PARAMETRICNO MINLP OPTIMIRANJE SOVPREŽNEGA STROPNEGA SISTEMA Z I-NOSILCI PARAMETRIC MINLP OPTIMIZATION OF A COMPOSITE I BEAM FLOOR SYSTEM doc. dr. Tomaž Žula, univ. dipl. inž. grad. Znanstveni clanek tomaz.zula@um.si UDK: 519.853:627.072.2 prof. dr. Stojan Kravanja, univ. dipl. inž. grad. stojan.kravanja@um.si Univerza v Mariboru, Fakulteta za gradbeništvo, prometno inženirstvo in arhitekturo, Smetanova ulica 17, 2000 Maribor Povzetek l Prispevek obravnava primerjalno študijo optimalnega sovprežnega stropnega sistema, ki temelji na izvedenem parametricnem mešano celoštevilskem ne­linearnem programiranju, MINLP. Sovprežni stropni sistem sestavljajo jekleni I-nosilci in armiranobetonska plošca. Nosilci so lahko varjeni I-profili, vroce valjani IPE-profili ali vro-ce valjani HEA-profili. Razviti so optimizacijski modeli, ki vsebujejo podrobno namensko funkcijo lastnih izdelavnih stroškov konstrukcije, podvrženih pogojem statike konstrukcij in dimenzioniranja. Pogojne enacbe dimenzioniranja so dolocene v skladu z Evrokodom 4. Za reševanje nekonveksnega, nelinearnega in kombiniranega diskretno-zveznega optimizacijskega problema sovprežnega stropnega sistema smo uporabili modificirani algoritem zunanje aproksimacije s sprostitvijo enacb, OA/ER. Minimalni lastni izdelav­ni stroški konstrukcije, optimalna trdnost betona in konstrukcijskega jekla ter dimenzije precnega prereza stropnega sistema so bili za razlicne razpone in materiale doseženi z vsako posamezno MINLP-optimizacijo. Iz izracunanih optimalnih rezultatov smo izrisali primerjalne diagrame, ki omogocajo inženirju izbrati optimalno konstrukcijo sovprežnega stropnega sistema. Kljucne besede: sovprežne konstrukcije, stroškovno optimiranje, optimiranje konstrukcije, parametricno optimiranje, mešano celoštevilsko nelinearno programiranje, MINLP Summary l This paper deals with a comparative study of an optimal design in ter­ms of composite floor structures based on the performed multi-parametric mixed-integer non-linear programming, MINLP. The composite floor system is designed to be made of the steel I sections and concrete slab. Steel sections are proposed to be designed of welded I cross-sections, hot-rolled IPE cross-sections or hot-rolled HEA cross-sections. Optimiza­tion models were developed, in which an accurate cost objective function is subjected to structural analysis and dimensioning (in)equality constraints. Dimensioning constraints were determined according to Eurocode 4. The Modified Outer-Approximation/Equality­-Relaxation algorithm, OA/ER, was applied to solve the non-convex, non-linear and com­bined discrete-continuous optimization problem of the composite structure. The minimal self-manufacturing costs of the structure, steel and concrete grades and standard sizes were for different spans and loads obtained through individual MINLP optimizations. All results were analysed and compared. Comparison diagrams were determined, which allow the engineer to select the optimal design of the composite floor system. Key words: composite structures, cost optimization, structural optimization, parametric optimization, mixed-integer non-linear programming, MINLP V prispevku predstavljamo študijo para­metricnega optimiranja sovprežnih stro­pnih sistemov, sestavljenih iz armirano­betonske plošce in jeklenih I-nosilcev. Za dolocitev optimalne stropne konstrukcije (optimalne dimenzije in trdnosti materi­alov) je bila za razlicne parametre, kot so razlicni razponi, odpornosti in prerezi, izvedena serija optimizacij s pomocjo mešanega celoštevilskega nelinearnega programiranja (MINLP). Ker sovprežno konstrukcijo sestavljata dva osnovna ma-teriala, armirani beton in jeklo, smo na­mesto mase optimirali izdelavne stroške sovprežne konstrukcije. Optimizacija sovprežnih konstrukcij je pos­tala priljubljeno podrocje med raziskovalci predvsem zaradi vedno vecje uporabe v inženirski praksi. V preteklosti se je kar nekaj avtorjev ukvarjalo z optimizacijo raz­licnih sovprežnih stropnih sistemov, pri ce-mer so uporabljali razlicne optimizacijske metode in algoritme. Na primer Klanšek in Kravanja ([Klanšek, 2006a], [Klanšek, 2006b]) sta za raziskavo konkurencnosti razlicnih sovprežni stropnih sistemov upo­rabila metodo nelinearnega programiranja (NLP). V nadaljevanju so našteti raziskovalci za optimalni dizajn sovprežnih konstrukcij uporabili razlicne algoritme: Poitras idr. roj delcev (particle swarm optimization) [Po-itras, 2011], Omkar idr. algoritem kolonije cebel (artificial bee colony) [Omkar, 2011], Kaveh in Massoudi sta uporabila algoritem kolonije mravelj (ant colony system) [Kaveh, 2012], Kravanja idr. metodo mešanega celoštevilskega nelinearnega programiranja [Kravanja, 2017]. Parametricno optimizacijo le poredko zasle­dimo v literaturi. Na tem podrocju sta Seno- Nelinearni, nekonveksni in kombinirani dis-kretno-zvezni optimizacijski problem, kakršen je problem optimizacije sovprežnega stropne­ga sistema, racunamo s pomocjo mešanega celoštevilskega nelinearnega programiranja (MINLP). Splošno MINLP modelno formulacijo lahko zapišemo v obliki: uci in Al-Ansari [Senouci, 2009] predstavila parametricno študijo sovprežnih nosilcev z uporabo genetskega algoritma. Parame­tricna študija je bila izvedena za tri obtežbe (spremenljiva obtežba: 6 kN/m2, 7 kN/m2, 13,0 kN/m2 in 16,3 kN/m2) in za štiri raz-pone sovprežnega nosilca (4 m, 6 m, 8 m in 10 m). Za jeklene nosilce sta uporabila širokopasovne ameriške profile. Kaveh in Ahangaran [Kaveh, 2012] sta izvajala para­metricno študijo sovprežnih stropov z upo­rabo