||e""tax|| ^ etsupReV(A,-a) = xeS ■tinfReV(A,a) = e za vsak t>0, kar po 0.3(viii) pomeni sup||etaX|| >y (suplle^^H)-1 > etinfKeV(A,a) zfi ysak t>0> xeS X€S (ii) Sledi iz (i) . 2.3*8 Lema Če je (A,||.||) asociativna B-algebra nad obsegom *& (= R ali C) in če eksistira tak a € A, da je supReV(A,a) < 0 (oz. supReV.(A,a) < 0), potem velja: (i) A vsebuje levo (oz. desno) enoto (ii) 5e velja v B-algebri (A, H. H) za vsak xgA ekvivalenca lim(e x) = 0<=>lim(xe a) = 0, potem vsebuje A dvostran- sko enoto. Dokaz: (i) Če je supReV(A,a) < 0,-pove ocena 2.3.7(i) |j etax |( ^ x: j|X|jetsupReV^A,a^ , da za vsak x cA eksistira Riemannov 9 ta ^ . .„ ,„ .....ta. integral le xdt in da je lime x = 0 za vsak xeA, Element o t-*oo e := -Je aadt je zato leva enota algebre A, saj je ex = o = - S etaaxdt a - S Sr (etax)dt = lim[-etaxj = x za vsak x € A. o o ax T-* 00 o Če je supReV.(A,a) < 0, je po 2.1.4.6 supReV(A*,a) < 0 in ima zato po pravkar dokazanem algebra A* levo enoto, t.j. algebra A ima desno enoto (gl. 0.1.3). (ii) 5e velja omenjena ekvivalenca, potem je leva enota e, ki nastopa v dokazu točke (i), hkrati tudi desna enota, saj - 38 - 2.3-8 - 2.3.9' je xe = - f xetaadt = - J jL (xeta)dt = lim[-xeta]T = x za vsak o o aT T-*-oo ° a € A. 2.3-9 Trditev Če je (A, 11.11) asociativna Banachova algebra nad obsegom T"( = H ali C) in če A nima leve enote, potem je infReV(A>a) 4 04 supReV(A>a) za vsak a € A. Dokaz: Ker je A brez leve enote, je po 2.3-8(i) supReV( A, a) "^ 0 za vsak aeA in je zato po 2.1.4.4 infReV(A,a) = » -supReV(A,-a)^ 0 za vsak a € A. 2.3*9' Trditev Če je (A, ll.il) (nepolna) asociativna normirana algebra nad obsegom T (=R ali C) in če za A ne eksistira leva števna približna enota , potem je infReV(A,a)^ 0 £ ^ supReV(A,a) za vsak ačA. *Opomba: Posplošeno zaporedje (e ) p elementov algebre A imenujemo levo približno enoto algebre A, če je lim(ettx) = x za vsak x eA, Levo približno enoto imenujemo števno, če je p = N. Dokaz: Normirano algebro (A,||.||) izometrično homomorfno vložimo v njeno izpopolnitev (A,)|.||). Ker je A brez leve števne približne enote, je (A,||.||) asociativna B-algebra, ki je brez leve enote (saj, če je [(en)] leva enota algebre A, je Ken)] [(x)] = [(*)] , t*3- [(enx)] = l(x)l > t.j. (enx)«o(x), t.j. lim||enx - x || = 0 za vsak x € A, t. j. (en) N je leva števna pri-n->oo n ^ bližna enota algebre (A,||.||) ). Zato je po 2.3.9 infReV(A,|) ^ ^ 0 <: supReV(A,|) za vsak | e A in zato tudi infReV(A,a) 4 0£ ^ supReV(A,a) za vsak a€ A, kar po 2.2.9 dokazuje trditev. - 39 - 2.3.9" - 2.3.10 2-3.9^l Opomba Če ima algebra A levo enoto, ocena v trditvi 2.3.9 oz. 2.3.9' ne vel,ja za vsak a č A. (Če je namreč e leva enota algebre A, je po 2.2.5(vi) in (iii) V(A,a+a.e)c C V-"(A,a+Ae) = V" (A,a) + ix} za vsak a e A in A.€$\ kjer je V'(A,a) kompaktna podmnožica prostora ^.) 2.3.10 Lema Naj bo (A,||.j|) asociativna B-algebra nad obsegom T (= R ali C). Potem velja: (i) supRe( 6L(A,a)\{0)) ^ supReV(A,a) za vsak a £ A (gl. 1.5) (ii) Ce ima A enoto ali pa je brez leve enote, je maxRe 6L(A,a) ^ supReV(A,a) za vsak a € A, kjer definiramo supRe = - 00 (če je A realna algebra in če ima A enoto, je lahko R-spekter 6*^(A,a) prazna množica za nek a € A) # Dokaz: I. ? = G : Če ima A enoto, je po 1.14.1 in 2.3.6 maxRe6,(A,a) = inf.ln sup||etax||1//t ^ sup In sup||etax||l/t = t*R+ X*S t€R+ X€S = supReV(A,a) ... (l). Če je A brez enote, je analogno po 1.14.2 in 2.3.6 supRe((A,a) = = Rng(Ac,a) CRe(5'(Ac,a) in je zato max => oo 6L(A,a) C V( A,a)fl Vd(A,a) za vsak ae A 2. A je brez leve enote =>6^(A,a) C coV(A,a) za vsak a€ A 2'. A je brez desne enote ^ 6L(A,a) a GbV,(A,a) za vsak aeA 3. Če je A brez enote (dvostranske) in je a€A tak element, da je izpolnjenjeden izmed naslednjih treh pogojev: (i) 6"(A,a) ={0} (li) 0 ni izolirana točka spektra o(A,a) (lil) tf(Afa.a)n(iRVlO}) £ ep za vsak A£C, \\[ = 1 , potem je (5L(A,a) C č~5V(A,a) . Torej, ne glede na to ali ima A enoto (levo, desno, dvostransko) ali ne, je vedno 6>L,(A,a) C č~6V(A,a) ali pa 6^(A,a)c cč>Vd(A,a) . Opomba: Za množico &(A,&) := { x s ¥: eksistira x e S( A), da je ax = xx } = množica vseh "lastnih vrednosti" elementa a velja preciznejša inkluzija co G" (A,a) C V(A,a)f\V,(A,a) (gl. /4,Teorem 5.19.3/). Dokaz: Zaradi 2.3-10 je supRe[M 6^ (A, a)M0})] = = supRe( 6y(A,Xa)\{0} ) ^ supReV(A,Xa) = sup[XV(A,a)] za vsak X fc ^ , )X\ = 1, kar zaradi 2.1.4.3 pomeni co( 6^(A,a)\{0j) C coV(A,a) (gl. točko (l) v dokazu trditve 1.19). l«a) ^ = 0 : Ker ima A enoto, je po 1.22(iii) (J (A, a) = = & ( (fe( A) ,T )) := (5*(Ta), spekter operatorja Ta levega množenja, T x = ax za vsak xe A ... (l). Po /4, Teorem 5.19.4/ je co6(Ta) C V(f^) ... (2) in po 2.1.4.2 (i) je V(T J=V( A,a) ... ... (3). Točke (1), (2) in (3) pomenijo co6(A,a) C V(A,a) in je zato po 2.1.4.6 tudi (gl, 0.1.3) co<3>(A,a) = co(5(A-,a) C CvTFTa") = Vd(A,a) ... (4). b) ^ = R : Po 1.6(iv) in 1.4(ii) je tedaj e*R(A,a) = = Rn6(A,a) = RO ff(Ap,a) C Re6>(A0,a) (gl. 0.4.1), kar po točki (4) in 2.2.10 pomeni co0n(A,a)C Reco(o(AQ,a) C C ReV(AG,a) = V(A,aj in zato po 2.1.4.6 tudi co^fAja) = = .co O^C^a) C Vd(A,a) . 2. Sledi iz2.3.10(ii) enako kot prvi del dokaza našega izreka. 2'. Sledi iz pravkar dokazane točke 2.3.11.2 in iz 2.1.4.6 . - 41 - 2.3.11 - 2.3.13 3*a) % z c : Po 1*14.3 in 2.3.6(i) je tedaj maxRe 6*( A,Xa) = = inf In BupHetXai||1/t < sup In sup)|etXax||l/"t = t*R+ xcS t£R+ xeS = supReV(A,Aa) za vsak A e C. Torej čo(}(A,a) c čbV(A,a) ...(5) (gl. prvi del dokaza). k) Ž. " R : Enako ko^ v dokazu 1. točke za primer T = R si pomagamo s kompleksifikacijo. Ker je po definiciji D(0^(Afa)\i0j). Dokaz: Sledi iz 2.3.11 in 2.1.4.6 . 2.^.13 Primer Naj bo A dvodimenzionalna asociativna algebra nad obsegom $* (= R ali G) z bazo { a,b} , kjer je a 6lanA in b leva enota algebre A (t.j. a = 0 = ab, ba = a, b2 = b; gl. 1.16). Po 1.16(vi) je 6L(A,a) = {0} ...(1) in 6L(A,b) ={0,1} ... (2). Preslikavama + -ftb) t~+ |(ara + pb||0 : = := < |ocj 2 + |(i| 2)l/2 algebre A = { o< a + pb : «,p,eT} v R+ U {0} je(očitno) hilbertska algebrska norma (algebrska norma, ki ustreza paralelogramski enakosti). Ker je A končno-dimenzionalna, je zato (A,II. || ) Banachova algebra, ki je hkrati tudi Hilbertov prostor glede na enolično določeni skalarni produkt < ,"> , ki ustreza enakosti = ||x||£ za vsak x e A, t. j. glede na skalarni produkt <,> , '* za vsak o*,«', A, p?€ 3 {#- pomeni konjugiranje kompleksnega števila). Torej je {a,b} ortonormirana baza prostora A. Ker je a GlanA, je ax = 0 za vsak x€ A in ker je b leva enota algebre A, je bx = x za vsak x € A. To po 2.2.4 pomeni V(A,a) = = { : x€S} = (0} ... (3) in V(A,b) = { : x€S} = = { : xfcS) = {1} ... (4). Po drugi strani pa je za poljuben x =(oc a + p>b)€A xa = pa in xb = (bb , kar zaradi 2.1.4.6 in 2.2.4 pomeni V-(A,a) = V(A',a) = { : x«S} = { : xeS} = {<(ia,oca+pb> :«,£€? , |cx|2 + |/3l2 = 1} = {poc* : a 9fi> e Y , |c*|2 + }(3|2 = 1} ... (5) in Vd(A,b) = { : xeS } = = { : oc,p€y , \oc\2 + \fb\2 = 1} = { )pj2 : <*,(b€T , NI2 + )(M2 = 1} = [0,1] C R ... (6). Če sta o^pcT in Jotp + )a|2 = 1, eksistira natanko en tak - 42 - 2.3.13 - 2.3-15 (l/2)t € [0,X/2] , da je |ot| = cos(t/2) in \(b\ = sin(t/2) ...(7). Ker lahko vsak cx,p> € T zapišemo v obliki oc = |(A,a)\{0}) = supReV(A,a) 2. G>(A,a) = {0} = V(A,a) 3. maxReC3(A,a) = supReV(A,a), pri čemer velja vsaj ena izmed tehle štirih trditev: (i) A ima enoto (dvostransko) (ii) maxRe 0 (lil) 0 ni izolirana točka množice ReGf(A,a) (iV) G?(A,a)f\(iR\{0}) č& (i =■{-£) . Potem je sup||etax || = etsuPReV(A»a) za vsak t > 0. ----------------- X€S Dokaz: Zaradi 1.14 in 2.3.6(i) velja pri omenjenih treh pogojih ocena inf In sup||etax||1//t >'1"supRe( (j (A,a)\ {0} I (oz.1*3 t€R+ X€S = maxRe <3*(A,a)) = supReV(A,a) = sup In sup||et^H1/t , kar pomeni t€R+ xeS In sup)|e ax|| '^ = konst. = supReV(A,a) za vsak t g R+ , X€S - 4-3 - 2.3.15' - 2.3.16 2.3.1!P__Trditev Naj bo (A,||.||) realna asociativna B-algebra (z enoto ali brez n,1e) in a£ A tak element, da je tfR(Afa)MOj ^4 ter sup< CgU, a)\{0}) = supV(A,a) (gl. 1.5). Potem je sup||etax|| - etsupV(A,a) za vsak t^0. xcS Dokaz: Po 1.14, 1.6(iv) in 2.3.6(i) je inf In sup||etax||1//t >/ teR+ xeS > supRe(<3?(A,a)M0}) > sup[RO ( &( A, a)\ {0})] = = sup(e,R(A,a)\{0i) = supV(A,a) = sup In supjje taxlli/t m je za-teR4" xeS to In sup||etax||1//t = konst. = supV(A,a) za vsak t£R . xeS 2.3.16 Trditev Naj bo (A,|[.||) kompleksna asociativna B-algebra (z enoto ali brez nje). Potem velja: 1. (a€A, sup||e*ax|| = esuPRe^V^ A'a)^ za vsak K £ C) => * x£S =5 co . Če je A brez leve enote, velja za vsak aeA implikacija: /suP||e*ax|| = esuPRe[\V(A,a)] za vs^k A g c) => \xeS => co(?(A,a) • čbV(A,a) 2. laeA, co( 6'(A,a)\{0}) =čoV(A,a)) =■> supHe*®*!) « 1 X€S = esupRe[^(A,a)l sa vsak UC, 3. Če ima A enoto (dvostransko), velja za vsak a e A ekviva- lenca: cotf(A,a) = čbV(A,a)^> sup||eXax|| = esupRe[XV(A,a)] x^S za vsak X € c. 4. Če je A brez enote (dvostranske) in ae A tak element, da velja vsaj eden izmed naslednjih treh pogojev: (i) tfU.a) = {0} (li) 0 ni izolirana, točka spektra ©'(A.a) (dii) e,(A,\a)f\ (iR\{0) ) £ cj> za vsak \eC, Ul = 1 (i =-f=T), potem velja ekvivalenca: coO*(A,a) = coV(A,a) 4=> ^sup||eAax|| = esuPRetAV(A'a^ za vsak *eC. X€S Dokaz: 1. "Tedaj" je In sup||etA'ax)|1/t = konst. = ReV(xa) za vsak X€S teR+ in za vsak XCC, M a l. Zato je po 1.14.1 in 2 maxRe6'(Xa) > inf In sup||et;v'ax||1//i: = supReV(\a) , t. j. teR+ xeS - 44 - 2.3.16 - 2.3.17 maxRe[x(o( a)j ^ supRe[xV( a)] za vsak X €. G, 1M= 1> kar pomeni coO^a) = co G^( a) D čoV(a) (gl . točko (1) v dokazu trditve 1.18 oz. 1.19). I9. Sledi iz pravkar dokazane 1. točke in iz 2.3.11.2 . 2. Po 1.14.1 in 2 ter po 2.3.6 je "tedaj" inf In sup)|etXax||1//t >, supRel£ (Xa)\{0>) = t«R+ xeS ' = supRe[x(e,(a)\iO))] = supRe[xV(a)] = supReV(Xa) = = sup In sup||e ax|| , kar pomeni In supjle x|l = konst. = teR+ X€S X€S = sup||e*ax|l = supRe[xV(a)] za vsak t€R+ in za vsak \e C. X€.S 3. Sledi iz 1.14.1 in 2.3.6 (gl- dokaz prve in druge točke naše trditve). 4. Sledi iz 1.14.3 in 2.3.6 (gl. dokaz 1. in 2. točke naše trditve). 2.3.16* Trditev Naj bo (A,||.||) realna asociativna B-algebra (z enoto ali brez nje), a € A in naj velja: (i) 0 ni izolirana točka R-spektra <3*j>(Afa) ali pa je 0 € |co 0U( A,a)i = notranjost množice coG^Aja) C P (gl. 1.5), _______ (ai) co6*R(A,a) =v(A,a). Potem je sup||etax([ = esupltV(A»a^ za vsak t£R. xeS Pokaz: Po 1.14 je inf In suplle"^ ~a^x||1//t > supRe( t*R+ xeS > sup(Rna>(A,ia)\{0}) ... (l) in vo 1.6(iv) je RH6>(A,ia) = 6*R(A,±a) ... (2). Zaradi (i) je sup( 0*R( A,ia)\{0}) = supč^C A,ta) ... (3) ter zaradi (ii) sup supV(A,±a) = UR+ xcS = sup In sup||e±tax||1/t . Torej In sup||e±tax||1/t = konst. = t«R+ X€S X€S = supV(A,+a) = sup[iV(A,a)J za vsak t e R+, kar dokazuje trditev. 2.3.17 Trditev Naj bo A kompleksna asociativna B-algebra (z enoto ali brez nje) z lastnostjo, da je co(9(A,a)3 3 "č~6V(A,a) za vsak a 6 A ... (:&) . Potem velja za poljubno skalarno celo funkcijo kompleksne spremenljivke X tako, da je f(0) =0 in za poljuben a€ A inkluzija cbV(A,f(a)) C C cof ({0} \J coV( A,a)) . To na primer pomeni, da je - 4-5 - 2.3.17 - 2.3.18' coV(A,an) C co{A.n : \e čo({0} UV(A,a))J za vsak aeA in ne N. Če ima algebra A enoto (dvostransko) ali pa je brez leve enote in če ima zg. omenjeno lastnost (^-), velja inkluzija coV(A,f(a))C cof (coV( A, a)) za vsak aeA in za poljubno celo funkcijo f, za katero je f(0) - 0. Dokaz: Prvi del trditve sledi iz (*•), spektralnega teorema (gl. npr. /5; I.7.4(iv)/ in /11;24.5.5/) in 2.3.11 : c6V(f(a)) CZ. coGf(f(a)) - oof(&(a.)) CZ cof< [0\\J coV(a)). Enako sledi tudi drugi del trditve (upoštevamo 2.3.11.1 in 2). 2.3.18 Trditev Naj bo (A,||,||) asociativna B-algebra nad obsegom *J (= R ali C), naj ima. A enoto e in naj bo K nepraz-na, kompaktna in konveksna, podmnožica prostore T . Potem velja: (i) Za vsak aeA imamo ekvivalenco: V(A,a)C K<=>za vsak A e ¥\ k eksistira resolventa R(A,a) := (Xe - a)" in je supl|R(X,a)xjU [d(XfK)l"1, kjer je d(X,K) = inf|X-M| = = razdalja točke A od množice K. (ii) Za vsak a £ A in X e V( A-, fa) C K <^> za vsak \<- ¥\ K eksistira (Xe - a)""" in je \\{Xe - a)"" ||, -$ [d(X,K)J " , kjer je za vsak a e A HalU = sup]|ax|| . -1 xeS (ii) Sledi iz (i) za K = coV(A,a). (iii) Analogno kot (i) sledi iz 2.3.1 in /13, 2.19/. 2.5.18^ Trditev Naj bo (A,H.H) asociativna B-algebra nad obse-. gom j '(= R ali C), naj bo A brez leve enote ter naj bo K neprazna, kompaktna in konveksna podmnožica prostora 3- . Potem velja: (i) Za vsak a € A imamo ekvivalenco: V( A,a) C K<^(o £ K in za - 46 - 2.5.18' vsak X € 7f\ K eksistira "disolventa" D(X,a) := (^ a)_i (gl. 1.1) in je sup||D(A.,a)x - x|| (A , a) >] "^ ^||D(X,a)|| + 1 (aV) Če je *£ = 0 in če je preslikava at->|at := supl|ax|| X€§ norma na A, ki je ekvivalentna prvotni normi \\,\\ (gl. 0.5.3(iii), (iv) in (vi)), velja za vsak a€A in XeC\coV(A,a) ocena : [d(l,co 6*(A,f))] ^ - = lX|[d(X,co6v(A,a))j ""1^ sup||D(x,a)x - x|| ^ xeS ^ lX|[d(X,coV(A,a))]-1 (gl. (i)). Dokaz: (i) Zaradi 2.5.2 in /13, 8.6/ velja ekvivalenoa : V (A, a) C K£=>V(Ae,a) CK^za vsak xe$\K eksistira resol-venta R(X,a) := (Xe - a)""1 in je )|R(X,a)(U [d(X,K)] -1 ... (l). Preverimo implikacijo "=>" : Ker je V(A,a) C K, je po 2.3.11.2 0€K in če je Xe$\K, sledi po 2.3.11.2 ter 1.5, da X^QUAta) = = q~6t,(A,a), t.j. eksistira disolventa D(X,a) := (- a)_^ . Ker je preslikava x v-* x homomorfizem algebre A v Ae, je [D(x,a)] = = L'x a)-lJ= ix ■) -i= I)(x>^) •••(2). Ker je resolventa R(x,a) * = ^{e" - ^ a)"" , je zaradi 1.3(i) in po točki (2) XR(x,a) = = (e - i a)"1 = e - (i a)_x = e - [D(x,a)]~ ... (?) . Zato po 0.5.1 in 0.5.6 velja lX|f|R(X,a)|| = ||e - [D(x,a)]~|| = = ||(e - [D(X,a)D"|| = ||(l,-D(x$a)r|| = sup||x+ [-D(x,a)] x |j ...(4). X fco Implikacijo "=*>" dokazujeta točki (l) in (4). Pokažimo implikacijo n^zn : Ker "tedaj" za vsak A^SaK eksistira disolventa D(x,a), eksistira tudi D(X,a) €k in zato tudi XR(x,a) = (e ~ a)""x = e - D(X,a) (gl. 1.3(i)) in po predpostavki implikacije je ||R(X,a)}| < [d(X, K)]"1 (gl. točko (4)). Vse to zaradi (l) pomeni V(A,a) C K. (ii) Sledi iz (i) za K - čoV(A,a) . 47 - 2.3.18» - 2.3.19 (iii) Na algebro .4 (gl. 0.5.1) uvedemo običajno normo l| . H » e " |K^>a)||e * Ui + ,,al1 • Potem 0e (Ae>H-He) asociativna kompleksna enotska B-algebra in vložitev x ►-*. x = (x,0) algebre A v /t je izometrični homomorfizem. e Po 1.7 oz. po 1.3(ii) in po /13, 0.2.40.9/ velja: \€C\€?(A>a) =^ A.«C\G?(A ,a) =^ eksistira resolventa R(a.,a) in je llR(*,a)lle> [<*(*, 6,(Ae,a))]"1 = [d(X, tf(A,a))] "X ... (5). Analogno kot v dokazu točke (i) (gl. (3)) dobimo U.|J|R(*,a)|| = = ||(l,-D(*,a))|| » 1 + ||-D(X,a)|] . To zaradi (5) dokazuje (iii). (iv) Ker je (A,||.||) kompleksna B-algebra, je "tedaj" (A ,|.|) kompleksna enotska B-algebra (in A = A , gl. 0.5.2 in 0.5.4) ... {€) . Zaradi2.3.11.2 velja: X€ C\coV( A,a) => A^ 6>( A, a) =» => eksistira disolventa D(x,a) in zato tudi D(xfa) = [B(xfa)j € € Ag , Zato po drugi strani, če X ^ čoV( A,a), zaradi 1.7 A.^G?(A ,a) in eksistira zato resolventa R(a.,a) € Ae ter je zaradi 2.3.2 , (6) in /13, 2.19/ ld(x,cbV(A,a))]-1 = [d ^ [d(x, CCA^a))]""1 = [d(X, CaCA^))]"1 ... (7). Po 0.5.6 je analogno kot v točki (4) Ul)R(A,a)| = sup||D(A,a)x - x || , kar zaradi (7) dokazuje (iv). 2.3.19 Trditev Naj bo (A, 11.11) normirana asociativna algebra nad obsegom *? (= R ali C) z enoto ali brez nje, acA in za vsak n e. N naj bo o((n) = infReV( A,an) , (2>(n) = supReV(A,an) ter M(n) = raax{|cx(n)| , |fc(n)|} . Potem eksistira lim sup||anx|| ^n : = := §(a) in za vsako sodo naravno število n e N velja ocena: O(a) = inf suplla^l!1^"^ r max{M(l), M(n)1//n} ... {*) , kjer je J n*N xeS n r"" s sin vb in je vp edini koren enačbe (sinv|On = cosm|> , ki leži na intervalu (0,(5f/2n)), t. j . r" je najmanjši koren enačbe ^n + XL (lv)(-l)k+1U-X2),voo7xfeS n-^oo n^N = inf sup)|anx||~' n. Po Lumer-jevih izvajanjih /14, Teorem 2/ velja ne M xeŠ naša trditev za realne enotske "B-algebre in očitno velja tudi za realne enotske normirane algebre ter tudi za kompleksne enotske normirane algebre /13, Izrek 2.22/. Zaradi 0.5.6.1 in 2.3.2 pa od tod sledi, da velja naša trditev tudi za normirane algebre brez enote oz. za normirane algebre z enoto e, za katere je ||ej| / 1. _ 49 - 3.1 - 3.2 3, SPEKTRALNI RADIJ, NUMERIONI RADIJ IN NORMA ELEMENTA ASOCIATIVNE NORMIRANE ALGEBRE, KI IMA ENOTO ALI PA JE BREZ NJE 5*1 Definicija Če .le (A,II.H) asociativna normirana algebra nad obsegom ? (= R ali C), potem za vsak a€A definiramo: (i) r(A,a) = r( a) = infBanll = spektralni radij elementa a ncN (3.3.) v(A,a) = v( a) = sup|V(A,a)| = levi nurnerični radij elementa a algebre A (ii'} v^(A,a) - v,(a) = sup|V,(A,a)| = desni, nurnerični radij elementa a 3.2 Trditev Naj bo (A,||.||) asociativna normirana algebra nad obsegom Y (= R ali C), z enoto ali brez nje. Potem velja: (i) r(a) = limlla11!!1/" < ||a|| za vsak a€A n -> oo (ii) r(Xa) = |X|r(a) za vsak \$ V in a e A (ial) r(an) = (r(a))n za vsak a€A in n€N (iv)f a,b€A, ab = ba=>r(a+b) ^ r(a) + r(b), r(ab) ^ r(a)r(b) (v) Za vsak aeA eksistira lim sup||anx|| 'n :=o(a) in je n->-oo7xeS p(a) = inf sup||anx|| 'n ter velja ocena o(a) = r(A ,a) = ) neN xeS ° = r(A ,a) ^ r(A,a) za vsak acA (Ap, AQ ... formalna adjunkcija enote, gl. 0.5.4 in 0.5.5) (Vi) Ce je *& - R, je r(A,a) = r(Ac,a) za vsak aeA (gl. 0.4.1) (Vii) r(a) ^ sup |6*(A,a)| za vsak a€A in če je (A,ll.li) B-algebra, j e (o (k,a) neprazna kompaktna podmnožica prostora C ter je r(a) = max]6>(A,a)| za vsak a€A. Ce je nadalje (A,||.l|) kompleksna B-algebra, je r(a) = = max lim In sup|(e **®*|p^ = *€C,IM=l,teR,t-*«> X€S = max inf In sup||e x|| ' £ v(a) za vsak a€A. W=l t€R+ X£S (vii') ¥ = C=^r(a) ^ v(a) za vsak a £ A (polnost algebre ni bistvena). (Viii) v(\a) = IMv(a) za vsak \e¥ in aeA . (ix) v(a-fb) ^ v(a) + v(b) za vsak a,b£A. oo, xeS J x£S je zaradi (l) in (i) o(a) >£ r(A,a) ... (2). Točki (1) in (2) dokazujeta (v). (vi) Upoštevamo definicijo 3.1 in to, da je vložitev a -> a realne algebre A v njeno kompleksifikacijo Aq izometrični (realni) homomorfizem. (vii) Po /5, Teorem 1.5.7 in I.13.7(ii)/ je sup|(?( A,a)| ^ ^r(a) in če je (A,||.j|) B-algebra, je po /5, Teorem 1.5.8 in I.13.7(iii)/ spekter o(A,a) neprazna kompaktna podmno- žica prostora C ter je max|(?(A,a)| = r(a) ... (3). Naj bo (A, ||.H) kompleksna B-algebra. Zaradi (3) in 2.3.11 ge tedaj r(a) = max|(o( A,a)| ,< max| coV( A,a)| = v(a) ... (4). Oe ima A enoto e, velja tedaj po /3,Korolar 1.3.9//enakost r(a) = = max lim ln||e a|| ' , pri čemer je očitno lim sup)(e xl| ' -la.|=l t~*oo t-*00 xeS = limlle^H1/* ... (5), saj je il eH~ ^l e^H ^ rapte7xl4 H ey H t-* oo xeS za vsak y € A. Če je A brez enote, veljajo zaradi (3), 1.19.1 in /3, Korolar 1.3.9/ enakosti r(A,a) = max|6>(A,a)| '= max|<3f(A ,a)| = = r(A ,a) = max lim ln||exta||1/t ... (6). Trditev (vii) potrjuje- W=l t-*o«> jo točke (3), (4), (5), (6), 0.5.7(ii) in 1.12 # (vil') Če je A B-algebra, potrjuje trditev točka (vii)...(7). Ce A ni B-algebra, jo izpopolnimo do B-algebre A. Ker je vložitev x w»> x algebre A v A izometrični homomorf izem, je r(A,a) = = r(A,a) in po 3.1(ii) ter 2.2.9 je v(A,a) = v(A,a). To zaradi (7) dokazuje (vii 9). (ix) Po definiciji 3.1 sledi iz 2.1.4.5 . (x) Izrek 2.3.2 in definiciji 2.1.3 ter 3.1 . (xi) Upoštevamo 3.2(vii) in 1.19 . - 51 - 3-3 - 3.5 5.3 Trditev Naj bo (A,||.||) normirana algebra z enoto ali brez nje (ni treba, da je asociativna!) nad obsegom ¥(= R ali C). Potem je preslikava a^v(a) algebre A v R navzgor polzvezna, t. j. za vsak a A in za vsak £ e R+ eksistira tak £( a) e R+, da velja: ||b-a|| ^ c?£(a) => v(b) < v( a) +6. Dokaz: V enotski normirani algebri (A ,11.II) je po /13, 4.3/ pre- •v. e slikava £v->v(A , £) navzgor polzvezna, pri čemer je po 3.2(x) v(A ,a) = v(A,a) za vsak a e A. e 3.5' Trditev Če je (A,g.g) asociativna normirana algebra nad obsegom ¥ (= R ali C) z enoto ali brez nje, potem je navzgor polzvezna tudi preslikava a^r(a), Dokaz: Če je (A,HI) B-algebra, sledi trditev iz 3.2(vii) in iz /17, Teorem 1.6.16/. Če algebra (A,HI) ni poln prostor, jo izometrično homomorfno vložimo v njeno izpopolnitev in velja zato po zgornjem naša trditev tudi v primeru nepolne algebre. 5*4 Trditev Naj bo (A,||.|[) asociativna B-algebra (z enoto ali brez nje) nad obsegom f (= R ali C). Potem je r(eabe~a) = = r(b) za vsak a,b € A (gl. 0.3). Dokaz: Če upoštevamo asociativnost algebre A in trditev 0.3(ii), lahko dokažemo s popolno indukcijo enakost (eabe~a)n = = eabne~ , ki velja za vsak a,b e A in za vsak n€N ...(l). Po 0.3(vi) velja zato ocena || (eabe-a)n|| = || e Wa|| 4 e2Ha,,||bn|l, kar pomeni r(eabe"a) ^ r(b) ...(2). Zaradi 0.3(ii) je tudi b = e~^e b'e~ e in velja zato po 0.3(vi) in (l) ocena || bn || -^ 4 e2lla"||eabne-a|| = e2llall)|(eabe-a)n||, t. j. r(b) < r(eabe~a) ...(3). Oceni (2) in (3) dokazujeta našo trditev. 3*5 Trditev Če je (A, 11.11) asociativna B-algebra (z enoto ali brez nje) nad obsegom % (= R ali C), a,beA in ab = ba, je e-|,a,lr(b) « r(eab) « el,a,,r(b) (gl. 0.3) . Dokaz: Ker a in b komutirata, komutirata tudi e b in b ter je zato po 0.3(iv) (eab)n = enabn, kar po 0.3(vi) pomeni )\(e%)n\\>/ e-,|na"||bnH, torej po 3.1 r(e*b) > e-,,a,,r(b) . Analogno je po 0.3(vi) || (eab)n|| = ||enabn|U e,,na,l||bn||, t. j. r(eabU e,|a,,r(b) . - 52 - 5.6 - 5.7 3.6 Trditev Naj bo (A,11*11) asociativna B-algebra nad obsegom ?(=R ali C), z enoto ali brez nje. Potem je e~r^a'r(a) ^ r(eaa)-^ •^ e1^ r(a) za vsak a€A (gl. 0.$). Dokaz: 1. ? = C Po 0.$(iv), 3.1(i), $.2(vii) in po spektralnem teoremu /11, Teorem 5.5-1 in 24.5-5/ Je za vsak neN ||(eaa)n||1/n = ||enaanl|1/n > [r( enaan)] 1/n = = [max|(5(enaan)!] 1/n = [ max {\enxXn\ : W(a)}] 1/n = max{eReXU| : K e (5(a)| ^ e ^ 'r(a), kar po definiciji 5-l(i) dokazuje prvo neenakost. Zaradi 5.2(vii) in spektralnega teorema pa je po drugi strani er(a)r(a) > max{eU[\X\ : Ae(J(a)} > max{eReX)X\ : AetfU)} = = max{|eA'A.| :ae(3(a)J = max|6>(eaa)| = r(eaa). 2. y = R Sledi iz 5-2(vi), gl. 0.4.1 . 3.7 Trditev Naj bo (A,||.||) kompleksna asociativna B-algebra z enoto ali brez nje. če za element a^A eksistira tak ^€C\{0\, da je &(k9a) C XR in da je norma ||sin(tX*a)|| ^ 1 za vsak t £ R+ ... (i), potem je r(a) = lla||c Če pogoj (i) nadomestimo s šibkejšim pogojem supll [sin( t ;i*a)j x|| ^ 1 za vsak t *R ... (ii), X€S velja (šibkejša) ocena P(a) = sup||ax|| . ■> xeS (gl. 5.2(v); # pomeni konjugiranje kompleksnega števila) Dokaz: Trditev je dokazana za primer, da ima A enoto /15, 0.2.40.8/ ... (1). če je A brez enote, ji enoto adjungiramo in na algebro AQ (gl. 0.5.1) uvedemo običajno normo ll.||e, ||(A.,a)|! = |A.l + i| a H . Potem je (A .|.|) kompleksna asociativna e e enotska B-algebra in vložitev x »-*• x = (0,x) je izometrični homo-morfizem algebre A v A . Zato je )| sin( t ?fa)|| = )|(sin( t A^a))^^ = = ||sin(tA*a)|| ^ 1 za vsak t e R+ ... (2) in po 1.7 je (d(A ,a) -= (?(A,a)CXR ... (3). Zaradi (1) , (2) in (3) je r( a) = r( a) = = l|a|l= ||a|| . Če velja pogoj (ii), vložimo A v Ae (gl. 0.5.5) in je tedaj po 0.5.7(i) ||sin(tX*a)|| = sup||[sin(t X*a)] x|j ^ 1 za vsak t e R+ ter po 1.13 (gl. 1.5 in 1.4(iii)) (? (I ,a) C <3>(A,a) C XR. Zato je po točki (1), po 3.2(v) in po 0.5.6.1 o(a) = r(Ae,a) = )| a j| = = sup||ax|| . X€S - 53 - 3.8 - 3.9 3.8 Trditev Naj bo A kompleksna asociativna B-algebra (z enoto ali brez nje) z lastnostjo, da je cotffAja) Z5 coV(A,a) za vsak a.€ A. Potem je r(a) = v( a) in v(an) ^ (v(a))n za vsak a € A in ntN, Dokaz: Enakost sledi iz 3.2(vii) in 3.l(ii) ter neenakost sledi iz 3.1(ii) in 2.3.17 . 3j9___Trditev Maj bo (A, H.(i ) kompleksna asociativna B-algebra ( z enoto ali brez) in aeA tak element, da je sup)|A.x +• axl| = X€S = inf sup||U+a)nx|Il/ri (= lim sup||(;Ua)nx||l/n, gl. 3.2(i)) n.feN xeS n-+oo,xeS za vsak Xe C ...(*), kjer je (A.+a)nx : = \nx t -JT (f)A.n"kakx k=i k za vsak xeC in a,xeA ter neN. Potem velja : (i) A je brez enote =£coGf(A,a) Z2 coV(A,a) (i*) A je brez leve enote =^coGf(A,a) = coV(A,a) (li) A ima enoto => co G?(A,a) C V(A,a) in co{ coV(A,a). (li5) Če ima A enoto e in je ||e|| = 1, je co(D(A,a) = V(A,a). Dokaz: Algebri A enoto e formalno adjungiramo, ne glede na to ali A ima enoto ali ne - algebro A vložimo v Ae oz. v Ae (gl. 0.5.1 in 0.5.5). Po 1.7 je q- Č(A,a) = &(k^9t) ... (D . Ker je preslikava £ —» £ algebre A v algebro A homomorfizem, ki preslika enoto e algebre AQ v enoto e" algebre A , je e e (d (A ,a)3 (o (A ,a) ... (2). če ima A enoto, je po 1.3(ii) q-(o(A,a) = 6>(A,a)U{0} ... (3) in če je A brez enote, je po definiciji 1.4(iii) q-G>(A,a) = (p (A, a) ... (4). Po 0.5.6.1 in definiciji 3.l(i) je sup||Xx + ax|\ = || Xe + a\\ in X6S inf sup||U+a)nx||l/n = inf||(Xe + a)11!)1/11 - r(A ,xe+a) in če velja neN xeS neN pogoj (-X-), je zato ||Xe t a || = r(A ?Xe+a) za vsak A. e G. To zaradi 3.2(vii) in (x) pomeni enakost v(A ,Xe+a) = r(A ,A.e+a) za vsak A. e c in je zato po/l3, Izrek 6.1/ V(A ,a) = coG?(A ,a). To po 2.3.2 pomeni coV(A,a) = cod(A ,a) ... (5)» Trditev (i) sledi iz (4), (1), (2) in (5). Trditev (i') sledi iz (i) in 2.3.11.2 . Trditev (ii) sledi iz 2.3.11.1 ter iz (3), (1), (2), in (3) . Če ima A enoto e in je J|e|| = 1, je zaradi predpostavke (-X-) \\Xe + a l| = r(Xe + a) za vsak A. € C, kar po /13, Izrek 6.l/ dokazuje trditev (ii'). - 54 - 3.10 ~ 3.12' 5*10 Trciitev Naj bo (A,||.||) asociativna B-algebra (z enoto ali brez nje) nad obsegom $* (= R ali C). Potem je supi|e*axl| ^el;i|v(a' za vsak a€A in Xe¥ . X€S Dokaz: Po 2.3.7 in 2.1.4.4 je l|eXax||^ ||x||supeReV(X ^ ^ < lix||eSUp|V(;ia)l - l|x||e,X,Sup|V(a)l za vsak a,x e A in *£*. 5.11 Trditev Naj bo (A, 11.11) asociativna B-algebra (z enoto ali brez n:je) nad obsegom S1* (= R ali G) in a€A tak element, da je r(a) - 0. Potem velja ekvivalenca: supllixp(ta)(| a * 0 (gl. 1.15). Opomba: Glej še 6.7(xvi i) ! Dokaz: /12, Lema 5.1/ 5.12 IZREK Naj bo (A,|l.||) kompleksna asociativna normirana algebra (z enoto ali brez nje). Potem za vsak a,b cA in za vsak ncN velja ocena: || anb || ^ [( e/n)nn '.]«[v( A , a)] n|lb(| ...(*), kar po definiciji 2.1.3(ii) in 3.1 pomeni, da je levi anihilator algebre A, lanA ■ {aek : v(A,a) ■ O}, e ■ expl. Dokaz: Po /3, Teorem 1,4.8/ velja za kompleksno enotsko asociativno Banachovo algebro (A , )|.|j) ocena ||an|| ^[(e/n)nn!]» .[v(A .a)ln . Po 0.5.6.1 je l|anl| = sup||anx|| in po L e J xfeS 3.2(x) je v(A ,a) = v(A,a). Vse to skupaj dokazuje trditev. 5.12* Opomba Tudi, če A ni asociativna, da je le kompleksna normirana algebra, velja ocena ||ab|| ^ e||b||v(a) in zato tudijjabjl^ e min{||b||v(a), ||al|v-,(b)} za vsak a,beA (gl. 3.1(ii'), 2.1.3(iii) in 2.1.4.6). Dokaz: Operator T , T x = ax za vsak x € A, je element kompleksne enotske normirane algebre (A) ,T ) , kar po definiciji norme ||T|| operatorja T £ <&(A) in po 2.1.4.2(ii) pomeni sup||ax|l ^ ev(A,a). xeS 55 3.12" - $.14 3.12 9 ? Posledica Naj bo (A,ll.||) kompleksna asociativna normira- na algebra (z enoto ali brez nje). Potem velja za vsak a,bU ocena v(ab) ^ e v(a)v(b). Dokaz: Po 3.2(x) in 3.12' je v(ab) ^ sup||abx|| ^ X€S ^ (sup||ayl|)(sup||bx||) ^ (ev( a)) (ev( b)) . y€3 x€S 3.13__Trditev Naj bo (A, 11.11) kompleksna, asociativna B-algebra (z enoto ali brez nje). Potein veljata za vsak a,b € A ekvi-valenci: (i) (za vsak x cA je sup||eXabe"Aax||< oo) <=> (ab - ba) e lanA (gl. 0.5.0) A6C Aa|| < oo <■=> ab - ba . (ii) xa, sup||e" be Dokaz: (i) Zaradi 0.3(i) velja pri vsakem xeA za funkcijo ? (A) := eXabe~Aax (Aec) enakost x J[Fx(JUjjO - PX(X)] e^be"*8- - b _ A.a x za vsak ;uC in za vsak ^i, ^eCMO} . S pomočjo ustreznih vrst od tod neposredno ugotovimo, da je funkcija Fx(\) odvedljiva v vsaki točki A. £ G in da je njen odvod F£(A.) = e (ab - ba)e x za vsak X e C pri poljubnem xeA ... (1). Če je P omejena na C za vsak x e A, je po Liouville-ovem izreku zaradi (l) konstantna na G in je zato zaradi (1) 0 = F'(0) = (ab - ba)x pri poljubnem x e A, t. j. (ab - ba) € lanA. Če je obratno (ab - ba)6 lanA, je (ab - ba)e~~ ax = 0 za vsak x e A in je zato po (l) F„(X) = -A. = konst. (odvisna od x) za vsak x € A. S tem je dokazana trditev (i) (ii) Podobne zaključke, kot smo jih dobili za funkcije P (/O, lahko dobimo za funkcijo F(x) := eXabe~Xa . 3»14 Trditev Če za kompleksno, asociativno normirano algebro (A, ||.||) (ki ima enoto ali pa je brez nje) eksistira taka funkcija M : R+UlO) *-*Rf da je ||a|| ^ M(r(a)) za vsak a eA, potem je algebra A komutativna v dveh primerih: (i) Če je (A, 11.11 ) poln prostor ali (ii) če je funkcija M (nestrogo) monotono naraščajoča (t. j. če velja implikacija: 0 4 r^ < t p =^ M(r-^) < M(r2)). Dokaz: (i) Po 3.4 je || eAabe""Xali 4 M(r(eAabe"Xa)) = M(r(b)) < oo za vsak A.€C, kar po 3.13(ii) pomeni komutativnost algebre A, -56 - 3.14 - 3.14 i > ro (ii) Nepolno algebro (A, 11.11 ) izpopolnimo do B-algebre (A,)|.l|), pO kjer označimo z i vložitev algebre A v A. Vzemimo polju-ben S € A. Ker je po 3.3* spektralni radi,] navzgor polzvezna funkcija, eksistira tak S$ R , da ie r(m) < r(£) + 1 za vsak np 6 A, l|w-£||y >o(v(a)^cx(l/e)sup||axll , t. j. I|ax|| ^ ( e/oO)|x||r( a) z-a vsak X6S a,x€A. Zato je po 3.4 sup||eAabe"XaxlU (e/oc)l|x||r(exabe-Xa) - = (e/oc)||x||r(b)< oo . To po 3.13(1) pomeni (ab - ba) € lanA za vsak a,b e A. (ii) Sledi iz 3.14(11), kjer je M(r) = r/(3 . 3.14»>__Opomba: (i) Če je (A,||.||) kompleksna, asociativna normi- rana algebra in je |(.|| multiplikativna norma (llab|| = = || aH Ubil za vsak a,b č A) , je r(a) = v( a) = || a|| za vsak a € A in je zato po 3.14'(ii) algebra A komutativna brez kvazi-nilpotentnih elementov in norma \\.\\ je zato hilbertska, t. j. izhaja iz skalarnega produkta. V primeru, da ima A enoto, to pomeni, da je A izomorfna obsegu C (gl. npr. /6; IZREK 9,10 in 9,3/). Vprašanje je torej ali eksistira kompleksna asociativna komutativna normirana algebra brez enote z multiplikativno normo, ki izhaja iz skalarnega produkta? - 57 - 3.14" - 5.15 (ii) Eksistira realna asociativna normirana algebra z mu I tipi i.-kativno normo ( in z enoto) , ki ni komutativna (npr. kva-ternionska algebra /S,T,14.3/) . Dokaz: (i) Pokažimo, da ;ie komnta.ti.vna normirana algebra (A,II.H) z multiplikativno normo 1| . i| predhilbertov prostor glede na skalami produkt, ki ga generira ta norma J| . || . Res, ker je II .|| multiplikativua norma in je A komutativna algebra, sledi po trikotniški neenakosti ocena ||a+bl| .+ ||a-b|l'~ = ||(a+b) |( i * l|(a-b)2||^||(a+b)2 - (a-b)2|| = ||4ab|| = 41la|||ib||, t. i. ||a+b||2 + + )|a-b|l2 "} 4 za vsak a,beS, kar po /8, VII.3(E), str. 152/ pomeni, da naša norma || . j{ generira na A realen skalami produkt in zato po /22, 1.5, str. 39/ tudi kompleksen skalami produkt. 5.15 Izrek Naj bo (A,||.||) kompleksna, asociativna normirana algebra (z enoto ali brez nje) z lastnostjo, da je o(X,a) := inf sup||(X+a)nx|n n = sup | X + V(A,a)| za vsak -> neN x€S (X,a)€ GXA (kjer je po definiciji (A+a)nx = Anx + —S. ■ n-k k ■ % + ^_ X o- x za vsak A.eC, za vsak a,x €A in za vsak n € N) . k=l . Potem je C(X,a.) = lim sup||(A. + a)nx|| /n za vsak O,a) eCXA in ^ n->oo xcS velja: (i) O(0,a) = r(a) = v( a) za vsak a €A (ii) v(an) = (v(a))n za vsak a€A in neN (iii) (ab - ba) € lanA za vsak a,b€A (gl. 0.5.0) (iV) sup||ax|| 4 (e/2)v(a) za vsak a€A (primerjaj 3.12 oz. 3.12') x€S ("V") Če je a tak element algebre A, da je v (A, a )^ 1 in če je p tak polinom (stopnje n) s kompleksnimi koeficien- n -. ti c c-,, ... , c (p(x) = ScvA. za vsak \e 0) , o i n k=0 k da je sup{|p(/\.)| : A. 6 C, |A.i ^ 1} ^ 1 , potem je n sup||p(a)x|| : = sup||c x + (21 e,a ")x|| ^ § . X€S X€S ° k=l K d (Vi) Če je (A, ||. ||) B-algebra, velja: (ot) Če ima A levo enoto in je pri tem A brez desne enote, je G>(A ,a)\{0} C eoV( A,a) C coG?(A,a) za vsak a € A in (p) v vsakem drugem primeru (negacija predpostavke trditve (ot)) pa je co6>(A,a) = coV(A,a) za vsak a 6 A. Dokaz: Algebri A enoto formalno adjungiramo, t.j. algebro A vloži-mo v kompleksno asociativno enotsko normirano algebro A - 58 - 3.15 (gl. 0.5.4-). Po O.5.6.I in def. 3.1(i) veljajo enakosti : inf sup||(*+a)nx||l/r] - inf||(^e + a)nl|l/n - r(L, xe + t) ncN xeS ncN - lim||US i a)n||l/n = lim sup)|(A+a)rlx||l/n za vsak (X,a)e C xA ... n->oo n-*oo x€S ...(1). Po 2.3.2 je sup|X + V(A,a)| = sup| co( X + V(A,a))| = = sup|x + coV(A,a)| = sup|A+ V(tQta)\ -- sup|V(Ae,Ae -f a)| = - v(Ae,Ae ■ + a) za vsak (A,a)€0*A ...(2). Ker je po 0.5.4 in 0.5.1 vsak k 6 A oblike | = (x,a) + «Af = Xe + a ■? oV = Xe + a, sledi iz predpostavke Izreka zaradi (l) in (2) enakost r(A ,£) = = v(A ,f) za vsak f « A ...(3). Vzemimo poljuben ^A = izpopolnitev algebre A ...(4/. Ker sta po 3.3 in 3.3' preslikavi ^ —> v(Ae ,^) in £~*n(Ae,S) navzgor po Iz vezni, eksistira. za predpisan £ € R" tak i e R'1", da velja za vsak np>,n£>> 6 Ae implikacija: )| n^" - ft'll<$ =£ ▼( Ae ,n£>») < < v(Ae,f^M +8 in r(Iefci£»)^ r(Ie,oj») +£ ...(5). Ker je AQ gosta v Ae, eksistira tak f € A e , da je ||| - n^H < S ( 8 = f* 6 Ae) ... (6). Zaradi (5), (6), 3.2(x), (3), 3.2(v) in ponovno (5) in (6) velja ocena v(Ae,^) ^ v(Ae,|) +8 = v(Ae>|) + £ = r(Ae,|) +£ = = r(Ae,|) +£ ^ (r(Ae,r^) + £)_+£ ,t.j. v(Ae,n^)^ r(Ae,i^) + 2H za vsak e e R+ , kar pomeni v(Ae,r^) ^ r(Ae,nr?) in sledi zato po 3.2(vii) in (5) enakost r(Ae,n£) a v(Ie,n^) za vsakn^eAe . Zato je po /13, 6.1 oz. po 6.5/ co^(Ae,r») = V(Ae,m) za vsak <£*Ae ...(7). Točka (1) dokazuje začetek trditve Izreka. Točka (i) sledi iz 3.2(v) in 3.2(vii'). Točko (ii) potrjuje (i) in 3.2(iii). Točka (iii) sledi iz (i) in 3.14'(i). (iv) Zaradi (7), 3.2(vii) in def. 3.l(ii) je r(Ae,r^) = = v(A 00) za vsak rneAe, kar po /4, Teorem 6.23.5/ pomeni !|n?|| ^ (e/2)v(Ae ,r») za vsak ^6Ae. Zato je tudi ){a||^ ^ (e/2)v(A a) za vsak a e A, kar po 0.5.6.1 in 3.2(x) dokazuje oceno (iv). (v) Po 3.2(x) je v(I ,1)41 in je zato po /4, Korolar e o 6.23.6/ || p( a )|| ^ e/2 , kar po 0.5.6.1 dokazuje oceno (v). (Vi) Zaradi 2.3.2, (7) in 1.19 je čoV(A,a) = V(Ae>a) = = go6i(A ,a) C coG>(A,a), t.j. čoV(A,a) C oo(?(A,a) za e vsak a€A ...(8), kar zaradi 2.3.11 že dokazuje trditev (vi) O). Če ima A levo in desno enoto (t.j. enoto), ali pa če je A brez leve enote, je po 2.3.11.1 in 2 G? (A,a) C coV(A,a), kar zaradi (8) dokazuje enakost (vi)(|3). - 59 - 3.16 - 3.17 5.16 Trditev Naj bo (A,|J.||) asociativna normirana algebra nad obsegom ? (= R ali G) in aeA tak element, da je V(A,a) = = {A-05, Xq £ *$ . Potem velja: d) A brez leve enote =$> X = v(a) = 0 (i5) (A brez leve enote, $-0) => a € lan A (t. j. ax = 0 za vsak x e A). (ii) (A ima enoto e, T=C ) => a = X e . Dokaz: Pri dokazu lahko zaradi 2,2.9 privzamemo , da je (A,||.l|) B-algebra. (i) Zaradi 2.3.11.2 je "tedaj" {0} C QL( a) C cbV(a) = UQ} , t. j. \Q = 0 = v( a). (i») Ker je po (i) v(a) = 0, je po 3.12' ||ax|| ^ e ||x||v( a) --= 0 za vsak x e A. (ii) Po 2.3.1 je V(A1,a) = coV(A,a) ={A.0] in ker je (A]_,|| ,||-j_) kompleksna enotska B-algebra, je po 2.2.5(iii) in (vil') V(A1,a-\oe) = V(Alfa) - {XQ\ = {0}. Od tod po 3.12 sledi (a - ^0e) €lanA = {0}. 5.17 Trditev Naj bo (A,H.H) kompleksna asociativna normirana algebra (z enoto ali brez nje). Potem velja za vsak aeA naslednje: (i) ^ supllax|| 4 v(a)^ sup[v(an)]l/n <$ ev(a) xeS n*N (il) Eksistirata limiti lim sup||anx|| /n :=oo xeS J lim[v(an)] 1//n := S>(a) ter je(0(a) =-0(a) . n-*oo 3 (iii) r(a)4inf[v(an)]l/n . neN Dokaz: (i) Prvi del neenakosti je po 3.12 očiten. Po 3.2(x) in 3.12 je tudi v(an)4 sup||anx|| ^ [(e/n)nnl}[v( a)]n 4 X€S ^en[v(a)]n za vsak n € N, kar dokazuje tudi drugi del neenakosti (ii) Po 3.12 in 3.2(x) je supi)anx|| ^ ev(an) 4: esuplianx|| in xeS x€S zato tudi supllanx||l/n 4 el/n[v( an)] l/n « el/nsup)|anx||l/n xeS xtS za vsak neN, kar zaradi 3.2(v) dokazuje (ii). (iii) Po 3.2(iii) in 3.2(vii') je [r(a)]n = r(an) ^ v(an)' za vsak n € N. - 60 - 3.18 - 3.19 3*18 Izrek Maj bo (A,||.