ZNAČILNE TOCKE TRIKOTNIKA KOT FUNKCIJE
BOJAN HVALA
Fakulteta za naravoslovje in matematiko Univerza v Mariboru
Math. Subj. Class. (2010): 51M05; 51A20
Kimberlingova enciklopedija značilnih tock trikotnika vsebuje že vec kot 5600 tock. V članku definiramo pojem značilne točke trikotnika, kot je to storil Kimberling, in spoznamo nekaj z njimi povezanih zanimivosti.
TRIANGLE CENTERS AS FUNCTIONS
Clark Kimberling's Encyclopedia of triangle centers contains well over 5600 centers. In the article we explain Kimberling's definition of a triangle center and present some related curiosities.
Uvod
Kimberlingovo Enciklopedijo značilnih točk trikotnika [4] uvaja naslednji zapis:
Pred davnimi casi je nekdo narisal trikotnik in cezenj potegnil tri daljice. Vsaka od njih se je zacela v ogliscu trikotnika in se koncala na sredi nasprotne stranice. Daljice so se sekale v skupni tocki. Bil je navdusen in je ponovil poskus, tokrat na trikotniku drugacne oblike. Daljice so se spet sekale. Narisal je se tretji trikotnik, tokrat zelo natancno, z enakim rezultatom. Povedal je svojim prijateljem. Na njihovo presenecenje in navdusenje je do istega pojava prislo tudi pri njih. Vest o tem se je razsirila in carobnost treh daljic so pripisali delovanju visjih sil. Stoletja so minila, in nekdo je dokazal, da se teziscnice v trikotniku res sekajo v tocki, ki jo sedaj imenujemo težišče. Že v starem veku so nasli se druge tocke, ki jih danes imenujemo .središče vCrtane kročnice, .središče očrtane kroZnice in vičinska točka. Spet so minila stoletja, odkrili smo nove in nove tovrstne tocke, in pojavila se je definicija značilne toCke trikotnika. Tako kot pri definiciji zvezne funkcije tudi tej definiciji zadosca neskoncno mnogo objektov, od katerih jih bo le koncno mnogo kadarkoli naslo svoje mesto v literaturi.
Tekst nas je od začetkov civilizacije v hitrem loku pripeljal do konca 20. stoletja in do glavne teme našega clanka - definicije značilne točke trikotnika. Ker smo po tem loku zdrveli nekoliko prehitro, zapis osvetlimo s se nekaj dodatnimi informacijami.
Najstarejse starogrske znacilne tocke trikotnika imajo nekatere preproste geometrijske znacilnosti. Sredisce ocrtane kroznice O je enako oddaljeno od
vseh treh oglišč trikotnika, središče vertane krožnice I pa je enako oddaljeno od vseh treh stranic. Ce težišče G povežemo z ogliSCi trikotnika, trikotnik razrežemo na tri plosCinsko enake dele. Najverjetneje je najstarejsa značilna točka trikotnika, ki je stari Grki se niso poznali, tako imenovana Fermatova točka Fe (Pierre de Fermat, 1601-1665). Tudi ta ima lepo geometrijsko značilnost: njene zvezniče z oglisči trikotnika razrezejo polni kot pri točki Fe na tri skladne kote po 120°.
Skoraj 2000 let po Evklidu je bila torej na seznam stirih značilnih točk trikotnika dodana peta točka. 18. stoletje sičer ni prineslo novih točk, je pa Euler ugotovil marsikako zanimivost, povezano z ze obstoječimi - med drugim to, da tri od njih lezijo na premiči, ki jo danes imenujemo Euler-jeva premica. Nove značilne točke trikotnika so se začele pojavljati spet v začetku 19. stoletja. Tako smo v naslednjih desetletjih dobili značilne točke trikotnika, ki so svoja imena dobile po matematikih, kot so Joseph Diaz Gergonne (1771-1859), Jakob Steiner (1796-1863), Christian Heinrich von Nagel (1803-1882), Emile Lemoine (1840-1912), Frank Morley (1860-1937) itd., pa tudi po nematematikih, kot je to v primeru prve in druge Napoleonove točke. Seznam se je z zmernim tempom večal nekako do leta 1980, ko je pojav programov za dinamično geometrijo rojevanje novih značilnih točk izrazito pospesil. V razmerah desetin in stotin novih značilnih točk trikotnika se je pojavila potreba po prečiznejsem končeptu in sistematičnej-sem pristopu. Zanj se moramo zahvaliti ameri s kemu matematiku Clarku Kimberlingu.
Ta je pojem značilne točke trikotnika (v anglesč ini triangle center) definiral v članku [9] iz leta 1993 in nato idejo razvijal v članku [7]. Leta 1998 je izdal knjigo [8], kjer je pregledno predstavil seznam 400 znač ilnih toč k trikotnika in jih zaporedoma označ il z X(n). Kasneje je seznam preselil na splet in nastala je Kimberlingova Enciklopedija značilnih točk trikotnika (ETC) [4], ki jo avtor ureja se danes. Stevilo točk se več a (z e zdavnaj je preseglo 5600), prav tako pa tudi količina z njimi povezanih podatkov. Spletna stran med drugim ponuja tudi učinkovit sistem, s katerim preverimo, ali je morda točka, na katero smo naleteli sami, ze uvrsčena na seznam. Ob enčiklope-diji je Clark Kimberling tudi avtor stevilnih drugih tehtnih publikačij o tej tematiki.