algoritma družbenega harmonijskega iskanja (social harmony search). Optimalni dizajn stropnega sistema sta iskala pri treh razlicnih spremenljivih obtežbah (2 kN/m2, 3 kN/m2 in 4 kN/m2), štirih razponih (5 m, 6 m, 7 m in 8 m) in z razlicnimi standardnimi I- in IPE-profili. V pricujoci parametricni študiji smo v optimi­zacijo vkljucili 5 razlicnih razponov stropne­ga sistema (5 m, 10 m, 15 m, 20 m, 25 m), pri cemer je konstrukcija bila obremenjena z lastno težo in koristno obtežbo 4 kN/m2. Op-timalna konstrukcija sovprežnega stropnega sistema je bila dobljena pri naslednjih mo-žnih materialnih/dimenzijskih alternativah: pri razlicnih konstrukcijskih jeklih, razlicnih trdnosti betona, razlicnih prerezih jeklenih nosilcev (varjeni I-profili, standardni jekleni IPE-profili in standardni HEA-profili), razlicnih armaturnih mrežah betonske plošce, razlic­nih zaokroženih/diskretnih debelinah armi­ranobetonske plošce, razlicnih odpornostih sovprežnega prereza (plasticna in elasticna odpornost), razlicnih legah nevtralnih osi in pri razlicnih legah težišcnih osi idealizira­nega (popolnoma jeklenega) sovprežnega prereza. V študiji smo izvedli stroškovno optimira­nje sovprežnega stropnega sistema, kjer je stroškovna namenska funkcija podvr­žena pogojnim (ne)enacbam, poznanih iz analize in dimenzioniranja sovprežnih konstrukcij. Pogoji dimenzioniranja so de­finirani v skladu z Evrokodi 0, 1, 2, 3 in 4 ([SIST, 2004a], [SIST, 2004b], [SIST, 2005a], [SIST, 2005b] in [SIST, 2005c]), po katerih je konstrukcija preverjena z dolocili mejnih stanj nosilnosti (MSN) in mejnih stanj uporabnosti (MSU). Za opti­miranje smo uporabili metodo mešanega celoštevilskega nelinearnega programira­nja (MINLP). Z MINLP se socasno izvaja diskretno optimiranje standardnih dimenzij (standardnih jeklenih prerezov nosilcev in armaturnih mrež), diskretno optimiranje materiala (trdnostnega razreda betona in jekla), diskretno optimiranje zaokrože­nih dimenzij (debeline armiranobetonske plošce) in optimiranje zveznih parametrov (stroškov, mase). Diskretno/zvezni MINLP optimizacijski pro­blem sovprežnega stropnega sistema je obsežen, nekonveksen in nelinearen. Zato smo optimizacijo izvedli s pomocjo modifi­ciranega algoritma zunanje aproksimacije s sprostitvijo enacb (The Modified OA/ER), ([Kravanja Z., 1994], [Kravanja S., 1998a], [Kravanja S., 1998b]). Za možne kombina­cije med prej opisanimi razlicnimi parametri smo izvedli številne posamezne MINLP­-optimizacije. Dobljene optimalne rezultate smo primerjali in analizirali. Koncni rezultat predstavljajo izrisani primerjalni diagrami, s pomocjo katerih lahko za izbrani razpon dolocimo optimalno konstrukcijo sovprež­nega sistema. pri cemer je funkcija f(x, y) namenska funkcija z in gk (x, y) je množica pogojnih enacb in neenacb. Vse funkcije morajo biti zvezne in zvezno odvedljive. Vsaj ena funkcija mora biti nelinearna (v konstruk­cijah je vecina funkcij nelinearnih). Vektor x je vektor zveznih spremenljivk, definiran na definicijskem obmocju X in y je vektor diskretnih binarnih 0-1 spremenljivk, ki lahko zavzamejo vrednost 0 ali 1. razlicne optimizacijske modele, ki vkljucujejo vse kombinacije med omenjenimi razlicnimi parametri. Sovprežno konstrukcijo obravnavamo kot prostoležeci sovprežni nosilni sistem, glej sli­ko 1. Obravnavani sovprežni stropni sistem je sestavljen iz množice enakih sovprežnih nosilcev z medsebojnimi vodoravnimi razmaki e. Vsak sovprežni nosilec je nadalje sestavljen Slika 1•Sovprežni stropni sistem. polj. Pri izracunu sodelujoce širine sovprež­nega nosilca sta upoštevana enaka razpona notranjih polj plošce. Za jeklene I-nosilce smo uporabili varjene I-profile, standardne vroce­valjane IPE-profile in standardne vrocevaljane HEA-profile. Plasticna in elasticna odpornost iz sodelujoce širine armiranobetonske plošce beff in enega jeklenega, dvojno simetricnega I-profila. Armiranobetonska plošca je upošte­vana kot armiranobetonski nosilec preko vec sovprežnega prereza je odvisna od lege nev­tralne osi, ki lahko leži v armiranobetonski plošci, v zgornji pasnici I-profila in v stojini jeklenega I-profila. V ta namen smo razvili Glede na prej opisano MINLP modelno for-mulacijo in MINLP-superstrukturo smo razvili vec razlicnih MINLP optimizacijskih modelov COMBOPT (COMposite Beam OPTimization). S temi modeli lahko dobimo razlicne optimalne rešitve sovprežnega sistema kot kombinacijo med naslednjimi parametri: • 3 razlicni I-profili sovprežnega stropnega sistema: o varjeni jekleni I-profil o standardni jekleni IPE-profil o standardni jekleni HEA-profil • 2 razlicni odpornosti sovprežnega prere­za: o plasticna odpornost o elasticna odpornost • 3 razlicne lege nevtralnih osi: o v betonski plošci o v zgornji pasnici jeklenega I-profila o v stojini jeklenega I-profila Cepi z glavo, ki so privarjeni na zgornjo pas-nico I-nosilca, povezujejo armiranobetonsko plošco in jekleni I-nosilec, glej sliko 2. Med betoniranjem so nosilci podprti z vmesnimi podporami tako, da se po strditvi betona lastna in spremenljiva obtežba v celoti prene­seta na sovprežni prerez. Za izvedbo MINLP-optimizacije je treba gene-rirati superstrukturo (superkonstrukcijo) strop-nega sovprežnega sistema, znotraj katere se razlicne definirane konstrukcijske alternative potegujejo za najboljši optimalni rezultat. Su­perstrukturo sovprežnega stropnega sistema predstavlja množica razlicnih materialnih in di­menzijskih alternativ, dobljenih s kombinacijo: • i, i.I, alternativ trdnostnih razredov jekel, • j, j.J, alternativ trdnostnih razredov betona, • k, k.K, alternativ diskretnih jeklenih I-profilov: o ktf, ktf.Ktf, alternativ standardnih debelin pasnice varjenega I-profila, o ktw, ktw.Ktw, alternativ standardnih debelin stojine varjenega I-profila, o kIPE, kIPE.KIPE, alternativ standar­dnih vrocevaljanih IPE-profilov, o kHEA, kHEA.KHEA, alternativ standar­dnih vrocevaljanih HEA-profilov, • m, m.M, alternativ jeklenih mrež za armi­rani beton, • n, n.N, diskretnih alternativ za zaokro­žene debeline armiranobetonske plošce, zaokroženih na en centimeter. Namen parametricne optimizacije je znotraj definirane superstrukture najti optimalno kon­strukcijo z ozirom na izracunane najmanjše iz­delavne stroške stropnega sistema, pri cemer še dobimo standardne materiale, diskretne dimenzije profilov in armaturnih mrež ter za­okrožene dimenzije armiranobetonske plošce. • 2 razlicni legi težišcnih osi idealiziranega (popolnoma jeklenega) sovprežnega pre­reza: o v betonski plošci o v jeklenem I-profilu. Optimizacijske modele sovprežnega strop-nega sistema smo zapisali v višjem alge­brajskem modelnem jeziku GAMS (General Algebraic Modeling System) [Brooke, 1988]. Vsak model vsebuje stroškovno namensko funkcijo, pogojne (ne)enacbe, celoštevilske in mešane celoštevilske pogojne (ne)enacbe, vhodne podatke (konstante) in zvezne ter diskretne spremenljivke. 4.1 Stroškovna namenska funkcija Namenska funkcija lastnih izdelavnih stro­škov sovprežnega sistema z varjenimi in standardnimi I-profili predstavlja obsežni sis-tem stroškovnih postavk, zapisanih v obliki nelinearnih funkcij, ki so jih razvili Klanšek in Kravanja ([Klanšek, 2006a], [Klanšek, 2006b]) ter Žula idr. ([Žula, 2016], [Žula, 2017]). Namenska funkcija obsega stroške materiala, energije in dela, potrebne za izde­lavo obravnavanega sovprežnega stropnega sistema, glej enacbo (1): Cost (€/m2) oznacuje lastne izdelavne stro­ške na enoto uporabne površine sovprežne­ga stropnega sistema (€/m2), kjer so CM,..., CP,... in CL,... posamezne stroškovne postav­ke materiala, elektricne energije in dela, izra-cunane v €, glej preglednico 1; L (m) je razpon sovprežnega stropnega sistema in e (m) je medsebojna razdalja dveh sosednjih I-nosilcev. Stroške materiala predstavljajo posamezni materialni stroški za konstrukcij­sko jeklo CM,s, beton CM,c, rebrasto mrežno armaturo CM,r, cepi z glavo CM,sc, elektrode CM,e, antikorozijsko zašcito, protipožarno zaš-cito in koncni premaz CM,ac,fp,tc, prefabricirane (1) opažne plošce CM,f, naravni plin CM,c,ng in ki­sik CM,c,oxy. Stroški elektricne energije vkljucu­jejo proces brušenja robov plocevin CP,gm, proces oblocnega varjenja plocevin CP,w, proces oblocnega varjenja cepov z glavo CP,sw in proces vibriranja betona CP,v. Stroški dela zajemajo plinsko rezanje jeklenih ploce­vin s tehnologijo kisik–naravni plin CL,c,oxy-ng, brušenje robov plocevin CL,g, priprava, sesta­vljanje in pritrjevanje elementov za varjenje CL,p,a,t, rocno oblocno varjenje CL,SMAW, polav­tomatsko oblocno varjenje cepov z glavo CL,sw, peskanje plocevine in nanos antikoro­zijskega, protipožarnega ter koncnega pre­maza CL,spp, montaža, niveliranje, demontaža in cišcenje opažnega sistema CL,f, rezanje, postavitev in vezanje mrežne armature CL,r, betoniranje plošce CL,c, konsolidacijo betona CL,v in nego betona CL,cc. Podrobno je stro­škovna namenska funkcija predstavljena v clankih Klanška in Kravanje ([Klanšek, 2006a], [Klanšek, 2006b]), Kravanja idr. [Kravanja, 2017] in Žule idr. ([Žula, 2016], [Žula, 2017], [Žula, 2018]). cM,s Cena konstrukcijskega jekla S 235 za 8 mm debelo jekleno plocevino: cS =1,25 €/kg cM,s = cS · ( a1 · fy 2 + a2 · t2+ a3 · fy · t + a4 · fy + a5 · t + a6) (€/kg); a1 = –3,7313 × 10-4; a2 = -1,7170 × 10-2; a3 = -4,9858 × 10-4 a4 = 2,8962 × 10-2 a5 = 1,2934 × 10-1 a6 = 4,4147 × 10-1 fy (kN/cm2)* ; t (cm) debelina plocevine cM,s Cena konstrukcijskega jekla S 235 za standardni IPE 80 prerez: cS =1,25 €/kg cM,s = cS · ( a1 · fy 2 + a2 · h2+ a3 · fy · h + a4 · fy + a5 · h + a6) (€/kg); a1 = 1,8783 × 10-4; a2 = 3,0707 × 10-4; a3 = 1,6530 × 10-5 a4 = -3,3288 × 10-3 a5 = -1,3915 × 10-2 a6 = 1,0630 × 100 fy (kN/cm2)*; h (cm) višina profila cM,s Cena konstrukcijskega jekla S 235 za standardni HEA 100 prerez: cS =1,25 €/kg cM,s = cS · ( a1 · fy 2 + a2 · h2+ a3 · fy · h + a4 · fy + a5 · h + a6) (€/kg); a1 = 2,1982 × 10-4; a2 = 6,2266 × 10-5; a3 = 4,1031 × 10-5 a4 = -5,3682 × 10-3 a5 = 4,9888 × 10-4 a6 = 9,8361 × 10-1 fy (kN/cm2)* ; h (cm) višina profila cM,c Cena betona C 20/25: cC = 85,00 €/m3 cM,c = cC · (k1 · fck 2 + k2 · fck + k3) (€/kg); k1 = –3,2220 × 10-2; k2 = 4,0571 × 10-1; k3 = 1,8829 × 10-1 fck (kN/cm2)** CM,f Materialni strošek prefabriciranih opažnih plošc: CM,f = cM,f · 1/nuc · Acs cM,f cena prefabriciranih opažnih plošc; cM,f = 30,00 €/m2 nuc število ciklov uporabe opažnih plošc, od 10 do 100; nuc =30 Acs površina opaža na sovprežni nosilec; Acs = e · L (m2) cM,r Cena armaturnega jekla B 500 0,70 €/kg cM,sc Cena cepa z glavo 0,50 € cM,e Cena elektrod 1,70 €/kg cM,ac Cena antikorozijskega zašcitnega premaza 0,85 €/m2 cM,fp Cena protipožarnega zašcitnega premaza R 30 9,00 €/m2 cM,tc Cena koncnega zašcitnega premaza 0,65 €/m2 cM,ng Cena naravnega plina 0,50 €/m3 cM,oxy Cena kisika 1,60 €/m3 cP Cena elektricne energije 0,10 €/kWh cL Stroškovna urna postavka delavca 20,00 €/h *napetost tecenja jekla, **tlacna trdnost betona Preglednica 1•Stroškovni parametri materiala, energije in dela v optimizacijskih modelih. 