||) realna asociativna normirana algebra (z enoto ali brez nje). Po 3.2(v) eksistira lim suplla^H1/11 := o(a) in je o(a) = inf sup||anx|pn ter n-»"00 xcS 3 ) ncN x«S velja: (3J Za poljubno sodo naravno število n in poljuben aeA volja ocena: o(a)^ r max{v(a), (v(an)) /n} ... (#•) , -1 ^ n kjer je r = sin (b in je d> edini koren enačbe ° ,! n Tn ju (sin^)n = cos(n<]/) , ki leži na intervalu (0,ft/2n), t.j. r~~ je najmanjši koren enačbe Xn + ^L (2\)(-l)k+1l = r( j) ter velja: (i) v(j)>l in (l/lljll) ^ sup||jx|| < ev(j) (primerjaj xeS - 61 - 3.19 - 3-20 3.15(i) in 3.17(1)) (ii) ReV(j) C [-1,1]=» sup||jx||, sup||j2x|| e [1,2] xeS xeS (iil) v(j)< l=>v(j) = 1 (iv) i2 = d, supReV(j)4 1 (npr. v( j ) « l) => r( j ) = v( j ) = sup||jx|| = 1 xeS Dokaz: Vse trditve veljajo za kompleksno enotsko B-algebro /4, Teorem 23.11 in Teorem 23.12/, veljajo pa tudi za realno enotsko B-algebro in splošno za vsako enotsko normirano ualgebro nad obsegom ¥ /13, Izrek 7.1 in 7.2/. Na osnovi 0.5.6.1, 2.3.2 in 3.2(x) lahko ta rezultat posplošimo za normirane algebre, ki imajo enoto e, ||e|| / 1 in na normirane algebre brez enote. 3.20 Izrek Naj bo (A, II.II) asociativna Banacnova algebra nad obsegom ¥(= R ali C), a njen algebraičen element stopnje n (t.j. eksistira polinom p? n , VM = 2lxkX , *ke¥, <^ je p(a) - 0, kjer je XQ = 0, če je A brez enote), reR in naj bo spektralni radij r(a)^ r. Naj bo potenčna vrsta f(A.) := 21 ^1, XK (u, £*£) konvergentna na odprti množici v ¥ , ki vsebuje "krog" {x<č^ : |A.l^r} , pri čemer je ^k ^ 0 za vse tiste k-je, za katere je (n-k) sodo naravno število (^2), kjer je u. = 0, če je A brez enote. Potem velja: n-1 / n\n-l-k . /,\ (i) l|f(a)|| 4 S i^iV- (- ^ *al>Vk>(r) ±n ^Q ^ (ii) IUm|| ^ 1= (S^-D^^rta) + llaU)k(r(a))m~k za vsak k=0 K m e N, m > n (iii) Oe je (A, H.ll) kompleksna B -algebra (zadošča že, da je pred-B -algebra, t.j., da je involutivna normirana al-gebra z lastnostjo ||x*xll = J|x|l za vsak x € A) in če je l|a||^l, velja ocena: || am \\4 (™_-J (r( a))™"*"1""11 za vsak m € N, m > n. Ce je f polinom, velja ocena (i) tudi v primeru, če normirana algebra (A,l|.|() ni poln prostor - izpopolnitev. - 62 - 3.20 Dokaz: I. Ocena (i) je dokazana za primer, da je (A, H.(j) kompleksna enotska B-algebra /21, Teorem l/. Ocena (iii) je dokazana, za primer, da je A kompleksna B -algebra omejenih linearnih operatorjev T: X*-*-X? kjer je X kompleksen Hilber-tov prostor. II, Če je (A, ll.il) kompleksna B-algebra, ki je brez enote ali pa če ima A enoto e in je ||e |1 / 1, algebri A enoto e formalno adjungiramo in na razširjeni algebri A (gl. O.S.l) e uvedemo običajno normo ll.||e» H(*>a)|| •= IXl + Hali z^ vsak (X,a) € A . Torej je (A .11.11 ) kompleksna enotska B-algebra, pri e e e čemer je vložitev x «-*• x := (0,x) algebre A v A izometrični homo- morfizem. Zato se spektralni radij ohranja, r(A ,a) = r(A,a) ter je llf(a)l| = ||(f(a)ni = ||f(a)|| . To pomeni, da velja ocena (i) tudi v primeru TI. Če je (A, H. ||) kompleksna B -algebra brez enote, jo lahko izo- metrično homomorfno vložimo v kompleksno enotsko B -algebro (A JJ.II), kjer je ||(x,a)|| - supl|A,x + ax|| in O,a) := ( 7?, a*) za xeS vsak (x,a) eA (gl. 0.5.3(ii)) , spektralni radij in norma se torej tudi pri tej vložitvi ohranjata. Po Vidav-Palmer-jevem oz. po Gel'fand-Naimark-ovem teoremu /3, Teorem 2.6.9 oz. 2.7.1/ je zato (A , i|.H) izometrično *-izomorfna kompleksni enotski B -algebri (t.j. C*-algebri) linearnih omejenih operatorjev T: X»->X, X kompleksen Hilbertov prostor. To zaradi I dokazuje trditev (iii). III. Realno B-algebro (A,||.H) lahko izometrično homomorfno vložimo v kompleksno B-algebro (A »||.| ) (gl. 0.4.1). Zato je ||f(a)||G = ||(f(a)r||G = ||f(a)|| in r(Ac,a) = = r(A,a), kjer je xt->x := (x,0) vložitev algebre A v A^. Od tod zaradi II spet sledi ocena (i). + Ker Je A B -algebra, je H a* a||= Hali2 za vsak acA...(l) in je zato lanA ={0}. Ker je A involutivna algebra brez enote, je A brez leve (in tudi brez desne) enote. Po 0.5.3(ii) je zato preslikava (A,a)*-» >-► |(A.,a)| :« sup{||Ax + ax|| : xcS} algebrska norma na A ...(2). Zaradi (1) je |al - l|al\ za vsak aeA ...(3). Za vsak t ee(0,l) eksi-stira po def. norme l-l tak xeS ...(4), da je t|(\,a)|< \\\x + axll in zato po (3) t2|(A.,a)|^||Xx + ax||2 = )|(xx + ax)*Ux + ax)|| B |(xx + ax)* .(xx + ax)| = |x*(*e + 3)*(A.e + 'S)XUlx*HUe + 8)*(Xe% I)|.|J| . Torej je zaradi (4) t |(A.,a)|2^ Kx,a)*(x,a)| za vsak te (0,1), t.j. I(^,a)fu,a)|^|(\,a)|2 .......V?) . Iz (2) in (5) sledi |(x,a)*|. •I(^,a)[ ^ |(A.,a)|*in zato l(A,a)*| = |(A.,a)| , kar zaradi (2) in (5) pomeni JU,a)* (A,a)| * lU,a)|2 . - 63 - 4.1 - 4.4 4. DISIPATIVNI ELEMENTI -NORMIRANE ALGEBRE (AJMl) NAD OBSEGOM T (=R ali C) V tem odstavku .je (A,||.||) netrivialna normirana algebra nad obsegom 5" (= R ali C), ne nujno asociativna, z enoto ali brez nje. 4.1 Definicija Naj bo (A,}{.||) normirana algebra z enoto ali brez n?.e nad obsegom $* (= R ali C) . Element aeA imenujemo levo ( desno)-disipativen, če je supReV( A, a) -^ 0 (oz. supReV-,(A , a) ^ 0) . Množico vseh levo (desno) disipativnih elementov algebre A označimo z D(A) (oz. z D-,(A)), Element aeA imenujemo levo ( desno)—akretiven, če je (-a)-€D(A) (oz. (-a) € Dji( A)) , t. j. če je infReV(A,a) >0 (oz. infReVd( A,a) > 0) . Zaradi 2.1.4.6 je Dd(A) = D(A-) (gl. 0.1.3) . 4.2. Trditev Če asociativni normirani algebri (A,||.||) enoto formalno adjungiramo (ne glede na to ali xA ima enoto ali ne -gl. 0.5.1), t.j. če jo vložimo v enotsko normirano algebro (A_,]|.||) oz. v enotsko B-algebro (I -||.||) (gl. 0.5.4 oz. 0.5.5), se levo-disipativni elementi ohranjajo, t.j. (D(A)) C D(A ) in (D(A)) C D(A_), kjer je x^x vložitev algebre A v A in x h-> x vložitev algebre A v A . Dokaz: Tri. 4.1 in 2.3.2 . 4.5 Trditev Če je (A,t|*l) normirana algebra nad obsegom $*(= R ali G), potem veljar (i) 0€tD(A)CU(A) za vsak t € R+U {0} (ii) D(A) + D(A) C D(A) (iii) -D(A) zaprta množica, v (A,)|.J|) (lV) Če je B netrivialna podalgebra asociativne algebre A, je D(B) = BHD(A) Dokaz: (i), (ii) : Očitno zaradi 2.1.4.4 in 5 . (iii) Velja implikacija: (a eD(A), lim a~ = a)^ae3(A), n n-^oo ri n saj je zaradi 2.1.4.5 in 3.2(x) supReV(a),< supRe [V( a-a ) + V(a )U > n n j ^ sup)V(a-an)| + supReV(a ) ^ J|a-a || + 0 za vsak n€N. (iv) Sledi iz 2.3.3 . 4.4 Izrek Naj bo (A,j|.||) normirana algebra (z enoto ali brez nje) nad obsegom J* (= R ali C). Potem so za vsak a€ A ekvivalentne naslednje trditve: - 64 - 4.4 (i) aeD(A) (il) sup inf llx + *?*» " i < O (ii-D inf sup Hx + tfc11 " l 4 O t€R+ X€S l!x + taxll - - 1 t IIX + tax|l - - 1 t llx + taxll - - 1 t IIX + tax|| - - 1 (iv) : Po potrebi normirano algebro (A,||.||) renormi- ramo do enotske normirane algebre (A,||.||^), ||a||-^ := := supllaxll, ki jo na kratko označimo z A-i . Zaradi 2.3.1 je xeS D(A1) = D(A), kar po /13, 8.7(iv)/ dokazuje ekvivalenco točk (i) in ( iv). (i)=>(v) : trditev 2.3.18'(ii). (v) =£ (i) : Enako kot v dokazu točke 2.3.18'(i) eksistira "tedaj" za vsak t € R+ resolventa R(t,a) eA_ 65 - 4.4 - 5-2 (gl. 0.5.5) in je t||R(t,a)H = sup||D(t,a)x - x|(41. To zaradi X6S /13, 8.7(iv)/ pomeni, da je a€D(Ae) in zato po 2.3.2 tudi a €D(A) . 5. P08EVN0-HERMITSKI ELEMENTI NETRIVIALNE NORMIRANE ALGEBRE NAD OBSEGOM ¥(= R ali C) V tem odstavku Je (A, Jl-ll) netrivialna normirana algebra (ne nujno asociativna) nad obsegom ?(= R ali C); A ima lahko enoto ali pa je brez nje. 5 «3. DEFINICIJA Element aeA imenujemo levo (desno) - poševno hermitski, če je ReV(A,a) = {0] (oz. ReVd(A,a) = {0}). Množico vseh levo-poševno-hermitskih elementov algebre A označimo s H'(A) in množico vseh desno-poševno-hermitskih elementov algebre A s H£(A). Zaradi 2.1.4.6 je očitno H|(A) = H'(A-) (gl. 0.1.3). 5.2__IZREK Naj bo (A,||.||) normirana algebra nad obsegom ¥ (= R ali G). (Ni treba, da je A asociativna, A ima lahko enoto ali pa je brez nje.) Potem so za vsak aeA ekvivalentne naslednje trditve: (i) aeH'(A) (ii) Za vsak xeA eksistira funkcija o : R^R za lastnost- jo ||x + tax|l^ ||x||(l + o__(t)) za vsak t € R, kjer lim(ox(t)/t) = 0 (dvostranska limita eksistira in je = 0) t«R,t* o (ili) Za vsak xeA in e e R+ eksistira tak t « R+ (t odvisen od e in x) , da je ||x t tQax|| ^ i|x|| (l + t0t) (iv) inf((l|x t tax!| - l)/t) ^ 0 za vsak x€S (V) sup inf((||x±taxll-l)/t) = 0 , (v>) inf sup(filx±tax||-l)/t) = 0 xeS teR+ teR+xeS - 66 - 5-2 (Vi) sup lim«||x±taxl|-l)/t) = O, ) lim sup((||x±tax||-l)/t) = O x€S ti O t^O xeS (Vil) lim((||x t tax|| - l)/t) = O za vsak x€S UO (Vili) sup||x + tax|| = [l + (tsup||ax||)2]1/2 za vsak t«R X«S X€S Če je nadalje (A,)|.||) asociativna Banachova algebra nad obsegom ¥(= R ali C), potem so za vsak a€A trditvi (i) ekvivalentne še naslednje trditve: Hx) sup||etax|| ^1 za vsak t € R xeS (X) sup||etax|| = 1 za vsak t€R xeS (Xi) ||e x||^||x|| za vsak teR in za vsak x€A focii) |U x|| = ||x)l za vsak t € R in za vsak x e A ~ ox(t) je torej enaka |t|ox(t). (ii) z=s> (iii) : Ker zaradi (ii) funkcija o__(t) := o (t)/t ■ —> 0 za t-»0, eksistira za predpisan £ e R+ tak t0fcR+» da je <^(t0) ^8 in je zato ||x ± tQaxlU ||x||(l + tQ^x(t0)) ^ ^ ||x||(l + tQ£). (iii)^ (iv) : Zaradi (iii) je inf((||x ± taxl| - l)/t) ^£ t€R+ zavsakxcS in t * R+, torej po 2.2.7 supReV(± a)4£ za vsak 6 € R+, t. j. supReV(+ a) ^ 0, t. j. supReV(a) ^ 0 ^ infReV(a), t. j. ReV(a) = {0}, kar po 2.1.4.4 pomeni ReV(i a) = {0}, t. j. supReV(± a) = 0. Od tod po 2.2.7 sledi (iv). (JV) =>(v) - Zaradi (iv) je po 2.2.7 supReV(i a)^ 0 in zato (kot zgoraj) ReV(± a) = {0}, kar zaradi 2.2.7 implicira (v). Trditve (v), (v'), (vi) in (viO so zaradi 2.2.7 ekvivalentne. Iz (vi) očitno sledi (vii). Iz (vii) pa po 2.2.7 sledi - 67 - 5-2 supReV(± a)^ O, t.j. ReV(a) = {O), t.j. trditev (i). (i) =» (vili) : I. Naj bo V = C in a e H» (A) . Operator S := iT , TQx = ax za vsak xe A, je hermitski element a7 a y----------—-------------- asociativne kompleksne enotske normirane algebre Gd(A) vseh linearnih omejenih operatorjev T: A^A, saj je zaradi 2.1.4.4, 2.1.4.2(ii) in (i) ImV(&(A),S) = Im[iV( ~ -it) : || I - its|| = |t| [f2 + llo.i + s||2]1/2 = [i + t2l|s||2]1/2 , t.j. ||I - it(iT )|| = fl + t2||iTJI2]1/2, kar po definiciji norme ope- T 2 2"ll/2 ratorja T€<£>(A) pomeni enakost sup||x + tax|| = [1 + t (sup||axl|) J /l . . _ n xeS xeS za vsak t 6 R. II. Naj bo T = R in a* H* (A): Realno normirano algebro (A, H.ll) izometrično homomorfno vložimo v njeno kompleksi- fikacijo (Ac,ll.llc) (gl. 0.4.1). Po 2.2.10 je zato ReV(AQ,a) = = V(A,a) = {0} = {01, kjer je xhx := (x,0) omenjena vložitev algebre A v Aq. Ker je torej a€H'(Ac), to po že dokazanem (I) pomeni enakost: sup||f + tafljp = [l + (tsupllafll) J ' za vsak |€S(AC) f*S(Ac) t € R. To zaradi 0.4.3(ii) (gl. Opombo) spet implicira trditev (viii (viii) =fr(ii) : Očitno. (i) => (ix) : Če velja (i), je supReV(i a) = 0 in je "tedaj" zato po 2.3.7 sup||e±tax|U e° = 1 za vsak t€R+. xeS (ix) =» (x) : Implikacijo potrjuje 0.3(viii) in 0.3(vii), saj velja za poljubni realni števili oc,/3 implikacija: (0 < oc, (i^l, }!)=$> 0£ = A = 1. (x) =» (xi) : Očitno. (xi) => (xii) : Če velja (xi), je zaradi 0.3(ii) ||etax|U llx|| = ||e~ta(etax)IU ||etax|| za vsak t e R in x € A. (xii) =» (xiii) : Zaradi (xii) in 0.3(i) velja za vsak X = e* + i/3 (oc, (2>£ R) in za vsak x € A ocena |( e x|| = = Ile^V^lUHe1!58*!! • (xiii) ^ (xiv) : Zaradi (xiii) in 3.10 velja za vsak X = oc + ±(b («,pR) inxeA ocena ||e*ax || = Ile^^H ^ 4e|i(i|v(a) # (xiv) => (i) : Zaradi (xiv) je ||e±tax|U IMl za vsak t € R+ in je zato po 2.3.6(i) supReV(i a) ^ 0, kar pomeni ReV(a) = {0} (gl. dokaz implikacije "(iii) => (iv)") - 68 - 5-3 5.5 TRDITEV Naj bo (A,||-|l) asociativna normirana algebra nad obsegom ?(=R ali C), z enoto ali brez nje. Potem velja : (i) lanACH'(A) (gl. 0.5.0 in 5.1) (ii) H*(A) je realen linearen, zaprt podprostor prostora (A, II.H) (iil) Oe je B netrivialna podalgebra (gl. 0.1.4) algebre A, je H'(B) = BHH'(A) in zato (gl. (ii)) R'(B)CH'(B) (zaprtje glede na prostor (A,J|.||)) (iv) Ne glede na to ali ima A enoto ali ne, velja pri formalni adjunkciji enote (gl. 0.5.4 in 0.5.5) za vsak a£A ekvivalenca: a 6 H» ( A)<=> a € H ■ (A )<=>aeH,(A ) . (V) J = C =»H'(A)niH'(A) C lanA (Vi) Če je A brez leve enote, velja pri vložitvi x *-> x algebre A v enotsko algebro Ae (gl. 0.5.4) naslednje: (a) t = R=Š>H'(£Q) = (H»(A)r (b) r = G =>H'(Ž ) = (H'(A)P + iRe , pri čemer je vsota direktna (enolična izražava vsote), če je lanA = {0} (gl. 0.5.0); tu pomeni A = {a : a e A) in (H'(A))^ = {£ : a€H'(A)} . (Va*) Če ima A levo enoto e, velja ekvivalenca: (A.,a) €H'(A )4=> 4=>(Ae + a) e H'(A) . Opomba Iz dokaza je razvidno, da veljajo točke (i), (ii) in (v) tudi za neasociativno normirano algebro nad obsegom*^. Dokaz: (i) Očitno (po definiciji). (ii) Realna linearnost sledi iz 2.1.4.4 in 2.1.4.5 . Doka- žimo še zaprtost prostora H'(A) ! Naj bodo a € H'(A) in a -*- a za n->»oo. Vzemimo poljuben xeS in feD(x) in naj bo a = f(ax) ter A. = f(a"x). Torej je A. e V(a ) in zato ReA. = 0 n vn yun n n za vsak n € N, kar pomeni |ReX| = ] Re(\ - X )| 4 I *•- ^n\ -- |f(ax - anx)| ^ ]|f||||a - an||||x|| = || a - &n\\ -* 0 za n->oo, t. j. ReA. = 0 za vsak X€ V(a). (iii) Po 2.3.5 je cbV(A,b) = čoV(B,b) za vsak b e B. (iv) Ne glede na to ali ima A enoto ali ne, velja po 2.3.2 ekvivalenca: ReV(A,a) = {0}&> ReV( Ae, a) = {0}<=$ <=$ ReV(Ae,a) - {0} . (V) Naj bo a C H9 (A) in a = ib, kjer je tudi beH'(A), Potem je ReV(a) = {0} in po 2.1.4.4 tudi ImV(a) = = Im(iV(b)) = ReV(b) = {0}, t.j. V(a) = {0}, kar po 3.12*pomeni a elanA. - 69 - 5.3 - 5.4 (Vi) Po 0.5.4 .je poljuben fc € /\] oblike £ = (A, a) - (X,a) + Jf = (0,a) + *.(!, O) -i Jf = a -t Xe in je zato /N po 2.2.5(111), 2.2.5(vii») ter 2.3-2 V(Ap,(A,a) ) = = V(A ,a) + {A.1 - coV(Afa) + {X\ , kar pomeni ekvivalenoo: ReV(Ae,(Xfa)*) = 10)0 ReV(A,a) = {-Re\\ ... (1). Ker je A brez leve enote, je zaradi 2.$.11.2 in 3.5 0€V(A,a), kar pomeni zaradi (1) ekvivalenoo (A^a)"** H'(A )^> ReX = 0 in a4H»(a) ...(Z). Točka (2) dokazuje (a) in prvi del trditve (b). Če je (A, a) = (x,,a,)/^ (t. j. a + Ae a' + A?e), ;je sun|| (a - a*)x + (A - Af)x|| = 0 in. je tore;j (a - a')x = (a ' - a)x XtS za vsak xt S. Iser A nima leve enote, to pomeni A' - A r: 0, t. j. (a - a') €. lan A. Če .je torej lanA = {0}, je zato vsota (H^A))^ + iRe direktna, (vi*) Analogno kot v dokazu točke (vi) ugotovimo: (A, a) £ 6H'(? )4=> ReV(A,a) = l-ReA}4=»ReV(A,a+Ae) - {0}t=> (a + X e)€H*( A) . 5.4 IZREK (lastnosti levo-poševno-hermitskih elementov) (£) Če je (A, II.H) normirana algebra (asociativna ali ne, z enoto ali brez nje) nad obsegom J* .(= R ali ;0 in a« H* (A), je sup||x + tax|| > 1 za vsak t€R. xcS če je (A, II. ||) asooiativna normirana algebra (z enoto ali brez nje) nad obsegom J* (= R ali C) in a6lR(A) , velja še : (ii) (a) Eksistira lim sup||anx|p n := o(a) in je n«N t«S -> n«N xe n ->oo ? (a) = inf supflanx|pn - r(a) = supHax|| ter je neN xeS xcS zato tudi (b) sup||anx|| = sup||ax||n za vsak n c N. X€S XtS (lil) Če je a / 0 in če eksistira tak neN, da je n>2 in a = a (če je npr. a neničelni levo-poševno-hermitski idempotent) , potem je sup||ax|| = 1 . xeS (iv) Če eksistira tak neN, da je a11 = O, je a € lan A (gl. 0.5.0) (V) a" De levo-di si pativen element algebre A, t.j. a2 € d(A) - 70*- 5.4 (Vi) Če je P polinom s koeficienti iz obsega y, ki ima le realne ničle, je sup|)P(a)x|| = |P(isup||ax|| )| , kjer X€S X€S n , za polinom P(A.) = 5H *v** definiramo P(a)x = k=0 K n k 0 k=l K (Vii) ¥ = C=>r(a) - v(a) = supllax|| = p(a) (gl. (ii)) xtS 3 (Viii) Če je (A, H.H) Banachova algebra nad obsegom *$ (= R ali C), je <3?(A,a) C iR, kjer je (oR(ARta.) C {0} (gl. 1.2.2 in 1.5). (ix) Če je (A, ||.||) kompleksna Banachova algebra, velja: (a) d(A,a) C{0} U V(A,a) in V(A,a) C co6f(A,a) C iR (b) Če ima A enoto (dvostransko - njena norma je lahko ^ l) ali pa je brez leve enote, je coG"(A,a) = V(A,a)CiR. ("b*) Če je A brez leve enote, je co6*(A,a) = coG?(Ae,a) = = co ef(A ,a) = V(A,a) d iR. (c) (X€C, Im^O)^ sup||exax|| = e(Im^)suPV(A'ia) X€S (cM (XCC, ImXs<0)=> sup||exax|l = e x algebre A v A-^ homomorfi-zem, ki preslika enoto e algebre A v enoto e algebre A]_, je 6,(A1,x)Ce?(A,x) za vsak x€ A ...(2). Zaradi (l), 2.1.4.4, 2.2.5(1) in (vii'), 2.2.9 in 2.3.1 je ImVCA^h) = Im[iV(Alta)] = - ReV(Alfa) = ReV(A-L,a) = ReeoV(Ata) = RecoiO* = 10J, t. j. h je hermitski element asociativne kompleksne enotske B-algebre (Aj.H.H-jJ in .je zato po /3, Korolar 2.5.11/ co6)(A-L,h) = V(Alfh)C C R ...(3) ter po /4, Teorem 6.26.?/ r(A1#h) = Hhl^ ...(4)• - 71 - 5.4 Zaradi 2.2.5(i) in (vil'), 2.?.9 in 2.3.1 je R3 VCA^/h) = = V(A,,h) = č~oV(A,h), kar zaradi (l), (3), spektralnega teorema in 2.1.4.4 pomeni co 6?(]L,S) = coV(A,a) d iR ...(5). Iz (2), (5) in 2.3.11.1 sledi coV(A,a) = cotffApS) C cofffA.a) C coV(A,a)C C iR, t.;j. co tf(A, ,a) = co<3(A,a) = coV(A,a)ciR ...(6), kar zaradi 2.1.4.3 (V(a) povezana množica) dokazuje prvi del trditve (ix)(b). eO — Ker je vložitev x >-> x algebre A-, v A-. izometricni homomorfi- zem, je zaradi (l) in (4) r(A,,a) = r(A-,,ia) = r(A.,h) = = r(Ilfh) =11^1^ - |l3|1 - ilaj^ ...(7), kar po 3.2(v) in po definiciji norme ||.||-, pomeni: (p(a) := inf supllanx|| 'n - -> neN X€S = lim sup||anx)nn = r(A-,,a) = ||a|J-, = sup)|ax|| ...(8). Zaradi (6) n-+ooxeS x€S sledi po /5, Teorem 1.5.8/ enakost r(A^,a) = msLx\(Ae,a) = č"6V(A,a) d iR ...(13). Po 1.13 je tf(Ie,a) C C6,(Ae,a)CG'(A,a) ...