V tem sestavku bomo spoznali glavno idejo Kimberlingove definičije značilne točke trikotnika kot funkcije ter nekaj iz nje izhajajočih dejstev. Ob konču bomo predstavljena spoznanja komentirali, razmi s ljanja pa začinili z nekaterimi iskrivimi premisleki ameriskega matematika Douglasa Hofstad-terja iz uvoda v Kimberlingovo knjigo [8].
Nekaj tehnične predpriprave
Naj bo vseskozi ABC pozitivno orientiran trikotnik. Dolžine njegovih stranic bomo kot obicajno oznacevali z a, b, c, velikosti notranjih kotov z A, B, C, ploSCino pa s S. V nadaljevanju bomo potrebovali trilinearne in baricen-triCne koordinate v ravnini glede na referencni trikotnik ABC. Prve so bile v Obzorniku ze predstavljene, in sicer v clanku [10], druge pa so prvim precej podobne in zanje veljajo tudi podobni rezultati. Zato ponovimo le najnujnejse.
Pri danem trikotniku ABC poljubni tocki P v ravnini priredimo trojico stevil ßd, Yd, ki so predznacene razdalje tocke P do nosilk stranic a, b in c. Natancneje: stevilo ad je enako razdalji tocke P do nosilke stranice a s predznakom +, ce tocka lezi na istem bregu te nosilke kot oglisce A, ter s predznakom — sicer. Drugi dve stevili sta definirani analogno. Trojici (ad,ßd,7d) recemo dejanske trilinearne koordinate tocke P. Tocka P natanko doloca svoje dejanske trilinearne koordinate in obratno: trojica dejanskih trilinearnih koordinat natanko doloca tocko P. Pravzaprav je tocka P dolocena ze z dvema dejanskima koordinatama: ce poznamo npr. ad in ßd, tocko P dobimo kot presecisce dveh vzporednic stranicama a in b na ustrezni razdalji in na ustreznem bregu. Zato je jasno, da dve dejanski trilinearni koordinati dolocata tretjo. Za tocko P znotraj trikotnika ABC je ploscina trikotnika ABC enaka vsoti ploscin trikotnikov ABP, BCP in APC, od koder sledi:
aad + bßd + cYd = 2S.	(1)
Ni tezko videti, da ta zveza velja tudi za tocke zunaj trikotnika. Zdaj je jasno, kako dve dejanski koordinati dolocata tretjo. Ta ugotovitev nam omo-goca, da lahko namesto z dejanskimi trilinearnimi koordinatami delamo z njihovimi veckratniki. Trojico (a, ß, y) imenujemo homogene trilinearne koordinate (ali kar trilinearne koordinate) tocke P, ce obstaja nenicelno realno stevilo k, da velja (a, ß, y) = k(ad, ßd, Yd). Zaradi te definicije homogene trilinearne koordinate oznacujemo takole: a : ß : y. Iz homogenih trilinearnih koordinat zlahka dobimo dejanske koordinate: te so homogene koordinate, deljene z nekim faktorjem k, ki ga izracunamo iz zveze (1).
Ce tocki P namesto trojice (ad,ßd,Yd) predznacenih razdalj do nosilk stranic priredimo trojico predznacenih ploscin trikotnikov ((BCP), (CAP), (ABP)), dobimo dejanske baricentrične koordinate tocke P, kijih obicajno oznacujemo (xd,yd,zd). Zveza z dejanskimi trilinearnimi koordinatami je preprosta: xd = 1 aad, podobno za preostali koordinati. Enakost (1) tokrat nadomesti se preprostejsa zveza xd + yd + zd = S. Analogno potem definiramo tudi (homogene) baricentrične koordinate x : y : z. Omenimo
C
p Oii
iTi
B	A	B
Slika 1. Trilinearne in baricentrične koordinate.
se, da iz zveze (1) sledi, da za trilinearne koordinate točk v ravnini velja aa + bß + cY = 0, analogno za baricentrične koordinate x + y + z = 0.
Dilema, ali uporabljati trilinearne ali baricentrične koordinate, je ena od vsakokratnih odločitev pri delu na tem področju matematike. Včasih so bistveno ugodnejse ene, drugič spet druge. Tokratna odločitev je kom-binačija obeh. Nekatere sklepe je namreč laze izpeljati, če razmisljamo o razdaljah in ne o plosčinah; zato bomo v začetku uporabljali trilinearne koordinate. Baričentrične koordinate pa tudi imajo svoje prednosti. Ena največjih je preprosto delo z vektorji. Ce so namreč x : y : z baričentrične koordinate točke P in so A,B,C],P radij vektorji točk A,B,C in P, potem velja: P = ^+y+j A + ^+l+^ B + ^+y+^ CC. Od tod je jasno, da je pri delu z vektorji ugodno, če pri računih uporabljamo normirane baričentrične koordinate, torej take, za katere velja x + y + z = 1.