4.2 Pogojne (ne)enacbe V preglednici 2 so prikazane pogojne (ne) enacbe dimenzioniranja sovprežnega strop-nega sistema. Enacbe so definirane skladno s standardom Eurocode 4. Razdeljene so v dve skupini: pogojne (ne)enacbe mejnega stanja nosilnosti (MSN), glej enacbe (2)-(31), in pogojne (ne)enacbe mejnega stanja upo­rabnosti (MSU), enacbe (32)-(42). Pogojne (ne)enacbe (2)-(13) obravnavajo pla­sticno upogibno odpornost sovprežnega pre­reza, kjer MEd,cb predstavlja projektni upogibni moment, MPl,Rd.cb oznacuje projektno plasticno upogibno odpornost sovprežnega prereza in qEd,cb projektno zvezno obtežbo. Pogoj MPl,Rd.cb je izracunan glede na lego plasticne nevtralne osi xp (v armiranobetonski plošci, v zgornji pasnici jeklenega profila, v stojini jeklenega profila), glej sliko 3. Ostali cleni v enacbah so: delni faktor za stalno obtežbo .g, delni faktor za spremenljivo obtežbo .q, karakteristicni vrednosti stalne obtežbe g in spremenljive obtežbe q, precni prerez jeklenega profila Aa, višina jeklenega profila h, širina pasnice bf, debelina pasnice tf, debelina stojine tw, nape-tost tecenja fy, karakteristicna tlacna trdnost betona fck, delni varnostni faktor za jeklo .a, delni varnostni faktor za beton .c, sodelujoca širina betonske pasnice na vsaki strani stojine be (velja be = L/8 oziroma e/2) in debelina armiranobetonske plošce d. V primeru, ko racunamo elasticno upogib-no odpornost sovprežnega prereza MEl,Rd,cb, se v modelu aktivirajo pogojne (ne)enacbe (14)-(20). Cleni v enacbah so: n je razmerje elasticnih modulov, sa je najvecja natezna na­petost v jeklenem prerezu, xe je razdalja med elasticno nevtralno osjo in zgornjim robom betonske plošce, glej sliko 4. Pogojne (ne)enacbe (21)-(23) opisujejo od­pornost sovprežnega prereza na strig. Verti­kalno precno silo prenaša stojina jeklenega nosilca, kjer je upoštevana nevarnost lokalne­ga izbocenja zaradi striga. VEd,cb predstavlja projektno strižno silo, Vb,Rd,cb je projektna strižna odpornost z upoštevanjem lokalnega izbocenja stojine, .w je zmanjševalni koefici­ent strižnega izbocenja in .M1 je delni faktor odpornosti jeklenega prereza. Strižno odpornost cepov z glavo racunamo s pomocjo (ne)enacb (24)-(26), kjer je Vl vzdolžna strižna sila, nsc je število cepov z glavo, Prd je projektna strižna nosilnost cepa z glavo, a je koeficient, odvisen od vitkosti cepa z glavo, dsc je premer cepa z glavo, Ecm je sekantni modul elasticnosti betona, fu natezna trdnost jekla in .v je delni faktor za projektno strižno nosilnost cepa z glavo. V racunskem modelu kontrole vzdolžnega striga v betonski pasnici nismo upoštevali, ker nima bistvenega vpliva na koncne rezultate. Upogibno odpornost armiranobetonske ploš-ce obravnavajo pogojne (ne)enacbe (27)­(32), kjer MEd,cs in Mult,cs oznacujeta projektni upogibni moment in upogibno odpornost prereza armiranobetonske plošce. .c je pro-storninska teža betona, bcu je enotska širina betonske plošce (1m), c je debelina krovne­ga sloja betona, xc je oddaljenost nevtralne osi od zgornjega roba betonske plošce, fsk je karakteristicna vrednost napetosti tecenja armaturnega jekla, .s je delni varnostni faktor za armaturno jeklo in As je potrebni prerez armature. (Ne)enacbe (33)-(43) definirajo pogoje mej­nega stanja uporabnosti. Navpicni upogibki sovprežnega nosilca so preverjeni z enacbami (33)-(38), kjer je d2 upogibek sovprežnega nosilca zaradi karakteristicne spremenljive ob-težbe q, dmax je upogibek sovprežnega nosilca zaradi celotne obtežbe (g+q), dcr je upogibek sovprežnega nosilca zaradi lezenja betona in dsh je upogibek sovprežnega nosilca zaradi krcenja betona. Msh je upogibni moment zaradi krcenja betona, Ea je elasticni modul konstrukcijskega jekla, Ii je idealiziran vztraj­nostni moment transformiranega sovprežnega prereza (sovprežni prerez je transformiran/ spremenjen v enakovreden jekleni prerez), Icr je idealiziran vztrajnostni moment zaradi krcenja betona in Ish je idealiziran vztrajnostni moment transformiranega sovprežnega prere­za zaradi lezenja betona. Da nismo presegli mejnega stanja uporab­nosti konstrukcije zaradi nihanj, smo zago­tovili, da so lastne frekvence sovprežnega stropnega sistema, na katerih ljudje pogosto hodijo nad 3 Hz. Navpicni upogibek armiranobetonske plošce dolocajo pogojne (ne)enacbe (39)-(43), kjer je d upogibek armiranobetonske plošce zaradi celotne obtežbe, dI je upogibek armiranobe­tonske plošce zaradi celotne obtežbe pri upo­števanju nerazpokanega prereza in dII je upo­gibek armiranobetonske plošce zaradi celotne obtežbe pri upoštevanju razpokanega prereza. . je koeficient porazdelitve, ssr je napetost v natezni armaturi razpokanega prereza pri obtežnih pogojih nastanka prvih razpok, ss je napetost v natezni armaturi pri razpokanem prerezu, k je koeficient, ki je odvisen od števila polj kontinuirane armiranobetonske plošce, Ec,eff je ucinkoviti modul elasticnosti betona, Ecm je sekantni modul elasticnosti betona, Iu je vztrajnostni moment nerazpokane betonske plošce (širine 1 m), Ic je vztrajnostni moment razpokane betonske plošce (širine 1 m). Mejno stanje nosilnosti (MSN): - Plasticna odpornost na upogibni moment sovprežnega nosilca: MEd,cb = MPl,Rd,cb (2) MEd,cb = qEd,cb ·L2 / 8 where qEd,cb = (.g · g + .q ·q · e) (3),(4) - plasticna nevtralna os leži v betonski pasnici, slika 3a: xp = d (Aa · fy · .c) / (0,85 · fck · .a)= 2 · be · d (5) MPl,Rd,cb = [ h / 2 + d –(Aa · fy · .c) / (4 · be · 0.85 · fck · .a) ] · Aa · fy / .a (6) xp = (Aa · fy · .c) / (2 · 0,85 · fck · .a · be · .a) (7) - plasticna nevtralna os leži v zgornji pasnici I nosilca, slika 3b: d < xp = (d+tf) 2 · be · d < (Aa · fy · .c) /(0,85· fck · .a) =2 ·be · d + 2· (fy · .c) / (0,85·fck · .a) · bf · tf (8) MPl,Rd,cb = [Aa · (h / 2 + d / 2) – bf · xp · (xp – d)] · fy / .a (9) xp = d + tf + Aa / (2 · tw) – (0,85 · fck · .a · be · d) / (tw · fy · .c) – tf · bf / tw (10) - plasticna nevtralna os leži v stojini I-nosilca, slika 3c: xp > (d+tf) (fy · .c) /(0,85 · fck · .a) ·( Aa –2 · tf · tw) > 2 · be · d (11) MPl,Rd,cb = [Aa · (h / 2 + d / 2) – tf · bf · (d + tf ) – tw ·(xp – tf –d) · (xp – tf)] ·fy / .a (12) xp = d + tf + Aa / (2 ·bf) – (0,85 · fck · .a · be · d)/ (bf · fy · .c) (13) - Elasticna odpornost proti upogibnemu momentu sovprežnega nosilca: MEd,cb = MEl,Rd,cb (14) -elasticna nevtralna os leži v betonski pasnici, slika 3d: xe = d (15) MEl,Rd,cb = sa/2 · [(1+d+h – xe – tf) / (d+h – xe)] · tf · bf ·{d + h – xe – [(3·d+3·h –3·xe –2·tf) / (2·d+2·h – (16) 2·xe – tf) ·tf /3]} + sa/2 · [(2·d+h –2· xe) / (d+h – xe)] · (h – 2·tf ) ·tw · {d + h – xe – tf – [(3·d+h+tf –3·xe ) / (2·d+h – 2·xe) ·(h – 2·tf)/3]} + sa/2 · [(2·d+tf –2· xe) / (d+h – xe)] · tf · bf ·{d + tf – xe – [(3·d+tf –3·xe) / (2·d+tf – 2·xe) ·tf /3]} + sa/(2·n) · [xe / (d+h – xe)] · xe · beff · 2/3·xe - elasticna nevtralna os leži v zgornji pasnici I-nosilca, slika 3e: d < xe = (d+tf) (17) MEl,Rd,cb = sa/2 · [1+(d+h – xe – tf) / (d+h – xe)] · tf · bf ·{d + h – xe – [(3·d+3·h –3·xe –2·tf) / (2·d+2·h – (18) 2·xe – tf) ·tf /3]} + sa/2 · [(2·d+h –2· xe) / (d+h – xe)] · (h – 2·tf ) ·tw · {d + h – xe – tf – [(3·d+h+tf –3·xe ) / (2·d+h – 2·xe) ·(h – 2·tf)/3]} + sa/2 · [(d+tf – xe) / (d+h – xe)] · (d+tf – xe) ·bf ·2/3·(d+tf – xe) + sa/2 · [(xe – d) / (d+h – xe)] · (xe – d) ·bf ·2/3·(xe – d) + sa/(2·n) · [(2·xe – d) / (d+h – xe)] · d· beff ·{xe –[(3·xe – 2·d) / (2·xe – d) ·d /3]} - elasticna nevtralna os leži v stojini I-nosilca, slika 3f: xe > (d+tf) (19) MEl,Rd,cb = sa/2 · [1+(d+h – xe – tf) / (d+h – xe)] · tf · bf ·{d + h – xe – [(3·d+3·h –3·xe –2·tf) / (2·d+2·h – (20) 2·xe – tf) ·tf /3]} + sa/2 · [(d+h – xe – tf) / (d+h – xe)] · (d+h – xe – tf ) ·tw · 2/3 · (d+h – xe – tf) + sa/2 · [(xe – d – tf) / (d+h – xe)] · (xe – d – tf) ·tw ·2/3·( xe – d – tf) + sa/2 · [(2·xe – 2·d – tf) / (d+h – xe)] · tf · bf · {xe – d – [(3·xe – 3·d – 2·tf) / (2·xe – 2·d – tf) ·tf /3]}+ sa/(2·n) · [(2·xe – d) / (d+h – xe)] · d· beff ·{xe – [(3·xe – 2·d) / (2·xe – d) ·d /3]} - Strižna odpornost sovprežnega nosilca: VEd,cb = Vb,Rd,cb (21) VEd,cb = qEd,cb ·L / 2 (22) Vb,Rd,cb = (.w ·fy · (h – 2 · tf) · tw) / (3˝ · .M1) (23) - Strižna odpornost cepov z glavo: Vl = ˝ · nsc · PRd (24) Vl = min { Aa · fy / .a; 2 · be ·0,85 · fck / .c } (25) 2 ˝ 2 2)˝2 PRd = min { 0,29 · a · dsc · (fck · Ecm / .v; 0.8 · fu · p · dsc / (4 · .v) } (26) - Odpornost armiranobetonske plošce proti upogibnemu momentu: MEd,cs = Mult,cs (27) MEd,cs,pl = qEd,cs · e2 / 16 (28) 2 MEd,cs,el = qEd,cs · e / 11,67 (29) qEd,cs = (.g · .c · bcu · d + .q ·q · bcu) (30) Mult,cs = 0,48 ·0,85 · fck · bcu · xc 2 / .c + As ·(d – xc) · fsk / .s (31) As = 0,85 · fck · bcu · 0,8· xc · .s / (.c · fsk) (32) Mejno stanje uporabnosti (MSU): - Kontrola navpicnega upogibka sovprežnega stropnega sistema: d2 = L / 300, dmax = L / 250 (33),(34) d2 = 5 ·q · e · L4 / (384· Ea ·Ii) (35) dcr = 5 ·g · L4 / (384· Ea ·Icr) (36) dsh =Msh · L2 / (8· Ea ·Ish) (37) dmax = d2 + dcr + dsh (38) - Kontrola navpicnega upogibka betonske plošce med I-nosilci: d = L / 250 (39) d =. · dII + (1 – .) · dI (40) . = 1 – 0.5 · (ssr / ss) (41) dII = k · [ .c · bcu · d· e4 / (Ec,eff · Ic) + q · bcu · e4 / (Ecm · Ic) ] (42) dI = k · [ .c · bcu · d· e4 / (Ec,eff · Iu) + q · bcu · e4 / (Ecm · Iu) ] (43) Preglednica 2• Pogojne (ne)enacbe (MSN) in (MSU). Slika 3• Lege plasticnih nevtralnih osi. Slika 4• Lege elasticnih nevtralnih osi. Z logicnima pogojnima enacbama (44) in dmat (trdnosti betona in jekla), z enacbama line plocevin in prerez armaturne mreže) ter z (45) racunamo diskretne vrednosti materialov (46) in (47) standardne dimenzije dst (debe-enacbama (48) in (49) zaokrožene dimenzije drd (zaokroženo debelino betonske plošce). Posamezne diskretne vrednosti so definirane kot skalarni produkt med vektorjem diskretnih številskih vrednosti alternativ in vektorjem pridruženih binarnih spremenljivk. Za prikaz vpliva stroškov na optimalno so-vprežno konstrukcijo smo izvedli parametricno MINLP-optimizacijo za vse možne kombinacije med razlicnimi superstrukturnimi alternativami, kot so: 5 razponov (5 m, 10 m, 15 m, 20 m in 25 m), 3 razlicna konstrukcijska jekla (S 235, S 275, S 355), 7 razlicnih trdnostnih razredov betona (C20/25, C25/30, C30/37, C35/45, C40/50, C45/55, C50/60), 9 razlicnih jeklenih standardnih debelin plocevin za pasnico (od 8 do 40 mm), 9 razlicnih jeklenih standardnih debelin plocevin za stojino (od 8 do 40 mm), 18 razlicnih standardnih IPE-profilov (od IPE 80 do IPE 600), 24 razlicnih standardnih HEA-pro­filov (od HEA 100 do HEA 1000), 25 razlicnih standardnih armaturnih mrež za armiranobe­tonsko plošco (od R188 do 5xR524) in 27 možnosti zaokroženih dimenzij debeline armi­ranobetonske plošce na okrogli centimeter (od 4 do 30 cm). Obtežba na konstrukcijo je lastna teža konstrukcije in koristna obtežba 4 kN/m2. Naloga vsake MINLP-optimizacije je bila najti minimalne lastne izdelavne stroške sovprežne konstrukcije, optimalno trdnost jekla in betona, optimalni jekleni I-profil (ali standardne de- (44) (45) (46) beline plocevin v primeru varjenega profila), standardno armaturno mrežo, zaokroženo de­belino betonske plošce in medsebojni razmak med jeklenimi I-profili. Za sovprežni stropni sistem je bilo optimiranje izvedeno s programskim paketom MIPSYN ([Kravanja S., 2003], [Kravanja Z., 2010]), ki je bil izpeljan iz programa PROSYN [Kravanja Z., 1994]. Reševanje MINLP-problema sovpre­žnega stropnega sistema je bilo izvedeno z dvofaznim optimiranjem in z modificiranim OA/ER-algoritmom zunanje aproksimacije s sprostitvijo enacb. Za reševanje NLP-podpro­blemov je bil uporabljen program GAMS/ CONOPT2 [Drudd, 1994] (splošna metoda reduciranih gradientov), za reševanje glavnih MILP-problemov pa GAMS/Cplex 7.0 [Cplex, 2016] (metoda vejanja in omejevanja). 