(14) inpo2.3.11je <$( A,a)C {0} U coV( A, a)... ...(15). Točke (6), (13), (14) in (15) zaradi 2.1.4.3 dokazujejo trdi- ^ev (ix) (a). Če je A brez leve enote, je po 2.3-11.2 G>(A,a) C C. coV(A,a) in je zato po (13) in (14) co 6*(A,a) O cbV(A,a) =" = 00(3(1 a) C co6*(A .a) C co6>(A,a) C iR, t.j. co6*(A .a) = ^6 e e = co6i(Ae,a) = coC(A,a) = coV(A,a) C iR ...(16), kar zaradi 2.1.4.3 dokazuje trditev (ix)(b') in s tem tudi drugi del trditve (ix)(b). Po 3.2(v), (12) in 0.5.6.1 je o(a) := inf sup||anx||1//n = J n€N X€S = lim supHa^H1/11 = r(Ae,a) £=l)|| a || = sup||ax|| ...(17). n-»oox€S xeS - 72 - 5.4 Po /5,Teorem 1.5.8/ slede iz (13) enakosti r(A ,a) = = max|6>(A ,a)| = sup|V(A,a)| = v(A,a) ...(18) in analogno je zaradi (14) r(A ,a) 4 r( A,a) ...(19). Zaradi (15) je r(A,a)«$ ^ v(A,a) ...(20). Iz (17), (18), (19) in (20) sledi O(a) = = sup)|ax|| = r(A a) = r(A,a) = v(A,a) ...(21). X€S O (c) , (c') : Zaradi (1) in (11) je co6*(Ao,ia) = V(A ,ia), kar p 1.12, 2.3.6(i) in 0.5.7(ii) pomeni enakosti inf.ln sumile iax|| teR_ x*S(A) *= maxRe &(ka,ia.) = maxReV(A ,ia) - sup In suplietiaf ll1^1^ = t«R+ |*S(Ae) * = sup ln)|etia||1//t = sup In suplletiax||1/t . Ker je torej t«R+ tcR+ xeS(A) inf(...) = sup(...), je po 2.3.2 In suplle iax|l ' = konst. = teR+ teR+ xeS = maxReV(A ,ia) =. maxRecoV( A,ia) = supfteV( A,ia) , t. j. sup||eitax|| = ets\i-pReV(A,ia.) za vsak t€ r+u(0} ...(22). če ima A X€S enoto, je po točki (ix)(b), po spektralnem teoremu in po 2.1.4.4 co 6*(A,ia) = coV(A,ia), kar zaradi 2.3.16.3 pomeni, da velja relacija (22) tudi v primeru, ko ima A enoto ...(25). Naj bo A = oc + ifl , kjer sta ot,/3€R in £>>0. Potem sledi iz 5.2(xiii) enakost ||e ax || = He1/18*!! za vsak x € A in je zato po (22) in (23) suplle*8*!! = suplle^M = e/*suPReV(A'ia) . To doka- X€S X€S zuje točko (c). Naj bo X = oc + ip>, kjer sta i R in fb 4 0. Potem je -fo>, 0 in ker je po 5.3(ii) tudi -a€H'(A), je zato po pravkar dokazani točki (c) in po 2.1.4.4 supl|e*axll = sup||e^ -A.)(-a)x|| = X€S X£S . e(^)supReV(A,-ia) = e( -p) ( -inf ReV( A,ia)) ? ^ dokazu;je trdi_ tev (C). (d): Po 5.3(iii) je H*(B) = Bf\H'(A) in je zato po spektralnem teoremu in po že dokazani točki (ix)(a) 6*(B,ia)CR, kar zaradi 1.9.3 pomeni 6*(Bf ia) C & (A, ia)UlO> . Od tod sledi trditev (d) (spektralni teorem). (e): Zaradi (ix)(b) je "tedaj" V(A,a) = {XQ] , kar zaradi 3.16(i) in (i*) pomeni X = 0 in a €lanA. (viii) Če je V = C, je po (ix)(a) (A9a) = G>(AQ,a), kjer je x i-* x vložitev algebre A v njeno kompleksifikacijo Ac ...(25). Ker je a€H'(A), je po 2.2.10 - 73 - 5.4- a€H,(Ac) in je zato po (24) 6*(Ac,a) C iR ter zato po (25) tudi G*(A,a) C iR. Po 1.6(111) je zato 6,R(AR,a) = RAG?(A,a) C R HiR - {0}. (vii) Če je (A,l|.||) B-algebra, dokazujeta našo trditev točki (10) in (21). Če algebra (A,||.H) ni poln prostor, jo izpopolnimo do B-algebre (A,ll.||), kjer je vložitev x *-* x algebre A v A izometrični homomorfizem ...(26). Ker je A :={x : x € A} gosta v A, je zato S (A) = (S(A)) (gl. dokaz točke 2.2.9) ...(27). Ker je a«H»(A), je po 2.2.9 a«H'(A) in je zato po (10) in (21) o(a) = supllafll = r(A,a) = v(A,a) ...(28). J MS(I) Zaradi (26) in (27) je supl|ans|| = sup||anx|| za vsak neN, kar po- ^eS(A) * X€S(A) meni (D(a) = p(a) ...(29). Zaradi (26) je r(A,§) = inflianl|l/n = -> 3 ntN = inf||an||1//n = r(A,a) ...(30) in po 2.2.9 je v(A,a) = v(A,a)... ncN ...(31). Točke (28), (29), (30) in (31) dokazujejo trditev (vii) tudi v primeru, če (A, 11.11) ni poln prostor. (vi) I. Naj bo Tr = C: Ker ima polinom P le realne ničle, ima polinom Q, Q(a.) := P(ix) za vsak A.« C, vse ničle na imaginarni osi ...(32). Ne glede na to ali ima A enoto ali ne, vložimo (formalno) normirano algebro (A,H.H) v enotsko normirano algebro (A , 11.11), kjer pomeni x v-> x vložitev algebre A v A (gl. 0.5.4). Po 0.5.6.1 je 111H = sup||ax|» in )|P(a)ll - sup||P( a)x||... xeS X£S ...(33). Ker je a(H'(A), je po 2.1.4.4 in 2.3.2 (gl. dokaz trditve (ix) - točki (3) in (11)) ImV(A .-ia) = (0), t.j. -ia je e hermitski element asociativne kompleksne enotske normirane algebre (Ae,lUi) ...(34). Po /13,Posledica 9.11'/ sledi iz (32) in (34) enakost ||Q(-ia)|| = |Q(ll-ia|l)l , kar po definiciji polinoma Q pomeni ||P(a)|| = )P(i||a||)| ...(35). Točki (33) in (35) dokazujeta trditev (vi) za primer, da je W = C. !!• ff = R: Realno algebro (A,ll.ll) lahko izometrično realno homomorf no vložimo v kompleksno algebro (Ar,)|.Hc) (gl. 0.4.1). Če označimo z x sliko elementa xeA pri tej vložitvi, je po 2.2.10 ReV(Ac,g) = V(A,a) - {0}, t. j. aeH»(Ac). Po pravkar dokazanem je zato supllP( a)f ||n = I P(isup||af ||M)| , kar zaradi |eS(Ac) U fcSUcJ C 0.4.3(ii) spet potrjuje trditev (vi). - 74 - 5.4 (V) I. Maj bo (A, 11.11) B-algebra: Ker je a« H*(A), velja zaradi 5.2(xii) za vsak x € S(A), f€D(Afx) in teR ocena 1 = )|etaxll>If(etax)| = |f(x) + tf(ax) + (t2/2)f(a2x) + + zL |t f(akx)J > | 1 + ipt + <*t2 + ifbt2] - t3<£(t) .. .(36), kjer je 1 = f(x) (saj f€D(x))f f (ax) = ip e iR (saj je atH'(A)) in f(a2x) = 2(a + ip), «,A € R ...(37) ter §(t) = Z j££ f(a*x) < X J|£ lla||k+3 = »a»V«a« ...(38). Iz (36), (37) in (38) sledi ocena 1 >y [(1 + oit2)2 + (pt + (S t2 )]ly/2-- t3lla||5et,|a», t. j. 1 -f 2t3||ai|3etnal| + t6 llali6e2t,,a!l >y 1 + ?ott2 + + ot2t4 + p2t2 + 2p/it3 f /2>2t4 > 1 + (2cx+ p2)t2 + 2p(2,t3, t. j. (za t-*O) 0 > 2oC -t- p2, t. j. Ref (a2x) = 2a4 -p2^ 0 za vsak x £ S in f£D(x), t. j. ReV(A,a2) C (-oo,0] . 31. Če algebra (A,H.1|) ni poln prostor, jo izometrično homomorf-no vložimo v njeno izpopolnitev (A,l|,||). Po 2.2.9 se pri tej vložitvi x t-* x algebre A v A levo-poševno-hermitski elementi ohranjajo, t. j . (H' ( A) ) C H »( A). Ker je torej a*H'(A), je po že dokazanem a? - S *D(A) in je zato po 2.2.9 tudi a €D(A). (iV) Ker je an = 0, je r(a) = infl|aklll/k = 0 ...(39). k€N I. Če je % - C, je zaradi (39) in že dokazane tDČke (vi i) ax = 0 za vsak x e S, t.j. a € lanA. II. Če je ? = R, vložimo algebro (A,U«||) izometrično homomorf-no v njeno kompleksifikacijo (Aq,ILI|q). Ker je an = 0, je zato tudi an = (anT = 0 ...(40). Ker je a€H,(A)> je po 2.2.10 tudi a€H'(Ac) ...(41). Po pravkar dokazanem je zaradi (40) in (41) a € lanAG in ker je vložitev x >-» x homomorf izem, to pomeni a € lan A. (ii)(a) Po 3.2.(v) je O(a) = inf sup( . . .) = J n£N xeS = lim sup||anxi|l/n ...(42). n-*oo x€ S I. Če je 7 = C, je trditev (ii)(a) vsebovana v že dokazani točki (vii) ...(43). II* ? = R: Naj bo xt-*x izometrično homomorfna vložitev realne algebre (A,||.||) v njeno kompleksifikaci jo (AC,H.1|(,) (gl. 0.4.1). Zato je r(Ž) = inf||an||l/n = infl|an||l/n = r(a) ...(44) ncN neN - 75 - 5.4- - 5-5 in po 0.4.3(ii) je supllanf|| = sup||anx|| za vsak n e N ...(45). f*S(Ac) xeS(A) Ker je a€H'(A), je po 2.2.10 tudi aeH'(Ac) in je zato po (43) r(a) = supllafll ...(4$). Trditev (ii)(a) sledi iz (42), (44), ftsfAcJ (45) in (46). (b) Ker torej velja (ii)(a), je sup||anx|| ' r ^ r(a) = xeS = sup||axll in j)o dru.f'i strani je tudi očitno sup||a' x|| ^ X€S X€S ^ (sup||ax||>n (t. j. l|T^|k||T ||n, kjer je T^efoik), T x = ax X*S za vsak x cA). (iii) Ker je a.n = a / 0, je a^ = a £ 0 za vsak k € N in je zato po 3.2(i) r(a) = lim||an ||n~ = lim!la||n~ = 1, k -»-oo k~>o° kar zaradi (ii) potrjuje (iii). (i) Sledi iz 5.2(v»). 5*5 Posledica Naj bo (A, 11.11) asociativna normirana algebra nad obsegom j (= R ali C) z enoto ali brez nje. Potem velja: (i) v(a) = 0=^r(a) = supl|axll in supj|anxl| = sup||axlln za vsak n eN. X£S xeS xtS (ii) Če je P polinom s koeficienti iz obsega ? , P(0) = O in če sta a, P(a)CH'(A) (npr., če je v( a) = v(P(a)) = 0) , je sup||ax|l^ sup{ixi: a.€R, P(iX) € iR). xtS Opomba: Ocena (ii) Je eksaktna, saj eksistira polinom P z realnimi koeficienti in eksistira realna asociativna enotska B-algebra (A,ll«ll) in tak a cA, da je v(A,a) = v(A,P(a)) = O ter )|a|l = sup{IAl : X€R, P(iX)«iR}. Dokaz: (i) Sledi iz 5.4(ii), saj je "tedaj" a€H'(A). (ii) I- Naj bo (A, 11.11) B-algebra. Ker sta a, P(a)eH»(A), sta po 5.4(viii) &(a) f(3(P(a))C iR ... (l) in po 5.4(ii) je sup||ax|\ = r(a) ...(2). Če je a^ta), je po (1) X€S o ^a = iX, kjer je X e R in po spektralnem teoremu (kompleksif ikaci ja, če je ¥ = R) je zato zaradi (1) tudi P( ix) = POi) € P(6,(a)) = = 6>(P(a))ciR. Torej je 6>(a)C{iA: AeR, P(ix)eiR}. To zaradi (2) in 3.2(vii) pomeni sup||ax|| = r(a) = max|(5'(a)| ^. X€S - 76 - 5.5 ^sup{|A\: X*R, P(iX)€iR). II. Če (A,)|,||) ni poln prostor, ga izometrično homomorfno vložimo v njegovo izpopolnitev (A, li.H). Če označimo pri tej vložitvi z x sliko elementa x£A, veljata po 2.2.9 enakosti čoV(A,a) = č~5V(A,a) in čoV(A,P(a)) = čbv(A, (P(a))**) = cbV(A,P(a)). Ker sta a, P(a)€H'(A), sta zato tudi a, P(a)*H»(A). Torej je po I. supl|ač(l4 sup{lA.\: fc€R, P(ix) € iR\, pri čemer je f«S(A)3 sup||ač|| >y sup||axll = supjjax||, saj je vložitev x h» x izometrični £eS(A> XeS(A) xeS(A) homomorfizem. Utemeljimo opombo. Za A lahko vzamemo prostor G kompleksnih števil in za normo absolutno vrednost 1,1 . Ker je (C, i . | )_|_enotska 2-dimenzionalna B-algebra z bazo {l,i} , je po 2.2,5 V(C,c) = = ff(c) : f eD(C,l)} za vsak c « C. Naj bo f linearen funkcional, f (1) = « in f(i) =fi . Če je f € D(C,l) , je o( = 1 in p> = 0 (saj je tedaj 1 = |jf|| = suplffe113)! = max)cost + ft sint| = (l+A2)1' ). t€R teR I ' 6 P Zato element a := i in polinom P, P(a) ■ X - A, , ustrezata naši trditvi. - 77 - 6.1 - 6.4 6. HERMITSKT ELEMENTI KOMPLEKSNE NORMIRANE ALGEBRE V tem odstavku je (A,ll.||) netrivialna kompleksna normirana algebra (ne nujno asociativna), kjer ima lahko A enoto ali pa je brez nje. 6.1 DEFINICIJA Element h cA imenujemo levo (desno) - herraitski, če je ImV(A,h) = {0} (oz. ImVd(A,h) = 10}). Množico vseh levo (desno) - hermitskih elementov algebre A označimo s H(A) (oz. s Hd(A)). Po 2.1.4.6 je očitno Hfl(A) = H(A#) (gl. 0.1.3). 6.2 Trditev H(A) = iH'(A) (gl. 5.1) Dokaz: Po 2.1.4.4 je ImV(A,h) = ReV(A,-ih) . 6.5 Trditev Če je (A, 11.11) realna normirana algebra in preslikava x h-> x vložitev algebre (A,i|.||) v njeno kompleksifikacijo (gl. 0.4.1), velja za vsak aeA ekvivalenca: aeH'(A) <=> <=>iaeH(Ac). Torej je (H^A^C iH(Ac) . Dokaz: Po 2.1.4.4 in 2.2.10 velja za vsak aeA enakost ImV(Ac,ia) = ReV(Ac,a) = V(A,a) . 6.4 TRDITEV Naj bo (A,H.H) kompleksna asociativna normirana algebra z enoto ali brez nje. Potem velja : (1) lanA CH(A) (gl. 0.5.0) (li) H(A) je realen linearen, zaprt podprostor prostora (A, ||. i|) (iii) če je B netrivialna podalgebra (gl. 0.1.4) algebre A, je H(B) = BflH(A) in zato H(B) C H(B) (zaprtje glede na prostor (A,||.H)) (iV)' Ne glede na to ali ima A enoto ali ne, velja pri formalni adjunkciji enote (gl. 0.5.4 in 0.5.5) za vsak hcA ekvivalenca: h € H(A) «=> h e H(A ) 4=» h € H( Ae ) . <*V) H(A)f|iH(A) C lanA (Vi) Če je A brez leve enote, velja pri vložitvi x^x algebre A v enotsko algebro Ae (gl. 0„5.4) enakost H(A ) = (H(A)) + Re , pri čemer je vsota direktna (enolična izražava vsote), če je lanA = {0] (gl.0.5.0). (viM če ima A levo enoto e, velja ekvivalenca: (A.,a)^cH(A )& e 4=>(Xe + a)eH(A), kjer je očitno eeH(A), - 78 - 6.4 - 6.6 Opomba Točke (i), (ii) in (v) veljajo tudi za neasociativno kompleksno normirano algebro (gl. opombo k trditvi 5»3). Dokaz: Upoštevamo trditvi 5*3 in 6.2 . 6J?__Opomba Pri vložitvi x *-*> x := (0,x) kompleksne normirane algebre (A, 11.11) brez enote v kompleksno enotsko normirano algebro (A ,||.||^), kjer je A = C x A adjungirana algebra z enoto e = (1,0) in IKx9a)||-j = |X|+ i|a|j za vsak (x,a)c A@, se herm.itski elementi ne ohranjajo, saj je H(A ) = Re in zato (H(A))"nR(Al = {Oj. Opomba; glej 2.3-2' ! Dokaz: Po definiciji norme (i . |L velja za vsak (A.,a)€ A enakost IIe + ItU^H-j - 1 ||(1 + iU,ita)||1 - 1 t t ll + it A.I + II itall - 1 za vsak t^R\{0}. Ker je (Ae,||.!!-,_) t kompleksna enotska normirana algebra, velja po /3, Lema 2.5.2/ oziroma po /l3t Izrek 9.3.6(iv)/ ekvivalenca (asociativnost algebre A ni bistvena): (A., a) € H( A J 4=> lim !l + itX> + ItHlall - 1 = Q^ e t€R,t-^0 z ...(2). Ker je lim H ± ltxl » ItHlaJL^JL = lim jLjL^|iLlL-l + + lla|| in lim H + ItAl + ItHatt - 1 = 1±- JUJUl - 1 _ ||aB tto t tto t iledi zaradi (1) ekvivalenca: (A., a) 6 H( Ap) 4=> [ lim —— i^xt ""-l = — v ▼ v/ -||a|l in lim il + i|*l - 1 = ||aj| j ...(2). Naj bo X = <* + i(S, c*,/3€R. Potem je (dvostranska limita) lim i1 + 1|^i, -_1 = ' tfiR X H«, [(1 - t/2>)2 + (t0()2]1//2 - 1 ^ m . ,. MN = lim -**----------M--------■*-----'-—--------------- = -a . To pomeni zaradi (2) tO t I ekvivalenco: (cx + ip, a) € H(Ae)<=:> <-p> = -Hali in -(3 = II a H) £=> (A= 0, a = 0). Torej H(Ae) = Re . 6.6. IZREK (karakterizacija levo-hermitskih elementov) Naj bo (A, ||. ||) kompleksna normirana algebra z enoto ali brez nje (ni treba, da je A asociativna). Potem so za vsak h€A ekvivalentne naslednje trditve: (i) hcH(A) (ii) ReV(A,a+ih) = ReV(A,a) za vsak aU (ii') ImV(A,a+h) = ImV(A,a) za vsak a€A - 79 - 6.6 - 6.7 (iii) Za vsak x€A eksistira funkcija ox: R *-► R z lastnostjo 1|x + ithx|| ^ |ix(((l + o (t)) za vsak t € R, kjer je lim[ox( t)/t] = 0 (dvostranska limita eksistira in je t-+0 = 0). (lV) Za vsak xeA in £€R' eksistira tak t € R"^ (odvisen o od e in x), da je || x ± it hx|| ^ ||xj| (l + t E) . (V) sup||x + ithx|| = (l + t2sup||hxl|2)1/ 2 za vsak t€ R . xeS x€S (Vi) inf((||x i ithx|| - D/t) ^ 0 za vsak x € S tcR+ Mi) sup inf !!2^*Mzl = o, (viiM inf supfižiiiMbl = o x€S t€R+ x teR+ X€S (Viii) sup ilal^lthx|-l = 0> " 1 s<0 za vsak x€S t*0 t Če je nadalje (A,|j.j|) kompleksna asociativna B-algebra, potem so trditvi (i) za vsak h€ A ekvivalentne še naslednje trditve*. (x) supi|eithx|j ^ 1 za vsak t € R X£S (Xi) supl|eithx|| = 1 za vsak t€R X€S (Xli) ||e^*^x||< l|x|l za vsak t e R in za vsak x € A (Xlii) ||e^nx|| = ||x|| za vsak t € R in za vsak x e A (XiV> l|exhx|| = )|e(Re^)hx|| za vsak X«C in x € A (XV) l|e*hx||^||x||elRe*lv(A>h) za vsak \€C in x € A (gl. 3.1(11)). Dokaz: (i) ==» (il): Naj bo heH(A). Potem je iiV(h) C iR in je zato po 2.1.4.4 in 2.1.4.5 ReV(a+ih) C Re[v(a) + iV(h)] = = ReV(a) = ReV(a-fih-ih) C Re[V(a+ih) - IV(h)] = = ReV(a+ih). (il) =Mi): Za a = 0 dobimo po 2.1.4.4 enakost ImV(h) = = -Re[iV(h)] = -ReV(ih) = -ReV(O) = {0}. (jj)4=> (ii'): Po 2.1.4.4 je ImV(x) - ReV(-ix) za vsak x £ A. Ekvivalenca točk (i), (iii), (iv),...,(xv) sledi iz 6.2 in 5.2 ter 6.4(ii), če upoštevamo, da je (oc + ift)h = (#- iof)(lh) za vsak a, ft € R. 6.7 IZREK (lastnosti levo-hermitskih elementov) Naj bo (A,||.||) kompleksna normirana algebra (ne nujno asociativna) z enoto ali brez nje in h€H(A). Potem velja: - 80 ~ 6'7 (i) ||x + ithxM4 llx|| (l + t^hll2)1/2 za vsak xeA in teR (li) sup||x + ithx||^l za vsak t€R X€S Če je (Ajll.ll) asociativna kompleksna normirana algebra (z enoto ali brez nje) in h € H(A), velja še: (iii) sup||hnx|| - sup||hxl|r] za vsak n eN XfS X€S (iv)* sup||hx|| = v(b) - r(h) (gl. 5-1; lahko Je r(h) < ||h|| )** (V) Za vsak \€C\{0} eksistira lini sup||(l + Xh)nx||1'n i neN x«S n-*oo je lim sup||(l -f Xh)nx||l/n = inf sup||(l + Xh)nx||l/n -n-*oo x«S ntN x«S = sup||x + Xhxfl = (l/lX|) [(Ima)2 + sup||(ReX)x + X€S , X€S o iipl 1/2 + )Xrhxll J ... karakterizacija leve-hermitskosti ele- menta h, kjer definiramo (1 + Mi)nx ■ x + 2- (?)(^il)^x • d-i 3 (Vi) Če je Q polinom s kompleksnimi koeficienti, ki ima ničle le na imaginarni osi (Q(x) =0=^ ReA =0), je sup||Q(h)x|l = |Q(sup||hx||)| = |Q(r(h))| , kjer za poli- X€S X€S n n nom Q(x) := ^ c-A? definiramo Q(h)x = c x + 51 c-jh^x . (Vil) Če je P polinom s kompleksnimi koeficienti, P(0) = O in če je tudi P(h) € H(A), velja ocena: r(h) = v(h) = = sup)|hx||4 sup{|xl : UR, P(X) « R}. X€S (Vili) -b2 je levo-disipativen element, t.j. (- h ) € D(A) 2, |Aj » 1 in hn = Ah (če Je npr. h neničelni levo-hermitski idempotent) , potem je sup||hx|| = 1 X€S (X) Če eksistira tak neN, da je hn = 0, je b e lanA (gl. 0.5.0). (XI) Če eksistira tak neN, da je tudi bn€H(A); je V(Bn)C[v(h)]n : = {Xn : X€V(h)} . (XV) Če eksistira tak lih ncN, da je hn€H(A), je V(hn) = [V(b)]n :={ Xn : A.eV(h)} . Če je (A, II.H) asociativna, kompleksna, Banacbova algebra (z enoto ali brez nje) in h € H(A), velja še: * gl. OPOMBO na str. 81 gl. 15.1.10(13), 13.2.4(17) in (17'), 13.2.5(25), 13.3.6(12), 13.4.7(16) - 81 - 6.7 (Zli) ef(A,h)c(0)U7(A,h) in V(A,h) C co(S(A,h) C R (xiii) Ce ima A enoto (dvostransko - njena norma je lahko / 1) ali pa je A brez love enote, je coo(A,h) = = V(A,h) C R in je tedaj zato minCo (A,h) = infV(A,h) = = -In sup||e~nx|| ter max6>(A,h) = supV(A,h) = X€S = In sup||e xl| . xcS (xiv) Če je A brez leve enote, je co(o(A,h) = coo(A ,h) = = cotfCA h) = V(A,h) C R (gl. 0.5.4- in 0.5.5). (XV> (X€C, ReX»0)=» sup||e*hx|| = e(Re*)supV(A,h) . Zato X€S je supV(A,h) = In suplle x|| . xeS (xV) (X€C, ReA«0)=* sup||e*hx|| = e(ReX)infV(A'h) . Zato xeS je infV(A,h) = -In sup||e~hx|| . xeS (xvi) ||ixp(ith)x|U 2||xjj za vsak t«R in x € A (gl. 1.15). (xvii) sup sup||etnx|| h = 0 . t«K Opomba: Primerjaj 3.11 ! (XViii) Če je f funkcija C v-* C , ki je holomorfna na okolici spektra G*(A,h) (npr. f cela funkcija) in je f(0) =0 ter f(h)€H(A), je V(A,f(h)) C co[{0)Uf(V(A,h))] . (xix) ' | sin r(h)| ^ r(sinh) ^ v(sinh) ^ sup||(sinh)x|| 4: 1 X€S ta) r(h) ^ 0t/2)=> r(sinh) = sinr(h) (XXi) r(h) = (3C/2) =^ r(sinh) = v(sinh) = sup||( sinh)x|| = 1 xeS (XXii) Če je B podalgebra algebre A in h e B / {0}, je (o(B,h)C (0}Ul; gl. 13.1.10(14), 13.3.6(13) in 13.4.7(17) i - 82 - 6.7 D = inf||[(e +Xh)nrl!l/n = inf| neN n€N postavimo oc = 1 in (h - X / (gl. /4, Korolar 6,26.6/) in j)o 0.5.6.1 enakosti r( e + Ah) = H e + a. h H = lAlftlmf1)2 + * IMReAT^g + hl|2]l/2 = i\*\/\\\Z)UlmX*)2 + ||(ReA*)S + lAl2h||2]l/2 = = |X!"1[(lmX)2 4- |(ReA)e + |A|2h|2]l/2 =Ur1[(lmA)2 + + sup||(ReA)x + |A|2hx||2]1/2 ...