Pojem značilne tocke trikotnika
Značilna točka trikotnika je predpis, ki vsakemu trikotniku A priredi točko Pa v ravnini. Točka Pa je seveda odvisna od lege trikotnika A, zato njeno lego najlaze opisemo z dejanskimi trilinearnimi koordinatami te točke glede na trikotnik A, torej Pa = (ap,ßp,yp). S trojičo (a,b,c) dolzin stranič trikotnika A je oblika trikotnika določena. Ker je smiselno predpostaviti, da je relativna lega točke Pa glede na trikotnik A odvisna le od oblike trikotnika, ne pa od njegove lege, lahko dejanske trilinearne koordinate točke Pa zapisemo v obliki (/d(a, b, c), gd(a, b, c), hd(a, b, c)). Iz tega vidimo, da lahko značilno točko trikotnika razumemo kot preslikavo
(a,b, c) ^ (/d(a,b, c),gd(a,b, c),hd(a,b,c)),
ki trojiči dolzin stranič trikotnika priredi dejanske (zato indeks d) trilinearne koordinate prirejene točke.
b/\p
\ b P \
/
Slika 2. Ciklična zamenjava stranic.
Funkcije fd,9d in so funkcije treh spremenljivk. Natančneje, njihovo definicijsko območje je množica trojic (a, b, c), ki so stranice trikotnika, torej:
T = {(a, b, c) € R3; 0 < a < b + c, 0 < b < a + c, 0 < c < a + b}.
Za nekatere znacilne tocke trikotnika je to definicijsko obmocje preveliko. Take so denimo znacilne tocke trikotnika, ki niso definirane, kadar je trikotnik enakostranicen. Zanje definicijsko obmocje pac ustrezno zmanjsamo.
V nadaljevanju bomo spoznali naravne zahteve, ki jim morajo zado-scati nastopajoce funkcije, da bo predpis (a,b,c) ^ (/d(a,b,c),gd(a,b,c), hd(a, b, c)) res prinasal to, kar od pojma značilna točka trikotnika pricaku-jemo.
Prva zahteva je, da predpis spostuje ciklicno zamenjavo stranic. Ce smo trikotniku s trojico dolzin stranic (a, b, c) priredili tocko (ao,ßo,7o), bomo (skladnemu) trikotniku s trojico (b, c, a) priredili tocko (ß0,70,a0) (slika 2), trikotniku s trojico (c, a, b) pa tocko (70, a0, ß0). Izhajali smo iz pricakovanja, da se morajo tedaj, ko srednji in desni trikotnik na sliki 2 izrezemo in ga polozimo na levega, tudi prirejene tocke prekriti. Iz te zahteve izhaja, da je gd(a, b, c) = /d(b, c, a) in hd(a, b, c) = /d(c, a, b). Znacilno tocko trikotnika torej doloca ena sama funkcija /d treh spremenljivk.
Druga zahteva se nanasa na zamenjavo dveh stranic (a, b, c) ^ (a, c, b). Ustrezna trikotnika sta tudi tokrat skladna. Zato lahko enega od njiju iz-rezemo, dvignemo in polozimo na drugega. Zahteva, da se morata prirejeni tocki tudi zdaj prekriti, tokrat pomeni, da se morata v trojicah (/d(a, b, c), /d(b, c, a), /d(c, a, b)) in (/d(a, c, b), /d(c, b, a), /d(b, a, c)) prvi komponenti ujemati, preostali dve pa se morata zamenjati. Zlahka vidimo, da je potreben in zadosten pogoj za to lastnost /d(a, b, c) = /d(a, c, b) za vse (a,b,c) € T.
Tretja zahteva pa se nanaša na raztege ravnine. Naravno je zahtevati, da bodo v trikotniku (Aa, Xb, Ac), ki ga iz trikotnika (a, b, c) dobimo z raz-tegom s koeficientom A, tudi dejanske trilinearne koordinate značilne tocke pomnozene z istim koeficientom. Od tod dobimo zahtevo fd(Aa, Ab, Ac) = A/d (a, b, c). Funkcija fd je torej homogena stopnje 1. To je vse: značilna točka trikotnika je torej preslikava
(a, b, c) ^ (fd(a, b, c), fd(b, c, a), fd(c, a, b)),
ki trikotniku A z dolzinami stranic a, b, c priredi točko Pa z dejanskimi trilinearnimi koordinatami (fd(a, b, c), fd(b, c, a), fd(c, a, b)), pri cemer je fd homogena funkcija stopnje 1 z lastnostjo fd(a, b, c) = fd(a, c, b) za vse (a,b,c) € T.
Iz dolocenih prakticnih razlogov pa bomo namesto s funkcijo fd v nadaljevanju raje delali z neko drugo, z njo tesno povezano funkcijo F. Ker so (fd(a,b,c), fd(b,c,a), fd(c,a,b)) dejanske trilinearne koordinate neke tocke v ravnini, velja:
afd(a, b, c) + bfd(b, c, a) + cfd(c, a, b) = 2S.