5.1 Primerjalni diagrami za optimalno konstrukcijo sovprežnega stropnega sistema z I-nosilci Dobljene optimalne rezultate vseh mogocih konstrukcijskih alternativ smo medsebojno primerjali in izrisali diagrame. (47) (48) (49) Vpliv plasticne in elasticne odpornosti sovpre­žnega precnega prereza z varjenimi jeklenimi I-nosilci na optimalne stroške Slika 5 prikazuje diagrama izracunanih op-timalnih lastnih izdelavnih stroškov sovprež­nega stropnega sistema z varjenimi I-nosilci pri plasticni in elasticni odpornosti za razpo­ne od 5 m do 25 m. Posebej so prikazani stroški za tri razlicne lege nevtralnih osi: v armiranobetonski plošci, v zgornji pasnici jeklenega I-nosilca in v stojini jeklenega I-no­silca. Merodajna kriterija, po katerih je bila izracunana optimalna sovprežna konstruk­cija, sta navpicen upogibek sovprežnega nosilca in navpicen upogibek armiranobe­tonske plošce. Plasticna odpornost: pri primerjavi sovpre­žnih stropnih sistemov z razlicnimi legami (plasticnih) nevtralnih osi je bilo ugotovljeno, da je konstrukcija z nevtralno osjo v armirano­betonski plošci najcenejša pri vseh razponih. Kadar lega nevtralne osi leži v zgornji pasnici varjenega profila, so lastni izdelavni stroški konstrukcije v povprecju višji za 10 % v pri­merjavi s stroški, kadar lega nevtralne osi leži v armiranobetonski plošci. Lastni izdelavni stroški konstrukcije so pri legi nevtralne osi v stojini jeklenega nosilca višji za približno 30 % v primerjavi s stroški, kadar lega nevtralne osi leži v armiranobetonski plošci. Elasticna odpornost: pri primerjavi sovprežnih stropnih sistemov z razlicnimi legami (ela-sticnih) nevtralnih osi je bilo ugotovljeno, da je konstrukcija z nevtralno osjo v stojini jekle­nega profila vecinoma najcenejša. Razlike med stroški pri treh razlicnih legah elasticnih nevtralnih osi so zelo majhne. Primerjava med plasticno in elasticno od­pornostjo: primerjali smo stroškovno naju­godnejše plasticne in elasticne prereze sov­prežne konstrukcije. Izrisani diagram na sliki 6 nam prikazuje optimalne lastne izdelavne stroške za elasticno in plasticno odpornost sovprežnega prereza stropne konstrukcije. Lastni izdelavni stroški sovprežnega sistema z varjenimi jeklenimi I-nosilci so pri elasticni odpornosti precnega prereza v povprecju za 15 % višji od stroškov s plasticno odpornostjo pri vseh razponih. Vpliv plasticne in elasticne odpornosti sovpre­žnega precnega prereza s standardnimi jekle­nimi IPE-profili na optimalne stroške Slika 7 prikazuje diagrama izracunanih op-timalnih lastnih izdelavnih stroškov sovpre­žnega stropnega sistema z jeklenimi IPE­-profili pri plasticni in elasticni odpornosti za razpone od 5 m do 20 m. Posebej so prikazani stroški za tri razlicne lege nevtral­nih osi: v armiranobetonski plošci, v zgornji pasnici jeklenega I-profila in v stojini jeklenega I-profila. Merodajna kriterija, po katerih je bila izracunana optimalna sovprežna konstrukcija, sta navpicen upogibek sovprežnega nosilca in navpicen upogibek armiranobetonske plošce. Za razpone, vecje od 20 m, izracunani opti­malni rezultati dajejo konstrukcijo, kjer se jekleni IPE-profili medsebojno dotikajo ali pa se celo prekrivajo. Zato je takšna sovprežna kontrukcija nerealna. Plasticna odpornost: v primeru plasticne od­pornosti so sovprežni sistemi z razponi do 15 m najcenejši, kadar je lega nevtralne osi v armiranobetonski plošci. Kadar lega nevtralne osi leži v zgornji pasnici ali v stojini IPE-profila, so lastni izdelavni stroški v povprecju višji od 10 % do 45 %. Pri razponu 20 m pa so najnižji stroški, kadar je lega nevtralne osi v zgornji pasnici profila in v stojini IPE-profila. Elasticna odpornost: v primeru elasticne od­pornosti so razlike med stroški konstrukcije za tri lege nevtralnih osi za razpone do 15 m zelo majhne. Pri razponu 20 m je bilo ugotovljeno, da je konstrukcija z lego nevtralne osi v stojini jeklenega profila najcenejša. Pri 20-metrskem razponu se stroški dvignejo za 10 % do 15 %, ce lega nevtralne osi leži v armiranobetonski plošci ali zgornji pasnici jeklenega profila. Primerjava med plasticno in elasticno od­pornostjo: primerjali smo najcenejše prereze sovprežne stropne konstrukcije, dolocene s plasticno in elasticno analizo sovprežnega prereza, glej sliko 8. Lastni izdelavni stroški sovprežnega sistema, sestavljenega iz jekle­nih IPE-profilov, so pri elasticni odpornosti precnega prereza za 5 % do 30 % višji od stroškov konstrukcije s plasticno odpornostjo za razpone do 15 m. Pri razponu 20 m so razlike zanemarljive. Vpliv plasticne in elasticne odpornosti sov­prežnega precnega prereza s standardnimi jeklenimi HEA-profili na optimalne stroške Slika 9 prikazuje diagrama izracunanih op-timalnih lastnih izdelavnih stroškov sov­ prežnega stropnega sistema z jeklenimi HEA-profili pri plasticni in elasticni odpor­nosti za razpone od 5 m do 25 m. Posebej so prikazani stroški za tri razlicne lege nevtralnih osi: v armiranobetonski plošci, v zgornji pasnici jeklenega I-profila in v stojini jeklenega I-profila. Merodajna kriterija, po katerih je bila izracunana optimalna