(1) . Po 0.5.6.1 je || e + AhII = x^S = sup||x + \hx\\ ...(2). Zaradi 3.1(i) in 0.5.6.1 je tudi X€S v(t + Ah) = r((e + Ah)") = inf ||[(e + Ah)A]n||l/n = i + Z (S)*3*3] 3=1 J = inf sup||x + ^l(")Aph3xl!l/n:= inf sup|((l + Ah)nx||l/n ... (3) . neN x€S j=l d neN xeS Podobno sledi iz 3.2(i) in 0.5.6.1 enakost r(e + Ah) = = lim sup||(l + Ah)nx||1//n ...(4). Točke (l), (2), (3) in (4) n-*<*> xeS dokazujejo trditev (v). (Vi) Polinom P(x) := Q(-lA) ima le realne ničle in po 6.2 ter 6.4(ii) je a := ih eH'(A), To zaradi 5.4(vi) dokazuje trditev (vi). (Vii) Za vsak X eC naj bo Q(a) = iP(iA) ...(5). Potem je po "predpostavki trditve (vii) tudi Q(0) = 0 ...(6). Po 6.2 in 6.4(ii) je a := -ih€H'(A) ...(7) in po predpostavki trditve (vii) je zaradi (5) Q( a) = iP(ia) = iP(h) € iH(A) = H»(A)... ...(8). Iz (6), (7), (8) in 5.5(11) sledi sup||Q(a)x || ^ X€S ^sup{)Al : AtR, Q(iA) ciR}, kar zaradi (5) in (7) pomeni sup)|iP(h)x|U sup{|A.| : AeR, 1P(-A.) 6 ±R) = sup{U|: AeR, P(A) € r} , X€S kar zaradi že dokazane trditve (iv) potrjuje trditev (vii). (Vlii) Ker je po 6.2 in 6.4(ii) a := ih€H*(A), je po 5.4(v) -h2 = a2 e d(A) . (jx) Ker je hn = Ah £ 0 in lAi = 1, eksistira za vsak j e N tak A^ e 0, da je hnD = \.h / 0 in |Aj| = 1. Zato je po 3.2(1) r(h) =' lim||hn3||n-3 - iim||h||n-3 = 1# To zaradi (iv) j \-y oo j —> oo dokazuje (ix). (X) Po 6.2 in 6.4(ii) je a := ih€H»(A) in ker je a^ = innn = = 0, je po 5.4(iv) a 6 lanA in zato tudi h € lanA. >: Sledi iz 2.3.2, 0.5 in /13, Trditev 9.7(1) oz. 9.7(11)/ . - 83 - 6.7 (xii), (xiii), (xiv), (xv), (xv'), (xxii), (xxiii); za vsak A.€G in xeA je V(A,Xx) = A.V(A,x) in 6*(A,xx) =X^(A,x) ...(9). Po 6.2 in 6.4(ii) je a := -iheH'(A) ...(10). 2Jaše trditve slede sedaj iz (9), (10) in po vrsti iz 5.4(ix)(a), (b), (b')» (c)f (g'), (d) in (d'); dokaz trditve (xv) teče npr. tako- le: sUp||e*hxlU sup||.x || = .Im(U)supV ||[ixp(ith)]x|| - J|xll. (XVli) Naj bo M = sup sup||ethx || 0>/m2>= supV(h), t.j. m1 = m2 - 0, t.j. V(h) = {0}. Po 3.12 od tod sledi h € lanA. Če je obratno h e lanA, je h^ = 0 za vsak j > 2, kar pomeni e^hx = x + thx = x +' t.O = x, t. j. sup sup||e"t^1x || = 1< oo, teR xeS Naj bo M' := sup||ixp(th)l| (h)) C cof({0} UvTh)) = co[{0} U f(vTh))] C co[{0)Uf (V(h))] . (xix) Po 6.4(iv) je h£H(Ao), kjer je A_ kompleksna asociativna enotska B-algebra. Po /13,Izrek 9.5(ix)a) in 9.5(v)/ je zato |sinr(h)|^ r(sinh) ^ ||sinh||^l ...(ll). Po 3.2(xi) je r(h) = r(h) ...(12). Po 0.5.6.2(ii) in 3.2(xi) je tudi r(sinh) = = r((sinh)~) = r(sinh) ...(13). Po 3.2(vii) in 3.2(x) je r(sinh) ^ v(sinh) ^ sup||( sinh)x || ...(14). Po 0.5.7(i) je X6S ||sinh||= su.p||( sinh)x|| ...(15). Trditev (xix) dokazujejo točke xeS (11), (12), (13), (14) in (15). - 84 - 6.7 - 6.9 (%X) Ker je po 6.4(iv) h€H(A ), kjer je A asociativna kompleksna enotska B-algebra, je po /13, Izrek 9.5(ix)b) in 9.5(v)/ r(sinh) = sin)|h|| = sinr(h) , kar zaradi (13) in (12) dokazuje trditev (xx). (XXJ): Sledi iz (xix). 6.8 POSLEDICA Če je (A,|j.||) asociativna, kompleksna normirana algebra (z enoto ali brez nje) in h«H(A), je V(A,h) C Cco((0)U co7d(A,h)) (gl. 2.1.3(iii)). Dokaz: I. (A, H. H) je B-algebra: Po 6.7(xii), 2.3.H in 2.1.4.6 je tedaj V(A,h) C co0,(A,h) - coGf(A#,h)c co[ {0}U cbV( A',h)] = = co[{0}U coVd(A,h)] . II. Če normirana algebra (A,ll.||) ni poln prostor, jo izometrič-no homomorfno vložimo (x «-* 2) v njeno izpopolnitev (A,)|.|(). Po 2.2.9 in 2.1.4.6 je tedaj V(A,h) = V(A,h) in čbVd(A,h) = = čoV((A)',h) = coVd^h) = coV(A',h) = coVd(A,h), kar zaradi I spet potrjuje posledico 6.8 . 6.9 Trditev Naj bo (A,||.||) asociativna kompleksna B-algebra, heH(A) in naj aksistira tak t € R+, da velja: (i) II eto\ || = Hx|etosuPy(h) za vsak x € A (ii) Ile^o^H = ||x||e-toinfV(h) za vsak x€A . Potem vsebuje V(h) eno samo točko, V(h) = {?0) . Če ima pri tem A levo enoto e, je hx = f x za vsak x € A in če je A brez leve enote, je tedaj V(h) = {0} in h 6 lanA (gl. 0.5.0). Opomba: Primerjaj 6.7(xv) in (xv») ! Dokaz: Po 6.4(ii) je k := tQh€H(A) ...(l). Naj bo = supV(A,k) ...(2). Zaradi 0.3(ii), (i), (ii), (1) in (2) veljajo za x := e~ky enakosti ||y|| = || e^e~ky || = = lle~ky||e^ = ||yl|e"c'e^ za vsak y € A. Torej je fb = oc , kar zaradi (2) pomeni, da vsebuje V(k) eno samo točko in vsebuje zato po (l) in 2.1.4.4 tudi V(h) eno samo točko, V(h) ={^0) ...(3). a) Če ima A levo enoto e, sledi neposredno po definiciji levega numeričnega zaklada (2.1.3(ii)) zaradi (3) enakost v(h - roe) = v(h) -{r05 = {vo} - {r0} = 10), t.j. v(h - t0e) = o. Zato je po 3.12 (h - C0e) elanA, t. j. hx - ?0x = 0 za vsak x 6 A. b) Če je A brez leve enote, je zaradi (3) po 607(xiii) tudi (o(h) -{T0} in zato po 6.7(xxiii) T0 = 0 ter h€lanA. - 85 - 6.10 - 6.11 €. 1Q Trditev Naj bo (A,J|.||) asociativna kompleksna normirana algebra (z enoto ali brez nje) in a = ačA (idempotenten element). Potem velja ekvivalenca: acH(A) ^F^ <=z) sup)|(a - A.a)x + \x\\ = 1 za vsak X e G, lxl = 1 • X€S Dokaz: Ne glede na to, če ima A enoto ali ne, algebro (A, H. H) vložimo homomorfno v asociativno kompleksno enotsko nor-mirano algebro (A , II. ||) (gl. G.5.4). Ker je a = a, je a = (a") = a in velja zato po /13, Trditev 10.4(iii)/ ekvivalenca: a eH(Ae) <=> ||a + A(e - a)|| = 1 za vsak A^C, \\\ = l. Ker je po 0.5.4 || a + A(e - a) || = ||[(a -Xa)w + **T\\ = = sup||(a - Aa)x + Ax||, je s tem trditev 6.10 dokazana. 6.11 IZREK Naj bo (A, 11.11 ) asociativna kompleksna normirana algebra (z enoto ali brez nje) in h,keH(A). Potem velja : (i) i(hk - kh) € H(A), kjer je i = V^ (li) [a = h + ik, h0£H(A), (ah0 - h0a) € lanA]=»[(hh0 - h0h) , (kh0 - h0k) €ianA] (gl. 0.5.0) (ili) [hk €H(A), h2 £H(A) ali k2 € H(A)] =» (hk - kh) € lanA (iV) hk = khe H(A) =» V(A,hk) O V(A,h)V(A,k) := (st : s e V(A,h) , t 6T(A,k)) (v)+ max{v(h),v(k)} ^ v(h + ik) ^ sup||(h + ik)x|| ^ 2v(h + ik) xeS (Vi) hk = kh = 0=»v(h+k) - max{v(h) ,v(k)} (gl. 7.6(ii)) (Vil) Če je (A, H .1|) B-algebra, velja: (a) sup||eh+ikx|| « sup||ehx|| = esuPVh) X€S X€S (b) hk = kh => ||eh+ikx|| = ||ehx|| za vsak x e A. Dokaz: Ne glede na to ali ima A enoto ali ne, homomorfno vložimo (x-*x) algebro (A,||.||) v asociativno kompleksno enotsko B-algebro (Ae,||.||) (gl. 0.5.5) . . . (l). Ker stah,k€H(A), sta po 6.4(iv) h,Ie€H(Ae) ...(2). (i) Zaradi (1), (2) in /13, Izrek 9.15(a)/ je [i(hk - kh)]" = = i(hk - kn)«H(A ). To po 6.4(iv) pomeni i(hk - kh)*H(A). (ii) Po predpostavki,po (i) in 6.4(i) ter 6.4(ii) je hhQ - hQh = = [(ah0 - h0a) - i(kh0 - h0k)]elanA - H(A) C H(A) , t. j. (hh0 - h0h) € H(A) in po (i) tudi i(hh0 - h0h) 6 H(A), kar zaradi 6.4(v) pomeni (hh0 - h0h) €lanA. To po zgornjem pomeni tudi i(kh0 - h0k)e lanA, t.j. (kh0 - h0k)£ lanA. + Trditev s križcem velja tudi za neasociativne algebre(gl. 2.1.4.2(ii)). - 86 - 6.11 2 _ -__—2 (iii) Naj bodo h,k,hk,h č H(A). Potem so po 6.4(iv) tudi h,k,hk,h € €H(A ), kar po (1) in /13, Izrek 9.15(b)/ pomeni hk = kh in zato (hk-kh)"" = 0. To zaradi 0.5-6.1 pomeni (hk-kh)e lanA. (iv) Ker je po 6.4(iv) hk = hk = kh = kh^H(Ae), velja zaradi (1) in /13, Izrek 9-15(e)/ inkluzija V(I ,hk) = V(A .hk) C V(I h)- e e e •V(A ,k) , kar zaradi 2.3-2 in 6.1 dokazuje trditev. (V) Zaradi (1), (2) in /13, Izrek 9-15(c)/ je max{y(h) ,v(k)} 4$ ^ v(h+ik)^||h+ik|U2v(h+ik) ---(3). Po 3.2(x) je v(h) = v(h) in v(k) = v(k) . ..(/f). Zaradi 3-2(x) je tudi v(h+ik) = = v((h+ik)"~) = v(h+ik) ...(5). Po 0.5.6.1 je ||h+ik|| = sup)|(h+ik)x||... ...(6). Točke (3), (4), (5) in (6) dokazujejo trditev (v). (Vi) LEMA: Za asociativno normirano algebro (A,|I*J|) nad obsegom Y(»R ali C) velja: (a,bcA, ab=ba=0) => r( a+b) = max{r( a) ,r(b)} .. .(7). Dokaz leme: Naj bo m = max{r( a) ,r(b)} ...(8-1)- Po 3«l(i) in 3-2(i) eksistira za vsak geR tak ngeN, da je zaradi (8.1) (r(a)) ^ || a || < < r(b), eksistira eeR , da je r(a)> r(b) + 8 ...(9-l)» Zaradi (8.2) velja ocena ||an+ bn|| > ||an||-||bn|| > (r(a))n - (r(b) + £)n. To pomeni zaradi 3«2(i), (8.3), (9-1) in (8.1) oceno r(a+b) = - ^imlla11. **\\V* >li»{r(a)[l - (^^ )n]1/n} - r(a) = m...<9.1'>. Če je r(a) = r(b) >0, velja za elementa a, := ta in b relacija a.b = bat = 0 in r(at)>r(b) za vsak t>l ...(9.2). Po (9-1') in 3.2(ii) je zato r(a.+ b)^r(a.) = tr(a) za vsak t>l ...(9.2'). Ker je po 3-3' preslikava xt-*r(x) navzgor polzvezna, eksistira za vsak £€R+ tak oe e R+, da je r(ta + b) < r(a+b) + 8 za vsak t, |t-l|<&£. To pomeni zaradi (9-2) in (9-2') oceno r(a+b) >tr(a) - 8 za vsak t e (l,l+££) in za vsak eeR+, t. j. r(a+b)^r(a) =m ...(9.2"). Če je r(a) = r(b) = 0, je po (8.1) in (8.4) tudi r(a+b) = 0...(93). Lemo - točko (7) dokazujejo točke (8.1), (8.4), (9.1'), (9-2") in (9.3). Trditev 6.11(vi) sledi iz (7) in 6.7(iv). (Vii)(a) Zaradi (1),_(2) in /13, Izrek 9.15(d)(i)/ velja ocena ]|eh+ik||4||ehj| ...^o). Po o.3.6.2(ii) in 0.5-7(ii) je ||eh+ik|| __ ||e(h+ik)-|| m sup{||eh+ikx|| I x£g} ±n )|eh|| __ = sup.||ehx|| ...(11). Trditev (vii)(a) sledi iz (10), (11) in 6.7(xv). (Ta) Če je hk = kh, je po 0.3(i) in 6.6(xiv) )|eh+lkx|| = elk(ehx)|| = llehx|| za vsak x € A. arj _ 6.12 - 6.13 6.12 Trditev Naj bo (A,||.||) asociativna kompleksna normirana algebra, a € A in h0,k0€H(A). Potem velja: (i) sup|ReV(A,h0+ik0)| = r(h0) = v(h0) = sup||h0x|| X€S (i') sup|IraV(Afh0+ik0)l = r(k ) = v(k0) = sup||k0x|| (ii) sup|lmV(A,a)l4 inf{sup||(a-h)x|| : h€H(A)} ^ xcS 4: inf||a-h|| := d(a,H(A)) h£H(A) (iii) inf{sup||(h+ik0)x|| : hCH(A)} = r(k0) = v(k0) = sup||k x||. X«S X€S Opomba: Iz spodnjega dokaza Je razvidno, da velja točka (ii) tudi v primeru, ko A ni asociativna algebra 1 Dokaz: (i), (i') Sledita iz 6.6(ii) in (ii') ter iz 6.7(iv). (ii) Zaradi 6.4(ii), 6.6(11') in 3.2(x) velja za vsak h€H(A) ocena sup | ImV( A,a)| = sup |ImV( A, a-h)| ^ /v(a-h) ^ sup||(a-h)x||^ ||a-hll, ki dokazuje (ii). X€S (iii) Sledi iz 6.1l(v) in 6.7(iv), če upoštevamo, da je 0 €H(A). 6.13 OPOMBA Če ima kompleksna normirana algebra (A,H.H) enoto e (dvostransko), lahko hermitske elemente definiramo na štiri načine: (i) h€H1(A)4=»g(h) e R za vsak g *A», g(e) = 1, ||g|| = jij ■ t.j. -ji- V>(A,h)C R ; torej: h € H1( A) Vd(A,h)CR (gl. 2.1.3(111» (iv) h € H2(A) <& g(h) € R za vsak g cA', g(e) = 1, £§y s) H2(A) « H(A) = Hd(A) = H-^A) . *Tudi za neasociativno algebro veljajo enakosti : (i) sup|ReV(A,h + ik )| - v(h ) = sup lih x || 00 o xfiS u (i') sup|ImV(A,h0+ ikQ)| = v(kQ) - sup||kox|| (iii) inf{sup||(h+ik )x)| : heH(A)} = v(k ) = supllk x|| . xeS ° ° X€S ° (Upoštevamo 2.1.4.2(11) in /13, Izrek 9-15(c)/.) - 88 - 7.1 - 7.4 7. POZITIVNI ELEMENTI kompleksne normirane algebre V tem odstavku je (A,ll.||) netrivialna kompleksna normirana algebra, ne nujno asociativna, z enoto ali brez nje. 7.1 DEFINICIJA Naj bo (A, 11.11 ) kompleksna normirana algebra (ne nujno asociativna) z enoto ali brez nje. Element peA imenujemo levo (desno) pozitiven, če je V(A,p)C R+U {0} (oz. V^(A,p)C R+U{0}). Množico vseh levo (desno) pozitivnih elementov algebre A označimo s H+(A) (oz. s R\(A)). Po 2.1.4.6 je očitno H+(A) = H+(A*) (gl. 0.1.3). l^Z__Trditev Po 4.1, 6.1 in 7.1 je očitno OeH+(A) = (-D(A))f| HH(A) in če ima A levo enoto e, je e£H+(A). 7.3 Trditev Naj "bo (A,l|-ll) asociativna normirana algebra . (i) Ne glede na to ali ima A enoto ali-ne, velja pri formalni adjunkciji enote (gl. 0.5.4 in 0.5.5) za vsak p e A ekvivalenca: p e H+( A) £» p e H+( AQ) «=> p € H+(IQ). (ii) Če je A brez leve enote% velja pri vložitvi x^x algebre A v enotsko algebro A (gl. 0 H+(AJ 2 (H+(A)P + (R+U{0})$ A v enotsko algebro A (gl. 0.5.4) inkluzija : Dokaz: (i) Izrek 2.3.2 . (ii) Ker je (A , ||.J|) enotska normirana algebra, velja zaradi 2.2.5(iii) in 2.2.5(vii») za vsak ^ = (A.,a)^ : = (\fa) + Ji = Xe + a enakost V(A ,(x,a) ) ={A.} + V(A ,a) , t. j. po 2.3.2 V(A ,(X,&) ) = coV(A,a) + {X} , kar dokazuje (ii) 7.4 IZREK (karakterizacija levo pozitivnih elementov) Naj bo (A, H.ll) kompleksna normirana algebra, ne nujno asociativna, z enoto ali brez nje. Potem so za vsak p €A ekvivalentne naslednje trditve: (i) P€H+(A) (ii) (inf sup ll*+tpxll-l>0 ali sup lnf ISteB >y 0) in t€R+ x€S z xfcS teR+ t (inf sup Dx±itpxll-1 = 0 all sup inf )lx±itpxll-l = Q) t€R+ X€S Z X€S t€R+ X (iii) (lim sup Hž+*px||-l >0 ali sup lim !l2HlMlbl ^ 0) in t|0 xeS x x€S t|0 x - 89 - 7.4 - 7-5 (lim sup !ixtit£x!izi = o ali sup limtt*titpx|t-l m 0) t*0 X€S X6S t*0 (iv) sup||x f tpx|| = 1 + tv(p) za vsak teR+(gl. 6.7(iv)) in X€S sup||x + itpx|| = [l + (tV(p))2]1'' za vsak tcR Če je (A, ||. ||) asociativna kompleksna Banachova algebra, sta trditvi (i) ekvivalentni še naslednji trditvi: (V) P e H( A) in tf(Afp) C R+ U {0} (Vi) lie*bPx|| ^ l|x|l za vsak t € R+ in za vsak x€A ter ||eitpx|| _ jjxjj za vsak t€R in za vsak x€ A . Dokaz: Ekvivalenca točk (i), (ii), (iii) in (vi) sledi iz 7.2, 4.4 in 6.6 (gl. še 2.2.7). (i) =» (iv) : Če je p€H+(A), je zaradi 2.1.4.2(ii) operator T , T x = px za vsak x € A, pozitiven element asociativ-p p ne enotske kompleksne normirane algebre <&(A) vseh linearnih omejenih operatorjev T: A v-> A . Ker je torej T €H ( (v) : Trditev 7.2 in izrek 6.7(xii). 7»5 Trditev Naj bo (A,ll.||) kompleksna normirana algebra, ne nujno asociativna, z enoto ali brez nje. Potem velja: (i) lanACH+(A) (gl. 0.5.0) (il) H+(A) + H+(A) C H+(A) (t. j. p,q£H+(A)=>p+q€H+(A)) (iii) (R+UiO})H+(A) C H+(A) (t.j. t€R+U{0}, p£H+(A)=> d>tp e H+(A)) (iV) [p,q6H+(A), (p+q) € lanA]=> p,q fe lanA ( gl. 0.5.0) (v) H+(A) je zaprta množica, t.j. zaprt stožec. (Vi) Če je B netrivialna podalgebra asociativne algebre A, je H+(B) = BflH+(A) . Dokaz: (i), (ii), (iii): Sledi neposredno iz 2.1.3(ii), 2.1.4.4 in 5 . (iv) Ker sta p,qeH+(A), sta po 2.1.4.2(ii) operatorja - 90 - 7-5 - 7.6 T »T € hM (fo( A)) , kjer je (fe(A) asociativna, kompleksna, enot-ska, normirana algebra vseh linearnih omejenih operatorjev T: A^A . Ker je (pfq) € lanA, je Tp + Tq = T = O € &(A) . Zato po /13, Izrek 10.2(iv)/ sledi Tp = T = O € (fe(A), t.j. px = qx = O za vsak x € A, (V) Po 7.2, 6.4(ii) in 4.3(iii) je H+(A) = -D(A)fiH(A) zaprta množica v prostoru (A, l| .11). (Vi) Sledi iz 7.?, 4.3(iv) in 6.4(iii). 7.6 IZREK (lastnosti levo pozitivnih elementov) Naj bo (A,|1«U) asociativna kompleksna normirana algebra. Potem velja: (i)+ P6H+(A) =»r(p) = v(p) = sup||px|| = supV(A,p) X€S r(p+q) = v(p+q) = sup|l(p+q)x|| ^ xeS >,max{r(p), r(q)} = max{v(p), v(q)} = sup(max {||px||, X€S Uqxl|}) (gl. 6.11(vi)) (ii') [P>q 6H+(A), pq = qp = 0]=» v(p+q) = max{v(p) ,v( q)J (lil) h,h2€H(A) =* h2 6H+(A) in v(h2) = (v(h))2 (iV) [n€N, p€H+(A), pn €H(A)] =»[pn€H+(A), V(A,pn) = = [V(A,p)]n := {Xn : ^€V(A,p)}, v(pn) = <-v(p))n] (V) [a,b €A, ab€H+(A), ba 6H(A)] =» ba e H+ (A) . (Vi) Ce je (A, 11.11) Banachova algebra in p€H (A), velja: (a) 6*(A,p) C {OJU V(A,p) in V(A,p) C co 6,(A,p)CR+U {0} (b) A ima enoto ali pa je brez leve enote => V(A, p) = » co (o(A,p) . (c) r(p) = maxG»(A,p) = supV(A,p) = In sup||e^x|l . X€S Opomba: Iz dokaza je razvidno, da veljata točki (i) in (ii) - brez spektralnega radija r(p) - tudi v primeru neasociativne algebre A Dokaz: (i) Sledi iz 7.1 in 6.7(iv). (ii) Ker sta p,q €H+(A), sta po 2.1.4.2(ii) operatorja T„,Tn€H+( A. To zaradi /13, Izrek 10.2(viii) in (ix)/ pomeni ||Tp + Tq|| > max{v(Tp) ,v(Tq)} . To po definiciji norme operatorja T€&(A), po definiciji 3.l(ii) in po 2.1.4.2(ii) pomeni sup||( p+q)x || = || T || - ||T + T || >, X€S P F H ^max{v(p), v(q)} , kar zaradi 7.5(ii) in 7.6(1) dokazuje trditev. +Trditev s križcem, kjer spektralni radij r(«) nadomestimo z numeričnim radijem v(«)> velja tudi za neasociativne algebre (gl. 2.1.4.2(ii)) ! - 91 - 7.6 (ii') Točka 6.11(vi). (lil) Ker sta h,h2€H(A), sta po 7.3(i) h,h2 = (h2)£H(Ae) in ,ie zato po /13, Izrek 10.2(x)/ tudi (h2T = = h26H+(Aj, kar po 7.3(i) pomeni h2€H+(A). To zaradi (i) in 3.2(iii) pomeni v(h2) = r(h2) = (r(h))2 = (v(h))2 . (iv) Analogno kot pri dokazu točke (iii) sta p",pn e H( A ) , kar po /13, Izrek 10.2(xi)/ pomeni (pn)* = (p)n€H+(£e), V(Ae,?n) = (V(J^t5))n in IKp^ril = l|pnll = ||p||n . To zaradi 7.3(i), 2o3»2, 2.1.4.3(n. zaklad je povezana množica) in po 0.5.6.1 pomeni pn€H+(A) ...(l), V(A,pn) = (V(A,p))n ...(2) in sup||pnx|| = (supllpxii)n ...(3). Iz (1), (3) in točke (i) sledi X€S x€S v(pn) = (v(p))n ...(4). Trditev (iv) dokazujejo točke (l), (2) in (4). (V) Zaradi 7.3(i) in 6.4(iv) je ab = (abf€ H+(A ) in ba = - (ba) €H(Ae), kar po /13, Izrek 10.2(xii)/ pomeni (ba)^ = ba €H+(Ae) in je zato po 7.3(i) tudi ba£H+(A). (Vi)(a) Sledi iz definicije 7.1 in iz 6.7(xii). (b) Sledi iz 6.7(xiii). (c) Zaradi (a) sta V(p), 6"(p)C R+U{0} in je zato v(p) = supV(p) in po 3.2(vii) tudi r(p) = max(5>(p). To zaradi (i) in 6.7(xv) dokazuje (c). - 92 - 8.1 - 8.4 8. PROJEKTORJI KOMPLEKSNA ASOCIATIVNE NORMIRANE ALGEBRE V tem odstavku je (A,||.||) netrivialna kompleksna asociativna normirana algebra z enoto ali brez nje. 8.1 DEFINICIJA Element p€A imenujemo levi oz. desni projektor algebre A, če je p2= p € H(A)\{0} oz. p2= peHd(A)\{0}. Množico vseh levih oz. desnih projektorjev algebre A označimo s P(A) oz. s Pd(A). Po 2.1.4.6 je očitno Pd(A) = P(A-). 8.2 Opomba Eksistira kompleksna asociativna B-algebra A brez enote /3, Opomba 8.(5) na str. 77/, da je H(A) = {0} in zato P(A) = . 8.5 Trditev Ne glede na to ali ima A enoto ali ne, velja zaradi 0.5.6 in 2.3*2 pri formalni adjunkciji .enote (gl. 0.5.4 in 0.5.5) za vsak pčA ekvivalenca: peP(A)<4p€ P(£ ) <=> «>P€P(Ae) . 8.4 TRDITEV Naj bo (A,)|.||) kompleksna asociativna normirana algebra (z enoto ali brez nje). Potem velja: (i) P(A) C H+(A)\lanA (gl. 0.5.0) p€P(A)=>r(p) = v(p) = sup||px|| = 1 xeS (iii) P,q,pq*P(A) => (pq - qp) e lanA (gl. 0.5-0) (iv) [{h2: h€H+(A)}CH(A), p,q«P(A), pq i 0, (pq-qp) € lanA ] =$> => pqeP(A). Opomba: Gl. naprej 9.6(v) ! Dokaz: (i) Sledi iz 7«6(iii), če upoštevamo implikacijo: a2 = a => (a € lanA <=> a = 0). (ii) Ker je zaradi (i) p €H+(A)\lanA, je po 7-6(i) 2 r(p) = v(p) = sup||pxll t 0 ...