Definira jmo
F (a.6.c) =	.
Zanjo velja:
(i)	je homogena funkcija stopnje 0;
(ii)	F (a, b, c) + F (b, c, a) + F (c, a, b) = 1 za vse (a, b,c) € T in
(iii)	F (a, b, c) = F (a, c, b) za vse (a, b, c) € T.
Ce je bila fd(a, b, c) prva od dejanskih trilinearnih koordinat prirejene tocke, je	prva od dejanskih baricentricnih koordinat, F(a,b,c) pa
(zaradi (ii)) prva od normiranih baricentricnih koordinat.
Vsaka funkcija F, ki zadosca zahtevam (i)-(iii), doloca preslikavo trikotnika (a, b, c) v tocko z normiranimi baricentricnimi koordinatami F (a, b, c) : F (b, c, a) : F (c, a, b). Ta ustreza zgoraj predstavljenim zahtevam in je zato značilna tocka trikotnika. Funkciji F bomo rekli trikotniska funkcija ustrezne znacilne tocke.
Znacilne tocke trikotnika so torej preslikave, ki slikajo trikotnike v tocke ravnine in jih definiramo prek trikotničkih funkcij, tj. funkcij treh spremenljivk, ki zadoscajo zahtevam (i), (ii) in (iii).
Posebej preprosto lahko trikotnisko funkcijo F (a, b, c) definiramo takole. Naj bo p(a, b, c) homogeni polinom stopnje n z lastnostjo p(a, b, c) = p(a, c, b) za vse a,b,c € R. Ce p(a, b, c) + p(b, c, a) + p(c, a, b) ni nicelni polinom, lahko definiramo
F (a,b,c)=	P(a,b,c^
p(a, b, c) + p(b, c, a) + p(c, a, b)'
To je trikotniska funkcija, saj zadosca zahtevam (i)-(iii). Ker je definirana s pomocjo polinoma, znacilni tocki trikotnika, ki pripada tovrstni trikotni-ski funkciji, recemo polinomska značilna točka trikotnika. Omenimo, da je imenovalec tovrstne trikotniske funkcije simetricen polinom treh spremenljivk. Ce ima ta za kako trojico (a, b,c) € T nicelno vrednost, funkcija F ni definirana na celi mnozici T, kar v praksi pomeni, da za nekatere trikotnike ustrezna polinomska znacilna tocka trikotnika ne obstaja.
Nekatere znane značilne tocke
Oglejmo si najprej stiri klasicne anticne znacilne tocke trikotnika, ki so tudi v Kimberlingovi enciklopediji umescene cisto na zacetek.
Sredisce vcrtane kroznice I nosi Kimberlingovo oznako X(1). Dejanske trilinearne koordinate te tocke so (r,r,r), kjer je r radij trikotniku vcrtane kroznice. Zato je fd(a, b, c) = r, trikotniska funkcija pa F (a, b,c) = = a+ab+c. V zadnji enakosti smo upostevali, da je S = rs, kjer je s polovica obsega trikotnika. Sredisce vcrtanega kroga je torej polinomska znacilna tocka trikotnika, pripadajoca polinomu p(a, b, c) = a.
Nadaljujmo s teziscem G trikotnika s Kimberlingovo oznako X(2). Ker daljice AG, BG, CG razrez ejo trikotnik na tri ploscinsko enake dele, za dejanske trilinearne koordinate (ac, ßG,YG) tocke G velja = = cYjG = S;. Od tod dobimo fd(a, b,c) = in F (a, b,c) = |. Tudi tokrat imamo po-linomsko znac ilno toc ko trikotnika s pripadajoc im polinomom p(a, b, c) = 1.
Sredi s ce trikotniku oc rtane kroz nice O ima Kimberlingovo oznako X(3). Radij kroznice oznacimo z R. Ce upostevamo zvezo med srediscnim in obodnim kotom, zlahka izracunamo dejanske trilinearne koordinate tocke O, ki so (R cos A, R cos B, R cos C). Vrednost R dobimo iz znane zveze S = ajRC, cos A pa izrazimo iz kosinusnega izreka. Tako dobimo fd(a,b,c) =
a(b2+c2-a2)
8S in
F (a.b.c) = a2(b2 + c2- a2 )=	a2(b2 + c2 - a2)
16S2	(a + b + c)(-a + b + c)(a - b + c)(a + b - c)'
Tudi tokrat gre za polinomsko značilno točko trikotnika, definirano s polinomom p(a,b,c) = a2(b2 + c2 — a2). Ob tem je treba preveriti se, ali je zapisani imenovaleč enak p(a, b, c) + p(b, c, a) + p(c, a, b). Funkčijo F smo definirali s pomočjo dejanskih trilinearnih koordinat in s tem zagotovili, da zadosča lastnosti (ii). Ker je imenovaleč vseh treh členov v tej enakosti enak, vsoto lahko damo na skupni imenovaleč, in enakost takoj sledi. To se zgodi pri vsaki račionalni funkčiji F z lastnostjo (ii), katere imenovaleč je simetričen polinom danih treh spremenljivk.