sov­prežna konstrukcija, sta navpicen upogibek sovprežnega nosilca in navpicen upogibek armiranobetonske plošce. Za razpone, vec­je od 25 m, so dobljeni optimalni rezultati nerealni. Izracunani optimalni rezultati pred­stavljajo sovprežno konstrukcijo, kjer se jekleni HEA-profili medsebojno dotikajo ali celo prekrivajo. Plasticna odpornost: pri primerjavi sovprežnih stropnih sistemov z razlicnimi legami nevtral­nih osi je bilo ugotovljeno, da je konstrukcija z nevtralno osjo v armiranobetonski plošci najcenejša pri vseh razponih. Ko lega nev­tralne osi leži v zgornji pasnici HEA-profila, so lastni izdelavni stroški v povprecju višji za 10 % v primerjavi s stroški, ko lega nevtralne osi leži v armiranobetonski plošci. Lastni izde­lavni stroški konstrukcije z lego nevtralne osi v stojini jeklenega profila so višji v povprecju za okoli 60 %. Elasticna odpornost: v primeru elasticne od­pornosti so razlike med stroški konstrukcije za tri lege nevtralnih osi za razpone do 20 m zelo majhne. Pri razponu 20 m je bilo ugotovljeno, da je konstrukcija z lego elasticne nevtralne osi v stojini jeklenega profila najcenejša. Pri razponu 25 m se stroški dvignejo za 5 %, ce lega nevtralne osi leži v zgornji pasnici jekle­nega profila, in za 15 %, ce lega nevtralne osi leži v armiranobetonski plošci. Primerjava med plasticno in elasticno odpor­nostjo: slika 10 prikazuje diagram, na katerem so prikazani optimalni lastni izdelavni stroški sovprežnega sistema s plasticno in elasticno odpornostjo. Lastni izdelavni stroški sovpre­žnega sistema z jeklenimi HEA-profili so pri elasticni odpornosti precnega prereza v pov­precju višji za 20 % od stroškov pri plasticni odpornosti. Slika 10•Diagram lastnih izdelavnih stroškov sovprežnega stropnega sistema z jeklenimi HEA-profili pri plasticni in elasticni odpornosti prereza. Konkurencnost razponov sovprežnih stropnih Slika 11 prikazuje diagram, na katerem so sistemov, sestavljenih iz varjenih jeklenih predstavljeni optimalni lastni izdelavni stroški I-profilov, standardnih IPE-profilov in HEA-sovprežnega stropnega sistema, izdelanega iz -profilov varjenih jeklenih I-profilov, vrocevaljanih jekle- Slika 11•Diagram konkurencnosti sovprežnega stropnega sistema, sestavljenega iz jeklenih varje­nih I-profilov ali jeklenih IPE-profilov ali jeklenih HEA-profilov. nih IPE-profilov ter HEA-profilov. Za primerjavo so bili upoštevani samo najnižji optimalni stro­ški, ki so bili izracunani pri plasticni odpornosti in pri legi nevtralne osi v armiranobetonski plošci. Ugotovili smo, da je ob upoštevanih predpostavkah (nosilec je med gradnjo pov­sem podprt) sovprežni stropni sistem z jekle­nimi IPE-profili najoptimalnejši do razponov 10 m, medtem ko je za vse razpone, vecje od 10 m, najoptimalnejša sovprežna konstrukcija z varjenimi jeklenimi I-nosilci. Konstrukcijska zasnova s HEA-profili je ob predpostavki, da je nosilec med gradnjo povsem podprt, nekonku­rencna pri vseh razponih. 5.2 Primer Dolociti je treba optimalno konstrukcijo sovpre­žnega stropnega sistema za razpone 5 m, 10 m, 15 m, 20 m in 25 m, obremenjene s koristno obtežbo 4 kN/m2. Iz diagrama konkurencnosti sovprežnih siste­mov, glej sliko 11, je razvidno, da je najcenejši stropni sistem z IPE-profili do razpona 10 m, medtem ko je pa za razpone 15 m, 20 m in 25 m najcenejši stropni sistem z varjenimi I-nosil­ ci. Najdražji je stropni sistem s HEA-profili, pri vseh razponih. Na slikah 12-16 so prikazane optimalne konstrukcije sovprežnega stropnega siste-ma (notranja polja) za razpone od 5 m do 25 m. Na slikah so še prikazani: optimalni trdnostni razredi betona in konstrukcijskega jekla, dimenzije (profil) jeklenih I-nosilcev, medsebojna razdalja med jeklenimi I-nosilci, debelina armiranobetonske plošce in potreb­na armatura. Natancnejši pregled izracunanih optimalnih stroškov za ta primer pokaže, da je najcenejši stropni sistem razpona 5 m sestavljen iz IPE-nosilcev (40,06 €/m2), slika 12, sistem razpona 10 m je sestavljen iz IPE­-nosilcev (57,20 €/m2), slika 13, sistem raz­pona 15 m je sestavljen iz varjenih I-nosilcev (69,21 €/m2), slika14, sistem razpona 20 m je sestavljen iz varjenih I-nosilcev (79,55 €/ m2), slika15, in sistem razpona 25 m je sestavljen iz varjenih I-nosilcev (88,86 €/m2), slika16. Slika 12•Optimalni prerez sovprežnega stropnega sistema za razpon 5 m, sestavljen iz IPE-nosilcev. Slika 13• Optimalni prerez sovprežnega stropnega sistema za razpon 10 m, sestavljen iz IPE-nosilcev. Slika 14• Optimalni prerez sovprežnega stropnega sistema za razpon 15 m, sestavljen iz varjenih I-nosilcev. Slika 15• Optimalni prerez sovprežnega stropnega sistema za razpon 20 m, sestavljen iz varjenih I-nosilcev. Slika 16• Optimalni prerez sovprežnega stropnega sistema za razpon 25 m, sestavljen iz varjenih I-nosilcev. V clanku smo predstavili konkurencnost sovprežnih stropnih sistemov, sestavljenih iz jeklenih I-nosilcev in armiranobetonske plošce. Za dolocitev optimalne sovprežne konstrukcije je bila izvedena parametricna optimizacija s pomocjo mešanega celošte­vilskega nelinearnega programiranja, MIN­LP. Parametricna MINLP-optimizacija je bila izvedena za razlicne konstrukcijske alterna­tive, dobljene z vsemi mogocimi kombinaci­jami med naslednjimi razlicnimi parametri: razlicni razponi (od 5 m do 25 m), razlicni trdnostni razredi jekla, razlicne trdnosti beto­na, razlicni prerezi jeklenih nosilcev (varjeni I-nosilci, standardni IPE-profili in HEA-profili), razlicne odpornosti sovprežnega prereza (plasticna ali elasticna odpornost), razlicne lege nevtralnih osi, razlicne lege