(1). Ker je p = p, xeS o p je po 3.2(iii) r(p) = r(p ) - (r(p)) in zato po (1) r(p) = 1 ... ...(2). Točki (1) in (2) dokazujeta (ii). 4- {h2: h6H+(A)} CH(A) £=> {h2: heH+(A)} C N(A) <=> {h2: h£H+(A)} C H+(A) , gl. 7.2, 9.3(i) in 9-6(vi) - 93 - 8.4 (iii) Po predpostavki Je zaradi 8.3 (gl. 0.5) P>q>?q = (p^A € P(AJ in zato po /13, Trditev 10.4(ii)/ pq = qp, t.j. e (pq-qpr = 0, t. j. (pq-qp) € lanA . (iv) Ker je po predpostavki n:= (pq-qp) € lanA, je pq = qp+n, kjer je nx = O za vsak xeA ...(3)- Zato je (p+q) = p + 2 + q + 2pq - n, kar zaradi 7-5(ii), 6.4(i) in 6.4(ii) po 1 T 2 2 2 predpostavki trditve 8.4(iv) pomeni pq = p-[(p+q) - (p + q ) + + n]ei[H(A) - H(A) + H(A)1 C H(A) ...(4). Zaradi (3) je tudi 2 2 (pq) = (qp+n)(pq) = qp q + n(pq) = qpq + O = (qp)q = (pq-n)q = 2 = pq - nq = pq - O = pq ...(5). Točki (4) in (5) dokazujeta implikacijo 8.4(iv) . - 9Z»- - 9.1 - 9.2 9. NORMAMI ELEMENTI ASOCIATIVNE, KOMPLEKSNE NORMIRANE ALGEBRE V tem odstavku je (A,l|.||) netrivialna, kompleksna, asociativna normirana algebra z enoto ali brez nje. 9.1 DEFINICIJA Naj bo (A,||.||) kompleksna, normirana algebra. Element a€A imenujemo levo (desno) normalen, če eksistira- ta h,k€H(A) (oz. h,k€H,(A)), da je a - h + ik i. 6 n (hk - kh) €. lan A (oz. (hk - kh) 6 lan A* := ranA = desni anihilator algebre A) (gl. 0.5.0). Množico vseh levo (oz. desno) normalnih elementov algebre A označimo z N(A) (oz. N^(A)). Po 2.1.4.6 je očitno N-,(A) = N(A"). Takoimenovani realna komponenta h in imaginarna komponenta k levo (desno) normalnega elementa a algebre A v splošnem nista povsem enolično določeni, saj velja zaradi 6.4(v) implikacija: [h + ik = h' + ik\ h,h' ,k,k» € H(A)] => (h-hf) ,(k-k») € lanA . 9.2 Trditev Naj bo (A,l!.||) kompleksna asociativna normirana algebra z enoto ali brez nje. Potem velja pri formalni adjunkciji enote (gl. 0.5.4 in 0.5.5) naslednje : (i) a €N(A) => a €M(A0) =» a. € N(A ) (il) Če je izpolnjen eden izmed pogojev (a) in (b): (a) A ima enoto (dvostransko) (b) A je brez leve enote in je pri tem levi anihilator algebre A vsebovan v desnem anihilatorju algebre A (t.j. algebra A ima naslednjo lastnost: Če je b tak element algebre A, da je bx = 0 za vsak x 6 A, je tudi xb = 0 za vsak x € A), potem velja za vsak aeA tudi obratna implikacija : 't €N(A ) =» a €N(A) . Dokaz: (i) Sledi iz 0.5.6 in 2.3.2 . (ii) če je a<=N(Ae), eksistirata |, $€H(AP) •••(l)i da je a = £ + iro ,..{Z) in f7=^f ...(5). Ker sta 9, n?€Ae* De f = (A.-. ,a-. ) = A.-,e + fiu m «7 = (X9,a9) = A9e + a£ , kjer sta A-^ 9 e. C in ai 2 e A * *' ^4) • (a) Če ima A enoto eQ, sledi iz (l), (4) in 6.4(vi*), da sta (V, 9e0 + a1 2)€H(A) ...(5). Zaradi (2) in (4) je a = (A.-j_ + 1X2) e" + (a-j + ia2) , t. j. [a - (a-^ + ia?) - - (A.-, + iX9)eJ = 0, kar po 0.5.6.1 pomeni sup||[a - (a- + iap)]x xes - 95 - 9.2 - 9.3 - (A.-, + iA2)x|| = O, t, j. [a - (a-j + ia2)]x = (X^ + iX2) x za. vsak x e A. Zato velja (za x = e0) enakost a = (a-, + X-^e0) + + i(a2 + Ap^o) = n + ik , kjer sta po (5) h := (Xje0 + a]_) č e H(A) in k := (A2e0 + a2)€H(A) ...(6). Iz (3) in (4) sledi sua^ = apal , t. j, (a-. a~ - a« a-. ) = 0 , kar po 0.5.6.1 pomeni (a. a? - a^a-, ) € lanA = {0} , To zaradi (6) pomeni hk = kh ...(?)• Zaradi (6j in (7) je afetf(A). (b) Če je A brez leve enote, eksistirata zaradi (l) in 6.4(vi) taka t-, 2 £ R in h-, 2 €H(A), da je | = t-,e f h-, ter <£ = t2e + h2 ...(8). Iz (2) in (8) sledi a = (t]_ + it2)e + + (h^ + ih2), t. j. [a - (h^ + ih2)^ - (t^ + it2)e] = 0 , kar zaradi 0.5.6.1 pomeni [a - (h-, + ih9)]x = (t-j + it2)x za vsak x€A ...(9). Ker A nima leve enote, je po (9) t-, + it? = 0 , t. j. t-, = t2 = 0 . Torej je zaradi (9) h0 := [a - (h-, + ih?)]€ € lanA . •. (10) , kar pomeni a = h + ik, kjer sta h := (h-^ + h0)€ 6 H(A) in k ••= h2 e H(A) . . .(ll). Iz (3) in (8) tudi sledi hn h2 = h2h-,, torej zaradi 0.5.6.1 (^i^o " hph-j ) € lanA ...(12). Ker je po predpostavki levi anihilator algebre A vsebovan v desnem anihilatorju algebre A, je zaradi (10), (11) in (12) (hk - kh)e e lanA ...(13). Točki (11) in (13) potrjujeta našo implikacijo . 9.3 TRDITEV Naj bo (A,||.j|) kompleksna normirana algebra, z enoto ali brez nje (ni treba, da je A asociativna). Potem velja: (i) H(A) C N(A) in CN(A) C N(A) (ii) Če je (A,H.ll) B-algebra in če je preslikava a v-* |a| : = := supl|ax|| norma, ki je ekvivalentna prvotni normi || . || , X€S potem je množica N(A) zaprta v (A,||.||) . (iii) Če je B netrivialna podalgebra asociativne algebre A (gl. '0.1.4) in je lanB = lanA (gl. 0.5.0), je N(B) C Bf|N(A). Dokaz: (i) Prvo inkluzijo dokazuje enakost h = h + iO, druga pa sledi iz 6.4(1) in 6.4(ii). (ii) Vzemimo poljubno konvergentno zaporedje a = = (hn + ikn)6 tf(A) (hn,kn €H(A), (hnkn - knhn)6 e lanA) in naj bo a = lima^ ...(l). Zato je a^ - a. = n-*°o = (\ - \) + i(km - kn), kjer so po 6.4(11) (hm - hn), (k - k )€H(A), kar pomeni zaradi. 6.7(iv) in 6.1l(v) oceno - 96 - 9.3 - 9.6 max{sup||(hrn - hn)x||, supIKk^ - kn)x||}« sup||(am - an)x|| ^ X € o X fc o X £ O < ||a - a || ...(2). Ker je po predpostavki preslikava a h-* sup||ax|| xeS norma, ki je ekvivalentna prvotni normi II.H , sta zaradi (l) in (2) zaporedji (h ) in (k ) Ca.uchv- je vi v B-algebri (A,l|*||) Zato zaradi (l) in 6.4(ii) h »-►h žH(A) in k »—>keH(A) za n n n ->oo, "kar zaradi (l) pomeni a = (h + ik)€N(A). (iii) Očitno zaradi 6.4(iii). 9.4 TRDITEV Naj bo (A,11.11 ) kompleksna, asociativna, normirana algebra z enoto ali brez nje in a = (h + ik) € N(A) (h,k€H(A), (hk - kh) €lanA). Če so pri tem hm,kn,hmkn€H(A) za vsak m,n £N (element a lahko tedaj imenujemo "čisto levo normalen"), je r(a) = v(a) = sup|lax|| . X6S Dokaz: V /15, Korolar 3/ je dokazana ta trditev za kompleksno asociativno enotsko B-algebro ...(l). Po predpostavki trditve je zaradi 0.5.6, 9.2(i) in 6.4(iv) a = h + ik, hk = kh in (h)m,(k)n, (h)m(k)n e H( Ij za vsak m,n eN, kjer je xh-*x formalna vložitev algebre (A,l|.||) v enotsko B-algebro (AgJI.H) (gl. 0.5.5). To zaradi (l) pomeni r(a) =||a|( ...(2). Po 0.5.6.1 je ||a|| = supllaxll in po 3.2(xi) je r(a) = r(a), kar xeS zaradi (2), 3.2(vii') in 3.2(x) dokazuje našo trditev. 9.5 TRDITEV Naj bo (A,||.||) kompleksna, asociativna, normirana algebra z enoto ali brez nje, a = (h + ik) € N(A) (h,k € H(A), (hk - kh) 6lanA), b € A in (ab - ba) € lanA. Potem sta tudi (bh - hb), (bk - kb) € lanA. Dokaz: Po /l, Teorem l/ velja trditev za kompleksno enotsko B-algebro ...(l). Pri formalni vložitvi xhx algebre (A, II.H) v enotsko B-algebro (Ae,||.||) (gl. 0.5.5) je a = h + ik, kjer sta po 6.4(iv) h,k €H(Ae) in po 0.5.6.1 hk = kh ter ab = ba. To po (l) pomeni bh = hb in bk = kb. Torej je (bh - hb) = 0, t.j. po 0.5.6.1 (bh - hb) *lanA. Analogno je tudi (bk - kb) e lanA . 9.£ IZREK (lastnosti levo normalnih elementov) Naj bo (A, ll.ll) kompleksna asociativna normirana algebra z enoto ali brez nje in a = (h + ik) € N(A) (h,k €H(A), (hk - kh) € lanA). - 97 - 9.6 Poten-i velja: (l>+ ReV(A,a) - V(A,h) (H) v(a) = r(a) (iii) max{v(h), v(k)} ^ v(a) ^ [(v(h))2 4- (v(k))2]l/2 (iV) supllaxlK2v(a) (gl. 3.17(0) X€S (V) [n*N, X1,...,^4C, p1,...,pn €P(A), p.pk€lanA za -i ., n . n v / n v vsak jAj=> s up 21 ^P^ = vi Z XiPi) = rf Z X,p.) - xeSnj=l 3 3 \1=1 0 J/ \j=1 D D7 = max{| A..| : j = 1,... ,n} (Vi) [h€H(A)^ h2 € N(A)] => h2 € H+(A) Če je nadalje (A,||.||) Ban ac hov a algebra, velja še: (Vii) 6>(A,a)C {0} U čoV(A,a) in coV(A,a) C co <3> ( A,a) ("Vili) Ce je izpolnjen vsaj eden izmed naslednjih treh pogojev: (a) A ima enoto (dvostransko) (b) A je brez leve enote (c) A je brez enote (dvostranske) in je a tak levo-nor-malen element, da je izpolnjen vsaj eden izmed naslednjih treh pogojev: (oc) tf^a) = {0} ((i) 0 ni izolirana točka spektra o(A,a) (je) (p(A,Xa)n (iR\{0}) £ (j> za vsak A. e C, |A.| = 1 , potem je čoV(A,a) = co6)(A,a). (ix) (A,h) (Xy) Če je izpolnjen pogoj (c) iz točke (viii), je coRe &(A,a.) = V(A,h) C co G?(A,h) (Xi) hk = kh =>tf(A,a)C Gf(A,h) + ig(A,k) (Xii) sup||etaxl! = sup||ethx|| = etsuPV(A'h) = etsuPReV(A>a) X€S X€S za vsak t € R+ (A-L,a) . . . (l) in po /13, Trditev 11.5/ je Reco^U-j^a) = co^fAph) = V(A1,h)... ...(2). Ker se pri renormiranju spekter očitno ne spremeni, je zaradi (1), (2) in 2.3.1 coV(A,a) = coG?(A,a) ...(3) ter RecoG^A.a) = co(3>(A,h) = coV(A,h) ...(4). ^« če je A brez enote, B-algebro (A,||.||) homomorfno vložimo (xt->x) v enotsko B-algebro (A , II.H) (gl. 0.5.5). Ker je a 6N(A), je po 9.2(i) in 0.5.6 a = (h + ik) € N(Ap), kjer sta h,k€H(Ae). Po /3, Teorem 2.5.14/ je zato V(A ,a) = co e?(Ae>a)... ...(5) ter po /13, Trditev 11.5/ RecoC^(A ,a) = co0*(Ae,h) = = V(Ae,h) ...(6). Iz (5), 2.3.2 in 1.19.1 sledi coV(A,a) = V(Ap,5) = = co(?(A ,a) C co6^(A,a), kar zaradi 2.3.11 in točke (3) dokazuje trditev (vii). (viii)(b) Če je A brez leve enote, je po 2.3-H-2 (D(A,a)c CcoV(A,a) ...(7). Iz (7), 2.3.2, (5) in 1.19.1 sledi co6'(A,a)C coV(A,a) = V(A ,a) = co6*(A ,a)C oo6*(Afa), t.j. co6*(A,a) = čoV(A,a) ...(8). (viii)(c) Če je izpolnjen pogoj (c) iz točke (viii), je po 1.19.2 co&(kg,a) = co x) B-algebro (A,||.||) v enotsko B-algebro (A , H.||) (gl. 0.5.5). Iz (5) in /3,Teorem 3.4 in 3,8/ slede enakosti sup ln|(e't^ia^l|Vt = t€R+ = supReV(A ,±a) = supReco6>(A ,ta) = supRe 6*( Ae ,-a) = = inf ln||et(±a)||1//t , kar pomeni ln||e±t5||1/t = konst. = t€R+ = supReV(Ae,+a) za vsak t CR4". To zaradi 0.5.7(ii), 2.3.2 , (i) in 6.7(xv) pomeni In sup||e ^ax|| V t = SupRecbV(A,±a) = X€S = supReV(A,ta) => suPV(A,±h) '= wln suplle^MI1^ ...<14). X€S Ker velja za vsako neprazno omejeno podmnožico V realnih števil enakost sup(-V) = -infV , točki (13) in (14) dokazujeta trditvi (xii) in (xii•). (Xiii) Sledi iz (viii), 2.3-16.3 in 2.3.16.-4- . (jj) Če je (A, 1| .||) B-algebra, sledi trditev iz (vii) in 3.2(vii) ...(25). Ker je vložitev nepolne normirane algebre v njeno izpopolnitev izometrični homornorfizem, sledi iz (15) in 2.2.9, da velja (ii) tudi v primeru, ko (A,||.||) ni poln prostor. (lil) Zaradi 2.2.9 zadošča dokazati trditev za primer, da je (A, j(.|j) B-algebra. Vzemimo torej, da je (A, 11.11 ) B-algebra. I. Če ima A enoto, algebro (A,||.||) renormiramo do enotske - 100 - • 9.6 B-algebre (A,H.(L) (gl. T v dokazu točk (vii) - (x)). Zaradi 2.3-1 se pri omenjenem renormiranju numerični radij ne spremeni, kar po /13, Izrek 11.9(iii) in Izrek 9.5(v)/ potrjuje točk-ko (iii). II. Če je B-algebra (A,ll.||) brez enote, jo homomorfno vložimo (x»->x) v enotsko B-algebro (A , II . II ) (gl. 0.5.5). Ker je po 9.2(1) a = (h t ik) € N(A), je po /13, Izrek 11.9(iii)/ r(a)< (\\h\\2 + l|k||2)l/2 ...(16). Po"3.2(xi) je r(a) = r(a) ... (17) in zaradi 0.5.6.1 ter 6.7(iv) je ||~b|| - sup||hx|| = v(h) = X€S = r(h) in analogno || k || = v(k) = r(k) ...(18). Zaradi 6.1l(v) točke (16), (17) in .(18) Potrjujejo trditev (iii) tudi v primeru, da je A brez enote. (jy) Trditev 6.11(v). (y) Ne glede na to ali ima A enoto ali ne, algebro (A,|).l|) formalno vložimo v enotsko B-algebro (A ,||.||) (gl. 0.5.5). Ker so p^Pv ^ lan A za vsak j/^k, so po 0.5.6.1 in po 8.3 Pn,...,p (neničelni) paroma ortogonalni (disjunktni) projektorji asociativne, kompleksne, enotske B-algebre (A, 11.11) in velja zato po /15, Korolar 4 - dokaz/ enakost: — n XiP* = rCZ^p.)) = max{|A...| : j = l,...,nj ...(19). Ele- 3=1 n n . n j=l d D ment a := Ž. X1p1 (ILo^P,) + i-fZ/^pJ («i ReAi j=l D ^ j=l d D j=l' d ° 2 3 A- = ImA.) ...(20) je normalen (saj so po predpostavki p.p, e lanA za vsak j/^k) in je zato po (ii) r(a) = v( a) ...(2l). Po 3.2(xi) je r(a) = r(a) ...(22) in po 0.5.6.1 je IISII = = supj|ax|| ...(23). Zaradi (23), (20), (19) in (22) je supl|ax|| = xeS x€S = Hali = r(a) = r(a) = max{|\.| : j = l,...,n} . To zaradi (20) in (21) dokazuje našo trditev. (Vj) Ne glede na to ali ima A enoto ali ne, algebro (A,||.J|) formalno vložimo v enotsko B-algebro (A , H.||) (gl. 0.5.5). Po 6.4(iv) je h €H(Ae) in po 0.5.6 ter 9.2(i) je h2 = (h2)" € € N(A ), kar zaradi /13, Posledica 11.7/ pomeni (h2)"" = h2 ^ £H+(Ae). To zaradi 7.3(i) pomeni h2 € H+(.A.). - 101 - 9.7 - 9.8 9-7 POSLEDICA Naj bo (A,HI) kompleksna, asociativna, normirana 2 2 algebra z enoto ali brez nje, h,ke H(A) in h ,k € N(A) . Če je pri tem izpolnjena ena izmed zahtev (i) in (ii): (i) hk - 0 = kh (ii) hk = 0, lanA = {0}, potem je v(h - k) = r(h - k) = max{r(h) ,r(k)} = max{v(h) ,v(k)} in v(h2+ k2) = r(h2+ k2) = (max{r(h),r(k)})2 = (max{v(h) ,v(k)})2. Dokaz: Po 9.6(vi) sta h2,k2€H+(A) C H(A) ...(2). Iz zahteve (ii) sledi (i), saj je "tedaj" h,k€H(A), hk = 0 € H(A) in po (1) tudi h2,k2€H(A), kar vse po 6.11(iii) pomeni kh€lanA = {0}, t.j. kh = 0. Vzemimo torej, da velja (i). Zaradi (i) je h(±k) = (^k)h = 0 in h2k2 = k2h2 = 0, kar po (1) in 6.11(vi) pomeni v(h - k) = max{v(h) ,v(k)} in v(h + k ) = = max{v(h2),v(k2)} ...(2)- Iz (1), 6.?(iv) in $.2(iii) sledi v(h2) = r(h2) = (r(h))2 = (v(h))2 in analogno v(k2) = (r(k))2 = = (v(k))2 ...(3). Zaradi (1) in 6.4(ii) so (h ± k), (h2 + k2) e € H(A), kar po 6.7(iv) pomeni enakosti r(h - k) = v(h - k) in r(h2 + k2) = v(h2 + k2) ...(4). Trditev dokazujejo točke (2), (3) in (4). 9.8 Trditev Naj bosta (A,II«H) in (B,I*H) asociativni normirani algebri nad obsegom TC^R ali C) z enoto ali brez nje in naj bo $: A »—> b linearna omejena preslikava z normo ||$||^ 1 in z lastnostjo, da je $(S(A)) 3 S(B), kjer sta S(A) in S(B) enotski sferi v (A,HI) oz. (B,HI). Potem je očitno ||<|>|| « 1 in velja : U) $>(D(A)) CD(B) in (£>(H'(A)) CH'(B) (gl. 4.1 in 5.1) (ii) ¥= C=>$(H(A)) CH(B) in <$(H+(A)) CH+(B) (gl.6.1 in 7.1) (iii) Če je y = C in $ algebrski homomorfizem, je $(N(A)) C N(B) in če je pri tem (£ tudi injektiven, je $(P(A)) CP(B) (gl. 9.1 in 8.1) . Dokaz: Trditvi (i) in (ii) sledita neposredno iz 2,$.4 in trditev (iii) sledi neposredno iz (ii) . - 102 - 10-1 - 10.2 10, PROSTOR J(A) = H(A) f iH(A) V tem odstavku je (A,)H|) netrivialna kompleksna asociativna normirana algebra z enoto ali brez nje. 10.1 Trditev (i) Pri vložitvi a »-> a algebre A, ki je brez leve enote, v enotsko normirano algebro (A . 11.11; velja ena- kost J(A ) = (J(A)) -f Ce, kjer je vsota na desni di-e rektna, če je lanA = {0}. (ii) Če ima algebra A enoto in če algebro (A,ll.||) renormira- mo do enotske normirane algebre (A,||.||-,), ki jo kratko označimo z A-, (lla|L = supllaxl| za vsak a € A), velja 1 x X€Š enakost J (A-,) = J (A) . (iii) Ne glede na to ali ima algebra A enoto ali ne, velja pri formalni vložitvi xv-»x oz. x v-> x algebre A v A oz. v A (gl. 0.5.4 oz. 0.5.5) za vsak a€A ekvivalenea: a € j(A)a 6 j(a K=> S ej(I ) . e e Dokaz: (i) Po 6.4(vi) je H(A ) = (H(A)P + Re, kar zaradi 6.4(ii), 6.4(vi) in 0.5 dokazuje (i). (ii) Sledi iz 2.3.1 . (iii) Sledi iz 6.4(iv) . 10.2 TRDITEVt (i) J(A) je kompleksen linearen prostor (ii) Če je (A, 11.11) B-algebra in je preslikava ai^la|:= sup]|ax|| norma, ki je ekvivalentna X€S prvotni normi 11.11, je (J(A),||.||) Banachov prostor. (iii) Naj bosta h,k€H(A),a=h+ik in a* = h - ik . Potem je: (a) sup||a*x|| ^ 2v(a) ^ 2supl|axll in xeS xeS (b) V(A,a*) = (V(A,a))* :={A*: A.€V(A,a)} , kjer pomeni X konjugiranje kompleksnega števila (v enačbi na desni). Dokaz: (i) Sledi iz 6.4(ii). (ii) Dokažemo enako kot 9.3(ii). (iii)(a) Zaradi 6.7(iv), 6.1l(v) in 3.2(x) je "'"Trditev velja tudi za neasociativno algebro (gl. 2.1.4.2(ii)) ! - 103 - 10.2 - 10.4 6.7(i sup||a*x|| = sup||(h - ik)x|| ^ sup||hx|| ^ supj|kx|| = v(h) i xeS xcS xeS xeS g.11 (v) + v(k) ^ 2v(h + ik) = 2v(a) >£ 2supllax|| . X€S (Id) Ker sta h,k€F(A), sta f(hx),f(kx) €R za vsak xeS in f 6D(x), kar po 2.1.3(ii) pomeri V(A,a*) = {f(a*x) : x€S, f€D(x)} = = (f(hx) - if(kx) : x€S, f €D(x)} = {(f(hx) + if(kx))* : : xeS, f€D(x)} = ((f(ax))* : x€S, f € D(x)} = (V(Afa))* . 1.0.3 Trditev Naj bo (A,JL||) Banachova algebra, B netrivialna podalgebra algebre A (B + (0}) in B = H(B) + 1H(B). G eksistira nadalje taka konstanta c €R , da je supllhx|| >/ X€S(B) > c ||h H za vsak h€H(B) ...(*), potem je tudi B = H(B) + iH(B) (zaprtja v prostoru (A,H.II)); ta vsota je direktna, če je lanB ={0} Dokaz: Po 6.4(iii) je H(B) C H(B) ...(l). Vzemimo poljuben b e B. Potem eksistira zaporedje bn = (h + ik ) iz B, ki kon-vergira proti b, kjer so h ,k 6H(B) za vsak n£N ...(2). Ker je zaporedje b Cauchv-je^o, sta zaradi 6.4(ii), predpostavke (-*) , 6.7(iv) in 6.11(v) Cauchv-je vi tudi zaporedji hn,kneH(B). Zato po (2) h —» h 6 h(B) in k —* k € h(B) za n->oo f kar zaradi (1) pomeni b = (b + ik) € H(B) + 1H(B) C H(I) + i H(S). Torej B CH(B) + iH(B). Obratna inkluzija je očitna. Če je h + ik = h' + ik', kjer so h,k,h',k'e H(B), je po 6.4(ii) ho := (h - h')6H(B), kQ := (k' - k) e H(B) in hQ = ikQ . Po 6.4(v) je zato h e lanB in če je lanB = {0}, to pomeni h = 0 in zato tudi k =0. o 10.4 TRDITEV Naj bo (A,H.II) netrivialna,kompleksna, asociativna, normirana algebra brez leve enote ali pa z (dvostransko) enoto. Potem so ekvivalentne naslednje trditve: (i) J(A) je podalgebra algebre A, t.j. J(A) je za množenje zaprta množica (ii) Za vsak h € A velja implikacija: h €H(A) ^> h € J(A) (iii) Za vsak h € A velja implikacija: h € H(A) =» h € H(A) - 104 - 10.4- - 10.5 (iv) Z a vsak h , k e A ve 1 j a. implikac i j a: h , k 6 II (A) => => (hk + kh) € H(A) Če velja ena izmed zgornjih štirih točk (i)-(iv), velja naslednje: (V) [h,k€H(A), a = h + ik, a* := h - ik, -a*a£H+(A)] =:> => a elanA (gl. 0.5.0) (Vi) [h,k€H(A), a = "h + ik, a* := h - ik] => a a* , a*a€H+(A) (Vil) [h,k€H(A), a - h + ik, a* := h - ik, p€H+(A)] => => apa* € H+(A) . Dokaz: I. Naj bo A brez leve enote: Zaradi 10.l(i), lO.l(iii) in 10.2(i) velja ekvivalenca: J(A) podalgebra algebre A 4=> <=^> J(A ) Dodal^rebra algebre A^ ...(!). Zaradi 0.5.6, e e 6.4(vi) ter 10.1.(i) in lO.l(iii) velja ekvivalenca: [h€H(A)=£ =* h2€ J(A)]4=> [f €H(A0) =£ |2 € J(A0)1 ...