Podobno bi ugotovili, da je tudi visinska točka H = X(4) polinomska značilna točka trikotnika s pripadajočim polinomom p(a, b, c) = (a2 — b2 + c2)(a2 + b2 — c2).
Ce je bila preprostost polinomov pri točkah X(1) in X(2) v skladu z nasimi pričakovanji, bi pri točkah X(3) in X(4) morda pričakovali prepro-stejse polinome. V tem kontekstu naj omenimo debato o najpomembnejših značilnih toškah trikotnika, h kateri se bomo vrnili v zadnjem razdelku. V tovrstnem tehtanju nekateri matematiki točkama H in O »zamerijo«, da v topokotnih trikotnikih zapustita trikotnik. Glede na to pomanjkljivost torej niti nista tako zelo »lepi«. V tej luči tudi niso presenetljivi faktorji oblike (b2 + c2 — a2), ki nastopajo v njunih polinomskih funkčijah.
Omenimo se, da so v dodatku članka [2] predstavljene polinomske funk-čije vseh polinomskih značilnih točk trikotnika X(n) za vrednosti n < 100. Takih je kar 92. Kratek izbor iz tega seznama je predstavljen v tabeli 1.
Morda bi bilo zanimivo spoznati se kako značilno točko trikotnika, ki ni polinomska. Taka je npr. Fermatova točka X(13). Na podlagi zgornjega računa za točko X(3) je mogoče zaslutiti, kaj se lahko zgodi. Ce namreč v računu nastopi plosčina S na sodo potenčo, je ob upostevanju Heronovega obrazča to polinom spremenljivk a, b, c. Ce pa bi plosčina S nastopila z liho potenčo, to ne bi bil več polinom. Točno to se zgodi Fermatovi točki, ki ima trikotni s ko funkčijo s stevčem a4 + a2(b2 + c2 + ^\/3S) — 2(b2 — c2)2.
Polinomske značilne točke s polinomi prve in druge stopnje
Začnimo s homogenim polinomom prve stopnje. Ce naj zadosča lastnosti p(a, b, c) = p(a, c, b), mora biti oblike pu,v(a, b, c) = ua + v(b + c) za neka realna parametra u in v. Trikotni s ka funkčija je torej oblike Fu,v(a, b, c) =
c). Označ imo t = uqV2V in dobimo dru z ino trikotni s kih funkčij
Ft(a,b,c) =	= (1-3ta+byc+b+c). Takoj opazimo, da gre pri
t = 0 za sredisče včrtanega kroga I in pri t = | za tez isče G.
V drugem razdelku smo omenili, da je prednost dela z baričentričnimi koordinatami moz nost prehoda na delo z vektorji: če z A,B,CJ označ imo
Xn		ime	p(a,b,c)
Xi	I	srediSče včrtane kroZnice	a
X2	G	teZiSče	1
X3	O	sredisce ocrtane kroZnice	a2(b2 + c2 - a2)
X4	H	viSinska točka	(a2 + b2 - c2)(a2 - b2 + c2)
X5	O9	sredisče kroZnice Kg	a2(b2 + c2) - (b2 - c2)2
X6	K	Lemoineova tocka	2 a2
X7	Ge	Gergonnova tocka	(a + b - c)(a - b + c)
X8	Na	Nagelova tocka	b + c - a
X9	M	Mittenpunkt	a(b + c - a)
X10	Sp	Spiekerjeva tocka	b + c
X11		Feuerbachova tocka	(b - c)2(b + c - a)
X20		de Longchampsova tocka	3a4 - 2a2(b2 + c2) - (b2 - c2)2
X21		Schifflerjeva tocka	a(a + b)(a + c)(b + c - a)
X23		tocka dalec zunaj	a2(-a4 + b4 + c4 - b2c2)
X39		Brocardovo razpolovisce	a2 (b2 + c2)
X115		sredisce Kiepertove hiperbole	(b2 - c2)2
Tabela 1. Izbor polinomskih značilnih tock trikotnika.
radij vektorje do oglišč trikotnika in so x : y : z normirane baricentrične koordinate točke T, potem je radij vektor točke T preprosto 'T = xA + yB + zCC. Naj bo Tt značilna točka trikotnika, pripadajoča trikotniSki funkciji Ker so Ft{a, b, c) : Ft(b, c, a) : Ft(c, a, b) normirane baričentrične koordinate, je radij vektor te točke
Tt = Ft(a, b, c)Al + Ft(b, c, a)B + Ft(c, a, b)C ab
= (1 - 3t)
-Al +
B +
-C
a + b + c a + b + c a + b + c
+
+ 3 A1 +3 B + 3 C
= (1 - 3t)I + 3tG = I + 3t(G - I).
Točke Tt, t € R, torej leZijo na premiči skozi točki G in I, ki ji rečemo tudi Nagelova premica, saj na njej leZi Nagelova točka X(8) = Ti.