težišcnih osi idealiziranega (popolnoma jeklenega) sovprežnega prereza, razlicne armaturne mreže in razlicne diskretne debeline armi­ranobetonske plošce. Konstrukcija je bila obremenjena z lastno težo in koristno ob-težbo 4 kN/m2. V študiji sovprežnih stropnih sistemov smo dokazali, da so sovprežni nosilci, dimenzionirani z elasticno upogibno od­pornostjo, v povprecju za 15 % do 20 % dražji od sovprežnih nosilcev s plasticno upogibno odpornostjo. Ugotovili smo, da je sovprežni stropni sistem z jeklenimi IPE-profili najoptimalnejši sistem za raz-pone do 10 m, medtem ko je sovprežni sistem z varjenimi I-nosilci najugodnejši sistem za vse razpone, vecje od 10 m. Sovprežni stropni sistem s HEA-profili je nekonkurencen. V pricujoci študiji smo obravnavali samo sovprežni stropni sistem, sestavljen iz mo-nolitne armiranobetonske plošce in jeklenih I-nosilcev. Zagotovo so lahko optimalnejši tudi drugacni sistemi, kot so sistemi s pre­fabriciranimi armiranobetonskimi plošcami, s sovprežnimi plošcami ali s palicnimi jekle­nimi I-nosilci. Tudi posebna analiza uporabe razlicnih sistemov podpiranja (kontinuira-no podprti, delno podprti ali nepodprti) v casu gradnje bi zagotovo bila za sovprežne stropne sisteme, pri razlicnih razponih in obtežbah, zanimiva in bi podala še bolj podrobno stroškovno sliko. Brooke A., Kendrick D. and Meeraus A., GAMS - A User's Guide, Scientific Press, Redwood City, CA, 1988. CPLEX User Notes, ILOG inc, 2016. Drudd, A.S., CONOPT – A Large-Scale GRG Code, ORSA Journal on Computing, 6(2), 207-216, 1994. Kaveh, A., Massoudi, MS., Cost optimization of a composite floor system using ant colony system, Iranian Journal of Science and Tech- nology-transactions of Civil Engineering, 36(C2), 139-148, 2012. Kaveh, A, Ahangaran, M., Discrete cost optimization of composite floor system using social harmony search model, Applied Soft Com­puting, 12, 372-381, 2012. Klanšek, U., Kravanja, S., Cost estimation, optimization and competitiveness of different composite floor systems—Part 1: Self-manufac­ turing cost estimation of composite and steel structures, Journal of Constructional Steel Research, 62(5), 434-448, 2006a. Klanšek, U., Kravanja, S., Cost estimation, optimization and competitiveness of different composite floor systems—Part 2: Optimization based competitiveness between the composite I beams, channel-section and hollow-section trusses, Journal of Constructional Steel Research, 62(5), 449-462, 2006b. Kravanja, S., Kravanja, Z., Bedenik, B.S., The MINLP optimization approach to structural synthesis. Part I: A general view on simultaneous topology and parameter optimization, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 43(2), 263-292, 1998a. Kravanja, S., Kravanja, Z., Bedenik, B.S., The MINLP optimization approach to structural synthesis. Part II: Simultaneous topology, parameter and standard dimension optimization by the use of the Linked two-phase MINLP strategy, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 43(2), 293-328, 1998b. Kravanja, S., Soršak, A., Kravanja, Z., Efficient multilevel MINLP strategies for solving large combinatorial problems in engineering, Opti­ mization and Engineering, 4(1), 97-151, 2003. Kravanja, S., Žula, T., Klanšek, U., Multi-parametric MINLP optimization study of a composite I beam floor system, Engineering Structures, 130, 316-335, 2017. Kravanja, Z., Grossmann, I.E., New Developments and Capabilities in PROSYN - An Automated Topology and Parameter Process Synthe­ sizer, Computers & Chemical Engineering, 18(11-12), 1097-1114, 1994. Kravanja, Z., Challenges in sustainable integrated process synthesis and the capabilities of an MINLP process synthesizer MipSyn, Com­puters & Chemical Engineering, 34(11), 1831-1848, 2010. Omkar, S.N., Senthilnath, J., Khandelwal, R., Naik, G.N., Gopalakrishnan, S., Artificial Bee Colony (ABC) for multi-objective design optimi­ zation of composite structures, Applied Soft Computing, 11, 489-499, 2011. Poitras, G., Lefrançois, G., Cormier, G., Optimization of steel floor systems using particle swarm optimization, Journal of Constructional Steel Research, 67(8), 1225-1231, 2011. Senouci A.B., Al-Ansari M.S., Cost optimization of composite beams using genetic algorithms, Advances in Engineering Software, 40, 1112-1118, 2009. SIST, SIST EN 1990:2004, Evrokod 0, Osnove projektiranja, Slovenski inštitut za standardizacijo, Ljubljana, 2004a. SIST, SIST EN 1991–1–1:2004, Evrokod 1, Vplivi na konstrukcije-Del 1-1, Splošni vplivi - Gostote, lastna teža, koristne obtežbe stavb, Slovenski inštitut za standardizacijo, Ljubljana, 2004b. SIST, SIST EN 1992–1–1:2005, Evrokod 2, Projektiranje betonskih konstrukcij-Del 1–1, Splošna pravila in pravila za stavbe, Slovenski inštitut za standardizacijo, Ljubljana, 2005a. SIST, SIST EN 1993–1–1:2005, Evrokod 3, Projektiranje jeklenih konstrukcij-Del 1-1, Splošna pravila in pravila za stavbe, Slovenski inštitut za standardizacijo, Ljubljana, 2005b. SIST, SIST EN 1994–1–1:2005, Evrokod 4, Projektiranje jeklenih konstrukcij-Del 1-1, Splošna pravila in pravila za stavbe, Slovenski inštitut za standardizacijo, Ljubljana, 2005c. Žula, T., Kravanja, S., Klanšek, U., MINLP optimization of a composite I beam floor system, Steel and Composite Structures, 22(5), 1163­1192, 2016. Žula, T., Kravanja, S., MINLP optimiranje sovprežnega stropnega sistema z I-nosilci, Gradbeni vestnik, 66, 194-203, 2017. Žula, T., Kravanja, S., MINLP optimiranje sovprežnega stropnega sistema z elasticno odpornostjo nosilca, Gradbeni vestnik, 67, 210-218, 2018.