(2). Zaradi 0.5.6, 6.4(vi) in 6.4(iv) veljata ekvivalenoi: [h*H(A)=* h2eB(A)J4=> <^>[j€H(Ae)^|2 €H(Ae)] ...(3) in [h,k € H(A) =* (hk + kh)eH(A)]^ <^>[^,^£H(Ae) =4> (|^ +(^|) ^H(Ae)] ...(4). Ker je tQ kompleksna, asociativna, enotska, normirana algebra, točke (1), (2), (3) in (4) zaradi /13, Izrek 12.2/ dokazujejo ekvivalenco trditev (i)-(iv). II. Naj ima A enoto: Algebro (A,ll.||) renormiramo do enotske normirane algebre A-, (gl. 2.3.1 ) in je zato po 2.3»! H(A) = H(A1) in J(A) = J(A1), kar po /13, Izrek 12.2/ spet dokazuje ekvivalenco točk (i)-(iv). (v) Zaradi 6.4(iv), 7.3(i) in 0.5.6 jea£j(Ae), a = a* in -(§)*! = -(a*af€ H+(Ae), kar po /13, Izrek 12.5(i)/ pomeni a = 0, t.j. a elanA (gl. 0.5.6.1). (vi) Analogno kot v točki (v) j-e zaradi /13, Izrek 12.5(ii)/ aa* = a(a)*€H+(I ) in zato po 7.3(i) aa*€H+(A). • e Podobno je tudi a*a€H (A). (vii) Podobno kot v točkah (v) in (vi) je zaradi /13, Izrek 12.6(ii)/ (apa*)~ = apa 6H (A ), kar P° 7.3(i) pomeni apa* €H+(A). 10.5 Izrek Naj bo (A,H.II) netrivialna, kompleksna (ne nujno asociativna) normirana algebra z enoto (dvostransko) ali brez leve enote in naj bo lanA = {0} (gl. 0.5.0). Potem velja: (i) J (A) = H(A) © iH(A), t. j. vsak element a£J(A) lahko na en sam način zapišemo v obliki vsote a = h + ik, kjer sta h,k € H(A) . 105 - 10-5 (ii) Preslikava (h -i i le) *-* (h y i k) :~ h - ik prostora J (A) vase je zato enolična in je očitno linearna involucija, t.,j. velja (ota + |3b)* = oc^a* + p* b* in (a*)* = a za vsak c*, fo € C in za vsak a,b €A. Involueija # ;je zvezna glede na operatorsko normo |.| , )a| : = supl|axl| za vsak Xt£ a € A; velja namreč | a*| •$ 2|a| za vsak a e A . (ill) Ce je A asociativna algebra in je prostor J(A) zaprt za množenje, t.i. če je J(A) podalgebra algebre A (gl. 10.4; npr, če je A = J(A)), je v točki (ii) omenjena linearna involuoija algebrska (imenujemo jo Vidavova involueija ali. kratko V-involucija) , t. j, velja enakost (ab) = b a za vsak a,b € A . Se več, J(A) je kompleksna, in-volutivna, normirana algebra glede na V-involuci.jo in glede na operatorsko normo |.| (točka (ii)) z lastnostjo )a*a| = j al2 za vsak a £^\) (t. j. (J( A) , * , |-|) je pred-B -algebra). Zato velja: (ot) |a*| = )a| za vsak a€j(A) (ft) v(A,an) ^ (v(A,a))n za vsak aej(A), kjer pomeni v( , ) numerični radij glede na prvotno normo jj . |( ! Opomba: (a) Če uporabimo točko (iii)(/i) za normirano algebro (J(A)J.|), dobimo tudi oceno v]_(j(A),an) ^ (vT( J(A) , a))n za vsak a 6J(A) in za vsak n^S, kjer označuje v-, ( , ) numerični radij glede na novo normo j . j . (b) Ocena iz točke (a) bi sledila tudi iz (ft) in iz domnevne enakosti č~6V(j(A),a) = coV1(j(A)fa) = V1(j(A),a) , kjer označuje V-,( , ) numerični zaklad glede na normo j.) .Ta enakost bi zaradi 2.2.7 veljala, če bi za vsak aej(A) bil sup)|x + ax|| = sup|x + ax | . (Očitno je supj|ax|| = |a| = sup|ax| llx||=l )x| =1 l|xl(=l |x| =1 za vsak a 6 A .) Dokaz: (i) Sledi iz 6.4(v) (gl. Opombo). . (ii) Sledi iz 10.2(iii)(a) . (iii) Ker je množica J(A) zaprta za množenje, je po 10.2(i) prostor J(A) podalgebra algebre A ...(l). !• ^aj ima A enoto: Ker je H(A^) = H(A) (gl. točko II v dokazu trditve 10.4), je J(A-j_) - IT(A.,) i H(A] ) (= J(A)) kompleksna, asociativna, enotska, normirana algebra glede na normo lMI-p llall-j := sup||ax|| = la| in je zato po /3, Teorem 2.8.2/ X€, - 106 - 10.5 (J(A),*,|.|) = (J(A-, ) ,*,||.||-,) pred-B -algebra glede na V-invo-lučijo # , (h -f ik) : = h - ik za vsak h ,k e H( A) ... (2) . II* Naj bo A brez leve enote: Zaradi (1), 10,l(i) in 6.4(vi) je J(A ) kompleksna, asociativna, enotska, normirana al- «^s s** s** gebra z lastnostjo J(A ) = H(A ) + iH(A ) in je zato spet po /3, Teorem 2.8.?/ (j(t ) ,*, )| .11) pred-B*-algebra glede na V-in-volucijo #, (S + ira) = 8 - ion za vsak |,m€H(J(A)) ...(3). Po 6.4(iv) je a* = (a) za vsak aej(A) in zato po 0.5.6 [(ab)* - (b*a*)]^ = (tt>)* - (15)* (S)* = 0 za vsak a,b cj(A)f t. j. [(ab)* - b*a*] 6 lan A -= {0} , t. j. (ab)* = b* a* za vsak a,b€j(A)... ...(4). Po 0.5.6.1 in točki (3) je |a*a| = ||(a*a)^l| = )| 9 a || = = ||(a)*a ||= ||a|(2 = |a| 2 za vsak a€J(A) ...(5). Iz (l), (2), (4) in (5) lahko torej povzamemo, da je (J(A),*, |.| ) pred-B -algebra glede na V-involucijo. Pokažimo še oceno (fi). I. V primeru, da ima A enoto, izpopolnimo enotsko pred-B -algebro (J(A1),^-,ll.||1) (gl. točko (2)) do B*-algebre Ja Če pomeni preslikava bn b vložitev algebre J(A-.) v izpopolnjeno algebro T-, je zaradi 2.3.1, 2.3.3, 2.2.5(1), (ii) in (vii») ter 2.2.9 čoV(A,b) = V(A1,b) - V(j(A-L),b) - V(J ,b) za vsak b €j(A) = J(A-.) ...(6). Ker je lr kompleksna, asociativna, enotska B -algebra, velja po /4, Korolar 6.23.10/ ocena v( % ,an) ^ 4 (vCj ,a))n za vsak a £ j( a) = J(A-.) in za vsak n 6 N . . .(7) . Ker je vložitev a v*> a. algebre J(A^) v Jj- bomomorf izem, točki (6) in (7) po def. 3.1(ii) dokazujeta trditev (/*>). II. V primeru, da je A brez leve enote, izpopolnimo enotsko pred-B -algebro (j( A ) ,* , H .11) do B -algebre *)r . če pomeni b^b vložitev algebre J(A ) v njeno izpopolnitev * , veljajo zaradi 2.3.2, 2.3-3 , 2..2.5(1), (ii) in (vil*) ter 2.2.9 enakosti cbV(A,b) = V(Ae,b) =V(j(Ae),b) =V(J,b) za vsak b e j( A) , kjer je po 10.1(i) J(A ) = (j(A)P -f Ce ...(8). Ker je J kom- j/ pleksna, asociativna, enotska B -algebra, je po /4, Korolar 6.23.10/ spet v(J,an)^< (v(^ ,a))n za vsak aeJ(A) in n«N ... ...(9). Kot v primeru I, točki (8) in (9) spet dokazujeta trditev (p). Trditev (<*) je očitna, saj je | ,| B*- norma in (a*)*= a za vsak a € J(A) . - 107 - 11.1 - 11.4 12 DVOSTRANSKI ELEMENTI NETRIVIALNE NORMIRANE ALGEBRE (A,)HI) NAD OBSEGOM <¥{=R ali G) 11.1 DEFINICIJA Element a e A imenujemo dvostranski, če je č~oV(A,a) = coV"d(A,a). Množico vseh dvostranskih elementov algebre A označimo z Š)(A) . Očitno je 0€2(A). 11 -2 TRDITEV Naj bo (A,l|-||) netrivialna normirana algebra (z enoto ali brez nje, ne nujno asociativna) nad obsegom $* (=R ali C). Za vsak a,x € A naj bo f(a,x) = ||x + ax||, f(a,x) = || x + xa||, v, (a) = sup inf [t"*1(f (ta,x) - 1)] 1 X€S t>0 vP(a) = inf sup f(ta**) " l , v (a) = lim sup f(tai*) - 1 in * t>0 X€S T ° t|0 X€S z v,(a) = sup lim f(ta^*) Z l (gl- 2.2.6 in 2.2.?) ter ^ xeS t|0 f"(ta x} — 1 v.T(a) = sup inf —'---x-r1---- in analogno definiramo še v^, v^, 1 xcS t>0 V ° in vr. Potem velja: (i) v1 - v2 = v5 = v^ in v£ = V2 = v* = v; (id) [eksistirata taka j ,k € {l ,2,3,4-} , da je v.(A.a) ■ v*(A.a) za vsak \€% U|= l] => a€3(A) (aii) a€35(A) =£ v.(jujl) = v£(a.a) za vsak j,ke {1,2,3,4} in za vsak a.e ?'. Dokaz: Izrek 2.2.7 in trditev 2.1.4.4 ter 6 (gl. točko (1) v dokazu trditve 1.19) 11.3 Posledica Naj bo (A,||.||) netrivialna normirana algebra (z enoto ali brez nje, ne nujno asociativna) nad obsegom "S (= R ali C) in a tak element algebre A, da je supj|x + Aaxll = sup||x +Xxa|l za vsak A € Y , IM = 1. Potem je X€S X€Š zaradi 11.2(ii) a€<3J(A). 11.4 Posledica Naj bo (A,||.||) netrivialna normirana algebra (z enoto ali brez nje, ne nujno asociativna) nad obsegom j (= R ali 0) in naj bo sup||x + ax|| = sup||x -f xa|| za xeS X£S vsak a e A (npr. , če je A komutativna ali pa če vsebuje A enoto e in je ||e|| - 1.) . Potem je zaradi 11.3 oB(A) = A . +gl. naprej 12.3(iv) in 12.7 - 108 - 11.5 ~ 11.7 11.9 TRDITEV Naj bo (A,IHI) netrivialna asociativna B-algebra (z enoto ali brez nje) nad obsegom y(=R ali G) in za vsak aeA naj bo e,(a) = sup In sup)|e x|| ' (gl. 0.3), 1 t>0 xeS e0(a) = lim In suplle^ll1/* (gl. 2.3.6) ter analogno * tJO X€S e*(a) = sup In sup||xe a|| in e~(a) = lim In sup||xe a|( 1 t>0 x«S d t|0 X€S Potem velja: (i) e-, = ep in e-T = eA (il) [eksistirata taka j,k€ {1,2}, da je e.(A.a) = = e*(Xa) za vsak Xe% \X\ * lj => a€SS(A) (iii) a€g6(A) => e.(Xa) = e^(Xa) za vsak j,ke{l,2} in za vsak Ae '$'. Dokaz: Izrek 2.$.6(i) in trditev 2.1.4.4 ter 2.1.4.6 (gl. točko (1) v dokazu trditve 1.19) - 11.6 TRDITEV Naj bo (A,NI) netrivialna asociativna B-algebra (z enoto ali brez nje) nad obsegom ?(=R ali C). Potem je S"- spekter 6t,(A,a) d coV(A,a) za vsak a€25(A) (gl. 1.5). Dokaz: Izrek 2.3.11 (točke 1,2 in 2'). 11.7 OPOMBA Če je (A,NI) netrivialna kompleksna asociativna normirana algebra, je v splošnem H(A)035(A) S H(A)fiH,(A) (inkluzija je očitna, možnost neenakosti pa kaže primer 13.1.9(8) na str. 114). - 109 - 12.1 - 12.3 12 INVOLUTIVNE NORMIRANE ALGEBRE V tem odstavku je (A,*, 11.11) netrivialna, involutivna, normirana algebra (z enoto ali brez nje, ne nujno asociativna) nad obsegom 7f (= R ali C). Tnvolucijo na prostoru C (konjugiran je kompleksnih števil) bomo tudi označevali z zvezdico n#n . 12.1 DEFINICIJA (i) Element a £ A imenujemo poševno #-hermit-ski, če je a = -a . Množico vseh poševno #-hermitskih elementov algebre A označimo s *H'(A), *H'(A) = {a € A : : a* = -a } 0 (ii) Element aeA imenujemo *-hermitski, če je a = a. S H(A) označimo množico vseh #-hermitskih elementov algebre A, *H(A) = { a € A : a* = a}. 12.1' Če je A kompleksna algebra, je očitno *H(A) = i*H'(A). 12.2 TRDITEV Naj bo (A,#,||.||) netrivialna asociativna involuti-vna B-algebra nad obsegom S*(=R ali C). Potem je y<-spekter 6y(A,a) C coV(A,a)/l coVd(A,a) za vsak a e A in če je pri tem 7 = C, je coV(A,a)O čoVd(A,a) za vsak a eN(A). Dokaz: Ker je A involutivna algebra, ima enoto (dvostransko) ali pa je brez leve in nkrati brez desne enote. Prvi del trditve sledi zato iz 2.3.11, drugi del pa iz 9-6(viii) in 2.3.11 . 12.3 TRDITEV Naj bo (A,*,j|.||) netrivialna, involutivna, normirana algebra (z enoto ali brez nje, ne nujno asociativna) nad obsegom *£ (= R ali C) in za vsak a€A naj velja enakost l|a*|| = ||a|| , t. j. involucija # je izometrija. Potem velja: (i) y= R => čo V(A,a) = cbVd(A,a*) za vsak aeA (gl. def. 2.1.3) (ii) y=C => čoV(A,a) = čo[vd(A,a*)] za vsak aeA (iii) v(A,a) = vd(A,a*) za vsak aeA (gl. def. 3.1) (iv) y=R => *H(A) C 35(k) (gl. 11.1). Dokaz: (i), (ii): Ker je sup||x + tax|| = sup||(x + tax) || = xeS x€S = sup|(x* + tx*"a*|l = sup||y + tya*|| za vsak a € A in t e R , x€S y€S je po 2.2.7 supReV(a) = supReVd(a*) za vsak a € A ...(l). Od tod zaradi 2.1.4.4 in 2.1.4.6 ( gl. točko (l) v dokazu trditve 1.19) že sledi trditev (i). Če je f = C, velja zaradi (l) in 2.1.4.4 ter 2.1.4.6 enakost - 110 - 12.3 ~ 12.5 supRe[A.V(a)] - supReV(a.a) = supReV,( ATa*) - supRe[A* V.( a*)] = = supRe[x(Vd(a*))*]* = supRe[A(Vd(a*))*] za vsak *eC, \x\ = 1. Od tod po 2.1.4.4 in 2.1.4.6 (gl. (l) v dokazu trditve 1.19) sledi trditev (ii). Točka (iti) sledi iz C i) in (ii) (gl. def. 3.1), trditev (iv) pa sledi iz (i). 12*4 TRDITEV Naj "bo (A,*,||.||) netrivialna kompleksna involutivna normirana algebra z enoto ali brez nje (ne nujno asociativna) in naj bo *H(A) C H(A). Potem velja: (i) A = H(A) + iH(A) in H(A)C*H(A) + i(*H(A) H lanAfl lanA*) (ii) V(A,a*) = (V(A,a))* za vsak aeA (lil) če Je A asociativna algebra (z enoto ali brez nje) in Je lanA = {0} (gl. 0.5.0), Je *H(A) = H(A) in preslikava | .j : a »-► Jaj := sup||ax|j Je pred-B -norma (t. J. algebrska norma z lastnostjo, da Je |a*a| = |a| za vsak a e A). Torej Je (A,#,h) kompleksna pred-B -algebra in Je zato: (ol) |a*| = )aj za vsak aeA ter {n>) v(A,an) 4 (v(A,a))n za vsak aeA in n«N . Dokaz: (i) Ker Je A involutivna algebra in *H(A)dH(A), Je A = = *H(A) + i*H(A) = H(A) + iH(A). Zato lahko vsak h€H(A) zapišemo v obliki h=u+iv, kjer sta u,ve*H(A) ...(1). Ker Je *H(A)CH(A), sta zato V(u),V(v)cR ...(2). Iz (1), (2) ter 2.1.4.4 in 5 sledi iV(v)= =V(h-u) CV(h) - V(u) C R in zato po (2) V(v) « (0). Torej Je po 3.1(ii) in 3-12' velanA (3). Točke (1),(2) in (3) dokazujejo (i). (ii) Poljuben aeA lahko zaradi (i) zapišemo v obliki a== h + ik + n, kjer sta h,k«*H(A)CH(A) in Je nx=0=n*x(=xn=xn*) za vsak x«=A. Po def. 2.1.3(ii) Je zato V(a)«V(h+ik) in V(a*)»V(h-ik), kar po trditvi 10.2(iii)(b) dokazuje trditev (ii). (iii) Zaradi (i) Je "tedaj" H(A)C*H(A) in zaradi (i) se tudi lahko sklicemo na izrek 10.5(iii) • 12.5 TRDITEV Naj bo (A,#,||.||) netrivialna, asociativna, involutivna, normirana algebra (z enoto ali brez nje) nad obsegom y■ (= R ali G) in za vsak a€A naj velja enakost )|a*a||= |{a|| (t.j. (A,#,H.ll) je pred-B*-algebra ). Potem je očitno lanA = {0} in velja: (i) *H>(A) CH»(A)nH£(A) (gl. def. 5.1) (ii) ¥= G =»H(A) = hd(A) =*H(A) (gl. def. 6.1) (iii) ¥ = 0=>v(A,an) = vd(A,an) ^ (vd(A,a))n = (v(A,a))n za vsak a € A in n € N, - 111 - 12.5 - 12.6 Dokaz: (i) Vzemimo poljuben t e.R in a 6*H'(A). Potem je y (x + tax) (x -f tax) = (x* - tx*a)(x + tax) = x*x + + t (ax)*(ax) in zato || x + tax|| " = )| x*x + t (ax) (ax)|| za vsak x€A ... (ii),(iii): -e velja (i), je po 12.4(i) *H(A) = H(A) in velja zato po izreku 10.5(iii) enakost |a*a\ = |a| za vsak a cA. Ker je po predpostavki I al := sup||ax|\ = ||a||, je zato )|a*a|| = ||a|| za vsak a cA. To po 12.5 pomeni, (iii) in ("i). (iii) =» (iv): Trditev 12.4(iit). (jy) =»(j): Trd i tev 12.5(i i). (ii) =» (jy); Ker je *H(A*) = *H(A) C Hd(A) - H(A#) (gl. 0.1.3 in 6. l) , vel j a po 12.4 ( i i i) enakost |a* • a| = | a| ^, t. j . rs )aa*| = |a.| za vsak a €A, kar pomeni točko (iv). II. V primeru, da je lja|| = sup||xa|| za vsak a€A, upoštevamo X€S enakosti *H(A#) =*H(A), H(A*) =H,(A), Hd(A#) = H (A) in )|a|| - sup||a»x|| in se s tem primer II reducira na primer I. X£S 12.7 TRDITEV Naj bo (A,#,||-||) netrivialna kompleksna involutivna normirana algebra z enoto ali brez nje (ne nujno asociativna) i, in naj bo *H(A)cH(A) ter l|a*|| = ||a|| za vsak aeA. Potem je A = S6(A) . Dokaz: Zaradi 12.3(ii) in 12,4(ii) je čoVd(a) » (coV(a*))* = = (čo(V(a))*)* = čoV(a) za vsak acA. 13. PRIMERI dvodimenzionalnih asociativnih normiranih algebr 13.1 NEKOMUTATIVNA NORMIRANA ALGEBRA BREZ ENOTE S HILBERTSKO NORMO 1. Naj bo A dvodimenzionalna asociativna algebra nad obsegom $* (= R ali C) z bazo {a,h} , A - {ota + (ib : a, p> £ ?} = Va. © Yb, kjer je a €lanA in b leva enota algebre A (primer 1.16). 2* Algebra A je Hilbertov prostor glede na skalarni produkt <,>, >b, oCa + p»b> := otoc'* + p/S'* za vsak ot,ol',a,p* € J* in je zato {a,b} ortonormirana baza prostora A. Norma II.||, ki jo inducira ta skalami produkt, || ota + (Jb|| := ( loC\^ +- IjM ) ' za vsak a,p*!F , je algebrska norma (ustreza točki 0.2.l(iv)) in (A, II.||) je B-algebra (natančneje HB-algebra). Oznaka: S ■ ■S(A) = {x € A : ||x|| = l}. 3. Za vsak df(b i¥ je po 13.1.1 |oa + /3»b)|| : «' ,p>' e ? , |«'! 2 + | /V| 2 1} = = supdlpoCa + pp.»b|| : ot> ,/*> * ¥ , |b| -, : = := xsup||x(c(a + p>h)|| = sup{|KoC' a + /3'b) (oca + fjb)|| : ot',^«? , loc'1 2 + |p'| 2 1} - supdlo^a + pp»b|| : (*',p>ey , locM ' + \(±'\ 2 - 1} sup{|p'| (|o(|2 ! l/i|2)l/2 :oi»,^?, I«'I 2 + 1/iM 2 - 1} - (M2 + Ifil2)1/2 = IIaa + /Sb||, t.j. |x| . = )jx|| za vsak x € /\. Torej jje desna operatorska polnorma norma, ki sovpada s prvotno normo. 4. Za vsak o(, ft «5* in n € N je zaradi (i) po indukciji (aa f pb)n = An~l(o(a + pb) za vsak o<, /3€^ in n eN. Če je (3/ 0, je zato ||(ota + /3b)n||1/n = j^j l-( l/n) ( j^j 2 + |p|2)l/2n# Torej Je spektralni radij r(oca + (3b) = 1(31 ^ (|o(| + 1(£| ) = = )|cx in zato f((oca + pb)x) = (5f (x) za vsak f € A», kar po definiciji 2.1.3(ii) pomeni, da je levi numerični zaklad V(A, oca + ^b) := {f ((da + (3b)x) : x eS, f€ D(A,x)} = {(3} za vsak ot, p« T ...(l). To velja splošno, neodvisno od tega ali je algebrska norma hilbertska ali ne ...(!') . 5. Zaradi 2.1.4.6, 13.1,2 in trditve 2.2.4 je desni numerični zaklad Vd (A, oc a + (2>b) =v"(A',ota + |ab) = = {<(oia + pb)«x,x> : x€S(A)} = { : xeS(A)} = = { <(cx>a + (i»b)(«a + pb), ot»a + (3>b> : «',£' C- ? , |o(M2 + l/3>|2 = 1} ■ {073'or* + fh\fh9\ 2 : ot» ,p» 6Y , |oc'|2 + |[3'|2 = 1} ...U>. * Če je |oc'| 2 + 1(3' |2 = 1, lahko \d '| in |ft'| zapišemo v obliki |ot'| = cos(t/2) in |^| = sin(t/2) , kjer je t/2 6 6 [0,5t/2] . Torej lahko poljubni števili OL' ,fo' € J* , ki ustrezata enakosti |oC'| 2 + |a»| 2 = if zapišemo v kompleksni obliki ot' = (cos(t/2))e1^> in A» = (sin(t/2) Je1^ , kjer sta cf, 4> e [o,2ff] ...(3). Če je J* = C, je zaradi (2) in (3) desni numerični zaklad Vd(A, (a a + p>b)* : = := c**a + p*b linearna involucija na algebri A (ki ni al p;e brska, gl. 12.2) z lastnostjo, da velja za skalami produkt <,> enakost (xy,z> = za vsak x,y,z 6 A, kar lahko neposredno preverimo. (Zato lahko rečemo, da je (A,#,<,>) leva pol-H*-algebra.) Očitno je množica *H(A) := {xeA : x* = xj = = Ra © Rb in zaradi 13.1.6(5) in (6) torej velja: Hfl(A) = Rb ž Ra © Rb = *H(A) S Ca + Rb = H(A) . .. (7) . 9. Zaradi 13.5(1), 13.5'(4) in (4-') je <25(A) = {0} (gl. 11.l) in je torej po (7) H(A)fiHd(A) = Hd(A) = Rb <£ {0} = 3 (A) = = H(A)f|<25(A), t.j. H(A)r>Hd(A) ( sin*/4)V? = 1, t.j. Ijsinh.ll > 1 ...(14). Involutivno B-algebro (A,*,1I*I|) imenujemo H -algebro, če je A Hilbertov prostor glede na nek skalami produkt < , > , pri čemer velja: (i) ||a)| = za vsak aeA (ii.) = za vsak a,x,yeA (iii) = za vsak a,x,y £A . - 115 - 13.2.1-13.2.3 13.2 MEKOMUTA^TVNA KOMPLEKSNA NORMIRANA ALGEBRA BREZ K MOTE Z MEH T L BE RT S K O N ORM O 1. Kartezični produkt A = OxC = {(ot,p) : a,|3čGJ je kompleksen linearen prostor z bazo {a,h} (a = (1,0), b = (0,1)), kjer definiramo (ota i pb) + (ot'a + (Vb) = (oi + ot') a + (ji+ (i')b in A. (ota + pb) = (A,ct)a h- (*.p)b za vsak cx,p,;teC. Vsaka linearna normalizirana absolutna norma || . || na A, t.;], linearna norma || . n , za katero veljajo enakosti ||a|| = llbll = 1 in )|o^a + pb|| - ||)cx|a + |p|b|| za vsak c(,|5€C, določa funkcijo vi/(t) := )|(l-t)a + tb || ...(l), ki je konveksna na intervalu [0,1] z lastnostjo, da je i{>(0) = vj>(l) = 1 in max{l-t,t}^ 4: v); (t) 4 1 za vsak t € [0,1] . 