Ce trikotnik ni enakostraničen (G = I), polinomske značilne točke s polinomskimi funkčijami prve stopnje tvorijo Nagelovo premičo. Ta seka Eulerjevo premičo trikotnika ABC v teZisču G. Ce ima se kaka točka z Eulerjeve premiče polinomsko funkčijo prve stopnje, Nagelova in Eulerjeva premiča sovpadata. Tedaj točka I lezi na Eulerjevi premiči, torej je trikotnik
enakokrak. Tako vidimo, da v raznostranicnem trikotniku z izjemo tez isc a G nobena znacilna tocka z Eulerjeve premice ni polinomska tocka s polinomsko funkcijo prve stopnje.
Posvetimo se zdaj homogenim polinomom druge stopnje. Ce naj tak polinom zadosca dodatni zahtevi p(a, b, c) = p(a, c, b), je oblike p(a, b, c) = sa2 + t(b2 + c2) + ubc + va(b + c). Ustrezna trikotni s ka funkcija je tedaj:
, ,	sa2 + t(b2 + c2) + ubc + va(b + c)
F (a, b, c) =
(s + 2t)(a2 + b2 + c2) + (u + 2v)(ab + ac + bc)'
Gre za stiriparametricno druz ino. Nas nadaljnji nacrt je naslednji: fiksi-rajmo parametra v imenovalcu, recimo s + 2t = 1,u + 2v = 2 in s tem namesto stiriparametricne druz ine dobimo dvoparametricno druz ino znac il-nih tock trikotnika. V konkretno navedenem primeru je to
^ , ^ , (1 — 2t)a2 + t(b2 + c2) + va(b + c)+2(1 — v)bc Ft'v (a,b,c) =-(a + b + c)2-.
Naj bo (a, b, c) poljuben raznostranicni trikotnik in P poljubna tocka v ravnini z normiranimi baricentricnimi koordinatami x : y : z. Premislimo, ali je toc ka P lahko znac ilna toc ka trikotnika (a, b, c), dolocena z eno od funkcij iz zgornje dvoparametricne druzine. To je res, ce je resljiv sistem enacb:
Ft,v(a, b, c)= x, Ft,v(b, c, a)= y, Ft,v (c, a, b)= z.
Ker velja x + y + z = 1inje tudi vsota levih strani enacb enaka 1, zado-sc ata prvi dve enacbi. Ce sta izpolnjeni ti, je tretja izpolnjena avtomaticno. Upostevajmo definicijo funkcije Ft,v in dobimo sistem dveh linearnih enacb za spremenljivki t in v:
t(b2 + c2 — 2a2) + v(ab + ac — 2bc) = x(a + b + c)2 — a2 — 2bc t(c2 + a2 — 2b2) + v(bc + ba — 2ca) = y(a + b + c)2 — b2 — 2ca
z determinanto
(b2 + c2 — 2a2)(bc + ba — 2ca) — (ab + ac — 2bc)(c2 + a2 — 2b2) =
= —3(a — b)(b — c)(c — a)(a + b + c).
Ker determinanta ni enaka nic, je sistem enolicno res ljiv.
Pri fiksnem raznostrani cnem trikotniku torej ze samo slike zna cilnih to ck iz nase dvoparametricne druzine pokrijejo celotno ravnino. Vsaka tocka v ravnini je torej »znac ilna tocka« tega trikotnika glede na eno od funkcij iz
te dvoparametri čne dru zine. To pa seveda ni edina dvoparametri čna dru-zina polinomov druge stopnje, ki jo lahko sestavimo. Spomnimo se, da smo začeli s stiriparametrično druz ino in potem dva koefičienta v imenovalču preprosto dolo čili. Ce bi ju določili druga če, bi dobili novo dvoparametri čno dru zino, katere slike pri fiksnem trikotniku bi spet pokrile čelo ravnino. Tovrstnih disjunktnih druzin polinomov druge stopnje pa imamo ogromno. Pri izbranem raznostraničnem trikotniku in izbrani točki v ravnini ze samo med polinomskimi značilnimi toč kami trikotnika s polinomom stopnje 2 najdemo neskončno takih, ki konkretni trikotnik preslikajo v izbrano točko. Da o polinomih visjih stopenj sploh ne govorimo.
Na podlagi teh ugotovitev nehote dobimo občutek, da je definičija značilne točke trikotnika zelo s iroka, morda pres iroka. Pojavi se občutek, da bi predstavljenim pogojem, ki jim mora zadosčati značilni točki trikotnika pripadajoč a trikotni s ka funkčija, lahko dodali s e kak pogoj, pa bi mu s e vedno zadosčala glavnina točk iz Kimberlingove enčiklopedije.
V korespondenči s Clarkom Kimberlingom sem preveril, ali morda pozna kak tovrsten poskus, ki bi bil splosneje sprejet. Zdi se, da tvoreč definičije značilne točke trikotnika potrebe po bolj restriktivni definičiji ne čuti. Mnenja je, da gre pač za druzino funkčij in se torej ni treba preveč ozirati na mnoz ičo slik enega elementa definičijskega območja, torej enega trikotnika, z vsemi funkčijami iz druz ine. Podobno, kot se pri realnih funkčijah ni smiselno ustavljati pri fiksnem realnem stevilu (rečimo nt) in negodovati nad tem, da ga npr. več trigonometričnih funkčij preslika enako in da mnoziča slik te točke s funkčijami iz druzine vseh trigonometričnih funkčij tvori če-lotno realno os.