2. Po /4, 5.21 - str. 38,39/ oz. po /13, 0.0.8.46.4.8(11)/ je enotska sfera F := (xeA : 11x11 = 1} = {z1ot(t)a + z2p(t)b : zlfz2 60, Jz^ = |z2| = 1, t 6 [0,1]} , kjer je o((t) = (l-t)/(t) in (i( t) = t/i|/(t) za vsak t £ [0,1] . . . (2) . Po /13, 0.0.8.46.4.8(iii)/ je zapis enotske sfere v obliki (2) enoličen, t.j. za vsak x€S eksistira natanko določena trojica (t,z1,z2) € [0,1] X C x G, da je (z-jj =|z2| =1 in x = z1o((t)a+ + z2p(t)b ...(2>). 3. Naj bo \p^(t) oz. ^("t) levi oz. desni odvod funkcije ii» v točki t, G(0) = {jč€R : -1< jt < vp'd(0)} , G(t) = {^eR : fl(t)^^<+d(t)} za vsak t € (0,1) in G(l) = {^€R : v|>-[(l)^£ « 1 } ...(3). Za vsak t 6 [0,1] naj bo x(t) = (l je zaradi (7) algebrska norma, ki je očitno normalizirana in absolutna ...(8). Normirano algebro A glede na normo )}.jh označimo z An. Po (l) ustreza, normi 1).^ funkcija ip, lp(t) = 1 za vsak t € [0,1] ...(9). Zato je po (2) { t) - t za vsak t € [0,1] ...(10) ter po (3) Cr(0) - [-1,0], G(t) = {0} za vsak t €(0,1) in 0(1) - [0,1] ...(11). Iz (5), (9) in (11) sledi: D(x(0)) = = {(l,zr) : z e G, |z| = 1, r e [0,1]} , D(x(t)) = {(1,1)} za vsak t e (0,1) in D(x(l)) = {(zr,l) : z € G, |z| = 1, r e [0,l]}... ...(12). Za poljuben x = z1*-b) in velja zato za vsak f e €D1(x) = D(A1>X) (f = (z^cc,z|p), (cx,p) £D]_(x(t)) - gl. (5) in (6)) enakost f(x(*a + £ib)) = z2p(t) (A(z*joc) +^(z^(i)) = = (*.( z"^z2)oC +u&)(*>(t) . Torej je zaradi (10) desni numerični zaklad ^(A^ Xa + jub) = {(A.(^*z2)ol +/Lp)fi^t) : Z1»Z2€G' l^ll = |z2l = 1, t 6 [0,1] , («,p) € D1(x(t))} = {(iMzoc +^p>)t : z€C, Jzl = 1, t €[0,1], (oc,p) € D1(x(t))} in je zato po (12) Vd(Alt Xa + -*)|oia + pt>||00= — max{|o(|, |(M} je tudi absolutna normalizirana algebrska norma na A glede na množenje, ki je definirano v točki (7). Normirano algebro A glede na normo jj. || označimo z A^ . Za funkcijo d; , ki jo po (1) določa norma 1|. Hoo velja enakost vb (t) = 1-t za vsak t € [0,1/2] in vp(t) = t za vsak t 6 [l/2,l] ...(18). Zato je po (2) (i(t) = t/(l-t) za. vsak t e [0,1/2] ter ($(t) = 1 za vsak te[l/2,l] ...(19). Zaradi (3) in (18) je G-(t) -{-1} za vsak te[o,l/2), G-(l/2) = = [-1,1] in G(t) = {1} za vsak t € (1/2,1] ...(20). Iz (5), (18) in (20) sledi T)(x(t)) = {(1,0)} za vsak t € [o, 1/2), D(x(l/2)) ={(1/2 -£(l/2), 1/2 - f(l/2) + £.) :^€[-l,l]} = = {(l-r,r) : r e [0,l]J in D(x(t)) ={(0,1)} za vsak t e (1/2 ,l]... ...(21). Analogno kot v 13.2.4 je zaradi (19) in (21) desni numerični zaklad Vd(A00,A.a + j*b) = {(/*.( z*z2)oc +up)(3(t) : z-j.'z2 6C' 'zl^ = = | z2| = 1, t 6 [0,1] , (*,(&) €D(x(t))} = {(lJUz.l + ^.0)t/(l-t) : zeO, 125l = 1, t 6 [0,l/2)}U{!Mz(l-r) +£R, |(i|»(t), ip(t) + (1-t) i|/»(t))} za vsak t 6(1/4,3/4), D(x(3/4)) = {(r,l-(r/3)) : rc[0f3/l0)} ter D(x(t)) = {(0,1)} za vsak t € (3/4,1] ...(28). Iz (6), (26) - 118 - 13.2.6-13.3.4 in (28) dobimo enakost VJk,xa. + >b) = {(l/3)U)rz : z e G, |z| = 1, r € [0,1]} U {t( \X\/3)z + (l-t)^t :zeC, |z| = 1, t (= l-r/3) € [9/10,1]} (J {|X|z(t-t2)(2t2 - 2t + l)""1 + -h^t2(2t2 - 2t + l)"1 : z eO, )zl = 1, t e [l/4, 3/4]} U U{t.31x|z + (l-t)M : z€C, |zl = 1, t(=r/3) 6 [0,1/10]} ...(29). Iz (29) spet sledi H,(A) = Rb , pri čemer je po 13.1.5(1) in (1') H(A) - Ca + Rb ...(30). 13-"5 KOMUTATIVNA KOMPLEKSNA NORMIRANA ALGEBRA BREZ ENOTE 1. Prostor A = CxC z bazo {a,b} (a = (1,0), b = (0,1)) in z običajno linearno strukturo (gl. 13.2.1) je kompleksna asociativna komutativna algebra, brez enote glede na množenje, ki je definirano z enačbo (o( ,p) (ot' ,a' ) = (<*oc»,0) za vsak o^oc* ,f2>,A> e C, t. j. z enačbami a = a, ab = ba = b =0 ...(1). Glede na to množenje so algebrske vse tri absolutne normalizirane norme IMl-p l|.j|2 in H.lloo, ]|oia + p,h\\1 = |<*t + |(J1 , H«a + pb||2 = = ( \oi\2 + \p>\2)1/2 in j|^a + (ib||oo = max{ |o(|, |p|} ...(2). Očitno je lanA = Ob ...(2*). Vsaka teh norm določa po 13.2.1(1) funkcijo t|>(t) in ta po 13.2.2(2) funkciji <*(t) in(i(t). Po 13.2.2(2) jevsakxeS(A) oblike x = z^ot(t)a+ Zp(i(t)b, kjer so z^jZ^^O, | z-^| = |z2[ = = 1 in t € [0,1] enolično določeni; za vsak A., ueC je zato f(Ua +£ib)x) = (A.z1ot(t))(z*ot) za vsak f = (z*oc, z*p) €D(x), kjer je (oc,p) €D(x(t)) ...(3). Iz (3), 13.2.2(2) in 13.2.3(6) sledi enakost V(A,A.a + u.b) = x{ctfo((t) : t € [0,1] , ( *a + Ab) = {<(A.a + ^ib)(c*a + Ab) , : o<, p £ C , )c*l2 + t(3|2 = 1} ={A|rtl2 : rt,(3€G, )cX|2 + )p|2 = 1} = = co{0,A.} ...(6). 4. Norma ll.H^ določa funkcijo d; , vjj(t) = max{l-t,t} za vsak t € [0,1] . Po 13.2.2(2) je zato oc(t) = 1 za vsak t € [0,1/2] in sledi zato iz (4) in 13.2.5(21) enakost V(A00, A.a + ub) = = A({1.1}U {(l-r).l : r 6 [0,1]}U {0.o((t) : t 6 (1/2,l]}) = = *[0,l] « co{0,^} ...(7). - 119 - 13.3.5-13.4.2 5. Ker je zaradi (l) za vsak o(£0\{0} in za vsak X, \' ,M,^' e C komutativen kvazi-produkt ((l/o()(Aa + (A*b))o( *.»a +/»-'b) = - (l/o0(* + (ot-A.)X')a + (^/« + ><<,)b (gl. 1.1,str.10), je spekter (o(A, A.a + ^b) = (0,A.) ...(8). Iz (5), (6), (7) in (8) sledi V(A1,x) = V(A2>x) = = V(A-«»X) = co 6*(A,x) za vsak x€A ...(9). Tu imamo torej primer, ko različne algebrske norme (dve sta nehilbertski!) določajo numerične zaklade, ki so konveksni in sovpadajo na vseh elementih algebre ...(9*). Točka (9) tudi pomeni, da eksistira kompleksna asociativna komutativna R-algebra brez enote in z netrivialnim množenjem z lastnostjo, da je numerič-ni zaklad vsakega elementa, algebre konveksna množica - enaka konveksni ogrinjači spektra danega elementa, čeprav norme ne generira skalami produkt ...(9 ' ') . 6. Iz (5) in (9) slede enakosti HU^) = H(A9) = HUJ = Ra + Gb ...(10). Za vsak x = (A.a +ub) eA je zaradi (l) xn = Ana zavsakneN ... (ll) in je zato r(x) = \X\ < !|xj| • za vsak j €{l,2,oo} in za vsak A.,**€C, \X\< l^M . Torej eksistira zaradi (10) za vsak j € {l,2,oo} tak h6H(Aj), da je r(h) < ||h||, .. . (12) . Zaradi (11) je tudi sinx = (sinx)a + Mh in eksistira zato po (10) za vsak r e R+ in za vsak j€{l,2,oo} tak hreH(A.) (hr neodvisen od j), da je ||sinhr||.>r ...(13). Zaradi (10) je A. = H(A.) + iH(A.) in zaradi komutativnosti J j j algebre A je zato vsak element algebre A j-normalen (j e {l,2,oo}), kar po 9.6(viii)(b) pomeni, da je coV(A.,x) = co(5>(A,x) za j vsak xeA. To zaradi (5), (6) in (7) spet potrjuje točko (9) ! 15-4 KOMUTATIVNA KOMPLEKSNA NORMIRANA ALGEBRA Z ENOTO 1. Na kompleksnem linearnem prostoru A = C xC z bazo {a,b} (a = (1,0), b = (0,1) ; gl. 13.2.1) lahko definiramo asociativno komutativno množenje z enačbo (ot ,(b) (cL * ,/J') = (otoc* ,££') za vsak ot ,&' ,/a »fi* e G, t. j. z enačbami a = a, ab = ba = 0 in b2 = b ...(l). Algebra A ima enoto e=(l,l)=a+b ...(2). Absolutne normalizirane norme Jj. J|^, II* U2 in IMIao^Sl« 13.3.1) so a-lgebrske norme in je jjel^ = 2, ||e|j2 = "][2 ter U^(loo = 1 (3). 2. Po 13.2.1(1) določa norma ||. j^ funkcijo Cp(t) a 1 in po 13.2.2(2) tudi funkciji oc(t) s 1-t in (b(t) s t. Po 13.2.2(2) je zato vsak xeS1 = S(A1) oblike x = z1(l-t)a + z2tb, kjer so z1,z2eG, jzx| - |z2| = 1 in t 6 [0,1] enolično določeni; - 120 - 13.4.2 - 13.4.7 zaradi (l) je (A.a 4 J*b)x = A.z-,(l-t)a t uz^tb, kar pomeni enakost f((Xa + ub)x) a x(z1(l-t))(z*ot) +^ (z2t)(z*p) = = fc<*(l-t) + Mftt za vsak X,a€C in za vsak f = (z*d, z*p) G 6D1(x), kjer je (ot ,(*) 6 D-L(x(t)). Iz 13.2.2(2) in 13.2.3(6) sledi zato enakost VfA^, A.a +^b) = {A.ot(l-t) + vpt : t 6 [0,1] , (ot ,p) € D-j(x(t))} , kar po 13.2.4(12) pomeni, da je V(A1, XQ. + Mb) = {A..1.(1-0) + 0}U{*.l.(l-t) + it.l.t : t € (0,1)} U{0 + u.1.1} = co{l>(jt} za vsak X, itc C ...(4). Norma ||.|U izvira iz skalarnega produkta ( ,y (gl. 13.3.3) in sledi zato iz (l) in 2.2.4 enakost V(A9, Xa +Mb) = = {<(A.a !^u.b)(cxa + p>h) 9 aa 4- ^b> : oc,peC, |oiI + jpl" = l} = = {X\ot\ + £\f>\? : ) V(A00, Xa. +^ib) = {fUa+^ib) : feD^e)} ...(7). Ker je e = x(l/2) (gl. 13.2.3(4)), je po 13.2.5(21) Dop(e) a = {(l-r,r)eC2 : r€[0,l]} (gl. 13.2.3(5)) ...(8). Iz (7) in (8) sledi V(Aoo, A.a +itb) a{a(l-r) fur : r € [0,l]} = = coU,^} ...(9). Zaradi (4), (5) in (9) je torej V(A1,x) = V(A2,x) - V(Aw,x) -= cofA.,^} za vsak x = (xa + M-b) €A ...(10). Točke (l), (2), (3) in (4) pomenijo, da eksistira kompleksna asociativna komutativna B-algebra, ki ni izomorfna obsegu C, ki ima enoto in ki ima lastnost, da je numerični zaklad vsakega elementa te algebre konveksna množica, čeprav norma ne izhaja iz skalarnega produkta in čeprav norma enote ni enaka 1 . ..(ll). Iz (4), (5) in (9) slede enakosti H(A1) - H(A2) = H(A«) = = Ra + Rb ...(12) in je zato A. = Tl( A -) + iH(A.) za vsak j € {l,2,oo} . Torej so zaradi komutativnosti algebre A vsi njeni elementi j-normalni in je zato po 9.6(viii)(a) coV(A.,x) = = co6)(A,x) za vsak x € A in za vsak j e {1,2,00}. Zato je po (9) co(d(A, \a. + Jib) = co{A,u}, t. j. <~>(A,Xa. + Jtb) = {x, jul} za vsak A,^£C .. .(15) . Zaradi (12) je A, = H(A.)©iH(A.) za vsak je {1,2,00}, kar 10.5(iii) pomeni, da je A kompleksna komutativna enotska B -algebra glede na j-to operatorsko normo |.|-, |x|. := := sup||xy|| . za vsak x €A in glede na V-involucijo #• , y6Sj po - 121 - 13.4.7 - 13.4.8 (b -i- ik) : =. h - ik za vsak h ,k e H( A .) . Ker je B -norma j kompleksne asociativne algebre enolično določena, je |.l-s j neodvisna od j in je zato |x |. = J| ^cU00 za vsak x €A in za vsak j €{1,2} (saj je JleH«, -'l) ...(14). /v * Ker je ( A., ||. Iloo) kompleksna komutativna B -algebra, je r(x) =l|x||40za vsak x€A, pri čemer seveda vse tri algebrske norme ||.||-|, \\.\\p in |j. H^ Določajo isti spektralni radij r...(15) . Zaradi (1?) in (iS) je r(h) = l|h|l00< ||h||2 < Hh^ za vsak h£{o(a+ fbh : oc, p e R\{0}} C Ra +■ Rb = H(A1) = H(A2) -= HCAoo) ...(16). Ker je sine = (sinl)e, je ||sine||-, = - (sinl)||e||1> (sin(3t/4)).2 = V? in ||sine||2 = (sinl)|| e||? > >(V2/2).V2"= 1 . Torej je Hsinell^l za vsak j €{1,2} , čeprav je enota e = (a-f-b) € H( A-] ) = H(A«) ...(17). 8. Cedilnik je v /6; 7,1/ definiral O-numerični zaklad Vq(A,x) elementa x normirane algebre (A,||.||), kjer ima A enoto e, z enačbo VQ(A,x) = (f(x) : f€A', f(e) = 1, ||f|| = l/l|e||} ...(18). Definiral je množico HP(A) vseh C-hermitskih elementov alge-bre A, HC(A) = {h G A : Vc(A,h)cRj ...(19) in podal karakte-rizacijo G-hermitskih elementov /6; 7,13/ : h£Hc(A) <==> <=> iimHe-Hthl| - |»e|| = Q _ {2Q) # Očitno je Vc(A,x) = {(l/l|e|| )g(x) : g€A>, g(e) = )|e||, llgll = 1} = (l/Hell){g(x) : g 6A», g(e/||ell) = 1 = \\g\\} = = (l/llel|){g(x) : geD(A,e/l|e|l)}:= (l/||ell)V'( A,x) d V(A,x) H HVd(A,x) (gl. 2.2.5(vi')), t.j. Vc(A,x) = (l/lle||)V'(A,x) za vsak xeA ...(21). Po 2.2.5(i) in (ii) je zato Vn(A,x) vedno neprazna, kompaktna in konveksna množica ...(22). Izračunajmo Vq(A-,,x) za poljuben x = (\a +JU.b) €A, kjer označuje A^ normirano algebro A glede na normo j|.|l-]_ (gl. 13.3.1). Ker je funkcija ^(t), ki jo določa H.lj-^ (gl. 13.2.1.(1)) na intervalu [0,1] identično enaka 1, je po 13.2.2(2) in 13.2.3(4) x(l/2) = (l/2)a + (l/2)b -= (l/2)(a+b) = e/llell-L . Zato je po 13.2.4(12) D1(e/He||1) = = D1(x(l/2)) = {(1,1)} , kar pomeni enakost V'(k-.,Xa + ub) = = {A..1 + /t.l} in je zato po (21) V^(k-.9Xa + ub) = = {(l/2)(A+^i)} ...(23). Izračunajmo še V^(Ap,x) za. poljuben x = (A.a + vub)€ A? (gl. 13.3.3) ! Norma ll.jfp določa po 13.2.1(1) funkcijo ty , i|>(t) = ((l-t)24 t2)1//2' za vsak t € [0,1] ...(24). Po 13.2.2(2) in 13.2.3(4) je zato x(l/2) a ot(l/2)a + A( l/2)b = - 122 - 1-5.4.8 -- (V2/2)(a+b) - e/j|e||2 ...(25). Zaradi (24) in 13.2.3(3) je 0(1/2) = {0} in je zato po (25) in 13.2.3(5) D(e/Ilell2) = D(x(l/2)) = {( ip( 1/2), lp(l/2))} = {(^/2,1/2/2)} . Zato je V'(A2, \a + ^b) = {A(l/2/2) +^(1^/2)}, t. i. po (21) VC(A2, Aa + <*b) = (l/Y2)(l/2;/2){A.^} = {(l/2) (*+£)} ...(26). Ker je KeH00 = x» -1e P° (21)> 2.2.5(vii>) in (9) V0(AW, a.a + ^b) V'(A*, xa + £.b) VfA«,, *a + ab) = - coU,^} ...(27). Torej je po (23), (26) in (27) Vn(A,,x) - Vn(A0,x) C / .1. L/ c zfz- C Vc(A0B,x) za vsak xcA\Ce ...(28). Po (27) je Hc(Aj = H(Aj = Ra + Rb ...(29) in iz (23) in (26) sledi HC(A-L) = HQ(A2) = Ra + Rb -i- iR(a-b) ...(30) in zato po (12) H^) ^ H^A^ (gl. 6.13) ...(32). Po (30) je h := i(a-b) € HG(A1) ...(32) in veljajo zaradi (l) enakosti h^ = e za vsak j €N ter h^j+i = h , h^-0 + 2 _ _e in ^4j + 3 = _}n za vsak j €{0}UN. To pomeni, da je elth := elthe - (sht)e + (cht)(ih) = (sht - cht)a + + (sht + cht)b in je zato II e1^!^ = | sht - cht | + | sht + cht = 2cht za vsak teR, kar pomeni limlje1 IL = + 00 ...(35). teR lt|->oo Če pa bi bil h€H(A-.), bi imeli zaradi 606(xiii) enakost Ile^ll-L = l|eithe||1 = |fe||^ = 2 za vsak t € R. Po (12) in (30) je (a-b) € H(A1) C HG(A1) ...(34). Zaradi (13) je 6>(A1,a-b) - {1,-1} ...(35) in je zato po (4) V(A1,a-b) = co{l,-l} = co e?(A1,a-b) (gl. (34), 2.2.3 in 6.7(xiii)!) ...(36). Zaradi (23) je Vc(A1,a-b) = = {(1/2)(1-1)} = {0} in zato po (35) (SU-p a-b)( A- ,k) ■■ = itf(Alfa-b) ={-ii4 H ...(39). G-numerični zaklad je torej v splošnem (t. j., če je norma enote / 1) preskromen in zato prostor Hp(A) preobsežen, da bi G-hermitski elementi imeli običajne lastnosti, značilne za hermitske elemente kompleksne asociativne enotske (||ell = l) B-algebre - npr. da bi bila funkcija t-^He1 || omejena na realni osi, konveksna ogrinjača spektra hermitskega elementa enaka zaprtju numeričnega zaklada (oz. splošno, da bi bil spekter vsebovan v zaprtju numeričnega zaklada) ali da bi bil spekter hermitskega elementa vsaj realen (gl. (32), (33), (34), (37), (38) in (39)). - 123 - ODPRTA VPRAŠANJA 1. Okarakterizirati elemente neskončnodimenzionalne kompleksne asociativne Banachove algebre brez enote, ki imajo skalar 0 za izolirano točko svojega spektra. 2. Če je B netrivialna podalgebra normirane algebre A, ki je gosta v A, ali pote™ velja enakost V(B,b) = V(A,b) za vsak b € B ? Na. primer ali pri standardni vložitvi a >-► a (izometrični homomorfizem) nepolne normirane algebre A v njeno izpopolnitev A velja enakost V(A,a) = V(A,a) za vsak a € A ? 3. Ali eksistira neskončno-dimenzionalna, asociativna, normirana algebra brez enote nad obsegom ? (= R ali C) z lastnostjo, da je numerični zaklad vsakega elementa te algebre zaprta množica? Okarakterizirati take algebre? 4. Kako vpliva refleksivnost neenotske normirane algebre na numerični zaklad elementov te algebre? 5. Poiskati (preprost) primer kompleksne, asociativne, normirane algebre A brez enote s takim elementom a e A, da numerični zaklad V(A,a) ni konveksna množica? 5*. Primer kompleksne, asociativne B -algebre A brez enote, ki vsebuje tak element a, da V(A,a) ni konveksna množica? 5''. Primer enotske, asociativne, kompleksne, normirane algebre A, ki vsebuje netrivialno podalgebro B brez enote in tak b eB, da V(B,b) ni konveksna množica? 6. Okarakterizirati kompleksne asociativne normirane algebre (z enoto ali brez nje) z lastnostjo, da je numerični zaklad vsakega elementa algebre konveksna množica (gl. primere 13.2.4(15), 13.2.5(24), 13.3(9') in 13.4.5(11)). 7. Relacije med levim in desnim numeričnim zakladom in med levo in desno hermitskimi elementi? 8. Lastnosti dvostranskih elementov? 9. Poiskati vse realne in kompleksne asociativne normirane algebre, katerih vsak element je dvostranski (gl. npr. 12.7). 10. Če je Jf = {p^ : pč?} družina vseh med seboj ekvivalentnih algebrskih norm na asociativni, kompleksni B-algebri A brez enote, ali je potem r\cbV^(k,a) = co(3>(A,a) za vsak - 124 - a e A, kjer je V (A, a) nu bre A glede na normo P«.ei 11. Ali bi trditev izreka 10.5 imela algebra A levo enoto enote? 12. Ali velj a ocena v(A,an) ^ vsak n 6N , tudi v primeru (gl. 12.4(iii)((i))? lerični zaklad elementa a alge- r? veljala tudi v primeru, če bi in bi bila hkrati brez desne (v(A,a))n za vsak a€A in za ce je A realna pred-B -algebra - 125 - I, I T E R A T U R A /l/ Berkson-Dowson-Elliott: On Fuglende's tbeorem and scalar-type operators Buli. London Math. Soc. 4(1972)13-16 /?/ Bollobas: The power inequality on Banach spaces Proč. Cambr. Phil. Soc. 69(1971)411-415 /3/ Bonsall-Duncan: Numerical ranges of operators on normed spaces and of elements of normed algebras London Math. Soc. Lect. Note Ser. 2(1971) /4/ Bonsall-Duncan: Numerical ranges TI London Math. Soc. Lect. Note Ser. 10(1973) /5/ Bonsall-Duncan: Complete normed algebras Ergeb. Math. Bd. 80 Springer 1973 /6/ Cedilnik: Banachove kvadratne algebre Disertacija, Ljubljana^ 1981 (MK 10921/24) /7/ Crabb-Duncan-McGregor: Mapping theorems and the numerical radius Proč. London Math. Soc. 25(1972)3, 486-502 /8/ Day: Normed linear spaces Ergeb. Math. Bd. 21 Springer 1973 /9/ Garnir-De Wilde-Schmets: L'analyse fonctionnelle (Theorie constructive ...) Birkhauser Verlag, Basel 1968 (Bd 36) /10/ Grasselli: Sebi adjungirani elementi v Banachovi algebri brez enote Disertacija, Ljubljana 1961 (MK II 550) /ll/ Hille-Phillips: Functional analysis and semigroups Amer. Math. Soc. Colloq. Publ. 31(1957) /12/ Ingelstam: Real Banach algebras Arkiv for mathematik Bd 5/16(1964) /13/ Lampret: Numerični zaklad elementa realne ali kompleksne enotske normirane algebre Magistrsko delo, Ljubljana 1979 /14/ Lumer: Oomplex methods and estimation of operator norms and spectra from real numerical ranges J. Funct. Analvsis 10(1972), 482-495 - 126 - /15/ Plafker: The spectra] theorem in B-algebras Glasgovv Math. J. 13(1972)1, 49-55 /16/ Rhodius: Uber zu Halbnormen gehoren.de numerische Wertebereiche linearer Operator en Math. Maohr. 86(1978), 181-185 /17/ Rickart: G-eneral theorj of Banach algebras Van H o str and 1960 /18/ Sims: A characterization of Banach-star-algebras by numerical range Bnll. Austral. Math. Soo. 4(1971)193-200 /19/ Tomšič: Skew-symmetric operators on real Banach spaces Glasnik Mat. 12(1977), 93-97 /20/ Vidav: Banachove algebre Postdiplomski seminar, Ljubljana 1978 /21/ Young: Norm and spectral radius for algebraic elements of B-algebra Math. Proč. Gambr. Phil. Soc. 88(1980), 129-133 /22/ Yosida: Functional analysis Ergeb. Math. Bd 123 Springer 1971