A videti je, da vsi matematiki niso povsem njegovega mnenja in je razmi-sljanje o dodatnih pogojih in alternativnih definičijah v zraku. Tako je npr. japonski matematik Yoshio Agaoka v članku [2] predstavil pojem stopnje polinomske značilne točke trikotnika in ugotovil, da je ta za veliko večino začetnih značilnih točk trikotnika iz Kimberlingove enčiklopedije račionalno stevilo iz mnoziče {(-2)k, k € Z} U {to}. Pri tem imajo stopnjo to tiste polinomske značilne točke trikotnika, ki za enakostranični trikotnik niso definirane. Dejansko mi je doslej znana ena sama polinomska značilna toč ka trikotnika, katere stopnja ne lez i v zgornji mnoziči, to je X(944) s stopnjo -20. Vsekakor iz dodatka k omenjenemu članku izhaja, da imajo stopnjo v tej mnoz iči prav vse polinomske točke X(n) za n < 100.
Morda obstaja kak geometrijski argument, da bi definirana stopnja morala lezati prav v tej mnoziči in bi to dejstvo kot pogoj vgradili v izpopolnjeno verzijo definičije znač ilne točke trikotnika. Tovrstni dodatni pogoj bi morda izločil kako značilno točko iz Kimberlingovega seznama, bi pa pomenil zeleno zoz itev presplos ne definičije.
Idejo za kako alternativno in bolj restriktivno definicijo znacilne tocke trikotnika bi lahko iskali v teoriji mnozic, kjer so znani paradoksi nakazali potrebo po skrbnejsem pristopu k izgradnji mnozic. Tako bi tudi v nasem primeru mnozico znacilnih tock trikotnika lahko gradili postopoma, induktivno, pri cemer bi zaceli npr. z dvema tockama (npr. G in I), nadaljnje pa iz predhodnih induktivno pridobivali na podlagi v ta namen izbranih postopkov. Agaoka [2] predlaga dva postopka: transformacijo ravnine (ki znacilni tocki priredi novo znacilno tocko) in dvomestno operacijo, ki novo znacilno tocko priredi paru (P, Q) znacilnih tock. Konkretno gre za izo-gonalno transformacijo (definirano v [10]) in za P—Cevovo transformacijo tocke Q. Agaoka je idejo poskusil povezati s prej omenjeno teorijo stopenj polinomskih znacilnih tock. Delo je nadaljeval v clanku [3], a kljub obse-znosti narejenega zlahka opazimo, da je teorija se precej v povojih: hipotez je veliko, koncnih odgovorov pa malo. Z zanimanjem lahko pricakujemo nadaljnji razvoj dogodkov.
Sklepni komentar
O znacilnih tockah trikotnika je v uvodu h Kimberlingovi knjigi [8] zanimivo razmisljanje predstavil tudi slavni ameriski znanstvenik Douglas R. Hofstad-ter. Ta je javnosti najbolj znan kot pisec odmevne in nagrajevane knjige Gödel, Escher, Bach [5], v kateri raziskuje skupne znacilnosti - predvsem sorodne miselne zanke - v delih treh velikih ustvarjalcev: matematika, slikarja in glasbenika. Hofstadter je po osnovni izobrazbi matematik (mimogrede, po njem so poimenovane tri znacilne tocke trikotnika, X(359), X(360) in ze omenjena X(944)). Poleg matematike in fizike se ukvarja tudi z ozadji c lo-veskega uma, torej s problemi inteligence, jaza, umetne inteligence, zavesti, analogij, vzorcev itd., skratka z vpras anji, ki sodijo v multidisciplinarno po-drocje, imenovano kognitivna znanost. V slovenskem prevodu imamo knjigo [6], katere sourednik in soavtor je in v kateri so izpod peres razli c nih avtorjev predstavljeni nekateri vidiki na stetih tematik.
Vrnimo se k znacilnim tockam trikotnika in nekaterim Hofstadterjevim razmisljanjem na to temo.
Rdeca nit njegovega razmi s ljanja je (na prvi pogled morda naivno) vpra-sanje: Katera je najpomembnejča značilna točka trikotnika? Odgovora na to vpras anje avtor ne poda, zato pa predstavi tri zanimive vzporednice. Prva je sorodno vpras anje o najpomembnej s ih cloveskih organih in o organih, ki so najtesneje povezani z nasim jazom. Tu po avtorjevem mnenju lahko recemo vsaj to, da v ozji izbor ne morejo priti organi, brez katerih lahko prezivimo, recimo lasje, uhlji ali prsti. Tako tudi v trikotniku prvenstva ne moremo zlahka podeliti, lahko pa doloc ene znac ilne toc ke iz natec aja
Nagelova premica
: Euleijeva premica
.x«

Slika 3. Žnacilne tocke trikotnika (zaradi preglednosti so namesto z X(n) oznacene z
izlocimo. Razlog za to bi po avtorjevem mnenju lahko bil ze ta, da v kakem trikotniku znacilna tocka ni znotraj trikotnika.
Druga vzporednica je utezeni volilni sistem. Hofstadter najprej s prese-necenjem opazi, da je vsaj pri zacetnih znacilnih tockah trikotnika iz Kim-berlingovega seznama mnogo tock kolinearnih. Ce bi vzeli 100 tock v splos ni legi, bi te dolocale 4950 razlicnih premic. Ce vzamemo prvih 100 tock s Kim-berlingovega seznama, te dolocajo le kakih 100 tako imenovanih centralnih premic. Od tod ideja, da bi pomembnost tocke sodili po tem, na koliko pomembnih centralnih premicah se ta nahaja. Seveda pa se tu ujamemo v zanko: pomembne centralne premice so najbrz tiste, ki vsebujejo pomembne znacilne tocke trikotnika. In smo pri utezenem volilnem sistemu: ko glasujemo o neki temi, bi bilo treba glasove ute ziti glede na to, kolik sna avtoriteta je vpras ani na dolocenem podrocju. Da pa bi to avtoriteto izmerili, bi bilo treba povprasati ljudi s tega podrocja, pri cemer bi kompetentnej si vpra-sanci spet morali imeti vecjo tezo ...
Tretjic pa Hofstadter ob debati o najpomembnej s i znacilni toc ki trikotnika potegne vzporednico s problemom izbora najpomembnejse matema-ticne konstante. Ob tem opazi, da se je v zgodovini nase civilizacije vsaj eden resnih kandidatov za prvenstvo, stevilo e, pojavilo sorazmerno pozno, sele v casu Eulerja. Zato dopusca moznost, da so sedanji kandidati za najpomembnej so znacilno toc ko trikotnika, ne glede na obsez nost Kimberlingove
enciklopedije, sele na nivoju ocitnih konstant 1 in 0 in bomo morebiti tocki na nivoju konstant n in e sele odkrili. Tovrstno upanje pomeni tudi veliko vzpodbudo za nadaljnje raziskovanje.
Koncajmo s se eno analogijo, o kateri v predgovoru govori tudi Hof-stadter, a je nanjo pred tem opozoril ze Kimberling. Gre za primerjavo raziskovanja znacilnih tock trikotnika in opazovanja zvezd. Grki so poznali stiri znacilne tocke trikotnika, podobno kot prosto oko na vecernem nebu opazi le najsvetlejse zvezde. Temnejsa je noc in bolje kot se pripravimo k opazovanju, vec zvezd, tudi manj svetlih, utegnemo opaziti. Vcasih se lahko zgodi, da se - gledano iz nekega polozaja - dve zvezdi prekrivata. Tudi pri znacilnih tockah trikotnika se to pri kakem posebnem trikotniku lahko zgodi. Ce pa se iz tega polozaja le malo premaknemo (ce trikotnik le malo spremenimo), se izkaze, da sta zvezdi dejansko dve (da se znacilni tocki trikotnika ne prekrivata vec). Pogled na zvezdno nebo se tako od tocke do tocke v vesolju spreminja, nekatere konstelacije pa vendarle ostajajo nespremenjene. Podobno konstelacije znacilnih tock trikotnika pri razlicnih oblikah trikotnikov ohranjajo nekatere osnovne znacilnosti.
Tudi v smislu te primerjave ugotovitev iz prejsnjega razdelka nismo pre-vec veseli. Preneseno na zvezde bi ta spoznanja pomenila, da na nocnem nebu ob pozornejsem opazovanju ni samo vec in vec zvezd, pac pa, da dejansko sveti cisto vsaka tocka na nebu. Zgoraj omenjena potreba po zozitvi definicije znacilne toc ke trikotnika tako dobi se dodaten argument.
LITERATURA
[1]	S. Abu-Saymeh in M. Hajja, Coincidence of centers for scalene triangles, Forum Geom. 7 (2007), 137-146.
[2]	Y. Agaoka, Degree of triangle centers and a generalization of the Euler line, Beitrage Algebra Geom. 51 (2010), 63-89.
[3]	Y. Agaoka, Triangle centers defined by quadratic polynomials, Math. J. Okayama Univ. 53 (2011), 185-216.
[4]	Encyclopedia of Triangle centers, dostopno na http://faculty.evansville.edu/ ck6/encyclopedia/ETC.html, povzeto dne 7. 1. 2013
[5]	D. R. Hofstadter, Godel, Escher, Bach: an eternal golden braid,, Hassocks: Harvester Press, cop. 1979.
[6]	D. R. Hofstadter in D. C. Denett, Oko duha: fantazije in refleksije o jazu in duši, ZaloZba Mladinska knjiga, Ljubljana, 1990.
[7]	C. Kimberling, Central points and central lines in the plane of a triangle, Math. Magazine 67 (1994), 163-187.
[8]	C. Kimberling, Triangle centers and central triangles, Congr. Numerantium 129, 1998.
[9]	C. Kimberling, Triangle centers as functions, Rocky Mountain J. Math. 23 (1993), 1269-1286.
[10] T. Veber, Kubične krivulje trikotnika, Obzornik mat. fiz. 59 (2012), 50-62. 14	Obzornik mat. fiz. 61 (2014) 1